Сборник контрольных заданий по курсу векторного и тензорного анализа: Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского Кафедра теоретической физики

Г.М. Максимова, А.И. Малышев, И.Л. Максимов

СБОРНИК КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ПО КУРСУ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

Учебное пособие

Нижний Новгород 2002 -1-

А в т о р ы: И.Л. Максимов, к.ф.-м.н., доцент кафедры теоретической физики ННГУ; А.И. Малышев, ассистент кафедры теоретической физики ННГУ; Г.М. Максимова, к.ф.-м.н., доцент кафедры теоретической физики ННГУ.

Р е ц е н з е н т: А.П. Протогенов, д.ф.-м.н., ведущий научный сотрудник ИПФРАН.

Сборник контрольных заданий по курсу векторного и тензорного анализа: Учебное пособие. / Г.М. Максимова, А.И. Малышев, И.Л. Максимов. – Н. Новгород: издательство ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2002г. – 33с.

Предлагаемое пособие предназначено для проведения практических занятий по курсу векторного и тензорного анализа на физикоматематических факультетах ННГУ. Кроме задач по различным разделам курса, в начале каждой главы приведена краткая выдержка из теории.

© Максимова Г.М., Малышев А.И., Максимов И.Л., 2002.

-2-

Предисловие В настоящий момент было бы просто трудно представить себе многие разделы современной физики – электродинамику, гидродинамику, теорию относительности, теорию упругости и т.д. – без тензорного исчисления. Причиной такой математизации является, безусловно, стремление сделать эти курсы более емкими информационно и более стройными идейно. Для удовлетворения этой потребности в учебном плане в 1971 году тензорное исчисление было выделено в отдельный курс. В данное время, как было и ранее, целью курса остается вовсе не стремление к строгости формулировок, определений и доказательств, а овладение приемами практической работы с тензорными величинами до степени, достаточной для того, чтобы относиться к ним как к обычному рабочему инструменту современного исследователя. При разработке настоящего пособия нами был взят за основу “Сборник задач по основам векторного и тензорного анализа”, написанный в 1976 году сотрудниками кафедры теоретической физики В.М Соколовым, Н.Г. Голубевой и Г.М. Максимовой [1]. Каждая глава пособия начинается краткой справкой из теории. Первая глава служит в основном для повторения операций над векторами. Глава вторая полностью посвящена тензорной алгебре, тензорным полям и доказательству тождеств. В последнюю часть пособия – третью главу – помещены задачи, решение которых направлено на освоение работы в криволинейных координатах, а также упражнения, связанные с интегральными теоремами теории поля. Список литературы, приведенный в конце, содержит основные книги, в которых в той или иной форме содержится изложение основ тензорного исчисления с соответствующими иллюстрациями. Следует отметить, что, несмотря на то, что издана эта литература около 20-40 лет назад, она не потеряла своей актуальности и на настоящий момент.

-3-

I. Векторная алгебра 1. Базисные системы векторов Пусть дано множество элементов V. На этом множестве определим операции сложения и умножения на число следующим образом: • для каждой пары элементов a, b ∈ V множество V содержит их векторную сумму a + b, причем a+b=b+a, a+0=a,

a + (b + c) = (a + b) + c , a + (– a) = 0 ,

где 0 – нулевой элемент, а – a – элемент множества V, обратный элементу а; • если a – любой элемент множества V и α – любое число, то V содержит элемент αa, причем (αβ) a = α (βa) , α (a + b) = αa + αb ,

(α + β) a = αa + βa , 1 a=a.

Укажем в этой связи ряд определений: 1. Любое множество элементов, на котором введены операции сложения и умножения на число, обладающие восемью перечисленными свойствами, образуют линейное (векторное) пространство. При этом элементы множества называют векторами. 2. Размерностью N векторного пространства называется максимальное число линейно независимых векторов. 3. Базисом векторного пространства размерности N называется любая совокупность N линейно независимых векторов. Из всех возможных базисных систем наиболее употребительной является так называемая ортонормированная базисная система – та, в которой вектора базиса ei (i = 1, …, N) обладают следующими свойствами – их скалярное произведение равно нулю в случае, когда сомножители разные, и единице в случае, когда в качестве обоих сомножителей выступает один и тот же вектор. Коротко это записывается так: ⎧0, если i ≠ j ei ⋅ e j = δ ij , где δ ij = ⎨ . (1) ⎩ 1, если i = j

(

)

-4-

Величина δij в уравнении (1) называется символом Кронекера в честь немецкого математика Леопольда Крóнекера (1823-1891). Произвольный вектор а может быть единственным образом разложен по базисным векторам: N

a = ∑ ai ei ,

(2)

i =1

тогда величины ai называются компонентами (координатами) вектора а в данном базисе. В случае ортонормированной базисной системы ai = ( ei ⋅ a ) . (3) Тогда нетрудно получить выражение для скалярного произведения двух векторов, выраженное через их компоненты. Итак, если ai и bi – координаты векторов a и b соответственно, то N

( a ⋅ b ) = ∑ ai bi .

(4)

i =1

Сформулируем полезное правило: Правило Эйнштейна. По всякому индексу, повторяющемуся в выражении два раза, подразумевается суммирование, а знак суммы опускается. С помощью этого правила удается сократить запись многих формул и соотношений. Так, например, скалярное произведение двух векторов приобретает вид: N

( a ⋅ b ) = ∑ ai bi ≡ ai bi .

(5)

i =1

2. Вектор как направленный отрезок. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Для случая N = 3 понятие вектора имеет наглядную геометрическую интерпретацию, а именно под вектором удобно понимать направленный отрезок. Базисом тогда могут служить любые три некомпланарных вектора, однако, по-прежнему, удобно выбрать ортонормироr r ванный базис, т.е. ( ei ⋅ ek ) = δ ik .

-5-

Скалярное произведение двух векторов определяется так: r r r r r∧ r a ⋅ b = | a | ⋅ | b | ⋅ cos a , b , r r r r где | a | и | b | – длины векторов a и b соответственно. r Векторным произведением векторов a и r r r c называется вектор [a × c ] , длина которого определяется соотношением ∧ (7) [ar × cr ] = | ar | ⋅ | cr | ⋅ sin ar, cr ,

( )

а направление определяется по правилу правого винта. Векторное произведение удобно представлять в виде определителя: r r r e1 e 2 e 3 [ar × cr ] = a1 a 2 a 3 . c1 c 2 c 3

(6)

(8)

r r r Смешанным произведением трех векторов a , b и c называется скалярная величина, определяемая с помощью равенства: r r r r r r a, b , c = a ⋅ b × c . (9) Численно смешанное произведение с точностью до знака равно объему параллелепипеда, построенного на некомпланарных векторахсомножителях.

(

) ( [ ])

Задачи I-1. Определить, образует ли векторное пространство а). множество действительных матриц 2 × 2; б). множество полиномов степени n, заданных на промежутке x ∈ [a, b]; в). множество непрерывных на промежутке x ∈ [0, 1] функций; г). множество упорядоченных пар действительных чисел (x, y); д). множество комплексных чисел? Если ответ положительный, то определить размерность пространства, дать возможное определение скалярного произведения его элементов, предложить (ортонормированный) базис. r r r r r r r r I-2. Даны векторы a = 2i + 2 j − k и b = 2i − j + 3k . Найти длины проекций этих векторов друг на друга.

-6-

r r r r r r r I-3. Дан вектор p = 2a + 3b − 5c , где a , b и c – взаимно перпендикуr r r лярные векторы, причем | a | = 1, | b | = 2 и | c | = 3. Найти углы межr ду вектором p и r r r r r r r r б). векторами a + b , − (a + b + c ) . а). векторами a , b , c ; I-4. При каком значении t данные векторы компланарны? r r r а). a = {3, 6, 9} , b = {2, 5, 8} , c = {4, 7, t} ; r r r б). a = {5, 8, 11} , b = {3, 5, 7} , c = {1, t , 3} ; r r r в). a = {1, 3, 5} , b = {5, 3, 1} , c = {4, 6t + 1, t − 1 6} ; r r r I-5. a = {1, 1, 1} , b = {5, − 3, − 3} , c = {3, − 1, 1} . Найти координаты вектоr ров, коллинеарных вектору c , длины которых равны длине вектоr r ра a + b . r I-6. При каких значениях а вектор m = {−11, 6, − 5} можно разложить по r r векторам p = {a, 2, − 1} и q = {8, 9, − 4} ? r I-7. При каком значении а вектор m = {9, 1} нельзя разложить по вектоr r рам u = {2, 1} и v = {1, a} ? Выполнить разложение при а = 1. r r r I-8. Параллелепипед построен на некомпланарных векторах a , b , c . Найти площади его диагональных сечений и объем. I-9. В кубической элементарной ячейке за базисные вектора выбираютr r r ся a x = {1, 0, 0} , a y = {0, 1, 0} , a z = {0, 0, 1} . Найти:

а). площади диагональных сечений куба; б). угол между базисными векторами и нормалями к диагональным поверхностям. r r r r r I-10. Показать, что ((r − a ) ⋅ (r + a )) = 0 – уравнение сферы. Здесь r – r радиус-вектор, а a – постоянный вектор. I-11. Доказать тождество Лагранжа: (ar ⋅ cr ) (ar ⋅ mr ) r r r r ([a × n ] ⋅ [c × m]) = r r r r . (n ⋅ c ) (n ⋅ m ) r r r r r r r r I-12. Доказать, что из равенства [a × [ p × r ]] = [[a × p ] × r ] при (a ⋅ p ) ≠ 0 r r r r и ( p ⋅ r ) ≠ 0 следует коллинеарность векторов a и r . I-13. Доказать тождество Якоби: r r r r r r r r r r a × [b × c ] + c × [a × b ] + b × [c × a ] = 0 .

[

] [

] [

-7-

]

II. Тензорная алгебра 1. Преобразование компонент векторов при повороте системы координат Пусть в исходном ортонормированном r r r базисе – { e1 , e2 , e3 } – заданы компоненты векr тора a = {a1 , a2 , a3 } , т.е. верно равенство r r a = an en . В новой системе координат с базисом r r r { e1′ , e2′ , e3′ } будем иметь аналогичное разложеr r ние a = ak′ ek′ . Связь между компонентами вектоr ра a в старом и новом базисе задается с помощью соотношения: ai′ = α ik ak , (10) r ∧r где α ik = cos ei′, ek – так называемая матрица поворота, полностью определяющая своими компонентами совершенный поворот системы координат. Ортонормированность старого и нового базисов накладывает на матрицу поворота дополнительное условие, а именно (11) α inα jn = δ ij . Отсюда получаем, что матрицей, обратной α , т.е. α −1 , является транспонированная матрица α T . Пользуясь этим фактом, можем записать обратное преобразование (от нового базиса к старому) в виде: ai = α ikT a′k ≡ α ki a′k . (12)

2. Определение тензора. Действия над тензорами. К понятию тензора можно относиться как к некоторому обобщению понятий скаляра, вектора, матрицы на более общий случай. Определение. Любая совокупность NR величин, заданная в каждом базисе и нумеруемая R индексами, изменяющимися от 1 до N, образует тензор R-того ранга в N-мерном пространстве, если при повороте декартовой системы координат эти величины в начальном и конечном базисах связаны линейным законом, т.е. Ti′,i ,K,i = α i k α i k Kα i k Tk , k ,K, k . (13) 1

2

R

1 1

-8-

2 2

R R

1

2

R

Согласно данному определению, тензором нулевого ранга является скаляр – величина, не изменяющаяся при поворотах системы координат, а тензором I-го ранга является N-мерный вектор. В дальнейшем по умолчанию будем подразумевать N = 3. Определим действия над тензорными величинами. Сложение тензоров. Складывать можно лишь тензоры одинакового ранга – результатом будет тензор того же ранга. Например, Akn + Bkn = Ckn , (14) т.е. тензор II-го ранга Ckn является суммой двух тензоров II-го ранга – Akn и Bkn . Умножение тензоров. Результатом умножения двух тензоров рангов R1 и R2 является тензор ранга R1 + R2 . Например, Ai ⋅ B jk = Cijk . (15) Свертка тензора. Сверткой тензора называется операция умножения его на символ Кронекера с последующим суммированием по одному из его индексов. При свертке ранг тензора уменьшается на 2. Например, Aiknmδ nm ≡ Aiknn = Bik . (16)

Иногда выделяют еще одну операцию, частным случаем которой является скалярное произведение векторов (см. (5)). Скалярное умножение тензоров. Скалярное умножение тензоров – это умножение тензоров с последующей сверткой по какой-либо паре индексов. Например, Aijk Bkm = Cijm . (17) Теорема деления. Если в каждой системе координат существуют NR величин Ti1 ,i2 ,K,iR и для любого тензора ранга r ( r ≤ R ) Ai1 ,i2 ,K,ir выраже-

ние Ti ,i ,K,i Ai ,i ,K,i является тензором ранга R – r, то компоненты 1 2

R

1 2

r

Ti ,i ,K,i составляют тензор R-того ранга. 1 2

R

Докажем эту теорему в частном случае. Пусть дано, что в каждой системе координат выполняется соотношение Aijk ⋅ B j = Cik , причем Aijk и Cik – тензоры III-го и II-го рангов соответственно. Докажем, что Bj является тензором I-го ранга.

-9-

Доказательство. Поскольку Cik является тензором, для него верен закон преобразования Cik′ = α ijα kn C jn . Продолжаем эту запись с учетом условий теоремы: Cik′ = α ijα kn C jn = α ijα kn A jmn Bm = K Теперь используем то, что Aijk – тензор, получим K = α ijα knα pjα qmα rn A′pqr Bm = K Используя (11), получим ′ . K = δ ipδ krα qm A′pqr Bm = α qm Bm Aiqk ′ Bq′ . С другой стороны в силу условий теоремы должно быть Cik′ = Aiqk

Следовательно, ′ Bq′ − α qm Bm = 0 , откуда Bq′ = α qm Bm , Aiqk

(

)

что и является доказательством того, что Bj есть тензор I-го ранга.

3. Свойство симметрии тензоров. Изотропные тензоры. Понятие симметрии относится к тензорам, ранг которых больше или равен 2. Определение. Тензор Аijk называется симметричным (антисимметричным) по паре индексов i и j, если при перестановке этих индексов компонента тензора не меняется (меняет знак на противоположный). Легко обобщить данное определение на любую пару индексов и любой ранг тензора. Важную роль в физическом приложении тензорного исчисления играет следующая теорема. Приведем ее без доказательства. Теорема. Свойство симметрии (антисимметрии) – инвариантно. Определение. Тензор называется изотропным, если при повороте системы координат его компоненты не меняются. 1. Изотропным тензором II-го ранга является упомянутый выше символ Кронекера. 2. Изотропным тензором III-го ранга является абсолютно антисимметричный единичный тензор ε ijk , который чаще называют тензо-

ром Леви-Чивита в честь итальянского математика Туллио ЛевиЧивита (1873-1941). Данный тензор антисимметричен по любой паре индексов, поэтому из 27 его компонент только 6 не равны нулю: - 10 -

⎧ε123 = ε 312 = ε 231 = 1, (18) ⎨ ⎩ε 213 = ε 321 = ε 132 = −1. С помощью тензора Леви-Чивита упрощается запись многих тензорных соотношений. Так, например, i-тая компонента векторного проr r изведения векторов a и b найдется так: r r a × b i = ε ijk a j bk . (19)

[ ]

Соответственно смешанное произведение, выраженное через компоненты векторов-сомножителей, имеет вид: r r r a , b , c = ε ijk ai b j ck . (20)

(

)

Произведение ε ijk ε lmn образует тензор VI-го ранга, сверткой которого можно получить тензоры IV-го и II-го рангов. Эти тензоры по определению инвариантны, поэтому должны выражаться через различные комбинации символов Кронекера: δ il δ im δ in (21) ε ijk ε lmn = δ jl δ jm δ jn . δ kl δ km δ kn Отсюда нетрудно получить: ε ijnε lmn = δ ilδ jm − δ imδ jl ,

ε imnε lmn = 2δ il ,

ε lmnε lmn = 6.

(22)

4. Приведение симметричного тензора II-го ранга к диагональному виду Как известно, результатом свертки тензора второго ранга с вектором является вектор. При этом, однако, может оказаться, что оба вектора коллинеарны друг другу, т.е. верно соотношение (23) Tij A j = λAi . r Тогда A называется собственным (главным) вектором, соответствующим собственному (главному) значению λ . Уравнение на собственные значения тензора нетрудно получить из (23): det Tij − λδ ij = 0 . (24)

(

)

Уравнение (24) называется характеристическим уравнением. В трехмерном пространстве характеристическое уравнение имеет 3 корня –

- 11 -

λ(1) , λ( 2) , λ(3) – каждому из которых соответствует свой собственный r r r вектор – A(1) , A( 2 ) , A(3) . Теорема. Собственные значения симметричного тензора II-го ранга – r r вещественны, а его собственные векторы A(i ) и A( j ) , соответствующие различным собственным значениям λ(i ) ≠ λ( j ) , ортогональны.

Задачи II-1. Записать матрицу преобразования α ik при повороте на угол ϕ а). вокруг оси Ox; б). вокруг оси Oy; в). вокруг оси Oz. Записать матрицу обратного преобразования. II-2. Доказать, что при поворотах декартовой системы координат определитель матрицы поворота равен +1. II-3. Показать, что единственным “изотропным” вектором (компоненты которого одинаковы во всех системах координат) является нулевой вектор. II-4. В исходной декартовой системе координат известны компоненты r вектора a . Найти его компоненты в системе координат, повернутой относительно исходной на некоторый угол вокруг одной из осей: r а). a = { 1, 1, 3} , вокруг оси Ox на 30°; r б). a = {0, 3, 3} , вокруг оси Ox на 120°; r в). a = {2 2 , 2 2 , 2 2 } , вокруг оси Oу на 15°; r г). a = {0, 4, − 4 2 } , вокруг оси Oу на 135°; r д). a = {0, 1, 4} , вокруг оси Oz на 45°; r е). a = { 1, − 3 , 0} , вокруг оси Oz на 120°. II-5. В системе координат, полученной из исходной декартовой системы путем ее поворота на некоторый угол вокруг одной из осей, изr вестны компоненты вектора a ′ . Найти его компоненты в исходной системе координат (до поворота): r а). a ′ = {2, 0, − 2} , вокруг оси Ox на 45°;

- 12 -

r б). a ′ = { 2 , − 1, 0} , вокруг оси Ox на 150°; r в). a ′ = {0, 1, 2} , вокруг оси Oу на 60°; r г). a ′ = {6, − 3 , − 2 3} , вокруг оси Oу на 150°; r д). a ′ = { 3 2 , − 1 2 , 1} , вокруг оси Oz на 75°; r е). a ′ = {−1 − 2 , − 1 + 2 , 3} , вокруг оси Oz на 135°. II-6. В исходной декартовой системе координат известны компоненты тензора Aij . Найти его компоненты в системе координат, поверну-

той относительно исходной на некоторый угол вокруг одной из осей: ⎛ 1 0 − 2⎞ ⎜ ⎟ а). Aij = ⎜ 0 1 0 ⎟ , вокруг оси Ox на 30°; ⎜2 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛− 2 1 − 2 ⎞ ⎜ ⎟ 1 1 ⎟ , вокруг оси Oy на 45°; б). Aij = ⎜ 1 ⎜ ⎟ ⎜ 2 −1 2 ⎟ ⎝ ⎠ 1 0 ⎞ ⎛0 ⎜ ⎟ − 2 2 ⎟ , вокруг оси Oz на 135°. в). Aij = ⎜ − 1 0 ⎜0 2 2 0 ⎟⎠ ⎝ II-7. В системе координат, полученной из исходной декартовой системы путем ее поворота на некоторый угол вокруг одной из осей, известны компоненты тензора Aij′ . Найти его компоненты в исходной

системе координат (до поворота): ⎛ 1 3 1 ⎞⎟ ⎜ а). Aij′ = ⎜ − 3 1 0 ⎟ , вокруг оси Ox на 60°; ⎟ ⎜ ⎜ − 3 0 1⎟ ⎠ ⎝ ⎛ 3 0 3 ⎞⎟ ⎜ б). Aij′ = ⎜ − 4 0 0 ⎟ , вокруг оси Oу на 120°; ⎟ ⎜ ⎜ 3 0 − 3⎟ ⎠ ⎝

- 13 -

⎛ 2 2 3 0⎞ ⎟ ⎜ в). Aij′ = ⎜ 0 0 4 ⎟ , вокруг оси Oz на 30°. ⎟ ⎜ ⎜ 0 − 4 0⎟ ⎠ ⎝ II-8. В некоторой декартовой системе координат даны компоненты тензора ⎛ 2 −1 0⎞ ⎜ ⎟ Tik = ⎜ − 1 1 0 ⎟ . ⎜0 0 1 ⎟⎠ ⎝ На какой угол ϕ вокруг оси Oz нужно повернуть систему координат, чтобы в новой системе координат компонента T12′ стала рав-

ной нулю? Чему равны остальные компоненты Tik′ в новой системе координат? II-9. В некоторой системе координат К известны компоненты вектора r a = { 1, − 1, 1} . В системе К’, получающейся из К поворотом на угол r 30° вокруг оси Ox, известны компоненты вектора c′ = { − 1, 2, 2} . Найти скалярное произведение этих векторов. II-10. Компоненты двух векторов заданы в различных системах координат следующим образом: при повороте системы координат К воr круг оси Oy на 30° a′ = 1, 1, 3 , а при повороте К вокруг оси Oz на r 45° b′′ = 2 , 2 , 3 . Найти скалярное произведение этих векторов. r II-11. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах m и r r n , если в системе К m = { 2, 0, 2} , а второй вектор задан своими компонентами в системе координат, повернутой относительно К на r 60° вокруг оси Ox: n′ = 1, − 1, 3 . II-12. Компоненты двух векторов заданы в различных системах координат следующим образом: при повороте системы координат К воr круг оси Oy на 60° (система К’) a′ = 1, 0, 3 , а при повороте К r вокруг оси Oz на 45° (система К”) b′′ = 0, − 2 , 1 . Найти векторное произведение этих векторов. Будет ли его величина и направление зависеть от выбранной системы отсчета?

{

}

{

{

}

}

{

- 14 -

{

}

}

II-13. Доказать, что сумма α ⋅ Aij + β ⋅ Bij представляет собой компонен-

ты тензора второго ранга, если известно, что Aij и Bij – тензоры второго ранга, а α и β – скаляры. II-14. Доказать, что произведение δ ij A j Bn Cn является вектором, если r r r A , B и C – векторы. II-15. В некоторой декартовой системе координат известно соотношение M ijk = Ai B jk . Известно, что Ai и B jk составляют компоненты

тензоров I-го и II-го рангов соответственно. Доказать, что M ijk – тензор III-го ранга. II-16. Rnkml – тензор IV-го ранга. Доказать, что Dnl = Rnkkl – тензор II-го ранга. II-17. В некоторой декартовой системе координат известно соотношеr ние Fk H n = Tkn , где Tkn – тензор II-го ранга, F – вектор. Доказать, что H n образует вектор. II-18. В некоторой декартовой системе координат известно соотношение Ai Bik = Ck . Доказать, что r r а). Bik – тензор II-го ранга, если A и C – векторы; r б). Ai – вектор, если Bik – тензор II-го ранга, C – вектор. II-19. В некоторой декартовой системе координат известно соотношение F = Aij B jk Cki . Доказать, что а). F – скаляр, если Aij , B jk , Cki – тензоры второго ранга; б). B jk – тензор второго ранга, если F – скаляр, а Aij , Cki – тензоры второго ранга. II-20. В некоторой декартовой системе координат имеет место соотношение Tnkm = Ami Rink . Доказать, что а). Ami – тензор II-го ранга, если Tnkm и Rink – тензоры III-го ранга; б). Rink – тензор III-го ранга, если Tnkm и Ami – тензоры III-го и IIго рангов соответственно. II-21. В некоторой декартовой системе координат имеет место соотношение S k = AmTmknl Rnl . Доказать, что - 15 -

а). Am – вектор, если S k – вектор, а Tmknl и Rnl – тензоры IV-го и II-го рангов соответственно; б). Tmknl – тензор IV-го ранга, если S k и Am – векторы, а Rnl – тензор II-го ранга; в). Rnl – тензор II-го ранга, если S k и Am – векторы, а Tmknl – тензор IV-го ранга. II-22. Даны два тензора II-го и III-го рангов соответственно – Pik и Rnml . Получить из них путем перемножения и свертывания тензоры I-го, III-го и V-го рангов. II-23. Записать в развернутой форме и по возможности упростить выражение Dij xi x j , если а). Dij = D ji ;

б). Dij = − D ji .

II-24. Доказать, что а). Sp Tij = inv ;

( г). Sp ( M

( ) б). Sp ( T T ) = inv ;

)

в). Sp Aij B jk Ckn = inv ;

in nj

ijk

)

N jkl = inv .

II-25. Даны три вектора – Ai , B j , Ck . Построить зависящие от них

а). инварианты; б). тензор II-го ранга; в). симметричный тензор III-го ранга. II-26. Доказать, что если тензор Aijk симметричен по первой паре инr дексов и для любого вектора x имеет место соотношение Aijk xi x j xk = 0 , то Aijk + A jki + Akij = 0 . r r II-27. Из двух векторов A и B построены следующие тензоры: 1 1 Tik(1) = δ ik + Ai Bk + Ak Bi ; Tik( 2 ) = ( Ai Bk − Ak Bi ) ; 2 2 Tik(3) = ε ikl ( Al + Bl ) . Найти: а). Tik(1)Tki( 2 ) ; б). Tik( 2 )Tki(3) ; в). Tik(3)Tki(1) . II-28. В некотором базисе задан тензор II-го ранга:

- 16 -

⎛2 0 1⎞ ⎜ ⎟ Tij = ⎜ 1 1 0 ⎟ . ⎜ 3 4 2⎟ ⎝ ⎠ r r Известны также два вектора: A = { 2, 1, 3} и B = { 1, − 1, 3} . Найти:

2 ⎞ 2 ⎞ ⎛ ⎛ б). ⎜ Tij − δ ij ⎟Tnn ; в). ⎜ Tij − δ ij ⎟ Ai B j . 5 ⎠ 5 ⎠ ⎝ ⎝ r r II-29. Доказать, что произведение компонент двух векторов A и B образует тензор второго ранга. Найти матрицу этого тензора в систеr ме К, если известны компоненты A = { 1, − 1, 2} в системе К и r B′ = { 0, 2, 1} – в системе К’, получаемой из К поворотом вокруг оси Oz на 90°. II-30. Доказать, что произведение компонент векторов Ai и B j образу-

а). Tij Ai B j ;

ют тензор второго ранга. Найти компоненты этого тензора в систеr ме координат К’, если известны компоненты A = { 1, 0, 2} и r B = {−1, 2, 3} в системе К и матрица, связывающая систему К с системой К’: ⎛ 0 1 0⎞ ⎜ ⎟ α ik = ⎜ − 1 0 0 ⎟ . ⎜ 0 0 1⎟ ⎝ ⎠ II-31. В некоторой системе координат известны компоненты двух векr r торов – A = { 1, 2, − 1} и B = { 2, 3, − 4} . Найти матрицу тензора Tij = Ai B j − ε ijk Ak и вычислить его след. II-32. Из тензора второго ранга 0 2⎞ ⎛1 ⎜ ⎟ Tij = ⎜ − 1 − 1 2 ⎟ ⎜0 0 4 ⎟⎠ ⎝ r r и векторов A = { 1, 1, 1} и B = { 0, 2, 1} построить величины: 1 ⎛ ⎞ а). ⎜ Tij − δ ijTll ⎟ Ai B j ; 4 ⎝ ⎠

б). Tijδ ij An .

- 17 -

r II-33. В некотором базисе известны два вектора – A = { 1, 2, − 1} и r B = { 3, 2, 4} . Из компонент этих векторов построить симметричный и антисимметричный тензоры второго ранга. II-34. В некоторой системе координат известны компоненты тензора IIго ранга: ⎛1 3 2⎞ ⎜ ⎟ Pij = ⎜ 3 − 1 1 ⎟ . ⎜ 4 −1 6⎟ ⎝ ⎠

Разложить его на симметричную S ij и Aij антисимметричную со-

(

)

ставляющие. Найти Sp Sin Anj . II-35. Разложить тензор Fij , матрица которого имеет следующий вид

на симметричную S ij

⎛ − 4 − 3 2⎞ ⎜ ⎟ 1 0⎟ , Fij = ⎜ 3 ⎜ 4 − 2 6⎟ ⎝ ⎠ и Aij антисимметричную составляющие.

Найти матрицу тензора Gij = S ij − 1 δ ij Fnn . Чему равен его след? 3 II-36. Разложить тензор H ij , матрица которого имеет следующий вид

на симметричную S ij

⎛ 1 0 2⎞ ⎜ ⎟ H ij = ⎜ 6 − 1 1 ⎟ , ⎜ 2 3 4⎟ ⎝ ⎠ и Aij антисимметричную составляющие.

Найти свертку Sij Aij . II-37. Показать в общем виде, что свертка симметричного и антисимметричного тензоров равна нулю. II-38. В некоторой системе координат задан тензор второго ранга: ⎛0 1 3 ⎞ ⎟ ⎜ Cij = ⎜ 1 2 0 ⎟ . ⎜ 3 0 − 1⎟ ⎠ ⎝

Чему равны следующие свертки: - 18 -

б). ε ijk C jk ? r r r II-39. Векторы B и C заданы своими компонентами: B = { 1, − 1, 2} и r C = { 0, 2, 1} . Чему равны следующие свертки: б). ε ijk B j Ck ? а). δ ik Bi Ck ; r II-40. Пусть вектор A имеет компоненты {1, 2, 3}. Найти следующую свертку: ε ikl ε klm Am . II-41. Дуальным антисимметричному тензору II-го ранга Anm называется вектор Dk , компоненты которого определяются соотношением: а). δ ik Cik ;

Dk = 1 ε knm Anm . Построить вектор, дуальный тензору Anm , если 2 ⎛ 0 1 2⎞ ⎜ ⎟ Anm = ⎜ − 1 0 − 1⎟ . ⎜− 2 1 0 ⎟ ⎝ ⎠ II-42. Определить компоненты антисимметричного тензора Tik′ в систе-

ме координат К, если компоненты вектора, дуального Tik , в системе К’ есть {1, 2, 1}, а матрица преобразования к системе К’ имеет вид: ⎛ 0 1 0⎞ ⎜ ⎟ α ik = ⎜ 0 0 1 ⎟ . ⎜1 0 0⎟ ⎝ ⎠ II-43. Найти собственные значения и собственные вектора приведенных ниже тензоров. Проверить свойство ортогональности собственных векторов. ⎛1 1 0⎞ ⎛ 0 −1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ г). Dij = ⎜ − 1 1 1 ⎟ ; а). Aij = ⎜ 1 10 3 ⎟ ; ⎜0 3 1⎟ ⎜1 1 0 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 4 1 − 2⎞ ⎟ ⎜ б). Bij = ⎜ 1 0 0 ⎟ ; ⎜− 2 0 0 ⎟ ⎠ ⎝

⎛1 2 0 ⎞ ⎟ ⎜ д). Eij = ⎜ 2 1 − 1⎟ ; ⎜0 −1 1 ⎟ ⎠ ⎝

- 19 -

4 ⎞ ⎛1 0 ⎜ ⎟ в). Cij = ⎜ 0 1 − 3 ⎟ ; ⎜4 − 3 1 ⎟ ⎝ ⎠

⎛8 6 0 ⎞ ⎜ ⎟ е). Fij = ⎜ 6 11 6 ⎟ . ⎜ 0 6 14 ⎟ ⎝ ⎠

Следующие несколько задач посвящены применению элементов теории тензорного исчисления в анализе некоторых физических проблем. II-44. Материал, характеризуемый тензором диэлектрической проницаемости 0 ⎞ ⎛3 2 ⎜ ⎟ ε ij = ⎜ 2 4 − 2 ⎟ , ⎜0 − 2 5 ⎟ ⎝ ⎠ r помещен в однородное электрической поле с напряженностью E . Найти тензор диэлектрической восприимчивости α ij диэлектрика r ( 4πα ik = ε ik − δ ik ). Найти вектор поляризации диэлектрика P и r вектор электрической индукции D ( Pi = α ik Ek , Di = ε ik Ek ). Найти r r r углы, которые векторы P , D и E образуют друг с другом. r r б). E = E0 { − 2, 2, 1} . а). E = E0 { 2, 1, − 2} ; r r Указать направления, для которых векторы D и E коллинеарны. II-45. Материал, характеризуемый тензором магнитной проницаемости 4 ⎞ ⎛2 0 ⎟ ⎜ μ kn = ⎜ 0 2 − 3 ⎟ , ⎜4 −3 2 ⎟ ⎠ ⎝ r помещен в однородное магнитное поле напряженностью H . Найти тензор магнитной восприимчивости χ ik магнетика ( 4πχ ik = r = μ ik − δ ik ). Найти вектор намагниченности M и вектор магнитной r индукции B ( M i = χ ik H k , Bi = μ ik H k ). Найти углы, которые векr r r торы M , B и H образуют друг с другом. r r б). H = H 0 { 3, 4, 0} . а). H = H 0 { 1, 2, 0} ; r r Указать направления, для которых векторы B и H коллинеарны. II-46. Монокристалл, характеризуемый тензором проводимости - 20 -

⎛2 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ σ jk = σ 0 ⎜ 0 2 − 1⎟ , ⎜ 1 −1 1 ⎟ ⎝ ⎠ r помещен в однородное электрическое поле E . Найти направление r вектора плотности электрического тока j и угол, образуемый им с направлением поля. r r б). E = E 0 { 1, 1, 0} . а). E = E0 { 1, 2, − 1} ; II-47. Монокристалл, находящийся в магнитном поле и характеризующийся в нем тензором проводимости ⎛ 3 0 2 ⎞ ⎜ ⎟ σ jk = σ 0 ⎜ 2 1 − 3 ⎟ , ⎜− 2 3 4 ⎟ ⎝ ⎠ r помещают в однородное электрическое поле E = E0 { 2, 1, − 1} . Найr ти направление вектора плотности электрического тока j и колиr r чество джоулева тепла q = j ⋅ E , выделяющегося при его прохождении. II-48. Найти главные оси инерции и главные моменты инерции систем материальных точек, изображенных на рисунках:

(

а).

)

б).

Найти значения кинетической энергии, соответствующие вращательному движению с частотой Ω вокруг главных осей инерции. (Указание: начало координат выбрать в центре масс системы.)

- 21 -

III. Тензорный анализ 1. Тензорные поля Ранее рассматривались случаи, когда компоненты тензоров зависели лишь от системы координат. Отметим теперь, что компоненты тензоров физических величин являются как правило функциями времени, температуры, координат и т.п. Определение. Если каждой точке пространства однозначно соответствует значение компонент тензора, то говорят, что задано тензорное поле. r Например, в каждой точке r атмосферы свое атмосферное давление p , которое меняется со временем t , поэтому можно говорить, r что p(r , t ) – тензорное поле нулевого ранга. Примером тензорного поля первого ранга может служить стационарный поток жидкости, в каждой точке которого вектор скорости имеет свои модуль и направление. В трехмерном пространстве часто используется векторный дифr ференциальный оператор – ∇ (читается – “набла”). В декартовых координатах он выражается наиболее просто: r r ∂ r ∂ r ∂ ∇=i +j +k . (25) ∂x ∂y ∂z С помощью данного оператора легко определяются три важные операции – градиент скалярной функции, дивергенция и ротор векторной функции. Определения: 1. Градиентом скалярной функции ϕ называется векторная величина grad ϕ , i-тая компонента которой в декартовой системе координат определяется так: ∂ϕ grad i ϕ = ∇ iϕ = . (26) ∂xi r 2. Дивергенцией векторной функции A называется скалярная величиr на div A , определяемая в декартовой системе координат так: r r r ∂A (27) div A = ∇ ⋅ A ≡ i . ∂xi

(

- 22 -

)

r 3. Ротором векторной функции A называется векторная величина r rot A , i-тая компонента которой в декартовой системе координат определяется так: r r r ∂ rot i A = ∇ × A i ≡ ε ijk Ak . (28) ∂x j r r r r Заметим в этой связи, что если rot A ≡ 0 , то векторное поле A(r ) r называется потенциальным, если div A ≡ 0 , то – вихревым или соленоидальным.

[

]

2. Интегральное представление дифференциальных операторов r Векторный дифференциальный оператор ∇ , определенный в (25), имеет следующее интегральное представление: r ∫S n dS r ∇ = lim , (29) V →0 V r где S – поверхность, ограничивающая бесконечно малый объем V, n – вектор нормали к поверхности. Используя (29), дивергенцию и ротор r векторного поля A можно также записать в интегральной форме: r r r r ⋅ n A dS n ∫S ∫S × A dS r r div A = lim rot A = lim , . (30) V →0 V →0 V V Важную роль в математике и ее физических приложениях играют следующие две теоремы. r Теорема Остроградского-Гаусса. Поток векторного поля A через замкнутую поверхность S равен интегралу от его дивергенции по объему, ограниченному этой поверхностью: r r r (31) ∫ A ⋅ dS = ∫ div A dV .

(

[

)

(

S

]

)

V

r Теорема Стокса. Криволинейный интеграл от поля A по замкнутому контуру С равен потоку ротора этого поля через поверхность S, натянутую на контур С:

- 23 -

(∫ Ar ⋅ dlr ) = ∫ ( rot Ar ⋅ dSr ) .

C

(32)

S

3. Криволинейные системы координат В некоторых задачах оказывается удобным определение положения точки в трехмерном пространстве не декартовыми координатами xi (i = 1, 2, 3), а тремя криволинейными координатами qi (i = 1, 2, 3). Система криволинейных координат ставит в соответствие каждой точке пространства с декартовыми координатами x1, x2, x3 упорядоченную тройку действительных чисел q1, q2, q3. Криволинейные координаты точки связаны с ее декартовыми координатами посредством следующего соотношения: qi = qi ( x1 , x2 , x3 ) , (33) где i = 1, 2, 3. Функции qi однозначны и непрерывно дифференцируемы, а производимое преобразование координат является невырожденным, т.е. ∂q1 ∂q1 ∂q1 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂ (q1 , q2 , q3 ) ∂q2 ∂q2 ∂q2 ≡ ≠ 0. (34) ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂ (x1 , x2 , x3 ) ∂q3 ∂q3 ∂q2 ∂x1 ∂x2 ∂x3 Поверхности qi = const (i = 1, 2, 3) называются координатными поверхностями, а линии их пересечения – координатными линиями. Касательные к координатным линиям векторы r r ∂r (i = 1, 2, 3) (35) ei = ∂qi образуют базис криволинейной системы координат в данной точке пространства. В соответствие с определением (35) вводятся так называемые коэффициенты Ламе 2

2

2

⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂x ⎞ r H i ≡ | ei | = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ + ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + ⎜⎜ 3 ⎟⎟ , (36) ⎝ ∂qi ⎠ ⎝ ∂qi ⎠ ⎝ ∂qi ⎠ введенные в обращение французским математиком и инженером Габриэля Ламе (1795–1870). С помощью коэффициентов Ламе можно естестr венным образом ввести нормированный на единицу базис векторов ni :

- 24 -

r r e ni = i Hi

⇒

r | ni | = 1 .

(37)

r Если векторы ei образуют ортогональную тройку векторов, т.е. r r ei ⋅ e j = H i2δ ij , (38)

(

)

то криволинейная система координат называется ортогональной. Квадрат расстояния dS 2 между двумя бесконечно близкими точr ками, разделенными радиус-вектором dr , равен r r r r r dS 2 = dr 2 = ei dqi ⋅ e j dq j = ei ⋅ e j dqi dq j ≡ g ij dqi dq j , (39)

(

) (

)

где величина g ij называется метрическим тензором. Очевидно, в ортогональных системах координат метрический тензор диагонален: ⎛ H 12 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ 2 g ij = ⎜ 0 H 2 0 ⎟. ⎟ ⎜⎜ 0 0 H 32 ⎟⎠ ⎝

(40)

Метрический тензор полностью определяет всю геометрию криволинейного пространства. Так элементы площади координатных поверхностей выражаются через его компоненты следующим образом: dσ 1 = g 22 g 33 dq2 dq3 , dσ 2 = g11 g 33 dq1dq3 , dσ 3 = g11 g 22 dq1dq2 . Элемент объема определяется соотношением dV = J ⋅ dq1dq2 dq3 ,

(41)

(42)

где величина J ≡ det g ij называется якобианом (в честь немецкого математика Карла Густава Якоба Якоби (1804–1851)). Определим дифференциальные операции над скалярными и векторными полями в ортогональных криволинейных системах координат. r Оператор ∇ имеет следующий вид (сравните с (25)): r r r nr n3 ∂ ∂ n2 ∂ 1 . (43) ∇= ⋅ + ⋅ + ⋅ H 1 ∂q1 H 2 ∂q2 H 3 ∂q3

- 25 -

Соответственно, i-тая компонента градиента скалярной функции ϕ определяется так: 1 ∂ϕ . (44) grad i ϕ = ⋅ H i ∂qi Используя интегральное представление для дивергенции векторr ного поля A , можно получить r ⎛ ∂ ( A1 H 2 H 3 ) ∂ ( A2 H 1 H 3 ) ∂ ( A3 H 1 H 2 ) ⎞ 1 ⎜ ⎟⎟ . + + div A = (45) ∂q1 ∂q2 ∂q3 H 1 H 2 H 3 ⎜⎝ ⎠ r Ротор векторного поля A удобно изображать в виде следующего определителя: r r r n3 n1 n2 H 2 H 3 H1H 3 H1 H 2 r ∂ ∂ ∂ rot A = . (46) ∂q1 ∂q2 ∂q3 H 1 A1

H 2 A2

H 3 A3

В заключение данного раздела приведем формулу для лапласиана скалярного поля ϕ: Δϕ ≡ div grad ϕ = ⎛ ∂ ⎛ H 2 H 3 ∂ϕ ⎞ 1 ∂ ⎛ H 1 H 2 ∂ϕ ⎞ ⎞⎟ (47) ∂ ⎛ H 1 H 3 ∂ϕ ⎞ ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ = ⎜ H 1 H 2 H 3 ⎝ ∂q1 ⎝ H 1 ∂q1 ⎠ ∂q2 ⎝ H 2 ∂q2 ⎠ ∂q3 ⎜⎝ H 3 ∂q3 ⎟⎠ ⎟⎠

Задачи III-1. Вычислить1: а). grad r ; r б). div r ;

r д). div (r r ) ; r е). rot (r r ) . r III-2. Найти напряженность электрического поля E , если распределение потенциала ϕ в пространстве имеет вид: −r a q а). ϕ = − ; в). ϕ = Ae −αx ; д). ϕ = q e (потенциал Юкавы); x r 1

r в). rot r ; г). grad (1 r ) ;

r Здесь и далее r ≡ | r | .

- 26 -

б). ϕ = − Az ; 2

г). ϕ = k ln r ;

r r ( d ⋅r) е). ϕ = (потенциал диполя). r3

III-4. Найти градиент скалярной функции ϕ . rr ( ar ⋅ rr )3 ; e (a⋅r ) а). ϕ = ; в). ϕ = r r2 r r r r 3 r r г). ϕ = ( a ⋅ r ) ⋅ sin b ⋅ r ; б). ϕ = r ( c ⋅ r ) ;

(

( ))

sin r ; r r r r е). ϕ = r ⋅ ar × b .

д). ϕ =

( [

])

r III-5. Найти дивергенцию и ротор векторного поля A . r ⎡ ar r ⎤ r [μr × rr ] r r r з). A = ⎢ ×r⎥ ; A = ; д). а). A = [a × r ] ; r3 ⎣r ⎦ r rr (cr⋅rr ) r r r r r r r б). A = c exp k ⋅ r ; е). A = [a × r ] ⋅ sin r ; и). A = e ; r r [ar × rr ] r r r r r r r 1 ё). A = [a × r ] ⋅ cos ; к). A = r r ; в). A = c sin k ⋅ r ; ( a⋅r) r r ⎡ ar r r r rn r r r r r r⎤ ж). A = [a × r ] ⋅ tg r 2 ; л). A = ⎢ × r ⋅ b c ⎥ . г). A = r ( a ⋅ r ) ; ⎣r ⎦ III-6. Доказать тождества: 1). grad (ϕ ⋅ψ ) = ϕ grad ψ + ψ grad ϕ ; r r r 2). div ϕ ⋅ A = ϕ div A + A ⋅ grad ϕ ; r r r r r r 3). div A × B = B ⋅ rot A − A ⋅ rot B ; r r r r r r r r r r r r 4). rot A × B = B ⋅ ∇ A − A ⋅ ∇ B + A div B − B div A ; r r r r r r r r r r r r 5). grad A ⋅ B = B ⋅ ∇ A + A ⋅ ∇ B + B × rot A + A × rot B ; r r r r r r r r 6). ∇ ⋅ A B = B div A + A ⋅ ∇ B ; r r r r r r r r r r r 7). C ⋅ grad A ⋅ B = A C ⋅ ∇ B + B C ⋅ ∇ A ; r r r r r r r r r r 8). A × ∇ × B = A ⋅ ∇ B + A × rot B − A div B ; r r r r r r r r r r r r 9). ∇ × A × B = A div B − A ⋅ ∇ B − A × rot B − B × rot A ;

( ) ( )

( )

( [ [

( ( [[ [[

) ( ) ] ( ) ( ) ] ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) [ ) ( ) ( )) ( ) ( ) ] ] ( ) [ ] ] ] ( ) [ ] [

]

]

10). Δ(ϕ ⋅ψ ) = ϕ ⋅ Δψ + 2(grad ϕ ⋅ grad ψ ) + ψ ⋅ Δϕ ; r r r 11). rot rot A = grad div A − ΔA . ∂T III-7. Доказать, что величина Bk = ik есть тензор I-го ранга и найти ∂xi его компоненты, если

- 27 -

а). Tik = xi Ck ;

б). Tik = r 2 xi Ck .

∂Bk есть тензор нулевого ранга и ∂xk r r r r r найти его компоненты, если B = r ( a ⋅ r ) , а a = {a0 , 0, 0} . r r r r r r III-9. Доказать, что A ⋅ ∇ A = − A rot A , если A2 = const . III-10. Вычислить: r r в). grad (r ⋅ grad ϕ ) ; а). grad (a ⋅ grad ϕ ) ; r r б). rot (a ⋅ grad ϕ ) ; г). rot (r ⋅ grad ϕ ) . r r d ⋅r III-11. Вычислить при ϕ = : r3 r r а). grad div (ϕ ⋅ r ) ; б). rot rot (ϕ ⋅ r ) ; в). div grad ϕ .

III-8. Доказать, что величина C =

(

)

(

)

III-12. Найти функцию ρ, удовлетворяющую уравнению Δϕ = 4πρ , если

б). ϕ = − Be −αz ;

а). ϕ = − Bz 2 ; в). ϕ = 4π III-13. Вычислить: r a⎞ ⎛r а). ⎜ a ⋅ rot ⎟ ; r⎠ ⎝ r r a ×b б). rot ; r r r 2 в). r 3 a ⋅ ∇ r ;

ρ0 cos αx cos βy cos γz . α + β2 +γ 2 2

[ ]) (

(

)

r r r r r r 1 г). div [a × r ] + b × r + r ⋅ ∇ ; r r r 2 r r д). div ([r × a ] ⋅ r ) + Δ k ⋅ r ; r r r r r е). r ⋅ ∇ r 2 + div 2 − r ⋅ grad r 2 . r III-14. Найти значения коэффициентов Ламе для цилиндрической системы координат. III-15. Найти значения коэффициентов Ламе для сферической системы координат. III-16. Найти вектор напряженности электрического поля при заданном распределении скалярного потенциала φ :

[

]

(

)

( )

(

)

(

)

а). φ = a ln ρ ;

в). φ = cρ ( sin ϕ − cos ϕ ) ;

б). φ = kr ;

г). φ = br 2 sin θ .

2

- 28 -

III-17. Найти плотность распределения заряда ρ при известном распреr делении электрического поля E = E ρ , Eϕ , E z .

{

}

r ⎧ a r r ⎫ а). E = ⎨ , 0, 0⎬ ; б). E = { bρ , 0, 0} ; в). E = { cos ϕ , − sin ϕ , 0} . ρ ⎭ ⎩ III-18. Найти плотность распределения заряда ρ при известном распределении электрического поля: ⎧ r r ⎪⎪ar , при 0 ≤ r ≤ R , E=⎨ 3 ⎪ aR rr, при r ≥ R . ⎪⎩ r 3 III-19. Найти вектор напряженности магнитного поля при заданном векr r торном потенциале A = Aρ , Aϕ , Az . Найти div A . r ⎧ 1 r ⎫ а). A = ⎨ 0, H 0 ρ , 0⎬ ; г). A = A0 zρ 2 , 0, − ρz 2 ; ⎭ ⎩ 2 r r ⎧ z4 ⎫ д). A = A0 ⎨ zρ 2 , z 3ϕ , − б). A = { 0, 0, B ln ρ } ; ⎬; 4ρ ⎭ ⎩

{

}

{

}

r r ⎧C ⎧ sin ϕ cos ϕ ⎫ 1 ⎫ в). A = ⎨ , 0, 0⎬ ; е). A = A0 ⎨ − 2 , 2 , − ⎬ . zρ ⎭ ρ ρ ⎩ ρ ⎭ ⎩ III-20. Найти вектор напряженности магнитного поля при заданном векr r торном потенциале A = Ar , Aθ , Aϕ . Найти div A . r r ⎧ 2 cos θ sin θ ⎫ а). A = A0 ⎨ , , 0⎬ ; г). A = A0 { r , 0, a + r sin θ } ; 2 2 2r ⎭ ⎩ r r r 2 ⎫ ⎧ cos ϕ б). A = A0 ⎨ , − ,ϕ⎬ ; д). A = A0 { 2r + a cos θ , − a sin θ , r cos θ } ; r ⎭ ⎩ r r r ⎧ 2 cos θ sin θ ⎫ в). A = A0 ⎨ , 3 , 0⎬ ; е). A = A0 r sin θ , r cos θ , − rϕ cos 2 θ . 3 r ⎭ ⎩ r III-21. Вычислить: r r а). div ϕ ( r ) r ; г). rot r A( r ) ; r r б). rot ϕ ( r ) r ; д). div A( r ) r n ; r r е). rot A( r ) r n . в). div r A( r ) ;

{

}

{

(

}

( ( (

)

- 29 -

)

) )

III-22. Найти функцию ϕ (r ) , удовлетворяющую следующему соотношению: r div ϕ (r ) r = 0 . III-23. Найти Δφ ( ρ , ϕ , z ) , если a а). φ = ; г). φ = −k ln ρ ;

ρ

д). φ = aρ cos ϕ ;

б). φ = cρ 2 ;

(

в). φ = k ρ 2 + z 2

)

−1

2

е). φ =

;

III-24. Найти Δφ ( r , θ , ϕ ) , если a а). φ = ; r б). φ = cr 2 ;

a . ρ sin ϕ

г). φ = cr cos ϕ ;

д). φ = ar 2 cos θ sin ϕ ; k в). φ = kr sin θ ; е). φ = ( sin θ + cos ϕ ) . r r III-25. Записать проекции вектора ΔA на оси цилиндрической и сферической систем координат. (Указание: воспользоваться тождеством № 11 из задачи III-6). III-26. Найти поток радиус-вектора через замкнутую поверхность цилиндра радиуса а и высотой h. III-27. Найти поток радиус-вектора через замкнутую конуса радиуса а и высотой h. r III-28. Интеграл по объему ∫ grad ϕ ⋅ rot A dV преобразовать в инте-

(

)

грал по поверхности. III-29. Вычислить интегралы r r r а). ∫ r ( a ⋅ n ) dS ,

б).

S

r r r

∫ ( a ⋅ r ) n dS , S

r r если a – постоянный вектор, а n – орт нормали к поверхности. III-30. Интегралы по замкнутой поверхности r r r r r r б). ∫ ( n ⋅ a ) dS , в). ∫ ( n ⋅ a ) b dS , а). ∫ n ϕ dS , S

S

S

r r r где a , b – постоянные векторы, n – орт нормали к поверхности, преобразовать в интеграл по объему, заключенному внутри по- 30 -

верхности. III-31. Интеграл по замкнутому контуру

r

∫ ϕ dl преобразовать в инте-

C

грал по поверхности, натянутой на данный контур. III-32. Доказать тождество: r r r r r r r r ∫ A ⋅ rot rot B − B ⋅ rot rot A dV = ∫ B × rot A − A × rot B dS .

((

) (

([

))

] [

])

S

r r III-33. Внутри объема V вектор A удовлетворяет условию div A = 0 и на границе объема – поверхности S – условию An = 0 . Доказать, что r ∫ A dV = 0 . V

III-34. Для тензора II-го ранга в трехмерном пространстве доказать теорему Остроградского-Гаусса: ∂T ∫ ∂xiki dV = ∫ Tik dSi . (Указание: исходить из теоремы Остроградского-Гаусса для вектоr ра Ai = Tik d k , где d – постоянный вектор.) r III-35. Пользуясь интегральным представлением оператора ∇ , доказать равенство: r r r r r r r r r [ b × ∇ × a dV + a × ∇ × b dV = − n ∫ ∫ ∫ × a ]× b dS ,

[ [

V

]]

[

] ]

V

[

S

]

r r r где a , b – постоянные векторы, n – орт нормали к поверхности. r r III-36. Вычисляя для поля B = −∇⎛⎜ q ⎞⎟ ⎝ r⎠ r а). поток вектора B через поверхность сферы единичного радиуса; r б). интеграл по объему сферы от div B произвести прямое доказательство теоремы Остроградского-Гаусса. r r J × rr r III-37. Вычисляя для поля A = ( J = const ) r r а). циркуляцию вектора A по окружности единичного радиуса; r б). поток rot A через площадь круга единичного радиуса произвести прямое доказательство теоремы Стокса.

[

]

- 31 -

IV. Литература 1. В.М. Соколов, Н.Г. Голубева, Г.М. Максимова, Сборник задач по основам векторного и тензорного анализа, изд-во ГГУ, 1976 г. 2. М.А. Акивис, В.В. Гольдберг, Тензорное исчисление, М., “Наука”, 1972 г. 3. Н.Е. Кочин, Векторное исчисление и начала тензорного исчисления, М., “Наука”, 1965 г. 4. А.И. Борисенко, И.Е. Тарапов, Векторный анализ и начало тензорного исчисления, М., “Высшая школа”, 1966 г. 5. А.Дж. Мак-Конелл, Введение в тензорный анализ, М., “Физматгиз”, 1963 г. 6. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике, М., “Наука”, 1970 г. 7. Л.Г. Гречко и др., Сборник задач по теоретической физике, М., “Высшая школа”, 1972 г. 8. Дж. Мейз, Теория и задачи механики сплошных сред, М., “Мир”, 1974 г. 9. Ю.А. Амензаде, Теория упругости, М., “Высшая школа”, 1976 г.

- 32 -

Содержание Стр. Предисловие

3

I. Векторная алгебра 1. Базисные системы векторов 2. Вектор как направленный отрезок. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Задачи

4 4

II. Тензорная алгебра 1. Преобразование компонент векторов при повороте системы координат. 2. Определение тензора. Действия над тензорами. 3. Свойство симметрии тензоров. Изотропные тензоры. 4. Приведение симметричного тензора II ранга к диагональному виду. Задачи

8

5 6

8 8 10 11 12

III. Тензорный анализ 1. Тензорные поля. 2. Интегральное представление дифференциальных операторов. 3. Криволинейные системы координат. Задачи

23 24 26

IV. Литература

32

Содержание

33

- 33 -

22 22