Математический анализ. Целые рациональные и вещественные числа: Учебное пособие

Приоритетный национальный проект «Образование» Южный федеральный университет Факультет математики, механики и компьютерных наук

В.С. Пилиди Электронное учебное пособие

Математический анализ Целые, рациональные и вещественные числа

Ростов-на-Дону 2009

è

Управляющие клавиши Результат

Клавиши

Включить/выключить оглавление F4 Вся страница

Ctrl+L

Предыдущий экран

PgUp

Следующий экран

PgDn

Первая страница

Home

Последняя страница

End

Следующая страница

→

Предыдущая страница

←

Следующий вид

Alt + →

Предыдущий вид

Alt + ←

Увеличить

Ctrl + «знак равенства»

Уменьшить

Ctrl + «дефис»

ç

è

1. Введение Мы будем рассматривать следующие числовые множества:   — множество всех натуральных чисел 1, 2, 3, …;   — множество всех целых чисел … −3 , −2 , −1 , 0, 1, 2, 3, … .;   — множество всех рациональных чисел, то есть множество всех чисел вида m n , где m , n ∈  и n ≠ 0 ;   — множество всех вещественных чисел;   — множество всех комплексных чисел. Имеют место вложения  ⊂  ⊂  ⊂  ⊂ .

Переход от каждого из множеств к следующему мотивирован одной из следующих задач:

α ) решение линейных уравнений;

β ) нахождение пределов фундаментальных последовательностей1 («заполнением пробелов» или «заполнением дыр» в терминологии книги [2]). Поясним более подробно, что имеется в виду.

1

Напомним, что фундаментальные последовательности называются также последовательностями Коши

Раздел 1

4

Введение

ç

è

1) Переход  →  мотивируется необходимостью нахождения разности двух произвольных натуральных чисел, или, равносильно, задачей решения уравнений вида x + a = b , где a , b ∈  . Отметим, что указанное уравнение остается разрешимым в множестве  и для a , b ∈  . 2) Переход  →  связан с задачей нахождения решений уравнений ax = b , где a , b ∈  и a ≠ 0 . Как и в предыдущем случае, оказывается, что

рассматриваемое уравнение остается разрешимым в множестве  и для a , b∈.

Подчеркнем, что оба перехода являются чисто алгебраическими. Результаты любых арифметических операций 1, проводимых с числами из множества  , принадлежат этому множеству. 3) Расширение  →  мотивируется, например, необходимостью измерения любых отрезков, лежащих на некоторой прямой, либо задачей о нахождении предела произвольной фундаментальной последовательности рациональных чисел. 4) Переход от  к  связан с задачей нахождения квадратных корней из отрицательных чисел. С неформальной точки зрения, добавляется только величина i=

−1 и рассматриваются числа вида a + bi , где a ,

b ∈  . Однако после этого каждый полином степени n ≥ 1 с комплексными

коэффициентами уже имеет в  точно n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Более того, оказывается, что любая фундаментальная последовательность комплексных чисел сходится к некоторому комплексному числу. Иначе говоря, множество  обладает всеРазумеется, деление выполнимо со стандартным ограничением, что делитель отличен от нуля. 1

Раздел 1

5

ç

Введение è

Ландау

ми свойствами, которых «не хватало» на предшествующих этапах. Единственная «потеря» здесь — отсутствие упорядоченности в  , то есть соотношений «больше», «меньше» и т. д. для комплексных чисел. Мы рассмотрим аксиоматический метод введения натуральных чисел, а также каждый из указанных выше переходов. Аксиоматический подход для введения множества  будет рассмотрен сравнительно подробно в связи с тем, что на нем базируется широко используемый в математике (и в нашем курсе) метод математической индукции. Чисто «алгебраические» шаги 1) и 2) будут рассмотрены лишь схематически. Важнейший шаг, переход к множеству вещественных чисел, будет рассмотрен сравнительно подробно. Здесь, в дополнение к традиционному в школьном курсе методу введения вещественных чисел как бесконечных десятичных дробей (что в действительности является предельным переходом в завуалированной форме), мы укажем классический метод сечений Дедекинда и метод представления вещественных чисел через фундаментальные последовательности рациональных чисел («равносильный суррогат» метода сечений Дедекинда, по мнению Э. Ландау, содержащемуся в книге [4]). Последний подход при некоторой его модификации позволяет ввести важный объект, так называемые p -адические числа, нашедшие в последнее время приложения в области компьютерных наук. Переход  →  будет рассмотрен также эскизно. При этом мы упомянем также нашедшие применения в компьютерных науках кватернионы. Мы упомянем также так называемый интервальный анализ, в котором работа ведется не самим числом, а с промежутком, его содержащим. Детальное изложение всех рассматриваемых здесь вопросов можно найти в книгах, приводимых в списке литературы.

Раздел 1

6

ç

Введение è

Приведем теперь некоторые определения, традиционно излагаемые в курсе алгебры. Определение. Говорят, что на непустом множестве X задана бинарная операция, если указано правило, с помощью которого каждой упорядоченной паре элементов a , b ∈ X ставится в соответствие однозначно определенный элемент этого же множества. Элемент множества X , сопоставляемый упорядоченной паре элементов a , b ,обычно обозначается так: a ∗ b , a  b , a + b или ab и называется композицией, суммой или произведением этих элементов. Пока мы будем обозначать бинарную операцию знаком « ∗ ». Определение. Множество G с определенной на нем бинарной операцией называется абелевой группой, если выполняются следующие свойства: 1) операция является ассоциативной, то есть для любых элементов a, b , c ∈ G выполняется соотношение (a ∗ b) ∗ c =a ∗ (b ∗ c);

2) операция является коммутативной, то есть для любых элементов a, b ∈ G выполняется соотношение a ∗ b = b ∗ a;

3) существует такой элемент e ∈ G , что для всех x ∈ G выполняется равенство x ∗ e = x; 4) для каждого a ∈ G найдется такой элемент b ∈ G , что выполняется равенство a ∗ b = e. Можно доказать, что

Раздел 1

7

Введение

ç

è

 элемент e ∈ G , удовлетворяющий свойству 2), находится однозначно;  элемент y ∈ G , удовлетворяющий свойству 3), определяется элементом x однозначно. Обычно бинарную операцию в группе обозначают либо, как умножение ( ab ), либо, как сложение ( a + b ). В первом случае говорят о мультипликативной записи, во втором случае — об аддитивной записи. В случае мультипликативной записи бинарной операции единственный элемент e , удовлетворяющий свойству 3) определения называется единичным элементом группы, а элемент, удовлетворяющий свойству 4), называется обратным к элементу a и обозначается a −1 . Таким образом, соотношения, входящие в определение группы, в случае мультипликативной записи, принимают вид:

= = (ab)c a (bc= ), ab ba , ae a= aa −1 e. В случае аддитивной записи элемент, удовлетворяющий свойству 3) определения группы называется нулевым элементом этой группы и обозначается через 0, а элемент, удовлетворяющий свойству 3), называется противоположным к элементу a и обозначается через −a . Соотношения, входящие в определение группы, в случае аддитивной записи принимают вид: (a + b) + c = a + (b + c), a + b = b + a, a + 0 = a, a + (−a ) = 0

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Множество R называется коммутативным кольцом с единицей, если

Раздел 1

8

Введение

ç

è

1) в множестве R введена бинарная операция, обозначаемая знаком «+» и называемая сложением, причем множество R с этой операцией является абелевой группой; 2) в множестве R введена бинарная операции, называемая умножением, и обладающая следующими свойствами: a) для любых элементов a, b , c ∈ R выполняется соотношение (ab)c = a (bc);

b) для любых элементов a, b ∈ R выполняется соотношение ab = ba; c) существует такой элемент 1∈ R , что для любого x ∈ R выполняется равенство xe = x . 3) Для любых элементов a, b , c ∈ R выполняется соотношение (a + b)c =ac + bc.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Соотношение 3) определения называется свойством (или законом) дистрибутивности. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Можно доказать, что элемент 1 из приведенного определения, находится единственным образом. ЗАМЕЧАНИЕ 3. Всегда делается предположение, что 1 ≠ 0 , где 0 — элемент кольца R , определяемый условием 1). Это предположение равносильно тому, R ≠ {0} , то есть исключает только тривиальный случай. Примером коммутативного кольца с единицей является множество  всех целых чисел с обычными операциями сложения и умножения.

Раздел 1

9

Введение

ç

è

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элемент a ∈ R называется обратимым, если существует такой элемент b ∈ R , что ab = 1 . Очевидно, что в кольце  обратимыми являются элементы 1 и −1 и только они. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коммутативное кольцо F с единицей называется полем, если для любого элемента a ∈ F , отличного от нуля, существует элемент b ∈ F , для которого выполняется равенство ab = 1 . ЗАМЕЧАНИЕ 1. Элемент b называется обратным к элементу a . ЗАМЕЧАНИЕ 2. Иногда дается такое определение поля: это такое коммутативное кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим. Отметим также, что множество всех ненулевых элементов поля с операцией умножения образует абелеву группу. Примерами полей являются множества  ,  и  с обычными операциями сложения и умножения. Кольцо  полем не является.

ç

è

Пеано

2. Натуральные числа Приводимое ниже аксиоматическое определение множества натуральных чисел основывается на представляющихся интуитивно ясными свойствах натуральных чисел (что не исключает, разумеется, необходимости такого аксиоматического построения, вспомните аксиоматический подход в планиметрии). Аксиоматически натуральные числа могут быть введены с помощью системы аксиом, предложенной в 1889 году итальянским математиком Джузеппе Пеано. Базовыми (и неопределяемыми) понятиями в этой системе аксиом являются 1 (единица), понятие последующего элемента, обозначаемого для элемента a через a′ , и само множество  натуральных чисел. Будем считать, что множество натуральных чисел обладает следующими свойствами. АКСИОМА 1. 1∈  . Отсюда, в частности, вытекает, что множество  непустое. АКСИОМА 2. Для каждого x ∈  определен единственный элемент x′ ∈  , называемый последующим для элемента x .

АКСИОМА 3. Для любого x ∈  x′ ≠ 1 . Иначе говоря, элемент 1 не является последующим ни для одного числа. АКСИОМА 4. Если x , y ∈  и x′ = y′ , то x = y .

Раздел 2

11

ç

Натуральные числа è

Эта означает, что каждое число либо не является последующим ни для одного числа, либо является последующим только для одного числа. АКСИОМА 5 (АКСИОМА ИНДУКЦИИ). Предположим, что множество M ⊂  обладает следующим свойствами: 1) 1∈ M , 2) если x ∈ M , то x′ ∈ M . Тогда M =  . Операции с натуральными числами и неравенства для натуральных чисел теперь определяются и анализируются с помощью приведенных аксиом. Приведем некоторые из этих определений. СЛОЖЕНИЕ. Доказывается, что каждой паре чисел a , b ∈  можно единственным образом сопоставить натуральное число, обозначаемое a + b , так, что выполняются следующие свойства: 1) для любого a ∈  a + 1 = a′ ; 2) для любых a , b ∈  a + b′ = (a + b)′ . Число a + b называется суммой чисел a и b (пока не доказано, что для любых a , b ∈  имеет место равенство a + b = b + a , более корректно назвать это число результатом прибавления к числу a числа b , чтобы указать порядок следования элементов, аналогичное замечание можно сделать и к приводимому нижу определению произведения).

Раздел 2

12

ç

Натуральные числа è

УМНОЖЕНИЕ. Доказывается, что каждой паре чисел a , b ∈  можно единственным образом сопоставить натуральное число, обозначаемое a ⋅ b , так, что выполняются следующие свойства: 1) для любого a ∈  a ⋅ 1 =a ; 2) для любых a , b ∈  a ⋅ b′ = a ⋅ b + a 1. Число a ⋅ b называется произведением чисел a и b ПОРЯДОК. Доказывается, что для любой пары чисел a , b ∈  выполняется одно и только одно условие: 1) a = b ; 2) существует такой элемент u ∈  , что a= b + u ; 3) существует такой элемент v ∈  , что b= a + v . В случае 2) говорят, что число a больше b , и пишут a > b , в случае 3) говорят, что число a меньше b , и пишут a < b . Запись a ≥ b означает, что a = b или a > b . Аналогично определяется соотношение a ≤ b . Основные свойства введенных операций и соотношений выводятся, исходя из приведенных выше аксиом.

1

В «обычной» записи это соотношение a (b + 1) = ab + b .

Раздел 2

13

Натуральные числа

ç

è

В доказательстве приводимой ниже теоремы используется следующее свойство натуральных чисел: если a , b ∈  и a < b , то a + 1 ≤ b . ТЕОРЕМА. В любом непустом множестве натуральных чисел есть наименьший элемент. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть A ⊂  — непустое множество. Введем следующее множество: = B {x : x ∈ , ∀y ∈ A x ≤ y}.

В стандартных терминах B — это множество всех (натуральных) нижних граней множества A . Множество B является непустым, поскольку, например, 1∈ B . Кроме того, B ≠  . Действительно, выберем произвольный элемент y ∈ A . В силу неравенства y + 1 > y , y + 1 не является нижней гранью для множества A , y + 1∉ B и B ≠  . Существует такой элемент m ∈ B , что m + 1∉ B . Действительно, предположим противное, то есть, что для любого m ∈ B m + 1∈ B . Тогда, в силу аксиомы 5, B =  , что неверно. Покажем, что m ∈ A . Действительно, допустим, что m ∉ A . Тогда для каждого y ∈ A m ≤ y (поскольку m является нижней гранью для множества A ) и m ≠ y (поскольку m ∉ A ). Следовательно, m < y . Но тогда m + 1 ≤ y и, в силу произвольности y , m + 1 является нижней гранью для множества A , то есть m + 1∈ B , что противоречит определению числа m . Итак, m ∈ A и для любого y ∈ A выполняется неравенство m ≤ y . Это и означает, что m является наименьшим элементом множества A .

Раздел 2

14

Натуральные числа

ç

è

Теорема доказана. Аксиома 5 лежит в основе метода полной математической индукции, который мы в дальнейшем будем называть просто методом математической индукции. Здесь, в отличие от аксиомы 5, мы пишем n + 1 вместо n′ . Сам метод может быть сформулирован так. Для того, чтобы доказать, что некоторым свойством P обладают все натуральные числа, доказываются следующие утверждения: 1) свойством P обладает число 1 ; 2) если свойством P обладает натуральное число n , то этим же свойством обладает число n + 1. Действительно, обозначим через A множество всех натуральных чисел, обладающих свойством P . Тогда 1∈ A и из условия n ∈ A следует, что n + 1∈ A . В силу аксиомы 5, это означает, что A =  , то есть свойством P

обладают все натуральные числа. Дадим еще переформулировку принципа математической индукции на языке предикатов. Пусть P — предикат, определенный на множестве  (одноместный предикат с предметной областью  ). Допустим, что выполняются следующие условия: 1) выказывание P (1) является истинным;

Раздел 2

15

Натуральные числа

ç

è

2) для любого n ∈  из истинности P(n) вытекает истинность P(n + 1) . 1

Тогда предикат P является тождественно истинным. Иногда используется следующая форма принципа математической индукции. Пусть P — предикат, определенный на множестве  . Если выполняются следующие условия: 1) выказывание P (1) является истинным; 2) для любого n ∈  из истинности всех высказываний P(k ) при 1 ≤ k ≤ n вытекает истинность P (n + 1) 2, то предикат P является тож-

дественно истинным. Доказательство проведем методом от противного. Допустим, что предикат P тождественно истинным не является. Тогда множество A всех n ∈  , для которых высказывание P (n) ложно, является непустым. Обо-

значим через m наименьший элемент этого множества. Тогда m > 1 , поскольку высказывание P (1) истинно (и, следовательно, 1∉ A ). Поскольку m наименьший элемент множества A , высказывания P(k ) при k = 1 , 2, …, m − 1 являются истинными. А тогда истинным, в силу условия 2), должно быть и высказывание P(m) . Полученное противоречие завершает доказательство.

1 2

то есть справедлива импликация P( n ) ⇒ P( n + 1) ). то есть справедлива импликация P (1) ∧∧P (2) ∧  ⇒ P ( n ) + P (n 1) .

ç

è

3. Целые числа Прежде, чем приводить формальное построение множества всех целых чисел, дадим некоторые наводящие соображения. Любое целое число a может быть представлено в виде разности двух натуральных чисел: a= m − n , m , n ∈  . Если число a1 ∈  представлено в аналогичном виде, a= 1 m1 − n1 , то a + a1 = (m + m1 ) − (n + n1 ), aa1 = (mm1 + nn1 ) − (mn1 + m1n).

Числа, находящиеся в скобках, являются натуральными, то есть сумма и произведение целых чисел также представлены в виде разности чисел натуральных. Представление целого числа в виде разности натуральных является неединственным: −5 = 2 − 7 = 3 − 8 = 4 − 9 =  . Условие равенства двух целых чисел, представленных в рассматриваемом виде, выглядит так: если a= m − n , a= 1 m1 − n1 , то a = a1 в том и только том случае, когда m + n1 = m1 + n .

Перейдем теперь к формальным построениям. Обозначим через  множество всех упорядоченных пар натуральных чисел (m, n) . На множестве  введем следующее бинарное отношение: (m, n)  (m1, n1 ) , если m + n1 = m1 + n . Это бинарное отношение является отношением эквива-

лентности, то есть оно является

Раздел 3

17

Целые числа

ç

è

1) рефлексивным: если (m1, n1 )  (m2 , n2 ) , то (m2 , n2 )  (m1, n1 ) ; 2) симметричным: всегда (m, n)  (m, n) ; 3) транзитивным: если (m1, n1 )  (m2 , n2 ) , (m2 , n2 )  (m3 , n3 ) то (m1, n1 )  (m3 , n3 ) .

Остановимся только на последнем свойстве. Из соотношений (m1, n1 )  (m2 , n2 ) , (m2 , n2 )  (m3 , n3 )

вытекает, что m1 + n2 = m2 + n1, m2 + n3 = m3 + n2 .

Складывая эти равенства, получим: m1 + n2 + m2 + n3 = m2 + n1 + m3 + n2 .

После перегруппировки, находим: m1 + n3 + (m2 + n2 ) =m3 + n1 + (m2 + n2 ).

Разумеется, здесь мы пользовались «привычными» свойствами натуральных чисел, которые при полном изложении материала должны были быть выведены из приведенных выше аксиом. Остается воспользоваться еще одном свойством натуральных чисел: если a + c = b + c , где a , b , c — натуральные числа, то a = c (это утверждение должно быть выведено из аксиом, прибавлять к обеим частям равенства −c нельзя, поскольку целые числа пока не введены; отметим также, что частный случай этого утверждения дается аксиомой 4) множества натуральных чисел.

Раздел 3

18

Целые числа

ç

è

Применим эти соображения к введенному выше множеству  . Обозначим множество всех классов эквивалентности через  . Эти классы эквивалентности будем называть целыми числами. На множестве  введем операции сложения и умножения. Пусть α , β ∈  — два класса эквивалентности. Выберем произвольные элементы (mα , nα ) ∈ α , (mβ , nβ ) ∈ β . Обозначим через α + β тот класс эквивалентности из  , который содержит элемент (mα + mβ , nα + nβ ) . Обозначим через αβ тот класс эквивалентности, который содержит элемент (mα mβ + nα nβ , mα nβ + mα nα ) . Поскольку в определении сложения и умножения выбираются некоторые элементы из каждого класса, нужно доказать, что результат не зависит от выбора этого элемента (а зависит только от исходных классов α и β ). Мы не будем приводить полное доказательство этого факта, ограничившись лишь примером. Пусть α и β — классы эквивалентности, содержащие пары (1,3) и (5,2) соответственно. Тогда суммой α + β будет класс эквивалентности, содержащий пару (6,5) . Продемонстрируем, что класс эквивалентности α + β не зависит от выбора представляющей его пары. Для этого выпишем элементы этих классов:

α +

β

= {(1,3),(2,4),(3,5),(4,6),(5,7),}, = {(4,1),(5,2),(6,3),(7, 4),(8,5),},

= α +β = {(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5),(7,6),(8,7),}.

Пары, с помощью которых был найден класс эквивалентности α + β , подчеркнуты одной линией. Если мы возьмем другие пары, например, (3,5) и (4,1) (подчеркнуты двойной линией), то получим тот же класс эквивалент-

ности.

Раздел 3

19

ç

Целые числа è

Мы не будем останавливаться и на выводе основных свойств операций сложения и умножения. Остановимся лишь на нескольких моментах. Класс эквивалентности, содержащий все пары (m, m) , m ∈  , Для любого класса эквивалентности α ∈  выполнено одно и только одно из следующих свойств: 1) для всех (m, n) ∈ α выполняется неравенство m > n ; 2) для всех (m, n) ∈ α выполняется равенство m = n ; 3) для всех (m, n) ∈ α выполняется неравенство m < n . Классы

эквивалентности, удовлетворяющие условию 1) (усло-

вию 3)), называются положительными (отрицательными) целыми числами. Единственный класс, удовлетворяющий условию 2), называется нулевым элементом, или просто нулем и обозначается через 0 . Легко проверить, что для любого α ∈  α + 0 = α , a⋅0 = 0. Каждый положительный класс эквивалентности допускает однозначное представление в виде {(m + x, m) : m ∈ } , где x — некоторое натуральное число. Сложим два таких класса. Пусть

α= {(m + x, m) : m ∈ }, β = {(n + y, n) : n ∈ }. Тогда

α + β = {(k + x + y, k ) : k ∈ }. Легко проверить также, что

αβ = {(k + xy, k ) : k ∈ }.

Раздел 3

20

Целые числа

ç

è

Таким образом, сложение и умножение положительных классов сводятся к соответствующим действиям с определяющими их натуральными числами x и y . Это наблюдение позволяет отождествить весь класс эквивалентности с определяющим его числом. Более того, сам класс

α= {(m + x, m) : m ∈ } будет обозначаться через x . При таком отождествлении множество  всех натуральных чисел становится подмножеством множества  . Аналогично каждый отрицательный класс эквивалентности допускает однозначное представление в виде {(m, m + y ) : m ∈ }, где y — некоторое натуральное число. Такой класс обозначаем через − y . Итак, введенное множество  исчерпывается классами x , x ∈  , 0, − y , y ∈  . Мы уже получили «привычные» обозначения целых чисел. Их основные свойства выводятся из определений операций и свойств натуральных чисел.

ç

è

4. Рациональные числа Приводимый ниже метод введения рациональных чисел достаточно близок к методу введения целых чисел. Поэтому здесь наши построения будут еще более краткими. Рассмотрим сначала наводящие соображение. Рациональным число называется дробь вида m n , где m , n ∈  и n ≠ 0 . Сложение и умножение рациональных чисел производятся по правилам: a c ad + bc a c ac , . = + = ⋅ b d bd b d bd

Числители и знаменатели дробей, находящихся в правых частях выписанных равенств, являются целыми, причем знаменатели отличны от нуля. Представление рационального числа в виде дроби является неединственным. Две дроби a b и c d являются равными рациональными числами в том и только том случае, когда выполняется равенство ad = bc . Приводимые ниже формальные построение основываются на этих наблюдениях. Обозначим через  множество всех упорядоченных пар вида (m, n) , где m , n ∈  и n ≠ 0 . Введем на множестве  следующее бинарное отношение: будем писать (a, b)  (c, d ) , если ad = bc . Введенное бинарное отношение является отношением эквивалентности. Обозначим множество всех классов эквивалентности множества  по введенному отношению эквивалентности через  . Эти классы эквивалентности будем называть

Раздел 4 ç

22

Рациональные числа è

рациональными числами. Операции сложения и умножения на множестве  введем с учетом приведенных в начале этого параграфа соотношений. Пусть α , β ∈  — два класса эквивалентности. Выберем произвольные элементы (mα , nα ) ∈ α , (mβ , nβ ) ∈ β . Обозначим через α + β тот класс эквивалентности из  , который содержит элемент (mα nβ + nα mβ , nα nβ ) . Обозначим через αβ тот класс эквивалентности, который содержит элемент (mα mβ , nα nβ ) . Доказывается, что результат, то есть итоговый класс эквивалентности, не зависит от выбора этого элемента (а зависит только от исходных классов α и β ). Теперь путем подходящих алгебраических преобразований (с учетом свойств целых чисел) дается доказательство основных свойств рациональных чисел. ЗАМЕЧАНИЕ. При определении рациональных чисел можно ограничиться знаменателями, принадлежащими множеству натуральных чисел. Можно определить множество  по-другому, рассматривая упорядоченные пары вида (m, n) , где m ∈  , n ∈  . Такая схема приведет, по существу, к тому же множеству  . Приведенные построения, можно интерпретировать так: кольцо целых чисел расширено до поля рациональных чисел. Такая конструкция допускает далеко идущее обобщение. Приведем его в предельно краткой форме. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей. Ненулевые элементы a , b ∈ R называются делителями нуля, если ab = 0 . В рассматриваемом на-

ми случае числовых множеств, делителей нуля нет. Легко привести примеры коммутативных колец, имеющих делители нуля. Рассмотрим, например, множество всех диагональных матриц второго порядка с веществен-

Раздел 4

23

Рациональные числа

ç

è

ными элементами. Это множество с обычными операциями сложения и умножения матриц образует коммутативное кольцо с единицей. В этом кольце есть делители нуля. Например, произведение двух ненулевых матриц 1 0 0 0 A = , B  =   0 0 0 1

является нулевой матрицей. Рассмотрим коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля. Покажем, что его можно расширить до поля, используя приведенную выше конструкцию. Рассмотрим множество всех упорядоченных пар вида (a, b) , где a , b ∈  , b ≠ 0 . После этого все приведенные выше построения для случая кольца целых чисел дословно переносятся на такой случай.

ç

è

Дедекинд

5. Вещественные числа В этом параграфе приводится одна из схем введения вещественных чисел. Она была предложена Р. Дедекиндом в 1872 г. и является одним из самых известных методов их точного определения. Как и выше, сначала укажем некоторые наводящие соображения, базируясь на интуитивных представлениях о вещественных числах. Пусть α — произвольное вещественное число. Поставим ему в соответствие два множества рациональных чисел: A−α ={x : x ∈ ,

x < α },

A+α ={x : x ∈ ,

x ≥ α }.

Отметим некоторые очевидные свойства этих множеств. 1) Множества A+α и A−α являются непустыми. 2) Каждое рациональное число попадает в одно и только одно из этих множеств. Иначе говоря, A+α ∪ A−α = ∅.  , A+α ∩ A−α = 3) Каждое число из множества A−α меньше каждого числа из множества A+α . 4) Множество A−α не имеет наибольшего элемента. 5) Если число α рациональное, то α ∈ A+α . Если число α иррациональное, то α ∉ A+α , α ∉ A−α . 6) Если α , β ∈  и α < β , то имеют место строгие вложения A−α ⊂ A−β , A+β ⊂ A+α .

Раздел 5

25

Вещественные числа

ç

è

Идея метода сечений состоит в том, чтобы определять вещественные числа с помощью пар множеств рациональных чисел, удовлетворяющих условиям 1)–4). Условие 5) позволяет отождествить некоторые из пар с рациональными числами. Условие 6) позволяет ввести упорядоченность (отношения «меньше» и «больше») во множестве вещественных чисел. Перейдем к формальным построениям. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Будем говорить, что непустые множества A+ , A− ⊂  образуют сечение множества рациональных чисел, если выполняются такие условия. 1) A+ ∪ A− =  , A+ ∩ A− = ∅. 2) Если x ∈ A− , y ∈ A+ , то x < y 3) Множество A− не имеет наибольшего элемента. Множества A+ и A− называются соответственно верхним и нижним классами данного сечения. Сечение будем обозначать следующим образом: A− | A+ или буквами α , β , … . ЗАМЕЧАНИЕ. Условие 3) вводится для того, чтобы каждому рациональному числу отвечало одно сечение. В противном случае ему будут отвечать два сечения, в зависимости от того, в какой из двух классов попадает это число. В приводимом ниже определении сечения в множестве всех вещественных чисел это условие мы опускаем. ЗАМЕЧАНИЕ. Для задания сечения достаточно указать один из его классов. Тогда другой класс будет просто дополнением заданного множества во всем множестве  .

Раздел 5

26

ç

Вещественные числа è

ЗАМЕЧАНИЕ. Забегая вперед, заметим, что в соответствии с приведенными выше наводящими соображениями, сечение, верхний класс которого содержит наименьший элемент, будет отождествляться с этим элементом. Сечение, верхний класс которого не имеет наименьшего элемента, будет отождествляться с (иррациональным) числом, находящимся «между» нижним и верхним классом, то есть большим любого числа из нижнего класса и меньшим любого числа из нижнего класса. ЗАМЕЧАНИЕ. Если a ∈  , то будем говорить, что это число производит введенное выше сечение A−a | A+a . Множество всех сечений обозначим через  . Два сечения A− | A+ и B− | B+ считаются равными, если A− = B− и A+ = B+ 1, и неравными в противном случае.

Если сечения α = A− | A+ и β = B− | B+ не являются равными, то выполняется одно и только одно из двух условий: 1) A− ⊂ B− , B+ ⊂ A+ ; 2) B− ⊂ A− , A+ ⊂ B+ , причем все вложения являются строгими. В первом случае считаем, что α < β , во втором — что α > β . Таким образом, для любых двух сечений α и β выполняется одно и только одно из соотношений α = β , α < β , α > β . Обычным образом вводятся отношения « ≥ » и « ≤ ». Разумеется, достаточно выполнения одного из этих равенств, подобное замечание можно сделать и к приводимым ниже построениям. 1

Раздел 5

27

Вещественные числа

ç

è

Пусть α = A− | A+ и β = B− | B+ — сечения. Введем в рассмотрение множества C− = {x + y : x ∈ A− , y ∈ B− }, C+ = {x + y : x ∈ A+ , y ∈ B+ }.

Пара C− , C+ является сечением в множестве  , называемым суммой сечений α , β и обозначаемым α + β . Перейдем к определению произведения двух сечений. Пусть

α = A− | A+ и β = B− | B+ . Нельзя по аналогии с суммой сечений для определения произведения положить C− = {x ⋅ y : x ∈ A− , y ∈ B− }, C+ = {x ⋅ y : x ∈ A+ , y ∈ B+ }.

Это связано с тем, что произведение двух отрицательных чисел является положительным. Любой нижний класс содержит все отрицательные рациональные числа с достаточно большим модулем. Отсюда следует, что указанное выше множество C− содержит все положительные рациональные числа с достаточно большим модулем. Или иначе, можно убедиться в том, что в любом случае имеет место соотношение C+ ∩ C− ≠ ∅ . Приведем еще пример. Рассмотрим сечение α , определяемое числом 1 : A− = {x : x ∈ , x < 1},

A+ = {x : x ∈ , x ≥ 1}.

Умножение сечений должно быть введено так, чтобы выполнялось соотношение α 2 = α , поскольку такое соотношение выполнятся для числа 1 . Однако в данном случае множество {xy : x, y ∈ A− } совпадает с множеством

Раздел 5

28

Вещественные числа

ç

è

всех рациональных чисел и вообще не может служить ни нижним, ни верхним классом. Перед тем, как дать определение произведения двух сечений, приведем некоторые определения. Будем обозначать через ν сечение, задаваемое числом 0 , то есть

α = A− | A+ , где A− = {x : x ∈ , x < 0},

A+ = {x : x ∈ , x ≥ 0}.

Легко убедиться в том, что для любого α ∈  α + ν = ν + α = α . Сечения, удовлетворяющие неравенству α > ν ( α < ν ) назовем положительными (отрицательными). Отметим, что если α ≥ ν , то все числа из верхнего класса сечения α являются неотрицательными. Пусть = α A− | A+ ∈  . Определим сечение −α следующими условиями. 1) Если A+ не имеет наименьшего элемента 1, полагаем −α = B− | B+ , где B− = {− x : x ∈ A+ }, B+ = {− x : x ∈ A− }.

Иначе говоря, меняем знаки в обоих классах, и верхний класс делаем нижним, а нижний — верхним. 2) Предположим, что A+ имеет наименьшим элементом число a . Тогда полагаем

То есть, опять-таки, апеллируя к интуитивным представлениям, сечение определяется иррациональным числом. 1

Раздел 5

29

Вещественные числа

ç

è

B− = {− x : x ∈ A+ , x ≠ a}, B+ = {− x : x ∈ A− } ∪ {−a},

то есть со всеми элементами, кроме a , мы поступаем, как и в предыдущем случае, а у элемента a меняем знак и «отправляем» его в множество B+ . Легко проверить, что множества B− и B+ действительно образуют сечение. Действия с элементом a связаны с тем, что нижний класс не должен содержать наибольшего элемента (что было бы, если бы классы определялись, как в первом случае). В данном случае класс B+ снова будет содержать наименьший элемент, как и A+ . Отметим, что выполняются следующие соотношения: −(−α ) =α ; если α > ν , то −α < ν ; если α < ν , то −α > ν . Пусть α = A− | A= B− | B+ ∈  , α > ν , β > ν . Рассмотрим множе+, β ства C+ = {xy : x ∈ A+ , y ∈ B+ }, C− =  \ C+ = {z : z ∈ , z ∉ C+ }.

Тогда пара C− | C+ является сечением в множестве  . Произведение αβ полагаем равным C− | C+ . Для остальных случаев сечений α , β произведение вводится так. 1) αβ = ν , если α = ν или β = ν ; 2) если α > ν , β < ν , полагаем αβ = −(α (− β )) ; 3) если α < ν , β > ν , полагаем αβ =−((−α ) β ) .

Раздел 5

30

Вещественные числа

ç

è

Пусть a , b ∈  . Рассмотрим производимые этими числами сечения

α = A−α | A+α , β = A−β | A+β . Легко проверить, что a +b , α + β A−a +b | A+a +b , αβ A−a +b | A+= =

α < β ⇔ a < b, α > β ⇔ a > b, α = β ⇔ a = b. Иначе говоря, операции сложения и умножения, выполняемые с сечениями производимыми рациональными числами, согласованы с соответствующими действиями, выполняемыми с самими этими числами. Аналогичный факт имеет место и для отношений с сечениями и числами. Это обстоятельство позволяет отождествить рациональные числа с производимыми ими сечениями, то есть считать, что  ⊂  . Отметим, что определенное выше сечение ν отождествляется с числом 0 . Говоря о рациональных числах в следующем абзаце, мы имеем в виду именно такие сечения. Остается рассмотреть сечения, верхние классы которых не имеют наименьшего элемента, то есть сечения, не задаваемые рациональными числами. Оказывается, что для такого сечения α ∈  можно построить последовательности рациональных чисел {β n− }∞n=1 и {β n+ }∞n=1 , таких, что для любого n β n− < α < β n+ и разность β n+ − β n− может быть сделана для всех достаточно больших значений n меньшей любого положительного рационального числа. Это позволяет представить сечение α с помощью бесконечной десятичной дроби (снова, апеллируя к интуитивным представлениям, с помощью числа, являющегося пределом обеих последовательностей {β n− }∞n=1 и {β n+ }∞n=1 ). Разумеется, такой подход возможен и для сечений, за-

даваемых рациональными числами, однако в данном контексте это уже интереса не представляет.

Раздел 5

31

ç

Вещественные числа è

В заключение рассмотрим вопрос о полноте множества вещественных чисел, введенных таким способом. Поясним, что имеется в виду. Когда мы рассматривали сечения, являющиеся парами множеств рациональных чисел, оказывалось, что некоторые сечения содержат «пограничное» число, разделяющее два этих множества, а некоторые не содержат. Дополнение множества рациональных чисел иррациональными именно позволяет ввести эти «пограничные» числа. Возникает следующий вопрос. Если мы применим использованный выше прием для множества вещественных чисел, не потребует ли это введения новых чисел, разделяющих классы? Более точно. Пару непустых множеств A− , A+ ⊂  назовем сечением множества вещественных чисел, если 1) каждое вещественное число попадает в одно и только одно из этих множеств; 2) каждое число из множества A− меньше каждого числа из множества A+ . Ответ на поставленный выше вопрос дает следующая теорема, доказанная Дедекиндом. ТЕОРЕМА. Для любого сечения A− | A+ в множестве вещественных чисел существует единственное вещественное число, которое производит это сечение. Это число будет наибольшим в нижнем классе или наименьшим в верхнем классе. Возможен альтернативный вариант построения теории вещественных чисел а основе сечений Дедекинда. Сначала, как и выше, определяется множество  всех сечений и рациональные числа отождествляются с сечениями специального вида. Во множестве  вводятся отношения « > », «

Раздел 5

32

ç

Вещественные числа è

< » и « = ». Пусть α , β ∈  . Рассмотрим произвольные рациональные числа

α ′ , α ′′ , β ′ , β ′′ , удовлетворяющие условиям

α ′ < α < α ′′, β ′ < β < β ′′. Суммой элементов α и β называется такой элемент γ ∈  , который удовлетворяет условию α ′ + β ′ < γ < α ′′ + β ′′ при любом выборе чисел α ′ , α ′′ ,

β ′ , β ′′ . Доказывается, что такой элемент γ существует находится единственным образом. Более того, это определение «согласовано» с операцией сложения рациональных чисел в том смысле, что если числа α и β рациональные, то приведенное определение дает обычную сумму этих чисел. Аналогичным образом вводится определение произведения положительных элементов из  . Операция сложения всюду в определении заменяется операцией умножения. После этого уже элементарно вводится умножение произвольных элементов из  . В определении операции умножения в терминах сечений мы подробно останавливались на этом. Поэтому здесь мы не будем входить в детали.

ç

è

6. Комплексные числа Приведем стандартную схему построения комплексных чисел. Рассмотрим множество  всех упорядоченных пар (a, b) вещественных чисел. Будем считать, что (a, b) = (c, d ) в том и только том случае, когда a = c, b = d . Введем операции сложения и умножения на множестве этих

пар следующим образом: (a, b) + (c, d ) =(a + c, b + d ), (a, b) ⋅ (c, d ) =(ac − bd , ad + bc).

Элементы множества  будем называть комплексными числами. Рассмотрим совокупность всех пар вида (a,0) , a ∈  . Из приведенных выше определения операций сложения и умножения получаем, что (a,0) + (b,0) = (a + b,0), (a,0) ⋅ (b,0) = (a ⋅ b,0).

Эти соотношения позволяют отождествить пару вида (a,0) с определяющим ее вещественным числом a , то есть считать, что  ⊂  . Рассмотрим элемент = i (0,1) ∈  . Тогда, используя правило умножения в  , получаем, что i 2 = (−1,0) , то есть, с учетом приведенного выше отождествления, i 2 = −1 . Число i называется мнимой единицей. Для любых  выполняется равенство a , b∈

(a= , b) (a,0) + (b,0)(0,1),

Раздел 6

34

Комплексные числа

ç

è

которое с учетом сказанного выше, можно переписать так: (a, b)= a + bi . Мы приходим к обычной записи комплексных чисел. Операции в этой записи проводятся как операции с многочленом от i с вещественными коэффициентами с единственным дополнением, что i 2 = −1 , что всегда позволяет свести любой многочлен к многочлену степени не выше первой. Легко доказываются следующие свойства комплексных чисел. 1) Для α , β ∈  уравнение z + β = α имеет в  единственное решение, обозначаемое через α − β , то есть в  определена операция вычитания. 2) Для α , β ∈  , β ≠ 0 уравнение β z = α имеет в  единственное решение, обозначаемое через α β , то есть в  определена операция деления. Множество  называется полем комплексных чисел. Напомним, что для z= a + bi число a называется вещественной частью числа z и обозначается a = Re z , число b называется мнимой частью числа z и обозначается b = Im z . Функция | x | , сопоставляющая вещественному числу его модуль, распространяется на множество  с помощью формулы

| a + bi =|

a 2 + b2 .

ЗАМЕЧАНИЕ. В учебной литературе иногда строится теория комплексных чисел следующим образом. Рассмотрим множество всех выражений вида a + bi , где a и b — произвольные вещественные числа, а но-

Раздел 6

35

Комплексные числа

ç

è

Гамильтон

вый объект i удовлетворяет условию i 2 = −1 . Сложение и умножение этих выражений будем производить по правилам действий с многочленами с учетом указанного выше условия. После этого на основе таких определений выводятся все стандартные свойства комплексных чисел. Именно такой «наивный» подход используемся нами далее при введении кватернионов. Кватернионами называются выражения вида a + bi + cj + dk , где a , b, c , d ∈  , а мнимые единицы i , j , k , перемножаются по следующим

правилам:

i2 = j2 = k2 = −1, ij = k , ji = −i, jk = i, kj = −i, ki = j , ik = − j.

Отметим, что при умножении мнимых единиц результат зависит от их порядка, то есть операция умножения является некоммутативной. ЗАМЕЧАНИЕ. Кватернионы были введены в математику У.Р. Гамильтоном. Два кватерниона a1 + b1i + c1 j + d1k и a2 + b2i + c2 j + d 2k считаются равными в том и только том случае, когда a1 = a2 , b1 = b2 , c1 = c2 , d1 = d 2 . Сложение кватернионов производится «покомпонентно», по аналогии с комплексными числами: (a1 + b1i + c1 j + d1k ) + (a2 + b2i + c2 j + d 2k ) = = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i + (c1 + c2 ) j + (d1 + d 2 )k .

Раздел 6

36

Комплексные числа

ç

è

Умножение кватернионов проводится с помощью обычных правил раскрытия скобок и упрощения произведений с учетом приведенных выше произведений мнимых единиц. Кватернионы вида a + 0 ⋅ i + 0 ⋅ j + 0 ⋅ k считаются равными вещественному числу a . Отметим, что кватернионы обладают целым рядом свойств, существенно отличающих их от числовых систем, рассмотренных выше. Кроме уже отмеченной выше некоммутативности операции умножения, отметим еще следующий факт. Уравнение z 2 = −1 имеет в множестве всех кватернионов бесконечно много решений. Чтобы это доказать, подставим z =a + bi + cj + dk

в это уравнение. Мы имеем: z 2 = (a + bi + cj + dk ) 2 = (a + bi + cj + dk )(a + bi + cj + dk ) = = a (a + bi + cj + dk ) + bi (a + bi + cj + dk ) + +cj (a + bi + cj + dk ) + dk (a + bi + cj + dk ) =

=a 2 + abi + acj + adk + bai + b 2i 2 + cbij + bdik + +caj + cbij + c 2 j 2 + cdkj + dak + dbik + dcjk + d 2k 2 . Учитывая приведенные выше правила умножения мнимых единиц, отсюда находим, что

z 2 = (a 2 − b 2 − c 2 − d 2 ) + 2abi + 2acj + 2adk ,

Раздел 6

37

Комплексные числа

ç

è

и исходное уравнение оказывается равносильным системе уравнений a 2 − b 2 − c 2 − d 2 = −1,  ab = 0,  ac = 0, ad = 0. 

Если a ≠ 0 , то из второго, третьего и четвертого уравнений выводим, что b = 0 , c = 0 , d = 0 . Тогда первое уравнение приобретает вид a 2 = −1 , что

невозможно для вещественного a . Поэтому a = 0 , и система уравнений преобразуется к равносильной системе

a = 0,  2 2 2 1. b + c + d = Таким образом, z 2 = −1 в том и только том случае, когда z = bi + cj + dk , причем b 2 + c 2 + d 2 = 1 , то есть уравнение имеет бесконечно много решений. Вернемся теперь к комплексным числам. Выше была рассмотрена теория последовательностей вещественных чисел. При рассмотрении пределов функций, производных и неопределенных интегралов также рассматривались функции вещественного аргумента, принимающие вещественные значения. Однако в некоторых случаях удобно рассматривать функции вещественного аргумента, принимающие комплексные значения. Мы приведем здесь эскизно некоторые из необходимых определений и фактов и продемонстрируем технические преимущества такого подхода для решения некоторых задач.

Раздел 6

38

Комплексные числа

ç

è

ЗАМЕЧАНИЕ. Существует исключительно важная и глубокая теория функций комплексного переменного, в которой как аргумент, так и значения функции являются комплексными. Эта теория (называемая также теорией аналитических функций) имеет многочисленные приложения в прикладной математике, механике и физике. Изложение такой теории, даже в виде основных ее понятий, не входит в круг освещаемых нами вопросов. Начнем наше изложение с вопросов теории последовательностей. Будем рассматривать последовательности комплексных чисел {cn }+∞ n=1 , где для каждого n ∈  cn ∈  . Говорят, что эта последовательность сходится с числу c ∈  , если для любого ε > 0 найдется такое N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство | cn − c |< ε . Здесь в левой части неравенства находится модуль комплексного числа. Если последовательность {cn }+∞ n=1 сходится к числу c (определяемому, как и в случае вещественных чисел единственным образом), то это записывается стандартным образом: lim cn = c. n→+∞

Если z= u + iv 1, то имеют место неравенства

| u |≤ u 2 += v 2 | z |, | v |≤ u 2 += v2 | z | . Отсюда следует, что max{| u |,| v |} ≤| z |≤ 2 ⋅ max{| u |,| v |}.

(∗)

Предположим, что для каждого n ∈  c= an + ibn , где an , bn ∈  , и n c= a + bi . Тогда из неравенства (∗) получаем:

max{| an − a |,| bn − b |} ≤| cn − c |≤ 2 ⋅ max{| an − a |,| bn − b |}.

1

В дальнейшем в записи z= u + vi имеется в виду, что u , v ∈  .

Раздел 6

39

Комплексные числа

ç

è

Последнее соотношение означает, что равенство lim cn = c равносильно n→+∞

тому, что одновременно выполняются равенства

= lim an a= , lim bn b, n→+∞

n→+∞

то есть сходимость комплексной последовательности равносильна сходимости последовательностей вещественных и мнимых частей этих чисел. Это утверждение позволяет вывести ряд свойств предела последовательностей в комплексном случае из свойств вещественных последовательностей. Отметим сначала, что последовательность {cn }+∞ n=1 называется ограниченной, если sup | cn |< +∞. n∈

Приведем некоторые утверждения, получаемые из соответствующих свойств вещественных последовательностей. 1°. Сходящаяся последовательность комплексных чисел является ограниченной. 2°. Предел суммы двух сходящихся последовательностей равен сумме их пределов, аналогично для пределов разности и произведения. 3°. Если lim cn= c ≠ 0 , то существует константа K > 0 , такая, n→+∞

что для всех достаточно больших n выполняется неравенство | cn |≥ K (такое неравенство называется ограниченностью снизу). 4°. Из любой ограниченной последовательности (комплексных чисел) можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Раздел 6

40

Комплексные числа

ç

è

4°. Последовательность {cn }+∞ n=1 является сходящейся в том и только том случае, когда выполняется следующее условие: для любого ε > 0 существует такое N , что для всех m , n ≥ N | cm − cn |< ε . Последовательность {cn }+∞ n=1 , удовлетворяющая последнему условию, называется фундаментальной. Мы видим, что основные свойства пределов последовательностей при переходе к комплексному случаю остаются прежними. Заметим только, что здесь нет уже свойств монотонных последовательностей, поскольку при переходе к комплексным числам «потеряно» свойство упорядоченности: отсутствует отношение «больше» — «меньше». Совершенно аналогично на случай комплекснозначных функций переносится понятия предела функции. Предположим, что комплекснозначная функция f определена в некоторой выколотой окрестности точки ( x) u ( x) + iv( x) , где функции u и v приa ∈  . Представим ее в виде f =

нимают вещественные значения. Тогда равенство

lim f ( x)= A + Bi

x →a

равносильно равенствам

lim u ( x) A= , lim v( x) B. = x →a

x →a

Таким образом, «комплексная» теория пределов сводится к «вещественной» теории. Аналогичным образом обстоит дело и с производными. Если комплекснозначная функция f = ( x) u ( x) + iv( x) определена в некоторой окре-

Раздел 6

41

Комплексные числа

ç

è

стности точки a , то существование производной f ′(a ) равносильно существованию производных u′(a ) , v′(a ) . При этом выполняется равенство

′(a ) u′(a ) + iv′(a ). f= Отсюда вытекает следующий факт. Если функция принимает только вещественные значения, то ее производная в «новом смысле» (как функции, принимающей комплексные значения), совпадает с ее производной в «старом смысле» (как функции, принимающей вещественные значения). Сохраняются основные свойства производных (производная суммы, произведения и частного). (n) Отметим также соотношение f = ( x) u ( n ) ( x) + iv ( n ) ( x), понимаемое

в следующем смысле. Если имеет смысл одна из частей этого соотношения, то имеет смысл и другая его часть, и выполняется указанное равенство. Приведем теперь примеры нахождения производных. 1°. Для функции f ( x) = x n , n ∈  , принимающей вещественные значения, производная находится, как и выше, по формуле f ′( x) = nx n−1 . Отсюда следует, что сохраняется и формула для дифференцирования многочлена (теперь уже с комплексными коэффициентами): n−1 + (n − 1)a1x n−2 +  + an−1. (a0 x n + a1x n−1 +  + an−1x + a= n )′ n a0 x

2°. Рациональная функция = f ( x)

P( x) , Q( x)

x ∈ ,

Раздел 6

42

Комплексные числа

ç

è

где P и Q — произвольные многочлены с комплексными коэффициентами, причем многочлен Q не является нулевым, может быть продифференцирована по стандартным правилам, как производная частного. ПРИМЕР. Рассмотрим функцию = f ( x)

1 , x +1 2

x ∈ .

Из равенства x 2 + 1 = ( x − i )( x + i ) следует, что 1 1 1 1  f ( x) = = −  , x ∈ . 2 x + 1 2i  x − i x + i 

Отсюда следует, что при n ∈ 

f

=

(n)

 1  ( x) =  2   x +1

(n)

1  1  =   2i   x − i 

(n)

 1  −   x+i

(n) 

=  

 1 1 1 − −  − − − −  − n n ( 1)( 2 ) ( ) ( 1)( 2 ) ( )  = 2i  ( x − i ) n+1 ( x + i ) n+1    1 1 1 = − = (−1) n n! n+1 n+1  2i − + x i x i ( ) ( )   n +1 1 − ( x − i ) n+1 n ( x + i) = (−1) n! . 2i ( x 2 + 1) n+1

Функция f принимает только вещественные значения. Поэтому последнее выражение принимает только вещественные значения при x ∈  . Полу-

Раздел 6

43

Комплексные числа

ç

è

ченное соотношение остается в силе и при n = 0 . Отсюда, уитывая соотношение d 1 arctg x = , dx 1 + x2

получаем следующее равенство

(arctg x)

(n)

1 ( x + i)n − ( x − i)n n −1 =(−1) (n − 1)! , n= 1,2, . 2i ( x 2 + 1) n

Перейдем теперь к определению экспоненциальной функции комплексного аргумента. Пусть a + bi ∈  . Тогда полагаем

= e a +bi e a (cos b + i sin b).

(∗)

ЗАМЕЧАНИЕ. Экспоненту комплексного числа может быть определена по-иному. Напомним, что для любого вещественного x имеет место ра+∞

+∞ n xn z z венство e = ∑ . Для z ∈  положим e = ∑ , где сходимость ряда, n =0 n ! n =0 n ! x

составленного из комплексных чисел, понимается по аналогии с вещественным случаем. Исходя из этого определения, можно доказать следующие соотношения: 1) для любых z1 , z2 ∈  имеет место равенство e z1 + z2 = e z1 e z2 ; 2) для любого x ∈  имеет место равенство= eix cos x + i sin x . Отсюда будет сразу следовать формула (∗).

Раздел 6

44

Комплексные числа

ç

è

Покажем, исходя из определения (∗), что для любых w , z ∈  выz полняется равенство e w+= e w ⋅ e z , то остается в силе стандартное свойство

показательной функции. Пусть w= a + bi , z= c + di . Тогда w + z = (a + c) + (b + d )i,

e w= ⋅ e z e a (cos b + i sin b) ⋅ ec (cos d + i sin= d) = e a +c ((cos b ⋅ cos d − sin b ⋅ sin d ) + (cos b ⋅ sin d + sin b ⋅ cos= d )i )

= e a +c (cos(b + d ) + sin(b = + d )i ) e w+ z . Отсюда, в частности, получаем, что (e w ) n = e nw для любого n ∈  . Отметим, что для любого α ∈  функция = f ( x) eα x ,

x∈

является непрерывной. Действительно, если α= β + γ i , то f ( x) =e β x (cos γ x + i sin γ x),

x ∈  .

(∗)

Непрерывность функции f следует из непрерывности функций e β x , cos γ x , sin γ x .

Покажем, что f ′( x) = α eα x , x ∈  . Дифференцируя по x обе части равенства (∗), получаем:

= = f ′( x) β e β x (cos γ x + i sin γ x) + e β x (−γ sin γ x + γ i cos γ x)

Раздел 6

45

Комплексные числа

ç

è

= e β x ( β (cos γ x + i sin γ x) + (−γ sin γ x += γ i cos γ x)) = e β x (( β cos γ x − γ sin γ x) + i (sin γ x + γ cos γ x)).

С другой стороны,

α eα x = ( β + γ i )e( β +γ i ) x = ( β + γ i )e β x (co γ x + issin γ x) = = e β x (( β cos γ x − γ sin γ x) + i (sin γ x + γ cos γ x)). Мы доказали требуемое соотношение. Полученные равенства позволяют получить более простым способом уже отмеченные выше свойства. ix Пусть f (= x) e= ( cos x + i sin x) , x ∈  . Тогда ix , f ′′( x) i 2eix , = f ′( x) ie=

и, вообще, f ( n ) ( x) = i neix , n ∈  . Учтем, что i =cos

π 2

+ i sin

π 2

=eiπ 2 .

Тогда полученное соотношение можно переписать в виде:

π π   f ( n ) ( x) = eiπ n 2eix = ei ( x+π n 2) = cos  x + n  + i sin  x + n  .   2 2 Отсюда, переходя к вещественной и мнимой частям, получаем уже отмеченные выше соотношения:

Раздел 6

46

Комплексные числа

ç

è

π π   (cos x)( n ) = cos  x + n  , (sin x)( n ) = sin  x + n  , n ∈ .   2 2 Приведем еще один пример. Найдем производные функций e ax cos bx и e ax sin bx . Рассмотрим функцию ( a +bi ) x = f ( x) e= e ax (cos bx + i sin bx).

Тогда

f ( n ) ( x) = (a + bi ) n e( a +bi ) x = (a + bi ) n e ax (cos bx + i sin bx), и, переходя к вещественной и мнимой частям, получаем, что

(e ax cos bx)( n ) =+ Re ( (a bi ) n e ax (cos bx + i sin bx) ) , (e ax sin bx)( n ) = Im ( (a + bi ) n e ax (cos bx + i sin bx) ) . Отметим, что на случай комплекснозначных функций переносятся не все утверждения, полученные для функций, принимающих вещественные значения. Например, на этот случай не переносится формула конечных приращений. Действительно, если функция f = ( x) u ( x) + iv( x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то равенство f (b) − f (a )= f ′(ξ )(b − a ),

выполняющееся в вещественном случае, в случае комплексном означало бы, что u (b) − u (a )= u′(ξ )(b − a ), v(b) − v(a )= v′(ξ )(b − a ),

Раздел 6

47

Комплексные числа

ç

è

что, вообще говоря, не имеет места для одной и той же точки ξ . На комплексный случай переносится и понятие неопределенного интеграла. В частности, если функции u ( x) и v( x) непрерывны на промежутке I , и U ( x) , V ( x) являются их первообразными, то

∫ (u ( x) + iv( x))d

=xU ( x) + iV ( x) + C , x ∈ I ,

где C — произвольная (теперь уже комплексная) постоянная. Справедливо и обратное утверждение. Если f = ( x) u ( x) + iv( x) — непрерывная функция на промежутке I и

∫ f ( x )d

=xU ( x) + iV ( x) + C , x ∈ I ,

то

∫ u ( x)dx =U ( x) + C ,

x∈ I,

∫ v( x)dx =V ( x) + C ,

x ∈ I.

Отметим также следующую формулу: αx ∫ e dx =

1

α

eα x + C ,

x ∈ ,

где α ∈  , α ≠ 0 , С — произвольная (комплексная) постоянная. Применим приведенные соображения для вычисления интегралов

∫e

ax

cos bxdx,

∫e

ax

sin bxdx.

Раздел 6

48

Комплексные числа

ç

è

Рассмотрим следующую функцию: ( a +bi ) x = f ( x) e= e ax (cos bx + i sin bx).

Тогда ( a +bi ) x = dx ∫e

1 e( a +bi ) x + C , a + bi

или ax = bx)dx ∫ e (cos bx + i sin

a − bi ax e (cos bx + i sin bx) + C , a 2 + b2

ae ax bx)dx (a cos bx + b sin bx) + ∫ e (cos bx + i sin= a 2 + b2 ax

ae ax (a sin bx − b cos bx) + C. +i 2 a + b2 Отсюда получаем, что

ae ax (a cos bx + b sin bx) + C , bxdx ∫ e cos= a 2 + b2 ax

ae ax (a sin bx − b cos bx) + C. bxdx ∫ e sin= a 2 + b2 ax

ç

è

7. p - адические числа Приведем еще один способ построения вещественных чисел, который позволяет сделать далеко идущие обобщения. Рассмотрим множество всех фундаментальных последовательностей рациональных чисел. Две такие последовательности {an } и {bn } назовем эквивалентными и будем писать {an }  {bn } , если | an − bn |→ 0 при n → +∞. Легко проверить, что бинарное отношение «  » — действительно отношение эквивалентности. Рассмотрим множество классов эквивалентности для приведенных выше множества и бинарного отношения. Множество всех этих классов обозначим через  . ЗАМЕЧАНИЕ. По существу, считая вещественные числа уже известными, можно сказать так: каждое вещественное число при таком подходе представляется через сходящуюся к нему последовательность рациональных чисел. Две последовательности называются эквивалентными, если они сходятся к одному вещественному числу. Введем операции на множестве  . Пусть α , β ∈  . Выберем произвольные последовательности {an } ∈ α , {bn } ∈ β . Суммой классов α и β называется класс, обозначаемый α + β , который содержит последовательность {an + bn } . Для доказательства корректности этого определения нужно убедиться в то, что

Раздел 7

50

p-адические числа

ç

è

a) последовательность {an + bn } рациональных чисел является фундаментальной; b) класс эквивалентности α + β не зависит от выбора последовательностей {an } и {bn } , то есть, если {an } ∈ α , {bn } ∈ β , то {an + bn }  {an + bn }.

Аналогично определяется (и дается обоснование корректности определения) произведение классов αβ . Каждому рациональному числу a поставим в соответствие класс эквивалентности, содержащий постоянную последовательность {a} . Это соответствие позволяет отождествить множество  с некоторым подмножеством множества  , которое тоже будет обозначаться через  . На этом пути можно получить все стандартные свойства вещественных чисел (в частности, доказать, что множество  с введенными операциями сложения и умножения является полем), а также ввести неравенства для вещественных чисел и вывести основные свойства неравенств. Теперь вернемся к самому началу наших построений. В их основе лежит множество  рациональных чисел и функция x →| x | , ставящая в соответствие каждому числу его модуль. Эта функция является отображением множества  в себя и обладает следующими свойствами: 1) | x |≥ 0 , причем | x |= 0 тогда и только тогда, когда x = 0 ; 2) | x ⋅ y |= | x | ⋅ | y | ; 3) | x + y |≤| x | + | y | .

Раздел 7

51

p-адические числа

ç

è

Отметим, что именно эти свойства (и только они, а не исходное определение модуля) используются в приведенном выше построении множества  (точнее, в определении и обосновании, если их проводить детально). Оказывается, что существуют другие функции на множестве  , обладающие указанными выше свойствами 1)–3). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Нормой называется функция x →‖x‖, определенная на множестве рациональных чисел, принимающая вещественные значения и обладающая следующими свойствами: 1)‖x‖≥ 0 , причем‖x‖= 0 тогда и только тогда, когда x = 0 ; 2)‖x ⋅ y‖‖ = x‖‖ ⋅ y‖; 3)‖x + y‖‖ ≤ x‖+‖y‖. Для любой такой нормы возможен процесс, аналогичный намеченному выше. Такой процесс называется пополнением поля  по данной норме. Чтобы отличать произвольную норму от модуля, мы пока будем обозначать ее через || x || . ПРИМЕР 1. Выберем и зафиксируем число α , 0 < α ≤ 1 . Определим величину || x ||=| x |α , x ∈  . Можно проверить, что эта функция обладает указанными выше свойствами 1)–3). В частности, свойство 3) вытекает из легко проверяемого неравенства

(1 + t )α ≤ 1 + t α , 0 ≤ t < ∞.

Раздел 7

52

p-адические числа

ç

è

Очевидно, что фундаментальность последовательности рациональных чисел по такой норме, а также свойство эквивалентности последовательностей равносильны аналогичным свойствам, связанным с обычным модулем. В этом случае говорят, что нормы || x || и | x | эквивалентны. В частности, пополнение по норме || x || приведет к тому же множеству  . ЗАМЕЧАНИЕ 1. При 0 < α < 1 рассмотренная выше норма может принимать иррациональные значения, то есть ее нельзя использовать для введения вещественных чисел. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Выше мы различали значение f ( x) некоторой функции и саму эту функцию, которую обозначали через f , не указывая ни скобки, ни аргумент. В случае норм часто используется подобная методика, только аргумент принято обозначать точкой: говорят о норме || ⋅ || . Именно такое обозначение мы будем использовать в дальнейшем. ПРИМЕР 2. Для x ∈  положим:

0, если || x ||=  1,если

0, x= 0.x ≠

Такая функция обладает свойствами 1)–3) и называется тривиальной нормой. Читателю предлагается проверить, что 1) последовательность {an } фундаментальна по тривиальной норме тогда и только тогда, когда она стабилизируется, начиная с некоторого места, то есть = aN a= N +1 a= N + 2  для некоторого натурального N ;

Раздел 7

53

p-адические числа

ç

è

2) пополнение по рассматриваемой норме приводит к тому же множеству рациональных чисел, то есть никакого расширения фактически нет. Напомним, что натуральное число p > 1 называется простым, если оно не имеет натуральных делителей, кроме 1 и p . Выберем и зафиксируем произвольное простое число p . Возьмем произвольное рациональное число x ≠ 0 и представим его в виде несократимой дроби x =

m , m , n ∈  . Тогда либо оба числа m и n не n

делятся на p , либо на p делится только одно из этих чисел. Вынося в последнем случае число p в максимальной возможной степени, получаем представление r = x pk ⋅ , s

(∗)

где k ∈  , дробь r s несократимая, и числа r , s не делятся на p . Например, пусть p = 2 . Тогда 20 5 = 22 ⋅ , 9 9

7 7 = 20 ⋅ , 9 9

31 31 =⋅ 2−3 . 40 5

Рассмотрим следующую функцию, определенную на множестве  :

 p − k ,если имеет x вид ( ),∗ | x |p =  0.x = 0,если

Раздел 7

54

p-адические числа

ç

è

Подчеркнем, что эта функция принимает только рациональные значения. Можно проверить, что функция | ⋅ | p является нормой на множестве  . Более того, свойство 3) справедливо в следующей более сильной форме:

| x + y | p ≤ max{| x | p ,| y | p }. ЗАМЕЧАНИЕ. Норма ‖‖ · называется неархимедовой, если для любых

, y‖}. Если норма не x , y ∈  выполняется соотношение‖x + y‖≤ max{‖x‖‖ является неархимедовой, она называется архимедовой. Введенная норма

|·| p является неархимедовой. Функция «модуль» является архимедовой нормой. В данном контексте для функции «модуль» используется также обозначение |·|∞ . Отметим, что | p k | p = p − k , например, = | 3 |3

1 1 1 = , | 9 |3 ,= | 2 7|3 . 3 9 27

Из определения нормы |·| p следует, что для любого целого числа n выполняется неравенство | n | p ≤ 1 . Две нормы, определенные на множестве  , называются эквивалентными, если любая последовательность, фундаментальная по одной норме, является фундаментальной и по другой. Оказывается, что любая нетривиальная норма на поле  эквивалентна либо обычной функции «модуль», либо норме | ⋅ | p при некотором простом p , причем любые две различные нормы указанного выше вида эквивалентными не являются. Норма | ⋅ | p называется p -адической.

Раздел 7

55

p-адические числа

ç

è

Гензель

Пополнение поля рациональных чисел по норме | ⋅ | p является полем, называемым полем p -адических чисел. Это поле обозначается через  p . Подчеркнем, что поле  p содержит все рациональные числа (и, следовательно, все целые числа). ЗАМЕЧАНИЕ. p -адические числа были введены в математику немецким математиком К. Гензелем. Перейдем к описанию элементов поля  p . Рассмотрим произвольное неотрицательное целое число a и представим его в системе счисления по основанию p : a = a0 + a1 ⋅ p + a2 ⋅ p 2 +  + an ⋅ p n ,

где ai ( i = 0 , 1, …, n ) — целые числа, удовлетворяющие неравенствам

0 ≤ ai ≤ p − 1 . Отметим, что такое представление (в предположении, что an ≠ 0 , то есть an является старшей значащей цифрой) является единственным. Операции сложения и умножения натуральных чисел в таком представлении выполняются по правилам, аналогичным действиям с числами, представленными в десятичной записи. Рассмотрим теперь произвольную бесконечную последовательность {an }+∞ n=0 целых чисел, удовлетворяющих условиям 0 ≤ ai ≤ p − 1 . Введем в рассмотрение последовательность неотрицательных целых чисел

x0 = a0 ,

Раздел 7

56

p-адические числа

ç

è

x1 = a0 + a1 ⋅ p, x2 = a0 + a1 ⋅ p + a2 ⋅ p 2 ,

x3 = a0 + a1 ⋅ p + a2 ⋅ p 2 + a3 ⋅ p 3 , и так далее. Проверим, что эта последовательность является фундаментальной по p -адической норме. Действительно, при m > n

xm − xn = an+1 ⋅ p n+1 + an+ 2 ⋅ p n+ 2 +  + am ⋅ p m , и | xm − xn |≤ 1 p n+1 (равенство достигается, если an+1 ≠ 0 ). Это и означает требуемую фундаментальность. Предел рассматриваемой последовательности обозначается в виде бесконечной суммы a0 + a1 ⋅ p + a2 ⋅ p 2 +  + an ⋅ p n +  .

(∗)

Объекты вида (∗), понимаемые именно как пределы в указанном выше смысле, называются целыми p -адическими числами. В таком контексте «обычные» целые числа называются «целыми рациональными». Рассмотрим теперь дробь вида a p n , где a — неотрицательное целое число, n ≥ 1 . Представляя число a в системе счисления по основанию p , после почленного деления на p n получаем следующее представление:

a a− n a− n+1 a−1 = + +  + + a0 + a1 ⋅ p + a2 ⋅ p 2 +  + am ⋅ p m , n n n −1 p p p p

где 0 ≤ ai ≤ p − 1 для всех i , −n ≤ i ≤ m .

Раздел 7

57

p-адические числа

ç

è

Можно рассматривать и бесконечные суммы вида

a− n a− n+1 a + n−1 +  + −1 + a0 + a1 ⋅ p + a2 ⋅ p 2 +  + am ⋅ p m +  , n p p p

(∗)

где 0 ≤ ai ≤ p − 1 для всех значений индексов, а сумма понимается как предел в указанном выше смысле. Такое представление p -адического числа называется его каноническим представлением. Оказывается, что поле  p состоит в точности из всех таких сумм, причем каждый элемент допускает единственное разложение1 подобного вида. Число вида (∗) записывается по аналогии с десятичной записью вещественных чисел следующим образом: a− n a− n+1 a−1a0 .a1a2  am  ( p ).

Действия с p -адическими числами выполняются по правилам, аналогичным действиям с обычными десятичными числами, и мы на этом останавливаться не будем. Норма | ⋅ | p единственным образом продолжается на все поле  p , при этом множество значений нормы остается прежним, тем же, каким оно было на множестве  , то есть множеством {0} ∪ { p n | n ∈ } 2. В частности, если в представлении (∗) an ≠ 0 , то p -адическая норма этого числа равна p n . Отметим следующие свойства p -адических чисел. В отличие от случая вещественных чисел, где в некоторых случаях одно и то же число допускает неединственное представление в виде бесконечной десятичной дроби, например, = 1 0.999 =  1.000 . 2 Подчеркнем, что в случае пополнения поля рациональных чисел по норме |·|∞ множество значений нормы расширяется и совпадает с множеством всех неотрицательных вещественных чисел. 1

Раздел 7

58

p-адические числа

ç

è

1°. Число x ∈  p является целым p -адическим в том и только том случае, когда | x | p ≤ 1 . Например, | 3 8 |5 = 1 , то есть число 3 8 является целым 5-адическим. Оказывается, что

3 = 1.303030 (5), каноническое 8

представление данного числа является периодическим. 2°. Элемент α ∈  p является рациональным числом в том и только том случае, когда его каноническое представление является периодическим. 3°. Каноническое представление является «обрывающимся» (то есть

an = 0 для всех достаточно больших значений n ) в том и только том случае, когда число a является рациональным и имеет вид a = m p k , где k ∈, m ≥ 0.

Из сказанного выше следует, что каноническое представление отрицательного числа m ∈  является бесконечным периодическим. В заключение приведем обширную цитату из книги [3]. Вернемся к нашему историческому экскурсу, где мы добрались до  . Обратившись снова к первому методу расширения числовой системы — добавлению корней уравнений, математики сочли, что неплохо иметь в запасе числа, которые позволяли бы решать такие уравнения, как x 2 + 1 = 0 . (Здесь мы излагаем логический ход событий; исторически введение комплексных чисел предшествовало строгому определению вещественных чисел в терминах последовательностей Коши.) Тут произошло нечто удивительное! Как только было введено

Раздел 7

59

p-адические числа

ç

è

число i=

−1 и определено поле комплексных чисел вида a + bi , a ,

b ∈  , оказалось, что:

1) все полиномиальные уравнения с коэффициентами в  разрешимы в  —это знаменитая основная теорема алгебры. (короче можно сказать так: поле  алгебраически замкнуто); 2) поле  полно относительно (единственной) нормы, продолжающей

| a + bi =|

норму

|⋅|

с



(эта

норма

задается

формулой

a 2 + b 2 ), т. е. каждая последовательность Коши {a j + b j i}

имеет предел вида a + bi (так как {a j } и {b j } —также последовательности Коши в  , то в качестве a и b берутся их пределы). Итак, в данном случае процесс оканчивается на  , которое есть всего лишь «квадратичное расширение» поля  (т. е. оно получается присоединением корня квадратного уравнения x 2 + 1 = 0 ). Поле  алгебраически замкнуто и полно относительно архимедовой метрики. Но увы! В случае нормы | ⋅ | p все не так просто. Построив  p , пополнение  относительно | ⋅ | p , нам придется затем образовать бесконечную последовательность расширений, задаваемых присоединением корней уравнений старших степеней (не только квадратных). Хуже того, построенное в результате алгебраически замкнутое поле, которое обозначается через   p , не полно. Поэтому нужно будет «заткнуть дыры» в этом и так уже громадном поле, что приведет к еще большему полю Ω .

Раздел 7 ç

60

p-адические числа è

А что потом? Не придется ли еще увеличивать Ω , для того чтобы стали разрешимы все полиномиальные уравнения с коэффициентами в Ω ? Не будет ли этот процесс продолжаться все дальше и дальше, как развертывающаяся спираль все более искусственных абстракций? К счастью, тут вмешивается ангел-хранитель p -адического анализа, и уже поле Ω оказывается алгебраически замкнутым и полным. На этом наш поиск неархимедова аналога поля  заканчивается. Но это поле Ω , удобная числовая система, на которой можно было бы изучать p -адический вариант классического анализа, к сожалению, понято гораздо хуже, чем  .

ç

è

8. Интервальный анализ Еще одним обобщением понятия числа занимается область математики, называемая интервальным анализом. Интерес к этому направлению исследований связан, прежде всего, с использованием вычислительной техники. Если расчеты проводятся по стандартной схеме с использованием вещественной арифметики, то для полученного компьютером численного результата иногда затруднительно дать ответ на следующий простой вопрос: какое отношение имеет это число к искомому значению. Это связано с тем, что вещественная арифметика является, вообще говоря, неточной. Поэтому вопрос об оценке погрешности является во многих случаях весьма актуальным. В интервальной арифметике вещественное число задается не одним значением, а двумя, оценками числа снизу и сверху. Например, число 1 3 , которое нельзя задать конечной десятичной (и двоичной) дробью, может быть задано своими границами 0.3333333333 и 0.3333333334. Два интервала A = [a1, a2 ] и B = [b1, b2 ] считаются равными, если

= a1 b= 1 , a2 b2 . Арифметика интервальных чисел вводится следующим образом. Если A = [a1, a2 ] , B = [b1, b2 ] , то A + B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B}.

Раздел 8

62

Интервальный анализ

ç

è

Аналогично вводятся разность, произведение и частное интервалов. В определении частного предполагается, что 0 ∉ B . Можно показать, что сумма, разность, произведение и частное интервалов являются интервалами. Результаты операций над интервалами могут быть заданы формулами: если A = [a1, a2 ] , B = [b1, b2 ] , то

A + B = [a1 + b1, a2 + b2 ], A − B = [a1 − b1, a2 − b2 ],

A⋅ B = [min a1b1{, a1b2 , a2b1, a2b2},max a1b1{, a1b2 , a2b1, a2b2}]. «Обычные» вещественные числа x ∈  отождествляются с интервалами [ x, x ] .

Пусть f — непрерывная функция на всей вещественной оси. Тогда для интервала X полагаем

f ( X ) = [min f ( x),max f ( x)]. x∈X

x∈X

ЗАМЕЧАНИЕ. Подчеркнем, что корректность приведенного определения вытекает из теорем Вейерштрасса о свойствах функции, непрерывной на отрезке. Отметим также, что приведенное выше утверждение о том, что результатом арифметических операций с интервалами является интервал, является следствием теоремы Вейерштрасса для случая функций двух переменных. Примерами таких функций являются, например, функции X n , n ∈  , e X , sin X , cos X . Можно рассматривать также функции, определенные не

Раздел 8

63

Интервальный анализ

ç

è

на всей вещественной оси. Тогда можно определить, например, ln X ,

X

и т.д. Ряд свойств вещественных чисел без каких-либо изменений переносится на «интервальный» случай. Например, для любых интервалов A и B выполняются равенства A + B = B + A,

A ⋅ B = B ⋅ A,

( A + B) + C =A + ( B + C ), ( A ⋅ B) ⋅ C =A ⋅ ( B ⋅ C ).

Однако A ⋅ ( B + C ) ⊂ A ⋅ B + A ⋅ C.

В общем случае здесь строгое вложение. Например, если A =[0,1], B =[1,1], C =[−1, −1] ,

то A( B + C ) = [0,0] , AB + AC = [−1,1] . Расстояние между интервалами A = [a1, a2 ] и B = [b1, b2 ] вводится равенством

q ( A, B) = max{| a1 − b1 |,| a2 − b2 |}. Так введенное расстояние обладает всеми стандартными свойствами метрики: для любых интервалов A , B , C 1. q ( A, B) ≥ 0 , причем равенство имеет место в том и только том случае, когда A = B ; 2. q ( A, B) = q ( B, A) ;

Раздел 8

64

ç

Интервальный анализ è

3. q ( A, C ) ≤ q ( A, B) + q( B, C ) . Из задач интервального анализа отметим следующую. предположим, что функция f ( x) задана некоторым аналитическим выражением, содержащим константы a1 , a2 , …, an . Тогда будем писать f ( x) = f ( x; a1, a2 ,, an ).

Заменим в этом выражении все вещественные операнды и операции над ними на интервальные. Мы получаем выражение f ( X ; A1, A2 ,, An ).

(∗)

Будем предполагать, что все операции в возникающем выражении имеют смысл. Тогда функция (∗) называется интервальной оценивающей функцией, или просто оценкой исходной функции f , а получение ее значения — оцениванием f в интервальной арифметике.

ç

è

Обратно

9. Исторические сведения Гамильтон Уильям Роуан Гáмильтон (1805 – 1865) Ирландский математик. Дал точное формальное изложение теории комплексных чисел. Ввел понятие кватерниона и провел исследование ∂ ∂ ∂ ∇ i + j +k называется оператором Гаэтих объектов. Оператор = ∂x ∂y ∂z мильтона.

Раздел 9

66

ç

Исторические сведения è

Обратно

Гензель Курт Вильгельм Себастьян Гензель (1861 – 1941) Немецкий математик. Основным достижением Гензеля было открытие p -адических чисел, теория которых была использована им в исследованиях по теории чисел.

Раздел 9

67

Исторические сведения

ç

è

Обратно

Дедекинд Юлиус Вильгельм Рихард Дедекинд (1831 – 1916) Немецкий математик. Дал обоснование теории действительных чисел. Основные работы Дедекинда относятся к теории алгебраических чисел. В 1888 году Дедекинд предложил первый вариант системы аксиом для системы натуральных чисел. Годом позже аналогичную (немного упрощенную) систему аксиом, со ссылкой на Дедекинда, предложил Пеано.

Раздел 9

68

ç

Исторические сведения è

Обратно

Ландау Эдмунд Георг Герман Ландау (1877 – 1938) Немецкий математик. Получил важные результаты в теории чисел, комплексном анализе. В 1930 выпустил книгу «Основы анализа», которая до настоящего времени считается классическим изложением предмета. Э Ландау ввел широко используемые в анализе символы «О» большое и «о» малое.

Раздел 9

69

Исторические сведения

ç

è

Обратно

Пеано Джузеппе Пеано (1858 – 1932) Итальянский математик. Занимался исследованиями в области дифференциальных уравнений. Общепринятой является предложенная им аксиоматика множества натуральных чисел. Пеано построил первый пример непрерывной кривой, заполняющей целый квадрат, то есть проходящей через все его точки (кривая Пеано, см. следующую страницу).

Раздел 9

70

Исторические сведения

ç

è

Первые четыре шага построения кривой Пеано

ç

Литература 1) Г. Алефельд, Ю. Хельцбергер. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987. 2) И.Л.Кантор, А.С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. М.: Наука, 1973. 3) Н. Коблиц. p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции. М.: Мир, 1982. 4) Э. Ландау. Основы анализа. М.: ИЛ, 1947. 5) С. Феферман. Числовые системы. Основания алгебры и анализа. М.: «Наука», 1971. 6) Ю.И. Шокин. Интервальный анализ. Новосибирск, «Наука», 1981. 7) C. W. Dodge. Foundations of algebra and analysis. Boston, 1969.