Теория нечетких супервизорных систем управления

А. А. Усков, Е. В. Киселев

ТЕОРИЯ НЕЧЕТКИХ СУПЕРВИЗОРНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ МОНОГРАФИЯ

Смоленск 2013

УДК 519.254 ББК 30.17 У 75 Рецензенты: доктор технических наук, профессор Курилин С. П. (Российского университета кооперации) доктор технических наук Михаль О. Ф. (Харьковский национальный университет радиоэлектроники) У 75

Усков А. А., Киселев Е. В. Теория нечетких супервизорных систем управления: Монография. – Смоленск: Смоленский филиал АНО ВПО ЦС РФ "Российский университет кооперации", 2013. – 161 с.: ил.

ISBN 978-5-91805-023-1 В монографии рассматриваются разработанные методы анализа и синтеза нечетких супервизорных систем управления, а также их практическое применение. Для специалистов в области теории управления и математического моделирования. Монография издается в авторской редакции.

"Российский университет кооперации" Смоленский филиал, 2013 Усков А. А., 2013 Киселев Е. В., 2013

2

ВВЕДЕНИЕ Нечеткое управление (Fuzzy Control, Fuzzy-управление) в настоящее время является перспективной технологий управления, которая позволяет создавать высококачественные системы управления в условиях неопределенности математического описания объекта управления [1-10]. Под нечеткими системами автоматического управления (САУ) в настоящей работе понимаются системы управления, содержащие в своей структуре блоки нечеткого логического вывода (БНЛВ). Указанные блоки представляют собой статические нелинейные звенья, функции которых определяются базами знаний, состоящими из нечетких продукционных правил, и используемыми алгоритмами нечеткого логического вывода. Основным признаком классификации нечетких систем управления является место нахождения в них блоков нечеткого логического вывода: либо БНЛВ сами формируют управляющие сигналы, либо сигналы с БНЛВ управляют параметрами традиционных регуляторов. К последнему случаю, в частности, относятся системы управления на основе ПИД-регуляторов, в которых с помощью нечетких продукционных правил задаются значения параметров регуляторов, в зависимости от процессов, протекающих в САУ. Указанные нечеткие системы управления, обычно, называются нечеткими супервизорными САУ (НС САУ). Анализ литературных источников показывает, с одной стороны, что на базе НС САУ можно создавать высококачественные системы управления для сложных объектов самой различной природы, а с другой стороны, что для них практически не разработанными остаются вопросы анализа и синтеза. В частности, нет ни формул, определяющих статические характеристики систем, ни критериев устойчивости в малом и в целом, а имеющиеся методики синтеза их баз знаний часто мало эффективны. В связи с вышесказанным, актуальной научной задачей, имеющей как чисто теоретическое, так и прикладное значение, является исследование нечетких супервизорных систем автоматического управления. Основные научные результаты, полученные в работе, заключаются в следующем. 1. Получена математическая модель НС САУ в виде нелинейных векторно-матричных разностных уравнений, а также математические соотношения, определяющие установившуюся ошибку управления НС САУ в зависимости от параметров системы, внешних задающих и возмущающих воздействий. 2. Впервые показана и доказана возможность применения частотного критерия абсолютной устойчивости для анализа устойчивости в целом рассматриваемого класса нечетких 3

супервизорных САУ, что позволяет аналитическим путем проводить анализ и синтез рассматриваемых систем. 3. Получены условия, при выполнении которых устойчивость в малом нечеткой супервизорной САУ может быть определена по ее непрерывной усредненной модели. Впервые показана возможность применения частотного критерия абсолютной устойчивости для анализа устойчивости в целом непрерывных нечетких супервизорных САУ. 4. Разработаны рекомендации по синтезу НС САУ, позволяющие получать системы, оптимальные по выбранным параметрам переходного процесса при обеспечении заданных статических характеристик. 5. Путем проведения специально организованных имитационных экспериментов установлено, что введение нечеткого супервизора в САУ с ПИД-регулятором позволяет значительно улучшить показатели качества управления (в частности, интегральная квадратичная ошибка может быть уменьшена в среднем более чем на 14%). Практическая ценность работы заключается в разработке методов анализа и синтеза НС САУ, а также алгоритмического и программного обеспечения на их основе, в спроектированных с применением разработанных теоретических положений и используемых в промышленных условиях нечетких супервизорных системах автоматического управления лабораторными термостатами. Монография состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. В первой главе рассмотрены принципы построения нечетких систем управления. Проведен обзор научных работ, посвященных нечетким супервизорным САУ. Выделены основные направления анализа и синтеза НС САУ. Конкретизированы задачи исследования. Вторая глава посвящена рассмотрению аналитических методов исследования НС САУ. В третьей главе рассмотрены рекомендации по синтезу НС САУ. Описан программный пакет анализа и синтеза НС САУ. Приведены результаты численного исследования рассматриваемых систем. В четвертой главе рассмотрено применение полученных теоретических результатов при создании САУ лабораторным термостатом. В заключении сделаны общие выводы по работе. В приложениях приведены некоторые теоретические положения, не вошедшие в основной текст.

4

1. СОСТОЯНИЕ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ В ОБЛАСТИ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА НЕЧЕТКИХ СУПЕРВИЗОРНЫХ САУ 1.1. Системы управления с нечеткой логикой Как было отмечено во введении, под нечеткими системами автоматического управления (САУ) ниже понимаются системы управления, содержащие в своей структуре блоки нечеткого логического вывода (БНЛВ). Указанные блоки представляют собой статические нелинейные звенья, операторы которых определяются базой знаний, состоящей из нечетких продукционных правил, и используемым алгоритмом нечеткого логического вывода. Общая структура БНЛВ, обычно, содержит в своем составе блок фаззификации, базу знаний, механизм, реализующий алгоритм нечеткого вывода, и блок дефаззификации (см. рис. 1.1). Блок фаззификации преобразует четкие входные величины в нечеткие величины, описываемые лингвистическими переменными в базе знаний. Механизм, реализующий алгоритм нечеткого вывода, использует нечеткие продукционные правила, заложенные в базе знаний, для преобразования нечетких входных данных в требуемые управляющие воздействия также нечеткого характера. Блок дефаззификации преобразует нечеткие данные с выхода механизма в четкую величину, которая используется для управления объектом.

Рис. 1.1. Структура блока нечеткого логического вывода Среди причин распространения Fuzzy-управления обычно выделяют следующие [1-10]: 1) возможность синтеза систем управления в условиях неопределенности, когда об объекте управления и необходимом управлении имеется информация лишь качественного характера; 5

2) особые свойства систем управления с нечеткой логикой, в частности, малая чувствительность к изменению параметров объекта управления; 3) синтез систем управления сложными объектами с применением методов нечеткой логики зачастую менее трудоемок, чем традиционных систем управления; 4) лингвистическая форма задания информации достаточно проста в интерпретации; 5) нечеткой системой может быть аппроксимирована произвольная гладкая функция. Как и у любых систем управления, у систем с нечеткой логикой существуют области, в которых их применение является наиболее предпочтительным. В качестве таких областей обычно выделяют следующие [1-10]: 1) системы регулирования, для которых модель объекта управления определена лишь качественно; 2) надстройка над традиционными системами регулирования (например, над ПИД-регуляторами) для придания им адаптивных свойств; 3) воспроизведение действий человека-оператора; 4) системы организационного управления верхнего уровня. Общей предпосылкой для применения нечетких систем управления является, с одной стороны, наличие неопределенности, связанной как с отсутствием информации об управляемом объекте, так и сложностью управляемой системы и невозможностью или нецелесообразностью ее описания традиционными методами, и с другой стороны, наличие информации качественного характера об объекте, необходимых управляющих воздействиях, возмущениях и т. п. Одним из распространенных алгоритмов нечеткого вывода является алгоритм Ванга-Менделя. В связи с тем, что он будет использоваться далее в работе, изложим суть данного алгоритма [2, 12]. Допустим, база знаний описывается продукционными правилами вида: если x1 есть Ai 1 и если x2 есть Ai 2 и … если xn есть Ai n , то где i

wi ,

1, 2,  , m – номер правила, m – количество правил, при этом нечеткие множества Ai j имеют функции принадлежности гауссового типа:

6

cij ) 2

(x j

exp ij ( x j )

2

2

.

(1.1)

0i

Для определения результирующих функций принадлежности предпосылок продукционных правил используется операция ―произведение‖:



n

i ( x)

ij ( x j )

,

(1.2)

j 1

а для определения выходного сигнала нечеткой системы применяется ―центроидный‖ метод:



m

i (x)

wi

i 1 m

 i (x)

.

(1.3)

i 1

На рис. 1.2 приведена структура системы Ванга-Менделя. Рассмотрим некоторые наиболее построения САУ на основе нечеткой логики.

известные

варианты

7

Рис. 1.2. Структура системы нечеткого логического вывода ВангаМенделя

8

1. Последовательная схема нечеткого управления. Простейшая последовательная схема нечеткого управления показана на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Последовательная схема нечеткого управления На рис. 1.3 приняты следующие обозначения: НР – нечеткий регулятор, ОУ – объект управления, хвх – входной задающий сигнал системы (уставка), у – выходной сигнал системы, u – сигнал управления. В данном случае используется разомкнутая схема управления без отрицательной обратной связи. Достоинствами такой схемы являются простота и отсутствие проблем с устойчивостью. К недостаткам можно отнести следующее: при наличии неконтролируемых возмущений, а также нестационарности объекта управления данная схема не гарантирует, что выходной сигнал ОУ будет соответствовать опорному сигналу; эта схема не способна управлять неустойчивым объектом. 2. Система нечеткого управления с отрицательной обратной связью (см. рис. 1.4).

Рис. 1.4. Система нечеткого управления с отрицательной обратной связью Достоинством такой схемы является способность обеспечивать высокое качество управления при наличии неконтролируемых возмущений, а также нестационарности и неустойчивости ОУ. Недостатком схемы является сложность синтеза нечеткого регулятора.

9

3. Система управления с fuzzy-моделью ОУ [13-15]. Группа примеров успешного fuzzy-управления может быть представлена обобщенной структурой с fuzzy-моделью объекта (см. рис. 1.5). Основное управляющее устройство (УУ) настраивается по нечеткой модели ОУ.

Рис. 1.5. Система управления с fuzzy-моделью ОУ 4. Система управления с нечетким супервизором (см. рис. 1.6).

Рис. 1.6. Система управления с нечетким супервизором На рис. 1.6 приняты следующие обозначения: УУ – устройство управления, Fuzzy – система нечеткого вывода. В данном случае, с помощью системы нечеткого вывода изменяют или оптимизируют параметры основного управляющего устройства УУ (например, ПИД-регулятора) при изменяющихся параметрах ОУ. При этом часто используют стратегию адаптации, выработанную человеком-оператором. Как указывается в ряде 10

публикаций [13], достоинствами схемы являются значительно лучшие показатели качества управления по сравнению с ранее рассмотренными нечеткими САУ. 1.2. Обзор научных супервизорным САУ

работ,

посвященных

нечетким

Число публикаций, посвященных нечеткой логике и системам нечеткого управления, огромно (только число монографий составляет тысячи) и продолжает увеличиваться. Число же публикаций, посвященных системам управления с нечетким супервизором, напротив относительно невелико. Рассмотрим некоторые из них. В работах [3-7] дается следующее определение понятия нечеткого регулятора (контроллера): под нечетким регулятором (контроллером) понимается иерархическая двухуровневая система управления, ―интеллектуальная в малом‖, на нижнем (исполнительном) уровне которой находится традиционный ПИД-регулятор, а на верхнем (координационном) уровне используется база знаний (с блоком нечеткого вывода в виде продукционных правил с нечеткой импликацией) и устройства перевода в лингвистические и в четкие значения (фаззификатор и дефаззификатор соответственно) (см. рис. 1.7).

Рис. 1.7. Структурная схема нечеткого регулятора, согласно работам [3-7] Ключевая задача при построении нечеткой супервизорной САУ – создание базы нечетких продукционных правил. Для еѐ решения часто используются следующие способы: интервьюирование опытного оператора, либо фиксирование решений, принимаемых оператором в различных ситуациях. Авторами работ [16, 17] используется другой способ построения базы знаний нечеткого логического контроллера – на основе оптимальной траектории переходного процесса. Рассмотрим подробнее этот метод. 11

Рассмотрим структурную схему системы регулирования с ПИДрегулятором, показанную на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Структурная схема системы регулирования с ПИДрегулятором, используемая в работах [16, 17] Здесь Wo ( p) и W p ( p ) – передаточные функции объекта и регулятора соответственно. Для линейного объекта n-го порядка и ПИД-регулятора с передаточной функцией

W p ( p)

K1

K2 p

K3 p

(1.4)

уравнение системы имеет вид

an y n

an 1 y n

1

 a1 y

a0 y

K1 xвх

y

K 2 xвх

y dt

K3 xвх (1.5)

Введем переменную t

x1

xвх

y dt

(1.6)

t0

и запишем уравнения движения в векторной форме

 dx dt

  A x b xвх

(1.7)

  Здесь x , b – векторы размерности n 1 ; A – матрица; xвх – скаляр.  Для матрицы A и элементов вектора b имеем следующие соотношения:

12

y

0

1

0

0



0

0

0

0

1

0



0

0

0 K2 an

0

0

0 a2 an



1 an 2 an

0 an 1 an

A

b1

,

1, b2

a0

K1

a1

an b3

 bn

K3 an

K3 , bn an

0, bn

1



1

(1.8)

a n 1 K 3 a n K1 . an2

Предполагается, что параметры ПИД-регулятора в процессе управления можно изменять в некоторых интервалах

Пусть при xвх

K imin

Ki

K imax , i 13 .

xвх t

и некоторых допустимых значениях

(1.9)

параметров Ki система может быть переведена из состояния x t0 в заданное состояние x t1

x0

x1 . Ставится задача перевода системы

(1.8) из состояния x0 в состояние x1 за минимальное время t1 t0 путем динамического изменения параметров Ki при выполнении условий (1.9). В соответствии с принципом максимума вводим сопряженную систему [18]

d dt

A

(1.10)

и определяем параметры Ki из условия максимума функции

H

  Ax b xвх ,

 , x , K1 , K 2 , K 3

(1.11) по Ki при условиях (1.9). Оставляя в (1.11) только члены, содержащие искомые параметры Ki, приходим к задаче максимизации по Ki функции  1 H1 , x , K1 , K 2 , K 3 bn n xвх K 2 x1 K1 x2 K 3 x3 n 1 bn 1 n 1 xвх . an (1.12) Введем параметры

Ki0

Kimax

Kimin 2

,

Ki

Kimax

K imin 2

,

i 1 3 .

(1.13)

Учитывая положительность коэффициента an, из (1.8), (1.9) и (1.12) получаем оптимальные значения коэффициентов Ki:

13

K1opt

K10

K1 sign x2

K 2opt

K 20

K 2 sign x1

K 3opt

K 30

K 3 sign x3

xвх n 1

n 1

n 1

,

,

(1.14)

an 1 an

n 1

n

xвх .

Соотношения (1.14), (1.7), (1.8) и (1.10) образуют замкнутую систему уравнений, описывающую оптимальный переходный процесс 0

t0 при соответствующем выборе – начальных условий для сопряженной системы (1.10). Выбор этих условий производится исходя из требования прохождения управляемой системы (1.10) через точку x t1

x1 в некоторый момент t = t1. Сопряженная система в

соответствии с (1.14) определяет только моменты смены знаков управляющих параметров. В свою очередь эти моменты зависят от x0 ,

xвх , x1 . Однако для режима перевода управляемой системы из одной точки статического равновесия x0 в другую точку статического равновесия xвх при ступенчатом изменении x1 моменты переключений управляющих параметров остаются фиксированными для данной системы и могут быть рассчитаны заранее. На рис. 1.9 показаны результаты моделирования описанного выше способа управления для объекта третьего порядка, состоящего из трех апериодических звеньев ( T1 0.1 c, T2 0.2 c, T3 0.7 c). В работах [16, 17] отмечается, что предложенный метод коррекции переходного процесса дает хорошие результаты, но его реализация с помощью задания оптимальной программы переключений чрезвычайно чувствительна даже к малым изменениям параметров объекта и действию возмущений.

14

Рис. 1.9. График переходного процесса для САУ с объектом 3-го порядка Преодоление указанных недостатков можно искать на пути определения Ki в зависимости от фазовых координат системы с использованием методов нечеткого управления. Основная функция, возлагаемая на нечеткий контроллер, – формирование корректирующих поправок к коэффициентам K1, K2 и K3 ПИД-регулятора в зависимости от текущих координат системы. В этом случае ПИД-регулятор с корректирующим нечетким контроллером представляет собой нелинейную систему. Далее в работе [16] приводится функциональная схема системы управления с использованием динамически корректируемого ПИДрегулятора, приведенная на рис. 1.10.

15

Рис. 1.10. Функциональная схема системы управления с использованием динамически корректируемого ПИД-регулятора Каждый нечеткий контроллер, вырабатывающий поправки к соответствующим коэффициентам регулятора в реальном масштабе времени, реализует закон управления, расчет которых был показан выше. На рис. 1.11. приведены законы изменения поправок для P-, I- и D-термов ПИД-регулятора, а на рис. 1.12 – значения ошибки e и ее производных

de d 2e d 3e 0.1 , 2 0.01 , 3 0.001 как функции времени. dt dt dt

Нечеткий контроллер реализует соответствующие законы управления как функции фазовых координат системы.

16

Рис. 1.11. Законы изменения поправок для P-, I- и D-термов ПИД-регулятора

Рис. 1.12. Значения ошибки e и ее производных

de 0 .1 , dt

d 2e d 3e , 0 . 01 0.001 как функции времени dt 2 dt 3 17

В качестве примера реализации нечеткого контроллера на рис. 1.13 представлены лингвистические термы и связанные с ними нечеткие множества для переменных "ошибка" и ее первой, второй и третьей производных, а также "выход", соответственно.

Рис. 1.13 Нечеткие множества для переменных "ошибка" и ее первой, второй и третьей производных, а также "выход" В таблице 1.1 приведена база правил нечеткого контроллера, реализующего коррекцию D – терма. Для рис. 1.13 и таблицы 1.1 использованы следующие обозначения термов: NVB - отрицательное очень большое, NB - отрицательное большое, NM - отрицательное 18

среднее, NS - отрицательное малое, ZE - нуль, PS - положительное малое, PM - положительное среднее, PB - положительное большое, PVB - положительное очень большое, P - положительное, N - отрицательное. Таблица 1.1 e NVB NB NM NS ZE PS PM PB PVB



e

NB

P

P

P

Z

Z

Z

Z

P

N

NS

P

P

Z

Z

Z

Z

Z

P

P

ZE

P

P

Z

Z

Z

Z

Z

P

P

PS

P

P

Z

Z

Z

Z

Z

P

P

PB

N

P

Z

Z

Z

Z

P

P

P

Результаты моделирования отклика на единичный скачок для системы с традиционным ПИД-регулятором (А), систем с коррекцией параметров (В) и нечеткой коррекцией (С) приведены на рис. 1.14. Исходные (опорные) значения параметров Ki ПИД-регулятора рассчитывались методом Циглера-Николса [92].

Рис. 1.14. Графики переходных процессов для систем с традиционным ПИД-регулятором (А), с ПИД-регулятором с коррекцией параметров (В) и с ПИД-регулятором с нечеткой коррекцией параметров (С) 19

Недостатком описанного метода синтеза НС САУ на основе оптимальной траектории переходного процесса является следующее: расчет оптимальной траектории в общем случае достаточно сложен (особенно в случае неопределенности в математическом описании объекта управления), в процессе синтеза никак не используются экспертные знания. В работах [19-21] рассматривается проектирование робастной базы знаний (БЗ) для нечеткого супервизорного контроллера (НК) на основе термодинамического подхода, нечетких нейронных сетей (ННС) и генетических алгоритмов. Кратко рассмотрим основные физические принципы, позволяющие устанавливать взаимосвязь между качественными характеристиками динамического поведения ОУ – устойчивостью, управляемостью и робастностью управления на основе термодинамического подхода [19]. Рассмотрим динамическую систему объекта управления, описываемую уравнением

dq dt

q, t , u ,

(1.15)

где q – вектор обобщенных координат, описывающий динамическое поведение ОУ; u – управляющая сила; t – время. Необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости динамической системы (1.15), определены ограничениями на функцию Ляпунова: 1) строго положительная функция от обобщенных координат системы, V 0 ; 2) полная производная во времени от функции Ляпунова должна быть меньше или равна нулю

dV dt

0.

Согласно указанным требованиям к функции Ляпунова, в качестве функции Ляпунова выбирается следующая функция:

V где S

Sp

1 n 2 qi 2i 1

1 2 S , 2

Sc – производство энтропии в открытой системе; S p –

энтропия ОУ, S c – энтропия ПИД-контроллера. Из уравнения (1.16) видно, что первое условие выполнено автоматически. Требуется выполнение второго условия

dV dt

0.

Полная производная во времени от функции Ляпунова, описанной выше, имеет вид:

20

1 n 2 q i qi 2i 1

dV dt

n

1 2S S 2

q i qi

S S

i 1

(1.16)

n

qi

q, t , u

Sp

Sc

S p Sc

i 1

откуда:

dV dt 

n

qi q, t , u i 1  

устойчивость управляемость

S p Sc S p S c 0. 

робастность

(1.17) На рис. 1.15 показана взаимосвязь между функцией Ляпунова и производством энтропии.

Рис. 1.15. Взаимосвязь производством энтропии

между

функцией

Ляпунова

и

Уравнение (1.17) описывает физический закон качества управления и объединяет различные меры качества управления типа устойчивость, управляемость и робастность, что может использоваться при проектировании нечеткой САУ [19]. На рис. 1.16 показан процесс проектирования нечеткой базы знаний, согласно [19-22].

21

Рис. 1.16. Структура САУ с дополнительной обратной связью В работе [23] описывается метод адаптации САУ, который авторы назвали ―пошаговое нечеткое экспертное ПИД-управление‖. Система состоит из стандартного дискретного ПИД-контроллера, у которого коэффициенты пропорциональной, интегральной и дифференциальной составляющих, обозначаемые K p , K I и K D соответственно, изменяются нечетким супервизором в каждый дискретный момент времени. Метод был разработан, чтобы улучшить переходную характеристику системы по сравнению с промышленным ПИД-регулятором. Параметры контроллера в каждый дискретный момент времени определяются формулами:

K'p k

Kp

k1 CV e k , e k ,

K 'I k

KI

k2 CV e k , e k ,

K 'D k

KD

k3 CV e k , e k ,

где CV e k , e k – значения из таблицы поиска, e k , e k – индексы таблицы поиска. Масштабирующие параметры k1 , k2 , k3 используются для настройки

K p , K I , KD соответственно. При этом подразумевается, что параметры k1 , k2 , k3 имеют один и тот же знак. Таблица поиска содержит ―знания‖, используемые для адаптации промышленного ПИД-регулятора, и представляет собой нелинейную функцию от e и e . Данная функция контроллера может быть получена с помощью 22

алгоритма Сугэно (Sugeno), где следствия правил являются ―локальными‖ ПИД-контроллерами. В статье [23] приведен также способ улучшения описанного выше метода. Для этого в определенной ситуации пропорциональную составляющую увеличивают, а интегральную – уменьшают. Нечеткие САУ, описанные в работах [24, 25], также основаны на нечетком супервизоре и ПИД-контроллере. В рассматриваемой схеме нечеткий контроллер имеет базу правил, следствия которой изменяют параметры ПИД-регулятора. Нечеткий супервизор имеет три ―выхода‖ K p , K I и K D , в результате чего получаем различные значения параметров ПИД-контроллера в каждый момент времени:

K 'p k

Kp

Kp k ,

K 'I k

KI

KI k ,

K 'D k

KD

KD k .

Входами нечеткого супервизора являются ошибка e k

и ее

первая производная e k . Схема САУ приведена на рис. 1.17. В дополнение к основной схеме, состоящей из ПИДконтроллера и нечеткого супервизора, в схему добавлен модуль автонастройки, оптимизирующий нечеткий супервизор. В модуле автонастройки применяются правила, которые классифицируют поведение системы (к примеру, реакцию системы на единичный скачок), оптимизирующее нечеткий супервизор. Эта классификация выражена в виде критерия качества, который оптимизируется.

23

Рис. 1.17. Схема САУ с нечетким супервизорным ПИДрегулятором, описанным в работах [24, 25] Для оптимизации используется моделирование. Процесс адаптации нечеткого супервизора значительно длиннее, чем процесс адаптации ПИД-регулятора. При рассмотрении функциональных возможностей схемы без модуля автонастройки аналогичную функцию контроллера можно получить с помощью нечеткого алгоритма Сугэно, где следствия правил представляют собой ―локальные‖ ПИДконтроллеры. Другой пример нечеткого супервизорного управления представляет собой схема, приведенная в работе [26] и названная авторами как ―экспертная супервизорная система управления с каскадным ПИД-управлением‖. Предлагаемая схема САУ показана на рис. 1.18.

Рис. 1.18. Схема экспертной супервизорной системы управления с каскадным ПИД-управлением 24

Супервизорный модуль представляет собой небольшую экспертную систему с нечеткими правилами. База правил применяется как для настройки основного (master) ПИД-контроллера, так и вспомогательного (slave) ПИД-контроллера, а также для настройки взаимосвязи основного и вспомогательного циклов управления. В работе [27] рассматривается система управления с нелинейным адаптивным контроллером и супервизором. Структурная схема системы представлена на рис. 1.19. Для описания нелинейного динамического процесса используется алгоритм нечеткого вывода Takagi-Sugeno [28]. Выходной сигнал нечеткой системы вычисляется как интерполяция линейных моделей. С одной стороны это позволяет осуществить лингвистическую интерпретацию нечетких правил, с другой стороны к линейным моделям может быть применена классическая теория линейных систем управления.

Рис. 1.19. Система нечеткого управления с нелинейным адаптивным контроллером и супервизором Нелинейный динамический процесс описывается М нечеткими правилами вида: R j : если z1 есть A j , 1 и  и z nz есть A j , nz , то y k где j

j, 0

j,1

x j,1 

j , nx

x j , nx ,

1 M – количество нечетких правил,

A j , lz – нечеткие множества,   zlz и xlx – элементы вектора k , l z 1nz, l x 1nx, k – вектор, описывающий нелинейный динамический процесс типа один вход – один выход с измеряемой помехой. 25

Вектор

сформирован из значений входного, выходного

k

ni

сигналов на предыдущих шагах и значений вектора ошибок (i

k

1 m ): u k d 1  u k d nu

n1 k d1 1  n1 k d1 nn1

 nm k d m

nm k d m 1

nnm

 y k ny

yk

T

,

где d и d i – задержки входного сигнала и помех соответственно,

nu, nni , ny – порядки входного сигнала, помех и выходного сигнала соответственно. Выходной сигнал нечеткой системы определяется выражением M

yk

j, 0

j,1

x j,1 

j , nx

x j , nx Ф j z, c j ,

j

,

j 1

где Ф j z , c j ,

– функции гауссового типа с центрами c j и

j

среднеквадратическими отклонениями

j

.

В рассматриваемой модели применяется адаптация в реальном времени (on-line адаптация). В течение времени адаптации предпосылки правил не меняются, изменяются только следствия правил. Преимущество этого метода адаптации в том, что могут применяться линейные рекурсивные методы оптимизации. Авторами статьи используется рекурсивный метод наименьших квадратов. Для j-го правила новое значение параметра j для к-го момента времени вычисляется следующим образом [29]: j

k j

j

k 1

k

j

k 1 ,

Pj k 1 x k

k

Pj k

xT k

yk

xT k P j k 1 x k

1

I

j

k xT k

Ф j z, c j ,

, j

Pj k 1 .

Непосредственно в качестве регулятора авторами применяется адаптивный нелинейный прогнозирующий контроллер. Сигнал управления определяется формулой: uk uk 1 uk . Для текущего момента времени ―k‖ последовательность будущих Nu приращений может быть получена путем минимизации квадратичной функции: 26



2

N2

J

yk j N1

j

rk

Nu 1

j

uk

2

j ,

j 0

где N1 и N 2 – минимальные и максимальные границы прогноза соответственно, – показатель, характеризующий будущие изменения сигнала управления u. Первая сумма в (1.24) представляет собой ошибку регулирования, вычисляемая как разница между предсказанным значением выхода процесса y k

j и значением входного сигнала в этот же момент

времени. Для вычисления предсказываемых значений y k j используется нечеткая модель процесса. Подробно алгоритмы адаптации рассматриваемой модели САУ проанализированы в работах [30, 31]. Эффективность и применимость предлагаемого подхода продемонстрирована авторами на примере управления температурой в промышленном теплообменнике. Следует заметить, что, несмотря на хорошие полученные результаты, нечеткие супервизорные САУ с адаптацией супервизора в режиме on-line требуют значительного времени адаптации и широкого распространения не получили. 1.3. Подходы к анализу и синтезу нечетких супервизорных САУ В настоящем параграфе рассматриваются существующие методы анализа и синтеза нечетких САУ и их применение для НС САУ. Основным вопросом при проектировании нечетких супервизорных САУ является формирование базы знаний в виде нечетких продукционных правил. Основным методом здесь является заимствование знаний специалистов по управлению рассматриваемым объектом (в частности, обычно, путем экспертного опроса) [3-10, 32-37]. К разновидностям данного метода можно отнести автоматическую генерацию нечетких продукционных правил в процессе слежения за действиями человекаоператора [3-7, 37]. Некоторым формализующим подспорьем в данном процессе могут служить исследования зависимости нелинейных операторов, реализуемых нечеткими системами, от параметров баз знаний, числа 27

термов нечетких лингвистических переменных, вида функций принадлежности, алгоритма нечеткого вывода и т. п. [9, 38-40]. Часто проще в начале получить нечеткую (лингвистическую) модель объекта управления, а затем уже по ней формировать нечеткую модель управления. В этой связи следует отметить следующие работы. В статье [41] описан синтез нечеткой системы управления по модели объекта управления первого порядка, однако обобщить данный метод на объекты произвольного порядка достаточно сложно. В работе [1] рассматривается лингвистический синтез регулятора по заданным лингвистическим моделям объекта и замкнутой системы. Синтез производится исходя из предположения, что сигналы в системе суть лингвистические переменные, принимающие значения на конечном множестве нечетких переменных. В работе [42] на основе лингвистического описания объекта управления синтезируется лингвистическое описание контроллера обратной связи, таким образом, чтобы выполнялось достаточное условие устойчивости системы согласно второму методу Ляпунова с функцией в виде квадратичной формы. При таком подходе из поля зрения выпадает влияние функций принадлежности отдельных термов, алгоритма нечеткого вывода, вид приведения к четкости, поэтому при применении данной методики к системе с четкими сигналами результат будет мало предсказуем. Другим подходом к синтезу нечеткой системы управления, используя нечеткую модель объекта, является применение методов обратной динамики [9, 43]. В данном методе нечеткая система строится так, чтобы наилучшим образом соответствовать обратному оператору объекта. В работах [9, 43] также рассмотрен синтез нечеткой модели объекта управления на основе вероятностных методов. Как отмечают авторы, совместное применение принципа обратной динамики и вероятностных моделей позволят полностью исключить из синтеза нечетких систем управления субъективную составляющую, т. е. полностью формализовать процедуру синтеза. В рассматриваемых работах приводятся примеры синтеза нечетких регуляторов и их сравнение с традиционными, показывающие эффективность предложенных методов. В тоже время, данный метод имеет и существенные недостатки: обратный оператор объекта в общем случае может быть реализован только приближенно, не гарантируются качества полученной нечеткой системы, особенно это проявляется при нестабильности параметров объекта. Следующим направлением в синтезе является разработка нечетких аналогов методов традиционной теории управления. Так были получены аналоги интеграла свертки, передаточной функции, принципа инвариантности, второго метода Ляпунова и др. Обзор работ по данному направлению приводится в [44]. Следует отметить, что указанные аналоги получены при условии действия в системе нечетких сигналов (отсутствии блоков деффазификации), данное 28

обстоятельство значительно ограничивает применение данных методов. В целом ряде работ рассматривается синтез нелинейного оптимального закона управления с помощью теории оптимальных систем управления с последующей аппроксимацией полученных операторов нечеткой системой. Приведем несколько примеров. В работе [1] рассматривается аппроксимация характеристик нечетких систем обычными нелинейными функциями и получение для них инвариантной системы, как это делается в традиционной теории управления. В работах [45-48] оптимальный закон управления синтезируется на основе теории аналитического конструирования регуляторов (АКОР) и затем аппроксимируется нечеткой системой. В работах [16, 17, 49] рассматривается система, в которой производится автоматическая динамическая коррекция параметров ПИД-регулятора сигналами, подаваемыми с систем нечеткого логического вывода, аппроксимирующих нелинейные операторы, полученные используя принцип максимума. К недостаткам данного подхода относится следующее: найти оптимальное управление удается только в простейшем случае, необходимо знать точную модель объекта управления, открытым остается вопрос о том каким образом аппроксимировать полученный оптимальный закон нечеткой системой, отсутствие каких либо гарантий качества синтезированной системы управления при изменении параметров объекта, подход применим только для относительно простых объектов управления. Блоки нечеткого логического вывода представляют собой нелинейные звенья системы управления, поэтому логично применить к такой системе методы известные из традиционной нелинейной теории автоматического управления, и на основе результатов анализа выбрать наилучшую структуру и параметры системы. При этом получается гибридная технология, сочетающая как качественные принципы синтеза нечетких систем, так и количественные принципы традиционной теории управления [50]. Анализ литературных источников показывает, что практически все универсальные методы исследования нелинейных систем управления сводятся к четырем подходам, достигшим своего наивысшего развития в 70-е годы прошлого века – см. табл. 1.2. В таблице кратко указаны достоинства и недостатки методов, а также приводятся ссылки на классические монографии с их описанием. Все указанные методы могут использоваться и для анализа систем с нечеткой логикой. Наиболее приспособлен для получения аналитических методов алгоритм нечеткого логического вывода Такаги-Сугэно (TakagiSugeno), предложенный в работе [28] (см. также [12, 59-63]), этим и объясняется наибольшее количество работ, в которых рассматривается аналитическое исследование систем, использующих указанный алгоритм [64]. В работе [65] предложен критерий устойчивости 29

нечетких систем управления с моделью Сугэно, в которых анализ устойчивости сводится к анализу устойчивости отдельных подсистем. Несмотря на свою простоту, данный метод дает возможность определить лишь небольшую часть истинной области устойчивости. Значительно лучший результат дает применение второго метода Ляпунова.

30

Применение данного метода является наиболее распространенным среди других подходов. Приведем некоторые из современных работ относящиеся к этому направлению [66-74]. Интерес представляют работы [45-48], в которых динамически подстраиваются параметры нечеткого регулятора с целью обеспечить на каждом шаге переходного процесса отрицательность первой разности функции Ляпунова, т. е. выполнение достаточного условия устойчивости системы. Авторы указанных работ относят данную систему к адаптивным. В работах [75-77] предложено для исследования нечетких систем применять методы теории абсолютной устойчивости. Дальнейшее развитие данное направление получило в работах [10, 7880], в частности получены зависимости величины сектора нахождения нелинейной зависимости от параметров соответствующей нечеткой системы и развито применение частотных геометрических критериев устойчивости для систем управления с нечеткой логикой. Как известно, данные методы анализа при выполнении определенных условий позволяют получить области устойчивости системы не уже, чем с помощью второго метода Ляпунова с квадратичной функцией. В работах [10, 79, 80] методы теории абсолютной устойчивости распространены на случай систем управления с многомерными блоками нечеткого логического вывода. Целым рядом авторов предлагалось для анализа и синтеза систем с нечеткой логикой применять гармоническую линеаризацию (метод гармонического баланса) см., например, [81, 82]. Достоинства, этого подхода: простота и логическая прозрачность получаемого условия устойчивости. Однако, и недостатки данного подхода хорошо известны. В отличие от простейших нелинейностей (насыщение, зона нечувствительности, люфт и т. п.) связь между параметрами для системы нечеткого логического вывода и ее гармонически линеаризованной передаточной функцией не может быть выражена в аналитическом виде, либо имеет очень сложный вид; громоздкость решения уравнения гармонического баланса (соизмеримая с затратами на численное моделирование системы); приближенность метода; необходимость выполнения гипотезы фильтра. Поэтому широкого распространения данный подход не получил. Общими достоинствами методов синтеза нечетких систем управления, основанных на аналитических методах исследования нелинейных систем, относится гарантия заданных характеристик синтезируемой системы. Недостатки также представляются достаточно очевидными: необходимость иметь достаточно формализованную модель объекта управления, грубость получаемых оценок, применимость только в простейших случаях. 31

Несмотря на развитие методов синтеза систем управления с нечеткой логикой, основным методом синтеза, как и в первых моделях нечетких регуляторов, по-прежнему остается эмпирический синтез набора нечетких продукционных правил базы знаний и выбор алгоритма нечеткого вывода, с последующей настройкой параметров системы на реальном объекте управления или его модели, путем имитационного моделирования различных режимов работы [3-8, 32-36, 44]. Достоинством такого метода является, во-первых, надежность (в смысле гарантированности свойств) получаемой системы, и, вовторых, применимость при наличии самой общей информации об объекте управления. (Заметим, что при полном отсутствии такой информации нельзя экспертным путем сформировать базу знаний нечеткой системы, и система управления, в какой-то степени, становится подобна нейросетевой). Для настройки параметров нечеткого регулятора находят применение алгоритмы обратного распространения ошибки [83-86] и генетические алгоритмы [87-90]. Достаточно перспективным для настройки структуры нечетких регуляторов представляется использование алгоритмов самоорганизации, но данные алгоритмы в настоящее время еще мало развиты [38, 91]. На основании приведенного выше краткого обзора перечислим основные методы формирования блоков нечеткого логического вывода для систем управления: экспертное определение; автоматическая генерация путем слежения за действиями человека-оператора; использование закономерностей между характеристиками нечеткой системы и реализуемым ей оператором; лингвистический синтез по лингвистической модели объекта управления; синтез на основании нечеткой модели объекта управления, используя принцип обратной динамики; аппроксимация нечеткой системой оптимальных законов управления, полученных традиционными методами; используя аналитические методы исследования нелинейных систем управления; адаптивный подход на основе нечетких нейронных сетей. Из рассмотренных литературных источников видно, что применение систем управления с нечеткими супервизорными регуляторами является весьма перспективным. В тоже время методы анализа и синтеза рассматриваемых систем не достаточно развиты и их разработка является актуальной научной задачей.

32

1.4. Конкретизация постановки задачи исследования На основе проведенного обзора научных работ, посвященных нечетким супервизорным САУ, конкретизированы задачи исследования. В качестве исследуемой системы, как наиболее распространенная и практически реализуемая, рассматривается система со структурой, приведенной на рис. 1.20.

М – амплитудно-импульсный модулятор, Fuzzy – система нечеткого логического вывода, ПИД – дискретный ПИД-регулятор, с изменяемыми параметрами, ОУ – объект управления Рис. 1.20. Исследуемая нечеткая супервизорная САУ Для исследуемой системы приняты следующие допущения. 1. В качестве амплитудно-импульсного модулятора М используется модулятор с периодом выходных импульсов T0 и фиксатором нулевого порядка. Математическое описание модулятора:

e*

e(tk ) при t

tk , tk 1 , T0 k , k 0, 1, 2, ... – номер такта.

где tk 2. В качестве регулятора используется дискретный ПИДрегулятор, параметры которого описываются совокупностью нечетких продукционных правил, задаваемых блоком Fuzzy: Пi: если e* есть Fe и u есть Fu и y есть F y , то k p

kI

i I

и kD

i D

i p

и

;

где i 1, 2,  , m – номер нечеткого продукционного правила, m – количество правил, 33

–

Fe , Fu , Fy

нечеткие

числа,

определенные

на

множестве

действительных чисел и имеющие функции принадлежности: i e

u

u

y

y

i p

,

i I

,

i e

2

u cu i

2

exp

i u

y cy i

exp

i y

2

i , cu , i D

exp

2 i

i e

e

i u

–

2

e* ce i 2

i

i где ce ,

*

i , cy ,

i y

численные

,

,

2 2 2

,

– заданные константы, значения

следствий

нечетких

продукционных правил. Крайние термы имеют функции принадлежности: для крайних левых термов

i

*

exp

2

e

e

1, при e*

i u

exp

i e

2

, при e*

ce i ,

ce i

u cu i 2

u

2

e* ce i

i u

2 2

, при u cu i ,

1, при u cu i exp i y

y

y cy i 2

i y

2 2

, при y c y i .

1, при y c y i Вид функции принадлежности крайнего левого терма для сигнала ошибки приведен на рис. 1.21. Графики функций принадлежности крайних левых термов для сигналов управления и выхода системы имеют аналогичный вид.

34

Рис. 1.21. Вид функции принадлежности крайнего левого терма для сигнала ошибки для крайних правых термов

i

*

exp

2

e

e

1, при e*

i u

exp

1, при u exp i y

y

i e

i u

1, при y

, при e*

ce i ,

2 2

, при u cu i ,

cu i

y cy i 2

2

ce i

u cu i 2

u

2

e* ce i

i y

2 2

, при y c y i .

cy i

Вид функции принадлежности крайнего правого терма для сигнала ошибки приведен на рис. 1.22. Графики функций принадлежности крайних правых термов для сигналов управления и выхода системы имеют аналогичный вид. 35

Рис. 1.22. Вид функции принадлежности крайнего правого терма для сигнала ошибки В качестве алгоритма нечеткого вывода применяется алгоритм Ванга-Менделя (см. п. 1.1). 3. Объект управления (ОУ) структурно представляет собой последовательное соединение статического нелинейного элемента НЭ и линейного динамического звена ЛДЗ (см. рис. 1.23).

Рис. 1.23. Структурная схема ОУ

v

Нелинейный элемент НЭ имеет однозначную характеристику нэ u , принадлежащую сектору, ограниченного горизонтальной

осью и прямой v

kнэ u , где k нэ – заданная константа, т.е. 0 kнэ u , если u 0, нэ u нэ

u

k нэ u

0, если u нэ

u

0,

0, если u 0.

Линейное динамическое звено ЛДЗ матричными разностными уравнениями: 36

описывается

векторно-

  xОУ k 1 AОУ xОУ k Т  y k kОУ xОУ k ,

 bОУ v k ,

где v k , y k – входной и выходной сигналы ЛДЗ в моменты срабатывания импульсного модулятора. Предполагается, что ЛДЗ устойчиво. Приблизительные значения параметров объекта управления известны. Задачи исследований систем со структурой, представленной на рис. 1.20, конкретизированы как разработка математической модели исследуемой системы c учетом принятых предпосылок, анализ статики и динамики системы и разработка методики синтеза регулятора.

1.5.

Выводы по главе

Основные результаты настоящей главы можно отразить в следующих выводах. 1. Рассмотрены варианты построения САУ на основе нечеткой логики. Отмечается, что САУ, имеющие нечеткий супервизор, достаточно мало изучены, но являются весьма перспективными, поскольку при правильном их построении предполагают получение показателей качества управления заведомо не худших, чем у системы нижнего уровня. 2. Проанализированы научные работы, посвященные нечетким супервизорным САУ. Сделан вывод о перспективности развития методов синтеза указанных систем управления на основе экспертных оценок и аналитических методов. 3. Конкретизированы задачи исследования. В качестве базовой структуры системы выбрана САУ с ПИД-регулятором и нечетким супервизором, изменяющим его параметры в зависимости от процессов протекающих в системе, выполненным на основе системы нечеткого логического вывода Ванга-Менделя. В качестве модели объекта управления выбрана модель Гаммерштейна: последовательное соединение статического нелинейного элемента и линейного динамического звена. В рамках выбранной структуры системы управления необходимо разработать методы анализа и синтеза.

37

2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЧЕТКИХ СУПЕРВИЗОРНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 2.1. Математическая модель и статика системы В данном параграфе рассмотрено математическое описание исследуемой системы (см. рис. 2.1), представленное в виде системы нелинейных векторно-матричных разностных уравнений.

– элемент суммирования сигналов за k 1 тактов,

z

1

– элемент задержки сигнала на один такт

Рис. 2.1. Нечеткая супервизорная САУ Опишем дискретный пространстве состояний [92]:

ПИД-регулятор

xI k 1

xI k

xD k 1

e* k .

уравнениями

в

e* k , (2.1)

В векторно-матричной форме система уравнений (2.1) примет вид:

xI k 1

1 0

xD k 1

0 0

xI k

1

xD k

1

e* k .

(2.2)

Сигнал на выходе ПИД-регулятора описывается уравнением:

uk 38

k p k e* k

k I k xI k

kD k

e* k

xD k . .

(2.3)

Записывая совместно уравнения (2.2) и (2.3), получим полное математическое описание ПИД-регулятора:

xI k 1

1 0

xI k

1

xD k 1

0 0

xD k

1

uk

k p k e* k

k I k xI k

e* k , (2.4)

e* k

kD k

xD k ,

Вводя новые обозначения

1 0  , bПИД 0 0

AПИД

xI k

 x ПИД k

1 , 1

,

(2.5)

xD k

 k ПИД k

kI k

kD k

c ПИД k

kp k

kD k ,

T

,

(2.6)

приведем систему (2.4) к виду:

   xПИД k 1 AПИД xПИД k bПИД e* k , T  u k k ПИД k xПИД k cПИД k e* k .

(2.7) (2.8)

Используя в качестве алгоритма нечеткого вывода алгоритм Ванга-Менделя, приведем формулы, определяющие четкие значения коэффициентов ПИД-регулятора [10, 63, 78, 80]: m

kP k

i μ fuzzy

i p

i 1 m

i μ fuzzy

,

(2.9)

,

(2.10)

i 1 m

i μ fuzzy

i I

kI k

i 1 m

μ

i fuzzy

i 1 m

kD k

i μ fuzzy

i D

i 1 m

μ

,

(2.11)

i fuzzy

i 1 i * где μ fuzzy e , u, y

μe i e* μu i u μy i y ,

(2.12)

μe i e* , μu i u , μy i y – определяются формулами (1.26), (1.27), (1.28) соответственно. 39

Получим математическую модель НС САУ, для чего запишем совместно уравнения (1.29) – (1.31), (2.5), (2.7) – (2.12) и уравнение замыкания системы:    xОУ k 1 AОУ xОУ k bОУ v k , Т  y k kОУ xОУ k , v

нэ u ,    x ПИД k 1 AПИД x ПИД k bПИД e* k , T  u k k ПИД k x ПИД k c ПИД k e* k ,

xI k

 x ПИД k

,

xD k m

i p

m

i μ fuzzy

i 1

kP k

m

, kI k

i μ fuzzy

i 1

i 1

μ

i fuzzy

ek

*

e , u, y xвх k

m

m

i μ fuzzy

i I

i μ fuzzy

, kD k

i 1

μe e i

*

μu u μy i

i

i D

i μ fuzzy

i 1 m

i μ fuzzy

,

i 1

y,

yk.

(2.13)

Часто модель ЛДЗ задана в форме непрерывных уравнений переменных состояния:

 dx t dt y1 t

 A xt T

k1

b V t,

 xt,

(2.14)

y t y1 t ,  где x – вектор переменных состояния, y – выходной сигнал ЛДЗ,

A , b – заданные постоянные матрица и вектор,  T k 1 1 0 ... 0 – вектор размера n 1 ,

d T0 – задержка сигнала на выходе ЛДЗ на d тактов,  n – размерность вектора x (t ). Покажем, как в данном случае перейти к разностным уравнениям, описывающим ЛДЗ объекта управления [53, 92]. Представим ЛДЗ структурной схемой показанной на рис. 2.2. 40

Рис. 2.2. Структурная схема блока ЛДЗ объекта управления Решение первого уравнения системы уравнений (2.14),  удовлетворяющее начальным условиям x t0 , запишется в виде [93]:

 xt

 b vt

t

 x t0

exp A t t0

exp A

d , (2.15)

t0

Запишем уравнение (2.15) в дискретном виде. Для простоты примем начало периода (момент фиксации модулятора) за нулевой момент времени t0 = 0. Начальные условия в  этот момент равны x (k ) , а входной сигнал v (k ) :

 xk 1

 exp A T0 x k

 b v kd .

T0

exp A 0

Решая последнее уравнение, получим:

 xk 1

exp A T0

 xk

A

1

exp A T0

 I b v k ,

(2.16)

где I – единичная матрица. Введем обозначения:

A1 exp AT0 , b1 A

1

exp AT0

 I b

A

1

 A1 I b ,

(2.17)

тогда уравнение (2.16) с учетом новых обозначений (2.17) примет вид:

 xk 1

 A1 x k

(2.18) Сигнал на входе звена запаздывания определяется выражением:

y1 k

b1 v k .

T  k1 x k .

Рассмотрим математическое описание звена запаздывания. Введем d переменных состояния, представляющие собой сигналы на выходах элементов задержек на один такт:

41

x1з k 1

y1 k ,

xз2 k 1

x1з k

y1 k 1 ,

xз3 k 1

xз2 k

y1 k 2 ,

 xзd k 1

xзd

1

k

y1 k d 1 ,

xзd k .

yk

Последняя система может быть записана в компактной форме:   xз k 1 A2 xз k ,

где A2

0

0

 0 0

1

0

 0 0

. 0 

 xз k

x1з xз2

.

.

0

1 0

(2.19)

– матрица размера d×d,

k k

– вектор переменных состояния звена

 xзd k

запаздывания. Введем в рассмотрение обобщенный вектор переменных





T

x з k . Тогда уравнение линейной части состояния ЛДЗ x k объекта управления согласно уравнениям (2.18) и (2.19) может быть записано следующим образом:

 xk 1  xз k 1

A1

0

A3

A2

 xk  xз k

b1 v k, 0

где 0 – нулевая матрица размера n×d,

A3

1

0



0

0

0



0

.

.

.

– матрица размера d×n,

0 0  0  0 – нулевой вектор размера d×1. 42

(2.20)

Если принять

AОУ

A1

0

A3

A2

 , bОУ

 xk ,  xз k

b1  , xОУ k 0

0  kОУ



– вектор размера n

0

d

1,

1 то перейдем от системы уравнений (2.14) к уравнениям (1.30), (1.31). Так же часто ЛДЗ задано в виде передаточной функции вида:

W p

b0 p m ... bm exp a0 p n ... an

y p v p

p .

(2.21)

Покажем, как из формы (2.21) перейти к уравнению в форме переменных состояния (2.14) [53, 92]. Перепишем передаточную функцию (2.21) в виде:

a0 p n y p

a1 p n 1 y p

... an y p

b0 p mv p

b1 p m 1v p

... bmv p exp

В последнем уравнении сделаем замену переменных p

di : dt i d n y1 t d n 1 y1 t a0 a 1 dt n dt n 1

p

d и dt

pi

... an y1 t

b0

d mv t dt m

b1

d m 1v t dt m 1

... bmv t ,

и

yt

y1 t

. (2.22) Уравнение (2.22) может быть представлено в виде системы уравнений первого порядка (нормальной форме Коши), которая в векторно-матричной форме записывается следующим образом:

 dx t dt y1 t

 A4 x t   k 1T x t ,

 b2 v t , (2.23)

где

43

A4n

0

1

0

0



0

0

0

1

0



0

.

n

.

.

0

0

0



0

1

an a0

an 1 a0

an 2 a0



a2 a0

a1 a0

 , xt

x1 t x2 t  x3 t , b 2  xn t

bm a0 bm 1 a0 . b0 a0

В результате получим, что ЛДЗ объекта управления с передаточной функцией (2.21) может быть описано следующей системой векторно-матричных уравнений:

 dx t dt

 A4 x t T

y1 t

k1

yt

y1 t

 xt,

 b2 v t , (2.24)

Переход от системы (2.24) к системе уравнений (1.30)-(1.31) был показан выше (см. (2.14)). Все сигналы в устойчивой системе управления с течением времени приходят к своим установившимся значениям. Установившиеся значения сигналов будем писать с индексом ―уст‖. Получим математическую модель нечеткой супервизорной САУ в установившемся режиме, для чего соответствующим образом перепишем систему уравнений (2.13):

44

 xОУ уст

Т k ОУ

y уст  x ПИД

T  k ПИД AПИД x ПИД k уст

v k μ e уст

нэ

e*уст

y уст

exp

2

i e

2

cyi

2

m

μ

i fuzzy уст

e*уст , u уст , k I уст

xвх уст

i y

, μ u уст u уст i

m

, k I уст

i 1 m

μ

i 1

μe уст i

T

2

i u

2

e*уст

k D уст , c ПИД уст

m

i μ fuzzy уст

i I

y уст

exp

2

cu i

u уст

,

,

2

i μ fuzzy уст

i p

i 1

 k ПИД уст

c ПИД уст e* k ,

2

ce i

2

i 1

i fuzzy уст

e*уст

exp

m

k Pуст

 bПИД e* k

u уст ,

e*уст

μ yiуст y

μ

 bОУ v k ,  bПИД e* k ,

 AОУ xОУ k  AПИД x ПИД k

уст

u уст

i

 bОУ v k ,

 AОУ xОУ k

i fuzzy уст

, k D уст

i D

i 1 m i 1

i μ fuzzy уст i μ fuzzy уст

μu уст u уст μ y уст y уст , i

k p уст

i

k D уст ,

y уст . (2.25)

Решив систему нелинейных алгебраических уравнений (2.25) можно определить сигналы во всех точках рассматриваемой системы управления в установившемся режиме.

45

,

2.2. ―малом‖

Линеаризация системы и критерий устойчивости в

Нелинейные уравнения (2.13), описывающие динамику системы, могут быть записаны в виде отклонений от указанного установившегося режима и при малости данных отклонений линеаризованы. Для удобства линеаризации преобразуем блок Fuzzy в три блока FuzzyP, FuzzyI, FuzzyD, описываемые следующей совокупностью нечетких продукционных правил: для FuzzyP: Пi: если e* есть Fe и u есть Fu и y есть F y , то k p

i p

;

для FuzzyI: Пi: если e* есть Fe и u есть Fu и y есть F y , то k I

i I

;

i D

.

для FuzzyD: Пi: если e* есть Fe и u есть Fu и y есть F y , то k D

В результате произведенных преобразований структура исследуемой системы рис. 2.1, примет вид, представленный на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Преобразованная для линеаризации структурная схема НС САУ Линеаризацию будем производить по звеньям. 1. Нелинейный элемент НЭ. Заменим нелинейную функцию нэ пропорциональным звеном с коэффициентом k нэ . Существует несколько способов линеаризации. Для определенности предположим, что нелинейная характеристика v нэ u , имеет вид, приведенный на рис. 2.4. 46

Рис. 2.4. Зависимость v

нэ

u

Коэффициент k нэ в данном случае может быть найден, например, как угловой коэффициент прямой, проведенной через точки (0,0) и (g, l):

kнэ

tg α

l , g

(2.26)

при этом получим линейное уравнение для приращений сигналов: (2.27) v k kнэ u k . 2. Блок FuzzyP. Пусть установившемуся соответствуют

значения

режиму

сигналов

e*уст

работы

блока

FuzzyP

u уст ,

y уст ,

k P уст .

,

* Отклонения реальных значений сигналов e k , u k , y k , k P k

от

* установившихся обозначим через e k , u k , y k , kP k . Тогда реальные значения входных и выходных сигналов описываются выражениями:

e* k

e*уст

e* k ,

uk

u уст

uk ,

yk

y уст

yk ,

kP k

k P уст

kP k .

(2.28) (2.29)

(2.30)

Блок FuzzyP представляет собой нелинейный функциональный преобразователь, описываемый как

47

m *

kP k

i 1

e , u, y

p

μe i e* μu i u μy i y

i p m

.

μe i e* μu i u μy i y

(2.31)

i 1

Разложим функцию

e* , u, y в ряд Тейлора в окрестности

p

точки установившегося значения. m

k P уст

kP k

m i 1

p

i μ fuzzy e* , u , y

i p

e*

i μ fuzzy e* , u , y

e* , u , y u

e* , u , y

p

i 1

p

uk

e* k ,

Поскольку отклонения

e* , u , y y

e*уст , u уст , y уст

e* k e*уст , u уст , y уст yk



e*уст , u уст , y уст

uk ,

y k величины малые,

* то все отклонения сигналов e уст , u уст , y уст выше первого порядка

не учитываются. Поэтому блок FuzzyP после проведения линеаризации описывается выражением: p

e* , u , y

kP k

e* k

e*

e*уст , u уст , y уст

p

e* , u , y uk

u e*уст , u уст , y уст

e* , u , y

p

yk

y e*уст , u уст , y уст

p

e* , u , y e*

где

48

p

e* , u , y u

p

e* k

e* , u , y

uk ,

y e*уст , u уст , y уст

yk

m p

e* , u , y

i p

e* ce i

μe i e*

i e

i 1 m

e*

μu i u μy i y

2

i μ fuzzy e* , u, y

i 1 m

i p

i μ fuzzy e* , u , y

i 1

m

μe i e*

e* ce i

i 1 m

μ

μu i u μy i y

2

i e

,

2 i fuzzy

*

e , u, y

i 1 m p

e* , u , y

i p

u cu i

μe i e* μu i u

i 1 m

u

μy i y

2

i u

i μ fuzzy e* , u, y

i 1 m

i p

i μ fuzzy e* , u, y

i 1

m

μe i e* μu i u

u cu i

i 1 m

μ

2

i u

μy i y ,

2 i fuzzy

*

e , u, y

i 1

m p

e* , u , y

i p

y cy i

μe i e* μu i u μy i y

i y

i 1 m

y

2

i μ fuzzy e* , u, y

i 1 m i 1

i p

μ

i fuzzy

*

m

e , u, y

μe

i

e

*

μu

i

u μy

i 1 m

μ

2 i fuzzy

i

y

y cy i i y

2

.

*

e , u, y

i 1

3. Блок FuzzyI. Обозначим через k I

уст

сигнала блока FuzzyI, а через

установившееся значение выходного

k I k отклонение реального значения 49

выходного сигнала от установившегося. Тогда выходной сигнал блока FuzzyI описывается выражением (2.32) k I k k I уст kI k . Блок FuzzyI после проведения линеаризации описывается выражением: I

kI k

e* , u , y

I

e* k

e*

e* , u , y uk

u

e*уст , u уст , y уст

e*уст , u уст , y уст

(2.33)

e* , u , y

I

yk

y e*уст , u уст , y уст

I

e* , u , y

I

e*

e* , u , y

I

e* k

e* , u , y

u

uk

y

,

yk

e*уст , u уст , y уст

где m I

e*, u , y

i I

e* ce i

μe i e*

i e

i 1 m

e*

μu i u μy i y

2

i μ fuzzy e* , u, y

i 1 m

i I

i 1

i μ fuzzy e* , u, y

m

e* ce i

i 1 m i 1

50

μe i e* μ

2

i e 2

i fuzzy

*

e , u, y

μu i u μy i y ,

m I

e* , u , y

i I

u cu i

μe i e* μu i u

i 1 m

u

μy i y

2

i u

i μ fuzzy e* , u, y

i 1 m

i I

m

i μ fuzzy e* , u, y

i 1

μe i e* μu i u

u cu i

i 1 m

μ

i u

μy i y

2

,

2 i fuzzy

*

e , u, y

i 1

m I

e* , u , y

i I

μe i e* μu i u μy i y

i 1 m

y

y cy i i y

2

i μ fuzzy e* , u, y

i 1 m

i I

i 1

i μ fuzzy e* , u, y

m

μe i e* μu i u μy i y

i 1 m

i μ fuzzy e* , u, y

2

y cy i i y

2

.

i 1

4. Блок FuzzyD. Обозначим через k D уст установившееся значение выходного сигнала блока FuzzyD, а через kD k отклонение реального значения выходного сигнала от установившегося. Тогда выходной сигнал блока FuzzyD описывается выражением (2.34) k D k k D уст kD k . Блок FuzzyD после проведения линеаризации описывается выражением:

51

D

e* , u , y

kD k

D

e* k

e*

e* , u , y uk

u

e*уст , u уст , y уст

(2.35)

e*уст , u уст , y уст

e* , u , y

D

yk

y e*уст , u уст , y уст

D

e* , u , y

D

e*

e* , u , y

D

u

e* k

e* , u , y

uk

y

,

yk

e*уст , u уст , y уст

где m D

e*, u , y

e* ce i

μe i e*

i D

i 1 m

e*

μu i u μy i y

2

i e

i μ fuzzy e* , u, y

i 1 m

i D

i μ fuzzy e* , u, y

i 1

m

μe i e*

e* ce i

i 1 m

μ

μu i u μy i y

2

i e

,

2 i fuzzy

*

e , u, y

i 1

m D

e* , u , y

u cu i

μe i e* μu i u

i D

i u

i 1 m

u

μy i y

2

i μ fuzzy e* , u, y

i 1 m i 1

i D

i μ fuzzy e* , u, y

m i 1 m i 1

52

μe i e* μu i u μ

2 i fuzzy

*

e , u, y

u cu i i u

2

μy i y ,

m D

e* , u , y

μe

i D

i

e

μu

*

i

u μy

i

y

y cy i i y

i 1 m

y

2

i μ fuzzy e* , u, y

i 1 m

i D

m

i μ fuzzy e* , u, y

i 1

y cy i

μe i e* μu i u μy i y

i y

i 1 m

i μ fuzzy e* , u, y

2

.

2

i 1

5. ПИД-регулятор. Обозначим через

 x ПИД уст

установившееся значение вектора

переменных состояния ПИД-регулятора, а через

 xПИД k отклонение

реального значения вектора переменных состояния ПИД-регулятора от  его установившегося значения. Тогда значение вектора x ПИД k определяется выражением:

 xПИД k

 xПИД уст

 xПИД k .

(2.36)

Состояние ПИД-регулятора описывается уравнением (2.7). С учетом выражений (2.28) и (2.36) уравнение (2.7) перепишется следующим образом:      x ПИД уст x ПИД k 1 AПИД x ПИД уст x ПИД k bПИД e*уст e* k Тогда уравнение состояния ПИД-регулятора в отклонениях имеет вид:

 x ПИД k 1

AПИД

 x ПИД k

 bПИД

e* k .

(2.37)

Сигнал на выходе ПИД-регулятора описывается уравнением (2.8). Подставим в него выражения (2.28) – (2.30), (2.32), (2.34) и (2.36):

u уст

uk

T  k ПИД x ПИД уст уст

T k ПИД k

 x ПИД k

c ПИД k

e* k ,

c ПИД уст e*уст

где

 k ПИД уст

k I уст

kD

T  k ПИД k x ПИД уст

T уст

,

 k ПИД k

T k ПИД уст

c ПИД k e*уст

kI k

 x ПИД k

c ПИД уст

kD k

T

e* k

, 53

 xПИД уст cПИД уст

xI уст , xD уст k p уст

 xПИД k

k D уст ,

Поскольку отклонения

xI k xD k

,

c ПИД k kp k kD k .   xПИД k , e* k , k ПИД k , cПИД k

малые величины, то все отклонения выше первого порядка учитываться не будут, тогда уравнение в отклонениях для выхода ПИД-регулятора имеет вид: T T   uk k ПИД k x ПИД уст k ПИД x ПИД k c ПИД k e*уст c ПИД уст e* k уст (2.38) Объединяя уравнения (2.37) и (2.38), получим математическое описание ПИД-регулятора в уравнениях отклонений:

   x ПИД k 1 AПИД x ПИД k bПИД e* k , T T   uk k ПИД k x ПИД уст k ПИД x ПИД k уст

c ПИД k e*уст c ПИД уст

e* k .

6. ЛДЗ объекта управления (ОУ).



Обозначим через xОУ k , v k , Δy k , e k , xвх k отклонения реальных значений вектора переменных состояния, входного сигнала блока ЛДЗ, выходного сигнала ОУ, сигнала ошибки управления и входного сигнала системы от установившихся значений соответственно. Подставляя в уравнения (1.29) и (1.30) отклонения реальных значений сигналов, получим математическое описание линеаризованного блока ЛДЗ ОУ: *

  xОУ k 1 AОУ xОУ k Т  Δy k kОУ xОУ k .

 bОУ

v k, (2.39)

Уравнение ошибки линеаризованной НС САУ:

e* k

xвх k

yk .

(2.40)

Записывая совместно уравнения (2.27), (2.31), (2.33), (2.35), (2.37)(2.40), получим математическую модель линеаризованной НС САУ:

54

 bОУ

  xОУ k 1 A ОУ xОУ k Т  Дy k k ОУ xОУ k , v k

k нэ

v k,

uk,

*

e k

x вх k yk,    x ПИД k 1 A ПИД x ПИД k b ПИД e * k , T T   uk k ПИД k x ПИД уст k ПИД x ПИД k уст  k ПИД уст

k I уст

 k ПИД k c ПИД уст

kD

T уст

kI k k p уст

c ПИД k

kD k

T

,

kD k ,

p

e* , u , y

e*

I

e* , u , y

e* , u , y

kD k

e* , u , y

p

u

y e*уст , u уст , y уст

e* , u , y

I

e*

D

e* k ,

,

e* , u , y

kP k

kI k

c ПИД уст

k D уст ,

kp k

p

c ПИД k e *уст

I

e* , u , y

u

y e*уст , u уст , y уст

D

e* , u , y

e*

D

u

e* , u , y y e*уст , u уст , y уст

e* k uk , yk

e* k uk , yk

e* k uk . yk

(2.41) Систему (2.41) можно привести к компактному виду:

 xСУ k 1 где

 xСУ k

AСУ

 xСУ k

 xОУ k  xПИД k

 bСУ –

xвх k , обобщенный

(2.42) вектор

состояния

линеаризованной НС САУ,

AСУ

AОУ

 T bОУ k нэ c ПИД уст kОУ   T bПИД kОУ

 T bОУ k нэ k ПИД уст

,

AПИД

55

 bСУ

 bОУ k нэ c ПИД уст  . bПИД

На основе разностного уравнения (2.42) сформулируем критерий устойчивости замкнутой НС САУ ―в малом‖ [52, 94]: для того чтобы НС САУ была устойчива в малом, необходимо и достаточно, чтобы собственные числа 1 , 2 , , nсу матрицы AСУ были по модулю меньше 1, т. е. i

где

nсу

n 2

–

порядок

1, i=1,2,,nсу , модели

рассматриваемой

(2.43) системы

управления. 2.3. Коэффициент передачи разомкнутой системы

Kp

Для нахождения коэффициента передачи разомкнутой системы необходимо рассмотреть линеаризованную систему в

установившемся режиме. Заметим что, в установившемся режиме выходной сигнал дифференциальной части ПИД-регулятора отсутствует, поэтому достаточно рассмотреть систему с ПИрегулятором. В начале найдем коэффициент передачи разомкнутой системы для НС САУ с П-регулятором (или ПДрегулятором) и ОУ с самовыравниванием (не содержащим интегратора) (см. рис. 2.5).

Рис. 2.5. НС САУ с П-регулятором Найдем коэффициент передачи ЛДЗ объекта управления в установившемся режиме. Из системы уравнений (2.39) получим:

56

T kОУ

y уст

k yуст

v

I

1

AОУ

 bОУ .

(2.44)

уст

Нелинейный элемент НЭ заменяется коэффициентом передачи k нэ (см. п. 2.3). Линеаризуем блок умножения. Сигнал на выходе блока умножения описывается выражением:

uk

e* k

u уст

e* k

e*уст

kp k

e* k k p уст

kp k

k p уст

e*уст

kp k

e*уст k p уст .

Оставляя в последнем выражении только отклонения не выше первого порядка, получим уравнение в отклонениях для блока умножения:

e* k k p уст

uk где

e* k и

k p k e*уст ,

k p k определены ранее в п. 2.3, k p уст и e*уст

определены ранее в п. 2.2. В развернутом виде последнее соотношение примет вид: p

e* , u , y

uk

e*уст

e*

k p уст

e* k

e *уст , u уст , y уст

p

e* , u , y u

e*уст

uk

e*уст

yk.

e *уст , u уст , y уст

p

e* , u , y y e *уст , u уст , y уст

Окончательный вид уравнения в отклонениях для блока умножения имеет вид:

uk

k e1

e* k

k y1

yk ,

(2.45)

57

где 1

k e1

p

e* , u, y e*уст

e*

p

k p уст

1

e* , u , y e*уст

u

e*уст , u уст , y уст

e*уст , u уст , y уст

,

(2.46) 1

k y1

p

e* , u , y e *уст

y e*уст , u уст , y уст

p

1

e* , u , y e *уст

u e*уст , u уст , y уст

. (2.47) Схема линеаризованной НС САУ с П-регулятором и ОУ с самовыравниванием в установившемся режиме показана на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Структурная схема линеаризованной НС САУ с П-регулятором в установившемся режиме Используя рис. 2.6, найдем коэффициент передачи разомкнутой системы:

k e 1 k нэ k yуст 1 k нэ k yуст k y1

Kp 1

k e1 k нэ k yуст

k e1 k нэ k yуст 1 k нэ k yуст k e1 k y1

,

(2.48)

1 k нэ k yуст k y1

который определяет статическую точность замкнутой системы [18, 95].

58

Рассмотрим статическую точность системы с (ПД-регулятором) для двух случаев: для самовыравниванием и без самовыравнивания.

П-регулятором объектов с

1. НС САУ с объектом с самовыравниванием. Пусть в системе действует одно возмущающее воздействие f1 (см. рис. 2.7).

Рис. 2.7. Структурная самовыравниванием

схема

НС

САУ

с

объектом

с

Статическая ошибка системы, изображенной на рис. 2.7, определяется формулой [18, 95]:

e1ст

xвх 1 Wp p

f1 p

0

1 Wp p

, p

(2.49)

0

где W p p – передаточная функция разомкнутой системы, изображенной на рис. 2.7. В рассматриваемом случае передаточная функция разомкнутой системы представляет собой (здесь для простоты рассматривается непрерывная передаточная функция, для дискретной передаточной функции результат получается аналогичным):

Wp p

K p b0 p m  bm 1 p 1

.

a0 p n  a n 1 p 1 В статическом режиме W p 0 K p . Тогда уравнение (2.49) примет вид:

e1

ст

xвх f1 . 1 Kp

(2.50)

Последнее соотношение показывает, что в системе с Прегулятором и объектом с самовыравниванием установившаяся 59

ошибка уменьшается в

1 K p раз. Заметим, что аналогичный

результат будет и в системе с ПД-регулятором. 2. НС САУ с объектом без самовыравнивания. Пусть на систему действуют два возмущающих воздействия f1 и f2 (см. рис. 2.8).

Рис. 2.8. Структурная схема НС САУ с объектом без самовыравнивания Статическая ошибка системы, изображенной на рис. 2.8, определяется формулой [18, 95]:

e2 ст

xвх 1 Wp p

p

0

1 f1 p 1 Wp p

f2 1 Wp p p

. p

(2.51)

0

0

В рассматриваемом случае передаточная функция разомкнутой системы представляет собой (здесь для простоты рассматривается непрерывная передаточная функция, для дискретной передаточной функции результат получается аналогичным):

Wp p

K p b0 p m a0 p

n

 bm 1 p 1 1 . p  an 1 p 1

В астатической системе W p 0

. Тогда первое и третье

слагаемые уравнения (2.51) равняются нулю. Применяя ко второму слагаемому теорему предельного перехода, получим, что статическая ошибка в НС САУ с П-регулятором и объектом без самовыравнивания равна величине первого возмущающего воздействия с противоположным знаком, т. е.:

e2 ст 60

f1 .

Найдем теперь коэффициент передачи разомкнутой системы для НС САУ с ПИ-регулятором и ОУ с самовыравнивания (см. рис. 2.9).

Рис. 2.9. Схема НС САУ с ПИ-регулятором В структуре, приведенной на рис. 2.9, перейдем к дискретным передаточным функциям (см. рис. 2.10).

WОУ z – импульсная передаточная функция ЛДЗ объекта управления. Рис. 2.10. Схема НС САУ с ПИ-регулятором после zпреобразования Покажем переход от векторно-матричных разностных уравнений к импульсной передаточной функции. Для этого применим к уравнению (1.30) z-преобразование:

 z X ОУ z z AОУ  X ОУ z

  AОУ X ОУ z bОУ V z   X ОУ z bОУ V z  1 z AОУ bОУ V z .

(2.52) 61

Выполнив z-преобразование для уравнения (1.31), подставим в него выражение (2.52):

Y z

Т kОУ

Импульсная передаточная описывается выражением:

WОУ z

z

функция

Y z V z

1

AОУ

Т kОУ

 bОУ V z .

ЛДЗ

z I

объекта

AОУ

1

управления

 bОУ .

(2.53)

Выходной сигнал регулятора на схеме, приведенной на рис. 2.10, описывается выражением:

uz

z z 1

1 z

1

kp

k I e* z .

C учетом последнего выражения преобразуем структуру, приведенную на рис. 2.10, следующим образом.

Рис. 2.11. Преобразованная схема НС САУ с ПИ-регулятором В установившемся режиме выходной сигнал блока дифференциатора отсутствует и схема примет вид, представленный на рис. 2.12.

Рис. 2.12. Схема НС САУ с ПИ-регулятором в статике 62

Линеаризуем систему, показанную на рис. 2.12. Коэффициент передачи ОУ в установившемся режиме может быть найден из уравнения (2.53) при условии z 1:

k yуст

T kОУ

I

1

AОУ

 bОУ .

Нелинейный элемент НЭ заменяется коэффициентом передачи

k нэ

(см. п. 2.3). Линеаризованный блок умножения описывается уравнениями, аналогичными уравнениям (2.45) – (2.47), только в уравнениях (2.46) и (2.47) вместо множителей

p

,

e*

I

,

u

,

u I

используются множители

e*, u , y

e*, u, y

p

e*, u, y y

I

e*, u , y

p

e* , u , y ,

e*

e*, u, y :

y uk

k e2

e* k

k y2

yk ,

где 1

k e2

I

e* , u , y e*уст

e*

I

k I уст

e* , u , y

1

e*уст

u

e*уст , u уст , y уст

e*уст , u уст , y уст

, 1

k y2

I

e* , u , y e*уст

y

I

1

e* , u , y e*уст

u

e*уст , u уст , y уст

Схема линеаризованной НС САУ с установившемся режиме показана на рис. 2.13.

.

e*уст , u уст , y уст

ПИ-регулятором

в

63

Рис. 2.13. Структурная схема линеаризованной НС САУ с ПИ-регулятором в установившемся режиме Используя рис. 2.13, найдем коэффициент разомкнутой системы для малых отклонений

передачи

k e 2 k нэ k yуст 1 k нэ k yуст k y2

Kp 1

k e 2 k нэ k yуст

k e 2 k нэ k yуст 1 k нэ k yуст k e 2

k y2

.

(2.54)

1 k нэ k yуст k y2

Заметим, что формула (2.54) совпадает с формулой (2.48) за e y исключением того, что вместо коэффициентов k 1 и k 1 используются

k e 2 и k y2 . Заметим, что в астатической системе K p определяет установившуюся ошибку системы на линейно возрастающий сигнал.

64

2.4. Анализ устойчивости в целом В данном параграфе представленная на рис. 2.14.

рассмотрена

структура

НС

САУ,

Рис. 2.14. Структурная схема НС САУ Для анализа устойчивости исследуемой системы (см. рис. 2.14) будем использовать нелинейную импульсную систему с нестационарными интервальными параметрами (см. рис. 2.15).

WОУ z – импульсная передаточная функция ЛДЗ объекта управления Рис. 2.15. Структурная схема нелинейной импульсной системы с интервальными параметрами О параметрах ПИД-регулятора известно лишь, что их значения лежат

kD

на

kD

Границы

некоторых

kD

отрезках

kp

kp

kp ,

kI

kI

kI ,

и изменяются в процессе переходного процесса.

диапазонов

изменения

коэффициентов

k p e* , u , y , 65

k I e* , u , y и k D e* , u , y можно оценить из формул (2.9) – (2.11) решением соответствующих задач оптимизации:

kp kI kD

max k p e* , u, y ,

kp

max k I e* , u, y ,

kI

max k D e* , u, y ,

kD

e * , u, y R e * , u, y R *

e , u, y R

min

e * , u, y R

k p e* , u, y ,

min k I e* , u, y ,

e* , u, y R *

min

e , u, y R

k D e* , u, y .

Можно использовать также простые, но более грубые оценки:

kp kI kD

max k ip ,

kp

max k Ii ,

kI

max k Di ,

kD

i 1, 2,, m

i 1, 2,, m

i 1, 2,, m

min k ip ,

i 1, 2,, m

min k Ii ,

i 1,2 ,,m

(2.55)

min k Di .

i 1, 2,, m

Представим ПИД-регулятор, показанный на рис. структурной схемой в виде z-преобразований (см. рис. 2.16).

2.15,

Рис. 2.16. Структурная схема нелинейной импульсной системы с интервальными параметрами

Преобразуем структуру на рис. 2.16 следующим образом.

66

Рис. 2.17. Преобразованная схема рис. 2.16 Преобразуем линейную часть системы, приведенной на рис. 2.17, в один блок (см. рис. 2.18).

Рис. 2.18. Эквивалентная система для определения устойчивости

67

Комплексный коэффициент передачи в системе на рис. 2.18 имеет вид:

W* j

* WОУ j

0

0

0

* WОУ * WОУ

0 0

0 0 ej

0 0

j j

0

1

e

j

1 e

1

. j

Для системы на рис. 2.18 применим геометрический критерий абсолютной устойчивости для нелинейных многосвязных систем с нелинейностями, принадлежащим заданным секторам [58, 96]. Применяя указанный критерий, получим: для асимптотической устойчивости положения равновесия системы, изображенной на рис. 2.14 достаточно устойчивости линейной импульсной системы с амплитудно-фазовой характеристикой *

W1 (jw)

I W * (jw) R

1

W * (jw)

и

существования

действи-

тельного числа p, при котором матрица

1 p * * p K 1 W1 ( jw ) W1 ( jw ) K 1 2

Q(jw)

K1

p 1

, 0 w

(2.56)

положительно определена, где I – единичная матрица,

K

kp

0

0

0 0 0

kI 0 0

0 kD 0

0 0 , 0 kнэ

R

kp

0

0

0

0

kI

0

0

0

0

kD

0

0

0

0

0

,

K1

K

R.

2.5. Анализ НС САУ с помощью непрерывных моделей В случае, когда период работы импульсного модулятора достаточно мал, исходную импульсную систему можно рассматривать как непрерывную (непрерывная модель). В настоящем параграфе будут получены условия применимости непрерывных моделей НС САУ, а также получен частотный критерий устойчивости в целом для непрерывных усредненных моделей НС САУ.

68

2.5.1. Непрерывная модель и условия ее применимости Для импульсной системы, показанной на рис. 2.16, составим ее непрерывную модель. 1. ПИД-регулятор. Дифференцирующее звено заменяется следующей непрерывной моделью:

kD e k

ek 1

kD

а интегрирующее звено соответственно: r

kI

ei

kI

i 1

de T0 , dt

1 t e q dq . T0 0

Таким образом, дискретный ПИД-регулятор может быть представлен следующей непрерывной моделью (см. рис. 2.19).

Рис. 2.19. Непрерывная модель ПИД-регулятора Передаточная функция ПИД-регулятора:

WПИД p

kp

kI T0 p

k DT0 p

k DT02 p 2

k pT0 p k I T0 p

.

(2.57)

2. Звено запаздывания. Экспоненциальная функция может быть представлена в виде предела [97]: l

exp(1)

lim 1

l

1 . l

Тогда

69

exp

p

1 exp p

1

.

l

1 p

l

l

С учетом выше сказанного, звено запаздывания может быть представлено следующим образом:

Wз p

exp

1

p

l

1 p

.

(2.58)

l

Для практического применения обычно достаточно l

37 [97].

Передаточная функция прямого тракта системы:

WПТ p

WПИД p WОУ 1 p Wз p ,

(2.59)

b0 p m  bm . a0 p n  bn

(2.60)

где

WОУ 1 p

Тогда подставляя в формулу (2.59) выражения (2.57), (2.58) и (2.60), получим:

WПТ p

k DT02 p 2

k pT0 p T0 p

b0 p m  bm

kI

. (2.61)

l

1

p

l

a0 p

n

 bn

Структурная схема непрерывной модели интервальными параметрами показана на рис. 2.20.

системы

с

Рис. 2.20. Структурная схема непрерывной модели системы с интервальными параметрами

70

Рассмотрим возможность применения усредненных моделей для анализа устойчивости. Получим линеаризованные разностные уравнения для малых отклонений от установившегося режима для прямого тракта системы, изображенной на рис. 2.15. Для этого запишем совместно уравнения (2.37) – (2.39):  bОУ

  xОУ k 1 AОУ xОУ k Т  Δy k kОУ xОУ k ,

v k,

   xПИД k 1 AПИД xПИД k bПИД e* k , T T   uk k ПИД k xПИД уст k ПИД xПИД k уст

cПИД k e*уст

cПИД уст

e* k .

Таким образом, прямой тракт системы на рис. 2.16 описывается следующей системой уравнений:



 kОУ

T где kСУ

S СУ

,

 dСУ k1e

k1u

k1y

k2e

AОУ

 02

1

 bОУ kнэ k1e

I

I

p

k 2y

k2e

e* , u , y , u

D

e* , u , y , y

D

e

D

1

k1u

k 2u

1

Т kОУ

 Т bОУ k нэ k ПИД 1 уст

k1u

AПИД

cПИД уст  bПИД D

*

(2.62)

n

e* , u , y , e*

e* , u, y

e* k ,

,

 bОУ k нэ k1y

02

I

 d СУ

  xСУ k 1 SСУ xСУ k T  y k kСУ xСУ k ,

1

e* , u , y e* e* , u , y u e* , u , y y

e* , u, y e*

k1u

k2u

1

,

 xПИД уст , e *уст , u уст , y уст

 xПИД уст , e *уст , u уст , y уст

 x ПИД уст , e *уст , u уст , y уст

e*уст , e*уст , u уст , y уст

71

k 2u

1

p

k2u

e* , u , y

D

u p

k2y

e* , u, y

D

y

e* , u , y u e* , u, y y

e*уст , e *уст , u уст , y уст

e*уст . e *уст , u уст , y уст

Системе уравнений (2.62) соответствует линейная система с амплитудно-импульсной модуляцией, приведенная на рис. 2.21.

Рис. 2.21. Эквивалентная линеаризованная система для малых отклонений от установившегося режима Если ЛДЗ3 описывается дифференциальным уравнением

 d xСУ dt

 xСУ

Q

 e

e* ,

(2.63)



где Q, e – матрица и вектор, которые будут определены ниже, то для прямого тракта системы на рис. 2.21 справедливо разностное уравнение [53]:

  xСУ k 1 eQT0 xСУ k T  y k kСУ xСУ k . Решая совместно (2.62) и (2.64) получим

Q

 1 ln S СУ , e T0



e* k ,

e

(2.64)

 S СУ1 d СУ .

(2.65) Переходя к изображениям по Лапласу в уравнении (2.63) получим дискретную передаточную функцию разомкнутой системы:

W * e pT0 где 72

1 T0

W p k

jk

,

(2.66)

W p

Ip Q

1

 T SСУ1 d СУ kСУ .

Из формулы (2.66), отбросив все слагаемые кроме k = 0, несложно получить передаточную функцию усреднѐнной модели:

~ W0 p

1 W p . T0

(2.67)

В работе [98] показано, что если частотная характеристика усредненной модели (2.67) не пересекается с окружностью радиуса

r

2

1

2

2

T0 max

2

W j

(2.68)

2

с центром в точке (-1,0), то устойчивость или неустойчивость импульсной системы рис. 2.21 может быть определена по еѐ усреднѐнной модели. Таким образом, при выполнении указанного условия, для определения устойчивости НС САУ в малом можно использовать еѐ непрерывную усредненную модель.

2.5.2. Условия устойчивости для непрерывной НС САУ на основе частотного критерия Попова Аналогично рассмотренному выше частотному критерию устойчивости для импульсной НС САУ, получим условия устойчивости для непрерывной НС САУ на основе частотного критерия Попова. Структуру, показанную на рис. 2.20, преобразуем следующим образом (см. рис. 2.22).

73

Рис. 2.22. Преобразованная схема рис. 2.20 Передаточная функция объекта управления WОУ p определяется формулой (2.21). Преобразуем линейную часть системы, приведенной на рис. 2.22, в один блок (см. рис. 2.23).

Рис. 2.23. Эквивалентная система для определения устойчивости непрерывной модели Комплексный коэффициент передачи в системе на рис. 2.23 имеет вид: 74

W p

WОУ p

0

WОУ p WОУ p

0 0

0

1

0

0

0 0 1 1 p T0

0 0

.

pT0

Для системы на рис. 2.23 применим критерий устойчивости Попова для систем с несколькими нелинейностями [96]. На основе критерия Попова получим: для асимптотической устойчивости положения равновесия системы, изображенной на рис. 2.20 в автономном режиме xвх 0 достаточно устойчивости линейной системы с амплитудно-фазовой характеристикой 1 W1 j I W j R W j , при которой матрица

G jω

Re W1 jω

1

K1 , 0

,

(2.69)

положительно определена, где I, K, R, K1 находятся также как для импульсной НС САУ (см. соотношения (2.56)). 2.6. Пример аналитического исследования НС САУ В качестве примера рассмотрим НС САУ с ПД-регулятором, структура которой приведена на рис. 2.24. Для исследуемой системы приняты следующие допущения. 1. В качестве амплитудно-импульсного модулятора М используется модулятор с периодом выходных импульсов T0 0.1 и фиксатором нулевого порядка.

Рис. 2.24. НС САУ с ПД-регулятором

75

2. Параметры дискретного ПД-регулятора описываются 7-ю нечеткими продукционными правилами, задаваемые блоком Fuzzy: П1: если e* есть ―Z‖ и u есть ―Z‖ и

y

есть ―Z‖, то k p

1 и kD 1 ,

*

1 .5 и k D

2,

*

1 .5 и k D

2,

*

2 и kD

3,

*

2 и kD

3,

*

3 и kD

4,

*

3 и kD

4.

П2: если e есть ―Z‖ и u есть ―Z‖ и y есть ―N‖, то k p П3: если e есть ―Z‖ и u есть ―Z‖ и y есть ―P‖, то k p П4: если e есть ―Z‖ и u есть ―N‖ и y есть ―Z‖, то k p П5: если e есть ―Z‖ и u есть ―P‖ и y есть ―Z‖, то k p П6: если e есть ―N‖ и u есть ―Z‖ и y есть ―Z‖, то k p П7: если e есть ―P‖ и u есть ―Z‖ и y есть ―Z‖, то k p

В качестве функций принадлежности нечетких множеств ―Приблизительно нулевой‖ (Z), ―Отрицательный‖ (N), ―Положительный‖ (Р) применяются гауссовы функции принадлежности, описываемые формулами: для сигнала ошибки e* 2

*

Z

i N

*

e

exp

exp e* 5

1, при e*

i P

*

2 1, при e*

, при e*

5 ,

5

e* 5

exp

e

2 2

i e

2

e

e* , 2 52

2 2

i e

, при e*

5 ,

5

для выходного сигнала регулятора u

Z

u

exp

u , 2 52

i N

u 5

exp

2

u

2 1, при u

76

i e

2 2

5

, при u

5 ,

i P

u 5

exp u

2

2 2

i e

, при u 5 ,

1, при u 5 для выходного сигнала системы y

Z

y

exp

y , 2 52

i N

y 5

exp

2

y

2 1, при y

i P

y 5

exp y

2

i e

2 2

, при y

5 ,

5

2

i e

2

, при y 5 .

1, при y 5 Для сигнала ошибки e* приведем графики функций принадлежности нечетких множеств Z, N, P (графики функций принадлежности для сигналов u и y аналогичны) (см. рис. 2.25).

Рис. 2.25. Графики функций множества Z, N и Р для сигнала ошибки

принадлежности

нечетких 77

В качестве НЭ применяется нелинейность типа ―зона нечувствительности с ограничением‖, характеристика которой приведена на рис. 2.26.

Рис. 2.26. Характеристика нелинейного элемента Указанная характеристика описывается нелинейным уравнением:

v 0, где

нэ

u

нэ

u,

еcли u

0.5,

u 0.5 sign u ,

если 0.5 u 1.5 или 1.5 u

sign u , если u

1.5.

0.5 ,

(2.70) ЛДЗ описывается передаточной функцией W p

5 1 4p 1 5p

.

Получим математическую модель рассматриваемой системы. Используя формулы (2.23), перейдем от передаточной функции ЛДЗ W p к уравнениям в переменных состояния:

где A4

78

0 1 20

 dx t dt 1  9 , b2 20

 A4 x t 0 5 . 20

 b2 v t ,

(2.71)



Подставляя в формулы (2.17) матрицу А4 и вектор b 2 , перейдем от формулы (2.71) к разностному уравнению, описывающему ЛДЗ объекта управления:

 xk 1

 AОУ x k 0.786

bОУ v k ,  0.901 , bОУ 0.405 0.742

где AОУ

0.118 0.225

.

Таким образом, ЛДЗ описывается системой уравнений:

 xk 1 yk  где kОУ

 AОУ x k

bОУ v k ,

(2.72)

Т  kОУ xОУ k , T

1 0 .

Воспользовавшись уравнениями (2.7), (2.8), получим математическое описание дискретного ПД-регулятора:

   xПИД k 1 AПИД xПИД k bПИД e* k , T  u k k ПИД k xПИД k cПИД k e* k ,

где kI

(2.73)

0.

Четкие значения коэффициентов ПД-регулятора определяются формулами (2.9), (2.11) и (2.12): где





T

p

1 1.5 1.5 2 2 3 3 ,

T

D

1 2 2 3 3 4 4 ,

μe i e* , μu i u , μy i y определяются формулами (1.26), (1.27), (1.28) соответственно, с параметрами:

 ce  cy 

e

0 0 0 0 0

0  u

T

5 5 ,

 cu

0 0 0

T

5 5 0 0 ,

T

5 5 0 0 0 0 ,  T 5 5 5 5 5 5 5 . y

Получим математическую модель системы, изображенной на рис. 2.24, для чего запишем совместно уравнения (2.70), (2.72), (2.73), (2.9), (2.11), (2.12) и уравнение замыкания системы.

79

 bОУ v k ,

  xОУ k 1 AОУ xОУ k Т  y k kОУ xОУ k , v

нэ

u, еcли u

0, нэ

u

0.5,

u 0.5 sign u ,

если 0.5 u 1.5 или 1.5 u

sign u , если u

1.5.

0 .5 ,

   x ПИД k 1 AПИД x ПИД k bПИД e* k , T  u k k ПИД k x ПИД k c ПИД k e* k , m i 1

kP k

m

m

i μ fuzzy

i p

μ

, kD k

i 1 m

i fuzzy

i 1

xвх

μ

, i fuzzy

i 1

i μ fuzzy e* , u , y

ek

i μ fuzzy

i D

μe i e* μu i u μy i y ,

yk.

(2.74) Исследуем статику системы. Поскольку ЛДЗ объекта управления не имеет интегрирующих звеньев, то переменная состояния ОУ определяется следующим образом:

 xОУ уст  xОУ уст

 AОУ xОУ

I

AОУ

уст

1

 bОУ v

 bОУ v

уст

уст

.

(2.75)

Подставляя выражение (2.75) в формулу (1.30), получим выражение для выходного сигнала системы в установившемся режиме:

y

уст

Т kОУ

I

AОУ

1

 bОУ v

уст

0.555 v

уст

.

(2.76)

ПД-регулятор в статике представляет собой П-регулятор, поэтому формула (2.3) для П-регулятора в статике примет вид:

u уст

k Р уст e*уст .

(2.77)

Функции принадлежности в установившемся режиме имеют вид: 80

μ e уст i

e*уст

e*уст

exp

μ u уст u уст i

μ y уст y уст

,

50 2

cu i

u уст

exp

i

2

ce i

,

50

exp

2

cy i

y уст

.

50

Коэффициент П-регулятора определяется формулой: m

k Pуст

i 1

где

i мfuzzy уст

в

установившемся

режиме

i μ fuzzy уст

i p

i 1 m

(2.78)

μ

,

(2.79)

i fuzzyуст

определяется формулой (2.12) с учетом выражений

(2.78). Нелинейный элемент в установившемся режиме описывается следующим уравнением: v уст нэ u уст , 0, нэ

u уст

u уст

еcли u уст

0.5,

0.5 sign u уст , если 0.5 u уст

sign u уст , если u уст

1.5 или 1.5 u уст

0.5 ,

1.5.

(2.80) Получим математическую модель системы, изображенной на рис. 2.24 в установившемся режиме, для чего запишем совместно уравнения (2.75) – (2.80) и уравнение замыкания системы.

81

 xОУ y

I

уст

уст

u уст

0.555 v

уст

 bОУ v

уст

,

,

k Р уст e*уст ,

v уст

нэ

u уст , еcли u уст

0, нэ

1

AОУ

u уст

u уст

0.5,

0.5 sign u уст , если 0.5 u уст

sign u уст , если u уст i μ eуст e*уст

exp

μ yiуст y уст

exp

m

k Pуст

i p

i 1 m i 1

e*уст

ce i

c yi

y уст

50

xвх уст

, μ u iуст u уст

exp

u уст

cu i

2

50

,

2

,

i μ fuzzy уст i μ fuzzy уст

,

i μ fuzzy e*уст , u уст , y уст уст

e*уст

0.5 ,

1 .5 .

2

50

1.5 или 1.5 u уст

i i i μeуст e*уст μu уст u уст μy уст y уст ,

y уст .

(2.81) Рассмотрим стационарный режим при xвх 0 . Найдем для этой системы статический коэффициент передачи разомкнутой системы Kp . Для этого найдем, в начале, статический коэффициент ЛДЗ ОУ:

k yуст

5.

По формуле (2.26) найдем статический коэффициент НЭ: kнэ 0.667 . Поскольку в автономной системе в установившемся режиме все сигналы равны нулю, то по формулам (2.46) и (2.47) найдем e y коэффициенты k и k :

82

ke

kPуст

1.91 , k y

0.

Тогда воспользовавшись формулой (2.48) коэффициент передачи разомкнутой системы: K p 2.43 .

найдем

статический

Исследуем устойчивость системы. Для устойчивости системы ―в малом‖ необходимо и достаточно, чтобы собственные числа матрицы АСУ , определяемой формулой (2.43), были по модулю меньше 1. Для рассматриваемого примера матрица

АСУ

0.4331 0.9010 1.0779 0.7420 1 0

0.2022 0.3855 . 0

Собственные числа матрицы АСУ : 1

2 3

0.4750 0.8068 j , 0.4750 0.8068 j , 0.2251. Так как

1

2

0.9362

и

3

0.2251 , следовательно,

исследуемая система устойчива в малом. Для определения устойчивости системы в целом будем рассматривать систему, приведенную на рис. 2.27.

Рис. 2.27. Нелинейная импульсная система, используемая для определения устойчивости Импульсная передаточная функция ЛДЗ объекта управления может быть найдена с помощью формулы (2.53):

WОУ z

236 500z 371 3 344000z 316039

75 1000z 901 . 344000z 316039

На рис. 2.28 приведена схема эквивалентной системы для определения устойчивости. 83

Рис. 2.28. Схема эквивалентной системы для определения устойчивости в целом Передаточная функция системы на рис. 2.28 имеет вид:

W

*

j

* WОУ j * WОУ j 0

0 0 1

0 0 1 e

, j

где * WОУ j

236 (500 e j 371) 3 (344000 e j 316039)

75 1000 e j 901 . (344000 e j 316039)

Используя оценки (2.55), определим границы диапазонов изменения коэффициентов k P и k D :

kp kD

max k ip

3,

kp

max k Di

4,

kD

i 1, 2,, 7 i 1, 2,, 7

Примем, что нелинейность v

min k ip 1 ,

i 1, 2,, 7

min k Di 1 .

i 1, 2,, 7

нэ

u не выходит за пределы

заданного угла

arctg kнэ . Таким образом, нелинейная функция блока НЭ лежит в секторе kнэ 0 0.667 . Тогда для устойчивости системы, изображенной на рис. 2.27, необходимо чтобы матрица Q j , определяемая формулой (2.56), была положительна определена. Ниже на рис. 2.29 показаны области устойчивости системы в малом и целом. 84

Рис. 2.29. Области устойчивости системы в малом и целом Область, находящаяся ниже кривой 1, представляет собой область устойчивости в целом, определенная с помощью разработанного частотного критерия устойчивости. Область, находящаяся ниже кривой 2, представляет собой область устойчивости в целом, найденная путем имитационного моделирования. Область, находящаяся ниже кривой 3, представляет собой область устойчивости в малом. Вывод: в данном примере с помощью предложенного подхода анализа устойчивости удалось определить более 30% истинной области устойчивости системы в пространстве параметров.

85

2.7. Выводы по главе К основным результатам главы можно отнести следующее. 1. Получена математическая модель НС САУ в виде нелинейных векторно-матричных разностных уравнений. Найдены соотношения для нахождения элементов матриц и векторов, входящих в данные уравнения. 2. Проведен анализ статики нечетких супервизорных САУ на основе предложенной математической модели, позволившей получить соотношения, определяющие статическую точность рассматриваемого класса систем. 3. Показано, что для рассматриваемого класса нечетких супервизорных САУ анализ устойчивости в малом может быть проведен с помощью первого метода Ляпунова на основе полученных уравнений первого приближения. 4. Впервые показана и доказана возможность применения частотного критерия абсолютной устойчивости для анализа устойчивости в целом рассматриваемого класса нечетких супервизорных САУ, что позволяет аналитическим путем проводить анализ и синтез рассматриваемых систем. Проведено исследование жесткости полученных достаточных условий устойчивости на конкретном примере нечеткой супервизорной САУ с объектом управления второго порядка, показавшее, что с применением предложенного подхода в ряде случаев удается определить свыше 30% истинной области устойчивости системы в целом. 5. Получены условия, при выполнении которых устойчивость нечеткой супервизорной САУ может быть определена по ее непрерывной усредненной модели. Впервые показана возможность применения частотного критерия абсолютной устойчивости для анализа устойчивости в целом непрерывных нечетких супервизорных САУ.

86

3. СИНТЕЗ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЧЕТКИХ СУПЕРВИЗОРНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 3.1. Рекомендации по синтезу нечетких супервизорных САУ В настоящем параграфе описаны разработанные рекомендации по синтезу НС САУ на основе экспертного метода, разработанных аналитических методов исследования и процедуры параметрической оптимизации. Рассмотрим предлагаемые рекомендации по синтезу нечетких супервизорных систем управления. Исходными данными для синтеза являются: 1) модель объекта управления; 2) минимально допустимый коэффициент передачи разомкнутой системы k p 0 ; 3) критерий качества управления, подлежащий оптимизации J 0 (рассмотрены ниже); 4) ограничения, налагаемые на другие показатели качества управления J r J r 0 , r 1, 2, ..., p , где p – заданное целое положительное число. 5) множества

типовых

входных

сигналов

x0

и

возмущающих воздействий E . В качестве критериев качества управления могут использоваться прямые оценки качества – показатели качества, определяемые непосредственно по кривой переходного процесса: время переходного процесса, перерегулирование [18, 95]. Помимо прямых критериев качества управления можно использовать интегральные оценки качества [18, 95]. Разработанные рекомендации по синтезу НС САУ состоят в реализации следующих шагов. Шаг 1. На основе эмпирических представлений выбираются число нечетких продукционных правил базы знаний нечеткого супервизора. Шаг 2. Экспертный выбор параметров нечетких продукционных правил. Допускается выбирать лишь такие параметры продукционных правил, при которых замкнутая система устойчива в целом, согласно разработанному критерию устойчивости, и имеет коэффициент передачи разомкнутой системы k p k p 0 . Шаг 3. Путем имитационного моделирования синтезируемой системы управления адаптируются параметры следствий нечетких 87

продукционных правил, для достижения оптимального значения показателя качества управления J 0 :

J0

J r J r0 , k p k p0

Решение оптимизационной задачи осуществлено только численно (см. табл. 3.1).

min . (3.1)

может

(3.1) быть

Таблица 3.1 – Основные методы многоэкстремальной оптимизации Метод Суть метода Особенности Метод перебора Полный перебор всех Является наиболее (метод допустимых решений. универсальным сканирования) Если множество методом, в смысле [100, 101] допустимых решений – возможности связанное множество, то получения точного перебор осуществляется решения. Применим по заданной сетке. лишь для случая, когда множество перебираемых вариантов невелико. Практически не реализуем для задач большой размерности. Метод Перебор случайным В случае задач случайного образом выбираемых большой размерности поиска (метод или генерируемых практически позволяет Монте-Карло) значений. получить лишь грубые [100, 101] приближенные решения.

88

Таблица 3.1 – Основные методы многоэкстремальной оптимизации (продолжение) Метод Набросовый алгоритм (метод случайного наброса) [100]

Суть метода Многократное повторение процедуры локальной поисковой оптимизации, запускаемой из точек, выбираемых случайным образом, с последующим выбором наилучшего решения.

Метод сглаживания (метод фильтрации) [100]

Путем аппроксимации по нескольким точкам оптимизируемая функция заменяется ее одноэкстремальным приближением, которое оптимизируется с использованием одноэкстремальных методов. Аналогия с процессами, происходящими при термической обработке металлов.

Метод моделирования отжига [12, 60] Генетические алгоритмы [12, 60]

Моделирование процесса эволюции.

Метод поиска по образцу [102]

Детерминированная поисковая процедура, в чем-то напоминающая метод Хука-Дживса.

Особенности Достаточно эффективен, если целевая функция имеет небольшое количество локальных экстремумов с широкими областями притяжения. Эффективен, если глобальный экстремум доминирует над локальными по глубине и ширине.

Эффективен при большой размерности. Используется при обучении нейронных сетей. Достаточно эффективны, но требует правильной настройки параметров. Достаточно эффективен при малой и средней размерности задачи.

В настоящей работе в методике синтеза нечеткого супервизорного регулятора использован метод поиска по образцу, как один из самых эффективных и просто программно реализуемый из существующих методов.

89

Алгоритм поиска по образцу относится к классу детерминированных поисковых алгоритмов оптимизации многоэкстремальных функций. Прежде чем перейти к его описанию, приведем термины, характерные для данного алгоритма: образец, сетка, опрос. Под образцом понимается набор векторов, используемых алгоритмом для поиска наилучшей точки на каждой итерации. Пусть, например, в оптимизационной задаче заданы две независимых переменных. Тогда образец по умолчанию состоит из следующих векторов: v1 = [1 0], v2 = [0 1], v3 = [-1 0], v4 = [0 -1]. На каждом шаге алгоритма поиска по образцу исследуется набор точек, называемых сеткой, для поиска точки, в которой значение целевой функции меньше по сравнению с ранее найденным значением. Алгоритм формирует сетку следующим образом: 1) умножая векторы образца на скаляр, называемый размером сетки; 2) прибавляя полученные векторы к текущей базовой точке – точке, для которой на предыдущем шаге алгоритма значение целевой функции было наименьшим. Например, пусть для двумерного случая базовая точка имеет координаты [1.6 3.4], а текущий размер сетки равен четырем. Тогда для получения очередной сетки в алгоритме производится умножение векторов образца на 4 и суммирование полученных произведений с базовой точкой: [1.6 3.4] + 4 [1 0] = [5.6 3.4], [1.6 3.4] + 4 [0 1] = [1.6 7.4], [1.6 3.4] + 4 [-1 0] = [-2.4 3.4], [1.6 3.4] + 4 [0 -1] = [1.6 -0.6]. Вектор образца, задающий одну из точек такой сетки, называется направлением этой точки. На каждом шаге алгоритма, для всех точек сетки производится вычисление целевой функции. После чего найденное для них наименьшее значение целевой функции сравнивается со значением этой функции для базовой точки. Если для какой-то из точек сетки значение целевой функции оказывается меньше, чем для базовой точки, опрос признается успешным. Алгоритм поиска по образцу может быть описан следующим образом. 1. Задается некоторая начальная базовая точка, векторы образца и начальный шаг сетки, равный единице. 2. Определяются точки сетки. 3. Рассчитывается значение целевой функции в базовой точке. 4. Производится опрос точек сетки. В случае неудачного опроса переход к п. 6. 90

5. При успешном опросе определяется новая базовая точка, и шаг сетки увеличивается в два раза. 6. Шаг сетки уменьшается в два раза. 7. Проверяется выполнение условий останова алгоритма. В случае их невыполнения – переход к п. 2. 8. Окончание работы алгоритма, выдача результатов поиска. Алгоритм завершает свою работу при выполнении одного из следующих правил (критериев) останова: 1) размер сетки меньше допуска сетки, 2) число итераций, выполненных алгоритмом, достигло максимального числа итераций. 3.2. Программный комплекс для анализа и синтеза НС САУ На основании методов и алгоритмов, изложенных в главе 2 и разделе 3.1, был разработан программный пакет для численного анализа и синтеза нечетких супервизорных САУ. В качестве инструментального средства, используемого для написания программного пакета, использовалась система MATLAB 6.5 R13 c рядом пакетов расширений (toollbox) [103-112]. На рис. 3.1 показана структура данного программного пакета, а также модули системы MATLAB, необходимые для его работы. Структура исследуемой системы задается в виде S-модели в среде Simulink. В окне с моделью есть ряд дополнительных блоков-модулей, выполняющих различные функции анализа и синтеза НС САУ. Рассмотрим поподробнее эти дополнительные модули.

91

Рис. 3.1. Структура программного пакета для численного анализа и синтеза НС САУ

92

Рассмотрим модуль идентификации объекта управления. 1. Подмодуль идентификации при заданной нелинейной характеристики Для создания подмодуля идентификации при заданной нелинейной характеристики использовался пакет расширения System Identification Toolbox [106]. Данный подмодуль дает пользователю следующие возможности: 1) ввод экспериментальных данных (входного и выходного векторов блока ЛДЗ объекта управления, параметров НЭ), полученных с помощью активного эксперимента, описанного в [113]; 2) графическое отображение входных и выходных данных; 3) отображение логарифмических частотных характеристик модели; 4) построение графика нулей и полюсов; 5) получение наилучшей модели из ряда возможных вариантов моделей, полученных с помощью рекуррентного метода наименьших квадратов (РМНК); 6) проверка адекватности полученной модели; 7) преобразование описания модели объекта, полученной с помощью РМНК, к описанию в виде передаточной функции; 8) сохранение полученных параметров модели ОУ в рабочей области MATLAB и использование в дальнейшем при моделировании НС САУ в среде MATLAB. 2. Подмодуль идентификации при неизвестной нелинейной характеристики Для создания подмодуля использовался непосредственно язык MATLAB. Данный подмодуль предоставляет пользователю следующие возможности: 1) ввод экспериментальных данных, полученных в ходе рабочего процесса эксплуатации объекта; 2) получение модели ОУ с помощью алгоритма поиска по образцу; 3) сохранение полученных параметров модели ОУ в рабочей области MATLAB и использование в дальнейшем при моделировании НС САУ в среде MATLAB. Рассмотрим теперь подробнее модуль аналитического исследования НС САУ. 1. Подмодуль определения статических характеристик НС САУ Для создания подмодуля использовался непосредственно язык MATLAB. Данный подмодуль сделан в виде М-функции. Входными данными для нее являются параметры модели ОУ, полученные с помощью модуля идентификации ОУ, параметры ПИД-регулятора. Выходными данными являются значения статического коэффициента 93

передачи и статической точности системы, полученные с помощью методов, описанных во второй главе. 2. Подмодуль определения областей устойчивости Для создания подмодуля использовался непосредственно язык MATLAB. Данный подмодуль осуществляет построение областей устойчивости в малом и в целом в пространстве параметров или начальных условий. Предварительно пользователю необходимо задать название параметров или начальных условий, влияние которых исследуется, а также диапазон их изменения. Рассмотрим модуль синтеза НС САУ. Для создания модуля использовался непосредственно язык MATLAB. Данный подмодуль предоставляет пользователю следующие возможности: 1) ввод начальных значений следствий продукционных правил, подлежащих оптимизации; 2) сохранение полученных значений следствий продукционных правил в рабочей области MATLAB и использование в дальнейшем при моделировании НС САУ в среде MATLAB. 3.3. Численное исследование нечетких супервизорных САУ C помощью численных экспериментов рассмотрим, как меняются показатели качества управления у НС САУ и систем с линейными ПИД-регуляторами при изменении в процессе регулирования параметров объектов управления. В качестве показателей качества будут использоваться время переходного процесса, перерегулирование и интегральная квадратичная ошибка. Пример 3.1 Рассмотрим две системы. Первая система представляет собой замкнутую структуру, представленную на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Линейная система управления с ПД-регулятором

94

Вторая система представляет собой замкнутую структуру, представленную на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Нечеткая супервизорная система управления с ПДрегулятором Структурная схема объекта управления ОУ1 приведена на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Структурная схема объекта управления ОУ1 Нелинейный элемент НЭ – нелинейность типа ―насыщение‖, график которого приведен на рис. 3.5.

Рис. 3.5. График нелинейности из примера 3.1.

95

В процессе регулирования параметры объекта управления могут изменяться в пределах 10%. Посмотрим, как при этом будут меняться показатели качества обоих систем. Каждый параметр ПД-регулятора, приведенного на рис. 3.3, описывается тремя продукционными правилами. Коэффициент пропорциональной составляющей регулятора описывается следующими правилами: 1) если e есть N, то k p k p1 ; 2)

если e есть Z, то k p

k p2 ;

3)

если e есть P, то k p

k p3 .

Коэффициент дифференциальной составляющей регулятора описывается следующими правилами: 4) если de есть N, то k I k D1 ; 5)

если de есть Z, то kI

kD2 ; k D3 .

6) если de есть P, то kI В качестве функций принадлежности нечетких множеств ―Приблизительно нулевой‖ (Z), ―Отрицательный‖ (N) и ―Положительный‖ (P) применяются гауссовые функции принадлежности, графики которых приведены на рис. 3. 6. Структурная схема супервизорного ПД-регулятора с нечеткими параметрами приведена на рис. 3.7.

Рис. 3.6. Функции принадлежности нечетких множеств Z, N, P для примера 3.1. 96

Структурная схема супервизорного ПД-регулятора с нечеткими параметрами приведена на рис. 3.7.

Рис. 3.7. параметрами

Супервизорный

ПД-регулятор

с

нечеткими

Оптимизируем рассматриваемые системы по интегральной квадратичной ошибке. Для этого в Simulink 5.0 системы MATLAB 6.5 (R13) были смоделированы эти системы. Далее с помощью метода поиска по образцу оптимизировались следствия продукционных правил НС САУ – коэффициенты k p1 , k p 2 , k p 3 и k D1 , k D 2 , kD3 , а у линейной системы коэффициенты ПД-регулятора k p и k D . На вход систем подавался единичный скачок с амплитудой равной 5, начальные условия нулевые. Время переходного процесса определялось по вхождению в зону шириной 2% от установившегося значения. Интегральная квадратичная ошибка для линейной системы с ПД-регулятором с оптимальными параметрами k p 0.1297 и

0.2831 равна I 44 .1561 . Время переходного процесса у 2% . линейной САУ равно tпп 14.5 с, перерегулирование kD

Интегральная квадратичная ошибка для нечеткой супервизорной системы с ПД-регулятором с оптимальными параметрами 97

k p1 0.1897 ,

k p2

0.1897 ,

k p 3 1.1897

и

kD1 0.1731 ,

48.173 равна I 30 .7952 . Время переходного 14 % . процесса у НС САУ равно tпп 8 с, перерегулирование kD 2

0.1731, kD3

Ниже на рис. 3.8 приведены графики переходных процессов исследуемых систем при оптимальных коэффициентах передачи регуляторов.

Рис. 3.8. Графики переходных процессов системы с линейным ПД-регулятором и НС САУ с ПД-регулятором Вывод: введение нечеткого супервизора в рассматриваемую систему с ПД-регулятором позволяет уменьшить интегральную квадратичную ошибку на 43%. Переходный процесс в НС САУ затухает быстрее, чем в линейной САУ. Рассмотрим, как изменится интегральная квадратичная ошибка при варьировании значением коэффициента усиления объекта управления на 10%. Интегральная квадратичная ошибка для линейной системы с ПД-регулятором с оптимальными параметрами и коэффициентом усиления объекта управления kОУ 9 равна I 45 .1657 . Время переходного

процесса

перерегулирование 98

у

0% .

линейной

САУ

равно

tпп 10.5 с,

Интегральная квадратичная ошибка для нечеткой супервизорной системы с ПД-регулятором с оптимальными параметрами и коэффициентом усиления объекта управления kОУ 9 равна

31 .3051 . Время переходного процесса у НС САУ равно tпп 13 % . перерегулирование I

6 с,

Графики переходных процессов рассматриваемых систем приведены ниже на рис. 3.9. ПД-регулятором и НС САУ с ПД-регулятором при kОУ 9

Рис. 3.9. Графики переходных процессов системы с линейным ПД-регулятором и НС САУ с ПД-регулятором при kОУ 9 Вывод: при уменьшении коэффициента усиления объекта управления на 10 % ( kОУ

9 ) интегральная квадратичная ошибка в

линейной системе больше на 31%, чем в нечеткой супервизорной САУ. Переходной процесс в нечеткой супервизорной САУ затухает быстрее, чем в линейной САУ. 99

Рассмотрим теперь те же системы только с kОУ 11 . Интегральная квадратичная ошибка для линейной системы равна kинт 49.3020 . Перерегулирование линейной САУ равно

15 % . Интегральная квадратичная ошибка для нечеткой супервизорной системы равна I 31 .6916 . Время переходного процесса у НС САУ 21 % . равно tпп 8.5 с, перерегулирование Графики переходных процессов рассматриваемых систем приведены ниже на рис. 3.10.

Рис. 3.10. Графики переходных процессов системы с линейным ПД-регулятором и НС САУ с ПД-регулятором при kОУ 11

100

Вывод: при увеличении коэффициента усиления объекта управления на 10 % ( kОУ 11 ) интегральная квадратичная ошибка в линейной системе больше на 36%, чем в нечеткой супервизорной САУ. Переходной процесс в линейной САУ не затухает за время регулирования. Допустим, что в процессе регулирования постоянные времени объекта управления ОУ1 уменьшились на 10% ( T1 0.9, T2 0.09 ). Посмотрим, как при этом изменятся показатели качества систем рассматриваемых систем. Интегральная квадратичная ошибка для линейной системы равна I 45 .3282 . Время переходного процесса у линейной САУ 10 % . равно tпп 43 с, перерегулирование Интегральная квадратичная ошибка для нечеткой супервизорной системы равна I 30 .0376 . Время переходного процесса у НС САУ 14 % . равно tпп 10 с, а перерегулирование Графики переходных процессов рассматриваемых систем приведены ниже на рис. 3.11. Вывод: при уменьшении постоянных времени объекта управления ОУ1 на 10% интегральная квадратичная ошибка в линейной системе на 34% больше, чем в нечеткой супервизорной САУ. Переходный процесс в НС САУ затухает быстрее, чем в линейной САУ.

101

Рис. 3.11. Графики переходных процессов системы с линейным ПД-регулятором и НС САУ с ПД-регулятором Посмотрим, как изменятся показатели качества рассматриваемых систем при увеличении постоянных времени объекта управления ОУ1 на 10% ( T1 1.1, T2 0.11 ). Интегральная квадратичная ошибка для линейной системы равна I 44 .3054 . Время переходного процесса у линейной САУ 0.5% . равно tпп 13 с, перерегулирование Интегральная квадратичная ошибка для нечеткой супервизорной системы равна I 31 .6916 . Время переходного процесса у НС САУ 20 % . равно tпп 8.5 с, а перерегулирование Графики переходных процессов рассматриваемых систем приведены ниже на рис. 3.12.

102

Рис. 3.12. Графики переходных процессов рассматриваемых систем Вывод: при увеличении постоянных времени объекта управления ОУ1 на 10% интегральная квадратичная ошибка в линейной системе на 29% больше, чем в нечеткой супервизорной САУ. Переходный процесс в НС САУ затухает значительно быстрее, чем в линейной САУ. Общий вывод: при изменении в процессе регулирования параметров объекта управления ОУ1 система с нечетким супервизорным ПД-регулятором обладала лучшими показателями качества по сравнению с системой с линейным ПДрегулятором. Пример 3.2 Рассмотрим две системы. Первая система представляет собой замкнутую структуру, представленную на рис. 3.13.

103

Рис. 3.13. Линейная система управления с ПД-регулятором Вторая система представляет собой замкнутую структуру, представленную на рис. 3.14.

Рис. 3.14. Нечеткая супервизорная система управления с ПДрегулятором Структурная схема объекта управления ОУ2 приведена на рис. 3.15.

Рис. 3.15. Структурная схема объекта управления ОУ2 Нелинейный элемент НЭ – нелинейность типа ―насыщение‖, график которого приведен на рис. 3.5. 104

В процессе регулирования параметры объекта управления могут изменяться в пределах 10%. Посмотрим, как при этом будут меняться показатели качества обоих систем. Каждый параметр ПД-регулятора, приведенного на рис. 3.14, описывается тремя продукционными правилами. Коэффициент пропорциональной составляющей регулятора описывается следующими правилами: 1) если e есть N, то k p k p1 ; 2)

если e есть Z, то k p

k p2 ;

3)

если e есть P, то k p

k p3 .

Коэффициент дифференциальной составляющей регулятора описывается следующими правилами: 1) если de есть N, то k I k D1 ; 2)

если de есть Z, то kI

kD2 ; k D3 .

3) если de есть P, то kI В качестве функций принадлежности нечетких множеств ―Приблизительно нулевой‖ (Z), ―Отрицательный‖ (N) и ―Положительный‖ (P) применяются гауссовые функции принадлежности, графики которых приведены на рис. 3.16.

Рис. 3.16. Функции принадлежности нечетких множеств Z, N, P для примера 3.2

105

Структурная схема супервизорного ПД-регулятора с нечеткими параметрами приведена на рис. 3.7. Оптимизируем рассматриваемые системы по интегральной квадратичной ошибке. Для этого в Simulink 5.0 системы MATLAB 6.5 (R13) были смоделированы эти системы. Далее с помощью метода поиска по образцу оптимизировались следствия продукционных правил НС САУ – коэффициенты k p1 , k p 2 , k p 3 и k D1 , k D 2 , kD3 , а у линейной системы коэффициенты ПД-регулятора k p и k D . На вход систем подавался единичный скачок с амплитудой равной 5, начальные условия нулевые. Время переходного процесса определялось по вхождению в зону шириной 2% от установившегося значения. Интегральная квадратичная ошибка для линейной системы с ПД-регулятором с оптимальными параметрами k p 0.1789 и

0.1514 равна I 50 .2848 . Время переходного процесса у 45 % . линейной САУ равно tпп 27.5 с, перерегулирование kD

Интегральная квадратичная ошибка для нечеткой супервизорной системы с ПД-регулятором с оптимальными параметрами k p1 -0.2361 , k p 2 0.1389 , k p 3 0.29515 и kD1 0.1614 ,

0.1614 равна I 41 .2327 . Время переходного 17 % процесса у НС САУ равно tпп 13 с, перерегулирование kD 2

0.1614 , kD3

Ниже на рис. 3.17 приведены графики переходных процессов исследуемых систем при оптимальных коэффициентах передачи регуляторов.

106

Рис. 3.17. Графики переходных процессов системы с линейным ПД-регулятором и НС САУ с ПД-регулятором Вывод: введение нечеткого супервизора в рассматриваемую систему с ПД-регулятором позволяет уменьшить интегральную квадратичную ошибку на 18%. Переходный процесс в НС САУ затухает быстрее, чем в линейной САУ. Рассмотрим, как изменится интегральная квадратичная ошибка при варьировании значением коэффициента усиления объекта управления на 10%. Интегральная квадратичная ошибка для линейной системы с ПД-регулятором с оптимальными параметрами и коэффициентом усиления объекта управления kОУ 9 равна I 45 .3205 . Время переходного

процесса

у

линейной

САУ

равно

t пп

18.5 с,

39 % . перерегулирование Интегральная квадратичная ошибка для нечеткой супервизорной системы с ПД-регулятором с оптимальными параметрами и коэффициентом усиления объекта управления kОУ 9 равна

107

41 .5727 . Время переходного процесса у НС САУ равно tпп 10 с, 14 % . перерегулирование I

Графики переходных процессов рассматриваемых систем приведены ниже на рис. 3.18.

Рис. 3.18. Графики переходных процессов системы с линейным ПД-регулятором и НС САУ с ПД-регулятором при kОУ 9 Вывод: при уменьшении коэффициента усиления объекта управления на 10 % ( kОУ 9 ) интегральная квадратичная ошибка в линейной системе больше на 8%, чем в нечеткой супервизорной САУ. Переходной процесс в нечеткой супервизорной САУ затухает быстрее, чем в линейной САУ. Рассмотрим теперь те же системы только с kОУ 11 . Интегральная квадратичная ошибка для линейной системы равна I 66 .4014 . Время переходного процесса у линейной САУ 50 % . равно tпп 49.5 с, перерегулирование

108

Интегральная квадратичная ошибка для нечеткой супервизорной системы равна I 41 .9732 . Время переходного процесса у НС САУ 17 % . равно tпп 18 с, перерегулирование Графики переходных процессов рассматриваемых систем приведены ниже на рис. 3.19.

Рис. 3.19. Графики переходных процессов системы с линейным ПД-регулятором и НС САУ с ПД-регулятором при kОУ 11 Вывод: при увеличении коэффициента усиления объекта управления на 10 % ( kОУ 11 ) интегральная квадратичная ошибка в линейной системе больше на 37%, чем в нечеткой супервизорной САУ. Переходной процесс в нечеткой супервизорной САУ затухает значительно быстрее, чем в линейной САУ. Допустим, что в процессе регулирования постоянные времени объекта управления ОУ2 уменьшились на 10% ( T1 0.9, T2 0.27, T3 0.09 ). Посмотрим, как при этом изменятся показатели качества систем рассматриваемых систем. 109

Интегральная квадратичная ошибка для линейной системы равна I 45 .9227 . Время переходного процесса у линейной САУ 40 % . равно tпп 25 с, перерегулирование Интегральная квадратичная ошибка для нечеткой супервизорной системы равна I 39 .4292 . Время переходного процесса у НС САУ 11 % . равно tпп 12 с, а перерегулирование Графики переходных процессов рассматриваемых систем приведены ниже на рис. 3.20.

Рис. 3.20. Графики переходных процессов системы с линейным ПД-регулятором и НС САУ с ПД-регулятором

110

Вывод: при уменьшении постоянных времени объекта управления ОУ2 на 10% интегральная квадратичная ошибка в линейной системе на 14% больше, чем в нечеткой супервизорной САУ. Переходный процесс в НС САУ затухает быстрее, чем в линейной САУ. Посмотрим, как изменятся показатели качества рассматриваемых систем при увеличении постоянных времени объекта управления ОУ2 на 10% ( T1 1.1, T2 0.33, T3 0.11 ). Интегральная квадратичная ошибка для линейной системы равна I 55 .7487 . Время переходного процесса у линейной САУ 49 % . равно tпп 31.5 с, перерегулирование Интегральная квадратичная ошибка для нечеткой супервизорной системы равна I 43 .2334 . Время переходного процесса у НС САУ 21 % . равно tпп 14 с, а перерегулирование Графики переходных процессов рассматриваемых систем приведены ниже на рис. 3.21.

Рис. 3.21. Графики переходных процессов рассматриваемых систем Вывод: при увеличении постоянных времени объекта управления ОУ2 на 10% интегральная квадратичная ошибка в линейной системе на 23% больше, чем в нечеткой супервизорной 111

САУ. Переходный процесс в НС САУ затухает значительно быстрее, чем в линейной САУ. Общий вывод: при изменении в процессе регулирования параметров объекта управления ОУ2 система с нечетким супервизорным ПД-регулятором обладала лучшими показателями качества по сравнению с системой с линейным ПДрегулятором. Пример 3.3 Рассмотрим две системы. Первая система представляет собой замкнутую структуру, представленную на рис. 3.22.

Рис. 3.22. Линейная система управления с ПИ-регулятором Вторая система представляет собой замкнутую структуру, представленную на рис. 3.23.

Рис. 3.23. Нечеткая супервизорная система управления с ПИрегулятором Структурная схема объекта управления ОУ3 приведена на рис. 3.24. 112

Рис. 3.24. Структурная схема объекта управления ОУ3 Нелинейный элемент НЭ – нелинейность типа ―насыщение‖, график которого приведен на рис. 3.5. В процессе регулирования параметры объекта управления могут изменяться в пределах 10%. Посмотрим, как при этом будут меняться показатели качества обоих систем. Каждый параметр ПИ-регулятора, приведенного на рис. 3.23, описывается тремя продукционными правилами. Коэффициент пропорциональной составляющей регулятора описывается следующими правилами: 1) 2) 3)

e если e если e если

k p k p1 ; есть Z, то k p k p2 ; есть P, то k p k p3 . есть N, то

Коэффициент интегральной описывается следующими правилами:

составляющей

1)

если

e

есть N, то

kI

k I1 ;

2)

если

e

есть Z, то

kI

kI 2 ;

3)

если

e

есть P, то

kI

kI 3 .

регулятора

В качестве функций принадлежности нечетких множеств ―Приблизительно нулевой‖ (Z), ―Отрицательный‖ (N) и ―Положительный‖ (P) применяются гауссовые функции принадлежности, графики которых приведены на рис. 3.25. Структурная схема супервизорного ПИ-регулятора с нечеткими параметрами приведена на рис. 3.26.

113

Рис. 3.25. Функции принадлежности нечетких множеств Z, N, P для примера 3.3

Рис. 3.26. параметрами

114

Супервизорный

ПИ-регулятор

с

нечеткими

Оптимизируем рассматриваемые системы по интегральной квадратичной ошибке. Для этого в Simulink 5.0 системы MATLAB 6.5 (R13) были смоделированы эти системы. Далее с помощью метода поиска по образцу оптимизировались следствия продукционных правил НС САУ – коэффициенты k p1 , k p 2 , k p 3 и k I 1 , k I 2 , k I 3 , а у линейной системы коэффициенты ПИ-регулятора k p и kI . На вход систем подавался единичный скачок с амплитудой равной 5, начальные условия нулевые. Время переходного процесса определялось по вхождению в зону шириной 2% от установившегося значения. Интегральная квадратичная ошибка для линейной системы с ПИ-регулятором с оптимальными параметрами k p 0.1762 и

0.14777 равна I 35 .3477 . Время переходного процесса у 50 % . линейной САУ равно tпп 15.5 с, перерегулирование kI

Интегральная квадратичная ошибка для нечеткой супервизорной системы с ПИ-регулятором с оптимальными параметрами k p1 -1.2574 , k p 2 0.1762 , k p 3 0.9008 и kI1 0.1147 ,

0.0668 равна I 26 .8925 . Время переходного 15 % . процесса у НС САУ равно tпп 10 с, а перерегулирование kI 2

0.0678, kI 3

Ниже на рис. 3.27 приведены графики переходных процессов исследуемых систем при оптимальных коэффициентах передачи регуляторов. Вывод: введение нечеткого супервизора в рассматриваемую систему с ПИ-регулятором позволяет уменьшить интегральную квадратичную ошибку на 24%. Переходный процесс в НС САУ затухает быстрее, чем в линейной САУ.

115

Рис. 3.27. Графики переходных процессов системы с линейным ПИ-регулятором и НС САУ с ПИ-регулятором Рассмотрим, как изменятся показатели качества систем при варьировании значением коэффициента усиления объекта управления. Интегральная квадратичная ошибка для линейной системы с ПИ-регулятором с оптимальными параметрами и коэффициентом усиления объекта управления kОУ 9 равна I 32 .904 . Время переходного

процесса

у

линейной

САУ

равно

tпп 12 с,

22 % . перерегулирование Интегральная квадратичная ошибка для нечеткой супервизорной системы с ПИ-регулятором с оптимальными параметрами и коэффициентом усиления объекта управления kОУ 9 равна

I 27 .3406 . Время переходного процесса у НС САУ равно 14 % . tпп 7.5 с, а перерегулирование Графики переходных процессов рассматриваемых систем приведены ниже на рис. 3.28.

116

Рис. 3.28. Графики переходных процессов системы с линейным ПИ-регулятором и НС САУ с ПИ-регулятором при kОУ 9 Вывод: при уменьшении коэффициента усиления объекта управления на 10 % ( kОУ 9 ) интегральная квадратичная ошибка в линейной системе на 17% больше, чем в нечеткой супервизорной САУ. Переходный процесс в НС САУ затухает быстрее, чем в линейной САУ. Рассмотрим теперь те же системы только с kОУ 11 . Интегральная квадратичная ошибка для линейной системы равна I 40 .1329 . Время переходного процесса у линейной САУ 58 % . равно tпп 20.5 с, перерегулирование Интегральная квадратичная ошибка для нечеткой супервизорной системы равна I 27 .3087 . Время переходного процесса у НС САУ 23 % . равно tпп 10.5 с, а перерегулирование Графики переходных процессов рассматриваемых систем приведены ниже на рис. 3.29.

117

Рис. 3.29. Графики переходных процессов системы с линейным ПИ-регулятором и НС САУ с ПИ-регулятором при kОУ 11 Вывод: при увеличении коэффициента усиления объекта управления на 10 % ( kОУ 11 ) интегральная квадратичная ошибка в линейной системе на 32% больше, чем в нечеткой супервизорной САУ. Переходный процесс в НС САУ затухает быстрее, чем в линейной САУ. Допустим, что в процессе регулирования постоянные времени объекта управления ОУ3 уменьшились на 10% ( T1 0.9, T2 0.45 ). Посмотрим, как при этом изменятся показатели качества систем рассматриваемых систем. Интегральная квадратичная ошибка для линейной системы равна I 33 .529 . Время переходного процесса у линейной САУ равно 50 % . tпп 15.5 с, перерегулирование Интегральная квадратичная ошибка для нечеткой супервизорной системы равна I 26 .0084 . Время переходного процесса у НС САУ 17 % . равно tпп 7 с, а перерегулирование Графики переходных процессов рассматриваемых систем приведены ниже на рис. 3.30. 118

Рис. 3.30. Графики переходных процессов системы с линейным ПИ-регулятором и НС САУ с ПИ-регулятором Вывод: при уменьшении постоянных времени объекта управления ОУ3 на 10% интегральная квадратичная ошибка в линейной системе на 22% больше, чем в нечеткой супервизорной САУ. Переходный процесс в НС САУ затухает быстрее, чем в линейной САУ. Посмотрим, как измениться интегральная квадратичная ошибка у систем при увеличении постоянных времени объекта управления ОУ3 на 10% ( T1 1.1, T2 0.55 ). Интегральная квадратичная ошибка для линейной системы равна I 37 .5698 . Время переходного процесса у линейной САУ 51 % . равно tпп 16.5 с, перерегулирование Интегральная квадратичная ошибка для нечеткой супервизорной системы равна I 27 .9298 . Время переходного процесса у НС САУ 14 % . равно tпп 11 с, а перерегулирование Графики переходных процессов рассматриваемых систем приведены ниже на рис. 3.31.

119

Рис. 3.31. Графики переходных процессов рассматриваемых систем Вывод: при увеличении постоянных времени объекта управления ОУ3 на 10% интегральная квадратичная ошибка в линейной системе на 26% больше, чем в нечеткой супервизорной САУ. Переходный процесс в НС САУ затухает быстрее, чем в линейной САУ. Общий вывод: при изменении в процессе регулирования параметров объекта управления ОУ3 система с нечетким супервизорным ПИ-регулятором обладала лучшими показателями качества по сравнению с системой с линейным ПИ-регулятором. Пример 3.4 Рассмотрим две системы. Первая система представляет собой замкнутую структуру, представленную на рис. 3.32.

120

Рис. 3.32. Линейная система управления с ПИ-регулятором Вторая система представляет собой замкнутую структуру, представленную на рис. 3.33.

Рис. 3.33. Нечеткая супервизорная система управления с ПИрегулятором Структурная схема объекта управления ОУ4 приведена на рис. 3.34.

Рис. 3.34. Структурная схема объекта управления ОУ4 Нелинейный элемент НЭ – нелинейность типа ―насыщение‖, график которого приведен на рис. 3.5. В процессе регулирования параметры объекта управления могут изменяться в пределах 10%. Посмотрим, как при этом будут меняться показатели качества обоих систем. 121

Каждый параметр ПИ-регулятора, приведенного на рис. 3.33, описывается тремя продукционными правилами. Коэффициент пропорциональной составляющей регулятора описывается следующими правилами: 1) если e есть N, то k p k p1 ; 2)

если e есть Z, то k p

k p2 ;

3)

если e есть P, то k p

k p3 .

Коэффициент интегральной составляющей описывается следующими правилами: 4) если e есть N, то kI kI 1 ; 5)

если

e есть Z, то kI

kI 2 ;

6)

если

e есть P, то kI

kI 3 .

регулятора

В качестве функций принадлежности нечетких множеств ―Приблизительно нулевой‖ (Z), ―Отрицательный‖ (N) и ―Положительный ‖ (P) применяются гауссовые функции принадлежности, графики которых приведены на рис. 3.35.

Рис. 3.35. Функции принадлежности нечетких множеств Z, N, P для примера 3.4 Структурная схема супервизорного нечеткими параметрами приведена на рис. 3.26. 122

ПИ-регулятора

с

Оптимизируем рассматриваемые системы по интегральной квадратичной ошибке. Для этого в Simulink 5.0 системы MATLAB 6.5 (R13) были смоделированы эти системы. Далее с помощью метода поиска по образцу оптимизировались следствия продукционных правил НС САУ – коэффициенты k p1 , k p 2 , k p 3 и k I 1 , k I 2 , k I 3 , а у линейной системы коэффициенты ПИ-регулятора k p и kI . На вход систем подавался единичный скачок с амплитудой равной 5, начальные условия нулевые. Время переходного процесса определялось по вхождению в зону шириной 2% от установившегося значения. Интегральная квадратичная ошибка для линейной системы с ПИ-регулятором с оптимальными параметрами k p 0.1254 и

0.0782 равна I 45 .9896 . Время переходного процесса у 24 % . линейной САУ равно tпп 20 с, перерегулирование kI

Интегральная квадратичная ошибка для нечеткой супервизорной системы с ПИ-регулятором с оптимальными параметрами k p1 -0.4058 , k p 2 0.1254 , k p 3 0.3442 и kI1 0.0951,

0.0482 равна I 38 .4801 . Время переходного 17 % . процесса у НС САУ равно tпп 9.5 с, а перерегулирование kI 2

0.0482, kI 3

Ниже на рис. 3.36 приведены графики переходных процессов исследуемых систем при оптимальных коэффициентах передачи регуляторов.

123

Рис. 3.36. Графики переходных процессов системы с линейным ПИ-регулятором и НС САУ с ПИ-регулятором Вывод: введение нечеткого супервизора в рассматриваемую систему с ПИ-регулятором позволяет уменьшить интегральную квадратичную ошибку на 16%. Переходный процесс в НС САУ затухает быстрее, чем в линейной САУ. Рассмотрим, как изменятся показатели качества систем при варьировании значением коэффициента усиления объекта управления. Интегральная квадратичная ошибка для линейной системы с ПИ-регулятором с оптимальными параметрами и коэффициентом усиления объекта управления kОУ 9 равна I 43 .3098 . Время переходного

процесса

у

линейной

САУ

равно

tпп 13 с,

перерегулирование Интегральная квадратичная ошибка для нечеткой супервизорной системы с ПИ-регулятором с оптимальными параметрами и

35 % .

9

равна

39 .1273 . Время переходного процесса у НС САУ равно tпп 9% . а перерегулирование

9.5 с,

коэффициентом усиления объекта управления

I

124

kОУ

Графики переходных процессов рассматриваемых систем приведены ниже на рис. 3.37. Вывод: при уменьшении коэффициента усиления объекта управления на 10 % ( kОУ 9 ) интегральная квадратичная ошибка в линейной системе на 9% больше, чем в нечеткой супервизорной САУ. Переходный процесс в НС САУ затухает быстрее, чем в линейной САУ.

Рис. 3.37. Графики переходных процессов системы с линейным ПИ-регулятором и НС САУ с ПИ-регулятором при kОУ 9 Рассмотрим теперь те же системы только с kОУ 11 . Интегральная квадратичная ошибка для линейной системы равна I 50 .7517 . Время переходного процесса у линейной САУ 53 % . равно tпп 23 с, перерегулирование Интегральная квадратичная ошибка для нечеткой супервизорной системы равна I 38 .9558 . Время переходного процесса у НС САУ 25 % . равно tпп 9.5 с, а перерегулирование Графики переходных процессов рассматриваемых систем приведены ниже на рис. 3.38.

125

Рис. 3.38. Графики переходных процессов системы с линейным ПИ-регулятором и НС САУ с ПИ-регулятором при kОУ 11 Вывод: при увеличении коэффициента усиления объекта управления на 10 % ( kОУ 11 ) интегральная квадратичная ошибка в линейной системе на 29% больше, чем в нечеткой супервизорной САУ. Переходный процесс в НС САУ затухает быстрее, чем в линейной САУ. Допустим, что в процессе регулирования постоянные времени объекта управления ОУ4 уменьшились на 10% ( T1 0.9, T2 0.27, T3 0.09, T4 0.45 ). Посмотрим, как при этом изменятся показатели качества систем рассматриваемых систем. Интегральная квадратичная ошибка для линейной системы равна I 42 .1291 . Время переходного процесса у линейной САУ 22 % . равно tпп 16 с, перерегулирование Интегральная квадратичная ошибка для нечеткой супервизорной системы равна I 36 .415 . Время переходного процесса у НС САУ 17 % . равно tпп 9 с, а перерегулирование Графики переходных процессов рассматриваемых систем приведены ниже на рис. 3.39. 126

Рис. 3.39. Графики переходных процессов системы с линейным ПИ-регулятором и НС САУ с ПИ-регулятором Вывод: при уменьшении постоянных времени объекта управления ОУ4 на 10% интегральная квадратичная ошибка в линейной системе на 14% больше, чем в нечеткой супервизорной САУ. Переходный процесс в НС САУ затухает быстрее, чем в линейной САУ. Посмотрим, как измениться интегральная квадратичная ошибка у систем при увеличении постоянных времени объекта управления ОУ4 на 10% ( T1 1.1, T2 0.33, T3 0.11, T4 0.55 ). Интегральная квадратичная ошибка для линейной системы равна I 50 .1446 . Время переходного процесса у линейной САУ 57 % . равно tпп 19.5 с, перерегулирование Интегральная квадратичная ошибка для нечеткой супервизорной системы равна I 40 .7513 . Время переходного процесса у НС САУ 18 % . равно tпп 10 с, а перерегулирование Графики переходных процессов рассматриваемых систем приведены ниже на рис. 3.40.

127

Рис. 3.40. Графики переходных процессов рассматриваемых систем Вывод: при увеличении постоянных времени объекта управления ОУ4 на 10% интегральная квадратичная ошибка в линейной системе на 19% больше, чем в нечеткой супервизорной САУ. Переходный процесс в НС САУ затухает быстрее, чем в линейной САУ. Общий вывод: при изменении в процессе регулирования параметров объекта управления ОУ4 система с нечетким супервизорным ПИ-регулятором обладала лучшими показателями качества по сравнению с системой с линейным ПИ-регулятором. Пример 3.5 Для исследования преимуществ НС САУ был разработан и реализован имитационный эксперимент, заключающийся в повторении N опытов, состоящих в следующем: случайным образом с вероятностью P 0.5 выбиралась одна из передаточных функций ЛДЗ объекта управления:

WОУ 5 p

kОУ e p , 1 pT1 1 pT2 1 pT3

WОУ 6 p

kОУ e p 1 pT1 1 pT2

128

p

,

со случайными параметрами, распределенными по равномерному закону в интервалах kОУ 1, 10 , T1 0.1, 5 , T2 0.1, 5 ,

T3

0.1, 5 ,

0.1, 2 .

Для объекта управления с передаточной функцией WОУ 5 p синтезировались две САУ со структурами, представленными на рис. 3.41 и рис. 3.42.

Рис. 3.41. Система управления с линейным дискретным ПИрегулятором Нелинейный элемент НЭ представляет собой звено типа ―насыщение‖, график которого приведен на рис. 3.5.

Рис. 3.42. НС САУ с ПИ-регулятором Структурная схема дискретного нечеткого супервизорного ПИрегулятора приведена на рис. 3.43.

129

Рис. 3.43. Структурная схема дискретного нечеткого супервизорного ПИ-регулятора Для объекта управления с передаточной функцией WОУ 6 p синтезировались две САУ со структурами, представленными на рис. 3.44 и рис. 3.45.

130

Рис. 3.44. Система управления с линейным дискретным ПДрегулятором

Рис. 3.45. НС САУ с ПД-регулятором Структурная схема нечеткого супервизорного ПД-регулятора приведена на рис. 3.46. Каждая из синтезированных САУ настраивалась по критерию обеспечения минимума интегральной квадратичной ошибки управления: t пп

e 2 t dt

I

min .

0

131

Рис. 3.46. Структурная супервизорного ПД-регулятора

схема

дискретного

нечеткого

В результате описанного опыта определялся критерий качества управления для нечеткого супервизорного регулятора I НС и критерий качества управления для традиционного регулятора I ПД / ПИ , после чего вычислялось относительное уменьшение интегральной квадратичной ошибки за счет применения нечеткого супервизора:

I ПД / ПИ i i

I НС i

I ПД / ПИ i

100 % , i – номер опыта (i=1, 2, … N).

Обработка результатов описанного имитационного эксперимента состояла в вычислении среднего уменьшения интегральной квадратичной ошибки: ср

N

1 N

i i 1

и доверительного интервала нахождения формуле [114]:

I где t 132

ср

t

arg

ср

*

;

1 2

ср

,

t

ср

,

ср

, определяемого согласно

*

– функция нормального распределения,

– доверительная вероятность. Применение в данном случае известных из математической статистики формул для вычисления доверительного интервала является корректным в виду того, что случайную величину ср согласно центральной предельной теореме можно считать распределенной по нормальному закону [114]. Возьмем доверительную вероятность равной 0.95 , тогда

t

1.960 .

Проведя обработку результатов имитационного эксперимента, было получено следующее: при количестве опытов N=1000 среднее улучшение интегральной квадратичной ошибки ср 14 .3 % . Оценка дисперсии среднего улучшения интегральной квадратичной ошибки может быть вычислена по формуле: N

~ D

2 i

ср

i 1

N 1

.

Подставив в последнюю формулу численные значения, получим

~ D

2

45 .8 % .

Среднеквадратическое отклонение улучшенной интегральной квадратичной ошибки определяется следующим образом ср

~ D . N

Подставляя в последнюю формулу численные значения, получаем ср

0.214 %.

Доверительный интервал улучшения интегральной 13 .88 % ; 14.72 % с доверительной квадратичной ошибки равен I

0.95 . вероятностью Вывод: введение нечеткого супервизора в систему с ПИД-регулятором позволяет уменьшить интегральную квадратичную ошибку в среднем на 14.3 %.

133

3.4.

Выводы по главе

К основным результатам главы можно отнести следующее. 1. Приведены разработанные рекомендации по синтезу САУ с нечеткими супервизорными регуляторами. Синтез НС САУ состоит в экспертном выборе базы знаний системы нечеткого логического вывода регулятора в соответствии с условиями обеспечения заданных статических характеристик и устойчивости системы с последующей оптимальной настройкой параметров регулятора. 2. Рассмотрен разработанный программный пакет для анализа и синтеза НС САУ. Указанный программный пакет содержит следующие модули: модуль идентификации объектов управления, модуль анализа статических характеристик и устойчивости систем, модуль синтеза регуляторов. 3. Путем проведения специально организованных имитационных экспериментов установлено, что введение нечеткого супервизора в САУ с ПИД-регулятором позволяет значительно улучшить показатели качества управления (в частности, интегральная квадратичная ошибка может быть уменьшена в среднем более чем на 14%).

134

4. НЕЧЕТКИЕ АВТОМАТИЧЕСКОГО ТЕРМОСТАТОМ

СУПЕРВИЗОРНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ЛАБОРАТОРНЫМ

4.1. Описание лабораторного термостата Лабораторный термостат ЛТН-02М предназначен для обеспечения теплового режима стеклянных вискозиметров при определении вязкости нефтепродуктов в области положительных температур. Термостат может быть использован в составе анализаторов состава и свойств жидких сред [115, 116]. Рассмотрим устройство и принцип действия термостата. Термостат конструктивно состоит из двух блоков: термостатирующей бани и блока управления (см. рис. 4.1 и рис. 4.2).

Рис. 4.1. Термостат. Вид спереди

135

Рис. 4.2. Термостат. Вид сверху В блоке управления 7 сосредоточены электронные схемы, осуществляющие управление температурными режимами в термостатирующей бане. На верхней крышке находится отверстие для доступа к регулировочному потенциометру, закрытое в обычных условиях крышкой 20. Термостатирующая баня 2 предназначена для размещения в ней вискозиметров и поддержания в них заданной температуры с высокой точностью. Основой бани (см. рис. 4.3) является 10-ти литровый стеклянный сосуд (банка), заполненный глицерином. Сосуд 32 установлен на термоизолирующем основании 33, горизонтальность которого обеспечивается тремя винтовыми опорами 35. Снаружи сосуд окружен прозрачным экраном 31. Всѐ это установлено на отдельном основании 1 с четырьмя регулируемыми ножками 34.

136

Рис. 4.3. Устройство термостатирующей бани Внутри сосуда на специальной подставке 30 находится внутренняя обечайка 22 внутри которой и создаѐтся рабочий объѐм с равномерным тепловым полем. Равномерность теплового поля обеспечивается теплообменником 25, укреплены на крышке 3 термостатирующей бани. Подвод тепла происходит посредством бытового электронагревателя 24, циркуляция – вертушкой 28, сидящей на оси 27, и приводимой в движение электродвигателем 4. Для выравнивания гидродинамического потока теплоносителя в ванне служит крестовина 23 решетка 21 и рассекатель 29. Если необходимо термостатирование при низких температурах, охлаждающий змеевик 26 подключается к холодной воде из водопровода. Общая термоизоляция рабочей зоны обеспечивается снизу и сверху днищем 33 и крышкой 3, выполненными из термоизоляционных материалов, и банкой 32 с прозрачными внутренней 22 и внешней 31 обечайками по бокам. При включении термостата рабочая жидкость нагревается кипятильником и при помощи вертушки внутри 137

теплообменника гонится сверху вниз. При помощи рассекателя поток разделяется таким образом, что часть его поступает в рабочую зону, а другая в пространство между внутренней обечайкой и стенками банки. Таким образом, первый слой термоизоляции "рабочей зоны" осуществляется потоком теплоносителя практически той же температуры, что и в зоне. А так как при теплоотдаче тепловые потери пропорциональны разности температур, то в нашем случае они сведены к минимуму. Второй слой термоизоляции – воздушный. Им служит слой воздуха между банкой и наружной обечайкой. Для регулирования рабочей температуры предназначен термодатчик в виде платинового термометра сопротивления 14, также закреплѐнного на крышке и размещѐнного внутри рабочей зоны перед теплообменником. Для контроля рабочей температуры используется высокоточный лабораторный термометр типа ТР, для чего на крышке предусмотрено специальное гнездо 3 для его установки и визирное устройство 6 для точного наблюдения. Вискозиметры устанавливаются в специальные вискозиметрические ячейки 13, для которых в крышке ванны предусматриваются специальные посадочные отверстия (см. рис. 4.4). В корпусе 38 имеются два отверстия большего и меньшего размеров, в которые продеваются концы вискозиметра 40. Тонкая трубка вискозиметра фиксируется зажимным устройством 39, таким образом, чтобы контрольные резервуары вискозиметра при установке в ячейки в термостат находились не менее чем на 20 мм ниже уровня термостатирующей жидкости. Собранная ячейка устанавливается на крышке термостата.

138

Рис. 4.4. Ячейка вискозиметрическая с вискозиметром Рассмотрим основные принципы работы электронной схемы термостата. Функциональная схема термостата представлена на рисунке 4.5. В качестве датчика температуры используется платиновый терморезистор, сопротивление которого с помощью высокоточного аналого-цифрового преобразователя (АЦП) преобразуется в код. Этот код вводится в микроконтроллер. Температура термостатирования устанавливается переключателем температуры нагревания, который является кодовым переключателем. Его код также вводится в микроконтроллер. Микроконтроллер работает под управлением программы, которая осуществляет пропорционально-интегральное управление температурой.

139

Рис. 4.5. Функциональная схема термостата Результатом работы пропорционально-интегрального регулятора является код, выводимый из микроконтроллера на цифроаналоговый преобразователь (ЦАП) регулятора. ЦАП регулятора преобразует этот код в напряжение, которое сравнивается компаратором регулятора с пилообразным напряжением, сформированным формирователем пилообразного напряжения. Частота пилообразного напряжения составляет 100 Гц и является частотой переключения оптронного ключа. Выходное напряжение ЦАП регулятора, таким образом, определяет, какую часть периода пилообразного напряжения оптронный ключ замкнут, а какую часть разомкнут, т.е. задаѐт уровень мощности на нагревателе. В термостате предусмотрена защита от перегрева. С этой целью используется другой датчик температуры – терморезистор, включенный в одно плечо делителя напряжения Падение напряжения на этом плече сравнивается компаратором перегрева с выходным напряжением ЦАП перегрева, управляемым кодом переключателя температуры нагревания. Схема ЦАП перегрева рассчитана так, чтобы температура перегрева, при которой срабатывает схема защиты, была примерно на 10°С выше температуры термостатирования При срабатывании схемы защиты компаратор перегрева размыкает оптронный ключ, тем самым, отключая нагреватель от сети. Из-за нелинейности эксплуатационных характеристик термодатчика, для обеспечения высокой точности измерения рабочей температуры требуется дополнительная подстройка. Для этого предусмотрено пять подстроечных потенциометров (пять для стандартных температур 20, 40, 50, 80 100°С). Это дает возможность один раз предварительно отрегулировать 140

для каждого из стандартных значений и освободить лаборанта от необходимости подстройки при переходе с одной рабочей температуры на другую. При работе на промежуточных значениях такая регулировка необходима в каждом конкретном случае. Подключение подстроенных потенциометров осуществляется посредством подвижной перемычки ―джампера‖, установленной в соответствующее промаркированное положение Кроме того, микроконтроллер осуществляет вывод на индикатор текущей температуры. В приборе реализована схема динамической индикации. Основные технические характеристики термостата [115, 116]:  Термостат рассчитан на эксплуатацию при температуре окружающего воздуха от плюс 10 до плюс 25оС.  Атмосферное давление от 630 до 800 мм. рт. ст.  Температура термостатирования от 20 до 130 оС с дискретностью 1оС.  Отклонение температуры от установленной оС 0.01.  Количество одновременно устанавливаемых стеклянных вискозиметров до 4-х шт.  Время установления рабочего режима – 1.5 ч.  Питание термостата должно осуществляться от сети 22

переменного тока частотой (50 1) Гц напряжением ( 220 33 ) В.  Потребляемая мощность термостата не более – 850 ВА. Габаритные размеры термостатирующей бани 350x326x600 (мм) и масса 16 кг. 4.2. Методика синтеза лабораторным термостатом

нечеткой

супервизорной

САУ

Объектом управления в рассматриваемой системе является термостатирующая баня с размещенными в ней вискозиметрами. Структурная схема объекта управления приведена на рис. 4.6.

Рис. 4.6. Структурная схема объекта управления 141

Входным сигналом объекта управления является относительное о напряжение, подаваемое на нагреватель u нагр % , а выходным tвых (t )

– температура, поддерживаемая в термостатирующей бане. Задачей управления является поддержание в термостатирующей бане заданной о

температуры tвх (t ) . E t – аддитивная случайная помеха, отражающая действие не учитываемых факторов (шум наблюдения). Параметры нелинейного элемента определялись с помощью активного эксперимента. В результате проведенного эксперимента были определены параметры нелинейного элемента, график которого приведен на рис. 4

Рис. 4.7. График нелинейного элемента Приведенная характеристика нелинейного элемента приведена на рис. 4.8.

Рис. 4.8. Приведенная характеристика нелинейного элемента 142

Определив параметры НЭ и используя экспериментальные данные

о , можно установить пары uнагр , tвых i i

применяя к набору пар

о v i , tвых i

о v i , tвых . Далее i

рекуррентный метод наименьших

квадратов, была проведена параметрическая идентификация блока ЛДЗ объекта управления. Передаточная функция ЛДЗ объекта управления имеет вид:

k e p . 1 pT

WОУ p

(4.1)

В результате проведенной параметрической идентификации объекта управления были получены следующие параметры объекта: постоянная времени инерционного звена T 52 мин, коэффициент 2 мин. усиления инерционного звена k 3 , время запаздывания Для улучшения качества работы лабораторного термостата была поставлена задача разработать нечеткую супервизорную систему управления лабораторным термостатом. Для разработки нечеткого супервизорного регулятора для лабораторного термостата воспользуемся методикой синтеза регулятора, описанной в разделе 3.1. Поскольку в промышленном лабораторном термостате применяется ПИ-регулятор, поэтому в разрабатываемой системе также применим ПИ-регулятор, каждый параметр которого будет описываться тремя продукционными правилами. Коэффициент пропорциональной составляющей регулятора описывается следующими правилами: 1) если

* tвх есть N, то k p

k p1 ;

2) если

* tвх

есть Z, то k p

k p2 ;

3) если

* tвх

есть P, то k p

k p3 .

Коэффициент интегральной описывается следующими правилами:

составляющей

1) если

* есть N, то kI tвх

kI 1 ;

2) если

* есть Z, то kI tвх

kI 2 ;

3) если

* есть P, то kI tвх

kI 3 .

регулятора

В качестве функций принадлежности нечетких множеств ―Приблизительно нулевой‖ (Z), ―Отрицательный‖ (N) и ― Положительный‖ (P) для сигнала ошибки применяются гауссовые функции принадлежности, описываемые формулами:

143

N

* tвх

exp

* tвх 1 2 602

* 1, при tвх

* tвх

Z

P

tвх*

2 tвх* 2

exp

2 60

exp

Для

сигнала

* tвх

* , при tвх

1 ,

1 ,

tвх* 1 2 602

* 1, при tвх

2

(4.2) 2 * , при tвх 1

.

1

используются

аналогичные

функции

принадлежности, что и для сигнала ошибки, только вместо переменной * tвх в формулах

(4.1) – (4.3), используется переменная

* . tвх

Структурная схема НС ПИ-регулятора такая же, как на рис. 3.43. Схема НС САУ лабораторным термостатом представлена на рис. 4.9.

Рис. 4.9. Структурная схема нечеткой супервизорной САУ лабораторным термостатом Следующим шагом синтеза нечеткого супервизорного регулятора является настройка следствий нечетких продукционных правил. Для этого воспользовались разработанным программным пакетом для анализа и синтеза НС САУ, описанным в разделе 3.2. На систему накладывались следующие ограничения: нулевое перерегулирование. Начальные условия нулевые. Входным сигналом являлся единичный скачок температуры с различной амплитудой. В 144

качестве амплитуд были взяты значения 20оС, 40оС, 60оС, 80оС и 100оС. В результате проведенной настройки параметров нечеткого супервизорного ПИ-регулятора, были получены следующие значения параметров, а именно:

k p1

2.1184 , k p 2

kI1

0.28466, k I 2

2.1309 , k p 3

2.143 ,

0.050445, kI 3

0.1516.

Далее был проведен эксперимент, сравнивающий по быстродействию промышленный лабораторный термостат с нечетким супервизорным лабораторным термостатом. При этом температура термостатирования была взята равной 60оС. Время переходного процесса для промышленного лабораторного термостата составило tпп 75 мин, а для лабораторного термостата с нечетким супервизорным ПИ-регулятором – tпп 49 мин. Таким образом, введение в систему управления лабораторным термостатом нечеткого супервизорного ПИ-регулятора позволяет уменьшить время переходного процесса более чем на 34% по сравнению со временем переходного процесса промышленного лабораторного термостата. Графики переходных процессов в исследуемых системах приведены на рис. 4.10.

Рис. 4.10. Графики переходных процессов в исследуемых системах 145

4.4. Выводы по главе К основным результатам главы относятся. 1. Рассмотрены устройство и принцип действия лабораторного термостата ЛТН-02М. Приведены основные технические характеристики термостата. 2. Описан синтез нечеткой супервизорной САУ лабораторным термостатом. 3. Приведены результаты экспериментальных исследований, показавших, что введение в систему управления лабораторным термостатом нечеткого супервизора позволяет уменьшить время переходного процесса в среднем более чем на 34% по сравнению со временем переходного процесса в промышленном лабораторном термостате с традиционным ПИ-регулятором.

146

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Основные результаты, излорженные в монографии, можно отразить в следующих выводах. 1. Получена математическая модель нечеткой супервизорной САУ в виде нелинейных векторно-матричных разностных уравнений. Найдены соотношения для нахождения элементов матриц и векторов, входящих в данные уравнения. 2. Проведен анализ статики нечетких супервизорных САУ на основе предложенной математической модели, позволившей получить соотношения, определяющие статическую точность рассматриваемого класса систем. 3. Показано, что для рассматриваемого класса нечетких супервизорных САУ анализ устойчивости в малом может быть проведен с помощью первого метода Ляпунова на основе полученных уравнений первого приближения. 4. Впервые показана и доказана возможность применения частотного критерия абсолютной устойчивости для анализа устойчивости в целом рассматриваемого класса импульсных нечетких супервизорных САУ, что позволяет аналитическим путем проводить анализ и синтез рассматриваемых систем. Проведено исследование жесткости полученных достаточных условий устойчивости на примере нечеткой супервизорной САУ с объектом управления второго порядка, показавшее, что с применением предложенного подхода в ряде случаев удается определить свыше 30% истинной области устойчивости системы. 5. Получены условия, при выполнении которых устойчивость в малом нечеткой супервизорной САУ может быть определена по ее непрерывной усредненной модели. Впервые показана возможность применения критерия абсолютной устойчивости, базирующегося на критерии устойчивости Попова (вертикальный критерий), для анализа устойчивости в целом непрерывной модели нечетких супервизорных САУ. 6. Разработаны рекомендации по синтезу САУ с нечеткими супервизорными регуляторами. Синтез НС САУ состоит в экспертном выборе базы знаний системы нечеткого логического вывода регулятора в соответствии с условиями обеспечения заданных статических характеристик и устойчивости системы с последующей оптимальной настройкой параметров регулятора. 7. Разработан программный пакет для анализа и синтеза нечетких супервизорных САУ. Указанный программный пакет содержит следующие модули: модуль идентификации объектов управления, модуль анализа статических характеристик и устойчивости систем, модуль синтеза регуляторов. 147

8. Путем проведения специально организованных имитационных экспериментов установлено, что введение нечеткого супервизора в САУ с ПИД-регулятором позволяет значительно улучшить показатели качества управления (в частности, интегральная квадратичная ошибка может быть уменьшена в среднем более чем на 14%). 9. Произведен синтез нечеткой супервизорной САУ лабораторным термостатом, а также приведены результаты натурных экспериментов, которые показали, что введение в систему управления лабораторным термостатом нечеткого супервизора позволяет уменьшить время переходного процесса в среднем более чем на 34% по сравнению со временем переходного процесса в промышленном лабораторном термостате с традиционным ПИ-регулятором.

148

ЛИТЕРАТУРА 1. Алиев Р.А., Церковный А.З., Мамедова Г.А. Управление производством при нечеткой исходной информации. М.: Энергоатомиздат, 1991. 2. Усков А. А., Кузьмин А. В. Интеллектуальные технологии управления. Искусственные нейронные сети и нечеткая логика. – М.: Горячая Линия – Телеком, 2004. 3. Ульянов С.В. Нечеткие модели интеллектуальных систем управления: теоретические и прикладные аспекты (обзор) // Изв. АН. Техническая кибернетика. 1991. № 3. C. 3-28. 4. Захаров В.И., Ульянов С.В. Нечеткие модели интеллектуальных промышленных регуляторов и систем управления: I. Научно-организационные, технико-экономические и прикладные системы // Изв. АН. Техническая кибернетика. 1992. № 5. С. 171-196. 5. Захаров В.И., Ульянов С.В. Нечеткие модели интеллектуальных промышленных регуляторов и систем управления: II. Эволюция и принципы построения // Изв. АН. Техническая кибернетика. 1993. № 4. С. 171-196. 6. Захаров В.И., Ульянов С.В. Нечеткие модели интеллектуальных промышленных регуляторов и систем управления: III. Методология проектирования // Изв. АН. Техническая кибернетика. 1993. № 5. C. 197-216. 7. Захаров В.И., Ульянов С.В. Нечеткие модели интеллектуальных промышленных регуляторов и систем управления: IV. Имитационное моделирование // Изв. АН. Техническая кибернетика. 1994. № 5. C. 168-210. 8. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / Под. ред. Д.А. Поспелова. М.: Наука, 1986. 9. Интеллектуальные системы автоматического управления / Под. ред. И.М.Макарова, В.М.Лохина. М.: Физматлит, 2001. 10. Усков А.А., Круглов В.В. Интеллектуальные системы управления на основе методов нечеткой логики. Смоленск: Смоленская городская типография, 2003. 11. Усков А.А. Принципы построения систем управления с нечеткой логикой // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2004. № 6. C.7-13. 12. Осовский С. Нейронные сети для обработки информации. М.: Финансы и статистика, 2002. 13. Лукас В. А., Панько М. А. Fuzzy-управление – от эйфории к разумному применению // Сборник трудов 16-й международной конференции ―Математические методы в технике и технологии‖. Ростов-на-Дону. 2003. 14. Лукас В. А. Теория управления техническими системами. Екатеринбург: УГГГА, 2002. 149

15. Fuzzy Control. Theory and Practice. Physika-Verlag. A Springer-Verlag Company. 2000. 16. Бобко В.Д., Золотухин Ю.Н., Нестеров А.А. О нечеткой динамической коррекции параметров ПИД-регулятора. // Автометрия. 1998. № 1. С. 50-55. 17. Бобко В.Д., Золотухин Ю.Н., Нестеров А.А. Оптимальная траектория как основа построения базы знаний нечеткого логического контроллера. Труды Шестого Международного семинара "Распределенная обработка информации - РОИ-98", Новосибирск. 1998. 18. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972. 19. Ульянов С.С. Информационные технологии проектирования баз знаний: проблемы создания и защиты интеллектуальной собственности // Программные продукты и системы. 2005. № 2. C. 2-8. 20. Программная поддержка процессов формирования, извлечения и проектирования баз знаний робастных интеллектуальных систем управления / С.А. Панфилов, Л.В. Литвинцева, К. Такахаши, С.С. Ульянов, А.В. Язенин, И.С. Ульянов, Т. Хагивара // Программные продукты и системы. 2004. № 2. С. 2-10. 21. Построение робастных баз знаний нечетких регуляторов для интеллектуального управления существенно-нелинейными динамическими системами. I. Применение технологии мягких вычислений./ И. Кураваки, Л.В. Литвинцева, С.А. Панфилов, Г.Г. Ризотто, К. Такахаши, И.С. Ульянов, Т. Хагивара, А.В. Язенин // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2004. № 4. С. 127-145. 22. Intelligent Robust Control Design based on New Types of Computations/ L.V. Litvintseva, К. Takahashi, S.A. Panfilov, I.S. Ulyanov, S.S. Ulyanov. Universita degli Studi di Milano, Dipartimento di Tehnologie dell’ Informazione. Polo Didattico e di Ricerva diCrema. Vol. 60. 2004. 23. Tzafestas S., Papanikolopoulos N.P. Incremental fuzzy expert PID control. IEEE Transactions on Industrial Electronics. 1990. № 37(5). P. 365–371. 24. Van Nauta Lemke Y.R., DE-ZHAO W. Fuzzy PID supervisor. In Proceedings of the 24th IEEE Conference on Decision and Control. Fort Lauderdale. Florida. USA. 1985. 25. Van Nauta Lemke H.R., Krijgsman A. J. Design of fuzzy PID supervisors for systems with different performance requirements. In Proceedings IMACS ’91. Dublin. Ireland. 1991. 26. Li M. X., Bruijn P. M., Verbruggen H. B.. Tuning cascade PID controllers using fuzzy logic. Mathematics and Computers in Simulation. 1994. №37. P. 143–151.

150

27. Fink A., Fischer M., Nelles O. Supervision of Nonlinear Adaptive Controllers Based on Fuzzy Models. 14th IFAC World Congress. Beijing, China. Volume Q, P. 335-340. 1999. 28. Takagi T., Sugeno M. Fuzzy Identification of Systems and Its Applications to Modeling and Control // IEEE Trans. SMC. 1985. Vol. 15, No. 1, P. 116-132. 29. Isermann R., Lachmann K.-H., D. Matko. Adaptive Control Systems. Prentice Hall. Englewood Cli.s. 1992. 30. Ljung L. System Identification — Theory for the User. Prentice Hall. Englewood Cli.s. 1987. 31. Fortescue T.R., Kershenbaum L.S., Ydstie B.E.. Implementation of self-tuning regulators with variable forgetting factor. Automatica. 1981. № 17(6). P. 831–835. 32. Babuska R. Fuzzy Modeling for Control. Kluwer, 1998. 33. Driankov D., Palm R. Advances in Fuzzy Control. PhysicaVerlag. Heidelberg. Germany, 1998. 34. Pedrycz W., Gomide F. An Introduction to Fuzzy Sets: Analysis and Design. MIT Press. Hardcover, 1998. 35. Pham T., Chen G. Introduction to Fuzzy Sets, Fuzzy Logic and Fuzzy Control Systems. Lewis Publishers, 2000. 36. Wang L.X. A Course in Fuzzy Systems and Control. Prentice Hall PTR. CliEs. NJ, 1997. 37. Lotfi A. Learning Fuzzy Interference Systems: Ph.D. University of Queensland. Department of Electrical and Computer Engineering. Australia, 1995. 38. Jager R. Fuzzy logic in control: Ph.D. Technische Universiteit Delft. 1995. 39. Особенности нечетких преобразований в задачах обработки информации и управления. Часть 1 / И.М.Макаров, В.М.Лохин, С.В.Манько, М.П.Романов, А.А.Васильев, А.А.Хромов // Информационные технологии. 1999. № 10. 40. Особенности нечетких преобразований в задачах обработки информации и управления. Часть 2 / И.М.Макаров, В.М.Лохин, С.В.Манько, М.П.Романов, А.А.Васильев, А.А.Хромов // Информационные технологии. 1999. № 11. 41. Brae M., Rutherford D.A. Teoretical and Linguistic Aspects of the Fuzzy Logic Controller // Automation. Pergamon Press. 1979. Vol. 12. P. 553-557. 42. Ротштейн А.П. Интеллектуальные технологии идентификации: нечеткая логика, генетические алгоритмы, нейронные сети. Винница: УНИВЕРСУМ-Винница, 1999. 43. Синтез нечетких регуляторов на основе вероятностных моделей / В.М.Лохин, И.М.Макаров, С.В.Манько, М.П.Романов // Изв. РАН. ТиСУ. 2000. № 2. 44. Кудинов Ю.И. Нечеткие системы управления // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1990. № 5. С. 196-206. 151

45. Коломейцева М.Б., Хо Д.Л. Адаптивные системы управления динамическими объектами на базе нечетких регуляторов. М.: Компания Спутник+, 2002. 46. Хо Д.Л. Синтез адаптивных систем управления нелинейными динамическими объектами на базе нечетких регуляторов и нейросетевой технологии. Дисс. … доктора техн. наук. М.: МЭИ, 2002. 47. Коломейцева М.Б., Хо Д.Л. Синтез адаптивного нечеткого регулятора для нелинейной динамической системы // Вестник МЭИ. 2000. № 9. С. 85-88. 48. Коломейцева М.Б., Хо Д.Л. Синтез адаптивной системы на базе нечеткого регулятора для многомерного динамического объекта // Приборы и системы. Управление. Контроль. Диагностика. № 9. С. 8588. 49. Bobko V.D., Nesterov A.A., Zolotukhin Yu.N. An the PIDparameters Fuzzy Dynamic Correction. // Optoelectronics, Instrumentation, and Data Processing, 1998, № 1. 50. Kohn-Rich S., Flashner H. Robust fuzzy logic control of mechanical systems // Fuzzy Sets and Systems. 2003. № 133. P. 77–108. 51. Справочник по теории автоматического управления / Под. ред. А.А.Красовского. М.: Наука, 1987. 52. Видаль П. Нелинейные импульсные системы. М.: Энергия, 1974. 53. Кунцевич В.М., Чеховой Ю.Н. Нелинейные системы управления с частотно- и широтно-импульсной модуляцией. Киев: Технiка, 1970. 54. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: Наука, 1977. 55. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979. 56. Хлыпало Е.И. Нелинейные корректирующие устройства автоматических систем. Л.: Энергия, 1973. 57. Пальтов И.П. Качество процессов и синтез корректирующих устройств в нелинейных автоматических системах. М.: Наука, 1975. 58. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973. 59. Круглов В.В., Борисов В.В. Гибридные нейронные сети. Смоленск: Русич, 2001. 60. Круглов В.В., Борисов В.В. Искусственные нейронные сети. Теория и практика. М.: Горячая линия – ТЕЛЕКОМ, 2001. 61. Круглов В.В., Борисов В.В. Нечеткие нейронные сети. М.: ИПРЖР, 2003.

152

62. Круглов В.В., Дли М.И. Интеллектуальные информационные системы: компьютерная поддержка систем нечеткой логики и нечеткого вывода. М.: Физматлит, 2002. 63. Круглов В.В., Дли М.И., Голунов Р.Ю. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети. М.: Физматлит, 2001. 64. Yongsheng Ding, Hao Ying, Shihuang Shao. Typical TakagiSugeno PI and PD fuzzy controllers: analytical structures and stability analysis // Information Sciences. 2003. № 151. P. 245–262. 65. Takagi T., Sugeno M. Stability Analysis and Design of Fuzzy Control Systems // Fuzzy Sets and Systems. 1992. Vol. 45. № 2. P. 135-156. 66. Akar M., Ozguner U. Stability and Stabilization of TakagiSugeno fuzzy systems // Proc.CDC’99. 1999. P. 4840-4845. 67. Ning Li, Shao Yuan Li, Yu Geng Xi, Sam Shuzhi Ge. Stability Analysis of T-S Fuzzy System Based on Observers // International Journal of Fuzzy Systems. 2003. Vol. 5. № 1. P. 22-30. 68. Piecewise quadratic stability of fuzzy systems / M. Johansson, et al. IEEE // Trans. Fuzzy Systems. 1999. № 7. P. 713–722. 69. Sugeno M., On stability of fuzzy systems expressed by fuzzy rules with singleton consequents // IEEE Trans. Fuzzy Systems. 1999. № 7. P. 201–224. 70. Leung F.H., Lam H.K., Tam P.K. Lyapunov function based design of robust fuzzy controllers for uncertainnonlinear systems: Distinct Lyapunov functions // IEEE World Congr. on Computational Intelligence. FUZZ-IEEE,Anchorage. 1998. P. 577–582. 71. Sugeno M. On stability of fuzzy systems expressed by fuzzy rules with singleton consequents // IEEE Trans. FuzzySystems. 1999. № 7. P. 201–224. 72. Johansson M., Rantzer A., Arzen K.E. Piecewise quadratic stability of fuzzy systems // IEEE Trans. Fuzzy Systems. 1999. № 7. P. 713– 722. 73. Chen C.L., Wang S.N., Hsieh C.T., Chang F.Y. Theoretical analysis of a fuzzy-logic controller with unequallyspaced triangular membership functions // Fuzzy Sets and Systems. 1999. № 101. P. 87–108. 74. Margaliot M., Langholz G. Fuzzy Lyapunov-based approach to the design of fuzzy controllers // Fuzzy Sets and Systems 1999. № 106. P. 49–59. 75. Ray K.S., Majumder D.D. Application of circle criteria for stability analysis of linear SISO and MIMO systems associated with fuzzy logic controller // IEEE Trans on Systems Man and Cybernetics. SMC-14. 1984. P. 345-349. 76. Takahara S., Ikeda K., Miyamoto S. Fuzzy control rules and stability condition // Conference on Fuzzy Logic and Neural Networks. Iizuka. Japan. 1992. 77. Lim J.T. Absolute stability of class of nonlinear plants with fuzzy logic controllers // Electronic letters. № 28. 1992. P. 1968-1970. 153

78. Усков А.А., Круглов В.В. Устойчивость систем с блоками нечеткого логического вывода в объекте управления // Вестник МЭИ. 2003. № 3. 79. Усков А.А. Устойчивость систем управления с гибридными (нечеткими) нейронными сетями // Нейрокомпьютеры: Разработка и применение. 2003. № 3-4. 80. Усков А.А. Устойчивость замкнутых систем управления с нечеткой логикой // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2003. № 9. C. 8-9. 81. Анализ нечетких систем управления методом гармонической линеаризации / Б.Г Ильясов, Р.А. Мунасыпов, О.В. Даринцев, Л.П. Челушкина // Сборник трудов конференции по теории управления, посвященной памяти академика Б.Н.Петрова. Москва. 2003. 82. Шумихин А.Г., Игушев В.Н. Математическое моделирование и частотные методы при параметрическом синтезе АСР с нечеткими регуляторами. // Сборник трудов 15-й международной конференции ―Математические методы в технике и технологии‖. ММТТ-15. Тамбов. 2002. Т. 5. С. 131-133. 83. Smith S.M., Comer D.J. Self-tuning of a fuzzy logic controller using a cell state space algorithm // IEEE Internat. Conf. on Fuzzy Systems. San Diego. 1992. P. 615-622. 84. Gurocak H.B. Fuzzy rule base optimization of a compliant wrist sensor for robotics // J. Robotic Systems. 1996. № 13. P. 475-487. 85. Wang L.-X. Stable adaptive fuzzy control of nonlinear systems // IEEE Trans. Fuzzy Systems 1993. № 1 (2). P 146–155. 86. Spooner J.T., Passino K.M. Stable adaptive control using fuzzy systems and neural networks // IEEE Trans. Fuzzy Systems. 1996. № 4 (3). P. 339-359. 87. Gurocak H.B. A genetic-algorithm-based method for tuning fuzzy logic controllers. Fuzzy Sets and Systems. 1999. № 108. P. 39-47. 88. Herrera F., Lozano M., Verdegay J.L. Tuning fuzzy controllers by genetic algorithms // Internat. J. Approx. Reasoning. 1995. № 1. P. 299315. 89. Wu J.C., Liu T.S. Fuzzy control of rider-motorcycle system using a genetic algorithm and autotuning // Mechatronics. 1995. № 5. P. 441-455. 90. Shimojma K., Fukuda T., Hasegama Y. A self tuning fuzzy modeling with adaptive membership functions, rules and hierarchical structure based genetic algorithm // Fuzzy Sets and Systems. 1995. № 71. P. 295-309. 91. Jang R. Neuro-Fuzzy Modeling: Architectures, Analyses and Applications: Ph.D. University of California. Department of Electrical Engineering and Computer Science. Berkeley, 1992. 92. Изерман Р. Цифровые системы управления. М.: Мир, 1984. 154

93. Математические основы теории автоматического регулирования. Под ред. Б.К. Чемоданова. М.: Высшая школа, 1971. 94. Директор Ф, Рорер Р. Введение в теорию систем. М.: Мир, 1974. 95. Теория автоматического управления. Ч.1. Теория линейных систем автоматического управления. Под ред. А.А. Воронова. М.: Высшая школа, 1977. 96. Джури Э.И., Ли Б. Об абсолютной устойчивости систем с многими нелинейностями // Автоматика и телемеханика. 1965. Т. XXVI. № 6. С. 945-965. 97. Основные математические формулы: Справочник. Под ред. Ю.С. Богданова. Минск: Вышэйшая школа, 1995. 98. Островский М.Я., Чечурин С.А. Стационарные модели систем автоматического управления с периодическими параметрами. Л.: Энергоатомиздат, 1989. 99. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления. М.: Наука, 1988. 100. Стронгин Р.Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах. М.: Наука, 1978. 101. Растригин Л. А. Современные принципы управления сложными объектами. М.: Советское радио, 1980. 102. Дьяконов В. П., Круглов В. В. MATLAB 6.5 SP1/7/7 SP1/7 SP2 + Simulink 5/6. Инструменты биоинформатики и искусственного интеллекта. М.: Солон-Пресс, 2005. 103. Дьяконов В.П. MATLAB 6/6.1/6.5 + Simulink 4/5. Основы применения. Полное руководство пользователя. М.: Солон-Пресс, 2002. 104. Гультяев А.К. MATLAB 5.3. Имитационное моделирование в среде Windows: Практическое пособие. СПб.: КОРОНА принт, 2001. 105. Дъяконов В.П. Simulink 4. Специальный справочник. СПб: Питер, 2002. 106. Дьяконов В.П., Круглов В.В. MATLAB. Анализ, идентификация и моделирование систем. Специальный справочник. СПб.: Питер, 2002. 107. Потемкин В. Г. MATLAB. Справочное пособие. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1997. 108. Потемкин В. Г. MATLAB 5 для студентов. М.: ДИАЛОГМИФИ, 1998. 109. Потемкин В. Г. Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.х. Том 1 и 2. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1999. 110. Дьяконов В. П. MATLAB. Учебный курс. СПб.: Питер, 2000. 111. Дьяконов В. П., Абраменкова И. В., Круглов В. В. MATLAB 5.3.1 c пакетами расширений. М.: Нолидж, 2001. 112. Лазарев Ю. Ф. MATLAB 5.x. Киев: ―Ирина‖, BHV, 2000. 155

113. Круглов В.В., Дли М.И. Идентификация динамических систем. Смоленск: Моск. энерг. ин-т, фил-л в г.Смоленске, 1998. 114. Вентцель Е.В. Теория вероятностей. М.: Высшая школа, 1969. 115. Лабораторный термостат ЛТН-02М. Паспорт АИП 2.828.015 ПС // ОАО ―Нефтехимавтоматика-С-Петербург‖, 2001. 116. Лабораторный термостат ЛТН-02М. Техническое описание и инструкция по эксплуатации. АИП 2.828.015 ТО // ОАО ―Нефтехимавтоматика-С-Петербург‖, 2002. 117. Киселев Е.В., Усков А.А. Аппроксимационный подход к анализу устойчивости систем с нечеткими логическими регуляторами / Сборник трудов 15-й международной конференции ―Математические методы в технике и технологии‖. Тамбов. 2002. Т. 5. С. 44-45. 118. Усков А.А., Киселев Е.В. Устойчивость систем с алгоритмами нечеткого логического вывода в объекте управления / ГОУВПОСФМЭИ(ТУ). Смоленск. 2002. Деп. в ВИНИТИ РАН 27.11.02. №2047 – В2002. 119. Усков А.А., Киселев Е.В. Устойчивость систем управления с нечеткой логикой // Сборник трудов 16-й международной конференции ―Математические методы в технике и технологии‖. Ростов-на-Дону. 2003. Т. 4. С. 144-145. 120. Киселев Е.В. Системы управления с экспертными регуляторами на основе нечеткой логики / Научная конференция студентов и аспирантов филиала ГОУВПО ―МЭИ(ТУ)‖ в г. Смоленске. Смоленск. 2003. Т. 1. С. 42 – 44. 121. Киселев Е.В. Математическая модель системы управления с экспертным регулятором на основе нечеткой логики / Материалы IV регионального межвузовского научно-технического семинара ―Актуальные вопросы современной теории управления ‖ Смоленск. 2004. С. 15-18. 122. Усков А.А., Киселев Е.В. Анализ систем управления с нечеткими комплексными моделями. I. Применение теории линейных интервальных динамических систем // Вестник МЭИ. 2004. № 4. С. 98103. 123. Усков А.А., Киселев Е.В. Анализ систем управления с нечеткими комплексными моделями. II. Применение частотных методов // Вестник МЭИ. 2004. № 5. С. 53-57. 124. Усков А.А., Киселев Е.В. Системы управления с нечеткими комплексными моделями и их устойчивость // Автоматизация и современные технологии. 2005. № 2. С. 20-24. 125. Киселев Е.В. Устойчивость систем управления с экспертными регуляторами на основе нечеткой логики // Информационные технологии моделирования и управления. 2005. №2. Воронеж: Научная книга, 2005. С. 298-301.

156

126. Усков А.А., Киселев Е.В. Системы управления с нечеткими супервизорными ПИД-регуляторами // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2005. № 9. С. 31-33. 127. Киселев Е.В. Развитие методов анализа и синтеза нечетких супервизорных систем автоматического управления. Дисс. кандидата техн. наук. М.: МЭИ, 2008 (научный руководитель: д.т.н. профессор Усков А.А.; официальные оппоненты: д.т.н. профессор Шумилов Ю.Ю. /кафедра ―Математическое обеспечение систем‖ МИФИ (ГУ)/, к.т.н. доцент Трипольский П.Э. /кафедра ―Проблемы управления‖ МИРЭА (ТУ)/).

157

Приложение 1 Применение усредненных моделей устойчивости линейных импульсных систем.

для

исследования

Как известно, линейная импульсная система с идеальным импульсным элементом описывается частотной передаточной функцией

W *(e jω T0 ) где

1 T0

W(j ω

jk ) .

(П.1.1)

k

2 . T0

В различных по точности стационарных моделях импульсных систем используется конечное число членов разложения по формуле (П.1.1). Обычно используется нулевое приближение – усредненная модель:

~ W0 ( j )

1 W( j ) . T0

(П.1.2)

Ниже приводятся строгие количественные оценки применимости усредненной модели линейной импульсной системы для исследования устойчивости [98]. Применимость усредненной модели в конечном итоге определяется погрешностью вычисления частотной характеристики по формуле (П.1.2). Модуль этой погрешности

ΔW(ω) W *(e j

T0

~ ) W0(jω) .

(П.1.3)

Анализ выражения (П.1.3) показывает, что в диапазоне частот

2

выполняется неравенство [98]:

W( ) где r

2

1

(2 )

2

T0 max

r,

(П.1.4)

2

W ( j ).

2

Установленная оценка позволяет утверждать следующее. Пусть частотная характеристика усредненной модели к раз охватывает окружность с центром на действительной оси в точке -1 и радиусом r из выражения (П.1.4). Тогда точная частотная характеристика импульсной системы будет к раз охватывать точку -1. Таким образом, используя для частотной характеристики усредненной модели критерий Найквиста, в котором точка -1 заменяется окружностью радиусом r с центром в этой точке, можно строго определить 158

устойчивость линейной импульсной системы по АФЧХ ее усредненной модели. В результате, если частотная характеристика усредненной модели (П.1.2) не пересекается с окружностью радиуса r из выражения (П.1.4) с центром на действительной оси в точке -1, то устойчивость или неустойчивость линейной импульсной системы может быть строго определена по ее усредненной непрерывной модели.

159

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ 1. СОСТОЯНИЕ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ В ОБЛАСТИ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА НЕЧЕТКИХ СУПЕРВИЗОРНЫХ САУ 1.1 Системы управления с нечеткой логикой 1.2 Обзор научных работ, посвященных нечетким супервизорным САУ 1.3 Подходы к анализу и синтезу нечетких супервизорных САУ 1.4 Конкретизация постановки задач исследования 1.5 Выводы по главе 2 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЧЕТКИХ СУПЕРВИЗОРНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 2.1 Математическая модель и статика системы 2.2 Линеаризация системы и критерий устойчивости в ―малом‖ 2.3 Коэффициент передачи разомкнутой системы 2.4 Анализ устойчивости в целом 2.5 Анализ НС САУ с помощью непрерывных моделей 2.5.1 Непрерывная модель и условия ее применимости 2.5.2 Условия устойчивости для непрерывной НС САУ на основе частотного критерия Попова 2.6 Пример аналитического исследования НС САУ 2.7 Выводы по главе 3 СИНТЕЗ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЧЕТКИХ СУПЕРВИЗОРНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 3.1 Рекомендации по синтезу нечетких супервизорных САУ 3.2 Программный комплекс для анализа и синтеза НС САУ 3.3 Численное исследование нечетких супервизорных САУ 3.4 Выводы по главе 4 НЕЧЕТКИЕ СУПЕРВИЗОРНЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ЛАБОРАТОРНЫМ ТЕРМОСТАТОМ 4.1 Описание лабораторного термостата 4.2 Методика синтеза нечеткой супервизорной САУ лабораторным термостатом 4.3 Выводы по главе ЗАКЛЮЧЕНИЕ ЛИТЕРАТУРА ПРИЛОЖЕНИЕ 160

3 5

5 11 27 33 37 38 38 46 56 65 68 69 73 75 86 87 87 91 94 134 135

135 141 146 147 149 158

Усков Андрей Александрович Киселев Евгений Викторович

ТЕОРИЯ НЕЧЕТКИХ СУПЕРВИЗОРНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ Монография

Подписано в печать 29.04.2013 Формат 60x84 1/16. Печать цифровая Печ. л. 10,06. Тираж 150 экз. Смоленский филиал Российского университета кооперации 214018, Смоленск, проспект Гагарина, 58

161