Лабораторные работы по сопротивлению материалов

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Ульяновский государственный технический университет

В. К. МАНЖОСОВ

ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ Часть 1

Ульяновск 2006

УДК 539.3 (076) ББК 30.121 я7 М 23 Рецензент канд. техн. наук, доцент И. Н. Карпунина. Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета.

Манжосов В. К. М 23 Лабораторные работы по сопротивлению материалов. Ч. 1: методические указания. − Ульяновск: УлГТУ, 2006. – 28 с. Методические указания составлены в соответствии с учебными программами по дисциплине «Сопротивление материалов» для направлений «Машиностроительные технологии и оборудование», «Транспортные машины и транспортнотехнологические комплексы», «Эксплуатация транспорта и транспортного оборудования», «Строительство». Методические указания предназначены для студентов при изучении дисциплины «Сопротивление материалов» и выполнении лабораторного практикума. Работа подготовлена на кафедре теоретической и прикладной механике.

УДК 539.3(076) ББК 38.121 я7 Учебное издание МАНЖОСОВ Владимир Кузьмич ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ ЧАСТЬ 1 Методические указания Редактор О. А. Семёнова Подписано в печать 11.09.2006. Формат 60×84/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,63. Тираж 150 экз. Заказ . Ульяновский государственный технический университет, 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 32. Типография УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, ул. Сев. Венец, д. 32.

© Манжосов В. К., 2006 © Оформление. УлГТУ, 2006 2

СОДЕРЖАНИЕ Введение ................................................................................................................. 4 Основные правила по технике безопасности при выполнении лабораторных работ по сопротивлению материалов ......................................... 4 Лабораторная работа № 2 «Тарировка датчиков омического сопротивления» ................................................................................. 5 Лабораторная работа № 3 «Определение модуля упругости стали» ..............11 Лабораторная работа № 4 «Определение коэффициента поперечной деформации» .....................................................................................15 Лабораторная работа № 9 «Определение напряжений при поперечном изгибе балки» ...........................................................................19 Лабораторная работа № 10 «Определение перемещений при изгибе балки» ..................................................................................................24

3

ВВЕДЕНИЕ Изучение курса «Сопротивление материалов» предполагает проведение цикла лабораторных работ по различным разделам дисциплины. Рабочими программами дисциплины для различных специальностей предусмотрено выполнение лабораторных работ, связанных с ознакомлением метода тензометрирования для определения напряжений и деформаций, с изучением процесса нагружения стержня при растяжении, прямом поперечном изгибе, косом изгибе, внецентренном растяжении, определением критической силы при потере продольной устойчивости стержня, определением опорной реакции статически определимой балки. Физические опыты могут наглядно продемонстрировать то, что замечательные гипотезы сопротивления материалов и полученные на их основе расчетные зависимости адекватно описывают процессы нагружения и деформирования стержней, что позволяет эффективно использовать эти расчетные зависимости в инженерной практике. Основные правила по технике безопасности при выполнении лабораторных работ по сопротивлению материалов – – – – – – – – – – – – – –

Перед началом работы необходимо: проверить исправность заземлений оборудования, проверить исправность работы электромоторов, при необходимости замены предохранителей пользоваться диэлектрическими перчатками и инструментом, одежда не должна иметь длинных пол, концов завязок, которые могут быть захвачены движущимися частями оборудования, длинные волосы должны быть прикрыты головным убором, установку образцов производить только при выключенной машине, перед включением машины убедиться, что никто из присутствующих не находится вблизи движущихся частей машины. Запрещается: включать без разрешения преподавателя рубильники и пусковые кнопки, трогать рычаги и ручки управления машин и приборов, не относящихся к работе, пользоваться заведомо неисправными инструментами и приборами. При несчастном случае: немедленно выключить электрорубильник, оказать первую помощь пострадавшему, сообщить руководителю занятий, вызвать, при необходимости, скорую помощь по телефону 03

4

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 «ТАРИРОВКА ДАТЧИКОВ ОМИЧЕСКОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ» 2.1. Цель работы Ознакомление с электротензометрическим методом измерения деформаций (напряжений) в конструкциях. Опытное определение коэффициентов тензочувствительности датчика омического сопротивления, т. е. тарировка шкалы измерительного прибора в единицах напряжения или деформации. 2.2. Оборудование Работа проводится на специальном стенде, основные элементы которого: балка равного сопротивления изгибу, прибор для измерения деформации ИД-70 и комплект омических тензодатчиков. 2.3. Основные теоретические положения Метод измерения деформаций с помощью датчиков омического сопротивления (тензодатчиков) является одним из основных экспериментальных методов исследования деформаций и напряжений в деталях машин и различных конструкциях. Сущность этого метода заключается в использовании линейной зависимости между величиной омического сопротивления проводника и его удлинением. При этом проводник в виде решетки из проволоки наклеивается на исследуемую деталь и деформируется вместе с ней. Устройство проволочного датчика для измерения деформаций показано на рис. 2.1. К полоске тонкой бумаги (подложке) приклеивается тонкая проволока диаметром 0,02 – 0,04 мм из материала с высоким омическим сопротивлением, уложенная в виде решетки. К концам проволоки привариваются или припаиваются концы выводных проводников диаметром 0,15 – 0,3 мм. Верхняя часть решетки защищена слоем приклеенной папиросной бумаги.

Рис. 2.1

Для обеспечения полимеризации клеевого слоя датчик подвергается термообработке. Подложкой датчик приклеивается к поверхности детали, де5

формации которой определяются. Изменение омического сопротивления датчика при деформации детали регистрируется измерительной аппаратурой. Базой датчика является длина петли проволоки. Наиболее распространены датчики с базой 5, 10, 20 мм и сопротивлением R=50–200 Ом. Наклеенный на деталь тензодатчик деформируется вместе с деталью. При этом изменяется длина базы датчика и размеры поперечного сечения проволоки. Это вызывает изменение омического сопротивления датчика. При растяжении проволоки сопротивление датчика увеличивается, при сжатии – уменьшается. Относительное удлинение ε 0 =

Δl0 участка детали, совпадающего с l0

датчиком, взятое в направлении базы датчика, связано с величиной изменения омического сопротивления ∆R формулой ΔR = γ ⋅ε0 , R где R – начальное сопротивление датчика, γ – коэффициент тензочувствительности датчика. Аппаратура для электрического измерения деформаций состоит из датчика и регистрирующего прибора. Электротензометрический метод позволяет размещать датчики в труднодоступных местах, на значительном расстоянии от регистрирующего прибора, измерять статические и динамические деформации в движущихся и неподвижных частях конструкций. Для практического применения коэффициент тензочувствительности датчика связывают с ценой деления измерительного прибора. Производится тарировка, т. е. определение цены деления измерительного прибора в единицах напряжения или деформации. Для тарировки используется тарировочные балки консольные или двухопорные. Коэффициент тензочувствительности определяется по напряжениям или деформациям. Консольная тарировочная балка равного сопротивления приведена на рис. 2.2. Ширина балки выбрана так, что во всех поперечных сечениях наибольшие нормальные напряжения, возникающие от силы Р, одинаковы.

Наибольшие нормальные напряжения в сечении определяются по формуле σ max =

Mz , WZ

(2.1)

где M z = – P⋅ x – значение изгибающего момента в сечении, положение которого определяется координатой х (эпюра изгибающего момента приведена на рис. 2.2); WZ =

bx ⋅ h 2 – момент сопротивления сечения относительно ней6 6

тральной оси, bx =

b⋅ x – закон изменения ширины сечения, b – ширина сеl

чения в заделке.

Рис. 2.2 Подставив в (2.1) выражения M z и Wz, получим

σ max =

P⋅x 6⋅ P ⋅l = . b ⋅ x h2 b ⋅ h2 ⋅ l 6

(2.2)

Относительное удлинение на поверхности стержня (максимальную линейную деформацию в направлении оси стержня) можно определить из закона Гука σ 6⋅ P ⋅l ε = max = . (2.3) E E ⋅b ⋅ h2 Как видим, из формул (2.2) и (2.3) следует, что во всех сечениях максимальные напряжения и деформации одинаковы.

7

Пусть ∆Т приращение показания тензодатчика при увеличении нагрузки на ∆Р. От нагрузки ∆P максимальное напряжение в сечении по формуле (2.2) равно 6 ⋅ ΔP ⋅ l σ max = . (2.4) b ⋅ h2 Определим коэффициент тензочувствительности по напряжениям γσ, т. е. напряжение, соответствующее приращению показания измерительного прибора, равному единице σ γσ = . (2.5) ΔT Аналогично по деформациям

определяется

γε =

ε ΔT

коэффициент =

тензочувствительности

γ 6 ⋅ ΔP ⋅ l = σ . 2 E E ⋅ b ⋅ h ⋅ ΔT

(2.6)

При измерении деформаций (напряжений) с помощью омических датчиков используется мостовая схема. На рис. 2.3 представлена простейшая мостовая схема. Мост состоит из сопротивлений R1, R2, R3, R4 и RРЕГ., из которых R1 – сопротивление измерительного датчика; R2, R3 и R4 – постоянные проволочные сопротивления; RРЕГ. – переменное сопротивление для балансировки моста. К одной из диагоналей моста подведено питающее напряжение UПИТ., а к другой подключен измерительный прибор.

Рис. 2.3

Обычно сопротивления R3 и R4 подбирают одинаковыми, а в качестве сопротивления R2 (компенсационный датчик) используют такой же датчик, как и R1. Используя сопротивление RРЕГ., мост балансируется, при этом отсутствует ток в измерительном приборе. Вследствие деформации со8

противление наклеенного на деталь датчика изменится на ∆R и станет равным R1+∆R, через прибор моста пойдет ток, пропорциональный изменению сопротивления датчика, а значит, и деформации. Определение напряжений (деформаций) производится нулевым методом. Перед нагружением детали аппаратура должна быть прогрета, мост сбалансирован. Для этого по истечении 5–7 минут после включения изменяют соотношение сопротивлений R3 и R4, перемещая контакт реохорда RРЕГ. до тех пор, пока стрелка миллиамперметра не покажет ноль. По шкале прибора берется первый отсчет Т. Далее нагружают балку, которая деформируется вместе с наклеенным на ее поверхности рабочим датчиком. Сопротивление датчика R1 меняется. Балансировка моста нарушается, стрелка регистрирующего прибора отклоняется от нуля. Производится вторичная балансировка моста перемещением ручки реохорда до нулевого показания миллиамперметра. Записывается второй отсчет Т по шкале реохорда. Разность показаний ∆Т пропорциональна деформации датчика, а, следовательно, и деформации тарировочной балки в направлении наклеенного датчика. 2.4. Постановка опыта 1. На верхнюю поверхность тарировочной балки наклеивается два проволочных датчика. 2. Каждый из датчиков подключается к прибору ИД-70, уравновешивается мост, со шкалы реохорда снимаются показания датчиков Т1 и Т2 и заносятся в таблицу. 3. Проводятся три нагружения тарировочной балки с шагом по нагрузке ∆Р = 9,81 Н. На каждом шаге нагружения уравновешивается мост и со шкалы реохорда снимаются показания датчиков Т1 и Т2.

2.5. Бланк отчета 1. Цель работы. 2. Схема измерительного моста. 3. Схема тарировочной балки. 4. Размеры поперечного сечения балки

b=

h=

(м),

(м).

5. Модуль упругости материала тарировочной балки

E = 2,1 · 105 МПа. 6. Максимальные напряжения в сечениях балки от нагрузки ∆Р = 9,81 Н,

9

6 ⋅ ΔP ⋅ l = b ⋅ h2

σ=

(МПа).

7. Таблица результатов опыта Масса груза, кг 0 1 2 3

Показания датчиков Т2 Т1

∆Р(Н)

Сила Р, Н 0 9,8 19,6 29,4

Приращение показаний ∆Т1 ∆Т2

9,8 9,8 9,8

8. Средние приращения показаний тензодатчиков ΔTср. =

∑ Δ Т + ∑ ΔТ 1

6

2

.

9. Коэффициенты тензочувствительности по напряжениям и деформациям

γσ =

σ ΔTср.

=

(МПа),

γε =

γσ E

=

.

2.6. Контрольные вопросы 1. Как устроены проволочные датчики? 2. Какими положительными качествами обладают методы электротензометрирования? 3. Как устроена мостовая схема? 4. Назовите основные характеристики тензодатчиков? 5. Какая балка называется балкой равного сопротивления? 6. Как производится тарировка измерительной аппаратуры? 7. Запишите закон Гука при растяжении. 8. Для чего в измерительный мост ставится компенсационный датчик? 9. Как определяются напряжения и деформации электротензометрическим методом? 2.7. Библиографический список 1. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов / В. И. Феодосьев. – М. : Высшая школа, 1989. – 624 с. 10

2. Дарков А. В. Сопротивление материалов / А. В. Дарков, Г. С. Шпиро. – М. : Высшая школа, 1989. – 624 с. 3. Грибов А. П. Сопротивление материалов: сборник лабораторных работ/ А. П. Грибов, А. М. Стахорский, С. В. Черная. – Ульяновск: УлПИ, 1989. – 68 с. 4. Манжосов В. К. Лабораторные работы по сопротивлению материалов. Часть 1 / В. К. Манжосов. – Ульяновск: УлГТУ, 2004. – 28 с.

11

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 «ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ СТАЛИ» 3.1. Цель работы Опытная проверка закона Гука при растяжении и определение модуля упругости стали.

3.2. Оборудование Оборудование выполняется на универсальной испытательной машине УМ-5, которая предназначена для испытания образцов на растяжение, сжатие и изгиб при статистическом нагружении. Для измерения упругих деформаций образца применяется электротензометрический метод. Тензодатчики наклеиваются на поверхность образца. Для измерения деформаций используется прибор ИД-70.

3.3. Основные теоретические положения Диаграмма растяжения многих металлов (рис. 3.1) имеет линейный участок, в пределах которого справедлив закон Гука.

Рис. 3.1 Закон Гука при центральном растяжении – сжатии описывается формулой

σ = Е ⋅ε

(3.1)

,

Р Δl – нормальное напряжение в поперечном сечении, ε = – отА l носительное удлинение (линейная деформация в направлении оси стержня), Р – нагрузка, растягивающая образец, Δl – удлинение образца, А – площадь поперечного сечения образца, E – модуль упругости металла (модуль Юнга).

где σ =

12

Формулу (3.1) можно привести к виду Рl . (3.2) EА Из формулы (3.2) видно, что при заданной нагрузке P, чем больше произведение EА, тем меньше удлинение образца. Величина EА называется продольной жесткостью поперечного сечения стержня при растяжении. Из формулы (3.1) можно определить модуль упругости при растяжении, если σ и ε известны Δl =

Ε=

σ . ε

(3.3)

3.4. Постановка опыта На образец прямоугольного поперечного сечения наклеиваются датчики омического сопротивления. Датчики располагаются в продольном направлении по обе стороны от оси образца (рис.3.2).

Рис. 3.2 Образец закрепляется в захватах испытательной машины. Проводится три нагружения образца с шагом по нагрузке ΔΡ . На каждом шаге нагружения, а также при отсутствии нагрузки снимаются показания второго и девятого тензодатчиков. Из лабораторной работы № 2 известно, что если ΔΤ – приращение показания тензодатчика при увеличении нагрузки на силу ΔΡ , то продольная деформация равна ε = γ ε ⋅ ΔТ , (3.4) где γ ε – коэффициент тензочувствительности по деформациям. Формула (3.3) с учетом (3.4) приводится к виду Р . (3.5) Е= А ⋅ γ ε ⋅ ΔТ

13

Учитываем, что ΔТ ср. =

∑ ΔТ 2 + ∑ ΔТ 9

, 6 где ΔТ 2 , ΔТ 9 – приращения показаний второго и девятого датчиков. Расчетная формула (3.5) принимает вид ΔР Е= . А ⋅ γ ε ⋅ ΔТ ср.

(3.6)

Из формулы закона Гука можно показать, что модуль упругости первого рода равен тангенсу угла наклона прямолинейного участка диаграммы (рис. 3.1) tg α =

σ =Е. ε

Из закона Гука также следует, что равным приращениям нагрузки должны соответствовать равные приращения показаний тензодатчиков. Разброс приращений показаний датчиков происходит вследствие погрешностей эксперимента. Значение модуля упругости для некоторых материалов приведены в таблице Материал Сталь Медь Алюминий Чугун ( серый )

Е ( МПа ) ( 2,0 – 2,1 ) × 105 1,2 × 105 0,7 × 105 0,7 × 105

3.5. Бланк отчета

1. 2. 3. 4. 5.

Цель работы. Схема образца с тензодатчиками. Площадь образца с тензодатчиками. А = b ⋅ h = Коэффициент тензочувствительности γ ε = Таблица результатов опыта Нагрузка Р(Н)

Приращение нагрузки Δ Р (Н)

Показания датчиков Т2

6. Среднее приращение показаний датчиков 14

Т9

(м 2 )

Приращения показаний

Δ Т2

Δ Т9

ΔТ ср. =

∑ ΔТ 2 + ∑ ΔТ 9 6

=

.

7. Модуль упругости стали Е=

ΔΡ = А ⋅ γ ε ⋅ ΔТ ср.

( МПа ).

3.6. Контрольные вопросы

1. Что называется деформацией? 2. Какие деформации называются упругими? 3. Объясните устройство и принцип действия датчика омического сопротивления. 4. Какие величины можно измерить при помощи датчика омического сопротивлении? 5. Записать и объяснить выражение закона Гука при растяжении. 6. Чем подтверждается справедливость закона Гука? 7. Что характеризуется модуль упругости? 8. Что называется жесткостью стержня? 9. Почему датчики омического сопротивления устанавливаются с двух сторон от оси сечения? 10. Какую размерность имеет модуль упругости стали? 3.7. Библиографический список

5. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов / В. И. Феодосьев. – М.: Высшая школа, 1989. – 624 с. 6. Дарков А. В. Сопротивление материалов / А. В. Дарков, Г. С. Шпиро. – М.: Высшая школа, 1989. – 624 с. 7. Александров А. В. Сопротивление материалов / А. В. Александров, В. Д. Потапов, Б. П. Державин. – М.: Высшая школа, 1995. – 540 с. 8. Грибов А. П. Сопротивление материалов: сборник лабораторных работ / А. П. Грибов, А. М. Стахорский, С. В. Черная. – Ульяновск: УлПИ, 1989. – 68 с. 9. Манжосов В. К. Лабораторные работы по сопротивлению материалов. Часть 1 / В. К. Манжосов. – Ульяновск: УлГТУ, 2004. – 28 с.

15

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 «ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ УПРУГОСТИ СТАЛИ» 3.1. Цель работы Опытная проверка закона Гука при растяжении и определение модуля упругости стали.

3.2. Оборудование Оборудование выполняется на универсальной испытательной машине УМ-5, которая предназначена для испытания образцов на растяжение, сжатие и изгиб при статистическом нагружении. Для измерения упругих деформаций образца применяется электротензометрический метод. Тензодатчики наклеиваются на поверхность образца. Для измерения деформаций используется прибор ИД-70.

3.3. Основные теоретические положения

Диаграмма растяжения многих металлов (рис. 3.1) имеет линейный участок, в пределах которого справедлив закон Гука.

Рис. 3.1 Закон Гука при центральном растяжении – сжатии описывается формулой

σ = Е ⋅ε

(3.1)

,

Р Δl – нормальное напряжение в поперечном сечении, ε = – отА l носительное удлинение (линейная деформация в направлении оси стержня), Р – нагрузка, растягивающая образец, Δl – удлинение образца, А – площадь поперечного сечения образца, E – модуль упругости металла (модуль Юнга).

где σ =

16

Формулу (3.1) можно привести к виду Рl . (3.2) EА Из формулы (3.2) видно, что при заданной нагрузке P, чем больше произведение EА, тем меньше удлинение образца. Величина EА называется продольной жесткостью поперечного сечения стержня при растяжении. Из формулы (3.1) можно определить модуль упругости при растяжении, если σ и ε известны Δl =

Ε=

σ . ε

(3.3)

3.4. Постановка опыта

На образец прямоугольного поперечного сечения наклеиваются датчики омического сопротивления. Датчики располагаются в продольном направлении по обе стороны от оси образца (рис.3.2).

Рис. 3.2 Образец закрепляется в захватах испытательной машины. Проводится три нагружения образца с шагом по нагрузке ΔΡ . На каждом шаге нагружения, а также при отсутствии нагрузки снимаются показания второго и девятого тензодатчиков. Из лабораторной работы № 2 известно, что если ΔΤ – приращение показания тензодатчика при увеличении нагрузки на силу ΔΡ , то продольная деформация равна ε = γ ε ⋅ ΔТ , (3.4) где γ ε – коэффициент тензочувствительности по деформациям. Формула (3.3) с учетом (3.4) приводится к виду Р Е= . (3.5) А ⋅ γ ε ⋅ ΔТ

17

Учитываем, что ΔТ ср. =

∑ ΔТ 2 + ∑ ΔТ 9

, 6 где ΔТ 2 , ΔТ 9 – приращения показаний второго и девятого датчиков. Расчетная формула (3.5) принимает вид ΔР Е= . А ⋅ γ ε ⋅ ΔТ ср.

(3.6)

Из формулы закона Гука можно показать, что модуль упругости первого рода равен тангенсу угла наклона прямолинейного участка диаграммы (рис. 3.1) tg α =

σ =Е. ε

Из закона Гука также следует, что равным приращениям нагрузки должны соответствовать равные приращения показаний тензодатчиков. Разброс приращений показаний датчиков происходит вследствие погрешностей эксперимента. Значение модуля упругости для некоторых материалов приведены в таблице Материал Сталь Медь Алюминий Чугун ( серый )

Е ( МПа ) ( 2,0 – 2,1 ) × 105 1,2 × 105 0,7 × 105 0,7 × 105

3.5. Бланк отчета

1. 2. 3. 4. 5.

Цель работы. Схема образца с тензодатчиками. Площадь образца с тензодатчиками. А = b ⋅ h = Коэффициент тензочувствительности γ ε = Таблица результатов опыта Нагрузка Р(Н)

Приращение нагрузки Δ Р (Н)

Показания датчиков Т2

6. Среднее приращение показаний датчиков 18

Т9

(м 2 )

Приращения показаний

Δ Т2

Δ Т9

ΔТ ср. =

∑ ΔТ 2 + ∑ ΔТ 9 6

=

.

7. Модуль упругости стали Е=

ΔΡ = А ⋅ γ ε ⋅ ΔТ ср.

( МПа ).

3.6. Контрольные вопросы

11. Что называется деформацией? 12. Какие деформации называются упругими? 13. Объясните устройство и принцип действия датчика омического сопротивления. 14. Какие величины можно измерить при помощи датчика омического сопротивлении? 15. Записать и объяснить выражение закона Гука при растяжении. 16. Чем подтверждается справедливость закона Гука? 17. Что характеризуется модуль упругости? 18. Что называется жесткостью стержня? 19. Почему датчики омического сопротивления устанавливаются с двух сторон от оси сечения? 20. Какую размерность имеет модуль упругости стали? 3.7. Библиографический список

10. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов / В. И. Феодосьев. – М.: Высшая школа, 1989. – 624 с. 11. Дарков А. В. Сопротивление материалов / А. В. Дарков, Г. С. Шпиро. – М.: Высшая школа, 1989. – 624 с. 12. Александров А. В. Сопротивление материалов / А. В. Александров, В. Д. Потапов, Б. П. Державин. – М.: Высшая школа, 1995. – 540 с. 13. Грибов А. П. Сопротивление материалов: сборник лабораторных работ / А. П. Грибов, А. М. Стахорский, С. В. Черная. – Ульяновск: УлПИ, 1989. – 68 с. 14. Манжосов В. К. Лабораторные работы по сопротивлению материалов. Часть 1 / В. К. Манжосов. – Ульяновск: УлГТУ, 2004. – 28 с.

19

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9 «ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ БАЛКИ»

9.1. Цель работы Экспериментальная проверка формулы для определения нормальных напряжений в поперечном сечении балки при поперечном изгибе.

9.2. Оборудование Работа выполняется на специальной лабораторной установке для испытания на изгиб балок, шарнирнозакрепленных на опорах. Для измерений напряжений применяется прибор ИД-70 и проволочные датчики омического сопротивления.

9.3. Основные теоретические положения

Поперечным изгибом называется такой вид деформации балки, при котором в поперечных сечениях действуют изгибающий момент M z и поперечная сила Q y . Остальные силовые факторы равны нулю (рис. 9.1).

Рис. 9.1 В поперечных сечениях балки действуют нормальные и касательные напряжения. Эпюры нормальных и касательных напряжений показаны на рис. 9.2. Нормальные напряжения в поперечном сечении определяются по формуле

20

− Мz ⋅ y, (9.1) Jz где J z – момент инерции относительно нейтральной оси z , y – координата точки сечения, в которой определяется напряжение.

σ=

Рис. 9.2 Максимальные нормальные напряжения (рис. 9.2) возникают в точках сечения, наиболее удаленных от нейтрального слоя и равны

σ мак =

ΜΖ , WΖ

(9.2)

где W z – осевой момент сопротивления сечения. Касательные напряжения в поперечном сечении определяются по формуле Журавского Q y ⋅ S z* τ = , (9.3) bу ⋅ J z где S *z – статический момент отсеченной части сечения относительно нейтральной оси; b у – ширина сечения в месте горизонтального среза (горизонтальный срез проводится параллельно плоскости XZ через точку сечения, в которой определяется напряжение). Распределение касательных напряжений по высоте прямоугольного сечения показано на рис. 9.2. Сравнение теоретического и экспериментального значений напряжений проводится для двухопорной балки (рис. 9.3) в сечениях 1 – 1 и 2 – 2. Максимальное теоретическое значение напряжения в сечениях 1 – 1 и 2 – 2 равно

21

c M 2 = 3Pc . σ max = z = Wz bh 2 bh 2 6 P⋅

(9.4)

Экспериментальные значения σ max в сечениях 1 – 1 и 2 – 2 определяются электротензометрическим методом.

Рис. 9.3 Если ΔT приращение показаний датчиков от нагрузки P , то

σ max = γ σ ⋅ ΔT ,

(9.5)

σ max = γ σ ⋅ ΔTср ,

(9.6)

где γ σ – коэффициент тензочувствительности по напряжениям. Для повышения точности эксперимента проводится несколько нагружений образца с постоянным шагом по нагрузке ΔP и определяется σ max от действия ΔP . Формула (9.5) принимает вид

где ΔTср – среднее приращение показаний тензодатчиков от нагрузки ΔP . Так при трех ступенях нагружения ΔTср =

∑ ΔT + ∑ ΔT 1

2

6

22

,

где ΔT1 , ΔT2 – приращения показаний первого и второго датчиков. 9.4. Постановка опыта

На балку наклеиваются два тензодатчика (рис. 9.3). С помощью прибора ИД-70 снимаются показания датчиков без нагрузки. Проводится три нагружения балки сосредоточенной силой, которую создает сила тяжести груза массой в 1 кг, 2 кг, 3 кг. Сила тяжести приложена в середине пролета балки, шагом по нагрузке ΔP = 9,81 Н. На каждом шаге нагружения снимаются показания тензодатчиков. Показания тензодатчиков заносятся в таблицу. 9.5. Бланк отчета

1. Цель работы. 2. Схема двухопорной балки. (м) , b= (м), 3. Размеры и геометрические характеристики балки: l = 2 3 bh bh = (м), с= (м), J z = = (м 4 ), Wz= (м 3 ). h= 12 6 4. Теоретическое значение σ max в сечениях 1 – 1 и 2 – 2 от нагрузки ΔP ΔP ⋅c Mz 3ΔP ⋅ c теор 2 = (МПа) . = = σ max = 2 Wz bh 2 bh 6 5. Коэффициент тензочувствительности по напряжениям

γ σ = (МПа/ед. шкалы). 6. Таблица результатов опыта Масса груза, кг 0 1 2 3

Сила, Р(Н) 0 9,8 19,6 29,4

Δ P( H )

Т1

ΔT1

Т1

ΔT2

9,8 9,8 9,8

7. Среднее приращение показаний тензодатчиков при трех ступенях нагружения ∑ ΔT1 + ∑ ΔT2 = ΔTср = . 6 8. Экспериментальное значение σ max в сечениях 1 – 1 и 2 – 2 от нагрузки ΔP эксп σ max = γ σ ⋅ ΔTср =

23

(МПа).

9. Сопоставление теоретического и экспериментального значений напряжений теор эксп − σ max σ max (%) . Δσ = ⋅ 100 % = теор σ max 9.6. Контрольные вопросы

1. Какой вид деформации балки называется поперечным изгибом ? 2. Как определяются нормальные напряжения в поперечном сечении при изгибе балки ? 3. Как определяются касательные напряжения в поперечном сечении при изгибе балки ? 4. Что такое нейтральный слой и нейтральная ось и как они расположены ? 5. Как определяются геометрические характеристики поперечного сечения и какую они имеют размерность ? 6. В каких точках поперечного сечения возникают при изгибе максимальные нормальные напряжения? 7. В каких точках поперечного сечения возникают при изгибе максимальные касательные напряжения? 8. Как определяются напряжения электротензометрическим методом? 9. Чем объясняется расхождение теоретического и экспериментального значений нормальных напряжений? 9.7. Библиографический список

15. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов / В. И. Феодосьев. – М.: Высшая школа, 1989. – 624 с. 16. Дарков А. В. Сопротивление материалов / А. В. Дарков, Г. С. Шпиро. – М.: Высшая школа, 1989. – 624 с. 17. Александров А. В. Сопротивление материалов / А. В. Александров, В. Д. Потапов, Б. П. Державин. – М.: Высшая школа, 1995. – 540 с. 18. Грибов А. П. Сопротивление материалов: сборник лабораторных работ / А. П. Грибов, А. М. Стахорский, С. В. Черная. – Ульяновск: УлПИ, 1989. – 68 с. 19. Манжосов В. К. Лабораторные работы по сопротивлению материалов. Часть 1 / В. К. Манжосов. – Ульяновск: УлГТУ, 2004. – 28 с. 20. Манжосов В. К. Расчет стержней при поперечном изгибе: методические указания / В. К. Манжосов. – Ульяновск: УлГТУ, 1996. – 84 с. 21. Манжосов В. К. Расчет стержней при поперечном изгибе: методические указания / В. К. Манжосов. – Ульяновск: УлГТУ, 2001. – 30 с. 22. Манжосов В. К. Сопротивление материалов. Основные положения и примеры решения заданий. Часть 1: учебное пособие / В. К. Манжосов, О. Д. Новикова. – Ульяновск: УлГТУ, 2004. – 136 с. 24

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10 «ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ БАЛКИ» 10.1. Цель работы

Опытное определение прогибов балки и сравнение их с теоретическими значениями. 10.2. Оборудование

Работа проводится на специальной установке, схема которой приведена на рис. 10.1. Установка состоит из шарнирно-закрепленной балки (1), гиревого подвеса (2), основания (3), двух шарнирных опор (4) и набора грузов. Для измерения прогибов применяется индикатор часового типа (5). Индикатор имеет две шкалы: малую с ценой деления 1 мм и большую – с ценой деления 0,01 мм.

Рис. 10.1

10.3. Основные теоретические положения Рассмотрим деформацию балки прямоугольного поперечного сечения, закрепленную на двух шарнирных опорах, на которую действует сосредоточенная сила P (рис. 10.2).

25

Рис. 10.2 При деформации точки оси балки получают вертикальные перемещения (прогибы), а поперечные сечения поворачиваются на некоторые углы. Пусть С произвольная точка оси балки. Прогиб точки С обозначим через v , а угол поворота сечения , проходящего через точку С оси балки, как θ . В теории изгиба балок прогибы считаются малыми по сравнению с длиной балки, а квадраты углов поворота малыми по сравнению с единицей.

Прогибы и углы поворота сечений связаны зависимостью ∂v( x) . ∂x

θ (x ) =

(10.1)

Между кривизной оси изогнутой балки, жесткостью и изгибающим моментом существует зависимость

1

ρ где

1

ρ

=

Мz , EJ z

(10.2)

– кривизна изогнутой оси балки, M z – изгибающий момент, EJ z – из-

гибная жесткость поперечного сечения. Формула (10.2) получена в предположении выполнения гипотезы плоских сечений и справедливости закона Гука при растяжении. По гипотезе плоских сечений: поперечные сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации. Из зависимости (10.2) с использованием исходных гипотез и выражения для кривизны изогнутой оси балки выводится дифференциальное уравнение упругой линии

Mz ∂ 2v = . 2 ∂x EJ z

(10.3)

Результат интегрирования дифференциального уравнения для балки (рис. 10.3), нагруженной различными видами нагрузок, можно представить в виде универсального уравнения упругой линии. EJ v

=

EJ v0 + EJ θ 0 x + М ( x − a ) + P( x − b) − q ( x − c) + q( x − d ) 2

3

2!

I

4

3!

II

4!

III

26

4!

IY

4

.

Y

(10.4)

В уравнении (10.4) v0 и θ 0 – прогиб и угол поворота в начале координат (начальные параметры). Чтобы получить аналитическое уравнение упругой линии на каком-либо участке, в универсальном уравнении нужно сохранить члены, стоящие слева от вертикальной черты с номером этого участка. Начальные параметры v0 и θ 0 определяются из граничных условий.

Рис. 10.3

Определим методом начальных параметров прогиб середины пролета балки, изображённой на рис.10.1. Из уравнений равновесия балки реакции в опорах А и В равны RA = RB =

P . 2

Универсальное уравнение (10.4) принимает вид l ( x − )3 x 2 . EJ θ 0 x + R A −P 3! 3! 3

EJ v

=

EJ v0 +

I

(10.5)

II

Граничные условия: при x = 0 y = 0 , при x = l y = 0. Из граничных условий Pl 2 Pl 2 3Pl 2 − = – . EJ θ 0 = EJ v0 = 0, 48 12 48 Прогиб середины пролета по уравнению (10.5) равен EJ v =

3 l – Pl 2 2 48

3

3

Pl P l . + = – 2 48 48

27

Для определения опытного значения прогиба балки в середине пролета проводятся три нагружения с постоянным шагом по нагрузке ΔΡ . Прогиб от нагрузки ΔΡ равен ∑ Δy , vэксп. = 3 где Δ v – приращение показаний индикатора на каждом шаге нагружения. 10.4. Постановка опыта

Вращением подвижной шкалы большая стрелка индикатора устанавливается на нуль и записывается показание малой стрелки. Проводится три нагружения балки грузами массой 1 кг, 2 кг, 3 кг, которые создают силу тяжести с шагом по нагрузке ΔΡ = 9,81 Н. На каждом шаге нагружения снимаются показания индикатора. 10.5. Бланк отчета

1. Размеры и необходимые геометрические характеристики балки: l=

(м), b =

(м),

h=

(м),

bh 3 = Jz = 12

(м 4 ).

2. Модуль упругости стали, из которой изготовлена балка, Е=

(МПа).

3. Таблица результатов опыта Р(Н) 0 9,81 19,62 29,43

v (м)

ΔP (H ) 9,81 9,81 9,81

Δv (м)

0

4. Экспериментальное значение прогиба в середине пролета от нагрузки ΔP

vэксп. =

∑ Δv =

(м).

3

5. Теоретическое значение прогиба в середине пролета от нагрузки vтеор.

ΔΡl 3 = = 48 EJ z 28

(м).

6. Сравнение теоретического и экспериментального значений прогиба vтеор. − vэксп. 100 % = vтеор. 10.6. Контрольные вопросы

1. Какие перемещения получают точки оси балки при изгибе? 2. Какая зависимость между прогибами и углами поворота сечений? 3. При каких прогибах и углах поворота справедлива теория изгиба балок? 4. Какие гипотезы приняты в теории изгиба балок? 5. Как записывается дифференциальное уравнение упругой линии? 6. Как записывается универсальное уравнение упругой линии? 7. Что такое начальные параметры и из каких условий они определяются? 8. Почему при экспериментальном определении прогиба проводится несколько нагружений? 9. Чем объясняется расхождение между теоретическим и экспериментальным значениями прогиба? 10.7. Библиографический список

23. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов / В. И. Феодосьев. – М.: Высшая школа, 1989. – 624 с. 24. Дарков А. В. Сопротивление материалов/ А. В. Дарков, Г. С. Шпиро. – М.: Высшая школа, 1989. – 624 с. 25. Александров А. В. Сопротивление материалов / А. В. Александров, В. Д. Потапов, Б. П. Державин. – М.: Высшая школа, 1995. – 540 с. 26. Грибов А. П. Сопротивление материалов: сборник лабораторных работ / А. П. Грибов, А. М. Стахорский, С. В. Черная. – Ульяновск: УлПИ, 1989. – 68 с. 27. Манжосов В. К. Лабораторные работы по сопротивлению материалов. Часть 1 / В. К. Манжосов. – Ульяновск: УлГТУ, 2004. – 28 с. 28. Манжосов В. К. Расчет стержней при поперечном изгибе: методические указания / В. К. Манжосов. – Ульяновск: УлГТУ, 1996. – 84 с. 29. Манжосов В. К. Расчет стержней при поперечном изгибе: методические указания / В. К. Манжосов. – Ульяновск: УлГТУ, 2001. – 30 с. 30. Манжосов В. К. Сопротивление материалов. Основные положения и примеры решения заданий. Часть 1: учебное пособие / В. К. Манжосов, О. Д. Новикова. – Ульяновск: УлГТУ, 2004. – 136 с.

29