Алгебра и логика, 43, N 2 (2004), 159—169
УДК 512.54
РЕВЕРСИВНЫЕ АВТОМОРФИЗМЫ СВОБОДНЫХ l-ГРУПП Н. В. БАЯНОВА, Н. Я. МЕДВЕДЕВ
В [1, пробл. 61] поставлен вопрос о существовании реверсивного автоморфизма у любой свободной решеточно упорядоченной группы ранга r > 2. В данной работе дается положительное решение этого вопроса и показывается, что свободные группы ряда многообразий решеточно упорядоченных групп ранга r > 1 обладают реверсивными автоморфизмами порядка 2 (теор. 3.4).
§ 1. Предварительные сведения Напомним, что решеточно упорядоченная группа (l-группа) — это алгебраическая система сигнатуры l = h·,−1 , e, ∨, ∧i, совмещающая в себе структуры группы и решеточного порядка, связанные соотношениями x(u ∨ v)y = xuy ∨ xvy, x(u ∧ v)y = xuy ∧ xvy. Автоморфизм ϕ частично упорядоченной группы G называют реверсивным, если x ≤ y ⇒ (x)ϕ ≥ (y)ϕ для всех x, y ∈ G. Понятие реверсивного автоморфизма частично упорядоченной группы было введено в [2], там же установлены основные свойства реверсивных автоморфизмов частично упорядоченных групп. Для решеточно упорядоченных групп имеет место ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.1 [3]. Пусть ϕ — реверсивный автоморфизм второго порядка l-группы G. Тогда
c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005
160
Н. В. Баянова, Н. Я. Медведев a) ϕ является автоморфизмом решетки выпуклых l-подгрупп и ре-
шетки поляр l-группы G; b) для любых a, b ∈ G выполняется (a ∨ b)ϕ = (a)ϕ ∧ (b)ϕ, (a ∧ b)ϕ = = (a)ϕ ∨ (b)ϕ. Обозначим через FM(X) свободную l-группу многообразия l-групп M с множеством свободных порождающих X = {xs | s ∈ S, |S| > 1}. Для случая, когда многообразие l-групп M совпадает с многообразием A всех абелевых l-групп, описание свободных l-групп было получено в [4]; для многообразия R всех o-аппроксимируемых l-групп — в [5]; для произвольного нетривиального многообразия l-групп M — в [6], последнее выглядит более громоздко, чем для многообразий A и R. По этой причине в данной работе сначала в § 2 рассматриваются свободные l-группы многообразий l-групп A и R, для которых построение реверсивных автоморфизмов проводится с использованием описания из [4, 5] и выглядит относительно просто, затем в § 3 с использованием описания из [6] свободных l-групп FM(X) рассматривается общий случай. Все неопределяемые в работе понятия теорий групп и решеточно упорядоченных групп содержатся в [7—9].
§ 2. Реверсивные автоморфизмы свободных o-аппроксимируемых l-групп Рассмотрим сначала случай, когда многообразие l-групп M совпадает с многообразием R всех o-аппроксимируемых l-групп, т. е. l-групп, аппроксимируемых линейно упорядоченными группами [7, гл. VIII, § 3]. Напомним описание из [7] свободных l-групп многообразия R. Пусть F — свободная группа с множеством свободных порождающих X = {xs | s ∈ Q ∈ S}, |S| > 1}, F ∗ = ¯ (F, P ), где (F, P ) — свободная группа F , линейно P ∈O
упорядоченная относительно порядка P , и O — множество всех линейных
порядков на F . В [7] показано, что l-подгруппа l-группы F ∗ , порожденная элементами {¯ xs | s ∈ S}, где (P )¯ xs = xs , является свободной l-группой многообразия l-групп R с множеством свободных порождающих {¯ xs | s ∈ S}.
Реверсивные автоморфизмы свободных l-групп
161
Определим отображение Θ : F ∗ → F ∗ по правилу (f¯)Θ = fˆ ∈ F ∗ , где Q (P )fˆ = (P −1 )f¯ для P ∈ O и f¯ ∈ F ∗ = ¯ (F, P ). P ∈O
ЛЕММА 2.1. Отображение Θ является реверсивным автоморфиз-
мом второго порядка группы F ∗ . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Непосредственная проверка показывает, что отображение Θ является автоморфизмом порядка 2 группы F ∗ . Покажем, что Θ является реверсивным. Действительно, пусть f ∈ F ∗ , (f )Θ = fˆ и f ≥ e, т. е. (P )f ≥ e в линейно упорядоченной группе (F, P ) для любого P ∈ O. Тогда (P )fˆ = (P −1 )f и (P −1 )f ≥ e в порядке P −1 свободной группы F . Отсюда (P −1 )f ≤ e в порядке P свободной группы F и Θ(f ) ≤ e. 2 ТЕОРЕМА 2.2. Свободная o-аппроксимируемая l-группа FR(X) с множеством свободных порождающих X = {¯ xs | s ∈ S, |S| > 1} обладает реверсивным автоморфизмом порядка 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть FR(X) — свободная l-группа многообразия R o-аппроксимируемых l-групп со свободным множеством порождающих X. Произвольный элемент w ¯ ∈ FR(X) представим в виде WV Q εijk w ¯ = w ¯ij , где w ¯ij = x ¯ijk ∈ FR (X), εijk = ±1, I, J, K — конечные I J K Q εijk множества индексов и (P )w ¯ij = wij = xijk ∈ (F, P ) для любого P ∈ O. K
Определим отображение ϕ : FR(X) → FR(X) по правилу ! ^_ _^ (w)ϕ ¯ = w ¯ij = w. ˆ w ¯ij ϕ = I
I
J
J
Поскольку любая решеточно упорядоченная группа является дистрибутивной решеткой, то (FR(X))ϕ = FR(X). Далее, (P )w ¯=
_^ I
(P )w ¯ij = max min{wij } (при порядке P ), I
J
(P )(w)ϕ ¯ = (P )w ˆ=
^_ I
J
J
(P )w ¯ij = min max{wij } (при порядке P ). I
J
Заметим, что отображение ϕ совпадает с ограничением реверсивного автоморфизма Θ на l-подгруппу FR(X). Пусть w ¯ ∈ FR(X), (w)Θ ¯ = w′ и P ∈ O. Тогда
162
Н. В. Баянова, Н. Я. Медведев
(P )w′ = (P −1 )w ¯ = max min{wij } (при порядке P −1 ) I
J
= min max{wij } (при порядке P ) = (P )w. ˆ I
J
Поскольку P и w ¯ выбраны произвольно, получаем (w)Θ ¯ = (w)ϕ ¯ для любого w ¯ ∈ FR(X). Поэтому ϕ является реверсивным автоморфизмом свободной o-аппроксимируемой l-группы FR(X). 2 Рассмотрим теперь случай, когда многообразие l-групп M совпадает с многообразием A всех абелевых l-групп. В этом случае, как показано в [6], свободная абелева l-группа FA(X) устроена следующим образом. Пусть F — свободная абелева группа с множеством свободных порождаQ ющих X = {xs | s ∈ S, |S| > 1} и F ∗ = ¯ (F, P ), где (F, P ) — свободная P ∈O
абелева группа F , линейно упорядоченная относительно порядка P , и O —
множество всех линейных порядков на F . Тогда l-подгруппа l-группы F ∗ , порожденная элементами {¯ xs | s ∈ S}, где (P )¯ xs = xs , является свободной l-группой многообразия абелевых l-групп A с множеством свободных порождающих {¯ xs | s ∈ S}. Несложно заметить, что отображение Inv любой абелевой l-группы G, определенное по правилу (g)Inv = g −1 (g ∈ G), является реверсивным автоморфизмом порядка 2. ТЕОРЕМА 2.3. Свободная абелева l-группа FA(X) со свободной системой порождающих X = {¯ xs | s ∈ S, |S| > 1} обладает по крайней мере двумя различными реверсивными автоморфизмами порядка 2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть FA(X) — свободная l-группа многообразия A абелевых l-групп со свободным множеством порождающих X. WV Произвольный элемент w ¯ ∈ FA(X) представим в виде w ¯ = w ¯ij , где I J Q εijk w ¯ij = x ¯ijk ∈ FR(X), εijk = ±1, I, J, K — конечные множества индекK Q εijk сов и (P )w ¯ij = wij = xijk ∈ (F, P ) для любого P ∈ O. Рассуждения, K
аналогичные доказательству теоремы 2.2, показывают, что отображение WV VW w ¯ij ϕ = ϕ : FA(X) → FA(X), определенное по правилу w ¯ij = w, ˆ I J
I J
является реверсивным автоморфизмом FA(X) порядка 2.
Покажем, что реверсивные автоморфизмы Inv и ϕ различны. Пусть,
Реверсивные автоморфизмы свободных l-групп напротив, Inv = ϕ. Тогда для любого w ¯ij =
Q K
163
ε
ijk x ¯ijk ∈ FA(X) справедливо
−1 2 = e, и, поскольку l-группы w ¯ij = (w ¯ij )Inv = (w ¯ij )ϕ = w ¯ij , откуда w ¯ij
не имеют кручения, w ¯ij = e. Из этого, в частности, следует, что все свободные порождающие свободной абелевой l-группы являются единичными элементами, что противоречит нашему предположению. 2 Отметим, что свободная l-группа многообразия абелевых l-групп с одним свободным порождающим является свободной l-группой любого нетривиального многообразия l-групп. Обозначим ее F (1), не отмечая, в каком именно l-многообразии она рассматривается. Г. Биркгоф [10, гл. XIII, упр. 6 к §§ 3—4] показал, что F (1) изоморфна l-прямой сумме (Z, P ) ⊕ (Z, P −1 ), где Z — аддитивная группа целых чисел, линейно упорядоченная относительно естественного порядка P . По теореме 2.3, l-группа (Z, P ) ⊕ (Z, P −1 ) ∼ = F (1) обладает двумя реверсивными автоморфизмами (порядка 2): ϕ, Inv, где (a, b)ϕ = (b, a), (a, b)Inv = (−a, −b) для любых (a, b) ∈ (Z, P ) ⊕ (Z, P −1 ). Несложно показать, что l-группа (Z, P )⊕(Z, P −1 ) обладает единственным нетривиальным l-автоморфизмом τ , где (a, b)τ = (−b, −a) и τ 2 = e. Покажем, что любой реверсивный автоморфизм (Z, P ) ⊕ (Z, P −1 ) порядка 2 совпадает либо с ϕ, либо с Inv. Действительно, пусть ψ — произвольный реверсивный автоморфизм (Z, P ) ⊕ (Z, P −1 ) порядка 2, отличный от ϕ, Inv. По предложению 1.1, ψ либо переставляет прямые сомножители местами, либо оставляет их на месте. Поскольку аддитивная группа целых чисел имеет только один реверсивный автоморфизм (умножение на число −1), то в первом случае этот реверсивный автоморфизм совпадает с ϕ, а во втором — с Inv. Далее, Inv · ϕ = ϕ · Inv = τ . Следовательно, группа, порожденная ϕ и Inv, является прямым произведением двух циклических групп (ϕ) и (Inv) порядка 2. Тем самым доказано следующее ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.4. Свободная l-группа с одним свободным порождающим F (1) имеет в точности два реверсивных автоморфизма и один нетривиальный l-автоморфизм порядка 2. ЗАМЕЧАНИЕ. Существует бесконечное множество реверсивных ав-
164
Н. В. Баянова, Н. Я. Медведев
томорфизмов бесконечного порядка l-группы F (1) ∼ = (Z, P )⊕(Z, P −1 ). Рассмотрим для произвольного натурального числа k отображение ψ, определенное по правилу: (1, 0)ψ = (−1, 0), (0, 1)ψ = (−k, −1). Непосредственные вычисления показывают, что ψ является реверсивным автоморфизмом бесконечного порядка l-группы (Z, P ) ⊕ (Z, P −1 ).
§ 3. Общий случай Пусть FM(X) — свободная l-группа многообразия l-групп M с множеством свободных порождающих X = {xs | s ∈ S, |S| > 1} и K(M) — класс групп, вложимых в l-группы из M. Известно, что K(M) является квазимногообразием [11]. Пусть F — свободная группа квазимногообразия K(M). Группа F имеет то же множество порождающих, что и l-группа FM(X). Через RO обозначается множество всех правых порядков группы F . Правоупорядоченную группу F с правым порядком P ∈ RO обозначим (F, P ). Для каждого правого порядка P группы F и для каждой выпуклой подгруппы H в (F, P ) множество R(F,P ) (H) правых смежных классов F по H линейно упорядочено посредством отношения: Hx ≤ Hy тогда и только тогда, когда x ≤ y в правоупорядоченной группе (F, P ). В l-группе A(R(F,P ) (H)) всех порядковых автоморфизмов линейно упорядоченного множества R(F,P ) (H) рассмотрим l-подгруппу AH (P ), порожденную всеми правыми сдвигами (a)RH множества R(F,P ) (H), а именно, (Hx)(a)RH = Hxa для каждого a ∈ F . В каждой правоупорядоченной группе (F, P ) существует наименьшая выпуклая подгруппа H(P ) такая, что AH(P ) (P ) ∈ M. В этом случае l-группу AH(P ) (P ) обозначим A(P ). Q Через F ∗ обозначается декартово произведение ¯ A(P ) l-групп P ∈RO
A(P ), P ∈ RO.
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1 [6]. Для всякого многообразия l-групп M lподгруппа l-группы F ∗ , порожденная элементами {¯ xs | s ∈ S}, (P )¯ xs = = (xs )RH(P ) , является свободной l-группой многообразия l-групп M, а {¯ xs | s ∈ S} — ее множеством свободных порождающих.
Реверсивные автоморфизмы свободных l-групп
165
Далее в этом параграфе рассматриваются многообразия l-групп M, обладающие свойством H(P ) = H(P −1 ).
(∗)
Ввиду этого условия можно считать, что H(P ) = H(P −1 ) = H. Поэтому множества R(F,P ) (H) и R(F,P −1 ) (H) совпадают и являются множеством правых смежных классов группы F по подгруппе H, но упорядочены противоположным образом: Hx ≤ Hy в линейно упорядоченном множестве R(F,P ) (H) тогда и только тогда, когда Hx ≥ Hy в упорядоченном множестве R(F,P −1 ) (H). Поэтому группы A(P ) и A(P −1 ) действуют на одном множестве и порождаются правыми сдвигами (a)RH , a ∈ F. Обозначим решеточные операции в l-группах A(P ) и A(P −1 ) через W V W′ V′ , и , соответственно. Таким образом,любой элемент f ∈ A(P ) ′ V ′ W V W (A(P −1 )) представим в виде f = (wij )RH (wij )RH , где wij ∈ F. I J
I J
Для любого элемента Hx множества R(F,P ) (H) имеет место (Hx)f = (Hx)
WV
(wij )RH
I J
= max min(Hxwij ) (в л. у. множестве R(F,P ) (H)) I
J
= min max(Hxwij ) (в л. у. множестве R(F,P −1 ) (H)) I J V′ W′ (wij )RH . = (Hx) I J
Поэтому любой элемент l-группы A(P ) является элементом l-группы WV A(P −1 ). Предположим, что f = (wij )RH и f ≥ e в l-группе A(P ). I J WV Тогда (Hx)f = (Hx) (wij )RH = max min(Hxwij ) = Hxwi(0)j(0) ≥ Hx I J
I
J
для некоторых i(0) ∈ I, j(0) ∈ J в линейно упорядоченном множестве
R(F,P ) (H). Следовательно, (Hx)f = Hxwi(0)j(0) ≤ Hx в линейно упорядоченном множестве R(F,P −1 ) (H). Поскольку элемент Hx выбран произвольно, получаем, что f ≤ e в l-группе A(P −1 ). Тем самым доказана следующая ЛЕММА 3.2. a) Любой элемент f группы A(P ) является также и элементом группы A(P −1 ). b) Если элемент f из l-группы A(P ) представим в виде f = WV = (wij )RH в l-группе A(P ), то в l-группе A(P −1 ) он представим в I J
166
Н. В. Баянова, Н. Я. Медведев
виде
V′ W′
(wij )RH .
I J
c) Решеточные порядки l-групп A(P ) и A(P −1 ) противоположны,
т. е. если f ≥ e в l-группе A(P ), то f ≤ e в l-группе A(P −1 ). Определим отображение Θ : F ∗ → F ∗ по правилу (f¯)Θ = fˆ ∈ F ∗ , где Q f¯ ∈ F ∗ = ¯ A(P ) и (P )fˆ = (P −1 )f¯ для всех P ∈ RO. P ∈RO
ЛЕММА 3.3. Отображение Θ является реверсивным автоморфиз-
мом порядка 2 l-группы F ∗ . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. С учетом леммы 3.2 рассуждения аналогичны доказательству леммы 2.1. 2 ТЕОРЕМА 3.4. Свободная l-группа FM(X) со свободной системой порождающих X = {¯ xs | s ∈ S, |S| > 1} многообразия l-групп M со свойством (∗) обладает реверсивным автоморфизмом порядка 2. WV ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть f¯ ∈ FM(X) ≤ F ∗ , f¯ = w ¯ij , где I J Q εijk w ¯ij = x ¯ijk ∈ FM(X), εijk = ±1, I, J, K — конечные множества индексов K Q εijk xijk RH для любого P ∈ RO. и (P )w ¯ij = (wij )RH(P ) = K
Определим отображение ϕ : FM(X) → FM(X) по правилу ! ^_ _^ (f¯)ϕ = w ¯ij , w ¯ij ϕ = I
I
J
J
где f¯ — произвольный элемент l-группы FM(X). Из дистрибутивности решетки l-группы FM(X) непосредственно следует, что (FM(X))ϕ = FM(X). Покажем, что для любого элемента f¯ ∈ FM(X) выполняется равенство WV (f¯)ϕ = (f¯)Θ. Пусть f¯ = w ¯ij — произвольный элемент из FM(X). ТоI J
гда для любого P ∈ RO выполняются (P )(f¯)ϕ) =
^_ I
(P )((f¯)Θ) = (P −1 )(f¯) =
(wij )RH ,
J
′ ^ ′ _ ^_ (wij )RH = (wij )RH = (P )((f¯)ϕ).
I
J
I
J
Следовательно, (f¯)ϕ = (f¯)Θ для всех f¯ ∈ FM. В силу леммы 3.3, ϕ — реверсивный автоморфизм порядка 2. 2.
Реверсивные автоморфизмы свободных l-групп
167
Для произвольной l-группы G = (G, P ) через GR = (G, P −1 ) обозначается группа G, решеточно упорядоченная относительно обратного порядка P −1 , т. е. a ≤ b в G тогда и только тогда, когда a ≥ b в GR . СЛЕДСТВИЕ. Свободная l-группа FM(X) со свободной системой порождающих X = {xs | s ∈ S, |S| > 1} многообразия l-групп M обладает реверсивным автоморфизмом порядка 2, если 1) M определяется тождествами групповой сигнатуры; 2) из G ∈ M следует GR ∈ M; 3) M является многообразием всех жестких l-групп; 4) M является многообразием всех l-групп с субнормальными скачками; 5) M является многообразием всех l-групп. Приведем теперь пример многообразия l-групп, свободные неабелевы l-группы которого не обладают реверсивными автоморфизмами. ПРИМЕР. Пусть R — аддитивная группа действительных чисел, B2 — бесконечная циклическая подгруппа мультипликативной группы положительных действительных чисел, порожденная числом 2. Тогда множество T2 = {(r, a) | r ∈ B2 , a ∈ R} с операцией умножения (r, a)(r′ , a′ ) = = (rr′ , r′ a + a′ ) является группой. Определим на группе T2 линейный порядок, считая, что T2 ∋ (r, a) ≥ 0, если r = 2p и либо p > 0, либо p = 0 и a > 0. Непосредственная проверка показывает, что на линейно упорядоченной группе T2 выполняется тождество (кванторы опускаются) |[x, y]|(|x|∨|y|) ∧ |[x, y]|2 = |[x, y]|2 .
(1)
Пусть V = varl (T2 ) — многообразие l-групп, порожденное линейно упорядоченной группой T2 . Поскольку группа T2 неабелева, то и свободная l-группа F = FV(X) со свободной системой порождающих X = {xs | s ∈ S, |S| > 2} многообразия l-групп V также неабелева. Как известно, свободная l-группа F = FV(X) изоморфна l-подгруппе некоторой декартоQ вой степени линейно упорядоченной группы T2 . Пусть x ¯, y¯ ∈ F ≤ ¯ T2 (i), i∈I
[¯ x, y¯] 6= e. Тогда из (1) следует
(|¯ x| ∨ |¯ y |)−1 |[¯ x, y¯]|(|¯ x| ∨ |¯ y |) ≥ |[¯ x, y¯]|2 ,
168
Н. В. Баянова, Н. Я. Медведев
где |[¯ x, y¯]| = (. . . , (1, c(i)), . . . ), (|¯ x| ∨ |¯ y |) = (. . . , (2k(i) , a(i)), . . . ), причем k(i) > 0, если c(i) 6= 0. Отсюда (|¯ x| ∨ |¯ y |) ≥ |[¯ x, y¯]|n ≥ e для произвольного натурального числа n ∈ N. Пусть ϕ — произвольный реверсивный автоморфизм свободной l-группы F , тогда выполняются неравенства ((|¯ x| ∨ |¯ y |)−1 )ϕ(|[¯ x, y¯]|)ϕ(|¯ x| ∨ |¯ y |)ϕ ≤ (|[¯ x, y¯]|2 )ϕ < e
(2)
и (|¯ x| ∨ |¯ y |)ϕ ≤ (|[¯ x, y¯]|n )ϕ ≤ e для любого n ∈ N. Пусть (|[¯ x, y¯]|)ϕ = ′
= (. . . , (1, c′ (i)), . . . ) и (|¯ x| ∨ |¯ y |)ϕ = (. . . , (2k (i) , a′ (i)), . . . ). Из неравенств ′
(. . . , (2k (i) , a′ (i)), . . . ) ≤ (. . . , (1, c′ (i)), . . . )n ≤ e (n ∈ N) следует, что k ′ (i) 6= 6= 0 (c′ (i) < 0, k ′ (i) < 0), если c′ (i) 6= 0. Поскольку элементы (|¯ x| ∨ |¯ y |)ϕ и (|[¯ x, y¯]|)ϕ неперестановочны, то существует по меньшей мере один индекс i(0) ∈ I такой, что c′ (i0 ) 6= 6= 0, k ′ (i0 ) 6= 0. Следовательно, выполняются неравенства ′
′
′
(2k (i0 ) , a′ (i0 ))−1 (1, c′ (i0 ))(2k (i0 ) , a′ (i0 )) = (1, 2k (i0 ) c′ (i0 )) ≤ (1, c′ (i0 ))2 = (1, 2c′ (i0 )). ′
Учитывая c′ (i0 ) < 0, k ′ (i0 ) < 0, имеем 2k (i0 ) < 1 и должно выполняться ′
неравенство 2k (i0 ) c′ (i0 ) ≤ 2c′ (i0 ) < 0, что невозможно.
ЛИТЕРАТУРА 1. Black Swamp Problem Book, ed. W. Ch. Holland, handwritten notes, Bowling Green State University, Ohio, USA. 2. M. Giraudet, F. Lucas, Groups `a moiti´e ordonn´es, Fundam. Math., 139, N 2 (1991), 75—89. 3. Н. В. Баянова, О. В. Никонова, Реверсивные автоморфизмы решеточно упорядоченных групп, Сиб. матем. ж., 36, N 4 (1995), 763—768. 4. E. C. Weinberg, Free lattice-ordered abelian groups. Math. Ann., 151, N 3 (1963), 187—199. 5. P. F. Conrad, Free lattice-ordered groups, J. Algebra, 16, N 2 (1970), 191—203. 6. В. М. Копытов, Свободные решеточно упорядоченные группы, Алгебра и логика, 18, N 4 (1979), 426—441. 7. В. М. Копытов, Решеточно упорядоченные группы, М., Наука, 1983.
Реверсивные автоморфизмы свободных l-групп
169
8. V. M. Kopytov, N. Ya. Medvedev, The theory of lattice-ordered groups, Dordrecht-Boston-London, Kluwer Academic Publ., 1994. 9. М. И. Каргаполов, Ю. И. Мерзляков, Теория групп, М., Наука, 1977. 10. Г. Биркгоф, Теория решеток, М., Наука, 1984. 11. А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М., Наука, 1970.
Поступило 15 апреля 2002 г. Адреса авторов: БАЯНОВА Надежда Владимировна, ул. Гущина, д. 185, кв. 48, г. Барнаул, 656063, РОССИЯ. e-mail:
[email protected] МЕДВЕДЕВ Николай Яковлевич, ул. Горно-Алтайская, д. 21, кв. 100, г. Барнаул, 656010, РОССИЯ. e-mail:
[email protected]