Обратная фильтрация геофизических временных рядов при разведке на нефть и газ

М.Т,Сильвиа Э. А. Робинсон

ОБРАТНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ геофизических временных рядов при разведке на нефть и газ

Developments in Petroleum Science, 10

deconvolution off geophysical time series in the exploration ffor oil and natural gas M A N U E L T. S I L V I A Research Scientist United States Naval Underwater Systems Center, Newport, Rhode Island and

ENDERS A. ROBINSON Distinguished Professor of Mathematics and Geophysics University of Tulsa, Tulsa, Oklahoma Adjunct Professor of Electrical Engineering Northeastern University, Boston, Massachusetts Consultant Amoco Production Company, Tulsa, Oklahoma

E L S E V I E R S C I E N T I F I C PUBLISHING COMPANY Amsterdam— Oxford — New York 1979

М.Т Сильвиа Э.А.Робинсон

ОБРАТНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ геофизических временных рядов при разведке на нефть и газ Перевод с английского В. Н. Л и с и н а под редакцией доктора технических наук О. Л. П о т а п о в а

МОСКВА «НЕДРА»

1983

УДК 550.834

Сильвиа М. Т., Робинсон Э. А. Обратная филь­ трация геофизических временных рядов при разведке на нефть и газ. — Пер. с англ. М., Недра, 1983,447 с. Пер. изд.: Нидерланды, 1979. Рассмотрены вопросы распросгранения сейсмических волн согласно классическому подходу и подходу, разви­ ваемому авторами. Освещены теория метода, методика и техника работ. Описаны различные варианты обратной сейсмической фильтрации (сжатие сейсмических импуль­ сов, подавление многократных волн), повышающие разрешенность сейсмической записи. Обоснованы преиму­ щества кепстральной (гомоморфной) обратной фильтрации (деконволюции) при подавлении полнократных гюлн. Рассмотрен метод пространства состояний как средство соверщенствования обратной фильтрации. Для геофизиков, занимающихся разработкой и jiciлизацней цифровых методов обработки сейсморазведочпых данных. Табл. И , ил. 56, список лит.—112 назв.

@

Elsevier Scienllfic publishing company, I97f ® Перевод н» русский , 1904050000

'

036 142.^.82

043(01)—83

язык, и з д а 1 елbciiio«Недр.i»j

J 983

Mi иМЛКТОРА

I I I .uictiHi'Mbie в п р а к т и к е с е й с м о р а з в е д к и м е т о д ы а н а л и з а ф о р oKiii.i.i в источнике и с в я з а н н ы е с ними о б щ е п р и н я т ы е спосои и \шф\ш]юй ф и л ь т р а ц и и сейсмических з а п и с е й ( в р е м е н н ы х р я ii'i существу те ж е , что и в д р у г и х о б л а с т я х н а у к и и гехMiiiir (пинственна с е й с м о р а з в е д к е , п о ж а л у й , т о л ь к о п р о ц е д у р а i,Mj,.,Hiii(t ф и л ь т р а ц и и (или д е к о н в о л ю ц и и ) , о б е с п е ч и в а ю щ а я де|11 .и (.тфлцию с е й с м и ч е с к и х з а п и с е й и, с л е д о в а т е л ь н о , п о в ы ш е н и е ji.M|.Mii(4mocTH о д н о к р а т н ы х о т р а ж е н и й . (' »|1и'ствует много р а з л и ч н ы х п о д х о д о в к п р о б л е м е д е к о п в о ^к.иии сейсмических т р а с с . Н а п р и м е р , и з в е с т н ы й способ М . Ba­ li i m , основанный на применении о п е р а ц и и линейной о б р а т н о й (|.(т|||);пщи д л я п о д а в л е н и я р е в е р б е р а ц и и водного с л о я и преду14М)|И1иа10щий и с п о л ь з о в а н и е д е т е р м и н и с т и ч е с к и х ч а с т о т н ы х поожмП теории э л е к т р и ч е с к и х цепей. В о з м о ж е н т а к ж е с т а т и с т и 'tiiiiiiCi подход к о с у щ е с т в л е н и ю п р о ц е д у р ы д е к о н в о л ю ц и и , б а з и щнипиГк-я на т о м , что п о л е з н ы е о т р а ж е н и я с ч и т а ю т с я с л у ч а й ..мП н е к о р р е л и р о в а н н о й п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ю , и на п р и м е н е н и и 4(и|11я;| н а и м е н ь ш и х к в а д р а т о в д л я о п р е д е л е н и я по сейсмическим ftiiiiiibiM л и н е й н ы х о п е р а т о р о в с ц е л ь ю о с у щ е с т в л е н и я п р е д с к а з ы »(.»1пм1('Г| д е к о н в о л ю ц и и . И м е н н о этот п о д х о д в п е р в ы е использо•iii/i '.•). Р о б и н с о н , п р е д л о ж и в ш и й свою с т а т и с т и ч е с к у ю м о д е л ь • |Ф(11.1, основанную н а о п е р а ц и и с в е р т к и . В в е д е н и е т а к о й модели .чцшидынается н е о б х о д и м о с т ь ю обработки больших массивов (иИсми'юской и н ф о р м а ц и и , т а к к а к т о л ь к о при этом у с л о в и и 'и<»()Д11ые д а н н ы е п р и о б р е т а ю т с т а т и с т и ч е с к и й х а р а к т е р н е з а в и И1М11 от того, что о т д е л ь н ы е д а н н ы е по своей п р и р о д е могут б ы т ь ^ии'р м и н и р о в а н н ы м и . Успешное п р и м е н е н и е п р е д л о ж е н н о г о Э. Р о б и н с о н о м способа (м.утестиления п р е д с к а з ы в а ю щ е й д е к о н в о л ю ц и и с в и д е т е л ь с т в у е т м t t i M , что особо р а с с м о т р е н н ы е в д а н н о й книге гипотезы с л у ч а й • • ' I I I последовательности коэффициентов отражения и минимальР И1 ( л п а з д ы в а н и я с л о ж н о г о в о л н о в о г о и м п у л ь с а о к а з а л и с ь дей• »)(|||1'.||1.11ыми д л я ш и р о к о г о к р у г а п р а к т и ч е с к и х с и т у а ц и й при 1 чГшшх как н а море, т а к и на суше. Иилробно и с с л е д о в а н н а я в этой книге п р е д с к а з ы в а ю щ а я де1»"8(ии,||иии1я ( к о т о р у ю н а з ы в а ю т т а к ж е импульсной д е к о н в о л ю 1ИК как о п е р а т о р д е к о н в о л ю ц и и р а с с ч и т а н на п р е в р а щ е н и е 'Mrttiiniii импульса в е д и н и ч н ы й ) э ф ф е к т и в н а к а к д л я п о д а в л е |||<( ((Н|ир||<опериодных к р а т н ы х в о л н , п р е в р а щ а ю щ и х сейсмнче(niiiici, в к в а з и с и н у с о и д а л ь н у ю , т а к и д л я о с л а б л е н и я д л и н '"имриилмих к р а т н ы х в о л н . П о с к о л ь к у о п е р а т о р о ш и б к и пред]|Ц(»1й|(11И п р е в р а щ а е т ( « с ж и м а е т » ) с л о ж н ы й волновой и м п у л ь с Ь Пплор (\||р(1ткий и м п у л ь с и с т о ч н и к а , т о с е й с м и ч е с к а я р а з р е ш е и j i i ' M i . 1 1 ( 1 л е и 1 1 , | . \ волн в о з р а с т а е т . 5

п р е д л а г а е м а я в н и м а н и ю ч и т а т е л е й к н и г а , п о с в я щ е н н а я не; стороннему р а с с м о т р е н и ю одной из в а ж н е й ш и х п р о ц е д у р цифр! вой о б р а б о т к и с е й с м о р а з в е д о ч н ы х д а н н ы х , з а т р а г и в а е т и мноп[ д р у г и е вопросы м а т е м а т и ч е с к и х п р е о б р а з о в а н п й исходной инфо м а д и и , а т а к ж е вопросы технологии п о л е в ы х н а б л ю д е н и й и орг|' низации работ в различных условиях. И н т е р е с е н подход к р а с с м о т р е н и ю п р о ц е д у р ы м и г р а ц и и о б р а т н о й процессу д и ф р а к ц и и , к а н а л и з у п р и н ц и п о в о р г а н и з а 1 о б щ е й м о д е л и с р е д ы и способов ее и с с л е д о в а н и я . Н а о с н | этого п о к а з а н а ч е т к а я э в о л ю ц и я р а з в и т и я процесса деконвов ции во в з а и м о с в я з и с р о д с т в е н н ы м и с п о с о б а м и о б р а б о т к и и е | ' ' мации. ] Р а с с м о т р е н н ы е в книге п о н я т и я г о м о м о р ф н ы х преобразова1| и с п е к т р а л ь н о й ф а к т о р и з а ц и и помогли а в т о р а м у в я з а т ь и; к е п с т р а с идеей д е к о н в о л ю ц и и и п р е д л о ж и т ь т а к н а з ы в а е к кепстральную деконволюцию. Весьма в а ж н ы м представляе критический р а з б о р к а л ь м а н о в с к о й ф и л ь т р а ц и и по пространс состояний, что о б л е г ч а е т п о н и м а н и е этого нового направл4 в ц и ф р о в о й ф и л ь т р а ц и и сейсмических з а п и с е й . Книга, несомненно,, в ы з о в е т интерес у всех, кто занимагц м а ш и н н о й о б р а б о т к о й д а н н ы х с е й с м о р а з в е д к и , и внесет с у ш ! венный в к л а д в с и с т е м а т и з а ц и ю с у щ е с т в у ю щ и х понятий и пр^ дур цифровой фильтрации временных рядов.

г ill'l ДПС/ЮВИЕ

*1 ииимательиее с м о т р и ш ь на ч т о - л и б о , тем б о л ь ш е п о д р о б н о jf-Ml ул.:ится з а м е т и т ь . О п ы т и с с л е д о в а н и я в н у т р е н н е г о с т р о е н и я I rt'iii и особенно ее с л о ж н о построенной в е р х н е й ч а с т и с по% i..(i,Hi сейсмического м е т о д а л у ч ш е всего п о д т в е р ж д а е т э т у ;г"вд'1111ич"гиую истину. С е й с м и ч е с к и е в о л н ы , покинув источник, btHiM'M пути к п р и е м н и к у п р е т е р п е в а ю т м н о г о ч и с л е н н ы е воздейjiii^H II соответствующие и з м е н е н и я . Эти и з м е н е н и я , естественно, '\ »..нчп111)г р е г и с т р и р у е м у ю в о л н о в у ю к а р т и н у , но в то ж е в р е м я Ь*и необходимые с в е д е н и я о с л о я х , ч е р е з к о т о р ы е п р о ш л и j i r H i i i ' полны. О д н а к о д л я того ч т о б ы в ы д е л и т ь и изучить все \h^^ МП (Действия, н у ж н ы не просто геологически э ф ф е к т и в н ы е , но i...iii|it'MciiHO и б ы с т р о д е й с т в у ю щ и е м е т о д ы о б р а б о т к и сейсми' mfi информации. П о с л е д н е е у с л о в и е о б ъ я с н я е т с я о г р о м н ы м ) ч е и ч т н о м исходных д а н н ы х , к о т о р ы е о б ы ч н о п о л у ч а ю т п р и 's. iHt/К'иии с е й с м о р а з в е д о ч н ы х р а б о т . И м е н н о эти п р о б л е м ы р а с t M»|iiimi:oTCH в д а н н о й книге, н а п и с а н н о й д в у м я из к о г о р т ы ^(н«и1|сс способных р а з в е д ч и к о в недр, и к н и г а п о л у ч и л а с ь б о л е е ' 1'»нн||411;иощей, чем л ю б о й д е т е к т и в . |(,| работа — не с а м о ц е л ь , не о т в л е ч е н н о е от п р а к т и к и р е ш е 1 коучпой з а д а ч и . Ч т о б ы и м е т ь в о з м о ж н о с т ь ж и т ь и р а з в и I м, человечество с е й ч а с ищет источники энергии б о л е е усиi HI, чем к о г д а бы то ни б ы л о . Н е ф т ь и п р и р о д н ы й г а з все f . нмлиются о д н и м и из в а ж н е й ш и х источников энергии, поэтому к 'iij (шытные г е о ф и з и к и , у м е ю щ и е и з в л е к а т ь из с е й с м о з а п и с е й ипп.пьпую по к о л и ч е с т в у и к а ч е с т в у геологическую и н ф о р . Они н у ж н ы именно сейчас, к о г д а в о з н и к л а н е о б х о д и м о с т ь i имсдкс новых р а й о н о в , к о г д а у ж е н е в о з м о ж н о д о в о л ь с т в о » '.11 районами, где « н е ф т ь течет к а к в о д а » . П р и х о д и т с я и с к а т ь н.ишми у с и л и я м и и на б о л ь ш и х г л у б и н а х . Б е з п р и м е н е н и я й ' iiimiMx методов, подобных о п и с а н н ы м в д а н н о й книге, !\. Ill можно р а с с ч и т ы в а т ь на успех в п р о д о л ж а ю щ е й с я «охо' 1 шергией. i Millie р а с с м о т р е н ы т е о р е т и ч е с к и е и п р а к т и ч е с к и е вопросы. I и 1,1,III) р е к о м е н д о в а т ь к а к у н и в е р с и т е т с к о м у ученому, выпол; | | .(iiMv геофизическую р а б о т у з а своим столом, в л а б о р а т о р и и 1' |\'111тории, т а к и г е о ф и з и к у - п р а к т и к у , который д о л ж е н з н а т ь , ф ипи.пучшим о б р а з о м провести п о л е в ы е с е й с м о р а з в е д о ч н ы е | | Mil II п р о и н т е р п р е т и р о в а т ь «тексты», сочиненные З е м л е й . » '

«нПр!,, 1977 г. \ \

Маркус Бат П р о ф е с с о р сейсмологии, Упсала, Швеция

ВВЕДЕНИЕ

П р и р а з в е д к е на нефть и п р и р о д н ы й газ перед г е о ф и з и к о м стоит з а д а ч а оценить с т р у к т у р н ы е особенности слоев з е м н о й коры до г л у б и н ы 6000 м с точностью н е с к о л ь к о д е с я т к о в метров. Эти оценки д о л ж н ы в ы п о л н я т ь с я на п л о щ а д и , с о с т а в л я ю щ е й многие сотни к в а д р а т н ы х к и л о м е т р о в . ,| Г е о ф и з и ч е с к и е методы по своей п р и р о д е я в л я ю т с я косвен*, ными, т а к к а к в о з д е й с т в и я п р о и з в о д я т с я , а о т к л и к и регистриру*; ю т с я на поверхности з е м л и или в б л и з и нее. Н а и б о л е е э ф ф е к т и в г ный г е о ф и з и ч е с к и й метод — м е т о д о т р а ж е н н ы х волн. Возможмог сти этого м е т о д а н а м н о г о в ы р о с л и после в н е д р е н и я в начал* 60-х годов ц и ф р о в о й о б р а т н о й ф и л ь т р а ц и и (деконволюции), К н а с т о я щ е м у времени с д е л а н о много теоретических разработок и н а к о п л е н б о л ь ш о й п р а к т и ч е с к и й опыт п р и м е н е н и я деконволю­ ции. О д н а к о до сих пор э т а п р о б л е м а не б ы л а р а с с м о т р е н а bcOI сторонне с учетом физического с м ы с л а процесса деконволюции, Т а к о й п о д х о д не т о л ь к о п о з в о л я е т у п р о с т и т ь математическое о б о с н о в а н и е д е к о н в о л ю ц и и , но и д е л а е т в о з м о ж н о й его практИ» ческую п р о в е р к у . , Н а п и с а н и е этой книги в ы з в а н о необходимостью иметь во* о б ъ е м л ю щ и й а н а л и з процесса д е к о н в о л ю ц и и и изучить оснопо» полагаюш.ие м а т е м а т и ч е с к и е свойства этой п р о ц е д у р ы . Ocnoniit в а я с ь на п р и н ц и п а х , и з л о ж е н н ы х в д а н н о й книге, все способм деконволюции можно рассматривать с единой точки зрепиЯ| В п р е д в а р я ю щ е й и з л о ж е н и е г л а в е очерчен круг проблем, в с т р е ч а ю щ и х с я при п о л е в ы х с е й с м о р а з в е д о ч н ы х р а б о т а х , и они' с а н а п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь п р о ц е д у р ц и ф р о в о й о б р а б о т к и сейсмИ! ческих д а н н ы х , п р и в о д я щ а я к построению о к о н ч а т е л ь н о г о вар№ а н т а геологического глубинного р а з р е з а . В гл. 1 д а е т с я повое т о л к о в а н и е процесса распространении сейсмических волн. Это т о л к о в а н и е о с н о в ы в а е т с я на том, чтц о т к л и к слоистой системы на и 5ямос п р о х о ж д е н и е волн являетс| минимально-запаздывающим, вследствие этого б о л ь ш у ю ч а с в о з н и к а ю щ и х на п р а к т и к е з а д а ч м о ж н о свести к д в у м о с н о в н ц с в я з а н н ы м с внутренними и внешними первичными о т р а ж е н и я м Х а р а к т е р и с т и к а системы о т р а ж е н и й в слоистой с р е д е с испо; з о в а н и е м этих с л у ч а е в я в л я е т с я новой. ;' В гл. 2 описано д а л ь н е й ш е е р а з в и т и е классического подхо; к р е ш е н и ю з а д а ч и о слоистой среде. К л а с с и ч е с к о е решение дп точные в ы р а ж е н и я д л я к о э ф ф и ц и е н т о в о т р а ж е н и я и прохож; ния волн в слоистой системе. П о л е в ы е н а б л ю д е н и я показал» что величины к о э ф ф и ц и е н т о в о т р а ж е н и я , которые по сути меИк ше единицы, в б о л ь ш и н с т в е физических ситуаций не превышлкп по абсолютной в е л и ч и н е одну д е с я т у ю . И с п о л ь з у я этот физиче ский ф а к т , вид о т р а ж е н н ы х и п р о х о д я щ и х в о л н о в ы х импульсш 8

м(1Жмо сильно упростить. Б л а г о д а р я у п р о щ е н и ю с т а н о в и т с я по­ п и т ы м физический смысл_ явлений, что необходимо полевому геоitmiiiKy при и н т е р п р е т а ц и и с и г н а л о в , п о д в е р г ш и х с я д е к о н в о л ю ц и и . hdJioe того, у п р о щ е н н ы е в ы р а ж е н и я д л я о т к л и к о в в д а н н о м случис в точности с о в п а д а ю т с в ы р а ж е н и е м д л я о т к л и к а , получен­ ным в гл. 1 исходя из чисто ф и з и ч е с к и х п р е д п о с ы л о к . Н а оснойиинн полученных р е з у л ь т а т о в д а н о м а т е м а т и ч е с к о е о б о с н о в а н и е шпотезе о с л у ч а й н ы х к о э ф ф и ц и е н т а х о т р а ж е н и я . На м а т е р и а л е гл. 3 п о к а з а н а с в я з ь м е ж д у кепстром и к л а с чин'ской з а д а ч е й о л о г а р и ф м и ч е с к о м п о т е н ц и а л е . Введено поняик' о м и н и м а л ь н о м о п е р е ж е н и и . И с п о л ь з у я с и м м е т р и ю понятий минимальной з а д е р ж к и и м и н и м а л ь н о г о о п е р е ж е н и я , м о ж н о в ы ­ полнить р а з л о ж е н и е п р о и з в о л ь н о г о к е п с т р а на его основные и ш а в л я ю щ и е . П о к а з а н о , что подобное р а з л о ж е н и е и г р а е т фунннмснтальную р о л ь в теории д е к о н в о л ю ц и и . В гл. 4 на основе м а т е м а т и ч е с к и х и физических м о д е л е й , вве|»14111ых в п р е д ы д у щ и х г л а в а х , о п и с а н а о д н о ш а г о в а я д е к о н в о л ю мни. Б о л е е о б щ и й вид д е к о н в о л ю ц и и — а л ь ф а - ш а г о в ы й , и з л о ж е н iitiK способ п о д а в л е н и я к р а т н ы х отрал^ений. Основной в ы в о д з а ­ т о ч а е т с я 3 т о м , что к р а т н ы е о т р а ж е н и я м о ж н о п о д а в и т ь а л ь ф а нщговой д е к о н в о л ю ц и е й д а ж е в слз'чае, если и м п у л ь с источника Н|| является м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ и м . П о к а з а н о , что д л я •.Гщ.чружения одиночного э х а н а и б о л е е э ф ф е к т и в н а к е п с т р а л ь н а я 11'К(1ннолюция. Н а к о н е ц , у с т а н о в л е н а с в я з ь м е ж д у процессом |1(1Ц1)Н1Юлюции и ф и л ь т р а ц и е й по п р о с т р а н с т в у состояний. А н а л и з и|111странства состояний — п л о д о т в о р н а я область исследований f|i(i р а з р а б о т к е новых методов д е к о н в о л ю ц и и . Приведенные в гл. 5 в ы ч и с л и т е л ь н ы е п о д п р о г р а м м ы испольм«Н1я д л я ф и л ь т р а ц и и и с п е к т р а л ь н о г о а н а л и з а . П о с р е д с т в о м illix подпрограмм у с т а н а в л и в а е т с я с в я з ь м е ж д у м а т е м а т и ч е с к и ­ ми идеями д е к о н в о л ю ц и и и ее ч и с л о в ы м в о п л о щ е н и е м . Хотим в ы р а з и т ь свою и с к р е н н ю ю б л а г о д а р н о с т ь п р о ф е с с о р у М«|н<усу Б а т у из Сейсмологического института У п с а л ь с к о г о униitt|||iiTCTa з а п о д д е р ж к у и п о м о щ ь в с о з д а н и и этой книги. М ы Л ц ю д а р н ы т а к ж е Д ж е р а л ь д у М . Х и л л у и Ф р е н к у С п и к о л е из lUlirpa морских подводных систем (код 352). Б л а г о д а р и м и мисс ^ Н ' и н у К р и с т о ф е р з а отлично н а п е ч а т а н н у ю рукопись. Мануэль Т. Сильвии Эндерс А. Робинсон

Типичное судно д л я морской с е й с м о р а з в е д к и имеет сталы!0|'1 корпус, д л и н у 55 м, ш и р и н у 12 м и о с а д к у 4 м. У судна д о л ж н ы б ы т ь д в а гребных винта и система с т а б и л и з а ц и и . Оно д о л ж н о и м е т ь к а ю т ы д л я к о м а н д ы и геофизического о т р я д а , состояи1,его из 24 чел. Д л я н у ж д г е о ф и з и ч е с к о г о о т р я д а д о л ж н ы быть п р е д у с м о т р е н ы контора, к а ю т ы д л я а п п а р а т у р ы , о г о р о ж е н н а я кормовая палуба для барабанов с сейсмокосами и надпалубные с о о р у ж е н и я д л я в е р т о л е т а . С у д н о д о л ж н о р а з в и в а т ь крейсерскую скорость iO морских миль и б у к с и р о в а т ь сейсмокосу со скоро­ стью 4—6 морских м и л ь в час. М о р с к о е н а в и г а ц и о н н о е оборудо-

Рис. ПГ-2. Сейсморазведочное судно «Тюлень за­ лива», принадлежащее компании «Диджикон» (г. Хьюстон, штат Техас)

в а н н е Д 0 Л Ж 1 Ю в к л ю ч а т ь с п а р е н н ы й р а д а р с р а д и у с о м действии 24 мили и полную с п у т н и к о в у ю н а в и г а ц и о н н у ю систему. Кроме того, необходимы а в т о п и л о т , г и р о к о м п а с , д о п п л е р о в с к а я система, и з м е р и т е л ь скорости и в ы ч и с л и т е л ь н а я м а ш и н а (рис. ПГ-2), В морской с е й с м о р а з в е д к е используются р а з л и ч н ы е навига» ционныс ciiercMiii, в частности система Л о р а н С. Ч а с т о в качестщ основной системы д л я о п р е д е л е н и я п л а н о в о г о п о л о ж е н и я суди , п р и м е н я е т с я с п у т н и к о в а я система, к о т о р а я о б л а д а е т т а к и м и пр^ и м у щ е с т в а м н , как в о з м о ж н о с т ь круглосуточной р а б о т ы в любу^' погоду; с т а т и с т и ч е с к а я ф и л ь т р а ц н я в 1)еальном в р е м е н и , o6ecii(j ч и в а ю ш а я п р о л о ж е п и е ж е л а е м о г о курса судна; автоматизирован) ное с п о м о щ ь ю Э В М у п р а в л е н и е д в н ж е и и с м судна, позволяюи;|1! свести к м и н и м у м у п о п р а в к и к у р с а ; наличие к р е н о м е р о в , o6ecifl, ч и в а ю щ и х введе1П1е д и н а м и ч е с к и х поправок с ц е л ь ю у л у ч ш е ш ! с л е ж е н и я за спутиико.м и повышения точности н р о л о ж е н и я кур са судна; в о з м о ж н о с т ь записи всех п о к а з а н и й д а т ч и к о в на м.'П нитную ленту д л я о п е р а т и в н о г о послсэкспедицчонпого аналпи и а в т о м а т и з и р о в а н н о г о с о с т а в л е н и я карт. Обычное среднее O T K . N H пение от з а д а н н ы х м а р ш р у т о в при г л у б и н а х м о р я менее 200 «

ПС п р е в ы ш а е т 300 м, п о г р е ш н о с т ь о п р е д е л е н и я м е с т о п о л о ж е н и я пунктов в о з б у ж д е н и я 100 м. З а счет п о в ы ш е н и я стоимости р а б о т м о ж н о достичь б о л ь ш е й точности. О д н и м из э ф ф е к т и в н ы х источников сейсмической энергии при морской с е й с м о р а з в е д к е я в л я ю т с я в з р ы в н ы е устройства в ф о р м е 1ильзы, з а п а т е н т о в а н н ы е к о м п а н и е й «Эссо». С у д н о обычно бук­ сирует на г л у б и н е 6 м группу из в о с ь м и п н е в м а т и ч е с к и х пушек, р а с п р е д е л е н н ы х по п л о щ а д и 2 2 X 1 2 м. Д е й с т в и е п н е в м о п у ш е к постоянно к о н т р о л и р у е т с я и н д и в и д у а л ь н ы м и п р и б о р а м и , установ.ленными на пульте м е х а н и к а . П у ш к и с р а б а т ы в а ю т по к о м а н д е навигационной системы, а с у м м а р н ы е и м п у л ь с ы к а ж д о й п а р ы пушек з а п и с ы в а ю т с я на б у м а г е и на магнитной ленте. Н а рис. ПГ-3 и з о б р а ж е н а ф о р м а и м п у л ь с а , с о з д а в а е м о г о источником.

20 МО

Рис. ПГ-3. Типичная форма волнового импульса, созданного пневматической пушкой

К а ч е с т в о п о л е в ы х р а б о т о б е с п е ч и в а е т с я соблюдением следустандартов. 1. Н е более 3 о т к а з о в в л ю б о й серии из 4 п о с л е д о в а т е л ь н ы х позбуждений, не б о л е е 6 в л ю б о й серии из 12, не более 8 и любой серии из 20, не более 16 в л ю б о й серии из 100 в о з б у ж ­ дений. О т к а з ы в о з м о ж н ы не более чем на 6 % д л и н ы л ю б о г о профиля. О т к а з о м с ч и т а е т с я л ю б а я п о г р е ш н о с т ь а п п а р а т у р ы или ошибка о п е р а т о р а , в р е з у л ь т а т е которой з а п и с ь л и б о не произве;iena, л и б о на ней и м е ю т с я б о л е е д в у х н е р а б о т а ю щ и х или шу­ мящих к а н а л о в , л и б о н о р м а л ь н о с р а б о т а л и менее шести пневмо­ пушек. 2. Р а б о т ы на п р о ф и л е не н а ч и н а ю т с я , если не д е й с т в у ю т д в а II Оолее с е й с м о р е г и с т р и р у ю щ и х к а н а л а . 3. У р о в е н ь ш у м о в в г л а в н ы х р а б о ч и х к а н а л а х не д о л ж е н преii шть 5 м и к р о б а р . И с к л ю ч е н и е д е л а е т с я д л я первого к а н а л а , \р()вень ш у м о в в котором у в е л и ч и в а е т с я из-за в л и я н и я р а д а р н о й мишени, б у к с и р у е м о й х в о с т о в ы м буем. ( О б ы ч н ы й уровень шу­ мов в сейсмокосе р а в е н 3 м и к р о б а р ) . '1. Угол о т к л о н е н и я г л а в н о й части сейсмокосы от липни про|]|||./1я не д о л ж е н п р е в ы ш а т ь 12°. Па рис. П Г - 4 и з о б р а ж е н а п н е в м о п у ш к а перед п о г р у ж е н и е м н море. С е й с м о к о с а д в и ж е т с я за судном под поверхностью в о д ы . Д\|1рекая сейсмокоса — в ы с о к о н а д е ж н о е и удобное в о б р а щ е н и и \inmx

I

13

устройство. Н а и б о л е е п р и м е ч а т е л ь н ы е ее особенности — в о з м о ж ­ ность р е м о н т а на п р о ф и л е ; отсутствие в р а щ е н и я при д в и ж е н и и ; у д о б н ы е с о е д и н и т е л ь н ы е мусрты; в ы с о к о ч у в с т в и т е л ь н ы е сейсмоп р и е м н и к и ; н а л и ч и е секций без с е й с м о и р и е м н и к о в , что п о з в о л я е т без особого т р у д а п р и с п о с а б л и в а т ь сейсмокосу к р а з л и ч н ы м схе­ м а м н а б л ю д е н и й . Простои сведены к м и н и м у м у б л а г о д а р я н а л и ­ чию удобных в о б р а щ е н и и с о е д и н и т е л ь н ы х м у ф т и ц е н т р а л ь н о г о т р о с а , п р и н и м а ю щ е г о на себя всю н а г р у з к у , а т а к ж е прочной из­ носоустойчивой, не б о я щ е й с я х о л о д а виниловой оболочки. Ц е н т р а л ь н ы й у п р о ч н я ю щ и й т р о с д и а м е т р о м 0,7 см сделан из н е с к р у ч и в а ю щ е й с я о ц и н к о в а н н о й а в и а ц и о н н о й с т а л ь н о й проволо.4

Рис. ПГ-4. Вид пневматической погружением в море

4fi

пушки

перед

ки. М и н и м а л ь н о е р а з р ы в а ю щ е е усилие 500 М П а . С л о й изоляции т о л щ и н о й 0,05 см у м е н ь ш а е т э л е к т р и ч е с к и е утечки. С о р о к а в о с ь м и к а н а л ь и а я коса д л и н о й 2400 м р а з д е л е н а на 48 секций (секция на к а н а л ) д л и н о й 50 м к а ж д а я . В к а ж д о й 50-метровой секции р а з м е щ е н ы 40 с е й с м о п р и е м н и к о в . С с й с м о п р к е м п и к имеет д и а ­ метр 6 см, высоту 1,25 см и массу 27 г. СеГ|смоприемники в сек­ ции соединены п а р а л л е л ь н о . М а р к а проводов 24y\WG, цвет обо­ л о ч к и соединительных проводов не повторяется. ^ С е к ц и я п о м е щ е н а в п л а с т и к о в ы й ш л а н г из в и н и л а д и а м е т ­ ром 7 см и имеет по к о н ц а м с о е д и н и т е л ь н ы е м у ф т ы , п о э т о м у все секции р а з ъ е м н ы е и в з а и м о з а м е н я е м ы е . П л а с т и к о в а я о б о л о ч к а з а п о л н е н а м а с л о м с т а к и м р а с ч е т о м , чтобы п р и д а т ь к а ж д о й сек­ ции н е й т р а л ь н у ю п л а в у ч е с т ь . П о этой причине сейсмокоса и с к л ю - ' чительно огнеопасна. П р и к р е п л е н н ы е к к а б е л ю через определен­ ные п р о м е ж у т к и ч у в с т в и т е л ь н ы е к д а в л е н и ю д а т ч и к и глубины у д е р ж и в а ю т косу на о п т и м а л ь н о й глубине. Н а л и ч и е пустых 50-метровых секций п о з в о л я е т по ж е л а н и ю и з м е н я т ь к о н ф и г у р а ц и ю сейсмокосы. | « 14

Ma рис. П Г - 5 и з о б р а ж е н б а р а б а н с н а м о т а н н о й на него ко­ сой, который н а х о д и т с я на кормовой п а л у б е судна, на рис. П Г - 6 — к о р а б л ь , б у к с и р у ю щ и й сейсмокосу.

Рис. ПГ-5. Барабан с сейсмокосой, установленный на кормовой палубе судна

Рис. ПГ-6. Судно, буксирующее

сейсмокосу.

i — и с т о ч н и к и у п р у г и х волн; 2 — сейсмокоса

Сорок с е й с м о п р и е м н и к о в , р а с п р е д е л е н н ы х внутри к а ж д о й сек­ ции, н а з ы в а ю т с я группой. С и г н а л ы , п о с т у п а ю щ и е от всех сейсмо­ приемников группы, с к л а д ы в а ю т с я и о б р а з у ю т один сигнал, н а з ы 15

пасмый сейсмической трассой. В р е з у л ь т а т е , когда с р а б а т ы в а е т источник, 48 групп сейсмокосы г е н е р и р у ю т 48 сейсмических т р а с с . Эти 48 т р а с с з а п и с ы в а ю т с я 4 8 - к а н а л ь н ы м р е г и с т р а т о р о м на маг­ нитную л е н т у в ц и ф р о в о м виде. О п и с а н н о е в ы ш е с п р а в е д л и в о д л я г л у б о к о в о д н о й морской сей­ с м о р а з в е д к и . В р а з л и ч н ы х ч а с т я х м и р а в ы п о л н я е т с я т а к ж е мел­ к о в о д н а я с е й с м о р а з в е д к а , причем в этом с л у ч а е у с л о в и я прове­ дения р а б о т могут быть с а м ы м и р а з н о о б р а з н ы м и . М е л к о в о д н а я

Рис. ПГ-7. Участки Мексиканского залива к западу от п-ова Фло­ рида (показаны черными квадратиками), сданные в аренду в 1973 г.

с е й с м о р а з в е д к а п р о в о д и т с я д л я у в я з к и р е з у л ь т а т о в сухопутных и морских р а б о т . П р и и с с л е д о в а н и и э с т у а р и е в с б о л ь ш и м д в и ж е ­ нием судов или с сильными течениями, болот, рифов и д р у г и х п р и б р е ж н ы х у ч а с т к о в , а т а к ж е при р а б о т е в местах б о л ь ш и х при­ л и в о в и отливов о б о р у д о в а н и е н техника проведения д о л ж н ы х а р а к т е р и з о в а т ь с я л е г к о й п р и с п о с о б л я е м о с т ь ю к к о н к р е т н ы м ус­ л о в и я м . Д л я т а к и х р а й о н о в н у ж н ы суда с мелкой о с а д к о й и спе­ ц и а л ь н ы е суда типа понтонов и к а т а м а р а н о в , а т а к ж е суда на в о з д у ш н о й подушке. С у х о п у т н а я с е й с м о р а з в е д к а проводится по всех р а й о н а х м и р а , в к л ю ч а я города ( н а п р и м е р , Л о с - Л и д ж е л е с ) , п о л я р н у ю тундру, тропические д ж у н г л и . Д л я п р и м е р а опишем в к р а т ц е , к а к и щ е т с я нефть в А р а в и й с к о й пустыне. Н а смену п а л а т к а м и в е р б л ю ж ь и м к а р а в а н а м первых н е ф т е р а з в е д ч и к о в п р и ш л и п е р е д в и ж н ы е д о м и ­ ки с к о н д и ц и о н и р о в а н н ы м в о з д у х о м и в е р т о л е т ы . Сейсмическими источниками могут с л у ж и т ь групповые в з р ы в ы н е б о л ь ш и х з а р я IG

i

;ii>ii, но в последнее в р е м я п о л ь з у ю т с я с р а в н и т е л ь н о с л а б ы м и ш . п к а м и у д а р н о г о устройства. У д а р н и к , с м о н т и р о в а н н ы й на спеии.ч.'м.иом т р а н с п о р т н о м средстве, под в о з д е й с т в и е м в з р ы в а г а з о 1И1 (Душной смеси производит р е з к и й т о л ч о к по грунту. О б ы ч н о р.чГютает о д н о в р е м е н н о н е с к о л ь к о п о д о б н ы х у д а р н ы х у с т р о й с т в . О

Риг. ПГ-8. Окончательный сейсмический глубинный (в км) разрез, полученный компанией «Диджикон» (г. Хьюстон, штат Техас)

11 нолевых сейсмических п а р т и я х могут р а б о т а т ь более 100 ч е л . .Ко.'1онны п е р е д в и ж н ы х д о м и к о в буксируются т я г а ч а м и к месту rif),iirBbix л а г е р е й . Е с л и п о с т а в и т ь на колеса с п е ц и а л ь н ы е песчаIH.H' ншны, то в пустыне, б о л ь ш а я ч а с т ь которой п о к р ы т а песком, мижно п о л ь з о в а т ь с я и т я ж е л ы м , и легким т р а н с п о р т о м . Н о учаIIKH, п о к р ы т ы е р ы х л ы м и п е с к а м и , часто приходится о б ъ е з ж а т ь . |'||оди и н е к о т о р ы е грузы д о с т а в л я ю т с я в о т д а л е н н ы е р а й о н ы шмдушным т р а н с п о р т о м . Гоофизическая р а з в е д к а п р о д в и г а е т с я все д а л ь ш е и д а л ь ш е и (руднодоступные р а й о н ы мира с т я ж е л ы м и у с л о в и я м и д л я р а Гмлы. Б о л ь ш о й интерес н а ч и н а ю т в ы з ы в а т ь и многие а к в а т о р и и . Н.щрнмер, а к в а т о р и я к .чападу от п-ова Ф л о р и д а я в л я е т с я одним (И 1.1;изных р а й о н о в морской с е й с м о р а з в е д к п . Н а рис. П Г - 7 пока17

з а н ы у ч а с т к и , которые д е п а р т а м е н т в н у т р е н н и х д е л С Ш А с д а в а л в а р е н д у в 1973 г. Н е ф т я н ы е к о м п а н и и при о ц е н к е перспектив концессий п е р е д т о р г а м и исходят из д а н н ы х с е й с м о р а з в е д к и . С е й с м и ч е с к и е д а н н ы е обычно о б р а б а т ы в а ю т с я и интерпрети; руются в вычислительных центрах, расположенных в пунктах

Рнс. ПГ-9. Морская буровая платформа

п о д о б н ы х Хьюстону, Л о н д о н у или С и н г а п у р у . О д н а к о с п о я в л е ^ нием н е б о л ь ш и х в ы ч и с л и т е л ь н ы х м а ш н и вес б о л ь ш а я ч а с т ь мате» р и а л о в о б р а б а т ы в а е т с я в поле. П р и р е г и с т р а ц и и сейсмическое] иисэормации в поле о д н о в р е м е н н о с полезным первичным сигналов! з а п и с ы в а ю т с я бесчисленные помехи. В об1)абатывающем центра с п о м о щ ь ю н а б о р а п р о г р а м м п о л е з н ы й сигнал у с и л и в а е т с я , а П0'| мехи о с л а б л я ю т с я . П р о д о л ж а ю т с я с е р ь е з н ы е исследовательски!) р а б о т ы , н а п р а в л е н н ы е на д а л ь н е й ш е е нонын)снне д о л и полезны;!; с и г н а л о в в сейсмической з а п и с и . Магн1ггные ленты о б р а б а т ы в а в ются в соответствии с п р о ц е д у р о й , принятой и д а н н о й н е ф т я н о е к о м п а н и и , а з а т е м с д а ю т с я в а р х и в или в о з в р а щ а ю т с я нефтяной компании. Н а рис. П Г - 8 и з о б р а ж е н конечный продукт с е й с м о р а з в е д к и — о к о н ч а т е л ь н ы й г л у б и н н ы й сейсмический р а з р е з , полученный после 18

применения всех известных способов о б р а б о т к и и х а р а к т е р и з у ю ­ щий геологическое строение части ф л о р и д с к о г о ш е л ь ф а . О с н о в ы иаясь на п о д о б н ы х г л у б и н н ы х р а з р е з а х , н е ф т я н ы е к о м п а н и и покушиот у ч а с т к и д л я р а з в е д к и . М е с т а б у р е н и я п о и с к о в ы х с к в а ж и н иирсделяются в р е з у л ь т а т е и н т е р п р е т а ц и и т а к и х сейсмических р а з ||Г1ов. Н а рис. П Г - 9 и з о б р а ж е н а м о р с к а я б у р о в а я п л а т ф о р м а , используемая д л я б у р е н и я п о и с к о в ы х с к в а ж и н . т - 2 . ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА ( ГЙСМИЧЕСКИХ ДАННЫХ

При о с у щ е с т в л е н и и л ю б о г о сейсмического п р о е к т а р е г и с т р и р у ю т 1 и б у к в а л ь н о м и л л и о н ы сейсмических т р а с с . Эти т р а с с ы д о л ж н ы гилгь п р о а н а л и з и р о в а н ы т а к и м о б р а з о м , чтобы иметь в о з м о ж н о с т ь 1 оставить с т р у к т у р н ы е к а р т ы по г о р и з о н т а м осадочного ч е х л а . I | р у к т у р н ы е к а р т ы и с п о л ь з у ю т с я д л я о п р е д е л е н и я мест б у р е н и я поисковых с к в а ж и н на н е ф т ь и г а з . И з - з а высокой стоимости бургиия и е щ е б о л ь ш е й стоимости а р е н д ы п е р с п е к т и в н ы х на нефть rnicTKOB или концессий на р а з в е д к у , п о к у п а е м ы х у п р а в и т е л ь с т в |||угих г о с у д а р с т в , от геосризических и с с л е д о в а н и й ж д у т т о л ь к о шчиых р е з у л ь т а т о в . М а т е р и а л ы геофизической р а з в е д к и д о л ж н ы индтверждаться б у р е н и е м . П о п у л я р н о с т ь сейсмического м е т о д а о б ъ я с н я е т с я т е м , что он исключительно точен. Н а п р и м е р , с помощью сейсморазведки MiDKHO изучить геологическую с т р у к т у р у , з а л е г а ю щ у ю на г л у б и н е 11100 м, с точностью н е с к о л ь к и х д е с я т к о в метров. Т а к а я точность превосходит ту, к о т о р у ю с л е д о в а л о бы о ж и д а т ь , если у ч и т ы в а т ь 1К(тремальные у с л о в и я п р о в е д е н и я сейсмических н а б л ю д е н и й . Н а ­ пример, в apKTHjiecKHX р а й о н а х с е й с м о р а з в е д к а о б ы ч н о в ы п о л н я I ия зимой, к о г д а т у н д р а з а м е р з а е т . Т е м п е р а т у р а минус 50 °С, метели и п о л я р н а я ночь д е л а ю т р а б о т у с е й с м о р а з в е д ч и к о в трудной II опасной. Точность д а н н ы х с е й с м о р а з в е д к и з а в и с и т и от успешного р е ш е ­ ния т р у д н ы х и н т е р п р е т а ц и о н н ы х п р о б л е м , к о т о р ы е в о з н и к а ю т при р.к'шифровке з а п у т а н н ы х в о л н о в ы х к а р т и н , типичных в у с л о в и я х I ю ж н о г о з а л е г а н и я слоев в в е р х н и х 6 км з е м н о й к о р ы . Ц е л ь ' ииировой о б р а б о т к и сейсмических д а н н ы х — п р е в р а щ е н и е с л о ж . них волновых к а р т и н , з а п и с а н н ы х на с е й с м о г р а м м а х , в осмыслен­ ную и н ф о р м а ц и ю , к о т о р у ю м о ж н о и с п о л ь з о в а т ь д л я изучения ьпубинного тектонического с т р о е н и я . Как б ы л о бы х о р о ш о з а л о ж и т ь все д а н н ы е в Э В М , п о д о б р а т ь нужные в о л н о в ы е у р а в н е н и я и п о л у ч и т ь на в ы х о д е о к о н ч а т е л ь ­ ное решение. В д е й с т в и т е л ь н о с т и мы д а л е к и от т а к о г о и д е а л ь н о г о метода. Н а п р а к т и к е п р и х о д и т с я п о д в е р г а т ь исходные м а т е р и а И.1 целому р я д у о п е р а ц и й , причем к а ж д а я о п е р а ц и я п р е д п о л а г а е т шачительные у п р о щ е н и я и с о к р а щ е н и я . О б р а б о т к а сейсмических л.'ишых н а с т о л ь к о с л о ж н а , что п р е д с т а в л я е т ценность д а ж е при­ ем и ш т е л ь н о е п о н и м а н и е того, к а к и е п а р а м е т р ы в той или иной и м у а ц и и в а ж н ы , а к а к и е нет. К а ж д а я о п е р а ц и я б а з и р у е т с я на 19

ф и з и ч е с к о м п р е д с т а в л е н и и , г о д а м и в ы р а б а т ы в а в ш е м с я полевыми г е о ф и з и к а м и , которые а н а л и з и р о в а л и и и н т е р п р е т и р о в а л и записи о т р а ж е н н ы х волн. Б ы л о у с т а н о в л е н о , что п р а в и л ь н ы й а н а л и з м о ж е т б ы т ь с д е л а н т о л ь к о с учетом с т а т и с т и ч е с к о й природы сейсмического р а з р е з а . Н у ж н о з н а т ь не истинные пути распрост­ р а н е н и я к а ж д о й сейсмической в о л н ы , а с к о л ь к о волн в средне») д в и ж у т с я т а м или здесь, а т а к ж е р а с п о л а г а т ь с в е д е н и я м и о взаим­ ном у с и л е н и и и п о д а в л е н и и воздействий. ^'i С т а т и с т и ч е с к и й подход л е ж и т в основе всех г л а в н ы х способов о б р а б о т к и сейсмических д а н н ы х : скоростного а н а л и з а , определб' ния статических и к и н е м а т и ч е с к и х п о п р а в о к , с у м м и р о в а н и я , anaii л и з а ф о р м ы с и г н а л а в источнике, д е к о н в о л ю ц и и и м и г р а ц и и . Рас^' с м о т р и м в к р а т ц е эти о п е р а ц и и , чтобы о п р е д е л и т ь место декон* в о л ю ц и и в п о с л е д о в а т е л ь н о с т и п р о ц е д у р о б р а б о т к и и ее отноше!!^ ние к д р у г и м с п о с о б а м а н а л и з а . ' Скоростной а н а л и з . О с а д о ч н ы е слои з а л е г а ю т п р и б л и з и т е л ь н о г о р и з о н т а л ь н о , но в с т р е ч а ю т с я и т а к и е с т р у к т у р н ы е элементы, к а к а н т и к л и н а л и , н е с о г л а с и я и н а р у ш е н и я , к о т о р ы е могут слу ж и т ь л о в у ш к а м и д л я у г л е в о д о р о д о в . Ч т о б ы изучить глубиннук с т р у к т у р у о с а д о ч н о г о ч е х л а , г е о ф и з и к д о л ж е н п р е о б р а з о в а т ь сей с м и ч е с к и е т р а с с ы , п р е д с т а в л я ю щ и е собой з а п и с и о т р а ж е н и й i виде ф у н к ц и й времени, в ф у н к ц и и глубины. В отличие от радио; волн с к о р о с т ь р а с п р о с т р а н е н и я сейсмических волн в очень сил1^ ной степени з а в и с и т от свойств среды. П о мере р а с п р о с т р а н е н и я у п р у г и х волн в н у т р ь З е м л и их скорость и з м е н я е т с я . К а к п р а в и л о с глубиной скорость растет, хотя иногда на глубине встречаются^ слои, х а р а к т е р и з у ю щ и е с я относительно п о н и ж е н н ы м и с к о р о с т я м и Г р а ф и к з а в и с и м о с т и скорости от глубины д л я некоторой точки з е м н о й поверхности н а з ы в а е т с я с к о р о с п ю й ф у н к ц и е й . И т а к , в методе о т р а ж е н н ы х волн с у щ е с т в у ю т д в е одинаково в а ж н ы е п е р е м е н н ы е : в р е м я о т р а ж е н и я )i скорость распростране­ ния упругой в о л н ы . З н а я эти псрсмсиныс, м о ж н о о п р е д е л и т ь глу­ б и н ы з а л е г а н и я о т р а ж а ю щ и х горизонтов. Поскольку скорость с у щ е с т в е н н о и з м е н я е т с я по г о р и з о н т а л и , т. с. с к о р о с т н а я функция и з м е н я е т с я от одной точки н а б л ю д е н и я к другой, н е л ь з я пользо­ в а т ь с я какой-то одной скоростной функцией в п р е д е л а х всегс района исследований. Скоростную функцию нужно постояннс к о р р е к т и р о в а т ь при п е р е х о д е с одного у ч а с г к а поисков на другой Один из способов и з м е р е н и я скоростной ф у н к ц и и состоит f бурении глубокой с к в а ж и н ы и проведении с е й с м о к а р о т а ж а . Од н а к о в б о л ь ш и н с т в е с л у ч а е в приходится вычислять скоростпук г|эункцию т о л ь к о по и з м е р е н и я м на поверхности, поскольку глу' б о к и е с к в а ж и н ы имеются т о л ь к о на с т а р ы х , ])азвсданных площа­ д я х . С к о р о с т н у ю ф у н к ц и ю м о ж н о оценить но ])азностям времен в с т у п л е н и я одного и того ж е о т р а ж е н и я в п р е д е л а х расстановки* с е й с м о п р и е м н и к о в на земной поверхности. П о д о б н а я оценка з а в и с и т от с о б л ю д е н и я п р е д п о л о ж е н и я о р а в е н с т в е всех прочих условий. С п о м о щ ь ю Э В М м о ж н о в ы ч и с л я т ь скорости по многим с л о ж н ы м ф о р м у л а м , с в я з ы в а ю щ и м в р е м я и р а с с т о я н и е . В резульч 20

тате м о ж н о и з о б р а з и т ь з а в и с и м о с т ь средней скорости от в р е м е н и пробега (или от г л у б и н ы ) в в и д е с к о р о с т н о г о спектра. О п р е д е л е н и е статических и к и н е м а т и ч е с к и х п о п р а в о к . Ч т о б ы к о м п е н с и р о в а т ь изменчивость с к о р о с т н ы х х а р а к т е р и с т и к с а м ы х верхних слоев, в к а ж д у ю т р а с с у в в о д и т с я н е к о т о р ы й временной сдвиг, о б е с п е ч и в а ю щ и й источнику и п р и е м н и к у г о р и з о н т а л ь н ы й уровень п р и в е д е н и я . Этот в р е м е н н о й сдвиг р а в е н с у м м е п о п р а в о к за источник и з а т о ч к у п р и е м а и н а з ы в а е т с я с т а т и ч е с к о й по­ правкой. В в е д е н и е м к и н е м а т и ч е с к и х п о п р а в о к к а ж д а я т р а с с а превра­ щ а е т с я в т а к у ю трассу, к о т о р а я б ы л а бы п о л у ч е н а в том с л у ч а е , когда источник и п р и е м н и к н а х о д я т с я в одной точке п р о ф и л я , точнее, в точке, р а с п о л о ж е н н о й посредине м е ж д у ф а к т и ч е с к и м и источником и п р и е м н и к о м . П р и введении к и н е м а т и ч е с к и х попра­ вок п о д р а з у м е в а е т с я , что т р а с с ы с о д е р ж а т т о л ь к о т а к н а з ы в а е ­ мые первичные ( о д н о к р а т н ы е ) отражения. Согласно лучевой геории, луч первичного о т р а ж е н и я состоит из н и с х о д я щ е й (ис­ точник — о т р а ж а ю щ и й горизонт) и в о с х о д я щ е й (отражающий горизонт — п р и е м н и к ) ч а с т е й . Е г о м о ж н о в ы ч и с л и т ь по з а к о н у С н е л л и у с а , если з н а т ь скоростную ф у н к ц и ю . Е с л и слои з а л е г а ю т горизонтально, то все точки о т р а ж е н и я (или г л у б и н н ы е точки) находятся п р я м о под р а с п о л о ж е н н о й посередине (средней) м е ж д у источником и п р и е м н и к о м точкой. Е с л и слои з а л е г а ю т под у г л о м к горизонту, то г л у б и н н ы е точки будут с м е щ е н ы относительно средней точки м е ж д у источником и п р и е м н и к о м . О т с ю д а следует, что к и н е м а т и ч е с к и е п о п р а в к и з а в и с я т к а к от скоростной функции, так и от угла п а д е н и я о т р а ж а ю щ и х слоев. Ч а с т ь к и н е м а т и ч е с к о й поправки, з а в и с я щ а я т о л ь к о от р а с с т о я н и я м е ж д у источником и приемником, н а з ы в а е т с я п о п р а в к о й з а нормальный годограф. Часть к и н е м а т и ч е с к о й п о п р а в к и , з а в и с я щ а я от н а к л о н а о т р а ж а ю И1ИХ г р а н и ц , н а з ы в а е т с я п о п р а в к о й з а угол п а д е н и я . И т а к , в сейсмические т р а с с ы н а д о вводить четыре п о п р а в к и : за точку в о з б у ж д е н и я , з а т о ч к у п р и е м а , з а н о р м а л ь н ы й г о д о г р а ф и з а угол п а д е н и я о т р а ж а ю щ е г о горизонта. К а ж д а я н а б л ю д е н н а я т р а с с а п р е д с т а в л я е т собой в р е м е н н о й р я д , состоящий из о т р а ж е н ­ ных с и г н а л о в и р а з л и ч н о г о р о д а волн-помех. П о л е з н ы е о т р а ж е ­ н и я — это первичные о т р а ж е н и я , т. е. волны, к о т о р ы е распрост­ раняются вниз до о т р а л о ю щ е й г р а н и ц ы и з а т е м вверх до земной поверхности. Один из основных типов в о л н - п о м е х - — к р а т н ы е от­ р а ж е н и я . Л у ч к р а т н о г о о т р а ж е н и я состоит из нескольких нисхо­ дящих и в о с х о д я щ и х частей, причем их к о м б и н а ц и я м о ж е т быть самой р а з л и ч н о й (рис. П Г - 1 0 ) . В л ю б о й слоистой системе воз­ можно в о з н и к н о в е н и е бесконечно большого числа к р а т н ы х отра­ жений. В ы д е л я т ь первичные о т р а ж е н и я на фоне к р а т н ы х трудно, по1тому с о к о н ч а т е л ь н ы х сейсмических р а з р е з о в по в о з м о ж н о с т и надо с н и м а т ь к р а т н ы е о т р а ж е н и я . С л е д о в а т е л ь н о , з а д а ч е й м а ш и н ­ ной о б р а б о т к и к р о м е введения у п о м я н у т ы х выше п о п р а в о к я в л я е 1 с я п о д а в л е н и е к р а т н ы х о т р а ж е н и й н прочих помех. Д л я ре21

шения этой з а д а ч и п р и м е н я ю т с п е ц и а л ь н у ю схему р е г и с т р а ц и и сейсмических д а н н ы х , смысл которой з а к л ю ч а е т с я в том, что к а ж д о м у п о л о ж е н и ю источника упругих волн соответствует своя р а с с т а н о в к а с е й с м о п р и е м н и к о в . П р и в о д и т с я в д е й с т в и е источник и з а п и с ы в а ю т с я т р а с с ы . З а т е м вся система « и с т о ч н и к — п р и е м ­ ники» с м е щ а е т с я по п р о ф и л ю , и процесс п о в т о р я е т с я . Е с л и сме­ щ а т ь систему па н е к о т о р ы е р а с с т о я н и я , то к а ж д а я глубинная точка может изучаться несколько раз (многократное профилиро­ в а н и е ) . П р и 6-кратном п р о ф и л и р о в а н и и з а п и с ы в а е т с я по ш е с т ь т р а с с , о т н о с я щ и х с я к к а ж д о й глубинной точке. Н а б о р из шести т р а с с в к л ю ч а е т б л и ж н ю ю трассу, со[— — — I ответствующую кратчайшему рас­ с т о я н и ю по п р о ф и л ю м е ж д у источ­ ником и п р и е м н и к о м , и д а л ь н ю ю трассу, соответствующую наиболь­ ш е м у р а с с т о я н и ю по п р о ф и л ю м е ж ­ ду источником и п р и е м н и к о м . Т а ­ ким о б р а з о м , з а р е г и с т р и р о в а в сей­ смические д а н н ы е по схеме много­ кратного профилирования, получа­ ем б о л ь ш о е п е р е к р ы т и е или и з б ы ­ точность и н ф о р м а ц и и . Э т а избыточ­ ность п о з в о л я е т в ы ч и с л я т ь необхо­ д и м ы е п о п р а в к и и в сильной степени п о д а в л я т ь н е ж е л а т е л ь н ы е помехи и I ' шумы. Все т р а с с ы в п р е д е л а х р а й о н а Рис. ПГ-10. Лучи возможных р а б о т МОЖНО с к о м б и н и р о в а т ь в групкратных отражении ^^^^^ н а з ы в а е м ы е с б о р к а м и ( р я д а м и ) , т а к и м способом, чтобы т р а с с ы одной с б о р к и имели о б щ у ю с р е д н ю ю ( г л у б и н н у ю ) точку м е ж д у источни­ ком и п р и е м н и к о м . П р и прочих р а в н ы х у с л о в и я х р а с с м о т р и м пока т о л ь к о п о п р а в к у за н о р м а л ь н ы й г о д о г р а ф , к о т о р а я первичные от­ р а ж е н и я всех т р а с с в о п р е д е л е н н о й с б о р к е д е л а е т с и н ф а з н ы м и , а и с п р а в л е н н ы е т р а с с ы — когерентными. П у с т ь с{п) обозначает м е р у когере11Т1Юсти т р а с с сборки после введения п о п р а в к и з а н о р м а л ь н ы й г о д о г р а ф п. П р а в и л ь н о й п о п р а в к о й б у д е т з н а ч е н и е п, при котором ф у н к ц и я с{п) м а к с и м а л ь н а . Н а п р а к т и к е часто вво­ д я т п р е д в а р и т е л ь н у ю п о п р а в к у з а н о р м а л ь н ы й г о д о г р а ф , найден­ ную по п р е д в а р и т е л ь н о й скоростной з а в и с и м о с т и . В т а к о м с л у ч а е с к а з а н н о е в ы ш е относится к п о п р а в к е второго п о р я д к а , т. е. к ос­ таточной п о п р а в к е за н о р м а л ь н ы й г о д о г р а ф , к о т о р а я , в свою оче­ редь, п р е д с т а в л я е т собой п о п р а в к у в п р е д в а р и т е л ь н у ю с к о р о с т н у ю функцию. И с п о л ь з о в а н н ы й вы Hie подход, с одной стороны, м о ж н о при­ м е н я т ь д л я вычисления п о п р а в о к з а точку в о з б у ж д е н и я , точку п р и е м а и угол п а д е н и я , изменив соответствующим о б р а з о м ком­ позицию сборки, а с другой — вместо р а з д е л ь н о г о в ы ч и с л е н и я поправок в предположении равенства прочих условий можно 22

в ы ч и с л я т ь п о п р а в к и о д н о в р е м е н н о . В в и д у с л о ж н о с т и последней з а д а ч и более п р и м е н и м ы не п р я м ы е , а и т е р а т и в н ы е методы. Суммирование, б л а г о д а р я избыточности и н ф о р м а ц и и , к о т о р а я п р и с у щ а сейсмическому методу м н о г о к р а т н о г о п р о ф и л и р о в а н и я , с у м м и р о в а н и е м м о ж н о о с л а б и т ь н е ж е л а т е л ь н ы е помехи и ш у м ы . К а к мы видели, после в в е д е н и я к и н е м а т и ч е с к и х п о п р а в о к все п е р в и ч н ы е о т р а ж е н и я на т р а с с а х , п р и н а д л е ж а щ и х к одной с б о р к е с о б щ е й глубинной точкой, с т а н о в я т с я с и н ф а з н ы м и . Т а к к а к лучи к р а т н ы х о т р а ж е н и й отличны от л у ч е й п е р в и ч н ы х о т р а ж е н и й , вве­ д е н н ы е к и н е м а т и ч е с к и е п о п р а в к и не д е л а ю т к р а т н ы е в о л н ы синб а з н ы м и , поэтому, если с л о ж и т ь все и с п р а в л е н н ы е т р а с с ы , при­ н а д л е ж а щ и е к с б о р к е с о б щ е й глубинной точкой, то к р а т н ы е о т р а ж е н и я и д р у г и е н е к о г е р е н т н ы е помехи с и л ь н о о с л а б я т с я . В р е з у л ь т а т е п о л у ч а е т с я одна в ы х о д н а я т р а с с а д л я к а ж д о й глу­ бинной точки, н а з ы в а е м а я с у м м а р н о й т р а с с о й . Т а к о й вид сум­ м и р о в а н и я обычно н а з ы в а е т с я с у м м и р о в а н и е м по способу о б щ е й глубинной точки ( О Г Т ) , х о т я постепенно входит в у п о т р е б л е н и е и более точный т е р м и н — с у м м и р о в а н и е по способу о б щ е й сред­ ней точки ( О С Т ) . В п о л ь з у т е р м и н а « с р е д н я я т о ч к а » говорит тот сЬакт, что в с л у ч а е н а к л о н н ы х г р а н и ц г л у б и н н ы е точки, т. с. точки о т р а ж е н и я , не л е ж а т п р я м о под с р е д н и м и т о ч к а м и м е ж д у источ­ ником и п р и е м н и к о м . С м ы с л с у м м и р о в а н и я по способу О С Т з а к л ю ч а е т с я в том, что в р е м е н а о т р а ж е н и я к р а т н ы х волн р а с т у т б ы с т р е е с р а с с т о я н и е м от источника, чем у первичных о т р а ж е н и й . С т а т и ч е с к и е п о п р а в к и , в в е д е н и е к о т о р ы х необходимо п е р е д с у м м и р о в а н и е м , я в л я ю т с я в р е м е н н ы м и с д в и г а м и , не з а в и с я щ и м и от времени. Они компен­ с и р у ю т неоднородности р е л ь е ф а з е м н о й поверхности и т а к н а з ы ­ в а е м о й зоны м а л ы х скоростей по м е н ь ш е й мере до у р о в н я грун­ т о в ы х вод. Способы а н а л и з а ф о р м ы с и г н а л а в источнике и с в я з а н н ы е о ними способы ц и ф р о в о й ф и л ь т р а ц и и по с у щ е с т в у те ж е , что и п р и м е н я е м ы е в д р у г и х н а у к а х , поэтому они не р а с с м а т р и в а ю т с я в д а н н о й книге, к о т о р а я п о с в я щ е н а в основгюм м е т о д а м , свойст­ венным и с к л ю ч и т е л ь н о г е о ф и з и к е . Деконволюция. С у щ е с т в у е т особый вид к р а т н о г о о т р а ж е н и я — так называемая реверберация. Энергия, попавшая в ловушку в близповерхностных слоях, о т р а ж а е т с я в з а д - в п е р е д и н а к л а д ы в а ­ ется на первичные о т р а ж е н и я в момент их п р о х о ж д е н и я через эти слои. В р е з у л ь т а т е в м е с т о четких р а з р е ш е н н ы х во времени отражений наблюдаются отражения с длительными реверберационными ц у г а м и . Эти цуги н а к л а д ы в а ю т с я на цуги с л е д у ю щ и х первичных о т р а ж е н и й — и вся с е й с м и ч е с к а я т р а с с а п р и о б р е т а е т синусоидальный х а р а к т е р , на пей т р у д н о или совсем н е в о з м о ж н о в ы д е л я т ь вступлении первичных о т р а ж е н и й . Р е ш е н и е последней з а д а ч и состоит в г а ш е н и и энергии к а ж д о г о рсверберационного цуга, первичное о т р а ж е н и е о с т а е т с я нетрону­ тым и, т а к и м о б р а з о м , у в е л и ч и в а е т с я р а з р е ш е н н о с т ь во времени всех о т р а ж е н и й . Э т а п р о ц е д у р а н а з ы в а е т с я д е к о н в о л ю ц и е й и в ы 23

п о л п я е т с я она с л е д у ю щ и м способом. В э н е р г е т и ч е с к о м отношении нолновой и м п у л ь с , с о с т о я щ и й из первичного о т р а ж е н и я и р е ь е р б е р а ц и и , я в л я е т с я м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ и м . Б о л е е того, все т а к и е в о л н о в ы е и м п у л ь с ы имеют п р и б л и з и т е л ь н о одну и ту жео о р м у . Т а к к а к первичные волны о т р а ж а ю т с я от геологичес1сих слоев р а з н о й м о щ н о с т и , в р е м е н а в с т у п л е н и я первичных о т р а ж е ­ ний будут д е й с т в и т е л ь н о с л у ч а й н ы м и . С л е д о в а т е л ь н о , ф у н к ц и я автокорреляции трассы равна функции автокорреляции волнового и м п у л ь с а , поэтому по а в т о к о р р е л я ц и о н н о й функции м о ж н о р а с ­ с ч и т а т ь т р е б у е м ы й о б р а т н ы й или д е к о н в о л ю ц и о н н ы й о п е р а т о р . В о з д е й с т в у я этим о п е р а т о р о м на т р а с с у , получаем обратную свертку, т. е. т р а с с у , о ч и щ е н н у ю от р е в е р б е р а ц и о н н ы х с о с т а в л я ю ­ щих в о л н о в ы х импульсов, на которой р а з р е ш е н н о с т ь п е р в и ч н ы х отражений улучшилась. Процесс деконволюции можно использовать т а к ж е для устра­ нения некоторых д л и н н о п е р и о д н ы х к р а т н ы х о т р а ж е н и й . Этот вид деконволюции называется альфа-шаговой деконволюцией. На п р а к т и к е в з а в и с и м о с т и от стоимостных и д р у г и х с о о б р а ж е н и й д е к о н в о л ю ц и ю м о ж н о в ы п о л н я т ь л и б о до с у м м и р о в а н и я , л и б о после него. М и г р а ц и я сейсмических данных. П о с л е д н и м ц и ф р о в ы м спо­ собом о б р а б о т к и , к о т о р о м у п о д в е р г а ю т с я сейсмические д а н н ы е п е р е д построением м а ш и н н о г о р а з р е з а , я в л я е т с я миграция. С л о в о « м и г р а ц и я » при о б р а б о т к е сейсмических м а т е р и а л о в имеет особое з н а ч е н и е , которое не с л е д у е т п у т а т ь с д р у г и м и з н а ч е н и я м и , н а п р и м е р с м и г р а ц и е й нефти нз м а т е р и н с к и х п о р о д в л о в у ш к и . Синоним с л о в а « м и г р а ц и я » в том значении, в котором оно упот­ р е б л я е т с я при о б р а б о т к е сейсмических д а н н ы х , — д е р а с п р о с т р а нение. Д р у г и м и с л о в а м и , м и г р а ц и я это процесс р а с п р о с т р а н е ­ ния волн, н а б л ю д е н н ы х на поверхности з е м л и , вспять во времени и в п р о с т р а н с т в е в п л о т ь до глуби1шых с т р у к т у р . В р а й о н е , где все г л у б и н н ы е слои з а л е г а ю т а б с о л ю т н о г о р и з о н т а л ь н о , р а с п р о с т ­ р а н е н и е в с п я т ь ( д е р а с п р о с т р а н е н и е ) происходит но а б с о л ю т н о в е р т и к а л ь н ы м путям. Е с л и г л у б и н н ы е слон н а к л о н е н ы или изо­ гнуты, д е р а с п р о с т р а н е н и е идет по криволинейным путям. С м ы с л м и г р а ц и и (или д е р а с п р о с т р а н е н и я ) состоит в том, что эта п р о ц е д у р а в ы я в л я е т д е й с т в и т е л ь н о е просг|)анственное р а с п о ­ л о ж е н и е глубинных точек о т р а ж е н и я . Сейсмические м а т е р и а л ы , полученные на поверхности з е м л и и не подвергнутые м и г р а ц и и , д а ю т л и ш ь к а ж у щ е е с я п р е д с т а в л е н и е о местоположении точек отражения. Следовательно, миграцию можно определить как т р а н с ф о р м а ц и ю д а н н ы х , н а б л ю д е н н ы х на новер.хности, в д а н н ы е , которые н а б л ю д а л и с ь бы на глубине. И н ы м и с л о в а м и , м и г р а ц и я — процесс м а т е м а т и ч е с к о г о в о з в р а щ е н и я д а н н ы х в недра З е м л и с целью в ы я в л е н и я истинного пространственного п о л о ж е н и я глу­ бинных с т р у к т у р '38, 9 4 ] . В ф и з и к е обычно р а с с у ж д а ю т не о м и г р а ц и и , а о д и ф р а к ц и и . Д и о р а к ц и я п р е д с т а в л я е т собой п р я м о й процесс, а м и г р а ц и я — о б р а т н ы й . П у с т ь имеется точечный нсгочник на глубине. От этой 24

точки в о л н о в а я э н е р г и я и з л у ч а е т с я во всех н а п р а в л е н и я х , и в изо­ тропной однородной с р е д е в о л н о в ы е ф р о н т ы будут с ф е р и ч е с к и м и . О д н а к о в гетерогенной среде волновое д в и ж е н и е не с т о л ь просто. Н а п р и м е р , если волны п р о х о д я т в б л и з и к р а я н е п р о з р а ч н о г о т е л а , то ч а с т ь энергии о т к л о н я е т с я или д и ф р а г и р у е т с я в теневую об­ л а с т ь . Н а л и ч и е м н о ж е с т в а п р е л о м л я ю щ и х слоев в З е м л е , о з н а ч а е т , что ф р о н т ы р а з л и ч н ы х д и ф р а г и р о в а н н ы х волн будут и н т е р ф е р и ­ р о в а т ь м е ж д у собой. И з этой и н т е р ф е р е н ц и о н н о й к а р т и н ы у по­ верхности З е м л и возникнет н е к а я в о л н о в а я к а р т и н а , з а п и с ь кото­ рой собственно и есть сейсмические д а н н ы е . ( З а м е т и м , что в фи­ зике т е р м и н ы « и н т е р ф е р е н ц и я » и « д и ф р а к ц и я » обычно употреб.'1ЯЮТСЯ д л я о п и с а н и я одного и того ж е вида в о л н о в ы х явлений. Какой из них у п о т р е б л я т ь — д е л о п р и в ы ч к и , т а к к а к м е ж д у этими т е р м и н а м и нет четкого физического р а з л и ч и я . О б ы ч н о , к о г д а имеется н е с к о л ь к о и н т е р ф е р и р у ю щ и х источников, н а п р и м е р д в а , результат н а з ы в а е т с я и н т е р ф е р е н ц и е й , к о г д а ж е число интерфе­ рирующих источников в е л и к о , ч а щ е у п о т р е б л я е т с я слово «ди­ фракция»). Сейсмический р а з р е з , о т с у м м и р о в а н н ы й но способу общей глубинной точки ( О Г Т ) , состоит из всех о т с у м м и р о в а н н ы х но О Г Т т р а с с в п р е д е л а х р а з в е д о ч н о г о п р о ф и л я . Т а к о й р а з р е з при­ близительно о б л а д а е т с в о й с т в а м и р а з р е з а , у которого к а ж д а я трасса получена при с о в м е щ е н н ы х источнике и п р и е м н и к е . СовмеHieHHOCTb источника и приемника обусловливает следующее: 1) несмотря на то, что путь пробега энергии м е ж д у поверхностью и о т р а ж а ю щ е й г р а н и ц е й на г л у б и н е м о ж е т быть очень с л о ж н ы м , в о с х о д я щ а я и н и с х о д я щ а я части этого пути д о л ж н ы быть одина­ ковыми; 2) луч п а д а е т на о т р а ж а ю щ у ю г р а н и ц у под п р я м ы м углом (рис. П Г - 1 1 ) . В о л н о в о е у р а в н е н и е о п и с ы в а е т движение ([)изических волн. Н о о т с у м м и р о в а н н ы й сейсмический р а з р е з не соответствует в о л н о в о м у полю, в о з н и к ш е м у при единичном физи­ ческом э к с п е р и м е н т е . П р о и з в о д и т с я п о с л е д о в а т е л ь н о много воз­ буждений, а о т с у м м и р о в а н н ы й сейсмический р а з р е з с о з д а е т пред­ ставление об о д н о в р е м е н н о м в о з б у ж д е н и и . В с в я з и с этим при­ ходится п о л ь з о в а т ь с я теоретической м о д е л ь ю , оправдываюик'й применение волнового у р а в н е н и я д л я в ы п о л н е н и я необходимых операций н з д в о л н о в ы м д в и ж е н и е м в том виде, в к а к о м оно ска:!алось на о т с у м м и р о в а н н о м сейсмическом р а з р е з е . Теоретический опыт м о ж н о описать т а к и м о б р а з о м . П р и с м и и |\н, к а к и п р е ж д е , р а с п о л о ж е н ы на поверхности З е м л и , но псточинки р а с п р е д е л е н ы у ж е внутри З е м л и . Точнее говоря, источники, иптеисивность которых п р о п о р ц и о н а л ь н а к о э ф ф и ц и е н т а м о т р а ж е ­ нии, р а с п о л а г а ю т с я в д о л ь к а ж д о й о т р а ж а ю щ е й границы. Все источники в о з б у ж д а ю т с я в один и тот ж е момент времени — в мо­ мент / = 0 . Н а с интересуют т о л ь к о в о с х о д я щ и е в о л н ы , т. е. волны, д в и ж у щ и е с я от источников на глубине к п р и е м н и к а м на поверх­ ности З е м л и . Т а к к а к с у м м и р о в а н и е м и д е к о н в о л ю ц и е й к р а т н ы е о т р а ж е н и я эсЬфективно п о д а в л е н ы , р а с с м о т р е н и е к р а т н ы х о т р а /кс'ний и с к л ю ч а е м из теоретического опыта. К а к известно, сейс25

м и ч е с к а я т р а с с а р е г и с т р и р у е т с я в виде ф у н к ц и и времени отра­ ж е н и я , т. е. в р е м е н и пробега волны от поверхности до г р а н и ц ы и о б р а т н о . Н о в н а ш е м т е о р е т и ч е с к о м о п ы т е н а с интересует т о л ь к о в р е м я п р о б е г а в одну сторону — от источников на г л у б и н е к при­ е м н и к а м на поверхности, п о э т о м у н у ж н о п р е о б р а з о в а т ь о т с у м м и р о в а н н ы й сейсмический р а з р е з в ф у н к ц и ю в р е м е н и п р о б е г а в одну сторону. Э т о п р е о б р а з о в а н и е о с у щ е с т в л я е т с я п р о с т ы м д е л е н и е м на д в а в р е м е н н о г о м а с ш т а б а о т с у м м и р о в а н н о г о сейсмического разреза. Т е п е р ь з а д а ч у м и г р а ц и и м о ж н о с ф о р м у л и р о в а т ь , причем д л я простоты р а с с м о т р и м д в а п р о с т р а н с т в е н н ы х и з м е р е н и я — х, у и

Рис. ПГ-11. Путь распространения энер­ гии (вниз и вверх) в случае совмещения источника и приемника. I — точка возбуждения и приема; 2 — путь энергии; Л — о т р а ж а ю щ а я граница; 4—поверх­ ность З е м л и

Рис. ПГ-12. Пространственное изображение волнового поля, на котором пока­ заны плоскости временного и глубинного разрезов. « — в р е м я , (/ — г л у б и н а , дг — п р о с т р а н с т в е н н а я К()орд||Т1ата. / — и з о б р а ж е н и е в о л н о в о г о п о л я я а п л о с к о с т и (х. t); 2 — и з о б р а ж е н и е в о л н о в о г о п о л я в п л о с к о с т и (лг, у); Л — т о ч к а в о л н о в о г о п о л я к а к ф у н к ц и я (дс, у, t)

время i. К о о р д и н а т а х — р а с с т о я н и е но г о р и з о н т а л и в д о л ь л и н и и п р о а и л я , а к о о р д и н а т а у — р а с с т о я н и е но в е р т и к а л и , т. е. глу­ бина, причем п о л о ж и т е л ь н ы м будет н а п р а в л е н и е вниз. Полное волновое поле з а п и с ы в а е т с я ф у н к ц и е й и{х, у, / ) . В о л н о в о е поле и{х, у, 0) в момент времени ^ = 0 о п и с ы в а е т волновое д в и ж е н и е в момент в о з б у ж д е н и я источников, т. е. в момент о д н о в р е м е н н о г о н а ч а л а д е й с т в и я всех гипотетических источников, р а с п р е д е л е н н ы х в н у т р и З е м л и . С о г л а с н о теоретическому э к с п е р и м е н т у источники р а с п о л о ж е н ы на о т р а ж а ю щ и х г р а н и ц а х и их мощности пропор­ ц и о н а л ь н ы к о э ф ф и ц и е н т а м о т р а ж е н и я . Т а к и м о б р а з о м , и(х, у, 0) п р е д с т а в л я е т собой р а з р е з геологической с т р у к т у р ы З е м л и и н а ­ зывается г л у б и н н ы м р а з р е з о м . Он и з о б р а ж а е т и с к о м о е глубинное геологическое строение. Волновое поле и(х, О, t) на глубине у = 0, т. е. на поверхности З е м л и , н а з ы в а е т с я в р е м е н ­ ным р а з р е з о м , который п р е д с т а в л я е т собой сейсмические д а н н ы е в ф у н к ц и и времени, з а р е г и с т р и р о в а н н ы е в д о л ь п р о ф и л я на поверхности З е м л и . 26

З а д а ч у м и г р а ц и и м о ж н о просто и з л о ж и т ь с л е д у ю щ и м о б р а з о м . Дан временной р а з р е з и(х, О, t), н а й т и г л у б и н н ы й р а з р е з ii(x. у, 0) (рис. П Г - 1 2 ) . Чтобы п о к а з а т ь , к а к решается задача миграции, примем скорость распространения волны с постоянной. Тогда волновое поле и{х, у, /) будет удовлетворять волновому у р а в н е н и ю

Пусть и {k, I , ш) — трехмерное ноля и{х, у, t). Тогда и{х,

у, t) = —^]

dkj

dl

Фурье-преобразование

]dmU{k,

волнового

I , a,)e'(*^-bW).

(ПГ-2)

Трех.мерное Ф у р ь е - п р е о б р а з о в а н и е к а ж д о г о ч л е н а в в о л н о в о м уравнении д а е т р а в е н с т в о 0)2 —с2/г2 —с2;2 = 0, называемое у р а в н е н и е м д и с п е р с и и . Из ния п о л у ч а е м в ы р а ж е н и е д л я у г л о в о й ч а с т о т ы :

(ПГ-3) этого

(0=+с/]^1-ЬА>2/Р.

уравне­ (ПГ-4)

И с п о л ь з у е м т о т п а к т , что р а с с м о т р е н и ю п о д л е ж а т т о л ь к о вос5 х о д я щ и е в о л н ы (волны, д в и ж у щ и е с я от г л у б и н н ы х гипотетиче­ ских источников в в е р х к п р и е м н и к а м на поверхности, т. е. д в и ж у П1,иеся в н а п р а в л е н и и о т р и ц а т е л ь н о й оси у). С л е д о в а т е л ь н о , в предыдущем выражении сохраним только плюс: (В = + d y 1 + ^ / 2 . Пусть V{k, I , f) — двумерное преобразование Ф у р ь е ноля и{х, у, t) по координатам х vi у; тогда и{х,

у, 0 = ^ 2 1 ^ * ]dlV{k,

и t)ei'"+i»\

(ПГ-5) волнового

(ПГ-6)

В частности, V {k, I , 0) есть Фурье-преобразование глубинного раз­ реза и{х, у, 0). Если выполнить двумерное Фурье-преобразование к а ж д о г о члена и волновом уравнении, то получим ~

Ч- с2 {k^ +

V' = 0.

(ПГ-7)

или ^ - L „ , 2 y = 0.

(ПГ-8)

Это — обыкновенное Дифференциальное уравнение. Каждому II t двух значений ш, т. е. положительному или о т р и ц а т е л ь н о м у , 27

определенному уравнением (ПГ-4), соответствует свое решение. Однако • д л я восходящих волн выбираем только одно решение, а именно то, которое соответствует значению ш, заданному выражением (ПГ-5). Запишем это решение в виде Vik.

I , t) = A{k,

(ПГ-9)

где A{k, /) — б у н к ц и я , не з а в и с я щ а я от t. Обратное Фурье-преобразование функции новое поле: и{х,

у, 0 = ^ 2 f

]dlA{k,

V{k,

I , f) дает вол­ j

/)е'-^е'(*^+/.).

(ПГ-Ю)

Ф у н к ц и я i (uyt-{-kx + 1у) под знаком интеграла описывает пло­ с к у ю волну с угловой частотой ш, р а с п р о с т р а н я ю щ у ю с я со ско­ ростью с в направлении, определяемом н а п р а в л я ю щ и м и косинусами: {-кГ1УТ+{Шу:,

- \ / Y i + {k/if).

(пг-п)

П р и н я в глубину у = 0 в уравнении (ПГ-10), получим ние д л я временного р а з р е з а : и {х. О, t)==^^]dk

I

1 dlA {k, I)

Д в у м е р н о е Фурье-преобразование определяется как В {к, ш ) = ]dx

выраже­

В {k,

Idtuix,

ш) разреза

О, ^)е-'(*^+"'),

(ПГ-12) и {х.

О,

/)

(ПГ-13)

а обратное Фурье-преобразование имеет вид и{х.

О, 0 = ^

]dk

]dmB{k,

о.)е'Ч*'+'°').

(ПГ-14)

Если сравнить у р а в н е н и я (ПГ-12) и (ПГ-14), то оказывается, что B{k,

w)di» = A{k,

l)dl,

(ПГ-15)

т. е. ф у н к ц и ю A{k, I) можно найти по Фурье-преобразованию В (к, ш) временного разреза, использовав соотношение Л ( * , 0 = 5(А:, « . ) g ,

(ПГ-16)

которое м о ж н о записать в виде А{к.

1)=В1к,

,i

dVi+ik/iY'

Н а к о н е ц , п р и н я в в (ПГ-9) / = 0,

^ = р = получаем:

А {к, l) = V{k,

I . 0).

(ПГ-17) * (ПГ-18)

т . е . А {к, [) является Фурьэ-преобразованием глубинного р а з р е з а . Следовательно, уравнение (ПГ-17) позволяет нам найти Фурье-пре28

J

r ; i Kiisfiiiiie A[k, I) глубинного разреза по Фурье-преобразованию •(/•. 1") временного р а з р е з а . Короче говоря, сейсмические д а н н ы е м о ж н о с м и г р и р о в а т ь слеимцим образом. Сначала вычисляется с помощью уравнения Mi -13) Ф у р ь е - п р е о б р а з о в а н и е з а д а н н о г о временного р а з р е з а , и м с помощью уравнения ( П Г - 1 7 ) — Фурье-преобразование г и т п н о г о р а з р е з а . Н а к о н е ц , п о л у ч а е т с я искомый глубинный .1 ;|)ез к а к о б р а т н о е Ф у р ь е - п р е о б р а з о в а н и е по ф о р м у л е ( П Г - 1 0 ) 14 / 0: .i{kx-\-ly)

(ПГ-19)

Ма п р а к т и к е эти Ф у р ь е - п р е о б р а з о в а н и я в ы ч и с л я ю т с я с помо10 а л г о р и т м а быстрого п р е о б р а з о в а н и я Ф у р ь е (см, гл. 5 ) .

1^ г''

Глава 1 ГЕОФИЗИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

1} 1.1. МОДЕЛИ В НАУКЕ И ТЕХНИКЕ

i

Ч е л о в е к с о з д а е т модели своего естественного и искусственн|1 о к р у ж е н и я , чтобы л у ч ш е все п о н я т ь и о б ъ я с н и т ь , а т а к ж е п6\ готовиться к к а к и м - л и б о п о и с к а м . Он м о д е л и р у е т экономически п р о ц е с с ы , чтобы н а у ч и т ь с я к о н т р о л и р о в а т ь цены и инфляции стоимость ж и з н и , п л а т е ж н ы й б а л а н с и д р у г и е ф а к т о р ы . Он Ц\ д е л и р у е т С о л н е ч н у ю систему по многим п р и ч и н а м , среди которп с л е д у ю щ и е : 1) ж е л а н и е п о н я т ь в з а и м о д е й с т в и е м е ж д у С о л н ц ! и небесными т е л а м и , в р а щ а ю щ и м и с я в о к р у г него; 2) н е о б х о ц мость п о н я т ь в с е м и р н о е тяготение и п р и л и в н ы е я в л е н и я ) ; 3) ВС1 м о ж и о с т ь п о с ы л а т ь космические к о р а б л и к Л у н е и д р у г и м п^'| нетам. Ч е л о в е к м о д е л и р у е т о т д е л ь н ы е процессы, п р о и с х о д я щ и е в чел; веческом теле, ч е л о в е ч е с к и е о р г а н ы ( с е р д ц е и мозг) и opranffij в целом д л я в ы я с н е н и я бесчисленных в о п р о с о в : 1) диффуз:! л е к а р с т в е н н ы х п р е п а р а т о в , введенных в к р о в е н о с н у ю систек 2) волнового и з л у ч е н и я м о з г а , чтобы, н а п р и м е р , иметь в о з м о иость п р е д у п р е ж д а т ь б о л ь н ы х эпилепсией о п р и б л и ж а ю щ и х с я njl п а д к а х ; 3) у л у ч ш е н и я к о м ф о р т а д л я п а с с а ж и р о в в самолет: М о д е л и р о в а н и е в о б щ е м смысле о х в а т ы в а е т ч е т ы р е п р о б л е м ; представление, измерение, оценивание и утверждение. Проблема п р е д с т а в л е н и я з а к л ю ч а е т с я в необход мости ответа на вопрос, к а к и м о б р а з о м нечто д о л ж н о б ы т ь C!i, д е л н р о в а н о . В геофизической р а з в е д к е в а ж н у ю р о л ь и г р а ю т ма м а т и ч е с к и е м о д е л и . О т н о с и т е л ь н о этого к л а с с а моделей н е о б г д и м о з н а т ь , к а к о й именно д о л ж н а б ы т ь модель — с т а т и ч е с и или д и н а м и ч е с к о й , линейной или нелинейной, д е т е р м и н и р о в а н ! ' или случайной, н е п р е р ы в н о й или дискретной, ф и к с и р о в а н н о й i изменчивой, сосредоточенной или р а с п р е д е л е н н о й (системы, хар т е р и з у е м ы е сосредоточенными п а р а м е т р а м и и д е й с т в у ю щ и е в п р е р ы в н о м времени, м о ж н о о п и с а т ь о б ы к н о в е н н ы м и диффер? ц и а л ь н ы м и у р а в н е н и я м и , в то в р е м я к а к системы, действуюи в н е п р е р ы в н о м времени, но с р а с п р е д е л е н н ы м и п а р а м е т р а м и , о: с ы в а ю т с я у р а в н е н и я м и в ч а с т н ы х п р о и з в о д н ы х ) , во в р е м е н н о й и в частотной о б л а с т и (временной р я д — это п р е д с т а в л е н и е во в;,, меннбй о б л а с т и , а п е р е д а т о ч н а я ф у н к ц и я — п р е д с т а в л е н и е в Vi тотной о б л а с т и ) . Чтобы проверить модель, н у ж н о измерять бизические величин' Р а з л и ч а ю т с я два вида физических величин — с и г н а л ы и п а pi м е т р ы . Параметры в ы р а ж а ю т связь между сигналами. Наприме, закон Ньютона гласит, что F(t) = MA{i), где f ( / ) — с и л а ю 30

времени t, Л (/) — у с к о р е н и е к а к ф у н к ц и я времени i, а ,\1 масса, предполагаемая независимой от времени. Сила и уско­ рение я в л я ю т с я сигналами, часто легко измеряемыми, а масса — параметром. В Дисэсреренциальном у р а в н е н и и

1И11КИИЯ

y{t) + a:y{i)

+

a2y{t)==bx{t)

|1,|\т1кция y{t), ее производная по времени, y{i), ее в т о р а я произ|1пд|!ая по времени y{f) и x{t) — сигналы, а величины а\, ао и /| параметры. В алгебраическом равенстве

/ 2 ( ^ ) ' • • •» /^v(^^) И д:(Х) — сигналы, изменяющиеся в зависиМ(кти от непрерывной независимой переменной X, а g^i, g2, . . ., II fj — параметры. Иногда р а з л и ч и я м е ж д у с и г н а л о м и п а р а м е т р о м о п р е д е л я ю т с я I \ Г)ъективно. Ч а с т о ф и з и ч е с к а я в е л и ч и н а с ч и т а е т с я с и г н а л о м по iiiii причине, что о н а , ф у н к ц и я в р е м е н и , п р о с т р а н с т в а или к а к о й - т о лругой и з м е р я е м о й в е л и ч и н ы . Н о п а р а м е т р ы т о ж е могут и з м е (ипнся со в р е м е н е м . Н а п р и м е р , о д н о с т у п е н ч а т а я р а к е т а . Е е м а с с а уменьшается по м е р е с г о р а н и я т о п л и в а , с л е д о в а т е л ь н о , в д а н н о м i;iyiiae п а р а м е т р м а с с ы и з м е н я е т с я во в р е м е н и . Не все с и г н а л ы и п а р а м е т р ы п о д д а ю т с я и з м е р е н и ю . П р о би ' м а и з м е р е н и я — в ы я с н е н и е вопроса, к а к и е ф и з и ч е с к и е ж'лнчины д о л ж н ы б ы т ь и з м е р е н ы и к а к и м способом они д о л ж н ы II ( М е р я т ь с я . Проблема о ц е н и в а н и я — определение тех фпшческих величин, к о т о р ы е не могут быть и з м е р е н ы . Б у д е м р а з •шчать оценку с и г н а л о в и о ц е н к у п а р а м е т р о в . Т а к к а к о т н е с е н и е фишческой в е л и ч и н ы к р а з р я д у с и г н а л о в или п а р а м е т р о в и н о г д а приходится д е л а т ь с у б ъ е к т и в н о , с у щ е с т в у е т н е к о т о р о е о ч е в и д н о е 1П1И1адение понятий оценки с и г н а л а п оценки п а р а м е т р а . После т о г о , к а к м о д е л ь полностью о п р е д е л е н а п о с р е д с т в о м нютветствующего м а т е м а т и ч е с к о г о п р е д с т а в л е н и я , з а м е р а « и з м е |ии'мых» с и г н а л о в , оценки « н е и з м ё р я е м ы х » с и г н а л о в и оценки е е мирмметров, она д о л ж н а быть п р о в е р е н а . П р о б л е м а у т в е р " ( Н д е н и я — подтверждение н а наглядных примерах правильнои н модели. Н а п р а к т и к е о б ы ч н о с ч и т а ю т м о д е л ь о т в е ч а ю щ е й |р(Г)()ваниям, если полученные р е з у л ь т а т ы б л а г о п р и я т н ы е , поэто­ му, к о г д а п р е д с к а з а н и я или р е з у л ь т а т ы м о д е л и р о в а н и я , б а з и р у ю ­ щиеся на з а д а н н ы х р а б о ч и х у с л о в и я х , т . е . на к о н к р е т н о й г е о | р т ) 1 1 ч е с к о й обстановке, отношении сигнал/помеха, глубинах моря II г. п., о к а з ы в а ю т с я у д о в л е т в о р и т е л ь н ы м и , м о д е л ь п р и з н а е т с я lii'iiiDH. О с т а н е т с я ли м о д е л ь годной, если и з м е н я т с я р а б о ч и е усИНИ1Я, если, н а п р и м е р , вместо морской с е й с м о р а з в е д к п будет п р о «ппигься с у х о п у т н а я с е й с м о р а з в е д к а пли у х у д ш и т с я о т н о ш е н и е I III иа,/1/помеха? Н а с к о л ь к о ч у в с т в и т е л ь н а д а н н а я м о д е л ь к и з м е /|(')'

31

I

нениям параметров и в каких пределах разброс параметров Ь с к а ж е т с я на успешной р а б о т е модели? Н а эти вопросы г е о ф и з и : р а з в е д ч и к д о л ж е н д а т ь ясный ответ, чтобы п р а в и л ь н о интерпрет:|| р о в а т ь свою м а т е м а т и ч е с к у ю м о д е л ь . • П о с л е в ы б о р а м а т е м а т и ч е с к о й модели, н а и л у ч ш и м образе! о п и с ы в а ю щ е й и с с л е д у е м ы й процесс, будь то процесс э к о н о м и ф ский, сейсмический, химический и т. п., н е о б х о д и м о в ы б р а т ь так«1 м а т е м а т и ч е с к и й а п п а р а т , который обеспечивает о ц е н к у т р е б у е м ! ; п а р а м е т р о в или в ы х о д н ы х величин. О б ы ч н о сам тип м о д е л и ( л | нейиый или нелинейный, д и с к р е т н ы й , с л у ч а й н ы й , с сосредоточе! ными п а р а м е т р а м и и т. д.) о п р е д е л я е т способ р е ш е н и я . Т р у д н о е ! состоит в том, что, к а к п р а в и л о , к той или иной модели п р и м е н ! М О м н о ж е с т в о способов р е ш е н и я . Н а п р и м е р , К. Г а у с с в 1809 :, п ы т а я с ь о п р е д е л и т ь п а р а м е т р ы о р б и т ы а с т е р о и д а Ц е р е с , вперв: | п р и м е н и л к р и т е р и й оценки п а р а м е т р о в по способу наименьш:] к в а д р а т о в . В п е р в о н а ч а л ь н о й ф о р м у л и р о в к е Г а у с с а м о д е л ь npeii п о л а г а л а с ь линейной, д и с к р е т н о й , д е т е р м и н и р о в а н н о й и с постг^ я н н ы м и п а р а м е т р а м и . П о з д н е е эти идеи были з а н о в о введеГ| и с ф о р м у л и р о в а н ы в технике связи и у п р а в л е н и я в виде лине ного способа н а и м е н ь ш и х к в а д р а т о в , используемого д л я оценки 1 п р е д с к а з а н и я с л у ч а й н ы х процессов. В о з н и к л о много р а з л и ч и ! j м е т о д о в . Все эти м а т е м а т и ч е с к и е способы тесно с в я з а н ы д р ' с д р у г о м , а в н е к о т о р ы х с л у ч а я х просто идентичны. М ы надеем!! о б о б щ и т ь эти м а т е м а т и ч е с к и е способы и и з л о ж и т ь их с един(| точки з р е н и я , д о к а з ы в а ю щ е й их п р и м е н и м о с т ь к сейсмическо!1|| процессу. Способы н а и м е н ь ш и х к в а д р а т о в ш и р о к о и с п о л ь з у ю т с я в ci\ тистике, э к о н о м е т р и к е , теории уираг^леиия и в г е о ф и з и к е . К л Л сические а л г о р и т м ы выборочной оценки более з н а к о м ы статист к а м и э к о н о м е т р и к а м , а а л г о р и т м ы рекурсивной и последовател i ной оценки — и н ж е н е р а м , з а н и м а ю щ и м с я теорией управленр, Р е к у р с и в н ы е р е ш е н и я о б л а д а ю т п р е и м у щ е с т в а м и при о б р а б о т i б о л ь ш и х м а с с и в о в д а н н ы х , но здесь многое з а в и с и т от о б ъ е г п а м я т и Э В М . П р е д п о ч т е н и е одному, а пе д р у г о м у способу мож1! в ы з ы в а т ь с я п р а к т и ч е с к и м и стоимостными с о о б р а ж е н и я м и . В ге ф и з и ч е с к о й р а з в е д к е о б р а б о т к а 250 ООО сейсмозаписей в д е н ь д о в о л ь н о о б ы ч н а я з а д а ч а . В соответствии с с о в р е м е н н ы м и мет д а м и сбора геофизических д а н и 1 ) 1 х эта ци(|)ра п р е в р а щ а е т с я пр б л и з и т е л ь н о в 10'^ бит и н ф о р м а ц и и в день! С л е д о в а т е л ь н о , пер(' г е о ф и з и к о м - р а з в е д ч и к о м стоит необычная з а д а ч а . Он д о л ж е н на ти ф и з и ч е с к и о с м ы с л е н н у ю м о д е л ь сейсмического процесса, п о д : б р а т ь п о д х о д я щ и й м а т е м а т и ч е с к и й способ вычисления м о д е л ь н г в ы х о д н ы х величии и о б р а б о т а т ь 10'^ бит шк:)ормации в день, пр' чем т а к , чтобы весь процесс о б р а б о т к и был выгоден в стоимостнС! отношении и н а с т о л ь к о точен, чтобы с о х р а н я л а с ь уверенное!! что в п р о ц е с с е обработки не п р о и з о ш л о потер! в а ж н о й и и с]) о р м а ц и и! Короче говоря, мы критически пересмотрим с а м у з а д а ч у рз! всдки на н е ф т ь и г а з и п о к а ж е м , к а к ш л а р а з р а б о т к а процеси А

/цччонволюции. Н а ш подход будет доводЪно о б щ и м , т. е. мы с ф о р ­ мулируем о б щ у ю м о д е л ь , р а с с м о т р и м б о л ь ш о е р а з н о о б р а з и е спо­ собов и п о п ы т а е м с я о б о б щ и т ь р а з л и ч н ы е п о д х о д ы к этой проб­ леме. А в т о р ы н а д е ю т с я , что их т р у д п о м о ж е т г л у б ж е понять процедуру д е к о н в о л ю ц и и и с в я з а н н ы е с ним способы о б р а б о т к и II явится д л я г е о ф и з и к а - р а з в е д ч и к а и с ч е р п ы в а ю щ е й с в о д к о й род­ ственных способов о б р а б о т к и с и г н а л о в , к о т о р а я п о м о ж е т ему в оудущей р а б о т е . 1.2. ЭВОЛЮЦИЯ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Успехи поисков и р а з в е д к и нефти и п р и р о д н о г о г а з а з а в и с я т or сбора, о б р а б о т к и и геофизической и н т е р п р е т а ц и и д а н н ы х , полу­ чаемых в процессе п р о в е д е н и я с е й с м о р а з в е д к и . Эти д а н н ы е необ­ ходимы г е о ф и з и к а м д л я о п р е д е л е н и я п о л о ж е н и я , ф о р м ы , ф и з и ­ ческих свойств и с т р у к т у р н ы х в з а и м о с в я з е й г л у б и н н ы х геологиче­ ских тел. Все это ч р е з в ы ч а й н о в а ж н о д л я п о л у ч е н и я н е д о с т и ж и ­ мой д р у г и м и п у т я м и и н ф о р м а ц и и о том, б л а г о п р и я т н о ли л о к а л ь ­ ное т е к т о н и ч е с к о е строение д л я р а з в е д к и н а н е ф т ь и г а з , т. е. д л я обнаружения з а л е ж е й нефти и газа. Д а н н ы е , с о с т о я щ и е из н е с к о л ь к и х сейсмических т р а с с и преде г а в л я ю щ и е собой с е й с м о г р а м м у , п о л у ч а ю т с я с л е д у ю щ и м о б р а з о м . К а к п р а в и л о , сейсмический источник п о с ы л а е т в г л у б ь З е м л и импульс а к у с т и ч е с к о й или в и б р а ц и о н н о й энергии. (В к а ч е с т в е источников могут б ы т ь и с п о л ь з о в а н ы п н е в м о п у ш к и , г а з о в ы е смеси или б р и з а н т н ы й д и н а м и т ) . Н а ч а л ь н ы й и м п у л ь с в т о л щ е горных пород р а с п а д а е т с я на б о л ь ш о е количество волн, р а с п р о с т р а н я ю ­ щихся по р а з л и ч н ы м п у т я м , о б у с л о в л е н н ы м м а т е р и а л ь н ы м и свойггвами и с с л е д у е м о й с р е д ы . О т места смены величины акустиче(кого и м п е д а н с а , т. е. п р о и з в е д е н и я плотности горной породы на (ч;орость р а с п р о с т р а н е н и я упругой волны, о п р е д е л е н н а я ч а с т ь паипощей в о л н ы о т р а ж а е т с я в в е р х . С е й с м о п р и е м н и к и р е г и с т р и р у ю т н е п р е к р а щ а ю щ у ю с я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь сейсмических в о л н , под­ ходящих снизу. О т р а ж е н н а я энергия к а к ф у н к ц и я времени о б р а |ует н е п р е р ы в н ы й в р е м е н н о й р я д . Е с л и з а п и с ь ведется ц и ф р о 1н,1м способом с ф и к с и р о в а н н ы м и н т е р в а л о м в ы б о р к и , то н а б о р дискретных н а б л ю д е н и й н а з ы в а е т с я д и с к р е т н ы м в р е м е н н ы м рндом. И т а к , сейсмические д а н н ы е имеют вид в р е м е н н ы х р я д о в и и т а к о м виде п о д в е р г а ю т с я г е о ф и з и ч е с к о м у а н а л и з у . О п и с а н н ы й 1 нособ н а з ы в а е т с я сейсмическим методом о т р а ж е н н ы х волн. П р и ри.шедке на нефть и г а з п р и м е н я ю т с я г р а в и м е т р и ч е с к и й , магнито­ метрический, м а г н и т о т е л л у р и ч е с к и й и сейсмические методы ст­ риженных и п р е л о м л е н н ы х волн, но н а и б о л е е ш и р о к о — сейсмичеI'Kiiii метод о т р а ж е н н ы х в о л н . Сейсмические д а н н ы е в в и д е в р е м е н н ы х р я д о в могут быть единI ш е й н ы м источником сведений о геологических с т р у к т у р а х первого порядка, н а п о д о б и е о с а д о ч н ы х бассейнов. Эти сведения в а ж н ы д л я понимания геологической эволюции бассейна и его перспектив в HI ношении н е ф т е г а з о н о с н о с т п . Б о л е е того, методом о т р а ж е н н ы х « ..^'37

.33

волн о п р е д е л я ю т г е о м е т р и ч е с к и е ф о р м ы л о в у ш е к у г л е в о д о р о д о в в б л а г о п р и я т н ы х у с л о в и я х свойства к о л л е к т о р о в и н а л и ч и е у г л е в о ­ д о р о д о в . Э т о единственный п р я м о й м е т о д (если не с ч и т а т ь до­ р о г о с т о я щ е г о б у р е н и я ) , к о т о р ы м р а с п о л а г а ю т г е о ф и з и к и д л я об­ наружения залежей углеводородов О д н а к о не все р е г и с т р и р у е м ы е о т р а ж е н и я «полезные». П о л е з н ы м и н а з ы в а ю т с я т о л ь к о те о т р а ж е ­ н и я , к о т о р ы е несут и н ф о р м а ц и ю л и б о о глубинной геологической с т р у к т у р е , л и б о о з а л е ж а х у г л е в о д о р о д о в . Все о с т а л ь н ы е колебания] р а с с м а т р и в а ю т с я к а к в о л н ы - п о м е х и . П о л е з н ы е о т р а ж е н и я могут! м а с к и р о в а т ь с я т а к ж е естественным сроном, поэтому к о н е ч н а я з а д а ­ ча г е о ф и з и к а - р а з в е д ч и к а состоит в идентисрикации п о л е з н ы х отра-, ж е н и й , з а к л ю ч е н н ы х в в о л н а х - п о м е х а х и естественном ш у м о в о » , фоне среды. Е с л и о б о з н а ч и т ь п о л е з н ы е о т р а ж е н и я н е к о т о р ы м полезным' с и г н а л о м , а н е ж е л а т е л ь н о е волновое д в и ж е н и е — п о м е х о й , то сейсмический временной р я д м о ж н о с ч и т а т ь н а л о ж е н и е м сигналь­ ной, м е ш а ю щ е й и ш у м о в о й с о с т а в л я ю щ и х , причем под последнее п о н и м а е т с я естественный ш у м п р о в о д я щ е й с р е д ы или к а н а л а . Вьк. р а ж е н н а я в п о н я т и я х с и г н а л а , помехи и ш у м а , з а д а ч а сейсморазвед"; ки к а ж е т с я идентичной з а д а ч е э л е к т р о н и к и — о б н а р у ж е н и ю полез* ного с и г н а л а на ф о н е ш у м а . В т е х н и к е с в я з и р а з р а б о т а н о м н о ж е ­ ство вопросов, к а с а ю щ и х с я р е ш е н и я з а д а ч о п р е д е л е н н ы х типов n^i, о б н а р у ж е н и ю с и г н а л о в . Тем не менее эти р е ш е н и я н а й д е н ы с ис­ п о л ь з о в а н и е м в а ж н ы х п р е д п о л о ж е н и й и о г р а н и ч е н и й , к о т о р ы е сле^ дует в н и м а т е л ь н о изучить, п р е ж д е чем п ы т а т ь с я п р и м е н и т ь теорик! связи к з а д а ч е поисков несрти и г а з а . О т с ю д а к р а й н е в а ж н о пра^ В И Л Ь Н О о п и с а т ь с е й с м о р а з в е д о ч н ы й процесс. П р и н а л и ч и и п р а в и л ь ' ного описания в о з м о ж н а р а з р а б о т к а совершенной физической мо д е л и процесса, после чего в ы б и р а е т с я т а к о й м а т е м а т и ч е с к и й а п ' , п а р а т , который н а и л у ч ш и м о б р а з о м у д о в л е т в о р я е т п р и н я т о й мО' дели. Е с л и готового м а т е м а т и ч е с к о г о а п п а р а т а д л я р е ш е н и я данноИ з а д а ч и нет, н е о б х о д и м о с о з д а т ь новый м а т е м а т и ч е с к и й а п п а р а т , О д н о из п р е и м у щ е с т в , которым часто р а с п о л а г а е т инженерсвязист, состоит в том, что он вводит в к а п а л известный сигнал и о б ы ч н о з н а е т , что и с к а т ь в п р и н я т о м с и г н а л е , с о с т о я щ е м т известного (полезного) с и г н а л а и д о п о л н и т е л ь н о г о ш у м а . Этг з а д а ч а решена и н ж е н е р а м и - с в я з и с т а м и путем с о з д а н и я согласу ю щ е г о с я б и л ь т р а . Геосризик ж е вводит в з е м л ю (при обычной сей с м о р а з в е д к е ) и м п у л ь с н ы й временной с и г н а л , х а р а к т е р и з у ю щ и й с : ш и р о к и м ч а с т о т н ы м с п е к т р о м . И з - з а широконолосности частотноги с п е к т р а в в о д и м о г о с и г н а л а и п о г л о щ е н и я средой высокочастот ных с о с т а в л я ю щ и х п р и н я т ы й сигнал нельзя с м о д е л и р о в а т ь в вид с у м м ы п е р в о н а ч а л ь н о г о входного с и г н а л а и ш у м а . Во многи:

' Во -«Введении» авторы справедливо отметили, что все геофизические М9>. годы — это косвенные методы разведки залежей углеводородов. Если здеок они имеют в виду так называемые прямые поиски, то сейсморазведка не един* ственный метод, позволяющий прогнозировать геологический разрез и выделят! аномалии типа «залежь» (АТЗ) — Прим. ред. % 34

с л у ч а я х р е ш е н и я з а д а ч и о б н а р у ж е н и я с и г н а л а п о л е з н ы й сиг­ нал о п и с ы в а е т с я р я д о м п а р а м е т р о в ( а м п л и т у д а , ф а з а , dpopMa полны), к о т о р ы е н а б л ю д а т е л ю точно неизвестны. Н а п р и м е р , в р а з р а б о т а н н о м и н ж е н е р а м и - с в я з и с т а м и подходе, о с н о в а н н о м на отношении п о д о б и я Б е й е с а , п р е д п о л а г а е т с я , что в б о л ь ш и н с т в е мыслимых с и т у а ц и й конструктор д е т е к т о р а что-то з н а е т о п а р а ­ метрах неизвестного с и г н а л а . Р а с п о л а г а я т а к о й а п р и о р н о й и н ф о р ­ мацией, м о ж н о с о з д а т ь п р и е м л е м ы й д е т е к т о р . Следовательно, поскольку г е о ф и з и к не з н а е т н а п е р е д , к а к о й с и г н а л и с к а т ь в при­ нятом р я д е , он д о л ж е н р а з р а б о т а т ь новые к р и т е р и и д л я р а з д е л е ­ ния с и г н а л ь н ы х и н е с и г н а л ь н ы х с о с т а в л я ю щ и х . П о с к о л ь к у г е о ф и з и к имеет обычно очень н е б о г а т у ю а п р и о р н у ю информацию о полезном с и г н а л е , а к а н а л п е р е д а ч и (земные иедра) т а к т р у д н о о п р е д е л и т ь , о б ы ч н а я т е о р и я связи непосредп п е н н о к с е й с м о р а з в е д о ч н о м у процессу н е п р и м е н и м а . В о з н и к а е т необходимость р а з р а б о т к и новых методов, у д о в л е т в о р я ю щ и х треГюваниям геосэизика. Е щ е в н а ч а л е 50-х годов в р а з в е д о ч н о й г е о ф и з и к е п р а к т и ч е с к и не б ы л о р а б о т с и с п о л ь з о в а н и е м методов теории с в я з и . Ни гео­ логи, ни п о л е в ы е г е о ф и з и к и не п о л ь з о в а л и с ь тогда утонченным математическим а п п а р а т о м . Н е м н о г о м а т е м а т и ч е с к о й с т а т и с т и к и при оценке р у д н ы х з а л е ж е й , немного геометрии и т р и г о н о м е т р и и II топогеодезии и к р и с т а л л о г р а ф и и , немного д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравнений при описании н е к о т о р ы х простых д и н а м и ч е с к и х ситуа­ ций — на этом п р и м е н е н и е м а т е м а т и к и п р а к т и ч е с к и з а к а н ч и в а ­ лось. Г е о ф и з и к и - р а з в е д ч и к и в ы н у ж д е н ы были т о л ь к о в н и м а т е л ь н о р а з г л я д ы в а т ь свои сейсмические д а н н ы е ( с е й с м о г р а м м ы ) , чтобы иыделить п е р в ы е в с т у п л е н и я и п о л е з н ы е о т р а ж е н и я . З а д а ч а со­ стояла в о т ы с к а н и и г е о ф и з и ч е с к и х п а р а м е т р о в , к о т о р ы е м о ж н о Шло бы изучить д е т а л ь н е е , и с п о л ь з у я методы теории связи. Прямой подход з а к л ю ч а л с я во в н и м а т е л ь н о м и с с л е д о в а н и и некоюрых сейсмограмм д л я определения возможности подвергнуть их в ы б р а н н о м у виду а н а л и з а . Г р о м а д н ы й рост потребности в н е ф т е п р о д у к т а х с р а з у ж е после окончания второй мировой войны поставил н е ф т я н у ю п р о м ы ш л е н ­ ность перед н е о б х о д и м о с т ь ю р е а л и з а ц и и более ш и р о к о й поискоио-разведочной п р о г р а м м ы . Н о в с к о р е после того, к а к эта про| р а м м а н а ч а л а о с у щ е с т в л я т ь с я , с т а л о ясно, что методы сейсмо­ разведки, р а з р а б о т а н н ы е в 30-х и н а ч а л е 40-х годов, недостаточно юиершенны, чтобы с их п о м о щ ь ю м о ж н о б ы л о вести у с п е ш н у ю ра.шедку многих п о т е н ц и а л ь н о п р о м ы ш л е н и о нефтеносных регио­ нов. С у щ е с т в у ю щ и е м е т о д ы и п р и е м ы с е й с м о р а з в е д к и были не онень э ф ф е к т и в н ы м и , в частности при р а б о т а х на морском ш е л ь ф е и 1-за р е в е р б е р а ц и и в слое в о д ы и при изучении г л у б о к о з а л е г а ю 1ЦИХ слоев из-за р е в е р б е р а ц и и в верхней части р а з р е з а . К 1950 г. ||с|')тяные компании почти полностью использовали в о з м о ж н о с т и гам1,1х и з о щ р е н н ы х способов э л е к т р о н и к и д л я ф и л ь т р а ц и и сейс­ мических д а н н ы х , но з а исключением простейших случаев р е ш и т ь проблему р е в е р б е р а ц и и с их п о м о щ ь ю не у д а л о с ь . С л о ж и в ш а я с я 35

с и т у а ц и я х о р о ш о описана одним из пионеров р а з в е д о ч н о й геофи­ з и к и , к о т о р ы й с к а з а л в 1950 г.: « М ы отточили свой инструмент н а с к о л ь к о м о г л и ; сейчас н а м н у ж е н просто н о в ы й инструмент». В у н и в е р с и т е т а х и н а у ч н ы х л а б о р а т о р и я х в то в р е м я проводи­ л о с ь много а к т и в н ы х и с с л е д о в а н и й с ц е л ь ю поисков новых инст-. р у м е н т о в д л я р а з в е д о ч н о й г е о ф и з и к и . О д н а к о б о л ь ш а я часть этих исследований была посвящена разработке детерминирован­ ных й и з и ч е с к и х моделей з е м н о й с р е д ы п о в ы ш е н н о й д е т а л ь н о с т и . Эти м о д е л и з а т р а г и в а л и столь с л о ж н ы й м а т е м а т и ч е с к и й а п п а р а т , что р е ш е н и я могли быть н а й д е н ы т о л ь к о д л я простейших случаев, П р о с т е й ш и е с л у ч а и м а л о чем могли помочь геофизику, анализи­ р у ю щ е м у р е а л ь н ы е п о л е в ы е д а н н ы е , о т о б р а ж а ю щ и е всю слож­ ность глубинного геологического строения. i С о в е р ш е н н о другой в з г л я д на метод о т р а ж е н н ы х волн п р и в е ^ в 1954 г. к р а з р а б о т к е идеи д е к о н в о л ю ц и и с ц е л ь ю решения проблемы реверберации и оценки глубинного геологического строения. Д е к о н в о л ю ц и и с т а л а тем новым и н с т р у м е н т о м , в кото­ ром н у ж д а л а с ь р а з в е д о ч н а я о т р а с л ь . В то в р е м я к а к существую*' щ и е сейсмические м е т о д ы по своей п р и р о д е а н а л о г о в ы е , особен­ ность д е к о н в о л ю ц и и в том, что она ц и ф р о в а я . Этот цифровой метод д л я своего успешного п р и м е н е н и я т р е б о в а л повышенной точности, б о л ь ш о г о о б ъ е м а п а м я т и Э В М и скорости выполнения о п е р а ц и й , свойственных б о л ь ш и м Э В М . Д е к о н в о л ю ц и и обеспе­ ч и л а с в я з ь м е ж д у м а т е м а т и ч е с к и м и и д е я м и теории с в я з и и физи­ ческой теорией р а с п р о с т р а н е н и я сейсмических в о л н . Т а к , перед^-1 т о ч н а я х а р а к т е р и с т и к а в о л н ы , р а с п р о с т р а н я ю щ е й с я через слоне;.' тую среду, оказалась минимально-запаздывающей!' (это понятие будет п р о а н а л и з и р о в а н о в гл. 2 ) , и в р е з у л ь т а т е с т а л о в о з м о ж н ы м по н а б л ю д е н н ы м сейсмическим д а н н ы м конст­ р у и р о в а т ь ф и л ь т р д е к о н в о л ю ц и и д л я о с л а б л е н и я поме.х, П р и м е н е н и е м е т о д а д е к о н в о л ю ц и и при о б р а б о т к е сейсмическиз|| м а т е р и а л о в п о к а з а л о , что с п о м о щ ь ю этого ц и ф р о в о г о метода' м о ж н о а в т о м а т и ч е с к и , при помощи Э В М , п р е о б р а з о в а т ь сейсмо­ г р а м м у , н е и н т е р п р е т и р у е м у ю с у щ е с т в у ю щ и м и способами, в сейс­ м о г р а м м у , с о д е р ж а щ у ю и н ф о р м а ц и ю о глубинном тектоническом строении. И з - з а с п а д а поисковой активности в конце 50-х годов, вызван­ ного в основном к р у п н ы м и о т к р ы т и я м и на Б л и ж н е м Востоке, I т а к ж е из-за с р а в н и т е л ь н о й дороговизны Э В М на электронны» л а м п а х метод ц и б р о в о й д е к о н в о л ю ц и и нпгроко не распространяло)! до 60-х годов, когда поиски нефти вновь о ж и в и л и с ь и появилискч Э В М на т р а н з и с т о р а х . В э т о т период в с е й с м о р а з в е д к е почт! полностью п е р е ш л и от а н а л о г о в ы х методов к ц и ф р о в ы м , т. в геофизической р а з в е д к е п р о и з о ш л а т а к н а з ы в а е м а я цифрован^ революция. Н а ч и н а я с с е р е д и н ы 60-х годов, п р а к т и ч е с к и вс», с е й с м о р а з в е д к а на нефть и г а з с т а л а проводиться с использова­ нием ц и ф р о в ы х методов, т. е. к а ж д а я с е й с м о г р а м м а с т а л а под­ вергаться д е к о н в о л ю ц и и . С д е л а н н ы е з а последнее десятилетнг открытия з а л е ж е й нефти и г а з а на морском ш е л ь б е и множеств»

1лубокозалегающих нефтяных месторождений — осуществление надежд, связанных с цифровыми методами. С е г о д н я м й о г о м и л л и а р д н а я и н д у с т р и я сейсмической р а з в е д к и на н е ф т ь и г а з я в л я е т с я одним из в е д у щ и х п о т р е б и т е л е й ц и ф р о iibix в ы ч и с л и т е л ь н ы х м а ш и н . Ф а к т и ч е с к и и н д у с т р и я р а з в е д к и на нефть и г а з п о т р е б л я е т б о л ь ш е м а г н и т н о й л е н т ы д л я Э В М , чем л ю б а я д р у г а я о р г а н и з а ц и я в м и р е : н а у ч н а я , п р о м ы ш л е н н а я или правительственная! 1.,). СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ГЕОФИЗИКЕ

15о всех о б л а с т я х г е о ф и з и к и и особенно в сейсмологии исходные данные п р е д с т а в л я ю т с я п р е и м у щ е с т в е н н о в в и д е в р е м е н н ы х р я ­ дов. П о с р е д с т в о м а н а л и з а в р е м е н н ы х р я д о в г е о ф и з и к и п ы т а ю т с я 1Н)лучить л у ч ш е е п р е д с т а в л е н и е о ф и з и ч е с к и х с в о й с т в а х о к р у ж а ­ ющей с р е д ы . В н е к о т о р ы х с л у ч а я х и с х о д н ы е м а т е р и а л ы п р о с т ы II с о д е р ж а щ и е с я в них ф и з и ч е с к и е с в е д е н и я м о ж н о и з в л е ч ь п р я ­ мыми а н а л и т и ч е с к и м и с р е д с т в а м и . Н о ч а щ е они с л о ж н ы е , поиому в о з н и к а е т н е о б х о д и м о с т ь р а з р а б о т к и ф и з и ч е с к и х м о д е л е й с проведением утонченного а н а л и з а на Э В М . Л ю б о е н а б л ю д а е м о е г е о ф и з и ч е с к о е я в л е н и е есть р е з у л ь т а т Гюльшого ч и с л а в з а и м о д о п о л н я ю щ и х физических процессов. Геопнзический процесс, и з б р а н н ы й в к а ч е с т в е п р е д м е т а и с с л е д о в а ­ ний, с л е д у е т к а к и м - т о о б р а з о м о т д е л я т ь от с о п у т с т в у ю щ и х ему процессов. Е с л и и з у ч а е м ы й процесс о б л а д а е т х а р а к т е р н ы м и свойстаами, то а н а л и т и к м о ж е т на основе этих свойств построить ||нзическую м о д е л ь и с ее п о м о щ ь ю и з в л е ч ь и с к о м у ю инсрормапию. Н а п р и м е р , в з а д а ч а х по р а д и о л о к а ц и и и з в у к о в о й л о к а ц и и , опираясь на с т а т и с т и ч е с к у ю м о д е л ь ф о н а помех, м о ж н о о п р е д е ­ лять « с и г н а л ь н у ю » и « ш у м о в у ю » ч а с т и . А м п л и т у д а помехи в не­ которой п р о с т р а н с т в е н н о - в р е м е н н о й точке м о ж е т б ы т ь о х а р а к т е ­ ризована с о о т в е т с т в у ю щ е й ф у н к ц и е й плотности в е р о я т н о с т и , а пункция а в т о к о р р е л я ц и и помехи м о ж е т у к а з ы в а т ь на п р е д п о л а г а гмую или и з в е с т н у ю с в я з ь . Т а к и м путем иногда о б н а р у ж и в а ю т с я 1 л а в н ы е в з а и м о с в я з и , о п р е д е л я ю щ и е основные свойства геос})нзичееких процессов. П р и и с с л е д о в а н и и п р о ц е с с а с л е д у е т и з у ч а т ь и п р и н и м а т ь во миимание с у щ е с т в е н н ы е п р и з н а к и , о т б р а с ы в а я д е т а л и , с в я з а н ­ ные с д о п о л н и т е л ь н ы м и о с о б е н н о с т я м и . А н а л и з у д о л ж н о подверк п ь с я не г е о ф и з и ч е с к о е я в л е н и е во всей своей с л о ж н о с т и , а уп­ рощенная ф и з и ч е с к а я м о д е л ь исследуемого процесса. К р и т е р и е м правильности м о д е л и с л у ж и т с о г л а с о в а н н о с т ь м е ж д у тсоретиче( М 1 М И д а н н ы м и и р е з у л ь т а т а м и п о л е в ы х работ. Б о л е е того, мо­ дель геофизического я в л е н и я д о л ж н а с о з д а в а т ь с я т а к о й , чтобы ее связи с р о д с т в е н н ы м и я в л е н и я м и были четкими. Д е л е н и е ф а к юров на с у щ е с т в е н н ы е и н е с у щ е с т в е н н ы е з а в и с и т не т о л ь к о от пнчщфической п р и р о д ы с а м о г о я в л е н и я , но и от решаемой ирнктической з а д а ч и . В г е о ф и з и к е часто б ы в а е т невозможно 37

найти т а к у ю и д е а л ь н у ю м о д е л ь , поэтому п р и х о д и т с я идти на! компромисс между идеальным и практически достижимым. ; И з к л а с с и ч е с к о г о геосризического а н а л и з а известно м н о ж е с т в а т а к и х моделей, к о г д а поведение с и с т е м ы или процесса полностью определяется заданием начальных и граничных условий. Именно т а к о в а м о д е л ь з е м н ы х недр, в п е р в ы е р а с с м о т р е н н а я в к л а с с и ч е ­ ской с т а т ь е Г. Л э м б а ] 5 7 ] . Это б ы л а м о д е л ь а б с о л ю т н о упругой, однородной, изотропной среды, о г р а н и ч е н н о й свободной плоской поверхностью. Л э м б п о к а з а л , что в е р т и к а л ь н ы й или г о р и з о н т а л ь ­ ный импульс, п р и л о ж е н н ы й в д о л ь линии на поверхности, возбужу дают Р - в о л н ы , S-волны и в о л н ы Р е л е я . Ф и з и ч е с к и е з а к о н ы , п р и | менимые к т а к и м м о д е л я м , н а з ы в а ю т с я д и н а м и ч е с к и м и . Эти з а к о н ы типичны д л я случаев, когда причина в ы з ы в а е т единственный н а б о | следствий. ) К р о м е м о д е л е й г е о ф и з и ч е с к и х я в л е н и й , о п и с ы в а е м ы х динами^ ческими з а к о н а м и , с у щ е с т в у ю т м о д е л и , т р е б у ю щ и е ф о р м у л и р о в а в ния з а к о н о в иной п р и р о д ы , а именно статистических. Ч т о б ы п о | яспить эту м ы с л ь , р а с с м о т р и м модель, в з я т у ю из геологии! В б о л ь ш и н с т в е н а у к в р е м я с ч и т а е т с я известной н е з а в и с и м о й не* ременной. Геолог ж е смотрит на в р е м я , к а к на з а в и с и м у ю пере^ мснную. В р е з у л ь т а т е , п ы т а я с ь и з м е р и т ь в р е м я с о б ы т и я м и , про­ и с ш е д ш и м и в течение м и л л и а р д о в лет, геолог с т а л к и в а е т с я с у н и к а л ь н ы м и п р о б л е м а м и . Геологическое в р е м я з а п р о ш е д ш и е эпохи м о ж н о о п р е д е л и т ь т о л ь к о путем н а б л ю д е н и й и измерений, выполненных на З е м л е , Л у н е и д р у г и х п л а н е т а х , учтя при этом^ и д а н н ы е астрономии. П о д о б н ы е и з м е р е н и я , будь они геоло4 гическими, п а л е о н т о л о г и ч е с к и м и , геохимическими, радиологиче-'' скими, геофизическими или а с т р о н о м и ч е с к и м и , п о д в е р ж е н ы по­ грешностям и з м е р е н и я . П о г р е ш н о с т и п р и в о д я т к статистическим ф л у к т у а ц и я м в и з м е р е н и я х геологического времени. В р е з у л ь т а * те геологическое в р е м я , к а к и м мы его п р е д с т а в л я е м , является,; с л у ч а й н о й переменной. ч Р а с с м о т р и м е щ е один п р и м е р — з а д а ч у о п р е д е л е н и я глубин з а л е г а н и я слоев горных пород при проведении с е й с м о р а з в е д к и на нефть и газ. Г л у б и н н ы е о с а д о ч н ы е слои в течение геологиче4, ского времени о т л а г а л и с ь бессистемно, поэтому и р е а к ц и й эти;^, слоев на сейсмическое воздействие т о ж е бессистемны в простран* стве и во времени. Если бы мы р а с п о л а г а л и н е о г р а н и ч е н н ы м и вычислительными в о з м о ж н о с т я м и и исключительно д е т а л ь н ы м и и точными (т. е. не с о д е р ж а щ и м и погрешности и з м е р е н и я ) дан^^ ными, то м о ж н о б ы л о бы построить д и н а м и ч е с к у ю м о д е л ь и ис­ п о л ь з о в а т ь з а к о н ы р а с п р о с т р а н е н и я упругих волн д л я описания д в и ж е н и я сейсмических в о л н . О д н а к о п р а к т и ч е с к и е ситуации настолько с л о ж н ы , что теоретические трудности, с в я з а н н ы е с ре­ шением подобной з а д а ч и , в сущности н е п р е о д о л и м ы . В качестве а л ь т е р н а т и в ы исследуем в о з м о ж н о с т ь построения статистической геофизической модели. П р и р а с с м о т р е н и и стати^,' стического подхода с с а м о г о н а ч а л а м о ж е т быть поставлен сле^^ дующий вопрос: р а з в е о с а д о ч н ы е слои ф о р м и р о в а л и с ь бессистем^^ 38

IK) и не ф и к с и р о в а н ы в течение сейсмического эксперимента^' вы­ полняемого в п р е д е л а х конкретного г е о г р а ф и ч е с к о г о района? П р е д п о л о ж и в , что имеется в о з м о ж н о с т ь б е з о ш и б о ч н о г о и з м е р е ­ ния р е а к ц и и ф и к с и р о в а н н о й м н о г о с л о й н о й с р е д ы на и м п у л ь с н о е 14'йсмическое в о з д е й с т в и е в отсутствие естественного ш у м а , п р и ­ ходим к в ы в о д у , что р е з у л ь т и р у ю щ и й в р е м е н н о й р я д д о л ж е н х а ­ р а к т е р и з о в а т ь собой д е т е р м и н и р о в а н н ы й процесс. Д а л е е , ...если повторять э т о т э к с п е р и м е н т в одних и тех ж е у с л о в и я х , р а з в е не б у д у т и з м е р я е м ы е д е т е р м и н и р о в а н н ы е в р е м е н н ы е р я д ы иден­ тичными? К а к ж е в т а к о й с и т у а ц и и о б о с н о в а т ь с т а т и с т и ч е с к у ю к'осэизическую м о д е л ь ? Е с л и судить о с л у ч а й н о м или с т о х а с т и ­ ческом процессе к а к о процессе, р а з в и в а ю щ е м с я во в р е м е н и и к о н т р о л и р у е м о м в е р о я т н о с т н ы м и з а к о н а м и , то совсем не о б я з а ­ тельно описанный выше сейсмический эксперимент прини­ мать з а одну р е а л и з а ц и ю с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а . Ч т о б ы п о л у ч и т ь ответ на этот вопрос, надо г л у б ж е изучить геофизический процесс. С о г л а с н о т е о р и и л и н е й н ы х систем, р е а к ц и я с р е д ы в виде в р е ­ менного р я д а на и м п у л ь с н о е сейсмическое в о з д е й с т в и е я в л я е т с я пактически и м п у л ь с н о й р е а к ц и е й с р е д ы . Е с л и м о д е л ь среды в к л ю ­ чает г л у б и н ы з а л е г а н и я и к о э о ф и ц и е н т ы о т р а ж е н и я геологических гаоев, то эти п а р а м е т р ы будут н е и з в е с т н ы м и , но п о с т о я н н ы м и . 1л'ли п р е д п о л о ж и м ф о р м у сейсмической в о л н ы в источнике извест­ ит!, то п р и д е м к з а д а ч е о п р е д е л е н и я у п о м я н у т ы х п а р а м е т р о в по наблюденной р е а к ц и и в в и д е в р е м е н н о г о р я д а . Эта з а д а ч а , н а з ы иаемая в теории у п р а в л е н и я з а д а ч е й и д е н т и ф и к а ц и и системы, пред­ полагает н а л и ч и е некоторой м а т е м а т и ч е с к о й модели с р е д ы . Е с л и принять, что сейсмический источник п р е д с т а в л я е т собой и д е а л ь н ы й нмиульс, то о ц е н и в а е м ы м и п а р а м е т р а м и будут в д е й с т в и т е л ь н о с т и постоянные п а р а м е т р ы и м п у л ь с н о й р е а к ц и и среды. Т а к а я з а д а ч а ,|(чко ф о р м у л и р у е т с я , но ее р е ш е н и е сильно з а в и с и т от п р и н я т о й модели среды и ф о р м ы и м п у л ь с а источника; в с л у ч а е с л о ж н ы х математических м о д е л е й с р е д ы оно с т а н о в и т с я т р у д н ы м в вычисипельном отношении. П у с т ь все п а р а м е т р ы с р е д ы , т. е. г л у б и н ы з а л е г а н и я и коэсэбнiiiKMiTbi отражения слоев, определены безошибочно. Д л я п-го слоя и тестей коэффициент о т р а ж е н и я г „ . Для всех слоев имеем по|'леДовательность коэффициентов о т р а ж е н и я г,, г ч , . . ., г ^ . Поскольку И'ологические слои отлагались бессистемно, можно предположить, 'IIо и последовательность чисел г ь /-о, . . . , г/у бессистемна. Д л я определения н а л и ч и я к а к о й - л и б о п р е д с к а з у е м о й у п о р я д о ч е н н о й 1101(11 м е ж д у к о э ф ф и ц и е н т а м и о т р а ж е н и я м о ж н о п р и в л е ч ь а п п а р а т математической статистики и и с с л е д о в а т ь к о р р е л и р у е м о с т ь упомпиутой п о с л е д о в а т е л ь н о с т и чисел. И н т у и ц и я п о д с к а з ы в а е т , что Ф п и 1 ч е с к н п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь к о э б ф и ц н с и т о в о т р а ж е н и я некорре.шруема, т. е. м е ж д у г \ и Гз, Гг и Гу и т. д. не с у щ е с т в у е т с и с т е м а т ч е с к о й с в я з и . Т а к и м о б р а з о м , m1)1 ввели некоторые статистиче1 Mie моменты в р а з р а б о т к у модели з е м н ы х недр. У т в е р ж д е н и е , 'Гто п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь постоягшых п а р а м е т р о в Г]. Гг,.., Г ц 39

п р е д с т а в л я е т собой н е к о р р е л и р у е м у ю п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь чисел! с а м о по с е б е ничем не п р и м е ч а т е л ь н о , но о н о я в л я е т с я ключом j р а з р а б о т к е о б с у ж д а е м ы х с т а т и с т и ч е с к и х г е о ф и з и ч е с к и х моделей, - I 1.4. МОДЕЛЬ, ОСНОВАННАЯ НА СВЕРТКЕ

|

В м е т о д е о т р а ж е н н ы х волн сейсмической а п п а р а т у р о й регистрй* руется р е а к ц и я з е м н ы х недр на с е й с м и ч е с к о е в о з д е й с т в и е импуль(|; ного т и п а , которое б у д е м н а з ы в а т ь и м п у л ь с о м источника. Pernd' т р и р у е м ы й сигнал х а р а к т е р и з у е т о т р а ж е н н у ю э н е р г и ю в ф у н к ц и ! времени и о б р а з у е т временной р я д . . ^ Р а с с м о т р и м г р а н и ц у р а з д е л а м е ж д у д в у м я соседними СЛОЯМР|,|^ П р и падении в о л н ы на эту г р а н и ц у в с л е д с т в и е и з м е н е н и я акуст!^ческого с о п р о т и в л е н и я н е к о т о р а я ч а с т ь энергии о т р а ж а е т с я ввер.|; а ч а с т ь упругой энергии п р о н и к а е т ч е р е з г р а н и ц у и р а с п р о с т р у н я е т с я в н и з . То ж е с а м о е происходит и на д р у г и х г р а н и ц а х р а з д е л а . С л е д о в а т е л ь н о , р е г и с т р и р у е м ы й в р е м е н н о й р я д м о ж н о рас­ с м а т р и в а т ь к а к с у м м у в о л н о в ы х и м п у л ь с о в , о б л а д а ю щ и х взвешенГ ной а м п л и т у д о й и з а д е р ж а н н ы х во времени. А м п л и т у д н ы е весовьк коэсэфициенты з а в и с я т от свойств о т р а ж а ю щ и х слоев, в р е м е н н ы е з а д е р ж к и о п р е д е л я ю т с я г л у б и н а м и з а л е г а н и я слоев и с к о р о с т я м ! р а с п р о с т р а н е н и я упругих волн в них. Е с л и о б о з н а ч и т ь и м п у л ь с ис точника через s{t), то з а р е г и с т р и р о в а н н ы й в р е м е н н о й р я д y{t) за? пишется в виде |

где fn — амплитудный весовой множитель; т„ — временная задери!' ка; и ( / ) — аддитивная помеха. ' У р а в н е н и е (1.4-1) п р е д с т а в л я е т собой м о д е л ь метода отра­ ж е н н ы х воли. Э т а м о д е л ь и с п о л ь з у е т с я и во многих других о б л а с тях научных и с с л е д о в а н и й . Н а п р и м е р , в о б л а с т и с в я з и , речи, в paij, д и о л о к а ц и и и з в у к о в о й л о к а ц и и , при о б р а б о т к е биомедицинскш, д а н н ы х , где ш и р о к о п р и м е н я е т с я а н а л и з в р е м е н н ы х р я д о в , cocrdя щ и х из м н о ж е с т в а н а л о ж е н н ы х в о л н о в ы х и м п у л ь с о в в npHcyTCf В И И помех. В а ж н о отметить, что, записывая импульс источника в вид? /.s, (^ — т , ) , f-j!'i{t — x2), . . . , /„s„(/ —т:„), М Ы учитываем искаженА^| вносимые средой. Исходная форма волнового импульса может меняться, например, из-за поглощения высокочастотных составля'ю' щих. Геофизик Должен уметь выделять отражения от структурны} особенностей /,s,(^ — х,) в присутствии многочисленных интероери^, рующих отражений и фона помех. На первый в з г л я д , в уравнение! (1.4-1) с о д е р ж и т с я с л и ш к о м много неизвестных. Т а к , известна] что s ( ^ ) — и м п у л ь с источника с ш и р о к о п о л о с н ы м ч а с т о т н ы м cneift т р о м , но М Ы не з н а е м его истинную ф о р м у . (В « а к т и в н ы х » з а д а ч а ! но р а д и о л о к а ц и и и з в у к о в о й л о к а ц и и ф о р м а и з у ч а е м о й в о л н ы т« в е с т н а ) . В е л и ч и н ы f„ и т„ п р е д с т а в л я ю т собой постоянные, но ne* известные п а р а м е т р ы . Б о л е е того, если н е з а д а т ь с я некоей стати» 40

стической м о д е л ь ю помехи, п о с т а в л е н н а я з а д а ч а в с у щ е с т в у ю щ е й (Цюрмулировке в о о б щ е будет н е р е ш а е м о й . Примем следующие допущения: 1) сейсмический процесс у д о в л е т в о р я е т к л а с с и ч е с к о й теории рлспространения упругих волн в о д н о р о д н о й изотропной с р е д е , I, е. ф о р м а в о л н ы при п р о х о ж д е н и и ч е р е з среду н е и з м е н я е т с я (до­ пустим, что к а н а л п е р е д а ч и не вносит и с к а ж е н и й ) ; 2) непрерывный временной р я д (1.4-1) соответствующим образом дискретизован с помощью теоремы дискретизации, т. е. t — кЫ, где Д^ — и н т е р в а л дискретизации, а k = 0, 1, 2 . . . 3) временную з а д е р ж к у т„ можно выразить целым числом, кратIIIJIM

т.е.

т„

=

лД^,

где

п =

С учетом этих Допущений у {Ш)

= ^

fns \{к -

О,

1,

2

. . .

уравнение (1-4-1) запишется

п) ^n -h п (кМ). (1.4-2)

Введя

обозначения

кНк — n)Ml=Sk-n

в виде

у{кМ)

и n(kU)

Ук

-

= у^,

= nk,

по-

лучим:

Рис. 1-1. Модель,

основанная

«свертке. _ Ук —

~ V

fnSk—n

"rift.

П Л г>\ yi.'i-Of

sfc — в о л н о в о е в о з д е й с т в и е ; ff^ — р е среды: - отражения; — п о м е х и ; Vft — с е й с м о г р а м м а

Приняв у к а з а н н ы е выше д о п у щ е н и я , л е г к о определить и з соот­ ношения (1.4-3) сумму свертки. В результате сейсмическая модель Iильно упрощается и можно у т в е р ж д а т ь , что сейсмограмма ук я в лж-тся суммой свертки импульса источника Sk с импульсной реак­ цией среды /ft и последовательности аддитивной помехи Пи. Уравнение (1.4-3) и р и с . 1-1 и з о б р а ж а ю т м о д е л ь , о с н о в а н н у ю iiii свертке, к о т о р а я х а р а к т е р н а д л я л и н е й н ы х , и н в а р и а н т н ы х во иремепи систем. В т а к о м в и д е м о д е л ь м е т о д а о т р а ж е н н ы х волн Гюлее у д о б н а д л я а н а л и з а , п о с к о л ь к у в н а ш е м р а с п о р я ж е н и и име­ н и я х о р о ш о р а з в и т ы й а н а л и т и ч е с к и й а п п а р а т , з а и м с т в о в а н н ы й из и'ории л и н е й н ы х систем. П о с л е д о в а т е л ь н о с т ь fh п р е д с т а в л я е т соfinii просто п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь чисел, н е к о т о р ы м о б р а з о м с в я з а н ­ ных с к о э ф ф и ц и е н т а м и о т р а ж е н и я от г л у б и н н ы х с л о е в . О д н а из 1Л11ИНЫХ з а д а ч з а к л ю ч а е т с я в о т ы с к а н и и этой с в я з и . 15 СЕЙСМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РОБИНСОНА

И данном р а з д е л е и з л а г а е т с я р а б о т а Э. Р о б и н с о н а [ 8 0 ' , в кото­ рой р а з в и т новый п о д х о д к геочЬизическому м о д е л и р о в а н и ю . И н т е |и'сио и в а ж н о р а с с м о т р е т ь э в о л ю ц и ю этого п о д х о д а , недостатки U еложности, п р и с у щ и е к л а с с и ч е с к и м д и н а м и ч е с к и м м о д е л я м , и простоту вычислений, которой х а р а к т е р и з у е т с я м о д е л ь Р о б и н с о н а . И еиоем о к о н ч а т е л ь н о м виде э т а м о д е л ь проста и, к а к следствие, II'I ко р а с с ч и т ы в а е т с я о б ы ч н ы м и в ы ч и с л и т е л ь н ы м и м е т о д а м и . Тем ие менее без п о н и м а н и я основных д о п у щ е н и й и физцческих 41

упрощений,! и с п о л ь з о в а н н ы х при е е р а з р а б о т к е , н е л ь з я п р а в и л ь н о о ц е н и т ь эту простоту. Д а л е е мы д а д и м «статистическую» интер­ п р е т а ц и ю сейсмической м о д е л и Р о б и н с о н а , ч т о б ы на ее основе глубже проникнуть в физический смысл теории деконволюции, к о т о р а я б у д е т и з л о ж е н а в гл. 4. 1.5.1. Передача волн в случае «глубинного» источника

|

Р а с с м о т р и м н е о д н о р о д н у ю систему ( о с а д о ч н ы е с л о и ) , ограничен ную двумя однородными бесконечными полупространствами — в о з д у ш н о й с р е д о й и п о р о д а м и ф у н д а м е н т а (см. рис. 1-2). В типич­ ной д л я сейсмологии ситуации, источник з е м л е т р я с е н и я находитс|,,

1

Воздушная среда

Осадочные слои

(Q)

^.Породы (pyndiшмента

\ • -

%

Рис. 1-2. Неоднородная среда, представленная в виде системы с распределенным параметрами, на которую воздействует глубинный источник (а), и скоростна •функция, изменяющаяся с глубиной непрерывно (б). ; — входной сигнал от глубинного источника; 2 — система с распределенными 3 — выходной сигнал -

параметравШГ у;1

на б о л ь ш о й глубине. К л а с с и ч е с к и й подход к о п р е д е л е н и ю реакции з е м н ы х недр на в о з б у ж д е н и е в с л у ч а е г л у б и н н о г о источника за­ к л ю ч а л с я в р е ш е н и и системы с о о т в е т с т в у ю щ и х дифсреренциал^.! ных у р а в н е н и й в ч а с т н ы х п р о и з в о д н ы х , о п и с ы в а ю щ и х распрострЗ' нение упругих волн через з е м н ы е слои в в о з д у ш н о е пространств) при некоторых н а ч а л ь н ы х и г р а н и ч н ы х у с л о в и я х , поэтому з е м п ы | недра р а с с м а т р и в а л и с ь в к а ч е с т в е системы с р а с п р е д е л е н н ы м и п(' р а м е т р а м и . И с с л е д о в а н и я в к л а с с и ч е с к о й сейсмологии обычно ЗФ к л ю ч а ю т с я в поиске а н а л и т и ч е с к и х решений систем дифференцик* л ь н ы х у р а в н е н и й в ч а с т н ы х п р о и з в о д н ы х ; з а и с к л ю ч е н и е м прг» стейших с л у ч а е в , эти р е ш е н и я к р а й н е т р у д н о находить. 'j; Р а с с м о т р и м идею м о д е л и р о в а н и я з е м н о й среды посредствШ! с и с т е м ы с с о с р е д о т о ч е н н ы м и п а р а м е т р а м и . Н а п р и м е р , м о ж н о зф менить п л а в н о е скоростное р а с п р е д е л е н и е , и з о б р а ж е н н о е на ри^ 1-2, с т у п е н ч а т ы м , т. е. с ч и т а т ь з е м н у ю среду многослойной т стемой с и з в е с т н ы м и д л я к а ж д о г о с л о я скоростью р а с п р о с т р а н » ния волн и глубиной з а л е г а н и я (рис. 1-3). Если в р е м я р а с п р о с т р а н е н и я с и г н а л а ч е р е з слой м а л о i]} с р а в н е н и ю с д л и т е л ь н о с т ь ю с и г н а л а , то п р е д п о л о ж е н и е о сосрс доточенных п а р а м е т р а х д е й с т в и т е л ь н о . Условию сосредоточен пости п а р а м е т р о в м о ж н о у д о в л е т в о р и т ь , р а з б и в с р е д у на мно

жсство слоев очень м а л о й мощности. С позиций теории линий передач и л и н е й н ы х схем н а рис. 1-2 и з о б р а ж е н а л и н и я передачи с р а с п р е д е л е н н ы м и п а р а м е т р а м и , а на р и с . 1-3 — л и н и я п е р е д а ч и е сосредоточенными п а р а м е т р а м и . М о д е л ь системы с сосредото­ ченными п а р а м е т р а м и с о д е р ж и т д и с к р е т н о е скоростное р а с п р е ­ деление, причем к а ж д о м у с к а ч к у скорости соответствует одна секция линии п е р е д а ч и . С л е д о в а т е л ь н о , систему с сосредоточениими п а р а м е т р а м и м о ж н о с м о д е л и р о в а т ь многосекционной л и ­ нией п е р е д а ч и . , h I

Воздушная

среда

>7

1 Породы фундамента 1 I'lic. 1-3. Многослойная среда, представленная в виде системы с сосредоточенными нпраметрами. Н|'11рерывная с к о р о с т н а я з а в и с и м о с т ь з а м е н е н а с т у п е н ч а т о й . / - в х о д н о й с и г н а л глубинного источника: 2 — о с а д о ч н ы е слои; имми п а р а м е т р а м и (N с л о е в ) ; 4 — в ы х о д н о й с и г н а л

3 — система с сосредоточен-

Если Предположить, что система, изображенная на рис. 1-3, линейная и инвариантная во времени,,. то сигналы на входе (Е^) И И1,1ходе (xk) д о л ж н ы удовлетворять линейному разностному уравнению Xk +

aiXk-i

+

-f- a^Xk-N

=

£*,

(1.5-1)

где коэффициенты а„ в ы п о л н я ю т роль оператора разностного урав­ нения, т. е. я в л я ю т с я постоянными параметрами нашей системы с сосредоточенными параметрами, обладающей N степенями свободы II соответствии с N слоями. ( К сведению читателя: символы, ис­ пользуемые в данном разделе, идентичны символам, которыми п о л ь юнался Э. Робинсон в своей работе [80]). В п о л ь з у о п и с а н и я системы с сосредоточенными п а р а м е т р а м и р.киюстным у р а в н е н и е м (1.5-1) свидетельствует то о б с т о я т е л ь СТ1Ю, ч т о р а з н о с т н ы е у р а в н е н и я л е г к о р е ш а ю т с я с п о м о щ ь ю цифровых в ы ч и с л и т е л ь н ы х м а ш и н . Т а к и м о б р а з о м , т р у д н о с т ь поиска а н а л и т и ч е с к и х решений! в о л н о в ы х у р а в н е н и й с н и м а е т с я посредством численного р е ш е н и я у р а в н е н и я (1.5-1). И с х о д я из сэизических с о о б р а ж е н и й уравнение (1.5—1) они-, смвает устойчивую систему, т. е. к а ж д о м у ограниченному вход­ ному с и г н а л у соответствует ограниченный выходной. Определим z-преобразования Л а п л а с а последовательностей Xk и •» из соотношения (1.5-2) 43

Определение г-преобразования Л а п л а с а и его связь с обычным г-преобразованием даны в П р и л о ж е н и и ) . И с п о л ь з у я уравнение (1.5-2), получим 2-преобразование Лапласа обеих частей уравнения (1.5-1) в виде Xiz){\+a,z-^ra2Z^+

. . . ^--а^2^)

= Е{г)

или Х(г)

^ (Z)

1 1 + а,2 + Qgz^ +

(1.5-31 I (1.5-4;

... + а^г^'

у р а в н е н и е (1.5-4) — это передаточная ф у н к ц и я т а к называемо! «полюсной» модели линейной инвариантной во времени системы, так к а к в комплексной (конечной) г-плоскости эта ф у н к ц и я имее! полюсы, но не имеет н у л е й . Основанное на физических положения? утверждение, что модель с сосредоточенными параметрами пред ставляет собой устойчивую систему, эквивалентно математическом] условию, согласно которому передаточная ф у н к ц и я X ( z ) / £ ( г ) н( имеет полюсов внутри единичного к р у г а . (При использовании обыч ного г-преобразования условие устойчивости состоит в том, чт( X{z)/E{z) не имеет п о л ю с о в вне единичного к р у г а ) . Ссрормулирует это свойство через понятие оператора разностного у р а в н е н и я 1, ai 02, . . . а„. В результате 2-преобразования Л а п л а с а оператора 1 « 1 , йо, . . ., ам получаем знаменатель уравнения (1.5-4). Следова т е л ы ю , свойство передаточной функции X(z)lE{z) не иметь полю сов при [г' < 1 э к в и в а л е н т н о свойству \ + a\Z + a2Z^ +

. . . + aNZ^^ 4=Q, [z]<

1,

(1.5-f (

поэтому можно у т в е р ж д а т ь , что оператор 1, аи аг. . . . . Я п обеспе чивает устойчивость разностному уравнению тогда и т о л ь к о тогда когда его г-преобразование Л а п л а с а не имеет ни полюсов, HS нулей внутри единичного к р у г а . I Т а к и м о б р а з о м , один из в а ж н ы х в ы в о д о в Э . Р о б и н с о н а сф стоит в том, что z - п р е о б р а з о в а н и е Л а п л а с а к о э ф ф и ц и е н т о в устой чивого р а з н о с т н о г о у р а в н е н и я (1.5-1) не имеет нулей внутр! единичного к р у г а . Е с л и па вход нашей системы с сосредоточенными параметрами подать единичный импульс, т. е. принять = 8А, где

S* = IM^°

(1.5-1

то импульсная р е а к ц и я bk будет устойчивой временной последова­ тельностью. Это условие следует из положений физики. i Поскольку " B{z) = -

J

J.,

(1.5-7)

B(z) не имеет п о л ю с о в и нулей в н у т р и единичного к р у г а . По« с л е д о в а т е л ь н о с т ь Ь/, я в л я е т с я именно той последовательностью, к о т о р а я п е р е д а е т с я через з е м н у ю среду в в о з д у ш н о е простраи-

I

!

ство, к о г д а г л у б и н н ы й источник в о з б у ж д е н и я и м е е т в и д единич­ ного и м п у л ь с а . С у д я по п о л е в ы м д а н н ы м , б о л ь ш а я ч а с т ь энергии сосредоточена в н а ч а л е п о с л е д о в а т е л ь н о с т и b h . Э н е р г и я п о с л е д о в а ­ тельности b k быстро з а т у х а е т и з - з а о т р а ж е н и й и п р е л о м л е н и й инутри з е м н о й тсутщи. П о с л е д о в а т е л ь н о с т и , у к о т о р ы х « з а г р у ж е н а передняя ч а с т ь » , Р о б и н с о н н а з в а л минимально-запазды­ вающими. Если Л (г) = 1 + a\z - - 022^ + . . . + UNZ'^ я в л я е т с я г-преобразоманием Л а п л а с а оператора 1, аг, . . . . им, то, учитывая (1.5-7), получим В(г)Л(2)=1. Обратное г-преобразование Ybnak-n

Лапласа

(1.5-8)

равенства (1.5-8) дает

= bk, k>0,

(1.5-9)

откуда видно, что оператор а* и передаточная импульсная р е а к ц и я 1>к— взаимно-обратные последовательности. Следовательно, линейный оператор 1, C i , а г , . . ., ал/ является последовательностью, которая сводит импульсную р е а к ц и ю bk к единичному импульсу Ьк, определенному выражением (1.5-6.) Обобщим полученные выводы. 1. И з чисто физических соображений нам известно, что слои­ стая система устойчива. Д а н н ы й физический вывод привел нас к математическому соотношению (1.5-5), из которого следует, что опе­ ратор 1, a i , а2, ...,аы не имеет по- . люсов и нулей внутри единичного круга. 2. С у д я по фактическим физиче­ ским данным, bk — минимально-за­ паздывающая ф у н к ц и я , т. е. б о л ь ш а я Рис. 1-4. Последовательность часть энергии последовательности bk в роли осповного оператора декон­ волюции ( В ) , который сводит по­ сконцентрирована в ее н а ч а л е . следовательность bf^ к единичному 3. П о с к о л ь к у Uk и bk — последопательности взаимно-обратные, м о ж ­ импульсу 5|^. но сделать вывод, что Uk я в л я е т с я А — слоистая модель оператором устойчивого р а з н о с т н о г о уравнения, иными словами, z-преобразование Л а п л а с а оператора at не имеет полюсов и н у л е й внутри единичного круга тогда (и только тогда), когда bk — м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ а я , т. е, когда энергия последовательности bk сосредоточена в передней части. Итак, из чисто ф и з и ч е с к и х с о о б р а ж е н и й приходим к следуюn i c M y важному выводу: Величина Ок я в л я е т с я оператором устойчивого р а з н о с т н о г о у р а в н е н и я т о г д а (и т о л ь к о т о г д а ) , к о г д а /'/; я в л я е т с я м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ е й реакцией. Определим 6ft к а к передаточную и м п у л ь с н у ю реакцию слоистой модели с сосредоточенными параметрами. Последовательность ал —

л-

45

о п е р а т о р разностного уравнения (1.5-1). Из физических соображе« НИИ оператор а/с — устойчивый, а передаточная и м п у л ь с н а я реакция Ьк — м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ а я . Н о из в ы р а ж е н и я д л я с\ммы свертки (1.5-9), а т а к ж е из соотношения ak*bk = 8* следует, что а * яв­ л я е т с я оператором, п р е в р а щ а ю щ и м Ьк в 8*. Отсюда а * — оператор деконволюции, устраняющий влияние процесса передачи. На рис. 1-4 изображена о п е р а ц и я д е к о н в о л ю ц и и . П о с к о л ь к у Ьк представляет собой все кратные отражения и преломленные волны, возникающие при импульсном воздействии, она включает и реверберацию системы, поэтому Ок можно считать т а к ж е оператором деконволюции, у с т р а н я ю щ и м реверберацию сло­ истой системы. Следовательно, справедлива с л е д у ю щ а я схема. И с т о ч н и к - у реверберирующая система 6 * п о л е в а я сейсмограм­ ма -> оператор деконволюции а * ^ и с т о ч н и к . 1.5.2. Отражения в случае поверхностного источника

\

\

Р а с с м о т р и м д а л е е iV-слойную систему с с о с р е д о т о ч е н н ы м и па­ р а м е т р а м и (см. рис. 1-3), но г л у б и н н ы й источник з а м е н и м на п а д а ю щ и й единичный и м п у л ь с , в о з б у ж д а е м ы й на поверхности. В д а л ь н е й ш е м п р о а н а л и з и р у е м о т р а ж е н и я д в у х т и п о в : внутрен­ ние п е р в и ч н ы е и в н е ш н и е п е р в и ч н ы е . Внутренние

первичные

отражения

I О Рассмотрим случай нисходя­ Воздушная среда щего единичного импульса, X а б в о з б у ж д е н н о г о на поверхности (рис. 1-5). В первой ч а с т и р а з д е л а 1.4 было обосновано утверждение, что восходящий единичный и м п у л ь с ( и с т о ч н и к ) , п а д а я на с а м у ю н и ж н ю ю г р а н и ц у , воз­ б у ж д а е т п р о х о д я щ у ю в о л н у Ьк. Породы 1рундамвнта т. е. р е в е р б е р а ц и ю системы, Если р а с с м а т р и в а т ь д а н н у ю си­ Рис. 1-5. Внутреипие первичные отраже­ ния, возбуждепиые нисходящим единич­ т у а ц и ю с позиций теории ли­ ным импульсом (6,^) на поверхности. нейных систем, то единичны? Д л я наглядности лучи изображены падающими и м п у л ь с б;, будет п р и ч и н о й п о д у г л о м к г р а н и ц а м , но а н а л и з в о л н о в о г о д в и ж е н и я сделан д л я с л у ч а я н о р м а л ь н о г о пла р е в е р б е р а ц и я с и с т е м ы Ьк— д е н и я : а, б, в, — с о о т в е т с т в е н н о п е р в о е , в т о р о е следствием. Е с л и причи­ и Л/-е о д н о к р а т н ы е о т р а ж е н и я : г—Л^-слойная система с сосредоточенными п а р а м е т р а м и на з а п а з д ы в а е т на т единиц в р е м е н и , т. е. на в х о д е систе­ мы имеем 6fe_m, с л е д с т в и е т о ж е будет з а п а з д ы в а т ь на т единиц времени, т. е. в ы х о д н а я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь будет иметь вид Ьи-т^ А н а л о г и ч н о , если причина в з в е ш е н а посредством постоянного весового коэффициента С, т. е. имеем СВ^,, т о и следствие будет взвешено с п о м о щ ь ю той ж е постоянной С, т. е. п о л у ч и м СЬк46

Эти свойства н а р я д у со свойством с у п е р п о з и ц и и характеризуют линейные и н в а р и а н т н ы е системы. Т а к и м образом, заменим нисходящий единичный импульс (ис­ точник) множеством гипотетических (математических) восходящих <'линичных импульсов, расположенных на о т р а ж а ю щ и х границах пашей Л/^-слойной системы. П о с к о л ь к у нам известно «следствие» bk иосходящей «причины» 8*, м о ж н о использовать свойства линейной инвариантной системы, чтобы найти следствие воздействия нисхолящего единичного импульса, приложенного к поверхности. Н а рис. 1-6 показана замена нисходящего импульсного источника на госходящие источники мощностью еп = Гп, где /•„—коэф(Зэициент огражения на границе п. И з опыта, накопленного в сейсморазведке,

Гмс. 1-6. Замена нисходящего единичного импульса Ь/^, приложенного к поверх||(1сти, на гипотетические (математические) восходящие импульсные источники мищностью е Лд^. II - в о с х о д я щ и й и м п у л ь с н ы й и с т о ч н и к е , = г , ; б — и м п у л ь с н ы й Л' 1\ и с т о ч н и к с и л о й sjy = гдг; i — i V - с л о и с т а я с р е д а

источник

силой

е , = r-j; в —

известно, ЧТО коэффициенты о т р а ж е н и я обычно имеют небольшую лбсолютную величину, т. е. имеет место неравенство :е„] = | Г п ] < 0 , 1 . И з - з а елейности к а ж д ы й из гипотетических источников поро­ ждает р е в е р б е р а ц и о н н ы й в о л н о в о й и м п у л ь с . Э . Р о б и н с о н п р е д п о ;южил, ч т о в с е р е в е р б е р а ц и о н н ы е в о л н о в ы е и м п у л ь с ы и м е ю т одинаковую ф о р м у — ф о р м у в о л н о в о г о и м п у л ь с а р е в е р б е р а ц и и < | 1 с т е м ы bft. В г л . 2 э т о п р е д п о л о ж е н и е и с с л е д о в а н о н е с к о л ь к о . детальнее и п р и в е д е н ы т о ч н ы е м а т е м а т и ч е с к и е у с л о в и я , при ко­ торых д а н н а я г и п о т е з а п р и б л и ж а е т с я к точной м о д е л и . Принимая во внимание временные задержки, обусловленные положением источников ( с м . р и с . 1-6), р а с с у ж д а е м с л е д у ю щ и м <|Г)разом. Если восходящий единичный импульс 8* вызывает передаточную импульсную р е а к ц и ю bk, то EI8A_I

—>

e28fe—2 —»

^N^k-N

—>•

e\bk—\',

B2bk—2't

^Nbk-N-

С о г л а с н о свойству с у п е р п о з и ц и и л и н е й н ы х систем д л я полу41'иия полной р е а к ц и и Xk н а д о с л о ж и т ь р е а к ц и и па в о з д е й с т в и я 47

всех гипотетических ние: Xk-=

источников. С д е л а в э т о , п о л у ч а е м ефк-Х

+

B2bk-2

...

+

выраже­ (1-5-10)

+ t N b k - N ,

к о т о р о е и м е е т в и д м о д е л и , о с н о в а н н о й на с в е р т к е ( с у м м и р о в а ­ нии), рассмотренной ранее. У р а в н е н и е (1.5-10) о п и с ы в а е т с е й с м о г р а м м у , р е г и с т р и р у е м у ю на п о в е р х н о с т и и я в л я ю щ у ю с я р е з у л ь т а т о м в о з д е й с т в и я на сре­ ду н и с х о д я щ е г о единичного и м п у л ь с а , в о з б у ж д е н н о г о н а поверх­ ности. Д а л е е , х ^ . — р а в н о д е й с т в у ю щ а я всех р е в е р б е р а ц и и си­ стемы (реверберационных волн b k ) , которые в о з н и к а ю т от ги­ потетических в о с х о д я щ и х н а ч а л ь н ы х и м п у л ь с о в с м о щ н о с т я м и , определяемыми последовательностью коэффициентов отражения З а п и с а в (1.5-10) в виде суммы свертки, получим:

^"i

N

Xk=Yi

'

^«**-" =

* bk-

(1.5-11)

n=l

В результате имеем

г-преобразования

Лапласа

соотношения

X{z) = E{z)B{z),

(1.5-11) (1.5-12)

где £ ( г ) = Е , 2 - Ь Е 2 2 2 + . . . -bSA/Z^'. Подстановка (1.5-7) и (1.5-13) в (1.5-12) дает x(2) = - ^ i i ± i ^ ! ^ + ^ i : ^ ; , ИЛИ Х{2)

Е(г)

_

1 i+a^z +

a^z^-t-

•

(1-5-13| •] (1.5-14)

I А

. . .

a^z"^'

J

где последовательность коэсхрициентов о т р а ж е н и я е ь ег, . . . , определяет мощности гипотетических источников, а 1, а\, а2, . . ., а„ представляет собой оператор устойчивого разностного у р а в н е н и я , рассмотренного выше. Д л я с л у ч а я , когда источник не является идеальным единичным' импульсом 8ft, вместо 8ft рассмотрим произвольный поверхностный источник Sft, который м о ж н о определить через 8ft: Sft = f

s„8ft_„, /г > 0.

(1.5-15)

Вспомнив свойства линейных инвариантных систем, можно вы­ вести выражение д л я реакции Xk на произвольный источник Sk, р а с с у ж д а я следующим образом. 48

i

Если

нисходящий

единичный

и м п у л ь с Ьк вызывает

Xk=ik*bk

III

Sibk—i —• SiXk-u S28ft_2

S2Xk-2',

И с п о л ь з у я свойство суперпозиции л и н е й н ы х систем и с к л а д ы в а я т е реакции SiXk-u S2Xk-2, •.., S„A:*_„, получаем: оо

= Ss„Xk-n = Sk * Xk, k > 0. (1.5-16) n=0 Подставив в ы р а ж е н и е (1.5-11) в уравнение (1.5-16), будем иметь к

Xk = Sk* Bk*bk = S k * {bk * Sk).

(1-5-17)

Определив с л о ж н ы й волновой импульс Wk = bk* Sk как состоя­ щий из н а ч а л ь н о г о волнового импульса Sk и волнового импульса ршерберации системы bk, получим: x'k = £k*Wk.

(1.5-18)

Исходя и з сэизических соображений мы сделали заключение, что /';, является минимально-запаздывающей ф у н к ц и е й . С помощью соигметствующих методических приемов сбора полевых данных волноtiiiii импульс источника м о ж н о сделать минимально-запаздываю­ щим или приближающимся к нему, следовательно, а'*—тоже Минимально-запаздывающий волновой импульс. Теперь познакомимся со статистическим аспектом модели Робиниша. Основываясь на геологических д а н н ы х , Робинсон предполо­ жил, что отрезки последовательности о т р а ж а ю щ и х коэффициентов • |, S2, . . . , е„ м о ж н о считать некоррелируемыми. Если в з я т ь , в миетности, интервал сейсмической записи от момента времени k до•фсмени k -f- L , т о в пределах этого временного интервала последоилтельность гипотетических источников s*, tk+i, ..., EA-I-L предпо.здгается некоррелируемон. Обобщим сейсмическую модель Робинсона д л я внутренних Пер­ ми чных отражений ( п о л н а я системная реверберация). 1. Модель основана на свертке x'k = Вк * Wk, причем е* — коэфмшшенты о т р а ж е н и я от N о т р а ж а ю щ и х границ; Wk — сложный волштой импульс, равный свертке Sk * bk', Sk — импульс источника; /|, — волновой импульс реверберации системы; х'к — полевая с е й (мограмма (временной р я д ) . 2. Сложный волновой импульс Wk я в л я е т с я минимально-за11а:^дыинюищм. Этот вывод следует из того физического факта, что bk^ ыииимально-запаздывающая последовательность, а можно с д е л а т ь приблизительно м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ е й , применив н а д л е ж а щ у ю Ш'юдику полевых н а б л ю д е н и й . i. Коэсэ(эициенты отражения е„ = Гп невелики по абсолютной ве­ л и ч и н е , что подтверждается опытом с е й с м о р а з в е д к и . 1»

4. Коэффициенты о т р а ж е н и я si, eg, . . . , ед? некоррелцруемы ни р а з л и ч н ы х интервалах ]к, k^-Ll сейсмической записи. Эта гипо­ т е з а придает статистический характер геофизическому моделирова­ н и ю . В с в я з и с этим д а н н у ю модель иногда н а з ы в а ю т «статисти­ ческой» сейсмической моделью Робинсона. Р а н е е мы показали, что оператор а* я в л я е т с я оператором деко1в о л ю и и и в том смысле, что он сводит реверберацию системы bk i е д и н и ч н о м у и м п у л ь с у 8* (см. р и с . 1-4). Следовательно, если наЛ) у с т р а н и т ь реверберационную с о с т а в л я ю щ у ю fe» из наблюденно с е й с м и ч е с к о й записи Xk, то следует свернуть оператор Ok с наблкд е н и е м Xk. Согласно сейсмической модели Робинсона, наблюдение х 1 моде­ л и р у е т с я в виде x'k =

Свернув

bk

*

Sk

*

Bk =

Wk * Sk.

(^-^'^i

x'k с Ok, получим: uk

*

l'^ (1-5-20)

x'k=ak*bk*Sk*Sk.

П о с к о л ь к у Ofe устраняет в л и я н и е реверберации системы bk, (1.5-2CI м о ж н о записать так: i ak*Xk

=

h*Sk*Bk

=

(^-^'^I

Sk*ek.

Аналогично можно устранить влияние волнового импульса иЙ« т о ч н и к а Sk из наблюдаемой сейсмограммы л:^ путем с в е р т к и х ^ 'i\ оператором s ' k \ т. е. с обратной с Sk соотношением

последовательностью,

связанно! | ' (1-5-2|

Sk*Sk^=bk.

Если свернуть выражение я и к а s r ' , получим: sT^

*ak*Xk

ak*x'k

=

sr^

с обратным оператором источ»' Ь (1.5-2J

*Sk*Bk~Bk.

В г л . 4 показано, к а к н а х о д и т ь оператор деконволюции

s^^*ai

И з (1.5-23) видно, что оператор s ] ^ \ a k устраняет последствия ре; верберации системы bk и волнового импульса источника Sk из на' блюдаемого временного р я д а х 1 и сводит x'k к последовательности гипотетических источников е ь В2, . . ., в ^ , связанной с к а ж д о й гра ницей раздела слоистой системы (см. рис. 1-6). Хотя последова тельность коэффициентов о т р а ж е н и я sj, BQ, . . ., ед/ была построещ на основе интуитивных данных о гипотетических источниках, J гл. 2 д а н о физическое обоснование этой гипотезы. Если описать

обратную

последовательность

Wk^*Wk

SO

=

h .

соотнощением (1.5-24)

Ill п результате свертки Wk

с Xk в виде (1.5-19)

получим (1.5-25)

w l ' * x ' k ^ B k .

При сравнении (1.5-23) и (1.5-25) о б н а р у ж и в а е т с я , что W k ^ ^ s T ^ * a k . (1.5-26) Это выражение можно считать оператором деконволюции, устра­ няющим из наблюденного временного р я д а х'и в л и я н и е ревербера­ ции системы bk и волнового импульса источника Sk, о с т а в л я я в|1Г1ультате последовательность ко.эффициентов о т р а ж е н и я si, ег»

1

Г

1 —

А s/f 1.

L

1 В

j

ь "к

4

1

J

L_

I lie. 1-7. Нахождение последовательности гипотетических источников мшцью оператора деконволюции ш^' для

сейсмической

(|, - п о в е р х н о с т н ы й и с т о ч н и к ; Ь ^ — п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь о д н о к р а т н ы х Авиный в р е м е н н б й р я д ; В — о п е р а ц и я деконволюции

модели

с

Робинсона

отражений;

поА.

— наблю-

, , . , Ел/. Определение последовательности коэсхэнциентов о т р а ж е н и я н по полевой сейсмограмме x'k и я в л я е т с я основной ц е л ь ю д е ипиволюции. Н а рис. 1-7 изображена^операция р а з л о ж е н и я (декониилюции^, основанная на использовании оператора ш Г ' Инсшние первичные отражения И разведочной геофизике внешними первичными о т р а ж е н и я м и 'икто н а з ы в а ю т « г л у б о к и е » о т р а ж е н и я от «глубинных» о т р а ж а ю ­ щих горизонтов. Внешние первичные о т р а ж е н и я м о д е л и р у ю т с я с л е д у ю щ и м обри.юм. П о с л е в о з б у ж д е н и я п о в е р х н о с т н ы м источником в о з н и к ш а я (юлпа проходит через поверхностную слоистую систему, р а с п р о I г|)аняется в свободном п р о с т р а н с т в е без о т р а ж е н и й и з а т е м от­ ражается вверх глубинной слоистой системой. П р и д в и ж е н и и вверх iiiMiiia п р о н и к а е т через п р о м е ж у т о ч н о е свободное п р о с т р а н с т в о и гиоиа входит в поверхностную с л о и с т у ю систему. В о л н ы , и м е ю щ и е иписанный путь р а с п р о с т р а н е н и я , н а з ы в а ю т с я внешними первичI I I . I M I I о т р а ж е н и я м и . Вся система сред и г р а ф и ч е с к о е изображение 1 И Н 1 П Н И Х первичных о т р а ж е н и й п р и в е д е н ы на рис. 1-8. Предполотии, что п р о м е ж у т о ч н ы й слой я в л я е т с я «свободным» п р о с т р а н iiiioM, не с о д е р ж а щ и м с к а ч к о в волнового сопротивления, м ы тем 51

с а м ы м п р е н е б р е г л и всеми к р а т н ы м и о т р а ж е н и я м и , к о т о р ы е могли б ы в о з н и к н у т ь в п р о м е ж у т о ч н о м слое. В о т л и ч и е от внутренних первичных отражений,, к о т о р ы е в о з н * к а ю т к а к «внутренние» по о т н о ш е н и ю к слоистой системе, внешние п е р в и ч н ы е о т р а ж е н и я в о з н и к а ю т « в н е ш н и м и » по о т н о ш е н и ю к п # в е р х н о с т н о й слоистой системе, о т р а з и в ш и м и с я от н е з а в и с и м о ! « г л у б и н н о й » слоистой системы. О д н а к о « г л у б о к и е » о т р а ж е н и е , п р е д с т а в л я ю щ и е основной интерес д л я г е о ф и з и к а - р а з в е д ч и к а , ч а с Т | п р и их в х о ж д е н и и снизу в п о в е р х н о с т н у ю с л о и с т у ю систему ока­ зываются замаскированными бесполезными поверхностными р 4 в е р б е р а ц и я м и . П о в е р х н о с т н ы е р е в е р б е р а ц и и сильно искажаю;!

Рис. 1-8. Первичные отражения, возникающие от поверхностного

источника 5|

Д л я н а г л я д н о с т и , к а к н а р и с . 1-5, л у ч и и з о б р а ж е н ы п а д а ю щ и м и п о д у г л о м к г р а н и ц а | Ь /, 2, :> — с о о т в е т с т в е н н о п е р в о е , в т о р о е и т р е т ь е о д н о к р а т н о е о т р а ж е н и е ; 4 — п о в е р х н о с т н а ! .реверберации; 5 — поверхностная слоистая система; — с в о б о д н о е п р о с т р а н с т в о ; 7 — глубШ11 « а я слоистая система ,ji

сейсмическую запись и скрывают информацию, содержащуюся Ц «глубоких» о т р а ж е н и я х . 1 Выше было п о к а з а н о , что bk я в л я е т с я измеренной на поверЬ ности реакцией iV-слойной системы на восходящий единичный m't пульс, приложенный с н и з у . Е с л и п р е д п о л о ж и т ь , что слоистая сЬ стема пассивна, т. е. не содержит внутренних источников, то (i м о ж н о рассматривать как в з а и м н у ю л и н е й н у ю ц е п ь . Согласщ принципу взаимности приложенный к поверхности нисходящи! единичный импульс вызовет внизу р е а к ц и ю bk (рис. 1-9, а). Слщ довательно, если s/j — п р и л о ж е н н ы й к кровле поверхностной сл(Я* стой системы нисходящий волновой импульс источника, то на вЬ| ходе этой слоистой системы получаем свертку sk*bk. (рис. 1-9, П у с т ь с и г н а л Sk*bk с л у ж и т входным сигналом д л я глубинной слф истой системы. Сейчас м о ж н о применить случай в н у т р е н н и х п ф ' вичных отражений к глубинной слоистой системе. Получим, Ч1{1 в о с х о д я щ а я р е а к ц и я глубинной слоистой системы на нисходяще! воздействие Sk*bk равна Sk*bk*Sk, где Sk представляет собой по с л е д о в а т е л ь н о с т ь коэсрфициентов о т р а ж е н и я от глубинных слов (рис. 1-9, в). М о ж н о считать восходящий сигнал Sk*bk*Bk воздай 52

(твием на входе поверхностной слоистой системы и л и глубинным щточником. Таким образом, на выходе п о л н о й системы при н и с х о ­ дящем поверхностном воздействии имеем Xk ( р и с . 1-9, г ) , где x'k^Sk*

bk *Bk*

bk.

(1.5-27)

Если обозначить с л о ж н ы й в о л н о в о й импульс bk*bk*Sk, с о с т о я ­ щий из реверберации в поверхностном слое bk и в о л н о в о г о импульт

± 1^. 6

I'lic. 1-9. Принцип взаимности в случае поверхностной слоистой системы (а), |11':1кция поверхностной слоистой системы на нисходящее возбуждение (б), |1Гакция глубинной слоистой системы на нисходящее возбуждение S/^ * 6^ и соответствии с результатами, полученными для внутренних однократных отражений II полная реакция поверхностной и глубинной слоистых системы (г). — е д и н и ч н ы й и м п у л ь с ; bj^ — в о л н о в о й и м п у л ь с р е в е р б е р а ц и и ; Б — п о в е р х н о с т н а я с л о и с laii с и с т е м а , s, 'Л^ — м о щ н о с т и г и п о т е т и ч е с к и х и м п у л ь с н ы х и с т о ч н и к о в в о с х о д я щ и х в о л н

c;i источника Sk, образом:

то

полная x'k =

реакция Wk*ek.

Xk выразится

следующим (1.5-28)

Н а основе п р е д ы д у щ и х р а с с у ж д е н и й полагаем, что Wk — миним;1Льно-запаздывающ11Й волновой и м п у л ь с , а последовательность должна быть некоррелируемой во временном интервале от k д о k—L. Обобщим сейсмическую модель Робинсона д л я случая внешних ш'рвичных о т р а ж е н и й или «глубоких» отражений с н а л о ж е н и е м р е |и'|)берации в. поверхностном слое: 53

1) м о д е л ь основана на свертке x'k = Bk*Wk, причем —послеДО" вательность коэсрфициентов о т р а ж е н и я от глубинных отражающих г р а н и ц ; Wk = bk*bk*Sk — сложный волновой и м п у л ь с ; bk — импулье п а я р е а к ц и я поверхностного слоя, т. е. реверберация в поверхно стном слое; s* — волновой импульс источника; x'k — п о л е в а я сейсми­ ческая запись (временной р я д ) ; ;1 2) сложный волновой импульс Wk является м и н и м а л ь н о - з а п а з д » Бающим п р и условии, что Sk тоже минимально-запаздывающий; 3) коэсэ(1эициенты отражения некоррелируемы во временном ин­ тервале 'k, k-j-Lj сейсмозаписи. щ

Г" 1

j

1 1 1 L

5J

А

Рис. I-IO. Оператор деконволюции w'^^ для случая глубинных отражений с Hi* ложенными поверхностными реверберациями. ; А — сейсмическая модель Робинсона; В — операция деконволюции; ствие; — волновые импульсы реверберации поверхностного слоя; слоев (коэффициенты о т р а ж е н и я ) ;

— наблюденный временной

ряд

— н а ч а л ь н о е воздеЛ — реакция г л у б и н н й Й:

Известно, что а* — линейный оператор, сводящий bk к едншЩ ному и м п у л ь с у Аналогично Sk ' — линейный оператор, сводящий ц к единичному импульсу В г л . 4 будут рассмотрены условия С)» ществования s^' в свете наложенного на Sk у с л о в и я м и н и м а л ь н о е ^ ! запаздывания. Итак, i (ak*ak*sT^)

*Wk = bk,

где

(1.5-29) Wk ^ =

ak*ak*Sk

,.—1

(1.5-з|

В результате свертки wT^ с (1.5-28) имеем Wk ' * л:* = Sft,

(1.5-31)

существует, если s/, причем Wk минимально-запаздывающая функция. Следовательно, ш Г ' = flft * а* * ^ Г ' является оператором деконво­ люции, устраняющим из наблюденного временного ряда x'k поверх­ ностные реверберации (bk*bk) и влияние волнового импульса ис­ точника Sk. Схема этой процедуры изображена на р и с . 1-10. В сле­ дующей главе д л я обоснования изложенного подхода будет дано математическое представление слоистой модели среды.

1"лава 2 СЛОИСТАЯ М О Д Е Л Ь С Р Е Д Ы

.М. МИНИМАЛЬНАЯ ФАЗА И МИНИМАЛЬНОЕ 1ЛПАЗДЫВАНИЕ

При и с с л е д о в а н и и л и н е й н ы х систем ч а с т о п р и х о д и т с я и м е т ь д е л о с в а ж н ы м ф и з и ч е с к и м понятием « м и н и м а л ь н а я ф а з а » . Э т о п о н я т и е Шло в в е д е н о Г. У. Б о у д о м ]15] при изучении свойств систем с <|Г)ратной с в я з ь ю д л я с л у ч а я л и н е й н ы х систем в н е п р е р ы в н о м в р е ­ мени. Б о у д у т в е р ж д а л , что п е р е д а т о ч н а я ф у н к ц и я , я в л я ю щ а я с я решением л и н е й н о г о д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о у р а в н е н и я с п о с т о я н н ы м и коэффициентами, будет м и н и м а л ь н о - ф а з о в о й , если о н а не с о д е р ­ жит нулей и п о л ю с о в в п р а в о й ч а с т и s-плоскости. С и с т е м ы , о б л а ­ дающие п о л ю с а м и и ( и л и ) н у л я м и в п р а в о с т о р о н н е й s-плоскости, называются н е м и н и м а л ь н о - с р а з о в ы м и . Ч т о б ы и м е т ь в о з м о ж н о с т ь иоспользоваться т е о р и е й м и н и м а л ь н о й ф а з ы при и с с л е д о в а н и и (истем в д и с к р е т н о м в р е м е н и , о п р е д е л и м 2 - п р е о б р а з о в а н и е Л а п л а ­ са (см. П р и л о ж е н и е ) п о с л е д о в а т е л ь н о с т и x.k из в ы р а ж е н и я Х(г)=

S

xuzK

(2.1-1)

причем переход от s-плоскости к z-плоскости осуществим путем ввелейия комплексной переменной 2 = е-»^',

(2.1-2)

где М — и н т е р в а л д и с к р е т и з а ц и и . П р и этих у с л о в и я х о п р е д е л е н и е Б о у д а м и н и м а л ь н о й ф а з ы д л я (пскретного в р е м е н и ф о р м у л и р у е т с я с л е д у ю щ и м о б р а з о м : устой­ чивая п р и ч и н н а я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь н а з ы в а е т с я м и н и м а л ь н о - ф а ювой, если ее 2 - п р е о б р а з о в а н и е Л а п л а с а не с о д е р ж и т нулей внутри единичного к р у г а н а 2 - П Л О С К О С Т И . П о с л е д о в а т е л ь н о с т ь у с т о й ч и в а , если ее z - п р е о б р а з о в а и и е Л а п лпса. не с о д е р ж и т п о л ю с о в в н у т р и единичного к р у г а . П о с л е д о в а и л ь н о с т ь с ч и т а е т с я причинной, если она у д о в л е т в о р я е т у с л о в и ю у к ^ о д л я ^ < 0. Главная теорема Боуда о минимальной фазе в случае днскретиого времени ф о р м у л и р у е т с я с л е д у ю щ и м о б р а з о м : у с т о й ч и в а я причинная в р е м е н н а я п о с л е д о в а т е л ы ю с т ? , з а д а н н о г о частотного «•оетава я в л я е т с я м и н и м а л ь н о - ф а з о в о й тогда (и т о л ь к о т о г д а ) , |((мда о б щ и й ф а з о в ы й сдвиг в о т р и ц а т е л ь н о м н а п р а в л е н и и ( з а ­ паздывание по ф а з е ) в полосе ч а с т о т от О д о л; у этой п о с л е д о в а Т1'Л1>иости м и н и м а л ь н ы й . П о с л е д о в а т е л ь н о с т ь , не о б л а д а ю щ а я этим (noiicTBOM, н а з ы в а е т с я н е м и н и м а л ь и о - ф а з о в о й . 55

И с с л е д о в а в реакцию цифрового фильтра на цифровой ф а з о в р а щ а т е л ь е - ' " * , можно найти частотную х а р а к т е р и с т и к у qb^bTpa в по л о с е частот О < ш < ir. ( Б е з потери общности м о ж н о п р и н я т ь ин т е р в а л д и с к р е т и з а ц и и Д/ равным одной единице времени. Следова т е л ь н о . ш будет иметь размерность в р а д и а н а х на щаг дискретизации. Эта п р о ц е д у р а равнозначна определению значений передаточно] срункции срильтра д л я величин z на единичном круге, т. е. дл; 2 = е-'"". Аналогично частотный состав последовательности Xk нахо­ дится путем определения значений X{z) на единичном к р у г е , гди X(z = е-'™) = X{is>) — к о м п л е к с н а я переменная с абсолютной вели­ чиной Х(ч>) и аргументом (фазой) Ь(и>), которые связаны между собой соотнощением X ( u ) ) = X ( « ) ) >'»(•"). (2.1-1 Одно из в а ж н ы х свойств минимально-фазовой последовательности! з а к л ю ч а е т с я в том, что заданием модуля частотной характеристик! X (ш) в полосе О < U) < т: задается фазовая характеристика 6 (т\ и наоборот. Следовательно, м о д у л ь и фаза частотной характеристики минимально-сказовой последовательности сигналов с в я з а н ы межд} собой единственным образом. Б о л е е того, они образуют п а р у пре образований Гильберта. Понятие минимального з а п а з д ы в а н и я было введено Э. Робинсо' ном в 1954 г. ;80, 82J. Л ю б у ю причинную л и н е й н у ю систему можнС! описать величинами коэффициента усиления и з а п а з д ы в а н и я . Коэс> б и ц и е н т усиления есть мера увеличения или уменьщения абсолют­ ной величины сигнала на выходе системы по сравнению с абсолютно! его величиной на входе. З а п а з д ы в а н и е — мера временной з а д е р ж к а выходного сигнала системой по отношению к входному сигналу, В о з м о ж н о множество р а з л и ч н ы х причинных систем с одинаковыми коэср(]эициентами у с и л е н и я , но по-разному з а д е р ж и в а ю щ и х с и г н а л ы . Всегда существует возможность создания причинных систем с очеш большими з а д е р ж к а м и , так к а к нет теоретического ограничения щ увеличение з а п а з д ы в а н и я о т к л и к а по отношению к воздействию, Н о в то ж е время существует предел малости з а д е р ж к и , которую может вносить п р и ч и н н а я система. Этот факт объясняется тем, чтс причинной системе всегда требуется некоторое время, чтобы значимо о т к л и к н у т ь с я на воздействие. П о Робинсону, минимально-задержи­ в а ю щ а я — это т а к а я система, которая при з а д а н н о м коэффициента у с и л е н и я создает наименьшее запаздывание следствия от причинь: (отклика от в о з д е й с т в и я ) . П о н я т и е минимального з а п а з д ы в а н и я ( м * нимальной задержки) применимо к любым системам: в дискретной или непрерывном времени, о д н о к а н а л ь н ы м , м н о г о к а н а л ь н ы м ил>, многомерным. С н а ч а л а Р о б и н с о н р а с с м о т р е л к л а с с всех устойчивых причин­ н ы х систем с одним и тем ж е к о э ф ф и ц и е н т о м у с и л е н и я , т. е. обла^ д а ю щ и х о д и н а к о в ы м и а м п л и т у д н ы м и с п е к т р а м и . З а т е м он п о к а з а л , что, д л я того ч т о б ы система из д а н н о г о к л а с с а б ы л а минимально» з а д е р ж и в а ю щ е й , н е о б х о д и м о и д о с т а т о ч н о н а л и ч и е у нее следую^ ших 10 свойств. 56

J

1. З а п а з д ы в а н и е по б а з е ( о т р и ц а т е л ь н а я ч а с т ь ф а з о в о г о спектp;i, д е л е н н а я на частоту) м и н и м а л ь н о по всей полосе частот. 2. Групповое з а п а з д ы в а н и е ( о т р и ц а т е л ь н а я ч а с т ь п р о и з в о д н о й опзового с п е к т р а по частоте) м и н и м а л ь н о по всей полосе ч а с т о т . 3. З а п а з д ы в а н и е энергии ( с у м м а и л и и н т е г р а л з н а ч е н и й к в а д ­ рата м о д у л я импульсной р е а к ц и и системы, н а ч и н а я со в р е м е н и t) минимально. 4. З а п а з д ы в а н и е и н ф о р м а ц и и ( в р е м я п р о х о ж д е н и я и н ф о р м а ц и и "Т входа д о в ы х о д а ) м и н и м а л ь н о е . 5. З а п а з д ы в а н и е единичного и м п у л ь с а ( в р е м я п о я в л е н и я еди­ ничного и м п у л ь с а на в ы х о д е причинной о б р а т н о й системы) минимильное ( р а в н о е н у л ю ) . 6. З а п а з д ы в а н и е р а с п р о с т р а н е н и я (отношение в о л н о в о й энер1ИИ, н а х о д я щ е й с я в момент в р е м е н и t внутри системы, к в о л н о в о й |иергии, у ж е п р о ш е д ш е й через систему) м и н и м а л ь н о е . 7. О т с т а в а н и е по ф а з е ( о т р и ц а т е л ь н а я ч а с т ь ф а з о в о г о с п е к т р а ) минимальное. 8. Ч а с т и ч н а я э н е р г и я [ ч а с т и ч н а я с у м м а и л и и н т е г р а л з н а ч е н и й м о д р а т а модуля импульсной реакции системы вплоть до момента ирсмени t (или k )1 м а к с и м а л ь н а я . 9. О б р а т н а я система п р и ч и н н а я . 10. Н у л и г - п р е о б р а з о в а н и я Л а п л а с а импульсной р е а к ц и и у сиI I C M в д и с к р е т н о м в р е м е н и л е ж а т вне единичного к р у г а , а у с и1тем в н е п р е р ы в н о м в р е м е н и — в левосторонней s-плоI кости. Теперь в ы р а з и м н е к о т о р ы е из этих свойств в м а т е м а т и ч е с к о й форме. П р и ч и н н а я система х а р а к т е р и з у е т с я односторонней им­ пульсной р е а к ц и е й , о б о з н а ч а е м о й п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ю Он, г д е ||,, = 0 д л я k < 0 . Передаточную функцию системы определим к а к .• п р е о б р а з о в а н и е Л а п л а с а и м п у л ь с н о й р е а к ц и и й к ' . Л(г)=

S

(2.1-4)

которое д л я причинных систем принимает вид

Л(2)=1]а^2*.

(2.1-5)

Располагая определением передаточной функции системы (2.1-5), получаем ч а с т о т н у ю х а р а к т е р и с т и к у причинной системы, приняв г = e-^"'.

Итак, подстановка г = е~'"' в уравнение (2.1-5) дает илрактеристику

частотную

оо

Л(е-'-)=

Sate-'"*.

(2.1-6)

fc=0

Уравнение (2.1-6) можно записать i;

А (е-'") = S а„ coi ш/г — i XI а* sin u>k ' k=0 k=Q

(2.1-7)

i

i

57

или в п о л я р н ы х координатах Л(е-'™) = ' Л ( е - ' ' " ) 1 ' е ' « И , где

(2.1-S

Л (е-'") — а м п л и т у д н ы й спектр г/ ~ \2 / ~ V-L f А (е-'"") = I, S ak cos «.^ + S а* sin шА:;

а 6((о) — ф а з о в ы й

(2.1-^

спектр:

- S

Oft

sin

1^

(ОЙ

6(«)) = t g - ' ^ = 5

.

(2.М|| •

*=o

I

При

записи амплитудного спектра мы будел4 часто вмес!) у п о т р е б л я т ь просто Л (u)) . \ В классе причинных последовательностей, в котором кажды! член класса, обозначаемый символами а*', а*', . . ., ctk, а*''"'*, . . 1 имеет одинаковый коэсюициент усиления Л(и)) , к а ж д ы й чле| класса обладает одинаковой полной энергией. Этот факт следу* I из соотношения П а р с е в а л я , согласно которому || д

(2.ы?:|

Л И :2du,=const,

\\ -

поскольку л (со) — о д и н и тот ж е Для к а ж д о г о члена класса. Г Предположим, что а!"' представляет собой минимально-запазд!'' вающий член класса, а а*/' — нем1шимально-запаздьшающий. K i смотря на т о что обе эти последовательности обладают одинаковс полной энергией, согласно свойству 8, частичная энергия минИ' мально-запаздывающей последовательности а*" превышает энергк! неминимально-запаздывающей последовательности а^'Т"^^А это значит [82:, что

i

\ат^>

i

^fl^f':^

' .

(2л-|

В таком случае энергия минимально-запаздывающей послед» вательности af' в наибольшей степени сконцентрирована в ее перв|) ncii части по с р а в н е н и ю с любой другой последовательностью 4' д а н н о г о к л а с с а . Д р у г и м и с л о в а м и , н а и б о л ь ш а я концентраиШ энергии в м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ е й п о с л е д о в а т е л ь н о с т и про исходит к а к м о ж н о р а н ь ш е , и э н е р г и я з а п а з д ы в а е т ровно i l l столько, чтобы у д о в л е т в о р и т ь з а д а н н о м у а м п л и т у д н о м у спектру 58

По этой причине м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ у ю п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ч.ито н а з ы в а ю т п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ю , « з а г р у ж е н н о й » в передiini части. Р а с п р е д е л е н и е энергии у м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ е й последовательности п р е и м у щ е с т в е н н о на р а н н и х в р е м е н а х я в л я <Ч(я в а ж н ы м свойством. Н а п р и м е р , к о г д а б ы л о подмечено, что | н ' 1 1 е р б е р а ц и и в с е й с м о р а з в е д к е « з а г р у ж е н ы » энергией в передmii части, то т а к о е п о н и м а н и е ф и з и ч е с к о г о п р о ц е с с а п р и в е л о и созданию м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л и системы, г е н е р и р у ю щ е й ренсрберации. С р а в н и в о п р е д е л е н и е м и н и м а л ь н о - ф а з о в о й системы со свойI гиом 10 м и н и м а л ь н о - з а д е р ж и в а ю щ и х систем, м о ж н о сделать шключение, что л и н е й н а я система б ы в а е т минимально-с|)азовой М1гда (и т о л ь к о т о г д а ) , к о г д а она м и н и м а л ь н о - з а д е р ж и в а ю щ а я . Ill КИМ о б р а з о м , п о н я т и е Б о у д а о м и н и м а л ь н о й ф а з е идентично понятию Р о б и н с о н а о м и н и м а л ь н о м з а п а з д ы в а н и и . Б о л е е того, ниласно свойству 7 м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ и х систем, отстаиииие по ф а з е у м и н и м а л ь н о - ф а з о в о й системы м и н и м а л ь н о во Ki'cii полосе ч а с т о т . И з свойства 7 следует, что м и н и м а л ь н о - ф а нтые системы б о л е е т о ч н о д о л ж н ы н а з ы в а т ь с я м и н и м а л ь н о IIт р и ц а т е л ь н о - ф а з о в ы м и либо минимально от-' 1Г,тющими по ф а з е , поэтому термин мннимально-фазоtM.iii ф а к т и ч е с к и н е п р а в и л ь н ы й , т а к к а к сэаза у м и н и м а л ь н о - ф а ишой системы в д е й с т в и т е л ь н о с т и б о л ь ш е , чем у к а к о й - л и б о сингмы с т а к и м ж е к о э ф ф и ц и е н т о м у с и л е н и я . П о этой причине мы предпочитаем в м е с т о термина м и н и м а л ь н о -фазовый (нип.зоваться т е р м и н о м м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ и й I мтшмально-задерживающий). О б р а т и м с я снова к т е о р е м е Б о у д а о минимально-фазовом iicTBe п о с л е д о в а т е л ь н о с т е й . Т е о р е м а г л а с и т , что м и н и м а л ь н о ('щ.'ювая система о б л а д а е т м и н и м а л ь н ы м о б щ и м о т р и ц а т е л ь н ы м ипюпым сдвигом в п о л о с е ч а с т о т от О д о л , т. е. — [ 0 ( я ) — 6 ( 0 ) 1 минимальна д л я м и н и м а л ь н о - Ф а з о в о й с и с т е м ы . Согласно свойству 7, минимально-задерживающая система |1Г|л;1лает м и н и м а л ь н о й о т р и ц а т е л ь н о й ф а з о й на к а ж д о й ч а с т о т е : О (со) м и н и м а л ь н а д л я м и н и м а л ь н о - з а д е р ж и в а ю щ е й системы. При п р а к т и ч е с к о м и с п о л ь з о в а н и и этого свойства на ф а з о в ы е ».|ИП1ые с р а в н и в а е м ы х систем о б ы ч н о н а к л а д ы в а е т с я о г р а н и ч е н и е , Чи1(Л1очающееся в том, что все к р и в ы е д о л ж н ы о б я з а т е л ь н о про» п я и т ь через н а ч а л о к о о р д и н а т , т. е. д о л ж н о в ы п о л н я т ь с я соот• к'ине ( в ) ( 0 ) = 0 . В т а к о м с л у ч а е , п р и н я в о) = 0, л соответственИ11, получим (9) (0) —- о д и н а к о в а д л я к а ж д о г о члена к л а с с а при•(||МИ1,1х п о с л е д о в а т е л ь н о с т е й с одинаковыми коэффициентами (|'11Л('1И1я; — в ( я ) — м и н и м у м д л я м и н и м а л ь п о - з а д е р ж н в а ю н 1 , е й сисч'Мм, о т к у д а — [ в ( я ) — 0 ( О ) [ — минимум д л я м и н и м а л ь н о - з а д е р • иилющей системы. Короче говоря, к а к и о ж и д а л о с ь , т е о р е м а Б о у д а и свойство 7 м и и и м а л ь н о - з а д е р ж и в а ю щ и х систем о п и с ы в а ю т одно и то ж е |мм1)11'не. 59

2.2. ПРОХОДЯЩИЕ И ОТРАЖЕННЫЕ ВОЛНЫ В ОДНОСЛОЙНОЙ СРЕДЕ

Д л я п о л у ч е н и я некоторого п р е д с т а в л е н и я о ф и з и ч е с к о м смысл! п о н я т и я м и н и м а л ь н о г о з а п а з д ы в а н и я , и с с л е д у е м математическу] модель идеальной горизонтально-слоистой среды (системы) Ч т о б ы не з а т е р я т ь с я в м а т е м а т и ч е с к и х д е т а л я х , р а с с м о т р и м о д ш : с л о й н у ю систему. П р е д п о л о ж и м , что с л о и с т а я с и с т е м а , и з о б р а ж е н н а я н а рис. 2-; в о з б у ж д е н а н и с х о д я щ и м и м п у л ь с о м источника Sh] сейсмоприе» ник, р а с п о л о ж е н н ы й в б л и з и свободной поверхности, реагируе т о л ь к о на в о л н о в о е д в и ж е н и е в в е р х в слое 1; источник совмещу; с п р и е м н и к о м . О г р а н и ч и м с я с л у ч а е м плоской в о л н ы , п а д а ю щ е ! по н о р м а л и к г о р и з о н т а л ь н ы м г р а н и ц а м , и б у д е м с ч и т а т ь , что д<|

(Рооо) ^

••"I

0

1± 1^.

т

к=У2 (Р2С2)

Рис. 2-1. Схематическая диаграмма гори­ зонтальной однослойной системы. / — источник; 2 — с е й с м о п р и е м н и к : S — одно­ с л о й н а я с р е д а ; 4 — п о р о д ы ф у н д а м е н т а (бес­ конечное п о л у п р о с т р а н с т в о ) ; 5 — в о з д у ш н а я с р е д а ( б е с к о н е ч н о е п о л у п р о с т р а н с т в о ) ; г'^ _ коэффициент о т р а ж е н и я от границы раздела 3—5; л, — к о э ф ф и ц и е н т о т р а ж е н и я о т г р а н и ц ы р а з д е л а 3—4; — коэффициент п р о х о ж д е н и я , равный 1 г^; d — м о щ н о с т ь с л о я 3; Р(. — характеристические импедансы соответствую­ щ и х с л о е в , с — с к о р о с т ь р а с п р о с т р а н е н и я вол­ ны в СЛО&*

к 3/г

k-S/2

к'7\

2 Рис. 2-2. Проходящие волны, щ людаемые у подошвы слоя 1 (при i верхностном импульсном источник / — о д н о с л о й н а я с р е д а о с а д о ч н ы х nopt 2 — породы фундамента; 3 — воздушн среда. Sft = 8 д — и м п у л ь с н о е в о з б у ж д е н ! JCft— п е р в а я п р о х о д я щ а я ( п а д а ю щ а я ) вол

пущения (1.4-2), сделанш при р а з р а б о т к е м о д е л и , осв1 в а н н о й на све|ртке, о с т а ю т с я силе. С о в м е с т и м н а ч а л о отсчета времени (^л = 0) с м ом е нтом вс б у ж д е н и я источника и л и , к а к го в о р я т г е о ф и з и к и , с м ом е нтом в з р ! в а . П р е д п о л о ж и в , что система на рис. 2-1 я в л я е т с я системой с сО с р е д о т о ч е н н ы м и п а р а м е т р а м и , и з м е р и т е л ь н ы й процесс не в н о с | а д д и т и в н о й помехи и з а п и с ь д и с к р е т и з о в а н а с ш а г о м ^t = 2d/ci ( р а в н ы м д в о й н о м у в р е м е н и пробега волны в с л о е 1, рассмотри^ следующие ситуации. Ч ч 2.2.1. П р о х о д я щ и е в о л н ы jcje" при в о з б у ж д е н и и е д и н и ч н ы м и м п у л ь с о м (Sk=bk)

|

И с с л е д у е м с н а ч а л а ф о р м у в о л н ы , достигшей к р о в л и горных nfr 1)од, с л а г а ю щ и х бесконечное п о л у п р о с т р а н с т в о , при возбужден1(|| единичным и м п у л ь с о м н а поверхности. Э т а в о л н а наблюдает^: у подошвы с л о я 1 ( с м . р и с . 2-2). Последовательность л'У в функции времени, измеренная ут д о н т ы слоя 1, задается выражением &0

1й

+

{rrr'oYb^__s_ -h {пгоУь^_7_ 2

2

2

...

(2.2-1)

2

Н а й д я 2-преобразование Л а п л а с а срункции (2.2-1), Х<'> (2) = г'' + ггг'ог'' + {ггг'оГ г'' + {r/.f

получаем: ...

(2.2-2)

или i

Х<'>(г) = 2

J -jL г.г^г -Ь (r,/•;2)^ + {r/ozf

Ч л е н в с к о б к а х представляет собой щийся при rir'oz писать в в и д е

\

< 1 или

^2, <

Х(')(2)

(2.2-3)

геометрический р я д , с х о д я ­ поэтому (2.2-3) м о ж н о з а ­

].1\г1г'о\,

=

+...;.

(2.2-4)

1-ГоГ,г

Так к а к коэ&])ициенты о т р а ж е н и я не могут быть по абсолют1И)й величине больше единицы, то V o r j ' < 1. (Примечание: | Г о Г 1 ' = ~\г'оГ\.) Итак, 2-преобразование Л а п л а с а Х<^^{г) не имеет полюсов «мутри единичного к р у г а , т. е. — устойчивая последовательность. Присутствие множителя 2'/« в числителе в ы р а ж е н и я (2.2-4) объясмистся з а д е р ж к о й в измерении

на

единицы времени, т. е.

на

ирсмя пробега волны в слое (.запаздывание времени в с т у п л е н и я игиосительно времени в з р ы в а ) . Следовательно, Х<'*2 с о д е р ж и т н у л ь а т А"к 1.0~

-

\

0.5 0

0.5

ИМ

-t -1,0 а

-0.5

О

0,5 'd5^i,5

1,5

-0.5 В. б.

1 Рис. 2-3. Проходящая волна с задержкой _ единицы врел/ени (а) и с устраненймм запаздыванием (б) при TQ = — 1, r i = 0,5: Щи—

в р е м я в с т у п л е н и я ; k — т е к у щ е е в р е м я в о л н ы ; Ах^

— амплитуда

К начале координат и, согласно определению, не я в л я е т с я минимнльно-запаздывающей последовательностью. Проходящая волна л:** изображена на р и с . 2-3, а. Полезно от­ делить чистое запаздывание 2 2 от остальной иистм Х<'>2. Сделав это, получаем:

части

последователь-

1 1 —г. о'"/г

(2.2-5) 61

т . е. г-преобразование Л а п л а с а реакции прохождения х\' измере! • н о й от первого в с т у п л е н и я ( р и с . 2-3,6). у П р о х о д я щ а я волна х1, измеренная от своего первого в с т у п * П И Я , я в л я е т с я м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ е й . Т а к и м образом, когЛ мм имеем дело с проходящими волнами, ж е л а т е л ь н о , чтобы начало временной координаты совпадало с первым вступлением. В этом сл'у ч а е проходящие волны будут минимально-запаздывающими. Выборок нового начала временной координаты (перемещением его вперед i | единицы

времени) мы устранили

з а д е р ж к у в xi'K

связанную (

прохождением волны через слой. Се;| час последовательность Х*''' (z) Ц имеет нулей и полюсов внутри ед|' ничного круга и, по определении является минимально-запаздывающе, i Ч а с т о т н у ю характеристику X<'''(e~'**J обозначаемую X'<^'(u)), можно найт!, если оценить значения Х<^'(2) U единичном к р у г е . Подставив 2 = е - ' " в (2.2-5), по лучим: Х(^) (ш) = : Х(^) (ш)! е'в<'"'(-),

(2.2-1|

где J

,Х(П(а>),= [' +

_е(Г) -30'Рис. 2-4. Амплитудный спектр (а) и спектр отставания по фазе (б) •минимально-запаздывающей . про­ ходящей волны при Гц = 1, Г1 = 0.5

(о)) =

('•o''l)^-2'-l'-0':°S«>j 2 Г[/-0

t g— 1 .

1

—

sin ш

Г|Го

COS (О

На рис. 2-4 нанесены амплитуд ный спектр Л:<^> М и спектр O T C T I вания по фазе —9(П (ш) минимально запаздывающей проходящей волны Ц для значений Ло = — 1 и r i = 0,5 [ полосе частот О < ш < п.

2.2.2. О т р а ж е н н ы е в о л н ы при в о з б у ж д е н и и н и с х о д я щ и м е д и н и ч н ы м и м п у л ь с о м , п р и л о ж е н н ы м к поверхности \^ Рассмотрим случай отраженной последовательности ;с*'*, в о з н и к ш ! в результате воздействия нисходящим единичным импульсом я> •свободную поверхность и зарегистрированной у кровли с л о я |, Заменим источник в виде нисходящего единичного и м п у л ь с а н1 восходящий гипотетический источник силой г, (рис. 2-5). Предположим, что рис. 2-5 изображает л и н е й н у ю пассивную инвариантную систему с сосредоточенными параметрами. Результа> ты сравнения рис. 2-2 и 2-5 позволяют з а к л ю ч и т ь , что систем) рис. 2-5 можно считать обратной системе, изображенной на р и с . 2-il 62

Si

Поскольку скстема линейна, инвариантна во времени, пассивна, т о |||)|| создании последовательности х'^^' м о ж н о п о л ь з о в а т ь с я принциIIIIM взаимности. Е с л и , гипотетический источник р и с . 2-5 является! единичным и м п у л ь с о м , Т О И З с о о б р а ж е н и й взаимности д : ! / ^ ' = xi^'. Иа предположений о линейности и инвариантности к сдвигу с л е д у е т . (гипотетиче-

||Т() если 8*. приводит к х * / ' , т о 8^__i_ а и ш источник) -> r i x ' ^ ' i . Если

ввести

задержку

величиной

/|0А-1 ^ / " i ^ - i (отраженные волны). Отсюда следует, что отраженные в пиде 4«> = / - , . 1 ^ ь

^

волны лг^

(2.2-7)

в

можно

та

выразить

(2.2-8)

откуда со всей очевидностью сле­ дует, что отраженные волны я в л я штся сверткой запаздывающего ипютетического источника мощиш'тью Гх с проходящими волнами х\ '. Подстановка (2.2-5) ккт соотнощение

времени,

Воздушная среда к=1 к=2

II результате г-преобразования Лапласа у р а в н е н и я (2.2-7) имеем Х(«)(г) = (г,г)Х<^)(2),

единицы

(2.2-8)

Породы срундамента Рис. 2-5. Единичный импульсный ис­ точник, приложенный к поверхности слоя 1, заменяется на восходящий гипотетический источник 2 энергией /•j. Отраженная волна з{х\^^^ наблю­ дается у поверхности слоя 1

Х(Л)(г) = ( г , 2 ) - — L -

XW(2)=/-i2

(2.2-9)

(2.2-10) 1-ГоГ,г

По виду соотношения (2.2-J0) м о ж н о з а к л ю ч и т ь , что Х*''^' (г) со"^(тоит из весового множителя г\, чистой з а д е р ж к и в одну е д и ш щ у «рсмени, связанной с множителем г, и множителя минимального чшиздывания 1/ 1—гоГуг). Последовательность отраженных волн Х''^'(г) имеет вид Х<«)(г)-£(2)/Л(г),

(2.2-11)

|Др £ (г) — г-преобразование Л а п л а с а последовательности о т р а ж а ю ­ щих коэфсэициентов, т . е. £ ' ( 2 ) = /-)Z; Л (2) — 2-преобразование Л а ­ пласа оператора разностного у р а в н е н и я Л (2) = 1 - j - aiz, где щ — /oVi.

Р е в е р б е р а ц и я я в л я е т с я функцией, и задается выражением

У А (г) =

1 +

ГоГ,г

обратной Л (г), т . е.

{r'oryf

УА{г]

...

(2.2-

li

Иными с л о в а м и , реверберация — это временная последовательное!! 1, г'оГи {г'оГ\У, {г'оГ\У, . . .. Амплитудный спектр отраженных Boil x^k^ р а в е н амплитудному с п е к т р у последовательности коэф(1жциент1(| о т р а ж е н и я О, г\, у м н о ж е н н о й на амплитудный спектр npoxoflil щ и х волн x'k^ У ч т я , что при использовании г-преобразования Jla'iJ ласа X (со) = Х (z = е - ' " ) = X ( е - ' " ) , запишем ; ]х^^(У)

\ = >,;ix;^)((u);.

(2.2-|j

в то ж е время спектр отставания по фазе X i f ' р а в е н с у м й | с п е к т р а отставания по фазе последовательности коэсхэициентов О' р а ж е н и я О, г\ и спектра отставания по фазе п р о х о д я щ и х волн, т. li (2.2-Й

_ е ( « ) (ш) = U) -1-:—е(^) (ш):,.

Мы нашли ранее, что — 6(^)(u)) я в л я е т с я спектром минимальнок отставания по фазе. Несмотря на то, что в рассмотренном случЯ а м п л и т у д н ы й спектр последовательности x''k^ равен тому ж е сач.ощ коэффициенту у с и л е н и я , умноженному на весовой м н о ж и т е л ь , т. j. Воздушная среда к=0

к=1

к=2

к=3 3

2—

к=^/2

Породы (рундамента

|;

Рис. 2-7. Отраженные волны, вознй1|! шие в результате воздействия nncxii дящего единичного импульса 8^^ ч поверхности. / — однослойная среда; 2 — отраженй! в о л н а , н а б л ю д а е м а я у к р о в л и слоя 1

i Рис. 2-6. Характеристики спектров запаздывания по фазе.

!

/ — л и н е й н а я к о м п о н е н т а о т с т а в а н и я п о ф а з е ( ч и с т а я з а д е р ж к а ) ; 2 — полный спектр—8(^)((| ч т с т а в а н и я п о ф а з е . -S — с п е к т р м и н и м а л ь н о г о о т с т а в а н и я п о ф а з е — 6 ' ^ ) ( а ^

'|j

T i 11 X ' ^ ' (ш)\, спектр отставания по базе—6'^ (ш) отличается отспект])»' минимального отставания по фазе — 6'^'(со) на л и н е й н у ю фазовуш -задержку со. На рис. 2-6 изображен спектр отставания по фа|« —0"^'(со) д л я значений = — 1 и ' - , = 0 , 5 . Следовательно, допоЛ; иительное отставание по фазе о т р а ж е н н ы х волн может возникнуть юлико из-за воздействия последовательности коэффициентов отр|« ж е и и я , а не из-за р е в е р б е р а ц и и . Si 64

Мы получили в ы р а ж е н и е д л я о т р а ж е н н ы х волн xl , п р и н я в , что система, и з о б р а ж е н н а я на р и с . 2-1, линейна, инвариантна и с сосредоточенными параметрами, и использовав идею о гипотетиче­ ских источниках. Теперь попытаемся найти х*/", использовав иной подход, т. е. п р о а н а л и з и р о в а в все волны, в о з н и к а ю щ и е при возЛсйствии н и с х о д я щ и м единичным импульсом 8ft, не прибегая к идее о гипотетическом источнике. Последовательность о т р а ж е н н ы х волн, получающуюся в этом случае, обозначим д;'^' ( р и с . 2-7). Последовательность, в о з н и к а ю щ а я при воздействии единичным импульсом Ьк ( р и с . 2-7), имеет вид = r,8ft_, -h Н а й д я г-преобразование •получаем:

+ г? ( г о ) \ _ з +

rVobk-2

Лапласа

(2.2-15)

...

последовательности

X'^'(2) = r,2 + r ? r o / - f r ? ( r o r / 4 L

...

-

(2.2-15). (2.2-16)

ПЛИ (г)

=

г,г

; 1 +

r/oz

-Ь

{rir'ozY

(2.2-17)

. . , ] ,

410 э к в и в а л е н т н о с о о т н о щ е н и ю Х'^'(г)= . . ' - ^ i V

(2.2-18)-

! < < - ^ jVij

Т а к и м о б р а з о м , в ы р а ж е н и е (2.2-18) идентично соотношению {2.2-10), к о т о р о е б ы л о в ы в е д е н о путем з а м е н ы н и с х о д я щ е г о им­ пульса источника 6ft на в о с х о д я щ и й гипотетический источник силЫ\ ги В д а н н о м п р и м е р е , к а к и о ж и д а л о с ь , о б а п о д х о д а д а л и o;imi и тот ж е р е з у л ь т а т . .*,2.3. Отраженные волны при в о з б у ж д е н и и произвольным нисходящим импульсом источника, приложенным к поверхности Димспим источник в виде единичного импульса 8^ (рис. 2-7) на ./фоизвольный н и с х о д я щ и й источник Sft. Если обозначить результиftyionuie отраженные волны x^k\ то д а н н а я последовательность б у д е т адшша в ы р а ж е н и е м f

х ^ ' = A,sft_,

-i- r ' A h - 2

- f (r;)V^Sft_3

+

...

(2.2-19)

После 2-преобразования Л а п л а с а в ы р а ж е н и я (2.2-19) получим J

X'^\z)=^r,zS{z)

+ r',rVS{z)+{r',fr]z^S{z)^r.>.

(2.2-20)

•Ли ' Х'^'(2) = г , 2 5 ( 2 )

\ «

v.v

\ +

(г>,2| - f

{r',rxzf

. . ( 2 . 2 - 2 1 ) '65

У п р о с т и в (2.2-21), получаем: ^ « - й

= < Г ^ \

, ^ . < ^ .

(2.2-2

Ранее мы п о к а з а л и , что м н о ж и т е л ь 1/(1—r'or\z), с в я з а н н ы й ' проходящими волнами реверберации Д^', — минимально-запаздывак; щ н й . О т р а ж е н н ы е волны Xk'' не я в л я ю т с я минимально-запаздываМ! щими из-за присутствия произведения (г, z)S{z) в числителе cooi ношения (2.2-22). К р о м е того, импульс источника может соде|^ ж а т ь нули внутри единичного к р у г а . В этом с л у ч а е S{z) не буд*! м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ е й ф у н к ц и е й . Уравнение (2.2-22) указывас на то, что отраженные волны х**' м о ж н о считать сверткой импульА источника Sk, последовательности коэсэфициентов о т р а ж е н и я О, ( и п р о х о д я щ и х волн реверберации x'k^K Ф у н к ц и я х^Р — минимальщ з а п а з д ы в а ю щ а я (см. рис. 2-4). Е с л и предположить, что Sk так» минимально-запаздывающий импульс, о т р а ж е н н ы е волны буду сверткой последовательности коэффициентов о т р а ж е н и я О, r i с ш н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ е й волной Wk. Волновой импульс Wk — стЦ н а я волна, составленная из минимально-запаздывающего импулм источника Sk и минимально-запаздывающей реверберации х*/*. Н а я з ы к е теории линейных систем уравнение (2.2-9) или (2.2-!1 представляет собой передаточную ф у н к ц и ю однослойной систем» изображенной на рис. 2 - 1 . В частности, уравнение (2.2-9) — это1 преобразование Л а п л а с а импульсной реакции х*'^' этой системы, СВ' з ы в а ю щ е е импульс источника Sk с отраженными волнами x/f'. О д т \ , из-за последовательности коэ^юициентов о т р а ж е н и я передаточр ф у н к ц и я Х*^>(2) однослойной системы не я в л я е т с я м и н и м а л ь н о ^ п а з д ы в а ю щ е й . Из рис. 2-6 видно, что избыточное отставание]|; фазе I—б''^) (ш)5 создается и с к л ю ч и т е л ь н о последовательностью ко|| оициентов о т р а ж е н и я . Подобное избыточное отставание по ф|| характерно для сейсмограмм отраженных волн. Остальные o i т о р ы (волновой и м п у л ь с источника и р е в е р б е р а ц и я ) — минима|)| н о - з а п а з д ы в а ю щ и е . И з ф а к т а с в я з и всего избыточного з а п а з | | | в а н и я с п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ю к о э ф ф и ц и е н т о в о т р а ж е н и я след|р физическое объяснение возможности получения коэффициен») о т р а ж е н и я п у т е м д е к о н в о л ю ц и и с е й с м о г р а м м о т р а ж е н н ы х в(^( Л и н и и п е р е д а ч и , з а п а з д ы в а н и е потоков в т р у б о п р о в о д а х , ]) с т а в а и и я при т р а н с п о р т и р о в к е , п о л у п р о в о д н и к о в а я ' д и ф ф у з и я Л л а д а ю т п е р е д а т о ч н ы м и ф у н к ц и я м и , с о д е р ж а щ и м и член г'", хар> т е р и з у ю щ и й з а п а з д ы в а н и е , в н о с и м о е э т и м и с и с т е м а м и . Успешно* а н а л и з а п о д о б н ы х систем з а в и с и т от в о з м о ж н о с т и в ы д е л е н и я с)| торов, с о з д а ю щ и х з а д е р ж к и . С позиции ф и з и ч е с к о й т е о р и и о д н о с л о й н а я м о д е л ь (см. рис. 1 п р е д с т а в л я е т собой и д е а л ь н у ю м о д е л ь слоистой с р е д ы и поде ные м н о г о с л о й н ы е м о д е л и в о б щ е м х а р а к т е р и з у ю т с л о и с т ы е н с | З е м л и . В с л у ч а е слоистой геологической м о д е л и коэффицией о т р а ж е н и я по а б с о л ю т н о й в е л и ч и н е р а в н ы или м е н ь ш е едини* 66

При п е р е д а ч е энергии от одной стороны слоистой м о д е л и к дру|()й сейсмический и м п у л ь с п р е т е р п е в а е т м н о г о ч и с л е н н ы е о т р а ж е ­ ния и п р е л о м л е н и я внутри слоев, что п р и в о д и т к его з а п а з д ы в а ­ нию и о с л а б л е н и ю . В р е з у л ь т а т е о к а з ы в а е т с я , что э н е р г и я р а с ­ пространяющейся в о л н ы Xk к о н ц е н т р и р у е т с я в ее н а ч а л е , а не II конце. П о с к о л ь к у именно это я в л я е т с я у с л о в и е м м и н и м а л ь н о с т и н ш а з д ы в а н и я п о с л е д о в а т е л ь н о с т и , момшо о ж и д а т ь , что с и г н а л на в ы х о д е многослойной системы, з а р е г и с т р и р о в а н н ы й с м о м е н т а нгрвого в с т у п л е н и я , будет м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ и м , если им­ пульс и с т о ч н и к а Sft — м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ и й . П о н я т и е м и н и м а л ь н о г о з а п а з д ы в а н и я интересно интерпретинустся в теории п е р е д а ч и и н ф о р м а ц и и . Р а с с м о т р и м , н а п р и м е р , поIOK и н ф о р м а ц и и через систему. С и с т е м а м о ж е т у н и ч т о ж а т ь и н ф о р ­ мацию, п о с к о л ь к у поток и н ф о р м а ц и и , в ы х о д я щ и й из системы, меньше потока и н ф о р м а ц и и , в х о д я щ е г о в систему. В т а к о м с л у ч а е эго ч и с т а я п о т е р я инсэормации, не п о д д а ю щ а я с я в о с с т а н о в л е н и ю . И более б л а г о п р и я т н о м с л у ч а е , с и с т е м а не у н и ч т о ж а е т и н ф о р м а ­ цию, а л и ш ь з а д е р ж и в а е т ее на н е к о т о р о е в р е м я ( п о л н а я и н ф о р ­ мация, в ы х о д я щ а я из системы з а все в р е м я , р а в н а полной ин­ формации, в х о д я щ е й в систему, но в л ю б о й з а д а н н ы й м о м е н т ирсмени система у д е р ж и в а е т и н ф о р м а ц и ю , т. е. и н ф о р м а ц и я вош-lii в систему, но е щ е не в ы ш л а из н е е ) . Е с л и п о д о ж д а т ь д о с т а т о ч ­ но д л и т е л ь н о е в р е м я , то в конце концов получим з а д е р ж а н н у ю шкЬормацию на в ы х о д е системы. Х о т я это стоит отсрочки, м ы (плжны ж д а т ь и н ф о р м а ц и ю до тех пОр, пока система не будет т т о в а ее в ы д а т ь . Н а и б о л е е б л а г о п р и я т н а я с и т у а ц и я — слоистые з е м н ы е н е д р а , мнда система ни у н и ч т о ж а е т , ни з а д е р ж и в а е т и н ф о р м а ц и ю при инредаче. В этом с л у ч а е п о л н а я и н ф о р м а ц и я , в ы ш е д ш а я из систеч|,| до л ю б о г о з а д а н н о г о м о м е н т а , р а в н а полной и н ф о р м а ц и и , шнпсдшей в систему д о того ж е м о м е н т а в р е м е н и . С л е д о в а т е л ь н о , иодобная система не у т а и в а е т от нас н и к а к о й и н б о р м а ц и и , она просто п р е о б р а з у е т инсрормацию в д р у г у ю б о р м у без потери в р е ­ мени или с о д е р ж а н и я . Н е с о м н е н н о , это н а и б о л е е э ф о е к т и в н а я м и н и м а л ь н о - з а д е р ж и в а ю щ а я с и с т е м а , к о т о р а я о б е с п е ч и в а е т опти«||,||1,ную п е р е д а ч у и н ф о р м а ц и и . М и н и м а л ь н о - з а д е р ж и в а ю щ а я си• и'ма и з о м о р ф и ч н а по о т н о ш е н и ю к слоистым з е м н ы м н е д р а м при ••'•рсдаче инс'эормации от одной г р а н и ц ы к другой, если у с т р а н и т ь 'ии'тое з а п а з д ы в а н и е , в о з н и к а ю щ е е при р а с п р о с т р а н е н и и п р я м о й «млиы через слоистую среду в одном н а п р а в л е н и и . В ы я в л е н и е ммм'итва земной среды м и н и м а л ь н о з а д е р ж и в а т ь п р о х о д я щ у ю ин­ формацию с д е л а л о в о з м о ж н о й д е к о н в о л ю ц и ю сейсмозаписей. и ПРОХОДЯЩИЕ И ОТРАЖЕННЫЕ ВОЛНЫ « МНОГОСЛОЙНОЙ СРЕДЕ И 1 л . 1 мы ввели понятие модели, о с н о в а н н о й н а с в е р т к е согласуется с д о п у щ е н и я м и (1-4-2). Б ы л о п о к а з а н о , что •сПемичёская запись представляет собой сигнал на выходе линей»'11орая

67

ной инвариантной во времени системы, о б л а д а ю щ е й импульсной реакцией (см. р и с . 1-1). Однако последовательность в таком виде не имеет физического смысла, так к а к мы е щ е не отождествили коэффициенты о т р а ж е н и я го, г,, га, . . . , Гм слоистой среды с пере­ даточной срункцией среды F{z), т. е . с z-преобразованием Лапласа последовательности Д . Н а п р и м е р , fi м о ж е т соответствовать ги /2 — в ы р а ж е н и ю ГоП - - (1 — г \ ) . Г2, /з — в ы р а ж е н и ю i^, r ^ l — Г2 (1 — г?) {2ГоГ I

г 1Г2)

и т. д., но в данный момент мы не располагаем такой зависимостьк Таким образом, надо с в я з а т ь /д. с коэффициентами о т р а ж е н и я г, г\. Го, .. ., гы, х а р а к т е р и з у ю щ и м и N слоев изучаемой глубинно! толщи. Н а ш а с л е д у ю щ а я задача состоит в отыскании такой слоисто:* модели среды, которая позволит по Воздушная среда лучить необходимые соотношения и (бесконечное полупространство) ^ придаст законченный ВИД модели, Слой1 J основанной на с в е р т к е . Слой? 2 М о д е л ь слоистой с р е д ы , р а с с м а т р и в а е м а я з д е с ь , это з н а к о м а я наи . " г о р и з о н т а л ь н о - с л о и с т а я у п р у г а я сре • слойТм и з у ч е н н а я р а н е е П. Гупийо ,! 36] I (Зесконечнов полупространство) Ж .

КюнецОМ

[54],

Э.

РобинСОНО»

Рис. 2-8. Слоистая модель среды.

[83, 85[ и многими д р у г и м и исслед о в а т е л я м и . К а ж д ы й слой однороД'

о_jV-границы

ИЫЙ И ИЗОТрОПНЫЙ; анаЛИЗу ПОДВеР'

раздела слоев

г а ю т с я плоские в о л н ы при нормалЬ' Н О М п а д е н и и . С л о и м о д е л и п р о н у м е р о в а н ы от к р о в л и к п о д о ш в ! слой О о б о з н а ч а е т бесконечное в о з д у ш н о е п о л у п р о с т р а н с т в о , а сл(|1 A ^ ' + l — э т о с а м ы й н и ж н и й слой, к о т о р ы й т а к ж е я в л я е т с я бесконеЦ! н ы м п о л у п р о с т р а н с т в о м . Н а п р и м е р , при морской с е й с м о р а з в е д и с л о е м 1 м о ж е т б ы т ь слой воды. И т а к , м о д е л ь с р е д ы состоит и з f слоев, N+1 г р а н и ц р а з д е л а и N-\-l к о э ф ф и ц и е н т о в отражения*) п р о п у с к а н и я ( р и с . 2-8). i О г р а н и ч и м с я р а с с м о т р е н и е м плоских волн, п а д а ю щ и х н о р м а ^ ! но к г о р и з о н т а л ь н ы м г р а н и ц а м р а з д е л а . С а м о в о л н о в о е движен:) м о ж е т и з м е р я т ь с я л ю б ы м числом с в я з а н н ы х м е ж д у собой величИ|1 в х о д я щ и х в у р а в н е н и е плоской в о л н ы , н а п р и м е р акустическ1|| д а в л е н и е м , с к о р о с т ь ю д в и ж е н и я ч а с т и ц среды или их ускорени^|( С е й с м о п р и е м н и к и д л я сухопутных р а б о т п р е о б р а з у ю т cKopoef д в и ж е н и я ч а с т и ц с р е д ы в э л е к т р и ч е с к о е н а п р я ж е н и е ; сейсмопр) емники д л я м о р с к и х р а б о т п р е в р а щ а ю т в э л е к т р и ч е с к о е напря5)|г н и е в а р и а ц и и а к у с т и ч е с к о г о д а в л е н и я . К а к а я б ы / в е л и ч и н а ни f п о л ь з о в а л а с ь , д л я к а ж д о й г р а н и ц ы м о ж н о о п р е д е л и т ь коэффиЦ)! епты отражения и пропускания. , Если нисходящий единичный импульс падает с в е р х у на гранив //, го коэ&)ициент о т р а ж е н и я равен результирующему восходящв|1 импульсу, отраженному от границы п, а коэффициент пропуская» in равен р е з у л ь т и р у ю щ е м у нисходящему импульсу, прошедшвк 68

I

с к в о з ь . г р а н и ц у п. Аналогично, если восходящий единичный импульс нядает снизу на границу п, то коэффициент о т р а ж е н и я г'„ равен результирующему нисходящему импульсу, отраженному от границы //, а коэфсрициент пропускания 4 — р е з у л ь т и р у ю щ е м у восходящему импульсу, прошедшему с к в о з ь г р а н и ц у п ( р и с . 2-9). Коэффициенты отражения и прохождения волн через к а к у ю либо г р а н и ц у з а в и с я т от х а р а к т е р и с т и ч е с к и х и м п е д а н с о в с о с е д н и х слоев. Эти к о э ф ф и ц и е н т ы и Другие с о о т н о ш е н и я , с л е д у ю щ и е и з граничных условий, и м е ю т в и д 2Р„

In = ! " ^ ' Г " " " ч - р ' ' Г " ' ^ " ^ - Р " Т ' + 'рс '

I'lic. 2-9. Схема, иллюстрирующая II прохождения волн на границе п. I. г — с о о т в е т с т в е н н о «нясгы о т р а ж е н и я ;

(„,

нисходящий и

согласованнссть

восходящий

— коэффициенты

1.2.....yv;

(2.3-1)

коэффициентов отражения

единичные импульсы;

г „ , / • „ — коэффи-

прохождения

|де рп — плотность п-го с л о я , а Сп — скорость распространения вол­ ны в слое п. Наш подход к изучению распространения волн в слоистой среде предполагает, что коэффициенты о т р а ж е н и я и п р о п у с к а н и я я в л я ю т с я нпиественными числами, причем /•„ [ < 1 и О < ^„ < 2. Д л я у п р о щ е н и я м а т е м а т и ч е с к и х в ы к л а д о к у д о б н о т а м , г д е неиОходимо, д о б а в л я т ь гипотетические (т. е. м а т е м а т и ч е с к и е , но не Гмиюгические) г р а н и ц ы р а з д е л а т а к , чтобы д в о й н о е в р е м я п р о б е 1(1 волны в к а ж д о м с л о е и м е л о о д н у и т у ж е величину. З а м е т и м , HI) двойное в р е м я п р о б е г а р а в н о 2d/c, г д е d — м о щ н о с т ь с л о я , а I •- скорость р а с п р о с т р а н е н и я в о л н ы в слое. Е с л и с и з м е н я е т с я о т 'mw к слою, н е о б х о д и м о и з м е н и т ь мощности слоев т а к , чтобы от(нииение d/c о с т а в а л о с ь п о с т о я н н ы м . Л ю б а я г и п о т е т и ч е с к а я г р а ­ ниц;! х а р а к т е р и з у е т с я н у л е в ы м к о э ф ф и ц и е н т о м о т р а ж е н и я и еди«Н'шым к о э ф ф и ц и е н т о м п р о п у с к а н и я . П р е д п о л о ж и м , что источник н а х о д и т с я п р я м о под нулевой гра­ ницей и и з л у ч а е т н и с х о д я щ и й единичный импульс, а с е й с м о п р и е м иик рсаг.ирует т о л ь к о на в о с х о д я щ е е волновое д в и ж е н и е и распо•iiDKeir т о ж е в первом с л о е с р а з у под нулевой г р а н и ц е й . П р и м е м з а Ив'шло временной к о о р д и н а т ы ( й = 0 ) в р е м я в з р ы в а , т. е. м о м е н т •1мГ)уждения источника. П р и с о б л ю д е н и и этих у с л о в и й о т р а ж е н или последовательность X k , з а р е г и с т р и р о в а н н а я с е й с м о п р и е м н и к о м , 69

б у д е т н а ч и н а т ь с я в момент в р е м е н и k=l, а л:о=0. И н т е р в а л в р ё мени м е ж д у о т с ч е т а м и п р и м е м р а в н ы м е д и н и ц е , т. е. двойному в р е м е н и пробега в слое. С л е д о в а т е л ь н о , при отсутствии слоев, т. ^, при н а л и ч и и н и ж е нулевой г р а н и ц ы бесконечного полупространсТ' ва, п о л у ч е н н а я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь Xk д л я всех времен р а в н а ну' л ю . В с л у ч а е одного с л о я {п=1) (см. п р е д ы д у щ и й р а з д е л ) пере даточная функция имеет вид ы г,2

+

X{Z) S(z)

Е{г) Л (г) 5

(2)'

(2.3-21

где 8{г)—г-преобразование Л а п л а с а волнового импульса источи!' ка; Х ( г ) — 2 - п р е о б р а з о в а н и е Л а п л а с а сейсмограммы отраженнь!'! волн. \. Из (2.3-2) слэдует, что о т р а ж е н н у ю последовательность 4j можно смоделировать сигналом на выходе линейного, не зависяще^) от сдвига р е к у р с и в н о г о цифровог) к фильтра, описываемого разностным,! уравнениями: /

\

чух

п

Xk + a\Xk-\ = Sk или Xk + roriXk-i = riSk-i.

(2.3-|

Т а к и м путем п а р а м е т р ы передато^^' ной ф у н к ц и и F ( г ) и разностны» \ / у р а в н е н и й (2.3-3) п р и о б р е т а ю т с!рИ' зический с м ы с л : они я в л я ю т с я орунК' Рис. 2-10. Лучевая схема отражен­ ц и я м и коэ(]Ьфициентов отражения ных и проходящих волн у границ д в у х п о в е р х н о с т е й , ограничивающи» «, п— I, «-f-1. ft — н а б л ю д е н и е в м о м е н т в р е м е н и слой 1. Н и ж е м ы о б о б щ и м этот вывод, н а й д я и м п у л ь с н у ю реакций з е м н ы х недр д л я N слоев. П о с к о л ь к у Л/-слойная система возбул* дается е д и н и ч н ы м и м п у л ь с о м , то н а б л ю д а е м а я п о с л е д о в а т е л и ность Xft я в л я е т с я искомой импульсной р е а к ц и е й . Конечный резуль-' т а т будет р а ц и о н а л ь н о й ф у н к ц и е й F (z) с п а р а м е т р а м и слоистой модели, и м е ю щ и м и о п р е д е л е н н ы й физический с м ы с л . Найдем в ы р а ж е н и я д л я передаточной функции Л^-слойной среди F W ( 2 ) , изучив с и т у а ц и ю у границы раздела п в момент времени Л после в о з б у ж д е н и я источника (рис. 2-10). Ч и т а т е л ь д о л ж е н помнит», что а н а л и з и р у е т с я случай нормального п а д е н и я волны на граниЩ, Обозначим ы*" в о с х о д я щ у ю волну, измеренную у кровли с л о я ' | ' в момент времени k, и d'""*"!' — uM/^vnuaiiiN/K^ nnnuif MOMonouuifu-. li I НИСХОДЯЩУЮ волну, измеренную I' J восходящ|(р кровли слоя rt-f 1 в момент времени k—1/2. Тогдг/ и нисходящие волны в соседних с л о я х (см. р и с . 2-10) будут связ|' пы соотношениями '|* \

/

где «["' — восходящая волна, измеренная у к р о в л и слоя п в момент иреадени k; — н и с х о д я щ а я волна, измеренная у кровли с л о я (1-1-1 в момент времени k — 1/2; di"l\ — н и с х о д я щ а я волна, изме^имшая у к р о в л и с л о я п в момент времени k— 1; u^^^j^ — восходящая волна, измеренная у кровли с л о я п + 1 в момент к - 1/2. Преобразование соотношений (2.3-4) дает

'

.

,

времени

(2.3-5)

При этом использовано уравнение/•„ = —г„ из (2.3-1). Н а й д я г-преобразование Л а п л а с а у р а в н е н и й (2.3-5), получаем: z^f/c+i) (г) - Л , [/(")(г) — ^ 2 D ( « ) (г); Z 2 D(«+'> (г) =

т f/"" (2) 1

,

4 zD(") (z)

(2.3-6)

,

Умножив (2.3-6) на 2 ^, имеем: [/('«-H)(z) = ^

D(«+i) (z) =

г;(«)(г)

^z 2

rZ^DW

(2);

(z) - г ^ 2 2 DC) (z).

(2.3-7)

Запишем соотношения (2.3-7) в матричной форме: -^;(«-Ы)(г)^D<''+»(z),

1 ^--^

1

:-г„

—/•nz'^f/c'^z)" 2

D<'>)(z)j-

^

(2.3-8)

Функция t/<'>(2) я в л я е т с я z-преобразован нем Л а п л а с а последо»!11('Л1)Н0сти «о'', w'l". « 2 ' ' , . . . и х а р а к т е р и з у е т волну, зарегистрирмиитную сейсмоприемником. Следовательно, t/">(z) — передаточная «уикння Л^-слойной модели, а последовательность ц** — отраженймг полны в Л / - С Л 0 Й Н 0 Й среде. 11родолжим поиск с в я з и м е ж д у волной у кровли слоя N + 1 и шрпженной волной U k \ В случае п= 1 уравнение (2.3-8) привимш'т вид |;

• ^t/<2) (z)-| _

"

1

-Г1г1Г{/(1)(г)п

Аналогично в случае л = 2 получаем —r2Z '

1 —Г2

D(3)(z).

г _

—r[Z

1

(2.3-К

г

''1

После упрощения (2.3-10) •t/'3)(2)"

г-'

D<3)(2).

"(1 - f Г1Г22) —('-2 + /-IZ)

—z(/'i - f r2z)"

f/n.(2)] (2.3-1,

z ( / - i r 2 - f 2).

I I + ^ I Л

I 4-0

Рис. 2-11. Причинная — =^ О для k < О (а) и антипричннная а _ к = О для /г > О (б) последовательности 5, Г

1/

к

\

Рис. 2-12. Опережающая (а) и запаздьгаающая (б) на п единиц времени последовательности Продолжив эту процедуру лля случаев п = 3, 4, . . . , N, ходим к окончательному результату: •f/'^+')(2) D"v+i)(2)J

,-W2 'l'?

i / O (2) D('>(2)J

• • • 'iV

где квадратная матрица М'"> определяется 1 \—г„

п;7

(2-3;1,

выражением

—rnZ г

, n = 1, 2, . . . .

N,

(2.3.

Из (2.3-11) видно, что элементами произведения матриц W-Щ являются многочлены. Произведение M'^W* можно записать TJ 1 - { - r,/-2Z — 2 (г, - f r a z ) ] r/rali> ( z ) -(A2-fA,2) 72

z(r,r2 + z)Ylm}ii{z)

(г)' m'e{z)/

(2.3tl

Многочлен m\^l{z)= I + rirzz п р е д с т а в л я е т собой г-преобразбваiiiii' Л а п л а с а минимально-запаздывающей последовательности — 1, г,/'2, так к а к нули многочлена mT\{z) л е ж а т вне единичного u|iyra. I Заметим, что н у л ь функции т ' п (z) н а х о д и т с я в точке г = — \!{г\Г2)-

В общем с л у ч а е ;[Г|Г2] <

1. Следовательно, z =

—\1{г\Г2)

н'жит вне единичного к р у г а ] . Если направление времени изменить 11,1 обратное, т . е. k изменить на —k, то причинная последователь||||,ть Ok станет антипричинной последовательностью fl-A ( р и с . 2-11). перемене н а п р а в л е н и я времени з а п а з д ы в а н и е на п единиц м п о в и т с я опережением на п единиц, т . е. z " - > z - " ( р и с . 2-12). Определение минимально-опережающего щитового и м п у л ь с а М|пп1мально-опережающим волновым импульсом называется импульс, шлученный из минимально-запаздь]вающего путем замены k на — к . Итак, когда н а п р а в л е н и е времени меняется на обратное, мини'I|,'п>но-запаздывающий волновой и м п у л ь с становится м и н и м а л ь ­ но-опережающим волновым импульсом. Следовательно, шипшально-опережающая последошпсльность я в л я е т с я обращенной во ирсмени минимально-запаздывающей "(кледовательностью. В результате мщпшально-опережающая последо0 1 мтельность становится антипричин1111Й. Если заменить к на — к , отста­ в и т е по ф а з е — 6 ( т ) превращается в i)(io). Следовательно, минимальноГ1Г2 опережающая последовательность — III) т а к ж е максимально-отрицатель-/ о Н1(-(51азовая ( а н т и п р и ч и н н а я ) последо-

R H C . 2-13. Преобразование

мини-

мП'льность. Отсюда м и н и м а л ь н о - з а мально-запаздывающей последова­ HII |дывающую последовательность тельности (ш^) в минимально-опе.. "I* = I , Г 1 Г 2 м о ж н о сделать минимальрежающую ( m _ j ) путем зеркаль­ )11ережающей путем з е р к а л ь н о г о ного отображения тГ)1)ажения последовательности 1, относительно начала координат ( р и с 2-13); г-преобразование .'1йиласа зеркально-отображенной последовательности m_ft приниимст вид rirsz"' -1- 1 =m*u'(z)~'. Это свойство описывается следую•мнми соотношениями: . .. ,

m<,|>(z) = zW2^,>Cz-'),

(2.3-15)'

1лли определить полиномы в М<'> к а к 1

—r\z

'm\\\z) (2.3-16JI [mi\>{z) 73

то уравнение (2.3-14) можно записать в виде -Г22

М(2)М(1) =

(2.3-Г'

mi^'(2) 2 V . ? ( z - ' ) •

Перемножив матрицы в (2.3-17), получим следующее рекуррен} ное соотношение: ,.(2) _ ^(1)/,N ,.,.„(1), (2.3-|

mi]^ (2) = -r2m
где m i V ( z ) = 1, a ^ В общем случае

(z)

M(«)-M("-i) . . . M(i) =

in)

2<«Wi1> ( 2 - ' ) J '

n = I , 2, . . . . Общие рекуррентные соотношения, используемые ния произведений матриц, принимают вид:

т\1> (Z) = m ' . r ( 2 ) - . „ г т Г " (г); m^1'(z) = -/„т<,Г'>(2) + 2/г/Г"(2).

п = 2, 3,

I

=-r,.

N, где miV(2) = 1, а т^'>(2) = — г , .

для

(2.3-1

ВЫЧИСЛ

(2.3-^]

^*

Д о к а ж е м теперь, что многочлены m u ' ( z ) (п = 1, 2, . . N ) я л я ю т с я минимально-запаздывающими, т. е. не имеют нулей внут)] единичного к р у г а . Д о к а з а т е л ь с т в о по индукции выглядит следующие образом. При п = 1 постоянный многочлен т\\\г) = 1, очевидно, являет: минимально-запаздывающим. Аналогично (z) = 1Г\Г2г так}) минимально-запаздывающий, поскольку Г1Г2 обычно меньше ед'| ницы, а нули функции mu^{z) л е ж а т вне единичного к р у г а . Прв1 положим теперь, что mu~^^{z) — минимально-запаздывающая функ ция. Чтобы показать, что /л'п* (2) — минимально-запаздывающа! воспользуемся теоремой Р у ш а , точнее одним, нужным нам варианте! теоремы Р у ш а . / Теорема Р у ш а . Если функции Р (2) и Q (2) — аналитические внутi единичного к р у г а С, непрерывные на С, Q{z)фO на С и удовлм воряют следующему условию на С: \P{z)\<\Q{z)\,

г^С,

-а

то ф у н к ц и я R{z) = P (2) - i - Q (2) имеет то же число нулей внутри С что и Q{z).

Если записать многочлены Q (г) и Р{г),

как

•

Q(2) = m \ r " ( 2 ) ; />(2) = - Г „ г 4 Г " ( 2 ) ,

(2.3-21)

10 получим следующее выражение д л я R{z):

R (г) = m i r " (г) - г„гт<2Г " (г).

(2.3-22)

Из сравнения (2.3-20) и (2.3-22) следует, что

R{z) = m\V{z).

(2.3-23)

Покажем, что условие неравенства в теореме Р у ш а удовлетво­ ряется. Конкретно покажем, что на С, т. е. когда z = е-"'", имеет кЬсто ме|)авенство .

:

|P(e-"")l<|Q(e--)|

(2.3-24)

или

\гпЫГ'Че-^-)\<\т\Г'Ч^П\.'

'

Обозначим определитель произведения матриц МС-о.МС-г) . . . МО КПК

[ М ' " - ' ) • М<"-2) . .

.М<1)].

Д а л е е известно, что

(let [ M C - D . М С - г ) . . . M<»] = det [ М С - » ] det [М(«-2)] . . . det [ М О ] . (2.3-25) i

С учетом в ы р а ж е н и я д л я М'"' в (2.3-13) имеем

.

det[M<"'3 = z ( l — / - 1 ) .

(2.3-26)

Используя это равенство, можно записать (2.3-25) в виде det[M"'-'>.M<"-^> . . . M < " ] = z ( l - r L , ) - z ( l - 4 _ 2 ) -

'

'

г(1-г\)

...

det[M<'->.M"-=^' . . . М < ' > ] = г " ' - " { 1 - ^ « - , ) ( 1 - г Ь ) .• , ;

[I - г ? ) .

^

... (2.3-27) ...

• , , (2.3-28)

Заменив в (2.3-19) п на п— 1, получим: det [ М ^ " - " . М'"-^» . . . М<'>

= 2 -тГ'Ч2)4Г'Чг-')

(2.3-29)

П р и р а в н я в (2.3-28) и (2.3-29), получим

, т',Г"(2)«гГ'Чг-')-/п^Г'Чг)/«Г''(г-') = = (l-rL,)(l-rL2)...(l-V^).

(2.3-30) 73

Поскольку квадрат значения коэййициента отражения обычн) Меньше единицы, множитель (l—rl) всегда положителен, т. (, ( 1 — г 0 > О, поэтому правая часть уравнения (2.3-30) всегда полежительная и вещественная, т. е. т \ Г " (г) m ^ r " ( г " ' ) -

т Г " {г) т[Г'' t " ' ) > 0.

Вычислив (2.3-31) на единичном круге

(2.3-з1;

{z = e-^"'), получим: (2.3-з1)

1т',Г'Ч^-^'")Р-|'«Г"Г'1Р>0 или

(2.3-33) Перепишем (2.3-33) в виде

|4|5l
(2.3-3^1

1^ "){

г „ [ < 1 , можно записать (2.3-3^1

<1

ИЛИ 1712

<"-"(е-''")

(2.3-36)

что доказывает (2.3-24). Итак, многочлен R (г) — m i " ' (2) имеет такое ж е число нулей внутри С, что И многочлен Q (2) = / п 1 " ~ " (г). Поскольку многочлен wJu~" (г) — минимально-запаздывающий, m i l ' (2) — также минималЬ' но-запаздывающий, т. е. оба многочлена не имеют нулей в С. Это1 вывод завершает индуктивное доказательство того, что m i " ' ( 2 ) минимально-запаздывающая функция при п = 1 , 2, . . . , N. Следо вательно, рекурсивная процедура (2.3-20) сохраняет у m i " ' (г) свой­ ство минимального запаздывания. j . Запишем (2.3-12) с учетом (2.3-19): *« z^'miT (2-4

i/'^'(2) (2.3-37)

(г). Элементы квадратной матрицы определяются пс/ рекуррентныи соотношениям (2.3-20). Из формулировки нашей задачи следует, что fjN+x I'j) = О, так как нет восходящей волны, падающей на границ|( N снизу. С учетом этого условия из (2.3-37) можно получить ура» иение 2-N/2

0 = -.4

г [/n\?(2)f;'"(2)-b2Vr(z-')D<"(2)]

(2.3-38)

или ^^ч^)= m

(г)

(2.3-39)

^ в ^ щ .

Многочлен D ( i ) ( 2 ) имеет вид

,

д ( ' ) ( г ) = l+r;[/<'>(2),

(2.3-40)

где член 1 объясняется в о з б у ж д е н и е м в виде единичного импульса и мсмент времени ^ = О, т а к к а к начало временной координаты совмещено с моментом в з р ы в а . Подстановкой (2.3-40) в (2.3-39) получаем {;(1)(2)

(2.3-41)

=

т. е. искомые отраженные волны в .V-слойной системе. Заметим, что знаменатель дроби (2.3-41) я в л я е т с я минимально(лпаздывающей функцией (согласно теореме Р у ш а ) и, следователь­ но, отраженные волны будут устойчивыми, что м о ж н о Ожидать исходя из физических соображений. П о с к о л ь к у [/<'>(2)—-г-преобраювание Л а п л а с а последовательности Ыо'*, uY\ Ыг'*, . • •» « 1 " . регист­ рируемой сейсмоприемником, фактически она и есть импульсная (накция нашей системы. Таким образом, передаточная ф у н к ц и я Nспойной среды f W ( 2 ) р а в н а t / ' ' > ( 2 ) , т. е . соотношение (2.3-41) при­ нимает вид fW(2)

(2.3-42)"

=

где m\V (г) = - г Х Г " (г) -1- гт^Ц-'^ {г), / n ' , V ( z ) = l , mil\z)^-ru

N>2;

f ' ° ' ( z ) = 0.

Развернем срункцию i^(^'(2) д л я нескольких случаев. Если обо­ значить N число слоев, а FW{z) — 2-преобразование Л а п л а с а отра­ женных волн в Л/-СЛОЙНОЙ среде, то получим: 0 Я " ) (2) 1 Л ' ) (2) 2

0; 1 + ГоГ.Г (2.3-43)

F(2)(2)

3 Fi^){z)--

'•iZ + ('-2 + '-3Vi)^^ + /-3Z^ 1 + (''o'^i + ' • / г + '•2'"з) 2 -|-(''о''2 + ' • / з + ' +/0''1''2''3)2^ + ''0''3'^

77

к р о м е о т р а ж е н н о й энергии, достигшей сейсмоприемника, суще-^ ствуют энергии, прошедшие в воздушное пространство (нулевой слой) и в бесконечное полупространство (Л^-|-1)-го с л о я , поэтому, если производить измерения в воздухе, т. е. у подошвы нулевого слоя, о т р а ж е н н ы е волны в Л^-слойной системе м о ж н о определить и ка* последовательность |* tWo\tou\'\

toui'\

. . . . tWk^ . . . .

I

Определим п р о х о д я щ и е в о л н ы , которые проникают в ниж­ нее бесконечное полупространство [{N + 1)-й слой:, к а к последова­ тельность .(/V+1) ад/2-1,

,(N+1) ад/2 .

MN+1) ад/2+1.

4

Тогда, согласно ф о р м у л и р о в к е нашей задачи, г-преобразование Л а п ласа этой последовательности, обозначенное f'r"(z), будет иметь ви;^ (г) = Z)'"^-*-" (г), N>1. Если

измерения

(2.3-44)

п р о и з в о д я т с я в воздушном

слое,

то функцию

F'j^'{z) м о ж н о определить к а к г-преобразование Л а п л а с а последова­ тельности о т р а ж е н н ы х волн /о«о". ^'ou\^\ ^о^г", . - • /'o«i'\ . • . : / г ^ ( г ) = 4{/<"(г) = /;^'^'(г).

(2-3-45)

И з (2.3-37) D ( . + ., (г) =

,j f

[miT (г) f / ' " (г) + г < ^ ' < > ( г - ^ 0''> ( г ) ] . (2.3-46)

П о д с т а в и в (2.3-40) в (2-3-46) и п р и н я в во внимание, что F^"^{z) = = 6 " " ( г ) , получим: j —N/2

" L

(г) =

^ [ F ^ (г) (;;,^) (.) _ .oz^;nt; (г"-)) + zUT{z-^)]. 'l*2

• • -

'N

(2.3-47) В результате подстановки (2.3-42) в (2.3-47) имеем D(^+'4z)=:^

-z^m\f (z) mW ( г - ' ) - г^/п<Г (г)

'1^2 • • • ^/VL

•

'

.

(2.3-48)

т^(г)-г„гЛ';л<^'(г-')

Если обозначить определитель р е з у л ь т и р у ю щ е г о произведения матриц ;М(Л'| - М * ^ - " . . . M(i)j через det [М'-^» • М ' Л ' - ' ) . . . М(»], то из (2.3-19) следует, что det [М(^ .т^-и ;

)

'

. . . М(1)] = z^mfi>{z) m\f (z-')— :

Последнее соотношение Далее detlM<w 78

идентично

z^'mii' (г) 'y/^lf' (z->).

'

:

(2.3-49)

числителю дроби

в (2.3-48).

. М<л'-1)... М<"1 = det [М<^)1 det [ М ( ^ - ' ) ! . . . det [ M O j . (2.3-50)

|

С учетом определения матрицы М<''' в (2.3-13) соотношение (2.3-50) м о ж н о записать в виде

det [ M W . М ( ^ - ' ) . . . М О ] = 1

- det

1

—rNZ

det

- 1

—rN-iz']

l—rN-\

-r,z

...det

z

. (2.3-51)

Р а з л о ж е н и е у р а в н е н и я (2.3-51) дает .1г1 [М(^) . М ' Л ' - ! ) . . . М О ] = 2 ( 1 — г ^ ) . 2 ( 1 - г ^ _ , ) . . . 2 { 1 — г ? ) . С учетом соотношения 4 ^ = l—rl упрощается:

(2.3-52)

и з (2.3-1) равенство (2.3-52)

det [ M W . М(л^-1)... М(1)] = zN{tit2...

tt,) {t\ • h ...Q.

(2.3-53)

П р и р а в н я в правые части у р а в н е н и й (2.3-49) и (2.3-53), получаем

2^т\? ( 2 ) т \ ? ( 2 - - ) - 2^/л<Л' ( 2 ) nf^ ( 2 - 0 = ^z''{ht2...tt?){t\.h...tM).

(2.3-54)

Подставим (2.3-54) в числитель в ы р а ж е н и я (2.3-48), тогда n(iv-H)(2) =

" ^ ' ^ ^^'^^ • • •

(2.3-55)

II, наконец, подстановка (2.3-55) в (2.3-44) дает f W (г) = где множитель г^-'^ объясняет

'^'^

[^1^2 • • • tN\

(2.3-56)

задержку

во времени, р а в н у ю N/2 в о л н ы через слоев. У р а в н е н и я (2.3-42), (2.3-45) и (2.3-56) о п и с ы в а ю т п е р е д а т о ч е ф у н к ц и и о т р а ж е н н ы х и п р о х о д я щ и х волн п р и в о з д е й с т в и и 11,1 среду е д и н и ч н ы м и м п у л ь с о м . ( З а м е т и м , ч т о в с е э т и у р а в н е н и я содержат один и т о т ж е з н а м е н а т е л ь . С о г л а с н о т е о р е м е Р у ш а , •лот з н а м е н а т е л ь я в л я е т с я м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ и м . ) Мы завершили р а з р а б о т к у модели^ основанной на свертке, с в я з а в п . ф п м е т р ы передаточной функции F(z) с коэффициентами о т р а ж е н и я 1лубинных слоев. В частности, д л я с л у ч а я ^У-слойной среды (2) представляет собой соответствующую «отраженную» передаточную Функцию, к о т о р а я связывает волновой импульс источника SA со сво­ б о д н о й от помех наблюденной последовательностью Xk. Н и ж е рас­ с м о т р и м с и т у а ц и ю , когда на Xk н а л о ж е н а помеха измерения Пк, т . е . и ( М е р я е м а я последовательность имеет в и д t/k = Xk -t- " А к о т о р а я возникает п р и прямом прохождении

,Ч. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ И ПОЛИНОМЫ ОТРАЖЕНИИ

И общем случае передаточную ф у н к ц и ю любой ограниченной л и ие/'июй инвариантной во времени системы можно выразить отноше­ нием д в у х многочленов с комплексной переменной... : 79

К а к было показано в предыдущем разделе, передаточную цию о т р а ж е н н ы х волн F'-^i (z) м о ж н о в ы р а з и т ь к а к

функ

N

п=0

где е Г = Ги а Г = 1, = г^ и = гог^. Нетрудно заметить, что ^(^>(г) имеет вид стандартного рекур.' сивного цифрового ф и л ь т р а , сигнал на выходе которого зависит как от н а с т о я щ и х и прошлых значений к а к входного, так и выходного сигнала. Если обозначить Xk свободный от помех сигнал на выходе фильтра, а Sk входной с и г н а л , то в ы р а ж е н и е (2.4-1) во временной области примет вид Xk -г

a f h k - i

= N

где

г\%к-1

+ -г

af^Xk-2

Ч-2

+ . . . +

+ . . . -г

a^N^Xk-N ^^N^Sk-N,

=

(2.4-2)

(N)

= Гогы и елг

=

гм.

в о б щ е м а н а л и з е систем устойчивость имеет первостепенное з н а ч е н и е . Р а з р а б о т а н ы а н а л и т и ч е с к и е и г р а ф и ч е с к и е способы о п р е д е л е н и я устойчивости л и н е й н ы х и н е л и н е й н ы х систем. О д н и из способов состоят просто в о т ы с к а н и и м е с т о п о л о ж е н и я п о л ю ­ сов в к о м п л е к с н о й плоскости, д р у г и е о п и р а ю т с я на более с л о ж н ы й а н а л и з к о м п л е к с н ы х п е р е м е н н ы х . Д л я н а ш и х целей д о с т а т о ч н о и м е т ь в в и д у основное о п р е д е л е н и е устойчивости, г л а с я щ е е , ч т о система устойчива, если всем о г р а н и ч е н н ы м в х о д н ы м в о з д е й с т ­ в и я м соответствуют о г р а н и ч е н н ы е о т к л и к и . Н а м известен т а к о й ф и з и ч е с к и й ф а к т , что з е м н ы е недра не могут с о з д а т ь н е о г р а н и ­ ченный о т к л и к на о г р а н и ч е н н о е воздействие. С л е д о в а т е л ь н о , судя по чисто ф и з и ч е с к и м ф а к т а м , п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь всегда огра­ н и ч е н н а я . О т с ю д а д е л а е м в ы в о д , что п е р е д а т о ч н а я ф у н к ц и я /"^(z) п р е д с т а в л я е т собой у с т о й ч и в у ю систему. З н а м е н а т е л ь отношения (2.4-1) обычно называют характеристи­ ческим многочленом системы. В данном случае это — многочлен N

С комплексной переменной г . П у с т ь Л<^'(г) = ^ "л^^^"—характеристический многочлен Л/'-слойной системы. П р и р а в н я в А"^Ц<) к н у л ю , получим характеристическое уравнение ;У-слойной системы: ^ a'^V

+

a'ffl.T^-'

- f . . . + а Г г - f 1 = 0.

(2.4-3)'

Р е ш и в уравнение (2.4-3), получим корни, ^т. е. нули 4зункции Л(^>(г) или полюсы ф у н к ц и и F<^i(z). Исходя из физических сообра­ жений мы у т в е р ж д а л и , что Я-*^* (г) — устойчивая система, поэтому она не имеет полюсов внутри единичного к р у г а . Следовательно, z-преобразование Л а п л а с а Л*^> (г) не имеет нулей внутри единичного круга и, по определению, я в л я е т с я минимально-запаздывающим. Иными словами, х а р а к т е р и с т и ч е с к а я последовательность 1, ai^',; 80

iiv, . . ., a)v — это минимально-запаздывающая последовательность, •1ье г-преобразование Л а п л а с а будет минимально-запаздывающим хпрактеристическим многочленом Л'^*(г). У р а в н е н и я (2.4-1) и (2.3-42) о п и с ы в а ю т слоистую м о д е л ь I рсды, у д о в л е т в о р я ю щ у ю д о п у щ е н и я м , п е р е ч и с л е н н ы м в р а з д е ,и; 2.3. И с с л е д у е м э т у м о д е л ь более д е т а л ь н о . Н а ш е й г л а в н о й з а ­ дачей будет п о к а з а т ь , что о п р е д е л е н н ы е м а т е м а т и ч е с к и е приб.'И1жения ведут к у п р о щ е н н ы м в а р и а н т а м м о д е л и , к о т о р ы е н е противоречат ф и з и ч е с к и м р а с с у ж д е н и я м . Э т и у п р о щ е н н ы е м о д е ­ ли будут ценным подспорьем д л я п о н и м а н и я физической т е о р и и деконволюции, р а с с м а т р и в а е м о й в г л . 4. Сначала рассмотрим модель, характеризующуюся малыми коэф|;ищиентами о т р а ж е н и я . 2.4.1. М о д е л ь с м а л ы м и к о э ф ф и ц и е н т а м и о т р а ж е н и я • удя по знаменателю в ы р а ж е н и я (2.3-42), характеристический мноючлен Л<^>(г) можно записать в виде (г) = т[Т(г) - r o z V ? ( г " ' ) ,

N > I,

(2.4-4)

|'Ю m'i^{z) и mn\z) о п р е д е л я ю т с я с помощью рекуррентных соот­ ношений (2.3-42). Из выражений д л я знаменателей дробей в (2.3-43) находим /1"! (2) =

1+

гог,г;

(г) = 1 - f (ГоГ, Н- Г,Г2) Z + ГоГ222; (z) = 1 - f (гоГ1 - f /-1Г2 -1- Г2Г3) z + (Г0Г2 + Г1Г3) z^+ гоГ1Г2Гзг^ -h ro^z^.. (2.4-5) В случае четырех слоев (Л^ = 4) из уравнения рентных соотношений (2.3-42) получаем

(2.4-4) и р е к у р ­

Л'*' (2) = 1 -Ь (ГоЛ, + Г1Г2 -1- Г2Г3 -Ь ГЗ/-4) Z -Ь (ГоГ2 + Г|Гз + /•2Г4) z2 - f Ч- ('•4ГЗ/-2/-1 - f Г4Г3Г1Г0 + Г3Г2Г1Г0) z2 -J- (гогз + Г1Г4) г» - i -ir (Г4Г2Г1Г0 -f/•4Г3Г2Г0) Z-1-ГоГ42^. Основываясь на (2.4-5), определим с л е д у ю щ у ю ф у н к ц и ю лииательной к о р р е л я ц и и :

после-

N

Ф'т' = S игп+т,

т>],

N>\,

.де Ф'о^* = 1. Используя это определение, получаем выражения 1 Л(')(2), Л(2)(г), Л<з>(г), Л(*)(г):

(2.4-6) д л я многочле-

Л ' " ( г ) = 1-|-Ф',"г; Л ' ^ > ( г ) = 1 - Ь Ф Г г + Ф'2^;

Л'^> (2) = 1 - ь Ф^>г , L Г ф ^ . + , „ , , , , , 3 - 2^ + ф^)2^

(2.4-7)

ff

Воздушная среЗа Вода

+

f

Придонные осадки

+

Г^ГзГ2П +

[Фз*

+

Г4Г3Г1Г0 + Г4Г3Г2Г0 +

Г3Г2Г1Г0]

22 + '

Г4Г2Г1Г0] i

+

Z

ПЕСОК

J

А б с о л ю т н а я величина любого коэсЬсЬициента о т р а ж е н и я не может пре­ высить е д и н и ц у . Н а п р а к т и к е эти Рис. 2-14. Комбинация слоев, ко­ абсолютные величины, за исключ& торая может встретиться при мор­ нием коэф^эициента го, очень малы, ской сейсморазведке. обычно меньше 0,1 и л и 0,05. Напри­ 0—4 — с л о и и о т р а ж а ю щ и е г р а н и ц ы с мер, при морской сейсморазведке коэффициентами возможного о т р а ж е н и я г,- с о о т в е т с т в е н н о 0,99; 0,13; 0,03; 0,05; можно встретить с и т у а ц и ю , изобра­ « , 0 4 ( i = О, 1, 2, 3, 4) ж е н н у ю на р и с . 2-14. Заметны скач­ ки с о п р о т и в л е н и я в первых нескольких с л о я х , причем самый зна­ чительный с к а ч о к наблюдается на границе воздух — в о д а . Д л я в ы б р а н н ы х коэсюициентов о т р а ж е н и я Терригенныв отложения Породы фундамента

^

= 0,1361, = 0,0374, - 0,0547,

ф'4->

Г4Г3Г2Г1 Г4Г3Г1Г0 ГзГ2Г\Го

= 0,0078 X 10-3 = 0,2574 X 10-3 = 0,1930 X 10-3

Сумма

0,4582 X 10-3

ГАГ2Г\ГО

= 0,0594 X 10-3 = 0,1544 X 10-3

Сумма

0,2138 X 10-3

=^ 0,0396,

I %

С у д я п о у к а з а н н ы м выше величинам. Фг*' >

Г4ГЗГ2Г1

+ Г4Г3Г1Г0

Фз*^ >

Г4Г3Г2Г0

+

-}-

Г3Г2Г1Г0,

• щ

Г4Г2ГхГо.

в общем с л у ч а е Ф^^ — сумма произведений д в у х коэффициент» о т р а ж е н и я , которая больше суммы произведений четырех и бол* •коэффициентов о т р а ж е н и я . С л е д о в а т е л ь н о , с хорошим п р и б л и ж е н и е характеристический многочлен Л/-слойной системы можно выразиИв виде (2) = S а'Г'/^

1 - г ФГ'z + Ф Г г ' + . . .-гФ^^'Л

(2.4-8f N

где

функции

последовательной

корреляции

равны

Фт ^ = S''«''п-н. п=0

(/п>1, iV>l). Из (2.4-8) видно, что ф у н к ц и я пocJ^eдoвaтeльнoй корреляции 1, 'i'^', Фг^', . . ., Ф^^ имеет виД временной автокорреляционно^ последовательности. Единственное отличие ее состоит в том, ЧТ! «2

'I'll

равна единице, a не

2 J ''">

как

у

сэункции

автокорреляции.

п=0

Последовательность коэсзфициентов о т р а ж е н и я го, Гь . . . , гм предгшвляет собой у п о р я д о ч е н н у ю последовательность чисел, н и ж н и й индекс которых н а х о д и т с я в прямом соответствии с временем появ­ ления числа. Н а п р и м е р , коэффициент о т р а ж е н и я г? границы 7 соотметствует в р е м е н и в = 7 первичного о т р а ж е н и я от этой г р а н и ц ы .

Рис. 2-15. Последовательность г^, Гг, . . ., г^, изображенная в виде значений амплитуд (Лц, . . . , Г;^) однократных отражений (а, б, в) от границ раздела 1, 2 k, наблюдае­ мых в моменты времени kf

Итак, последовательность го, г\, . . . , г„ пронумерована в соответсткии с г л у б и н о й , .поскольду у слоистой модели нулевым слоем я в л я |Ц'я воздух, а п-й слой залегает г л у б ж е ( п — 1 ) - г о с л о я . Последокптельность чисел ги гг, . . . , г„ м о ж н о с ч и т а т ь последовательностью' 1ИЛ11ЧИН п е р в и ч н ы х о т р а ж е н и й на сейсмограмме (рис. 2-15). Заметим, 110 действительная амплитуда первичного о т р а ж е н и я от границы «момент времени k равна п р о и з в е д е н и ю ( / 1 / 2 . . . 4 - i ) ( ^ i ' 2 . . . ^*-i)^2-=.c KViii к поверхности п р и л о ж е н н и с х о д я щ и й единичный и м п у л ь с . Характеристический многочлен имеет т а к ж е физическую интер­ претацию. П о с к о л ь к у последовательность а!о\ а\^\ . . . , а!^' с в я з а н а t меличиной к о р р е л я ц и и м е ж д у коэсх)ициентами о т р а ж е н и я , она мр;1ктеризует конкретный географический участок. Следовательно, ииплюдаемая последовательность может с л у ж и т ь мерой упорядочениистп глубинного строения. В таком случае эта п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь (И'Иствительно х а р а к т е р и з у е т Л'-слойную систему. Определим многочлен £'<^'(2) в ы р а ж е н и е м £<^>(г)= S

^Гг",

.

(2.4-9)

п=1 9ил)|1ощимся числителем (2.4-1). Использовав числитель 1,^„'1 12), можно выразить Е^^^{г) с л е д у ю щ и м образом:

отношения (2.4-10)

ii'w!?'iP(2—') находится с помощью р е к у р р е н т н ы х соотношений (2.3-42). 83^

Исследовав числители в (2.3-43),

приходим

к заключению, что

£ ( ' » ( 2 ) = г,2;

£(2)(г) = г,г--Г2г2; £(3)(2) = т

(2.4-11|

{Г2 + ^ 1 ) 2 2 ^ ^ гзгз.

•]

Чтобы найти формулу для случая четырех слоев {N = 4), используем (2.4-9) и рекуррентные соотношения из (2.3-42). В результате по­ лучаем

£Н) (г) =

-Ь

>2 - - Л4Г3Г1

- Ь ГзПГу,

2^ - f !Гз - } - ТАГ^ГХ

-Ь

Г4ГзЛ2] 2? ~ Г42<.

В приведенном выше примере (см. рис. 2-14) r i = 0,13, Г2 = 0,03| гз = 0,05, г\ = 0,04. Д л я этих значений пмеем |. Л4Г3Г1 - 0,260 X 10-3 Г3Г2Г, = 0,195 X 10-3

^^^2Г1 = 0,156 X 10-3 г4Гз/'2 = 0,060 X Ю-з

Сумма = 0,455 х Ю-з

Сумма = 0,216 х Ю-з

Отсюда Н

> Г4Г3Г1 -1- Г3Г2Г1,

Гз > Г4Г2Г1

-у ГАГгГ2.

В случае многослойной среды (Л^ велико) можно пренебречь суммами произведений трех и более коэсзфициентов отражения, по этому с хорошим приближением можно принять следующее выра жение для многочлена £*^'(г): i £ ^ ( 2 ) = ДвГг'^Ег/г',

N>\,

(2.4-12);

i где г\, Г2, TN — коэфсзициенты отражения. ' Итак, при малых коэффициентах отражения s'^^s^r^ поэтом)' числитель отношения (2.4-1) принимает вид выражения (2.4-12) Многочлен E^^>(z) обладает интересным свойством: он приближен»! равен г-преобразованию Лапласа последовательности, амплитуд! которой в точности равны коэффициентам отражения. Будем называТ!; £*^'(z) м н о г о ч л е н о м о т р а ж е н и й , а последовательность Ги Г2, . . . , r^v —последовательностью отражений^ Однако в отличие v характеристического многочлена Л<^' ( 2 ) многочлен £*'^> ( 2 ) не мин» мально-запаздывающий, а, как правило, смешанно-запаздывающий,, т. е. его 2-преобразование Лапласа содержит нули (корни) как вну1' ри, так и вне единичного круга. В многочлене ^(^'(г) содержите^ необходимая для сейсморазведки инсюрмация — информация о K03()i оициентах отражения и соответствующих временных задержках. ' В случае модели с «малыми коэффициентами отражения» пер»; даточную функцию отражения f <^') (г) можно выразить в виде отяоП 1 е н и я многочлена отражений £('*'> (г) и характеристического многя члена Л<л^>(2):

84

j

И з с р а в н е н и я (2.4-13) и (1.5-14) с л е д у е т , что р а с с м о т р е н н о е п р и б л и ж е н и е э к в и в а л е н т н о сейсмической м о д е л и Р о б и н с о н а д л я реверберации системы ( в а р и а н т в н у т р е н н и х п е р в и ч н ы х о т р а ж е ­ ний), и з л о ж е н н о й в р а з д . 1.5. С л е д о в а т е л ь н о , м о щ н о с т и гипоте­ тических источников SI, В м о д е л и Р о б и н с о н а ф а к т и ч е с к и я в л я ю т ­ ся к о э ф ф и ц и е н т а м и о т р а ж е н и я в т о л ь к о что р а с с м о т р е н н о й м о д е ­ ли, а о п е р а т о р р а з н о с т н о г о у р а в н е н и я аи э к в и в а л е н т е н х а р а к т е ­ ристической п о с л е д о в а т е л ь н о с т и . Сохраняя в силе предположение о малости абсолютных вели•пи! к о э ф ф и ц и е н т о в о т р а ж е н и я , р а с с м о т р и м т а к н а з ы в а е м у ю ги­ потезу « с л у ч а й н ы х к о э ф ф и ц и е н т о в о т р а ж е н и я » , в ы д в и н у т у ю Э. Р о ­ бинсоном [80Т. 2.4.2. Гипотеза случайных коэффициентов отражения При о б с у ж д е н и и статистических м о д е л е й в г е о ф и з и к е (см. г л . 1) огмечалось, что г л у б и н н ы е слои горных п о р о д о т л а г а л и с ь бес­ системно. У с п е ш н ы е поиски нефти п о д т в е р ж д а ю т э т о . О т с ю д а сле­ дует, что р а з л и ч н ы е о т р е з к и п о с л е д о в а т е л ь н о с т и Го, г ь Г г , г ы |(Ютносятся м е ж д у собой т а к ж е н е с и с т е м а т и ч е с к и . Д р у г и м и сло­ нами, к о э ф ф и ц и е н т ы о т р а ж е н и я , п р и с у щ и е р а з л и ч н ы м и н т е р в а .'1ам геологического р а з р е з а , с л а б о к о р р е л и р у ю т с я м е ж д у собой. 1хли к о э ф ф и ц и е н т ы о т р а ж е н и я с в я з а н ы м е ж д у собой несисте­ матически (в геологическом с м ы с л е ) т о э т о о т р а з и т с я на пове­ дении функции п о с л е д о в а т е л ь н о й к о р р е л я ц и и : ф у н к ц и я последоиательной к о р р е л я ц и и к о э ф ф и ц и е н т о в о т р а ж е н и я будет очень чмалой. М о ж н о у т в е р ж д а т ь , что ф у н к ц и и а в т о к о р р е л я ц и и о т р е з м>в многочлена E'-^\z) и м е ю т в и д единичного и м п у л ь с а . Итак, коэффициенты отражения можно считать некоррелиру1МЫМИ числами. Вместе с тем коэффициенты отражения — фикш р о в а н н ы е ( п о с т о я н н ы е ) в е л и ч и н ы , з а в и с я щ и е от в е щ е с т в е н ­ ного с о с т а в а г л у б и н н ы х слоев. М о ж н о л и в т а к о й с и т у а ц и и счишть к о э ф ф и ц и е н т ы о т р а ж е н и я случайными? Во-первых, к о э ф ф и ц и ­ енты о т р а ж е н и я геологических слоев в известном с м ы с л е не я в ииотся р е а л и з а ц и я м и с л у ч а й н о г о п р о ц е с с а . Н а п р и м е р , о т р е з о к г^, (|, и,/"«-{-г,... . r f t + L не я в л я е т с я одной из р е а л и з а ц и й с л у ч а й н о г о про­ месса, но к о э ф ф и ц и е н т о т р а ж е н и я Ги м о ж н о с ч и т а т ь случайной переменной. В н а ш е м с л у ч а е т е р м и н « с л у ч а й н а я п е р е м е н н а я » не о з н а ч а ­ ем, что в е л и ч и н ы к о э ф ф и ц и е н т о в о т р а ж е н и я точно неизвестны и могут быть н а й д е н ы в л ю б о й з а д а н н ы й момент посредством «ве­ роятностного» э к с п е р и м е н т а . С е й с м и ч е с к и е переменные ( к о э ф ф и ннеиты о т р а ж е н и я ) не с л у ч а й н ы с позиций частотной интерпрепщии вероятности, т а к к а к они ф и к с и р о в а н ы геологическим стро­ ением среды. К о э ф ф и ц и е н т ы о т р а ж е н и я ( « с л у ч а й н ы е п е р е м е н н ы е » ) I Корее подобны переменной, п р е д с т а в л я ю щ е й собой м и л л и а р д н о е ннелов записи ic=3,1415926..., к о т о р о е хотя и неизвестно, но предI гавляет собой о п р е д е л е н н о е , ф и к с и р о в а н н о е число. Т а к и м об|ипом, н а ш а и н т е р п р е т а ц и я с л о в а «случайный» с о о т в е т с т в о в а л а ;

85

бы р а с с у ж д е н и ю о р а с п р е д е л е н и и в е р о я т н о с т и м и л л и а р д н о г о чис­ л а в з а п и с и ч и с л а it и о т о м , к о р р е л и р у е м ы л и д в е соседние ц и ф р е в этой з а п и с и . А н а л о г и ч н о м о ж н о г о в о р и т ь о р а с п р е д е л е н и и вероятностей г л у б и н н о г о к о э ф ф и ц и е н т а о т р а ж е н и я и о к о р р е л и р у е м о с т и коэф­ ф и ц и е н т о в о т р а ж е н и я д в у х соседних г л у б и н н ы х г р а н и ц р а з д е л а Г е о ф и з и к - п р а к т и к имеет д е л о с р а з в е д к о й б о л ь ш и х р а й о н о в I) а н а л и з и р у е т м н о ж е с т в о з а п и с е й . Л ю б о е д о с т а т о ч н о б о л ь ш о е ко­ л и ч е с т в о д а н н ы х п р и о б р е т а е т с т а т и с т и ч е с к и й х а р а к т е р д а ж е в том с л у ч а е , к о г д а о т д е л ь н ы е ф р а г м е н т ы э т и х д а н н ы х по своей прш р о д е д е т е р м и н и р о в а н н ы е . Э . Р о б и н с о н ]80] и м е н н о в этом смыс­ л е р а с с м а т р и в а л коэсэфициенты о т р а ж е н и я к а к с л у ч а й н ы е пере^ м е н н ы е . П о с л е д н е е о б ъ я с н я е т т а к н а з ы в а е м у ю гипотезу случай» ных к о э ф ф и ц и е н т о в о т р а ж е н и я . 2.4.3. Модель с малыми и случайными (некоррелируемыми) коэфоициентами

Ц

П р е д п о л а г а я , что абсолютные величины коэффициентов отражения намного меньше единицы, и, учитывая гипотезу о случайности от ражений по всему геологическому р а з р е з у , согласно которой упоря­ доченное множество коэсэсэициентов о т р а ж е н и я н е к о р р е л и р у е м о Ф*^*::* Ф Г ^ Ф Г ^ . . . ^ Ф ) Г 1 ~ Фл'' ^ О, многочлен FW (г) и з (2.4-13) упрощается д о F^^) (2) ^ Г , 2 - f Г 2 2 2 + . . . + rNZ"". (2.4- Щ Заметим, что (2.4-14) п р е д с т а в л я е т собой 2-преобразование Лгпласа последовательности о т р а ж е н и й > i , Г2, . . ., rw- Физически эг) ситуация в о з н и к а е т при наблюдении т о л ь к о первичных отражени в случае источника в виде нисходящего единичного импульса, во: бужденного вблизи земной поверхности (см. р и с . 2-15). П р и это^ наблюдается интересное явление возрастания амплитуды первичны) о т р а ж е н и й от (/1/2 • • • ^А) ... до г*. Иными словами, npj правильности гипотезы малых и случайных отражений в л и я н и е в с ^ междуслойных кратных оказывается только благоприятным. О н | у с и л и в а ю т п е р в и ч н ы е о т р а ж е н и я на с е й с м о г р а м м е д о макси­ м а л ь н ы х , о п р е д е л я е м ы х величиной г^, а к р а т н ы е в о л н ы делают н е з а м е т н ы м и . Во всей н а у к е , п о ж а л у й , не найти л у ч ш е г о примера, к о г д а б е с п о р я д о ч н о с т ь ( с л у ч а й н о с т ь ) приводит к столь прек­ расному результату. Э т о я в л е н и е имеет и п р а к т и ч е с к у ю ценность, т а к к а к в оф| новном б л а г о д а р я е м у б ы л и о т к р ы т ы все н е ф т я н ы е м е с т о р о ж д * ния в период с 1930 по 1960 г. В течение э т о г о времени (до поя в л е н и я ц и ф р о в о й о б р а б о т к и с и г н а л о в ) э ф ф е к т и в н о проинтер­ п р е т и р о в а н н ы м и м о г л и б ы т ь т о л ь к о те с е й с м о г р а м м ы , которы1| у д о в л е т в о р я л и д а н н о й м о д е л и , т а к к а к с е й с м о г р а м м ы с сильным фоном к р а т н ы х и р е в е р б е р а ц и и не п о д д а в а л и с ь т р а д и ц и о н н о ! сейсмической и н т е р п р е т а ц и и . Р а з б о р моделей будет п р о д о л ж е н в гл. 4.

Глава 3 IОМОМОРФНЫЙ АНАЛИЗ И СПЕКТРАЛЬНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ

1,1 ГОМОМОРФНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ II НАУКЕ И ТЕХНИКЕ

И 1л. 2 мы показали с в я з ь м е ж д у постоянными параметрами пере­ даточной сэункции отражений Я-'^'(г) и коэффициентами отражения ,V слоев, с л а г а ю щ и х р а з р е з . Эти соотношения зависели от типа , . | ( ) 1 ! С т о й модели среды и о т допущений при моделировании. Мы ппределили многочлен отражений £<^' (z) ^ r^z - j - rQZ'^ — . . . -|- гдгг^ II убедились в том, что он действительно я в л я е т с я z-преобразованием Лапласа искомой последовательности О, Г ] , Г2, г^- В результате иплучена линейная модель Л^-слойной среды и наша задача сейчас — иапти способы извлечения последовательности отражений О, Г \ , лг, /,v из наблюдаемых (свободных от помех) данных Xk. П р и с т у п и м к р а з р а б о т к е этих способов. С н а ч а л а введем не. колько о п р е д е л е н и й . П е р в о е о п р е д е л е н и е к а с а е т с я п о н я т и я би­ нарной о п е р а ц и и . Определение 1. Б и н а р н о й о п е р а ц и е й , о б о з н а ч а е м о й с и м в о л о м (1, н а д м н о ж е с т в о м называется правило, согласно которому каждой у п о р я д о ч е н н о й п а р е э л е м е н т о в м н о ж е с т в а соответствует -некоторый э л е м е н т этого м н о ж е с т в а . Если, например, в множестве обозначить действительную огра­ ниченную причинную последовательность ао, а\, аг, а*, a^+i, через йк, а действительную ограниченную причинную последователь­ ность bo, bk, bk+\, ... через bk, то (а*, Ьк) будет упорядо'кчиюй парой элементов множества всех действительных ограничен111,|.\ причинных последовательностей. В таком случае OkQbk является элементом множества, поставленным в соответствие с упорядоченной нарой [йк, Ьк) посредством бинарной операции © . Рассмотрим следующие примеры, -i

11 ри м е р 3.1-1 . Пусть символ ф означает щчлч

а^®Ь^ = а^, -f-6;5. = ао - f &о, а^-^

сложение, т. е. ф = Ц-. В этом а* + ^> '^k+^+^>k+v

•••

«1111 элементом множества, поставленным в соответствие с упорядоченной парой (.1,. /'^) путем бинарной операции сложения. Заметим, что если взять другую 11|||||ядоченную пару, т. е. (6^^, а^^), то результат получится такой же, поскольку I а^, = -|-fc^,, согласно переместительному закону сложения. Однако, при Пниариой операции вычитания, т. е., если = — , упорядоченная пара (Яу;,, й^^) дне г результат, отличный от результата упорядоченной пары (6^,, а^.). Следова- i (c^iiiiii, понятие «упорядоченность» пар является важной частью определения 1^' П р и м е р 3.1-2. Пусть ф обозначает свертку, т. е. ф = *. Тогда a,j ф &^,= bi^= }^'Z'^_Q а^Ь^_^\ для k = 0, 1, 2, . . . Таким образом, aj^*6^— t/ii'MciiT множества всех действительных ограниченных причинных последователь87

ностей, поставленных в соответствие с упорядоченной парой (и^^, 6^,) посредством бинарной операции свертки. Поскольку свертка подчиняется переместительному закону, т. е. а^^ *fc^^= 6^^ * а^^, мы получим такой же результат и для упорядо­ ченной пары (й^, Of^). У с в о и в и д е ю б и н а р н о й о п е р а ц и и , р а с с м о т р и м о п р е д е л е н и е го­ моморфного преобразования. Определение 2. О т о б р а ж е н и е tp множества 5 с бинарной опера­ цией 0 на м н о ж е с т в о S' с бинарной о п е р а ц и е й ф ' будет гомо­ морфным преобразованием, если ?(ае&) =

?(«)Ф'т(6)

д л я всех элементов а и b множества S. А л г е б р а и ч е с к а я к о н ц е п ц и я гомоморсЬного п р е о б р а з о в а н и я яв­ ляется в математике основополагающей "39j. Она использовалась при и с с л е д о в а н и и т е х н и ч е с к и х систем 6 9 ] . Е с л и з а м е н и т ь слово «множество» словами «группа», «поле», «кольцо» или «алгебра», то п о л у ч а т с я а н а л о г и ч н ы е о п р е д е л е н и я г р у п п о в о г о гомоморсЬного п р е о б р а з о в а н и я , полевого гомоморфного преобразования и т. п. Р а с с м о т р и м н е с к о л ь к о п р и м е р о в г о м о м о р ф н ы х п р е о б р а з о ­ ваний. , П р и м е р 3.1-3. Возьмем множество S всех действительных ограниченных причинных последовательностей с бинарной операцией сложения, т. е. ф = 4-. Рассмотрим также линейное отображение Ij^, заданное выражением

которое определяет г-преобразование Лапласа (двустороннее). Для двух элементов и 6^, множества S

^

**

что определяет свойство сложения г-преобразования Лапласа и вообще любого линейного отображения. (К линейным отображениям относятся преобразования Лап­ ласа и Фурье, линейные операции дифференцирования и интегрирования). Отображе­ ние C L М О Ж Н О считать отображением множества S с бинарной операцией сложения на множестве S', состоящем из г-преобразований Лапласа всех вещественных ограниченных причинных последовательностей с бинарной операцией сложения ( I g ' =-|-)i В таком контексте удовлетворяет определению 2 и является гомоморфным пре­ образованием. Вообще свойство сложения любого линейного отображения есть гомоморфное преобразование. П р и м е р 3.1-4. Предположим, что множество S и отображение С,;^ опре­ делены, как и прежде, но над S производится бинарная операция свертки, Известно, что для двух элементов и множества S имеет место равенство

В этом случае можно считать отображением множества S с бинарной операцией свертки на множестве S', состоящем из г-преобразований Лаплас! всех действительных причинных и ограниченных последовательностей с бинарной операцией умножения, т. е. Vf) = •. Следовательно, удовлетворяет определению 2 и в данном контексте является гомоморфным преобразованием. Аналогично преобразования Лапласа и Фурье в непрерывном времени тоже отображают множества действительных ограниченных причинных функций времени с бинарной операцией свертки на множества преобразований Лапласа и Фурье этих функций 88

!• бинарной операцией умножения, в этом смысле преобразования Лапласа и Фурье |(|\10морфны. Однако следует всегда иметь в виду, что эти линейные отображения (преобразования) сами по себе негомоморфны. Они только считаются гомоморфными 11 смысле их воздействия на сигналы, образованные посредством некоей бинарной (шсрации и удовлетворяющие определению 2. Завершая последний пример, добавим, что обратное отображение ^^^^ опредсляемое как dz. где С обозначает проходимый по часовой стрелке круговой контур с радиусом 1.1ВИСЯЩИМ от области сходимости операции (• ) в комплексной г-плоскости, иоздействуя на г-преобразования Лапласа А (г) и В(г), дает следующий результат: с-1г

В(г)] = Alz) + B(z)

А(2)

+ В(2)

г-н-}

[В (г)];

[В (2)]. е ' [А (2)] * Рис. 3-1. г-преобразование Лапласа и его обращение ^2Г'(*)' браженные в виде гомоморфных пре­ образований Рис. 3-2. Натуральный логарифм I n ( ' ) и его обращение е х р ( - ) , изображен­ ные в виде гомоморфных преобразо­ ваний (пример 3.1-5)

A(2)-B(z) Afz)-B(z)

A(z)-B(z)

1iilA(z^+ln[B(z)j

TLn[Arz)]+ln[B('2)]

eip(-)

A(z).B(z)

Итак, по определению 2 и в свете предыдущих рассуждений о множествах S и S' обратное отображение также гомоморфно. На рис. 3-1 изображено ^-преобразование Лапласа в качестве гомоморфного. ( П р и м е р 3.1-5. Пусть S — множество всех минимально-запаздывающих /•преобразований Лапласа с бинарной операцией умножения, т. е. © = • . . Пусть лплее S' —множество всех аналитических логарифмов соответствующих преображтаний с бинарной операцией сложения ( ф ' = - f ) , причем оба множества опре/н-лены при | г | • < 1. В этих условиях натуральный логарифм In(•) является гомо мирфным преобразованием, поскольку In [А (г) . В (г) ] = In [А (г)] + In [В (z)] и определение 2 удовлетворено. Подобные отображения применимы во многих областях науки, так как ПИИ преобразуют умножение в сложение. В самом деле, способ построения так 1111 плваемых кривых Боуда, используемых при анализе частотных характеристик питейных систем, основан на подобном гомоморфном преобразшании, хотя его иикогда не объясняли столь абстрактно. Рассмотрим обратное отображение е*"* = ехр (•) множества S' на S: exp{lnf^(2)l+ 1п (В(г)Л = ехр {In [Л (г)]} • ехр {1п fB (г)]} = (г)-б (г). В этих условиях ехр ( . ) также представляет собой гомоморфное преобранш.пше (рис. 3-2). 89

Операции, рассмотренные в п р и в е д е н н ы х в ы ш е примерах, в п о л н е п р и в ы ч н ы д л я и н ж е н е р а , з а н и м а ю щ е г о с я о б р а б о т к о й сигна' л о в , но в а б с т р а к т н о м с м ы с л е они я в л я ю т с я г о м о м о р ф н ы м и пре^ о б р а з о в а н и я м и . О н и и г р а ю т с у щ е с т в е н н у ю р о л ь при разложени}! и ф а к т о р и з а ц и и с и г н а л о в и их с п е к т р о в . В п о с л е д у ю щ и х р а з д е л а х будет п о к а з а н а с в я з ь м е ж д у гом^? морфными преобразованиями и общей проблемой спектрально! факторизации. j ; 3.2. СПЕКТРАЛЬНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ

|

П р е д п о л о ж и м , что имеется п р о и з в о л ь н а я ф у н к ц и я спектральнс|| плотности мощности (энергии) Ф(си), где ш — н е п р е р ы в н а я перемеН' ная частоты, определенная на закрытом интервале —тс, я \ и изме* ряемая в р а д и а н а х на ш а г выборки. Ф у н к ц и я Ф((») произвольна в том смысле, что она не обязательно д о л ж н а быть рационально^! с])ункцией. Ч т о б ы быть р а з л о ж е н н о й на множители, один из которых явлЯ' ется причинной системой, срункция спектральной плотности мощности Ф(и)) д о л ж н а удовлетворять следующим условиям: 1) Ф(«)) — неотрицательная на и н т е р в а л е —к < со < тс; 2 ) Ф ((B) — ограниченная на интервале — те < w < тг; (3.2-1) 3 ) 1п'Ф(и))^ — ограниченная на интервале — ' ! г < ( о < т с . ^iЗадача спектральной сэакторизации состоит в отыскании такой причинной системы B{z), т . е . г-преобразования Л а п л а с а причинно|| последовательности bk, амплитудный спектр которой равен корню квадратному из спектра мощности: | В ( а ) ) | = [Ф(«>)р.

(3.2-|

Г. Ш е г ё )95i и А. К о л м о г о р о в [SOJ п о к а з а л и , что решение этой з а д а ч и м о ж н о н а й т и к л а с с и ч е с к и м м е т о д о м о п р е д е л е н и я пй» т е н ц и а л ь н о й ф у н к ц и и с з а д а н н ы м з н а ч е н и е м ее действительноЛ ч а с т и на е д и н и ч н о м круге. ^ К л а с с и ч е с к о е с о о т н о ш е н и е Ш в а р ц а из теории п о т е н ц и а л а [10% имеет вид i тс

—тс

где «о' — переменная интегрирования; г = г е - " " . Это соотнощение позволяет найти б у н к ц и ю F{z), действительная часть которой на единичном круге равна ReF(m). Соотношение Шварца следует из известного результата, полученного С. Пуассо­ ном в теории п о т е н ц и а л а . Ф у н к ц и я tnjB(u))j я в л я е т с я действительной частью с)ункциИ 1п5(т).

Далее RelnB(u)) = l n | 5 ( ( . . ) | = | ! п [ Ф ( ш ) ] .

(3.2-4)

Искомое решение н а х о д и т с я просто подстановками выражения |/21пФ(и)) вместо ЯеР(ш) и ф у н к ц и и In В (г) вместо F(z) в соотно­ шение Ш в а р ц а : 1С '"^(^) = ^ 1 г з 5 ^

1^1<1-

Итак, решение Шегё-Колмогорова торизации имеет в и д /I (г) = ехр [ I n В (2)] = е х р

задачи

спектральной

(3-2-5) фак­

| z | < 1. (3.2-6)

4х

Г. Шегё и А. Колмогорова интересовала т о л ь к о действительная •теть б у н к ц и и In 6 ( 2 ) ' на единичном к р у г е . Э. Робинсон [80] р а с ­ смотрел и мнимую часть, т а к к а к и д е й с т в и т е л ь н а я , и м н и м а я часть имеет о и з и ч е с к и й смысл. Этим о б ъ я с н я е т с я важность рассмотрения комплексного логарифма спектра. Спектр причинной системы В (г), записанный в п о л я р н ы х коорамиатах, имеет вид В(ш) = |В(ш)1е'е(->,

(3.2-7)

iiie абсолютное значение В (ш) ] — амплитудный или абсолютный 111,'ктр, а а р г у м е н т 6 (ш) — фазовый спектр. В р е з у л ь т а т е комплексиьи! логарифм спектра 1 " In В ( ш ) = In I В (со) I + /9 ( о ) ) , (3.2-8) I 1е д е й с т в и т е л ь н а я ч а с т ь я в л я е т с я л о г - а м п л и т у д н ы м и л и л о г йОеолютным с п е к т р о м , а м н и м а я ч а с т ь — ф а з о в ы м с п е к т р о м . Э. Р о б и н с о н з а т е м з а д а л с я в о п р о с о м : « Ч е м я в л я е т с я ф а з о иии спектр, в ы т е к а ю щ и й из с о о т н о ш е н и я Ш в а р ц а ? » Он п р и ш е л t. иыводу, что ф у н к ц и я — 0(со) есть не что иное, к а к м и н и м а л ь н о шрицательно-сзазовый с п е к т р или (что т о ж е с а м о е ) функция II(ill) — именно тот ф а з о в ы й с п е к т р , который д е л а е т п р и ч и н н у ю . шетему B(z) минимально-запаздывающей. 11сследуем п о д р о б н е е п о л у ч е н н ы е в ы в о д ы . П о й д е м в о б р а т н о м иниравлении и н а ч н е м с п р е д п о л о ж е н и я , что п р и ч и н н а я системи В(г) я в л я е т с я м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ е й . И з свойства 10 м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ и х ф у н к ц и й , приведенного в р а з д е л е 2.1, 1 .'Н'лует, что

В ( 2 ) = ^ О,

|2|<1.

(3.2-9)

г' Л о г а р и ф м и ч е с к а я ф у н к ц и я в е д е т себя н о р м а л ь н о , пока ее .1р|умент не р а в е н н у л ю или бесконечности. П о с к о л ь к у В (z) иг р.иша н у л ю или бесконечности внутри единичного круга, ф у н к uiDi In B(z) ведет с е б я н о р м а л ь н о внутри единичного круга. 91

З н а ч и т , ф у н к ц и ю In B(z) (ряда (ряда Маклорена):

можно представить

1пВ(2) = Д

3^2*.

в виде cTeneHHOiII' ti

lzl
(3.2-1|

И з следующего раздела мы узнаем, что pj. н а з ы в а е т с я кепстроЦ^)' К о м п л е к с н а я переменная z представляет собой точку внутри единиЧного к р у г а , т. е. г < 1. Можно найти предел функции In В (z) по мере того, к а к в н у т р е н н я я точка г п р и б л и ж а е т с я к единичной окру^. ности, т . е . когда z->e-^"'. Этот предел имеет вид ~

•

1п5(ш)= S

^'

(3.2-11

Р а з л о ж и в обе части уравнения (3.2-11) на д е й с т в и т е л ь н у ю и мн|« м у ю части, п о л у ч и м : I n : в (ш)! + ге (ш) = , Ро + Re j i ; (З^е-'-*! >

i: I m

(3.2-12)

Рассмотрим действительную часть уравнения (3.2-12) 1п[В(ш)>Ро+Ре) S

'

(3.2-Щ

Ф у н к ц и я In в (со) представляет собой периодическую угловой частоты to и ее м о ж н о р а з л о ж и т ь в р я д Ф у р ь е :

сЬункци»

1п;В(ш)'=

S

.

*£

?'ke-^"''•

(3.2-11 jt:-;'

k=—оо

Отсюда следует, что я в л я ю т с я коэффициентами Ф у р ь е , которые можно вычислить по формуле Ф у р ь е - п р е о б р а з о в а н и я : Р; = ~

In : в (m) e^-Mu),

^; = о, ± 1, ± 2 , . . .

(3.2- i f

Действительную часть у р а в н е н и я (3.2-13) можно записать в виде

I n ' В (ю) 1 = Ро -Ь ' f 4e-^-^] - f S 4 е-'-*

(3.2- Щ •и»,

или l n ^ B ( m ) ' = |3o-,h

S

bie--*-f

S ^-б-'--^

(3.2-l| t

Р а з л о ж и в уравнение (3.2-14) в р я д , получаем: I n ! S (ш)

= . . . pise'"'

р 1 , е ' - - f [З; + ^[е-''^ + Р а е " ' " ' + . . .

(3.2-18)

Из уравнений (3.2-17) и (3.2-18) находим зависимость между коэффициентами |3* и [3^. Итак, если задан амплитудный спектр \В{и>)1, по сюрмуле (3.2-15) можно вычислить последовательность (3* и черея нее найти последовательность р*., используя с л е д у ю щ и е равенства!

Зо

^ = 0,

= Ро,

l3ft = 2p;, k=l, 2, 3, . . . . l3t = 0, A: = —1, —2, — 3 , . . .

'

(3.2-19)

Последовательность я в л я е т с я последовательностью коэффициriiTOB степенного р я д а , в который р а з л о ж е н а ф у н к ц и я In Б (г). Отиода можно найти требуемую м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ у ю систему /l(z), прибегнув к соотношению:

B(2) = e x p { l n 5 ( z ) } ,

(3.2-20)

которое м о ж н о записать т а к ж е в виде оо

S

во

6ftZ*

= exp <:

S

|,

(3.2-21)

PAZ*^

Формулу д л я вычисления системных коэффициентов bk по извест­ ным коэффициентам р^ м о ж н о получить с л е д у ю щ и м образом. Берем производную ф у н к ц и и (3.2-21)

S 6.2* =

е х р S Pi^**^

f

|3*z*.

(3.2-22)

делим уравнение (3.2-22) н а (3.2-21) и получаем

- i t h z ^ -

(3.2-23)

fc=0

Преобразуем уравнение (3.2-23) в

S kbkZ^'-^ = f S bkZ^]( S *3AZ*->)

(3.2-24)

или в 1)b*+,z* = if

i:

b*zA(

f (*

1) .3,+,zA,

(3.2-25)

lire уда находим р е к у р р е н т н о е соотношение {69] оо

{k + 1) bk+x

=S

(^ + 1 -

л)

& = о, 1,2, . . . (3.2-26)

Итак, мы получили соотношение м е ж д у bk и р* в неявном виде 1!г() можно и с п о л ь з о в а т ь д л я вычисления bk по р* и наоборот. Рассмотрим т е п е р ь м н и м у ю часть уравнения (3.2-12), а именно в ( о ) ) = Iffli

S Р^е-'Ч

(3.2-27)

J

1А=1

ииторую можно записать в виде 1*

93

= г 2

3fte-'™*-t

(3.2-28)

И с п о л ь з о в а в у р а в н е н и е (3.2-15) Pft = i £

ln',B(u)')ie''"'W.

k^O,

м о ж н о записать уравнение (3.2-28) в виде . t -1 оо G (ш) = ^ ' ^S e-.>-<.')ft _ .

±1,

+ 2 . . . . (3.2-2C^i

; In д

(3.2-3||)

fe=l

или 1

9 („,) = J I ± J 2

S sin (со -

ш') А In i Б («)'), dm'.

(3.2-31

Заметим, что sin (o) —

0)')

П е р е й д я к пределу в ы р а ж е н и я (3.2-32) п р и г - > 1 , получим: ,.

fc

!™ I ,

I

.

/

/ч ,

Ц

sin 10) (ю — Ш ш')| sill

s i n ( w — О)')

«1"^ ( " ' - " ' ) ^ == l - 2 c o s V - o ' ) - M

=

2[l-cos(a.-co')]-

(3.2-33) С помощью тригонометрических . ^ (ю — (u'\ l ~ 2 ~ j ~

тождеств

1

— COS ((О — О)')

2

'

Sin(u) — o)) = 2 s i n i — 2 — I ' ^ o s ) , (a> — a>'\ /o) — o)'\ / . Gtg(-^J| =

to/ —

m' \

c o s ( ^ ] | / s m | f

преобразуем уравнение (3.2-33) в следующее: i i m у г * - ' sin(ш — u)')й После подстановки Н«>) =

= V sin(u> — ш')

= -J-ctg

(3.2-34) в (3.2-31) получим I ctg

In , В (о.') do,'.

(3.2-34) iTv (3.2-35)1

где символ P означает, что интеграл принимает главное значени! Коши благодаря особенному пове:дению функции • ctg |(о) —(о')/2 при (u = o)'. Строгое изложение процесса отыскания приведенного выше предела и вывод б о р м у л ы (3.2-35) с позиций теории потен­ циала д а н ы в работе, [30[.

И т а к , окончательное выражение д л я минимально-отрицательно|'|лзового спектра —6 (ю) через амплитудный спектр В (ш) имеет в и д -в(ш) = 1 р через спектр мощности

fctgf:i:=i^)inS5(«)'):d")'.

(3.2-36)

Ф(а)) —

"

- « W = ^ ^ i ctgf5^)ln:0(«,'):d«.'. —It ^ / I'oBopHT, что функции In в (to) и — в ( ш ) о б р а з у ю т п а р у юьаний Г и л ь б е р т а . Н а к о н е ц , выведем соотношение Ш в а р ц а . Имеем ;

;, ; , I n [В (z): = f ; i3ftz* = Ро + 2 f plz*.

(3.2-37) преобра-

(3.2-38)

fc=0 ft=l

П р и н я в BO внимание уравнение (3.2-29) д л я Р ь

,

'

1 + 2 2

— I

В то ж е время имеет •

.

место

e'^'^z* In I В (ш') I do)',

= i

(3.2-39)

равенство

1 + 2 | ( Л ) ' = . | ± | ^ ,

Отсюда получаем соотношение

получаем:

> : < 1 .

(3.2.40)

Шварца

J

B^^yd^',

-г < 1,

(3.2-41)

—тс

которое превращается в уравнение (3.2-5), если сделать замену lnjB(o)); = 1/21пФ(<о). Ранее мы рассмотрели с л у ч а и , когда bk было комплексным сигиллом. Конкретизируем наши выводы применительно к случаю дей­ ствительных сигналов. Уравнение (3.2-11). можно з а п и с а т ь в виде In В (ш) = j ро - f f

h cos to* j - f i j — ^

pft sin mk | ,

(3.2-42)

где Po и % — д е й с т в и т е л ь н ы е ч и с л а . Подставив (3.2-8) в (3.2-42) и п р и р а в н я в действительные и мни­ мою части, получаем: оо

III в ((о); = Р о - f 2 Pfe cos toft — лог-амплитудный спектр

(3 2-43)

(четная ф у н к ц и я ш — симметричная), оо

II ( ю ) = — 2

pft sin (»/г — ф а з о в ы й спектр

*=|

^ ,

(нечетная Функция .

to —

. . .

Антисимметричная). 95

Пример лог-амплитудного и сэазового спектров дан на рис. 3-3 М о ж н о умножить обе стороны первого у р а в н е н и я в (3.2-43) Ш созш/г и проинтегрировать р е з у л ь т а т в пределах ] — т с , -к'-.

j cos wn In В (ш) \dm — j |3o cos wndto - f -;- J <2

;3ftcoso)fecos (ВП Wu), n = 0, 1, 2, . . .

(3.2-44)

Почленное интегрирование бес!?* печного р я д а в уравнении {3.2-Щ приводит к ,11 "л i 3 o = 2 ^ f ln:B(a)):do);

3ft = А l^cosmfeln B(a));dm,^| T^TX-a-rrr"^ Рис. 3-3.

Лог-амплитудный спектр

1 п | В И ; (Л и фазовый спектр е й

^•2-45) |,i

j^^^^^

заданным

уравнения.

ми (3.2-45) действительным коэб й и ц н е н т а м ро и 3^ м о ж н о с помощью у р а в н е н и я (3.2-26) найти де>' ствительный сигнал bk. 3.3. КЕПСТР

И д е я к е п с т р а в п е р в ы е п о я в и л а с ь в р а б о т а х С. П у а с с о н а ]77|,, Г. Ш в а р ц а ^891, Г. Ш е г ё [95] и А. К о л м о г о р о в а [ 5 0 ] . В при­ л о ж е н и я х к г е о ф и з и ч е с к и м з а д а ч а м эта и д е я р а з р а б а т ы в а л а с ь . Э. Р о б и н с о м [ 8 0 ] , Б . Б о г е р т о м и д р . ] 1 7 ] , Б . Б о г е р т о м м Д ж . Осанной [ 1 6 ] , А. О п п е н г е й м о м и Р. Шейфером ]69] и д р у г и м и и с с л е д о в а т е л я м и . ^ В д а н н о м р а з д е л е н а м и обобщены все эти р а з р а б о т к и и о б с у ж д а ю т с я новые свойства к е п с т р а с позиций гомоморсЬных п р е о б р а з о в а н и й с ц е л ь ю в ы я в л е н и я его с у щ е с т в е н н ы х черт и соответствий. В р е з у л ь т а т е этого", п о н я т м к е п с т р а р а з в и т о в в а ж н ы й э л е м е н т теории а н а л и з а с и г н а л о в l в р е м е н н ы х р я д о в , к о т о р ы й з а н я л свое место среди т а к и х в а » ных ф у н к ц и й , к а к а в т о к о р р е л я ц и я и с п е к т р . В конце р а з д е л а мй п о к а ж е м , к а к м о ж н о и с п о л ь з о в а т ь кепстр в т е о р и и и в вычислв' ниях. В с л у ч а е м и н и м а л ь н о - з а д е р ж и в а ю щ е й с и с т е м ы В (z) и In В (z] я в л я ю т с я а н а л и т и ч е с к и м и срункциями д л я значений ]2]< 1 к могут быть п р е д с т а в л е н ы рядами Тейлора ( п р и ч и н н ы м и ]^ п р е о б р а з о в а н и я м и Л а п л а с а ) в виде |

J5(2)=

]21<

1;

1

(3.3-1) im- |3{, определены уравнениями (3.2-15) и (3.2-19) в случае комп111'ксных bk и уравнениями (3.2-45) в случае действительных bk. С >'четом свойств гомоморфных преобразований получаем, что тношение exp{lnB(2)-f Inl} = B ( z ) • 1

(3.3-2)

пппсывает н е л и н е й н о е о т о б р а ж е н и е ехр {•} к а к г о м о м о р ф н о е преобразование, при к о т о р о м м н р ж е с т в о 5 я в л я е т с я м н о ж е с т иом всех а н а л и т и ч е с к и х л о г а р и ф м о в с б и н а р н о й о п е р а ц и е й с л о ­ жения, а м н о ж е с т в о — м н о ж е с т в о м всех а н а л и т и ч е с к и х z-npeиГфазований Л а п л а с а с б и н а р н о й о п е р а ц и е й у м н о ж е н и я и в обоих ллучаях 1.

1 I

Подставив

(3.3-1) в (3.3-2), б у д е м иметь и с к о м о е у р а в н е н и е :

ехр {ро + |3.2

+

|32z2 +

...]=bo

+ bxZ +

Это у р а в н е н и е н а з ы в а е т с я у р а в н е н и е м П р и н я в в (3.3-3) 2 = 0, п о л у ч а е м

b2Z^ +

. . .

Ьо = е^' = ехр В некоторых 1:

приложениях

B{z) = bo

(3.3-3)

Колмогорова.

(3.3-4) удобно

нормировать

bk т а к , чтобы

l-f^^2-f^2=+...

(3.3-5)

или

В(2) = ,

Нормированное (ипся как

таким

ехр {13,2 - f 13222 +

(3.3-6) образом

...}

уравнение

Колмогорова

= l + p.z + ^z'+

запи-

(3.3-7)

inr искомая минимально-запаздывающая нормированная последова«лвность 1, Ь\^Ьо, bi/bo, . . . выражается через коэффициенты ^k, ммределенные уравнениями (3.2-15) и (3.2-19) в случае комплексной «1Н',ледовательности 6* и определенные уравнением (3.2-45) в случае *|1ствительной последовательности bk. Последовательность О, j B i , . . . является причинной с чистой з а д е р ж к о й в одну единицу «ремени, т а к как ее член при k = 0 равен н у л ю . Д л я действительций последовательности bk согласно уравнению (3.2-43) 3* представ1МГТ собой обратное косинусное Фурье-преобразование четной функп\\\\ 111 S ( ( B ) J И обратное синусное Фурье-преобразование нечетной пункции —9 (со), я в л я ю щ е й с я минимально-отрицательно-фазовой 1М|шктеристикой. I

1I.V,17

97

Таким образом, мы пришли к интересному выводу, что искомая минимально-запаздывающая

последовательность

1, bi/bo,

^2/^0.

••

с в я з а н а с причинной последовательностью 3,^ гомоморсрнь м преобра зованием вида (3.3-2). Назовем степенной р я д piz-f-iSoZ^ + ;3з22 — .... я в л я ю щ и й с я показателем экспоненциальной функции в уравнени! К о л м о г о р о в а , степенным рядом уравнения Колмогорова или в анг л и й с к о й транскрипции — Kolmogorov Equation Power Series (KEPS) Д а л е е , п о с к о л ь к у KEPS является z-преобразованием Л а п л а с а после д о в а т е л ь н о с т и О, p i , З2, . . . = 13^ м о ж н о считать р^ временной реак цией (Time Response). Следовательно, последовательность О, pi р2, . . . = Р* можно считать временной реакцией степенного р я л у р а в н е н и я Колмогорова (в английской транскрипции Kolmogoro* Equation Power Series Time Response) и называть эту последова тельность с о к р а щ е н н о кепстром. Отсюда следует, что с п е к т р а л ь н у ю плотность мощности (спекТ) мощности) Ф (ш) можно представить в виде произведения д в у х мно ж и т е л е й : 1) минимально-запаздывающего м н о ж и т е л я В (ш), не имен» щ е г о нулей и полюсов внутри единичного к р у г а на комплексное z-n лоскости; 2) минимально-опережающего множителя В* («>), не имею! щего н у л е й и полюсов вне единичного к р у г а . (Верхний и н д е к с ' обозначает здесь комплексно-сопряженную величину, так что В*(»1 я в л я е т с я функцией комплексно-сопряженной срункции В{ш)). Спей р а л ь н а я ф а к т о р и з а ц и я с в я з а н а в основном с определением шш мально-отрицательно-фазовой характеристики —б((о), посколь»' !|В(1о)'равна просто ' Ф ( ш ) 2. Поэтому, з н а я Ф (си), можно вычислит! коэффициенты р*, называемые кепстром. При комплексной последовательности bk используются уравне л ; ния (3.2-15) и (3.2-19), если последовательность в е щ е с т в е н н а я \1 уравнение (3.2-45). Р а с п о л а г а я коэффициентами, можно найти e(ui), В случае действительных сигналов минимально-отрицательно-фазов!^ характеристика —6 (ш) — это, по существу, синусное Фурье-преов| разование кепстра р^. Отсюда легко з а к л ю ч и т ь , что кепстр и миНН. мально-отрицательно-фазовая характеристика —6 (ш) с в я з а н ы межД< собой точно так ж е , к а к любая ограниченная ф у н к ц и я времени связана со своим спектром. В этом смысле кепстр я в л я е т с я време|1| ной реакцией, чье синусное Фурье-преобразование есть минимальш отрицательно-фазовый спектр —6 (ш). При обсуждении минимально-запаздывающих ф у н к ц и й мы oTMli т и л и одно из свойств минимально-отрицательно-сразовой ф у н к ц и и ' возможность определения б а з о в о г о спектра 6 (ш), если модуль ча«| тотной характеристики В (ш) задан в интервале — те < ш < л . У р а г нение (3.2-36) устанавливает однозначное соответствие между j 5 (ui| и — 6 ( i u ) , т. е. по заданному 6 ( 1 » ) можно найти — 6 ( u ) ) . АнаЛм гичным путем можно вывести соотношение, которое позволит |)( заданному спектру — 6 ( 0 ) ) найти спектр В (ш) . П р и н я в это во вНК мание, обнаруживаем, что по заданному кепстру р«, можно 0ДН1 значно определить а м п л и т у д н ы й и фазовый спектры минимальНИ: 98

ммаздывающей б у н к ц и и . Н а п р и м е р , р а с п о л а г а я кепстром |3*. можно е г о синусное Фурье-преобразование, т . е . —e(to), и косинус­ ное Фурье-преобразование, т. е . лог-амплитудный спектр In B{w)\ С в я ж е м упомянутое выше с гомоморфными п р е о б р а з о в а н и я м и . Посредством гомоморфного преобразования (3.3-2) кепстр с в я з а н ' м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ е й нормированной последовательностью I, hi/bo, bjbo, Синусное преобразование Ф у р ь е тоже м о ж н о счи|,т1ъ гомоморфным преобразованием, которое о т о б р а ж а е т кепстр на инпимально-отрицательно-фазовый спектр —9 (ш). П р е д п о л о ж и м , что 'I'(ш) — известная р а ц и о н а л ь н а я ф у н к ц и я , п о л у ч е н н а я пропусканием гн'лого шума с единичной с п е к т р а л ь н о й плотностью мощности через •шнейную систему с неизвестной д е й с т в и т е л ь н о й и м п у л ь с н о й р е а к naiixH

ииой 1, bilbo, Ьг/Ьо, В такой с и т у а ц и и передаточная ф у н к ц и я /'(")) с в я з а н а с Ф(ш) соотношением Ф (ш) = [ В (ш) ['^. Рассмотрим з а д а ч у о п р е д е л е н и я импульсной реакции системы по мданной ф у н к ц и и Ф (ш) посредством гомоморфных преобразований. I начала надо найти обратное косинусное Фурье-преобразование четной функции 1п'Ф(и))]2 с помощью у р а в н е н и я ( 3 . 2 - 4 5 ) . В р е з у л ь нпе получим действительный кепстр [3;^, г д е обратное косинусное Фурье-преобразование можно считать гомоморфным б л а г о д а р я его чюйству с л о ж е н и я . З а т е м используем гомоморфное преобразование lL.'i-2), чтобы с в я з а т ь кепстр с искомой нормированной и м п у л ь с н о й реакцией 1, bi/bo, bzlbo, . . . . и получим уравнение ( 3 . 3 - 7 ) . Этим примером иллюстрируется применение метода с п е к т р а л ь н о й факторишции на основе понятий кепстра и с в я з а н н ы х с ним гомоморф111,1.4 п р е о б р а з о в а н и й . Теперь рассмотрим кепстр к а к таковой, т . е. исследуем его (ИоПства с позиций обработки сигналов, не т е р я я из виду его связи I методом спектральной факторизации и минимально-отрицательнофичовым спектром — К ^ ) . Кепстр |3ft можно вычислить т а к ж е с помощью у р а в н е н и я ( 3 . 3 - 7 ) , • ли известна минимально-запаздывающая последовательность 1, Ь\11>п, bjbo, . . •• Эта и д е я о к а ж е т с я полезной при рассмотрении Ml-годов р а з л о ж е н и я . 15 последующем р а з л о ж е н и и мы полагаем минимально-запазды«нющую последовательность 1, bi/bo, Ьг/Ьо, . . . = известной и за­ ймемся ц е л ь ю вычислить кепстр О, [3,, ^2 •. • последовательности b'k. Используя комбинации р а з л и ч н ы х гомоморфных преобразоваимй, можно получить кепстр с л е д у ю щ и м путем. 1. Сначала вычисляется г-преобразование Л а п л а с а последовательtmcin b'k. Линейное отображение CL м о ж н о рассматривать к а к гомоМ||рс,1пое преобразование множества всех действительных минимально*.п1а;!дывающих (а значит, и причинных) последовательностей с би"||ри()й операцией свертки на множество всех минимально-запаздыMioHuix 2-преобразований Л а п л а с а с бинарной операцией у м н о ж е н и я . I такой ситуации з а п и ш е м последовательность bk в виде &Й*8А, где 99

единичный импульс 8ft принадлежит множеству действительных мин и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю т и х последовательностей: где

то В' {г) = 2 6*2* = 1 + b^z -г b'zz^ - г . . . . Ь'о = 1, а В'{г)фО при z <1. 2. Затем находится аналитический логарифм произведения B'{z)- 1. Нелинейно отображающий логарифм можно рассматривать к а к гомоморфное преобразование множества всех минимально-за­ паздывающих 2-преобразований Л а п л а с а с бинарной операцией умножения на множество всех аналитических логарифмов с бинар­ ной операцией с л о ж е н и я : 1 п : 5 ' ( г ) • 1] = 1пВ'(2) + 1п(1), где о у н к ц и я In В ' ( 2 ) я в л я е т с я аналитической при вается в виде lnB'{z)

2, < I и записы-^

= ^xZ + hz-+<^3Z^+ ... = КЕПС=: = 2(Р, + ;322 + З з 2 2 + . . . ) .

3. Теперь, найдя обратное 2-преобразование Л а п л а с а функци|| In В ' ( 2 ) , получаем кепстр О, |3i, [З2, . . . последовательности Ь^. Ли нейное отображение Q-^ можно рассматривать к а к гомоморфно» преобразование множества аналитических логарифмов с бинарное операцией с л о ж е н и я на множество всех действительных причинны» последовательностей с бинарной операцией с л о ж е н и я : ,<

сг'

[:пв'(2) +

1п(1): = с г ' : 1 п в ' ( г ) :

сг' : i n ( i ) : .

где

| ,м

г:г'[1пВ'(2)] = {о. 13,, Зг, рз, . . . } =

{М

я в л я е т с я кепстром минимально-запаздывающей последовательное^ 1, bi/bo, 62/60 Представив 6* в виде свертки 6**8*, мы смогли убедиться t том, что эта свертка, принадлежащая множеству всех минимально запаздывающих последовательностей с бинарной операцией свертки, была отображена в сумму 3* О, п р и н а д л е ж а щ у ю к множеств^* всех действительных причинных последовательностей с бинарной операцией с л о ж е н и я . Учтем, что последовательность 1, Ь\, Ь'^, ., и соответствующий ей кепстр О, Pi, |3?, . . . с в я з а н ы с минимально; запаздывающим множителем В(ш) функции спектральной плотности мощности Ф ( ш ) . Теперь предположим, что желательно иметь более одного мини мально-запаздывающего множителя функции Ф((в), т . е . В(ш) мож«| быть представлена в виде В (ш) = А ( t o ) . С (а.) = ; Л ( ( о ) ; ; С (ш)' е'[9-4(™'+°б'")], 100

(з.з,> ф

no A{z) и Б (г) — аналитические функции при [г, <.1,-.не..име?ощи^ мм нулей, ни п о л ю с о в внутри единичного круга и на единично']^ икружности. При этом условии функцию Ф(ш) м о ж н о считать содержащей д в а vмlm^мaльнo-зaпaздывaющиx м н о ж и т е л я — Л{т) и С (со), т . е . ее можр 1111 выразить в виде А ((«) С (ш) 2 = Л (ш) С (ш) . Л*(«)) С * ((о).

(3.3-9)

В данной ситуации уравнение Кол-могорова (3.3-3) нии так: ехр {(а,2 + агг^ + . . .) 4- ( T I ^ - f Тг^^ + • . • ) } =

Ф (ш) =

записыва­ , !

= ,f 1 +1^

г + | Н . М - . . ](l

+ p , + ^ z ^ + . . \

(ДО

(3.3-10)

. •

1 г ; < 1;

^(2)=

' ;•.

. . . . .

. :

ft=0

;

f

c{z)=

;2;<

bo = ДоСо = 6"»+''» = еЗ°; ' с м . '

In Л ( 2 ) =

1;

у р а в н е н и е (3.3-4)^,

aft2*, ; 2 i <

I n с ( 2 ) = f; ^kz^

'•

1;

"

;

[ 2 к 1.

Таким образом, нам удалось р а з л о ж и т ь функцию Ф(и)) на миниЛйлмю-запаздывающие множители. Описанный процесс м о ж н о про»1Л/кить до бесконечности. В таком случае степенной р я д уравнечии Колмогорова (кепс) п р и н и м а е т вид minC = E ( a i + T i ) ' 2

+

(*2 +

T 2 ) z M - ...J = ti3,2 + i 3 2 z 2 + . . . 1 , (3.3-11)

'iliimcM bk^ak*c'k,

l3ft = aft + Yft,

(3.3-12)

\im ^

b'k=l,

\

ak = 1, a\lao, ajao

bjbo,

bilbo

i3fe = 0, i3b Рг, h,

-• Л

at = 0, a,, аг, аз,

,..;

Cft= 1, c./co, Cs/co, . . ., 7fe = 0, Yi, 72, Тз, Последовательности bk, ak, Ck я в л я ю т с я минимально-запаздываюa i3ft, a* и — причинными. Теперь, если последовательность Ц 6 f t задана, можно найти кепстр |3ft, точно п р и д е р ж и в а я с ь iliiMi.i вычислений, описанной выше. Иными словами, можно по^рдоиательно выполнить над а* * Ck гомоморфные преобразования | ) In и С Г ' и получить кепстр pk= ct.k + = 0 , a i + у * - } - а г п - 7 2 .... И1МИ,

г

101

в результате этого процесса свертка dk*Ckt п р и н а д л е ж а щ а я к мш ж е с т в у всех действительных, минимально-запаздывающих последа вательностей с бинарной операцией свертки, отображается в сущ a-k + \k, п р и н а д л е ж а щ у ю к множеству всех действительных пр| чинных последовательностей с бинарной операцией с л о ж е н и я . Д| лее, a-k я в л я е т с я кепстром последовательности аи, а у* — кепстра последовательности - Определим упорядоченную комбинацию гомоморфных преобрази ваний

C L . In и сг' •

через

К:

i

/ С ^ С Г ' о Ш OCL,

(З.З-Й

где /С — результирующее roMOMopdpriOe преобразование. Значком*! три преобразования C L , In и C Z " ' отделяются д р у г от друг! Запись сг' о In о C L читается с л е д у ю щ и м о ф а з о м : «Отображение \ в комбинации с отображением i n , в комбинации с отображением C ^ ' l Назовем К кепстральным оператором. И з изложенного выЩ вытекают с л е д у ю щ и е свойства оператора К: (а)

К {а[ * Си). = К ia'k) + К ick) = а*

у*.

,

(3.3- И

Вспомним, что при умно.жении Фурье-преобразований Л(и)) i C(m) соответствующие фазовые спектры бл (ш) и 6с (ш) с к л а д ы в а ю т а П о с к о л ь к у сумма а* + у* по существу я в л я е т с я обратным синусны^ Фурье-преобразованием полного б а з о в о г о спектра бл (<«)-j-6c(i«l суперпозиция а* и 7* представляет собой изменение «базы со щ менем», характерное д л я спектра Вл (w) + 6с(и>). (б) К-^(^п~г

Ik) =

Ы

* К-\Ь),

где / С - '

С Г ' о ехр O C L , \ 1

/^-•(«fe)={a;}. / < " ' ы = с ; . . (в) У<'(8*) = 0-нулевая последовательность, /<'~'(о) = 5*. Поскольку, од и Cfe — э л е м е н т ы множества всех действительны! минимально-запаздывающих последовательностей с бинарной onepiii цией свертки, а а* и у* — элементы множества всех действительньй причинных ограниченных последовательностей с бинарной оперц цией с л о ж е н и я , оператор К я в л я е т с я также групповым гомоморф ным преобразованием. ' Определение 3. Группой, обозначаемой символом iG, © ] , назМ] вается множество G вместе с бинарной операцией ф , удовлетворяв, щей следующим аксиомам: . j 1) бина.рная операция обладает свойством сочетательности; j 2) в множестве G содержится такой элемент е, что а 0 е и ; = еС^а = а; элемент е называется элементом тождества д л я бинасц ной операции ф над G; J 3) к а ж д о м у элементу а в G соответствует такой элемент а - ' II G, что f^a = af^a-^ =е. Элемент называется обратными с учетом бинарной операции ф . _ ., - ' . i

•

J

П р и м е ч а н и е . Если бинарная операция ф обладает также и свойством ||пместительности, то группа [G, ffil называется абелевой. П р и м е р 3.3-1. Как и в предыдущих примерах, будем считать множество множеством всех действительных ограниченных причинных последовательностей. Нсть знак ф обозначает свертку, т. е, ф = *. Поскольку (а^, * 6;^.) * = I,' {Ь^*с^), значит операция свертки подчиняется закону сочетательности. Тож|м1|)енный элемент е равен единичному импульсу Ь^, т. е. е = е^ = 6;^ = 1 I, О, . . . О, О , . . . , и условие а^^ * е^^ = * Од, = удовлетворено. Обратная 1с'довательность а^' находится согласно определению, т. е. а^'* а^^ = 111,,* а ^ ' = 8^,. Но нулевая последовательность 0,0, . . . О , О , . . . не имеет себе ^||:1тной. Далее, не имеют себе обратных все неминимально-запаздывающие послеии.ггельности, содержащиеся в множестве G, так как обратные им последоваfii.HocTH были бы неограниченными и, следовательно, не были бы элементами («ижества G, поэтому множество всех действительных ограниченных причинных »«ледовательностей со сверткой в качестве бинарной операции не образует И'умпу. в то же время множество всех действительных минимально-запаздывающих (м.юдовательностей со сверткой в качестве бинарной операции образует rpynnyj ««Кольку обратные им последовательности будут тоже минимально-запаздываЧ1111МИ и принадлежащими к определяющему множеству всех действительных ииимально-запаздывающих последовательностей. Хотелось бы отметить, что множество всех действительных причинных ограшспных последовательностей со сложением в качестве биьарной операции обраtin группу, в этом случае нулевая последовательность является тождественным tfMOHTOM, а последовательность а ^ ' , обратная последовательности О/^, будет Итак, кепстральный оператор К отображает группу [G, *] на группу [G',-\- ], см G —множество всех действительных минимально-запаздывающих после«шельностей, а G'—множество всех действительных причинных ограниченных «.и'довательностей. Сравнив свойство (а) из (3.3 - 14) с определением 2, мы «илшли, что К является также и групповым гомоморфным преобразованием, .«(•стные линейные операторы Лапласа и Фурье отображают функции времени имиотственно в функции комплексной частоты и частоты, преобразование ГильЦпа является линейным отображением функций времени в функции времени, •111 и нелинейный (кепстральный) оператор отображает временные функции Р йроменные. Вспомним, что кепстр — временной отклик. (д'йчас, когда нам стали понятны некоторые из основных свойств кепстральцп оператора (группового гомоморфного преобразования) К, исследуем кепстр »- К (6^) действительной минимально-запаздьыающей последовательности Ь^. 1М1.,1Я забывать также о том, что временной отклик — важная величина Ш'годе спектральной факторизации, поскольку минимально-отрицательно-фазоН х,1рактеристика — в(ш) зависит от последовательности р;^, которая в свою очеМ1 ределяется по известной спектральной плотности мощности Ф (со). ).1давшись последовательностью 1, Ь^, frj, . . • н е е кепстром О, Pi, Pj, Pj, . . •|1гделим следующие величины.

^,1,1. Р е в е р с н а я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь и м.чданнок м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ е й

последовательности bk по-

i»'/liTi30M зеркального о т р а ж е н и я ее относительно начала коорди»{ можно образовать реверсную последовательность blk, которая бгдст минимально-опережающей. 103

Если

bl = 1,

b\,

b'2, . . . , TO ^bibk)

= B ' ( 2 ) = i;

где 60 = 1, a ; 2 ; < 1. Р е в е р с н а я последовательность a ее линейное отображение

где Ь'й = \ ,

^

biz",

^ = —6I9,

^ 6li,

m I , 0,

0,

a\z\<.\.

Ц

i

Вспомним, что I n 5 ' ( 2 ) = Pi2 + ^22^ + . . . я в л я с т с я причиним степенным рядом уравнения Колмогорова (кепс). Следователь* In В ' ( 2 - ' ) = .3i2-' + p2Z~2 -Ь . . . — антипричинный степенной р я д ур( нения Колмогорова. Заметим, что по з а д а н н о м у К (bk) = ?k, one) тор K{b'-k) п о л у ч а й с я з е р к а л ь н ы м отражением последовательное! относительно начала координат, т . е . Kib'~k)=?-kб;=1, bLk=

Ь[,

. . , 6 I 2 , b'-u

Ь2, . . . <г^К{Ь1)=0, 1, О, . . . ^ / ( ( б 1 4 =

Р ь З2, рз.

'

... р_з, р_2, Р _ ь О.О,

или минимально-запаздывающая последовательность причинный кепстр, миними но-опережающая последовательность <--<• антипричинный кепстр.

3.3.2, О б р а т н а я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь Вспомним, что множество всех действительных минимально-заш дывающих последовательностей с бинарной операцией свертки С разует абелевскую г р у п п у . Следовательно, к а ж д о м у элементу 'мн жества соответствует обратный элемент. Если задана последо! тельность bk, мо.жно определить обратную последовательность {bk соотношением bk* {bk)~^ = bk, где единичный импульс 8^ — тожД( венный элемент г р у п п ы . Таким образом, (6*)—'задается выражением А» ib'kt^=QT'lB'{z)l~^.

"

Функция l n [ S ' ( 2 ) ] - ' = — 1 п В ' ( г ) = = — р , 2 —Р222—З32З . . .

вательно, / С ( 6 ^ ) " ' = — р,, —Рг, —рз, . . . — кепстр обратной довательности {bk)~\ Заметим, что по заданному

кепстру

Рй

^ Слл

по

последовательности

кепстр /((й/г)~' можно найти путем з е р к а л ь н о г о о т р а ж е н и я пос довательности р* относительно положительной оси времени, Ti, Kib'k)-'

=-?k

или

минимально-запаздывающая последовательность причинный кепстр, o6paii минимально-запаздывающая последовательность <-->• отрицательный причин!» кепстр. ' ;щ 104

1.1,;{. Реверсно-обратная последовательность 'Ифсделим последовательность b'~k к а к обратную реверсной по11'ловательности. Учитывая предыдущее, степенной р я д уравнения »илмогорова д л я этой последовательности имеет вид: III [В' ( z - ' ) I - i = — In I S ' ( z - i ) ] = — |3iz-' — 1З22-2 - 13зг-з — . . . ; /С(б1,)-'=

. . . - ^ 3 . - 1 З 2 , - l 3 , . О, О, О, . . . .

I lo заданному К {bk) можно найти К путем зеркального |||1ал<ения последовательности K{b'k) относительно начала коордиwr н последующего зеркального отражения относительно отрицаМ1Л1>110Й оси времени. Д р у г о й способ определения K{b'-k)~^ по з а 1*1111ому К (6ft) з а к л ю ч а е т с я в симметричном отображении его отно[ИП'Льно положительной оси времени и в последующем зеркальном щглжтт полученного кепстра К {b'k}"^ относительно начала к о *|)Д11нат. В результате находим искомый кепстр / С ( ь 1 л ) ^ ' , равный N ,3_ft, и л и «(инмально-запаздывающая последовательность-*--» причинный кепстр, ревериин обратной минимально-запаздывающей последовательности реверiwli отрицательному причинному кепстру, обратная минимально-опережающая М'Лсдова тельное! ь-*-->-отрицательный антипричинный кепстр. Ранее мы получили соотношение между bk и 3ft в н е я в н о м виде, можно использовать д л я вычисления bk по [3ft (и наоборот) щ, уравнение (3.2-26)\ Попытаемся вывести соотношение между », н |3ft в явном виде, основываясь на понятии кепстра.

KiTopoe

Заменив в уравнении (3.2-25) 6ft на b'k, получим |: ' iMe

= 1.

\)}k+xz\

(3.3-15)

- J ( f e + 1)б;+,г* = у ; {k--y\)^k+xzK

(3.3-16)

+ 1)^*+'^* = S biz* ^ (/г -

' •

Перепишем уравнение 1

,

% B'{z) =

'

b'kzK

(3.3-15) в виде

•

•

' •

ft=0

1'аиее мы показали, что z-преобразование Л а п л а с а обратной подо вательности (б*)Г"' равно 1/JB'(Z). Используя это обстоятель­ ней, можно записать уравнение (3.3-16) в виде ii C L ( 6 ^ ~ ' • C L [ ( ^ + i)6;+i:i = c d ( ^ + О ^ - ч ; - ... (3-3-17) i Обратное z-преобразование Л а п л а с а , уравнения (3.3-17) дает

I г

•

?ft+,=^-i(6;)--y^~i)6;+,:,/г=о, ^

'

'

1,2(3.3-18) '

т

или

'

т)

=

= ^

( ь ; _ „ ) - ' . ^ = 0 . 1;2...,

(з.з:|

л=0

ЧТО в явном виде выражает спектр р* через миннмально-запаздь^Й ю щ у ю нормированную последовательность 6^. Рассмотрим следующие примеры: ... П р и м е р 3.3-2. Вспомним, что импульсная реакция однослойной сред» расомэтренная в разделе 2.2, имеет вид

[см.

уравнение (2.2-9) и рис. 2-5)].

Исключим, из этой реакции чистую задержку, обратившись к последовател ности О/,, чье г-преобразование Лапласа ,

-

Л(г) = г - ' х ^ « ' ( г ) = 1 ^ : ^ , | г Т < - ^ - - -

'

Ti

,

'

. ^'U

Переместив последовательность х^^^ вперед на одну единицу времени, | исключили

чистую

задержку

(линейную

фазовую

щую последовательности х^^К и тем самым запаздывающей последовательности

дали

составляющую), определение

прщ

минималк*

' которая не имеет нулей и полюв

а^^^хЗ

внутри круга, так как |''о''l обычно меньше единицу. В результате обратнй г-преобразования Лапласа выражения (2) имеем «б = г„--'Гог2; г2гЗ,_гЗ^^, Го^5. . . . .

.

Примем Го = 1 и Гх = 0,8. Пронормировав последовательность первый коэффициент равнялся 1, получаем: г ' = 1,0; - 0 , 8 ; 0.64; - 0 , 5 1 ; 0,41; - 0 , 3 3 ;

...,

С;

так, что1 .1 -- f(

где Oft = (l/ri) a j — нормированная последовательность. Теперь кепстр последовательности а^> имеющий вид временной последоватс/! ности «4 = 0,ai, . . . . можно найти с помощью рекуррентной формулы (3.2 Ь заменив на а^, а на а^. Проделав эту операцию, имеем: а.

-

-

•

=

а[ =

« 2 = « 2

—

1 — У " ! * * ! = 0 . 6 4 — 1 / 2 ( — 0 . в ) ( — 0 , 8 ) =0,32; 1

«3 = «3 «4 = а ;

-

"5 = «5

-

1

106

кепстр

=

г' 1^

2 — 3 « 2 « , = — 0,17; 2 — -^Ч<^2

1 Итак,

1'

0,8;

2

3

, —

= 0,11;

3 4 . "5 «3«2 — "5 "^"i

( а ^ ) последовательности

а,^ задается

последовав

И

в"1;тг>ю

К(а\)^

0; —0,8; 0,'32; —0,17; О , И ; — 0 , 6 ;

Обратная последователь-

"ипъ e l f c = . . . —0,33; 0,41; —0,51; 0,64; —0,8; 1,0; 0,0; 0,0; . . .

(6)

"илучается зеркальным отображением последовательности joj^}; относительно «||ч,1ла координат. Мы показали, что кепстр можно найти зеркальным отображением последо•ип'льиости ak = K{a'fi) относительно начала координат. Итак, К ("—л) = t. I I ' . кепстр последовательности a'_j^ задается последовательностью К{а'_^) = .-. - 0 , 0 6 ; 0,11; - 0 , 1 7 ; 0,32; —0,8; 0,0; 0,0; . . . (7) Найдем далее обратную последовательность (а^^)~', которая определяется кштношенисм

4*Ы~' =

5й-

(8)

Нам известно, что ( а ^ ) ~ ' существует, так как мы имеем дело с группой |'(', * ] , где G — множество всех действительных минимально-запаздывающих •нкледовательностей. В результате г-преобразования Лапласа равенства (8) имеем ^ ' ( 2 ) И ' ( г ) Г ' = 1. (9) |дс А' (г) = (1/ri) А{г) — нормированное г-преобразование Лапласа, т. е. г-преобрачиание Лапласа последовательности О/^. Из выражения (2) следует, что

Й пом случае {ч)~'

= 1^' ( г ) ] - ' = 1 + 0.8г.

Найдя обратное г-преобразование Лгпласа Рратная последовательность *

(И)

уравнения (11), получаем, что

( а ; , ) - ' = 1,0; 0,8; 0,0; 0,0; . . .

(12)

Эта последовательность — минимально-запаздывающая и состоит всего из двух •(Нулевых величин. Нами показано, что кепстр 7 ( ( а ^ ) ~ ' можно получить из /I (а^) путем симметрии относительно положительной оси времен, т. е. K{ai^~^ = "•-°ftигдоват^ьно, •

' ' ^С(вй)~' = 0 ; 0,8; —0,32; 0,17; —0,11; 0,06; . . .

" ''• '

(13)

1'еверсно-обратная последовательность ( ' а _ 1 | ~ ' находится зеркальным ото•(ижением обратной последовательности относительно начала координат: (aiLft)"' = • • • о>0' 0'^' ^'0; °'0; С"^) Эта последовательность является антипричинной и минимально-опережающей tm-rp /C(a_ft)~' можно получить зеркальным отображением кепстра Д (а^),отно<«icvii>Ho начала координат и последующей симметрией относительно отрицатель• il оси времени, т. е. / C ( a L ; ^ ) ~ ' =='—a_k- Отсюда г

^ ( а 1 д , ) - ' = . . . 0,06; —0,11; 0.17; —0,32; 0,8; 0,0; 0,0; 0.0; . . .

(15)

Чтобы получить кепстр а^, не прибегая к рекуррентной формуле (3.2-26). •wiin действовать в соответствии : с определением кепстрального оператора К; 1,1., / C ( a ; ) = C 2 : ' o I n O C i . ( a ' f t ) : L

? .

1<Ы-= ^Г\{^пА'

(г)) =

е'{ (r+^sijl) =

' Г ' {-'"•(• + .0.8 107

;: Но функцию In (1 + аг) можно разложить в степенной ряд [69] 1п(1 +

аг)=у-у22+-^г«-

(17

или

• tfj.

1п(1+аг)=2' ( - 1 )k^ + '

'г

<

fc-i который является рядом Маклорена и содержит единичный круг в области свой 'сходимости. Для а = 0,8 * К ( 4 ) = СГ'{-1п(1 + 0,8г)} = 0 ; —0,8; 0,32: —0,17; . . . An

4

n i < 0 -1

-1 \1 • f •

,

-S ^.-3

-1

0

о

41

ж

-t-4

-6

'• 8

-S -4 -3 -2

-n -в

-1

/

J 1 -

a0

-I-/ An

0-

2

3

4

К К )

S

В

I

' I - till

а* fi

-1

РиС. 3-4. Нормированная последовательность из примера 3. 3-2 и образован; ные из нее реверсная, обратная и реверсно-обратная последовательности с со01>| ветствующими кепстрами для коэффициентов отражения = 1,0 и /-1^=0,8. ? М и н и м а л ь н о - о п е р е ж а ю щ и е (а, в) и с о о т в е т с т в у ю щ и е им м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ и е (5,1 ф у н к ц и и ; а н т и п р и ч и н н ы е ( б , г) и о т в е ч а ю щ и е им п р и ч и н н ы е (е, з) ф у н к ц и и . Л д — норн»! рованная амплитуда последовательности

На рис. 3-4 изображены жены iпоследовательности а]^, a__j^, ( а ^ ] " ' ' (а_к\ ' и соотщ ствующие им кепстры k (с иЛ:{а1;^)-'-Изрис.З-4, а, 6. й , | Следует, что кепстр минимально-запаздывающей или минимально-опережающИг последовательности, т. е. или а_к, затухает со временем быстрее, чем исхол; Ная временная последовательность. Это явление можно объяснить наличием ЧЩ1 108

17/ в разложении функции In ( 1 + а г ) в степенной ряд (18). Из рис. 3-4, в, г, * , :i видно, что кепстр минимально-запаздывающей или минимально-опережающей конечной последовательности, т. е; ( а ^ ) " ' или ( а ^ ^ ^ ) ~ ' , является бесконечной (юс'лодовательностью. Этот факт можно также объяснить свойством разложения II рид (18) и тем обстоятельством, что логарифмическое гомоморфное преобразовамиг, содержащееся в кепстральном операторе, может иногда приводить к разло•ш'миям в бесконечный ряд. В примере 3.3-4 будет доказано, что кепстры после((пиательностей, имеющих рациональные z-преобразовання Лапласа, являются Лгеконечными последовательностями, но что не все кепстры бесконечны. П р и м е р 3.3-3. В данный момент кепстр представляется нам лишь абстракт(II.1M понятием, включающим групповое гомоморфное преобразование К и связан- име с ним математические свойства и операции. Тем не менее мы осознаем, что «гпстр имеет определенный смысл при разложении на множители спектра мощ­ ности Ф(ш), но остается неясным, каким образом он связан с временными рядами, (|'|тикающими при возбуждении среды импульсными источниками, и к а к можно *|11|1ективно использовать, кепстр, чтобы помочь геофизику в изучении глубин­ ного геологического строения, а точнее, в нахождении последовательности отра/м'пий О, ^1, Г2 . . . в Л?-слойной среде. В примере 3.3-2 мы рассмотрели однослойную модель среды (см. раздел 2-2) II устранили чистую задержку из импульсной реакции посредством опредеиния последовательности

= д:^:^\. Затем мы пронормировали

ю'рвый член последовательности кепстр К (flfe) =

так,

чтобы

равнялся единице, и можно было получать

либо с помощью рекуррентной формулы

(3.2 - 26), либо непо-

используя кепстральный оператор К [см. уравнение (3.3-13)]. Решим теперь практическую задачу извлечения известного волнового импульса

||1едственно

III сочника Ьд, из заданного нормированного временного ряда a ^ , = . l , а , , Cj, . . . I помощью кепстра. Если пропустить цеакцией

{al)'~\

то мы сможем

через линейный фильтр с

извлечь

волновой

импульс

импульсной

источника

8^,

ппскольку а\ * (aV)^' = ^'k' Следовательно, проблема заключается в том, чтобы сконструировать фильтр, имеющий импульсную реакцию ( а ^ ) " " ' . Подобный фильтр иногда называют об(пП'пым фильтром или оператором деконволюции. Классическое решение этой «плачи состоит в 2-преобразовании Лапласа временного ряда и получении • результате функции А' (г), нахождении функции, обратной А' (г), т; е. функции 1, и в последующем—в определении обратного г-преобразования Лапйиеа функции 1/Л'(г), т. е. последовательности ( а ^ ) ~ ' Решим ту же самую задачу с помощью кепстра. Вспомним, что кепстр после|||1Ительности

получается в результате

выполнения

следующих

операций:

* 8^) = К ( 4 ) + К (5ft) = «ft + О, где К (8^) = {0} — нулевая последоваН'ЛЬНОСТЬ. Как было показано выше, Д ' " ' ( —а,^) = а ^ Ч Таким образом, при решении мдичи с помощью кепстра нужно сначала найти кепстр К (а^) = aft нормированКиго временного ряда aj^, затем посредством

вычислить

симметричного отображения

обращение

последовательности

—«д, и, наконец, применив

обратный

кепстральный оператор (—с^,), получить ( 4 ) " " ' . Если внимательно изучить оба подхода к решению поставленной задачи, то скажется, что они идентичны в аспекте использования абстрактных математи'шеких операций. Чтобы уяснить этот момент, выпишем операции, используемые I каждом случае.

109

3.3.4. Классический подход

^ .

•

. т

(1). З а д а в ш и с ь множеством G действительных минимально-запаз­ д ы в а ю щ и х п о с л е д о в а т е л ь н о с т е й с б и н а р н о й о п е р а ц и е й свертки, р а с с м о т р и м г р у п п о в о е г о м о м о р ф н о е п р е о б р а з о в а н и е gz." * 8*) =

(ai)

• CL(8*) =

А'(z)

• 1.

Ф у н к ц и я C L я в л я е т с я г р у п п о в ы м , гомоморфным преобразованием, так к а к она отображает группу со сверткой ]0, *[ в группу с умножением ^G, -j. Здесь G' — множество всех минимально-запазды­ в а ю щ и х 2-преобразований Л а п л а с а с бинарной операцией умноже­ н и я . В техническом смысле мы просто вычислили 2-преобразование Л а п л а с а последовательности а^. (2) . П о с к о л ь к у ф у н к ц и я C L отобразила г р у п п у со сверткой в группу с умножением, любые математические операции, выполняе­ мые над упорядоченной парой [А'(z), IJ, будут бинарными опера­ циями умножения. По определению, обращение группы с умножением задается со­ отношением Л ' ( 2 ) • [ Л ' ( г ) ] ~ ' = I , где тождественным элементом в г р у п п е я в л я е т с я единица. В техническом смысле мы вычислили об­ р а щ е н и е функции А'(г), т.е. l/A'{z). (3) . Р а с п о л а г а я упорядоченной парой WA'(z), К, рассмотрим обратное групповое гомоморфное преобразование С ^ ' , которое отоб­ р а ж а е т ;G, •{ на IG, *;|: ^1'

: 5 ^ . I ]

=

C L - ' { ^ } * C L - { I } = K ) - * S .

' Отметим важное свойство группового гомоморфного преобразо­ в а н и я C L , з а к л ю ч а ю щ е е с я в том, что оно отображает тождествен­ ный элемент, группы '(G, *j, т. е. 8*, на тождественный элемент группы | G ' , -1, т . е. н а 1. Аналогично С Г ' отображает обратный элемент группы [G, •;, а именно ^А'{zy-^ = 1/А'(z), rfa обратный элемемент г р у п п ы ;G, * 1 , т . е. ( а * ) " ' . В техническом смысле мы просто вычислили обратное г-преобразование Лапласа сэункции 1М'(2).

И т а к , р а с с у ж д а я в а б с т р а к т н о м с м ы с л е , м ы постоянно исполь­ з о в а л и в т е х н и к е г о м о м о р ф н ы е п р е о б р а з о в а н и я . Д л я рассмотрен­ ных в ы ш е групп z - п р е о б р а з о в а н и е Л а п л а с а по существу является гомоморфным преобразованием. 3.3.5. Кепстровый

подход

(1). Р а с п о л а г а я группой jG, * ] , рассмотрим другое групповое гомоморс])ное преобразование, называемое кепстральным операто­ ром К. В этом случае К (al *bk) = K Ifi'k) + К (bk) = а* + О,

1де групповое гомоморфное преобразование К отображает группу II) сверткой [G, * ] на группу со сложением [G, + ] , причем G' — множество всех действительных причинных кепстров с бинарной шюрацией с л о ж е н и я . Этот ш а г аналогичен вычислению 2-преобрашвания Л а п л а с а последовательности a'k при классическом подходе. (2) . П о с к о л ь к у оператор К о т о б р а з и л г р у п п у со сверткой на ipynny со сложением, любые математические операции, выполняе­ мые нами над упорядоченной парой [ak, 0), б у д у т бинарными опера­ циями с л о ж е н и я . По определению, обращение группы со сложе­ нием равно

|де тождественный элемент этой г р у п п ы — н у л е в а я последовательместь О, а a i r ' = — [о-к]. Этот ш а г аналогичен вычислению обраще­ ния [А'{z)'\-^ в «комплексной» г-области, когда в подобном случае имчисляется аналогичное обращение в кепстральной области, кото­ рая по существу я в л я е т с я «действительной» временной областью. (3) . Р а с п о л а г а я упорядоченной парой ( — а ^ , 0), рассмотрим об­ ратный к е п с т р а л ь н ы й оператор / С - ' , который о т о б р а ж а е т [ С , -(-^ ма iG, ( - aft + 0) =

i-ak)

*

(0) = ia'k)-' * Sft.

Опять отмечаем важное свойство группового гомоморфного препбразования о т о б р а ж а т ь обратный элемент группы ]G, -|-; на об­ ратный элемент группы G, * ] , а тождественный элемент группы I ' ' ' . + } — на тождественный элемент группы ]0, *[. Этот ш а г ана­ логичен вычислению обратного г-преобразования Л а п л а с а о у н к ц и и 1/Л'(г). Независимо от того, к а к о й подход используется, с у т ь рассмот­ ренного выше примера з а к л ю ч а е т с я в следующем: а) при классическом подходе к обратной фильтрации или декон­ волюции мы синтезируем обратный фильтр ( а * ) " ' в комплексной /•плоскости, и с п о л ь з у я бинарную операцию умножения; б) при кепстровом подходе к обратной фильтрации или, деконАолюции мы синтезируем обратный фильтр (а*)""' в «действитель­ ном» временном представлении, используя бинарную операцию 1ложения. Б о л е е того, в обоих' с л у ч а я х волновой импульс источни­ ка Sft предполагается известным и равным минимально-запаздываю­ щему единичному и м п у л ь с у 8ft. Н а практике источник обычно бы«ает смешанного — з а п а з д ы в а ю щ е - о п е р е ж а ю щ е г о типа, т. е. имеет нули внутри и вне единичного к р у г а . Передаточная ф у н к ц и я Я ^ ' ( г ) и обще.м случае т о ж е запаздывающе-опережающего типа. Позднее Ml.: рассмотрим эти варианты в с в я з и с проблемой синтеза обратных IЩльтров и обсудим достоинства классического и кепстрового под­ золов. П р и м е р 3.3-4. Важным является класс последовательностей, имеющих рнцпональные г-преобразования Лапласа. В частности, нами показано, что пере111

даточную функцию функцией вида

Л^-слойной

среды можно

аппроксимировать

рационально!!

где Го. rf. Гг. • - - . — небольшие вещественные числа (группирующиеся вокруг нуля), представляющие собой коэффициенты отражения глубинных слоев, а коэ()фициенты Ф^*—функции последовательной корреляции, задаваемые выражением

Теперь уравнение (1) можно записать так:

f ( г )

=

1

+ ф(Л^) ^ ^ ф д а г-' + . . . + ф W)

J :

*

Исследуем кепстр a;f" нормированной импульсной реакции

iV-слойной

системы. При этом определим нормированную импульсную реакцию (а*)*^' =" i= г ~ ' f'j^x как имеющую единичную амплитуду в момент времени ^ = 0. Приня» (A'f^^(z) = (riz)"^F^^\z)

и Разложив (3) на множители, получим: (A'i^Hz)

=

>1оП(1+а,.г) П (1 + й-з) (1 + biz) П (1 + с.-г"') П U +

—N

i^t N

П (1 + /п,г) П (1 + V ) (1 + i=i »=1 где

1=1

t^i

N

N

П (1 +

П (1 + i=i

1=1

Л'

л?

о — Л'

W

+

ft>-') .

'

> [V

+ /.г"')

ns,ni^.p

1=1

»

,

1=1

| а , | < 1 , | Ь , | < 1 . | с , | < 1 . \.\\<1. | т ; 1 < 1 , | n , | < l , | s , l < l . | ^-1 < ' | причем в(, Cj, т,- и s,- — вещественные числа, аft,-.Л,-, п,- и /,— комплексные числи, Ради математической простоты мы представили (3) в виде (4). Сейчас стало ясно, что (Л')''^'(2) может иметь только N нулей и N полюсов, а фактически только Л' — 1 конечных нулей и N конечных полюсов. Приравняв необходимые коэффициенты к нулю, т. е. приняв некоторые из = О, некоторые из =О и т. д . можно прийти к истинной факторизации функции ( Л ' ) ^ ( 2 ) . Как бы то ни было, разложение вида (4) упростит наши выкладки при вычислении кепстро функции (aj^y^'Нули и полюсы функции (Л')*^' (Z) не обязательно должны быть простыми; более того, мы показали, что они могут быть либо действительными, либо ком­ плексными числами. Поскольку коэффициенты отражения у нас всегда действи­ тельные числа, в сопряженных парах должны находиться любые комплексные полюсы или нули. Возможность подобной факторизации учтена в разложении (4).

Множители (l + a^z) и (1 + 6j-z)(l + &*г) представляют собой вещественные II комплексно-сопряженные минимально-запаздывающие нули функции (Л')('^)(г),, I с. нули вне единичного круга, а множители вида (1 + m,z) и (1 + п,г)Х (I + n*z) характеризуют минимально-запаздывающие полюсы функции

(A'^^'iz),

I (!. полюсы вне единичного круга. Аналогично минимально-опережающие нули, т. е. нули внутри единичного круга, характеризуются вещественными множителями вида ( 1 - f c^z—') и комплексно-сопряженными множителями вида I-/ijZ—ijj^l _|_/1*г—>).

Полюсы,

расположенные

внутри

единичного

круга,

представлены множителями вида ( l - { - s , . z - ' ) и ( l - t - < , . z - ' ) ( l + ^*z-'). Согласно ||н:)нческим представлениям, знаменатель функции {А')^{г), т. е. характеристи­ ческий многочлен, всегда будет минимально-запаздывающим. Следовательно, г практической точки зрения нам должны быть безразличны полюсы, находя­ щиеся внутри единичного круга или множители вида (1 и (I ^jZ"') X Ранее мы показали, что все минимально-запаздывающие последовательности, a,z), обладают кепстрами вида 'И. II z-преобразования Лапласа имеют вид ^Г'

I' +

] =

^

' • * = О, а , — действительные.

(5)

Воспользовавшись выражением (5) как основным строительным элементом, можно найти кепстр нормированной импульсной реакции а'^^^К Реверсная послеЛонательность, соответствующая кепстру (5), имеет своим г-преобразованием Липласа сумму 1 - | - г ~ ' для а,.| < 1. Вспомним, что кепстр этой зеркально' птображенной минимально-запаздывающей последовательности находится зеркальiii.iM отображением кепстра исходной минимально-запаздывающей последователь­ ности. Учитывая это свойство, приходим к выводу, что кепстр, соответствующий множителю I - | - f ^ z ~ ' и обозначаемый 7,,, имеет вид 7 *=

{In ' 1 + c^z'

I

= (—0^ Cj

^ ^ o_ ^. _ действительные.

(6)

Обратная последовательность, соответствующая выражению (5), имеет своим / преобразованием Лапласа функцию 1 / (1-j-a,.z), где а ^ ' < 1 . Вспомним, что шнстр обратной последовательности находится путем симметричного отражения «енстра исходной минимально-запаздывающей последовательности [см. урав­ нение (5)] относительно положительной оси времени. Учтя это свойство, при(однм к выводу, что кепстр, связанный с 1 / (1 + m^z) и обозначаемый имеет вид = — С~'Пп [1 + m,-zlj} =

, k>

О, mi действительные.

(7>

k Реверсно-обратная последовательность, связанная с (5), имеет своим г-преиЛразованием Лапласа функцию 1 / (1 -f a,-z~"', где О;' < 1. Вспомним, что кепстр репсрсно-обратной последовательности можно найти зеркальным отображением^ кепстра исходной минимально-запаздывающей последовательности (5) относительно ИИ чала координат с последующим отображением относительно отрицательной оси иремени. С учетом этой особенности кепстр, связанный с множителем 1/(14II обозначаемый а^, задается выражением 0^ = —

{In [ 1 + s^z]\

'

= ^ i z l l ! i L , k <0,

— действительные.

(8) 113.

/

.

Т "

Теперь исследуем кепстр последовательности, имеющей комплексно-сопряже|| «ые полюсы и нули. Возьмем минимально-запаздывающую последовательность, чье г-преобразование Лапласа имеет вид (1 + б^-г) (1 + Ь*г). Взяв за исходный пункт определение кепстрального оператора К, находим, что кепстр данной последовательности, обозначенный Pj^, можно представить в виде P. = t i p ?

+ t

W

,

.

>

„

.

;

%

Но й,-— комплексное число, которое можно записать в виде 6^ = 1б£:ехр(1Фб.), Ь; = 56г;ехр

(Ю)

Следовательно, уравнение (9) можно записать так: / _ 1)6+1 , , • ь h - — ^ 1*^/ [ехр(^ЙФь.) + е х р ) - 1 А Ф ^ ^ ) ; .

(11)

Приняв во внимание, что cos кФ^,= 1/2 [ехр (гйФ^.) + ехр (—гйФ(,.)Г, пол}* чаем: ^^^2(-1)^^1^^1'^^^^ф^^^

fe>0.

(12)

Если зеркально отобразить уравнение (12) относительно начала координат, получим кепстр минимально-запа'здывающей последовательности, имеющей своим z-преобразованием Лапласа произведение (1 + б^г""') ( 1 - f 6*г~')'Приходим к выводу, что множители вида '(1 - f ftj-z"')' ( l + Л*2~') обладают кепстром -fj^^ вида ,l^ = ^ I = i > ! , U . i - f t c o s ЙФ^,,

fe<0.

(13)

Приняв во внимание свойства обратной и реверсно-обратной последователь«остей, можно показать, что множители вида 1 / ( 1 - f "i^l X i( 1-|-п^г) имеют кепстр ч^г задаваемый выражением ^ =

I

a множители вида 1 / | 1 + ZlllziD^

(U)

f cos кФп., k>o,

| l + ^Jz"') имеют кепстр т^^:

^i-i

[t^l-k cos k Ф(., k < О.

(15)

Таким образом, кепстр нормированной импульсной реакции (а^У^' можно найти путем сложения кепстров каждого из множителей в (4). (Помните, чтА кепстр свертки двух последовательностей равен сумме их кепстров). Учитывай уравнения (5), (6), (7), (8), (12), (13), (14), (15) и рассматривая произведение всех множителей в (4) в качестве свертки минимально-запаздывающих, реверсных и обратно-реверсных последовательностей, получаем кепстр функции (а^)*'^*. обо­ значенный и имеющий вид

.

=.г=У^:<^г*+2!л.г*соз.Ф,^:-

.

= In л для

=

0

и Л„ >

(16)

0;

N

(=1 -

S

f'"^+^ I " '• I

'

"

^^ °'

1=1 (111- предполагается, что знак у Ло положительный.. Уравнение (16) является наиболее общим видом кепстра последовательности I рациональным г-преобразованием Лапласа. Кепстр таких последовательностей ,ш естьбесконечная последовательность. При > О постоянные кепстра а^, 6,-, /п,и III связаны с минимально-запаздывающей частью функции (Л')*^' (z), а при * •: О постоянные кепстра с,-, ft,-, s^. и связаны с минимально-опережающей частью рациональной функции (Л')'^* (г). В действительности постоянные — а 7 ' , , /),^') и (—&*•),""' являются нулями вне единичного круга, а — т т ' ,

—

'

" (—"^i*)"'—полюсами вне единичного круга. Таким образом, мы установили 'Низь между методом спектральной факторизации и кепстром. Форма временной реакции степенного ряда уравнения Колмогорова (форма • ••Петра) при k > О определяется минимально-запаздывающими полюсами и нулями. iia временная реакция соответствует коэффициентам [см. уравнение (3.2-45) т действительных сигналов] и содержит затухающие косинусные члены, причем шпень затухания и частота колебаний контролируются абсолютными величи1111МИ и аргументами минимально-запаздывающих полюсов и нулей. Следовательно, ч'мстр может служить индикатором минимально-опережающих, смешанных запаз11.||1ающе-опережающих и минимально-запаздывающих последовательностей. Если и'пстр существует только при k < О, то последовательность минимально-опере*|||ощая, если же кепстр существует только при * > О, значит, последователь"мсть минимально-запаздывающая. Мы убедились также в том, что «кепстральное» время и «реальное» время — nil одно и то же. В кепстральном времени всегда можно наблюдать одновременно ||||||П1лое и будущее, что не соответствует нашему пониманию реального времени. Ипчтому следует помнить, что кепстр как временная реакция не является функHiu'ii реального времени. З а в е р ш а я д а н н ы й р а з д е л , х о т е л о с ь бы п о д ч е р к н у т ь , что не все м'пстры — б е с к о н е ч н ы е п о с л е д о в а т е л ь н о с т и . Н а п р и м е р , п о с л е д о шггельность 1; 1; 1/2; 1/6; 1/24; 1 / 1 2 0 , . . . , есть не что иное, к а к l/i'l при k = 0; 1; 2 , . . . . К е п с т р д а н н о й п о с л е д о в а т е л ь н о с т и р а в е н Л|, I, т. е. е д и н и ч н о м у и м п у л ь с у в м о м е н т в р е м е н и k=l. В то ж е ця'мя 2 - п р е о б р а з о в а н и е Л а п л а с а п у н к ц и и 1/fe! р а в н о е^, т. е. з а (н'домо н е р а ц и о н а л ь н о й ф у н к ц и и . М о ж н о о ж и д а т ь , что и м п у л ь с ­ ные р е а к ц и и л и н е й н ы х и н в а р и а н т н ы х во в р е м е н и систем о б л а д а ю т йееконечными к е п с т р а м и , но ^при э т о м н а д о и м е т ь в в и д у , что никоторые в о л н о в ы е и м п у л ь с ы и с т о ч н и к а м о г у т не х а р а к т е р и з о «иться р а ц и о н а л ь н ы м и z - п р е о б р а з о в а н и я м и Л а п л а с а . Е с л и э т о т а к , ill м о ж е т о к а з а т ь с я , что к е п с т р ы н е к о т о р ы х в о л н о в ы х и м п у л ь с о в f

115

"1 и1;шчника будут конечными последовательностями, подобных i кепстру функции 1 / ^ "! :' : 1 I В любом случае мы надеемся, что понятия гомоморфных пр' 1, образований и спектральной Факторизации помогли осозна! I кепстр как осмысленную идею, используемую при обработке ci^ [ налов. Мы хотели показать инженеру, что он пользуется гош | морфными преобразованиями постояннЬ и что абстрактные ото \ ражения находят практическое применение, например, при разщ \ жении на множители спектра мощности процесса или при отобр I жении свертки на сложение и т. п. Независимо от того, как(1 i точки зрения придерживаться, самое главное — не забывать см^ ела термина «кепстр», т. е. того, что в результате этой трансфер j мации мы фактически разлагаем спектр наблюдаемого сигнале! на множители. . ' ' 1 В следующей главе мы свяжем кепстр и его возможности в ot i ношении спектральной факторизации с идеей деконволюции. ..

. ^. .

.....

-.

......

.

.

Ы J

г глава 4 ДЕКОНВОЛЮЦИЯ

4,1. ПРЕДСКАЗЫВАЮЩАЯ ДЕКОНВОЛЮЦИЯ

В предыдущих г л а в а х мы проследили эволюцию геофизических лоделей, рассмотрели статистические с о о б р а ж е н и я при их интер­ претации и п о к а з а л и в а ж н о с т ь понимания главного физического Процесса, описываемого моделью. С н а ч а л а мы рассмотрели сей­ смический метод о т р а ж е н н ы х волн, который был смоделирован с помощью свертки. П р и этом на входе линейной, инвариантной во времени системы с импульсной реакцией fk мы имели н а ч а л ь ­ ный волновой импульс Sft, а на выходе — свободные от помех отраженные волны Хк. М ы заметили, что подобные модели есть и в других о б л а с т я х науки, например в радиолокации и звуковой локации, где имеют д е л о с суперпозицией сигналов близкой фор­ мы, но с различными а м п л и т у д а м и и ф а з а м и . Геофизика-разведчика интересует глубинное геологическое строение, в частности коэффициенты о т р а ж е н и я . В модели, ос­ нованной на свертке, коэффициенты о т р а ж е н и я не поддаются наблюдению, т. е. отсутствует я в н а я зависимость м е ж д у н а б л ю ­ даемым геофизическим в р е м е н н й м рядом -и искомыми коэ(Ьфициентами о т р а ж е н и я . Это привело н а с к созданию слоистой мо­ дели с передаточной функцией Л ^ ' ( 2 ) в виде стандартного ре­ курсивного цифрового фильтра. Учтя физические с о о б р а ж е н и я и приближения, удалось получить передаточную функцию, содер­ ж а щ у ю коэффициенты о т р а ж е н и я в явном виде [см. уравнение (2.4-13)]. П е р е д а т о ч н а я Функция (2.4-13) справедлива, в слу­ чае м а л ы х коэффициентов о т р а ж е н и я , т. е. когда Гп < 0 , 1 . Более того, числитель в ы р а ж е н и я передаточной функции являет­ ся в точности 2-преобразованием Л а п л а с а последовательности коэффициентов о т р а ж е н и я О, г ь гг, г„ ]см. уравнение (2.4-12)], а з н а м е н а т е л ь — 2-преобразованием Л а п л а с а Функции последовательной корреляции коэффициентов о т р а ж е н и я ]см. уравнение (2.4-8)]. Уравнение (2.4-13) служит математиче­ ским обоснованием сейсмической модели Робинсона, описанной в р а з д е л е 1.5. . Итак, хорощо понимая физику слоистой модели, попытаемся найти последовательность коэффициентов отражения О, ги гг, . . . , % по свободному от помех наблюдаемому временному ряду, т. е. по наблюдаемой сейсмограмме отраженных волн x'k. При объяснении различных методов рещения этой з а д а ч и будем всегда рас­ с м а т р и в а т ь совместно физические модели и соответствующий им математический а п п а р а т . Хорошее понимание сризичеекой стороны д е л а позволит подобрать математический а п п а р а т , отвечающий 117

ф и з и ч е с к о й з а д а ч е , и не з а т е р я т ь с я в с а м и х м а т е м а т и ч е с к и е методах. | О п р е д е л е н и е д е к о н в о л ю ц и и . Д е к о н в о л ю д и я есть разлом жение наблюденного временного ряда, образованного свертко^ многочисленных с и г н а л о в , на его с о с т а в н ы е ч а с т и . Х о т я процесс свертки в к л ю ч а е т л и н е й н ы е п р е о б р а з о в а н и я , д е . к о н в о л ю ц и я не п р и н а д л е ж и т к к л а с с у л и н е й н ы х п р е о б р а з о в а н и й , т. е. с у щ е с т в у ю т н е л и н е й н ы е п р е о б р а з о в а н и я , р е а л и з у ю щ и е npoi цесс д е к о н в о л ю ц и и . Н а п о м н и м в к р а т ц е т е о р и ю с в е р т к и . Когда два ряда Л о р а н а V .

S

akzK

S

B{z)=

I

п е р е м н о ж а ю т с я , то в о з н и к а е т н о в ы й р я д того ж е в и д а :

:

|

S CkZK ' ft=_« ^ связаны с коэфсэициентами а

С(2) = Л ( 2 ) В ( 2 ) = Новые коэффициенты и bk соотношением

с* р я д а

C(z)

со

Cft=

S

ak~„bn,

k = 0, ±1,

±2,

...

(4.1-11

Последовательность {Ck)l^ называется с в е р т к о й последователь| ностей {ak)l^ и {bk)-«.. Ч т о б ы получить аналог этой операции в не-| прерывном времени, н у ж н о перемножить два двусторонних интеграла Лапласа: , , , . , . s Л(8)= f

ait)e-'*dlt,

B(s)=

j

b{t)e-'tdL.'--'-

в результате перемножения получаем

C{s) = A{s)B(s)^

f

.

'/^ LI . '

;

c(t)e-4t.

где •л

с(/)= I

a(/-T)6(x)dx.

Д а н н а я комбинация функций настолько часто встречается в теории л и н е й н ы х систем, что ее м о ж н о с ч и т а т ь одной из наи­ более фундаментальных операций анализа. Прекрасно, что сейсмический м е т о д о т р а ж е н н ы х в о л н м о ж н о п р и е м л е м о а п п р о к с и ­ м и р о в а т ь м о д е л ь ю , основанной на свертке. Б о л е е того, п р е д с т а в ­ л е н и е д р у г и х физических (речь) или э к о н о м и ч е с к и х ( п р е д с к а з а ­ ние цен и о б ъ е м а п р о и з в о д с т в а , п р е д с к а з а н и е ц и к л о в д е л о в о й а к т и в н о с т и ) процессов в в и д е в р е м е н н ы х р я д о в ч а с т о у п р о щ а е т ­ ся путем линейной а п п р о к с и м а ц и и и з у ч а е м о г о процесса. Д а д и м ф о р м а л ь н о е описание л и н е й н о й системы. 118

Определение линейной системы. Система или процесс является просто предписанной связью между двумя величинами, обычно на­ зываемыми входным Sk и выходным Xk сигналами системы где стрелка означает, что входной сигнал Sk вызывает появление выходного сигнала Xk. Система называется л и н е й н о й тогда (и только тогда), когда она удовлетворяет двум теоремам: ., • . .s 1) теореме сложения (принцип суперпозиции): ' '

если 4 ' > - 4 " и si'>^xi'\

то

si»^-sf-4'^-г4^»;

2) теореме умножения: если Sk-^Xky то csk-^cxky где с — в общем случае комплексная постоянная. Система, не удовлетворяющая обеим теоремам, называется не­ л и н е й н о й с и с т е м о й . Система называется также и н в а р и а н т ­ н о й во времени или и н в а р и а н т н о й к сдвигу, если соотношение между Sk и Xk не зависит от времени, т. е. если Sk Xky то Sk-n Xk-n^

Располагая определениями свертки и линейной инвариантной к сдвигу системы, посмотрим, каким образом операция свертки ис­ пользуется при изучении линейных инвариантных систем. По опре­ делению, импульсная реакция Д линейной инвариантной к сдвигу системы является реакцией на единичный импульс 8*: Так как система инвариантна во времени, можно записать; .

bk-n

fk-n^

Из теоремы умножения следует, что

; •

- Из теоремы сложения {принципа суперпозиции) линейных систем 00

А

'

-

'

Л

=

—

о

00

о

Л=—оо

Но нам известно, что S f t =

S

.):'•••'•'•.•••

'

поэтому

П——оо

•

•

•

г.

.,

Sk-^Xk.

•••

1'

'

• •

Отсюда получаем . ;;

- ••

Xk=

^

Л=—00

Snfk^n

'

'

или, изменив нижний индекс на m = k — n, получим выражение оо

Xk=

]1

fmSk-m,

(4.1-2)

которое определяет све]ртку последовательностей Д и s^. 119

Итак, подав на вход линейной инвариантной к сдвигу системы! с импульсной реакцией Д сигнал s*, на выходе можно получить сигнал Xk посредством свертки (4.1-2). Познакомившись с операцией свертки, линейными инвариантными' к сдвигу системами и понятием деконволюции, рассмотрим метод предсказывающей деконволюции. ' П р е ж д е чем перейти непосредственно к математическим де­ т а л я м метода п р е д с к а з ы в а ю щ е й деконволюции, проследим исто­ рическую эволюцию этого понятия, п о к а з а в , к а к его р а з р а б о т к а б ы л а с в я з а н а с з а д а ч е й подавления реверберации в водном слое и кратных о т р а ж е н и й других типов. К а к отмечалось в гл. 1, сей­ смические методы, р а з р а б о т а н н ы е в 1930-х и н а ч а л е 1940-х годов, не были достаточно эффективны при р а з в е д к е во многих потенци­ ально нефтегазоносных р а й о н а х мира. В частности, они о к а з а ­ лись практически безрезультатными при р а з в е д к е морского ш е л ь ф а из-за реверберации в водном слое. Впервые с проблемой реверберации в водном слое столкнулись при сейсморазведочных р а б о т а х в Персидском з а л и в е и на озере М а р а к а й б о в Венесуэле в 40-х годах. И н т е р п р е т а т о р сейсморазведочных д а н н ы х заинтересован в извлечении полезного сигнала, представленного «глубокими» от­ р а ж е н и я м и от потенциально н е ф т е г а з с о д е р ж а щ и х слоев горных пород, из записи, осложненной огромным количеством помех (бесполезных кратных о т р а ж е н и й ) и шумов измерения. М о р с к и е сейсмограммы представляют собой зарегистрированную сейсмоприемниками реакцию водного и глубинных слоев на сейсмиче­ ское воздействие. Сейсмический источник при морской сейсмо­ р а з в е д к е (им может быть, например, пневматическая п у ш к а или 7—12 кг д и н а м и т а , взорванные в 1—2 м под поверхностью воды) создает возмущение, которое можно (в сейсмическом м а с ш т а б е времени) считать положительным импульсом д а в л е н и я '2Ъ\. Сейсмоприемники (в морской сейсморазведке это д а т ч и к и ' д а в ­ ления) преобразуют вариации д а в л е н и я в вариации электриче­ ского н а п р я ж е н и я , которые регистрируются в виде сейсмограммы. П р и морской сейсморазведке граница вода—воздух я в л я е т с я сильным плоским о т р а ж а т е л е м . В наших обозначениях коэффи­ циент о т р а ж е н и я от границы воЬдух—вода Го, поэтому к о э ф ф и ­ циент о т р а ж е н и я от границы вода—воздух будет — го. В слу­ чае плоской волны, п а д а ю щ е й на границу вода—воздух, поло­ ж и т е л ь н ы й избыток д а в л е н и я в п а д а ю щ е й волне о т р а ж а е т с я в виде отрицательного избытка д а в л е н и я , т. е. с ж а т и е о т р а ж а е т ­ ся р а з р е ж е н и е м . Во всех практических случаях можно считать, что коэффициент о т р а ж е н и я от границы р а з д е л а вода—воздух—Го равен приблизительно — 1, т. е. коэффициент о т р а ж е н и я от границы воздух—вода Г о = 1 . Во многих районах граница в о д а дно, т а к ж е является сильным , о т р а ж а т е л е м , поэтому образуется энергетическая ловушка в виде непоглощающей среды (водный с л о й ) , ограниченной двумя сильными с р а ж а ю щ и м и г р а н и ц а м и . 120

И м п у л ь с , в о з н и к ш и й в в о д н о м с л о е и л и в о ш е д ш и й в слой воды снизу, будет п о с л е д о в а т е л ь н о о т р а ж а т ь с я обеими г р а н и ц а м и с ин­ т е р в а л о м в р е м е н и , з а в и с я щ и м от скорости р а с п р о с т р а н е н и я упру­ гих волн в в о д е и от м о щ н о с т и водного с л о я . С к о р о с т ь з а т у х а н и я а м п л и т у д ы э н е р г и и , п о п а в ш е й в л о в у ш к у , з а в и с и т от величины коэффициента отражения дна. В результате полезные отражения от г л у б о к о з а л е г а ю щ и х с л о е в о к а з ы в а ю т с я с к р ы т ы м и р е в е р б е р а ­ циями в в о д н о м слое. К. Э. Б у р г и д р . '211 р а с с м о т р е л и п р о б л е м у р е в е р б е р а ц и и в водном с л о е с позиций теории в о л н о в о д а и п о п ы т а л и с ь т а к и м путем о б ъ я с н и т ь с и н у с о и д а л ь н ы й х а р а к т е р сейсмических т р а с с . В ] 1 0 Г с ц е л ь ю о б р а б о т к и сейсмических д а н н ы х , п о д в е р ж е н н ы х реверберации, использованы адаптивные линейные цифровые фильтры с изменяемым интервалом анализа сейсмозаписи. В этой р а б о т е б ы л о т а к ж е п о к а з а н о , что л ю б о й с т а т и с т и ч е с к и й п о д х о д к решению данной проблемы должен учитывать нестационарные процессы. В к а ч е с т в е п р и б л и ж е н н о г о м е т о д а а н а л и з а н е с т а ц и о ­ н а р н о г о я в л е н и я ( с е й с м о г р а м м ы ) а в т о р ы этой р а б о т ы п р е д л о ж и ­ ли р а з д е л я т ь з а п и с ь на т а к и е в р е м е н н ы е и н т е р в а л ы , в п р е д е л а х к о т о р ы х н а б л ю д а е м ы й п р о ц е с с б ы л бы п р и б л и з и т е л ь н о с т а ц и о ­ нарным. З а т е м д л я каждого интервала надо определять линей­ ный о п е р а т о р , о п т и м а л ь н ы й по п р и н ц и п у н а и м е н ь ш и х к в а д р а т о в , с п о м о щ ь ю которого п о д а в л я ю т с я р е в е р б е р а ц и о н н ы е к о м п о н е н т ы сейсмической т р а с с ы . Э. Р о б и н с о н о м [80] paccMotpeHbi с т а т и с т и ч е с к и е м о д е л и о б р а ­ ботки г е о ф и з и ч е с к и х с и г н а л о в и в в е д е н метод п р е д с к а з ы в а ю щ е й д е к о н в о л ю ц и и , у с т р а н я ю щ и й н е ж е л а т е л ь н ы е сейсмические р е в е р ­ б е р а ц и и и д р у г и е т и п ы к р а т н ы х о т р а ж е н и й из сейсмических м а ­ териалов. Поскольку характер наблюденных данных нестацио­ н а р н ы й , на п р а к т и к е метод предсказывающей деконволюции а д а п т и р у ю т к д а н н ы м посредством р а з д е л е н и я з а п и с и на в р е м е н ­ ные и н т е р в а л ы . П о з д н е е М . Б а к у с '6] п о д о ш е л к я в л е н и ю ревер­ б е р а ц и и в в о д н о м слое, к а к к о п е р а ц и и л и н е й н о й ф и л ь т р а ц и и , и исследовал эффективность подавления реверберации в водном слое с п о м о щ ь ю о б р а т н о й ф и л ь т р а ц и и . О с н о в н о е р а з л и ч и е м е ж д у обратной Фильтрацией Б а к у с а и «статистическим» подходом Р о б и н с о н а з а к л ю ч а л о с ь в т о м , что М. Б а к у с и с п о л ь з о в а л детер­ министические ч а с т о т н ы е п о н я т и я теории э л е к т р и ч е с к и х цепей, а Э. Р о б и н с о н в ы д в и н у л гипотезу, что «полезные» г л у б о к и е от­ р а ж е н и я м о ж н о с ч и т а т ь с л у ч а й н о й н е к о р р е л и р у е м о й последо­ в а т е л ь н о с т ь ю , и и с п о л ь з о в а л способ н а и м е н ь ш и х к в а д р а т о в д л я о п р е д е л е н и я по сейсмическим д а н н ы м линейных о п е р а т о р о в , не­ обходимых д л я осуществления предсказывающей деконволюции. В настоящее время предсказывающая деконволюция широко п р и м е н я е т с я в ц и ф р о в ы х способах п о д а в л е н и я к р а т н ы х о т р а ж е ­ ний, с о д е р ж а щ и х с я в сейсмических в р е м е н н ы х р я д а х . Рассмот-, рим, к а к р а б о т а е т этот метод в с л у ч а е слоистой м о д е л и , в част­ ности п о к а ж е м , к а к и м путем м е т о д п р е д с к а з ы в а ю щ е й д е к о н в о л ю 121

ции м о ж н о и с п о л ь з о в а т ь д л я изучения глубинного геологическо го с т р о е н и я при р а з в е д к е на нефть и г а з . С у щ е с т в у е т много р а з л и ч н ы х п о д х о д о в к п р о б л е м е деконво; л ю ц и и сейсмических т р а с с . У к а ж д о г о из п о д х о д о в и м е ю т с я своц д о с т о и н с т в а . П р и о б щ е м а н а л и з е н а м х о т е л о с ь бы не ограничи в а т ь с я к а к и м - л и б о о д н и м п о д х о д о м , а иметь в о з м о ж н о с т ь исполь з о в а т ь все р а з н о о б р а з и е подходов. П р и л ю б о м способе д е к о н в о | л ю ц и и н е о б х о д и м о п о л ь з о в а т ь с я сейсмической м о д е л ь ю , включа» ю щ е й к а к известные, т а к и н е и з в е с т н ы е ф а к т о р ы . i М е т о д п р е д с к а з ы в а ю щ е й д е к о н в о л ю ц и и б а з и р у е т с я на «стати] стической» сейсмической м о д е л и Р о б и н с о н а , п о д р о б н о р а с с м о т репной с ф и з и ч е с к о й точки з р е н и я в р а з д е л е 1.5 и м а т е м а т и ч е с к и о б о с н о в а н н о й в гл. 2. К а к м ы у б е д и л и с ь , с у щ е с т в у ю т д в а в а р и а н т » этой м о д е л и : в а р и а н т в н у т р е н н и х п е р в и ч н ы х о т р а ж е н и й и в а | риант внешних первичных отражений. { В а р и а н т в н у т р е н н и х первичных о т р а ж е н и й м о ж н о назват!^ с л у ч а е м р е в е р б е р а ц и и всей системы, к о г д а у ч и т ы в а ю т с я все i к р а т н ы е о т р а ж е н и я и п р е л о м л е н и я в н у т р и слоистой системы в1 рамках сделанных приближений. i К а к мы в и д е л и в р а з д е л е 1.5, э т а м о д е л ь х а р а к т е р и з у е т с я с л е ­ дующими признаками. , . 1. Это м о д е л ь , о с н о в а н н а я на с в е р т к е

где Sk — коэффициенты о т р а ж е н и я N отражающих границ всей си­ стемы; Wk — сложный волновой импульс вида bk*Sk; Ьд, — в о л н о в о й импульс системной реверберации; Sk — начальный волновой импульс (импульс источника); Xk— наблюдаемая сейсмозапись (временной ряд). П р и м е ч а н и е . Здесь мы опускаем верхний индекс у дс^ из раздела и с этого момента будем употреблять дг^.

1.5

2. С л о ж н ы й волновой и м п у л ь с Wk — м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю ­ щ а я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь . Это с л е д у е т из ф и з и ч е с к о г о ф а к т а , з а ­ к л ю ч а ю щ е г о с я в том, что bk — м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ а я по­ с л е д о в а т е л ь н о с т ь , а Sh м о ж е т быть с д е л а н а п р и б л и з и т е л ь н о ми­ н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ е й , если п р и м е н и т ь с о о т в е т с т в у ю щ у ю ме­ тодику полевых работ. 3. Коэ(?ь<эициенты отражения е„ = г„ малы по абсолютной вели­ ч и н е — о б ы ч н о наблюдаемый в сейсморазведке факт., 4. Коэфсрициенты о т р а ж е н и я si, S2, SN не коррелируются м е ж д у собой в пределах различных интервалов [k, k-{-L] сейсмозаписи — обычно наблюдаемый в сейсморазведке факт. В а р и а н т внешних первичных о т р а ж е н и й м о ж н о н а з в а т ь слу­ ч а е м о т р а ж е н и й от г л у б о к и х слоев с н а л о ж е н и е м р е в е р б е р а ц и и в поверхностных слоях. В н у т р и т а к н а з ы в а е м о г о п р о м е ж у т о ч н о ­ го свободного п р о с т р а н с т в а к р а т н ы е о т р а ж е н и я и п р е л о м л е н и я отсутствуют; в з я т ы е в р а с ч е т к р а т н ы е о т р а ж е н и я и п р е л о м л е н и я существуют в рамках сделанных приближений. 122

Как мы видели в разделе 1.5, эта модель (.дедующими признаками. 1. Это модель, основанная на свертке Xk =

характеризуется '

Sk*Wk,

[•де Efe — последовательность козсх)ициентов отражения глубоких отражающих границ; Wk— сложный волновой импульс вида bk*bk* Ski 1;^, — волновой импульс реверберации в поверхностном слое; Sk — ролновой импульс источника; Xk — наблюдаемая сейсмозапись (вреjieHHoft ряд). 2. Сложный волновой импульс Шй —минимально-запаздывающая последовательность. Это следует из физического факта, что bk — йинимально-запаздывающая последовательность, а Sk можно сделать минимально-запаздывающей, если применить соответствующую мето­ дику полевых наблюдений. 3. Коэфсзициенты отражения £„ = г„ малы по абсолютной вели­ чине— обычно наблюдаемый в сейсморазведке факт. 4. Коэффициенты отражения еь £2, . . . , sjv не коррелируются между собой на различных интервалах 1к,к-^гЦ сейсмозаписи — обычно наблюдаемый в сейсморазведке сикт. Сравнив оба случая, видим, что их существенные в аспекте деконволюции признаки можно объединить в одну всеобщую статистическую модель — в статистическую сейсмическую модель Робинсона (для деконволюции). 1. Модель основана на операции свертки: у-

Xk =

Sk*Wk==WoBk-rWiBk-l~rW24-2~r

•'.

i

- •

^

где Bk — последовательность коэффициентов отражения; Wk—сложный волновой импульс; Xk — наблюдаемая сейсмозапись (временной ряд). 2. Сложный волновой импульс йУй —минимально-запаздывающая последовательность. В разделе 4.2 для обозначения минимальнозапаздывающего волнового импульса будем пользоваться более кор­ ректной записью wi^K Предполагается, что шо = 1. 3. КоэфФцциенты отражения sn =/•« малы по абсолютной вели­ чине. 4. Коэффициенты отражения si, е?, . . . , sjv не коррелируются между собой на различных интервалах [к, к-{-Ц. На практике мы делим сейсмическую трассу на такие временные интервалы, которые соответствуют интересующим нас интервалам глубин. Ради удобства временной ряд внутри интервала можно пред­ ставить в виде x i , Х2 XL, обозначив число отсчетов внутри временного интервала L , а последовательность отражений внутри соответствующего интервала глубин в виде si, S2, в^. При таких обозначениях ei — коэффициент отражения первой границы изу­ чаемого глубинного разреза, 82 — коэффициент отражения второй границы искомого глубинного разреза и т. д., xi регистрируется на времени вступления прямого (первичного) отражения от пер­ вой границы искомого глубинного разреза, л ; 2 н а времени 123

вступления первичного отражения от второй границы г л у б и н 1 ^ | разреза и т. п. :^ Задачу предсказывающей деконволюции можно соормулир вать следующим образом. Имея наблюденную в некотором вйГ менном интервале сейсмозапись Xk, надо определить соответстгл ющую последовательность коэффициентов отражения е%. -j геофизик прежде всего заинтересован в картировании глубц ных геологических горизонтов, наибольшее значение имеет K O ^ I ^ ; раст между отражениями от различных отражающих горизонту* 1 Реверберации (кратные отражения) маскируют прямые (первц 1 ные) отражения на наблюдаемой сейсмозаписи Xk\. \ Как было продемонстрировано в разделе 1.5, идеальный операт^ j деконволюции имеет вид да*"'. Мы будем обозначать его qk, т: | qk = ш Г ' . Следовательно, qk является обращением сложного волновй! | импульса Wk и определяется как :| \ qk*Wk

=

h

=

j

< ^ ^ ^ ^ ^ ^

Воздействуя этим оператором деконволюции трассу Xk, получаем:

на сейсмическу! \ ! j

• >

qk*Xk==qk*Wk*ek

=

Sk.

Если бы оператор деконволюции был идеальным, то маскирж ющее действие кратных отражений полностью бы снялось и сеЖ омическая запись превратилась бы просто в Sft. В результате запис! после идеальной деконволюции характеризовала бы каждое пер| вичное отражение временем его регистрации А и его силой е»! С помощью скоростной функции времена вступления k отражение можно преобразовать в глубины залегания соответствующих отражающих горизонтов, а по значениям глубин составить структурную карту. V Следовательно, будем искать оператор линейной деконволю-^ ции, который в идеальном случае примет видfl'ft.Подобный опера-* тор можно получить методом линейного предсказания, к объясне-| нию которого мы переходим.

4.1.1. Линейное предсказание, основанное на бесконечном прошлом; оункция автокорреляции известна :

i

•

1 j (

Предположим, что в нашем распоряжении имеются значения выборки] (... Xk-3, л;4_2, Xk—\,Xk). Если бы эти значения были выборкой из» чисто детерминированного процесса, то можно было бы предположить, что предсказание будущих значений возможно с небольшой ошибкой или вообще безошибочно, т. е. процесс был бы в высшей степени предсказуемым. Допустим теперь, что последовательность значений (...Xk-3, Xk-.., Xk^i, Xk) является выборкой из стационарного 124

,]роцесса с нулевым средним Xk и что функция автокорреляции процесса Rm = E(XkXk-m)^R-m

-

. . .

(4-1-3)

известна для т=0, ± 1 , ±2, Символом £ обозначен оператор ^(атематического ожидания. Мы изучаем случай действительных выборок, но при желании его можно легко обобщить для комплексных процессов. Попыта­ емся теперь найти линейное предсказание значения Xk по заданному бесконечному прошлому ( . . . Хк-з, Хк-2, Xk~i). Если обозначить одл

пошаговую оценку значения д:* через Хк, то предсказанное на один шаг значение основанное на бесконечном прошлом, будет иметь вид . . •. ^ Xk^—Yi

(4.1-4)

ац^Хк-п.

Оператор (—Яь — а г , — а з , • - • ) называется о п е р а т о р о м п р е д ­ с к а з а н и я на единичный интервал предсказания, т . е . оператором предсказания значения Хк на один шаг вперед. Значения коэсхоициентов предсказывающего фильтра (—ап)Г находятся по принципу наименьших квадратов, т. е. ошибка предсказания г* равна мини­ мальному среднему квадратическому значению или минимальной дисперсии, поскольку предполагается, что последовательность д:^ имеет нулевое среднее значение. Одношаговая о ш и б к а п р е д с к а ­ зания , ,., ,, , . .„ ....... (где

ek = Xk — Xk='ZianXk-n п=0

Оо

= 1).

(4-1-5)

Заметим, что коэф(:зициент ао, по определению, равен единице. Опе­ ратор Со, fli, аг ... называется о п е р а т о р о м о ш и б к и п р е д с к а ­ з а н и я на единичный интервал предсказания. Обозначим п о с л е ­ д о в а т е л ь н о с т ь о ш и б к и п р е д с к а з а н и я е*. Согласно урав­ нению (4.1-5) среднее квадратическое значение ошибки предсказания: (или дисперсия) 00

Го = £ ( е | ) = S

00

S №/?т_«.

л=о т==о

(4.1-6)

Чтобы отыскать минимум выражения (4.1-6), следует вычислить производную

зг

°°

[. " 5 ^ = 2 S a„Ri.„, 1>\ (4.1-7) и приравнять ее к нулю. Можно показать, что гессова матрица функции Го является положительной определенной, что и требуется для минимума функции. Найдя решение системы называемых н о р ­ м а л ь н ы м и уравнений S fl«/?i_„ = 0,

l > \

(гдеао=1),

(4.1-8)

получим значения коэффициентов предсказывающего фильтра [—an] Г • 125

Исследуем б у н к ц и ю автокорреляции Г / п о с л е д о в а т е л ь н е е ^ ! п р е д с к а з а н и я вк. Если определить ф у н к ц и ю автокорреляции Г/ ч е | | X/EEE£{efteft_/} = 1 ^ - / , то п о л у ч и м : ' П =

Ti = E[etiek-i]

S п=0

S a„amRm+i-n m=0

•

. (4.1 f

или Г/ =

S

S (^nRm+!—n-

m=0

n=0

Г

j

1

I I I

3

i

Рис. 4-1. Схематическое изображение оператора ошибки предсказания { « л } ^ при а о = 1. / — линейный фильтр предсказания { — а „ — — Яг, . . . } : 2 — е д и н и ч н а я з а д е р ж к а ; З — о п е ­ р а т о р о ш и б к и п р е д с к а з а н и я { / , Oi Ог., • . . } • 4 _ некоррелируемая последовательность оши­ бок предсказания

В н у т р е н н я я сумма по / | уравнении (4.1-Ю) равна ну^ д л я m -1- / > 1, что следует j у р а в н е н и я (4.1-8). Е с л и в y p l нении (4.1-10) / > 1 , то Щ .-rfn)>], поскольку m>Oi внешней сумме уравней (4.1-10). Следовательно, Т/Щ для / > 1 , так как функй а в т о к о р р е л я ц и и Г, —симметрй ная с])ункция переменной / = Г _ , ) , получаем Г/ = 0

для

}Ф0.

(4.1-|

Таким образом, последовательность ошибки п р е д с к а з а н и я е^; н е к о р р е л и р у е м а я последовательность, т. е. она обладает р а в н о м е р 1 | (белой) спектральной плотностью мощности, поэтому линейнв « и л ь т р ошибки п р е д с к а з а н и я , характеризуемый коэффициент^ (а„)о"', где яо ^ 1, я в л я е т с я фильтром белого шума. П о с л е д о в а т е л | ность ошибки предсказания называется т а к ж е п р о ц е с с о м н о й ) ^ в в е д е н и й . Н а рис. 4-1 изображена схема отератора ошибки n p i | с к а з а н и я (а„)5°, у которогоЯо = 1- Ф у н к ц и я а в т о к о р р е л я ц и и с н у л е в | сдвигом Го х а р а к т е р и з у е т с р е д н ю ю мощность последовательн ошибки п р е д с к а з а н и я е^, поэтому д и с п е р с и ю ошибки предсказа: з а д а в а е м у ю уравнением (4.1-6), м о ж н о в ы р а з и т ь в виде Г = £ [ell =

S т-—0

а « S а„/?„_„.

(4.1-1

I

п=0

Подставив уравнение (4.1-8) в уравнение (4.1-12), п о л у ч и м с^ д у ю щ е е полезное в ы р а ж е н и е д л я дисперсии ошибки цредсказанч! во

•

Го = Оо S anR-r,

во

=

S anR-n

во

=

+

S anRn.

(4.1^

Итак, в случае линейного предсказания, основанного на конечном п р о ш л о м и известной ф у н к ц и и а в т о к о р р е л я ц и и , пос довательность ошибки предсказания будет чисто случайной,);! ее ф у н к ц и я а в т о к о р р е л я ц и и и м е е т в и д единичного и м п у л ь с а , п | 126

цт значение автокорреляции при нулевом сдвиге определяется уравнением (4.1-13). Перейдем к решению нормальных уравнений (4.1-8). Нормальные уравнения справедливы только в случае Z > 1, т . е . оо

О, / > 1

(гдеао=1).

(4.1-14)

п—О

Если последовательность Л/ удовлетворяет условиям ,

hi пока не определена д л я / < — 1 ;

ho = Io — дисперсия ошибки предсказания (4.1-13); Л; = 0 д л я / > 0 , ] то нормальные уравнения можно записать в виде

(4.1-15)

оо

S anRi-n •

= hi для всех целых / .

Определим г-преобразования Л(г)=

1)

Лапласа: S flnz"; п=0

I

S

RnZ"; [

Ф(г)= J

(4.1-16)

(4.1-17)

Л=—оо

Заметим, что Н{г) не имеет положительных степеней г . С учетом ^пpeoбpaзoвaний Лапласа (4.1-17) нормальные уравнения м о ж н о Мписать в виде гА{г)Ф(г) = Н{г). (4.1-18) Приняв во внимание рассуждения в главе 3 о спектральной Оакторизации, функцию Ф (г) можно разложить на множители слеЛующим образом: ^

-

.

ф(z) = aWlг)W*{z),

*

(4.1-19)

где функция (г) является минимально-задерживающим фильтром; | ' — положительная константа, делающая первый коэффициент wo )авным единице, м Далее W{z)=

"^wnz"

(где

(4.1-20)

шо=1).

га=0

I Поскольку мы имеем дело с вещественными коэффициентами, т. е. *я — последовательность вещественных чисел, получаем J

I

'

Г*<2)=

S a;;z-"= S п=0

п=0

Wnг-^^

=

Wiг-^У

•

(4.1-21)

Отсюда следует, что

' Ф(2) = о г г ( 2 ) и 7 ( 2 - ' ) ,

ц1

•

(4.1-jl^

где W{z) не содержит членов с отрицательными степенями г, а W не содержит членов с положительными степенями г. Подстановка уравнения (4.1-22) в выражение (4.1-18) дает А (2)

yw

(г) W ( 2 - 1 ) : = Я ( 2 ) .

ш Р

(4.1-|

I

Поскольку W (г) — минимально-запаздывающее 2-преобразоБа| \ Лапласа, W {z~^) будет минимально-опережающей. Обраще1| | l/tt^'(2—1) представляет собой антйпричинную устойчивую после| \ вательность, т . е . 1 / I F ( 2 - ' ) можно устойчиво разложить по непо! , жительным степеням г, поэтому уравнение (4.1-23) можно записав в виде 1 j o^A(z)W{z) = H(zyW(z-^). • (4.1.Ц Левая часть уравнения (4.1-24) устойчиво разлагается по нщ\ рицательным степеням z, а правая часть по неположительным с| | пеням 2. Однако подобная ситуация может возникнуть только в ц случае, если обе части уравнения (4.1-24) постоянные: i а^А (г) W (г) = постоянная = Со; / Ji Н ( 2 ) / Г ( г - ' ) = постоянная = Со. ' |! Постоянные члены разложений Л (2) и W (г) определены соо i ветственно как а о = 1 и ш о = 1, поэтому из 'первого уравнен! 1 (4.1-25) получаем | 1 Со = 0 4 ^ - 0 = 02.

(4.1-2||

Постоянный член разложения Н (г) был определен как дисперси! ошибки предсказания Го. Но если постоянный член в разложени 1 W (z-^), т . е . Wo, тождественно равен единице, значит, и постоянна член в разложении 1/И7(2-') также равен единице, поэтому из вт(1 рого уравнения (4.1-25) следует, что . . Со = Го • 1.

(4.1-2

Из сравнения уравнений (4.1-26) и (4.1-27) получаем о2 = Го—дисперсию ошибки предсказания.

(4.1-2ii J

Из первого уравнения (4.1-25) следует, что a4{z)W{z)=a\

'

поэтому решение нормальных уравнений имеет вид ,

A{z)=l/W{z).

'

(4.1-2Ш 1 (4.1-з4

Итак, искомый оператор ошибки предсказания представляем собой обращение минимально-задерживающего фильтра W (z), п о | являющегося в разложении на множители спектра мощности на* блюденного временного ряда. Поскольку Функция, обратная] минимально-запаздывающей, тоже минимально-запаздывающая, получается, что 1/U^'(2) или Л (2) — минимально-запаздывающая .128

функция, т. е. оператор ошибки предсказания 'Л ( г ) является миJiимaл^>нo-зaпaздывaющeй функцией. ^ И з второго уравнения (4.1-25) получаем 5 г. ; , Я или

-г-

V''"'-:':] Я(г)-Го1Г(г-').

Следовательно,

Н(г)

определяется

, Л)

(4.1-31) '

(4.1-32)

минимально-опережающим

множителем, фигурирующим в методе спектральной

факторизации.

4.1.2. Линейное предсказание, основанное на конечном прошлом; функция автокорреляции известна Теперь рассмотрим линейног одношаговое предсказание величины Xk, основанное на прошлых L значениях-д-^.^^,, Xk^2, Xk-i- Функ­ ция автокорреляции Rm для \т <.L известна, а процесс Xk опять предполагается стационарным с нулевым средним значением. В дан­ ном случае предсказываемое значение определяется выражением

=— S Ошибка предсказания

'о'

fln^ft-n^

"' '

ek = Xk — Xk=

' '

Zi unXk-n

(гае ао = 1),

(4-1-33) • (4.1-34)

п=0

а ее среднее квадратическое значение (дисперсия)— L

Го = £ ! 4 1 = Е

1.

S а,а«^?«г-л.

(4.1-35)

1=0 т=0

Чтобы найти минимум выражения (4.1-35), необходимо вычислить р = 2 1] unRt-n, \<1
•

—alRo — a2R-l

— ..•—(lLR^-l.=R\'^

.—aiR\—a2Ra — . . , —a
—ayRl-^—a2RL-2

— .-- — aLRo=RL.

^

(V-^'i .,

\ i.;v,;

(4.1-38)

Смстема уравнений (4.1-38) в способе наименьших квадратов называется системой нормальных уравнений. Кстати, изложенный выше способ нахождения уравнений (4.1-38) называется способом автокорреляции. 5 2-237

129

Выражение (4.1-38) представляет собой систему из L урави|^ НИИ с L неизвестными и решается относительно — аи — аг. UL несколькими прямыми способами, из которых можно назващ способ исключения Гаусса и способ редукции Крута. Эти общщ^ способы требуют выполнения L^jZ операций умножения и делена^ и L 2 ячеек памяти. Специальный вид уравнения (4.1-38) позволя!'» сократить объем памяти и вычислительное время для его решениеУравнение (4.1-38) можно записать в матричной форме ка ( или

Rx .RL-\

R-i Ro

.. .

Rl-L

—a\

.

R2-L

—аг

RL-2

..

.

Ro

.

LxL

Hi R2

—

= g.

(4.1-3it

.RL^

Lxl

Lxl

где R является неотрицательной определенной матрицей Топлищ | Напомним следующие определения. j > 1. Матрица Топлица. Элементы матрицы (R) вдоль главно! диагонали одинаковые. I 2. Неотрицательная определенная матрица. Первые главны] j миноры матрицы ( R ) , обозначаемые Д», причем t = l , 2, £. j имеют вид ij j

Ro R-i Ri Ro

\Ro Дз = Rx R2

R-i Ro Ri

R-2\

R-i Ro

ДL = det:R|

Заметим, что det[R] обозначен определитель матрицы R. Для тог! чтобы R была неотрицательной определенной, необходимо и догта| точно выполнение неравенств Д1>0,

Д2>0,

Дз>0,

Д^>0

или, другими словами, все главные миноры матрицы R должнй! быть положительными. | Систему уравнений, подобную (4.1-39), можно решить с noi мощью классической рекурсии Топлица, из теории полиномов, ор-^ тогональных на единичном круге. В работах [59] и '29' дай, алгоритм этой рекурсии, а Р. Уиггинс и Э. Робинсон [106] усо^ вершенствовали этот метод, показав, что скалярное произведение,1 используемое в алгоритме Левинсона—Дурбина для вычисления! дисперсии, можно заменить рекуррентным уравнением. Предложен-| ная замена увеличивает скорость вычислений и их точность.* В общем методе Топлица предполагается, что вектор-столбец ^ | не должен обязательно содержать элементы одинаковые с авто-! корреляционной матрицей R. Поскольку в уравнении (4.1.-39) j вектор-столбец g состоит из тех ж е элементов, что и R, можно 130

I

использовать вспомогательный метод Т о п л и ц а . В с п о м о г а т е л ь н ы й метод Т о п л и ц а т р е б у е т 2L ячеек памяти и U операций у м н о ж е н и я и деления. Он по с у щ е с т в у в д в а р а з а быстрее о б щ е г о м е т о д а Топлица. Ф у н к ц и я автокорреляции последовательности ошибки пред­ сказания вк, называемой также остаточной последовательностью, имеет вид L L

Ti = E[ekek4]=Yi или

11 anumRm+i-n

^

л=0 m=0 ^

m=0

п=0

Г / = 1 flm S UaRm+i-n.

(4.1-40) (4.1-41)

Внутренняя сумма в уравнении (4.1-41) равна н у л ю только в с л у ­ чае 1 < m + / < L . Следовательно, в отличие от случая линейного предсказания, основанного на бесконечном прошлом, п у н к ц и я авто­ корреляции Г/ ф О д л я / > 1 и, к а к следствие, в последовательности ошибки предсказания не должны обязательно находиться некорре­ лируемые элементы вк. Исследуем следствия из предположения, что Г / = О д л я />1. Предположение T i = 0 означает, что / ^ L + I удовлетворяет выражению L

S

(4.1-42)

n=l

Величину RL+\ В выражении (4.1-42) можно считать приближением (предсказанием) (Зэункции автокорреляции при сдвиге L-{-\, причем приближение базируется на известных значениях автокорреляции Rx, Ri, . . . , RL, поэтому предположение r i = 0 равнозначно пред­ положению, что неизвестное (истинное) значение сзункции автокор­ реляции RL+I можно точно предсказать по известным прошлым значениям Ru R2, . . . . RL- Теперь предположим, что не только Г 1 = 0 , но и Г2 = 0. Тогда RL+2 должно удовлетворять равенству

RL+2 = -

S anRL+2-n.

(4.1-43)

п р о д о л ж а я в том же д у х е , приходим к заключению, что пред­ положение Ii = 0 , Г2 = 0 , Гз = 0, . . . требует выполнения равенства L

RL+k = -

S anRL+k-n, * = 1, 2, 3, . . . л=1

(4.1-44)

у р а в н е н и е (4.1-44) можно считать рекуррентным соотношением (начинающимся с известных значений R\, R2, RL), С помощью которого известные значения сзункции автокорреляции экстраполи­ р у ю т с я в области RL+\,. RL+2, RL+Z, . •, где они неизвестны. К а к и в с л у ч а е линейного п р е д с к а з а н и я , основанного на б е с ­ конечном п р о ш л о м , с р е д н я я м о щ н о с т ь последовательности опре­ деляется через д и с п е р с и ю : ^ ^

Го = £ \el\ = S ^^'^Rn = Эта формула получается из выражения

5*

- f S unR^.

(4.1-45)

(4.1-41) при / = 0 . 131

Итак, в линейном предсказанки, основанном на конечном прощ)! лом ( L отсчетов) и известной срункции автокорреляции Rm ЛлМ [ т ' < L , последовательность ошибки предсказания вк не обязательна^! должна быть некоррелируемой последовательностью, т. е. ее сзункци^ автокорреляции может не иметь вид единичного импульса. В случа^ записей конечной длительности можно пользоваться процедурой| изображенной на рис. 4-1, но, учитывая предшествующие рассуж­ дения, следует иметь в виду, что последовательность ошибки пред­ с к а з а н и я вк не является некоррелируемой последовательностью| | в строгом смысле.

4.1.3. Линейное предсказание, основанное на конечном прошлом; о у н к ц и я автокорреляции неизвестна ,

'• ,

Г' 1

В данной ситуации значения функции автокорреляции R^ неизвестны! единственной ин(]рормацией, которой мы располагаем о случайное, последовательности Хк, является юнечное множество из L 1 от^ счетов X k - L , . .., Хк-2, Хк-\, Хк. i Как и прежде, одношагозое предсказание Хк имеет вид Xk-—LanXk-n, •

•

a ошибка предсказания Ck^Xk

,

1=1

• ••

,

— Xk^YianXk-n,

. . i, где

:а

i (4.1-46)1

i I . .

•

г.

Co = l ,

j ^

(4.1-47)1

HO сейчас мы не можем, как ранее, минимизировать э т у ошибку] или использовать какие-либэ средние по ансамблю, содержащие | квад})ат ошибки е\, поскольку в нашем распоряжении находится! только конечный отрезок одночленной функции (реализации) npo-'j цесса Хк. Один из способов определгния коэфсЪициентов предсказания 5 — Я ] , — 0 2 , . . . , —UL состоит в оценке значений функции автокор­ реляции Rm по имеющимся данным и в последующем использовании \ л \ полученных значений R^ в нормальных уравнениях (4.1-38) или •'. (4.1-39). Смещенная оценка автокорреляционной последовательности R^ по конечному множеству данных в виде последовательности Х\, ^ЧУ . . . , xt имеет вид Rm=Y

h XnXn-m,

'm
•

(4.1-48)

где само -смещение оценки В в урзЕнении (4.1-48) определяется вы­ ражением (4.1-49)

Хотя уравнение (4.1-48) дает смещенную оценку значения асимптотическом приближении оценка становится несмещенной, 'е. когда L - > c o . Дисперсия смещенной оценки vaт(R,n)^E{[R,n-E{R^)]^}

(4.1-50)

II согласно работе J18] ее можно аппроксимировать S

Уатфт):^-^

[R^n + Rn+mRn-ml

выражением (4.1-51)

В а ж н о о т м е т и т ь , что с п р и б л и ж е н и е м т к д л и т е л ь н о с т и з а п и jH согласно у р а в н е н и ю (4.1-49) с м е щ е н и е В с т а н о в и т с я о щ у т и м о ^ольщим. П о с к о л ь к у в э т о м с л у ч а е с м е щ е н и е с т а н о в и т с я с р а в н и ­ мым по в е л и ч и н е с с а м о й о ц е н и в а е м о й ф у н к ц и е й , у р а в н е н и е (4.1-48) н е л ь з я с ч и т а т ь п р и г о д н ы м д л я оценки з н а ч е н и й Rm, к о г д а да того ж е п о р я д к а , что и L . В т о ж е в р е м я д и с п е р с и я (4.1-51). уменьщается с у в е л и ч е н и е м д л и н ы з а п и с и L и не в с т о л ь сильной степени з а в и с и т о т т. О ц е н к а Rm с п о м о щ ь ю у р а в н е н и я (4.1-48) устойчива, т а к к а к В и var (Rm) с т р е м я т с я к н у л ю с у в е л и ч е н и е м числа н а б л ю д е н и й L . Д р у г о й способ оценки а в т о к о р р е л я ц и о н н о й п о с л е д о в а т е л ь н о с т и состоит в и с п о л ь з о в а н и и в ы р а ж е н и я . , г,- i , t Rm=-, /

г-т —I I

S

ХпХп-т,

lm|
(4.1-52)

л=1

л

В этом случае смещение В =0, а оценка Rm с помощью у р а в н е н и я (4.1-52) называется несмещенной оценкой значения а в т о к о р р е л я ц и о н ­ ной последовательности. Дисперсию несмещенной оценки (4.1-52), определяемую уравнением (4.1-50), м о ж н о аппроксимировать I8'i выражением Var(L)^„

'

„2

S

[Rl+Rn+mRn-ml

(4.1-53)

Хотя у р а в н е н и е (4.1-52) д а е т н е с м е щ е н н у ю о ц е н к у з н а ч е н и й ^т, д и с п е р с и я (4.1-53) сильно з а в и с и т от т. П о мере п р и б л и ж е ­ ния m к L д и с п е р с и я (4.1-53) с т а н о в и т с я н е ж е л а т е л ь н о б о л ь ш о й . 'Следовательно, у р а в н е н и е (4.1-52) не о б е с п е ч и в а е т нормальную Оценку з н а ч е н и й Rm, к о г д а т с т а н о в и т с я с р а в н и м ы м с L . Д ж . Д ж е н к и н с и Д . Уотте ^42" п р е д п о л о ж и л и , что ч а с т о сред­ няя к в а д р а т и ч е с к а я погрешность с м е щ е н н о й оценки (4.1-48), Меньше средней к в а д р а т и ч е с к о й погрешности н е с м е щ е н н о й оценки (4.1-52). Э т о п р е д п о л о ж е н и е , если оно п р а в и л ь н о е , о б о с н о в ы в а е т Предпочтительное и с п о л ь з о в а н и е у р а в н е н и я (4.1-48), а не (4.1-52). В л ю б о м с л у ч а е о б е оценки а с и м п т о т и ч е с к и е н е с м е щ е н н ы е , по­ этому м о ж н о о ж и д а т ь у л у ч ш е н и я оценки з н а ч е н и й Rm при о б р а ­ ботке более д л и н н ы х з а п и с е й , т. е. при увеличении числа отсче­ тов L . 133

Д р у г о й способ линейного предсказания в случае записе: печной; длительности и неизвестной ф у н к ц и и . а в т о к о р р е л я ц и стоит в симметричном использовании к а к предсказаний, т а к троспекций, с о д е р ж а щ и х с я в рекуррентной Формуле Топлица, S смотренной в гл. 5. С м ы с л симметричного а л г о р и т м а Топлн1и предложенного Д ж . П. Б у р г о м ] 2 0 ' , з а к л ю ч а е т с я в п р е д с т а в л ^ дисперсии в виде среднего арисшетического из дисперсии о ш в О п р е д с к а з а н и я и дисперсии ошибки ретроспекции. f

fk-n'i

к*1 Рис. 4-2. ' 4-п

=

^

Ретроспективнэе S

«m'-^ft-n+m|l

m=l

предсказание,

основанное на п будущих

(о) И перспективное

предсказание

значей!,

основан»

I

п прошедших значениях отсчетов

\хР

~

I *

^

' ' т '

m=I

I

Н и ж е д а н о к р а т к о е изложетие этого способа. П е р с п е к т и в н о е предсказание (экстраполяция вперед) зна|ения лг* на основе п «прошедших» значений x/,_„, . . . , Xk-2i ад, обозначаемое X k \ определяется выражением ;<'>^|: Л - " . -

(4.141, ' j Р е т р о с п е к т и в н о е предсказание (экстраполяция назад) з| (• чения Xk-n на основе п «будущих» значений х^-п-ьи Xk-n+2, Л )> ,

. \

Xft, обозначаемое

- •

'

• '

?»=1

определяется выражением

1

Н а рис. 4-2 изображены проьессы перспективного и ретроспек­ тивного предсказания. и Остаток предсказания п-го порядка Д"' и остаток ретроспекиЦ п-го порядка 6*"' для п> I определяются тождествами j (4.1-^i с начальными значениями / f * = л , б!"* s л:* для 1 < ^ < L , где L i общее число имеющихся отсчетов. • 134

г

На рис. 4-3 изображена схематическая диаграмма уравнения (j-56). Последовательности остаточного перспективного предсказа­ ния /Г* и ретроспективного предсказания (ретроспекции) fei"^ можно 111терпретировать соответственно как ошибки одношагового предска0Я и одношаговой ретроспекции. Другими словами, если ввести ^ределения п

j«iSS Xk—

Y

S

f^Xk-n—

— ошибка перспёктивного предсказания; (4.1-57)

um^Xk-m

am^Xk-n+m

ретроспекции,

—ошибка

m=l

,0 получим результаты, изображенft на рис. 4-3, только gn будет за(енено а\!^К В этой связи дисперсия уборки ошибок предсказания опре)елится выражением "^о'^—

S

(4.1-58)

1 дисперсия выборки ошибок ретро(пекции —как , . Г^*'^

'

S

^ — « k=n+l

^61"';1

(4.1-59)

-

в случае стационарности процес­ са Xk теоретические дисперсии оши8ок перспективного предсказания и ретроспекции равны между собой, Следовательно, можно объединить

' Рис. 4-3. Схема образования перспективной и ретроспективной остаточной последовательности

эти две

(г _ задержка в единицу времени)

выборочные дисперсии по-

средством общепринятого приема «атематической статистики, найдя их среднее арифметическое: . (4.1-60) или '

= ^ ( ^ : ^ = : ^ Д _

{[Д">]Ч[б1"Т}.

(4.1-61)

Г1одставив (4.1-56) в уравнение (4.1-61), получим = Щ^kXP'~'~^'^^'~''^'

+ [bU''-gnfr''Y\,

(4.1-62)

fAe

п>\. Коэффициент g n , минимизирующий среднюю выборочную диспер­ сию Го"' на п-и этапе, представляет собой коэффициент частичной 135

автокорреляции выборки, определяемый

выражением

J I

Обычно частичная автокорреляция выборки определяется 1[У отношение ковариации выборки к геометрическому среднему из | | J борочных дисперсий. О д н а к о в данном случае обе дисперсии HMt!|ji одно и то ж е значение, поэтому вместо геометрического исполь;'к ется их среднее арифметическое значение. После вычисления,| | i с помощью уравнения (4.1-63) м о ж н о использовать значение gl = а''п^ из уравнения (4.1-56), чтобы получить остатки Д"^ и Ь'к"^^ 'J предыдущим остаткам. j 11 П о к а мы нашли т о л ь к о последний коэффициент линейного пД |.| сказывающего фильтра а{,"'. О д н а к о решающей особенностью рей |. рентной формулы Топлица ''8 И я в л я е т с я то, что остальные коэЦ )• циенты линейного предсказывающего фильтра л-го порядка а^К 11' 1 < m < « — 1, можно найти по коэффициентам фильтра (п — i f i'l порядка, если известен последний коэбфициент л-го порядка б vl Р а с п о л а г а я коэффициентом ai"*, остальные коэффициенты ф и л ь | pi находят с помощью рекуррентного соотношения Т о п л и ц а : .| ,

а Г = а ) ; ? ~ ' ^ - а 1 Г > а < ; ^ ' . т = 1 , 2,

п-1

(4.1-i

(членов нет, если п — 1). И т а к , р а с п о л а г а я конечной з а п и с ь ю с т а ц и о н а р н о г о п р о ц с н у л е в ы м средним Xk при неизвестной ф у н к ц и и а в т о к о р р е л я ц ^ ^ м о ж н о найти л и н е й н ы й п р е д с к а з ы в а ю щ и й ф и л ь т р , в о с п о л ь з о в | шись методом Б у р г а . В к р а т ц е э т а п р о ц е д у р а в ы г л я д и т следу! щим образом: л 1) з а д а ю т н а ч а л ь н ы е з н а ч е н и я |I Д°>=^*.

бГ=х,,

l
М

гДе L — об цее ч и с л о отсчетов; i \ 2) вычисляют п-й коэффициент частной а в т о к о р р е л я ц и и выбор! ^n^ai"^ по формуле (4.1-63), найдя п р з д в з р и т а л ь н о последовате4 ! цости остатков перспективного п р е д с к а з а н и я и ретроспекции о I 110щью уравнения (4.1-56); 3) применяют на п-м этапе рекуррентные соотношения ТоплиИ (4.1-64). Е с л и р е ш е т ч а т у ю с т р у к т у р у р и с . 4-3 продолнсить д о этаг яа котором з н а ч е н и я к о э ф ф и ц и е н т а g„ п р и б л и з я т с я к нулю, ошибки перспективного и р е т р о с п е к т и в н о г о п р е д с к а з а н и й стан)!' [Ючти н е к о р р е л и р у е м ы м и . • | 136

1?

С в я ж е м т е п е р ь в ы в о д ы , п о л у ч е н н ы е при р а с с м о т р е н и и слоистой (ОДели с р е д ы , с теорией л и н е й н о г о п р е д с к а з а н и я . Е д и н с т в е н н а я -вестная н а м инсрормация п р е д с т а в л е н а н а б л ю д е н н о й сейсмиче^ой з а п и с ь ю Xh, п о с к о л ь к у и — неизвестные величины, -рспомним у с л о в и е р а в е н с т в а е д и н и ц е первого ч л е н а п о с л е д о в а ^ibHOCTH Wk, т. е. у с л о в и е w ^ = \ . З а м е т и м , о д н а к о , что т а к о е ^^;ЛОВие не в л и я е т н а конечные сейсмические р е з у л ь т а т ы ) . Ч т о б ы !ji0HTb з а д а ч у , н а м н у ж н а д о п о л н и т е л ь н а я и н ф о р м а ц и я . И з в е с т ­ но, что п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь к о э ф ф и ц и е н т о в о т р а ж е н и я Sk н е к о р •елируемая и м о ж е т с ч и т а т ь с я с л у ч а й н о й п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь ю [ р а в н о м е р н ы м (белого ш у м а ) с п е к т р о м мощности. Э т о с л е д у е т 0 р а с с м о т р е н и я статистических м о д е л е й (см. р а з д е л 1.3), к о г д а ^ыло с д е л а н о п р е д п о л о ж е н и е , что о с а д о ч н а я т о л щ а о т л а г а л а с ь „течение геологического в р е м е н и бессистемно, п о э т о м у не следуjT о ж и д а т ь , что к о э ф ф и ц и е н т ы о т р а ж е н и я б у д у т и м е т ь м е ж д у [обой к а к у ю - л и б о с и с т е м а т и ч е с к у ю с в я з ь . С е й ч а с мы и с п о л ь з у е м гипотезу о с л у ч а й н о с т и к о э ф ф и ц и е н т о в о т р а ж е н и я . Б у д е м счиlaTb п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь к о э ф ф и ц и е н т о в о т р а ж е н и я ei, S j , . . . ew= Г2.. . . . r s b изучаемом интервале разреза случайной последо­ вательностью, х о т я м ы и п о н и м а е м , что к о э ф ф и ц и е н т ы о т р а ж е н и я в сущности я в л я ю т с я п о с т о я н н ы м и , но н е и з в е с т н ы м и п а р а м е т р а м и . В е р н е м с я к т е о р и и линейного п р е д с к а з а н и я , в частности к с л у (аю линейного п р е д с к а з а н и я , о с н о в а н н о г о н а конечном п р о ш л о м с неизвестной срункцией а в т о к о р р е л я ц и и . К а к у ю бы в ы ч и с л и т е л ь ­ ную п р о ц е д у р у мы ни и з б р а л и , будь то р е ш е н и е системы н о р м а л ь ­ ных у р а в н е н и й , о б р а з о в а н н ы х путем в ы ч и с л е н и я автокорреляциилоследовательности Хь. с п о м о щ ь ю у р а в н е н и й (4.1-48) и л и (4.1-52), или р е ш е н и е с п о м о щ ь ю а л г о р и т м а Б у р г а , м о ж н о о ж и д а т ь , ч т о ошибки п р е д с к а з а н и я еь. будут х а р а к т е р и з о в а т ь с я п р и б л и з и т е л ь н о равномерным с п е к т р о м м о щ н о с т и , т. е. п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь будет почти н е к о р р е л и р у е м о й . Д а л е е следует, ч т о о п е р а т о р о ш и б ­ ки п р е д с к а з а н и я 1, аи a2,...,aN б у д е т по с у щ е с т в у срильтром белого ш у м а . Е с л и ж е п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь коэфсэициентов о т р а ­ жения о б л а д а е т п р и б л и з и т е л ь н о р а в н о м е р н ы м с п е к т р о м м о щ н о с т и , to е д и н с т в е н н ы м источником ч а с т о т н ы х к о м п о н е н т в хи, не с в я з а н йых с б е л ы м ш у м о м , будет с л о ж н ы й в о л н о в о й и м п у л ь с Wk- С л е д о ­ вательно, о п е р а т о р о ш и б к и п р е д с к а з а н и я у с т р а н я е т в л и я н и е с л о ж ­ ного в о л н о в о г о и м п у л ь с а Ш и с о з д а е т на в ы х о д е почти н е к о р р е л и Руемую п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь е ь . Э т а н е к о р р е л и р у е м а я п о с л е д о в а ­ тельность и есть и с к о м о е п р и б л и ж е н и е п о с л е д о в а т е л ь н о с т и коэср­ фициентов о т р а ж е н и я е^. Р а с с м о т р и м э т о подробнее. Н а б л ю д е н н у ю сейсмическую з а п и с ь *)i м о ж н о с ч и т а т ь с и г н а л о м на в ы х о д е л и н е й н о й и н в а р и а н т н о й 5о в р е м е н и с и с т е м ы с и м п у л ь с н о й р е а к ц и е й Wh, через к о т о р у ю Чрошла п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь белого ш у м а с н у л е в ы м с р е д н и м ен (рис. 4-4). Схема, и з о б р а ж е н н а я на рис. 4-4, очень удобна д л я наших целей ''атематической реализацией сейсмического процесса. Согласно 137

рис. 4-4 с п е к т р а л ь н а я плотность мощности наблюденного време}}»,. го р я д а Xk=Wk*S.k , . , , ; ф ( о ) ) = :й7(«))!2а2. (4.i; где : W (се) 2 _ к в а д р а т абсолютной величины спектра передаточй;,,, о у н к ц и и с л о ж н о г о волнового импульса; = £ (е|]-константа-раЕ» мерный спектр мощности последовательности s^. • Форма спектра мощности Ф(ш) наблюденной сейсмической запис: определяется квадратом м о д у л я спектра W (и) сложного волно: импульса Wk.

Рис. 4-4. Сигнал на выходе Xk Л^-слойной среды, смодели­ рованной как линейная инва­ риантная во времени система с импульсной реакцией w^^, через которую прошел белый шум

Рис. 4-5. Оператор ошибки предсказания а,^, в котором С7|, = 1, изображенный в виде ли­ нейной инвариантной во време­ ни системы, когда на входе имеется наблюденный временной ряд Xf^, а на выходе — ошибки предсказания

. . Мы п о к а з а л и , что оператор ошибки предсказания я в л я е т с я Ь существу, срильтром, создающим на выходе белый шум А{^] [ = 1/Di?'(u)). Следовательно, сигнал на выходе оператора оши| il предсказания ek будет обладать приблизительно равномерным сне i|ром мощности. Н а рис. 4-5 изображена схематическая диагра4? оператора ошибки п р е д с к а з а н и я . С о г л а с н о р и с . 4-5, спектральц J плотность мощности сигнала вк на выходе оператора ошибки при. сказания равна ! ,,у ... .• , , . - • ; „ ; , , , • , : . . ! л (со) ;2Ф ( 4 , , , ( 4 . i - | ,,' Поскольку Л(св) = l,/lF(a)), имеем

W (to) ^

Ф(ш) = '

W(№)

: '

,'

'

: r ( c o ) ; v = a2, (4.1-

т. е. постоянной величине; спектр мощности выходного сигнала pai f 3^ в интервале —тс < ш < it. ! Из теории линейных систем известно, что сзункцию а в т о к о р ! ^ ляции Rm сейсмической трассы Xk = Wk* ч можно в ы р а з и т ь в ви| ^ (4.1-Й1

где л ) т ~ функция последовательной ко р р еля ции , т. е. 00

••• -138

'^т = ^WkWk-^m:

Г т = £ [ЧЧ-т]

= О^З;;,

соответствии с гипотезой случайности коэсзфициентов ' Отсюда уравнение (4.1-68) принимает вид Rm = °^'^^m

отражения.

(4.1-69)

ложно убедиться, что форма функции автокорреляции трассы ' такая ж е , как и форма функции последовательной корреляции сложного волнового импульса вд. И з уравнения (4.1-67) следует, что ошибка предсказания равна искомой некоррелируемой последовательности коэффициентов отра­ жения ЕА. Таким образом, в случае слоистых систем ошибки пред|.](азания являются оценкгми козсфиииентов отражения с точ­ ностью до постоянного нормирующего множителя. Следовательно, ошибки предсказания ek включают искомую, подвергнутую декон50ЛЮЦИИ сейсмозапись. Метод линейного предсказания или способ оператора ошибки предсказания представляет собой линейный способ деконволюции сложного волнового импульса Wk из наблюденной сейсмической запи­ си Xk. Этот метод, основанный на математических свойствах линей­ ного предсказания и первоначально предложенный Э. Робинсоном 80,', называется п р е д с к а з ы в а ю щ е й д е к о н в о л ю ц и е й . Ошиб­ ки предсказания или последовательность ошибок предсказания вк в пределах нормирующего множителя — это последовательность при­ ближенных коэффициентов отражения. В случае, когда импульс источника Sk можно аппроксимировать единичным импульсом bk, оператор ошибки предсказания Ok приближенно я в л я е т с я последо­ вательностью сзункций последовательной корреляции 1, Ф*Г. h , Фл/ . В результате детального сзизического а н а л и з а слоистой модели среды мы п о к а з а л и возможность оценки коэфс>ициентов о т р а ж е ­ ния Eh по н е м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ е й сейсмической записи Xk. применяя теорию линейного п р е д с к а з а н и я и вводя определенные предположения. В а ж н о отметить, что мы использовали статисти­ ческие средние, математические о ж и д а н и я и условия стационар­ ности строго в математическом смысле, т а к к а к было показано, Что сейсмический процесс не я в л я е т с я случайным и не у п р а в л я е т с я нероятностными з а к о н а м и . Тем не менее математический а п п а р а т . Использованный при изучении линейного предсказания и стоха(^тических процессов, о к а з а л с я подходящим средством решения Задачи деконволюции. И т а к , мы только с ч и т а л и коэффициенты 'Ч'ражения случайными переменными, а наблюденный временной Ряд Xh — случайной последовательностью, хотя знание сЬизики "Сейсмического процесса у б е ж д а л о н а с в том, что этот процесс "о своей природе детерминированный и возникает в физически ^асзиксированной системе слоев горных пород. Отсюда вытекает важность осознания р а з л и ч и я м е ж д у «случайными» допущениями * математическом а п п а р а т е и детерминированной природной фи­ зической модели. '

•

1^9

4.2. ПРЕДСКАЗЫВАЮЩАЯ ДЕКОНВОЛЮДИЯ КАК СРЕДСТВО ПОДАВЛЕНИЯ КРАТНЫХ ОТРАЖЕНИЙ

I | i

Д е к о н в о л ю д и я о к а з а л а с ь э ф о е к т и в н ы м способом п о в ы ш е н и я 1|з^ р е ш а ю щ е й способности с е й с м о р а з в е д к и . Сейсмические да1||ць м о ж н о удачно о б р а б о т а т ь , д а ж е не з н а я многих основополг^Га!^! щих геофизических и м а т е м а т и ч е с к и х понятий. Н о , если ЩЩщ^ и з в л е ч ь из сейсмических д а н н ы х н е о б х о д и м у ю и н ф о р м а ц и ю м и н и м а л ь н о в о з м о ж н о й стоимости о б р а б о т к и и если приобре'йе. в а ж н о с т ь р а з л и ч и е м е ж д у у д о в л е т в о р и т е л ь н ы м способом декоЛво! л ю ц и и и более чем у д о в л е т в о р и т е л ь н ы м , основные идеи им^к,, з н а ч е н и е и их стоит и з у ч а т ь . я С у щ е с т в у ю т д в а основных подхода к о б р а б о т к е д а н н ы х ~Д{, терминистический и статистический. Д е т е р м и н и с т и ч е с к и й подхо> з а к л ю ч а е т с я в построении м а т е м а т и ч е с к и х и физических модейе} слоистой среды с ц е л ь ю л у ч ш е г о у я с н е н и я процесса pacnpocTjia. нения сейсмических волн. В этих м о д е л я х отсутствуют элеме|т|( случайности, они полностью д е т е р м и н и р о в а н н ы е . Статистичее|и| подход к о б р а б о т к е сейсмических м а т е р и а л о в з а к л ю ч а е т с я в й)зДании сейсмических моделей, в к л ю ч а ю щ и х э л е м е н т ы с л у ч а й н о ^ . Н а п р и м е р , в н а ш е й статистической модели к о э ф ф и ц и е н т ы о ф ; ж е н и я п р е д с т а в л е н ы н е к о р р е л и р у е м о й «белой» последовательно.; стью. Г л а в н о е условие и с п о л ь з о в а н и я статистического подхода в сейсмологии з а к л ю ч а е т с я в необходимости о б р а б о т к и больщ^го о б ъ е м а д а н н ы х . Л ю б ы е д а н н ы е в д о с т а т о ч н о б о л ь ш и х количест|а)1 ^ п р и о б р е т а ю т статистический х а р а к т е р , д а ж е если о т д е л ь н ы е ^я:; части д о своей п р и р о д е д е т е р м и н и р о в а н н ы е . П р е д с к а з ы в а ю щ а я д е к о н в о л ю ц и я п р и м е н и м а т о л ь к о к стар-: стической модели. С т а т и с т и ч е с к а я м о д е л ь о п и р а е т с я на д в е основ­ ные гипотезы: 1) г и п о т е з у случайности к о э ф ф и ц и е н т о в отражения, согласно которой п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь к о э ф ф и ц и е н т о в отражения, характеризующая границы раздела, можно представить в в ф случайного н е к о р р е л и р у е м о г о р я д а ; 2) д е т е р м и н и с т и ч е с к у ю гипо­ тезу, согласно которой с л о ж н ы й волновой импульс, составлен1Й|8 из р е в е р б е р а ц и о н н ы х и н а ч а л ь н ы х волновых импульсов, я в л я е ^ минимально-запаздывающим. С у щ е с т в у ю т р а з л и ч н ы е способы проверки соответствия мате­ матической модели физической ситуации. С почти повсеместны»' внедрением цифровой регистрации и цифровой о б р а б о т к и сейсй»' ческих д а н н ы х з а последние 15 л е т с т а л а в о з м о ж н о й проверк' статистической модели в ш и р о к о м м а с ш т а б е и на высококачеб' венных м а т е р и а л а х . Т а к к а к с е й с м и ч е с к а я т р а с с а с л а г а е т с я м н о ж е с т в а п е р е к р ы в а ю щ и х с я в о л н о в ы х импульсов, обычно »' п р е д с т а в л я е т с я в о з м о ж н ы м п р я м о о п р е д е л я т ь с л у ч а й н у ю послед"' в а т е л ь н о с т ь к о э ф ф и ц и е н т о в о т р а ж е н и я или ф о р м у волнового 0' пульса, поэтому приходится косвенным путем п о д т в е р ж д а т ь слУ ч а й н у ю природу к о э ф ф и ц и е н т о в о т р а ж е н и я и минимально-запаздЫ' в а ю ш у ю природу р е в е р б е р и р у ю щ е г о волнового и м п у л ь с а . Косвб*' 140

л

ное подтверждение осуществляется применением метода предска­ зывающей деконволюции к сейсмическим данным. Н а основе проведенных сейсморазведочных работ бурятся неф­ тяные или газовые скважины. Н а этом этапе результаты деконво­ люции и других способов обработки сейсмических материалов сравниваются непосредственно с геологическим строением изучае­ мой толщи горных пород. В течение последних 15 лет метод пред­ сказывающей деконволюции успещно применялся д л я деконво­ люции фактически всех сейсмозаписей, полученных к а к на море, так и на суще. В целом успешное применение этого метода свиде­ тельствует о том, что гипотезы случайности последовательности коэффициентов отражения и минимального з а п а з д ы в а н и я слож­ ного волнового импульса действительны д л я широкого круга прак­ тических ситуаций. П р о б л е м у кратных о т р а ж е н и й в сейсморазведке можно сфор­ мулировать следующим образом. Некоторые из границ р а з д е л а являются сильными о т р а ж а т е л я м и . В р е з у л ь т а т е сейсмическая энергия претерпевает последовательные о т р а ж е н и я от этих границ, что ведет к возникновению кратных отражений, регистрируемых на сейсмограмме. Как следствие, о т р а ж е н и я от глубоких горизон­ тов, з а л е г а ю щ и х ниже сильных о т р а ж а ю щ и х границ, о к а з ы в а ю т ­ ся затушеванными. Д л я того чтобы сделать сейсмозаписи нор­ мально интерпретируемыми, необходимо п р е ж д е всего подавить кратные о т р а ж е н и я . В предыдущем разделе мы изложили метод предсказывающей деконволюции д л я случая, когда интервал предсказания равен еди­ нице, т. е. одношаговую деконволюцию. Такой вид предсказываю­ щего разложения называется также импульсной деконволюцией, так как оператор деконволюции рассчитан на превращение сложного импульса Wk в единичный импульс 8*. Если обозначить оператор деконволюции qk = ®Г'> то операция qk*Wk = 8* определяет импульс­ ную деконволюцию. Н а геосризическом языке процесс импульсной деконволюции «сжимает» сложный импульс в единичный. К а к мы видели, при импульсной деконволюции наблюденная сейсмическая запись Xk моделируется операцией Xk = Wk*Bk, (4-2-1) где последовательность коэфсрициентов отражения — некоррели­ руемая, а сложный импульс Wk — минимально-запаздывающий. Идеальным оператором деконволюции является qk, а запись после деконволюции имеет вид qk*Xk = Bk. ' ' (4.2-2)

Оператор деконволюции qk = можно считать либо операто­ ром ошибки предсказания с интервалом предсказания, равным од­ ной единице времени, либо «импульсным» оператором, который сводит сложный волновой импульс Wk к единичному импульсу bk-. _ 1, если k = 0 wT'*Wk = h - | о , если кФО. 141

в этом разделе мыл рассмотрим оператор ошибки предсказаниу! для случая, когда интервал предсказания а больше единицы, j ' покажем, что такой (оператор является эффективным средство» j подавления кратных сртражений на сейсмограмме. Прежде 4ei | заняться разработкой метода нахождения такого оператора по пс,-' левой сейсмограмме, шадо на простом примере объяснить физич^Т^ скую причину успеха а-шаговой деконволюции. Этот оператор) ошибки предсказания с различными интервалами предсказанКщ. широко применяется в нефтегазопопсковой промышленности щ всем мире в качестве эффективного метода решения проблем!^ кратных отражений. О^дин из первых опытов был связан с подав* лением длиннопериодншх кратных отражений на сейсмограммах^ полученных на Севернюм море и на Аляске во второй половине, 60-х годов XX в., что шривело в конечном счете к открытию крупЗ, ных месторождений нефти и газа в Англии, Норвегии и на Аляске^ Приведем простой ;пример предсказывающей деконволюции с| интервалом нредсказадаия а, чтобы проиллюстрировать связан-] ные с ней некоторые м1атематические принципы. Рассмотрим сей^ омическую модель 1| Xk = Wk*Bk,

{4.2-4Ji

•

где — последовательнсость коэсэфициентов отражения; Wk — bk*Sk -jl сложный волновой импульс. i Чтобы не усложнятъ математические выкладки, возьмем са-| мый простой вид рев!ерберации — реверберацию, описываемую| характеристическим многочленом: | Л ( 2 ) = \-'raz-,

(4.2-5|;

где а ( а > 1) —двойное 0ре.мя пробега волны в слое, а а —физиче­ ский параметр, характеризующий структуру слоя. Отсюда, г-пре­ образование Лапласа В (г) волнового импульса реверберации bk имеет.: вид

а сам волновой импульс реверберации bk можно изобразить так: 6ft —амплитуда реверберации Л —время

первое i первичное

'

второе

третье

Y кратное у кратное Y кратное

1 , 0 , . . .. О, -а, О, . . . . О, а^. О, . . . , О, —дз, р О, 1 а - - 1, а, а-i- I, . .., 2а— 1, 2а, 2а — 1, . . .,* За — 1, За, З а - f 1 (4.2-7)

Величина а называется периодом кратных отражений или просто п е р и о д о м к р а т н ы х . Чтобы сохранить модель простой, сделаем еще одно специальное Допущение —предположим, что волновой импульс источника Sk состоит всего из двух членов: Sft = So, s i . 142

(4.2-8)

fowa его 2-преобразование Лапласа 5 (г) будет иметь вид

S{z) =

(4.2-9)

so+siZ.

Следовательно, г-преобразование Лапласа W{z) сложного волнового ^мпульса Wk'=Sk* bk выразится как tt7(2) = 5»

=

5 ( 2 ) f i ( 2 ) = (so +

S,2)5(2)

=

So + 512 — 0502" — 0512"+' - г ahoZ^" -^r «^5122"+'

^

. . . (4.2-10)

Допустим, что а > 2, т. е. во временном представлении сложный волновой импульс Wk примет вид: Wk амплитуда сложного волново-

всплеск

го импульса

so, Si О, . . . , О,

fe"—время ,

сгокойно

.—•

.

всплеск

.

спокойно

всплеск

.

'—•—.

.

—oso, —as\.

О, . . . , О,

аН'^, аЧх,^

О, 1 , 2 , . . ., а — 1 , а, а ^ - 1, а 2а-Ы,...

2,

•—.

2 а — 1 , 2а, (4.2-11)

Сложный волновой импульс описывается последовательными всплесками энергии и спокойными участками. Сейсмограмма Xk является сверткой последовательности коэсхрициентов отражения tk со сложным волновым импульсом Wk, т. е. k Xk=

k

Y BnWk-n= n=0

Tl^'nBk-n=WoBk n=0

+ WiEk-[-rW2Sk-2-r

•••

в р е з у л ь т а т е подстановки значений wc из (4.2-11) в выражение уравнения (4.2-12) получаем Xk = So£k + S[£k-\ -r

a%Bk-2^

aSoBk-a +

ahxBk-2a-x

(4.2-12) последнее

aS\Bk-a-l —

. . .

(4.2-13)

Из (4.2-13) следует, что существуют два вида искажений значе­ ния Xk'. 1) из-за влияния импульса источника 5 & = s o , s\\ 2) из-за влияния кратных отражений — а со сдвигом а, со сдвигом 2а, —а^ со сдвигом За и т. д. Искажение из-за влияния импульса источника действует в течение времени, равного длительности им­ пульса источника, например смещиваются и Bk-x, и Zk-a-i и т. д . Ч а с т о подобное смещивание соседних отражающих границ заметно не снижает качество сейсмозаписи, по крайней мере в случае импульса источника краткой длительности. Искажения из-за в л и я н и я кратных отражений намного более серьезны, так к а к смешиваются е*, tk-^, Sft_2a В результате отражающие гори­ зонты, о)тстоящие друг от друга на большие р а с с т о я н и я , могут объединяться в одном значении Xk сейсмограммы в момент времени k, поэтол'лу разрешение таких «полезных» отражений превращается в серьезшую проблему. Практический интерес представляют случай короткопериодных кратных (а мало) и случай длиннопериодных кратных (а велико). Промежуточные случаи также не лишены интереса. Случай корот­ копериодных кратных характерен д л я разведки на мелководье. 143

т П е р и о д а р а в е н двойному времени пробега в водном слое, поэтому когда толщина с л о я воды невелика, значение а мало. Предположим, что море мелкое, т. е. а = 2. Тогда сложнь импульс Wk = bk*Sk примет вид всплеск

всплеск

Wk={so,Su

всплеск

—aso, —asu a^so, a%,

...},

(4-2-,4)

что с л е д у е т и з (4,2-11) при а = 2. К а к видно из в ы р а ж е н и я (4.2-14), м е ж д у в с п л е с к а м и энергиа нет спокойных и н т е р в а л о в . В р е з у л ь т а т е п о д о б н ы е короткопериог(4 ные к р а т н ы е п р и д а ю т с е й с м о г р а м м е в и д к в а з и с и н у с о и д а л ь н о г о к о л е б а н и я . Г е о ф и з и ч е с к а я и н т е р п р е т а ц и я н е о б р а б о т а н н ы х сенсч м о г р а м м , п о д в е р ж е н н ы х к о р о т к о п е р и о д н о й р е в е р б е р а ц и и , затруднив т е л ь н а и л и в о о б щ е н е в о з м о ж н а . И м п у л ь с н а я д е к о н в о л ю ц и я (одно^ щ а г о в а я п р е д с к а з ы в а ю щ а я д е к о н в о л ю ц и я ) , о п и с а н н а я в р а з д . 4.1, я в л я е т с я с р е д с т в о м п о д а в л е н и я подобной р е в е р б е р а ц и и н а сейсмо* записях. * Д л и н н о п е р и о д н ы е к р а т н ы е х а р а к т е р н ы д л я р а з в е д к и на глубо^ ководье, а т а к ж е в л ю б о м районе,, г д е н а д ц е л е в ы м и г л у б о к и м и roj р и з о н т а м и н а х о д и т с я одна и л и н е с к о л ь к о с и л ь н ы х о т р а ж а ю щ и е г р а н и ц . И м е н н о э т о т с л у ч а й м ы и м е е м ч а щ е всего в виду, т а к к а ^ в основном от э ф ф е к т и в н о с т и п о д а в л е н и я д л и н н о п е р и о д н ы х крат* ных з а в и с и т о т к р ы т и е н а х о д я щ и х с я на б о л ь ш о й г л у б и н е зале^ ж е й нефти. Вернемся к простому примеру и покажем, каким путем можн(| р а с с ч и т а т ь а - ш а г о в ы й о п е р а т о р о ш и б к и п р е д с к а з а н и я , предназна* ченный д л я п о д а в л е н и я д л и н н о п е р и о д н ы х к р а т н ы х отражений. В д а н н о м п р и м е р е и с п о л ь з у е т с я о п е р а т о р п р е д с к а з а н и я , состоящий всего л и ш ь из одного к о э ф ф и ц и е н т а Я, п о э т о м у Xk+a^lXk или '

'(4'2-15]|

;:у.

'•:,

'у:

'

' '

,

Xk^^lXk-a.

,f

•

•

(4.2-16)

П о с т о я н н а я X о п р е д еля ет ся путем минимизации Дисперсии ошиб­ ки предсказания Го: ::i;:,r' ' ; tviU'i'.-' .

S / -

. Хо = Eixk-ikf • — 2ХЕ(xkXk-.)

= E{xk-lXk-af + l^E

= Е{х1}^

.:\

= /?о — 2Х/?, + Х^/?о.

П р и р а в н я в производную от Го по X н у л ю , получаем: '

аГо/ах = — 2 / ? „ 2 Х ; ? о = О,

откуда имеем нормальное уравнение х;?о =

, , i ,,..);;

144

•и (4.2-17)

, ,

,\

(4.2-18)

«

/ ? . . . ( 4 . 2 - 1 9 )

Следовательно, искомое значение X = RJRo.

•

\

; г.. , i , <: : ' Г-

- '

(4.2-20)

С о г л а с н о в а ш е й модели с е й с м и ч е с к а я з а п и с ь Xk ^'Wk* в^. Т а к jj3K мы п р е д п о л о ж и л и , что п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь козсзсипиентов от­ ражения Eft я в л я е т с я белым ш у м о м , с п е к т р мощности б у д е т р а в н о J(epным, с в ы с о т о й , р а в н о й о^: ^ . ^, . ^(sfej—а

—положительная постоянная — спектральная

плотность

мощности белого шума. ..

(4.2-21)

Поэтсму с о р м а с п е к т р а мощности Ф (о)) сейсмической записи определяется ц е л и к о м с л о ж н ы м волновым и м п у л ь с о м Wky т . е. ,

v.i-;.-

где W (z) =

••

Ф(ш) = ;Ц7(ш):2а2,

S ^-fe-^* — 2-преобразование

xt^

(4.2-22)

Лапласа сложного

импуль*

са oyfe. П о с к о л ь к у ojfe — п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь д е Г х т в и т е л ь н ы х ч и с е л , у р а в ­ нение (4.2-22) э к в и в а л е н т н о у р а в н е н и ю Ф (г) ^W{z)W ( г - J ) а2, (4.2-23) Функция Ф ( г ) является г-преобразованием Лапласа автокорре­ л я ц и о н н ы х к о э ф ф и ц и е н т о в Rm сейсмической з а п и с и и з а д а е т с я в ы ­ ражением

V:•:•t:!-"ф(г)=

:i

f

R^,'^'Тп'

i-''

А н а л о г и ч н о б у н к ц и я W(2:)W7(2!-i) я в л я е т с я Лапласа ф у н к ц и й п о с л е д о в а т е л ь н о й к о р р е л я ц и и нового и м п у л ь с а :

•

где Om — к о э ф ф и ц и е н т ы п о с л е д о в а т е л ь н о й

(4.2-24)

^-преобразованием сложного вол­

S

W{z)W{z-^)^i,Wkz'Y

('•••

^.,1

^}mz'^. (4.2-25)

корреляции

оо

<1Ы ^

^

WkWk~m

^-т-

' ,

И т а к , и з у р а в н е н и й (4.2-23) и (4.2-24) с л е д у е т , ч т о Rm и 6^ п р о ­ порциональны друг другу, причем коэффициент пропорционально­ сти а^:.

.

.

(4.2-26)

Rm = o4m.

Т е п е р ь в ы ч и с л и м 6о и 6а д л я простой м о д е л и . К о э ф ф и ц и е н т п о ­ с л е д о в а т е л ь н о й к о р р е л я ц и й 6о равен с к а л я р н о м у произведеник> {wk). (Wk): = (wk) • (wk) ^ (so, S i , о, . . — a s o , , . ... •J::

•.

;

r: =

—А^Ь О, . . .) х

• J^;

X (so, Sb о, . . . , —aso —asu 0, . . .) = 4-

5?

+ a^s? +

+ a^sg + a^?

= ( 5 o % ^ s ? ) ( l + a^ + a 4 . . . . ) = 4 l ^ ' .

... ;a^
' ^ ^v,^ (4.2^27) 145

7

Аналогично коэффициент последовательней корреляции <Jja рщ^ скалярному произведению (wk) • (o'/i+i) или (ш^) • . <Ьа = (wk) • (wk-a)

= (so, S ] , О, . . . , — O S Q , — Z S I , О, . . . , a%,

X (0, 0, 0, . . . , So, S i , 0,

. . .„ — a s o ,

—asi,

0,

2

32

32

Т а к и м сбразсм, искомые значения функции сейсмической записи Xk имеют вид

и

...)==

52

= -a(s^-sD:i-a^-a^.-...>=^g^,

;?, = a 2 c ^ = - й a 2 | i ^ ± i ^ l

0 , ^ ! i^'

о = —aso — f l s i — a So—-a'si —aso — as]— 2

o^su

... =

;(

;a < 1 .

(iJ^

автокорреляции

> ' < 1 .

(4.2-29)

Подставив (4.2-29) в (4.2-20), п о л 1 у ч и м выражение д л я оператора предсказания X: l=RjRo

= -a. •

•

•

(4.2-36)

Чтобы понять физический смысл д а н н о й процедуры, воздействуем этим оператором на сложный волновой импульс и предскажем будущее значение Wk+a' i:

,

.

teJk+a = >-Wk =—awk.

.

(4.2-3|

Это уравнение можно развернуть следующим образом: т+о, =^ —a(so, S , , О, . . ., =

OSQ, — a S u , О, . . ., a^so, a^s\, О, . . . ) =

—aSo, — a s i , О, . . . . a^So, a ^ S i , 0\,

. . . , —a^so,

—a^Si,

.

0,

(4.2-32) Ощибка предсказания ik+<x в момешт времени k-l<x по формуле Yft+» = t£)fc+a

т+а.

определяется, (4.2-33)

' Имея дело с подобными у р а в н е н и я м и ошибки предсказания, над1 быть осторожным. Ошибка п р е д с к а з а н и я ук+а и значение волнового; импульса соответствуют времени k. В момент времени k мы, естест-венно, не располагаем будущим значением Wk+a, поэтому д л я вы*числения Yfe+i н у ж н о подождать д о шаступления момента времени k-7-a.. Иначе говоря, чтобы вычислить ошибку предсказания, необ*ходимо «задержать» предсказанное зшачение. Н а рис. 4-6 изобра­ жена схема описанной процедуры. Оказывается, что задержанное п р е д с к а з а н н о е значение Wk есть не что иное, к а к концевое значение с л о ж н о г о волнового импульса Wk, поэтому в результате вычитаншя Wk—Wk концевое значение сложного волнового импульса компешсируется значением wk и в ка146

^ве ошибки п р е д с к а з а н и я ^хйчески . э т о т о и з и ч е с к и й ^разом.

получаем первое значение Wk. С х е результат получается следуюш.И1«

,ремя k " ' ' ^ 7' " " '1, 2, . . а — 1, а , а + 1, а + 2, . . / ^ожный волновой ^пульс Wk =So, Si, О, . . О , —aso, —as,, 0. . . . |редсказанное значение Шй+а = —aso, asu О, . . О , a^so, a^su О, . . . Задержанное п р е д с к а з а н , , ,се значение т = 0, О, О, . . . , О, —aso, —asi, О, . . . ошибка п р е д с к а з а н и я / р ' Wk~Wk = ^k=-=So, Si, о, О, О, О, О, . . .

^

\

•:

•

Рис. 4-6. Схема, иллюстрирующая временную процедуру, используемую для вы­ числения ошибки предсказания' при задержке а, равной шагу предсказания. ^ / - о п е р а т о р п р е д с к а з а н и я ; 2 — о п е р а т о р з а д е р ж к и н а а; 5 — о п е р а т о р о ш и б к и ния; 4 — о ш и б к а п р е д с к а з а н и я

•i

• -.i

г;-'.

^ f '••[

предсказа­

•i,":^'' • • •

Так к а к переднее значение с л о ж н о г о волнового импульса является предполагаемым волновым импульсом источника Sfe = So, Si, получаем с л е д у ю щ и й в а ж н ы й , р е з у л ь т а т , состояш.ий в т о м , ч т о ошибка п р е д с к а з а н и я ^fe с л о ж н о г о волнового импульса Wk равна волновому и м п у л ь с у источника Sk\ ^k==Sk=So, нли

'/

-••

si

:

;

7 ' (4.2-34)

•

>.•••••

ТА = ТО' Ть Т2> Тз. . . . = S o , Si, О, О, . . .

(4.2-35)

Ч е р е з г-преобразование Л а п л а с а о п е р а т о р ошибки предсказания: Можно выразить так, к а к п о к а з а н о н а р и с . 4-7. З д е с ь Г ( г ) — г - п р е ­ образование Л а п л а с а ошибки п р е д с к а з а н и я 7* волнового и м п у л ь -

I " ' " ' ' T { г ) = t ^ ^ k z ' ^ Согласно р и с . 4-7, получаем: V

T{z) = W{z):i

Т'

+ az%

'Г''.'//'.л , •/

^

е. г - п р е о б р а з о в а н и е Л а п л а с а Л (г) а-шагового оператора ^Предсказания ak имеет в и д A{z)=^l+az\ t

(4.2-36)

(4.2-37) ошибки (4.2-38) 147

•г В о временном п р е д с т г в л е н и и а-шаговый о п е р а т о р о ш и б к и П]л с к а з а н и я записывается следующим образом: ;V Uk = «1, . . « а , а „ + 1 , . . . = 1, 0. О, . . . , а, О, . . . (4.jL П о с к о л ь к у Wk ^ Sk*bky имеем

|f

Г(г)=.5(2)5(г). • , .

, ^

(4|:4.^

т а к что V{z)^W{2)A

(г) = [S (г) В (г)] • Л (г) = S (г) • В (г) А (г)].

(4:%,^

Н о , т а к к а к В (г) Л (г) = 1, .

Г(г)=.5(г).

(4.2-42)

\

1

ад! 1

^

2 'Л

л-а

Рис. 4-7. Схема получения г-преобразования Лапласа ошибки предсказания Г|2). / — оператор предсказания; 2 — оператор задержки; 3 — оператор ошибки предсказфнд

Т а к и м образом, м ы о п я т ь п о к а з а л и , ч т о о ш и б к а предсказания, в о з н и к а ю щ а я в процессе э к с т р а п о л я ц и и с л о ж н о г о в о л н о в о г о им­ п у л ь с а Wb р а в н а в о л н о в о м у и м п у л ь с у и с т о ч н и к а s^. Этот резуль­ т а т очень в а ж е н д л я п о н и м а н и я а - ш а г о в о й д е к о н в о л ю ц и и . О н гласит, что п р и в о з д е й с т в и и а - ш а г о в ы м о п е р а т о р о м ошибки предсказания uk н а с л о ж н ы й в о л н о в о й и м п у л ь с Wk п о л у ч а ю т в о л н о в о й импульс и с т о ч н и к а Sk: ^, (4.2-43)

ak*Wk = ^k = Sk.

^ В о з в р а щ а я с ь к ф и з и ч е с к о м у с о д е р ж а н и ю э т о й с и т у а ц и и , видим, что г - п р е о б р а з о в а н и е Л а п л а с а Л ( г ) = = 1--аг^ а - ш а г о в о г о оператора о и ш б к и п р е д с к а з а н и я ak р а в н о х а р а к т е р и с т и ч е с к о м у многочлену р а с с м а т р и в а е м о й р е в е р б е р и р у ю щ е й системы. П о д ы т о ж и м р е з у л ь т а т ы р а с с м о т р е н и я простого п р и м е р а ревербе­ р и р у ю щ е й системы, к о т о р а я о п и с ы в а е т с я х а р а к т е р и с т и ч е с к и м мно­ гочленом А (г) 1 — а^^. П о з а д а н н о й сейсмической записи Xk на­ ходим з н а ч е н и я ф у н к ц и и а в т о к о р р е л я ц и и R o и Ra. З а т е м вычисляем коэффициент о п е р а т о р а п р е д с к а з а н и я l = R j R ^ = ^a. Следователь­ н о , о п е р а т о р ошибки п р е д с к а з а н и я ak = ао, a i , аг, . . й а = 1, О, О, а. В о з д е й с т в у я о п е р а т о р о м о ш и б к и п р е д с к а з а н и я на сейс­ м и ч е с к у ю з а п и с ь , получаем обратно с в е р н у т у ю з а п и с ь *. Г ; 1 ; 148

yk = ak*Xk=^ak*Wk*Bk=^

^к^Ч =

* e^.

(4.2-44)

Это означает, что обратно свернутая сейсмическая запись tjk равна свертке волнового импульса источника Sk с последовательностью коэффициентов о т р а ж е н и я е^: г/А = Sfe* Sfe = So, Si * ей = SoSjfe - г SiSft_i,

(4.2-45)

С л е д о в а т е л ь н о , п о д в е р г н у т а я д е к о н в о л ю ц и и з а п и с ь с о с т о и т из коэффициентов отражения, искаженных только волновым импуль­ сом источника. В с е в р е д н о е в о з д е й с т в и е к р а т н ы х о т р а ж е н и й иск­ лючено. Поскольку оператор ошибки предсказания превраш.ает (или н а г е о ф и з и ч е с к о м я з ы к е « с ж и м а е т » ) с л о ж н ы й в о л н о в о й и м ­ пульс в и м п у л ь с источника, о п е р а т о р о ш и б к и п р е д с к а з а н и я з а м е ­ няет к а ж д ы й с л о ж н ы й в о л н о в о й и м п у л ь с , с о д е р ж а щ и й с я в с е й с м и ­ ческой з а п и с и , н а в о л н о в о й и м п у л ь с источника. Т а к к а к и м п у л ь ^ источника к о р о ч е с л о ж н о г о в о л н о в о г о и м п у л ь с а , с е й с м и ч е с к а я р а з ­ решенность возрастает, а значит, увеличиваются наши в о з м о ж н о ­ сти п р а в и л ь н о в ы д е л я т ь п о л е з н ы е о т р а ж е н и я s i , ег, . . е л г . Д о с и х п о р мы п р е д п о л а г а л и , что в о л н о в о й и м п у л ь с источника Sfe=so, si я в л я е т с я м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ и м . Н о э т о с в о й с т в о мы н и к о г д а не и с п о л ь з о в а л и , и п о с у щ е с т в у нет н е о б х о д и м о с т и предполагать волновой импульс источника минимально-запазды­ вающим. Следовательно, вывод, что а-шаговый оператор ошибки предсказания «сжимает» сложный волновой импульс в им­ пульс и с т о ч н и к а , . с п р а в е д л и в д а ж е в т о м с л у ч а е , к о г д а и м п у л ь с источника н е м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ и й . И т а к , м е т о д пред: с к а з ы в а ю щ е й деконволюции подавляет длиннопериодные кратные отражения и тем самым улучшает сей смическую р а з р е ш е н н о с т ь даже в случае, когда импульс и с т о ч н и к а не являет­ с я м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ и м . Н а э т о м мы з а в е р ­ шаем рассмотрение простого примера а-шаговой деконволюции реверберирующей системы с характеристическим многочленом

A(z) = \ + az''. П е р е й д е м к р а з в и т и ю о б щ е г о м а т е м а т и ч е с к о г о а п п а р а т а , не­ обходимого для осуществления а-шаговой деконволюции. 4.2.1о Л и н е й н о е п р е д с к а з а н и е н а п р о и з в о л ь н ы й интервал, основанное на бесконечном прошлом; функция автокорреляции известна ,

^

Задача состоит в том, чтобы отыскать н а и л у ч ш у ю с р е д н ю ю квадратическую оценку б у д у щ е г о значения Xk-^a. д е й с т в и т е л ь н о г о ста­ ционарного временного ряда с нулевым математическим о ж и д а н и е м Xk п о известному бесконечному прошлому . . . х ^ - г , Xk~\, Xk. Иначе г о в о р я , задача п р е д с к а з а н и я состоит в отыскании такого причинного предсказывающего фильтра Хо, At, Х2, . . к о т о р ы й . воздействуя на в х о д н о й сигналд:А,дает на выходе сигнал Xk~^a о б л а д а ю ­ щий минимальной д и с п е р с и е й ошибки предсказания: Го -

£ [{xk+.

— Xk^^f\>

(4.2-46) 149

Используя тот факт, что сигнал на выходе линейного предска;|| зывающего фильтра является сверткой коэффициентов фильтра XQ,; Xl, Х2, . . . с входным сигналом Xk, получаем: Г/

~ п=0 ^

Хк+а

\21

(4.2-4:|j 1„Хк—п

Минимум функции (4.2-47) находится путем дифференцирований по каждому из коэсхрициентов оператора и приравнивания получен^ ных производных к нулю: 2 Хк+а— L \

дк, или

I

п=0

l„E\xk-nXk-i)

=

Е

S ^пХк-п п=0

{xk+.Xk-i),

Xk—l

= 0

/ = О, 1 , 2 , . . .

(4.2-48)

(4.2-49)

Если обозначить i?m = •£ (-Хллгй-т) сэункцию автокорреляции при сдвиге т стационарного действительного временного ряда с нуле­ вым математическим ожиданием Хк, то уравнение (4.2-49) примет вид , , , S lnRi-n=Ri+^,

п=0

/ = 0, 1, 2, . . .

(4.2-50)

В результате мы получили бесконечную систему уравнений, н а ' зываемых н о р м а л ь н ы м и . Вид нормальных уравнений приводит к следующему важному заключению. Временной ряд Хк входит в эти уравнения единственно через свою срункцию автокорреляции RmФункция автокорреляции и спектр мощности стационарного вре­ менного ряда образуют пару преобразований Фурье, следовательно, чтобы решить задачу предсказания в случае стационарного времен­ ного ряда Хк, Достаточно знать его спектр мощности Ф(о)). Однако при двух различных стационарных временных рядах, обладающ.их одинаковым спектром мощности, мы получим одинаковые оптималь­ ные операторы предсказания с одинаковыми минимальными сред­ ними квадратическими погрешностями (или дисперсиями в случ1а8 стационарных временных рядов с нулевыми математическими ожсиданиями). Полностью недетерминированный стационарный времен­ ной ряд Хк с заданным спектром мощности Ф (ш) имеет бесконечнюе число причинных представлений вида Xk==Y.wb^n,

(4.2-51)

где ttift"— устойчивая причинная последовательность (волновой и:Мпульс); SA* — соответствующая чисто случайная последовательностгь. Пусть

150

Тогда единственное условие, наложенное на волновой импульс te)l , цтобы представление (4.2-51) имело место, запишется в виде Ф (ш) = = 117<'''(ш),2о2. Следовательно, при решении задачи линейного пред­ сказания любое представление временного ряда Xk можно заменять другим, если при зтом волновые импульсы, входящие в каждое представление, имеют один и тот ж е амплитудный спектр: •

^ ]и^''/)(ш)1 = 1 [ Ф ( « ) ) р .

Входной сигнал: белый шум

Функция памяти: минимально-запаз­ дывающий волновой импульс ( wj")

' ,

Выходной сигнал: стационарный .временной ряд

Рис. 4-8. Минимально-запаздывающее представление стационарного временного ряда

Тикая замена не повлияет на оп'шмальный предсказывающий фильтр или минимальную среднюю квадратическую погрешность, так как решение задачи предсказания зависит только от бункции автокорреляции (или спектра мощности) наблюденного стационар­ ного временного ряда. Функция автокорреляции Rm временного ряда Xk из (4.2-51) определяется соотношением Rm = o4m, где

= Е j[efe'}^I, а функции последовательной

•

•

•,'

' '

(4.2-52)

корреляции

k=U

с р е д и всевозможных представлений стационарного временного ряда есть одно, которое может служить отправной точкой д л я всех других представлений. Это — представление, обладающее свойством минимального запаздывания. Обозначим этот минимально-запазды­ вающий волновой импульс w^k\ а соответствующую ему чисто слу­ чайную последовательность В к \ Тогда минимально-запаздывающее представление примет вид •

'

•

Xk=

Si^
-

(4.2-53)

«=о

Н а языке линейной теории фильтров представление (4.2-53) оз­ начает, что стационарный временной р я д Xk — это сигнал на выходе dDИЛьтpa с функцией памяти wf^ (минимально-запаздывающий вол­ новой импульс), если на вход подан сигнал (чисто случайный процесс с дисперсией а^) (рис. 4-8). Функция, обратная минималь151

но-запаздывающему волновому импульсу, является причинной, по*]! этому функция, обратная ^i"', будет реализуемой в том смысле, чщ д л я определения настоящего значения выходного сигнала требуютс^ только настоящие и прошлые значения входного сигнала (будущие значения не нужны). В задаче предсказания располагают време!^^ ным рядом Xk вплоть до настоящего момента k. Это равносильна знанию чисто случайной последовательности е^" вплоть до настоя­ щего момента к; поскольку фильтр wf^ имеет причинное обращение Як = (te'*"^}"' = Qo, qu q 2 , • • •, существует возможность пропустить

Входной сигнал

Функция памяти: обращение послвдобатаяьноспЦ

Выходной сигнал: белый шум

Рис. 4-9. Деконволюция минимально-запаздывающего представления стационар­ ного временного ряда Xj^.

имеющийся временной р я д Xk через обратный фильтр qk и получить на выходе белый шум si"', что и изображено на рис. 4-9. Иначе говоря, мы осуществляем деконволюцию минимально-запаздываю­ щего представления стационарного временного ряда Xk с помощью причинного минимально-запаздывающего обратного оператора qo, <7;, (72. . . . и получаем чисто случайную последовательность ZkK Таким образом, задача предсказания равносильна постановке вопроса о том, каким оператором нужно воздействовать на белый шум tf\ чтобы найти приближенное в смысле наименьших квадра­ тов будущее значение Xk+a временного ряда Xk- На этот вопрос можно д а т ь следующий ответ. Белый шум si?* в интервале времени —со<^<со представляет собой последовательность коротких импульсов со случайными амплитудами. Случайные амплитуды этих импульсов не коррелируются м е ж д у собой. Минимально-запаздывающее представление Хк==

"

^

(4.2-54)

означает, что каждый импульс входящий в срильтр, дает на вы­ ходе сигнал в соответствии с функцией импульсной реакции филь­ тра Wk-n И ЧТО временной р я д Xk является суммой этих элемен­ тарных реакций. Посредством деконволюции временного ряда вплоть до настоящего момента к можно получить импульсы белого туш е*?* до настоящего момента к, т. е. д л я интервала — о о ^ п< к. Н о нам ничего не известно об импульсах после настоящего момента к, так как они еще не появились. . • 152

Запишем теперь м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ е е представление менного р я д а Xk в будущий момент времени k-~ ч: > . - • . . .

Xk+. =

S

6<°>Ш$?|«_„.

вре­

(4.2-55)

П=—во

'

К

'

'•••••'(.

Это выражение можно р а з д е л и т ь на две части:

• >

xk^.=

i : s < w « - i - * s e L W n . " (4.2-56) n=—oo • n=*-l-l П е р в а я часть состоит и з хвостов элементарных о т к л и к о в н а импульсы, у ж е возникшие (бп°' д л я интервала — с о < п < А), а вто­ рая обязана своим происхождением - импульсам, которые п о я в я т с я в интервале времени от настоящего k д о б у д у щ е г о ^ а момента времени е^?* д л я интервала й < л < (^ + а ) ^ . В т о время . к а к п е р в а я часть полностью предсказуема, в т о р а я часть совершенно непред­ сказуема, поскольку она не к о р р е л и р у е т с я с инсюрмацией, имею­ щейся в настоящий момент времени k. П е р в у ю часть у р а в н е н и я (4.2-56) можно получить, подав ei"' на вход ф и л ь т р а , импульсная реакция которого представляет собой хвост волнового импульса ш^*, смещенный вперед н а а единиц в р е ­ мени. Значит, ф у н к ц и я памяти нового срильтра д о л ж н а иметь в и д волнового импульса twi"', ayi+i, xd^\.4, . . . , где ayi"' — значение амп­ литуды в момент времени А == О, ^ L ^ i — значение а м п л и т у д ы в мо­ мент времени й = 1 и т. д . Иными словами, сэункция п а м я т и ново­ го фильтра я в л я е т с я м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ и м волновым им­ пульсом, который сдвинут влево на а единиц времени и у к о т о р о г о первые а коэффициентов усечены. Новый срильтр р е а г и р у е т на и м ­ пульс т а к ж е , к а к фильтр Шо"', а»*"', ш^"', . . . , Шп' с р е а г и р у е т через а единиц времени. Следовательно, если на вход нового срильтра подать последовательность белого шума tf\ т о в момент времени k на выходе п о л у ч и м ,, Xk==

eS-^'^Vn.

(4.2-57)

n=—оо

Н о последнее в ы р а ж е н и е — предсказуемая часть будущего зна­ чения «t+a. Короче говоря, если на вход нового срильтра wT, o i i + i , ^ 1 + 2 , . . . подается последовательность е^"', то выходной сигнал будет предсказуемой частью б у д у щ е й реакции ф и л ь т р а wt\ ^Т, wT, ... на тот ж е самый входной сигнал а единиц времени с п у с т я . В т о р а я , непредсказуемая часть уравнения 4.2-56), соответствую­ щая импульсам, которые е щ е д о л ж н ы п о я в и т ь с я , не м о ж е т б ы т ь создана в настоящий момент времени к. Тем не менее известно, что среднее значение этой части равно н у л ю , т а к к а к равновероятно, что будущие импульсы будут противоположных з н а к о в . Следова­ тельно, среднее, значение будущего о т к л и к а я в л я е т с я первой ч а с т ь ю '153

будущего отклика, т. е. предсказуемой чгастью выходного сигнал|'| на оильтреоуГ, w^+i, Wa+2 Но х о р о ш о известно, что средне(: значение случайной переменной — точка,, относительно KOTOpoil средняя квадратическая погрешность мшнимальна. Если на вхо;( фильтра w^°\ w''°l:, ш*а+2).... подать псследдсвательность белого шук|'^ то на выходе получим искомое предсжазание Xk+^. . Сигнал на входе фильтра да*"*, wii+z, . •. представляет собой чисто случайную последовательность е*"'. «Фактические данные пред. ставлены временным рядом Xk, поэтому нгаилучшей операцией, ко­ торой нужно подвергнуть фактические даншые, является следующая: W \ will, ш<°|2. . . : ) * i q o , q u q2, ...)*Xk; (4.2-58) здесь с помощью минимально-задерживающего обратного оператора 91, <72. временной ряд Хк превраща4ется в белый шум е*", а посредством операции ш!"*, wi°^i, . . . осуществляется оптималь­ ное предсказание, основанное на чисто с:лучайной последователь­ ности б*"'. Иначе говоря, оптимальный ошератор предсказания >,о, Хь Хг, . . . для экстраполяции стационарнюго временного ряда Хк на а единиц времени вперед является сверрткой вида • '

1]<7„ш|?^._„,

-V

(4.2-59)

где даГ — минимально-задерживающий onefратор в минимально-за­ паздывающем представлении временного {ряда Xkl Qk — оператор, обратный wP. ' Минимально-задерживающий оператор mf^ можно найти, разло­ жив на множители спектр мощности Ф{а>) 1 в р е м е н н 6 г о ряда Хк (см. гл. 3). Уравнение (4.2-59) выражается через z-треобразование Лапласа следующим образом: • г Л(г) = (2(г). Е ш Г г * - " ;

(4.2-60)

ft—а

откуда U7^'"(2) =

1^4°^=

1/(2(г);

... ,

<3(г) =

= 1/Г«')(г),

«'=0

На рис. 4-10 изображен а-шаговый операатор ошибки предсказа­ ния. Таким образом, г-преобразование Лаплчаса а-шагового опера­ тора ошибки предсказания имеет вид

• 154

Л(г)=.1_,.л(г) =

(4.2-61)

или

• - '

•.

,.

•

'

В о временном представлении а-шаговый оператор ошибки с к а з а н и я записывается к а к

где wi°\a.) ратора

= wi°\ w\°\ длительностью

= wi\ а.

• •т

о, О, . . . — передняя

—

пред­

(4-2-63) часть опе­

1

Рис. 4-10. Представление а-шагового оператора ошибки предсказания через гпреобразование Лапласа. х^ — вхоавоЛ с и г н а л — в р е м е н н о й р я д ; j / f t — в ы х о д н о й с и г н а л — о ш и б к а п р е д с к а з а н и я . Контур — а-шаговый оператор

ошибки

предсказания

1

Т е о р и я предсказания стационарного временного ряда дг* ф а к т и ­ чески изоморсэна теории п р е д с к а з а н и я волнового импульса шо, w\, W2, .функция а в т о к о р р е л я ц и и которого 0^ пропорциональна функции а в т о к о р р е л я ц и и Rm временного ряда Xk, т. е. Rm = о^б^. Рассмотрим в к р а т ц е основные моменты процесса п р е д с к а з а н и я будущих значений волнового импульса по е г о прошлым з н а ч е н и я м посредством причинного цифрового ф и л ь т р а . Предположим, что на вход причинного цифрового фильтра Хо, X,, Хг, . . . подан волновой импульс • two, w\, W2, — Н а выходе этого б и л ь т р а мы ж е л а е м получить э к с т р а п о л и р о в а н н ы е з н а ч е н и я входного волнового импульса. Е с л и обозначить интервал предска­ зания целым числом а , то искомый выходной импульс будет просто копией входного импульса, сдвинутой вперед на а единиц времени. Временное соответствие между входом = Wo, W\, W2, ..., искомым выходом Wk+,1, фактическим выходом с* и ошибкой Wk+,, — с* пока­ зано в т а б л . 4-1, из которой видно, что э н е р г и я сигнала ошибки при интервале п р е д с к а з а н и я а задается выражением ^'-K+l-cO^^-K-^2-<;2)^+ ...

(4.2-64)

Ч а с т ь энергии wl-i-w\+ ... + объясняется тем, что ф и л ь т р причинный и он не производит сигнала на выходе до тех пор, 155

пока не будет подан сигнал на B x o f ' в нулевой момент времени. К это||) энергии добавляется энергия {wo j

ю 3

—CoY

о

g

-1- (^«4.1 — ^1)2 +

. . K O T o p y ^ l

мы сейчас и рассмотрим. * По существу причинный и;нвари| антный линейный фильтр может де^| лать только одно — просуммироват^ с задержками копии входного сигна* ла, взвешенные с помощью кюэсюи^ циентов фильтра. Это значит, чтщ фактический выходной сигнал 1

4-

оа S К

о

С А =

ЕГ

^]Х„ШЙ_„,

^ =

0,

1,

2.

3,

. . .

S

+

«

" ' (4.2-65) представляет собой сумму задержанных копий Wk-n, где п = 0, 1. 2,..., взвешенных с помощью коэфсзициентов Х-л. Иначе говоря; фактический выходной сигнал Ck; есть не что иное, как взвеш:енная^ сумма задержанных копий входно­ го сигнала Wk~n, п=0, 1,2, . , :v

Il

3 ж

g • 1,

С4

о

о -. Л"

-

•ее

' ;. • -'^^

• ' • •• •

о

о

I •••

о

'1

(М

I

о я:

та та U

о

о

та I

X

S

<с «.о

щ

О

I

156

о о

8

I

OS

3 са

«а

1 S

ц

в

•у* о

С

S

3

CD О.

ш а*

с о

ю

Обратимся теперь к теории чис­ ловых приближений. Рассмотрим класс всех волновых импульсов, т. е. класс всех причинных временных , последовательностей с конечной [ энергией. Множество волновых им- j пульсов называется п о л н ы м , если | любой импульс можно выразить ли­ нейной комбинацией элементов дан- i ного множества. Можно доказать, что множество ; залержанных копий Wk-n при « = 0, • 1, 2,... бывает полным, если входной ; волновой импульс — минимально-за­ паздывающий, и наоборот, множест­ во не будет полным, если входной волновой импульс не является ми- i никально-запаздывающим. Рассмотрим сначала случай минималэно-запаздывающего входного BOJHOBOro импульса. В соответствии с договоренностью обозначать верх­ ним индексом «О» минимальное запаздышние, а нижними индексами — вре­ мя 5ходной импульс запцщется в виде

я, w^2 \ ' • ^ск^^^ьш ВЫХОДНОЙ с и г н а л д о н у л е в о г о времени н е оедсказ^^'^^^' искомый в ы х о д н о й с и г н а л , н а ч и н а я с н у л е в о г о времени^ лразитс^ к а к в о л н о в о й и м п у л ь с wT, хю^а+ъ . . . Этот в о л н о % импУ^*^^ м о ж н о п р е д с т а в и т ь к а к л и н е й н у ю к о м б и н а ц и ю з а д е р ^ иных минимально-запаздывающего входного волнового \ п у л ь с ^ И н а ч е г о в о р я , е с л и входной в о л н о в о й и м п у л ь с мини*^д^^^_з/1:аздыБающий, то м о ж н о о т ы с к а т ь т а к и е коэсЗрфициенты Ки-гиг^ ^*о» ^ 1 , Х2, . . ч т о сзактический в ы х о д н о й в о л н о в о й им^1дьтра ' 'if.ibc co^i^* С2, . . . б у д е т точно равен в о л н о в о м у и м п у л ь с у 'j) J^tb . . . В случае минимально-запаздывающего входного Кипппг^ импучяьса м о ж н о н а й т и т а к о й оператор Хо, Xj, Х2, . . ет рав1^^ нулю»,

а

дисперсия

h = iiw^o'r -Ь (wfr

ошибки + Ш

предсказания

примет

+ . . . - - (ш<°1,)Л

вид

(4.2-66)

^

л**^'Персщя о ш и б к и п р е д с к а з а н и я — н а и м е н ь ш а я и з в о з м о ж - . ^ ^ ^ / б д о в а т г е л ь н о , о п е р а т о р Ко, Л 2 , . . . , с помощью которого ^' JfCH м и ш и м у м , я в л я е т с я о п т и м а л ь н ы м о п е р а т о р о м п р е д с к а ^^''^^^^jaiiMeHbrnaH д и с п е р с и я о ш и б к и п р е д с к а з а н и я о к а з ы в а е т с я ^ к и н и ш а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ е г о входного волнового им-, знергие ^зкопле^нной к м о м е н т у в р е м е н и а—- 1. ^^'^Н^\А ЕХОДНОЭЙ в о л н о в о й и м п у л ь с не бывает м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы ^^^"^ наблюхдается р а с х о ж д е н и е м е ж д у срактическим в ы х о д н ы м Ш Щ И М , 1с1^1пуЛ1:ЬС0М CQ, С\, С2, . . . и в о л н о в ы м и м п у л ь с о м Way Wa^u юлновЫ О д н а ! к о , к а к и в с л у ч а е минимально-запаздывающего ^^+2» - ' y u n y n x b c a , к о э ф ф и ц и е н т ы того ж е самого о п т и м а л ь н о г о ^'^^'^^.а о б е с т е ч и в а ю т м и н и м а л ь н о е з н а ч е н и е д и с п е р с и и о ш и б к и weparoufj^jj^ Щ и с л е н н о э т о м и н и м а л ь н о е з н а ч е н и е р а в н о м и н и предска г з н а ч е а н и ю д и с п е р с и и о ш и б к и п р е д с к а з а н и я для минииальноМ'^ПаздыЕваюидего в х о д н о г о и м п у л ь с а . О т л и ч и е з а к л ю ч а е т с я нально'-т^м, ч^то в д а н н о м с л у ч а е д и с п е р с и я о ш и б к и п р е д с к а з а ^^•^ько ^[)^ит о б б а в и д а э н е р г и и с и г н а л а о ш и б к и . Д о л я н а к о п л е н ^'^V^ м е н н ь ш е , чем д л я минимально-запаздывающего вход­ ной aHCl^y^j^ca^ j^^j^ к р и в а я р о с т а э н е р г и и у н е м и н и м а л ь н о - , soro иМ^аьщегоо и м п у л ь с а и д е т н и ж е к р и в о й р о с т а э н е р г и и д л я запазд1^^{.Н)-запааздываюшего и м п у л ь с а , но д о л я э н е р г и и и з - з а р а с Штиг-л ^ е ж д у у в о л н о в ы м и и м п у л ь с а м и w , Ша+ь о^'а+г,.-. и со> вождей* "Очно компенсирует уменьшение накопленной энергии. ^1, С 2 , . •|^*'Ьный • о п е р а т о р Хо, Хь Х2, . . . м о ж н о о п р е д е л и т ь , в ч а с т OnTH^^et м и н ^ и м и з а ц и и э н е р г и и п о г р е ш н о с т и йости, ti) 00 • / - у ; {wk-^^ — Ckf. .^уьтате^ м и н и м и з а ц и и предыдущей 5 р Г < ш ы е 2 у р з в н е н и я : 2^

Х«0^„„ = 6/+а, / = 0,

1, 2,

/: '

функции

•

(4.2-67)

получаем

(4.2-68) 157

j-де фг —бункция последова-'ельной корреляции входного ВОЛНОЕЬ импульса. Эти нормальные /равнения аналогичны входящим в 11| ражение (4.2-50), поскольку как можно было предположить исх1' из изоморфности обеих теорй предсказания, Rm = °^'^m. jl 4.2.2. Линейное предсказание на произвольный интервал, основанное на конечном прошлом; функция автокорреляции иаэестна Предположим, что хн — действительный стационарный npoijjj| с нулевым математическим ожиданием и известными функци!||ц| .автокорреляции Ro, R\,..., Rn+aМинимизация дисперсииошибки предсказания

'/ E[{xk-Xk)n

1 \2 Xk — 2 XjXk-^-i /=0

(4-2-tl

по отношению к Хо, Х,, . . . , Х„ дает нормальные уравнения: E{XkXk-.-q)—Y,'>^iE{Xk-a-iXk-a-q)=Q,

(7=0, 1, 2, ...,rt(4.2-

или £ X//?,j = 0, ^ = 0, 1, 2,

(4.2-

/=о в матричной записи норшльные уравнения имеют вид -Ra Rn 'Ru Rl Rai-\-l Rn-i Rl Ro (4.2-1

L;?, R„-i

Ro

-i L x j

\-R.+n-i

Здесь использовано равенство^-? = Rg, характерное для реальнй!); процессов. В результате решния системы нормальных уравненр получаем оператор предсказг^ия Хо, Хь . . . , Х„, из которого,'в свою очередь, находим оператр ошибки предсказания Uk = 1,, О, О, — Хо, — Хь . . . , — Х„. Кода интервал предсказания а = 1, ог|' ратор ошибки предсказания а, сводится к одношаговому (импул1|ному) оператору ошибки прйсказания ао, а ь • • •, cin+i порядка « - - 1 , описанному в разделе t . l . Чтобы вычислить оператО ошибки предсказания д л я с л у ч а я к о н е ч н ы х д а н н ы х и н е и з в е с т н о й ф у н к ц и и ав­ т о к о р р е л я ц и и , нужно плучить оценки функции автокорре­ ляции Ro, R l R n + a поспособу, изложенному в разделе 4.1' Взглянем на деконволюци! длиннопериодных кратных отраже­ ний с теоретической точки зраия. Не будем больше ограничивать' с я двучленным импульсом игочника и элементарным волновы»' импульсом реверберации, взя>1ми в простом примере, рассмотрен' ном в начале данного раздел; 158

Рассмотрим следующую модель: 55, « 1 . . . . — импульс источника (причинный и устойчивый, но не обязательно минимально-запаздывающий); &о. Ь ь . . . — волновой им­ пульс реверберации (причинный и устойчивый, но не обязательно ^(йнимально-запаздывающий); Wk = Sk*bk — сложный волновой им,,ульс (причинный и устойчивый); — некоррелируемый р я д с л у ­ чайных отражений (белый щум); Xk = Wk*Bk — наблюденная сейсми­ ческая запись (стационарный временной р я д ) . К а к было показано в гл. 2, волновой импульс реверберации, по физическим с о о б р а ж е н и я м , я в л я е т с я м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю ­ щим. И м п у л ь с источника м о ж е т или быть, или не быть м и н и м а л ь ­ но-запаздывающим. В последующем а н а л и з е используем каноническое представле­ ние произвольного волнового импульса. П о каноническому пред­ ставлению ]82" любой волновой импульс или л ю б у ю причиннуюустойчивую последовательность м о ж н о представить в виде свертки минимально-запаздывающего волнового импульса с причинной щ и рокополосной системой. И з о б р а з и м каноническое представление импульса источника в виде ; . ) Sk = Pk*si°\

(4.2-73)

где pft — причинный щирокополосный оператор; « Г — м и н и м а л ь н о запаздывающий волновой импульс источника. Тогда сложный волно­ вой импульс Wk выразится к а к Wk=Sk*bk

=

pk*Sk^

*bk.

Если определить минимально-запаздывающий в виде

(4.2-74) волновой импульс

шГ = 5Г*&ь

(4.2-75)

то каноническое представление сложного волнового импульса п р и ­ мет вид Wk = pk*wfK (4.2-76) И т а к , к а к и о ж и д а л о с ь , один и тот ж е щирокополосный опе­ ратор присутствует в каноническом представлении к а к и м п у л ь с а Источника, т а к и сложного волнового импульса. ^ •! Теперь определим Wk'^a): ш Г ( а ) = 1.^°>, w?' '

1.1^=

.

-

(4.2-77)

(0)

= начальная часть Wk длительностью а. Это означает, что Шй'(а) является передней частью минимально5апаздывающего волнового импульса, присутствующего в канони­ ческом представлении сложного волнового импульса. Пусть т а к ж е ?* = {wk'^)'~' обозначает причинное минимально-запаздывающее обраще­ ние минимально-запаздывающего волнового импульса ,

qk*wf'=bk,

(4-2-78) 159»

ж г д е qk и — минимально-запаздывающие, т. е. причинные у с | | чивые операторы с минимально-отрицательной фазой или с м а л ь н ы м отставанием по фазе. Тогда, к а к было показано вь^|^' оператор ошибки п р е д с к а з а н и я д л я интервала предсказани}!' ^ имеет вид • - > . • -• , . ; • • .. (1 ak^wf'{a)*qk,

'

(4-%

где qk определено уравнением (4.2-78). Этот оператор ошибки пдд, с к а з а н и я представляет собой оптимальный бесконечный п р и ч и н э д оператор. К конечному оператору он сводится в с л у ч а я х , кэ|>дз ^k конечен. Е с л и этим оператором ошибки п р е д с к а з а н и я возде|:^. вовать на сейсмическую трассу Xk, получим подвергнутую Деко1% ^люции т р а с с у г/^: yk = ak*Xk = Wk^ (а) *qk*Xk. .

Поскольку

Xk = Wk*Sk

и Wk = Wk^ *pk,

yk = wT{<^)*qk*Wk*Bk С помощью уравнения стить: -

(4.2%|

имеем

= wT{a)*qk*wf^

. * pk*Bk.

(4.2-81)

(4.2-78) уравнение (4-2-81) можно уп1. ' |Г

Ук = wT ( а ) *Рк*Ч-

(4.2к\

И т а к , испытавшая деконволюцию сейсмическая трасса ук рада с в е р т к е случайного ряда отражений с волновым импульфи jo/i * ffi'ft"'(а). З а исключением особых случаев, волновой импуфс Рк * 0)^°* (<х) будет иметь бесконечную длительность, хотя ау1°'|а) имеет конечную длительность а. Получается, что и с п ы т а в ш а я Де­ конволюцию трасса представляет собой искомую последователь­ ность коэффициентов отражения е*, отфильтрованную посредстйом волнового vmnyлъсг рк*хюк\я). Рассмотрим с этой новой точки зрения случай длиннопериоднш кратных о т р а ж е н и й , обсуждавшийся вышг. При этом оснэви|е требование заключается в том, чтобы длительность импульса i ^ точника Sk была меньше периода реверберации или равна ему. П у с т ь период реверберации р а в е н а; более определенно предпол^ ж и м , что н а ч а л ь н а я часть реверберирующего вэлновэго и м п у л ф bk состоит из единичного импульса в момент времени ^ = О, за # торым с л е д у е т а — 1 нулевых з н а ч е н и й . Это означает, что посгй н а ч а л ь н о г о единичного импульса следующее за ним ненулевое здачение Ьк не появится до момента времени а. Предположим далее, что н а и б о л ь ш а я длительность волнового импульса источника Л равна «, т. е. у могут быть ненулевые значения т о л ь к о в инт^в а л е времени о т ^ = 0 до а — 1 . Таким образом, случай длинно­ периодных к р а т н ы х отражений требует очень тонкого согласование' С л о ж н ы й волновой и-мпульс Wk есть свертка Sk с bk. Следовательно» н а ч а л ь н а я часть сложного волнового импульса длиной а равна и*»' п у л ь с у источника, т . е . i'nyi'"(a)i ~Sk, где Wk{(t) описывает п е р в ы е * з н а ч е н и й с л о ж н о г о волнового импульса Wk. 160

'г Поскольку импульс источника Sk обладает конечной длитель­ ностью, его Минимально-запаздывающий аналог si"* также будет |{онечной длительности. Так как © 1 ° ' = s l ° ' * fc^, начальная .часть ^инимально-запаздьшающего волнового импульса n y f длиной а буjeT равна минимально-запаздывающему волновому импульсу s^"', f,е. Wk\a) = s'k\ Итак, в случае длиннопериодных кратных отра^тяй (реверберации) оператор ошибки предсказания имеет вид •

au^s?

*qk,

•

(4.2-83)

где qk * wi^\ = 8ft. Если свернуть с сейсмической трассой Xk, то получим трассу, претерпевшую деконволюцию: p==ak*Xk = {sk^ * qk) * {pk * wf^ * Sft) = pk* sl°* * Sfe =

* Sft.

(4.2-84)

В итоге мы получили то ж е самое, что и раньше в простом при­ мере раздела 4.2.1, а именно, что оператор ошибки предсказания ik, воздействуя на сейсмическую трассу Xk = Wk* е*» заменяет кажцый сейсмический волновой импульс Wk импульсом источника Si. Другими словами, в случае длиннопериодных кратных отраже­ ний претерпевшая деконволюцию трасса у к — это искомый ряд от^ ражений Eft, от(эильтрованный с помощью импульса источника ко­ нечной длительности s*. Таким .образом, метод предсказывающей деконволюции подавляет кратные отражения, несмотря на то что импульс источника не является минимально-запаздывающим! Если импульс источника в действительности минимально-запаз­ дывающий, т® широкополосный волновой Импульс pk представляет собой единичный импульс 8*, а ss = 5 * ° ' * = si°'* 8* = si°'. В таком случае претерпевшая деконволюцию трасса г/* —иско­ мая последовательность коэффициентов отражения е*, отфильтро­ ванная с помощью минимально-запаздывающего импульса источника конечной длительности Sk = 51°МПоскольку минимально-запаздываю­ щий импульс источника обладает более крутым первым вступлением, чем любой из его неминимально-запаздывающих аналогов, возмож­ ности разрешения двух первичных отражений от близко располо­ женных границ возрастут, поэтому в минимально-запаздывающем случае можно ожидать большей сейсмической разрешенности. Так, если импульс источников s* —идеальный единичный импульс, то Достигается абсолютное разрешение, т. е. наблюдается прямое со­ ответствие между претерпевшей деконволюцию последовательностью Hi, yv, • •., И соответствующими границами раздела 1, 2, 3, k, причем мы убеждены в том, что значение yk равно коэсйициенту Отражения от границы к. Мы показали, что предсказывающая деконволюция — действен­ ный метод подавления длиннопериодных кратных отражений, д а ж е Когда импульс источника не является минимально-запаздываю1цей функцией. Конечно, в случае минимально-запаздывающего в 2-237

161

и м п у л ь с а и с т о ч н и к а р а з р е ш е н н о с т ь может- быть • л у ч ш е й . Ecj^'L известна истинная, ф о р м л и м п у л ь с а источника, то всегда MOi^^ найти о п т и м а л ь н ы й ф о р м и р у ю щ и й ф и л ь т р , п р е о б р а з у ю щ и й п у л ь с источника ( б е з р а з л и ч н о , м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ и й нет) в и м п у л ь с некоей ж:елаемой ф о р м ы , что приводит к повьп^^, нию р а з р е ш е н н б с т и . Д л я этого с л е д у е т в о с п о л ь з о в а т ь с я подп fe, г р а м м о й S H A P E R '83, с т р . 8 4 ] , р а с с ч и т ы в а ю щ е й формирующ'^^ ф и л ь т р , к о т о р ы й о п т и м а л ь н о р а с п о л а г а е т во в р е м е н и и с к о м | | выходной волновой и м п у л ь с относительно и м п у л ь с а и с т о ч н и к Рассмотрим теперь м е т о д предсказывающей деконволюции щ короткопериодных реверберации или кратных отражений. В этоц случае волновой импульс источника s*, опять предполагаемый ко. нечным, ' обладает д л и т е л ь н о с т ь ю , превышающей период ревербе. ра«ии а. Наблюдается л и ш ь частичное с о г л а ю в а н и э между волн!), вым импульсом источника s» и вэлчовым импульсом реверберация b k . Е с л и обозначить S k { i ) н а ч а л ь н у ю часть импульса и с т о ч н и к а ^ длительностью а, то н а ч а л ь н а я часть сложного волнового импульса = Sft * 6ft длительностью а будет равна Sft(a), т. е. а;*(а) = 5*(о}||, П о с к о л ь к у м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ и й аналог Sft" т о ж е конечна длительности и wf^ = si"^ * b k , то Wk\a-) = si°\a). Д л я короткопериодных реверберации оператор ошибки пред­ с к а з а н и я а* имеет вид flft = s{?X«)*'7ft.

.

г

. (4.2-^)

где (7**а)Г=8*.

;

Трасса после деконволюции yk

где

Wk = pk*Wk

=

ak*

\

Xk

a

= sjl°'*

ATft =

a^ft *

qk*Wk*ek

=

Pk* si°\(i)*

e*.

(4.2-86)

e*.

Следовательно, трасса после деконволюции равна с л у ч а й н о * . ' ряду отражений 6ft,. отфильтрованному с помощью волнового им­ пульса pt*Sft'"(a). Сам волновой импульс pft * s f («) равен импульС^ источника Sft вплоть д о в р е м е н и в = а, но после момента времени:» у волнового импульса pft*si'"(a) будет искаженный хвост: /?ft* Sft"'(а) = Sft (а) + искаженный хвост. '

{А.2Щ

И с к а ж е н н ы й хвост м о ж е т п р о д о л ж а т ь с я д о бесконечности и •^тиМ у х у д ш а т ь сейсмическую р а з р е ш е н н о с т ь . В с л у ч а е минимально-за­ п а з д ы в а ю щ е г о волнового и м п у л ь с а источника и с к а ж е н н ы й хвост р а в е н нулю, поэтому р а з р е ш е н н о с т ь л у ч ш е . О д н а к о в л ю б о м слу­ ч а е р а з р е ш е н н о с т ь м о ж н о у л у ч ш и т ь посредством операции форми­ р о в а н и я волны, подобной п о д п р о г р а м м е S H A P E R [83^., при усло­ вии, что ф о р м а и м п у л ь с а и с т о ч н и к а известна. С л е д у е т з а м е т и т ь , что метод п р е д с к а з ы в а ю щ е й деконволюции при п р а в и л ь н о м в ы б о р е а я в л я е т с я э^зфективным м е т о д о м . подаВ'; л е н и я длинно- и к о р о т к о п е р и о д н ы х р е в е р б е р а ц и и в с л у ч а е ми­ нимально-запаздывающего либо неминимально-запаздывающего 1.62

1!»

.^,пульса источника. Наилучшая сейсмическая разрешенность до"^игается при длиннопериодных реверберациях и минимально-за.дздывающем импульсе источника, наихудшая — при короткопе.цодных реверберациях и неминимально-запаздывающем импульисточника (рис. 4-11). В любом случае, если известна норма 1,>(пульса источника, то сейсмическую разрешенность можно улучjiHTb с помощью формирующего фильтра. i f |i' <' '

:>

Длиннопвриодная КороткопериоВная реверберацияреверберация Минимально-_ Реверберация Реверберация • запаздыВающий устранена. ИмпулВс .устранена. Началь­ импульс источника ная часть импульса источника сохранен .источника сохранена. Хвост отсутствует Реверберация НеминимальноРеверберация запаздывающий устранена. Импульсустранена. Началь­ ная часть импульса импульс источника источника сохранена источника сохранен но за ней следует искаженный хвост Рис. 4-11. Схема предсказывающей деконволюции оператором бес­ конечной длительности с интервалом, равным периоду реверберации

Теоретически максимальную разрешенность можно получить в случае минимально-запаздывающего импульса источника с по­ мощью оператора ошибки предсказания бесконечной длительности, взяв единичный интервал предсказания ( а = 1 ) . Такой оператор имеет вид ak=wT{l)*qk,

(4.2-88)

где qk * wT = ofe- Величина wf^ (1) —• просто начальное значение сложного волнового импульса ш!"'. Следовательно, не считая по­ стоянной, оператор ошибки предсказания при единичном интервале предсказания является импульсным оператором qk. Для простоты предположим, что постоянная равна единице. Тогда трасса после деконволюции примет вид Ук = ak* Xk =

{\)* qk* Wk" * Sfr = e*;

(4.2-89)

Здесь предполагается, что wo^=w\°\l) = l. Итак, в идеальном случае претерпевшая деконволюцию трас­ та Ук представляет собой искомый случайный ряд отражений ел. Ча практике применение импульсных с]5Ильтров для деконволюции Часто приводит к росту высокочастотного шума в трассе. Этот не'^остаток можно исправить различными способами, подобными низко163

ч а с т о т н о й ф и л ь т р а ц и и т р а с с ы после д е к о н в о л ю ц и и . К а к мы убс д и л и с ь , с и г н а л на в ы х о д е о п е р а т о р а о ш и б к и п р е д с к а з а н и я при интервале предсказания больше единицы ( а > 1 ) представляс'1 собой о т ф и л ь т р о в а н н ы й с л у ч а й н ы й р я д о т р а ж е н и й 8^, поэтому он о б л а д а е т н е к о т о р ы м и б л а г о п р и я т н ы м и в с м ы с л е о т н о ш е н и я сиг нал/помеха характеристиками. В данном разделе была рассмотрена а-шаговая предсказываю щ а я деконволюция. Импульсная деконволюция о т л и ч а е т с я oi одношагоБОЙ п р е д с к а з ы в а ю щ е й д е к о н в о л ю ц и и т о л ь к о нормирую щ и м м н о ж и т е л е м . К а к п о к а з а н о , м е т о д а - ш а г о в о й предсказывай! щ е й д е к о н в о л ю ц и и э ф ф е к т и в е н д л я п о д а в л е н и я д л и н н о - или коротки периодных кратных отражений (реверберации) н е з а в и с и м о oi того, я в л я е т с я и м п у л ь с источника минимально-запаздывающим или нет. Способы в ы ч и с л е н и я а - ш а г о в о г о о п е р а т о р а о ш и б к и прел с к а з а н и я д л я д е к о н в о л ю ц и и п о л е в ы х з а п и с е й в м е с т е с инструи ц и я м и по п р а в и л ь н о м у в ы б о р у з н а ч е н и я а о п и с а н ы в гл. 5. 4.3. КЕПСТРАЛЬНАЯ ДЕКОНВОЛЮЦИЯ

В р а з д е л е 3.3 мы п о з н а к о м и л и с ь с н о в ы м и с в о й с т в а м и кепстра, ь ы я в и в ш и м и его с у щ е с т в е н н ы е особенности и с и м м е т р и и . М ы шп к а з а л и , к а к о с н о в н а я и д е я к е п с т р а п о я в и л а с ь в к л а с с и ч е с к и х рпб о т а х С. П у а с с о н а ^771 и Г. Ш в а р ц а [89], а т а к ж е проследиЛ1| с в я з ь м е ж д у кепстром и методом с п е к т р а л ь н о й ф а к т о р и з а ц и и Шг гё [95] и К о л м о г о р о в а [ 5 0 ] . В н а с т о я щ е м р а з д е л е с в я ж е м кепст)» с процессом д е к о н в о л ю ц и и , в частности о б ъ я с н и м физическиЛ с м ы с л к е п с т р а л ь н о й д е к о н в о л ю ц и и , ее с в я з ь со слоистой модельш среды. О п р е д е л е н и е к о м п л е к с н ы х спектров, спектров мощности и др)1 гие способы, б а з и р у ю щ и е с я на а н а л и з е Ф у р ь е , р а з в и л и с ь в ши л е з н ы е о п е р а ц и и н а д с и г н а л ь н ы м и в р е м е н н ы м и р я д а м и — • опери; ции, и с п о л ь з у е м ы е во многих о б л а с т я х научно-исследовательскн! р а б о т . Э. Р о б и н с о н [80] ввел понятие к е п с т р а в геофизическш' а н а л и з при р а с с м о т р е н и и з а д а ч и с п е к т р а л ь н о й ^Факторизации Б . Б о г е р т и д р . [17] п е р в ы м и и с п о л ь з о в а л и кепстр д л я обработке сигналов. Они и с с л е д о в а л и з а д а ч у о п р е д е л е н и я г л у б и н ы источник* з е м л е т р я с е н и я . З н а н и е этой г л у б и н ы н е о б х о д и м о , ч т о б ы имен в о з м о ж н о с т ь о т л и ч и т ь п о д з е м н ы й в з р ы в от з е м л е т р я с е н и я . В pi з у л ь т а т е п о д з е м н о г о я д е р н о г о в з р ы в а или з е м л е т р я с е н и я возники ют сейсмические в о л н ы или ф а з ы . З а р е г и с т р и р о в а н н ы е сейсм^ п р и е м н и к о м эти в о л н ы м о ж н о считать и с к а ж е н н ы м и «эхо». Д а л п ' по и н т е р в а л у в р е м е н и м е ж д у в с т у п л е н и я м и о п р е д е л е н н ы х тит волн ( ф а з ) м о ж н о судить о г л у б и н а х з а л е г а н и я р а з л и ч н ы х ген логических особенностей. Н а ч н е м изучение к е п с т р а к а к способа о б р а б о т к и сигналои i о б з о р а р а б о т ы Б . Б о г е р т а и д р . [17] по о б н а р у ж е н и ю эхо-сии налов. Рассмотрим задачу определения временного запаздывания t силы одиночного э х о - с и г н а л а . В этом с л у ч а е з н а ч е н и я непрерыи 164

ного в р е м е н н о г о р я д а s (t) у м н о ж а ю т с я н а п о с т о я н н у ю Ь, к о т о р а я «ожет быть и о т р и ц а т е л ь н о й , з а т е м они з а д е р ж и в а ю т с я н а р а з ­ ность в р е м е н и т и прибавляются к исходному временному ряду. Н р е з у л ь т а т е п о л у ч а е м новый в р е м е н н о й р я д : x{t)=s{t)

+ bs{t-x),

(4.3-1)

1ЛС б и т — параметры эхо-сигнала, описывающие соответственно >||лу и время з а п а з д ы в а н и я . Преобразуем непрерывное представление (4.3-1) в дискретное, (иедя вместо / величину кМ, где выбирается в соответствии с горемой дискретизации. Д а л е е предположим, что х = тМ, т . е. 1|)еменная з а д е р ж к а равна целому числу, кратному А^. С учетом деланных предположений уравнение (4.3-1) примет вид Xk=Sk

+

bSk-m,

(4.3-2)

де Хк = х{Ш), Sk = s{kM), и без потери общности м о ж н о принять ''=!• В результате г-преобразования Лапласа уравнения (4.3-2) «шучаем X{z)

= 5 ( г ) - f bz'^S{z)

= S{z){\

-Ь

te"").

(4.3-3)

Определив X{z) на единичном к р у г е , т . е . при 2 = е~'"', полук о м п л е к с н ы й с п е к т р X{w) последовательности Xk,

IIIM

,

X (ш) - X (е-'"™) = S (ш) ( И -

fee-'"'"-),

(4.3-4)

оторый можно записать к а к Х ( т ) = ;х((в)1е'М"'),

(4.3-5)

|Х(со)! = ; S ( u ) ) ; ( l - f 62 + 26cOS/?ZU))2; i

e.(u.) = o.(a,) + a r c t g | j ^ - ^ ^ 3 ^ } ; ,(||))-6азовый спектр последовательности Sk. Б. Богерт и д р . имели дело со спектром мощности (спектральi'lli плотностью энергии) последовательности Xk, обозначаемом i („)) = : Х ( ( о ) | 2 . С учетом последнего обозначения Ф^(ш) = Ф s ( u ) ) L l - f fe2 + 2fecosm(B],

гJjt (ш) = ji S (со) j2 — с п е к т р а л ь н а я адьности Sk-

плотность

энергии

(4.3-6)

последова-

Найдя н а т у р а л ь н ы й логарифм спектра мощности Фх (*«), получим: 1пФ;,(т) = 1пФ«(о))Ч-1п(1 Hhb^-f 2i;cosmu)); (4.3-7) этом предполагается, что Фг(и)) и Ф,,(со) не исчезают на еди(чпом к р у г е . 1'хли принять Ь<^\, то уравнение (4.3-7) можно аппроксими« т ь выражением I f

1пФ;,(т)г^1пФ5((о)-1-1п(1-f2tcosma)).

(4.3-8) 165

откуда следует, что С(ш) фактически является с п е к т р о м м о щ н о с т и лог» с п е к т р а м о щ н о с т и , или спектром мощности второго порядка [17]. Hi рис. 4-12 изображены исходный временной ряд Х/^, его спектр X (со), спектр мощности Ф,.(и)), лог-спектр мощности 1пФ^.(<й) и спектр мощности лог-спектр» мощности (спектр мощности второго порядка) C(w). Заметим, что пик на ш = I соответствует времени запаздывания эхо-сигнала. Этим иллюстрируется полезностк спектра второго порядка при выделении эхо-сигналов. а а

J

'к

Л'

т

оi

+0.5 Si

\-si

I

о

I

I

2

I

н—I—ь Y

гп Ф , И 0,2 0,0/

. V . .

7-1

0,04

-1

/ Рис. 4-12. Исходный временной ряд х^ (а), комплексный спектр X (to), состоящие из амплитудного (/) и фазового (2) спектра (б), спектр мощности (в), логари* мический спектр мощности (г), состоящий из истинно (/) и приближенно (2) 311< чимого, спектр мощности второго порядка (д) К о с и н у с о и д а л ь н а я в а р и а ц и я в л о г - с п е к т р е м о щ н о с т и н а пра» т и к е в ы я в л я е т с я не с т о л ь я с н о , к а к в п р и м е р е 4.3-1. В дейстпи тельности подобная «рябь» лог-спектра мощности в большей w м е н ь ш е й степени о к а з ы в а е т с я з а т у ш е в а н н о й нерегулярностям* с п е к т р а м о щ н о с т и Os((o), в л и я н и е м конечности д а н н ы х , по KOV р ы м в ы ч и с л я е т е ! с п е к т р м о щ н о с т и , и п о м е х а м и , содержащими!» 168

л н а б л ю д е н н ы х д а н н ы х . С ц е л ь ю п о в ы ш е н и я к а ч е с т в а спектров игорого п о р я д к а Б . Б о г е р т и д р . п р е д л а г а л и ф и л ь т р о в а т ь логисктр м о щ н о с т и с п о м о щ ь ю н и з к о ч а с т о т н ы х , ш и р о к о п о л о с н ы х и 'мсокочастотных сэильтров. В д о п о л н е н и е к т е р м и н а м « г а м н и т у д а » (магнитуда), «точаста» ( ч а с т о т а ) и « з а ф а » ( ф а з а ) они н а з в а л и низкочастотный ф и л ь т р н и з к о ч а с т о т н ы м л и ф т р о м . Ф и л ь т р а ц и я л о г - с п е к т р а мощности 1пФж(ш) о б ы ч н о в к л ю ч а е т '||)оцедуру проб и о ш и б о к ; з а р а н е е о п р е д е л е н н а я с х е м а ф и л ь т р а ­ ции о б ы ч н о не и с п о л ь з у е т с я . К р о м е того, чтобы э ф ф е к т и в н о «сгла1ить» л о г - с п е к т р мощности 1пФзс(сй), п е р е д тем к а к в ы ч и с л я т ь ' П е к т р второго п о р я д к а , т р е б у е т с я а п р и о р н о з н а т ь ч а с т о т н ы й сос'iiii помех и (или) л о г - с п е к т р а мощности 1пФж(ш). П о д ы т о ж и м в к р а т ц е р а б о т у Т17] и п р и м е н е н и е спектров вто|М)го п о р я д к а . С п е к т р второго порядка не с о д е р ж и т иодений о ф а з о в о м спектре, т а к к а к при его вычислении исполь|уется л и ш ь а м п л и т у д н ы й и энергетический с п е к т р ы . Д а л е е , в ка­ честве г о м о м о р ф н о г о он и с п о л ь з у е т л о г а р и ф м и ч е с к о е п р е о б р а з о •ппие, п о з в о л я ю щ е е о т д е л и т ь «исходный» с п е к т р 5 (со) от с п е к т р а '1ДИНОЧНОГО э х о - с и г н а л а {1 + Ье~'"""). Б . Б о г е р т и д р . т а к ж е счишли лог-спектр мощности (частотный р я д ) в р е м е н н ы м р я д о м . 1аким о б р а з о м , р а с п о л а г а я частотой в к а ч е с т в е н е з а в и с и м о й пек'менной, они п р и м е н и л и в р е м е н н ы е концепции линейной ф и л ь фации ( л и ф т р а ц и и ) и с п е к т р а л ь н о г о а н а л и з а к ч а с т о т н ы м р я д а м IIIK, к а к если бы последние б ы л и в р е м е н н ы м и р я д а м и . Б л а г о д а р я •юму^их спектр второго п о р я д к а в к у п е с п р а в и л ь н о п о д о б р а н н о й шльтрацией ( л и ф т р а ц и е й ) л о г - с п е к т р а мощности 1пФх(со) ока|ался д е й с т в е н н ы м в з а д а ч е о б н а р у ж е н и я о д и н о ч н ы х эхо41 г и а л о в д а ж е т о г д а , к о г д а д р у г и е методы ( т а к и е , к а к авто<|)вариация) были б е с с и л ь н ы . О д н а к о в а ж н о о т м е т и т ь , что Б . Б о г е р т и д р . о с о з н а в а л и огмиичения, п р и с у щ и е их способу, и трудности, в о з н и к а ю щ и е при гшении з а д а ч и о б н а р у ж е н и я к р а т н ы х э х о - с и г н а л о в . В их р а б о т е мктически не б ы л д а н ч и с л е н н ы й а н а л и з п р о б л е м ы о б н а р у ж е н и я •ратных э х о - с и г н а л о в . Н а рис. 4-13 о б о б щ е н ы о п е р а ц и и вычисле•ии спектров второго п о р я д к а , р а с с м о т р е н н ы е в р а б о т е [ 1 7 ] . И т а к , спектры второго п о р я д к а и с п о л ь з у ю т с я д л я о т ы с к а н и я игриодичности л о г - с п е к т р а м о щ н о с т и \пФх{ы). П р и этом подч1:(умевается, что периодичности в ы з ы в а ю т с я д о б а в л е н и е м э х а 1 сигналу Sh с иным л о г - с п е к т р о м мощности 1пФх((о), не имею«им т а к о й периодичности. П р и и с п о л ь з о в а н и и спектров второго *||)ядка не т р е б у е т с я точного а п р и о р н о г о з н а н и я с п е к т р о в мощноUI Os{a) или 1пФ«((о), д о с т а т о ч н о л и ш ь , чтобы с о б л ю д а л о с ь 1 Л о в и е , что э т и с п е к т р ы не с о д е р ж а т к о с и н у с о и д а л ь н ы х в а р и а ц и й , «иорые м о ж н о б ы л о бы о б ъ я с н и т ь присутствием э х а . В п е р в ы е «иользованный в г е о ф и з и к е а н а л и з спектров второго п о р я д к а Фоложил себе д о р о г у и в д р у г и е о б л а с т и научных и с с л е д о в а н и й . 1 м и р и м е р , в а к у с т и к е он был применен д л я о п р е д е л е н и я ч а с т о т ы чиовной высоты т о н а п р о и з н о с и м ы х з в у к о в речи. 169

p . Ш е й б е р ^88^ з а н и м а л с я п р о б л е м о й о б н а р у ж е н и я сигнало11| в о з н и к а ю щ и х в р е з у л ь т а т е п р о ц е с с о в с в е р т к и ( з а д а ч а , противо* п о л о ж н а я о б н а р у ж е н и ю э х о - с и г н а л о в ) , и н а з в а л свой м е т о д roi м о м о р о н о й д е к о н в о л ю ц и е й . В о з ь м е м к о н к р е т н у ю м о д е л ь , основан н у ю н а с в е р т к е (см. р а з д е л 1.4). Е с л и о б о з н а ч и т ь ч е р е з Sh волт вой и м п у л ь с источника и через fk — и м п у л ь с н у ю р е а к ц и ю средц то с в о б о д н ы й о т помех о т к л и к Xk н а в о з б у ж д е н и е Sh в ы р а з и т с я ка« Xk~Sk*fk—

Yi п=0

(4.3-1:

fnSk-n-

•

k • 'Я' I:

1^: 3

4

С(и>)

5

Рис. 4-13. Свободный от помех временной ряд, содержащий одиночный эхо-сннал, который анализировался Б. Богертом и др. [17] (а) и предложенные в |М операции по вычислению спектра второго порядка (б). 5^ — исходный временной ряд; — н а б л ю д е н н ы й в р е м е н н о й р я д ; / — з а д е р ж к а н а т ецМ в р е м е н и ; 2 — с и л а э х о - с и г н а л а ; 3 — с п е к т р м о щ н о с т и ; 4 — 1 п - с п е к т р ; 5 — л и н е й н ы й филй (лифтр): 6 — спектр мощности; 7 — спектр второго порядка

Р а с п о л а г а я наблюденным временным рядом л:*, рассмотрим nf>i блему восстановления сигнала Sk, т . е. вычисления волнового IIN пульса источника Sk. В части раздела 3.3, касающейся кепстр мы определили композицию гомоморфных преобразований К:

/( = сг' о In о CL

(4.3.11

как кепстральный оператор, в котором (4-3.11

C L ( - ) - S ( - ) ^ * k=0

определяет одностороннее

г-преобразование

Лапласа, а

'^r'(-)=2^f(-)2-*-'^

(4.3.11

— обратное г-преобразование Л а п л а с а , где С — проходимый по Ч№ вой стрелке круговой к о н т у р радиусом, равным области cxv мости ( • ) в комплексной г-плоскости. 170

Учитывая свойства кепстрального оператора кепстр отклика Xk в уравнении (4.3-12)

К , находим, что

К {хн) = ^ (sft * h ) = К (s*) + К ifk).

(4.3-16)

нли Xk = ok + ^k, при зтом предполагается, что 5(2), F{z), (шльные 2-преобразования Л а п л а с а .

к

Inc. 4-14. Схема

Линейный фильтр (лифтр)

К-'

кепстральной деконволюции

\ — кепстральный оператор;

— обратный

(4.3-17) \n[F{z)]

и In [5 (г); — нор-

Итульо 'к источника

и оценка волнового

кепстральный оператор

импульса.

К ~ '

Следовательно, если кепстр волнового импульса источника , и кепстр импульсной реакции fk не связаны (разделены) в епстральном времени, т. е. кепстры и Ф* не пе рек рыпаются, К) мы располагаем средством д л я разделения или деконволюции игналов Sk и fk. Процесс кепстральной деконволюции слагается из следующих •та ПС в. 1. Вычисляем кепстр Хп наблюденного свободного от помех от­ клика Хк. 2. Предполагаед!, что модель, основанная на свертке, надлежацим образом х а р а к т е р и з у е т среду к а к л и н е й н у ю инвариантную во ||);-мени систему. Отсюда следует, что кепстры компонент свертки н, с fk суммируются, т. е. jk='-<^k + Фк3. Получаем дополнительную информацию, поскольку нам не извеitH точный вид /4 или Sk и их кепстров Ф^ и о^. Если имеет штипричинный кепстр, а fk — причинный или если а* и Ф* занимают 1111ерекрывающиеся интервалы кепстрального времени, можно исюльзовать эту информацию, чтобы устранить кепстр Фк н оставить «'пстр Ok. Т а к а я о п е р а ц и я называется либо высокочастотной, либо «изкочастотной ф и л ь т р а ц и е й . Иногда, ее на:^ывают «лифтрацией», (, е. термином за11МСтвованным из [17]. 4. Определяем обратный кепстр K~'^ {ск] и получаем искомый волно(ой импульс источника Sk, предположив, что кепстр Ф* надльжацим образом устранен. Описанный процесс изображен на рис. 4-14. При кепстральной деконволюции используется алгоритм быстрого ||1Собра;!ования Ф у р ь е и в отличие от анализа спектров второго и ф я д к а оба спектра (амплитудный и фазовый) составляют сущестгиную часть кепстральной деконволюции. Кепстр т а к ж е назыкх'тся комплексным спектром второго порядка ]69, 88], при этом йфеделение «комплексный» введено Л. Оппенгеймом и Р . Шейфе)()М с целью подчеркнуть то обстоятельство, что рассматривается 171

комплексный (т. е. одновременно амплитудный и фазовый) спектр сигнала X k . / К а к п о к а з а н о в разделе 3.2, в случае минимально-запаздываю­ щего действительного сигнала х& кепстр определяется следующими соотношениями: Xo = i

5 !njX((B):da);:

(4.3-18)

1С

I ^ Xk'^ — J COS k=U2,

In J X (a>) I dm; . I

3, . . .

где J o и Xfe — действительные ф у н к ц и и . Этот р е з у л ь т а т можно использовать д л я определения кепстрО!' комплексных м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ и х сигналов. Кепстр jk ми нимально-запаздывающей комплексной последовательности х^ имеет вид X'k^^]

lniX(o,)]e'--*dcu, k = 0, ± 1 , ± 2 , . . .

И з раздела 3.2 следует, Хо==Хо,

что

г,

k = 0:

Xk = 2xk, k=l, jk = 0,

(4.3-19)

' 2, 3,

A= - l ,

—2,-3, ...

I' f[

I

С х е м а в ы ч и с л е н и я к е п с т р о в н е м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ и х си стем п о д р о б н о р а с с м о т р е н а в [ 8 8 ] . В применении к основанной на свертке модели вида (4.3-12) метод кепстральной деконволюции обычно удобен д л я разделении волнового импульса источника и импульсной реакции если к е п с т р ы э т и х с и г н а л о в н е п е р е к р ы в а ю т с я , т . е . можно н а д л е ж а щ и м образом профильтровать и получить а^. Применени? к е п с т р а л ь н о й д е к о н в о л ю ц и и к а к т а к о в о й в с л у ч а я х б о л е е деталь ных физических м о д е л е й , подобных слоистой модели с р е д ы , iit имеет к а к и х - л и б о п р е и м у щ е с т в по той простой причине, что кеП' с т р а л ь н а я д е к о н в о л ю ц и я не п р и н и м а е т во в н и м а н и е «тонкозер нистую» с т р у к т у р у ф и з и ч е с к о й модели, т. е. т а к и е особенности, к а к п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь к о э ф ф и ц и е н т о в о т р а ж е н и я , реверберации системы, гипотеза с л у ч а й н о с т и к о э ф ф и ц и е н т о в о т р а ж е н и я или ус лоБие м а л о с т и коэфсэициентов о т р а ж е н и я . К а к б ы л о показано в п р и м е р е 3.3-4 р а з д е л а 3.3, к е п с т р о в ы е в ы р а ж е н и я д л я случаи р а ц и о н а л ь н о й ф у н к ц и и о б щ е г о вида с л о ж н ы е , п о э т о м у интерпр? т а ц и я кепстров у с л о ж н е н н ы х моделей з а т р у д н е н а . П р и о с у щ е с т в л е н и и ф и л ь т р а ц и и (лисЬтрации) в процессе ксП'| с т р а л ь н о й д е к о н в о л ю ц и и в о з н и к а е т т р у д н а я з а д а ч а о т д е л е н и я пО'; л е з н о й ф и з и ч е с к о й и н ф о р м а ц и и ( к о э ф ф и ц и е н т о в о т р а ж е н и я ) ot! в л и я н и я р е в е р б е р а ц и и системы. Тем не менее мы у б е д и л и с ь в nO'i 172

лозности кепстров при о п р е д е л е н и и в р е м е н н о г о з а п а з д ы в а н и я оди­ ночного э х о - с и г н а л а . В д а н н о м с л у ч а е нас и н т е р е с о в а л т о л ь к о амплитудный спектр с и г н а л а . П р и д е к о н в о л ю ц и и кепстр исполь|\'ется к а к с р е д с т в о н а х о ж д е н и я волнового и м п у л ь с а источника, т л и а п р и о р н о известен кепстр источника а,, или к е п с т р ы не пе11скрываются. В т а к о м с л у ч а е н а с интересуют а м п л и т у д н ы й и с>аювый с п е к т р ы с и г н а л а . В настоящее время изучается возможность разработки такой 11'конволюции, к о т о р а я о б ъ е д и н я е т особенности п р е д с к а з ы в а ю щ е й к'конволюции, с в я з а н н ы е с «тонкозернистостью» модели, и воз­ можности о п р е д е л е н и я волнового и м п у л ь с а источника, п р и с у щ и е м'нстральной д е к о н в о л ю ц и и . (1. ФИЛЬТРАЦИЯ СОСТОЯНИЯ

II р а з д е л е 4.1. мы о п р е д е л и л и понятие системы и к л а с с и ф и ц и р о и.чли системы на л и н е й н ы е и нелинейные. Д л я полного о п и с а н и я шстемы к р о м е понятий входного и в ы х о д н о г о с и г н а л о в и опера­ ционных п р а в и л обычно т р е б у е т с я п о н я т и е состояния. В н а ч а л е 50-х годов X X в. с т а л о очевидным, что к л а с с и ч е с к и е подходы к м о д е л и р о в а н и ю и а н а л и з у систем у п р а в л е н и я и систем • II многими в х о д а м и и в ы х о д а м и п р и б л и з и л и с ь к пику своего р а з :|||тия, не и м е я особых перспектив на б у д у щ е е . В о з н и к л а необхо(имость в ином в з г л я д е . П р и ч и н а м и , о б у с л о в л и в а ю щ и м и необходимость нового в з г л я д а , Оыли с л е д у ю щ и е : 1) о с о з н а н и е ограниченности к л а с с и ч е с к о г о под\ода; 2) необходимость с о з д а н и я о б щ е й схемы а н а л и з а систем со многими в х о д а м и и в ы х о д а м и ; 3) н а л и ч и е веских концепций о векюрных п р о с т р а н с т в а х , м а т р и ч н о г о а н а л и з а и б о г а т с т в а родствен­ ных теорем, к а с а ю щ и х с я а н а л и т и ч е с к о й с т р у к т у р ы р е а к ц и и синемы. И с с л е д о в а т е л и в р а з л и ч н ы х о б л а с т я х н а у к и о б р а т и л и с ь к вре«смному п р е д с т а в л е н и ю и к и с п о л ь з о в а н и ю понятий о в е к т о р н о м пространстве в н а д е ж д е п р е о д о л е т ь о г р а н и ч е н и я , п р и с у щ и е к л а с ­ сическому а н а л и з у систем. Н о в ы й подход часто н а з ы в а ю т подхоюм, о с н о в а н н ы м на п р о с т р а н с т в е состояний. В нем ш и р о к о ис­ пользуется м а т р и ч н о е исчисление. П р и м е н е н и е подхода, основан-' ного на п р о с т р а н с т в е состояний, с т и м у л и р о в а л о с ь т а к ж е необхо­ димостью р а з р а б о т к и способов а н а л и з а очень с л о ж н ы х систем, «пюльзуемых современной техникой, а т а к ж е ростом п о п у л я р н о с III Э В М о б щ е г о н а з н а ч е н и я . И м е я все это в виду, р а с с м о т р и м понятие состояния. Д и н а м и ч е с к и е системы м о ж н о о п и с а т ь с п о м о щ ь ю р а з н о с т н ы х , иГилкновенных у р а в н е н и й или у р а в н е н и й в частных п р о и з в о д н ы х , фмчем с а м и у р а в н е н и я могут б ы т ь по природе л и б о д е т е р м и н и юианными, л и б о с л у ч а й н ы м и . Д и н а м и ч е с к и е п р и з н а к и б и г у р и р у пг в этих у р а в н е н и я х в виде п р о и з в о д н ы х или соответствующих и| (ПОСТНЫХ в ы р а ж е н и й . Л ю б о е р а з н о с т н о е у р а в н е н и е п-го п о р я д к а '.1мбо о б ы к н о в е н н о е дифсЪеренциальное у р а в н е н и е ) м о ж н о преоб173 i

р а з о в а т ь в систему, с о с т о я щ у ю из п р а з н о с т н ы х у р а в н е н и й пфъо го п о р я д к а ( д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й ) . Н а п р и м е р , возьмем р а з н о с т н о е у р а в н е н и е п-то п о р я д к а / Xk-^-aiXk-i--a2Xk-2-\. . . -hanXk-n = tk, (4.4-1) где 1, fli, а 2 , . . . . On — коэффициенты оператора устойчивого разно стного у р а в н е н и я , введенного в разделе 1.5. xT, О п р е д е л и м п переменных состояния

4"':

х1'> -

X,;

Aft

=

Xk—i

J3) Aft

_ =

^ Xii—2

Xk

=

—

Xk~\,

=

(2) . Xk—l,

Xk—{n—l)

—

Xk—\

(4.4-2)

•

Выбранные нами переменные с с с т с я н к я н а з ы в а ю т с я т а к ж е фазп выми переменными. Это значит, что в с л у ч а е разностного уравш н и я п-го порядка зависимая переменная и ее первые п— 1 разно стей о б р а з у ю т множество п фазовых переменных. Из (4.4-1) получаем (4.4.3;i Xk = — aiXk-) — a2Xk-2— . . . —OnXk-n + ^kЗ а п и ш е м уравнение (4.4-3) через переменные состояния: 4" = - a , 4 ' i i - a 2 ; c f I , -anxi^U-hsk. Объединив (4.4-2) и (4.4-4), получим систему у р а в н е н и й : 4"= -

a,4'li -

a.4i. - . . . -

an4'U

t

+ в*;

(4.4-5)

x'^'=^xiU

к о т о р у ю м о ж н о з а п и с а т ь в матричном а,

4''

•

=

4"' Вектор-столбец

(4.4-4)

виде:

—а2

. . .

...

—а„

4'^

I

1

0

...

...

0

4^-1,

0

0

1

...

0

б

6

...

+

...10

л:* размером п х 1, определенный

X k ^

4^»

0

(4.44) Sft

6 как (4.4-71

(компоненты вектора Xk я в л я ю т с я переменными состояния), назынается в е к т о р о м с о с т о я н и я системы, а уравнение (4.4-6) — у р а в н е н и е м с о с т о я н и я системы. Уравнение состояния можно записать в матричном виде: хь =

(4.4-8)

Фхк-1--^Вк,

где

, —ах

,

,• , 1

—аг

1 0

0 1

0

0 «ХП

0 0

0

'

0 т = 0

1 0 «

0 X1

Следует заметить, что разнсстнсе уравнение (4.4-1) характери•чует «полюсную» модель, а уравнения (4.4-6) и (4.4-7) описывают «1ю,(Ю1;ную» м о д е л ь через пространство состояний. Если предполо­ жить, что последовательность — последовательность белого шума или последовательность некоррелируемых случайных переменных с нулевым математическим ожиданием \E{e.^ = Q\ и постоянной дисперсией или средней мищностью, \Е {г1) — а"^^, то , уравнение (4.4-1) в ы р а ж а е т т а к ж е а в т о р е г р е с с и в н ы й п р о ц е с с л-го по­ рядка. Поэтому если считать е* поеледовательйостью , белого шума I' н у ж н ы м математическим ожиданием и средней мощностью а^, Ti ( 4-6) и (4.4-7) будут характеристикой состояния авторегресuiuii,/ro процесса га-го п о р я д к а . Д л я системы, о п и с ы в а е м о й у р а в н е н и е м (4.4-1):, б ы л о у д о б н о иыбрать п е р е м е н н ы е состояния в виде м н о ж е с т в а с])азовых пере­ менных. Н о в более о б щ е м виде п е р е м е н н ы е состояния о п р е д е л я ­ ются к а к м н о ж е с т в о т а к и х п е р е м е н н ы х , к о т о р ы е Вместе с известиими в х о д н ы м и с и г н а л а м и н е о б х о д и м ы и д о с т а т о ч н ы д л я н а х о ж ­ дения о т к л и к а системы. Т а к и м о б р а з о м , приведенное вь1ше опре­ деление п е р е м е н н ы х состояния говорит о том, что м н о ж е с т в о переменных состояния не единственно. Ч и с л о п е р е м е н н ы х состоя­ ния о п р е д е л я е т с я п о р я д к о м системы, но д л я к а ж д о й системы м о ж ­ но в ы б р а т ь р а з л и ч н ы е м н о ж е с т в а п е р е м е н н ы х состояния. Т е м не менее м н о ж е с т в о ф а з о в ы х п е р е м е н н ы х п р е д с т а в л я е т собой н а б о р переменных состояния, п р и е м л е м ы й д л я всех полюсных моделей и а в т о р е г р е с с и в н ы х процессов. П р е д с т а в л е н и е системы через п р о с т р а н с т в о состояния я в л я е т с я фундаментальным п о н я т и е м современной теории у п р а в л е н и я и обii;i:iyeT основу к а л ь м а н о в с к о й с^ильтрации, п р е д л о ж е н н о й в Ч-6". Хотя п р е д с т а в л е н и я системы через п р о с т р а н с т в о состояний р а с ­ сматривались в р а б о т а х по м а т е м а т и ч е с к о й с т а т и с т и к е ( н а п р и м е р , р.чботы [3, 1 0 3 j ) , они е щ е не в полной мере и с п о л ь з у ю т с я стати( г н к а м и - п р а к т и к а м и . Ч а с т и ч н о э т о м о ж н о о б ъ я с н и т ь тем, что I'. К а л ь м а н и д р у г и е т е о р е т и к и д а л и д о в о л ь н о а б с т р а к т н о е опре­ деление п о н я т и я состояния. И н о г д а состояние интуитивно понима175

ется к а к концентрированное представление информации о н а р о я щ е м и п р о ш л о м , п о з в о л я ю щ е е п о л н о с т ь ю о п и с а т ь б у д у щ е е пове­ д е н и е с и с т е м ы , о п е р е в ш и с ь на з н а н и е с о в р е м е н н о г о состояния и входного с и г н а л а в б у д у щ е м . Э т а и д е я и м е е т точную формулироп ку на я з ы к е м а т е м а т и ч е с к о й с т а т и с т и к и . В с л у ч а е стохастической системы, к о г д а входной ел и выход ной Xk с и г н а л ы я в л я ю т с я с т о х а с т и ч е с к и м и п р о ц е с с а м и , уравнение (4.4-8) о б ы ч н о н а з ы в а ю т м а р к о в с к и м п р е д с т а в л е н и е м стохасти ческой с и с т е м ы . П о л у ч а е т с я , что и н ж е н е р ы , п о л ь з у ю щ и е с я теори­ ей у п р а в л е н и я , г о в о р я т о п р е д с т а в л е н и я х с т о х а с т и ч е с к и х или дс т е р м и н и р о в а н н ы х систем через п р о с т р а н с т в о состояний, а специа­ л и с т ы по м а т е м а т и ч е с к о й с т а т и с т и к е н а з ы в а ю т у р а в н е н и е состоя­ ния м а р к о в с к и м п р о ц е с с о м . Н е с м о т р я н а э т о , авторегрессивная м о д е л ь , о п и с ы в а е м а я у р а в н е н и е м (4.4-1), и м о д е л ь , основаннаи на п р о с т р а н с т в е состояний и о п и с ы в а е м а я у р а в н е н и е м (4.4-8), х а р а к т е р и з у е т одну и т у ж е систему; единственное, что меняет ся, — э т о н а ш а т о ч к а з р е н и я . П р о д о л ж и м р а з р а б о т к у м о д е л и слоистой среды на основе по н я т и я п р о с т р а н с т в а состояний. К о г д а а б с о л ю т н ы е з н а ч е н и я к о э ф ф и ц и е н т о в о т р а ж е н и я малы (условие, о б ы ч н о в ы п о л н я е м о е на п р а к т и к е ) , п е р е д а т о ч н а я функ ция Л^-слойной среды и м е е т в и д

Л<-'' (г)

1 + Ф<^>г + Ф ^ ' г 2 + . . . + Ф ^ г ' ^ '

^

^'

где Eft = Г ] , Г2, ..., rvv — коэффициенты о т р а ж е н и я ; Ф*,^*, Ф ^ ^ ' , Ф;^'—оункции последовательной к о р р е л я ц и и , определяемые по (т ^ формуле Ф т = ^ г„г„+т; ГП, N > I. Е с л и на эту систему в моп=1

мент времени k = 0 воздействует волновой импульс источника s*. то 2-преобразование Л а п л а с а свободного от помех выходного сиг­ н а л а Xk приобретает следующий вид: X(2) = S ( 2 ) F - > ( 2 ) = ^ i i ^ | ; ^ ) . Временное представление уравнения стного у р а в н е н и я з а п и с ы в а е т с я к а к Xk +

Ф Г Ч - , -f Ф ^ ^ Ч - г + = soEft -Ь

Si£ft_i

(4.4-10)

... +

-i- . . . +

(4.4-10) в

Ф^N^Xk-N

s^ek-N,

виде

разно

=

(4.4-11)

где Sft = So, si, S 2 , . . . , SN СОСТОИТ И З элементов последовательности источника, в к л ю ч а ю щ е й обычно менее N значений. Н а м хотелось бы получить описание слоистой системы в вил Xk = ^ X k ~ i + -(ek с и . (4.4-8)3, но из-за присутствия разностей вьк' щих порядков £ft_i, eft_2, . . ., E k - N нсльзя В качестве переменны» состояния в з я т ь фазовые переменные, поскольку при таком выбо1)| 176

•сременных с о с т о я н и я мы не получим у р а в н е н и я состояния в ис«имом виде. В с в я з и с этим вместо фазовых переменных введем (лгдующее множество переменных состояния: , [ ^ ^ ^ - { ф Г 4 %

+

ф Г £ 1 г +

. . .

ФМ^Л)

+

+

Tie.;

(4.4-12) Хк Хк =

4"

TN+l^k,

-г

|де Xft — с и г н а л на выходе системы в момент времени к; -j-i, Т2, 73, ,., т л г - ! — п р о и з в о л ь н ы е коэффициенты. При таком выборе переменных состояния уравнение (4.4-12) «ожно записать в матричном в и д е :

4'» 4^'

44, I

—

де 1 — тождественная ^ hi^Xk +

fN+iBk,

матрица

п р и этом вектор

0 0

Xk—l

0

Xk-i

размером h

Ti

+

T2

Bk, (4.4-13)

(Л^—1) X (Л^—1); л:* =

определяется

как

^ " ^ = [ 1 О О . . . 0].

LoJ Во всех с л у ч а я х , когда не делается специальных оговорок, векюр состояния в момент времени k будем обозначать Xk, а с к а л я р ­ ный сигнал на выходе системы в момент времени k — к а к Хк. Все к'кторы-столбцы или векторы-строки будут обозначаться малень<ими курсивными буквами со с т р е л к о й , а матрицы — ж и р н ы м и за­ главными б у к в а м и . Т а к , например, X обозначает матрицу, х — векгор-столбец, а х^ — вектор-строку. С в я ж е м коэ4х])ициенты -j-j, 72, • • •» fN+i с физическими парамет­ рами нашей модели. С к а л я р н ы й сигнал на выходе системы Xk =

Xk^^

-rTN+l^k

(4.4-14)

11ЛИ

Xk — l =

Xk—l Ч-

TN+lBk-l'

(4.4-15) 177

И з (4.4-12) получаем

соотношение /(4.4-It

Подстановка (4.4-16) в (4.4-15) д а е т • У!

(2) Xk-]

=Xk

— ^2Sk +

(4.4-1!

TN+l^k-\

(2) Xk-2

или

Xkli

=

— l2Bk-l

+

(4.4-1».

7Af+lSA_2.

Аналогично и з (4.4-12) получаем (4.4-« В р е з у л ь т а т е подстановки (4.4-19) в (4.4-18) имеем • (3) Xk-2

=

Xk

73£fe

T2eft-1 - -

—

(4.4-20

^N+lSk-2

или Хк-г

Xk-\

=

— i3Bk-i

— 72efe-2

(4.4-21

^jv+iEfc-s-

Е с л и п р о д о л ж и т ь э т у п р о ц е д у р у до Xk-N, т о получим Xk-N

=

4-1

— YiVEft-I — TA^-lSft-2—

... —

I''

72ЕА-(Л/-1) + f J V + l E f t - A r . (4.4-2!l

Подстановка в ы р а ж е н и й (4.4-14), (4.4-15), (4.4-18), (4.4-21) и по добных им вплоть до (4.4-22) в у р а в н е н и е (4.4-11) дает

-1- ••• +

(4-1

Фл?^*

— TfAfSft-i — =

тл;-1£*:-2 — . . . —

SoEfc-h S l S f t - l +

Т2е*-(ЛГ-1) -|- 7Ar+ieft-iv)»

(4.4-231

. . . - f SATEft-iV.

После подстановки .vl" и з у р а в н е н и я (4.4-12) в (4.4-23) получае* (Т1 + +

( Ф Г ^;.+.

TN+i) -

-г

Ф^'Т2 =

(ФГТА/-Ц -

- . . . -

Ф^'''Т2

Ф Т ^ ^ - й

S2eft_2

So - г S l E f t _ i

- . . . - Ф].''^^) Е * _ ,

Ч-2

- . . .

+

(ф].^Чл,+1) Е . - Л , .

- - . . . + SNSk-N.

П р и р а в н я в соответствующие коэсх;эициенты при Е*, E t - i , в уравнении (4.4-24), получаем следующие соотношения: So =

71-f

S3 =

% =

-

... -

- ® f > y , _ ® f V 3 - . . . _ ф < / ) . f 3

ФГ'ТЛЧ-1

или в матричной записи 178

(4.4-24) ЕА-А

7A^+i;

s , = - Ф Г>>^Т% 2 -- Ф Г > Т s, =

+

_

. . .

ФГTiv+i;

ФГТЛ. +

•ФГ^-.П-Ф^%Л.-М;

_ФГ>.ГЛ,_2

+

ФГТЛГ+Ь

(4.4-25

- 1

So

0

0

0

1

—©Af

ФГ'

s.

0

S2

0

- Ф Г

..

0

Ф Г

тз

0

- Ф Г

..

0

ФГ'

Т4

0

0

Ф Г

...

0

S3

: SN_

=

. _0

•

Ф5^^> 0

(4.4-26)

Итак, мы получили к о з с й и ц и е н т ы ^л, выраженные через физические параметры so, S i , S2, . . . , SA^, я в л я ю щ и е с я значениями амплитуды II последовательности источника, и Ф1^*, Ф ^ ^ ' , . . . , ф ] ^ ' , являющиеся I ункциями последовательной к о р р е л я ц и и , т . е. функциями коэффи­ циентов о т р а ж е н и я . В практических с л у ч а я х последний коэффициент тследовательности источника м о ж н о положить равным н у л ю , т а к • ак волновой импульс источника — сигнал конечной длительности. При этом условии коэфсициент TfA+i = О и мы получаем следующее представление слоистой системы через пространство состояний: Xk =

ФXk-l

+

TfEA,

(4.4-27) Xk =

h'^Xk.

Будем считать последовательность вд, = О, г,, Г2 TN некорре.труемой, т. е. рассмотрим модель со случайными коэффициентами отражения из раздела 2.4. Рассмотрим далее ситуацию, когда с в о fwWHoe от помех наблюдение Xk искажено аддитивной помехой пк, «озникшей, с к а ж е м , в процессе измерения. Следовательно, искажен­ ное помехой измерение определится соотношением ук-= Х к П к , г д е III, предполагается некоррелируемым гауссовьм процессом с нулеIII.IM математическим ожиданием и дисперсией R. П о с к о л ь к у мы счиlaeM последовательность коэфсзициентов о т р а ж е н и я случайной, пред1;оложим, что — некоррелируемый гауссов процесс с н у л е ь ы м математическим ожиданием и дисперсией Q. П р и т а к и х д о п у щ е н и я х модель, основанная на пространстве состояний, примет вид (4.4-28) Ук =

h'^Xk +

Пк.

Важно отметить, что представление (4.4-28) через пространство юстояний не я в л я е т с я новой с)изической моделью, а скорее выра­ жает новый в з г л я д на п р е ж н ю ю физическую модель. В самом деле, юдержащий помеху временной р я д у к , можно представить т а к : yk = {sk * bk) *£k + Пк = Wk *Вк + Пк,

(4.4-29)

1ле bh — р е в е р б е р а ц и и с и с т е м ы ; Wk — с л о ж н ы й волновой им­ пульс, известные из п р е д ы д у щ е г о и з л о ж е н и я . 179-

Следовательно, уравнения (4.4-28) и (4.4-29) — э т о различ­ н ы е м а т е м а т и ч е с к и е р е а л и з а ц и и одной и той ж е ф и з и ч е с к о й моде» л и . в с л у ч а е модели, основанной н а с в е р т к е (4.4-29), использовапм т е о р и я линейного п р е д с к а з а н и я и гауссов способ н а и м е н ь ш и х ква д р а т о в д л я о п р е д е л е н и я оценок п о с л е д о в а т е л ь н о с т и коэффициентои о т р а ж е н и я ehП р и и с п о л ь з о в а н и и теории л и н е й н о г о п р е д с к а з а н и я были сДс л а п ы с л е д у ю щ и е основные п р е д п о л о ж е н и я : 1) с л о и с т а я среди я в л я е т с я линейной и н в а р и а н т н о й во в р е м е н и системой; 2) волно вой и м п у л ь с источника м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ и й ; 3) коэффи ц и е н т ы о т р а ж е н и я ел — н е к о р р е л и р у е м ы е с л у ч а й н ы е переменные с н у л е в ы м м а т е м а т и ч е с к и м о ж и д а н и е м , а а б с о л ю т н о е з н а ч е н и е лк! бого к о э ф ф и ц и е н т а о т р а ж е н и я н а м н о г о м е н ь ш е единицы. П о с м о т р и м теперь, к а к м о ж н о и с п о л ь з о в а т ь представление с л о и с т о й м о д е л и через п р о с т р а н с т в о состояний д л я оценки пос л е д о в а т е л ь н о с т и к о э ф ф и ц и е н т о в о т р а ж е н и я еь. Понятие о пространственной фильтрации. В историческом п л а н е м е т о д ы линейной ф и л ь т р а ц и и , р а з р а б о т а н н ы е в нынешнем с т о л е т и и , я в л я ю т с я по с у щ е с т в у р а з в и т и е м р а б о т К. Г а у с с а [34^ и других м а т е м а т и к о в X I X в. В т е к у щ е м столетии заметный в к л а д в р а з р а б о т к у этого в о п р о с а б ы л с д е л а н Р . Кальманом ^"461, который ввел понятие состояния в з а д а ч и по конструировЗ" нию ф и л ь т р о в . Б ы с т р о е р а з в и т и е т е х н и к и с в я з и и э л е к т р о н и к и в X X в,, •особенно в период второй мировой войны, п р и в е л о исследоватС' л е й к необходимости с о з д а н и я э л е к т р и ч е с к и х ф и л ь т р о н , с п о с о б н ы х о ц е н и в а т ь с и г н а л ы в присутствии помех. Н и классИ' ч е с к и е м е т о д ы теории оценок, ни с у щ е с т в у ю щ и е способы раС' чета ф и л ь т р о в , о с н о в а н н ы е на и н т е г р а л е Ф у р ь е , не решали в о з н и к ш и х з а д а ч . А. К о л м о г о р о в [51, 52[ и Н . Винер [105[ разра­ б о т а л и с о в е р ш е н н о новый подход, о с н о в а н н ы й на том, что и сип н а л , и помеха р а с с м а т р и в а л и с ь в к а ч е с т в е с л у ч а й н ы х перемеН' н ы х . К р и т е р и й , на котором б а з и р о в а л а с ь их р а б о т а , известен как к р и т е р и й н а и м е н ь ш е й средней к в а д р а т и ч е с к о й погрешности. Со г л а с н о э т о м у к р и т е р и ю , м а т е м а т и ч е с к о е о ж и д а н и е по ансамблю к в а д р а т а р а з н о с т и м е ж д у и с к о м ы м з н а ч е н и е м и его оценкой д о л ж н о быть м и н и м а л ь н ы м (см. р а з д е л 4.1). Т а к о й подход — о т к л о н е н и е от к л а с с и ч е с к о г о гауссова способа н а и м е н ь ш и х квад> ратов. „ Теория В и н е р а — К о л м о г о р о в а , несмотря на ее закончеН5 ность, п о с л у ж и л а п о б у д и т е л ь н ы м толчком д л я п о я в л е н и я роД' с т в е н н ы х теорий, и м е ю щ и х ц е л ь ю и з б е ж а т ь п р о б л е м , возникаю» щ и х при р е ш е н и и и н т е г р а л ь н о г о у р а в н е н и я В и н е р а — Хопфа к п р а к т и ч е с к о й з а д а ч и с и н т е з и р о в а н и я теоретически оптимального ф и л ь т р а по его импульсной р е а к ц и и . Б ы л п р е д л о ж е н альтернатив* н ы й подход к ф и л ь т р а ц и и с и г н а л о в и п р е д с к а з а н и ю , к о т о р ы й во многом п о з в о л я е т и з б е ж а т ь трудностей р е ш е н и я интегрального у р а в н е н и я В и н е р а — Х о п ф а посредством з а м е н ы его равнозначным д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м у р а в н е н и е м . Б о л ь ш о й п р а к т и ч е с к и й интерес 180

фсдставляет тот ф а к т , что способ, о с н о в а н н ы й на д и ф ф е р е н ц и а л ь мм у р а в н е н и и , д а е т в о з м о ж н о с т ь синтезировать оптимальные ильтры п о с л е д о в а т е л ь н ы м путем, п о э т о м у он ч а с т о л е г к о о с у щ е гиляется на Э В М . В 1960 и 1961 гг. т е о р и я К о л м о г о р о в а — В и н е р а 'ыла р а з в и т а в р а б о т а х Р . К а л ь м а н а ]46 и Р . К а л ь м а н а и Р . Б ь ю с и 17], о б р а т и в ш и х с я к о ц е н к е с л у ч а й н ы х п е р е м е н н ы х , у д о в л е т в о р я ю ­ щих л и н е й н о м у р а з н о с т н о м у у р а в н е н и ю ( ф о р м у л и р о в к а К а л ь м а н а ) ii линейному д и с э ф е р е н ц и а л ь н о м у у р а в н е н и ю ( ф о р м у л и р о в к а Б ь ю и). Р . К а л ь м а н и Р . Б ь ю с и н е з а в и с и м о д р у г от д р у г а п р и ш л и к з а к л ю ч е н и ю , что в м е с т о р е ш е н и я и н т е г р а л ь н о г о у р а в н е н и я liniepa—Хопфа с с о п у т с т в у ю щ и м и ему п р о б л е м а м и ф а к т о р и з а 111П1 п р е д п о ч т и т е л ь н е е п р е в р а т и т ь его в н е л и н е й н о е дисэференшальное у р а в н е н и е , р е ш е н и е м которого я в л я е т с я м а т р и ц а ко«лриации минимальной, о ш и б к и ф и л ь т р а ц и и . Э т а м а т р и ц а , в свою «чередь, с о д е р ж и т всю и н ф о р м а ц и ю , н е о б х о д и м у ю д л я р а с ч е т а |'||тимального срильтра, или ф и л ь т р а К а л ь м а н а . Р а с с м о т р и м основные э т а п ы процесса к а л ь м а н о в с к о й ф и л ь т ||;1ции и его с в я з ь с п р е д с т а в л е н и е м слоистой м о д е л и с р е д ы чеСез п р о с т р а н с т в о состояний. 1. П у с т ь у] = [у\,

г/2, • • ., уЦ — вектор

( X* — в е к т о р случайных переменных, . |ункиией плотности вероятности P{xk,

случайных

переменных,

характеризуемых

совместной

yi).

2. П у с т ь Xk/i обозначает оценку Хк в момент времени k по / вы­ боркам вектора г//. Тогда погрешность оценки по заданному г// бу№Т равна Xk/i = Хк — Xk/j. 3. Ф у н к ц и ю L{xkii)

назовем

функцией

потери,

если

она

удовлетвсряет с л е д у ю щ и м условиям: Z. (0)==0, L(xА.//) — м о н о т о н н а я , ^•{xkii) — симметричная. 4. О п е р а т о р о м , оптимальным по отношению к выбранной упкции потери, будет такой (если он вообще существует), который «инимизирует срункцию £ {L(xit//)}, т . е . математическое ожидание ютери. Р. К а л ь м а н в ]4б; д о к а з а л самую з н а ч и т е л ь н у ю теорему теории пценок. Теорема. П у с т ь ф у н к ц и я плотности условной вероятности вектора и, определенного по известным l'{xklyi);

выборочным

значениям

у,-,

равна

допустим: а) она имеет одну моду, б) она симметрична от­

носительно своего

условного

математического

ожидания

E[xklyi].

Тогда оптимальная оценка вектора Хк, основанная на векторе наблю181

дений у, с учетом выбранной ф у н к ц и и потери L (xk/i),

будет

TOHIII

равна Xk/i = £'(A:ft/«//)=оптимальный оператор оценки. и Т а к и м образсм, условнее математическое ожидание вектора д, по заданным н а б л ю д е н и я м г/у—оптимальная оценка. П о с к о л ь к у ус ловное математическое ожидание завис:;? т о л ь к о от вида функщпплотности условной вероятностл P(Xitlijj) L(xk/i),

и не зависит

от выбор,

п о л у ч а е т с я , что, согласно условиям а и б теоремы, к а ж д а »

о у н к ц и я п о т е р и L(xk/i) м и н и м и з и р у е т с я у с л о в н ы м ми т е м а т и ч е с к и м о ж и д а н и е м в е к т о р а Xk- Н а п р и м е р , в слу чае гауссовой статистики гауссова о у н к ц и я плотности условной вероятности будет о п я т ь гауссовой, т . е. удовлетворяющей условиям а и б теоремы. Следует отметить, что в общем случае E{xk/yj) ян л я е т с я нелинейной q>)yнкциeй наблюдений у;, к о т о р у ю , возможно, будет очень т р у д н о в ы ч и с л и т ь . Если нас интересуют т о л ь к о ква.1 ратичные функции потери, т . е. только критерий к в а д р а т а ошибки предсказания из разд. 4 . 1 , то условия а и б м о ж н о смягчить В данном случае необходимо т о л ь к о , чтобы P{xklyj) имела конечнып БТирой момент, т а к к а к т о г д а о п т и м а л ь н а я по отношению к кваД' ратической функции потери оценка будет равна E{xklyi). Напомним хорошо известный вывод теории оценок, гласящий, что в случае к в а д р а т и ч н ы х ф у н к ц и й потери гауссовых процессор оптимальный оператор

оценки

вектора

Xk я в л я е т с я

проекцией и»

гильбертово пространство, образованное из наблюденного вектора yi Имея в виду эти основополагающие п о н я т и я , рассмотрим пол робнее суть ф и л ь т р а ц и и по пространству состояний. В п р и л о ж е н и я х теории у п р а в л е н и я представление через прост ранство состояний Xk = Фл:*_1 + YSft

называется м о д е л ь ю а г р е г а т а ,

(4.4-3()|

а представление

Ук = Ьхк + Пк

(4.4-31)

— моделью измерения. К л а с с и ч е с к а я задача теории прост ранства состояний з а к л ю ч а е т с я в определении наилучшей оценки вектора Xk по заданному измерению ykД л я гауссова процесса и квадратичной функции показано, что оптимальный оператор оценки Xkn=E(^klyi), 182

потери

нами

(4.4-32)

II оценки ошибок п р е д с к а з а н и я определяются

выражением

Xk/i = Xk — Xk„.

(4.4-33)

Д л я гауссовых процессов математическое о ж и д а н и е ошибки предгказания равно н у л ю , т . е . Е (xk/i) = E{lk — Xkii) = О,

(4.4-34)

откуда следует, что £(^ft//) = £(xft). (4.4-35) Из у р а в н е н и я (4.4-35) видно, что оценка ошибки предсказания гакже н е с м е щ е н н а я . Д а л е е , в ы р а ж е н и е (4.4-32) я в л я е т с я оцен­ кой с м и н и м а л ь н о й д и с п е р с и е й . Более того, если ограничиться классом л и н е й н ы х операторов оценки, то уравнение (4.4-32) бу­ дет представлять собой л и н е й н у ю несмещенную опенку вектора Xk с минимальной дисперсией. У ч и т ы в а я это, попытаемся найти одношаговое п р е д с к а з а н и е значения Xk по заданным k — 1 значениям Обозначим предсказанное на один и н т е р в а л значение Xk через Д(./А—ь а наблюденный вектор — ч е р е з r / L , =^[уи

г/2, . . . ,

Ук-х].

П р е ж д е всего известно, что оптимальный оператор предсказания имеет в и д Хк/к~1==Е{хк/ук-\) где у1^2 = > ! . У2, . . . .

= Е[Хк!{ук-и

Ук~2)],

Ук-2\.

И с п о л ь з у я принцип ортогонального проецирования ние (4.4-36) запишем в виде: Хкцк~\)

(4.4-36)

= Е(xk/yk-i)

где Ук-] = Ук-] — Е{ук-\1ук-2)

Hh Е (хк/ук-г),

'26;, у р а в н е ­

(4.4-37)

= ук-\ —у{к-])1(к-2)--процесс

нововве­

дений. Модель измерения (4.4-31) можно выразить к а к Ук-]=Н'^Хк-]->гПк-].

(4.4-38)

С учетом (4.4-38) процесс нововведений уи-\ запишется в виде Ук-1 = Ук-] — Е {h'^Xk-]

+ Пк-]1ук-2

= Ук-] — Е (Ьхк-]/ук-2

— Е {пк-]1ук-2).

= (4.4-39)

Поскольку Пк-] н е к о р р е л и р у е м а со всеми прошлыми измерениями ///,_2,

математическое ожидание Е{пк-]1ук-2)

в действительности не

обусловлено вектором ук-2, т . е . ук-х

L

=ук-]

— Е (11Ък-]1ук-2)

— Е (Пк-х).

(4.4-40) 183

Т а к к а к предполагалось, что Пк я в л я е т с я некоррелируемой гаус' совой последовательностью с нулевым математическим ожиданием, получаем yk-\=-yk-\

= yk-i—'h'^X(k-\)Hk-2).

— h'^E{xk-\lyk-2)

(4.4-41)

П р и н я в во внимание уравнение (4.4-30), запишем (4.4-37) в виде! Xki{k-i)

= Е {хк/ук-\)

-г Е (Фхк-\

+ yskfyk-2)

(4.4-42)

или ХкПк-1) = Е (^к/ук-л) Последовательность

-h Е {Фхк-1/ук-2)

+ Е (jSk/yk-2).

(4.4-43)

н е к о р р е л и р у е м а со всеми прошлыми изме

рениями и не обусловлена ф у н к ц и я м и ук-i

или ук-2,

поэтому

Е (^гкГук-2) - ^Е (sft) = О,

(4.4-44)

Где п р е д п о л а г а е т с я , что последовательность коэсзфициентов отраже ния (агрегатный ш у м ) н е к о р р е л и р у е м а и п р е д с т а в л я е т собой гауссои процесс с н у л е в ы м математическим о ж и д а н и е м . С учетом последнего у р а в н е н и е (4.4-43) принимает в и д ХкПк-\) = ФХ(к~тк-2)

+ ^Ук-ь

(4.4-45)

где Х(к-\)/{к-2) = Е{хк-\1ук-2)', ^Ук-\ = Е{хк1ук-\), а Д я в л я е т с я веК' тором п р о п о р ц и о н а л ь н о с т и размером Л^х 1. После подстановки (4.4-41) в (4.4-45) получаем Xki(k-i)

= Фх(к-\)Цк-2)

+ Д 1ук-\ — ^Tx(ft_i,/(fe_2)J.

(4.4-46)

Д л я гауссовых процессов Е(xk/yk-i)

= Тук-i

It = Е{хкУк-1)IECyk-l)г^

~ук-х

(4.4-47)

или Д = £ (^кУк-1) 'Е ( y L , ) [ - ' .

(4.4-48)

Если п р е д п о л о ж и т ь , что Е(екПк) = 0, т . е . помехи И агрегата не к о р р е л и р о в а н ы , т о легко п о к а з а т ь , что Е{хкук-1) где

P(ft_i)/(ft_2)

= ФР(к-1Шк-2)Н,

(4.4-49)

= £ ( x ( A _ i ) / ( f t _ 2 ) X ( i _ i ) / ( A _ 2 ) — м а т р и ц а ковариации ошиО

ки п р е д с к а з а н и я вектора Xk-i по заданному вектору Аналогично м о ж н о п о к а з а т ь , что E{ykSyl-x) где i? = £ 184

измерении

= b^(k-i)Hk-2)h-r

R,

ук-2.

(4.4:50)

— скаляр. i

И т а к , вектор пропорциональности принимает вид Д = ФР(й_„/(*_2)Л :ЛТР(,_,)/(Й_2)Й + Rj-K И , наконец, фильтр по п р о с т р а н с т в у ш л ь т р К а л ь м а н а ) д л я осуществления одношагового

(4.4-51J состояний предсказания

юктора Xk по заданному в е к т о р у yk—i имеет вид —*• л

-V

Л

л:ь/(А_1) = Ф;«(*_1)/(*_2) + K(ft_i)/(ft-2)

]ук-1

л

—h'^X(k-])/(k-2)[,

(4.4-52)

1Ле K^k-l)/^k-2) = ;ФР(А_1)/(Й-2)/1] Г/гТР(й_,)д^_2,Л+i?]-'—коэффициент ,силения К а л ь м а н а . л В а ж н о отметить, что д л я вычисления Xk/(k—i) т р е б у е т с я знать патрицу Ф, к о т о р а я зависит от функций последовательной к о р р е мции Ф ' ^ ^ Ф^'^', . . ., Фл?'' физической модели. ( З а м е т и м , что в с л у ­ чае линейного п р е д с к а з а н и я с использованием гауссова способа н а и «еньших к в а д р а т о в м о ж н о было п р е д с к а з а т ь Xk по прошлым наблюде­ ниям). Д ж . Мендель [66] нашел в ы р а ж е н и е д л я о п т и м а л ь н о с г л а ж е н ­ ной оценки чисто случайной последовательности е*, и с п о л ь з о в а в при ITOM ф и л ь т р а ц и ю по пространству состояний. Н о и е г о оценка за­ висит от неизвестных Ф и 7, т а к к а к Ф з а в и с и т от функций послеювательной к о р р е л я ц и и , а 7 — от волнового импульса источника II сзункции последовательной к о р р е л я ц и и [см. уравнение (4.4-26)]. •случается, что н а р я д у с новым взглядом на эту сейсмическую 1 а д а ч у мы ввели дополнительные неизвестные. В н а ш е й ф о р м у л и р о в к е ( к а л ь м а н о в с к о й ) ф и л ь т р а ц и и по п р о транству состояний в н е я в н о м в и д е с о д е р ж и т с я п р е д п о л о ж е н и е о гауссовом процессе. Э т о п р е д п о л о ж е н и е ф и з и ч е с к и м о ж е т не в ы ­ полняться. Т е м не менее р е ш е н и е з а д а ч и о п р е д е л е н и я коэс])с])ициентов о т р а ж е н и я слоистой с р е д ы п о с р е д с т в о м ф и л ь т р а ц и и по прост­ ранству состояний п р е д с т а в л я е т з н а ч и т е л ь н ы й интерес. I

Глава 5 ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРОГРАММЫ И СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА

ФИЛЬТРАЦИИ

С и г н а л о п и с ы в а е т величину, п е р е м е н н у ю во в р е м е н и . Т а к ш в р е м я течет в одном н а п р а в л е н и и ( и з п р о ш л о г о в б у д у щ е е ) , ана ЛИЗ с и г н а л о в р а з в и л с я в особую м а т е м а т и ч е с к у ю дисциплину Э т а о т л и ч и т е л ь н а я особенность в р е м е н и д о л ж н а у ч и т ы в а т ь с я п в программах анализа сигналов с помощью Э В М . В данной главе используется язык программирования ФОР Т Р А Н I V . П р е д п о л а г а е т с я , что ч и т а т е л ь з н а к о м с э т и м языком К о г д а г о в о р я т о п р о г р а м м а х на я з ы к е Ф О Р Т Р А Н , ч а щ е всего и м е ю т в виду п о д п р о г р а м м ы , н а п и с а н н ы е на Ф О Р Т Р А Н . И н а ч е го в о р я , все, и з л о ж е н н о е н и ж е , п р е д с т а в л е н о в виде п о д п р о г р а м м и, т а к и м о б р а з о м , п р о г р а м м и р о в а н и е по в о з м о ж н о с т и с д е л а н о ш з а в и с я щ и м от конкретной вычислительной м а ш и н ы . Подпрог р а м м ы м о ж н о и с п о л ь з о в а т ь п р а к т и ч е с к и на л ю б о й Э В М , вписы в а я их в основную п р о г р а м м у . Ф у н к ц и и основной программы с в о д я т с я к в в о д у д а н н ы х в м а ш и н у , в ы з о в у п о д п р о г р а м м д л я выпол нения н е о б х о д и м ы х вычислений и в ы в о д у р е з у л ь т а т о в . Н а с интс р е с у ю т т о л ь к о п о д п р о г р а м м ы ; р е ш е н и е з а д а ч и с о с т а в л е н и я оснои ной п р о г р а м м ы , к о т о р а я в з н а ч и т е л ь н о й м е р е з а в и с и т от конк ретных устройств в в о д а - в ы в о д а , мы п р е д с т а в л я е м пользователю,

5.1. СТАНДАРТНЫЙ ПАКЕТ ПОДПРОГРАММ

П о д п р о г р а м м ы , в х о д я щ и е в этот п а к е т , н а с т о л ь к о употребительны, что мы р е ш и л и н а з в а т ь их с т а н д а р т н ы м и . С т а н д а р т н ы е п о д п р о г р а м м ы имеют с л е д у ю щ и е н а з в а н и я : ji' ZERO — обнуление M O V E — пересылка I M P U L S — импульс j' SCALE — взвешивание DOT — с к а л я р н о е п р о и з в е д е н и е DOTR — о б р а т н о е с к а л я р н о е произведение S Y M D O T — с и м м е т р и ч н о е с к а л я р н о е произведение F O L D — у м н о ж е н и е или с в е р т к а многочленов • Р А С — частичный к о э ф ф и ц и е н т а в т о к о р р е л я ц и и CROSS — в з а и м н о е п р о и з в е д е н и е двух в е к т о р о в CROSST — сэункция в з а и м н о й к о р р е л я ц и и T U K E Y — ф у н к ц и я а в т о г о р р е л я ц и и Тьюки M I N S N — м и н и м а л ь н ы й члгн р я д а с учетом з н а к а ч M A X S N — м а к с и м а л ь н ы й член р я д а с учетом з н а к а N O R M E — н о р м и р о в а н и е относительно средней квадратической » энергии р я д а 18G

,0RM1 — н о р м и р о в а н и е р я д а по его п е р в о м у э л е м е н т у •ilVERS — и з м е н е н и е п о р я д к а э л е м е н т о в р я д а на о б р а т н ы й 'OLYDV — д е л е н и е многочленов д р у г на д р у г а ЧАШЕ — о б р а щ е н и е с и м м е т р и ч н о й м а т р и ц ы ROUT — р е ш е н и е системы у р а в н е н и й способом К р у т а OLYEV — в ы ч и с л е н и е з н а ч е н и я м н о г о ч л е н а д л я к о м п л е к с н о г о ||)гумента '1ENSYM — в о с с т а н о в л е н и е симметричного в е к т о р а по одной з а шнной стороне. Ч а с т о п р и х о д и т с я иметь д е л о с группой п е р е м е н н ы х . Е с л и печ-менные, в х о д я щ и е в группу, м о ж н о соотнести д р у г с д р у г о м •юсредством и н д е к с а ц и и , то т а к а я группа н а з ы в а е т с я м а с с и в о м . Назначение п о д п р о г р а м м ы Z E R O состоит в п о м е щ е н и и числа пуль с п л а в а ю щ е й з а п я т о й (0,0) в к а ж д у ю я ч е й к у п а м я т и , отве1ШН0Й д л я какого-то м а с с и в а . И н а ч е г о в о р я , с п о м о щ ь ю этой .кщпрограммы с т а р ы е числа в я ч е й к а х п а м я т и з а м е н я ю т с я новы­ ми н у л я м и . Пусть L X — целая переменная, а X — массив переменных с плавающей з а п я т о й , к о т о р ы й м о ж н о з а п и с а т ь в в и д е Х ( 1 ) , Х ( 2 ) , \(3),..., X ( L X ) . •)то о з н а ч а е т , что L X , н а з ы в а е м а я д л и н о й X, я в л я е т с я числом 1 л е м е н т о в м а с с и в а X. О п е р а т о р в ы з о в а п о д п р о г р а м м ы Z E R O з а п и ­ сывается к а к C A L L ZERO ( L X , X ) . В р е з у л ь т а т е к а ж д ы й э л е м е н т м а с с и в а X п р е в р а щ а е т с я в 0,0, г. е. Х(1) = 0 , 0 , Х ( 2 ) =0,0,..., X ( L X ) = 0 , 0 .

ПОДПРОГРАММА С

ZERO

SUBROUTINE Z E H l X L X . X ) ZtHO I S fo S1"0«E ZERO IN AN ARRAY DIMENSION X ( 2 ) IF
BiD Н а з н а ч е н и е п о д п р о г р а м м ы M O V E состоит в п е р е м е щ е н и и м а с шва в другое место п а м я т и . О п е р а т о р вызова з а п и с ы в а е т с я к,1к C A L L M O V E ( L X , X, У ) . р е з у л ь т а т е числа, с л а г а ю щ и е м а с с и в X, будут н а х о д и т ь с я в млссивах X и У. ПОДПРОГРАШ1А SU3i<0UfIWt '

MOVE

MOV£
m M b N ^ f „ ; 1 " ; [ f , t r ? ? 2 / ' ' ' ' ' ' ' ' UO 10 I = I , L X

187

Ц е л ь п о д п р о г р а м м ы I M P U L S — поместить в к а к о й - л и б о мае сив и м п у л ь с н у ю Аункцию К р о н е к е р а . О п е р а т о р в ы з о в а имеет вид C A L L I M P U L S (LD, D, К ) . В р е з у л ь т а т е к а ж д ы й э л е м е н т м а с с и в а D , и м е ю щ е г о д л и н у LD, с т а н о в и т с я р а в н ы м нулю, з а и с к л ю ч е н и е м э л е м е н т а D { K ) , который р а в е н единице. ПОДПРОГРАММА IMPULS SUriHOUilNE I M P U L S ( L D , D ; K )

С

L .

IMHULS I S KRONcCKb.^ IMPULSE HUNCTIOH .DIMENSION 0(2) ^ Ш 10 I » I , L D lO D ( I ) - O . O v D
(.

чт

Н а з н а ч е н и е п о д п р о г р а м м ы S C A L E — у м н о ж е н и е к а ж д о г о эле­ мента м а с с и в а на весовой м н о ж и т е л ь . О п е р а т о р в ы з о в а записы­ вается к а к C A L L S C A L E (S, L X , X ) . В р е з у л ь т а т е к а ж д ы й э л е м е н т м а с с и в а X , и м е ю щ е г о д л и н у LX, у м н о ж а е т с я на весовой коэсэфициент S. ПОДПРОГРАММА С С

SCALE

SUriHOUfWE S C A L E C S . L X . X ) SCALc. I S SCALE AN AHrtAV BY MULflPLVING ЕАСИ ELEMENT BY A SCALE FACTOrt DIMENSION X(2) 0(1 10 I - I , L X 10 X ( I ) - S * X ( I ) HETUHN END

Скалярное

произведение

вектор y = {yi, yi, ...,

вектора x = {x\, x-2, ...,

.V *

x„) на

Уп) определяется выражением

Ц е л ь п о д п р о г р а м м ы D O T — в ы ч и с л е н и е с к а л я р н о г о произве­ дения д в у х в е к т о р о в . О п е р а т о р в ы з о в а з а п и с ы в а е т с я к а к i C A L L D O T ( L , X , Y, A N S ) . В е к т о р X п р е д с т а в л я е т собой м а с с и в X д л и н о й L = п; вектор у я в л я е т с я м а с с и в о м Y т о ж е д л и н о й L=n. П е р е м е н н ы е L , X и Y п р е д с т а в л я ю т собой в х о д ы п о д п р о г р а м м ы , в ы х о д о м является A N S , т. е. искомое с к а л я р н о е произведение. ПОДПРОГРАММА DOT 5>ивйоиПНе D O T ( L , X , Y , A M S ) С

188

1Х)Т I S DOT PRODUCT DIMENSION X ( 2 ) , Y { 2 ) AWS-0.0 IF(L)30,30,IO. 10 0 » 20 I - I . L 20 ANS-ANS+X(J)*y(I) 3U HETUDN END

*^

Обратное

скалярное

Х2, • •.,

л„)

Н а з н а ч е н и е п о д п р о г р а м м ы DOTR состоит в н а х о ж д е н и и скалярного произведения двух векторов. Оператор юва з а п и с ы в а е т с я к а к

обвы-

la вектор у = {у\,

произведение

вектора х = (хи

г/2, . . . , Уп) определяется в ы р а ж е н и е м

Х\уп

+

ХоУп-1

+

. . . -L Хп-}У2

+

ХпУи

iMTHOro

A L L D O T R ( L , X , Y, A N S ) . 1сременные L , X и У я в л я ю т с я в х о д а м и п о д п р о г р а м м ы , а ANS — н'комым о б р а т н ы м с к а л я р н ы м п р о и з в е д е н и е м , т. е, в ы х о д о м п о д 1|)ограммы. ПОДПРОГРАММА

DOTR

SUBROUTIKE a ) T R ( L . X . Y . A N S > С DOTR I S £Х)Т PRODUCT REVERSE DIMENSION X ( 2 ) , Y ( 2 ) ANS-0.0 IF(I.)30,30,I0 10 DO 2 0 . . I - 1 . L J-L-I+l 20 A N S - A N S « X ( p * y ( J ) 3 0 UETURH END

Подпрограмма SYMDOT предназначена для вычисления нетричного с к а л я р н о г о п р о и з в е д е н и я .

сим-

ПОДПРОГРАММА SYMDOT С КОЛШЕНТАРИ С С С С С С С С С С с С

с

-SUBriOUl'INE S Y M 0 O T ( Y , F , N , D ) SYMDOT I S SYMMt-rmCAL UOT PrtOOUCT COMPUTcS THE FOLLOrtlHG SUMMATI()N(SUM) N-l 0-F(N)*Y(N)*SUM(H(W-I)*
СИШЯ

189

Свертка

вектора а = (ао, а\

а^) с вектором b = (bo, Ь\,

определяется как вектор с = (со, c i , . . . . Ст+п), ментов которого находится по формуле k

каждый

Ьп)

Cfc =

S a„bk-n

=

из эле.

aobk -r aibk-\ + « г & й - г + . . . + афо,

: Ц..

причем предполагается, что элементы векторов за пределами задаН' ного интервала равны н у л ю . Вместе с тем элементы с« можно считать коз(1рс])ИЦиентами много члена, образованного перемножением многочленов с коэффициентами, равными элементам д в у х заданных векторов: Со + С,2' +

+ ...+с„+„г'«+« =

• = (ао + а , г + агг^ + . . . -Ь а^г""){bo

•

biZ + bzz^

bnZ").

Ц е л ь подпрограммы F O L D — вычисление свертки д в у х вектороп Оператор вызова записывается как C A L L F O L D ( L A , А, L B , В , LC, С). * Входами подпрограммы я в л я ю т с я переменные L A , А, L B , В , а вы ходами — LC, С. Вектор а представлен

массивсм

А длиной

LA -

— т-г- 1, вектор b — массивом В длиной L B = л + \ . Искомый век тор с получается в виде массива С длиной LC = / п - Ь и + L С е р ь е з н ы м д е ф е к т о м я з ы к а Ф О Р Т Р А Н , который н е л ь з я он р а в д а т ь , я в л я е т с я то, что целые числа, и с п о л ь з у е м ы е в качест в е индексов, н е могут п р и н и м а т ь н у л е в ы е или отрицательны!' з н а ч е н и я , поэтому, к о г д а математический вектор начинается с индекса О, у н а с нет иного в ы х о д а , к а к н а ч а т ь в е к т о р на Ф О Р Т Р А Н с индекса \. , Следовательно, в данном случае имеем: щ ао=А(1),

а, = А(2),

а„, = A ( L A ) ,

где

L A = m + l ;

f'o = B ( l ) ,

й, = В (2), . . . , & „ = В ( L B ) ,

где

L B = n + I ;

Со = С ( 1 ) ,

с, = С ( 2 ) ,

. . . . 6„+„> = C(LC),

где

I

LC = m - f n - ( - l .

ПОДПРОГРАЛША FOLD SUriHOUfLiE F O L D < L A , A . L e , b , L i ; , C ) H)LO 13 FoLUINUCCONVaH/riON) DIMENSIrw А ( 2 ) , В < 2 ) , С < 2 ) LC-U«LB-I C A U ZcH(«LC,C) Ш 10 I - I , L A

С

40

!

DO to J " 1 , L B

?

C
f

Л е г к о з а м е т и т ь , что э т а п о д п р о г р а м м а а н а л о г и ч н а умножения многочленов. 190

Й '>> ?1 I

программч 1= j j

с п о м о щ ь ю п о д п р о г р а м м ы Р А С вычисляетс'я частичный к о э ф иииент а в т о к о р р е л я ц и и по н о р м и р о в а н н о м у к о э ф ф и ц и е н т у а в ж о р р е л я ц и и , причем н о р м и р о в а н н о м у т а к и м о б р а з о м , ч т о копфициент а в т о к о р р е л я ц и и при н у л е в о м с д в и г е . р а в е н единице. ПОДПРС.РАММА РАС С С С

.

SUBROUTINE P A C ( L P . P . A . C ) Р • NORMALIZED AUTcmoRRELATION FOR LAGS 1 TO L P A » WORKING SPACE С » PARTIAL AUTOCORRELATION FOR INDICES I TO L P J)IMENSION P ( L P ) . A ( L P ) , C ( L P > DO 6 1 * 1 , L P I F C I . G E . 2 ) GO TO I Q»P(1) V=I.O-Q*Q GO TO 4 • 1 0-U/V VaV*( 1 . 0 4 3 * 0 ) L-(I-l)/2 I F ( L . E O . O ) GO TO 3 DO 2 J - I , L HOLD»A(J) K - I - J A(J)=A(J)4)*A(K) 2 A(IC)=A(K)41*H0LD 3 I F ( 2 * L . L T . I - I ) A(L+I)=A(L+I)*(!.0-0) 4 A*P(I*1-J>

6 c
В з а и м н о е п р о и з в е д е н и е ( ф у н к ц и я взаимной к о р р е л я ц и и ) гктора (хо, X i , . . . , Хт) на вектор (г/о, уь • • -, Уп) определяется fKTopoM (со, C i , . . . , ci), элементы которого н а х о д я т с я по формуле ,

'

"t

1

с* = 2 Xjyi—k,

~:

/=о

•

.

.

.

ю значения Xf вне интервала / = 0, I , 2, т. и значения yi вне штервала г = 0 , 1, 2, . . . , га п р и н я т ы равными н у л ю . Ч и с л о элементов вектора с равно 1+ \; целое / задается н а п е р е д ноизвольным. Ц е л ь подпрограммы CROSS — вычисление взаимного роизведения д в у х векторов. Оператор вызова имеет вид ALL CROSS ( L X , X , L Y , Y , LC, C). Входами подпрограммы я в л я ю т с я a выходом—С. 1 =т-\-\,

Вектор x

а вектор у—массивом

переменные

представлен

LX, X, LY, Y,

массивом

X

длиной

Y длиной L Y = п + L Искомый

1'ктор с в ы р а ж а е т с я массивом С длиной LC = / -Ь 1. 191

ПОДПРОГРАММА CROSS С

SUBrtOUilNE C H ( ) S S { L X , X , L Y , Y , L C , C ) CHOSS I S CilOSS PHODUCr DIMcrfSIOW X ( 2 ) , Y ( 2 ) , i : ( 2 ) U() 1 0 I « I , L C 10 CAU.^D(li(M«W(LY*I-l,LX)-I+l,X(I),Y.C{n) END

Е с л и м а с с и в ы X и Y о д и н а к о в ы , т о с п о м о щ ь ю подпрограмми CROSS в ы ч и с л я е т с я с э у н к ц и я автокореляции. П о д п р о г р а м м а в ы ч и с л е н и я ф у н к ц и и в з а и м н о й к о р р е л я ц и и ни основе п о д п р о г р а м м ы F O L D н а з ы в а е т с я CROSST. О п е р а т о р вы зова имеет вид C A L L CROSST ( N , X, М , Y, С ) , где в х о д а м и п о д п р о г р а м м ы с л у ж а т в е л и ч и н ы N — д л и н а масси в а X, X — один и з в з а и м н о - к о р р е л и р у е м ы х в е к т о р о в , М — длинп м а с с и в а Y, Y — д р у г о й из в з а и м н о - к о р р е л и р у е м ы х в е к т о р о в , а не выходе имеем С — функцию взаимной корреляции. . , ПОДПРОГРАММА CROSSrr с'

SUBHMUnNE C H O S S T C N . X . M . Y . C ) CHHSST 13 CROSS CORRELATION BASED ()» SUBROUTINE FOLD DIMENSION X ( I O O ) , Y ( I O O ) , C ( I O O ) CALL RcVERS(M,Y) CALL F O L D < N , X , M , Y , L C , C ) CALL R c V E R S t M . Y ) RtfUrfN ciJD

il? Г - , Й j V /J

С ПОМОЩЬЮ п о д п р о г р а м м ы T U K E Y в ы ч и с л я е т с я ф у н к ц и я авто­ корреляция Тьюки. ^ • ПОДПРОГРАММА С С С С С

192

TUKEY

С

4

КОММЕНТАРИЯМИ

SUbHOUlINE TUKEY
П о д п р о г р а м м а M I N S N п р е д н а з н а ч е н а д л я о т ы с к а н и я мини­ мального э л е м е н т а м а с с и в а с учетом а л г е б р а и ч е с к и х з н а к о в . О п е ­ ратор в ы з о в а п о д п р о г р а м м ы имеет в и д CALL M I N S N ( L X , X, X M I N , I N D E X ) . В х о д а м и п о д п р о г р а м м ы являютс'я L X и X , в ы х о д а м и — X M I N II I N D E X . З а д а н н ы й м а с с и в X имеет д л и н у L X . М и н и м а л ь н ы й элемент этого м а с с и в а р а в е н X M I N = X ( I N D E X ) , где I N D E X иг­ рает р о л ь и н д е к с а м и н и м а л ь н о г о э л е м е н т а . ПОДПРОГРАММА

MINSN

SUBROUTINE M I N S N ( L X , X , X M I N , I N D E X ) DIMENSION X ( 2 ) XMIN»X DO 2 0 J » I , L X INOEX-J ' IF(X<J)-XMIN)20,30,20 20 CONTINUE 30 RETURN END

П о д п р о г р а м м а M A X S N в ы г л я д и т точно т а к ж е , к а к п о д п р о рамма M I N S N , т о л ь к о с ее п о м о щ ь ю о т ы с к и в а е т с я м а к с и м а л ь н ы й мемент. ТЕКСТ ПОДПРОГРАММЫ MAXSN '

SUBROUTINE M A X S N ( U . X . X M A X , I N D E X ) DIMENSION X ( 2 ) XMAX-X(I) , 00 10 1 * 1 , L X 10 X M A X - A M A X K X M A X . X d ) ) DO 20 J - I , L X INDEX-J IF(X(J)-XMAX)20,30.2a 10 0 ) N T I N U E JO RETURN END

Ц е л ь п о д п р о г р а м м ы N O R M E — н о р м и р о в а т ь м а с с и в путем д е • «иия к а ж д о г о э л е м е н т а на с р е д н ю ю к в а д р а т и ч е с к у ю э н е р г и ю «ссива. О п е р а т о р в ы з о в а з а п и с ы в а е т с я к а к U L NORME (LX, X ) . На в х о д е п о д п р о г р а м м ы имеем L X и X, где L X — число э л е (liiTOB масс'ива X. Н а в ы х о д е п о л у ч а е м н о р м и р о в а н н ы й м а с с и в X . ПОДПРОГРАММА N O R M E SUbHOUlINt NOrtMt(LX,XJs NCWMc I S .M(WMALUATIy»( QF A«KAlf BY I T S HMS kmUQt

i;

IF (LX) 30,30,10 10 C A a D ( ) T { L X . X , K , X X I 2-SQrtT(XX)

DO 20 20

l'\,LK

X(I)»X(I)/2

30 НЕШН END ^П37

193

П о д п р о г р а м м а N O R M l подобна п р е д ы д у щ е й , она м а с с и в относительно первого э л е м е н т а .

нормирует

ПОДПРОГРАММА N 0 R M 1 ,;SiJBROUTINE NORMJ(LX,X) DIMENSION Х ( 2 ) IF
Н а з н а ч е н и е п о д п р о г р а м м ы R E V E R S состоит в перемене пО' р я д к а э л е м е н т о в м а с с и в а на о б р а т н ы й . О п е р а т о р в ы з о в а подпрс граммы записывается как C A L L REVERS (N, X ) . Н а входе п о д п р о г р а м м ы имеем N и X , где N — число элементов в м а с с и в е X. Н а в ы х о д е п о л у ч а е м м а с с и в X, в котором те Ж? э л е м е н т ы идут в о б р а т н о м п о р я д к е . • i, ">У ' ТЕКСТ ПОДПРОГРАММЫ REVERS S^iiiKDUiTiJE R b V E R S C ^ X ) DIMEWSKM X ( i O O )

м*а/г

.

4

. .А,

DO l U 1 » 1 , Л 4

и

тЕии»х(1) X(i)-X<J+l) x(j*i)«Tc;-iP COUriNUE

i ^ •

/ '

' .

HErURN

Ц е л ь п о д п р о г р а м м ы P O L Y D V — р а з д е л и т ь один многочлг* на другой, т. е. один вектор подвергнуть д е к о н в о л ю ц и и <; помощью другого. I', Т Е Ш Г ПОДПРОГРАММЫ P C L Y D V С К О М М Е Н Т А Р И М Ш * SUiJROUlINE F O L Y D V ( N , D V S , M , D V D , L , Q ) ^ I'EHHORM D I V I S I O N ОН fO.IER S E R I E S OF T H E FORM , (DVD(l)*X*DVD(2)+X*X*DV0(3)+...+)/ • i T r t l S a i U L D d t rfcHHOGHAMMED I"() ALLOrf С QUI VALENCE (PVD, Q) DIMENSION DVS(10),DVJ(10),Q(10)

О С С О С С V J С С .0 С

HM=N-I

8 0-

194

DO 6 I = I , L u(U«0.0 MOVE T . i E USED PORTION OF DVD TO MML=MI,40(M,L) DO 10 1«1.M„U.

• ^

10

0(I)iDVD(rt iX) bo I - 1 - , L Q(I)-0(I)VOVS(r} IP(I-L)30,20,30

20 НЕГиНК 30

С

К-1 ISUfl»MINO(NM,L-I) U() 40 J « l , ISUB K-K+l 0(K)-Q(K)-Q(I)*DVS(J*n / 40 CONTINJE 50 a ) N f I N J E »»ЙОСНЛ.'Л i^EVErt C E f S HtHE HETUftN END

* : '

'

С помощью подпрограммы M A I N E получают матрицу, обрат­ ную симметричной м а т р и ц е . О п е р а т о р в ы з о в а п о д п р о г р а м м ы з а ­ писывается к а к C A L L M A I N E ( N , А, В ) . Иа в х о д е п о д п р о г р а м м ы имеем N и А; н а в ы х о д е — В . С и м ­ метричная м а т р и ц а п о р я д к а N х р а н и т с я в виде м а с с и в а А. О б ­ ращение этой м а т р и ц ы п е р е с ы л а е т с я в п а м я т ь в в и д е м а с с и в а В . Матрица А и ее о б р а щ е н и е В х р а н я т с я в п а м я т и к а к к в а д р а т ­ ные м а т р и ц ы , т. е. плотно у п а к о в а н н ы е с т о л б ц ы . З а первым столб­ цом следует второй и т. д. д о последнего с т о л б ц а м а т р и ц ы . К ТЕКСТ ПОДПРОГРАММЫ MAINE SUBROUTINE MAINE(N,A,BJ С DIMENSION A ( N * N ) , B ( N * N ) " DIMENSION A ( 2 ) , B ( 2 ) B< .O/Air" ) It--(N-I)60,60,2 2 CALL Z E R 0 ( N * N - I , B ( 2 ) ) 00 50 M-2,N K"M-I MM»M*(M-|)*N EK-A(MM) DC) JO 1=1,К r• , , DO 10 J - J , K MI»M*(I-I)*N IJ«I-»-(J-l)*N JM-J+(M-J)*N 10 E K » E K - A ( M I ) * B ( I J ) * A ( J M ) B(MM)«J.O/EK DO 30 I « 1 , K IM-I*(M-1)*N ' DO 20 J - 1 , K IJ-I*(J-1)*N JM«J+(M-I)*N 20 B ( I M ) - e ( I M ) - B ( I J ) * A ( J M ) / E K MI"M+(I-J)*N 30 B ( M I ) - B ( I M ) Ш 40 I - l , К IM»I*(M-'I)*N , DO 40 J » I , К «J«M*(J-J)*N IJ-I'KJ-I)*N 40 B ( I J ) « B ( I J ) » 3 ( I M ) * B ( M J ) * E K 50 a)NTINUE 60 RETURN END7*

• , *

,

•

195

Системы уравнений можно решать методом Крута. ЛОДПРОГРАВОШ CROUT

1 2

3 4

5 6

7 8 9 10

SUBROUTINE CROUT(».N.A«ALPHA.NSyS.X) DIMENSION A(M,N),AU>HA(M,N).X(M,NSyS> W I I-I,M ALPHA(I.I)«A(I,I) 0.) 2 J . - 2 . N ALPHA(I.J)«A(l,jy/ALPHA(M) I F ( M . E 3 . n j ( ) TP 9 * Ш 6 K>2,M KP*K*1 KM-K-I DO 4 I«X,M SUM>3.0 Oi) 3 L - I . K M SUM-SUM«ALPNA(t.t)*ALPma,K> ALPHA(I,K)-A(I,K)-SUM 00 6 J < P , N SUM«J.O Ot) 5 f l . K M SMM-SU;4«ALPHA(K,LUALPHA(L.J> ALPHA(X.J)-(A(K»J>-3UN)/AU>HA(IC,K) 00 8 I T - I . N S V S • J-M*IT X(M.IT)"ALPHA(M,J) 0» 3 I - 2 , M K-M*i-i KP-K»i SUM>3.0 m 7 L-KP.M SUM>3UM4'ALPHA(K,L)*X(L,IT> X(K,IT)-ALPHA(K,J)-SUN RETURN DO I J I T - J . N S Y S X(I,IT)«ALPHA
Предположим, что имеется q систем уравнений, причем дой системы матрица коэффициентов левых частей одна и но правые части уравнений различны. В каждой системе жится т уравнений с т неизвестными. Пусть система t выражениями ai ixu

--

ai2X2t

а2\Хи

- I - a22X2t - { - • • • -г a2mXmt

J• ?r

' ; « > i^* -^v; ; л t /

1

у каж«' та же, содер­ задана

. . . -Ь a\wXmt =

Om\Xu ~h 0,m2X2t " r • • • +

V

= a2,m+i',

ClmmXmt = Clni.m+t,

где / = 1 , 2, С помощью подпрограммы C R O U T можно найти решения этих «у систем уравнений. Оператор вызова подпрограммы имеет вид C A L L C R O U T (М, N , А, A L P H A , N S Y S ,

Х\

где выходами подпрограммы являются М = т, N = n = m + q, 196

i

А (начальный массив) =

аи

ai2

ахп

C2I

022

02/.

MSYS = ^ —ЧИСЛО систем у р а в н е н и й , й на выходе подпрограммы получаем

A L P H A = массив Крута ==

X = массив решения =

«11

ai2

Я1П

«21

0.22

«20

хп

л: 12

A:I,

-«:21

Х22

А:2в

i-.XmX

Хт2

• ••

I котором столбец / я в л я е т с я решением системы t. Числовой

пример

1. Дана

система

уравнений:

2д:11-1-Здгм: + 8ж81 = 4;

Зхц+5хп+

13д;м = 6.

На входе подпрограммы имеем М = /я = 3; N = n = /n + fl = 4: Г2 А =

8 4

3

4

9 10 20

3

5 13

6

VSYS = 9 = 1. Вызвав подпрограмму оператором WLL CROUT (М, N, А, ALPHA, NSYS. X), получаем на выходе:

1

ALPHA =

2

1.5

4,0

2,0

4

3,0 - 2 , 0

4,0

3

0,5

2.0 - 1 . 0 3

Х =

Х21 Хз1

Числовой

пример

=

2 —1

2. Даны две системы уравнений — первая 2Л„+ЗА;21+8ДСЗ1 = 4; 4xit + 9xn+

10^31 = 20;

3;fu+5;c2i+13дсз1 = 6

и вторая ^

...

2xi2-{- 3^22 + 8*32 = 5; 4дс,;,+ 9дс22+10;(з2 = 25; Зд!:12 + 5;с22+ 13л;а2=8.

На вход подпрограммы подаются М = /п = 3;

I

n = m-\-q = 5; А=.

2

3

8

4

9 10 20 25

3

5 13

NSYS = (7 = 2. Вызвав подпрограмму оператором CALL CROUT (3, 5, А,^ ALPHA, 2, Х ) , получаем на выходе: Г2 1.5 ALPHA = 3 Хц

х=

4

• '-If

5

6 8

4,0

2,0

2.5П

3,0 —2,0

4,0

5,0

0,5

2,0 —1,0 —1,0

Xi2

Х21 Х22

=

3

2"

2

3

—1 —1 Ч и с л о в о й п р и м е р '3. В некоторых случаях может о к г — я удобным хранить решения не в виде отдельного массива X , а в правой —сти массии» ALPHA. Подпрограмма CROUT позволяет сделать массив X эквивалентом нравов цасти массива ALPHA. Так, например, если

А =

2

3

4

9 10 20 25

8

4

5

3

5 13

6

8

то с помощью оператора вызова подпрограммы

I;

C A L L CROUT (3, 5, А, ALPHA, 2, ALPHA (1,4)) получаем на выходе '2 ALPHA =

1,5

4,0

3

2

4 3,0 - 2 , 0

2

3

3 0,5

1.

2,0 —1 —1

Ч и с л о в о й п р и м е р - 4. в некоторых случаях может оказаться ненужны» сохранять значения массива А. Вместо этого может потребоваться записать леву* часть массива CROUT, т. е. т левых его столбцов, в левой части массива Л,| а решение X — в правой части массива А. Взяв числовые значения массива А, из предыдущего примера и вызвав подпрограмму оператором ^ CALL CROUT (3, 5, А, А, 2, А (1,4)), получим на выходе:

% ' "

'2 1,5

4,0

3

21

А = I 4 3,0 —2,0

2

3

3 0,5

*

'г

i

2,0 —1 —1

198

.JL-

с помощью подпрограммы POLYEV можно вычислить ние м н о г о ч л е н а д л я к о м п л е к с н о г о а р г у м е н т а . ТЕКСТ ПОДПРОГРАММЫ TOLYEV С КОММЕНТАРИЯМИ SUuROUi'Iit POLybV(;J,C,X,A) POLYEV IS EVALUATE POLYNOMIAL COMfJ'AiS THE rOriMULA

С С С С С С С С

A-C(l)+C<2)*X*C(3)*<X**2) + . . . * 0 ( N ) * ( X * * ( N - n ) EXAMHLe , If" N^a.XHE FORMULA IS EVALUAl'EO IN THt: FOLLOrtl.W rtAY A-C(l)*X*(C<2)*X*(C{3)*X*{C(4)+X*C(5)))) TiiUS,O.^LY N - l ADOS AND N - l MULTIPLIES АНЁ REQUIRED. DIMENSIO.J C(IOO) COMPLEX X.A • , A-O.O w DO 10 I - I , N I J-N-I f 10 A-X*A+0(J-H) RETURN END

С помощью подпрограммы GENSYM вычисляется ный в е к т о р , если и з в е с т н а о д н а его п о л о в и н а .

С t: 0 v: 0 О С С

значе­

симметрич­

ТЕКСТ ПОДПРОГРАММЫ GENSYM SUbROUiT.JE GtN5YM(N,A,B) UcNSYM GENERAfES A SYMMETRIC VECTOR GIVEN ONE SIDE TNPUfS ANY SERIES A OF LENGTH N OUTPUTS THE ShKleS В DEFINED AS FOLLOWS b(I)=»A(N-I*l ) , FOrJ 1 = 1 TO I=N B ( I ) = A ( I - N + I > , FOR I«N TO I=«N+N-I TriUS.FOR EXAMPLE,IF Л IS THE CENTER PLUS ONE LOBE OF AN AUIOCORRELATION.THEN B IS THE WHOLE AUTOCORRELATION rtllH CENTiiR AT b ( N ) . fcOUIVALEi'lCECA.O) IS ALLOWED DIMENSION AC I 0 0 ) , ВС too.) DO 10 I » 1 , N J=N*I 110

o(J-l)=ACI)

IN=N+N DO 20 1 = 1, N J=IN-I 20 ilCI)=BCJ) HEiUHN END 5.2. ПАКЕТ ПОДПРОГРАММ ФИЛЬТРАЦИИ В данный пакет входят следующие подпрограммы: E U R E K A — общая рекурсия Топлица Р Е О — дополнительная рекурсия Топлица INVTOP — обратная матрица Топлица S H A P E — сэормирующий фильтр SPIKE — импульсный фильтр 199

S I D E — боковая итерация Симпсона SPIKER — импульсный фильтр с повышенной эффективностью , SHAPER — оптимальный формирующий фильтр м W V P R E D — предсказание волнового импульса B N D P A S — полосовой ф и л ь т р B N D P S 2 — полосовой Фильтр ^ TREN — текущая энергия i' TRAP — текущая мощность TRAP — фильтр текущей корреляции R E M A V — вычитание средней арифметической R M S D E V — среднее квадратическое отклонение BURG — алгоритм Бурга. Р е ш е н и е з а д а ч и , о п т и м а л ь н о й по способу н а и м е н ь ш и х квадратов фильтрации, связано с решением системы уравнений, называ­ е м ы х н о р м а л ь н ы м и . П р и п р и м е н е н и и в т а к и х с л у ч а я х обыч­ ных м е т о д о в т р е б у ю т с я б о л ь ш и е о б ъ е м ы п а м я т и и ч р е з в ы ч а й н о много м а ш и н н о г о в р е м е н и . И с к л ю ч е н и е с о с т а в л я е т т о л ь к о случай небольшого числа коэффициентов фильтра. Рекуррентная формула Т о п л и ц а п о з в о л я е т э ф ф е к т и в н о снизить ч и с л о к о э ф ф и ц и е н т о в до желаемого. В способе с н и ж е н и я ч и с л а к о э ф ф и ц и е н т о в и с п о л ь з у е т с я спе­ ц и а л ь н ы й в и д а в т о к о р р е л я ц и о н н о й м а т р и ц ы R, н а з ы в а е м ы й Фор­ мой Т о п л и ц а . Э т у ф о р м у м о ж н о з а п и с а т ь в в и д е

Rx R2

R\

R2

Ro Ri

Ri Ro

Rm Rm—l • • • Rm—2

_Rm Rm-X Rm-2 . . . Ro По диагоналям расположены одинаковые э л е м е н т ы , поэтому м а т р и ц а п о л н о с т ь ю о п р е д е л я е т с я з а д а н и е м в е р х н е й Строки. Согласно рекурсивному методу Т о п л и ц а с н а ч а л а находят фильтр с одним членом, затем, используя найденный фильтр, — ф и л ь т р с д в у м я ч л е н а м и и т. д. д о тех пор, пока не б у д е т до­ стигнута ж е л а е м а я д л и н а ф и л ь т р а . Г л а в н ы е п р е и м у щ е с т в а ре­ к у р р е н т н ы х способов з а к л ю ч а ю т с я в э к о н о м и и в р е м е н и и объе­ м а п а м я т и . Р е ш е н и е системы уравнений обычными способами требует в р е м е н и , п р о п о р ц и о н а л ь н о г о т^, и о б ъ е м а п а м я т и , про­ п о р ц и о н а л ь н о г о т^. Р е к у р р е н т н ы й способ с н и ж а е т т р е б о в а н и я соответственно до и т. В а ж н ы м д о п о л н и т е л ь н ы м п р е и м у щ е ­ ством р е к у р р е н т н о г о способа я в л я е т с я в о з м о ж н о с т ь в ы ч и с л е н и я средней к в а д р а т и ч е с к о й погрешности на к а ж д о м э т а п е процес­ са. Это п о з в о л я е т с ф о р м у л и р о в а т ь к р и т е р и й о п р е д е л е н и я длины ф и л ь т р а : по м е р е у в е л и ч е н и я д л и н ы сэильтра д и с п е р с и я о ш и б к и п р е д с к а з а н и я v у м е н ь ш а е т с я и постепенно д о с т и г а е т у с т а н о в л е н ­ ного з н а ч е н и я . Рекурсия Т о п л и ц а — классическая рекурсия, встречающаяся в теории п о л и н о м о в , о р т о г о н а л ь н ы х на единичном круге. Здесь 200

^|ана с х е м а в ы ч и с л е н и й Уиггинса и Р о б и н с о н а [106], в к л ю ч а ю ипя р е к у р р е н т н у ю ф о р м у л у д л я о п р е д е л е н и я дисперсии о ш и б к и ||)едсказания и к о э ф ф и ц и е н т о в ф и л ь т р а . Н о р м а л ь н ы е у р а в н е н и я в с л у ч а е с к а л я р н о г о процесса имеют •ид

S fiRj_i=gi,

/ = 0, 1, 2, . . ., п,

(=0

де — коэффициенты ф и л ь т р а ; Rj-t — коэффициенты а в т о к о р р е л я |ни; gf—коэффициенты правой части у р а в н е н и й . С этими нормальными у р а в н е н и я м и с в я з а н ы нормальные уравне­ ния одношагового оператора ошибки п р е д с к а з а н и я аг. Д

_ \v, когда / = О,

^ ^ / ' • ^ ^ - ' = 10, когда / = 1 .

2

п.

;де ао= I . Оператор ретроспекции «предсказывает» прошлые значения вреиенного ряда по будущим. Д л я с к а л я р н о г о с л у ч а я одношаговый шератор ошибки ретроспекции Ь/ представляет собой просто обрацение одношагового оператора ошибки п р е д с к а з а н и я , т а к к а к R — имметричная м а т р и ц а : "an bo an-\

bx -bn~

-яо Процедура у д л и н е н и я одношагового оператора ания а — (ао.

ошибки предска-

• • •. ^ я ) е щ е н а один коэффициент, т . е . д о нового

одношагового оператора ошибки п р е д с к а з а н и я чинается с удлинения а путем добавления

ао, ах, . . . , an+i на­

нуля

к правому

концу

оператора а:

~Ro

...

Rn+i'

ао

V 0

|_^я+1

Ro

an

0

0

d

Величина d н а з ы в а е т с я расхождением и определяется с к а л я р н ы м произведением

d = R„+iao + Rnttx + . . .

+R\an.

Если расхождение равно нулю, удлиненный оператор ошиб­ ки п р е д с к а з а н и я п р а в и л е н . К а к п р а в и л о , р а с х о ж д е н и я о т л и ч н ы от н у л я , поэтому на с л е д у ю щ е м э т а п е н у ж н о т а к в и д о и з м е н и т ь коэ^Ьфициенты у д л и н е н н о г о о п е р а т о р а , чтобы л и к в и д и р о в а т ь р а с В 2-237'

201

х о ж д е н и е . П о с л е д н е е достигается прибавлением взвешенного уд линейного оператора ошибки ретроспекции к удлиненному опера тору ошибки предсказания:

-Ro

_R„+i

...

'v — cd~\

ао

<л+1

Ro J

а, — сап

О

an — са,

О

_—соо

_d — co_

_

Чтобы найти значение с, приравняем к нулю разность d — cv: с = div. Таким образом, с равно отношению расхождения к диспер­ сии ошибки предсказания. Новый оператор принимает вид

а\

ао ai — са„

an

an

Оо

-1

ai —са„ ;1'

1_0'Ч-1 _

On —

— cai

_

—

_

са\ •к

|

I

а новая дисперсия ошибки предсказания

v' = v — cd = v — c^~^ /=v{l

—с^).

Для удлинения бильтра / = (/о,' fu • • •. fn) используют оператор ошибки предсказания. Как и прежде, находим

новый первое

приближение к / ' путем добавления нуля к правому концу фильтра /:

Rn+f

-Ro

Ro

-Rn+i

to

^0

fn

gn

_ _ 0 _

r

-Q -

где q определяется скалярным произведением

q ^ Rn+ifoRnh

+

...+Rifn.

Если ввести весовые коэффициенты и прибавить новый операто;р ошибки ретроспекции к удлиненному фильтру, то получим

Ro

LRn+x 202

...

Rn+i

Ro

fo — sa'n+i

go

fi — sa'n

gi

fn — sa] —sa'o _ _i _

gn _q — su'_

№

Выб^|!>ем постоянную s т а к о й , чтобы q~so'

==gn+\.

ели о п р е д е л и т ь п о с т о я н н у ю s к а к _ * ~ 'I) новый ф и л ь т р примет в и д

fo — SOn+l

/0—Sfln+l

fx

fx —sd„

f\—sdn

fn

fn — So'i

fn — sai

Jn+\ С помощью

g-g„+i V' '

_—sdo

подпрограммы

_

_—s

FUREKA

_

находятся

решения нор-

нальных у р а в н е н и й о т н о с и т е л ь н о коэффициентов ф и л ь т р а / и коэс))||Циентов о д н о ш а г о в о г о оператора ошибки

предсказания

а.

ПОДПРОГРАММА ОБЩЕЙ РЕКУРСИИ ТОПЛИЦА SUBROUTINE EUREKAfLR.R.G.F.A) EUREKA SOLVES THE LEAST SQUARES NORMAL EQUATIONS FOR h-( П AS WELL AS THE PREDICTItW-ERROS OPERATOR А ( П . 01 MENS I ON R ( L H ) , u< LR ) . F< LR ) , A( LR )

С С

V=R(IX

, •

1

2 3 4

"

A(1)=I.O F( I Js-Gt I ) / V i F ( L R . E Q . l ) RETURN 00 6 L=2.LR D=0.0 1 0=0.0 L3=L-1 CX) I J = I , L 3 K=L-J*I D=D*A(J)*R(K) Q=:Q+F(J)*R(K) C=D/V I F ( L . E 0 . 2 ) GO TO 4 LI=(L-2)/2 L2=LI+1 I F ( L 2 . L T . 2 ) GO TO 3 DO 2 J=2,L2 H()LD=A(J) K=L-J*I A(J)»A(J)-C*A(K) A(K)=A(K)-C*HOLD I r ( 2 * L l . E Q . L - 2 ) G a TO 4 LT>L2*I A(LT3)=A(Lr3)-C*A(LT3) A(L)=-C

s=(a43(L))/v DO Ь J = l ,L3 K=L-J*1 5 F( J J»F(J )-S*A(K) 6 F(L)=-S RETURN END . :

'

;

: • •. : . . ,

. ^• 203

Н а к а ж д о м этапе общей схемы Топлица требуется вычислять т с к а л я р н ы х произведения d и q вместо трех с к а л я р н ы х произведениь d, q и V, согласно методу Левинсона. Точность метода Левинсон» уменьщается из-за погрешностей вычисления дисперсии v в вид с к а л я р н о г о произведения. По схеме, приведенной выше, вычислят!, дисперсию не надо. В особом случае, когда ищут оператор ошибки предсказания или (что то ж е самое) оператор п р е д с к а з а н и я , можно, учитывая, ЧТ1 искомым я в л я е т с я а, исключить

операции вычисления

скалярной

произведения q, а т а к ж е s и / . Это существенно (наполовину) умень шает объем вычислений при расчете операторов предсказания ш сравнению с общими операторами ф и л ь т р а ц и и . Подпрограмма Р Е О — это модификация подпрограммы E U R E K A , Она предназначена д л я вычисления т о л ь к о оператора ошибки преД' с к а з а н и я а. Подпрограмму рекурсией Т о п л и ц а .

РЕО

можно н а з в а т ь

вспомогательно!! Р

С С

ПОДПРОГРАММА РЕО SUBROUTINE P B X L R . R , А ) РЕО I S THE A U X I L U R y T O E P L I T Z RECURSION. I T G I V E S THE PREDICTION-ERROR OPERATOR A ( I ) . ^ DIMENSION R ( L R ) , A ( L R ) . . V«R( n ACD-l.O ^ IFILR.EQ.I)RETURN / DO 6 L=2,LR . , • D-O.O • L3-L-I DO I J - 1 , L 3

г:, -Г * -v 4; r f 1 I

K'L-J*i 1 P-[HA(J)*R(K) O-O/V I F ( L . E Q . 2 ) G 0 TO 4 LI-{t-2)/2 L2-LI+J I F { L 2 . L T . 2 ) G O TO 3 DO 2 J « 2 , L 2 HOLD«A(J) K-L-J*! A(J>»A(JJ-C*A(K) 2 A(K)«AL2*I A(LT3)-A(LT3)-C*A(L'r3) 4 A(L)—С 6 V«V-C»D -RETTJRN END •

I h tf fc f i, » I & it fb ] ' I ?„; ? t fe;

• ••

О п е р а т о р в ы з о в а п о д п р о г р а м м ы E U R E K A имеет вид CAV2 E U R E K A (LR, R, G, F, А ) , где в х о д а м и в п о д п р о г р а м м у являются L R = д л и н a Р = д л и н а G = д л и н а F = д л и н а А, R — з н а ч е н и я функ­ ции а в т о к о р р е л я ц и и в и н т е р в а л е сдвигов от О до LR—1. G — сЪункция в з а и м н о й к о р р е л я ц и и , а на в ы х о д е п о л у ч а е м F — коэф« 204

.

1

/ •щциенты ф и л ь т р а , А — к о э ф ф и ц и е н т ы о п е р а т о р а о ш и б к и п р е д казания. О п е р а т о р в ы з о в а п о д п р о г р а м м ы Р Е О имеет в и д C A L L Р Е О i\.R, R, А ) , г д е в х о д а м и в п о д п р о г р а м м у я в л я ю т с я L R = д л и н а \1 ^длина А, R— з н а ч е н и я функции а в т о к о р р е л я ц и и в интерваle сдвигов от О д о L R — 1 , а на в ы х о д е имеем А — к о э ф ф и ц и е н ||>| о п е р а т о р а о ш и б к и п р е д с к а з а н и я . Один из п р и м е р о в и с п о л ь з о в а н и я п о д п р о г р а м м ы E U R E K A — исчисление о б р а щ е н и я м а т р и ц ы Т о п л и ц а . О н о в ы п о л н я е т с я с почощью п о д п р о г р а м м ы I N V T O P , в которой с о д е р ж и т с я в ы з о в подпрограммы E U R E K A . Оператор вызова записывается как CALL I N V T O P ( L R , R, R I , S P A C E ) . Входы — L R и R, в ы х о д — R I , р а б о ч е е п р о с т р а н с т в о — S P A C E . LR о б о з н а ч е н п о р я д о к м а т р и ц ы Т о п л и ц а , а R — ее п е р в а я стро­ ка. О б р а т н а я м а т р и ц а н а х о д и т с я в м а с с и в е R I . ТЕКСТ ПОДПРОГРАММЫ

INVTOP

SUBROUTINE I N V T O P ( L R , R , R I . S P A C E ) с INVTOP I S INVERSE TOEPLITZ MATRIX С INVERSE MATRIX I S STORED BY ROrtS OR COLUMNS IN 8 ( 1 ) ^ I * 111-RH.R с WORKING S P A C E ( I ) , I « I , 2 * L R DIMENSION R ( 5 ) , R I ( 2 5 ) , S F A C E ( I 0 ) DO 10 K - 1 , L R . . . CALL I M P U L S C L R , S P A C E , K ) J»Lfl*(K-l)*l I LT=LR*1 CALL E U R E K A ( L R , R . S P A C E , R H J ) . S P A C E ( L T ) ) 10 a)NTINUE RETURN END 1

Приведем несколько программы I N V T O P . Пример

числовых

примеров

использования

под­

I.

LR = 5 R = 10,00000 RI=

Пример

4,00000

—1.00000

0.14899

—0,05657

0.02727

0,03232

0,02677

—0,05657

0,16566

—0,07273

—0,01010

0,03232

0,02727

—0.07273

0,16364

—0.07273

0,02727

0,03232

0,01010

—0.07273

О,16566

—0,05657

0,02677

0,03232

0,02727

—0,05657

0,14899

—4.00000

-4,00000

2.

LR = 5 R

=

10,00000

4,00000

1,00000

4,00000

4,00000

RI

=

0,15323

-0,06452

0,03763

—0.06452

—0,01344

—0,06452

0.17921

—0,08602

0,06810

—0,06452

0.03763

-0.08602

0,16129

-0,08602

0,03763

—0.06452

0.06810

—0,08602

0,17921

—0,01344

—0,06452

0,03763

—0,06452 0,15323

—0,06452

205

LR = & R -

16,72605

=

0.12867

RI

0, —0,12045 0, 0,05867

0.

10,75437

0,

—0,12045

0.

2,44141

0.

0,05867

V"'

0,10192

0,

0,

0,21468

0.

0.

0,10192

0,

0,

0,12867

—0,06553

-0,06553

—0,12045

0,

Ъ

—0,12045

.b

П о д п р о г р а м м у E U R E K A м о ж н о и с п о л ь з о в а т ь д л я р а с ч е т а фор м и р у ю щ и х ф и л ь т р о в . Э т о в ы п о л н я е т с я с п о м о щ ь ю подпрограм!, мы S H A P E . О п е р а т о р в ы з о в а имеет в и д C A L L S A P E , ( L B , В , L D , D , L A , A , L C , C, A S E , SPACE), где в х о д а м и в п о д п р о г р а м м у с л у ж а т L B — д л и н а В , В — волнт БОЙ и м п у л ь с , я в л я ю щ и й с я с и г н а л о м на входе сзильтра, L D " д л и н а D , D — в о л н о в о й и м п у л ь с , я в л я ю щ и й с я и с к о м ы м сигнв! л о м н а в ы х о д е ф и л ь т р а , L A — д л и н а А, а н а в ы х о д е получаем А — к о э ф ф и ц и е н т ы срормирующего ф и л ь т р а , L C — д л и н у С, С-< волновой импульс, являющийся срактическим с и г н а л о м н а вы' х о д е срильтра, A S E — с р е д н ю ю к в а д р а т и ч е с к у к ) погрешности м е ж д у и с к о м ы м и срактическим с и г н а л а м и на в ы х о д е с'Ьильтрв,. SPACE — рабочее пространство. ТЕКСТ ПОДПРОГРАММЫ С С С С С

SHAPE

-

SUiJrtOUXINE S f i A P H ( L r i , l J , L D , D , L A , A , L C , C , A S t , S P A C E ) SHAPE I S SHAPING F I L f E H I N P U l S AHE L B . B . L D . D . L A OUTPUTS Arte A , L C , C , A S E S P A C E < I ) , I » I , 3 * L A (rtORKING SPACE) MAY BE E Q U I V A L c N C E ( C , D ) DIMENSION B ( 2 ) , D ( I ) , А < 4 ) , С ( э ) , З Р А С £ { | 6 ) LTULA+I LT2-2*LA+1 CALL C r t O S S C L b . B . L B . b . L A . S P A C E ) ' CALL C V O S S < L D , 0 , L b . B , L A , S P A 0 E ( L T I ) > CALL E U H E K A ( L A , S P A C E , S P A C E ( L T l ) , A , S P ' A C E ( L r 2 ) ) CALL Dt)T(LD,U,L),DD) CALL D . ) T ( L A , A , S P A C E ( L T I ) , A G ) ASE«(DO-AG)/DD . ' CALL F O L D ( L A , A , L b , a , L C , C ) RETURN ...END •. '

Н и ж е приведены н е с к о л ь к о ния п о д п р о г р а м м ы S H A P E . П р и м е р 1. LB = 2 В = —1.25000 1,00000 LD = 5 D = 2,00 1,00 LA= 2 A = —1,08040 -1,01483 LC = 3 •

числовых

примерив

.

;, .p; "/ " Г ^ * F : ' К \ i 'й,

1,00

2,00.

""

\': , f\ . i; *I • ;

испольЗов|1 j

(минимально-запаздывающий) 0,00

l i i, , V >•

с = 1,35050 0,18813 —1,01483 ASE = 0,71109 VPACE = 2,56250 —1,25000 —1,50000 —1,25000 П р и м е р 2. L B = 2. : . 8 = 1,00000 —1,25000 (максимально-запаздывающий) LD =; 5 D = 2,00 1,00 0.00 1,00 2,00 - LA = 2 A = 0,63388 0,69945 LC = 3 : С = 0,63388 —0,09290 —0,87432 A S E = 0,88251 SPACE = 2,56250 —1,25000 0,75000 1,00000

:

_

J

H a этих д в у х примерах показано, что сформировать ж е л а е ­ мый выходной сигнал при м а к с и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ е м сигнале иа в х о д е значительно труднее, чем в том случае, когда на в х о д подан минимально-запаздывающий сигнал. П р и м е р 3. •• ^ . LB = 3 • В = 1,56250 —1,76770 1,00000 (минимально-запаздывающий) LD = 5 D = 2,00 1,00 0,00 1,00 2,00 LA = 2 ., .• А = 0,90811 ^ 1,01672 .' ' LC = 4 ' •: . • С = 1,41891 —0,01663 —0,88915 ,1,01672 •' ASE = 0,61621 : :• • • SPACE =6,56617 —4,52973^1,35730 2,56250 I. П р и м е р 4. .' LB = 3 В = 1,00000 —1,76770 1,56250 (максимально-запаздывающий) LD = 5 D = 2,00 1,00 0.00 1,00 2,00 LA = 2 A = 0,58119 0,79120 С = 0,58119 —0.23617 —0.49049 1,23625 ., . ASH =0,78375 ' \; SPACE =6,56617 —4,52973 0,23230 2,56250 , .' Последние два примера еще раз подтверждают сказанное выше. П р и м е р 5. LB = 5 -1.00 -2.00 0,00 1,00 В = 2,00 LD = 5 1,00 2,00 0.00 D = 2,00 1,00 LA = 2 0. А = 0. LC = 6 207

с = 0. 0. 0. 0. 0. 0. A S E = 1,00000 SPACE = 10,00000 4,00000 0. 0.

1

В п о с л е д н е м п р и м е р е о к а з а л о с ь н е в о з м о ж н ы м преобразовать ф о р м у входного с и г н а л а в ж е л а е м у ю ; с р е д н я я квадратическая п о г р е ш н о с т ь р а в н а 100%. В п о д п р о г р а м м е S P I K E , с п о м о щ ь ю которой рассчитываются и м п у л ь с н ы е ф и л ь т р ы , т а к ж е и с п о л ь з у е т с я п о д п р о г р а м м а EUREКА ч е р е з посредство п о д п р о г р а м м ы S H A P E . О п е р а т о р вызова записывается как C A L L S P I K E ( L B , В , L A , А, I N D E X , A S E , S ) , где в х о д а м и п о д п р о г р а м м ы я в л я ю т с я L B — д л и н а В , В — вол­ новой и м п у л ь с н а входе импульсного ф и л ь т р а , L A — д л и н а А, а н а в ы х о д е и м е е м А — к о э ф ф и ц и е н т ы и м п у л ь с н о г о фильтра, I N D E X — о п т и м а л ь н о е п о л о ж е н и е единичного и м п у л ь с а , A S E — средняя квадратическая погрешность, S — р а б о ч е е простран­ ство. ТЕКСТ ПОДПРОГРАММЫ SPIKE SUBrtOUriNE S P I K E ( L i 3 , i 3 , L A , A , I W D H X , A S E , S ) S P I K c I S ЗРШЫО F I H E R .«)rtKINJ J P A C E I S S ( I ) , 1=1,2*(LA+Lb-I)+3*LA OIMEriSIOiJ B ( 2 ) , A ( 2 ) , S ( I 4 ) LU=LA+Lb-l I.XI=LD*I Ll2»^^*LD+l L O 10 1 = 1 , L D CALL r « P U L S ( L D , S C L l O , I ) v C A L L S.lAHt£ CLtJ, U , L D , S( L l l ) , U , A, L D , э ( L T I ) , S ( I ) , S ( L T 2 ) ) 10 CONi'INJH C A L L a i N S f l ( L U , S , A S H , INDEX) CALL I . i l P U L S ( L D , S { L r n , I N D E X ) CA L L S.l AHE ( L i J , D, L D , S( L T I ) , L A , A, L D , S ( L ГI ) , A S t . S f L Г2 >)

V k

ritiOilN

cND

З н а ч е н и я A S E д л я к а ж д о г о п о л о ж е н и я единичного импульса н а х о д я т с я в п е р в ы х L D = L A - | - L B — 1 я ч е й к а х м а с с и в а S. Н и ж е с л е д у ю т д в а ч и с л о в ы х п р и м е р а , р а с с ч и т а н н ы е с по­ мощью подпрограммы SPIKE. i П р и м е р 1. ЬВ = 5 , В = 2,00000 LA = 8 А = 0,10995 0,07600 I N D E X = 12 ASE = 0,28610 S = 0,28610 0,34852 0,35022 208

1,00000

0.

1.00000

2,00000

—0,03986 —0,15306

0,09315 0,35695

—0.10514

—0,15317

0,35022 0,34852 0,28610

0,35150 0,30458

0,35908 0,35908

0,30458 0,35150

П р и м е р 2. LB = 5 В= 2,00000

1,00000

LA = 8 А = _0,02714

—0,11459

—0,07348

0,16259

0.

• • —1,00000

—2,00000

0,11506

—0,11487

—0,09633

—0,35686

NDEX = 1 2 S = 0,28627 = 0,28628

0,28899

0,38070

0,32851

0,32851

0,32764

0,28899

0,28627

Более

экономичной

•V и м п у л ь с н о г о ^пользуется амощью

в

бильтра

боковая

0,32764 0,38070

вычислительном является

рекурсия

подпрограммы

0,38788 0,38788

SIDE.

отношении

подпрограмма

Симпсона

ПОб^,

Подпрограмма

при

расче-

SPIKER.

В

ней

выполняемая SIDE

с

применя­

тся в м е с т е с п о д п р о г р а м м о й E U R E K A . ТЕКСТ ПОДПРОГРАММЫ

SIDE

SUBROUTINE S I D E ( H , L F , F . A . R ) DIMENSION F ( L F ) , A ( L F ) . R ( L F )

1 2

3 4

S=0.0 T=0.0 I F C L F . E O . D G O TO 2 DO ) 1 = 2 , L F J=LF+2-I S«S+F(I-I ) * R ( N T=T+A(J)*H(I) V=V+A(n*R(j,) FLF»F(LF) " W=(H-S+FLF*T)/V I F ( L F . E 0 . 1 ) G 0 TO 4 Ш 3 1=2,LH J=LF-I+2 F{J)»F(J-n*W*A(J).-FLF*A(I) F{l)=rt

•

,

яетиш END ТЕКСТ ПОДПРОГРАММЫ SPIKER С КОММЕНТАРИЯМИ С С С С С С С С С С С С

SUBROUT I N E S P J K E R ( L B , B , L A . A . L C . C . I N D E X , E R R ( ) R S , SPACE) INPUTS ARE L B - LENGTH OF INPUT HAVELET В » INPUT MAVELET LA « LENGTH OF F I L T E R OUTPUIS ARE A - F I L T E R FOR OPTIMUM S P I K E POSITION L C » U * L B - I - LENGTH OF ACTUAL OUTPUT С - ACTUAL OUTPUT FOR OPTIMUM S P I K E POSITION INDEX - OPTIMUM S P I K E POSITION AS FORTRAN SUBSCRIPT ERRORS = ACTUAL SUMS OF SQUARED ERRORS.ONE SUM FOR EACH S P I K E POSITION FROM I T') L C . SPACE TAKES 3*LA C E L L S DIMENSION B ( I ) , A { I ) , C < I ) . E R R O R S C I ) , S P A C E ( I ) LC-U>LB-I LT.I-LA*!

209

1 2 3 4

CALL CR()SS(LB,B,LB,B;LA.SPACE) DO 4 I - I , L C ' CALL I M P U L S ( L C . C . n CALL C H O S S < ' L C , C , L B , B , L A , S P A C E ( L T I . ) ) I F ( I - m . l , 2 CALL E U B E K A < L A . S P A C E , S P A C E ( L T I ) , A , S P A C E ( L T 2 ) > GO TO 3 CALL SIDE(SPACE(LTI),LA.A.SPACEI:LT2).SPACE) CALL D ( ) T ( L A . A , S P A C £ ( L T 1 ) . 0 ) CALL F O L D C L A . A . L B . B . L C . C ) ERR0RS(I)-I.04) CAU MI'NSNCLC.ERRORS.EMIN,INDEX) CALL IMPULS(LC.C.INDEX) CALL S H A P E t L B . B . L C . C . L A . A . L C . C . E M I N . S P A C E ) RETURrt END

; К -', •'.

i Jv

В т а б л . 5-1 и 5-2 п р и в е д е н ы п о л н ы й н а б о р и м п у л ь с н ы х фильт ров и ф а к т и ч е с к и е с и г н а л ы на в ы х о д е . Эффективность формирующих фильтров определяется взаимныл положением во времени входного сигнала и искомого выходной сигнала. Совместим начало временной координаты ^ = О с началь ным значением конечной входной последовательности (ро, Ь\, .., Ьп). Ограничимся рассмотрением конечных причинных сЪильтро» (ао, а\, . .., й т ) , т . е. примем, что фактический выходной сигнал может иметь т о л ь к о ненулевые значения в последовательности (сс Cl, C m + « ) . Если все отсчеты искомого выходного сигнала лежа! за пределами интервала О < ^ < m + л , то б а к т и ч е с к и й выходцоН сигнал не сможет достичь искомого выходного сигнала и весь ис комый выходной сигнал превратится в неуменьшающуюся погрет ность, поэтому рассматриваются только случаи перекрытия фактп ческого и искомого с и г н а л о в . П р е д п о л о ж и м , что искомый выходной сигнал имеет вид {do, di, .... dp). Можно поместить искомый выходной волновой импульс по от ношению к интервалу времени О < й < m + п следующим образом Случаи 1

2 3 P+1 P +

2

m + n + p+l

О, 1, 2, . . . . (do.

di

"J-t-'i

dp)

(do, di

dp)

(do. d,.

dp)

I I

l

(do, d , . .... dp) (do'

di

dp)

£

(do, d,, . . . . d ;

К а ж д ы й с л у ч а й п о л у ч а е т с я из п р е д ы д у щ е г о с м е щ е н и е м иски мого выходного в о л н о в о г о и м п у л ь с а на одну единицу в р е м е н и . Пер вый случай соответствует ситуации, когда последний к о э ф ф и ц и е ш dp искомого в ы х о д н о г о с и г н а л а п о я в л я е т с я в т о ж е в р е м я , что !i 210

о i о"

о"

I

I

00

о

s

о

CO

CSl

Ю

t

o" I

о

о

CO

S3

00

о

00

CO

о

CO

Ю

о

о

I

о

05

CO

о"

о

IN to

со

о

(N

о I

ТО то о

то то

о

-Ф

ст>

то о

со оо

о"

о

I

о

01 t—

ю о

СП

из

о о

S о

•

то

О)

ю

то

ю•

СП

о

о

о ,

то

ю

m-

то

см

о

о'

00

IS.

CD ОО

t-

о"

со оа

са о

I со ю •* .

о ,

со

S

со

о"

о

00 ю

2

ю со

со

см о о"

со сэ

ю о

о

о

о о.

со о

о

2 о о"

ю

о о

со ю со

о

2;

то то о

о о

о 00 о о

00 о

о ' —

о

< а

см о>'

•из

о i

то о о <э

о

см

см

о о .

о о .

со

О)

о см

ю

о

со

о о

то о сз

со

со

1

1-

211

i

M

Ю

s

O' m я 5 = g g.S iI Э I 2n

S to О

1

s §i ai

о

?

7

о

см СП •ф

S &Й g § 3 1

D.

о с?

to

о ся о

о

со

s СП

о <м

о

00 00 to с-

о о

со

о о

|-~ 00

со со см

<s

о

о

о

со

со

о

о ю

ОО

S о 1

я.

о ем

о

со

со

о см о

со

00

00

с5

1

со ю со

о

00

о

§

7 to

i сэ

s

CD

i о

f

I

I

I

о

CM

8

<0

о

s g

1

C3

о

о

Т

I

см со о

•э

<S

о

00

00 00

i СО о

§

о

!>.

<=?

00

см

CD

s о

о

I

5

I

CM C7)

о

s

o"

00

s

<s

c5

1

s

СП

00 СП

о

со см о сэ

О

I

I

о

CD

со о см о

§ о

о

СП

1 Т

S

Т

Т

С' С'

! 1Л

1

первый к о э ф ф и ц и е н т Со ф а к т и ч е с к о г о в ы х о д н о г о с и г н а л а . П о 1ледний с л у ч а й соответствует той с и т у а ц и и , в к о т о р о й первый юэсрФициент do искомого в ы х о д н о г о с и г н а л а п о я в л я е т с я в то не в р е м я , что и последний коэфсэициент Ст+п ф а к т и ч е с к о г о в ы \одного с и г н а л а . Всего в о з м о ж н ы т—п--р+1 с л у ч а е в ; о д и н из II1X будет о т в е ч а т ь о п т и м а л ь н о м у п о л о ж е н и ю и с к о м о г о в ы х о д н о 0 с и г н а л а о т н о с и т е л ь н о входного с и г н а л а . Подпрограмма SHAPER предназначена для расчета форми|ующего сЬильтра в с л у ч а е о п т и м а л ь н о г о п о л о ж е н и я . ( З а м е т и м , гго п о д п р о г р а м м а SHAPE рассчитывает формирующий Ьильтр 10 способу н а и м е н ь ш и х к в а д р а т о в д л я п о л о ж е н и я , соответствуюцего с л у ч а ю р—1; с п о м о щ ь ю п о д п р о г р а м м ы S H A P E R рассчи­ тываются все с л у ч а и и в ы б и р а е т с я наилучший формирующий ;)ильтр). О п е р а т о р в ы з о в а п о д п р о г р а м м ы имеет вид C A L L S H A P E R ( L B , В, L D , D , L A , A , LC, C, I N D E X , E R R O R S , S), где на вход подаются L B — д л и н а входной последовательности В = я + 1, В — входной волновой импульс = ( 6 о , Ь\, . . ., Ьп), LD — шина выходной последовательности D = p - f l , D — искомый вы(одной волновой и м п у л ь с = ( ^ о , d], . . . . do), L A — д л и н а ф и л ь т р а 4 = m - f 1, а на выходе имеем А — ф и л ь т р , формирующий квадрагические значения д л я оптимального п о л о ж е н и я (ао, аи . . ., а„г), '.С — д л и н у выходной последовательности с = т-\-п-\-\. С —бак'пческий выходной сигнал, I N D E X — номер оптимального с л у ч а я , iRRORS — с р е д н я я к в а д р а т и ч е с к а я погрешность д л я к а ж д о г о с л у ч а я . ТБКСТЛОДПРОГРАММЫ SHAPER SUiiHOUn jlE StiAPcrt'ttB, li.LD, 0, LA, A, LC, C.

^^IDEX.

ERrtORS.S

)

UIMENSicM ii(Lb),0(LD),A(LA),C(-i),c.'iH!)rtS(2),'5(2) UIMbJSIOiJ C(LCD),ErtH0H3(LCU),S«3*LAi JLC-U+LB-I I,CU«LC*LO-l m»LA+l

Lr2»2*LAT2

CALL D I ) T ( L L ) , 0,0,00) CALL CiiOJS(Lu,o,Lb,a,LA,S) tX> 4 I=l,LCO CALL ZcH()(LCj),C) LUI-LD-I+1 JKI.LE.LO)CALL MOVEC I.D(LDI) ,C) ILU-I-LD+I

3H
IK(INDiiX.LE.LU)CALL .«I()VE( IfJDEX, DC L.H/ID) ,C) INUL0=INUEX-LU+1 If'( INDEX.GT.LD)CALL .MOVECLD, i), CC INiJLl))) CALL S.iAHECLD, O , LC, C, LAt A, LC, C, t,MI.J, :i)

213

П о д п р о г р а м м а W V P R E D осущес'твляет п р е д с к а з а н и е волново­ го и м п у л ь с а . О п е р а т о р в ы з о в а п о д п р о г р а м м ы имеет вид C A L L W V P R E D ( L B , В , L A L P H A , L A , A, L C , C, S ) , где на в х о д п о д а ю т с я L B — д л и н а В , В — и м п у л ь с на входе бильтра предсказания, L A L P H A — интервал предсказания, LA — д л и н а А, а на в ы х о д е п о л у ч а ю т А — к о э ф ф и ц и е н т ы ф и л ь т р а пред­ с к а з а н и я , LC — д л и н у п о с л е д о в а т е л ь н о с т и С, С — фактический с и г н а л на в ы х о д е ф и л ь т р а п р е д с к а з а н и я , S — р а б о ч е е простраи ство, п р и ч е м S ( l ) — з н а ч е н и я а в т о к о р р е л я ц и и при н у л е в о м сдви­ ге, S (2) — A S E — с р е д н я я к в а д р а т и ч е с к а я п о г р е ш н о с т ь , S (3) — A S F E — Средняя к в а д р а т и ч е с к а я п о г р е ш н о с т ь по б у д у щ и м зна­ ч е н и я м , S(4) — A S P E — с р е д н я я к в а д р а т и ч е с к а я погрешность по п р о ш л ы м з н а ч е н и я м . ТЕКСТ ПОДПРОГРАММЫ WyPRED и С С

iUBROUriNE rtVPREJ(Le-4i,LALPHAru",A.LC.C.S) Л)Н.<1Мо- SPACE S ( I ) , I = I . L A - H A L P H A + 2 * L A U L P H A ЧаЗТ BE tJ.JEATEH-THAN Z E R O . C C J ) I S THE P R E O I C T E J VALUf Or B C J + L A L P H A ) , DIMENSION B ( 2 ) , A ( 2 ) , C < 2 > , S ( 2 ) J=LA-bL.ALPHA CALL C R O S S ( L d , B . L t 3 . l 3 , J , S ) CALL E U R E K A ( L A , S . S ( L A L P H A + I ) , A . S ( J - f n i CALL F O L J C L B . B - . L A . A i L C . C ) C A L L DOr(LA,A,SCLALPHA•^.I ) , A C ) o ( 2 ) = l . a - A G / S ( 1) CALL J O K L A L P H A . J , 3 , 3 ( 3 ) ) S(3)=S{3)/o(1) S(4)=S(2)-S(3) REIU-^N END

Цель подпрограммы BNDPAS — расчет

У, i. v fj, к ' If ,5

.

• ' ,

полосового фильтра,

ТЕКСТ ПОДПРОГРАММЫ BNDPAS С КОММЕНТАРИЯМИ С С С С С С С С С С С С С С

214

SUBROUTINE B N D P A S ( N . D T . F L , F H . F I L T ) BNDPAS I S BANDPASS F I L T E R PRODUCES ONE LOBE OF A SYMMETRICAL NONCAUSAL F I L T E R WHICH PASSES ONLY FREQUENCIES BETWEEN F L AND F H . AND PASSES THEM WITH ZERO PHASE S H I F T N - LdNGTH OF ONE LOBE PLUS ONE CENTER POINT ,i F I L T = THE OUTPUT F I L T E R OF LENGTH N (CAUSAL PART) . [l F L = ГНЕ LOWER FREQUENCY PASSED - IN HERTZ У FH = THE HIGHER FREQUENCY PASSED - IN HERTZ DT = THE TIME SPACING BETWEEN DATA POINTS - IN SECONDS I F THE USER S P E C I F I E S FL»FH OR ( F H - F L ) L E S S THAN 1 . 0 / ( r T r * N ) , HE WILL BE RETURNED THE NARROWEST F I L T E R CONSISTENT i4ITH THE UNCERTAINTY P R I N C I P L E . C E N T E R E D AT ( F H - > F L ) / 2 . 0 . I F FH I S HIGHER THAN THE FOLDING FREQUENCY ( F H * D T GREATER THAN 0 . 5 ) . T H E SUBROUTINE RETURNS i DIMENSION F I L T ( I O ) it JF(FH*DT-0.5)8,8.70 8 FN-N IF((FH-FL)-1.0/(DT*FN)) 10,30.30 10 F C = ( F H - f F L ) / 2 . 0 . f WL«6.283l853*(FC*DT-0.5/FN) > «H«6.283l853*(FC*DT+0.5/FN) , j CO TO 4 0 30 W L - F L * D T * 6 , 2 8 3 J 8 5 WH=FH*Dr*$.2831853

40 F I L T d ) » H H - l « l DO 5 0 I « 2 . N FI-I-I FILTd)-{SIN<WH*FI>-SIN(WU*FI))/FI 5 0 CONTINUE DO 6 0 I ' l . N FILT(I)-FILT
Подпрограмма BNDPS2 подобна предыдущей. ТЕКСТ ПОДПРОГРАММЫ BNDPS2 SUBROUTINE B N D P S 2 ( N , A . B , C , D ) ЗАМЕ AS BNDPAS EXCEPT G E T S TWO-SIDED F I L T E R DIMENSIOM DM 0 0 ) D(M)=0.0 M=(N+»>/2 CALL DNDPASfM. A , B . C . D ( M ) )

I

CENTERED AT ( N + 1 0 / 2

DO 10 1 = 1 ,M J=MM-I . 10 D ( I ) = D ( J ) RETURN END

Подобны т а к ж е подпрограммы TREN (текущая энергия) и RAP ( т е к у щ а я м о щ н о с т ь ) . Т е к с т ы этих п о д п р о г р а м м с соответгвующими к о м м е н т а р и я м и с л е д у ю т н и ж е .

С

ТЕКСТПОДПРОГРАММЫ T R E N SUBBOUJINE T R E N ( L Y . r . L , L E , E ) TREN I ~ T R A V E L I M O ENERGY

^

}^,^^J^ЧLЧ•J!.^^*° ^•

; i

10 15 . 20 2»

S P E C I F I E O LENGTH OF ЕМЕЧОУ ОРЕЧАТОЧ. (WTPUTS ARE L E . E - THE TRAVELING SUM Of S3UARES OF L TE4MS. BECAUSE OF END E F F E C T S . L MUST NOT EXCEED L Y . DIMENSION Y ( 2 ) . E ( 2 ) £*Y
ТЕКСТПОДПРОГРАММЫ TRAP SUBROUTINE

THAPCLY,Y,L,LP,P)

' '^7)£*iBf?°"'^^^ с

P t s ^ W T P u l ' ' - ' ' ' T R A V E L I N G SUM OF SQUARES OF L TERMS DIVIDED BY I

С С С С

P C I ) =(SUM O F SQUARES f ROM "-T 10 I + L ) / L , L M'iST NOT ^ E GREATER THAN L Y . BECAUSE O F END E F F E C T S , LY-L*!=LP=LENGm O F P BOX-CAR- SPECTRAL WINDOW F O R DC P()«ER. DIMENSION Y ( 2 ) , P ( 2 J P(.1)»0.0 DO 10 1 = 1 , L

215

10 15

20 25 30

Р( 1 )=Р(1 )+yCI)*Y(I5l I F ( L Y - L ) 2 5 . 2 5 , 15 LP«LY-L+1 Ш 20 1 = 2 , L P J=I+L-I. P( I ) » P ( I - 1 ) - Y f I - n * Y ( I - i FL-L DO 30 1=1, LP P(I)=P{I)/FL RETURNEND

)+Y(J)*Y(J!>

r

••

О ч е н ь п о л е з н а п о д п р о г р а м м а T R A F , с п о м о щ ь ю которой рас считывается фильтр текущей корреляции. ПОДПРОГРАММА TRAF

|

SUBROUTINE TRAFC N, DA ТА , L , F I L T E R , I S H I F f , I SUM. OUTPUT » TRAF I S TRAVELING CORRELATION F I L T E R N=DATA LENGTH DATA=SERIES TO BE F I L T E R E D ' Ol " L=LENGTH OF F I L T E R F i L T E f l - T H E CORRELATION F I L T E R ISHIFT»SHIFTING INCREMENT ISUM=DENSITy OF SUMMATION , ISUM = 1 MEANS (EVERY Р 0 1 И Г , ^ ISUM=2 MEANS EVERY OTHER P O I N T . E T C . r; OUTPUT-CROSS CORRELATION OP F I L T E R WITH DATA. OUTPUT I S DENSELY PACKED REGARDLESS OF VALUES OF I S H I F T A N U lit OUTPUT I S OF LENGTH ( N - L + l ) / I S H I F T , R O U N D E D D0NN. EQUIVALENCE (DATA,OUTPUT) IS ALLOWEj iij DIMENSION D A T A ( 2 ) , F I L T E R ( 2 ) . 0 U T P U T ( 2 ) i',,

С С С С С С С С С С С С

LS»N-L*1 DO 20 1 = 1 , L S , I S H I F T TEMP»0.0 DO 10 J = 1 , L , . I S U M I'I-I*J 10 TEMP=TEMP+DATA( I I - n * F I L T E R ( J ) OUTPUT(K)=TEMP

|,T ^. I

20

.•:

К»К+ I

RETURN END

'

4

Ц е л ь п о д п р о г р а м м ы R E M A V — в ы ч и т а н и е средней арифметичг ской из м а с с и в а Y д л и н о й L Y . С р е д н я я х р а н и т с я в м а с с и в е AVE' RAG.

О

ТЕКСТ ПОДПРОГРАММЫ REMAV

li

SUiJROuriNE REMAV(LY,Y,AVERAG) REMAV .REMOVES THE ARIT.JMETIC AVERAGE DIMENSION Y ( 2 ) n ли

5 'P

s=o.o

,

•

DO 10 1=1,LY S=S+r(I) AVERAC=S/FLOAT(Ly) DO 20 1 = 1 , L Y 20 Y ( n = Y ( I ) - A V c R A O Rt rUrfN. END

'

to

,

.

. '

% || S Э • Ъ. f ;

с помощью подпрограммы RMSDEV вычисляется среднее мшдратическое о т к л о н е н и е м а с с и в а Y д л и н о й N . С р е д н е е к в а д р а пческое о т к л о н е н и е х р а н и т с я в я ч е й к е D E V .

С

I

ТЕКСТ ПОДПРОГРАММЫ RMSDEV SUBROUriNE RMSDEV(N,Y,DEV) T H I S ROUTINE RETURNS S0RT(SUM(y-YMEAN)**2)/N) DIMENSION Y ( 2 ) S=0.0 DO r j 1 = 1, N 10 S » S * Y ( I ) Y;JlEAN=S/rLOAT(N) SS=0.0 DO 20 1 = 1 , N 20 SS = S S + ( Y ( I ) - Y M E A N ) * ( Y ( I ) - Y M E A N ) DE V»SQ.
С помощью подпрограммы BURG вычисляются коэффициенты fci, а2,.-,ал) конечных п р и ч и н н ы х ф и л ь т р о в п р е д с к а з а н и я и л и ретроспекции. К л ю ч е в а я х а р а к т е р и с т и к а этого способа состоит 11 т о м , ч т о его эфс])ективность не з а в и с и т я в н о от н а л и ч и я функ­ ции а в т о к о р р е л я ц и и и м е ю щ и х с я д а н н ы х . В способе с п о м о щ ь ю рекурсии Т о п л и ц а с и м м е т р и ч н ы м о б р а з о м и с п о л ь з у ю т с я п р е д с к а 1ание и ретроспекция. П о д п р о г р а м м а предусматривает т а к ж е вы­ числение с п е к т р а « м а к с и м а л ь н о й энтропии». О п е р а т о р в ы з о в а подпрограммы имеет в и д CALL B U R G ( L X , X, F, В , L A , A , M , S ) , г д е в х о д а м и подпро­ граммы я в л я ю т с я L X — д л и н а з а п и с и , X — з а п и с ь в х о д н ы х д а н ­ ных, L A — д л и н а ф и л ь т р а п р е д с к а з а н и я и л и ретроспекции, М — целый п о к а з а т е л ь , к о н т р о л и р у ю щ и й разрещенность спектра, а выходами — А — ф и л ь т р п р е д с к а з а н и я и л и р е т р о с п е к ц и и ; — А ( 2 ) , - А ( 3 ) , . . . , — A ( L A - - l ) , S — значения максимально-энтропийного спектра через р а в н ы е и н т е р в а л ы частоты,

С С

V-

I

?37

ТЕКСТПОДПРОГРАММЫ BURG SUBROUTINE B U R G C L X . X . t - . B . L A . A . M . S ) f{P»2»*M CONTROLS SPECTRAL RESOLUTION. DIMENSION A ( 2 * * M ) . Y { ' 2 * * M ) , S ( 2 * * ( M - 1 ) + I ) DIMENSION X ( L X ) , b 4 L X ) , B ( L X ) , A ( 6 ' 1 ) . S( 3 3 ). Y C 6 * ) . I A B L E ( 1 7 ) NP«2**M V=0. DO I 1 = 1 . L X V»V+X( I )**2 F(I)=X(n I 3( I ) = X ( I ) V»V/FLOAT
217

2 SD=SD+F( J ) * F t J ) + J( J - l ) * B ( J - 1 1 G=2.*SN/SD . . V»V*(1.-G*G) A(N)=G I F ( N . E Q . 1 ) SO TO 4 NH=N/2 DO 3 K=I,NH KK=N-K AA=A(KK)-G*A(K) A(K)=A(K)-G*A(«) 3 A(KK)=AA 4 MI=N+1 8S=8(N) DO 5 K=MI.LX FF-F(K) BS=BS 8S=B(K) F(K)=FF-G*BB Ь B(K)»BB-G*FF DO 6 1=4 , L A K=U-I*1 6 A(K*I )=-A(K) A < . DO / 1=1 .NP 7 ir(I)-0. LP-LA+2 Ш 8 I=LP,NP 8 А(П=0. CALL COSQTCM,TABLE) X)C = 1 .442695*AL0G(FL0AT
5.3. СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПАКЕТ

Здесь приводится несколько элементарных подпрограмм д1 спектрального анализа. Н а ш спектральный п а к е т представляю' следующие подпрограммы: ,^ C O S T A B — т а б л и ц а косинусов ^, S Ш Т А Б — т а б л и ц а синусов COSP — косинусный или синусный спектр ^i S P L I T — р а з д е л е н и е д а н н ы х на четную и нечетную части }. FTRAN — преобразование Фурье DANWT — взвешивание а в т о к о р р е л я ц и о н н о й ф у н к ц и и , по Дв ниелю ASPECT — автоспектр ARCTAN — арктангенс X P H A Z — взаимные фазовые спектры $ FT — преобразование Фурье COSTR — косинусное п р е о б р а з о в а н и е ' SMOOTH — сглаживание с помощью формулы Тьюки—Хэммини 218

iRUM — расчет непрерывной б а з о в о й кривой OLAR — полярные координаты Л5Т — косинусное и синусное преобразования I T — быстрое преобразование Фурье Основными подпрограммами являются C O S T A B и S I N T A B , с "'МОЩЬЮ которых вычисляются таблицы косинусов и синусов. ТЕКСТ ПОДПРОГРАММЫ

COSTAB

SUbROUlTNE C^)SfAiJ(4,rABLE) COSTAB GcNtrtATcS FULL KKAVELtMGfH COSINE T A B L E . TABLE LENGTH • 2 * ¥ - I , A N D T A d L E ( I ) - T A B L E { 2 * M - I ) • DIMENSION TABLE(2>

u

1.0

00 10 I - I , № t IAriLE(I)»COS(FLOAT RETURN END

ТЕКСТ ПОДПРОГРАММЫ SINTAB SUoROirriNE S I M f A b ( . 4 , T A e L E ) SINTAB OsNERATES F U L L ЛкУЕХЛ-хЮГЯ S I K E TABLP. ' TABLE LEHGfH = 2 * M - I . A N D T A B L E ( I ) « fABLE<2*ll(-l ) « 0 . 0 DIMtWSION T A b L t ( 2 ) FM»M*M-2

С С

10

DO 10 I - l , M M TAiibl^(n»SIN(FLOATa-l)*6.233l353/Flf) RETURN END

Назначение подпрограммы COSP — вычисление ^-го значения коипусного или синусного преобразования. Оператор вызова подпро|1,'1ммы имеет вид ALL COSP ( N , D A T A , T A B L E , M, K , C ) . входами в подпрограмму являются N = л + 1 — число отсчетов, ЛТА — Х о , Хи Х2, . . . , Хп, T A B L E — л и б о таблица косинусов I полную длину волны, содержащая 2 * М — 1 значений, либо |Г)лица синусов на полную длину волны, содержащая 2 * М — I иачений, М = m 1 — ч и с л о табличных значений косинуса или ииуса, К = ^ - ' - 1 , где 0 < й < т . На выходе имеем либо C = Cfc= S ATiCOSl-

«ли T A B L E — таблица косинусов, либо С =

Sft =

Х{ sin

«7111 T A B L E является таблицей синусов. 219

ТЕКСТПОДПРОГРАММЫ COSP

SUSTOUTINE

С С С

. с , с С G С

COSP(N,DAТА.TABLE,М,К,С) ' COSP COMPUTES (FOR A GIVEN К BETWEEN 1 AND-M I N C L U S I V E ) N ;f с = S U M ( C O S ( P I * ( I - l ) * ( K - l >/<M-l ) ) * D A T A ( I ) ) >• 1=1 INPUT IS A FULL WAVELENGTH COSINE TABLE OF LENGTH 2 * M - I . PQII : WHICH T A B L E O ) = X A B L E ( 2 * « - I 0 = 1.0 . OR ALTERNATIVELV Bi THE CORRESPONDING F U L L WAVELENGTH SINE T A B L E . ( T H E ABOVE FORMULA THEN I S COMPUTED WITH S I N REPLACING COS.> DIMENSION DATA(2) , T A B L E ( 2 ) • 'S

c=o.o

•

. •

..

. f:

KK=K-i , , • :. ' • MM=M-fM-l " MMM=MM-1 DO 20 I = I , N C=C-fDATA(n*TABLE(J)

•• ,

J=J+KK

rF( J - M M ) 2 0 . 2 0 , 10 10 j=j-nm 20 CONTINUE RETURN END

~

,

•• • •

-• . ••

• •

it - -

" .

'

,

't'J -t, ,1 l

Основной цикл т р е б у е т одного п л а в а ю щ е г о у м н о ж е н и я , одного п л а в а ю щ е г о с л о ж е н и я , одного ф и к с и р о в а н н о г о с л о ж е н и я и однО' го ф и к с и р о в а н н о г о в ы ч и т а н и я . ^' П о д п р о г р а м м а S P L I T с л у ж и т д л я р а з д е л е н и я д а н н ы х на четную и нечетную части. ТЕКСТПОДПРОГРАММЫ SPLIT С с С

|

SUSrtOUTINE S P L I T ( N , D A T A , E V E N , O D D ) GIVEN O A T A ( I ) FOR 1 = 1 TO N , S P L I T F I N D S FOR I - l . t . EVEN(I) = 0.5*(DATA(N-l+I)-fDATA(N*l-I)) ODOd) = 0.5*(DATA(N-I+1 )-DATA(N+l-I)) DIMENSION DA1A(2) , E V E N ( 2 ) , ( ) D D ( 2 ) DO 10 1 = 1,N • K=N-I+1 L=N-H-I : . •. £VEN( I ) = 0 . 5 * ( D A T A ( K ) - < - D A T A ( L ) ) ODD(I)=0.5*(UATA(K)-DATA(L)) 10 CONTINUE • RETUriN •

>, ? £

.--Z f Щ У , ^ i ^'j

П о д п р о г р а м м а F T R A N с л у ж и т д л я в ы п о л н е н и я преобразовании Фурье. Весовая ф у н к ц и я Д а н и е л я имеет вид sin (•кк/т)

„

t u n i c ,

У этой функции отсутствует точка усечения, поэтому н у ж н о вычиС' л я т ь все эмпирические коэффициенты автокорреляции Rk, где = 0, 1, 2, . . . , п—1, д л я временного ряда Xi, Х2, . . . , х„. Паре метр т определяет разрешенность спектральной оценки: чем больш» значение т, тем л у ч ш е будет разрешенность. Однако с увеличением 220

ТЕКСТ ПОДПРОГРАММЫ FTRAN С КОММЕНТАРИЯМИ О С v. С С С С

..j.C/WJ

"

SUol}()UlTNc F f H A N ( N , D A T A , C , S , " S P ) ^ ' . : • - •> FlHAM C O M f U l c S Т|»Е FOUrtlER TRANSFOflM O F AN ODD MMMHE^R OF P O I N T S rtrifcBii Г|Ш flMe O R I G I N I S A T . T H E . M I D D L E P O I N T . T H t i U d H O U T l U E IIIPlJTo ARE N AND D A f A ( I ) I » I , 2 * N - I ( T H E INPUT D A T A ) , ХпЕ SUjROUrirfE O U T P U f S ARE C ( l ) , (ГНе C O S I N E fBANSFORM АВООГ ГНЕ M I D D L E ) 5 ( 1 ) , I - I . N ( T H E S I N E TRANSFORM AHoOT T H t N I O D L E I rtHcrfc S ( I ) » S(N) " 0 . 0 ) Si>(I) . I » l , 4 * r t - > (WORKING S P A C E ) OIMcNSlal D A T A ( 2 ) , C ( 2 ) . S ( 2 ) , S P ( 2 ) . ' CALL S P L I f ( N , 0 A T A , S P ( 2 * N ) , S P ( 3 * N ) ) CALL C)SrAU(H.SP) PC) 1 0 t > l , N 10 C A L L C i ) S P ( N , S P { 2 * N ) , S P , N , I , C ( I ) ) 0(I)»C(I)/2.0 C(il)=CCN)/2.0 C A L L SINrAU(rf.SP) 1)0 2 0 I » I , H 20 CALL C . J S j ' J H . S P O A N J . S P . N . I . S d ) )

alio in растет дисперсия спектральной оценки, так к а к в случае гауссова процесса при п-^со и (/п/п)->0 дисперсия оценки, по Д э н и е л ю , асимптотически п р и б л и ж а е т с я к (т/п) Ф (f)]^. Обычно т выбирается равной некоторой доли числа наблюдений, например 10 или 20 %. С п о м о щ ь ю п о д п р о г р а м м ы D A N W T п о д г о т а в л и в а е т с я функ­ ция а в т о к о р р е л я ц и и д л я п о д п р о г р а м м ы COSP, к о т о р а я и рассчи­ тывает с п е к т р а л ь н у ю оценку Д э н и е л я .

V K C r ПОДПРОГРАММЫ С С С С С С

10 20

,

30 40 bO

С КОММЕНТАРИЯМИ!

S U u H O U H H E OAN.iir(N,AUTO,M) DANWr T A K E S АиЛ)С0НйсХАТ1О:Ч ЛЕ HALF LENGTH N . D I V I D E S А Ш О ( » ) ИУ 2 . 0 , THEN WEIGilTS I T BY S I N ( X ) / X rtHERfc X • 0 . 3 * ( I - I ) * P I / ( M - I ) , A N D . T J I E N C O L L A P S E S I T LIKfc- AM ACCOrtOIAM TO LENGTH .Д. ' AUfO r s T i l U S PHEHAREO l^OH SUROUTINf COSP TO COMPUTE DANII;LL . ESTIMATE! DIMENSION A U T 0 ( 2 ) AUX0(n»AUT0(l)/2.0 rM-M-l SCa|.5707y632/FM DO 10 1 - 2 , r t F I - I - I Aino(I)-AUTO(I)*3lN(SC*FI)/{SC*FI) , IF(M-N)20,60,60 ' L--I К-Й HP=M*l I X ) 5 0 I».4P,.H K-K+L A U T O ( K ) - A U T < ) ( K ) - f AUTO( I ) IF(K-M)30,4iJ.'»0 IF(K-I)40,40,5(J L«-L CONTINUh"

.60 НЬШН

221

с помощью подпрограммы ASPECT вычисляется спектральна! о ц е н к а , по Д э н и е л ю , д л я М з н а ч е н и й ч а с т о т ы , р а в н о м е р н о р а о п р е д е л е н н ы х м е ж д у нулевой и н а й к в и с т о в о й . ТЕКСТПОДПРОГРАММЫ ASPECT С КОММЕНТАРИЯМЧ / ' SUuHOUriNE A S H c C f ( N , : j A r A , M , S P h C T , S N , S M ) ASHcCT COMPUTES THE OANIELL ESflMATh АГ M dQUISPAGPn ErfEQUEWCIES tiEfWEEN ZERO ANU EOLOING Ft^LOUENCV I N C ! . U S ! V F . l i l E .(L^DOrtS ARE S I D E ВГ S I D E (MO bO PEwCENT O V E R L A P ) . INPUfS ARE N.M,DATA(I) , 1 = 1 ,N(SAMPLE f-UNClToN). OUTPUT I S S P E C l ' d ) , 1 = 1 ,M ( D A N I t L L i^SlTMAih) Г tVORKINJ SPACE I S S i a i ) , 1 = 1,Ы AND SM(1) , I = I,,2*M UIMEMSIOil DATA<2) ,SPi:"Cr( 2 ) , S N ( 2 ) , S M ( 2 ) CALL C.«)SS(N,DAlA,N,i)AI'A,iM,SN) CALL DANWT(N,SiJ,.*l) , ,CALL C:)5iAB<,.t,.S.vl) K=,v;bJO(,J,iJ) * , UO 10 1=1,4 10 CALL C ) S P ( K . ' i N . S M , Л, I ,ЗРЕСГ( I ) )

С С С С С С

-

:

•

^ •,

li

: Подпрограмма A R C T A N предназначена д л я вычисления арктан;^ генса Т Н Е Т А отношения Y / X . Р е з у л ь т а т ы вычислений располага» ются в правильном к в а д р а н т е между —тс и тс. А •- • •

'

Г г 3 ; 4 5 6 7 8 V 10 11

ТЕКСТ ПОДПРОГРАММЫ A R C T A N SUBROUfME ARCTAN(X,У,ГНЕТА) IF(X)5,1,5 1Р(У)4.3,2 lHtfA«l .570796327 IJETUHN ТНЕТА-О.О RETURN TriETA—I.57079O327 RETURN fHt:TA-ATAN(AUS
,

.

,

-1 | Ь J Ч '

f Ч f i % "

•

| ; J ' Ё

• -

С помощью подпрограммы XPHAZ вычисляются взаимные ф а з о в ы е спектры двух р я д о в д а н н ы х . , С п о м о щ ь ю п о д п р о г р а м м ы FT в ы ч и с л я е т с я одно значение п р е о б р а з о в а н и я Ф у р ь е путем с у м м и р о в а н и я ф о р м у л д л я синуса и косинуса, с о д е р ж а щ и х в к а ч е с т в е переменной у г л о в у ю частоту. В х о д н ы м и в е л и ч и н а м и д л я этой п о д п р о г р а м м ы я в л я ю т с я : N ' — д л и н а м а с с и в а D A T A , D A T A — р я д , чье п р е о б р а з о в а н и е Ф у р ь е в ы ч и с л я е т с я , W — у г л о в а я ч а с т о т а , д л я которой вычисляется п р е о б р а з о в а н и е Ф у р ь е , а на в ы х о д е п о л у ч а е м : S — синусное 222

i '

ТЕКСТ ПОДПРОГРАММЫ XPHAZ С КОММЕНТАРИЯМИ С С С С С

SUBROUTINE X P H A Z ( M , X , Y , P H A S E , S P A C E ) XPHAZ Q)MPUTES CROSS PHASE SPECTRA OF TMO S E R I E S . INPUTS ARE X ( I ) , y ( I ) , I - I . N OUTPUT I S P H A S E ( I ) , I - ) , N (PHASE SPECHtA OF CROSS a)RRELATION OF X AND У ) . S P A C E t l ) , I - l , e * N I S NORKINC SPACE. DIMENSION X ( 2 ) , r ( 2 ) . P H A S E ( 2 ) , S P A C E ( 2 ) CALL R E y E R S ( N ^ ) CALL F ( ) L O ( N . X . N , y . L C , S P A C E ) CALL F T R A N ( N , S P A C E , S P A C E ( 2 * N ) , S P A C E ( 3 * N ) ,SPACE(44N)) ICOS-2*N-l ISIN-3*N-I 00 10 I - I , N J-ICOS*I K-ISIN*! 10 CALL A H C T A N ( S P A C E ( J ) , S P A C E ( I C ) , P H A S E ( I ) ) CALL R E V E R S ( N . X ) RETURN ENO

преобразование д л я у г л о в о й ч а с т о т ы W, С — косинусное преоб­ разование д л я угловой ч а с т о т ы W .

ТЕКСТ ПОДПРОГРАММЫ FT С С С С С С С

SUBROUTINE F T ( N , D A T A . W . S , C ) FT COMPUTES ONE VALUE OF FOURIER TRANSFORM OF DATA AT ANGULAR FREQUENCY W BY MEANS OF SUM OF ANGLES FORMULAS FOR S I N E AND C O S I N E . _ OUTPUTS ARE N-l N-l S = SiJM(DATA(K+l ) * S I N ( W * K ) ) AND С . = SUM ( DATA (K+1 ) *C()S (W*K )) K=0 K=0 DIMENSION DATA(2) • : COSN rt=1.0 SINNrt=0,0 SINW=SIN(W)COSWiC()S(W) S=0.0 C=0.0 DO 10 1=1.N C=C+C-()SNW*DATA( I ) S=S+SINNW*DATA( I ) T=C()S.<*COSNW-SINrt*SINNW SINNrt^COSW*SI NNrt+SINrt*COSNW COSNrt=T 10 CONTI.-lUE RETUR.4 END .

П о д п р о г р а м м а COSTR п р е д н а з н а ч е н а д л я в ы ч и с л е н и я коси­ нусного п р е о б р а з о в а н и я о у н к ц и и а в т о к о р р е л я ц и и . О н а т а к ж е базируется на с у м м е угловых ф о р м у л . С помощью подпрограммы SMOOTH вычисляются сглаженимй спектр через косинусное п р е о б р а з о в а н и е . П р и этом исполь­ зуется ф о р м у л а Т ь ю к и — Х э м м и н г а .

С С С С С

ТЕКСТ ПОДПЮГРАММЫ COSTR SUBROUTINE COSTR(N.R.И,S) ' ' COSTR IS OSINE TRANSFORM OF AUTOCORREUTION COSTR C()KPUTES N-l , S » R(l)+2.0*SUM(R(K+l)*COS(K*M)) К" I DIMENSION H(500) COSNrt=I.O • • SINNW=0.0 COSi««COS(W) SINW«SIN(rt) S-R(l) DO 10 1-2,N T-COSrf*COSN W-SIN W*SI NN И SINN»»-COS»«*SINNH+SINW*a)SNW COSNW»T 10 S"S*2.0*R(I)*a)SNW RETURN

| | I / ,

)л1

END

,

ТЕКСТПОДПРОГРАММЫ SMOOTH 0 С С С С с

||.

SUoROUriNE S M ( X ) T . 1 ( 5 P t C r , L S > SM(K)iH COMPUltS SM(X)lHED SPECTRUM FROM TilE COSI.-IE THANSFOiiM USING TUKfcY-HAM'HING FORMULA. T l l E SUbROUTINE INPUTS ARE S P t C i ' = UNSMOOlHED SPECTRUM L S = i r S LENGfH T H E 3UjH!)UiTNE, o j i v u i " i s SP^iCi" = SMOOlHED SPECTRUM oi;/.c.4Si()n' apt с 1(2) ;.M=LS-i A=0.51*SPEC1'( l)+0.46*SPE(n'(2)

iv, I ,*I

Li=0.34*SPECr(LS)+0.4o*SPtCr(MM)

<Ц '

SJ=SPECT(1) SK=SPEJT(2) DO 10 J=2, Wi

SI=SJ SJ=S< SK=SPEC1(J+I) •10 SPcCi(J)=0.54*3J+0.23*(SI+SK)

w

й 1

„i

SPcCrO)=A SPECT(LS)=a RElUWN CND"

П о д п р о г р а м м а D R U M п р е д н а з н а ч е н а д л я того, ч т о б ы фазО' в у ю к р и в у ю с д е л а т ь н е п р е р ы в н о й . О н а и с п о л ь з у е т с я в подпро­ г р а м м е CAST. С п о м о щ ь ю п о д п р о г р а м м ы P O L A R в ы ч и с л я ю т с я полярные к о о р д и н а т ы . О н а т а к ж е и с п о л ь з у е т с я в п о д п р о г р а м м е CAST. С п о м о щ ь ю п о д п р о г р а м м ы CAST в ы ч и с л я ю т с я косинусные и синусные п р е о б р а з о в а н и я , а т а к ж е а м п л и т у д н ы е и ф а з о в ы е спект-, р ы . Н а вход п о д п р о г р а м м ы п о д а ю т с я L W — д л и н а W , W — пре<; образуемые данные, L T — длины преобразований и спектров, t на выходе п о л у ч а ю т TCOS —; косинусное п р е о б р а з о в а н и е для частот, р а с п р е д е л е н н ы х р а в н о м е р н о в и н т е р в а л е о т нулевой до 224

ТЕКСТ ПОДПРОГРАММЫ DRUM

10 20 30 40

SUiiROUriNE DHUMCLPilZ.PHZ) DRUM M A K L S PHASE CURVE CONTINUOUS. OIKENSION PHZ( U GO To 40 ) > PH=PJ-o.2a3l83307 PHZ( I ) = P i i Z ( I ) * P J REIURN ENO

ТЕКСТ ПОДПРОГРАММЫ POLAR SUBROUiTWE POLARCL.HE.XIM.AMP^PHZ) POLAR COMPUTES POLAR CCWHDINATES DIMENSION R E ( 2 ) , X I M ( 2 ) , A M P ( 2 ) , P H Z ( 2 ) Р1=3.141эУ26Ь DO 110 I » 1 , L AMP(I)=SQrtT(RE(I)**2*XIK{I)**2) IF<XIM(I))10,20,30 10 I F ( R E ( I ) ) 4 0 , 5 0 , 6 0 20 I F ( R c ( n ) 7 0 , 8 0 , 6 0 30 I F ( R E ( I ))>iO,IOO,60 40 P H Z ( I ) - A f A N { X I M ( I ) / R E < I ) ) - P I GO TO n o bO P H Z ( I ) = - 0 . 5 * P I GO TO 110 60 P H Z ( I ) - A r A N ( X I M ( I ) / R E { l ) ) GO To 110 70 P H Z ( I ) - - P I GO To n o dO P H Z < I ) » 0 . 0 GO i\) I 1 0 90 P H Z ( I ) » A 1 A N ( X I M < I ) / R E С 1 ) ) • P I GO П) n o 100 P H Z ( I ) » u . b * P I 110 CONTINUE KEiUHN

Ш ТЕКСТ ПОДПРОГРАММЫ CAST С

SUuHOUnWE C A S I C L W , rt, L T , T b o s . T S I N , AMP, PHZ) CAST I S C O S I N E AND S I N E TRANSFORM DIMENSION W ( 2 ) , T C O S ( 3 ) , T S I N ( 3 ) , A M P ( 3 ) , P H Z ( 3 ) COMPLEX X , A DANG=3.Ul5y265/FL0Al(LT-1) ANG=O.J DO 10 1 = 1 , L T X=CMPLX ( c o s e A N G ) , S I N ( A i l G ) ) CALL P()LVEV(LH,W,X,A) TCOSn)=l}cAL(A) TSIN(I)=AIMAU(A) 10 ANG=ANG+DANG CALL P()LArt(LT, r C O S . T S I N . A M P . P H Z ) C A L L D.
225

н з й к в и с т о в о й , T S I N — синусное п р е о б р а з о в а н и е д л я тех ж е ч| стот, A M P — а м п л и т у д н ы й с п е к т р д л я т е х ж е частот, P H Z -f ф а з о в ы й спектр д л я тех ж е частот. Д и с к р е т н о е п р е о б р а з о в а н и е Ф у р ь е ( Д П Ф ) сигнала Xk определяй выражением *f

Л'—1

S

X„=

jcfte-"'^*"/^

n = 0, 1, 2,

где Xk и Хп могут быть комплексными величинами. Обратное дискретное преобразование Ф у р ь е ( О Д П Ф ) Хп от Xk = 4

S

"

п=0

й = О, 1, 2

N - \ .

(Ьункод

%

З а м е т и м , что в ы р а ж е н и я д л я Д П Ф и О Д П Ф различаютс! т о л ь к о з н а к о м п о к а з а т е л я ф а з о в о й ф у н к ц и и ехр {12т.п1М) | м а с ш т а б н ы м м н о ж и т е л е м \/N, п о э т о м у п р о ц е д у р ы вычисленщ Д П Ф м о ж н о л е г к о приспособить д л я в ы ч и с л е н и я О Д П Ф . Н а и б о л е е п р я м о й метод в ы ч и с л е н и я Л/-точечного дискретног( Ф у р ь е - п р е о б р а з о в а н и я , н е п о с р е д с т в е н н о и с п о л ь з у ю щ и й с а м о о» ределение, требует выполнения о п е р а ц и й у м н о ж е н и я , т. е. А у м н о ж е н и й д л я к а ж д о й из N значений ч а с т о т ы Хо, XI,...,XN-\-0\ н а к о , п о с к о л ь к у о б ъ е м вычислений и, с л е д о в а т е л ь н о , машиннЯ в р е м я п р о п о р ц и о н а л ь н ы N^, число вычислений (и в р е м я ) , тр^ буемое д л я р а с ч е т а Д П Ф п р я м ы м методом, очень в о з р а с т а е т пр( б о л ь ш и х з н а ч е н и я х iV. Подпрограмма FFT я в л я е т с я алгоритмом, уменьшающим чисЛ операций, необходимое д л я расчета Д П Ф , с N"^ д о N\g2N, raeNстепень д в у х . Т а к и м образом, FFT расшифровывается к а к быстро» преобразование Ф у р ь е ( Б П Ф ) . Основной принцип, заложенный в no^i программе F F T , состоит в замене вычисления Д П Ф последовател»! ности Хо, Хи .. ., Xjv-i длиной N на вычисление дискретных при образований Ф у р ь е , объем которых последовательно уменьшаете!. Н а п р и м е р , м о ж н о вычислить Л^-точечное Д П Ф , объединив два Л/^/2-Tft чечных Д П Ф . В свою очередь, Л^/2-точечное Д П Ф можно рассчитап, объединяя два Л/^/4-точечных Д П Ф , и т. д . Преобразование Фуры полной последовательности находится путем с л о ж е н и я сумм попаря« с последующим сложением п а р сумм попарно и т. д . Такой cnoc(if< вычисления Д П Ф может показаться очень странным, но на cam деле это наиболее естественный способ быстрого преобразованщ Фурье. С у щ е с т в у е т много путей о б ъ я с н е н и я того, ч т о происходит i д е й с т в и т е л ь н о с т и п р и б ы с т р о м п р е о б р а з о в а н и и Ф у р ь е . К объяс нению м о ж н о п р и в л е ч ь р я д ы Ф у р ь е , т е о р и ю м а т р и ц , т е о р и ю чи сел, м н о г о м е р н ы е п р е о б р а з о в а н и я , с х е м а т и ч е с к и е и з о б р а ж е н и я i др. Физический смысл Б П Ф м о ж н о и з л о ж и т ь с л е д у ю щ и м обра з о м . Р а с с м о т р и м л и н е й н у ю группу о т с т о я щ и х д р у г о т д р у г а Н( о д и н а к о в о е р а с с т о я н и е р а д а р н ы х п р и е м н и к о в и п л о с к у ю волну п р и б л и ж а ю щ у ю с я к этой группе под углом. В о б щ е м с л у ч а е ф« 226

ловые ф у н к ц и и , и з м е р е н н ы е к а ж д ы м из п р и е м н и к о в , н е будут с о в п а д а т ь м е ж д у собой по ф а з е , а с у м м а всех ф а з о в ы х ф у н к ц и й Гзудет п р и б л и з и т е л ь н о р а в н а нулю или м а л а . О д н а к о если в вы|ходной с и г н а л к а ж д о г о п р и е м н и к а ввести н а д л е ж а щ и й ф а з о в ы й сдвиг и з а т е м с и г н а л ы с л о ж и т ь , то п о л у ч и м с р а в н и т е л ь н о м о щ ­ ный с у м м а р н ы й сигнал. Схема, формирующая луч радара, представляет собой н а б о р ф а з о с д в и г а ю щ и х и с у м м и р у ю щ и х ус|ройств, с о з д а ю щ и х м а к с и м а л ь н ы й в ы х о д н о й с и г н а л в том слу­ чае, к о г д а в о л н а п а д а е т н а группу в з а д а н н о м н а п р а в л е н и и . Опеф а ц и я ф о р м и р о в а н и я л у ч а о к а з ы в а е т с я ни чем иным, к а к Фурьепреобразованием. О б щ е п р и н я т ы й способ ф о р м и р о в а н и я лучей — т а к н а з ы в а е ­ мая группа Б л а с с а , п р е д с т а в л я ю щ а я собой н а б о р фазовраща­ телей и с у м м а т о р о в . О н а действует а н а л о г и ч н о п р я м о м у методу выцисления Д П Ф . В о з д е й с т в и е ф а з о в р а щ а т е л я на с и н у с о и д а л ь н у ю вол­ ну э к в и в а л е н т н о у м н о ж е н и ю к о м п л е к с н о г о числа на единичный корень. Д ж . Б а т л е р и н е з а в и с и м о от него Д ж . Ш е л т о н р а з р а б о ­ тали т а к о й способ соединения ф а з о в р а щ а т е л е й с с у м м а т о р а м и , при котором т р е б у е т с я всего NXg^N э л е м е н т о в , чтобы о б р а з о в а т ь Л' лучей при н а л и ч и и Л'' антенн. Этот способ н а з ы в а е т с я м а т р и ц е й 1)атлера и соответствует б ы с т р о м у п р е о б р а з о в а н и ю Ф у р ь е . В процессе р а з л о ж е н и я УУ-точечного Д П Ф на Д П Ф Т с меньшим 'шслом точек а л г о р и т м Б П Ф с н а ч а л а « п е р е м е ш и в а е т » входные д а н ­ ные Хо, X\,...,Xi^-i, з а т е м о б ъ е д и н я е т д а н н ы е путем с л о ж е н и я сумм попарно и т. д. В этой п р о ц е д у р е о б ъ е д и н е н и я и с п о л ь з у ю т с я т а б л и ­ ца гшсинусов на ч е т в е р т ь д л и н ы в о л н ы и о п е р а ц и я «бабочки». Поскольку д а н н ы е п е р е м е ш а н ы , их н у ж н о п е р е г р у п п и р о в а т ь с помощью о п е р а ц и и о б р а щ е н и я битов. В а ж н о й особегпюстью а л г о ­ ритма Б П Ф я в л я е т с я то, что о п е р а ц и и о б ъ е д и н е н и я и о б р а щ е н и я Г1ИТОВ м о ж е т в ы п о л н я т ь без нового о п р е д е л е н и я всего массива но в р е м я к а ж д о й о п е р а ц и и « б а б о ч к и » . Е с л и Б П Ф п о в т о р я е т с я н е о д н о к р а т н о , м о ж н о о д н а ж д ы вычис,|||ть т а б л и ц у косинусов на ч е т в е р т ь д л и н ы волны и поместить |'с в постоянный м а с с и в . И н о г д а п р и х о д и т с я т а к ж е интсрполиронать в частотной или в р е м е н н о й о б л а с т и . Д л я этого обычно к по­ следовательности ф а к т и ч е с к и х д а н н ы х д о б а в л я е т с я носледовак'льность нулей. Н а п р и м е р , если н у ж н о и н т е р п о л и р о в а т ь 2'- то'К'К в о б л а с т и п р е о б р а з о в а н и й , по,.тучая „/V = 2'^ точек при y M > L , это легко д е л а е т с я 2 ^ - т о ч е ч н ы м Б П Ф входных д а н н ы х . П р е д в а р и т е л ь ­ но к 2^ точек п р и б а в л я ю т с я 2^~^^ нулей. Ч т о б ы и з б е ж а т ь до|||)лнительных вычислений из-за д о б а в л е н н ы х к входной записи нулей, о п е р а ц и и , в к о т о р ы х у ч а с т в у ю т т а к и е нули, не производят. И а л г о р и т м е , р а з р а б о т а н н о м Д ж . Сэндом ^35], эту у п р о щ а ю щ у ю Н1ерацию в ы п о л н я ю т н е п о с р е д с т в е н н о 1^62^. О п е р а т о р в ы з о в а п о д п р о г р а м м ы F F T имеет вид C A L L EFT |.\, Y, T A B L E , М , L L , I S N ) . Н а вход п о д п р о г р а м м ы п о д а ю т с я \ — м а с с и в д л и н о й N, с о д е р ж а щ и й д е й с т в и т е л ь н у ю часть, У — массив д л и н о й N, с о д е р ж а щ и й м н и м у ю часть комплексного вхо(л, T A B L E — мас'сив д л и н о й N/A—h с о д е р ж а щ и й т а б л и ц у ко227

ТЕКСТПОДПРОГРАММЫ FFT С C"

С G С '

С С O'С О Я 'C

SUBROUTINE F F T ( X . Y , T A B L E , М , L L , I S N ) J F F T I S IN PLACE D F T COMPUTATION USING SANOE ALGr)RITHM A N J M A R K E L PRUNING MOOIFICAflON. X = A R R A Y v)r LENGTH 2-**M USED TO HOLD REAL PART OF COMPLEX INPUT. Y = A R R A Y OF LENGTH 2**M USED TO HOLD IMAGINARY P A R T OF COMPLEX INO||l\ TABLE ' A R R A Y l)F LENGTH N/4+1 (N=2**M) , CONTAINS 4. ' QUARTER-LENGTH COSINE TABLE. • ff M = INTEGER-POHER O F TWO WHICH DETERMINES S U E OF., •' F F T TO BE PERFORMED. ( B I T REVERSE TABLE I S SET FOR A MAXIMUM O F N=2**12=4096) LL - INTHJEH'POAtR Or' TRO WHICH DETER^TlNES 2**a ACTUAL DATA'POINTS , NUMBER O F STAGES IN WHICH NO PRUNING IS ALLOWABLE. ISN - SET TO - 1 FOR FOWARD FFT (DFT) liN - SET TO + 1 FOR INVERSE F F T (IDFT) X = REAL PART OF COMPLEX OUTPUT Y = IMAGINARC PART OF COMPLEX OUTPUT DIMENSION X( 10Уб),У( 1096),TABLE( 1025).L( 12)

EJUrVALENCE ( L 1 2 , L ( I ) ) , ( L I 1.L(2)).(L10.L(3)).(L9,L(4)),(L8,L(5 ) ) , (L3,L( 10)). { L2, L ( 11)).

1 (L7,L(6) ).(L6,L( ?.)), (L5,L(8)), (L4,L(9)). S(LI,L( 12)J H=2***

• • |,„

>JJ4=N/4 NJ4PI=N04+1 N04P2=ND4PI+I WD2P2=N04+ND4P2

•I

LLL=2**LL

DO 8 L0=1,M L4X=2**(M-L0) LMM=LMX LIX=2*LMX -!3CL=N/LIX TEST FOR PRUNING 1 Ir(L()-M+a) 1,2,2 L. M M=LLL 2 DO a LM=1.LMM IARG=(LM-i )*ISCL+! 1F(IARG.LE.ND4PI ) GO.TO 4 KI=ND2P2-IA1-?G

-

. ,.<•• Й _L. P (*

•

•

C--TABLE(K1)

X3=IARG-ND4 S=ISN*TABLE(K3) GO TO 6 4 C=TABLE( lARG) K2=ND4P2-IARG S=ISN*TABLE(K2) 6 CONTINUE DO d LI=LIX,N,LIX JI=LI-LIX+LM J2=JI + LMX .TI=X(JI )-X(J2) Т2=У(Л )-Y(J2) XCJI )-X(JI ) + X(J2) Y( Jl ) = Y( JI ) + Y( J 2 )

'I' I-

I

X(J2)=C*TI-S*T2 Y( J2)=C*T2+S*TI

a CONTINUE C,"-

.

С-PERFORM BIT REVERSAL 00 40 J = l , ] 2 L(J)=1

Ih(J-M) 3I,31T40

31 L(J)=2**(Mtl-J).

40 CONTINUE JN = i

UO 60 Jl=l , L 1 DO

60

J 2 = J 1 , L 2 , L I

00 6 0 J 3 = J 2 , L 3 , L 2 И) 60. J 4 » J 3 , L 4 , L 3 228

'

.

.

.

. .

.

-

,

D() 00 Oi) DO £K) гХ>

60 40 60 60 60 60

ro

60

je«J4,L5.L4 J6-J5,Ld,L5 J7«J6,L7,L6 J8-J7.L8.L7 J9-JtJ,L9.L8 JlO-Jy.LlO.LS J.II»JIO,LII,LIQ:

DO 60 JR»J11 , L I 2 . L l i IF(JN-JR> 6 1 , 5 1 , Ь 4 51 H»X(JN) X{JMW(JR)

y(JR)-FI IF(ISN)53,53,52 52 X ( J R ) - X ( J H ) / F L O A T ( N ) 53 JM=JN+1 60 CONTINUE RETURN ENO

синусов на ч е т в е р т ь д л и н ы в о л н ы , М — ц е л ы й п о к а з а т е л ь степепи двух, о п р е д е л я ю щ и й р а з м е р быстрого п р е о б р а з о в а н и я Ф у р ь е (N=2'^), L L — число э т а п о в вычислений, в к о т о р ы х не р а з р е ­ шается и с п о л ь з о в а т ь у п р о щ а ю щ и е процессы; ф а к т и ч е с к о е число отсчетов д а н н ы х , I S N — у к а з а т е л ь д и с к р е т н о г о и л и о б р а т н о г о д и ­ скретного п р е о б р а з о в а н и я Ф у р ь е . О н п р е д п о л а г а е т с я р а в н ы м — 1 для д и с к р е т н о г о п р е о б р а з о в а н и я Ф у р ь е ( п р я м о г о Б П Ф ) или +1 для о б р а т н о г о д и с к р е т н о г о п р е о б р а з о в а н и я Ф у р ь е (обратного 1)П<^). Н а в ы х о д е п о д п р о г р а м м ы п о л у ч а е м X — м а с с и в д л и н о й Л^, хра^:ящий д е й с т в и т е л ь н у ю ч а с т ь к о м п л е к с н о г о в ы х о д а , Y — м а с с и в длиной N, х р а н я щ и й м н и м у ю ч а с т ь к о м п л е к с а в ы х о д а . Т а б л и ц у косинусов на ч е т в е р т ь д л и н ы в о л н ы , и с п о л ь з у е м у ю I) п о д п р о г р а м м е F F T , м о ж н о в ы ч и с л и т ь с п о м о щ ь ю п о д п р о г р а м м ы COSQT. ПОДПРОГРАММА OTSQT G

SUBHOUriNE C O S O T ( M , TABLE)' ' • COSOl GENERATES QUARTER-LENGTH COSINE TABLE DIMENSION T A S L E ( 2 J N=2 *-*!,{ ND4pl=,N/4+l SCL=6.283185307/FL0AT(iV) - . DO 10 1 = 1 ,ND4P.| ARG=FLOAT(1-1)*SCL 10 l A B L E C I ) = C O S ( A R C ) RETURN END

H a вход данной подпрограммы подается М — целый показа­ тель степени двух, о п р е д е л я ю щ и й р а з м е р быстрого п р е о б р а з о в а ­ ния Ф у р ь е ( N = 2 * * M . ) , а н а в ы х о д е п о л у ч а е м T A B L E — т а б л и ­ ц у косинусов н а ч е т в е р т ь д л и н ы волны о б ъ е м а N / 4 - - L В т а б л . 5-3—5-7 п р и в е д е н ы н е с к о л ь к о р а с с ч и т а н н ы х на м а ш и ­ не спектров, в т а б л . 5-8— и м п у л ь с н ы е ф и л ь т р ы и с и г н а л ы на в ы ­ ходах, а в т а б л . 5-9 и 5-10 — их с п е к т р ы . 229

TABJJHUA

5-3

'

Амплитудный и фазовый спектры минимально-запаздывающего волнового импулЬ' са 6 = (—1,25; 1,00). Минимально-запаздывающий волновой импульс облада«1 минимальным запаздыванием по фазе. Полное смещение по фазе для такого им пульса в интервале частот от О до 180 равно 180—180=0°, Амплитудный и фа зовый спектры обратного волнового импульса (1,00; —1,25) даны в табл. 5-4 '

'

0 5 10

1

15 20

1

25

30

i

35 40

45 50 55 60 65 . 70 75 80 85 90 ТАБЛИЦА

^ Амплитудный спектр

Частота, градус

: il i :

0,25000 0,26835 0,31699 0,38430 0,46181 0,54437 0,63042 0,71737 0,80460 0,89148 0,97751 1,06234 1,14564 1,22717 1,30669 1,38400 1,45889 1,53121 1,60078

180

1

161 147

138 132 129 128 127 il 5

127 128 128 130

,

131 :

132 134

136 138

139 !

i

Запаздывание по фазе, градус

141

Частота, градус

95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 (частота , Найквиста)

' ] Амплитудный спектр

1,66745 1,73107 1,79152 1,84866 1,90237 1,95256 1,99910 2,04192 2,08092 2,11603 2,14717 2,17429 2,19733 2,21624 2,23098 2,24154 2,24788 2,25000

;

Запаздыва-' ние по фазе, градус

143 145 147 149 152 154 156 158 160 162 165 167 169 171 173 176 178 180

1

5-4

Амплитудный и фазовый спектры максимально-запаздывающего волнового им. пульса & = (1,00; —1,25). Максимально-запаздывающий импульс с максимальны* запаздыванием по фазе; полное смещение для него равно О — (_180) = 180° Амплитудный спектр идентичен амплитудному спектру импульса (—1,25; 1,00), Частота. градус

Амплитуд­ ный спектр

Запаздыва­ ние п о ф а з е , градус

0,25000 0,26835 0,31699 0,38430 0,46181 0,54473 0,63042 0,71737 0,80460 0,89148 0,97751 1,06234 1,14564 1,22717 1,30669 1,38400 1,45890 1,53121 1,60078

—180 —156 —137 —123 —112 —104 —98 —92 —87 —83 —78 —75 —71 -67 —64 -61 -58 —54 —51

1

Частота, градус

Запаздыва»'' ние по фазе, градус

Амплитуд­ ный спектр

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

230

1

95 100 105 ПО 115 120 < 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 (частота J Найквиста) i i

1,66745 1,73107 1,79152 1,84866 1,90237 1,95256 1,99910 2,04192 2,08092 2,11603 2,14717 2,17429 2,19733 2,21624 2,23098 2,24154 2,24788 2,25000

48 —45 —42 —39 —37 —34 —31 —28 —25 —22 —20 — 17 — 14 — 11 —8 —6 —3

4

' •

I л г. л и ц А 5-5 Амплитудный и фазовый спектры минимально-запаздывающего импульса

'

Частота, периода

дплм

0,000 0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250 0,275

.

Амплитуд­ ный спектр

Запаздыва­ ние по фазе, градус

3,00 2,99 2,96 2,92 2,86 2,79 2,71 2,61 2,49 2,37 2,23 2,09

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,34 0,39 0,42 0,46 0,49

Частота, доли периода

волнового ,

Амплитуд­ ный спектр

0,300 0,325 0,350 0,375 i 0,400 0,425 0,450 0,475 0,500 (частота Найквиста)

Запаздыва­ ние п о ф а з е , градус .

1,94 1,78 1,62 1,47 1,32 1,19 1,09 1,02 1,00

0,51 0,52 0,52 0,50 0,45 0,38 0,28 0,15 0,00,

I ЛиЛИЦА 5-6 И первых трех колонках даны амплитудный и фазовый спектры максимально|||,|:к)вого волнового импульса. Амплитудный спектр идентичен амплитудному спектру минимально-запаздывающего волнового импульса из табл. 5-5. В четвер11)11 колонке приведено суммарное запаздывание по фазе (для заданной частоты) \ пмально-запаздывающего и максимально-запаздывающего волновых импульсов. 1! пятой колонке даны первые разности минимально-запаздывающего и максим.чльно-запаздывающего импульсов. Видно, что сумма задержек по фазе равна

hKTOTa, доли

11('|^да

0,000 0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250 0,275

Ампли­ тудный спектр

3,00 2,99 2,96 2,92 2,86 2,79 2,71. 2,61 2,49 2,37 2,23 2,09

Запаз­ дывание по ф а з е , градус

0,00 0,10 0,20 0,31 0,42 0,52 0,63 0,75 0,86 0,98 1,10 1,23

Сумма фазовых задер­ жек, градус

0,00 0,15 0,30 0,46 0,62 0.77 0,93 1,09 1,25 1,40 1,56 1.72

Началь­ Частота, ные доли ' разнос­ ти ф а з периода

'j ,

.

0,15 0,15 0,16 0,16 0,15 0,16 0,16 0,16 0,15 0,16 0,16 0.16

Ампли­ тудный спектр

Запаз­ дывание по фазе, градус

Сумма фазовых

1,37 1,51 1,67 1,85 2,05 2,28 2,54 2,83 3,14

1,88 2,03 2,19 2,35 2,50 2,66 2,82 2,98 3.14

градус

i

0,300 0,325 0,350 0,375 0,400 0,425 0,450 0,475 0,500 (частота Найк- • \ виста) 1

1,94 1,78 1,62 1.47 1,32 1.19 1,09 1.02 1.00

На­ чаль­ ные разнос­ ти ф а з

задорЖСК,

0.15 0,16 0,16 0,15 0,16 0.16 0,16 0.16

|| •

i 1

J

i

5.4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В предшествующих главах мы затратили много у с и л и й , что­ бы о б ъ я с н и т ь м а т е м а т и ч е с к и е т о н к о с т и и м о д е л и , с в я з а н н ы е с д е к о н в о л ю ц и е й с е й с м о г р а м м M O B . Хотя д е к о н в о л ю ц и я я в л я е т ­ ся в а ж н о й с о с т а в н о й ч а с т ь ю р а з в е д о ч н о г о п р о ц е с с а , о н а все-та­ ки п р е д с т а в л я е т собой л и ш ь о д и н из его э т а п о в . Г е о ф и з и ч е с к и е иременные р я д ы , п о д в е р г а е м ы е д е к о н в о л ю ц и и , — р е з у л ь т а т су.хопутной или м о р с к о й с е й с м о р а з в е д к и , выполняемой в различ­ ных к л и м а т и ч е с к и х у с л о в и я х . П е р с о н а л г е о о и з и ч е с к и х партий, обычно в о з г л а в л я е м ы х и н ж е н е р а м и , состоит из т е х н и к о в (от 1 231

д о 30) и п р и м е р н о из 100 местных р а б о ч и х . П е р с о н а л полевого о т р я д а р а с с т а н а в л и в а е т с е й с м о п р и е м н и к и , б у р и т с к в а ж и н ы , воз­ б у ж д а е т сейсмические в о л н ы , р е г и с т р и р у е т д а н н ы е с п о м о щ ь ю циф­ ровой а п п а р а т у р ы и в ы п о л н я е т в с е в с п о м о г а т е л ь н ы е работы, н е о б х о д и м ы е д л я п р а в и л ь н о г о п р о в е д е н и я сейсмической съемки. К р о м е того, п о л е в ы е з а п и с и п о д в е р г а ю т с я п р е д в а р и т е л ь н о й об­ р а б о т к е и п о д г о т а в л и в а ю т с я к д е к о н в о л ю ц и и и сейсмической ин­ т е р п р е т а ц и и . В с е э т о в м е с т е в з я т о е п р е д с т а в л я е т собой значи­ т е л ь н о е т е х н и ч е с к о е д о с т и ж е н и е и з а с л у ж и в а е т б о л е е вниматель­ ного р а с с м о т р е н и я . ТАБЛИЦА

5-7

Во второй колонке дан обычный амплитудный спектр волновых импульсов (1,00; 0,00, 0,25) и (0,25, 0,00, 1,00). В третьей колонке приведено запаздывание по фазе минимально-запаздывающего импульса (1,00; 0,00; 0,25), а в четвертой — то же самое для максимально-запаздывающего импульса (0,25; 0,00; 1,00). В пя­ той колонке дается суммарная фазовая задержка, равная 4%f. Я о. ас> S

«:

Й-Ч

1

S

^ я g L.

g

a КО - w m я л t. cT X a

S О X

tn

o. сV

CO

S3

ff) S (0

o. Ш

1

й о, -

и Ш n

э-g 0,000 0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250 0,275

к SЙ гa ч с 0J «I i - ^ 5 S < 0,00 0,00 1,25 1,24 0,06 0,25 0,12 0,50 1,21 1,16 0,17 0,76 0,21 1,03 1,10 1,03 0,24 1,32 1,63 0,25 0,95 0,23 1,96 0,87 0,18 2,33 0,81 0,76 0,10 2,72 0,75 0,00 3,14 0.76 —0,10 3,55

ТАБЛИЦА

^1

3 a л

е-

I I

0,00 0,31 0,62 0,93 1,24 1,56 1,88 2,19 2,51 2,82 3,14 3,45

0,31 0,31 0,31 0,31 0,32 0,32 0,31 0,32 0,31 0,32 0,31 0,32

MO >^ йй О л 'я « wк« (J m « ве к « u К ЙС 3 У

3

я s

«

il I I

(0 ,

С «u

га 0,300 0,325 0,350 0,375 0,400 0,425 0,450 0,475 0,500 (час­ тота Найк­ виста)

§ = sS

s <

I l i i

0,81 0,87 0,95 1,03 1,10 1,16 1,21 1,24 1,25

—0,18 —0,23 -0,25 -0,24 -0,21 —0,17 -0,12 —0,06 0,00

3,95 4,31 4,65 4,95 5,24 5,51 5,77 6,03 6,28

га to

О S

ай 8£ а >•е- . ш^

р.

il 3,77 4,08 4,40 4,71 5,03 5,34 5,65 5,97 6,28

01

X д с: |lга e5 . 0,31 0,32 0,31 0,32 0,31 0,31 0,32 0,31 0,31

5-8

Полный набор импульсных фильтров и фактических сигналов на их выходах при подаче на вход минимально-запаздывающего волнового импульса вида (Ьц, fci) = ( - l , 2 5 ; 1,00) Коэф­ фици­ енты

а.

Е д и н и ч н ы й и м п у л ь с в момент времени /!= 0

*= 1

к=

2

Импульсный фильтр —0,70 0,11 0,14 —0,45 —0,56 0,29 —0,22 —0,27 —0,34

k=

3

Коэф­ фици­ енты

do da

232

к=0

к=

1

fe = 2

ft =

3

Фактический выходной сигнал —0,34 -0,22 0,72 -0,17 0,56 —0,22 —0,27 —0,34

0,17 0,36 0,56

Фактический выходной сигнал 0,88 —0,14 —0,17 —0,22 Со —0,14 0,82 —0,22 —0,27

Е д и н и ч н ы й импульс в момент времени

Искомый 1,00 0,00 0,00 0,00

выходной сигнал 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00 1,00 0,00 0,00

'ГАПЛИЦА 5-9

шктры фазового запаздывания для импульсных фильтров из табл. 5-8. По мере fiiio, как положение единичного импульса перемещается от А = О до А = 3, (ммовое запаздывание монотонно возрастает. Импульсный фильтр для положения = О является минимально-запаздывающим, для положений k—l и k = 2 — мсшанно-запаздывающим, а для положения k = 3—максимально-запаздывающим. Единичный Ч.1С гота, доли т'оиода

0,000 0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0,150 0,175 0,200 0,225 0,250 0,275

и м п у л ь с в момент времени

k=0

-3,14 -3,04 -2,93 -2,84 -2,74 -2,65 -2,57 -2,50 -2,44 -2,40 -2,39 -2,41

k=2

—3,14 0,00 —2,90 —0,55 —2,66 - 0 , 6 8 —2,42 —0.64 - 2 , 1 9 —0,53 - 1 , 9 7 —0,38 — 1,75 —0,22 - 1 , 5 4 —0,04 0,14 — 1,34 0,33 —1,15 0,53 -0,96 0,74 —0,79

k=3

0,00 0,21 0,42 0,64 0,86 1,08 1,31 1,55 1,81 2,09 2,39 2,72

Единичный Частота, доли периода

0,300 0,325 0,350 0,375 0,400 0,425 0,450 0,475 0,500 (частота Найк­ виста)

импульс в момент времени

*=0

/г=1

*=2

/г=3

-2,48 —2,59 -2,74 -2,89 —3,00 —3,07 -3,11 —3,13 —3,14

—0,63 -0,48 —0,35 -0,23 —0,14 -0,07 -0,02 —0,00 —0,00

0,96 1,19 1,43 1,68 1,95 2,23 2,52 2,83 3,14

3,11 3,54 4,00 4,46 4,89' 5,27 5,63 5,96 6,28

1 Л 1 5 Л И Ц А 5-10

Амплитудные спектры импульсных фильтров из табл. 5-8 и 5-9. Чистота, доли периода

Е д и н и ч н ы й импульс в момент времени

Единичный

k=2

k=3

Частота, доли периода

0,08 0,11 0,17 0,24 0,31 0,37 0,42 0,47 0,51 0,54 0,56 0,57

1,10 1,10 1,07 1,04 0,99 0,93 0,86 0,78 0,69 0,61 0,53 0,45

0,300 0,325 0,350 0,375 0,400 0,425 0,450 0,475 0,500 (частота Найк­ виста)

и м п у л ь с в момент времени

к=0

ft=l

/(=2

/г=3

0,49 0,43 0,40 0,40 0,41 0,43 0,45 0,47 0,47

0,63 0,60 0,56 0,52 0,49 0,45 0,42 0,41 0,40

0,58 0,57 0,56 0,55 0,53 0,52 0,50 0,49 0,49

0,39 0,34 0,32 0,32 0,33 0,34 0,36 0,37 0,38

- # — 0,000 0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0,1.SO 0,175 (1,200 0,225 0,250 0.275

1,38 1,37 1,34 1,30 1,24 1,16 0,07 0,97 0,87 0,76 0,66 0,57

0,73 0,73 0,73 0,73 0,73 0,73 0,73 0,72 0,72 0,70 0,68 0,66

Сейсмические п а р т и и р а б о т а ю т в п у с т ы н я х Асэрики, в д ж у п 1лях Ю ж н о й А м е р и к и , в г о р а х и з а п о л я р н ы х р а й о н а х Северной Америки, а т а к ж е в р а з л и ч н ы х г е о г р а ф и ч е с к и х у с л о в и я х (рав­ нины, л е с а , б о л о т а ) С о е д и н е н н ы х Ш т а т о в А м е р и к и . Они д о л ж ­ ны быть готовы д е й с т в о в а т ь в у с л о в и я х , г д е к а ж д ы й метр п р о ф и л я приходится п р о р у б а т ь с п о м о щ ь ю м а ч е т е , в болотистой местности, где т р е б у ю т с я с п е ц и а л ь н ы е п л а в у ч и е с р е д с т в а п е р е д в и ж е н и я , а т а к ­ сис в тундре, п о к р ы т о й снегом и л ь д о м , где т р а н с п о р т н ы е СредI'Tiia необходимо м о н т и р о в а т ь на ш а с с и с р а з о б щ е н н ы м приво­ дом. И н о г д а п р и х о д и т с я строить дороги и л и т р а н с п о р т и р о в а т ь I рузы на в е з д е х о д а х , с а м о л е т а х л и б о вручную. i

233

П р и р а б о т а х на с у ш е и с п о л ь з у ю т с я к а к о б ы ч н ы е взрывные и с т о ч н и к и ( д и н а м и т ) , т а к и н о в е й ш и е н е в з р ы в н ы е источники уП' р у г о й э н е р г и и -— в и б р о с е й с и диносейс. В о т л и ч и е от динамита;' в о з б у ж д а ю щ е г о и м п у л ь с н ы й сейсмический сигнал, с п о м о щ ь ! в и б р а т о р о в с о з д а е т с я м н о г о с е к у н д н о е к о л е б а н и е п л а в н о изменяю­ щ е й с я ч а с т о т ы . В диносейсе и с п о л ь з у е т с я в з р ы в смеси пропана с к и с л о р о д о м в з а к р ы т о й к а м е р е , к о т о р а я с о п р и к а с а е т с я с грун-' том. В р е з у л ь т а т е с о з д а е т с я и м п у л ь с н о е в о з д е й с т в и е . Названные источники упругих волн м о н т и р у ю т с я л и б о на о б ы ч н ы х автомО'' б и л я х , л и б о на с п е ц и а л ь н ы х в е з д е х о д н ы х ш а с с и д л я работы в у с л о в и я х с и л ь н о пересеченной или з а л е с е н н о й местности. Приме­ нение н е в з р ы в н ы х источников п о з в о л я е т п о л у ч а т ь качественные с е й с м о з а п и с и к а к в р а й о н а х с б о л ь ш и м и п р о м ы ш л е н н ы м и помб'' х а м и ( в и б р о с е й с ) , т а к и т а м , где стоимость б у р е н и я взрывных с к в а ж и н н е о п р а в д а н н о в ы с о к а (вибросейс и д и н о с е й с ) . В уелоВИЯХ з а б о л о ч е н н о й местности в к а ч е с т в е источников упругих волн и с п о л ь з у ю т с я п н е в м а т и ч е с к и е пушки, п о м е щ а е м ы е в с к в а ж и н к ; В к а ч е с т в е приемного у с т р о й с т в а о б ы ч н о и с п о л ь з у е т с я грун^ па ц и ф р о в ы х с е й с м о п р и е м н и к о в . К о н ф и г у р а ц и я г р у п п ы (л^:н е й н а я или п л о щ а д н а я ) р а с с ч и т а н а на о п т и м а л ь н о е п о д а в л е н а ! помех. П р и р а б о т а х на с у ш е о б ы ч н о и с п о л ь з у ю т с я сейсмоприеМ' НИКИ э л е к т р о м а г н и т н о г о типа, с о з д а ю щ и е на своем в ы х о д е э. д. С( п р о п о р ц и о н а л ь н у ю скорости д в и ж е н и я ч а с т и ц с р е д ы в в о л н ^ Ч и с л о с е й с м о п р и е м н и к о в в группе м о ж е т д о с т и г а т ь 100, прИ' ч е м в ы х о д н ы е с и г н а л ы всех с е й с м о п р и е м н и к о в о б ъ е д и н я ю т с я в о д и н групповой с и г н а л ( т р а с с у ) , р е г и с т р и р у е м ы й одним капало»*, В н а с т о я щ е е в р е м я сейсмические п а р т и и и с п о л ь з у ю т новейшуй ц и ф р о в у ю а п п а р а т у р у с магнитной з а п и с ь ю . В з а в и с и м о с т и о! с у щ е с т в а р а з в е д о ч н о й з а д а ч и на м а г н и т н у ю ленту регистрируют­ с я 24, 48 или 96 г р у п п о в ы х с и г н а л о в , п р е о б р а з у е м ы х впоследст* вии в о д н у т р а с с у сейсмического р а з р е з а . Ц и ф р о в ы е сейсмические р е г и с т р и р у ю щ и е с и с т е м ы обычно имекЦ д и н а м и ч е с к и й д и а п а з о н , р а в н ы й 80 д Б , а з а п и с ь в е д е т с я 16-pas. р я д н ы м и с л о в а м и . Ч а с т о т н ы й д и а п а з о н о т р а ж е н н ы х сигнало!] п р о с т и р а е т с я от е д и н и ц д о н е с к о л ь к и х сот герц. С а м а я ц е н н а я се||:< с м и ч е с к а я инсэормация з а к л ю ч е н а в д и а п а з о н е 10—250 Гц, по^ч тому с и г н а л ы д и с к р е т и з и р у ю т с я с и н т е р в а л о м 1, 2 и 4 мс. Щ1 р а б о т а х на с у ш е и н т е р в а л д и с к р е т и з а ц и и обычно р а в е н 2 t/tA\ Все это д е л а е т с я на месте п р о и з в о д с т в а сейсмической съемкц д а н н ы е р е г и с т р и р у ю т с я и п е р е д а ю т с я на б л и ж а й ш у ю полевук о б р а б а т ы в а ю щ у ю систему. '* Ч т о б ы оценить о б ъ е м всего ц и к л а , р а с с м о т р и м с л е д у ю щ и е циф, ры. П р е д п о л о ж и м , что с е й с м и ч е с к а я т р а с с а п о л у ч а е т с я с по> м о щ ь ю группы из 100 с е й с м о п р и е м н и к о в . Е с л и выходной сигнал к а ж д о г о с е й с м о п р и е м н и к а д л и т с я б е и д и с к р е т и з и р у е т с я с ин­ т е р в а л о м 2 мс, з н а ч и т , к а ж д ы й с е й с м о п р и е м н и к производит 300) отсчетов, или 48 ООО битов и н ф о р м а ц и и . С л е д о в а т е л ь н о , в к а * цой сейсмической т р а с с е с о д е р ж и т с я 4,8 млн. битов и н ф о р м а ц и и 234

а в 4 8 - к а н а л ь н о й с е й с м о г р а м м е д л и т е л ь н о с т ь ю б с — о к о л о 250 млн. битов д а н н ы х . П р и средней п р о и з в о д и т е л ь н о с т и сейсмиче­ ского о т р я д а 10 з а п и с е й в д е н ь в о з н и к а е т г р о м а д н а я з а д а ч а о б ­ работки п р и б л и з и т е л ь н о 2,5 м л р д . битов и н ф о р м а ц и и е ж е д н е в н о . П е р в ы е с е й с м о р а з в е д о ч н ы е р а б о т ы на м о р е б ы л и п р о в е д е н ы i; 1934 г. О н и п р и в е л и к о т к р ы т и ю н е ф т я н о г о м е с т о р о ж д е н и я й Л1ексиканском з а л и в е . С тех пор о т р а б о т а н ы сотни т ы с я ч кило­ метров сейсмических п р о ф и л е й в А т л а н т и ч е с к о м , Тихом, И н д и й ­ ском и С е в е р н о м Л е д о в и т о м о к е а н а х , в С р е д и з е м н о м и С е в е р н о м морях, н а В е л и к и х о з е р а х и на к а н а д с к и х о з е р а х з а п о л я р н ы м кругом, в п р о л и в е М а г е л л а н а , К а р и б с к о м м о р е и М е к с и к а н с к о м :1аливе.

М о р с к а я с е й с м о р а з в ё д о ч н а я п а р т и я р а с п о л а г а е т с я обычно на судне д л и н о й 50—70 м, у к о м п л е к т о в а н н о м с о в р е м е н н ы м н а в и 1 а ц и о н н ы м и г е о ф и з и ч е с к и м о б о р у д о в а н и е м . М о р с к а я сейсмоко­ са д л и н о й 3200 м состоит из 48 с е к ц и й , по одной на к а н а л . В одной секции м о ж е т с о д е р ж а т ь с я о т 20 д о 32 п ь е з о э л е к т р и ч е с к и х или к е р а м и ч е с к и х с е й с м о п р и е м н и к о в д а в л е н и я . С е й с м о п р и е м н и к и для м о р с к и х р а б о т о б л а д а ю т высокой ч у в с т в и т е л ь н о с т ь ю к д а в ­ лению и с о д е р ж а т схемы к о м п е н с а ц и и у с к о р е н и я . П о ч т и все м о р с к и е с е й с м о р а з в е д о ч н ы е р а б о т ы M O B в насточщее в р е м я в ы п о л н я ю т с я с п о м о щ ь ю одного судна, которое бук( И р у е т сейсмокосу и источник в о з б у ж д е н и я упругих воли (оди­ ночный и л и г р у п п о в о й ) . И н о г д а и с п о л ь з у ю т с я 16 п н е в м о п у ш е к различного р а з м е р а , п о д в е ш е н н ы х на двух р а м а х по обоим б о р т а м . Грз^пы п н е в м о п у ш е к с у м м а р н ы м о б ъ е м о м к а м е р до 31 ООО см* срабатывают к а ж д ы е 15 с. П р и п р о в е д е н и и м о р с к и х работ исключительно в а ж н о з н а т ь точное м е с т о п о л о ж е н и е , курс и ско­ рость с у д н а , а т а к ж е п о л о ж е н и е б у к с и р у е м о й в воде сейсмокосы, поэтому п р и м е н я е т с я с а м о е с о в р е м е н н о е н а в и г а ц и о н н о е обору­ дование, в к л ю ч а ю щ е е системы спутниковой н а в и г а ц и и . Регистрирующая аппаратура и периферийное оборудование устанавливаются в специальных противоударных шкафах. В больHiHHCTBe р е г и с т р и р у ю щ и х систем п р е д у с м о т р е н а д и с к р е т и з а ц и я с интервалами 1,2 и 4 м с . П р и м о р с к и х р а б о т а х н а и б о л е е у н о т р е б и к'лен и н т е р в а л д и с к р е т и з а ц и и , р а в н ы й 4 мс. Р е г и с т р и р у ю щ и е сис­ темы д л я морской с е й с м о р а з в е д к и с о д е р ж а т 24, 48 или 96 к а н а ­ лов. К р о м е того, и м е е т с я к о о р д и н а т о р времени, с п о м о щ ь ю кото­ рого в к л ю ч а е т с я р е г и с т р и р у ю щ а я система, о т м е ч а е т с я п о л о ж е иие к о р а б л я , з а п и с ы в а ю т с я п о к а з а н и я э х о л о т а и т. д . П р и м о р ' кой с е й с м о р а з в е д к е е ж е д н е в н о Собирается н а м н о г о б о л ь ш е д а н имх, чем п р и сухопутной. Н а п р и м е р , п р и хорошей погоде м о р I кой с е й с м о о т р я д м о ж е т п о л у ч и т ь в д е н ь более 200 с е й с м о з а п и с е й , ь л ж д а я из к о т о р ы х состоит из 40 м л н . битов и н ф о р м а ц и и . В сухопутной и м о р с к о й с е й с м о р а з в е д к е обычно использует|'и схема м н о г о к р а т н ы х н а б л ю д е н и й по способу общей глубинnoi'i точки, в соответствии с которой каждый сейсмоприемник | | | ) т 1 и м а е т сигналы, возбуждаемые в различных точках профиля. 'Л;пеи с целью о с л а б л е н и я помех о т д е л ь н ы е записи с у м м и р у ю т 235

с я . в л ю б о м в а р и а н т е с е й с м о р а з в е д к и MOB т р е б у е т с я решени! б о л ь ш о г о к о л и ч е с т в а и н ж е н е р н ы х з а д а ч . В о з б у ж д е н и е упруги» к о л е б а н и й в и б р а т о р а м и и п н е в м а т и ч е с к и м и п у ш к а м и , , регистра' ц и я о т р а ж е н н ы х волн с п о м о щ ь ю п о л е в ы х ц и ф р о в ы х систем, гид­ р о г р а ф и ч е с к и е р а б о т ы и м н о г о е д р у г о е — н е о б х о д и м ы е част» с л о ж н о г о производственного п р о ц е с с а . Э т о т процесс предваряем м а ш и н н у ю о б р а б о т к у д а н н ы х , в частности д е к о н в о л ю ц и ю . Рассмотрим цифровую обработку данных метода отражен ных волн. П е р е д тем к а к п р и м е н и т ь л ю б о й из способов деконволюции п о л е в ы е д а н н ы е п о д в е р г а ю т п р е д в а р и т е л ь н о й о б р а б о т к е . Задаче п р е д в а р и т е л ь н о й о б р а б о т к и — в в о д всех п о л е в ы х м а т е р и а л о в , ш д е м у л ь т и п л е к с и р о в а н и е и с о р т и р о в к а сейсмических т р а с с в со­ ответствии с г л у б и н н ы м и т о ч к а м и . П о с л е демультиплексировании и в о с с т а н о в л е н и я а м п л и т у д с учетом геометрического р а с х о ж д е н и я к а ж д а я с е й с м о з а п и с ь обычно в ы в о д и т с я и по ней в ы я в л я ю ! ш у м я щ и е т р а с с ы , о б р а т н ы е п о л я р н о с т и , посторонние импульсы и д р у г и е н е ж е л а т е л ь н ы е и с к а ж е н и я . Р е д а к т и р о в а н и е полевы) с е й с м о г р а м м з а н и м а е т много в р е м е н и , но э т о — с у щ е с т в е н н ы й и н е о б х о д и м ы й ш а г на пути к м а к с и м а л ь н о л у ч ш е м у конечном) п р о д у к т у . О т р е д а к т и р о в а н н ы е с е й с м о г р а м м ы в м е с т е со всеми д р у г и м и п о л е в ы м и д а н н ы м и о б р а з у ю т основу д л я последующее с т а н д а р т н о й о б р а б о т к и , з а к л ю ч а ю щ е й с я в с у м м и р о в а н и и , ско­ р о с т н о м а н а л и з е , м и г р а ц и и и прочих о п е р а ц и я х . О д н и схемы об р а б о т к и п р е д у с м а т р и в а ю т д е к о н в о л ю ц и ю к а ж д о й сейсмической т р а с с ы с р а з у ж е после р е д а к т и р о в а н и я , с о г л а с н о д р у г и м графам о б р а б о т к и д е к о н в о л ю ц и я в ы п о л н я е т с я после того, к а к трас'сь с г р у п п и р о в а н ы по п р и з н а к у о б щ е й глубинной точки. В л ю б о м слу ч а е д е к о н в о л ю ц и я сейсмических д а н н ы х в ы п о л н я е т с я п о с л е редак т и р о в а н и я и ее р е з у л ь т а т ы п о д в е р г а ю т с я сейсмической интер претации. В ы ш е перечислены основные о п е р а ц и и по о б р а б о т к е сигналов Д е т а л ь н о е о п и с а н и е т а к и х о п е р а ц и й , к а к с у м м и р о в а н и е по ОГТ, в в е д е н и е к и н е м а т и ч е с к и х п о п р а в о к , скоростной а н а л и з и т. п„ м о ж н о найти в р а б о т е Чтобы составить представление о характере использовант ц и ф р о в ы х в ы ч и с л и т е л ь н ы х м а ш и н в г е о ф и з и к е , п р и в е д е м типич ный с л у ч а й . В течение г о д а м о ж н о л е г к о о б р а б о т а т ь б о л е е 1 млн сейсмических з а п и с е й , к а ж д а я из к о т о р ы х с о д е р ж и т 50 ООО чи с е л , з а п и с а н н ы х 1 5 - р а з р я д н ы м д в о и ч н ы м к о д о м . Цисэровая вы ч и с л и т е л ь н а я м а ш и н а типа CDC 6600, I B M 360/44 и л и Р В Р 11/1!| з а т о ж е в р е м я м о ж е т в ы п о л н и т ь о к о л о 2 т р л н . у м н о ж е н и й . Н» в ы п о л н е н и е подобной р а б о т ы вручную п о т р е б о в а л о с ь бы боле 1 млн. ч е л о в е к о - л е т . Хотя п а к е т в ы ч и с л и т е л ь н ы х п р о г р а м м i о п е р а ц и я д е к о н в о л ю ц и и я в л я ю т с я с у щ е с т в е н н ы м и ч а с т я м и раз ведочного процесса, следует п р и з н а т ь , что и н ж е н е р н о е решени! всего процесса в целом п р е д с т а в л я е т собой т р и у м ф современное технологии. " *.

Приложение .-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

В двустороннем преобразовании Лапласа X(s)=

у

(П-1)

x(t)e-"dl

функция в ~ ' ' представляет собой ядро преобразования Лапласа, а s = о + «о) яв­ ляется комплексной пере1>1енной частоты, связанной с непрерывным временем t. \'.сли функцию X {t) пропустить через идеальный дискретизатор, то на его выходе шшучнм

y(t)=

5]

х(пДОЬ(<-пДО.

(П-2)

где Д< —интервал дискретизации, выбранный в соответствии с теоремой дискре­ тизации; S (О — функция единичного импульса, определяемая как (1, / о > т b(t — x)dt = (П-3) [О. to
f

Двустороннее преобразование Лапласа Y (s) сигнала на выходе дискретизатора nit) имеет вид ^

x(kAt)b{t

— kM) г-''dt.

(П-4)

В результате- почленного интегрирования уравнения (П-4) и принятия во внимание выражения (П-3) получаем

k=—оо

fe=—оо

(П-5)

Поскольку е является ядром непрерывного двустороннего преобразования Лапласа, обозначим с помощью комплексной переменной z = е~''^' аналогичное дискретизованное ядро. Тогда двустороннее z-преобразование Лапласа X (г) опре­ делится выражением

S х^г^

Х(г) = У ( г ) =

(П-6)

k——«

х^ = х(Ш), а г = е, — s i t В обычном двустороннем г-преобразовании комплексная переменная г опреде­ ляется выражением г — е"'', т. е. где

х(2)=

x,z-*. А=—оо

Хспя мы подошли к г-преобразованию Лапласа и обычному г-преобразованию с точки зрения дискретизации, гаметим, что последовательность л:^^ не обязательно должна быть дискретизацией непрерывного сигнала; она может представлять собой любую последсвательность чисел. Несмотря на это, мы использовали такой 237

подход, чтобы продемонстрировать связь между непрерывным преобразование Л апласа и дискретным г-преобразованием ЛапАаса. Комплексная переменная г = е""**'=^ е'^^е"'""^'в'г-преобразовании Лаплш отображает правую половину-.5-ллоокости в н у т р и единичного круга, а лену» половину s-плоскости вне единичного круга. Аналогично комплексная перемени*! Z = е'^' = «"^'е'""^' обычного г-преобразования отображает правую половину «-пли кости вне единичного круга, а левую половину s-плоскости внутрь единич1Ш|1'

Рис. П-1. Связь м 1 е ж д у преобразованием Лапласа (б), ласа (а) и о б ы ч н ы м г-преобразованием (в).

г-преобразованием ЛаП'

Заштрихована область стабильности (устойчивости) и минимальной

фазовости

;

круга. На рис. П-1 показаны области минимальной - фазовости и y c т o й ч и в o c т N для преобразования Лапласа, г-преобразования Лапласа и обычного г-преобразо вания. • В случае причинных последовательностей, когда Atft= О при k < О, г-преов разование Лапласа является, кроме того, известным рядом Маклорена из теории комплексного переменного. Этот ряд содержит многочлен 'с положительными сппенями и очень удобен для описания причинных систем. Обратное г - п р е о б р а з о н 8 ' ние Лапласа (или интеграл обращения) можно вывести с помощью теоремы Коши или способом подбора коэффициентов. j

(МИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

I . Akiike, Н., 1968. On the use of а linear model for the identification of feedback ayateiM. Ann. Inst. Stat. Math.,

20: 425—439.

2 Akaike, H., 1969. Fitting autoregrective modele for prediction. Ann. Intt. Stat. Math., 21: 243-247. 3. Akaike, H., 1971. Autoregressive model fitting for control. Ann. Intt. Stat. Math., 23: 163-180. 4. Andersen, N., 1974. On the calculation of filter coefficients for maximum entropy ipectral analysis. Geophysics, 39: 69—72. 5. Anstey, N.A., 1966. The sectional autocorrelogram and the sectional rectrocorrelogram. Geophys. Prospect,14:

389—426.

a. Backus, M.M., 1959. Water reverberations — their nature and elimination. Oeophyiies, 24: 233-281. 7. Bath, M., 1968. Mathematical Aspects of Seismology. Elsevier, Amsterdam, g. Bath, M., 1973. Introduction to Seismology. Birkhauser, Basel and Stuttgart. I , Bath, M., 1974. Spectral Analysis in Geophysics. Elsevier, Amsterdam. 10 Bateman, H., 1944.

PartitU Differential Equations

of Mathematical Phytiee. Dover. New

York, N.Y. II, Bayless, J.W. and Brigham, E.O., 1970. Application of the Kalman filter to continuous signal restoration. Geophysics, 35: 2—23. 12, Brrkhout, A.J. and Zaanen,P.R., 1976. A comparison between Wiener filtering, Kalman filtering, and deterministic least squares estimation. Geophys. Prospect, 24: 141-197. (3. Шггутап, L.H., Goupillaud, P.L., and Waters, K.H., 1958. Reflections from multiple tran­ sition layers. Geophysics, 23: 223—243. {<«. Illackman, R.B. and Tukey, J.W., 1958. The Measurement of Power Spectra. Dover, New Y^^rk.N.y. | J . Bode, K.W., 1945.

Network Analysis and Feedback Amplifier

Design. D. Van Nostrand,

Princeton, N.J. ID . llogert, B.P. and Ossanna, J.F. 1966. The heuristics of cepstrum analysis of a sUtionary complex echoed Gaussian signal in stationary Gaussian noise. IEEE Trans. Inf. Theory, 12: 373-380. 17. llogert, B.P., Healy, M.J.R. and Tukey, J.W., 1963. Tbe quefrency analysis of time series for echoes. In: M. Rosenblatt (Editor), Proceedings of the Symposium on Time Series Analysis. Wiley, New York, N.Y., 209-243. m, Box, G.E.P. and Jenkins, G.M., 1970,

Time Series Analysis

Forecasting

and

Control.

Holden-Day, San Francisco, Calif. 1». Iluhl.P., Stoffa.P.L. and Bryan, G.M., 1974. The application of homomorphic deconvolution to shallow-water marine seismology, 2. Real data. Geophysics, 39: 417—426. 10. Hurg, J.P., 1968.

A New Aruilysis Technique

for Time Series Data. Paper presented at

NATO Advanced Study Institute on Signal Processing, Enschede. 21, Hurg, K.E., Ewing, M., Press, F. and Stulken, E.J., 1951. A seismic wave guide phenom! enon. Geophysics, 16: 594—612. If, Claerbout, J . , 1976.

Fundamentals

of Geophysical

York, N.Y. f,1, ('i)le, R.H., 1948. Underwater Explosions. ^'1, Dahlman, O. and

Israelson, H., 1977.

Data Processing. McGraw-Hill, New

Princeton University Press, Princeton, N.J.

Monitoring

Underground Nuclear

Explosions.

Elsevier, Amsterdam. IhvBnport, W.B., Jr. and Root.W.L., 1958. An Introduction

to the Theory of Random

Signals and Noise. McGraw-Hill, New York. N.Y. M l>«iil«-h, R., 1965. Estimation Theory. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. tt l»<>btln, M.B., 1976. Introduction to Geophysical Prospecting. McGraw-Hill, New York, I N.Y.,3rded. ti . I)....!., J.L., 1953. Stochastic Processes. Wiley, New York, N.Y. [ iff, Durhiii, J., 1960. The fitting of time series models. Rev. Inst. Int. Stat, 28: 233-243.

L

239

30.Fatou, p., 1906. Series trigonometriques et series de Taylor. Acta Math., 30: 335—345., 31 .Frost, O.L., 1976. Power Spectrum Ettimation. Paper presented at NATO Advanced Study Institute on Signal Processing, Portovenere. 32. Fryer, G.J., Odegard, M.E. and Sutton, G.H., 1975. Oeconvolution and spectral esti* mation using fir.al prediction error. Geophysics, 40: 411—425. 33 . Galbraith, J.N., 1971. Prediction enor is a criterion for operator length. Geophysics, 35; 251-265. 34. Gauss, C . F . , 1809. Theoria Motus Corporum

Coelestium

in Sectionibus

Conicis Solem

Ambientum. Perthes and Besser, -Hamburg (translation published by Dover, New York, N.Y., 1963). 35. Gentleman, W.M. and Sande, O., 1966. Fast Fourier transforms for fun and profit. In|| 1966 Fall Joint Computer Conference. AFIPS Conf. Proc, 29: 563-578. 36. Goupillaud, P.L., 1961. An approach to inverse Altering of near-surface layer effects front seismic records. Geophysics, 26: 754—760. . 37. Grenander, U. and Szego, G., 1958. Toeplitz Forms and Their Applications.

University of

California Press, Los Angeles, Calif.. 38 .Hfigedoorn, B.B., 1954. A process of seismic reflection interpretation. Geophys. Prospect.^ 2: 65-127. 39 .НШе, E. and Phillips, R.S., 1948. Functional Analysis and Semigroups. American Matht« mstical Society, Providence, R.I. ifO.Hobson, E.W., 1950. The Theory of Functions of a Real Variable and the Theory о/,

Foi
J;

82D: 33-46.

47. Kslmaii, R.E. and Bucy, R.8., 1931. New results in linearfilteringand prediction theorf Trans. ASME, 83D: 35-103. 48. Ke!nerait, R.C. and Childers, 0.C., 1872. Signal detection and extraction by cepetrul! tschniques. IEEE TVons. Inf. Theory, 18: 745—759. 4B. Khintchinc, A., 1934. Korreiatiomtheorie der stationaren stochastischen Prozesse. Matl . 4 л « . , 109: 604—615.Г 50. Kolmogorov, A.N., 1933. Sur I'interpolation et extrapolation dee suites slationnairs , C.R. Acad. Sci. Paris, £08: 2043-2045, ' 51 . Kolmogorov, A.N., 1941a. Interpolation a n d extrapolation of stationary randi | sequences. Izv. Acad. Sci. USSR, Math. Ser., 5: 3—14 (in Russian). (TranslatI ) by W. Doyle End J. Selin, RM-3080-PR, R^nd Corp., Santa Monicc, Calif., 19^ | 52 . Kolmogorov, A.N., 1941b. Stationary sequences in Hilbert space. BuU. State Uf] Moscow, Math., 2 (in Russian). (A translation by N. Artin is a-srailable in mj | libraries.) . \ 53 .Kuihanck, O., 1975. introduction to Digital Filtering in Geophysics. Elsevier, Amaterdl |, 54 . Kunetz, G., 1964. Generlixation des ope'rateurs d'antirraonance a un nombre quelconj | de reflecteurs. Geophys. Prospect., 12: 283—28S. i 55 . Kunatz, G. and Fourmanii, J.M., 1968. Efficient decocivolution of marine seismic recol i Geopftysics, 33: 412-423. 56. Ucoss, R.T., 1971. Data adaptive spectral analysis methods. Geophysics, 36: 661-6! | 57. Lamb, H., 1904. Propagation of tremors over the surface of an elastic solid. Philos. 7>e| | R. Soc. bond., Ser. A, 203: 1-42. 53 . Lee, Y.W., 19«0. Statistical Theory of Communication.

Wiley, New York, N.Y.

I •

59 . Levinson, N., 1947. A heuristic exposition of Wiener's mathematical theory of predicH I and filtering. J. Math. Phys., 25: 110-119. •

М, Makhoul. J . , 1976. Cnear prediction: a tutorial review. Лч>с. IEEE, 63 : 561-580. el . Marden, M., 1966. Geometry of Polynomials. American Mathematical Society, Ihrovidence, R.I. I ? . Markel, J.D., 1971. F F T pruning. IEEE Trans. Audio Electroacouat, 19: 305-311. flj. Marlcei, J.D., 1972. Digital mvane filtering — a new tool for formant trajectory esti­ mation. IEEE Trans. Audio Electroacouat., 20: 129—137. |Й. Markel, J/>. and Gray, A.H., 1976. Linear Prediction of Speech. Springer-Verlag, New Yot.,,U.Y. 63 . Mendc!, J.M., 1973. Discrete Techniques of Parameter Estimation. Marcel Dekker, New York, N.y. Id, Mendci, J.M., 1970^ Singk channel white noise estimators for predictive deconvolution. Paper presented at the 4 в а SEG Meeting, Hossstoa, Tezas. ВI , Nettleton, L . L . , 1D40. Geophysical Prospecting for Oil. McGraw-Hill, New York, N.Y. ne, Nuttall, Л.Н., 1976. Spectral analysis of a unhsriete process with bad data points. Via martiiaum entropy and linear predictJTO technique. NUSC TRj No. 5303, Naval Underwater Systems Center, Conn. lU, Oppenheim, A.V. and Schafer, R.W., 1976. Disita! Signal Processing. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. /И , Oppenheim, A.V., Kopec, G.E. and Tribolet, J.M., 1978. Sign&l analysis by tiomomorphic prediction. IEEE Trans. Acoust,., Speech, Signal Process., 24: 327—332. /I , ott, N. and Meder, H.G., 1972. The Kalman filter as a prediction-error filter. Ceophys. Prospect., 20: 549-560. It, Pspoulie, A., 1965. ProbMlity, Random Variables and Stochastic Processes. McGraw-Hill, New York, N.Y. 71, I'nr/on, E., 1971. Some recent advances in time series analysis. In: M. Rosenblatt (Editor), Statistical Models and Turbulence. Springer-Verlag, New York, N.Y. tU. Иопооск, K.L. and Treitel, S., 1969. Predictive deconvolution: theory and practice. GeophyHcs, 34: 15.5-169. / I , Pulonoii, R.A. and Waiter, W.C., 1974. Through the Kaleidoscope. Lecture notes pre­ pared by United Geophysical Corporation. fB. ,V, 1972. Spectra of water reverberations for primary and multiple reflections. (Ifophysics, 37: 738—796. / / , fiiiM.m,S.D., 1823. Sur la distribution de la chaleur dans les corps solides. / Ec. R. Polytech., Ser. I, 19: 1—162. >l tllrker, N . 1953. The form and lavra of propagation of seismic wavelets. Geophysics, 18: 10-40. ' ( Ili.liPr. N. 1977. Transienf M'auesm Visco-Hastic Media. EUevier, Amsterdam. lU , M i i l i i i i n o n , K.A., 1954. Predictive Decomposition of Time Series with Applications to .S'l-wmic Exploration. Ph.D. Thesis, MIT, Cambridge, Mass. Also in Geophysics, И»(>7, 32: 418-484. I I Hnhiniiiiii, K.A., 1957. Predictive decomposition of seismic traces. Geophysics, 22: 7(17-778. Ч lliil.iiiKoii, K.A., 1962. Random Wavelets and Cybernetic Systems. Charles Griffin and Co., London. • ' Ib.liiiiKon, K.A., 19в7а. Multichannel Time Series Analysis with Digital Computer Proцгат«. Holden-Day, San Francisco, Calif. • •i t i . i l i h i i m i , , K.A., 1967b. Statistical Communicatioji and Detection with Special Reference III Diiiital Data Processing of Radar and Seismic Signals. Charles Griffin and Co., I london. iiiihliiiiiin, i; Л., 1975. Dynamic predictive deconvolution. Geophys. Prospect., 23: /11(1 71)H. It.,1,11,»,,,,^ |.; Л. und Treitel, S., 1969. The Robinson-Treitel Reader. Compiled by Seismog i « l i l i H o r v i r r Corporation, Tulsa, Okla. e. ii iiH.MM. К Л , mid Wold.H., 196S. Minimum-delay structure of least-squares and lo­ ll...• |iii4lli-tinK systems for stationary stochastic processes. In: M. Rosenblatt l ( r , ) i ( , . i ) , i;,,i4-<'dings of the Symposium on Time Series Analysis. Wiley, New York, N ¥ , 1И2-196. • B 'ti>(i(t(, И W , ИМИ». l';cho removal by discrete generalized linear filtering. Res. Lab,. E'.ecЛ им Ml V, Tei-h. Rep., No. 466. #S, ei.|t»(!»., M A , in 12 Zur Integration der partiellen Differentialgleichurtg. Z. Reine AngeШ<ч11* l^nlh . pp. 21Й—264.

§0. Senmoto, S. and Childere, D.G. 1972. Signal resolution vis ctigltal inverse filtering./Л Trans. Aerosp. Electron. Syst,

8: 633—640.

^

3U Sherwood, J.W.C. and Trorey, A.W., 1965. Minimum-phase and related properties o( i response of a horizontally stratified absorptive earth to plane acoustic wave. ( • physics, 30: 191-197. j Э2. Srinath, M.D. and Viswanathan, M.M., 1975. Sequential algorithm for identification о j autoregressive process. IEEE

Trans. Autom,

Control, 20: 542—546.

i,

S3. Stoffa, P., Buhl, P. and Bryan, G., 1974. The application of homomorphic deconvoluJjH to shallow-water marine seismology, 1. Theory. Geophysics, 39: 417—436. I 1 , Stolt, R.H., 1978. Migration by Fourier transform. Geophysics, 43: 23—48. i 95. Szego, G., 1915. £in Grenzwertsatz iiber die Toeplitzschen Determinanten einer rej | positiven Funktion. Math. Ann, 76: 490—503. 96. Szego, G., 1939. Orthogonal polynomials. Am. Math. Soc. Colloq. РиЫ, 23. Treitel, S., 1966. Seismic wave propagation in layered media in terms of communical \ theory. Geophysics, 25: 106—129. i 98 .Treitel, S. and Robinson, E.A., 1966. The design of high resolution digital filters. Щ ) Trans. Geosci. Electron.,

4: 25—38.

'

99. tJlrych.T.J., 1971. Application of homomorphic deconvolution to seismology. Cj | physics, 36: 650—660. i 100. Ulrych.T.J. and Clayton, R.W., 1976. Time series modelling and maximum entro|| Phys. Earth Planet. Inter., 12: 188—200.

lot. Wadsworth.G.P., Robinson, E. A., Bryan, J.G. and Hurley. P.M.. 1953. Detection | | reflection on seismic records by linear operators. Geophysics, 18: 539—586. JOZ. White, R.E. and O'Brien, P.N.S., 1974. Estimation of the primary seismic pulse. Geoph ) Prospect, 22: 627-661. J03. Whittle,?., 1969. A view of stochastic control theory. J. R. Stat. Soc, Ser. A, lU 320-334. № 104. Wiener, N.. 1930. Generalized harmonic analysis. Acta Math., 55: 117-258. й, 105. Wiener, N., 1942. The extrapolation, interpolation, and smoothing of stationary i'f series with engineering applications. MIT DIG Contract, No. 6037, Cambri Mass., National Defense Research Council, Section D2. (Reprinted 1949, WH « e w York, N.Y.) 10B. Wiggins, R.A. and Robinson, E.A., 1965. Recursive solution to the multichannel filtfl problem. J. Geophys. Res., 70: 1885—1891. 107. Wold, H., 1954. A Study in the Analysis of Stationary Time Series. Almqvist and Wikl Ij

Uppsala, 2nd ed. ' 108. Wood.L.C. and Treitel, S., 1975. Seismic signal processing. Proc. IEEE, 63: 649^ 109. Wuenschel, P.O., 1960. Seismogram synthesis including multiples and transmission il I ficients. Geophysics, 25:106-129. 110. Yule, G.U., 1907. On the theory of correlation for any number of variables treated new system of notation. Proc. R. Stat. Soc, 79: 182—193. j 111. Yule, G.U., 1927. On a method of investigating periodicities in disturbed series,.;' special reference to Wolfer's sunspot numbers. Phils. Trans., Ser. A, 226: 2674 112. Zadeh, L.A. and Ragazzini, J.R., 1950. An extension of Wiener's theory of predictid j Appl. Phys., 21: 645-655.

ji

1МЕТНЫИ УКАЗАТЕЛЬ ' р е л я ц и о н н а я ф у н к ц и я 24, 126, 132, 16, 192. 221 ш е й н а я п о Д а н и е л ю 221 .ка 132 .мической т р а с с ы 138, 146 также Подпрограммы CROSS, '

.i:v , I

пческий и м п е д а н с 33, 40 нгм Б у р г а 134, 137 также Подпрограммы BURG н пимально-энтропийный спектр нудный с п е к т р 58, 62, 224 I о д н о с л о й н о й м о д е л и 62 . т а к ж е М а г н и т у д н ы й с п е к т р и Под- • Фамма C A S T . т т н ч е с к а я ф у н к ц и я 96 I ричинная п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь 128 А «ричинный к е п с т р 104, 105

t и

4 ш у м 145 чиая о п е р а ц и я 87 |ое п р е о б р а з о в а н и е Ф у р ь е 227 п т а к ж е П о д п р о г р а м м а FFT

• ( . « я ф у н к ц и я Д а н и е л я 220 и также Подпрограмма DANWT 1|)4*1Ность в с л о и с т ы х с р е д а х 53 «.,..1 70 Н|..у|>сейс 234 Ци.^иие п е р в и ч н ы е о т р а ж е н и я 51 <|1|||'енние п е р в и ч н ы е о т р а ж е н и я 46 Я], т в о й и м п у л ь с р е в е р б е р а ц и и 46, 142, |,И

,«стемы 122, 123 iloiiioBOe п о л е 26 1||авиение 27, 68 |(||'аенный р я д 30, ,40 1|.г»|я в с т у п л е н и я 61 11^ т а к ж е П е р в о е в с т у п л е н и е гиг.орочная д и с п е р с и я 135 м^юрочный. к о э ф ф и ц и е н т ч а с т и ч н о й •<|)|1сляции 135—136 гм. т а к ж е П о д п р о г р а м м а Р А С 1 Ы р ; 1 Ж е н и е - Ш в а р ц а 90 . . e v i c o e п р о ц е с с 182 »"||111зика

авто*"

10

к р а т к и й о ч е р к 10—29 |111(>гсза о с л у ч а П н о с т и коэффициентов 'И р а ж е н и я 85 fumioe з н а ч е н и е К о ш и 94 «•У'п'пный р а з р е з 26 (уЛокие о т р а ж е н и я 5 1 , 52 (iVi'ioKOBOAH'iH р а з н с д к а 16. 144 1М. т а к ж е Д л и п п о п е р н о д н ы е кратные 11|р.1жения «иморфные преобразования 87, 88, 99, Ж. 110, 116 л н а у к е и т е х н и к е 87 ниарифмические и экспоненциальные функции 89 'рцределение 88. 102 rii ю н т а л ь н о - с л о и с т а я у п р у г а я с р е д а 68 иппа

57,

102

||1упповое з а п а з д ы в а н и е 57 « . т е м а т и ч е с к о е о п р е д е л е н и е 102 т л е н и е п л о с к о й в о л н ы 60, 68 •чЖЕОлюция

IMI.

23,

36.

46,

117,

164, 194 1.1|.фа-шаговая 24, 141 — 149 и м п у л ь с н а я 141, 144, 164 к г и с т р а л ь н а я 164 !• ( п о ш а г о в а я 141, 144 "ивратор 141 " " р е д е л е н и е 118 п р е д с к а з ы в а ю щ а я 117—139

118,

141.

— с е й с м о г р а м м ы о т р а ж е н и й 160 — см. т а к ж е Подпрограмма POLYDV • Д е р а с п р о с т р а н е н и е 24 —-см. т а к ж е Миграция Динамический диапазон сейсмической з а п и с и 234 Д и н о с е й с 234 Д и с к р е т н о е п р е о б р а з о в а н и е Ф у р ь е 226 — см. также Быстрое преобразование Фурье Дисперсия 125, 126, 133, 179 — о ш и б к и п р е д с к а з а н и я 125, 126 Д и ф р а к ц и я 24 Д л и н н о п е р и о д н ы е к р а т н ы е о т р а ж е н и я 142, 143, 160 — подавление посредством альфа-шаговой предсказывающей деконволюции 140— 164 — п р и г л у б о к о в о д н о й с е й с м о р а з в е д к е 143 Е д и н и ч н ы й и м п у л ь с 45 — см. также Подпрограмма IMPULS З а д а ч а 30 — и д е н т и ф и к а ц и и с и с т е м ы 31 — и з м е р е н и я 31 — у т в е р ж д е н и я 31 З а д е р ж к а р а с п р о с т р а н е н и я 57 З а п а з д ы в а н и е 56, 67, 132 - ^ е д и н и ч н о г о и м п у л ь с а 57 — и з б ы т о ч н о е по ф а з е 67 — и н ф о р м а ц и и 57 — п о ф а з е 57 — ф у н к ц и и а в т о к о р р е л я ц и и 132 И м п у л ь с 188, 237 — в о л н о в о й 40 - f источника 40, 149 — неминимально-запаздыплюи1Ий 55, 58, 149 — п н е в м а т и ч е с к о г о и с т о ч н и к а l.'i — предположение о мнннмальпим запаз­ д ы в а н и и 56 Импульсная — д е к о н в о л ю ц и я 141, 144 — р е а к ц и я м н о г о с л о Л н о П с и с т е м ы 46 — о д н о с л о й н о й с и с т е м hi 46 — ф у н к ц и я 188 —г с м . т а к ж е П о д п р о г р а м м а INPULS И м п у л ь с н ы е ф и л ь т р ы 20Н. L'O'.I — см. т а к ж е П о д п р о г р а м м ы SPIKR, SPIKER Искажение — з а п и с е й о т р а ж е н н ы х в о л и 4П — э л е м е н т а р н о г о в о л н о в о г о п м м у л ь с а 40 К а н о н и ч е с к о е п р е д с т а в л с п и с 15(1 — см. т а к ж е Широкополоспия система К е п с 98. 100 К е п с т р 92. 96, 105 — о п р е д е л е н и е 98 п о н я т и е 96—100 — с в о й с т в а с и м м е т р и и 104 К е п с т р а л ь н а я д е к о н в о л ю ц и я 10П. 110. I l l — с р а в н е н и е с о б р а т н о й фиJIl>гp<чц^rcй !09. 110 К е п с т р а л ь н ы й о п е р а т о р 102 К о м п л е к с н ы й с п е к т р в т о р о г о п о р я д к а 168 К о п о т к о п е р н о д н ы е к р а т н ы е о т р а ж е н и я 143. 162 К о с и н у с н о е п р е о б р а з о в а н и е 07, 98. 224 — с в я з ь с к е п с т р о м 97, 98 — ф у н к ц и и а в т о к о р р е л я ц и и 224 — с м . т а к ж е П о д п р о г р а м м а COSTR Коэффициент отражения 25. 39, 47, 49. 69. 83 — о п р е д е л е н и е 69 — с в я з ь с п е р в и ч н ы м и о т р а ж е н и я м и 83 К о э ф ф и ц и е н т п р о х о ж д е н и я 60. 69

— о п р а д е л е я н е 69 К о э ф ф и ц и е н т ы Ф у р ь е 92 К р а т н ы е о т р а ж е н и я 22, 24, 25, 142, 143, 144, 160, 161 — д л и н н о п е р и о д н ы е 143, 160 — к о р о т к о п е р и о д н ы е 144, 161 — п е р и о д 160 — п о д а в л е н и е 161, 162 — п р и г л у б о к о в о д н о й р а з в е д к е 142, 145. 160 — п р и м е л к о в о д н о й р а з в е д к е И З , 162 Критерий средней квадратической погреш­ н о с т и 125, 182 — в л и н е й н о м п р е д с к а з а н и и 125 — в фильтрации по пространству состоя­ н и й 182 Л и н е й н а я с и с т е м а 4 1 , 47, 119 — и н в а р и а н т н а я в о в р е м е н и 41 — и н в а р и а н т н а я к с д в и г у 119 — о п р е д е л е н и е J19 Л и н е й н а я ф и л ь т р а ц и я 180, 181 — и с т о р и я р а з в и т и я 180, 181 Л и н е й н о е п р е д с к а з а н и е 124, 129, 132, 149, 151, 158 — д и с п е р с и я о ш и б к и 125 — н а п р о и з в о л ь н ы й и н т е р в а л 149 — н о р м а л ь н ы е у р а в н е н и я 125, 130, 150 — о д и о ш а г о в о е 124 — о п е р а т о р 125 — о п е р а т о р о ш и б к и 124, 128 — основанное на бесконечном прошлом с известной функцией автокорреляции 124-139 — основанное на конечном прошлом с и з ­ в е с т н о й ф у н к ц и е й а в т о к о р р е л я ц и и 129— 132 — основанное на конечном прошлом с не­ известной функцией автокорреляции 132-139 — п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь о ш и б к и 125 — см. т а к ж е Подпрограммы EUREKA, РЕО, INVTOP, WVPRED, BURG Л и ф т р а ц и я 169, 171 Логарифм 89. 165 — г о м о м о р ф н о е п р е о б р а з о в а н и е т и п а 89 Логарифмический спектр мощности 166, 167. 168, 169 — п е р и о д и ч н о с т ь 169 — связь с оценкой временного запаздыва­ н и я 168 М а г н и т у д н ы й с п е к т р 91 — см. т а к ж е Амплитудный спектр М а к с и м а л ь н о - э н т р о п и й н ы й с п е к т р 217 — см. также Подпрограмма BURG и Алгоритм Бурга М а т р и ц а 7 1 . 130, 158, 174, 177, 179, 195. 200 — а в т о к о р р е л я ц и и 130, 158, 200 — в с л о и с т о й м о д е л и с р е д ы 71 — в фильтрации по пространству состоя­ н и й 174. 177, 179 — н е о т р и ц а т е л ь н а я о п р е д е л е н н а я 130 — о б р а щ е н н а я 195 — Т о п л и ц а 130 — см. также Подпрограммы MAINE, INVTOP М е т о д о т р а ж е н н ы х в о л н 33 М и г р а ц и я 24 — см. т а к ж е Дераспространение М и н и м а л ь н а я ф а з а 55 — о п р е д е л е н и е 55 — т е о р е м а 55 — см. т а к ж е Минимальное запаздывание. Минимально-отрицательная фаза. Минимально-фазовое запаздывание Минимально-опережающая последователь­ н о с т ь 73. 105

244

— о п р е д е л е н и е 73 — с в я з ь с к е п с т р о м 105 М и н н и а л ь н о - о т р н ц а т е л ь в а я ф а з а М, «I ч 160 — с п е к т р 9 1 , 95 — с р а в н е н и е с м и н и м а л ь н о й фазпП 1н Минимально-фазовое запаздыванш) H I М и н и м а л ь н о е з а п а з д ы в а н и е 24, 3(i, а •• 67, 67, 89, 104, 105, 151, 152, 157 — волновой импульс реверберации " т о й с и с т е м ы 45 I — м и н и м а л ь н о - з а п а з д ы в а ю щ е е пред1И1и«| н и е с т а ц и о н а р н ы х в р е м е н н ы х ряд.'» l i 152 : — о п р е д е л е н и е 56, 57 — последовательность, энергия Kdmin с о с р е д о т о ч е н а в н а ч а л ь н о й ч а с т и 4Л — с в о й с т в а с и с т е м 56. 57 — с в я з ь с к е п с т р о м 104, 105 — с в я з ь со спектральной факторизацией М н о г о с л о й н а я с и с т е м а 42, 68 — к а к с и с т е м а с о с о с р е д о т о ч е н н ы м и mi( м е т р а м и 42 — с л о и с т а я м о д е л ь с р е д ы 68 М н о г о ч л е н о т р а ж е н и й 84 М о д е л ь м е т о д а о т р а ж е н н ы х в о л н 41 ' — о д н о э х о в а я 170 — о с н о в а н н а я н а пространстве состоян 180 — о с н о в а н н а я н а с в е р т к е 40 — п о л ю с н а я 44 — с е й с м и ч е с к а я Р о б и н с о н а 41 — с л о и с т а я с р е д ы 55—86 ' — с малыми и случайными коэффнц» т а м и о т р а ж е н и я 86 ' — с малыми коэффициентами отраже! 81 — с т а т и с т и ч е с к а я 37 — э в о л ю ц и я г е о ф и з и ч е с к о й 33 М о р с к а я р а з в е д к а 235 | М о щ н о с т ь 90, 98, 138, 165 — с п е к т р 165 — с п е к т р а л ь н а я п л о т н о с т ь 90 — ф а к т о р и з а ц и я с п е к т р а 98 } — см. т а к ж е П о д п р о г р а м м ы TRAP, ASPECT ^ Н а и м е н ь ш и е кьа1(ряты 32, 180, 185 — оптимальный фильтр деконволюции Н е м и н и м а л ь н о е з а п а з д ы в а н и е 55, 58, 1 163 ^ Неминимально-запаздывающий импу] и с т о ч н и к а 149, 163 Н е о д н о р о д н а я с и с т е м а 42 Н о р м а л ь н о е п а д е н и е 60, 68 Н о р м а л ь н ы е у р а в н е н и я 125. 127. 144. 1 158, 200 — л и н е й н о г о п р е д с к а з а н и я 125 ! — р е ш е н и е 127, 200 i — см. т а к ж е Подпрограммы EUREI РЕО. INVTOP Н о р м и р о в а н и е м а с с и в а 193, 194 — см. также Подпрограммы NORJ NORME О б р а щ е н н а я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь 103, .li — с в я з ь с к е п с т р о м 104 \ Обращенно-реверсная последовательно 105 О б р а щ е н н ы й в о л н о в о й и м п у л ь с 50 — и с т о ч н и к а 50 — с л о ж н ы й 50 О б щ а я г л у б и н н а я т о ч к а ( О Г Т ) 23. 236 О б щ а я с р е д и н н а я т о ч к а ( О С Т ) 23 О д н о р о д н ы е и з о т р о п н ы е с р е д ы 41, 68 О д и о ш а г о в о е п р е д с к а з а н и е 125. 141, 18.' — л и н е й н о е 125 — при фильтрации по пространству с т о я н и й 183 I

1 , с одношаговой предсказывающей юлюцией 141 ||| м а т е м а т и ч е с к о г о о ж и д а н и я I2S, V ошибки вредсказания 125, 138, И, 155, 204 (ление 204 «ление 125 1льфа-шаговом предсказании 147 иношаговом предсказании 138 с альфашаговой предсказывающей олюцией 154 с одношаговой предсказывающей олюцией 138 |кже Подпрограммы РЕО, BURG ip п р е д с к а з а н и я 125 и т е л ь 130 П31 щ ы е в о л н ы 62, 7 1 , 77 I границы 70 |учае м н о г о с л о й н о й с р е д ы 71, 77 (чае о д н о с л о й н о й с р е д ы 62 i жие п о ф а з е 57 " | 31, 181, 182, 183 <а 31 1ка 181, 182, 183 того волнового импульса 155 I п р е д с к а з а н и я 125, 139 |деление 125 » с к о э ф ф и ц и е н т а м и о т р а ж е н и я 139 '•

1кые о т р а ж е н и я 46, 5 1 , 83 «ние 51 лренние 46 i i ,4 в с т у п л е н и е 61 ( ' нточная ф у н к ц и я 44, 65, 70, 77, 79 и отраженных волн в N-слойной сре-

I

•

F. \ш j .

и отраженных волн в однослойной .«и 65 Ml п р о х о д я щ и х воли в N-слойной Ml 79 I .«1» к р а т н ы х о т р а ж е н и й 142 .^4ективиое п р е д с к а з а н и е 134, 135 • т о ч н а я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь 134, 135 чибка 135 "Иностно-слоистая система 52 • •(«ностный р а з р е з 26 .-рограммы 187—229 uCTAN ( а р к т а н г е н с ) 222 nPRCT ( а в т о с п е к т р ) 222 iiVDI'AS ( п о л о с о в о й ф и л ь т р ) 214. 21S "'JI)P.S2 ( п о л о с о в о й ф и л ь т р ) 215 nllKO ( а л г о р и т м Б у р г а ) 217, 218 I AST ( к о с и н у с н о е и с и н у с н о е п р е о б р а ••'«"мпя) 225 |11';1> ( к о с и н у с н ы й и л и с и н у с н ы й с п е к т |.м1 У.'П M i s y T (тпблица косинусов для квадl . m l i n ) '.".'!) МРМЛИ (тпблица косинусов) 219 I i i ' i l p (Hriiiinvcnoe п р е о б р а з о в а н и е ) 224 (inniiMHoe произведение двух | | | . | | И И т п ) \\К] tl/iih'd (функция взаимной корреляHHIII

« ^ . . . .

.

|М')

ci'niil (|i''iiifimc системы уравнений П.1М l ( | i v i n ) 1П6 » I ) A N W I (ninriiiriniiiiHe а в т о к о в р е л я ц и о н niiA (liviiMMBH iin Л л п и е л г о ) 221 |>(iT ( и в т л р м с к . произведение) 188 Mdllf (мЛршн"» гкплярное произведеniMIM

ч«г

пгпрерывной

фазовой

r n l H ' W A ( и П ш я я р р к у р г и я Т о п л и п а ) 203 ГГ'Г (Л1.И1М1Ч1 tipfortpnnoRaHHe Ф у р ь е ) ;к<я ч'.'н Г<)1 П (»м|1Р1«|1И11Р и л и с в е р т к а м н о г о ЧЛРИП»)

1'1П

— FT (преобразование Фурье) 223 — FTPAiM ( п р е о б р а з о в а н и е Ф у р ь е ) 221 — GENSYM (восстановление симметрич­ ного в е к т о р а по о д н о й з а д а н н о й сторо­ не) 199 — IMPULS (импульс) 188 — INVTOP (обратная матрица Топлица) 205 — M A I N E (обращение симметричной мат­ рицы) 195 — MAXSN (максимальный член р я д а с учетом знака) 193 — M I N S N (минимальный член р я д а с уче­ том знака) 193 — MOVE (пересылка) 187 — NORME (нормирование относительно средней квадратической энергии р я д а ) 193 — NORM1 (нормирование р я д а но первому элементу) 194 — РАС (частичный коэффициент автокор­ р е л я ц и и ) 191 — РЕО (дополнительная рекурсия Топли­ ца) 204 — P O L A R ( п о л я р ц ы е к о о р д и н а т ы ) 225 — POLYDV (деление многочленов) 194— 195 — POLYEV (вычисление значения много­ члена для комплексного аргумента) 109 — PEMAV (вычитание средней арифмети­ ческой) 216 — PEVERS (изменение порядка элементов ряда на обратный) 194 — RMSDEV (среднеквадратическое откло­ нение) 217 — SCALE (взвешивание) 1S8 — SHAPE (формирующий фильтр) 206 — SHAPER (оптимальный формирующий фильтр) 213 — S I D E ( б о к о в а я и т е р а ц и я С и м п с о н а ) 209 — SINTAB (таблица синусов) 219 — SMOOTH (сглаживание с помощью формулы Тьюки — Хэмминга) 224 — SPIKE (импульсный фильтр) 208 — SPIKER (импульсный фильтр с повы­ ш е н н о й э ф ф е к т и в н о с т ь ю ) 209, 210 — S P L I T ( р а з д е л е н и е д а н н ы х на ч е т н у ю и нечетную части) 220 — SYMDOT (симметричное скалярное про­ изведение) 189 — T R A P ( ф и л ь т р т е к у щ е й к о р р е л я ц и и ) 216 — T R A P ( т е к у щ а я м о щ н о с т ь ) 215, 216 — TREN (текущая энергия) 215 — TUKEY (функция автокорреляции Тью­ ки) 192 — WVPRED (предсказание волнового им­ пульса) 214 — XPHAZ (взаимные фазовые спектры)223 — ZERO (обнуление) 187 Поиски — н е ф т и и г а з а 10, 231—236 — в п р е д е л а х м е л к о в о д ь я ' 16 П о л е з н ы е о т р а ж е н и я 34 — см. т а к ж е Первичные о т р а ж е н и я Полное множество волновых импульсов 156 П о л о с о в ы е ф и л ь т р ы 214. 215 — см. также Подпрограммы BNDPAS^ BNDPS2 Последовательность — к о э ф ф и ц и е н т о в о т р а ж е н и я 123. 143 •— о т р а ж е н и й 123 — о т р а ж е н и й в о д н о с л о й н о й с р е д е 62 — ошибки предсказания 125 — энергия которой сосредоточена в на­ ч а л ь н о й е е ч а с т и 45 Предсказание элементарного волновогои м п у л ь с а 155, 214

245

ЛредсказЫ11и..1ц,1я деко»' iciy, nil I I I , 1ЬЗ — алы) |..м,иая 141, И-'. Ч'-> — ИС1111.II liiiuHHe дл» и и д а в л е н н я иыл I III, 163 — IU ii'l'iHi р а з р а б о т к и li!0 — ицмнишговая Л1

l^"крат-

— к hi 1акже Дек1И11и,;1юция

11|« м - а з ы в а ю щ п П ф и л ь т р 125, 214 • • ч. т а к ж е 11ил11рограммы РИО,

UtPKED, 114 KU I llico6ua30uuiiiic

• Г и л ь б е р т а Ь6, 95 —Лапласа — Ф у р ь е 27, 29, 97, 167, 221 — Ф у р ь е о б р а т н о е 2!) — Фурье функции шипкорреляции 223 — см. также 11чд11рограммы COSP, F T R A N , A S P E C T , I T , COSTR, CAST, FFT П р и н ц и п cyncpin) 1ИЦИИ 119 П р и ч и н н а я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь 55, 87, 90 — к е п с т р \П4 — " П р е д е л г п и е 55 - - (Inuii.ip п р е д с к а з а н и я 149 М р п п е е е н о в о в в е д е н и й 126, 183 — при л и н е й н о м п р е д с к а з а н и и 126 при ф и л ь т р а ц и и п о п р о с т р а н с т в у с о с г о м н и й 183 П р и х о д я щ и е в о л н ы 60. 67, 78 — п м н о г о с л о й н о й с р е д е 78 — а о д н о с л о й н о й с р е д е 60 — у г р а н и ц ы р а з д е л а 70 Р а з л о ж е н и е в р я д Т е й л о р а 96 Р а з н о с т н о е уи^внеине 43, 174 Р а ц и о н а л ь н а я ф у н к ц и я 79, 84, 112 — с в я з а н н а я с о т р а ж е н и я м и 84 — с в я з а н н а я с п р о х о д я щ и м и в о л н а м и 79 Р е в е р б е р а ц и я 23, 64. 144 — в в о д н о м с л о е 35 — п е р и о д 160 — см. т а к ж е К р а т н ы е о т р а ж е н и я Реверсная последовательность 104 Р е в е р с н о - о б р а т н а я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь 105 Результирующее отрицательное изменение ф а з ы минимально-задерживающей систе­ м ы 59 Р е к у р с и я Т о п л и ц а 130, 134, 136, 199—203 — д о п о л н и т е л ь н а я 130, 133, 199—203 — общая 130, 199—203 — см. т а к ж е Подпрограммы EUREKA, PEG Р е т р о с п е к т и в н о е п р е д с к а з а н и е 134, 135 — о с т а т о ч н а я п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь 134, 135 — ошибка 135 Ряды — Лорана 118 — М а к л о р е н а 92, 108, 238 — Ф у р ь е 92 С в е р т к а 40. 67. 87, 118—123, 190 — интеграл 118 — м о д е л ь , о с н о в а н н а я н а 40—42 — о п р е д е л е н и е 118 — с у м м а 41 — см. т а к ж е Подпрограмма FOLD Сейсмические данные 18. 19. 33, 232— 236 — с б о р 232-236 — ц и ф р о в а я о б р а б о т к а 19—29 С е й с м о л о г и я з е м л е т р я с е н и й 42 С е й с м о м е т р 33 С е й с м о п р и е м н и к 60, 234 — м о п с к о й 33 — о п и с а н и е 234 Система — с паспределенными параметрами 41 — с с о с р е д о т о ч е н н ы м и п а р а м е т р а м и 42 — у р а в н е н и й 196

— с м . т а к ж е П о д п р о г р а м м а CROUT С к а л я р н о е п р о и з в е д е н и е 188, J89 — с м . т а к ж е П о д п р о г р а м м ы D O T , 1Ц^' SYMDOT С к о р о с т н о й п р о ф и л ь 43 С л о ж н ы й в о л н о в о й и м п у л ь с 49, 54, 122, 123, 143, 146 — о п р е д е л е н и е 49 — с ж а т и е 141, 148 С м е щ е н и е о ц е н к и 132 С о г л а с у ю щ и й ф и л ь т р 34 С о о т н о ш е н и е П а р с е в а л я 58 С п е к т р 9 1 , 165 — в т о р о г о п о р я д к а 168 С п е к т р а л ь н а я ф а к т о р и з а ц и я 90, 98—101 ) — С е г ё - К о л м о г о р о в с к о е р е ш е н и е з а д а ч и 98 — с в я з ь с . к е п с т р о м 98—100 ! С у м м и р о в а н и е п о О Г Т ( О С Т ) 23 Т е к у щ а я э н е р г и я 212 — см. т а к ж е Подпрограмма TREN Теорема — Винера — Колмогорова 180 — Р у ш а 74, 79 Т е о р и я п о т е н ц и а л а 90 — с в я з ь с к е п с т р о м 90 У г л е в о д о р о д ы 33 У г л о в а я ч а с т о т а 27, 28, 90 У п о р я д о ч е н н а я п а р а 87 У п р у г и е в о л н ы 40 Уравнение — д и с п е р с и и 27 — К о л м о г о р о в а 97 У с т о й ч и в о с т ь 44, 55 — п о с л е д о в а т е л ь н о с т е й 55 — с и с т е м 44 Ф а з о в ы й с п е к т р 58, 91, 223, 225 г — см. также Подпрограммы XPHAZj D R U M , CAST Фильтр Кальмана 181 — с м . т а к ж е ф и л ь т р а ц и я по п р о с т р а н с т в у ! состояний I Ф и л ь т р а ц и я по п р о с т р а н с т в у с о с т о я н и й 18t! Ф о р м и р у ю щ и е ф и л ь т р ы 206. 213 1 — см. также Подпрограммы SHAPEii SHAPER • I Функция ' — взаимной корреляции 192 — см. также Подпрограммы CROSS,CROSST — п а м я т и 151 — п л о т н о с т и в е р о я т н о с т и 181 i — последовательной к о р р е л я ц и и сложиог») волнового импульса 138 — последовательной корреляции коэффя» ц и е н т о в о т р а ж е н и я 82 j — п о т е р и 182 — ч а с т и ч н о й а в т о к о р р е л я ц и и 135. 136 — см. т а к ж е Подпрограмма Хвост

сложного

волнового

РАС импульса

Цифровой фазовый множитель

1Щ

56

Ч а с т о т н а я х а р а к т е р и с т и к а 56 — см. т а к ж е Спектр ' Ч а с т о т н ы й р я д 166 Ш и р о к о п о л о с н а я с и с т е м а 159, 161 — см. т а к ж е Каноническое представлези» Э н е р г и я 57. 58. 157, 165 — з а п а . з д ы в а н и е 57 — о ш и б к и 157 — с п е к т р а л ь н а я п л о т н о с т ь 165 — см. также Подпрограммы TREN

j .

• - • , NORME,

• МЛЕНИЕ

jl^^

•—,

iiHdpa

I

5*^.

• 41* ij И1*115льная глава. Краткий обзор геофизических методов

7| 8 ^ 10 •

. . . . .

Ш ' Геофизическая разведка 1" ' Цифровая обработка сейсмических данных

10> 19

ц ' 1с4изическое моделирование

30

! » ;» *• ?1 '*

30 33 ' 37 40' 41

н

Модели в науке и технике )|10люция геофизических моделей иатистические модели в геофизике Модель, основанная на свертке Сейсмическая модель Робинсона

' Слоистая модель среды ! ( '

55

Минимальная фаза и минимальное запаздывание Проходящие и отраженные волны в однослойной среде . . . . Проходящие и отраженные волны в многослойной среде . . . Характеристические полиномы и полиномы отражений . . . .

55 60' 67 79-

Гомоморфный анализ и спектральная факторизация

87

f Гомоморфные преобразования в науке и технике ' ' С.иектральная факторизация ' i Кепстр •

.

.

.

. . .

87, .90' 96

< ' Деконволюция

117

) t

Предсказывающая деконволюция 117 Предсказывающая деконволюция как средство подавления крат­ ных отражений 140 • • Кспстральная деконволюция 164 ' ' Фильтрация состояния 173 44и

•I-

Пмчислительные программы фильтрации и спектрального анализа

С.таидартный пакет подпрограмм Пакет подпрограмм фильтрации Спектральный пакет Инключение .

.

186

186 199 218 231

iJfMiiiKiin. г-преобразование Лапласа

237

*»» янтсрптуры

239

%.im,i;i указатель

. . . .

243

М. т . С И Л Ь В К А . Э. А. Р О Б И Н С О Н

ОБРАТНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ВРвМЕННЫХ РЦДПй Щ[ РАЗВЕДКЕ НА НЕФТЬ И ГАЗ

Редактор издательства В. Н . Н и к и т и н а •Обложка художника Л. Н. К у р ь с р о в о й Художественный редактор В. В. Ш у т ь к о Технический редактор А. Е. М а т в е е в а корректор А. А . П е р е д е р н и к о в а ИЪ № 4646 г' . .

С д а н о в на%ор 19.07.82. П о д п и с а н о в п е ч а т ь 21.12.82. Ф о р м а т 6 0 x 9 0 / , . . И т * и i № 1. Г а р н и т у р а « Л и т е р а т у р н а я » . П е ч а т ь в ы с о к а я . У с л . а. л . 15,5. У е л , dii « Л У ч . - и з д . л . 16,91. Т и р а ж 1900 э к з . З а к а з 2-237/87 88—3. Ц е н а 1 р . 20 к . • : • ЧЛХм Ордена «Знак е з д , 1/19.

Почета»

издательство

Харьковская книжная фабрика

«Недра»,

103633, М о с к в а ,

К-12,

TpoTWiAWf^

« К о м м у н и с т » , 310012, Х а р ь к о в - 1 2 , Э н г е л ь с а , И