Математический анализ. Функции нескольких переменных. Функциональные ряды: Учебное пособие

Приоритетный национальный проект «Образование» Южный федеральный университет Факультет математики, механики и компьютерных наук

В.С. Пилиди Электронное учебное пособие

Математический анализ

Функции нескольких переменных Функциональные ряды

Ростов-на-Дону 2009

ç

è

Управляющие клавиши Результат

Действие

Включить/выключить оглавление F4 Вся страница

Ctrl+L

Предыдущий экран

PgUp

Следующий экран

PgDn

Первая страница

Home

Последняя страница

End

Следующая страница

→

Предыдущая страница

←

Следующий вид

Alt + →

Предыдущий вид

Alt + ←

Увеличить

Ctrl + «знак равенства»

Уменьшить

Ctrl + «дефис»

ç

è

Глава 1. Функции нескольких переменных 1. Предварительные определения Напомним некоторые определения из курса алгебры. Пусть n ∈  . Через  n будем обозначать множество всех векторов-строк a = (a1, a2 ,, an ),

где a1 , a2 , …, an — произвольные вещественные числа. Сами эти векторы будем иногда называть точками, а числа a1 , a2 , …, an — координатами точки. Множество 1 отождествляется с вещественной прямой  . Обычно в этой главе рассматривается случай n > 1 . К случаю n = 1 мы будем обращаться только для иллюстрации вводимых понятий. В  n вводятся операции сложения векторов и умножения вектора на вещественное число по следующим формулам: ( x1, x2 ,, xn ) + ( y1, y2 ,, yn ) = ( x1 + y1, x2 + y2 ,, xn + yn ),

α ( x1, x2 ,, xn ) = (α x1,α x2 ,,α xn ). С этими операциями множество  n становится n -мерным вещественным линейным пространством. Нулевой вектор пространства  n , то есть вектор, все координаты которого равны нулю, будем обозначать так же, как и нулевой число символом 0 . Что имеется в виду, когда используется подобная запись, число или вектор, всегда должно быть ясно из контекста. Например, в утверждении для любого x ∈  n выполняется равенство 0 ⋅ x = 0

Глава 1

4

Функции нескольких переменных

ç

è

в левой части имеется в виду число 0 , а в правой части — нулевой вектор. Норма (или длина) вектора x = ( x1, x2 ,, xn ) определяется равенством || x ||=

x12 + x22 +  + xn2 . Приведем некоторые свойства нормы.

1. Для любого x ∈  n выполняется неравенство || x ||≥ 0 , причем равенство || x ||= 0 имеет место тогда и только тогда, когда x = 0 . 2. Для любых x ∈  n и α ∈  имеет место равенство || α x=|| | α | ⋅ || x || .

3. Для любых x , y ∈  n имеет место оценка || x + y ||≤|| x || + || y || . Первые два свойства очевидны. Для доказательства третьего свойства будет использовано следующее вспомогательное утверждение. ЛЕММА. Для любых x , y ∈  n имеет место оценка

n

∑ xi yi

≤ x ⋅ y.

i =1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если x = 0 или y = 0 , то левая и правая части равны нулю, и требуемое соотношение, очевидно, выполняется. Предположим, что x ≠ 0 и y ≠ 0 . Для a , b ≥ 0 имеем: a 2 b2 (a − b) = a − 2ab + b ≥ 0, ab ≤ + . 2 2 2

2

2

Заменяя a на a t при произвольном t > 0 , а b на

b , отсюда выводим: t

a 2t b 2 ab ≤ + . 2 2t

Применяем это неравенство к числам a =| xi | , b =| yi | : xi2t yi2 + . | xi | ⋅ | yi |≤ 2 2t

Теперь суммируем по i от 1 до n :

Глава 1

5

Функции нескольких переменных

ç

è

Буняковский

Коши

n  2 xi t yi2  t 1 x y | | | | ⋅ ≤ ∑ i i ∑  2 + 2t= 2 || x ||2 + 2t || y ||2 . =i 1 =i 1 n

и далее: n

n

∑ xi yi ≤ ∑| xi | ⋅ | yi | ≤

=i 1 =i 1

Полагая здесь t =

t 1 || x ||2 + || y ||2 . 2 2t

|| y || , получаем доказываемое соотношение. || x ||

Лемма доказана. Доказанное неравенство называется неравенством Коши-Буняковского. Перейдем теперь к доказательству свойства 3. Воспользуемся равенством 2

x+ y =

n

∑ ( xi +

=i 1

n

n n 2 yi ) = xi + 2 xi yi + yi2 = =i 1 =i 1 =i 1

∑

2

n

∑

∑

x + 2∑ xi yi + y . = 2

2

i =1

Оценивая модуль среднего слагаемого в правой части с помощью неравенства Коши-Буняковского, получаем: || x + y ||2 ≤|| x ||2 +2 || x || ⋅ || y || + || y ||2 = (|| x || + || y ||) 2 ,

откуда и следует доказываемое утверждение. Свойство 3 называется неравенством треугольника для нормы. Отметим также следующее важное соотношение: для любого вектора x ∈  n max | xi |≤| x |≤ n ⋅ max | xi | . 1≤i ≤n

1≤i ≤n

Действительно, пусть c = max | xi | . Возьмем значение i0 , 1 ≤ i0 ≤ n , 1≤i ≤n

для которого c =| xi0 | . Тогда для любого i , 1 ≤ i ≤ n выполняется неравенство | xi |≤ c , и

Глава 1

6

Функции нескольких переменных

ç

è

c 2 = xi20 ≤ x12 + x22 +  + xn2 ≤ nc 2 .

Извлекая квадратный корень, получаем искомое неравенство. В  n можно ввести расстояние между произвольными точками, определяемое так: если = x (= x1, x2 ,, xn ), y ( y1, y2 ,, yn ),

то расстояние ρ ( x, y ) задается равенством = ρ ( x, y ) ‖x − y‖= ( x1 − y1 ) 2 + ( x2 − y2 ) 2 +  + ( xn − yn ) 2 .

Напомним также, что введенное выше расстояние обладает следующими свойствами: 1. для любых x , y ∈  n имеет место неравенство ρ ( x, y ) ≥ 0 ; если

ρ ( x, y ) = 0 , то x = y ; 2. для любых x , y ∈  n имеет место равенство ρ ( x, y ) = ρ ( y, x) ; 3. для любых x , y , z ∈  n выполняется неравенство

ρ ( x, z ) ≤ ρ ( x, y ) + ρ ( y , z ) . Неравенство, указанное в свойстве 3, называется неравенством треугольника. Проверим свойство 3. Для произвольных x , y , z ∈  n имеем:

ρ ( x, z ) =|| x − z ||=|| ( x − y ) + ( y − z ) ||≤|| x − y || + || y − z ||= ρ ( x, y ) + ρ ( y, z ). Введем теперь понятия ε -окрестности точки в  n и понятие предела последовательности. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть a ∈  n , ε > 0 . Множество: U ε (a )= {x : x ∈  n ‖ , x − a‖< ε }.

называется ε -окрестностью точки a . Множество U ε (a ) называется также шаром в пространстве  n с центром в точке a и радиусом ε .

Глава 1

7

Функции нескольких переменных

ç

è

ЗАМЕЧАНИЕ. Чуть ниже мы уточним приведенное определение и будем называть введенное множество открытым шаром в пространстве  n . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть {xk }+∞ k =1 — последовательность точек пространства  n . Точку a ∈  n называют пределом точек xk при k → +∞ , если lim || xk − a ||= 0.

k →+∞

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Последовательность точек пространства  n , которая сходится к некоторой точке a ∈  n , называется сходящейся. Как и в случае предела числовой последовательности, элементарно доказывается, что предел сходящейся последовательности определяется ей однозначно. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Определение предела может быть переформулировано одним из следующих способов. 1) Для любого ε > 0 найдется такое K , что для всех k ≥ K выполняется неравенство || xk − a ||< ε . 2) Для любого ε > 0 найдется такое K , что для всех k ≥ K выполняется соотношение xk ∈U ε (a ) . ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если последовательность {xk }+∞ k =1 точек пространства  n сходится к точке a ∈  n , это отмечается стандартным образом: lim xk = a или xk → a при k → +∞ .

k →+∞

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Многие утверждения и определения, касающиеся последовательностей элементов пространства  n , совершенно аналогичны случаю числовых последовательностей. Поэтому некоторые из них будут опущены (например, определение подпоследовательности). Следующее утверждение связывает сходимость последовательности точек пространства  n и последовательностей их координат.

Глава 1

8

Функции нескольких переменных

ç

è Вейерштрасс

Больцано

ТЕОРЕМА 1. Пусть {xk }+∞ k =1 — последовательность точек пространства  n , = xk (= xk(1) , xk(2) ,, xk( n ) ), k 1,2, .

Последовательность {xk }+∞ k =1 сходится к точке = a (a1, a2 ,, an ) ∈  n

при k → +∞ в том и только том случае, когда для каждого i = 1 , 2, …, n имеет место равенство lim xk(i ) = ai . k →+∞

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для каждого i = 1 , 2, …, n выполняется доказанное выше неравенство | xk(i ) − ai |≤|| xk − a ||≤ n ⋅ max | xk( j ) − a j | . Сформули1≤ j ≤n

рованное утверждение непосредственно вытекает из этого соотношения. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Непустое множество X ⊂  n называется ограниченным, если существует такая константа M , что для каждого x ∈ X выполняется оценка | x |≤ M . ЗАМЕЧАНИЕ. Легко проверить, что множество M ⊂  n является ограниченным в том и только том случае, когда для любого i = 1 , 2, …, n множество всех i -х координат точек множества M является ограниченным. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Последовательность {xk }+∞ k =1 элементов пространства  n называется ограниченной, если множество ее значений ограничено, то есть существует такая константа M , что для всех k ∈  n выполняется оценка || xk ||≤ M . ЛЕММА БОЛЬЦАНО-ВЕЙЕРШТРАССА. Из любой ограниченной последовательности элементов пространства  n можно выделит сходящуюся подпоследовательность.

Глава 1

9

Функции нескольких переменных

ç

è

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть {xk }+∞ k =1 — ограниченная последовательность элементов пространства  n . Введем в рассмотрение координаты точек xk : xk = ( xk(1) , xk(2) ,, xk( n ) ).

Для каждого из указанных значений i последовательностей i -х координат {xk(i ) }+∞ k =1 является ограниченной.

Из ограниченности числовой последовательности {xk(1) }+∞ k =1 и леммы Больцано-Вейерштрасса для числовых последовательностей следует, что эта

последовательность

имеет

сходящуюся

подпоследовательность

{xn(1) }+∞ k =1 . Заменяя исходную последовательность элементов пространстk

ва  n ее подпоследовательностью {xnk }k+∞=1 , будем считать что у исходной последовательности элементов пространства  n последовательность первых координат является сходящейся. Теперь рассматриваем последовательность вторых координат, то есть последовательность {xk(2) }k+∞=1 . Эта последовательность является ограниченной и, следовательно, содержит сходящуюся подпоследовательность {xn(2) }+∞ k =1 . Снова заменяем последовательk

+∞ ность {xk }+∞ k =1 ее подпоследовательностью {xnk }k =1 . При этом последова-

тельность вторых координат становится сходящейся. Последовательность первых координат останется сходящейся как подпоследовательность сходящейся числовой последовательности. Продолжая этот процесс, мы получим из исходной последовательности элементов пространства  n ее сходящуюся подпоследовательность. Лемма доказана.

Глава 1

10

Функции нескольких переменных

ç

è

2. Открытые и замкнутые множества ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X ⊂  n — непустое множество. Точка x ∈ X называется внутренней точкой этого множества, если существует такое

ε > 0 , что U ε ( x) ⊂ X . ЗАМЕЧАНИЕ. Иначе говоря, точка x ∈ X называется внутренней точкой множества X , если вместе с этой точкой множество X содержит ε окрестность этой точки при некотором значении ε . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Непустое множество X ⊂  n называется открытым, если все его точки являются внутренними. Пустое множество по определению считается открытым. Примером открытого множества является все множество  n . ЛЕММА. Для любых a ∈  n и R > 0 шар U R (a ) является открытым множеством. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть x ∈U R (a ) . Тогда || x − a ||< R . Обозначим:

ε =R − || x − a || (> 0). Покажем, что U ε ( x) ⊂ U R (a ) . Действительно, предположим, что y ∈U ε ( x) , то есть || y − x ||< ε . Тогда, применяя неравенство треугольника, получаем: || y − a ||≤|| y − x || + || x − a ||< ε + || x − a ||=( R − || x − a ||)+ || x − a ||= R,

то есть || y − a ||< R , и y ∈U R (a ) . Мы доказали требуемое вложение. Лемма доказана. Часто удобно давать геометрическую интерпретацию вводимых здесь понятий. Обычно эта делается в случае n = 2 . При этом

ρ ( x, y= ) || y − x || становится обычным расстоянием между точками x и y , открытый шар U ε (a ) становится открытым кругом 1 радиуса ε с центром в точке a . 1

То есть кругом, из которого исключена ограничивающая его окружность.

Глава 1

11

ç

Функции нескольких переменных è

Читателю рекомендуется сделать рисунок к доказательству леммы. Обратите внимание, что число ε из доказательства леммы — это расстояние от точки x до окружности радиуса R , ограничивающей круг U R (a ) (см. рисунок ниже).

На рисунке красным цветом выделен отрезок, соединяющий точки a и x , длина этого отрезка, то есть расстояние между этими точками, равна‖x − a‖, длина отрезка, выделенного зеленым цветом, равна R −‖x - a‖. В доказательстве леммы было установлено, что открытый шар (в данном случае — круг) с центром в точке x и радиусом R −‖x - a‖ целиком лежит в «большом» шаре. УПРАЖНЕНИЕ. Доказать, что 1) пересечение конечного числа открытых подмножеств пространства  n является открытым подмножеством; 2) объединение любого (не обязательно конечного) семейства открытых подмножеств пространства  n является открытым подмножеством;

Глава 1

12

Функции нескольких переменных

ç

è

3) убедившись, что множество, состоящее из одной точки a ∈  n не является открытым, доказать, что свойство 1), вообще говоря, не имеет место в случае бесконечного семейства подмножеств. УКАЗАНИЕ. В случае 3) рассмотреть пересечение открытых множеств +∞

U1 n (a) n=1

с произвольной точкой a ∈  n . ЗАМЕЧАНИЕ. В теории множеств пересечение пустого семейства множеств считается пустым. Поэтому свойство 2) предыдущего упражнения остается в силе и для пустого семейства открытых множеств. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть x ∈  n . Любое открытое множество, содержащее точку x , называется окрестностью этой точки. Окрестности точки x будем обозначать через U ( x) , снабжая символ U в случае необходимости индексами. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть x ∈  n . Выколотой окрестностью точки x называется множество вида U ( x) \ {x} , где U ( x) — произвольная окрестность точки x . Иначе говоря, выколотая окрестность — это «обычная» окрестность, из которой удалена сама точка x . Отметим, что выколотая окрестность не является окрестностью в «обычном» смысле слова. Выколотые окрестности точки x будут обозначаться следующим образом: U ′( x) . Аналогично определяется выколотая ε -окрестность точки x : это множество U ε′ ( x) = U ε ( x) \ {x} ,

то есть ε -окрестность точки x , из которой удалена точка x .

Глава 1

13

Функции нескольких переменных

ç

è

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка a ∈  n называется предельной точкой множества A ⊂  n , если существует последовательность {xk }+∞ k =1 точек множества A , каждая из которых не совпадает с точкой a и такая, что lim xn = a . n→+∞

УПРАЖНЕНИЕ. Доказать следующее утверждение. Точка a ∈  n является предельной точкой множества A ⊂  n , тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 выполняется соотношение A ∩ U ε′ (a ) ≠ ∅ . ЗАМЕЧАНИЕ. Если точка a ∈ A не является предельной для множества A , она называется изолированной точкой этого множества. Дадим прямое определение изолированной точки. Запишем условие того, что точка a является предельной, пользуясь предыдущим упражнением: ∀ε > 0

A ∩ U ε′ (a ) ≠ ∅.

Тогда отрицание последнего высказывания выглядит так: ∃ε > 0

∅. A ∩ U ε′ (a ) =

Последнее условие можно переписать так: ∃ε > 0

A ∩ U ε (a) = {a}.

Поэтому можно дать следующее определение изолированной точки. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка a ∈ A называется изолированной, если существует ε -окрестность этой точки, не содержащая точек множества A , отличных от a . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Непустое множество A ⊂  n называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Пустое множество считается по определению замкнутым. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Замкнутым шаром в пространстве  n с центром в точке a ∈  n и радиусом R > 0 называется множество {x : x ∈  n , || x − a ||≤ R}.

Глава 1

14

Функции нескольких переменных

ç

è

Следующее утверждение дает обоснование приведенному определению. ЛЕММА. Замкнутый шар в пространстве  n является замкнутым множеством. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для произвольных a ∈  n и R > 0 обозначим: B= {x : x ∈  n , || x − a ||≤ R}.

Пусть {xk }+∞ k =1 — последовательность точек множества B и lim xk = y . k →+∞

Покажем, что y ∈ B . Для произвольного k ∈  , применяя неравенство треугольника для нормы, получаем: || y − a ||= || ( y − xk ) + ( xk − a ) ||≤|| y − xk || + | | xk − a || ≤|| y − xk || + R,    ≤R

поскольку xk ∈ B . Переходя к пределу в неравенстве || y − a ||≤|| y − xk || + R

при k → +∞ , получаем, что || y ||≤ R , то есть y ∈ B , что и требовалось доказать. УПРАЖНЕНИЕ. Доказать, что если для последовательности точек {xk }+∞ k =1 выполняется условие xk → a при k → +∞ , то lim || xk ||=|| a || . Выk →+∞

вести отсюда результат предыдущей леммы. УПРАЖНЕНИЕ. Пользуясь только определениями открытого и замкнутого множества, доказать, что для любых чисел a , b , удовлетворяющих условию −∞ < a < b < +∞ промежуток (a, b) ⊂  является открытым множеством, промежуток [a, b] ⊂  — замкнутым множеством, а промежутки (a, b] и [a, b) не являются ни открытыми, ни замкнутыми. Сформулировать

аналогичные утверждения для случая неограниченных промежутков. УПРАЖНЕНИЕ. Доказать, что

Глава 1

15

Функции нескольких переменных

ç

è

1) пересечение любого (не обязательно конечного) семейства замкнутых подмножеств пространства  n является замкнутым подмножеством; 2) объединение конечного числа замкнутых подмножеств пространства  n является замкнутым подмножеством; 3) доказать, что свойство 2), вообще говоря, не имеет место в случае бесконечного семейства замкнутых подмножеств. УКАЗАНИЕ. В случае 3) рассмотреть объединение замкнутых шаров с 1 центром в произвольной точке a и радиусами 1 − , n = 2 , 3, … . n

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть X ⊂  n . Множество, получаемое из множества X путем добавления всех его предельных точек, называется замыканием множества X и обозначается через X . ЛЕММА. Замыкание произвольного множества X ⊂  n является замкнутым множеством. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если X = ∅ , то множество предельных точек множества X является пустым, и X = ∅ . Пустое множество является замкнутым по определению. Предположим теперь, что X ≠ ∅ и a — предельная точка множества X . Докажем, что точка a является предельной также и для множества X . Дальнейшие построения рекомендуется сравнивать с рисунком, где изображен случай  2 . Выберем произвольное ε > 0 . По определению предельной точки существует точка b ∈ X , удовлетворяющая условиям: b ≠ a , b − a < ε . Выберем

число

δ > 0,

удовлетворяющее

условиям:

δ <ε − b−a ,

δ < b − a . Такое число можно выбрать, поскольку выполняются неравенства

Глава 1

16

Функции нескольких переменных

ç

è

ε − b − a > 0 , b − a > 0. ЗАМЕЧАНИЕ. Число δ выбирается так, чтобы шар радиуса δ с центром в точке b , «малый» круг на рисунке, целиком лежал в шаре радиуса ε с центром в точке a , «большом» круге на рисунке, это гарантируется условием δ < ε − b − a . С другой стороны, при достаточно малом δ точка a не будет принадлежать «малому» кругу, выполнение этого условия обеспечивается неравенством δ < b − a .

Точка b является предельной точкой множества X . Поэтому найдется точка c ∈ X , такая, что c − b < δ . Для точки c имеем соотношения: c−a = c−b+b−a ≤ c−b + b−a < c <

δ

<ε − b −a

+ b−a <ε − b−a + b−a = ε

Итак, точка c принадлежит «большому кругу». С другой стороны, выполняется неравенство c − a = b − a + c −b ≥ b − a − c −b > b − a −δ > 0 <δ

Из соотношения c − a > 0 следует, что c ≠ a . Итак, в круге радиуса ε с центром в точке a найдется точка , отличная от точки a . В силу произвольности ε , это означает, что точка c будет предельной для множества X , что и требовалось доказать.

Глава 1

17

Функции нескольких переменных

ç

è

Лемма доказана. Приведенную лемму можно переформулировать следующим образом: для замкнутого множества выполняется соотношение X = X . Из доказанной леммы непосредственно вытекает также следующее утверждение: множество X ⊂  n замкнуто в том и только том случае, когда X =X.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка a ∈  n называется граничной точкой множества X , если любая окрестность этого множества содержит как точки множества X , так и точки, не принадлежащие множеству X . Границей множества X называется множество всех граничных точек множества X . Граница множества X обозначается через ∂X . ЗАМЕЧАНИЕ. Легко проверить, что в определении граничной точки достаточно ограничиться не произвольными окрестностями, а ε -окрестностями: точка a ∈  n является граничной точкой множества X , в том и только том случае, когда для любого ε > 0 множество U ε (a ) содержит как точки множества X , так и точки, не принадлежащие множеству X . ПРИМЕР. Пусть B0 ={x : x ∈  n ,| x |< 1} —открытый шар единичного радиуса с центром в нуле:, B ={x : x ∈  n ,| x |≤ 1} — замкнутый единичный шар с центром в нуле, = S {= x :| x | 1} —сфера единичного радиуса с центром в нуле. Легко проверить, что ∂B =∂B0 =S . УПРАЖНЕНИЕ. Доказать следующие утверждения. 1) Множество X ⊂  n замкнуто в том и только том случае, когда ∂X ⊂ X .

2) Если X — замкнутое (открытое) множество, то множество  n \ X является открытым (замкнутым).

Глава 1

18

Функции нескольких переменных

ç

è

3) Для любого множества X ⊂  n множество ∂X является замкнутым. Справедливо следующее утверждение. ТЕОРЕМА 2. Для непустого множества X ⊂  n следующие условия равносильны: 1) множество X является замкнутым и ограниченным; 2) любая последовательность элементов множества X содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке множества X . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1) ⇒ 2) Пусть {xk }+∞ k =1 — произвольная последовательность точек множества X . Множество X является ограниченным. Поэтому данная последовательность также является ограниченной. В силу леммы Больцано-Вейерштрасса, эта последовательность содержит подпоследовательность {xnk }k+∞=1 , сходящуюся к некоторой точке a . Если для некоторого k ∈  выполняется равенство a = xnk , то a ∈ X , поскольку xnk ∈ X . Если для всех k ∈  xnk ≠ a , то точка a является предельной точ-

кой последовательности {xnk }k+∞=1 и, следовательно, a ∈ X , в силу замкнутости множества X . 2) ⇒ 1) Покажем сначала, что множество X является ограниченным. Допустим противное. Это означает, что для любого M > 0 найдется точка x ∈ X , для которой | x |> M . Отсюда следует, что можно построить последовательность {xk }+∞ k =1 точек множества X , удовлетворяющую условиям: | x1 |> 1, | x2 |> 2, | x3 |> 3,, | xn |> n, .

Любая подпоследовательность этой последовательности не является ограниченной и, следовательно, не является сходящейся. Полученное противоречие доказывает ограниченность множества X .

Глава 1

19

Функции нескольких переменных

ç

è

Докажем теперь замкнутость множества X . Для этого нужно доказать, что это множество содержит все свои предельные точки. Предположим, что {xk }+∞ k =1 — последовательность точек множества X , сходящаяся к некоторой точке a ∈  n . В силу условия 2) , эта последовательность содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке множества X . Но любая подпоследовательность сходящейся последовательности {xk }+∞ k =1 сходится к точке a . Следовательно, a ∈ X .

Теорема доказана. Пусть x1 , x2 , …, xn — функции, определенные и непрерывные на некотором отрезке [a, b] . Множество точек = L {( x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )) : t ∈ [α , β ]}

пространства  n называется непрерывной кривой в этом пространстве. Точки a = ( x1 (α ), x2 (α ),, xn (α )) и b = ( x1 ( β ), x2 ( β ),, xn ( β )) называются концами кривой L . Говорят, что кривая L соединяет точки a и b . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество M ⊂  n называется связным, если для любых точек a , b ∈ M существует непрерывная кривая, соединяющая эти точки и целиком лежащая в множестве M . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Областью в пространстве  n называется открытое связное множество. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Замыкание G области G ⊂  n называется замкнутой областью.

3. Предел функции нескольких переменных Пусть X ⊂  n — некоторое непустое множество. Будем рассматривать числовые функции, определенные на множестве X , то есть отобра-

Глава 1

20

Функции нескольких переменных

ç

è

жения f : X →  . Множество X называется областью определения функции f . Значение функции f в точке x = ( x1, x2 ,, xn )

обозначается через f ( x) или через f ( x1, x2 ,, xn ) . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть функция f определена на множестве X , и точка a является предельной для этого множества. Число A называется пределом функции f по множеству X при x → a , если по любому ε > 0 найдется такое δ > 0 , что для всех x ∈ X , удовлетворяющих условию 0<| x −a|<δ ,

выполняется неравенство | f ( x) − A |< ε . Число A из приведенного определения находится однозначно. Мы будем обозначать его следующим образом: lim f ( x) или просто lim f ( x) , x →a , x∈X

x →a

если область определения функции f ясна из контекста. Используется также следующая запись. Если a = (a1, a2 ,, an ) , то lim f ( x) обозначается x →a

так: lim f ( x1, x2 ,, xn ).

x1 →a1 x2 →a2 ......... xn →an

На рассматриваемый случай переносятся все свойства пределов функций одной переменной. В частности, имеют место следующие два утверждения, доказательства которых совершенно аналогичны случаю одной переменной. ТЕОРЕМА 3 (КРИТЕРИЙ КОШИ

СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ).

Предположим, что функция f определена на множестве X , и точка a является предельной для этого множества. Следующие условия эквивалентны:

Глава 1

21

Функции нескольких переменных

ç

è

1) существует lim f ( x) ; x →a , x∈X

2) для любого ε > 0 найдется такое δ > 0 , что для любых x′ , x′′ , удовлетворяющих условиям x′ , x′′ ∈ X , 0 <| x′ − a |< δ , 0 <| x′′ − a |< δ выполняется неравенство | f ( x′) − f ( x′′) |< ε . ЗАМЕЧАНИЕ. Условие x′ , x′′ ∈ X , 0 <| x′ − a |< δ , 0 <| x′′ − a |< δ могут быть записаны следующим образом: x′ , x′′ ∈ X ∩ Uδ′ (a ) . УПРАЖНЕНИЕ. Доказать, что условие 2) равносильно следующему: для любого ε > 0 найдется такая выколотая окрестность U ′(a ) , что для любых x′ , x′′ , удовлетворяющих условию x′ , x′′ ∈ X ∩ U ′(a ) выполняется неравенство | f ( x′) − f ( x′′) |< ε . Аналогично случаю функций одной переменной вводится понятие функций, ограниченных сверху или снизу, и «просто» ограниченных функций. ТЕОРЕМА 4. Предположим, что функция f определена на множестве X , точка a является предельной для этого множества и существует lim f ( x)

x →a , x∈X

Тогда существует такое δ > 0 , что функция f ограничена на множестве X ∩ Uδ′ (a ) . Это стандартное утверждение о локальной ограниченности функции в окрестности точки a , и мы опускаем его доказательство.

4. Функции, непрерывные в точке Предположим, что функция f определена на множестве X ⊂  n и точка a ∈ X является предельной точкой множества X .

Глава 1

22

Функции нескольких переменных

ç

è

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что функция f непрерывна в точке a , если lim f ( x) = f (a ).

x →a , x∈X

Переформулируем это определение. По любому ε > 0 найдется такое δ > 0 , что для всех x ∈ X , удовлетворяющих условию | x − a |< δ выполняется неравенство | f ( x) − f (a) |< ε . ЗАМЕЧАНИЕ. Определение непрерывности может быть переформулировано в терминах окрестностей. По любому ε > 0 найдется такая окрестность U (a ) , что для всех x ∈ X ∩ U (a ) выполняется неравенство | f ( x) − f (a ) |< ε .

Мы не будем приводить свойства непрерывных функций нескольких переменных, аналогичные свойствам функций одной переменной (если две функции непрерывны в некоторой точке, то их сумма, разность и произведение также непрерывны в этой точке и т.д.). Остановимся только на вопросе о непрерывности сложной функции. ТЕОРЕМА 5. Предположим, что 1) функция f определена на некотором множестве X ⊂  n и непрерывна в предельной точке a = (a1, a2 ,, an ) множества X ; 2) функции g1 (t ) , g 2 (t ) , …, g n (t ) определены на некотором множестве T ⊂  m и каждая из них непрерывна в предельной точке b ∈ T множества T ; 3) для любой точки t ∈ T выполняется соотношение ( g1 (t ), g 2 (t ),, g n (t )) ∈ X .

Тогда сложная функция z = f ( g1 (t ), g 2 (t ),, g n (t ))

определенная, в силу условия 3), на множестве T , непрерывна в точке b .

Глава 1

23

Функции нескольких переменных

ç

è

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем произвольное ε > 0 и найдем такое δ > 0 , что для всех x ∈ X , удовлетворяющих условию || x − a ||< δ имеет место оценка | f ( x) − f (a) |< ε . Теперь найдем такое σ > 0 , что для всех t ∈ T , удовлетворяющих неравенству || t − b ||< σ , выполняются неравенства | g1 (t ) − g1 (b) |<

δ n

, | g 2 (t ) − g 2 (b) |<

δ n

,,| g n (t ) − g n (b) |<

δ n

.

Тогда для тех же значений t имеем следующую оценку для нормы разности элементов пространства  n : || ( g1 (t ), g 2 (t ),, g n (t )) − ( g1 (b), g 2 (b),, g n (b)) ||< δ

и, следовательно, | f ( g1 (t ), g 2 (t ),, g n (t )) − f ( g1 (b), g 2 (b),, g n (b)) |< ε .

Теорема доказана.

5. Функции, непрерывные на множестве В дальнейшем будет предполагаться, что области определения рассматриваемых функций не имеют изолированных точек. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция, непрерывная в каждой точке множестве X ⊂  n , называется непрерывной на этом множестве.

ТЕОРЕМА 6 (ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА). Предположим, что функция f определена и непрерывна на замкнутом ограниченном множестве X ⊂  n . Тогда она ограничена на множестве X и достигает своих точ-

ной верхней и точной нижней граней. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем, что функция f ограничена сверху. Доказательство проведем от противного. Допустим, что функция не является ограниченной сверху. Тогда найдется такая последовательность {xk }+∞ k =1 точек множества X , что для каждого k ∈  выполняется неравенство

Глава 1

24

Функции нескольких переменных

ç

è

f ( xk ) > k . Напомним, что любая последовательность точек множества X

содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке из X . Заменяя в случае необходимости последовательность {xk }+∞ k =1 ее соответствующей подпоследовательностью, можно предполагать, что имеет место соотношение lim xk = a ∈ X . Тогда, в силу непрерывности функции f , k →+∞

выполняется соотношение f ( xk ) → f (a ) и, следовательно, последовательность { f ( xk )}+∞ k =1 не является ограниченной. Это противоречит тому, что f ( xk ) → +∞ при k → +∞ .

Итак, функция f ограничена сверху. Обозначим: M = sup f ( x) . Выx∈X

берем последовательность {xk }+∞ k =1 точек множества X , для которой lim f ( xk ) = M .

k →+∞

Переходя в случае необходимости к подпоследовательности последовательности {xk }+∞ k =1 , можно предполагать, что эта последовательность является сходящейся к некоторой точке a ∈ X . В силу непрерывности функции f , lim f ( xk ) = f (a ) и, в силу единственности предела последоваk →+∞

тельности, f (a ) = M . Мы доказали, что точная функция f достигает своей точной верхней грани. Случай ограниченности снизу и точной нижней грани рассматривается аналогично (или сводится к рассмотрению функции − f . Теорема доказана. ТЕОРЕМА 7 (ТЕОРЕМА

О ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ).

Предположим,

что функция f определена и непрерывна в области G , a , b ∈ G . Тогда для любого значения C , лежащего между f (a ) и f (b) , существует точка

c ∈ G, такая, что f (c) = C .

Глава 1

25

Функции нескольких переменных

ç

è

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По определению области, найдется непрерывная кривая L = {= x ϕ (t ) : t ∈ [α , β ]} , лежащая в множестве G и такая, что

ϕ (α ) = a , ϕ ( β ) = b . Рассмотрим сложную функцию z = f (ϕ (t )) , t ∈ [α , β ] . Она является непрерывной по теореме о непрерывности сложной функции. Кроме того, выполняются равенства f (ϕ (α )) = f (a ) , f (ϕ ( β )) = f (b) . Применяя теорему Коши о промежуточных значениях функции, определенной и непрерывной на отрезке, получаем, что существует точка ξ ∈ [α , β ] , для которой f (ϕ (ξ )) ) = C . Обозначая = c ϕ (ξ ) ∈ G , получаем: f (c) = C . Что и требовалось доказать. Напомним, что замыкание области называется замкнутой областью. СЛЕДСТВИЕ

ТЕОРЕМЫ.

Предположим, что функция f определена и

непрерывна в замкнутой области G , a , b ∈ G . Тогда для любого значения C , лежащего между f (a ) и f (b) , существует точка c ∈ G , такая, что f (c ) = C .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим: f (a ) = A , f (b) = B . Если A = B , то утверждение тривиально. Не нарушая общности рассуждений, можно предполагать, что A < B . Предположим, что число C лежит между A и B . Случаи C = A и C = B также тривиальны. Поэтому достаточно ограничиться предположением, что A < C < B . Выберем число ε > 0 , удовлетворяющее неравенствам ε < C − A , ε < B − C , то есть так чтобы выполнялись неравенства A + ε < C < B − ε . В силу непрерывности функции в точке a , найдется точка a0 ∈ G (именно из G , а не G , это нужно, чтобы воспользоваться теоремой), такая, что | f (a0 ) − f (a ) |< ε . Аналогично получаем, что найдется точка b0 ∈ G , такая, что | f (b0 ) − f (b) |< ε . Тогда f (a0 ) < f (a ) + ε = A + ε < C < B − ε < f (b0 ) ,

Глава 1

26

Функции нескольких переменных

ç

è

то есть f (a0 ) < C < f (b0 ) . В силу предыдущей теоремы, найдется точка c ∈ G , для которой f (c) = C .

Следствие доказано.

6. Частные производные Предположим, что функция f определена в некоторой окрестности точки a (a1, a2 ,, an ) ∈  n . Зафиксируем значения всех переменных x1 , = x2 ,…, xn , кроме первой, полагая x2 = a2 , x3 = a3 , …, xn = an и рассмотрим

функцию одной переменной f ( x1, a2 ,, an ) . Если эта функция имеет производную по x1 в точке a1 , то эта производная называется частной производной по переменной x1 функции f в точке a и обозначается одним из следующих способов: ∂f (a ), ∂x1

f x′1 (a ),

f x1 (a ).

Мы будем использовать преимущественно первый способ. Аналогично определяются частные производные по другим переменным,

∂f ∂f (a ) , …, (a ) . Эти производные называются также частны∂x2 ∂xn

ми производными первого порядка (в отличие от вводимых далее производных более высокого порядка). Предположим, что точка x лежит в области определения функции f . Введем следующее обозначение: ∆x = x − a , называемое приращением аргумента. Отметим, что в данном случае приращение аргумента является элементом пространства  n : если x = ( x1, x2 ,, xn ) , то ∆x = (∆x1, ∆x2 ,, ∆xn ) = ( x1 − a1, x2 − a2 ,, xn − an ) ,

‖∆x‖=

(∆x1 ) 2 + (∆x2 ) 2 +  + (∆x2 ) 2 .

Глава 1

27

Функции нескольких переменных

ç

è

Приращением функции f в точке a , соответствующим приращению аргумента ∆x , называется величина ∆f (= a ) f (a + ∆x) − f (a ) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f , определенная в некоторой окрестности точки a ∈  n , называется дифференцируемой в точке a , если приращение этой функции в точке a может быть представлено в виде: ∆f (= a ) f (a + ∆x) − f (= a)

n

∑ Li ∆xi + o(| ∆x |)

(∗)

i =1

при‖∆x‖→ 0 , где L1 , L2 ,…, Ln — некоторые числа. ЗАМЕЧАНИЕ. Обратим внимание читателя, что определение дифференцируемости функции нескольких переменных является точным аналогом определения дифференцируемости функции одной переменной, или иначе: приведенное определение при n = 1 переходит в определение дифференцируемости функции одной переменной. ЗАМЕЧАНИЕ. Выражение o‖ ( ∆x‖) имеет смысл, аналогичный случаю функций одной переменной: это функция вида α (∆x)‖∆x‖, где функция α определена в некоторой выколотой окрестности точки 0 и α (∆x) → 0 при ∆x → 0 .

ЗАМЕЧАНИЕ. Если функция f дифференцируема в точке a , то она непрерывна в этой точке. Действительно, из соотношения (∗) следует, что f (a + ∆x) − f (a ) → 0 ,

если ∆x → 0 . ТЕОРЕМА 8. Если функция f дифференцируема в точке a ∈  n , то в этой точке существуют частные производные

∂f ∂f (a ) ,…, (a ) и для ∂x1 ∂xn

Глава 1

28

Функции нескольких переменных

ç

è

констант Li из определения дифференцируемости выполняются соотношения Li =

∂f (a ) , i = 1 , 2 , …, n . ∂xi

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что ∆x1 ≠ 0 , ∆x2 = 0 , …, ∆xn = 0. Обозначим: ∆x = (∆x1,0,,0). Тогда‖∆x‖=| ∆x1 | , и из (∗) получаем: f (a1 + ∆x1, a2 ,, an ) − f (a1, a2 ,, an )= A1∆x1 + α (∆x) | ∆x1 | .

Деля обе части соотношения на ∆x1 и переходя к пределу при ∆x1 → 0 , получаем, что существует частная производная ство

∂f (a ) и выполняется равен∂x1

∂f (a ) = L1 . Аналогично рассматриваются остальные частные произ∂x1

водные. Теорема доказана. Из доказанной теоремы следует, что числа Li в определении дифференцируемости находятся единственным образом. При этом формула (∗) может быть переписана следующим образом: a ) f (a + ∆x) − f (= a) ∆f (=

n

∂f

( ∆x‖). ∑ ∂x (a)∆xi + o‖ i =1

i

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейная функция df (a ) =

n

∂f

∑ ∂x (a)∆xi i =1

i

переменной ∆x называется дифференциалом функции f в точке a . ЗАМЕЧАНИЕ. Величины ∆xi принято в данном контексте обозначать через dxi , и выражения для дифференциала функции приобретает вид: ∂f (a )dxi . ∂ x i i =1 n

df (a ) = ∑

Глава 1

29

Функции нескольких переменных

ç

è

Напомним, что в случае функций одной переменной справедливы следующие утверждения: 1) функция, дифференцируемая в точке, является непрерывной в этой точке; 2) дифференцируемость функции в точке равносильна существованию производной в этой точке. В случае функций нескольких переменных ситуация становится существенно другой. Свойство 1) остается в силе. Однако связь между дифференцируемостью и наличием частных производных становится существенно более сложной. Приведем соответствующие примеры. ПРИМЕР. Если функция f определена в некоторой окрестности точки a ∈  n , непрерывна в этой точке и имеет частные производные

∂f (a) , ∂xi

i = 1 , 2 ,…, n , то она не обязательно является дифференцируемой в этой

точке. Рассмотрим, например, функцию f ( x, y ) , определенную на плоскости  2 следующим образом: f ( x, y ) =

2 xy x +y 2

2

,

если ( x, y ) ≠ (0,0) , f (0,0) = 0 . Непрерывность функции f в точках ( x, y ) ≠ (0,0) очевидна. Докажем ее непрерывность в точке (0,0) . Для любых x , y ∈  справедлива оценка: 2 | x | ⋅ | y |≤ x 2 + y 2 . Действительно, ее можно переписать в виде 2 | x | ⋅ | y |≤| x |2 + | y |2 ,

или | x |2 + | y |2 −2 | x | ⋅ | y |≥ 0, (| x | − | y |) 2 ≥ 0 .

Тогда получаем:

Глава 1

30

Функции нескольких переменных

ç

è

| f ( x, y ) |≤

2 | xy | x +y 2

2

≤ x2 + y 2 → 0

при ( x, y ) → (0,0) . При фиксированном y ≠ 0 существование частной производной по x очевидно. Из тождества f ( x,0) ≡ 0 вытекает, что

∂f ( x,0) =0, в частности, ∂x

∂f (0,0) = 0 . В силу соотношения f ( x, y ) = f ( y, x) , аналогичные факты ∂x

имеют место и для частной производной по y . Покажем, что функция f не является дифференцируемой в точке (0,0) . Действительно, допустив противное и учитывая, что

∂f ∂f = (0,0) 0,= (0,0) 0, ∂x ∂y

получаем, что f ( x, y ) = f ( x, y ) − f (0,0 )=o( x 2 + y 2 ),

если ( x, y ) → (0,0) . Отсюда, в частности, должно следовать, что f ( x, x) = o(| x |)

при x → 0 . Однако f= ( x, x )

2 x2 = 2 x2

2 | x |,

и при x → 0 правая часть не удовлетворяет предыдущему условию. ПРИМЕР. Рассмотрим функцию f ( x, y ) , определяемую следующим условиями: f ( x, y ) = 0 , если x = 0 или y = 0 и f ( x, y ) = 1 в остальных случаях. Иначе говоря, функция f тождественно равна единице всюду, кроме координатных осей, где она тождественно равна нулю. Тогда

∂f (0,0) = 0 , ∂x

Глава 1

31

Функции нескольких переменных

ç

è

∂f (0,0) = 0 . Однако, данная функция не является непрерывной в точке ∂y (0,0) и, следовательно, не является дифференцируемой в этой точке.

Приводимая ниже теорема дает достаточные условия дифференцируемости функции в точке в терминах ее частных производных. ТЕОРЕМА 9. Предположим, что функция f определена в некоторой окрестности точки c ∈  n и имеет в этой окрестности частные производные по каждой из переменных, непрерывные в точке c . Тогда функция f дифференцируема в точке c . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ограничимся рассмотрением случая n = 2 . Общий случай отличается от него лишь более громоздкой записью. Предположим, что функция f определена в окрестности U точки = c (a, b) ∈  2 и имеет в этой окрестности частные производные

∂f ∂f ( x, y ) , непрерывные ( x, y ) и ∂y ∂x

в точке c . Выберем такое число δ > 0 , чтобы выполнялось соотношение U δ (c) ⊂ U . Зададим приращения ∆x и ∆y независимой переменной, удов-

летворяющие неравенству ∆x 2 + ∆y 2 < δ 2 . Тогда (a + ∆x, b + ∆y ) ∈U .

Рассмотрим соответствующее приращение функции f : ∆f (a,= b) f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a,= b) = ( f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b + ∆y )) + ( f (a, b + ∆y ) − f (a, b)).

Применяя к выражениям в каждой из скобок формулу конечных приращений, получаем: ∆f (a= , b)

∂f ∂f (a + θ1∆x, b + ∆y ) ⋅ ∆x + (a, b + θ 2∆y ) ⋅ ∆y, ∂x ∂y

где θ1 = θ1 (∆x, ∆y ) , θ= 2 θ 2 ( ∆y ) , 0 < θ1 ,θ 2 < 1 . Обозначим:

(∗)

Глава 1

32

Функции нескольких переменных

ç

è

λ (∆x,= ∆y )

µ (= ∆y )

∂f ∂f (a + θ1∆x, b + ∆y ) − (a, b), ∂x ∂x

∂f ∂f (a, b + θ 2 ∆y ) − (a, b), ∂y ∂y

В силу непрерывности частных производных

∂f ∂f ( x, y ) в точ( x, y ) и ∂y ∂x

ке c, имеют место равенства lim λ (= ∆x, ∆y ) 0,

∆x→0, ∆y →0

lim= µ (∆y ) 0.

∆x→0

Тогда из равенства (∗) находим: ∆= f ( a, b)

∂f ∂f (a, b) ⋅ ∆x + (a, b) ⋅ ∆y + (λ (∆x, ∆y ) ⋅ ∆x + µ (∆y= ) ⋅ ∆y ) ∂x ∂y

=

∂f ∂f (a, b) ⋅ ∆x + (a, b) ⋅ ∆y + ν (∆x, ∆y ), ∂x ∂y

где ν (∆x, ∆y )= λ (∆x, ∆y ) ⋅ ∆x + µ (∆y ) ⋅ ∆y . Остается заметить, что lim ν (∆x, ∆y ) = 0. ∆x→0, ∆y →0

Теорема доказана. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f , определенная в некоторой области D пространства  n и имеющая в каждой точке области D частные производные (первого порядка) по всем переменным, непрерывные в области D, называется непрерывно дифференцируемой в области D .

7. Производная сложной функции Предположим, что функция f определена и дифференцируема в некоторой области D ⊂  n , функции ϕ и ψ определены и дифференцируемы на некотором интервале I и для любой точки t ∈ I выполняется сле-

Глава 1

33

Функции нескольких переменных

ç

è

дующее соотношение: (ϕ (t ),ψ (t )) ∈ D . Тогда на интервале I определена сложная функция u = f (ϕ (t ),ψ (t )) . Покажем, что функция u = u (t ) дифференцируема на интервале I , и найдем формулу для вычисления ее производной. Выберем точку t ∈ I , зададим произвольное приращение ∆t переменной t , обозначим через ∆x и ∆y соответствующие приращения переменных x = ϕ (t ) , y = ψ (t ) : ∆= x ϕ (t + ∆t ) − ϕ (t ) , ∆= y ψ (t + ∆t ) − ψ (t ) .

В силу дифференцируемости функции f , имеет место соотношение ∆u= f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y )= A ⋅ ∆x + B ⋅ ∆y + α ⋅ ∆x + β ⋅ ∆y,

где A =

(∗)

∂f ( x, y ) ∂f ( x, y ) , B= , α = α (∆x, ∆y ) , β = β (∆x, ∆y ) , причем α → 0 , ∂y ∂x

β → 0 при ∆x , ∆y → 0 . Тогда из соотношения (∗) находим: ∆u ∆x ∆y ∆x ∆y . = A⋅ + B⋅ +α ⋅ +β⋅ ∆t ∆t ∆t ∆t ∆t

Переходим в полученном соотношении к пределу при ∆t → 0 . Учтем, что при этом ∆x , ∆y → 0 , поскольку дифференцируемые функции ϕ и ψ являются непрерывными в любой точке своей области определения. Отсюда следует, что α = α (∆x, ∆y ) → 0 , аналогично получаем, что β → 0 . Учитывая указанные выше значения величин A и B , получаем окончательно: du ∂f dx ∂f dy = ⋅ + ⋅ , dt ∂x dt ∂y dt

или в развернутом виде: d ∂f dϕ (t ) ∂f dψ (t ) f (ϕ (t ),= ψ (t )) (ϕ (t ),ψ (t )) ⋅ + (ϕ (t ),ψ (t )) ⋅ . ∂x ∂y dt dt dt

Мы нашли формулу для нахождения производной сложной функции.

Глава 1

34

Функции нескольких переменных

ç

è

Аналогично рассматривается случай, когда x и y являются функциями нескольких переменных. Как и выше, будем предполагать, что функция f определена и дифференцируема в некоторой области D ⊂  2 . Предположим, что функции ϕ и ψ определены и дифференцируемы в некоторой области G ⊂  2 и для любой точки (t ,τ ) ∈ G выполняется соотношение: (ϕ (t ,τ ),ψ (t ,τ )) ∈ D . Тогда в области G определена сложная функция u = f (ϕ (t ,τ ),ψ (t ,τ )) . Можно доказать, что эта функция дифференцируема в любой точке (t ,τ ) ∈ G , и имеют место равенства ∂u ∂f ∂x ∂f ∂y = ⋅ + ⋅ , ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t

∂u ∂f ∂x ∂f ∂y = ⋅ + ⋅ , ∂τ ∂x ∂τ ∂y ∂τ

или в развернутом виде: ∂f (ϕ (t ,τ ),ψ (t ,τ )) = ∂t

=

∂f (ϕ (t ,τ ),ψ (t ,τ )) ∂ϕ (t ,τ ) ∂f (ϕ (t ,τ ),ψ (t ,τ )) ∂ψ (t ,τ ) ⋅ + ⋅ , ∂x ∂t ∂y ∂t ∂f (ϕ (t ,τ ),ψ (t ,τ )) = ∂τ

=

∂f (ϕ (t ,τ ),ψ (t ,τ )) ∂ϕ (t ,τ ) ∂f (ϕ (t ,τ ),ψ (t ,τ )) ∂ψ (t ,τ ) ⋅ + ⋅ . ∂x ∂τ ∂y ∂τ

Перейдем к примерам. В этих примерах предполагается, что рассматриваемые функции дифференцируемы, и сложная функция корректно определена. 1°. Рассмотрим функцию z = f ( x, y ) и выполним замену переменной y = ϕ ( x) , то есть рассмотрим функцию одной переменной z = f ( x,ϕ ( x)) .

Тогда имеем: dz ∂z ∂z dy = + ⋅ . dx ∂x ∂y dx

Глава 1

35

Функции нескольких переменных

ç

è

Здесь учтено соотношение

dx = 1. Более аккуратно полученная формула dx

записывается так d ∂z ∂z dϕ ( x ) f ( x,ϕ ( x)) = ( x,ϕ ( x)) + ( x,ϕ ( x)) ⋅ . dx ∂x ∂y dx

2°. Предположим, что функция f определена и дифференцируема на плоскости  2 . Перейдем к полярным координатам = x r= cos ϕ , y r sin ϕ ,

рассмотрим функцию h(r ,ϕ ) = f (r cos ϕ , r sin ϕ ) и найдем частные производные функции h по r и ϕ . Применяя формулу для производной сложной функции, имеем: ∂h ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂f = ⋅ + ⋅ = cos ϕ ⋅ + sin ϕ ⋅ , ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂x ∂y ∂h ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂f =⋅ + ⋅ = − r sin ϕ + r cos ϕ . ∂ϕ ∂x ∂ϕ ∂y ∂ϕ ∂x ∂y

8. Производные высших порядков Предположим, что функция f

определена в некоторой области

D ⊂  2 и в этой области определена одна из частных производный функ-

ции f . Эта производная также является функцией двух переменных. Если она имеет частную производную по одной из переменных в некоторой точке = z0 ( x0 , y0 ) ∈ D , то эта производная называется производной второго порядка в данной точке от исходной функции f . Используются следующие обозначения (разумеется, в предположении, что левая часть существует): ∂ 2 f ( x0 , y0 ) ∂  ∂f  ∂2 f = ( x , y ) = ( x , y ) = f xx ( x0 , y0 ),   0 0 0 0 ∂x  ∂x  ∂x 2 ∂x 2

Глава 1

36

Функции нескольких переменных

ç

è

∂ 2 f ( x0 , y0 ) ∂  ∂f  ∂2 f ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ) = f xy ( x0 , y0 ), = = ∂x  ∂y  ∂x∂y ∂x∂y

∂ 2 f ( x0 , y0 ) ∂  ∂f  ∂2 f = ( x0 , y0 ) = f yx ( x0 , y0 ),  =  ( x0 , y0 ) ∂y  ∂x  ∂y∂x ∂y∂x ∂ 2 f ( x0 , y0 ) ∂  ∂f  ∂2 f ( x0 , y0 ) = ( x0 , y0 ) = f yy ( x0 , y0 ). = ∂y  ∂y  ∂y 2 ∂y 2

∂2 f ∂2 f Производные и носят название смешанных. Можно привести ∂x∂y ∂y∂x

пример, когда обе эти производные в некоторой точке существуют, но принимают разные значения. Если наложить на функцию f некоторые дополнительные ограничения, то смешанные производные будут совпадать. Справедливо следующее утверждение, которое мы приводим без доказательства. ∂2 f ∂2 f и определены ТЕОРЕМА 10. Если смешанные производные ∂x∂y ∂y∂x

в окрестности некоторой точки ( x0 , y0 ) и непрерывны в этой точке, то ∂2 f ∂2 f имеет место равенство ( x0 , y0 ) = ( x0 , y0 ) . ∂x∂y ∂y∂x

Аналогично определяются производные более высоких порядков, например, в случае функции двух переменных, можно определить производные ∂3 f ( x0 , y0 ), ∂x3 ∂3 f ( x0 , y0 ), ∂x∂y 2

∂3 f ( x0 , y0 ), ∂x 2∂y ∂3 f ( x0 , y0 ), ∂y 2∂x

∂3 f ( x0 , y0 ), ∂y∂x 2

∂3 f ( x0 , y0 ), ∂x∂y∂x

∂3 f ( x0 , y0 ), ∂y∂x∂y

∂3 f ( x0 , y0 ). ∂y 3

Производные, получаемые путем дифференцирования по нескольким переменным (в предыдущих формулах — все, кроме первой и последней), называются смешанными.

Глава 1

37

Функции нескольких переменных

ç

è

Лаплас

Для этих производных справедлив аналог предыдущей теоремы, которые мы сформулируем в следующем частном случае: если все смешан∂3 f ∂3 f ∂3 f , , определены в некоторой окрестные производные ∂x 2∂y ∂x∂y∂x ∂y∂x 2

ности точки ( x0 , y0 ) и непрерывны в этой точке, то они принимают одинаковые значения в точке ( x0 , y0 ) . Аналогично определяются производные более высоких порядков. В заключение приведем следующее определение. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f , определенная в некоторой области D пространства  n и имеющая в каждой точке области D все частные производные второго порядка, непрерывные в области D, называется дважды непрерывно дифференцируемой в области D .

9. Оператор Лапласа Предположим, что функция u определена и дважды непрерывно дифференцируема в области D ⊂  2 . Поставим ей в соответствие функ∂ 2u ∂ 2u цию ∆u , определенную в области D условием: ∆u= . Отобра+ ∂x 2 ∂y 2

жение ∆ : u → ∆u называется оператором Лапласа. ЗАМЕЧАНИЕ. Иногда для оператора Лапласа используется следующая ∂2 ∂2 . запись: = ∆ + ∂x 2 ∂y 2

Найдем выражение для оператора Лапласа в полярных координатах. Рассмотрим соотношения, = x r= cos ϕ , y r sin ϕ .

(∗)

Глава 1

38

Функции нескольких переменных

ç

è

связывающие декартовы и полярные координаты на плоскости. Выполним сначала вспомогательные построения — найдем частные производные от

r и ϕ по x и y . Беря частные производные по переменной x , из соотношений (∗) получаем систему уравнений: ∂ϕ  ∂r 1,  ∂x cos ϕ − r sin ϕ ∂x =   ∂r sin ϕ + r cos ϕ ∂ϕ = 0. ∂x  ∂x

Умножая первое уравнение на cos ϕ , второе — на sin ϕ и складывая полученные соотношения, находим, что

∂r = cos ϕ . Умножая первое уравнение ∂x

на − sin ϕ , а второе — на cos ϕ и складывая полученные соотношения, получим: r

∂ϕ ∂ϕ sin ϕ . Дифференцируя = − sin ϕ . Отсюда следует, что = − r ∂x ∂x

соотношения (∗) по y , аналогично находим:

∂r ∂ϕ cos ϕ = sin ϕ , = . r ∂y ∂y

Теперь, пользуясь найденными соотношениями, находим: ∂u ∂u ∂r ∂u ∂ϕ ∂u sin ϕ ∂u = ⋅ + ⋅ = cos ϕ ⋅ − ⋅ , ∂x ∂r ∂x ∂ϕ ∂x ∂r r ∂ϕ ∂u ∂u ∂r ∂u ∂ϕ ∂u cos ϕ ∂u = ⋅ + ⋅ = sin ϕ ⋅ + ⋅ . ∂y ∂r ∂y ∂ϕ ∂y ∂r ∂ϕ r

Используя последние соотношения, находим (одинаковым цветом выделены фрагменты формул до и после преобразования): ∂ 2u ∂  ∂u sin ϕ ∂u  = ⋅= cos ϕ ⋅ −  2 ∂x  ∂r r ∂ϕ  ∂x

= cos ϕ ⋅

∂u sin ϕ ∂  ∂u  ∂  sin ϕ  ∂u ∂  ∂u  ∂ = ⋅ −    + ( cos ϕ ) ⋅ − ⋅ ∂r ∂x  ∂r  ∂x r ∂x  ∂ϕ  ∂x  r  ∂ϕ  ∂ 2u sin ϕ ∂ 2u  sin 2 ϕ ∂u = cos ϕ ⋅  cos ϕ ⋅ 2 − ⋅ ⋅ − + r ∂ r ∂ r ϕ ∂r ∂ r  

Глава 1

39

Функции нескольких переменных

ç

è

−

∂ 2u sin ϕ ∂ 2u  sin ϕ  ⋅  cos ϕ ⋅ − ⋅ − r  r ∂ϕ 2  ∂r∂ϕ

 sin ϕ  cos ϕ ⋅  −  ⋅ r − sin ϕ ⋅ cos ϕ ∂u r   − = ⋅ ∂ϕ r2

∂ 2u 2sin ϕ cos ϕ ∂ 2u = cos ϕ ⋅ 2 − ⋅ + r ∂r∂ϕ ∂r 2

sin 2 ϕ ∂ 2u sin 2 ϕ ∂u 2sin ϕ cos ϕ ∂u + 2 ⋅ 2+ ⋅ + ⋅ . r ∂r ∂ϕ r ∂ϕ r2

Аналогично находим соотношение ∂ 2u ∂ 2u 2sin ϕ cos ϕ ∂ 2u 2 = sin ϕ ⋅ + ⋅ + r ∂r∂ϕ ∂y 2 ∂r 2 cos 2 ϕ ∂ 2u cos 2 ϕ ∂u 2sin ϕ cos ϕ ∂u + 2 ⋅ 2+ ⋅ − ⋅ . r ∂r ∂ϕ r ∂ϕ r2

Из найденных формул для

∂ 2u ∂ 2u и 2 , окончательно находим: ∂x 2 ∂y

∂ 2u 1 ∂ 2u 1 ∂u ∆u= + ⋅ + ⋅ . ∂r 2 r 2 ∂ϕ 2 r ∂r

10. Неявные функции Предположим, что на плоскости  2 задана некоторая функция F . Рассмотрим

множество

всех

точек,

удовлетворяющих

уравнению

F ( x, y ) = 0 . Часто при дополнительных условиях для некоторых значе-

ний x можно найти единственное значение y , удовлетворяющее уравнению F ( x, y ) = 0 . Такой способ задания функции y = y ( x) называется неявным, а сама эта функция — неявной. Функция y = y ( x) при некоторых условиях будет и дифференцируемой.

Глава 1

40

Функции нескольких переменных

ç

è

Справедливо следующее утверждение. ТЕОРЕМА 11. Предположим, что функция F имеет в некоторой окрестности точки ( x0 , y0 ) непрерывные частные производные выполняются следующие условия: F ( x0 , y0 ) = 0 ,

∂F ∂F , и ∂x ∂y

∂F ( x0 , y0 ) ≠ 0 . Тогда су∂y

ществует прямоугольник {( x, y ) :| x − x0 |≤ α , | y − y0 |≤ β } , в котором функция

∂F ( x, y ) нигде не обращается в ноль и уравнение F ( x, y ) = 0 определя∂y

ет y как неявную функцию от x . Последняя функция является непрерывно дифференцируемой на интервале ( x0 − α , x0 + α ) и ее производная мо∂F ( x, f ( x)) ∂ x жет быть найдена по формуле f ′( x) = . ∂F ( x, f ( x)) ∂y −

Мы опускаем доказательство этой теоремы. Поясним только ее формулировку. Теорема утверждает, что для любого x ∈ [ x0 − α , x0 + α ] уравнение F ( x, y ) = 0 с неизвестной y имеет единственное решение y , принадлежащее отрезку [ y0 − β , y0 + β ] . Обозначим эту функцию следующим образом: y = f ( x) . Теорема утверждает, что эта функция непрерывно дифференцируема во всех внутренних точках отрезка [ x0 − α , x0 + α ] . Из условия F ( x0 , y0 ) = 0 следует, что выполняется равенство f ( x0 ) = y0 , то есть график этой функции проходит через точку ( x0 , y0 ) . Покажем, как выглядят эти условия в случае окружности на плоскости. Рассмотрим уравнение F ( x, y ) = 0 , где F ( x, y ) = x 2 + y 2 − 1 . Функция F имеет непрерывные производные во всех точках плоскости. Уравнение F ( x, y ) = 0 задает единичную окружность. Имеет место равенство

Глава 1

41

Функции нескольких переменных

ç

è

∂F ( x, y ) = 2y . ∂y

Воспользуемся приведенной теоремой. Возьмем любую точку ( x0 , y0 ) , удовлетворяющую условию F ( x0 , y0 ) = 0 . Условие

∂F ( x0 , y0 ) = 2 y0 ≠ 0 да∂y

ет дополнительное ограничение y0 ≠ 0 , то есть точка окружности ( x0 , y0 ) не принадлежит оси Ox . Теорема утверждает, что существует прямоугольник с центром в точке ( x0 , y0 ) , в котором уравнение F ( x, y ) = 0 определяет y как однозначную функцию от x .

Это видно на приведенном выше рисунке, где точка окружности, указанная справа может быть окружена прямоугольником (прямоугольник зеленого цвета), обладающим указанными в формулировке теоремы свойствами. Точка окружности, лежащая на оси абсцисс, то есть не удовлетворяющая условию

∂F ( x0 , y0 ) ≠ 0 , не может быть окружена таким прямоуголь∂y

ником (один из вариантов — прямоугольник красного цвета). В частности, в такой прямоугольник попадают точки, абсциссы которых удовлетворяют условию x < −1 . Точек с такими абсциссами на рассматриваемой окружности нет. Кроме того, для точек оси абсцисс, удовлетворяющих условию x > −1 и попадающий в прямоугольник красного цвета, имеются два зна-

Глава 1

42

Функции нескольких переменных

ç

è

чения y , для которых выполняется соотношение F ( x, y ) = 0 . Подчеркнем, что отмеченные свойства имеют место для любого прямоугольника с центром в точке (−1,0) . Вернемся к формулировке теоремы и выведем формулу для нахождения производной неявной функции. При выполнении ее условий найдется единственная функция y = f ( x) , x0 − α ≤ x ≤ x0 + α , такая, что для всех значений x из указанного промежутка выполняется соотношение F ( x, f ( x)) = 0.

Если x0 − α < x < x0 + α , то функция f непрерывно дифференцируема. Дифференцируя тождественное соотношение F ( x, f ( x)) ≡ 0 по x при x0 − α < x < x0 + α , получаем:

d F ( x, f ( x)) ≡ 0, dx

∂F ∂F df ( x) ( x, f ( x)) + ( x, f ( x)) ≡ 0. ∂x ∂y dx

Отсюда, разрешая последнее соотношение относительно f ′( x) , находим искомую формулу. ПРИМЕР. Доказать, что для уравнения 2 x3 y − y 5 − 3 x3 + 5 x 2 − 7 x + 3 = 0

выполняются условия теоремы в точке (2,1) . Найти производную неявной функции y = y ( x) . РЕШЕНИЕ. Имеем соотношения (2 x3 y − y 5 − 3 x3 + 5 x 2 − 7 x + 3) x=2 = 0, y =1

∂ (2 x3 y − y 5 − 3 x3 + 5 x 2 − 7 x + 3) = (2 x3 − 5 y 4 ) x=2 =11 ≠ 0 . ∂y x =2 y =1 y =1

Отсюда следует, что существует прямоугольник с центром в точке (2,1) , для которого справедливо утверждение теоремы о неявной функции. Учитывая, что

Глава 1

43

Функции нескольких переменных

ç

è

Тейлор

∂ (2 x3 y − y 5 − 3 x3 + 5 x 2 − 7 x + 3) = 6 x 2 y − 9 x 2 + 10 x − 7 , ∂x

из формулы для нахождения производной находим, что 6 x 2 y − 9 x 2 + 10 x − 7 y′( x) = − . 2 x3 − 5 y 4

11. Формула Тейлора для функций нескольких переменных Предположим, что функция u = f ( x, y ) определена в некоторой окрестности U точки M 0 ( x0 , y0 ) и имеет в этой окрестности непрерывные частные производные вплоть до порядка n + 1 включительно. Зададим приращения ∆x , ∆y независимых переменных x и y , обладающие следующим свойством: для любого t , −1 ≤ t ≤ 1 точка ( x0 + t ⋅ ∆x, y0 + t ⋅ ∆y ) принадлежит окрестности U . Рассмотрим функцию F= (t ) f ( x0 + t ⋅ ∆x, y0 + t ⋅ ∆y ), − 1 ≤ t ≤ 1.

Заметим, что F= (1) f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) , F (0) = f ( x0 , y0 ) . Функция F непрерывно дифференцируема на отрезке [−1,1] . Действительно, по формуле для производной сложной функции находим: = F ′(t )

∂f ∂f ( x0 + t ⋅ ∆x, y0 + t ⋅ ∆y ) ⋅ ∆x + ( x0 + t ⋅ ∆x, y0 + t ⋅ ∆y ) ⋅ ∆y. ∂x ∂y

(∗)

Из теоремы о непрерывности сложной функции выводим, что функция ∂f ( x0 + t ⋅ ∆x, y0 + t ⋅ ∆y ) ∂x

непрерывна на отрезке [−1,1] . Отсюда и из непрерывности функции ∂f ( x0 + t ⋅ ∆x, y0 + t ⋅ ∆y ) ∂y

на отрезке [−1,1] следует непрерывность на указанном отрезке функции F ′(t ) . Кроме того, полагая в формуле (∗) t = 0 , находим:

Глава 1

44

Функции нескольких переменных

ç

è

′(0 F=

∂f ∂f ( )x0 + ∆x, y0 + ∆y ) ⋅ ∆x + ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) ⋅ ∆y. ∂x ∂y

Далее находим: = F ′′(t ) +2

∂2 f ( x0 + t ⋅ ∆x, y0 + t ⋅ ∆y ) ⋅ (∆x) 2 + 2 ∂x

∂2 f ∂2 f ( x0 + t ⋅ ∆x, y0 + t ⋅ ∆y ) ⋅ ∆x∆y + 2 ( x0 + t ⋅ ∆x, y0 + t ⋅ ∆y ) ⋅ (∆y ) 2 . ∂x∂y ∂y

По причинам, аналогичным указанным выше, функция F ′′(t ) непрерывна на отрезке [−1,1] . Кроме того, имеет место равенство ∂2 f F ′′(0) ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) ⋅ (∆x) 2 + = 2 ∂x ∂2 f ∂2 f +2 ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) ⋅ ∆x∆y + 2 ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) ⋅ (∆y ) 2 . ∂x∂y ∂y

Так же доказывается, что и следующие производные функции F вплоть до производной порядка n + 1 непрерывны на указанном отрезке. Применяя к функции F формулу Тейлора в точке t = 0 с остаточным членом в форме Лагранжа, получаем: F ′(0) F ′′(0) 2 F ( n ) (0) n F ( n+1) (θ t ) F (t = ) F (0) + t+ t + + t + 1! 2! n! (n + 1)!

для некоторого θ , 0 < θ < 1. Отсюда находим: F ′(0) F ′′(0) F ( n ) (0) F ( n+1) (θ ) + + + + F (1)= F (0) + . n! 1! 2! (n + 1)!

(∗∗)

Подставляя сюда найденные выше значения F (1) , F (0) , F ′(0) , F ′′(0) , находим первые три члена формулы Тейлора для функции двух переменных: f ( x0 + ∆x, y= f ( x0 , y0 ) + 0 + ∆y )

 ∂f  ∂f +  ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) ⋅ ∆x + ( x0 + ∆x, y0 + ∆y ) ⋅ ∆y  + ∂y  ∂x 

Глава 1

45

Функции нескольких переменных

ç

è

+

1  ∂2 f ∂2 f 2 x y ⋅ ∆ x + ( , ) ( ) 2 ( x0 , y0 ) ⋅ ∆x∆y +  0 0 ∂x∂y 2!  ∂x 2  ∂2 f + 2 ( x0 , y0 ) ⋅ (∆y ) 2  + . ∂y 

Можно выписать также следующие члены указанной формулы. Ограничиваясь в формуле (∗∗) случаем n = 1 , можно записать следующий вариант формулы Тейлора для функций двух переменных: f ( x0 + ∆x, y= f ( x0 , y0 ) + 0 + ∆y )  ∂f  ∂f +  ( x0 , y0 ) ⋅ ∆x + ( x0 , y0 ) ⋅ ∆y  + ∂y  ∂x  1  ∂2 f ∂2 f 2 +  2 ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y ) ⋅ (∆x) + 2 ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y ) ⋅ ∆x∆y + 2!  ∂x ∂x∂y  ∂2 f + 2 ( x0 + θ∆x, y0 + θ∆y ) ⋅ (∆y ) 2  , ∂y 

где 0 < θ < 1. Последняя формула имеет место и в случае функций произвольного числа переменных. Предположим, что функция f определена в некоторой окрестности U точки x0 ∈  n и имеет в этой окрестности непрерывные частные производные вплоть до второго порядка включительно. Выберем такое ∆x ∈  n , что для любого t ∈ [−1,1] x0 + t ∆x ∈U . Введем в рассмотрение координаты вектора ∆x : ∆x = (∆x1, ∆x2 ,, ∆xn ) .

Тогда имеет место следующее равенство ∂f ( x0 ) ∆xk + ∂ x k k =1 n

f ( x0 += ∆x) f ( x0 ) + ∑

Глава 1

46

Функции нескольких переменных

ç

è

n n  ∂ 2 f ( x0 + θ∆x) 1  n ∂ 2 f ( x0 + θ∆x) 2 + ∑ ( ∆ x ) + 2 ∆ x ∆ x , ∑∑ k k l 2  k= 1 x x ∂ ∂ ∂xk2 k l k= 1 =l 2 

для некоторого θ , 0 < θ < 1.

12. Экстремумы функций нескольких переменных Определения точки максимума, минимума и экстремума в случае функций нескольких переменных аналогичны случаю функций одной переменной. Напомним эти определения. Предположим, что функция f определена в некоторой окрестности U ⊂  n точки a . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует такая окрестность U 0 ⊂ U точки a , что для всех x ∈U 0 выполняется неравенство f ( x) ≤ f (a ) , говорят, что функция f имеет в точке a локальный максимум. Если для всех x ∈U 0 , x ≠ a выполняется неравенство f ( x) < f (a ) , говорят, что функция f имеет

в точке a строгий локальный максимум. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует такая окрестность U 0 ⊂ U точки a , что для всех x ∈U 0 выполняется неравенство f ( x) ≥ f (a ) , говорят, что функция f имеет в точке a локальный минимум. Если для всех x ∈U 0 , x ≠ a выполняется неравенство f ( x) > f (a ) , говорят, что функция f имеет

в точке a строгий локальный минимум. Если функция f имеет в точке a локальный максимум или минимум, говорят, что эта функция имеет в точке a локальный экстремум. Аналогично понятия строгого локального максимума и минимума «объединяются» в понятие строгого локального экстремума. Дадим сначала необходимое условие существования экстремума. Напомним следующий факт. Предположим, что функция f одной пере-

Глава 1

47

Функции нескольких переменных

ç

è

менной имеет в некоторой точке a локальный экстремум. Если эта функция дифференцируема в точке a , то f ′(a ) = 0 . Этим свойством мы будем пользоваться в доказательстве следующего утверждения. ТЕОРЕМА 12. Предположим, что функция f определена в некоторой окрестности точки a ∈  n и имеет в этой точке локальный экстремум. Если в этой точке функция имеет частные производные первого порядка, то все эти производные равны нулю. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ограничимся случаем функции двух переменных. Предположим, что a = (a1, a2 ) . Рассмотрим функцию g ( x1 ) = f ( x1, a2 ) одной переменной. Эта функция определена в некоторой окрестности точки a1 и имеет в точке a1 локальный экстремум. Кроме того, существует g ′(a1 ) =

∂f (a1, a2 ) . ∂x

Тогда имеет место равенство g ′(a1 ) = 0 , то есть

∂f (a1, a2 ) = 0 . Аналогично ∂x

рассматривается частная производная по второй переменной. Теорема доказана. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка, в которой все частные производные первого порядка функции f обращаются в ноль, называется стационарной точкой этой функции. ЗАМЕЧАНИЕ. Как и в случае функций одной переменной, стационарная точка может не быть точкой экстремума. Например, для функции f ( x, y= ) x 2 − y 2 точка (0,0) является стационарной, f (0,0) = 0 . Однако в

любой окрестности рассматриваемой точки функция может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Например, для любого

ε ≠ 0 имеем: f (ε ,0) z x2 − y 2 в = ε 2 > 0 , f (0, ε ) = −ε 2 < 0 . Поверхность = окрестности начала координат изображена на следующем рисунке.

Глава 1

48

Функции нескольких переменных

ç

è

Перейдем к достаточным условиям существования локального экстремума. Эти условия основываются на теории квадратичных форм. Напомним некоторые результаты этой теории. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратичной формой от n переменных называется функция f ( x1, x2 ,, xn ) следующего вида: n

n

f ( x1, x2 ,, xn ) = ∑∑ aij xi x j , =i 1 =j 1

где aij , 1 ≤ i, j ≤ n — вещественные числа. При i ≠ j указанная сумма имеет два подобных слагаемых, aij xi x j и a ji x j xi . Всегда предполагается, что для таких значений индексов выполня-

ется соотношение aij = a ji (что не уменьшает рассматриваемый класс функций), и квадратичная форма после приведения подобных может быть записана следующим образом: f ( x1, x2 ,= , xn )

n

n −1

∑ aii xi2 + ∑ i= 1

n

∑ aij xi x j .

i = 1 j = i +1

Глава 1

49

Функции нескольких переменных

ç

è

Сильвестр

Симметричная матрица  a11 a12 a a A =  21 22     an1 an 2

 a1n   a2 n  ,     ann 

называется матрицей указанной квадратичной формы. Квадратичная форма f называется положительно (отрицательно) определенной, если для любого ненулевого вектора x ∈  n имеет место неравенство f ( x) > 0 ( f ( x) < 0 ). Квадратичная форма называется неопределенной, если существуют векторы x1 , x2 ∈  n , для которых f ( x1 ) > 0 и f ( x2 ) < 0 . Например, квадратичная форма f ( x1, x2= ) x12 + x22 является положительно определенной, g ( x1, x2 ) = −( x12 + x22 ) — отрицательно определенной, а h( x1, x2= ) x12 − x22 — неопределенной. Напомним теперь критерий положительной определенности. Квадратной матрице A указанного выше вида поставим в соответствие следующие ее миноры порядков 1, 2, …, n : a11,

a11 a12 , a21 a22

a11 a12 a21 a22 a31 a32

a13 a11  a1n a23 ,,    , a33 an1  ann

называемые ее главными угловыми минорами. ТЕОРЕМА (КРИТЕРИЙ СИЛЬВЕСТРА). Квадратичная форма f является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные угловые миноры ее матрицы являются положительными. СЛЕДСТВИЕ. Квадратичная форма f является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда ее главные угловые миноры удовлетворяют условиям:

Глава 1

50

Функции нескольких переменных

ç

è

a11 < 0,

a11 a12 > 0, a21 a22

a11 a12 a21 a22 a31 a32

a13 a23 < 0, . a33

Рассмотрим частный случай квадратичной формы от двух переменных: f ( x, y ) =Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 . Матрица этой квадратичной формы имеет вид

A B . Для анализа положительной определенности такой квадратичB C

ной формы можно воспользоваться критерием Сильвестра. Из его получаем: квадратичная форма f ( x, y ) =Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 является положительно определенной тогда и только тогда, когда A > 0 и AC − B 2 > 0 . Эти же результаты можно получить, не обращаясь к критерию Сильвестра, и сводя анализ значений, принимаемых квадратичной формой, к анализу значений, принимаемых квадратным трехчленом. Детальный анализ такого подхода предоставляется читателю. Аналогично получается следующий результат: квадратичная форма f ( x, y ) =Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда A < 0 и AC − B 2 > 0 . Нам потребуется также следующее утверждение. ТЕОРЕМА 13. Квадратичная форма f ( x, y ) =Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 является неопределенной тогда и только тогда, когда AC − B 2 < 0 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим сначала, что A ≠ 0 . Имеет место тождество Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2=

1 (( Ax + By ) 2 + ( AC − B 2 ) y 2 ). A

Глава 1

51

Функции нескольких переменных

ç

è

Квадратичная форма f является неопределенной в том и только том случае, когда неопределенной является квадратичная форма g ( x, y ) =( Ax + By ) 2 + ( AC − B 2 ) y 2 ,

которую мы и будем анализировать. Предположим, что квадратичная форма g неопределенная. Тогда имеет место неравенство AC − B 2 < 0 . Действительно, в противном случае, то есть, если AC − B 2 ≥ 0 , для любых x , y ∈  выполняются неравенства ( Ax + By ) 2 ≥ 0, ( AC − B 2 ) y 2 ≥ 0

и, следовательно, g ( x, y ) ≥ 0 для любых значений x , y , что противоречит условию неопределенности. Обратно. Предположим, что имеет место неравенство AC − B 2 < 0 . Существуют значения x0 , y0 , удовлетворяющие условиям Ax0 + By0 = 0, y0 ≠ 0 . Например, можно взять x0 = B , y0 = − A . Тогда

g ( x0 , y0 ) = ( AC − B 2 ) y02 < 0 .   <0

>0

С другой стороны, g (= x,0) A2 x 2 > 0 для любого x ≠ 0 . Квадратичная форма g может принимать значения разных знаков и, следовательно, является неопределенной. Мы доказали, что в предположении A ≠ 0 квадратичная форма f является неопределенной в том и только том случае, когда AC − B 2 < 0 . В случае C ≠ 0 с помощью тождества Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2=

1 (( Bx + Cy ) 2 + ( AC − B 2 ) x 2 ) C

аналогично доказывается, что неопределенность квадратичной формы f равносильна условию AC − B 2 < 0 .

Глава 1

52

Функции нескольких переменных

ç

è

Рассмотрим случай A= C= 0 . Квадратичная форма f принимает вид f ( x, y ) = 2 Bxy . Неравенство AC − B 2 < 0 в данном случае равносильно неравенству B 2 > 0 , то есть условию B ≠ 0 . Легко видеть, что последнее условие равносильно неопределенности квадратичной формы f . Действительно, если B = 0 , то функция f является тождественно нулевой, и не является неопределенной квадратичной формой. Если B ≠ 0 , то в некоторых точках функция f принимает значения разных знаков, например, f (1,1) = 2 B,

f (1, −1) = −2 B.

Итак, при любых предположениях относительно A и C условие AC − B 2 < 0 необходимо и достаточно для неопределенности рассматри-

ваемой квадратичной формы. Теорема доказана. Из приведенных выше критериев положительной и отрицательной определенности и неопределенности квадратичных форм от двух переменных немедленно вытекает следующий результат. ТЕОРЕМА 14. Предположим, что квадратичная форма f ( x, y ) =A0 x 2 + 2 B0 xy + C0 y 2

является положительно определенной. Тогда существует такое ε > 0 , что для любых значений A , B , C , удовлетворяющих условиям | A − A0 |< ε , | B − B0 |< ε , | C − C0 |< ε ,

квадратичная форма Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 является положительно определенной. Аналогичное утверждение справедливо для случаев отрицательно определенных и неопределенных квадратичных форм. ЗАМЕЧАНИЕ. Утверждение, аналогичное сформулированной теореме, справедливо и для случая квадратичных форм от произвольного числа переменных. Перейдем теперь к достаточным условиям существования экстремума функции нескольких переменных.

Глава 1

53

Функции нескольких переменных

ç

è

Предположим, что функция f определена и непрерывна вместе со своими частными производными первого и второго порядка в некоторой окрестности точки a ∈  n . Рассмотрим симметричную матрицу  ∂2 f (a)  2 ∂ x 1   ∂2 f  (a) A =  ∂x1∂x2     ∂2 f   ∂x ∂x (a )  1 n

 ∂2 f (a)  ∂x1∂xn   ∂2 f ∂2 f (a)  (a)  ∂x2∂xn . ∂x22      2 2  ∂ f ∂ f (a)  (a )  ∂x2∂xn ∂xn2  ∂2 f (a)  ∂x1∂x2

Соответствующую ей квадратичную форму от n переменных обозначим через g . В этих предположениях и обозначениях справедливо следующее утверждение. ТЕОРЕМА 15. Предположим, что выполняются равенства ∂f ∂f ∂f = (a ) 0,= (a ) 0, = , (a) 0 . ∂x1 ∂x2 ∂xn

Тогда 1) если квадратичная форма g является положительно определенной, то функция f имеет в точке a строгий локальный минимум; 2) если квадратичная форма g является отрицательно определенной, то функция f имеет в точке a строгий локальный максимум; 3) если квадратичная форма g является неопределенной, то функция f не имеет в точке a экстремума. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В доказательстве мы ограничимся случаем функции двух переменных и детально рассмотрим только пункт 1).

Глава 1

54

Функции нескольких переменных

ç

è

Предположим, что для функции f ( x, y ) , определенной и непрерывной вместе со своими частными производными первого и второго порядков в некоторой окрестности U ⊂  2 точки (a, b) выполняются условия ∂f ∂f = (a, b) 0,= ( a, b) 0 . ∂x ∂y

(∗)

Выберем приращения ∆x , ∆y независимых переменных, такие что для любого t ∈ [−1,1] точка (a + t ⋅ ∆x, b + t ⋅ ∆y ) принадлежит окрестности U . Тогда с учетом соотношений (∗), из разложения функции f по формуле Тейлора получаем: f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b) = 1  ∂2 f ∂2 f 2 = (a + θ∆x, b + θ∆y ) ⋅ (∆x) + 2 (a + θ∆x, b + θ∆y ) ⋅ ∆x∆y +  2!  ∂x 2 ∂x∂y  ∂2 f + 2 (a + θ∆x, b + θ∆y ) ⋅ (∆y ) 2  . ∂y 

Предположим, что квадратичная форма с матрицей  ∂2 f  2 ( a, b)  ∂x  ∂2 f  ( a, b) ∂ ∂ x y 

 ∂2 f ( a, b)  ∂x∂y  2  ∂ f (a, b)  ∂y 2 

является положительно определенной. В силу непрерывности частных производных второго порядка в точке (a, b) , существует такое ε > 0 , что для любых ∆x , ∆y , удовлетворяющих условию | ∆x |< ε , | ∆y |< ε , квадратичная форма с матрицей  ∂2 f  2 (a + θ ⋅ ∆x, b + θ ⋅ ∆y )  ∂x  ∂2 f  (a + θ ⋅ ∆x, b + θ ⋅ ∆y ) ∂ ∂ x y 

 ∂2 f (a + θ ⋅ ∆x, b + θ ⋅ ∆y )  ∂x∂y   ∂2 f  a + ⋅ ∆ x b + ⋅ ∆ y ( θ , θ ) ∂y 2 

Глава 1

55

Функции нескольких переменных

ç

è

будет положительно определенной. Следовательно, для ∆x , ∆y , удовлетворяющих условиям | ∆x |< ε , | ∆y |< ε , и не равных одновременно нулю, выполняется неравенство ∂2 f ∂2 f 2 (a + θ∆x, b + θ∆y ) ⋅ (∆x) + 2 (a + θ∆x, b + θ∆y ) ⋅ ∆x∆y + ∂x∂y ∂x 2 ∂2 f + 2 (a + θ∆x, b + θ∆y ) ⋅ (∆y ) 2 > 0 , ∂y

то есть f (a + ∆x, b + ∆y ) − f (a, b) > 0 . Это означает, что в точке (a, b) функция f имеет строгий локальный минимум. Теорема доказана. Ограничиваясь случаем функций двух переменных, переформулируем полученное утверждение в терминах производных функции f . Как и выше, считаем, что точка (a, b) ⊂  2 является стационарной для функции f . Введем обозначения ∂2 f ∂2 f ∂2 f = A = (a, b), B = (a, b), C (a, b). ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2

Тогда утверждение теоремы может быть переформулировано так: 1) если A > 0 и AC − B 2 > 0 , то функция f имеет в точке (a, b) строгий минимум; 2) если A < 0 и AC − B 2 > 0 , то функция f имеет в точке (a, b) строгий максимум; 3) AC − B 2 > 0 , то функция f не имеет в точке (a, b) экстремума. ПРИМЕР. Рассмотрим функцию f ( x, y ) = x3 + y 3 − 3 xy , x , y ∈  . Тогда ∂f ( x, y ) ∂f ( x, y ) = = 3x 2 − 3 y, 3 y 2 − 3 x. ∂x ∂x

Глава 1

56

Функции нескольких переменных

ç

è

Из системы уравнений

∂f ( x, y ) ∂f ( x, y ) = 0 получаем соотношения = 0, ∂y ∂x = x 2 y= , y 2 x.

Отсюда следует, что рассматриваемая функция имеет две стационарные точки M1 (0,0) и M 2 (1,1) . Анализируем точку (0,0) . Из равенств ∂ 2 f ( x, y ) ∂ 2 f ( x, y ) ∂f ( x, y ) = 6 x, = −3, = 6y 2 ∂x∂y ∂x ∂x

следует, что A = 0 , B = −3 , C = 0 . Тогда AC − B 2 = −9 , и функция не имеет экстремума в данной точке. Для точки (1,1) находим: A = 6 , B = −3 , C = 6 , выполняются соотношения A > 0 , AC − B 2 > 0 , и в этой точек функция имеет локальный максимум.

ç

è

Глава 2. Функциональные последовательности и ряды 1. Поточечная и равномерная сходимость. Пусть { f n }+∞ n=1 — последовательность функций, определенных на некотором промежутке I . Говорят, что эта последовательность сходится в точке x0 ∈ I , если числовая последовательность { f n ( x0 )}n+∞ =1 является сходящейся. Говорят, что последовательность { f n }+∞ n=1 сходится на промежутке I поточечно, если она сходится в каждой точке x ∈ I . Полагая в этом случае f ( x) = lim f n ( x) для каждого x ∈ I , получаем некоторую n→+∞

функцию f , определенную на промежутке I . В силу единственности предела сходящейся числовой последовательности, эта функция определяется исходной функциональной последовательностью единственным образом. Говорят, что данная функциональная последовательность поточечно сходится к функции f . Наличие такого соотношения записывается следующим образом: f n ( x) → f ( x) , x ∈ I . Проанализируем данное определение. Для каждой точки x ∈ I по любому ε > 0 найдется такое N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство | f n ( x) − f ( x) |< ε . Отметим, что число N зависит как от числа ε , так и от выбранной точки x . Если для любого ε > 0 можно найти число N , обладающее указанными свойствами и не зависящее от x , говорят, что данная функциональная последовательность сходится к функции f равномерно на промежутке I . Приведем точное определение. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть { f n }+∞ n=1 — последовательность функций, определенных на промежутке I , f — функция, определенная на этом промежутке. Говорят, что указанная последовательность равномерно сходится на промежутке I к функции f , если по любому ε > 0 найдется такое N , что для всех n ≥ N и всех x ∈ I выполняется неравенство | f n ( x) − f ( x) |< ε . Наличие такого соотношения записывается следующим образом: I

f n ( x)  f ( x) , x ∈ I или f n  f . ЗАМЕЧАНИЕ 1. Очевидно, что из равномерной сходимости на множестве I вытекает поточечная сходимость на этом множестве. Обратное утверждение, как мы увидим ниже на примерах, вообще говоря, неверно. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Условие равномерной сходимости на множестве I может быть записано следующим образом:

Глава 2

58

Функциональные ряды

ç

è

lim sup | f n ( x) − f ( x) |= 0.

n→+∞ x∈I

(∗)

Действительно. Допустим, что f n ( x)  f ( x) , x ∈ I . Выберем произвольное ε > 0 и найдем такое N , что для всех n ≥ N и всех x ∈ I выполняется неравенство | f n ( x) − f ( x) |< ε . Отсюда следует, что su p| f n ( x) − f ( x) |≤ ε , n ≥ N . x∈I

Полученное соотношение означает, что выполняется условие (∗). Аналогично из условия (∗)выводится равномерная сходимость рассматриваемой последовательности. ЗАМЕЧАНИЕ 3. Рассмотрим произвольную сходящуюся числовую последовательность {an }+∞ n=1 . Ее можно рассматривать как последовательность функций, определенных на произвольном промежутке I и принимающих постоянные значения. Очевидно, что эта функциональная последовательность будет также сходится на этом промежутке, причем равномерно. ЗАДАЧА. Дать прямое определение того, что последовательность +∞ { f n }n=1 не сходится равномерно к функции f . ЗАДАЧА. Сформулировать определения сходимости в точке, на промежутке и равномерной сходимости на промежутке, пользуясь языком кванторов. Приведем некоторые примеры. ПРИМЕР 1. Рассмотрим последовательность функций 1 f n ( x) = sin(nx) , n = 1 , 2, …, n определенных на всей вещественной оси  . Очевидно, что для любого вещественного x выполняется равенство lim f n ( x) = 0 , то есть данная поn→+∞

следовательность поточечно сходится к нулевой функции. Покажем, что сходимость данной последовательности к нулевой функции является равномерной. Воспользуемся оценкой 1 1 = | f n ( x) | sin nx ≤ . n n Выберем произвольное ε > 0 . Из полученной оценки следует, что если 1 1 < ε , то | f n ( x) |< ε для всех x ∈  . Неравенство < ε равносильно услоn n 1 1 N   + 1 . Итак, мы доказали, что для любого вию n > , или n ≥ N , где= ε ε  ε > 0 найдется такое N = N (ε ) , что для всех n ≥ N выполняется неравенство | f n ( x) |< ε , x ∈  . Поскольку число N можно взять не зависящим от

Глава 2

59

Функциональные ряды

ç

è

точек x , это по определению и означает наличие равномерной сходимости к нулевой функции. Можно провести анализ несколько в иной форме, воспользовавшись формулировкой из замечания 2. Равномерная сходимость следует из соотношений sin nx sin nx 1 − 0 = sup = →0 sup n n n x∈ x∈ при n → +∞ . 1 Графики функций sin(nx) на промежутке [0,2π ] при n = 1 , 2 , 3 и 4 изоn бражены на следующем рисунке.

ПРИМЕР 2. Рассмотрим последовательность функций f n ( x) = x n , x ∈ [0,1) , n = 1 , 2,… . Мы знаем, что lim x n = 0 для x ∈ [0,1) , то есть данная последовательность n→+∞

поточечно сходится на рассматриваемом промежутке к нулевой функции. Покажем, что эта сходимость не является равномерной. Обозначим через f функцию, определенную на промежутке [0,1) и тождественно равную нулю. Выберем произвольное ε , удовлетворяющее условию 0 < ε < 1 , возьмем любое натуральное значение n и найдем, для каких значений x ∈ [0,1) выполняется неравенство | f n ( x) − f ( x) |< ε . В данном случае последнее неравенство принимает вид x n < ε , что равносильно условию x < n ε . Учитывая, что n ε < 1, получаем, что при любом значении n неравенство | f n ( x) − f ( x) |< ε

Глава 2

60

Функциональные ряды

ç

è

выполняется не для всех x ∈ [0,1) . Это означает, что сходимость данной последовательности функций к нулевой функции не является равномерной. Отметим, что в данном случае su p| f n ( x) − f ( x) |= 1  0 при n → +∞ , 0≤ x<1

что также говорит об отсутствии равномерной сходимости. ПРИМЕР 3. Пусть f n ( x= ) x n − x n+1 , 0 ≤ x ≤ 1 , n ∈  . Очевидно, что при любом значении x ∈ [0,1] lim f n ( x) = 0 . Покаn→+∞

жем, что сходимость f n ( x) → 0 , x ∈ [0,1] является не только поточечной, но и равномерной. Рассмотрим величину sup | f n ( x) | , которая, в силу того, 0≤ x≤1

что функции f n принимают неотрицательные значения и непрерывны на отрезке [0,1] , совпадает с величиной max f n ( x) . Найдем наибольшее зна0≤ x≤1

чение функции f n на отрезке [0,1] . Функция f n дифференцируема на отрезке [0,1] . Поэтому свое наибольшее значение она принимает либо на одном из концов отрезка, либо во внутренней стационарной точке, то есть в точке x , удовлетворяющей условию f n′ ( x) = 0 , 0 < x < 1 . Из соотношения

) nx n−1 − (n + 1) x n f n′ ( x= n находим стационарную точку x = . Учитывая, что f (0) = 0 , f (1) = 0 , n +1 получаем, что n

 n   n   n  max f n ( x) =f   =  −  0≤ x≤1  n +1  n +1  n +1 n

n+1

=

n

n   n  1 1  n   =  < .  1 − =     n +1  n +1  n +1 n +1 n +1 Следовательно, lim sup | f n ( x) |= 0 , и сходимость является равномерной. n→+∞ 0≤ x≤1

ПРИМЕР 4. Пусть f n ( x= ) x n − x 2n , 0 ≤ x ≤ 1 , n ∈  . = f ( x) lim = f n ( x) 0 для всех x ∈ [0,1] . Находим стаВ этом случае n→+∞

ционарные точки функции f n . Соотношение f n′ ( x) = 0 переписываем в ви-

де nx n−1 − 2nx 2 n−1 = 0 , откуда получаем, что единственной внутренней ста1 ционарной точкой является x = n . Учитывая, что f n (0) = 0 , f n (1) = 0 , на2 ходим:  1  1 su p| f n ( x) − f ( x= ) | max f n ( x= ) fn  n =  40 x 0 ≤ ≤ 1 2 0≤ x≤1  

Глава 2

61

ç

Функциональные ряды è

при n → +∞ . Поэтому сходимость функций f n к нулевой функции равномерной не является. Графики функций x n − x 2 n при n = 1 , 2 , 3 и 4 изображены на следующем рисунке.

ЗАМЕЧАНИЕ. Можно доказать отсутствие равномерной сходимости в предыдущем примере по следующей схеме. Рассмотрим функцию ϕ ( x)= x − x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 . Из соотношения ϕ ( = x) x(1 − x) следует, что эта функция обращается в ноль на концах отрезка и принимает положительные значения во всех его внутренних точках. При любом натуральном значении n отображение x → x n взаимно-однозначно отображает отрезок [0,1] на себя. Поэтому множество значений функции ϕ ( x n ) , 0 ≤ x ≤ 1 совпадает с множеством значений функции ϕ ( x) , 0 ≤ x ≤ 1 . Учитывая, что f n ( x) = ϕ ( x n ) , отсюда получаем, что max f= = ( x) const > 0 , n ( x ) max ϕ 0≤ x≤1

0≤ x≤1

что и говорит об отсутствии равномерной сходимости к нулю. Приведенная схема рассуждений может быть перенесена на случай последовательности функций f n ( x)= xα n − x β n , 0 ≤ x ≤ 1, n= 1,2, , где α , β — постоянные, 0 < α < β . Здесь также будет иметь место поточечная, но не равномерная сходимость к нулевой функции.

Глава 2

62

Функциональные ряды

ç

è

Отметим следующие простые свойства равномерно сходящихся последовательностей функций. I

1) Равномерная сходимость f n  f равносильная условию I

fn − f  0 . I

I

I

2) Если f n  f ±g. f , g n  g , то f n ± g n  I

3) Если f n  f , g — произвольная функция, определенная на проI

межутке I , то f n + g  f +g. I

4) Если f n  f , ϕ — ограниченная функция, определенная на проI

межутке I , то ϕ f n ϕ  f. Приведем теперь необходимое и достаточное условие равномерной сходимости функциональной последовательности. ТЕОРЕМА 1 (КРИТЕРИЙ КОШИ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИО+∞ НАЛЬНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ). Пусть { f n }n=1 — последовательность функций, определенных на промежутке I . Эта последовательность является равномерно сходящейся на этом промежутке в том и только том случае, когда для любого числа ε > 0 найдется такое значение N , что для всех n ≥ N , p = 1 , 2 , … и всех x ∈ I выполняется неравенство | f m ( x) − f n ( x) |< ε . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1. Предположим, что последовательность { f n }+∞ n=1 равномерно сходится на промежутке I к функции f . Выберем произвольное ε > 0 и найдем такое число N , что для всех n ≥ N и всех x ∈ I выполε няется неравенство | f n ( x) − f ( x) |< . Тогда для тех же значений n и всех 2 p = 1 , 2 , … выполняется неравенство n + p > N и, следовательно, для проε извольного x ∈ I имеем: | f n+ p ( x) − f ( x) |< . Отсюда получаем, что для 2 всех n ≥ N , p = 1 , 2 , … и произвольного x ∈ I | f n+ p ( x) − f n ( x= ) | | ( f n+ p ( x) − f ( x)) − ( f n ( x) − f ( x) |≤

ε

ε

= ε. 2 2 2. Докажем обратное утверждение. Предположим, что для любого ε > 0 найдется такое N , что для всех n ≥ N , p = 1 , 2 , … и произвольного x ∈ I выполняется неравенство | f n+ p ( x) − f n ( x) |< ε . Отсюда следует, что ≤| f n+ p ( x) − f ( x) | + | f n ( x) − f ( x) |<

+

Глава 2

63

Функциональные ряды

ç

è

для любого фиксированного x ∈ I числовая последовательность { f n ( x)}n+∞ =1 является фундаментальной и, следовательно сходящейся, в силу критерия Коши для числовой последовательности. Определим функцию = f ( x) lim f n ( x), x ∈ I n→+∞

и покажем, что рассматриваемая функциональная последовательность сходится к функции f равномерно. Выберем произвольное ε > 0 и найдем такое N , что для всех n ≥ N , p = 1 , 2 , … и произвольного x ∈ I выполняется неравенство | f n+ p ( x) − f n ( x) |< ε . Переходя здесь к пределу при p → +∞ , получаем, что | f ( x) − f n ( x) |≤ ε . Полученное неравенство означает, что имеет место равномерная сходиI

мость f n  f . Теорема доказана.

2. Функциональные ряды. Пусть {an }+∞ n=1 — последовательность функций, определенных на некотором промежутке I . Выражение a1 ( x) + a2 ( x) +  + an ( x) + , или

+∞

∑ an ( x) называется функциональным рядом. n=1

Если для некоторого x0 ∈ I числовой ряд

+∞

∑ an ( x0 ) сходится, говорят, n=1

что исходный функциональный ряд сходится в точке x0 . Если числовой ряд +∞

∑| an ( x0 ) |

сходится, говорят, что исходный функциональный ряд абсо-

n =1

лютно сходится в точке x0 . Если функциональный ряд

+∞

∑ an ( x) сходится в n=1

каждой точке x ∈ I , говорят, что он сходится поточечно на промежутке I . Если функциональный ряд

+∞

∑ an ( x) n=1

абсолютно сходится в каждой точке

x ∈ I , говорят, что он абсолютно сходится на промежутке I . Рассмотрим частичные суммы функционального ряда:

Глава 2

64

Функциональные ряды

ç

è

S= n ( x)

n

∑ ak ( x),

x ∈ I= , n 1,2, .

k =1

Поточечная сходимость функционального ряда означает, что для каждого x ∈ I числовая последовательность {Sn ( x)}n+∞ =1 является сходящейся. Таким образом, определена функция

= S ( x)

lim = Sn ( x)

n→+∞

n

lim

n→+∞

∑ ak ( x),

x∈ I,

k =1

называемая суммой этого ряда. Если последовательность частичных сумм {Sn }+∞ n=1 равномерно сходится на промежутке I , говорят, что функциональный ряд

+∞

∑ an ( x) сходится на промежутке I

равномерно.

n=1

Допустим, что имеет место поточечная сходимость +∞

= ak ( x) ∑

S ( x), x ∈ I .

k =1

Тогда равномерная сходимость по определению означает, что n

S ( x) − ∑ ak ( x)  0, x ∈ I . k =1

+∞

Последнее соотношение можно переписать так:

∑

k = n+1

+∞

lim sup

∑

n→+∞ x∈I k = n+1

ak ( x)  0, x ∈ I или

ak ( x) = 0.

Как и в случае числовых рядов, иногда рассматриваются функциональные ряды, суммирование в которых проводится не от 1 до +∞ , а от 0 или от произвольного целого числа до +∞ . ЗАМЕЧАНИЕ. Рассмотрим произвольный сходящийся числовой ряд +∞

∑ an . Обозначим сумму этого ряда через s . Его можно рассматривать как n =1

функциональный ряд, составленный из постоянных функций, определенных на произвольном промежутке I . Обозначим члены этого ряда следующим образом: An ( x) = an , x ∈ I , n ∈  . Введем на промежутке I постоянную функцию S ( x) = s , x ∈ I . Тогда ряд

+∞

∑ An ( x) n =1

будет сходится на

промежутке I равномерно к функции S ( x) . Действительно, для любого x ∈ I выполняется равенство

Глава 2

65

Функциональные ряды

ç

è

+∞

∑

Ak ( x) =

k= n+1

+∞

∑

ak .

k= n+1

Остается заметить, что правая часть последнего соотношения не зависит от x и стремится к нулю. Перейдем теперь к некоторым примерам. ПРИМЕР. Ряд

+∞

∑ xn

сходится для x ∈ (−1,1) . Остаток ряда имеет вид:

n =1

x n+1 . x 1 − k = n+1 Отметим, что lim σ n ( x) = +∞ . Следовательно, для любого n ∈  выполня= σ n ( x)

+∞

= ∑ xn

x→1−0

ется равенство sup | σ n ( x) |= +∞ , и равномерная сходимость рассматри−1< x<1

ваемого ряда на промежутке (−1,1) места не имеет. Аналогично получаем, что ряд не будет равномерно сходящимся на промежутке [0,1) . Из соотно1 шения lim | σ n ( x) |= вытекает, что ряд не является равномерно сходяx→−1+0 2 щимся и на промежутке (−1,0] . Для любого α , 0 < α < 1 рассматриваемый ряд равномерно сходится на промежутке [−α ,α ] , что следует из соотношения

αn = = 0. lim sup | σ n ( x) | lim n→+∞ |x|≤α n→+∞ 1 − α Отметим следующие свойства равномерно сходящихся рядов. Доказательства этих свойств предоставляются читателю. 1) Если функциональные ряды дятся на промежутке I , то ряды сходятся на этом промежутке. 2) Если функциональный ряд

+∞

∑ an ( x)

n=1 +∞

и

+∞

∑ bn ( x)

равномерно схо-

n=1

∑ (an ( x) ± bn ( x))

также равномерно

n=1

+∞

∑ an ( x)

равномерно сходится на про-

n=1

межутке I , а функция ϕ определена и ограничена на этом промежутке, то ряд

+∞

∑ϕ ( x)an ( x) равномерно сходится на промежутке I . n=1

Глава 2

66

Функциональные ряды

ç

è

3) Если функциональный ряд

+∞

∑ an ( x)

равномерно сходится на про-

n=1

межутке I , то для любого p ≥ 1 функциональный ряд

+∞

∑ an ( x)

также

n= p

равномерно сходится на этом промежутке. Перейдем теперь к признакам равномерной сходимости функциональных рядов. Из критерия Коши равномерной сходимости функциональной последовательности непосредственно вытекает следующий критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда. ТЕОРЕМА 2 (КРИТЕРИЙ КОШИ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА).

Функциональный ряд

+∞

∑ an ( x) ,

x ∈ I равномерно сходит-

n=1

ся на промежутке I в том и только том случае, когда для любого ε > 0 найдется такое N , что для всех n ≥ N , p = 1 , 2 , … и всех x ∈ I выполняется неравенство

n+ p

∑

k = n +1

ak ( x) < ε .

СЛЕДСТВИЕ 1 (НЕОБХОДИМОЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА).

УСЛОВИЕ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ

Если функциональный ряд

+∞

∑ an ( x) ,

x ∈ I равно-

n=1

мерно сходится на промежутке I , то последовательность его членов {an ( x)}n+∞ =1 равномерно сходится к нулю на промежутке I , то есть выполняется соотношение lim sup | an ( x) |= 0 . n→+∞ x∈I

Это утверждение вытекает из критерия Коши при p = 1 . Приведенное следствие является аналогом необходимого условия сходимости числового ряда ( lim an = 0 ) и также не является достаточным (как для потоn→+∞

чечной, так и для равномерной сходимости). Приведем соответствующий пример. +∞ n x Рассмотрим функциональный ряд ∑ , 0 ≤ x ≤ 1 . Обозначим n =1 n xn 1 an ( x) = . Из оценки 0 ≤ an ( x) ≤ , x ∈ [0,1] следует, что при n → +∞ n n an  0 на промежутке 0 ≤ x ≤ 1 . При x = 1 ряд обращается в гармонический и, следовательно, расходится. При 0 ≤ x < 1 ряд сходится. Это следует, например, из того, что при этих значениях x ряд мажорируется сходя-

Глава 2

67

Функциональные ряды

ç

è

щимся рядом

+∞

∑ x n . Покажем, что при 0 ≤ x < 1 ряд не является сходящимn =1

ся равномерно. Для этого возьмем произвольное число x ∈ [0,1) и рассмотрим сумму 2n x k x n+1 x n+ 2 x 2n ∑ = n + 1 + n + 2 +  + 2n . k = n +1 k Числители дробей в правой части образуют убывающую последовательность, а знаменатели — возрастающую последовательность. Следовательно, выполняются неравенства x n+1 x n+ 2 x 2n ≥ ≥ ≥ . n +1 n + 2 2n x 2n Заменяя в сумме каждое слагаемое наименьшим, то есть , и учитывая, 2n что сумма содержит n слагаемых, получаем оценку 2n xk x 2n x 2n (∗) ∑ k ≥ n ⋅ 2n =2 . k = n +1 Из полученного соотношения следует, что 2n xk x 2n 1 sup ∑ ≥ sup = . 2 0≤ x<1 k = n +1 k 0≤ x<1 2 В силу произвольности числа n , отсюда находим, что рассматриваемый ряд не удовлетворяет условию критерия Коши и, следовательно, не является равномерно сходящимся. Приведем еще одно следствие критерия Коши равномерной сходимости ряда. СЛЕДСТВИЕ 2. Если функциональный ряд

+∞

∑| an ( x) | ,

x ∈ I равномерно

n =1

сходится на промежутке I , то функциональный ряд

+∞

∑ an ( x) также равn=1

номерно сходится на промежутке I . Это утверждение легко выводится вытекает из оценки n+ p

∑

ak ( x) ≤

k= n +1

n+ p

∑ | ak ( x) |,

k= n +1

n, p ∈ 

x ∈ I.

ТЕОРЕМА 3 (ПРИЗНАК ВЕЙЕРШТРАССА). Предположим, что члены функционального ряда

+∞

∑ an ( x) , x ∈ I n=1

допускают оценки

Глава 2

68

Функциональные ряды

ç

è

| an ( x) |≤ Cn , x ∈ I , n = 1 , 2, …, причем числовой ряд

+∞

∑ Cn

сходится. Тогда функциональный ряд

n =1

+∞

∑ an ( x) n=1

сходится на промежутке I абсолютно и равномерно. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Отметим прежде всего, что все числа Cn являются неотрицательными. Сходимость ряда

+∞

∑| an ( x) | для каждого

x ∈ I следует

n =1

из признака сравнения для знакопостоянных рядов. Докажем теперь равномерную сходимость ряда

+∞

∑| an ( x) | . Отсюда будет следовать и равноn =1

мерная сходимость ряда

+∞

∑ an ( x) . n=1

Выберем произвольное ε > 0 . Из сходимости ряда

+∞

∑ Cn , в силу криn =1

терия Коши сходимости числового ряда получаем, что существует такое N , что для любых n ≥ N , p = 1 , 2, … выполняется неравенство n+ p

∑ Ck

< ε . Тогда для любых n ≥ N , p = 1 , 2, … и x ∈ I имеем:

k = n+1

n+ p

n+ p

∑ | ak ( x) | ≤ ∑ Ck < ε .

k= n +1

k= n +1

В силу произвольности ε , из критерия Коши равномерной сходимости функционального ряда выводим равномерную сходимость ряда

+∞

∑| an ( x) | n =1

на промежутке I . Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Говорят, что числовой ряд

+∞

∑ Cn

мажорирует функ-

n =1

циональный ряд

+∞

∑ an ( x) . n=1

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Для функционального ряда

+∞

∑ an ( x) ,

x ∈ I введем сле-

n=1

дующие величины: bn = sup | an ( x) | , n ∈  . Предположим, что все они явx∈I

ляются конечными. Из оценки | an ( x) |≤ bn , n ∈  , x ∈ I следует, что число-

Глава 2

69

Функциональные ряды

ç

è

вой ряд

+∞

∑ bn

мажорирует функциональный ряд

n =1

ряд

+∞

∑ bn

+∞

∑ an ( x) . Если числовой n=1

сходится, то функциональный ряд

+∞

∑ an ( x)

сходится на проме-

n=1

n =1

жутке I равномерно по признаку Вейерштрасса. Предположим теперь, что исходный ряд

+∞

∑ an ( x) ,

x ∈ I удовлетворяет признаку Вейерштрасса, то

n=1

есть существует сходящийся числовой ряд

+∞

∑ Cn

и выполняются оценки

n =1

| an ( x) |≤ Cn , n ∈  , x ∈ I . Тогда для каждого n ∈  имеет место оценка sup | an ( x) |≤ Cn , то есть bn ≤ Cn , и числовой ряд x∈I

+∞

∑ bn

сходится по признаку

n =1

сравнения числовых рядов с неотрицательными членами. Из сказанного вытекает следующее утверждение: к функциональному ряду

+∞

∑ an ( x) можn=1

но применить признак Вейерштрасса в том и только том случае, когда сходится ряд

+∞

| an ( x) | . ∑ sup x∈I n=1

По аналогии с признаком Вейерштрасса доказывается следующее утверждение. ТЕОРЕМА 4 (ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ). Если члены функциональных рядов

+∞

+∞

n=1

n=1 +∞

∑ an ( x) и ∑ bn ( x) ,

ловию | an ( x) |≤ bn ( x) , n ∈  , x ∈ I и ряд промежутке I , то ряд

+∞

x ∈ I удовлетворяют ус-

∑ bn ( x) равномерно сходится на n=1

∑ an ( x) сходится на промежутке I n=1

абсолютно и

равномерно. Доказательство этой теоремы несущественно отличается от доказательства признака Вейерштрасса и предоставляется читателю. Отметим, что признак Вейерштрасса является следствием этой теоремы. ПРИМЕР 1. Рассмотрим функциональный ряд +∞ sin nx ∑ n2 , x ∈ . n=1

Глава 2

70

Функциональные ряды

ç

è

Лейбниц

Из оценки sin nx | sin nx | 1 = ≤ 2 , x∈ n2 n2 n +∞ 1 и сходимости числового ряда ∑ 2 , в силу признака Вейерштрасса, полуn=1 n чаем равномерную сходимость исходного функционального ряда на всей вещественной оси. ПРИМЕР 2. Доказать равномерную сходимость функционального ряда +∞ x ∑ 1 + n4 x 2 , 0 ≤ x < +∞. n=1 x Обозначим an ( x) = , x ≥ 0 , n ∈  . Найдем значения sup an ( x) . Из 1 + n4 x2 x ≥0 соотношения 1 − n4 x2 , 0 ≤ x < +∞ = an′ ( x) (1 + n 4 x 2 ) 2 1 находим, что при 0 ≤ x < 2 выполняется неравенство an′ ( x) > 0 , а при n 1 x > 2 — неравенство an′ ( x) < 0 . Следовательно, функция an возрастает на n промежутке [0,1 n 2 ] и убывает на промежутке [1 n 2 , +∞) . Отсюда вытека-

ет, что в точке 1 n 2 функция an принимает свое наибольшее значение на промежутке [0, +∞) , то есть 1 2 = = an ( x) a= su= pan ( x) max , n 1,2, . n (1 n ) 2 0 ≥ x n 2 x ≥0 +∞ 1 Числовой ряд ∑ 2 сходится. Следовательно, рассматриваемый функn =1 2n циональный ряд по признаку Вейерштрасса сходится равномерно. +∞ (−1) n−1 ПРИМЕР 3. Рассмотрим ряд ∑ , 0 ≤ x < +∞ . n x + n =1 +∞

 1  Зафиксируем произвольное x ≥ 0 . Последовательность   со n + x n=1 1 стоит из положительных чисел, монотонно убывает и lim = 0 . По n→+∞ n + x +∞ (−1) n−1 сходится. Это означапризнаку Лейбница знакопеременный ряд ∑ n x + n =1

Глава 2

71

ç

Функциональные ряды è

ет, что рассматриваемый функциональный ряд сходится на промежутке [0, +∞) поточечно. Из соотношения 1 n n + x lim = = 1, lim n→+∞ 1 n→+∞ n + x n признака сравнения положительных рядов в предельной форме и расходи+∞ +∞ 1 1 расходится, то мости гармонического ряда ∑ следует, что ряд ∑ n n + x n=1 n=1

(−1) n−1 не является абсолютно сходящимся. Поэтому есть исходный ряд ∑ n x + n =1 для анализа равномерной сходимости этого ряда нельзя использовать признак Вейерштрасса. Этот же вывод можно сделать и из равенства 1 1 sup = = , n 1,2,, n x ≥0 n + x из которого следует, что рассматриваемый ряд мажорируется только расходящимися числовыми рядами. +∞ (−1) n−1 Покажем, что ряд ∑ сходится равномерно на промежутке n x + n =1 [0, +∞) . Для этого воспользуемся оценкой суммы остатка ряда типа Лейбница: модуль суммы не превосходит модуля своего первого члена. Тогда имеем: +∞ (−1) k −1 1 1 ∑ k + x < n + 1 + x ≤ n + 1 , 0 ≤ x < +∞. k = n+1 Полученная оценка означает, что суммы остатков рассматриваемого ряда равномерно сходятся к нулю, то есть ряд сходится равномерно на указанном промежутке. +∞ (−1) n−1 x ПРИМЕР 4. Рассмотрим ряд ∑ , 0 ≤ x < +∞ . n (1 ) x + n =1 В каждой точке x ≥ 0 этот ряд абсолютно сходится. Действительно, +∞ x при x = 0 ряд ∑ состоит из нулевых членов и, следовательно, схоn x (1 + ) n =1 дится. При x > 0 ряд +∞ +∞ x 1 ∑ (1 + x)n = x∑ (1 + x)n n 1= n 1 = +∞

Глава 2

72

Функциональные ряды

ç

è

1 < 1. 1+ x Перейдем к анализу равномерной сходимости. Рассмотрим остатки исходного ряда. При фиксированном x > 0 к ряду применим признак Лейбница. Применяя оценку для остатка этого ряда, находим: +∞ (−1) k −1 x x x x 1 < = . ∑ (1 + x)k < (1 += n +1  1 + ( n + 1) x + ( n + 1) x n + 1 x ) k = n +1 Полученная при x > 0 оценка +∞ (−1) k −1 x 1 ∑ (1 + x)k < n + 1 k = n +1 остается верной и при x = 0 , поскольку в этом случае сумма в левой части является нулевой. Теперь из полученной оценки следует равномерная сходимость рассматриваемого ряда. Покажем теперь, что ряд, составленный из модулей членов исходного ряда, не является абсолютно сходящимся. При x > 0 его остаток имеет вид +∞ +∞ x x x 1 1 1 ∑ (1 + x)k = (1 + x)n+1 ∑ (1 + x)k = (1 + x)n+1 ⋅ 1 = (1 + x)n . k= n+1 k= 0 1− 1+ x При x = 0 сумма указанного остатка является нулевой. Отсюда получаем, что +∞ +∞ 1 x x sup ∑ sup ∑ sup 1. = = = (∗) k k n (1 ) (1 ) (1 ) x x x + + + > > 0 0 x ≥0 k = x x n+1 k= n+1

сходится, ввиду оценки

Здесь учтено, что для любого x > 0 выполняется неравенство (1 + x) n > 1 и, 1 1 следовательно, . Кроме того, = 1 . Поэтому 1 lim < x→0 (1 + x ) n (1 + x) n 1 = 1. sup n + (1 ) x x >0 Из равенства (∗) следует, что ряд

+∞

x

∑ (1 + x)n

не сходится равномерно на

n =1

промежутке [0, +∞) . ЗАМЕЧАНИЕ. Ниже будет доказано такое утверждение. Если все члены функционального ряда

+∞

∑ an ( x) являются непрерывными функциями на n=1

промежутке I и ряд равномерно сходится на этом промежутке, то сумма этого ряда является функцией, непрерывной на промежутке I . Из этого ут-

Глава 2

73

Функциональные ряды

ç

è

верждения также следует, что ряд

+∞

x

∑ (1 + x)n

не сходится равномерно на

n =1

промежутке [0, +∞) . Действительно, все члены этого ряда являются функциями, непрерывными на промежутке [0, +∞) . Легко найти сумму этого +∞

x . При x > 0 имеет место равенство n x (1 + ) n =1 S ( x) = 1 , кроме того, S (0) = 0 . Функция S не является непрерывной на промежутке [0, +∞) , что невозможно для равномерно сходящегося ряда. ряда, то есть функцию S ( x) = ∑

ЗАМЕЧАНИЕ. Для функционального ряда

+∞

∑ an ( x) ,

x ∈ I мы рассмат-

n=1

ривали выше четыре типа сходимости:  поточечная сходимость на промежутке I , то есть сходимость числового ряда

+∞

∑ an ( x) для любого фиксированного x ∈ I ; n=1

 абсолютная сходимость на промежутке I , то есть сходимость числового ряда

+∞

∑| an ( x) | для любого фиксированного x ∈ I ; n =1

 равномерная сходимость функционального ряда

+∞

∑ an ( x)

на

n=1

промежутке I ;  равномерная сходимость функционального ряда

+∞

∑| an ( x) | n =1

на

промежутке I . На приводимой ниже диаграмме указано, из каких видов сходимости вытекает сходимость другого типа. поточечная сходимость на промежутке I

⇐

⇑

равномерная сходимость ряда

+∞

∑ an ( x) n=1

на промежутке I

абсолютная сходимость на промежутке I

⇑

⇐

равномерная сходимость ряда

+∞

∑| an ( x) | n =1

на промежутке I

Глава 2

74

Функциональные ряды

ç

è

Абель

Дирихле

Отметим, что ни одну из этих стрелок нельзя обратить, например, из поточечной сходимости, вообще говоря, не вытекает равномерная сходимость и так далее.

3. Признаки Абеля и Дирихле Приводимые ниже признаки являются аналогами признаков Абеля и Дирихле для случая числовых рядов. Напомним сначала следующее утверждение. ТЕОРЕМА 5. Предположим, что n ∈  , {ak }nk =1 — монотонная числовая последовательность, {bk }nk =1 — произвольная числовая последовательность. Тогда имеет место оценка n

∑ ak bk

≤ (| a1 | +2 | an |) ⋅ max

k

∑ bi .

1≤k ≤n = k 1 =i 1

Указанное в теореме неравенство называется неравенством Абеля. ТЕОРЕМА 6 (ПРИЗНАК ДИРИХЛЕ). Предположим, что для функционального ряда

+∞

∑ an ( x)bn ( x) , x ∈ I

выполняются следующие условия:

n=1

1) для каждого x ∈ I числовая последовательность {an ( x)}n+∞ =1 является монотонной; 2) an ( x)  0 на промежутке I ; 3) существует такая константа M , что для всех n ≥ 1 , x ∈ I имеет место оценка

n

∑ bk ( x) ≤ M . k =1

Тогда ряд

+∞

∑ an ( x)bn ( x) равномерно сходится на промежутке I . n=1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для произвольных натуральных n , p и любого x ∈ I из условия 3) теоремы получаем: n+ p

∑

bk ( x) =

k= n +1

n+ p

n

∑ bk ( x) − ∑ bk ( x) ≤

n+ p

∑ bk ( x) +

n

∑ bk ( x) ≤ 2M .

1 1 1 k == k 1 k= k=

Воспользуемся условием 2) формулировки теоремы. Выберем произвольное ε > 0 и найдем такое N , что при n ≥ N для всех x ∈ I выполняется неравенство | an ( x) |< ε . Применяя для произвольного фиксированного x ∈ I неравенство Абеля к числовым последовательностям {ak ( x)}nk += np+1 и {bk ( x)}nk += np+1 , находим:

Глава 2

75

Функциональные ряды

ç

è

n+ p

n+ q

an+1 ( x) | +2 | an+ p ( x) |) ⋅ max ∑ ak ( x)bk ( x) ≤ 6ε M . ∑ ak ( x)bk ( x) ≤ (| 1≤q ≤ p k= n +1 k= n +1   <3ε ≤2 M

В силу произвольности ε , из критерия Коши равномерной сходимости функционального ряда выводим равномерную сходимость ряда +∞

∑ an ( x)bn ( x) . n=1

Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. Условие 2) формулировки теоремы может быть переформулировано так: частичные суммы ряда

+∞

∑ bn ( x)

равномерно ограни-

n=1

чены на промежутке I . СЛЕДСТВИЕ ПРИЗНАКА ДИРИХЛЕ. Предположим, что последовательность функций {an }+∞ n=1 , определенных на промежутке I , удовлетворяет следующим условиям: 1) для любого x ∈ I числовая последовательность {an ( x)}n+∞ =1 является монотонной; 2) an ( x)  0 на промежутке I . Тогда функциональный ряд

+∞

∑ (−1)n−1 an ( x)

равномерно сходится на про-

n =1

межутке I . Это утверждение вытекает из признака Дирихле, если положить bn ( x) = (−1) n−1 , n ∈  , x ∈ I . Отметим, что приведенное следствие является аналогом (для случая функциональных рядов) признака Лейбница сходимости числового ряда. +∞ (−1) n−1 x n ПРИМЕР. Доказать равномерную сходимость ряда ∑ на α n =1 ( n + x ) промежутке 0 ≤ x ≤ 1 при любом α > 0 . РЕШЕНИЕ. Полагаем 1 , bn ( x) =(−1) n−1 x n , n =1,2, 0 ≤ x ≤ 1 . an ( x) = α (n + x) При любом фиксированном x ∈ [0,1] последовательность {an ( x)}n+∞ =1 является убывающей. Из оценки 1 an ( x) ≤ α , n ∈ , 0 ≤ x ≤ 1 n вытекает, что an ( x)  0 на промежутке [0,1] .

Глава 2

76

Функциональные ряды

ç

è

Частичные суммы ряда

+∞

∑ bn ( x) имеют вид n=1

x − (−1) n x Sn ( x) = ∑ bk ( x) = ∑ (−1) x =1 + x . = k 1= k 1 Оценивая модуль числителя последней дроби сверху, а знаменатель снизу, получаем: | x − (−1) n x |≤| x | + | (−1) n x |≤ 2, 1 + x ≥ 1 . Отсюда следует, что для любого x ∈ [0,1] имеет место неравенство | Sn ( x) |≤ 2 . Все условия признака Дирихле выполнены, следовательно, рассматриваемый ряд сходится на промежутке [0,1] равномерно. Отметим в заключение, что при α > 1 равномерная сходимость рассматриваемого ряда может быть выведена из признака Вейерштрасса. Действительно, для любого x ∈ [0,1] выполняется оценка n

n

k −1 k

(−1) n−1 x n xn 1 ≤ ≤ α , n= 1,2, , α α (n + x) (n + x) n поскольку для любого

x ∈ [0,1]

имеют место неравенство

x n ≤ 1,

(n + x)α ≤ nα .

ПРИМЕР. Рассмотрим функциональный ряд

+∞

sin nx , x ∈ [0,2π ] и поα n n=1

∑

кажем, что 1) при α > 1 этот ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке [0,2π ] ; 2) при 0 < α ≤ 1 ряд сходится поточечно на отрезке [0,2π ] ; 3) при 0 < α ≤ 1 ряд сходится равномерно на отрезке вида [δ ,2π − δ ] при любом δ , 0 < δ < π ; 4) при 0 < α ≤ 1 ряд не сходится равномерно на любом отрезке вида [0, δ ] , δ > 0 . РЕШЕНИЕ. 1) При α > 1 члены рассматриваемого ряда мажорируются членами сходящегося числового ряда: sin nx 1 ≤ , 0 ≤ x ≤ 2π , nα nα и по теореме Вейерштрасса рассматриваемый функциональный ряд сходится на промежутке [0,2π ] абсолютно и равномерно.

Глава 2

77

Функциональные ряды

ç

è

n

Для дальнейшего анализа найдем сумму S = ∑ sin kx . Умножая обе k =1

x части последнего соотношения на sin , в предположении, что эта величи2 на отлична от нуля, и учитывая тождества 1 sin α ⋅ sin (cos(α − β ) − cos(α + β )) , = β 2 β −α β +α , = ⋅ cos cos α − cos β 2cos 2 2 получаем: n   x x 1 n  1  1   ⋅ S ∑ sin kx ⋅ = sin= sin  cos   k −  x  − cos   k + = ∑  x 2 2 2 2 2         = k 1= k 1

=

1  x 3x   3x 5x   1 1      cos − cos  +  cos − cos  +  +  cos  n −  − cos  n +   =   2  2 2   2 2  2 2  

1 x  1   nx (n + 1) x =  cos − cos   n +  x   =sin ⋅ sin . 2 2 2   2 2  Отсюда получаем, что nx (n + 1) x sin ⋅ sin 2 2 . S= x sin 2 Вернемся теперь к анализу функционального ряда. В дальнейшем всюду предполагаем, что 0 < α ≤ 1 2) Покажем, что рассматриваемый ряд поточечно сходится на промежутке [0,2π ] .

Если x = 0 или x = 2π , то все члены ряда ноль, и ряд сходится. Допустим, что 0 < x < 2π . Тогда 0 < тичные суммы ряда

+∞

+∞

sin nx обращаются в α n n=1

∑

x x < π , sin ≠ 0 . Оцениваем час2 2

∑ sin nx по найденной выше формуле: n=1

n

= ∑ sin kx k =1

sin

nx (n + 1) x ⋅ sin 1 2 2 ≤ . x x sin sin 2 2

Глава 2

78

Функциональные ряды

ç

è

При фиксированном x из указанного диапазона частичные суммы ряда ограничены. Подчеркнем, что в приведенной оценке слева находится произвольная частичная сумма ряда, поскольку n любое. В правой части находится величина, не зависящая от n . Далее, учитываем, что последовательность {1 nα }+∞ n=1 монотонно сходится к нулю. По признаку Дирихле для чи+∞

sin nx сходится в точке x . α n n=1 3) Выберем произвольное δ , 0 < δ < π и покажем, что ряд равномерно сходится на отрезке [δ ,2π − δ ] . В этом случае применяем признак Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов. Частичные суммы

словых рядов ряд

ряда

∑

+∞

∑ sin nx оцениваем так: n=1

n

∑ sin kx ≤ k =1

1 x sin 2

≤

1 sin

δ

,

2

поскольку для x ∈ [δ ,2π − δ ] выполняется оценка

δ 2

≤

x δ и, сле≤π − 2 2

x δ ≥ sin . Чтобы применить признак Дирихле, снова учи2 2 тываем, что числовая последовательность {1 nα }+∞ n=1 монотонно сходится к нулю. +∞ sin nx 4) Докажем теперь, что функциональный ряд ∑ α не сходится n=1 n равномерно на отрезке [0, δ ] при любом δ > 0 . Для этого покажем, что он не удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости. Для произ2n sin kx π и положим в ней . Вевольного n ≥ 1 рассмотрим сумму ∑ x = α 4 n k k = n +1 личина kx при изменении k от n + 1 до 2n возрастает и принимает значеπ n +1 π π 2n π ния от до ⋅ =, то есть удовлетворяет условию ⋅ > 4 n 4 4 n 2

довательно, sin

π

4

< kx ≤

π

2

. Следовательно, для указанных значений x и k выполняется

неравенство sin kx > sin

π 4

, и тогда

sin kx π 2n 1 ∑ k α > sin 4 ⋅ ∑ k α . k= n +1 k= n +1 2n

Глава 2

79

Функциональные ряды

ç

è

Заметим теперь, что для всех значений k= n + 1, n + 2 , …, 2n выполняется неравенство k α ≤ k ≤ 2n (здесь учтено, что 0 < α ≤ 1 ) и, следовательно, 1 1 , и тогда ≥ k α 2n 1 1 π 2n π π sin ⋅ ∑ ≥ sin ⋅ n ⋅ = ⋅ sin . (∗) 4 k = n+1 4 2n 2 4 Для любого δ > 0 при всех достаточно больших значениях n величина 1 попадает в промежуток [0, δ ] . Из соотношения (∗) выводим, что для x= 2n рассматриваемого ряда не выполняется условие критерия Коши, и он не сходится равномерно. ЗАМЕЧАНИЕ. Найденную выше сумму

n

∑ sin kx

можно было бы найти

k =1

по следующей схеме, использующей комплексные числа и формулу Эйлера: . eix = cos x + i sin x, x ∈  Это означает, что cos x = Re(eix ) , sin x = Im(eix ) , где, как обычно, Re z и Im z означают соответственно вещественную и мнимую части комплексного числа z . Тогда имеем: n n  1 − ei ( n+1) x   n ikx  = = sin kx ∑ sin kx Im  = ∑ ∑ e  Im  1 − eix . = = k 1= k 0 k 0    i ( n +1) x 1− e , находим искомую сумму. ОтУпрощая последнее выражение 1 − eix сюда можно также найти значение суммы предоставляются читателю.

n

∑ cos kx . Детали вычислений

k =0

ТЕОРЕМА 7 (ПРИЗНАК АБЕЛЯ). Предположим, что для функционального ряда

+∞

∑ an ( x)bn ( x) , x ∈ I

выполняются следующие условия:

n=1

1) для каждого x ∈ I числовая последовательность {an ( x)}n+∞ =1 является монотонной; 2) существует такая константа M , что для всех n ∈  , x ∈ I имеет место оценка | an ( x) |≤ M ;

Глава 2

80

Функциональные ряды

ç

è

3) ряд

+∞

∑ bn ( x) равномерно сходится на промежутке I . n=1

Тогда функциональный ряд

+∞

∑ an ( x)bn ( x)

равномерно сходится на проме-

n=1

жутке I . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Применим к равномерно сходящемуся ряду +∞

∑ bn ( x)

критерий Коши равномерной сходимости ряда. Выберем произ-

n=1

вольное ε > 0 . В силу этого критерия, существует такое N , что при n ≥ N для любых значений p = 1 , 2, … и всех x ∈ I выполняется неравенство n+ p

∑ bk ( x) < ε .

k = n +1

Применяя для произвольного фиксированного x ∈ I неравенство Абеля к числовым последовательностям {ak ( x)}nk += np+1 и {bk ( x)}nk += np+1 , находим: n+ p

n+ q

∑

ak ( x)bk ( x) ≤ (| an+1 ( x) | +2 | an+ p ( x) |) ⋅ max ∑ ak ( x)bk ( x) ≤ 3M ε .  1≤q≤ p k = k= n +1 n +1   ≤3 M <ε

В силу произвольности ε , из критерия Коши (равномерной сходимости ряда) выводим равномерную сходимость ряда

+∞

∑ an ( x)bn ( x) . n=1

Теорема доказана. ПРИМЕР. Доказать равномерную сходимость ряда +∞ (−1) n−1 arctg nx ∑ (n + x)α , 0 ≤ x < +∞ n =1 для произвольного α > 0 .

(−1) n−1 РЕШЕНИЕ. Покажем сначала, что функциональный ряд ∑ α n =1 ( n + x ) равномерно сходится на промежутке [0, +∞) . Это вытекает из следствия признака Дирихле (аналога признака Лейбница). Действительно, достаточно заметить, что при любом x ∈ [0, +∞) числовая последовательность +∞

 1  является монотонной и из оценки  α + ( ) n x  n=1 1 1 ≤ , 0 ≤ x < +∞ (n + x)α nα

+∞

Глава 2

81

Функциональные ряды

ç

è

1  0 на промежутке [0, +∞) . (n + x)α Для любого x ∈ [0, +∞) последовательность является монотонной. Кроме π того, для любых x ∈ [0, +∞) и n ∈  имеет место оценка 0 ≤ arctg nx < . Из 2 признака Абеля выводим, что функциональный ряд +∞ (−1) n−1 arctg nx ∑ (n + x)α , 0 ≤ x < +∞ n =1 равномерно сходится на промежутке [0, +∞) .

следует, что

4. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов. В этом разделе рассматриваются следующие вопросы: предположим, что все элементы функциональной последовательности обладают некоторым свойством (например, непрерывны на некотором промежутке). Будут указаны достаточные условия, при выполнении которых это свойство сохраняется и для предельной функции. Все доказываемые утверждения имеют точные аналоги в случае рядов. Эти утверждения будут только сформулированы, поскольку они являются непосредственными следствиями соответствующего факта для функциональной последовательности. ТЕОРЕМА 8. Пусть { f n }+∞ n=1 — последовательность функций, определенных на промежутке I . Предположим что эта последовательность сходится на промежутке I равномерно к функции f . Если все функции f n непрерывны в некоторой точке x0 ∈ I , то предельная функция f также непрерывна в этой точке. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем произвольное ε > 0 и найдем такое n , чтобы для всех x ∈ I выполнялось неравенство | f n ( x) − f ( x) |<

ε

. В силу 3 непрерывности функции f n ( x) в точке x0 , найдется такое δ > 0 , что для всех x ∈ I , удовлетворяющих условию | x − x0 |< δ , имеет место оценка

ε

| f n ( x) − f n ( x0 ) |< . 3 Тогда для тех же значений x получаем | f ( x) − f ( x0 ) |=| ( f ( x) − f n ( x)) + ( f n ( x) − f n ( x0 )) + ( f n ( x0 ) − f ( x0 )) |≤ ≤| f ( x) − f n ( x) | + | f n ( x) − f n ( x0 ) | + | f n ( x0 ) − f ( x0 ) |<

ε

3

+

ε

3

+

ε

3

= ε.

Глава 2

82

Функциональные ряды

ç

è

Мы доказали, что | f ( x) − f ( x0 ) |< ε для всех x ∈ I , удовлетворяющих неравенству | x − x0 |< δ . В силу произвольности ε , это означает, что функция f непрерывна в точке x0 . Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. При выполнении условий теоремы из ее утверждения вытекает следующее равенство: lim ( lim f n ( x)) = lim ( lim f n ( x)). x→ x0 n→+∞

n→+∞ x→ x0

{ f n }+∞ n=1

— последовательность функций непреСЛЕДСТВИЕ 1. Пусть рывных на промежутке I . Если эта последовательность сходится на промежутке I равномерно к функции f , то функция f также непрерывна на этом промежутке. СЛЕДСТВИЕ 2. Предположим, что все члены функционального ряда +∞

∑ an ( x)

определены и непрерывны на промежутке I . Если ряд сходится

n=1

+∞

на промежутке I равномерно, то его сумма S ( x) = ∑ an ( x) непрерывна n=1

на отрезке [a, b] . n

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Положим Sn ( x) = ∑ ak ( x) , x ∈ [a, b] . Тогда k =1

Sn ( x)  S ( x), x ∈ [a, b] . Каждая из функций Sn непрерывна на отрезке [a, b] . Применяя следствие 1, получаем требуемый результат. ЗАМЕЧАНИЕ. Допустим, что последовательность функций { f n }+∞ n=1 , определенных на промежутке I поточечно сходится на этом промежутке к функции f . Если при этом равномерная сходимость не имеет места, то предельная функция может оказаться разрывной. Например, рассмотрим последовательность функций f n ( x) = x n , x ∈ [0,1] , n = 1 , 2, … . Для каждого x ∈ [0,1] существует предел f ( x) = lim f n ( x) . Каждая из функций f n неn→+∞

прерывна на отрезке [0,1] . Предельная функция f удовлетворяет условиям: f ( x) = 0 , если 0 ≤ x < 1 , f (1) = 1 .Таким образом функция f не является непрерывной на отрезке [0,1] . Подчеркнем, что рассматриваемая функциональная последовательность сходится на отрезке [0,1] к предельной функции f поточечно, но неравномерно. Перейдем теперь к вопросу об интегрировании членов функциональной последовательности.

Глава 2

83

Функциональные ряды

ç

è

ТЕОРЕМА 9. Пусть { f n }+∞ n=1 — последовательность функций, определенных и интегрируемых на отрезке [a, b] . Если эта последовательность равномерно сходится на отрезке [a, b] к функции f , то эта функция также интегрируема на этом отрезке и для любой точки c ∈ [a, b] имеет место равномерная сходимость x

x

∫ f n (t )dt  ∫ f (t )dt , c

x ∈ [ a, b] .

c

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ограничимся рассмотрением частного случая. Будем предполагать, что все функции f n непрерывны на отрезке [a, b] . Тогда, в силу следствия предыдущей теоремы, предельная функция f непрерывна на отрезке [a, b] и, следовательно интегрируема на этом отрезке. Докажем сходимость интегралов от рассматриваемых функций. Выберем произвольное ε > 0 и найдем такое N , чтобы для всех n ≥ N и всех x ∈ [a, b] выполнялось неравенство | f n ( x) − f ( x) |< ε . Тогда для всех n ≥ N и x ∈ [a, b] получаем: x

x

x

c

c

∫ f n (t )dt − ∫ f (t )dt = ∫ ( f n (t ) − f (t ))dt ≤ c

x

≤ ∫ | f n ( x) − f ( x) |dx ≤ ε ⋅ | x − c |≤ ε ⋅ (b − a ). c

В силу произвольности ε и x , полученная оценка означает наличие искомого соотношения для интегралов. Теорема доказана. СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть { f n }+∞ n=1 — последовательность функций, определенных и интегрируемых на отрезке [a, b] . Если эта последовательность равномерно сходится на отрезке [a, b] к функции f , то функция f также интегрируема на этом отрезке и

lim

n→+∞

b

b

a

a

∫ f n ( x) dx = ∫ f ( x) dx.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Приведенное в следствии 1 соотношение может быть переписано следующим образом:

lim

n→+∞

b

b

a

a

f n ( x)) dx, ∫ f n ( x) dx = ∫ (nlim →+∞

то есть утверждается, что модно поменять порядок следования операций интегрирования и предельного перехода. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Доказанная теорема и следствие 1 носят название теоремы о предельном переходе под знаком интеграла.

Глава 2

84

Функциональные ряды

ç

è

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Отметим, что требование равномерной сходимости утверждение теоремы может оказаться неверным. Рассмотрим, например, последовательность функций (n + 1)(2n + 1) n n = f n ( x) ( x − x 2= ), n 1,2, ,0 ≤ x ≤ 1. n Эти функции непрерывны на отрезке [0,1] .Читателю предлагается убедиться в справедливости следующих утверждений. 1) Для любого значения n = 1 , 2, … 1

∫ f n ( x) dx = 1. 0

2) Для любого x ∈ [0,1] имеет место равенство lim f n ( x) = 0 , то есть n→+∞

рассматриваемая последовательность поточечно сходится к нулевой функции. Поэтому соотношение

lim

n→+∞

b

b

a

a

f n ( x)) dx, ∫ f n ( x) dx = ∫ (nlim →+∞

места не имеет. 3) Имеет место равенство

(n + 1)(2n + 1)   n   n  = − max f n ( x)    n + 1   n + 1  0≤ x≤1 n  n

и, следовательно, max f n ( x) → +∞ при n → +∞ . 0≤ x≤1

2n 

 → +∞  

Графики рассматриваемых функций при n = 1 , 2 , 3 , 4 и 5 приведены на следующем рисунке. Отметим, что по осям выбраны разные масштабы.

Глава 2

85

Функциональные ряды

ç

+∞

è

СЛЕДСТВИЕ 2. Предположим, что все члены функционального ряда

∑ un ( x )

определены и интегрируемы на отрезке [a, b] и ряд равномерно

k =1

сходится на этом отрезке. Тогда для любой точки c ∈ [a, b] и имеет место равенство x +∞

+∞ x

∑ un (t ) dt = ∑ ∫ un (t ) dt , ∫ n 1= n 1 = c

c

причем ряд в правой части равномерно сходится на отрезке [a, b]. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно положить n

∑ uk ( x),

) f n ( x=

k =1

x ∈ [a, b], = n 1,2,

и воспользоваться утверждением теоремы. СЛЕДСТВИЕ 3. Предположим, что все члены функционального ряда +∞

∑ un ( x )

определены и интегрируемы на отрезке [a, b] и ряд равномерно

k =1

сходится на этом отрезке. Тогда имеет место равенство b +∞

+∞ b

∑ un ( x) dx = ∑ ∫ un ( x) dx . ∫ n 1= n 1 = a

a

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Следствия 2 и 3 носят название теоремы о почленном интегрировании функционального ряда. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Следствия 1 и 3 остаются в силе и без предположения, что a < b . Например, справедливо такое утверждение. Предположим, что все члены функционального ряда

+∞

∑ un ( x )

опре-

k =1

делены и интегрируемы на отрезке [ A, B] и ряд равномерно сходится на этом отрезке. Тогда сумма этого ряда интегрируема на отрезке [ A, B] и для любых a , b ∈ [ A, B] имеет место равенство b +∞

+∞ b

∑ un ( x) dx = ∑ ∫ un ( x) dx . ∫ n 1= n 1 = a

a

Действительно, если a < b , то это утверждает следствие 3, если a = b, то все интегралы равны нулю, и равенство имеет место. В случае a > b воспользуемся равенством a +∞

+∞ a

∑ un ( x) dx = ∑ ∫ un ( x) dx ∫ n 1= n 1 = b

b

Глава 2

86

Функциональные ряды

ç

è

и поменяем местами пределы интегрирования в каждом из интегралов. Тогда все интегралы поменяют знак, и равенство сохранится. ПРИМЕР. Доказать, что имеет место равенство x 2 x3 ln(1 + x) = x − + − , − 1 < x ≤ 1. 2 3 РЕШЕНИЕ. Для всех t ∈ (−1,1) имеет место равенство +∞ 1 2 3 = 1 − t + t − t +  = ∑ (−1) n t n . (∗) 1+ t n =0 Выберем произвольное x ∈ (−1,1) . Возьмем такое число r , для которого

| x |< r < 1 . Ряд

+∞

∑ (−1)n t n

равномерно сходится на промежутке [−r , r ] по

n =0

признаку Вейерштрасса. Действительно, для любого t ∈ [−r , r ] имеет место оценка | t |n ≤ r n , n = 0 , 1 , …, и данный функциональный ряд мажорируется на отрезке [−r , r ] сходящимся числовым рядом

+∞

∑ r n . Интегрируя обе час-

n =0

ти соотношения (∗) по t от 0 до x (вне зависимости от знака x ) и применяя теорему о почленном интегрировании ряда, получаем: x x +∞ x +∞ dt n n n n dt = ∑ ∫ (−1) t dt = ∑ (−1) ∫ t dt = ∫ t 1 + n 0= n 0 = 0 0 0 +∞

=∑ (−1) n n =0 x

Остается заметить, что венство

x n+1 x 2 x3 =x − + −. n +1 2 3

dt ∫ 1 +=t ln(1 + x) . Мы доказали, что имеет место ра0

+∞ x 2 x3 (−1) n−1 x n ln(1 + x) = x − + −  = ∑ , − 1 < x < 1. 2 3 n n =1 Остается доказать, что это соотношение остается верным и при x = 1 . Для этого заметим, что функциональный ряд x 2 x3 x− + − 2 3 сходится на промежутке [0,1] равномерно. Действительно, числовой ряд 1 1 1 − + − 2 3

Глава 2

87

Функциональные ряды

ç

è

является сходящимся. Следовательно, функциональный ряд, составленный из соответствующих постоянных функций, равномерно сходится на промежутке [0,1] . Функции x n , n = 0 , 1, …, удовлетворяют условиям | x n |≤ 1, 0 ≤ x ≤ 1 и при любом фиксированном x ∈ [0,1] числовая последовательность {x n }+∞ n=1 является монотонной. По признаку Абеля ряд x 2 x3 x− + − 2 3 равномерно сходится на промежутке [0,1] . Каждый из членов последнего ряда является функцией, непрерывной на отрезке [0,1] . Мы находимся в условиях теоремы о непрерывности суммы ряда. Из нее следует, что +∞ (−1) n x n +∞ (−1) n x n +∞ (−1) n = lim ∑ = lim ∑ x→1−0 n ∑ n . x→1−0 n = = n 1= n 1 n 1

(−1) n−1 x n и Переходя к пределу при x → 1 − 0 в равенстве ln(1 + x) = ∑ n n =1 ln 2 , в силу непрерывности логарифмической учитывая, что lim ln(1 + x) = +∞

x→1−0

функции, находим, что доказываемое соотношение остается верным и при x = 1. Перейдем теперь к вопросу о дифференцируемости функциональной последовательности. ТЕОРЕМА 10. Предположим, что { f n }+∞ n=1 — последовательность функций, непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b] , удовлетворяющая следующим условиям: 1) последовательность { f n }+∞ n=1 сходится в некоторой точке c указанного отрезка; 2) последовательность производных { f n′}+∞ n=1 равномерно сходится на отрезке [a, b] к функции g . Тогда последовательность { f n }+∞ n =1 равномерно сходится на отрезке [a, b] к непрерывно дифференцируемой функции f и выполняется равенство f ′ = g . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ. По теореме 1 функция g непрерывна на отрезке [a, b] . В силу теоремы 2, имеет место равномерная сходимость x

x

∫ f n′(t ) dt  ∫ g (t ) dt , c

c

x ∈ [ a, b] .

Глава 2

88

Функциональные ряды

ç

è

Ньютон

Применяя в левой части формулу Ньютона-Лейбница, отсюда находим, что x

f n ( x) − f n (c)  ∫ g (t ) dt , x ∈ [a, b] .

(∗)

c

Рассматривая f n (c) , n ∈  и f (c) как значения постоянных функций на отрезке [a, b] , получаем, что f n (c)  f (c) , x ∈ [a, b] . Складывая почленно последнее соотношение и соотношение (∗), получаем, что x

f n ( x)  ∫ g (t ) dt + f (c), x ∈ [a, b] , c

{ f n }+∞ n=1

последовательность равномерно сходится на отрезке [a, b] . Обозначим: f ( x) = lim f n ( x) , x ∈ [a, b] . Тогда n→+∞

x

f ( x) =∫ g (t ) dt + f (c), x ∈ [a, b]. c

Интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции является функцией непрерывно дифференцируемой. Из последнего соотношения получаем, что функция f непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b] и имеет место равенство f ′( x) = g ( x) , x ∈ [a, b] . Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. При выполнении условий теоремы имеет место равенство = ( lim f n ( x))′ lim f n′ ( x), x ∈ [a, b] , n→+∞

n→+∞

говорящее о возможности почленного дифференцирования функциональной последовательности. СЛЕДСТВИЕ. Предположим, что члены функционального ряда +∞

∑ un ( x ) n =1

непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, b] , ряд сходится в некоторой точке c ∈ [a, b] , а ряд

+∞

∑ un′ ( x) сходится на отрезке [a, b] равномерно. n =1

Тогда исходный ряд

+∞

∑ un ( x ) n =1

сходится на отрезке [a, b] равномерно, его

сумма непрерывно дифференцируема на этом отрезке и имеет место равенство

Глава 2

89

Функциональные ряды

ç

è

 +∞ ′ +∞  ∑ un ( x)  = ∑ un′ ( x) =  n 1=  n1 Последнее утверждение носит название теоремы о почленном дифференцировании ряда.

5. Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд вида

+∞

∑ an x n , где

n =0

{an }+∞ n =0

—числовая последовательность. Очевидно, что степенной ряд является сходящимся при x = 0 . Справедливо следующее утверждение ТЕОРЕМА 11 (ТЕОРЕМА АБЕЛЯ). Если степенной ряд

+∞

∑ an x n

сходится

n =0

при = x x0 ≠ 0 , то он абсолютно сходится для всех значений x , удовлетворяющих неравенству | x |<| x0 | . Если данный ряд расходится при некотором значении x = x1 , то он расходится при любом значении x , удовлетворяющем неравенству | x |>| x1 | . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что рассматриваемый степенной ряд сходится при некотором значении = x x0 ≠ 0 . Из сходимости числового ряда

+∞

∑ an x0n

n =0

следует, что выполняется равенство lim an x0n = 0 . Сходящаяn→+∞

ся последовательность является ограниченной. Поэтому существует такое число M , что выполняется оценка | an x0n |≤ M для всех значений m . Выберем произвольное значение x1 , удовлетворяющее неравенству | x1 |<| x0 | . Для любого n = 0 , 1, 2… имеем : n

n x n n | x1 | | an x1 |= | an x0 | ⋅ n = | an x0n | ⋅ 1 ≤ Mq n , x0 | x0 |

где введено обозначение q =

x1 . x0

Глава 2

90

Функциональные ряды

ç

è

Из неравенства | x1 |<| x0 | следует, что 0 ≤ q < 1 . Мы доказали, что числовой ряд

+∞

∑

n =0

| an x1n

| мажорируется рядом

+∞

∑ Mq n . Остается заметить, что последn=1

ний ряд сходится и, следовательно, сходится числовой ряд

+∞

∑ | an x1n | .

n =0

Второе утверждение теоремы является непосредственным следствием первого. Теорема доказана. СЛЕДСТВИЕ. Если степенной ряд сходится в точке x0 ≠ 0 , то для любого числа ρ , удовлетворяющего условию 0 < ρ <| x0 | , ряд сходится на отрезке [− ρ , ρ ] абсолютно и равномерно. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Абсолютная сходимость ряда для любого значения x ∈ [− ρ , ρ ] доказана в самой теореме. В частности ряд абсолютно сходится в точке x = ρ : +∞

∑ | an |ρ n < +∞.

n =0

Отсюда в силу признака Вейерштрасса вытекает равномерная сходимость рассматриваемого степенного ряда на отрезке [− ρ , ρ ] . Действительно для любого x ∈ [− ρ , ρ ] выполняется оценка

| an x n |=| an | ⋅ | x |n ≤| an | ρ n , n = 0,1,2, . Следствие доказано. ТЕОРЕМА 12. Для любого степенного ряда

+∞

∑ an x n

существует та-

n =0

кое R ( R ≥ 0 или R = +∞ ), что: 1) если R = 0 , то ряд расходится при любом ненулевом значении x ; 2) если 0 < R < +∞ , то ряд абсолютно сходится для любого вещественного x , удовлетворяющего неравенству | x |< R , и расходится для любого значения x , удовлетворяющего неравенству | x |> R ; 3) если R = +∞ , то ряд абсолютно сходится для любого вещественного x ..; ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим через D множество всех x ∈  , для которых степенной ряд сходится. Это множество является непустым, поскольку оно содержит значение x = 0 . Положим = R sup{| x |: x ∈ D} . Тогда 0 ≤ R < +∞ или R = +∞ . Предположим, что R = 0 . Тогда D = {0} , и степенной ряд расходится при любом ненулевом значении x .

Глава 2

91

Функциональные ряды

ç

è

Предположим, что 0 < R < +∞ . Из определения числа R следует, что степенной ряд расходится при любом значении x , удовлетворяющем условию | x |> R . Выберем произвольное значение x0 удовлетворяющее условию | x0 |< R . По определению точной верхней грани существует такой элемент x1 ∈ D , что | x1 |>| x0 | . Снова применяя теорему Абеля, из сходимости степенного ряда в точке x1 выводим его абсолютную сходимость в точке x0 . Предположим, что R = +∞ . Покажем, что степенной ряд абсолютно сходится при любом вещественном значении x . Действительно, выберем произвольное x0 ∈  . По определению точной верхней грани существует такой элемент x1 ∈ D , что | x1 |>| x0 | . Степенной ряд сходится в точке x = x1. Из теоремы Абеля вытекает, что он абсолютно сходится в точке x0 . Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. Число R из формулировки теоремы определяется степенным рядом единственным образом. Это число называется радиусом сходимости степенного ряда. Отметим, что в теореме ничего не говорится о сходимости или расходимости степенного ряда при условии | x |= R в случае 0 < R < +∞ , то есть при x = R или x = − R . Ниже мы на конкретных примерах убедимся, что степенной ряд в этих точках может как сходиться, так и расходиться. Приведем теперь теоремы о вычислении радиуса сходимости степенного ряда

+∞

∑ an x n .

n =0

ТЕОРЕМА 13. Предположим, что существует конечный или бесконечный предел ρ = lim n | an | . Тогда n→+∞

1. R = +∞ , если ρ = 0 ; 1 2. R = , если 0 < ρ < +∞ ;

ρ 3. R = 0 , если ρ = +∞ . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что ρ = 0 , и покажем, что степенной ряд

+∞

∑ an x n абсолютно сходится при любом вещественном значении x .

n =0

Для этого воспользуемся признаком Коши сходимости числового ряда в предельной форме: lim n= | an n |

n→+∞

lim

n→+∞

n | an |⋅ | x | =

В силу признака Коши, ряд абсолютно сходится.

0.

Глава 2

92

Функциональные ряды

ç

è

Адамар

Коши

Д'Аламбер

Предположим, что 0 < ρ < +∞ . Покажем, что степенной ряд сходится 1 при любом значении x , удовлетворяющем условию | x < . Действитель-

ρ

но, в этом случае lim

n | a xn n

| = lim

n|a n

|⋅ | x |=

| x|

< 1.

ρ В силу признака Коши, рассматриваемый числовой ряд является сходящимся. Аналогично доказывается, что при любом значении x , удовлетвоn→+∞

ряющим условию | x |>

1

ρ

n→+∞

, степенной ряд расходится, и анализируется слу-

чай ρ = +∞ . Теорема доказана. 1 1 = 0 , при= +∞ и +∞ 0 веденные в теореме формулы для вычисления радиуса сходимости можно объединить следующим образом: 1 R= lim n | an |

ЗАМЕЧАНИЕ. Вводя естественные соглашения

n→+∞

в предположении, что существует конечный или бесконечный предел в знаменателе. Доказательство следующей теоремы, основанное на признаке д’Aламбера в предельной форме, предоставляется читателю. ТЕОРЕМА 14. Если для степенного ряда

+∞

∑ an x n

существует конеч-

n =0

ный или бесконечный предел lim

n→+∞

an , то радиус сходимости этого ряда an+1

an . n→+∞ an +1 ЗАМЕЧАНИЕ. В общем случае радиус сходимости степенного ряда может быть найден по следующей формуле 1 , R= lim n | an |

может быть найден по формуле R = lim

n→+∞

называемой формулой Коши-Адамара. Здесь lim означает верхний предел n→+∞

последовательности, который для произвольной неотрицательной после-

Глава 2

93

Функциональные ряды

ç

è

довательности всегда существует и может принимать числовое значение из промежутка [0, +∞) или значение +∞ . Рассмотрим степенной ряд

+∞

∑ an x n

с ненулевым радиусом сходимо-

n =0

сти R . Тогда для всех вещественных значений x , удовлетворяющих усло+∞

вию | x |< R определена функция f ( x) = ∑ an x n . В этом случае говорят, n =0

что функция f представлена в виде суммы степенного ряда. Отметим, что

f (0) = a0 , то есть коэффициенту при x 0 . Рассмотрим некоторые свойства такой функции. Докажем сначала вспомогательные утверждения. ЛЕММА 1. Радиусы сходимости степенных рядов

+∞

∑ an x n

и

n =0 +∞

∑ nan x n−1 n =1

совпадают. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ограничимся рассмотрением частного случая. Предположим, что существует конечный или бесконечный предел ρ = lim n | an | . Как было показано в предыдущем разделе, в этом случае n→+∞

радиус сходимости степенного ряда

+∞

∑ an x n

находится по формуле R =

n =0

Ряды

+∞

∑ nan x n−1

и

n =1

+∞

∑ nan x n

1

ρ

.

имеют одинаковые радиусы сходимости. Это

n =1

вытекает из того, что при любом x эти ряды сходятся или расходятся одновременно. Действительно, при x = 0 сходится любой степенной ряд. При x ≠ 0 второй ряд может быть получен из первого путем умножения на x , а ряды, отличающиеся ненулевым множителем, сходятся или расходятся одновременно. Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда +∞

∑ nan x n n =1

заметим, что lim

n→+∞

поскольку lim

n→+∞

n

n

| nan |=

lim

n→+∞

n

n ⋅ n | an |=

lim

n→+∞

n

| an |= ρ ,

n = 1. Это означает, что радиус сходимости ряда +∞

∑ nan x n−1 n =1

Глава 2

94

Функциональные ряды

ç

равен

è

1

и, следовательно, совпадает с радиусом сходимости ряда

ρ Лемма доказана.

+∞

∑ an x n .

n =0

Напомним теперь, что если степенной ряд

+∞

∑ an x n

имеет радиус схо-

n=1

димости R > 0 , то для любого r , удовлетворяющего условию 0 < r < R , этот ряд сходится на отрезке [−r , r ] равномерно. ЛЕММА 2. Предположим ,что степенной ряд

+∞

∑ an x n

имеет ненуле-

n=1

+∞

вой радиус сходимости R . Тогда функция f ( x) = ∑ an x n , x ∈ (− R, R) являn=1

ется непрерывной. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем произвольное число r , удовлетворяющее условию 0 < r < R . Все функции an x n непрерывны на отрезке [−r , r ] , и рассматриваемый ряд сходится на этом отрезке равномерно. Следовательно, сумма этого ряда, то есть функция f , непрерывна на отрезке [−r , r ] . В силу произвольности r , функция f непрерывна на всем интервале (− R, R ) . Лемма доказана. ЛЕММА 3. Предположим, что степенной ряд

+∞

∑ an x n

имеет ненуле-

n=1

+∞

вой радиус сходимости R . Тогда функция f ( x) = ∑ an x n , x ∈ (− R, R) являn=1

ется непрерывно дифференцируемой на промежутке (− R, R ) и имеет место равенство

= f ′( x)

+∞

∑ nan x n−1,

x ∈ (− R, R ).

n=1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем любое число r , удовлетворяющее условию 0 < r < R . Функции an x n , n = 0 , 1, … являются непрерывно дифференцируемыми на отрезке [−r , r ] , ряд

+∞

∑ an x n

сходится на этом отрезке. Ряд

n =0 +∞

∑ nan x n−1 , n =1

(∗)

составленный из производных членов предыдущего ряда, в силу леммы 1, имеет радиус сходимости, равный R . Следовательно, ряд (∗) сходится на

Глава 2

95

Функциональные ряды

ç

è

отрезке [−r , r ] равномерно. В силу теоремы о дифференцируемости суммы ряда, имеет место равенство ′ +∞  +∞ n n −1 , x ∈ [−r , r ] , =  ∑ an x  ∑ n ax n =  n 0=  n1 то есть

= f ′( x)

+∞

∑ nan x n−1,

x ∈ [−r , r ].

n=1

В силу произвольности r , получаем, что функция f дифференцируема на промежутке (− R, R ) , и последнее равенство имеет место для всех значений x ∈ (− R, R) . Из леммы 2 выводим, что функция f ′ непрерывна на промежутке (− R, R ) . Лемма доказана. ТЕОРЕМА 15. Предположим, что степенной ряд

+∞

∑ an x n

имеет нену-

n =0 +∞

левой радиус сходимости R . Тогда функция f ( x) = ∑ an x n , x ∈ (− R, R) явn =0

ляется бесконечно дифференцируемой, и имеют место равенства f ( n ) (0) , n 0,1,2, . = an = n! ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Бесконечная дифференцируемость функции f следует из леммы 3. Последовательно применяя ее к функциям f , f ′ , f ′′ и т.д., получаем, что каждая из них непрерывно дифференцируема на промежутке (− R, R ) и ряд

+∞

∑ an x n

можно любое число раз почленно диффе-

n =0

ренцировать:

= f ( x) (k )

+∞

= (an x n )( k ) , k ∑

n =0

1,2, .

Найдем производные под знаком суммы. Производные слагаемых, отвечающих значениям n = 0 , 1, k − 1, обратятся в ноль. Поэтому суммирование будет вестись от n = k . Получаем:

f

= ( x)

(k )

+∞

∑ n(n − 1)(n − k + 1)an x n−k , =k

n=k

1,2, .

Коэффициент при x (то есть значение f ( k ) (0) ) получаем при n = k : 0

f ( k ) (0) = k (k − 1)1 ⋅ ak = k !ak , k = 1,2, .

Глава 2

96

Функциональные ряды

ç

è

Из соотношения f (0) (0)= f (0)= a0= 0!⋅ a0 получаем, что для любого k ≥ 0 имеет место равенство f

(k )

f ( k ) (0) . (0) = k !ak , то есть ak = k!

Теорема доказана. В силу теоремы 15, разложение функции f может быть переписано следующим образом: +∞ ( n ) f (0) n f ( x) ∑ x , − R < x < R. = n ! n =0

6. Ряд Тейлора В предыдущем разделе мы ввели функцию, являющуюся суммой степенного ряда, и рассмотрели некоторые ее свойства. В этом разделе будем решать в некотором смысле обратную задачу: дана некоторая функция и требуется указать условия, при которых она может быть представлена в некотором промежутке в виде суммы степенного ряда. Напомним некоторые утверждения, доказанные нами в предыдущих разделах курса. Предположим, что функция f определена в некоторой окрестности точки x = 0 , имеет в этой окрестности все производные вплоть до порядка n − 1 включительно и производную порядка n в самой точке x = 0 . Тогда функция f ( x) может быть представлена в этой окрестности в следующем виде: n f ( k ) (0) k f ( x) ∑ x + rn ( x), = k ! k =0 где rn ( x) называется остаточным членом формулы Тейлора. При дополнительном предположении, что функция f имеет в рассматриваемой окрестности все производные вплоть до порядка n + 1 включительно, остаточный член rn ( x) может быть представлен в следующем виде:

f ( ) (ξ ) n+1 rn ( x) = x , (n + 1)! где ξ — точка. лежащая между точками 0 и x . Указанное представление остаточного члена называется остаточным членом в форме Лагранжа. Предположим, что функция f бесконечно дифференцируема в некоn +1

торой окрестности нуля. Степенной ряд Тейлора функции f в точке 0 .

+∞

∑

n =0

f ( n ) (0) n x называется рядом n!

Глава 2

97

Функциональные ряды

ç

è

Справедливо следующее утверждение. ТЕОРЕМА 16. Предположим, что функция f имеет производные всех порядков на интервале I = (−a, a ) и существует такая константа M , что выполняется оценка | f ( n ) ( x) |≤ M для всех x ∈ I , n = 0 , 1 , 2 , …. Тогда ряд Тейлора функции f сходится на этом промежутке и имеет место равенство +∞ ( n ) f (0) n f ( x) ∑ x , − a < x < a. = n ! n =0 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Разность между значениями f ( x) и частичной суммой ее ряда Тейлора оценим как остаточный член в форме Лагранжа: n f ( k ) (0) f ( n+1) (ξ ) n+1 | x |n+1 = | rn= f ( x) − ∑ ( x) | x ≤M⋅ , x ∈ (−a, a ), + + k ! ( n 1)! ( n 1)! k =0 где | ξ |≤| x |< a . Остается заметить, что для любого значения x имеет место равенство | x |n+1 = 0, lim n→+∞ ( n + 1)! и, следовательно, для любого x ∈ (−a, a ) n

lim

n→+∞

∑

k =0

f ( k ) (0) = f ( x). k!

Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. В общем случае ряд Тейлора бесконечно дифференцируемой функции может не сходиться к этой функции. Рассмотрим например функцию, задаваемую на всей вещественной оси условиями:

f ( x) = e −1 x , x ∈  , x ≠ 0 , f (0) = 0 . Нетрудно показать, что эта функция бесконечно дифференцируема на всей вещественной оси и имеет место равенство f ( n ) (0) = 0 , n = 0 , 1, 2, … . Отсюда следует, что ее ряд Тейлора является тождественно нулевым. Однако сама функция при любом ненулевом значении аргумента принимает положительные значения, то есть отлична от суммы ряда Тейлора. Приведем примеры разложения функций в ряд Тейлора. 1. Пусть f ( x) = cos x , x ∈  . πn   n) ( x) cos  x + Имеет место равенство f (=  , n = 0 , 1, 2… , x ∈  . 2   Отсюда получаем, что для любого вещественного x имеет место оценка | f n ( x) |≤ 1. В силу предыдущей теоремы, для любого вещественного x функция равна сумме своего ряда Тейлора, и получаем равенство 2

Глава 2 ç

98

Функциональные ряды è

2n +∞ x 2 x 4 x6 n x cos x =1 − + − +  =∑ (−1) . n 2! 4! 6! (2 )! n =0 2. По аналогии с предыдущим случаем рассматривается функция f ( x) = sin x , x ∈  . Для нее доказываем, что для любого вещественного x имеет место равенство +∞ x3 x5 x 7 x 2 n+1 n sin x =x − + − +  =∑ (−1) ⋅ . n 3! 5! 7! (2 + 1)! n =0

3. Рассмотрим функцию f ( x) = e x , x ∈  . Эта функция бесконечно дифференцируема на всей вещественной оси и имеет место равенство f ( n ) ( x) = e x , x ∈  . Выберем произвольное a > 0 . Тогда для x ∈ (−a, a) имеем оценку | f ( n ) ( x= ) | e x < e a . В силу предыдущей теоремы, ряд Тейлора данной функции сходится к этой функции на указанном промежутке. Из произвольности числа a следует, что указанная сходимость имеет место на всей вещественной оси. Таким образом, для любого x ∈  имеем равенство +∞ n x 2 x3 x x e =1 + x + + +  =∑ . 2! 3! n =0 n !

ç

è

Обратно

Исторические сведения Абель Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) Норвежский математик. Доказал теорему о неразрешимости уравнения выше четвертой степени в радикалах. В математике используются термины «абелевы интегралы», «абелевы группы».

Дополнения

100

ç

Исторические сведения è

Обратно

Адамар Жак Саломон Адамáр (1865 –1963) Французский математик. Проводил исследования по теории чисел, теории аналитических функций, теории дифференциальных уравнений, проблемам устойчивости в механике. Много занимался вопросами школьного преподавания, написал учебник геометрии.

Дополнения

101

ç

Исторические сведения è

Обратно

Д’Аламбер Жан Лерон д’Аламбер (1717 – 1783) Французский математик и философ. Сформулировал важный принцип механики, названный его именем. Вместе с Д. Дидро редактировал знаменитую французскую «Энциклопедию».

Дополнения ç

102

Исторические сведения è

Обратно

Больцано Бернард Больцано (1781 – 1848). Чешский математик, философ и теолог. Ряд полученных им результатов обычно связывается с именами более поздних исследователей.

Дополнения

103

ç

Исторические сведения è

Обратно

Буняковский Виктор Яковлевич Буняковский (1804 – 1889) Русский математик, вице-президент Петербургской АН. Работы по математическому анализу, теории неравенств, теории чисел, теории вероятностей. Был главным экспертом правительства по вопросам статистики и страхования.

Дополнения

104

ç

Исторические сведения è

Обратно

Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815 – 1897) Немецкий математик. Исследования Вейерштрасса посвящены математическому анализу, теории функций, вариационному исчислению, дифференциальной геометрии. В линейной алгебре разработал теорию элементарных делителей, используемую в теории матриц при нахождении матрицы жордановой нормальной формы.

Дополнения

105

ç

Исторические сведения è

Обратно

Дирихле Петер Густав Лежён Дирихле (1805 – 1859) Немецкий математик. Создатель аналитической теории чисел. Выполнил важные работы по теории функций.

Дополнения

106

Исторические сведения

ç

è

Обратно

Коши Огюстен Луи Коши (1789 – 1857) Французский математик. Создатель теории функций комплексного переменного. Проводил исследования по теории дифференциальных уравнений. Коши первым дал строгое определение сходимости ряда. Он является автором классических курсов математического анализа.

Дополнения ç

107

Исторические сведения è

Обратно

Лаплас Пьер Симон Лаплас (1749 – 1827) Французский астроном, математик, физик. Работы в области механики, теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей. Написал «Трактат о небесной механике» в пяти томах.

Дополнения

108

ç

Исторические сведения è

Обратно

Лейбниц Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716). Немецкий философ и математик. Наряду с Ньютоном ему принадлежит заслуга в создании дифференциального и интегрального исчисления. Обозначение

dy принадлежит именно Лейбницу. dx

Дополнения

109

Исторические сведения

ç

è

Обратно

Ньютон Исаак Ньютон (1643–1727). Английский физик, механик, астроном, математик. Занимался оптикой, положил начало современной спектроскопии. Главный труд – «Математические начала натуральной философии». Для разрешения проблем механики значительно усовершенствовал математические методы. Разработал основы дифференциального и интегрального исчисления. Его труды оказали огромное влияние на дальнейшее развитие науки. Независимо дифференциальное и интегральное исчисление было разработано Г.Лейбницем.

Дополнения

110

ç

Исторические сведения è

Обратно

Сильвестр Джеймс Джозеф Сильвестр (1814 – 1897) Английский математик. Основные работы посвящены алгебре, теории чисел, теории вероятностей, механике и математической физике. Основал первый американский математический журнал “The American Journal of Mathematics”.

Дополнения

111

Исторические сведения

ç Обратно

Тейлор Брук Тейлор (1685 – 1731) Английский математик. Получил формулу для разложения функций в степенные ряды. Положил начало математическому изучению задачи о колебаниях струны.