Уравнения математических моделей для решения задач гидромеханики при бурении скважин: Методические указания по изучению курса и самостоятельной работе

11

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

“ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСТЕТ”

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГИДРОМЕХАНИКИ ПРИ БУРЕНИИ СКВАЖИН Методические указания по изучению курса и самостоятельной работе для студентов специальностей 553300 “Прикладная механика” и 090800 “Бурение нефтяных и газовых скважин” очной и заочной форм обучения

Тюмень, 2002

11

Утверждено редакционно-издательским советом Тюменского государственного нефтегазового университета

Составитель:

Герасимов Д.С., к.т.н., доцент

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

СС “Тюменский государственный нефтегазовый университет”, 2002 2

11

1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ В соответствии с учебным планом специальности 553300 “Прикладная механика” для специализации "Динамика и прочность машин" в цикле дисциплин специализации для нефтегазового дела предусматривается изучение курса "Задачи механики сплошной среды при бурении и разработке нефтяных и газовых месторождений". Для других специализаций данной специальности отдельные темы и разделы курса рассматриваются в различных дисциплинах, где необходимо знание приемов и методов расчета гидродинамики процессов бурения. Аналогичная ситуация характерна и для специальности 090800 “Бурение нефтяных и газовых скважин”, в которой существует специализация "Механика сплошной среды". Изучение технологии управления процессами бурения и разработки нефтяных и газовых месторождений необходимо при освоении таких дисциплин, как "Основы нефтегазового дела", "Ремонт и восстановление скважин", "Механика горных пород", "Крепление нефтяных и газовых скважин". Целью изучения курса является знакомство студентов с основными способами, методами и приемами расчетов различных сред и состояний машин и оборудования промыслов. Основными задачами курса являются: • изучение механизма управления процессами бурения и характеристика его основных функций; • ознакомление студентов с основными аспектами математического (производственно-технологического) аппарата расчетов; • изучение способов прогнозирования и планирования ремонтновостановительных работ; • знакомство с методами моделирования производственных процесов; • приобретение студентами практических навыков в области составления и решения уравнений математических моделей; • применение контроллинга решения в процессе управления математическим моделированием. Помимо аудиторных занятий в процессе изучения курса "Задачи механики сплошной среды при бурении и разработке нефтяных и газовых месторождений" студентами выполняется самостоятельная работа, которая способствует более углубленному изучению дисциплины. Самостоятельная работа студентов может проводиться: • с преподавателем, включая зачет и проверку контрольных работ, консультации по курсовому проектированию; 3

11

• с группой для консультирования перед экзаменом и по текущим вопросам, а также предполагает проверку остаточных знаний по курсу у студентов очной формы обучения; • без преподавателя, при подготовке к текущим занятиям, контрольным и домашним работам, а также при написании курсовых работ. В качестве итоговой аттестации по курсу для студентов специальности 090800 “Бурение нефтяных и газовых скважин” предусмотрен зачет 2. Уравнение неразрывности в переменных Лагранжа. Возьмем в данный момент времени t в произвольной точке M C.C. ∧ ∧ ∧ dξ 2 , d ξ dξ 3 , направленных вдоль осей на малых векторах 1, ∋2 ∋1 ∋3

ξ1 , ξ 2 , ξ3 . Построим элементарный

бесконечно малый косоугольный па∧ ∧ ∧ раллелепипед. Его объем будет равен V = ⋅ ( × ) dξ1dξ 2 dξ 3 . ∋1 ∋ 2 ∋ 3 В другой произвольный момент tо этому параллелепипеду соответствовал элементарный косоугольный параллелепипед, построенный на o o o векторах ⋅ ( × ) dξ1dξ 2 dξ 3 . ∋1 ∋ 2 ∋ 3 Плотность среды в моменты t и tо соответственно ρ и кону сохранения массы будем иметь ρ = V0 = ρV или ρ = ρ0

ρ 0 . По за-

∋& ⋅( ∋& × ∋& 3 ) V0 = ρ0 1 2 V ∋ˆ 1 ⋅( ∋ˆ 2 × ∋ˆ 3 )

(11) Для вычисления смешанных произведений векторов базиса введем еще декартову прямоугольную систему отсчета Х 1, Х 2, Х 3 с векторами базиса ∋1 = i , ∋ 2 = j , ∋3 = k , относительно которой происходит движение среды. Обозначим координаты точек среды относительно этой системы в момент t через Х 1, Х 2, Х 3, а в момент t о через Х10, Х20, Х30 очевидно, X i 0 = X i (ξ1 , ξ 2 , ξ 3 )

X i = X i (ξ1 , ξ 2 , ξ 3 )

т.е. Хio и Хi являются значениями функций, задающих закон движения, взятыми при разных значениях независимой переменной t. Т.к. радиус –

∂r , то вектор точки М относительно системы отсчета есть r = x k ∋ k , а ∋ˆ i = ∂ξ i

∂x ∋ˆ i = k ∋ k , и смешанное произведение ∋ˆ i ⋅( ∋ˆ 2 × ∋ˆ 3 ) можно представить в виде ∂ξ i

детерминанта. 4

11

∂x1 ∂x 2 ∂x3 ∂ξ1 ∂ξ1 ∂ξ1 ∂x ∂x ∂x ∋ˆ i ⋅( ∋ˆ 2 × ∋ˆ 3 ) = 1 2 3 = Δˆ ∂ξ 2 ∂ξ 2 ∂ξ 2 ∂x1 ∂x 2 ∂x3 ∂ξ 3 ∂ξ 3 ∂ξ 3 преобразования где Δˆ - якобиан к переменным Х1, Х2, Х3. Аналогично

переменных dξ1 dξ 2 d 3

от

∂x10 ∂x 20 ∂x30 ∂ξ1 ∂ξ1 ∂ξ1 ∂x ∂x ∂x ∋& 1 ⋅( ∋& 2 × ∋& 3 ) = 10 20 30 = Δ& ∂ξ 2 ∂ξ 2 ∂ξ 2 ∂x10 ∂x 20 ∂x30 ∂ξ 3 ∂ξ 3 ∂ξ 3

где Δ& - якобиан преобразования от переменных dξ1 dξ 2 d 3 к переменным Х10, Х 20, Х 30 . Следовательно уравнение (II), используя свойство якобианов, можно ∂x Δ& представить в виде ρ = ρ 0 = ρ 0 Det i 0 ˆΔ ∂x k

(12)

Преобразуем уравнение (12), обозначив для наглядности компоненты

∂xi ∂ξ i

векторов ∋ˆ i в системе х, у, z через ∋ˆ jx , ∋ˆ jy , ∋ˆ jz .

[

]

∋ˆ 1x ∋ˆ 1 y ∋ˆ 1z

2

∋ˆ 1x ∋ˆ 1 y ∋ˆ 1z

∋ˆ 1 ⋅( ∋ˆ 2 × ∋ˆ 3 ) = Δˆ 2 = ∋ˆ 2 x ∋ˆ 2 y ∋ˆ 2 z

= ∋ˆ 2 x ∋ˆ 2 y ∋ˆ 2 z

∋ˆ 3 x ∋ˆ 3 y ∋ˆ 3 z

∋ˆ 3 x ∋ˆ 3 y ∋ˆ 3 z

2

∋ˆ 1x ∋ˆ 1x ∋ˆ 1x × ∋ˆ 2 y ∋ˆ 2 y ∋ˆ 2 y = Det gˆ ik = gˆ , ∋ˆ 3 z ∋ˆ 3 z ∋ˆ 3 z

т.к. gˆ ik = ∋ˆ i ∋ˆ k . Аналогично [∋&1 ⋅( ∋& 2 × ∋& 3 ] = Вуе п& ik = g& , и следовательно (II) 2

можно представить в виде ρ = ρ 0

g& . (13) g

Уравнения (II) , (12) и (13) – это разные виды уравнения неразрывности в переменных Лагранжа. В общем случае для плотности f любой величины ϕ , сохраняющей свое значение в индивидуальном объеме С.С., выполняется уравнение 5

11

g& = f 0 Δ , (14) g

f = f0

где Δ - детерминант матрицы преоб-

разования от переменных Хi к переменным Хio. Уравнение неразрывности носит весьма универсальный характер и выполняется при движениях любой материальной среды, его вид не зависит от свойств среды. Оно одинаково для всех сред: воды, воздуха, металла и т.д. В уравнение неразрывности в случае сжимаемой среды (3) входят четыре независимые функции: плотность ρ и три компонента скорости; в случае несжимаемой среды (10) в него входят только три неизвестные функции – компоненты скорости. Очевидно, что для решения задачи механики сплошной среды одного уравнения неразрывности недостаточно и следовательно необходим вывод других уравнений, выполняющихся при движении любой сплошной среды. 3. Уравнения движения и равновесия. Основным динамическим уравнением движения материальной точки является второй Закон Ньютона, а широко используемые следствия этого закона являются следующие общие теоремы движения системы материальных точек. а)

d (Q ) = ∑ Fve , где Q = ∑ mvU v dt v v dQ = Fe dt

(15)

И называется уравнением количества движения или уравнением импульсов: dQ = F e dt (151) б)

d ( K 0 ) = ∑ m0 ( F e ) , где K 0 = ∑ (rv mv vv ) ; dt v v e ∑ m0 ( F ) = ∑ (rv mv vv ; v

v

dK 0 = M0 dt

(16)

И называется уравнением моментов количества движения. mv vv2 в) дифференциал кинетической энергии T = ∑ равен сумме 2 элементарных работ dA = ∑ (dAve + dAvi ) всех действующих на систему внешv

них и внутренних сил, т.е. (17). Уравнение (17) называется уравнением механической энергии или теоремой живых сил. dT = dA

6

11

Для любого мысленного выделяемого индивидуального объема V сплошной среды, ограниченного поверхностно S уравнения (15) – (17) остаются в силе, если динамические величины определить следующим образом: Q = ∫ ρ u dv , K 0 = ∫ (r × u )dv , T = ∫ v

v

ρ u2

v

2

dv - Соответственно количество

движения и кинетическая энергия сплошной среды в объеме V; F e = ∫ ϕ e dv + ∫ δ h ds , M 0 ( F e ) = ∫ (r × ϕ )dv + ∫ (r × δ n )ds - соответственно сумма v

s

v

s

внешних объемных и поверхностных (непрерывно распределенных и сосредоточенных) сил и их моментов относительно некоторого неподвижного центра О, действующих на среду в объеме V; ( e ,i ) dA = ∫ ϕ u dtdv + ∫ δ n u dtds − ∫ δ ij ξ ij dtdv - сумма элементарных работ внешних и v

s

v

внутренних объемных и поверхностных сил. В этом случае уравнения (15) и (16) являются основными постулируемыми динамическими соотношениями МСС. Эти уравнения для индивидуального объема сплошной среды не вытекают из подобных уравнений движения системы мат. Точек, а являются самостоятельными, в том числе для разрывных процессов. Они служат для описания любых движений любой С.С. Уравнение (17) одно из наиболее важных следствий уравнений (15) и (16) при не разрывных движениях в пространстве и времени. При непрерывных движениях интегральная теория движения (15) эквивалентна следующим трем дифференциальным уравнениям: в декартовой системе координат 3

∂δ ij

j =1

∂x j

ρα i = ∑

+ ϕ i ,(i =1, 2,3)

в цилиндрической системе координат при осевой симметрии ∂δ rr δ rr − δ 00 ∂δ rz ), + + r ∂r ∂z δ ∂δ ∂δ ρα 0 = ϕ 0 + ( r 0 + r 0 + 0 z ), r ∂r ∂z δ ∂δ ∂δ ρα z = ϕ z + ( rz + rz + zz ), r ∂r ∂z

ρα r = ϕ r + (

(18)

где проекции ускорения α i вычисляют по формуле (6*) кинематики С.С. Эти уравнения, связывающие компоненты υ i вектора скорости υ и тензора напряжений {δ ij }, являются основной системой дифференциальных уравнений движения для любой сплошной среды, представляющих собой уравнение баланса количества движения (или импульса) для бесконечно малого объема среды. 7

11

Если движения частиц происходит без ускорения (α i = 0) или они пренебрежимо малы, то уравнения (18) называются дифференциальными уравнениями равновесия. При непрерывном движении сплошной среды теорема моментов количества движения (16) в дифференциальной форме сводится к выводу о том, что тензор напряжений симметричен, т.е. δ ij = δ ji . Если тензор напряжений симметричен, то уравнение моментов количества движения удовлетворяются тождественно. Интегральная теорема живых сил (17) эквивалентна следующему диф. уравнению: dT = dw = dA ( e ) (19) ρυ 2

Где dT = d фи

2

, dw =

потенциальной

3

∑δ

i , j =1

ij

dε ij - соответственно изменение кинетической

энергии

бесконечно

малого

объема

С.С.,

∂ (δ ijυ i )dt - элементарная работа внешних объемных и поij =1 ∂x 3

dA ( e ) = ϕ ( e )υ dt + ∑

верхностных сил, действующих на бесконечно малый элемент объема среды. Уравнение (19*) является следствием уравнений движения (18) и представляет собой уравнение движения (18) и представляет собой уравнение баланса механической энергии. В общем случае оно не является Законом сохранения энергии но его можно так трактовать тогда, когда механическая энергия тела не переходит в тепловую или другие виды энергии. Общий закон сохранения энергии в этом случае распадается на два: закон сохранения механической энергии и закон сохранения другого вида. 4. Динамические величины. Элементы теории напряжений. Схема действия массовых и поверхностных сил в объеме V

n

V

δ

ϕ dv

Рис. 1. 8

n

ds

11

Для изучения движения сплошной среды, в связи с причинами, которые это движение вызывает, вводится понятие о силах. Силы делятся на внешние и внутренние. Как внешние, так и внутренние силы делятся на массовые (объемные) и поверхностные. Объемная сила действует на массу, заключенную в произвольном элементе объема тела (сила тяжести). Пусть ϕ ( x, t ) - объемная сила, относится к единице объема. Тогда сила действующая на бесконечно малый объем dV , равна ϕ dV , а на объем V – равна ∫ ϕdV (см. рис. 1) v

Поверхностная сила действует на элементы, которые можно мысленно выделить внутри тела или на его поверхности. Сила, действующая на бесконечно малые поверхности ds, равна δds , где δ - вектор силы, рассчитанный на единицу площади элемента и приложенной в любой его точке, называется вектором напряжения или просто напряжением (см. рис.). Напряжение δ зависит от положения элемента ds, то есть от ориентировки его в теле. Если требуется указать, что напряжение δ относится к площадке С нормалью n, то пишут δт . Проекции этого вектора на оси произвольной системы координат Ох1, х2, х3 обозначаются через δ ij (j=1, 2, 3). Проекции напряжений δ xi , отнесенные к площадкам перпендикулярным осям Охi, обозначаются через δ ij (i, j =1, 2, 3), где δ ii называются нормальными напряжениями, δzz

δn

i zy

Z

1

izx

izy

δyy ixz ixy

iyx

n1

δxx

М y

x

Рис. 3.

рис 2

δn

2

n2

М

действующими на этих площадках (см. рис. 2) векторы напряжений в точке М, действующие в 2х произвольно ориентированных площадках. 9

11

Запишем следующие очень важные соотношения, которые позволяют найти компоненты вектора напряжения для произвольной площадки с нормалью n , проходящей через точку М; α i = Cos(n, xi )(i = 1,2,3) . 3

δ nj = ∑ δ ijα i ( j = 1,2,3) ,

(19)

i =1

Совокупность шести величин δ ij , называемых компонентами симметричного Тензора напряжений, полностью характеризует напряженное состояние в точке Тела М. Рассмотрим рис. 3 – даны две площадки, проходящие через одну и ту же точку М. используя ф. (19) можно доказать, что проекции напряжения δ n , действующего на первую площадку, на нормаль n2 , ко второй равна проекции напряжения δ n , действующего на вторую площадку, на нормаль 1

2

n1 , к первой и вычисляется по формуле δ n1 n 2 = δ n2 n1 =

3

∑δ

i , j =1

ij

α 1iα 2 j ,

(20)

Где α 1i и α 2 j - направляющие косинусы нормалей n1 и n2 . Эта формула позволяет вычислить проекцию на любое напряжение вектора напряжения, действующего на данную площадку. В частности , проектируя вектор δ n на направление нормали получаем нормальное напряжение (см. рис. 4) Z

dQ dt

n

= F

e

(21)

касательное напряжение на этой же площадке равно τ n = δ n2 − Pn2 , (22)

Pn

δn y

τn рис. 4 нормальная и касательная проекции напряжения δ n X

следуют формуды перехода от одной системы O x1 x2 x3 координат к 3

другой O x1′ x′2 x3′ : δ kr1 = ∑ δ ijα kiα rj , (23) i , j =1

10

где τ n - величина вектора напрежения на τ n . Из ф. (20) где δ kr′ - компоненты тензора напрежений относительно новой системы координат; α ki = Cos ( xk′, xi ),α rj = Cos( xr′, x j ) . Зависимость между нпрежениями в декартовой (Ox1x2 x3 ) и цилиндрической (r , o, z ) системах координат с общей осью O x = O z имеет 3

δ rr = δ 11Cos 2 O + δ 22 Sin 2 O + δ 12 Sin 2O; δ oo = δ 11 Sin 2 O + δ 22 Cos 2 O + δ 12 Sin 2O; 1 2

δ ro = (δ 11 − δ 22 ) Sin2O + δ 12 Cos 2O;

вид:

(24)

δ rz = δ 13 CosO + δ 23 SinO; δ oz = −δ 13 SinO + δ 23 CosO; δ zz = δ 33

где δ rr - радиальное напряжение, действующее на площадке, перпендикулярной к радиусу; δ oo - тангенциальное (окружное) напряжение, действующее на площадке, нормаль к которой перпендикулярна к ее радиусу. Принимая во внимание чувственные соотношения аналитической геометрии

3

∑α k =1

ki

⎧1, приi = j , из формул (23) после суммирования ⎩0, приi ≠ j

α kj = δ ij ⎨

левой и правой частей по k (при r=k) получается важное соотношение 3

3

k =1

i =1

∑ δ kk = ∑ δ ii = 3δ

(25)

оно показывает, что величина δ , называется средним нормальным напряжением, инварианта по отношению к преобразованию системы координат. Характерной особенностью напряженного состояния С.С. является наличие в каждой точке тела, по крайней мере, трех взаимно перпендикулярных касательные напряжения δ ij (i ≠ j ) равны нулю. Напряжения нормалей к этим площадкам образуют главные направления, которые не зависят от исходной системы координат. Соответствующие напряжения δ ii = δ i называются главными нормальными напряжениями. По этому любое напряженное состояние в рассматриваемой точке может быть вызвано расстоянием (сжатием) окрестности точки в трех взаимно перпендикулярных направлениях. 11