Введение в поляризационную физику: [учеб. пособие]

Федеральное агентство по образованию Московский инженерно-физический институт (государственный университет)

С.Б. НУРУШЕВ, М.Ф.РУНЦО, М.Н. СТРИХАНОВ

ВВЕДЕНИЕ В ПОЛЯРИЗАЦИОННУЮ ФИЗИКУ Учебное пособие Рекомендовано УМО “Ядерные физика и технологии” в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений

Москва 2007

УДК 539.1 (075) ББК 22.38я7 Н90 Нурушев С.Б., Рунцо М.Ф., Стриханов М.Н. Введение в поляризационную физику: учебное пособие. – М.: МИФИ, 2007. – 516 с. Дается систематическое изложение основных элементов теоретического аппарата, технических методов и опытных данных по поляризационной физике. При изложении теоретического аппарата обсуждаются только соотношения, имеющие прикладное значение в поляризационной физике. При выборе методического и экспериментального материала предпочтение отдавалось самым современным результатам. В основу книги положены как классические работы, так и оригинальные работы авторов, их обзорные статьи в журналах, на конференциях и лекции студентам. Три части книги соответствуют программам курсов: первая – “Квантовая механика”, вторая – “Экспериментальные методы ядерной физики” и третья – программам курсов “Физика элементарных частиц” и “Фундаментальные взаимодействия”. Книга рассчитана на студентов старших курсов и аспирантов вузов, обучающихся по специальности “Физика ядра и частиц”. Она может быть полезной и для преподавателей, интересующихся современными достижениями поляризационной физики. Пособие подготовлено в рамках Инновационной образовательной программы. Рецензент проф. Е.Д. Жижин

ISBN 978-5-7262-0796-4

© Московский инженернофизический институт (государственный университет), 2007

ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие.......................................................................................................8 Введение...........................................................................................................10 Часть I. Основы теории поляризации.......................................................14 Глава 1. Спин и его свойства.......................................................................15 §1. Элементы нерелятивистской квантовой механики...........................17 §2. Оператор углового момента................................................................24 §3. Спиновый оператор Паули..................................................................34 §4. Спиноры................................................................................................37 §5. Уравнение Шрёдингера.......................................................................42 §6. Уравнение Дирака................................................................................53 §7. Элементы релятивистской квантовой механики...............................58 §8. Тензоры и лоренц-преобразования спиноров....................................66 §9. Спин релятивистской частицы с ненулевой массой.........................71 §10. Спин частицы с нулевой массой.......................................................73 §11. Движение вектора поляризации во внешнем электромагнитном поле........................................................................74 §12. Томасовская прецессия спина...........................................................78 Глава 2. Спин в сильных взаимодействиях..............................................82 §13. Матрица плотности............................................................................82 §14. Матрица реакции................................................................................85 §15. R-, P-, T-преобразования...................................................................88 §16. Условие унитарности.........................................................................95 §17. Пион-нуклонное рассеяние...............................................................98 §18. Нуклон-нуклонное рассеяние..........................................................103 §18.1. Построение матрицы реакции......................................................104 §18.2. Некоторые пути экспериментального поиска Р- и Т-неинвариантных членов в матрице сильного взаимодействия...108 §19. Полный опыт.....................................................................................110 §20. Парциально-волновой анализ.........................................................127 §21. Релятивистская матрица пион-нуклонного рассеяния.................137 §22. Релятивистское нуклон-нуклонное рассеяние...............................144 §23. Изоспин T, C- и G-четности............................................................153 §23.1. Изотопическая инвариантность...................................................153 §23.2. Зарядовое сопряжение..................................................................156 §23.3. G- преобразование.........................................................................157 Глава 3. Теоретические модели.................................................................161 §24. Модель Ферми..................................................................................161 §25. Гипотеза сохранения спиральности...............................................168 §26. Асимптотические соотношения между поляризациями в перекрестных каналах реакций.........................................................172 §27. Модель Редже...................................................................................184 3

§28. Элементы квантовой хромодинамики............................................194 §29. Односпиновая асимметрия в инклюзивном рождении адронов..198 §30. Метод U-матрицы (фиксированные t)............................................209 §31. Другие феноменологические модели.............................................216 §31.1. Модель вращающейся адронной материи..................................216 §31.2. Модель ДеГранда-Миеттинена (DeGrand – Miettinen) для поляризационной асимметрии в инклюзивном образовании адронов.......................................................................222 §31.3. Модель Лунда................................................................................229 §31.4. Хромо-магнитная струнная модель.............................................232 §32. Поляризация как инструмент изучения адронной материи в экстремальных условиях...............................................246 Глава 4. Глубоко неупругое рассеяние лептонов...................................251 §33. Кинематика процесса.......................................................................253 §34. Сечения процессов ГНР лептонов на нуклонах............................255 §35. Структурные функции нуклонов....................................................257 §36. Структурные функции и кварк-партонная модель.......................261 §37. Структурная функция и КХД..........................................................263 §38. Определение партонных распределений.......................................266 §39. Трансверсальность...........................................................................270 Часть II. Поляризационная технология..................................................285 Глава 1. Методы получения поляризованных пучков.........................285 §40. Уcкорение поляризованных протонов...........................................287 §40.1. Ускорительно-накопительный комплекс БНЛ...........................288 §40.2. Расчет мощности резонанса.........................................................291 §40.3. Расчеты для AGS...........................................................................294 §41. Поляризованные электронные пучки.............................................297 §41.1. Поляризованный электронный пучок кольцевого коллайдера HERA............................................................................297 §41.2. Поляризованный электронный пучок линейного коллайдера SLC................................................................................307 1. Источник поляризованных электронов........................................308 2. Поляризованные электроны в зоне ESA для экспериментов с фиксированными мишенями..........................310 3. Поляризованные электроны в зоне SLD для коллайдерных экспеприментов...................................................311 §42. Поляризованные мюонные пучки...................................................314 Глава 2. Поляризованные мишени...........................................................317 §43. Твердотельные поляризованные мишени......................................324 §43.1. Поляризованная мишень установки HERA(ИФВЭ)..................325 §43.2. Поляризованная мишень установки ПРОЗА (ИФВЭ)...............329 §43.3. Поляризованная мишень эксперимента Е704 (FNAL)..............334 4

§43.4. Поляризованная мишень эксперимента Е143 (SLAC)...............338 §43.5. Поляризованная мишень эксперимента EMC (CERN)..............340 §43.6. Поляризованная мишень установки SMC (CERN)....................344 §43.7. Поляризованная мишень установки COMPASS........................346 §44. Поляризованные струйные мишени...............................................348 §44.1. Поляризованная струйная мишень установки RHIC (BNL).........................................................................................349 §44.2. Поляризованная газовая мишень с накопительной ячейкой установки HERMES (DESY)...............................................354 Глава 3. Источники поляризованных ионов водорода для ускорителей/коллайдеров...........................................................................359 §45. Источники поляризованных атомных пучков...............................360 §45.1. Источник поляризованных ионов ИЯИ РАН.............................360 §45.2. Источник поляризованных ионов IUCF-CIPIOS........................365 §46. Поляризованный ионный источник с оптической накачкой.......366 Глава 4. Поляриметрия пучков................................................................375 §47. Базовые соотношения в поляриметрии..........................................377 §48. Классификация поляриметров........................................................379 §49. Поляриметрия протонных пучков..................................................381 §50. Ускорительный комплексе ИФВЭ У-70.........................................383 §50.1. Поляриметр на 25 кэВ для источника атомного пучка..............383 §50.2. Относительный поляриметр для энергии 30 МэВ.....................384 §50.3. Поляриметр для Бустер-1.5..........................................................386 §50.4. Поляриметры на энергию 70 ГэВ................................................388 1. CNI pp-поляриметр на поляризованной струйной мишени с регистрацией протона отдачи....................................389 2. рC-поляриметр отдачи для области CNI......................................392 3. Внешний инклюзивный пионный калориметр............................394 4. Внешний абсолютный поляриметр на базе упругого pp- рассеяния.................................................................395 §51. Поляриметрия электронных пучков...............................................399 1. Поляриметр Мотта..........................................................................399 2. Поляриметр Меллера......................................................................400 3. Комптоновский поляриметр..........................................................403 §52. Поляриметрия мюонных пучков.....................................................404 Часть III. Поляризационные эксперименты и результаты.................406 Глава 1. Исследование структурных функций нуклонов....................410 §53. Поляризация как прецизионный инструмент для измерения параметров Стандартной Модели.....................................................410 §54. Спиновые структурные функции....................................................415

5

Глава 2. Поляризация гиперонов.............................................................425 §55. Поляризация гиперонов в зависимости от параметров реакции............................................................................425 §55.1. Зависимость поляризации Λ-гиперонов от энергии..................426 §55.2. Зависимость поляризации гиперона от pT...................................432 §55.3. Зависимость поляризации гиперона от xF...................................435 §55.4. Поляризация гиперонов, образованных пучком Σ–-гиперонов..........................................................................438 §56. Инклюзивные реакции с образованием гиперонов поляризованным протонным пучком...............................................441 §56.1. Анализирующая способность инклюзивной реакции с образованием гиперонов..................................................441 §56.2. Процесс передачи спина в инклюзивном рождении гиперонов...........................................................................443 Глава 3. Процессы инклюзивного рождения адронов..........................447 §57. Односпиновая асимметрия в инклюзивном рождении адронов..............................................................................447 §57.1. Асимметрия в инклюзивном рождении π0-мезонов поляризованными протонными и антипротонными пучками при средних переданных поперечных импульсах (область фрагментации пучка)..........................................................................448 §57.2. Асимметрия в инклюзивном рождении π±-мезонов поляризованными пучками протонов и антипротонов в области фрагментации пучка..........................................................449 §57.3. Асимметрия в инклюзивном рождении π±-мезонов поляризованными протонным и антипротонным пучками при средних передачах импульса (область фрагментации пучка)..........................................................................450 §57.4. Теоретические модели..................................................................451 §57.5. Односпиновая асимметрия при очень малых передачах поперечных импульсов......................................................................452 §57.6. Односпиновая асимметрия в инклюзивном образовании прямых фотонов в центральной области..........................................454 §57.7. Односпиновая асимметрия при больших поперечных импульсах pT........................................................................................455 §58. Двухспиновая асимметрия в инклюзивном рождении адронов..............................................................................462 §58.1. Двухспиновая асимметрия в инклюзивном рождении π0-мезонов в центральной области при столкновении продольно поляризованных протонных и антипротонных пучков с продольно поляризованной мишенью..............................462 6

§58.2. Двухспиновая асимметрия в инклюзивном многофотонном образовании струйно-подобных пар.................................................463 §58.3. Полные сечения, зависящие от спина.........................................465 Глава 4. Новейшие результаты с крупнейших поляризационных установок.....................................................................467 §59. Поляризационная установка COMPASS и полученные на ней результаты...............................................................................467 §60. Поляризационная установка HERMES и полученные на ней результаты...............................................................................472 §61. Поляризационный комплекс RHIC и полученные на нем результаты...............................................................................476 §61.1. Поляризационная установка STAR.............................................479 §61. 2. Поляризационная установка PHENIX........................................481 §61. 3. Поляризационный эксперимент рр2рр на RHIC.......................485 §61. 4. Поляризация в упругом рр- и рС-рассеяниях на RHIC............488 Глава 5. Результаты экспериментов на фиксированных мишенях...490 §62. Поляризация в упругом рассеянии адронов..................................490 §62.1. Результаты измерений поляризации...........................................492 §62.2. Результаты измерений параметра поворота спина R.................497 §63. Поляризация в реакциях обмена зарядами....................................501 Заключение к части III...................................................................................513 Предметный указатель..................................................................................514

7

Предисловие Поляризационная физика представляет собой раздел физики, посвященный исследованию статистических и динамических характеристик процессов, связанных с одной из фундаментальных характеристик элементарных частиц и атомных ядер – спином. В течение более чем векового развития поляризационная физика создала серьезную теоретическую и методическую базу, что привело ко многим открытиям. Она стала особенно бурно развиваться в последние два десятилетия в связи с открытием в 1988 г. явления “спинового кризиса”. После этого открытия широким фронтом начались исследования спиновой структуры нуклонов с целью раздельного определения поляризации валентных и морских кварков и глюонов. Обнаружены значительные поляризационные эффекты в образовании гиперонов, найдены существенные спиновые эффекты в эксклюзивном и инклюзивном образовании адронов. На крупнейших протонных и электронных ускорителях и коллайдерах ведутся исследования по поляризационной физике. Большие успехи достигнуты и в технических методах поляризационной физики. Это касается разработки методов получения и ускорения поляризованных частиц и методов поляриметрии таких пучков. Впечатляющие результаты получены в разработке сильноточных и высоко-поляризованных источников ионов для ускорителей, а также поляризованных мишеней. Более 30 лет назад был создан Международный комитет по спиновой физике, который организовывает каждые два года Международный симпозиум по спиновым явлениям. В 2006 г. XVII симпозиум прошел в Киото (Япония). Между симпозиумами проходят рабочие совещания по различным важнейшим разделам поляризационной физики. Настало время собрать вместе основные результаты поляризационной физики, систематизировать их таким образом, чтобы они были доступны широкой аудитории. По этой тематике был издан ряд монографий, но они написаны с заметным теоретическим уклоном. Мы сделали попытку совместить в одной книге и систематизировать теоретические и экспериментальные, в особенности методические, аспекты поляризационной физики и изложить их по возможности в доступной форме. Данная книга рассчитана, в первую очередь, на студентов старших курсов и аспирантов физических факультетов технических вузов и предполагает наличие соответствующих базовых знаний. В то же время, для облегчения изучения материала мы старались собрать основные используемые термины и определения с соответствующими пояснениями. При выборе материала для книги предпочтение отдавалось новейшим резуль8

татам в соответствующей области. При написании книги мы использовали собственный опыт чтения лекций как студентам, так и более широкой аудитории. Книга состоит из трех частей, нумеруемых римскими цифрами. Части разбиты на главы (нумеруются последовательно 1, 2 и т.д. в пределах каждой части), главы – на параграфы (имеют сквозную нумерацию по всем главам и частям книги: §1, §2 и т.д.). В некоторых случаях параграфы разбиты на подпараграфы (нумеруются §1.1, §1.2 и т.д). Нумерация формул, таблиц и рисунков начинается с единицы в пределах каждого параграфа. Списки литературы даются после каждого параграфа. Литературные источники, рекомендуемые к самостоятельному изучению, выделены жирным шрифтом. Ссылка на литературный источник в тексте содержит фамилию первого автора и год издания. При наличии нескольких работ одного автора в одном году они отличаются латинской буквой (a, b, c…) при обозначении года издания. При необходимости ссылки на формулу, рисунок или таблицу из другого раздела это указывается в тексте (например, §3.2 (16) или §3.2, рис. 2 или §5, табл. 4). На рисунках, взятых из оригинальных работ, мы иногда сохраняем надписи на английском языке, перевод которых дается в подписях к рисункам или в тексте. Авторы выражают большую благодарность к.ф.-м.н. А.А. Богданову, В.Ю. Ходыреву за постоянную помощь в подготовке и редактировании книги, а также д.ф.-м.н. Л.С. Ажгирею и д.ф.-м.н. М.Г. Рыскину за консультации и плодотворное обсуждение многих разделов книги. С.Б. Нурушев, М.Ф. Рунцо, М.Н. Стриханов Май 2007 г.

9

Введение К концу XIX – началу XX вв. физики накопили обширный экспериментальный материал по спектральным линиям водородоподобных атомов, который не находил однозначной теоретической интерпретации. Особенно это относилось к тонким и сверхтонким расщеплениям спектральных линий, так называемых эффектов Зеемана. В 1911 г. Резерфорд предложил модель атома с центральным ядром. В 1913 г. Бор разработал модель атома с электронами, вращающимися вокруг ядра и теоретически вывел формулу излучения для атомов водорода (серия Бальмера). В своей модели Бор учел и релятивистское соотношение между энергией и импульсом электрона. Однако эффекты Зеемана оставались необъясненными. Заметное улучшение модели атома Бора было сделано Зоммерфельдом, который расширил постулаты Бора, допустив движение электронов по эллиптическим орбитам (у Бора были только круговые орбиты), и проквантовал интеграл действия для любой сопряженной пары переменных. В результате он получил магнитное квантовое число m, которое было уже третьим квантовым числом (в дополнение к главному квантовому числу n и орбитальному квантовому числу l). Квантовое число m, определяемое

r

как проекция вектора орбитального момента l на произвольную ось z, пробегает целые значения от – l до + l. Это число объясняло тонкое расщепление уровней. Однако аномальный эффект Зеемана (сверхтонкое расщепление уровней) оставался необъясненным. Близко к пониманию этого эффекта подошел В. Паули в 1924 г. Он написал, что это явление “обязано специфичной, не описываемой классической механикой, двузначности квантовых свойств валентных электронов” [Pauli (1925a)]. Существует мнение, что Паули легко мог бы сделать следующий шаг и открыть спин [Fidecaro (1998)]. Однако он был занят другой проблемой, приведшей его скоро к открытию знаменитого “принципа запрета Паули” [Pauli (1925b)]. Открытие спина не состоялось. В 1925 г. Дж. Уленбек и С. Гаудсмит опубликовали статью, где впервые ввели понятие спина как квантового оператора, имеющего два собственных значения [Uhlenbeck (1925)]. Следуя предложению Паули, они в дополнение к трем квантовым числам (n, l, m), описывающим движение электрона в атоме, добавили четвертую, дополнительную степень свободы, характеризующуюся квантовым числом ms, имеющим два возможных значения. Как и Паули, они приписывали это квантовое число непосредственно электрону и считали его внутренним квантовым числом. Однако в отличие от Паули они интерпретировали его как квантовый параметр, возникающий вследствие вращения электрона вокруг свой оси. Поэтому в своей следующей статье, появившейся приблизительно через три месяца 10

после предыдущей, они дали название “Вращающиеся электроны и структура спектров” [Uhlenbeck (1926)], откуда и возник термин “спин” (от английского слова “spin” – вращение, верчение). Эта спиновая степень свободы приписывалась непосредственно электрону. Авторы смогли объяснить равенство фактора Ланде двум (фактор Ланде входит в коэффициент пропорциональности между напряженностью магнитного поля и величиной разности энергий расщепленных уровней). Очевидно, последнее слово в научных исследованиях принадлежит теории. В 1927 г. Паули написал нерелятивистское уравнение (уравнение Паули) с введением сигма-матрицы и двухкомпонентных спиноров, объяснившее многие спиновые эффекты в атомной физике, включая проблему аномальных эффектов Зеемана. В 1928 г. Дирак написал релятивистское уравнение для электрона, откуда, неожиданно для него самого, возникал электрон (и позитрон) с полуцелым спином и требуемым магнитным моментом. К концу 1928 г. спин утвердился как такая же фундаментальная характеристика элементарных частиц, как заряд и масса. Так происходило становление спиновой физики. Известные элементарные частицы в большинстве своем имеют спины и объединяются в две группы: бозоны и фермионы, в зависимости от того, являются ли их спины целочисленными или полуцелыми. Соответственно эти группы подчиняются либо статистике Бозе-Эйнштейна, либо ФермиДирака. Весьма заметную роль играет спин в динамике взаимодействия частиц, будь оно сильным, слабым или электромагнитным. Однако в то время, как для электрослабых взаимодействий спин описан полностью, для сильных взаимодействий его описание до сих пор является серьезной проблемой. Многие важнейшие открытия в современной физике связаны непосредственно со спином, как, например, сверхтонкое расщепление линий атомов, оболочечные модели атомов и ядер, обнаружение нарушения четности в слабых и электромагнитных процессах, явление “спинового кризиса”, наличие магнитных моментов у частиц и т.д. По современным представлениям спин появляется как следствие симметрии пространства Минковского по отношению к пространственновременным смещениям и к поворотам четырехмерного пространства. Описывающая эти преобразования группа Пуанкаре имеет два оператора Казимира, которые приводят к двум универсальным наблюдаемым для любой физической системы. Первый из этих операторов приводит к определению массы системы, а второй – к концепции спина [Ji (2002)]. Настоящая книга состоит из трех частей, составляющих основу поляризационной физики. Первая часть содержит теоретическое введение и охватывает широкий круг вопросов. Отметим некоторые из них. Техника создания источников поляризованных ионов, так же как поляризованных газовых мишеней, базируется на расщеплении сверхтонких уровней водо11

рода. А эти уровни в области очень низких энергий расчитываются с помощью нерелятивистского уравнения Шредингера. В связи с этим приводится нерелятивистское уравнение Шредингера и его решение с включением сигма-матриц Паули и внешнего магнитного поля. В области средних энергий проводится обсуждение в основном процессов упругого рассеяния. Из-за отсутствия количественной теории сильных взаимодействий в этой области энергии особую роль играет понятие полного опыта. Это понятие основано на том, что матрица рассеяния любого процесса строится исходя из общих принципов инвариантности взаимодействия. При этом особую роль играют спин и его трансформационные свойства (как ведет себя спин при непрерывных и дискретных преобразованиях пространства и времени). В теоретической части обсуждаются общие принципы построении матрицы плотности, матрицы реакции и инвариантов и показываются их применения к конкретным реакциям пион-нуклонного и нуклон-нуклонного рассеяния. Даются конкретные примеры полных опытов. При переходе к высоким энергиям для описания процессов нужен аппарат релятивистской квантовой механики. Особенно большая сложность возникает при этом из-за необходимости релятивистского описания спина как для свободной частицы, так и при ее движении в магнитном поле. Правильное описание динамики спина особенно важно для вычисления деполяризующих эффектов при ускорении протонов в ускорителях. Эти проблемы также кратко представлены в первой части книги. Наконец, для интерпретации экспериментальных результатов, приведенных в третьей части книги, нужны теоретические модели динамики взаимодействия частиц, имеющих спин. Ряд таких моделей также включен в эту часть книги. В экспериментальных исследованиях спиновых явлений в физике высоких энергий мы должны иметь пучок частиц с известной степенью ориентации их спина в некотором выделенном направлении. Такая преимущественная ориентация называется поляризацией, поэтому экспериментальную спиновую физику называют также и поляризационной физикой. В настоящее время среди поляризационных экспериментов ведущее положение занимают эксперименты по глубоко неупругому рассеянию. В первой части книги на базе самых современных экспериментальных результатов дается краткий обзор ситуации в этих исследованиях. Поляризационная методика описывается во второй части книги. Она состоит из четырех глав. Всякий эксперимент в области поляризационной физики заключается в рассеянии поляризованных пучков частиц на поляризованной мишени (эксперименты с фиксированной мишенью) или поляризованном пучке (коллайдеры). Первая глава посвящена получению и ускорению поляризованных протонов и электронов. Отдельно рассматривается также уникальный поляризованный мюонный пучок. Вторая глава 12

посвящена поляризованным мишеням. При этом описываются твердотельные поляризованные мишени крупных конкретных экспериментальных установок, так что можно их сопоставить по многим параметрам. На ускорителях особенно успешно используются поляризованные струйные и поляризованные газовые мишени с накопительными ячейками и без них. В третьей главе описываются два источника поляризованных ионов с рекордными параметрами. Четвертая глава посвящена поляриметрии, направлению, связанному с измерением поляризации пучков и мишеней. Третья часть книги называется “Поляризационные эксперименты и результаты”. Здесь скомпилированы новейшие результаты, полученные на крупнейших установках. Особо отмечается, что поляризация является наиболее чувствительным инструментом при проверке предсказаний Стандартной модели (СМ) и квантовой хромодинамики (КХД). К настоящему времени достаточно точно определены функции распределения поляризованных валентных кварков, хуже — морских кварков и практически не удается пока определить спиновые функции распределения глюонов. С хорошей точностью измерены одиночные асимметрии, т. е. неоднородности азимутального распределения вторичных частиц, возникающие при взаимодействии поляризованных пучков и мишеней. Вопреки теоретическим ожиданиям спиновые эффекты выживают в инклюзивном образовании пионов в области фрагментации поляризованной частицы до энергии в системе центра масс (с.ц.м.), равной 200 ГэВ. Такая же большая асимметрия обнаружена впервые у инклюзивно образованных нейтронов в той же кинематической области. Обсуждаются также эффекты передачи информации о спине при взаимодействиях. Мы приходим к заключению, что нерешенных проблем в поляризационной физике еще очень много. И потому физиками, работающими в этой области, разрабатываются новые программы поляризационных исследований. Список литературы Fidecaro G. In: Proc. 13th Int. Symp. on High Energy Spin Physics, Protvino, Russia (1998) 50. Ji X. In: Proc. 15th Int. Symp. on High Energy Spin Physics, Upton, New York (2002) 3. Pauli W. Zeitschr. f. Phys. 31 (1925a) 373. Pauli W. Zeitschr. f. Phys. 31 (1925b) 765. Uhlenbeck G.E.and Goudsmit S. Nature 13 (1925) 953. Uhlenbeck G.E. and Goudsmit S. Nature 117 (1926) 264.

13

Часть I. Основы теории поляризации В этом разделе учебного пособия мы вкратце напомним об основных элементах нерелятивистской и релятивистской квантовой механики, которые будут полезны в дальнейшем для понимания материала. Мы старались, по возможности, изложить также основные законы сохранения, следующие из собственных и обобщенных преобразований Лоренца, а также из дискретных преобразований. Цель любого экспериментального исследования, особенно относящихся к адронной физике, состоит в том, чтобы накопить максимально полную информацию об иcследуемой реакции. Исходя из такого подхода, мы стремились достаточно полно изложить определение полного набора экспериментов в пион-нуклонном и нуклоннуклонном взаимодействиях. Учитывая сложность самого понятия спин [Tomonaga (1992)], отсутствия у него классического аналога, мы приводим разные варианты определения спина и разные его трансформационные свойства. Мы рассматриваем теоретическую часть как необходимый инструмент для понимания основ технических методов поляризационной физики и основу для анализа результатов поляризационных экспериментов [Фейнман (2004), Ферми (1965)]. Такая компиляция материалов преследовала также цель меньше всего отвлекать читателей на поиск дополнительных источников информации. Список литературы Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 8-9, Квантовая механика. 3-е изд., испр. М.: Едиториал УРСС, 2004. Ферми Э. Квантовая механика. М.: Издательство МИР, 1965. Tomonaga S. The story of spin. The university of Chicago Press, Chicago and London (1992).

14

Глава 1. Спин и его свойства Очевидно, прежде чем описывать спин, мы должны определить само понятие “спин”. В 1925 г. Гаудсмит и Уленбек [Uhlenbeck (1925), Uhlenbeck (1926)] выдвинули гипотезу о том, что наряду с массой и зарядом электрон обладает еще и собственным механическим моментом количества движения и магнитным моментом. Этот внутренний момент количества движения был назван спином и обозначается символом s (начальная буква английского слова spin – вращение, верчение). Этот момент количества движения не связан с внешним орбитальным движением частицы. Трудно усвоить понятие “внутренного” момента количества движения применительно к элементарной частице, каковым является электрон. Распространим гипотезу о спине на ядро и используем аргументы из книги [Ландау (1963)]. Поскольку ядро – сложная система, состоящая из нуклонов, то его состояние должно определяться не только внутренней энергией, но и “внутренним моментом количества движения нуклонов” L. Момент L ядра определяется распределением по импульсу этих нуклонов внутри ядра и может иметь 2L+1 значений. Таким образом, распределение по импульсу нуклонов внутри ядра и определяет его спин. Аналогичные соображения можно применить и к нуклонам. В кварковой модели нуклон состоит из трех кварков, связанных глюонами. Распределение по импульсу кварков и глюонов внутри нуклона и определяет спин нуклона. По наивной кварковой модели спин нуклона должен на 100 % определяться спинами валентных кварков. Однако в 1984 г. сотрудничество EMC (European Muon Collaboration) обнаружило, что валентные кварки вместо 100 % несут только около 25 % спина нуклона. Этому явлению присвоили название “спинового кризиса”. Так что проблема о происхождении спина протона не имеет пока количественного объяснения в партонной модели. В случае электрона (точечной частицы) мы не можем найти такое простое объяснение происхождению спина, так как спин является квантовомеханическим оператором и не имеет аналога в классической физике. Гипотеза о спине открыла возможности для простого объяснения огромного количества экспериментальных фактов. В 1929 г. Мотт поднял вопрос о возможности прямого экспериментального определения магнитного момента (соответственно спина) электрона [Mott (1929)]. Он показал, что принцип неопределенности не позволяет измерить спин электрона непосредственно в опытах, как например, в опытах Штерна–Герлаха [Dehmelt (1990) ]. В то же время он предложил эксперимент, который позволяет определить удвоенное среднее значение спина, или иначе поляризацию, путем двойного рассеяния электронов [Mott (1932)]. Суть эксперимента состоит в следующем. Неполяризован15

ный электронный пучок низких энергий рассеивается на мишени с большим зарядом на большие углы. Вследствие спин-орбитального взаимодействия рассеянные электроны должны быть поляризованы. Эти поляризованные электроны рассеиваются в той же плоскости на второй такой же мишени. Измеряется лево-правая асимметрия на второй мишени. Эта асимметрия равна произведению поляризации электронов после первого рассеяния на анализирующую способность второго рассеяния. Очевидно, сам факт ненулевой асимметрии подтверждает наличие поляризации, т. е. спина у электрона. Было предпринято несколько попыток увидеть в эксперименте этот эффект, однако, в силу разных проблем, они завершались безуспешно. Только в 1943 г. был успешно выполнен первый такой эксперимент, результаты которого полностью подтверждали предсказания Мотта [Schull (1943)]. В этих измерениях использовался поляриметр Мотта, о чем можно получить подробную информацию в обзорной статье [Gay (1992)]. Список литературы Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М.: Государственное издательство физикоматематической литературы, 1963. Dehmet H. Science 247 (1990) 539. Gay T.J. Rev. Sci. Instrum. 63 (1992) 1635. Mott N.F. Proc. R. Soc. A124 (1929) 425. Mott N.F. Proc. R. Soc. A135 (1932) 429. Schull C.G. et al. Phys. Rev. 63 (1943) 29. Uhlenbeck G.E. and Goudsmit S. Nature 113 (1925) 953. Uhlenbeck G.E. and Goudsmit S. Nature 117 (1926) 264.

16

§1. Элементы нерелятивистской квантовой механики Спин является исключительно квантовой характеристикой объектов микромира, и для его описания требуется аппарат квантовой механики как нерелятивистской [Бете (1980)], так и релятивистской [Дирак (1960)]. В этом разделе мы рассмотрим вкратце те основные элементы нерелятивистской квантовой механики, которые потребуются нам при изложении материалов по поляризационной физике [Шпольский (1984а), Шпольский (1984b)]. Ниже, в §7, мы изложим необходимые нам элементы также из релятивистской квантовой механики. При этом мы используем материалы из монографий, перечисленных ниже в списке литературы. Напомним основные понятия, используемые в квантовой механике. В квантовой механике очень часто используются линейные операторы. Сведения об операторах приводятся в соответствии с работой [Ферми (1965)]. Операторы действуют на функции, которые задаются на некоторой области. Примерами областей могут быть числовая ось x (одномерное или линейное пространство), набор точек, точки на поверхности сферы, трехмерное пространство чисел x, y, z. Функции можно рассматривать как векторы в пространстве, причем пространство может иметь конечное или бесконечное число измерений. В общем случае оператор представляет собой правило (математическую операцию), по которому из функции f получается функция g:

g = Oˆ f .

(1) Операторы будем обозначать буквой со “шляпкой”. Функции и операторы в квантовой механике являются в общем случае комплексными. Среди операторов Oˆ должен существовать единичный или тождественный оператор Iˆ , воспроизводящий исходную функцию:

g = Oˆ f = Iˆf = f .

(2) Практически любому математическому действию можно сопоставить соответствующий оператор. В квантовой механике важную роль играют линейные операторы. Они удовлетворяют требованию

Oˆ (αf + βg ) = αOˆ f + βOˆ g (3) для любой пары функций f и g и любых постоянных комплексных чисел α и β. Примерами линейных операторов являются умножение на числовые

множители, на функции, операции дифференцирования, интегрирования и т.д.

17

Сумма и разность линейных операторов Cˆ ± = Aˆ ± Bˆ также является линейным оператором:

Cˆ ± f = Aˆ f ± Bˆ f .

(4) При сложении (вычитании) соблюдается свойство коммутативности:

Cˆ ± f = ± Bˆ f + Aˆ f .

(5)

Линейные операторы обладают свойством ассоциативности:

(

) (

)

Aˆ + Bˆ + Cˆ = Aˆ + Bˆ + Cˆ .

(6) Произведение двух линейных операторов также обладает свойством ассоциативности:

(Aˆ Bˆ ) f = Aˆ (Bˆ f ).

(7)

Умножение оператора на число равносильно умножению этого числа на результат воздействия оператора на функцию. В общем случае произведение двух линейных операторов некоммутативно, т.е.

Aˆ Bˆ ≠ Bˆ Aˆ .

(8) В качестве иллюстрации этого утверждения рассмотрим случай, когда

Aˆ = x, Bˆ = d / dx . Мы получим

(Aˆ Bˆ ) f = ⎛⎜ x dxd ⎞⎟ f = x dfdx , (Bˆ Aˆ ) f = dxd (xf ) = f + x dfdx . ⎝

⎠

(9)

Введем определение коммутатора для двух операторов Aˆ и Bˆ :

[ Aˆ , Bˆ ] = −[ Bˆ , Aˆ ] = Aˆ Bˆ − Bˆ Aˆ .

(10)

Если [ Aˆ , Bˆ ] = 0 , то говорят, что операторы коммутируют. Введем также определение антикоммутатора

{ }

{ Aˆ , Bˆ } = Bˆ , Aˆ = Aˆ Bˆ + Bˆ Aˆ .

(11) С учетом соотношения (9), можно убедиться в справедливости равенства

⎡d ⎤ ⎢ dx , x ⎥ = 1 . ⎣ ⎦

(12)

Степень операторов определяет кратность применения основного опе-

d dn ратора, например, если Aˆ = , то Aˆ n = n или Aˆ n + m = Aˆ n Aˆ m . Спраdx

dx

ведливо также коммутационное соотношение 18

[Aˆ , Aˆ ] = 0 . Обратный n

m

оператор (его действие уничтожает действие основного оператора) Aˆ −1 также коммутирует с основным оператором

()

[Aˆ , Aˆ ] = 0 . Функция от −1

оператора F Aˆ является полезной в приложениях. По аналогии с обычной функцией эту функцию можно разложить в ряд Тейлора:

()

F Aˆ =

F (n ) (0 ) ˆ n ∑ n! A . n =0 ∞

(13)

Рассмотрим конкретный пример для функции

()

ˆ F Aˆ = eαA , где

Aˆ = d / dx . Итак, имеем разложение 2

n

∞

n

ˆ α ˆ2 α ˆn α ˆn eαA = 1 + αAˆ + A + .... A + ... = ∑ A . n! 2! n = 0 n! d Подставляя значение оператора Aˆ = , находим dx ∞ αn d n ˆ d α2 d 2 αn d n e αA = 1 + α + .... ... . + + = ∑ n dx 2! dx 2 n! dx n n = 0 n! dx Теперь воздействуем оператором F Aˆ на функцию f и получим

(14)

(15)

()

αn d n f ( x ) = f ( x + α) . (16) n n =0 n! dx Последнее равенство соответствует разложению f ( x + α ) в ряд по переменной α при α=0. Как можно видеть, действие этого оператора свелось к смещению аргумента функции на величину α. Введем волновую функцию ψ ( x ) в виде столбца с n элементами F ( Aˆ ) f (x)

d α dx =e

f (x) =

∞

∑

⎛ ψ1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ... ⎟ ψ(x ) = ⎜ ψ m ⎟ , ⎟ ⎜ ⎜ ... ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ ψm ⎠

(17)

где x = x1, x2 ,... – совокупность всех непрерывных аргументов, например, координаты, а m – дискретная переменная. 19

В результате применения оператора Fˆ к функции ψ m иногда получается вновь та же самая функция, умноженная на некоторое число

λ m : Fˆψ m = λ m ψ m . Если функция ψ m удовлетворяет так называемым “стандартным условиям” (совокупность требований ее конечности, непрерывности и однозначности во всей области изменения ее независимых аргументов) и условию квадратичной интегрируемости (интеграл от квадрата модуля функции есть конечное число), то ψ m называется собственной функцией оператора Fˆ , а λ m – его собственным значением, соответствующим собственной функции ψ m . Определим матричный элемент оператора соотношением:

Fkl = ∫ ψ*k (x )Fψ l (x )dx .

(18)

Введем понятие эрмитова (самосопряженного) оператора. Каждому линейному оператору Fˆ можно сопоставить другой, сопряженный ему, линейный оператор Fˆ + . Этот оператор получается из исходого оператора

Fˆ перестановкой столбцов и строк и взятием комплексного сопряжения.

Матричный элемент эрмитово-сопряженного оператора удовлетворяет

(

)

* условию Fkl = ∫ ψ*k Fˆψ l dX = ∫ Fˆ + ψ k ψ l dX , где dX = dx1 ⋅ dx2 ⋅ ... –

независимые непрерывные переменные, а интегрирование распространяется на всю область изменения независимых переменных (фазовое пространство), причем звездочкой, как обычно, обозначается операция комплексного сопряжения. Если оператор, сопряженный данному, совпадает с ним самим, то в таком случае оператор называется самосопряженным или эрмитовым. В этом случае

∫ψ

*

( )

* Fˆϕ dX = ∫ Fˆψ ϕ dX . Существует

важная теорема, утверждающая, что собственные значения самосопряженного оператора действительны. Докажем ее. Имеем

Fˆψ m = λ m ψ m .

(19)

Возьмем эрмитово сопряжение

ψ +m Fˆ + = λ*m ψ +m .

(20)

Умножаем уравнение (19) слева на ψ +m , а уравнение (20) справа – на

ψ m . Вычитая одно из другого получившиеся выражения и учитывая, что по определению эрмитова оператора Fˆ = Fˆ + , находим λ m = λ*m , 20

(21)

что и требовалось доказать. Эта теорема обеспечивает тот факт, что все наблюдаемые на опыте величины (энергия, импульс, угловые и спиновые моменты и т.д.) представляются в квантовой механике эрмитовыми операторами. В основе нерелятивистской квантовой механики лежат следующие шесть принципов [Бьеркен (1978а), Бьеркен (1978b)]: 1. Заданная физическая система описывается вектором состояния Φ , который содержит всю информацию о рассматриваемой системе. В применении к одночастичной системе в координатном представлении вектор состояния называется волновой функцией. Эта волновая функция обозначается ψ и является комплексной функцией полной совокупности аргументов, описывающих рассматриваемую физическую систему. Такая совокупность аргументов может включать координаты, импульсы, время, спин, изоспин и т.д. Эти параметры должны описывать все степени свободы частицы. Обозначим эту совокупность независимых переменных как q, за исключением времени, которое обозначим t. Тогда запишем волновую функцию как ψ(t,q). Сама волновая функция ψ (t,q) не имеет прямой физической интерпретации. Однако квадрат ее модуля, |ψ(t,q)|2 ≥ 0, интерпретируется, как вероятность найти частицу в момент времени t в точке многомерного пространства q. Из вероятностной интерпретации следует, что величина |ψ(t,q)|2 должна быть конечной во всей физической области изменения переменных q. 2. Любой наблюдаемой физической величине соответствует линейный эрмитов оператор. В частности, переменной импульса pi соответствует в координатном представлении qi следующий оператор

pi →

h ∂ . i ∂qi

(22)

3. Состояние физической системы является собственной функцией Φ

произвольного оператора Oˆ , если выполняется равенство

Oˆ Φ n (q, t ) = On ⋅ Φ n (q, t ) ,

(23)

где Φn – n-ое собственное состояние (или собственная функция Oˆ ), отвечающее собственному значению On. Для эрмитова оператора Oˆ величина On действительна.

4. Произвольная волновая функция, или вектор состояния, физической системы может быть разложена по полной ортонормированной системе волновых функций ψ n полного набора коммутирующих с гамильтонианом и друг с другом операторов. Полнота и ортонормированность 21

системы волновых функций ψ n (q, s ) (q представляет все непрерывные переменные, а s – дискретные) выражается следующим соотношением [Шифф (1957)]:

∑ ∫ dqψ∗n (q, s)ψ m (q, s) = δnm ,

(24)

s

значит, произвольная волновая функция ψ физической системы может быть разложена по этой полной системе следующим образом: ψ = ∑ an ψ n . (25) n

Величина |an|2 определяет вероятность нахождения физической системы в n-ом собственном состоянии. 5. В результате измерения на опыте наблюдаемой величины определяется одно из ее собственных значений. Например, если физическая система описывается волновой функцией ψ (25), а функция ψ n является собственной функцией оператора Oˆ с собственным значением On, т.е.

Oˆ ψ n = On ⋅ ψ n , тогда измерение наблюдаемой физической величины O дает собственное значение On с вероятностью |an|2. Среднее значение оператора Oˆ (учитывая ортогональность собственных волновых функций) определяется соотношением

< Oˆ > = ∑ ∫ dqψ∗n (q, s )Oˆ ψ m (q, s ) = ∑ | an |2 On . n, s

(26)

n

6. Уравнение Шредингера описывает развитие физической системы во времени, а именно:

ih

∂ ψ = Hˆ ψ . ∂t

(27)

∂H = 0. ∂t

(28)

Здесь гамильтониан Hˆ (оператор, соответствующий энергии системы) является линейным эрмитовым оператором. Для замкнутой (изолированной) физической системы гамильтониан не зависит явно от времени, следовательно,

Решения уравнения движения с таким гамильтонианом определяют возможные стационарные состояния физической системы. Из принципа линейности оператора гамильтониана вытекает принцип суперпозиции (пункт 4). Условие эрмитовости гамильтониана приводит к сохранению 22

вероятности обнаружения частицы в точке с координатами q, как видно из следующего соотношения, полученного с использованием формулы (27):

∂ ∂t

i

∑ ∫ dqψ ψ = h ∑ ∫ dq[(Hˆ ψ) ψ − ψ ( Hˆ ψ)] = 0 . ∗

s

∗

∗

(29)

s

Это соотношение устанавливает факт сохранения плотности вероятности. Рассмотрим простейший случай гамильтониана свободно движущейся r изолированной частицы с импульсом p . Гамильтониан равен ее кинетической энергии:

H=

p2 . 2m

(30)

Для перехода от классической к квантовой механике каждой динамической переменной классической механики сопоставляется линейный эрмитов оператор в квантовой механике, проводится замена:

H → ih

∂ , ∂t

r p → −ih∇ .

(31)

Отсюда следует нерелятивистское уравнение Шредингера для свободной частицы

ih

∂ψ (q, t ) h2 2 =− ∇ ψ ( q, t ) . ∂t 2m

(32)

В случае взаимодействия гамильтониан должен содержать в дополнение к кинетической энергии K и потенциальную энергию взаимодействия V и иметь вид H = K + V. (33) Следовательно, уравнение Шредингера с учетом взаимодействия частиц запишется в общей форме следующим образом

ih

∂ψ (q, t ) ˆ h2 2 = Hψ (q, t ) = [− ∇ + V (q, t )]ψ (q, t ) . 2m ∂t

(34)

Нет общего однозначного рецепта для нахождения гамильтониана. При решении каждой конкретной задачи строится гамильтониан из основных независимых кинематических параметров (например, импульсов, орбитальных и спиновых моментов, внешних электромагнитных полей, магнитных моментов и т.д.), накладываются требования инвариантности по отношению к преобразованиям системы координат (перемещениям, вращениям, отражениям в пространстве и инверсии времени), чтобы получить скалярный (или псевдоскалярный) оператор Гамильтона. Пра23

вильность выбранного гамильтониана определяется сравнением результатов вычислений с экспериментальными данными. Примеры построения гамильтониана для конкретных случаев будут рассмотрены в последующих параграфах. Список литературы Бете Г. и Солпитер Э. Квантовая механика атомов с одним и двумя электронами. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. Бьеркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория, т.1. Релятивистская квантовая механика. М.: Наука, 1978a. Бьеркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория, т.2. Релятивистские квантовые поля. М.: Наука, 1978b. Дирак П.М.А. Принципы квантовой механики. М.: Физматгиз, 1960. Ферми Э. Квантовая механика. М.: Издательство МИР, 1965. Шифф Л. Квантовая механика. М.: Изд-во иностр. лит., 1957. Шпольский Э.В. Атомная физика, т. 1, 7-е изд. М.: Наука, 1984а. Шпольский Э.В. Атомная физика, т. 2, 7-е изд. М.: Наука, 1984b.

§2. Оператор углового момента В начале этого параграфа мы дадим основные сведения о системе обозначений Дирака, которые мы будем неоднократно применять в дальнейшем [Шпольский (1994)]. Любой вектор ψ в n-мерном евклидовом пространстве однозначно задается совокупностью своих компонентов в фиксированном базисе, что может быть записано в виде матрицы-столбца из компонент этого вектора

ψ1, ..., ψ n . Введем формально сопряженное пространство векторов ψ + , которые получаются из ψ путем эрмитова сопряжения (транспонирование в строку и комплексное сопряжение компонент). Формулу для скалярного произведения векторов ϕ и ψ (обычно скалярное произведение двух

функций

от

x в интервале

a< x
определяется

как

b

(ϕ, ψ ) = ∫ ϕ(x )ψ(x )dx ) можно сокращенно записать в матричных обознаa

чениях (ϕ, ψ ) = ϕ+ ψ . Следуя Дираку, обозначим ψ ≡ ψ , 24

ψ+ ≡ ψ и

назовем ψ кет-вектором, а ψ – бра-вектором (от английского слова bracket – “скобка”). Формально эти два типа векторов связаны операцией +

+

эрмитова сопряжения: ψ ≡ ψ ,

ψ ≡ ψ . Символ ϕ ψ (вторая

черточка внутри не пишется ради краткости) означает, как указано выше, число – скалярное произведение векторов ϕ и ψ. Введем в пространстве кет- и бра-векторов полные и ортонормированные базисы, т.е. совокупности таких базовых векторов, которые получаются друг из друга путем эрмитова сопряжения. Эти базисные орты мы будем обозначать просто как 1 , 2 , ..., n и 1 , 2 , ..., n соответственно. Тогда условие ортонормированности базиса запишется в виде

j k = δ jk ,

(1)

где δ jk – символ Кронекера ( δ jk = 1 при j = k, δ jk = 0 при j ≠ k). Векторы ψ

и ψ можно разложить по своим базисным векторам

полного набора операторов (знак “~” (тильда) означает транспонирование):

ψ =

n

∑ψ j

j;

j =1

n

~ j . ψ =∑ψ j

(2)

j =1

Умножая первое разложение слева на

j , а второе – справа на k ,

получим

ψj = j ψ ,

(3)

~ = ψ k = k ψ * = ψ* , т.е. ψ ~ = ψ* . ψ (4) k k j j ~ Совокупности чисел ψ и ψ являются наборами компонентов векj

j

торов ψ и ψ соответственно и определяют их однозначным образом. Воспользовавшись полученными выражениями для компонентов векторов ψ и ψ , мы можем их разложения записать в виде

ψ =

n

∑

j jψ;

j =1

n

ψ =∑ ψ j j .

(5)

j =1

Действие оператора Fˆ на вектор ψ в n-мерном евклидовом пространстве будем записывать в дираковских обозначениях как ϕ = Fˆ ψ .

25

Выражения вида ϕ Fˆ ψ

мы будем понимать следующим образом:

на вектор ψ слева действует оператор Fˆ , а затем получающийся вектор умножается скалярно слева на ϕ. Другими словами, оператор Fˆ действует на начальное состояние ψ и переводит его в конечное состояние ϕ. Вектор f , удовлетворяющий уравнению

Fˆ f = f f ,

(6)

называется собственным вектором оператора Fˆ , а число f – собственным значением этого оператора, отвечающим данному собственному вектору. Векторный (или спинорный, это понятие будет введено в последующих параграфах) характер волновой функции записывается в виде скобок Дирака. Теперь найдем матрицу оператора Fˆ в его собственном базисе, т.е. в базисе из его собственных векторов f . Согласно общему определению элемент матрицы оператора

(F ) f ' f ' '

= f ' Fˆ f ' ' .

(7)

Учитывая уравнение (6) и условие ортонормированности, имеем

(F ) f ' f '' =

f ' Fˆ f ' ' = f ' f ' ' f ' ' = f ' ' f ' f ' ' = f ' ' f ' f '' = δ f ' f '' f ' δ

f ' f ''

,(8)

т.е. матрица эрмитова оператора Fˆ в его собственном базисе является диагональной. Ее элементы, стоящие на главной диагонали, равны собственным значениям оператора Fˆ (среди них могут быть и совпадающие, так называемые вырожденные элементы), а все остальные недиагональные элементы равны нулю. Таким образом, чисто алгебраическая проблема диагонализации матрицы данного эрмитова оператора (т.е. отыскания базиса, в котором эта матрица диагональна) решается одновременно с нахождением собственных значений этого оператора. Перейдем теперь к изложению основного содержания этого параграфа, касающегося оператора углового момента. В квантовой механике гамильтониан представляет оператор, определяющий изменение во времени состояния квантовой системы. Основные законы сохранения в физике возникают из требования, чтобы для замкнутой системы пространство было однородным и изотропным. Первое требование приводит к закону сохранения импульса (три сохраняющиеся компоненты импульса). Второе требование приводит к закону сохранения 26

углового момента (шесть сохраняющихся величин: три компоненты момента количества движения и три поворота с участием временной оси четырехмерного пространства). В этом параграфе мы рассмотрим свойства углового момента, тем более, что они окажутся полезными при знакомстве с “собственным (или внутренним) угловым моментом” частицы, как иначе называют спин. В нашем изложении мы следуем книгам [Ландау (1963), Шифф (1957)]. Пусть имеется замкнутая физическая система с гамильтонианом H. В силу изотропии пространства при повороте такой системы на произвольный угол вокруг произвольной оси гамильтониан системы не должен измениться. Достаточно приложить это условие к бесконечно малому повороту, как оно окажется справедливым и для конечных поворотов. Пусть физическая система состоит из n частиц, и ее волновая функция r r есть ψ (ri ) , где индекс i = 1, 2….n. Если δϕ представляет вектор бесконечно малого поворота на угол ϕ и направлен вдоль оси поворота, то

r

приращение вектора r при повороте можно представить в виде r r r δri = δϕ × ri . (9) Здесь символ × обозначает векторное произведение. Произвольная волновая функция при таком преобразовании меняется следующим образом (мы берем два первых члена разложения в ряд, а в третьем преобразовании мы используем коммутативность скалярного произведения векторов и свойство смешанного произведения векторов): r r r r r r r r r r r ψ ( ri + δ ri ) = ψ ( ri ) + ∑ δ ri • ∇ i ψ (ri ) = ψ ( ri ) + ∑ δ ϕ × ri • ∇ i ψ (ri ) = i

i

⎛ r r r ⎞ r = ⎜⎜ 1 + δ ϕ • ∑ ri × ∇ i ⎟⎟ ψ (ri ). i ⎝ ⎠

r

Оператор градиента, обозначаемый здесь ∇ (набла), а в других источниках также как grad, представляет собой векторную функцию от скаляр-

∂ r ∂ r ∂ r i+ j+ k, ∂zi ∂xi ∂yi причем стрелка, обозначающая вектор, над знаком ∇ зачастую не ставит-

r

ной функции, для декартовых координат – ∇i =

ся. Скалярное произведение векторов обозначается символом •.

r

r

r

Оператор 1 + δϕ • ∑ ri × ∇i представляет оператор бесконечно малого i

поворота и поэтому он в силу изотропности пространства сохраняет полную энергию системы неизменной и должен коммутировать с гамильто27

нианом Hˆ [Ландау (1963)]. Исключив из рассмотрения первый член (единица коммутирует с любым оператором), вводя обозначение

r r Lˆ = ∑ ri × ∇i ,

(10)

i

запишем условие коммутации оператора Lˆ с оператором Гамильтона

[Lˆ, Hˆ ] = LˆHˆ − Hˆ Lˆ = 0.

(11) Как известно, любой оператор, коммутирующий с оператором Гамильтона, является сохраняющейся величиной. Следовательно, оператор Lˆ , возникший из требования изотропии пространства для замкнутой системы, сохраняется. Этот оператор называется оператором момента импульса, как следует из его определения, как векторного произведения вектора оператора координаты на вектор оператора импульса. Его называют также оператором орбитального или оператором углового момента или оператором момента количества движения. Здесь мы несколько отклонимся от главной темы этого параграфа, чтобы отметить ряд свойств оператора Lˆ , которые окажутся полезными при рассмотрении оператора спина. Из классического определения вектора орбитального момента для одной частицы

r r r l =r×p,

(12)

r r r где r – координата, а p – импульс частицы, следует, что l является

псевдовектором (или аксиальным вектором), т.е. при пространственной

r

r

r

инверсии l не меняет знака в отличие от r и p , которые меняют знаки

r

(такие векторы называются полярными). Другое важное свойство l связано с операцией обращения времени. Поскольку при такой операции координата не меняет знак, а импульс меняет, то орбитальный момент тоже меняет знак. Поскольку спин не является таким классическим объектом, как орбитальный момент, то для спина нет аналога соотношения (12). Следовательно, нет возможности наглядным и простым путем вывести

r

такие же свойства для оператора спина, как это мы сделали для l . Но в то же время мы можем распространить эти свойства орбитального момента и на cпиновый момент, так как иначе нельзя было бы производить операции

r

r

r

r

сложения, чтобы получить полный момент j = l + s , где s представляет вектор спина. Вернемся к основной теме. Квантовомеханическое представление оператора углового момента частицы с учетом связи оператора импульса и оператора градиента 28

pˆ = −ih∇ можно записать, выразив векторное произведение в виде опре-

делителя

r j

r k

y ˆp y

z . ˆp z

(13)

hlm = xi pˆ k εikm ,

(14)

r i

r hl = x pˆ x В более короткой записи где pˆ k = −ih

∂ ∂x k

(далее до конца этого параграфа мы будем полагать

постоянную Планка h = 1 , как это часто делается в теоретических работах; в дальнейшем мы будем особо оговаривать подобные случаи). εikm – антисимметричный единичный тензор третьего ранга (i = x, y, z = 1, 2, 3), называемый также единичным аксиальным тензором, определяется как тензор, антисимметричный по всем трем индексам, причем ε123=1. Очевидно, что из 27 его компонент отличны от нуля только те 6, у которых индексы i, j, k образуют какую-либо перестановку чисел 1, 2, 3. При этом компоненты равны +1, если перестановка i, j, k получается из 1, 2, 3 четным числом парных перестановок чисел (транспозиций), и равны –1 при нечетном числе транспозиций. Очевидно, что εijkεijl = 2 δkl , εijkεijk = 6.

r

Соотношения коммутации между l и координатами xi (оператор xˆi в координатном представлении сводится к умножению на координату, поэтому мы пишем его без шляпки) могут быть получены прямыми вычислениями и представлены в форме

[lˆ , x ]= iε

(15) i k ikm xm . Точно такие же коммутационные соотношения имеются между операторами углового момента lˆ и импульса pˆ частицы

[lˆ , pˆ ]= iε

ˆm . ikm p

(16) Аналогичные соотношения коммутации можно получить и для компоi

k

нент оператора углового момента lˆ , а именно

[lˆ , lˆ ] = iε i k

ˆ

ikmlm .

(17)

Определим квадрат оператора углового момента

lˆ2 = lˆx 2 + lˆy 2 + lˆz 2 . 29

(18)

Этот оператор коммутирует с каждой из компонент оператора lˆi (i =x,

y, z). Например, lˆ 2 x , lˆz = lˆx 2lˆz − lˆz lˆx 2 = lˆx − ilˆy + lˆz lˆx − ilˆy + lˆx lˆz lˆx = −i lˆx lˆy + lˆy lˆx

[ ] ( [lˆ , lˆ ] = i(lˆ lˆ + lˆ lˆ ), [lˆ 2

y

z

x y

y x

2

z , lz

] = 0.

) (

)

(

) (19)

[ ]

Складывая эти соотношения, получаем lˆ 2 , lˆz = 0 . В результате приходим к соотношению

[lˆ , lˆ ] = 0, i = x, y, z. 2

(20) Физический смысл соотношения (20) состоит в том, что квадрат орбитального момента может быть измерен точно одновременно с одной из его компонент. i

В практических приложениях бывает полезно вместо операторов lˆx и

lˆy пользоваться их линейными комбинациями lˆ± = lˆx ± ilˆy .

(21)

Можно убедиться с помощью соотношений (17), что имеют место равенства

[lˆ , lˆ ] = 2lˆ , [lˆ , lˆ ] = lˆ , [lˆ , lˆ ] = −lˆ . + −

z

z +

+

z −

−

(22)

Также может быть доказано соотношение

lˆ 2 = lˆ+lˆ− + lˆz 2 − lˆz = lˆ−lˆ+ + lˆz 2 + lˆz .

(23) Теперь перейдем из декартовой системы координат в сферическую систему координат стандартной заменой переменных (как обычно, полярный угол θ отсчитывается от положительной полуоси z по часовой стрелке, а угол ϕ – от положительной полуоси х против часовой стрелки): x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ . Учитывая выражения (14) для компонент оператора углового момента, можно после недолгих вычислений получить необходимые выражения: ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ lˆz = −i , lˆ± = e ± iϕ ⎜⎜ ± (24) + i ctgθ ⎟⎟ . ∂ϕ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂θ Подставляя эти выражения в формулу (23), найдем

⎡ 1 ∂ ∂ ⎞⎤ 1 ∂ ⎛ + θ lˆ 2 = − ⎢ 2 sin ⎜ ⎟⎥ . 2 ∂θ ⎠⎦ sin θ ∂θ ⎝ ⎣ sin θ ∂ϕ 30

(25)

Это выражение с точностью до постоянного множителя представляет угловую часть оператора Лапласа. Теперь можно заняться определением собственных значений проекции момента импульса на некоторое выбранное направление. Выше мы заготовили формулы в сферической системе координат, и в ней мы будем работать. Вначале рассмотрим оператор lˆz , определенный соотношением (24). Так как мы ищем собственное значение этого оператора, то мы должны записать уравнение для его собственной функции

lˆz ψ = l z ψ .

(26)

Здесь l z без операторного символа наверху (для краткости будем говорить – без “шляпки”) обозначает собственное значение оператора lˆz . Заменив оператор lˆz его выражением (24), получим

−i

∂ψ = lz ψ . ∂ϕ

(27)

Решение этого уравнения имеет вид

ψ = f (r , θ) eil z ϕ .

(28)

Здесь f (r , θ ) – произвольная функция своих аргументов. Чтобы функция ψ была однозначной, она должна быть периодической с периодом 2π. Выпишем для экспоненциального члена условие такой периодичil ϕ

il (ϕ + 2 π )

il (2 π )

ности: e z = e z , следовательно, 1 = e z . Отсюда следует, что l z = m, где m = 0, ±1, ±2…. Таким образом, m принимает положительные и отрицательные целочисленные значения, включая 0. Введем нормированную собственную функцию оператора lˆz

Φ m (ϕ) =

1 2π

eimϕ ,

(29)

где нормировка задается соотношением 2π

∫ Φ ν (ϕ)Φ ν ' (ϕ)dϕ = δvv' . *

(30)

0

Следовательно, собственная функция оператора lˆz в общем виде может быть записана как

ψ m = f (r , θ)eil z ϕ . 31

(31)

Перейдем к поиску максимальных и минимальных значений l z . Переписав соотношение (18)

lˆ 2 − lˆz 2 = lˆx 2 + lˆy 2 ,

(32)

видим, что поскольку в правой части стоят операторы положительных величин, то и левая часть должна быть положительной. Следовательно,

− l 2 ≤ lz ≤ + l 2 . (33) Таким образом, значения l z ограничены и сверху, и снизу одной и той же величиной. Обозначим ее l и найдем ее. Применив оператор lˆ lˆ к волновой функции ψ с учетом соотношеz ±

m

ний (22) и (26), находим

lˆz lˆ± ψ m = (m ± 1) lˆ± ψ m . (34) Отсюда видно, что функция lˆ± ψ m является собственной функцией оператора lˆ с собственным значением (m ± 1) с точностью до нормироz

вочного множителя. Значит, можно написать

ψ m +1 = N1lˆ+ ψ m , ψ m −1 = N 2lˆ− ψ m . (35) ˆ Как можно заметить, оператор l+ повышает собственное значение m на единицу, в то время как оператор lˆ понижает собственное значение m −

на единицу. Если в первом соотношении в (35) положить m = l, то получится ψ l +1 = 0 , так как наибольшее значение m может быть равным l. Итак, мы получили

lˆ+ ψ l = 0.

(36)

Применим к этому равенству оператор lˆ− и, воспользовавшись соотношением (23), получим

(

)

lˆ−lˆ+ ψ l = lˆ 2 − lˆz 2 − lˆz ψ l = 0.

(37)

Так как ψ l является одновременно собственной функцией всех трех операторов в круглой скобке, то находим

lˆ 2ψ l = l (l + 1) ψ l .

(38) Эта формула определяет собственные значения оператора квадрата углового момента. Величина l пробегает любые целые положительные значения от нуля и выше. При заданном значении l собственные значения 32

оператора lˆz пробегают значения m = – l , –( l –1), –( l 2)…0…( l –2), ( l –1),

l , т.е. всего (2 l +1) значений. Параметр m называют также магнитным квантовым числом или проекцией орбитального момента lˆ на ось z, и он приводит к “квантованию пространства”. Перейдем к вычислению матричных элементов операторов lˆx и lˆy в представлении, где диагональны матрицы энергии, lˆz и lˆ 2 . Если оператор — это правило, по которому каждому вектору ψ евклидова n-мерного пространства ставится в соответствие вектор ϕ такого же пространства, то мы можем записать преобразование одного вектора в другой в виде ϕ j =

n

∑ a jk ψ k . В матричных обозначениях можно запи-

k =1

сать ϕ = Àψ . Тем самым каждой матрицей порядка n×n задается некоторый оператор в n-мерном евклидовом пространстве. Поскольку операторы lˆx и lˆy коммутируют с оператором Гамильтона и оператором lˆ 2 , то их матричные элементы будут отличны от нуля только в переходах, где энергия и l не меняются. Это значит, что мы можем ограничиться вычислениями матричных элементов операторов lˆx и

lˆy между разными значениями m. Из формулы (35) мы видели, что оператор lˆ− переводит состояние

m+1 в m, а lˆ+ осуществляет переход m–1 в m. Имея это в виду и применяя соотношения (15), находим, записывая матричные элементы в дираковских обозначениях

l (l + 1) = m l+ m − 1 m − 1 l− m + m 2 − m .

(39)

Вследствие эрмитовости операторов lˆ+ и lˆ− , которая следует из эрмитовости lˆx и lˆy в соответствии с определением (21), находим ∗ m − 1 lˆ− m = m lˆ+ m − 1 ,

(40)

и подставляя это соотношение в предыдущее равенство, получаем

m lˆ+ m − 1

2

= l (l + 1) − m(m − 1) = (l − m + 1)(l + m ) . 33

(41)

Окончательно получаем

m lˆ+ m − 1 = m − 1 lˆ− m =

(l + m )(l − m + 1) .

(42)

Из этих соотношений можно найти отличные от нуля матричные элементы операторов lˆx и lˆy :

1 m lˆx m − 1 = m − 1 lˆx m = 2

(l + m )(l − m + 1)

(43)

и

m lˆy m − 1 = m − 1 lˆy m = −

i 2

(l + m )(l − m + 1) .

(44)

Эти соотношения окажутся полезными в последующих главах (полагая l полуцелым, получим матрицы Паули, к которым мы и перейдем в следующем параграфе). Список литературы Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Том 3. Нерелятивистская теория. М.: Государственное издательство физикоматематической литературы, 1963. Шифф Л. Квантовая механика. М.: Изд-во иностр. лит., 1957. Шпольский Э.В. Атомная физика. В 2-х т. 7-е изд. М.: Наука, 1984.

§3. Спиновый оператор Паули Спином принято называть собственный внутренний момент количества движения частицы, принимающий дискретные значения. В случае, когда частицы имеют целочисленные спины, такие частицы называются бозонами. В качестве примера таких частиц можно назвать фотоны, векторные мезоны, глюоны, промежуточные бозоны. Спин может принимать и полуцелые значения. Частицы, имеющие полуцелый спин, называются фермионами. Примерами таких частиц являются нуклоны, электроны, нейтрино, мюоны, кварки. Весь мир элементарных частиц, без исключения, можно классифицировать по спину как принадлежащие либо к бозонам, либо к фермионам [Кейн (1990)]. Соответственно, они описываются либо статистикой Бозе–Эйнштейна, либо статистикой Ферми–Дирака. Гипотеза о наличии у электрона внутреннего момента количества движения предлагалась многими физиками и в разной форме [Fidecaro (1998)]. Наиболее четкая формулировка этой гипотезы была высказана голландскими учеными Г. Уленбеком и С. Гаудсмитом в 1925 г. 34

[Uhlenbeck (1925), Uhlenbeck (1926)] для объяснения наличия сверхтонких структур в энергетических уровнях водородоподобных атомов. Спин появился как оператор в квантовой механике в 1927 г. благодаря В. Паули. Особенно важную роль играет спин в слабых распадах частиц [Окунь (1990)]. Как пример можно отметить, что одно из крупнейших открытий в физике прошлого столетия, а именно, открытие несохранения четности в слабых взаимодействиях, было сделано на поляризованных частицах (бета-распад поляризованных ядер), т.е. с применением спина [Ли (1968)]. Рассмотрим ряд свойств оператора спина sˆ cо значением 1/2. Этот ˆ соотношением оператор sˆ связан с оператором Паули σ

sˆ =

1 σˆ . 2

(1)

При этом оба оператора, действующие в пространстве спинов, являются аксиальными векторами в обычном координатном представлении. Опеˆ в системе покоя частицы имеет вид ратор σ

σ x = σ1 =

0 1 1 0

, σ y = σ2 =

0 −i i

0

, σ z = σ3 =

1

0

0 −1

. (2)

Коммутационные свойства матриц Паули σ можно выразить следующим соотношением: σα σβ = δαβ I + iεαβγ σ γ , (3) где δαβ – единичный симметричный тензор второго ранга, а εαβγ – единичный антисимметричный тензор третьего ранга (оба тензора – в трехмерном пространстве). Из соотношения (3) можно вывести правила для коммутаторов и антикоммутаторов σˆ α , σˆ β = σˆ ασˆ β − σˆ βσˆ α = 2iεαβγ σˆ γ , (3а)

[

]

{σˆ α , σˆ β }= σˆ ασˆ β + σˆ βσˆ α = 2δαβ .

(3b)

Из этих соотношений можно вывести ряд полезных свойств. Вопервых, как видно из (3а), произведение двух разных компонент спинового оператора сводится к первой степени третьей компоненты этого оператора. Это значит, что любая матрица в двухмерном спиновом пространстве не может содержать сигма-матрицу выше первой степени, т.е. является линейной функцией оператора Паули. Во-вторых, компоненты спинового оператора антикоммутируют между собой. В третьих, квадрат каждой компоненты спина равен единичной матрице I. Из соотношений (3), (3а), (3b) можно получить полезное равенство 35

(σrˆ • Ar )(σrˆ • Br ) = (Ar • Br )+ iσrˆ • (Ar × Br ) , r

(4)

r

r

ˆ где векторы A и B не зависят от спиновых переменных. Оператор σ является эрмитовым, что можно проверить непосредственным преобразованием матриц Паули, и, следовательно, его собственное значение будет

rˆ действительным числом. Значение оператора σ , усредненное по спиноr

вым состояниям частицы, называется вектором поляризации P :

r r P =< σˆ > .

(5)

Из того факта, что

σ2 = σ12 + σ 2 2 + σ32 = 3 ,

(6) следует, что собственное значение квадрата спинового оператора

r 1 r 3 s 2 = ⋅ σ2 = . 4 4 В то же время можно показать, что величина вектора поляризации Р по модулю всегда меньше единицы [Биленький (1964)] | P |≤ 1 . Это будет доказано позже. Трансформационные свойства (свойства при преобразовании координат) спинового оператора (соответственно и оператора Паули) можно определить по аналогии с оператором орбитального момента частицы, с которым складывается спин, образуя полный момент частицы,

r r r j = s +l .

В общем случае из требования изотропности пространства можно получить следующие соотношения для компонент углового момента колиr чества движения j частицы [Ландау (1963)].

( j x + ij y )Ylm = ( j − m)( j + m + 1)Y jm +1 ,

(7)

( j x − ij y )Ylm = ( j + m)( j − m + 1)Y jm −1 ,

(8)

j zYlm = mYlm , j 2Ylm = j ( j + 1)Ylm .

(9)

Заменяя в этих уравнениях момент количества движения j на спино-

r

вый оператор sˆ , а сферические функции Ylm – на спиноры χ sm (см. следующий параграф), мы получим уравнения для нахождения собственных функций и собственных значений спиновых операторов. Из этих же уравнений можно вывести приведенные выше коммутационные соотношения для спиновых операторов (3, 3a, 3b) так же, как и явные выражения для матриц Паули (2). Более того, соотношения (7) – (9) позволяют найти яв36

ные выражения для спиновых операторов любого ранга, в том числе для спина дейтрона (s = 1).

r

Спиновый оператор sˆ представляет собой псевдовектор, т.е. при вращении системы координат он преобразуется как обычный вектор, а при отражении системы координат спин, как и орбитальный момент, не меняется, т.е. является аксиальным вектором. При обращении времени спин так же меняет знак, как и орбитальный момент. Мы уже отмечали ранее, что использование аналогии с орбитальным моментом для определения трасформационных свойств спинового оператора является самым простым и достаточно убедительным. Список литературы Биленький С.М., Лапидус Л.И., Рындин Р.М. УФН 84 (1964) 241. Кейн Г. Современная физика элементарных частиц. М.: МИР, 1990. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. Ли Ц., Ву Ц. Слабые взаимодействия. М.: МИР, 1968. Окунь Л.Б. Лептоны и кварки. М.: НАУКА, 1990. Fidecaro G. In: Proc. 13th Int. Symp. on High Energy Spin Physics, Protvino, Russia (1998) 50. Uhlenbeck G.E. and Goudsmit S. Nature 113 (1925) 953. Uhlenbeck G.E. and Goudsmit S. Nature 117 (1926) 264.

§4. Спиноры Пусть ψ(x, y , z; σ ) есть волновая функция частицы со спином σ (мы следуем обозначениям первоисточника, поэтому не следует путать σ с матрицей Паули), σ в данном случае означает z-компоненту спина и пробегает значения от –s до +s [Ландау (1963)]. О функциях ψ(σ ) с различными значениями σ будем говорить, как о “компонентах” волновой функции. Переменная σ отличается от обычных переменных (координат) своей дискретностью. Наиболее общий вид линейного оператора, действующего на функции от дискретной переменной σ, есть

( fˆψ ) (σ) = ∑ f σ′

37

σσ′

(σ′) ,

(1)

( )

где f σσ′ – постоянные. Выражение fˆψ заключено в скобки, чтобы по-

казать, что аргумент (σ ) относится уже не к функции ψ , а к функции,

возникшей под действием оператора fˆ на функцию ψ . Можно показать, что величины f σσ′ совпадают с матричными элементами оператора fˆ , определенными обычным образом. Отсюда операторы, действующие на функции от σ, могут быть представлены в виде 2s+1-рядных матриц. При равном нулю спине волновая функция имеет всего одну компоненту ψ(0 ) . Поскольку операторы спина связаны с операторами поворота, то это значит, что волновая функция частицы со спином 0 не меняется при поворотах системы координат, т.е. является скаляром или псевдоскаляром. Волновые функции частиц со спином 1/2 имеют две компоненты ψ(1 / 2 ) и ψ(− 1/ 2) . Будем обозначать их ψ1 и ψ2. При произвольном повороте системы координат они подвергаются линейному преобразованию:

ψ1 ' = αψ1 + βψ 2 , ψ 2 ' = γψ1 + δψ 2 .

(2) Коэффициенты α, β, γ, δ , вообще говоря, комплексны и являются фукциями углов поворота. Линейные преобразования (2), оставляющие инвариантной билинейную форму

ψ1ψ 2 − ψ 2ψ1 ,

(

1

2

)

(3)

называются бинарными. Двухкомпонентную же величину ψ , ψ , преобразующуюся при повороте системы координат по бинарному преобразованию, называют спинором. Рассмотрим спиноры χ sm (s – величина спина, m – его проекция), являющиеся собственными функциями оператора квадрата спина sˆ2 и оператора проекции спина sˆ z . Предположим, что они определены в данной системе координат K с осями (x, y, z). Пусть новая система координат K′ с осями (x′, y′, z′) получена из K поворотом вокруг оси z на угол φ. Оператор бесконечно малого поворота на угол δϕ вокруг оси z выражается с помощью оператора момента (в данном случае – спина) в виде 1 + iδϕ ⋅ sˆz .

Поэтому в результате поворота волновые функции ψ(σ ) перейдут в

ψ(σ ) + δψ(σ ), где δψ(σ ) = iδϕ ⋅ sˆ z ψ(σ ) . Но sˆz ψ (σ ) = sz ψ(σ ) , так что 38

δψ(σ ) = is z ψ (σ )δϕ . При повороте на конечный угол ϕ конечный спинор

примет вид функции ψ(σ )' = e z ψ(σ ) . Тогда конечный спинор определяется соотношением is ϕ

ψ z ( ϕ ) = Uˆ z ( ϕ ) χ sm = e is z ϕ χ sm = e

1 i σ zϕ 2 χ

sm

=

ϕ 1 ϕ 1 ϕ = [1 + i ( ) σ z − ( ) 2 − i ( ) 3 σ z − ...] χ sm = 2 2! 2 3! 2 1

iϕ

2 ϕ ϕ = (cos + i sin σ z ) χ sm = e 2 2 0

0

1 − iϕ e 2

(4)

χ sm ,

где оператор 1 2 Uˆ z (ϕ) = e

iϕ

0

(5)

1 − iϕ e 2

0

обеспечивает вращение системы координат K вокруг оси z на угол φ. Оператор поворота на угол θ вокруг оси х можно выразить матрицей (см. [Ландау (1963)])

θ θ i sin 2 2 . Uˆ x (ϕ) = θ θ i sin cos 2 2 cos

(6)

Возьмем ориентацию оси квантования, определенную углами Эйлера

ϕ, θ, ψ . Проводя преобразования Эйлера, мы получим спинор с новой осью квантования спина 1

θ i (ϕ+ ψ ) cos e 2 2 Ψ= i θ 2 (ϕ−ψ ) i sin e 2

i

θ − (ϕ−ψ ) i sin e 2 2 χ sm . i θ − 2 (ϕ+ ψ ) cos e 2

(7)

Положив два произвольных угла равными нулю, естественно, мы получим вращение вокруг третьего направления. Чтобы сделать прозрачным r этот момент, введем единичный вектор n (n1 , n2 , n3 ) , вокруг которого 39

производим вращение на угол ε. Тогда оператор вращения записывается в виде (см. (5)) r r

U n (ε) = eiσ• nε =

cos ε + in3 sin ε

(in1 + n2 ) sin ε

(in1 −n 2 ) sin ε

cos ε − in3 sin ε

.

(8)

Рис. 1. Преобразование Эйлера

При таких поворотах вектор спина, так же как и орбитальный момент, преобразуется как обычный вектор, а именно (поворот против часовой стрелки вокруг оси z): σ' x = cos ϕ ⋅ σ x + sin ϕ ⋅ σ y , σ' y = − sin ϕ ⋅ σ x + cos ϕ ⋅ σ y . (9) Из формулы (4) видно, что спинор χ при вращении системы координат на угол 2 π меняет знак. Это свойственно практически всем спинорам, описывающим частицы с полуцелым спином. Однако квадрат спинора

| χ |2 является положительно определенной функцией, как и должно быть, так как эта величина соответствует вероятности нахождения частицы в определенном спиновом состоянии. В качестве примера найдем явный вид операторов Паули в системе покоя частицы. Приведенные в предыдушем параграфе формулы (§3 (7), §3 (8), §3 (9)) применимы и к спиновым операторам. В рассматриваемом случае частицы со спином s = 1/2 введем для упрощения обозначения 40

α = Y1 1 , β = Y1

1; 2 2

22

−

sˆ+ = sˆx + isˆ y , sˆ− = sˆx − isˆ y .

(10)

В системе покоя частицы выберем ось z как ось квантования и представим компоненты спинора α и β в следующем ортонормированном виде:

α=

1 0

и β=

0 . 1

(11)

Тогда из (§3 (7) и (§3 (8)) получаем четыре уравнения в матричной форме: sˆ+ α = 0, sˆ+ β = α; sˆ− α = β, sˆ−β = 0 . (12) Все спиновые операторы можно представить в виде матрицы ранга 2 с неизвестными элементами sˆ = aij , где i, j =1, 2 , подставляя соотношения (11) в (12) и решая их, находим

0, −i 1 0, 1 1 0, 0 1 0, 1 1 1, 0 , sˆ− = ; sˆx = , sˆy = , sˆz = . (13) i, 0 2 0, 0 2 1, 0 2 1, 0 2 0, −1 Выражение для оператора sˆz получается, естественно, из-за условия, что компоненты спинора α и β являются собственными функциями sˆz с 1 собственными значениями ± . 2 sˆ+ =

Найдем теперь в явном виде матричное представление для операторов спина 1. Различие с предыдущим примером состоит в том, что спиноры будут

1

0

трехкомпонентны, т.е. мы должны добавить к спинорам α = 0 , β = 1

0

0

0 еще один спинор γ = 0 , а спиновые матрицы будут ранга 3 × 3.

1 Каждый спиновый оператор будет иметь 9 неизвестных коэффициентов sˆ = aij , где i, j = 1, 2, 3. Сохраняя запись спиновых операторов, как и выше, выпишем уравнения, следующие из (§3(7), §3(8), §3(9)), для спина 1: 41

sˆ+α = 0, sˆ+β = 2α sˆ+ γ = 2β ; sˆ−α = 2β, sˆ−β = 2γ, sˆ−γ = 0 . (14) Решая эти уравнения, находим 0,

2, 0

sˆ+ = 0, 0,

2 , sˆ− =

0, 0, 0

0, 0, 0 2 , 0, 0 ; 0, 2 , 0

(15)

0, − 1, 0 1, 0, 0 1 i sˆx = 1, 0, 1 , sˆ y = 1, 0, − 1 , sˆz = 0, 0, 0 . 2 2 0, 1, 0 0, 1, 0 0, 0, − 1 0, 1, 0

Этим решается задача определения в явном виде спиновых операторов для частицы со спином 1. Список литературы Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. Блатт Дж., Вайскопф В. Теоретическая ядерная физика. М.: Изд-во иностр. лит., 1954. Вольфенштейн Л. УФН 62 (1957) 71. Нурушев С.Б. Препринт ИФВЭ 83-103 ОЭФ, Серпухов (1983).

§5. Уравнение Шредингера Во многих приложениях в данной книге придется обращаться к уравнению Шредингера. В дальнейшем в качестве примера задачи с дискретными спектрами мы остановимся на атоме водорода в основном состоянии. В качестве примера на задачу с рассеянием (задача на непрерывный спектр) мы рассмотрим рассеяние нуклона на ядре с применением Борновского приближения (модель Ферми). Другой пример применения уравнения Шредингера мы приведем в разделе нуклон-нуклонного рассеяния при выводе соотношения унитарности. Конкретные приложения этих и других формул будут проиллюстрированы в соответствующих разделах книги. В параграфе 1 мы привели общую формулу (29) записи уравнения Шредингера для случая взаимодействия в форме

ih

∂ψ (q, t ) ˆ h2 2 = Hψ (q, t ) = [− ∇ + V (q, t )] ψ (q, t ) . 2m ∂t 42

(1)

Для стационарных задач (когда гамильтониан не зависит от времени) это уравнение имеет вид

Eψ (q, t ) = [−

h2 2 ∇ + V (q, t )] ψ (q, t ) . 2m

(2)

Рассмотрим применение этого уравнения в случаях дискретного и непрерывного спектров. А. Атом водорода в основном состоянии и его энергетические уровни

Для данной задачи известны и подробно рассмотрены в литературе следующие гамильтонианы взаимодействия H = H c + H r + H sl + H ss + H sB . (3) A.1. Здесь гамильтониан кулоновского взаимодействия имеет вид

Hc =

Ze 2 . r

(4)

Этот гамильтониан определяет бальмеровы термы (т.е. уровни энергии по терминологии, принятой в спектроскопии) атома водорода

En = −

2πhсZ 2 R . n2

(5)

Здесь n = 1,2,3,…∞ называется главным квантовым числом, и оно определяет уровни энергии атома водорода в главном приближении;

R=

µe4 4πh3c

– постоянная Ридберга ( 2πhсR = 13,6 эВ); Z – заряд ядра, µ –

⎛1 1 1 ⎞⎟ приведенная масса ⎜ = . + ⎜µ ⎝

me

m p ⎟⎠

Этот член (5) обеспечивает главный вклад в энергию уровня, остальные члены ( H r , H sl , H ss , H sB ) можно рассматривать как небольшие возмущения. A.2. Гамильтониан Hr учитывает релятивистские поправки к энергии электрона с ростом его скорости. Вычисления с использованием теории возмущений приводят к результату [Шпольский (1984)]

43

⎞ ⎛ 3 ⎟ α 2 RZ 4 ⎜ 1 ⎜ ∆Er = − ⎟. n3 ⎜ l + 1 4 n ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎠ ⎝

(6)

e2 ≈ 1/137 есть постоянная тонкой структуры, введенная hc Зоммерфельдом, l – азимутальное квантовое число. Видно из сравнения Здесь α =

(6) с (5), что релятивистские поправки к энергии электрона составляют порядка α2 от основного терма Бальмера. A3. Гамильтониан спин-орбитального взаимодействия Hsl и последующие члены в соотношении (3) имеют прямое отношение к поляризационным явлениям, так как связаны с взаимодействием спина. Рассмотрим их подробно [Шпольский (1984)]. Чтобы яснее представить физическую картину, воспользуемся классическими представлениями, что атом водорода представляет систему из протона и вращающегося вокруг него по эллиптической орбите электрона. Электрон имеет спин s и, как экспериментально установлено, магнитный r момент µ e . Протон тоже имеет спин, обозначим его I и соответствующий

r

магнитный момент µ p . Магнитный момент протона создает в месте рас-

r

положения электрона магнитное поле H p . Чтобы оценить его величину, перейдем из системы координат с центром в протоне к системе с центром r в электроне. Если электрон двигался со скоростью ve , то теперь протон

r

будет двигаться в обратном направлении со скоростью – ve . Это значит,

r

r

что в системе покоя электрона появится ток j = Zeve . По закону БиоСавара этот ток создаст в месте расположения электрона магнитное поле r ( r – вектор, проведенный от элемента тока в ту точку, в которой определяется поле, с – скорость света) r r r r r Zev × r Zer × v Hp = − = . (7) cr 3 cr 3

r

Известно, что орбитальный момент электрона le связан с его скоростью формулой (µ – приведенная масса)

r r r le = µ r × v .

Подставляя в предыдущее соотношение, получаем

44

(8)

r Ze r le . Hp = µcr 3

(9)

Дополнительная энергия за счет взаимодействия магнитного диполя с r моментом электрона µe и магнитного поля составляет

H ls = −

Ze r r µe • l . µcr 3

(10)

Это выражение получено в системе покоя электрона (R-система). Чтобы вернуться в лабораторную систему (L-система), где покоится атом водорода, нужно произвести лоренц-преобразование. В результате, как показал Я.И. Френкель до появления теории Дирака [Frenkel (1926)], энергия Hls уменьшается в 2 раза:

H ls = −

Ze r r µe • l . 2µcr 3

(11)

Этот фактор 1/2 играет существенную роль при рассмотрении движения электрона в магнитном поле, объяснении фактора Ланде и томасовской прецессии спина при релятивистских преобразованиях спина. Рассматривая этот гамильтониан как возмущение по сравнению с основным гамильтонианом Hc в соотношении (3), мы можем найти соответствующую добавку к энергии методом теории возмущений:

∆Els = H ls = − <

Ze r r µe • l > . 2µcr 3

(12)

Скобки < > обозначают усреднение по координатам. Усреднение по координатам производится только по члену

1 r3

, поскольку другие члены

от координат не зависят:

<

1 1 >= ∫ ψ∗nl 3 ψ nl dτ . 3 r r

Здесь ψ nl являются собственными функциями основного гамильтониана Hc с квантовыми числами n и l. Вычисления приводят к выражению

<

1 r3

>=

Z3 . 1 3 3 a 1n l (l + )(l + 1) 2

Здесь а1 – первый боровский радиус, равный 45

(13)

a1 =

h2

µe2

≈

h2

mee2

.

(14)

Теперь необходимо вычислить скалярное произведение магнитного

r

r

момента электрона на его же момент орбитального движения µe • l . Магнитный момент и спиновый механический момент связаны соотноше-

r

r

нием µe = − g eµ B se (знак минус возникает из-за отрицательного заряда электрона), где ge представляет фактор Ланде (для электрона g e ≅ 2 ),

µB =

e есть магнетон Бора, e и me обозначают заряд и массу электро2mec

на. Таким образом, задача сводится к вычислению скалярного произведе-

r r

ния s • l , где мы опускаем индексы для краткости. Введем оператор полного момента количества движения

r r r j =l +s .

Возводя в квадрат обе стороны этого равенства, найдем rr 1 1 ls cos(l s ) = ( j 2 − l 2 − s 2 ) = [ j ( j + 1) − l (l + 1) − s ( s + 1)] , 2 2

(15) (16)

Собственные значения для lˆ 2 даются формулой §3 (30). Аналогичные формулы справедливы для квадрата оператора спина sˆ2 и квадрата оператора полного момента ˆj 2 . Подставляя соотношения (13) и (16) в формулу (12), находим

∆Els =

πRα 2hcZ 4 [ j ( j + 1) − l (l + 1) − s ( s + 1)] . 1 3 n l (l + )(l + 1) 2

(17)

Суммируя вклады от релятивистского (6) и спин-орбитального (17) членов, находим

⎛ ⎞ − 2πhcRα 2 Z 4 ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ ∆E (r , ls ) = ∆Er + ∆Els = − ⎟. ⎜ j + 1 4n ⎟ n3 ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

(18)

Формула (18) для тонкой структуры спектральных линий атомов, выведенная из уравнения Шредингера, совпадает с выражением, получаемым из решения уравнения Дирака. 46

A4. Рассмотрим теперь гамильтониан Hss в соотношении (3) (изложение следует книге [Фейнман (2004)]). Этот гамильтониан возникает благодаря взаимодействию спинов электрона и протона в атоме водорода и ответственен за сверхтонкое расщепление спектральных термов атомов. Это расщепление в отсутствие внешнего магнитного поля происходит следующим образом. Согласно квантовой механике два спина складываются векторно таким образом, что образуются новые состояния с полныr ми спинами s, равными 0 (синглегное состояние) и s = 1 (триплетное состояния). Эти два состояния, синглетное и триплетное, отстоят друг от друга на энергию ∆e = ∆Est = hν . Для атома водорода в основном состоянии этой энергии соответствует магнитное поле Hc ∼ 509 эрстед. Это поле называется критическим полем. При создании поляризованных мишеней внешнее магнитное поле часто нормируется на это критическое поле. Как известно, спины как у электрона, так и у протона равны 1/2. Следовательно, мы имеем 4 конфигурации их спинов, а именно: 1. Спины электрона и протона параллельны и направлены оба вверх. Вновь используем дираковские скобки для обозначения этих конфигурации спинов. Например, | me m p > обозначает состояние системы из двух спинов с их проекциями me для электрона и mp для протона. Пусть положительное направление оси z ориентировано вверх. Тогда, конкретно для рассматриваемого случая, когда оба спина направлены вверх, состояние обозначаем |+ +>. Пронумеруем для краткости это состояние, как первое: |1>. 2. У электрона спин направлен по-прежнему вверх, а у протона – вниз: |2>=|+ –>. 3. У электрона спин направлен вниз, а у протона – вверх: |3>=|– +>. 4. У электрона и у протона спины направлены вниз: |4>=|– –>. Выбранные выше базисные функции обладают свойствами полноты и ортогональности. Это значит, что эти волновые функции в спиновом пространстве полностью описывают систему из спина электрона и спина протона. Подчеркнем здесь два обстоятельства. Во-первых, координатные и спиновые переменные независимы, и, во-вторых, спиновые операторы электрона действуют только на спиновые индексы me, а протонные спиновые операторы действуют только на спиновые индексы mp. Если выбран определенный базис, то мы можем описывать состояние системы до начала и после взаимодействия в этом базисе. Это значит, что выбор базиса не зависит от гамильтониана рассматриваемого процесса. 47

В силу полноты и ортогональности базисных векторов любое состояние физической системы из двух спинов можно разложить по базисным векторам, а именно: | ψ >= ∑ Ci | i > , (19) i =1− 4

причем в силу той же полноты и ортогональности базисных векторов можно выразить коэффициенты разложение следующим образом: Ci =< i | ψ > . (20) При этом величина | Ci |2 определяет вероятность найти систему из двух спинов в состоянии i. Коэффициенты Ci зависят от гамильтониана системы и определяются из решения либо уравнения Шредингера, либо уравнения Дирака. Перейдем к поиску гамильтониана задачи. Для описания системы двух

r

r

покоящихся спинов имеются два вектора σ e и σ p , соответствующие спинам электрона и протона. Гамильтониан должен быть скалярным оператором, составленным из этих векторов и единичных матриц в этих двух спиновых пространствах. Значит, общий вид гамильтониана имеет вид

r r H ss = E0 ⋅ I + Aσe • σ p ,

(21)

где Е0 определяет начало отсчета энергии, что не существенно в этой задаче о сверхтонком расщеплении спектральных термов атома водорода, I – единичная матрица. Поэтому положим Е0 = 0.

r

r

Действуя оператором H ss = Aσe • σ p на базисные волновые функции (19), находим матричные элементы гамильтониана (подробно эта процедура изложена в книге [Фейнман (2004)])

(H ss )ij

A 0 0 0 − A 2A = 0 2A − A 0 0 0

0 0 . 0 A

(22)

Для гамильтониана H ss запишем уравнение Шредингера:

ih

∂ψ ( q , t ) = H ss ψ ( q , t ) . ∂t

(23)

Поскольку задача стационарная, представим коэффициенты разложения волновой функции в виде

ψ(t) = Ñ(t) = ae−iEt / h . 48

(24)

Здесь С является четырехкомпонентной амплитудой, зависящей от времени, как это записано в соотношении (19). Новые, тоже четырехкомпонентные, амплитуды a уже от времени не зависят. Подставляя (24) в уравнение (23) и используя матричную запись гамильтониана в форме (22), находим систему уравнений для определения коэффициентов ai (E – собственные значения гамильтониана)

Ea1 = Aa1 , Ea2 = − Aa2 + 2 Aa3 ,

Ea3 = 2 Aa2 − Aa3 ,

(25)

Ea4 = Aa4 . Система позволяет найти сразу два простых решения. В первом случае E = A, a1 = 1, a2 = a3 = a4 = 0 и волновая функция имеет вид (назовем это решение состоянием I )

| I >=| 1 >= + + .

(26)

Следующее решение: E = A, a4 = 1, a2 = a3 = a1 = 0 и состояние II имеет вид

| II >=| 4 >= − − .

(27)

Два оставшихся уравнения содержат смешанные амплитуды a2 и a3. Складывая и вычитая два средних уравнения в выражении (25), получаем E ( a2 + a3 ) = A(a2 + a3 ) (28) и E ( a2 − a3 ) = −3 A( a2 − a3 ) . (29) Из этих двух уравнений следуют два решения a2 = a3 , E = A и a2 = −a3 , E = −3 A . (30) Соответствующие состояния с учетом нормировки и энергии можно записать в форме

1 ( 2 + 3 ) = 1 ( + − + − + ), EIII = A , 2 2 1 IV = ( 2 − 3 ) = 1 ( + − − − + ), EIV = −3 A . 2 2 III =

(31) (32)

В результате найдены четыре состояния с определенными энергиями, причем 3 состояния имеют одинаковые энергии, т.е. они вырождены. Одно состояние, |IV>, имеет энергию –3A, и в результате сумма энергии четырех состояний равна нулю. Это соответствует нашему выбору Е0 = 0 при определении гамильтониана Hss. 49

Остается пока неопределенной величина энергии А. Она может быть вычислена теоретически. Мы приведем здесь результат измерения этой величины экспериментально в работе [Crampton (1963)]. Согласно этим измерениям A = hν, где

ν = (1 420 405751,800±0,026) Гц. Найденные выше новые состояния также ортогональны и нормированы. Они могут рассматриваться как новые базисные векторы. А5. Гамильтониан HsB приводит к зеемановскому расщеплению спектральных термов атома водорода во внешнем магнитном поле. Если атом водорода находится во внешнем магнитном поле, то к предыдущему гамильтониану Hss добавится новый HsB, где

r r r r H sB = −µeσe • B − µ p σ p • B .

(33)

Поскольку оба гамильтониана Hss и HsB играют роль в зеемановском расщеплении спектральных термов атома водорода, рассмотрим их вместе:

r r r r r r H Z = H ss + H sB = Aσe • σ p − µeσe • B − µ p σ p • B . (34) r Если направить внешнее поле B вдоль оси z, то уравнение (25) видо-

изменится следующим образом:

Ea1 = [ A − (µ e + µ p ) B ]a1 , Ea 2 = −[ A + (µ e − µ p ) B ]a 2 + 2 Aa3 , (35)

Ea3 = 2 Aa 2 − [ A − (µ e − µ p ) B ]a3 , Ea 4 = [ A + (µ e + µ p ) B ]a 4 .

Как и раньше, первое и четвертое уравнения дают следующие решения ( a1 = 1, a2 = a3 = a4 = 0 ):

I = 1 = + + , E I = A − (µ e + µ p ) B, II = 4 = − − , E II = A + (µ e + µ p ) B.

.

(36)

Для двух оставшихся состояний получаются два однородных уравнения с нулевым детерминантом. Определим матричные элементы

H11 = − A − (µe − µ p ) B, H12 = 2 A, H 21 = 2 A, H 22 = − A + (µe − µ p ) B.

(37)

Энергия уровня определяется через приведенные выше матричные элементы следующим образом: 50

E=

1 (H11 + H 22 ) ± 1 ( H11 − H 22 ) 2 + H12 H 21 = 2 4 2

2

(38)

2

= − A ± (µ e − µ p ) B + 4 A .

Таким образом, находим две энергии уровней

EIII = A[−1 + 2 1 + (µe − µ p ) 2 B 2 / 4 A2 ], 2

2

(39)

2

EIV = A[ −1 − 2 1 + (µe − µ p ) B / 4 A ]. Правильность полученных формул проверяется, приравнивая нулю магнитное поле. Полученные результаты должны совпасть с решениями для случая спин-спинового гамильтониана (см. соотношения (26) - (27)). Введем для краткости записи обозначения µ = −(µ e + µ p ) и

µ' = −(µ e − µ p ) и запишем рядом найденные уровни энергий:

EI = A + µB, EII = A − µB, EIII = A(−1 + 2 1 + µ'2 B2 / 4A2 ) EIV = − A(1 + 2 1 + µ'2 B2 / 4A2 )

.

(40)

Как мы знаем, магнитный момент электрона отрицателен и по величине он приблизительно в 1000 раз больше магнитного момента протона, который по знаку положителен. Следовательно, оба введенных нами коэффициента µ и µ' практически равны µe , но положительны. Как мы видим, при отсутствии магнитного поля первые три энергии равны A, а четвертая равна –3A. С ростом магнитного поля энергии ведут себя поразному. Энергии EI и EII начинают расти с величины A линейно с полем B, но в разных направлениях, хотя и с одинаковой скоростью. Энергии EIII и EIV стартуют с разных точек (A и –3A), сначала растут квадратично по B, а затем линейно. Вернемся к вычислению поляризации протонов в зависимости от величины магнитного поля. В разложении волновой функции состояния III ψ III = a2 + − + a3 − + , (41) по законам квантовой механики квадраты модуля коэффициентов a2 и

a3 определяют вероятности нахождения атома водорода в состояниях, когда протон поляризован против поля или по полю соответственно. Если отнормировать базисные волновые функции на единицу, то 51

| a2 |2 + | a3 |2 = 1 .

(42) Следовательно, поляризация (c положительным знаком) протонов в состоянии III равна

Р =| a 3 | 2 − | a 2 | 2 .

(43) Найдем эту поляризацию следующим образом. Из второго уравнения в соотношении (35) находим

a3 / a2 =

E + A − µ' B , 2A

(44)

где E дается выражением (39)

EIII = A(−1 + 2 1 + µ'2 B 2 / 4 A2 ) = A(−1 + 2 1 + x 2 ) ,

(45)

где мы ввели обозначение

x = µ' B / 2 A .

(46)

Подставляя (45) в (44), получаем

a3 / a2 = x + 1 + x 2 .

Чтобы

a3 = cos θ,

(47) удовлетворить условию нормировки, положим a2 = sin θ . Подставляя в предыдущее соотношение, находим

ctgθ = x + 1 + x 2 . (48) Условие x = 1 соответствует критическому полю, равному 509 эрстед. После несложных преобразований придем к соотношению tg 2θ = 1 / x .

Отсюда следует cos 2θ = x / 1 + x 2 . Подставляя это выражение в (43), находим поляризацию протонов в энергетическом состоянии III.

PIII = cos 2 θ − sin 2 θ = cos 2θ = x / 1 + x 2 .

(49) Поляризация для энергетического состояния IV будет такой же, как для состояния III, но с обратным знаком. Поляризация двух первых состояний (I и II) зависит от магнитного поля линейно. Список литературы Шпольский Э.В. Атомная физика. Т. 2. 7-е изд. М.: Наука, 1984. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 8-9. Квантовая механика. 3-е изд. М.: Едиториал УРСС, 2004. Crampton S.B. et al. Phys. Rev. Lett. 11 (1963) 338. Frenkel J. Z. Physic 37 (1926) 243.

52

§6. Уравнение Дирака Уравнение Дирака нам потребуется в книге во многих местах. Так, при изучении свойств релятивистского спина мы сталкиваемся с проблемой лоренц-преобразования спина, и понять такое преобразование можно только с помощью уравнения Дирака. Известно, что сам оператор спина естественно возникает из этого же уравнения. Также уравнение Дирака дает правильное значение g-фактора Ланде для электрона. Мы уже рассматривали выше (§5) уравнение Шредингера. Там использовалось выражение для гамильтониана в нерелятивистской форме. При выводе уравнения Дирака нужно выполнить три главных требования. Первым является условие ковариантности, т.е. оно должно иметь одинаковый вид в любой лоренц-системе; во-вторых, волновая функция должна быть собственной функцией оператора Гамильтона, должна представлять полную и ортонормированную систему, должна допускать вероятностное толкование. В-третьих, любой наблюдаемой физической величине соответствует линейный эрмитов оператор. Запишем релятивистский гамильтониан свободной частицы в виде

H=

r r p 2c 2 + m2c 4 = −ihc(α ⋅ ∇) + βmc 2 .

(1)

r где α(α1, α 2 , α3 ) и β – параметры, которые надо найти.

Здесь произведено формальное извлечение квадратного корня, так как для лоренц-инвариантности гамильтониан должен линейно зависеть от

r ∂

оператора импульса. Оператор ∇(

1

,

∂

∂x ∂x

2

,

∂ ∂x3

) представляет трехмер-

ный вектор импульса частицы. Используя (1), запишем уравнение

ih

∂ψ ⎡ hc r r ⎤ = Hψ = ⎢ (α ⋅ ∇) + βmc 2 ⎥ ⋅ ψ . ∂t ⎣ i ⎦

(2)

Возведем в квадрат соотношение (1), воздействуем на ψ и потребуем, чтобы полученное уравнение воспроизвело классическое волновое уравнение Клейна – Гордона 2 ⎡ ∂ ∂ ⎛ mc ⎞ ⎤ + ⎢ ⎥ψ = 0 . ⎜ ⎟ µ ⎝ h ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ∂xµ ∂x

(3)

При таком требовании возникают следующие условия на введенные выше параметры:

{αi , α k } = 2δik , {αi , β} = 0, α 2i = β2 = 1

53

,

(4)

где i, k = 1, 2, 3. Из общего требования эрмитовости гамильтониана следует, что матрицы αi и β должны быть тоже эрмитовы. Из условий

αi2 = 1 и β2 = 1 следует, что собственные значения операторов αi и β = ±1. Используя условия антикоммутации, можно показать, что следы (обозначается Sp – сумма элементов главной диагонали) этих матриц равны нулю. Пример:

Sp αi = − Sp β αi β = − Sp β2 αi = − Sp αi = 0 . (5) Аналогично можно доказать, что след β -матрицы тоже равен нулю. Это значит, что ранг матриц αi и β должен быть четным. Минимальный ранг в этом случае будет n = 4, так как n = 2 приводит к спиновому пространству операторов Паули и единичной матрицы, которые представляют нерелятивистскую двухмерную систему. В одном из конкретных выборов матрицы αi и β могут быть выражены через матрицы Паули σi :

αi =

0 σi

σi I 0 . , β= 0 0 −I

(6)

Здесь I – единичная матрица в этом же представлении. Как можно видеть, уравнение Дирака приводит непосредственно к появлению спинового оператора для точечной частицы (электрона) со спином s = 1/2. Причем, как мы увидим ниже, уравнение Дирака предсказывает правильное гиромагнитное отношение, равное 2, что иначе не удавалось ранее получить. Из уравнения Дирака (2) и эрмитово-сопряженного ему уравнения можно получить закон сохранения тока в дифференциальной форме

r ∂ ρ + div j = 0. (7) ∂t Плотность вероятности ρ и трехмерный вектор плотности тока вероr ятности j определяются следующими формулами: ρ = ψ+ψ =

4

∑ ψ ∗σ ψ σ

σ =1 +

j k = cψ α k ψ. Можно показать, используя теорему Остроградского-Гаусса, что

r r r ∂ 3 ∗ d xψ ψ = − ∫ d 3 xdiv j = − ∫ j ⋅ ds = 0. ∫ ∂t Σ 54

(8) (9)

Рассмотрим уравнение Дирака при наличии внешнего электромагнит-

r

ного поля Aµ (Φ, Α) . Это взаимодействие можно ввести следующей калибровочно-инвариантной (инвариантной по отношению к добавлению к потенциалу производной от произвольной функции по соответствующим координатам) заменой

e p µ → πµ = p µ − Αµ . c

(10)

Тогда уравнение Дирака преобразуется к виду

ih

r r e r ∂ψ = Hψ = [сα • ( pˆ − Α) + β mc 2 + eΦ ] ψ . ∂t c

(11)

Будем искать решение этого уравнения в виде

ψ=

ϕ , χ

(12)

где ϕ и χ – двухкомпонентные спиноры. Тогда уравнение (11) с помощью соотношений (6) преобразуется к следующему виду:

ih

ϕ ϕ r r e r χ ∂ ϕ = сσ • ( pˆ − Α) + mc 2 + eΦ . ϕ −χ χ ∂t χ c

(13)

Рассмотрим приближение, когда Е кин << mc 2 , и будем искать решение в виде

ϕ mc 2 ϕ = exp(−i t) . χ χ h

(14)

Подставляя в уравнение (13), находим

ih

ϕ 0 r rχ ∂ ϕ = сσ • π − 2mc 2 + eΦ . ϕ χ χ ∂t χ

(15)

Это матричное соотношение содержит верхнее и нижнее уравнения, соответствующие верхним и нижним элементам матриц. Из нижнего уравнения, полагая χ не зависящим от времени, пренебрегая последним членом eΦ по сравнению с членом, содержащим массу, получаем

χ=

r r σ•π ϕ. 2mc

(16)

Компонента χ является малой по сравнению с ϕ , их отношение << 1 в нерелятивистском случае. Подставляя соотношение (16) в первое уравнение в (15), находим 55

r r r r ∂ϕ ⎛ (σ • π)(σ • π ) ⎞ =⎜ ih ⎟ + eΦ )ϕ . ∂t ⎝ 2mc ⎠

(17)

Для операторов Паули справедливо соотношение

r r r r r r r r r (σ • à )(σ • b ) = a • b + iσ • a × b .

Применяя это соотношение к уравнению (17), получим

⎡ r er 2 ⎤ ( p − Α) r ⎥ r ∂ϕ ⎢ h e c =⎢ − σ • B + eΦ ⎥ ϕ . ih ∂t ⎢ 2m 2mc ⎥ ⎣ ⎦

(18)

Это уравнение представляет нерелятивистское уравнение Паули, написанное на год раньше (1927), чем Дирак получил свое уравнение в релятивистской форме. Уравнение описывает электрон со спином 1/2, и две компоненты функции ϕ соответствуют как раз двум ориентациям спина электрона. При этом автоматически получается правильное значение магнитного момента, соответствующее гиромагнитному отношению g = 2. Можно в этом убедиться, сохранив в уравнении (18) только линейные по внешнему полю члены со следующим однородным магнитным полем r r 1 r r r B = rot A, A = B × r . 2

r r r⎤ ∂ϕ ⎡ p 2 e r (19) ih =⎢ − ( L + 2s ) • B ⎥ ϕ. ∂t ⎢⎣ 2m 2mc ⎥⎦ r r r r 1r Здесь введены орбитальный момент L = r × p и спин s = σ . Ко2

эффициент 2 при члене со спином как раз и представляет гиромагнитный фактор электрона. Таким образом, равенство g = 2, следующее из уравнения Дирака, было одним из важных достижений теоретической физики. В дальнейшем экспериментальная проверка такого же соотношения для мюонов стало одним из важных направлений исследований по поиску эффектов, лежащих вне рамок стандартной модели. Другим важным следствием уравнения (19) стало предсказание спинорбитального взаимодействия частицы. Эти взаимодействия лежат, в частности, в основе оболочечной модели атомов и ядер. Обратим внимание на член, содержащий взаимодействие магнитного момента дираковской частицы с внешним магнитным полем. Этот член, в приложении к атому водорода, объясняет зеемановское расщепление уровней атома. Сравнивая этот член с первым членом в (19), можно заметить, что с ростом энер56

гии частицы спиновое взаимодействие должно ослабевать. Как будет видно из обсуждения поляризационных данных в третьей части книги, масштаб энергии, выше которого становится справедливым это утверждение, пока не установлен. При вычислениях спиновых наблюдаемых в релятивистской теории заметные упрощения возникают при использовании проекционных операторов. В силу специфики уравнения Дирака мы имеем дело с решениями как с положительной, так и с отрицательной энергией. В дополнение при каждой энергии у дираковской частицы имеются два спиновых состояния. Для выделения в расчетах одного из этих четырех состояний, нам необходимо иметь четыре проекционных оператора. Мы выпишем их явный вид, отсылая читателя для подробностей к книге [Бьеркен (1978)]. Оператор, выделяющий решение с положительной энергией и положительной проекцией спина, имеет вид ( Λ – оператор проецирования энергии, Σ – спиновый проецирующий оператор, u z – спиновая переменная):

P1 ( p ) = Λ + ( p ) Σ(u z ),

P2 ( p) = Λ + ( p ) Σ(− u z ),

P3 ( p) = Λ − ( p ) Σ(u z ), P4 ( p ) = Λ − ( p ) Σ(− u z ).

.

(20)

В явном виде оператор проецирования энергии записывается в виде

Λr =

ε r pˆ + mc , 2mc

(21)

где символ ε r определяет знак энергии: при r = 1 знак энергии берется “+”, а при r = 2 знак энергии берется “–”. Проекционный оператор обладает следующими свойствами:

⎛ 1 + εr εr ′ ⎞ 2 Λ r ( p)Λ r ′ ( p) = ⎜ ⎟Λ r ( p ), Λ + ( p) = Λ + ( p ), 2 ⎠ ⎝ Λ + ( p) + Λ r − ( p) = 1, Λ + ( p)Λ − ( p ) = 0 .

(22)

(23) Для спинового проецирующего оператора выводится следующая формула (uz = sˆ ): Σ(s ) = (1 / 2)(1 + γ 5 sˆ ) , (24) где четырехмерный спиновый оператор удовлетворяет условию

(sp ) = sµ pµ = 0 , величины

γ i будут введены в последующих параграфах.

Вследствие ковариантности проекционного оператора Σ , его действия на волновые функции Дирака с положительной энергией u и отрицательной энергией v определяются следующими соотношениями

57

Σ(s ) u ( p, s ) = u ( p, s ), Σ(s ) v( p, s ) = v( p, s ),

Σ(− s ) u ( p, s ) = Σ(− s ) v( p, s ) = 0.

(25)

При переходе в систему покоя частицы в случае решения уравнения Дирака с положительной энергией u получаем волновую функцию Паули. При этом есть полное соответствие в переходе спиновых состояний, а именно, состояние со спином “+” переходит в плюс, а состояние со спином “–“ переходит в минус. Однако при применении такой же операции перехода из состояния с отрицательной энергией в систему покоя знаки спинов меняются на обратные. Эта специфика находит объяснение в теории, постулирующей наличие реальной античастицы (позитрона в данном случае). Список литературы Бьеркен Дж., Дрелл С. Релятивистская квантовая механика. Т. 1. М.: НАУКА, 1978.

§7. Элементы релятивистской квантовой механики В приложениях особенно часто приходится обращаться к некоторым разделам релятивистской квантовой механики (РКМ). Например, при построении матрицы реакции необходимо знать ограничения, налагаемые определенными законами сохранения или свойствами симметрии взаимодействий (дискретными и непрерывными), типичными для изучаемого процесса. В связи с этим, а также с нашим желанием поменьше отсылать читателя к другим источникам, мы изложим подробно свойства спиноров Дирака при преобразованиях Лоренца, как собственной группы (детерминант преобразования равен +1), так и расширенной группы (группа вращения, отражения пространственных координат и времени). Здесь мы рассматриваем трансформационные свойства спиноров Дирака при поворотах системы отсчета, при отражении координатных осей и при обращении времени. В дальнейшем изложении мы следуем работе [Ферми (1965)]. А. Преобразования дираковских спиноров при поворотах системы отсчета

Запишем уравнение Дирака для электрона с зарядом e, помещенного

r

во внешнее электромагнитное поле A , в некоторой базовой лоренцсистеме в форме

58

⎛ mc r r ie r r ⎞ + γ • ∇ − γ • A⎟ ψ = 0 . ⎜ hc ⎝ h ⎠

(1)

Введем новую лоренц-систему, координаты которой определяются линейным ортогональным преобразованием (аналогичным образом преобразуются векторные операторы ∇ µ и Aµ ):

x'µ = aµν xν , ∇'µ = aµν∇ν ,

A'µ = aµν Aν .

(2)

Здесь и далее по повторяющимся индексам предпологается суммирование. Введем линейный унитарный оператор Tˆ , с помощью которого преобразуются спиноры Дирака:

ψ' = Tˆ −1ψ .

(2а) Полагая, что матрицы Дирака при переходе к новой системе не меняются, мы получим ковариантную запись уравнения Дирака в этой системе

⎛ mc r r ie r r ⎞ (3) + γ • ∇'− γ • A' ⎟ ψ ' = 0 . ⎜ hc ⎝ h ⎠ Чтобы определить свойства оператора Tˆ , умножим это уравнение слева на Tˆ и подставим вместо ψ ' выражение (2а). Получим ⎛ mc ˆ r ˆ −1 r ie ˆ r r ˆ −1 ⎞ + T γ T • ∇'− T γ • A'T ⎟ ψ = 0 . ⎜ hc ⎝ h ⎠ Заменяя штрихованные векторные операторы ∇' и A' на нештрихованные по формуле (2), найдем

ie ⎛ mc ˆ ⎞ + T γ λ Tˆ −1aλν ∇ν − Tˆ γ λ aλν Aν Tˆ −1 ⎟ ψ = 0 . ⎜ hc ⎝ h ⎠ Сравнивая это уравнение с уравнением (1), находим Tˆ γ Tˆ −1a λ

λν

(4)

= γν ,

используя соотношение ортогональности

aµν aλν = aνµ aνλ = δµλ ,

(5)

приходим к окончательному результату

Tˆ γ µ Tˆ −1 = aµν γ ν .

(6)

Рассмотрим бесконечно малое преобразование матричных элементов aµν :

aµν = δµν + εµν . С учетом условия ортогональности (5) можем записать 59

(7)

(

)

aλν aµν = (δλν + ελν ) δµν + εµν = δλν δµν + δλν εµν + δµνε λν = = δλµ + εµλ + ε λµ = δλµ . Отсюда следует

εµλ = −ελµ .

(8)

Так как координатные переменные x, y, z и время t являются вещественными, то на антисимметричный тензор 2-го ранга εµν накладываются условия: εik − действительные числа (i, k = 1, 2, 3), ε 4 n = −ε n 4 – мнимые (n = 1, 2, 3). При таких малых поворотах системы координат Лоренца можно предположить, что и оператор Tˆ претерпевает тоже бесконечно малое преобразование

Tˆ = 1 + sˆ, T −1 = 1 − sˆ . (9) Предполагается, что оператор sˆ – такого же порядка малости, что и ε. Здесь второе уравнение получается из первого в предположении, что можно пренебречь квадратом оператора sˆ . Подставляя соотношение (9) в (6), получим sˆγ µ − γ µ sˆ = εµν γ ν . (10) Можно прямыми вычислениями убедиться, что решением этого уравнение является

1 sˆ = − εµν γ µ γ ν . 4

(11)

1 Tˆ = 1 − εµν γ µν . 4

(12)

Как результат, матрица преобразования спиноров Tˆ , соответствующая преобразованиям Лоренца (2) и (7), имеет вид

Как известно, группа преобразований Лоренца играет фундаментальную роль в релятивистской теории, в частности, в релятивистской квантовой механике. Собственное преобразование Лоренца складывается из сдвига координат и из поворотов. Рассмотрим несколько примеров на повороты системы координат. При этом нетрудно сосчитать, что поскольку у нас четыре координатных параметра (x, y, z, t), то мы имеем всего шесть плоскостей (число сочетаний из четырех по два). Следовательно, такое же количество собственных поворотов Лоренца мы и будем иметь. 60

Пример 1. Бесконечно малый поворот вокруг оси z. Тогда имеем соотношения x'1 = x1 − εx2 , x'2 = x2 + εx2 , x'3 = x3 , x'4 = x4 . (13) В этом случае все εµν равны нулю за исключением ε12 = −ε 21 = ε . Четырехрядная матрица Tˆ в этом конкретном случае имеет вид

i 1+ ε 2 1 Tˆε = 1 + εγ1γ 2 = 2

0

0

0

0

i 1− ε 2

0

0

0

0

i 1+ ε 2

0

0

0

.

(14)

0 i 1− ε 2

В случае конечных поворотов на угол φ, возводя матрицу Tˆ в степень φ/ε, переходя к пределу ε→0, получаем

i exp( ϕ) 2 Tˆϕ =

0 0

0

0

0

i exp(− ϕ) 2

0

0

0

i exp( ϕ) 2

.

(15)

0

i exp(− ϕ) 2 При таком повороте системы отсчета вокруг оси z на угол ϕ спиноры в новой системе ψ′ выражаются через спиноры в старой системе ψ фор0

0

0

мулами i i i i ϕ − ϕ ϕ − ϕ 2 2 2 2 ψ '1 = e ψ1, ψ '2 = e ψ 2 , ψ '3 = e ψ 3 , ψ'4 = e ψ4 .

(16)

Отметим, что при повороте системы координат на угол ϕ = 2π волновые функции меняют знаки. Пример 2. Рассмотрим бесконечно малое преобразование Лоренца, включающее координаты x и t. Оно имеет вид x1′ = x1 − εct = x1 + iεx4, x'4 = x4 − iεx1, x'2 = x2, x'4 = x4 . (17) Соответствующий оператор преобразования спинора имеет вид 61

1 0 0 ε/2 0 1 ε/2 0 ε i . Tˆε = 1 − εγ1γ 4 = 1 + α1 = 0 ε/2 1 0 2 2 ε/2 0 0 1

(17a)

Для получения конечного преобразования надо соотношение (17) применить n раз, где n = (1 / ε )Arcth β и взять предел при ε →0 и n→∞. Тогда находим (введено обозначение для лоренц-фактора γ = 1 / 1 − β2 )

x'1 = γ ( x1 − βx0 ),

x'0 = γ (x0 − βx1 ), x4 = ct . (18) ˆ Для матрицы конечного преобразования T проводим следующие пре-

образования: n

1

nεα 1 ⎛ ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ n Tˆβ = (Tη ) = ⎜1 + εα ` ⎟ → e 2 = ch⎜ nε ⎟ + α 1sh ⎜ nε ⎟ = 2 ⎝ ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ = ch⎜ Arcth β ⎟ + ε1sh ⎜ Arcth β ⎟ = (γ + 1) / 2 + α 1 (γ − 1) / 2 . ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠

(18a)

Здесь учтено, что α 21 = 1 . Итак, конечная форма оператора преобразования спинора принимает форму

Tˆβ =

(γ + 1)/ 2 + α1 (γ − 1) / 2 .

(19)

Б. Преобразования дираковских спиноров при инверсии (отражении) координатных осей системы отсчета

Когда мы говорим об инверсии координатных осей, мы подразумеваем следующее преобразование: x'i = − xi , i = 1, 2, 3; x'4 = x4 . (20) С учетом соотношений

Tˆγ µTˆ −1 = aµν γ ν ,

(20а)

получаем в нашем конкретном случае, обозначив оператор преобразования спинора через Tˆотр ,

Tˆотр γ i Tˆ −1 отр = − γ i , Tˆотр γ 4Tˆ −1 отр = γ 4 .

(21)

Решение этих уравнений имеет вид

Tˆотр = γ 4 = β . 62

(22)

Свойства β-матрицы обеспечивают следующие трансформационные характеристики матрицы Tˆотр :

Tˆотр = Tˆ −1 отр = Tˆ + .

(23)

При выборе оператора Tˆотр согласно (22) волновые функции в отраженной системе координат выражаются через волновые функции в первоначальной системе отсчета следующими формулами: ψ'1 = ψ1, ψ '2 = ψ 2 , ψ '3 = −ψ3 , ψ '4 = −ψ 4 . (24) Из этих соотношений следует, что две пары волновых функций (ψ1, ψ 2 ) и (ψ3 , ψ 4 ) ведут себя по-разному при инверсии координат: первая пара не меняет знак, т.е. является четной, а вторая пара – нечетной функцией. Поскольку первая пара волновых функций описывает частицу (электрон), а вторая пара – античастицу (позитрон), мы приходим к выводу, что частица и античастица обладают разными пространственными четностями. Как известно, при инверсии координат волновые функции приобретают множитель (–1)l, где l – орбитальный момент. В результате для четных l и при инверсии имеет место закон преобразования: ψ1(x) = ψ1(− x), ψ2 (x) = ψ2 (− x), ψ3(x) = −ψ3(− x), ψ4 (x) = −ψ4 (x) . (25) Для случая нечетных l пишется другой закон преобразования: ψ1(x ) = −ψ1(− x ), ψ2 ( x ) = −ψ2 (− x ), ψ3 (x ) = ψ3 (− x ), ψ4 (x ) = ψ4 (x ) . (26) Выпишем некоторые свойства оператора пространственного отражения, которые могут оказаться полезными:

⎧⎪− γ µ , µ = 1,2,3; ⎧⎪− βγ µ , µ = 1,2,3; Tˆотр γ µ Tˆотр = ⎨ Tˆотрβγ µ Tˆотр = ⎨ ⎪⎩+ γ µ , µ = 4; ⎪⎩+ βγ µ , µ = 4.

(27)

В. Преобразования дираковских спиноров при инверсии (отражении) временной оси системы отсчета

Операция обращения времени определяется следующими преобразованиями:

r r r r x → x, ∇ →∇, A →−A,; x4 →−x4, ∇4 →−∇4, A4 → A4. (28) Уравнение Дирака для волновой функции ψ с учетом внешнего четырехкомпонентного электромагнитного поля Aµ запишем в виде ⎛ ∂ ie ⎞ ⎛ mc r r ie r r ⎞ (29) − A4 ⎟⎟ψ = 0 . + γ ⋅ ∇ − γ ⋅ A ⎟ψ + γ 4 ⎜⎜ ⎜ hc ⎝ h ⎠ ⎝ ∂x4 hc ⎠ 63

Запишем уравнение Дирака, в котором произведена инверсия времени (операция (28)):

⎛ ∂ ie ⎞ ⎛ mc r r ie r r ⎞ (30) + + γ ⋅ ∇ + γ ⋅ A ⎟ψ'− γ 4 ⎜⎜ A4 ⎟⎟ψ ' = 0 . ⎜ hc h ∂ x c ⎠ ⎝ h ⎠ ⎝ 4 Найти решение уравнения (30) для ψ′ обычным способом, как это делалось выше, невозможно. Решение приходится искать через преобразование

ψ' = Sψ ∗ .

(31)

Возьмем уравнение, комплексно сопряженное уравнению (29),

ie ⎞ ∗ ⎛ mc r ∗ r ie r ∗ r ⎞ ∗ ∗ ⎛ ∂ + γ ⋅ ∇ + γ ⋅ A ⎟ψ − γ 4 ⎜⎜ + A4 ⎟⎟ψ = 0 . (32) ⎜ hc ⎝ h ⎠ ⎝ ∂x4 hc ⎠ Умножим уравнение (32) слева на оператор S и, используя соотношение (31), найдем

ie ⎞ ⎛ mc r∗ −1 r ie r∗ −1 r ⎞ ∗ −1⎛ ∂ + A4 ⎟⎟ψ' = 0 . (33) ⎜ + Sγ S ⋅ ∇ + Sγ S ⋅ A⎟ψ'−Sγ 4S ⎜⎜ hc ⎝ h ⎠ ⎝ ∂x4 hc ⎠ Если мы потребуем, чтобы это уравнение совпало с уравнением (30), то получим

r r Sγ ∗S −1 = γ , Sγ∗4 S −1 = γ 4 , ψ ' = Sψ∗ . (34) Этим соотношениям удовлетворяет S-матрица, определенная равенст-

вом

0 −i 0 0 i 0 0 0 S = iγ1γ 3 = . 0 0 0 −i 0 0 i 0

(35)

Таким образом, найдено решение волнового уравнения Дирака, описывающего обращенное во времени движение системы. Г. Операция зарядового сопряжения

Уравнение Дирака должно описывать как электроны, так и позитроны. Эти частицы образуют пару частица–античастица и отличаются друг от друга противоположными знаками электрического заряда. Поэтому естественно ожидать, что уравнение Дирака имеет симметричное решение для преобразований заряда e ←→ −e . (36) 64

Уравнение Дирака для электрона было записано в виде (29)

⎛ ∂ ie ⎞ ⎛ mc r r ie r r ⎞ + γ ⋅ ∇ − γ ⋅ A ⎟ψ + γ 4 ⎜⎜ − A4 ⎟⎟ψ = 0 . ⎜ hc ⎝ h ⎠ ⎝ ∂x4 hc ⎠ Изменим знак заряда, введем волновую функцию для позитрона ψ С и перепишем это уравнение:

⎛ ∂ ⎞ ie ⎛ mc r r ie r r ⎞ С + A4 ⎟⎟ψ С = 0 . + γ ⋅∇ + γ ⋅ A ⎟ψ + γ 4 ⎜⎜ ⎜ hc ⎝ h ⎠ ⎝ ∂x 4 hc ⎠

(37)

Определим операцию зарядового сопряжения С соотношением

ψ С = Сψ ∗ .

(38) Как и ранее, напишем уравнение, комплексно сопряженное уравнению Дирака (29),

ie ⎞ ∗ ⎛ mc r∗ r ie r∗ r ⎞ ∗ ∗ ⎛ ∂ + γ ⋅ ∇ + γ ⋅ A ⎟ψ − γ 4 ⎜⎜ + A4 ⎟⎟ψ = 0 . ⎜ hc ⎝ h ⎠ ⎝ ∂x4 hc ⎠

(32)

Умножим это уравнение слева на оператор C и получим другое уравнение:

⎛ ∂ ie ⎞ ⎛ mc r ∗ −1 r ie r ∗ −1 r ⎞ С + A4 ⎟⎟ψ С = 0 .(39) + Cγ C ⋅ ∇ + Cγ C ⋅ A⎟ψ − Cγ ∗ 4 C −1 ⎜⎜ ⎜ hc ⎠ ⎝ h ⎝ ∂x 4 hc ⎠ Потребуем, чтобы уравнения (37) и (39) совпали. Для этого необходимо выполнение условий:

r r Cˆ γ ∗Cˆ −1 = γ ∗ ,

Cˆ γ ∗4Cˆ −1 = − γ 4 .

(40) Для стандартной формы матриц Дирака можно показать, что соотношениям (40) удовлетворяет выбор

Cˆ = γ 2 .

(41) Мы приходим к выводу, что решение зарядово-сопряженного уравнения связано с решением основного уравнения равенством

ψ C = γ 2ψ ∗ . Список литературы Ферми Э. Квантовая механика (конспект лекций). М.: МИР, 1965.

65

(42)

§8. Тензоры и лоренц-преобразования спиноров Как известно, при изменении системы отсчета математические объекты преобразовываются различным образом и подразделяются на определенные категории. Есть величины, которые при таких преобразованиях не меняются, они называются либо скалярами, либо псевдоскалярами. А отличить их можно по их поведению при отражении пространственных координат. Та из этих двух величин, которая при этой операции инверсии не меняет знак, называется истинно скалярной величиной. Та же величина, которая меняет знак, называется псевдоскаляром. Есть и другие категории величин, которые называются тензорами первого, второго и т.д. ранга. Примерами тензора первого ранга являются такие векторы, как вектор импульса (это – полярный вектор, при инверсии координат он меняет знак) или момент импульса (это – аксиальный или псевдовектор, при инверсии координат он знака не меняет). Есть также спиноры с двумя, четырьмя и т.д. компонентами. В релятивистской формулировке квантовой механики решающую роль играет требование инвариантности уравнения Дирака при преобразованиях Лоренца. В связи с этим мы рассмотрим последовательно операторы, входящие в это уравнение, такие как скаляры, тензоры и их свойства. Затем перейдем к формулировке условия инвариантности уравнения Дирака, к определению правил лоренцпреобразования спиноров и их билинейных комбинаций. А. Совокупность пространственно-временных координат (t, x, y, z) в пространстве Минковского образует четырехвектор со следующими компонентами, которые мы условимся называть контравариантными и будем обозначать индексами, расположенными сверху:

(

)

xµ ≡ x 0 , x1, x 2 , x3 ≡ (t , x, y, z ) . Введем определение метрического тензора g:

(1)

1 0 0 0 0 −1 0 0 = . 0 0 −1 0 0 0 0 −1

(2)

g = gµν = g µν

Возможно и другое определение метрического тензора, когда в матрице (2) самый первый диагональный элемент имеет отрицательный знак, а остальные – положительный. Этот вариант мы в дальнейшем для краткости изложения не рассматриваем.

66

С помощью этого тензора можно поднимать и опускать индексы и, в частности, создать вектор с ковариантными компонентами (будем обозначать их индексами, расположенными снизу):

xµ ≡ (x0 , x1, x2 , x3 ) ≡ (t ,− x,− y ,− z ) = gµν x ν .

(3)

Скалярное произведение любых двух четырехвекторов x и p определяется следующим образом:

px = pµ xµ = p ν g νµ xµ = xν p ν = xp .

(4)

Аналогично в любом тензоре a его индексы могут быть подняты или опущены:

aµ ν = aµρ g ρν = gµρaρν ; aµν = g µρaρλ g λν .

(5)

Применяя это соотношение к метрическому тензору, находим

gµ ν = gµλ g λν = δµν

⎛1 ⎜ ⎜0 =⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝

0 1 0 0

0 0 1 0

0⎞ ⎟ 0⎟ . 0⎟ ⎟ 1 ⎟⎠

(6)

Скалярная величина, определенная соотношением (4), является инвариантом при преобразовании Лоренца. Как другой пример скаляра можно привести квадрат четырехимпульса частицы с массой m, а именно:

r p 2 = pµ pµ = ε 2 − p 2 = m2 .

(7)

Аналогичные инварианты можно строить из комбинации тензорных величин разного ранга. Пусть мы имеем четырехвекторы a и b, а также тензоры B и C. Из них можно образовать следующие инвариантные комбинации:

aBc = aµ Bµνcν ,

BD = Bµν Dµν .

(8)

Из этих примеров можно вывести следующее правило образования инвариантов: величина является инвариантом тогда и только тогда, когда немые индексы появляются попарно, причем один индекс сверху, а другой индекс снизу. Отсутствие такого соответствия может означать наличие ошибки в вычислениях. Рассмотрим теперь примеры образования инвариантов при наличии операторов дифференцирования. Пусть имеется скалярная, т.е. инвариантная функция F. Тогда дифференциал этого оператора тоже должен быть скаляром. Запишем

67

dF =

∂F ∂F dxµ = ν dx ν = инвариант. ∂xµ ∂x

(9)

Чтобы эта величина была инвариантной, производные должны преобразовываться следующим образом:

∂F = ∂ µ F − контравариант, ∂xµ

∂F

∂xµ

= ∂ µ F − ковариант.

(10)

Следовательно, компоненты вектора градиента преобразовываются противоположно координатам, по которым берутся производные. Итак, взятие ковариантной производной производится по формуле

⎛∂ ∂ ∂ ∂⎞ = ∂ µ = ⎜⎜ , , , ⎟⎟ . ∂x ⎝ ∂t ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂

(11)

ν

Контравариантная производная находится по следующей формуле:

⎛∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎞ = ∂ µ = ⎜⎜ ,− ,− ,− ⎟⎟ . ∂xµ ⎝ ∂t ∂x ∂y ∂z ⎠

(12)

Оператор Клейна–Гордона является инвариантным и определяется соотношением □ = ∂µ∂µ =

∂2 ∂t 2

−

∂2 ∂x 2

−

∂2 ∂y 2

−

∂2 ∂z 2

.

(13)

С помощью этого оператора можно записать релятивистское инвариантное уравнение Клейна–Гордона для свободной бесспиновой частицы с положительной энергией

□ψ= ∂ µ∂ µψ = − pµ pµψ = −m 2ψ .

(14)

Решением этого уравнения является плоская волна

ψ p (x ) = (2π)−3 / 2 e −ipx .

(15)

Из записи уравнения (14) следует определение ковариантности уравнения: уравнение ковариантно, если его левая и правая части преобразовываются одинаковым образом. Например, если левая часть уравнения – скалярная величина, то и правая часть должна быть скалярной (см. уравнение (14)); если левая часть векторная, то и правая часть должна быть векторной, причем одинакового свойства – если одна часть ковариантная, то и другая часть должна быть такой же. Если в левой части уравнения есть свободный индекс на какой-то позиции (верхней или нижней), то и в правой части уравнения должен быть такой же индекс и в том же положе68

нии. Ниже приводятся некоторые примеры, иллюстрирующие эти утверждения. Примеры правильного написания уравнения:

aµbµ = ñ, aµbµcλ = d λ , aµbµ = D λρcλ kρ .

(16)

Примеры неправильного написания уравнения:

aµbµ = ñλ , aµbµcλ = d λ , aµbµ = D λρcλ k ρ .

(17)

Изложение в этом разделе построено на базе работы [Hagedorn (1963)]. Б. Вопрос о том, каким образом преобразуются дираковские матрицы, а также их средние значения при преобразованиях Лоренца, является важным при построении, например, матрицы рассеяния, матрицы плотности и экспериментально наблюдаемых величин. Используя результаты предыдущего параграфа, ниже мы рассмотрим некоторые примеры. Для бесконечно малого поворота системы отсчета мы получили следующее выражение для оператора поворота (см. §7 (12):)

1 Tˆ = 1 − εµν γ µν . 4

(18)

Это выражение можно переписать, выделив члены, связанные с временной компонентой:

1 1 1 Tˆ = 1 − ε µν γ µν = 1 − ε nm γ n γ m − ε 4 т βγ т . (19) 4 2 4 Для обратной матрицы с точностью до малости ε2 справедливо соотношение

1 1 1 Tˆ −1 = 1 + ε µν γ µν = 1 + ε nm γ n γ m + ε 4 т βγ т . (20) 4 2 4 Здесь εµν , ε nm – антисимметричный единичный тензор второго ранга в четырех- и трехмерном пространствах соответственно; индексы пробегают значения µ, ν = 1, 2, 3, 4 и m, n = 1, 2, 3.

1 ε nm γ n γ m в матрице Tˆ является чисто действительным, в то 4 1 время как член ε 4 т βγ т – чисто мнимым. Спиновые матрицы Дирака 2 Член

удовлетворяют следующим соотношениям: γ µ , γ ν = 2δµν , γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2δµν ,

{

}

β = γ4 .

(21)

Если взять эрмитово сопряжение от операторного уравнения (19), то найдем 69

1 1 1 Tˆ + = 1 + ε ∗ µν γ µν = 1 + ε nm γ n γ m − ε 4 т βγ т . 4 2 4

(22)

Сравнивая уравнения (20) и (22), можно заметить, что оператор Tˆ не унитарен, т.е. Tˆ −1 ≠ Tˆ + в общем случае. Он становится унитарным только при чистых пространственных поворотах, когда ε 4 m = 0 . В общем случае справедливы следующие коммутационные соотношения:

βTˆ +β = Tˆ −1, Tˆβ = βTˆ −1, βT + = Tˆ −1β .

(23) Рассмотрим теперь, какие скаляры, векторы и тензоры второго ранга можно построить из дираковских матриц. Начнем с поиска скалярной матрицы. При преобразовании Лоренца x'µ = aµν xν , (24) волновая функция преобразуется по закону

ψ' = Tˆψ . (25) Чтобы найти скалярный оператор u потребуем неизменности среднего значения этого оператора при указанных выше лоренц-преобразованиях

ψ'+ uψ' = ψ +uψ .

(26)

Подставляя сюда выражение (25), получаем

(Tˆψ )+ u(Tψ ) = ψ+ (Tˆ +uT )ψ .

(27)

Сравнивая это уравнение с (26), найдем

u = Tˆ +uTˆ ,

(28)

при любых операторах Tˆ . Используя соотношения (23), можно получить

u = Tˆ +uTˆ = β Tˆ −1β uTˆ .

(29)

Умножая два крайних члена последовательно на β и затем на Tˆ с учетом β 2 = 1 , приходим к равенству

(β u ) Tˆ = Tˆ (β u ) .

(30)

У этого соотношения есть два решения

β u = 1 или β u = γ 1 γ 2 γ 3 γ 4 = γ 5 . (31) Следовательно, для u мы имеем два решения: u1 = β или u2 = β . Эти два решения отличаются друг от друга. Чтобы это увидеть, применим оператор инверсии координат Tˆотр = β . Отсюда ясно, что первое решение коммутирует с оператором Tˆотр , т.е. 70

Tˆ +u1Tˆ −1 = Tˆ +βTˆ −1 = β .

(32)

Другое решение антикоммутирует

Tˆ +u2Tˆ −1 = Tˆ +βγ 5Tˆ −1 = −βγ 5 . (33) Таким образом, матрице β соответствует истинная скалярная величина ψ +βψ , а величине βγ 5 – псевдоскаляр ψ +βγ 5ψ . Если ввести обозначение ψ = ψ +β , то величина ψ ψ преобразовывается как скаляр, а величина ψ γ 5ψ – как псевдоскаляр. Аналогичным путем можно определить поведение всего набора независимых матриц Дирака. Они имеют следующие свойства: 1. 1 = S – скаляр, 2. γ 5 = P – псевдоскаляр, 3. γ µ = V – вектор (µ = 1, 2, 3, 4), 4. γ 5 γ µ = A – псевдовектор или аксиальный четырехвектор, 5.

(

)

1 γ µ γ ν − γ ν γ µ = σ µν – антисимметричный тензор второго ранга. 2

16 перечисленных выше матриц Дирака образуют полный набор, и по ним можно разложить любую матрицу 4 × 4, действующую на спиноры Дирака. Эта возможность используется, например, при построении релятивистской матрицы плотности или матрицы реакции.

Список литературы Hagedorn R. Relativistic kinematics, section 8. W.A. Benjamin, Inc. New York-Amsterdam (1963).

§9. Спин релятивистской частицы с ненулевой массой Рассмотрим частицу со спином s = 1/2 и массой m. Определим четыr рехмерный вектор поляризации S (s0 , s ) следующим образом: • •

В системе покоя частицы (R-система) он совпадает с нерелятивистr ским определением спина S (0, sR ) . Он является аксиальным вектором по аналогии с орбитальным моментом. Как известно [Hagedorn (1963)], при лоренц-преобразовании r четырехвектор x(ct , x ) преобразуется следующим образом: 71

⎞ r r r ⎛ γ r r x = x ′ + βγ ⎜⎜ β • x ′ + ct ′ ⎟⎟ ; ⎝ γ +1 ⎠

r r ct = γ(ct'+β • x′) .

(1)

Здесь штрихованные переменные определены в системе покоя частицы (R-система), в то время как нештрихованные переменные – в другой лоренц-системе, например, в лабораторной системе координат (L-система); β и γ соответственно – скорость и лоренц-фактор частицы в L-системе. По аналогии напишем преобразование спина при переходе из R-системы в Lr систему S (s0 L , sL ) , где

r r r r γ2 r r sL = sR + β β • sR , s0 L = γβ • sR . (2) γ +1 При этом учтено, что в R-системе четвертая компонента спина s0R рав-

на нулю. r Найдем модуль вектора трехмерного спина sL . Для этого учтем, что квадрат четырехмерного вектора поляризации S2 представляет инвариант

r r S 2 = s02L − sL2 = − sR2 = Inv.

Отсюда с учетом (2) получаем

[

(3)

]

r r r sL2 = s02L + sR2 = sR2 1 + γ 2β2 cos2 (θ R ) .

(4)

r Здесь θR представляет угол между вектором поляризации sR и скороr стью частицы β . Это соотношение показывает, что величина спина и его

направление в лабораторной системе зависит от скорости частицы, в то r время как в R-системе эти величины постоянны. Более того, величина sL может быть сколь угодно большой, переходя в бесконечность для частицы с нулевой массой. В результате мы приходим к выводу, во-первых, что спин не имеет физического смысла в любой системе координат, кроме Rсистемы, и, во-вторых, для частиц с нулевой массой спин надо определять другим способом (см. ниже). Найдем угол между вектором поляризации и скоростью в L-системе в функции от угла θR. Запишем для этого скалярное произведение S и четыr рехмерной скорости V (γ, γv ) в L- и R- системах:

r r S • V = s0 L γ − γsL • v = Inv = 0,

отсюда c учетом (2) и (4) получаем

[

(5)

]

1/ 2 r r cos(θ L ) = sL • v / sLv = s0 L / sL v = γ cos(θ R ) / 1 + γ 2β2 cos2 (θ R ) . (6)

Соотношение (6) приводит к следующим заключениям: 72

Если пучок поперечно-поляризован в R-системе, т.е. θR = 900, то он также поперечно-поляризован и в L-системе, т.е. θL = 900. • Если пучок продольно-поляризован в R-системе, то есть θR = 00 (1800), то он также продольно-поляризован и в L-системе только в нерелятивистском случае, т.е. когда γ = 1. Для случая γ ≠ 1 или промежуточных углов нужно построить графики в зависимости от энергии поляризованного пучка, чтобы иметь представление о поведении поляризации в L-системе при изменении ее в Rсистеме. Это же соотношение определяет выражение для “спиральности”, которая представляет проекцию вектора поляризации на направление скорости частицы, а именно, •

r r r r sL • β sR • β h= =γ = γsR cos θ R . (7) β β Это выражение показывает, что поляризация в L-системе может пре-

вышать единицу, что физически недопустимо. Это значит, что поляризация имеет смысл только в R-системе.

Список литературы Hagedorn R. Relatavistic kinematics. W.A. Benjamin inc., New YorkAmsterdam (1963).

§10. Спин частицы с нулевой массой Как видно из соотношения для четырехмерного вектора поляризации r S (s0 L , sL ) , где

r r r r r γ2 r r sL = sR + β β • sR , s0 L = γβ • sR , γ +1

(1)

при скорости частицы, равной скорости света с, лоренц-фактор γ становится бесконечным и понятие спина в L-системе становится бесмысленным, так как спин тоже становится, как и γ, бесконечным. Похожая ситуаr ция возникала ранее с четырехмерной скоростью V (γ, γv ) . Однако четырехмерный импульс p = mV уже не имеет проблему расходимости, потому что все частицы, двигающиеся со скоростью света, имеют нулевую массу и произведение mγ становится равным энергии безмассовой частицы. Умножим по аналогии четырехвектор S на массу m, 73

⎛ r r r γ 2 r r r ⎞⎟ (2) β • s Rβ . W = Sm = ⎜ mγβ • sR , msR + m ⎜ ⎟ γ + 1 ⎝ ⎠ Оператор Паули–Любавского W мы уже упоминали ранее. Обозначим r r скалярное произведение β • s R / β = s R cos θ буквой s (спиральность) и перепишем

⎛ r γ 2 r ⎞⎟ (3) β . W = Sm = ⎜ mγβs, msR + mβs ⎜ γ + 1 ⎟⎠ ⎝ Этот четырехвектор в пределе m = 0 (и соответственно, β → 1, γ → ∞) r r r r r с учетом ε = mγ , p = mγβ = ε I (ввели вектор I = β / β ) переходит в простую формулу

(

)

r W = s ε, I ε = sp .

(4)

Здесь p представляет четырехимпульс безмассовой частицы со спиральностью s. Так как и W является четырехвектором, то следующие скалярные величины являются инвариантами

W µWµ = W µ pµ = pµ pµ = 0.

(5)

Также инвариантом является величина спина s в выражении

r r s = sI

(6) для вектора трехспина, причем направление спина совпадает с направлением скорости частицы. При этом проекция спина на это направление (что является определением спиральности) может иметь только два значения + или –. Примером такой частицы является нейтрино, которое имеет спин 1/2 , причем проекция спина всегда отрицательна (левое нейтрино), а у антинейтрино – положительна (антинейтрино – правое). Безмассовые частицы сохраняют спиральность при любых взаимодействиях. Введенное выше определение спина может быть применено и к фотонам, хотя оно и отличается от стандартного определения спина фотона.

§11. Движение вектора поляризации во внешнем электромагнитном поле Решение многих практических задач ускорения и транспортировки поляризованных частиц основывается на релятивистских уравнениях движения вектора поляризации во внешних электромагнитных полях. Решение этой задачи было впервые дано в работе [Frenkel (1926)] еще до появления уравнения Дирака, а также до публикации известной статьи 74

[Thomas (1927)] о релятивистской прецессии спина. Длительное время статья Я.И. Френкеля не цитировалась, хотя на нее была ссылка в часто цитируемой работе [Bargmann (1959)]. В этом параграфе мы выведем такое уравнение, основываясь на общих принципах релятивистской механики [Hagedorn (1963)]. Первый принцип, на который мы здесь опираемся, формулируется следующим образом: “Ожидаемые значения наблюдаемых в квантовой механике описываются уравнениями классической механики” (Эренфест). Это значит, что вектор поляризации, который определяется как среднее значение вектора спина (например, оператора Паули), должен подчиняться в своем движении в электромагнитном поле классическому уравнению. В системе покоя частицы это уравнение имеет вид

r r ds r r r = µ × H , µ = gµ0 s . dt

(1)

r Здесь µ – магнитный момент частицы, g – гиромагнитное отношение, r s – нерелятивистский вектор спина частицы, µ0 – ядерный магнетон. Задача состоит в том, чтобы записать это уравнение движения в четырехмерной ковариантной форме. При этом мы опираемся на следующее правило: “Если в какой-то частной лоренц-системе дано уравнение, и оно может быть переписано в ковариантной форме, и эта форма может быть сведена к оригиналу в частной лоренц-системе, то такое обобщение является единственным”. В §3 мы обобщили понятие спина в ковариантной форме. Следовательно, в ковариантной форме уравнение должно иметь вид

dS =Z, dτ

(2)

где Z должен быть ковариантным четырехвектором. Уравнение (1) подсказывает, что в правую часть должны входить только определенные комбинации векторов. А именно, спин S должен входить линейно и однородно. Уравнение линейно по электромагнитному тензору F = F µν (чтобы получить ковариантную запись электромагнитного поля). Оно должно содержать параметры движения частицы в поле F, т.е. четырехскорость V и ускорение V& . Из четырех величин S, F, V и V& надо образовать всевозможные четырехвекторы. При этом комбинация V& F запрещается, так как эта комбинация приводит к квадратичной функции от F из-за зависимости V& от F. Составим скалярное произведение четырехвектора спина и четырехr скорости, которая выражается формулой V (γ, γv ) 75

r r SV = s0v0 − s • v = 0 .

(3) Это соотношение справедливо в любой системе, так как оно справедливо в системе покоя частицы. От этой величины берем производную по времени

dS dV . V = −S dt dt

(4)

Учитывая, что в системе покоя частицы R четырехмерная скорость равна r V (γ, γ v ) = V (1,0) , (5) преобразуем левую часть соотношения (4):

(

(

Таким

) (

образом,

r r r r s×H = S •F

(

dS ds dV . V )R = 0 = −S dt dt dt R-системе, с учетом в

)R , находим

(6) соотношения

r dS ds ds dV ) R ≡ ( 0 , ) R = (−S , gµ0 ( SF ) R ) = Z R . dt dt dt dt

(7)

Чтобы сделать это соотношение ковариантным, выполним следующие преобразования. Во-первых, введем собственное время τ (в R-системе) и дифференцирование по нему обозначим точкой:

d d =γ . dτ dt

(8)

При этом в R-системе γ = 1. Во-вторых, нам надо переписать в ковари-

r

r

антной форме член µ × H . Для этого запишем тензор электромагнитного поля в матричной форме:

F µν =

0

E1

E2

− E1 − E2

0 − H3

H3 0

E3 − H2 . H1

(9)

− E3 H 2 − H1 0 Здесь греческие индексы µ, ν = 0, 1, 2, 3. E и H обозначают электрические и магнитные поля. Нетрудно видеть из этой матрицы, что если исключить первую строку и первый столбец, то остается исключительно магнитное поле. Перебирая комбинации из четырех величин и учитывая сказанное выше, находим следующие полезные члены: SF, V(S V& ) и V(SFV). (10) 76

Следовательно, вектор S& можно записать в виде линейной комбинации этих трех членов:

S& = aSF + bV ( SV& ) + cV ( SFV ) . (11) Для нахождения параметров a, b и c перейдем в R-систему и воспользуемся тем, что в этой системе скорость имеет компоненты V(1,0). Тогда S&R можно представить в компонентах следующим образом:

S&R = {a ( SF ) R + b( SV& ) R + c( SF ) R , a ( SF ) R } . Сравнивая это соотношение с выражением (7), получаем a = gµ0 = −c, b = −1 .

(12) (13)

Наконец, мы получаем обобщение уравнения (7) в R-системе на произвольную систему Лоренца

S& = gµ0 [ SF − V ( SFV ) ] − V ( SV& ) .

(14)

При выводе формулы (14) молчаливо предполагалось выполнение двух обстоятельств; во-первых, что магнитный момент частицы – постоянная величина и, во-вторых, что частицы не обладают электрическими моментами любого порядка и более высокими, чем линейный, магнитными моментами. Если эти два условия не соблюдаются, то выражение для спина в Rсистеме будет другим. Однако и в этом случае, хотя и с большими усложнениями, можно вывести другую формулу для ковариантного спина. Однако при наличии электрической поляризуемости частицы построение ковариантного вектора спина становится невозможным. Формула (14) в случае однородного поля может быть упрощена. Для этого напишем уравнение движения заряженной частицы в однородном внешнем поле

e V& = − FV . m

(15)

Подставляя это выражение в уравнение (14), находим

e S& = gµ0 SF + ( − gµ0 )V ( SFV ) . m

(16)

Это уравнение подходит и для нейтральных частиц, если положить заряд e = 0. Если использовать соотношение gµ0 = g (e / 2m) , то находим

e S& = [ gSF − ( g − 2)V ( SFV )] . 2m

(17)

Если расписать это уравнение в трехмерном пространстве, мы получим известное уравнение BMT (Bargmann, Michel, Telegdi) [Bargmann 77

(1959)], которое более правильно будет переименовать в FTBMT, поскольку, как мы отметили выше, вывод этого уравнения был сделан раньше их в работах [Frenkel (1926), Thomas (1927)]. Другой подход к решению изложенных выше проблем можно найти в монографии [Leader (1991)]. Список литературы Bargmann V, Michel L. and Telegdi V.A. Phys. Rev. Lett., 2 (1959) 435. Frenkel J. Z. Physik 37 (1926) 243. Hagedorn R. Relatavistic kinematics. W.A. Benjamin inc., New YorkAmsterdam (1963). Leader E. Spin in Particle Physics. Camdridge University Press, London (2001). Thomas L.H. Phil. Mag. 3 (1927) 1.

§12. Томасовская прецессия спина Первые же измерения магнитного момента электрона привели к противоречию с ожидаемым теоретическим результатом – гиромагнитное отношение g (фактор Ланде) оказался равным 2, вместо ожидавшейся величины, равной 1. Одним из первых, кто дал объяснение этому факту, были советский физик Я.И. Френкель [Frenkel (1926)] и американский физик Томас [Thomas (1926), Thomas (1927)]. Была выдвинута и обоснована гипотеза о том, что коэффициент 2 в g-факторе является кинематическим эффектом, связанным с релятивистскими преобразованиями вектора поляризации в разные инерциальные системы координат. Пусть во взаи-

r

модействии (или в распаде) образуется частица с поляризацией P . Определим плоскость рождения этой частицы как плоскость, проходящую через импульс начальной и искомой (конечной) частицы. Если это взаимодействие сильное (или электромагнитное), то вектор поляризации будет направлен параллельно нормали к плоскости рождения частицы. Пусть r частица имеет в лабораторной системе четырехимпульс p (ε, p ) , угол об-

r

r

разования θ ; p = εβ l / c,

ε = γmc 2 , r

γ=

1 1 − β2

r

; l

– единичный

вектор вдоль направления импульса p . Те же величины в системе центра масс обозначаются звездочкой сверху справа. В последующем изложении примем во внимание тот факт, что при собственных преобразованиях Лоренца поперечные компоненты вектора не меняются. Поэтому предпола78

гаем, что вектор поляризации находится в плоскости реакции. Обозначим угол между вектором поляризации в системе покоя частицы (R-система) и импульсом частицы в лабораторной системе (продолженным в Rсистему) – через α, а угол между вектором поляризации и импульсом частицы в системе центра масс (продолженным в R-систему) – через α*. Между этими углами возникнет разница, которую мы обозначим через ω . Для этого угла можно найти следующую формулу [Galbraith (1963)]

sin ω =

βc γ c sin θ∗ . βγ

(1)

Здесь β с , γ c обозначают скорость и лоренц-фактор системы центра

масс (C-система), в то время как β, γ представляют скорость и лоренц-

фактор частицы в лабораторной системе (L-система). Физический смысл угла ω состоит в следующем. Наблюдатель, находящийся в R-системе видит, что С- и L-системы двигаются не параллельно, а как раз под углом ω друг к другу. Следовательно, если один и тот же вектор поляризации переносится в R-систему в одном случае напрямую из L-системы, а в другом случае из L в C, а затем в R-систему, то один и тот же вектор оказывается в двух разных положениях по углу. Это является следствием того обстоятельства, что операции поворота и перемещения при лоренц-преобразованиях не коммутируют между собой. Чтобы совместить эти два положения вектора поляризации в одно, надо повернуть

r

вокруг нормали к плоскости один из векторов Р на угол ω. В этом и состоит смысл томасовской прецессии. К такому же результату, но несколько иным путем, приходит автор работы [Stapp (1956)]. Согласно этому автору, с точки зрения преобразования спина, процесс рассеяния частицы можно рассматривать состоящим из трех этапов: 1. Надо перенести вектор спина начальной частицы из ее системы покоя в систему центра масс сталкивающихся частиц. Здесь происходит рассеяние, и здесь мы проводим теоретический анализ процесса. 2. Надо перевести вектор спина из системы центра масс в лабораторную систему. Здесь происходит измерение поляризации. 3. Надо перевести вектор спина в систему покоя конечной частицы. Схематическое изображение этих преобразований показано на рис. 1. В результате конкретных вычислений получается формула, определяющая кинематический поворот спина в плоскости реакции

79

r s sin Ω = Va × Vb ⋅

1 + γ a + γb + γc

(1 + γ )(1 + γ )(1 + γ ) . a

b

c

(2)

Здесь γ a , γ b , γ с обозначают лоренц-факторы частицы в системе центра масс сталкивающихся частиц, в лабораторной системе и в новой системе

r

r

r

покоя; Va , Vb и Vc представляют пространственные компоненты четырехвектора относительной релятивистской скорости частицы в системе центра масс, в лабораторной и новой системе покоя. Вывод приведенных выше формул, ввиду их сложности, мы рассмотрим в отдельном месте. R

r Vc

rr V Vaa

Ω

θL

θ∗

r V

L

C

Рис. 1. Схема, показывающая направление вращения вектора поляризации из-за эффекта релятивистского преобразования: R, C, L соответствуют трем системам координат, относительные скорости рассеянной частицы в этих координатах обо∗

значены на сторонах треугольника. Углы θ L , θ соответствуют углам рассеяния частицы в лабораторной и системе центра масс. Смысл других обозначений можно найти в тексте

Одним из важных практических приложений релятивистского преобразования вектора поляризации является создание впервые во FNAL, на ТэВатроне пучка поляризованных протонов (антипротонов) за счет нару-

( )

шающих четность распадов Λ0 Λ [Grosnick (1990)]. При распаде Λ0 частиц протоны оказываются поляризованными вдоль своего импульса в системе покоя Λ0 -частиц. При преобразовании из системы покоя Λ0 (Cсистема) в лабораторную систему угол вектора поляризации протона преобразовывается следующим образом [Dalpiaz (1972)]:

tgε =

(

sin θ∗

γ 0 cos θ∗ + β0 / βΛ 80

),

(3)

где ε обозначает угол между вектором поляризации протона и его импульсом в лабораторной системе координат; β 0 , γ 0 , θ⋅ – скорость, лоренцфактор и угол испускания протона в системе покоя Λ0 ; β Λ – скорость

Λ0 в лабораторной системе. Из формулы (3) следует, что если угол испускания протонов равен нулю, то мы имеем практически продольнополяризованный протонный пучок. Список литературы Dalpiaz P. and Jansen J.A. ECFA, CERN, vol. 1 (1972) 284. Frenkel J. Z. Physik 37 (1926) 243. Galbraith W. and Williams W.S.C. (editors). High Energy and Nuclear Physics Data Handbook. Rutherford High Energy Laboratory, Chilton (1963). Grosnick D.P. et al. Nucl. Instr. Meth. A290 (1990) 269. Leader E. Spin in Particle Physics. Cambridge University Press, 2001. Stapp H.P. Phys. Rev. 103 (1956) 425. Thomas L.H. Nature 117 (1926) 514. Thomas L.H. Phil. Mag. 3 (1927) 1. Thomas L.H. Nature 117 (1926) 514. Tomonaga S.I. The Story of Spin. The University of Chicago Press (1997).

81

Глава 2. Спин в сильных взаимодействиях В этом разделе мы изложим основные теоретические соотношения, составляющие базу для постановки и анализа поляризационных экспериментов в сильных взаимодействиях. Изложение проводится на классических примерах пион-нуклонного и нуклон-нуклонного рассеяний. После введения матрицы плотности, матрицы реакций, на примере простой пион-нуклонной системы рассмотрены такие понятия, как полный набор

r

r

опытов, равенство поляризации P в прямой реакции и асимметрии A в обратной реакции. На примере нуклон-нуклонной системы излагается метод явного построения матрицы реакции, сформулировано условие унитарности, указаны возможности поиска эффектов нарушения пространственной четности и принципа обратимости времени. Изложение в основном построено на аппарате нерелятивистской квантовой механики. В заключительных параграфах обсуждаются релятивистские матрицы упругого пион-нуклонного и нуклон-нуклонного рассеяния. Отмечается, что учет релятивизма не приводит к существенному изменению результатов, полученных в нерелятивистском подходе. §13. Матрица плотности

r

Как известно, частица со спином s описывается волновой функцией Ψ, имеющей 2s + 1 компонент Ψα , где α = s , s – 1, ..., 0, ..., – (s – 1), – s. Если α равна только одному из этих значений, тогда говорят, что частица находится в чистом спиновом состоянии. В этом случае среднее значение любого оператора Oˆ находится из соотношения

< Oˆ >= Ψα Oˆ Ψα . Однако на практике чаще всего α принимает несколько значений. Тогда мы имеем дело со смешанным состоянием. Простым примером является поляризованный протонный пучок. Если он имеет поляризацию 100 %, то мы говорим о чистом спиновом состоянии – спины всех протонов ориентированы одинаково. Когда пучок поляризован частично, то протоны находятся в смешанном спиновом состоянии. Это значит, что часть протонов ориентирована, скажем, вверх, а другая часть – вниз. В этом случае среднее значение произвольного спинового оператора Oˆ в смешанном по спину состоянии Ψ определяется следующим образом:

< Oˆ >= ∑ Wα Ψα Oˆ Ψα , α

82

(1)

где Wα - вес чистого состояния α. Скобки Дирака означают интегрирование (суммирование) по непрерывным (дискретным) переменным. Возьмем в качестве базисных функций совокупность других (2s + 1) компонент {χm}, являющихся ортогональными собственными функциями некоторого спинового оператора. Если эта совокупность является полной и ортогональной системой, можно произвести разложение

Ψα =

s

∑ Cmαχ m .

(2)

m=−s

Подставляя это соотношение в (1), получим

< Oˆ >=

∑ Wα Cmα *C nα (χ*m Oˆ χ n ) = ∑ ⎜⎜ ∑ Wα Cnα C mα* ⎟⎟ ⋅ (χ*mOˆ χ n ) =

α mn

⎛

⎞

mn ⎝ α

⎠

= ∑ ρ mn Omn ,

(3)

mn

где Omn - матричный элемент оператора Oˆ , а величина

ρmn = ∑Wα (Cmα*Cnα ) ,

(4)

α

есть матричный элемент некоторого оператора ρˆ , который называется матрицей плотности. Можно показать, что в матричной форме оператор ρˆ можно представить в виде

ρˆ = ∑Wα Ψα Ψα+ .

(5)

α

Действительно, запишем матричный элемент оператора ρˆ в виде + + ρmn = (χ m ρˆ χ n ) = ∑Wα (χ m Ψα Ψα+ χ n ) .

(6)

α

Из разложения (2) в силу ортогональности собственных функций χ находим + χm Ψα = C mα , Ψα+ χ m = C mα * .

(7)

Подставляя в (6), окончательно имеем

ρmn = ∑WαCmαCnα* ,

(8)

α

что совпадает с (4 ). Из (4) или (5) можно показать, что матрица ρ – эрмитова:

ρˆ + = ρ , 83

(9)

т.е. среднее значение ρ представляет действительное число. Определим сумму диагональных элементов произвольной матрицы Cˆ (ее “след”):

SpCˆ = ∑ Cii .

(10)

i

Если оператор Cˆ представляет произведение двух операторов Aˆ и

Bˆ , то для его матричного элемента находим Cij = ∑ Aim Bmj .

(11)

m

Тогда сумма диагональных элементов равна

SpCˆ = ∑ Anm Bmn = SpAˆ Bˆ .

(12)

mn

Отсюда, сравнивая с (3), находим

< Oˆ >= SpOˆ ρˆ = Spρˆ Oˆ .

(13) Последний член в этом равенстве показывает, что под знаком следа можно переставлять два оператора, даже если они не коммутируют. Но в общем случае возможен только циклический сдвиг по или против часовой стрелки без перестановки операторов (если они не коммутируют). Таким образом, для нахождения среднего значения оператора Oˆ нужно умножить его на матрицу плотности и взять сумму диагональных элементов получившейся матрицы. Из теории матриц известно, что любая матрица ранга m = n = (2s+1) может быть разложена по полной системе (2s+1)2 матриц {sν} того же ранга, образующих полную систему и удовлетворяющих условию ортогональности Spsν sµ = δνµ (2s + 1). (14) Поэтому можно написать разложение

ρˆ =

(2 s +1)2 ∑ Cµ sµ .

(15)

µ =1

Умножая справа на sν и беря “след”, получим

Spρˆ sν = ∑ Cµ Spsµ sν = (2 s + 1)∑ Cµδµν = (2s + 1)Cν . µ

(16)

µ

Подставляя найденные коэффициенты Сµ в (15), окончательно имеем

1 (2 s +1) ρˆ = ∑ Sp ρˆ sˆµ sˆµ . 2s + 1 µ =1 2

84

( )

(17)

Если в (13) подставить Oˆ = sˆµ (оператор спина), то получаем значение

r

вектора поляризации P :

1 r P =< sˆµ >= Sp ρˆ sˆµ . 2

( )

(18)

Следовательно, находим окончательное выражение для матрицы плот-

r

ности через наблюдаемую величину P =< sˆ > :

1 (2 s +1) ∑ < sˆµ > sˆµ . 2s + 1 µ =1 2

ρˆ =

(19)

Таким образом, матрица плотности полностью определяется знанием среднего значения операторов sˆ µ . Если теперь принять нормировку, при которой среднее значение матрицы должно быть единицей, то

< Oˆ >= Spρˆ Oˆ / Spρˆ .

(20) С учетом этого условия нормировки запишем окончательное выражение для матрицы плотности

1 (2 s +1) ρˆ = ∑ Spρˆ < sˆµ > sˆµ . 2s + 1 µ =1 2

(21)

Вышеприведенное изложение было построено на основе работ [Martin (1970)] и [Нурушев (1983)]. Список литературы Нурушев С.Б. Препринт ИФВЭ 83-192, Серпухов (1983). Martin A.D. and Spearman T.D. Elementary particle theory. North-Holland publishing company, 1970, Amsterdam.

§14. Матрица реакции При рассмотрении реакций с участием спиновых частиц мы различаем волновую функцию начального состояния Ψ и конечного Φ. Матрицу перехода от начального к конечному состоянию М определим следующим образом [Нурушев (1983)]: Ф = МΨ. (1) Теперь мы имеем две матрицы плотности: для начального состояния

ρˆ H = ∑ Wα Ψα Ψα+ , α

и конечного состояния 85

(2)

ρˆ k = ∑ Wα Φ α Φ α+ , где знак

∑

(3)

α

означает усреднение по начальному и суммирование по ко-

α

нечному спиновым состояниям. Из (3) с учетом соотношения (1) находим связь между этими двумя матрицами плотностей:

⎛ ⎞ ρˆ k = ∑Wα MΨα Ψα+ M + = M ⎜⎜ ∑Wα Ψα Ψα+ ⎟⎟ M + α ⎝α ⎠ или

ρˆ k = Mρ H M + .

(4) Следовательно, решение задачи взаимодействия частиц сводится к определению ρˆ H через спиновые матрицы sν и нахождению оператора

Мˆ . Тогда матрица плотности конечного состояния определяется из (4) однозначно, и мы можем вычислить нужную нам наблюдаемую в конечном состоянии. Найдем оператор ρˆ k в зависимости от sν и М. Для этого умножим (4) справа на sµ и вычислим “след” произведения матриц:

(

)

Sp ρˆ k sµ = Sp Mρˆ H M + sµ = ⎤ ⎡ ⎛ 1 (2 s +1)2 ⎞ ⎟M + s ⎥ = ˆ = Sp ⎢ M ⎜ Sp ρ < s > s ∑ H ν H ν⎟ µ ⎥ ⎢ ⎜ 2 s + 1 ν =1 ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ 2 (2 s +1) 1 Sp ρˆ H ∑ < sν > H ⋅Sp Msν M + sµ . = 2s + 1 ν =1

(

Но

(

(5)

)

)

Sp ρˆ k sµ =< sµ > k Sp ρˆ k .

(6)

Поэтому

(2 s +1) 1 Sp ρˆ H ∑ < sν > H ⋅Sp Msν M + sµ . 2s + 1 ν =1 2

< sµ > k ⋅Sp ρˆ k =

(

)

(7)

Введем обозначение для дифференциального сечения

I=

Sp ρˆ k Sp ρˆ H 86

(8)

и окончательно получим выражение для среднего значения спинового оператора sµ:

1 (2 s +1) < sµ >k ⋅I = ⋅ ∑ < sν > ⋅Sp Msν M + sµ . 2s + 1 ν =1 2

(

)

(9)

Это выражение позволяет находить среднее значение любого спинового оператора sµ в конечном состоянии при известных параметрах начального состояния < sν > и матрицы рассеяния М. Рассмотрим конкретные реакции типа π+ N = π+ N , (10) или в спиновых обозначениях 0 + 1/2 → 0 + 1/2 (спин пиона равен нулю, спин нуклона равен 1/2). Мы имеем двумерное спиновое пространство, и в качестве полного набора спиновых операторов можно использовать r матрицы Паули σ (σx, σy, σz) и единичную матрицу 1. Тогда матрицу плотности начального состояния можно записать в виде

r r ρˆ H = C0 ⋅ 1 + C1 • σ. (11) r Найдем коэффициенты С0 и С1 . Из условия нормировки на единицу следа матрицы плотности ρˆ Н получим r r Sp ρˆ H = Co ⋅ Sp 1 + C1 ⋅ Sp σ = 2C0 = 1, (12) так как

r Sp σ = 0.

(13) В справедливости соотношения (13) можно убедиться, написав матрицы Паули в явном виде:

⎛1 0 ⎞ ⎛0 − i⎞ ⎛ 0 1⎞ ⎟⎟. ⎟⎟, σ z = ⎜⎜ ⎟⎟, σ y = ⎜⎜ σ x = ⎜⎜ ⎝ 0 − 1⎠ ⎝i 0 ⎠ ⎝ 1 0⎠

(14)

Пусть нуклон в начальном состоянии поляризован и имеет вектор по-

r

ляризации Pt (индекс t обозначает мишень). Напишем для начального состояния

r r r ⎛1 r r⎞ r r Sp ρˆ σ = Sp σ ⋅ ⎜ + C1 • σ ⎟ = Sp σ(C1i ⋅ σi ) = Pt =< σt >= 2 Sp ρˆ (15) ⎝ ⎠ r r r C1i ⋅ ek ⋅ Sp σk σi = C1i ek ⋅ 2δik = 2C1. r Здесь ek – единичные орты в декартовой системе координат и исполь-

зовано соотношение

(σr • Ar )(σr • Br ) = Ar • Br + iσr • (Ar × Br ) . 87

(16)

Это равенство может быть легко доказано с помощью соотношений (14). Таким образом, получим:

1 1 r C0 = , C1 = Pt . 2 2

(17)

(

(18)

Тогда ρˆ – матрица начального состояния запишется в виде

ρˆ =

)

r r 1 1 + Pt • σ . 2

Следовательно, ρˆ -матрица целиком определяется заданием вектора

r

r

поляризации мишени Pt (или пучка PB в случае реакции типа 1/2+0→1/2+0). Отметим здесь, что в силу свойств сигма-матриц в выражение (18) не могут войти операторы выше первой степени, так как все они сводятся максимум к оператору первой степени. Список литературы Нурушев С.Б. Препринт ИФВЭ 83-192, Серпухов (1983).

§15. R-, P-, T-преобразования B следующем параграфе мы будем рассматривать упругое рассеяние нуклона на нуклоне и, следуя методу Вольфенштейна и Ашкина [Wolfenstein (1952)], построим матрицу упругого рассеяния. Здесь, в качестве подготовки, рассмотрим ограничения на эту матрицу, которые возникают из физических требований изотропности пространства (R-операция), инверсии пространственных координат (P-операция ) и обращение времени (T-операция). При дальнейшем изложении в этом параграфе будем следовать работе [Биленький (1961)]. В представлении взаимодействия (или Гейзенберга) S-матрица определяется с использованием скобок Дирака следующим образом: ψ (+ ∞ ) = S ψ(− ∞ ) . (1) Здесь ψ (− ∞ ) представляет волновую функцию системы в начальном

состоянии при t → –∞, а ψ (+ ∞ ) – конечном состоянии. Как видно из этого определения, S-матрица переводит начальное состояние двух свободных нуклонов в конечное состояние с учетом их взаимодействий. Короче говоря, вся информация о взаимодействии нуклонов содержится в Sматрице. Если нуклоны не взаимодействуют, естественно положить S = 1. 88

Теперь мы сформулируем по порядку необходимые физические требования. 1. R-операция. Пусть в произвольно выбранной системе координат, назовем ее базовой, волновая функция системы в момент времени t есть ψ (t ) . Введем вторую, повернутую на некоторый угол, систему координат R. Обозначим волновую функцию системы в этой системе отсчета как ψ (R, t ) . Волновые функции в двух системах отсчета должны быть связаны унитарным преобразованием (из требования одинаковости количества частиц в обеих системах координат). Унитарность оператора подра-

зумевает равенство U + (R ) = U −1 (R ) . Следовательно, ψ (R, t ) = U (R ) ψ(t ) .

(2)

Матрица U(R) зависит, очевидно, от углов поворота R-системы по отношению к базовой системе. Умножим (1) слева на U(R) и получим

ψ(R,+∞ ) = U (R )SU −1 (R ) ψ (R,−∞ ) .

(3)

Волновые функции ψ (R,−∞ ) и ψ (R,+∞ ) описывают начальное и конечное состояния нуклонов в повернутой системе R. Следовательно, в этой системе, по определению S-матрицы, которая зависит только от динамики взаимодействий, но ни в коей форме от выбора системы отсчета, волновые функции должны быть связаны той же S-матрицей, что и в (1): ψ (R,+∞ ) = S ψ(R,−∞ ) . (4) Сравнивая (3) и (4), находим

U (R )SU −1 (R ) = S .

(5)

Принимая во внимание унитарность матрицы U(R), это равенство можно переписать и по-другому:

U −1 (R )SU (R ) = S .

(6) Приведенное выше соотношение (5) (или (6)) выражает постулат об инвариантности сильных взаимодействий относительно вращений системы координат в физическом пространстве. Приложение этого соотношения мы рассмотрим в другом месте. 2. Р-операция. Постулируется, что сильное взаимодействие инвариантно относительно инверсии пространственных координат. По-другому это называется законом сохранения четности. Рассмотрим, какое ограничение накладывает этот постулат на S-матрицу. Примем, как и в предыдущем рассмотрении, первоначально выбранную систему за базовую. 89

Обозначим волновую функцию в этой системе, как и прежде, через ψ (t ) . Введем новую систему отсчета I, в которой направления всех координатных осей инвертированы, т.е. x → –x, y → –y, z → –z. Если базовая система была левой, то система I оказывается правой. Пусть U(I) представляет унитарный оператор, преобразующий функцию ψ (t ) в базисной системе в волновую функцию в системе I: ψ (I , t ) = U (I ) ψ(t ) .

(7)

При этом обе функции описывают одно и то же физическое состояние, только в разных координатах. Следовательно, S-матрицы в двух системах должны быть равны. Найдем матрицу S(I). По определению

ψ (I ,+∞ ) = S (I ) ψ (I ,−∞ )

.

(8)

С другой стороны, из равенства (7) находим

ψ (I ,+∞ ) = U (I ) ψ(+ ∞ ) = U (I )S ψ(− ∞ ) = U (I )SU −1 ψ(I ,−∞ ) .

(9)

Сравнивая (8) и (9), находим

S (I ) = U (I )SU −1 (I ) .

(10) Таким образом, постулат об инвариантности сильного взаимодействия по отношению к отражению в пространстве приводит к соотношению

S = U −1 (I )SU (I ) .

(11)

Из этих двух случаев можно заключить, что инвариантность к R- и Pпреобразованиям сводится к коммутативности S-матрицы с соответствующими U-матрицами преобразований. 3. Т-операция. Перейдем к формулировке принципа инвариантности сильного взаимодействия относительно обращения времени. Рассмотрим уравнение Шредингера в представлении взаимодействия

i

∂ ψ(t ) ∂t

= H (t ) ψ (t ) .

(12)

В этом уравнении произведем замену t → –t и одновременно перейдем к комплексному сопряжению. В результате получим новое уравнение

i

∂ ψ(− t ) ∂t

∗

= H ∗ (− t ) ψ(− t ) . ∗

(13)

Из-за того, что в общем случае H ∗ (− t ) ≠ H (t ) , вновь полученное уравнение не является уравнением Шредингера. Однако предположим, 90

что существует унитарный оператор U(T), который осуществляет преобразование

ψ (T , t ) = U (T ) ψ(− t ) . ∗

(14)

Подставляя в (13), получим

i Полагая

∂ ψ(T , t )

= U (T ) H ∗ (− t ) U −1 (T ) ψ, (T , t ) .

∂t

(15)

H (t ) = U (T )H ∗ (− t )U −1 (T ) ,

(16)

приходим к уравнению Шредингера

i

∂ ψ(T , t ) ∂t

= H (t ) ψ(T , t ) .

(17)

Таким образом, соотношение (16) определяет математическую формулировку физического постулата об инвариантности взаимодействия относительно обращения времени. Из уравнения Шредингера (12) следует решение для волновой функции ψ (t ) . Для каждой такой функции из уравнения (16) следует наличие другой функции ψ (T , t ) , удовлетворяющей уравнению (17) и описывающей движение системы вспять во времени. Теперь посмотрим, какое требование накладывает на S-матрицу условие обратимости во времени. Мы имеем два уравнения Шредингера с двумя волновыми функциями, но с одной и той же S-матрицей, так как S-матрица не зависит от начального состояния системы, а только от динамики взаимодействия. Исходя из сказанного, по аналогии с соотношением (1) запишем

ψ (T ,+∞ ) = S ψ(T ,−∞ ) .

Используя соотношение (14), перепишем это равенство следующим образом:

U (T ) ψ(− ∞ ) = SU (T ) ψ(+ ∞ ) ∗

∗

Умножим это соотношение слева на U −1 (T ) и находим

ψ (− ∞ ) = U −1 (T )SU (T ) ψ(+ ∞ ) . ∗

Теперь

вспомним,

что

∗

S-матрица

унитарна,

т.е.

(18)

S +S = 1

и

~ S + = S ∗ по определению, где знак “*” обозначает комплексное сопряжение, а знак “~” обозначает транспонирование матрицы. Умножая равенст91

во (1) слева на S+, беря комплексное сопряжение и с учетом свойств Sматрицы, получим

~ ∗ ∗ ψ (− ∞ ) = S ψ(+ ∞ ) .

(19)

Сравнивая (18) и (19), приходим к равенству

~ U −1 (T )SU (T ) = S .

(20)

Это и есть требование, накладываемое на S-матрицу из инвариантности взаимодействия к операции обращения времени. В заключение сведем вместе полученные результаты: • инвариантность взаимодействия относительно вращения координатной системы – операция R дается выражением (6)

U −1 (R )SU (R ) = S ;

•

инвариантность взаимодействия относительно инверсии координатной системы – операция Р дается выражением (11)

U −1 (I )SU (I ) = S ;

•

инвариантность взаимодействия относительно операции обращения

~

времени – операция T дается выражением (20) U −1 (T )SU (T ) = S .

В приложениях обычно используется другая матрица M, обусловленная исключительно взаимодействием нуклонов. Начальное состояние частиц при t → −∞ обозначим i , а конечное при t → +∞ – через f . В этих состояниях частицы не взаимодействуют и имеют относительные

r

r

r

r

импульсы p и p ' , полные импульсы Q и Q ' и полные энергии E и E′ соответственно. Тогда матрица M определяется через S соотношением S – 1 = M, (21) или через матричные элементы, принимая во внимание законы сохранения энергии и импульса:

(

)

r r f S i = f i − 2πiδ Q'−Q δ(E'−E) f M i .

(22)

Здесь δ-функции обеспечивают сохранение импульсов и энергии. Матрица M переводит начальное состояние i в конечное состояние f и действует только в спиновом пространстве. По определению матричных элементов можно записать

(

)

r r f M i = χ′+ M ( p' , p )χ .

(23)

Здесь χ и χ′ – спиновые волновые функции начального и конечного состояний нуклонов соответственно. Как и матрица S, матрица M зависит от 92

динамики взаимодействия и подчиняется требованиям R, Р и T инвариантностей. Рассмотрим их подробнее. Из постулата об инвариантности взаимодействия относительно вращения системы координат было получено следующее ограничение на Sматрицу (см. (6)):

U −1 (R )SU (R ) = S .

Перепишем это в матричных элементах в базовой и повернутой Rсистемах

f U −1(R)SU (R) i = f , R S R, i = f S i .

Здесь R, i

и R, f

(24)

представляют волновые функции в повернутой

R-системе. Если Q и p есть полный и относительный импульсы в базовой системе координат, а QR и pR – в повернутой, то между ними существует

связь

(QR )li = aliQi , ( pR )li = ali pi ,

(25)

где a – матрица поворота от базовой системы к R-системе, а ali – ее матричные элементы (в данном случае косинусы и синусы угла поворота от старой к новой системе отсчета). Соотношение (24) показывает, что элементы матрицы S в разных системах равны друг другу. Исходя из определения M-матрицы (22), то же справедливо и для ее матричных элементов:

(χ'

+

(R )M ( pr R ' , pr R )χ(R )) = (χ'+ M ( pr ' , pr )) ,

(26)

где χ(R ) и χ' (R ) – спиновые волновые функции в повернутой системе, а χ и χ' – в базовой системе. Так как эти наборы функции описывают одно и то же спиновое состояние, но только в разных системах, они должны быть связаны унитарным преобразованием χ(R ) = U (R )χ , χ' (R ) = U ' (R )χ' . (27) В рассматриваемом конкретном случае нуклон-нуклонного рассеяния мы имеем две спиновые частицы в начале и в конце реакции. Это значит, что спиновые функции и в начале, и после реакции являются произведениями функций отдельных нуклонов. Как следствие, унитарные операторы U(R) и U′(R) являются прямыми произведениями матриц, действующих на спиновую функцию каждой частицы в отдельности. Среднее значение оператора спина в квантовой механике является наблюдаемой величиной, а именно, вектором поляризации (точнее, вектор

r

r

r

r

r

поляризации P = σ = 2 s , где σ – оператор Паули, а s – вектор спина). 93

Среднее значение оператора спина должно преобразовываться как вектор, а именно:

χ+ (R )sl χ(R ) = ali χ + si χ .

Здесь sl – оператор спина одного из начальных нуклонов. Отсюда следует условие на матрицу U(R):

U −1 (R )slU (R ) = ali si .

(28) Очевидно, что точно такое же условие накладывается на матрицу U′(R). При заданном угле поворота системы R из этих условий можно восстановить матрицу U. Из (26) и (27) следует

r r r r U '−1 (R )M ( p 'R , pR )U (R ) = M ( p ' , p ) .

(29) Это есть математическое выражение постулата инвариантности взаимодействия относительно вращения пространства. Теперь рассмотрим операцию Р – инверсию координатных осей. Импульсы, как полярные векторы, меняют при этом знаки, в то время как вектор спина, как аксиальный вектор, знака не меняет. Иначе говоря,

sl = U −1 (I )slU (I ), s 'l = U '−1(I )s 'l U ' (I ), (30) где унитарная матрица U (I ) ( U ' (I ) ) обеспечивает преобразование вол-

новой функции начального (конечного) состояния из базовой системы в инвертированную систему I. Преобразование это записывается следующим образом: χ( I ) = U (I )χ, χ' (I ) = U ' (I )χ' . Из условия на S-матрицу следует

(χ′ M ( pr′, pr )χ) = I I (χ′ (I )M (− ps′,− pr )χ(I )). +

* i f

+

(31)

Здесь Ii и If – внутренние четности двух начальных и двух конечных нуклонов. Используя связь волновых функции χ и χ′ , получим

r r r r M ( p' , p ) = I i I ∗ f U −1 (I )M (− p' ,− p )U (I ) . Список литературы Биленький С.М. и др. УФН 81 (1961) 243. Wolfenstein L., Ashkin J. Phys. Rev. 85 (1952) 947.

94

(32)

§16. Условие унитарности Напишем уравнение Шредингера для волновой функции Ψk:

∇ 2Ψk +

2µ h2

(E − uˆ )Ψk = 0,

(1)

где µ – приведенная масса сталкивающихся частиц, uˆ – потенциальная энергия их взаимодействия, записанная в операторной форме (может содержать операторы спина и изотоп-спина). Для случая упругого рассеяния можно представить Ψk в виде суммы двух членов:

( )

r r r r 1 Ψk = eik •r χ + eikr M k '' , k χ . r

(2)

Первый член представляет падающую плоскую волну, второй – расхо-

r

дящиеся от центра рассеянные волны. Причем k означает волновой век-

r

тор начального состояния (до взаимодействия), k '' – конечного; χ – спинорная функция начального состояния; М – матрица реакции. Поскольку рассматривается упругое рассеяние в системе центра масс (с.ц.м.), то

r r k ' ' = k , uˆ + = uˆ .

(3)

Второе условие представляет условие эрмитовости, накладываемое на потенциал взаимодействия, так как требуется, чтобы его собственные значения были действительными. Далее взаимодействие в промежуточном состоянии столкнувшихся

r

r

частиц приводит к переходу волнового вектора k ' ' в волновой вектор k ' , определяющий заданное направление (например, направление на регистрирующий детектор). На больших расстояниях от центра столкновения можно использовать разложение (для определения абсолютных фаз нужно включить известное, например, электромагнитное или слабое взаимодействие в дополнение к сильному):

Ψk0 = e = −

r r ik • r

= eikz cos θ

1 ⎞ ⎛ sin ⎜ kr − lπ ⎟ 2 ⎠ = ∑ i l (2l + 1)Pl (cos θ) ⎝ = kr l =0 ∞

1 ∞ (2l + 1) Pl (cos θ)eikr − ∑ ikr l = 0 2

1 ∞ (− 1)l (2l + 1)Pl (cos θ)e−ikr . ∑ 2 ikr l = 0 95

(4)

Можно показать, что имеют место равенства ∞

∑

l =0 ∞

(2l + 1) P (cos θ) = δ(1 − cos θ), l

2

(5)

(2l + 1) P (cos θ) = δ(1 + cos θ). ∑ (− 1) l l

2

l =0

Правильность этих формул проверяется умножением обеих частей на

Рl(соsθ) и интегрированием по соsθ. Если учесть условие ортогональности полиномов Лежандра 1

2

∫ Pl ' (cos θ)Pl (cos θ)d cos θ = 2l + 1 δll '

(6)

−1

и определение δ-функции Дирака

∫ f (x )δ(x − a )dx = f (a ) ,

(7)

то справедливость соотношений (5) очевидна. Тогда из (4) с учетом (5) находим

e

r r ik • r

=

1 ikr 1 −ikr e δ(1 − cos θ) − e δ(1 − cos θ ) . ikr ikr

С учетом этого запишем

(

(8)

)

r r ⎞ 1 −ikr r 1 ⎛1 Ψk (r ) = eikr ⋅ χ ⋅ ⎜ δ(1 − cos θ) + M k ′′, k ′ ⎟ − e δ(1 + cos θ ) ⋅ χ . (9) r ⎝ ik ⎠ ikr И по аналогии:

(

)

r 1 1 ⎛ r r ⎞ 1 ikr Ψk ′ (r ) = e−ikr ⋅ χ+ ⋅ ⎜ M k ′′, k ′ − δ(1 − cosθ)⎟ + e δ(1 + cosθ) ⋅ χ+ .(10) r ik ⎝ ⎠ ikr Из уравнения Шредингера

∇ 2 Ψk +

2µ h

2

(E − uˆ )Ψk

= 0, ∇ 2 Ψk+' +

можно получить соотношение

2µ h

2

⋅ Ψ r+ ⋅ (E − uˆ ) = 0 k′

Ψk+'∇ 2 Ψk − ∇ 2Ψk+' Ψk = 0, которое можно преобразовать к виду

(

(12)

)

∇ Ψk+'∇Ψk − ∇Ψk+' Ψk = 0. Интегрируя по объему V, получим

∫ ∇ (Ψ k ' ∇ Ψ k +

)

(

(11)

(13)

)

− ∇ Ψ k+' Ψ k dv = ∫ ∇ Ψ k+' ∇ Ψ k − ∇ Ψ k+' Ψ k ds = 0. (14) 96

Используя (9) и (10), а также оператор ∇=

∫

∂ , найдем ∂r

(

)

⎧ 1 1⎡ + r r i ⎤ ⎨ 2 δ(1 + cosθ)δ(1 + cosθ') − 2 ⎢M k ' ' , k ' + δ(1 − cosθ')⎥ × k r ⎣ ⎦ ⎩ kr

(

)

⎡ r r 1 ⎤⎫ × ⎢ M k ' ' , k ' − δ(1 − cos θ)⎥ ⎬ds = 0, k ⎣ ⎦⎭

(15)

где ds = r 2 dω k ' ' , и, проведя интегрирования, придем к формуле:

[ ( )

r r 1 M k ', k − M 2i

+

(kr , kr ')] = 4kπ ∫ M + (kr ' ' , kr ')⋅ M (kr ' ' , kr ) d ω k '' . (16)

Это условие можно обобщить на случай и неупругих реакций:

( )

( )

(

)

(

)

r r 1 + r r⎤ r r r r 1⎡1 1 + ⎢ M ab k ' , k − Mba k , k ' ⎥ = ∑ ∫ Mbc k ' ' , k ⋅ M ac k ' ' , k ' dωk '' ,(17) 2i ⎣ ka kb ⎦ C 4π где предполагается суммирование по всем возможным каналам реакции.

r

r

Соотношение (16) приводит к ряду важных следствий. При k ' = k (упругое рассеяние на нулевой угол) получаем так называемую оптическую теорему

Im a(0 ) =

k σTOT , 4π

(18)

связывающую мнимую часть амплитуды упругого рассеяния вперед а(0) с полным сечением σTOT. С другой стороны, если уравнение (17) применить к матрице пионнуклонного рассеяния, то получаются два соотношения:

(

) ) (

(

) (

)

r r r r r r k Im a k ' ' , k ' = [ a * k ′′, k ′ ⋅ a k ′′, k ′ + ∫ 4π r r r r r r * + ib k ′′, k ′ × b k ′′, k ′ ⋅ (n′′ × n′)]dωk ′′ , r r r r r r r r r r k Re b k ′, k = [ a* k ′′, k ′ ⋅ b k ′′, k ′ + b* k ′′, k ′ ⋅ a k ′′, k ′ + ∫ 4π r r r r r r r * + Re[b k ′′, k ′ ⋅ b k ′′, k ′ ⋅ (n′′ × n′) ⋅ n ]]dωk ′′ .

(

)

( ) ( ) ( ( ) ( )

) (

) (

(19)

)

(20) Аналогичные соотношения имеют место и в случае нуклоннуклонного рассеяния. Эти соотношения особенно полезны при низких энергиях, когда открыт только упругий канал. В результате число необходимых экспериментов сокращается в два раза (в случае πN-рассеяния – на два эксперимента, нуклон-нуклонного рассеяния – на пять). Однако эти 97

утверждения надо воспринимать осторожно, так как они справедливы только в идеальных условиях, практически не доступных в реальных экспериментах. Изложение основано на работе [Нурушев (1983)]. Список литературы Нурушев С.Б. Препринт ИФВЭ ОЭФ 83-192, Серпухов (1983).

§17. Пион-нуклонное рассеяние Рассмотрим конкретные реакции типа

π+ N = π+ N ,

(1) или в спиновых обозначениях 0 + 1/2 → 0 + 1/2. Мы имеем двумерное спиновое пространство, и в качестве полного набора спиновых оператоr ров можно использовать матрицы Паули σ (σx, σy, σz) и единичную матрицу 1. Тогда матрицу плотности начального состояния можно записать в виде (§14(11))

rr ρˆ H = C0 ⋅ 1 + C1σ.

(2)

Следовательно, ρˆ -матрица целиком определяется заданием вектора r r поляризации мишени Pt или пучка PB . Теперь нужно найти матрицу реакции М. В общем случае она должна r быть, во-первых, функцией двух переменных, например, импульсов ki и r k f до и после реакции, и, во-вторых, двурядной матрицей в спиновом пространстве. Как матрицу, ее можно разложить по полной системе матриц Паули и единичной матрицы:

(

) (

)

(

)

r r r r r r r r M ki , k f = a ki , k f ⋅ I + b ki , k f • σ.

(3)

Теперь мы потребуем в соответствии с экспериментом, чтобы в сильных взаимодействиях выполнялись следующие условия [Нурушев (1983)]: 1. Закон сохранения четности. Так как четности начальной и конечной систем одинаковы, то М-матрица должна быть скалярной функцией на-

r

чальной энергии и угла рассеяния частицы. Это означает, что вектор b

r

r

r

тоже должен быть аксиальным, как и σ . Из двух векторов ki и k f мож-

r

r

r

r

r

но составить единственный аксиальный вектор n = ki × k f / | ki × k f | ,

(

)

r r r r b ' ki , k f = bn , 98

(4)

r r r Разумеется, величина a (ki , k f ) должна быть скалярной функцией.

где мы ввели единичный вектор n , нормальный к плоскости реакции. 2. Обратимость по времени. При операции обращения времени проис-

r

r

r

r

r

ходят следующие переходы: ki → − k f и k f → − ki , так что n меняет

r

r r

знак. При этой операции и σ меняет знак, так что величина σ • n должна быть скаляром. В случае системы (0+1/2) это требование автоматически выполняется после требования 1. Однако в случае более сложных систем (например, (1/2 + 1/2)) обратимость по времени приводит к дополнительным ограничениям.

r r

Итак, матрица упругого πN рассеяния M ( ki , k f ) имеет вид:

(

) (

)

r r r r r r M ki , k f = a ki , k f + b ⋅ σ • n.

(5)

Здесь b и а (они называются амплитудами с переворотом и без переворота спина соответственно) являются комплексными величинами, поэтому мы должны определить на опыте четыре вещественные функции (при фиксированной начальной энергии и угле рассеяния). Полным набором опытов назовем совокупность независимых экспериментов, необходимых для однозначного определения всех амплитуд реакции. Следовательно, полный набор опытов для системы πN должен содержать как минимум четыре независимых эксперимента. Однако действительность гораздо сложнее, чем приведенное выше описание. Во-первых, из-за того, что измеряемые в эксперименте величины являются квадратичными комбинациями амплитуд а и b, мы сможем на опыте определить в сильных взаимодействиях только разность фаз амплитуд а и b, а не их абсолютные значения. Для определения абсолютных фаз нужно включить известное (например, электромагнитное или слабое) взаимодействие в дополнение к сильному. Таким образом, набор экспериментов в полном опыте должен содержать больше четырех опытов. Вовторых, если упругое рассеяние является единственно разрешенным каналом реакции, то условие унитарности приводит к двум дополнительным соотношениям между амплитудами а и b, так что для их определения достаточно провести два независимых эксперимента. Однако при энергиях выше порога образования пионов число опытов, входящих в полный набор, оказывается больше четырех. Практически мы имеем дело с тремя реакциями, проходящими под действием заряженных пионов, а именно:

π+ + p → π+ + p (a ), π− + p → π− + p (b), π− + p → π0 + n (c) . (6) 99

Эти три реакции связаны требованием изотопической инвариантности сильных взаимодействий. В результате между матрицами этих реакций имеют место соотношения

1 1 M(a) = M1, M(b) = (M1 + M0), M(c) = (M1 − M0) . 2 2

(7)

Здесь матрицы с индексами 1 и 0 соответствуют изотопическим состояниям пион-нуклонной системы c Т=3/2 и 1/2. Причем эти матрицы восстанавливаются таким же образом, как и матрица М. Без учета изотопической инвариантности три реакции (6) описывались бы набором из 12 экспериментов. Учет изотопической инвариантности приводит к сокращению этого количества до восьми. Рассмотрим доказательство очень важного в практических приложениях равенства P = A – равенство между поляризацией частицы P и ее асимметрией A в бинарных реакциях [Биленький (1964)]. При этом речь идет о системе двух частиц со спином 1/2. Рассмотрим волновую функцию системы, у которой изменено направление волнового вектора, и которая удовлетворяет уравнению Шредингера с обращенным временем ( t → −t ). Представим ее в виде

(

)

rr r r 1 i Ψ− k ' = e−ik 'r + eikr M k ' ' ,− k ' = e −ikr ⋅ δ(1 − cos θ') + kr r r r 1 i ⎡ ⎤ + eikr ⎢ M k ' ' ,− k ' − ⋅ δ(1 − cos θ')⎥ . r k ⎣ ⎦

(

)

Подставляя эту волновую функцию в уравнение

∫ ∇ (Ψk '∇ Ψ k +

)

(

(8)

)

− ∇ Ψ k+' Ψ k dv = ∫ ∇ Ψ k+'∇ Ψ k − ∇ Ψ k+' Ψ k ds = 0 , (§16 (14))

находим

∫ [ M (k ' ' , k ')⋅ δ(1 − cos θ') + ik ⋅ δ(1 − cos θ') ⋅ δ(1 − cos θ) − r

r

1

(

)

r r − M k ' ' ,−k ' ⋅ δ(1 + cos θ)]dωk '' = 0.

(9)

Проинтегрировав, получим

r r r r M (k ' , k ) = M (− k ,−k ') .

(10) Это соотношение представляет условие обратимости процесса по времени. Построенная нами выше матрица рассеяния (10) удовлетворяет этому условно. Исходя из вида матрицы рассеяния, мы докажем следующее утверждение, которое широко используется на практике. Пусть в реакции 100

a(0 ) + b(1 / 2 ) → c(0 ) + d (1 / 2 )

(11)

измеряется поляризация частицы d (в скобках указаны спины частиц). Обычно это делается перерассеянием частицы d на каком-нибудь ядре, анализирующая способность которого известна. Для пояснения новых терминов здесь сделаем небольшое отступление. Пусть пучок с заданной энергией и с поляризацией, равной единице, рассеивается на ядерной мишени на фиксированный угол. Для случая, когда поляризация пучка направлена вверх к плоскости рассеяния, количество рассеянных частиц на единицу потока падающего пучка обозначим N1. При прочих равных условиях количество также рассеянных частиц, но при ориентации поляризации пучка вниз к плоскости рассеяния обозначим N2. Тогда анализирующая способность мишени определяется формулой

AN =

N1 − N 2 . N1 + N 2

Положим теперь, что пучок поляризован частично, т.е. P≠1. Тогда можно ввести определение асимметрии как

ε = P⋅ A. Величину ε называют также лево-правой асимметрией, иногда “сырой” асимметрией. Как видно из определения, асимметрия ε совпадает с анализирующей способностью AN при 100 % поляризации пучка. Обозначим поляризацию частицы d через P. Рассмотрим обратную реакцию c(0 ) + d↑ (1 / 2) → a(0) + b(1 / 2), (12) где частица d поляризована. Пусть мы измеряем лево-правую асимметрию в образовании частицы а (или b). Обозначим ее через АN. Теорема: поляризация P частицы d в реакции (11) равна асимметрии A частицы b (или a) в реакции (12). Это утверждение состоит в равенстве

Р = АN. (13) Докажем это утверждение. Действительно, по определению поляризации [Биленький (1964)]

( (

) )

r r Sp Mρ н M + σ , P= Sp Mρ н M +

101

(14)

и так как в начальной системе (11) частица b не поляризована, то ρ н = 1/2, и вычисляя P, находим

(

)

r P ⋅ I 0 = 2 Re a*b = Sp MM + σ ,

(15)

где 2

2

I0 = a + b –

(16)

дифференциальное сечение реакции (11). Для реакции (12), поскольку частица d поляризована, то ρ н = находим

(

(

)

r r 1 1 + P0⋅ • σ , и для сечения рассеяния 2

)

(

)

(

)

r 1 1 r Sp MM + + P0 Sp MσM + . 2 2 Можно прямым вычислением убедиться, что MM + = M + M и r Sp MσM + = Sp MM + σ = 2 I 0 P, где Р определяется выражением (15). Тогда r r I f = I 0 1 + P0 • P . I f = Sp Mρ н M + =

(

)

(

(

)

)

(17)

(18) (19)

По определению лево-правой асимметрии

AN =

1 I f (+ ) − I f (− ) = P, P0 I f (+ ) + I f (− )

(20)

что и требовалось доказать. При выводе соотношения (20) мы неявно учли принцип детального равновесия, означающий равенство сечений прямой и обратной реакций. Заметим, что положительный знак в (20) возникает для реакции, в которой начальное и конечное состояния имеют одинаковые четности. В случае разных четностей знак в (20) отрицательный. Теорема (13) доказывается также для случая бинарных реакций, когда обе начальные (и конечные) частицы имеют спин 1/2. Эта теорема не работает для инклюзивных реакций. Проверка соотношения Р = А есть в то же время проверка принципа обратимости по времени в сильных взаимодействиях. В настоящее время наблюдается очень большой интерес к этой проблеме в связи с созданием абсолютного поляриметра для коллайдера RHIC (см. гл. 4 второй части книги, посвященную поляриметрии пучков). Известно, что удобной реакцией для проверки соотношения P = A является реакция с образованием гиперонов. Если имеется неполяризованная мишень, то по распаду гиперона определяется его поляризация. Если имеется поляризованная мишень, то можно измерять лево-правую асим102

метрию. Аппаратура остается одна и та же. То же самое относится и к пучку. В качестве примера таких взаимодействий укажем следующие реакции:

π− + p → K 0 + Λ (↑) (a), π− + p (↑) → K 0 + Λ (b) .

(21) Эта реакция очень удобна тем, что с использованием поляризованной мишени можно померить каналы (a) и (b) одновременно. При этом очень существенно детектировать и Κ-мезоны и Λ-гипероны. Усредняя результаты опытов по поляризации мишени (как бы обнуляя поляризацию мишени), можно определить поляризацию Λ-гиперонов (канал (a)). Усредняя по поляризации Λ-гиперонов при поляризованной мишени (канал (b)), находим асимметрию. Сравнение этих двух наблюдаемых обеспечивает прямую проверку равенства P = AN. Такой эксперимент до сих пор не выполнен. Важным приложением соотношения P = AN является измерение асимметрии в реакции

π − + p(↑) → π 0 + т .

(22) Для прямого измерения поляризации нейтрона при неполяризованной мишени необходимо рассеяние нейтрона на другой мишени и детектирование рассеянного нейтрона. Эта задача является экспериментально трудной из-за потери в сечении при втором рассеянии и низкой эффективности регистрации нейтронов. Поэтому использование поляризованной протонной мишени сделало реальным измерение поляризации нейтронов в указанной реакции (22). Именно эти измерения поставили впервые под сомнение весьма популярную в 60-х гг. модель полюсов Редже. Список литературы Биленький С.М. и др. УФН 81 (1964) 243. Нурушев С.Б. Препринт ИФВЭ 83-192, Серпухов (1983).

§18. Нуклон-нуклонное рассеяние В этом разделе мы излагаем метод определения матрицы реакции в нерелятивистском случае, восходящий к Вольфенштейну [Wolfenstein (1952)]. Позже мы увидим, что релятивистский подход не меняет полученные результаты, а приводит к кинематическим поворотам наблюдаемых, лежащих в плоскости реакции. Наблюдаемые, перпендикулярные к плоскости реакции при этом не затрагиваются.

103

§18.1. Построение матрицы реакции

r

Система из двух нуклонов содержит два спиновых оператора σ1 и

r σ2 и два единичных оператора I1 и I 2 , действующих в спиновом про-

странстве первой и второй частицы, соответственно. В результате матрица рассеяния является четырехмерной матрицей, зависящей от физиче-

r

r

r

r

ских векторов σ1 и σ2 , ki и k f (относительные импульсы двух нуклонов в начальном и конечном состояниях). При построении матрицы NN-рассеяния будем следовать работе [Wolfenstein (1952)]. Так как в нашем случае начальная (два нуклона) и конечная (тоже два нуклона) системы имеют одинаковые внутренние четности, то матрица рассеяния

(

)

r r r r M σ1, σ2 ; ki , k f должна быть скалярной функцией, составленной из ком-

бинации спиновых операторов и импульсов. Из спиновых операторов мы можем в общем случае составить 16 следующих комбинаций (полный набор): I (скаляр) r r (σ1 • σ2 − 1) (скаляр) (А)

r r (аксиальный вектор) r r ( σ1 – σ2 ) (аксиальный вектор) r r ( σ1 × σ2 ) (аксиальный вектор) lαβ = (σ1α σ2β + σ1βσ2α ) (симметричный тензор).

( σ1 + σ2 )

В силу свойств сигма-операторов в эти комбинации не могут входить члены более высокого порядка, чем первой степени.

r

r

Составим теперь комбинации из векторов импульсов ki и k f : I

(скаляр)

r r r k f – ki = K r r r k f × ki = n r r r n×K = P K α Kβ , nα nβ

(полярный вектор) (симметричные тензоры)

Pα Pβ , K α Pβ + Kβ Pα

(симметричные тензоры).

(полярный вектор) (аксиальный вектор)

(В)

Перемножая почленно величины из наборов (А) и (В), учтем требова-

(r

r

r r

ния инвариантности матрицы M σ1, σ 2 ; ki , k f 104

) относительно вращения и

отражения пространства. Таким образом, кандидатами в амплитуды матрицы рассеяния являются следующие комбинации: r r r r r r v v I, ( σ1 • σ2 − 1 ) , ( σ1 + σ2 ) • n , ( σ1 – σ2 ) • n (1)

r r r ( σ1 × σ2 ) • n ; ∑ lαβ Kα Kβ , ∑ lαβnα nβ , ∑ lαβ Pα Pβ , ∑ lαβ ( Kα Pϕ + Kβ Pα ) . αβ

αβ

(2) (3)

αβ

Выражение (3) можно преобразовать к следующему виду:

r r rr r r rr r r rr σ1 • Kσ2 • K , σ1 • n σ2 • n , σ1 • Pσ2 • P ; (4) rr r r rr r r σ1 • Kσ 2 • P + σ1 • Pσ 2 • K . (5) r r r Три вектора K , n и P взаимно ортогональны. В результате сумма r r трех членов в (4) равна скалярному произведению σ1 • σ 2 , в чем можно убедиться прямыми вычислениями. Следовательно, только два из трех членов в (4) оказываются независимыми. Теперь потребуем инвариантности рассматриваемых членов при обращении времени. При изменении знака времени t → −t оператор спина и импульс меняются следующим образом (штрих означает величины с обращенным временем):

r r σ' = −σ,

r r k 'i = −k f ,

r r k ' f = −ki .

(6)

r r r Используя (6) и определения векторов K , n и P (см. (В)), можно показать, что

r r r r r r K ' = K , n ' = −n и P' = − P .

(7) В результате такого преобразования члены (2) и (5) меняют знак и, соответственно, отбрасываются. Окончательно матрица упругого нуклоннуклонного рассеяния представляется в виде

(

)

r r r r r r r v v M σ1, σ2 ; ki , k f = A + B( σ1 • σ2 − 1 ) + C( σ1 + σ2 ) • n + r r r r r rr r rr r +D( σ1 – σ2 ) • n + E σ1 • Kσ2 • K + F σ1 • Pσ2 • P .

(8) Введем в системе центра масс (с.ц.м.) тройку ортогональных единичных векторов (орты):

r r r k ×k' n= r r , | k × k '|

r r r r r k + k' r k′ − k m= r r , l = r r , | k + k '| | k − k '| r r r k r kf где введены единичные векторы k = ri , k ' = r . | ki | |kf | 105

(9)

Удобство введения этих единичных векторов состоит и в том, что в

r

нерелятивистском приближении вектор l совпадает с направлением имr пульса рассеянной частицы в лабораторной системе, в то время как m совпадает с направлением импульса частицы отдачи в этой же системе. Перепишем матрицу рассеяния в новых обозначениях

(

)

r r r r r r r v r v r M σ1, σ2 ; ki , k f = a + b( σ1 • n )(σ2 • n ) + c( σ1 + σ2 ) • n + r r r r r r r r r r r + d( σ1 – σ2 ) • n + e (σ1 • m)(σ2 • m) + f (σ1 • l )(σ2 • l ) . (10) Амплитуды а, b, c, d, e, f являются комплексными функциям энергии rr и угла рассеяния k k ′ = cos θ .

( )

В случае нуклон-нуклонного рассеяния должен отсутствовать член с амплитудой d. Это доказывается следующим способом [Биленький (1964)]. В начальном состоянии два нуклона имеют внутреннюю четность

(−1)l , полный спин S и полный изотопический спин T. При перестановке двух нуклонов по принципу Паули их волновая функция должна быть антисимметричной, т.е. должна изменить знак:

Pi = (−1)l (−1) S +1 (−1)T +1 = −1.

(11) Аналогичное соотношение можно получить и для конечных нуклонов с орбитальным моментом l′, спиновым S′ и изотопическим спином T′:

Pf = (−1)l ' (−1) S '+1 (−1)T '+1 = −1.

(12)

Для соблюдения условия Pi = Pf мы учтем, что четности нуклонов при взаимодействиях не меняются, и мы можем сократить члены с орбитальными моментами; примем также гипотезу об изотопической инвариантности сильных взаимодействии. Тогда можно сократить также члены с изотопическим спином T. В результате получаем условие

(−1) S = (−1) S ' . (13) Поскольку возможными значениями S и S′ являются 0 (синглетное состояние) и 1 (триплетное состояние), то S = S′. Это значит, что в нуклоннуклонном рассеянии разрешены переходы только в пределах триплетов и синглетов по раздельности, и смешанные переходы синглет-триплет и обратно запрещены. Это приводит к запрету на член с d в матрице рассеяния. Окончательный вид матрицы нуклон-нуклонного рассеяния имеет следующую форму:

(

)

r r r r r r v r v r M σ1, σ2 ; ki , k f = a + b( σ1 • n )(σ2 • n ) + c( σ1 + σ2 ) • r r r r r r r r r • n + e (σ1 • m)(σ2 • m) + f (σ1 • l )(σ2 • l ) . 106

(14)

Введем синглетные и триплетные проецирующие операторы:

r r r r 1 1 Sˆ = [1 − (σ1 • σ2 )], Tˆ = [3 + (σ1 • σ2 ) . 4 4

(15)

Тогда выражение (14) можно переписать в другом виде:

(

)

r r r r r r r r r r r 1 M σ1, σ2 ; ki , k f = B Sˆ + [C( σ1 + σ2 ) • n + G (σ1 • m)(σ2 • m) + 2 r r r r r r r r r r r r 1 + (σ1 • l )(σ2 • l ) + H (σ1 • m)(σ2 • m) – (σ1 • l )(σ2 • l ) + 2 v r v r ˆ (16) + N( σ1 • n )(σ2 • n ) ] T . Амплитуда В соответствует синглетному рассеянию, в то время как остальные четыре амплитуды описывают триплетное рассеяние. Cвязь между амплитудами из выражений (14) и (16) определяется следующими соотношениями: B = a − b − e − f , C = c, G = 2a + e + f , H = e − f , N = a + b. (17) Для совместного описания всей совокупности нуклон-нуклонного рассеяния (pp, nn и np) можно записать общую матрицу с учетом изотопической инвариантности:

(

r r r r M σ1, σ2 ; ki , k f

) = M 0Τˆ0 + M1Τˆ1 .

(18)

Здесь

r r r r 1 1 Τˆ0 = (1 − τ1 • τ2 ), Τˆ1 = (3 + τ1 • τ2 ) – 4 4

(19)

r

r

изосинглетный и изотриплетный проецирующие операторы, а τ1 и τ2 – операторы изотопического спина для первого и второго нуклонов соотвественно. Каждая из матриц M 0 и M 1 представляет собой матрицу рассеяния, имеющую вид (16). Конечную волновую функцию системы двух нуклонов можно записать в виде

r r r r χ f = M (σ1, σ2 ; k , k ' )χiS χiT ,

(20)

где χiS и χiT – спиновые и изотопические волновые функции начальной системы двух нуклонов. Из требования антисимметрии этой функции с помощью соотношений (16) и (19) можно получить следующие условия на амплитуды при замене θ → π − θ : а) изотопические триплетные амплитуды B, C и H не меняют знака, а G и H меняют знаки; 107

б) для изотопического синглета, наоборот, B, C и H меняют знаки, а G и H не меняют знаки. Эти соотношения позволяют при исследовании pp- и nn-рассеяний ограничиться областью углов 0 ≤ θ ≤ 90° . Более того, при амплитудном анализе под углами 0°, 90° и 180° можно ограничиться только тремя амплитудами вместо пяти, что существенно сокращает количество необходимых экспериментальных наблюдаемых. В случае np-рассеяния, когда используются обе изотопические матрицы M 0 и M 1 , измерения должны проводиться в более широкой области углов, а именно 0 ≤ θ ≤ 180° . §18.2. Некоторые пути экспериментального поиска Р- и Т-неинвариантных членов в матрице сильного взаимодействия

Матрицу нуклон-нуклонного рассеяния, полученную выше (16), можно записать в форме

r r r r r r r r M (0 ) = (u + v ) + (u − v )(σ1 • n )(σ2 • n ) + C [(σ1 • n ) + (σ2 • n )] + r r r r r r r r + (g − h )(σ1 • m )(σ 2 • m ) + ( g + h ) σ1 • l σ 2 • l , (21) r r r где l , m и n были определены ранее (9).

(

)(

)

Цель экспериментов по выполнению полного набора опытов в нуклоннуклонном рассеянии состоит в восстановлении амплитуд u, v, с, g и h из экспериментальных данных. В случае несохранения четности или нарушения принципа обратимости времени, в матрице рассеяния появляются дополнительные члены, которые мы и рассмотрим ниже. 1. Нарушение четности

Матрицу NN-рассеяния вперед с учетом нарушения четности можно записать в виде

r r r M = M 0 + (i / 4)(M os − M so )(σ1 × σ 2 ) • k + (22) r r r + (i / 4 )(M os + M so )(σ1 − σ2 ) • k . Здесь М0 дается выражением (21), а амплитуды Мos и Мso определяют нарушающие Р-четность триплет-синглетные или синглет-триплетные переходы. Соответствующее матрице М полное сечение взаимодействия поляризованных частиц запишется в форме [Bilen’kij (1963), Philips (1963)]: 108

r

r

(

)

r r r σ P1P2 = σ(0 )P1P2 + (1 / 4)(σos − σ so ) P1 × P2 • k + r r r + (1 / 4)(σos + σ so ) P1 − P2 • k ,

(

)

(23)

где P1 и P2 – поляризации пучка и мишени соответственно; σos (σ so ) – полное сечение Р-нечетного взаимодействия с триплет-синглетным (синглет-триплетным) переходом. Сечение, соответствующее Р-

( ) P1P2 , можно записать в виде r r r r r r σ(0 )P1P2 = σ0 + σ1 P1 • P2 + σ 2 P1 • k P2 • k = (24) r r r r = σ0 + ∆σT P1T • P2T + ∆σ L P1L • P2 L , где индекс L означает продольные, а индекс Т – поперечные компоненты

инвариантному взаимодействию σ 0

(

)

(

)(

)

поляризации относительно пучка. Формула (23) показывает, что для обнаружения Р-нечетного эффекта нужно измерить полное сечение взаимодействия продольно-поляризованного пучка с неполяризованной мишенью или неполяризованного пучка с продольно-поляризованной мишенью (третий член). Такие опыты были проведены, и о них будет рассказано в следующих разделах книги. Второй член в формуле соответствует одновременному нарушению Ри Т-инвариантностей. Для его измерения нужно использовать поляризованный пучок и поляризованную мишень, векторы поляризации которых взаимно перпендикулярны друг другу и к импульсу пучка. К настоящему времени опыты такого типа еще не проводились. 2. Т-нечетные члены

Если предположить, что взаимодействие инвариантно относительно инверсии пространственных координат, то член, соответствующий Тнечетному эффекту, имеет вид

(

)

(

)

r r r r r r r r M (1) = M T σ1 • l (σ2 • m ) + (σ1 • m ) σ2 • l . (25) (0) В случае матрицы М можно показать, что существует равенство между поляризацией Р конечного нуклона при начальных неполяризованных состояниях и лево-правой асимметрией АN в рассеянии поляризованного нуклона на неполяризованном нуклоне: Р = АN.

Интересно отметить, что это равенство имеет место и в более общем случае прямой a+b→c+d (26) и обратной c+d → a+b (27) 109

реакций. В этом случае поляризация Р относится к частице с в прямой реакции с неполяризованными частицами а и b, в то время как асимметрия А относится к частице а в обратной реакции с поляризованной частицей с [Базь (1957)].

()

Если во взаимодействии участвует член M 1 , то равенство P = AN нарушается, и вместо него возникает соотношение (для упругого NNрассеяния)

σ0 (P − A) = −8 Im ( M *T ⋅ h).

(28)

Это соотношение должно проверяться при углах, где h заметно отличается от нуля. Такая проверка облегчается при наличии однозначного фазового или амплитудного анализа. Список литературы Базь Л. ЖЭТФ 32 (1957) 628. Биленький С.М. и др. УФН 84 (1964) 243. Bilen’kij S.M. and Ryndin R.M. Phys. Lett. 6 (1963) 217. Philips R.T.N. Nucl. Phys. 43 (1963) 413. Wolfenstein L. and Ashkin J. Phys. Rev. 85 (1952) 947.

§19. Полный опыт Впервые идея полного опыта как набора наблюдаемых величин, которые полностью и однозначно определяют матричные элементы реакции, была высказана в работах [Пузиков (1957)], [Смородинский (1960)]. Применительно к нуклон-нуклонному упругому рассеянию первые возможные пути восстановления матричных элементов были предложены в статье [Schumacher (1961)]. Мы используем эти разработки для восстановления амплитуд нуклон-нуклонного рассеяния. В §18 была построена матрица нуклон-нуклонного упругого рассеяния. Там же было установлено, что для конкретной реакции p + p → p + p полное число независимых комплексных амплитуд, необходимых для описания этой реакции при фиксированном угле и энергии, равно пяти. Это означает, что нам нужно при фиксированном угле и фиксированной начальной энергии измерить десять действительных величин, а именно – пять модулей амплитуд и пять их фаз. Следовательно, эти десять наблюдаемых величин составляют тот минимальный набор, который входит в полный опыт. В случае пион-нуклонного рассеяния мы имеем две амплитуды, и в полный набор должны входить не менее четырех наблюдаемых. Если бы мы изучали рассеяние пионов на пионах, то в 110

полный набор вошли бы только две наблюдаемых величины. Короче говоря, количественный состав полного опыта зависит от спина участвующих во взаимодействии частиц. Причем, чем выше спин, тем большее число наблюдаемых входит в полный набор. Можно видеть, что основное количество наблюдаемых, входящих в полный опыт, связано со спином, т.е. спин несет богатую информацию о взаимодействии. Рассмотрим примеры полных опытов при фиксированных значениях углов и начальной энергии. 1. Полный опыт по упругому pp–рассеянию на 0° в с.ц.м. Полные сечения нуклон-нуклонных взаимодействий

Полное сечение σT взаимодействия двух частиц со спином 1/2 должно быть, во-первых, скалярной величиной. Во-вторых, оно должно быть

r

r

линейной функцией от поляризации начальных частиц P1 и P2 и, втретьих, должно быть составлено из кинематических величин, определяющих реакцию [Bilenky (1963), Philips (1963)]. Таким образом,

r r r r r r σ = σ0 + σ1 ( P1 • P2 ) + σ2 ( P1 • k )( P2 • k ) .

(1)

r Здесь k – единичный вектор в направлении падающего пучка, а σ0 , σ1 и σ2 – измеряемые на опыте параметры, зависящие только от начальной энергии пучка. Их смысл можно понять следующим образом. По определению поляризация представляет среднее значение оператора Паули, следовательно,

r r r r r ( P1 • P2 ) =< (σ1 • σ2 ) >= (2 S 2 − 3), (2) r r r r r r r r r r ( P1 • k )( P2 • k ) =< (σ1 • k )(σ2 • k ) >= (2( S • k ) 2 − 1). r 1 r r Здесь S = (σ1 + σ 2 ) – полный спин двух начальных взаимодейст2

вующих нуклонов. Из (1) и (2) находим

(Pr1 • Pr2) = ∑wmt −3ws, m

r r r r t (P1 • k)(P2 •k) = ∑(−1)1+mwm −ws .

(3)

m

Величины ws и wt обозначают вероятности нахождения системы двух нуклонов в синглетном и триплетном состояниях. С учетом условия t = 1 из (3) находим нормировки ws + ∑ wm m

111

r r r r r r r r 1 1 ws = (1− (P1 • P2)), wt 0 = (1+ (P1 • P2) − 2(P1 • k )(P2 • k )), 4 4 r r r r 1 wt + + wt − = (1+ (P1 • k )(P2 • k )). 2

(4)

Используя соотношение (1) и определение триплетного проектирующего оператора можно показать, что w+t = w−t . Представляя полное сечение в виде суммы взвешенных сечений из синглетного и триплетных состояний

σ = ws σ s + ∑ wmt σtm

(5)

t и подставляя выражения для ws и wm , получим

r r 1 r r r r 1 σ = σ0 + (σt0 −σs )(P1 • P2) + (σt+ − σt0)(P1 • k)(P2 • k) . 4 2

(6)

Сравнивая (1) и (6), находим связь между коэффициентами

1 1 σ1 = (σt0 − σ s ) и σ2 = (σt+ − σt0 ) . 4 2

(7)

Таким образом, в опыте с поляризованными нуклонами можно измерить три полных сечения, когда: а) оба нуклона не поляризованы; б) оба нуклона поляризованы перпендикулярно к пучку; в) оба нуклона поляризованы вдоль пучка. Такие три эксперимента составляют полный набор опытов по определению полных сечений нуклон-нуклонных взаимодействий. В результате можно восстановить значения σ s , σt0 и σt+ и определить их вклады по отдельности в обычное (неполяризованное) полное сечение σ0 :

σ0 =

1 s 1 t 1 t σ + σ0 + σ + . 4 4 2

(8)

Приложения вышеприведенных соотношений рассматриваются в разделе “Поляризационные эксперименты и результаты”. 2. Амплитуды NN-рассеяния под углом 0°

Под углом 0° в силу условия симметрии амплитуды с(0) = d(0) = 0, b(0) = e(0) и матрица рассеяния вперед принимает вид

(

)

r r r r r r r r r r M σ1, σ2 ; ki , k f = a(0)+e(0)( σ1 • σ2 )+[f(0) – e(0)] (σ1 • k )(σ2 • k ) .(9)

Рассмотренное выше условие унитарности (см. матричное соотношение §16 (16)) в приложении к матрице (9) приводит к следующим связям 112

между мнимыми частями амплитуд и полными сечениями (оптическая теорема): Im a(0)=

k k k σ2 . σT , Im e(0)= σ1 , Im [f(0) – e(0)]= 4π 4π 4π

(10)

Здесь k – волновое число в с.ц.м. Таким образом, измерения трех наблюдаемых σ0, σ1 и σ2 позволяют восстановить мнимые части трех амплитуд упругого pp-рассеяния вперед, а именно – a, e, f. Для завершения полного опыта нужны еще измерения трех реальных частей этих амплитуд. Для этого нужно провести измерения в области очень малых углов (в так называемой области кулон-ядерной интерференции) еще трех параметров. Одним из них является дифференциальное сечение. Такое измерение дает возможность восстановить реальную часть спин-независящей амплитуды a(0). Измерения двух других параметров, например, σ1 и σ2, позволяют восстановить реальные части амплитуд e и f через дисперсионные соотношения. Но есть и другой путь, состоящий в измерении параметров спин-спиновой корреляции Aik(i, k = N, S, L) в области кулон-ядерной интерференции. Здесь N, S, L обозначают направления поляризации начальных протонов перпендикулярно плоскости реакции или лежащие в этой плоскости и направленные либо поперечно (S), либо продольно (L) по отношению к начальному импульсу. Таким образом, завершается проведение полного опыта по упругому pp–рассеянию вперед. Очевидно, что такой подход является универсальным и его можно применять при любых начальных энергиях. К сожалению, приходится констатировать, что такой полный опыт не проведен пока ни при одной энергии (кроме области малых энергий, где проведен фазовый анализ). Соотношения (10) полезны в ряде случаев. При проведении фазового анализа они накладывают дополнительные условия на фазы, что может оказаться существенным при выборе между несколькими наборами фазовых решений. При использовании дисперсионных соотношении можно восстановить реальные части Re a(0), Re e(0) и Re f(0), если из экспериментальных данных известны мнимые части тех же амплитуд (в дисперсионных соотношениях эти мнимые части стоят под знаками интегрирования). Дифференциальное сечение рассеяния протонов протонами на нулевой угол представляет большой интерес для теоретического анализа. В то же время, нет способа прямого его измерения и приходится использовать метод экстраполяции, т.е. измерение дифференциальных сечений упругого рассеяния проводятся до столь малых углов, где еще получаются надежные данные, а потом по какой-то выбранной функции, например, по экспоненте, производится экстраполяция на нулевой угол. Как способ 113

проверки правильности полученного сечения используются соотношения (10) следующим образом. Дифференциальное сечение вперед можно записать в виде 2

dσ ⎛ k ⎞ = ⎜ ⎟ (| a |2 +2 | e |2 + | f |2 ) . dΩ ⎝ 4 π ⎠

(11)

В это выражение как положительные числа входят как квадраты реальных, так и квадраты мнимых частей каждой из трех амплитуд. Если мы подставим из соотношения (10) только мнимые части, то получим неравенство 2

dσ ⎛ k ⎞ ≥ ⎜ ⎟ [(σT )2 + 2(σ1)2 + (σ1 + σ2 )2 ] . d Ω ⎝ 4π ⎠

(12)

Это и есть то контрольное соотношение, которое дает нижний предел и широко применяется при измерении дифференциальных сечений рассеяния вперед. 3. Полный опыт по упругому pp-рассеянию на 90° в с.ц.м.

Одна из первых попыток в решении этой задачи была сделана еще в 1959 г. в статье [Нурушев (1959)]. Следуя этому предложению, мы вкратце повторим тот же путь. При энергии 660 МэВ измерены пять следующих параметров упругого pp-рассеяния под углом 90° [Azhgirey (1963)]: дифференциальное сечение I = (2,07±0,03) мб/стер., параметр корреляции спина Cnn = (0,93±0,21), параметр деполяризации D = (0,93±0,17), параметр вращения поперечной поляризации R = (0,26±0,07) и параметр поворота продольной поляризации A = (0,20±0,06). Из этих пяти наблюдаемых можно восстановить три модуля и две относительные фазы отличных от нуля амплитуд B, C и H (см. §18 “Нуклон-нуклонное рассеяние”). Фаза амплитуды B положена равной нулю. Итак, имеем формулы для нормированных на сечение амплитуд (безразмерные):

| b |2 =

2 | C |2 1 | B |2 1 = (1 − Cnn ), | c |2 = = (1 + Cnn + 2 D), I 4I 2 4

| H |2 R+ A A−R | h |2 = , sin(δC − δ B ) = − , cos(δ H − δ B ) = . 2I 2dc 2bh

(13)

Подставляя численные значения наблюдаемых величин, получаем [Кумекин (1964)]

114

|b|2=0,35±0,11, |c|2=1,00±0,10, |h|2=0,02±0,10, sin δc = 0,39 ± 0,21, cos δh = −0,36 ± 0,18 . Сравнение с аналогичными данными при меньших энергиях показывает [Нурушев (1959)], что в рассматриваемом интервале энергии преобладают вклады от триплетных амплитуд c и h, в то время как вклад синглетного члена b меньше. При этом на нижнем интервале энергии преобладающим является член h (тензорное взаимодействие), а на верхнем интервале энергии – член c (спин-орбитальное взаимодействие). 4. Полный опыт по упругому pp-рассеянию под произвольным углом в с.ц.м.

В этом разделе мы ставим и попытаемся ответить на следующий вопрос: сколько и какие конкретно наблюдаемые величины должны быть измерены при фиксированной начальной энергии, чтобы восстановить амплитуды упругого нуклон-нуклонного рассеяния – рассеяния под произвольным углом θ в с.ц.м.? Или, короче, какое количество измерений составляет полный опыт? К сожалению, до настоящего времени ни при одной энергии выше 3 ГэВ не выполнен полный набор экспериментов. Прямое восстановление элементов матрицы нуклон-нуклонного рассеяния из экспериментальных данных является практически единственным способом анализа при энергиях, больших пороговой энергии образования мезонов. При таком подходе одна общая фаза в матрице рассеяния остается неопределенной. Ее можно также определить при энергиях ниже порога образования мезонов с помощью соотношения унитарности. Впервые возможность прямого восстановления амплитуд рассеяния обсуждалась в работах [Пузиков (1957)], [Смородинский (1960)] и [Schumacher (1961)]. В последней работе были использованы 11 экспериментально наблюдаемых величин (дифференциальное сечение, поляризация, компоненты тензоров деполяризации, передачи поляризации и корреляции поляризаций), и однозначно восстановлены модули пяти амплитуд и четыре относительные фазы. Одна общая фаза, как и ожидалось, оказалась неопределенной. Как следует из работы [Schumacher (1961)], в полный набор входят тензоры до второго порядка включительно. Возможности упрощения процедуры восстановления амплитуд при использовании поляризационных тензоров третьего и четвертого порядков были рассмотрены в работах [Биленький (1965)], [Винтернитц (1965)]. Не исключено, что при асимптотических энергиях привлечение теоретических идей может привести к заметному сокращению количества необходимых экспериментов полного набора. 115

Мы обсудим далее метод восстановления скалярных амплитуд нуклоннуклонного рассеяния в релятивистском случае и приведем конкретные наборы полных опытов. В этом изложении мы следуем работе [Биленький (1966)]. Запишем матрицу нуклон-нуклонного рассеяния в следующем виде [Wolfenstein (1952 )], [Dalitz (1952)]:

r r r r r r r r r M ( p' , p) = (u + v) + (u − v)(σ1 • n)(σ2 • n) + c(σ1 + σ2 ) • n r r (g − h)(σr1 • mr )(σr 2 • mr ) + (g + h)(σr1 • l )(σr 2 • l ).

(14)

В этой формуле комплексные скалярные амплитуды рассеяния u, v, c, g и h являются функциями энергии и угла рассеяния θ. Наша основная цель как раз и состоит в том, чтобы выразить эти амплитуды через экспе-

r r r

риментальные величины. Единичные векторы n , l , m определяются следующими соотношениями:

r pr '+ pr l = r r, p '+ p

r r r p '− p m= r r , p '− p

r r r r r p × p' n =l ×m = r r . p × p'

(15)

Эти единичные векторы, определенные в с.ц.м., взаимно ортогональ-

r

ны, причем в нерелятивистском приближении вектор l направлен по имr пульсу рассеянной частицы в лабораторной системе, а вектор m – по импульсу частицы отдачи в лабораторной системе. В релятивистском случае это соотношение нарушается и появляется дополнительный угол вращения. Матрица протон-протонного рассеяния должна удовлетворять принципу Паули, а именно: r r r r r r M ( p', p) = −Π(1,2) M (− p', p) = −M ( p',− p) Π(1,2) . (16) Здесь r r 1 Π (1,2) = (1 + σ1 • σ 2 ) (17) 2 представляет оператор перестановки спиновых переменных. Применяя соотношения (16) к матрице pp-рассеяния (14), убеждаемся, что скалярные амплитуды рассеяния удовлетворяют следующим условиям симметрии:

u (π − θ) = −u (θ), h(π − θ) = h(θ), c(π − θ) = c(θ), v(π − θ) = − g (θ) .

(18)

Из этих соотношений следует, например, что под углом 90° остаются отличными от нуля три амплитуды: c, h и, скажем, g. Их восстановлением мы уже занимались выше. 116

Мы до сих пор не обсуждали упругое рассеяние нейтронов на протонах. Такое обсуждение лучше всего проводить в рамках гипотезы изотопической инвариантности. Тогда можно ввести две изотопические матриr r r r цы рассеяния M 1 ( p ' , p ) и M 0 ( p ' , p ) с изотопическими спинами 1 и 0 соответственно. При этом обе матрицы записываются в форме, где скаr r лярные амплитуды имеют индексы 1 и 0, причем матрица M 1 ( p ' , p ) тождественно равна матрице pp-рассеяния. В этом случае матрица npрассеяния определяется выражением

r r 1 r r r r M np ( p' , p ) = [M1 ( p' , p ) + M 0 ( p' , p )] . 2

(19)

К изотопическим матрицам рассеяния можно применить обобщенный принцип Паули. Вводя индекс i = 0, 1, запишем условие Паули следующим образом:

r r r r r r Mi ( p', p) = (−1)i Π(1,2) Mi (− p', p) = (−1)i Mi ( p',−p) Π(1,2) .

(20) Из этого условия возникают следующие ограничения на скалярные амплитуды рассеяния в разных изотопических состояниях:

ui (π − θ) = (− 1)i ui (θ), hi (π − θ) = (− 1)i +1 hi (θ),

ci (π − θ) = (− 1)i +1 ci (θ), vi (π − θ) = (− 1)i gi (θ) .

(21)

В нерелятивистском приближении вопрос о совместном анализе данных по pp- и np-рассеянию с целью восстановления матрицы рассеяния был рассмотрен в работах [Казаринов (1956)] и [Головин (1959)]. Теоретический анализ столкновения частиц обычно производится в с.ц.м. Однако измерения наблюдаемых величин, как-то сечения, поляризации, проводятся в лабораторной системе. Поэтому возникает необходимость установления правил перехода из одной системы в другую с учетом релятивистской кинематики и специфики преобразования спина. Рассмотрим конкретные примеры. По общим правилам среднее значение любого спинового оператора r < σ1L > выражается следующим образом:

[

]

r r r r < σ1L > a 'L = Sp σ1 (a 'L )R ρ f / Spρ f .

(22)

r

Здесь ρ f представляет матрицу плотности конечного состояния, a 'L обозначает произвольный единичный вектор в лабораторной системе (Lсистема). Предполагается измерить проекцию вектора поляризации перr r вой частицы на это направление. Вектор (a 'L )R = Rn (Ω')a 'L учитывает релятивистское преобразование вектора спина и получается из вектора 117

r a'L путем поворота его на угол Ω' = θ − 2θ L вокруг нормали к плоскости рассеяния. В нерелятивистском пределе угол рассеяния θ в с.ц.м. равен 2θ L , где θ L – угол рассеяния в L-системе. Следовательно, в этом случае Ω' = 0. В случае измерения в L-системе компоненты вектора поляризации

r

частицы отдачи (частица 2) на направление единичного вектора b ' 'L находим

[ ( ) ]

r r r r < σ2 L > b ' 'L = Sp σ2 b ' 'L R ρ f / Sp ρ f .

(23)

Предполагается измерить проекцию вектора поляризации второй час-

(r )R = Rn (Ω' ')br' 'L учитывает rреляти-

тицы на это направление. Вектор b ' 'L

вистское преобразование вектора спина и получается из вектора b ' 'L путем поворота его на угол Ω' ' = 2ϕ L − ϕ вокруг нормали к плоскости рассеяния: ϕ = π − θ и ϕ L – углы испускания второй частицы в с.ц.м. и в Lсистеме соответственно. В эксперименте можно измерить компоненты корреляции поляризации r на те же единичные векторы (a 'L , b' 'L ) :

(

[

)

( ) ]

r r r r r r r r < (σ1 • a'L ) σ2 • b' 'L > = Sp σ1 • (a'L )R σ2 • b' 'L Rρ f / Spρ f .

(24)

Введем в лабораторной системе координат три набора ортонормированных единичных векторов:

r r nL , k L , r r nL , k ' L , r r nL , k ' 'L ,

r r r sL = nL × k L , r r r s 'L = nL × k ' L , r r r s ' ' L = nL × k ' ' L .

(25) (26) (27)

r r r Здесь k L , k 'L , k ' 'L представляют единичные векторы соответственно

в направлении импульсов падающего нуклона, рассеянного нуклона и

r

r

r

s

r

нуклона отдачи. nL = k L × k 'L k L×k 'L – единичная нормаль к плоскости

r

r

r

рассеяния, причем nL = n , где n – нормаль к плоскости рассеяния в с.ц.м. В дальнейшем изложении для описания начальных частиц используется координатная система (25), для описания рассеянной частицы – (26), а для частицы отдачи – система координат (27). При вычислении наблюдаемых величин мы ограничимся тензорами до второго ранга включительно. 118

1. Тензор нулевого ранга представляет дифференциальное сечение. Оно равно

)

) (

(

1 2 2 2 2 2 σ0 = Spρ f = Sp MM + = 2 a + v + c + g + h . 4

(28)

2. Тензоры первого ранга, а именно: а) Начальные частицы не поляризованы. Измеряется i-ая компонента поляризации рассеянной частицы. Она равна

P1i σ0 =

(

)

1 Sp σ1i MM + . 4

(29)

б) Начальные частицы не поляризованы. Измеряется i-ая компонента поляризации частицы отдачи. Она равна

P2i σ0 =

(

)

1 Sp σ2i MM + = P1i σ0 . 4

(30)

в) Падающая частица поляризована (первая частица) в i-ом направлении. Частица мишени (вторая частица) не поляризована. Измеряется iая компонента асимметрии. Она равна

A1i σ 0 =

(

)

1 Sp M σ1i M + . 4

(31)

г) Падающая частица не поляризована (первая частица). Частица мишени (вторая частица) поляризована в i-ом направлении. Измеряется iая компонента асимметрии частицы отдачи. Она равна

A2 i σ 0 =

(

)

1 Sp M σ 2 i M + = A1i σ 0 . 4

(32)

3. Тензоры второго ранга: а) Тензор деполяризации Dik . Первая частица поляризована вначале, и измеряется ее поляризация после рассеяния. Выражение для тензора D ik имеет вид

(

)

1 Sp σ1i Mσ1k M + . (33) 4 б) Тензор деполяризации второй частицы D (2 )ik . Вторая частица Dik σ0 =

вначале поляризована (первая – нет), и измеряется ее поляризация после

рассеяния. Выражение для тензора D (2 )ik имеет вид

D (2 )ik σ0 =

(

)

1 Sp σ2i Mσ2 k M + = Dik 4 . 119

(34)

в) Тензор передачи поляризации от первой частицы ко второй K ik . Первая частица поляризована в начальном состоянии (вторая – нет) – и измеряется поляризация второй частицы после рассеяния. Выражение для тензора Kik имеет вид

Kik σ0 =

(

)

1 Sp σ2i Mσ1k M + . 4

(35)

г) Тензор передачи поляризации от второй частицы к первой

K (2 )ik . Вторая частица поляризована в начальном состоянии (первая –

нет), и измеряется поляризация первой частицы после рассеяния. Выражение для тензора K 2ik имеет вид

(

)

1 Sp σ1i Mσ2 k M + = K ik . (36) 4 д) Тензор корреляции поляризации Сik . Обе частицы вначале не

K (2 )ik σ0 =

поляризованы, и измеряется корреляция их поляризации после рассеяния. Выражение для тензора Сik имеет вид

(

)

1 Sp σ1i σ 2 k MM + . (37) 4 ( 2) е) Тензор корреляции поляризации С ik . Обе частицы вначале не

С ik σ 0 =

поляризованы, и измеряется корреляция их поляризации после рассеяния. Отличие от пункта д) состоит в том, что переставлены компоненты поля( 2)

ризации частиц. Выражение для тензора С ik имеет вид

С ik( 2) σ 0 =

(

)

1 Sp σ1k σ 2i MM + = C ik . 4

(38)

ж) Тензор двухспиновой асимметрии или тензор корреляции асимметрии Aik . Обе частицы поляризованы вначале, причем первая частица поляризована в направлении i, а вторая – в направлении k. Измеряется асимметрия после рассеяния. Выражение для тензора Aik имеет вид

Aik σ0 =

(

)

1 Sp Mσ1i σ2k M + . 4

(39)

з) Тензор двухспиновой асимметрии Aik( 2) . Обе частицы вначале поляризованы, причем первая частица поляризована в направлении k, а

120

вторая – в направлении i. Измеряется асимметрия после рассеяния. Выражение для тензора Aik( 2) имеет вид

Aik( 2)σ0 =

(

)

1 Sp Mσ1k σ2i M + = Aik . 4

(40)

Требования инвариантности сильных взаимодействий относительно ряда непрерывных (изотропность и однородность пространства) и дискретных (инверсия пространства, обращение времени) преобразований приводят к соотношениям между измеряемыми величинами. Так, например, r r r r Pi = Ai = Pni Cik ( p' , p ) = Aik (− p,− p') . (41)

r

Если мы имеем пучок с поляризацией P1 и поляризованную мишень с

r

поляризацией P2 (или два встречных поляризованных протонных пучка с указанными поляризациями), то из общих требований инвариантности матрицы рассеяния относительно перечисленных выше в скобках преобразований можно получить следующее выражение для дифференциального сечения

(

)

(

)

( (

)( )(

) )

r r r r r r r r r σ P1, P2 = σ0{1 + P P1 + P2 ⋅ nL + Ann P1 ⋅ nL P2 ⋅ nL + r r r r r r r r + Ass P1 ⋅ sL P2 ⋅ sL + Akk P1 • k L P2 • k L + r r r r r r r r + Ask P1 • sL P2 • sL + P1 • k L P2 • k L } .

( [(

)( )(

)

) (

)(

)]

(42) Здесь P означает величину поляризации, возникающей при рассеянии неполяризованных частиц. Также введены обозначения

( )

r r Aab = (aL )i Aik bL k .

(43)

Для измерения параметров деполяризации Dik или тензора передачи поляризации Kik необходимо провести дополнительное рассеяние, чтобы определить поляризацию рассеянной частицы. Такие опыты очень трудны, во-первых, из-за слабой светимости во втором рассеянии, во-вторых, при больших энергиях очень трудно найти анализаторы с высокой анализирующей способностью. Это и есть одна из главных причин, почему, например, на коллайдере RHIC такие опыты не запланированы. В отличие от этих параметров тензор корреляции асимметрии Aik измеряется на RHIC непосредственно. Для измерения, например, параметра All , надо направить поляризацию обеих начальных частиц по их импульсу, т.е. сделать оба пучка продольно поляризованными. Если надо измерить, скажем, r Asl , то надо сделать один пучок частиц поляризованным по вектору s , а 121

r

другой – по вектору l . Между прочим, все эти возможности предусмотрены на коллайдере поляризованных частиц RHIC. Как мы отмечали уже, измерения наблюдаемых величин проводятся в лабораторной системе, в то время как все теоретические построения с этими величинами производится в с.ц.м. Определим преобразования между этими двумя системами. Сначала напомним связь между тройками единичных ортогональных векторов в лабораторной системе и системе центра масс:

r r r r r r nL = n , k L = k , s L = s .

(44)

r r r Здесь k = p p – единичный вектор в направлении импульса падаюr щей частицы в с.ц.м., n – нормаль к плоскости рассеяния в этой же сисr r r теме, s = n × k – вектор, перпендикулярный к импульсу начальной частицы и лежащий в плоскости рассеяния. Тогда получаем соотношения

Ass = C+ − Clm sin θ − C− cos θ, Akk = C+ + Clm sin θ + C− cos θ,

(45)

Ask = −Clm cos θ + C− sin θ. В этой формуле введены обозначения

(

)

1 1 Cll + Cmm , C− = (Cll − Cmm ) . (46) 2 2 Нормальные к плоскости рассеяния компоненты Ann и Cnn равны C+ =

между собой. Для остальных компонент тензоров находим следующие соотношения:

1 ( Ass + Akk ), 2 1 = − Ask cos θ + ( Akk − Ass )sin θ, 2 C+ =

Clm

(47) (48)

1 ( Akk − Ass )cos θ (49) 2 Здесь тензоры корреляции поляризации Cik выражены через тензоры C− = A sk sin θ +

корреляции асимметрии Ann . Это неспроста. Тензоры Cik могут быть измерены тоже с использованием неполяризованных начальных частиц. Но при этом требуется анализ конечной поляризации (двухкратное рассеяние), а это ведет к необходимости анализирующего рассеяния. А такие опыты, как говорилось выше, очень трудны. В то же время параметры 122

Ann измеряюся легче (в однократном рассеянии), и формулы, приведенные выше, позволяют определять через них и Cik . В первых экспериментах при малых энергиях (кинетическая энергия пучка 100 – 600 МэВ) измерялся тензор спиновой корреляции Cnn и позже – другие параметры. Рассмотрим эти тензоры:

Cs ' s '' = (s 'L )Ri Cik (s ' 'L )Rk , Cs 'k '' = (s 'L )Ri Cik (k ' 'L )Rk ,

(50)

Ck ' s '' = (k 'L )Ri Cik (s ' 'L )Rk , Cs 'k '' = (k 'L )Ri Cik (k ' 'L )Rk . r Пусть a – произвольный вектор. Подействуем на него оператором r

вращения вокруг вектора n и разложим результат по трем векторам: r r r r r r Rn (Ω )a = (a • n ) n (1 − cos θ) + a cos Ω + n × a sin Ω . (51) С помощью этого соотношения и формулы (44) можно найти, что

(kr'L )R = Rn (Ω')kr'L = l cos α + m sin α ,

(52)

(sr 'L )R = Rn (Ω')sr 'L = −l sin α + m cos α .

(53)

Здесь релятивистский угол поворота спина составляет α = θ 2 − θ L , где θ и θ L – угол рассеяния частицы соответственно в с.ц.м. и в лабораторной системе. Аналогичные формулы преобразования можно написать и для частицы отдачи:

(kr' 'L )R = Rn (Ω' ')kr' 'L = −l sin α'−m cos α' ,

(54)

(sr ' 'L )R = Rn (Ω' ')sr ' 'L = l cos α'−m sin α' .

(55)

Здесь релятивистский угол поворота спина составляет α' = ϕ 2 − ϕ L , где ϕ и ϕ L – угол рассеяния частицы отдачи соответственно в с.ц.м. и в лабораторной системе. Отметим здесь два момента. Во-первых, релятивистская прецессия спина (томасовская прецессия) затрагивает только компоненты поляризации, которые лежат в плоскости рассеяния и не затрагивает ее нормальную компоненту. Во-вторых, в нерелятивистском пределе углы α = α'= 0 и томасовская прецессия при малых энергиях не влияет на наблюдаемые величины. В нерелятивистском случае имеют место равенства

(kr'L )R = lr,

(sr 'L )R = mr ,

(kr' 'L )R = −ms ,

r

(sr ' 'L )R = −l

.

(56)

Теперь найдем выражения для измеряемых на опыте величин (50) через тензоры в с.ц.м. с помощью соотношений с (52) по (55). Искомые формулы имеют вид Cs's'' = −C+ sin (α + α') + Clm cos(α − α') − C− sin(α − α') . (57) 123

Cs'k'' = −C+ cos(α + α') + Clm sin(α − α') + C− cos(α − α') . Ck's'' = C+ cos(α + α') + Clm sin (α − α') + C− cos(α − α') . Ck'k'' = −C+ sin(α + α') − Clm cos(α − α') + C− sin(α − α') .

(58) (59)

(60) Не трудно убедиться, что наблюдаемые величины связаны соотношением (С s 's '' + С k 'k '' ) (C s 'k '' − C k 's '' ) = tg(α + α') . (61) Следовательно, независимых наблюдаемых величин три вместо четырех. Теперь решим обратную задачу – найдем три параметра C+ , , C− , Clm через наблюдаемые величины Cs 's '' , Cs 'k '' и Ck 's '' . На основании соотношений с (57) по (60) находим C+ = (Ck 's '' − Cs 'k '' ) 2 cos(α + α') . (62)

1 (Cs 'k '' + Ck 's '' )cos(α − α') − 2 1 ⎡ ⎤ − ⎢Cs ' s '' + tg (α + α')(Ck ' s '' − Cs 'k '' )⎥ sin (α − α'). 2 ⎣ ⎦ 1 Clm = (Cs 'k '' + Ck ' s '' )sin (α − α') + 2 1 ⎡ ⎤ + ⎢Cs ' s '' + tg(α + α')(Ck ' s '' − Cs 'k '' )⎥ cos(α − α'). 2 ⎣ ⎦ C− =

(63)

(64)

Перейдем теперь к случаю, когда поляризован пучок, а мишень не поляризована. После соударений мы измеряем компоненты поляризации рассеянной частицы. Из соображений инвариантности эти компоненты можно записать следующим образом:

( )

(

)

r r r r r σ P1 < σ1 > L •nL = σ0 P + Dnn P1 • nL . r r r r r r < σ1 > L •k 'L = σ0 Dk 'k P1 • k L + Dk ' s P1 • sL . r r r r r r < σ1 > L •s 'L = σ0 Ds 'k P1 • k L + Ds ' s P1 • sL .

( ) ( ) ( )

( (

) )

(65)

r σ P1 (66) r σ P1 (67) r Здесь σ P1 представляет дифференциальное сечение рассеяния часr тиц с поляризацией P1 с произвольной ориентацией в пространстве на неполяризованной мишени, причем

( )

(

)

r r r σ P1 = σ0 1 + PP1 ⋅ n . 124

(68)

Если мы будем выбирать определенные компоненты начальной и конечной поляризаций, то придем к известным параметрам Вольфенштейна, а именно: r r r r Dnn = D = (nL )i Dik (nL )k , Ds 's = R = (s 'L )R i Dik (sL ) ; (69)

( ) ( )

( )R i Dik (srL )k ; ( )

r r r Ds 'k = A = (s 'L )R i Dik k L k , Dk 's = R ' = k 'L r r Dk 'k = A' = k 'L R i Dik k L k .

(70) (71)

В параметрах вращения спина (A, R, A′, R′) конечные единичные векторы входят с индексом R, что означает необходимость учета релятивистского вращения спина в плоскости реакции. Отсылая читателей, интересующихся техническими деталями получения следующих формул, к статье [Биленький (1965)], дадим выражения физически наблюдаемых величин через амплитуды рассеяния в релятивистском подходе:

(

2

2

2

2

2

)

σ0 = 2 a + v + c + g + h ;

) ( = 2( a − v + c + g − h ); = 2( a − v + c − g + h ) ; 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

σ0Dnn = 2 a + v + c − g − h ; σ0Knn σ0Cnn

(72) (73) (74) (75)

σ0 P = 4 Re cu∗ ;

(76)

σ0 D+ = 4 Re uv∗ ;

(77)

σ0 D− = 4 Re gh∗ ;

(78)

∗

σ0 Dlm = 4 Re cv ; ∗

(79)

σ0 K + = 4 Re ug ;

(80)

σ0 K − = 4 Re vh∗ ;

(81)

σ0 Klm = 4 Re cg ∗ ;

(82)

∗

σ0C+ = 4 Re vg . ∗

σ0C− = 4 Re uh ; σ0Clm = −4 Re ch∗ .

(83) (84)

(85) 14 экспериментальных наблюдаемых величин, перечисленных выше, используются для восстановления пяти амплитуд и их фаз. При этом одна 125

общая фаза остается неопределенной. В принципе есть способы также и ее восстановления. Пока эту задачу здесь обсуждать не будем. Приведем один из вариантов восстановления амплитуд, отсылая за деталями к статье [Биленький (1966)]:

1 2 g = σ0 (1 + K nn − Dnn − Cnn ) ; 8 1 2 h = σ0 (1 − K nn − Dnn + Cnn ) ; 8 1 2 v = σ0 (1 − K nn + Dnn − Cnn ) ; 8 1 2 2 u + c = σ0 (1 + K nn + Dnn + Cnn ) . 8

(86) (87) (88) (89)

Чтобы продвинуться дальше, надо фиксировать фазу одной из амплитуд. Это может быть любая из пяти амплитуд. В данном конкретном случае зафиксируем амплитуду c как действительную и положительную. Это значит, что матрица рассеяния будет определена с точностью до фазы c. Если примем это условие, то найдем

1 1 σ0 P, Im h = σ0Clm , 4c 4c 1 1 Im v = − σ0 Dlm , Im g = − σ0 Klm . 4c 4c Re u =

(90) (91)

Для дальнейших вычислений запишем тождество для любых двух комплексных величин:

(

)

2

x y − Rexy∗ = x (Imy)2 + y (Imx)2 − 2 Rexy∗ Imx Im y . Выбирая x = g, y = h, найдем с помощью (90) и (91) 2

2

2

2

2

с2 =

2

g M 2 − h N 2 − 2 Re gh ∗ MN

2

(92)

2

(

2

g h − Re gh ∗

)

2

.

(93)

2

Здесь величины g , h и Re gh∗ были определены выше и

M=

1 σ 0 C lm , 4

1 N = − σ 0 K lm . 4

Теперь осталось определить знаки следующих величин: Im u , Re h, Re v, Re g . Одно соотношение можно записать сразу: 126

(94) (95)

1 σ0 D− (96) 4 С помощью (77) можно определить знаки Im u и Re v . Любое неиспользованное уравнение из указанного выше набора (72) – (85) может быть использовано для устранения оставшейся неоднозначности. Таким образом, завершена задача релятивистского восстановления матрицы нуклон-нуклонного рассеяния в общем виде. Из-за ограниченности объема книги были опущены такие интересные проблемы, как восстановление амплитуд путем измерения поляризационных параметров частицы отдачи или совместный анализ pp- и np-рассеяний на базе изотопической инвариантности. Re gh∗ = Re g Re h + Im g Im h =

Список литературы Биленький С.М., Лапидус Л.И., Рындин Р.М. ЖЭТФ 49 (1965) 1653. Биленький С.М., Лапидус Л.И., Рындин Р.М. ЖЭТФ 51 (1966) 891. Винтернитц П., Легар Ф., Яноут Э. Препринт ОИЯИ Р-2407, Дубна (1965). Головин Б.М., Джелепов В.П., Надеждин В.С., Сатаров В.И. ЖЭТФ 36 (1959) 433. Казаринов Ю.М. Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н., Дубна (1956). Кумекин Ю.П. и др. ЖЭТФ 46 (1954) 51. Нурушев С.Б. ЖЭТФ 37, вып. 1 (7) (1959) 301. Пузиков Л.Д., Рындин Р.М, Смородинский Я.А. ЖЭТФ 32 (1957) 592. Смородинский Я.А. Труды IX Международной конференции по физике высоких энергий. Киев, 1959 г., издательство ВИНИТИ (1960). Azhgirey L.S. et al. Phys. Lett. 6 № 2 (1963) 196. Bilenky S.M. and Ryndin R.M. Phys. Lett. 6 (1963) 217. Dalitz R.H. Proc. Phys. Soc. A65 (1952) 175. Philips R.T.N. Nucl. Phys. 43 (1963) 413. Schumacher C.R., Bethe H.A. Phys. Rev. 191 (1961) 1534. Wolfenstein L., Ashkin J. Phys. Rev. 85 (1952 ) 947.

§20. Парциально-волновой анализ Результаты поляризационных экспериментов по упругому рассеянию нуклонов в области низких энергий (0,1 – 10 ГэВ) рассматривались методом парциально-волнового анализа [Hoshizaki (1968), Matsuda (1993)]. В этом методе амплитуда рассеяния раскладывается по собственным функциям полного набора сохраняющихся величин, и коэффициентами разложения являются элементы матрицы рассеяния S. 127

Эти элементы выражаются через сдвиги фаз, которые несут полную информацию о процессе взаимодействия. Применение такого метода оправдывается рядом обстоятельств. Во-первых, количество фаз напрямую зависит от максимальной величины орбитального момента Lmax, принимающего участие во взаимодействии. В свою очередь, Lmax , как известно из нерелятивистской квантовой механики, связан с параметром соударе1⎞ ⎛ ния b соотношением ⎜ Lmax + ⎟h ≈ bpi , где pi является импульсом па2⎠ ⎝ дающей частицы в с.ц.м. Как видно из этого соотношения, с ростом энергии растет и Lmax , делая невозможным проведение фазового анализа, когда количество свободных параметров становится равным или больше количества экспериментальных точек. Ситуация еще больше усугубляется при энергиях выше порога мезонообразования, когда фазы становятся комплексными. Это и есть основная причина того, что фазовый анализ не применяется при высоких энергиях. Тем не менее при низких энергиях в 1950 – 1960 гг. метод фазового анализа применялся широко и этому есть обоснования. Во-первых, при низких энергиях количество фаз и, соответственно, число свободных параметров невелико. Например, приняв параметр соударения равным h b = 1,5 , можно оценить, что Lmax = 1 при Т (кинетическая энергия) = mπc 50 МэВ и Lmax = 3 при Т = 300 МэВ. Следовательно, фазовый анализ можно провести легко. Вторая и веская причина, почему такой анализ надо проводить, состоит в том, что фазы, благодаря их зависимости от параметра соударения, позволяют как бы сканировать внутренную структуру нуклона. Ясно, что если частицы проходят друг от друга на большом расстоянии, то они взаимодействуют слабо и фазы будут малы. Напротив, если происходит лобовое столкновение (L = 0), то фазы должны быть большими. Разумеется, могут быть отклонения от этой картины, например, при наличии сил отталкивания или при образовании резонансов. Польза в проведении фазового анализа при небольших энергиях состоит, в-третьих, в том, что имея небольшое количество фаз, можно рассчитать при данной энергии угловую зависимость любой наблюдаемой величины (как бы предсказать ее поведение) и затем можно сопоставить расчет с экспериментом. И в-четвертых, любая теоретическая модель должна тестироваться данными фазового анализа, если, разумеется, фазовый анализ однозначен. Перейдем теперь к нахождению элементов матрицы рассеяния через фазы. 128

Учитывая унитарность S-матрицы, ее можно переписать с помощью оператора фазы δ следующим образом:

S = e iδ .

(1) Матрица нуклон-нуклонного взаимодействия должна сохранять полный угловой момент J, суммарный спиновый момент S и четность П = = (-1)l. Требование антисимметрии при перестановке двух нуклонов приводит к соотношению

(− 1)S +1+T +1 П = (− 1)S +T + L

= −1 .

(2)

Здесь Т – изотопический спин системы двух нуклонов. Соотношение (2) должно применяться раздельно для системы двух нуклонов в начальном и конечном состояниях. Учитывая это соотношение, элементы Sматрицы можно характеризовать только тремя квантовыми числами: полным угловым моментом J, полным спином системы двух нуклонов S и орбитальным моментом L, так как из вышеприведенного соотношения Т определяется однозначно, т.е. Т можно опустить из спецификации элементов S-матрицы. Перейдем к матрице M, определенной выражением

(

Здесь θi ϕi

)

r r 2π M p f , pi = θ f ϕ f S − 1 θi ϕi . (3) ik и θ f ϕ f представляют волновые функции начальной и

конечной системы двух нуклонов; θn , ϕn , где n = i, f – направляющие

r r

углы импульсов pi , p f . Запишем элементы этой матрицы в спиновом пространстве:

(

)

r r 2π Sms M p f , pi S ' m's = θ f ϕ f , Sms e2iδ − 1 S ' m's , θiϕi . ik

(4)

Это выражение можно переписать через сферические функции углов, используя свойства полноты и ортогональности волновых функции 2iδ 2π θ f ϕ f LmL LmLSmS LSJmJ LSJmJ e −1 L' S' J ' m'J ∑ ik L' S' J ' m'J L' m'L S' m'S L' m'L θiϕi .

В этом выражении

θϕ LmL = Y mL L (θ, ϕ) .

(5)

(6)

Входящие в выражение (5) коэффициенты Клебша-Гордона в дальнейшем будут обозначаться как C LS (JmJ mL mS ) = LmL SmS LSJmJ . (7) 129

Обычно ось квантования берется в направлении падающей частицы, и тогда углы θi и ϕi равны нулю. В этом случае углы θ f и ϕ f представляют угол рассеяния конечной частицы. С этими упрощениями, а также с учетом того, что сохраняющимися квантовыми числами являются S, J, mJ, выражение (5) можно переписать следующим образом: L+ S L+ S r r 4π 2L'+1 m's −ms (θ, ϕ) Sms M p f , pi S ' m's = δSS' ∑ ∑ YL ∑ ik L J =| L− S | L'=| J −S | 4π

(

)

CLS (J , m′s , m′s − ms , ms )CLS (J , m′s ,0, ms ) LSJm′s e2iδ − 1 L' SJm's . (8) При суммировании надо учитывать условие антисимметрии (2), а также независимость элементов матрицы рассеяния от проекции полного углового момента m J в силу изотропии пространства. Для отличных от нуля элементов матрицы S–1 введем обозначения:

RL = L0 LmJ e 2iδ − 1 L0 LmJ ; RLJ = L1JmJ e 2iδ − 1 L1JmJ ;

(9)

− R J ± = − R J = J ± 1,1, J , mJ e 2iδ − 1 J m 1,1, J , mJ . Инвариантность относительно обращения времени приводит к упрощению R J + = R J − = R J . Для дальнейшего упрощения записи введем обозначения для триплетных и синглетных элементов в следующем виде: M ms m ' s = 1ms M 1m's , M ss = 00 M 00 . (10) В результате отличные от нуля матричные элементы для синглетных и триплетных состояний можно записать в следующем виде: 2π 2L + 1 (11) M ss = RLYL0 (θ, ϕ) – ∑ ik 4π для синглетных переходов и M ms m' s = −

1

∑

J = L ±1

2π ⎡ L +1 2 L + 1 C L1 (J , m' s , m' s − ms , ms )C L1 (Jm' s 0ms )RLJ − ∑⎢ ∑ 4π ik L ⎣⎢ J = L −1 ⎤ m' − m 2 L'+1 C L1 (J , m' s , m's −ms , ms ) C L1 (Jm's 0ms )R J ⎥YL s s (θ, ϕ) − 4π ⎦⎥

(12)

для триплетных переходов. Здесь, во втором члене, L′ = 2J - L. Если прикладывать эти формулы к упругому pp-рассеянию, то надо учесть два фактора. Первый фактор связан с тождественностью двух протонов. В этом случае аппаратура не 130

сможет определить, какой протон, от пучка или от мишени, она регистрирует. В результате счет оказывается в два раза больше, чем следовало из вышеприведенного рассмотрения. Этот факт учитывается тем, что измеренные сечения уменьшаются в два раза для сопоставления с теоретическим сечением. Второй фактор связан с условием антисимметрии (принцип Паули) и приводит к тому, что четные орбитальные моменты входят только в парциальные амплитуды с изотопическим спином, равным Т = 0, а нечетные – в амплитуды с Т = 1. Поскольку орбитальный момент не сохраняется, то для выбранного полного момента J в триплетном состоянии имеются два состояния, отличающихся значениями орбитального момента. В качестве примера упомянем следующие состояния ppсистемы; 3 P2 −3 F2 , 3 F4 −3 H 4 , и т.д. Для каждой пары таких состояний, кроме прямых переходов 3 P2 →3 P2 , 3 F2 →3 F2 , имеют место и смешанные переходы 3 P2 ↔3 F2 , 3 F4 ↔3 H 4 . Соответственно, кроме фаз, описывающих прямые переходы, нужны еще дополнительные параметры для описания смешанных переходов. Такие параметры называются параметрами смешивания, и общепринято обозначать их ε J . Для описания смешанных переходов, при отсутствии неупругих каналов, вводится двухмерная симметричная унитарная субматрица вида

SJ − 1 =

RJ −1, J

− RJ

− RJ

RJ +1, J

.

(13)

Нет однозначного способа параметризации этой матрицы через фазы. Один из способов был предложен Блатом и Биденхарном [Blatt (1952), Блатт (1954)] и состоит в диагонализации матрицы с помощью унитарного преобразования

S J = GS ′J G −1 ,

(14)

где

S 'J =

e

2iδ J −1, j

0

0

e

2iδ J +1, j

,

G=

cos ε J

− sin ε J

sin ε J

cos ε J

.

(15)

Этот набор фазовых сдвигов называется собственным фазовым сдвигом, и он хорош в том случае, когда можно пренебречь вкладом кулоновского взаимодействия.

131

Другой вариант параметризации был предложен в работе [Stapp (1957)] и имеет вид

~ ~~ S J = S J ' GS J ' ,

(16)

где введены обозначения i δ J −1, j ~ ~ cos 2ε J i sin 2ε J 0 , G S 'J = e . (17) = i δ J +1, j i sin 2 ε J cos 2 ε J e 0 Эта параметризация оказывается несколько преимущественной по сравнению с параметризацией (15) по той причине, что для малых орбитальных моментов (где ядерное взаимодействие превалирует над кулоновским) она позволяет в чистом виде (без примеси кулоновского вклада) оценить параметры смешивания. Дополнительная выгода от такой параметризации заключается в том, что она позволяет разделить более четко ядерные и кулоновские вклады. По этой причине в фазовом анализе эта параметризация используется чаще. Связь между представлениями (14) и (16) можно найти, приравняв их друг другу, поскольку они являются элементами одной и той же матрицы. Эта связь выражается следующим образом: δ J −1, J + δ J +1, J = δ J −1, J + δ J +1, J

(

)

sin δ J −1, J − δ J +1, J = sin 2ε J / sin 2ε J

(

)

(18)

sin δ J −1, J − δ J +1, J = tan 2ε J / tan 2ε J .

В табл. 1 представлены элементы матрицы M через парциальные волны h. Эти же матричные элементы можно использовать и в случае упругого рассеяния нейтронов на протонах с учетом трех изменений: а) пренебречь кулоновскими амплитудами; б) везде, где встречаются суммы по четным (even) или нечетным (odd) L, распространить суммы по всем L (четным и нечетным); в) умножить полученные суммы на коэффициент 1,2. Парциально-волновые ядерные амплитуды h выражаются через фазы рассения следующими формулами: Для синглетных состояний N

2ikhl = (e 2iδl − 1)e 2iΦ l .

(19)

Для триплетных состояний

2ikhlj = (e

2i δlj N

132

− 1)e 2iΦ l .

(20)

Таблица 1 Cинглет–триплетные матричные элементы упругого pp-рассеяния в функции парциальных амплитуд h. Вклады кулоновского взаимодействия представлены в явном виде с учетом тождественности протонов 1 2

M ss = f c , s + 2 M 11 = f c , a +

∑ (2l + 1)hl Pl

чётн l

∑ [(l + 2)hl ,l +1 + (2l + 1)hl ,l + (l − 1)hl ,l −1 −

нечётн l

− (l + 1)(l + 2) h l +1 − (l − 1)l h l −1 ]Pl 3

M 00 = f c , a + 2

∑ [(l + 1)hl ,l +1 + lhl ,l −1 + (l − 1)hl ,l −1 +

нечётн l

+ (l + 1)(l + 2) h l +1 + (l − 1)l h l −1 ]Pl 4

M 01 = 2 +

5

∑

нечётн l

[−

l+2 l −1 2l + 1 hl ,l +1 + hl , l + hl ,l −1 + l +1 l (l + 1) l

l + 2 l +1 l − 1 l −1 1 h − h ]P l l +1 l

M 10 = 2

∑

нечётн l

[hl ,l +1 − hl ,l −1 +

l + 2 l +1 l − 1 l −1 1 h − h ]P l l +1 l

6

1 2l + 1 1 hl ,l +1 − hl ,l + hl ,l −1 − l + l l + l 1 ( 1 ) нечётн l 1 1 − h l +1 − h l −1 ]P 2 l (l + 1)(l + 2) (l − 1)l

7

M 11 − M 00 − M 1−1 − 2 ctgθ( M 10 + M 01 ) = 0 f c , s = f c (θ) + f c (π − θ), f c , a = f c (θ) − f c (π − θ),

8

M 1−1 =

∑

[

где f c – кулоновская амплитуда 1

2

Pl , Pl , Pl – присоединенные полиномы Лежандра нулевого, первого и второго порядков Для смешанных синглет-триплетных состояний

2ikh j ±1, j = (cos 2ε Nj e 133

2i δ N j ±1, j

− 1)e 2iΦ l

(21)

2kh j = sin 2ε Nj e

N i(δ N j −1, j + δ j +1, j )

.

(22)

ε Nj представляет параметр смешивания для полного момента j; индекс N означает, что данный параметр относится только к чисто ядерному рассеянию. Кулоновские амплитуды определяются следующим образом:

f c (θ) =

−n e −in log[(1− cos θ) / 2] , k (1 − cos θ)

(23)

e2 и v обозначает относительную скорость в с.ц.м. Применяемые hv в парциально-волновом анализе симметризованные и антисимметризованные кулоновские амплитуды приведены в табл. 1. Рассмотрим теперь, каким образом в фазовом анализе можно произвести разделение кулоновского и ядерного вкладов. Поскольку кулоновские силы являются дальнодействующими, а ядерные – короткодействующими, т.е. они слабо перекрываются, то обычно принимается, что фазы чисто

где n =

ядерные δ N , и кулоновские φ складываются. Тогда можно записать N δLN = δL − φ L , δJL = δJL − φ L , ε JN = ε J .

(24)

Эти фазы, обозначенные надчеркнутыми символами с индексами N, называются чисто ядерными фазами. Кулоновские фазы вычисляются через формулы [Stapp (1957)]:

φ L ≡ ηL − η0 =

L

⎛n⎞ ⎝ ⎠

∑ arctg⎜ x ⎟ .

x =1

(25)

e2 , а v – относительная скорость. Введем матрицу кулоhv новского рассеяния по формуле Rc = Sc − 1 . Тогда общая матрица реакЗдесь n =

ции запишется в виде

R = S − 1 = ε + Rc , α = S − Rc ,

(26)

где ε – параметр смешивания для фиксированного индекса j. Матрицу α , соответствующую чисто ядерному рассеянию, можно разложить по парциальным волнам, в то время как Rc рассчитывается точно. А именно:

f Rc i =

ik n ⎛ 1 − cos θ ⎞ fc (θ), fc (θ) = − exp[−in log⎜ ⎟] . (27) 2π k (1 − cos θ) ⎝ 2 ⎠ 134

Вычисление парциально-волновых амплитуд h производится с использованием формул (9), (16) и (24), а также связи α = 2ikh . Эти выражения выглядят следующим образом: для синглетного состояния

hL =

[ (

) ]

1 exp 2iδ N L − 1 exp(2iφ L ) , 2ik

для триплетного состояния

[ ( [ [

) ] ( (

(28)

1 exp 2i δ N LJ − 1 exp(2iφ L ), 2ik 1 hJ ±1, J = cos 2ε N J exp 2i δ N J ±1, J − 1 exp(2iφ J ±1 ), (29) 2ik 1 hJ = sin 2ε N J exp i δ N J −1, J + i δ N J +1, J . 2ik Эти выражения позволяют определить элементы матрицы M через фаhLJ =

) ]

)]

зовые сдвиги, следовательно, и экспериментальные наблюдаемые определяются через фазы. Значит, можно производить и фазовый анализ. В табл. 2 приведены выражения для измеряемых величин через амплитуды a, b, c, e, f, связаные линейными соотношениями с матричными элементами, приведенными в табл. 1. Следовательно, экспериментальные данные могут быть использованы в зависимости от обстоятельств либо для проведения фазового анализа, либо для прямого восстановления амплитуд.

135

Таблица 2 Выражения экспериментально измеряемых величин через амплитуды матрицы упругого рр-рассеяния в нерелятивистском случае 1

σ0 =| a |2 + | b |2 +2 | c |2 + | e |2 + | f |2

2

σ0 Dnn =| a |2 + | b |2 +2 | c |2 − | e |2 − | f |2

3

σ0 Dll =| a |2 − | b |2 − | e |2 + | f |2

4

σ 0 Dmm =| a | 2 − | b | 2 + | e | 2 − | f | 2

5

σ0 Dml = 2 Im c∗ (a − b)

6

σ0 P0 = 2 Re c∗ (a + b)

7

σ0Cml = 2 Im c∗ (e − f )

8

σ0 K ml = 2 Im c∗ (e + f )

9

σ0Cnn \ 2 = Re ab∗ + | c |2 − Re ef ∗

10

σ0 K nn \ 2 = Re ab∗ + | c |2 + Re ef ∗

11

σ0Cll \ 2 = Re af ∗ − Re be∗

12

σ0 Kll \ 2 = Re af ∗ + Re be∗

13

σ0Cmm \ 2 = Re ae∗ − Re bf ∗

14

σ0 K mm \ 2 = Re ae∗ + Re bf ∗ Список литературы

Блатт Дж., Вайскопф В. Теоретическая ядерная физика. М: Изд-во иностр. лит., (1954). Blatt J.M., Biedenharn L.C. Rev. Mod. Phys. 24, (1952) 258. (Есть перевод: Блат Дж., Биденхарн Л. Сборник “Проблемы современной физики”. Вып. 6, 1955, стр.7.) Stapp H.P. et al. Phys. Rev. 105 (1957) 302 Hoshizaki N. Suppl. Prog. Theor. Phys. 42 (1968) 107. Matsuda M. In: Proc.Vth Workshop on High Energy Spin Physics, Protvino, Russia (1993) 224.

136

§21. Релятивистская матрица пион-нуклонного рассеяния В предыдущих параграфах мы рассматривали пион-нуклонное рассеяние в нерелятивистском случае, когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя. Это было к месту в начале 50-х гг., когда действовали синхроциклотроны, ускорявшие протоны до энергии 200 – 300 МэВ. Однако уже к середине 50-х гг. кинетическая энергия ускоренных протонов достигла энергии покоя, а затем намного превзошла ее. Физики-теоретики предвидели эту ситуацию и развили ковариантную формулировку матрицы плотности и матрицы рассеяния, которая позволила рассматривать процессы при релятивистских энергиях. Забегая вперед, скажем, что основные результаты такого рассмотрения подтвердили пригодность применения нерелятивистского подхода в с.ц.м., и релятивистские поправки свелись к дополнительному введению угла поворота. При этом такие поправки относились к тем наблюдаемым, которые имели компоненты поляризации в плоскости рассеяния (параметры A, R) и оставляли без изменения параметры, которые имели только нормальные к плоскости рассеяния компоненты поляризации (параметры P, DNN, CNN). Ниже мы применим релятивистское описание реакции

a(0) + b(1 / 2) = a (0) + b(1 / 2) , (1) (в скобках указаны спины частиц), предложенное в работе [Stapp (1956)]. Так как частица b является дираковской частицей со спином 1/2, то она описывается четырехкомпонентной волновой функцией ψ. Причем для свободной падающей (или начальной) частицы (имеющей положительную энергию) волновую функцию можно записать в виде 2

ψ = exp(if ⋅ x)∑ AiU i ,

(2)

i =1

в то время как для античастицы (имеющей отрицательную энергию) волновая функция имеет форму 4

ψ = exp(−if ⋅ x) ∑ AiU i .

(3)

i =3

r

Здесь f ( f , f 0 ) представляет четырехимпульс частицы в базовой системе, где он измеряется (например, в лабораторной системе координат), причем f 0 >0; x – четырехмерные пространственные координаты. Каждый из спиноров U i имеет четыре компоненты U si , которые определяются соотношениями: U si ( f ) = (mif ⋅ γ si + m) /[2m( f 0 + m )] . (4) 137

Здесь и далее верхний знак (–) относится к индексам i = 1, 2 (положительная энергия), а нижний знак (+) – к индексам i =3, 4 (отрицательная r энергия). Нижние индексы у четырехвектора γ (−iβ α, β) обозначают его матричные элементы; m – масса дираковской частицы. Спиноры нормированы в ковариантной форме следующим образом:

U + i ( f )U j ( f ) = U ∗i ( f )βU j ( f ) = ±δij .

(5)

+

Верхний знак ( ) у спинора означает комплексное сопряжение и транспонирование (перевод столбца матрицы в строку или обратно); знак (+) подразумевает эрмитово сопряжение U + = U ∗β . Можно убедиться с помощью (4), что спиноры U i удовлетворяют уравнению Дирака

(±if ⋅ γ + m)U i ( f ) = 0 . В дальнейщем для сокращения записей введем γ (ν ) = ( γ ⋅ ν ) / (v ⋅ v ) .

(6) (7)

Член в знаменателе справа может быть либо положительным действительным числом, либо положительным мнимым числом. С вводом такого символа запись уравнения Дирака упрощается: γ ( f )U i = ±U i . (8) Мы ранее ввели волновую функцию для начального состояния пионнуклонной системы (см. (2) и (3)). Введем теперь волновую функцию Φ конечного состояния для той же системы. Тогда связь между двумя функциями определяется матрицей реакции S ( f ' , t , f ) : Φ( f ' ) = S ( f ' , t , f )Ψ ( f ) . (9) Теория “дырок” требует, чтобы частица Дирака, описываемая плоской волной с импульсом f в момент времени Т = - ∞ и плоской волной с импульсом f′ в момент времени Т = + ∞ , имела один и тот же знак энергии. Это значит, что запрещается переход частицы в античастицу и обратно. Это не значит, что матрица рассеяния не может описывать рождение частиц. Но в данном конкретном случае мы интересуемся упругими процессами и поэтому налагается такой запрет. Этот запрет математически записывается в форме S ( f ', t, f ) = γ( f ' )S ( f ', t , f )γ( f ) . (10) Введем новый символ

γ (u , w) = γ (u / | u ⋅ u | + w / | w ⋅ w | ) = [ γ (u ) + γ ( w)] .

(11)

С учетом соотношений

γ (u ) γ (u ) = 1 = γ ( w) γ ( w)

находим 138

(12)

γ (u ) γ (u , w) = γ (u , w) γ ( w) . Введем новую матрицу рассеяния S q (k ' , t , k ) соотношением S ( f ' , t , f ) = γ ( f ' , t ) Sq (k ' , t , k ) γ (t , f ) .

(13) (14)

Sq (k ' , t , k ) представляет матрицу рассеяния в с.ц.м. с относительныr r ми импульсами k и k ' до и после рассеяния, t – полная энергия в с.ц.м. Теперь, подставляя (14) в (10), получим условие запрета на переход частица-античастица в форме Sq (k ' , t , k ) = γ (t )Sq (k ' , t , k )γ (t ) . (15) Чтобы понять глубже смысл этой матрицы, подставим соотношение (15) в (14) и получим S ( f ' , t , f ) = ( γ ( f ' , t ) γ (t )) Sq (k ' , t , k )( γ (t ) γ (t , f )) . (16) Преобразование ( γ (t ) γ (t , f )) связывает систему покоя начальной частицы (Ri-система) с с.ц.м. (С-система для краткости). Также преобразование ( γ ( f ' , t ) γ (t )) связывает систему Rf′ c C-системой. Чтобы убедиться в этом, запишем лоренц-преобразование

(

)

r ⎤ ⎡ 1 r r L( f ) = exp ⎢− θ α • f / | f |⎥ . ⎣ 2 ⎦

(17)

Преобразуем это выражение следующим образом:

L( f ) = β(−iγ ⋅ f + mβ) /[2m( f 0 + m )] . (18) В С-системе t(0,t0) и γ (t ) = β и можно показать, что имеют место ра-

венства

γ (t1 ) γ (t1, f1 ) = L( f1 ) , γ ( f '1 , t1 ) γ (t1 ) = L−1 ( f '1 ) . (19) Нижний индекс 1 означает, что величины берутся в С-системе. Таким образом, матрица рассеяния может быть записана следующим образом:

S ( f '1 , t1, f1 ) = L−1 ( f '1 ) Sq (k '1 , t1, k1 ) L( f1 ).

(20)

Теперь можно истолковать это выражение следующим образом. Sматрица в С-системе представляется произведением двух лоренцпреобразований и матрицы рассеяния Sq. L(f1) преобразует спинор начальной частицы из С-системы в R f1 -систему, т.е. в систему покоя начальной частицы, где спин физически определяется. Затем унитарный оператор Sq описывает влияние рассеяния на этот спинор. Наконец, второе лоренц-преобразование переводит спинор конечной частицы в Ссистему. 139

Так как S-матрица, определенная соотношением (9), имеет ковариантную форму, так же как и γ-матрицы, новая матрица S q (k ' , t , k ) должна быть тоже ковариантной. Она является матрицей 4 × 4 и может быть разложена по 16 матрицам Дирака, образующим полную систему:

1 Sq (k ′, t , k ) = A + Bµ γ µ + Cµνσµν + Dµ (iγ 5 γ µ ) + Eγ 5 . 2

(21)

Как и должно быть в общем случае, мы имеем 16 коэффициентов, яв-

r

r

ляющихся функциями относительных импульсов k и k ' , а также полной энергии в с.ц.м. t. Это скалярный параметр A, псевдоскалярный E, векторный B – 4 компоненты, псевдовектор D – 4 компоненты и антисимметричный тензор – 6 компонент. Всего 16 параметров. Если теперь мы наложим условие (15), означающее сохранение знака полной энергии до и после реакции (частица не может превратиться в античастицу и обратно), то возникают следующие ограничения на коэффициенты:

Bµ = −iN B ( Btµ ),

(

) [

⎧⎪ m2 − µ2 Cµν = N C C ⎨kµ k 'ν −kν k 'µ × tµ (k 'ν −kν ) − tν k 'µ −kµ | t ⋅t | ⎪⎩ Dµ = N D D (−i ) kλ k 'ρ tσεµλρσ ≡ Dnµ , E = 0.

(

)]⎫⎪⎬ ⎪⎭

(22)

Здесь εµλρσ представляет антисимметричный тензор; n – четырехмерный единичный псевдовектор, является обобщением нерелятивистского r трехмерного псевдовектора n , перпендикулярного к плоскости рассеяния. Этот релятивистский псевдовектор n имеет следующие свойства: (k ⋅ n ) = (k '⋅n ) = (t ⋅ n ) = (1 − n ⋅ n ) = 0 . (23) Коэффициенты B, C, D, так же как и A, являются скалярными функциями энергии и угла рассеяния; µ – масса пиона. Нормировочные коэффициенты N B , N C и N D выбираются таким образом, чтобы выполнялись равенства

Bµ Bµ = B 2 , CµC µ = 2C 2 , Dµ Dµ = D 2 .

(24)

В с.ц.м. выражение (22) сильно упрощается:

Bµγµ = Bβ,

( )

r r r r 1 Cηνσµν =C σ• N , Dµi γ5γµ = Dβ (σ• N), E = 0. 2

140

(25)

(r r r )

r

Здесь σ • N обозначает скалярное произведение трехвекторов σ и

r N , где N представляет нормаль к плоскости рассеяния в с.ц.м. Матрица Дирака σi (i = 1, 2, 3) размерностью 4 × 4 имеет форму σi =

σi

0

0

σi

.

(26)

Здесь в скобках стоят уже двухмерные матрицы Паули. Объединяя члены в (25) с учетом члена A (см. (21)), получаем выражение для матрицы рассеяния

(F S (k ' , t , k ) = q

+

(

r r + G+ σ • N 0

))

0 r r . F + G− σ • N

(

−

))

(

(27)

Были введены новые обозначения:

F ± = A ± B, G ± = D ± C.

(28) Таким образом, мы приходим к выводу, что и в релятивистском случае пион-нуклонное рассеяние описывается двумя комплексными амплитудами F и G, причем верхний индекс (+) относится к рассеянию частиц, а (–) – к рассеянию античастиц. Используя оператор проецирования

Λ± (t ) =

1 [1 ± γ(t )] , 2

(29)

путем небольших преобразований выражение для матрицы пионнуклонного рассеяния можно записать в ковариантной форме

[

]

Sq (k ' , t , k ) = ∑ ± Λ± (t ) F ± + G ±iγ 5 (γ ⋅ n ) .

(30)

Если вставить это соотношение в (21), то полученная S-матрица оказывается ковариантной, и состояния с положительной и отрицательной энергиями четко разделяются. Эта форма матрицы рассеяния используется часто при обсуждении проблемы спиновых взаимодействий. Ковариантная матрица плотности

Как уже говорилось при рассмотрении нерелятивистской теории рассеяния, при использовании частично поляризованного пучка удобно работать с матрицей плотности. То же самое утверждение справедливо и в релятивистской теории. Для состояния физической системы ψ α матрица плотности определяется соотношением ρ = ∑ ψ α Wα ψ α , (31) α

141

где Wα означает вероятность нахождения системы в данном состоянии, и, следовательно,

∑Wα = 1. α

Вероятность найти систему в области R определяется формулой w(R ) = Sp (ρΠ ) ,

(32)

где Π – проекционный оператор, выделяющий область R. Если область представляет элемент трехмерного импульсного пространства

r

( df = df1 df 2 df 3 ), то

( )

s r w df = dfTrρ s ( f ) . (33) Здесь Tr (от trace –след, Tr ≡ Sp) обозначает след матрицы ρ s ( f ) в

спиновом пространстве. Здесь

()

()

[ ()

( )]

r r r r ρ s f = ∑ | aα f |2 U α f Wα U α ∗ f . (34) r Амплитуда a α f связана с волновой функцией в импульсном про-

()

странстве соотношением

()

()

() ()

r r r ψ α f = aα f U α f .

(35)

r Здесь спинор U α f частицы, движущейся с импульсом f, можно выразить через спинор в R-системе частицы с помощью преобразования Лоренца

U α ( f ) = L−1 ( f )U α (0) , r r 2 r ⎡ r 2⎤ w(df ) = df a f (γ ) f = df ⎢∑Wα aα f ⎥ (γ ) f . (36) ⎣ ⎦ r df / (γ ) f является лоренцВ этом выражении отношение r инвариантным (это есть инвариант dp / dE ). Следовательно, величина r 2 aα f γ f должна быть инвариантной при лоренц-преобразованиях.

( ) ()

( )

()

( )

()

Заметим, что матрица плотности и элемент объема не являются инвариантными по отдельности. Если, однако, частица находится в определенном энергетическом состоянии, то можно провести следующее преобразование (опускаем знаки суммирования):

142

( ) ( ) 2 U α ( fr ) Wα U α∗ ( fr ) = r 2 r r r r = aα ( f ) U α ( f ) Wα U α∗ ( f ) U α ( f ) (± ) U α + ( f ) = r 2 r r = γ f aα ( f ) U α ( f ) (± Wα ) U α + ( f ) / (γ ) f ≡ ρ f / (γ ) f .

r r ρ s f = aα f

(37)

Множитель 1 / (γ ) , умноженный на элемент объема в импульсном f

r пространстве df , образует инвариант. Матрица ρ , определенная вышеприведенным соотношением, является ковариантной, и ее матричные элементы вычисляются с помощью выражения

ρij ( f ) = U i+ ( f ) ρ( f ) U j ( f ) .

(38)

Квадрат модуля амплитуды определяет вероятность нахождения сис-

r

темы в спиновом состоянии α и с импульсом f . Среднее значение оператора Oˆ в начальном состоянии с импульсом f определяется выражением

[

]

< Oˆ > f Sp ρ( f ) = Sp ρ( f )Oˆ .

(39)

Аналогично записывается среднее значение оператора в конечном состоянии с импульсом f′

[

]

< Oˆ > f ' Sp ρ( f ') = Sp ρ( f ')Oˆ .

(40)

Связь между двумя матрицами плотности осуществляется через матрицу рассеяния следующим образом:

ρ' ( f ') = S ( f ' , t , f )ρ( f )S + ( f ' , t , f ) .

(41)

Дифференциальное сечение определяется как I = Sp ρ' ( f ') / Spρ( f ) .

(42)

ˆ+

Можно ввести понятие унитарно сопряженного оператора A следующим образом: +

( AU )+ = U + A+ , где U представляет

спинор, причем

*

U = U β . Тогда применительно к S-матрице получается соотношение

S + = βS ∗β , где верхний знак (∗) у S означает комплексное сопряжение. Применение релятивистских формул (41) и (42) приводит в с.ц.м. к дифференциальному сечению, как и в нерелятивистском случае. Такой же вывод справедлив и в отношении поляризации. В случае параметров поворота спина в горизонтальной плоскости появляется только дополнительный кинематический фактор. 143

Список литературы Stapp H.P. Phys. Rev. 103 (1956) 425.

§22. Релятивистское нуклон-нуклонное рассеяние B предыдущем параграфе мы рассмотрели случай, когда как в начальном, так и в конечном состоянии имелось только по одной дираковской частице. Теперь рассмотрим случай, когда и в начале, и в конце реакции имеются две частицы со спином 1/2. Конкретно мы рассмотрим упругое рассеяние нуклона на нуклоне. Каждый из нуклонов имеет свой полный набор спиновых операторов, действующих в двух независимых спиновых пространствах. Приведем эти операторы [Бьеркен (1978 )]. В спиновом пространстве первой частицы:

1 (1) (1) (1) (1) (1) I (1) , γ µ(1) , σµν , iγ 5 γ µ , γ µ , γ 5 , 2

(1)

в спиновом пространстве второй частицы:

1 ( 2) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) I (2 ), γ µ( 2) , σµν , iγ 5 γ µ , γ µ , γ 5 . 2

(2)

Мы имеем 16 членов в соотношении (1) и столько же в соотношении (2). Матрица рассеяния будет составлена из прямого произведения этих членов, т.е. 16 × 16 = 256, как и в нерелятивистском случае. Соответственно, будет столько же амплитуд. Необходимо накладывать допустимые физические условия, чтобы сократить это число до минимально возможного. По аналогии со случаем пион-нуклонного рассеяния (см. предыдущий параграф), но с учетом наличия четырех нуклонов введем матрицу S q (k ' , t , k ) через соотношение [Stapp (1956)]:

S ( f ' , k ' , t , f , k ) = [ γ (1) ( f ' , t ) γ (1) (t )][ γ (2 ) (k ' , t ) γ (2 ) (t )]S q (k ' , t , k ) [ γ (2 ) (t ) γ (2 ) (k , t )][ γ (1) (t ) γ (1) ( f , t )]

(3)

Здесь k и k′ обозначают начальные и конечные относительные импульсы. Можно ввести условие теории “дырок” и получить

γ (1) (t ) Sq (k ' , t , k ) γ (1) (t ) = Sq (k ' , t , k ) γ (2 ) (t ) S (k ' , t , k ) γ (2 ) (t ) = S (k ' , t , k ) . q

q

(4)

Матрицу S q (k ' , t , k ) можно разложить по произведениям 16 спиновых матриц частицы 1 на 16 спиновых матриц частицы 2 (см. (2)). Основная 144

задача состоит в том, чтобы существенно сократить количество получившихся 256 членов. Для этого рассмотрим член, возникающий из произведения тензорных операторов:

1 (1) 1 ( 2) Cµνσρ ( σµν )( σσρ ) . 2 2

(5)

Из первого условия в равенстве (4) , примененного к этому члену, получается tµCµνσρ = −tµCνµσρ = 0 . (6) С учетом этого можно получить

1 (1) Cµνσρ ( σµν ) = γ (1) (t )iγ 5(1) γ λ(1)Cλ;σρ , (7) 2 2) где учтено равенство tλCλ;σρ = 0. Зависимость от σ(σρ может быть преобразована к виду

(

)

(

)

1 (1) 1 (2) Cµνσρ( σµν )( σσρ) = Cλσ γ(1) (t ) iγ5(1)γ(!λ) γ(2) (t ) iγ5(2)γ(σ2) . (8) 2 2 Здесь принято во внимание, что Cληtη = −tλCλη . Исключая подобным образом все члены, содержащие σµν , получаем

S q (k ' , t , k ) =10.

(9)

Запишем матрицу рассеяния следующим образом:

S q (k ' , t , k ) = F + F (1)γ (1) (t ) + F (2 )γ (2 ) (t ) + Gλ (1) (iγ (1) 5 γ (1)λ ) + + G (2 ) (iγ (2 ) γ (2 ) ) + C (1) γ (1) (t )(iγ (1) γ (1) ) + λ

λ

5

λ

λ

5

+ Cλ (2 )γ (2 ) (t )(iγ (2 ) 5 γ (2 ) λ ) + Gλρ (iγ (1) 5 γ (1)λ ) ⋅ (iγ (2 ) 5 γ (2 )ρ ) + + C γ (1) (t )(iγ (1) γ (1) ) γ (2 ) (t )(iγ (2 ) γ (2 ) ) + λρ

λ

5

(10)

ρ

5

+ F (3)γ (1) (t ) ⋅ γ (2 ) (t ) + Eλ (1)γ (2 ) (t )(iγ (1) 5 γ (1)λ ) + Eλ (2 )γ (1) (t )(iγ (2 ) 5 γ (2 )λ ) + + D (1)γ (2 ) (t )γ (1) (t )(iγ (1) γ (1) ) + D (2 )γ (1) (t )γ (2 ) (t )(iγ (2 ) γ (2 ) ) + λ

5

(1)

λ

λ

+ H λρ (iγ (1) 5 γ (1)λ ) γ (2 ) (t )(iγ (2 ) 5 γ (2 )ρ ) + + H (2 ) (iγ (2 ) γ (2 ) ) γ (1) (t )(iγ (1) γ (1) ). λρ

5

λ

5

5

λ

ρ

Все входящие в матрицу рассеяния параметры являются функциями импульсов k, k′ и t. Эти параметры ортогональны t по всем индексам. Например, tλ H λρ = tρ H λρ = 0. Аналогично и для остальных членов. 145

Нетрудно сгруппировать члены в соотношении (10). Например, первые два члена можно переписать следующим образом:

[

]

1 F + F (1)γ (1) (t ) = ∑ ± 1 ± γ (1) (t ) F ± , (10а) 2 () () где F + = F + F 1 , F − = F − F 1 . Аналогичным образом можно попарно группировать и остальные члены. В результате получаем

][

[

1 1 ± γ (1) (t ) × F ± + Gλ(1) ± (iγ 5(1) γ λ(1) ) + F (2 )± γ (2 ) (t ) + 2 ± + Gλ( 2) ± (iγ 5( 2) γ λ( 2) ) + Cλ( 2) ± γ (2 ) (t )(iγ 5( 2) γ λ( 2) ) + Gλρ (iγ 5(1) γ (λ1) )(iγ 5( 2) γ ρ( 2) ) + + H (1) ± (iγ (1) γ (1) ) γ (2 ) (t )(iγ ( 2) γ ( 2) ) + E (1) ± γ (2 ) (t )(iγ (1) γ (1) ) . (11)

Sq (k ' , t , k ) = ∑ ±

λρ

5

λ

5

][

ρ

λ

5

Группируя аналогичным образом члены по γ

[

][

]

λ

(2 ) (t ) , находим

] [

1 ⎫ ⎧1 S q (k ′, t , k ) = ∑ ± ± ⎨ 1 ± γ (1) (t ) 1 ± γ ( 2) (t ) ⎬ × F ± ± + 2 ⎭ ⎩2

]

±± + Gλ(1) ± ± (iγ 5(1) γ λ(1) ) + Gλ( 2) ± ± (iγ 5( 2) γ (λ2) ) + Gλρ (iγ 5(1) γ (λ1) )(iγ 5( 2) γ ρ( 2) ) .

(12)

Здесь использованы соотношения ортогональности Gλρ : ±± ±± tλGλ(1) ± ± = tλGλ( 2) ± ± = tλGλρ = Gλρ tρ = 0 .

(12а)

Поскольку матрица рассеяния должна быть скалярной функцией, то параметры Gλ(1) ± ± и Gλ( 2) ± ± должны быть псевдовекторами. Из имеющихся трех импульсов можно образовать единственный псевдовектор nλ ∝ k 'ρ kσtµερσµλ . (13) Следовательно, можно написать

Gλ(1) ± ± = G (1) nλ , и Gλ( 2) ± ± = G ( 2) nλ . Чтобы можно было преобразовать тензорные члены

(14) ±± Gλρ ,

введем в

дополнение к t и n два нормированных вектора s и d следующим образом:

{

[(

)]

}

sλ = N s kλ + kλ '−tλ tρ kρ + kρ ' (t ⋅ t )−1 , d λ = N d (kλ − kλ ') .

(15)

Четыре вектора t, n, s и d образуют набор ортонормированных векто±± ров, по которым можно разложить тензоры второго ранга Gλρ . Соотно-

шение (12а) накладывает ограничения на количество членов этого тензора. Дополнительные условия накладывают требования инвариантности 146

матрицы рассеяния относительно инверсии пространственных координат. В результате получается Gλρ ± ± = C ± ± nλ nρ + D ± ± sλ sρ + E ± ± d λρ +

(

)

(

(16)

)

+ G '± ± sλ dρ + d λ sρ + G ± ± sλ d ρ − d λ sρ .

Требование инвариантности матрицы относительно обращения времени требует обнуления двух последних членов, так как при такой операции вектор d не меняет знака, в то время как вектор s знак меняет. Окончательно релятивистская матрица упругого нуклон-нуклонного рассеяния запишется в виде

[

[

][

]

S q (k ' , t , k ) = ∑ ± ± Λ(1)± (t ) Λ(2 )± (t ) × × F ± ± + G (1)± ± (iγ 5(1) γ (1) ⋅ n) + G (2 )± ± (iγ 5( 2) γ (2 ) ⋅ n) +

[

]

+ (C nλ nρ + D sλ sρ + E d λ d ρ )(iγ γ )(iγ γ ±±

±±

±±

(1) (1) λ 5

( 2) ( 2) ρ 5

]

(17)

) .

Это и есть релятивистская формула нуклон-нуклонного рассеяния в системе центра масс. Из нее следуют несколько выводов. Первый состоит в том, что количество свободных параметров равно 6, как и в нерелятивистском случае. Во-вторых, для рассеяния антипротонов получаются такие же формулы, что и для протонов. В-третьих, переходя к нерелятивистскому случаю, отбирая состояния только с положительной энергией, мы точно придем к нерелятивистским формулам Вольфенштейна. Как увидим позже, возникают от релятивизма только кинематические поправки, которые относительно легко учитываются. В системе центра масс релятивистская матрица, даваемая формулой (17), сводится к нерелятивистской матрице Вольфенштейна-Ашкина (где I (1) , I ( 2) – единичные матрицы в пространстве частиц 1 и 2).

(

)

M = aI (1) I ( 2) + c σ(n1) + σ(n2) + mσ(n1) σ(n2) + +

g (σ(pˆ1) σ(pˆ2)

+ σ(ˆ1) σ(ˆ2) ) + h(σ(pˆ1) σ (pˆ2) k k

− σ(ˆ1) σ(ˆ2) ). k

(18)

k

Эта матрица отличается от использованной нами ранее следующим образом: a = a, c = c, b = m, l = g – h, f = g + h. Найденные обычным способом выражения измеряемых величин через элементы матрицы рассеяния (18) приведены ниже.

(

)

1 ∗ Re{ M 00 + 2 cо t θ M 10 (M 11 + M 1−1 − M ss ) 2 2 (M 11 + M 1−1 )M 10 ∗ − M ss M 01∗ cos θ l } cos(θ − θ L ) − sin θ I0R =

[

]

147

(

)

1 I 0 A = − Re{ M 00 + 2 cot θM10 (M11 + M1−1 + M ss )∗ 2 sin (θ − θ L ) − I 0 R' =

[

]

2 (M11 + M1−1 )M 01∗ − M ss M10∗ sin θl }. sin θ

(

)

1 Re{ M 00 + 2 cot θM10 (M11 + M1−1 + M ss )∗ 2

sin (θ − θ L ) +

[

]

2 (M11 + M1−1 )M10∗ − M ss M 01∗ sin θl }. sin θ

(

)

1 ∗ Re{ M 00 + 2 cot θM 10 (M 11 + M 1−1 + M ss ) 2 2 (M 11 + M 1−1 )M 01∗ − M ss M 10 ∗ cos θ l }. cos(θ − θ L ) + sin θ I 0 A' =

[

I 0 Rt =

]

(

)

1 Re{ M 00 + 2 cot θM10 (M11 + M1−1 − M ss )∗ 2

cos(θ'−θ L ') +

[

]

2 (M11 + M1−1 )M10∗ + M ss M 01∗ cos θl }. sin θ

(

)

1 I 0 At = − Re{ M 00 + 2 cot θM10 (M11 + M1−1 − M ss )∗ 2 sin (θ'−θ L ') − I 0 R't =

]

(

)

1 Re{ M 00 + 2 cot θM10 (M11 + M1−1 − M ss )∗ 2

sin (θ'−θ L ') − I 0 A't =

[

2 (M11 + M1−1 )M 01∗ − M ss M10∗ sin θl }. sin θ

[

]

2 (M11 + M1−1 )M10∗ + M ss M 01∗ sin θl }. sin θ

(

)

1 Re{ M 00 − 2 cot θM10 (M11 + M1−1 − M ss )∗ 2

cos(θ'−θ L ') −

[

]

2 (M11 + M1−1 )M 01∗ + M ss M10∗ cos θl }. sin θ

148

[

]

[

]

[

]

[

]

1 1 2 2 2 2 M 01 − M 10 cos(α − α') − M 11 + M 1−1 − M ss 2 sin θ 4 1 2 2 cos(α + α') − M 11 − M 1−1 − M 00 sin (α − α'). 4 cos θ 1 1 2 2 2 2 I 0 C kk = − M 01 − M 10 sin (α − α') + M 11 + M 1−1 − M ss 2 sin θ 4 1 2 2 cos(α + α') − M 11 − M 1−1 − M 00 cos(α − α'). 4 cos θ 1 1 2 2 2 2 I 0 C pp = − M 01 − M 10 sin (α − α') + M 11 + M 1−1 − M ss 4 2 sin θ 1 2 2 M 11 − M 1−1 − M 00 cos(α − α'). cos(α + α') − 4 cos θ Здесь θ, θl – углы рассеяния соответственно в с.ц.м. и в лабораторной системе; θ' , θ' L – соответствующие углы для частицы отдачи. I 0 C kp =

[

[

]

]

[

[

]

]

[

]

Релятивистским преобразованиям не подвергаются параметры, которые являются либо скаляром, либо имеют лишь компоненты, нормальные к плоскости реакции. Таковыми являются следующие величины: I – сечение, P – поляризация, D, Dt – тензоры деполяризации рассеянной частицы и частицы отдачи, корреляционные параметры Cnn и Ann. В рассмотренном выше формализме релятивистской матрицы реакции использовались представления волновых функций в пространстве угловых моментов и где ось квантования z была фиксированной. В 1959 г. Джакоб и Вик [Jakob (1959)] предложили проводить релятивистское описание реакции с помощью волновых функций, которые квантуются вдоль оси импульса падающей и рассеянной частиц в с.ц.м. При этом проекция спина на направление импульса частицы принимает два значения: +1/2 или –1/2, и эта проекция называется спиральностью. Обозначим спиральности через λ1, λ2 – для начальных и λ1 ' , λ 2 ' – для конечных нуклонов. Тогда матрица рассеяния может быть записана в виде λ1 ' λ 2 ' M λ1λ 2 . (19) Эти матричные элементы называются спиральными амплитудами. Пусть рассеянная частица движется вдоль оси z′, наклоненной к оси z под углом θ (угол рассеяния). По аналогии с моделью вращающегося волчка матричный элемент (19) может быть разложен по приведенным волновым функциям симметричного волчка dµJµ′ : 149

λ1' λ2 ' M λ1λ2 =

1 (2J +1)( λ1' λ2 ' S(J , E) −1 λ1λ2 )dµJµ′ (θ) , (20) ∑ 2ik J µ = λ1 − λ 2 , µ′ = λ1 '−λ 2 ' . (21)

где Мы ранее показали, что в общем случае из требований инвариантности матрицы рассеяния относительно вращения и отражения пространства, обращения времени и изотопической инвариантности отличными от нуля оказываются пять матричных элементов. Эти же требования в приложении к матрице рассеяния в спиральном представлении накладывают следующие условия: сохранение четности λ1 ' λ 2 ' M λ1λ 2 = − λ1 '−λ 2 ' M − λ1 − λ 2 , (22) обращение времени

λ1 ' λ 2 ' M λ1λ 2 = (− 1)λ1 − λ 2 − λ '1 + λ '2 λ1λ 2 M λ1 ' λ 2 ' ,

(23)

сохранение полного спина

λ 1 ' λ 2 ' M λ 1λ 2 = λ 2 ' λ 1 ' M λ 2 λ 1 .

(24)

После применения этих условий отличными от нуля в спиральном представлении оказываются также пять матричных элементов, и эти элементы обозначаются следующим образом:

ϕ1 =

1 1 1 1 1 1 1 1 , M , , ϕ 2 = , M − ,− , 2 2 2 2 2 2 2 2

ϕ3 =

1 1 1 1 ,− M ,− , 2 2 2 2

(25)

1 1 1 1 1 1 1 1 ,− M − , , ϕ5 = , M ,− . 2 2 2 2 2 2 2 2 Амплитуды ϕ i , где i = 1, 2, 3, 4, 5, классифицируются по физике процесса как амплитуды без переворота спина ( ϕ1 , ϕ3 ), с однократным переворотом спина ( ϕ5 ) и с двукратным переворотом спина ( ϕ2 ,ϕ4 ). ϕ4 =

Связь между матричными элементами в спиральном представлении и представлении углового момента можно получить следующим образом [Jakob (1959)]. Возьмем направление движения падающей частицы как ось квантования спиновой волновой функции. Тогда волновые функции первого и второго нуклонов в спиральном представлении можно написать в виде: в начальном состоянии 150

χ1(1/)2 = в конечном состоянии

χ1(1/)2 = χ (−21)/ 2 =

1 0 , χ (−11)/ 2 = , 0 1

− sin (θ / 2) cos (θ / 2 ) , χ (−11)/ 2 = χ1( 2/ )2 = , sin (θ / 2 ) cos (θ / 2)

(26)

(27)

где θ – угол рассеяния частицы в с.ц.м. Перепишем матрицу (18) следующим образом:

( [( )( [( )(

) ) ( ) (

( )( ) )( )] ) ( )]

r r r r r r r M = a + c σ(1) + σ2 ⋅ n + m σ(1)n σ(2 )n + r r r r r r r r + g σ(1)P σ(2 )P + σ(1)K σ(2 )K + r r r r r r r r + h σ(1)P σ(2 )P − σ(1)K σ(2 )K .

(28)

r r r Единичные векторы n, P, K имеют следующие компоненты: r r r n (0,1,0 ), K (cos θ 2,0 − sin θ 2), P(sin θ 2,0 cos(θ 2 )) . (29) r Как видно из этого соотношения, вектор n является нормалью к плосr r кости рассеяния, в то время как векторы K , P лежат в плоскости рассеяния. Действуя матрицей (28) на волновые функции (26) и (27) с учетом соотношений (29), можно получить связь между амплитудами в спиральном и угловом представлениях. Они даны ниже. Здесь же можно найти связи с амплитудами в синглет-триплетном представлении. Связь между амплитудами в разных представлениях

А. В спиральном и угловом представлениях:

ϕ1 − ϕ2 = a − m − 2 g ,

ϕ1 + ϕ2 = (a + m )cos θ + 2ic sin θ + 2h, ϕ3 + ϕ4 = a − m + 2 g ,

ϕ3 − ϕ4 = (a + m )cos θ + 2ic sin θ − 2h, ϕ5 = −

1 (a + m )sin θ + ic cos θ. 2

151

Б. В угловом и спиральном представлениях (обратное пункту А): 1 a = [(ϕ1 − ϕ2 + ϕ3 + ϕ4 ) + (ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 − ϕ4 ) cos θ − 4 sin θϕ5 ], 4 1 ic = [(ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 − ϕ4 )sin θ + 4 cos θϕ5 ], 4 1 m = [(− ϕ1 + ϕ2 − ϕ3 − ϕ4 ) + (ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 − ϕ4 ) cos θ − 4 sin θϕ5 ], 4 1 g = (− ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 + ϕ4 ), 4 1 h = (− ϕ1 − ϕ2 + ϕ3 − ϕ4 ). 4 В. В спиральном и синглет-триплетном представлениях:

ϕ1 − ϕ2 = M ss , ϕ1 + ϕ2 = cos θM 00 − 2 sin θM10 , ϕ3 + ϕ4 = M11 + M1−1, ϕ1 − ϕ2 = cos θM11 + sin θM 01 − cos θM1−1, 1 ϕ5 = − sin θM11 + 2 1 = − sin θM 00 − 2

1 1 cos θM 01 − sin θM1−1 = 2 2 1 cos θM10 . 2

Спиральные амплитуды могут быть выражены через фазовые сдвиги. Для этого нужно преобразовать матричные элементы в спиральном пространстве в матричные элементы в синглет-триплетном пространстве. Так как последние уже выражены через фазы, значит задача решена. Матричные элементы в спиральном представлении могут быть выражены через элементы в синглет-триплетном представлении следующим образом: λ1 ' λ 2 ' M λ1λ 2 = ∑ λ1 ' λ 2 ' Sms Sms M Sms ' Sms ' λ1λ 2 . (30) Поскольку в этом уравнении элементы матрицы М, так же как коэффициенты Клэбша-Гордона известны, можно найти спиральные амплитуды (см. “Связь между амплитудами в разных представлениях”). Список литературы Бьеркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. Том 1. Релятивистская квантовая механика. М.: НАУКА, 1978. 152

Jakob M. and Wick G.C. Ann. оf Phys. 7 (1959) 404. Stapp H. P. Phys. Rev. 103 (1956) 425.

§23. Изоспин T, C- и G-четности §23.1. Изотопическая инвариантность

Есть много экспериментальных доказательств тому, что протон и нейтрон имеют много схожих свойств в ядерных взаимодействиях. Можно предположить, что они являются компонентами одного и того же объекта, который будем называть нуклоном. Во-первых, их массы очень близки. Так у протона масса равна 938,27 МэВ, а у нейтрона – 939,57 МэВ, так что разница масс составляет всего 1,3 МэВ. Предполагается, что такое малое различие масс (≈1 %) обусловлено электромагнитным взаимодействием. Во-вторых, они взаимодействуют друг с другом сильно, и оба являются строительным материалом для ядер. В-третьих, известно, что если исключить относительно слабое электромагнитное взаимодействие в ppсистеме, то эта система практически эквивалентна системе из двух нейтронов nn. Такое равенство сил взаимодействия между двумя протонами и двумя нейтронами называют зарядовой симметрией. Дополнительное экспериментальное обоснование зарядовой симметрии следует, в частности, из опытов по нуклон-нуклонному рассеянию. Показано, что процессы упругого pp- и nn-рассеяний одинаковы, если исключить кулоновское взаимодействие. Такие же данные получены и в упругом пион-нуклонном и каон-нуклонном рассеяниях. Из области ядерной физики можно вспомнить также зеркальные ядра, в которых протоны и нейтроны переставляются местами. Свойства этих ядер, такие, как энергия связи, энергетические уровни и т.п. очень близки. Приведем в качестве примера близости энергии связи двух зеркальных ядер следующие примеры:

H 3 = (nnp) → B = 8,192 МэВ, He 3 = ( ppn) → B = 7,728 МэВ . (1) Здесь в круглых скобках указан нуклонный состав ядер трития и гелия-3. Разница в энергии связи этих ядер составляет всего ∆Β ≈ 0,5 МэВ. Эта разница может быть объяснена энергией кулоновского отталкивания двух протонов в гелии-3:

V C (R ) =

6e 2 1 , Z (Z − 1) 5R 2

R ≈ 1,45 ⋅10 −13 см .

(2)

Близость энергетических уровней зеркальных ядер можно увидеть на следующем примере:

153

B11 = (6n5 p) → E = (1,98; 2,14; 4,46; 5,03; 6,76) МэВ, C 11 = (6 p5n) → E = (−; 1,85; 4,23; 4,77; 6,40) МэВ.

(3)

Здесь в первой круглой скобке указывается количество протонов и нейтронов в данном ядре. В следующей круглой скобке указаны энергии уровней данного ядра в МэВ. Наблюдающееся подобие энергетических уровней этих зеркальных ядер наиболее просто объясняется гипотезой о симметрии между протоном и нейтроном. Такая симметрия называется зарядовой симметрией. Подробное обсуждение этих вопросов можно найти в книге [Шифф (1957)]. В этих рассуждениях существенно и то, что и протоны, и нейтроны имеют полуцелый спин и подчиняются одинаковой статистике (статистике Ферми-Дирака). Это значит, что система из двух протонов или двух r r r r r r нейтронов описывается волновой функцией ψ(r1, s1; r2 , s2 ) (где r , s – координата частицы и ее спин соответственно), антисимметричной при одновременной перестановке координат и спинов частиц. Обнаруженная экспериментально зарядовая симметрия ядерных сил оказывается, однако, лишь одним из проявлений более глубокого сходства протона и нейтрона. Этот новый вид симметрии был введен В. Гейзенбергом [Heisenberg (1932)] и назван изотопической инвариантностью. Ее основное содержание сводится к тому, что силы, действующие между парами pp, np и nn, равны между собой, а сами протоны и нейтроны являются двумя компонентами нуклона. Проиллюстрируем обоснованность этой гипотезы одним примером из области малых энергий. Взаимодействие протона с протонами или нейтронами в области малых энергий характеризуется двумя параметрами: длиной рассеяния a и эффективным радиусом рассеяния r0. Они определяют фазу рассеяния δ в S-состоянии следующим соотношением:

k ctgδ = −

1 1 + r0 k 2 . a 2

(4)

Здесь k – волновое число. Экспериментально эти параметры оказались следующими [Нишиджима (1965)]:

np : 3 S 1 , r0t = (1,704 ± 0,028) ⋅ 10 −13 см, a t = (5,39 ± 0,03) ⋅10 −13 см; 1

S 1 , r0 S = (2,670 ± 0,023) ⋅10 −13 см, a S = (− 23,74 ± 0,09 ) ⋅10 −13 см; (5)

pp : 1 S 1 , r0 S = (2,77 ) ⋅10 −13 см, a S = (− 17,77 ) ⋅ 10 −13 см. 1

Нужно сравнивать параметры a и r0 np- и pp- рассеяния в одинаковых S1-состояниях. Качественно параметры a и r0 согласуются. На количест154

венную разницу не надо обращать внимания, так как изменением на 3 % глубины потенциальной ямы можно эту разницу убрать. Эти экспериментальные факты привели к понятию изотопического спина нуклона τ и к открытию закона изотопической инвариантости в сильных взаимодействиях. Изотопический спин представляет вектор в изотопическом пространстве и имеет такие же свойства, как сигмаматрица Паули. Изоспиновое пространство не является реальным пространством, а всего только математическим формализмом. Соответственно, природа изотопического спина неизвестна. Изотопическая инвариантность сильных взаимодействий может быть сформулирована как инвариантность относительно “поворотов в изопространстве”. Запишем в явном виде оператор изоспина T (T1, T2, T3) и изоспинор ψ :

ψ 1 0 1 1 0 −i 1 1 0 , T2 = , T3 = , ψ= 1 . (6) ψ2 2 1 0 2 i 0 2 0 −1 Рассмотрим поворот на угол π вокруг оси х2 этого пространства. ИзоT1 =

спинор преобразуется согласно соотношению: π i τ2 2 ψ

π π⎞ ⎛ = ⎜ cos + iτ2 sin ⎟ψ = iτ2ψ . (7) 2 2⎠ ⎝ Здесь Ti = 1/2 τi , где i = 1, 2, 3. T представляет истинный изотопичеψ → eiπT2 ψ = e

ский спин нуклона, равный 1/2, с собственными значениями ±1/2; τ является аналогом сигма-оператора Паули в изотопическом пространстве. Обычно принимается, что собственное значение +1/2 соответствует протону и описывается функцией ψ1 , а –1/2 соответствует нейтрону и описывается функцией ψ 2 уравнения (6). В частности, для изоспиноров, отвечающих двум компонентам изодублета (будем говорить – протону и нейтрону), имеем:

p =

1 0 → = n, 0 −1

n =

0 1 → = p , 1 0

(8)

что соответствует преобразованиям:

τ+ ψ =

0 0 1 (τ1 + iτ2 ) ψ = ψ, n → p, −1 0 2

0 0 1 τ−ψ = (τ1 − iτ2 ) ψ = ψ, −1 0 2 155

p → − n,

(9)

где р и п обозначают для краткости зарядовые состояния p

и n ну-

клона. Аналогичным образом найдем такое же преобразование для антинуклонов: p → −n , n → p . (10) Как мы видим, в сильных взаимодействиях сохраняется зарядовая независимость, или шире, соблюдается изотопическая инвариантность. §23.2. Зарядовое сопряжение

Операция зарядового сопряжения определяется только в релятивистской теории. Запишем ψ -оператор в виде разложения:

ψ=∑

r r

r r i (ωt − p • r ) 1 ⎛ − i (ωt − p • r ) ⎞, + bpe ⎜ a pe ⎟ ⎠ 2ε ⎝

(11)

где ap, bp – операторы уничтожения и рождения частиц с импульсами p. Операция зарядового сопряжения сводится к замене частиц на античастицы и обратно, т.е.: C : a p → bp , bp → a p . (12) Введя зарядово-сопряженный оператор ψ C , подставляя (12) в (11), находим

r r ψC (t , r ) = ψ + (t , r ) .

(13) Это равенство выражает свойство зарядовой симметрии частиц и античастиц. Из соотношения (11) следует, что оператор C заменяет частицу на нетождественную ей античастицу. В результате он не имеет собственных функций и собственных значений. Короче говоря, в общем случае операция зарядового сопряжения не приводит к новым физическим следствиям. Однако есть исключение. Если имеется система одинакового числа частиц и античастиц, то оператор C имеет собственные функции и собственные значения. Такими примерами могут служить следующие преобразования:

C Λ = Λ , C n = n , C p =− p .

(14)

Первое соотношение является очевидным, поскольку Λ-гиперон является изотопическим синглетом. Для доказательства двух последних соотношений запишем в явной форме волновую функцию пары нуклонов и антинуклонов и матрицу зарядового сопряжения [Лифшиц (1971)]:

156

p ψ n ψ= 1 = ψ2 n p

(15)

и C=

0

− iτ 2

iτ 2

0

=

0 0

0 0

0 −1 +1 0

0

+1

0

0

.

(16)

−1 0 0 0 Действуя оператором (16) на волновую функцию (15), находим

ψC =

0 ψ C1 = Cψ = C iτ 2 ψ 2

− i τ 2 ψ1 − iτ 2 ψ 2 = . iτ 2 ψ1 0 ψ2

(17)

Получаем два матричных уравнения второго ранга, которые решаем раздельно: −p 0 −1 n C ( p) ψ1C = = ⋅ = , (18) 1 0 p C ( n) n откуда следует C ( p ) = − p , C ( n) = n . (19) Расписываем и решаем второе матричное уравнение: C (n ) n 0 +1 p , (20) ⋅ = ψ C2 = = C ( p) −1 0 n −p откуда следует [Пилькун (1983)] C ( n ) = n, C ( p ) = − p . (21) Поскольку C2 = 1, то легко убедиться, что результаты (20) и (21) совпадают. §23.3. G-преобразование

Рассмотренные выше два закона сохранения при их одновременном применении приводят к появлению новых правил отбора, которые ни одним из них в отдельности не доказываются [Lee (1956)]. Применим теперь совместно операции изотопического преобразования T и зарядового сопряжения C. Произведение обоих операторов обозначим через G:

157

G = C eiπT3 .

(22) Поскольку зарядовое сопряжение есть преобразование р ↔ –⎯p, п ↔⎯п, то под действием оператора (22) [Лифшиц (1972)]

G: p → −n , n → p,

p → −n, n → p.

(23)

Оператор G коммутативен с операторами всех трех компонент изоспина Т1, Т2, Т3. В этом проще всего убедиться прямым образом, написав явные выражения операторов в виде четырехрядных матриц, преобразующих нуклонные и антинуклонные состояния. Расположим эти состояния в виде столбца:

p n , n p и обобщим изоспин на этот случай:

T1 = C=

1 τ1 0 1 τ2 , T2 = 2 0 τ1 2 0 0 iτ2

− iτ2

0 , G= 0 −I

0 1 τ3 , T3 = τ2 2 0 I . 0

0 , τ3

(24)

Здесь 0 и I – двухрядные матрицы. Если операция G превращает частицу (или систему частиц) саму в себя, то возникает понятие о G-четности: состояние может остаться неизменным или изменить знак. Для этого необходимо, чтобы барионное число и гиперзаряд Y (Y = B + S, В – барионное число, S – странность) частицы были равны нулю. Действительно, зарядовое сопряжение (переход от частицы к античастице) меняет знак как электрического заряда Z, так и гиперзаряда. Поворот же в изопространстве меняет Z, не затрагивая Y и В. Поэтому совместное применение обоих преобразований во всяком случае изменит числа Y, В, если они отличны от нуля. Важное свойство G-четности состоит в том, что она одинакова у всех компонент одного и того же изомультиплета. Это следует из коммутативности оператора G со всеми компонентами T, а поэтому и со всеми поворотами в изопространстве. При Y = 0 имеем Z = T3, откуда видно, что Т3, а тем самым и Т – целое число. Изомультиплет с целым Т описывается симмeтpичным изоспинором четного ранга 2Т, эквивалентным неприводимому изотензору ранга 158

Т. Среди компонент такого изомультиплета имеется нейтральная частица (Т3 = 0). Ей отвечает изотензор ' ψ ih с отличной от нуля компонентой ' ψ 33 . Поворот на угол π вокруг оси х2 умножaeт этот изотензор на (–1)Т. Если С – зарядовая четность нейтральной частицы, то ее G-четность G = С (–1)T. (25) Согласно сказанному выше, тем самым определена G-четность всех компонент изомультиплета. Рассмотрим, например, изотриплет пионов (Т = 1). Зарядовая четность π0-мезона С = +1. Это следует из того, что π0-мезон распадается на четное число частиц, а именно: на две зарядово-нечетных частицы (фотоны). Поэтому G-четность пионов G = –1. Отсюда можно, в частности, заключить, что под влиянием сильного взаимодействия система пионов может перейти в другую систему пионов лишь без изменения четности числа частиц. η -мезон является изосинглетом (Т = 0), а его зарядовая четность С = = + 1, так как η -мезон, как и π0-мезон, распадается на два фотона. Поэтому

η -мезон имеет положительную G-четность (G = + 1). Отсюда следует, что сильные взаимодействия не могут привести к распаду η →3π. Желательно распространить понятие G-четности и на другие одночастичные состояния. Обозначим состояние частицы m зарядового мультиплета с импульсом p, спиральностью λ и третьей компонентой изоспина T3 через функцию m, T3 , p, λ , а состояние античастицы – через m , T3 , p, λ . Поскольку операция G переводит частицу в античастицу, не затрагивая другие переменные, запишем [Пилькун (1983)]: G m, T3 , p, λ = ηG m , T3 , p, λ .

(26)

Здесь ηG не зависит от T3 ; функция состояния для античастицы в изотопическом пространстве преобразуется, как и функция состояния частицы. В результате для частиц мультиплета справедливо соотношение ηC = ηG (− 1)T +T3

или в переписанной форме:

(27)

ηG = ηC (− 1)T +T3 . (28) 0 Для π -мезона С = +1, T =1, T3 = 0 и, следовательно, G = –1, в то время как для η-мезона, хотя четность С = + 1, но так как T = 0, T3 =0, то G = 1. Это согласуется с полученными выше результатами. 159

Формулу (28) можно рассматривать как расширение формулы (25) на заряженные члены мультиплета, которые должны иметь такую же Gчетность, как и истинно нейтральный член мультиплета. Для изотриплета пионов следует C π ± = G π ± = − π m . Рассмотрим G- и C-четности также для гиперонов и K-мезонов. Существенно при этом, что барион может испустить (виртуально) один пион, а гиперон – один K-мезон, соблюдая при этом правила отбора по изоспину, гиперзаряду и барионному числу. Из распада Σ → πΛ следует, что ηG (Σ ) = ηG (π )ηG (Λ ) = ηG (π ) , так как

G-четность Λ-гиперона положительная. Из распада N → KΛ следует, что ηG (K ) = ηG (N )ηG (Λ ) = ηG (N ) . Из распада Ξ → KΛ следует, что

ηG (Ξ ) = ηG (K ) = ηG (N ) . Полученные таким способом результаты пред-

ставлены в табл. 1. Таблица 1 G- и C- четности мезонов и барионов π+

π0

π–

η

K+

K0

⎯K0

K–

G

– π+

– π0

– π–

η

⎯K0

K–

– K+

– K0

C

– π–

π0

– π+

η

– K–

⎯K0

K0

– K+

Σ+

Σ0

Σ–

G

–⎯Σ

+

0

–⎯Σ

C

–⎯Σ–

⎯Σ0

Λ

p

n

⎯n

⎯p

-

⎯Λ

⎯n

⎯p

–p

–n

–⎯Σ+

⎯Λ

–⎯p

⎯n

n

–p

–⎯Σ

Список литературы Лифшиц Л.М., Питаевский Л.П. Релятивистская квантовая теория. Ч. 2, с. 190. М.: Наука, 1972. Нишиджима К. Фундаментальные частицы. М.: МИР, 1965. Пилькун Х. Физика релятивистских частиц. М.: МИР, 1983. Шифф Л. Квантовая механика. М.: Изд-во иностр. лит., 1957. Heisenberg W. Zs. F. Phys. 77 (1932) 1 Lee T.D., Yang C.N. Nuovo Cimento 3 (1956) 749.

160

Глава 3. Теоретические модели Отсутствие теории сильных взаимодействий приводит к необходимости создания различных моделей в попытке описать какую-то конкретную характеристику реакции, например, поляризацию. На начальной стадии поляризационных исследований на ускорителях многие крупные физикитеоретики подключились к этой проблеме. Их идеи были понятны, так как зарождались из хорошо установленных фактов. Самое главное – они выводили простые аналитические формулы для вычисления наблюдаемых величин, например, сечения или поляризации в конкретной реакции. Эти формулы служили путеводной звездой как при анализе данных опыта, так и при проектировании новых экспериментов. В качестве примера мы приводим модель Ферми, предложенную им в 1954 г. С ростом энергии теоретические модели настолько усложнились, что стали просто удручающими. В большинстве своем они не дают аналитической зависимости наблюдаемых от аргументов, а выражают эти наблюдаемые через многократные интегралы, с большим количеством подгоночных параметров. Поэтому теряется всякая физическая картина процесса, и практически, кроме авторов, по-видимому, никто другой не сможет повторить эти вычиснения. Один из примеров дают современные вычисления, например, односпиновой асимметрии в модели пертурбативной КХД. Такие сложные численные расчеты наблюдаемых, которые на самом деле в эксперименте могут быть представлены очень простыми функциями, конечно, вызывают недоумение: почему все просто в эксперименте и очень сложно в теории. Ввиду такой ситуации весьма привлекательными являются асимптотические предсказания. Такими оказываются гипотеза о γ5инвариантности или асимптотические соотношения между амплитудами в перекрестных каналах, выводимые на базе теоремы Фрагмана-Линделефа. Они тоже представлены в этом разделе. §24. Модель Ферми В 1953 г. появилось сообщение [Oxley (1953)] о том, что на Рочестерском циклотроне с энергией ∼ 200 МэВ путем дифракционного рассеяния циркулирующего пучка протонов на внутренней мишени получен пучок поляризованных протонов с поляризацией около 20 % при использовании протонной мишени и в ∼2 раза большей поляризацией при использовании ядерной мишени. Через год аналогичный пучок был получен в Беркли при 310 МэВ [Chamberlain (1954)] и практически одновременно в Дубне на синхроциклотроне ИЯП АН СССР при энергии ∼600 МэВ [Столетов (1954)]. Началась эра поляризационной физики на ускорителях. 161

Одним из первых, кто оценил важность этих событий в спиновой физике, был Э. Ферми [Fermi (1954)]. Он предложил модель для объяснения возникновения поляризации протонов в ядерном рассеянии. Ферми рассмотрел простейший случай реакции a(1/2) + b(0) → a(1/2) + b(0) (1) (в скобках указаны спины частиц). Примером этой реакции является случай упругого рассеяния неполяризованных протонов на ядрах углерода. Этот процесс описывается двумя комплексными потенциалами: центральным потенциалом Vc, не зависящим от спина, и спин-орбитальным потенциалом Vs V(r,s) = Vc(r) + Vs(r,s). (2) Матрица реакции (1) может быть записана при фиксированной начальной энергии в общей форме r r M (θ) = g (θ) + h(θ)σ • n , (3) r где θ – угол рассеяния нуклона в с.ц.м., n – единичный вектор, нормальный к плоскости рассеяния. Можно показать, что наблюдаемые величины для эксперимента (1) записываются следующим образом: дифференциальное сечение

dσ(θ) = (| g (θ) |2 + | h(θ) |2 ), dω

(4)

dσ(θ) P (θ) = 2 Re[ g ∗ (θ)h(θ)], dω

(5)

поляризация

параметр поворота спина

dσ(θ) R(θ) = [| g (θ) |2 − | h(θ) |2 ] cos θ − 2 Im[ g ∗ (θ) h(θ)]sin θ , dω

(6)

параметр продольной поляризации

dσ(θ) A(θ) = [| g (θ) |2 − | h(θ) |2 ] sin θ − 2 Im[ g ∗ (θ)h(θ)] cos θ . dω

(7)

Эти четыре наблюдаемых составляют полный набор опытов, т.е. любое новое измерение будет сводиться к этим четырем наблюдаемым. Нетрудно догадаться, что формулы (2) и (3), как описывающие один и тот же процесс, должны быть связаны. Мы это увидим ниже. Центральный потенциал Vc достаточно хорошо изучен в теории рассеяния частиц на ядрах. Спин-орбитальный потенциал изучался в теории оболочечного строения ядер и использовался только для связанных состояний физической системы. Для описания реакции (1) (система с непрерывным спектром) нужны разумные физические предположения о потенциалах взаимодействий. Ферми предположил, исходя из уравнения обо162

лочечной модели Мейера и Дженсена, а также с учетом поправки Томаса на прецессию спина [Thomas (1926)], что спин-орбитальный потенциал пропорционален градиенту от реальной части центрального потенциала, как это допускается в модели оболочечного строения ядер. Конечно, было очень рискованно распространять идею оболочечного строения ядер в область энергии в несколько сотен МэВ. Ферми учел также, что томасовская поправка приблизительно в 15 раз слабее, чем это нужно в оболочечной модели. Тогда соотношение (2) можно переписать следующим образом: 2

dρ ( r ) r r ⎛ h ⎞ ⎟⎟ Vs σ• L . rdr ⎝ µc ⎠

V(r,s) = Vc(r) + Vs(r,s) = Vc ρ(r) + ⎜⎜

(8)

Здесь ρ(r ) – плотность распределения ядерной материи, Vc и Vs – числовые параметры, определяемые из подгонки к экспериментальным данным; ⎛ h ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ – комптоновская длина волны π -мезона, введенная для получения ⎝ µc ⎠ параметра Vs в тех же единицах, что и Vc. На практике может оказаться, что функция ρ(r ) различна для разных потенциалов [Нурушев (1962), Ажгирей (1963)]. В борновском приближении соотношение между амплитудами g и h, с одной стороны, и с потенциалами взаимодействия, с другой стороны, определяется следующим преобразованием [Шифф (1957)]:

r r r 2µ r V (r ′) exp(iK • r ′)dr ′ , 2 ∫ c h r r r 2µ r h(θ ) = 2 ∫ Vs (r ′) exp(iK • r ′) dr ′ . h

g (θ ) = −

(9) (10)

Ферми принял центральный потенциал в виде прямоугольной ямы и, проведя интегрирование, нашел

g (θ ) =

k VC F (q ) , 2πhv

h(θ) =

k ⎛ hk ⎞ ⎜ ⎟VS F (q )sin θ . 2πhv ⎜⎝ µc ⎟⎠

(11)

Здесь F(q) – формфактор бесспиновой частицы. Как видно из (11), между двумя амплитудами возникает соотношение

h(θ) = c0 sin θ ⋅ g (θ),

163

(12)

где коэффициент с0 является комплексной величиной, не зависящей от угла. Для доказательства этого соотношения в общем случае непрямоугольной ямы запишем амплитуды рассеяния в борновском приближении:

r r r r r r 2µ −ikr '• rr −ik '• r ik • r r ik • r r ( ) e ⋅ u e d r , h θ = e ⋅ u e dr , (13) s 0 ∫ ∫ h2 h2 r r где µ – приведенная масса; k и k ' – импульсы до и после рассеяния в с.ц.м. Примем для центрального u0 и спин-орбитального us потенциалов

g (θ) =

2µ

выражения

u0 = vρ(r ), us = vs

1 dρ(r ) r r σ •L r dr

(14)

В нерелятивистском приближении такой вид потенциала и следует из уравнения Дирака. Подставляя (14) в (13) и проинтегрировав по углам, находим:

g (θ) = h(θ) = i

2µ 2

v ∫ ρ(r ) ⋅ j0 (qr ) r 2 dr ,

h 2µk sin θ 2

h q

Используя равенство

⎛ 1 dρ(r ) ⎞ 3 vs ∫ j1 (qr )⎜ ⎟r dr. ⎝ r dr ⎠

x 2 j0 ( x ) =

[

(15) (16)

]

d 2 x j1 (x ) , dx

получаем

2µ

⎡1 d ⎤ v ∫ j1 (qr )⎢ (17) ρ(r )⎥ r 3dr . h q ⎣ r dr ⎦ Сравнивая с выражением для амплитуды h(θ) , находим окончательно v h(θ ) = −i s sin θ k 2 g (θ ). (18) v r r r Здесь k – импульс в с.ц.м. реакции, q = k − k '. В дальнейшем справедg (θ) = −

2

ливость соотношения (18) была доказана в более слабом приближении, чем в случае доказательства Ферми. А именно, предполагается, что спинорбитальный потенциал заметно меньше центрального потенциала, который может быть произвольным. Существенно, что спин-орбитальный потенциал пропорционален градиенту центрального потенциала. Еще одно условие – углы рассеяния должны быть малы. При доказательстве используется уже квазиклассическое приближение [Koeler (1955), Левинтов (1956)]. 164

Из определения поляризации, используя соотношение Ферми (18), находим 2 ⎛ iv* ⋅ vs ⎞ ⎛ hk ⎞ ⎟ ⋅ sin θ 2⎜⎜ ⎟⎟ Re⎜⎜ | v |2 ⎟⎠ ⎝ µc ⎠ ⎝ . P(θ ) = − 2

⎛v ⎞ ⎛ hk ⎞ 1 + ⎜⎜ s ⎟⎟ sin θ2 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ µc ⎠ ⎝|v|⎠

4

(19)

Из этой формулы следуют несколько выводов. Если спин-орбитальный потенциал представляет действительную функцию, то для возникновения поляризации необходимо, чтобы центральный потенциал содержал мнимую часть. Энергетическая зависимость поляризации при фиксированном угле рассеяния зависит только от отношения потенциалов и квадрата импульса частицы в с.ц.м. Поляризация стремится к нулю, если мнимая часть центрального потенциала растет неограниченно с ростом энергии. Поляризация достигает максимального значения Pmax, равного

Re(iv ⋅ vs ) . | v || vs |

Pmax =

(20)

При этом положение максимума поляризации определяется соотношением 2

⎛ µc ⎞ | v | . (21) sin θ max = ⎜ ⎟ ⋅ ⎝ hk ⎠ | vs | Эти предсказания довольно хорошо согласуются с экспериментальными данными в области кинетической энергии 100 – 1000 МэВ. Между прочим, из формулы (18) в случае гауссовской формы амплитуды g после простых преобразований следует соотношение

d ln σ(θ) . dθ

P(θ) ∝

(22)

Физики много раз “открывали заново” эту формулу и в самое недавнее время – для кварк-кваркового рассеяния. Для конкретных вычислений Ферми принял потенциалы в следующих формах. Центральный потенциал V = V1 + iV2 . (23) Спин-орбитальный

H s = −15

V '1 (r ) r r r σ• x× p . r M c h

2 2

165

(24)

Мнимая часть потенциала определяет поглощение протона в ядерной материи (углероде в данном конкретном случае). Для простоты оба потенциала берутся в виде прямоугольной ямы:

⎧− B − iB a V1 + iV 2 = ⎨ ⎩0

для r < r0

(25)

для r > r0 .

Вычисления Ферми провел в борновском приближении с учетом потенциалов (24) и (25). Для вычисления матричных элементов от соответствующих потенциалов была выбрана система координат с осью x вдоль импульса падающего протона. Рассеяние с положительным углом θ происходит влево от пучка в горизонтальной плоскости xy, в то время как вектор поляризации направлен вверх. В качестве начальных и конечных состояний взяты плоские волны с одинаковыми по величине импульсами. Конечный импульс направлен вдоль угла рассеяния. Градиент от реальной части центрального потенциала записывается в форме V '1 = Bδ(r − r0 ) . (26) Это соотношение означает, что спин-орбитальное взаимодействие является в модели Ферми поверхностным эффектом. Прямые вычисления дают следующие выражения для матричных элементов:

⎧ sin q cos q ⎫ 2 V 1 = −4πr03 (B + iBs )⎨ 3 − 2 ⎬ q ⎭ ⎩ q

(27)

и 2 ⎧ sin q cos q ⎫ ⎛ p ⎞ 3 2 H s 1 = −i30π⎜ ⎟ Br 0 sin θ⎨ 3 − 2 ⎬ , q ⎭ ⎝ Mc ⎠ ⎩ q

(28)

θ 2 pr0 sin . 2 h

(29)

где

q=

Матричный элемент (27) не опрокидывает спин протона, в то время как матричный элемент (28) опрокидывает его. Дифференциальное сечение рассеяния протона на ядре пропорционально сумме квадратов моду2

⎛ M ⎞ ⎟ : ⎝ 2πh 2 ⎠ 2 2 ⎤ ⎫⎪ dσ 4M 2 6 2 ⎛ sin q cos q ⎞ ⎧⎪ ⎡ Bs 15 ⎛ p ⎞ = 4 r 0 B ⎜⎜ 3 − 2 ⎟⎟ ⎨1 + ⎢ + ⎜ ⎟ sin θ⎥ ⎬ . (30) dω 2 ⎝ Mc ⎠ h q ⎠ ⎪ ⎢⎣ B ⎥⎦ ⎪⎭ ⎝ q ⎩

лей амплитуд, и коэффициент пропорциональности равен ⎜

166

Формула (30) показывает, что дифференциальное сечение зависит от знака угла рассеяния θ. Следовательно, можно определить асимметрию из формулы (30): 2

⎛ p ⎞ Ba dσ 15⎜ sin θ ⎟ (+ ) − dσ (− ) Mc ⎠ B ⎝ d d ω ω . = ε= 2 4 dσ (+ ) + dσ (−) 1 + ⎛⎜ Ba ⎞⎟ + 225 ⎛⎜ p ⎞⎟ sin 2 θ dω dω 4 ⎝ Mc ⎠ ⎝ B ⎠

(31)

Из этой формулы следует, что поляризация возникает из-за интерференции между действительным спин-орбитальным потенциалом и мнимой частью центрального потенциала. Как было отмечено выше, при стремлении к бесконечности абсорбционной части центрального потенциала поляризация стремится к нулю (модель абсолютно черной ядерной сферы). Для численных расчетов было принято, что сечение ppвзаимодействия равно при энергии протона 340 МэВ 24 мб, а pnвзаимодействия – 32 мб. Полагая радиус ядра r = 1,4⋅10–13 A1/3 см, можно оценить длину пробега в ядре как λ = 1,1⋅1013см. Отсюда

Ba =

hv = 16 МэВ. 2λ

(32)

Здесь v = 0,68 с – скорость протона при энергии 340 МэВ. Реальная часть потенциала была принята равной 27 МэВ. В табл. 1 приведены численные значения дифференциальных сечений и поляризации протонов в зависимости от угла рассеяния на углеродной мишени при кинетической энергии 340 МэВ. Согласие этих предсказаний модели Ферми с экспериментальными данными достаточно хорошее. Ферми предостерегает о необходимости проявить осторожность при сравнении с данными при больших углах рассеяния. При этих углах преобладающими являются неупругие взаимодействия, а модель Ферми пригодна только для упругого рассеяния. Ферми особо подчеркивал важность определения знака поляризации. Если правильна его гипотеза, основанная на оболочечной модели ядра, то знак поляризации должен быть положительным. Специальные опыты подтвердили его ожидание.

167

Таблица 1 Зависимость дифференциальных сечений и поляризации протонов от угла рассеяния на углеродной мишени при кинетической энергии 340 МэВ Угол рассеяния (град)

Асимметрия l(θ)

dσ ⋅10 24 (для углерода) dω

0 5 10 15 20 30 40 50

0 0,40 0,51 0,49 0,42 0,33 0,27 0,23

2,7 2,2 1,2 0,3 0,02 0,01 0,03 0,01

Список литературы Ажгирей Л.С. и др. ЖЭТФ 44 (1963) 177. Левинтов И.И. ДАН СССР 197 (1956) 240. Нурушев С.Б. Спиновое взаимодействие протонов со сложными ядрами при энергиях 565 – 660 МэВ. Дисс. на соискание степени к.ф.-м.н., Дубна (1962). Столетов Г.Д., Нурушев С.Б. Отчет Института ядерных проблем АН СССР (1954). Шифф Л. Квантовая механика. М.: Изд-во иностр. лит., 1957. Chamberlain E. et al. Phys. Rev. 93 (1954) 1430. Fermi E. Nuovo Cimento 10 (1954) 407. Koeler S. Nuovo Cimento 2 (1955) 911. Oxley C.L.C. et al. Phys. Rev. 91 (1953) 419. Thomas L.H. Nature 117 (1926) 514.

§25. Гипотеза сохранения спиральности В 1961-62 гг. А.А. Логунов и др. [Логунов (1962)], а также Намбу [Nambu (1961a)] рассмотрели некоторые следствия гипотезы о приближенной γ5-инвариантности теории сильных взаимодействий. Согласно этой гипотезе, при больших энергиях и передачах импульса s, |t|>>m2 (m – масса участвующих в реакции частиц) матричные элементы всех фи168

зических процессов могут оказаться инвариантными относительно γ5преобразований спинорных функций:

Ψi → γ 5Ψi , Ψi → Ψi γ 5 , γ 25 = –1.

(1)

В качестве конкретного примера рассматривается электромагнитный формфактор нуклона. Из лоренц-инвариантности и градиентного преобразования получается наиболее общее выражение для электромагнитной вершины нуклона:

( ) ( )

( )

Fµ q 2 = F1 q 2 γ µ + iσ µο qν F2 q 2 .

(2)

Если применить условие γ5-инвариантности к этому соотношению, то, имея в виду свойство антикоммутации γ5 с γ-матрицами и равенство γ52 = – 1, следует

( )

lim q →∞ q F2 q 2 = 0.

(3)

Это соотношение означает, что магнитный форм-фактор нуклона при достаточно больших передачах импульса убывает. Рассмотрим следствия этой гипотезы для реакции

0+

1 1 →0+ , 2 2

(4)

где цифры означают величины спинов участвующих в реакции частиц. В релятивистском случае матрица реакции (4), когда внутренние четности начальных и конечных состояний одинаковы, имеет вид (аналог нерелятивистского случая)

qˆ + qˆ 2 ⎡ ⎤ (5) M = u 2 ( p2 )⎢ A(s, t ) + 1 B(s, t )⎥u1 ( p1 ). 2 ⎣ ⎦ Здесь q1 и q2 – импульсы бозонов; р1 и р2 – импульсы фермионов qˆ = γq . Между релятивистскими амплитудами A(s, t ) и B (s, t ) , с одной стороны, и амплитудами а и b для нерелятивистского случая, с другой стороны, существуют соотношения:

4πa =

( 4πb =

(

) 2 − mπ2 [A + (

s + mN 4s

) 2 − mπ2 [− A + (

s − mN 4s

)]

s − mN B ,

)]

s + mN B .

(6)

Здесь для упрощения записи аргументы у амплитуд A(s,t) и B(s,t) опущены. 169

Из требования γ5-инвариантности следует:

lim s ,t →∞ A(s, t ) = 0 .

(7)

Поскольку отличной от нуля осталась лишь одна амплитуда B(s,t ), то поляризация в этом случае равна нулю во всех бинарных реакциях, где условие γ5-инвариантности выполняется. В частности, в реакциях

π− + p → Λ + K0,

π− + p → Σ− + K +

(8) поляризация гиперонов асимптотически должна стремиться к нулю. Соотношение (7) позволяет сформулировать гипотезу сохранения спиральности: если начальный фермион был продольно поляризован, то конечный фермион будет также продольно поляризован. Аналогичное рассмотрение было проведено и в случае нуклоннуклонного рассеяния. Релятивистская матрица для этой реакции записывается в общем случае следующим образом:

(

) ( )( )−⎤⎥u( p )u(k ) . ⎥⎦ )

⎡G1 − G2 γ(1)P + γ(2)K + G3 γ(1)P γ(2)K M (s,t ) = u ( p2 )u (k2 )⎢ ⎢⎣G4 γ5(1)γ(1)P γ5(1)γ(2)K − G5γ5(1)γ5(1)

(

)(

1

1

(9)

Здесь введены обозначения:

K=

k1 + k 2 p + p2 ,P= 1 , Q = k1 − k 2 . 2 2

(10)

Если потребовать, чтобы матрица упругого нуклон-нуклонного рассеяния (9) была инвариантной относительно γ5-преобразования, то она заметно упрощается и имеет вид M(s,t) = u( p2 )u(k2 ) G3 γ(1) P γ(2) K −G4 γ5(1)γ(1) P γ5(2)γ(2) K u( p1)u(k1) . (11) Отсюда нетрудно установить, что если в начальном состоянии нуклоны не поляризованы, то и в конечном состоянии они останутся неполяризованными. Если вспомнить теперь, что в упругом pp-рассеянии поляризация возникает вплоть до энергии 300 ГэВ/с [Kline (1980), Fidecaro (1980), Fidecaro ( 1981)], то следует вывод, что до этих энергий и передач импульса – t = 2–4 (ГэВ/с)2 γ5-инвариантность еще полностью не вступила в силу. Основным следствием γ5-инвариантности является вывод о сохранении спиральности во всех реакциях, где эта гипотеза применима. Первые указания на приблизительную γ5-инвариантность были получены из слабого взаимодействия, лептон связывается с почти сохраняющимся аксиально-векторным током так же, как с векторным током. В связи с этим можно вспомнить соотношение Голдбергера–Треймана [Gold-

[ ( )( ) (

170

)(

)]

berger (1958)]. Это соотношение связывает константу пионного распада с константой ядерного β -распада и поддерживает гипотезу о том, что в асимптотике, когда масса пиона становится пренебрежимо малой по сравнению с передачей импульса, аксиально-векторный ток сохраняется. Однако γ5-инвариантность или, по-другому, закон сохранения киральности, сильно отличается по природе от обычных законов сохранения. Дело в том, что киральность, как четвертая компонента аксиального вектора, не является диагональной матрицей в реальных состояниях, таких, как нуклон или пион. Так что киральность можно интерпретировать как среднее значение оператора γ5, которое сохраняется со временем. Такую симметрию можно назвать “скрытая симметрия” [Nambu (1962)]. Кроме проблемы физической интерпретации киральности очень важно экспериментально проверить гипотезу сохранения спиральности. Выше отмечен тот факт, что поляризация служит важным тестом на закон сохранения киральности, а именно, что наличие поляризации в той или иной реакции означает отсутствие γ5-симметрии в этой реакции. Рассмотрим дополнительно ряд процессов, которые также чувствительны к сохранению киральности [Nambu (1962)]. В работе [Nambu (1961b)] был получен ряд интересных соотношений, которые лучше всего могут быть проверены при больших энергиях и, как отмечается в работе [Nambu (1962)], в поляризационных экспериментах. А именно, если пион-нуклонная система сохраняет киральность и массой пиона по сравнению с передачей импульса можно пренебречь, то между амплитудами реакций a → b и a → b + π , где пион образуется в покое, устанавливаются определенные связи. В общем случае они имеют вид

[

]

α iM rad = f χ αN,in , M .

(12)

Здесь f представляет пион-нуклонную константу связи, χ αN,in – изото-

r

r

пический оператор киральности нуклона τα σ • p / E p . Приведенный выin in ше результат получается в предположении, что χ α, N = χ N , где

1 α, in 3 φ d x. (13) f ∫ Здесь записана временная компонента сохраняющегося аксиальноχα, in = χαN,in + χαπ,in = χαN,in +

векторного тока. Выражение для χ α на самом деле зависит от принятой модели пион-нуклонного взаимодействия, однако можно думать, что его асимптотические выражения χ in , χ out от принятой модели зависеть не будут. 171

Приложение формулы (12) к реакциям

N + π → N + π,

N + π→ N + π+ π,

(14) при энергии вблизи 300 МэВ дало разумные результаты в согласии с экспериментальными данными. Однако это согласие не является убедительным аргументом, поскольку для применения этой модели нужны энергии, намного больше массы пиона. Авторы модифицировали свою модель с целью описания аналогичных процессов излучения пиона в электромагнитных и слабых взаимодействиях. Интересующимся этими проблемами читателям рекомендуем оригинальные работы, список которых можно найти в статье [Nambu(1962)]. Список литературы Логунов А.А., Мещеряков В.А., Тавхелидзе А.Н. ДАН СССР 142 (1962) 317. Fidecaro G. et al. Nucl. Phys. B173 (1980) 513. Fidecaro G. et al. Phys. Lett. B105 (1981) 309. Goldberger M. and Treiman S.B. Phys. Rev. 111 (1958) 354. Kline R.V. et al. Phys. Rev. D22 (1980) 553 Nambu Y. and Ionn-Lasinio G. Phys. Rev. 122 (1961a) 345. Nambu Y.and Lurie D. Phys. Rev. 125 (1961b) 1469. Nambu Y. In: Proc. Int. Conf. on High Energy Physics, Geneva (1962) 153.

§26. Асимптотические соотношения между поляризациями в перекрестных каналах реакций В начале 60-х гг. физики-теоретики получили ряд важных асимптотических соотношений между амплитудами рассеяния в локальной теории поля [Логунов (1964)]. При выводе этих результатов физики использовали следующие основные принципы релятивистской локальной теории поля: 1. Инвариантность относительно неоднородной группы Лоренца. 2. Микропричинность. 3. Условие спектральности (наличие полной физической системы с положительной энергией). 4. Унитарность S-матрицы. 5. Элементы матрицы рассеяния являются обобщенными функциями ограниченного роста. Если общие принципы теории дополнить предположением об отсутствии осцилляций в амплитудах рассеяния и росте амплитуды с ростом энергии по определенному закону (степенному или логарифмическому), то можно получить определенные, проверяемые на опыте соотношения, 172

как, например, соотношение Померанчука для полных сечений частиц и античастиц. Теоретики также широко использовали в приложениях известную в теории комплексных функций теорему Фрагмена–Линделефа. Эта теорема утверждает: если функция f(z) аналитична в верхней комплексной полуплоскости энергии и растет на бесконечности не быстрее некоторой степени zn, то она не может стремиться вдоль положительной и отрицательной полуоси к разным пределам. Эта теорема Фрагмена–Линделефа была использована в работах [Logunov (1963), Logunov (1964), Биленький (1964), Nguyen (1964)] для изучения асимптотических связей между поляризациями в перекрестных каналах реакций. Применяя также условие кроссинг-симметрии, в этих работах были получены следующие результаты: 1. Поляризации протонов в π+р- и π–р-рассеяниях при одинаковых значениях энергии и угла равны по величине и противоположны по знаку. 2. Поляризация нейтрона в процессе перезарядки π − + p → π 0 + n обращается в нуль. 3. Поляризации гиперонов в процессах π + p → K +Y, K + p → π + Y противоположны независимо от относительной внутренней четности частиц; то же самое верно и для процессов

K − + p → K 0 + Ξ0 и K 0 + p → K + + Ξ0 . 4.

Поляризации

конечных

частиц

в

процессах

типа

Σ + He → HeΛ + p и p + He → HeΛ + Σ противоположны, если относительная четность Σ- и Λ-частиц равна +1, и одинаковы, если относительная четность равна (–1). 5. Поляризации конечных частиц в процессах упругого рассеяния N + N → N + N и N + N → N + N , а также упругого рассеяния странных частиц Y + N → Y + N и Y + N → Y + N противоположны; кроме того, противоположны и поляризации нейтронов отдачи, например, в процессах Σ − + p → Λ + n и Λ + p → Σ − + n . 6. Поляризация Ξ − -гиперона в процессе K − + p → K + + Ξ − обращается в нуль. 7. Обращается в нуль и поляризация протонов отдачи при упругом рассеянии γ-квантов на протонах. Все сказанное выше относится к поляризациям, возникающим при столкновении неполяризованных частиц. Доказательства этих утвержде173

ний в изложении авторов будут приведены чуть позже. Здесь же мы дадим небольшой комментарий. Прежде всего отметим то, что обсуждение касается только бинарных реакций. А как известно, бинарные реакции, в которых нет померонного обмена, быстро вымирают с энергией. Это касается большинства перечисленных выше реакций. С другой стороны, предлагаемая модель справедлива в асимптотике. В результате возникает вопрос: что такое асимптотическая энергия в данной модели? Чтобы подчеркнуть важность этого вопроса, приведем пример. В пукте 2 перечисленных выше реакций указано взаимодействие π− + p → π0 + n . Сказано, что поляризация нейтрона в этой реакции должна быть равна нулю. В середине 80-х поляризация в этой реакции была измерена сотрудничеством ПРОЗА и оказалась отличной от нуля. Что следует из этого? Разумеется, то, что асимптотика для этой реакции еще не наступила. Но идти дальше по энергии экспериментаторы не могут из-за малости сечений. Возникает дилемма, как экспериментально проверить этот пункт в асимптотике. Одно из предсказаний рассматриваемой модели относится к пункту 1, к реакциям упругих π+р- и π–р-рассеяний. Предсказанное соотношение между поляризациями в этих реакциях было подтверждено измерениями сотрудничества ГЕРА в середине 60-х гг. при импульсе 40 ГэВ/с. Следовательно, можно предположить, что асимптотическая энергия для этих реакций наступила. Однако как доказательства, так и проверки этих предсказаний относятся к интервалу малых передач импульсов, где предсказания многих, в том числе неасимптотических, моделей практически сходятся. Очевидно, нужен дальнейший прогресс в развитии теоретических моделей. Отметим только, что спустя сорок с лишним лет интерес к этим теоретическим результатам по-прежнему велик, так как значительная часть предсказаний еще не проверена. Ниже приводится изложение доказательств перечисленных выше пунктов 1 – 7, следуя работе [Биленький (1964)]. I. Для получения асимптотических соотношений между сечениями различных процессов была использована известная в теории функций комплексного переменного теорема Фрагмена–Линделефа [Неванлина (1941)]. Так в работе Меймана [Мейман (1962)] на основе этой теоремы были получены соотношения между полными сечениями взаимодействия частиц и античастиц при высоких энергиях, доказанные ранее Померанчуком с помощью техники дисперсионных соотношений [Померанчук (1958)]. В работах Логунова и др. [Логунов (1964), Logunov (1963), Logunov (1964)] на основе общих принципов релятивистской локальной теории поля и с помощью теоремы Фрагмена–Линделефа соотношения 174

Померанчука обобщены на случай дифференциальных сечений при отличной от нуля передаче импульса. Ниже, используя эту же методику, устанавливаются асимптотические соотношения между поляризациями в перекрестных реакциях. Нужно отметить, что создание поляризованных водородных мишеней [Abraham (1962), Chamberlaine (1963)], а также поляризованных коллайдерных пучков [RHIC (2004)] существенно облегчает измерение поляризации при высоких энергиях и может сделать возможной проверку этих соотношений уже в недалеком будущем. Ограничимся изучением простейших случаев реакций с участием частиц со спином 0 и 1/2. Наше рассмотрение является чисто феноменологическим, и мы не будем обсуждать механизма возникновения поляризации при высоких энергиях. Основные результаты работы были перечислены выше. Перейдем к их доказательствам. II. Начнем с подробного рассмотрения простейшего случая рассеяния π±-мезонов нуклонами. Амплитуды процессов

π+ + p = π+ + p , −

(1a)

−

π + p=π + p

(1b)

имеют следующий вид:

⎛ qˆ + qˆ′ ⎞ M ± ( p′q′; pq ) = a± + ib± − ⎜ ⎟⋅γ , ⎝ 2 ⎠

(2)

где q и q′ – начальный и конечный четырехимпульсы мезона, qˆ = q ⋅ γ – произведение q на четырехмерную матрицу Дирака, р и р' – соответствующие импульсы протона, а± и b± – функции s = –(p + q)2 и t = –(p – p′)2, а значки + и – относятся к рассеянию положительных и отрицательных мезонов. Поляризацию протона отдачи, возникающую при рассеянии мезонов на неполяризованных протонах, легко найти, воспользовавшись следующей формулой [Michel (1955), Биленький (1959)]:

ξµ = где ξµ

[

]

Sp iγ 5 γ µ MΛ ( p )MΛ( p′) , Sp [MΛ ( p )MΛ( p′)]

(3)

– четырехмерный вектор поляризации, ортогональный

имульсу p′; Λ(р) и Λ(р ′ ) – проецирующие операторы, выделяющие состояния с положительной энергией. Оператор поляризации ξ для частицы с импульсом р в любой системе координат удовлетворяет следующим соотношениям: ξ ⋅ p = 0; ξ 2 = − PR2 , где PR – поляризация в R-системе частицы. 175

Из (2) и (3) получаем следующее выражение для поляризации: 2 ⎤ ⎡ 2 Ima± b±* ⎢t ⎛⎜ su − M 2 − µ 2 ⎞⎟⎥ 1 / 2 ⎠⎦ ⎣⎝ ξµ± = nµ ,(4) 2 2 2 * a± 4M − t + 2 Re a± b± M (u − s ) + 1 / 4 b± (u − s )2 − t t − 4µ 2

(

(

)

[

)

(

)]

М и µ – массы нуклона и мезона, 2 2 2 u = −( p − q′) = 2 M − µ − s − t , а nµ – единичный пространственно-подобный четырехвектор, пропорциональный iε µνρσ pν qρ pσ′ . В r r r p × p′ системе центра инерции n4 = 0, а n = r r . p × p′ где

(

)

При s >> t и M2 из (4) получаем:

ξ µ± =

2 Im a± b±* − t 2

2 Ma± − sb± − t a±

2

nµ .

(5)

Из этого выражения видно, что поляризация отлична от нуля

sb ведут M себя одинаково в указанной области значений переменных s и t. sb+ Предположим, что а+ и ведут себя асимптотически, как M s α (t )φ(s, t ) , (6) при s → ∞ и фиксированном t только в случае, когда а и

где а(t) и φ( s , t ) – функции, определенные в работах [Логунов (1964), Logunov (1964)]. Тогда, как показано в работе [Логунов (1964)], из теоремы Фрагмена–Линделефа следует, что a+ (− s, t ) = eiπα(t )a+ (s, t ) ,

b+ (− s, t ) = −eiπα(t )b+ (s, t ) . (7) Воспользуемся теперь условием перекрестной симметрии, которое связывает амплитуды M+ и M−: M − ( p′q′; pq ) = γ 4 M + ( p − q′; p′ − q ) γ 4 . (8)

Из (8) вытекают следующие соотношения для функций а и b:

a− (s, t ) = a+* (u , t ) ,

b− (s, t ) = −b+* (u , t ) . (9) Комбинируя (9) с (7), получаем при s → ∞ и фиксированном t: 176

a− (s, t ) = e −iπα(t )a+* (s, t ) ,

b− (s, t ) = e −iπα(t )b+* (s, t ) .

(10)

Из (10) и (5) находим следующее асимптотическое соотношение между поляризациями:

ξµ+ (s, t ) = −ξ µ− (s, t ) .

(11)

Таким образом, если при больших энергиях поляризация протонов отдачи в рассеянии π+-мезонов на протонах отлична от нуля, то поляризация протонов отдачи в π−-р –рассеянии также не равна нулю и отличается от поляризации в π+-р –рассеянии лишь знаком. Перейдем теперь к рассмотрению процесса перезарядки:

π− + p → π0 + n .

(12) Применяя перекрестную симметрию, мы свяжем амплитуду реакции (12) в нефизической области с амплитудой процесса:

π + + n → π0 + p .

(13)

Однако в силу зарядовой симметрии амплитуды процессов (12) и (13) совпадают. С помощью перекрестной симметрии и теоремы Фрагмена– Линделефа для процесса перезарядки получаем:

a0 (s, t ) = e −iπα(t )a0* (s, t ) , b (s, t ) = e −iπα(t )b* (s, t ) . 0

0

(14)

Эти равенства означают, что Im a0 b0* равна нулю, и что в результате поляризация нейтрона отдачи в (12) обращается в нуль при больших энергиях и в случае одинакового асимптотического поведения функций a0 и

sb0 . Возможно, что неодинаковое поведение в M

асимптотике этих двух членов является причиной неравенства нулю поляризации нейтрона, обнаруженного сотрудничеством ПРОЗА. Конечно, имеет право и другое суждение, высказанное в начале этого параграфа, что 40 ГэВ не является еще асимптотической энергией. III. Рассмотрим реакции: π+ p →Y + K , (15а) K + p →Y + π . (15b) Если внутренние четности Ii и If начальных и конечных частиц совпадают, то амплитуда процесса (15а) равна (матрица рассеяния должна быть скалярной функцией): 177

qˆ + qˆ ′ , (16) 2 где q и q′ – импульсы π- и K-мезонов; p и р' – импульсы нуклона и гипеM ( p′q′; pq ) = a + ib

рона, qˆ = γq и qˆ ' = γq ' .

При изменении внутренних четностей (Ii = –If) амплитуда этого процесса записывается в виде (псевдоскалярная матрица): qˆ + qˆ ′ M ( p′q′; pq ) = cγ 5 + idγ 5 . (17) 2 При s → ∞ и фиксированном t в случае Ii = If поляризация оказывается равной

ξµ =

2 Im ab* s − t a(m + m') − sb − t a 2

2

nµ ,

(18)

где m и m′ – массы нуклона и гиперона, а nµ имеет тот же смысл, что и раньше. Аналогично асимптотическое выражение для поляризации при Ii = – If имеет вид:

ξµ = −

2 Im cd * s − t c(m − m') − sd − t c 2

2

nµ .

(19)

Условие перекрестной симметрии типа (8) связывает амплитуду реакции (15а) в нефизической области с амплитудой реакции ⎯π + Y → ⎯K + + р, являющейся обратной по отношению к реакции (15b). Амплитуду этого процесса легко связать с амплитудой реакции (15b), если воспользоваться РТ-инвариантностью. Из перекрестной симметрии вида (8) и РТинвариантности получаем:

M ( p ′q ′; pq ) = ηγ 4UM * ( p ′ − q; p − q′)U −1γ 4 .

(20) Здесь Mc – амплитуда процесса (15b), U – матрица, удовлетворяющая условию: UγTµU −1 = γ µ

,

η – фазовый множитель, возникающий при PT-преобразовании. В случае Ii = If соотношение (20) дает:

ac (s, t ) = ηa* (u , t )

bc (s, t ) = −ηb* (u , t ) . При Ii = – If получаем:

cc (s, t ) = −η c* (u , t ) , 178

(21)

d c (s, t ) = ηd * (u , t ) .

(22) В этих формулах функции аc, bc и сc, dc связаны с амплитудой процесса (15b) соотношениями, аналогичными (16) и (17). Предполагая, как и в пункте II, одинаковое асимтотическое поведение sb sb амплитуд a, и с, и применяя при s → ∞ и фиксированном t теоm m рему Фрагмена–Линделефа, получаем:

I f = I i , ac (s, t ) = ηe −iπα1 (t )a * (s, t ) , b (s, t ) = ηe −iπα1 (t )b* (s, t ) ;

(23)

I f = − I i , bc (s, t ) = −ηe c (s, t ) , d (s, t ) = −ηe −iπα 2 (t )d * (s, t ) .

(24)

c

−iπα 2 (t ) *

c

Выражения для поляризации

ξµc

, возникающей в реакции (15b), могут

быть получены из (18) и (19) заменой а → ас и т.д. Учитывая это, из (18), (19), (23) и (24) получаем, что поляризации в реакциях (15а) и (15b) независимо от относительной четности равны по величине и противоположны по знаку:

ξ µc = −ξ µ .

(25)

Естественно, что это относится и к реакциям: К– +p→K 0+Ξ 0, К + p → K + + Ξ 0, если спин Ξ-гиперона равен 1/2. Заметим также, что применение условия перекрестной симметрии (20) и теоремы Фрагмена−Линделефа к реакции К– +p→K+ + Ξ−, позволяет заключить, что при s → ∞ и фиксированном t поляризация Ξ−-гиперона обращается в нуль независимо от предположений об асимптотическом поведении отдельных членов амплитуды. Покажем теперь, что в реакциях Y1 + A → Y2 + B , (26a) 0

Y2 + A → Y1 + B ,

(26b)

где А и В – частицы со спином 0, а Y1 и Y2 – частицы со спином 1/2, поляризации ξµ и ξµc частиц Y2 и ⎯Y1 противоположны:

ξ µc = −ξ µ ,

179

(27)

если Ii = If , и одинаковы:

ξ µc = ξ µ

(28)

в случае Ii = −If . Для этого запишем матричные элементы процессов (26а) и (26b) в виде: u ( p′)N ( p′ q′; p q )u ( p ) , u ( p′)N c ( p′ q′; p q )u ( p ) ,

u(р') и и(р) − спиноры с положительной энергией. Амплитуды N и Nc имеют вид (16) и (17) в зависимости от относительной четности частиц. Условие перекрестной симметрии имеет в данном случае вид:

N c ( p′ q′; p q ) = η′γ 4 N + ( p − q′; p′ − q )γ 4 ,

(29)

где η′ – фазовый множитель, возникающий при зарядовом сопряжении. В случае, когда четность не меняется, (29) приводит к соотношениям вида (21). В случае изменения внутренней четности возникнут соотношения, отличающиеся от (22) лишь знаком у второго равенства. Поскольку выражения для поляризации будут иметь вид (18) и (19), мы приходим к (27) и (28). Примерами реакций (26) являются следующие пары:

Σ + + He → HeΛ + p

и

p + He → HeΛ + Σ + ,

и p + He → HeΛ + Ξ − . (30) IV. Перейдем теперь к более сложному случаю реакций с частицами со спином 1/2. Рассмотрим вначале реакции

Ξ − + He → HeΛ + p

Σ− + p → Λ + n

и Λ + p → Σ− + n . Амплитуда процесса (31) может быть записана в виде:

M ( p1′ p2′ ; p1 p2 ) = a + bγ 5(2 ) + cγ (2 ) K1 + dγ 5(2 )γ (2 ) K1 ,

(31) (32)

где р1 и р1' – импульсы протона и нейтрона, р2 и р2' – импульсы Σ и Λгиперонов, K1 = 1 / 2( p1 + p1′ ) a, b, c и d – матрицы, действующие на спиновые переменные нуклонов. Предположим, что внутренние четности Σ- и Λ-гиперонов одинаковы, тогда

a = a1 + ia2 γ (1) ⋅ K 2 , c = c1 + ic2 γ (1) ⋅ K 2 , b = b1γ 5(1) + ib2 γ 5(1)γ (1) ⋅ K 2 , d = d1γ 5(1) + id 2 γ 5(1)γ (1) ⋅ K 2 ,

где

K 2 = 1 / 2( p2 + p2′ ) . 180

(33)

Выражение для поляризации конечного нейтрона может быть найдено с помощью формулы, аналогичной (3). Приведем окончательный результат для s → ∞ и фиксированного t:

[

]

2s − t nµ{ (m + m′)2 − t Im a1a2* − σ 2 − (m′ − m ) − t Im b1b2* + s 2 Im c1c2* − s 2 Im d1d 2* + ξµ =

[

(

]

)

(

)

+ (m + m′) s Re a c − a1c2* + (m − m′) s Re b1d 2* − b2 d1* } , (34) * 2 1

[ ] [ a (4M − t ) + [(m − m′) − t ][− t b + 2(m′

где σ = (m + m′) − t

2

2

2

1

2

2

[ ( + s [− t d

− 4 Ms Re a1a 2*

2

)

2

1

)

2

1

(

)

2

( )Im(b d

* 1 2

]+

+ 2 m′ 2 − m 2 M Re d1d 2* + s 2 d 2

) [( + (m − m′)s [− t Imb d + (m′

+ s a2

2

]+

− m M Re b b + s b2 2

+ s 2 c1 4 M 2 − t − 4M s Re c1c2* + s 2 c2 2

2

2

]+

2

2

]+ (35)

) )+ s

] ],

+ (m + m′)s 4 M 2 − t Ima1c1* − 2 Ms Im a1c2* + a2 c1* + s 2 Ima2 c2* + * 1 1

2

2

* 2 1

+ b1d 2*

−m m и m' – массы Σ- и Λ-гиперонов, а M – масса нуклона.

2

Imb2 d 2*

Условие перекрестной симметрии имеет вид: −1 M c ( p1′ p2′ ; p1 p2 ) = γ (42 )γ (41)C (1)M *T (2 ) (− p1′ p2 ;− p1 p2′ )C (1) γ (41)γ (42 ) . (36) Здесь M c ( p1′ p2′ ; p1 p2 ) – амплитуда реакции (31), T(2) означает транспонирование по спиновым индексам гиперонов, а С – матрица зарядового сопряжения, удовлетворяющая условиям CγTµ C −1 = − γ µ и СT = –С. Отме-

тим, что при написании выражения (36) мы опустили несущественный для дальнейшего фазовый множитель, возникающий при зарядовом сопряжении. Очевидно, что амплитуда M c ( p1′ p2′ ; p1 p2 ) имеет тот же вид, что и амплитуда (32). Соответствующие коэффициенты обозначим a1c , a2c и т.д. Из (36) получаем:

a1c (s, t ) = a1* (u , t ), a2c (s, t ) = − a2* (u , t ),

b1c (s, t ) = b1* (u , t ), b2c (s, t ) = −b2* (u , t ), c1c (s, t ) = c1* (u , t ), c2c (s, t ) = −c2* (u , t ),

d1c (s, t ) = − d1* (u, t ), d 2c (s, t ) = d 2* (u , t ), где u = 2 M 2 + m 2 + m′ 2 − s − t . 181

(37)

Поляризация нейтрона в реакции (31) получается из (34) и (35) заме→ ′ ной a1 → a1c и т.д., а также заменой m← m . Предположим вначале, что функции a1, sa2 , b1, sb2 , c1, sc2 , d1, sd 2 (38) ведут себя одинаково при s → ∞ и фиксированном t. В этом случае, как видно из выражений (34) и (35), поляризация отлична от нуля. Из (37) и теоремы Фрагмена–Линделефа получаем при s → ∞:

a1c = e−iπα(t )a1* , a2c = e−iπα(t )a2* , b1c = e−iπα(t )b1* , b2c = e−iπα(t )b2* , c c = e −iπα(t )c* , c c = e −iπα(t )c* , 1

1

2

2

(39)

d1c = e −iπα(t )d1* , d 2c = e −iπα(t )d 2* . Из (39) и выражений для поляризаций нейтронов в реакциях (30) и (31) очевидно, что поляризации в этом случае противоположны: ξµc = −ξµ . (40) Предположим теперь, что не все функции (38) ведут себя одинаково при s → ∞. Тогда для того чтобы поляризация была отлична от нуля, необходимо, чтобы, по крайней мере, две наиболее быстро растущие функции вели себя одинаково (естественно, что эта пара функций должна входить в виде произведения в числитель выражения для поляризации). Очевидно, что и в этом случае выполняется соотношение (40). Мы рассмотрели случай одинаковых внутренних четностей Σ- и Λгиперонов. Можно показать, что и в случае противоположных внутренних четностей поляризации нейтронов в процессах (30) и (31) связаны соотношением (40). Обратимся теперь к упругому рассеянию гиперонов и антигиперонов нуклонами: Y + p → Y + p, (41) Y + p → Y + p.

(42) Амплитуды этих процессов имеют вид (32) – (33) с b2 = d1 = 0 . Последние условия вытекают из инвариантности относительно обращения времени. Поэтому все предыдущие соотношения справедливы и для процессов упругого рассеяния (41) и (42), и поляризации протонов отдачи в этих процессах также связаны соотношением (40). Аналогичным способом можно показать, что поляризации конечных гиперонов и анигиперонов в (41) и (42) удовлетворяют соотношению (40). Заметим, что в случае восьмичленных амплитуд, описывающих процессы 182

(30) и (31), нельзя сделать заключений о соотношении между поляризациями гиперонов и антигиперонов, не зависящих от предположений о характере асимптотического поведения отдельных членов амплитуды при s → ∞ и фиксированном t. Из сказанного об упругом рассеянии гиперонов ясно, что и при рассеянии нуклонов нуклонами и антинуклонов нуклонами поляризации нуклонов и антинуклонов и соответственно поляризации нуклонов отдачи связаны соотношением (40). V. В заключение рассмотрим вкратце комптон-эффект на протоне. Амплитуда процесса может быть записана в виде:

M ( p′k ′; pk ) = ×

ε′ ⋅ P ′ ⋅ ε ⋅ P ′ [A1 + iA2 Kˆ ] ε′ ⋅ N ⋅2ε ⋅ N [A3 + iA4 Kˆ ] × 2 P′ N

ε′ ⋅ P ′ ⋅ ε ⋅ N − ε′ ⋅ N ⋅ ε ⋅ P ′ 2 P′ 2 N 2

iγ 5 A5 +

ε′ ⋅ P ⋅ ε ⋅ N − ε′ ⋅ N ⋅ ε ⋅ P ′ 2 P′2 N 2

γ 5 Kˆ A6 , (43)

где р и р' – импульсы начального и конечного протона, k и ε и k' и ε' – импульсы и поляризации начального и конечного фотонов, K = 1/2 (k + PK + k' ) , P′ = P − 2 K , P = 1/2 (p + p' ) , N α = i ε α β γ δ P ′ β K γ ( k K – k′)δ. При s → ∞ и фиксированном t поляризация протона отдачи оказывается равной: ξµ =

(A

1

2

+ A3

2

)(4M − t )+ ( A 2

(

)

s − t 2 Im A1 A2* + A3 A4* nµ 2

2

+ A4

2

)s

2

(

)

2

− 4 Re A1 A2* + A3 A4* Ms − t A5 + s 2 A6

2

. (44)

Применяя условие перекрестной симметрии

A1,3,5,6 (s, t ) = A1*,3,5,6 (u , t ) , A2, 4 (s, t ) = − A2*, 4 (u, t )

(45)

и теорему Фрагмена–Линделефа, можно убедиться, что поляризация протона обращается в нуль при s → ∞ и фиксированном t независимо от предположения об асимптотическом поведении амплитуд. Список литературы Биленький С.М., Рындин Р.М. ЖЭТФ 36 (1959) 1609. Биленький С.М., Нгуен Ван Хьеу, Рындин Р.М. ЖЭТФ 46 (1964) 1098. Логунов А.А. и др. ЖЭТФ 46 (1964) 1079. 183

Мейман Н.Н. Сб. “Вопросы физики элементарных частиц”. Изд-во АН Арм. ССР, Ереван, 1962. Неванлина Р. Однозначные аналитические функции. ГИТТЛ, М-Л., 1941. Померанчук И.Я. ЖЭТФ 34 (1958) 725. Abragam et al. Рhys. Lett. 2 (1962) 310. Chamberlain O. et al. Bul. Am. Phys. Soc. 8 (1963) 38. Logunov A.A. et al. Рhys. Lett. 7 (1963) 69. Logunov A.A., Nguyen Van Hieu and Todorov I.T. Рhys. Lett. 12 (1964) 139. Michel L., Wightman A. Phys. Rev. 98 (1955) 1190. Nguyen Van Hieu Phys. Lett. 9 (1964) 81. RHIC: Review of particle physics, vol. 593/1-4 (2004) 235.

§27. Модель Редже В начале 60-х гг. с большим энтузиазмом была воспринята физиками идея итальянского теоретика Т. Редже об аналитическом продолжении амплитуд рассеяния в комплексную плоскость орбитального момента l [Альфаро (1966)]. Как известно из работ Мандельштама, физические амплитуды в s-, t- и u-каналах представляют единую аналитическую функцию, удовлетворяющую условию перекрестной симметрии. Это значит, что знание амплитуды в одном из этих каналов позволяет определить амплитуды и в других каналах. Идея Редже оказалась очень плодотворной по той причине, что привела к явному предсказанию энергетической зависимости в sканале, зная полюса амплитуды в t-канале. Краткое изложение математической реализации идеи Редже сводится к следующему. Как мы знаем из §20, любая из пяти физических амплитуд может быть разложена по парциальным волнам. Для простоты возьмем случай бесспиновой амплитуды рассеяния в t-канале и разложим ее по полиномам Лежандра: a(s, t ) = ∑ (2l + 1)al (t )Pl (cos θt ) . (1) l

Здесь s – квадрат полной энергии в s-канале, t – квадрат полной энергии в t-канале: θt – угол рассеяния в t-канале. Распространяя область определения параметра l на всю комплексную плоскость и используя преобразование Зоммерфельда–Ватсона, можно получить формулу

a(s, t ) = ∑ βi (t )ηi (t )s α i (t )−1 ; i

184

(2)

αi (t ) называются траекториями полюсов Редже. Предполагается, что в комплексной плоскости значений l имеются только полюса, и что все они лежат на одной линейной траектории α(t ) = α(0 ) + α' (0 ) t . (3) Также предполагается, к чему есть экспериментальные указания, что полюса наблюдаются только при целых значениях l, и в этих точках t = ml2 (нефизическая область). В этих предположениях парциальная амплитуда al (t ) принимает вид

al (t ) ≈

β(t ) β(t ) . ≈ 1 − α(t ) α' (0 ) ml 2 − t

(

)

(4)

Здесь функция β(t ) является вычетом амплитуды в полюсе. Подставляя это выражение в (1), устремляя s→∞ при фиксированном значении t, мы придем к следующей форме амплитуды в s-канале:

a(s, t ) = a(t )s α (t ) .

(5) Это выражение имеет несколько интересных следствий. Первое из них относится к дифференциальному сечению упругого рассеяния. Запишем это сечение:

dσ 1 2 ≈ 2 a(s, t ) ≈ f (t )s 2α (t )− 2 . dt s

(6)

Используя соотношение (3), это выражение можно переписать следующим образом:

⎛s⎞ dσ ≈ f (t )s2α(t )−2 ≈ f (t )⎜⎜ ⎟⎟ dt ⎝ s0 ⎠ где B = 2α' (0 )ln

⎧ ⎫ 2α(0)−2 ⎪⎨⎡⎢2α'(0) ln( s )⎤⎥t ⎪⎬ s0 ⎦ ⎪⎭ ⎪⎩⎣

e

⎛s⎞ ≈ f (t )⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ s0 ⎠

2α(0)−2

eBt ,(7)

s , s0 – нормировочный параметр. s0

Следовательно, параметр наклона сечения упругого рассеяния должен расти с энергией логарифмически, если наклон траектории α' (0 ) ≠ 0 , и таким же образом должен сжиматься конус дифракционного рассеяния. Это предсказание было впервые подтверждено экспериментами на У-70 на примере упругого pp-рассеяния в области энергии 10 – 70 ГэВ и в интервале квадрата переданных импульсов t =0,02 – 0,2 (ГэВ/с)2. Аналогичные измерения параметра наклона в упругом π− p -рассеянии были проведены также на вторичных пучках ускорителя У-70 Института физи185

ки высоких энергий. Измерения были выполнены в области энергии 25 – 55 ГэВ и в интервале квадрата переданного импульса 0,05 – 0,5 (ГэВ/с)2. Эти опыты показали, что дифракционный конус не сжимается в пион-нуклонном рассеянии. Это означает, что в этих двух рассмотренных процессах ведущими являются разные по типу полюса, хотя ожидается преимущественный вклад вакуумного (померон) полюса. Намечается противоречие экспериментальных результатов с предсказаниями модели Редже. Второе следствие было извлечено из сопоставления сечения реакции перезарядки

π − + p = π0 + n

(8) с предсказанием модели Редже. Эта реакция должна проходить через обмен одним ρ -полюсом, имеющим квантовые числа I = 1 (изотопический спин), четности P = G = +. Если это так, то поляризация в этой реакции должна быть равна нулю. Это происходит потому, что при обмене одним полюсом обе амплитуды реакции (8) с переворотом и без переворота спина получают одинаковые фазы и произведение этих амплитуд становится действительным. Так как поляризация пропорциональна мнимой части интерференции этих амплитуд, то она оказывается равной нулю. Чуть позже мы еще раз затронем эту тему. Рассмотрим некоторые следствия применения полюсной модели Редже к поляризационным параметрам в упругом πp - и pp -рассеяниях: Запишем матрицу пион-нуклонного рассеяния в с.ц.м. следующим образом: r r M = G ± iH (σ • n ) , (9) где G и H – не зависящие и зависящие от спина амплитуды в s-канале, r r r r r являющиеся функциями s и t; n = ki × k / ki × k – единичный вектор нормали к плоскости рассеяния; знак “+” относится к π+ p -рассеянию, а знак “–“ относится к π− p -рассеянию. Мы отметили выше, что при наличии только одного полюса поляризация в модели Редже равна нулю. Рассмотрим случай, когда имеются два полюса – один вакуумный и другой не вакуумный. Амплитуда в s-канале будет представлена в виде суммы амплитуд от двух полюсов в t-канале, а именно:

G = G 1t ± G t2, H = H 1t ± H t2 .

186

(10)

По определению поляризации P мы имеем для π + p -рассеяния

( ) [(

)(

I0P = Im GH ∗ = Im G 1t + G t2 H 1t + H t2

) ] = Im⎛⎜⎝G H ∗

t 1

t∗ t t∗ ⎞ 2 + G 2H 1 ⎟ .

⎠

(11)

Здесь мы учли, что произведение двух функций от одного и того же полюса является действительной величиной и поэтому

(

)

Im Gk H ∗k = 0 ,

(12)

где k = 1, 2, 3,…n, I0 представляет дифференциальное сечение рассеяния для неполяризованных протонов. Напишем теперь формулу для поляризации в случае π− p -рассеяния

( )

(

)(

)

∗ ∗ ∗ I0P = Im GH∗ = Im⎡ G 1t −G t2 H 1t − H t2 ⎤ = −Im⎛⎜G 1t H t2 + G t2H 1t ⎞⎟ . (13) ⎢⎣ ⎥⎦ ⎝ ⎠ Сравнивая (11) и (13), в предположении равенства сечений I0 для

π+ p - π− p -рассеяний приходим к соотношению P + (s, t ) = − P − (s, t ) .

(14) Это соотношение означает, что поляризации в процессах упругого рассеяния π+- и π–- мезонов должны быть зеркально-симметричными. Как показывают экспериментальные данные, это предсказание в определенной мере (при небольших t) выполняется. Полученное выше соотношение (14) может быть применено и к поляризации в упругом рассеянии протонов и антипротонов. Наибольшая энергия, при которой получены данные по поляризации частиц и античастиц, составляет 40 ГэВ для реакции pp → pp [Брюнетон (1976а)] и 45 ГэВ для реакции pp → pp [Брюнетон (1975)]. Эти данные резко контрастируют с соотношением (14); знаки поляризации для этих реакций в эксперименте практически одинаковы, в то время как по полюсной модели Редже они должны быть разными. Следующий вопрос, подлежащий рассмотрению, это энергетическая зависимость поляризации при фиксированных t и асимптотическом s. Пусть по-прежнему имеются два полюса, причем один вакуумный, а другой – не вакуумный, (например, ρ -полюс в случае пион-нуклонного рассеяния или ω -полюс в случае нуклон-нуклонного рассеяния). Запишем матрицу пион-нуклонного рассеяния через вклады полюсов Редже в t-канале, следуя параметризации, принятой в работе [Rarita (1968)]:

187

1/ 2 ⎛ ⎞ (± ) s ξ j ⎜⎜ s ⎟⎟ 8π ⎝ s0 ⎠

M (πN ) = ∑ j

G=∑ j

1/ 2 ⎛ ⎞ (± ) s ξ j ⎜⎜ s ⎟⎟ 8π ⎝ s0 ⎠ 1/ 2

⎛ s ⎞ ξ j ⎜⎜ ⎟⎟ 8π ⎝ s0 ⎠

s H = ∑ (± ) j

α j −1

α j −1

(

r r ηπj η Nj + iφ Nj σ • N

( )

ηπj η Nj α j −1

) (15)

(

)

r r ηπj iφ Nj σ • N ,

где знаки (± ) зависят от сигнатуры полюса ξ j , при

ξ j (t ) =

1 + τe −iπα(t ) , sin[πα(t )]

и от конкретного процесса; j маркирует полюс и суммирование идет по всем полюсам; α j обозначает траекторию полюса j; в предположении, что функция вычета факторизуется, параметр ηπj представляет вычет в верхней вершине диаграммы t-канала (пионная вершина), а η Nj и φ Nj параметризуют вычет в нижней вершине диаграмм (нуклонная вершина). Определим дифференциальное сечение I 0 , поляризацию P и параметры тензора поляризации D, R упругого пион-нуклонного рассеяния. Для этого напомним некоторые общие формулы. Если матрицу плотности начального состояния взаимодействующих частиц обозначим ρi , а конечного ρ f , то связь между ними осуществляется матрицей рассеяния М формулой ρ f = Mρi M + .

(16)

ˆ тогда определяется Среднее значение любого спинового оператора Σ в конечном состоянии через соотношение

( ) ( )

Σ = Tr ρ f Σˆ / Tr ρ f .

(17)

Дифференциальное сечение выражается соотношением

( )

I 0 = Tr ρ f / Tr (ρi ) = G + H . 2

2

(18)

ˆ Поляризация находится из формулы (17), если вместо оператора Σ подставить оператор спина sˆ =

1 σˆ : 2 188

(

)

I 0 P = Im GH ∗ .

(19) Формула (15), подставленная в (19), еще раз показывает, что поляризация отсутствует при наличии только одного полюса. Теперь вернемся к энергетической зависимости поляризации при наличии двух реджевских полюсов. Для сечения ограничимся только вакуумным полюсом. Тогда для энергетической зависимости сечения получаем

(

⎛ s ⎞ I ∝ s⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ s0 ⎠

)

2α P (t ) − 2

.

(20)

Для члена Im GH ∗ , входящего в поляризацию, энергетическая зависимость имеет вид α +α −2

( )

⎛ s ⎞ P R Im GH ∝ s⎜⎜ ⎟⎟ . (21) ⎝ s0 ⎠ Здесь α R (t ) и α P (t ) – реджеонная и померонная траектории соответственно. Разделив выражение (21) на (20), находим энергетическое поведение поляризации ∗

⎛ s⎞ P ∝ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ s0 ⎠

α R (t ) − α P (t )

.

(22)

Это теоретическое предсказание модели полюсов Редже в целом согласуется с экспериментальными данными в интервале энергии до 40 ГэВ при – t в интервале до 0,5 (ГэВ/с)2. При больших значениях инвариантного переданного импульса точности экспериментов недостаточны для количественной проверки соотношения (22). Иллюстрация этого утверждения следует ниже. Рассмотрим теперь нуклон-нуклонное упругое рассеяние. В этом случае, с учетом спина у обеих взаимодействующих частиц, матрица рассеяния в представлении Вольфенштейна запишется в общем виде

(

)

(

)(

)

r r r r r r r M ( NN ) = a + ic σ(1) + σ(2 ) • N + m σ(1) • N σ(2 ) • N +

(

)(

)

(

)(

)

r r r r r r r r + ( g + h ) σ(1) • P σ(2 ) • P + ( g − h ) σ(1) • K σ(2 ) • K . В полюсном представлении модели Редже эта матрица приобретает форму [Rarita (1968)]

189

M (NN ) = ∑ (± ) j

a=∑ j

1/ 2 ⎛ ⎞ (± ) s ξ j ⎜⎜ s ⎟⎟ 8π ⎝ s0 ⎠

c = ∑ (± ) j

s1 / 2 ⎛ s ⎞ ξ j⎜ ⎟ 8π ⎜⎝ s0 ⎟⎠

1/ 2

⎛ s ⎞ s ξ j ⎜⎜ ⎟⎟ 8π ⎝ s0 ⎠

α j −1

α j −1

α j −1

(η

Nj

)(

r r r r + iφ Nj σ(1) • N η Nj + iφ Nj σ(2 ) • N

)

η2 Nj (23)

r r r r iη Nj φ Nj (σ(1) • N + σ(2 ) • N )

α j −1 r r r r s1 / 2 ⎛ s ⎞ ξ j ⎜⎜ ⎟⎟ ( −φ2 Nj )(σ(1) • N )(σ(2 ) • N ). 8π ⎝ s0 ⎠ j В этой модели рассматриваются полюса с целыми спинами, причем здесь учтены следующие факторы: • факторизация функции вычета; это позволяет использовать одни и те же параметры в пион-нуклонном и нуклон-нуклонном рассеянии; • асимптотически амплитуда |g - h| << |g + h|, а |g + h| убывает как s–1 по отношению к амплитудам a, c и m [Sharp (1963), Wagner (1963)]; следовательно, можно положить g = h= 0;

m = ∑ (± )

•

из соотношения (23) следует равенство c 2j − a j m j . Таким образом, в

обсуждаемой модели полюсов Редже матрица нуклон-нуклонного рассеяния содержит всего две независимые амплитуды, чем значительно упрощается задача вычисления наблюдаемых величин. Матрица рассеяния антинуклонов на нуклонах имеет аналогичный вид формулы, за исключением того, что вклад полюса с нечетной сигнатурой должен входить с противоположным знаком, чем в случае нуклоннуклонного рассеяния. Результаты работы [Bruneton (1976b)] по сопоставлению экспериментальных данных с предсказаниями модели Редже представлены на рис. 1. Экспериментальные результаты по измерению поляризации обрабатывались по формуле модели Редже, а именно: P(t ) = A(t )s

α eff (t )

, где α eff = α R + α P − 2 .

В обработку для нахождения α eff (t ) включались все данные от 6 до 45 ГэВ/с. При каждой фиксированной точке –t фитировались данные по поляризации в функции s. Таким путем для интервала 0,1≤ |t| ≤0,5 (ГэВ/с)2 были найдены 5 значений α eff (t ) для реакции K + p → K + p (темные точки с ошибками на рис. 1) и 7 точек для реакции pp → pp (светлые точки 190

с ошибками на том же рисунке). Для первой реакции наблюдается хорошее согласие с моделью Редже, если принять для траекторий следующие зависимости: αρ = 0,52 + 0,93t для ρ -полюса и α P = 1+ 0,27t для померона. Эти траектории показаны сплошными линиями на рис. 1. Также сплошной линией показана зависимость α eff = α R + α P − 2 , которая сравнивается с найденными из экспериментов точками. Как можно видеть, имеется хорошее согласие между предсказаниями модели Редже и результатами по поляризации в упругом K + p -рассеянии в интервале энергии 6 – 45 ГэВ. В работе [Bruneton (1976b)] такое же согласие наблюдалось для реакций упругого рассеяния положительных и отрицательных пионов на протонах в том же интервале энергий. В той же работе подтверждается экспериментально и другое предсказание модели полюсов Редже, а именно, зеркальная симметрия между поляризациями в реакциях π+ p → π+ p и π− p → π− p . Таким образом, имеем некоторые факты в пользу простой полюсной модели Редже.

Рис. 1. Экспериментальная проверка предсказаний полюсной модели Редже для энергетической зависимости поляризации

Однако тот же рис. 1 показывает, что данные по поляризации в упругом рассеянии протонов на протонах резко противоречат предсказаниям простой полюсной модели Редже. Светлые точки на этом рисунке систематически лежат ниже теоретической линии. Как утверждают авторы работы [Bruneton (1976b)]: “Быстрое уменьшение поляризации в интервале |t| = 0,5 – 1,0 (ГэВ/с)2 с ростом энергии может быть объяснено, если предположить, что, в противоположность обычной картине, интерференция 191

между амплитудами с изменением и без изменения спиральности померонного обмена вносит вклад в поляризацию в упругом pp-рассеянии при 45 ГэВ/с”. Еще раньше, в 1975 г., этот же коллектив авторов (Сотрудничество ГЕРА) пришел к тому же выводу на основании изучения энергетической зависимости отношения спин-флиповой (с переворотом спина) к спин-нефлиповой (без переворота спина) амплитуде. Если добавить сюда наличие поляризации в реакции пионной перезарядки, чего не должно быть по полюсной модели Редже, то становится понятным, что эта модель должна быть существенно модернизирована. Некоторые проблемы в этом русле мы обсудим в дальнейшем. С теоретической точки зрения представляет интерес рассеяние пионов на пионах в полюсной модели. Поскольку мы имеем дело с бесспиновыми частицами, то формулы становятся короче, однако поведение амплитуды рассеяния является характерным и для более сложных случаев. Так, асимптотическая форма амплитуды для бесспиновых частиц имеет вид

M = ξ(2 s0 )(s s0 )α ηπη'π .

(24)

Здесь η и η′ – функции вычетов в верхней и нижней вершинах диаграммы Фейнмана в t-канале реакции. Иногда называют эти функции tзависящими связями между парой входящих и выходящих пионов. Для полного сечения ππ-взаимодействия из оптической теоремы находим

[(

σ ππ (s ) = Im M (s, t = 0) s s − 4mπ 2

)]

12

→ ∑ τi (s s0i )α i −1 (ηπi )2 .

(25)

i

При получении этой формулы предполагалось, что функция ηπ действительна при энергиях t ниже порога образования частицы. Дифференциальное сечение ππ-рассеяния записывается в виде α −1

α l −1

⎛ s ⎞ j ⎜ ⎟ ηπ i 2 ηπ j 2 . (26) ⎜ s0 j ⎟ ⎝ ⎠ Ниже, по аналогии с формулами для ππ-рассеяния, дадим в рамках

(

1 dσ ππ = Re ξ∗i ξ j ∑ dt 4π

)

⎛ s ⎞ ⎜ ⎟ ⎜s ⎟ ⎝ 0i ⎠

( )( )

рассматриваемой полюсной модели Редже [Rarita (1968), Wagner (1963)] определения некоторых поляризационных тензоров, релятивистские формулы, выражающие эти величины через амплитуды, и схему их измерения на опыте. 1. Для полного сечения: πN-рассеяния

[(

σπN (s ) = Im M (s, t = 0 ) s s − 4mπ2

)]

NN-рассеяния 192

1/ 2

→ ∑ τi (s s0i )α i −1 ηπi η Ni ; (27) i

[(

σ NN (s ) = Im M (s, t = 0) s s − 4mπ2

)]

1/ 2

→ ∑ τi (s s0i )α i −1 η2 Ni . (28) i

Здесь дают вклады только амплитуды без переворота спина, и соответственно, входят только функции η . Формулы (27) и (28) широко использовались (примером является работа [Rarita (1968)], обсуждаемая нами) для обработки данных по полным сечениям в начале 70-х гг. Причем модель Редже при использовании померона с α P (0 ) = 1 приводит к постоянным полным сечениям, что было правильно при измеренных в то время энергиях меньше 30 ГэВ. Однако обнаруженный на У-70 ИФВЭ рост полных сечений (Серпуховский эффект) при энергиях больше 40 ГэВ оказался сильнейшим ударом по полюсной модели Редже – этот эффект не мог найти объяснения в рамках этой модели. Дифференциальное сечение рассеяния неполяризованной частицы на неполяризованной мишени: для упругого рассеяния пионов на нуклонах

I 0 (πN ) = G + H = 2

(

1 = ∑ Re ξ∗i ξ j 4π

2

⎛ s ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ s0i ⎟ ⎝ ⎠

)

α i −1

⎛ s ⎜ ⎜ s0 j ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

α j −1

(

)

ηπ i ηπ j η N i η N j + φ N i φ N j , (28)

для упругого нуклон-нуклонного рассеяния 2

2

2

I0 = a + 2 c + m =

(

1 = ∑ Re ξ∗i ξ j 4π

)

⎛ s ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ s0i ⎟ ⎝ ⎠

α i −1

⎛ s ⎜ ⎜ s0 j ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

α j −1

(ηN iηN j + φ N iφ N j ) 2 .

2. Поляризация для упругого рассеяния: пионов на нуклонах

[

]

(

(29)

)

( I 0 P ) π N = Sp MM + σ(N1) = 2 Im GH ∗ =

(

1 Im ξ∗i ξ j = ∑ 2π i j

⎛ s ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ s0i ⎟ ⎝ ⎠

)

нуклонов на нуклонах

α i −1

⎛ s ⎜ ⎜ s0 j ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

α j −1

[

]

(ηN iηN j φ N iφ N j ) ,

[

]

( I 0 P ) N N = Sp MM + σ(N1) = 2 Im (a + m )c∗ =

193

(30)

(

1 = ∑ Im ξ∗i ξ j 2π i j

⎛ s ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ s0i ⎟ ⎝ ⎠

)

α i −1

⎛ s ⎜ ⎜ s0 j ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

α j −1

(ηN iηN j + φ N iφ N j )φ N iφ N j . (31)

Когда вклад дает один доминирующий полюс, то фазы всех амплитуд рассеяния окажутся одинаковыми и поляризация обратится в нуль. Если при асимптотических энергиях останется вклад только от одного доминирующего полюса, например, померона, то поляризация должна исчезнуть. Список литературы Альфаро Де В., Редже Т. Потенциальное рассеяние. М.: МИР, 1966. Биленький С.М., Нгуен Ван Хьеу, Рындин Р.М. Препринт ОИЯИ P1404, Дубна (1963). Коллинз П., Сквайрс Э. Полюса Редже в физике частиц. М.: МИР, 1971. Bruneton C. et al. Phys. Lett. B57 (1975) 389, ЯФ 23 (1976) 769. Bruneton C. et al. Phys. Lett. B61 (1976а) 103. Bruneton C. et al. Chech. J. Phys. B26 (1976b) 25. Rarita W. et al. Phys. Rev. 165 (1968) 1615. Sharp D.H. and Wagner W.G. Phys. Rev. 131 (1963) 2226. Wagner W.G. Phys. Rev. Lett. 10 (1963) 202.

§28. Элементы квантовой хромодинамики По современным представлениям сильно взаимодействующие частицы (адроны) состоят из кварков, взаимодействующих между собой через обмен глюонами. Известные к настоящему времени легкие и тяжелые кварки объединяются в три поколения. Каждое поколение содержит по два кварка. Как известно, и лептоны объединяются в три поколения по два лептона в каждом. Причем в этой схеме центральным является введение новой степени свободы, а именно, предполагается, что каждый кварк, независимо от остальных квантовых чисел, обладает цветом трех сортов, условно красным, желтым и голубым (в оригинале [Review (2004)] Red, Yellow, Blue). В свою очередь, глюон обладает восемью цветами. Идея о цветах основывалась на ряде экспериментальных результатов, некоторые из них перечисляются ниже [Клоуз (1982)]. 1. Большое сечение аннигиляции электрон-позитронной пары в адроны, наблюдавшееся в экспериментах. Теоретически предсказывается отношение

R=

(

σ e + e − → адроны

(

σ e+e− → µ+µ−

)

) = ∑e i

2 i

⎧2 3 отстутствие цвета , =⎨ при трёх цветах. ⎩2 194

(1)

Эксперименты согласуются с гипотезой трех цветов. В этих вычислениях не учитывался вклад очарованных частиц. Учет их в предположении, что они тоже трехцветные, приводят к лучшему согласию с опытными данными, чем в случае одного цвета. 2. Распад

π0 → γ + γ ,

(2)

тоже находится в согласии с гипотезой трех цветных кварков. 3. Сечение рождения лептонных пар адронами (процесс Дрелла–Яна) должно быть меньше в 3 раза, если работает гипотеза трех цветных кварков, по сравнению с ситуацией, если бы кварк был одноцветным. Эксперименты подтверждают такое подавление сечения. 4. Классическим примером в пользу цветных кварков является существование нуклонного резонанса ∆+ + , состоящего из трех u-кварков и имеющего спин, равный 3/2. Как фермион он должен подчиняться статистике Ферми–Дирака, однако исходя из тождественности всех составляющих его кварков он представляет явно симметричную систему. Только путем введения новой степени свободы, цвета, волновую функцию этой изобары можно антисимметризовать в следующем виде:

( )

ψ ∆+ + ∝ (u R↑u B↑uY↑ ) ε RBY ,

(3)

где uk↑ , k = R, B, Y – волновые функции кварков, ε RBY – антисимметричный тензор третьего ранга. В табл. 1 указаны обозначения кварков, их ароматы (аддитивные квантовые числа Iz, S, C, B, T) и их электрические заряды Q. При этом принято соглашение, что любое квантовое число из кваркового аромата имеет такой же знак, как и знак заряда у этого же кварка. Это соглашение удобно на практике. Так, например, если имеем дело с K+-мезоном, то знаем, что у него странность равна +1, а если с Ds–, то чарм и странность равны –1 каждый по отдельности. Все кварки без исключения имеют спин, равный 1/2, и барионное число, равное 1/3. Принято считать, что кварк имеет положительную четность. Каждый кварк имеет три цвета, и кварки взаимодействуют между собой, обмениваясь цветными глюонами. При этом глюон имеет восемь цветов и спин, равный 1, масса его равна нулю. Поскольку глюон не имеет электрического заряда, то он не подвержен электромагнитному взаимодействию напрямую, а только косвенным путем. Таким образом, глюон является аналогом фотона, как переносчика взаимодействия. Только в отличие от фотона, переносящего электромагнитное взаимодействие, глюон переносит сильное цветное взаимодействие. При этом глюон не взаимодействует с обычным электрическим зарядом, а 195

имеет восемь цветов, которые являются источниками сильного взаимодействия. Таблица 1 Параметры кварков Параметр Q-электрический заряд Iz – z-компонента изоспина S – странность C – чарм B – очарование T – топ M – масса кварка

d 1 − 3

u 2 + 3

1 2 0 0 0 0 4–8 МэВ

1 2 0 0 0 0 1,5–4 МэВ

−

s 1 − 3

c 2 + 3

b 1 − 3

0

0

0

0

–1 0 0 0 80– 130 МэВ

0 +1 0 0 1,15– 1,35 ГэВ

0 0 –1 0 4,1– 4,4 ГэВ

0 0 0 +1 174,3±5.1 ГэВ

+

t +

2 3

Теория сильных взаимодействий является неабелевой, также как и теория электрослабого взаимодействия. Она строится на предположении, что кварк с произвольным ароматом является трехцветным объектом. Калибровочный бозон (глюон) осуществляет взаимодействия между кварками и переносит цвет. Три цвета образуют группу цветовой симметрии SU(3)С. В настоящее время общепринятой теорией сильного взаимодействия является квантовая хромодинамика (КХД). Эта теория является одной из компонент Стандартной Модели, основанной на SU(3) × SU(2) × U(1) группе. В этом представлении кварк q описывается четырехкомпонентным дираковским спинором ψ i a ( x ) , где i обозначает цвет кварка и про-

бегает три значения; х – пространственно-временная координата кварка.

Глюоны представляются четырехмерным вектор-потенциалом Aa µ ( x )

(поля Янга–Миллса); a обозначает цвет глюона и пробегает восемь значений: a = 1, 2, 3,…8. Лагранжиан взаимодействия кварков и глюонов имеет вид (с точностью до калибровочного множителя)

1 a a LQCD = − Fµν Fµν + i ∑ ψ i q γ µ ( Dµ )ij ψ qj − ∑ mq ψ i q ψ qi , 4 q q a Fµν = ∂ µ Aνa − ∂ ν Aµa − g s f abc Aµb Aνc ,

196

(4)

(Dµ )ij = δij ∂µ + ig s ∑ 12 λaij Aµa . a

Здесь

a Fµν

представляет обобщенный тензор глюонного поля (т.е. не-

абелево обобщение тензора электромагнитного поля в квантовой электродинамике (КЭД)); f abc являются структурными константами цветной

SU (3)C группы. Генераторы этой группы подчиняются соотношениям

[Ta , Tb ] = if abcTc .

(5)

Также в формуле (4) mq обозначает массу кварка, gs – константу связи, a

а λ – матрицы Гелл-Мана. КХД обладает рядом особенностей. Первая особенность состоит в том, что константа взаимодействия α s =

g2 зависит от прицельного парамет2π

ра взаимодействующих кварков. При этом чем ближе два кварка, тем меньше эта константа. В переводе на переданный импульс это означает, что с ростом переданного импульса α s стремится к нулю. Это значит, что при очень больших энергиях, когда можно достичь очень больших переданных импульсов, наступает так называемая асимптотическая свобода. В этом случае КХД превращается как бы в теорию свободных, почти не взаимодействующих частиц. Поскольку при этом константа связи становится гораздо меньше единицы, то можно применять теорию возмущений. В этом направлений теоретики предсказывают много интересных эффектов, в том числе и поляризационных. В табл. 1 указаны интервалы масс кварков, как они известны на 2004 г. [Review (2004)]. Для топ-кварка указана масса, непосредственно измеренная в событиях. Введем понятие об эксклюзивных и инклюзивных реакциях. Эксклюзивные реакции – если все частицы идентифицированы и имеется полная информация об их импульсах. Инклюзивные реакции – a + b → c + X , где идентифицируется частица с и определяется ее импульс (предполагается, что начальные частицы a и b уже определены). Такой подход становится неизбежным при высоких энергиях, когда возрастает вероятность процессов с рождением двух и более ненаблюдаемых частиц. Измерения односпиновой поперечной асимметрии в инклюзивных процессах при больших энергиях приводили нередко к весьма неожиданным результатам. Особенно это касается асимметрии в области фрагментации поляризованных частиц или, по-другому, области мягких соударений (малых переданных импульсов). Мы рассмотрим возможность при197

менения КХД с учетом обобщенной схемы факторизации к последовательному феноменологическому описанию односпиновых явлений при больших энергиях. Поляризационные эксперименты обеспечивают проверку теории на более глубоком уровне, чем эксперименты с неполяризационными наблюдаемыми. Это связано с участием во взаимодействиях спина, новой степени свободы, чисто квантово-механического объекта. Поляризационные наблюдаемые, в отличие от полных и дифференциальных сечений, практически не могут быть описаны классическими методами. Среди поляризационных параметров односпиновая асимметрия занимает специфическое положение – ее измеренная величина намного больше, чем это ожидается в партонных взаимодействиях с учетом их функций распределений и адронизации. Пертурбативная кварковая хромодинамика (ПКХД) и гипотеза факторизации позволяют записать дифференциальное сечение процесса при больших энергиях как свертку двух типов взаимодействий: жесткого на малых расстояниях и мягкого на больших расстояниях. Первый процесс рассчитывается в ПКХД с использованием теории возмущений либо феноменологически. Мягкий процесс при современном состоянии теории не может быть рассчитан количественно без привлечения дополнительной информации из экспериментальных данных в виде партонных функций распределений и/или в виде функции фрагментации. К успеху КХД можно отнести тот факт, что она, зная из эксперимента универсальные функции распределения и фрагментации при данном значении Q2, может предсказать с помощью уравнений эволюции значения этих функций при любом другом значении Q2. Это значит, что достаточно измерить функции распределения партонов и их функции фрагментации в одном процессе при фиксированном Q2, чтобы предсказать их для других процессов и значений Q2. Список литературы Review of Particle Physics, Phys. Lett., B592 (2004) 37. Клоуз Ф. Кварки и партоны: введение в теорию. М.: МИР, 1982.

§29. Односпиновая асимметрия в инклюзивном рождении адронов На партонном уровне спиральность является хорошим и естественным квантовым числом для описания процессов взаимодействия. Можно ли распространить этот же подход на уровень сложных систем – адронов и получить такое же простое описание экспериментальных наблюдаемых? 198

При достигнутых энергиях и имеющихся экспериментальных данных ответ мы имеем отрицательный. Рассмотрим сложившуюся ситуацию с экспериментальными данными. • Поляризация гиперонов, в основном Λ -частиц, образующихся в процессе p + N → Λ ↑ + X с начальными неполяризованными нуклонами [Heller (1996), Panagiotou (1990)]. Поляризация Λ -гиперонов достигает 20 %, в то время как на партонном уровне ожидается практически нулевая величина [Felix (1999)]. Удобство работы с гиперонами вообще и с Λ -гиперонами в частности состоит в том, что основная мода распада

Λ → p + π − идет с нарушением четности, и угловое распределение протонов в системе покоя Λ - гиперонов имеет вид 1 (1 + αPΛ (θ) ⋅ cos ϕ) . W (θ, ϕ) = (1) 4π Здесь α = 0,64, θ – угол рождения Λ -гиперона, ϕ – угол испускания протона по отношению к направлению поляризации Λ -гиперона. Анализируя это угловое распределение, можно определить поляризацию Λгиперона PΛ.

• Другая важная информация была получена в эксперименте Е704 в Фермилабе [Adams (1991), Bravar (1996)]. Изучалась асимметрия в инклюзивном образовании пионов при бомбардировке поляризованными протонами и антипротонами жидководородной мишени. В определенной кинематической области, так называемой области фрагментации поляризованной начальной частицы, наблюдалась асимметрия на уровне 20–30 %. • Таким же интересным фактом является обнаружение азимутальной асимметрии в испускании пионов в реакции l + p ↑→ l + π + p . Эта реакция называется “полуинклюзивное глубоконеупругое рассеяние (ПИГНР)” или “SIDIS (semi-inclusive deep inelastic scattering)”. Процесс является практически эксклюзивным и идет с неполяризованными лептонами и поперечно-поляризованной протонной мишенью. Асимметрия,

определенная в системе ( γ ∗ p ), оказалась тоже заметной величиной порядка 10 % [Avakian (1999), Airapetian (2000), Bravar (1999)]. Современная обобщенная версия схемы факторизации в КХД (факторизация заключается в разбиении функции распределения партонов на части, отвечающие малым и большим расстояниям между взаимодействующими частицами) позволяет надеяться на единую интерпретацию всех перечисленных выше экспериментальных фактов. В этой схеме допускается поперечное по импульсу распределения кварков в адроне так же, как и адронов в конечном фрагментирующем партоне. Таким образом, в но199

вой схеме используется неколлинеарная кинематика, и, в результате, появляются возможности для обнаружения спиновых явлений, отсутствовавших в коллиниарной конфигурации. Чтобы ввести модифицированный формализм для описания односпиновой инклюзивной асимметрии в общем случае, удобно начать с рассмотрения инклюзивного процесса p ↑ + p → π + X . Реакция рассматривается в с.ц.м., где ось z идет вдоль направления пучка, (xz) определяет плоскость реакции. Вектор поляризации пучка имеет знак “+”, если он направлен по оси y вверх, и “–“, если он направлен вниз. Импульс пиона r обозначается pπ , его продольная и поперечная компоненты через

r r pL , pT соответственно. Измеряемая асимметрия определяется формулой AN (xF , pT ) ≡

dσ ↑ ( xF , pT ) − dσ ↓ (xF , pT ) . dσ ↑ (xF , pT ) + dσ ↓ (xF , pT )

(2)

Здесь dσ = Eπ d 3σ d 3 pπ представляет инвариантное дифференциальное сечение. Переменная Фейнмана

( pT

xF =

pL pL max

≈

E + pL

(E + pL )max

<< pL ) в с.ц.м. сталкивающихся частиц. Инвариантность взаимодей-

ствия

относительно

вращений

приводит

к

равенству

dσ (xF , pT ) = dσ ( xF ,− pT ) , что позволяет другое определение AN , как ↓

↑

лево-правой асимметрии. Введем понятие “твиста”. В книге [Leader (2001)] твист определяется, как массовая размерность оператора минус спин. Это определение можно пояснить следующим образом. В эксперименте принимается, что все структурные функции в главном приближении не зависят от квадрата инвариантного переданного импульса. Но с теоретической точки зрения зависимость структурной функции от Q2 может быть представлена разложением по обратным степеням Q. Твистом называется номер члена разложения, начинающегося с n = 2 (твист-2). В рамках ведущего твиста (твист-2) и коллинеарной конфигурации формула (2) для неполяризованного дифференциального сечения процесса pp → πX при больших энергиях и переданных импульсах может быть записана в сжатой форме (знак ⊗ обозначает свертку)

dσ =

∑ f a / p ⊗ fb / p ⊗ dσˆ ab→cK ⊗ Dπ / c .

a ,b,c ,

200

(3)

Очевидно, эта формула должна быть модифицирована с тем, чтобы применить ее к описанию поляризационных явлений. Для интерпретации результатов эксперимента Е704 теоретики разработали различные подходы к проблеме. Одни расширили схему факторизации, включив туда корреляционные функции твистов более высокого порядка [Efremov (1995), Qiu (1999), Kanazawa (2000)], другие ввели внутренний поперечный импульс и спиновую зависимость в функции распределений [Sivers (1990), Sivers (1991), Anselmino (1995), Anselmino (1998), Boglione (1999), Boer (1999)] и фрагментаций [Boglione (1999), Collins (1993), Anselmino (1999), Boglione (2000), Suzuki (2000)]. Имеется также полуклассическая модель вращающихся внутри адрона кварков [Boros (1993), Boros (2000)], напоминающая модель вращающейся адронной материи. Следуя статье [Anselmino (2002)], рассматриваются только подходы, основанные на обобщении схемы факторизации КХД. Учет внутренного движения кварков важен также в расчете неполяризованных сечений [Wang (2000), Apanasevich (1998)]. В работе [Qiu (1999)] было показано, что уравнение (3) может быть обобщено с включением высших твистов в функции распределения и фрагментации. Разность сечений для двух ориентаций поляризации начального протона записывается в форме dσ ↑ −dσ ↓= ∑ Φ (a3/) p ⊗ f b / p ⊗ Hˆ ⊗ Dπ / c +

{

}

a , b, c

a

a

+ h1p ⊗ Φ b(3/) p ⊗ Hˆ ′ ⊗ Dπ / c + h1p ⊗ f b / p ⊗ Hˆ ′′ ⊗ Dπ(3/)c ,

()

(4)

()

здесь Φ 3 , D 3 представляют функции партонных корреляций высших твистов; Hˆ обозначают взаимодействия партонов; h1 – так называемое распределение по поперечному спину (в дальнейшем для простоты – “трансверсальность”, иногда используют термин “поперечность”, английский эквивалент – “transversity”). По аналогии с распределениями (4) для трансверсальности также можно записать

(

)

(

)

(

)

h1a / N x, Q 2 ≡ f a ↑ / N ↑ x, Q 2 − f a ↑ / N ↓ x, Q 2 .

(5)

Вклады высших твистов неизвестны, но оценки их даются при некоторых упрощениях, как, например, в работе [Kanazawa (2000)]

dy − ixp + y − e p, sT ψa (0 )γ + × 4π × ∫ dy2−ερσαβ sTρ p α p′β F σ + ( y2 ) ψ a y − p, sT = kaC f a / p .

[

Φ (a3/) p ~ ∫

] ( )

201

(6)

Вклад высших твистов (дается в квадратной скобке) зависит от многих параметров (конечные и начальные импульсы p, p′, поперечный спин протона sT и глюонное поле F µν ), но в некоторых предположениях его можно упростить, как это показано в последнем члене с постоянным параметром С. В этом выражении коэффициент ka = +1 для u-кварков и ka = –1 для d-кварков. Эта модель дала неплохое согласие с результатами эксперимента Е704 [Adams (1991)] и дала оценку односпиновой асимметрии на RHIC. Другой подход к факторизации изучался в работах [Sivers (1990), Anselmino (1995), Boer (1999), Anselmino (1999), Boglione (2000)]. За основу было взято уравнение (3), соответствующее ведущему твисту и коллинеарной конфигурации. Затем уравнение было обобщено с введением внутреннего поперечного импульса партона в функцию распределения и то же самое было сделано для адрона в функции фрагментации. В результате модифицированное уравнение (3) приобрело следующий вид (“шляпки” обозначают параметры, относящиеся к субпроцессу, например, партон-партонному рассеянию):

dσ =

∑ f a / p (x1, k⊥1 ) ⊗ fb / p (x2 , k⊥ 2 ) ⊗

a ,b, c ,

⊗ dσˆ ab →cK ( x1, x2 , k⊥1, k⊥ 2 ) ⊗ Dh / c ( z , k⊥ h ) .

(7)

Введение k⊥ и спиновой зависимости приводит к появлению новых измеряемых спиновых функций распределений, а именно

∆N f q / p ↑ ≡ fˆq / p ↑ (x, k⊥ ) − fˆq / p ↓ (x, k⊥ ) = fˆq / p ↑ (x, k⊥ ) − fˆq / p ↑ (x,−k⊥ ) ,

(8)

∆N f q ↑ / p ≡ fˆq ↑ / p (x, k⊥ ) − fˆq ↓ / p ( x, k⊥ ) = fˆq ↑ / p (x, k⊥ ) − fˆq ↑ / p (x,−k⊥ ) ,

(9)

а также новых функций фрагментации (z, k ) − Dˆ (z, k ) = Dˆ ∆N D ≡ Dˆ h / q↑

h / q↑

⊥

h / q↓

⊥

h / q↑

(z, k⊥ ) − Dˆ h / q↑ (z,−k⊥ ) , (10)

∆N Dh↑ / q ≡ Dˆ h↑ / q (z , k⊥ ) − Dˆ h↓ / q (z , k⊥ ) = Dˆ h↑ / q (z , k⊥ ) − Dˆ h↑ / q (z ,−k⊥ ) . (11) Чтобы понять смысл этих функций, нужно обратить внимание на стрелки, показывающие, какая из частиц поляризована (см. подробности в [Anselmino (2000)]). Все эти функции исчезают при k⊥ = 0 . Они Тнечетны. Если переписать эти функции в спиральном базисе, то функции в формулах (9) и (10) смешивают кварки с разными спиральностями, т.е. являются кирально-нечетными, в то время как функции (8) и (11) – кирально-четными. Оператор киральности выделяет из волновой функции частицы спиновые состояния, направленные вдоль или против импульса. Аналогичные функции в других обозначениях вводились и раньше. В ча202

стности, есть прямая связь [Boglione (1999)] между обозначениями f1⊥ T в [Boer (1998)], h1⊥ в [Boer (1999)], H1⊥ и D1⊥T в [Boer (1998), Jacob (1996)]. Более подробную информацию можно найти в [Mulders (2001)]. Функция распределения (8) была введена Сиверсом [Sivers (1990)], а функция фрагментации (10) – Коллинзом [Collins (1993)]. Эти функции известны в литературе под именами авторов. Подставляя новые функции в соотношение (3) и удерживая только ведущие члены в разложении по k⊥ , находим

dσ↑ − dσ↓ =

∑

a ,b, c ,

{∆N f a / p ↑ (k⊥ ) ⊗ fb / p ⊗ dσˆ (k⊥ ) ⊗ Dπ / c + h1a / p ⊗ fb / p ⊗

⊗ ∆σˆ (k⊥ ) ⊗ ∆N Dπ / c (k⊥ ) + h1a / p ⊗ ∆N fb↑ / p (k⊥ ) ⊗ ∆′σˆ (k⊥ ) ⊗ Dπ / c ( z )} . (12) Здесь предполагается свертка и по k ⊥ . Сечения элементарных процес-

ˆ определяются как сов ∆σ ∆σˆ = dσˆ a ↑b →c ↑ d − dσˆ a ↑b →c ↓ d

(13)

∆' σˆ = dσˆ a ↑b↑→ cd − dσˆ a ↑b↓→ cd .

(14) Эти сечения вычисляются в ПКХД. В физически измеряемую величину (3) входит только четное произведение кирально-нечетных функций. Приведенные выше соотношения были успешно применены к описанию данных эксперимента Е704 с использованием только эффекта Сиверса (3):

dσ↑ − dσ↓ =

∑

∆N f

a ,b , c

a / p↑

(k⊥ ) ⊗ fb / p ⊗ dσˆ (k⊥ ) ⊗ Dπ / c ,

(15)

или эффекта Коллинза [Anselmino (1999), Boglione (2000)],

dσ↑ − dσ↓ =

∑ ∆N f a / p (k⊥ ) ⊗ fb / p ⊗ dσˆ (k⊥ ) ⊗ Dπ / c↑ .

(16)

a ,b , c

Нужно дать некоторое пояснение по поводу функции Сиверса N

∆ f q / p ↑ . В спиральном базисе эта функция пропорциональна недиагональным элементам ожидаемых значений кварковых операторов, действующих на протонные состояния:

∆N f a / p ↑ ~ p + ψ γ + ψ p − .

(17)

Используя, как обычно, законы сохранения пространственной и временной четности для свободных состояний, можно показать, что функция Сиверса равна нулю [Collins (1993)]. 203

Аналогичное замечание может быть сделано по отношению к функции (9). Однако эффект Сиверса может быть сохранен либо учетом взаимодействия партонов в начальном состоянии, либо небольшим переопределением правила обращения времени, как было показано в работе [Anselmino (2001)]. Как отмечалось в работах [Wang (2000), Apanasevich (1998)], эффект Сиверса надо учитывать и при расчете неполяризованных сечений для их правильной нормировки. Перейдем к полуинклюзивной ГНР асимметрии в реакции lp ↑ → lπX , измеренной на установках HERMES и SMC [Avakian (1999), Bravar (1999)]. Такие измерения напрямую связаны с функцией Коллинза. Так, уравнение (10) может быть переписано в следующем виде:

Dˆ

h/q

↑

(z, k⊥ ; Pq ) = Dˆ h / q ( z, k⊥ ) + 12 ∆N Dˆ h / q (z, k⊥ ) Pq ⋅ ( pq × k⊥ ) ↑

(18)

pq × k⊥

для конечного кварка с импульсом pq и поперечной поляризацией Pq (четырехмерное скалярное произведение pq • Pq = 0 ). Этот кварк фрагмен-

ˆ (z, k ) тирует в адрон с импульсом ph = zpq + k⊥ , ( pq • k⊥ = 0 ). D h/q представляет неполяризованную функцию фрагментации, зависящую от

k ⊥ . Спин-зависящая часть Dˆ -функции возникает только от поляризации, перпендикулярной к плоскости, образованной родительским кварком и дочерним адроном. В общем случае имеем

Pq ⋅

r

pq × k⊥ pq × k⊥

= Pq sin ΦC ,

(19)

r

где Pq = | P q| и Φ C представляет угол Коллинза. Когда Pq = 1 и Pq перпендикулярен плоскости q – h (Pq = ↑, –Pq =↓), то находим, что Pq sin Φ C = 1 . Тогда из уравнения (18) следует наличие анализирующей способности у кварка, определяемой выражением

Aqh

(z , k⊥ ) ≡

Dˆ

h / q↑

Dˆ

h/q

↑

( z , k⊥ ) − Dˆ

h / q↓

( z , k⊥ ) + Dˆ

h/q

↓

( z, k⊥ ) ( z , k⊥ )

=

(z , k⊥ ) . 2 Dˆ h / q (z , k⊥ )

∆N Dˆ

h / q↑

(20)

Из уравнения (7), удерживая только главные члены по k⊥ , находим

dσ↑ − dσ↓ = ∑ f q / p ⊗ dσˆ ⊗ ∆N Dˆ π / c (k⊥ ) . q

204

(21)

(

Односпиновая асимметрия образования адрона h в системе γ ∗ − p записывается следующим образом [Anselmino (2000)]:

ANh ( x, y, z , Φ C , pT ) = =

Σ q eq2 h1q / p ( x )∆N Dˆ

dσ l + p , P → l + h + X − dσ l + p , − P → l + h + X dσ l + p , P → l + h + X + dσ l + p , − P → l + h + X

(z, pT ) 2(1 − y ) P sin Φ C . 2Σ q eq2 f q / p (x )Dˆ h / q ( z , pT ) 1 + (1 − y )2 h / q↑

)

= (22)

Здесь P – поляризация протона, перпендикулярная направлению вир-

(

)

туального γ-кванта. В рассматриваемой γ ∗ − p системе измеряемый поперечный импульс пиона pT будет равен внутреннему импульсу пиона в фрагментирующем материнском кварке. В уравнении (22) явно показаны стандартные параметры процесса ГНУБ, а именно:

x=

Q2 , 2p⋅q

y=

Q2 , s⋅x

z=

p ⋅ ph , p⋅q

(23)

где p, q и ph являются четырехимпульсами протона, виртуального фотона и образовавшегося адрона h. В работе [Anselmino (2000)] был подробно рассмотрен вопрос об анализируюшей способности кварка Aqh (z , pT ) , где обсуждались данные по

асимметрии, опубликованные в статьях [Avakian (1999), Bravar (1999)]. Ниже приводится краткое изложение содержания статьи [Anselmino (2000)]. Из уравнения (22) в некоторых реалистических предположениях, а также предполагая изотопическую инвариантность и инвариантность относительно зарядового сопряжения, можно получить следующее соотношение (i = +, –, 0):

ANπ (x, y, z , Φ C , pT ) = i

hi (x ) π 2(1 − y ) Aq ( z , pT ) P sin Φ C , fi (x ) 1 + (1 − y )2

(24)

здесь

i = + : h+ = 4h1u / p i = − : h− = h1d / p

f + = 4 fu / p + f d / p ; f − = f d / p + 4 fu / p ;

i = 0 : h0 = 4h1u / p + h1d / p

(25) (26)

f 0 = 4 fu / p + f d / p + 4 fu / p + f d / p . (27)

Здесь f обозначает неполяризованные функции распределений, а h1 – распределения трансверсальности. В приведенных выше уравнениях 205

предполагается, что при больших x AN+ ≈ AN0 , как это наблюдалось в эксперименте HERMES [Airapetian (2001)]. Измеряемая асимметрия (24) зависит от двух неизвестных функций: от распределения поперечности и от анализирующей способности кварка или, что то же самое, от функции Коллинза. Эти функции зависят от разных переменных, если не рассматривать их гладкую эволюцию с Q2. Чтобы определить обе функции раздельно, HERMES предлагает программу измерения полуинклюзивных асимметрий в разных кинематических областях по z, x и pT [Korotkov (2001)]. Для получения оценки на анализирующую способность кварка Aqπ , не имея экспериментальных данных, можно воспользоваться неравенством Соффера в применении к распределению трансверсальности [Soffer (1995)]

h1q ≤

(

)

1 fq / p + ∆q , 2

(28)

подставляя это в соотношение (24) и сравнивая с результатом эксперимента SMC [Bravar (1999)] +

ANπ ≅ −(0,10 ± 0,06)sin Φ C ,

(29) находим довольно низкую границу для анализирующей способности валентного кварка положительного пиона Aqπ ( z , pT

) ≥ (0,24 ± 0,15)

z ≅ 0,45,

pT ≅ 0,65 ГэВ/с.

(30)

Аналогичные результаты были получены и в эксперименте HERMES [Avakian (2000)]. Однако нужно сделать два замечания по поводу этих данных. Первое касается очень малой поперечной поляризации протонов, по сравнению с экспериментом SMC. Второе: из-за низкой энергии пучка продольно-поляризованных электронов HERMES провел измерения при небольших значениях Q2, что требует учета вкладов высших твистов, и такие вклады не были учтены в уравнении (22). Тем не менее, интересно то, что полученная оценка на нижнюю границу анализирующей способности кварка показывает, что она может быть достаточно большой. Однако для проверки этого утверждения нужны более точные экспериментальные данные. Возможность фрагментации неполяризованного кварка на поляризованный адрон рассматривалась в работах [Mulders (1996), Mulders (1997), Anselmino (2001)] с использованием одной из четырех функций распределений, возникающих при введении внутреннего поперечного импульса кварка. 206

В результате появляется возможность описать поляризацию Λгиперона [Heller (1997), Felix (1999)] в рамках того же подхода, что был применен выше для описания асимметрии. По аналогии с уравнением (18) можно записать

1 1 ( z , k⊥ ; Ph ) = Dˆ h / q (z , k⊥ ) + ∆N Dˆ ↑ (z , k⊥ ) ↑ h /q h /q

Dˆ

2

(

Pˆh ⋅ pq × k⊥

2

pq × k ⊥

).

(31)

Эта функция описывает фрагментацию неполяризованного кварка с импульсом pq на адрон h со спином 1/2, с импульсом ph = zpq + k⊥ и вектором поляризации вдоль направления Ph↑ = Ph / q↑ ⋅ ∆N Dˆ

h↑ / q

(z , k⊥ )

(обозначаемый как Dˆ1⊥T в [Mulders (1996)]) является новой поляризационной функцией фрагментации. Этот подход может объяснить поляризацию Λ-гиперона

PΛ =

↑

X

− dσ pN → Λ

↑

X

+ dσ pN → Λ

dσ pN → Λ dσ pN → Λ

↓

X

↓

X

,

(32)

возникающую инклюзивно при столкновении неполяризованных нуклонов. При этом в области кинематических переменных xF > ~ 0,2 и pT > ~ 1 ГэВ/c PΛ заметна по величине, отрицательна и направлена по нормали к плоскости реакции. Учитывая наличие k⊥ в процессе адронизации и предполагая справедливость факторизации, находим ↑

dσ pN → ΛX PΛ = dσ pN → Λ

=

∑

a ,b , c , d

X

↓

− dσ pN → Λ

X

= f a / p ( x1 ) ⊗ fb / N ( x2 ) ⊗ dσˆ ab → cd ( xa , xb , k⊥ ) ⊗ ∆N Dˆ

Λ↑ / c

(z, k⊥ ) . (33)

Используя простую параметризацию для неизвестной поляризующей функции фрагментации ∆N Dˆ h ↑ / q (11), в статье [Anselmino (2001)] было получено хорошее описание поляризации Λ-гиперонов, включая ее отрицательный знак, во всей измеренной кинематической области. Причем описывается рост поляризации с xF, рост с pT до 1 ГэВ/с, а затем выполаживание. Также предсказывается слабая энергетическая зависимость. Модель дает согласующийся с экспериментом результат и для Λ , в частности – ее малую величину. Однако было отмечено, что при рассматриваемых в данном параграфе энергиях ПКХД неприменима, и соотношение (33) нельзя использовать для описания ни дифференциальных сечений, ни поляризации, как и 207

асимметрии инклюзивно-образованных пионов. Только область энергии RHIC ( s ≥ 200 ГэВ) подходит для такого анализа. Аналогичная ситуация имеет место для неполяризованных сечений и в других реакциях [Wang (2000), Wong (1998), Zhang (2001)], при этом для сближения предсказаний модели с экспериментом вводится внутренний поперечный импульс. Это согласие с сечением приводит к сильному уменьшению поляризационных эффектов в противоречии с экспериментом. Так что задачу описания поляризационных данных нельзя пока считать решенной. Обсуждавшийся в этом параграфе подход является достаточно общим и перспективным [Henneman (2001)]. Он состоит в том, что мы имеем свертку двух процессов – жесткого, который теоретически считается, и мягкого. Информацию о последнем процессе надо брать из эксперимента в виде функций распределений и фрагментации. Трудности математического решения задачи заставляют вводить те или иные упрощения, правильность которых проверяется опять-таки экспериментами. RHIC в этом направлении представляет уникальную возможность для поляризационных исследований. Изложение материала этого параграфа основано на публикации [Anselmino (2002)].

Список литературы Adams D.L. et al. Phys. Lett. B264 (1991) 462. Airapetian A. et al. (HERMES Collaboration). Phys. Rev. Lett. 84 (2000) 4047. Airapetian A. et al. Phys. Rev. D64 (2001) 097101. Anselmino M., Boglione M. and Murgia F. Phys. Lett. B362 (1995) 164. Anselmino M. and Murgia F. Phys. Lett. B442 (1998) 470. Anselmino M., Boglione M. and Murgia F. Phys. Rev. D60 (1999) 054027. Anselmino M., Boglione M. and Murgia F. e-Print Archive: hepph/0005081 (2000). Anselmino M. et al. e-Print Archive: hep-ph/0111044 (2001). Anselmino M. and Murgia F. Phys. Lett. B483 (2000) 74. Anselmino M., Boer D., D’Alesio U. and Murgia F. Phys. Rev. D63 (2001) 054029. Anselmino M. arXiv:hep-ph/0201150 v1 16 Jan (2002). Apanasevich L. et al. (Fermilab E706 Collaboration). Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 2642. Avakian H. (HERMES collaboration). Nucl. Phys. B79 (1999) 523. Boer D. and Mulders P. Phys. Rev. D57 (1998) 5780. Boer D. Phys. Rev. D60 (1999) 014012. 208

Boglione M. and Mulders P. Phys. Rev. D60 (1999) 054007. Boglione M. and Leader E. Phys. Rev. D61 (2000) 114001. Boros C., Zuo-Tang L., Ta-chung M. Phys. Rev. Lett. 67 (1993) 1751. Boros C. and Zuo-Tang L. Int. J. Mod. Phys. A15 (2000) 927. Bourrely C., Leader E., Soffer J. Phys. Rep. 59 (1980) 95. Bravar A. et al. Phys. Rev. Lett. 77 (1996) 2626. Bravar A. (SMC collaboration). Nucl. Phys. B79 (1999) 520 (Proc. Suppl.). Collins J.C. Nucl. Phys. B396 (1993) 161. Efremov A.V., Korotkiyan V.M., Teryaev O.V. Phys. Lett. B348 (1995) 577. Felix J. Mod. Phys. Lett. A14 (1999) 827. Heller K. In: Proceedings of Spin 96; Eds de Jager C.W., Ketel T.J. and Mulders P., World Scientific (1997). Henneman A.A., Boer D. and Mulders P.J. e-Print Archive: hepph/0104271 (2001). Jacob R. and Mulders P.J. e-Print Archive: hep-ph/9610295 (1996). Kanazawa Y. and Koike Y. Phys. Lett. B478 (2000) 121. Korotkov V.A., Nowak W.D., Oganesian K.A. Eur. Phys. J. C18 (2001) 639. Leader E. and Predazzi E. An Introduction to Gauge Theories and Modern Particle Physics, Cambridge University Press, Cambridge (1996). Leader E. Spin in Particle Physics. Camdridge University Press, London (2001). Mulders P. e-Print Archive: hep-ph/0112225 (2001). Mulders P.J. and Tangerman R.D. Nucl. Phys. B461 (1996) 197; Mulders P.J. and Tangerman R.D. Nucl. Phys. B484 (1997) 538. Panagiotou A.D. Int. J. Mod. Phys. A5 (1990) 1197. Qiu J. and Sterman G. Phys. Rev. D59 (1999) 014004. Sivers D. Phys. Rev. D 41 (1990) 83; Sivers D. Phys. Rev. D43 (1991) 261. Soffer J. Phys. Rev. Lett. 74 (1995) 1292. Suzuki K. e-Print Archive: hep-ph/0002218 (2000). Wang X-N. Phys. Rev. C61 (2000) 064910. Wong C.-Y, Wang H. Phys. Rev. C58 (1998) 376. Zhang Y. et al. e-Print Archive: hepph/0109233 (2001).

§30. Метод U-матрицы (фиксированные t) Экспериментальные данные по поляризационным параметрам, полученные в начале 70-х гг. сотрудничеством ГЕРА в ИФВЭ, несколько позже, но при больших энергиях – в ЦЕРН, а также измерения упругих pp и 209

⎯pp дифференциальных сечений при больших передачах импульсов стимулировали ряд важных физических проблем. Перечислим некоторые из них. 1. Будут ли существовать спиновые эффекты при асимптотически больших энергиях? Этот вопрос возник естественным образом, когда сотрудничество ГЕРА проанализировало энергетическую зависимость отношения спин-флиповой амплитуды к спин-нефлиповой и пришло к выводу, что это отношение выполаживается при импульсах выше 20 ГэВ/с. Такой вывод противоречил предсказаниям многих теоретических моделей. Особо отметим среди них модель Редже. Согласно этой модели при асимптотически больших энергиях выживает только один полюс – померон. Но сама же эта модель запрещает появление поляризации при наличии только одного полюса, так как в этом случае фазы у спин-флиповой и -нефлиповой амплитуд будут одинаковы. Значит, эти амплитуды не интерферируют и поляризация обращается в нуль. Даже при наличии двух обменных полюсов поляризация с энергией должна вымирать быстро, например, как 1 / s . В обоих случаях предсказания модели Редже противоречат экспериментам. 2. Соотношения между поляризациями частиц и античастиц в бинарных реакциях, частным примером которых являются реакции упругого рассеяния. Результаты сотрудничества ГЕРА в измерении поляризации частиц и античастиц остаются уникальными и по сей день. Нет ни одной модели, которая бы проинтерпретировала все эти результаты. 3. Поведение дифференциальных сечений упругих pp- и ⎯pp- соударений при больших передачах импульсов. Эти вопросы и более общая проблема о поведении поляризационных параметров при больших энергиях, когда обмен идет практически через один померонный полюс, и при фиксированных t, были рассмотрены в работах [Трошин (1976), (1984), (1988)]. Ниже дадим краткое изложение этих работ. Основное уравнение, связывающее амплитуду с обобщенной матрицей реакций, в спиновом случае заменяется системой уравнений для спиральных амплитуд. Для упругого рассеяния 1 + 2 → 3 + 4 эта система имеет вид

r r r r Fλ1λ 2 λ 3λ 4 ( p1, p1' ) = U λ1λ 2 λ 3λ 3 ( p1, p1' ) + r r r r r i dq1 + 2 ∑ ∫ 0 0 U λ1λ 2 ν1ν 2 ( p1, q1 ) Fν1ν 2 λ 3λ 4 (q1, p1' ). 8π ν1ν 2 2q1 2q2

(1)

В представлении прицельного параметра система (1) сводится к алгебраической: 210

f λ1λ 2 λ 3λ 4 ( s, b) = uλ1λ 2 λ 3λ 4 ( s, b) + iρ( s )

∑ uλ1λ 2ν1ν 2 (s, b) f ν1ν 2λ 3λ 4 (s, b),

(2)

ν1ν 2

где ρ( s ) → 1 при s → ∞ . Реализация аналитического продолжения и связи между s- и t- каналом с помощью обобщенной матрицы реакций позволяет получить реджевскую форму для функций U {λ i }( s, t ) в спиральном базисе:

U {λ i }( s, t ) = ∑ g{Rλ i }(t )ξ R (t )( s / s0 )β R (t ) ,

(3)

R

где ξ R (t ) – сигнатурный множитель. В формуле (3) осуществляется суммирование по вкладам всех реджевских траекторий, обмен которыми присутствует в данном процессе.

Рис. 1. Описание параметра поляризации в πN-рассеянии в методе U-матрицы [Еднерал (1979)]: за единицу по оси ординат выбрана величина поляризации, равная 10 %

Метод обобщенной матрицы реакций позволяет получить хорошее согласие с экспериментальными данными. На рис. 1 в качестве примера приведены результаты описания параметра поляризации в πN-рассеянии. Кроме количественного описания метод приводит к важным качественным выводам. Учет унитарности приводит к ненулевой поляризации в результате вакуумного обмена без учета интерференции с вкладами других траекторий. Напомним, что на существование такого вклада в поляризацию указывают экспериментальные данные сотрудничества ГЕРА. Предполагая, что есть вклад только вакуумной траектории с четной сигнатурой, для обобщенной матрицы реакций πN-рассеяния в представлении прицельного параметра можно записать 211

β( 0 ) −1

g ⎛ s ⎞ u+ + ( s, b) = + + ⎜⎜ ⎟⎟ a( s ) ⎝ s0 ⎠

(

)

exp − b 2 / a( s ) , β( 0) −1

2bg ⎛ s ⎞ u+ − ( s, b) = 2 + − ⎜⎜ ⎟⎟ a ( s ) ⎝ s0 ⎠

(

)

exp − b 2 / a ( s ) ,

(4)

где

⎡ s π⎤ a(s ) = 4β' (0)⎢ln − i ⎥, β(t ) = β(0 ) + tβ' (0) . 2⎦ ⎣ s0 Решение системы (2) для рассматриваемого случая имеет вид

f + + ( s, b) =

u+ + (s, b )[1 − u+ + (s, b )] − i[u+ − (s, b )]2

,

[1 − u+ + (s, b )]2 [u+ − (s, b )]2 u+ − (s, b ) f + − ( s, b) = . (5) [1 − u+ + (s, b )]2 [u+ − (s, b )]2 Здесь положено ρ(s ) = 1 . Вычисление параметра поляризации в области малых значений t с учетом вклада только померона приводит к следующей формуле для поляризации:

− t ϕ1 (s ) − tϕ2 (s ) , ⋅ ln s ϕ3 (s ) − tϕ4 (s ) где ϕi (s ) – знакоположительные при s → ∞ функции, причем pπ

+−

p

(s, t ) ≅ −

(6)

ϕ1,3 ∝ ln 2 s, ϕ2, 4 ∝ ln 6 s . Таким образом, при высоких энергиях померон дает отрицательный вклад в поляризацию, который медленно, как 1/1n s, убывает с ростом энергии. При этом функции F+ + и F+ − имеют различные фазы несмотря на то, что фазы функций U + + и U + − одинаковы. Различие фаз является следствием учета унитарности. Вывод об унитарном механизме генерации ненулевой поляризации от вакуумного обмена не зависит от конкретного процесса и справедлив, в частности, для рр- и pp -рассеяния. Этот вывод не изменяется, если в выражении для U-матрицы учесть также вклад оддерона, имеющего вырожденную с вакуумным обменом траекторию. Если траектории померона и оддерона не являются вырожденными, то учет оддерона при малых значениях t будет давать степенные по s поправки к полученному выше логарифмическому поведению параметра по212

ляризации. Заметим, что при анализе вклада оддерона всегда следует иметь в виду соотношение β P (0) ≥ βO (0) , (7)

где β P (0 ) и βO (0) – пересечения траекторий померона и оддерона соответственно. Ограничение (7) следует из условия унитарности, которое в рамках рассматриваемого метода сводится к требованию неотрицательности мнимой части функции u (s, b ) :

Im u (s, b ) ≥ 0 .

(8)

Перейдем теперь к рассмотрению упругого рр-рассеяния. Решение системы уравнений (2) для пяти спиральных амплитуд, описывающих упругое рр-рассеяние, имеет вид

f1 (s, b ) =

u~1 (s, b )[1 − iu1 (s, b )] − iu~2 (s, b )u2 (s, b )

,

[1 − iu1(s, b )]2 − [u2 (s, b )]2 u~ (s, b )[1 − iu1(s, b )] − iu~1 (s, b )u2 (s, b ) , f 2 (s, b ) = 2 [1 − iu1(s, b )]2 − [u2 (s, b )]2 u~ (s, b )[1 − iu3 (s, b )] − iu~4 (s, b )u3 (s, b ) , f3 (s, b ) = 3 [1 − iu3 (s, b )]2 − [u4 (s, b )]2 u~ (s, b )[1 − iu3 (s, b )] − iu~4 (s, b )u3 (s, b ) , f 4 (s, b ) = 4 [1 − iu3 (s, b )]2 − [u4 (s, b )]2

{

(9)

}

−1

f5 (s, b ) = u5 (s, b ) [1 − iu1 (s, b ) − iu2 (s, b )] [1 − iu2 (s, b ) − iu4 (s, b )] − 4u52 (s, b ) , где

u~i (s, b ) = ui (s, b ) + 2u5 (s, b ) f 5 (s, b ) .

Использование формулы (9) и однополюсной реджевской параметризации для функций U {λ i } в спиральном базисе делает возможным описание экспериментальных данных по дифференциальным сечениям, полным сечениям и параметру поляризации в упругом pр-рассеянии при высоких энергиях [Еднерал (1979)] (рис. 2). При этом экспериментальные данные по dσ / dt описаны до значений квадрата переданного импульса –t ~ 10 (ГэВ/с)2 при энергиях ISR (СЕRN). В области больших t экспериментальные данные для dσ / dt имеют гладкую зависимость от переданного импульса, что не согласуется с предсказаниями 213

большого числа моделей, приводящих в данной области к чередованию дифракционных минимумов и максимумов.

Рис. 2. Описание полного и дифференциального сечений и параметра поляризации в рр-рассеянии в методе U-матрицы в однополюсном приближении

Как следует из анализа поведения спиральных амплитуд в рассматриваемом подходе, гладкое поведение dσ / dt при больших t является следствием возрастающей роли спиновых эффектов в рассматриваемой кинематической области. Такое гладкое поведение обуславливается вкладом амплитуд с двойным изменением спиральности. Без учета этих амплитуд поведение dσ / dt имело бы характерную последовательность чередующихся максимумов и минимумов, поскольку спиральные амплитуды F1, F3 и F5 имеют в этой области t максимумы и минимумы и близки по абсолютной величине в интервале 1 ≤ |t| ≤ 10 (ГэВ/с)2. В то же время спиральные ам214

плитуды с двойным изменением спиральности F2 и F4 малы по сравнению с амплитудами F1, F3 и F5 в области 0 ≤ |t| ≤ 3 (ГэВ/с)2 и относительно велики при 3 ≤ |t| ≤ 10 (ГэВ/с)2, где они имеют гладкое поведение. Таким образом, угловые распределения упругого рр-рассеяния имеют гладкую зависимость. Учет спиновых степеней свободы, результатом которого является заполнение минимумов при больших t, приводит также к значительной величине параметра поляризации при энергиях s ~ ~ 50 ГэВ и значениях – t ~ 2 (ГэВ/с)2. Уже в этой области поляризация, как ожидается, должна иметь значение на уровне 10–20 %. Отсюда следует, что с ростом переданных импульсов роль спинового взаимодействия возрастает [Биленький (1959)]. Рассмотрим некоторые геометрические свойства спиральных амплитуд при больших фиксированных значениях t. Поведение спиральных амплитуд в этой области может быть представлено выражением

[

]

~ (s ) , Fi (s, t ) ≅ ϕi (s, t )cos Ri (s ) − t + ϕ (10) i где функции ϕi (s, t ) не имеют нулей. Отсутствие осцилляции у амплитуд F2 и F4 в интервале 3 ≤ |t| ≤ 10 (ГэВ/с)2 связано с тем, что соответствующие радиусы

1 R1,3,5 ≅ 0,3 Ферми. (11) 3 Это соотношение между радиусами можно интерпретировать как указание на существование в протоне внутренней области, размеры которой порядка 0,3 Ферми, где, по-видимому, локализованы валентные кварки. Такие представления будут развиты в дальнейшем при рассмотрении кварковой модели для U-матрицы. Таким образом, несмотря на то, что поведение угловых распределений является гладким в области больших переданных импульсов, модель предсказывает осциллирующее поведение поляризации в зависимости от переданного импульса. Отметим, что отличительной чертой рассматриваемого метода является учет условия унитарности непосредственно в используемой вычислительной схеме. R2, 4 ≅

Список литературы Биленький С.М., Рындин Р.М. ЖЭТФ 36 (1959) 1609. Еднерал В.Ф., Трошин С.М., Тюрин Н.Е. Письма в ЖЭТФ, т. 30 (1979) 356. Трошин С.М., Тюрин Н.Е. Письма в ЖЭТФ, т. 23 (1976) 716. 215

Трошин С.М., Тюрин Н.Е. ЭЧАЯ, т. 15 (1984) 53. Трошин С.М., Тюрин Н.Е. ЭЧАЯ, т. 19 (1988) 997.

§31. Другие феноменологические модели §31.1. Модель вращающейся адронной материи

В начале 70-х гг. в стремлении объяснить происхождение спина протона физики уже выдвигали идею о вращении адронной материи вокруг одной выделенной оси, которой, естественно, могло бы служить направление поляризации протона [Chou (1973), Yang (1973), Chou (1976)]. Эта статья привлекла в свое время особое внимание Сотрудничества ГЕРА в ИФВЭ, поскольку из этой модели вращающейся адронной материи (МВАМ) следовало, что при больших энергиях единственным отличным от нуля поляризационным параметром является параметр вращения спина R, причем этот параметр одинаков для всех процессов упругого рассеяния, как частиц, так и античастиц. Сотрудничество ГЕРА провело такие измерения и опубликовало результаты, которые сходились с предсказаниями модели вращающейся адронной материи. К этой идее уже с привлечением вращающихся партонов в поляризованном протоне обратились и немецкие физики в начале 90-х гг. в стремлении объяснить результаты Сотрудничества Е704 по односпиновой асимметрии, уже в инклюзивных реакциях. Модель вращающихся партонов оказалась эффективной как в интерпретации односпиновых асимметрий пионов и Λ-гиперонов, так и процесса передачи поляризации от поляризованного начального протона к конечному Λ-гиперону. В некоторых случаях она имела предсказательную силу, например, в изменении знака асимметрии при переходе от отрицательного пиона к положительному (или обратно). Модель предсказывает больше. Из ее основ следует, что, во-первых, не может быть никаких спиновых эффектов в центральной области, поскольку там практически отсутствует вклад от поляризованных валентных кварков. Во-вторых, не может быть асимметрии в области фрагментации неполяризованных валентных кварков. Соглаcно этой модели асимметрия отсутствует также в области малых значений фейнмановской переменной xF. Поляризационная асимметрия может быть только в области фрагментации поляризованных валентных кварков. К настоящему времени практически все эти предсказания модели подтверждены. Сильнейшим утверждением является предсказание модели об отсутствии поляризационных эффектов в центральной области. Похоже, измерения одно- и двухспиновых эффектов в инклюзивном образовании нейтральных пионов подтверждают этот вывод модели вплоть до энергий RHIC включительно. 216

Ниже мы вкратце отметим основные особенности модели вращающихся кварков в поляризованных протонах [Meng (1991a), (1991b)]. Сотрудничество Е704 в Фермилабе провело измерения односпиновой асимметрии в инклюзивном образовании пионов поляризованными протонными и антипротонными пучками. Во всех измерениях были обнаружены заметные эффекты (15–39 %) в области фрагментации поляризованного пучка. Результаты были, действительно, неожиданными – теоретики не могли предсказать такие резудьтаты. Все ожидали нулевые эффекты, как следовало из сохранения спиральности. Физики-теоретики из группы профессора Менга (Институт теоретической физики Свободного университета, Берлин, Германия) провели сравнение предсказаний их модели [Liang (1991)] с данными эксперимента [Adams (1991a), (1991b), (1991c)]. Модель была построена на их же идее о вращающихся внутри поляризованного протона кварках [Liang (1990)]. И они пришли к следующему выводу. Наблюдавшиеся в эксперименте Е704 с поляризованными протонными и антипротонными пучками лево-правые асимметрии при больших энергиях и больших xF должны рассматриваться как серьезное указание на наличие в поляризованных протонах вращающихся валентных кварков. Опуская детали, которые можно найти в публикациях авторов этой модели [Meng (1991a)], отметим только ее основные черты: 1. Валентные кварки определяют основные свойства адрона, включая его спин. Кварки рассматриваются как релятивистские частицы в запирающем поле. Они приводят к возникновению тока материи, зависящего от цвета и аромата партонов. Это справедливо и в том случае, когда кварки находятся в основном состоянии, т.е. кварки совершают вращательные движения и в основном состоянии. 2. Вероятность найти такие вращающиеся кварки вблизи поверхности адрона гораздо больше, чем найти их в центре. Поляризация рассматриваемого валентного кварка полностью определяет направление среднего значения его орбитального момента в основном состоянии, так же как направление его плотности тока на больщих радиальных расстояниях от центра адрона. 3. В МВАМ адрон-адронные взаимодействия при больших энергиях рассматриваются как поверхностные взаимодействия их составляющих (конституентов). Это значит, что конституенты, находящиеся на фронтальной поверхности адрона-снаряда, с большей вероятностью провзаимодействуют с конституентами адрона-мишени, находящимися на ближайшей к снаряду поверхности. 217

4.

Поляризация валентных кварков в поляризованном протоне определяется поляризацией и волновой функцией протона. При построении волновой функции бариона было использовано следующее предположение: имеется полная антисимметрия в цветовой степени свободы. Это значит, что два идентичных кварка должны иметь симметричную волновую функцию в координатно-спиновом пространстве. Также принимается, что полная система неопределенного числа морских кварк-антикварковых пар не совершает вращения вокруг определенного направления в поляризованном протоне. Также допускается, что морские кварк-антикварковые пары, также как и глюоны, заполняют все имеющееся фазовое пространство. Теперь перейдем к рассмотрению pp-взаимодействия в с.ц.м. Обозначим буквой P (projectile – снаряд) протон пучка, а буквой T (target – мишень) – протон мишени. Введем декартову систему координат с осью z вдоль направления пучка, ось x перпендикулярна плоскости реакции, а ось y перпендикулярна к обеим осям x и z и образует с ними правовинтовую систему. В эксперименте Е704 изучалась асимметрия в реакциях

()

()

p ↑ + p → π± ,0 + X и p ↑ + p → π± ,0 + X , где стрелки обозначают, что начальный пучок был поляризован и вектор поляризации направлен по оси x в положительном направлении. Мишень не была поляризована. Распределение партонов по поперечному импульсу в поляризованном протоне Р не зависит от системы координат, если они получаются лоренцбустом (смещением) вдоль оси z. Следовательно, можно применить постулаты 2 и 4. Это значит, что если наблюдатель находится в системе покоя T-частицы, то он увидит, что поверхностные валентные кварки из частицы P совершают последовательные движения в направлении y, причем направление этого движения зависит от поляризации кварка. Этот валентный кварк, чтобы образовать мезон, должен найти своего партнера среди морских кварков. При этом образовавшийся пион будет приобретать дополнительный поперечный импульс кварка, возникающего за счет орбитального движения. Предположение 4 определяет также знак такого поперечного импульса вдоль оси y. Эти результаты представлены в табл. 1 для протонного пучка и в табл. 2 для антипротонного пучка. Оба пучка поляризованы. Обозначения в круглых скобках имеют следующий смысл: val – валентные кварки, sea – пара морских кварков. Стрелки ← и → обозначают направления поперечного импульса pY вращающегося кварка по –y или +y. Эти знаки в модели соответствуют более вероятному вылету пионов соответственно налево или направо в эксперименте. Результаты в таблицах были найдены с использованием волновой функции протона в пространствах координатном, спиновом и ароматов. Из этих 218

таблиц следует ряд заключений. В области фрагментации поляризованного протона (см. правую часть таблиц) знаки асимметрии для π+( ud )-,

(

)

(

)

⎡ 1 ⎡ 1 ⎤ ⎤ uu − dd ⎥ - и η ⎢ uu + dd − 2 ss ⎥ -мезонов положительны, в π0 ⎢ ⎣ 2 ⎣ 2 ⎦ ⎦ – то время как для π ( du ) она отрицательна. При этом, кроме кваркового состава мезонов надо учитывать и весовые множители. Согласно МВАМ поляризационные эффекты определяются только валентными кварками, у которых доля в протоне увеличивается с ростом параметра Фейнмана xF. Значит, с ростом этого параметра должна расти и асимметрия, что и наблюдается на опыте. В области фрагментации неполяризованной мишени (см. левую часть таблиц) асимметрия должна быть равна нулю, так как валентные кварки в неполяризованных протонах имеют нулевой поперечный импульс pY . Это предсказание хорошо подтверждено на RHIC. Аналогичные таблицы могут быть составлены при необходимости и для других мезонов. Другое предсказание данной модели, следующее из предположения 4, формулируется так: не ожидается асимметрия при малых xF(<0,3) и pT (<0,2 ГэВ/с). Причина в том, что эти мезоны образуются из морских кварков, и в данной модели они асимметрию не дают. Используя партонные структурные функции из работы [Barger (1974)], авторы этой модели провели расчеты анализирующей способности пионов из эксперимента Е704. Результаты представлены на рис. 1 для реакций с поляризованным протонным пучков. Как видно на рисунке, имеется качественное согласие предсказаний МВАМ и данных эксперимента. В дальнейшем модель вращающейся адронной материи была успешно применена для описания результатов эксперимента Е704 по измерению асимметрии в образовании Λ-гиперонов в реакции p ↑ + p → Λ + X [Boros (1995), Boros (1996a)], а также параметра деполяризации DNN в той же реакции [Boros (1996b)]. Изложение данного параграфа построено на материалах работ [Boros (1995), Boros (1996b)].

()

219

Таблица 1

()

p ↑ + p(0 ) → π± ,0 (η) + X P (sea) – T (val): P (sea )

py вес

T (val) py вес продукт

py вес T (val) py вес продукт

py вес

u 0 1

u 0 1 d 0 1

d 0 1 u 0 2

du 0 1 u 0 2

ud 0 2 d 0 1

uu 0 1

dd 0 2

d 0 1

P (val) – T (sea): P (val)

py вес

T (sea ) py вес продукт

py вес T (sea ) py вес продукт

py вес

220

u d ← → ← → 5 / 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 d 0 1

d 0 1

u 0 1

u 0 1

ud

du ← → ← → 5 / 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 u 0 1

u 0 1 uu

d 0 1

d 0 1

dd ← → ← → 5 / 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3

Таблица 2

()

p ↑ + p(0) → π± ,0 (η) + X P (sea) – T (val):

P (sea ) py вес T (val) py вес продукт

P (val) – T (sea):

u 0 1

u 0 1 d 0 1 du

d 0 1 u 0 2

d 0 1

P (val) py вес T (sea )

d

u

u

py

0

0

0

0

вес

1

1

1

1

продукт

py

0

0

py

вес

1

2

вес

u

d

0

вес

2

продукт

uu

d ← → ← → 5 / 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 d

ud

T (val) py

u

du

ud ← → ← → 5 / 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3 u

u

d

d

0

T (sea ) py

0

0

0

0

1

вес

1

1

1

1

dd

продукт

py

0

0

py

вес

1

2

вес

221

uu

dd ← → ← → 5 / 3 1/ 3 1/ 3 2 / 3

()

Рис. 1. Зависимость AN от xF в реакции p ↑ + p → π ± ,0 + X при начальном импульсе 200 ГэВ/с (эксперимент Е704): линии – предсказания модели МВАМ §31.2. Модель ДеГранда–Миеттинена для поляризационной асимметрии в инклюзивном образовании адронов

Неожиданное открытие больших поляризаций в инклюзивном образовании гиперонов в Фермилабе в середине 70-х гг. [Bunce (1976)] привело к необходимости теоретически осмыслить это явление. Одну из удачных моделей предложили авторы работы [DeGrand (1981)]. В основу идеи положена партонная рекомбинационная модель и SU(6) симметрия, позволившие связать поляризацию инклюзивных барионов с подпроцессами на уровне конституентов. Учет томасовской прецессии спина кварка в процессе рекомбинации позволил им качественно проинтерпретировать особенности данных по поляризации барионов и антибарионов в инклюзивных реакциях при больших энергиях и умеренных передачах импульсов. Рассматриваются в этой модели следующие особенности экспериментальных данных [Heller (1977), Heller (1978), Erhan (1979), Bunce (1979), Lomanno (1979), Rayachauduri (1980)]: 222

Поляризация Λ-гиперонов в pp- и p-ядерных взаимодействиях при небольших переданных импульсах имеет отрицательный знак, r r т.е. направлена по вектору pΛ × p . 2. Поляризация не зависит от начальной энергии и слабо зависит от xF. 3. Поляризация растет с pT практически линейно. 4. Λ , образованные в pp- и pA-взаимодействиях, не поляризованы. 1.

5.

Измерения поляризаций Ξ 0 -, Ξ − -, Σ + -гиперонов на протонном пучке показали, что в то время, как поляризации у Ξ 0 , Ξ − такие же, как у Λ , поляризация Σ + по знаку противоположна поляриза-

ции Λ , хотя по величине такая же, как у Λ. Пункт 2 указывает на то, что подходящей основой для анализа поляризационных данных может быть модель рекомбинации кварков, которая успешно применялась при описании процессов фрагментации с малой передачей импульса. В этой модели в системе бесконечного импульса протон представляется состоящим из трех валентных кварков и большого количества морских партонов. При взаимодействии медленных партонов с мишенью нарушается когерентность волновой функции, и она распадается на множество конечных адронных состояний. Происходит полулокальный по псевдобыстроте переход партона в адрон. Этот процесс идет как рекомбинация кварков, а именно, пары qq образуют мезоны, а триплеты qqq – барионы. Быстрые адроны образуются рекомбинацией пучковых валентных кварков с валентными кварками мишени или с морскими партонами. Например, чтобы образовать быстрые Λ (Σ+)-гипероны, надо взять из протона пучка ud- (uu-) валентную пару и соединить с sкварком из моря протона мишени. Такой рекомбинационный процесс обозначим как VVS. Заметим, что произошел обмен одним новым кварком, которого в начале не было, а именно, s-кварком. В процессах, где возникает обмен двумя новыми кварками, например, p → Ξ 0 , p → Ξ − , механизм VVS невозможен. В этом случае образование адронов происходит через механизм рекомбинации VSS. Наконец, если начальный протон и конечный адрон не имеют общих кварков, то единственно возможный механизм есть SSS. В таких случаях сечения процессов будут малы, а их наклоны круты. В целом это предсказание согласуется с экспериментами. Для анализа поляризации Λ-частиц в рекомбинационной модели удобно работать в системе покоя фрагментирующего протона пучка. В этой системе волновая функция протона имеет простой вид, как содержащая 223

три кварка – uud. Тогда процесс p → Λ происходит так, что быстро движущаяся частица мишени рассеивается на протоне, и ее медленный sкварк рекомбинирует с ud-парой в протоне пучка и образует Λ-гиперон. Так как пара ud находится в Λ–гипероне в синглетном состоянии, то спин, а соответственно, и поляризация Λ-гиперона полностью определяется s-кварком. Гипотеза (приближенная) [Feynman (1972)] о короткодействующих силах между партонами приводит к тому, что распределения медленных кварков в частице мишени и низкоэнергетический подпроцесс s+p→u+Λ, в котором возникает поляризация Λ-гиперонов, должны слабо зависеть от энергии частицы мишени. Следовательно, поляризация Λгиперона не должна зависеть от полной энергии сталкивающихся частиц, в согласии с экспериментальными данными. Рассмотрим связь между поляризациями в различных барионбарионных переходах [Heller (1977)]. При этом используются четыре упрощающих предположения: 1. Поперечный импульс каждого кварка параллелен поперечному импульсу конечного бариона. 2. Поляризация кварка скоррелирована с его поперечным импульсом и не зависит от аромата кварка. 3. Волновая функция кварков, являющихся общими для фрагментирующего и вторичного барионов, как, например, для пары ud в переходе p→Λ, является идентичной, и 4. Валентные кварки не деполяризуются при рекомбинации. Рассмотрим в первую очередь процесс рекомбинации VVS. Поляризацию конечного бариона с поперечным импульсом pT можно выразить через две амплитуды A+ и A–. Первая амплитуда соответствует рекомбинации, скажем, ud-кварка с морским кварком со спином вверх по отношению к плоскости реакции, а вторая – рекомбинации морского кварка со спином вниз. Вычисления с использованием SU(6) симметрии приводят к выражению

P(B → B′) = C

2

2

2

2

A↑ − A↓ A↑ + A↓

,

(1)

где С приводится в табл. 3. Интерференция между амплитудами запрещена из-за требований сохранения четности и полного углового момента. Учитывая малые ожидаемые спиновые эффекты, можно ограничиться разложениями A↓

2

= A(1 + ε ) , A↑ ~ A(1 − ε ) , где ε по порядку вели2

чины представляет ожидаемую величину поляризации. 224

Таблица 3 Предсказания поляризаций для различных переходов в модели ведущего и ведомого кварков; константа С в уравнении (1) для VVS-рекомбинации является коэффициентом при члене − ε . Поляризация Переход B→B

p↔n, Σ-↔Ξ-, Σ+↔Ξ0 p↔Σ+, n↔Σ-, Ξ-↔Ξ0 p, n ↔Λ0 Σ+, Σ-, Ξ-, Ξ0↔Λ0 p, n ↔Σ0 Σ+, Σ-, Ξ-, Ξ0↔Σ0 p↔Ξ0, Ξ-, Σn↔Ξ0, Ξ-, Σ+ π, K+→Λ K-→Λ

–(20/21)⋅ε+(1/42)⋅δ (1/3)⋅ε+(2/3)⋅δ –ε –(2/3)⋅ε+(1/6)⋅δ (1/3)⋅ε+(2/3)⋅δ –(20/21)⋅ε+(1/42)⋅δ –(1/3)⋅ε–(2/3)⋅δ –(1/3)⋅ε–(2/3)⋅δ –(1/2)⋅δ ε

Однако в такой форме эта модель дает неправильный результат для Σ+ предсказывает С = –1/3, в то время как из эксперимента следует С = –1. Такое несоответствие, возможно, обусловлено тем, что в Σ+ входит дикварк uu, который имеет спин j = 1, в отличие от дикварка ud, входящего в Λ и имеющего нулевой спин. Так как в самом начале постулировалась корреляция между спином и pT для s-кварка в Λ-гипероне, то естественно допустить такую же корреляцию и для лидирующего дикварка uu в Σ+гипероне. Это значит, что вероятность рекомбинации в дикварк в состоянии (j,m) зависит от m (рис. 2). Если мы положим A1,1 2

2

2

= B(1 + δ),

2

A1, −1 = B(1 − δ), A1,0 = A00 = B, то мы находим

1 2 P( p → Σ+ ) = ε + δ . (2) 3 3 Из экспериментальных данных следует ε = δ. Рекомбинация происходит преимущественно, когда спин s-кварка ориентирован вниз, а лидирующий дикварк находится в состоянии с проекцией m j = +1 в плоскости рассеяния.

225

Рис. 2. Диаграммы переходов p → Σ + для двух амплитуд: a) для амплитуды A↑A10 и b) для амплитуды A↓A11. Переходы партон → адрон происходят в овалах

Эта идея может быть применена к процессам, идущим через VSS рекомбинацию. Теперь лидирующим является V-кварк, а SS-дикварк – не лидирующим. Если мы используем для вероятности рекомбинации те же предположения, что и выше, но с учетом изменения знаков ε и δ (лидирующий партон предпочитает спин, направленный вверх), мы находим

(

)

2 ⎞ ⎛1 P p → Ξ 0 , Ξ − , Σ − = −⎜ ε + δ ⎟ . 3 ⎠ ⎝3

(3)

Результаты эксперимента [Heller (1978)] показывают, что выполняются соотношения

(

) (

)

P p → Ξ 0 = P p → Ξ − = P( p → Λ ) , которые следуют из формулы (3) в предположении ε = δ.

Как следует из изложенного выше, все рассмотренные экспериментальные данные по поляризации гиперонов описываются удовлетворительно при следующих предположениях: • лидирующие конституенты пучка рекомбинируют препочтительно с положительной проекцией спина mj в плоскости рассеяния, • нелидирующие конституенты рекомбинируют предпочтительно с отрицательной проекцией спина mj в плоскости рассеяния. Предсказания обсуждаемой модели для других реакций представлены в табл. 3. 226

В этой модели рассматривается рекомбинация дикварка с кварком, а не рекомбинация трех кварков. Это происходит потому, что два кварка с одинаковыми волновыми функциями, например, VV, взаимодействуют друг с другом иначе, чем они взаимодействуют с кварками с другими волновыми функциями. Учет взаимодействия похожих кварков производится путем объединения их в один объект, дикварк. Все волновые функции в этом случае определяются через точную SU(6) симметрию. Изложенные выше предсказания следовали из представления о рекомбинации кварков и SU(6) симметрии. При этом не учитывался динамический механизм, который приводил к поляризации морских кварков. Ниже рассматривается один из таких механизмов [Andersson (1979)]. Рассмотрим переход p → Λ в системе бесконечного импульса. Обозначим продольный импульс странного кварка до рекомбинации через xl p и его поперечный импульс через k⊥ s . Так как распределение морn

ских кварков очень крутое, типа 1 − x , где n = 7 – 9, то Λ-гиперон приобретает свой импульс практически от валентного дикварка ud. В качестве иллюстрации можно отметить, что относительный импульс Λ, равный xΛ = 0,6, состоит из xl ≤ 0,1, xud ≥ 0,5. После рекомбинации и образования Λ-гиперона все три кварка имеют практически равные импульсы, в том числе и s-кварк, xl ≈ 0,2 (рис. 3). Это значит, что морской кварк испытывает силу, заставляющую его двигаться параллельно оси пучка.

Рис. 3. Поперечные и продольные импульсы s –кварка в протоне (s/p) и в Λгипероне (s/Λ): S-кварк имеет продольный импульс xiP в протоне и xFP в Λr r r гипероне; направления векторов ωT и F × β совпадают, оба вектора перпендикулярны плоскости рисунка и направлены к читателю r Так как эта сила не параллельна скорости β s-кварка, то спин s-кварка

будет испытывать томасовскую прецессию. Томасовский потенциал взаи227

r r

r

( r r)

модействия равен U = s • ωT , где ωT ∝ [γ / (γ + 1)]× F × β [Thomas (1927)]. Амплитуда образования Λ-гиперона со спином s будет пропорциональна разности энергий между начальным и конечным состояниями (∆E0 + U )−l ; здесь ∆Ε0 (>0) есть разность энергий кварка между промежуточным и конечным состояниями при отсутствии спино-зависящего взаимодействия. Таким образом, сечение образования Λ больше, когда величина r r r s • ωT отрицательна. В системе бесконечного импульса вектор ωT наr r правлен вдоль p p × pΛ , т.е. перпендикулярно плоскости реакции. В результате сечение больше тогда, когда спин s-кварка и, следовательно, Λгиперона, противоположен этому направлению, что согласуется с экспериментальными результатами. Конкретные вычисления асимметрии показывают, что поляризация слабо зависит от xF и пропорциональна поперечному импульсу Λ-гиперона. Этот факт является следствием большого различия в масштабах величин p|| и pT в искомой задаче. Таким образом, томасовская прецессия предсказывает основные качественные характеристики поляризации в переходе p→Λ. Теперь легче понять, почему равна нулю поляризация антилямбда гиперонов, т.е. P ( p → Λ ) = 0 . Образование Λ протонным пучком происходит целиком через рекомбинацию морских кварков, т.е. через объединение быстрого s -кварка из моря с антидикварком же u d из моря. Количество таких комбинаций велико и в среднем он дают нулевую поляризацию, что соответствует эксперименту. Итак, модель ДеГранда–Меттинена представляет модель для объяснения поляризации кварков. Основным механизмом поляризации кварков является томасовская прецессия спина, которая возникает в процессе рекомбинации кварков с образованием конечных адронов. Модель позволяет установить соотношения между поляризациями в различных инклюзивных барион-барионных переходах. Эти соотношения позволяют проверять картину рекомбинации кварков независимо от механизма поляризации кварков. Эта модель может быть применена и к другим инклюзивным процессам, как, например, переходы октетных барионов к барионам из декуплета, бариона в векторные мезоны, мезонов в барионы и мезонов (скалярных и псевдоскалярных) в векторные мезоны. Наконец, в полной аналогии с приведенными выше доводами можно применить эту модель и к другим процессам. Например, к процессу электрон-позитронной аннигиляции или ГНР. При этом можно показать, что лидирующий барион или векторный мезон из кварковой струи, имеющий поперечный импульс (перпендикулярный к оси струи), будет поляризован. Итак, согласно этой 228

модели поляризация является очень распространенным явлением, хотя по величине она небольшая. §31.3. Модель Лунда

Модель основана на представлении о струне, взятой из КХД и некоторых общепринятых предположениях. В момент взаимодействия адронов между их партонами натягивается цветная струна. Затем струна разрывается с испусканием кварк-антикварковой пары и цветомагнитным полем эта пара растаскивается. В случае нулевой массы кварков эта пара может рождаться и в одной точке. Однако при наличии у кварков массы или поперечного импульса k ⊥ кварки классически могут образоваться только на некотором расстоянии l друг от друга. Причем энергия поля между этими кварками переходит в поперечную массу кварков (рис. 4), а именно: kl = 2µ ⊥ , (4) где энергия натяжения струны на единицу длины k~1 ГэВ/фм ~0,2 ГэВ2,

µ – масса кварка, а µ ⊥ = µ 2 + k 2⊥ – поперечная масса кварка (= массе антикварка). Такое образование пары qq описывается в квантовой механике как туннельный эффект. r L

r − k⊥

r k ⊥ l≈

2µ ⊥ k

Рис. 4. Диаграмма модели Лунда для поляризации морского кварка

Для сохранения поперечного импульса кварк и антикварк должны образоваться с равными, но противоположного знака, поперечными импульсами. Из рис. 4 видно, что возникаюшая пара обладает орбитальным мо-

r

ментом L , равным

r r r r k L = k⊥ × l = 2 ⊥ µ ⊥ n . k 229

(5)

r

Здесь n – единичный вектор, перпендикулярный к плоскости, содержа-

r

щей струну и поперечный импульс k⊥ . Мы должны еще учесть закон со-

r

хранения полного момента J . В начальном состоянии, до возникновения

r

пары, J =0. После возникновения пары qq (или дикварка) с орбиталь-

r

ным моментом L надо, чтобы спины обоих кварков выстроились парал-

r

лельно и противоположно L , чтобы скомпенсировать орбитальный момент

s r r J = L+S , (6) r где S – суммарный спин пары qq . Следовательно, и кварк, и антикварк должны быть поляризованы оба одинаково и в направлении, противоположном орбитальному моменту (см. рис. 4). Направления орбитального момента и спина указаны в кружочках рядом с их обозначениями. Поскольку полный спин равен единице, то и орбитальный момент должен быть равен единице. Из теории туннельных процессов следует условие L~2/π≈1. Приведенная выше картина (модель Лунда) [Anderson (1981), Anderson (1983)] дает простое описание поляризации Λ-гиперонов, образующихся в процессе фрагментации протона [Anderson (1979)]. Для получения Λгиперонов с большими значениями xF надо, чтобы образовалась струна, на одном конце которой находится обычно пара кварков ud. Струна разрывается с образованием пары ss -кварков (рис. 5). Чтобы триплет кварков uds образовал Λ-гиперон, надо, чтобы пара ud находилась в синглетном состоянии как по изотопспину (I = 0), так и по механическому спину (s = 0). В таком случае спин Λ-гиперона равен спину s-кварка. Тогда, если поперечный импульс Λ-гиперона отличен от нуля и направлен вверх, то его поляризация будет равна поляризации s-кварка и будет направлена r r вдоль вектора pΛ × p (рис. 5). s s

(ud)

0

Λ-гиперон

протон

Рис. 5. Диаграмма образования поляризованного Λ - гиперона в модели Лунда 230

В этой картине очень важно “заключение“ (“конфайнмент”) кварков. Когда образуется пара кварк–антикварк в струноподобном поле струна двигается, как показано на рис. 6, а внешние силы F и –F (силы натяжения струны) при этом не создают вращательного момента, и, следовательно, полный угловой момент сохраняется.

–F

F

Рис. 6. Действие запирающей силы F на морские кварки, (темные кружки): большие стрелки указывают направление действия цветных сил; маленькие стрелки – направление движения кварков

Для сравнения на рис. 7 показан случай образования e + e − -пары в однородном внешнем электрическом поле. Поскольку нет “заключения”, то частицы в паре не связаны струной и внешняя сила добавляет момент количества движения. Тем самым нарушается закон сохранения полного момента. В результате позитрон и электрон оказываются поляризованными в противоположных направлениях и независимы один от другого. Рассмотрим еще несколько физических процессов. В первом случае мы интересуемся поляризацией Λ -гиперона в реакции

K+ + p → Λ + X .

(7) F

-F

Рис. 7. Образование e + e − пары в вакууме: темные кружки – электрон и позитрон; длинные жирные стрелки – сила разрыва вакуума, короткие жирные стрелки – направление движения лептонов; тонкие стрелки – внешнее электрическое поле

В эксперименте обнаружена поляризация Λ -гиперона в этой реакции [Faccini-Turluer (1979), Barth (1981)]. Если мы измеряем Λ -гиперон с большим значением параметра Фейнмана в области фрагментации начального K + - мезона, то естественно предположить, что для образования

( )0

Λ -гиперона s -кварк берется из K + -мезона, а u d 231

– при разрыве

струны. При соударении протона (его составляющих) с u–кварком K + мезона возникает цветная струна и появляется вращательное движение, которое приводит к двум следствиям. Во-первых, s -кварк и связанная с ним струна приобретают угловой момент вращения и s -кварк оказывается поляризованным. Во-вторых, s -кварк приобретает поперечный импульс в направлении движения струны. При образовании Λ -гиперона за счет разрыва струны и присоединения к s -кварку образовавшегося синг-

( )0

летного антидикварка u d

Λ -гиперон приобретает оба этих параметра.

В результате он оказывается поляризованным, причем в нужном направr r лении (в направлении pK × pΛ ). Похожая ситуация имеет место и с реакцией

K− + p → Λ + X .

(8) Здесь некоторое затруднение вызывает фон от протонной фрагментации. Второй процесс, который нас интересует, связан с Σ + , а именно:

p + N → Σ+ + X .

(9)

+

Быстрый Σ составляется из uu-пары из протона в триплетном состоянии по спину (S=1) и s-кварка из цветомагнитного поля. Поскольку спин

Σ + параллелен спину дикварка uu, то поляризация в этом случае оказывается усиленной по сравнению с поляризацией антилямбда в предыдущей реакции. Это находится в согласии с экспериментальным указанием

( )

P Σ + ≈ − P(Λ ) [Lundberg (1982), Cooper (1982)]. Если бы был поляризо-

ван только s-кварк, то поляризация Σ + оказалась бы значительно меньше,

( )

1 3 0 таких как распады Σ , Y ∗ → Λ .

а именно, P Σ + ≈ − P(Λ ) . Это без учета деполяризующих процессов,

В заключение отметим, что модель Лунда предсказывает значительные поляризационные эффекты в образовании адронов. Изложение в этом параграфе построено на базе доклада [Gustafson (1984)]. §31.4. Хромомагнитная струнная модель

Одним из мощных двигателей поляризационной физики в конце 70-х – начале 80-х гг. был факт обнаружения больших односпиновых эффектов в 232

инклюзивном образовании адронов при больших энергиях s ∼ 10 ГэВ. Как показали совсем недавние измерения, эти спиновые эффекты сохраняются вплоть до энергии s = 200 ГэВ [Adams (2003)]. Так как эти эффекты были обнаружены в основном в области мягких соударений, то было невозможно напрямую применить аппарат ПKХД. Поэтому начали развиваться феноменологические подходы, к которым принадлежит и описываемая здесь модель, которую авторы окрестили как “хромомагнитная струнная модель” (ХМСМ) [Nurushev (2006)]. Модель была предложена в 1988 г. Рыскиным [Ryskin (1988)] для объяснения инклюзивных пионных асимметрий, полученных в основном на ускорителе У-70 ИФВЭ. Эта модель приводит к очень простым аналитическим зависимостям для асимметрии практически во всей кинематической области инклюзивных процессов. При этом односпиновая асимметрия предсказывается без свободных параметров, что происходит редко. Вкратце суть модели состоит в следующем. После столкновения адронов между ними натягивается цветовая трубка (струна). В простейшем случае такая трубка содержит внутри себя цветовое электрическое поле. Но такая система неустойчива. Чтобы система была устойчива, вокруг трубки должо циркулировать цветовое магнитное поле. Взаимодействие такого магнитного поля с цветовым магнитным моментом кварка приводит к смещению кварка перпендикулярно оси струны. Это смещение зависит от ориентации спина кварка по отношению к направлению магнитного поля. Оценка величины этого смещения приводит к величине приращения поперечного импульса (“кика”) δ pT ≅ 0,1 ÃýÂ/ c [Ryskin (1988)]. Вводя определение инвариантного сечения ρ = E

dσ

d3p

, можно записать выражение для асимметрии поляри-

зованного кварка

Aq =

ρ(+ ) − ρ(− ) , ρ(+ ) + ρ(− )

(10)

где (+) и (–) в аргументе функции ρ обозначают направление вектора поляризации кварка. Так как δ pT < pT , где pT – поперечный импульс конечного пиона, на который фрагментирует поляризованный кварк, то, разлагая по степеням δ pT , находим выражение для анализирующей способности: dσ( pT + δ pT ) − dσ( pT − δ pT ) δ ⎛ dσ ⎞ dσ ⎜ ⎟/ Aq (x ) = = δ pT ⋅ = δ pT ⋅ B . (11) dσ( pT + δ pT ) + dσ( pT − δ pT ) δ pT ⎜⎝ d 3 p ⎟⎠ d 3 p 233

Здесь B – параметр наклона функции ρ, как это определяется стандартным образом:

B=

δ δ pT

⎛ dσ ⎞ dσ δ ⎟ ⎜ ⎜ d 3 p ⎟ / d 3 p = δ p (lnρ ) . T ⎠ ⎝

(12)

Формулу для определения анализирующей способности конечного адрона теперь можно записать в общем виде [Нурушев (2006)]: AN (x ) = Pq (x ) ⋅ Aq (x ) ⋅ w(x ) . (13) Здесь Pq(x) обозначает поляризацию начального кварка, несущего долю x от импульса начального поляризованного протона, Aq ( x ) – анализирующая способность кварка, определенная выше (11), w(x) – доля вклада интересующего нас канала реакции в партон-партонное взаимодействие. Поперечная поляризация кварка (поперечность или трансверсальность) Pq(x) уже обсуждалась ранее. Однако пока из эксперимента ее не удалось определить. Ожидается, что “поперечность” может быть связана со структурной функцией g2(x), которая согласно экспериментальным данным [Mcnully (2002)], близка к нулю и имеет особенности при малых x. В этой ситуации для определения Pq(x) необходимо обратиться к моделям. В нерелятивистской кварковой модели (НРКМ) предлагаются следующие зависимости:

Pq (x ) =

1 1 2 ⋅ x для π + , Pq (x ) = ⋅ x для π 0 и Pq (x ) = − ⋅ x для π − . (14) 3 3 3

НРКМ предсказывает кардинально отличные поведения поляризации кварка в зависимости от заряда конечного пиона. Во-первых, положительные знаки в случае π+ и π0, отрицательный для π–. Во-вторых, наибольшая величина асимметрии ожидается для π+ по сравнению с π– и π0. Эти предсказания в общем соответствуют экспериментам, хотя случаются и некоторые несоответствия. Другим источником информации о поляризации кварков является работа [Anselm (1995)], в которой сделана попытка объяснить “спиновый кризис”. Из этой работы следуют формулы: Pq(x) = 0,7 x для π+, Pq(x) = 0,28 x для π0 и Pq(x) = – 0,55 x для π–. (15) Сравнивая (15) с (14), можно заметить, что существенная разница между этими формулами наблюдается в выражении поляризации только для π–. Этот факт будет учитываться при сопоставлении анализирующей способности AN(x) с экспериментальными данными. Общее выражение для весового фактора зависит от функции распределения партона Va(x) и функции фрагментации партона Da(x) (a – аромат партонов). Полагая, что поляризация в основном передается кварками и в 234

значительно меньшей степени глюонами, мы получаем выражение для весового множителя (или фактора разбавления):

w(q ) =

σ(q ) , σ(q ) + σ(g )

(16)

предполагая, что основной вклад дает взаимодействие qg′ (в σ(q)) и gg′ (в σ(g)) в t-канале с глюонным обменом. При этом принимается, что неполяризованный нуклон испускает глюон g, а поляризованный нуклон – кварк q и глюон g. Тогда вклады кварков и глюонов могут быть записаны в виде 1 dz ⎛ x⎞ σ(q ) ∝ CF ∫ V q ⎜ ⎟ D q (z ) , z ⎝z⎠ x 1 dz ⎛ x⎞ σ( g ) ∝ C A ∫ V g ⎜ ⎟ D g ( z ) , (17) z ⎝z⎠ x где цветовой фактор CF = 4/3 и CA = 3, z обозначает долю импульса поля-

ризованного кварка, переносимую конечным адроном. Кварковые и глюонные функции распределений были взяты в форме

V q (x ) = x ⋅ v(x ) = 2,8 ⋅ x ⋅ (1 − x )2 ,

V g (x ) = x ⋅ g ( x ) = 3,0 ⋅ x ⋅ (1 − x )5 .

(18)

Функции фрагментации были взяты в следующей форме:

4 (1 − z ), Dπu0 (z ) = 2 (1 − z ), Dπu− (z ) ≈ 0; 3 3 g g D + (z ) = D 0 ( z ) = D g− (z ) = (1 − z )2 .

D u+ ( z ) = π

π

π

π

(19)

Изотопическая инвариантность и зарядовое сопряжение приводят к следующим соотношениям:

Du+ (z ) = Du− (z ) = D d− (z ) = D d+ (z ) ,

π u D− π

(z ) =

π u D+ π

(z ) =

π d D+ π

(z ) =

π d D− π

(z ) .

(20)

Весовой фактор (16) был вычислен с использованием соотношений (17), (18) и (19). Окончательное выражение для весового множителя для пионов разных зарядов может быть представлено в виде

w(x ) =

x

x + c(1 − x )4,5 235

.

(21)

Здесь константа c равна: с+ = 0,48 для π+ , с0 = 0,64 для π0 и с− = 0,96 для π− . Анализирующая способность инклюзивных пионов вычисляется из (13) и (21) и не имеет свободных параметров. Явный и простой аналитический вид формулы для асимметрии, отсутствие подгоночных параметров являются привлекательной стороной хромомагнитной струнной модели. Модель применима при больших энергиях, значениях xF > 0,2 и pT > 0,3 ГэВ/с. При малых энергиях и малых xF заметную роль играют процессы с образованием резонансов [Musulmanbekov (1995)]. Чтобы временно избежать этой проблемы, мы ограничимся рассмотрением экспериментальных данных при АПИ энергиях s > 10 ГэВ. Инклюзивные реакции можно условно разделить по кинематике на три области. Это центральная область с параметром Фейнмана в интервале −0,15 ≤ xF ≤ 0,15, область фрагментации пучка 0,3 ≤ xF < 1 и промежуточная область. Поляризационные результаты в основном сосредоточены в первых двух областях. Мы перейдем к их рассмотрению в рамках модели ХМСМ. А. Центральная область

К настоящему времени известны три экспериментальные работы по измерению односпиновой асимметрии (ОСА) в инклюзивном образовании

π 0 -мезонов (данные по заряженным частицам нам неизвестны). Они следующие: 1. Инклюзивная асимметрия в реакции

p(↑) + p → π0 + X .

(22) Эксперимент Е704 измерил эту реакцию при импульсе 200 ГэВ/с в кинематической области −0,15 ≤ xF ≤ 0,15; 1,48 ≤ pT (ГэВ/с) ≤ 4,31 [Adams (1996)]. 2. Инклюзивная асимметрия в реакции

()

p ↑ + p → π0 + X .

(23) Эксперимент Е704 измерил эту реакцию при импульсе 200 Гэв/с в кинематической области −0,15 ≤ xF ≤ 0,15; 1,48 ≤ pT (ГэВ/с) ≤ 3,35 [Adams (1996)]. 3. Инклюзивная асимметрия в реакции

p + p(↑) → π0 + X . 236

(24)

Эксперимент ПРОЗА-М измерил эту реакцию при импульсе 70 ГэВ/c в кинематической области −0,15 ≤ xF ≤ 0,15; 1,05 ≤ pT (ГэВ/с) ≤ 2,74 [Vasiliev (2003)]. Ниже мы обсудим последовательно эти данные в сравнении с модельным предсказанием. 1. Как известно из предыдущих обсуждений, чтобы ХМСМ могла предсказать асимметрию, надо знать параметр наклона B. Е704 нашел этот параметр равным в центральной области B = (4,19 ± 0,08) (ГэВ/c)−1 [Adams (1996)] и независящим от –t в измеренном интервале. Тогда можно вычислить анализирующую способность кварка, которая равна Aq = 0,1, B = 0,419. Согласно соотношениям (14) и (15) мы положим трансверсальность Pq (x ) = x / 3, константу с0 = 0,64 (12) и, вставляя все приведенные соотношения в уравнение (13), мы получаем конечное выражение для асимметрии π0-мезона в центральной области для условий эксперимента Е704:

AN (x ) =

0,14 ⋅ x1,5

x + 0,64(1 − x )4,5

.

(25)

Из этой формулы можно заметить несколько особенностей. Вопервых, асимметрия зависит в центральной области только от

X = xT =

2 pT s

,

если предположить, что параметр наклона B не зависит

от переданного импульса. Во-вторых, она обращается в нуль при x = 0 изза поляризации кварка и в определенной степени из-за вклада глюона (второй член в знаменателе). Когда x растет и приближается к единице, асимметрия растет линейно по х. Все перечисленные свойства асимметрии наблюдаются на опыте. Результаты вычислений по формуле (25) представлены на рис. 8 сплошной линией. Они согласуются, как это видно на рисунке, с экспериментальными данными Е704 при 200 ГэВ/с. 2. Вторая группа данных относится к асимметрии в инклюзивном образовании π0-мезонов на антипротонном пучке с импульсом 200 ГэВ/с (23) [Adams (1996)]. Эта реакция отличается от реакции (22) тем, что все кварки в протоне заменены на антикварки и протон переходит в антипротон. Следовательно, инвариантность относительно зарядового сопряжения приводит к соотношению

(()

)

(()

)

AN p ↑ + p → π0 + X = AN p ↑ + p → π0 + X .

237

(26)

Рис. 8. Асимметрия в функции от ðT для реакции p + p → π0 + X в центральной области; при 70 ГэВ/с поляризована мишень, при 200 ГэВ/с – пучок; показана также асимметрия для реакции p + p → π 0 + X при 200 ГэВ/с; предсказание ХМСМ представлено сплошной линией для импульса 200 ГэВ/с и пунктирной – для 70 ГэВ/с

Как видно на рис. 8, это условие соответствует экспериментальным данным в пределах ошибок измерений. 3. Новые данные, полученные на установке ПРОЗА-М [Vasiliev (2003)] при 70 ГэВ, относятся к реакции (24). Данные получены на неполяризованном протонном пучке с поляризованной протонной мишенью. На рис. 8 они нанесены с обратным знаком для сопоставления с результатами эксперимента Е704. Выражение для асимметрии, полученное из ХМСМ при 70 ГэВ, имеет вид

AN (xT ) = 0,2 ⋅

xT1,5

xT + 0,64(1 − xT )4,5

.

(27)

По сравнению с формулой (25) были учтены две поправки: на разницу энергий и на разницу в величине параметра наклона. 238

При 70 ГэВ/c параметр B = (5,89 ± 0,08) ГэВ/с согласно работе [Vasiliev (2003)]. Результаты вычислений представлены на рис. 8 пунктирной линией и находятся в согласии с экспериментальными данными. Однако для качественной проверки модели нужны более точные данные по асимметрии в центральной области. Асимметрия в реакции p(↑) + p → π0 + X в центральной области при энергии s = 200 ГэВ измерялась в эксперименте PHENIX на RHIC. Сотрудничество PHENIX не опубликовало пока официально свои результаты по асимметрии в этой реакции. Однако оно опубликовало данные по прецизионному измерению инвариантного дифференциального сечения этой реакции в интервале 1 ≤ pT ≤ 13 ГэВ/c при псевдобыстротах |η| ≤ 0,39 [Adler (2003)]. Это сечение было параметризовано в виде

d 3σ

⎛ p ⎞ ρ = E 3 = A ⋅ ⎜⎜1 + T ⎟⎟ p0 ⎠ dp ⎝

−n

.

(28)

Здесь A = 386 мб⋅ГэВ-2, p0 = 1,219 ГэВ/c и n = 9,99. Теперь мы можем вычислить параметр наклона

B( pT ) =

d ln ρ n . = dpT p0 + pT

(29)

Из формулы (29) видно, что параметр наклона уменьшается с ростом передач импульса как pT−1 и приводит к уменьшению асимметрии с ростом переданного импульса. Эта тенденция напоминает то, что уже было замечено при меньших импульсах (≈ 200 ГэВ/c) [Donaldson (1976)]. Инвариантное сечение при 100 и 200 ГэВ/c было параметризовано следующим образом:

ρ=E

d 3σ 3

d p

(

∝ pT2 + M 2

)

N

⋅ (1 − xT )F .

(30)

Подгонка к экспериментальным результатам приводит к величинам

N = −5,4 ± 0,2; M2 = (2,3 ± 0,3) ГэВ2 и F = 7,1 ± 0,4; xT = 2pT

s . Теперь можно найти параметр наклона 2 Np 2F . (31) B( pT ) = 2 T 2 − pT + M s (1 − xT ) Параметр наклона из данных PHENIX (29) имеет такую же pTзависимость, что и в эксперименте Е704 при меньших энергиях s ≈ 20 ГэВ (21). Таким образом, в интервале энергии s = 20 – 200 ГэВ параметр наклона практически не зависит от энергии. Поскольку два ос239

тальных параметра, входящие в формулу ХМСМ, тоже слабо зависят от энергии, то можно ожидать, что асимметрия при энергии PHENIX будет мала. Вычисления показывают, что асимметрия в лучшем случае оказывается около 1 %. Чтобы заметить такую асимметрию, точность измерений должна быть на уровне 0,1 %. Таким образом, можно сделать предварительный вывод о том, что асимметрия в инклюзивном образовании π0-мезонов в центральной области практически отсутствует (или очень мала), начиная с энергии в с.ц.м.

s ≈ 10 ГэВ. B. Область фрагментации пучка

В этой области при энергиях s ≥ 10 ГэВ имеются следующие опубликованные результаты по односпиновой асимметрии.

()

1. Результаты эксперимента STAR по реакции p ↑ + p → π0 + X при s = 200 ГэВ. Кинематическая область измерений: 0,18 ≤ xF ≤ 0,59; 1,5 ≤ pT (ГэВ/c) ≤ 2,3; |η| ≈ 3,8 [Adams (2003)].

()

2. Результаты эксперимента E704 по реакции p ↑ + p → π0 + X при

s ≈ 20 ГэВ. Кинематическая область измерений: 0,03 ≤ xF ≤ 0,9; 0,5 ≤ pT (ГэВ/c) ≤ 2,0; [Adams (1992)].

()

3. Результаты эксперимента E704 по реакции p ↑ + p → π0 + X при

s ≈ 20 ГэВ. Кинематическая область измерений: 0,03 ≤ xF ≤ 0,67; 0,5 ≤ pT (ГэВ/c) ≤ 2,0; [Adams (1991b)].

()

4. Результаты эксперимента E704 по реакции p ↑ + p → π± + X при

s ≈ 20 ГэВ. Кинематическая область измерений: 0,2 ≤ xF ≤ 0,9; 0,2 ≤ pT (ГэВ/c) ≤ 1,5; [Adams (1991d)].

()

5. Результаты эксперимента E704 по реакции p ↑ + p → π± + X при

s ≈ 20 ГэВ. Кинематическая область измерений: 0,2 ≤ xF ≤ 0,9; 0,2 ≤ pT (ГэВ/c) ≤ 1,5; [Bravar (1996)]. Все перечисленные выше экспериментальные данные показаны на рис. 9. Формулы для асимметрии (11), так же как и для весового множителя w(x) (16), остаются применимыми и для области фрагментации пучка. Основное изменение состоит в том, что вместо аргумента x подставляем xF, который обозначает теперь долю импульса, переносимого конечным 240

адроном после развала кварка. Теперь формула для асимметрии записывается следующим образом (см. (13)): AN ( xF , pT , g ) = Pq ( xF ) ⋅ Aq (xF , pT , g ) ⋅ w(xF , c ) . (32) Параметр с в факторе разбавления был определен ранее (см. (21)). Для вычисления асимметрии надо определить параметр наклона, определенный соотношением (31) для каждой реакции с учетом кинематической области измерений. Нахождение формулы для асимметрии было обсуждено выше. Поэтому запишем сразу окончательное выражение для асимметрии, ожидаемой в эксперименте STAR. Оно имеет вид

AN (xF ) = 0,2 ⋅

x1F,5

xF + 0,64(1 − xF )4,5

.

(33)

Результаты расчета по этой формуле представлены на рис. 9 точками. Как видно на рисунке, имеется удовлетворительное согласие с первыми экспериментальными результатами STAR. Так как в Е704 не были приведены сечения, мы взяли их из работы [Carey (1976)] вблизи подходящей для нашей цели кинематической области. С помощью подгонки было найдено, что B = (4,75 ± 0,07) (ГэВ/c)-1. Приняв поляризацию кварка Pq(xF) = (1/3) xF, конечное выражение для асимметрии при импульсе 200 ГэВ/с (эксперимент E704) для π0мезонов принимает форму

AN (xF ) = 0,16 ⋅

x1F,5

xF + 0,64(1 − xF )4,5

.

(34)

На рис. 9 сплошной линией представлены результаты вычислений по этой формуле. Как видно, имеется качественное согласие с данными Е704. На том же рис. 9 показаны результаты по AN для реакции

()

p ↑ + p → π0 + X при импульсе 200 ГэВ/c. Модельное предсказание упрощается благодаря соотношению (35), которое является следствием перехода от кварка к антикварку. Как видно на рис. 9, есть хорошее согласие между предсказанием модели (сплошная линия) и данными эксперимента.

241

Рис. 9. Асимметрия в функции x F в области фрагментации поляризованного

()

пучка для реакции p ↑ + p → π0 + X при

()

s = 19,4 и 200 ГэВ; также представ-

лены данные по асимметрии в реакции p ↑ + p → π0 + X при сплошной линией представлены результаты вычислений для тирной – для

s = 19,4 ГэВ;

s = 19,4 ГэВ, пунк-

s = 200 ГэВ

Рис. 10 показывает данные эксперимента Е704 по односпиновой асимметрии в инклюзивном рождении пионов при начальном импульсе 200 ГэВ/с в реакциях

()

p ↑ + p → π± ,0 + X ,

()

p ↑ + p → π± ,0 + X .

(35) Так как в эксперименте Е704 не измерялись сечения, оценка параметра наклона была проведена из данных работы [Breakstone (1995)]. Найденные параметры наклона оказались равными B+ = 5,55 ГэВ–1 и 242

B− = 5,33 ГэВ–1. Таким образом, взяв для поляризации кварка выражение 2 Pq (x ) = x , приходим к формуле 3 + x1F,5 ANπ (xF ) = 0,37 ⋅ . (36) xF + 0,48(1 − xF )4,5

Рис. 10. Проверка правил зарядового сопряжения (26) и (38) для односпиновой асимметрии AN в инклюзивном образовании пионов в реакциях

()

()

p ↑ + p → π ± ,0 + X (темные кружки) и p ↑ + p → π± ,0 + X (светлые кружки)

при 200 ГэВ/с; на рис. a), b), c) AN дается в функции от x F , а на рис. d), e), f) – в зависимости от pT; сплошные линии представляют предсказания ХМСМ для распределения кварков по формуле (14) и пунктирные – для распределения кварков по формуле (15) 243

На рис. 10а сплошной линией представлено предсказание модели для положительных пионов. Экспериментальные данные (темные кружки) согласуются неплохо за исключением малых значений x F < 0,4. Предсказание для π–-мезонов было вычислено при поляризации кварка

1 Pq (x ) = − x , из нерелятивистской кварковой модели, по формуле 3 x1F,5 ANπ − ( xF ) = −0,18 ⋅ . xF + 0,96(1 − xF )4,5

(37)

Результаты показаны на рис. 10b сплошной линией. Согласие не очень хорошее. Учитывая это, была рассчитана кривая (точечная линия на том же рисунке), когда выражение для поляризации кварка было взято как Pq ( x ) = −0,55 x из работы [Carey (1976)]. Этот вариант дает лучшее описание при больших значениях x. Но в обоих случаях не удается достичь хорошего описания при малых x F . Рис. 10с показывает асимметрию π0-мезонов, рожденных протонными (темные кружки) и антипротонными (светлые кружки) поляризованными пучками. Как можно видеть, правило зарядового сопряжения (26) работает неплохо. Для асимметрии в инклюзивном образовании заряженных пионов должно быть справедливым следующее правило зарядового сопряжения:

(()

)

(()

)

AN p ↑ + p → π± + X ≈ AN p ↑ + p → πm + X .

(38) О справедливости этого соотношения можно судить по рис. 10а и 10с, где протонные данные приведены темными, а антипротонные – светлыми кружками. В целом имеется согласие, хотя наблюдаются и отклонения от этого правила, особенно при малых xF. Рис. 10d, 10е и 10f показывают pT-зависимости асимметрии. Эта зависимость восстановлена из таблиц в оригинальных статьях [Adams (1992), Adams (1991b), Adams (1991d)], где даются таблицы корреляции аргументов pT и xF. Сплошные и пунктирные линии на этих рисунках – предсказания ХМСМ для распределения кварков (14) и (15) соответственно. В целом наблюдается качественное согласие, особенно при больших аргументах. При малых значениях аргументов расхождение между предсказаниями и экспериментальными данными авторы склонны приписывать либо резонансам, либо каким-то пороговым явлениям. Список литературы Adams D.L. et аl. Preprint FERMILAB-Pub-91/13-E, 14-Е and ANL-HEP244

PR-91-46 (1991a). Adams D.L. et аl. Phys. Lett. В261 (1991b) 201. Adams D.L. et аl. (Е581/704 Collaboration) Preprint ANL-HEP-TR-91-16 (1991c). Adams D.L. et al. Phys. Lett. B264 (1991d) 462. Adams D.L. et al. Z. Phys. C56 (1992) 181. Adams D.L. et al. Phys. Rev. D53 (1996) 4747. Adams J. et al. arXiv:hep-ex/0310058 v1 (2003). Adler S.S. et al. Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 241803. Anderson B., Gustafson G., Ingelman G. Phys. Lett. 85B (1979) 417. Anderson B. et al. Nucl. Phys. B178 (1981) 242. Anderson B. et al. Phys. Rep. 97 (1983) 349. Anselm A.A., Ryskin M.G. Z. Phys. C68 (1995) 297; Yad. Fiz. 59 (1996) 708. Barger E. et al. Nucl. Рhуs. В13 (1974) 269. Barth M. et al. Z. Physik C10 (1981) 205. Boros C. Труды VI Рабочего совещания по спиновым явлениям в физике высоких энергий. Протвино (1995) 122. Boros C., Zuo-Tang L. Phys. Rev. D 53 (1996) R2279. Boros C., Zuo-Tang L. Phys. Rev. D53 (1996a) R2279. Boros C., Zuo-Tang L., Tao-Chung M. FU Berlin preprint FUB-HEP 96-9 (1996b). Bravar A. et al. Phys. Rev. Lett. 77 (1996) 2626. Breakstone A. et al. Z. Phys. C69 (1995) 17. Bunce G. et al., Phys. Rev. Lett. 36 (1976) 1113. Bunce G. et al. Phys. Lett, 86B (1979) 386. Carey D.C. et al. Phys. Rev. D14 (1976) 1196. Chou T.T. AIP Conf. Proc. N15, New York (1973) 118. Chou T.T., Yang C.N. Nucl. Phys. B 107 (1976) 1. Cooper P.S. et al. Proc. 5th Symp. on High Energy Spin Physics, Brookhaven (1982). Donaldson G. et al. Phys. Rev. Lett. 36 (1976) 1110. Erhan S. et al. Phys. Lett. 82B (1979) 301. Faccini-Turluer M.L. et al. Z. Physik C1 (1979) 19. Feynman R. P. Photon-Hadron Interactions. Benjamin, New York (1972). Gustafson G. Polarization and Confinement. Труды II-го Международного семинара по спиновым явлениям в физике высоких энергий. Протвино (1984) 212. Heller K. et al. Phys. Lett. 68B (1977) 480. Heller K. et al. Phys. Rev. Lett. 41 (1978) 607. Liang Zuo-tang, Meng Ta-chung FU-Berlin Preprint, FUB-HEP /91-8 (1991). 245

Liang Zuo-tang, Meng Ta-chung Рhуs. Rev. D42 (1990) 2380. Lomanno F. et al. Phys. Rev. Lett. 43 (1979) 1905. Lundberg B. et al. Proc. of the 5th Symp. on High Energy Spin Physics, Brookhaven (1982). Mcnully D.E. SLAC-R-674, Stanford, California, USA (2002). Meng Ta-chung Труды IV Рабочего совещания по спиновым явлениям в физике высоких энергий. Протвино (1991а) 112. Meng Ta-chung Труды IV Рабочего совещания по спиновым явлениям в физике высоких энергий. Протвино (1991b) 121. Musulmanbekov G.J., M.V. Tokarev M.V. In: Proc. VIth Workshop on High Energy Spin Physics, Protvino, Russia (1995) 132. Nurushev S.B., Ryskin M.G. Physics of Nuclei and Particles 69 (2006) 1. Rayachauduri K. et al. Phys. Lett. 90B (1980) 319. Ryskin M.G. Yad. Fiz. 48 (1988) 1114; Sov. J. Nucl. Phys. 48 (1988) 708. Thomas L.H. Philos. Mag. 3 (1927) 1. Vasiliev A.N. et al. IHEP Preprint 2003-22, Protvino (2003). Yang C.N. In: Proc. Int. Symp. on High Energy Physics, Tokyo, Japan (1973) 629. Yokosawa А. In: Proc. 9th Int. Symp. оn High-Energy Spin Physics, Bonn, Germany (1990).

§32. Поляризация как инструмент изучения адронной материи в экстремальных условиях В современной ядерной физике, в особенности в разделе взаимодействия тяжелых релятивистских ионов, очень популярной темой является поиск так называемой кварк-глюонной плазмы (КГП). В литературе предлагался ряд способов применения поляризационных явлений для выделения сигнала КГП над уровнем фоновых процессов. Это были следующие процессы. При возникновении КГП должно происходить интенсивное образование каскадных гиперонов Ξ ( Ξ ). Каскадные гипероны (антикаскадные гипероны) распадаются на Λ ( Λ )-гипероны, причем Λ (⎯Λ)-гипероны оказываются продольно-поляризованными. Других источников продольно-поляризованных Λ (⎯Λ)-гиперонов не ожидается. Следовательно, в дополнение к измерению выходов каскадных гиперонов предлагается измерять и поляризацию их продуктов распада с упором на продольную поляризацию лямбда-гиперонов.

246

Следующее предложение напоминает эксперимент обзорного типа. Предположим, что мы измеряем поляризацию Λ-гиперонов, образующихся в pp-соударениях на ускорителе ISR. В этом случае экспериментально установлено наличие поляризации у лямбда-гиперонов. Теперь происходят столкновения на той же установке тяжелых ионов, и мы по-прежнему измеряем поляризацию также лямбда-гиперонов. Что мы должны ожидать? Мы должны ожидать нулевую поляризацию, так как наличие КГП приводит к полному смешиванию спиновых состояний. Почти полвека назад было обращено внимание на то, что и поляризационные эффекты могут быть использованы как индикатор образования КГП. Несколько лет назад был сделан обзор [Nurushev (1993)] по использованию спиновых эффектов в качестве зонда для исследования формирования КГП. Теперь, когда мы имеем поляризованные протонные пучки на RHIC, мы можем сделать некоторые предложения, ориентируемые на новые возможности RHIC. Кварк-глюонная плазма – горячая субстанция, возникающая в столкновениях тяжелых ионов [Conceptual (1989)]. Как подчеркивалось [STAR (1992)], свидетельство формирования кварк-глюонной плазмы должно быть основано на комбинации нескольких признаков. Было предложено несколько измерений поляризации в качестве возможных признаков возникновения КГП во взаимодействии тяжелых ионов [Hoyer (1987), Jacob (1987), Jacob (1988)]. Столкновения тяжелых ионов могут быть классифицированы на следующие группы в соответствии со спинами участвующих частиц: неполяризованные первоначальные состояния, одно из начальных ядер поляризовано, оба ядра поляризованы. 1. Угловое распределение [Hoyer (1987)]. Центральная особенность формирования кварк-глюонной плазмы в столкновениях тяжелых ионов – термализация кинетической энергии или части ее. Таким образом, в системе покоя плазмы (локальной) не имеется никакого выделенного направления и, в частности, направление спина исходных ядер “забыто”. Эти соображения основаны исключительно на аргументах симметрии и, таким образом, модельно независимы. Применение этих идей к данным по столкновениям тяжелых ионов будет включать неопределенности из-за определения системы покоя плазмы и возможности генерации частиц нетермализованными кварками и глюонами. В данном случае предполагается существование совершенной плазмы в покое. В работе [Hoyer (1987)] различаются три случая, в которых поляризация произведенных частиц может быть измерена. 247

(а) Виртуальные фотоны, т.е. генерация пар лептонов. Процесс

qq → γ* → ll наиболее интересен в экспериментах с тяжелыми ионами, поскольку является прямым индикатором движения кварков. В работе [Hoyer (1987)] предложено использовать угловое распределение распада виртуального фотона для дополнительной проверки того, что увеличенная скорость генерации лептонных пар действительно обусловлена формированием плазмы, а не является, например, результатом процесса генерации в доравновесном состоянии. Виртуальный фотон всегда поперечнополяризован относительно импульсов аннигилирующих кварков. В истинной плазме кварки перемещаются в случайных направлениях, поэтому фотон должен быть неполяризован. Следовательно, угловое распределение лептонов в системе покоя пары изотропно. Это строго истинно только для пар лептонов, чья система покоя совпадает с таковой для плазмы. Иначе мы можем ожидать распределение лептонов относительно импульса пары вида (1 + α cos 2θ ) , с коэффициентом α , зависящим от температуры плазмы и от массы и импульса пары. Это следует из того, что аннигилирующие кварки имеют тенденцию быть ориентированными по направлению движения виртуального фотона. (б) Гипероны. Гипероны (Λ, Σ, Ξ) могут рождаться с направлением поляризации, перпендикулярным плоскости рассеивания, что является измеримым из-за их распада, проходящего с нарушением четности. Эта поляризация наблюдалась экспериментально в столкновениях адронов, как для протонных, так и ядерных мишеней [Pondrom (1985)]. Значительное рождение гиперонов ожидается в кварк-глюонной плазме из-за изобилия барионов и присутствия странных кварков. Так же, как для виртуальных фотонов, единственное подходящее направление – направление импульса гиперона относительно плазмы. Сохранение четности в процессе рождения, однако, запрещает поляризацию по импульсу гиперона. Следовательно, гипероны, рождающиеся из плазмы, должны быть не поляризованы. (с) Резонансы. Поляризация адронных резонансов, таких, как ρ, ω, K*, φ, …, ∆, Y*,... может быть восстановлена из угловых распределений их распада. Когда они рождаются в покое в (локальной) системе координат плазмы, они должны быть полностью неполяризованы. Иначе угловые распределения при распаде могут иметь зависимость от полярного угла относительно направления движения резонанса. Зависимость от азимутального угла должна всегда исчезать. Достоверность описанных измерений поляризации может быть увеличена путем сравнения в том же самом эксперименте распределений распада для событий, в которых вряд ли формируется плазма (например, пери248

ферические столкновения) с распределениями распада для событий, которые могут давать плазму (центральные столкновения). 2. Изобилие Ξ ( Ξ )-гиперонов [Jacob (1987), Jacob (1988)]. Известно, что относительное изобилие антибарионов с множественной странностью обеспечило бы ключевую информацию относительно формирования КГП. Детальные вычисления дают, что изобилие антикаскада Ξ ( s s q ) обогащено до половины изобилия различных антигиперонов

Y ( s q q ). Это предсказание можно сравнить с отношением Ξ / Y , наблюдаемым в стандартных адронных реакциях, которое при s = 63 ГэВ составляет только 0,06 ± 0,02 в центральной области по быстротам [Akesson (1984)]. Таким образом, состояние кварк-глюонной плазмы дало бы отношение до десяти раз большее. В работе [Jacob (1987)] показано, как измерение продольной поляризации Λ должно позволить легко установить отношение изобилий Ξ / Y . Центральный пункт этой работы – глубокое различие в поляризации Λ , возникающих при слабых распадах Ξ . Слабый распад поляризует спин Λ продольно. В последующем слабом распаде Λ эта поляризация анализируется, давая наблюдаемые эффекты. Продольная поляризация Λ является уникальным и фактически неразрушимым индикатором изобилия Ξ . Мы показали, что измерение продольной поляризации Λ , обычно отсутствующей в адронных реакциях, позволит определить отношение изобилий Ξ / Y , которое, как ожидается, будет довольно характерным индикатором формирования нового состояния адронного вещества, кваркглюонной плазмы. Большая величина асимметрии указала бы на относительно большое изобилие Ξ относительно Λ . Это был бы однозначный тест на формирования кварк-глюонной плазмы. Как известно, в реакциях p+ p→Λ+ X , (1) p+ A→Λ+ X , (2) A+ A→ Λ + X , (3) где p – протон, Λ – Λ-гиперон, А – ядро и X – другие частицы. Конечные Λ-гипероны производятся поляризованными. Поляризация Λ-гиперона может быть определена из углового распределения его слабого распада: Λ → р + π–. (4) 249

Могут быть написаны угловые распределения этого распада:

WΛ = 1/2(1 + αΛ РΛ cosθ), (5) где αΛ = 0,64 – параметр распада, РΛ – поляризация Λ-гиперона, θ – угол излучения протона относительно направления движения протона в системе покоя Λ-гиперона. Cостояние КГП не “помнит” никакие особенности частиц-родителей, поэтому также не выживают любые процессы передачи спина. Полезность таких реакций, как индикатор сигнала образования плазмы, будет зависеть от степени передачи спина, наблюдаемой в стандартных адронных столкновениях без формирования плазмы. Скудные данные, доступные по механизму передачи спина, предсказывают малые эффекты в реакциях перехода нуклон – странная частица, но, возможно, огромный эффект в реакции передачи s-кварка. Относительное изучение специфических реакций с участием неполяризованных и поляризованных тяжелых ионов может быть полезно для различения сигнала формирования КГП. Без сомнения, дальнейшие достижения в спиновой физике будут вести к новому подходу к проблеме КГП. Список литературы Akesson T. et al. Nucl. Phys. B246 (1984) 1. Conceptual Design of the relativistic heavy ion collider RHIC, BNL 52195, UPTON, Long Island, New York 11973 (1989). Hoyer P. Phys. Lett. B187 (1987) 162. Jacob M., Rafelski J. Phys. Lett. 6190 (1987) 173. Jacob M. Z. Phys. C38 (1988) 273. Nurushev S.B. Workshop on Spin Phenomena in High Energy Physics, Protvino (1993) 5. Pondrom L.G. Phys. Rep. 122 (1985) 57. STAR Conceptual Design Report, LBL, Pub-5347 (1992).

250

Глава 4. Глубоко неупругое рассеяние лептонов Глубоко неупругое рассеяние (ГНР) лептонов на нуклонах приобрело особую важность после открытия в конце 60-х гг. наличия у нуклона внутренней структуры – точечных частиц, названных партонами. На Международном симпозиуме по физике высоких энергий, состоявшемся в Вене в 1968 г., профессор В. Пановский из США сообщил о результатах измерений сечения неупругого рассеяния электронов на нуклонах [Panofsky (1968)]. Из его доклада следовало, что имеется заметная вероятность рассеяния электронов на большие углы. Такие события были интерпретированы, как рассеяние на точечных зарядах, находящихся внутри нуклона. Этот эксперимент по результатам был аналогичен знаменитому опыту Резерфорда, открывшему наличие атомного ядра в атомах. Распределения рассеянных электронов по углу и энергии привели к выводу, что электроны рассеиваются на бесструктурных объектах, имеющих спин 1/2. Эти результаты в совокупности с данными по рассеянию нейтрино привели к обнаружению кварков. Вопрос о действительных размерах кварков по-прежнему является открытым, так же как и о массе кварков. Не исключено, что кварки являются составными объектами, так же как и нуклоны. Более того, кварков уже много и они классифицируются по новым сохраняющимся числам, таким как аромат, цвет, дробный заряд, магнитный момент. Дальнейшие экспериментальные и теоретические исследования привели к созданию нерелятивистской кварковой модели. В этой модели барионы (нуклоны и гипероны) рассматриваются как состоящие из трех конституентных кварков u, d и s. Массы этих кварков составляют приблизительно 1/3 массы нуклона. Когда барионы находятся в основном состоянии, то кварки имеют нулевой орбитальный момент (s-состояние), они имеют спин, равный 1/2 и соответствующие магнитные моменты. Магнитный момент бариона складывается из магнитных моментов составляющих кварков. Используя нерелятивистское уравнение Шредингера, можно описать практически все статистические параметры барионов при низких энергиях. В этой схеме глюонная степень свободы практически не играла никакой роли. Как следствие этой модели, спин бариона, точнее проекция его спина на определенное направление, равна сумме проекций спинов составляющих его кварков на это же направление. Например, пусть протон со спиr ном s движется вдоль оси z и проекция его спина на эту ось равна s z . Тогда должно выполняться равенство:

251

sz =

3

∑ si z

i =1

r = sq .

(1)

Практически все параметры адронов, а также их резонансные состояния удовлетворительно описываются в такой нерелятивистской модели кварков. Если же исследовать структуру бариона при больших энергиях и больших переданных импульсах, мы должны рассматривать нуклон как состоящий из точечных структур, партонов (кварков и глюонов). Кварки в этой партонной модели называются токовыми кварками и, имея те же квантовые числа, что и составные кварки, отличаются от них очень малыми массами. Вопрос о связи между конституентными и токовыми кварками остается до сих пор невыясненным. Эта проблема приобретает особую остроту в связи с обнаружением того факта, что приведенное выше соотношение между компонентой спина бариона и его составляющих партонов сильно нарушается. Такое открытие было сделано Сотрудничеством EMC в 1988 г. [Ashmann (1988), Ashmann (1989)]. Последующая серия экспериментальных измерений этого эффекта подтвердила его с лучшей точностью и привела к следующим важным выводам: 1. Валентные кварки и антикварки несут только четверть доли спина протона вместо ожидаемой доли, равной 1; 2. Странный кварк (морской) неожиданно тоже оказался поляризованным, хотя и в небольшой степени; 3. Возможно (пока экспериментально не установлено), что глюонные спины и орбитальные моменты кварков и глюонов тоже являются составляющими спина нуклона. Тогда соотношение (1) принимает вид

r r r r 1 = sq + sG + Lq + LG . 2

(2)

Выполнено очень много теоретических работ, однако проблема спина нуклона до сих пор не решена. Эту проблему принято называть “спиновым кризисом”. В этой главе мы рассмотрим процесс глубоко неупругого рассеяния (ГНР) лептонов на нуклонах с точки зрения теоретических моделей. В §33 обсудим кинематику процесса, в §34 – сечения процессов ГНР лептонов на нуклонах, в §35 – структурные функции нуклонов, в § 36 – структурные функции и кварк-партонная модель, в §37 – структурную функцию и КХД, в §38 – определения партонных распределений, в §39 – трансверсальность.

252

Список литературы Ashmann et al. Phys. Lett. B206 (1988) 364. Ashmann et al. Nucl. Phys. B328 (1989) 1. Panofsky W. In: Proc. of Int. Symp. on High Energy Physics, Vienna (1968).

§33. Кинематика процесса Диаграмма глубоко неупругого рассеяния (ГНР) лептонов на нуклонах для процесса l (k ) + N ( p ) → l ' (k ') + X (1) в общей форме представлена на рис. 1.

l (k)

l(k’) γ*(q)

N (p)

X(W)

Рис. 1. Диаграмма ГНР лептона в партонной модели

Здесь k и k’ – начальный и конечный четырехимпульсы лептона l, p – импульс начального нуклона N, q =k-k’ – переданный от лептона нуклону четырехимпульс. Переносчиком этого импульса q на данном конкрет-

ном рисунке является виртуальный фотон γ* (q ) . Однако таким переносчиком может быть и Z-бозон в случае нейтрального тока или W ± -бозоны в случае взаимодействия с заряженным током. W – квадрат массы системы X частиц отдачи. В дальнейшем при описании процесса глубоко неупругого рассеяния потребуется ряд кинематических параметров. Их обозначения и определения даются ниже. • Переданная энергия при рассеянии лептона

ν=

q⋅ p = E − E' , M

(2)

ν представляет потерянную лептоном энергию при его столкновении с покоящимся нуклоном; Е – начальная энергия лептона, Е′ – конечная; M – масса нуклона. • Квадрат четырехимпульса виртуального фотона 253

(

)

(

)

r r 2 r r Q 2 = − q 2 = −(k − k ')2 = (E − E ')2 − k − k ' = 2 EE '−k ⋅ k ' − m 2l − m 2l ' . Здесь ml и ml′ – массы начального и конечного лептона. Если пренебречь

массами лептонов по сравнению с их энергиями, то формула выглядит следующим образом:

Q 2 ≈ 4 EE ' sin 2 (θ 2 ) ,

(3) где θ – угол рассеяния лептона в системе покоя начального нуклона. Этот угол отсчитывается от направления импульса падающего лептона. Параметр Q2 служит критерием для определения процессов ГНР, а именно: для ГНР величина Q2 должна быть намного больше массы нуклона M. С другой стороны, этот же параметр определяет степень вирту2

альности фотона: Q2 = mγ , где mγ – масса виртуального фотона. Чем выше виртуальность фотона, тем дальше от массовой (физической) поверхности находится фотон. • Параметр Бьеркена

x=

Q2 . 2Mν

(4)

В партонной модели этот параметр определяет долю нуклонного импульса, которую несет взаимодействующий с виртуальным фотоном кварк. • Доля потерянной лептоном энергии при соударении с нуклоном

y=

q⋅ p ν = . k⋅p E

•

Квадрат массы системы частиц отдачи X

•

Квадрат полной энергии начальной лептон-нуклонной системы

(5)

W 2 = ( p + q )2 = M 2 + 2 Mν − Q 2 . s = (k + p )2 =

(6)

Q2 + ml2 + M 2 . xy

(7)

Процесс ГНР является частью инклюзивного процесса с наложенным на него условием

Q 2 >> M 2 ,

W 2 >> M 2 .

(8) Для описания ГНР как инклюзивного процесса достаточно использо2

вать три параметра по выбору. Чаще всего используется набор s, Q , x , хотя могут быть использованы и другие наборы (разумеется, s в эксперименте обычно фиксирован и редко меняется). 254

§34. Сечения процессов ГНР лептонов на нуклонах В настоящее время достаточно хорошо изучены дифференциальные сечения процессов ГНР с неполяризованными ядрами. При этом эксперименты можно сгруппировать в два класса. Первый класс объединяет эксперименты с фиксированными мишенями. Исторически они были первыми опытами по ГНР и привели к открытию партонов. Измерения в этих экспериментах ограничены на сегодня по кинематическим переменным в пределах 6·10-3< x < 1, 3·10–1 < Q2 (ГэВ2 ) < 3·102. Второй класс экспериментов объединяет все измерения на коллайдерах. В этом случае диапазон измерений намного больше, чем в предыдущем случае. Так, например, на установке HERA (коллайдер e + p с энергиями электрона 30 ГэВ и протона 820 ГэВ) измеряемый интервал составляет 0,7·10–6< x < 1, 7·10–2 < Q2 (ГэВ2 ) <2·104. Именно измерения в области коллайдерных энергий представляют сегодня наибольший теоретический интерес в изучении спиновых структурных функций. Запишем дифференциальное сечение процесса ГНР в инвариантной форме:

(

)

d 2σ d 2σ 2πMν d 2σ = x s−M2 = . dxdy E ' dΩ N dxdQ 2

(1)

В низшем порядке теории возмущений это сечение выражается через произведение лептонного и адронного тензоров, соответствующих верхней и нижней вершинам диаграммы (см. рис. 1):

d 2σ 2πyα 2 k = ∑ ηk Lµν k Wµν . dxdy Q4 k

(2)

Для взаимодействия нейтрального тока лептонный тензор Lµν k состоит из трех членов (с обменами γ, Ζ и интерференционным членом γΖ), по которым берется сумма. Этот тензор составляется из имеющихся параметров ГНР. В случае обмена фотоном такими параметрами являются импульсы лептонов до и после рассеяния k и k’, заряд электрона e = ±1 и спиральность начального электрона kλ = ±1. В случае взаимодействия через Z-бозон (слабый ток) возникают еще две константы слабого взаимодействия: константа векторной связи gVe и константа псевдовекторной связи g eA . Причем

gVe = −

1 1 − 2e sin 2 θW и g eA = − . 2 2 255

Взаимодействие заряженного тока происходит через обмен W±бозоном, и в этом случае лептонный ток выражается через те же параметры, что и прежде. Итак, имеем следующие выражения для лептонных токов:

(

)

Lγµν = 2 kµ k 'ν + k 'µ kν − k ⋅ k ' gµν − iλεµναβ k α k 'β ,

( = (g

) )L

Z Lγµν = gVe + eλg eA Lγµν ,

LZµν

e V

+ eλg eA

(3) (4)

2 γ µν .

(5)

Тензор заряженного тока (реакция вида ( eN → ν e X ) выглядит следующим образом: 2 γ LW µν = (1 + eλ ) Lµν .

(6)

Это выражение очень показательно. Выражение в круглой скобке следует из гипотезы о левовинтовой ориентации спинов лептонов (λ = –1). Поскольку лептон (электрон, мюон) обладает отрицательным зарядом, то коэффициент в круглой скобке отличен от нуля. При переходе к антилептонам (позитрон, положительный мюон) или античастицам меняется как спиральность, так и знак заряда, так что этот коэффициент не меняется. Гипотеза об отсутствии в природе правовинтовых по спиральности лептонов экспериментами не опровергается. Благодаря точечной структуре лептона, лептонный тензор Lµν имеет простую и явную аналитическую форму, как это следует из формул (3), (4) и (5). Однако в случае нуклона, из-за его неточечности, адронный тензор Wµν представляет сложную функцию, которую можно записать в виде:

Wµν =

[

]

1 d 4 zeiqz p, s J + µ (z ), J ν (0) p, s . ∫ 4π

(7)

Здесь s представляет четырехмерный спин протона, обладающий свойствами (ps) = 0, s2 = –1. Коэффициенты ηk в уравнении (2) обозначают отношения пропагаторов и констант соответствуюших промежуточных бозонов к пропагатору и константе связи фотона. Они определяются следующими соотношениями:

256

⎛ G M 2 ⎞⎛ Q 2 ηγ = 1, ηγΖ = ⎜ F Z ⎟⎜ 2 ⎜ 2 2πα ⎟⎜ Q + M 2 Z ⎠⎝ ⎝

⎞ ⎟, ⎟ ⎠

Q2 1⎛G M2 ηΖ = η2 γΖ , ηW = ⎜ F W 2 2 ⎜⎝ 4πα Q + M W2

(8)

2

⎞ ⎟ . ⎟ ⎠

§35. Структурные функции нуклонов В статьях [Blumlein (1997), Forte (2001), Anselmino (1994)] адронный тензор Wµν был представлен через структурные функции поляризованного и неполяризованного нуклона в следующем виде:

(

)

(

)

qµ qν ⎞ pˆ µ pˆ ν ⎛ Wµν = ⎜⎜ − gµν + 2 ⎟⎟ F1 x, Q 2 + F2 x, Q 2 − p⋅q q ⎠ ⎝

(

)

− iεµναβ

q α pβ F3 x, Q 2 + 2q ⋅ p

+ iεµναβ

⎤ ⎛ β s⋅q β⎞ qα ⎡ β 2 p ⎟⎟ g 2 x, Q 2 ⎥ + ⎢ s g1 x, Q + ⎜⎜ s − q⋅ p ⎣ p⋅q ⎠ ⎝ ⎦

(

)

(

(

)

)

+

⎤ s⋅q 1 ⎡1 pˆ µ pˆ ν ⎥ g3 x, Q 2 + ⎢ pˆ µ sˆν + sˆµ pˆ ν − q ⋅ p ⎣2 p⋅q ⎦

+

⎤ qµ qν ⎞ ⎛ s ⋅ q ⎡ pˆ µ ⋅ pˆ ν g 4 x, Q 2 + ⎜⎜ − gµν + 2 ⎟⎟ g5 x, Q 2 ⎥. ⎢ q ⋅ p ⎣⎢ p ⋅ q q ⎠ ⎥⎦ ⎝

(

)

(

)

(1)

(

)

Здесь приняты дополнительные обозначения:

pˆ µ = pµ −

p⋅q q

2

qµ , sˆµ = sµ −

s⋅q q2

qµ .

(2)

Как видно из структуры адронного тензора, он состоит из двух частей. Первая часть, так называемая симметричная часть (по нижним индексам µ и ν) тензора, не зависит от спина нуклона. Эта часть при свертке с лептонным тензором Lµν дает неполяризованное дифференциальное сечение

d 2σ . Измерение этого сечения позволяет восстановить на опыте бесdxdy спиновые структурные функции F1, F2 и F3 . Вторая часть тензора Wµν 257

зависит от спина нуклона, и эта часть является антисимметричной. При свертке с лептонным тензором он приводит к поляризованным дифференциальным сечениям, разность которых ∆σ пропорциональна асимметрии, и эта асимметрия измеряется в экспериментах. Такие измерения должны позволить определить в общем случае пять структурных спиновых функций: g1, g2, g3, g4 и g5. Итак, для неполяризованного сечения ГНР получаем формулу

d 2σi 4πα2 i ⎡⎛⎜ x 2 y 2 M 2 ⎞⎟ i y⎞ i⎤ 2 i ⎛ y / m 1 − 1 F x y F xyF = η − − + ⎢ ⎟ ⎜ 1 3 2 ⎥ . (3) 2 2 ⎜ ⎟ dxdy xyQ Q ⎝ 2⎠ ⎦ ⎢⎣⎝ ⎠ + Здесь знак (–) в последнем члене относится к позитрону e или антинейтрино ν , а знак (+) применяется в случае электрона e или нейтрино ν . Индекс i = NC означает процесс ГНР через нейтральный ток, примером которого служит реакция eN → eX ; i = CC означает процесс ГНР через заряженный ток, примером которого служит реакция eN → νX или обратная ей реакция νN → eX . Коэффициент η NC равен 1 для неполяризованного процесса, в то время как

ηCC = (1 ± λ )2 ηW .

(4) Здесь знак ± относится к заряду лептона, а λ представляет спиральность падающего лептона. Структурные функции заряженного тока, определяемые исключительно через обмен W-бозонами, записываются в форCC

W

ме Fi = Fi , i = 1, 2, 3. Структурные функции для нейтрального тока определены в статье [Klein (1984)] соотношениями

(

)

2 2 F2 NC = F2γ − gVe ± λg eA ηγZ F2γZ + ⎛⎜ gVe + g eA ± 2λgVe g eA ⎞⎟ηZ F2Z . ⎝ ⎠

(5)

Аналогичное выражение имеет место для F1NC . Теперь пишем выражение для F3

NC

(

:

)

2 2 xF3NC = − g eA ± λgVe ηγZ xF3γZ + [2gVe g eA ± λ⎛⎜ gVe + g eA ⎞⎟]ηZ xF3Z . ⎝ ⎠

(6)

Опыты с нейтринными пучками вообще очень трудно осуществимы из-за малых потоков и малых сечений. Имеются измерения только неполяризованных структурных функций. Измерения спиновых структурных функций на нейтринных пучках до сих пор не проводились, в основном из-за нереальности создания поляризованной мишени необходимой массы. Однако, учитывая важность изучения спиновых эффектов на нейтринных пучках, физики усиленно работают над этой проблемой. Перейдем к 258

рассеянию поляризованных лептонов поляризованными нуклонами. Обычно в этом случае измеряется разность сечений, когда протоны поляризованы в противоположных направлениях, а именно: ∆σ = σ(λ n = −1, λl ) − σ(λ n = 1, λl ) , (7)

где λ l , λ n (= ±1) представляют спиральности начального лептона и нуклона соответственно. Измерения состоят в наборе статистики для разных направлений спиральности нуклона. Заметим здесь, что практически трудно менять спиральность лептона по физическим соображениям, хотя эксперимент симметричен относительно спиральностей нуклона и лептона. Эта разность дифференциальных сечений с помощью формул может быть выражена через пять спиново-зависящих структурных функций gi(x, Q2) (i = 1…5) следующим образом:

⎡ ⎤ 2 ⎛ 2x2 y2M 2 ⎞⎟ i i 3 2M ⎢− λl y⎜ 2 − y − + λ + 4 xg x y g 1 2 ⎥ l ⎜ ⎢ ⎥ Q2 ⎟⎠ Q2 ⎝ ⎢ ⎥ 2 2 2 2⎞ ⎥ d 2∆σi 8πα2 i ⎢ x y M i 2 M ⎛ ⎟g3 − = η ⎢+ 2x y 2 ⎜⎜1 − y − ⎥ . (8) 2 2 ⎟ dxdy xyQ ⎢ Q ⎠ Q ⎝ ⎥ ⎢ ⎥ 2 2 2 2 2 ⎢− ⎛⎜1 + 2x yM ⎞⎟⎡⎢⎛⎜1 − y − x y M ⎞⎟g i + xy2 g i ⎤⎥ ⎥ 4 5 ⎥ ⎢ ⎜ Q2 ⎟⎠ Q2 ⎟⎠⎢⎣⎜⎝ ⎥⎦ ⎦ ⎣ ⎝ Индекс i = NC и CC имеет тот же смысл, что обсуждался выше. Приведенное выше выражение (8) определяет разность сечений при параллельных минус антипараллельные спинах для начальных частиц при рассеянии позитрона и антинейтрино. При рассеянии электрона и нейтрино разность должна браться между антипараллельными и параллельными спинами. Как видно из выражения (8), в случае продольной поляризации нуклона вклады структурных функций g2 и g3 подавлены коэффициентом M2/Q2. В случае поперечной поляризации нуклона такого фактора подавления нет [Blumlein (1997)], однако сама разность дифференциальных сечений убывает как M/Q, делая трудным измерения этих структурных функций. Для теории представляет большой интерес предел выражений при M2/Q2 → 0. В этом пределе согласно гипотезе Бьеркена должен наступить скейлинг, т.е. структурные функции должны зависеть только от одной переменной, параметра x ≡ xB и не должны зависеть от Q2. Эта гипотеза хорошо выполняется в экспериментах в области выше xB ≥ 0,1 [Review (2004)]. С этой точки зрения интересно узнать, какой вид принимают 259

дифференциальные неполяризованные (3) и поляризованные сечения (8). В оба сечения входят одни и те же структурные функции (зависящие и не зависящие от спина), определяющие адронный тензор Wµν (1). Эти формулы имеют следующий вид:

[

]

d 2σi 2πα2 i = η Y+ F2i m Y− xF3i − y 2 FLi . dxdy xyQ 2

(9)

Здесь i = NC, CC, Y± = 1 ± (1 − y ) и 2

FLi = F2i − 2 xF1i .

(10) Согласно работе Калана и Гросса [Callan (1969)], в наивной кварковой модели функция FLi = 0. Поэтому неполяризованное дифференциальное сечение содержит только две структурные функции F2 и F3 и сильно упрощается. Для случая поляризованного сечения можно получить аналогичную формулу, произведя в выражении (9) замену следующего вида: F1 → − g5 , F2 → − g 4 , F3 → 2 g1 , и умножить полученное выражение на фактор 2 для учета усреднения по начальной поляризации нуклона. Итак, находим

[

]

d 2∆σi 4πα2 i = η − Y+ g 4i m Y− xg1i + y 2 g Li . 2 dxdy xyQ

(11)

Здесь g Li = g 4i − 2 xg5i , Y± были определены выше, и в той же наивной кварковой модели Дикусом [Dicus (1972)] было показано, что g Li = 0 . Тогда интересующее нас сечение упрощается и имеет следующий окончательный вид:

[

]

d 2 ∆σi 4πα 2 i = η − Y+ g 4i m Y− xg1i . 2 dxdy xyQ

(12)

Список литературы Anselmino M., Gambino P. and Kalinowski J. Z. Phys. C64 (1994) 267. Blumlein and Kochelev N. Nucl. Phys. B498 (1997) 285. Callan C.G. and Gross D.J. Phys. Rev. Lett. 22 (1969) 156. Dicus D.A. Phys. Rev. D5 (1972) 1367.

260

Forte S., Mangano M.L., Ridolfi G. Nucl. Phys. B602 (2001) 585. Klein M., Reimann T. Z. Phys. C24 (1984) 151. Review of Particle Physics. Phys. Lett. B592 (2004) 166.

§36. Структурные функции и кварк-партонная модель В кварк-партонной модели вводится функция распределения кварков

q(x,Q2), которая определяет вероятность найти кварк с ароматом q ( q = u , d , s, u , d , s и т.д.) и с долей импульса x от протонного импульса в системе координат бесконечного импульса. В этой модели процесс ГНР лептона на нуклоне можно представить диаграммой (рис. 1).

l (k’)

l (k)

γ* (q )

X(W) N (p) Рис. 1. Диаграмма ГНР лептона в партонной модели

В этой диаграмме точечный лептон рассеивается на одном из трех кварков нуклона. Кварки предполагаются тоже точечными (так называемые токовые кварки). Причем процесс рассеяния лептона на одном кварке происходит независимо от остальных кварков. В кварк-партонной модели установлены следующие связи между партонными распределениями и структурными функциями [Bjorken (1975), Feynman (1972)]. Для процессов с нейтральными токами, как, например, e+p→e+X:

[F

2

γ

]

[

]

, F2 γZ , F2Z , = x ∑ eq2 , 2eq gVq , gVq 2 + g qA2 (q + q ) ,

[F

q

] [ ] [g , g , g ,]= 12 ∑ [e , 2e g , g + g ](∆q + ∆q ) , [g , g , g ,]= ∑ [0, e g , g g ](∆q − ∆q ) . 3

γ

γ 1

, F3γZ , F3Z , = ∑ 0, 2eq g qA , 2 gVq g qA (q − q ) ,

(2)

q

γZ 1

5

(1)

γ

Z 1

5

γZ

q

5

2 q

Z

q

261

q q V

q2 V

q q A

q V

q2 A

q A

(3) (4)

1 1 − 2eq sin 2 θW и g qA = ± : знак (+) относится к кваркам 2 2 типа u, в то время как знак (–) относится к кваркам типа d, ∆q = q ↑ − q ↓ , где q ↑ обозначает функцию распределения кварков со

Здесь gVq = ±

спином, параллельным спину нуклона, в то время как q ↓ – распределения со спинами кварков, антипараллельными спину нуклона. Для процессов с заряженными токами, как, например, e-+p→ν +X или ν +p → e++X, формулы имеют вид:

(

)

F2W − = 2 x u + d + s + c + ... ,

(5)

F3W − = 2 u − d − s + c + ... ,

(6)

(

g1W − = g5W − =

)

(∆u + ∆d + ∆s + ∆c + ...), (− ∆u + ∆d + ∆s − ∆c + ...).

(7)

(8) В этих формулах надо учитывать только активные кварки. CKMсмешивание не учитывалось. Формулы для структурных функций FW+ и

gW+ (реакции e + + p → ν + X и ν + p → e − + X ) получаются заменой ароматов кварков, а именно, d ↔ u , s ↔ c . Структурные функции для рассеяния на нейтронах также получаются из вышеприведенных формул заменой u ↔ d . Для процессов как с нейтральным, так и с заряженным токами кварк-партонная модель предсказывает следующие связи:

2 xF1i = F2i и g 4i = 2 xg5i .

(9) В случае пренебрежения массовыми членами структурные функции g 2 и g3 дают вклады только в процессы с участием поперечнополяризованных нуклонов. В кварк-партонной модели эти функции не поддаются обычной вероятностной интерпретации. Они возникают из

P, λ' J µ + ( z )J ν (0) P, λ , и здесь

недиагональных элементов матрицы

спиральности протонов в начале и в конце процесса не равны друг другу: λ' ≠ λ . В эти функции дают вклады члены от твист-2 и твист-3 одинакового порядка по Q2. Соотношение Вандзура–Вилчека [Wandzura (1977)] позволяет связать часть структурной функции g 2 , возникающую от твиста-2, с другой структурной функцией g1 соотношением 1

dy i g1 ( y ) . x y

g 2i ( x ) = − g1i ( x )∫ 262

(10)

Трудность в анализе g 2 состоит еще в том, что не известен пока вклад в эту амплитуду от членов твист-3. Аналогичная ситуация складывается и со структурной функцией g3 . Ее часть, определяемая вкладом от твиста3, может быть выражена через g 4 . Детальный анализ этих проблем можно найти в работе [Blumlein (1999)]. Список литературы Bjorken J.D. and Paschos E.A. 185 (1975) 919690. Blumlein J. and Tkabladze A. Nucl. Phys. B553 (1999) 427. Feynman R.P. Photon Hadron Interactions. Benjamin, New York (1972). Wandzura S. and Wilczek Phys. Rev. B72 (1977) 195.

§37. Структурная функция и КХД В 1969 г. в рамках кварк-партонной модели Бьеркен [Bjorken (1969)] высказал сильное утверждение, что в пределе Q 2 → ∞, сированном

(

)

x

структурные

(

)

функции

стремятся

v → ∞ и фикк

пределам

F x, Q → F (x ), g x, Q → g ( x ) (так называемый бьеркеновский скейлинг). Эта гипотеза основана на идее, что поперечные импульсы кварков в системе бесконечного импульса протона малы и ими можно пренебречь. Однако в KХД кварки могут испускать жесткие глюоны и тем самым нарушать скейлинг. Экспериментальная проверка скейлинга Бьеркена представлена на рис. 1. Как видно из этого рисунка, нарушение скейi

2

i

i

2

i

линга особенно велико при малых x и при больших Q 2 . Такой процесс приводит к нарушению скейлинга и зависимости структурных функций и функций распределения кварков от Q 2 . С ростом Q 2 излучается все больше глюонов, и они, в свою очередь, приводят к образованию пары кварк–антикварк. В результате первоначальные импульсные распределения кварков смягчаются и увеличивается плотность распределения глюонов и морских кварков при уменьшении x.

(

)

Эволюция структурной функции F2 x,Q 2 с Q 2 показана на рис. 1 2

2

для двух значений: Q = 3,5 ГэВ2 и Q = 90 ГэВ2.

263

(

)

Рис. 1. Протонная структурная функция F2 x,Q 2 в зависимости от 2

2

x для двух

2

значений Q : Q = 3,5 ГэВ2 и Q = 90 ГэВ2

Из этого рисунка можно сделать три важных вывода. Во-первых, скейлинг Бьеркена работает только при значениях параметров x ≥ 0,14 и нарушается при меньших значениях. Во-вторых, предсказания КХД с учетом Q 2 -эволюции структурных функций достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными (расчеты выполнены в работе [Martin (2002)]). В-третьих, крайне интересно продвинуться в измерении структурных функций до весьма малых значений x . Показанная на рисунке эволюция структурной функции в КХД описы-

(

)

вается функциями партонных распределений f x,µ 2 (f = q или f = g), где µ – масштабный множитель порядка четырехимпульса виртуального фотона. Эти функции при фиксированном x получаются путем интегрирования по поперечному импульсу партона от нуля до µ . Эволюция этих функций с µ описывается в КХД уравнениями “DGLAP” [Gribov (1972), Lipatov (1975), Altarelli (1977), Dokshitzer (1975)], имеющими вид 264

∂f ∂ ln µ

2

≈

( )

( )∫

2 α s µ2 (P ⊗ f ) = α s µ 2π 2π

1

⎛ x⎞ dy P( y ) f ⎜⎜ ⎟⎟ . y ⎝ y⎠

x

(1)

В общем виде все наблюдаемые, связанные с жестким адронным взаимодействием, как, например, структурные функции, могут быть представлены в виде свертки, как в уравнении (1). В пертурбативной КХД это уравнение может быть решено, если известны универсальные партонные функции распределений f и коэффициентные функции P, зависящие от конкретного рассматриваемого процесса. Однако теория не может предсказать априори конкретное значение наблюдаемой в начальной точке µ 0 . Если же значение наблюдаемой задано в этой точке, теория может рассчитать значение этой наблюдаемой в другой точке µ . Уравнения эволюции для удобства обычно записывают раздельно для двух функций:

q NS = qi − qi , q S = ∑ (qi + qi ) .

(2)

Здесь q NS представляет несинглетное глюонное, а q S – синглетное кварковое распределения. Причем q NS имеет отличные от нуля значения таких квантовых чисел аромата, как изотопический спин и барионное число. При этом уравнения DGLAP записываются в форме

∂q NS ∂ ln µ

2

=

( )(

( )⎛⎜ P

⎛ q S ⎞ α s µ2 ⎜ ⎟= 2π ∂ ln µ 2 ⎜⎝ g ⎟⎠ ∂

)

(3)

2n f Pqg ⎞ ⎛ q S ⎞ ⎟⊗⎜ ⎟. ⎟ ⎜g ⎟ Pgg ⎠ ⎝ ⎠

(4)

α s µ2 Pqq ⊗ q NS , 2π qq

⎜ Pgq ⎝

P представляет функцию расщепления и описывает вероятность распада данного партона на два других; nf определяет число активных кварковых ароматов. В главном приближении эти функции даются в статье [Altarelli (1977)] и имеют вид

Pqq =

4 ⎡1 + x2 ⎤ 4 ⎡ 1 + x2 ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ + 2δ(1 − x ) , 3 ⎣⎢ (1 − x ) ⎦⎥ 3 ⎢⎣ (1 − x )+ ⎦⎥ + 1 Pqg = x 2 + (1 − x )2 , 2

[

265

]

(5) (6)

Pgq =

4 ⎡1 + (1 − x )2 ⎤ ⎢ ⎥ , 3 ⎢⎣ x ⎥⎦

(7)

⎡1 − x x ⎤ ⎛ 11 n f ⎞ ⎟δ(1 − x ) . Pgg = 6 ⎢ +⎜ − (8) + x(1 − x ) + (1 − x )+ ⎥⎦ ⎜⎝ 2 3 ⎟⎠ ⎣ x Здесь введено условное обозначение [F(x)]+. Оно означает, что для любой достаточно регулярной тестовой функции распределения f(x) имеет место соотношение 1

1

0

0

∫ dxf (x )[F (x )]+ = ∫ dx[ f (x ) − f (1)]F (x ) .

(9)

Приближение DGLAP достаточно хорошо работает при Q2 > несколько ГэВ2, и нет пока необходимости обращаться к более сложным вариантам теории. Пертурбативная КХД достаточно хорошо предсказывает вклад ведущего твиста-2 в структурные функции. Вклад твистов более высокого порядка должен вымирать с ростом Q. Например, вклад твиста n-го порядка должен вымирать по степенному закону как 1/Qn-2. Конечно, попрежнему остаются проблемы экспериментального и теоретического изучения двух важных проблем: а) малых х и б) учет массы кварков (b- и cкварков, например). Одной из острых нерешенных проблем является так называемый спиновый кризис. Мы еще вернемся к этой проблеме. Список литературы Bjorken J. Phys. Rev. 170 (1960) 1547. Martin A.D., Roberts R.G., Stirling W.J. Thorne R.S., Eur. Phys. J. C23 (2002) 73. Gribov V.N. and Lipatov L.N. Sov. J. Nucl. Phys. 15 (1972) 438. Lipatov L.N. Sov. J. Nucl. Phys. 20 (1975) 95. Altarelli G. and Parisi G. Nucl. Phys. B126 (1977) 298. Dokshitzer Yu.L. Sov. Phys. JETP 46 (1975) 641.

§38. Определение партонных распределений Процессы ГНР поляризованных лептонов на нуклонах изучаются в экспериментах с основной целью восстановления партонных распределений. Для этой цели могут быть применены также процессы жесткого соударения адронов. Ряд процессов, уже изученных экспериментально или запланированных для будущих экспериментов, представлен в табл. 1. 266

Все эксперименты по определению партонных распределений классифицируются на две группы: а) эксперименты на фиксированных мишенях и б) эксперименты на коллайдерах. Кинематические области этих двух групп дополняют друг друга и охватывают очень большую область по x, Q2, как это видно на рис. 1. Таблица 1 Список реакций по ГНР лептонов на нуклонах и жестких адронных процессов (указано также, какие функции партонных распределений они тестируют) № п/п

Реакция

Подпроцесс

Тестирует

1

l±N → l± X

γ∗q → q

g (x ≤ 0,01), q, q

2

l + l − N → ν (ν )X r ν(ν )N → l − l + X

W *q → q′

4

νT → µ + µ − X

5

pp → γ

W *s → c → µ + qq → γq

6

pN → µ +µ − X

qq → γ ∗

g (x ≈ 0,4) q

7

pp, pn → µ +µ − X

uu , dd → γ∗

u −d

8

pp, pn → µ +µ − X ep, en → eπX

du , ud → γ∗ γ∗q → q

pp → W → l ± X pp → jet + X

ud → W

gg , gq, qq → u,d,u/d

gg , gq, qq → 2 j

q, g (0,01 ≤ x ≤ 0,5)

3

9 10 11

( )

( )

W *q → q′ s

К настоящему времени гораздо лучше определены из экспериментов распределения неполяризованных партонов, чем поляризованных. Это связано с тремя обстоятельствами. Во-первых, эксперименты с неполяризованными пучками и мишенями легче проводить. Во-вторых, изучение ГНР с неполяризованными частицами началось гораздо раньше. И, втретьих, ГНР с неполяризованными частицами проводится и на коллайдерах, в то время как нет ни одного эксперимента по ГНР на коллайдерах с поляризованными частицами. Есть надежда, что впервые такие эксперименты будут проведены на RHIC. Пример таких распределений для легких кварков и антикварков, глюона и c-кварка представлен на рис. 2. 267

Рис. 1. Кинематическая область по (x, Q2), изучаемая двумя группами экспериментов: на фиксированных мишенях и на коллайдерах; указано также, какие партонные распределения можно определить в этих группах

Рис. 2. Распределения неполяризованных кварков, определенные из экспериментальных данных с помощью схемы параметризации MRST2001 [Martin (2002)] 268

Как видно на этом рисунке, распределения партонов являются мягкими. Так, например, валентный u-кварк имеет максимум распределения при значениях x вблизи 0,2, в то время как спектры других партонов еще мягче. Особенно бросается в глаза быстрый рост плотности глюонов с уменьшением x. Этот эффект является одним из стимулирующих факторов для изучения распределения партонов при очень малых x. Такие исследования можно провести только на встречных пучках. Именно эта задача была одним из аргументов в обосновании строительства в Брукхейвене коллайдера eRHIC. Экспериментальные результаты по распределениям поляризованных партонов представлены на рис. 3.

Рис. 3. Распределения поляризованных партонов 269

Список литературы Martin A.D., Roberts R.G., Stirling W.J., Thorne R.S. Eur. Phys. J. C23 (2002) 73.

§39. Трансверсальность В ведущем приближении ПКХД в процессах ГНР структура нуклона описывается тремя независимыми партонными функциями распределений (ПФР). Выше были рассмотрены две ПФР: f1(x) – функция распределения неполяризованных партонов и g1(x) – распределение по спиральности. Эти две функции являются лидирующими (функции твист-2). Есть еще одна функция порядка твист-2, а именно: h1(x) – функция распределения поперечной поляризации партонов [Jaffe (1992a)]. Эта функция была впервые введена в работе [Ralston (1979)], однако на длительное время была забыта. Причина, почему ее забыли, состояла, по-видимому, в том, что эта функция, в отличие от первых двух, не может быть измерена в инклюзивных процессах ГНР. Ниже рассмотрим причину появления этой функции, ее партонную интерпретацию и возможные экспериментальные методы ее измерения. Определение числа независимых структурных функций нуклонов является достаточно сложной задачей. Обычно рассматривается так называемое скейлинговое приближение функции твист-2, которая имеет порядок n = 2 в разложении по Q2-n [Leader (2001)]. Так как разложение идет по степени 1/Qn-2, то функции твист-2 от Q не зависят (являются скейлинговыми). Для твист-3 n = 3, для твист-4 n = 4 и т.д. В дальнейшем будем обсуждать только скейлинговые эффекты, т.е. только функции и распределения твист-2. Хорошо известные функции распределения кварков и глюонов являются частными случаями обобщенных корреляционных функций на световом конусе. Ниже приводятся два таких типичных распределения [Jaffe (1992a)]:

f (x ) =

1 − iλ x ∫ dλe P φ(0)φ(λn ) P 2π

(1)

и

E (x, x′) =

1 4π2

∫ dλdλ′e

−i (λx + λ′x′ )

P φ(0 )φ(λn )φ(λ′n ) P .

(2)

Здесь φ обозначает обобщенное поле (например, кварковое или глюонное), P µ = p µ +

⎛ 1 1 1 ⎞ ⎟ ; p явMnµ , p µ = ( p,0,0, p ), nµ = ⎜⎜ ,0,0,− 2 2 p ⎟⎠ ⎝ 2p

ляется свободным параметром (импульсом), определяющим систему ко270

ординат. В системе покоя мишени p = M/2, в то время как p→∞ определяет систему бесконечного импульса [Клоуз (1982)]. Обе функции f(x), E (x, x′) являются корреляционными функциями основного состояния для случая двух или трех взаимодействующих партонов соответственно, и корреляции берутся вдоль касательной к световому конусу [Leader (2001)]. Функция f(x) допускает вероятностную интерпретацию после суммирования по полной системе промежуточных состояний:

f (x ) = ∑ P φ(0) X

2

(

)

δ P + X − (1 − x )P + ;

(3)

f(x) можно интерпретировать как вероятность найти квант поля φ с импульсом k+ = xP+ в мишени. Трехчастичная корреляционная функция E (x, x′) такой вероятностной интерпретации не допускает. Чтобы определить число независимых амплитуд типа твист-2, нужно провести две операции. Первая операция состоит в нахождении независимых компонент кваркового и глюонного полей путем использования проекционного оператора на световом конусе. Для кваркового поля эта операция разложения поля имеет вид ψ ± = P± ψ , (4) где проекционный оператор светового конуса определяется соотношением 1 1 0 3 γ ±γ . P± = γ ± γ m , γ ± = (5) 2 2

(

)

В результате действия проекционного оператора на поле отбирается независимое кварковое поле ψ + , имеющее две спиральные компоненты ±1/2. Аналогичное разложение глюонного поля по направлениям световых координат приводит к независимому глюонному полю с двумя спиv ральными компонентами A⊥ (в обозначениях [Jaffe (1992a)] – с двумя спиральными компонентами ±1). Ввиду наложенных выше условий на световом конусе рассеяние партона q с импульсом k и спиральностью h на мишени T с импульсом P и спиральностью H происходит без передачи импульса (т.е. рассеяние происходит под нулевым углом): q(k , h ) + T (P, H ) = q(k , h′) + T (P, H ′) . (6)

r

Такое рассеяние вперед, вдоль оси движения начального кварка e3 , называется коллинеарным рассеянием. Следовательно, спиральность, r представляющая угловой момент вдоль оси e3 , сохраняется:

h + H = h′ + H ′ . 271

(7)

Обозначим амплитуды реакции (6) через A(h, H → h′, H ′) . Тогда в силу сохранения четности в сильных взаимодействиях и обратимости процессов во времени имеют место следующие равенства между амплитудами: A(h, H → h′, H ′) = A(− h,− H → − h′,− H ′) (8) и A(h, H → h′, H ′) = A(h′, H ′ → h, H ) . (9) В результате возникают три амплитуды рассеяния кварков на нуклонах:

1 1⎞ ⎛1 1 A⎜ , → , ⎟, 2 2⎠ ⎝2 2 1 1⎞ ⎛1 1 A ⎜ ,− → ,− ⎟ , 2 2⎠ ⎝2 2 1 1⎞ ⎛ 1 1 A ⎜ − , → ,− ⎟ . 2 2⎠ ⎝ 2 2

(10а) (10b) (10с)

Этим трем амплитудам рассеяния соответствуют три функции распределений кварков (для случая мишени со спином 1/2):

(

)

1 1⎞ 1 1⎞ ⎛1 1 ⎛1 1 f1 x, Q 2 ∝ A⎜ , → , ⎟ + A⎜ ,− → ,− ⎟ . 2 2⎠ 2 2⎠ ⎝2 2 ⎝2 2

(11)

Эта функция соответствует рассеянию неполяризованных партонов на неполяризованных нуклонах. Функция распределения неполяризованных

(

)

кварков f1 x, ln Q 2 достаточно хорошо изучена в процессах ГНР. Другая структурная функция

(

)

1 1⎞ 1 1⎞ ⎛1 1 ⎛1 1 g1 x, Q 2 ∝ A⎜ , → , ⎟ − A⎜ ,− → ,− ⎟ 2 2⎠ 2 2⎠ ⎝2 2 ⎝2 2

(12)

соответствует рассеянию продольно-поляризованного партона на продольно-поляризованном нуклоне. Она начала изучаться в середине 70-х гг. на ускорителе SLAC [Alguard (1976)] и продолжается до сих пор, но уже во многих лабораториях. Третья из полного набора структурных функций называется функцией трансверсальности и определяется формулой

(

)

1 1⎞ ⎛ 1 1 h1 x, Q 2 ∝ A⎜ − , → ,− ⎟ . 2 2⎠ ⎝ 2 2

(13)

Это – единственная оставшаяся не измеренной функция из группы твист-2. Для ее измерения нужно рассеивать поперечно-поляризованный 272

партон на поперечно-поляризованном адроне. Чуть позже мы обсудим эту функцию более подробно. Сейчас переходим к глюонной структурной функции. В случае рассеяния глюона (безмассовой частицы, сохраняющей спиральность) остаются две независимые амплитуды, а именно:

1⎞ ⎛ 1 A⎜1, → 1, ⎟, 2⎠ ⎝ 2

1⎞ ⎛ 1 A⎜1,− → 1,− ⎟ . 2⎠ ⎝ 2

(14)

Этим двум амплитудам рассеяния глюонов соответствуют следующие две функции распределения глюонов в нуклоне:

(

)

(15)

(

)

(16)

1⎞ 1⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 G x, Q 2 ∝ A⎜1, → 1, ⎟, + A⎜1,− → 1,− ⎟ , 2⎠ 2⎠ ⎝ 2 ⎝ 2 и

1⎞ 1⎞ ⎛ 1 ⎛ 1 ∆G x, Q 2 ∝ A⎜1, → 1, ⎟, − A⎜1,− → 1,− ⎟ . 2⎠ 2⎠ ⎝ 2 ⎝ 2

Как следует из вида глюонных амплитуд при сохранении в разложении ведущих членов (твист-2), глюонное рассеяние происходит без переворота спина, т.е. спиральность сохраняется. Функция G(x,Q2) измеряется путем рассеяния неполяризованных партонов на неполяризованных адронах. Она хорошо изучена в процессах ГНР. Особый интерес представляет измерение спино-зависящей функции глюонного распределения ∆G(x,Q2). При наличии скейлинга эта функция не может быть измерена в процессах ГНР. Это связано с тем, что глюон непосредственно не взаимодействует с фотоном. Взаимодействие идет через кварк (антикварк), который образуется при развале глюона на пару кварк–антикварк. Такие процессы являются нескейлинговыми. Уже длительное время делаются попытки получить информацию о ∆G(x,Q2) из данных по ГНР путем учета нескейлинговых членов, однако ошибки получаются очень большими. Сейчас COMPASS и HERMES заняты программой определения этой функции через образование мезонов с открытыми и скрытыми чармами. Структурная функция распределения кварков по поперечной поляризации h1(x,q2) (для краткости будем называть ее в дальнейшем трансверсальностью), хотя и была обнаружена в 1979 г. [Ralston (1979)], однако была заново открыта и стала детально изучаться теоретически только в начале 1990-х гг. [Artru (1990), Artru (1993), Jaffe (1991), Jaffe (1992b)]. Трансверсальность h1(x) возникает при разложении кварковой корреляционной функции, содержащей матрицу Дирака σµν γ 5 , на световом конусе, а именно: 273

( (

) )

1 dλeiλx Ps ψ (0)σµνiγ 5ψ (λn ) Ps = h1 (x ) s⊥µ pν − s⊥ ν pµ / M + ∫ 4π + hL ( x ) M pµ nν − pν nµ s ⋅ n + h3 ( x ) M s⊥µ nν − s⊥ ν nµ . (17)

(

)

Здесь P, S обозначают четырехвекторы импульса и спина адрона, а p и

s

–

партона:

p µ = ( p,0,0, p )

–

четырехимпульс

партона,

⎛ 1 ⎞ µ µ µ µ ⎟⎟(1,0,0,−1) , s ≡ (sn ) p + (sp )n + s⊥ . n µ = ⎜⎜ 2 p ⎝ ⎠ Функция h1(x) есть трансверсальность, т.е. функция распределения кварков по поперечному спину в нуклоне тоже с поперечной поляризацией. Трансверсальность является функцией твист-2. Появившиеся в (17) функции распределений hL(x) и h3(x) являются функциями твиста-3 и твиста-4 соответственно. Нас интересует в данный момент только функция h1(x). Чтобы дать партонную интерпретацию этой функции, надо проделать несколько операций. Прежде всего необходимо разложить кварковое поле ψ , входящее в соотношение (17), проецирующим оператором светового конуса P±. Эта операция обсуждалась выше и привела к выражению h1(x) через одну независимую амплитуду (13). Следующий шаг состоит в применении оператора киральности, который определяется следующим образом:

PL, R =

1 (1 m γ 5 ) , 2

(18)

к тому же кварковому полю ψ . В результате возникают два состояния кварка, а именно: L – левое, когда спин кварка ориентирован, скажем, против направления его импульса (отрицательная киральность), и R – когда спин направлен по импульсу (положительная киральность). Оператор киральности коммутирует с оператором проецирования на световой конус, т.е. PL, R , P± = 0 , (19)

[

]

так что собственные значения этих операторов могут быть определены одновременно. Оператор киральности совпадает с оператором спиральности в пределе нулевой массы кварка, что молчаливо допускается в этих обсуждениях. Есть еще один спиновый проекционный оператор Q±, который называется оператором проецирования трансверсальности и определяется формулой [Goldstein (1976), Goldstein (1982), Goldstein (1989)]:

274

(

)

1 1 m γ5γ ⊥ , (20) 2 где γ ⊥ представляет либо матрицу Дирака γ1 либо γ2. Оператор Q± тоже коммутирует с оператором проецирования на световой конус P±: [Q± , P± ] = 0 . (21) Q± =

Подробный теоретический анализ показывает, что “поперечные и продольные спиновые эффекты равноправны в рамках пертурбативной квантовой хромодинамики” [Jaffe (1992а)]. Можно перечислить некоторые хорошо установленные свойства функции трансверсальности h1(x) и сравнить их со свойствами функции g1(x) (назовем ее для краткости функцией киральности). Вот эти свойства: • Неравенства

(

)

(

)

g1 x, Q 2 < f1 x, Q 2 ,

(

)

(

)

h1 x, Q 2 < f1 x, Q 2 .

(22)

Это неравенство имеет место для каждого аромата кварка и антикварка.

Физическая интерпретация: h1(x,Q2) определяет вероятность найти поперечно-поляризованный кварк с кинематическими параметрами x и Q2 в поперечно-поляризованном нуклоне. Функция h1(x,Q2) является кирально-нечетной, т.е. партон выходит из нуклона с одной киральностью и входит в него с противоположной киральностью (или наоборот). Это является причиной подавления этой функции в процессах ГНР, где спиральность сохраняется. • Функция трансверсальности h1(x,Q2) возникает из билокального обобщения тензорного оператора q σ µν iγ 5 q . •

•

Функция киральности g1(x,Q2) является кирально-четной (партоны входят и выходят из нуклона с одной и той же киральностью). Эта функция не подавлена в процессах ГНР и хорошо там измеряется. Функция g1(x,Q2) возникает из билокального обобщения аксиального зарядового оператора q γ µ γ 5q .

•

Правило сумм: а) если ввести определение тензорного заряда соотношением

2s i δq a (Q 2 ) = Ps q σ0iiγ 5

λa q Q 2 Ps , 2

(23)

где λa представляет матрицу аромата кварков, то тензорный заряд можно выразить как интеграл от функции трансверсальности: 275

( )

[ (

1

)

)]

(

δq a Q 2 = ∫ dx h a1 x, Q 2 − h a1 x, Q 2 .

(24)

0

Здесь индексы a и a обозначают кварки и антикварки; б) аналогичное правило сумм для аксиального заряда

2s i ∆q a (Q 2 ) = Ps q γ i γ 5 имеет вид

( )

1

[ (

λa q Q 2 Ps 2

)

(25)

)]

(

∆q a Q 2 = ∫ dx g a1 x, Q 2 + g a1 x, Q 2 .

(26)

0

Сравнение правил сумм для этих двух случаев показывает не только сходство формул, но и отличия. Во-первых, в формулах (24) и (26) вклады антикварков входят с разными знаками, как следствие того факта, что тензорный заряд является зарядово-нечетным, в то время как аксиальный заряд является зарядово-четным членом. Во-вторых, функция трансверсальности h1(x,Q2) не отнормирована на величину тензора углового момента и не допускает в противоположность g1(x,Q2) простой физической интерпретации в долях спина, переносимых партонами. В-третьих, все компоненты тензорного заряда имеют неиcчезающую аномальную размерность, но ни одна из этих компонент не смешивается с глюонными операторами при перенормировке. В противоположность этому несинглетный по аромату аксиальный заряд ∆q a (где ∆q 0 ∝ Σ ) имеет аномальную размерность вследствие треугольной аномалии. • Модельное предсказание. В нерелятивистской кварковой модели h1(x) и g1(x) совпадают. В релятивистской модели мешков [Jaffe (1992b)] они различаются, но не сильно. • Недавно в рамках кварк-партонной модели было доказано следующее правило сумм углового момента [Baсker (2004)]:

1 1 = ∑ ∫ dxh a1 (x ) + ∑ LT 2 2 a = q, q a = q,q , g

a

,

(27)

где в левой части уравнения стоит спин нуклона, а в правой части первый член представляет вклад трансверсальности в спин нуклона, а второй член соответствует вкладу поперечной компоненты орбитального момента партонов в спин. Интерес к этой формуле обусловлен тем, что вклад в спин нуклона от трансверсальности убывает с ростом Q2, в то время как вклад орбитального момента растет. Это дает надежду на разделение этих вкладов в эксперименте. Были выполнены расчеты трансверсальности в разных моделях в области Q2 ≤ 0,5 ГэВ2. Тензорные заряды также были 276

вычислены на решетке, а также с помощью правил сумм КХД [Barone (2004)]. Они привели к следующим результатам: δu ~ 0,1–0,7, δd ~ – (0,1 – 0,4) при Q2 = 10 ГэВ2. • Процессы Дрелл–Яна по образованию лептонных пар (l l ) являются наиболее чистыми для определения структурных функций g1(x) и h1(x), хотя сечения этих процессов весьма малы по сравнению с сечения-

ми ГНР. Речь идет, в частности, о процессе

() ()

p ↑ + p ↑ →l l + X .

(28) Если мы используем продольно-поляризованный пучок антинуклонов и продольно-поляризованную мишень из нуклонов, мы сможем измерить следующую асимметрию, связанную со спиральностью:

ALL =

∑ ea2 g1a (x )g1a ( y ) a

∑ ea2 f1a (x ) f1a ( y )

.

(29)

a

Если и пучок, и мишень поляризованы поперечно к направлению пучка, то измеряем двухспиновую поперечную асимметрию, связанную с трансверсальностью:

ATT =

sin 2 θ cos 2φ 1 + cos2 θ

∑ ea2h1a (x )h1a ( y ) a

∑ ea2 f1a (x ) f1a ( y )

.

(30)

a

Здесь углы θ и φ обозначают полярный и азимутальный углы рассеяния партонов в их с.ц.м. Функция h1(x) появляется здесь как ведущий (скейлинговый) член вследствие наличия антикварка. В случае реакции с двумя поляризованными протонами, как это планируется на RHIC [Saito (2004)], ожидаемый эффект составляет (1–2) %. Малость ожидаемого эффекта в этом случае определяется двумя факторами: а) антикварков в протоне мало, и их поперечная поляризация тоже мала; б) при кинематике RHIC, когда s = 200 ГэВ, M < 10 ГэВ, x1x2 = M 2/s ≤ 3⋅10–3, в эксперименте зондируется область очень малых x,

где ожидается малая величина трансверсальности. Поэтому и ожидается малая асимметрия. В этом случае лучше работать с поляризованным антипротонным пучком, реакция (28), однако при умеренных энергиях. Так, в проекте эксперимента PAX [Efremov (2004), PAX Collaboration (2005)], когда 30 ≤ s (ГэВ2) ≤ 45, M ≥ 2 ГэВ, x1x2 = M2/s ≥ 0,1, в эксперименте зондируется область больших x, где ожидается заметная величина трансверсальности. Вычисления для M = 4 ГэВ и s = 30 ГэВ2 показали, что транс277

версальность равна 0,3 и практически постоянна в интервале xF = = x1 – x2 = 0 – 0,3. При том же значении M = 4 ГэВ и s = 45 ГэВ2 трансверсальность тоже равна 0,3, но в более широком интервале xF = 0 – 0,5 [Rathmann (2004)]. В эксперименте PAX может оказаться очень полезным измерение трансверсальности через образование j/ψ-частиц в том же процессе (28), так как сечение этого процесса на два порядка больше сечения Дрелл-Яна, а величина асимметрии тоже порядка 0,3. Это иллюстрирует практичность применения поляризованного антипротонного пучка для измерения трансверсальности. В ГНР трансверсальность оказалась подавленной множителем mq/Q, где mq – масса токового кварка. Массы токовых кварков чрезвычайно малы. Было бы хорошо образовывать тяжелые кварки, но в процессах ГНР сечения таких процессов очень малы. Таким образом, трансверсальность вносит ничтожно малый вклад в процессы ГНР. Для полноты картины приведем выражение для асимметрии, когда одна из сталкивающихся частиц продольно-поляризована, а другая поляризована поперечно:

ALT =

∑ e2a [ g1a (x )ygTa ( y ) − xhLa (x )h1a ( y )]

2 sin 2θ cos φ M 1 + cos2 θ

Q

a

.

∑ ea2 f1a (x ) f1a ( y )

2

(31)

a

Здесь впервые появились функции твиста-3, а именно, gTa ( x ) и hLa (x ) , которые, как и положено, имеют порядок малости M/|Q|. Читателям, желающим приобрести более глубокие знания по данной проблеме, рекомендуется посмотреть обзорную статью [Barone (2002)]. • Другие возможности измерения трансверсальности. Одним из возможных каналов изучения трансверсальности являются полуинклюзивные процессы в области фрагментации тока [Jaffe (1992b)]: e + p → e′ + H + X . (32) Спиновые и твистовые свойства таких процессов зависят от партонных функций распределений и фрагментации. Если мишень поперечнополяризована, то измеряется асимметрия: a/H ∑ e2 ha x, Q 2 eˆa / H z, Q 2 + gTa x, Q 2 fˆ1 z, Q 2 Λ a a 1 2 H . (33) AT ( x, z , Q ) ∝ a a/H ∑ ea2 f1 x, Q 2 fˆ1 z, Q 2 Q2

[ ( )

( (

a

) )

( ) ( )

(

)]

Кроме интересующей нас функции трансверсальности сюда входит функция фрагментации кварка a в адрон H, fˆ a / H 1 . Она является функ278

цией твист-2 и четной по киральности; функцией твист-3 g a T с четной киральностью и eˆ a / H с нечетной киральностью. Множитель перед дробью указывает на наличие членов твиста-3. Эта формула позволяет, в принципе, извлечь функцию трансверсальности, если в предварительных опытах с поляризованной и неполяризованной мишенями определить остальные три функции. Эксперименты являются если и возможными, то очень трудными. Другим процессом, тоже полуинклюзивным, но привлекательным, является процесс образования поляризованных гиперонов. Они интересны тем, что их слабые двухчастичные распады позволяют определять их поляризацию с высокой эффективностью. • Функции распределенения по трансверсальности, зависящие от поперечного импульса кварка kT. Если учитывать поперечный импульс кварка в нуклоне, то, кроме трех описанных выше функций (f1, g1 и h1), возникают еще пять дополнительных функций распределений. Некоторые из них имеют прямое отношение к трансверсальности, и по ним начали появляться первые экспериментальные данные. Обсудим эти функции. В нашем распоряжении находятся четыре физических величины, а именно: импульс P и спин ST (индекс T означает перпендикулярность к импульсу P) нуклона, а также поперечный импульс кварка kT и его спин SqT. Из них мы можем определить следующие спиново-зависящие поперечные асимметрии кварков. Случай 1. Пусть нуклон поляризован поперечно. Какова разница в количестве кварков со спином параллельным и спином антипараллельным спину нуклона? Ответ:

) (

(

)

∆N = N q ↑ / p ↑ (x, kT ) − N q ↓ / p ↑ (x, kT ) = ST ⋅ S qT h1 x, kT2 −

(

)

(

1 2 ⎡ ⎢(kT ⋅ ST ) kT ⋅ S qT + 2 kT ST ⋅ S qT ⎣

(

Функция h 1 x, k T2

) (

)

⎤ ⊥ 2 ⎥ h1T x, kT . ⎦

1

M2

⋅ (34)

) после интегрирования по поперечному импульсу

кварка превращается в известную скейлинговую функцию трансверсаль-

( )

ности, в то время как новая функция h1⊥T x, kT2 при таком интегрировании дает нуль. При отсутствии интегрирования фрагментация кварков с различными направлениями поперечной поляризации в адроны приводит к асимметрии, которая называется эффектом Коллинза [Collins (1993)]. При

( )

этом функция h1 x, kT2 приводит к асимметрии вида sin(φh + φS), а функ279

( )

ция h1⊥T x, kT2 – к асимметрии вида sin(3φh - φS). Здесь азимутальные углы относятся к конечному адрону (индекс h) и к поляризации протона (индекс s). Асимметрии измеряются в реакциях e + p ↑→ e′ + h + X . (35) Такие реакции называются полуинклюзивным ГНР (ПИГНР = SIDIS: semi-inclusive DIS). Случай 2. Рассмотрим поляризованный протон с неполяризованными кварками внутри. В этом случае можно ожидать следующую асимметрию в количестве неполяризованных кварков:

∆N 2 = N q / p ↑ ( x, kT ) − N q / p ↓ (x,− kT ) =

r

(kT × Pr ) • SrT M

f1T⊥ ( x, kT ) .

(36)

Такое возникновение асимметрии называется эффектом Сиверса, а

функция f1⊥ T ( x, kT ) – функцией распределения Сиверса [Sivers (1990)]. Случай 3. Поперечно-поляризованные кварки внутри неполяризованного протона могут привести к асимметрии в следующей форме:

∆N 3 = N q ↑ / p (x, kT ) − N qb / p ( x, kT

r r r ( kT × P ) • S qT ⊥ )= h ( x, k M

1

T

).

(37)

Функция h1⊥ (x, kT ) называется функцией распределения БоорМелдерса [Boer (1998)]. Функции распределений Сиверса и БоорМелдерса являются нечетными по отношению к операции обращения времени, так как содержат произведение нечетного количества векторов, меняющих знак при обращении времени. Но такое “нарушение временной четности” на партонном уровне “допускается” вследствие наличия взаимодействия кварка в конечном состоянии, что поправляет ситуацию. Экспериментальное определение трансверсальных функций является в настоящее время стержнем многих поляризационных программ. Исследования ведутся по следующим направлениям: 1. Измерения односпиновой асимметрии в реакции ПИГНР e + p ↑→ e′ + π + X . (38) В этой реакции ненулевая асимметрия может возникнуть только в случае учета поперечного импульса кварка. Но поперечный импульс приводит к неколлинеарной кинематике рассеяния кварка на другом кварке, и чтобы применить партонную модель, надо доказать теорему факторизации и для этого случая. Такое доказательство факторизации в неколлинеарной кинематике было дано недавно в работе [Ji (2004)]. В результате асимметрия может возникнуть по двум причинам. В одном случае из-за 280

эффекта Коллинза, когда конечный поперечно-поляризованный кварк фрагментирует в неполяризованный адрон:

∆N C = N h / q ↑

) (

)

r r r r r kT × PhT • S qT ⊥ r 2 z , PhT − N h / q ↓ z , PhT = H1 z , PhT . (39) zM h

(

)

(

(

)

Вопрос о том, как в коллинз-эффекте возникают поперечнополяризованные кварки, может иметь только следующий ответ – он возникает в результате взаимодействия с другими кварками в этом же нуклоне. Если же начальный нуклон был поляризован, то его кварки могут привести к возникновению асимметрии при образовании адронов (сиверcэффект). В общем случае эта асимметрия имеет вид r r ∆N S = N h / p ↑ z , PhT − N h / p ↓ z , PhT ∝ r r ⎤ ⎡ kT • PhT ∝ A( y )ℑ⎢ h1H1⊥ ⎥ sin (φh + φ S ) + ⎦⎥ ⎣⎢ M h (40) r r ⎡ κT • PhT ⊥ ⎤ + B( y )ℑ⎢ f1T D1 ⎥ sin (φ h − φ S ) + ⎥⎦ ⎢⎣ M h r r r + C ( y )ℑ λ kT , κT , PhT h1⊥T H1⊥ sin (3φh − φ S ) .

(

(

)

(

)

(

)

)

[(

]

)

Здесь символ ℑ[...] обозначает интеграл свертки по переменным r r κT , kT . Если взять азимутальные моменты, то можно раздельно опреде-

лить разные асимметрии. Например, чтобы определить в эксперименте асимметрию Коллинза, надо вычислить момент dφh dφ S sin (φh + φ S )[∆N S (φh , φ S ) − ∆N S (φh , φ S + π )] . (41) sin (φh + φ S ) = ∫ ∫ dφh dφS [∆N S (φh , φS ) − ∆N S (φh , φS + π)] Аналогично определяем значение асимметрии Сиверса <sin(φh – φS)>. Сотрудничество HERMES недавно опубликовало свои предварительные данные по этим асимметриям, измеренным в кинематической области 0,02 < x < 0,4; 0,2 < z < 0,7, для = 2,4 ГэВ2 [Airapetian (2004)]. Так, +

−

асимметрия Коллинза Aπ T > 0, Aπ T < 0, что ожидаемо, так как соответствующие знаки имеют трансверсальные функции hu1 > 0, hd1 < 0. Однако оказалось, что величина AT

π+

−

< AT π , что противоречит ожида-

нию по модели h1d << h1u . На самом деле ситуация более сложная. Из281

меряемые асимметрии для π± состоят из комбинации следующих трансверсальных функций: +

−

ATπ ∝ 4h1u H1⊥ f + h1d H1⊥uf , ATπ ∝ 4h1u H1⊥uf + h1d H1⊥ f . (42) Здесь верхние индексы f (favorable) и uf (unfavorable) означают функции предпочтительные и не предпочтительные (ожидаются в модели малыми) для соответствующих асимметрий. Данные по асимметрии в образовании π– требуют выполнения соотношения H1⊥ uf ≈ – H1⊥ f . Очевидно, нужны дополнительные и независимые эксперименты по измерению ⊥uf

⊥f

трансверсальных функций Коллинза H 1 и H 1 . Другой неожиданный результат эксперимента HERMES состоит в том, что асимметрия 0

−

ATπ приблизительно равна ATπ и тоже отрицательна вопреки ожиданиям по изотопической инвариантности. Однако такие же измерения, но при малых x ≤ 0,1, выполненные в эксперименте COMPASS, показали, что асимметрии и для π+ и для π0 совместимы с нулем, как и ожидается для малых x, z и pT [Pagano (2004)]. HERMES впервые получил указание на то, что функция Сиверса положительна и отлична от нуля, однако нужны более точные измерения для окончательных выводов. 2. Двухспиновый процесс ПИГНР e + p ↑→ e′ + Λ ↑ + X , (43) если начальный нуклон поперечно-поляризован, и измеряется поперечная поляризация Λ-гиперона, также позволяет определить трансверсальность. Эта реакция может зондировать фрагментационную функцию H1 (z ) = N h↑ / q ↑ (z ) − N h↑ / q ↓ (z ) , (44) являющуюся аналогом функции трансверсальности h1. Однако трудно предсказать поляризацию Λ-гиперона из-за отсутствия экспериментальных сведений о трансверсальной фрагментационной функции H1 (z ) . 3. Еще на одну возможность определения трансверсальности в реакции лептонообразовния пары адронов на поперечно-поляризованной мишени было указано в работе [Collins (1994)]. Речь идет об измерении азимутальной асимметрии плоскости двух адронов по отношению к углу φRS = φR + φS – π, где φR представляет азимутальный угол плоскости двух адронов по отношению к плоскости рассеяния лептона, φS – азимутальный угол поляризации кварка [Bacchetta (2004)]. COMPASS провел в 2002 г. первую попытку проведения таких измерений на мюонном пучке с энергией 160 ГэВ и с поляризованной мишенью 282

6

LiD . Согласно авторам, в

интервале эффективной массы до 1,5 ГэВ можно достичь точности в измерении асимметрии в несколько процентов [Joosten (2004)]. 4. Асимметрия в образовании пионов на поляризованных пучках протонов/антипротонов или/и мишенях может возникать либо из-за наличия поперечных импульсов у кварков или из-за вкладов высоких твистов. Такая асимметрия тоже дает информацию о трансверсальных функциях. В предположении применимости факторизации и в неколлинеарной геометрии можно записать асимметрии для случаев эффекта Коллинза:

[(

) (

) (

)] (

dσ ↑ −dσ ↓∝ ∑ h1 xa , kT2 + kT2 M 2 h1⊥T xa , kT2 ⊗ f1 xb + , kT′2

(

( ); )⊗ f (x , k ′ )⊗ dσˆ (ab → cd ) ⊗ D (z, k ).

⊗ ∆TT σˆ a ↑ b → c ↑ d и для эффекта Сиверса:

(

dσ ↑ −dσ ↓∝ f1T⊥ xa , kT2

)

⊗ H1⊥

)

(45)

z , kT2 2 T

2 T

(44) Данные эксперимента Е704 лучше согласуются с моделью Сиверса, в то время как эффекты Коллинза заметно подавлены. Однако таких данных пока мало и следует накапливать их больше, особенно в области энергии RHIC. При этом могут оказаться весьма интересными односпиновые асимметрии с образованием в конечном состоянии прямых фотонов и струй одновременно. Такие планы имеются на установке STAR. 1

b

1

Список литературы Клоуз Ф. Кварки и партоны. Введение в теорию. М.: “МИР”, 1982. Airapetian A. et al. hep-ex/0408013 (2004). Alguard M.J. et al. Phys. Rev. Lett. 37 (1976) 1281. Artru X., Mekhfi M. Z. Phys. C 45 (1990) 669. Artru X. In: Proc. of the Vth Workshop on High Energy Spin Physics, Protvino, Russia (1993) 152. Bacchetta A. and Radici M. Proceedings of DIS 2004, hep-ph/0407345 (2004). Backer B.L.G. et al. HTP-PH/0406139 (2004). Barone V. Phys. Report 359 (2002) 1. Barone V. In: Proc. of the 16th Int. Spin Physics Symp., Trieste, Italy (2004) 12. Boer D. and Mulders P.J. Phys. Rev. D57 (1998) 5780. Collins J.C. Nucl. Phys. B396 (1993) 161. Collins J.C. Nucl. Phys. B420 (1994) 565. Efremov A.V. In: Proc. of the 16th Int. Spin Physics Symp., Trieste, Italy (2004) 413. Goldstein R.G. and Moravcsik M.J. Ann. Phys. (NY) 98 (1976) 128. 283

Goldstein R.G. and Moravcsik M.J. Ann. Phys. (NY) 142 (1982) 219. Goldstein R.G. and Moravcsik M.J. Ann. Phys. (NY) 195 (1989) 213. Jaffe R.L, Ji X. Phys. Rev. Lett. 67 (1991) 552. Jaffe R. In: Proc. of the 10th Int. Symp. on High Energy Spin Physics, Nagoya, Japan (1992a) 19. Jaffe R.L, Ji X. Nucl. Phys. B375 (1992b) 527. Ji X., Ma P. and Yuan F. Phys. Lett. B597 (2004) 299. Joosten R. In: Proc. of the 16th Int. Spin Physics Symp., Trieste, Italy (2004) 381. Leader E. Spin in Particle Physics. Cambridge University Press, 2001. Pagano P. In: Proc. of the 16th Int. Spin Physics Symposium, Trieste, Italy (2004) 469. PAX Collaboration. Technical Proposal for Antiproton-Proton Scattering Experiments with Polarizations. arXiv:hep-ex/0505054 v1 (2005). Ralston J. and Sopper D.E. Nucl. Phys. B152 (1979) 109. Rathmann F. In: Proc. of the 16th Int. Spin Physics Symp., Trieste, Italy (2004) 145. Saito N. In: Proc. of the 16th Int Spin Physics Symp., Trieste, Italy (2004) 58. Sivers D. Phys. Rev. D41 (1990) 63.

284

Часть II. Поляризационная технология Поляризационная технология (ПТ) понимается как раздел поляризационной физики, посвященный разработке методов получения поляризованных пучков, мишеней и способам измерения их параметров (поляриметрия). По мере перехода от малых энергий к очень большим она обогащалась новыми идеями и методическими разработками. В самом начале своего становления (начало 1950-х гг.) ПТ пользовалась простейшими способами, такими как, например, использование несложных ядерных реакций (упругих и неупругих), поляризующие фильтры (прохождение частиц через ферромагнитные фольги), распады (например, распад пиона на мюон, в результате которого мюон оказывается поляризованным). Необходимость получения поляризованных частиц промежуточных и больших энергий потребовала разработки сильноточных источников поляризованных частиц для инжекции в ускоритель. Программа исследования спиновых корреляций стимулировала также разработки эффективных поляризованных мишеней для экспериментов с фиксированной мишенью. Совсем недавно, в 2000 г., был создан уникальный поляризованный коллайдер RHIC, в котором сталкиваются уже два поляризованных протонных пучка с энергией в с.ц.и. 200 ГэВ, и в скором времени эта энергия будет увеличена до 500 ГэВ. Соответственно, с ростом энергии поляризованных пучков интенсивно развивалась и поляриметрия – техника для измерения поляризации этих пучков и мишеней. В соответствии со сказанным выше, во второй части курса поляризационной физики излагаются четыре дисциплины. Первая глава посвящена методам получения поляризованных пучков высоких энергий. Здесь рассматриваются разные по существу способы формирования поляризованных протонных, электронных и мюонных пучков. Вторая глава содержит описание разнообразных поляризованных мишеней, третья глава посвящена описанию поляризованных источников атомных пучков и четвертая – поляриметрии. Эти дисциплины составляют основу современной поляризационной технологии.

Глава 1. Методы получения поляризованных пучков Методы получения поляризованных пучков частиц высоких энергий сильно различаются в зависимости от сорта частиц. На сегодня наиболее сложным является способ получения поляризованных протонных пучков. В этом случае требуется создание сильноточных источников ионов водорода с высокой степенью поляризации и проводка такого пучка через длинную цепочку ускорительных узлов с целью достижения конечной энергии. В особенности трудной оказывается проводка пучка через ускоритель с жесткой фокусировкой, где необходимо применять для сохране285

ния поляризации высокоточный прибор, так называемую “сибирскую змейку”. Мы дадим ее определение чуть позже. Также представляет большую сложность поляриметрия протонных пучков высоких энергий. Несколько проще оказывается задача получения поляризованных электронных пучков. В кольцевых ускорителях/коллайдерах эта задача упрощается благодаря эффекту самополяризации электронов за счет синхротронного излучения, за счет так называемого эффекта Соколова–Тернова (СТ), на котором мы остановимся в разделе, посвященном поляризованным электронным пучкам. Несколько сложнее обстоит дело с получением поляризованного электронного пучка в линейных ускорителях. Здесь нужно создавать сильноточные источники поляризованных электронов. Особенно просто обстоит дело с формированием поляризованных мюонных пучков. Природа сама позаботилась о том, чтобы мюоны появлялись уже поляризованными при слабом распаде пионов. Поэтому в этом случае многие проблемы, свойственные получению поляризованных протонных, даже электронных пучков, отсутствуют. Более подробно обо всем этом будет рассказано в дальнейшем. Для полноты картины упомянем о двух способах формирования поляризованных протонных пучков, сыгравших важную роль в развитии поляризационной физики. Первый метод, пригодный для энергии протонов ≤ 1 ГэВ, был внедрен в начале 1950-х гг. [Oxley (1954), Chamberlain (1954), Столетов (1954), Мещеряков (1956)]. Он состоял в выводе из ускорителя вторичного протонного пучка, испытавшего дифракционное рассеяние на легких ядрах (Be, C). Поляризация таких пучков достигала 60 %, интенсивность ~ 106 поляризованных протонов/с. Однако поляризация таких пучков быстро снижалась с ростом начальной энергии. В результате при энергиях ≥ 1 ГэВ этот метод оказался неприменимым. К тому же малая интенсивность поляризованного пучка заставила физиков перейти к методу ускорения изначально поляризованных протонов. Второй метод, предложенный в 1969 г. [Overseth (1969)], был предложен для энергии > 100 ГэВ. Он основан на том факте, что распад Λ- (⎯Λ-) гиперона ( Λ → p + π− ) идет через слабое взаимодействие, и поэтому протоны (антипротоны) в этих распадах поляризованы до 65 %. Впервые этот метод был реализован на ТэВатроне в Фермилабе в 1990 г. [Grosnick (1990)]. Аналогичный метод применительно к SPS был предложен еще в 1972 г. [Dalpiaz (1972)], однако никогда не был реализован. Применительно к ускорителю У-70 в ИФВЭ этот метод предлагался в конце 1970-х гг. [Апокин (1977), Nurushev (1980)], однако был реализован только в 1997 г. [Abramov (1997)]. В Фермилабе эффективная поляризация пучка составила 45 % (обоих знаков) при энергии поляризованного пучка 200 ГэВ. При этом интенсивность вторичного пучка составила ~ 106 поляризованных 286

протонов/с при сбросе на мишень первичной интенсивности 1012 протонов/с с импульсом 800 ГэВ/с. Этот поляризованный пучок эффективно использовался в поляризационном эксперименте Е704. Однако низкая интенсивность поляризованного пучка и невысокая поляризация пучка вынудили физиков отказаться в дальнейшем и от этого метода. Список литературы Мещеряков М.Г. и др. ЖЭТФ 31 (1956) 361. Столетов Г.Д., Нурушев С.Б. Отчет ИЯП, Дубна (1954). Apokin V.D. et al. CERN/SPS/77-61 (1977). Abramov V.A. et al. (1997) Chamberlain O. et al. Phys. Rev. 93 (1954) 1430. Dalpiaz et al. CERN/ECFA 1 (1972) 284. Grosnick D.P. et al. Nucl. Inst. Meth. A290 (1990) 269. Nurushev S.B. et al. In: Intern. Symp. on High Energy Physics with Polarized Beams and Targets, Lausanne (1980) 501. Oxley C. et al. Phys. Rev. 93 (1954) 806. Overseth O.E. National Accelerator Laboratory, Summer Study Report SS120 1 (1969).

§40. Уcкорение поляризованных протонов В настоящее время перед поляризационной физикой встала задача количественной проверки предсказаний квантовой хромодинамики. Такая проверка требует проведения опытов при больших передачах импульса и измерения малых спиновых эффектов. Для проведения таких экспериментов нужны поляризованные пучки протонов очень больших интенсивностей и с высокой степенью поляризации. До недавнего времени такая задача казалась немыслимой. Дело в том, что на больших энергиях работают только ускорители с жесткой фокусировкой. Для фокусировки пучка в этих ускорителях применяются крайне неоднородные магнитные поля. Уже в названии таких ускорителей AGS (alternating gradient synchrotron – синхротрон с переменным градиентом) содержится напоминание об этом. Такие ускорители представляют сложность для ускорения поляризованных частиц. Первая же попытка ускорить поляризованные протоны в AGS показала, что известный к тому времени метод “перескока” деполяризующих резонансов и локальные коррекции резонансов несовершенства имеют предельную возможность до 22 – 25 ГэВ. При больших энергиях они сами по себе проблему сохранения поляризации не решают [Khiari (1989)]. Идею кардинального решения проблемы сохранения поляризации в ускорителях на высокие энергии предложили в 1975 г. Я.С. Дербенев и А.М. Кондратенко [Дербенев (1975)]. В простом изложении идея выгля287

дит следующим образом. Деполяризация пучка протонов происходит тогда, когда относительная частота вращения спина ν S = γG (γ – лоренцфактор и G – аномальное гиромагнитное отношение протона) равна целому числу или кратна частоте бетатронных колебаний пучка. Тогда происходит резонанс, и пучок деполяризуется, т.е. спины протонов приобретают хаотическое направление в пространстве. Предлагались и методы избежания этой деполяризации. Революционной оказалась следующая идея. На кольце ставятся два комплекса магнитов на расстоянии 180° по орбите пучка. Каждый из них поворачивает спин вокруг оси, лежащей в плоскости орбиты, причем эти две оси взаимно перпендикулярны. Тогда из уравнения движения спина следует, что теперь частота спиновых колебаний равняется 1/2. Эта частота не зависит от энергии. В результате оказывается решенной проблема подавления деполяризации. Эта идея, названная методом “сибирских змеек”, была впервые реализована в ускорительно-накопительном комплексе RHIC–AGS в БНЛ (США) [Mackey (2004)]. Список литературы Дербенев Я.С., Кондратенко А. М. ДАН СССР 223 (1975) 830. Khiari F.Z. et al. Phys. Rev. D39 (1989) 45. Mackay W. In: Proc. of 16th Int. Spin Рhys. Symp., Trieste, Italy (2004) 163. §40.1. Ускорительно-накопительный комплекс БНЛ

Ускорительно-накопительный комплекс БНЛ, схема которого представлена на рис. 1, начинается с источника поляризованных отрицательных ионов водорода, получаемых оптической накачкой, OPPIS, который будет описан в §44. Он дает ток 0,5 мА и поляризацию 80 %. Поляризованные ионы ускоряются высокочастотным (ВЧ) и линейным ускорителями до 200 МэВ (γ = 1,21) и обдираются перед инжекцией в бустер. В бустере пучок ускоряется до энергии 2,46 ГэВ (γ = 2,62). Поляризованные протоны поступают в AGS и ускоряются в нем до энергии 24,3 ГэВ (γ = 25,94). Из AGS ускоренные поляризованные протоны транспортируются и вводятся в одно, затем в другое кольцо RHIC. На указанной трассе размещены поляриметры: один поляриметр на источнике (OPPIS), один на выходе из линейного ускорителя и три р+С-поляриметра, из них один – в AGS и два – в коллайдере (в каждом кольце по одному). В AGS продолжает использоваться также поляриметр квази-упругого рр-рассеяния, построенный для предыдущего эксперимента [Khiari (1989)]. AGS оборудован двумя теплыми частичными змейками на 5 % и 20 % (проценты 288

берутся от угла поворота полной змейки, который составляет 180°). RHIC снабжен двумя парами полных змеек, восемью спиновыми ротаторами и в будущем предполагается задействовать имеющиеся высокочастотные диполи (по одному на каждое кольцо) для быстрого переворота поляризации пучка. Смонтирована и прошла испытания на RHIC поляризованная струйная водородная мишень с плотностью поляризованных протонов 1⋅1012 р/см2 и поляризацией (92±1,8) %.

Рис. 1. Схема комплекса AGS – RHIC

Прецессия спина протона в системе его покоя описывается уравнением Томаса–Френкеля или, как его до сих пор называли, уравнением BMT [Thomas (1927), Frenkel (1926), Bargman (1953)]:

r r r dS e r = S × (1 + Gγ )B⊥ + (1 + G )Bl . (1) dt γm Здесь G = (g–2)/2 = 1,792817 представляет аномальный магнитный момент протона в единицах ядерного магнетона, m и γ – масса и лоренцфактор протона; B⊥ и Bl – поперечная и продольная компоненты магнитного поля, t – время, и эти параметры определены в лабораторной систе-

[

]

ме. Запишем уравнение поворота импульса под действием силы Лоренца:

r dp e r r = p× B. dt γm

(2)

Сравним формулы (1) и (2) в предположении, что магнитное поле не меняется ни в пространстве, ни во времени. Положим дополнительно, что 289

продольная компонента поля равна нулю. Тогда видно, что скорость вращения спина вокруг магнитного поля происходит в (1 + γG) раз быстрее, чем скорость вращения вектора скорости вокруг того же поля. При этом для положительно заряженной частицы оба вектора вращаются в одинаковом направлении. Наличие лоренц-фактора приводит, как мы увидим далее, к увеличению количества деполяризующих резонансов с ростом энергии. Наоборот, если мы имеем только продольное магнитное поле, то частица не меняет направления, в то время как спин вращается с частотой в G раз большей циклотронной частоты. Однако продольное поле (соленоид) не эффективно при росте энергии и для управления поляризацией не используется. Итак, в планарной геометрии, когда нет горизонтальных полей, а есть только вертикальное поле, в системе покоя частицы спиновая частота прецессии составляет ν S = γG . Для простоты будем называть эту частоту спиновой настройкой. Радиальное магнитное поле не только возбуждает вертикальные бетатронные колебания пучка, но вызывает и сдвиг направления спина от вертикали. Если частица радиальным полем отклонится на угол ϕ, то спин отклонится на угол (1 + γG)ϕ. Как мы знаем, операции поворота вокруг разных координатных осей не коммутируют между собой, и поэтому может измениться не только спиновая настройка, но и ось вращения спина отклонится от вертикали. При движении в реальном кольцевом ускорителе спин, в основном, испытывает два типа деполяризующих резонансов. Один из них называется внутренним и происходит, когда спиновая настройка оказывается кратной частоте вертикальных бетатронных колебаний Qv. Другой тип деполяризуюшего резонанса называется резонансом несовершенства или ошибок. Он возникает из-за ошибок юстировки магнитных элементов (в предположении их идеальной одинаковости). Этот резонананс появляется, когда спиновая настройка равна целому числу. Минимальный интервал между резонансами несовершенства составляет 523 МэВ и определяется из равенства γG = 1. Для большинства резонансов обоих типов можно записать условие возникновения резонанса в виде ν S = n + nV QV + nhQ h . (3) Здесь n, nV и nh – целые числа. Последний член появляется при наличии в кольце соленоидов или повернутых квадрупольных линз, в результате чего возникают связи между вертикальными и горизонтальными колебаниями частицы. Вводится понятие мощности резонанса ε. Она определяет меру отклонения средней поляризации от вертикального направления и измеряется как отношение этого угла к 2π. Согласно формуле Фруаccара– 290

Сторе [Froissart (1960)] существует следующая связь между поляризацией до входа в резонанс Pin и после выхода из резонанса Pout: 2 ⎛ ⎞ πε ⎜ − ⎟ 2 α Pout = ⎜ 2e − 1⎟ Pin . (4) ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Здесь параметр α = d(γG)/dθ определяет скорость изменения спино-

вой настройки на единицу угла поворота частицы в радианах. Из этой формулы видно, что чем выше коэффициент α, тем лучше сохраняется поляризация. Если он очень мал, то велика вероятность опрокидывания поляризации, причем поляризация может сохраняться. Этот метод был в свое время успешно опробован на ВЭПП и не очень успешно на Сатурне и ZGS. §40.2. Расчет мощности резонанса

Уравнение движения спина во внешнем магнитном поле было записано выше (1). При движении в циклических ускорителях в идеальных условиях частица вращается вокруг вертикального магнитного поля

r r r B = B⊥ = B0 y с постоянной частотой ν по замкнутой плоской орбите. Спин тоже вращается вокруг той же оси с частотой ν's = γGν. На практике чаще используется отношение νs = ν′s /ν = γG, называемое спиновой на-

стройкой. В реальных ускорителях с переменным градиентом существуют, во-первых, фокусирующие и дефокусирующие магнитные элементы и, во-вторых, всегда имеются поля возмущений из-за ошибок в изготовлении магнитных элементов либо из-за ошибок при их юстировке. В результате суммарное магнитное поле, действующее на частицу, представляется в форме

r r r r B = B0 y + ( B y y + Bx x ) .

(5)

Горизонтальная компонента поля Bx смещает направление спина от вертикали. В результате вертикальная компонента спина уменьшается. Но так как величина горизонтального поля мала, то и уменьшение вертикальной поляризации мало. Однако из-за накопления таких возмущений может возникнуть ситуация, когда спиновая настройка оказывается в резонансе с частотами бетатронных колебании частиц. Тогда может произойти сильная деполяризация пучка.

291

Движение частицы по оси y содержит две компоненты, соответствующие движениям по замкнутой орбите Yα и бетатронные осцилляции Yβ. Когда имеется ошибка в юстировке магнитных элементов, величина Yα не равна нулю даже для идеального случая монохроматичного пучка (∆p/p = = 0). В результате возникает спиновый резонанс несовершенства. Этот резонанс имеет фурье-разложение e±iKθ, где K – целое число. Более того, частицы совершают бетатронные колебания вокруг равновесной орбиты. Вызывающее такое движение частицы возмущающее поле имеет тоже фурье-компоненту с частотами бетатронных колебаний, а именно:

e

(

i kP ± v y

) , где k, P и ν

y представляют целое число, суперпериод ускорителя и частоту вертикальных бетатронных колебаний соответственно. Такой резонанс, как отмечалось выше, называется внутренним резонансом. Надо отметить, что когда спиновая настройка νs = γG равна целому числу k или kP±νy, то происходит когерентное воздействие полей на спин, и это вызывает деполяризацию пучка. Мощность резонанса, обусловленная всеми перечисленными выше факторами, определяется следующей формулой:

ε K 0 ∝ ∫ Bx eiK 0 θ dθ .

(6)

Можно показать, используя формулу (1), что движение спина в магнитном поле кольцевого ускорителя можно переписать в виде

r

r dS r r = S × Ωa . dθ

(7)

Здесь оператор Ω a разложен по трем единичным ортам:

r r r r Ω a = −tx + rs − κy . (8) r r r Единичные векторы s , x , y расположены следующим образом. Перr вые два вектора лежат в плоскости орбиты, причем s направлен по касаr тельной к орбите, в направлении движения частицы; x перпендикулярен к r r s и направлен наружу, а y направлен нормально к плоскости орбиты вверх. Входящие в формулу (8) параметры определены следующим образом: '

⎛ y⎞ (9) κ ≈ γG, r = (1 + γG ) y '−ρ(1 + G )⎜⎜ ⎟⎟ , t = (1 + γG )ρy '' . ⎝ρ⎠ В этих формулах штрих обозначает дифференцирование по θ , ρ соответствует текущему радиусу кривизны орбиты. Тогда, вводя переменные S+ = S1 ± S2, с учетом (9), уравнение (7) можно переписать следующим образом: 292

dS + dS − dS3 = iκS + + iς∗S3 , = −iκS − − iς S3 , = i (ςS + − ς∗S − ) . (10) dθ dθ dθ Здесь константа связи поперечных движений определяется соотношением '

⎛ y⎞ ς = −t − ir = −(1 + γG )(ρy ' '+iy ' ) + iρ(1 + G )⎜⎜ ⎟⎟ = ∑ ε me± iK m θ . (11) ⎝ρ⎠ m Теперь можно записать формулу для мощности резонанса в виде 1 ς(θ) iK 0θ( s ) γG γG iK θ ( s ) iK θ( s ) εK0 = e ds = − ∫ ∫ y' 'e 0 ds = − 2π ∫ G ( s)e 0 ds . (12) 2π ρ( s) 2π Здесь функция G(s) представляет фокусирующую-дефокусирующую силу ускорителя. Для ускорителя со структурой ФОДО (фокусировка – пролет – дефокусировка – пролет) мощность главного внутренного резонанса определяется в явной форме ⎛K ⎞ ⎧ i ⎜ 0 −µ ⎟ π ⎫ γG ⎪ M ⎝ ⎠ ⎪× εK = − ⎨GF ε N β y ( F ) + GD ε N β y ( D)e ⎬ 2π ⎪ ⎪⎭ ⎩ (13) K ⎡ ⎤ sin ⎢ M ( 0 − µ)π⎥ i ( M − 1 )⎛⎜ K 0 −µ ⎞⎟ π M 2 ⎝ M ⎦e ⎠ . × ⎣ ⎡ K0 ⎤ − µ) π⎥ sin ⎢( ⎣ M ⎦ В формулу входят следующие параметры: ε N – нормализованный эмиттанс, GF и GD – фокусирующие и дефокусирующие силы квадруполя, µ – приращение фазы на ячейке, βy(F) и βy(D) – вертикальные амплитудные функции в фокусирующих и дефокусирующих квадруполях и M –

полное число ячеек в ускорителе. Из уравнения (13) можно сделать ряд интересных заключений. Вопервых, самые сильные резонансы отстоят друг от друга на величину M, равную общему количеству ячеек в ускорителе. Во-вторых, сила резонансов пропорциональна M. В-третьих, мощность внутренних резонансов растет с энергией как

γ , в то время как мощность резонанса несовер-

шенства растет линейно с γ. Содержание этого подпараграфа основано на работе [Courant (1986)].

293

§40.3. Расчеты для AGS

Приложение этой техники расчетов к AGS для случая Qν = 8,7 и нормализованного эмиттанса πε = 10π мм⋅мрад показало наличие трех сильных деполяризующих внутренних резонансов при спиновых настройках, равных 0 + Qv, 36 – Qv и 36 + Qv. Напомним, что периодичность магнитной структуры AGS составляет Р = 12, и поэтому сильными оказываются резонансы, у которых n являются кратными P (см. (3)). Положение лоренц-фактора протона для этих точек составляет 4,85; 15,23 и 24,93 соответственно (nV = ±1 в (3)). Мощности этих резонансов в относительных единицах равны приблизительно 0,015 для двух первых резонансов и 0,027 – для третьего. Этот последний резонанс является самым мощным, и энергию инжекции для RHIC было решено выбрать ниже этой величины. Остальные внутренние резонансы оказались намного слабее. Что касается RHIC, то согласно общим правилам и количество резонансов, и их мощности сильно растут. Такие же, как и выше, расчеты для этого случая при Qv = 29,212 показали наличие четырех мощных внутренних резонансов при энергиях выше 100 ГэВ. Их мощности составляют от 0,35 до 0,45. Даже ниже 100 ГэВ наблюдается так много резонансов с мощностями на порядки больше, чем в AGS, что нет никаких способов, кроме техники “сибирских змеек”, чтобы преодолеть их. К концу 2004 г. ситуация на RHIC по ускорению поляризованного протонного пучка была следующей. Линейный ускоритель выдавал протоны с поляризацией 80 % и энергией 200 МэВ, бустер ускорял их до 1,5 ГэВ. Чтобы подавить резонансы несовершенства при целых числах 3 и 4, использовалась коррекция орбиты с помощью соответствующих гармоник магнитного поля. Пучок выводился из бустера несколько раньше (при γG = 4,5), чем достигался первый внутренний резонанс νs = γG = 4,9. В AGS пучок ускорялся от γG = 4 до γG = 46,5. Здесь для подавления деполяризации вначале использовалась частичная змейка на базе теплого соленоида со спиновой мощностью 5 %. В сеансе 2003 г. с помощью этого соленоида была получена на выходе AGS поляризация всего 28 %. При этом соленоид работал в сочетании с переменным магнитным полем диполя, помогавшим осуществить переворот спина в четырех сильных внутренних резонансах, упоминавшихся выше. Была обнаружена сильная связь вертикальных и горизонтальных движений частиц, обусловленная этим соленоидом. Этот соленоид был заменен на теплый геликоидальный магнит, тоже выполнявший функцию частичной змейки, но с большей силой (8 % при энергии инжекции и 6 % при энергии вывода пучка из AGS). В результате на выходе AGS в 2004 г. была получена поляризация 50 % [Huang (2004)]. Энергетическая зависи294

мость сырой асимметрии, измеренной в сеансе 2003 г. с соленоидом и в сеансе 2004 г. с геликоидальным магнитом, представлена на верхней части рис. 2 (на нижнем рисунке приведена накопленная статистика). Явно видно уменьшение асимметрии с энергией, однако из-за незнания энергетической зависимости анализирующей способности поляриметра (pCупругое рассеяние в области кулон-ядерной интерференции) трудно объяснить этот факт. Такое ослабление поляризации может происходить как из-за анализирующей способности, так и наличия деполяризации пучка при ускорении. Что твердо установлено и видно на рис. 2, так это то, что дипольная частичная змейка работает лучше (круглые верхние точки), чем соленоид (нижние квадратики). При энергии вывода пучка из AGS анализирующая способность pC-поляриметра была прокалибрована с помощью другого поляриметра на базе поляризованной струйной мишени, размещенного в RHIC. В результате было установлено, что в 2004 г. выведенный из AGS пучок имел поляризацию 50 %. Если предположить, что в бустере поляризация не теряется, то на входе в AGS пучок должен бы иметь поляризацию 50 %, а не 80 %, как это было найдено на выходе линейного инжектора, т.е. практически на входе в AGS. Следовательно, в AGS пучок, возможно, деполяризуется от 80 % до 50 %, и этот факт требует дальнейшего изучения.

Рис. 2. Иллюстрация улучшения поляризации пучка на выходе AGS в 2004 г. по сравнению с 2003 г.; таблица справа от рисунка показывает как потери поляризации, так и выигрыши на определенных резонансах 295

Однако проблема с сохранением поляризации в AGS по-прежнему остается нерешенной. В RHIC поляризованные протоны должны ускоряться с энергии, соответствующей γG = 46,5, до энергии, соответствующей γG = 478 (250 ГэВ). Для сохранения поляризации при этом используются две “сибирские змейки”, отстоящие на 180° по орбите. Оси вращения спинов лежат в горизонтальной плоскости и взаимно перпендикулярны. Каждая змейка состоит из четырех сверхпроводящих геликоидальных диполей. Обмотка каждого диполя расположена по спирали, идущей по часовой стрелке. Эта обмотка создает спиральное магнитное поле, которое всегда перпендикулярно оси пучка. В результате спиновая настройка не зависит от энергии пучка, как это было в случае с соленоидом. Раскачка пучка тоже минимальна. Основные требования к змейке сводятся к тому, чтобы, вопервых, она повернула спин на 180° вокруг оси пучка, и, во-вторых, чтобы она была прозрачна для пучка. Это значит, что параметры пучка вне змейки должны оставаться неизменными. В RHIC есть еще два спиновых ротатора, размещенных попарно на каждом кольце вокруг точек пересечения пучков для установок STAR и PHENIX. Их задача состоит в том, чтобы положить вертикальную поляризацию пучка в горизонтальную плоскость (плоскость орбиты). После этого два диполя ускорителя преобразуют поляризацию пучков в продольную. После взаимодействия пучков такая же пара диполей и магнитов ротатора возвращают поляризацию пучка в вертикальное положение. Такая необходимость связана с выполнением наиболее важных задач поляризационной программы на RHIC – исследованием спиновой структуры нуклонов. Работа спиновых ротаторов была проверена измерением асимметрии при отсутствии и при наличии питания ротаторов. В первом случае наблюдается лево-правая асимметрия, в то время как при работе ротатора такая асимметрия исчезает. Надо только отметить, что экспериментальные точности измерения недостаточно высоки, чтобы выделить систематические ошибки. На выходе AGS получена поляризация 50 % при количестве частиц в банче (сгустке частиц, из которых состоит пучок) 1⋅1011. По их же данным на выходе из линейного инжектора поляризация была 80 %. Поскольку нет информации о том, какая была поляризация на входе в AGS, невозможно отнести всю потерю поляризации только за счет AGS. Возможно, есть потеря поляризации и в бустере. Это очень важный вопрос и для бустера-1,5 для комплекса ускорителей У-70 в ИФВЭ (Серпухов), так как его параметры близки к параметрам бустера для AGS. Очевидно, надо быть внимательным и к каналам транспортировки поляризованного пучка. 296

На RHIC в сеансе 2004 г. была достигнута светимость 4⋅1030 см-2 с–1 и поляризация 40±5 % при s = 200 ГэВ. К следующему сеансу физики планируют модернизировать соленоид в лазерном источнике поляризованных протонов для увеличения поляризации с 80 % до 85 %. Также собираются ввести в эксплуатацию на AGS сверхпроводящую частичную змейку на 25 % спиновой мощности (поворот спина на 45°). Большое внимание обращают на возможность улучшения планарности орбиты, включая геодезию, мониторы положения пучка, электронику и т.д. Физики ставят ближайшей целью достижение энергии s = 500 ГэВ, светимости 1,5⋅1032 см-2 с–1 и поляризации, по крайней мере, 70 %. Это будет завершением основной цели проекта с тем, чтобы физики могли начать выполнение главной поляризационной программы – исследование спиновой структуры нуклонов. Список литературы Bargman V. et al. Phys. Rev. Lett. 2 (1953) 435. Courant E.D., Lee S.Y. and Tepikian S. AIP No 145 (1986) 174 Frenkel J., Z. Physik 37 (1926) 243. Froissart M. and Storе R. Nucl. Inst. Meth. 1 (1960) 297. Huang H. In: Proc. of 16th Int. Spin Phys. Symp., Trieste, Italy (2004) 683. Khiari F.Z. et al. Phys. Rev. D39 (1989) 45. Thomas L.H. Phil. Mag. 3 (1927) 1.

§41. Поляризованные электронные пучки В этой главе обсуждаются способы получения поляризованных электронных пучков высоких энергий. Мы ограничимся только пучками, которые применяются в настоящее время на самых крупных действующих ускорителях. Речь пойдет о циклическом ускорителе-коллайдере HERA в Германии и о линейном ускорителе электронов SLC в SLAC, США. В этих двух ускорителях поляризованные пучки электронов формируются принципиально разными способами. Соответственно, мы дадим их описание раздельно. §41.1. Поляризованный электронный пучок кольцевого коллайдера HERA

Коллайдер HERA длиной 6,336 км имеет два кольца. В одном кольце ускоряются протоны с 40 ГэВ до энергии 820 ГэВ, а в другом кольце – электроны с 14 до 27,5 ГэВ. Известно, что благодаря эффекту Соколова– Тернова [Соколов (1963)] электроны в кольцевых ускорителях самополя297

ризуются за счет синхротронного излучения. При идеально однородном и постоянном во времени магнитном поле поляризация определяется соотношением t ⎛ − τ СТ ⎜ P = − Pmax 1 − e ⎜ ⎝

⎞ ⎟. ⎟ ⎠

(1)

Согласно этой формуле спины электронов за время τ СТ выстраиваются противоположно направлению магнитного поля, и величина поляризации достигает максимума, равного в асимптотике ( t → ∞ ) 8 Pmax = = 92,4 %. (2) 5 3 Физическая причина самопроизвольной поляризации электронов состоит в следующем. При движении в кольцевом ускорителе электроны испускают фотоны. При этом вероятность испускания фотона зависит от взаимной ориентации спина электрона и внешнего ведущего магнитного поля. При излучении фотона спин электрона опрокидывается. При этом стабильным для электрона оказывается состояние, когда спины ориентируются против внешнего поля. У позитрона, из-за положительного знака заряда, спины предпочтительно ориентируются по полю. Предположим, что в кольце ускорителя при достижении поляризации P находились n = n+ + n– электронов, причем n+ электронов со спинами вдоль магнитного поля и n– – со спинами против магнитного поля. По определению поляризации P = (n+ – n–)/ (n+ + n–). Из этих двух соотношений следует n+ = n(1 + P)/2, n– = n(1 – P)/2. (3) Если пучок позитронов (электронов) с интенсивностью в кольце n достиг поляризации, скажем, 0,8, то это значит, что 90 % всех позитронов ориентированы спином по полю и только 10 % – против поля. Из-за разницы в знаках зарядов электроны будут поляризованы противоположно позитрону. Однако в реальности трудно сохранить в ускорителях такую большую поляризацию. Наличие фокусирующих и дефокусирующих магнитных полей, а также всевозможные ошибки в юстировке магнитных элементов могут привести к деполяризующим эффектам. К тому же процесс Соколова–Тернова достаточно медленный по сравнению с другими конкурирующими процессами в накопительных кольцах. Это время по “накачке” поляризации определяется следующим соотношением

298

τ СТ =

8ρ 3 m 2 c 2 5 3he 2 γ 5

.

(4)

Здесь m, e, ћ, c обозначают массу и заряд электрона, постоянную Планка и скорость света; ρ – текущий радиус кривизны траектории частицы в магнитах. Параметр τ СТ (индекс СТ обозначает процесс Соколова–Тернова) – скорость накопления поляризации по формуле (1). Параметры Pmax и τ СТ зависят от параметров ускорителя и варьируются в широких пределах. Так для HERA τ СТ составляет 40 мин при энергии 27 ГэВ, для LEP при 46 ГэВ она равна 300 мин, а для TRISTAN при энергии 29 ГэВ это время составляет всего 2 мин. Реально достижимые в ускорителях поляризации будут приведены чуть позже. Движение спина электрона в магнитном поле описывается уравнением FT–BMT [Frenkel (1926), Thomas (1927), Bargmann (1959)], как и в случае протона

r r r dS e r = S × (1 + Gγ )B⊥ + (1 + G )B// . (5) dt γm Здесь G = (g – 2)/2 = 0,001159652 представляет аномальный магнитный момент электрона в единицах магнетона Бора, m и γ – масса и лоренц-фактор электрона; B⊥ и B|| – поперечная и продольная компоненты магнитного поля, t – время. Эти параметры определены в лабораторной системе, в то время как спин определяется в R-системе электрона. Запи-

[

]

шем уравнение поворота импульса электрона под действием силы Лоренца:

r dp e r r = p× B. dt γm

(6)

В однородном и постоянном во времени магнитном поле спин прецессирует с частотой ν = γGνL, (7) где γ – лоренц-фактор электрона, а νL – ларморова частота вращения заряженной частицы (электрона в нашем случае) вокруг того же магнитного поля. Для простоты изложения введем обозначение νs = γG и назовем его спиновой настройкой (как было сделано ранее в случае с протонами). Таким образом, частота вращения спина отличается от ларморовой частоты и при больших энергиях может намного превышать ее. Например, для энергии электрона 27,5 ГэВ спиновая настройка составляет около 60. Для нецелых значений νs для электронов, движущихся по периодической 299

(замкнутой) орбите, уравнение (5) имеет устойчивое периодическое реr шение, обычно обозначаемое как n0 . В совершенных ускорителях с иде-

r

ально плоской орбитой решение n0 направлено по нормали к плоскости

r

орбиты. Так же направлена и равновесная поляризация PS . Если на трассе пучка имеются горизонтальные поля или нарушена юстировка магнитных r элементов, тогда ориентация вектора n0 не вертикальна. Этот факт означает, что первоначальный подход Соколова–Тернова с допущениями об идеальных условиях движения электрона (однородное магнитное поле, отсутствие горизонтальных полей) напрямую к реальным ускорителям неприменим. Возможной модификацией этого метода является полуклассический метод, примененный в работах [Байер (1970), Дербенев (1973)].

r

Согласно этим работам равновесная величина вектора поляризации Peq определяется выражением

Peq =

ρ

8 5 3

ρ

−3

r r b • n0

−3 ⎡

2 r r 2⎤ ⎢1 − 9 (n0 • v ) ⎥ ⎣ ⎦

r

.

(8)

Здесь единичный вектор b определяет направление магнитного поля, а угловые скобки означают усреднение величин в скобках как по кольцу, так и по ансамблю частиц. Как было сказано выше, поляризация электронов возникает из-за синхротронного излучения электронами фотонов. Этот процесс, в свою очередь, приводит к отдаче электрона. А изменение направления движения электрона по соотношению (6) приводит и к изменению направления спина. Как говорят в таких случаях, происходит диффузия спина. В результате формула (8) видоизменяется:

ρ

−3

r r r b • ( n0 − d )

r r ∂n , d =γ . (9) Peq = ∂γ 2 r r 2 11 r 2 ⎤ −3 ⎡ 5 3 ρ ⎢1 − (n0 • v ) + d ⎥ 10 ⎣ 9 ⎦ r r Вектор n представляет обобщение вектора n0 на случай учета разных 8

возмущающих факторов. Например, отличие энергии частицы от номи-

r

нального значения, что нашло отражение в виде вектора d , вошедшего в выражение для поляризации как в линейной форме (числитель), так и в квадратичной форме (знаменатель). Наличие вертикальных бетатронных 300

колебаний и ошибки в юстировке магнитных элементов в сумме приводят к возникновению резонансов при выполнении условия ν s = k + mxQx + mz Qz + msQs , (10) где k, mx, mz и ms – целые числа, Qx, Qz и Qs – бетатронные частоты. Соотношение (10) может быть использовано для нахождения деполяризующих резонансов. Более внимательный анализ спиновой диффузии показывает, что скорость деполяризации пропорциональна скорости “накачки” поляризации (4), умноженной на полином от спиновой настройки νs. Причем должны учитываться все сильные резонансы с полюсными выражениями для них в знаменателе. С ростом энергии увеличиваются и количество резонансов, и их мощности. Особенно опасными считаются так называемые синхротронные боковые полосковые резонансы. Они возникают как побочные от сильных родительских резонансов первого порядка с числами mx = ±1 или mz = ±1, при этом ms представляет небольшое целое число. Хотя механизм поляризации является слабым и достаточно длительным, физики показали, что он может быть наблюдаем, усилен и использован в электронных накопительных кольцах. Впервые эффект радиационной поляризации наблюдали на установках ВЭПП (СССР) и ALCO (Италия) почти одновременно. С большой точностью эти эффекты измерили в Новосибирске на установках ВЭПП, ВЭПП-2, ВЭПП-3, ВЭПП-4. Несколько позже поляризацию электронных пучков за счет синхротронного излучения наблюдали на следующих установках: CESR, SPEAR, DORIS [Potaux (1971), Shatunov (1990), Mackay (1984), Barber (1984)]. Однако все эти машины работали при относительно низких энергиях, а именно, несколько ГэВ. Как известно, деполяризующие резонансы становятся сильными с ростом энергии. В этом плане надо считать заметным достижением получение поляризованного электронного пучка с энергией 16,5 ГэВ в PETRA в 1982 г. [Bremer (1982)]. При этом пришлось разработать и применить специальное устройство для подавления гармоник поля, близких к спиновой настройке. Начиная с 1990 г., была обнаружена поляризация электронов на ускорителях TRISTAN, LEPP, HERA. В 1992 г. на коллайдере HERA был получен электронный пучок с поляризацией 56 % при энергии 26,7 ГэВ. В 1993 г. с помощью коррекции замкнутой орбиты была получена вертикальная поляризация электронного пучка в 57 % на LEPP при энергии около 46 ГэВ. Специальные исследования с искусственным возбуждением деполяризующих резонансов показали, что в HERA опасными являются четвертые гармоники; –1, 0, +1 и вторая гармоника. Так как каждому резонансу соответствует комплексная амплитуда с реальной и мнимой частями, то 301

имеются всего восемь параметров, которые надо минимизировать. Для этого используются восемь коротких магнитных катушек с горизонтальными магнитными полями (их жаргонное название “бампы”), чтобы индивидуально подавить все восемь амплитуд. Рис. 1 показывает предварительные результаты оптимизации орбиты в HERA при энергии 26,7 ГэВ (νs = 60,5). При этом подгонялась мнимая амплитуда гармоники +1. Когда была достигнута для этой гармоники мнимая часть амплитуды – 1,8 мм, была получена поляризация выше 30 % (сплошная линия с точками). Дополнительная коррекция орбиты привела к поляризации близкой к 40 % (пунктирная линия с экспериментальными точками). Аналогичная схема оптимизации замкнутой орбиты была применена и в TRISTAN при энергии 28,86 ГэВ (νs = 66,5). Вначале было скорректировано средне-квадратичное отклонение вертикальной замкнутой орбиты до уровня 0,3 мм, и при этом поляризация не изменилась. Затем с помощью восьми бампов был скорректирован наклон вертикальной замкнутой орбиты при гармонике, близкой к спиновой настройке. Рис. 2 показывает, как коррекция +66-ой гармоники позволила увеличить поляризацию с 7 до (75±15) %.

Рис. 1. Оптимизация поляризации в HERA гармоническими полями при энергии 26,7 ГэВ

302

Для настройки ускорителя с поляризованным пучком очень важно не только быстро поляризовывать пучок, но надо уметь его также быстро деполяризовывать. Как показывает опыт работы на перечисленных выше установках, это можно сделать с помощью тех же корректоров, что использовались при поляризации пучка. После того как пучок деполяризован, можно включить корректоры и измерять скорость нарастания поляризации в экспоненте и, используя выражение (1), найти время нарастания поляризации τ методом подгонки. Величина τ состоит из двух компонент: −1 −1 τ −1 = τ СT + τ деп .

(11)

Рис. 2. Коррекция деполяризации в TRISTAN гармоническими полями при энергии 28,86 ГэВ

Здесь τСТ представляет теоретическую скорость нарастания поляризации и дается формулой (4), а τдеп представляет скорость деполяризации пучка. Зная τ из соотношения (11), можно определить τдеп. Тогда, используя формулу

Peq = PCT ⋅

τ деп

τ СТ + τ деп

= PCT ⋅

τ τ CT

,

(12)

можно определить поляризацию Peq с малой систематической ошибкой. Результаты применения описанного метода к LEP при энергии 46,5 ГэВ (νs = 105,5) показаны на рис. 3. При τ = (35±15) мин получена поляриза303

ция Peq =(19,7±3,1) %. На TRISTAN измерения были проведены при энергии 14,76 ГэВ (νs = 33,5). Рис. 4 показывает, что при τ = 68 мин получено (после пересчета асимметрии в поляризацию) Peq = (69±24) %. Наконец, рис. 5 представляет результат измерений на HERA при энергии 26,7 ГэВ (νs = 60,5). Получена поляризация (46,5±5) %. Все приведенные значения поляризации хорошо согласутся с измеренными на поляриметрах [Barber (1992)]. В проекте комплекса HERA с самого начала предусматривалось создание продольно-поляризованного электронного пучка с тем, чтобы изучать спиновые эффекты в электрослабых взаимодействиях.

Рис. 3. Время накачки поляризации на LEP при энергии 46,5 ГэВ

Эта задача, поставленная физиками, состоит в том, чтобы в месте столкновения протонов и электронов поляризация электронов была продольной, т.е. направлена по импульсу (или против импульса) электрона. Есть еще одна задача, а именно: предусмотреть возможность быстрого реверса направления поляризации пучка электронов. Эта задача более простая, чем перечисленные выше две задачи, тем не менее, по условиям физического эксперимента она тоже должна быть решена. Эти требования возникли из программы HERMES, которая была предложена в 1990 г. [HERMES (1990)]. Чтобы показать практическую возможность получения сначала поперечной, а затем и продольной поляризации электронного пучка, специалистам пришлось выполнить значительный объем работ, и эксперимент начался в 1994 г. 304

Рис. 4. Время накачки поляризации на TRISTAN при энергии 14,76 ГэВ

Рис. 5. Время накачки поляризации на HERA при энергии 26,7 ГэВ

Необходимость получения продольной поляризации электронного пучка требует установки специального устройства, называемого “спиновым ротатором”. Спиновый ротатор представляет набор радиальных магнитных полей, который позволяет изменить устойчивое направление по305

ляризации из вертикального в продольное. При этом спин-ротатор не должен менять динамику движения электрона. Введение радиальных полей приводит к тому, что замкнутая орбита не является больше плоской, стабильное направление спина меняется, и с учетом конечных размеров пучка это приводит к излучению электроном фотонов. В результате спиновый ротатор оказывается источником диффузии спина. Решение проблемы получения продольной поляризации электронов

r r ∂n в форсостоит в том, чтобы, по возможности, обнулить член γd = γ ∂γ муле (8) в местах, где член ρ

−3

велик. Это достигалось методом так на-

зываемого “спинового согласования”, который включает две процедуры: оптимизация замкнутой орбиты и коррекция оптики пучка. Было много сомнений в том, что спиновые ротаторы сработают, как планировалось, и метод спинового согласования окажется действенным. Тем не менее, в мае 1994 г. с помощью пары спиновых ротаторов и применением перечисленных выше двух процедур была получена продольная поляризация в 65 %. Это был первый случай в истории, когда эффект Соколова–Тернова был использован в накопителе для получения продольно-поляризованных электронов [Barber (1995)]. С этого момента началась весьма успешная реализация поляризационной программы HERMES. Краткая хронология получения поляризованных электронных пучков в электронных накопительных кольцах представлена в табл. 1. Таблица 1 Продольно-поляризованные электронные пучки Установка VEPP ACO VEPP-2M SPEAR VEPP-3 VEPP-4 PETRA CESR DORIS LEP HERA HERA (продольная поляризация)

Энергия (ГэВ) 0,65 0,53 0,65 3,7 2 5 16,5 5 5 47 26,7 27,5

306

Поляризация (%) 80 90 90 90 80 80 70 30 80 57 60 70

Год 1970 1970 1974 1975 1976 1982 1982 1983 1983 1993 1993 1994

Все приведенные в табл. 1 поляризации электронов являются поперечными, за исключением самой последней строки. Здесь отмечено, что впервые на ускорителе HERA была получена продольная поляризация 70 % у электронов. При этом время жизни поляризации составляло около 10 ч. На ускорителе HERA получен также пучок поляризованных позитронов с поляризацией 50 %. §41.2. Поляризованный электронный пучок линейного коллайдера SLC

SLC (SLAC Linear Collider – Линейный Коллайдер SLAC (Stanford Linear Accelerator Center) или ЛКС, длина 3 км) представляет собой линейный коллайдер, предназначенный для изучения образования и распада промежуточных бозонов. Он состоит из двух частей, а именно, линейного ускорителя (линак) и двух арок. Линак предназначается для ускорения электронов и позитронов до энергии 46,6 ГэВ, а арки – для организации их встречи. В проекте коллайдера с самого начала была заложена возможность ускорения продольно-поляризованных электронов. Так как в линейных ускорителях нет механизма поляризации за счет синхротронного излучения, то в них используется специально разработанный источник поляризованных электронов. В нормальном режиме величина поляризации в ЛКС сегодня составляет 80 %. Уникальность ЛКС состоит в следующем. Это самый крупный по энергии коллайдер, имеющий продольнополяризованный пучок электронов, и на нем параллельно ведутся эксперименты как в коллайдерной моде (детектор SLD), так и с фиксированными мишенями в специальной зоне для выведенного электронного пучка (зона ESA – End Station A). Эти эксперименты на фиксированных мишенях были пионерскими в изучении спиновой структуры нуклонов, как, например, эксперименты Е-80 [Alguard (1976)] и Е-130 [Baum (1983)]. После открытия в 1987 г. в ЦЕРН эффекта “спинового кризиса” в зоне ESA были выполнены эксперименты, перечисленные в табл. 2. Параметры поляризованных электронных пучков для этих экспериментов были значительно улучшены, по сравнению с параметрами пучков для первых опытов. Цель этих экспериментов состояла в измерении структурных функций протона и нейтрона и проверке правил сумм Бьеркена и ЭллисДжаффе. Результаты этих экспериментов с высокой степенью точности подтвердили вывод эксперимента EMC (ЦЕРН), что кварки несут очень малую долю спина родительского нуклона. Они также подтвердили правильность правила сумм Бьеркена и нарушение правила сумм Эллис– Джаффе. В дальнейшем изложении мы дадим информацию о методе получения пучка продольно-поляризованных электронов на самом крупном и пока 307

единственном электрон-позитронном коллайдере ЛКС. При этом в значительной степени мы следуем работе [Woods (1994)]. Таблица 2 Параметры пучков в зоне ESA Параметр N, стат. f, Гц τ, нс Е, ГэВ P, % T, мес Год

Е142 2⋅1011 120 1 22,7 40 2 1992

Е143 4⋅109 120 2 29,2 84 3 1993

Е154 2⋅1011 120 100 48,6 80 2 1995

Е155 4⋅109 120 100 48,6 85 3 1995

В этой таблице N означает набранную (для Е142 и Е143) или ожидаемую (для Е153 и Е154) статистику: f – частоту циклов электронного пучка, T – длительность сеанса и год – дата проведения эксперимента.

1. Источник поляризованных электронов

Поляризованные электроны получаются облучением фотокатода из GaAs поляризованными лазерными лучами (рис. 6).

Рис. 6. Источник поляризованных электронов в ЛКС

В этой схеме используются два разных лазерных генератора, поскольку эксперименты с фиксированными мишенями (ЭФМ) в зоне ESA и ЛКС требуют пучки разной временной структуры (см. табл. 2 и 3). Для ЭФМэкспериментов применяется лазерный генератор на Ti-сапфире (TiS) с ламповой подкачкой, чтобы получить импульсы с длительностью две 308

микросекунды. Для работы на SLD (ЛКС) используются два лазерных генератора на TiS c подкачкой на Nd:YAG (иттрий-алюминиевый гранат, активированный неодимом) для получения двух импульсов с длительностью 60 нсек. Один импульс используется для формирования электронного пучка, а другой – позитронного пучка для коллайдерного эксперимента SLD. Линейно-поляризованные лазерные лучи через систему зеркал попадают в четвертьволновую ячейку Поккера, где они преобразуются в циркулярно-поляризованный свет. Путем изменения знака напряжений на ячейках Поккера можно изменить направление циркулярной поляризации фотонов, соответственно и направление поляризации электронов. Это изменение происходит по закону случайной выборки с частотой 120 Гц (частота ЛКС) и обеспечивается специальным генератором. Такая операция крайне важна для минимизации систематических ошибок в эксперименте. Схему переброса электронов GaAs фотокатода из валентных уровней в зону проводимости можно увидеть на рис. 7. Слева на рис. 7 рассмотрен случай ненапряженного GaAs-фотокатода. Фотоны положительной спиральности и с энергией в интервале 1,43 < E< 1,77 эВ могут перебросить валентные электроны с двух уровней j = 3/2 на два уровня j = 1/2 в зоне проводимости (сплошные линии). Тогда для этих двух переходов, согласно коэффициентам Клэбша–Гордона, вероятности переходов будут относиться как 3:1. Следовательно, ожидаемая поляризация электронов будет составлять 50 %. При этом направление поляризации выходящих из фотокатода электронов будет совпадать с направлением поляризации фотона, так как они движутся в противоположных направлениях. На рис. 7 (слева) видно, что уровни j = 3/2 вырождены. Если суметь снять это вырождение так, как показано на рис. 7 справа, то ситуация резко меняется. Теперь остается переход только с одного уровня, а на переход с другого уровня энергии уже не хватает. В результате можно достичь 100 % поляризации электронов. На практике снятия вырождения уровней с j = 3/2 можно достичь приготовлением так называемого напряженного материала GaAs. Это делается следующим способом. Выращиваются тонкие слои этого материала на подложке из GaAsP. Смесь таких двух материалов как раз и приводит к смещению уровней, показанному на рис. 7 справа. Такие материалы производятся теперь на коммерческой основе. Их квантовая эффективность, определенная как число фотоэлектронов на один падающий фотон, составляет около 0,2 %. Дальнейшее улучшение эксплуатационных параметров источника описано в статье [Clendenin (2002)]. 309

Рис. 7. Энергетические уровни ненапряженного (a) и напряженного (b, в обозначениях – “strain”) GaAs и разрешенные переходы из валентных уровней в зону проводимости: сплошные линии обозначают переходы, стимулированные фотонами с положительной спиральностью, пунктирные – с отрицательной; числа в кружочках указывают вероятности соответствующих переходов

2. Поляризованные электроны в зоне ESA для экспериментов с фиксированными мишенями

Теперь остается проблема ускорения поляризованного электронного пучка от 60 кэВ до 46,6 ГэВ и транспортировки до потребителя. Наиболее просто это осуществляется для экспериментальной зоны ESA (рис. 8). Так как пучок продольно-поляризован, то в продольном же ускоряющем электрическом поле спин никаких изменений не претерпевает. Однако при конечной энергии пучок отклоняется в горизонтальной плоскости на угол θ = 428 мрад. Спин при этом опережает угол поворота электрона на величину ∆θs = θs – θ = γGθ. Когда ∆θs = nπ, пучок электронов оказывается продольно-поляризованным. Это происходит при энергиях Е = n⋅3,24 ГэВ. Величина поляризации пучка определяется поляриметром Меллера, описанным в разделе “Поляриметрия”. Пучок далее взаимодействует с поляризованной мишенью с целью измерения структурных спиновых функций. Параметры поляризованных электронных пучков и наименование выполненных в ESA экспериментов с фиксированной поляризованной мишенью приведены в табл. 2.

310

Рис. 8. Слева – схема транспортировки электронного пучка в зону ESA; справа – в зону детектора SLD 3. Поляризованные электроны в зоне SLD для коллайдерных экспериментов

Следующий поляризационный эксперимент в SLAC проводился на установке SLD. Установка имеет основной задачей проверку предсказаний Стандартной Модели (СM), в частности, предсказания СM по спиновым эффектам. Продольно-поляризованный электронный пучок для этого детектора получается сложным путем. Схема получения пучка показана на рис. 8 справа. Сначала на электронной пушке создаются два сгустка (банча) поляризованных электронов. При этом пушка работает при высоком напряжении 120 кВ. Это нужно для того, чтобы при импульсных токах выше 6 А не наступал эффект насыщения по заряду в фотокатоде. Два электронных банча формируются и ускоряются до 1,19 ГэВ. Затем они вводятся в накопительное кольцо, где в течение восьми мс происходит “охлаждение” пучка, т.е. сжатие его размеров с целью уменьшения эмиттанса пучка. Затем они транспортируются к линаку и киккер-магнитом загоняются в него. Первый банч ускоряется до полной энергии и уходит к точке взаимодействия вслед за предыдущим позитронным банчем. Второй электронный банч ускоряется только до 39 ГэВ и используется для получения позитронов. В источнике аккумулируются позитроны в интервале энергии 2 – 20 МэВ и ускоряются до энергии 200 МэВ. Затем они транспортируются почти к началу линейного ускорителя. В накопителе умень311

шается эмиттанс пучка в течение 16 мс. Затем позитроны впрыскиваются обратно в ЛКС и ускоряются до конечной энергии в 46,6 ГэВ. Затем с помощью разводящего магнита электронный сгусток направляется на северную арку, а позитронный – в южную. В этих арках они теряют по 1 ГэВ энергии за счет синхротронного излучения. В результате энергия столкновения пучков составляет 91,2 ГэВ, что соответствует массе Z-мезона. При переводе электронного пучка из линейного ускорителя в накопитель спин поворачивается на 450º как раз перед входом в соленоид. Соленоид переводит спин из горизонтального положения в вертикальную плоскость. Такая трансформация спина необходима, чтобы избежать деполяризации в накопителе. С такой вертикальной поляризацией электроны попадают обратно в линейный ускоритель и продолжают ускоряться. Более детальное изучение показало, что в этом цикле поляризация электронов сохраняется на уровне 99 %, т.е. теряется 1 % поляризации. Это происходит потому, что в кольцо накопителя направляется электронный пучок с энергией 1,19 ГэВ вместо расчетной 1,21 ГэВ. Перед соленоидом поляризация пучка оказывается повернутой не на 450º, а на 442º. Когда соленоид поворачивает вектор поляризации из горизонтального положения в вертикальное, то он оказывается не строго вертикальным, а отклоненным от вертикали на 8º. Это и объясняет потерю поляризации в 1 %. На выходе из линака пучки электронов и позитронов перехватываются магнитами для транспортировки в северную и южную арки. Каждая арка содержит 23 ахромата, и в каждом ахромате находятся 20 магнитов с комбинированными функциями. При энергии электронов 46,6 ГэВ в каждом ахромате спин поворачивается на 1085º, в то время как бетатронное фазовое опережение составляет 1080º. Таким образом, ЛКС имеет рабочую точку, очень близкую к спиновой настройке. Это значит, что небольшие вертикальные осцилляции пучка в ахромате, а также ошибки в юстировке магнитных элементов могут привести к отклонению поляризации от вертикали. Так как этот эффект кумулятивный, то, накапливаясь, он может привести к сильному изменению продольной компоненты поляризации. В результате, имея определенную поляризацию пучка на выходе из линака, невозможно предсказать направление поляризации в точке взаимодействия (ТВ). В запасе остаются только эмпирические подходы. Есть два таких метода. В первом случае используются соленоиды, имеющиеся в ЛКС. С их помощью на выходе линака можно создавать определенную ориентацию поляризации пучка. Затем с помощью комптоновского поляриметра можно измерить реальную поляризацию пучка в ТВ. Три таких измерения позволяют определить три угла Эйлера, задающие направление поляризации пучка. Этих параметров достаточно для восстановления 312

транспортной матрицы спина. Теперь с помощью этой матрицы можно установить связь между поляризациями на выходе из линака и в ТВ. Во втором методе создаются два спиновых локальных возмущения (“бампа”) с помощью семи последних ахроматов в арке. Амплитуды этих бампов подбираются эмпирически таким образом, чтобы получить наибольшую продольную поляризацию в ТВ. Эти два метода привели к одинаковым результатам по поляризации в пределах 1 %. Однако практически рабочим вариантом является способ двух спиновых бампов. Дело в том, что высокую светимость удается достичь при наличии плоского пучка (табл. 3). Такой пучок получается уже в накопителе. Использование соленоидов для поворота спина приводит к связи динамики пучка в горизонтальной и вертикальной плоскостях, что разрушает нужную форму пучка. В конечном счете необходимая светимость не достигается. Следовательно, этот метод создания продольной поляризации не подходит, и остается метод спиновых бампов как рабочий вариант. Параметры пучка Таблица 3 Параметры пучка SLC Параметр N+ Nf, Гц σx, микрон σy, микрон светимость, см-2с-1 Z/час (пик)

s , ГэВ P, % Активное время ,% T, месяцы Накоплено Z

1993 3,0⋅1010 3,0⋅1010 120 0,8 2,6 5⋅1029 50 91,26

1994 3,5⋅1010 3,5⋅1010 120 0,5 2,4 1⋅1030 100 91,26

63 70 6 60К

80 70 7 100К

Список литературы Байер В.В., Катков В.М., Страховенко В.М. ЖЭТФ 31 (1970) 908. Дербенев Я.С., Кондратенко А.М. ЖЭТФ 37 (1973) 968. Соколов А.А., Тернов И.М. ДАН СССР 153 (1963) 1053. Alguard M.J. et al. Phys. Rev. Lett. 37 (1976) 1261. Barber D.P. et al. Phys. Lett. 35B (1984) 498. Barber D.P. In: Proc. 10th Int. Symp. High Energy Spin Physics, Nagoya, (1992) 83. Barber D.P. et al. Phys. Lett. B343 (1995) 436. 313

Bargmann V. et al. Phys. Rev. Lett. 2 (1959) 435. Baum G. et al. Phys. Rev. Lett. 51 (1983) 1135. Bremer H.D. et al. DESY Report 82-026 (1982). Clendenin J.E. et al. In: Proc 15th Int. Spin Physics Symp., Upton, New York (2002) 1042. Frenkel J. Z. Physic 37 (1926) 243. HERMES collaboration, A Proposal to measure spin dependent structure function at HERA, (1990). Mackay W.W. et al. Phys. Rev. D29 (1984) 2483. Potaux D. et al. in: Proc. 8th Int. Conf. on High Energy Accel., CERN, Geneva (1971) 127. Shatunov Yu.M. Part. Acc. 32 (1990) 139. Thomas L.H. Phil. Mag. 3 (1927) 1. Woods M. In: Proc. 11th Symp. on High Energy Spin Physics, Bloomington, USA (1994) 230.

§42. Поляризованные мюонные пучки Поляризованный мюонный пучок получается естественным способом через слабый распад пиона на лету π→µ+ν . (1) Поскольку этот распад идет с нарушением четности, то мюоны оказываются продольно-поляризованными. Вторая особенность этого канала пионного распада состоит в том, что он идет с вероятностью больше 99 %. Третья особенность этого канала в том, что он – двухчастичный, и кинематика распада облегчает отбор мюонов нужных энергий, соответственно поляризации. Так, если в системе покоя пиона (π–) отбирать мюоны (µ–), летящие вперед в направлении пиона, то такие мюоны будут левой спиральности, и величина поляризации будет близка к 100 %. Если мы захотим изменить спиральность мюонов, то надо отбирать мюоны, летящие назад в системе покоя. Однако в силу правил лоренц-преобразования эти мюоны будут иметь другие (меньшие) энергии. А для экспериментов это не подходит, не говоря об их низкой интенсивности. Так что при работе с поляризованным мюонным пучком ответа на вопрос, как осуществить реверс поляризации пучка, не меняя остальных параметров, нет. Можно вспомнить о возможности замены поляризованного µL+-пучка от распада положительного пиона на поляризованный µR–-пучок от распада отрицательного пиона. Однако изменения как заряда, так и спиральности мюонного пучка могут привести к неподконтрольным ложным асимметриям. Этот способ получения поляризованного µL+-пучка был успешно применен в известном эксперименте EMC (European Muon Collaboration). 314

[Gabathuler (1984)]. На рис. 1 из этой работы показано, как авторы оптимизировали пучок по поляризации и интенсивности. На рис. 1а представлены результаты измерений с целью оптимизации поляризации. В мюонном канале были фиксированы магнитные поля таким образом, чтобы через канал проходили мюоны только с энергией 200 ГэВ. В предыдущем, пионном, канале режим изменялся так, чтобы варьировалась энергия пионов. Поляризация мюонного пучка измерялась поляриметром при шести значениях энергии пионов. Хотя точность измерения поляризации была невелика (около 10 %), однако видно, что большая поляризация получается при энергиях пионов, близких к энергии мюонов. Этот вывод находится в согласии с ожиданиями по теории. В дальнейшем точность измерения поляризации была повышена до нескольких процентов (см. раздел “Поляриметрия”). Следующий рис. 1b представляет потоки мюонов с импульсом 200 ГэВ/с в зависимости от импульса пионов. Измерения проводились одновременно с измерениями поляризации мюонов. Как и ожидалось, с ростом импульса пиона увеличивается выход мюонов. Как известно из базовых соотношений поляриметрии, оптимум рабочей точки должен быть в точке максимума фактора качества M = N⋅Pµ2, и этот фактор в пределах точности измерений имеет плато в просканированной области импульсов пиона. В последовавших за EMC экспериментах (на этом же канале) – SMC и COMPASS – были несколько улучшены параметры пучков, поляриметров и другой аппаратуры, однако интервал энергии мюонного пучка оставался практически тем же. На конец 2004 г. установка COMPASS работала с мюонным пучком со следующими параметрами: энергия 160 ГэВ, интенсивность 2⋅108 мюонов/цикл, длительность цикла 4,5 с, поляризация 76 % [Bressan (2004)].

315

Рис. 1: а) поляризация µ+-пучка с импульсом 200 ГэВ/с в зависимости от импульса родительского пиона; b) поток µ+-пучка с импульсом 200 ГэВ/с в зависимости от импульса родительского пиона

Список литературы Окунь Л.Б. Лептоны и кварки. М.: НАУКА, 1990. Bressan A. In: Proc. of 16th Int. Spin Phys. Symp., Trieste, Italy (2004) 48. Gabathuler E. In: Proc. of 7th Int. Symp. on High Energy Spin Physics, Marselle, France (1984) C2-141.

316

Глава 2. Поляризованные мишени Создание поляризованных протонных мишеней для экспериментов на ускорителях стало одним из важных направлений в поляризационной физике в начале 50-х гг. О том, что такие мишени необходимы, стало понятно после работ теоретиков, показавших, что восстановление матрицы рассеяния (пион-нуклонного или нуклон-нуклонного) требует, в основном, измерений поляризационных параметров (см. §14, “Матрица реакции”). Опыты с неполяризованными частицами позволяют определить только одну наблюдаемую величину, а именно, дифференциальное сечение, а все остальные наблюдаемые (их больше трех для пион-нуклонного и больше 11 для нуклон-нуклонного рассеяния) надо измерять в опытах с поляризованными начальными и/или конечными частицами. Чтобы выполнить такие эксперименты, очевидно, необходимы как поляризованные пучки, так и поляризованные мишени. Принцип получения поляризованных мишеней (твердотельных и газовых), так же как и источников поляризованных ионов, один и тот же: из четырех состояний сверхтонкой структуры, скажем, атома водорода, надо выбрать одно состояние. Это состояние будет содержать, допустим, положительно-поляризованные протоны (линия 1 на рис. 1). Для получения протонных пучков с отрицательной поляризацией надо выбрать, например, линию 3 на том же рисунке. Возможен вариант, когда выбирается комбинация двух других линий. Во внешнем постоянном магнитном поле H в стационарном состоянии уровни атомов водорода заселяются как электронами, так и протонами по распределению Больцмана: ±

gβ H

(1) n± = e kT , где g означает фактор Ланде, β – магнетон Бора или ядерный магнетон, k – постоянная Больцмана и T – температура мишени. Эта формула показывает, что населенности нижних энергетических уровней (например, ос-

1 1 , + ) заметно больше, чем верхних уровней (на2 2 1 1 пример, уровня + , + ). По определению поляризация мишени 2 2

новного уровня −

равна

PT =

n+ − n− gβ H = th . n+ + n− kT 317

(2)

Рис. 1. Схема энергетических уровней и зеемановское расщепления компонент сверхтонкой структуры атома водорода: (j,mj), (I,mI), (F,mF) – спин и проекция

r

r

r

спина для электрона, протона и полного спина F = j + I ; n – главное квантовое число; по оси абсцисс отложено отношение внешнего магнитного поля B к так называемому критическому полю BC; это поле соответствует взаимодействию магнитных моментов электрона и протона, приводит к синглет-триплетному дублету с FS = 0, FT = 1 и составляет для основного состояния 1S1/2 BC = 507 Э

Так как n± – положительные числа, меняющиеся в пределах от нуля до бесконечности, то из этой формулы следует, что поляризация мишени заключена в пределах –1 ≤ PT ≤ 1. (3) Для оценки ожидаемой поляризации протонов в мишени можно, опираясь на эксперименты, положить Н = 2 Тл, Т = 2 К, взять табличные значения остальных параметров g = gn = 5,56, β = β n = 3,152·10–14 МэВ⋅Тл

k = 8,617·10

–11

МэВ·К

−1

−1

,

и получить

PT ≈ 0,002.

(4)

Такая величина поляризации протонной мишени крайне мала для практических целей. В то же время, для получения поляризованных электронов этот метод, так называемый метод “грубой силы”, основанный на использовании только как можно большего магнитного поля и как можно меньшей температуры, представляет практический интерес. Это следует 318

из того, что магнитный момент электрона на фактор

gem p g p me

≈ 660 больше

магнитного момента протона, и поляризация электронов в тех же условиях, как и для протонов, оказывается практически стопроцентной. Использование поляризованных электронных мишеней приобретает в последнее время большой интерес в связи с предложениями физиков создать на базе таких мишеней поляризаторы антипротонов [Rathmann (2006), Meyer (1994)] Возможность создания твердотельной поляризованной протонной мишени стала реальной в 1953 г., когда американский физик А. Оверхаузер предложил идею динамической поляризации ядер (ДПЯ) [Overhauser (1953)]. Эта идея была немедленно проверена экспериментально и подтверждена полностью [Carver (1953)]. На основе этой идеи было создано большое количество поляризованных мишеней, как с непрерывной накачкой поляризации, так и с “замороженными спинами”. Мы вернемся позже к поляризованным протонным мишеням и осветим подробнее эти механизмы. Сейчас изложим вкратце суть идеи ДПЯ, следуя работам [Биленький (1964), Ацаркин (1980), Джеффрис (1965), Пауль (1960)]. Рассмотрим основное состояние 1S1/2 атома водорода. В атоме водорода имеются две частицы со спином 1/2. Это протон и электрон. Поскольку они обладают магнитными моментами, то они взаимодействуют между собой, что приводит к образованию четырех уровней энергии. Три уровня соответствуют трем проекциям полного спина системы протон + электрон, равного F = 1 (триплетные состояния). Еще одно состояние соответствует F = 0 (синглетное состояние). Эти состояния существуют и при отсутствии магнитного поля, но только как дублет с F = 1 и F = 0, так как триплетные состояния вырождены (см. §5). Если поместить теперь атом водорода во внешнее магнитное поле H, то возникают два дополнительных взаимодействия. Взаимодействие электронного магнитного момента с полем H снимает вырождение с триплетного состояния. Оно расщепляется на три уровня. Возникают четыре линии, так называемые линии тонкой структуры. В результате взаимодействия магнитного момента протона с полем H каждая из линий тонкой структуры разбивается еще на две линии, которые называются линиями сверхтонкой структуры. Эти четыре спектральные линии обозначаются на рис. 1 скобками Дирака, а также для краткости цифрами 1 – 4 сверху вниз. В скобках Дирака

319

1 1 − , 2 2

и −

1 1 ,− первая проекция спина относится к электрону, а 2 2

вторая – к протону. Соответственно обозначаются и верхние спектральные линии

1 1 1 1 и , ,− , или линии 1 и 2. 2 2 2 2

Разница между энергиями уровней тонкой структуры составляет ∆Ee = hν e = geµ B H . (5a) В то же время разница энергий двух соседних линий сверхтонкой структуры равна ∆Ep = hν p = g pµ n H , (5b) где индексы p относятся к протону, а µ n означает ядерный магнетон. Подставляя известные значения параметров (см. выше), находим ν p ≈ ν e / 660 . (6) Это соотношение позволяет оценить разность частот излучаемых волн при переходах между разными электронными уровнями и при переходах в пределах одного фиксированного электронного уровня. Переходы с одновременными переворотами проекций спинов электрона и протона называются запрещенными, а только с переворотом спина электрона (|M,m>↔|M±1,m>) – разрешенными. С помощью высокочастотного магнитного поля, перпендикулярного основному полю Н, можно осуществлять в ионах парамагнитных примесей со спином 1/2 переходы между энергетическими уровнями водородного атома. При этом время релаксации запрещенных уровней намного больше времени релаксации разрешенных уровней. В результате через определенное время наступает насыщение, когда населенности двух уровней оказываются одинаковыми. Допустим, мы ведем перекачку между уровнями

1 1 1 1 и − ,− , 2 2 2 2

(ли-

нии 1 и 3). Для краткости обозначим первый уровень знаком “–“, а второй – знаком “+”. Тогда населенности запрещенных уровней становятся одинаковыми и имеет место равенство

N + n− = , N − n+

(7)

где N± и n± обозначают числа электронов и протонов с проекциями спина, равными ±

1 соответственно. Так как время релаксации разрешенных 2

переходов намного меньше времени редаксации запрещенных переходов 320

под влиянием переменного магнитного поля, то электроны в рассматриваемых условиях распределены практически по закону Больцмана. Тогда из соотношений (5) и (7) следует

n+ =e n−

g eµ B H kT

.

(8)

Теперь, после динамической накачки, поляризация протонов определяется соотношением

PT =

n+ − n− gµ H = th e B . n+ + n− kT

(9)

Сравнивая это соотношение с (2), видим усиление поляризации после динамической накачки мишени. Как было отмечено выше, это усиление составляет около 660, т.е.

PT ≈

ge Pстат ≈ 6,6·102 Pстат gn

(10)

Именно такое усиление поляризации составляет основу ДПЯ. В этой главе последовательно обсуждаются разные варианты поляризованных мишеней. В силу разных специфических особенностей будут рассматриваться раздельно твердотельные мишени с непрерывной накачкой поляризации и с замороженными спинами, газовые мишени струйного типа и с накопительной ячейкой. Параметры применяемых в экспениментах поляризованных мишеней (ПМ) зависят от типа реакций. Например, при работе на электронных пучках необходимо использовать достаточно тонкие по пучку ПМ, и материал мишени должен иметь малую радиционную толщину. При работе с мюонными пучками, наоборот, мишень должна быть очень длинной по пучку, чтобы компенсировать малые выходы реакции. Размеры ПМ на адронных пучках составляют средние между ПМ для электронов и мюонов. В отсутствие внешнего магнитного поля (H = 0), спин электрона j и спин протона I складываются в полный спин F. Поскольку этот оператор коммутирует с гамильтонианом, то он сохраняется. Он имеет два собственных значения FT = 1 (триплет) и FS = 0 (синглет). В результате взаимодействия магнитных моментов электрона и протона эти два уровня расщепляются даже в отсутствие внешнего магнитного поля (см. рис. 1). При этом триплетный уровень оказывается выше синглетного на величину энергии ∆W = ћ·1420,4 Мгц ≈ 5,8·10–6 эВ. На рис. 1 указаны две вертикальные линии. На левой вертикальной линии нанесены слева значения главного квантового числа n и справа в абсолютных единицах указаны энергетические уровни относительно основного уровня n = 1 атома водо321

рода. Так, уровень с n = 2 отстоит от уровня с n = 1 на энергию 10,2 эВ, а уровень с n = 3 – на 12,1 эВ. Энергия ионизации атома водорода составляет 13,6 эВ. Возбужденный уровень 2S1/2 составляет основу поляриметрии на лэмбовском сдвиге. Рассмотрим теперь на примере основного состояния, что произойдет с уровнями, если приложить внешнее магнитное поле В. Вторая пунктирная вертикальная линия указывает положение точки В = 0. Тогда триплетное состояние с проекциями полного спина mF = 1, 0, –1 расщепляется на три сверхтонкие структуры, причем первые две линии с m = 1 и 0 (они обозначены цифрами 1 и 2 на рис. 1) растут с увеличением магнитного поля, а линия с m = –1 – убывает (линия 3). Также убывает линия синглета (линия 4). Справа составлен столбец, который показывает, какие спиновые состояния электронов и протонов входят в ту или иную линию. Например, состояние 1 содержит спины с положительными проекциями на направлении поля H, а состояние 3 – с отрицательными. В обоих случаях спины электрона и протона параллельны. В оставшихся состояниях 2 и 4 они антипараллельны. Поскольку поляризация мишени определяется ориентацией спинов только протонов, то процесс ДПЯ при низких температурах (~ 1 К) используется для выстраивания спинов протонов при магнитных полях в интервале 2 – 5 Тл. Применяемые при этом частоты накачки лежат в пределах 50 – 150 ГГц. Можно получать поляризацию и без использования метода ДПЯ, а только с применением низких температур и больших магнитных полей. Мы уже упоминали о нем, как о методе “грубой силы”. Этот метод стал применяться к материалу ND (дейтерированный аммиак), начиная с работы [Kageya (2004)]. В этой главе рассмотрим два типа поляризованных мишеней. Представителями первой группы являются так называемые твердотельные поляризованные мишени (ТТПМ). Они характеризуются тем, что имеют высокую плотность нуклонов, сопоставимую с числом Авогадро (∼1023 нуклонов/см3). Эти мишени обычно используются при работе с выведенными первичными и вторичными пучками частиц. Ко второй группе относятся поляризованные струйные мишени (ПСМ) и поляризованные газовые мишени с накопительными ячейками (ПГМНЯ). Вторая группа мишеней применяется в ускорителях и коллайдерах как внутренние мишени и имеет на сегодня плотность нуклонов порядка 1012 нуклонов/см3 (ПСМ) и порядка 1014 нуклонов/см3 (ПГМНЯ). Возможность применения ПСМ и ПГМНЯ как внутренних мишеней основана на том, что благодаря большой частоте циркуляции пучка в ускорителях/коллайдерах (100 кГц – 1 мГц) эффективная плотность таких мишеней возрастает пропорционально этой частоте. При работе на коллайдерах возникает дополнительный фактор, увеличивающий эффективную толщину мишени. Этот 322

фактор связан со временем жизни пучка. Оно составляет от 5 до 10 ч. Следовательно, этот фактор равен ∼104 (если перевести в секунды). В результате эффективные плотности газовых мишеней при работе на коллайдерах составляют порядка 1022 нуклонов/см3 в случае ПСМ и порядка 1024 нуклонов/см3 в случае ПГМНЯ. Как видно, эффективные плотности газовых мишеней вплотную приблизились к плотности твердых поляризованных мишеней. При этом газовые поляризованные мишени имеют два важных преимущества по сравнению с твердыми, а именно, они содержат 100 % поляризованных протонов и их поляризация реверсируется часто. Здесь надо подчеркнуть, что два типа мишеней, твердотельные и газовые, не заменяют, а дополняют друг друга. Это видно хотя бы на том примере, что газовые мишени не могут использоваться на выведенных или вторичных пучках, так же как ТТПМ невозможно использовать как внутренние мишени в ускорителях. Важным параметром любой поляризованной мишени является так называемый фактор качества мишени, определяемый как M = κ⋅n⋅(d⋅P)2. (11) Здесь κ обозначает коэффициент заполнения рабочей ампулы полезным веществом (имеет отношение к ТТПМ), n – плотность мишени, d – фактор разбавления, определяемый как отношение поляризованных ядер к общей сумме ядер (поляризованных + неполяризованных), P – поляризация мишени. При заданной точности измеряемой на опыте асимметрии параметр M минимизирует время достижения заданной точности в пучке. Конкретные примеры приводятся ниже. Ограничимся в случае ТТПМ описанием отдельных примеров мишеней, использовавшихся в экспериментах с адронными, электронными и мюонными пучками. Эти примеры дают общие представления об их свойствах, таких, как используемые материалы, магниты для накачки и удержания поляризации, генераторы для накачки поляризации, о радиационной стойкости, о факторе качества типичных мишеней и их эксплуатационных характеристиках. На этих примерах мы узнаем как о больших успехах в разработке поляризованных мишеней, так и о многих пока не решенных проблемах. Для случая поляризованных газовых мишеней ограничимся по одному примеру как для ПСМ, так и для ПГМНЯ. При этом в качестве примера опишем мишени самые современные и используемые на крупнейших установках. В качестве перспективы применения поляризованных газовых мишеней с большими плотностями отметим предложение об использовании их для поляризации антипротонов [Meyer (1994) ]. Есть и предложение по экспериментальной проверке этой идеи [Rathmann (2006)]. 323

Ведущиеся перспективные разработки с целью улучшения параметров поляризованных мишеней здесь не затрагиваются. О них речь пойдет в контексте описания выбранных мишеней. Список литературы Ацаркин В.А. Динамическая поляризация ядер в твердых диэлектриках. М.: “Наука”, 1980. Биленький С.М., Лапидус Л.И., Рындин Р.М. УФН, 84 (1964) 243. Джеффрис К. Динамическая ориентация ядер. М.: МИР, 1965. Пауль В. Труды Международного симпозиума по поляризационным явлениям в ядрах. Базель, Швейцария, 1960. Перевод Трудов в книге Поляризация нуклонов. М.: Государственное издательство литературы в области атомной науки и техники, 1962, 7. Carver T. R. and Slichter C.P. Phys. Rev. 92 (1953 ) 212; “Проблемы современной физики (ПСФ)”, вып. 6 (1953) 182. Kageya T. In: Proc. 16th Int. Spin Physics Symp., Trieste, Italy (2004) 812. Meyer H.O. Phys. Rev. E 50 (1994) 1485. Overhauser A. Phys. Rev. 89 (1953) 689; ibid 91 (1953) 476; ibid 92 (1953) 411/ Пер. на русский язык – в журнале “Проблемы современной физики (ПСФ)”, вып. 6 (1955) 265. Rathmann F. et al. Phys. Rev. Lett. 94 (2006) 014801-1/4.

§43. Твердотельные поляризованные мишени В этом параграфе даются описания поляризованных мишеней, использовавшихся на адронных, электронных и мюонных пучках. Мы рассматриваем конкретно мишени таких широко известных экспериментальных установок, как HERA, ПРОЗА, Е704, E143, EMC, SMC и COMPASS. Последние две мишени являются модернизацией мишени EMC. При выборе мишеней мы руководствовались желанием отразить разнообразие мишеней и шире охватить круг физических задач, решаемых с их помощью. Твердотельные поляризованные мишени можно условно разделить на две группы: а) мишени с непрерывной накачкой поляризации. Такие мишени используются при больших интенсивностях пучков (1010 – 1012 частиц/с) и б) мишени с замороженными спинами. Эти мишени применяются при интенсивностях <108 частиц/с, но обеспечивают большой полезный телесный угол и относительно малое магнитное поле в области мишени. В перечисленных ниже экспериментах представлены оба типа мишеней.

324

§43.1. Поляризованная мишень установки HERA (ИФВЭ)

В 1971 – 1975 гг. на самом крупном в то время ускорителе протонов на 70 ГэВ ИФВЭ в эксперименте HERA (High Energy Reaction Analysis) проводились измерения параметров поляризации P и поворота спина R в реакциях упругого рассеяния частиц и античастиц на поляризованной протонной мишени, разработанной в Сакле, Франция. Конкретно исследовались реакции π± + p↑→π± + p, K± + p↑→ K± + p, p± + p↑ → p± + p. (1) Здесь протоны и антипротоны для симметрии обозначены как p±. Эти реакции представляют удачный пример применения ТТПМ, так как полностью определенная кинематика процесса позволяет практически подавить фон от неполяризованных ядер в мишени, которых почти на порядок больше (фактор разбавления d ∼ 0,1). Другими словами, фактор разбавления в ТТПМ уже особой роли, как источник фона, не играет. Измерения проводились при импульсе 40 ГэВ/с с отрицательным пучком и при импульсе 45 ГэВ/c с положительным пучком. Пучки получались на внутренних мишенях и транспортировались на поляризованную мишень эксперимента [Raoul (1975), Брюнетон (1976)]. Эксперимент был уникальным как по использованному количеству частиц и античастиц, так и по энергии. Полученные результаты остаются до сих пор единственными. При проектировании поляризованной мишени необходимо принимать во внимание ряд обстоятельств. Во-первых, какие физические наблюдаемые мы хотим измерить. В данном эксперименте были запланированы совместные измерения двух параметров: поляризации P и параметра вращения спина R. С учетом кинематики реакции это условие наложило жесткие требования на конструкцию магнита поляризованной мишени. Следующие требования на конструкцию мишени определяются параметрами пучка. Они приведены в табл. 1. Как видно из табл. 1, максимальная интенсивность пучка, в данном случае π−-мезонов, не превышала 6⋅106 π−/цикл или 106 π−/с. Это значит, что можно в принципе использовать в эксперименте поляризованные мишени с “замороженными спинами”, а в качестве материала применять органические водородосодержащие вещества. Имеется определенная выгода в применении таких мишеней. Так, в этом случае легче приготовить материал мишени с добавкой парамагнитных пятивалентных атомов хрома. Затем можно использовать для удержания поляризации слабое магнитное поле на уровне 0,5 Тл. Такое поле практически меньше влияет на траекторию протона отдачи, чем поле накачки поляризации в 2,5 Тл. Такая мишень может обеспечить больший полезный телесный угол для эксперимента. 325

Таблица 1 Параметры пучков эксперимента HЕRА Параметр Импульс, ГэВ/с Углы выхода частиц, мрад Импульсная полоса ∆ p1, p2, % Состав пучка, % Интенсивность пучка при сбросе 5⋅1012 протонов/цикл на мишень ускорителя У-70, частиц/цикл Размеры пучка на п.п.м. (ср. кв.) x × y, мм2 Угловая расходимость пучка на п.п.м. x × y, мрад Дисперсия импульса в импульсном коллиматоре, мм/(∆p/p), %

Отрицательный пучок 40 0 ±2 π– (97,9); K– (1,8); ⎯р (0,3)

Положительный пучок 45 27 ±2,7 ρ (94); π+ (5); K+ (1)

3⋅106

1⋅106

10 × 15

15 × 18

(± 2,5) × (± 1,5)

(± 1,5) × (± 1,3)

6

4,5

Следующий важный параметр пучка, который необходимо учитывать при проектировании мишени это его поперечные размеры. В той же табл. 1 видно, что эти размеры пучка на мишени меньше 2 см. Отсюда следует, что входной диаметр ампулы с рабочим веществом должен быть ≥ 2 см. Следующее требование, которое исходит из условий эксперимента это необходимый для регистрации вторичных частиц полезный телесный угол. В эксперименте HERA он определялся двумя требованиями: а) иметь открытый полярный угол θ в пределах 30< θ < 60 мрад и такого же порядка азимутальный угол. Такой раствор углов нужен для измерения поляризации; б) необходимостью одновременного измерения параметра вращения спина R. Такое измерение проводится с частицей отдачи, и поэтому полезный полярный угол должен находиться вблизи 90° в лабораторной системе. Поэтому сверхпроводящие катушки Гельмгольца рассчитаны с учетом этих условий. Они имеют полярный угол раствора ±45° вокруг угла отдачи в 90° в лабораторной системе и ±7° по азимуту. Такой же угол раствора имеется и для детектирования протонов отдачи, рассеянных в вертикальной плоскости (рис. 1). В качестве материала мишени использовался пропандиол (C3H8O2), который охлаждался потоком жидкого 3He. Жидкость 3He протекала по трубке. В этой же трубке располагались преохладитель, конденсор и устройства для расширения 3He. Трубка размещалась внутри криостата жидкого 4He соосно с ним (см. рис. 1). Внутри этой цилиндрической трубки в 326

самом конце находился микроволновой резонатор для накачки мишени СВЧ-полем. Эта часть мишени является самой холодной в линии откачки 3 He. Общий объем используемого 3He составил 25 л, и он находился всегда в замкнутом цикле. Расход жидкого 4He в мишени составлял 2 л/ч, а его общий расход с учетом сверхпроводящего магнита составил ≈ 10 л/ч. К сверхпроводящим катушкам магнита в ходе эксплуатации были добавлены дополнительные обмотки с тем, чтобы понизить рабочий ток с 260 А до 237 А, при этом рабочее поле оставалось на уровне 2,5 Тл.

Рис. 1. Поляризованная мишень установки HERA (вид сбоку): магнитное поле параллельно горизонтальной плоскости (перпендикулярно плоскости чертежа); криостат направлен вертикально вверх от оси пучка

Тонкостенный медный резонатор объемом 24 см3 заполнялся замороженными шариками пропандиола с диаметром около 2 мм. Реверс поляризации осуществлялся небольшой подстройкой частоты вблизи 70 ГГц без изменения величины и знака магнитного поля. Поляризация в режиме 327

накачки достигала максимального значения 85 % при мощности накачки 50 мВт. Накачка производилась при температуре 0,48 К. В табл. 2 представлены параметры поляризованной пропандиоловой мишени. Диаметр ампулы мишени был 2 см, длина 8,3 см. В момент накачки поле составило 2,5 Тл и частота накачки 70 ГГц. Неоднородность магнитного поля в объеме мишени при накачке была лучше 10–4. После накачки измерение поляризации мишени производилось с помощью техники ядерного магнитного резонанса (ЯМР). Вокруг ампулы с мишенью были намотаны катушки. Эти катушки поглощали или излучали мощности, пропорциональные величине поляризации мишени. Измерения состояли из двух стадий. Таблица 2 Параметры поляризованной мишени на пропандиоле [Брюнетон (1976), Raoul (1975)] Параметры мишени Плотность замороженного пропандиола, г/см3 Плотность свободного водорода, г/см3 Отношение числа связанных протонов к числу свободных протонов Радиационная длина, см Поляризация мишени (средняя за сеанс), % Время накачки P до 0,8⋅Pmax, мин Диаметр мишени, см Длина мишени, см Эффективная плотность Н2, г/см3 Температура, К СВЧ-мощность накачки, мВт Частота, ГГц

Пропандиол (C3H8O2) 1,1 0,12 4,2 45 80 20 2 8,3 0,085 0,48 50 70

На первой стадий измерялся так называемый ЯМР-сигнал естественной поляризации. Измерения этого равновесного сигнала проводились в тех же условиях, как и при накачке (поле 2,5 Тл и температура 0,48 К) только при отключенном СВЧ-генераторе. Эти измерения давали калибровочный коэффициент при нахождении абсолютной величины поляризации мишени после накачки. Уровень этого сигнала порядка 0,19 %, и обычно его трудно измерить из-за малой величины. На второй стадии измеряется усиленный приблизительно на два порядка сигнал после накачки. Обычно за 20 мин удается накачать поляризацию от нуля до 0,8 от ее максимальной величины, составляющей около 80 %. Однако для накачки до 80 % требуется минимум 2 ч. В обоих случаях величина поляризации пропорциональна площади просканированных по времени кривых. Обработка большого количества таких кривых с учетом таких факторов, как 328

нелинейность Q-метра, дисперсия сигналов в волноводах является трудоемкой задачей. Вся эта информация с аналогово-цифрового конвертора передавалась в компьютер и обрабатывалась. Поляризация определялась путем сопоставления интеграла от ЯМР-сигнала с естественным сигналом поляризации. Поляризация мишени в среднем по всему сеансу составила 77 % (см. табл. 2). Точность измерения поляризации ЯМР прибором составила ±5 %. Из них 3 % возникали из-за неточности определения равновесного сигнала и 4 % – из-за неопределенности в коэффициенте усиления сигнала [Autones (1972)]. Мишень работала без перебоев в течение нескольких лет. §43.2. Поляризованная мишень установки ПРОЗА (ИФВЭ)

Экспериментальная установка ПРОЗА (Поляризация в Реакциях Обмена ЗАрядами) была создана 5 лет спустя после окончания эксперимента HERA и смонтирована на том же 14-ом канале ускорителя У-70. Поэтому параметры адронных пучков остались теми же, как это было для HERA (см. табл. 1). Единственным новшеством по части организации пучка был вывод из У-70 протонного пучка изогнутым монокристаллом [Aseev (1989)]. Энергия пучка составляла 70 ГэВ, интенсивность порядка 107 протонов за цикл. Уникальность этого метода состояла в том, что он был впервые применен к ускорителю с жесткой фокусировкой. Другая особенность состояла в том, что кристалл отклонял пучок на очень большой угол, на 80 мрад, и не было уверенности, что при этом удастся получить необходимую интенсивность. Этот пучок практически не имеет примесей других частиц, монохроматичен и имеет малые поперечные размеры. В настоящее время он используется в эксперименте ПРОЗА. Основная цель в создании нового типа поляризованной мишени с “замороженными спинами” состояла в изучении поляризации в реакциях обмена зарядами. Примером реакции двухчастичной перезарядки является реакция π–p → π0n. Эта реакция является вторым после упругого рассеяния удачным примером использования ТТПМ, поскольку кинематика реакции полностью определена. Мишень была разработана физиками ЛЯП ОИЯИ при содействии физиков ИФВЭ. Схема мишени показана на рис. 2, а ее основные параметры приведены в табл. 3. Ниже мы вкратце опишем ее основные узлы. Эксперимент ПРОЗА на ускорителе У-70 ИФВЭ использует поперечно-поляризованную мишень “замороженного” типа [Борисов (1980)]. Идея создания такой мишени была впервые выдвинута в работах [Неганов (1966), Hall (1966)]. Мишень состоит из уникального магнита с комбинированной функцией накачки и удержания поляризации (рис. 3), из экономного горизонтального рефрижератора растворения на смеси 3He – 4He 329

(рис. 2), группы насосов для создания вакуума и откачки испарительных газов 3He и 4He, систем накачки и измерения поляризации.

Рис. 2. Мишень установки ПРОЗА (обозначения раскрыты в тексте)

Ампула поляризованной мишени имела размеры: диаметр 1,96 см, длину 20 см и рабочий объем V = 60 см3 [Borisov (1986)]. Магнит должен был обеспечить нужное поле (2,5 Т) с однородностью ∆Β/Β∼10-4. Были выполнены предварительные расчеты конфигурации магнитного поля по методике, разработанной в ИФВЭ [Дайковский (1978)]. Спроектированный по этой модели, изготовленный в ИФВЭ и работающий с 1980 г. такой магнит показан на рис. 3 [Бурхин (1981)]. Начнем с конструкции магнита. Несущие силовые конструкции состоят из двух стальных плит /1, 5/, скрепленных четырьмя стойками /3/. Собственно магнит состоит из верхнего /9/ и нижнего /11/ Ш-образных магнитопроводов, прикрепленных к несущим плитам четырьмя винтами /4/. Оба магнитопровода могут сдвигаться или раздвигаться с помощью силовой системы перемещения, которая содержит двигатель /6/, червячный редуктор и цепную передачу /7/. Для увеличения индукции насыщения рабочий зазор электромагнита формируется двумя пластинами /12/ из материала 49-КФ. Магнитопровод выполнен из стали СТ-3. Базовые параметры магнитопровода были выбраны на основе предварительных расчетов. Для более точной коррекции поля (до 0,1 %) в конструкции магнита был предусмотрен регулируемый изгиб полюсных пластин /12/. Окончательная коррекция поля осуществлялась шиммированием (прокладкой в определенных местах вдоль полюсов магнитов пермаллоевых фольг). В магнитопроводы встроены две катушки /8/, /10/, каждая из них состоит из 330

12 секций, изготовленных из медной трубки ∅7 х 1,5 мм2. Среднее число витков в секции равно 7. Электрически все секции соединены последовательно, а вода подается в них параллельно с помощью коллектора /2/. На выходном по воде конце каждой секции установлен термоконтакт для выключения тока магнита при температуре > 70 °С. Система охлаждения рассчитана на обессоленную воду (удельное сопротивление ≥ 10 кОм/см) при перепаде давления 5,5 атм. и температуре воды на входе 15 °С. Общий расход воды при указанных условиях составляет 4 м3/ч.

Рис. 3. Конструкция магнита “Джин” установки ПРОЗА: стрелкой указано направление входа пучка; в этом же направлении вставляется криостат мишени; вставка справа показывает разрез магнита по сечению АА

Коротко об источнике питания магнита. Для возбуждения поля магнита применен тиристорный источник стабилизированного тока на базе серийного тиристорного выпрямителя КТУ (Iном = 800 А, Vном = 240 В). Модификация была необходимa для повышения долговременной стабильности источника до ±0,01 %, а также для уменьшения амплитуды пульсаций напряжения на магните до 0,05 В. Экспериментально было установлено, что при такой амплитуде пульсаций тепловыделение в камере растворения рефрижератора из-за токов Фуко ≤102 эрг/с при температуре 19 мК, что является допустимым. Были также решены задачи защиты магнита при отключении воды или повышении ее температуры выше 70 °С. Была достигнута точность установки тока магнита на уровне ≤ 0,01 %. Распределение магнитного поля в зоне размещения мишени было измерено датчиком Холла и прибором ЯМР. При замкнутом магнитопрово331

де расстояние между полюсами по вертикали составило 64 мм, а по горизонтали – 62 мм (см. вставку на рис. 2). При раздвинутом магнитопроводе расстояние между полюсами составило 26 см. Задача состояла в том, чтобы в первом состоянии величины поля и его однородности хватало на то, чтобы можно было накачать достаточно высокую поляризацию. Во втором состоянии не требовалась высокая однородность, так же как и высокое поле. Всю идею создания такого простого, дешевого, надежного в эксплуатации магнита удалось реализовать простым механическим перемещением полюсов магнита, не меняя остальных параметров. Магнитное поле в первом случае составило 2,18 Тл, а его неоднородность находилась на уровне ∆Β / Β ~ 10-4 (рис. 4). Кривая 1 соответствует оптимальной форме полюсов, подобранных с помощью изгибающих винтов. Кривая 2 появилась после тщательного шиммирования поля с помощью фольг из пермаллоя. Такого поля достаточно для накачки приемлемого уровня поляризации за 2 – 3 часа. При раздвинутых полюсах поле составило 0,45 Тл при неоднородности поля в рабочей зоне мишени ∆Β / Β ~ 10–2. Эти параметры поля позволили достичь тех характеристик мишени, которые приведены в табл. 3. Отметим еще одно преимущество этого магнита, а именно, он обеспечил большой телесный угол. Только вследствие этого удалось успешно выполнить большую программу исследований с зарядово-обменными процессами с малыми сечениями. Общий вес магнита составил ∼ 1 т при габаритных размерах 1,05×0,86×0,95 м3. Более усовершенствованный вариант этого магнита, рассчитанный на длину мишени в 400 мм, был создан и испытан в 1993 г. [Грачев (1993)]. Магнитное поле “Джина” было измерено в зоне размещения мишени. На рис. 4 показана относительная неоднородность магнитного поля вдоль оси мишени, начиная от ее центра. Ампула мишени (позиция /2/ на рис. 2) объемом 60,3 см3 заполнялась шариками замороженного пропандиола-1,2 (C3H8O2). Диаметр шариков составлял около 2 мм, и коэффициент заполнения ампулы составил 0,6. Пропандиол содержал добавки парамагнитного материала EBA-Cr(V). Пропандиол содержит один поляризуемый протон на примерно 0,1 неполяризуемых, связанных нуклонов. Эффективный фактор разбавления поляризации мишени F =

N связ составил 0,9 с учетом жидкого N связ + N своб

гелия и фольг на окнах мишени. Измеренная плотность мишени составила 0,62 г/см3.

332

Рис. 4. Относительная неоднородность магнитного поля “Джина”, измеренная вдоль продольной оси мишени: кривая 1 получена после оптимизации положения полюсных наконечников, кривая 2 – после шиммирования фольгами из пермаллоя; отсчет оси абсцисс ведется от центра мишени

Тепловая изоляция низкотемпературных узлов криостата осуществляется вакуумной рубашкой /19/, герметичным экраном /9/ при температуре 77 К и герметичным экраном /13/ при температуре 1 К. Газообразный 3He охлаждается змеевиком, размещенным в емкости с жидким азотом /10/, а затем поступает в канал газового теплообменника /17/. Угольная ловушка /18/, размещенная в этом кольцевом канале, адсорбирует различные примеси, в том числе водород. Ванна /4/ с жидким гелием 4He, находящаяся при температуре 1 К и под откачкой, обеспечивает конденсацию 3He в конденсоре /14/. Питание ванны /4/ жидким 4He осуществляется из емкости /16/ через охлажденный змеевик /15/. После конденсации жидкий 3He поступает в теплообменник, расположенный в ванне испарения 3He /3/, а затем в противоточный теплообменник /12/. После растворения 3He проходит через ампулу с веществом мишени вдоль каналов противоточного теплообменника и поступает в ванну испарения. Откачка 3He из ванны испарения производится через кольцевой канал /7/, откачка 4He из ванны /4/ осуществляется через кольцевой канал /6/. Вывод испаряющегося 4He из гелиевой емкости /16/ может производиться либо через трубку /11/, либо через змеевик /8/, расположенный в канале /6/. Итак, 3He в канале /17/ охлаждается одновременно с откачиваемым из ванны испарения 3He, откачиваемым из ванны /4/ 4He и испаряющимся из емкости /16/ 4He. Все это позволило экономно расходовать криогенные жидкости в мишени. 333

Тонкостенная трубка из нержавеющей стали диаметром 43 мм /20/ обеспечивает канал для ввода ампулы с веществом. Через этот же канал проходит пучок. После ввода ампулы с веществом и ее герметизации в канал вставляется полая теплоизолирующая пробка /5/. Пробка содержит на пути пучка тонкостенные тепловые экраны из медной фольги толщиной 20 мкм и угольную ловушку, создающую высокий вакуум внутри канала. Такое устройство позволяет быстрый и несложный ввод и съем ампулы с веществом. Для накачки поляризации используется перестраиваемый СВЧгенератор типа ГДИ-7 с длительной нестабильностью частоты ~ 10–4. Ввиду высокой стабильности СВЧ-генератора не требуется автоматической подстройки частоты, что значительно упрощает СВЧ-систему. При работе СВЧ-генератора производится лишь контроль высокого напряжения блока питания. Измерение сигнала равновесной поляризации производилось при температуре 0,8 К в магнитном поле 2,1 Тл. Точность измерения составила 3 %. Абсолютная точность измерения поляризации мишени составляет 5 %. Полученные значения поляризации представлены в табл. 3. Меньшее значение поляризации, чем в аналогичных установках, объясняется несколько меньшим значением достигнутого поля (2,1 Тл), чем у других (2,65 – 2,7 Тл). Таблица 3 Поляризованная мишень установки ПРОЗА Параметры протонной мишени Размер мишени, мм Материал мишени Парамагнитная примесь (концентрация), 1020 спин/см3 Поле накачки/удержания, Тл Максимальная поляризация P+/P-, % ДПЯ, Т (мК)/М(мВ) /вч(ГГц)/ n (моль/с) Время накачки до 0,8 Pmax, мин Режим заморозки, Т (К)/ (моль/с) Время распада P+/P–, ч

Величина параметра Диаметр = 19,6, длина = 200 Пропандиол C3H8O2 Комплекс Cr5 ( 1,8+−00,,12 ) 2,08/0,4 +(90±3)/(94±3) 0,2/90/56/3·10-2 50 0,02/2·10-3 1200/800

Полное время смены знака поляризации занимает 2 – 4 ч и производится один раз за двое суток. §43.3. Поляризованная мишень установки Е704 (FNAL)

Эксперимент Е704 в Фермилаб использовал продольнополяризованную мишень “замороженного” типа, разработанную совмест334

но физиками из Сакле (Франции) и АНЛ (США) [Grosnick (1997)]. Мишень состояла из следующих основных частей (рис. 5): а) рефрижератора растворения на смеси 3He – 4He, б) сверхпроводящего соленоида, в) системы накачки поляризации и г) системы измерения поляризации [Chaumette (1989), Chaumette (1990), Chaumette (1991)]. Для удобства обслуживания мишени основные элементы мишени находились на подвижных подставках, позволявших освобождать место на пучке для жидководородной мишени, а также для установки элементов поляриметра Примакова и кулон-ядерной интерференции (КЯИ). Ампула поляризованной мишени имела размеры: диаметр 3 см и длину 20 см. Она заполнялась шариками замороженного 1-пентанола (C5H12O). Диаметр шариков составлял около 2 мм. Пентанол содержал 6 % по весу воды с добавками в ней парамагнитного материала EBA-Cr(V). Пентанол содержит один поляризуемый протон примерно на шесть не поляризуемых, связанных нуклонов. Эффективный фактор разбавления поляризации мишени составил 8,4 с учетом жидкого гелия и фольг на окнах мишени. По оценкам, шарики заполняли около 98 % общего объема мишени и фактор упаковки составил 0,65. Измеренная плотность мишени составила 0,62 г/см3. Параметр А мишени, используемый при нахождении полных сечений, был равен А = 1040±38 мбарн для протонов. Он определялся как

A = ( N Aρl )−1 , где NA – число Авогадро, ρ – плотность мишени и l – дли-

на мишени. Сверхпроводящий соленоид (рис. 5) имел общую длину 86 см и внутренний диаметр 9,4 см. Он потреблял 1,5 л жидкого гелия в час с учетом расходов на сифоны, вентили и другие переходные элементы. Соленоид мог давать максимальное поле 6,5 Тл при токе питания 185 А. В данном эксперименте для накачки поляризации он работал с полем 5 Тл. В этом режиме работы неоднородность магнитного поля по всему объему мишени не превышала ∆Β/Β ≤ ±5⋅10–5. После накачки поляризации и перехода в режим “замороженного спина” соленоид перемещался на 16 см вверх по пучку. Такое перемещение было необходимо, чтобы увеличить полезный полярный угол до 130 мрад в лабораторной системе. Это было нужно для измерения асимметрии в образовании π0-мезонов в центральной области, т.е. вблизи 90° в с.ц.м. Этому углу в лабораторной системе соответствует угол приблизительно в 100 мрад при начальном импульсе протонного пучка 200 ГэВ/с. При перемещении соленоида магнитное поле в объеме мишени остается величиной ≥ 1,9 Тл. Этого поля вполне достаточно для длительного сохранения поляризации в режиме “замороженного спина”. Рефрижератор растворения 3He – 4He являлся автономным устройством, имел горизонтальную конструкцию и был соосен с пучком. В центре 335

рефрижератора был оставлен свободный канал с минимальным посторонним веществом для прохождения пучка через мишень. Через этот же канал вставлялось специальное приспособление для быстрого монтажа ампулы с мишенью на рабочем месте. Этот монтаж производился, когда рефрижератор был целиком холодным и находился в атмосфере гелия. Насосы откачки работали со скоростью 5500 м3/ч. Температура в замороженном режиме составляла 60 мК и поток 3He составил 4 ммоль/с. В режиме накачки поляризации этот поток составлял 24 ммоль/с. Температуры измерялись с помощью углеродных сопротивлений, прокалиброванных на германиевых сопротивлениях. Вся аппаратура была установлена на подставке, которая перемещалась перпендикулярно оси пучка. Во время набора статистики появилась течь в насосе откачки 3He, и в результате не удавался частый реверс поляризации мишени. Время релаксации поляризации мишени составило 50 дней при температуре мишени ≤ 80 мК. В качестве генератора микроволновых частот вблизи 70 ГГц служил СВЧ-генератор карсинотрон. В нем предусмотрена возможность тонкой подстройки частоты с тем, чтобы обогащать заселенности разных уровней атома водорода по необходимости. Таким путем производился реверс поляризации мишени при фиксированном магнитном поле. Измерение поляризации мишени производилось стандартным методом ЯМР на частоте ~ 100 МГц. Детектировались сигналы с трех катушек, размещенных на ампуле поляризованной мишени, равномерно в начале, в середине и конце мишени. В силу наводок средняя катушка не работала в период набора статистики. Сигналы от катушек через систему CAMAC считывались и обрабатывались компьютером. В “замороженной” моде измерения проводились с периодом в несколько часов. Абсолютная величина поляризации находилась путем сравнения накачанного (усиленного) сигнала с равновесным сигналом. Равновесный сигнал измерялся при температуре 1 К и поле 2,5 Тл. За 3 – 4 ч накачки обычно достигалась поляризация свободных протонов PT = 77 % и PT = –80 %. Эти величины получались отдельно от двух крайних ЯМР-катушек, а также измерениями в режиме накачки и “заморозки”. В пределах точности измерения все эти величины совпали. Скорость распада поляризации в “замороженном” режиме составило (1,51±0,16) % в день. Анализ всех данных по измерениям поляризации показал, что ошибка в величине поляризации на уровне 2σ составила ±6,5 %. [Hill (1992)]. Эта ошибка включала неточности в температуре и статистическую ошибку при измерениях равновесного ЯМР-сигнала, фон ЯМР-сигнала, линейную и нелинейную нестабильности, пространственную неоднородность в распределении поляризации, также как ошибки экстраполяции и интерполя336

ции. Вклады большинства этих ошибок были симметричными и некоррелированными. Положительное направление поляризации в данном эксперименте означало большую заселенность низко лежащего зеемановского уровня. Другими словами, положительная поляризация мишени означает, что она направлена вдоль поля соленоида. Так как поле соленоида при накачке было направлено против импульса пучка, то положительная поляризация также направлена против импульса пучка. Реверс поляризации осуществлялся один раз в сутки с тем, чтобы снизить уровень систематических ошибок, связанных с реверсом поляризации пучка.

Рис. 5. Поляризованная мишень эксперимента Е704 в Фермилабе: показаны криостат растворения, собственно мишень и сверхпроводящий соленоид в положении для накачки поляризации; пучок входит слева

Эта поляризованная мишень специально создавалась для измерения разности полных сечений в чистых спиновых состояниях, во взаимодействии продольно-поляризованных пучков протонов и антипротонов с энергией 200 ГэВ с продольно-поляризованными протонами мишени. Этот эксперимент был успешно реализован. В параллель с этим экспериментом были выполнены измерения двухспиновой асимметрии ALL(π0) в 337

инклюзивном образовании π0-мезонов в центральной области при столкновений продольно-поляризованных протонов и антипротонов с продольно-поляризованными протонами мишени [Groshnick (1997)]. §43.4. Поляризованная мишень установок Е143 и Е153 (SLAC)

Эта мишень взята в качестве иллюстрации того, какие ТТПМ используются на электронных пучках, и какие высокие интенсивности могут выдерживать поляризованные мишени, и какие при этом возникают проблемы [Crabb (1995a)]. В разделе о поляризованном электронном пучке мы приводили в качестве примера линейный ускоритель SLAC. Там же в таблице указаны параметры пучка в эксперименте Е143. Электронный пучок с интенсивностью 5⋅1011 c–1 падал на поляризованную мишень. В качестве мишени использовалась твердотельная криогенная мишень с непрерывной накачкой поляризации. Материалами мишени служили соединения аммиака 15NH3 и 15 ND3. Чтобы мишень не подвергалась сильному радиационному повреждению, пучок расширялся на входе в мишень до размеров рабочей ампулы. Упрощенная схема мишени представлена на рис. 6.

Рис. 6. Аммиачная поляризованная мишень эксперимента Е143 в SLAC

Криостат мишени размещался вертикально и проходил внутри катушек сверхпроводящего магнита. Рефрижератор с непрерывной откачкой 4 He работал при температуре 1 К. Эта мишень имеет оригинальную конструкцию: внутри рефрижератора размещены две рабочие аммиачные мишени 15NH3 и 15ND, а также пустая мишень и ампула с углеродной мишенью располагались друг над другом. Такая конструкция давала замет338

ный выигрыш во времени набора статистики. Любая из перечисленных выше мишеней могла быть введена быстро в пучок с помощью механического привода и дистанционно управляемого мотора. Внутри пробника проходили также волноводы для СВЧ-генератора, сигнальные кабели от ЯМР-катушек и волновод для передачи СВЧ-мощности от генератора к мишени. Сверхпроводящий магнит создавал требуемое однородное манитное поле в 5 Тл в рабочем объеме мишени. Подробное описание системы содержится в работе [Crabb (1995b)]. Используемый в мишени аммиак облучался на разных электронных пучках в сосуде с жидким аргоном. Типичная доза облучения составляла 1017 электронов/см2. После облучения производилась накачка поляризации. Для протонов накачка давала 95 % поляризации в согласии с предыдущими измерениями [Crabb (1990)]. Однако при работе в эксперименте Е143 с пучком максимально достигнутая поляризация составила всего 80 %. Это произошло из-за специфики размещения материалов мишеней. Дейтерированный аммоний был размещен выше ампулы с аммиаком (15NH3), ближе к СВЧ-генератору. В результате часть волны от генератора, предназначенная для аммиака, поглощалась в 15ND3 сразу после волновода. Что касается поляризации дейтрона, то накачка сразу после облучения дала всего 13 %. Однако было обнаружено, что при облучении того же материала при температуре ≤ 1 К величина накачанной поляризации увеличивается по крайней мере раза в два [Boden (1991)]. В конкретных условиях эксперимента Е143 фактор увеличения составил три, как видно на рис. 7. Дейтронная поляризация дополнительно усиливалась при использовании сигнала частотной модуляции. На рис. 7 момент приложения частотной модуляции отмечен стрелкой с надписью “включение ЧМ“ в районе времени (ось абсцисс) 1800. В районе времени 1805 было сделано неправильное включение частотной модуляции и скорость накачки поляризации уменьшилась. В течение эксперимента в результате радиационного повреждения поляризация мишени уменьшалась. Для восстановления поляризации применяли метод отжига при температуре 85 К. Внимательное изучение циклов отжига и радиационного облучения показали, что этот процесс является сложным. Например, в случае протона наблюдались два цикла спада поляризации. Первый цикл соответствует очень быстрому спаду поляризации в начале облучения большой дозой радиации. Через некоторое время этот цикл сменяется более медленным спадом. В случае дейтрона есть только один медленный цикл. Наблюдалось также, что ампула из тефлона, в которой содержится аммиак, также поляризуется под действием излуче339

ния. Измеренная поляризация ампулы достигала 8 %, и в поляризацию протона вводилась необходимая коррекция.

Рис. 7. Накачка поляризации дейтрона (в дейтерированном аммиаке) в зависимости от времени; показано также влияние на этот процесс приложенной дополнительно частотной модуляции

Еще одним практически важным результатом таких исследований является обнаружение поляризации атома азота 15N. И хотя обе поляризации растут со временем накачки, однако кривые ведут себя по-разному в зависимости от того, подается микроволновая частота или нет. Здесь надо тщательно разобраться с тем, чтобы правильно поправить экспериментальные данные на поляризацию азота. Как показали эти исследования, облученный аммиак, подвергающийся непрерывной СВЧ-накачке, является радиационно-стойким материалом до интенсивности пучков до 1011 частиц/с. Водородосодержащие органические материалы таких облучений не выдерживают. §43.5. Поляризованная мишень установки EMC (ЦЕРН)

Эксперимент EMC (European Muon Collaboration) по глубоко неупругому рассеянию (ГНР) проводился на мюонном пучке с энергией вблизи 200 ГэВ. Для измерения структурной функции нуклона g1(x,Q2) нужны продольно-поляризованные пучки и мишени. Мюонный пучок по природе получается продольно-поляризованным. Его большие поперечные размеры (около 5 см), его низкая интенсивность (∼3⋅107 мюонов⁄цикл) и малое сечение взаимодействия мюона с нуклоном привели к необходимости создания продольно-поляризованной мишени наибольшого размера, когда-нибудь применявшейся в эксперименте [Gabathuler (1984)]. К тому же 340

асимметрия в процессе ГНР ожидается небольшой, в чем можно убедиться, используя формулу (2) Am = Pµ Pp FDA . Здесь Pµ и Pр – поляризации пучка и мишени, D – коэффициент передачи поляризации от мюона к виртуальному фотону, F – фактор разбавления мишени, т.е. отношение свободных протонов в мишени ко всем несвязанным нуклонам. Для сравнения, пентанол имеет F = 0,13, а аммиак – F = 0,17. Экспериментаторы выбрали аммиак. Параметр A представляет физическую асимметрию, из которой определяется интересующая нас функция g1(x,Q2). Величина Am оказывается по оценкам порядка 1 %. Измерение такой малой асимметрии оказывается очень чувствительным к изменениям со временем параметров пучка и эффективности аппаратуры. В экспериментах с поляризованными адронными и электронными пучками такие систематические ошибки сильно подавляются путем частого реверса поляризации пучка. В случае работы с мюонным пучком такой возможности нет. Благодаря большим размерам мишени нет возможности также быстро реверсировать и поляризацию мишени. В этом случае с целью уменьшения ложной асимметрии было решено разделить мишень на две одинаковые части, но с противоположными поляризациями. При этом происходит одновременное измерение с двумя противоположными знаками поляризации. Тем не менее не удается полностью скомпенсировать различие геометрических аксептансов аппаратуры к этим двум частям мишени. В результате остается необходимость реверса поляризации мишени, что тоже делалось, хотя и не часто. Сверхпроводящий соленоид мишени EMC имел основную катушку длиной 1600 мм и свободный зазор в центре диаметром 190 мм. При токе 180 А он дает поле 2,5 Т (рис. 8). Сверху основной катушки намотаны 12 корректирующих катушек, каждая длиной 132 мм. Корректирующие катушки распределены равномерно вдоль основной катушки. Количество витков и ток для каждой корректирующей катушки подбирались отдельно. Цель состояла в том, чтобы повысить краевые поля у основной катушки и тем самым сделать область одородного поля больше. Магнит охлаждался жидким гелием при температуре 4,2 К. Испарявшийся холодный газ охлаждал радиационные экраны. Среднее поступление тепла в соленоид при его полной загрузке составило около 6 Вт. Поступление жидкого гелия в магнит обеспечивалось автоматически из сосуда Дьюара емкостью 2000 л, расположенного рядом с рефрижератором мишени. Весь газ собирался и использовался вновь этой системой перекачки. Криостат мишени был целиком сварен с использованием сплавов алюминия и титана. 341

Рис. 8. Поляризованная мишень установки ЕМС

Основная и корректирующие катушки имели каждая отдельное питание и обеспечивали неоднородность магнитного поля лучше ±5⋅10–5 в течение 24 ч. Время вывода магнита на рабочее поле составило около 10 мин. Материал мишени охлаждался криостатом растворения 3He – 4He, который представлял одно целое с соленоидом, однако имел автономную вакуумную рубашку. При использовании имеющихся на сегодня материалов для мишени процесс динамической поляризации требует, по крайней мере, 1 мВт мощности на 1 г вещества. В пересчете на весь объем мишени ЕМС это приводит к необходимой мощности 1,1 Вт. Проектная мощность сконструированного криостата при 0,5 К была 2,5 Вт. При испытании изготовленного криостата была получена мощность 2,0 Вт при температуре 0,5 К. Разница в проектной и фактической хладопроизводительности в 0,5 Вт вполне объясняется нехваткой мощности насосов для достижения необходимой скорости циркуляции 3He в цепи. Однако достигнутой мощности вполне хватает для охлаждения мишени до необходимой температуры. Большая масса мишени сделала практически невозможным использование обычной техники загрузки мишени. Здесь был реализован оригинальный метод. Метод состоит в том, что обеспечивается прямой доступ к ванне смешивания для загрузки материала в горизонтальной плоскости. Материал мишени, находящийся в специальном контейнере при температуре жидкого азота (77 К), перегружается в смесительную ванну. Специальные вакуумные индиевые уплотнители быстро закрываются, изолируя ампулу с веществом. Контейнер тоже остается вокруг ампулы, обеспечи342

вая вакуумный объем для откачки и служит пучкопроводом. С двух сторон контейнер имеет фольги и минимум теплоизолирующих фольг на пути пучка. Две части мишени размещены в раздельных резонаторах. Каждый резонатор имеет диаметр 159 мм и длину 400 мм. СВЧ-мощность вводится раздельно в каждый резонатор через волноводы с квадратным сечением WG22 (8 мм). В качестве СВЧ-генератора использовался прибор EIO VKE2401-H3 фирмы Varian. Два таких генератора производили независимую накачку каждой из двух частей мишени. Несмотря на тщательную экранировку каждой половинки мишени, была обнаружена небольшая взаимная наводка. Однако величина наводимой поляризации измерялась и вводились необходимые поправки, чтобы получить правильную величину поляризации каждой половинки мишени. Для измерения поляризации мишени на каждой из двух секций мишени устанавливались по 4 катушки для снятия сигналов ЯМР. Обработка сигналов, калибровка, учет поправок велись стандартным способом. Результаты измерений представлены на рис. 9.

Рис. 9. Накачка поляризации на аммониевой мишени ЕМС

Из рисунка видно, что 70 % поляризации накачивалось приблизительно за 12 ч. За 24 ч накачки была достигнута поляризация +76 % и –79 %. С помощью этой мишени было обнаружено знаменитое явление “спинового кризиса”, до сих пор не нашедшее объяснений. С целью нахождения ключа к разгадке этого явления программа ЕМС была последователь343

но продолжена на том же канале мюонного пучка двумя группами SMC и COMPASS. Эти группы с лучшей точностью подтвердили существование указанного выше явления, хотя кардинальных решений проблемы не дали. Однако они усовершенствовали поляризованную мишень, и мы вкратце расскажем об этом ниже. §43.6. Поляризованная мишень установки SMC (CERN)

В изложении будем следовать работам [Kynäräinen (1994), Adams (1999)]. Мишень по-прежнему состояла из двух половинок. В качестве материала мишени использовался 1-бутанол, содержавший 5 % по весу воды и 4 % по весу EHBA-Cr(V) в качестве парамагнитной добавки. Этот материал был выбран потому, что в нем нет фона от поляризованных ядер, как это было в аммиаке, где поляризованы ядра азота. Бутанол по сравнению с пропандиолом имеет больший фактор содержания водорода. Способ приготовления шариков из бутанола такой же, как и в случае пропандиола (см. §43.2 “Поляризованная мишень установки ПРОЗА”). Каждая половинка мишени находилась в цилиндрической ампуле диаметром 50 мм и длиной 650 мм (первоначальная длина была 600 мм). Мюонный пучок с энергией 100 ГэВ имел размеры (σ) 16 × 15 мм2. В результате пучок целиком укладывался в размер мишени. Для разделения событий от двух половинок мишени требовался зазор между ними в 200 мм (первоначально было 300 мм). Общий объем мишени составил 2 × 12 × 80 см3, а коэффициент заполнения 0,65. Загрузка материала мишени производилась так же, как в случае установки ЕМС. В самой холодной части камеры растворения рефрижератор давал температуру 30 мК. При 50 мК мощность охлаждения рефрижератора составила 1 мВт, 15 мВт при 100 К, 400 мВт при 300 мК и 1,3 Вт при 0,5 К. Магнитная система мишени состоит из трех независимых магнитов. Основное поле в 2,5 Тл и неоднородностью лучше 6⋅10-5 по всему объему мишени создается соленоидом. Очевидно, что это поле используется для накачки поляризации в мишени. Следующий дипольный магнит создает поле в 0,5 Тл с неоднородностью 10 %. И третий магнит из 16 катушек является соленоидом для коррекции продольного поля основного соленоида. Внутренний диаметр основного соленоида, на который намотаны остальные магниты, составляет 265 мм, а свободный угол раствора – 7,5°. Новым в магнитной системе является возможность реверса поляризации за 0,5 ч, используя комбинацию магнитных полей соленоида и диполя. Для этого поле соленоида уменьшается до 0,5 Тл, затем включается диполь. Теперь нужно суммарное поле держать на уровне 0,5 Тл, синхронно повышая поле диполя и уменьшая поле соленоида. Когда поле 344

соленоида проходит через нуль, поле диполя должно быть на уровне 0,5 и выше. Поле соленоида растет уже с обратным знаком, и поле диполя может уменьшаться. Когда поле соленоида достигает 0,5 Тл, поле диполя может быть уже выключено. Основное требование в этой операции состоит в том, чтобы суммарное поле всегда было выше или равно 0,5 Тл. Самое опасное, если это поле пересекает нуль. Тогда обнулится и поляризация. Вся эта процедура выполняется при помощи компьютера. Применение такого способа реверса поляризации очень выгодно. Обычно реверс поляризации производился раз в неделю, и процесс этот занимал сутки. Теперь эту процедуру можно проводить раз в 5 ч, и занимает она всего 0,5 ч. При этом величина поляризации сохраняется. В качестве примера достигнутой в мишени SMC поляризации приводится рис. 10. Его можно сравнить с результатами, полученными на мишени ЕМС (рис. 9), и убедиться, что они близки.

Рис. 10. Накачка поляризации в бутаноловой мишени SMC

345

§43.7. Поляризованная мишень установки COMPASS (ЦЕРН)

Главной целью эксперимента COMPASS является определение вклада глюона в спин нуклона. Для этого физическая программа предусматривает изучение двух процессов. Первый включает образование мезонов с открытым чармом, второй – образование адронных пар с большим поперечным импульсом. Оба процесса изучаются на продольно-поляризованном мюонном пучке с импульсом 160 ГэВ/с. В качестве мишени используется дейтерированный литий с продольной поляризацией. Установка COMPASS в основном базируется на оборудовании SMC с двумя исключениями. Во-первых, строится новый сверхпроводящий соленоид с большей апертурой, чтобы увеличить полезный телесный угол аппаратуры с 70 до 180 мрад. Во-вторых, сотрудничество COMPASS имеет большие достижения в разработке материалов 6LiD для поляризованной мишени [Gauthtron (2004)]. Ниже в основном пойдет речь об этих достижениях. Двухспиновая асимметрия в образовании частиц при ГНР поляризованных лептонов на поляризованной мишени определяется выражением N ( + ) − N ( −) Am = = PB PT FAt . (3) N ( + ) + N ( −) Здесь N(+) и N(–) определяют нормированные счета детекторов для параллельной и антипараллельной ориентации поляризаций начальных сталкивающихся частиц, PB и PT обозначают поляризации пучка и мишени соответственно, Am и At – измеряемая (сырая) и истинная асимметрии и F – фактор разбавления, определяемый как отношение свободных (поляризуемых) нуклонов к общему числу нуклонов в мишени. Одним из важных критериев в подборе материалов для мишени служит так называемый фактор качества М, определяемый соотношением M = ρκ( FPT ) 2 .

(4)

Здесь ρ представляет плотность мишени, κ – коэффициент заполнения мишени рабочим веществом. При заданной точности измерения асимметрии максимальное значение фактора М приводит к минимальному времени измерений. В табл. 4 представлено сопоставление мишеней SMC и COMPASS для иллюстрации достижений в COMPASS. К этим достижениям относится рекордная на сегодня величина полученных в 6LiD фактора разбавления и фактора качества. В COMPASS используется, как и в SMC, реверс поляризации с помощью сочетания соленоида и диполя. В COMPASS реверс поляризации производится каждые восемь часов с помощью компьютера и занимает это всего 33 мин. В результате получается заметная экономия времени эксплуатации пучка. 346

Таблица 4 Сопоставление некоторых параметров мишеней SMC и COMPASS Параметры Материал мишени Плотность, г/см3, ρ Поляризация, % Фактор упаковки κ Фактор разбавления, F Фактор качества, M

SMC NH3 0,85 H: 90 0,60 0,176 10,3

SMC D-бутанол 1,10 D: 50 0,60 0,238 6,7

COMPASS 6 LiD 0,84 D: 50 0,55 0,50 16,0

Приведенный обзор твердотельных мишеней показывает, что “замороженные” мишени выгодно использовать при малых интенсивностях пучков и когда требуется большой телесный угол. Мишени с непрерывной накачкой и с радиационно-стойкими материалами применяются при больших интенсивностях пучков. Органические материалы (бутанол, пропандиол, пентанол, этанол и т.д.) имеют на порядок меньшую радиационную стойкость, чем аммиак NH3 или 7LiH, в которых парамагнитные центры создаются большими дозами облучения на интенсивных пучках электронов, протонов или других заряженных частиц. По-прежнему не решенными остаются следующие проблемы: • создание чистых протонных поляризованных мишеней, • быстрый реверс направления поляризации мишени, • быстрый поворот поляризации в нужном направлении (продольное или поперечные к пучку направления). Список литературы Борисов Н.С. и др. Препринт ОИЯИ I-80-98, Дубна (1980). Брюнетон К. и др. ПТЭ 5 (1976) 46. Бурхин М. М. и др. ПТЭ 1 (1981) 30. Грачев О.А. и др. ПТЭ 3 (1993) 189. Дайковский А.Г., Португалов Ю И. Препринт ИФВЭ ОМВТ 78-68Б Серпухов (1978). Неганов Б.С. ЖЭТФ 50 (1966) 1445. Adams D. et al. Nucl. Inst. Meth. in Phys. Res., A437 (1999) 23. Aseev A.A. Preprint IHEP 89-57, Serpukhov (1989). Autones P. et al. Nucl. Instr. Meth. 103 (1972) 211. Boden B. et al. Particles and fields 40 (1991) 175. Borisov N.S. In: Proc. 7th Int. Symp. on H.E.S.P., Protvino, USSR (1986) 236. 347

Chaumette P. et al. In: 8th Int. Symp. on High Energy Spin Pnysics, Minneapolis, 1988, AIP Conference Proc. No 187, AIP, New York (1989) 1331. Chaumette P. et al. In: Advances in Cryogenic Engineering, Plenum, New York, Vol. 35 (1990). Chaumette P. et al. In: 9th Int. Symp. on High Energy Spin Pnysics, Workshop on Solid States Polarized Targets, Bonne, 1990 (Springer-Verlag, Berlin) Vol. 2 (1991) 237. Crabb D.G. In: Proc. 9th Int. Symp. on High Energy Spin Physics, Bonne, v. 2 (1990) 289. Crabb D.G., Труды VI Рабочего совещания по спиновым явлениям в физике высоких энергий, Протвино, (1995a) 152. Crabb D.G. and Day D.B.B. Nucl. Inst. & Meth. in Phys. Res., 356A (1995b) 9. Gabathuler E. In: Proc. 7th Int. Symp. on High Energy Spin Physics, Marseille, France, vol. C2 (1984) 141. Gauthtron F. et al. In: Proc. 16th Int. Spin Physics Symp., Trieste, Italy (2004) 791. Grosnick D.P. et al. Phys. Rev. D55 (1997) 1159. Hall H.E. et al. Cryogenics 6 (1966) 8. Hill D. Argonne National Laboratory Repori No. ANL-HEP-TR-92-68, (1992). Kynäräinen J. Nucl. Inst. Meth. A356 (1994) 47. Raoul J.C. et al. Nucl. Inst. Meth. 125 (1975) 585.

§44. Поляризованные газовые мишени Рассмотренные в предыдущем параграфе твердотельные мишени обладают рядом существенных недостатков. Отметим некоторые из них. Это, во-первых, большой фактор разбавления, когда в материале мишени много неполяризуемых нуклонов. Вклад этих нуклонов иногда на порядок больше, чем поляризуемых. В итоге эффективная поляризация мишени оказывается на порядок меньше, чем накачанная поляризация у свободных протонов. В результате практически трудно изучать поляризационные эффекты в инклюзивных реакциях из-за отсутствия жестких кинематических ограничений, как это имеет место в эксклюзивных процессах. Во-вторых, накачка поляризации, а соответственно и ее реверс, занимает много времени, несколько часов. Поэтому у экспериментаторов отсутствует возможность частого реверса поляризации, чтобы подавить в значительной степени эффекты ложной асимметрии. Эти две главные трудности отсутствуют в газовых поляризованных мишенях. Однако по количеству поляризованных нуклонов в единице объема газовые мишени сильно уступают твердотельным поляризованным мишеням (ТТПМ)). Так, в 348

ТТПМ эта плотность составляет порядка 5⋅1022 протонов⁄см3, в то время как рекордная плотность поляризованных протонов, достигнутая в струйной мишени RHIC, составляет всего 1,3⋅1012 протонов⁄см3 [Wise (2004)]. Следующим качественным скачком в разработке чистых поляризованных протонных мишеней явилось создание газовых поляризованных мишеней (ГПМ) с накопительными ячейками. Рекордная плотность, достигнутая на установке HERMES, составляет 1⋅1014 протонов⁄см3 [Ackerstaff (1998)].. Тем не менее, большое отличие между плотностями в ТТПМ и ГПМ все еще остается. Поэтому самый разумный выход состоит в том, чтобы использовать ГПМ в коллайдерах. В этом случае как бы происходит эффективное увеличение толщины мишени за счет двух факторов. Во-первых, за счет частоты обращения внутренного пучка ускорителя. Так в RHIC эта частота составляет около 7,8⋅104 Гц, а в У70 – 2⋅105 Гц. Следовательно, за счет этих факторов происходит как бы увеличение толщины мишени. В коллайдере есть еще один положительный фактор, это – время жизни пучка. В RHIC время жизни пучка составляет около 10 ч, что дает дополнительный фактор 3,6⋅104. В результате на RHIC коэффициент выигрыша составляет 2,5⋅109. Таким образом, на этот коэффициент увеличивается эффективная толщина используемой газовой мишени. Так, в случае струйной мишени ее толщина как бы составляет ∼1017 поляризованных протонов⁄см3, в то время как для газовых поляризованных мишеней с накопительными ячейками (ГПМНЯ) эта плотность составляет 1019. Эта плотность уже сопоставима с плотностью ТТПМ. Ясно отсюда, почему очень привлекательны такие мишени: а) почти та же плотность, что у ТТПМ, б) фактор разбавления равен единице (чистая протонная мишень), в) быстрый реверс поляризации и почти точечный размер мишени (в случае газовой струйной мишени). Ниже мы опишем основные характеристики ГПМ применительно к двум крупнейшим установкам, а именно, RHIC и HERMES. §44.1. Поляризованная струйная мишень установки RHIC (BNL)

Вопрос о выборе поляриметра для измерения поляризации пучка на RHIC обсуждался долго и подробно. Была создана специальная рабочая группа, которая после детального анализа проблемы рекомендовала выбрать поляриметр на базе упругого рассеяния протонов на протонах в области кулон-ядерной интерференции (КЯИ). Кроме прочих достоинств, этот поляриметр является самокалибрующимся прибором, т.е. его анализирующая способность равна поляризации, возникающей в этом же процессе при столкновении неполяризованных протонов (подробности – в §47 “Поляриметрия”). Этот поляриметр был впервые реализован в эксперименте Е704 в Фермилабе в 1990 г. [Akchurin (1993)]. В январе 2000 г. 349

рабочее совещание в БНЛ по поляриметрии одобрило рекомендацию рабочей группы. Был также признан оптимальным вариант создания струйной поляризованной водородной мишени. В июне 2000 г. начались проектные работы. 8 октября 2003 г. источник поляризованного атомарного водорода (ИПАВ) был смонтирован на стенде для испытаний в БНЛ. ИПАВ был установлен на штатном месте в кольце RHIC весной 2004 г. Первые физические результаты по измерению поляризации протонного пучка с энергией 100 ГэВ были представлены на XVI Международном cимпозиуме по спиновой физике в Триесте в октябре 2004 г. [Bravar (2004)]. Общий вид поляризованной струйной мишени установки RHIC приведен на рис. 1 [Wise (2004)]. Все источники поляризованных атомных пучков в целом имеют одинаковый принцип построения и состав оборудования. Вариации возникают применительно к конкретным ускорителям. Данный ИПАВ занимает вертикальное положение. Его длина вверх от уровня пучка составляет 230 см и ниже уровня пучка – 120 см. В проекции на плоскость орбиты диаметр наибольшей камеры составляет 80 см. В этой камере (на уровне пучка) размещены детекторы для регистрации протонов отдачи. Источник атомного пучка (обозначен на рис. 1 как ABS) находится в верхней части рисунка. Он начинается с резервуара для молекулярного водорода, который поступает в диссоциатор. Здесь молекулы расщепляются ВЧ-разрядом мощностью 250 Вт на атомы водорода. Трубка диссоциатора охлаждается водой. Трубка заканчивается алюминиевым соплом, охлаждаемым до температуры 30 – 100 К. В последней модификации между трубкой и соплом был вставлен переходник длиной 12 см, охлаждаемый до 70 – 140 К. Все это позволяет уменьшить рекомбинацию атомов на стенках, уменьшает скорость атомарного водорода и улучшает температурную стабильность водорода. Атомы водорода сепарируются методом Штерна-Герлаха с помощью шестиполюсных магнитов по электронному спиновому состоянию, т.е. пространственно разделяются состояния со спином +1/2 (сверхтонкие состояния |1> , |2>) и –1/2 (|3>, |4>). Эти шестиполюсные магниты также фокусируют атомарные пучки в район ТВ (точка взаимодействия атомарного водорода с циркулирующим пучком ускорителя). Затем с помощью ВЧ-генератора происходит накачка ядерной поляризации путем изменения заселенностей сверхтонких уровней. Поляризованный пучок проходит через область ТВ, и 1⁄3 пучка фокусируется на детектор поляриметра Брейт-Раби (на рисунке обозначен как BRR).

350

Рис. 1. Поляризованная струйная мишень установки RHIC

ВЧ-диссоциатор с регулируемой частотой Предварительное охлаждение газа Магниты с шестью конусными полюсами

ВЧ-генераторы с высокой однородностью градиентов магнитного поля Магнит мишени из двух катушек Гельмгольца

Он-лайн поляриметр Брейт-Раби Детектор калибровочного ионного пучка

ИПАВ разделен на секции для откачки: 6 секций предусмотрены для источника атомного пучка, 3 – для поляриметра Брейт–Раби и 1 – для мишени (место пересечения пучка ускорителя со струей). Каждая секция обеспечена двумя насосами, за исключением первой секции, где используются три насоса. В результате в районе ТВ вакуум достиг величины 4⋅10–9 Торр при отсутствии струи и 1,4⋅10–8 Торр – при наличии струи. Эти цифры и некоторые параметры поляризованной струйной мишени представлены в табл. 1. Важность высокого вакуума в районе ТВ можно видеть на следующем примере. В условиях RHIC вакуум составляет 1,4⋅10–8 Торр ~ 2⋅10–11 атм. Если учесть число Лошмидта 2,7⋅1019 мол/см3, то находим, что в кольце RHIC содержится 5,4⋅108 мол/см3. Это в основном молекулы азота N2, содержащие 28 нуклонов. Следовательно, концентрация фоновых нуклонов 351

от остаточного газа составляет 1,5⋅1010 нуклонов/см3. Плотность поляризованных протонов в струе 1,0⋅1012 протонов/см3. Отсюда можно ожидать фон на уровне 1%. Если же вакуум в кольце окажется на уровне 10–6 Торр, т.е. на два порядка ниже, чем в RHIC, то соотношение фона к сигналу ожидается на уровне 1:1. Это делает практически затруднительным, может быть, и невозможным, прямое применение источника RHIC. Таблица 1 Параметры поляризованного пучка атомарного водорода установки RHIC Параметр Поляризация, % Плотность p/см2,1012 Размер пучка, мм

Значение 92,4±2 1,3±0,2 5,8

Вакуум в ТВ (источник выключен), Торр Вакуум в ТВ (источник включен), Торр Поток атомов, атом⁄см2 Магнитное поле B, Т Неоднородность ∆Β / Β Плотность атомов в ТВ, атом⁄см3 Плотность фонового молекулярного водорода, молекулы⁄см3

4⋅10–9 1,4⋅10–8 1,24⋅1017 0,12 5⋅10–3 1,0⋅1012 1,5⋅1010

Комментарий

Полная ширина на полувысоте ТВ – точка взаимодействия Вертикальное поле

Это молекулы из диссоциатора

Следующий важный элемент ИПАВ – магнитное поле. Чтобы сохранить ядерную поляризацию, атомарный водород должен на своей трассе иметь адиабатически меняющееся магнитное поле, иначе он может деполяризоваться. Количественно это формулируется так, что в системе покоя атомарного водорода направление приложенного магнитного поля должно меняться с частотой меньше 10–3 ω0, где ω0 – ларморова частота (γ0B). Это условие адиабатичности нарушалось магнитным полем двух соосных катушек, установленных в районе ТВ. Их назначение состоит, с одной стороны, в том, чтобы сохранить поляризацию атомарного водорода, а с другой, в том, чтобы свести к нулю поле на трассе протонов отдачи с малой (< 10 МэВ) энергией. Однако эти катушки привели к обнулению магнитного поля в двух местах вдоль трассы атомарного водорода. Чтобы скорректировать поля в этих местах, была применена магнитная экранировка железом. В конечном результате остаточная деполяризация была уменьшена до < 0,4 %. Надо заметить, что в RHIC источник находится на прямолинейном участке достаточно далеко от магнитов кольца, и эти поля во внимание не принимались. 352

Поляризация атомарного водорода измерялась поляриметром БрейтРаби буквально за одну минуту. Для этого отдельно настраивались ВЧпереходы в сильном поле (ПСП) и ВЧ-переходы в слабом (низком) поле (ПНП). Эти системы размещены как до области ТВ, так и после. Аппаратура для регистрации атомарного водорода имела большое усиление сигналов при низком шуме и хорошее заземление. Она работала с 1/3 атомарного пучка, прошедшего через ТВ-область. Обозначим через κ = N2/N1 отношение числа переходов в состояния |2> и |1>. Введем эффективности переходов в секступольных магнитах до области ТВ: в (ПНП) как (1–ε1-3), в (ПСП) как (1–ε2-4). В секступольных магнитах поляриметра Брейт–Раби: в (ПНП) как (1–ε1-3), в (ПСП) как (1–ε2-4). Тогда находим поляризации пучков атомарного водорода 1 + κ cos θ − 2κε2 − 4 cos θ , P+ = 1+ κ (1) − 1 − κ cos θ + 2κε2 − 4 cos θ − P = , 1+ κ где tg θ = Bc / B. Критическое поле равно Bc = 507 Гс для атома водорода, B – удерживающее поляризацию магнитное поле (катушки Гельмгольца на рис. 1). Измеренные в 2004 г. значения составили P+ = (95,7±0,1) % и P- = –(95,7±0,1) %. При обычном определении эффективностей ВЧ-переходов используются измерения со всеми возможными ВЧ-переходами. Затем решением полученных уравнений находятся заселенности соответствующих уровней. В данном поляриметре использовался другой подход. До ТВ-области обычно пропускают либо одно, либо другое состояние по спину. При этом шестиполюсные магниты поляриметра могут отклонить от детектора оба состояния по ядерному спину. Если пропустить в ТВ-область оба состояния и включить магниты, то в детектор попадут только неотклоненные атомы. Частота их появления оказалась 52 Гц. Если выключить ВЧпереходы, то в детектор попадают неполяризованные атомы с частотой 20900 Гц. Следовательно, эффективность ВЧ-переходов составляет 99,7 %. Измеренная поляризация мишени оказалась равной в среднем (92±2) %. [Nass (2004)]. При этом основную поправку в поляризацию вносил молекулярный водород, прошедший через ТВ и составлявший 1,5 % по весу от атомарного водорода. В табл. 1 указана поляризация уже с этой поправкой [Zelenski (2004)].

353

§44.2. Поляризованная газовая мишень с накопительной ячейкой установки HERMES (DESY)

В предыдущем параграфе были рассмотрены струйные поляризованные мишени, которые используются в качестве внутренних мишеней в ускорителях и коллайдерах. Отмечался ряд преимуществ, которые дает струйная поляризованная мишень по сравнению с твердотельными поляризованными мишенями. Однако некоторые важные физические задачи требуют использования более плотных газовых поляризованных мишеней. Приведем пару примеров таких задач. В SLAC и эксперименте HERMES на коллайдере HERA [Coulter (1990)] при измерении структурных спиновых функций протона и нейтрона потребовались именно газовые поляризованные мишени из водорода, дейтерия и гелия-3 с плотностью на уровне ≥ 1014 частиц/см2, в то время как струйные мишени имеют плотности ниже 1012 частиц/см2. Другая задача связана с проблемой создания поляризатора антипротонов или поляризующих фильтров [Dobeling (1985)]. Здесь тоже нужны большие плотности мишеней, чтобы достичь нужной светимости за приемлемое время. Принцип построения поляризованной газовой мишени с накопительной ячейкой практически мало отличается от принципа создания струйной поляризованной мишени, описанной выше применительно к RHIC. Основное конструктивное отличие состоит в том, что в месте встречи поляризованного атомарного пучка с внутренним пучком (область ТВ) устанавливается накопительная ячейка – трубка длиной около 40 см, в которой атомарный водород скапливается с течением времени. Основные технические проблемы состоят в том, чтобы не потерять поляризацию мишени за счет увеличения числа столкновений атомов водорода со стенками накопительной трубки. Другая проблема возникает из-за увеличения плотности атомов на два порядка по сравнению со струйной мишенью. Как следствие этого, надо осуществить хорошую откачку области ТВ, чтобы не испортить вакуум в ускорителе [Nass (2003)]. Схема поляризованной мишени (с накопительной ячейкой), применяемой в настоящее время на установке HERMES, представлена на рис. 2. Неполяризованный атомарный водород выходит из сопла диссоциатора и, двигаясь слева направо, попадает в секступольные магниты. [Baumgarten (2002a)]. В первом магните происходит сепарация атомов по электронному спину, а второй магнит фокусирует выбранный ядернополяризованный пучок в область ТВ. ВЧ-генераторы в сочетании с магнитами обеспечивают перевод электронной поляризации в ядерную поляризацию. Поляризованный по ядерному спину атомарный водород через трубку попадает в накопительную ячейку. Она представляет собой тонкостенную алюминиевую трубку эллиптического сечения 21 × 8,9 мм2 (см. 354

вставку на рис. 2) и длиной 40 см. Внутренняя поверхность трубки покрыта специальным составом (Drifilm), чтобы уменьшить эффект столкновения атомов со стенкой и тем самым уменьшить эффект деполяризации (∆PWD, WD – wall depolarization). Другими источниками деполяризации являются спин-обменные взаимодействия между атомами (∆PSE) и взаимодействие магнитного момента атома (электрона) с индуцированным полем пучка (∆PBI). Ячейка находится в продольном или поперечном магнитном поле. В сеансах 1997 – 2000 гг. было приложено продольное магнитное поле величиной 3,3 кГс, и создавалось оно сверхпроводящим соленоидом. В сеансах, начиная с 2001 г., использовалось удерживающее поперечное поле, создаваемое стандартным теплым диполем. Сверху (см. рис. 2) в ячейку накопления попадает электронный пучок с энергией ≈ 27 ГэВ и поляризацией около 60 %, описанный подробно в разделе “Поляризованные электронные пучки” (§41). Продукты взаимодействия двух пучков, электронного и водорода, регистрируются детекторами, расположенными по пучку. Основная задача эксперимента HERMES состоит в исследовании структурных спиновых функций нуклонов. Для этой цели регистрируются одновременно с глубоко неупруго рассеянными электронами и другие заряженные частицы, например, пара заряженных адронов. Такие реакции называются полу-инклюзивными. Все зарегистрированные частицы идентифицируются по сорту, энергии и углу вылета. Справа к накопительной ячейке присоединена небольшого диаметра трубка (см. вставку на рисунке). Эта трубка позволяет отбирать часть поляризованного атомного пучка для анализа его массового состава с помощью анализатора газовой мишени (TAG на рисунке) [Baumgarten (2003)]. В другой раз отбирается такая же порция пучка для измерения его поляризации с помощью поляриметра Брейт–Раби (BRP на рис. 2) [Baumgarten (2002b)]. Есть несколько параметров, которые связывают среднюю поляризацию мишени PT с поляризацией Pa атомарного водорода [Lenisa (2004)]. Это – следующие параметры: αa – доля впрыснутого в ячейку атомарного водорода, αr – доля выживших атомов после столкновений со стенками накопительной ячейки и β – доля поляризации молекул водорода от поляризации атомного пучка. Недавно было определено это число на основании данных сеанса 1997 г. с продольно-поляризованной мишенью. Оно оказалось равным β = 0,64±0,19 [Airapetrian (2004)]. Итак, напишем соотношение PT = α a [α r + (1 − α r β)]Pa . (2) В табл. 2 просуммированы параметры мишеней разных сеансов на установке HERMES (FoM – фактор качества). 355

Рис. 2. Поляризованная газовая мишень с накопительной ячейкой установки HERMES. Показаны слева направо по направлению движения атомов водорода: сопло, секступоли с коническими полюсами, ВЧ-генераторы; они составляют элементы источника атомного пучка (на рисунке обозначен как ABS), Т-образную накопительную ячейку; сверху входит поляризованный электронный пучок с энергией около 27 ГэВ; видны катушки магнита, создающего удерживающее поляризацию магнитное поле; указан магнитный экран вокруг катушки; изображены масс-спектрометр (TGA), поляриметр Брейт–Раби (BRP), прерыватель пучка

Сравнение продольно-поляризованных водородных и дейтериевых мишеней приводит к следующим заключениям. При одинаковых удерживающих магнитных полях спиново-обменные процессы и процессы соударения со стенками накопительной ячейки для дейтерия подавлены по

(

)

отношению к водороду в соотношении BcH / BcD ≈ 20 . Второй вывод состоит в том, что положительные и отрицательные поляризации Pz для водорода практически совпадают, в то время как для дейтерия они заметно различаются. Это происходит потому, что в случае дейтерия больше спиновых степеней свободы и больше, соответственно, параметров. Табл. 2 также показывает, что оптимальное условие работы мишени соблюдалось при работе с дейтериевой мишенью в 2000 г., когда выполнялись условия ∆PWD (деполяризация за счет соударений со стенкой) = = ∆PSE (спин-обменная деполяризация) = ∆PBI (деполяризация за счет пучка) = 0. Такой результат был обусловлен двумя причинами. Во356

первых, малым критическим магнитным полем, равным BcD = 117 Гс, в отличие от случая протона, где BcH = 507 Гс. Во-вторых, благодаря лучшему покрытию поверхности накопительной ячейки. Эта процедура привела также к лучшей работе мишени H⊥ в сеансе 2002 г. по сравнению с сеансом с H⎜⎜ в 1997 г., как можно убедиться, сравнивая в табл. 2 эффекты деполяризации в этих двух сеансах. Таблица 2 Параметры поляризованных газовых мишеней с накопительными ячейками установки HERMES, использованных в сеансах 1997, 2000 и 2002 гг. Параметры

H⎜⎜(1997)

H⊥(2002)

D⎜⎜(2000)

αa

0,960±0,010

0,918±0,032

0,919±0,026

αr

0,945±0,035

0,979±0,023

0,997±0,017

Pz+

0,908±0,016

0,859±0,032

0,927±0,017

–Pz-

0,908±0,016

0,859±0,032

0,915±0,010

–∆PSE

0,035

0,055

≤0,001

–∆PWD

0,02

0,055

Нет

–∆PBI

нет

0,015

Нет

P+

0,851±0,031

0,783±0,041

0,851±0,029

0,851±0,031

0,783±0,041

0,840±0,026

0,7

1,1

2,1

0,5

0,67

1,5

–P– 14

2

T (10 нукл./cм ) 2

14

FoM (P t), 10 нукл.⁄ см

2

В то же время наметилась проблема. Если сравнить факторы качества, а также поляризации, то можно увидеть из табл. 2, что по обоим этим параметрам мишень сеанса 2002 г. уступает мишени сеанса 1997 г. Причина этой проблемы тоже понятна: это связано с тем, что плотность мишени в сеансе 2002 г. была выше, и, соответственно, усилились эффекты деполяризации за счет большего числа столкновений со стенками и за счет спиново-обменных процессов. Решение проблемы видится в том, чтобы с ростом плотности мишени увеличивать пропорционально удерживающее магнитное поле. 357

Заключение Из изложенного материала можно заметить, что за последние 10 лет был сделан колоссальный скачок в деле создания газовых поляризованных мишеней. В сочетании с газовыми мишенями сегодня любой коллайдер может обеспечить параллельную работу двух типов экспериментов: коллайдерный эксперимент и эксперимент с фиксированной мишенью (ЭФМ). Это позволяет расширить доступный для экспериментов энергетический диапазон на коллайдерах. Другой важный результат этих разработок состоит в том, что благодаря чистоте (по содержанию поляризованных протонов) становятся доступными практически все одно- и двухспиновые инклюзивные эксперименты в моде фиксированной мишени. Эти два главных достижения в разработке поляризованных газовых мишеней (не говоря о других успехах) дают право сказать о замечательном достижении в поляризационой физике. Список литературы Ackerstaff K. et al. Nucl. Inst. Meth. A417 (1998) 230. Airapetrian A. et al. Eur. Phys. J. D29 (2004) 21. Akchurin N. et al. Phys. Rev. D48 (1993) 3026. Baumgarten C. Et al. Nucl. Inst. Meth. A496 (2002a) 263. Baumgarten C. et al. Nucl. Inst. Meth. A482 (2002b) 606. Baumgarten C. et al. Nucl. Inst. Meth. A508 (2003) 265. Bravar A. In: Proc. 16th Int. Spin Physics Symp., Trieste, Italy (2004) 700. Coulter et al. Proposal DESY PRC-90/01 (1990). Dobeling H. et al. Proposal cernpssc/85/80 (1985). Lenisa P. In: Proc. 16th Int. Spin Physics Symp., Trieste, Italy (2004) 808. Nass A. et al. Nucl. Inst. Meth. A505 (2003) 633. Nass A. et al. In: Proc. 16th Intern. Spin Physics Symp., Trieste, Italy (2004) 776. Wise T. In: Proc. 16th Intern. Spin Physics Symp., Trieste, Italy (2004) 757. Zelenski A. et al. In: Proc. 16th Int. Spin Physics Symp., Trieste, Italy (2004) 761.

358

Глава 3. Источники поляризованных ионов водорода для ускорителей/коллайдеров Здесь мы рассматриваем общепринятые сегодня два типа источников поляризованных ионов водорода. Первый источник называется “источник поляризованных атомных пучков” (ИПАП) (английская аббревиатура – PABS, Polarized Atomic Beam Source). В этом источнике сначала получаются атомы, поляризованные по электронному спину способом ШтернаГерлаха с последующей СВЧ-накачкой ядерной поляризации. Другой источник называется “поляризованный ионный источник с оптической накачкой” (ПИИОН) (английская аббревиатура OPPIS – Optically Pumped Polarized Ion Source). Этот метод использует захват протонами поляризованных электронов из оптически ориентированных ядер и последующие применения спин-обменных и зарядово-обменных процессов с целью получения поляризованных протонов или отрицательно заряженных поляризованных ионов водорода. Существенным этапом в развитии этих источников явились два предложения Е.К. Завойского [Завойский (1957а), Завойский (1957b)]. Первая идея, основанная на переносе поляризации электрона при его захвате протоном в перезарядной мишени, привела к созданию современных источников типа ПИИОН. Вторая его идея об использовании лэмбовского сдвига привела к созданию первых источников поляризованных ионов Hи D- типа ИПАП для большинства тандемных ускорителей. Вначале они также использовались как источники и на мезонных фабриках, но затем были заменены источниками типа ПИИОН [Зеленский (2003)]. Оба источника, ИПАП и ПИИОН, имеют три одинаковые по назначению устройства для получения поляризованного пучка. Первое устройство обеспечивает создание поляризованных по спину электрона атомов. Второе устройство необходимо для передачи поляризации электрона ядру, в данном случае протону. И, наконец, третье устройство обеспечивает ионизацию поляризованного по ядерному спину атома – для получения поляризованного протонного пучка или перезарядку – для создания пучка поляризованных отрицательных ионов водорода. Затем поляризованные протоны или ионы инжектируются в ускоритель. Очевидно, конечный результат по получению поляризованного пучка зависит от эффективной работы каждого из трех устройств. Существенное отличие двух источников состоит в том, что источник ИПАП работает практически с тепловыми атомами (скорости ∼ 105 см/с), в то время как ПИИОН работает с относительно быстрыми пучками (энергии 3 – 8 кэВ, скорости ∼ 108 см/с). Эти различия могут привести к 359

отличным конечным результатам, как по интенсивности, так и по поляризации ионного пучка. Перейдем к описанию источников ИПАП и ПИИОН последовательно. Эти два источника дают лучшие результаты по параметрам поляризованных пучков и являются конкурирующими. Список литературы Завойский Е.К. ЖЭТФ 32 (1957а) 408. Завойский Е.К. ЖЭТФ 32 (1957b) 731. Зеленский А.Н. Диссертация на соискание ученой степени д.ф.-м.н., ИЯИ РАН, Москва, (2003).

§45. Источники поляризованных атомных пучков Для инжекции в ускоритель в настоящее время используются либо поляризованные протоны, либо поляризованные отрицательные ионы водорода Н–. Соответственно, в источниках предусматриваются дополнительные узлы, как, например, секции для перезарядок. Ниже мы рассмотрим вкратце параметры новейших разработок: 1. Источник поляризованных ионов ИЯИ РАН [Belov (1995)]. 2. Источник IUCF – CIPIOS [Derenchuk (2002)]. §45.1. Источник поляризованных ионов ИЯИ РАН

В середине 90-х гг. прошлого столетия в Московском институте ядерных исследований РАН был разработан поляризованный источник отрицательных атомов водорода с импульсным током до 1 мА, длительностью тока 180 мкс, поляризацией 87±2 % и с нормализованным эмиттансом 1,8π мм⋅мрад, содержащим 90 % пучка. Такое достижение базировалось на ряде важных технических разработок, нашедших в дальнейшем широкое применение. Этот источник представляется весьма перспективным, и ниже опишем вкратце его особенности, следуя в основном работе [Belov (1995)]. Долгожданной мечтой специалистов по поляризационной физике было получение на ускорителях высоко поляризованных протонных пучков, не уступающих в то же время по интенсивности неполяризованным пучкам на тех же ускорителях. Оценки показывали, что для достижения этой цели нужно создать поляризованный импульсный источник отрицательных ионов водорода с током порядка 10 мА и длительностью импульса в пределах ~ 200 мкс в зависимости от ускорителя. Необходимость поляризованных ионов H– обусловлена возможностью применения многооборотной инжекции для увеличения интенсивности пучка и улучшения его 360

эмиттанса. В сочетании с бустером этот метод позволяет накопить желаемую интенсивность. Разумеется, необходимо оптимальным способом осуществить “обдирание” отрицательных ионов перед инжекцией в бустер. Источник поляризованного атомного пучка (ИПАП) ИЯИ РАН производит импульсные пучки поляризованных положительных и отрицательных ионов водорода. В этом источнике для получения поляризованных ионов водорода впервые использовалась зарядово-обменная реакция между термальными поляризованными атомами водорода и ионами дейтерия в дейтериевой плазме. Источник дает поляризованный пучок ионов H+ с током в импульсе 6 мА и поляризацией 85 % [Belov (1987), Belov (1990)]. Чтобы получить в том же источнике поляризованный пучок H–, дейтериевая плазма была обогащена ионами D– путем применения специально сконструированного устройства с поверхностно-плазменным конвертором на парах цезия Cs. Схема источника поляризованных ионов водорода показана на рис. 1. Пучок молекул водорода поступает слева в диссоциатор. В диссоциаторе под действием СВЧ-разряда молекулы распадаются на нейтральные атомы водорода H0. Атомы H0 через охлаждаемое азотом сопло проходят в коллиматор и поступают в разделительный шестиполюсный (секступольный) магнит, разделяющий атомы по электронному спину. После магнита расположен масс-спектрометр, определяющий состав пучка. В следующем секступольном магните происходит фокусировка атомов. После этого магнита поляризованные по электронному спину атомы поступают в область слабого магнитного поля с СВЧ-перекачкой электронной поляризации в ядерную поляризацию. Детали этого участка источника подробно описаны в работе [Belov (1987)]. После этого атомы попадают в ионизатор. Зарядово-обменная область находится внутри соленоида, создающего магнитное поле в 1,3 кГс. Слева в соленоид поступает поляризованный по ядерному спину атомарный водород, а справа – отрицательные ионы дейтерия D-. Происходит зарядово-обменная реакция

r r D − + H 0 → D0 + H − .

(1) Предложение об использовании этой реакции для получения поляризованных отрицательных ионов H– было сделано В. Хэберли в работе [Haeberli (1968)]. Сечение этой реакции при энергии D– ∼10 эВ составляет 10–14 см2 [Hummer (1960)]. Поляризованные ионы H– оказываются ограниченными в своем движении в радиальном направлении полем соленоида. Они вытягиваются назад электрическим полем системы вывода (на рис. 1 отмечены как электроды вывода) и ускоряются до 20 кэВ. Вместе с ними также вытягиваются ионы D– и электроны. В отклоняющем магнитном 361

поле они разделяются благодаря разнице в импульсах. Ионы H– магнитным полем отклоняются на угол 100° и выводятся из области источника наружу. Интенсивность пучка H– измерялась цилиндром Фарадея. Эмиттанс пучка измерялся методом двух щелей, описанным в работе [Belov (1994)]. Поляризация ионов H– измерялась поляриметром низкой энергии, основанном на эффекте лэмбовского сдвига. В этом методе поляризованные протоны нейтрализуются и возникают метастабильные Lα и Lβ состояния. Состояние Lβ имеет очень короткое время жизни, а Lα живет долго и измеряется заселенность этого состояния. Поскольку в данном случае мы имеем дело с ионами H–, то их надо конвертировать в протоны. Это делается с помощью гелиевой ячейки, размещенной перед поляриметром (рис. 1). Плотность гелия в ячейке составляет всего 1014 см-2. При такой плотности вероятность двойной перезарядки H–→H+ составляет около 0,5 %. Но этого достаточно для проведения измерений. После получения поляризованных протонов с помощью гелиевой ячейки протоны отклонялись электростатическим дефлектором в поляриметр. Измеренная поляризация оказалась равной 87±2 %. При этом предпологается, что в процессе перезарядки потери поляризации не происходит.

Рис. 1. Схема источника поляризованного атомного пучка ИЯИ РАН

362

Особенностью импульсного источника поляризованных ионов водорода ИЯИ РАН является получение поляризованных ионов перезарядкой поляризованных атомов в плазме:

H 0 ↑ +D + → H + ↑ +D0 ; 0

−

−

0

(2)

H ↑ +D → H ↑ +D . (3) В плазме энергия сталкивающихся частиц составляет ~ 10 эВ, и для таких энергий сечение реакции (2) равно 5 10–15 см2, а сечение реакции (3) – 10–14 см2. Такие большие сечения реакции перезарядки позволяют достичь высокой эффективности перезарядки нейтральных атомов водорода и высокой интенсивности поляризованных ионов водорода. В ИЯИ РАН в 1986 г. был разработан источник поляризованных протонов со следующими параметрами: • импульсный ток пучка поляризованных протонов составил 6 мА со свободным атомарным пучком и 11 мА с накопительной ячейкой в ионизаторе; • нормализованный эмиттанс составил 1,7 π мм⋅мрад со свободным атомарным пучком и 1 π мм⋅мрад с накопительной ячейкой в ионизаторе; • длительность импульса составила 100 мкс; • частота повторения импульсов – 1 – 10 Гц; • степень поляризации 80 – 90 %. Были получены следующие параметры пучка поляризованных атомов водорода: • импульсная интенсивность пучка – 2⋅10 17 ат/ cм2 с; • наиболее вероятная скорость атомов – 2 10 5 см/с (охлаждение жидким азотом). Поляризованные отрицательные ионы водорода очень полезны при инжекции в ускорители, так как позволяют увеличить интенсивность циркулирующего пучка в несколько раз. Чтобы получать поляризованные отрицательные ионы, надо генерировать в плазменном перезарядном ионизаторе плазму, обогащенную отрицательными неполяризованными ионами D– [Belov (1987)]. В 1990 г. в ИЯИ РАН был разработан источник неполяризованных ионов D– с током 2 мкА из источника плазмы без конвертора. В 1993 г. ток был увеличен до 1,2 мА неполяризованных ионов D–, был создан конвертор плазмы с использованием паров Cs для “включения” поверхностноплазменного метода генерации отрицательных ионов. Затем в 1996 г. был получен ток неполяризованных ионов D– в 11 мА благодаря размещению конвертора плазмы на входе в соленоид ионизатора. Создание дугового двухступенчатого конвертора позволило достичь тока более 60 (до 90) мА 363

в 2001 г. На базе этих разработок были улучшены параметры источника отрицательных поляризованных ионов водорода: • импульсный ток пучка ионов H–↑ – 3,8 мА; • импульсный ток пучка неполяризованных ионов D–: – 60 мА (до 90 мА); • степень поляризации – 85 – 90 %; • нормализованный эмиттанс – 1,7 π мм⋅мрад; • длительность импульса – 170 мкс; • частота повторения импульсов – 1 – 10 Гц.

Рис. 2. Осциллограмма импульса тока ионов H–↑ из источника поляризованных ионов ИЯИ РАН: масштаб по вертикали – 1 мА/дел; по горизонтали – 50 мкс/дел

Рис. 3. Осциллограмма импульса тока ионов H–↑ и тока неполяризованных ионов D– (нижний импульс) из источника поляризованных ионов ИЯИ РАН: масштаб по горизонтали – 50 мкс/дел

364

§45.2. Источник поляризованных ионов IUCF – CIPIOS

Источник CIPIOS (Cooler Injector Polarized IОn Source) предназначен для генерации поляризованных и неполяризованных ионов H– и D–. Он был создан в 1999 г. в сотрудничестве IUCF (Indiana University Cooling Facility) и ИЯИ РАН. Неполяризованные ионы H– и D– генерируются в плазменном ионизаторе при подаче в источник плазмы водорода или дейтерия соответственно. Для получения поляризованных ионов D– в диссоциатор источника подается дейтерий, а в источник плазмы ионизатора – водород и используется реакция:

D0 ↑ +H − → D− ↑ +H 0 .

(4) В отличие от источника ИЯИ РАН в CIPIOS используются шестиполюсные магниты (секступоли), изготовленные из постоянных магнитов с индукцией магнитного поля 1,4 Тл. Это позволило добиться лучшей фокусировки атомарного пучка и уменьшить эмиттанс поляризованного пучка, что было важно для инжекции поляризованных ионов в RFQ (Radio Frequency Quadrupole). Для охлаждения атомов в диссоциаторе используется криогенератор. В CIPIOS используется схема поляризации дейтронов с двумя шестиполюсными магнитами и тремя ВЧ-переходами, которая позволяет получать векторную поляризацию ± 1 и тензорную поляризацию +1, –2. Направление поляризации в пучке, извлеченном из источника, ориентировано по вертикали и для ионов H−↑, и для ионов D−↑. Были получены следующие характеристики источника отрицательных поляризованных ионов водорода IUCF (CIPIOS): • импульсный ток пучка поляризованных ионов H–↑ (D–↑) – 1,8 (2) мА. • импульсный ток пучка неполяризованных ионов H– (D–) – 40 (30) мА. • степень поляризации H–↑ – 80 – 85 %; • степень поляризации D– см. табл. 1; • нормализованный эмиттанс H–↑ (D–↑): 1,2 π мм⋅мрад; • длительность импульса – до 500 мкс; • частота повторения импульсов: 1 – 4 Гц; • в CIPIOS была получена долговременная стабильность интенсивности и поляризации. Поляризация была постоянна в течение сеансов работы ускорителя длительностью ~ 1000 ч; • высокая надежность работы CIPIOS. Он работал без персонала с автоматизированной системой управления в течение ~ 1000 ч.

365

Таблица 1 –

Результаты измерения поляризации D в IUCF Состояние

Ожид. Pz

Измер. Pz

Ожид. Pzz

Измер. Pzz

+ вектор

+1

0,909

+1

0,891

– вектор

–1

–0,684

+1

0,695

+ тензор

0

0,003

+1

0, 875

– тензор

0

–0,020

–2

–1,591

Список литературы Belov A.S. et al. Nucl. Instr. Meth. A255 (1987) 442. Belov A.S. et al. Proc. Of Int. Workshop on Polarized Ion Sources and Polarized Gaz Jets. KEK Report 90-15, (1990) 69. Belov A.S. et al. Instr. and Experimental Techniques 37 (1994) 131. Belov A.S. et al. Труды VI Рабочего совещания по спиновым явлениям в физике высоких энергий, Протвино, т. 2 (1995) 115. Derenchuk V.P. In: Proc. of 15th Int. Spin Physics Symp., Upton, New York, AIP 675 (2002) 887. Haeberli W. Nucl. Instr. Meth. 62 (1968) 355. Hummer D.G. et al. Phys. Rev. 119 (1960) 668.

§46. Поляризованный ионный источник с оптической накачкой (OPPIS) В 2000 г. в Брукхейвенской Национальной Лаборатории (США) заработал крупнейший в мире и пока единственный поляризованный протонный коллайдер RHIC (Relativistic Heavy Ion Collider) с плановой энергией в с.ц.м. s = 500 ГэВ. При этой энергии коллайдер должен иметь светимость L = 2⋅1032 см–2 с–1 и поляризацию 70 %. При проектных параметрах коллайдер должен иметь 120 сгустков (банчей). При этом поляризация каждого банча задается по определенной программе. В качестве инжектора поляризованных частиц используется источник ПИИОН, разработанный сотрудничеством физиков из БНЛ, ИЯИ РАН, LAMPF, TRIUMF, KEK. [Zelenski (2002)]. Для достижения необходимой светимости каждый банч должен содержать 2⋅1011 поляризованных протонов. Для этого с учетом потерь пучка при его транспортировке источник должен производить не менее 1012 поляризованных ионов H–, что соответствует интегралу импульса тока ∼150 мА⋅мксек. Этому условию удовлетворяют параметры источника с током 0,5 мА и длительностью 300 мкс. 366

С целью увеличения фазовой плотности пучка сейчас используется многооборотная инжекция пучка в бустер. При этом удается сжать в один банч 5⋅1011 протонов, ускорить в бустере до 1,5 ГэВ и затем инжектировать в ускоритель AGS (Alternating Gradient Synchrotron). Цикл AGS составляет 3 – 5 с, источник же работает с частотой 1 Гц, и дополнительные циклы используются для диагностических целей, например, для измерения поляризации пучка. Схема источника с оптической накачкой поляризации, используемого на RHIC, показана на рис. 1.

Рис. 1. Схема источника поляризованных H– с оптической накачкой установки RHIC. ECR (Electron Cyclotron Resonance) – плазменный источник протонов, лазерный пробник служит для измерения толщины и поляризации паров Rb по фарадеевскому вращению плоскости поляризации (луч вводится слева через окно в ECR); внутри сверхпроводящего соленоида находятся ECR, ячейка Rb, зона Sonaперехода; струйный ионизатор на парах Na находится в поле; LP – лазер для оптической накачки отдельного соленоида

Сверхпроводящий соленоид состоит из трех обмоток, имеющих независимые источники питания. Это сделано с целью создания необходимой конфигурации продольного магнитного поля вдоль трассы пучка. Ионизатор на базе электронного циклотронного резонанса (ЭЦР или ECR) работает на частоте 29,2 Ггц и требует магнитного поля ∼ 10 кГс. Водородная плазма, образованная в ЭЦР-разряде, содержит высокий процент протонов (∼90 %). Вытягивание протонов из области ЭЦР и их формирование происходит с помощью трехсеточной многоапертурной ионно-оптической системы (ИОС). ИОС находится в начале стола с максимальным магнитным полем 27 кГс. Длина этого магнитного стола составляет около 30 см. 367

Как раз весь этот стол занимает ячейка с оптически ориентированными парами рубидия. Расстояние между сетками ИОС и началом рубидиевой Rb-ячейки составляет около 3 см. Сверхпроводящий соленоид может перемещаться по отношению к ЭЦР и Rb-ячейке с целью оптимизации параметров источника, так же как и для ремонтно-профилактических работ. На выходе Rb-ячейки установлены отклоняющие пластины из четырех трубок из нержавеющей стали диаметром 5 мм. Это улучшило вакуумную откачку и позволило отказаться от водяного охлаждения, так как теперь протоны сквозь отклоняющую систему попадают прямо на охлаждаемый водой экран. После отклоняющих пластин нейтральный поляризованный по спину электрона атомарный водород попадает в так называемую область Sоnaперехода (по фамилии изобретателя метода). В этой зоне происходит передача поляризации от электрона к протону. При тщательной настройке положения точки перехода и градиента магнитного поля в этой зоне можно достичь 100 % эффективности передачи поляризации. Смену знака поля необходимо проводить при малых градиентах поля. Для этого область Sona-перехода заключается в экран в виде трубки из мягкого железа диаметром 50 мм и длиной 155 мм. Снаружи экрана устанавливается катушка диаметром 600 мм. Поле катушки направлено противоположно полю сверхпроводящего соленоида. Это сделано по двум причинам. Вопервых, можно немного смещать точку перехода магнитного поля через нуль. Во-вторых, можно с помощью поля катушки уменьшить градиент магнитного поля в месте Sona-перехода. Например, при токе катушки 100 А положение точки перехода переместилось на 8 см против движения атомного пучка и уменьшился градиент магнитного поля (с учетом эффекта магнитного экрана) до величины dz ⁄ dz < 0,2 Гс⁄см. Именно такие условия позволяют достичь теоретически 100 % передачи поляризации от электрона протону. Катушка коррекции одновременно подавила остаточное поле сверхпроводящего соленоида в месте расположения ионизатора, что позволило значительно уменьшить ток разряда в высоковольтном поле экстрактора. После Sona-области уже в основном поляризованные по ядерному спину атомы водорода попадают в ионизатор, где они, рассеиваясь на парах натрия, преобразуются в ионы H–. Ионизатор находится в магнитном поле 0,15 Тл с тем, чтобы избежать деполяризации атомов из-за сверхтонкого взаимодействия. При выбранном поле такая деполяризация должна быть меньше 2,5 %. Однако такое поле приводит к увеличению эмиттанса поляризованного пучка H– на выходе из ионизатора. Приращение эмиттанса можно оценить из соотношения ∆ε n ≈ 1,6πBR 2 , 368

(1)

где B – магнитное поле в Тл, R – радиус ячейки ионизатора в см. Ненормализованный эмиттанс сосчитан для энергии атомного пучка 3 кэВ. Подставляя численные значения параметров в формулу (1), находим ∆ε n ≈ 0,2π см ⋅ мрад . (2) Эмиттанс пучка поляризованных атомов водорода, поступающих в ячейку ионизатора с диаметром 2 см, составляет всего 0,02π⋅см⋅мрад и практически не влияет на конечный эмиттанс, определяемый формулой (2). После ионизатора пучок H– попадает в СВЧ-квадруполь, имеющий аксептанс 0,2π⋅см⋅мрад (рис. 2).

Рис. 2. Схема инжекции поляризованных ионов H– в линейный ускоритель LINAC на 200 МэВ: OPPIS – поляризованный ионный источник с оптической накачкой (ПИИОН), SCS – сверхпроводящий соленоид, M1 и M2 – отклоняющие магниты, LSP – поляриметр на основе лэмбовского сдвига, optics box – помещение для лазерной установки, обеспечивающей накачку паров Rb; лазерный луч отсюда юстируется на ось пучка; SP – соленоид для поворота поляризации из горизонтального в вертикальное положение; H-source – сильноточный источник неполяризованных ионов H–, RFQ – СВЧ-квадруполь, Na-Jet – струйный Na-ионизатор

Следовательно, эти параметры практически согласованы. Отметим при этом, что значительная часть нейтрального пучка (около 70 %) на входе в ионизатор теряется из-за его большого размера. Для повышения надежности при длительной работе геометрия струйной мишени-ионизатора была изменена из горизонтальной в вертикальную (рис. 3).

369

Рис. 3. Na-ионизатор с вертикальной геометрией. К ионизатору приложено напряжение ∼35 кВ для ускорения ионов H– до 35 кэВ и их последующей инжекции в СВЧ-квадруполь

При этом сопло размещалось на крышке коллектора. Были применены новые нагреватели из инконеля (специальный сплав) диаметром 2,5 мм. Этот нагреватель в нижней части соединяется с втулкой через никелевую проволоку большого диаметра и длиной 25 см. В результате рабочая температура инконелевых нагревателей понизилась до 120 °С, и соответственно их можно было просто обмотать медной фольгой вместо пайки, как было раньше. Так удалось увеличить их надежность в работе. При рабочей температуре ∼ 500 °С наиболее горячие точки нагревателей не превышали допустимой температуры 120 °С. Температура коллектора поддерживалась в пределах 140±10 °С путем охлаждения обычной водой из системы циркуляционного водоохлаждения источника. Специальные меры по уплотнению соединений возвратной транспортной трубки с коллектором с одной стороны и с резервуаром для Na с другой сильно уменьшили нагрев этой трубки. Были выполнены измерения выхода ионов H– из ячейки в зависимости от температуры ионизатора для Na и Rb. Эти измерения показали, что выход H– достигает насыщения при достижении температуры в ∼ 350 °С для Rb и ∼ 500 °С для Na. Для Rb выход H– увеличивается с уменьшением энергии атомного пучка и при энергии в 1 кэВ составляет ∼ 16 %. Измерение поляризации пучка на выходе из источника выполняется с помощью поляриметра лэмбовского типа (рис. 4).

370

Рис. 4. Размещение элементов лэмбовского поляриметра, предназначенного для измерения поляризации пучка ионов H– при энергиях 2 – 35 кэВ

Этот поляриметр оптимизирован на работу с импульсными источниками поляризованных ионов. Его преимуществами являются высокая анализирующая способность и большая скорость счета. В результате точность измерения поляризации в 5 – 10 % может быть достигнута за пару минут. Ограничения в точности измерений возникают в основном из-за систематических ошибок. Тем не менее, как быстрый, абсолютный и онлайн-поляриметр он удобен при настройке источника и мониторировании поляризации. В источнике ПИИОН RHIC лэмбовский поляриметр используется в двух возможных конфигурациях. В первом случае измеряется поляризация ионов H– из источника. Для этого продольно поляризованный пучок ионов H– из источника с энергией ∼ 3 кэВ фокусируется электростатической линзой и отклоняется магнитом на угол 47,5° (см. рис. 4). При этом поляризация ионов поворачивается на 180° и остается попрежнему продольной, что и необходимо для лэмбовского поляриметра. Чтобы образовать метастабильные атомы водорода, надо сначала перезарядить H– в H0 (атом водорода), а затем в H+ (метастабильный атом водорода). Для этого ионы H– пропускаются через импульсный гелиевый ионизатор, размещенный в магнитном поле ∼ 1кГс для предотвращения деполяризации в этих процессах перезарядки. Пучок протонов поворачивается магнитным диполем на угол ∼ 5° и попадает в поляриметр (см. рис. 4). Поляриметр включает электростатическую линзу, Na-ячейку, спин-фильтр (комбинацию из соленоида с магнитным полем в 575 Гс и конденсатора), детектор фотонов и цилиндр Фарадея. 371

Во второй конфигурации поляриметра из натриевой мишениионизатора отбираются протоны. Хотя их доля составляет всего 0,3 % от выхода H–, однако их вполне достаточно для измерений. Эти поляризованные протоны поворачиваются магнитом на ∼ 100°, а поляризация остается по-прежнему продольной. Затем они поступают в тот же лэмбовский поляриметр, где измеряется их поляризация. Результаты измерений поляризации протонов в зависимости от толщины оптически ориентированной Rb мишени приведены на рис. 5. Как видно на рисунке, поляризация практически постоянна в интервале плотностей паров Rb в пределах (2 – 12)⋅1013 атомов⁄см2. Из-за нейтрализации протонов при малых плотностях Rb поляризация падает. В рабочей области ((5 – 10)⋅1013 атомов⁄см2) этот процесс приводит к деполяризации на уровне 2 – 3 % и средняя поляризация составляет ∼ 65 %. При больших плотностях снижение поляризации происходит из-за ослабления оптической накачки.

Рис. 5. Зависимость поляризации (левая шкала, треугольники) и тока выхода (правая шкала) ионов H– от толщины оптически ориентированных паров рубидия

В любом ионном плазменном источнике имеется примесь заряженных молекул H+2. В источнике ПИИОН возникают молекулы H–2, которые имеют в два раза меньшую энергию, чем основные ионы H–. Они представляют фон, причем поляризованный, и поэтому необходимо численно определить как величину фона, так и его вклад в поляризацию основного 372

пучка. На рис. 6 показан измеренный ток выхода отрицательных ионов в зависимости от приложенного к устройству ECR напряжения.

Рис. 6. Выходы отрицательных ионов из ECR в зависимости от приложенного к нему напряжения

Видно, что при напряжении 2 кВ наблюдается основной пик, а при ∼ 4 кВ наблюдается выступ, соответствующий фоновым молекулам. При импульсном питании этот выступ меньше (квадратики), чем при непрерывном режиме. Их вклад колеблется в пределах 5 – 10 %, а поляризация разбавляется на ∼ 2 – 3 %. Этот эффект наблюдается также и в струйной поляризованной мишени RHIC [Zelenski (2004)]. В заключение главы приведем сравнительные характеристики (табл. 2) импульсных источников поляризованных ионов.

373

Таблица 2 Сравнение характеристик источников поляризованных ионов Лаборатория ИЯИ РАН BNL ОИЯИ Juelich

Тип источника

Атомный пучок с квазирезонансным зарядовообменным плазменным резонатором Оптическая накачка Ионизатор атомного пучка с разрядником Пеннинга Атомный пучок с ионизатором на пучке Cs

Ток пучка (мА)

Поляризация

Длительность импульса (мкс)

Частота импульсов (Гц)

H+ – 11 H– – 3

0,8 0,9

200

10

H– – 1

0,7 – 0,8

500

1

D+ – 0,4

0,6

400

0,2

H– – 0,01

0,9

20

1

Заключение Выше были рассмотрены детально два источника поляризованных ионов, успешно представляющие сегодня два конкурирующих направления, а именно, поляризованный источник атомного пучка и поляризованный ионный источник с оптической накачкой. Оба метода дают поляризованные источники, отвечающие современным требованиям. Более того, оба направления имеют хорошие заделы для дальнейшего улучшения параметов пучков и удовлетворения непрерывно растущих потребностей специалистов по поляризационной физике. Список литературы Zelenski A. et al. In: Proc. 15th Int. Spin Physics Symp., Upton, New York, AIP 675 (2002) 881. Zelenski A. et al. In: Proc. 16th Int. Spin Physics Symp., Trieste, Italy (2004) 761.

374

Глава 4. Поляриметрия пучков В настоящее время поляризационные исследования ведутся во многих лабораториях мира с использованием поляризованных протонных, фотонных, электронных (позитронных) и мюонных пучков. Совсем недавно велись исследования и с поляризованными антипротонными пучками, полученными от антилямбда-распада [Carey (1990)]. Соответственно, физики разработали различные приборы для определения поляризаций этих пучков. Такие приборы называются поляриметрами. В этой главе мы дадим определения некоторых терминов, особенно еще не устоявшихся, сформулируем общие требования к поляриметрам, к необходимой точности в измерении поляризации пучков. Затем проведем классификацию поляриметров и дадим краткое физическое обоснования для поляриметрии. Будут представлены примеры поляриметров с момента зарождения поляризационной физики на ускорителях, включающие широкий диапазон энергий. Приведем также новейшие результаты по поляриметрии, полученные на ускорителях AGS и RHIC Брукхейвенской Национальной Лаборатории (БНЛ) США. На примере предполагаемого ускорения поляризованного пучка протонов на ускорителе У-70 проиллюстрируем схемы расчетов поляриметров. Кратко остановимся также на примерах применяемых в настоящее время поляриметров на поляризованных лептонных пучках. Поляриметрия является интенсивно развивающимся разделом поляризационной технологии и посвящена разработке методов измерения поляризации пучков и мишеней. Опишем процедуру измерения величины поляризации. Процесс рассеяния начального пучка на веществе поляриметра можно охарактеризовать тремя параметрами: поляризацией входного пучка, функцией отклика поляриметра, называемой обычно “анализирующей способностью” и асимметрией рассеянных в поляриметре частиц. Измерив асимметрию рассеянных частиц и зная один из оставшихся параметров из других измерений, можно определить последний искомый параметр. Некоторые термины в поляриметрии окончательно еще не устоялись. В связи с этим будет полезно позаимствовать некоторые определения и термины из оптики и, специально, из раздела оптики, посвященного поляризации света [Физический энциклопедический словарь (1984)]. Так, мы определим термин “поляриметрия” для характеристики совокупности систематических исследований, проводимых с целью разработки приборов, поляриметров, для измерения поляризации пучков и мишеней. Очевидно, как методы, так и приборы, применяемые в поляриметрии, будут зависеть от многих факторов. Например, от того, является ли взаимодействие, положенное в основу поляриметра, сильным, электромагнитным 375

или слабым. Все поляриметры, основанные на сильных взаимодействиях, являются относительными, так как для них невозможно априори предсказать ни величину, ни знак анализирующей способности. Примерами относительных поляриметров могут служить поляриметры, базирующиеся на ядерных реакциях упругого рассеяния, инклюзивного образования пионов и т.д. В противоположность этому, все поляриметры, построенные на электрослабых взаимодействиях, являются абсолютными поляриметрами, так как величина и знак их анализирующей способности могут быть расчитаны заранее. Примерами абсолютных поляриметров являются поляриметры Меллера, Мота, Комптона. Также абсолютными являются поляриметры, основанные на слабых взаимодействиях (распадах мюонов, гиперонов и т.д.). Особое положение занимают поляриметры, основанные на эффектах интерференции сильного и электрослабого взаимодействий. Назовем такие поляриметры смешанными или интерференционными (по аналогии с оптикой). В зависимости от доли вклада того или иного взаимодействия они могут быть ближе или к абсолютному или к относительному. Но никогда не могут приближаться к одному из этих классов. Это потому, что смешанные поляриметры основаны по определению на эффекте интерференции. Если этого эффекта нет, то нет и смешанных поляриметров. Рассмотрим пример pp-поляриметра на основе интерференции кулоновского и ядерного взаимодействий. Этот поляриметр является типичным примером смешанного поляриметра. Его, по принятым правилам, нельзя назвать абсолютным (хотя в обиходе его часто так и называют). Дело в том, что при расчете анализирующей способности для этого поляриметра приходится иметь дело со многими неизвестными заранее адронными амплитудами. Поэтому и прибор этот приходится заранее калибровать, как любой относительный поляриметр. В то же время абсолютный поляриметр в такой калибровке не нуждается. Также характеристики поляриметров зависят от кинематических переменных реакции, таких, как начальная энергия, углы рассеяния и энергия вторичных частиц. Так как поляризация является вектором, то для определения ее направления в пространстве необходимо измерить все три ее компоненты. Для этого требуется абсолютный поляриметр, в отличие от относительного поляриметра, определяющего только модуль вектора поляризации. Более подробно классификацию поляриметров рассмотрим ниже. Список литературы Carey D. et al. Nucl. Instr. Meth. A 290 (1990) 269. Физический энциклопедический словарь. М.: “Советская энциклопедия”, 1984, с. 572. 376

§47. Базовые соотношения в поляриметрии Лево-правая, или “сырая”, или экспериментальная асимметрия представляет непосредственно измеряемую в эксперименте разность выхода частиц n+ и n– для разной ориентации вектора поляризации пучка

r

r

(мишени) PB ( PT ), деленную на их сумму n = n++n–:

ε( x F , pT , s ) = (n+ − n− ) / (n+ + n− )

или

(1)

r r ε( x F , pT , s ) = AN ( x F , pT , s )PB ⋅ n • nP .

(2) r Здесь n обозначает орт (единичный вектор), перпендикулярный к r плоскости реакции, nP – орт вдоль вектора поляризации. Угол между ними обозначается как φ. Анализирующая способность или физическая асимметрия AN (xF, pT, s) в этой формуле представляет “сырую” асимметрию ε конкретного процесса, приведенную к 100 % поляризации пучка PB (или мишени PT); xF, pT, s обозначают параметр Фейнмана, переданный импульс и квадрат полной энергии сталкивающихся частиц в их системе центра масс (с.ц.м.) соответственно. Часто для краткости эти аргументы мы будем опускать. В поляриметрии важную роль играет фактор разбавления F или обратное ему отношение R = сигнал/(сигнал + шум)

R = S / (S + N ) = F −1 .

(3) К сожалению, в литературе существует разнобой в определении фактора разбавления. В §43, в разделе, посвященном мишени установки COMPASS, мы уже встречались с другим определением фактора разбавления, а именно, F = R = d. Это надо иметь в виду при чтении оригинальных статей. Фактор F количественно определяет вклад фоновых процессов и характеризует несовершенство поляриметра. В идеале должно соблюдаться равенство F = R = 1. С учетом этого фактора соотношение (1) переписывается в форме ε( xF , pT , s ) = (n+ − n− ) / F (n+ + n− ) . (4) Здесь по-прежнему n± обозначают выходы от полезной реакции, положенной в основу поляриметрии. Отсюда находим дисперсию сырой асимметрии

σ 2 (ε ) = F / n .

Из уравнения (2) можно получить другое полезное соотношение 377

(5)

σ 2 (ε ) ε2

=

σ 2 (PB )

PB2

+

σ 2 ( AN )

AN2

.

(6)

Соотношения (5) и (6) являются базовыми и широко используются в поляриметрии. Рассмотрим конкретный пример. Поставлена задача: определить, какую статистику надо накопить, чтобы найти с заданной относительной точностью δPB поляризацию пучка. Предполагается, что анализирующая способность измерена в отдельном опыте с высокой точностью. Из соотношений (5) и (6), пренебрегая членом, содержащим анализирующую способность, находим

N=

F

(εδPB )2

.

(7)

Отметим здесь два важных обстоятельства. Во-первых, измеряемая на опыте асимметрия ε оказывается в F раз меньше, чем физическая асимметрия (см. формулу (4)). Во-вторых, чтобы достичь нужной статистической точности δPB в измерении поляризации пучка, необходимо потратить в F раз больше времени, чем в отсутствие эффекта разбавления. Оба этих фактора встречаются, в частности, при работе с твердотельными поляризованными мишенями из органических материалов, где фактор F составляет ≈ 8 – 10. На сегодня наиболее выгодным по фактору разбавления является неорганический материал аммоний NH3, у которого F = 4,2. Уравнение (7) можно представить как соотношение для определения дисперсии поляризации пучка D(PB ) :

F

D(PB ) =

.

(8)

N ⋅ AN2 Счет N зависит от светимости L, дифференциального сечения I ис-

пользуемой в поляриметрии реакции и аксептанса детектора ∆Ω : N = L ⋅ I ⋅ ∆Ω . Из (8) и (9) следует

D(PB ) =

F L ⋅ I ⋅ AN2 ⋅ ∆Ω

.

(9) (10)

Одним из важных параметров поляриметра является фактор качества:

M = AN2 ⋅ I .

(11)

Из (10) видно, что чем больше фактор качества М (при фиксированных светимости, параметрах разбавления и аксептанса), тем лучше поляриметр, так как достигается наилучшая точность в определении поляризации 378

пучка. Фактор качества поляриметра M позволяет провести сопоставление разных поляриметров – чем больше M, тем лучше поляриметр.

§48. Классификация поляриметров Выше мы уже ввели первую классификацию поляриметров, основываясь на том, какой тип взаимодействия положен в основу данного поляриметра. Если в основе поляриметра лежит электрослабый процесс, то такой поляриметр будет абсолютным. Это значит, что величину и знак анализирующей способности данного поляриметра можно предсказать априори. Такой поляриметр с учетом конкретной аппаратуры можно применять для определения неизвестной поляризации пучка (мишени). Никакой дополнительной калибровки не требуется. К относительным поляриметрам мы причисляем те, в основу которых положено сильное взаимодействие. Так как пока нет количественной теории сильного взаимодействия, то параметры таких поляриметров заранее невозможно рассчитать. Эти поляриметры должны подбираться эмпирически (“эмпирические поляриметры”), т.е. экспериментально. Они должны калиброваться с помощью абсолютных поляриметров. Общая классификация поляриметров показана на рис. 1 [SPIN (1992)]. В этой схеме явно отсутствует еще один тип поляриметра, который строится на интерференционном эффекте между сильным взаимодействием и электрослабым. Примером смешанного поляриметра может служить поляриметр, построенный на основе кулон-ядерной интерференции (ПКЯИ). Этот поляриметр, как нуждающийся в калибровке, мы будем относить к относительным поляриметрам. После калибровки его, может быть, можно перевести в класс абсолютных поляриметров. Из рис. 1 можно видеть также, что поляриметры могут быть как работающие в линии (он-лайн), т.е. дающие информацию о поляризации пучка (мишени) непосредственно в ходе эксперимента и поляриметры вне линии (офф-лайн), обеспечивающие ту же информации после окончания набора статистики. Получение информации вне линии может происходить из-за медленного накопления статистики или сложности поляриметра, например, большого объема информации, или из-за необходимости тщательной обработки и введения разных поправок и т.д. Нетрудно понять теперь, что на лептонных пучках, как правило, используются абсолютные поляриметры, и они на сегодня обеспечивают самые высокие точности (≈ 1 %). Конструктивными мы называем те поляриметры, которые могут работать одновременно с основным экспериментом, не прерывая его, а деструктивными те, которые прерывают основной эксперимент специально для измерения поляризации пучка. Локальными поляриметрами считаются те, которые измеряют поляризацию в месте 379

взаимодействия пучка и мишени (мишень эксперимента) в случае опытов с фиксированной мишенью или в месте столкновения пучков (в коллайдерах). Поляриметры

Относительный

Абсолютный Конструктивный

Деструктивный

Конструктивный

Локальный

Деструктивный

Локальный

Он-лайн

Офф-лайн

Он-лайн

Офф-лайн

Он-лайн

Офф-лайн

Он-лайн

Офф-лайн

Обзорный

Обзорный

Рис. 1. Схема распределения поляриметров по классам

К обзорным поляриметрам относятся поляриметры общего назначения, используемые, например, для настройки ускорителя или его отдельных узлов, а также каналов транспортировки пучков. Конкретные примеры всех этих поляриметров будут рассмотрены ниже в соответствующих параграфах. Диаграммы упругого и неупругого процессов представлены на рис. 2 и 3. Они практически представляют диаграммы Фейнмана для всех применяемых сегодня на практике поляриметров высоких энергий, за исключением, может быть, комптоновского рассеяния. Для поляриметра комптоновского рассеяния достаточно заменить одну из протонных линий на фотонную линию, а обменные линии в одной диаграмме – на фотонную, а в другой – на бозонную линию. Практически все абсолютные поляриметры считаются в главном приближении однофотонного обмена, иногда с поправками на диаграммы более высокого порядка в исключительных случаях. Такие смешанные поляриметры, как поляриметр Примакова или ПКЯИ, можно рассматривать тоже в виде диаграмм с однофотонным и 380

однореджеонным обменами, чтобы получить интерференционные эффекты. Перейдем теперь к поляриметрии конкретных пучков.

(а) протон

(б) протон

протон

фотон

протон

реджеон

протон

протон

протон

протон

Рис. 2. Упругое рассеяние с фотонным (а) и с реджеонным (б) обменами

протон

фотон протон

(а)

протон

пион протон

протон

(б)

реджеон протон

протон пион

протон

Рис. 3. Неупругое рассеяние с фотонным (а) и с реджеонным (б) обменами

Список литературы SPIN Collaboration: Acceleration of polarized protons to 120 and 150 GeV in Fermilab main injector. University of Michigan Report, UM-HE 92-05 (1992).

§49. Поляриметрия протонных пучков Для того чтобы охватить широкий диапазон по энергии, далее рассмотрим возможные протонные поляриметры применительно к ускорителю У-70 на 70 ГэВ ИФВЭ (Институт физики высоких энергий, Протвино, Россия) и используемые в настоящее время поляриметры на RHIC (Relativistic Heavy Ion Collider, БНЛ, США). На примере первого ускорителя, параметры которого доступны, мы изложим схему расчета характеристик поляриметров. На примере второго ускорителя мы проиллюстрируем справедливость этих расчетов, учитывая, что в обоих случаях основные поляриметры практически будут одинаковы. 381

Предполагается, что поляризованный протонный пучок ускоряется в комплексе У-70 от 25 кэВ до 70 ГэВ (гл. 1 второй части книги). Источник выдает поляризованные отрицательные ионы водорода с энергией 25 кэВ, которые ускоряются до 100 кэВ и инжектируются в линейный ускоритель Урал-30. Затем происходит перезарядная инжекция протонного пучка с энергией 30 МэВ в Бустер-1,5, с выхода бустера протоны с энергией 1,5 ГэВ транспортируются и инжектируются в У-70. После ускорения поляризованного пучка протонов до 70 ГэВ он выводится из ускорителя быстрыми или/и медленными системами вывода пучка и распределяется по нескольким экспериментальным установкам с фиксированными мишенями. Главная цель этого раздела состоит в том, чтобы проанализировать возможные способы измерения поляризации пучка в соответствующих местах ускоряющей или транспортной цепочки. В 1981 г. было предложено ускорять поляризованный протонный пучок в У-70, используя технику “сибирских змеек” [Ado (1983)]. В то время предложение не было принято. Теперь представляется, что пришло время возобновить эту программу, особенно после успешного ввода в действие поляризованного пучка на RHIC с энергией

s = 200 ГэВ и многообе-

щающего продвижения к конечной энергии RHIC s = 500 ГэВ [Mackay (2004)]. На XI Рабочем cовещании по спиновой физике высоких энергий (Дубна, 2005 г.) эта тема подробно обсуждалась. Свои соображения относительно возможности ускорения поляризованного протонного пучка в синхротроне У-70 изложил Ю.М. Шатунов [Shatunov (2005)], относительно возможной поляризационной программы с использованием этого пучка выступил А.Н. Васильев [Vasiliev (2005)] и о поляриметрии рассказал С.Б. Нурушев [Nurushev (2005)]. Общий тон выступлений и обсуждений был положительным. Ниже на основе работы [Nurushev (2005)] обсуждаются поляриметры, необходимые для измерения поляризаций протонов в области энергии 30 МэВ – 70 ГэВ. Список литературы Ado Yu. M. et al. Proc. 1st Int. Workshop on Polarization Phenomena in High Energy Physics, Protvino, USSR (1983) 121. Shatunov Yu.M. In: Proc. 11th Workshop on High Energy Spin Physics, Dubna (2005) 531. Vasiliev A.N. In: Proc. 11th Workshop on High Energy Spin Physics, Dubna (2005) 449. Nurushev S.B. In: Proc. 11th Workshop on High Energy Spin Physics, Dubna (2005) 517. 382

§50. Ускорительный комплекс ИФВЭ У-70 Схема ускорительного комплекса для поляризованного протонного пучка с энергией до 70 ГэВ представлена на рис. 1.

7 2

PIBS

8

1 I.B.S.

U70 U70 U R A L 3 0

3 4

6

5 U1.5

Рис. 1. Комплекс У-70: 1. Неполяризованный ионный источник; 2. Поляризованный ионный источник; 3. СВЧ Линак Урал-30; 4. Бустер-1,5; 5. Транспортный канал от U1,5 до U70; 6. Ускоритель U70; 7. Вывод и транспортировка пучка; 8. Общие и локальные поляриметры

На рис. 1 перечислены все элементы ускорительного комплекса, на выходе из которых планируются измерения поляризации пучка. Начинаем последовательное обсуждение. §50.1. Поляриметр на 25 кэВ для источника атомного пучка

Источник поляризованного атомного пучка (ИПАП) (PABS) и поляризованный ионный источник с оптической накачкой (ПИИОН, OPPIS) были описаны в деталях в главе 3 второй части книги. В обоих случаях для измерения поляризации атомных пучков с энергиями 10 – 30 кэВ применялись поляриметры, основанные на лэмбовском сдвиге уровня атома водорода. Поляриметр работает следующим образом (см. рис. 2) [Belov (1987)]. Пучок поляризованных протонов фокусируется электростатической линзой /1/ на ячейку, заполненную парами натрия /4/. Положение пучка в вертикальной плоскости регулируется электростатическим корректором /2/. Вакуумные клапаны /3/ регулируют поток протонов. Внутри ячейки с натрием часть поляризованных протонов преобразуется в метастабильные

r0

атомы водорода H в состояниях α и β (2S1/2). Тогда перекрещенные по383

стоянные магнитные поля соленоида /5/ и электрическое поле конденсатора /6/ гасят β-состояние атома. Пучок метастабильных атомов, главным образом в α-состоянии, регистрируется специальным фотонным детектором /7/ с умножителем вторичных электронов. Пучок, проходящий через поляриметр, регистрируется цилиндром Фарадея /8/. Регистрируя темпы счета с различной начальной поляризацией протонного пучка, можно определить величину поляризации пучка. Она оказалась равной 76 ± 2 %. Время, необходимое для достижения этой точности, составляло приблизительно 1 мин. Поэтому такое устройство может использоваться как абсолютный поляриметр в режиме он-лайн. В нынешней конфигурации этот поляриметр является деструктивным, так как на время своей работы (1 мин) требует отвести поляризованный ионный пучок в сторону от трассы инжекции, т.е. прерывает эксперимент.

Рис. 2. Лэмбовский поляриметр для измерения поляризации положительных и отрицательных ионов водорода §50.2. Относительный поляриметр для энергии 30 МэВ

При создании относительного поляриметра для измерения поляризации пучка на выходе из линейного ускорителя Урал-30 можно было использовать богатый опыт, полученный физиками во всем мире. При этой энергии анализирующая способность для упругого протон-углеродного (рC) рассеяния была измерена с точностью порядка 1 %. Согласно этим результатам, относительный рC-поляриметр может быть построен для энергии 30 MэВ, используя рассеяние протонов на угол в 65° в лабораторной системе координат. В этом случае анализирующая способность, как ожидается, будет равна AN = (57,4 ± 0,9) %. Предположим, что мы непосредственно применяем эту технику в масштабе 1:1. Так как Урал-30 обеспечивает ток I = 3 мA и длительность банча 40 мкс, мы имеем число протонов в каждом банче, равное 7,5⋅1011. Предположим, что толщина мишени составляет 106,9 мг/см2 и ширина – 3 мм (размер пучка составляет приблизительно 30 мм). Для полезного телесного угла телескопа сцинтилляционных счетчиков Ω = 10-5 ср ожидается 60 событий на банч. При384

нимая во внимание 16 банчей и 6 циклов в минуту получим 6⋅104 событий за 10 мин. Такая статистика будет достаточна для достижения точности в 5 % при измерении поляризации пучка. Возможный вариант поляриметра для энергии 30 МэВ, показанный на рис. 3, успешно использовался в Аргоннской Национальной Лаборатории для измерения поляризации протонов с энергией 50 МэВ в инжекторе [Ratner (1974)]. Поляриметр работал на процессе упругого рассеяния протонов на углеродной мишени на угол 55º, где анализирующая способность составляет около 85 %, а дифференциальное сечение равно 10 мбарнам. Размеры мишени составляли 0,05 см (ширина), 7,5 см (высота) и толщиной 0,08 г/см2. Два симметрично расположенных телескопа состояли каждый из трех сцинтилляционных счетчиков. Толщины первых двух сцинтилляторов подбираются так, чтобы рассеянные протоны оставляли в них основную долю энергии. Затем с помощью тонких полиэтиленовых пластин перед третьим сцинтиллятором подавляется счет от неупругих процессов. Размер третьего сцинтиллятора был 4,04 см (ширина), 8,08 см (высота) и 1,6 мм (толщина). Этот счетчик был определяющим и находился на расстоянии 66 см от мишени. Он охватывал телесный угол 6,7 мср. Измерения пробега, ионизационных потерь и времени пролета обеспечивали достаточно чистое выделение упругого процесса. Для энергии 30 МэВ может быть использован тот же метод, только надо подобрать толщину фильтров перед последним счетчиком и переместиться к углу 65°.

Рис. 3. Возможный вариант поляриметра на выходе ускорителя Урал-30

385

§50.3. Поляриметр для Бустер-1.5

Известны измерения анализирующей способности pp -рассеяния в широком диапазоне энергий. Самый близкий к высшей энергии бустера эксперимент был выполнен в CERN на ускорителе PS [Albrow (1970)]. Для кинетической энергии протонов T = 1,34 ГэВ анализирующая способность под лабораторным углом ΘL = 12° составляет AN = (37±2) % (рис. 4). Было найдено, что дифференциальное сечение равно 66 мб/ср с точностью около 5 %. Предположим, что два сцинтилляционных телескопа будут совместно использоваться с телесным углом 0,7 мср каждый. Бустер может обеспечивать приблизительно 30 банчей с количеством протонов на банч 2⋅1011. Длительность банча очень мала, примерно 80 – 100 нс. Это условие накладывает серьезные ограничения на скорость сбора данных. В целях безопасности предполагается, что при проходе каждого банча через мишень мы можем считывать только одно событие. Это можно сделать, используя полиэтиленовую мишень толщиной около 50 – 100 мкм. Предполагая, что поляризация пучка составляет 70 %, можно ожидать, что точность в 5 % будет достигнута в течение пары часов.

Рис. 4. Анализирующая способность упругого рр-рассеяния при лабораторном угле 17° в зависимости от начальной кинетической энергии протона (это наиболее точные измерения, выполненные в Лос-Аламосе); покрывает нижний интервал энергии бустера У-70; кривая вычислена по фазовому набору Арндта

Возможный вариант поляриметра для Бустера-1,5, представленный на рис. 5, успешно используется в Дубне на синхрофазотроне для измерения поляризации протонных и дейтронных пучков как раз в области энергии бустера [Ажгирей (1992)]. Измеряется асимметрия в упругом протон386

протонном рассеянии с использованием полиэтиленовой мишени. Для вычета фона от квазиупругого рр-рассеяния используется углеродная мишень. Статистически более обеспечены данные при угле рассеяния в лабораторной системе 14°. Для лучшего отбора полезных событий нужно в переднем плече добавить еще по одному сцинтилляционному счетчику. Предпологается рассчитать и установить защиту вокруг аппаратуры.

Рис. 5. Возможный вариант поляриметра для бустера: Т – мишень (CH2 или C), S1-8 – сцинтилляционные счетчики, IC – ионизационная камера; базовый процесс поляриметра – упругое рр–рассеяние

Результаты измерений анализирующей способности полиэтиленовой мишени, полученные на установке рис. 5, представлены на рис. 6. Там же указаны результаты предыдущих измерений. Из этого рисунка видно, что при наибольшей энергии бустера анализирующая способность полиэтиленовой мишени близка к 35 %.

Рис. 6. Зависимость эффективной анализирующей способности AN(CH2) при рассеянии на угол 14° в л.с. от кинетической энергии протонов 387

§50.4. Поляриметры на энергию 70 ГэВ

Абсолютный и относительный поляриметры, которые создаются для основного ускорителя, должны работать от энергии инжекции 1,3 ГэВ до наивысшей энергии 70 ГэВ. Поляриметры должны контролировать поляризацию внутреннего пучка на всех стадиях его циркуляции. Прежде чем переходить к обсуждению конкретных поляриметров, надо зафиксировать основные параметры У-70, которые окажутся существенными при выборе поляриметра. В табл. 1 представлено большинство этих параметров [Тарасов (1964)]. Используя эти данные и привлекая дополнительные, можно оценить нужные характеристики пучка. Прежде всего, оценим поперечные размеры пучка. Зная из табл. 1 эмиттанс пучка и из дополнительных источников – амплитудную функцию, можно найти поперечные размеры пучка при 70 ГэВ из соотношений

σi =

ε i βi εi , σ& i = . 6π 6πβi

(1)

Здесь σi , где i = x, y, представляет поперечный размер пучка в соответствующих

направлениях,

σ& i

–

угловая

расходимость

пучка;

εi , βi , i = x, y обозначают эмиттанс (содержит 95 % пучка) и амплитудную функцию соответственно. Струйная мишень располагается на прямолинейном участке кольца между укороченными блоками D∗ и F∗. Здесь амплитудные функции равны β x , β y = 25 м. Отсюда находим для пучка с энергией 70 ГэВ, что его поперечные размеры равны σ x = 2,4 мм и

σy =

2,1

мм,

а

угловые

расходимости

равны

соответственно

σ& x ≈ 0,1 мрад, σ& y ≈ 0,1 мрад . Те же параметры при энергии инжекции составляют σ x = 17,6 мм и σ x = 15,4 мм, а угловые расходимости равны

& x ≈ 0,7 мрад, σ& y ≈ 0,7 мрад . Забегая вперед, заметим, соответственно σ что струя (полная ширина на полувысоте – 6 мм) перекрывает пучок полностью при 70 ГэВ и только 1/6 часть его – при энергии инжекции. В результате сможем измерить среднюю по всему пучку поляризацию при 70 ГэВ. Что касается поляризации пучка при 1,3 ГэВ, то за один раз мы измеряем поляризацию только 1/6 части пучка. Этого недостаточно, и надо думать о возможности сканирования пучка или мишени с целью измерения поляризации всего пучка. Из известных поляриметров слабой зависимостью от энергии обладает только поляриметр на кулон-ядерной интерференции (ПКЯИ). Этот поля388

риметр удовлетворяет и другому важному критерию – он обладает самым высоким фактором качества (FoM). И третий немаловажный факт – ПКЯИ был успешно реализован при энергии 100 ГэВ на RHIC. Эти обсуждения приводят нас к выбору pp- и рC-поляриметров в области кулон-ядерной интерференции (CNI), таким, как они были реализованы на RHIC [Bravar (2004), Jinnouchi (2004)]. Поэтому в дальнейшем мы кратко описываем два внутренних абсолютных поляриметра типа ПКЯИ и два возможных внешних поляриметра, а именно, один – относительный инклюзивный поляриметр на заряженных пионах, а второй – абсолютный поляриметр, основанный на упругом pp-рассеянии. 1. CNI pp-поляриметр на поляризованной струйной мишени с регистрацией протона отдачи

pp-поляриметр, основанный на эффекте кулон-ядерной интерференции (CNI), при 70 ГэВ имеет большое дифференциальное сечение в области пика CNI:

(

)

dσ − t ≈ 3 ⋅ 10 −3 (ГэВ / с )2 ≈ 100 мб / (ГэВ / с )2 . dt

(2)

Его средняя анализирующая способность составляет около 2 %. Поэтому фактор качества – около значения FoM ≈ 4⋅10-2 (мб/(ГэВ/с)2). Схема этого поляриметра представлена на рис. 7.

Рис. 7. Схема абсолютного CNI-поляриметра на RHIC, основанного на упругом pp-рассеянии; разрешение по энергии протонов отдачи < 50 кэВ, по времени пролета < 2 нс, по углу ~ 5 мрад; индексы b и t обозначают пучок и мишень 389

Возможно, такой же поляриметр будет использоваться на синхротроне У-70. Поляризованная струйная мишень (ПСМ) имеет поверхностную плотность струи 1012 p⋅см-2, поляризацию PT = (92 ± 1,8) %, размер струи 5 мм (ПШПВ – полная ширина на половине высоты) и работает в режиме постоянного тока. Два блока силиконовых стриповых детекторов с габаритными размерами 72 × 64 мм2 каждый помещены слева и справа от пучка на расстоянии около 80 см от ПСМ. Во-первых, чтобы измерить анализирующую способность реакции упругого рр-рассеяния, надо неполяризованный протонный пучок с энергией 70 ГэВ рассеивать на ПСМ. Оценим ожидаемую интенсивность в секунду для неполяризованного пучка ускорителя У-70, принимая следующие параметры. Внутренний поток пучка в секунду составляет I = 5⋅1012⋅ f, где f = 200 кГц, так что I = 1018 протонов/с. Так как фактор скважности для У-70 равен 0,2, получаем эффективную интенсивность пучка как 2⋅1017 протонов/с. Для сравнения можем оценить тот же самый параметр для RHIC. RHIC в настоящее время использует 55 банчей с 5⋅1010 протонов в банче. Частота циркуляции пучка равна 78 кГц. Таким образом, для RHIC интенсивность пучка тоже составляет 2⋅1017 протонов/с. Как видим, ситуация на текущий момент по интенсивности пучков на У-70 и на RHIC ( s = 200 ГэВ) одинакова. Мы знаем, что в ближайшие пару или тройку лет RHIC увеличит энергию до 250 ГэВ в каждом кольце, а интенсивность увеличится минимум на порядок, тоже в каждом кольце. Для дальнейших оценок берем параметры ПСМ на RHIC как базовые также и для У-70. Так что мы должны ожидать ту же самую светимость и приблизательно такой же темп счета, как и на RHIC. Чтобы оценить скорость счета, можно выбрать один (или оба) из следующих путей. Если имеются достоверные данные по дифференциальным сечениям случае упругого рассеяния [Кузнецов (1981)] или

dσ в dΩ

dσ в случае инклюdΩdE

зивного процесса [Божко (1980)], ожидаемую скорость счета поляриметра можно оценить из соотношения N e = L ⋅ ∆σ (3)

Здесь L – светимость, а ∆σ – эффективное сечение, соответствующее полезному аксептансу поляриметра. В случае упругого рассеяния

∆σ =

dσ ∆Ω ⋅ κ dΩ

и для инклюзивной реакции 390

(4)

∆σ = ∆Ω ⋅ ∆E ⋅ κ

dσ . dΩdE

(5)

Здесь ∆Ω – телесный угол поляриметра, ∆E и κ – его энергетическая полоса захвата и эффективность соответственно. Для определения светимости необходимо знать еще поверхностную плотность мишени NT. Тогда светимость равна L = NB (протоны/с)⋅ NT (протоны/см2). (6) Мы сделали следующие предположения. Для упругого дифференциального pp-сечения при 70 ГэВ/c взяли экспоненциальную зависимость от t. Параметр наклона известен из эксперимента: B = 11,3 (ГэВ/c)-2. Значение дифференциального сечения при t = 0 вычислили из оптической теоремы, пренебрегая действительной частью амплитуды. Интервал измерения был принят как на RHIC, а именно, 0,002 ≤ |t| ≤ 0,02 (ГэВ/c)2. Азимутальное покрытие было принято равным

δφ = 0,086 . Это соответствует φ

указанным выше габаритным размерам блоков детекторов. Таким образом, эффективное сечение равно 100 мкб. Умножая это число на светимость, получим N = 20 событий/с. Чтобы достигнуть точности в 5 % при калибровке анализирующей способности требуется приблизительно 1,2⋅106 событий. Такое число событий может быть накоплено приблизительно за 17 ч работы ускорителя У-70. Итак, зная поляризацию ПСМ PT, мы находим анализирующую способность AN реакции упругого ppрассеяния из соотношения εT = AN PT , где εT – сырая асимметрия, измеренная на поляризованной струйной мишени с неполяризованным протонным пучком. На втором этапе измеряется поляризация пучка. При этом используется неполяризованная струя. Сырая асимметрия в этом случае определяется соотношением, аналогичным предыдущему случаю, а именно, ε B = AN PB . Из этих двух измерений находим поляризацию пучка, используя соотношение PB =

εB PT . Этим завершается калибровεT

ка поляризации пучка. В случае измерения поляризации пучка эта поляризация может быть определена с точностью 5 % приблизительно за 28 ч. Имеется вторая возможность определения поляризации пучка одновременно с измерением параметра спиновой корреляции. В этом случае и мишень и пучок должны быть поляризованы. Абсолютная калибровка поляризации занимает, как видно, много времени и не подходит для таких оперативных работ, как настройка ускорителя при работе с поляризованным пучком. Для этого нужен, хотя и отно391

сительный, но значительно более быстрый поляриметр. О таком поляриметре идет речь ниже. Отметим одну особенность этого поляриметра, которая представлена на рис. 8. Протоны отдачи имеют очень малую кинетическую энергию порядка 1 – 10 МэВ. При выходе из мишени их траектории заметно искривляются удерживающим поляризацию магнитным полем (внутренняя катушка Гельмгольца, поле показано стрелками вверх). Чтобы скомпенсировать это поле, внешняя катушка Гельмгольца возбуждает магнитное поле противоположной полярности. Распределение суммарного поля вдоль трассы протонов показано на верхнем графике. Идея состоит в том, чтобы занулить интеграл по полю. В целом это достигается, хотя не идеально. На нижнем графике представлены отклонения от трассы, когда не было бы магнитного поля (ось абсцисс). Рассмотрены два случая. В одном протоны имеют малый импульс, равный 30 МэВ/с (верхняя линия).

Рис. 8. Распределение удерживающего поляризацию магнитного поля вдоль трассы протона отдачи

В другом случае протоны имеют импульс 100 МэВ/с (нижняя линия). Как и следовало ожидать, наиболее подвержены искажению траектории протонов очень малых энергий. Но они и нужнее в поляриметрии, так как максимальная анализирующая способность достигается при импульсе протона отдачи порядка 30 МэВ/с. Это напоминает о необходимости тщательной экранировки от магнитных полей трассы протонов отдачи. 2. рC-поляриметр отдачи для области CNI

Использование рC-поляриметра будет полезно благодаря очень высокой светимости и большому сечению. Предположим, что будем использовать ту же самую аппаратуру, как и на AGS (см. рис. 9; на RHIC диаметр “детектора” (окружности, на которой детектор расположен) равен 80 см). 392

В этом случае углеродная ленточная мишень с поверхностной плотностью 3,5 мкг/см2 [Jinnouchi (2004)] содержит 1,75⋅1017 атомов углерода/см2, что позволяет достигнуть на У-70 светимости порядка L = 3,5⋅1034 см–2 с–1. Считая сечение для установки порядка 9,5 мб, можно ожидать темп счета порядка 3,3⋅108 событий/с. Естественно, следует уменьшить этот темп счета с коэффициентом 104 – 105. Это может быть выполнено несколькими способами. Один путь, например, состоит в том, чтобы использовать мишень очень маленькой ширины по сравнению с размером пучка. В этом методе придется сканировать пучок, чтобы получить \среднюю, а не локальную, поляризацию пучка. На RHIC ленточная мишень имеет ширину 5 мкм, в то время как размер пучка – около 1 мм. Поэтому ожидается, что темп счета уменьшится в 200 раз. Использование той же самой мишени на У-70 при размере пучка около 20 мм ведет к фактору подавления темпа счета 4⋅103. Таким образом, темп счета становится равным 8⋅104 событий/с, что является приемлемым. Если мы хотим измерить поляризацию пучка с точностью 5 %, и средняя анализирующая способность в реакции рC составляет 1 %, то мы должны накопить статистику порядка 8⋅106 событий. Поэтому измерение в одной точке будет занимать 100 с. Для наивысшей энергии У-70 с плато длительностью 2 с результат может быть получен приблизительно за 50 с. При нарастании энергии можно пожелать сделать измерения в 10 точках. Тогда такие измерения займут приблизительно 1000 с. Так что поляриметр на реакции рC – самый быстрый поляриметр. Такой быстрый поляриметр мог бы быть очень полезен в настройке ускорителя, в борьбе с деполяризующими резонансами, и т.д.

Рис. 9. Поляриметр на базе упругого кулон-ядерного рассеяния протонов на ядрах углерода; этот прибор сейчас используется на AGS 393

Имеется другой путь уменьшения темпа счета непосредственно, уменьшая интенсивность пучка. В этом случае существенной проблемой будет контроль циркулирующего пучка низкой интенсивности. Оптимум может быть найден, комбинируя эти два метода. 3. Внешний инклюзивный пионный поляриметр

После ввода в действие ускорителя У-70 были проведены измерения выходов частиц в инклюзивных реакциях с использованием внутренних мишеней. Угол рождения частиц менялся от 0 до 15 мрад и диапазон импульсов вторичных частиц составлял 10 – 60 ГэВ/c. Частицы направлялись в канал номер 2 (рис. 10). Эффективный телесный угол и диапазон импульсов в канале были заданы коллиматорами, магнитными диполями и квадруполями. Отбор и идентификация частиц осуществлялись при помощи сцинтилляционных счетчиков, пороговых и дифференциальных черенковских детекторов. Импульс частиц измерялся также черенковскими детекторами. Контроль начальной интенсивности пучка осуществлялся двумя телескопами из сцинтилляционных счетчиков [Gorin (1971)]. Теперь предлагается использовать канал 2 (или 14) и усовершенствованную аппаратуру для измерения поляризации циркулирующего пучка, зная анализирующую способность в инклюзивном рождении пионов. Поляризованный протонный пучок с поляризациями вверх или вниз соударяется с внутренней углеродной мишенью, представляющей собой фольгу с размерами 50 мкм (ширина) × 5 см (высота) × 20 мкм (толщина). Тогда мы будем иметь светимость 1035 см–2⋅с–1. Так как в области pT ≥ 1,0 ГэВ/c и xF ≥ 0,5 ожидается существенная анализирующая способность, соответствующие угол рождения и импульс вторичных частиц должны быть отобраны согласно этому требованию. В работе [Bozhko (1980)] измерялось дифференциальное сечение реакции p + Be при 67 ГэВ/c. Самый большой достигнутый угол рождения составил 20 мрад, а импульс отрицательных пионов – 34 ГэВ/c. Дифференциальное сечение в лабораторной системе –

dσ мб = 11 . dω ⋅ dp ср ⋅ ГэВ

При импульсной полосе пучка 2 % и эффективном телесном угле 8 мкср ожидается темп счета 3⋅104 событий/с. Предполагая, что под тем же самым углом можно наблюдать отрицательные пионы с более высоким импульсом (например, 50 или 60 ГэВ/c), и выход таких частиц падает на два порядка, все еще можно измерить поляризацию пучка с желаемой точностью 5 % примерно за 20 мин. Это будет быстрый относительный поляриметр, работающий на линии с ЭВМ. Он может быть крайне полезным при настройке ускорителя с поляризованным пучком. 394

Рис. 10. Схема канала транспортирования пучка номер 2 ускорителя У-70, который может использоваться с указанной экспериментальной установкой в качестве относительного поляриметра для внутреннего поляризованного пучка У-70: P – циркулирующий протонный пучок; T – внутренняя мишень; K1, K2, K3 – коллиматоры; M1, M2, M3 – поворотные магниты; A1-A3, S1-S6 – сцинтилляционные счетчики; C1-C3 – пороговые черенковские детекторы; D1, D2 – дифференциальные черенковские детекторы; P123 и F1234 – телескопы сцинтилляционных счетчиков для контроля интенсивности внутреннего протонного пучка, падающего на мишень

Надо отметить, что до настоящего времени не имеется прямого измерения анализирующей способности положительных и отрицательных пионов при 70 ГэВ/c. Авторы брали интерполированные значения анализирующей способности между 22 и 200 ГэВ/c. Однако точность такой интерполяции сомнительна. Кроме того, экспериментальные данные не позволяют измерять поляризацию пучка с необходимой точностью в 5 %. Поэтому на У-70 должны быть проведены измерения с требуемой точностью. Для этого мы далее обсудим абсолютный поляриметр, основанный на упругом pp-рассеянии. 4. Внешний абсолютный поляриметр на базе упругого pp-рассеяния

При 70 ГэВ/с имеется только одна экспериментальная точка, измеренная в Фермилаб, по поляризации в упругом pp-рассеянии. Данные пока395

зывают, что P = (2 ± 1,3) % при t = –0,3 (ГэВ/c)2. Более точное измерение поляризации в упругом pp-рассеянии при 45 ГэВ/c было выполнено коллаборацией HERA [Gaidot (1976)]. Было найдено, что среднее значение поляризации для диапазона 0,2 ≤ –t (ГэВ/c)2 ≤ 0,3 составляет P = (2,23 ± 0,15) %. Сечение этой реакции также было измерено с хорошей точностью. Поэтому сначала мы можем выводить неполяризованный пучок изогнутым кристаллом при этой энергии (У-70 должен быть настроен на энергию 45 ГэВ) и калибровать нашу аппаратуру с поляризованной мишенью. Затем мы должны перейти к энергии 70 ГэВ и провести детальные измерения анализирующей способности. Если анализирующая способность близка к 2 %, как это было показано экспериментом в Фермилаб, мы должны достигнуть лучшей, чем 5 % точности измерения поляризации мишени. Так что будем иметь абсолютный поляриметр при 70 ГэВ/с. Тогда можно использовать ту же самую мишень без поляризации для рассеивания поляризованного пучка 70 ГэВ/c, и мы можем измерять поляризацию пучка при этой энергии с необходимой точностью. Более того, если позволят система вывода и канал транспортировки, то эта методика может быть использована во всем диапазоне ускорителя У-70. Особенно выгодной становится эта методика с уменьшением энергии пучка, так как при этом растет анализирующая способность упругого рррассеяния. Темп счета может быть оценен при предположении, что мы используем аппаратуру коллаборации HERA [Gaidot (1976)] и измеренное ими дифференциальное сечение при –t = 0,3 (ГэВ/c)2. Точность в 5 % может быть достигнута приблизительно за 10 ч, если интенсивность пучка составляет 2⋅107 поляризованных протонов за цикл. Возможный вариант внешнего абсолютного поляриметра общего назначения, в том числе для настройки У-70, представлен на рис. 11. Он был успешно применен для измерения поляризации частиц и античастиц в эксперименте HERA в ИФВЭ [Gaidot (1975)]. Основные результаты обсуждения протонных поляриметров представлены в табл. 1. Вакуум в У-70 в среднем составляет 10–6 Торр, в то время как он составляет 2⋅10–7 в AGS и лучше 10–8 в RHIC. В связи с этим необходимо оценить ожидаемый фон на детекторах отдачи от взаимодействия циркулирующего пучка с остаточным газом в кольце. Опасным с точки зрения такого фона является так называемая “видимая” детектором область пучковой камеры. Поскольку детектор отдачи поляриметра определяет вершину взаимодействия только по времени пролета, то его временное разрешение ∆τ и дает длину этой области как l = c⋅∆τ (для фона релятивистских частиц). С обычным запасом возьмем 396

эту область как 3l. С учетом ∆τ = ±2 нс находим эту область как равную ±180 см по отношению к центру поляризованной струйной мишени. Итак, суммарная длина “фоновой” области составляет 360 см. Нужно определить количество и тип ядер, находящихся в этой области и сравнить с плотностью ядер (протонов) в рабочей мишени.

Рис. 11. Возможный вариант внешнего абсолютного протонного поляриметра общего назначения; используется процесс упругого рассеяния протонов на поляризованной протонной мишени; базируется на 14-ом канале на установке ПРОЗА с модификацией аппаратуры для регистрации упругого рассеяния

Количество таких атомов N(A) = (10–6/760) nL, где nL – число Лошмидта nL = 2,68⋅1019A/см3. Отсюда находим N(A) = 3,53⋅1010 A/см3. Следовательно, поверхностная плотность будет равна nS = 1,27⋅1013 A/см2. Это число необходимо сопоставить с поверхностной плотностью рабочего вещества поляризованной мишени, равной 1012 p/см2. Как видно, количество ядер фонового материала превышает количество поляризованных протонов на порядок. Если учесть, что средний атомный вес ядра в фоне составляет A = 28, мы получаем еще один порядок в пользу фона. Отсюда следует, что мы должны улучшить вакуум в месте расположения струйной мишени на три порядка, то есть до 10–9 Торр. В заключение отметим, что программа ускорения поляризованного протонного пучка на синхротроне У-70 потребует создания набора абсолютных и относительных поляриметров. В этом сообщении была сделана попытка рассмотреть достижения других исследовательских лабораторий и найти эффективные инструменты для поляриметрии. Два внутренних 397

абсолютных pp и рC CNI поляриметра были отобраны, следуя опыту RHIC. Предложены два новых внешних поляриметра. Показано, что подходящими поляриметрами для Урал-30 и Booster-1,5 являются упругие рC- и pp-рассеяния. Это – первый шаг для поиска эффективной поляриметрии для поляризованного пучка на У-70. Исследования будут продолжены. Таблица 1 Сравнительные характеристики поляриметров для протонных пучков на RHIC и на У-70 Реакция 1. p↑ + p → p + p , 100 ГэВ/с 10–3≤ |t| (ГэВ/с)2 ≤ 2⋅10–2,

∆σ , мкб 100

M, мкб 4⋅10–2

1

9530

0,953

Углеродная фольга, Si детекторы

20

0,06

2⋅10–3

Внутр. мишень, вывод π– в канал №2,

Необходимо калибровать поляриметр

2,23 ± 0,15

120

3⋅10–2

37± 2

46

6

ППСМ установки ПРОЗА и сцинт. годоскопы CH2 мишень и два телескопа

Абсолютный поляриметр (АП) для внутр. и внеш. пучков ОП (относительный поляриметр) в линии

57,4 ± 0,9

0,15

0,05

С мишень, сцинт. счетчики

ОП в линии

100

-

-

ВЧгенератор, γ-детектор

АП в линии

AN, % 2± 0,3

∆φ / φ = 8,6 ⋅10 −2 2. p↑ + C → p + C , 100 ГэВ/с 7⋅10–3≤ |t| (ГэВ/с)2 ≤ 3⋅10–2,

∆φ / φ = 0,13 3. p↑ + A → π− + X , 70 ГэВ/с

xF ≈ 0,5, pT ≈ 0,7 ГэВ/с; ∆p/p ≈ ±1 %, ∆Ω ≈ 8 мкср 4. p↑ + p → p + p , p + p↑ → p + p, 70 ГэВ 0,2 ≤ –t (GeV/c)2 ≤ 0,3 5. p↑ + p → p + p . 1,34 ГэВ, θлаб = 12°, ∆Ω ≈ 0,7 мср 6. p↑ + C → p + C , 30 МэВ, θлаб = 65°, ∆Ω ≈ 10 мкср 7. H + + Na − → H 0 + Na 0 10 КэВ

398

Установка

Пояснение

ППСМ, nT =1012 p/см2; Si детекторы

В основе – поляриметр на RHIC. Регистрируются протоны отдачи Нет данных по дифф. сечениям. Детали оценок см. текст

Список литературы Ажгирей Л.С. и др. Письма в ЭЧАЯ № 4 113 (2002) 51. Божко Н.И. и др. Ядерная физика 31 (1980) 1494. Кузнецов А.А. и др. Ядерная физика 23 (1981) 142. Тарасов Е.К. Препринт ИТЭФ № 232, Москва (1964). Albrow M.G. et al. Nucl. Phys. B23 (1970) 445. Belov A.S. et al. Nucl. Instr. Meth. A255 (1987) 442. Besset D. et al. Nucl. Phys. A345 (1980) 435. Bevington P.R. et al. Phys. Rev. Lett. 41 (1978) 384. Bravar et al. In: Proc. 16th Int. Spin Physics Symp, Trieste, Italy (2004) 507. Bugg D.V. et al. J. Phys. G4 (1978) 1025. Cheng D. et al. Phys. Rev. 163 (1967) 1470. Gaidot A. et al. Phys. Rev. Lett. B57 (1975) 389. Gaidot A. et al. Phys. Lett. 61 (1976) 103. Gorin Yu.P. et al. YaF. 14 (1971) 994. Greeniaus L.G. et al. Nucl. Phys. A322 (1979) 308. Jinnouchi O. et al. In: Proc. 16th Int. Spin Physics Symp., Trieste, Italy (2004) 515. McNaughton M.W. et al. Phys. Rev. C24 (1981a) 1778. McNaughton M.W. et al. Phys. Rev. C23 (1981b) 1128. McNaughton M.W. et al. Phys. Rev. C23 (1981a) 838. Ratner L. In: Proc. Symp. on High Energy Physics with Polarized Beams, Argonne, Illinois, I (1974) 1.

§51. Поляриметрия электронных пучков В этом параграфе будут рассмотрены три типа поляриметров для электронных пучков, которые хорошо изучены и широко применяются в поляриметрии. Это поляриметр Мотта, поляриметр Меллера и комптоновский поляриметр. 1. Поляриметр Мотта

Поляриметр Мотта [Woods (1994)] основан на зависимости дифференциального сечения рассеяния поперечно-поляризованного электрона на электронах тяжелых ядер от поляризации электрона. Обзор по этой теме можно найти в статье [Gay (1992)]. В SLAC были построены три таких поляриметра, и все они практически используются либо при разработке источников поляризованных электронов [Hopster (1988)], либо в экспериментах по проверке пространственной или временной четностей [Haeberly (1992)]. Это связано с тем, что анализирующая способность поляриметра Мотта значительна при малых энергиях и быстро спадает с ростом энер399

гии. Так, вблизи угла рассеяния 90° анализирующая способность составляет 29 % при 3 МэВ и падает до 5 % при 15 МэВ [Haeberly (1992)]. При настройке источников поляризованных электронов в SLAC поляриметр Мотта позволил достичь точности измерения поляризации пучка электронов с энергией около 200 кэВ порядка 2 %. 2. Поляриметр Меллера

Этот поляриметр [Møller (1932)] является абсолютным, поскольку он базируется на реакции упругого рассеяния двух продольно поляризованных электронов: e(→) + e(→) = e + e . (1) Символы электронов снабжены в скобках горизонтальными стрелками, обозначающими, что электроны продольно поляризованы. В экспериментах с поляризованными электронными пучками в SLAC широкое распространение получили именно эти поляриметры. Этому есть объяснение. Во-первых, кинематика реакции очень проста, и это упрощает конструкцию аппаратуры. Во-вторых, дифференциальное сечение этой реакции точно рассчитывается, а именно, в с.ц.м. оно имеет вид [Band (1994)]

(

)[ 2

]

dσ α 2 3 + cos 2 θ = (2) 1 − PzB ⋅ PzT ⋅ Az (θ) , 4 dΩ s sin θ где s – квадрат полной энергии начальной системы двух электронов, θ – угол рассеяния электрона в с.ц.м., α – постоянная тонкой структуры; про-

дольные поляризации пучка и мишени обозначены PzB , и PzT соответственно. Меллеровская асимметрия обозначена как Az(θ) и также теоретически вычисляется Az (θ) =

(7 + cos )sin θ . (3 + cos θ) 2

2

2

2

(3)

Из формулы (3) видно, что анализирующая способность достигает наибольшего значения вблизи θ = 90°. При этом в лабораторной системе оба электрона вылетают под одинаковыми углами и одинаковыми энергиями. В общем случае упругого рассеяния частиц с одинаковыми массами их углы вылета в лабораторной системе ϑ1 и ϑ2 связаны соотношением

ctgϑ1 ⋅ ctgϑ2 = 400

E+m , 2m

(4)

где E и m соответственно – полная энергия начального электрона в лабораторной системе и его масса. Нетрудно оценить отсюда, что для угла рассеяния 90° в с.ц.м. ϑ1 = ϑ2 = ϑ и угол рассеяния в лабораторной системе ϑ определяется из соотношения

tgϑ =

2m . E+m

(5)

Для энергии 50 ГэВ этот угол составляет 4,4 мрад. А энергия каждого конечного электрона равна 25 ГэВ. В качестве поляризованной электронной мишени, как правило, используется тонкая фольга из сплава железа и кобальта с небольшой добавкой ванадия. С начала 1992 г. по 1996 г. были построены пять таких поляриметров. Два из них использовались для задач самого коллайдера SLC, в то время как три других были предназначены для экспериментов по изучению спиновых структурных функций нуклона, а именно, экспериментов E142, E143 и E154. Ниже мы дадим описание поляриметра эксперимента E154. В дальнейшем этот поляриметр использовался также в эксперименте E155 [Band (1996a)]. Продольно-поляризованный электронный пучок с энергией Е = 48,3 ГэВ рассеивается на мишени из шести фольг толщиной в пределах 20 – 154 мкм. Плоскость мишени наклонена к оси пучка под углом 20,7°. Детектируются рассеянные электроны в пределах полярных углов 3,59 – 8,96 мрад в лабораторной системе (94 – 105° в с.ц.м.). Специальная система коллиматоров (названная авторами маской) выделяет постоянный интервал азимутальных углов в пределах 0,20 – 0,22 рад. Выделенные электроны отдачи разбрасываются септумом с магнитным полем 1,1 Тл в горизонтальной плоскости и регистрируются стриповыми кремниевыми детекторами. При этом оба электрона попадают в одни и те же детекторы в силу двухчастичной релятивистской кинематики. Электронная мишень намагничивается двумя катушками Гельмгольца. Эти же катушки реверсируют направление поляризации мишени перед каждым новым набором статистики. Поляризация электронов мишени определяется соотношением ⎛ g '−1 ⎞ ⎛ g e − 1 ⎞ M ⎟. ⎟×⎜ × ⎜⎜ PT = (6) neµ B ⎝ g ' ⎟⎠ ⎜⎝ g e ⎟⎠ Здесь M представляет намагниченность электронной мишени, ne – электронную плотность, µB означает магнетон Бора, ge – гиромагнитное отношение для свободного электрона и g’ – так называемое магнитномеханическое отношение для ядра мишени. Все величины известны из стандартных таблиц, кроме g′ и M. Параметр g′ был измерен в работе 401

[Scott (1969)] для сплава, содержащего 50 % железа и 50 % кобальта (без ванадия). Он оказался равным g′ = 1,916±0,002. Для определения поляризации электронов мишени, надо найти еще намагниченность M, которая связана с индукцией B и магнитным полем H соотношением 4πM = B – H. (7) Фактор M был измерен специально путем помещения ферромагнитной фольги между так называемыми пикап-катушками. При сканировании фольги магнитными полями в пределах от –100 Гаусс до +100 Гаусс в пикап-катушках индуцируются напряжения. По закону Фарадея величина возникшего в фольге магнитного поля равна разности интегралов от наведенных напряжений при наличии и отсутствии фольги внутри катушки. Суммарная относительная ошибка в измерении поляризации электронной мишени с учетом всех факторов была найдена равной 1,7 % [Band (1996b)]. Были исследованы на предмет поляризации шесть пермендюровых фольг с разными толщинами при одинаковых ширине 3 см и длине 39 см. Для фольги толщиной 20 микрон измеренная поляризация оказалась равной 8,03 %, для 30-, 40- и 154-микронных фольг – 8,14 %. Систематическая ошибка измерений составила 1,7 %. Для первых экспериментов по измерению спиновых структурных функции использовался одноплечевой спектрометр, т.е. регистрировалась одна частица отдачи. Начиная с эксперимента Е143 применяют двухплечевые спектрометры. В этом случае оба рассеянных электрона отбирались в вертикальной плоскости с помощью коллиматоров. Затем они анализировались магнитным полем (септум-магнит) в горизонтальной плоскости. Для регистрации частиц применялись кремниевые ячеистые детекторы, а позади них устанавливались счетчики из свинцовых стекол сечением 10,2 на 10,2 см2 для определения полной энергии каждого электрона. Регистрация обоих электронов на совпадения (разрешающее время 1 нс) позволяла подавить поправки на эффект Левчука [Levchuk (1994)] до уровня ≤ 1 %. Этот эффект обусловлен вкладом в асимметрию электронов с низколежащих уровней атома (в основном с К-оболочки). Эти электроны не поляризованы, и на их вклад надо вводить поправки. В методе двойных совпадений надо было вводить в сырую асимметрию небольшие поправки на мертвое время и аксептанс аппаратуры. Поляриметр Меллера не является поляриметром непрерывного действия. Он используется раз в сутки и измерения с ним занимают около 40 мин. Полученная на этом поляриметре поляризация электронного пучка зависела как от применявшейся фольги, так и от квантовой эффективности источника поляризованных электронов (поляризованной пушки 402

СЛАКа). Измеренная поляризация электронного пучка находилась в пределах 83 – 86 % в ходе выполнения эксперимента Е-143. По оценке общая систематическая ошибка измерений не превышала 2 %. Эти результаты находились в согласии с измерениями других поляриметров на СЛАК. 3. Комптоновский поляриметр

Комптоновский поляриметр представляет собой абсолютный, локальный, он-лайн, конструктивный и быстрый поляриметр. Этот поляриметр базируется на процессе упругого рассеяния продольно поляризованных электронов на циркулярно поляризованных фотонах [Gunst (1953)]. Циркулярно-поляризованные фотоны с длиной волны 532 нм образуются в лазерном генераторе типа Nd:YAG (иттрий-алюминиевый гранат, активированный неодимом). Система отражающих зеркал направляет фотоны с сохраненим их циркулярной поляризации в так называемую точку комптоновского взаимодействия (ТКВ). Рассеянные на фотонах назад (в с.ц.м.) электроны проходят отклоняющий магнит и попадают в дрейфовые трубки и черенковские счетчики из девяти каналов. Каждый из этих каналов может служить поляриметром. Однако наибольшую анализирующую способность имел седьмой канал: и именно его показания использовались для определения продольной поляризации электронного пучка. Этот поляриметр позволял в течение 3 мин достичь 1 % относительной точности в измерении поляризации электронного пучка. Суммарная систематическая ошибка не превышала 1,3 %, причем наибольший вклад в систематику давала неточность в измерении поляризации лазерных фотонов.

Список литературы Band H.R., In: AIP Conf. Proc. 343, New York (1994) 245. Band H.R. In: Proc. of the 12th Int. Symp. on High Energy Spin Physics, Amsterdam, The Netherlands (1996a) 765. Band H.R. and Prepost R. E-103 Technical Note 110 (1996b). Gay T.J. and Dunning F.B. Rev. Sci. Instrum. 63 (1992) 1635. Gunst S.B. and Page L.A. Phys. Rev. 92 (1953) 970. Hopster H. and Abraham D.L. Rev. Sci. Instr. 59 (1988) 49. Haeberly W. In: Proc. 10th Int. Symp. on High Energy Spin Physics, Nagoya, Japan (1992) 923. Levchuk L.G. Nucl. Instr. Meth. A 345 (1994) 496. Møller C. Ann. Phys. 14 (1932) 532. Scott G.G. and Sturner H.W. Phys. Rev. 184 (1969) 184. Woods M. In: AIP Conf. Proc. 343, New York (1994) 230.

403

§52. Поляриметрия мюонных пучков На ускорителе SPS в ЦЕРН создан пучок поляризованных мюонов за счет слабого распада пионов. Поскольку процесс этот слабый, то он достаточно хорошо считается. Тем не менее были разработаны два экспериментальных метода измерения поляризации мюонного пучка. Поляриметры для обоих случаев детально описаны в статье [Adeva (1994)]. В первом случае в качестве абсолютного поляриметра используется упругое рассеяние продольно-поляризованных мюонов на продольнополяризованных электронах. В качестве поляризованной электронной мишени используется намагниченный ферромагнитный материал (49 % железа, 49 % кобальта и 2 % ванадия). Толщина мишени ≈ 2 мм. Эта мишень подробно описана в работе [de Botton (1992)]. Специальные измерения показали, что поляризация электронов в мишени составляет Pze = (8,34 ± 0,1) cos θ % , где θ – угол между поляризацией электронной

мишени и направлением мюонного пучка (z-направление). Обычно этот угол мал и составляет ≈ 20°. Систематическая ошибка определяется в основном неточностью в определении магнитомеханического отношения в использованном сплаве. Поляризация электронов менялась на обратную в каждом цикле SPS. Кроме того, ориентация мишени менялась на 180° каждые 2 ч, чтобы подавить ложную асимметрию. Обе конечные частицы, мюон и электрон, детектируются двухплечевым спектрометром. Кроме трековых детекторов в мюонном плече ставится поглотитель, а в электронном плече – стенка из свинцовых стекол. Этот поляриметр был медленным, требовал нескольких месяцев для набора статистики. Полученный результат Pµµ − e = − (79,4 ± 1,7) % находился в хорошем согласии с рассчитанным методом Монте-Карло значением поляризации мюонного пучка Pµ = − (78 ± 5) % для энергии пучка µ+

Eµ = 190 ГэВ [Medved (1998)].

Другой метод определения поляризации µ+-пучка состоял в измерении энергетического спектра позитронов от распада µ+-мезонов на лету [Marie (1995)]. Из-за слабого распада мюона, не сохраняющего четность, позитроны распада оказываются распределенными неизотропно в системе покоя мюона. В результате в лабораторной системе энергетический спектр позитронов имеет явную зависимость от поляризации мюона [Лифшиц (1971)]. Если ввести параметр Мишеля y = Ee / Eµ , где Ee и Eµ – энергии соответственно позитронов и мюонов в лабораторной системе, то спектральное распределение позитронов в лабораторной системе имеет вид 404

⎡5 dN 8 ⎞⎤ 4 ⎛1 = N 0 ⎢ − 3 y 2 + y 3 − Pµ ⎜ − 3 y 2 + y 3 ⎟⎥ . dy 3 ⎠⎦ 3 ⎝3 ⎣3

(1)

Здесь N0 – количество распадов мюонов, Pµ – поляризация мюонного пучка. Аппаратура для измерения спектра позитронов была практически такая же, как и в предыдущем поляриметре. Только были приняты меры к уменьшению фона от позитронов, образующихся вне 30-метровой распадной зоны. Поле в магните было изменено на обратное. Добавлением дополнительной пропорциональной камеры перед счетчиками из свинцовых стекол было улучшено импульсное разрешение позитрона. Вдобавок его энергия измерялась электромагнитным калориметром. Зная энергию мюона Eµ и позитрона Ee, можно построить распределение Мишеля по параметру у = Ee/ Eµ. Сопоставляя измеренный и расчитанный спектры Мишеля, можно определить поляризацию родительского мюона. Она оказалась равной Pµµ →eν ν = −(80,6 ± 2,9) % , что также хорошо согласуется с ожидаемым теоретическим значением. Второй метод является более быстрым по времени измерений (за 24 ч достигается точность 3 % [Marie (1995)]), чем первый поляриметр. Однако он требует более сложных вычислений и учета многих факторов для коррекций на систематические ошибки. В результате, как видно из приведенных данных, точность второго поляриметра оказалась ниже, чем у первого.

Список литературы Лифшиц Е.М., Питаевский А.П. Релятивистская квантовая теория, Ч. 2. М.: “НАУКА”, 1971. с. 238. Adeva B. et al. Nucl. Instr. Meth. A343 (1994) 363. de Botton N. et al. IEEE Transactions on Magnetics 32 (1992) 2447. Marie F. Труды VI Рабочего совещания по спиновым явлениям в физике высоких энергий, Протвино, 1995. с. 183. Medved K.S. In: Proc. 13th Int. Symp. on High Energy Spin Physics, Protvino, Russia, (1998) 538.

405

Часть III. Поляризационные эксперименты и результаты В течение последних десяти лет впечатляющий технический прогресс был достигнут во многих направлениях поляризационной технологии, о чем говорилось во второй части настоящей книги. Значительное улучшение качества поляризованного электронного пучка было продемонстрировано в SLC. Начиная с поляризации 22 % в 1992 г., физики достигли 63 % в 1993 г. и с 2000 г. стабильно работают с поляризацией 80 % и светимостью 2⋅1030 см–2с–1. Непрерывное улучшение параметров пучка поляризованных электронов создали благоприятные условия также для выполнения четырех экспериментов с фиксированной мишенью (E142, E143, E154 и E155), измеривших спиновые структурные функции нуклона с высокой точностью. В то же время Сотрудничество SMC в CERN успешно завершило свою научную программу на мюонном пучке, уступив свое место Сотрудничеству COMPASS. COMPASS имеет главной целью измерение распределения поляризованных глюонов внутри нуклона. С 1998 г. успешно работает программа HERMES на поляризованном электронном пучке с энергией вблизи 27 ГэВ. В 2000 г. на коллайдере RHIC был получен первый поляризованный пучок протонов с энергией 100 ГэВ и поляризацией около 30 %. В 2004 г. поляризация достигла уже 50 % и продолжаются работы по увеличению поляризации до 70 %, а энергии до проектной 250 ГэВ. Изучение спиновых явлений при образовании гиперонов продолжает оставаться активным полем исследования. Сотрудничество E704 опубликовало данные по лево-правой асимметрии в инклюзивном рождении Λгиперонов, а также по параметру деполяризации DNN в реакции p ↑ + p → Λ + X при 200 ГэВ/c. Первое количественное доказательство факта, что анализирующая способность Λ отличается от нуля и не равна поляризации Λ при такой большой энергии, представляет заметный интерес. Измерение DNN в образовании Λ-гиперонов открыло прямой путь к выделению количественного вклада механизма передачи спина, хотя существование такого механизма качественно было показано измерениями поляризации Ω-гиперона в Фермилаб. До сих пор поляризация гиперона изучалась главным образом на неполяризованных пучках адронов с нулевой странностью. Сотрудничество WA89 в CERN опубликовало данные относительно поляризаций гиперонов, измеренных на пучке Σ–-гиперонов с энергией 320 ГэВ, открыв новые возможности для исследования гиперонной поляризации. 406

Односпиновая асимметрия представляет строгую проверку для непертурбативных подходов в квантовой хромодинамике (КХД). Данные Сотрудничества E704 по односпиновой асимметрии в инклюзивном рождении пионов в области фрагментации поляризованного пучка вызвали большой интерес в спиновом научном сообществе благодаря обнаружению существенных поляризационных эффектов в таких реакциях [Adams (1996), Nurushev (1997), Nurushev (2002)]. Cовсем недавно были выполнены аналогичные измерения в STAR для инклюзивных π0-мезонов при s = 200 ГэВ. В области фрагментации поляризованного протонного пучка были обнаружены заметные спиновые эффекты [Adams (2004)], близкие к полученным в эксперименте Е704. В области фрагментации неполяризованного пучка асимметрия оказалась нулевой в пределах точности измерений. Асимметрия в центральной области в Е704 была найдена равной нулю [Adams (1996)]. Недавние измерения на PHENIX асимметрии π0-мезонов в центральной области привели к тем же выводам [Astier (2001)]. Двухспиновая асимметрия ALL является другим очень привлекательным направлением для пертурбативной квантовой хромодинамики (ПКХД), так как она чувствительна к поляризации глюонов. Уже давно величина ALL была предсказана для пионов, прямого рождения фотонов, J/ψ и более тяжелых объектов. По-прежнему они на опыте не проверены.

( )

Экспериментальные данные по двухспиновой асимметрии ALL π0 были впервые получены сотрудничеством Е704 в 1991 г. [Adams (1991)]. Асимметрия оказалась совместимой с нулем. Этот результат был обсужден в ряде теоретических работ. Основной вывод этих обсуждений сводился к тому, что, по-видимому, глюонная поляризация невелика. Полученные десять лет спустя данные на PHENIX при энергии s = 200 ГэВ (на порядок большая энергия, чем в Е704) приводит к такому же выводу [Adler (2001)]. Научная общественность всегда отмечала важность проведения поляризационных исследований на нейтринных пучках. Совсем недавно Сотрудничество NOMAD опубликовало данные по поляризации Λ- и⎯Λгиперонов, полученные на пучке мюонных нейтрино [Astier (2000), Astier (2001)]. Эти эксперименты представляют определенный интерес и, возможно, являются началом нейтринной поляризационной физики. Особое место в поляризационной физике занимают упругие и дифракционные процессы. Такие принципиальные вопросы, как роль померона во взаимодействиях с переворотом спина, соотношения между поляризациями частиц и античастиц, поиск оддерона, асимптотическое поведение 407

спиральных амплитуд, дисперсионные и асимптотические соотношения могут быть подробно изучены именно в этих процессах. Теоретические усилия в настоящее время сосредоточены в основном на интерпретации экспериментальных данных по спиновым структурным функциям, односпиновой и двухспиновой асимметриям. Природа спина нуклона является центральной точкой для теоретического понимания внутренней структуры нуклонов, и глубокое понимание этой проблемы еще не достигнуто. Интерес теоретиков к односпиновым измерениям вытекает из возможности развития непертурбативных моделей, поскольку пертурбативная квантовая хромодинамика оказалась не в состоянии объяснить эти данные. Двухспиновые асимметрии представляют хороший способ для определения партонных распределений внутри нуклонов из эксперимента. Будущее поляризационной физики весьма заманчиво. На Стенфордском линейном ускорителе (SLAC) выполняется широкий круг измерений по спиновой тематике (эксперименты на фиксированных мишенях Е154, E158, прецизионные измерения параметров электрослабой теории на модернизированной установке SLD на встречных электрон-позитронных пучках). Только начал активно разворачивать поляризационную программу RHIC. На много лет вперед запланированы измерения спиновых явлений на установках HERMES и COMPASS. На разной стадии развития находятся крупнейшие поляризационные установки, такие, как eRHIC, JPARK, U-70, PAX. Так что перспектива поляризационных исследований весьма радужна. В дальнейшем мы обсудим основные экспериментальные результаты из различных областей спиновой физики высоких энергий (СФВЭ). Эти результаты будут сопоставлены с прогнозами различных теоретических моделей. Наконец, будет сделано краткое заключение о сегодняшнем нашем представлении о спиновой структуре нуклона. Спиновая физика высоких энергий сделала значительный прогресс. В течение очень короткого периода времени был обнаружен ряд новых явлений, относящихся к спиновой структуре нуклонов, поляризации гиперонов и одно- и двухспиновой асимметрии в рождении адронов. И все это благодаря значительным успехам в развитии поляризационной технологии. Как пример, можно отметить создание поляризованных протонного и антипротонного пучков на Тэватроне, разработку техники “сибирских змеек”, спиновых ротаторов и их применения в ускорении поляризованных электронных и протонных пучков до очень высоких энергий (SLC, HERA, LEP, RHIC). Также крупные методические инновации были реализованы при создании твердотельных и газовых мишеней. Все это позволило приступить к изучению тонких эффектов, таких, как зависимость спиновых явлений от аромата кварков, механизма переноса спина, к срав408

нительному изучению поляризации гиперонов и антигиперонов, анализирующей способности в процессах инклюзивного образования адронов протонными, антипротонными и лептонными пучками и т.д. Эти и другие новости в СФВЭ будут обсуждены в третьей части книги, следуя в основном обзорной статье [Nurushev (1997)] с добавлениями полученных позже результатов. Список литературы Adams D.L. et al. Phys. Lett. B261 (1991) 197. Adams D.L. et al. Phys. Rev. D53 (1996) 4747. Adams D.L. et al. Phys. Rev. Lett. 92 (2004) 171801. Adler S.S. et al. Phys. Rev. Lett. 93 (2004) 202002. Astier P. et al. Nucl. Phys. B 588 (2000) 3-36. Astier P. et al. Nucl. Phys. B 605 (2001) 3. Nurushev S.B. Int. Journ. оf Mod. Physics A12 (1997) 3433. Nurushev S.B. In: Proc. of the 16th Int. Baldin Seminar on High Energy Pysics Problems, Dubna 1 (2002) 147.

409

Глава 1. Исследование структурных функций нуклонов §53. Поляризация как прецизионный инструмент для измерения параметров Стандартной Модели Многие экспериментальные проверки Стандартной Модели (СМ) на LEP и SLC основаны на измерении асимметрий, которые следуют из нарушения четности в вершине Z→ f f . (1) Здесь f f обозначают фермион-антифермион (например, кваркантикварк, электрон-позитрон). f Так называемая асимметрия вперед-назад AFB в выходе фермиона f

определяется как разница выходов кварков в реакции e− + e+ → f + f (2) в переднюю и задюю полусферы в с.ц.м. На LEP такая проверка производилась с неполяризованными пучками электронов и позитронов. Измерялась следующая асимметрия: f AFB =

σ Ff − σ Bf

σ Ff

+ σ Bf

=

3 Ae A f . 4

(3)

Здесь величины σ Ff , σ Bf обозначают сечения образования фермионов f (кварков) в передней и задней полусфере по отношению к направлению движения электрона. Асимметрии Ae , A f обусловлены нарушением четности в вершине Z → f f и определяются соотношением: Af =

2v f a f v 2f + a 2f

=

g L2 − g R2 g L2 + g R2

.

(4)

В этих формулах приняты следующие обозначения: v f , a f представляют константы векторной и аксиально-векторной связи, g L , g R – константы связи с левой и правой спиральностью соответственно. В случае использования поляризованного электронного пучка можно измерить дополнительно два вида асимметрии. Первая асимметрия – тоже асимметрия вперед-назад, определяемая соотношением: [σ f ( L) − σ Bf ( L)] − [−σ Ff ( R ) − σ Bf ( R)] 3 ~f AFB = Ff = Pe A f . 4 σ F ( L) + σ Bf ( L)] + [σ Ff ( R ) + σ Bf ( R ) 410

(5)

Сравнение формулы (5) с (3) показывает, что раз в 25 (как отношение (P/Ae)2) эффективнее идет набор статистики при измерении асимметрии вперед-назад, если использовать электронный пучок с поляризацией Pe (≈ 80 %). Другой выигрыш формулы (5) состоит в том, что в нее не входит Ae, а лишь поляризация электронного пучка. Это позволяет определить асимметрию в образовании тяжелых кварков независимо от параметра аимметрии Ae. Следующая асимметрия, возникающая при использовании поляризованного электронного пучка, называется лево-правой асимметрией и определяется как ALR = Ae =

( (

) )

eff 2 1 − 4 sin 2 θW σL − σR = , σ L + σ R 1 + 1 − 4 sin 2 θeff 2 W

(6)

где σ L , σ R представляют полные полюсные сечения образования Zбозона для случая левой или правой поляризации электронного пучка. eff

Электрослабый угол смешивания θW определяется соотношением eff sin 2 θW =

1 ⎛ νe ⎞ ⎜1 − ⎟ . 4 ⎜⎝ ae ⎟⎠

(7)

Наилучшая точность достигается в угле смешивания при одиночных измерениях именно с асимметрией ALR . Эксперимент SLD продемонстрировал, какой мощной является установка, оборудованная поляризованным электронным пучком для точного определения параметров стандартной модели. В дальнейшем обсуждении это утверждение иллюстрируется на некоторых примерах из статей [Hertzbach (1995a), Hertzbach (1995b)]. Лево-правая асимметрия, измеренная детектором SLD в сеансах с 1992 по 1995 гг., оказалась равной ALR = Ae = 0,1551 ± 0,0040 , (8) что позволило достичь следующей точности в определении эффективного угла смешивания (угла Вайнберга-Салама): sin 2 θW = 0,23049 ± 0,00050 . (9) Для сравнения укажем, что все четыре эксперимента на LЕР (АLЕРН, DЕLРНI, L3, ОРАL) за все время работы достигли совместно следующей точности в измерении той же величины: sin 2 θW = 0,23186 ± 0,00034 . (10) Объединяя измерения слабого угла смешивания с экспериментов SLD и LEP, получаем мировое среднее значение 411

sin 2 θW = 0,23143 ± 0,00028 .

(11)

Самое свежее значение этого угла при массе MZ (Z-бозона) составляет [Review (2006)] sin 2 θW = 0,23122 ± 0,00015 . (11a) Следует отметить, что в эксперименте SLD статистика значительно меньше, чем в экспериментах на LEP. Выигрыш возникает, как отмечалось выше, от использования высокополяризованного электронного пучка в измерении асимметрии. Необходимо отметить, что из (11) была получена оценка на массу топкварка, которая совпала с измеренной в Фермилаб массой топ-кварка. Была также получена оценка на массу хиггс-бозона, однако из-за большой ошибки измерений такая оценка не дает сильного ограничения. Следующим примером полезности поляризованного электронного пучка явилось прямое определение лево-правой асимметрии для тяжелых кварков в эксперименте SLD с использованием Z-бозонов, образованных при аннигиляции продольно-поляризованных электронов и неполяризованных позитронов. Асимметрия Аb в образовании “прелестного” кварка b чувствительна к поправкам, вносимым топ-кварком, промежуточными заряженными бозонами, возможно, хиггсовскими частицами и вкладом новой физики. В эксперименте SLD величина Аb определяется, используя несколько методов измерений, дополняющих друг друга. Эти методы, примененные к c- и b-кваркам одновременно, следующие: 1. Определение взвешенных по импульсу зарядов. Результат: Аb =0,843 ± 0,046 (стат) ± 0,051 (сист). 2. Мечение заряженными K-мезонами. Результат: Аb = 0,91 ± 0,09 (стат) ± 0,09 (сист). 3. Мечение лептонами с большими pT. Результаты : Аb = 0,87 ± 0,07 (стат) ± 0,08 (сист); Аc = 0,44 ± 0,11 (стат) ± 0,13 (сист). 4. Реконструкция чармованных мезонов D+, D*+. Результат: Аc = 0,64 ± 0,11 (стат) ± 0,06 (сист). Усредненный по всем четырем измерениям результат составил: Аb = 0,858 – 0,054. (12) Это число согласуется со средним числом на LEP: Аb = 0,883 – 0,031. (13)

Оба этих результата совместимы с теоретическим значением Аb (теория) = 0,935, 412

(14)

демонстрируя хорошее согласие со стандартной моделью. Подобный подход дает для асимметрии чармованного кварка усредненный результат Ас (мюоны) = 0,577 ± 0,097, (15) что надо сравнить со средним, полученным на LEP, Ас = 0,65 ± 0,05, (16) и прогнозом стандартной модели: Ас (теория) = 0,667, (17) что снова показывает хорошее совпадение с предсказанием СМ. Подгонка параметров СМ к данным SLD и LEP накладывает ограничения на массу t-кварка – она должна быть в диапазоне 168 < mt < 192 ГэВ. В согласии с этим ожиданием топ-кварк с массой mt = 174 ГэВ был открыт в Фермилаб на детекторах CDF и D0. При нахождении массы топ-кварка предполагалось, что масса хиггсовского бозона находится в диапазоне 60 < mH < < 1000 ГэВ. То же самое сотрудничество SLD в 1992 и 1993 гг. измерило сечения для рассеяния Баба e– + e+ → e– + e+, (18) c поляризованными электронами. Из совокупности данных было получено следующее значение эффективной векторной константы связи электрона νe = –0,0414 ± 0,0020, (19) что дает наилучшую в настоящее время точность. Таким образом, поляризационные исследования демонстрируют очевидные преимущества при проверке стандартной модели. Проверка КХД путем измерения поляризации кварков является важным направлением поляризационных исследований. Из КХД следует, что лево- (право-) поляризованный электрон образует преимущественно лево(право-) “закрученную” струю. (Англоязычный термин “handedness” переводится как “закрученность” по Ефремову А.В. (частное сообщение) или как “направленность”; согласно [Катышев (1984)], мы будем употреблять первый из этих терминов.) Сотрудничество SLD изучало образование струй с целью определения поляризации кварка, создающего эту струю. При этом использовался параметр r r r r Ω = t • (k1 × k2 ) , (20) r r r где вектор t направлен по оси струи, а k1 и k 2 – импульсы двух лидирующих частиц в струе. Тогда можно классифицировать все струйные r r события на две группы, а именно, с Ω > 0 и с Ω < 0, и по их разности и сумме составить асимметрию. Такая асимметрия позволяет определить “закрученность” струи. Эта “закрученность” струи Н представляет асимr метрию в числе струй с положительным и отрицательным значением Ω . 413

Анализирующая способность кварка α и поляризация кварка P комбинируются в величину Н через соотношение Н = α × Р. (21) SLD не нашло заметно отличающегося от нуля значения для величины “закрученности” струи. SLD устанавливает верхний предел значения α < < 0,053 на уровне достоверности 95 % для струй легких кварков. Другой пункт, изучавшийся SLD, относился к корреляции β между поляризацией Z0, S и ориентацией плоскости трех струй. Тройное произвеr r r r дение S ⋅ k1 × k 2 , где k1 и k2 – импульсы двух струй самых высоких энергий, которые могут быть чувствительны к физике за пределами СМ. Результат оказался нулевым, т.е. величина лежит в пределах – 0,022 < β < < 0,039 и на уровне достоверности 95 % исключает любое указание на новую физику вне СМ на существующем уровне точности. Сотрудничество SLD наблюдало различия в спектрах барионов и антибарионов для p / p и Λ / Λ (в событиях, меченных как легкие кварки). Поляризация электронного пучка использовалась, чтобы метить струи, как индуцированные кварками q или антикварками ⎯q, и сравнивалось присутствие барионов и антибарионов в кварковых струях. Не было замечено различия между этими мечеными событиями при импульсах ≤ 12 ГэВ/с. Однако при импульсах выше 12 ГэВ/c наблюдалась растущая корреляция между кварковыми струями q(q ) и наличием бариона (антибариона) в струе. Это указывало на то, что более быстрые частицы с большей вероятностью захватывали первоначальный кварк (антикварк). Группа ОИЯИ проанализировала продольную корреляцию направленностей струй в распаде Z0 → 2 струи [Efremov (1995)]. Знак корреляции противоположен предсказанному СМ, предполагающему факторизацию функции распределений q и ⎯q. Этот факт и малая величина направленности Нq = (1,22 ± 0,67) % могут быть проинтерпретированы как преобладание вакуумного хромомагнитного поля над собственным полем самого кварка. Необходима дальнейшая экспериментальная проверка этой гипотезы, чтобы окончательно установить наличие или отсутствие нового явления.

(

)

( ) ( )

Список литературы Катышев Ю.И. и др. Англо-русский словарь по физике высоких энергий. М.: “РУССКИЙ ЯЗЫК”, 1984. Hertzbach S. In: Proc. VIth Workshop on High Energy Spin Physics , Protvino, Russia, Vol. 2 (1995) 5. 414

Hertzbach S. In: Proc. VIth Workshop on High Energy Spin Physics , Protvino, Russia, Vol. 2 (1995)219. Efremov A. et al. In: Proc. VIth Workshop on High Energy Spin Physics , Protvino, Russia, Vol. 2 (1995) 113. Review of Particle Physics, Journal of Physics G, Nuclear and Particle Physics, 33 (2006) 97.

§54. Спиновые структурные функции Наиболее важной проблемой в спиновой физике продолжают оставаться измерения структурных спиновых функций. Несмотря на огромные усилия физиков, многие важные вопросы еще не получили ответа, такие, как происхождение спина нуклона, поведение спиновых структурных функций при малых и больших величинах факторизации, неколлинеарность соударения, их зависимости от Q2, точные критерии различных правил сумм и т.д. [Ellis (1995), Ellis (1996)]. Последние результаты по зависящим от спина структурным функциям протонов, нейтронов и дейтронов, опубликованные коллаборациями SМC [Adams (1997a), Adams (1997b)], SLAC Е-142 [Anthony (1993), Anthony (1996)] и SLAC Е-143 [Abe (1995a), Abe (1995b), Crabb (1995)], показаны на рис. 1 и 2. Эксперимент SМC (Spin Muon Collaboration, Спиновая Мюонная Колляборация) существенно продвинулся в достижении минимальных значений х – параметра Бьеркена (рис. 1), где имеются указания на рост g1p (x )

с уменьшением х (рис. 1а). Область малых значений х привлекает много внимания, так как согласно теоретическим моделям, это – единственная область “где мы ожидаем существенную передачу спина” [Kaur (1977)].

Кажется, что данные по g1d (x ) указывали ранее [Adams (1995)] на заметные отрицательные значения этой наблюдаемой величины в области x < 0,02 (рис. 1b). Соответственно, зависимая от спина структурная функция для нейтрона g1n (x ) также становится отрицательной практически в

этом же диапазоне x. Более подробное изложение окончательных результатов эксперимента SMC содержится в публикации [Savin (1998)]. Только из протонных данных SMC были получены следующие вклады отдельных кварков в спин нуклона при Q2 = 10 ГэВ2:

∆Σ = 0,28 ± 0,16, ∆u = 0,82 ± 0,05, ∆d = –0,44 ±0,05, ∆s = –0,10 ± 0,05. (1) Здесь ∆q, где q = u, d, s представляют вклады указанных кварков в спин нуклона, в данном конкретном случае числа относятся к протонному спину. ∆Σ обозначает сумму по всем ∆q. 415

Рис. 1. Спиновые структурные функции, измеренные в эксперименте SMC: (a) g1 (x ) , (b) g1d (x ) , (c) g1n (x ) и (d) g 2 (x ) p

p

Таким образом, получается, что только малая доля спина нуклона, а именно ∆Σ = 0,28 ± 0,16, определяется спиральностью кварков, в то время как по нерелятивистской кварковой модели ожидалось ∆Σ = 1. Эта проблема, кстати, впервые открытая Коллаборацией EMC в 1987 г., была названа “спиновым кризисом” и до сих пор она не нашла своего решения. Другой неожиданный вывод состоит в том, что странное море отрицательно поляризовано. Вообще ожидалось, что морские кварки не должны быть поляризованы. Многие модели были построены на таком предположении, однако эксперимент оказался гораздо богаче, чем предпологалось. Следующая зависимая от спина структурная функция, измеренная SMC, была так называемая функция поперечного спина g2(x), которая зондирует комбинацию поперечных и продольных распределений поляризации партонов внутри нуклона. Это распределение измерялось при рассеянии продольно-поляризованного лептона на поперечнополяризованном нуклоне. Функция g2(x) состоит из трех компонентов: 416

одна gWW 2

компонента

определяется

вкладом

ведущего

члена

твист-2

(x,Q ) , возникающего из того же набора операторов, которые дают 2

вклад в g1(x). Вторая компонента происходит от твист-2, и возникает от распределения кварка по поперечной поляризации. Третий вклад размерности, твист-3 возникает из кварк-глюонных взаимодействий. Результат эксперимента SMC по измерению спиновой структурной функции g 2p (x )

представлен на рис. 1d. Данные по g 2p (x ) согласуются с нулем во всем диапазоне измерений по x. Сопоставляя этот результат с теоретическими

(

)

x,Q 2 хорошо вычислениями, можно заключить, что член твист-2 gWW 2

описывает данные по

g 2p

(x )

в пределах экспериментальной точности и

что вкладом члена твист-3 можно пренебречь. Точность измерения

g 2p (x ) , также как отсутствие теоретической процедуры для экстраполя-

ции этой функции к предельным значениям x, еще не позволяют проверить с хорошей точностью правило суммы Бурхарда-Коттингама (ПСБК): 1

Γ2p = ∫ g 2p ( x )dx = 0 .

(2)

0

Результаты E143 (SLAC) (рис. 2) по спиновым структурным функциям имеют лучшую точность в измеренной области x и согласуются с данными SMC в перекрывающемся диапазоне по x (> 4 ⋅ 10–2). Экстраполяция данных E143 к x = 0 была выполнена с использованием двух процедур: 1)

применением мотивированной моделью Редже функции g1p (x ) = C·x–α и

2) функции C·ln(l/x). В первом случае вклад от области малых неизмеренных x в первый момент оказался равным 0,006 ± 0,006, в то время как во втором случае он составил 0,013 ± 0,003. Эти два числа демонстрируют модельную зависимость процедуры экстраполяции к малой величине x. Было найдено, что полный вклад кварков в спиральность протона составляет (27 ± 10) %, в то время как вклад в спиральность протона от морских кварков равен – (10 ± 4) %, что согласуется с результатами SMC, обсужденными выше. Результаты измерений спиновой структурной функции g1 (x ) для дейтрона и нейтрона согласуются с данными SMC (см. рис. 2b и 2c), и они также проявляют тенденцию изменения знака вблизи x ≈ 0,05. Некоторые модели предсказывают такое изменение знака [Kaur (1977)]. Результаты

417

измерений поперечной спиновой структурной функции g 2p (x ) в эксперименте E143 представлены на рис. 2d [Rondon (1995)]. Данные от двух спектрометров, установленных в лабораторной системе под углами 4,5° и 7°, ложатся много ниже предела, вытекающего из требования положительности функции распределения.

Рис. 2. Спиновые структурные функции, измеренные в эксперименте Е143:

(a) g1 (x ) , (b) g1d (x ) , (c) g1n (x ) и (d) g 2 (x ) p

p

Они не противоречат предположению, что поперечная спиновая

структурная функция g 2p (x ) хотя и мала, но может принимать положительные значения при x < 0,1 и становится отрицательной при x > 0,1. Тадля кинематики этого кое поведение соответствует вкладу твист-2 gWW 2 эксперимента. Большие погрешности данных эксперимента по gWW , не 2 исключают возможного вклада твист-3 того же порядка. Авторы сделали оценку для ПСБК. Для протона этот интеграл равен 1

p

∫ g 2 ( x)dx

= –0,013 ± 0,028,

0,03

418

(3а)

и для дейтрона 1

d

∫ g 2 ( x)dx = –0,033 ± 0,082,

(3b)

0,03

которые не противоречат нулевому значению. Экспериментальные данные позволяют проверить два известных правила сумм. Эти правила сумм устанавливают соотношения между первыми моментами спиновых структурных функций, и симметричной, и антисимметричной, слабыми SU(3)f-связями, F и D (векторной и аксиальновекторной константами связи). Правило сумм Эллиса–Джаффе (ПСЕДж) утверждает: Γ1p (n ) = ∫ g1p (n )

p(n) 1 ( x) dx

=±

1 5 ( F + D) + (3F − D) , 12 36

(4)

в то время как правило сумм Бьеркена (ПСБ) таково: Γ1(Q 2 ) = Γ1p (Q 2 ) − Γ1n (Q 2 ) =

1 gA α (Q 2 ) [1 − s − ...] . 6 gV π

(5)

Тесты ПСЕДж показаны на рис. 3a. Теоретические прогнозы для первых моментов спиновых структурных функций протона, дейтрона и нейтрона показаны заштрихованными полосами. Данные для протона и дейтрона несовместны с ПСЕДж (различие составляет ≈ 4 – 6σ). В случае нейтрона различие составляет ≤ 3σ для SMC и E143, в то время как для данных из эксперимента E142 различие составляет только 1σ. В этом случае может возникнуть вопрос относительно правильной экстраполяции данных к точке x = 0. ПСЕДж проверялось параметризацией лептон-протонной асимметрии A1p с требованием, чтобы асимметрия удовлетворяла граничным условиям: A1p (x = 0) = 0 и A1p (x = 1) = 1 [Nagaitsev (1996)]. Раздельный и совместный анализы данных SMC и E143 показывают взаимную согласованность данных и приводят к заключению о том, что первый момент Γ1p находится ниже предсказаний ПСЕДж больше, чем на 7σ. Относительно ПСБ Сотрудничество E143 находит: 2

Γ1p – Γ1n = 0,163 ± 0,0l0 (стат.) ± 0,016 (сист.),

(6)

2

при Q = 3 ГэВ , что следует сравнить с предсказанной величиной Γ1p – Γ1n = 0,171 ± 0,008. 419

(7)

Недавние результаты SMC дают 2

Γ1p – Γ1n = 0,183 ± 0,034,

(8)

2

при Q = 10 ГэВ , что следует сравнить с предсказанной величиной Γ1p – Γ1n = 0,186 ± 0,002.

(9)

Рис. 3. Тестирование правила сумм: (a) тест ПСЕДж (EJSR), (b) график Стауде, (c) ∆Σ в зависимости от ∆s и (d) разложение спина протона на составляющие

Оба результата согласуются с ПСБ при соответствующих Q2. Объединенные экспериментальные данные (E80, E130, EMC, SMC, E142 и E143) 420

по первому моменту спиновых структурных функций Γ1 при Q2 = 5 ГэВ2 представлены ниже в сравнении с ПСЕДж и ПСБ. Измерения: Γ1p = 0,142 ± 0,011, Γ1d = 0,038 ± 0,006, Γ1n = -0,061 ± 0,016, Γ1p – Γ1n = 0,203± 0,022. Правила сумм:

(10) (11)

Γ1p = 0,164 ± 0,005, Γ1d = 0,07 ± 0,004,

(12)

Γ1n = –0,015 ± 0,005, Γ1p – Γ1n = 0,181 ± 0,003.

(13)

Эти результаты также представлены на рис. 3b [Crabb (1995)]. ПСБ подтверждается с высокой точностью, в то время как ПСЕДж не соответствует данным (черные квадраты). Экспериментальные результаты по спину нуклона, который несут валентные кварки ∆Σ и морские кварки ∆s представлены на рис. 3c для Q2 = 5 ГэВ2. ∆Σ близко к 1/3 для всех данных, но E142 показывает ∆Σ ≈ 0,45 для нейтрона. В среднем 1/3 спина нуклона переносится кварками, 1/10 – морскими кварками, и остальное должно быть приписано глюонам и орбитальному моменту. Из объединенных экспериментальных данных вытекает следующая декомпозиция спина нуклона при Q2 = 5 ГэВ2:

∆u = 0,82 ± 0,02, ∆d = –0,43± 0,02, ∆s = –0,10 ± 0,02.

(14)

Рис. 3d дает некоторые подсказки для ответа на вопрос, как спин нуклона мог бы быть распределен между различными партонными компонентами, если бы мы знали вклад глюонов из независимых измерений. Видно, что ∆u несет существенную долю спина, хотя ∆d и ∆s значительно компенсируют вклад этого члена в суммарный спин нуклона за счет их отрицательных вкладов. Важной темой является реальное определение распределения поляризованных глюонов, которое еще не измерено экспериментально. Этот вопрос является главным как для ведущихся экспериментов (COMPASS, HERMES), так и для будущих программ (RHIC, U-70, J-PARK). Был также выполнен анализ данных с экспериментов SMC, E142 и E143 [Ramsey (1995)]. Этот анализ отличается от подхода экспериментальных групп. В этом анализе авторы используют правило сумм вместе с одиночными экспериментальными данными, чтобы извлечь спиновую информацию, в то время как экспериментальные группы используют данные от многих экспериментов для проверки самих правил сумм. Кроме того, экспериментаторы предполагают, что море симметрично относительно аромата кварков, и игнорируют аксиально-аномальный вклад. Авторы обсуждают две модели, которые отличаются поляризацией глюонов. 421

В первом случае они предполагают, что ∆G(х) = xG(x). Во втором случае они выбирают ∆G(х) = 0. Они заключают, что наивная кварковая модель недостаточна для объяснения спиновых характеристик протона. Они также отметили, что величина полного вклада кварков в спин протона ∆q изменяется от эксперимента к эксперименту от 10 до 50 %, со средним около 1/3. Поляризация глюона очень устойчива по экспериментам, изменяясь от 0,44 до 0,46. В этом случае средний вклад орбитального момента меняется от –0,04 до –0,20. Это согласуется с pис. 3d, взятым из другой работы [Voss (1995)]. Модель с ∆G = 0 показывает фактически то же самое изменение ∆q, как и выше, с положительным вкладом орбитального момента около 0,35. Вклад моря отрицателен в обоих вариантах этой модели и составляет около – 0,1. Такая заметная поляризация моря – главная причина нарушения ПСЕДж. Авторы заключают, что необходимы дальнейшие экспериментальные исследования для определения относительных вкладов глюонов и различных ароматов морских кварков в спин нуклона. Вышеупомянутые эксперименты установили вклад ∆u и ∆d в спин протона с хорошей точностью, но они дали мало информации о распределениях поляризации морских кварков и глюонов. Так как область малых значений x очень чувствительна к распределениям морских кварков и глюонов [Ladinsky (1995)], то необходимо выполнить точные измерения зависимых от спина структурных функций именно при малых х. Это можно сделать только на коллайдерах типа HERA или RHIC со встречными, продольно-поляризованными электронными и протонными пучками. Соответствующие предложения физиками уже сделаны, однако они не приняты на HERA и находятся в стадии обсуждения на RHIC (программа eRHIC). Есть предложение использовать правило сумм Бьеркена для определения текущей константы связи сильного взаимодействия αs(Q2) [Ellis (1995), Ellis (1996)] вместо экспериментальной проверки ПСБ. Из совокупности экспериментальных данных следует Γ1p – Γ1n = 0,164 ± 0,011.

(15)

Используя формулу Бьеркена, отсюда можно извлечь

( )

α s M z2 = 0,116+−00,,003 005 .

(16)

Эту величину нужно сравнить с мировым средним числом

( )

α s M z2 = 0,117 ± 0,005 . (17) От будущих экспериментальных данных по измерению спиновых структурных функций ожидается намного лучшая точность, что откроет новый путь для определения бегущей константы сильного взаимодейст422

вия с помощью правила сумм Бьеркена. Спиновый кризис становится не настолько острым, как прежде, но он существует. Только 1/3 спина нуклона переносится кварками, а остальная его часть еще не объяснена экспериментами. Можно предполагать, что проблема спинового кризиса относится больше к теории, а не к эксперименту. Чтобы показать наличие достаточного основания для такого суждения, обратимся к двум теоретическим работам. Работа [Ma (1990)] содержит два утверждения, проясняющих проблему “спинового кризиса”: 1) глубоко неупругое рассеяние лептонов служит зондом для световых (токовых) кварков, а не для инстантонных (конституентных) кварков, 2) в динамике светового конуса спин протона не является просто суммой спинов индивидуальных кварков, но суммой Melosh-вращающегося спина кварков светового конуса. Используя модель правдоподобия, автор оценил, что ∆Σ = 0,227, что близко к экспериментальному значению ∆Σ = 0,29 ± 0,06. Согласно другой теоретической работе [Anselm (1995)] на первой стадии эволюции структурной функции валентный кварк может испустить псевдоскалярные мезоны, подобные π, η и Κ, и опрокинуть спин. В результате полная киральность кварков (∆Σ) уменьшается, и часть спина преобразовывается в орбитальный момент партонов. С использованием простого гамильтониана с симметричными свойствами авторы написали уравнение эволюции для структурной функции поляризованных кварков и смогли объяснить спиновый кризис. Согласно их вычислению, часть спина нуклона, которую несут кварки, равна 0,39, что находится в согласии с экспериментальными данными. Если независимые источники подтвердят первую или вторую теоретическую работу, мы можем заявлять, что “спиновый кризис”, изобретенный теоретиками, ими же и закрыт. Неотложная проблема в программе изучения спиновой структуры нуклона состоит в необходимости более точного измерения глюонных спиновых распределений. Эту цель преследуют физики, работающие на крупнейших действующих поляризационных установках, таких, как COMPASS, HERMES, так и на начинающем серьезную поляризационную программу RHIC. В дальней перспективе аналогичные исследования планируются на У-70 (Протвино, Россия) и на J-PARC (Япония).

Список литературы Abe K. et al. Phys. Rev. Lett. 74 (1995a) 346. Abe K. et al. Phys. Rev. Lett. 75 (1995b) 25. Adams D. et al. Preprint CERN-PPE/95-97 (1995). Adams D. et al. Phys. Rev. D56 (1997a) 5330. Adams D. et al. Phys. Lett. B396 (1997b) 338. Anselm A. A. and Ryskin M. G. Z.Phys. C68 (1995) 297. 423

Anthony P. L. et al. Phys. Rev. Lett. 71 (1993) 959. Anthony P. L. et al. Phys. Rev. D54 (1996) 6620. Crabb D. G. In: Proc. VIth Workshop on High Energy Spin Physics, Protvino, Russia, Vol. 1 (1995) 25. Ellis J. and Karliner M. Phys. Lett. B341 (1995) 397. Ellis J. and Karliner M. Phys. Lett. B366 (1996) 268. Kaur J. Nucl. Phys. B128 (1977) 219. Ladinsky G. In: Proc. Workshop on the Prospect of Spin Physics at HERA, Zeuthen (1995) 285. Ma B.-Q. Preprint BIHEP-TH-90-36, Beijing, (1990). Nagaitsev A. P. et al. JINR Rapid Communication No. 3, Dubna (1996) 59. Ramsey G. P. and Goshtasbpour M. In: Proc. VIth Workshop on High Energy Spin Physics, Protvino, Russia, Vol. 1 (1995) 55. Rondon O. A. In: Proc. VIth Workshop on High Energy Spin Physics, Protvino, Russia, Vol. 1 (1995) 15. Savin I.A. In: Proc. of the 13th Intern. Symposium on High Energy Spin Physics, Protvino, Russia (1998) 78. Voss R. In: Proc. Workshop on the Prospects of Spin Physics at HERA, Zeuthen (1995) 25.

424

Глава 2. Поляризация гиперонов §55. Поляризация гиперонов в зависимости от параметров реакции Имеются несколько работ, содержащих подробный обзор по поляризации гиперонов [Pondrom (1985), Heller (1985), Lach (1994), Panagiotou (1990)]. В этих работах обсуждались следующие темы: зависимости поляризации гиперонов от начальной энергии, от передачи импульса, от параметра Фейнмана, от ароматов начальных и конечных кварков. В упомянутых выше обзорных статьях делаются следующие выводы: - зависимость поляризации от энергии. Высказывается твердое заявление, что поляризация Λ-гиперона не зависит от энергии пучка; - зависимость поляризации от рТ. Поляризация Λ-гиперона при фиксированном параметре Фейнмана xF линейно растет с ростом рТ до рТ = 1 ГэВ/c, а затем становится постоянной, т.е. выходит на плато. Высота плато зависит от xF; - зависимость поляризации от xF. Поляризация увеличивается практически линейно с ростом xF при фиксированном переданном импульсе рТ. Последние два утверждения были представлены полезным аналитическим выражением [Pondrom (1985)]:

)[

(

(

)]

P(x, pT ) = − a ⋅ xF + b ⋅ xF3 ⋅ 1 − exp − c ⋅ pT2 . (1) Назовем эту функцию эмпирической функцией, так как она не имеет строгого теоретического обоснования. Эта функция, однако, удовлетворяет некоторым общим требованиям. Например, она обращается в нуль при рТ = 0, как должно быть из сохранения углового момента. Она является нечетной функцией xF, как должно быть в случае взаимодействия двух протонов вследствие их тождественности. Параметры a, b и c в приведенной формуле были определены фитированием ее к экспериментальным данным по поляризации Λ-гиперонов при 400 ГэВ/c. Эти подгоночные параметры имеют следующие значения [Lundberg (1989)]: а = –0,268 ± ± 0,003, b = –0,338 ± 0,015 и с = 4,5 ± 0,6 (ГэВ/с)2 с χ2/d.o.f. = 109,4/69 (d.o.f. – degree of freedom – степень свободы). Эти параметры зависят от начальной энергии, а также от аромата возникающих гиперонов (Λ, Σ, Ξ и т.д.). Приведенная выше формула соответствует постулату о факторизуемости зависимости поляризации от хF и рТ. Зависимость от хF отражает тождество первоначальных частиц (рр-столкновения), но используется также для описания взаимодействия протонов с ядрами. В случае PΛ, принимая во внимание первый пункт в приведенном выше списке, мы можем сказать, что осуществляется факторизация в следующем виде: 425

PΛ = f1 (s ) ⋅ f 2 ( pT ) ⋅ f3 (xF ) . (2) Известная модель ДеГранда–Миеттинена (DeGrand–Miettinen, далее – (DM)) [DeGrand (1981), DeGrand (1985)] не указывает на факторизацию по переменным xF и pT (см. ниже) и при больших переданных импульсах pT поляризация уменьшается. Приведенная выше формула (1) очень полезна для сравнения различных экспериментальных данных по поляризации гиперонов. Однако огорчителен тот факт, что в то время, как все экспериментально измеренные поляризации гиперонов имеют простую зависимость от всех кинематических параметров (s, pT и xF), теоретические модели не дают простых аналитических выражений, подобных предложенному выше. Единственным исключением в настоящее время является модель DM, которая будет обсуждена позже. Фактически имеется сформулированная программа полного опыта для инклюзивного образования гиперонов [Swallow (1974)]. Эта программа подобна “полному набору экспериментов” для упругого рассеяния нуклона на нуклоне, который был сформулирован в середине 50-х гг. Вольфенштейном [Wolfenstein (1954)], Смородинским и др. [Puzikov (1957)]. Согласно этой программе большинство экспериментов в полном наборе представляют измерения с поляризованным пучком протонов и поляризованной мишенью. Такая программа по измерениям поляризационных наблюдаемых в инклюзивном образовании гиперонов была начата экспериментами в ZGS [Swallow (1974)], AGS [Nessi (1988), Bonner (1989)] и на Тэватроне [Bravar (1996), Penzo (1995)]. §55.1. Зависимость поляризации Λ-гиперонов от энергии

Мы обсуждаем в этом разделе, главным образом, зависимость поляризации Λ-гиперонов от энергии (функция f1(s), приведенная выше), так как это было темой обширных исследований в широком диапазоне энергий. Значение этих исследований вытекает из факта, что любая поляризация пропорциональна произведению следующих членов: P∝

Fsf | Fnf |

sin α ,

(3)

где Fsf означает амплитуду с переворотом спина, Fnf – амплитуду без переворота спина, α – разность фаз между этими двумя амплитудами. Амплитуды и фаза – функции начальной энергии, параметра Фейнмана xF и поперечного переданного импульса pТ. Чтобы получить поляризацию, отличную от нуля при любой энергии, Fsf и фаза (должны отличаться от нуля. Наиболее популярные теоретические модели, подобные модели Редже или КХД, предсказывают быстрое уменьшение поляризации с 426

энергией. Нам неизвестна модель, которая указывала бы на рост поляризации с энергией. Можно представить ситуацию, когда поляризация может не зависеть от энергии, если, например, взаимодействие осуществляется только через померон, и при этом померон осуществляет переворот спина. На такую возможность указывают экспериментальные данные по поляризации в упругом рассеянии адронов при больших энергиях [Nurushev (1990)]. Ранее вывод о наличии постоянного спинового вклада в дифференциальное сечение упругого неполяризованного рр-рассеяния в интервале энергий 9 – 500 ГэВ был сделан в работе [Soffer (1973)]. Ответ на вопрос, каково асимптотическое поведение амплитуды с переворотом спина (или спин-флиповой амплитуды), может быть получен, в частности, из экспериментальных данных по поляризации гиперонов благодаря широкому диапазону перекрываемых энергий. В дальнейшем будет дан краткий обзор данных по энергетической зависимости поляризации Λгиперона. В литературе имеются несколько подходов к этой теме. Первый подход связан с результатами измерений поляризации Λ-гиперонов на коллайдере [Smith (1987)]. Измерения были выполнены при четырех энергиях ISR: s = 31, 44, 53 и 62 ГэВ. Для фитирования этих данных использовалась линейная функция

(

)

− PΛ = a1 + a2 ⋅ s − 62,4 . (4) Фитирование этой функции совместно к трем наборам данных: 1) ⎯хF = 0,39, (рТ = 0,56 ГэВ/c, 2) (хF = 0,58, рТ = 0,81 ГэВ/c и 3) хF = 0,77, рТ = 0,92 ГэВ/c дает значение параметра наклона a2 = + (0,027 ± 0,055) %. Поэтому чистое изменение поляризации в диапазоне энергии от 31 до 62 ГэВ составляет (0,8 ± 1,7) %. Этот результат показывает, что поляризация постоянна во всем диапазоне энергий ISR. Второй подход основан на результатах экспериментов с фиксированной мишенью при импульсах от 12 до 400 ГэВ/c [Panagiotou (1990)]. Через данные по поляризации были проведены срезы по хF и pТ для интервалов: 0,43 < хF < 0,58, 1,15 < рТ < 1,58 ГэВ/c. Данные при четырех энергиях были фитированы функцией − PΛ = a1 + a2 ⋅ ln pL , (5)

где pL – импульс падающего пучка в лабораторной системе. χ2-фит дает a1 = –26,3 ± 2,0, a2 = 0,7 ± 0,1. Отметим, что параметр наклона положителен (в то время, как знак постоянного члена противоположен), что приводит к уменьшению асимптотической поляризации. Чистое изменение в диапазоне импульса от 12 до 400 ГэВ/с составляет 2,45 ± 0,35 %. Параметр наклона не равен нулю, но показывает очень слабую зависимость от первоначальной энергии. 427

Трудно сравнить эти два результата, так как они не имеют общих кинематических областей. При попытке объединить результаты для фиксированной мишени и для коллайдера мы встречаем трудную ситуацию: в большинстве работ нет таблиц экспериментальных данных по поляризации, но, главным образом, только рисунки. Очевидно, что рисунки – неподходящий источник значений поляризации для количественного анализа. Однако в некоторых случаях этот источник не имеет альтернативы. Собранные таким образом данные включены в табл. 1 и 2 (будьте внимательны: отрицательный знак поляризации Λ включен в заголовок колонки –РΛ, и эта величина дана в %). Последняя колонка предназначена для комментариев, в то время как в предыдущей колонке имеется ссылка на оригинальные работы. Три функции использовались для фитирования во всей области энергии: две из них совпадают с упомянутыми выше функциями (4) и (5), а третья инициирована моделью полюсов Редже: − PΛ = a1 ⋅ p La2 .

(6)

Параметр а2 представляет эффективную траекторию Редже. В случае упругого рассеяния он изменяется между – 0,5 и – 1 в области малых значений величины –t (–t ≈ 0,1 (ГэВ/c)2) [Nurushev (1990)]. Результаты фитирования к инклюзивной поляризации показаны на рис. 1 и включены в табл. 1 и 2. Фактически включение новых экспериментальных данных с высокими точностями сделало некоторые фиты не столь хорошими, как раньше (см. значения χ2/d.o.f. в таблицах, NP – число степеней свободы). Основные выводы проведенного анализа: 1) все функции дали похожее описание экспериментальных данных (пунктирная линия – функция s , точечная линия – ln pL и жирная линия представляет инспирированную полюсом Редже зависимость). Точечно-пунктирная линия на рис. 1d соответствует фиту из работы [Panagiotou (1990)]. В этом случае наклон – положительный, в то время как наклон нового фита (с полюсом Редже) отрицателен (см. жирную линию на рис. 1d). Эта разность несущественна в настоящее время, но может привести к существенному расхождению при асимптотической энергии; 2) зависимость поляризации Λ-гиперона от энергии очень слаба, хотя имеется некоторое указание на то, что поляризация может меняться с энергией; 3) имеющиеся данные скудны, поэтому нужны дополнительные измерения поляризации в широкой области кинематических переменных. Большинство теоретических моделей молчаливо принимает независимость поляризации гиперонов от энергии. Но недавно было обнаружено интересное разнообразие поляризации гиперонов. Рис. 2a показывает, что 428

поляризация на ISR (отмечены звездочкой) при s = 62 ГэВ (что соответствует pL = 2049 ГэВ/c в экспериментах с фиксированной мишенью), кажется, лежит несколько выше, чем при 800 ГэВ/c в экспериментах с фиксированной мишенью (черные кружки) [Smith (1987)]. Эксперимент [Smith (1987)] проводился на бериллиевой мишени и, несомненно, имеется влияние ядра в этом эксперименте.

Рис. 1. Зависимость поляризации Λ-гиперона от энергии для различных кинематических областей

Этот ядерный эффект может уменьшить поляризацию Λ-гиперона всего на ≈10 %, и этого недостаточно для объяснения разности поляризаций. Следовательно, мы можем полагать, что есть слабое указание на рост спинового эффекта с энергией. Если это подтвердится, то это явление может стать важным и неожиданным открытием. Поляризация Σ+ уменьшается с энергией [Cooper (1983), Morelos (1993)] (см. рис. 2b), в то время как поляризация Ξ– увеличивается с энергией (рис. 2c) [Rameika (1986), Duryea (1991)]. Это разнообразие в энергетической зависимости поляризации гиперонов может дать важный ключ к обнаружению источника поляризации гиперонов.

429

Таблица 1 Данные по энергетической зависимости поляризации Λ-гиперонов, разбитые на бины по переменным xF, pT и результаты фитирования

№

pL, ГэВ/с

Ссылка

– PΛ, %

s,

Комментарий

ГэВ

⎯xF = 0,39, ⎯pT= 0,56 ГэВ/c 1 2 3 4 5 6 1

12,0 300,0 512,3 1032,0 1497,0 2049,0

4,74 23,7 31,0 44,0 53,0 62,0

4,85±2,05 0,0 ± 2,0 6,4 ± 2,9 8,1 ± 2,6 5,3 ± 2,4 7,5 ± 0,8

[Abe (1986)] [Scubic (1978)] [Smith (1987)] [Smith (1987)] [Smith (1987)] [Smith (1987)]

2 точки.⎯xF = 0,37 pT = 0,58 ГэВ/c

Из графиков Из графиков Из графиков Из графиков − PΛ = a1 + a2 ⋅ ln pL Фит: al = 0,87 ± 2,88, a2 = 0,8 ± 0,41;

χ2/d.o.f. = 2,4. NP = 6 2

–PΛ = al + a2 ⋅

pL Фит: al = 2,23 ± 1,74, a2 = 0,11 ± 0,04;

2

χ /d.o.f. = 1,8. NP = 6 3

− PΛ = a1 ⋅ p La2

Фит: al = 0,81 ± 1,24, a2 = 0,29 ± 0,21;

2

χ /d.o.f. = 2,04. NP = 6 ⎯xF = 0,58, ⎯pT= 0,81 ГэВ/c 1 2 3 4 5 6 7 1

[Abe (1986)] Сред. по 2 точкам [Gourlay (1986)] Новые данные [Scubic (1978)] Сред. по 2 точкам [Smith (1987)] Из графиков [Smith (1987)] Из графиков [Smith (1987)] Из графиков [Smith (1987)] Из графиков − PΛ = a1 + a2 ⋅ ln p L Фит: al = 12,38 ± 1,99, a2 = 0,46 ± 0,33; χ2/d.o.f. = 2,1. NP = 7

2

–PΛ = al + a2 ⋅

12,0 176,0 300,0 512,3 1032,0 1497,0 2049,0

4,74 18,2 23,7 31,0 44,0 53,0 62,0

14,9±1,3 7,9±5,5 12,2±1,2 15,1±2,6 17,4±3,5 18,0±3,2 17,4±1,2

pL Фит: al = 12,77 ± 1,17, a2 = 0,09 ± 0,04;

2

χ /d.o.f. = 1,4. NP = 7 3

− PΛ = a1 ⋅ p La2

Фит: al = 12,27 ± 2,22, a2 = 0,04 ± 0,03;

2

χ /d.o.f. = 2,0. NP = 7

430

Таблица 2 Данные по зависимости от энергии поляризации Λ-гиперонов, разбитые на бины по переменным xF и pT и результаты фитирования №

pL ,

ГэВ/с 1 2 3 4 5 6 1

Ссылка

– PΛ, %

s,

Комментарий

ГэВ

⎯xF = 0,77, ⎯pT = 0,92 ГэВ/c [Abe (1986)] Новые данные 21,0±2,7 [Scubic (1978)] Новые данные 16,0±9, 32,0±4,1 Из графиков [Smith (1987)] 27,9±6,4 [Smith (1987)] Из графиков 33,1±5,8 [Smith (1987)] Из графиков 29,7±4,3 [Smith (1987)] Из графиков − PΛ = a1 + a2 ⋅ ln pL Фит: al = 16,0 ± 4,3, a2 = 2,0 ± 0,8;

12,0 300,0 512,3 1032,0 1497,0 2049,0

4,7 23,7 31,0 44,0 53,0 62,0

χ2/d.o.f. = 0,7. NP = 6 2

– PΛ = al + a2 ⋅

pL

Фит: al = 20,8 ± 2,8, a2 = 0,26 ± 0,11;

2

χ /d.o.f. = 0,9. NP = 6 3

− PΛ = a1 ⋅ p La2

Фит: al = 17,4 ± 3,8, a2 = 0,08 ± 0,04;

2

χ /d.o.f. = 0,7. NP = 6 1 2 3 4 5 1

0,43 ≤ xF ≤ 0,58, 1,15 ≤ pT ≤ 1,58 ГэВ/c [Abe (1986)] 18,2±1,85 [Panagiotou (1990)] 25,7±8,1 16,0±1,8 [Scubic (1978)] 21,1±0,8 [Lundberg (1989)] 25,4±2,2 [Smith (1987)] − PΛ = a1 + a2 ⋅ ln pL Фит: al = 14,6 ± 2,9, a2 = 1,0 ± 0,5;

12,0 24,0 300,0 400,0 2049,0

4,7 6,7 23,7 27,4 62,0

Сред. по 4 точкам Из графиков Сред. по 3 точкам Сред. по 2 точка Из графиков

χ2/d.o.f. = 3,12. NP = 5 2

–PΛ = al + a2 ⋅

pL Фит: al = 16,9 ± 1,5, a2 = 0,18 ± 0,07;

2

χ /d.o.f. = 2,2. NP = 5 3

− PΛ = a1 ⋅ p La2

Фит: al = 14,7 ± 3,5, a2 = 0,06 ± 0,04;

2

χ /d.o.f. = 3,0. NP = 5

431

Рис. 2. Поляризации гиперонов, рожденных пучком протонов, в зависимости от рТ: (a) для Λ, (b) для Σ+, (c) для Ξ– и (d) для Ξ0 §55.2. Зависимость поляризации гиперона от pT

Другой важный пункт – зависимость поляризаций гиперонов от переданного импульса pT. Амплитуда с переворотом спина Fsf в (3) должна уменьшаться при pT → 0 как pТ, согласно сохранению полного углового момента, в то время как такого ограничения не существует для амплитуды без переворота спина Fnf. Поэтому поляризация Λ-гиперона должна начинать расти от нуля линейно с pТ, и, как указывают данные, вблизи pТ (1 ГэВ/c эта зависимость становится пологой. Такая особенность была описана следующей параметризацией [Lundberg (1989)]:

[

(

)]

− PΛ = f 2 ( pT ) = a1 ⋅ 1 − exp − a2 ⋅ pT2 .

(7)

Функция f2(pТ) дает хорошее аналитическое описание экспериментальных данных, которое является очень полезным при сравнении различных измерений (см. примеры ниже). Однако эта функция лишена двух важных особенностей: при малых поперечных импульсах она ведет себя как рТ2, а не как рТ, и при больших поперечных импульсах она постоянна 432

вместо уменьшения с рТ как pT–l, как это предсказывается пертурбативной КХД [Efremov (1978)]. Стоит вспомнить, что обе эти особенности присутствуют в упоминавшейся выше DM-модели рекомбинации. Эти две особенности могли бы быть учтены умножением функции (7) на член 1/рТ, не вводя нового свободного параметра. Так что новая функция f2(pT), стимулированная ПКХД, выглядит следующим образом:

[

(

)]

f 2 ( pT ) = a1 ⋅ 1 − exp − a2 ⋅ pT2 ⋅ 1 / pT .

(8)

Две вышеприведенные функции и функция, линейная по рТ, были фитированы к экспериментальным данным работы [Heller (1978)] по PΛ в интервале разбиения (бине) 0,3 < хF ≤ 0,4 при начальном импульсе 400 ГэВ/c. Результаты фитирования представлены на рис. 2b и в табл. 3. Сплошная линия – функция f 2 ( pT ) (7) из работы [Lundberg (1989)] (в табл. 3 – первая строка параметров фитирования), пунктирная линия – линейная аппроксимация (строка 2 для параметров фитирования в табл. 3) и жирная линия – функция, инициированная ПКХД (8) (строка 3 в табл. 3). Из этого рисунка видно, что мы не имеем хорошего количественного описания данных при импульсе 400 ГэВ/c ( s = 27,4 ÃýÂ). Так как экспериментальные точки сильно разбросаны, то все три функции дают одинаково хорошие описания в измеренной области по pТ. Можно только утверждать, что предсказания ПКХД для больших рТ не противоречат существующим экспериментальным данным. Чтобы подтвердить или отвергнуть это утверждение, надо расширить область измерений к большим значениям pТ. Данные при энергии ISR, s = 62 ГэВ (рис. 2a), лучше описываются зависимостью (7), чем другими функциями (см. значения χ2 в табл. 3). Прогнозы модели DM представлены на рис. 2 пунктирными линиями. Хорошее согласие между предсказанием и экспериментальными данными для поляризации Λ видно до рТ ≤ 1,5 ГэВ/c, а затем появляется некоторое расхождение. Так как вычисления были выполнены для фиксированного хF = 0,35, в то время как экспериментальные данные были усреднены по диапазону 0,3 < хF < 0,4, трудно ожидать объяснения такого расхождения только зависимостью поляризации от хF. Так как модель не имеет никаких свободных параметров, то такое согласие является удивительным. Очень хорошее согласие замечено для поляризации Ξ0 (см. рис. 2d). Заметное расхождение возникает в случае поляризации Σ+ (см. рис. 2b). Прежде всего, согласно модели DM, не должно быть зависимости поляризации гиперонов от начальной энергии пучка. Мы видим, что дело обстоит не так: РΣ+ (800 ГэВ/c) меньше, чем РΣ+ (400 ГэВ/c). Во-вторых, рТ-зависимость имеет пик при pТ ≅ 1 ГэВ/c, который не предсказывается 433

моделью. Наконец, модель не обеспечивает количественного описания зависимости поляризации Σ+ от рТ. Данные на рис. 2b лучше описываются функцией, мотивированной ПКХД (жирная линия) при обеих энергиях (см. табл. 3), хотя значения pТ недостаточно большие, чтобы подтвердить применимость ПКХД. Данные для Ξ– (рис. 2c) хорошо описываются всеми тремя функциями при 400 ГэВ/c (данные из работы [Rameika (1986)]) и при 800 ГэВ/c (данные из работы [Duryea (1991)]). Имеются некоторые признаки выхода данных на плато вблизи pТ ≅ 1 ГэВ/c, но необходимы новые данные при больших поперечных импульсах, чтобы подтвердить такое заключение. Поляризация Ξ0 [Heller (1978)] (см. рис. 2d) показывает те же особенности, как и поляризация Ξ–, хотя экспериментальные точки имеют большой разброс. Таблица 3 Зависимость от рТ поляризации гиперонов, образованных протонным пучком (комментарий к рис. 2) Реакция

аl (%)

а2 (%)

χ2/d.o.f.

NP

p → Λ, 400 ГэВ/c 0,3 < хF < 0,4 0,2 < рТ < 3,1 ГэВ/c p → Λ, 2049 ГэВ/c хF = 0,38 0,4 < рТ < 1,3 ГэВ/c p → Σ+, 400 ГэВ/c хF = 0,53 0,5 < рТ < 1,5 ГэВ/c p → Σ+, 800 ГэВ/c 0,44 < хF < 0,52 0,3 < рТ < 2, ГэВ/c – p → Ξ , 400 ГэВ/c 0,29 < хF < 0,61 0,6 < рТ < 1,2 ГэВ/c p → Ξ–, 800 ГэВ/c 0,32 < хF < 0,7 0,6 < рТ < 1,4 ГэВ/c 0 p → Ξ , 400 ГэВ/c 0,26 < хF < 0,58 0,3 < рТ < 1,7 ГэВ/c

10,9 ± 0,2 9,6 ± 0,5 22,4 ± 1,7 17,9 ± 2,0 –2,6 ± 1,4 37,0 ± 21,0 19,6 ± 1,2 32,9 ± 4,1 21,5 ± 1,9 13,0 ± 0,2 21,7 ± 1,1 17,0 ± 0,3 14,5 ± 5,6 –2,0 ± 4,3 276,0 ± 265,0 14,4 ± 0,5 7,7 ± 1,5 26,0 ± 6,5 11,0 ± 0,8 2,7 ± 2,8 634,0 ± 417,0

3,3 ± 0,4 0,7 ± 0,4 0,63 ± 0,07 1,6 ± 0,3 16,6 ± 1,8 0,04 ± 0,02 40,2 ± 302,0 –12,4 ± 3,7 3,5 ± 0,9 14,5 ± 9,3 –6,8 ± 0,9 2,9 ± 0,4 1,2 ± 0,8 11,9 ± 4,5 0,04 ± 0,04 2,8 ± 0,4 5,6 ± 1,5 0,7 ± 0,3 11,0 ± 9,0 8,2 ± 2,77 0,02 ± 0,01

5,9 6,7 6,1 1,4 3,2 4,1 7,6 1,8 1,2 10,0 5,2 4,4 1,0 1,2 1,2 1,0 0,2 1,1 2,0 1,4 1,5

23 23 23 6 6 6 4 4 4 15 15 15 6 6 6 9 9 9 16 16 16

434

Подводя итоги этого подраздела, подчеркнем различие зависимости поляризации от pТ как функции аромата кварка. Такое различие нельзя объяснить популярной рекомбинационной моделью DM, или моделью Лунда [Gustafson (1984)]. Этот факт должен отражать различие механизмов взаимодействия партонов разных ароматов. Имеющиеся в настоящее время экспериментальные данные также не противоречат предсказаниям ПКХД для больших переданных импульсов рТ. §55.3. Зависимость поляризации гиперона от xF

Рекомбинационная модель DM, основанная на SU(6)-симметрии и механизме томасовской прецессии спина, предсказывает почти линейную зависимость поляризации Λ-гиперонов от хF с небольшими поправками на более высокие степени хF и на pТ. Поляризация Λ-гиперонов описана в этой модели (в некотором приближении) следующей аналитической функцией: PΛ = − A ⋅ (xF , pT ) ⋅ pT , A(xF , pT ) = f (xF ) ⋅ g (xF , pT ) . (9) После подстановки численных значений для промежуточных параметров, следуя работам [DeGrand (1981), DeGrand (1985)], вышеприведенные функции могут быть представлены следующим образом: f ( xF ) =

( (1 − 0,35 ⋅ x )

0,12 ⋅ xF ⋅ 1 − 0,31 ⋅ xF − 0,18 ⋅ xF2 2 F

),

(10)

1 . (11) 0,38 + 0,03 + 0,068 ⋅ xF + 0,04 ⋅ xF2 ⋅ pT2 Отдельные экспериментальные данные для поляризации гиперона представлены на рис. 3 в зависимости от хF. Линейная подгонка дается жирными линиями на рис. 3b – 3d. Поведение экспериментальных данных по поляризации гиперонов в функции от хF зависит от аромата кварков. Прогнозы модели DM показываются на этих рисунках прерывистыми линиями (тонкая линия на рис. 3d). Из такого сопоставления видно, что модель DM, не имея никаких свободных параметров, достаточно хорошо описывает данные для поляризации Λ (см. рис. 3a); в вычислениях pТ была принята равной 1 ГэВ/c. Основное предсказание этой модели об одинаковой зависимости от хF поляризаций некоторых гиперонов выполняется, может быть, только для Ξ0-гиперона (рис. 3d) и не корректно для Σ+ (рис. 3b) и для Ξ– (рис. 3c). Таким образом, модель DM не в состоянии объяснить зависимость поляризации всех гиперонов от хF. Это – другой недостаток этой модели. Имеются несколько критических замечаний по g (xF , pT ) =

(

)

435

этой модели (работы [Fujita (1988)] и [Magnin (1995)]). В этих статьях утверждается, что модель DM не может описать поляризацию, когда гипероны рождаются при малых хF. Это происходит из-за сильной зависимости модельных предсказаний от масс морских кварков.

Рис. 3. Зависимость от xF поляризации гиперонов: (a) для Λ, (b) для Σ+, (c) для Ξ− и (d) для Ξ0

Имеется более очевидный недостаток этой модели: модель требует нулевых поляризаций гиперонов, не имеющих общих кварков с первоначальными частицами. Согласно этому постулату, все антигипероны не должны быть поляризованы, но дело обстоит не так. Например, рис. 4 показывает некоторые данные относительно поляризаций антигиперонов. В то время, как антилямбда-гиперон не поляризован (см. рис. 4a и 4b), антисигма-гиперон поляризован (см. рис. 4c и 4d); более того, знак и величина поляризации те же, что и для сигма-гиперона. Другой пример представляет поляризация отрицательного антикаскадного гиперона (см. рис. 4e и 4f), которая имеет величину порядка 10 % и отрицательного знака, как и для каскадного гиперона. Сплошные линии на всех рисунках представляют линейные фиты к данным. Так что модель DM имеет несколько проблем, которые будут решаться вместе с появлением новых экспериментальных данных. Но до сих пор в течение длительного времени эта модель давала правильные ориентиры во многих направлениях, таких, как поляризация гиперонов, соотношения между ними, она пред436

сказывает поляризации гиперонов, образованных на различных пучках, включая поляризованные пучки. Поэтому мы ожидаем, что эта модель может быть улучшена, чтобы соответствовать новым экспериментальным данным. Так как мы не имеем до сих пор другой модели, дающей такое же простое аналитическое выражение для описания экспериментальных данных, мы должны продолжать использовать ее для ориентира, пока не появится более совершенная модель.

Рис. 4. Поляризации гиперонов, рожденных пучком протонов: (a) для ⎯Λ в зави− симости от рТ, (b) для ⎯Λ в зависимости от xF, (c) для ⎯Σ в зависимости от рТ, − − (d) для ⎯Σ в зависимости от xF, (e) для ⎯Ξ в зависимости от рТ и (f) для ⎯Ξ− в зависимости от xF

Недавно была предложена релятивистская кварковая модель с вращающимися валентными кварками для объяснения спиновых эффектов в процессах с участием адронов. Эта модель была применена, в частности, для интерпретации поляризации в инклюзивном рождении гиперонов при высоких энергиях [Meng Ta-chung (1991), Boros (1993), Boros (1996a)]. 437

Существенными постулатами предложенной модели являются: 1) валентные кварки являются дираковскими частицами, заключенными в мешке (конфайнмент) и вращающимися по орбите вокруг центра поляризованного адрона; 2) валентные кварки в поляризованном адроне также поляризованы и их поляризации определяются SU(6) волновой функцией адрона; 3) инклюзивное рождение конечных адронов происходит, главным образом, через процессы прямого формирования, когда валентные кварки одного из сталкивающихся адронов аннигилируют или слипаются с морскими анти-кварками другого; 4) в односпиновых инклюзивных реакциях существенную роль играет поверхностный эффект. Очевидно, что имеются фоны, уменьшающие асимметрию, но анализ выходов Λ-гиперонов показывает, что они существенны только при малых значениях xF, в то время как при больших хF их вклад незначителен. Предсказания этой модели [Boros (1996b)] и сравнение с экспериментальными данными по поляризации Λ представлены на рис. 3a сплошной линией. Имеется хорошее согласие между предсказаниями модели и экспериментальными данными. §55.4. Поляризация гиперонов, образованных Σ–-пучком

Были опубликованы результаты эксперимента WA-89 в ЦЕРН [Adamovich (1995)] (рис. 5). Они были получены в пучке Σ–-гиперонов с импульсом 320 ГэВ/c. Все экспериментальные данные были описаны линейной зависимостью от обеих переменных хF и pТ (тонкие сплошные линии на рис. 5). Рис. 5a показывает поляризацию PΛ Λ-гиперона при ⎯хF = 0,3 в зависимости от pТ. Жирная линия представляет поведение поляризации PΛ, образованной пучком протонов с импульсом 300 ГэВ/c при том же значении хF, вычисленной по формуле (1). Очевидно, что поляризация Λгиперонов, возникшая на Σ–-пучке, намного меньше поляризации, произведенной пучком протонов. Согласно модели DM [DeGrand (1981), DeGrand (1985)] поляризация PΛ, порожденная пучком Σ–, должна составлять ≅ 0,5 от PΛ, полученной с пучком протонов. Этот прогноз кажется приблизительно правильным (сравните тонкую и жирную линии на рис. 5a). Подобное сравнение было сделано также для других измерений. Например, как можно заметить из рис. 5b, антилямбда-гипероны не поляризованы в обоих случаях (сравните тонкую линию с жирной линией, представляющие результаты фитирования экспериментальных данных для пучков Σ–-гиперонов и протонов). Очень интересная особенность может быть отмечена на рис. 5c: поляризация Σ+, возникающая в пучке Σ– (тонкая сплошная линия), намного меньше и имеет противоположный 438

знак, чем в пучке протонов (жирная линия, которая была оценена по формуле (1), так как отсутствуют соответствующие данные).

Рис. 5. Поляризации гиперонов, рожденных пучком Σ− c импульсом 320 ГэВ/с: (a) для PΛ в зависимости от рТ, (b) для P⎯Λ в зависимости от рТ, (c) для PΣ+ в зависимости от рТ, (d) для PΞ− в зависимости от рТ, (e) для PΞ− в зависимости от рТ, и − (f) для PΞ в зависимости от xF

Согласно модели DM Σ+, образованные пучком Σ–, должны иметь ту же поляризацию, как и Λ-гипероны, произведенные пучком протонов, но противоположного знака. Кажется, это предсказание сбывается. Поляризации Ξ–-гиперонов на обоих пучках близки друг к другу (рис. 5e и 5f) и это также соответствует прогнозу модели. Авторы экспериментальной работы [Adamovich (1995)] сделали несколько выводов. Во-первых, инклюзивно рожденные Σ–-пучком Λ-гипероны поляризованы значительно слабее, чем образованные в пучке протонов при одинаковых начальных энергиях. Во-вторых, ⎯Λ-гипероны также не поляризованы, как и в случае протонного пучка. В третьих, Ξ–-гипероны имеют одинаковую поляризацию на обоих пучках. Мы видим доказательство сильной зависимости поляризации гиперонов от аромата начальных и конечных кварков. Ранее 439

такая же зависимость от аромата наблюдалась для поляризаций Σ+ и Ξ–. Зависимости их поляризации от энергии и pТ контрастируют с поляризацией Λ [Nurushev (1993)]. Очевидно, что более точные данные по поляризации гиперонов (да и других адронов), образованных пучком Σ–гиперонов, являются действительно важными. Список литературы Abe F. et al. Phys. Rev. D34 (1986) 1950. Adamovich M. I. et al. Z. Phys. A350 (1995) 379. Bonner B. E. et al. Phys. Rev. Lett. 62 (1989) 1591. Boros C., Liang Z.-T. and Meng T.-C. Phys. Rev. Lett. 70 (1993) 1751. Boros C., Liang Z.-T. and Meng T.-C. FU Berlin preprint FUB-HEP 96-9 (1996a). Boros C. and Liang Z.-T. Phys. Rev. D53 (1996b) R2279. Bravar A. In: Proc. 12th Int. Symp. on High Energy Spin Physics, Amsterdam, The Netherlands (1996) 244. Cooper P. S. et al. Phys. Rev. Lett. 51 (1983) 863. DeGrand T. A. and Miettinen H. I. Phys. Rev. D23 (1981) 1227. DeGrand T. A., Markkanen J., Miettinen H. I. Phys. Rev. D32 (1985) 2445. Duryea J. et al. Phys. Rev. Lett. 67 (1991) 1193. Efremov A. V. Sov. J. Nucl. Phys. 28 (1978) 166. Fujita T. and Matsuyama T. Phys. Rev. D38 (1988) 401. Gourlay S. A. et al. Phys. Rev. Lett. 56 (1986) 2244. Gustafson G. In Proc. 2nd Int. Workshop on High Energy Spin Physics, Protvino, USSR (1984) 212. Heller K. et al. Phys. Rev. Lett. 51 (1978) 2025. Heller K. J. de Phys. Coll. C2 Suppl. No. 2 (1985) 121. Lach J. Fermilab-Conf-94/031, Fermilab (1994). Lundberg B. et al. Phys. Rev. D40 (1989) 3557. Magnin J. and Simao F. R. A. CBPF-NF-071/95 (1995). Meng Ta-chung M. In: Proc. 4th Int. Workshop on High Energy Spin Physics, Protvino, USSR (1991) 112. Morelos A. et al. Fermilab-Pub-93/331-E (1993). Nessi M. In: Proc. 8th Int. Symp. on High Energy Spin Physics, Minneapolis, MN, USA, Vol. 1 (1988) 66. Nurushev S.B. In: Proc. of the 9th Int. Symp. on High Energy Spin Physics, Bonn, FRG (1990) 34. Nurushev S. B. In: Proc. 5th Workshop on High Energy Spin Physics, Protvino, Russia (1993) 5. Panagiotou A. D. Int. J. Mod. Phys. A5 (1990) 1197. 440

Penzo A. In: Proc. VIth Workshop on High Energy Spin Physics, Protvino, Russia, Vol. 2 (1995) 34. Pondrom L. G. Phys. Rep. 122 (1985) 57. Puzikov L. D., Ryndin R. M. and Smorodinsky Ya. A. Nucl. Phys. 3 (1957) 436. Rameika G. et al. Phys. Rev. D33 (1986) 3172. Scubic P. et al. Phys. Rev. D18 (1978) 3115. Smith A. M. et al. Phys. Lett. B185 (1987) 209. Soffer J. and Wray D. Phys. Lett. B43 (1973) 514. Swallow E. C. In: Proc. Symp. on High Energy Physics with Polarized Beams, Argonne, Ill., USA, XI (1974) 1. Wolfenstein L. Phys. Rev. 96 (1954) 1654.

§56. Инклюзивные реакции с образованием гиперонов поляризованным протонным пучком §56.1. Анализирующая способность инклюзивной реакции с образованием гиперонов

Использование поляризованного пучка протонов для изучения спиновых эффектов в образовании гиперонов может существенно обогатить наши знания. Известно, что в случае реакции р↑ + р → Λ + X (1) матрица перехода является функцией восьми действительных параметров [Doncel (1972)]. Поэтому мы можем измерять восемь наблюдаемых величин. Мы обсудим в этом параграфе анализирующую способность в реакции (1) инклюзивного рождения Λ-гиперона АN и так называемый тензор деполяризации DNN (один из параметров Волфенштейна [Wolfenstein (1954)]). В 1995 г. Сотрудничество E704 опубликовало данные по левоправой асимметрии для реакции (1) [Bravar (1995)]. Измерение асимметрии Λ-гиперонов интересно по многим причинам. Прежде всего, мы имеем дело с более тяжелым кварком, s-кварком, во-вторых, эта реакция изменяет аромат кварка. И третья причина – возможность сравнения анализирующей способности с поляризацией Λ-гиперона, возникающей в той же самой реакции, когда первоначальный пучок протонов не был поляризован. Имеется известная эквивалентность между анализирующей способностью АN и поляризацией Р для бинарной реакции из-за инвариантности относительно обращения времени. Хорошо известно, что такое соотношение не доказано в случае инклюзивных реакций. Экспериментальные данные по асимметрии АN для инклюзивного рождения Λ при 441

200 ГэВ/c представлены на рис. 1a в зависимости от pТ и на рис. 1b в зависимости от хF (сплошные кружки).

Рис. 1. Анализирующая способность: (a) AN для Λ в зависимости от pT, (b) AN для Λ в зависимости от xF; поляризации: (c) PΩ− – для p-пучка, (d) PΩ− – для нейтральных пучков; тензор передачи спина DNN: (e) для Λ в зависимости от pT и (f) для Λ в зависимости от xF

Из этих рисунков могут быть выведены несколько заключений. Вопервых, данные BNL при 18,5 ГэВ/c так же, как и данные ZGS совместимы с нулевым значением [Lesnik (1975), Bonner (1987)] (18,5 ГэВ/c: данные, отмеченные звездочкой и линейные фиты представлены сплошными линиями для 200 GeV/c и пунктирными линиями для 18,5 ГэВ/c). Вовторых, при 200 ГэВ/c анализирующая способность АN является отрицательной и растет с обоими аргументами от нуля вблизи pТ ≅ 0,5 ГэВ/c и хF ≅ 0,4 до –10 % вблизи pТ ≅ 1 ГэВ/c и хF ≅ 0,7. Имеется хорошее описание в линейном приближении (см. сплошные линии). В обоих случаях, при 18,5 и 200 ГэВ/c, нет равенства между анализирующей способностью и поляризацией: поляризация намного больше по величине, чем анализирующая способность, хотя знаки у них одинаковы. Этот результат представляет 442

собой сильный вызов модели DM, утверждающей, что АN(Λ) = PN(Λ) в инклюзивном рождении. В то же самое время, релятивистская кварковая модель вращающихся валентных кварков [Boros (1996a)] сумела количественно описать зависимость от хF анализирующей способности Λ (рис. 1b, штрихпунктирная линия). Согласно этой модели заметная отрицательная асимметрия при больших хF вызвана процессом рекомбинации (uvdv)валентных дикварков от поляризованного снаряда с морскими кварками неполяризованной мишени. В то же время нулевая асимметрия при малой величине хF происходит от непрямых процессов формирования (например, распад тяжелых гиперонов). В промежуточной области согласно механизму подобия АN(Λ) напоминает π0-асимметрию. Более точные данные необходимы для проверки таких утверждений. §56.2. Процесс передачи спина в инклюзивном рождении гиперонов

Важное методическое изобретение было сделано в изучении поляризации омега-гиперона. На первом этапе физики пытались получить поляризованные омега-гипероны традиционным способом: бомбардировкой ядерных мишеней выведенным с растяжкой пучком протонов и выделением Ω под некоторыми малыми углами рождения [Luk (1993)]. Однако в полном соответствии с моделью DM [DeGrand (1985a)] они получили нулевую поляризацию (см. рис. 1c). Тогда физики, следуя рекомендации работы [DeGrand (1985a)], перешли ко второй фазе: они организовали два типа нейтральных пучков, поляризованный (ненулевой угол рождения) и неполяризованный (под нулевым углом) [Wood (1996)]. Такое развитие событий можно понять. Согласно модели DM конечный гиперон должен быть поляризован, если имеет один или более общих кварков с начальным протоном. В случае пары протон-Ω это условие не соблюдается. Следовательно, надо создать вторичный гиперонный пучок и использовать его для образования поляризованных Ω-частиц. Был создан нейтральный неполяризованный пучок (под нулевым углом) с оптимизацией по содержанию Λ-частиц. Однако омега-гипероны получились неполяризованными (см. данные, отмеченные звездочками на рис. 1d). Трудно понять причину этого: возможно, в этом пучке странные гипероны не находятся в благоприятной комбинации с Ω-частицей. Согласно работе [DeGrand (1985a)], Λ и Ω гипероны – лучшая пара для передачи спина Ω-гиперону, а Σ– и Ω – худшая. Возможно, в нейтральном пучке оказалось много ненужных примесей, не несущих странность, подобно нейтронам. Но следующий шаг, предпринятый 443

экспериментаторами, был успешен: они создали поляризованный нейтральный пучок и использовали его для генерации омега-гиперонов. И им это удалось (см. рис. 1d, сплошные кружки): омега-гипероны оказались поляризованными, и они получили возможность измерить также магнитный момент омега-гиперона [Diehl (1991)]. Этот эксперимент дал первое прямое доказательство существования механизма передачи спина при рождении омега-гиперона. Но так как нейтральный поляризованный пучок гиперонов содержал много типов гиперонов и их поляризация была неизвестна, было невозможно количественно определить, какая доля первоначальной поляризации была передана конечным гиперонам. Чтобы получить такие количественные данные, необходимо измерить так называемые параметры Вольфенштайна [Wolfenstein (1954)] или спиновые тензоры, введенные в начале 50-х гг. для описания упругого рассеяния. Эти параметры применимы также для инклюзивного рождения гиперонов (строго говоря – для гиперонов со спином 1/2, подобно Λ, Σ и т.д., но неприменимы непосредственно к Ω–-гиперонам, имеющим спин 3/2). Если первичный пучок, например, протонов, имеет поляризацию РВ, то поляризация конечного гиперона определяется выражением PY =

PY0 + DNN ⋅ PB 1 + PY0 ⋅ PB

,

(2)

где PY0 обозначает поляризацию гиперонов, образованных неполяризованным пучком протонов. Это и есть та поляризация гиперонов, что мы обсуждали выше. Предполагается, что все векторы поляризации направлены перпендикулярно к плоскости рождения гиперона. Значки у параметра деполяризации отражают это утверждение. Если это не так, имеются более простые формулы для определения передачи поляризации (спина). Параметр Вольфенштайна DNN показывает, какая доля поляризации первоначального пучка передается конечным гиперонам. Это – количественное описание процесса передачи спина, и тензор DNN хорошо известен для нуклоннуклонных взаимодействий при низких энергиях. Кроме того, этот параметр был измерен для Σ0-гиперона при 18,5 ГэВ/c [Bonner (1989)]. Этот результат интересен в том смысле, что эксперимент дал величину DNN = = 0,26 ± 0,16, в то время как модель DM предсказала DNN = 0,67, что находится в серьезном несоответствии с экспериментальными данными. Подобное противоречие было найдено и для анализирующей способности: AN (эксп.) = 0,02 ± 0,03, в то время как AN (теория) = 0,20. Чтобы устранить такие несоответствия, экспериментаторы предложили ввести в модель DM два дополнительных параметра, описывающих переворот спина 444

и смогли дать хорошее описание данных. Несомненно, требуется большее количество данных, чтобы усовершенствовать теоретическую модель. В 1996 г. были опубликованы результаты по тензору передачи спина DNN, измеренному Сотрудничеством E704, и они представляются интересными [Bravar (1996)]. Результаты измерений DNN представлены на рис. 1e в зависимости от рТ и на рис. 1f в зависимости от хF. Ясно видно, что этот параметр становится отличным от нуля при больших хF и рТ, показывая, что приблизительно 20 – 30 % поляризации первоначального протона передается конечному Λ-гиперону. Это число, полученное для поляризации лямбда-гиперона, нельзя сравнить с передачей поляризации в инклюзивном рождении Ω по нескольким причинам. Прежде всего, Λ и Ω – объекты с различными спинами (1/2 и 3/2). Во-вторых, не предложено никакой формулы для Ω, подобной выражению (2). И, в-третьих, кинематическая область различна: в случае поляризации омега-гиперона поперечный импульс был нулевым, в то время как в случае PΛ измеренный тензор DNN отличен от нуля при pТ ≅ 1 ГэВ/c и хF ≅ 0,8. Часть поляризации, переданной тензором DNN, должна быть добавлена к прямой поляризации Λ, PΛ0 , принимая во внимание знак DNN, как это видно из уравнения (2), определяющего конечную поляризацию Λ. Результаты по DNN при 18,5 ГэВ/c также представлены на этих рисунках. Они показывают, что величина DNN совместима с нулевым значением [Bonner (1988)]. Таким образом, Сотрудничество E704 представило первые прямые количественные данные по эффекту переноса спина в инклюзивном рождении лямбдагиперона при высоких энергиях. Этот результат отличается от прогноза модели DM. Согласно этой модели DNN должен быть нулевым [DeGrand (1981), DeGrand (1985b)]. Однако модель вращающихся кварков тоже способна описать эти данные [Boros (1996b)] без введения каких-либо свободных параметров (см. рис. 1f, пунктир). Знак и форма тензора деполяризации DNN предсказаны правильно, хотя хорошее количественное описание еще не достигнуто. Динамический механизм, дающий хорошее описание особенностей наблюдаемого спектра лямбда-гиперонов, включая их поляризацию, был предложен в работе [Soffer (1991)]. Эта модель основана на однопионной диаграмме обмена по модели Редже. Все особенности инклюзивного рождения Λ объясняются бинарной реакцией π + p → K + Λ с кинематикой, должным образом принятой во внимание. Модель имеет хороший потенциал, чтобы объяснить много других спиновых эффектов в различных реакциях. 445

Очевидно, требуется более полное изучение механизма передачи спина с использованием различных поляризованных пучков. Пока очень скудны данные по спиновым тензорам в области высоких энергий. Особенно важно дополнить поляризационную программу на RHIC изучением тензоров передачи спина (параметры Вольфенштейна). Для этого должна быть предусмотрена установка типа поляриметра для анализа поляризации рассеянных протонов. К сожалению, на сегодня такая программа не существует на RHIC. Список литературы Bonner B. E. et al. Phys. Rev. Lett. 58 (1987) 447. Bonner B. E. et al. Phys. Rev. D38 (1988) 729. Bonner B. E. et al. Phys. Rev. Lett. 62 (1989) 1591. Boros C. and Liang Z.-T. Phys. Rev. D53 (1996a) R2279. Boros C., Liang Z.-T. and Meng T.-C. FU Berlin preprint FUB-HEP 96-9 (1996b). Bravar A. et al. Rev. Lett. 75 (1995) 3073. Bravar A. In: Proc. 12th Int. Symp. on High Energy Spin Physics, Amsterdam, The Netherlands (1996) 244. DeGrand T. et al. Phys. Rev. D24 (1981) 2419. DeGrand T. A., Markkanen J. and Miettinen H. I. Phys. Rev. D32 (1985а) 2445. DeGrand T. et al. Phys. Rev. D31 (1985b) 661(E). Diehl H. T. et al. Fermilab-Pub-91/165, Fermilab (1991). Doncel M. and Mendez A. Phys. Lett. B41 (1972) 83. Lesnik A. et al. Phys. Rev. Lett. 35 (1975) 770. Luk K. B. et al. Phys. Rev. Lett. 70 (1993) 900. Soffer J. and Tornquist N. A. Preprint CPT-91/P.2559, HU-TFT-91-30, CNRS Luminy-Case 907-CPT-F13288 Marselle Cedex 9 – France (1991). Wolfenstein L. Phys. Rev. 96 (1954) 1654. Wood D. M. et al. Phys. Rev. D54 (1996) 6610.

446

Глава 3. Процессы инклюзивного рождения адронов §57. Односпиновая асимметрия в инклюзивном рождении адронов Начальный этап изучения односпиновой асимметрии в инклюзивном рождении адронов был уже выполнен с появлением поляризованных пучков протонов с энергией 400 MэВ (кинетическая энергия) [March (1960), Mcllwan (1962)] и 650 MэВ [Borisov (1967)] в 60-е гг. Первый эксперимент использовал эмульсии, второй – пузырьковые камеры, третий был чисто электронным экспериментом (сцинтилляционные счетчики) с большой статистикой. Во всех этих экспериментах наблюдалась отличная от нуля асимметрия пионов. Чтобы интерпретировать асимметрию в инклюзивном рождении пионов при 650 ГэВ, успешно использовалась известная изобарная модель Мандельштама [Mandelstam (1958)], в то время как модель однопионного обмена (OPE) [Ferrari (1963)] не cработала удовлетворительно [Nurushev (1965)]. Эти данные были также полезны в проведении фазового анализа. Физики приложили огромные усилия, чтобы фронт поляризационных исследований продвинулся с области энергий в 100 МэВ в область энергий ~ 105 ГэВ (в лабораторной системе) за какието 50 лет. И это при том, что по-прежнему превалирует мнение о несущественности спиновых явлений и о возможности их исчезновения с ростом энергии. Однако уже первые результаты с коллайдера RHIC показали, что поляризационные эффекты продолжают выживать даже при энергиях в 105 ГэВ. Теперь можно надеяться на то, что поляризационная физика будет приносить много неожиданностей и далее. Односпиновые асимметрии при высоких энергиях (> 10 ГэВ) были недавно рассмотрены в нескольких работах, где можно найти конкретные результаты и детали обсуждений [Soffer (1995), Nurushev (1995a), Nurushev (1995b)]. Мы сделаем акцент на обсуждении относительно новых и существенных по значимости экспериментальных данных по односпиновой асимметрии в области высоких энергий [Nurushev (2006)]. Сотрудничество Е581/E704 (Фермилаб) создало на Тэватроне поляризованный пучок протонов (антипротонов) с энергией 200 ГэВ от распада Λ- (⎯Λ-) гиперонов, используя выведенный пучок протонов с энергией 800 ГэВ. С применением такого пучка с самой высокой энергией в то время (1990 г.), Сотрудничество выполнило серию измерений односпиновых асимметрий (результаты по гиперонам обсуждались ранее). Данные можно сгруппировать следующим образом:

447

а) асимметрия в области фрагментации поляризованного пучка (средние поперечные импульсы): в инклюзивном рождении π0-мезонов в рр- и ⎯рр-соударениях; в инклюзивном рождении π±-мезонов в рр- и ⎯ррсоударениях; б) асимметрия в области кулон-ядерной интерференции при упругом рр-рассеянии; в) асимметрия в центральной области (большие поперечные импульсы): в образовании прямых фотонов; в инклюзивном рождении π0мезонов с сопровождающими заряженными частицами и без них. §57.1. Асимметрия в инклюзивном образовании π0-мезонов поляризованными протонным и антипротонным пучками при средних переданных поперечных импульсах (область фрагментации пучка)

При больших хF (область фрагментации пучка) асимметрия была измерена для инклюзивного рождения π0 в реакциях: p↑ + р → π0 + X, ⎯p↑ + р → π0 + X. (1) Диапазон кинематических переменных был 0,5 < рТ < 2,0 ГэВ/c, 0 < хF < 0,8 [Adams (1992), Nurushev (1991)]. Как это видно из рис. 1a и 1c (данные для π0 обозначены звездочками на обоих рисунках), асимметрия близка к нулю в интервале 0 < xF < 0,3 и затем начинает расти почти линейно с хF, приближаясь к значению AN = 0,15 ± 0,03 в рр-реакции и AN = 0,072 ± 0,037 в ⎯рр-реакции в интервале 0,6 < хF < 0,8. Заметьте: знак асимметрии – тот же самый для обеих реакций, только AN (p↑ + р → π0 + + X) > AN (⎯p↑ + р → π0 + X) во всем интервале измерений хF. Пунктирные линии на рис. 1a и 1c представляют линейный фит экспериментальных данных. Результаты фитирования для π0 следующие: AN = – (0,02 ± ± 0,008) + (0,22 ± 0,03) ⋅ хF для пучка протонов с χ2 = 2/d.o.f., NP (число экспериментальных точек) = 7; для антипротонного пучка AN = – (0,001 ± ± 0,009) + (0,11 ± 0,03) ⋅хF с χ2 = 0,5/d.o.f. для 7 точек. Следовательно, показано, что информация о поперечной поляризации первичного кварка переходит к конечному адрону (в данном случае π0), и эффект возрастает с ростом хF. Сравнивая эти два фита, можно утверждать, что параметр наклона в π0-асимметрии для пучка антипротонов вдвое меньше, чем для пучка протонов, факт, еще не объясненный какой-либо теоретической моделью.

448

Рис. 1. Инклюзивные асимметрии пионов, произведенные протонным (a), (b) и антипротонным (c) − (f) пучками с импульсом 200 ГэВ/c; звездочками показаны 0 асимметрии для π

§57.2. Асимметрия в инклюзивном рождении π±-мезонов поляризованными пучками протонов и антипротонов в области фрагментации пучка

Односпиновые асимметрии в инклюзивном рождении π±-мезонов были измерены Сотрудничеством E704 в следующих реакциях: p↑ + р → π+ + X, ⎯p↑ + р → π- + X, (2) при начальном импульсе 200 ГэВ/c и в диапазоне кинематических переменных: 0,2 < рТ < 2,0 ГэВ/c, 0 < хF < 0,85 [Adams (1991)]. Как это видно из рис. 1a и 1b, имеется вполне значимая асимметрия AN± как для π+-, так и для π–-мезонов. Асимметрия AN+, однако, имеет противоположный знак по отношению к AN–. Эти противоположные знаки могут интерпретироваться на уровне кварков согласно предположению, что u-кварки поляризованы в том же самом направлении, как и исходный протон, но d-кварк имеет противоположную ориентацию поляризации. Асимметрии растут с хF, показывая, что ведущие партоны помнят спиновые состояния исход449

ных частиц. Линейные фиты к экспериментальным данным на рис. 1a и 1b дали следующие результаты: AN+(xF) = – (0,14 ± 0,02) + (0,60 ± 0,04) ⋅ хF и AN-(хF) = (0,13 ± 0,02) – (0,43 ± 0,03) ⋅ хF с χ2 = 1,1/d.o.f. для π+ и χ2 = = 7,1/d.o.f. для π–. Эти фиты не представлены на рис. 1a и 1b, чтобы не затруднять сопоставление с прогнозами модели. Из сравнения с этими двумя фитами можно сделать заключения: (а) параметр наклона для AN+(xF) более крутой чем для AN–(хF), (б) обе асимметрии становятся нулевыми вблизи хF ≅ 0,2 – 0,3 и (в) обе асимметрии выше по величине, чем асимметрия для π0. Поскольку известно, что пертурбативная КХД не может быть применена в области малых рТ, то для объяснения таких спиновых эффектов надо применить феноменологические модели. §57.3. Асимметрия в инклюзивном рождении π±-мезонов поляризованными протонным и антипротонным пучками при средних передачах импульса (область фрагментации пучка)

Инклюзивные асимметрии π±-мезонов были измерены в следующих реакциях: ⎯p↑ + р → π+ + X, p↑ + р → π– + X, (3) при первоначальном импульсе 200 ГэВ/c и диапазоне кинематических переменных: 0,2 < рТ < 2,0 ГэВ/c, 0 < хF < 0,85 [Adams (1996a)]. Как показывают рис. 1c и 1d, имеется существенный спиновый эффект, зависящий от xF. Пунктирная линия на рис. 1c и сплошная линия на рис. 1d представляют линейные фиты к экспериментальным данным, параметризующиеся следующим образом: AN+ (xF, ⎯p) = (0,18 ± 0,04) – (0,55 ± 0,11) ⋅ xF (χ2 = = 1,0/d.o.f. для 5 точек) и AN– (xF, ⎯p) = – (0,11 ± 0,04) + (0,38 ± 0,09) ⋅ xF (χ2 = 0,5/d.o.f. для 5 точек). Линейные фиты хорошо согласуются с экспериментальными данными, подчеркивая простоту и подобие всех этих данных. Сравнивая данные на рис. 1a и 1b с данными на рис. 1c и 1d соответственно, можно заключить, что асимметрии π+ и π– почти зеркально симметричны для поляризованных протонных и антипротонных пучков. Имеется другая общая особенность, так как рис. 1a – 1d указывают, что ненулевая асимметрия возникает в интервале хF ≅ 0,2 – 0,3, а затем растет. Подобную тенденцию мы видели также на поляризации Λ-гиперона. Это очень интересный факт и он должен объясняться любой моделью, претендующей на количественное описание односпиновой асимметрии. Зависимость от рТ асимметрий π± в pp -взаимодействии представлена на рис. 1e и 1f. AN растет с увеличением рТ практически линейно, кроме 450

того, существует “пороговое” явление при рТ ≅ 0,3 – 0,4 ГэВ/c. Сплошные линии – результаты линейного фита экспериментальных данных, и они описываются формулами: AN+ (рТ, ⎯р) = (0,10 ± 0,03) – (0,28 ± 0,05) ⋅ ⋅рТ (χ2 = 2/d.o.f. для 5 точек) и AN– (рТ, ⎯р) = –(0,06 ± 0,03) + (0,23 ± 0,04) ⋅ ⋅ рТ (χ2/d.o.f. = 2,6 для 5 точек). Параметры наклона очень близки друг другу, точки пересечения нуля также подобны, указывая, что тот же самый механизм мог бы быть ответственен за односпиновые асимметрии в инклюзивном рождении π+- и π–-мезонов поляризованным пучком антипротонов. Данные по инклюзивной асимметрии пионов в области фрагментации пучка стали очень важными не только из-за теоретического интереса (феноменология мягких взаимодействий), но также и по практической причине: эти реакции могут эффективно использоваться для поляриметрии поляризованных пучков протонов и антипротонов высокой энергии благодаря их большим сечениям и высокой анализирующей способности. §57.4. Теоретические модели

Любая инклюзивная реакция может быть представлена на уровне партонной модели как своего рода свертка партонного распределения внутри первоначального адрона с сечением взаимодействия партонов и конечной функцией фрагментации партона. Поперечная спиновая асимметрия может обнаруживаться на любой из этих трех стадий. Соответственно, теоретические модели берут за основу либо асимметричные распределения партонов по рТ в поляризованных начальных протонах (эффект Сиверса), либо на уровне взаимодействия партон-партон (так называемый эффект Шведа), либо на зависимости функции фрагментации конечного партона от его поляризации (эффект Коллинза). Все три типа моделей были реализованы в практических вычислениях. Обсудим некоторые из этих моделей. В работах [Artru (1993), Artru (1994)] для расчета асимметрии была предложена струнная модель типа Коллинза. В практических вычислениях принималось, что поляризация первичного кварка в подпроцессе рассеяния партонов может быть передана конечному кварку полностью (DNN равен единице). Постулировалась кварк-дикварковая композиция поляризованного протона. Две струны (q)-(qq) распадались согласно простому правилу Лунда. После кинематических вычислений и некоторых допущений были выполнены численные оценки AN для различных вариантов поляризации кварков. Если поляризация кварков следует волновой функции SU(6): Pu = +2/3 и Рd = –1/3, и получающаяся асимметрия существенно не согласуется с данными для отрицательных пионов. Были выбраны макси451

мально возможные поперечные поляризации кварков в протоне: Pu = 1 и Pd = –1. Результаты нанесены на рис. 1a сплошной линией (подобные вычисления для π– и π0 не показаны на рис. 1). Постоянная и независимая от параметра Бьеркена x кварковая поляризация ведет к большей асимметрии, чем это было измерено, в то время как зависимость поляризации кварка, пропорциональная x2, приводит к лучшему описанию экспериментальных данных. Функции распределения партонов по поперечному импульсу внутри поляризованного адрона может оказаться несимметричной (эффект Сиверса). В работе [Anselmino (1994)] на основе релятивистского кваркпартонного подхода была развита модель, которая дает довольно хорошее описание асимметрии в инклюзивном рождении пионов. Шесть свободных параметров модели были определены методом наилучшей подгонки к данным по асимметрии пионов. Зависимость от хF асимметрии π– при фиксированном pТ = 1,5 ГэВ/c показана на рис. 1b пунктиром. Подобные расчеты были выполнены и для π+ и π0 (они не показаны на рис. 1). Модель определяет знак асимметрии π0 как положительный. Модель Шведа. Так как эта модель применялась только к данным для больших передач импульса рТ, а здесь рассматриваются относительно небольшие передачи, мы обсудим ее предсказания в соответствующем разделе. §57.5. Односпиновая асимметрия при очень малых передачах поперечных импульсов

Результаты эксперимента E704 по измерению анализирующей способности упругого рр-рассеяния в области кулон-ядерной интерференции (КЯИ, в английском переводе CNI-Coulomb-nuclear interference) представлены на рис. 2a [Akchurin (1993а)]. Мы можем задаться вопросом: какова ценность таких данных? Ответы будут следующими. • Мы действительно видим ненулевую анализирующую способность АN. Величина и форма АN соответствует априорным теоретическим вычислениям [Kopeliovich (1974), Bourrely (1977), Buttimore (1978)]. Формула, использованная для фитирования, такова

AN = a ⋅

⎛ 8πα ⎞ z 1,5 t ⎟⎟ ≅ 3,12 ⋅ 10 −3 (ГэВ / с) 2 . , z = , t 0 = 3 ⋅ ⎜⎜ 2 t σ 1+ z 0 ⎝ T ⎠

(4)

Здесь σT обозначает полное сечение pp-взаимодействия, α – постоянная тонкой структуры; параметр a определен чуть ниже. Результат фити452

рования был следующим: a = (4,73 ± 0,92) %, с χ2/d.o.f. = 0,31 для 6 экспериментальных точек (см. рис. 2a, сплошная линия). Теоретическое ожида3 (µ − 1) t p составляет 4,6 %, что иллюстрирует хорошее 4⋅m согласие между предсказанием и экспериментом. Это первое экспериментальное подтверждение так называемого явления КЯИ в поляризационных исследованиях при высоких энергиях.

ние для a =

Рис. 2. Анализирующая способность AN для: (a) pp-pp, (b) прямых гамма-квантов, (c) – (f) инклюзивного образования π0-мезонов в протонных и антипрононных пучках 200 ГэВ/c; на рис. 2с представлены также данные для более низких энергий

• Эти данные при таких малых значениях |t| интересны также для прямого определения из эксперимента спин-флиповой адронной амплитуды. Известно, что имеется указание на вклад померона в спин-флиповую амплитуду. Хотя эти данные не имеют достаточной статистики для оконча453

тельного ответа на вопрос о наличии спин-флипа (эксперимент не был посвящен такой физике), тем не менее некоторые оценки могут быть сделаны. Согласно работе [Akchurin (1993b)], отношение приведенной спинфлиповой амплитуды к амплитуде без спин-флипа ограничено из этих данных значением β = 0,16 ± 0,06 для мнимой части и ρ = –0,02 ± 0,01 для вещественной части. Фитирование было выполнено включением данных вне области КЯИ. Это лучшая оценка спин-флиповой амплитуды для упругого pp-рассеяния в настоящее время. Теоретическая оценка с учетом динамически усиленного компактного дикварка и экспериментальных данных при 6 и 10 ГэВ/c дало значение 0,05 – 0,1 [Kopeliovich (1989)]. §57.6. Односпиновая асимметрия в инклюзивном образовании прямых фотонов в центральной области

Одиночная поперечно-спиновая асимметрия в рождении прямых фотонов была измерена впервые Сотрудничеством E704 [Adams (1995)]. Выделение прямого фотона было выполнено на основе тщательных измерений выходов π0- и η-мезонов, которые являются основным источником фона. Поскольку сечение прямого рождении фотонов мало и оно определяется методом вычитания двух больших чисел, то необходимо применять различные способы подавления фонов. Так, телесный угол γдетектора был увеличен в два раза в с.ц.м. с тем, чтобы уменьшить фон одиночных фотонов от распада π0- и η-мезонов. Перед γ-детектором устанавливались пропорциональные камеры для отсечения фона от заряженных частиц, в основном электронов. Был выполнен большой объем работ по моделированию экспериментальной установки, правильного выбора режимов ее работы и определения эффективностей аппаратуры. Измерение поляризационной асимметрии намного сложнее, чем измерение сечений, так как в этом случае мы имеем дело с разностью двух практически равных величин – событий рассеяния налево и направо. Результаты по односпиновой асимметрии прямых фотонов, рожденных в инклюзивной реакции p ↑ + p → γ + X в центральной области при импульсе 200 ГэВ/c, представлены на рис. 2b в зависимости от xF. Данные были усреднены по измеренному диапазону pТ. Асимметрия в инклюзивном образовании прямых фотонов не противоречит нулевому значению в пределах экспериментальной точности. Результаты этого первого эксперимента по измерению асимметрии прямых фотонов указывают на относительно малую поляризацию глюона ∆G. Пунктирные и сплошные линии на рис. 2b иллюстрируют масштаб ожидаемых вкладов от высшего твиста-3 для двух параметризаций зависимости от х в так называемом приближении “глюонного полюса” [Qiu (1991)]. Приближение “фермион454

ного полюса” ведет к противоположному знаку эффекта [Korotkiyan (1995)]. Экспериментальные данные не могут при имеющейся точности измерений различить две модели, основанные на эффектах высшего твиста. §57.7. Односпиновая асимметрия при больших поперечных импульсах pT

Измерение односпиновой асимметрии при больших поперечных импульсах в центральной области было выполнено в эксперименте E704 только для π0-мезонов [Adams (1996b)]. Результаты для односпиновой π0 инклюзивной асимметрии AN для поляризованного пучка протонов 200 ГэВ/c показаны на рис. 2c (заполненные кружки). В измеренной кинематической области AN согласуется с нулевым значением в пределах точности измерений. Следующий рисунок (2d) показывает асимметрию для случая, когда, по крайней мере, одна заряженная частица сопровождала π0-мезон, и вылетала эта частица в направлении, противоположном направлению вылета π0-мезона в с.ц.м. Такой отбор может обогащать струйно-подобные события, т.е. процесс жестких соударений партонов. Измеренная односпиновая асимметрия также совместима с нулевым значением. Аналогичные измерения были выполнены и на поляризованном пучке антипротонов (см. рис. 2e и 2f). Результаты также совместимы с нулем. Незначительные односпиновые асимметрии при больших рТ в инклюзивном рождении π0-мезонов протонными и антипротонными пучками с импульсом 200 ГэВ/c (рис. 2c и 2d) ставят вопрос относительно больших асимметрий, наблюдавшихся при 24 ГэВ/c (ЦЕРН) [Antille (1980)] и при 40 ГэВ/c Сотрудничеством PROZA (ИФВЭ) [Apokin (1990)]. На рис. 2c эти данные также представлены (результаты для 24 ГэВ/с помечены звездочками, результаты при 40 ГэВ/с отмечены открытыми квадратиками), так что можно провести сравнение этих данных. Линейный фит вида AN(pT) = a(1)(pT – pT0) приводит к следующим результатам: • p + p↑ = π0 + X, 24 ГэВ/c AN (pT) = (0,28 ± 0,11) ⋅ [pT – (1,25 ± 0,06)], χ2/d.o.f. = 1,2 для 6 точек; • π– + p↑ = π0 + X, 40 ГэВ/c AN(pT) = (0,33 ± 0,08) ⋅ [pT – (1,5 ± 0,10)], χ2/d.o.f. = 1,2 для 8 точек; • p + p↑ = π0 + X, 200 ГэВ/c AN(pT) = (0,007 ± 0,005)⋅[pT – (1,72 ± 0,35)], χ2/d.o.f. = 1,4 для 15 точек.

455

Глядя на эти результаты и на рис. 2c, можно заключить, что асимметрия для pp-реакции, кажется, уменьшается с энергией. Это заключение подтверждается параметром наклона а(l), изменяющимся от 0,28 ± 0,11 при 24 ГэВ/c до ≅ 0,007 ± 0,005 при 200 ГэВ/c. Малые значения параметра наклона были также получены при 200 ГэВ/c для инклюзивной асимметрии π0-мезонов, рожденных поляризованным пучком антипротонов (см. рис. 2e) и в реакциях с зарядовым сопряжением (рис. 2d – 2f). Второе заключение относится к точке, где возникает ненулевая асимметрия. Соответствующий параметр pT0 принимает следующие значения: при 24 ГэВ/c pT0 = 1,25 ± 0,06 ГэВ/c, при 40 ГэВ/c pT0 = 1,5 ± 0,1 ГэВ/c и при 200 ГэВ/c pT0 = 1,72 ± 0,35 ГэВ/c. Таким образом, параметр pT0 имеет тенденцию расти с энергией. Чтобы сравнивать эти заключения с модельными предсказаниями, выберем модель Шведа [Szwed (1990)], которая основана на двух приближениях: (a) на кварковом уровне партоны налетающей частицы рассеиваются на внешнеем глюонном поле, и (b) процесс адронизации идет через рекомбинационную модель. Поляризация в этой модели появляется во втором порядке пертурбационных вычислений. Результат вычислений по этой модели для 24 ГэВ/c показан сплошной линией на рис. 2c. С увеличением энергии асимметрия уменьшается в соответствии с первым нашим заключением. Модель Шведа не предсказывает никаких изменений знака асимметрии, и этот факт противоречит второму нашему заключению, сделанному выше. Кроме того, кратко упомянем о нескольких других теоретических моделях, относящихся к обсуждаемым данным. • Для асимметрии в инклюзивных процессах в работе [Ryskin (1989)] была предложена простая модель, аналогичная известному соотношению Ферми [Fermi (1954)]. Предполагая, что спин кварка взаимодействует с хромомагнитным полем цветной струны, было показано, что соблюдается соотношение между односпиновой асимметрией и инклюзивным сечением

[

][

]

AN ~ δpT [d / dpT ] dσ / d 3 p / dσ / d 3 p ,

(5)

где δpТ – дополнительный поперечный импульс, приобретенный кварком при разрыве струны. Предполагается, что в дальнейшем этот дополнительный “кик” передается конечному адрону с разным знаком в зависимости от ориентации спина поляризованного кварка. Это соотношение использовалось также для каона, так же как и для прямого рождения фотонов. Ранее эта модель была успешно применена к данным эксперимента PROZA по односпиновой асимметрии в инклюзивном рождения π0456

мезонов при больших рТ. Недавно эта модель была модифицирована и успешно использовалась для описания большинства представленных выше экспериментальных данных [Нурушев (2006)]. Модель дает простую аналитическую зависимость для односпиновой инклюзивной асимметрии. Причем работает практически во всей кинематической области. Эта модель подробно представлена в первой части книги, в разделе “теоретические модели”. • Односпиновая асимметрия для π0-мезонов с большим рТ, как ожидается, будет нулевой согласно пертурбативной КХД. Данные с эксперимента E704 (см. рис. 2c – 2f, заполненные кружки) подтвердили это ожидание. • Согласно модели вращающихся кварков, односпиновая асимметрия должна быть нулевой в центральных соударениях [Meng Ta-chung (1991), Boros (1993)]. Эти утверждения справедливы для данных при 200 ГэВ/c. • Была предложена модель для описания односпиновой асимметрии в инклюзивном рождении адронов при большом поперечном импульсе [Troshin (1995)]. Главная идея этой модели состоит в том, чтобы объяснить спиновую структуру адрона спиновой структурой конституентных кварков: конституентные кварки выступают как квазичастицы, состоящие из токовых кварков и окружающего их облака кварк-антикварковых пар различных ароматов. Односпиновая асимметрия в рождении адронов пропорциональна орбитальному угловому моменту токовых кварков внутри конституентного кварка. После введения некоторой феноменологической параметризации функций распределения кварков авторы смогли вычислить анализирующую способность инклюзивного рождения π0-мезонов. Когда они использовали волновую функцию SU(6) для поляризованного протона, предсказанная асимметрия стала систематически выше экспериментальных значений, полученных в E704. Более последовательное описание экспериментальных результатов было достигнуто в случае, когда поляризациям конституентных кварков были приписаны их максимальные величины. В этом смысле такой результат поддерживает заключение, сделанное выше моделью типа Коллинза, что волновая функция поляризованного протона не следует точно предсказниям SU(6). Другие заключения: асимметрия становится отличной от нуля при pТ > 1 ГэВ/c, асимметрия слабо зависит от первичной энергии и асимметрии для заряженных пионов больше, чем для нейтрального пиона. Эти предсказания заслуживают проверки. Сотрудничество БНЛ измерило односпиновые асимметрии в инклюзивном рождении π± [Saroff (1990)] для 13,3 и 18,5 ГэВ/c и выдвинуло гипотезу о возможном законе подобия (скейлинга) в зависимости асимметрии от хT или xF. Она основывалась только на данных по π+ (рис. 3a), 457

так как асимметрия π– была незначительна в области больших хT. Поскольку диапазон энергии был узок, было трудно обосновать любой закон подобия о независимости асимметрии от энергии. Недавно Сотрудничество ФОДС-2 опубликовало результаты измерений инклюзивной асимметрии в рождении заряженных частиц (пионы, каоны, p и ⎯p) [Abramov (1996)]. Использовался пучок поляризованных протонов с импульсом 40 ГэВ/c от распада Λ-гиперонов. Результат для асимметрии π+ показан на рис. 3a открытыми кружками.

Рис. 3. Анализирующая способность AN для: (a) π+-мезонов, (b) точки пересечения нуля x0, (c) параметра наклона А0, (d) масштабирующая (скейлинговая) функция

gs(xT)

458

Оказывается, что новые данные ФОДС-2 подтверждают в некоторой степени закон подобия для хF. Результаты линейного фитирования к данным на рис. 3a таковы: 13,3 ГэВ/c АN+ (xT) = (0,32 ± 0,09) ⋅ [хT – (0,32 ± 0,04)], χ2/d.o.f. = 1,9 для 10 точек; 18,5 ГэВ/c АN+ (xT) = (0,58 ± 0,14) ⋅ [хT – (0,39 ± 0,02)], χ2/d.o.f. = 0,51 для 9 точек; 40 ГэВ/c АN+ (xT) = (0,33 ± 0,08) ⋅ [хT – (0,38 ± 0,02)], χ2/d.o.f. = 0,8 для 12 точек. Из данных по АN+ сразу могут быть сделаны два заключения: (а) параметр наклона приблизительно постоянен, и (b) то же самое справедливо для точки пересечения нуля xT0 . Это означает, что асимметрия π+ масштабируется с энергией. Для полноты было сделано аналогичное фитирование к экспериментальным данным по инклюзивной асимметрии π0, показанные на рис. 2c: 24 ГэВ/c АN0 (xT) = (0,94 ± 0,37) ⋅ [хT – (0,38 ± 0,02)], χ2/d.o.f. = 1,2 для 6 точек; 40 ГэВ/c АN0 (xT) = (1,43 ± 0,35) ⋅ [хT – (0,35 ± 0,02)], χ2/d.o.f. = 1,2 для 6 точек; 200 ГэВ/c АN0 (xT) = (0,06 ± 0,05) ⋅ [хT – (0,18 ± 0,04)], χ2/d.o.f. = 1,4 для 15 точек. Из совокупности данных шести экспериментов можно извлечь зависимости от энергии двух свободных параметров: параметра наклона, мы обозначаем его A0, и точки xT0 пересечения нулевого уровня асимметрии. Их зависимость от энергии была параметризована как линейная функция от s , и параметры были определены фитированием к вышеприведенным данным. Получены следующие результаты: xT0 = (0,013 ± 0,005) ⋅ [(36 ± 12) –

A0 = (0,03 ± 0,006) ⋅ [(22 ± 3) –

s ], χ2/d.o.f. = 1,2 на 6 точек,

s ], χ2/d.o.f. = 3,5 на 6 точек.

Зависимость xT0 от энергии представлена на рис. 3b. Имеются признаки, что точка пересечения асимметрией нуля xT0 уменьшается с энергией. Это заключение основано только на одной точке для 200 ГэВ/c, которая может быть неустойчива к нулевой асимметрии, поэтому необходимы новые данные. Что касается параметра наклона (см. рис. 3c, то имеется резкое изменение в его зависимости от энергии вблизи 40 ГэВ/c (предостережение: имеются две точки при 40 ГэВ/c. Одна происходит из резуль459

татов на пучке π–, верхняя точка, другая – из результатов на пучке поляризованных протонов, нижняя точка). Среди шести экспериментальных точек половина относится к π+-, а другая половина – к π0- асимметрии. Крутое изменение параметра наклона с энергией относится только к π0 (самое большое по энергии значение происходит из данных по π0). Так как описание распределения по χ2 не очень хорошее, требуется большее количество экспериментальных данных для π0, чтобы прояснить ситуацию с двумя параметрами. Оба этих параметра важны для испытания теоретических моделей. Вид закона подобия (скейлинга), ожидаемого от жесткого рассеяния партонов, был выведен из общих кинематических ограничений Сиверсом [Sivers (1991)]. Принимая возможность асимметричного распределения партонов по kT внутри поляризованного протона, можно получить заметную асимметрию в рождендии адронов. Сиверс предложил следующую скейлинговую функцию:

g(xT, µ) = AN(xT)⋅

pT2 + µ 2 , µ ⋅ pt

(6)

где µ – некоторый масштаб адронной массы с mq << µ << pT. Функция g(xT, µ) содержит информацию о мягко-когерентной динамике, и она не может быть рассчитана моделями жесткого рассеяния. В такой ситуации можно пытаться реконструировать поведение g(xT, µ) из экспериментальных данных. Полагая µ2 = 0,5, искомая функция g(xT, µ) представлена на рис. 3d. Вообще кажется, что данные не проясняют ситуацию со скейлингом, если учесть, что данные по π0 для 24 и 40 ГэВ/c имеют большие ошибки. Очевидно, нужны более качественные измерения, чтобы сделать заключение относительно закона подобия, предложенного Сиверсом. Список литературы Нурушев С.Б., Рыскин М.Г. ЯФ 69 (2006) 1. Abramov V. V. et al. Preprint IHEP-96-82, Protvino (1996). Adams D. L. et al. Phys. Lett. B264 (1991) 462. Adams D. L. et al. Z. Phys. C56 (1992) 181. Adams D. L. et al. Phys. Lett. B345 (1995) 569. Adams D. L. et al. Phys. Rev. Lett. 77 (1996a) 2626. Adams D. L. et al. Phys. Rev. D53 (1996b) 4747. Akchurin N. et al. Phys. Rev. D48 (1993а) 3026. Akchurin N., Buttimore N., Penzo A. Vth Blois Workshop, Providence, Rhode Island, (1993b). 460

Anselmino M. et al. DFTT 48/94, INFNCA-TH-94-27, hep-ph/9503290 (1994). Antille J. et al. Phys. Lett. B94 (1980) 523. Apokin V. D. et al. Phys. Lett. B243 (1990) 461. Artru X. In: Proc. Vth Workshop on High Energy Spin Physics, Protvino, USSR (1993) 152. Artru X. et al. LYCEN/9423, TPJU 12/94 (1994). Borisov A. A. et al. Sov. J. Nucl. Phys. 5 (1967) 348. Boros C., Liang Z.-T. and Meng T.-C. Phys. Rev. Lett. 70 (1993) 1751. Bourrely C. and Soffer J. Nuovo Cimento Lett. 19 (1977) 569. Buttimore N. H., Gotsman E. and Leader E. Phys. Rev. D18 (1978) 694. Fermi E. Nouvo Cimento 11 (1954) 407. Ferrari E. and Selleri F. Nuovo Cimento 27 (1963) 1450. Kopeliovich B. Z. and Lapidus L. I. Sov. J. Nucl. Phys. 19 (1974) 114. Kopeliovich B. Z. and Zakharov B. G. In: Proc. IIIrd Workshop on High Energy Spin Physics, Protvino, USSR (1989) 137. Korotkiyan V. M. and Teryaev O. V. In: Proc. Vth Workshop on High Energy Spin Physics, Protvino, Russia (1995) 84. Mandelstam S. Proc. Roy. Soc. A244 (1958) 491. March R. H. Phys. Rev. 120 (1960) 1874. Mcllwan R. L. et al. Phys. Rev. 127 (1962) 239. Meng Ta-chung M. In: Proc. 4th Int. Workshop on High Energy Spin Phys., Protvino, USSR (1991) 112. Nurushev S. B., Solovyanov V. L. Preprint P-2382 JINR (Dubna, 1965). Nurushev S. B. In: Proc. 4th Workshop on High Energy Spin Physics, Protvino, USSR (1991) 5. Nurushev S. B. In: Proc. 2nd Meeting held at Zeuthen (1995a) 3. Nurushev S. B. In: Proc. 2nd Meeting held at Zeuthen (1995b) 75. Qiu J. and Sterman G. Phys. Rev. Lett. 67 (1991) 2261. Ryskin M. G. In: Proc. 3rd Workshop on High Energy Spin Physics, Protvino, USSR (1989) 151. Saroff S. et al. Phys. Rev. Lett. 64 (1990) 995. Sivers D. Phys. Rev. D43 (1991) 261. Soffer J. In: Proc. Workshop on the Prospects of Spin Physics at HERA, Zeuthen (1995) 370. Szwed J. In: Proc. 9th Int. Symp. on High Energy Spin Physics, Bonn, Vol. 1 (1990) 463. Troshin S. M. and Tyurin N. E. Phys. Rev. D52 (1995) 3862.

461

§58. Двухспиновая асимметрия в инклюзивном рождении адронов Двухспиновая асимметрия – хорошая тема для теоретических моделей, благодаря ее чувствительности к распределениям поляризованных партонов. Уже давно двухспиновая асимметрия была предсказана для инклюзивного рождения адронов и струй в столкновении продольнополяризованных пучков протонов с продольно-поляризованными протонными мишенями [Babcock (1979)]. Подчеркивалось, что спин-спиновая асимметрия при большом поперечном импульсе более чувствительна к базовым партонным подпроцессам, чем неполяризованные наблюдаемые. В этой модели также принималось, что одиночная асимметрия при больших рТ незначительна, и это, кажется, соответствует экспериментальным результатам (см. предыдущий раздел). Первые результаты по двухспиновой асимметрии в инклюзивном рождении нейтральных пионов и струйно-подобных фотонов были получены Сотрудничеством E704 на поляризованном протонном пучке Тэватрона в Фермилаб [Adams (1991), Adams (1994)]. Эти измерения проводились параллельно с основным экспериментом по измерению разности полных сечений в чистых спиновых состояниях в протон-протонном и антипротон-протонном взаимодействиях при 200 ГэВ/с [Grosnick (1997)]. Далее мы представим краткое обсуждение этих результатов. §58.1. Двухспиновая асимметрия в инклюзивном рождении π0-мезонов в центральной области при столкновении продольно-поляризованных протонных и антипротонных пучков с продольно-поляризованной мишенью

Двухспиновая асимметрия АLL для инклюзивного рождения π0мезонов поляризованными протонным и антипротонным пучками согласуется с нулевым значением (рис. 1a и 1b) [Adams (1991)]. Предсказания вышеупомянутой модели для версии Карлиц–Каура распределений конституентых кварков представлены пунктирными линиями на рис. 1a для ALL (pp → π0 + Х) и на рис. 1b для ALL(⎯pp → π0 + Х) (сплошная линия – линейный фит). Заслуживает упоминания, что в модели Карлиц-Каура валентные кварки теряют “память” об ориентации спина исходного протона через взаимодействие с морем, и что только 11,6 % поляризации протона определяется глюонами. Эти предсказания согласуются с экспериментальными данными в узкой кинематической области, измеренной экспериментом. Более интересная для модели область высоких хT не была достигнута в эксперименте E704. 462

Рис. 1. Двухспиновая асимметрия при 200 ГэВ/с : (а) ALL для π0 в протонном пучке, (b) ALL для π0 в антипротонном пучке, (с) ALL для многофотонных пар, (d) ∆σ L – разница в полном сечении для продольно-поляризованного антипротонного пучка и протонной мишени, (e) ∆σ L – разница в полном сечении для продольно-поляризованного протонного пучка и протонной мишени, (f) ∆σT – разница в полном сечении для поперечно-поляризованного протонного пучка и поперечно-поляризованной протонной мишени §58.2. Двухспиновая асимметрия в инклюзивном многофотонном образовании струйно-подобных пар

Конечно, для теории важно выделить партонные подпроцессы в как можно более чистом виде. Для этого наиболее доступным для экспериментаторов является использование кинематики интересующего нас подпроцесса. Как известно, подпроцессы заканчиваются образованием, в основном, двух струй, разлетающихся в с.ц.м. в противоположные стороны. Если детекторы расставить под 90° в с.ц.м. симметрично относительно пучка, то есть шанс зарегистрировать совпадение частиц от двух струй. 463

Затем в обработке надо наложить обычные требования компланарности, выбрать пороговые энергии для отбора событий с большим переданным импульсом, тогда можно улучшить отбор подпроцесса. Именно таким путем в эксперименте Е704 отбирались фотоны. При этом требовалось, чтобы в каждом калориметре было больше одного фотона и они регистрировались на совпадение. Такие события называются многофотонными парами. Полученные данные по двухспиновой асимметрии ALL были опубликованы в работе [Adams (1994)]. Псевдомасса М' и поперечный импульс пары pTγ в каждом событии определяются, как M ' =| pTγ1 | + | pTγ 2 | , и pT' γ =| pTγ1 | − | pTγ 2 | ,

(1)

где pTγ1 и pTγ 2 – поперечные импульсы каждого многофотонного события. Большинство многофотонных пар происходит из событий двухструйного типа. В случае измерений инклюзивного рождения струй распределения партонов оказываются смазанными, потому что происходит интегрирование по недетектируемой струе. С другой стороны, в случае детектирования обеих струй не имеется никакой серьезной проблемы смазывания. Таким образом, двухструйное рождение дает непосредственно информацию о партонных процессах, особенно о глюонном вкладе. Поэтому ALL для рождения многофотонных пар чувствительна также к поляризации глюонов. Данные по ALL представлены на рис. 1c. Как видно из этого рисунка, значения ALL существенно не отличаются от нуля в пределах статистической неопределенности. Сплошная линия на рисунке представляет линейный фит к экспериментальным точкам, показывающий, вопервых, что двухспиновая асимметрия совместима с нулем, и, во-вторых, что асимметрия не зависит от параметра M′. Из моделирования методом Монте-Карло было найдено, что 93 % детектируемых γ-квантов были продуктами распада π0-мезонов и 6 % – η-мезонов. Вклады глюонглюоного, кварк-глюонного и кварк-кваркового рассеяний в событиях многофотонных пар составляют соответственно 45,5 %, 45,5 % и 9,0 % в области 2,0 < ⏐M'⏐ < 4,0 ГэВ/c. Моделирование методом Монте-Карло с учетом экспериментальных условий показало, что экспериментальные данные предпочтительно указывают на функции распределения глюонов с малой поляризацией глюона.

464

§58.3. Полные сечения, зависящие от спина

Интерес к измерениям полных сечений в чистых спиновых состояниях обусловлен несколькими причинами. Во-первых, как мы обсуждали в части I настоящей книги, такие измерения позволяют полностью восстановить мнимые части трех отличных от нуля амплитуд нуклон-нуклонного рассеяния вперед. Во-вторых, имея набор таких сечений, с помощью дисперсионных соотношений можно восстановить и реальные части тех же амплитуд, тем самым завершая реконструкцию нуклонной матрицы рассеяния под нулем градусов. И, в-третьих, с помощью таких измерений можно прояснить полностью проблему асимптотического поведения спин-флиповых амплитуд вперед. Измерения разности полных pp- и ⎯pp- сечений в чисто продольных спиновых состояниях ∆σL при 200 ГэВ/c были выполнены Сотрудничеством E704 [Grosnick (1997)]. Предыдущие измерения этой наблюдаемой величины были ограничены энергией ≤12 ГэВ/с для рр- рассеяния, и вообще отсутствовали измерения ∆σL(⎯рр). Мнимые части амплитуды упругого pp-рассеяния при нулевом угле были восстановлены из измеренных полных сечений σT, ∆σL, и ∆σT согласно рецепту из статьи [Bilen'kij (1963)]. Вещественные части этих амплитуд могут быть определены при измерении соответствующих наблюдаемых величин в области кулонядерной интерференции (КЯИ) или, как было отмечено выше, с использованием дисперсионных соотношений. Но такая программа никогда не была реализована при высоких энергиях, хотя данные при 200 ГэВ больше продвинуты в этом направлении. Другая цель состоит в том, чтобы проверить теоретические модели. Третья цель – получить оценку возможного вклада зависящих от спина взаимодействий в рост полного сечения при высоких энергиях. Результат по ∆σL(⎯рр) представлен на рис. 1d, и при отсутствии других измерений мы не можем обсуждать энергетического поведения этого сечения. Имеется теоретическая оценка для ∆σT и ∆σL при 200 ГэВ [Miettinen (1990)]. Примененяя простые аргументы, основанные на аддитивной кварковой модели, SU(6) симметрии, сохранении спиральности и в предположении, что ∆σL(рр) мало, автор предсказал значительную величину ∆σL(⎯рр) ≅ 2 мб при pлаб = 200 ГэВ/c. Как можно видеть из рис. 1d, экспериментальная величина ∆σL(⎯рр) = [–254 ± ± 124 (стат.) ± 107 (сист.)] мкб, что на порядок меньше вышеприведенной оценки. Это означает, что некоторые важные предпосылки в модели были пропущены. В то же самое время ∆σL(рр), как ожидается, будет порядка мкб в модели рождения струй [Ramsey (1991)], что совместимо с экспериментальным значением ∆σL(рр) = [–40 ± 48 (стат.) ± 52 (сист.)] мкб. 465

Рис. 1e и 1f представляют зависимость от энергии ∆σL(рр) и ∆σT(рр). Значение ∆σT(рр) при 200 ГэВ/c (не измеренное) было получено экстраполяцией данных при низких энергиях и его погрешность была оценена в 100 %. Согласно работам [Dunne (1967), Lapidus (1976)], применяя модель Редже с разрезами, можно получить следующее выражение для ∆σL(рр) и

∆σT(рр)

∆σT ( pp ) = a1 ⋅

s 3δ (ln s )5

.

(2)

Здесь параметр δ означает превышение над единицей интерсепта померонного полюса при –t = 0. Между прочим, именно этот параметр ответственен за рост полного сечения с энергией [Review (2002)]. Анализ, выполненный в работе [Andreeva (1996)], показал, что эта функция описывает экспериментальные данные по ∆σL и ∆σT в зависимости от энергии довольно хорошо. Результаты фитирования показаны на рис. 1e сплошной линией (экстраполяция к 800 ГэВ/c представлена пунктирной линией) и на рис. 1f пунктирной линией (экстраполяция к 800 ГэВ/с дается сплошной линией). В измеренном диапазоне энергии зависящие от спина сечения продолжают уменьшаться с нескольких мб около 5 ГэВ/c до 0,1 мб вблизи 200 ГэВ/c. Такая тенденция могла бы быть изменена в случае, если разрез в модели Редже с супер-помероном играет главную роль при высоких энергиях. Тогда вклад спина в полное сечение может расти также благодаря параметру ∆. Эксперименты на RHIC и LHC с высокой точностью (ожидаемое значение зависящего от спина сечения имеет порядок ~ 1 мкб) могут ответить на вопрос о роли спина в росте полного сечения с энергией.

Список литературы Adams D. L. et al. Phys. Lett. B261 (1991) 197. Adams D. L. et al. Phys. Lett. B336 (1994) 269. Andreeva E. A. et al. Int. Journ. Mod. Physics A13 (1998) 1515. Babcock J. et al. Phys. Rev. D19 (1979) 1483. Bilen'kij S. M. and Ryndin R. M. Phys. Lett. 6 (1963) 217. Dunne S. A. Phys. Rev. Lett. 19 (1967) 1299. Grosnick D. P. et al. Phys. Rev. D55 (1997) 1159. Miettinen H. Rice University preprint DOE/ER/05096-39 (1990). Ramsey G. and Sivers D. Phys. Rev. D43 (1991) 2861. Review of Particle Physics, Phys. Rev. D66 (2002) 010001 262. Lapidus L. I. In: Proc. XI LINP Winter School, Leningrad, USSR (1976) 55. 466

Глава 4. Новейшие результаты с крупнейших поляризационных установок Предыдущее изложение опиралось на обзорную статью десятилетней давности [Nurushev (1997)]. За это время вступили в строй три крупные поляризационные установки: COMPASS (CERN), HERMES (DESY) и установки STAR, PHENIX, BRAHMS и pp2pp на RHIC (BNL). Они начали выдавать новые результаты иногда в окончательной форме, иногда в форме предварительных сообщений, не доступных широкой аудитории. Некоторые интересные результаты мы хотели бы довести до читателя.

§59. Поляризационная установка COMPASS и полученные на ней результаты COMPASS (CERN) является одной из мощнейших поляризационных установок в мире. Предложенная как проект в 1996 г. установка провела свой первый технический сеанс в 2002 г. В сеансе использовался продольно-поляризованный мюонный пучок с импульсом 160 ГэВ/с, поляризацией 76 %. Интенсивность пучка составляла 2⋅108 µ /цикл с длительностью цикла 4,5 с. В сеансе использовалась самая большая в мире поляризованная мишень установки SMC (описана в разделе “Твердотельные поляризованные мишени”, §43), но с другим материалом мишени, а именно, 6 LiD, как более эффективным по количеству поляризуемых дейтронов (фактор разбавления > 0,4), чем дейтерированный аммоний. Поляризация мишени составляла 50 %. В такой конфигурации на установке были проведены еще два сенса в 2003 и 2004 гг. и набран большой статистический материал. Хотя результаты с эксперимента COMPASS пока предварительные, но стоит о них рассказать вкратце, чтобы иметь представление о перспективе поляризационных исследований на этой установке [Bressan (2004)]. На рис. 1 показаны предварительные результаты измерения инклюзивной асимметрии A1d (рис. 1а и 1b) на поляризованном дейтроне при рассеянии на нем поляризованного мюонного пучка с импульсом 160 ГэВ/с и поляризацией 76 %. Асимметрия представлена в зависимости от переменной Бьеркена xB и рассчитана по данным с двух сеансов – 2002 и 2003 гг. Результаты COMPASS совместимы с нулем и согласуются с данными экспериментов SMC и HERMES, представленными на том же рис. 1а. Рис. 1b показывает, что статистика COMPASS значительно превышает статистику с SMC при малых xB. Этого удалось достичь благодаря большей светимости и лучшему фактору качества мишени. 467

На рис. 1с представлена полуинклюзивная асимметрия в образовании положительно заряженных адронов. Как можно видеть на рисунке, асимметрия близка к нулю при xB < 0,2 и при больших значениях xB. Асимметрия имеет тенденцию расти, достигая в среднем значения ≈ 0,3 при xB ≈ 1. Результаты всех представленных на рис. 1c экспериментов SMC, HERMES и COMPASS в пределах ошибок измерений совпадают. При очень малых xB лучшей точностью по-прежнему обладает COMPASS. На рис. 1d представлена полуинклюзивная асимметрия для отрицательных адронов. Тенденция такая же, как и для положительных адронов, но в целом асимметрия для отрицательных адронов идет ниже при больших xB. Из-за отсутствия на данном этапе идентификации адронов не было возможности сепарировать адроны, хотя из других источников известно, что 80 % адронов – это пионы. Но даже при идентификации адронов не было бы возможным разложить асимметрию по ароматам кварков, так как не хватает измерений с продольно-поляризованной протонной мишенью.

Рис. 1. Результаты измерения асимметрии A1d в эксперименте COMPASS в сравнении с результатами других экспериментов (a); те же результаты при малых xB h для сравнения с данными SMC (b); асимметрия A1 в функции от xB для полуинклюзивных положительных адронов (c); то же, но для отрицательных адронов (d)

Другая важная цель эксперимента COMPASS – это определение поляризации глюона. Эта задача решается путем выделения процесса γg слипания. Выделение этого процесса осуществляется либо мечением этого процесса детектированием открытого чарма, либо детектированием пар адронов с большим поперечным импульсом. Регистрация мезонов с открытым чармом происходит путем восстановления D0- или D*- мезонов через распады D0 → Kπ0 или D* → D0π → 468

→ Kπ0π. В случае D0-распада для подавления фона накладываются два условия. Во-первых, требуется, чтобы угол испускания К-мезона θ*K в системе покоя D0 удовлетворял условию |cos( θ*K ) | < 0,5, а доля энергии, уносимой D0-мезоном, была z D = ED / E

γ*

> 0,25. Второй случай распада

гораздо чище от фона в силу специфики кинематики. Суммарная статистика по открытому чарму за сеансы 2002 –2004 гг. приводит к ожидаемой оценке ошибки в поляризации глюона δ(∆G)/G) = 0,24. Асимметрия Aγ *d в образовании адронных пар с большим pT при взаимодействии виртуального фотона с продольно-поляризованным дейтроном связана с поляризацией глюона соотношением: Aγ

∗

d

=

Aµd → hhX aˆ PGF ≈ LL D D

∆G G

σ PGF σT

.

(1)

PGF Здесь aˆ LL обозначает анализирующую способность подпроцесса фо-

тон-глюонного слияния (ФГС), D – деполяризующий фактор для виртуального фотона, и отношение σ PGF / σT представляет долю событий ФГС от общего числа событий в выборке. Для COMPASS оценки методом PGF Монте-Карло дают aˆ LL /D = –0,74 ± 0,05 и σ PGF / σT = 0,34 ± 0,07. Тогда для среднего значения глюонного импульса xg = 0,13 было найдено ∆G/G = 0,06 ± 0,31(стат) ± 0,06(сист). Результаты эксперимента COMPASS по измерению поляризации глюона с использованием обоих обсуждавшихся выше способов представлены на рис. 2b.

Рис. 2. Результат COMPASS по измерению поляризации глюона через события с большими pT и Q2 > 1 (ГэВ/с)2 469

Там же нанесен результат эксперимента HERMES. Можно отметить несколько особенностей показанных данных. Данные COMPASS согласуются с нулевым значением в пределах ошибок глюонной поляризации ≈ 0,27, в то время как резудьтат HERMES составляет около 0,4 и отстоит от нуля почти на две стандартные ошибки. Очевидно, нужна гораздо большая статистика, прежде чем склоняться в пользу одной из версий. Следующее важное направление исследований на COMPASS имеет целью определение кирально-нечетной функции поперечного по спину нуклона распределения партонов, так называемой функции трансверсальности ∆T q(x). Для этого нужно выполнить измерение полуинклюзивной асимметрии в образовании адронов при взаимодействии продольно поляризованных лептонов с поперечно-поляризованными нуклонами. При этом есть две возможности для измерения асимметрии. В одном случае измеряется асимметрия, обусловленная кирально-нечетной функцией фрагментации кварка ∆Dqh (z , pT ) . Такая асимметрия называется эффек-

том Коллинза по имени автора, предложившего провести такие измерения [Collins (1993)]. В первом приближении асимметрия Коллинза может быть записана следующим образом: AColl =

∑a ea2∆T qa ( x, kT2 )∆Dqh ( z, pT ) . ∑a ea2qa ( x, kT2 ) Dqh ( z )

(2)

Возможен другой механизм, который приводит к азимутальной асимметрии при рассеянии лептонов на поперечно-поляризованном нуклоне. Так, если предположить, что в начальном поляризованном нуклоне партоны имеют распределение ∆T 0 qa ( x, kT 2 ) по внутреннему поперечному импульсу kT, зависящее от ориентации поляризации нуклона, то возникает асимметрия ASiv =

∑a ea2∆T0qa ( x, kT2 ) Dqh ( z ) . ∑a ea2qa ( x, kT2 ) Dqh ( z )

(3)

Эта асимметрия называется эффектом Сиверса [Sivers (1990)]. На измерение этих эффектов с поперечно-поляризованной мишенью на 6LiD COMPASS потратил 20 % общего времени. Предварительные результаты таких измерений для положительных и отрицательных адронов в области фрагментации соударяющегося кварка представлены на рис. 3.

470

Рис. 3. Эффекты Коллинза (верхние рисунки) и Сиверса (нижние рисунки) для положительных (открытые треугольники) и отрицательных (темные квадратики) адронов; результаты получены на COMPASS и являются предварительными

Верхние три рисунка относятся к эффекту Коллинза в зависимости от параметров xB, z и pT. COMPASS впервые осуществил измерения эффекта Коллинза на поляризованном дейтроне. Нижние три рисунка относятся к эффекту Сиверса. Как видно из рисунков, оба эффекта совместимы с нулем в измеренной области в пределах статистики 2002 г. Объединение статистик за 2002–2004 гг. могут привести к увеличению точности измерений в два раза. Полученный нулевой результат можно толковать двояким образом. Либо эффекты Сиверса и Коллинза малы, либо это – специфика дейтронной мишени. Возможно, что эффекты асимметрии от протона и нейтрона гасят друг друга. Для выяснения этой проблемы нужны отдельные измерения этих же эффектов на протоне и нейтроне. Список литературы Bressan A. In: Proc. of the 16th Int. Spin Physics Symp., Trieste, Italy (2004) 48. Collins J. Nucl. Phys. B369 (1993) 262. Nurushev S.B. Int. Journ. оf Mod. Physics A12 (1997) 3433. Sivers D. Phys. Rev. D41 (1990) 83.

471

§60. Поляризационная установка HERMES и полученные на ней результаты Установка HERMES была создана в 1995 г. на уникальном электрон(позитрон-)протонном коллайдере HERA в DESY (Германия). Она предназначалась для изучения спиновой структуры нуклона с использованием продольно- или поперечно-поляризованного электронного (позитронного) пучка с импульсом 27,5 ГэВ/с на внутренней газовой поляризованной мишени с накопительной ячейкой. Плотность поляризованных атомов водорода в мишени составляет 1014 атомов/см2 и поляризация > 90 %. Благодаря высокой светимости, результаты эксперимента обладают высокой точностью. Работая в открытой геометрии и имея хорошую систему идентификации частиц, HERMES обладает высокой эффективностью регистрации процессов глубоко неупругого рассеяния и полуинклюзивных процессов. На рис. 1 приведены измеренные на HERMES через глубоко неупругое рассеяние (инклюзивный процесс) продольные структурные функции g1(x) для протона, дейтрона и нейтрона.

Рис. 1. Мировые данные по взвешенным структурным функциям g1(x) для протона, дейтрона и нейтрона; ошибки учитывают статистические и систематические вклады, сложенные квадратично 472

Данные были получены для Q2 > 0,1 (ГэВ)2 и W > 1,8 ГэВ. На рис. 1 они сопоставляются с мировыми данными. Видно, что в измеренной области 3⋅10–3 < x < 1 достигнутые точности находятся на мировом уровне. Наибольшую величину эта функция достигает для протона и наименьшую – для нейтрона. Эти данные служат основой для теоретического анализа спиновой структуры нуклона. Следующая серия измерений на HERMES относилась к полуинклюзивным процессам образования адронов. Эти процессы представляют мощный инструмент для сепарации спина нуклона по разным ароматам кварков и антикварков ∆qf(x). Результаты представлены на рис. 2 отдельно для распределений валентных кварков и антикварков.

( )

Рис. 2. Функции кваркового распределения x∆q x,Q02 по спиральности, вычисленной при общем Q02 = 2,5 ГэВ2 в зависимости от x; кривые представляют расчеты в ведущем приближении КХД 473

Видно, что валентные u-кварки вносят положительный вклад в спин протона, d-кварки – отрицательный, а антикварки⎯u и⎯d – нулевой. Есть указание на возможный небольшой положительный вклад от морских кварков ∆s. Приведенные кривые представляют теоретические расчеты в ведущем приближении в КХД. Кроме структурных функций неполяризованного нуклона F1(x) и продольно-поляризованного нуклона g1(x) для полного описания кварковой структуры нуклона в главном приближении нужна третья функция – h1(x), называемая трансверсальностью. Эта функция является киральнонечетной и не может быть измерена в ГНР поляризованных лептонов на продольно-поляризованных нуклонах. Для измерения трансверсальности нужна другая кирально-нечетная функция. Она возникает как функция фрагментации Коллинза при рассеянии лептонов на поперечнополяризованной нуклонной мишени. Другая возможность появления азимутальной асимметрии возникает при учете Т-нечетной функции Сиверса

f1⊥ T ( x, kT ) . Эта функция описывает корреляцию между поперечной поляризацией нуклона и внутренним поперечным импульсом кварка. Характерной особенностью эффекта Коллинза является зависимость односпиновой асимметрии в образовании адронов от азимутального угла в виде sin(φ+φs), в то время как асимметрия в эффекте Сиверса имеет вид sin(φ – φs) . Здесь φ представляет азимутальный угол между нормалями к плоскости образования пиона и плоскостью рассеянного лептона, а φs представляет угол между плоскостью образования пиона и поперечной компонентой поляризации мишени. Усредненные моменты азимутальных асимметрий в функции от x и z представлены на рис. 3 для эффекта Коллинза в левом столбце и для эффекта Сиверса – в правом столбце. Видно, что эффекты отличны от нуля. Так, эффект Коллинза для положительных пионов составляет (2,1 ± 0,7 (стат)) %, в то время как для отрицательных пионов он равен (–3,8 ± 0,8 (стат)) %. Эти знаки соответствуют знакам спиновых распределений валентных кварков и вполне удовлетворяют модельным предсказаниям. Однако проблема возникает при обсуждении их величин. Из измеренных моментов следует, что поперечное спиновое распределение d-кварков δd не меньше по модулю, чем δu, что оказалось неожиданным. Предполагалось по аналогии со случаем продольной поляризации, что будет соблюдаться неравенство |δd| < |δu|. Твердого объяснения этому факту пока нет.

474

Рис. 3. Моменты комптон-эффекта виртуального фотона по Коллинзу (слева) и по Сиверсу (справа) в зависимости от x и z; указаны только статистические ошибки. Дополнительно имеется общая нормировочная ошибка в 8 %; нижние рисунки показывают относительные вклады в результаты от эксклюзивного образования векторных мезонов (расчеты VM)

Момент для эффекта Сиверса оказался тоже отличным от нуля (см. правый столбец рис. 3). Его среднее значение для π+ оказалось равным (1,7 ± 0,4 (стат)) %, что указывает на ненулевой орбитальный момент кварков внутри нуклона. Но не исключено, что большая асимметрия могла быть вызвана π+ от ρ-распадов. Выходы ρ-мезонов, рассчитанные для кинематической области HERMES, показаны на нижних рисунках. Следующим важным направлением исследований в эксперименте HERMES является так называемый процесс глубоко виртуального комптоновского рассеяния (ГВКР). Конкретным примером таких процессов является образование реальных фотонов при жестком соударении электронов с протонами и дейтронами. Эти реакции представляют наиболее адекватный способ определения обобщенных партонных функций распределений. Амплитуды ГВКР определятся из интерференции этих амплитуд и амплитуд Бете–Гайтлера. Физически это происходит из-за наличия двух источников излучения фотонов – кварков и заряженных лептонов. Измерения азимутального распределения дифференциальных сечений в зависимости от заряда (спина) лептонного пучка позволяют определить реальные (мнимые) части амплитуд ГВКР. Эти реальные и мнимые части амплитуд проявляют себя как cos φ и sin φ модуляции сечений. Сотрудничество HERMES уже опубликовало свои результаты по измерению асимметрии ГВКР в зависимости от киральности пучка [Airapetian (2001)]. Первые результаты измерений асимметрии AC, зависящей от заряда пучка, 475

c использованием водородной и дейтериевой мишеней представлены на рис. 4.

Рис. 4. Слева: пучково-зарядовая асимметрия (ПЗА) в электрообразовании фотонов в жестких соударениях в зависимости от азимутального угла φ; сплошная линия представляет результат фита, параметры которого приведены на рисунке. Справа: cos φ – амплитуда ПЗА для протона и дейтрона в функции от –t; кривые представляют вычисления, соответствующие различным параметризациям обобщенной функции распределения

Левая половина рис. 4 показывает AC в зависимости от азимутального угла для обоих пучков. Так как средние поляризации пучков различаются, то появляются оба члена в виде P1cos φ + P2sin φ. Асимметрия фитируется этим выражением, и результаты фита выписаны на самом рисунке. Правая часть рис. 4 показывает с cos φ амплитуды, определенные через фит с двумя параметрами с поправками на фон, зависящий от инвариантной передачи импульса от пучка к протону или дейтрону. Результаты показывают высокую чувствительность измеренной, зависящей от заряда пучка асимметрии к различной параметризации обобщенного партонного распределения. Список литературы Airapetian A. et al. Phys. Rev. Lett. 87 (2001) 182001.

476

§61. Поляризационный комплекс RHIC и полученные на нем результаты Если судить по объему физической программы, капиталовложениям, концентрации оборудования и людских ресурсов, поляризационная установка RHIC не будет иметь в ближайшие десять лет конкурентов в области исследования спиновых явлений в адронной физике. Если будет также реализована программа eRHIC, то BNL займет ведущее положение и в лептон-адронной поляризационной физике. Поэтому будет много полезного, чему можно научиться у этого коллектива. Схема поляризационного комплекса RHIC представлена на рис. 1.

Рис. 1. Поляризационный комплекс RHIC

Комплекс RHIC начинается с источника поляризованных отрицательных ионов водорода с оптической накачкой поляризации. Его подробное описание можно найти во второй части книги в разделе “Поляризованные источники атомных пучков” (§45). Поляризованные отрицательные ионы при выходе из источника ускоряются СВЧ-квадруполем до 750 КэВ и поступают в линейный ускоритель, который разгоняет их до 200 МэВ. Затем из линейного ускорителя ионы транспортируются до бустера, обдираются и попадают в бустер. В бустере протоны группируются (банчируются), ускоряются до 22 ГэВ/с и попадают в RHIC. В настоящее время в RHIC протонные пучки ускоряются до 100 ГэВ каждый, а в 2006 г. пучки были ускорены до 250 ГэВ каждый. Конечная цель поляризованного RHIC состоит в том, чтобы иметь энергию протонов в с.ц.м. s = 500 ГэВ, поляризацию > 70 %, светимость 2⋅1032 см–2с–1 [Design (1998)]. По трассе пучка установлены поляриметры: на выходе источника лэмбовский поляриметр, на выходе из линейного ускорителя – углеродный, в AGS – один углерод477

ный на ядерном рассеянии, другой углеродный поляриметр на кулонядерной интерференции. В RHIC базовыми являются два поляриметра на кулон-ядерной интерференции – рассеяние протонов на поляризованной струйной мишени (абсолютный поляриметр) и на чрезвычайно тонких углеродных пленках. Описание их дано во второй части книги, в разделе “Поляриметрия протонных пучков” (§49). На RHIC главная задача для этих двух базовых поляриметров общего назначения состоит в том, чтобы достичь 5 % точности в измерении поляризации каждого из протонных пучков. Пока, к сожалению, эта цель не достигнута. Кроме этих поляриметров, которые в настоящее время имеют определенные трудности, могут появиться новые поляриметры. Например, не исключено, что обнаруженная на установке STAR асимметрия в инклюзивном образовании π0-мезонов может привести к созданию достаточно оперативного относительного поляриметра. В настоящее время “узким горлышком бутылки” в ускорении поляризованных протонов, по-видимому, является AGS. Имея на входе пучок протонов с поляризацией > 70 %, на выходе он выдает поляризацию всего 50 %. Поскольку в AGS нет достаточно длинных прямолинейных промежутков для установки полномасштабной “сибирской змейки”, приходится устанавливать частичные змейки. Вначале был установлен соленоид в качестве 5 % частичной змейки, затем 20 % частичная змейка, имеется также СВЧ-диполь для подавления резонансов несовершенства, но пока проблема кардинально не решена. Есть надежда, что комбинация нескольких частичных змеек различной силы может дать решение задачи. На рис. 1 показаны четыре экспериментальные установки, построенные для исследования взаимодействия тяжелых ионов: PHENIX, STAR, BRAHMS, PHOBOS. С момента организации в 1992 г. RSC (RHIC Spin Collaboration) c целью проведения поляризационных исследований на RHIC два крупнейших коллектива PHENIX и STAR немедленно присоединились к RSC, несколько позднее присоединился и BRAHMS. Пятый эксперимент, рр2рр, был первоначально ориентирован на протонпротонные соударения, так что поляризационные исследования пошли на нем в качестве дополнительной задачи. В обоих кольцах коллайдера установлены по две группы “сибирских змеек” с полной мощностью (с поворотом спина на 180°) в каждой группе. Поворот происходит вокруг взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости орбиты пучка. Вдобавок каждая из крупных установок, PHENIX и STAR, обеспечены двумя спин-ротаторами, каждый для организации продольной поляризации пучков в точке встречи (ТВ) и возврата поляризации в первоначальное (перпендикулярное к орбите пучка) положение. В RHIC все перечисленные инструменты смонтированы, испытаны и приняты к эксплуатации. 478

В 2002 г. был проведен первый сеанс на коллайдере с поляризованными пучками протонов. С тех пор прошли шесть физических сеансов (один сеанс был техническим), и постепенно параметры установок и, соответственно, пучков, улучшаются. Получен ряд физических результатов, которые мы представляем вниманию читателей ниже. §61.1. Поляризационная установка STAR

Детектор (рис. 2) представляет собой магнитный спектрометр на соленоиде с магнитным полем H = 0,5 Тл, длиной 4,2 м, внутренним диаметром 2 м. Спектрометр содержит трековые детекторы на базе TPC (Time Projtction Chamber) длиной 4 м, внутренним диаметром 30 см и внешним диаметром 2 м. По азимуту он охватывает угол в 2π, регистрирует три заряженных частицы с высокой эффективностью. Может идентифицировать частицы с импульсами ниже 1,5 ГэВ/с по ионизационным потерям. За TPC размещаются два типа электромагнитных калориметров (ЭМК). Первый электромагнитный калориметр, так называемый “баррел” (бочка), охватывает центральную область псевдобыстрот в пределах ±1. Другой тип ЭМК, называемый передним (endcup) калориметром, закрывает торец установки. Перед бочкой (“баррелем”) располагается времяпролетный детектор на базе сцинтилляционных счетчиков. На рис. 2 показаны также счетчики, мониторирующие столкновение двух пучков (BBC – beam-beam counters), а также передние пионные детекторы (FPD – forward pion detektors). Подробное описание установки STAR содержится в статье [Ackermann (2003)].

Рис. 2. Поляризационная установка STAR 479

Первые результаты по асимметрии в инклюзивном образовании π0мезонов в области фрагментации пучка как раз были получены на FPD. Результаты опубликованы в работе [Adams (2004)]. Эти измерения были выполнены при псевдобыстроте η = 3,8. Недавно аналогичные измерения были сделаны при η = 4,1, и оба результата представлены на рис. 3. Видно, что при отрицательных xF асимметрия практически нулевая, затем при xF > 0,3 отклоняется от нуля и достигает 10 – 15 % вблизи xF ≈ 0,5. Выполненные на установке STAR измерения относятся к энергии в с.ц.м. s = 200 ГэВ [Ogawa (2004)].

Рис. 3. Результаты установки STAR по измерению инклюзивной асимметрии π0-мезонов в области фрагментации пучка

Ранее аналогичные измерения были выполнены при s ≈ 20 ГэВ сотрудничеством Е704 (см. §57). Сопоставление этих данных показывает, что в области фрагментации поляризованного протонного пучка инклюзивная асимметрия π0-мезонов практически не зависит от начальной энергии. Можно предположить о возможном наступлении асимптотической 480

энергии уже при s ≈ 20 ГэВ. Однако анализ энергетического поведения дифференциального сечения показывает, что это не так. Дифференциальное сечение при s ≈ 20 ГэВ не описывается пертурбативной КХД в измеренной области кинематических переменных. В то же время оно описывается ПКХД при энергии s ≈ 200 ГэВ. Если это справедливо, то мы за всю историю исследования односпиновой асимметрии впервые выходим на прямую проверку ПКХД. Вывод напрашивается неутешительный: ПКХД предсказывала нулевой эффект асимметрии, а эксперимент показывает ненулевой эффект. Мы вернемся к этой проблеме после обзора также и других результатов по односпиновой асимметрии, полученных на RHIC. Отметим еще один факт, следующий из рис. 3. Если изучать левоправую асимметрию в области фрагментации неполяризованного пучка (xF < 0 на рис. 3), то видно, что асимметрия равна нулю. Этого надо было ожидать из тех общих соображений, что неполяризованный протон – это то же самое, что бесспиновая частица. А такая частица при распаде (фрагментации) не может привести к азимутальной асимметрии. Чтобы убедиться в этом, достаточно перейти в систему покоя этой частицы и написать угловое распределение продуктов ее распада – оно будет изотропным. §61.2. Поляризационная установка PHENIX

Другая крупная установка на RHIC – PHENIX [Bruner (2002)], представлена на рис. 4. Подробное описание установки содержится в статье [Adcox (2003)]. Она построена на основе дипольного магнита, поле которого направлено вдоль пучка. В состав установки PHENIX входят следующие детекторы. В центральном плече используются дрейфовые и пропорциональные камеры, RICH (Radiation Image CHerenkov, черенковские детекторы с реконструкцией изображения) –детекторы для идентификации заряженных частиц, электромагнитные калориметры на базе свинцовых стекол, сэндвичей и сцинтилляторов. Эти детекторы обеспечивают регистрацию и идентификацию заряженных и нейтральных (распадающихся на фотоны и электроны) частиц в интервале псевдобыстрот |η| = 0,35 и азимута ∆φ = 180°. В северном и южном направлениях установлены два мюонных спектрометра с полной системой идентификации мюона. Мюонный детектор покрывает область псевдобыстрот 1,2 < |η|< 2,4 и ∆φ = 360°. Имеются еще вершинный детектор и BBC. 481

Рис. 4. Поляризационная установка PHENIX на RHIC

В сеансе 2002-2003 гг. RHIC работал с 55 банчами, в каждом из которых содержались 5⋅1010 протонов. Длительность банча составляла ∼1нс, а расстояние между банчами – 213 нс. Поляризация протонов каждого банча задавалась источником и метилась таймером RHICа. В одном кольце задавалась последовательность банчей с чередующейся поляризацией (+–, +– и т.д.), а в другом кольце последовательность банчей шла парами (++, – –, ++, – – и т.д.). Можно видеть, что при такой комбинации поляризаций сталкивающихся протонов перебираются все четыре комбинации поляризации, а именно, ++,–+,+– и – –. Это равносильно реверсу поляризации пучка каждые 213 нс – рекордная частота! Это сводит к минимому многие систематические ошибки. Выбранная комбинация поляризации банчей позволяет из одних и тех же измерений определять не только двухспиновые, но и односпиновые асимметрии, так же как и ложные асимметрии. В этом еще одно преимущество поляризованного коллайдера. Результаты измерений поперечной односпиновой асимметрии для нейтральных и заряженных адронов в зависимости от переданного импульса представлены на рис. 5. Статистика для анализа заряженных адронов составила 1,3⋅107 событий, накопленных при минимально смещенном триггере. Аналогично статистика для π0-мезонов составила 1,8⋅107 событий. Наибольшую неопределенность в измеренную асимметрию дает неточное знание поляризации пучка при энергии 100 ГэВ. Поляризация пуч482

ка при этой энергии непосредственно не измерялась. Были выполнены измерения поляризации пучка при энергии инжекции 22 ГэВ. Измерения при этой энергии производились pC-поляриметром на КЯИ [Jinnouchi (2003a), Jinnouchi (2003b)]. Анализирующая способность этого поляриметра была определена в работе [Tojo (2002)]. Поляриметр дал результат с невысокой точностью, 27 % с относительной ошибкой ±30 %. Эта поляризация приписывалась и для энергии пучка 100 ГэВ в предположении, что при ускорении в RHIC поляризованных протонов от 22 ГэВ до 100 ГэВ деполяризация не происходит. Эта неопределенность не учтена в положении точек на рис. 5.

Рис. 5. Результаты с установки PHENIX по измерению поперечной односпиновой асимметрии в центральной области для заряженных адронов и нейтрального пиона,

s = 200 ГэВ; не включена погрешность определения поляризации (~30 %)

Основной вывод из этих измерений состоит в том, что все измеренные в центральной области инклюзивные односпиновые асимметрии равны нулю. Авторы утверждают, что этот вывод согласуется с предсказаниями ПКХД в измеренной кинематической области. Следует отметить, что такой же нулевой результат был получен за 10 лет до этих измерений в эксперименте Е704 (Фермилаб). Следующий результат, впервые полученный на RHIC и очень интересный – это измерение двухспиновой асимметрии ALL в инклюзивном образовании π0-мезонов в столкновениях двух продольно-полризованных протонов. Измерения были также выполнены в центральной области. Параметр ALL можно измерить только с продольно-поляризованными пучками, а в RHIC устойчивым направлением поляризации является вер483

тикальное направление, параллельное основному магнитному полю кольца. Следовательно, нужны устройства, преобразующие вертикальную поляризацию в продольную. Такие устройства, называемые спиновыми ротаторами, предусмотрены для каждого пучка по паре. Почему по паре на пучок? Потому, что один ротатор поворачивает поляризацию в продольное положение перед соударением, а другой ротатор возвращает поляризацию после соударения в вертикальное положение, а именно, перпендикулярное к плоскости орбиты пучка. Разумеется, необходимо убедиться в правильной работе ротаторов. Для этого нужен локальный поляриметр. В этом смысле надо считать огромным везением то открытие, которое было сделано физиками при попытке измерить анализирующую способность нейтральных частиц, летящих в узком угловом конусе вперед [Bazilevsky (2003)]. При этом открытие было сделано с помощью детектора ZDC (Zero Degree Calorimeter, калориметр под нулевым углом) [Adler (2001)]. Этот детектор предназначен для измерения энергии и угла вылета нейтронов. Он расположен на расстоянии 18 м от точки взаимодействия встречных пучков и имеет очень узкий угловой аксептанс 0,3 < θn < 2,5 мрад. В специальных измерениях с поперечно-поляризованными пучками была обнаружена заметная анализирующая способность у инклюзивно образованных нейтронов. В интервале xF = 0,3 – 0,8 нейтронная асимметрия составляла 10 – 15 % и слабо зависела от xF. Именно этот детектор был использован как локальный относительный поляриметр для настройки спиновых ротаторов. Этот поляриметр должен показывать нулевые поперечные асимметрии (в перпендикулярной к пучку плоскости), если спиновые ротаторы включены и поляризация стала продольной. Если выключить спин-ротатор, то должна появиться поперечная асимметрия. Количественные измерения показали, что все происходит так, как ожидается. Первый триггер на соударения протонов вырабатывается счетчиками BBC, размещенными с обеих сторон точки взаимодействия пучков (ТВ) на расстоянии ± 1,44 м от ТВ. Эти счетчики охватывают область псевдобыстрот ± (3,0 – 3,9) при полном азимутальном покрытии. Они регистрируют приблизительно половину всех взаимодействий. Хорошее временное разрешение этих счетчиков позволяет восстановить вершину события с точностью 2 см при области взаимодействия около 30 см. Светимость банчей контролировалась счетчиками BBC и ZDC независимо, так что была достигнута точность в отношении светимостей от банча к банчу на уровне 2,5⋅10-4. Это привело к неточности в относительной ошибке двухспиновой асимметрии на уровне δALL = 1,8⋅10–3. Отношение светимостей для отобранных событий находилось в пределах ± 0,5 % от единицы. Для 484

реконструкции π0-мезонов применялся алгоритм, разработанный сотрудничеством. Результаты измерений ALL представлены на рис. 6. Главный вывод состоит в том, что величина ALL(π0) совместима с нулем во всем измеренном интервале по pT. Рис. 6 позволяет заключить, что эксперимент ближе к гипотезе о слабой поляризации глюонов, чем к гипотезе о сильной поляризации. Такой вывод был сделан задолго до этих результатов коллаборацией Е704.

Рис. 6. Результат измерения на PHENIX двухспиральной асимметрии ALL(π0) в 0 инклюзивном образовании π -мезонов в столкновениях двух продольнополяризованных протонов при энергии s = 200 ГэВ; измерения выполнены в центральной области; ошибка в нормировке поляризации пучков в 65 % не включена в показанные на графике ошибки; кривая на рисунке – результат теоретического расчета в следующем приближении к главному члену в разложении в ПКХД §61.3. Поляризационный эксперимент pp2pp на RHIC

Известно, что преимущества в создании антипротон-протонного коллайдера перед протон-протонными коллайдерами привели к тому, что упругое ⎯pp-рассеяние изучено вплоть до энергии 1,8 ТэВ, в то время как исследование pp-рассеяния остановилось на энергии 485

s = 63 ГэВ, после

завершения программы ISR. В связи со строительством RHIC была предложена программа исследования упругого pp-рассеяния в области энергии s = 50 – 500 ГэВ [Guryn (1995)]. В дальнейшем в предложение были включены и исследования поляризационных эффектов. Схема установки представлена на рис. 7. Идея эксперимента, впервые предложенная и реализованная на ISR, состоит в том, что используется магнитная структура ускорителя. Миниатюрные детекторы с высоким пространственным и временным разрешением монтируются в специальном устройстве, называемом “римским горшком”. В каждом из двух колец RHICа, названных по окраске колец голубым и желтым, установлено по паре таких римских горшков. На рис. 7 они обозначены как RPY1, RPY2 (в желтом кольце) и RPB1, RPB2 (в голубом кольце). Место размещения этих детекторов от ТВ (точки взаимодействия) вдоль пучка выбирается таким образом, чтобы рассеянная частица отошла от оси пучка минимум на пять размеров пучка (5 σ ). При этом амплитудная функция в месте расположения детекторов должна быть по возможности минимальной. В этом случае и размер пучка окажется минимальным. Параметры пучковой транспортной матрицы выбираются таким образом, что происходит однозначное преобразование угла рассеяния в регистрируемую координату частицы. Поэтому, определяя коодинату частицы, можно однозначно определить и угол рассеяния частицы.

Рис. 7. Поляризационная установка pp2pp на RHIC 486

В каждом “римском горшке” размещаются четыре координатные плоскости кремниевых стриповых детекторов. Такое переопределение необходимо как минимум по двум причинам. Во-первых, для увеличения эффективности детектора, во-вторых, для измерения эффективности каждой плоскости. Переопределение необходимо и для идентификации упругого рассеяния по множественности. Каждая плоскость имеет стрипы шириной 70 мкм и зазор между стрипами в 30 мкм. Как установлено методическими исследованиями, 70 % событий упругого рассеяния регистрируются стрипами и остальные события – несколькими соседними стрипами [Alekseev (2004)]. Отбор упругих событий сопровождался требованиями коллинеарности событий упругого рассеяния. Высокое пространственное и временное разрешение детекторов позволили значительно подавить фон неупругих событий. Подробное описание установки содержится в статье [Bültmann (2004)]. Первый результат по измерению поляризации в упругом pp-рассеянии на коллайдере RHIC показан на рис. 8. Измерения были выполнены в интервале по |t| = 0,01 – 0,03 (ГэВ/с)2.

Рис. 8. Результат эксперимента pp2pp по измерению асимметрии в упругом

pp-рассеянии при энергии в с.ц.м.

s = 200 ГэВ в зависимости от t 487

Рис. 8 показывает, во-первых, что асимметрия уменьшается с ростом

|t|, как предсказывает теория. Во-вторых, показанная на рисунке теоретическая кривая, в которой вклад в ядерную амплитуду спин-флипа считается пренебрежимо малым, идет систематически ниже экспериментальных данных. Конечно, точности эксперимента должны быть заметно улучшены, прежде чем настаивать на таком заключении. §61.4. Поляризация в упругом pp- и pC-рассеяниях на RHIC в режиме фиксированной мишени

Еще два важных результата по поляризации были получены на поляриметрах. В обоих случаях измерялась поляризация в области кулонядерной интерференции (КЯИ). В первом случае речь идет об эсперименте с использованием новой поляризованной струйной мишени с регистрацией протонов отдачи. Во втором случае измерения велись на углеродной мишени. Обе эти установки были описаны во второй части книги, в разделе “Поляриметрия протонных пучков” (§49). Сейчас вкратце обсудим физические результаты. На рис. 9 показана измеренная с небывалой статистической точностью анализирующая способность упругого ppрассеяния при

s = 200 ГэВ в области КЯИ [Okada (2004)].

Рис. 9. Анализирующие способности реакций упругого pp- (слева) и pC- (справа) рассеяний при рс = 100 ГэВ в области КЯИ

Левый рисунок показывает, что впервые поляризация измерена в ожидавшемся пике распределения. Точность измерения уже ограничивается систематикой. Сплошная кривая представляет теоретическое предсказание без учета спин-флипа. Заключение состоит в том, что экспериментальные данные находятся в превосходном согласии с предсказанием теории. Если теперь показать, что теория также правильно предсказывает и энергетическую зависимость поляризации, то можно считать, что мы имеем надежный абсолютный поляриметр для любой энергии протонов. 488

Правый рисунок относится к рассеянию протонов на углероде [Jinnouchi (2004)]. Здесь в силу кинематики в принципе невозможно достичь в измерениях области пика поляризации. Тем не менее видно, что и здесь поляризация убывает с ростом –t. Заштрихованная полоса представляет вклад систематических ошибок. Неожиданным является тот факт, что в отличие от pp-рассеяния теоретическая кривая без учета спин-флипа идет гораздо выше экспериментальных данных. Этот факт не нашел пока адекватного объяснения и потому заслуживает дальнейшего изучения. Список литературы Ackermann K.H. et al. Nucl. Instr. Meth. A499 (2003) 624. Adams D.L. et al. Phys. Rev. Lett. 92 (2004) 171801. Adcox K. et al. Nucl. Instr. Meth. A499 (2003) 469. Adler C. et al. Nucl. Instr. Meth. A470 (2001) 488. Alekseev I.G. In: Proc. 16th Int. Spin Physics Symp., Trieste, Italy (2004) 511. Bazilevsky A. et al., 15th Int. Spin Physics Symp., AIP Conf. Proc. 675 (2003) 584. Bültmann S.L. et al. Nucl. Instr. Meth. A535 (2004) 415. “Desugn Manual: Polarized proton collider at RHIC”, (1998). Guryn W. еt al. Proposal Experiment to measure the total and elastic ppcross-section at RHIC. Updated version (1995). Jinnouchi O. et al. 15th Int. Spin Physics Symp., AIP Conf. Proc. 675, (2003a) 817. Jinnouchi O. et al. 10th Workshop on High Energy Spin Physics, Dubna, Russia, (2003b) 311. Jinnouchi O. et al. In Proc. 16th Int. Spin Physics Symp., Trieste, Italy (2004) 515. Ogawa A. In: Proc. 16th Int. Spin Physics Symp., Trieste, Italy (2004) 337. Okada H. et al. In: Proc. 16th Int. Spin Physics Symp., Trieste, Italy (2004) 507. Tojo J. et al. Phys. Rev. Lett. 89 (2002) 052302. Bruner N. For the PHENIX Collaboration, Proc. 15th Int. Spin Physics Symp., Upton, New York, USA (2002) 375.

489

Глава 5. Результаты экспериментов на фиксированных мишенях §62. Поляризация в упругом рассеянии адронов Одним из важных, но пока очень слабо развитых, является направление сравнительного изучения поляризационных явлений во взаимодействии частиц и античастиц. Известно, что в случае взаимодействия неполяризованных адронов существует гипотеза Померанчука, утверждающая, что полные сечения взаимодействия частиц и античастиц должны быть равны в асимптотике [Померанчук (1958)]. Экспериментальная проверка этой гипотезы выполнена до энергии 63 ГэВ в с.ц.м. на ISR. Пока асимптотика в смысле применимости гипотезы не достигнута. Вообще отсутствует экспериментальная проверка этой гипотезы в случае взаимодействия поляризованных частиц и античастиц. В §25 мы отмечали гипотезу [Логунов (1962)], а также Намбу [Nambu (1961)] о γ5-инвариантности сильного взаимодействия в асимптотике. Есть также ряд теоретических работ (см. §26), предсказывающих определенные асимптотические соотношения между поляризационными параметрами в перекрестных каналах реакций. К сожалению, они не подвергались до сих пор детальному экспериментальному тесту. В какой-то мере исключение составляет одна экспериментальная работа по изучению поляризации частиц и античастиц в упругом рассеянии. О ней мы вкратце расскажем ниже [Nurushev (1990)]. В течение 1972 – 76 гг. физики ИФВЭ, ОИЯИ, ИТЭФ совместно с физиками из Сакле подготовили и провели эксперименты по измерению угловой зависимости поляризации Р и параметра поворота спина R в упругом рассеянии π± -, К ± -мезонов, протонов и антипротонов на поляризованной протонной мишени при импульсе вблизи 40 ГэВ/с на ускорителе У-70 ИФВЭ. Схема экспериментальной установки, названной HERA (High Energy Reaction Analysis), показана на рис. 1. Некоторые особенности этой установки перечисляются ниже: пучковая аппаратура регистрирует и идентифицирует все три сорта адронов в пучке; совместное измерение поляризации в вертикальной плоскости (годоскопы Г5-Г8; Г7 и Г8 не видны на рисунке, так как находятся под мишенью) и параметра поворота спина в горизонтальной плоскости (годоскопы Г9-Г13); использование поляризованной мишени с более высоким содержанием водорода (пропандиол, длина мишени 8,5 см, диаметр 2 см, поляризация 80 %), чем в предыдущих ЛМН-мишенях; 490

одновременное измерение параметров поляризации Р и поворота спина R (два отдельных триггера); применение быстрой специальной матричной схемы для предварительного отбора событий упругого рассеяния по критериям компланарности и углам сопряжений; работа при большой интенсивности падающего пучка 6

(~ 3⋅10 част./цикл).

Рис. 1. Поляризационная установка HERA для одновременного измерения поляри+ + зации P и параметра поворота спина R при рассеянии адронов (π , К , р) и анти– адронов (π , К ,⎯р) на поляризованной протонной мишени при импульсе ∼ 40 ГэВ

Для определения лево-правой асимметрии использовались три типа мониторных счетов: 1. Счет падающего пучка с учетом поправки на пучковую загрузку и дрейф пучка. 2. Счет частиц, испытавших упругое рассеяние на протоне в горизонтальной плоскости, содержащей вектор поляризации. 3. Счет частиц, испытавших квазиупругое рассеяние на протонах, содержащихся в ядрах мишени. Определенные из эксперимента величины поляризации совпадают в пределах точности измерений для всех трех случаев нормировки. Однако наиболее стабильным монитором является третий из перечисленных выше мониторов. В табл. 1 показана ситуация по измерению параметров поляризации в упругом рассеянии адронов и антиадронов на ускорителе У-70 ИФВЭ. 491

В этой таблице показан интервал измерений по t в (ГэВ/с)2, если такие измерения были выполнены, или прочерк – при их отсутствии. Из таблицы видно, что только в π p → π p -рассеянии завершается выполнение полного опыта, содержащего восемь величин (включая дифференциальные сечения). В Кp-рассеянии не хватает еще одного опыта, например, 0

измерения асимметрии в реакции K–p → K n на поляризованной мишени. Что касается нуклон-нуклонного рассеяния, то здесь остается обширное поле для дальнейших экспериментальных исследований, в частности, например, с использованием поляризованного пучка. Таблица 1 Наблюдаемые величины Реакция π–p → π–p π+p → π+p π–p → π0p K–p → K–p K–p → K0p K+p → K+p pp → pp pp → pp ⎯

P

R

[0,1÷1,9] [0,08÷1,00] [0,1÷1,2] [0,1÷1,7] [0,08÷1,00] [0,04÷1,2] [0,1÷1,1]

[0,19÷0,52] [0,20÷0,52] [0,19÷0,52] - [0,2÷0,52] -

dσ/dt [0÷1] [0÷1] [0÷2] [0÷0,5] [0÷0,5] [0÷0,5] [0÷1,5] [0÷0,5]

§62.1. Результаты измерений поляризации

Полученные на установке HERA данные по поляризации [Bruneton (1973), Gaidot (1975)] представлены на рис. 2. В этих измерениях импульс отрицательных частиц составлял 40 ГэВ/с, а положительных частиц – 45 ГэВ/с. Нужно отметить следующие особенности в поведении поляризации: поляризации в π+р- и π–р-рассеяниях практически зеркально симметричны, что согласуется с предсказанием асимптотической модели и может быть объяснено преобладающим вкладом в спиральную амплитуду обмена ρ -полюсом; поляризации в К+р- и К–р-рассеяниях имеют одинаковые знаки, что противоречит асимптотической модели и согласуется с гипотезой сильного обменного вырождения; поляризации в упругом рр- и ⎯pp-рассеяниях также имеют одинаковые знаки и не согласуются с предсказаниями как асимптотической модели, так и реджевских моделей. 492

Определенные из экспериментальных данных зависимости “эффективных” траекторий Редже α от t хорошо согласуются с предсказаниями полюсных моделей для реакции с участием бозонов и находятся в противоречии для реакции с участием протонов и антипротонов (рис. 3, 4 и 5).

Рис. 2. Поляризация P в зависимости от t при упругом рассеянии отрицательных адронов на протонах при импульсе 40 ГэВ (верхние рисунки a, b, c); такой же рисунок, только для положительных адронов (а, б и в)

Для объяснения поведения поляризации в упругом рр- и ⎯ppрассеяниях было высказано предположение о том, что спиновые эффекты 493

возникают непосредственно из померонного обмена [Pierrard (1975), Азнаурян (1975), Трошин (1976), Трошин (1981)]. В этом случае удается хорошо описать как угловое распределение поляризации, так и ее энергетическую зависимость при больших t, а именно, весьма слабое (как логарифм энергии) убывание поляризации с ростом энергии. Дальнейшие измерения поляризации в упругом рр-рассеянии при энергиях до 300 ГэВ в ЦЕРНе и ФНАЛ [Fidecaro (1980), Kline (1980)] показали, что эта гипотеза является привлекательной, хотя однозначного подтверждения ее пока еще нет. В этом плане крайне желательны измерения поляризации в упругом ðp - и ⎯pp-рассеяниях при одинаковых энергиях в области очень больших энергий.

Рис. 3. Траектории Редже α p = 1 ± 0,27t , α R = 0,52 ± 0,93t и интерференционный член α R − α p для π–p – рассеяния; точки с ошибками получены подгонкой зависимости вида P(t ) = A(t ) ⋅ S 10 ГэВ/с

α R (t )− α p (t )

494

к экспериментальным данным выше

Рис. 4. Энергетическая зависимость разности параметра поляризации между π+р и π–р; точки соответствуют величинам α, полученным подгонкой Р(π+р) –Р(π–р) ≈ ≈ А(t)Sα; линия соответствует интерференции между ρ-мезоном и помероном α = = αρ – αр, где αρ = 0,52+0,93t и αр = 1+0,27t

Рис. 5. Зависимость αэф от |t|, определенная из подгонки Р(dσ/dt) ≈ A(t)Sαэф к экспериментальным данным по К+р- и рр -рассеяниям

В связи с данными по поляризации в упругом рассеянии адронов отметим еще две теоретические paботы [Kolar (1976), Соловьев (1979)]. В пер495

вой из них получены соотношения между параметрами поляризации при малых t с помощью кварковой модели взаимодействия (при некоторых допущениях). Сравнение с экспериментальными данными, полученными в ИФВЭ, показывает, что эти соотношения выполняются с точностью ≈ 25 % для упругого рр-рассеяния. Во второй из обсуждаемых работ обращено внимание на то, что если амплитуды взаимодействия адронов насыщают фруассаровский предел, то можно построить модель (модель быстрого роста), которая удовлетворительно объясняет как рост полного сечения, так и слабое “вымирание” поляризации с энергией. Для проверки этой модели особенно важно иметь данные при больших значениях t, которые, к сожалению, пока еще отсутствуют. На рис. 6 показана экспериментальная зависимость поляризации для шести заряженных адронов, испытавших упругое рассеяние на протонах в интервале передач (0,1 ≤ t (ГэВ/с)2 ≤ 0,3). Интересно отметить, что степень убывания поляризации с энергией является различной для разных адронов. Это может привести к тому, что ожидаемая асимптотическая область, где поляризации должны исчезнуть, может оказаться разной в зависимости от сорта частицы. Рис. 6 показывает убывание с энергией поляризации для всех адронов. Надо только помнить, что это справедливо для малых передач импульса. Есть определенные указания на более слабый спад поляризации с энергией для больших переданных импульсов. Однако пока это ожидание экспериментально не подтверждено из-за сложности эксперимента, обусловленной очень малыми сечениями упругих процессов. Завершая краткий обзор экспериментальных данных по поляризации, отметим, что крайне важно получить информацию о спиновых эффектах в разных изотопических состояниях, например, в состоянии I = 0 в нуклоннуклонном взаимодействии. Для этого нужны исследования с поляризованными нейтронами (пучки или мишени), которые еще не проводились в ИФВЭ.

496

Рис. 6. Зависимость поляризации Р в упругом рассеянии адронов на протонах для интервала 0,1 ≤ |t| (ГэВ/с)2≤ 0,3 от s §62.2. Результаты измерений параметра поворота спина R

Параметр поворота спина R был измерен в упругом π–р- (рис. 7) и рррассеяниях (рис. 8). Такие измерения важны не только для осуществления программы полного опыта. Параметр R позволяет определить (вместе с дифференциальным сечением) степень сохранения спиральностей в s- и t497

каналах в случае πN-рассеяния. Так, из настоящих измерений следует, что при импульсе 40 ГэВ/с спиральность в s-канале сохраняется с точностью ≈ 10 %, в то время как в t-канале наблюдается сильное нарушение сохранения спиральности. Интерес к измерению параметра R особенно возрос в связи с высказанной в работах [Левинтов (1978), Chou (1976)] идеей о вращающейся адронной материи. Если допустить, что плотность тока адронной материи пропорциональна плотности электромагнитного тока [Chou (1976)], то возникает предсказание на угловую и энергетическую зависимость параметра R. Рис. 7 приводит к следующим выводам. Во-первых, из трех кривых, представленных на рисунке, ближе всех к экспериментальным данным проходит сплошная линия. Она соответствует модели вращающейся адронной материи и модели полюсов Редже с одним померонным полюсом. Во-вторых, чтобы различить между предсказаниями различных моделей, нужно проводить измерения при больших передачах импульса и на порядок лучшей точностью, чем это показано на рисунке. Такой эксперимент очень труден из-за малости сечений и необходимости осуществления двойного рассеяния. Возможно, со временем такие опыты окажутся доступными на RHIC при достижении светимости >1032 cм–2c–1. Особенно важно изучить энергетическую зависимость параметра R, так как в обеих моделях, согласующихся с настоящими данными, параметр R не должен зависеть от энергии. И, наконец, данный эксперимент, выполненный более 30 лет назад, не повторен ни разу при более высоких энергиях. Этот факт подчеркивает сложность выполнения такого эксперимента. Результаты по измерению параметра R в pp-рассеянии, полученные в ИФВЭ, также хорошо согласуются с зависимостью R = – cos θp (кривая на рис. 8) с учетом больших ошибок в данных. Учитывая, что в модели вращающейся адронной материи поляризация отсутствует, а в эксперименте наблюдаются отличные от нуля ее значения, нужно ожидать (при идеально точных измерениях) какого-то количественного расхождения. Эта модель должна хорошо работать при больших энергиях (> 100 ГэВ), однако, к сожалению, такие данные пока отсутствуют.

498

Рис. 7. Параметр поворота спина R в упругом π–р-рассеянии при импульсе 40 ГэВ/с: сплошная линия соответствует зависимости R = – cos θp, где θ p – угол протона отдачи в лабораторной системе: пунктирная и штрих-пунктирная линии взяты из работ [Kline (1980), Barger (1969)]

Рис. 8. Параметр поворота спина R в упругом рр-рассеянии при импульсе 45 Гэв/с: пунктирная линия – зависимость R = – cos θp

Из совокупности данных по π–р-рассеянию можно найти величину τ0 =

0 s0 F+ − , определяющую относительную долю амплитуды с из(− t ) F+0+

499

менением отношения приведенной амплитуды со спин-флипом к амплитуде без спин-флипа в изотопическом состоянии I = 0 (в t-канале). Зависимость величины τ0 от энергии приведена на рис. 9 и показывает, что она слабо меняется с энергией и составляет ≈ 10 %. Это может означать, что померон способен взаимодействовать с изменением спиральности, что до результатов эксперимента HERA и не предполагалось. Было бы крайне интересно продолжить эти измерения в область очень больших энергий. Интересно заметить, что параметр поворота спина R практически одинаков для π–р- и рр-рассеяний и приблизительно следует зависимости Rπp = R pp = − cos θ P . Такая зависимость получается в модели Редже в предположении преобладающего вклада померонного полюса и факторизации. При этом параметр R одинаков для всех адронов. В модели вращающейся адронной материи этот параметр различен для разных сортов частиц (см. [Bourrely (1980)]).

Рис. 9. Зависимость величины τ0 =

0 s0 F+ − для π–р-рассеяния от начального (− t ) F+0+

импульса

Список литературы Азнаурян И.Г., Соловьев Л.Д. Препpинт ИФВЭ ОТФ 75-127, Серпухов (1975). 500

Левинтов И.И. Препринт ИТЭФ-144, Москва (1978). Логунов А.А., Мещеряков В.А., Тавхелидзе А.Н. ДАН СССР 142 (1962) 317. Померанчук И.Я. ЖЭТФ 34 (1958) 725. Соловьев Л.Д., Щелкачев А.В. Препpинт ИФВЭ 79-80, ОТФ, Серпухов (1979). Трошин С.М., Тюрин Н.Е. Препpинт ИФВЭ, ОТФ 76-55, Серпухов (1976). Трошин С.М., Тюрин Н.Е. Преnpинт ИФВЭ, ОТФ 81-29, Серпухов (1981). Barger V. and Phillips R.J.N. Phys. Rev. 187 (1969) 2210. Bourrely С., Leader Е. and Soffer J. Phys.Reports 59 (1980) 595. Bruneton С. et аl. Phys.Lett. В44 (1973) 471. Chou Т. and Уаng C.N. Nucl. Phys. В107 (1976) 1. Fidecaro G. et аl. In: Ргос. Int. Sуmр. оn High Energy Рhуsics with Polarized Вeams and Targets, Lausanne (1980) 557. Gaidot А. et аl. Phys.Lett. В77 (1975) 389. Kline R.V. et al. Phys. Rev. D22 (1980) 553. Kolar Р. et аl. Cnech. J. Phys. В26 (1976) 1294. Nambu Y., Ionn–Lasinio G. Phys. Rev. 122 (1961) 345. Nurushev S.B. In: Proc. 9th Int. Symp. on High Energy Spin Physics, Bonn, FRG (1990) 34. Pierrard J. et аl. Phys. Lett. В57 (1975) 393.

§63. Поляризация в реакциях обмена зарядами Сотрудничество ИФВЭ-ЛЯП ОИЯИ проводит с 1980 г. по настоящее время серию экспериментов по исследованию поляризационных эффектов в зарядово-обменных реакциях. К середине 80-х гг. были завершены исследования асимметрии в эксклюзивной реакции

π–+р↑→ π 0 + n

(1) при импульсе 40 ГэВ/с. В эксперименте использовалась поляризованная протонная мишень “замороженного” типа с пропан-диолом (C3H8O2) в качестве материала мишени. Мишень была разработана в ЛЯП ОИЯИ, а магнитная система для накачки и удержания поляризации была сконструирована и изготовлена в ИФВЭ. Описание поляризованной мишени данного эксперимента дано во второй части книги в разделе о поляризованных мишенях. Интерес к реакции (1) обусловлен тем, что в модели полюсов Редже эта реакция идет через обмен одним ρ -полюсом, и поляризация, как интерференционный эффект, должна отсутствовать. Первые же эксперимен501

тальные данные, показавшие наличие больших поляризационных эффектов при 5 и 12 ГэВ/с, заставили теоретиков пересмотреть исходные предпосылки модели Редже, ввести дополнительные полюса, учесть эффекты перерассеяния и т. д. Однако эти опыты проводились при низких (< 12 ГэВ) энергиях, и для строгой проверки модели Редже нужны были данные при более высоких энергиях. Этим мотивировалась постановка эксперимента по измерению поляризации нейтрона в реакции (1) на ускорителе У-70. Схема экспериментальной установки ПРОЗА (Поляризация в Реакциях Обмена ЗАрядами) показана на рис. 1. Схема установки подробно описана в работе [Аввакумов (1981)].

Рис. 1. Схема расположения поляризационной установки ПРОЗА

Аппаратура ПРОЗА состояла из следующих основных узлов. • Пучковая аппаратура состоит из детекторов: S1-S3 – сцинтилляционные счетчики полного потока, Č1, Č2, Č3 – пороговые черенковские счетчики, A3,4 – счетчик антисовпадений для подавления гало пучка; H1, H2 – пучковые годоскопы. Основное назначение – измерение потока частиц, их идентификация, измерения эмиттанса пучка. • Поляризованная мишень диаметром 2 см, длиной 20 см обеспечивает поляризацию протонов на уровне > 70 %, время релаксации положительной поляризации > 2000 ч, отрицательной – >1000 ч. • Блок счетчиков VС, охранная система из вето-счетчиков, служит для подавления выхода заряженных частиц и фотонов, являющихся фоном для реакции (1). 502

• Гамма-детектор GS состоит из свинцовых стекол и обеспечивает определение энергии и угла вылета фотонов. • Нейтронные детекторы NDL, NDR – левый и правый блоки нейтронного детектора обеспечивают регистрацию нейтронов для усиления отбора реакции (1) по кинематике. Опыты проводились при интенсивности пучка π–-мезонов в интервале 0,5 – 3⋅106 частиц/цикл при длительности цикла, менявшемся в интервале 0,5 – 2 с. Триггер подавлял запуск системы приема информации до уровня 1,5⋅10–5 от интенсивности пучка, т.е. скорость набора событий варьировалась в пределах 7 – 45 за цикл. Было накоплено более миллиона триггеров. Обработка показала, что масса π0-мезона реконструируется с точностью ∆m/m = 11 % (полуширина на полувысоте). Изучение фона неупругих событий в зависимости от переданного инвариантного импульса t показала, что в измеренном интервале 0 < |t| (ГэВ/с)2 < 2 он меняется в пределах от 5 до 20 %. Предварительные результаты, полученные с применением газоразрядного гамма-детектора для малых значений |t|, приведены в работе [Аввакумов (1980)]. Позже были получены более точные данные и для больших передач импульса с применением гамма-детектора на базе черенковских счетчиков полного поглощения (GS на рис. 1). Эти результаты представлены на рис. 2 [Аввакумов (1982)]. Там же показаны данные и для других зарядово-обменных эксклюзивных реакций, полученные одновременно с данными для основной реакции (1) [Nurushev (1989)]. Экспериментальные данные при 40 ГэВ/с показывают, что в то время как предсказание квазипотенциальной модели не согласуется с новыми данными, ряд других усложненных моделей Редже дают более или менее удовлетворительное описание поляризации при малых t. Так же удовлетворительно описываются эти данные и в методе U-матрицы [Трошин (1980)], учитывающей условие унитарности. Для выбора между различными моделями необходимы измерения при больших переданных импульсах. Лучшая точность достигнута при измерении асимметрии в реакции

()

π − + p ↑ → π 0 + n (рис. 2а). Отметим некоторые особенности в поведении этой асимметрии: 1. Поляризация нейтронов P(t) в области 0 < |t| (ГэВ/с)2 < 0,35 положительна и равна в среднем (5,0 ± 0,7) %. Однако при t = – 0,22 (ГэВ/с)2 впервые получено указание на минимум в зависимости поляризации от t. Поляризация в районе этой точки совместима с нулем в пределах ошибок измерений. Стоит отметить, что как раз в районе этой точки наблюдается так называемый кроссовер-эффект [Антипов (1973), Антипов (1976)]. 503

Суть этого эффекта состоит в том, что вблизи этой точки дифференциальные сечения упругого рассеяния положительных и отрицательных пионов на протонах пересекаются. Возможно, что эти два эффекта взаимно связаны.

Рис. 2. Односпиновая асимметрия в эксклюзивном образовании нейтральных мезонов пучком π–-мезонов с импульсом 40 ГэВ/с при соударении с поляризованной протонной мишенью. Реакции:

() + p (↑ ) → ω + n

() () 0 − + p (↑ ) → K + Λ (e), π + p (↑ ) → f + n ( f )

π − + p ↑ → π0 + n (a ), π− + p ↑ → η + n (b), π− + p ↑ → η'+ n (c), π

−

(d ), π

−

504

2. В области “дипа” (провала) в дифференциальном сечении реакции (1) поляризация меняет знак и становится отрицательной. Ее среднее значение в интервале 0,4 < |t| (ГэВ/с)2 < 0,6 равно ⎯P = – (10 ± 6) %. 3. В области 0,6 < |t| (ГэВ/с)2 < 1,3 поляризация снова положительна и равна ⎯P = (22 ± 8) %. 4. В области 1,3 < |t| < 2 (ГэВ/с)2 поляризация имеет тенденцию к изменению знака и равна ⎯P = – (28 ± 28) %. Поляризация для реакции (1) выражается через две амплитуды, зависящие от переменных Мандельштама t и s,

(

)

σ(t , s ) P (t , s ) = 2 Im g ∗ (t , s ) f (t , s ) , σ(t , s ) = f (t , s ) + g (t , s ) . 2

2

(2)

Здесь f (t , s ) и g (t , s ) представляют амплитуды рассеяния без и с переворотом спина. Это выражение показывает, что поляризация по сути является интерференционным эффектом: нужны два источника сил и интерференция между этими силами, чтобы возникла поляризация (асимметрия). Аналог этому явлению известен из оптики. Если комплексные функции f(t,s) и g(t,s) переписать через их модули и фазы в виде f (t , s ) = f (t , s ) e

iϕ f (t , s )

, g (t , s ) = g (t , s ) e

iϕ g (t , s )

(3)

,

то выражение для поляризации в формуле (2) можно переписать по другому, а именно: σ(t , s )P(t , s ) = f (t , s ) g (t , s ) sin ϕ f (t , s ) − ϕ g (t , s ) . (4)

(

)

Такая явная запись поляризации через модули и фазы амплитуд рассеяния позволяет понять нижеследующие утверждения. Чтобы поляризация была отлична от нуля, нужно, во-первых, чтобы амплитуды рассеяния были отличны от нуля, и, во-вторых, чтобы и фазы этих амплитуд не были равны друг другу или не отличались на 180° или кратное ему число. В целом оба утверждения очевидны, но в применении к модели полюсов Редже второе утверждение приводит к выводу: обмен одним полюсом Редже приводит к нулевой поляризации. Это происходит потому, что при обмене одним полюсом обе амплитуды f и g имеют одинаковые фазы. Следовательно, для возникновения поляризации в модели Редже нужны минимум два полюса или полюс и разрез и т. д. И это объясняет часто употребляемое выражение, что поляризация есть интерференционный эффект. Это отступление имеет прямое отношение к реакции (1). В этой зарядово-обменной реакции в t-канале может быть обмен только одним ρполюсом. Следовательно, появления поляризации в этой реакции мы не должны ожидать. Однако измерения поляризации в реакции (1) в интервале энергии 5 – 12 ГэВ показали заметный эффект поляризации [Bonamy (1966), Bonamy (1973), Hill (1973)]. Так, при 6 ГэВ среднее значение поля505

ризации в интервале 0 < |t| (ГэВ/с)2 < 0,35 оказалось равным (16,0 ± 2,3) %, а при 11 ГэВ – (11,4 ± 2,0) %. При 40 ГэВ в том же интервале по t поляризация равна (5,0 ± 0,7) %. Таким образом, эти результаты противоречат предсказаниям простой полюсной модели Редже по поляризации. Данные по поляризации в реакции (1) при 40 ГэВ представлены на рис. 2a и были предметом многочисленных обсуждений. Привлекались различные модификации модели Редже. Например, в работе [Saleem (1983)] применялась модель Редже с ρ-полюсом и ρ-разрезом. Было получено удовлетворительное описание экспериментальных данных. Двойное пересечение нуля в районе t = – 0,5 (ГэВ/c)2 объясняется тем, что траектория ρ-полюса имеет нуль вблизи этой точки, и интерференция двух членов (полюса и разреза) приводит к двойному нулю. Поляризация в этой модели убывает с энергией как 1/ s . Это предсказание также не противоречит обсуждаемым здесь экспериментальным данным. На рис. 2a приведены две кривые. Сплошная кривая представляет предсказание модели U-матрицы, которая успешно применяется для описания упругих и инклюзивных реакций практически во всех кинематических областях. Другая особенность этой модели состоит в том, что условие унитарности приводит в этой модели к появлению спин-флипа в помероне. В результате в этой модели возникают слабо убывающие с энергией поляризационные эффекты. Как видно из рис. 2а, расчетная кривая согласуется с экспериментальным результатом в сопоставляемом интервале [Трошин (1984)]. Пунктирная линия на рис. 2а представляет расчеты модели Редже с учетом оддерона [Gauron (1984)]. Интерес авторов понятен. Данные по полным сечениям pp- и⎯pp-взаимодействий на ISR привели к открытию, что они растут с энергией с максимально допустимой теорией скоростью. Это значит, что мнимая часть кроссинг-четной амплитуды имеет форму F+ (s,0 ) ∝ s ln 2 s . +

−

(5) −

Авторы, анализируя данные по π p, π p и π p зарядово-обменным реакциям пришли к выводу, что кроссинг-нечетная амплитуда может также быстро расти с энергией, а именно:

F− (s,0 ) ∝ s (ln 2 s − iπ ln s ) . (6) В литературе теперь принято говорить об оддероне, обмен которым приводит к амлитуде (6). Оддерон соответствует сингулярности с l = 1 (двойной полюс при t = 0). Требование, чтобы вклад оддерона в амплитуду F– был меньше вклада обычных полюсов Редже (имеющих l ≤ 1/2), приводит к необходимости подавлять вклад оддерона до энергии, напри506

мер, ТэВатрона. В результате трудно искать наличие оддерона в полных сечениях. Но если принять, что оддерон может проявиться и в других адронных процессах, то возникают новые возможности. Одной из них и весьма привлекательной является измерение поляризации в зарядовообменной реакции (1). Во-первых, в эту реакцию дают вклад очень мало полюсов. Во-вторых, фаза амплитуд оддерона отлична от фаз других полюсов. Следовательно, оддерон может интерферировать, например, с ρполюсом и давать поляризацию. С ростом энергии вклад оддерона должен возрастать и привести к резкому изменению формы поляризации в зависмости от t. Именно такой анализ и провели авторы с использованием данных по поляризации в реакции (1) при 40 ГэВ (наибольшая измеренная энергия). Авторы приняли во внимание три полюса и записали амплитуды в следующем виде:

′ + AO′ , B = Bρ + Bρ′ . A' = Aρ′ + Aρ′

(7)

Обозначая R = ρ или ρ′, можно параметризовать эти амплитуды

⎡ ⎛π ⎞⎤ AR′ = ⎢i + tg ⎜ α R (t )⎟⎥ α R (t )[α R (t ) + 1]eλ R t s α R (t ) , ⎝2 ⎠⎦ ⎣ . ⎡ ⎛π ⎞⎤ λ R t α R (t )−1 BR = ⎢i + tg ⎜ α R (t )⎟⎥bR (t )α R (t )[α R (t ) + 1]e s . ⎝2 ⎠⎦ ⎣

(8)

Здесь

αρ (t ) = αρ (1 + ct ), αρ′ (t ) = αρ′ = const , bR (t ) = bR = const .

Для оддерона принимается следующая параметризация: ⎛ s ⎞ s ′ = cs⎜⎜ ln 2 − in ⎟⎟eλ ot . AO s0 ⎠ s0 ⎝

(9)

(10)

В анализ были включены более 300 экспериментальных точек, количество свободных параметров было 13. Качество фита χ2 = 1,6 на точку является удовлетворительным. Найденные значения параметров приведены в табл. 1. Результаты этого фита представлены на рис. 2а пунктирной линией. Этот же результат показан на рис. 3 совместно с данными по поляризации при 5 ГэВ. Это сделано для иллюстрации выводов авторов о том, что изменение формы поляризации при переходе от 5 ГэВ к 40 ГэВ можно объяснить только за счет интерференции между оддероном и ρ-мезоном. Впечатляющими являются результаты этой работы, представленные на рис. 4, а именно, что поляризация может расти с энергией и очень быстро. 507

Так, при t = – 0,5 (ГэВ/с)2 поляризация равна ∼15 % при 40 ГэВ, ожидается 50 % при 100 ГэВ и 80 % при 200 ГэВ. Такого почти линейного роста поляризации с энергией при фиксированном квадрате переданного импульса t никакая другая модель не делала. При желании такой эксперимент можно было бы осуществить в одной из трех лабораторий: CERN, FNAL, BNL.

Рис. 3. Модель оддерона в применении к описанию поляризации в реакции

()

π− p ↑ → π0n при импульсах 5 и 40 ГэВ/с

Как утверждают авторы этой работы, “показано, что неожиданные результаты по измерению поляризации в Серпухове при 40 ГэВ/c в реакции π − p → π 0 n подтверждают гипотезу о возможном асимптотическом росте кроссинг-нечетной амплитуды настолько быстро, насколько это допускается общими принципами”.

508

Таблица 1 Наилучшая подгонка для параметров варианта “максимального оддерона” 1 2 3 4 5 6 7 8

Параметр a, (мкб)1/2 c, ГэВ-2 b, (мкб)1/2 ГэВ-1 α(0) α′, ГэВ-2 λ, ГэВ-2 C, (мкб)1/2 S0, ГэВ-2

ρ 93,8 2,53 3404,6 0,48 0,82 0,13 -

ρ′ –130,3 714,3 0 0,11 2,65 -

O –1,76 –0,008 0,08

Рис. 4. Предсказание энергетической зависимости поляризации для реакции

()

π− p ↑ → π0n в полюсной модели Редже с оддероном

На рис. 2 представлены результаты измерения асимметрии в следующих шести реакциях: 509

() + p (↑ ) → ω + n

() () 0 − + p (↑ ) → K + Λ (e), π + p (↑ ) → f + n ( f ).

π − + p ↑ → π0 + n (a ), π − + p ↑ → η + n (b), π − + p ↑ → η'+ n (c),

(11) (d ), π Мы подробно обсудили до сих пор реакцию (11а) и теперь вкратце отметим особенности других реакций. Прежде чем начать такое обсуждение, надо сделать два замечания. Первое касается параметра t, инвариантного переданного импульса. Пока массы начального и конечного мезона равны, этот параметр обозначался как t. В случае, когда эти массы различны, этот параметр обозначается как t ′. На рис. 2, начиная с рисунка a, используется обозначение t ′. Это связано с кинематикой процесса: при нулевом угле рождения мезона t = 0, в то время как t ′≠ 0. Это надо иметь в виду. Второе замечание касается спина образующихся мезонов. Известное соотношение о равенстве поляризации и асимметрии относится только к мезонам с нулевым спином, т.е. к пионам и η-мезонам. В случае мезонов с отличными от нуля спинами (в нашем случае это ω-мезон со спином 1 и f-мезон со спином 2) мы не должны путать асимметрию с поляризацией. После такого краткого отступления продолжим обсуждение рис. 2b. Так, псевдоскалярный η-мезон имеет нулевую анализирующую способность в интервале 0 < |t| (ГэВ/c)2 < 0,4, затем в интервале 0,4 < |t| (ГэВ/c)2 < 1,4 появляется отрицательная асимметрия, в среднем равная – 30 %, и при |t| > 1,4 (ГэВ/c)2 есть тенденция к появлению положительной асимметрии (правда, в пределах больших статистических ошибок). Такое поведение асимметрии было достаточно хорошо описано в модели Редже с двумя полюсами в работе [Saleem (1983)]. Результат этой работы представлен прерывистой линией. Расчет по модели U-матрицы представлен на том же рисунке сплошной линией [Troshin (1986), Troshin (1985)]. Точечная линия на рис. 2b представляет результат расчета по модели коррелированных реджеонов [Арестов (1984)]. Все три модели дают удовлетворительное согласие с экспериментальными данными. Реакция (11с) представляет определенный интерес для теоретиков. Как показано в работе [Krzywicki (1969)], между поляризациями в реакциях, где участвуют мезоны одного и того же мультиплета, существуют связи. Конкретное соотношение применительно к поляризациям в реакциях (11a, 11b и 11c) было выведено в работе [Enkovsky (1983)] при определенных допущениях о кварк-кварковом взаимодействии. Это соотношение имеет вид P π0 + 2 P(η) = P(η′) . (12) π

−

−

( )

510

Используя данные по поляризации в реакциях (11a и 11b), можно найти поляризацию P(η′). Она представлена на рис. 2с сплошной линией. В пределах статистических ошибок можно говорить о качественном согласии между моделью и экспериментом, хотя в интервале 0 < |t| (ГэВ/с)2 < < 0,4 их знаки расходятся. На том же рис. 2с пунктирной линией показан результат расчета работы [Арестов (1986)] по модели Редже. Согласие с экспериментальными данными вполне удовлетворительное. Переходим к рис. 2d с ω-мезоном. Интерес к образованию векторных мезонов, особенно с применением поляризованной мишени, существует давно [Achasov (1983)]. Поэтому неудивительно, что асимметрия в интересующей нас реакции (11d) была предсказана до получения экспериментальных данных при 40 ГэВ и представлена сплошной линией на рис. 2d. В этой модели учитываются полюса ρ, A2 , P и разрезы A2 A2 + A2 A2 P, ρρ + ρρP, ρA2 + ρA2 P . Параметры модели определялись из экспериментальных данных по ре-

() реакции π − p (↑ ) → ρ n

акции π− p ↑ → ω n при 6 ГэВ, полученным на ZGS [Shaevitz (1976)], и

при 17,2 ГэВ, полученным в ЦЕРН [Becker (1977)]. Как видно из рис. 2d, количественного согласия между предсказанием этой модели и данными эксперимента при 40 ГэВ не наблюдается. Реакция (11е) изучалась в фоновом режиме к реакции (11а) и не была оптимизирована. Тем не менее, она привлекательна тем, что для нее справедливо равенство P = A. Это позволяет нам из измерений лево-правой асимметрии образования К0 с поляризованной мишенью определить поляризацию Λ-гиперонов в этой реакции. Так что на рис. 2е представлена поляризация Λ-гиперонов в функции от t ′. На этом же рисунке представлены предсказания трех моделей. Сплошная кривая представляет предсказание модели слабого обменного вырождении [Арестов (1983)], точечнопунктирная линия – расчеты по эйкональной модели [Аракелиян (1983)] и модели цветной трубки – заштрихованная полоска [Anderson (1982)]. Видно, что первые две модели показывают количественное согласие с экспериментом, в то время как последняя модель расходится с ним при малых значениях t ′. Наконец, последняя реакция (11f) с участием f-мезона дожидается своей очереди по теоретической интерпретации. Список литературы Аввакумов И.А. и др. Преnpинт ИФВЭ, ОЭФ 80-94, SERP-E-112, Серпухов (1980). 511

Аввакумов И.А. и др. Преnpинт ИФВЭ, ОЭФ 81-15, Серпухов (1981). Аввакумов И.А и др. ЯФ 35 (1982) 1465. Антипов Ю.М. и др. Препринт ИФВЭ 73-30, Серпухов (1973). Антипов Ю.М. и др. Препринт ИФВЭ 76-95, Серпухов (1976). Аракелиян Г.Г. и др. ЯФ 38 (1983) 1525. Арестов Ю.М. и др. Препринт ИФВЭ 83-124, Серпухов (1983). Арестов Ю.И. и др. ЯФ 40 (1984) 204. Арестов Ю.И. Препринт ИФВЭ 86-82, Серпухов (1986). Трошин С.М., Тюрин Н.Е. Препpинт ИФВЭ, ОТФ 80-12, Серпухов (1980). Трошин С.М., Тюрин Н.Е. Труды II Международного семинара по спиновым явлениям в физике высоких энергий, Протвино, 1984, 167. Achasov N.N. and Shestakov G.N. Труды Международного семинара по спиновым явлениям в физике высоких энергий, Серпухов, 1983, 183. Anderson B. et al. Lund University, LUTP 82-6 (1982). Becker H. et al. In: Proc. 18th Int. Conf. on High Energy Physics, Tbilisi, v.1 (1977) C27. Bonamy P. et al. Phys. Lett. 23 (1966) 501. Bonamy P. et al. Nucl. Phys. 52B (1973) 392. Enkovsky L.L. and Struminsky B.L. Prepr. ITP-83-121E, Kiev (1983). Gauron P. et al. Phys. Rev. Lett., 52 (1984) 1252. Hill D. et al. Phys. Rev. Lett., 30 (1973) 349. Krzywicki A. and Tran Tranh Van J., Lett. Nuovo Cim. 12 (1969) 249. Nurushev S.B. In: Proc. 3rd Int. Symp. on pion-nucleon and nucleonnucleon Physics, Gatchina, USSR (1989) 398. Saleem M. and Fasal-e-Aleem. Phys. Rev. D27 (1983) 2468. Shaevitz M.N. et al. Phys. Rev. Lett. 36 (1976) 8. Troshin S.M., Tyurin N.E. Proc. 6th Int. Symp. оn Polar. Phenomena in Nucl. Phys., Osaka (1985) 207. Troshin S.M., Tyurin N.E. Prepr. IHEP 86-79, Serpukhov (1986).

512

Заключение к части III Экспериментальная программа по спиновой физике высоких энергий делает выдающийся прогресс. Эксперимент SLD на ускорителе SLC демонстрирует эффективность применения поляризованного электронного пучка для точного измерения параметров стандартной модели. Превосходные результаты были получены в измерении спиновых структурных функций с высокой точностью, которые позволили сделать тщательную проверку правил сумм, определить отдельные вклады в спин легких валентных и морских кварков. Те же самые данные использовались для точного определения бегущей константы связи. Хотя было собрано много данных, проблема, кажется, далека еще от конечного решения, особенно в отношении поляризации глюонов и морских кварков, а также роли орбитального момента. Поэтому необходимы новые эксперименты в этой области с лучшей точностью и в широкой кинематической области. Поляризация гиперонов, представляющая собой важное открытие в спиновой физике высоких энергий, заслуживает более серьезных усилий, чтобы понять ее зависимость от энергии, pТ, хF и аромата, так же как и механизм переноса спина. Одно- и двухспиновые измерения могут в перспективе дать ключевой вклад в понимание структуры спина нуклона, и это – хорошая новость, что несколько спиновых программ были одобрены на SLAC, HERA, CERN, RHIC для таких исследований. Поэтому мы можем заключить, что спиновая физика имеет хорошую перспективу.

513

Алфавитный указатель Полный опыт Поляризация Полюса Редже Правило сумм Бьёркена Правило сумм Бурхарда –Коттингама Правило сумм Эллиса –Джаффе 419 Правило Лунда Проекционные операторы Процесс Дрелла–Яна Псевдовектор Скейлинг Собственная функция оператора Собственное значение Спин Спиновая настройка “Спиновый кризис” Спиральность Твист Теорема Фрагмена –Линделёфа Трансверсальность (поперечность) Угловой момент частицы Унитарность Уравнение Шредингера Фактор разбавления Функция Сиверса Функция Коллинза Четырехвектор Эксклюзивные реакции Эрмитов оператор S-матрица

Аксиальный вектор 66 Анализирующая способность 101 Антикоммутатор 18 Асимметрия 13 Бра-вектор 24 Волновая функция 19 Гамильтониан 22 Двухспиновая асимметрия 407 Дисперсионные соотношения 113 Инклюзивные реакции 197 Кет-вектор 24 Киральность 171 Ковариантные компоненты 67 Контравариантные компоненты 68 Конфайнмент 232 Коммутатор 18 Кроссинг-симметрия 173 Кулон-ядерная интерференция (КЯИ, CNI) 113 Матрица плотности 69 Матрица реакции 71 М-матрица 98 Метрический тензор 66 Морские кварки 218 Обозначения Дирака 24 Оддерон 212 Односпиновая асимметрия 161 Операторы 15 Оператор Паули–Любавского 74 Орбитальный момент 23 Параметр Бьеркена 254 Параметр наклона 185 Партоны 198 Переменная Фейнмана 200 Пертурбативная кварковая хромодинамика (ПКХД) 198 Померон 174 514

82 8 184 419 417 451 57 195 28 259 20 20 28 290 15 73 200 173 201 28 131 22 323 203 203 66 197 20 129

Сандибек Байтемирович Нурушев Михаил Федорович Рунцо Михаил Николаевич Стриханов

ВВЕДЕНИЕ В ПОЛЯРИЗАЦИОННУЮ ФИЗИКУ Учебное пособие

Редактор Е.Е. Шумакова

Подписано в печать 15.11.2007. Формат 60 × 84 1/16 Печ. л. 32,25. Уч.-изд. л. 32,25. Тираж 200 экз. Изд. № 1/13 Заказ № 0-626 Московский инженерно-физический институт (государственный университет). 115409, Москва, Каширское ш., 31. Типография издательства “Тровант”. г. Троицк Московской области.