Алгебра и логика, 44, № 2 (2005), 131—147
УДК 512.554.3
БАЗИСЫ ГРЁБНЕРА–ШИРШОВА АЛГЕБРЫ ЛИ An ∗) А. Н. КОРЮКИН § 1. Правильные слова В работе обобщаются результаты работы [1]. В дальнейшем X — конечное линейно упорядоченное множество (букв); L(X) — алгебра Ли, свободно порождённая множеством X над произвольным полем характеристики 0; Words(X) — множество всех ассоциативных слов от X (включая и пустое слово 1). Продолжим линейный порядок на множестве X до наименьшего порядка на множестве всех непустых ассоциативных слов: если y z, то xy xz, если при этом y 6= z, то ya zb для любых ассоциативных слов x, y, z, a, b (слова x, a, b могут быть пустыми). Cлово и его собственное начало при порядке не сравнимы. Продолжим линейный порядок на множестве X до линейного порядка ≤ на множестве Words(X): для любых слов y, z из Words(X) неравенство y ≤ z равносильно тому, что либо z является началом слова y (в частности, при z = 1), либо y z. ЗАМЕЧАНИЕ 1.1. Для произвольных ассоциативных слов x, y из x ≺ y следует x < y. Если x < y, то либо x ≺ y, либо y является собствен∗)
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундамен-
тальных исследований, проекты № 05-01-00230 и № 02-01-00258, и Совета по грантам Президента РФ и государственной поддержке ведущих научных школ, проект НШ 2069.2003.1. c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005
132
А. Н. Корюкин
ным началом слова x. В частности, если слова x, y одинаковой длины, то неравенства x < y, x ≺ y равносильны. Если ассоциативное слово u строго больше любой его циклической перестановки (т. е. wv < u для u = vw при v, w 6= 1), то u называется правильным [2]. Пусть Reg(X) — множество правильных ассоциативных слов; Words∗ (X) — множество неассоциативных слов; b− : Words∗ (X) → → Words(X) — отображение, стирающее скобки. Неассоциативное слово u называется правильным [2], если оно буква или выполняются следующие условия: 1) ассоциативное слово, полученное из u стиранием скобок, является правильным; 2) если u = xy для неассоциативных слов x, y ненулевой длины, то x, y являются правильными; 3) если при этом слово x представимо в виде произведения x = zt неассоциативных слов z, t ненулевой длины, то b− (t) < b− (y). Множество правильных неассоциативных слов обозначим через Reg∗ (X). ЗАМЕЧАНИЕ 1.2 [2]. Отображение b− биективно. Обратное отображение обозначим b : Reg(X) → Reg∗ (X). ЛЕММА 1.3 [2–5]. Выполняются следующие утверждения: 1) для порядка ≺ собственное окончание правильного ассоциативного слова строго меньше самого слова; 2) если u, v — правильные ассоциативные слова, то неравенство u > > v равносильно тому, что слово uv является правильным; 3) если a, b, c — ассоциативные слова такие, что b непусто и ассоциативные слова ab, bc являются правильными, то ассоциативное слово abc также будет правильным; 4) для произвольного ассоциативного слова u однозначно определены целое положительное число m = m(u) и последовательность u1 , . . . , um правильных слов такие, что u = u1 · . . . · um , u1 ≤ . . . ≤ um .
Базисы Грёбнера–Ширшова алгебры Ли An
133
Для произвольного ассоциативного слова u введём обозначения: q — последняя буква слова u; u ˜ — слово, полученное из u вычеркиванием последней буквы; u1 , . . . , uk — неубывавающая цепочка правильных слов такая, что u ˜ = u1 · . . . · uk (утвержд. 4 леммы 1.3, k = k(u)). Для произвольного правильного ассоциативного слова u обозначим: l(u) — наибольшее собственное правильное начало слова u; l(u) — окончание слова u, которое получается из u вычеркиванием начала l(u); r(u) — наибольшее собственное правильное окончание слова u; r(u) — начало слова u, которое получается из u вычеркиванием окончания r(u). ЛЕММА 1.4. Для произвольного правильного слова u слово u2 · . . . · · uk · q будет правильным. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, пусть uk+1 = q, i = 2, . . . , k + + 1, — наименьшее число такое, что слово v = ui · . . . · uk · uk+1 является правильным. Если ui−1 ≤ v, то u = u1 · . . . · ui−1 v, u1 ≤ . . . ≤ ui−1 v. При этом слово u правильное. Получаем противоречие с утверждением 4 леммы 1.3. Значит, ui−1 > v и, согласно утверждению 3 леммы 1.3, слово ui−1 v правильное. 2 Следствием утверждения 4 леммы 1.3 является ЛЕММА 1.5. Равенство l(u) = u1 справедливо для произвольного ассоциативного слова u. Отсюда и из леммы 1.4 следует ЛЕММА 1.6. Для произвольного правильного слова u его подслово l(u) будет правильным. ЛЕММА 1.7. Если u, v — непустые ассоциативные слова такие, что слово uv правильное, то u > uv > v. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, по определению u > uv. При этом uv > v согласно утверждению 1 леммы 1.3. 2 § 2. Редуцированные слова и базис Грёбнера—Ширшова Множество правильных неассоциативных слов, рассмотренных как элементы свободной алгебры Ли, является базисом свободной алгебры Ли
134
А. Н. Корюкин
L(X) над произвольным полем k (см. [2]). Точнее, суперпозиция отображений kReg∗ (X) → kWords∗ (X) → L(X) биективна (левая стрелка — каноническое вложение пространства с базисом из правильных неассоциативных слов в свободную неассоциативную алгебру; правая — канонический сюрьективный гомоморфизм в свободную алгебру Ли). Вместе с замечанием 1.2 получаем, что суперпозиция отображений kb
[ ] : kReg(X) → kReg∗ (X) → kWords∗ (X) → L(X) биективна (отображение kb „правильно“ расставляет скобки в линейных комбинациях правильных ассоциативных слов). Это означает, что множество элементов вида [u], где u — произвольное правильное ассоциативное слово, образует базис (из образов правильных слов) алгебры Ли L(X) (см. [1, 2]). Для элемента s = α · u + w пространства kReg(X) (где α — ненулевой элемент основного поля; u — ассоциативное правильное слово; w — линейная комбинация правильных слов, меньших слова u) будем говорить, что u является старшим словом элемента s (c коэффициентом α). Зафиксируем произвольный идеал J алгебры L(X). Пусть L = []
= L(X)/J — фактор-алгебра Ли. Обозначим через ν : kReg(X) → L(X) → → L cуперпозицию отображений, где правая стрелка — канонический гомоморфизм алгебр Ли. Правильные ассоциативные слова, не являющиеся старшими словами ненулевых элементов ядра отображения ν, назовём редуцированными. Множество всех ν(u), где u пробегает множество ассоциативных редуцированных слов, образует базис алгебры Ли L. Назовём его редуцированным базисом алгебры Ли L. Для произвольного ассоциативного редуцированного слова u неассоциативное слово b(u) также назовём редуцированным. Пусть Red — множество всех ассоциативных редуцированных слов; kRed — пространство с базисом Red. ЗАМЕЧАНИЕ 2.1. Для произвольного правильного ассоциативного слова u его подслово r(u) будет правильным [5].
Базисы Грёбнера–Ширшова алгебры Ли An
135
ЗАМЕЧАНИЕ 2.2. Для произвольного конечного линейно-упорядоченного множества X и произвольной фактор-алгебры Ли L(X)/J, правильное подслово редуцированного ассоциативного слова редуцировано (это следует из [2, лемма 4]). Для произвольного множества правильных ассоциативных слов Y произвольное правильное ассоциативное слово назовём Y-редуцированным, если оно не содержит подслов из Y . Пусть S — множество старших слов элементов из S (для S ⊆ kReg(X)); Red(Y ) — множество Y редуцированных слов; I — множество элементов v из kReg(X) таких, что [v] ∈ J (для произвольного идеала J алгебры L(X)). ЗАМЕЧАНИЕ 2.3. Для S ⊆ I любое редуцированное слово является S-редуцированным. Действительно, для ненулевого элемента u из I со старшим словом v любое редуцированное слово не содержит подслова v, т. е. является {v}редуцированным (замеч. 2.2). ЗАМЕЧАНИЕ 2.4. Если S1 ⊆ S2 , то Red(S2 ) ⊆ Red(S1 ). ЗАМЕЧАНИЕ 2.5. Имеет место включение Red(I) ⊆ Red. Если S ⊆ kReg(X), Red(S) ⊆ Red, то S назовём большим множеством носителей соотношений алгебры L = L(X)/J. Такие множества существуют (замеч. 2.5), и для них справедливо ЗАМЕЧАНИЕ 2.6. Имеет место равенство Red(S) = Red. ЛЕММА 2.7. Для произвольного множества S ⊆ I равносильны следующие условия: 1) S является большим; 2) его множество старших слов S содержит все правильные слова, которые сами не являются редуцированными, но каждое их собственное правильное подслово редуцировано. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 2) ⇒ 1). Cледуeт из замечания 2.3. 1) ⇒ 2). Рассмотрим произвольное нередуцированное слово u, все собственные правильные подслова которого редуцированы. Поскольку множество S является большим и u ∈ / Red, то u не является Sредуцированным, т. е. u имеет подслово v из S. Множество S и множество
136
А. Н. Корюкин
S-редуцированных слов не пересекаются. Значит, v ∈ / Red. При этом в силу выбора все собственные подслова слова u редуцированы, откуда u = v. В силу выбора имеет место v ∈ S. Следовательно, u ∈ S. 2 Из этой леммы вытекает следующее ЗАМЕЧАНИЕ 2.8. Среди элементов произвольного большого множества S всегда можно выбрать подмножество Sˇ такое, что 1) для каждого правильного ассоциативного слова u из S существует ˇ для которого cлово u будет старшим; ровно один элемент из S, 2) каждое правильное нередуцированное слово, у которого все собственные правильные подслова редуцированы, является старшим словом ˇ некоторого носителя соотношения из S. Такие множества назовём минимальными из больших (по включению). ЗАМЕЧАНИЕ 2.9. Элементы из kReg(X) являются линейными комбинациями элементов вида u − π(u), где u — правильное ассоциативное слово; π(u) — линейная комбинация ассоциативных редуцированных слов. Такие элементы будем называть каноническими носителями соотношений (алгебры Ли L(X)/J). ЗАМЕЧАНИЕ 2.10. Пересечение (любого числа) больших множеств канонических носителей соотношений является большим множеством канонических носителей соотношений. СЛЕДСТВИЕ 2.11. Среди больших множеств канонических носителей соотношений существует наименьшее (по включению). (Минимальным) базисом Грёбнера–Ширшова алгебры Ли L(X)/J или (минимальным) БГШ называется множество всех элементов свободной алгебры Ли L(X) вида [w], где w — элемент большого множества (наименьшего из больших множеств канонических носителей соотношений) [1]. § 3. Системы корней и редуцированные слова В дальнейшем E — евклидово пространство со скалярным произведением (u, v) над полем вещественных чисел. Произвольному ненулевому элементу a из E соответствует отражение σa — линейное преобразование
Базисы Грёбнера–Ширшова алгебры Ли An
137
пространства E, которое сохраняет скалярное произведение, элемент a переводит в −a и все элементы из E, ортогональные к a, оставляет на месте. При этом σa (x) = x −
2(x,a) (a,a) a
для произвольного x из E (см. [6, § 9.1]).
Подмножество S евклидова пространства E называется системой корней [6, § 9.1], если выполняются следующие условия: R1) множество S конечно, порождает пространство E и не содержит нуля; R2) если два элемента из S линейно зависимы, то с точностью до знака они совпадают; R3) для любого элемента α из S множество S устойчиво относительно действия отражения σα ; R4) для любых элементов α, β из S число
2(β,α) (α,α)
будет целым.
В дальнейшем Roots — система корней в E; sRoots — множество простых корней, т. е. базис пространства E такой, что любой корень либо положителен (является линейной комбинацией базисных элементов с неотрицательными коэффициентами), либо отрицателен (является линейной комбинацией базисных элементов с неположительными коэффициентами); Roots+ — множество всех положительных корней; Zs Roots — подгруппа аддитивной группы пространства E, порождённая простыми корнями; Zs Roots+ — наименьшее множество элементов пространства E, содержащее простые корни и замкнутое относительно сложения. Справедливы две цепочки включений: sRoots ⊆ Roots+ ⊆ Roots ⊆ Zs Roots ⊆ E; sRoots ⊆ Roots+ ⊆ Zs Roots+ ⊆ Zs Roots ⊆ E. Если не оговорено противное, считаем, что Roots — система корней An . Граф Дынкина — это симметричное антирефлексивное бинарное отношение на множестве простых корней. Вершины графа Дынкина имеют двойную природу: будем рассматривать их как буквы (и строить на их основе слова) и как простые корни (элементы системы простых корней). Граф Дынкина системы корней An имеет вид: ◦ − ◦ − . . . − ◦ − ◦ (в нём n вершин). (Линейное) упорядочение множества букв будем изображать, нумеруя вершины графа Дынкина числами 1,. . . ,n (вершина с большим номе-
138
А. Н. Корюкин
ром больше вершины с меньшим номером). В этом случае будем говорить о графе Дынкина с упорядочением вершин. Рассмотрим алгебру Ли L = A+ n (положительная часть простой конечномерной алгебры Ли An ). Она, как и алгебра An , градуирована абелевой группой Zs Roots, свободно порождённой простыми корнями, т. е. P L= Lg . Корнями называются такие элементы g группы Zs Roots, g∈Zs Roots
для которых однородная компонента Lg содержит ненулевые элементы [6]. Свободная неассоциативная алгебра, пространство с базисом из ассоциативных слов и свободная алгебра Ли градуированы группой Zs Roots: каждой букве x соответствует простой корень |x|; слова однородны. Для произвольного слова u элемент |u| будем называть составом слова u, а также говорить, что состав корневой, если |u| является корнем. ЗАМЕЧАНИЕ 3.1. Для произвольного упорядочения вершин графа Дынкина An любое ассоциативное редуцированное слово u имеет корневой состав. Действительно, если |u| не является корнем, то L|u| = 0. Значит, если в u расставить скобки и канонически отобразить в алгебру L, оно обратится в нуль. Следовательно, u не редуцировано (по определению). Значит, любое ассоциативное слово некорневого состава не редуцировано. ЛЕММА 3.2. Для произвольного упорядочения вершин графа Дынкина An любое правильное подслово любого ассоциативного редуцированного слова (в том числе и оно само) имеет корневой состав. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, это подслово редуцировано (замеч. 2.2) и, в силу замечания 3.1, имеет корневой состав. 2 § 4. Редуцированный базис алгебры Ли A+ n В дальнейшем граф Дынкина будем называть просто графом, а вершины графа, соединенные ребром, — смежными. Граф An будет связным, т. е. для любых двух его вершин α, β существует последовательность вершин γ1 , . . . , γk такая, что γ1 = α, γk = β и вершины γi , γi+1 являются смежными в графе D.
Базисы Грёбнера–Ширшова алгебры Ли An
139
Произвольному графу поставим в соответствие сумму его вершин (простых корней). При этом получим взаимно однозначное соответствие связных подграфов графа An и положительных корней. Пусть D(α) — связный подграф графа An , соответствующий произвольному положительному корню α. Вершину, помеченную самым большим в графе числом, назовём центральной вершиной графа (центром гра− → фа) и обозначим Z(D). Через D обозначается ориентированный граф, который получается из D, если у каждого ребра выбрать направление от центра графа. Лучом называется граф с конечным числом вершин, в котором существует вершина, не являющаяся концом никакого ребра (начало луча); вершина, не являющаяся началом никакого ребра (конец луча); а все остальные вершины имеют по одному входящему и одному исходящему ребру. − → Исключим из графа D центр. Тогда граф распадётся на два луча. − → Пусть D + — один из этих лучей, который имеет вершину, большую любой − → − → вершины другого луча; D − — оставшийся луч; Z + ( D ) — вершина луча − →+ − → D , которая ближе к центру графа D и больше всех вершин луча D − ; − →∗ − → D — наибольший луч, т. е. подграф графа D + , началом которого явля− → − → − → − → ется Z + ( D ); D ∗ — подграф графа D , получаемый из D как дополнение − → к графу D ∗ . Правильные ассоциативные слова, у которых каждое правильное подслово (в том числе и оно само) имеет корневой состав, будем называть (Root, Root)-словами. ЛЕММА 4.1. Произвольное (Root, Root)-слово u длины не менее 2 −−−→ оканчивается той же буквой, что и луч D(α)+ , где α — состав слова u. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Слово u имеет корневой состав (лемма 3.2). Значит, любая буква имеет не более одного вхождения в слово u. Следовательно, старшая буква p слова u имеет ровно одно вхождение в это слово. Поскольку это слово правильное, оно начинается буквой p. Значит, после вычеркивания из этого слова последней буквы опять получается правильное слово (обозначим его v). Следовательно, состав |v| этого слова является корнем (u является (Root, Root)-словом). Поэтому граф D(|v|) связный,
140
А. Н. Корюкин
при этом он получается из D(α) исключением вершины q. Следовательно, q имеет в графе D(α) только одну смежную вершину.
−−−→ Осталось показать, что буква q лежит на луче D(α)+ . Слово u —
правильное, а его длина не меньше чем 2, следовательно, буква q не является старшей в слове u. Значит, она является вершиной одного из лучей −−−→− −−−→+ D(α) , D(α) . Пусть p2 — вторая по старшинству буква слова u; w — окончание слова u, начинающееся с буквы p2 . Вхождение буквы p2 в w единственно (любая буква имеет не более одного вхождения в слово u). Значит, w будет правильным. Следовательно, как подслово (Root, Root)-слова u, слово w само является (Root, Root)-словом. Поэтому и по лемме 3.2 состав β слова w является (положительным) корнем. Следовательно, граф D(β) связный. Этот граф содержит вершину p2 , по определению лежащую на лу−−−→+ че D(α) и не содержащую центр графа D. Значит, граф D(β) является −−−→ частью луча D(α)+ . В частности, вершина q графа D(β) лежит на луче −−−→+ D(α) . 2 Для произвольного луча L обозначим через w(L) ~ слово, полученное последовательным выписыванием букв — вершин луча — от начала луча L до конца. Из леммы 4.1 вытекает ТЕОРЕМА 4.2. Для произвольных упорядочения вершин графа An и корня α правильное ассоциативное слово u состава α, у которого все правильные подслова имеют корневой состав, единственно. Это слово − → − → − → определяется по формуле w( D (α)) = w( D ∗ (α)) · w( ~ D ∗ (α)). Отсюда и из леммы 3.2 вытекает ТЕОРЕМА 4.3. Для произвольного упорядочения вершин графа An множество (ассоциативных) редуцированных слов совпадает с множеством правильных ассоциативных слов, у которых любое правильное подслово (в том числе и оно само) имеет корневой состав.
§ 5. Базис Грёбнера–Ширшова алгебры Ли A+ n Правильные ассоциативные слова некорневого состава, у которых
Базисы Грёбнера–Ширшова алгебры Ли An
141
каждое собственное правильное подслово имеет корневой состав, будем называть (notRoot, Root)-словами. ТЕОРЕМА 5.1. Для любого упорядочения вершин графа An элементы минимального базиса Грёбнера–Ширшова алгебры Ли A+ n — это в точности элементы [u] свободной алгебры Ли L(X), где u — произвольное (notRoot, Root)-слово. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим произвольный элемент w минимального БГШ. По определению w = [u−π(u)], где u — правильное нередуцированное слово, у которого все собственные правильные подслова редуцированы; π(u) — линейная комбинация ассоциативных редуцированных слов. По теореме 4.3 слово u имеет некорневой состав. Значит, [π(u)] ∈ J. По определению π(u) является линейной комбинацией редуцированных слов, откуда π(u) = 0. Следовательно, w = [u]. Для проверки обратного утверждения рассмотрим произвольное (notRoot, Root)-слово u. Требуется показать, что [u] является элементом БГШ, т. е. u является элементом любого большого множества S канонических носителей соотношений. Поскольку u является (notRoot, Root)словом и по теореме 4.3, оно будет правильным нередуцированным словом, все собственные правильные подслова которого редуцированы. Согласно замечанию 2.8, u является старшим словом некоторого элемента w множества S. Так как w является каноническим носителем соотношения, то w = u − π(u). Поскольку слово u имеет некорневой состав, то [π(u)] ∈ J. При этом π(u) — линейная комбинация редуцированных слов. Значит, π(u) = 0. Поэтому w = u, u ∈ S. 2 Теперь дадим описание всех (notRoot, Root)-слов. Рассмотрим произвольное (notRoot, Root)-слово u. Пусть u имеет только одно вхождение своей старшей буквы p. Тогда u начинается единственным вхождением своей старшей буквы p, причём u не является буквой (оно имеет некорневой состав). Значит, слово u ˜ — непустое и правильное. Это собственное подслово слова u. Следовательно, слово u ˜ имеет корневой состав. ЗАМЕЧАНИЕ 5.2. (notRoot, Root)-слово u имеет длину 2 тогда и только тогда, когда u = ab, где a, b — несмежные (в графе An ) буквы
142
А. Н. Корюкин
такие, что a > b. Множество таких слов обозначим через S10 (n). Далее полагаем, что слово u имеет длину больше 2. Значит, слово u ˜ имеет длину не менее 2. Пусть p2 (˜ u), p2 (D) — вторые по старшинству буква слова u ˜ и вершина произвольного графа D, соответственно. Связный подграф графа An c крайними вершинами x, y обозначим [x, y] и назовём интервалом. ЛЕММА 5.3. Произвольное (notRoot, Root)-слово u, которое имеет длину больше 2, ровно одно вхождение своей старшей буквы и заканчивается буквой q, меньшей второй по старшинству буквы p2 слова u, совпадает со словом w(D)q, где D — связный подграф графа An такой, что интервал [Z(D), p2 (D)] имеет по крайней мере три вершины; вершина q этого интервала, смежная со второй по старшинству вершиной p2 (D) графа D, больше любой вершины старшего луча, не лежащей в интервале [Z(D), p2 (D)]. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим слово u, удовлетворяющее условиям леммы. Слово u — правильное, оно имеет ровно одно вхождение своей старшей буквы p1 . Значит, u ˜ начинается с буквы p1 . Поэтому слово u ˜ — правильное. Следовательно, как правильное собственное подслово (notRoot, Root)-слова u, u ˜ является (Root, Root)-словом и имеет корневой состав. Пусть y — конец старшего луча графа D(|˜ u|); v — окончание слова u ˜, начинающееся буквой p2 (˜ u). Применяя теорему 4.2 для (Root, Root)слова u ˜, видим, что слово v получается последовательным выписыванием вершин интервала [p2 , y] (от p2 до y). В частности, v является (Root, Root)словом (любое подслово слова v имеет связный граф). По условию q < p2 . Значит, вторая по старшинству буква p2 слова u совпадает со второй по старшинству буквой p2 (˜ u) слова u ˜, откуда q < p2 (˜ u). Следовательно, слово vq начинается единственным вхождением своей старшей буквы p2 и является vq правильным. Далее, vq — окончание слова u, а слова vq, u начинаются разными буквами. Тогда vq — собственное подслово слова u. Как правильное собственное подслово (notRoot, Root)-слова u, слово vq является (Root, Root)-
Базисы Грёбнера–Ширшова алгебры Ли An
143
словом и имеет корневой состав. Итак, графы D(|v|), D(|vq|) — связные, и любая буква имеет не более одного вхождения в слово vq. Следовательно, буква q не имеет вхождений в слово v. Значит, вершина q имеет в графе D(|vq|) только одну смежную. Если q не имеет вхождений в u ˜, то любая буква имеет не более одного вхождения в u. При этом D(|u|) — связный граф (u = u ˜q, D(|˜ u|) — связный граф, вершина q имеет смежную в D(|v|), а значит, и в D(|u|)). Следовательно, в этом случае слово u имеет корневой состав, что противоречит выбору u. Итак, q является вершиной графа D(|˜ u|). Поскольку q не имеет вхождений в слово v, имеет в нём смежную и D(|v|) = [p2 , y], то q является вершиной интервала [Z(D), p2 (D)], смежной с p2 (D). Значит, D(|vq|) = [q, y]. При этом вершина q смежна со старшей вершиной интервала [q, y]. Применяя теперь теорему 4.2 для (Root, Root)-слова vq, получаем, что q больше любой вершины графа D(|v|), кроме старшей. В обратную сторону утверждение легко получается из определений. 2 Множество слов u из леммы 5.3 обозначим S1< (n). ЗАМЕЧАНИЕ 5.4. Если (notRoot, Root)-слово имеет одно вхождение своей старшей буквы, два вхождения второй по старшинству буквы p2 и заканчивается буквой p2 , то оно имеет вид w(D) · p2 (D), где D — связный подграф графа An , имеющий хотя бы две вершины. Верно и обратное утверждение. Обозначим через S1= (n) множество всех (notRoot, Root)-слов из замечания 5.4. ЗАМЕЧАНИЕ 5.5. Если (notRoot, Root)-слово имеет по одному вхождению своей старшей буквы и своей второй по старшинству буквы p2 , и заканчивается буквой p2 , то оно имеет вид w(D) · q, где D — связный подграф графа An , имеющий хотя бы две вершины, q — вершина графа An , не смежная ни с одной вершиной графа D, большая любой вершины графа D, за исключением его старшей, и меньшая последней. Верно и обратное утверждение.
144
А. Н. Корюкин Обозначим через S1> (n) множество всех (notRoot, Root)-слов из за-
мечания 5.5. ЗАМЕЧАНИЕ 5.6. Множество (notRoot, Root)-слов, имеющих ровно одно вхождение своей старшей буквы, совпадает с объединением множеств S10 (n), S1= (n), S1> (n), S1< (n). ЗАМЕЧАНИЕ 5.7. Множество (notRoot, Root)-слов, у которых старшее слово имеет два вхождения своей старшей буквы, совпадает с множеством слов вида vw, где v, w — (Root, Root)-слова, которые имеют одну и ту же старшую букву, а каждое из этих слов имеет ровно одно вхождение своей старшей буквы, v > w. В этом случае l(u) = v, r(u) = w. Для описания пары (v, w) из замечания 5.7 необходимо научиться сравнивать (Root, Root)-слова по графам их состава. Для произвольного − → связного подграфа D графа An рассмотрим направленный граф D (от центра расходятся два луча). Исключим центр графа, полученный граф − → обозначим D ∗ . Определим лучи L1 (D), L2 (D). Если D имеет только одну вершину, то эти лучи не имеют вершин. Если центр графа D является его крайней − → вершиной, то положим L1 (D) = D ∗ , луч L2 (D) не имеет вершин. Если − → центр графа D не является крайней вершиной, то граф D ∗ состоит из двух лучей. Луч, имеющий меньшее начало, обозначим L1 (D), оставшийся — L2 (D). Следующие свойства однозначно определяют две конечные последовательности a1 , a2 , . . . и b1 , b2 , . . . вершин графа D: 1) вершины a1 , a2 , . . . лежат на луче L1 (D), b1 , b2 , . . . — на луче L2 (D); 2) a1 — это начало луча L1 (D) (меньшая из смежных к центру вершин графа D); 3) для произвольного индекса i, bi — это ближайшая к началу вершина луча L2 (D), большая вершины ai ; 4) для произвольного индекса i, ai+1 — это ближайшая к началу вершина луча L1 (D), большая вершины bi . ЗАМЕЧАНИЕ 5.8. Для произвольного индекса i вершина ai луча L1 (D) находится ближе к начала луча, чем вершины ai ; вершина bi луча L2 (D) находится ближе к начала луча, чем вершины bi+1 .
Базисы Грёбнера–Ширшова алгебры Ли An
145
Если для i > 1 определена вершина ai , то зададим луч L1 (D, i) как часть луча L1 (D), которая начинается на ai и заканчивается той же вершиной, что и луч L1 (D), если вершина ai+1 не определена, и заканчивается непосредственно перед ai+1 в противном случае. Аналогично луч L2 (D, i) определяется как часть луча L2 (D), которая начинается на bi и заканчивается той же вершиной, что и луч L2 (D), если вершина bi+1 не определена, и заканчивается непосредственно перед bi+1 в противном случае. Для произвольных связного подграфа D графа An и i > 1 положим: w2i−1 (D) — это слово, полученное при последовательном выписывании вершин луча L1 (D, i) от начала и до конца; w2i (D) — слово, полученное при последовательном выписывании вершин луча L2 (D, i) от начала и до конца. При помощи теоремы 4.2 можно произвольное (Root, Root)-слово выписывать по буквам. ЛЕММА 5.9. Для произвольного связного подграфа D графа An единственное (Root, Root)-слово состава D представимо в виде w(D) = = Z(D)w1 (D) · . . . · wm (D) (m > 0). ЛЕММА 5.10. Пусть D, F — произвольные различные связные подграфы графа An c одним центром. Тогда равносильны следующие условия: 1) w(D) > w(F ); 2) слово wk (D) является началом слова wk (F ) для наименьшего целого положительного числа k такого, что wk (D) 6= wk (F ) (возможно, что слово wk (D) пусто). На множестве ассоциативных слов введём следующее бинарное отношение: x≺y, если после исключения последней буквы в слове y получим собственное начало y˜ слова x, причём буква, следующая в слове x сразу после подслова y˜, больше последней буквы слова y. Множество (notRoot, Root)-слов u, имеющих два вхождения своей старшей буквы таких, что r(u) ≺ l(u), обозначим через S2 (n; ≺). ЗАМЕЧАНИЕ 5.11. Для любого слова u из S2 (n; ≺) справедливо r(u) ≺ l(u).
146
А. Н. Корюкин В самом деле, рассмотрим u из S2 (n; ≺). В этом случае его подслова
l(u), r(u) не пересекаются (замеч. 5.7), т. е. u = l(u) · r(u). Для удобства положим v = l(u), w = r(u). По условию w ≺ v. Обозначим через w1 начало слова w наименьшей длины такое, что w1 ≺ v. Слово w (поскольку оно правильное) начинается со своей старшей буквы и не имеет других её вхождений. Значит, любое начало слова u — правильное. В частности, w1 — правильное, причём по построению w1 < v. Отсюда слово vw1 — правильное (утвержд. 2 леммы 1.3), при этом состав |vw1 | слова vw1 не может быть корнем, т. к. слово vw1 имеет два вхождения буквы p (v, w1 начинаются на одну и ту же букву p). Все собственные правильные подслова (notRoot, Root)-слова u имеют корневой состав. Значит, подслово vw1 слова u не является собственным, т. е. u = vw1 . Поэтому w = w1 , u ≺ v. С помощью леммы 5.10 и замечания 5.11 получим характеризацию множества S2 (n; ≺). ЛЕММА 5.12. Элементы из S2 (n; ≺) — это в точности слова − → ˇ w(D)·w( D ∗ ), где D — связный подграф графа An , старшая вершина котоˇ — граф, полученный из D исключением рого имеет в нём две смежных, D − → вершины-конца младшего луча, D ∗ — наибольший связный подграф графа D, вершинами которого являются старшая вершина графа D и вершины, имеющие не меньшую вершину на младшем луче графа D. Опять рассмотрим (notRoot, Root)-слово u, имеющее два вхождения своей старшей буквы. Тогда u = vw, где v = l(u), w = r(u) (замеч. 5.7). Рассмотрим теперь случай, когда w ⊀ v. Поскольку w < v (из правильности слова vw), слово v является началом слова w. Множество таких (notRoot, Root)-слов u обозначим S2 (n; <). ЗАМЕЧАНИЕ 5.13. Для любого элемента u из S2 (n; <) cлово l(u) получается из слова r(u) исключением последней буквы. ЛЕММА 5.14. Элементы из S2 (n; <) — это в точности слова e · w(D), где D — связный подграф графа An , имеющий не менее двух w(D) e — граф, полученный из D исключением конца старшего луча вершин, D графа D.
Базисы Грёбнера–Ширшова алгебры Ли An
147
ЗАМЕЧАНИЕ 5.15. Для произвольного упорядочения вершин графа Дынкина An множество (notRoot, Root)-слов является объединением множеств S10 (n), S1< (n), S1= (n), S1> (n), S2 (n; ≺), S2 (n; <). Автор благодарит Л. А. Бокутя за постановку вопроса, постоянное внимание и поддержку, а также А. Е. Гутмана за технические консультации и помощь в работе с компьютером.
ЛИТЕРАТУРА 1. L. A. Bokut, A. A. Klein, Serre relations and Gr¨obner–Shirshov bases for simple Lie algebras I, Int. J. Algebra Comput., 6, N 4 (1996), 389—400. 2. А. И. Ширшов, О свободных кольцах Ли, Матем. сборник, 45(87), (1958), 113—122. 3. M. Lothaire, Combinatorics on words (Encycl. Math. Appl., 17), Reading, Massachusetts, etc., Addison-Wesley, 1983. 4. C. Reutenauer, Free Lie algebras (London Math. Soc. Monogr., New Ser., 7), Oxford, Clarendon Press, 1993. 5. P. Lalonde, A. Ram, Standard Lyndon bases of Lie algebras and enveloping algebras, Trans. Am. Math. Soc., 347, N 5 (1995), 1821—1830. 6. J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory (Grad. Texts Math., 9), New York, Heidelberg, Berlin, Springer-Verlag, 1972.
Поступило 22 марта 2004 г. Адрес автора: КОРЮКИН Анатолий Николаевич, Институт математики СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, РОССИЯ. e-mail:
[email protected]