ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ èìåíè Ì. Â. ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀ
ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÅÒ Îòäåëåíèå ýêñïåðèìåíòàëüíîé è òåîðåò...
67 downloads
219 Views
2MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ èìåíè Ì. Â. ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀ
ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÅÒ Îòäåëåíèå ýêñïåðèìåíòàëüíîé è òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè
Íà ïðàâàõ ðóêîïèñè
Êàëà÷åâ Ñåðãåé Àíäðååâè÷
ÝÍÅÐÃÈÈ ÑÂßÇÈ ÃÈÏÅÐßÄÅÐ È ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈÅ ΛN È ΛΛ (01.04.02 òåîðåòè÷åñêàÿ ôèçèêà)
Äèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíè êàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü êàíäèäàò ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê äîöåíò Í. Í. Êîëåñíèêîâ
Ìîñêâà 2005
Îãëàâëåíèå
Ââåäåíèå 1 Ãèïåðÿäðà: ýêñïåðèìåíò è òåîðèÿ 1.1 1.2 1.3
Îáçîð ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ìåçîííàÿ òåîðèÿ è ñâîéñòâà ΛN -ñèë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ôåíîìåíîëîãè÷åñêèé ïîäõîä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Ðàñ÷åò ñèñòåì íåáîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòèö 2.1 2.2
2.3 2.4
Õàðàêòåðèñòèêà èñïîëüçóåìûõ ìåòîäîâ ðàñ÷åòà . . . . . . . . . Âàðèàöèîííûé ìåòîä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Âûáîð áàçèñíûõ ôóíêöèé è ïðîöåäóðû îïòèìèçàöèè . . 2.2.2 Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû H è H 2 . . . . . . . . . . . . . . . Êàðêàñíûå ôóíêöèè â ðàñ÷åòàõ êóëîíîâñêèõ è ÿäåðíûõ ñèñòåì Âåðõíèå è íèæíèå îöåíêè ýíåðãèè . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Ýíåðãèè ñâÿçè ãèïåðÿäåð è ΛN -âçàèìîäåéñòâèå 3.1 3.2 3.3 3.4
Λ-ãèïåðÿäðà è ïðîáëåìà ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ Ãèïåðÿäðà 1s-îáîëî÷êè è ΛN -ïîòåíöèàë . . . Ãèïåðÿäðà è êëàñòåðû, ìîäåëü Λ-îñòîâ . . . . Ãèïåðÿäðà 1p-îáîëî÷êè è òÿæåëûå ãèïåðÿäðà
4 Äâîéíûå ãèïåðÿäðà è ΛΛ-âçàèìîäåéñòâèå 4.1 4.2 4.3
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
. . . . . .
. . . .
è ïîòåíöèàë ΛΛ âçàèìîäåéñòâèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Àíàëèç ýíåðãèé ñâÿçè äâîéíûõ ãèïåðÿäåð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ãèïåðÿäðà è ñóïåðÿäðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 ΛΛ He
Çàêëþ÷åíèå
2 4
4 12 17
22
22 29 29 38 48 55
68
68 70 77 82
87 87 90 92
95
1
Ââåäåíèå Ïðîáëåìà ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé â íàñòîÿùåå âðåìÿ âðåìÿ ïðîäîëæàåò îñòàâàòüñÿ öåíòðàëüíîé â ñîâðåìåííîé ôèçèêå, ïðè÷åì öåíòð òÿæåñòè èññëåäîâàíèé âñå áîëåå ïåðåìåùàåòñÿ â ñòîðîíó áîëåå âûñîêèõ ýíåðãèé è âñå ìåíüøèõ ìåæ÷àñòè÷íûõ ðàññòîÿíèé. 60 ëåò íàçàä ïîä ñèëüíûì âçàèìîäåéñòâèåì ïîíèìàëè íóêëîí-íóêëîííîå âçàèìîäåéñòâèå, êîòîðîå îêàçûâàåòñÿ ñïîñîáíûì óäåðæèâàòü íóêëîíû â ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè. Îäíàêî ïîñëå îòêðûòèÿ ìåçîíîâ è ñòðàííûõ ÷àñòèö è, íàêîíåö, äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé ñòðàííûõ áàðèîíîâ (Λ-÷àñòèö) ñ íóêëîíàìè, òàê íàçûâàåìûõ, ãèïåðÿäåð, ñòàëî î÷åâèäíûì, ÷òî ñóùåñòâóåò øèðîêèé êëàññ ÷àñòèö, ó÷àñòâóþùèõ â ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ àäðîíîâ.  ñâÿçè ñ ýòèì åñòåñòâåííî âîçíèê âîïðîñ î òîì, ÷òî îáùåãî è â ÷åì îòëè÷èÿ â ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ ðàçëè÷íûõ ðàçíîâèäíîñòåé àäðîíîâ. Îáùåå äëÿ íèõ ýòî, ïðåæäå âñåãî, çàðÿäîâàÿ ñèììåòðèÿ (SU(2)) óñòàíîâëåííàÿ åùå â ÿäåðíîé ôèçèêå äëÿ íóêëîíîâ è ðàñïðîñòðàíÿåìàÿ íà äðóãèå âèäû àäðîíîâ. Êàê ñåé÷àñ î÷åâèäíî, îòêëîíåíèÿ îò SU(2) ñèììåòðèè ñóùåñòâóþò, íî îíè íåâåëèêè è ìîãóò áûòü àêêóðàòíî ó÷òåíû. Àíàëèç ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ïðèâîäèò òàêæå ê çàêëþ÷åíèþ î ñóùåñòâîâàíèè áîëåå øèðîêîé ñèììåòðèè âî âçàèìîäåéñòâèè àäðîíîâ SU(3) ñèììåòðèè; âîçìîæíî, ÷òî ñóùåñòâóåò è áîëåå âûñîêàÿ ñèììåòðèÿ SU(6). Åñòü îñíîâàíèÿ îæèäàòü, ÷òî îòêëîíåíèÿ îò SU(3) ñèììåòðèè ìîãóò îêàçàòüñÿ çíà÷èòåëüíûìè è îáñòîÿòåëüíàÿ ïðîâåðêà ýòîé ãèïîòåçû âåñüìà àêòóàëüíà.  ýòîì îòíîøåíèè íàèáîëåå ïîäõîäÿùèìè îáúåêòàìè ÿâëÿþòñÿ ñòðàííûå ÷àñòèöû ãèïåðîíû è îñîáåííî Λ-÷àñòèöû, äëÿ êîòîðûõ íàêîïëåí íàèáîëåå îáøèðíûé ýêñïåðèìåíòàëüíûé ìàòåðèàë (íå ñ÷èòàÿ, ðàçóìååòñÿ, äàííûõ ÿäåðíîé ôèçèêè î N N âçàèìîäåéñòâèè). Ýòî äàííûå ïî ðàññåÿíèþ ãèïåðîíîâ íà íóêëîíàõ è ãèïåðÿäðà, ò.å. ñèñòåìû, ñîäåðæàùèå â ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè ñ íóêëîíàìè îäíó èëè äâå Λ-÷àñòèö, êîòîðûå äàþò ïðÿìóþ èíôîðìàöèþ î ïîòåíöèàëå (ñèëüíîãî) âçàèìîäåéñòâèÿ ΛN è ΛΛ. Èíôîðìàöèþ î âçàèìîäåéñòâèè ãèïåðîíîâ äàþò òàêæå ðåàêöèè îáðàçîâàíèÿ Λ-÷àñòèö è ãèïåðÿäåð, ñïåêòðû ãèïåðÿäåð è ðàñïàä Λ-÷àñòèö è ãèïåðÿäåð. Íà äàííûé ìîìåíò, çà 50 ëåò, ïðîøåäøèõ ïîñëå ïåðâîãî íàáëþäåíèÿ îáðàçîâàíèÿ ãèïåðÿäðà, ïî ãèïåðÿäåðíîé òåìàòèêå áûëî îïóáëèêîâàíî íåñêîëüêî òûñÿ÷ òåîðåòè÷åñêèõ è ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ðàáîò, è ïîòîê ïóáëèêàöèé ïðîäîëæàåòñÿ è äàæå çà ïîñëåäíèå íåñêîëüêî ëåò ñòàë áîëåå èíòåíñèâíûì. Ôàêòè÷åñêè ïîÿâèëñÿ íîâûé ðàçäåë ôèçèêè ÿäðà è ÷àñòèö ôèçèêà ãèïåðÿäåð. Êðóã âîïðîñîâ, ðàññìàòðèâàåìûõ â ôèçèêå ãèïåðÿäåð, ðàñøèðÿåòñÿ è âêëþ÷àåò òåïåðü íå 2
òîëüêî ãèïåðÿäðà è ðàçëè÷íûå ñòðàííûå ÷àñòèöû, íî è ýêçîòè÷åñêèå ñèñòåìû, ñîäåðæàùèå â ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè ÷àñòèöû, â ñîñòàâ êîòîðûõ âõîäÿò c è b-êâàðêè, òàê íàçûâàåìûå ñóïåðÿäðà. Ïðîáëåìû ãèïåðÿäåð òåñíî ïåðåïëåòàþòñÿ ñ ïðîáëåìàìè ñìåæíûõ îáëàñòåé, íàïðèìåð, àíàëèç ðàñïàäà Λ-÷àñòèö è ãèïåðÿäåð äàåò öåííóþ èíôîðìàöèþ î ñâîéñòâàõ ñëàáûõ âçàèìîäåéñòâèé. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, àíàëèç ýíåðãèé îñíîâíûõ è âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé ãèïåðÿäåð ïîçâîëÿåò, èñïîëüçóÿ Λ-÷àñòèöó êàê ïðîáíóþ ÷àñòèöó, èññëåäîâàòü ñòðóêòóðó îáû÷íûõ ÿäåð, íàïðèìåð ïîëó÷èòü èíôîðìàöèþ î ðàñïðåäåëåíèè â ÿäðàõ êàê ïðîòîíîâ, òàê è íåéòðîíîâ. Èññëåäîâàíèå ΛN è ΛΛ-ïîòåíöèàëîâ ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ äëÿ êâàðêîâîé òåîðèè, ïîñêîëüêó ýòè ïîòåíöèàëû áîëåå êîðîòêîäåéñòâóþùèå, ÷åì N N -ïîòåíöèàëû è ïîýòîìó â íèõ êâàðêîâûå ýôôåêòû èãðàþò ãîðàçäî áîëåå ñóùåñòâåííóþ ðîëü. Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà ïðîáëåìå ΛN è ΛΛ-âçàèìîäåéñòâèÿ íà îñíîâå ñîâìåñòíîãî àíàëèçà ýíåðãèé ñâÿçè ãèïåðÿäåð è Λp-ðàññåÿíèÿ. Ðåçóëüòàòû òàêîãî àíàëèçà ñîäåðæàòñÿ â ãë. 3 äëÿ ïîòåíöèàëà ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ è â ãë. 4 äëÿ ΛΛ-âçàèìîäåéñòâèÿ. Ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è âîññòàíîâëåíèÿ ΛN è ΛΛ-ïîòåíöèàëà íà îñíîâàíèè àíàëèçà ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ïîòðåáîâàëî ðàçðàáîòêè ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ ðàñ÷åòà ñèñòåì òðåõ, ÷åòûðåõ, ïÿòè è øåñòè ÷àñòèö, êîòîðûå èçëîæåíû â ãë. 2. Ïðè ýòîì íàäåæíîñòü ðàñ÷åòà ýíåðãèé òàêèõ ñèñòåì îáåñïå÷èâàëàñü áëàãîäàðÿ íàõîæäåíèþ êàê âåðõíåé, òàê è íèæíåé îöåíêè ýíåðãèè. Âîçìîæíî, òàêîé ìåòîä ðàñ÷åòà îêàçàëñÿ áû ïîëåçíûì ïðè ðàññìîòðåíèè òàêèõ àêòèâíî îáñóæäàåìûõ âîïðîñîâ, êàê ñóùåñòâîâàíèå ðàçëè÷íûõ ýêçîòè÷åñêèõ ñèñòåì, íàïðèìåð, ïåíòàêâàðêîâ, K − -ÿäåð è η -ÿäåð.
3
Ãëàâà 1 Ãèïåðÿäðà: ýêñïåðèìåíò è òåîðèÿ
1.1
Îáçîð ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ
Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè â ãèïåðÿäåðíîé ôèçèêå íàêîïëåí äîñòàòî÷íî áîëüøîé îáúåì ýêñïåðèìåíòàëüíîé èíôîðìàöèè, êàñàþùåéñÿ ñèëüíûõ Y N - è Y Y -âçàèìîäåéñòâèé. Îäíàêî, ïîëó÷åíèå ýòîé èíôîðìàöèè ñòàëêèâàåòñÿ ñ áîëüøèìè òåõíè÷åñêèìè òðóäíîñòÿìè, ñâÿçàííûì, ïðåæäå âñåãî, ñ ìàëîñòüþ æèçíè äàæå îòíîñèòåëüíî ñòàáèëüíûõ ãèïåðîíîâ: τΛ = 2.632(20) × 10−10 c, τΣ+ = 0.8018(26) × 10−10 c, τΣ0 = 7.4(7) × 10−20 c, τΣ− = 1.479(11) × 10−10 c, τΞ0 = 2.90(9) × 10−10 c, τΞ− = 1.639(15) × 10−10 c [1], íå ãîâîðÿ óæå î ðåçîíàíñíûõ ñîñòîÿíèÿõ. Êðîìå òîãî, ìàëîñòü ñå÷åíèé ðîæäåíèÿ ãèïåðîíîâ, à òàêæå îòñóòñòâèå ó íåêîòîðûõ èç íèõ ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà (Λ, Σ0 , Ξ0 ) íå ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü äîñòàòî÷íî èíòåíñèâíûå ïó÷êè ýòèõ ÷àñòèö. Îòìå÷åííûå òðóäíîñòè óäàåòñÿ ÷àñòè÷íî ïðåîäîëåòü ñ ïîìîùüþ íàáëþäåíèé âçàèìîäåéñòâèÿ ãèïåðîíîâ îäíîâðåìåííî (èëè ïî÷òè îäíîâðåìåííî) ñ èõ ðîæäåíèåì. Òåì íå ìåíåå, ýòè ýêñïåðèìåíòû îñòàþòñÿ âåñüìà ñëîæíûìè. Çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ áûëà ïîëó÷åíà ñ ïîìîùüþ ÿäåðíûõ ýìóëüñèé. Êðîìå ýìóëüñèé èñïîëüçîâàëèñü ïóçûðüêîâûå êàìåðû, è, â ïîñëåäíèå äåñÿòèëåòèÿ, èñïîëüçóþòñÿ ñ÷åò÷èêîâûå ýëåêòðîííûå ìåòîäû. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ãèïåðîíîâ è ãèïåðÿäåð îáû÷íî èñïîëüçóþò ñëåäóþùèå ðåàêöèè:
p +A Z →A (Z) + K + + Λ, →A+1 (Z) + K + , Λ
(1.1)
+ 0 →A Λ (Z − 1) + K + p
K − +A Z →A−1 (Z) + Λ + π − , − →A Λ (Z) + π ,
→A−1 (Z − 1) + Λ + π 0 , 0 →A Λ (Z − 1) + π ,
4
(1.2)
K − +A Z →A−2 (Z − 2) + Λ + Λ + K + , →A−1 (Z − 1) + Ξ− + K +
π + +A Z →A−1 Z + Λ + K + , + →A Λ Z +K ,
(1.3)
(1.4)
+ γ +A Z →A Λ Z +K
(1.5)
0 + e +A Z →A Λ Z +e +K
(1.6)
Ðåàêöèè òèïà 1.1 õàðàêòåðèçóþòñÿ âåñüìà ìàëûì ñå÷åíèåì, êîòîðîå íå âñåãäà óäàåòñÿ êîìïåíñèðîâàòü âûñîêîé èíòåíñèâíîñòüþ ïðîòîííûõ ïó÷êîâ. Êðîìå òîãî, âîçíèêàþò äîïîëíèòåëüíûå íåóäîáñòâà ïðè èñïîëüçîâàíèè ÿäåðíûõ ýìóëüñèé ñ ðåàêöèÿìè äàííîãî òèïà, ïîñêîëüêó ïîìèìî óêàçàííûõ ðåàêöèé, ïðîèñõîäèò î÷åíü áîëüøîå ÷èñëî ïîáî÷íûõ ðåàêöèé, â ñâÿçè ñ ÷åì âîçíèêàþò áîëüøèå òðóäíîñòè ñ èäåíòèôèêàöèåé ñîáûòèé ñ ãèïåðîíàìè. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûìè ðåàêöèÿ ïîëó÷åíèÿ ãèïåðîíîâ è ãèïåðÿäåð ÿâëÿþòñÿ ðåàêöèè òèïà 1.2. Èìåííî ñ ðåàêöèÿìè äàííîãî òèïà ïîëó÷åíî ïîäàâëÿþùåå áîëüøèíñòâî èìåþùèõñÿ ê íàñòîÿùåìó ìîìåíòó äàííûõ îòíîñèòåëüíî ñâîéñòâ ãèïåðÿäðåð è ãèïåðîííóêëîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Ðåàêöèè äàííîãî òèïà î÷åíü óäîáíî èñïîëüçîâàòü â ýìóëüñèîííûõ ýêñïåðèìåíòàõ èç-çà íåáîëüøîãî êîëè÷åñòâà ïîáî÷íûõ ðåàêöèé. Êðîìå òîãî, ðåàêöèè òèïà 1.3 èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñèñòåì ñ äâîéíîé ñòðàííîñòüþ. Íåäîñòàòêîì äàííûõ òèïîâ ðåàêöèé ÿâëÿåòñÿ òðóäíîñòü ïîëó÷èòü äîñòàòî÷íî èíòåíñèâíûå ïó÷êè K − ìåçîíîâ. Ðåàêöèè òèïà 1.4 áûëî íåóäîáíî èñïîëüçîâàòü â ýìóëüñèîííûõ ýêñïåðèìåíòàõ ïî òåì æå ïðè÷èíàì, ÷òî è ðåàêöèè òèïà 1.1, îäíàêî ïðè èñïîëüçîâàíèè ñîâðåìåííûõ ñ÷åò÷èêî-ýëåêòðîííûõ ìåòîäîâ ðåãèñòðàöèè, ýêñïåðèìåíòû ñ ðåàêöèÿìè äàííîãî òèïà ñóùåñòâåííî ðàñøèðèëè îáëàñòü ãèïåðÿäåðíûõ èññëåäîâàíèé. Èìåííî ñ ïîìîùüþ òàêèõ ðåàêöèé áûëè íàäåæíî èçó÷åíû öåëûå ñïåêòðû ñîñòîÿíèé òÿæåëûõ ãèïåðÿäåð. Ðåàêöèè òèïà 1.6 è êèíåìàòè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûå èì 1.5 íà÷àëè èñïîëüçîâàòüñÿ îòíîñèòåëüíî íåäàâíî ñ ïîÿâëåíèåì â ïîñëåäíåå âðåìÿ äîñòàòî÷íî èíòåíñèâíûõ ïó÷êîâ ýëåêòðîíîâ âûñîêèõ ýíåðãèé. Íàèáîëåå öåííóþ èíôîðìàöèþ î ñâîéñòâàõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö äîñòàâëÿþò äàííûå ïî èõ ðàññåÿíèþ. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ïî ðàññåÿíèþ ãèïåðîíîâ íà íóêëîíàõ áûëè ïîëó÷åíû â æèäêîâîäîðîäíûõ ïóçûðüêîâûõ êàìåðàõ, â êîòîðûõ âîäîðîä èñïîëüçîâàëñÿ è êàê èñòî÷íèê ãèïåðîíîâ è êàê ïðîòîííàÿ ìèøåíü. Íàèáîëåå ïîëíî èçó÷åíî ðàññåÿíèå Λ-ãèïåðîíîâ íà ïðîòîíàõ. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå ïî óïðóãîìó íèçêîýíåðãåòè÷åñêîì ðàññåÿíèþ íåïîëÿðèçîâàííûõ Λ-ãèïåðîíîâ ñ äîñòàòî÷íî áîëüøîé ñòàòèñòèêîé (602 ñîáûòèÿ) ïîëó÷åíû äëÿ 5
èíòåðâàëà èìïóëüñîâ 120 6 pΛ 6 330 ÌýÂ/c â ðàáîòàõ Àëåêñàíäåðà [2] è Ñå÷è-Çîðíà [3]. Äàííûå èç ýòèõ ðàáîò ïðèâåäåíû â òàáëèöàõ 1.1 è 1.2. Äëÿ ýòîãî äèàïàçîíà èìïóëüñîâ â [2] (è ÷àñòè÷íî â [3]) áûëè èçìåðåíû êðîìå ïîëíîãî ñå÷åíèÿ ðàññåÿíèÿ σel (Λp) òàêæå è ïàðàìåòðû óãëîâîé àñèììåòðèè: îòíîøåíèÿ âïåðåä íàçàä F/B è ïîëþñ-ýêâàòîð P/E (èç-çà íåäîñòàòî÷íîé ñòàòèñòèêè ñèñòåìàòè÷åñêîå èçó÷åíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ ñå÷åíèé íå ïðîâîäèëîñü). Êàê âèäíî èç ïðèâåäåííûõ äàííûõ, Λp-âçàèìîäåéñòâèå ñëàáåå íóêëîííóêëîííîãî (â íèçêîýíåðãåòè÷åñêîì äèàïàçîíå ñå÷åíèÿ Λp ðàññåÿíèÿ ïðèáëèçèòåëüíî â 5-6 ðàç ìåíüøå ñå÷åíèé N N -ðàññåÿíèÿ). Îòñóòñòâèå çàìåòíîé àñèììåòðèè â óãëîâîì ðàñïðåäåëåíèè ãîâîðèò î òîì, ÷òî íèçêîýíåðãåòè÷åñêîå Λp -ðàññåÿíèå ïðîèñõîäèò â îñíîâíîì â s-ñîñòîÿíèè. Ïðè èìïóëüñàõ, ïðåâûøàþùèõ 250 ÌýÂ/c, èìååòñÿ òåíäåíöèÿ ê óâåëè÷åíèþ îòíîøåíèé F/B è P/E , ÷òî óêàçûâàåò íà âîçðàñòàíèå âêëàäà îò ðàññåÿíèÿ â p-âîëíå.  ðàáîòå [2] íà îñíîâå ïîëó÷åííûõ äàííûõ â êà÷åñòâå õàðàêòåðèñòèê Λp-ðàññåÿíèÿ íàõîäèëèñü ïàðàìåòðû òåîðèè ýôôåêòèâíîãî ðàäèóñà (òðèïëåòíûå è ñèíãëåòíûå äëèíû ðàññåÿíèÿ a è ýôôåêòèâíûå ðàäèóñû r0 ), îäíàêî âñëåäñòâèå áîëüøèõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ îøèáîê ýòà ïðîöåäóðà íå ÿâëÿåòñÿ íàäåæíîé è ïðèâîäèò ê íåîäíîçíà÷íûì ðåçóëüòàòàì. Òàê, íàïðèìåð, â ðàáîòå [4] óêàçûâàëîñü, ÷òî íàáîðû (as ; at ) = (-5ô; -0.5ô) èëè (-1ô; 2ô) ïðèìåðíî ñ òîé æå òî÷íîñòüþ îïèñûâàþò ñå÷åíèÿ, ïðèâåäåííûå â òàáëèöå 1.1, ÷òî è ïîëó÷åííûé â [2] íàáîð
as = −1.8 ô,
r0s = 2.8 ô,
at = −1.6 ô,
r0t = 3.3 ô.
(1.7)
Äàííûå ïî Λp-ðàññåÿíèþ â îáëàñòè áîëåå âûñîêèõ ýíåðãèé íå èìåþò ñèñòåìàòè÷åñêîãî õàðàêòåðà.  ðàáîòå [5] áûëè èçìåðåíû ñå÷åíèÿ óïðóãîãî Λp ðàññåÿíèÿ â äèàïàçîíå èìïóëüñîâ on 200 ÌýÂ/c äî 2 ÃýÂ/c ñ èíòåðâàëîì 100 ÌýÂ/c. Ñå÷åíèÿ ìåíÿþòñÿ ñêà÷êîîáðàçíî, ÷òî, âîçìîæíî, ñâÿçàíî ñ íàëè÷èåì ðåçîíàíñîâ, êîòîðûå, îäíàêî, ÷åòêî íå âûäåëåíû. Îòìåòèì, ÷òî â îáëàñòè èìïóëüñîâ 200-300 ÌýÂ/c ïîëó÷åííûå äàííûå íåñêîëüêî íèæå äàííûõ Àëåêñàíäåðà è Ñå÷è-Çîðíà. Ðåçóëüòàòû ýòèõ ýêñïåðèìåíòîâ ïðèâåäåíû â òàáëèöå 1.3. Èìåþòñÿ òàêæå èçìåðåíèÿ ñå÷åíèé Λp-ðàññåÿíèÿ â îáëàñòè ýíåðãèé îò 1 äî 17 ÃýÂ/c ñ áîëüøèìè èíòåðâàëàìè ïîðÿäêà 1 ÃýÂ/c, ñì. òàáë. 1.4. Êàê âèäíî èç òàáëèöû ñå÷åíèÿ ïîñòåïåííî ïàäàþò äî 4 ìáí. Êðîìå óïðóãîãî Λp-ðàññåÿíèÿ, â ðàáîòàõ [2, 57] èçìåðÿëîñü ñå÷åíèå ïîëíîãî ΛN ðàññåÿíèÿ. Èçìåðåííàÿ â ðàáîòå [7] âåëè÷èíà ïîëíîãî ñå÷åíèÿ ðàññåÿíèÿ Λ-÷àñòèöû íà íåéòðîíàõ σtot (Λn) â äèàïàçîíå 6 ÃýÂ/c 6 pΛ 6 21 ÃýÂ/c îêàçàëàñü áëèçêîé ê âåëè÷èíå ñå÷åíèÿ ðàññåÿíèÿ íà ïðîòîíàõ σtot (Λp) (σtot (Λn)=34.0(8) ìáí è σtot (Λp)=34.6(4) ìáí), ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò îá îòíîñèòåëüíîé ñëàáîñòè ýôôåêòîâ, íàðóøàþùèõ çàðÿäîâóþ íåçàâèñè¯ è Λp ¯ ðàññåÿíèé. ìîñòü ΛN -ñèë; àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû ïîëó÷åíû è äëÿ ñå÷åíèé Λn Èìåþòñÿ òàêæå äàííûå ïî ðàññåÿíèþ äðóãèõ ãèïåðîíîâ íà íóêëîíàõ.  ÷àñòíîñòè, áûëè èçìåðåíû ïîëíûå è äèôôåðåíöèàëüíûå ñå÷åíèÿ óïðóãîãî Σ± p-ðàññåÿíèÿ è ïîëÿðèçàöèÿ Σ± -ãèïåðîíîâ â êîíå÷íîì ñîñòîÿíèè â îáëàñòè èìïóëüñîâ 130 ÌýÂ/c 6 pΣ 6 180 6
Òàáëèöà 1.1: Ñå÷åíèÿ íèçêîýíåðãåòè÷åñêîãî óïðóãîãî Λp-ðàññåÿíèÿ [2] ïðè ðàçëè÷íîé ãðóïïèðîâêå ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ïî äèàïàçîíàì èìïóëüñà Λ-÷àñòèöû pΛ pΛ , ÌýÂ/c Êîë-âî ñîáûòèé σel (Λp), ìáí F/B P/E 120-150 150-180 180-210 210-240 240-270 270-320
34 48 80 88 92 36
212(36) 141(20) 141(16) 95(10) 81(8) 56(9)
1.01(24) 1.27(28) 1.29(27) 1.55(53)
0.87(22) 0.79(19) 1.12(24) 0.99(34)
120-170 170-200 200-220 220-240 240-260 260-320
65 62 58 65 85 43
180(22) 130(17) 118(16) 101(12) 83(9) 57(9)
0.55(16) 1.76(45) 1.16(25) 1.92(62)
1.00(29) 0.74(20) 1.14(25) 1.01(32)
Òàáëèöà 1.2: Ñå÷åíèÿ íèçêîýíåðãåòè÷åñêîãî óïðóãîãî Λp-ðàññåÿíèÿ [3] pΛ , ÌýÂ/c Êîë-âî ñîáûòèé σel (Λp), ìáí 120-150 150-180 180-210 210-240 240-270 270-330
14 28 49 54 59 20
209(58) 177(38) 153(27) 111(18) 87(13) 46(11)
ÌýÂ/c [8], ñå÷åíèÿ íåóïðóãîãî Σ− p → Λn è Σ− p → Σ0 n ðàññåÿíèÿ ïðè 105 ÌýÂ/c 6 pΣ 6 165 ÃýÂ/c [9]. Áîëåå ïîçäíèå äàííûå ïî ðàññåÿíèþ ãèïåðîíîâ îòíîñÿòñÿ ê ðàññåÿíèþ Σ− ãèïåðîíîâ íà ïðîòîíàõ. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ýêñïåðèìåíòà, ñ òàêèìè ãèïåðîíàìè óäîáíåå ðàáîòàòü, âî-ïåðâûõ ïîòîìó, ÷òî îíè çàðÿæåíû, à âî-âòîðûõ ïîòîìó, ÷òî ýòîò çàðÿä ÿâëÿåòñÿ îòðèöàòåëüíûì, ÷òî ïîçâîëÿåò èõ áîëåå íàäåæíî âûäåëèòü èç ïîòîêà ÷àñòèö, âêëþ÷àþùåãî â ñåáÿ èñõîäíûé ïîòîê ïðîòîíîâ. Òàê â ðàáîòå [10] áûëè ïðîâåäåíû ýêñïåðèìåíòû íà ðàññåÿíèþ Σ− ãèïåðîíîâ íà ÿäðàõ â îáëàñòè èìïóëüñîâ îêîëî 600 ÃýÂ/c è èç ýòèõ äàííûõ âû÷èñëåíû ñå÷åíèÿ ïîëíîãî Σ− N -ðàññåÿíèÿ, ïðè ýòîì â õîäå ýêñïåðèìåíòà áûëî çàôèêñèðîâàíî áîëåå, ÷åì 4 × 107 ñîáûòèé. Èìåþùèõñÿ äàííûõ ïî ðàññåÿíèþ ãèïåðîíîâ ÿâíî íåäîñòàòî÷íî äëÿ òîãî, ÷òîáû ìîæíî áûëî äåëàòü îäíîçíà÷íûå âûâîäû î ñâîéñòâàõ äàæå íàèáîëåå òùàòåëüíî ýêñïåðèìåíòàëüíî èçó÷åííîãî Λp-âçàèìîäåéñòâèÿ, íå ãîâîðÿ óæå î âçàèìîäåéñòâèÿõ Λn, ΛΛ, ΣN è ò.ä. Ýòîò 7
Òàáëèöà 1.3: Ñå÷åíèÿ óïðóãîãî Λp-ðàññåÿíèÿ [5] â îáëàñòè ïðîìåæóòî÷íûõ ýíåðãèé.
pΛ , ÌýÂ/c Êîëè÷åñòâî ñîáûòèé (âçâåøåííîå) 200 - 300 7.2 300 - 400 16.3 400 - 500 9.5 500 - 600 11.2 600 - 700 22.9 700 - 800 15.2 800 - 900 13.5 900 - 1000 12.2 1000 - 1100 21.9 1100 - 1200 7.1 1200 - 1300 7.3 1300 - 1400 12.9 1400 - 1500 7.8 1500 - 1600 7.7 1600 - 1700 4.1 1700 - 1800 4.2 1800 - 1900 2.1 1900 - 2000 1.1
σel (Λp), ìáí 26.0(9.7) 23.9(5.9) 8.9(2.9) 9.1(2.7) 16.7(3.5) 10.7(2.7) 10.2(2.8) 8.9(2.5) 18.1(3.9) 6.9(2.6) 7.5(2.8) 16.4(4.6) 11.4(4.1) 13.3(4.8) 11.1(5.5) 15.5(7.6) 13.6(9.4) 20.3(19.1)
Òàáëèöà 1.4: Ñå÷åíèÿ óïðóãîãî Λp-ðàññåÿíèÿ [11] â îáëàñòè âûñîêèõ ýíåðãèé pΛ , ÃýÂ/c Êîë-âî ñîáûòèé σel (Λp), ìáí 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-17
22 16 12 7 4 8
8
22.3±5.8 16.3±4.8 14.4±4.8 7.7±3.2 6.2±3.3 4.1±1.6
ïðîáåë â èçâåñòíîé ñòåïåíè âîñïîëíÿåòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè ïî ñâÿçàííûì ñîñòîÿíèÿì Λ-ãèïåðîíîâ ñ íóêëîíàìè, òàê íàçûâàåìûì ãèïåðÿäðàì, è â ïåðâóþ î÷åðåäü ïî èõ ýíåðãèÿì ñâÿçè. Âïåðâûå ãèïåðÿäðî áûëî îáíàðóæåíî Äàíèøåì è Ïíåâñêèì â 1952 ãîäó, êîòîðûå ñðåäè ïðîäóêòîâ ðàñùåïëåíèÿ ÿäåð ÷àñòèöàìè êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé îáíàðóæèëè ñðàâíèòåëüíî äîëãîæèâóùèå ôðàãìåíòû, ðàñïàäàâøèåñÿ ñ èñïóñêàíèåì ïèîíîâ. Îíè áûëè ïåðâîíà÷àëüíî íàçâàíû ãèïåðôðàãìåíòàìè.  äàëüíåéøåì, âìåñòî êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé ñòàëè èñïîëüçîâàòüñÿ ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ óñêîðèòåëåé ïó÷êè ïðîòîíîâ è ïèîíîâ. Îäíàêî, êàê óæå óïîìèíàëîñü, ïðè èñïîëüçîâàíèè ÿäåðíûõ ýìóëüñèé (îñíîâíîé ìåòîä â òî âðåìÿ) áûëî íåïðîñòî, èñêëþ÷èâ ìíîãî÷èñëåííûå ïîáî÷íûå ðåàêöèè, ïîëó÷èòü íàäåæíûå äàííûå. Ñèòóàöèþ èçìåíèëè ïîÿâèâøèåñÿ ïîçæå ïó÷êè K − ìåçîíîâ, ïîçâîëèâøèå èìåòü áîëüøîå êîëè÷åñòâî íóæíûõ ñîáûòèé è ïðè íèçêîì óðîâíå ïîáî÷íûõ ðåàêöèé, ïîñêîëüêó ñòðàííîñòü óæå ïðèñóòñòâîâàëà â èñõîäíîì ïó÷êå.  áîëüøèíñòâå ðàííèõ ýêñïåðèìåíòîâ èñïîëüçîâàëèñü ýìóëüñèè, ïîñêîëüêó îíè îáëàäàëè âûñîêèì ïðîñòðàíñòâåííûì ðàçðåøåíèåì (6 1 ìêì), êîòîðîå íåîáõîäèìî äëÿ íàäåæíîãî âûäåëåíèÿ ñëó÷àåâ îáðàçîâàíèÿ ãèïåðÿäåð è èõ ðàñïàäà. Íåäîñòàòêîì èñïîëüçîâàíèÿ ýìóëüñèé ÿâëÿåòñÿ ïðèñóòñòâèå â ýìóëüñèè ðàçíîîáðàçèÿ ÿäåð-ìèøåíåé: âîäîðîäà, ëåãêèõ ÿäåð óãëåðîäà, àçîòà, êèñëîðîäà, è òÿæåëûõ ÿäåð ñåðåáðà è áðîìà. Êðîìå òîãî, ñâîéñòâà ëåã÷àéøèõ ãèïåðÿäåð â òî âðåìÿ èçó÷àëèñü â ýêñïåðèìåíòàõ ñ îñòàíàâëèâàþùèìèñÿ K − ìåçîíàìè â ãåëèåâûõ ïóçûðüêîâûõ êàìåðàõ. Ñ ïîìîùüþ (K − , π − )-ðåàêöèé áûëî ïîëó÷åíî çíà÷èòåëüíîå ÷èñëî ãèïåðÿäåð â îáëàñòè ìàññîâûõ ÷èñåë A = 4 − 16, â êîòîðûõ â íóêëîííûõ îñòîâàõ çàïîëíÿëèñü 1s è 1p-îáîëî÷êè. Ýíåðãèè ñâÿçè ãèïåðÿäåð 1s è 1p-îáîëî÷åê ïîëó÷åííûå áîëüøåé ÷àñòüþ ñ ïîìîùüþ ðåàêöèé (K − , π − ) ïðèâåäåíû â òàáëèöå 1.5 [1215]. Îòìåòèì, ÷òî ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèé Λ-ãèïåðîíà ñ îäíèì íóêëîíîì íå áûëî îáíàðóæåíî, è ìîæíî ñ äîñòàòî÷íîé óâåðåííîñòüþ óòâåðæäàòü, ÷òî òàêèõ ñîñòîÿíèé íå ñóùåñòâóåò. Êðîìå òîãî, îòñóòñòâóþò ñâÿçàííûå ñîñòîÿíèÿ ñèñòåì Λnn è Λpp. Êàê âèäíî èç òàáëèöû 1.6, ýíåðãèÿ ñâÿçè Λ4 He áîëüøå, ÷åì ýíåðãèÿ ñâÿçè Λ4 H, ÷òî ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê áîëåå ñèëüíîå âçàèìîäåéñòâèå Λp ïî ñðàâíåíèþ ñ Λn, ïî êðàéíåé ìåðå â 1s-ñîñòîÿíèè.  ðåàêöèÿõ òèïà (K − , π − ) êðîìå ÿäåð 1p îáîëî÷êè ïîëó÷àëè è áîëåå òÿæåëûå ãèïåðÿäðà, îäíàêî òî÷íî îïðåäåëèòü èõ ýíåðãèè ñâÿçè â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè íå óäàâàëîñü [1618]. Ýòî îêàçàëîñü âîçìîæíûì ïðè èñïîëüçîâàíèè ðåàêöèè (π + , K + ). Íàéäåííûå ñ ïîìîùüþ (π + , K + ) ðåàêöèé ýíåðãèè ñâÿçè òÿæåëûõ ãèïåðÿäåð, ïðèâåäåíû â òàáëèöå 1.7 [1921]. (â òàáëèöå òàêæå äàíû ýíåðãèè âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé, î ÷åì ïîäðîáíåå ãîâîðèòñÿ íèæå). Ñïåêòðîñêîïèÿ ãèïåðäÿåð â (K − , π − ) è (π + , K + )-ðåàêöèÿõ ïîëó÷èëà áûñòðîå ðàçâèòèå â íà÷àëå 70õ ãîäîâ íà óñêîðèòåëÿõ ÖÅÐÍ, Áðóêõýéâåíñêîé íàöèîíàëüíîé ëàáîðàòîðèè (ÁÍË, ÑØÀ) è ÊÅÊ (ßïîíèÿ).  ðåçóëüòàòå ñâåäåíèÿ îá ýíåðãèÿõ ñâÿçè Λ-ãèïåðîíîâ è îòäåëüíûõ ìîäàõ ñëàáûõ ðàñïàäîâ ëåãêèõ ãèïåðÿäåð, ïîëó÷åííûå ðàíåå ñ ïîìîùüþ ÿäåðíûõ ôîòîýìóëüñèé è ïóçûðüêîâûõ êàìåð, áûëè äîïîëíåíû îáøèðíûìè äàííûìè ïî âîçáóæäåí9
Òàáëèöà 1.5: Ýíåðãèè ñâÿçè ãèïåðÿäåð 1s è 1p-îáîëî÷åê Ãèïåðÿäðî BΛ , Ìý Ãèïåðÿäðî BΛ , Ìý 3 ΛH 4 ΛH 4 Λ He 5 Λ He 6 Λ He
0.13 ± 0.05 2.04 ± 0.04 2.39 ± 0.03 3.12 ± 0.02 4.18 ± 0.10
7 Λ Li 7 Λ Be 8 Λ He 8 Λ Li 8 Λ Be
5.58 ± 0.03 5.16 ± 0.08 7.16 ± 0.70 6.80 ± 0.03 6.84 ± 0.05
9 Λ Li 9 Λ Be 9 ΛB 10 Λ Be 10 ΛB 11 ΛB 12 ΛB 12 ΛC 13 ΛC 14 ΛC 15 ΛN
8.50 ± 0.12 6.71 ± 0.04 8.29 ± 0.18 9.11 ± 0.22 8.89 ± 0.12 10.24 ± 0.05 11.37 ± 0.06 10.76 ± 0.19 11.69 ± 0.12 12.17 ± 0.33 13.59 ± 0.15
Òàáëèöà 1.6: Ðàçíîñòè ýíåðãèé ñâÿçè ãèïåðÿäåðíûõ èçîáàðîâ ∆BΛ , ÌýÂ
BΛ (Λ4 He) − BΛ (Λ4 H) +0.35 ± 0.04 BΛ (Λ8 Be) − BΛ (Λ8 Li) +0.04 ± 0.06 BΛ (Λ9 B) − BΛ (Λ9 Li) −0.21 ± 0.22 BΛ (10Λ B) − BΛ (10Λ Be) −0.22 ± 0.25 BΛ (12Λ C) − BΛ (12Λ B) −0.57 ± 0.19
Òàáëèöà 1.7: Ýíåðãèè ñâÿçè òÿæåëûõ ãèïåðÿäåð Ãèïåðÿäðî BΛ (s), ÌýÂ BΛ (p), ÌýÂ BΛ (d), ÌýÂ BΛ (f ), ÌýÂ 12 ΛC 13 ΛC 16 ΛO 28 Λ Si 32 ΛS 40 Λ Ca 51 ΛV 89 ΛY 139 Λ La 208 Λ Pb
10.8 ± 0.01 11.7 ± 0.01 12.50 ± 0.35 16.6 ± 0.2 17.5 ± 0.5 18.7 ± 1.1 19.9 ± 1.0 22.0 ± 0.5 23.8 ± 1.0 26.5 ± 0.5
0.1 ± 0.5 0.8 ± 0.5 2.5 ± 0.5 7.0 ± 1 8.1 ± 0.6 11.0 ± 0.6 16 ± 1 20.1 ± 0.4 21.3 ± 0.7
10
1.0 ± 0.5 4.0 ± 0.5 9.5 ± 1
2.5 ± 1
íûì ñîñòîÿíèÿì ãèïåðÿäåð.  òàáëèöå 1.7 íàðÿäó ñ ýíåðãèÿìè ñâÿçè îñíîâíûõ ñîñòîÿíèé (îáîçíà÷åííûìè BΛ (s)) ïðèâåäåíû ýíåðãèè ñâÿçè âîçáóæäåííûõ óðîâíåé (îáîçíà÷åííûõ BΛ (p), BΛ (d), BΛ (f )), êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò ïåðåõîäó Λ-÷àñòèöû íà áîëåå âûñîêèé (îäíî÷àñòè÷íûé â òåðìèíàõ ìîäåëè îáîëî÷åê) óðîâåíü (p, d, f ). Åñòåñòâåííî, ÷òî äëÿ ãèïåðÿäåð, êàê äëÿ ñëîæíîé ñèñòåìû, âêëþ÷àþùåé êðîìå Λãèïåðîíà íåêîòîðîå ÷èñëî íóêëîíîâ, ñóùåñòâóþò âîçáóæäåííûå ñîñòîÿíèÿ êîëëåêòèâíîãî õàðàêòåðà. Òàêèå ñîñòîÿíèÿ ñîîòâåòñòâóþò âîçáóæäåííûì ñîñòîÿíèÿì îñòîâà â ïðèñóòñòâèè Λ-÷àñòèöû. Êîëëåêòèâíûå óðîâíè ãèïåðÿäåð ïðîÿâëÿþòñÿ â ðåàêöèÿõ îáðàçîâàíèÿ ãèïåðÿäåð è â èõ ðàñïàäàõ. Îíè ñâÿçàíû ñî ñòðóêòóðîé ÿäåð è ãèïåðÿäåð, à òàêæå ñ õàðàêòåðîì ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ, â ÷àñòíîñòè ñî ñïèíîâîé çàâèñèìîñòüþ ΛN -ñèë. Áîëåå ïîäðîáíî îá ýòîì ñì. îáçîðû [22] è [23]. Ñóùåñòâåííûå óñèëèÿ áûëè íàïðàâëåíû íà ýêñïåðèìåíòàëüíîå èçó÷åíèå ãèïåðÿäåðíûõ γ -ïåðåõîäîâ è ñëàáûõ ðàñïàäîâ ãèïåðÿäåð 1p-îáîëî÷êè. Îäíèì èç íàèáîëåå âàæíûõ ðåçóëüòàòîâ γ -ñïåêòðîñêîïèè ÿâëÿåòñÿ íàäåæíàÿ èäåíòèôèêàöèÿ γ -ïåðåõîäîâ â ãèïåðÿäðàõ 4 4 Λ H (Eγ = 1.04 ± 0.04 ÌýÂ) è Λ He (Eγ = 1.15 ± 0.04 ÌýÂ) [24], îáóñëîâëåííûõ ¾ïåðåâîðà÷èâàíèåì¿ ñïèíà Λ-÷àñòèöû (òàê ÷òî ïîëíûé ìîìåíò âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ J = 1). γ -ïåðåõîä, ñîîòâåòñòâóþùèé òàêîìó æå ýôôåêòó â ãèïåðÿäðå Λ7 Li, ñîãëàñíî ðàáîòå [25], ñîñòàâëÿåò 691.7 ± 1.6 êåÂ. Èìååòñÿ òàêæå èíôîðìàöèÿ è î äðóãèõ γ -ïåðåõîäàõ â ðàçëè÷íûõ ãèïåðÿäðàõ, â îñíîâíîì 1p-îáîëî÷êè. Êðîìå îáû÷íûõ Λ-ãèïåðÿäåð îáíàðóæåíû ãèïåðÿäåðíûå ñèñòåìû, ñîäåðæàùèå â ñâîåì ñîñòàâå ñðàçó äâå Λ-÷àñòèöû (òàê íàçûâàåìûå äâîéíûå ãèïåðÿäðà). Ïðåæäå âñåãî ýòî 10 10 Be áûëî îáíàðóæåíî Äàíèøåì è Ïíåâñêèì â 1963 Be. Ãèïåðÿäðî ΛΛ ãèïåðäÿðà ΛΛ6 He è ΛΛ ãîäó [26]. Ïî èõ îöåíêàì ýíåðãèÿ ñâÿçè äàííîãî ãèïåðÿäðà ñîñòàâèëà BΛΛ = 17.7±0.4 ÌýÂ. Ãèïåðÿäðî ΛΛ6 He ïåðâîíà÷àëüíî áûëî ïîëó÷åíî Ïðîóçîì â 1966 ãîäó [27]. Ýíåðãèÿ ñâÿçè èçìåðåííàÿ â ðàáîòå [27] ñîñòàâèëà BΛΛ = 10.9±0.5 ÌýÂ. Îäíàêî â áîëåå ïîçäíåì ýêñïåðèìåíòå [28] íà ÊÅÊ ýíåðãèÿ ñâÿçè BΛΛ (ΛΛ6 He) îêàçàëàñü çíà÷èòåëüíî ìåíüøåé è ñîñòàâèëà âñåãî 7.25 ± 0.19+0.15 −0.11 ÌýÂ. Ïðè÷èíû òàêîãî ðåçêîãî ðàñõîæäåíèÿ íå ÿñíû.  ëèòåðàòóðå âûñêàçûâàþòñÿ ðàçëè÷íûå ìíåíèÿ â ïîääåðæêó êàê îäíèõ, òàê è äðóãèõ ðåçóëüòàòîâ.  ñàìîé ðàáîòå [28] âîçìîæíîé ïðè÷èíîé îòëè÷èÿ ïîëó÷åííûõ èì ðåçóëüòàòîâ îò ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû [27] ïîëàãàþò, ÷òî â ðàáîòå Ïðîóçà [27], âîçìîæíî, íàáëþäàëè ðàñïàä ΛΛ6 He íå â îñíîâíîå ñîñòîÿíèå Λ5 He, à â êàêîå-íèáóäü âîçáóæäåííîå.  ëþáîì ñëó÷àå, äàííûé âîïðîñ ÿâëÿåòñÿ åùå äàëåêî íå çàêðûòûì. Ïîìèìî ðàññìîòðåííûõ äâîéíûõ ãèïåðÿäåð, ñóùåñòâóþò ñîîáùåíèÿ î âîçìîæíîì íàáëþäåíèè è äðóãèõ äâîéíûõ ãèïåðÿäåð. Òàê â ðàáîòå [29] 10 ñîîáùàëîñü î íàáëþäåíèè ñîáûòèÿ, êîòîðîå ìîæíî áûëî èäåíòèôèöèðîâàòü êàê ΛΛ Li ñ 11 ýíåðãèåé ñâÿçè BΛΛ = 20.6 ± 1.7 Ìý èëè æå êàê ΛΛ Li ñ ýíåðãèåé ñâÿçè BΛΛ = 19.7 ± 1.8 ÌýÂ.  ðàáîòå [30] ñðåäè 493 ãèïåðÿäåðíûõ ñîáûòèé íàéäåíî îäíî ñ âåðîÿòíîé èíòåðïðå31 òàöèåé êàê îáðàçîâàíèå äâîéíîãî ãèïåðÿäðà ΛΛ Si ñ ýíåðãèåé ñâÿçè BΛΛ = 38.2 ± 6.3 ÌýÂ. Êðîìå òîãî,â ðàáîòå [31] ñîîáùàåòñÿ îá îáíàðóæåíèè ñîáûòèÿ, êîòîðîå ñ áîëüøîé âåðî10 ÿòíîñòüþ èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê îáðàçîâàíèå äâîéíîãî ãèïåðÿäðà ΛΛ Be ñ ýíåðãèåé ñâÿçè 11
13 BΛΛ = 8.5 ± 0.7 ÌýÂ, ëèáî ΛΛ B ñ ýíåðãèåé ñâÿçè BΛΛ = 27.6 ± 0.7 ÌýÂ. Ñ òåîðåòè÷å10 ñêîé òî÷êè çðåíèÿ äëÿ îáåñïå÷åíèÿ ýíåðãèè ñâÿçè BΛΛ (ΛΛ Be) ðàâíîé 8.5 Ìý íåîáõîäèìî, ÷òîáû ΛΛ âçàèìîäåéñòâèå áûëî íå ïðèòÿãèâàþùèì, à îòòàëêèâàòåëüíûì, ÷òî íå óêëàäûâàåòñÿ â ñîâðåìåííûå ïðåäñòàâëåíèÿ î ΛΛ-âçàèìîäåéñòâèè. Òàêèì îáðàçîì, âåðîÿòíåå 13 âñåãî, ìîæíî ñ÷èòàòü ÷òî íàáëþäàëîñü äâîéíîå ãèïåðÿäðî ΛΛ B. Íåîáõîäèìî, íàêîíåö, îòìåòèòü ïîïûòêè ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîëó÷èòü è äðóãèå äâîéíûå ãèïåðÿäðà. Òàê, íàïðèìåð, â ðàáîòå [32] íàáëþäàëîñü ñîáûòèå, êîòîðîå, ïî ìíåíèþ àâòîðîâ, ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àåì îáðàçîâàíèåì äâîéíîãî ãèïåðÿäðà ΛΛ4 H. Îäíàêî àâòîðàì íå óäàëîñü èçìåðèòü ýíåðãèþ ñâÿçè äàííîãî ãèïåðÿäðà è óáåäèòåëüíî äîêàçàòü åãî ñóùåñòâîâàíèå â ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè
1.2
Ìåçîííàÿ òåîðèÿ è ñâîéñòâà
ΛN -ñèë
Èçó÷åíèå ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé ãèïåðîíîâ ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç öåíòðàëüíûõ è âàæíåéøèõ çàäà÷ ôèçèêè ãèïåðÿäåð. Ïðè ýòîì, ïîñêîëüêó èìåþùàÿñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ èíôîðìàöèÿ î ñèëüíûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ ãèïåðîíîâ îòíîñèòñÿ, ãëàâíûì îáðàçîì, ê íèçêîýíåðãåòè÷åñêîé îáëàñòè, àíàëèç Y N - è (Y Y -) âçàèìîäåéñòâèé ïðîâîäèòñÿ îáû÷íî â ðàêàõ ïîòåíöèàëüíîé òåîðèè. Ñóùåñòâóþùèå ïîòåíöèàëû Y N - è Y Y -âçàèìîäåéñòâèÿ âàðüèðóþòñÿ â äîâîëüíî øèðîêèõ ïðåäåëàõ: îò ÷èñòî ôåíîìåíîëîãè÷åñêèõ äî ìîäåëüíûõ. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûé âàðèàíò ìîäåëüíîãî ïîòåíöèàëà ýòî ìåçîííî-îáìåííûé ïîòåíöèàë, êîòîðûé ñòðîèòñÿ èñõîäÿ èç èäåè î òîì, ÷òî áàðèîíû (íóêëîíû, ãèïåðîíû) âçàèìîäåéñòâóþò ïóòåì îáìåíà ìåçîíàìè. Äðóãîé âàðèàíò ýòî êâàðêîâî-ìîäåëüíûé ïîòåíöèàë. Íàêîíåö èìååòñÿ âàðèàíò ÷èñòî ïðèòÿãèâàþùèõ ïîòåíöèàëîâ ñ çàïðåùåííûìè ïî ìîìåíòàì ñîñòîÿíèÿìè, òàê íàçûâàåìûé Ìîñêîâñêèé ïîòåíöèàë [33, 34], êîòîðûé ïîçâîëèë îõâàòèòü âñå äàííûå ïî N N -ðàññåÿíèþ.  ìåçîííîé òåîðèè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñóùåñòâóåò ñâÿçü áàðèîíîâ (B ) ñ ìåçîííûì ïîëåì (M ), áëàãîäàðÿ ÷åìó âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó áàðèîíàìè îñóùåñòâëÿåòñÿ ïóòåì îáìåíà ìåçîíàìè ðàçëè÷íûõ òèïîâ. Îäíàêî âçàèìîäåéñòâèå íà ñàìûõ ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ îïèñûâàåòñÿ ôåíîìåíîëîãè÷åñêè êàê æåñòêè èëè ìÿãêèé êîð. ×èñëî êîíñòàíò ñâÿçè áàðèîíîâ ñ ïîëÿìè ðàçëè÷íûõ ìåçîíî óäàåòñÿ ñóùåñòâåííî ñîêðàòèòü â ñëó÷àå ñóùåñòâîâàíèÿ ñèììåòðèè èçîòîïè÷åñêîé (SU(2)) è óíèòàðíîé (SU(3)) (à òàêæå è SU(6)).  ðàìêàõ SU(3) ñèììåòðèè íóêëîíû N è Λ-÷àñòèöà (à òàêæå Σ è Ξ-ãèïåðîíû) âõîäÿò â îäèí è òîò æå óíèòàðíûé îêòåò íåïðèâîäèìîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (1.1). Èç ïðîèçâåäåíèÿ ïðåäñòàâëåíèé 8 ⊗ 8 äëÿ B + è B âûäåëÿþòñÿ íåïðèâîäèìûå ïðåäñòàâëåíèÿ ðàçìåðíîñòè {27}, {10}, {100 }, {8}, {80 } è {1}. Îòñþäà ìîæíî ïîäñ÷èòàòü, ÷òî ïîòåíöèàë N N -âçàèìîäåéñòâèÿ 4 V + 40 V{8} è ñîîòâåòñòâóåò ïîòåíöèàëó ïðåäñòàâëåíèÿ {27} VN N = V{27} , a VΛN = 36 40 {27} 27 8 5 VΛΛ = 40 V{27} + 40 V{8} 40 V{1} . Åñëè ó÷åñòü, ÷òî π , η , K ± -ìåçîíû òàêæå âõîäÿò â óíèòàðíûé îêòåò è ÷òî ñóùåñòâóåò óíèòàðíûé ñèíãëåò, òî ëàãðàíæèàí BB -âçàèìîäåéñòâèÿ ïðèîáðåòàåò âèä: Lint = − gs [B + B]s Ms + g8 [B + B]8 M8 + g80 [B + B]80 M8 12
Ôåíîìåíîëîãè÷åñêóþ òåîðèþ ΛN - è ΛΛ-âçàèìîäåéñòâèé ìû ðàññìîòðèì ïîäðîáíî ÷óòü íèæå; çäåñü æå êðàòêî îñòàíîâèìñÿ íà îñíîâíûõ âûâîäàõ, ïîëó÷åííûõ â ðàìêàõ òåîðåòèêî-ïîëåâîãî àíàëèçà Y N -ñèë. Âçàèìîäåéñòâèå Λ-÷àñòèö ñ íóêëîíàìè òåñíî ñâÿçàíî ñ ΣN -âçàèìîäåéñòâèåì. Äåéñòâèòåëüíî, õîòÿ Λ- è Σ-ãèïåðîíû îòëè÷àþòñÿ ìàññàìè, îíè îáëàäàþò îäèíàêîâîé ñòðàííîñòüþ (S = −1) è ìîãóò ïðåâðàùàòüñÿ äðóã â äðóãà ïðè âçàèìîäåéñòâèè ñ íóêëîíàìè. Ïåðåõîäû ΛN ↔ ΣN ïðîèñõîäÿò êàê íèæå (âèðòóàëüíî), òàê è (ðåàëüíî) âûøå ΣN -ïîðîãà(îâ). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî (Λ, Σ)N -âçàèìîäåéñòâèå ÿâëÿåòñÿ ìíîãîêàíàëüíûì. Òàê, äëÿ ïîëíîãî çàðÿäà Q = 0, 1 Y N -ñèñòåìû ïîëó÷àåì 3x-êàíàëüíóþ ïðîáëåìó: (Λn − Σ0 n − Σ− p) äëÿ Q = 0 è (Λp − Σ0 p − Σ+ n) äëÿ Q = 1, âçàèìîäåéñòâèå îñòàåòñÿ îäíîêàíàëüíûì äëÿ ñîñòîÿíèé ñ ïîëíûì èçîñïèíîì I = 23 : Σ+ p (Q = 2) è Σ− n (Q = −1). Ðàçíèöà ìàññ ìåæäó êàíàëàìè ΛN è ΣN ñîñòàâëÿåò â ñðåäíåì îêîëî 78 ÌýÂ, à ìåæäó ðàçëè÷íûìè ΣN -êàíàëàìè −1.8 Ìý (Q = 1) è 3.6 Ìý (Q = 0).  ñëó÷àÿõ, êîãäà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ðàñùåïëåíèåì ìàññ â ΣN -êàíàëàõ, îáû÷íî ðàññìàòðèâàþò îäèí-åäèíñòâåííûé ΣN -êàíàë; ýòî ïðèâîäèò ê äâõêàíàëüíîé ìîäåëè (ΛN è ΣN ) äëÿ I = 21 . Ýëåìåíòû ïîòåíöèàëüíîé ìàòðèöû, îïèñûâàþùåé âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ñâÿçàííûìè êàíàëàìè, êîíñòðóèðóþò âïîëíå àíàëîãè÷íî N N -ñëó÷àþ, èñõîäÿ èç ó÷åòà ïðîñòåéøèõ äèàãðàìì ìåçîííîãî îáìåíà. Ìîäåëè Y N -ïîòåíöèàëîâ ñ æåñòêèì êîðîì èìåþò âèä: ∞ , r < rc , X VY N (r) = (1.8) TPEP + OBEP , r > rc , ãäå TPEP îçíà÷àåò ïîòåíöèàë äâóõïèîííîãî îáìåíà, à OBEP ïîòåíöèàëû îäíîáîçîííîãî îáìåíà. Ïîìèìî æåñòêîãî êîðà ñóùåñòâóþò è âàðèàíòû ïîòåíöèàëîâ ñ ìÿãêèì êîðîì. Äâóõïèîííûé îáìåí â ΛN -ñèñòåìå èãðàåò îñîáóþ ðîëü ïî ñðàâíåíèþ ñ N N -ñëó÷àåì. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè çàðÿäîâîé íåçàâèñèìîñòè àäðîííûõ âçàèìîäåéñòâèé ïðîöåññû îäíîïèîííîãî îáìåíà (OPE) çàïðåùåíû çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ èçîñïèíà1) Ïîýòîìó ïîëàãàþò, ÷òî îñíîâíîé âêëàä â ΛN -âçàèìîäåéñòâèå âíîñèò îáìåí äâóìÿ ïèîíàìè ñ Σ-÷àñòèöåé â ïðîìåæóòî÷íîì ñîñòîÿíèè (ðèñ. 1.1à, á). Ýòîò ìåõàíèçì ôîðìèðóåò â ÷àñòíîñòè, ïåðèôåðèþ ΛN -ïîòåíöèàëà (àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå V2π ∼ e−2µπ r , µπ = m~π c ). ×òî êàñàåòñÿ äðóãèõ âîçìîæíûõ äâóõáîçîííûõ îáìåíîâ, íàïðèìåð, πK (ðèñ. 1.1â), KK è ò.ä., òî îíè äàþò äîïîëíèòåëüíûé âêëàä â ΛN -âçàèìîäåéñòâèå, îäíàêî ðàäèóñ äåéñòâèÿ ýòèõ ñèë çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ðàäèóñà 2π -îáìåíà, õîòÿ è ñîïîñòàâèì ñ ðàäèóñîì äåéñòâèÿ â ñëó÷àå îáìåíà îäèíî÷íûìè òÿæåëûìè âåêòîðíûìè ìåçîíàìè.  ðàííèõ ðàáîòàõ [35] äâóõïèîííûé îáìåí ðàññ÷èòûâàëñÿ â ñòàòè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè (mπ mN ), îäíàêî, êàê ïîêàçàíî Øàðàïîì è ôóáèíè [36], ñòàòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå íå ÿâëÿåòñÿ êîððåêòíî îïðåäåëåííîé ïðîöåäóðîé. Ïîñëåäíèì íå óäàëîñü ïîëó÷èòü çàìêíóòîé ôîðìóëû äëÿ TPEP, îäíàêî îíè èññëåäîâàëè àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå, êîòîðîå 1)
â
Çàìåòèì, ÷òî ñëàáîå ýëåêòðîìàãíèòíîå
ΣΛ-ñìåøèâàíèå ïðèâîäèò ê âîçìîæíîñòè îäíîïèîííîãî îáìåíà
ΛN -êàíàëå.
13
Ðèñ. 1.1: Äèàãðàììû äâóõáîçîííîãî îáìåíà, äàþùèå âêëàä â ΛN - è ΛN N -ñèëû
îêàçàëîñü ñóùåñòâåííî îòëè÷íûì (îòòàëêèâàíèå íà õâîñòå) îò àññèìïòîòèêè ïîòåíöèàëà Áðàêíåðà-Âàòñîíà [35]. Âïîñëåäñòâèè ïðåäïðèíèìàëèñü èíòåíñèâíûå ïîïûòêè îáîñíîâàíèÿ îäíîçíà÷íîãî âûâîäà TPEP è ïðèìåíåíèÿ åãî ê ΛN -ñëó÷àþ.  áîëåå ïîçäíèõ ìîäåëÿõ ãèïåðîí-íóëîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõïèîííûé ìåõàíèçì îáìåíà èñêëþ÷àëñÿ èç ðàññìîòðåíèÿ. Ýòî ìîòèâèðóåòñÿ ÷àñòè÷íî íàäåæäîé íà òî, ÷òî ìíîãèå (åñëè íå âñå) ýôôåêòû TPE ñîäåðæàòñÿ â ðàçëè÷íûõ OBE, è, ÷àñòè÷íî, ñòðåìëåíèåì èçáåæàòü çíà÷èòåëüíûõ óñëîæíåíèé ìîäåëè â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ó÷èòûâàþòñÿ îáà ìåõàíèçìà. Îäíàêî â ïîñëåäíèõ ðàáîòàõ äâóõáîçîííûé îáìåí ñíîâà ñòàëè âêëþ÷àòü â ðàññìîòðåíèå. Äèàãðàììà îäíîáîçîííîãî îáìåíà â ìíîãîêàíàëüíîì ôîðìàëèçìå ïîêàçàíà íà ðèñ. 1.2. Âñåãî èìååòñÿ 4 òèïà äèàãðàìì, ñîîòâåòñòâóþùèõ: 1) ïðÿìîìó óïðóãîìó âçàèìîäåéñòâèþ (B = Y ), 2) ïðÿìîìó íåóïðóãîìó âçàèìîäåéñòâèÿ (B = Y 0 6= Y ), 3) îáìåííîìó óïðóãîìó (B 0 = Y ) è 4) îáìåííîìó íåóïðóãîìó (B 0 = Y 0 6= Y ). Ñòàíäàðòíûì ïðèåìîì ïîñòðîåíèÿ OBEP (êàê, âïðî÷åì, è TPEP) ÿâëÿåòñÿ âû÷èñëåíèå â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ îïåðàòîðà ðàññåÿíèÿ m ˆ â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè ñ ïîñëåäóþùèì ïåðåõîäîì ê ïîòåíöèàëàì â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè ñ ïîìîùüþ Ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèÿ. Äëÿ ñàìîé îáùåé äèàP ãðàììû (ðèñ. 1.2) ðåçóëüòèðóþùèé îïåðàòîð m ˆ = i=1,9 Fi tˆi , ãäå âåëè÷èíû Fi çàâèñÿò îò îòíîñèòåëüíûõ èìïóëüñîâ p~ è p~0 ÷àñòèö, à îïåðàòîðû tˆi ñòðîÿòñÿ â âèäå èíâàðèàíòíûõ êîìáèíàöèé p~, p~0 è ñïèíîâûõ ìàòðèö áàðèîíîâ. OBEP ïðè ýòîì ïðèíèìàåò âèä
ˆY ~σ ˆN + VT (r)SˆY N + VSO (r)L ~ˆ S ~ˆ VˆY N (r) = {VC (r) + Vσ (r)~σ ˆY − ~σ ˆN )L ˆ Y + VASO (r) 1 (~σ ~ˆ − 1 [∇2 φ(r) + φ(r)∇2 ]}Pˆ , (1.9) + VQ (r)Q 2 2 ˆ îïåðàòîð îòíîñèòåëüíîãî îðáèãäå r ðàññòîÿíèå ìåæäó ãèïåðîíîì è íóêëîíîì, ~L ˆY ~ ˆN ~ ( ~ σ r )(~ σ r) ˆY ~σ ˆN ), êâàäðàòè÷íûé ñïèíòàëüíîãî ìîìåíòà, òåíçîðíûé îïåðàòîð SˆY N = 3 − (~σ r2 ˆY L)( ˆN L) ˆN L)( ˆY L) ˆ Y N = 1 [(~σ ~ˆ ~σ ~ˆ + (~σ ~ˆ ~σ ~ˆ , à îáìåííûé îïåðàòîð Pˆ = 1 îðáèòàëüíûé îïåðàòîð Q 2 ïðè îáìåíå ãèïåðçàðÿäîì Y = 0 è Pˆ = −Pˆx Pˆσ ïðè îáìåíå ãèïåðçàðÿäîì Y 6= 0 (îáìåí K , K ∗ , κ, K ∗∗ ìåçîíàìè), ãäå Pˆx è Pˆσ ñîîòâåòñòâåííî ïðîñòðàíñòâåííûé è ñïèíîâûé îáìåííûå îïåðàòîðû. Ðàäèàëüíàÿ çàâèñèìîñòü ðàçëè÷íûõ ÷ëåíîâ â (1.9) âåñüìà ñëîæíà, êàê è â ñëó÷àå TPEP, îíè ñèëüíî ðàñõîäÿòñÿ ïðè r → ∞. Ïîòåíöèàëû ñîäåðæàò öåëûé ðÿä êîíñòàíò ñâÿçè, ëèøü íåìíîãèå èç êîòîðûõ èçâåñòíû èç ýêñïåðèìåíòà (íàïðèìåð, gππN ). Äëÿ îïðåäåëåíèÿ îñòàëüíûõ êîíñòàíò îáû÷íî ïðèáåãàþò ê ñîîòíîøåíèÿì, âûòåêàþùèì èç ðàçëè÷íûõ ñõåì ñèììåòðèè àäðîííûõ âçàèìîäåéñòâèé. 14
Ðèñ. 1.2: Äèàãðàììà îäíîáîçîííîãî îáìåíà (k - 4-èìïóëüñ áîçîíà, m-åãî ìàññà)
 ïîñòðîåíèè ðåàëèñòè÷åñêè ìåçîííûõ N N è Y N ïîòåíöèàëîâ äîñòèãíóòû çíà÷èòåëüíûå óñïåõè. Íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìûìè ÿâëÿþòñÿ ïîòåíöèàëû Íèæìåãåíñêîé ãðóïïû [3743]. Èç ïðåäëîæåííûõ äàííîé ãðóïïîé ïîòåíöèàëîâ, íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûì â ðàñ÷åòàõ ÿâëÿþòñÿ ïîòåíöèàëû ñ ìÿãêèì êîðîì NSC97. Ïðè ïîñòðîåíèè äàííûõ ïîòåíöèàëîâ àâòîðû ó÷èòûâàþò îáìåí ïñåâäîñêàëÿðíûìè ìåçîíàì (π , η , η 0 , K ), âåêòîðíûìè ìåçîíàìè (ρ, φ, ω , K ∗ ), ñêàëÿðíûìè ìåçîíàìè (a0 (980), f0 (975), (760), κ(880)), è êðîìå òîãî, îòòàëêèâàþùàÿ ÷àñòü ïîòåíöèàëà ïîëó÷àåòñÿ ó÷åòîì âêëàäà ïîìåðîíà è òåíçîðíûõ ìåçîíîâ (f2 (1285), f20 (1525), a2 (1270)). Äëÿ óñòðàíåíèÿ ðàñõîäèìîñòåé â íóëå, àâòîðû ââîäÿò äëÿ ìåçîí-ìåçîí-áàðèîííûõ âåðøèí ôîðì-ôàêòîðû ãàóññîâñêîãî òèïà. Êîíñòàíòû ñâÿçè íàõîäÿòñÿ íàõîäÿòñÿ èç ñîîáðàæåíèé SU(3) ñèììåòðèè, ïðè ýòîì íàðóøåíèå ñèììåòðèè ïðîèñõîäèò çà ñ÷åò òîãî, ÷òî àâòîðû áåðóò ôèçè÷åñêèå ìàññû ìåçîíîâ è áàðèîíîâ, ââîäÿò ñìåøèâàíèå ìåçîíîâ âíóòðè íîíåòîâ (η − η 0 , ω − φ, − f0 ), ó÷èòûâàþò íàðóøåíèå çàðÿäîâîé ñèììåòðèè çà ñ÷åò Λ − Σ0 ñìåøèâàíèÿ è ïðèíèìàþò âî âíèìàíèå êóëîíîâñêîå âçàèìîäåéñòâèå.  áîëåå ïîçäíåé ìîäåëè ESC00 ïîìèìî óêàçàííîãî âûøå, ó÷èòûâàåòñÿ òàêæå âêëàä åùå îäíîãî ñêàëÿðíîãî îêòåòà ñ ìàññàìè áîëåå 1ÃýÂ/c2 ((1370), a0 (1450), f0 (1580), κ(1430)), à òàêæå îáìåíû äâóìÿ ïñåâäîñêàëÿðíûìè ìåçîíàìè. Êðîìå òîãî â äàííûé ïîòåíöèàë ââîäÿò ôåíîìåíîëîãè÷åñêóþ ÷àñòü, îïèñûâàþùóþ îáìåí ñðàçó ïàðîé ìåçîíîâ. Âîçíèêàþùèå ïàðàìåòðû, êîòîðûå íå ôèêñèðóþòñÿ SU(3) ñèììåòðèåé ïîäáèðàþòñÿ èç óñëîâèÿ íàèëó÷øåãî îïèñàíèÿ N N è Y N ðàññåÿíèÿ. Âìåñòî Íèæìåãåíñêèõ ïîòåíöèàëîâ èñïîëüçóþòñÿ è ïîòåíöèàëû Áîíí-Þëèõñêîé ãðóïïû [44,45].  îòëè÷èå îò Íèæìåãåíñêîé ãðóïïû, ìîäåëè äàííîé ãðóïïû ñòðîÿòñÿ èñõîäÿ èç + SU(6) ñèììåòðèè. Àâòîðû ïîìèìî îêòåòà áàðèîíîâ ñ J P = 12 (N , Λ, Σ, Ξ) ðàññìàòðèâàþò + òàêæå äåêóïëåò J P = 32 (∆, Y ∗ , Ξ∗ , Ω). Àâòîðû ó÷èòûâàþò âêëàä â ïîòåíöèàë îáìåíû ïñåâäîñêàëÿðíûìè è âåêòîðíûìè ìåçîíîàìè, à òàêæå ýôôåêòèâíî ó÷èòûâàþò âêëàä äâóõïèîííîãî îáìåíà ïóòåì ââåäåíèÿ ãèïîòåòè÷åñêîãî ñêàëÿðíîãî èçîñêàëÿðíîãî σ -ìåçîíà.  ðàìêàõ ìåçîííîé òåîðèè óäàåòñÿ ïîíÿòü ïðèðîäó ñèë, íàðóøàþùèõ çàðÿäîâóþ íåçàâèñèìîñòü Y N -âçàèìîäåéñòâèÿ (CSB-ýôôåêò).  ïðèñóòñòâèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ èçîñïèí óæå íå ÿâëÿåòñÿ õîðîøèì êâàíòîâûì ÷èñëîì. Ýòî ïðèâîäèò, â ÷àñòíîñòè, ê òîìó, ÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ |Λphys i ðåàëüíîé Λ-÷àñòèöû áóäåò èìåòü (íåáîëüøóþ, îêîëî 1% [46]) ïðèìåñü ñîñòîÿíèÿ |Σ0 i ( ñ èçîñïèíîì I = 1, è åãî ïðîåêöèåé I3 = 0) ê äîìèíàíòíîìó ñîñòîÿíèþ |Λi ñ èçîñïèíîì I = 0. Àíàëîãè÷íîå ñìåøèâàíèå èìååòñÿ è äëÿ íåéòðàëüíûõ ÷ëåíîâ ïñåâäîñêàëÿðíîãî è âåêòîðíîãî ìåçîííûõ íîíåòîâ, îáìåí êîòîðûìè CSB îáû÷íî ó÷èòûâàåòñÿ ïðè ïîñòðîåíèè CSB-ïîòåíöèàëîâ ΛN -âçàèìîäåéñâòèÿ VˆΛN . Âàæ15
Ðèñ. 1.3: Ïðîñòåéøèå äèàãðàììû, äàþùèå âêëàä â CSB-ïîòåíöèàë ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ
íåéøèì ñëåäñòâèåì CSB-ýôôåêòîâ ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ïðîöåññîâ Λ → Λ + π 0 , èäóùèõ ñ íàðóøåíèåì çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èçîñïèíà. Íåêîòîðûå èç ýòèõ ïðîöåññîâ, ïðèâîäÿùèõ ê îäíîïèîííîìó îáìåíó (OPE) â ΛN -âçàèìîäåéñòâèè èçîáðàæåíû íà ðèñ. 1.3. Êàê ïîêàçàíî Äàóíñîì, ïîñëå ñîîòâåòñòâóþùåé ëèíåàðèçàöèè âûðàæåíèé ïî ïàðàìåòðàì ñìåøèâàíèÿ CSB íàèáîëåå âàæíûå êîìïîíåíòû VˆΛN ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå CSB ˆΛ~σ ˆN )]v(r). VˆΛN (r) = −ˆ τ3 (N )[α + β(~σ
(1.10)
Çäåñü α è β íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå, çàâèñÿùèå îò êîíñòàíò ñâÿçè, ïàðàìåòðîâ ñìåøèâàíèÿ è ìàññ ìåçîíîâ àãåíòîâ îáìåíà; îïåðàòîð τˆ3 (N ) èìååò ñîáñòâåííûå ÷èñëà +1 äëÿ N = p è −1 äëÿ N = n, v(r) = exp(−µr)/µr. Òàê, íàïðèìåð, äëÿ îáìåíà π 0 -ìåçîíîì α = 0, ò.å. CSB-ýôôåêò èìååò ðàçëè÷íûå çíàêè â ñèíãëåòíîì è òðèïëåòíîì ΛN -ñîñòîÿíèÿõ [46]. Âêëàä â íàðóøåíèå çàðÿäîâîé íåçàâèñèìîñòè ΛN -ñèë ìîãóò äàòü òàêæå è äðóãèå ýôôåêòû, íå ñâÿçàííûå íåïîñðåäñòâåííî ñ ýëåêòðîìàãíèòíûì ñìåøèâàíèåì ÷èñòûõ èçîñïèíîâûõ ñîñòîÿíèé. Ñþäà îòíîñèòñÿ, íàïðèìåð, ìàãíèòíîå âçàèìîäåéñòâèÿ Λ-ãèïåðîíà ñ íóêëîíàìè è ýôôåêò ñîáñòâåííîé ýëåêòðîìàãíèòíîé ñòðóêòóðû Λ-÷àñòèöû, îäíàêî, êàê ïîêàCSB . Áîëåå ñóùåñòâåííûì çàíî â [47], ýòî ïðèâîäèò ê î÷åíü íåçíà÷èòåëüíûì ïîïðàâêàì ê VˆΛN + − îêàçûâàåòñÿ ðàçëè÷èå ìàññ Σ è Σ -ãèïåðîíîâ, âñëåäñòâèå ÷åãî ýíåðãèè ïðîìåæóòî÷íûõ ñîñòîÿíèé ïðè äâóõïèîííîì îáìåíå ðàçëè÷àþòñÿ äëÿ Λp è Λn-âçàèìîäåéñòâèÿ ýôôåêòèâíî íà âåëè÷èíó ∆MΣN = 23 [MΣ+ − MΣ− + 2(Mn − Mp )] ≈ −3.6 ÌýÂ. Ýòîò ýôôåêò ïðèâîäèò ê ïîïðàâêàì òîãî æå çíàêà, ÷òî è îäíîïèîííûé îáìåí â ΛN -âçàèìîäåéñòâèè. Ìåçîííàÿ òåîðèÿ ïðåäñêàçûâàåò òàêæå ñóùåñòâîâàíèå ìíîãî÷àñòè÷íûõ ΛN N ,...-ñèë, êîòîðûå íàðÿäó ñ ΛN -ñèëàìè äàþò âêëàä â ýíåðãèè ñâÿçè ãèïåðÿäåð. Ïðîñòåéøàÿ è âìåñòå ñ òåì, êàê ïîëàãàþò, íàèáîëåå âàæíàÿ äèàãðàììà, ïðèâîäÿùàÿ ê òðåõ÷àñòè÷íîìó ΛN N âçàèìîäåéñòâèþ, ïðèâåäåíà íà ðèñ. 1.1ã.  ðàìêàõ ïîëåâîé òåîðèè óäàåòñÿ îïèñàòü âàæíóþ ãðóïïó ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ Y N -ðàññåÿíèå. ×òî êàñàåòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíîé èíôîðìàöèè ïî ñâÿçàííûì ñîñòîÿíèÿì ãèïåðîíîâ, òî åå àíàëèç ñ ïîìîùüþ ìåçîííûõ ïîòåíöèàëîâ ÷ðåçâû÷àéíî ñëîæåí è îäíîçíà÷íî ñäåëàòü çàêëþ÷åíèå î òîì, íàñêîëüêî õîðîøî îäíà èëè äðóãàÿ ìîäåëü îïèñûâàåò òàêèå äàííûå, äîñòàòî÷íî òðóäíî. Êðîìå òîãî, ñàìà ìåçîííàÿ òåîðèÿ Y N -âçàèìîäåéñòâèé èìååò ðÿä âåñüìà ñóùåñòâåííûõ íåäîñòàòêîâ, ïîëó÷àþùèåñÿ íà åå îñíîâå ïîòåíöèàëû íåîäíîçíà÷íû, íå ñîâñåì ÿñíî, ê ÷åìó ìîæåò ïðèâåñòè ó÷åò äèàãðàìì áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà. 16
Âñå ýòî òðåáóåò, â êîíå÷íîì èòîãå, ââåäåíèÿ â òåîðèþ öåëîãî ðÿäà äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèé, íå âûòåêàþùèõ íåïîñðåäñòâåííî èç ïîëåâûõ ïðåäñòàâëåíèé î ïðèðîäå àäðîííûõ âçàèìîäåéñòâèé. Äîñòîâåðíûìè, ïî-âèäèìîìó, ìîæíî íàçâàòü âûâîäû î êîðîòêîäåéñòâóþùåì õàðàêòåðå ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ è î òîì, ÷òî ΛN -ñèëû ñëàáåå íóêëîííûõ.
1.3
Ôåíîìåíîëîãè÷åñêèé ïîäõîä
 ñâÿçè ñ íåäîñòàòêàìè ïîëåâîé òåîðèè ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ, â òåîðåòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ ãèïåðÿäåðíîé ôèçèêè øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå ïîëó÷èë ôåíîìåíîëîãè÷åñêèé ïîäõîä. Òåì íå ìåíåå ðåçóëüòàòû ìåçîííîé òåîðèè âàæíû è îêàçàëè áîëüøîå âëèÿíèå íà ôåíîìåíîëîãè÷åñêèé àíàëèç ãèïåðÿäåð è ΛN -ðàññåÿíèÿ. Îñíîâíîå íàïðàâëåíèå ôåíîìåíîëîãè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé ãèïåðÿäåðíîé ôèçèêè, òàê æå êàê è â ìåçîííîé òåîðèè, ñâÿçàíî ñ ðåøåíèåì â òîì èëè èíîì âèäå îáðàòíîé çàäà÷è, çàäà÷è âîññòàíîâëåíèÿ ñâîéñòâ Y N - è Y Y -(è, â ïåðâóþ î÷åðåäü, ΛN - è ΛΛ)âçàèìîäåéñòâèé íà îñíîâàíèè àíàëèçà ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ïî ãèïåðÿäðàì è Y N ðàññåÿíèþ. Ðàáîòà â ýòîì íàïðàâëåíèè íà÷àëàñü ïðàêòè÷åñêè ñðàçó æå ïîñëå ïåðâûõ îòêðûòèé ãèïåðÿäåð. Äî òåõ ïîð, ïîêà îòñóòñòâîâàëà ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ èíôîðìàöèÿ î âçàèìîäåéñòâèè ñâîáîäíûõ Λ-÷àñòèö ñ íóêëîíàìè, ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è íå âñòðå÷àëî ïðèíöèïèàëüíûõ òðóäíîñòåé, òàê êàê äàííûå ïî ýíåðãèÿì ñâÿçè ãèïåðÿäåð óäàâàëîñü îïèñàòü ñ ïîìîùüþ ïðîñòåéøèõ ΛN -ïîòåíöèàëîâ. Òàê, åùå â 1956 ãîäó Ä. Ä. Èâàíåíêî è Í. Í. Êîëåñíèêîâûì [48] áûëî ïîêàçàíî, ÷òî óæå ïðîñòîå ïðåäïîëîæåíèå î êîðîòêîäåéñòâóþùåì õàðàêòåðå ΛN -ñèë ïîçâîëÿåò â ðàìêàõ äâóõòåëüíîé ìîäåëè íå òîëüêî ïîíÿòü îáùèé õàðàêòåð çàâèñèìîñòè ýíåðãèé ñâÿçè BΛ ëåãêèõ ãèïåðÿäåð îò ìàññîâîãî ÷èñëà A (ïðèA→∞ ìåðíî ëèíåéíûé ðîñò), íî è ïðåäñêàçàòü íàñûùåíèå BΛ òÿæåëûõ ãèïåðÿäåð (BΛ −−−→ 25 ÌýÂ). Ñîãëàñíî äâóõòåëüíîé ìîäåëè, ãèïåðÿäðî ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ âñåãî èç äâóõ ÷àñòèö: Λ-ãèïåðîíà è íóêëîííîãî îñòîâà. Ïðè ýòîì ôàêòè÷åñêè âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ãèïåðÿäðà çàïèñûâàåòñÿ (â äóõå ìåòîäà Õàðòðè) â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ âîëíîâûõ ôóíêöèé Λ-÷àñòèöû è íóêëîííîãî îñòîâà.  ðàìêàõ òàêîãî ïðèáëèæåíèÿ ðàñ÷åò ýíåðãèè ñâÿçè ãèïåðÿäðà ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ïðîñòîãî äâóõ÷àñòè÷íîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, îïèñûâàþùåãî îòíîñèòåëüíîå äâèæåíèå Λ-÷àñòèöû è îñòîâà; ïîòåíöèàë æå VΛO âçàèìîäåéñòâèÿ Λ-÷àñòèöû ñ ÿäåðíûì îñòîâîì íàõîäèòñÿ ïóòåì óñðåäíåíèÿ ΛN -ïîòåíöèàëà VΛN ïî (íîðìèðîâàííîé íà A) âîëíîâîé ôóíêöèè ψN íóêëîíîâ è ñâîäèòñÿ â êîíå÷íîì èòîãå ê Z VΛO (r) = VΛN (|~r − ~r1 |)ρ(~r1 )d3 r1 + ∆V (r), (1.11) ãäå ρ óñðåäíåííàÿ ïî óãëàì ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íóêëîíîâ â îñòîâå ãèïåðÿäðà. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî îñòîâ ñëàáî äåôîðìèðóåòñÿ â ïîëå Λ ÷àñòèöû, òî â êà÷åñòâå ρ ìîæíî âûáèðàòü íóêëîííóþ ïëîòíîñòü â ñâîáîäíîì ñîñòîÿíèè ÿäðà; ýòà èíôîðìàöèÿ èçâëåêàåòñÿ èç íåçàâèñèìûõ ýêñïåðèìåíòîâ, ãëàâíûì îáðàçîì ïî ðàññåÿíèþ áûñòðûõ ýëåêòðîíîâ íà 17
ÿäðà è èç ñïåêòðîâ ìåçîàòîìîâ. Åñëè äîïóñòèòü, â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäñêàçàíèÿìè ìåçîííîé òåîðèè, ÷òî ðàäèóñ ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ ìåíüøå ðàäèóñà N N -ñèë è, âî âñÿêîì ñëó÷àå, çàìåòíî óñòóïàåò õàðàêòåðíûì ðàçìåðà ÿäåð, òî (1.11) ìîæíî ïðèáëèæåííî çàïèñàòü â âèäå VΛO (r) ≈ −ΩΛN ρ(r), (1.12) ãäå òàê íàçûâàåìûé îáúåìíûé èíòåãðàë ΛN -ñèë Z ΩΛN ≡ VΛN (r)d3 r
(1.13)
Åñëè äàëåå âûáðàòü äëÿ ïðîñòîòû ρ(r) â âèäå ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ðàäèóñîì R = A1/3 r0 , ãäå r0 ≈ 1.2 ôì è íå çàâèñèò îò A, òî äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ A (ïðèáëèæåíèå øèðîêîé ïðÿìîóãîëüíîé ÿìû
BΛ =
~2 π 2 −2/3 3ΩΛN − A [1 + O(A−1/3 )]. 4πr03 2MΛ r02
(1.14)
Ýòî ðàçëîæåíèå, áûëî âïåðâûå ïîëó÷åíî â [48] è ïîñëå ýòîãî èñïîëüçîâàëîñü äëÿ ïîëóýìïèðè÷åñêèõ îöåíîê ãëóáèíû ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëà VΛO â òÿæåëûõ ãèïåðÿäðàõ. Ïðèáëèæåíèå (1.12) ñîîòâåòñòâóåò, ïî ñóùåñòâó, δ -îáðàçíîìó ΛN -ïîòåíöèàëó: VΛN (r) = −ΩΛN δ(r). Ïåðâûå æå ðàñ÷åòû ýíåðãèé ñâÿçè ãèïåðÿäåð, â êîòîðûõ áûëà ó÷òåíà êîíå÷íîñòü ðàäèóñà äåéñòâèÿ ΛN -ñèë, âûïîëíåíû Äàëèòöåì è Äàóíñîì [49, 50].  ýòèõ ðàáîòàõ ïðîâåäåíû ðàñ÷åòû BΛ ãèïåðÿäåð 1s-îáîëî÷êè (äî Λ5 He) âêëþ÷èòåëüíî, ïðè÷åì ãèïåðòðèòèé (Λ3 H) àíàëèçèðîâàëñÿ â ðàêàõ òðåõ÷àñòè÷íîé ìîäåëè. Ðàññìàòðèâàëèñü ïðîñòåéøèå öåíòðàëüíûå çàâèñÿùèå îò ñïèíà ΛN -ïîòåíöèàëû (þêàâñêîé, ýêñïîíåíöèàëüíîé è ãàóññîâîé ôîðì), ïðè÷åì èõ ðàäèóñû âûáèðàëèñü â ïðåäïîëîæåíèè äâóõïèîííîãî èëè êàîííîãî ìåõàíèçìîâ ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ. Àâòîðàì óäàëîñü äîáèòüñÿ ðàçóìíîãî ñîãëàñèÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì ïî ëåã÷àéøèì ãèïåðÿäðàì ïðè äîïóùåíèè ñèëüíîé ñïèíîâîé çàâèñèìîñòè ΛN -ñèë. Îäíàêî, êàê îòìå÷àëîñü â [51,52], ïðåäïîëàãàÿ êîíå÷íîñòü ðàäèóñà äåéñòâèÿ ΛN âçàèìîäåéñâòèÿ, áûëî íåëîãè÷íî ôèêñèðîâàòü åãî âåëè÷èíó õîòÿ áû ïîòîìó, ÷òî TPEP èëè OBEP íå ñâîäÿòñÿ ê ïðîñòîé þêàâñêîé çàâèñèìîñòè, à òåîðèÿ ýôôåêòèâíîãî ðàäèóñà (èñïîëüçîâàâøàÿñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ðàäèóñà ýêñïîíåíöèàëüíîãî è ãàóññîâñêîãî ïîòåíöèàëîâ), ìîæåò îêàçàòüñÿ ïëîõî ïðèìåíèìîé â ñëó÷àå ãèïåðÿäåð. Ïîýòîìó â [51,52] áûëà ïðåäïðèíÿòà ïîïûòêà îïðåäåëåíèÿ íà îñíîâàíèè àíàëèçà ýíåðãèé ñâÿçè ãèïåðÿäåð íå òîëüêî ΩΛN , íî è ñðäíåêâàäðàòè÷íîãî ðàäèóñà RΛN ΛN -âçàèìîäåéñâòèÿ 1/2 Z 1 2 3 RΛN ≡ − VΛN (r)r d r . (1.15) ΩΛN Âîçìîæíîñòü îïðåäåëåíèÿ RΛN îñíîâûâàåòñÿ íà òîì, ÷òî äëÿ íå ñëèøêîì òÿæåëûõ ãèïåðÿäåð ïðèáëèæåíèå (1.12) óæå íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî àêêóðàòíûì; áîëåå òî÷íîå âûðàæåíèå äëÿ VΛO ïîëó÷àåòñÿ ïðè ó÷åòå ñëåäóþùèõ ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ ïîòåíöèàëà ïî ôîðì-ôàêòîðàì [49]. Êàê áûëî âûÿñíåíî [49,53], ïðè ó÷åòå ïåðâûõ äâóõ ÷ëåíîâ ýòîãî ðàçëîæåíèÿ ñ õîðîøåé òî÷íîñòüþ âîñïðîèçâîäèòñÿ âèä VΛO (r) äàæå â ñëó÷àå ñàìûõ ëåãêèõ 18
ãèïåðÿäåð, ÷òî ïðîâåðÿëîñü íà ïîòåíöèàëàõ ñàìûõ ðàçëè÷íûõ ôîðì. Òàêèì îáðàçîì, VΛO , à ñëåäîâàòåëüíî, è ýíåðãèè ñâÿçè ãèïåðÿäåð (â òåõ ñëó÷àÿõ, êîíå÷íî, êîãäà ïðèìåíèìî äâóõòåëüíîå ïðèáëèæåíèå) ñëàáî ÷óâñòâèòåëüíû ê ôîðìå ΛN -ïîòåíöèàëà è îïðåäåëÿþòñÿ, ãëàâíûì îáðàçîì, åãî èíòåãðàëüíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ΩΛN è RΛN . Íàéäåííûå â [54] çíà÷åíèÿ ΩΛN ≈ 180 Ìý·ôì3 è RΛN ≈ 0.8 ôì âïîñëåäñòâèè êîððåêòèðîâàëèñü [53] ñ ó÷åòîì áîëåå òî÷íûõ äàííûõ ïî BΛ è ρ(r); äëÿ ðàçëè÷íûõ òèïîâ ïðîñòåéøèõ áåññïèíîâûõ ΛN -ïîòåíöèàëîâ îêàçàëîñü ΩΛN = (190÷210) Ìý·ôì3 , RΛN = (0.9÷1.2) ôì. Áûëî íàéäåíî òàêæå, ÷òî ýòè ïîòåöíèàëû ïðè ââåäåíèè ñëàáûõ ñïèíîâûõ ñèë îáåñïå÷èâàþò ðàçóìíóþ ýíåðãèþ è ãèïåðòðèòèÿ [55]. Ñ ïîÿâëåíèåì ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ïî Λp-ðàññåÿíèþ òàêîãî ïðîñòîãî ïîäõîäà óæå îêàçàëîñü íåäîñòàòî÷íî. Äåéñòâèòåëüíî, êàê áûëî âûÿñíåíî åùå â [51, 54], âñå ïðîñòåéøèå ΛN -ïîòåíöèàëû, õàðàêòåðèçóþùèåñÿ "ïðàâèëüíûìè"çíà÷åíèÿìè ΩΛN è RΛN , äàþò ñóùåñòâåííî çàíèæåííûå ñå÷åíèÿ σ(Λp). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïîäãîíêà ïîòåíöèàëîâ ê äàííûì ïî Λp-ðàññåÿíèþ õîòÿ è ïðèâîäèò ê ñîãëàñóþùèìñÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì çíà÷åíèÿì BΛ (Λ3 H), íî ñèëüíî çàâûøàåò ýíåðãèè ñâÿçè áîëåå òÿæåëûõ ãèïåðÿäåð (ΩΛN ∼ 400 Ìý·ôì3 , RΛN ∼ 1.5 ôì). Êðîìå òîãî, è ðàíüøå èìåëèñü íåêîòîðûå óêàçàíèÿ íà òî, ÷òî ðåàëèñòè÷åñêèé ΛN -ïîòåíöèàë äîëæåí îáëàäàòü áîëåå ñëîæíîé ôîðìîé è ñîäåðæàòü, â ÷àñòíîñòè, îòòàëêèâàíèå íà ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ. Ïåðâàÿ ñåðüåçíàÿ ïîïûòêà ïðåîäîëåòü ýòè òðóäíîñòè è ïîñòðîèòü ΛN -ïîòåíöèàëû, ñîãëàñîâàííûå êàê ñ äàííûìè ïî ýíåðãèÿì ñâÿçè ãèïåðÿäåð, òàê è ïî Λp-ðàññåÿíèþ, áûëà ïðåäïðèíÿòà â ñåðèè ðàáîò Õåðíäîíà è Òàíãà [5658]. Ïîòåíöèàëû âûáèðàëèñü öåíòðàëüíûìè, çàâèñÿùèìè îò ñïèíà: σ σ 1 − PˆΛN 1 + PˆΛN (s) (t) VΛN (r) + VΛN (r), VˆΛN (r) = 2 2 σ ãäå PˆΛN =
ˆN ˆΛ ~ σ 1+~ σ , 2
(1.16)
a
( (s,t)
VΛN (r) =
∞ (s,t) −λ(r−rc )
− V0
e
,
r < rc ,
,
r > rc .
(1.17)
Êðîìå òîãî, ïðè ðàñ÷åòå ñå÷åíèé óïðóãîãî Λp-ðàññåÿíèÿ ââîäèëñÿ åùå îäèí áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð x, õàðàêòåðèçóþùèé îòíîñèòåëüíóþ ñèëó ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ â ÷åòíîì è íå÷åòr r íîì ñîñòîÿíèÿõ; ïîòåíöèàë (1.16) ïðè ýòîì óìíîæàëñÿ íà ôàêòîð [(1 − x) + xPˆΛN ] ãäå PˆΛN ïðîñòðàíñòâåííî-îáìåííûé îïåðàòîð. Íàêîíåö, äëÿ îïèñàíèÿ ðàçíîñòè ýíåðãèé ñâÿçè îñíîâíûõ ñîñòîÿíèé èçîäóáëåòà Λ4 H-Λ4 He ââîäèëñÿ CSB-ïîòåíöèàë â âèäå: CSB ˆΛ~σ ˆN )W0 exp(−λ(r − rc )). VˆΛN (r) = −ˆ τ3 (N )(~σ
(s)
(t)
(1.18)
Ïîäãîíî÷íûå ïàðàìåòðû V0 , V0 , W0 , λ, rc è x âûáèðàëèñü èç óñëîâèÿ íàèëó÷øåãî âîñïðîèçâåäåíèÿ äàííûõ ïî íèçêîýíåðãåòè÷åñêîìó Λp-ðàññåÿíèþ è ýíåðãèé ñâÿçè ãèïåðÿäåð 1s-îáîëî÷êè (Λ3 H, Λ4 H-Λ4 He, Λ5 He). BΛ íàõîäèëèñü ñ ïîìîùüþ ìíîãî÷àñòè÷íûõ âàðèàöèîííûõ ðàñ÷åòîâ, ïðè÷åì â êà÷åñòâå VN N âûáèðàëèñü ýôôåêòèâíûå ïîòåíöèàëû òèïà (1.16-1.17), ñîãëàñîâàííûå â îáùèõ ÷åðòàõ ñ îñíîâíûìè ñâîéñòâàìè ÿäåð A = 3, 4 è íèçêîýíåðãåòè÷åñêîãî N N -ðàññåÿíèÿ [59]. Ïðè òàêîì ïîäõîäå àâòîðàì óäàëîñü ðàçóìíî îïèñàòü ýíåðãèè 19
ñâÿçè ãèïåðÿäåð A = 3, 4 è ñå÷åíèÿ Λp-ðàññåÿíèÿ. Ëó÷øåìó ïîòåíöèàëó ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâóåò õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ðàäèóñ b ≈ 2 ôì è ðàäèóñ îòòàëêèâàòåëüíîé ñåðäöåâèíû rc ≈ 0.6 ôì, ïðè÷åì ãëóáèíû ïîòåíöèàëîâ â ÷åòíîì è íå÷åòíîì ñîñòîÿíèÿõ ñîîòíîñÿòñÿ ïðèìåðíî êàê 2:1 (x ≈ 0.2).  òî æå âðåìÿ ýíåðãèÿ ñâÿçè Λ5 He ïîëó÷èëàñü çàâûøåííîé íà 2-3 ÌýÂ2) . Êðîìå òîãî, êàê ýòî âûÿñíèëîñü âïîñëåäñòâèè, ïðåäñêàçàííûå ýíåðãèè âîçáóæäåíèé ãèïåðÿäåð Λ4 H è Λ4 He îêàçàëèñü íà ïîðÿäîê çàíèæåííûìè ïî ñðàâíåíèþ ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè çíà÷åíèÿìè, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò î ÿâíîé íåäîîöåíêå ñïèíîâûõ ΛN -ñèë. Âïîñëåäñòâèè áûëî ïðåäïðèíÿòî íåìàëî ïîïûòîê óñòðàíèòü ýòè ðàñõîæäåíèÿ ïóòåì êîððåêöèè ïîòåíöèàëîâ Õåðíäîíà-Òàíãà çà ñ÷åò ââåäåíèÿ òåíçîðíûõ, îáìåííûõ, áîëåå ìîùíûõ ñïèíîâûõ ñèë, îäíàêî â ïîëíîì îáúåìå ïðîáëåìó ðåøèòü íå óäàëîñü. Ðàññìàòðèâàëèñü òàêæå è 3õ-÷àñòè÷íûå ΛN N -ñèëû, íî êàê âûÿñíèëîñü ïîçæå, èõ ýôôåêò (êàê äëÿ ÷èñòî öåíòðàëüíûõ, òàê è äëÿ íåöåíòðàëüíûõ ΛN N -ïîòåíöèàëîâ) îêàçàëñÿ ñëèøêîì ìàëûì, ÷òîáû óñòðàíèòü çàâûøåíèå ýíåðãèè ñâÿçè Λ5 He. Íàêîíåö, âûñêàçûâàëèñü ïðåäïîëîæåíèÿ î òîì, ÷òî ó÷åò ïîäàâëåíèÿ ΣΛ-êîíâåðñèè3) â ýòîì ãèïåðÿäðå ïîçâîëèò äîáèòüñÿ ñîãëàñèÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì.  ñâÿçè ñ ýòèìè òðóäíîñòÿìè áûë ïðåäëîæåí òàêæå ïîäõîä, â êîòîðîì ðåøåíèå èùåòñÿ â òàêîì êëàññå ΛN -ïîòåíöèàëîâ, ÷òî ýíåðãèè ñâÿçè ãèïåðÿäåð A > 5 ñ ñàìîãî íà÷àëà ïîëó÷àþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ýêñïåðèìåíòîì. Äëÿ îöåíîê BΛ èñïîëüçîâàëèñü óïîìèíàâøàÿñÿ óæå âûøå äâóõ÷àñòè÷íàÿ ìîäåëü, ïðè÷åì ðàññìàòðèâàëèñü ëèøü òå ãèïåðÿäðà, äëÿ êîòîðûõ ïðèìåíèìîñòü ïðèáëèæåíèÿ íàèáîëåå îïðàâäàíà (â ïåðâóþ î÷åðåäü Λ5 He, à òàêæå 13 Λ C). Òàêàÿ ïðîöåäóðà âïåðâûå áûëà ïðèìåíåíà Í.Í.Êîëåñíèîêâûì è Ñ.Ì.×åðíîâûì [51] ïðè ðàñ÷åòå ïàðàìåòðîâ íèçêîýíåðãåòè÷åñêîãî Λp-ðàññåÿíèÿ. Ðåøåíèå èñêàëîñü â êëàññå äâóõ÷àñòè÷íûõ öåíòðàëüíûõ íå çàâèñÿùèõ îò ñïèíà ïîòåíöèàëîâ. Ïóòåì âàðèàöèè ôîðìû VΛN óäàëîñü îïèñàòü íåêèå ñðåäíèå çíà÷åíèÿ äëèíû ðàññåÿíèÿ a è ýôôåêòèâíîãî ðàäèóñà r0 . Õàðàêòåðíîé ÷åðòîé ïîëó÷åííûõ ïîòåíöèàëîâ ÿâèëîñü íàëè÷èå â íèõ (íàðÿäó ñ ìÿãêèì êîðîì) ïðîòÿæåííûõ ÷àñòåé íåáîëüøîé àìïëèòóäû (â ÷àñòíîñòè, îòòàëêèâàíèå íà ïåðèôåðèè). Îäíàêî ýòî îáñòîÿòåëüñòâî, êàê âûÿñíèëîñü ïîçæå, ìîæåò ïðèâåñòè ê íåïðèìåíèìîñòè ïðèáëèæåíèÿ ýôôåêòèâíîãî ðàäèóñà, ïîýòîìó â ðàáîòå [53] ïðîèçâîäèëñÿ ðàñ÷åò íåïîñðåäñòâåííîãî ñå÷åíèé Λp-ðàññåÿíèÿ, à íå ïàðàìåòðîâ a è r0 . Ïðè ýòîì óäàëîñü äîáèòüñÿ íåïëîõîãî ñîãëàñèÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì ïî ñå÷åíèÿì σ(Λp) è ýíåðãèÿì ñâÿçè ãèïåðÿäåð 1p-îáîëî÷êè.  òî æå âðåìÿ áûëî ïîëó÷åíî íåêîòîðîå çàâûøåíèå BΛ ãèïåðÿäåð êîíöà 1p-îáîëî÷êè (A > 13), à òàêæå è áîëåå òÿæåëûõ ãèïåðÿäåð [61]. Êðîìå òîãî, êàê âûÿñíèëîñü, ïîñòðîåííûå â [53] ïîòåíöèàëû çàâûøàþò ýíåðãèþ ñâÿçè ãèïåðÿäðà Λ3 H è îá2)
Ïðè ýòîì îêàçûâàþòñÿ çàâûøåííûìè ýíåðãèè ñâÿçè è äðóãèõ, áîëåå òÿæåëûõ ãèïåðÿäåð.  ÷àñòíîñòè,
BΛ (A → ∞) = 39.4 3)
ÌýÂ, ÷òî êàê ìèíèìóì íà 10 Ìý âûøå ïîëóýìïèðè÷åñêèõ îöåíîê.
Íà ýòîò ýôôåêò óêàçûâàë åùå Áîäìåð â ñåðåäèíå 60-õ ãîäîâ [60]. Ñîãëàñíî åãî ðàññóæäåíèÿì, â ñèëó
5 ñîõðàíåíèÿ èçîñïèíà â Λ He çàïðåùåíû âèðòóàëüíûå ïðîöåññû Λ + 4 He Σ + 4 He (îíè ìîãóò èäòè òîëüêî ÷åðåç ñèëüíî âîçáóæäåííîå ñîñòîÿíèå 4 He∗ ñ I = 1). Ýòî äîëæíî ïîâëå÷ü çà ñîáîé çàìåòíîå îñëàáëåíèå
ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ â òðèïëåòíîì ñîñòîÿíèè, ïîñêîëüêó èìåííî â ýòîì ΣΛ-ñâÿçü (îáóñëîâëåííàÿ ìîùíûì òåíçîðíûì OPE-âçàèìîäåéñòâèåì.)
20
ñîñòîÿíèè èìååò ìåñòî ñèëüíàÿ
ëàäàþò, â ïðîòèâîïîëîæíîñòü ïîòåíöèàëàì Õåðíäîíà-Òàíãà, ñëèøêîì ñèëüíîé ñïèíîâîé çàâèñèìîñòüþ. Èìåþùèåñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå, êàê îòìå÷àëîñü, ïîçâîëÿþò òàêæå äåëàòü âûâîäû è î ñèëàõ, íàðóøàþùèõ çàðÿäîâóþ íåçàâèñèìîñòü ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ. Íàèáîëåå öåííóþ èíôîðìàöèþ äîñòàâëÿþò äàííûå ïî Λ4 H-Λ4 He (ýíåðãèè îñíîâíûõ è âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé). Íàáëþäàåìàÿ ðàçíîñòü ýíåðãèÿ ñâÿçè îñíîâíûõ ñîñòîÿíèé BΛ (Λ4 He)−BΛ (Λ4 H) = 0.35 Ìý ñàìà ïî ñåáå åùå íå äàåò â ÷èñòîì âèäå ýôôåêò CSB-ñèë.  äåéñòâèòåëüíîñòè ýòîò ýôôåêò íåñêîëüêî âûøå çà ñ÷åò, ãëàâíûì îáðàçîì, äâóõ ôàêòîðîâ: à) óâåëè÷åíèå δBc êóëîíîâñêîé ýíåðãèè ãèïåðÿäðà Λ4 He çà ñ÷åò ñæàòèÿ îñòîâà Λ-÷àñòèöåé è á) ýôôåêòèâíîå óìåíüøåíèå δBR ýíåðãèè ñâÿçè çà ñ÷åò áîëüøèõ ðàçìåðîâ ÿäðà 3 He ïî ñðàâíåíèþ ñ 3 H. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî îáà ôàêòîðà äàþò âêëàä â BΛ îäíîãî çíàêà è ïðèâîäÿò ê óâåëè÷åíèþ ÷èñòîãî ýôôåêòà δBCSB ñèë, íàðóøàþùèõ çàðÿäîâóþ íåçàâèñèìîñòü ΛN âçàèìîäåéñòâèÿ. Òàêèì îáðàçîì, äàííûå ïî Λ4 H è Λ4 He ñâèäåòåëüñòâóþò î áîëåå ñèëüíîì âçàèìîäåéñòâèè Λ-÷àñòèöû ñ ïðîòîíîì, ÷åì ñ íåéòðîíîì. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ãèïåðÿäåð 1p-îáîëî÷êè, âîçìîæíî, èìååò ìåñòî îáðàòíàÿ êàðòèíà. Ðàñ÷åòû ðàçíîñòåé êóëîíîâñêèõ ýíåðãèé ãèïåðÿäåðíûõ àíàëîãîâûõ ñîñòîÿíèé 1p-îáîëî÷êè, òàê æå êàê è ó÷åò âîçìîæíîñòè äåôîðìàöèè íóêëîííîãî îñòîâà, ñîãëàñíî íåêîòîðûì ðàñ÷åòàì, íå ïîçâîëÿåò óñòðàíèòü ýòî ðàñõîæäåíèå [62]. Îäíèì èç âîçìîæíûõ îáúÿñíåíèé ÿâëÿåòñÿ ïðåäïîëîæåíèå îá îáìåííîì õàðàêòåðå çàâèñÿùèõ îò ïðîåêöèè èçîñïèíà ΛN -ñèë, ìåíÿþùèõ çíàê ïðè èçìåíåíèè ÷åòíîñòè ΛN -ñîñòîÿíèÿ; ýôôåêò òîãî æå çíàêà, ñëåäóåò, ïî-âèäèìîìó, îæèäàòü åñëè Λ-÷àñòèöà ñòèìóëèðóåò ïðîöåññû êëàñòåðèçàöèè íóêëîíîâ â îñòîâå ãèïåðÿäðà.  ñâÿçè ñ áóðíûì ðàçâèòèåì ãèïåðÿäåðíîé ñïåêòðîñêîïèè íåìàëîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ òàêæå è áîëåå òÿæåëûì ãèïåðÿäðàì è, â ïåðâóþ î÷åðåäü èõ ñïåêòðàì. Îòäåëüíûå ðàáîòû ñòàëè ïîÿâëÿòüñÿ åùå ñ íà÷àëà 60-õ ãîäîâ, íàèáîëåå æå ïîëíûé è îáñòîÿòåëüíûé àíàëèç ñïåêòðîâ ãèïåðÿäåð 1p-îáîëî÷êè âïåðâûå áûë âûïîëíåí Ãàëîì ñ ñîòðóäíèêàìè [4, 63, 64]. Ïðè ýòîì ðàññìîòðåíèå âåëîñü â ðàìêàõ ìíîãî÷àñòè÷íîé ìîäåëè ÿäåðíûõ îáîëî÷åê ñ ó÷åòîì ïðîìåæóòî÷íîãî òèïà ñâÿçè ìîìåíòîâ íóêëîíîâ, ïðè÷åì ó÷èòûâàëîñü èçìåíåíèå ñõåìû ñâÿçè íóêëîíîâ â ïðèñóòñòâèè Λ-÷àñòèöû. Àíàëîãè÷íûå ðàñ÷åòû âûïîëíÿëèñü è ïîçäíåå [22, 23, 65]. Îòêðûòèå äâîéíûõ ãèïåðÿäåð, ñòèìóëèðîâàëî èññëåäîâàíèå ñâîéñòâ òàêæå è ýòèõ ãèïåðÿäåðíûõ ñèñòåì. Òàê, äîâîëüíî ðàíî áûëî âûÿñíåíî, ÷òî ΛΛ-âçàèìîäåéñòâèå íîñèò â öåëîì ïðèòÿãèâàþùèé õàðàêòåð, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî äâîéíîå ãèïåðÿäðî ìîãëî áû áûòü ñâÿçàííûì äàæå ïðè äîñòàòî÷íî ñèëüíîì îòòàëêèâàíèè ìåæäó Λ-÷àñòèöàìè. Áîëåå æå äåòàëüíûé àíàëèç ýíåðãèé ñâÿçè BΛΛ ïîçâîëèë ñäåëàòü âûâîä î ïðèìåðíîì ðàâåíñòâå ΛΛ- è ΛN -ñèë. Àíàëèçèðîâàëèñü, íàêîíåö, òàêæå è äðóãèå ýêçîòè÷åñêèå ãèïåðÿäåðíûå ñèñòåìû: Λ+áåñêîíå÷íàÿ ÿäåðíàÿ ìàòåðèÿ, Σ-ãèïåðÿäðà, ñóïåðÿäðà (ñîäåðæàùèå Λc - è Λb -÷àñòèöû).
21
Ãëàâà 2 Ðàñ÷åò ñèñòåì íåáîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòèö
2.1
Õàðàêòåðèñòèêà èñïîëüçóåìûõ ìåòîäîâ ðàñ÷åòà
Ïîñëåäîâàòåëüíûå ðàñ÷åòû ñèñòåì áîëåå ÷åì äâóõ ÷àñòèö â ðàìêàõ ðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé òåîðèè íà äàííûé ìîìåíò ïðàêòè÷åñêè íåîñóùåñòâèìû. Îäíàêî â íåðåëÿòèâèñòñêîé îáëàñòè, êîãäà íå ðàññìàòðèâàþòñÿ ýôôåêòû ðîæäåíèÿ ÷àñòèö, âïîëíå ïðèåìëåì ïîòåíöèàëüíûé ïîäõîä. Îí çàêëþ÷àåòñÿ â îïèñàíèè ìåæ÷àñòè÷íîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ïîìîùüþ ïîòåíöèàëîâ è ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà Hψ = Eψ, (2.1) ãäå H ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû ÷àñòèöû, ψ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ýòîé ñèñòåìû, à E ýíåðãèÿ. Íî äàæå â íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ñ áåññïèíîâûì ãàìèëüòîíèàíîì çàäà÷à òðåõ è òåì áîëåå áîëüøåãî ÷èñëà òåë íå èìååò çàìêíóòîãî àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ. Íåóäà÷è àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ çàñòàâëÿþò ðàçðàáàòûâàòü ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû è ÷èñëåííûå ñõåìû ðåøåíèÿ. Ïðÿìîå èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà íàòàëêèâàåòñÿ íà íåìàëûå âû÷èñëèòåëüíûå òðóäíîñòè äëÿ ñèñòåì ñ ÷èñëîì ÷àñòèö 3 è áîëüøå, ñâÿçàííûå ãëàâíûì îáðàçîì ñ áîëüøèì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû, à òàêæå ïðè íàëè÷èè òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö ñ òðåáîâàíèÿìè, íàëàãàåìûìè íà ñâîéñòâà ñèììåòðèè âîëíîâîé ôóíêöèè. Ïîýòîìó ïðè ðàññìîòðåíèè ñèñòåì áîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòèö ïðèáåãàþò ê ðàçëè÷íûì ìîäåëüíûì ïðåäïîëîæåíèÿì, óìåíüøàþùèì ÷èñëî íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ. Ïðèìåðàì òàêèõ ìîäåëüíûõ ïîäõîäîâ ÿâëÿþòñÿ: ìåòîä ãåíåðàòîðíûõ êîîðäèíàò [66], ðåçîíàíñíûõ ãðóïï [67, 68], íåçàâèñèìûõ ïàð [69, 70], Òîìàñà-Ôåðìè è äðóãèå. Òàêîé ïîäõîä, åäâà ëè íå åäèíñòâåííî âîçìîæíû ïðè èññëåäîâàíèè ñëîæíûõ ñèñòåì, ñâÿçàí ñî çíà÷èòåëüíûìè ïîãðåøíîñòÿìè, âñëåäñòâèå ÷åãî íå îïðàâäûâàåò ñåáÿ â ñëó÷àå íåáîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòèö. Äëÿ ðàñ÷åòà ñèñòåì íåáîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòèö áîëåå ýôôåêòèâíûìè îêàçàëèñü ðàçëè÷íûå ìåòîäû, íå èñïîëüçóþùèå ìîäåëüíûå ïðåäñòàâëåíèÿ, êîòîðûå, â ïðèíöèïå, ýêâèâàëåíòíû ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Ýòî â ïåðâóþ î÷åðåäü ìåòîä Õàðòðè-Ôîêà, ìåòîä Ôàääååâà, ìå22
òîä ãèïåðñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé (K -ãàðìîíèê), ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî, ìåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ, àäèàáàòè÷åñêèé è âàðèàöèîííûé ìåòîäû. Ìåòîä Õàðòðè-Ôîêà èëè, êàê åãî èíà÷å íàçûâàþò, ìåòîä ñàìîñîãëàñîâàííîãî ïîëÿ áûë ïðåäëîæåí èç èíòóèòèâíûõ ñîîáðàæåíèé Ä. Õàðòðè â 1927 ãîäó [71, 72] è òåîðåòè÷åñêè îáîñíîâàí Â.À. Ôîêîì â 1930 ãîäó [73]. Ïåðâîíà÷àëüíàÿ èäåÿ Õàðòðè â ïðèìåíåíèè ê àòîìíûì çàäà÷àì ñîñòîÿëà âî ââåäåíèè ýôôåêòèâíîãî öåíòðàëüíîãî ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî ÿäðîì è âñåìè ýëåêòðîíàìè àòîì, â êîòîðîì ýëåêòðîíû äâèæóòñÿ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà. Òàêîå ïðåäïîëîæåíèå ïîçâîëÿåò ðàçäåëèòü ïåðåìåííûå â ïîëíîé âîëíîâîé ôóíêöèè àòîìà è ïðèâîäèò ê ñèñòåìå ñàìîñîãëàñîâàííûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî âîëíîâûõ ôóíêöèé îòäåëüíûõ ýëåêòðîíîâ. Òðåáîâàíèå àíòèñèììåòðèè âîëíîâîé ôóíêöèè ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî ïåðåñòàíîâîê ýëåêòðîíîâ ïðèâîäèò ê ïðåäñòàâëåíèþ âîëíîâîé ôóíêöèè ñèñòåìû â âèäå ñëåòåðîâñêîãî äåòåðìèíàíòà è ê ïîÿâëåíèþ â óðàâíåíèÿõ Õàðòðè-Ôîêà îáìåííûõ ÷ëåíîâ.  îáùåì ñëó÷àå ñèñòåìà óðàâíåíèé Õàðòðè-Ôîêà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðîäèôôåðåöèàëüíîé [74]. Ïðåäñòàâëåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè â âèäå äåòåðìèíàíòà Ñëåòåðà ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ãðóáûì ïðèáëèæåíèåì, â ÷àñòíîñòè, îíî ÷àñòî íå îáåñïå÷èâàåò îïðåäåëåííîãî îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà è ñïèíà àòîìà, à òàêæå íå ïîçâîëÿåò ó÷åñòü êîððåëÿöèè ìåæäó äâèæåíèÿìè ýëåêòðîíîâ. Ãîðàçäî áîëåå òî÷íûì ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè ñèñòåìû â âèäå ñóììû ðàçëè÷íûõ ñëåòåðîâñêèõ äåòåðìèíàíòîâ. Òàêîé ïîäõîä íàçûâàþò ìåòîäîì âçàèìîäåéñòâóþùèõ êîíôèãóðàöèé, à èìåííî îí ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü äîñòàòî÷íî òî÷íûå ðåøåíèÿ â çàäà÷àõ íåáîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòèö. Íàïðèìåð, â ðàáîòå [75] ýíåðãèè îñíîâíîãî è âîçáóæäåííûõ S -ñîñòîÿíèé àòîì ãåëèÿ áûëè ðàññ÷èòàíû ñ îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ îò 0.01% äî 0.0001%. Ìåòîä Õàðòðè-Ôîêà øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ íå òîëüêî â àòîìíîé, íî è â ÿäåðíîé ôèçèêå [7680], à òàêæå ïðè ðàñ÷åòàõ ýëåêòðîííûõ âîëíîâûõ ôóíêöèé ìîëåêóë è êðèñòàëëîâ. Ê åãî íåäîñòàòêàì îòíîñèòñÿ áîëüøàÿ òðóäîåìêîñòü (íåîïðàâäàííàÿ ïðè ðàññìîòðåíèè ñèñòåì ìàëîãî ÷èñëà ÷àñòèö) ïðè ó÷åòå êîíôèãóðàöèîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ è íèçêàÿ òî÷íîñòü â ðàìêàõ îäíîäåòåðìèíàíòíîãî ïðèáëèæåíèÿ. Ìåòîä Ôàääååâà áûë ïðåäëîæåí Ë. Ä. Ôàääååâûì [81], êîòîðûé ñîçäàë ñòðîãóþ òåîðèþ ðàññåÿíèÿ â ñèñòåìàõ òðåõ òåë. Îí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé, ïî ñóùåñòâó, ïðîöåäóðó ðåøåíèÿ íå ñàìîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, à óðàâíåíèÿ Ëèïïìàíà-Øâèíãåðà [82, 83].  òî æå âðåìÿ ïðåäîëîæåííàÿ Ôàääååâûì ðåãóëÿðèçàöèÿ óñòðàíÿåò íåäîñòàòêè óðàâíåíèÿ Ëèïïìàíà-Øâèíãåðà [81] è ïðèâîäèò ê ñèñòåìå èíòåãðîäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ýêâèâàëåíòíîé [84] èñõîäíîìó óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà, íî çíà÷èòåëüíî áîëåå óäîáíîé, ÷åì óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà, â êîíêðåòíûõ ïðèëîæåíèÿõ. Ýòè óðàâíåíèÿ èìåþò îäíîçíà÷íîå ðåøåíèå [81] è ïîçâîëÿþò àêêóðàòíî ó÷åñòü ñëîæíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, ÷òî îñîáåííî âàæíî â çàäà÷å ðàññåÿíèÿ. Èìåþòñÿ îáîáùåíèÿ ìåòîäà Ôàääååâà è íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ÷àñòèö [8587]. Îäíàêî, ðåàëèçàöèÿ ìåòîäà Ôàääååâà â ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòàõ âåñüìà òðóäîåìêà, ÷òî îãðàíè÷èâàåò âîçìîæíîñòè ìåòîäà ïî ñóùåñòâó ëèøü òðåõ÷àñòè÷íûìè [88101] è ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûìè [102109] ñèñòåìàìè. Äîñòîèíñòâîì ìåòîäà ÿâëÿåòñÿ 23
ïðååìñòâåííîñòü ïðè ïåðåõîäå îò N -÷àñòè÷íîé çàäà÷è ê (N + 1)-÷àñòè÷íîé. Ìåòîä Ôàääååâà ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê â èíòåãðàëüíîé, òàê è â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìóëèðîâêå, â èìïóëüñíîì è â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè [85, 110112]. Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ êîìïîíåíò âîëíîâîé ôóíêöèè ñëóæàò ìàòåìàòè÷åñêîé áàçîé çàäà÷è è èñïîëüçóþòñÿ äëÿ èçó÷åíèÿ îáùèõ ñâîéñòâ ðåøåíèÿ ãëàäêîñòè, àñèìïòîòèê, âûäåëåíèÿ îñíîâíûõ ñèíãóëÿðíîñòåé. ×èñëåííûå æå ðàñ÷åòû ïðîâîäÿòñÿ íà îñíîâå äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìû óðàâíåíèÿ, êîòîðàÿ âîçíèêàåò ïóòåì îáðàùåíèÿ èíòåãðàëüíûõ îïåðàòîðîâ. Òåîðåòè÷åñêè ìåòîä Ôàääååâà óíèâåðñàëåí ïî îòíîøåíèþ ê òèïó ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû è âçàèìîäåéñòâèÿ â íåé. Îí ïðèìåíèì è ê ñèñòåìàì íåñêîëüêèõ íóêëîíîâ, è ê ìåçîàòîìíûõ ñèñòåìàì, è ê êâàðêîâûì îáðàçîâàíèÿì. Ñ òî÷êè çðåíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ìåòîä Ôàääååâà ïîçâîëÿåò èññëåäîâàòü ñèñòåìû ñ êîðîòêîäåéñòâóþùèìè ñèëàìè, êóëîíîâñêèì âçàèìîäåéñòâèåì, ðàñòóùèì âçàèìîäåéñòâèåì, çàäàííûì ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè (êîíòàêòíûì). Îäíàêî ìåòîä ñòàíîâèòñÿ êðàéíå ñëîæíûì â ñëó÷àå íåñåïàðàáåëüíûõ ïîòåíöèàëîâ.  ñâÿçè ñ ýòèì ëîêàëüíûå ïîòåíöèàëû ÷àñòî ïðèâîäÿò ê ñåïàðàáåëüíîé ôîðìå [92, 113]. Äîïîëíèòåëüíûå ñëîæíîñòè âîçíèêàþò â ñëó÷àå äàëüíîäåéñòâóþùèõ êóëîíîâñêèõ ïîòåíöèàëîâ [111, 114]. Íàëè÷èå â èññëåäóåìîé ñèñòåìå íåñêîëüêèõ ñîðòîâ ÷àñòèö ïðèâîäèò ê ðîñó ÷èñëà óðàâíåíèé â ðåøàåìîé ñèñòåìå [101], ÷òî óñëîæíÿåò ðåøåíèå çàäà÷è. Ïðè àíàëèçå ìàëî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì î÷åíü ïðîäóêòèâíûìè îêàçàëèñü ðàçëè÷íûå ìåòîäû ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Ïðè ðàçðàáîòêå ýòèõ ìåòîäîâ çàâèñèìîñòü âîëíîâîé ôóíêöèè ψ îò ÷àñòè ñòåïåíåé ñâîáîäû ïðåäñòàâëÿþò â áîëåå óäîáíîì äëÿ âû÷èñëåíèé âèäå.  ðÿäå ñëó÷àåâ âîîáùå ïðåíåáðåãàþò ÷àñòüþ ñòåïåíåé ñâîáîäû. Íàèáîëåå óíèâåðñàëüíûì ïîäõîäîì ÿâëÿåòñÿ ðàçëîæåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè ïî íåêîòîðîìó ôèêñèðîâàííîìó áàçèñó ôóíêöèé {g} ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì êàêîãî-ëèáî îïåðàòîðà, îáëàäàþùåãî äèñêðåòíûì ñïåêòðîì: X ψ(x) = φi (x2 )gi (x1 ). (2.2) i
Ïðè ýòîì âåêòîðû {g} çàäàþòñÿ â íåêîòîðîì ïîäïðîñòðàíñòâå x1 ïðîñòðàíñòâà íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ x, à êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ φi çàâèñÿò îò îñòàëüíûõ ïåðåìåííûõ x2 (x = x1 ⊕ x2 ). Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ïðîåöèðóåòñÿ íà ââåäåííûé áàçèñ {g}. Ïðè ýòîì ïî ïåðåìåííûì x2 ïîëó÷àþò áåñêîíå÷íóþ ñèñòåìó çàöåïëÿþùèõñÿ (âîîáùå ãîâîðÿ, äèôôåðåíöèàëüíûõ) óðàâíåíèÿ. Íà ïðàêòèêå îãðàíè÷èâàþòñÿ êîíå÷íûì ÷èñëîì ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ (2.2). Îäíèì èç ñàìûõ ðàñïðîñòðàíåííûõ âàðèàíòîâ áàçèñà {g} ÿâëÿåòñÿ {YKα (Ω3N −4 )} ãèïåðñôåðè÷åñêèé áàçèñ íà ïîâåðõíîñòè 3N -ìåðíîé ãèïåðñôåðû. Ïðè÷åì YKα ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè óãëîâîé ÷àñòè îïåðàòîðà êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè îïåðàòîðà Ëàïëàñà íà ïîâåðõíîñòè 3N -ìåðíîé ãèïåðñôåðû. Îíè êëàññèôèöèðóþòñÿ çíà÷åíèÿìè òàê íàçûâàåìîãî ãëîáàëüíîãî ìîìåíòà K (êîòîðûé è äàë íàçâàíèå ìåòîäó) è íàáîðîì α äðóãèõ êâàíòîâûõ ÷èñåë. qPÊîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ φi ≡ Ri (ρ) çàâèñÿò îò òàê íàçûâàåìîãî N −1 2 ãèïåððàäèóñà ρ = i=1 ρi (ρi êîîðäèíàòû ßêîáè) è óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå çàöåïëÿ24
þùèõñÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà, êîòîðóþ ðåøàþò ëèáî ïðÿìûì ÷èñëåííûì èíòåãðèðîâàíèåì, ëèáî èñïîëüçóþò âàðèàöèîííûé ìåòîä ñ ðàçëîæåíèåì Ri (ρ) ïî íåêîòîðîìó ïîëíîìó íàáîðó ôóíêöèé. Âïåðâûå ìåòîä K -ãàðìîíèê áûë ïðèìåíåí Ôîêîì [115] â çàäà÷å î ñâÿçàííûõ ñîñòîÿíèÿõ àòîì ∞ He. Ïîäðîáíî êóëîíîâñêàÿ çàäà÷à N -òåë è îñîáåííîñòè ðåøåíèé èññëåäîâàëèñü â [116, 117]. Íàèáîëüøåé òî÷íîñòè óäàëîñü äîñòè÷ü äëÿ îäíîöåíòðîâûõ ñèñòåì [118]. Äëÿ äðóãèõ êóëîíîâñêèõ ñèñòåì òî÷íîñòü ðàñ÷åòîâ ñóùåñòâåííî íèæå [119, 120].  ÿäåðíîé ôèçèêå ãèïåðñôåðè÷åñêîå ðàçëîæåíèå áûëî ïðèìåíåíî Äåëâåñîì [121] è Ñìèòîì [122]. Òåõíèêà ïðîâåäåíèÿ ãèïåðñôåðè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ áûëà äåòàëüíî ðàçðàáîòàíà â ðàáîòàõ Ñèìîíîâà è Áàäàëÿí [123125], à òàêæå äðóãèõ àâòîðîâ (ñì. íàïðèìåð [126]), ïîñëå ÷åãî ìåòîä K -ãàðìîíèê íàøåë øèðîêîå ïðèìåíåíèå ïðè ðåøåíèè ìíîãî÷àñòè÷íûõ çàäà÷. Àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ ðàçëè÷íûõ îïåðàòîðîâ â ãèïåðñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ äàíû â [127].  ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòàõ âûáèðàþò íåêîòîðîå Kmax è îãðàíè÷èâàþòñÿ ó÷åòîì íèçøèõ ãàðìîíèê, ñîîòâåñòâóþùèì çíà÷åíèÿì ãèïåðìîìåíòà K 6 Kmax . Îñíîâíûì ïðåïÿòñòâèåì ê äîñòèæåíèþ âûñîêîé òî÷íîñòè ÿâëÿåòñÿ òðóäíîñòü äîñòèæåíèÿ âûñîêèõ çíà÷åíèé Kmax , òàê êàê ïðè ýòîì êàòàñòðîôè÷åñêè ðàñòåò ÷èñëî ãèïåðãàðìîíèê, êîòîðûå íåîáõîäèìî ó÷åñòü â (2.2) [128, 129].  ñâÿçè ñ ýòèì øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå ïîëó÷èëî ïðèáëèæåíèå òàê íàçûâàåìûõ ïîòåíöèàëüíûõ ãàðìîíèê [129132], â êîòîðîì ïðè ðàçëîæåíèè âîëíîâîé ôóíêöèè óäåðæèâàþòñÿ ëèøü ãàðìîíèêè, çàöåïëÿþùèåñÿ ñ îñíîâíîé (K = Kmin ) ïîñðåäñòâîì ïîòåíöèàëà. Òåì íå ìåíåå äàæå ýòî ïðèáëèæåíèå âåäåò ê ïðàêòè÷åñêè ðåàëèçóåìîé ñõåìå ëèøü â òðåõ÷àñòè÷íîì ñëó÷àå [133135] è äëÿ ñèñòåì ÷åòûðåõ òåë [136, 136]. Ïðè ðàññ÷åòàõ æå ñèñòåì ñ ÷èñëîì ÷àñòèö N > 4 îãðàíè÷èâàþòñÿ òàê íàçûâàåìûì ìèíèìàëüíûì (Kmax = Kmin ) ïðèáëèæåíèåì [137,138], ÷òî, êîíå÷íî, äàëåêî íå âñåãäà ïðèâîäèò ê íàäåæíûì ðåçóëüòàòàì.  ðàáîòå [139] áûë ïðåäëîæåí ñïîñîá âûäåëåíèÿ òàê íàçûâàåìûõ ãëàâíûõ ãàðìîíèê, êîòîðûå âíîñÿò îñíîâíîé âêëàä â âîëíîâóþ ôóíêöèþ, ÷òî ïîçâîëèëî çíà÷èòåëüíî ñîêðàòèòü îáúåì âû÷èñëåíèé. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ ñõîäèìîñòü ìåòîäà ðåçêî ïàäàåò äëÿ ïîòåíöèàëîâ ñëîæíîé ôîðìû, îáëàäàþùèõ, â ÷àñòíîñòè, äîñòàòî÷íî ìîùíûì îòòàëêèâàíèåì íà ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ, à òàêæå ïðè ðàñ÷åòàõ ðûõëûõ, ñëàáî ñâÿçàííûõ ñèñòåì [140]. Ñõîäèìîñòü åùå áîëåå óõóäøàåòñÿ, åñëè â ñèñòåìå ïðèñóòñòâóþò ÷àñòèöû ðàçíûõ ñîðòîâ [132, 141143]. Íåñìîòðÿ íà ãðîìîçäêîñòü, ìåòîä K -ãàðìîíèê âñå æå øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ íà ïðàêòèêå. Âàæíûì åãî äîñòîèíñòâîì ÿâëÿåòñÿ ïðèìåíèìîñòü (ïî êðàéíåé ìåðå â ìèíèìàëüíîì ïðèáëèæåíèè) ê ðàñ÷åòàì ñèñòåì ñî ñðàâíèòåëüíî áîëüøèì ÷èñëîì ÷àñòèö (N > 4) [144].  ìåòîäå K ãðàìîíèê ïðèñóòñòâóåò âñåãî îäèí ðàçìåðíûé ïàðàìåòð ρ. Ïîýòîìó îí îïðàâäûâàåò ñåáÿ ïðè ðàñ÷åòå ÿäåðíûõ ñèñòåì, ñîäåðæàùèõ òîëüêî íóêëîíû [145,146], ââèäó ïðèáëèçèòåëüíîãî ðàâåíñòâà ìàññ ÷àñòèö è èíòåíñèâíîñòè âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó íèìè. Îäíàêî â àòîìíûõ çàäà÷àõ, ãäå ìàññû ÷àñòèö ðàçëè÷àþòñÿ íà íåñêîëüêî ïîðÿäêîâ, îí õàðàêòåðèçóåòñÿ ÷ðåçâû÷àéíî ìåäëåííîé ñõîäèìîñòüþ. Ìåòîä òàêæå íàòàëêèâàåòñÿ íà îãðîìíûå òðóäíî25
ñòè ïðè ðàñ÷åòàõ ãèïåðÿäåðíûõ ñèñòåì ââèäó òîãî, ÷òî íóêëîí-ãèïåðîííûå è, òåì áîëåå, ãèïåðîí-ãèïåðîííûå ñèëû ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ îò íóêëîí-íóêëîííûõ. Ãîâîðÿ îá ýêâèâàëåíòíûõ ôîðìóëèðîâêàõ èñõîäíîé çàäà÷è, ñëåäóåò îòìåòèòü ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî [147153]. Îí ñîñòîèò â ÷èñëåííîì ðåøåíèè èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ ýêâèâàëåíòíîãî óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà Z ~ = dR ~ 0 G(R ~ 0 , R)ψ( ~ ~ 0 ), ψ(R) R (2.3)
~ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ, G(R ~ 0 , R) ~ ÿäðî èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà, ïðåäñòàâëÿþùåå ãäå ψ(R) ñîáîé ôóíêöèþ Ãðèíà íåêîòîðîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Ýòà ôóíêöèÿ Ãðèíà â òîì ÷èñëå îáåñïå÷èâàåò ïðàâèëüíóþ àñèìïòîòèêó âîëíîâîé ôóíêöèè è åå êâàäðàòè÷íóþ ~ èR ~ 0 ÿâëÿþòñÿ 3N -ìåðíûìè âåêòîðàìè â êîíôèãóðàöèîííîì èíòåãðèðóåìîñòü. Âåêòîðû R ïðîñòðàíñòâå, ãäå N ÷èñëî ÷àñòèö â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå. Èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå (2.3) ðåøàåòñÿ èòåðàöèîííûì ìåòîäîì, ïðè÷åì âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ èùåòñÿ êàê ïëîòíîñòü ñëó÷àéíûõ òî÷åê â 3N -ìåðíîì êîíôèãóðàöèîííîì ïðî~ .  êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ áåðåòñÿ íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ ψ0 (R) ~ , à ñòðàíñòâå R ~ : çàòåì ñòðîèòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ψn (R) Z ~ ~ 0 G(R ~ 0 , R)ψ ~ n−1 (R ~ 0 ). ψn (R) = dR (2.4) Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê ñîáñòâåííîé ôóíêöèè èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà, êîòîðîé ñîîòâåòñòâóåò ìàêñèìàëüíîå ïî ìîäóëþ ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ýòîãî îïåðàòîðà.  ðàáîòå [147] èñïîëüçîâàëîñü èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå ñ ïîëîæèòåëüíîîïðåäåëåííûì ÿäðîì, ÿâëÿþùèìñÿ ôóíêöèåé Ãðèíà îïåðàòîðà (−∇2 + 1). Ýòî ÿäðî ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèþ îáðàòíîé çàäà÷è íàõîæäåíèþ ãëóáèíû ïîòåíöèàëà ïî èçâåñòíîé ýíåðãèè ñâÿçè ñèñòåìû. Òàêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è àêòóàëüíà â ÿäåðíîé ôèçèêå, ãäå ýíåðãèÿ ñâÿçè èçâåñòíà íàäåæíåå, ÷åì ïàðàìåòðû âíóòðèÿäåðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Ìåòîä óñïåøíî ïðèìåíÿëñÿ ïðè àíàëèçå òðåõ÷àñòè÷íûõ è ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûõ ñèñòåì ñ ïîòåíöèàëàìè ïðÿìîóãîëüíîé, ýêñïîíåíöèàëüíîé è ãàóññîâñêîé ôîðìû, à òàêæå ñ êóëîíîâñêèìè ïîòåíöèàëàìè. Äðóãîé âàðèàíò ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî äèôôóçèîííûé îñíîâàí íà ôîðìàëüíîì ñîâïàäåíèè íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà è óðàâíåíèÿ äèôôóçèè [154] äëÿ íåêîòîðûõ êâàçè÷àñòèö. Ïðè ýòîì îïåðàòîð êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè îïèñûâàåò äèôôóçèþ ÷àñòèö, îïåðàòîð ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè îêàçûâàåòñÿ àíàëîãîì îïåðàòîðà ðîæäåíèÿ è ïîãëîùåíèÿ ÷àñòèö â óðàâíåíèè äèôôóçèè.  ñâÿçè ñ ýòèì â ðàìêàõ ýòîãî ìåòîäà âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ìîäåëèðóåòñÿ àíñàìáëåì äèôôóíäèðóþùèõ êâàçè÷àñòèö. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé ψn çàìåíÿåòñÿ îäíîé ôóíêöèåé, çàâèñÿùåé îò âðåìåíè. Ïðè ýòîì âðåìÿ âõîäèò â êà÷åñòâå àðãóìåíòà è â ÿäðî èíòåãðàëüíîãî îïåðàòîðà G. Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ïëîòíîñòü êâàçè÷àñòèö ýòîãî àíñàìáëÿ ñòðåìèòñÿ ê âîëíîâîé ôóíêöèè ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ. Ê äîñòîèíñòâàì ìåòîäà ñëåäóåò îòíåñòè îòñóòñòâèå íåîáõîäèìîñòè âûäåëåíèÿ äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ ñèñòåìû [147] è íåçàâèñèìîñòü òî÷íîñòè ðåøåíèÿ îò ðàçìåðíîñòè çàäà÷è (÷èñëà ÷àñòèö â ñèñòåìå), ÷òî äåëàåò ìåòîä ïðèìåíèìûì ê çàäà÷àì ñ äîñòàòî÷íî 26
áîëüøèì ÷èñëîì ÷àñòèö. Òèïè÷íàÿ òî÷íîñòü ðàñ÷åòîâ ïî ìåòîäó Ìîíòå-Êàðëî ïîðÿäêà 0.01% [155].  òî æå âðåìÿ ïðèìåíåíèå ìåòîäà ê ðàñ÷åòó ñâÿçàííûõ ìàëî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì, âèäèìî, íå öåëåñîîáðàçíî, ïîñêîëüêó, êàê ïîêàçûâàåò ñðàâíåíèå [156], îí óñòóïàåò ïî òî÷íîñòè âàðèàöèîííîìó ìåòîäó. Ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíûì ïî îòíîøåíèþ ê òèïó ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû. Îí ñ óñïåõîì ïðèìåíèì è ê àòîìíûì, è ê ìîëåêóëÿðíûì, è ê ÿäåðíûì ñèñòåìàì. Ïðàâäà, äîñòèãàåòñÿ ýòà óíèâåðñàëüíîñòü ÷èñëåííîé îöåíêîé âîçíèêàþùèõ èíòåãðàëîâ, ÷òî ïðèâîäèò ê íèçêîé òî÷íîñòè ðàñ÷åòîâ. Ê íåäîñòàòêàì ìåòîäà ñëåäóåò îòíåñòè íåñïîñîáíîñòü ðàññ÷èòàòü âîçáóæäåííûå ñîñòîÿíèÿ ñèñòåì [155], â êîòîðûõ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ çíàêîïåðåìåííà. Ìåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ ÿâëÿåòñÿ óäîáíûì è íàäåæíûì ÷èñëåííûì ìåòîäîì, êîòîðûé äàâíî ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Ïåðâîíà÷àëüíî ïðèìåíÿâøèéñÿ â ìåõàíèêå ñïëîøíûõ ñðåä, îêîëî 30-òè ëåò íàçàä îí íà÷àë ïðèìåíÿòüñÿ ê êâàíòîâîìåõàíè÷åñêèì çàäà÷àì (ñì. íàïðèìåð [157160] è ññûëêè â ýòèõ ðàáîòàõ). Îñíîâíîé õàðàêòåðèñòèêîé ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå ëîêàëüíûõ ïîëèíîìîâ âìåñòî ãëîáàëüíûõ ôóíêöèé.  ìåòîäå êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ ðåøàþò âàðèàöèîííûé ýêâèâàëåíò äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, ïðè÷åì âàðèàöèîííûìè ïàðàìåòðàìè ÿâëÿþòñÿ òîëüêî ëèíåéíûå êîýôôèöèåíòû ñ êîòîðûìè âõîäÿò â âîëíîâóþ ôóíêöèþ ëîêàëüíûå ïîëèíîìû.  ïåðâóþ î÷åðåäü íåîáõîäèìî îãðàíè÷èòü êîíôèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî, äðóãèìè ñëîâàìè, êàæäàÿ èç íåêîìïàêòíûõ êîîðäèíàò r îãðàíè÷èâàåòñÿ îòðåçêîì [0, rc ]. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ïîëàãàåòñÿ ðàâíîé íóëþ ïðè r > rc äëÿ òîãî, ÷òîáû îáåñïå÷èòü êâàäðàòè÷íóþ èíòåãðèðóåìîñòü âîëíîâîé ôóíêöèè è ñâÿçàííîñòü ñîñòîÿíèÿ, îïèñûâàåìîãî ýòîé ôóíêöèåé. Âûáîð ðàäèóñà îáðåçàíèÿ î÷åíü âàæåí äëÿ ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ. Îí îïðåäåëÿåòñÿ íåîáõîäèìîñòüþ äîñòè÷ü êîìïðîìèññà ìåæäó ïîãðåøíîñòüþ, âíîñèìîé ïðåíåáðåæåíèåì âîëíîâîé ôóíêöèåé ïðè r > rc è òðóäîåìêîñòüþ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ïî îãðàíè÷åííîìó êîíôèãóðàöèîííîìó ïðîñòðàíñòâó ïðè áîëüøèõ åãî ðàçìåðàõ. Ïîñëå òîãî, êàê êîíôèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî îáðåçàíî, îíî ðàçáèâàåòñÿ íà ìíîæåñòâî íåïåðåñåêàþùèõñÿ îáëàñòåé (ýëåìåíòîâ), ïîëíîñòüþ åãî ïîêðûâàþùèõ. Äåëàåòñÿ ýòî ïóòåì âûáîðà íåêîòîðîãî íàáîðà óçëîâ.  êàæäîì ýëåìåíòå ðàçáèåíèÿ íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ àïïðîêñèìèðóåòñÿ ïðîñòîé èíòåðïîëÿöèîííîé ôóíêöèåé, îáû÷íî ïðîèçâåäåíèåì ìíîãî÷ëåíîâ íåâûñîêîãî ïîðÿäêà îò êàæäîé èç íåçàâèñèìûõ êîîðäèíàò, êîòîðûå ðàâíû íóëþ èëè åäèíèöå â âåðøèíàõ ýëåìåíòà. Ëèíåéíûå êîýôôèöèåíòû, ñ êîòîðûìè ïîëèíîìû âõîäÿò â ëîêàëüíîå ðàçëîæåíèå, íàïðÿìóþ ñâÿçàíû ñî çíà÷åíèÿìè âîëíîâîé ôóíêöèè è åå ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ â óçëàõ ñåòêè. Äîñòîèíñòâîì ìåòîäà ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü â îäíîì ðàçáèåíèè ýëåìåíòû ðàçëè÷íûõ ðàçìåðîâ, ÷òî ïîçâîëÿåò äåòàëüíåå îïèñàòü âîëíîâóþ ôóíêöèþ â òîé îáëàñòè, ãäå áîëüøå åå ìîäóëü. Äîñòîèíñòâîì ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü óòî÷íèòü âîëíîâóþ 27
ôóíêöèþ â íåêîòîðîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè, íå âíîñÿ ñóùåñòâåííûõ èçìåíåíèé â îñòàëüíîì ïðîñòðàíñòâå. Äðóãèì äîñòîèíñòâîì ìåòîäà ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü îïòèìèçèðîâàòü ñåòêó íå òîëüêî îòíîñèòåëüíî ýíåðãèè, íî è îòíîñèòåëüíî äðóãèõ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû ÷àñòèö [158].  ñâÿçè ñ ýòèì îæèäàëîñü, ÷òî ëîêàëüíàÿ èíòåðïîëÿöèîííàÿ ñõåìà ïîçâîëèò óëó÷øèòü èìåííî âîëíîâóþ ôóíêöèþ, à íå òîëüêî ýíåðãèþ. Îäíàêî ïðè äîñòèæåíèè òî÷íîñòè ðàñ÷åòà ýíåðãèè, ñîïîñòàâèìîé ñ òî÷íîñòüþ íàèëó÷øèõ âàðèàöèîííûõ ðàñ÷åòîâ, òî÷íîñòü âû÷èñëåíèÿ äðóãèõ ñâîéñòâ ñèñòåìû îêàçàëàñü íà íåñêîëüêî ïîðÿäêîâ íèæå òî÷íîñòè ýíåðãèè [159, 160]. Äîñòîèíñòâàìè ìåòîäà ÿâëÿþòñÿ âûñîêàÿ îáùíîñòü è ãèáêîñòü ìåòîäà. Îí ïðèìåíèì ê òðåõ÷àñòè÷íûì ñèñòåìàì ñ ðàçëè÷íûìè ñâîéñòâàìè ñèììåòðèè è ìàññàìè ÷àñòèö. Îäíàêî ïëàòîé çà ýòó óíèâåðñàëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìîñòü ðàáîòû ñ ìàòðèöàìè îãðîìíûõ ðàçìåðíîñòåé. Òàê, â ðàáîòå [159] èñïîëüçîâàëèñü ìàòðèöû ðàçìåðîì 200000×200000. Õðàíåíèå òàêèõ ìàòðèö òðåáóåò áîëüøîãî êîëè÷åñòâà êîìïüþòåðíîé ïàìÿòè, à íàõîæäåíèå èõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ðàçðàáîòêè ñïåöèàëüíûõ àëãîðèòìîâ. Ýòî îãðàíè÷èâàåò êðóã ðåøàåìûõ çàäà÷ òðåõ÷àñòè÷íûìè è ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûìè ñèñòåìàìè. Ïðè÷åì, ðåøåíèå çàäà÷è ÷åòûðåõ òåë òðåáóåò ïðèìåíåíèÿ ñóïåðêîìïüþòåðîâ. Ê íåäîñòàòêàì ìåòîäà ñëåäóåò îòíåñòè òî, ÷òî íå âñå èíòåãðàëû áåðóòñÿ àíàëèòè÷åñêè [158], è äëÿ äîñòèæåíèÿ âûñîêîé òî÷íîñòè òðåáóþòñÿ áîëüøèå çàòðàòû ìàøèííîãî âðåìåíè ïðè âû÷èñëåíèè ýòèõ èíòåãðàëîâ. Äðóãèì íåäîñòàòêîì ìåòîäà ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîñòü íàõîæäåíèÿ ñðåäíèõ, äàæå ïîñëå ïîñòðîåíèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè. Òàê, â ðàáîòå [158] íàõîæäåíèå ýíåðãèè ïîòðåáîâàëî 16 ÷àñîâ ïðîöåññîðíîãî âðåìåíè, à íàõîæäåíèå ñðåäíèõ çíà÷åíèé ñòåïåíåé ìåæ÷àñòè÷íûõ ðàññòîÿíèé 49 ÷àñîâ ïðîöåññîðíîãî âðåìåíè. Àäèàáàòè÷åñêèé ìåòîä, ïðåäëîæåííûé â 1927 ãîäó Áîðíîì è Îïïåíãåéìåðîì [161], ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ìåòîäîâ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà è ïðèìåíÿåòñÿ ïðè ðàñ÷åòàõ ìîëåêóëÿðíûõ ñèñòåì [162, 163]. Áîðí è Îïïåíãåéìåð ïîêàçàëè, ÷òî â ìîëåêóëÿðíûõ ñèñòåìàõ äâèæåíèå ýëåêòðîíîâ ñ âûñîêîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü íåçàâèñèìî îò îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ ÿäåð. Ýòî ïîçâîëÿåò ïîñëåäîâàòåëüíî ðàññìîòðåòü äâèæåíèå ýëåêòðîíîâ â ïîëå íåïîäâèæíûõ ÿäåð, à çàòåì ðàññ÷èòàòü êîëåáàíèÿ ÿäåð â ýôôåêòèâíîãî ïîòåíöèàëå, ñîçäàâàåìîì ýëåêòðîíàìè.  àäèàáàòè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè ïðåäñòàâëÿþò âîëíîâóþ ôóíêöèþ ìîëåêóëû â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ Ψ(r, R) = ψ(r; R)χ(R), (2.5) ãäå r îáîçíà÷àåò ýëåêòðîííûå êîîðäèíàòû, à R ìåæÿäåðíûå ðàññòîÿíèÿ. Ôóíêöèÿ ψ(r; R), ãäå R ðàññìàòðèâàåòñÿ â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà, íàõîäèòñÿ êàê ðåøåíèå "ýëåêòðîííîãî"óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, ïîëó÷àåìîãî èç ïîëíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, â êîòîðîì ìàññû ÿäåð ïîëàãàþòñÿ ðàâíûìè áåñêîíå÷íîñòè, à ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè ôèêñèðîâàííûìè. Çàòåì ðåøàþò äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî χ(R), îïèñûâàþùåå êîëåáàíèÿ ÿäåð îòíîñèòåëüíî ðàâíîâåñíîé êîíôèãóðàöèè. 28
Íà ñåãîäíÿøíèé äåíü àäèàáàòè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé âîçìîæíîñòüþ ðàññ÷èòûâàòü ìîëåêóëÿðíûå ñèñòåìû, ñîñòîÿùèå èç áîëüøîãî ÷èñëà ÿäåð è ýëåêòðîíîâ. Îäíàêî ðàçâèòèå òåõíèêè âàðèàöèîííûõ ðàñ÷åòîâ ïîçâîëÿåò âàðèàöèîííîìó ìåòîäó êîíêóðèðîâàòü ñ àäèàáàòè÷åñêèì ïðè ðàñ÷åòàõ äâóõàòîìíûõ ìîëåêóëÿðíûõ ñèñòåì ñ îäíèì è äâóìÿ ýëåêòðîíàìè. Ñóùåñòâåííûì íåäîñòàòêîì àäèàáàòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðåíåáðåæåíèå âëèÿíèåì äâèæåíèÿ ÿäåð íà ýëåêòðîííóþ âîëíîâóþ ôóíêöèþ. Ýòî âëèÿíèå ñóùåñòâåííî ïðè ðàñ÷åòå âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé ìîëåêóë, îñîáåííî ñîäåðæàùèõ àòîìû âîäîðîäà.
2.2 2.2.1
Âàðèàöèîííûé ìåòîä Âûáîð áàçèñíûõ ôóíêöèé è ïðîöåäóðû îïòèìèçàöèè
Íåñìîòðÿ íà ìíîãî÷èñëåííîñòü ñóùåñòâóþùèõ ìåòîäîâ ðàñ÷åòà ìàëî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì, íàèáîëåå óíèâåðñàëüíûì ÿâëÿåòñÿ âàðèàöèîííûé ìåòîä. Îí ïðèìåíÿëñÿ â àíàëèçå óïðóãîãî è ìíîãîêàíàëüíîãî òðåõ÷àñòè÷íîãî ðàññåÿíèÿ [164166], èñïîëüçîâàëñÿ â ðàñ÷åòå òðåõ÷àñòè÷íîãî ðàçâàëà [167, 168]. Íî íàèáîëåå âïå÷àòëÿþùèå ðåçóëüòàòû áûëè ïîëó÷åíû ïðè ðàñ÷åòàõ ñâÿçàííûõ ñèñòåì íåáîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòèö.  ýòîì ñëó÷àå îí îáåñïå÷èâàåò íàèáîëåå âûñîêóþ òî÷íîñòü, íå ïðåâçîéäåííóþ åùå íè îäíèì ìåòîäîì. Êàê èçâåñòíî, ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà (2.1) ñâîäèòñÿ ê ýêâèâàëåíòíîé âàðèàöèîííîé çàäà÷å. Äëÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ îíà ôîðìóëèðóåòñÿ â âèäå
EU = min EU [ψ],
EU [ψ] =
ψ
hψ|H|ψi , hψ|ψi
(2.6)
ãäå H ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû, à ψ ïðîáíàÿ ôóíêöèÿ. Ôóíêöèîíàë EU [ψ] äàåò âåðõíþþ âàðèàöèîííóþ îöåíêó ýíåðãèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ. Êðîìå òîãî, èìååòñÿ âîçìîæíîñòü íàõîäèòü íèæíþþ îöåíêó ýíåðãèè, íàïðèìåð, ïî ôîðìóëå Òåìïëà [169]
EL =
max
ψ, EU [ψ]<E1
EL [ψ] =
max
ψ, EU [ψ]<E1
E1 EU [ψ] − EQ2 [ψ] , E1 − EU [ψ]
(2.7)
â êîòîðîé E1 ýíåðãèÿ ïåðâîãî âîçáóæäåííîãî óðîâíÿ ñ òàêîé æå ñèììåòðèåé è îðáèòàëüíûì ìîìåíòîì, ÷òî è îñíîâíîå ñîñòîÿíèå, à
p EQ [ψ] ≡ − hψ|H 2 |ψi/hψ|ψi.
(2.8)
Ôîðìóëà Òåìïëà íå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííî âîçìîæíîé íèæíåé îöåíêîé ýíåðãèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû [167, 170], îäíàêî, åñëè íåò èíîé àïðèîðíîé èíôîðìàöèè êðîìå ñðåäíèõ çíà÷åíèé ãàìèëüòîíèàíà è åãî êâàäðàòà, à òàêæå E1 , òî ôîðìóëà (2.7) äàåò íàèëó÷øóþ íèæíþþ îöåíêó E0 [92, 167]. Çàìåòèì, ÷òî EL [ψ0 ] = E0 , ãäå ψ0 ñîáñòâåííûé âåêòîð H , ñîîòâåòñòâóþùèé E0 . Òàêèì îáðàçîì, EL èç (2.7), â îòëè÷èå, íàïðèìåð, îò 29
îöåíêè ðàáîòû [170], ÿâëÿåòñÿ òàêæå, êàê è EU , îöåíêîé, ñõîäÿùåéñÿ ê òî÷íîìó çíà÷åíèþ E0 . Âàðèàöèîííûé ìåòîä ïîçâîëÿåò âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ îòâåòèòü íà íàèáîëåå ñëîæíûé äëÿ ïðèáëèæåííûõ ìåòîäîâ âîïðîñ î òî÷íîñòè ïîëó÷àåìûõ ðåçóëüòàòîâ. Ñîïîñòàâëåíèå âåðõíåé è íèæíåé âàðèàöèîííûõ îöåíîê äàåò ÷åòêèé è íàäåæíûé êðèòåðèé òî÷íîñòè ïîëó÷àåìûõ ðåçóëüòàòîâ.  ýòîì çàêëþ÷àåòñÿ îäíî èç âàæíåéøèõ äîñòîèíñòâ âàðèàöèîííîãî ïîäõîäà. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ â âàðèàöèîííîì ìåòîäå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ïî íåêîòîðîìó áàçèñó n X ψ= Ca φa (αa ), (2.9) a=1
ãäå φa áàçèñíûå ôóíêöèè, çàâèñÿùèå îò òàê íàçûâàåìûõ íåëèíåéíûõ âàðèàöèîííûõ ïàðàìåòðîâ αa , Ca ëèíåéíûå âàðèàöèîííûå ïàðàìåòðû, à n ÷èñëî ÷ëåíîâ â ðàçëîæåíèè. Ïðè ýòîì âñÿ çàâèñèìîñòü âîëíîâîé ôóíêöèè îò íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ ïåðåíîñèòñÿ íà áàçèñíûå ôóíêöèè. Òàêèì îáðàçîì îòïàäàåò íåîáõîäèìîñòü ðåøàòü ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïî ïåðåìåííûì, íå âõîäÿùèì â ïðîáíûå ôóíêöèè (êàê, íàïðèìåð, â ìåòîäå K -ãàðìîíèê). Ñóùåñòâóåò è äðóãîé âàðèàíò âàðèàöèîííîé ôîðìóëèðîâêè ñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, óäîáíûé ïðè ðåøåíèè îáðàòíîé çàäà÷è îïðåäåëåíèè ãëóáèíû ïîòåíöèàëà, ñîîòâåòñòâóþùåãî èçâåñòíîé ýíåðãèè ñâÿçè ñèñòåìû. Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ òàêîé çàäà÷è çàïèñûâàåòñÿ â âèäå Hψ + (λE − 1)V ψ = E0 ψ, (2.10) ãäå V îïåðàòîð ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè, à íåèçâåñòíîé âåëè÷èíîé ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòð λE , îïðåäåëÿþùèé ãëóáèíó ïîòåíöèàëà, ñîîòâåòñòâóþùóþ èçâåñòíîé ýíåðãèè E0 . Âàðèàöèîííàÿ çàäà÷à ïî îïðåäåëåíèþ λE èìååò âèä
λE = min λE [ψ], ψ
λE [ψ] = 1 +
E0 hψ|ψi − hψ|H|ψi . hψ|V |ψi
(2.11)
Êðîìå ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è òàêàÿ ôîðìóëèðîâêà ïîëåçíà ïðè ðàñ÷åòàõ ñëàáîñâÿçàííûõ ñèñòåì è ñèñòåì ñî ñëîæíîé âîëíîâîé ôóíêöèåé, êîãäà íå óäàåòñÿ ïîëó÷èòü ñâÿçàííîå ñîñòîÿíèå, èñïîëüçóÿ íåáîëüøîå ÷èñëî áàçèñíûõ ôóíêöèé â (2.9). Ïîïûòêà íàéòè âîëíîâóþ ôóíêöèþ ïðè ïîìîùè îáû÷íîé ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è (2.6) ïðèâîäèò ê ñîâåðøåííî íåâåðíîìó ðåøåíèþ, ñîîòâåòñòâóþùåìó ðàçâàëó ñèñòåìû. Ðåøåíèå æå çàäà÷è â ôîðìå (2.11) ïðèâîäèò ê àäåêâàòíîìó ïðèáëèæåíèþ ê èñòèííîé âîëíîâîé ôóíêöèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû äàæå ïðè íåâîçìîæíîñòè ñâÿçàòü ñèñòåìó ïðè äàííîì ÷èñëå áàçèñíûõ ôóíêöèé. Ïðè ýòîì λE îêàçûâàåòñÿ áîëüøå åäèíèöû. Òàêîé ïîäõîä òðåáóåò çíàíèÿ õîòÿ áû ïðèáëèçèòåëüíîãî çíà÷åíèÿ ýíåðãèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû. Óñïåõ âàðèàöèîííûõ ðàñ÷åòîâ îïðåäåëÿåòñÿ ïðåæäå âñåãî òåì, íàñêîëüêî îïòèìàëåí âûáîð áàçèñíûõ ôóíêöèé φa (αa ) â ðàçëîæåíèè (2.9), êîòîðûå ìû â äàëüíåéøåì äëÿ êðàòêîñòè áóäåì îáîçíà÷àòü |ai. Ïðîáíàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà áûòü äîñòàòî÷íî îáùåé è îáëàäàòü 30
õîðîøèìè àïïðîêñèìèðóþùèìè âîçìîæíîñòÿìè. Ïðè ýòîì åå èñïîëüçîâàíèå íå äîëæíî ïðèâîäèòü ê ÷ðåçìåðíûì ñëîæíîñòÿì ïðè âû÷èñëåíèè ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ íîðìèðîâêè, ãàìèëüòîíèàíà ñèñòåìû è êâàäðàòà ãàìèëüòîíèàíà, ÷òîáû èçáåæàòü ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ êðàòíûõ èíòåãðàëîâ. Êðîìå òîãî, â çàâèñèìîñòè îò îñîáåííîñòåé ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû ïðîáíàÿ ôóíêöèÿ äîëæíà ñîäåðæàòü äîñòàòî÷íîå ÷èñëî íåëèíåéíûõ ïàðàìåòðîâ, ÷òî â ñî÷åòàíèè ñ âûñîêîýôôåêòèâíîé ïðîöåäóðîé îïòèìèçàöèè îáåñïå÷èâàåò áûñòðóþ ñõîäèìîñòü îöåíîê ýíåðãèè è äðóãèõ õàðàêòåðèñòèê ñèñòåìû, âû÷èñëÿåìûõ ñ ïîìîùüþ ïðîáíîé ôóíêöèè. Èñòîðè÷åñêè âàðèàöèîííîå ðàçëîæåíèå â òðåõ÷àñòè÷íîé àòîìíîé ïðîáëåìå âïåðâûå áûëî ïðåäëîæåíî â 1929 ãîäó Õèëëåðààñîì [171] â âèäå ýêñïîíåíòû, óìíîæåííîé íà ïîëèíîì, ñîäåðæàùèé öåëûå ïîëîæèòåëüíûå ñòåïåíè ïåðåìåòðè÷åñêèõ êîîðäèíàò s, t è u X 1 Clmn sl tm un , s = R1 + R2 , t = R2 − R1 , u = R3 , (2.12) ψ = e− 2 s l,m,n>0
ãäå R1 è R2 ðàññòîÿíèÿ îò ýëåêòðîíîâ äî ÿäðà, à R3 ðàññòîÿíèå ìåæäó ýëåêòðîíàìè. Ïîçæå äëÿ ïîâûøåíèÿ òî÷íîñòè ðàñ÷åòîâ â òàêèå ¾ïîëèíîìèàëüíûå¿ ôóíêöèè áûëè âêëþ÷åíû ÷ëåíû ñ îòðèöàòåëüíûìè è äðîáíûìè ñòåïåíÿìè [172, 173]. Ýòî ïîçâîëèëî ïîëó÷èòü î÷åíü òî÷íûå âåðõíèå è íèæíèå îöåíêè ýíåðãèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ àòîìà ãåëèÿ. Ó÷åò ðåëÿòèâèñòñêèõ ïîïðàâîê [173175] ïîçâîëèë äîñòè÷ü áëåñòÿùåãî ñîãëàñèÿ òåîðèè è ýêñïåðèìåíòà, ÷òî ïîñëóæèëî äîêàçàòåëüñòâîì ïðèìåíèìîñòè êâàíòîâîé ìåõàíèêè ê èññëåäîâàíèþ ìàëî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì. Îòìåòèì ðàáîòó [175], â êîòîðîé áûëà ïðåäëîæåíà ìîäèôèêàöèÿ ïîëèíîìèàëüíîãî áàçèñà, ïîçâîëÿþùàÿ âû÷èñëÿòü ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû íîðìèðîâêè è ãàìèëüòîíèàíà â ðàìêàõ öåëî÷èñëåííîé àðèôìåòèêè, ÷òî íå òîëüêî çíà÷èòåëüíî óñêîðÿåò ðàñ÷åòû, íî è ïîçâîëÿåò èçáåæàòü ïîòåðè òî÷íîñòè, íåèçáåæíî âîçíèêàþùåé ïðè ðàáîòå ñ âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè. Âñêîðå ïîñëå ïåðâûõ ðàáîòà Õèëëåðààñà ïî ðàñ÷åòó àòîì ãåëèÿ ñ áåñêîíå÷íî òÿæåëûì ÿäðîì áûëè ïðîâåäåíû èññëåäîâàíèÿ àíàëèòè÷åñêîé ñòðóêòóðû âîëíîâîé ôóíêöèè äâóõýëåêòðîííîãî àòîìà. Áûëî äîêàçàíî [176], ÷òî òî÷íîå àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà äëÿ ñèñòåìû ∞ He íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå ðàçëîæåíèÿ (2.12). Âûÿñíèëîñü, ÷òî ôîðìàëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è îá îñíîâíîì ñîñòîÿíèè àòîì ãåëèÿ äîëæíî âêëþ÷àòü ÷ëåíû, ïðîïîðöèîíàëüíûå ïîëóöåëûì ñòåïåíÿì ln(R12 + R22 ) [177]. Àíàëèòè÷åñêèå ñâîéñòâà âîëíîâîé ôóíêöèè àòîìà ãåëèÿ áûëè ïîäðîáíî èññëåäîâàíû Â.À. Ôîêîì [115]. Ïåðâûå ÷èñëåííûå ðàñ÷åòû äâóõýëåêòðîííûõ àòîìíûõ ñèñòåì ñ ó÷åòîì ëîãàðèôìè÷åñêèõ ÷ëåíîâ â âàðèàöèîííîì ðàçëîæåíèè áûëè ïðîâåäåíû â ðàáîòàõ [178, 179]. Äîëãîå âðåìÿ ðàáîòà Ôðàíêîâñêè è Ïåêåðèñà [179] îñòàâàëàñü íåïðåâçîéäåííûì ýòàëîíîì òî÷íîñòè ðàñ÷åòîâ òðåõ÷àñòè÷íûõ ñèñòåì, ÷òî ïîñëóæèëî îñíîâàíèåì ñ÷èòàòü íåîáõîäèìûì âêëþ÷åíèå ëîãàðèôìè÷åñêèõ ÷ëåíîâ äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðåöèçèîííûõ ðåçóëüòàòîâ ïðè ðàñ÷åòàõ äâóõýëåêòðîííûõ àòîìíûõ ñèñòåì.  ñâÿçè ñ ýòèì ñëåäóåò îòìåòèòü ðàáîòó Ò. Êèíîøèòû [173], â êîòîðîé áûëî ïîêàçàíî, ÷òî àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå äâóõýëåêòðîííîãî 31
óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå (2.12), åñëè âêëþ÷èòü â ðàçëîæåíèå îòðèöàòåëüíûå ñòåïåíè ïåðèìåòðè÷åñêèõ êîîðäèíàò. Âîçìîæíîñòü äîñòèæåíèÿ ïðåöèçèîííîé òî÷íîñòè â òðåõ÷àñòè÷íûõ ðàñ÷åòàõ áåç âêëþ÷åíèÿ ëîãàðèôìè÷åñêèõ ÷ëåíîâ â âàðèàöèîííîå ðàçëîæåíèå áûëà ïðîäåìîíñòðèðîâàíà â ðàáîòå [180], â êîòîðîé èñïîëüçîâàëèñü äðîáíûå ñòåïåíè ïåðèìåòðè÷åñêèõ êîîðäèíàò. Ïðèìåíåíèå ïîëèíîìèàëüíûõ áàçèñíûõ ôóíêöèé ïîçâîëèëî ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ ðàññ÷èòàòü íèæíèå âàðèàöèîííûå îöåíêè ýíåðãèè äâóõýëåêòðîííûõ àòîìíûõ ñèñòåì [173, 175, 181183]. Ïîëèíîìèàëüíîå ðàçëîæåíèå øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ ê ðàñ÷åòàì âåðõíèõ îöåíîê ýíåðãèè îäíîöåíòðîâûõ ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûõ ñèñòåì [184188]. Íèæíèå îöåíêè ýíåðãèè ñèñòåì ÷åòûðåõ òåë íà ïîëèíîìèàëüíîì áàçèñå íå íàõîäèëèñü. Íåñìîòðÿ íà âïå÷àòëÿþùèå óñïåõè, äîñòèãíóòûå ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîëèíîìèàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ â ðàñ÷åòàõ îäíîöåíòðîâûõ ñèñòåì, îíî îêàçàëîñü ìàëîïðèãîäíûì äëÿ ðàñ÷åòà ñèñòåì ÷àñòèö ñ îäèíàêîâûìè èëè áëèçêèìè ìàññàìè, íàïðèìåð, ñèñòåìû Ps− , ñîñòîÿùåé èç ïîçèòðîíà è äâóõ ýëåêòðîíîâ. Ïîëèíîìèàëüíîå ðàçëîæåíèå îêàçàëîñü ìàëîïðèãîäíûì òàêæå è ïðè ðàññìîòðåíèè ÿäåðíûõ ñèñòåì. Ñóùåñòâåííûì íåäîñòàòêîì ïîëèíîìèàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ áûñòðûé ðîñò ñëîæíîñòè ðàñ÷åòà ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ ñ óâåëè÷åíèåì ñòåïåíåé ïåðåìåòðè÷åñêèõ êîîðäèíàò è îñîáåííî ñòåïåíè ëîãàðèôìè÷åñêîãî ìíîæèòåëÿ [183]. Ïðè ýòîì íå òîëüêî âîçðàñòàåò âðåìÿ âû÷èñëåíèÿ îäíîãî ýëåìåíòà ýíåðãåòè÷åñêîé ìàòðèöû, íî è íàðàñòàþò ïîòåðè òî÷íîñòè èç-çà ïðèìåíåíèÿ ðåêóððåíòíûõ ôîðìóë [179], ÷òî òðåáóåò ïåðåõîäà ê ðàñ÷åòàì ñ ÷åòâåðíîé è áîëüøåé òî÷íîñòüþ ðàçðÿäíîé ñåòêè êîìïüþòåðà. Ñëîæíîñòü ðàñ÷åòîâ çíà÷èòåëüíî âîçðàñòàåò è ñ óâåëè÷åíèåì ÷èñëà ÷àñòèö â ñèñòåìå. Äðóãèì øèðîêî ðàñïðîñòðàíåííûì â ïðàêòèêå âàðèàöèîííûõ ðàñ÷åòîâ ñèñòåì òðåõ ÷àñòèö áàçèñîì ÿâëÿåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíûé áàçèñ [189195]
|ai = exp(−α1a R1 − α2a R2 − α3a R3 ).
(2.13)
Ãëàâíûì åãî ïðåèìóùåñòâîì, ïî ñðàâíåíèþ ñ ïîëèíîìèàëüíûì áàçèñîì, ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü äîñòèæåíèÿ âûñîêîé òî÷íîñòè ïðè ðàñ÷åòàõ ñèñòåì, íå îáëàäàþùèõ ÿðêî âûðàæåííîé öåíòðàëüíîé ÷àñòèöåé. Äðóãèìè äîñòîèíñòâîì ýêñïîíåíöèàëüíûõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîòà âû÷èñëåíèÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ íîðìèðîâêè è ãàìèëüòîíèàíà, ïðè÷åì îáúåì âû÷èñëåíèé íå çàâèñèò îò íîìåðîâ áàçèñíûõ ôóíêöèé. Àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ èíòåãðàëîâ, âîçíèêàþùèõ â ðàñ÷åòàõ âåðõíåé âàðèàöèîííîé îöåíêè ýíåðãèè ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûõ ñèñòåì íà ýêñïîíåíöèàëüíîì áàçèñå, âïåðâûå áûëè ïîëó÷åíû â ðàáîòå [196] è ïðèâåäåíû ê çíà÷èòåëüíî áîëåå óäîáíîìó âèäó â [197]. Ðàñ÷åòû êîíêðåòíûõ ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûõ ñèñòåì íà ýêñïîíåíöèàëüíîì áàçèñå ïðîèçâîäèëèñü ðåäêî [198], ÷òî ñâÿçàíî ñ ñóùåñòâåííûì óñëîæíåíèåì ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ, êàê è â ñëó÷àå ïîëèíîìèàëüíîãî áàçèñà, ïðè ïåðåõîäå îò òðåõ÷àñòè÷íîé çàäà÷è ê ÷åòûðåõ÷àñòè÷íîé.  âàðèàöèîííûõ ðàñ÷åòàõ êóëîíîâñêèõ è â îñîáåííîñòè ÿäåðíûõ ñèñòåì óñïåøíî ïðè32
ìåíÿþòñÿ ãàóññîâñêèå áàçèñíûå ôóíêöèè [199201]
|ai = exp −
N X
! αia Ri2
,
(2.14)
i=1
ãäå N êîëè÷åñòâî ÷àñòèö. Îñíîâíûì äîñòîèíñòâîì ãàóññîâñêîãî âàðèàöèîííîãî ðàçëîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ åãî ïðèìåíèìîñòü ê ðàñ÷åòàì ñèñòåì ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ÷àñòèö. Ïðè÷åì èìåþòñÿ àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ âñåõ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ, íåîáõîäèìûõ äëÿ ðàñ÷åòîâ êàê âåðõíåé, òàê è íèæíåé âàðèàöèîííîé îöåíêè ýíåðãèè ñèñòåì ëþáîãî ÷èñëà òåë [200, 202]. Èìåííî â ãàóññîâñêîì áàçèñå ïðîèçâåäåíû íàèáîëåå òî÷íûå ðàñ÷åòû ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûõ êóëîíîâñêèõ ñèñòåì, äàëåêèõ îò îäíîöåíòðîâîãî ïðåäåëà [203205], à òàêæå ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì ñèëüíîâçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö [200, 206].  íåêîòîðûõ âåðñèÿõ âàðèàöèîííîãî ìåòîäà, íåñìîòðÿ íà óñïåõ âàðèàöèîííûõ ðàçëîæåíèé â åñòåñòâåííûõ êîîðäèíàò, ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ãàìèëüòîíèàíà âû÷èñëÿþòñÿ ïðÿìûì ÷èñëåííûì èíòåãðèðîâàíèå. Òàê, â ìåòîäå ATMS [207, 208] áàçèñíûå ôóíêöèè ñòðîÿòñÿ íà áàçå ïàðíûõ ôóíêöèé, ïîëó÷åííûõ ïóòåì ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ äâóõ÷àñòè÷íûõ óðàâíåíèé Øðåäèíãåðà èëè ýêâèâàëåíòíûõ çàäà÷. Îòìåòèì, ÷òî ðàñ÷åò ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ ïðÿìûì ÷èñëåííûì èíòåãðèðîâàíèåì òðåáóåò çíà÷èòåëüíîãî îáúåìà âû÷èñëåíèÿ. Ìåòîä âåñüìà ãèáîê, îáåñïå÷èâàåò õîðîøóþ òî÷íîñòü äëÿ ïîòåíöèàëîâ ñëîæíîé ôîðìû. Ê åãî íåäîñòàòêàì ñëåäóåò îòíåñòè âûñîêèå çàòðàòû ìàøèííîãî âðåìåíè. ×èñëåííàÿ îöåíêà èíòåãðàëîâ, âõîäÿùèõ â âûðàæåíèÿ äëÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ ãàìèëüòîíèàíà è íîðìèðîâêè, îòêðûâàåò çíà÷èòåëüíî áîëåå øèðîêèå âîçìîæíîñòè â ïîñòðîåíèè ïðîáíûõ ôóíêöèé. Ýòî îñîáåííî âàæíî ïðè ðàñ÷åòàõ ÿäåðíûõ ñèñòåì, ñâÿçàííûõ ïîòåíöèàëàìè, îáëàäàþùèìè ìîùíûì îòòàëêèâàíèåì íà ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ [209,210]. Òàêîé ïîäõîä èñïîëüçîâàëñÿ ïðè ðàñ÷åòàõ òðåõ- è ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûõ ÿäåðíûõ ñèñòåì [211]. Ïðè ýòîì èíòåãðàëû, êðàòíîñòü êîòîðûõ (3N − 6), îöåíèâàëèñü ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî (äåòàëè ñì. â [210], ÷òî òðåáîâàëî êîëîñàëüíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàò. Íåñêîëüêî áîëåå ýêîíîìè÷íàÿ â òðåõ÷àñòè÷íîì ñëó÷àå ïðîöåäóðà ðàñ÷åòà èíòåãðàëîâ, îñíîâàííàÿ íà êâàäðàòóðíûõ ôîðìóëàõ, èñïîëüçîâàëàñü ãðóïïîé Äåëâåñà ïðè ðàñ÷åòå òðåõ÷àñòè÷íûõ ÿäåð ñ ðåàëèñòè÷åñêèìè N N -ïîòåíöèàëàìè âåñüìà ñëîæíîé ñòðóêòóðû. Ïðè ýòîì òðåõ÷àñòè÷íàÿ ôóíêöèÿ ðàçëàãàëàñü ïî ïîëíîìó íàáîðó áàçèñíûõ ôóíêöèé ñïèí-èçîñïèíîâûõ ïåðåìåííûõ è óãëîâ Ýéëåðà [212, 213], ðàäèàëüíûå æå ôóíêöèè òðåáóåìîé ñèììåòðèè ñòðîèëèñü èç îäíî÷àñòè÷íûõ ôóíêöèé, âûáèðàâøèõñÿ â âèäå îïðåäåëåííûõ êîìáèíàöèé ýêñïîíåíò [164, 214]. Ôóíêöèè ïîëèíîìèàëüíîãî, ýêñïîíåíöèàëüíîãî è ãàóññîâñêîãî òèïà ñ óñïåõîì ïðèìåíÿëèñü äëÿ ðàñ÷åòîâ àòîìíûõ è ìåçîàòîìíûõ ñèñòåì. Ýêñïîíåíöèàëüíûé è ãàóññîâñêèé áàçèñ íàõîäÿòñÿ âíå êîíêóðåíöèè ïðè âàðèàöèîííûõ ðàñ÷åòàõ êóëîíîâñêèõ ñèñòåì, ñîñòîÿùèõ èç ÷àñòèö, áëèçêèõ ïî ìàññå, â òîì ÷èñëå ñèñòåì, ñîñòîÿùèõ èç ÷àñòèö ðàâíîé ìàññû Ps− è Ps2 , à òàêæå ìåçîìîëåêóë, ÿäåð è ãèïåðÿäåð. Îäíàêî â ñëó÷àå, êîãäà â èññëåäóåìóþ 33
ñèñòåìó âõîäÿò ÷àñòèöû ñ ìàññàìè, ðàçëè÷àþùèìèñÿ íà íåñêîëüêî ïîðÿäêîâ, è ïðè ýòîì âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó òÿæåëûìè ÷àñòèöàìè íîñèò îòòàëêèâàòåëüíûé õàðàêòåð (íàïðèìåð, ýòî îäíîèìåííûå çàðÿäû â êóëîíîâñêèõ ñèñòåìàõ) ñõîäèìîñòü âàðèàöèîííûõ îöåíîê ýíåðãèè íà òðàäèöèîííûõ áàçèñàõ ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà ôóíêöèé îêàçûâàåòñÿ î÷åíü íèçêîé, è ïðàêòè÷åñêè íå óäàåòñÿ äîñòè÷ü òî÷íîñòè ðàñ÷åòà âûøå, ÷åì 3-4 çíà÷àùèõ öèôðû. Ýòî, â ïåðâóþ î÷åðåäü, îòíîñèòñÿ ê ìîëåêóëÿðíûì ñèñòåìàì. Ïðè÷èíà ìåäëåííîé ñõîäèìîñòè ñîñòîèò â òîì, ÷òî âåðîÿòíîñòü îòíîñèòåëüíîãî ïîëîæåíèÿ ÿäåð, à âìåñòè ñ íåé è âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ìîëåêóëû èìååò óçêèé ìàêñèìóì ïðè íåêîòîðîì ìåæÿäåðíîì ðàññòîÿíèè. Øèðèíà ìàêñèìóìà òåì ìåíüøå, ÷åì áîëüøå ìàññû ÿäåð. Îïèñàòü òàêîå ïîâåäåíèå âîëíîâîé ôóíêöèè ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ýêñïîíåíò è ãàóññîèä ÷ðåçâû÷àéíî ñëîæíî. Äëÿ óëó÷øåíèÿ àïïðîêñèìàöèîííûõ ñâîéñòâ áàçèñíûõ ôóíêöèé ïðè âàðèàöèîííûõ ðàñ÷åòàõ äâóõöåíòðîâûõ ñèñòåì áûëî ïðåäëîæåíî ìîäèôèöèðîâàòü ýêñïîíåíöèàëüíóþ ïðîáíóþ ôóíêöèþ ïóòåì ââåäåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ìíîæèòåëåé [215] èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî, ðàñøèðèòü îáëàñòü çàäàíèÿ íåëèíåéíûõ ïàðàìåòðîâ â ïîêàçàòåëå ýêñïîíåíòû, ïîçâîëÿÿ èì ïðèíèìàòü êîìïëåêñíûå çíà÷åíèÿ [195]. Èñïîëüçîâàíèå òàêèõ ýêñïîíåíöèàëüíîòðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïîçâîëèëî ïðè áîëüøîì ÷èñëå ïàðàìåòðîâ ïîâûñèòü òî÷íîñòü ðàñ÷åòà äâóõöåíòðîâûõ ñèñòåì ïî÷òè äî âåëè÷èíû, äîñòèãíóòîé â ðàìêàõ àäèàáàòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ. Íàïðèìåð, â ðàáîòå [195] òî÷íîñòü ðàñ÷åòîâ ìîëåêóëÿðíûõ èîíîâ ñîñòàâèëà ïðèìåðíî 10 çíà÷àùèõ öèôð ïðè 500 áàçèñíûõ ôóíêöèÿõ. Îäíàêî è ýòà òî÷íîñòü çíà÷èòåëüíî íèæå äîñòèãíóòîé â ðàñ÷åòàõ îäíîöåíòðîâûõ ñèñòåì ñ òåì æå ÷èñëîì áàçèñíûõ ôóíêöèé. Äðóãîé âàðèàíò ïðåîäîëåíèÿ òðóäíîñòåé ïðè ðàñ÷åòå äâóõöåíòðîâûõ ñèñòåì ñîñòîèò â èñïîëüçîâàíèè ïðîáíûõ ôóíêöèé âèäà Rm e−αR , ãäå R ðàññòîÿíèå ìåæäó òÿæåëûìè ÷àñòèöàìè. Íåäîñòàòêîì òàêèõ áàçèñíûõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìîñòü èñïîëüçîâàòü áîëüøèå m äëÿ îïèñàíèÿ óçêîãî ìàêñèìóìà âîëíîâîé ôóíêöèè, ÷òî óâåëè÷èâàåò ñëîæíîñòü ðàñ÷åòà ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ è ïðèâîäèò ê áîëüøèì ïîòåðÿì òî÷íîñòè â ïðèìåíÿåìûõ ðåêóðåíòíûõ ôîðìóëàõ. Òàê, â ðàáîòå [216] ïðè ðàñ÷åòå ñèñòåìû ppe èñïîëüçîâàëîñü çíà÷åíèå m = 10, ÷òî ïîçâîëèëî ïîëó÷èòü 7 âåðíûõ çíàêîâ â îöåíêå ýíåðãèè. Äàëüíåéøåå ïîâûøåíèå òî÷íîñòè òðåáóåò óâåëè÷åíèÿ m â íåñêîëüêî ðàç, à ýòî ñîïðÿæåíî ñî çíà÷èòåëüíûì óâåëè÷åíèåì îáúåìà âû÷èñëåíèé (ñì. ðàñ÷åòû â ðàáîòàõ [217, 218]). Ñ òðóäíîñòÿìè, àíàëîãè÷íûìè âîçíèêàþùèì â äâóõöåíòðîâîé çàäà÷å, ñòàëêèâàþòñÿ â ðàñ÷åòàõ ÿäåðíûõ ñèñòåì ïðè èñïîëüçîâàíèè íóêëîí-íóêëîííûõ ïîòåíöèàëîâ ñ æåñòêèì êîðîì.  ýòîì ñëó÷àå âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ èìååò áîëåå èëè ìåíåå îñòðûå ìàêñèìóìû ïðè íåêîòîðûõ ìåæ÷àñòè÷íûõ ðààññòîÿíèÿõ, è ìîæíî ãîâîðèòü îá îáðàçîâàíèè ïðîñòðàíñòâåííîãî êàðêàñà, îòíîñèòåëüíî êîòîðîãî ðàçìàçûâàåòñÿ ïîëîæåíèå ÷àñòèö.  ðàáîòå [219] äëÿ ðàñ÷åòîâ ÿäåðíûõ ñèñòåì ñ ïîòåíöèàëàìè, ñîäåðæàùèìè æåñòêèé êîð, áûëè ïðåäëîæåíû òàê íàçûâàåìûå ¾êàðêàñíûå¿ ïðîáíûå ôóíêöèè: ! N X ~ pq − R ~ a )2 , |ai = exp − β a (R (2.15) pq
p>q=1
34
pq
a ~ a âàðèàöèîííûå ïàðàìåòðû, îïðåäåëÿþùèå æåñòêîñòü è ïðîñòðàíñòâåííóþ ãäå βpq è R pq îðèåíòàöèþ êàðêàñà. Äîñòîèíñòâîì òàêèõ áàçèñíûõ ôóíêöèé ïî ñðàâíåíèþ ñ ïîäõîäîì ðàáîòû [216] ÿâëÿåòñÿ åäèíîîáðàçíîñòü âû÷èñëåíèÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ ïðè ïðîèçâîëüíîé øèðèíå êàðêàñà è ïðèìåíèìîñòü ê ðàñ÷åòàì ñèñòåì ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ÷àñòèö è ñ ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì êàðêàñíûõ ñâÿçåé. Ñóùåñòâåííûì íåäîñòàòêîì ïðîáíûõ ôóíêöèé (2.15) ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îíè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êîìáèíàöèþ ñîñòîÿíèé ñ ðàçëè÷íûìè çíà÷åíèÿìè ïîëíîãî îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ôóíêöèè, îáëàäàþùåé íóëåâûì îðáèòàëüíûì ìîìåíòîì, òðåáóåòñÿ ~ a , ÷òî ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîóñðåäíèòü (2.15) ïî âñåâîçìîæíûì îðèåíòàöèÿì êàðêàñà R pq ñòè ÷èñëåííîãî íàõîæäåíèÿ îäíîêðàòíûõ èíòåãðàëîâ. a Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êàðêàñ áàçèñíîé ôóíêöèè ìîæíî çàäàòü ñ ïîìîùüþ ðàññòîÿíèé Rij ìåæäó êàæäîé èç ïàð (i, j) ÷àñòèö [220222].  ýòîì ñëó÷àå êàðêàñíóþ áàçèñíóþ ôóíêöèþ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå: ! A X a 2 a (2.16) ) , (Rij − Rij |ai = exp − αij i>j=1 a a â êà÷åñòâå âàðèàöèîííûõ ïàðàìåòðîâ. Êàðêàñ, ñîñòàâëåííûé èç è Rij è ðàññìàòðèâàòü αij a äëèí Rij , íå ñâÿçàí ñ îðèåíòàöèåé êîîðäèíàòíûõ îñåé, è ìû áóäåì íàçûâàòü êàðêàñíûå ôóíêöèè (2.16) ñâîáîäíûìè (íåîðèåíòèðîâàííûìè). Îíè ñîîòâåòñòâóþò, î÷åâèäíî, íóëåâîìó îðáèòàëüíîìó ìîìåíòó è ïðåäñòàâëÿþò õîðîøóþ îñíîâó äëÿ àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ. Àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ ïðè èñïîëüçîâàíèè ñâîáîäíîãî êàðêàñíîãî áàçèñà óäàëîñü ïîêà ïîëó÷èòü òîëüêî äëÿ ñèñòåì òðåõ ÷àñòèö ñ ëþáûì êîëè÷åñòâîì êàðêàñíûõ ñâÿçåé èëè äëÿ ñèñòåì áîëüøåãî êîëè÷åñòâî ÷àñòèö, íî ïðè óñëîâèè íàëè÷èÿ òîëüêî îäíîé êàðêàñíîé ñâÿçè. Ïðè ýòîì ïî îñòàëüíûì ñâÿçÿì ïðèõîäèòñÿ èñïîëüçîâàòü ãàóññîâñêèå ïðîáíûå ôóíêöèè, ÷òî óõóäøàåò ñõîäèìîñòü ïðè ðàñ÷åòàõ êóëîíîâñêèõ ñèñòåì. Ýòè îãðàíè÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ íåäîñòàòêîì ñâîáîäíîãî êàðêàñíîãî áàçèñà. Îäíèì èç âàæíåéøèõ ôàêòîðîâ óñïåõà âàðèàöèîííûõ ðàñ÷åòîâ ÿâëÿåòñÿ ýôôåêòèâíàÿ ïðîöåäóðà îïòèìèçàöèè ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ âàðèàöèîííûõ ïàðàìåòðîâ. Ïðè ôèêñèðîâàííûõ íåëèíåéíûõ ïàðàìåòðàõ âàðèàöèîííàÿ çàäà÷à (2.6) ñâîäèòñÿ ê çàäà÷å ìèíèìèçàöèè ôóíêöèè P Ca Hab Cb , (2.17) ω = Pab ab Ca Nab Cb
ãäå Hab = ha|H|bi ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ãàìèëüòîíèàíà ñèñòåìû, Nab = ha|bi ýëåìåíòû íîðìèðîâî÷íîé ìàòðèöû, à Ca ëèíåéíûå âàðèàöèîííûå ïàðàìåòðû. Ïðèðàâíèâàÿ ê íóëþ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ∂ω/∂Ca , ïðèõîäèì ê îáîáùåííîé çàäà÷å íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ è ñîáñòâåííûå âåêòîðû X X Hab Cb = λ Nab Cb . (2.18) b
b
35
Ïðè÷åì îñíîâíîìó ñîñòîÿíèþ ñèñòåìû ñîîòâåòñòâóåò íàèìåíüøåå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå λ, äëÿ íàõîæäåíèÿ êîòîðîãî, êàê ïðàâèëî, ïðèìåíÿþò ìåòîä îáðàòíûõ èòåðàöèé ñî ñäâèãîì [223]. Îïòèìèçàöèÿ íåëèíåéíûõ ïàðàìåòðîâ ãîðàçäî ñëîæíåå è ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò òèïà âàðèàöèîííîãî ðàçëîæåíèÿ. Ïðè ðàñ÷åòàõ íà ïîëèíîìèàëüíûõ áàçèñàõ íåëèíåéíûìè ïàðàìåòðàìè ÿâëÿþòñÿ ñòåïåíè ïåðèìåòðè÷åñêèõ êîîðäèíàò è ëîãàðèôìè÷åñêîãî ìíîæèòåëÿ. êîòîðûå, êàê ïðàâèëî, ÿâëÿþòñÿ öåëûìè ÷èñëàìè, ëèáî îòíîøåíèåì öåëûõ ÷èñëå ê íåêîòîðîé âåùåñòâåííîé êîíñòàíòå. Ïîýòîìó çàäà÷å îïòèìèçàöèè íåëèíåéíûõ ïàðàìåòðîâ äëÿ ïîëèíîìèàëüíîãî è ïîëèíîìèàëüíî-ëîãàðèôìè÷åñêîãî áàçèñîâ ÿâëÿåòñÿ çàäà÷åé äèñêðåòíîé îïòèìèçàöèè, êîòîðàÿ ñâîäèòñÿ ê ïðîñòîìó ïåðåáîðó âñåõ âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ, ÷òî òðåáóåò êîëîññàëüíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ óñèëèé. Ïîýòîìó ïðè ðàñ÷åòàõ íà ïîëèíîìèàëüíûõ áàçèñàõ îòêàçûâàþòñÿ îò îïòèìèçàöèè íåëèíåéíûõ ïàðàìåòðîâ, îãðàíè÷èâàÿñü àíàëèçîì âåñîâ ðàçëè÷íûõ ÷ëåíîâ âîëíîâîé ôóíêöèè è îòáðàñûâàÿ ôóíêöèè ñ íàèìåíüøèì âåñîì [224]. Òàêîé ïîäõîä ïðèâîäèò ê õîðîøèì ðåçóëüòàòàì ïðè áîëüøîì ÷èñëå áàçèñíûõ ôóíêöèé 200 è áîëåå è ê íåóäîâëåòâîðèòåëüíûì ðåçóëüòàòàì ïðè íåáîëüøîì ÷èñëå ÷ëåíîâ â âàðèàöèîííîì ðàçëîæåíèè. Âàæíûì äîñòîèíñòâîì ýêñïîíåíöèàëüíîãî è ãàóññîâñêîãî áàçèñîâ ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå áîëüøîãî ÷èñëà íåëèíåéíûõ ïàðàìåòðîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò ê ìíîæåñòâó âåùåñòâåííûõ èëè äàæå êîìïëåêñíûõ â ñëó÷àå ýêñïîíåíöèàëüíî-òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî áàçèñà ÷èñåë. Ýòî îáåñïå÷èâàåò ãèáêîñòü ïðîáíîé ôóíêöèè, ÷òî â ñâîþ î÷åðåäü, ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî óñêîðèòü ñõîäèìîñòü âàðèàöèîííûõ îöåíîê ê òî÷íîìó çíà÷åíèþ è ïîëó÷èòü àêêóðàòíûå ðåçóëüòàòû ïðè íåáîëüøîì ÷èñëå áàçèñíûõ ôóíêöèé. Âìåñòå ñ òåì âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü â ýôôåêòèâíîé ïðîöåäóðå íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíûõ çíà÷åíèé íåëèíåéíûõ ïàðàìåòðîâ, ò.å. íàõîæäåíèÿ ãëîáàëüíîãî ýêñòðåìóìà â ïðîñòðàíñòâå î÷åíü âûñîêîé ðàçìåðíîñòè (íåñêîëüêî ñîòåí è äàæå òûñÿ÷). Óæå â ñëó÷àå âñåãî íåñêîëüêèõ âàðèàöèîííûõ ïàðàìåòðîâ ¾ýíåðãåòè÷åñêàÿ¿ ïîâåðõíîñòü èìååò ÷ðåçâû÷àéíî ñëîæíûé ðåëüåô ñî ìíîæåñòâîì ëîêàëüíûõ ýêñòðåìóìîâ, äîëèí è ãðåáíåé [225], è ñ ðîñòîì ÷èñëà ïàðàìåòðîâ ñèòóàöèÿ óñóãóáëÿåòñÿ.  ñâÿçè ñ ýòèì ìåòîäû äåòåðìèíèðîâàííîãî ïîèñêà ãëîáàëüíîãî ýêñòðåìóìà îêàçûâàþòñÿ íåýôôåêòèâíûìè. Íàïðîòèâ, ðàçëè÷íûå âåðñèè ñòîõàñòè÷åñêîãî ïîèñêà îêàçàëèñü ÷ðåçâû÷àéíî óñïåøíûìè. Çàäà÷à îòûñêàíèÿ îïòèìàëüíûõ çíà÷åíèé íåëèíåéíûõ âàðèàöèîííûõ ïàðàìåòðîâ ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò îáùåé çàäà÷è íà îòûñêàíèå ãëîáàëüíîãî ýêñòðåìóìà â ïðîñòðàíñòâå áîëüøîé ðàçìåðíîñòè íàëè÷èåì îïðåäåëåííîé ñâÿçè ìåæäó ïåðåìåííûìè. Ñàìîå ïðîñòîå åå ïðîÿâëåíèå ñîñòîèò â òîì, ÷òî âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ (2.9), à ñëåäîâàòåëüíî è âñå ñâîéñòâà ñèñòåìû íå çàâèñÿò îò ïðîèçâîëüíûõ ïåðåñòàíîâîê áàçèñíûõ ôóíêöèé, ò.å. âàðèàöèîííûå îöåíêè ýíåðãèè êàê ôóíêöèè îò íåëèíåéíûõ ïàðàìåòðîâ îáëàäàþò âûñîêîé ñòåïåíüþ ñèììåòðèè. Îäíèì èç íàèáîëåå óäà÷íûõ ïîäõîäîâ ê ó÷åòó ýòîé ñèììåòðèè ÿâëÿåòñÿ çàäàíèå íåêîòîðîãî íàáîðà ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, êîòîðûì ïîä÷èíÿþòñÿ ãðóïïû íåëèíåéíûõ ïàðàìåòðîâ. Ýòîò ïîäõîä ðåàëèçóåòñÿ â ìåòîäå ïîøàãîâîãî ïîèñêà è â ìåòîäå 36
õàîñà íåëèíåéíûõ ïàðàìåòðîâ. Ìåòîä ïîøàãîâîé îïòèìèçàöèè áûë ïðåäëîæåí Â. È. Êóêóëèíûì â ñåðåäèíå 70-õ ãîäîâ XX âåêà [226, 227]. Ñîãëàñíî ýòîìó ìåòîäó ïðîáíàÿ ôóíêöèÿ ñòðîèòñÿ ïóòåì ïîñëåäîâàòåëüíîãî äîáàâëåíèÿ ÷ëåíîâ â âàðèàöèîííîå ðàçëîæåíèå. Íà êàæäîì øàãå èç óñëîâèÿ ìèíèìèçàöèè âåðõíåé îöåíêè ýíåðãèè íàõîäÿòñÿ òîëüêî íåëèíåéíûå ïàðàìåòðû äîáàâëÿåìûõ ôóíêöèé ïðè ôèêñèðîâàííûõ ïàðàìåòðàõ ðàíåå íàéäåííûõ ÷ëåíîâ. Äëÿ ýòîé öåëè èñïîëüçóåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêèé ìåòîä ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîäáèðàåìîé äëÿ êàæäîãî ðàñ÷åòà íà îñíîâàíèè àíàëèçà ôàêòè÷åñêè ñêëàäûâàþùåãîñÿ ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïðè äîáàâëåíèè î÷åðåäíûõ ñëàãàåìûõ â âàðèàöèîííîå ðàçëîæåíèå ïðîèçâîäèòñÿ ðÿä èñïûòàíèé áàçèñíûõ ôóíêöèé, îòîáðàííûõ ñòîõàñòè÷åñêèì îáðàçîì, è âûáèðàþòñÿ òå èç íèõ, êîòîðûå îáåñïå÷èëè íàèëó÷øåå çíà÷åíèå ýíåðãèè íà äàííîì øàãå. Îñíîâíîå ïðåèìóùåñòâî ìåòîäà ïîøàãîâîé îïòèìèçàöèè çàêëþ÷àåòñÿ â åãî âûñîêîé ýêîíîìè÷íîñòè ïî ñðàâíåíèþ ñ îäíîâðåìåííûì ïîèñêîì âñåõ áàçèñíûõ ôóíêöèé. Äåéñòâèòåëüíî, âìåñòî ðàñ÷åòà íà êàæäîé n-îé ïðîáå n(n + 1)/2 ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ ãàìèëüòîíèàíà è ñòîëüêèõ æå ýëåìåíòîâ íîðìèðîâî÷íîé ìàòðèöû äîñòàòî÷íî íàéòè ëèøü íåñêîëüêî ïîñëåäíèõ ñòðîê ýòèõ ìàòðèö, ÷òî ñóùåñòâåííî óìåíüøàåò îáúåì âû÷èñëåíèé. Òàê, â ñëó÷àå, åñëè íà êàæäîì øàãå äîáàâëÿåòñÿ òîëüêî îäíà ôóíêöèÿ, òî îáúåì âû÷èñëåíèé ñîêðàùàåòñÿ â (n + 1)/2 ðàç. Ê òîìó æå, ó÷èòûâàÿ íåèçìåííîñòü âñåõ ñòðîê, êðîìå ïîñëåäíåé, â ìàòðèöàõ H è N èç (2.18), ìîæíî çíà÷èòåëüíî ñîêðàòèòü âðåìÿ ðåøåíèÿ ëèíåéíîé çàäà÷è, ñäåëàâ åãî ïðîïîðöèîíàëüíûì íå n3 , à n2 . Äåòàëüíûå èññëåäîâàíèå ïîêàçàëè, ÷òî òî÷íîñòü ðàñ÷åòîâ ñëàáî ÷óâñòâèòåëüíà ê ÷èñëó äîáàâëÿåìûõ íà êàæäîì øàãå íîâûõ ôóíêöèé è ê îáúåìó ñòîõàñòè÷åñêîé âûáîðêè. Äðóãèì, íå ìåíåå âàæíûì äîñòîèíñòâîì ìåòîäà ïîøàãîâîãî ïîèñêà ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü îñóùåñòâëÿòü ñëó÷àéíûå âûáîðêè íåëèíåéíûõ ïàðàìåòðîâ ïðè ïîìîùè íåáîëüøîãî ÷èñëà îäíîìåðíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ. Òàê, â ðàáîòå [200] âûáèðàëàñü ñâîÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ êàæäîé ìåæ÷àñòè÷íîé ñâÿçè â ñèñòåìå.  ðåçóëüòàòå íåëèíåéíûå ïàðàìåòðû òðåõ÷àñòè÷íîé ñèñòåìû îïèñûâàþòñÿ òðåìÿ îäíîìåðíûìè ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ, ÷åòûðåõ÷àñòè÷íîé øåñòüþ, ïÿòè÷àñòè÷íîé äåñÿòüþ è ò.ä. Ìåòîä ïîøàãîâîé îïòèìèçàöèè äîïóñêàåò âîçìîæíîñòü ñàìîîáó÷åíèÿ ïîèñêîâîãî àëãîðèòìà, ò.å. â ïðîöåññå ïîèñêà ìîæíî ìîäèôèöèðîâàòü ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ó÷åòîì çíà÷åíèé óæå íàéäåííûõ âàðèàöèîííûõ ïàðàìåòðîâ.  ðàáîòå [200] ìåòîä ïîøàãîâîé îïòèìèçàöèè ïðèìåíÿëñÿ èòåðàöèîííî äî òåõ ïîð, ïîêà ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íå ñòàáèëèçèðóþòñÿ. Íàéäåííûå îïòèìèçèðîâàííûå ðàñïðåäåëåíèÿ ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ íå òîëüêî äëÿ ðàñ÷åòà äàííîé ñèñòåìû, íî è öåëîãî êëàññà áëèçêèõ ïî ñâîéñòâàì ñèñòåì. Áîëåå òîãî, ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, íàéäåííûå äëÿ íåêîòîðîé N -÷àñòè÷íîé ñèñòåìû, ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â êà÷åñòâå íåïëîõîãî íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ â ðàñ÷åòàõ (N + 1)-÷àñòè÷íîé ñèñòåìû, âêëþ÷àþùåé òå æå ÷àñòèöû è ñ òåìè æå ïîòåíöèàëàìè âçàèìîäåéñòâèÿ. Íåñìîòðÿ íà âñå ïðåèìóùåñòâà ìåòîäà ïîøàãîâîé îïòèìèçàöèè, îí îáëàäàåò âåñüìà ñóùåñòâåííûì íåäîñòàòêîì, êîòîðûé çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî k -àÿ áàçèñíàÿ ôóíêöèÿ â 37
ðàçëîæåíèè äëèíû n îïòèìèçèðîâàíà ïðè óñëîâèè, ÷òî (n − k) ôóíêöèé ñ á îëüøèìè íîìåðàìè òîæäåñòâåííî ðàâíû íóëþ. Íàéäåííàÿ òàêèì îáðàçîì áàçèñíàÿ ôóíêöèÿ, êîíå÷íî æå, íå îïòèìàëüíà ïðè íåíóëåâûõ (n − k) áàçèñíûõ ôóíêöèÿõ. Ïðàêòè÷åñêè îäíîâðåìåííî ñ ìåòîäîì ïîøàãîâîé îïòèìèçàöèè áûë ïðåäëîæåí äðóãîé ÷àñòî èñïîëüçóåìûé ìåòîä ïîèñêà íåëèíåéíûõ âàðèàöèîííûõ ïàðàìåòðîâ ìåòîä ãëîáàëüíîãî õàîñà íåëèíåéíûõ ïàðàìåòðîâ [189]. Îñíîâíàÿ èäåÿ ìåòîäà ñîñòîèò â àïðèîðíîé ãåíåðàöèè âñåõ íåëèíåéíûõ âàðèàöèîííûõ ïàðàìåòðîâ è, ïî ñóòè, îòêàç îò îïòèìèçàöèè êàæäîé êîíêðåòíîé ôóíêöèè. Îïðàâäàíèåì òàêîìó ïîäõîäó ñëóæèò òî, ÷òî ïðè î÷åíü áîëüøîì ÷èñëå íåëèíåéíûõ ïàðàìåòðîâ (íåñêîëüêî ñîòåí èëè äàæå òûñÿ÷) îïòèìèçàöèÿ íåñêîëüêèõ äîáàâëÿåìûõ âàðèàöèîííûõ ïàðàìåòðîâ íå èçìåíÿåò îöåíêó ýíåðãèè â ñóùåñòâåííûõ çíàêàõ è, ñëåäîâàòåëüíî, íå ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìîé. Êîíêðåòíûå ðåàëèçàöèè ìåòîäà ãëîáàëüíîãî õàîñà íåëèíåéíûõ ïàðàìåòðîâ ìîæíî íàéòè â [190, 191, 193, 194]. Ïðè ýòîì íåëèíåéíûå ïàðàìåòðû íàõîäÿòñÿ êàê ÷ëåíû ñëó÷àéíûõ ëèáî ïñåâäîñëó÷àéíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ÷èñåë, ñîñðåäîòî÷åííûõ âíóòðè íåêîòîðûõ èíòåðâàëîâ, ãðàíèöû êîòîðûõ ïîäáèðàþòñÿ èç óñëîâèÿ ìèíèìèçàöèè âåðõíåé âàðèàöèîííîé îöåíêè ýíåðãèè. Ñóùåñòâóþò ðåàëèçàöèè ìåòîäà, â êîòîðûõ ãðàíèöû èíòåðâàëîâ äëÿ ÷àñòè ïàðàìåòðîâ çàâèñÿò îò íîìåðà áàçèñíîé ôóíêöèè è êîíêðåòíûõ çíà÷åíèé äðóãèõ íåëèíåéíûõ ïàðàìåòðîâ ýòîé ôóíêöèè [194]. Òàêèì îáðàçîì, èñòèííûìè íåëèíåéíûìè ïàðàìåòðàìè ìåòîäà ÿâëÿþòñÿ ãðàíèöû èíòåðâàëîâ, â êîòîðûõ èùóòñÿ âàðèàöèîííûå ïàðàìåòðû. Îäíàêî îïòèìèçàöèÿ ýòèõ ãðàíèö âåñüìà ñëîæíà, òàê êàê çàâèñèìîñòü öåëåâîé ôóíêöèè îò íèõ íîñèò ÷ðåçâû÷àéíî íåðåãóëÿðíûé õàðàêòåð. Ïðè íåáîëüøîì è óìåðåííîì ÷èñëå ôóíêöèé ìåòîä ãëîáàëüíîãî õàîñà íåëèíåéíûõ ïàðàìåòðîâ ïðèâîäèò ê âåñüìà ïîñðåäñòâåííûì ðåçóëüòàòàì, êîòîðûå â ÷àñòíîñòè, çíà÷èòåëüíî õóæå ïîëó÷àåìûõ ïðè ïîìîùè ìåòîäà ïîøàãîâîé îïòèìèçàöèè. Îäíàêî ïðè âûñîêîé ðàçìåðíîñòè áàçèñà è òùàòåëüíîé îïòèìèçàöèè ãðàíèö áðîñàíèé íåëèíåéíûõ ïàðàìåòðîâ îí äåéñòâèòåëüíî ïðèâîäèò ê òåì æå ðåçóëüòàòàì, ÷òî è áîëåå òùàòåëüíûå è âìåñòå ñ òåì áîëåå òðóäîåìêèå ïðîöåäóðû îïòèìèçàöèè. 2.2.2
Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû
H
è
H2
Ãàóññîâñêèé áàçèñ Âñå îñíîâíûå ôîðìóëû äëÿ ãàóññîâñêîãî áàçèñà áûëè ïðèâåäåíû â ðàáîòå [200]. Ïîäðîáíûé âûâîä ýòèõ ôîðìóë ìîæíî íàéòè â [202]. Äîñòîèíñòâîì ýòèõ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ èõ ïðèìåíèìîñòü äëÿ ðàñ÷åòà ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ ãàìèëüòîíèàíà è åãî êâàäðàòà â çàìêíóòîì âèäå äëÿ îáû÷íî èñïîëüçóåìûõ ïîòåíöèàëîâ äëÿ ñèñòåì ëþáîãî ÷èñëà ÷àñòèö N . Ãàóññîâû ôóíêöèè â çàäà÷å N òåë óäîáíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ! N X ~ + Aa R), ~ |ai ≡ exp − αa R2 = exp(R (2.19) pq
p,q=1
38
pq
a a a ~ − − − (N − 1) × 1 ñòîëáåö âåêòîðîâ {R ~ 1N , . . . R ~ N −1,N }, à ýëåìåíòû ãäå αpq = αqp è αpp = 0, R a (N − 1) × (N − 1) ìàòðèöû Aa ñâÿçàíû ñ âàðèàöèîííûìè ïàðàìåòðàìè αpq ñîîòíîøåíèÿìè
Aapp =
N X
a αpq ;
a Aapq = −αpq ,
1 6 p, q 6 N − 1,
p 6= q
(2.20)
q=1
Èíòåãðàë ïåðåêðûâàíèÿ ëåãêî âû÷èñëÿåòñÿ êàê íîðìèðîâî÷íûé èíòåãðàë ìíîãîìåðíîãî ãàóññîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Z ~ + (Aa + Ab )R}d ~ R ~ 1N . . . dR ~ N −1,N = π 3(N −1)/2 /D3/2 , D ≡ det(Aa + Ab ) ha|bi = exp{−R (2.21) Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðà êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè èìåþò âèä
ha|T |bi = ha|biTab ,
(2.22)
ãäå N
1 X a b µr αpr αqr (Dpr + Dqr − Dpq ), Tab ≡ D pqr
µp ≡
3~2 ∂D , Dpp ≡ 0, Dpq ≡ , p 6= q. a 2mp ∂αpq
Äëÿ ïîòåíöèàëà Vpq (Rpq ) âçàèìîäåéñòâèÿ p-îé è q -îé ÷àñòèö " r # Z ∞ 4 Dpq −x2 2 ha|Vpq (Rpq )|bi = ha|bi √ Vpq x e x dx. D π 0
(2.23)
(2.24)
Îòñþäà ëåãêî ðàññ÷èòûâàþòñÿ ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû äëÿ âñåõ ÷àñòî èñïîëüçóåìûõ âèäîâ ïîòåíöèàëîâ (ñì. [200]).  ÷àñòíîñòè, äëÿ ãàóññîâñêîãî, êóëîíîâñêîãî, þêàâñêîãî è ýêñïîíåíöèàëüíîãî ïîòåíöèàëîâ ha|bi 2 , ha|e−νRpq |bi = (1 + νDpq /D)3/2 1 2ha|bi ha| , |bi = p Rpq πDpq /D e−νRpq ha|bi 1 |bi = √ − 2F (ξ) , ha| νRpq π ξ (2.25) 2ha|bi −νRpq 2 ha|e |bi = √ −ξ + (1 + 2ξ )F (ξ) , π r ν Dpq ξ≡ , 2 ZD ∞
ξ2
2
e−t dt
F (ξ) ≡ e
ξ
Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû êâàäðàòà ãàìèëüòîíèàíà: " 1 2 X a a b ha|T 2 |i = ha|bi 5Tab2 − 4(Aa + Ab )Tab + 8Aa Ab − µr µr0 αpr αqr αp0 r0 αqb 0 r0 × 3 D pqrp0 q0 r0 #
× (4Dprp0 r0 − 2Dpqp0 r0 − 2Dprp0 q0 + Dpqp0 q0 ) , (2.26)
39
2 )3/2 2(1 − gpqrs ha|Vpq Vrs |bi = ha|bi πgpqrs
Z
∞
"
∞
Z
r
xy dx dy Vpq |x| −∞
−∞
s
"
× Vrs |y|
# Dpqrs × Drs
# Dpqrs exp(−x2 + 2gpqrs − y 2 ), (2.27) Dpq
"r # Z ∞ ha|Vpq |bi xD 1 pq ha|T Vpq + Vpq T |bi = 2ha|bi Tab Vpq0 + √ e−x x dx × ha|bi D 3 π 0 #) " r X Dpq 1 b b a a , αst )(Dpqrt + Dpqst − Dpqrs ) αst + αrt +p µt (αrt × 2(Tab − Aa − Ab ) D Dpq D rst (
(2.28) ãäå áûëè ââåäåíû äîïîëíèòåëüíûå îáîçíà÷åíèÿ
Aa ≡
N X
a µp αpq ,
Dpqrs
p,q=1
s
∂2D ≡ , ∂αpq ∂αrs
1−
gpqrs ≡
DDpqrs , Dpq Drs
d Vpq (x). dx
Vpq0 (x) ≡
Ýêñïîíåíöèàëüíûé áàçèñ Ýêñïîíåíöèàëüíûå ôóíêöèè îáåñïå÷èâàþò áîëåå âûñîêóþ òî÷íîñòü ðàñ÷åòà ïî ñðàâíåíèþ ñ ãàóññîâñêèìè ôóíêöèÿìè, îäíàêî ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû H è H 2 óäàåòñÿ âûðàçèòü â çàìêíóòîì âèäå ëèøü äëÿ ñëó÷àÿ òðåõ ÷àñòèö (äëÿ H òàêæå äëÿ ÷åòûðåõ). Ýêñïîíåíöèàëüíóþ áàçèñíóþ ôóíêöèþ äëÿ ñèñòåìû òðåõ ÷àñòèö ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå: |ai = exp(−α1a R1 − α2a R2 − α3a R3 ). (2.29) Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ãàìèëüòîíèàíà è åãî êâàäðàòà âûðàæàþòñÿ ÷åðåç èíòåãðàëû âèäà [228]:
Z∞
Iklm (α1 , α2 , α3 ) ≡ 8π 2
0
Uklm (α1 , α2 , α3 ) ≡ 8π 2
Uklm (α1 , α2 , α3 ) ≡ 8π 2
Z∞
R1k dR1
Z∞
R2l dR2
0
V (R1 )R1k dR1
Z∞ 0
Z∞
Z∞
0
R3m dR3 exp −
R2l dR2
|RZ 1 +R2 |
R3m dR3 exp −
V (R2 )R2l dR2
|RZ 1 +R2 |
|R1 −R2 |
40
! (2.30)
αp Rp ,
3 X
! αp Rp ,
(2.31)
p=1
|R1 −R2 |
0
3 X p=1
|R1 −R2 |
0
V (R1 )R1k dR1
|RZ 1 +R2 |
R3m dR3 exp −
3 X
! αp Rp ,
p=1
(2.32)
Äàííûå èíòåãðàëû ìîãóò áûòü íàéäåíû ïîñðåäñòâîì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî ïàðàìåòðàì αp òðåõ ôóíäàìåíòàëüíûõ èíòåãðàëîâ I000 (α1 , α2 , α3 ), U000 (α1 , α2 , α3 ) è W000 (α1 , α2 , α3 ): k l m ∂ ∂ ∂ Iklm (α1 , α2 , α3 ) = − − − I000 (α1 , α2 , α3 ) (2.33) ∂α1 ∂α2 ∂α3 k l m ∂ ∂ ∂ − − U000 (α1 , α2 , α3 ) (2.34) Uklm (α1 , α2 , α3 ) = − ∂α1 ∂α2 ∂α3 k l m ∂ ∂ ∂ Wklm (α1 , α2 , α3 ) = − − − W000 (α1 , α2 , α3 ) (2.35) ∂α1 ∂α2 ∂α3 (2.36) Èíòåãðàë I000 ëåãêî âû÷èñëÿåòñÿ:
I000 (α1 , α2 , α3 ) =
16π 2 , (α1 + α2 )(α2 + α3 )(α3 + α1 )
(2.37)
èíòåãðàë U000 äëÿ ïðîèçâîëüíûõ V (R) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó
16π 2 U000 (α1 , α2 , α3 ) = 2 α2 − α32
Z∞
V (R) e−(α1 +α3 )R − e−(α1 +α2 )R dR,
(2.38)
0
à èíòåãðàë W000 äëÿ ïðîèçâîëüíûõ V (R) ñâîäèòñÿ ê äâóêðàòíîìó èíòåãðàëó. Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
t1 ≡
R22 + R32 − R12 R2 + R12 − R22 R2 + R22 − R32 , t2 ≡ 3 , t3 ≡ 1 , R2 R3 R3 R1 R1 R2 Tp ≡ ha|tp |bi, Gp ≡ ha|Rp−1 |bi, N ≡ ha|bi
Âåëè÷èíû Tp , Gp è N ëåãêî âûðàçèòü ÷åðåç ñòàíäàðòíûå èíòåãðàëû Iklm
T1 = I120 + I102 − I300 , G1 = I011 ,
T2 = I012 + I210 − I030 ,
T2 = I201 + I021 − I003 ,
G2 = I101 ,
N = I111 .
G3 = I110 ,
Äëÿ ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà îïåðàòîðà êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ïîëó÷èì [228]:
~2 ha|T |bi = 2
α1a α1b α2a α2b α3a α3b + + I111 + µ1 µ2 µ3 α2a α3b + α3a α2b α3a α1b + α1a α3b α1a α2b + α2a α1b + T1 + T2 + T3 (2.39) 2m1 2m2 2m1
Âû÷èñëåíèå ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ èíòåãðàëà U111 : ha|V1 (R1 )|bi = U111 . (2.40) Ââåäåì äîïîëíèòåëüíûå îáîçíà÷åíèÿ
Jpq ≡ ha|Rp−1 Rq−1 |bi,
Kpq ≡ ha|tp Rq−1 |bi, 41
Qpq ≡ ha|tp tq |bi.
 òàêèõ îáîçíà÷åíèÿ ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû êâàäðàòà ãàìèëüòîíèàíà çàïèñûâàþòñÿ êàê [228] 2
a b
ha|T |bi = u u N −
3 X
(sap ub
+
sbp ua )Gp
+
3 X
p=1
(dap ub + dbp ua )Tp −
p=1
−
3 X p,q=1
ha|Vp T + T Vp |bi =
X
3 X
(saq dbp + sbq dap )Kpq +
sap sbq Jpq +
p,q=1
q = 13 (saq + sbq )ha|Vp /Rq |bi −
X
3 X
dap dbq Qpq , (2.41)
p,q=1
q = 13 (daq + dbq )ha|Vp tq |bi− − (ua + ub )ha|Vp |bi, (2.42)
ãäå
sap
αpa = , µp
a
u =
3 X
sap αpa ,
p=1
dap =
α1a α2a α3a , 2αpa mp
a ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ha|Vp /Rp |bi è h|Vp tp |bi âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ñòàíäàðòíûå èíòåãðàëû Uklm . Âû÷èñëåíèå ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ êâàäðàòà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèÿ èíòåãðàëîâ U111 è W111 :
ha|V12 (R1 )|bi = U111 ,
ha|V1 (R1 )V2 (R2 )|bi = W111 .
Êàðêàñíî-ýêñïîíåíöèàëüíûé áàçèñ  ñëó÷àå äâóõöåíòðîâûõ êóëîíîâñêèõ ñèñòåì î÷åíü áûñòðàÿ ñõîäèìîñòü îáåñïå÷èâàåòñÿ ïðè âûáîðå êàðêàñíûõ ôóíêöèé [220222]  ñëó÷àå öåíòðàëüíûõ ñèë ïðè íàëè÷èè îäíîé êàðêàñíîé ñâÿçè (äâóõöåíòðîâûå ñèñòåìû) êàðêàñíî-ýêñïîíåíöèàëüíóþ áàçèñíóþ ôóíêöèþ òðåõ÷àñòè÷íîé ñèñòåìû ìîæíî çàïèñàòü â âèäå [220222] ! 3 X ϕa = exp − αia Ri − β a R32 , (2.43) i=1
ãäå αpa è β a íåëèíåéíûå ïàðàìåòðû. Çäåñü ÷åðåç Ri îáîçíà÷åíî ðàññòîÿíèå ìåæäó ÷àñòèöàìè j è k , ãäå (i, j, k) òðîéêà ÷èñåë (1, 2, 3) èëè èõ öèêëè÷åñêàÿ ïåðåñòàíîâêà. Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ãàìèëüòîíèàíà âûðàæàþòñÿ ÷åðåç èíòåãðàëû âèäà [220, 222]:
Iklm = 8π 2
Z∞
−α3 R3 −βR32
e 0
R3m dR3
Z∞
e−α2 R2 R2l dR2
0
RZ 3 +R2
e−α1 R1 R1k dR1 ,
(2.44)
|R3 −R2 |
êîòîðûå íàõîäÿòñÿ ïóòåì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ îñíîâíîãî (áàçîâîãî) èíòåãðàëà I000 : k l m ∂ ∂ ∂ − − I000 . (2.45) Iklm = − ∂α1 ∂α2 ∂α3 42
 ñâîþ î÷åðåäü, áàçîâûé èíòåãðàë âûðàæàåòñÿ ÷åðåç êîìáèíàöèè èíòåãðàëîâ îøèáîê: α1 + α3 16π 2 α2 + α3 √ √ F I000 = − √ −F , (2.46) β(α12 − α22 ) 2 β 2 β 2 2 R∞ ãäå F (z) ≡ ez z e−t dt. Äëÿ óäîáñòâà çàïèñè ÌÝ îïåðàòîðîâ T è V ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:
tp ≡ cos ϑp ,
Tp0 ≡ ha | tp | bi,
N0 ≡ ha | bi,
Tp1 ≡ ha | tp R3 | bi,
N1 ≡ ha | R3 | bi,
Gp ≡ ha | Rp−1 | bi,
N2 ≡ ha | R32 | bi,
ãäå ϑp óãîë ïðè p-é ÷àñòèöå â òðåóãîëüíèêå, ñîñòàâëåííîì ÷àñòèöàìè 1, 2, 3. Òîãäà äëÿ ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà îïåðàòîðà T ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè a è b ïîëó÷àåì a b α1 α1 α2a α2b α3a α3b αa β b β aβ b ha | T | bi = + + N0 + 3 N1 + 2 N2 + 2µ23 2µ31 2µ12 µ12 µ12 α2a α3b + α3a α2b αa αb + α1a α3b αa αb + α2a α1b + T10 + 3 1 T20 + 1 2 T30 + 4m1 4m2 4m3 α2a β b + β a α2b αa β b + β a α3b + T11 + 3 T21 , (2.47) 2m1 2m2 ãäå µij ïðèâåäåííàÿ ìàññà i-é è j -é ÷àñòèö. Ðàñ÷åò ÌÝ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè â ñëó÷àå îáùåóïîòðåáèòåëüíûõ ïîòåíöèàëîâ ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ òåõ æå èíòåãðàëîâ, ÷òî è äëÿ ÌÝ îïåðàòîðà êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè.  ÷àñòíîñòè, äëÿ íàõîæäåíèÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ äîñòàòî÷íî ðàññ÷èòàòü ÌÝ âèäà: ha | 1/Rp | bi = Gp .  äàëüíåéøåì äëÿ óäîáñòâà âî âñåõ èíòåãðàëàõ îïóñêàåòñÿ îáùèé íåñóùåñòâåííûé ÷èñëîâîé ìíîæèòåëü 16π 2 . Åñëè ââåñòè îáîçíà÷åíèÿ
1 , α1 + α2
α2 + α3 1 √ , d = a1 − a2 , k= √ , 2 β 2 β n−2 n−2 ∂ ∂ F (a ) + F (a2 ) − 2Sn−2 1 ∂a1 ∂a2 Sn = , Zn = 2 , d d2 ãäå αi ≡ αia + αib , β ≡ β a + β b , òî îñíîâíîé èíòåãðàë ïåðåïèøåòñÿ êàê I000 = −CS1 /2β3 , à íîðìèðîâî÷íûé ìíîæèòåëü N0 , à òàêæå ôóíêöèè Gp , N1 , N2 , Tp0 , Tp1 â (2.47) êàê: α1 + α3 √ , 2 β n−1 n−1 ∂ ∂ F (a ) − F (a2 ) 1 ∂a1 ∂a2
C=
a1 =
a2 =
43
G1 = G2 = G3 = N0 = N1 = N2 = T10 = T20 = T30 = T11 = T21 =
C 2 C2 kS2 − k (2S3 − Z4 d); 2β 8β C2 C 2 kS2 − k (2S3 + Z4 d); 2β 8β C3 C2 C 2 − S1 + kS2 − k Z3 ; β 2β 4β C3 C2 2 C 3 kS2 − k S3 + k Z4 ; β 2β 4β C3 C2 3 C 4 − k 2 S3 + k S4 − k Z5 ; β 2β 4β C2 4 C 5 C3 3 k S4 − k S5 + k Z6 ; β 2β 4β C3 C2 2 C 3 − kZ3 d − k (2Z3 − Z4 d) + k Z4 ; β 2β 2β C3 C2 2 C 3 kZ3 d − k (2Z3 + Z4 d) + k Z4 ; β 2β 2β 2C 3 C2 2 C 3 kS2 − k S3 − k Z4 ; β β 2β C3 2 C2 3 C 4 k Z4 d + k (2Z4 − Z5 d) − k Z5 ; β 2β 2β C3 C2 3 C 4 − k 2 Z4 d + k (2Z4 + Z5 d) − k Z5 . β 2β 2β
Ðàñ÷åò ÌÝ â ñëó÷àå äâóõ èëè òðåõ êàðêàñíûõ ñâÿçåé ñóùåñòâåííî îñëîæíÿåòñÿ äàæå äëÿ ñèñòåìû òðåõ ÷àñòèö, ñì., íàïðèìåð, [220]. Ðàñ÷åò ñ êàðêàñíî-ýêñïîíåíöèàëüíûì áàçèñîì â ñëó÷àå áîëåå ðåõ ÷àñòèö îñëîæíÿåòñÿ, ò.ê. ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû H è H 2 íå óäàåòñÿ âûðàçèòü ÷åðåç èçâåñòíûå ôóíêöèè.
Êàðêàñíî-ãàóññîâñêèé áàçèñ Îñíîâíûì ïðåèìóùåñòâîì ãàóññîâñêîãî áàçèñà ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè âàðèàöèîííûìè áàçèñàìè ÿâëÿåòñÿ âîçìîæíîñòü ðàññ÷èòûâàòü ñèñòåìû ëþáîãî ÷èñëà ÷àñòèö. Òî æå ñàìîå ñïðàâåäëèâî è â îòíîøåíèè êàðêàñíîé ìîäèôèêàöèè áàçèñà.  ñëó÷àå îäíîé êàðêàñíîé ñâÿçè (íàïðèìåð, ìåæäó ÷àñòèöàìè A è A − 1) óäîáíî çàïèñàòü ôóíêöèþ êàðêàñíîãàóññîâñêîãî áàçèñà â âèäå ðàçíîñòè:
ϕa = ϕa+ − ϕa− , ãäå
ϕa± = exp −
A X
! a 2 αpq Rpq ± β a RA−1,A
,
p>q=1
p è q íîìåðà ÷àñòèö, à
a αpq
è β íåëèíåéíûå âàðèàöèîííûå ïàðàìåòðû. a
44
(2.48)
Äëÿ äàëüíåéøåãî ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
N ≡ ha|bi, N 0 ≡ ha+ |b+ i + ha+ |b− i + ha− |b+ i + ha− |b− i, ~ pq R ~ pr |bi, Gpqr ≡ ha|R ~ pq R ~ pr ~ pq R ~ pr R R |b− i − ha+ | |b+ i, RA−1,A RA−1,A ~ pq R ~ pr ~ pq R ~ pr R R ≡ ha− | |b+ i − ha+ | |b− i. RA−1,A RA−1,A
G0pqr ≡ ha− | G00pqr
Íåñëîæíûå âû÷èñëåíèÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ òåõíèêîé, ðàçðàáîòàííîé â [200,202,228], ïðèâîäÿò ê ñëåäóþùåìó âûðàæåíèþ äëÿ ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà îïåðàòîðà êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè T ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè |ai è |bi [220, 221]:
A a b X αpr αpq 1 1 Gpqr + + β aβ bN 0 + ha|T |bi = 2 mp 2mA−1 2mA p,q,r=1 +
A a b X + β b αA−1,p β a αA−1,p p=1
−
mA−1
A b a X β a αA−1,p − β b αA−1,p p=1
mA−1
G0A−1,p,A
+
A a b X + β b αpA β a αpA p=1
G00A−1,p,A
−
mA
A b a X β a αpA − β b αpA p=1
mA
G0A,p,A−1 − G00A,p,A−1 .
(2.49)
Ðàñ÷åò ÌÝ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè â ñëó÷àå êóëîíîâñêèõ ïîòåíöèàëîâ ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ èíòåãðàëîâ Vpq ≡ ha|1/Rpq |bi. Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ãàóññîâñêèõ ïîòåíöèàëîâ âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ëþáîé ïàðîé ÷àñòèö ñâîäÿòñÿ ê èíòåãðàëó N , íî ñ íåñêîëüêî äðóãèìè àðãóìåíòàìè, ÷åì ïðè âû÷èñëåíèè èíòåãðàëà ïåðåêðûâàíèÿ áàçèñíûõ ôóíêöèé. À ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ýêñïîíåíöèàëüíûõ è þêàâñêèõ ïîòåíöèàëîâ âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö, îáðàçóþùèõ êàðêàñíóþ ñâÿçü, ñâîäÿòñÿ ëèáî ê èíòåãðàëó N , ëèáî ê èíòåãðàëó VA−1,A ñîîòâåòñòâåííî, òàêæå ñ íåñêîëüêî èçìåíåííûìè àðãóìåíòàìè. Âû÷èñëåíèå íåîáõîäèìûõ äëÿ íàõîæäåíèÿ âåðõíåé âàðèàöèîííîé îöåíêè èíòåãðàëîâ
45
N , N 0 , Gpqr , G0pqr , G00pqr , à òàêæå Vpq ïðèâîäèò ê ñëåäóþùèì ðåçóëüòàòàì: N = N0 = Gpqr = − G0pqr = G00pqr = Vpq =
o 2 n 2 ξ2 2 χ2 (1 + 2ξ )e − (1 + 2χ )e , D3/2 o 2 n 2 ξ2 2 χ2 (1 + 2ξ )e + (1 + 2χ )e , D3/2 o Dpq + Dpr − Dqr n 2 4 ξ2 2 4 χ2 (3 + 12ξ + 4ξ )e − (3 + 12χ + 4χ )e − 2D5/2 o Dpq;A,A−1 + Dpr;A,A−1 − Dqr;A,A−1 n 2 4 ξ2 2 4 χ2 (3ξ + 2ξ )e − (3χ + 2χ )e , D3/2 DA,A−1 2ξ Dpq + Dpr − Dqr Dpq;A,A−1 + Dpr;A,A−1 − Dqr;A,A−1 2 ξ2 2 − e (3 + 2ξ ) − ξ , 1/2 2D DA,A−1 DDA−1,A 2χ Dpq + Dpr − Dqr Dpq;A,A−1 + Dpr;A,A−1 − Dqr;A,A−1 2 χ2 2 − e (3 + 2χ ) − χ , 1/2 2D DA,A−1 DDA−1,A 4 {Ω(ξ; gpq;A,A−1 ) − Ω(χ; gpq;A,A−1 )} , (2.50) 1/2 DDpq
ãäå
Dpq =
∂D , ∂αpq
Dpq;rs =
∂2D , ∂αpq ∂αrs
2 gpq;rs =1−
DDpq;rs , Dpq Drs
r DA,A−1 β a − β b DA,A−1 , χ= , D 2 D 1 (1−g 2 )x2 g 2 x2 erf (gx) √ + xe Ω(x; g) = e . g π
βa + βb ξ= 2
r
 ýòèõ âûðàæåíèÿõ D = det(ua + ub ), ãäå ua (A − 1) × (A − 1)-ìàòðèöà, ýëåìåíòû êîòîðîé P a a a a ñîîòíîøåíèÿìè: uapp = A ñâÿçàíû ñ ïàðàìåòðàìè αpq q=1 αpq ; upq = −αpq , 1 ≤ p, q ≤ A − 1, p 6= q . Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ýêñïîíåíöèàëüíûå è þêàâñêèå ïîòåíöèàëû ïî êàðêàñíîé ñâÿçè íå âûçûâàþò äîïîëíèòåëüíûõ ñëîæíîñòåé ïðè ðàñ÷åòå ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè. À â ñëó÷àå ãàóññîâñêèõ ïîòåíöèàëîâ ìåæ÷àñòè÷íûõ âçàèìîäåéñòâèé ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñâîäÿòñÿ ê íîðìèðîâî÷íîìó èíòåãðàëó N .
Âåêòîðíûå êàðêàñíûå ôóíêöèè  ñëó÷àå íåñêîëüêèõ êàðêàñíûõ ñâÿçåé ìîæíî èñïîëüçîâàòü âåêòîðíûå êàðêàñíûå ôóíêöèè.  òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìè ôàêòè÷åñêè ìåíÿþòñÿ â óçêèõ ïðåäåëàõ, îáðàçóåòñÿ íå÷òî âðîäå æåñòêîãî êàðêàñà ñèñòåìû, îòíîñèòåëüíî êîòîðîãî ðàçìàçûâàþòñÿ ïîëîæåíèÿ ÷àñòèö. Ïîñëå èñêëþ÷åíèÿ äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ ñèñòåìû A ÷àñòèö åå êàðêàñ ìîæíî çàäàòü ñ ïîìîùüþ A−1 âåêòîðîâ ρ ~ai (i = 1, 2, . . . , A−1), îòñ÷èòûâàåìûõ, íàïðèìåð, îò A-é ÷àñòèöû, à çàâèñèìîñòü áàçèñíîé ôóíêöèè îò êîîðäèíàòíûõ âåêòîðîâ
46
ρ~i ïðåäñòàâèòü â âèäå ϕa = exp −
A−1 X
! (~ ρi − ρ~ai )βija (~ ρj − ρ~aj )
= exp −(~ ρ − ρ~a )T β a (~ ρ − ρ~a ) ,
(2.51)
i,j=1
ãäå ρ ~ è ρ~a îäíîñòîëáöîâûå ìàòðèöû A − 1 âåêòîðîâ ρ~i è ρ~ai ñîîòâåòñòâåííî, à β ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà ðàçìåðà (A − 1) × (A − 1), ýëåìåíòû êîòîðîé íàðÿäó ñ âåêòîðàìè ρ ~ai è ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê âàðèàöèîííûå ïàðàìåòðû. Ðàñ÷åò ÌÝ ñ âåêòîðíûìè êàðêàñíûìè ôóíêöèÿìè àíàëîãè÷åí ðàñ÷åòó ñ ãàóññîâñêèìè ïðîáíûìè ôóíêöèÿìè. Äëÿ íàõîæäåíèÿ èíòåãðàëà ïåðåêðûâàíèÿ áàçèñíûõ ôóíêöèé ϕa è ϕb óäîáíî ïåðåéòè â (2.51) îò ρ ê íîâûì ïåðåìåííûì
~r = ρ~ − ~tab .
(2.52)
ãäå ~tab îäíîñòîëáöîâàÿ ìàòðèöà A − 1 ïîñòîÿííûõ âåêòîðîâ, ïðè âûáîðå êîòîðûõ â âèäå
~tab = B ab (β a ρ~a + β b ρ~b ), B ab = (β a + β b )−1 ,
(2.53) (2.54)
ïðîèçâåäåíèå áàçèñíûõ ôóíêöèé (2.51) ñâîäèòñÿ ê âûðàæåíèþ
ϕa ϕb = exp −~r+ (β a + β b )~r − Sp(αab K ab ) ,
(2.55)
ãäå áûëè ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ:
αab ≡ β a B ab β b ,
(2.56)
K ab ≡ (~ ρa − ρ~b )(~ ρa − ρ~b )T . Ïîñëå ýòîãî èíòåãðàë ïåðåêðûâàíèÿ ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî àíàëîãèè ñ [200, 221]:
ha|bi =
π 3(N −1)/2 ab ab exp − Sp (α K ) , (Dab )3/2
(2.57)
ãäå
Dab ≡ det(β a + β b ).
(2.58)
 ïåðåìåííûõ ρ ~i îïåðàòîð êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè èìååò âèä A−1 A−1 1X 1X 1 −2 + ~ i∇ ~ j, Tij = − Mij ∇ T = ~ p~ M p~ = 2 2 i,j=1 2 i,j=1
ãäå
Mij ≡
~2 ~2 δij + , mA mi
mi ìàññà i-é ÷àñòèöû. 47
(2.59)
(2.60)
Ìàòðè÷íûé ýëåìåíò êàæäîãî èç îïåðàòîðîâ Tij â ñóììå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå [221]: ! X ab ab ab ab ~ i∇ ~ i |bi = Mij 6αij (2.61) −4 Kkl αlj ha|bi, ha|Tij |bi = ha| − Mij ∇ αik kl
òàê ÷òî
ha|T |bi = ha|biSp 3M αab − 2M αab K ab αab .
(2.62)
Ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ i-é ÷àñòèöû ñ j -é (i 6= A, j 6= A) ñâîäèòñÿ ê èíòåãðàëó [221]
ha|bi ha|Vij (|~ ρi − ρ~j |)|bi = √ ab ab πτij tij
Z∞ −∞
ãäå ab ~tab ~ab ~ab ij ≡ ti − tj , τij ≡
2 (r − tab ij ) rdrVij (r) exp − (τijab )2
q
ab Biiab + Bjj − 2Bijab .
! ,
(2.63)
(2.64)
Ýòà è íèæåñëåäóþùèå ôîðìóëû ïðèìåíèìû è â ñëó÷àå i = A (èëè j = A), äëÿ ÷åãî ab ab i = 1, . . . , A − 1. ôîðìàëüíî ñëåäóåò ïîëîæèòü tab A = 0 è BAA = BiA = 0,  ÷àñòíîñòè, äëÿ êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ äîñòàòî÷íî ðàññ÷èòàòü ÌÝ: ! tab 1 ha|bi ij ha| |bi = ab erf , (2.65) |~ ρi − ρ~j | tij τijab ãäå erf(x) ≡ 2π −1/2
Rx
exp(−t2 )dt, à äëÿ ãàóññîâñêîãî ïîòåíöèàëà ÌÝ: ! ab 2 ) ν (t ha|bi 2 ij ij exp − . ha|e−νij (~ρi −~ρj ) |bi = (1 + νij (τijab )2 )3/2 1 + νij (τijab )2
2.3
0
(2.66)
Êàðêàñíûå ôóíêöèè â ðàñ÷åòàõ êóëîíîâñêèõ è ÿäåðíûõ ñèñòåì
Ýôôåêòèâíîñòü êàðêàñíûõ ôóíêöèé ïðîÿâëÿåòñÿ â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà âåðîÿòíîñòü îòíîñèòåëüíîãî ïîëîæåíèÿ ÷àñòèö èìååò îñòðûé ìàêñèìóì ïðè íåêîòîðûõ ìåæ÷àñòè÷íûõ ðàññòîÿíèÿõ. Ýòî èìååò ìåñòî â êóëîíîâñêèõ ñèñòåìàõ, ñîäåðæàùèõ íàðÿäó ñ ëåãêèìè ÷àñòèöàìè (îòðèöàòåëüíî çàðÿæåííûìè ýëåêòðîíàìè) äâå èëè áîëåå òÿæåëûõ ÷àñòèö (ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûå ÿäðà); ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì òàêîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ èîíèçèðîâàííàÿ ìîëåêóëà âîäîðîäà.  ÿäåðíûõ ñèñòåìàõ, ãäå êîðîòêîäåéñòâóþùèé ïîòåíöèàë ìåæ÷àñòè÷íîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ïåðåõîäèò îò ïðèòÿæåíèÿ ê ìîùíîìó îòòàëêèâàíèþ (êîðó) íà ñàìûõ ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ, òàêæå ìîãóò ðåàëèçîâàòüñÿ óñëîâèÿ äëÿ îáðàçîâàíèÿ êàðêàñíîé ñâÿçè. 48
Ðàñ÷åòû ïîêàçûâàþò, ÷òî äëÿ ñèñòåì ñ äàëüíîäåéñòâóþùèì (êóëîíîâñêèì) âçàèìîäåéñòâèåì ëó÷øåå ðåçóëüòàòû îáåñïå÷èâàþòñÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè ýêñïîíåíöèàëüíûõ áàçèñíûõ ôóíêöèé, à â ñëó÷àå ÿäåðíûõ ñèñòåì ñ êîðîòêîäåéñòâóþùèì ïîòåíöèàëîì âçàèìîäåéñòâèÿ ãàóññîâñêèå ôóíêöèè, àíàëîãè÷íîãî îòíîñèòñÿ è ê êàðêàñíûì (êàðêàñíîýêñïîíåíöèàëüíûì è êàðêàñíî-ãàóññîâñêèì) ôóíêöèÿì.  êóëîíîâñêèõ ñèñòåìàõ ¾êàðêàñíûé¿ ýôôåêò (ïðîÿâëÿåòñÿ ïðè ïåðåõîäå îò ýêñïîíåíöèàëüíîãî áàçèñà ê êàðêàñíî-ýêñïîíåíöèàëüíîìó) âîçíèêàåò ïðè íàëè÷èè íàðÿäó ñ ëåãêèìè ÷àñòèöàìè (ýëåêòðîíàìè) íå ìåíåå äâóõ òÿæåëûõ ÷àñòèö (äâóõ öåíòðîâ) è îí ñòàíîâèòñÿ îùóòèìûì êîãäà îòíîøåíèå ìàññ òÿæåëîé è ëåãêîé ÷àñòèö ñòàíîâèòñÿ áîëåå äåñÿòè.  ðåàëüíûõ ìîëåêóëÿðíûõ (ïîëèöåíòðîâûõ) ñèñòåìàõ êàðêàñíûé ýôôåêò ñòàíîâèòñÿ î÷åíü çíà÷èòåëüíûì. Òàê, â ñëó÷àå ñèñòåìû ppe− èñïîëüçîâàíèå âñåãî îäíîé êàðêàñíîé ôóíêöèè ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü ýíåðãèþ ñ òî÷íîñòüþ äî òðåõ çíà÷àùèõ öèôð, ò.å. òàêîé æå, êàê ñ ñîòíåé ýêñïîíåíò. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ñ ðàçëè÷íûì ÷èñëîì êàðêàñíûõ ôóíêöèé ïðèâåäåíû â òàáë. 2.1 äëÿ òðåõ÷àñòè÷íûõ äâóõöåíòðîâûõ ñèñòåì µµe, ppe, dde è tte. Êàê îòìå÷àëîñü, ïðè ðàñ÷åòå ìîëåêóëÿðíûõ äâóõöåíòðîâûõ ñèñòåì íàèáîëåå ýôôåêòèâíûì ÿâëÿåòñÿ ïðèìåíåíèå êàðêàñíûõ áàçèñíûõ ôóíêöèé.  êà÷åñòâå òðåõ÷àñòè÷íûõ ñèñòåì áûëè ðàññìîòðåíû äâóõöåíòðîâûå êóëîíîâñêèå ñèñòåìû µµe, ppe, dde è tte. Ðàñ÷åòû ïðîâîäèëèñü ñî ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøèì ÷èñëîì (íå áîëåå 50) ïðîáíûõ ôóíêöèé, îäíàêî ïðè ýòîì äîñòèãàåòñÿ î÷åíü âûñîêàÿ òî÷íîñòü. Èñïîëüçîâàíèå âñåãî îäíîé áàçèñíîé ôóíêöèè ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü ýíåðãèè ðàññìàòðèâàåìûõ äâóõöåíòðîâûõ ñèñòåì ñ òî÷íîñòüþ äî òðåõ çíà÷àùèõ öèôð, ò.å. òàêîé æå, êàê ñ ñîòíåé ýêñïîíåíöèàëüíûõ èëè ãàóññîâñêèõ ôóíêöèé. Ýòî èëëþñòðèðóåòñÿ â òàáë. 2.1, ãäå ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ñ êàðêàñíîýêñïîíåíöèàëüíûìè ôóíêöèÿìè ïðè ðàçëè÷íîì ÷èñëå ïðîáíûõ ôóíêöèé äëÿ êóëîíîâñêèõ ñèñòåì µµe, ppe, dde, tte. Êàê âèäíî èç òàáë. 2.1 âû÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ ýíåðãèè EU áûñòðî íàñûùàþòñÿ ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà áàçèñíûõ ôóíêöèé, îñîáåííî ïðè óâåëè÷åíèè ìàññû òÿæåëûõ ÷àñòèö. Óêàæåì äëÿ ñðàâíåíèÿ, ÷òî ðàñ÷åòû ðàáîò [195,229] c 500 êîìïëåêñíûõ ýêñïîíåíöèàëüíûõ ôóíêöèé ïðèâåëè ê EU = −0.597 139 063 107 6 à.å. äëÿ ppe− , EU = −0.598 788 783 890 à.å. äëÿ dde− , EU = −0.599 506 909 80 à.å. äëÿ tte− è EU = −0.585 126 097 176 à.å. äëÿ µµe− .  ðàáîòå [230] çíà÷åíèå EU (ppe− ) = −0.597 139 063 123 à.å. áûëî íàéäåíî â ïðèáëèæåíèè Áîðíà-Îïïåíãåéìåðà.  òàáë. 2.2 äëÿ òåõ æå êóëîíîâñêèõ ñèñòåì ïðèâåäåíû ðàññ÷èòàííûå ïðè n = 50 ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ïîëíîé, êèíåòè÷åñêîé, ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè (ñîîòâåòñòâåííî EU , hT i è hV i), ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ ëåãêîé è òÿæåëîé ÷àñòèö hV1 i, âçàèìîäåéñòâèÿ òÿæåëûõ ÷àñòèö hV3 i, ñðåäíèõ è ñðåäíåêâàäðàòè÷íûõ ðàññòîÿíèé ìåæäó ëåãêîé è òÿæåëîé ÷àñòèöàìè hR1 i è hR12 i1/2 è òî æå ñàìîå äëÿ ðàññòîÿíèé ìåæäó òÿæåëûìè ÷àñòèöàìè 1/2 2 (hR3 i è hR32 i1/2 ).  òàáë. 2.2 óêàçàíà òàêæå äèñïåðñèÿ δ1,3 = hR1,3 i − hR1,3 i2 /hR1,3 i â ïðîöåíòàõ, õàðàêòåðèçóþùàÿ ñòåïåíü îòêëîíåíèÿ îò æåñòêîé êàðêàñíîé ñòðóêòóðû. Êàê 49
Òàáëèöà 2.1: Âåðõíèå îöåíêè ýíåðãèè äëÿ òðåõ÷àñòè÷íûõ äâóõöåíòðîâûõ êóëîíîâñêèõ ñèñòåì Ñèñòåìà n EU (à.å)
ppe
1 10 50
-0.596 426 -0.597 138 947 7 -0.597 139 063 059
dde
1 10 50
-0.598 230 -0.598 788 727 9 -0.598 788 783 941
tte
1 10 50
-0.599 016 -0.599 506 864 7 -0.599 506 909 911
µµe
1 10 50
-0.583 356 -0.585 125 383 5 -0.585 126 095 200
è ñëåäîâàëî îæèäàòü, δ3 çíà÷èòåëüíî ìåíüøå, ÷åì δ1 , è áûñòðî óáûâàåò ñ óâåëè÷åíèåì ìàññû òÿæåëûõ ÷àñòèö. Íàêîíåö, â òàáë. 2.2 ïîêàçàíî îòêëîíåíèå ðàñ÷åòîâ îò âèðèàëüíîé òåîðåìû η = |1 + 2hT i/hV i|, êîòîðîå êîððåëèðîâàíî ñ òî÷íîñòüþ ðàñ÷åòà. Çàìåòèì, ÷òî ñ òî÷íîñòüþ äî äåâÿòè çíà÷àùèõ öèôð ãåîìåòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ðàññìîòðåííûõ ñèñòåì ñîãëàñóþòñÿ ñ ðåçóëüòàòàìè, ïðèâåäåííûìè â [195]. Òàáëèöà 2.2: Íåêîòîðûå õàðàêòåðèñòèêè äâóõöåíòðîâûõ òðåõ÷àñòè÷íûõ êóëîíîâñêèõ ñèñòåì, ðàññ÷èòàííûå ñ êàðêàñíî-ýêñïîíåíöèàëüíûìè áàçèñíûìè ôóíêöèÿìè, n = 50. µµe ppe dde tte
m1 /m3 EU , à.å. hV1 i, à.å. hV3 i, à.å. hT i, à.å. hV i, à.å. η × 109 hR i, à.å. p 1 hR12 i, à.å. δ1 , % hR i, à.å. p 3 hR32 i, à.å. δ3 , %
206.768 262 -0.585 126 095 2 -0.820 339 791 0.470 427 360 0.585 126 126 -1.170 252 220 30 1.769 302 287 1.984 554 669 50.81 2.205 214 958 2.244 233 456 18.89
1836.152 701 -0.597 139 063 1 -0.842 492 962 0.490 707 798 0.597 139 062 -1.194 278 126 0.7 1.692 966 210 1.886 477 654 49.16 2.063 913 868 2.076 845 190 11.21 50
3670.483 014 -0.598 788 783 9 -0.845 615 398 0.493 653 238 0.598 788 774 -1.197 577 558 8 1.682 346 558 1.872 839 866 48.92 2.044 070 059 2.053 203 130 9.46
5496.921 58 -0.599 506 909 9 -0.846 981 674 0.494 949 536 0.599 506 903 -1.199 013 814 6 1.677 707 696 1.866 882 152 48.81 2.035 386 060 2.042 844 719 8.57
Ïðèìåíåíèå äëÿ âàðèàöèîííûõ ðàñ÷åòîâ êóëîíîâñêèõ ñèñòåì ôóíêöèé ãàóññîâñêîãî òèïà âìåñòî ýêñïîíåíò çíà÷èòåëüíî óõóäøàåò ðåçóëüòàòû. Ýòî ïðîÿâëÿåòñÿ óæå â äâóõòåëüíîé àòîìíîé çàäà÷å, è òåíäåíöèÿ ñîõðàíÿåòñÿ â ñèñòåìàõ áîëüøåãî ÷èñëà ÷àñòèö. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå àòîìà Íå òî÷íîñòü, äîñòèãàåìàÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè ãàóññîèä, íà òðè ïîðÿäêà íèæå (ïðè îäíîì è òîì æå ÷èñëå ôóíêöèé n), ÷åì ñ ýêñïîíåíòàìè. Ïðè èñïîëüçîâàíèè êàðêàñíî-ãàóññîâñêèõ ôóíêöèé â ðàñ÷åòå ñèñòåìû ppe− ïðè n = 30 óäàåòñÿ ïîëó÷èòü ñåìüâîñåìü ïðàâèëüíûõ çíà÷àùèõ öèôð âìåñòî îäèííàäöàòè â ñëó÷àå êàðêàñíîýêñïîíåíöèàëüíîãî áàçèñà. Âåêòîðíûå æå êàðêàñíûå ôóíêöèè áåç óñðåäíåíèÿ ïî óãëàì êàðêàñíûõ âåêòîðîâ îáåñïå÷èâàþò ëèøü òðè ïðàâèëüíûõ öèôðû. Ñðàâíåíèå ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòà ñèñòåìû ppe− ñ ýêñïîíåíöèàëüíûìè, ãàóññîâñêèìè, êàðêàñíî-ýêñïîíåíöèàëüíûìè, êàðêàñíî-ãàóññîâñêèìè è âåêòîðíûìè êàðêàñíûìè ôóíêöèÿìè ïðîèçâîäèòñÿ íà ðèñ. 2.1. Åñëè ñðàâíèâàòü âåêòîðíûé êàðêàñíûé áàçèñ è ãàóññîâñêèé áàçèñ (áàçèñû, êîòîðûå ïðèìåíèìû ê ðàñ÷åòó ñèñòåì ëþáîãî ÷èñëà ÷àñòèö), òî îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðåèìóùåñòâî âåêòîðíîãî êàðêàñà ïðîÿâëÿåòñÿ òîëüêî ïðè î÷åíü íåáîëüøîì ÷èñëå ôóíêöèé, çà ñ÷åò òîãî, ÷òî îí ñ õîðîøåé òî÷íîñòüþ îïèñûâàåò îòíîñèòåëüíîãî ïîëîæåíèå òÿæåëûõ ÷àñòèö. Îäíàêî ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà ïðîáíûõ ôóíêöèÿ, îïèñàíèå îòíîñèòåëüíîãî ïîëîæåíèÿ òÿæåëûõ ÷àñòèö ñ ïîìîùüþ ãàóññîâñêèõ ôóêíöèé óëó÷øàåòñÿ è ýíåðãèÿ ïðèáëèæàåòñÿ ê òî÷íîìó çíà÷åíèþ, òîãäà êàê íàëè÷èå íåíóëåâîãî îðáèòàëüíîãî ìîìåíòà ó ïðîáíîé ôóíêöèè âåêòîðíîãî êàðêàñà íå ïîçâîëÿåò ïðèáëèçèòñÿ ê òî÷íîìó çíà÷åíèþ ýíåðãèè. Ýòî âèäíî íà ðèñ. 2.1. Ðèñ. 2.1 ñâèäåòåëüñòâóåò òàêæå î òîì, ÷òî òî÷íîñòü ðàñ÷åòà ñ êàðêàñíî-ýêñïîíåíöèàëüíûìè áàçèñíûìè ôóíêöèÿìè âûøå, ÷åì ñ êàðêàñíî-ãàóññîâñêèìè. Ðèñ. 2.1: Ñõîäèìîñòü ðàñ÷åòîâ ýíåðãèè äëÿ ñèñòåìû ppe− , 1 êàðêàñíî-ýêñïîíåíöèàëüíûé áàçèñ, 2 êàðêàñíî-ãàóññîâñêèé áàçèñ, 3 âåêòîðíûé êàðêàñíûé áàçèñ, 4 ýêñïîíåíöèàëüíûé áàçèñ 5 ãàóññîâñêèé áàçèñ
Êàðêàñíûå ôóíêöèè ïðèìåíÿëèñü òàêæå äëÿ ðàñ÷åòà ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûõ äâóõöåíòðî51
âûõ ìîëåêóëÿðíûõ ñèñòåì: ìîëåêóëû âîäîðîäà H2 è èîíèçèðîâàííîãî ãèäðèäà ãåëèÿ HeH+ . Èñïîëüçóåìûé ìåòîä ïîçâîëÿåò íàäåæíî îöåíèòü èçîòîïè÷åñêèå ýôôåêòû.  îòëè÷èå îò òðåõ÷àñòè÷íûõ ìîëåêóëÿðíûõ ñèñòåì ïðè ðàñ÷åòå ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûõ ñèñòåì ïðèõîäèòñÿ èñïîëüçîâàòü êàðêàñíî-ãàóññîâñêèå ôóíêöèè. Õàðàêòåð ñõîäèìîñòè ýíåðãèè EU ñ ðîñòîì ÷èñëà n â âàðèàöèîííîì ðàçëîæåíèè èëëþñòðèðóþò ñëåäóþùèå ÷èñëà (â à.å.): 1.068 ïðè n = 1, 1.161 ïðè n = 10, 1.1627 ïðè n = 20, 1.1635 ïðè n = 50 è 1.16401 ïðè n = 200. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà EU ñ n = 200 äëÿ ñèñòåìû ppe− e− (H2 ) îòëè÷àþòñÿ îò íàèáîëåå òî÷íûõ ðàñ÷åòîâ ðàáîò [217, 218] â ïîñëåäíåé èç ïðèâåäåííûõ öèôð.  òàáë. 2.3 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ýíåðãèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ EU è ýíåðãèè äèññîöèàöèè ED äëÿ ìîëåêóë âîäîðîäà ðàçëè÷íîãî èçîòîïíîãî ñîñòàâà, ïîëó÷åííûå ïðè èñïîëüçîâàíèè 200 êàðêàñíî-ãàóññîâñêèõ ôóíêöèé. Îòìåòèì, ÷òî îòêëîíåíèå îò âèðèàëüíîé òåîðåìû äëÿ ðàññìîòðåííûõ ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûõ ñèñòåì êîððåëèðóåò (êàê è äëÿ òðåõ÷àñòè÷íûõ ñèñòåì) ñ òî÷íîñòüþ ðàñ÷åòà ýíåðãèè. Òàáëèöà 2.3: Âåðõíèå îöåíêè EU ýíåðãèé îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ýíåðãèé äèññîöèàöèè ED èçîòîïîâ ìîëåêóëû âîäîðîäà EU , à.å. ED , à.å. H2 D2 T2 HD HT DT
-1.1640 -1.1669 -1.1681 -1.1654 -1.1659 -1.1675
0.1645 0.1672 0.1683 0.1658 0.1663 0.1677
Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, ýíåðãèÿ äèññîöèàöèè ED ìåäëåííî ðàñòåò (íà íåñêîëüêî ïðîöåíòîâ) ïðè óâåëè÷åíèè ìàññû ìîëåêóëû. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû íàõîäÿòñÿ íà óðîâíå ëó÷øèõ èç îïóáëèêîâàííûõ â ëèòåðàòóðå. Äðóãîé ïîäðîáíî ðàññìîòðåííîé ìîëåêóëÿðíîé ñèñòåìîé áûë ïîëîæèòåëüíûé èîí ãèäðèäà ãåëèÿ HeH+ , ñîñòîÿùèé èç àëüôà-÷àñòèöû, ïðîòîíà è äâóõ ýëåêòðîíîâ. Ýòà ñèñòåìà ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ äëÿ àñòðîôèçèêè, òàê êàê â çíà÷èòåëüíîé êîíöåíòðàöèè îáðàçóåòñÿ â ìåæçâåçäíûõ îáëàêàõ ïîä âîçäåéñòâèåì èîíèçèðóþùåãî çâåçäíîãî èçëó÷åíèÿ. Ýêñïåðèìåíòàëüíî ýòà ñèñòåìà íàáëþäàëàñü â ðàáîòàõ [231, 232], è åå ýíåðãèÿ äèññîöèàöèè áûëà îöåíåíà êàê 1.835 ý (0.0674 à.å.). Ðàñ÷åòû â ðàìêàõ àäèàáàòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ áåç ó÷åòà êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè òÿæåëûõ ÷àñòèö ïðîâîäèëèñü â ðàáîòàõ [233235] äëÿ ñèñòåìû 4 HeH+ .  òàáë. 2.4 ïðèâåäåíà âû÷èñëåííàÿ ñ ïîìîùüþ êàðêàñíî-ãàóññîâñêèõ ôóíêöèé ïîëíàÿ ýíåðãèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ èîíîâ ãèäðèäà ãåëèÿ ðàçëè÷íîãî èçîòîïè÷åñêîãî ñîñòàâà. Òàì æå äàíà ýíåðãèÿ äèññîöèàöèè íà ñîîòâåòñòâóþùèå èçîòîïû ãåëèÿ è èîíà âîäîðîäà.Òàê æå, 52
êàê è â ñëó÷àå ìîëåêóëû âîäîðîäà, ýíåðãèÿ äèññîöèàöèè èîíà ãèäðèäà ãåëèÿ âîçðàñòàåò íà íåñêîëüêî ïðîöåíòîâ ñ ðîñòîì ìàññ ÿäåð. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà äëÿ ñèñòåìû 4 HeH+ ëåæàò â ïðåäåëàõ ìåæäó îïóáëèêîâàííûìè â ëèòåðàòóðå çíà÷åíèÿìè EU = −2.969 [235] è −2.978 à.å. [234] è áëèçêè ê äàííûì ýêñïåðèìåíòà. Òàáëèöà 2.4: Òî æå, ÷òî è â òàáë. 2.3, íî äëÿ ñèñòåì òèïà n Hem H+ EU , (à.å.) ED , (à.å.) HeH+ 3 HeD+ 3 HeT+ 4 HeH+ 4 HeD+ 4 HeT+ 6 HeH+ 6 HeD+ 6 HeT+ 8 HeH+ 8 HeD+ 8 HeT+ 3
-2.9706 -2.9720 -2.9725 -2.9709 -2.9723 -2.9728 -2.9713 -2.9727 -2.9732 -2.9714 -2.9729 -2.9734
0.0674 0.0688 0.0693 0.0676 0.0690 0.0695 0.0679 0.0693 0.0698 0.0679 0.0694 0.0699
 òàáë. 2.5 ïðèâåäåíû ñðåäíåêâàäðàòè÷íûå ðàññòîÿíèÿ â ìîëåêóëÿðíîì âîäîðîäå n Hm H ðàçëè÷íîãî èçîòîïè÷åñêîãî ñîñòàâà: ðàññòîÿíèÿ Rnm ìåæäó ÿäðàìè, ðàññòîÿíèÿ Ree ìåæäó ýëåêòðîíàìè, ðàññòîÿíèÿ Rne è Rme ìåæäó ýëåêòðîíîì è, ñîîòâåòñòâåííî, ÿäðàìè n H è m H.  òàáë. 2.6 ïðèâåäåíû ñðåäíåêâàäðàòè÷íûå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìè â èîíå ãèäðèäà ãåëèÿ, à èìåííî: ðàññòîÿíèÿ Rnm ìåæäó ÿäðàìè, ðàññòîÿíèÿ Ree ìåæäó ýëåêòðîíàìè, ðàññòîÿíèÿ Rne ìåæäó âîäîðîäîì è ýëåêòðîíîì, ðàññòîÿíèÿ Rme ìåæäó ãåëèåì è ýëåêòðîíîì. Òàáëèöà 2.5: Ñðåäíåêâàäðàòè÷íûå ðàññòîÿíèÿ (â à.å.) ðàçëè÷íûõ èçîòîïè÷åñêèõ ñèñòåì òèïà n Hm H Ree Rne Rme Rnm H2 D2 T2 HD HT DT
2.410 2.401 2.397 2.406 2.405 2.404
1.774 1.766 1.763 1.771 1.770 1.769
53
1.774 1.766 1.763 1.771 1.770 1.768
1.459 1.445 1.439 1.453 1.452 1.449
Òàáëèöà 2.6: Òî æå, ÷òî â òàáë. 2.5, íî äëÿ ðàçëè÷íûõ èçîòîïè÷åñêèõ ñèñòåì òèïà n Hem H+ Ree Rne Rme Rnm HeH+ 3 HeD+ 3 HeT+ 4 HeH+ 4 HeD+ 4 HeT+ 6 HeH+ 6 HeD+ 6 HeT+ 8 HeH+ 8 HeD+ 8 HeT+ 3
1.554 1.552 1.552 1.554 1.552 1.551 1.554 1.552 1.551 1.553 1.551 1.551
1.088 1.087 1.086 1.088 1.086 1.086 1.087 1.086 1.086 1.087 1.086 1.085
1.674 1.665 1.661 1.673 1.661 1.660 1.671 1.661 1.658 1.670 1.661 1.657
1.534 1.524 1.520 1.533 1.520 1.518 1.531 1.520 1.516 1.530 1.519 1.516
Äëÿ ñèñòåì ÿäåðíîãî òèïà êàðêàñíûé ýôôåêò áûë ïðîàíàëèçèðîâàí â ñëåäóþùèõ òðåõ ñëó÷àÿõ: (à) äëÿ äåéòðîíà 2 H è (á) äëÿ ãèïåðÿäðà Λ9 Be, ðàññìàòðèâàâøåãîñÿ êàê òðåõòåëüíàÿ ñèñòåìà ααΛ. ×òîáû ïîíÿòü êàê ñêàçûâàåòñÿ âûáîð òîãî èëè èíîãî âàðèàíòà êàðêàñíîé ñâÿçè íà áûñòðîòó ñõîäèìîñòè âàðèàöèîííûõ ðàñ÷åòîâ áûëà ïðåæäå âñåãî ðàññìîòðåíà ïðîñòåéøàÿ äâóõ÷àñòè÷íàÿ ÿäåðíàÿ ñèñòåìà äåéòðîí 2 H ñ æåñòêèì ïîòåíöèàëîì np-âçàèìîäåéñòâèÿ [200], âêëþ÷àþùèì êîðîòêîäåéñòâóþùåå ïðèòÿæåíèå, ïåðåõîäÿùåå íà ñàìûõ ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ â ìîùíîå îòòàëêèâàíèå (êîð). Äëÿ ýòîãî ïðîèçâîäèëîñü ñðàâíåíèå âàðèàöèîííûõ ðàñ÷åòîâ ñ ðàçëè÷íûìè ïðîáíûìè ôóíêöèÿìè, à èìåííî: (a) ñ áàçèñíûìè ôóíêöèÿìè ôóíêöèÿìè ãàóññîâñêîãî òèïà exp(−αa R2 ), (b) ñî ñâîáîäíûìè êàðêàñíî-ãàóññîâñêèìè ôóíêöèÿìè exp(−αa (R − Ra )2 ), ~ −R ~ a )2 ), (d) ñ âåêòîðíûìè êàðêàñ(c) ñ âåêòîðíûìè êàðêàñíûìè ôóíêöèÿìè exp(−αa (R ~ a , ÷òî ïðèâîäèò ê íûìè ôóíêöèÿìè, óñðåäíåííûìè ïî îðèåíòàöèÿì êàðêàñíîãî âåêòîðà R ôóíêöèÿì âèäà: exp(−αa (R − Ra )2 ) − exp(−αa (R + Ra )2 ) , R P ~ −R ~ ai )2 ) (ñ îäèíàêîâû(e) ñ ñóïåðïîçèöèÿìè âåêòîðíûõ êàðêàñíûõ ôóíêöèè i exp(−αa (R ~ i |), îáåñïå÷èâàþùèìè äîñòàòî÷íî õîðîøóþ (ñ òî÷íîñòüþ 0.1%) ìè ïàðàìåòðàìè αa è |R a
ñôåðè÷åñêóþ ñèììåòðèþ. Ðàñ÷åòû ïîêàçàëè, ÷òî ïðè îäíîì è òîì æå íåáîëüøîì ÷èñëå áàçèñíûõ ôóíêöèé (îò 5 äî 10) íàèáîëåå âûñîêóþ òî÷íîñòü îáåñïå÷èâàþò íå ãàóññîèäû, à ñâîáîäíûå êàðêàñíûå ôóíêöèè (b), à òàêæå ôóíêöèè (d). Ñðàâíåíèå ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòîâ ïðè ôèêñèðîâàííîì ÷èñëå ôóíêöèé ïîêàçûâàåò, ÷òî èñïîëüçîâàíèå âåêòîðíûõ êàðêàñíûõ ôóíêöèé (d) âìåñòî ãàóññîèä íå ÿâëÿåòñÿ îïðàâäàííûì; ïðè îïòèìèçàöèè ôóíêöèè (d) ïåðåõîäÿò â ôóíêöèè 54
(a).  òî æå âðåìÿ íàáîðû âåêòîðíûõ ôóíêöèé (d), ò.å. ñóïåðïîçèöèè (e) ïðèâîäÿò ïðàêòè÷åñêè ê ñòîëü æå õîðîøèì ðåçóëüòàòàì, ÷òî è ñâîáîäíûå êàðêàñíûå ôóíêöèè. Èñïîëüçîâàíèå æå âåêòîðíûõ êàðêàñíûõ ôóíêöèé (â âèäå (c)) îêàçûâàåòñÿ íåäîñòàòî÷íî õîðîøèì èç-çà òîãî, ÷òî ïîñòðîåííàÿ íà òàêîì áàçèñå âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ íå ñîîòâåòñòâóåò íóëåâîìó îðáèòàëüíîìó ìîìåíòó, à ýòî ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ ýíåðãèè ñèñòåìû. Äðóãîé ðàññìîòðåííîé ÿäåðíîé ñèñòåìîé áûëî ãèïåðÿäðî Λ9 Be, êîòîðîå ðàññìàòðèâàëîñü êàê ñèñòåìà ααΛ.  êà÷åñòâå ïîòåíöèàëà αα-âçàèìîäåéñòâèÿ èñïîëüçîâàëñÿ ïîòåíöèàë Àëè-Áîäìåðà, âàðèàíò d0 [236].  êà÷åñòâå Λα ïîòåíöèàëà áðàëñÿ ¾ýôôåêòèâíûé¿ ïîòåíöèàë, íàéäåííûé èç ðàñ÷åòà ïÿòè÷àñòè÷íîé ñèñòåìû Λ5 He (ñì. ðàçä. 3.3).Äëÿ óäîáñòâà ðàñ÷åòîâ ïîòåöíèàë Λα àïïðîêñèìèðîâàëñÿ ãàóññîâñêèìè ôóíêöè2 2 2 ÿìè: VΛα = −0.983013e−4.72488r − 56.0694e−0.412r + 8.23788e−0.242927r . Âàðèàöèîííûå ðàñ÷åòû ïðîèçâîäèëèñü ñ êàðêàñíî-ãàóññîâñêèìè ôóêíöèÿìè è äëÿ ñðàâíåíèÿ ñ ãàóññîâñêèìè ôóíêöèÿìè. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïðèâîäÿòñÿ â òàáë. 2.7 äëÿ ðàçíîãî ÷èñëà ôóíêöèé.  òàáë. 2.8 óêàçàíû ñðåäíèå çíà÷åíèÿ êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè, à òàêæå ãåîìåòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè (ñðåäíåêâàäðàòè÷íûå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìè Rαα è RαΛ è ñðåäíåêâàäðàòè÷íûå ðàññòîÿíèÿ îò öåíòðà ìàññ ñèñòåìû äî ñîîòâåòñòâóþùåé ÷àñòèöû Rα è RΛ ). Òàáëèöà 2.7: Âåðõíèå îöåíêè ýíåðãèè äëÿ Λ9 Be äëÿ ðàçëè÷íûõ áàçèñîâ n EU (ÌýÂ), ãàóññ. EU (ÌýÂ), êàðêàññ 1 2 3 4 5 10 20 50
2.4
-1.7631 -4.7339 -5.3140 -5.8567 -6.1567 -6.3312 -6.4185 -6.4270
-4.6273 -5.7498 -6.1896 -6.3003 -6.3424 -6.4118 -6.4265 -6.4285
Âåðõíèå è íèæíèå îöåíêè ýíåðãèè
Âû÷èñëåíèå íèæíåé îöåíêè ýíåðãèè íàðÿäó ñ âåðõíåé ïîçâîëÿåò íå òîëüêî óñòàíîâèòü ïðåäåëû, â êîòîðûõ çàêëþ÷åíî òî÷íîå çíà÷åíèå ýíåðãèè ñèñòåìû, íî è ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû ýêñòðàïîëÿöèè, ñîïîñòàâëÿÿ îáå îöåíêè, ñ áîëåå âûñîêîé òî÷íîñòüþ îöåíèòü ýíåðãèþ ñèñòåìû. Âåðõíÿÿ îöåíêà ýíåðãèè EU â ñîîòâåòñòâèè ñ âàðèàöèîííûì ïðèíöèïîì íàõîäèòñÿ ïóòåì ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà EU [ψ] = hψ|H|ψi/hψ|ψi ñ ïðîáíîé ôóíêöèåé ψ . Äëÿ íàõîæäåíèÿ íèæíåé îöåíêè Òåìïëîì [169] áûëà ïðåäëîæåíà ôîðìóëà: 55
Òàáëèöà 2.8: Õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû Λ9 Be ïðè n = 70 hHi -6.42761 ÌýÂ hT i 14.80256 ÌýÂ hV i -21.23016 ÌýÂ gauss hVαα i -5.11203 ÌýÂ hVαΛ i -8.92312 ÌýÂ Coulomb hVαα i 1.72810 ÌýÂ Rαα 3.69574 ôì RαΛ 3.10705 ôì Rα 1.87625 ôì RΛ 2.17275 ôì
ELT
=
max
ψ, EU [ψ]<E1
EL [ψ] =
max
ψ, EU [ψ]<E1
E1 EU [ψ] − EQ2 [ψ] , E1 − EU [ψ]
(2.67)
â êîòîðîé E1 ýíåðãèÿ ïåðâîãî âîçáóæäåííîãî óðîâíÿ ñ òàêîé æå ñèììåòðèåé è îðáèòàëüíûì ìîìåíòîì, ÷òî è îñíîâíîå ñîñòîÿíèå, à
p EQ [ψ] ≡ − hψ|H 2 |ψi/hψ|ψi.
(2.68)
Äëÿ ôóíêöèîíàëîâ EU , EL è EQ ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà
EL [ψ] < E0 < EU [ψ],
(2.69)
EL [ψ] < EQ [ψ] < EU [ψ] < E1 ,
(2.70)
êîòîðûå â ïðåäåëå áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ïðîáíûõ ôóíêöèé n ïåðåõîäÿò â ðàâåíñòâî. Ïîñêîëüêó ELQ = min EQ îáû÷íî ìîíîòîííî âîçðàñòàåò ïðè óâåëè÷åíèè n (÷òî íàáëþäàëîñü íàìè âî âñåõ ðàññìîòðåííûõ (äâóõ, òðåõ, ÷åòûðåõ, ïÿòè è øåñòè-÷àñòè÷íûõ) ñèñòåìàõ), òî ELQ òàêæå ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ íàðÿäó ñ ELT â êà÷åñòâå íèæíåé îöåíêè ýíåðãèè (êàê ýòî ïðåäëàãàëîñü Ðîìáåðãîì [237] (ñì. òàêæå [238]). Îòìåòèì, ÷òî Âàéíøòàéíîì [239, 240] q 2
ïðåäëàãàëîñü â êà÷åñòâå íèæíåé îöåíêè èñïîëüçîâàòü åùå ELW = EU − ELQ − EU2 , îäíàêî ìû îòêàçàëèñü îò èñïîëüçîâàíèÿ ELW , ïîñêîëüêó îêàçàëîñü, ÷òî çàâèñèìîñòü ELW îò EU è îò n çíà÷èòåëüíî îòëè÷àåòñÿ îò ëèíåéíîé.  ðàáîòå Õîëëà è Ïîñòà [170] íàõîæäåíèå íèæíåé îöåíêè ýíåðãèè äëÿ ñèñòåìû N òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö ñ òðàíñëÿöèîííî èíâàðèàíòíûì ãàìèëüòîíèàíîì
N X ~2 2 (∇~ri − ∇~rj ) + Vij , H= − 2mN i<j=1 Vij = V ((~ri − ~rj ), ~σi , ~σj , ~τi , ~τj ) = Vij . 56
(2.71)
ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ îäíî÷àñòè÷íîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñ ãàìèëüòîíèàíîì
H ≡ −(N − 1) ρ~i ≡
N X
√ ~2 N ∆ρ~2 + (N − 1)V ( 2~ ρ2 , ~σ1 , ~σ2 , ~τ1 , ~τ2 ), 2m 2
Aij ~rj ,
ρ~1 ≡ N
−1/2
N X
~ri ,
i=1
j=1
(2.72)
1 ρ~2 ≡ √ (~r1 − ~r2 ). 2
Ïðè ýòîì ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýíåðãèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ N ÷àñòè÷íîìó ãàìèëüòîíèàíó E0 âñåãäà áîëüøå ýíåðãèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ îäíî÷àñòè÷íîé çàäà÷è (1) E0 , ïîýòîìó åå ïðåäëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå íèæíåé îöåíêè ýíåðãèè. (1)
E0 > E0 ≡ ELH
(2.73)
Èìååòñÿ òàêæå îáîáùåíèå äàííîãî ìåòîäà íà ñèñòåìû íå òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö [241]. Ïðîâåäåííûå íàìè ðàñ÷åòû ELH äëÿ íåêîòîðûõ ñèñòåì, ïîêàçàëè, ÷òî îíè íàìíîãî õóæå íèæíèõ îöåíîê ELT , ELQ è ELW .  ÷àñòíîñòè äëÿ òðåõ÷àñòè÷íîé íóêëîííîé ñèñòåìû ñ ÷èñòî ïðèòÿãèâàþùèì ïîòåíöèàëîì Áýéêåðà [242] Õîëëîì è Ïîñòîì áûëî ïîëó÷åíî ELH = −14.28 ÌýÂ, à âàðèàöèîííûé ðàñ÷åò âñåãî ñ äâóìÿ ïðîáíûìè ôóíêöèÿìè äàë: ELT = −11.64 ÌýÂ, EU = −9.76 ÌýÂ, ïðè òî÷íîì çíà÷åíèè E0 = −9.7826 ÌýÂ. äðóãèõ íèæíèõ îöåíîê, âñëåäñòâèå ÷åãî, äàííûå îöåíêè íå èñïîëüçîâàëèñü â äðóãèõ ðàñ÷åòàõ. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ýíåðãèè ñèñòåìû çàâèñèìîñòü EU (n) ýêñòðàïîëèðóåòñÿ ê n → ∞. Îäíàêî íàõîæäåíèå ïîñðåäñòâîì òàêîé ïðîöåäóðû òî÷íîãî çíà÷åíèÿ ýíåðãèè ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ íåíàäåæíûì, ò.ê. çàâèñèìîñòü EU îò n îòêëîíÿåòñÿ, è èíîãäà ñóùåñòâåííî, îò ëèíåéíîé (â îñîáåííîñòè ýòî îòíîñèòñÿ ê êóëîíîâñêèì ñèñòåìàì).  òî æå âðåìÿ áûëî ïðåäëîæåíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ýêñòðàïîëÿöèè ê n → ∞ çàâèñèìîñòü ELT (EU ) [165] è áûëî ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ ÿäåðíûõ ñèñòåì ýòà çàâèñèìîñòü áëèçêà ê ëèíåéíîé [228]. Èñïîëüçîâàíèå çàâèñèìîñòè ELQ (EU ), òàêæå áëèçêîé ê ëèíåéíîé, ïîçâîëÿåò ñäåëàòü íàõîæäåíèå ýêñòðàïîëèðîâàííîãî çíà÷åíèÿ E0 áîëåå íàäåæíûì è äîñòè÷ü áîëüøåé òî÷íîñòè. Ñêàçàííîå èëëþñòðèðóåòñÿ íèæå íà ïðèìåðàõ äâóõ, òðåõ è ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûõ ìîäåëüíûõ ñèñòåì α-÷àñòèö, ñâÿçàííûõ ïîòåíöèàëîì Àëè-Áîäìåðà [236] (áåç ó÷åòà êóëîíîâñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ). Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ äëÿ ñèñòåìû 2α ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2.2, ãäå ïî îñè àáñöèññ îòêëàäûâàåòñÿ çíà÷åíèå ELT , à òàêæå è ELQ , à ïî îñè îðäèíàò çíà÷åíèå EU . Êàê âèäíî íà ðèñóíêå, òðè ëèíèè ELT (EU ), ELQ (EU ) è ELT = ELQ = EU ïåðåñåêàþòñÿ ïðàêòè÷åñêè â îäíîé è òîé æå òî÷êå, ïðè ELT = ELQ = EU = E0 = 1.3500. Íàéäåííîå çíà÷åíèå E0 ñîâïàäàåò ñ êîíòðîëüíûì çíà÷åíèåì ýíåðãèè, ðàññ÷èòàííûì áåç èñïîëüçîâàíèÿ âàðèàöèîííîãî ìåòîäà ïóòåì ïîøàãîâîãî èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Öèôðû íà ãðàôèêå ïðè êàæäîé èç îòëîæåííûõ òî÷åê îçíà÷àþò ÷èñëî èñïîëüçîâàííûõ ôóíêöèé. Àíàëîãè÷íûé âûáîð ñèñòåìû êîîðäèíàò è îáîçíà÷åíèé èñïîëüçîâàí íà ðèñ. 2.3 äëÿ òðåõ÷àñòè÷íîé ñèñòåìû 3α, ðàñ÷åò êîòîðîé ïðîâîäèëñÿ ñ ÷èñëîì ôóíêöèé äî nmax = 70. Êàê âèäíî íà ðèñóíêå, ýíåðãèÿ E0T , ñîîòâåòñòâóþùàÿ òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ëèíèè ELT (EU ) è 57
ELT = ELQ = EU õîòÿ òî÷íî íå ñîâïàäàåò ñ E0Q (ñîîòâåòñòâóþùåé ïåðåñå÷åíèþ ELQ (EU ) è ELT = ELQ = EU ), íî îáà çíà÷åíèÿ î÷åíü áëèçêè (E0T = −5.124112 ÌýÂ, E0Q = −5.124135 ÌýÂ), à ñðåäíåå ïî îáåèì ýêñòðàïîëèðîâàííûì çíà÷åíèÿì ýíåðãèè E0 = −5.124135 ± 0.000022 Ìý õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ ðåçóëüòàòîì áîëåå òî÷íîãî êîíòðîëüíîãî ðàñ÷åòà EU è ELT ñ nmax = 200: EU = −5.122038 ÌýÂ, ELT = −5.125085 Ìý [228]. Îòìåòèì, ÷òî ðàññ÷èòàííàÿ íèæíÿÿ îöåíêà ELH äëÿ äàííîé ñèñòåìû ñîñòàâèëà ELH = −7.48 ÌýÂ, ÷òî çíà÷èòåëüíî õóæå, ÷åì ELT è ELQ äàæå ïðè ÷èñëå ôóíêöèé n = 20. Íà ðèñ. 2.4 â òàêèõ æå êîîðäèíàòàõ ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà ñèñòåìû 4α c ÷èñëîì ôóíêöèé äî nmax = 200.  äàííîì ñëó÷àå ýêñòðàïîëÿöèÿ ELT (EU ) è ELQ (EU ) (äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ELT = ELQ = EU ) áîëåå äàëåêàÿ, ÷åì íà ðèñ. 2.3. Îíà ïðèâîäèò ê E0T = −11.146 ÌýÂ, E0Q = −11.160 Ìý è ê ñðåäíåìó çíà÷åíèþ E0 = −11.15(1) ÌýÂ. Ýòîò ðåçóëüòàò òàê æå, êàê äëÿ ñèñòåìû 3α, ñîãëàñóåòñÿ ñ êîíòðîëüíûìè ðàñ÷åòàìè ðàáîòû [228], ïðîâåäåííûì äëÿ ãîðàçäî áîëüøåãî ÷èñëà ôóíêöèé (nmax = 1000): EU = −11.154 ÌýÂ, ELT = −11.332 ÌýÂ. Îòìåòèì, ÷òî íèæíÿÿ îöåíêà ELH îêàçàëàñü ðàâíîé ELH = −20.04. Ðèñ. 2.3 è 2.4 äåìîíñòðèðóþò îáùóþ äëÿ ñèñòåì ÿäåðíîãî òèïà ëèíåéíóþ (ñ õîðîøåé òî÷íîñòüþ) çàâèñèìîñòü ELQ è ELT îò EU , ÷òî îêàçûâàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì äàæå â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà çàâèñèìîñòü EU îò n1 çíà÷èòåëüíî îòëè÷àåòñÿ îò ëèíåéíîé. Ó÷èòûâàÿ ýòî, ìîæíî, îãðàíè÷èâàÿñü ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøèì ÷èñëîì ïðîáíûõ ôóíêöèé (nmax ), íàõîäèòü ïóòåì ýêñòðàïîëÿöèè ELT è ELQ ýíåðãèþ ñèñòåìû E0 è ïðè ýòîì íåîïðåäåëåííîñòü îêàçûâàåòñÿ ãîðàçäî ìåíüøåé (è ñëåäîâàòåëüíî òî÷íîñòü çíà÷èòåëüíî áîëüøåé), ÷åì ðàçíîñòè |ELT (n0 ) − EU (n0 )| è |ELQ (n0 ) − EU (n0 )|. Ýòî äàåò îñíîâàíèå ñ óâåðåííîñòüþ èñïîëüçîâàòü òàêóþ ïðîöåäóðó äëÿ ðàñ÷åòà ðåàëèñòè÷åñêèõ òðåõ è ÷åòûðåõ-÷àñòè÷íûõ ÿäåð 3 H, 3 He è 4 He, à òàêæå òðåõ, ÷åòûðåõ è ïÿòè÷àñòè÷íûõ ãèïåðÿäåðíûõ ñèñòåì Λ3 H, Λ4 H, Λ4 He è Λ5 He, è äàæå øåñòè÷àñòè÷íîé äâîéíîé ãèïåðÿäåðíîé ñèñòåìû ΛΛ6 He.  öåëÿõ óäîáñòâà ìàñøòàáû äëÿ ELQ , ELT è EU ìîãóò âûáèðàòüñÿ ðàçëè÷íûìè, è òîãäà ëèíèÿ ELQ = EU ìîæåò íå ñîâïàäàòü ñ ëèíèåé ELT = EU . Ïðè ýòîì E0T íàõîäèòñÿ èç ïåðåñå÷åíèÿ ëèíèè ELT (EU ) ñ ëèíèåé ELT = EU , à E0Q èç ïåðåñå÷åíèÿ ELQ (EU ) è ELQ = EU .  ñëó÷àå, êîãäà çàâèñèìîñòü EU îò n1 ñ äîñòàòî÷íîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè îêàçûâàëàñü ëèíåéíîé, òî ïóòåì ýêñòðàïîëÿöèè ê n → ∞ êðîìå E0L è E0Q íàõîäèëàñü òàêæå E0U . Ðàñ÷åòû ÿäåðíûõ ñèñòåì 3 H, 3 He è 4 He ïðîèçâîäèëèñü ñ èñïîëüçîâàíèåì N N ïîòåíöèàëîâ ðàáîòû [200] (ñì. (3.3)). Äëÿ 3 H íà îñíîâàíèè ðàñ÷åòîâ íà ðèñ. 2.5 ïîñòðîåíû çàâèñèìîñòè EU ( n1 ), ELT (EU ) è ELQ (EU ) ñ ìàêñèìàëüíûì ÷èñëîì ôóíêöèé nmax = 120. Ëèíåéíûå ýêñòðàïîëÿöèè ELT (EU ) è ELQ (EU ) ïðèâîäÿò ïðàêòè÷åñêè ê îäíîìó è òîìó æå ðåçóëüòàòó: E0T = E0Q = −8.4545 ÌýÂ, à ëèíåéíàÿ ýêñòðàïîëÿöèÿ EU ( n1 ) ïðè n → ∞ äàåò EU0 = −8.4603 ÌýÂ. Ñðåäíåå ïî âñåì òðåì ýêñòðàïîëÿöèÿì (ELT , ELQ è EU ) çíà÷åíèå ýíåðãèè E0 = −8.456(3) ÌýÂ. Îòìåòèì, ÷òî íèæíÿÿ îöåíêà ELH äëÿ äàííîé ñèñòåìû ñîñòàâèëà ELH = −17.38 ÌýÂ. Àíàëîãè÷íîå ïîñòðîåíèå äëÿ 3 He ïðè nmax = 120, ïðåäñòàâëåííîå íà ðèñ. 2.6, ïðèâîäèò ê E0T = −7.741 Ìý è E0Q = −7.776 ÌýÂ, à ñðåäíåå çíà÷åíèå ýíåðãèè ïî äâóì ýêñòðà58
ïîëÿöèÿì îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì E0 = −7.75(3) Ìý (çàâèñèìîñòü EU îò n1 îòëè÷àåòñÿ îò ëèíåéíîé è ïîýòîìó íå èñïîëüçîâàëàñü äëÿ íàõîæäåíèÿ E0U ). Äëÿ 4 He çàâèñèìîñòè ELT è ELQ îò EU , à òàêæå EU îò n1 ïðåäñòàâëåíû íà 2.7. Òðîéíàÿ ýêñòðàïîëÿöèÿ ïðèâîäèò ê E0T = −29.504 ÌýÂ, E0Q = −29.507 Ìý è E0U = −29.514 ÌýÂ, à ñðåäíåå (ïî òðåì ýêñòðàïîëÿöèÿì) çíà÷åíèå ýíåðãèè îöåíèâàåòñÿ êàê E0 = −29.508(5) ÌýÂ. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ äëÿ ãèïåðÿäåð Λ3 H (ñ nmax äî 250), Λ4 H (ñ nmax äî 500), Λ4 He (ñ nmax äî 500) è Λ5 He (ñ nmax äî 500) ïðåäñòàâëåíû ñîîòâåòñòâåííî íà ðèñ. 2.8, 2.9, 2.10 è 2.11. Ðàñ÷åòû ãèïåðÿäåðíûõ ñèñòåì ïðîèçâîäèëèñü ñ N N -ïîòåíöèàëîì (3.3) è ΛN ïîòåíöèàëîì (3.1)-(3.2) ñ ïàðàìåòðàìè (3.4). Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ Λ3 H ñ ÷èñëîì ôóíêöèé äî n = 250 ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2.8. Ñ ïîìîùüþ ýêñòðàïîëÿöèè ELT (EU ) è ELQ (EU ) (äî ïåðåñå÷åíèÿ, ñîîòâåòñòâåííî, ñ ëèíèÿìè ELT = EU è ELQ = EU ) áûëî íàéäåíî äëÿ ïîëíîé ýíåðãèè ñèñòåìû E0T = −2.3665 ÌýÂ, E0Q = −2.3758 Ìý è E0U = −2.3673, îòêóäà ñðåäíåå çíà÷åíèå ýíåðãèè E0 áûëî îöåíåíî êàê −2.371(7) ÌýÂ. Íà ðèñ. 2.9 ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ äëÿ Λ4 H, íà îñíîâàíèè êîòîðûõ áûëî íàéäåíî äëÿ ïîëíîé ýíåðãèè ñèñòåìû: E0T = −10.477 Ìý è E0Q = −10.493 ÌýÂ, à E0 = −10.485(12) ÌýÂ. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ äëÿ Λ4 He ñ ÷èñëîì ôóíêöèé äî 500 ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2.10, íà îñíîâàíèè êîòîðûõ áûëî íàéäåíî E0T = −10.16 ÌýÂ, E0Q = −10.22 ÌýÂ, E0 = −10.19(5) ÌýÂ.  ñëó÷àå Λ4 H è Λ4 He çàâèñèìîñòü EU îò n1 ñóùåñòâåííî îòêëîíÿëàñü îò ëèíåéíîé è ïîýòîìó äëÿ íàõîæäåíèÿ E0U íå èñïîëüçîâàëàñü. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ äëÿ ïÿòè÷àñòè÷íîé ãèïåðÿäåðíîé ñèñòåìû Λ5 He ñ ÷èñëîì ôóíêöèÿ äî nmax = 500 ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2.11. Ýêñòðàïîëèðîâàííûå çíà÷åíèÿ ïîëíîé ýíåðãèè äëÿ ýòîé ñèñòåìû îêàçàëèñü ðàâíûìè E0T = −32.720 ÌýÂ, E0Q = −32.767 ÌýÂ, E0U = −32.613 ÌýÂ, à óñðåäíåííîå çíà÷åíèå ýíåðãèè îöåíåíî êàê E0 = −32.70(6). Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà âåðõíèõ è íèæíèõ îöåíîê ýíåðãèè äëÿ ÿäåðíûõ è ãèïåðÿäåðíûõ ñèñòåì ñâåäåíû â òàáë. 2.9 Ðàñ÷åòû âåðõíåé è íèæíåé îöåíêè íàõîäèëèñü òàêæå äëÿ øåñòè÷àñòè÷íîé äâîéíîé ãèïåðÿäåðíîé ñèñòåìû ΛΛ6 He. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 4.1. Ýêñòðàïîëÿöèÿ ELT , ELQ è EU ïðèâîäèò ê çíà÷åíèþ ïîëíîé ýíåðãèè E0T = −40.20 ÌýÂ, E0Q = −40.57 ÌýÂ, E0U = −40.32 ÌýÂ, à ñðåäíåå çíà÷åíèå ýíåðãèè E0 = −40.36(19). Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ âåðõíåé è íèæíèõ îöåíîê ýíåðãèè äëÿ ñèñòåì êóëîíîâñêîãî òèïà ñîáðàíû â òàáë. 2.10. Äëÿ êóëîíîâñêèõ ñèñòåì, â îòëè÷èå îò ÿäåðíûõ ñèñòåì, çàâèñèìîñòü ELT è ELQ îò EU îòêëîíÿåòñÿ îò ëèíåéíîé, ïîýòîìó ýêñòðàïîëÿöèÿ ê n → ∞ íåíàäåæíà.  ñâÿçè ñ ýòèì â òàáëèöå 2.10 ïðèâåäåíû òîëüêî ðàññ÷èòàííûå çíà÷åíèÿ EU , ELT è ELQ äëÿ ðàçëè÷íîãî ÷èñëà ïðîáíûõ ôóíêöèé n.  êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíîé õàðàêòåðèñòèêè òî÷íîñòè ðàñ÷åòà â ïîñëåäíåì ñòîëáöå òàáëèöû ïðèâîäèòñÿ âåëè÷èíà âèðèàëüíîãî èíäåêñà i δν = − lg 1 + 2hT . Äëÿ àòîìíûõ è ìîëåêóëÿðíûõ ñèñòåì ýíåðãèè âûðàæàþòñÿ â àòîìíûõ hV i 59
Òàáëèöà 2.9: Ýíåðãèè EU , ELT , è ELQ äëÿ ÿäåðíûõ è ãèïåðÿäåðíûõ ñèñòåì System E1 n EU ELT ELQ E0 BΛ 3
4
H
He
3α
4α
3 ΛH
4 ΛH
4 Λ He
5 Λ He
9 Λ Be
-0.429
-8.4548
-1.35
-5.12
-2.225
-8.4548
-7.7623
-29.5
-3.12
20 50 100 120 100 200 300 500 20 50 60 70 50 100 200 150 200 250 100 300 500 100 200 300 500 100 200 300 500 30 50 90
-8.37 -8.446 -8.4535 -8.4542 -29.38 -29.448 -29.472 1 -29.485 1 -5.107 505 -5.122 207 -5.123 155 -5.123 370 -10.88 -11.01 -11.05 -2.3602 -2.36061 -2.36068 -10.39 -10.43 -10.444 -10.01 -10.047 -10.069 -10.094 -32.35 -32.49 -32.53 -32.56 -6.477 -6.480 -6.481
-24 -10.1 -8.56 -8.489 -39.5 -34.17 -32.010 -31.068 -5.533 946 -5.187 867 -5.157 298 -5.147 416 -20.1 -15.8 -14.30 -77.7 -71.9 -70.9 -72.3 -44.4 -35.52 -84.319 -68.863 -56.372 -44.333 -235.27 -156.35 -136.71 -125.14 -6.740 -6.589 -6.517
60
-13.2 -9.07 -8.497 -8.468 -32.9 -31.17 -30.40 -30.071 -5.262 030 -5.146 328 -5.135 712 -5.131 830 -13.5 -12.4 -12.05 -4.20 -4.11 -4.09 -15.41 -13.64 -12.93 -16.69 -15.75 -14.93 -13.99 -40.78 -38.00 -37.33 -36.91 -6.557 -6.511 -6.491
-8.456(3)
-29.508(5)
-5.124 135(22)
-11.155(5)
-2.371(7)
0.146(7)
-10.485(12)
2.03(2)
-10.19(5)
2.44(6)
-32.70(6)
3.19(6)
-6.4816(2)
6.4816(2)
åäèíèöàõ, à äëÿ ìåçîàòîìíûõ ñèñòåì â ìåçîàòîìíûõ. Âî âòîðîì ñòîëáöå óêàçûâàåòñÿ m α ýíåðãèÿ E1 .  ðàñ÷åòàõ ïðèíèìàåòñÿ îòíîøåíèå ìàññ: mpe = 1836.1524; m = 7294.2996; me mµ mp = 206.76826 è mµ = 8.8802444. me Äëÿ àòîìà ãåëèÿ ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ êàê äëÿ ñòàíäàðòíîé ñèñòåìû ∞ He (ñîîòâåòñòâóþùåé áåñêîíå÷íî-òÿæåëîìó ÿäðó), òàê è äëÿ ðåàëüíîé ñèñòåìû αe− e− . Äëÿ îòðèöàòåëüíîãî èîíà âîäîðîäà àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ðàñ÷åòû ïðîâîäèëèñü êàê äëÿ ñòàíäàðòíîé ñèñòåìû ∞ H− , òàê è äëÿ ðåàëüíîé ñèñòåìû pe− e− . Îñòàëüíûå êóëîíîâñêèå ñèñòåìû ðàññ÷èòûâàëèñü ñ ÷àñòèöàìè ðåàëüíûõ ìàññ.  ñëó÷àå ñèñòåì êóëîíîâñêîãî òèïà î òî÷íîñòè ðàñ÷åòîâ è åå çàâèñèìîñòü îò n ìîæíî ñóäèòü ïî ðàçíîñòè ìåæäó EU è ELT , à òàêæå EU è ELQ (à, êðîìå òîãî, ïî âåëè÷èíå δν ). Êàê âèäíî èç òàáë. 2.10, òî÷íîñòü ðàñ÷åòà âûøå äëÿ àòîìíûõ (îäíîöåíòðîâûõ) ñèñòåì è íèæå âñåãî äëÿ äâóõöåíòðîâûõ ñèñòåì. Îòìåòèì, ÷òî òî÷íîñòü ðàñ÷åòîâ êóëîíîâñêèõ ñèñòåì ñ ãàóññîâñêèìè ôóíêöèÿìè íàìíîãî íèæå, ÷åì ñ ýêñïîíåíöèàëüíûìè. Èñïîëüçîâàíèå äëÿ ðàñ÷åòà äâóõöåíòðîâûõ ñèñòåì âìåñòî ýêñïîíåíöèàëüíûõ ôóíêöèé îáîáùåííî-ýêñïîíåíöèàëüíûõ (êàðêàñíûõ) ôóíêöèé ðåçêî óëó÷øàåò òî÷íîñòü ðàñ÷åòà. Îäíàêî ýòî îòíîñèòñÿ òîëüêî ê ðàñ÷åòó EU , íî íå ê EL , ïîñêîëüêó ñ êàðêàñíûìè ôóíêöèÿìè íå óäàåòñÿ âû÷èñëèòü ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû H 2 . Ðèñ. 2.2: Ñõîäèìîñòü âåðõíåé è íèæíèõ îöåíîê ýíåðãèè äëÿ ñèñòåìû 2α
61
Òàáëèöà 2.10: Ýíåðãèè EU , ELT , and ELQ äëÿ òðåõ è ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûõ êóëîíîâñêèõ ñèñòåì System
n ∞ He 10 30 100 300 − − αe e -2.146 300 ∞ − H -0.500 10 30 50 100 − − pe e -0.500 100 µee -0.500 100 + − − e e e -0.250 10 30 50 ppµ -0.450 10 30 50 µµe -0.560 10 30 50 50 ppe -0.580 10 30 50 50 − − -1.145 200 ppe e (H2 ) 300 500 200 − − pαe e -2.9567 200 + (HeH ) 300 200 *)
E1 -2.146
EU -2.903 -2.903 -2.903 -2.903 -2.903 -0.527 -0.527 -0.527 -0.527 -0.527 -0.525 -0.262 -0.262 -0.262 -0.494 -0.494 -0.494 -0.583 -0.584 -0.584 -0.585 -0.591 -0.595 -0.595 -0.597 -1.158 -1.159 -1.160 -1.164 -2.964 -2.965 -2.970
ELT 723 6 -2.903 724 373 -2.903 724 377 01 -2.903 724 377 033 15 -2.903 304 557 732 27 -2.903 750 54 -0.528 751 009 4 -0.527 751 016 10 -0.527 751 016 400 -0.527 445 880 971 -0.527 054 806 098 -0.525 003 5 -0.262 005 053 -0.262 005 068 6 -0.262 374 -0.495 386 64 -0.494 386 790 -0.494 3 -0.604 75 -0.600 971 -0.594 *) 126 095 200 -0.745 0 -0.652 67 -0.618 *) 139 063 059 -9.8 2 -6.73 2 -4.78 *) 01 -75 0 -61 *) 9
ELQ 83 -2.903 725 8 -2.903 724 414 -2.903 724 380 41 -2.903 304 561 11 -2.903 06 -0.527 764 -0.527 752 7 -0.527 751 66 -0.527 446 533 -0.527 055 501 -0.525 74 -0.262 026 -0.262 008 7 -0.262 7 -0.494 408 -0.494 391 1 -0.494 -0.599 -0.592 4 -0.586
Ðàññ÷èòàíî ñ èñïîëüçîâàíèåì êàðêàñíûõ ôóíêöèé.
62
δv 737 724 724 724 304 759 751 751 751 445 054 020 005 005 434 387 387 1 55
-0.702 -0.636 -0.600 6 -1.21 -1.196 -1.187 -3.068 -3.053
6 381 37747 558 17 3 06 033 898 827 5 53 220 6 12
12.5 12.6
9.0 9.2 8.6
7.6
6.8
3.2 7.5
3.3 9.2
2.3 3.8 3.0 3.5
Ðèñ. 2.3: Ñõîäèìîñòü âåðõíåé è íèæíèõ îöåíîê ýíåðãèè äëÿ ñèñòåìû 3α
Ðèñ. 2.4: Ñõîäèìîñòü âåðõíåé è íèæíèõ îöåíîê ýíåðãèè äëÿ ñèñòåìû 4α
63
Ðèñ. 2.5: Ñõîäèìîñòü âåðõíåé è íèæíèõ îöåíîê ýíåðãèè äëÿ ñèñòåìû 3 H
Ðèñ. 2.6: Ñõîäèìîñòü âåðõíåé è íèæíèõ îöåíîê ýíåðãèè äëÿ ñèñòåìû 3 He
64
Ðèñ. 2.7: Ñõîäèìîñòü âåðõíåé è íèæíèõ îöåíîê ýíåðãèè äëÿ ñèñòåìû 4 He
Ðèñ. 2.8: Ñõîäèìîñòü âåðõíåé è íèæíèõ îöåíîê ýíåðãèè äëÿ ñèñòåìû Λ3 H
65
Ðèñ. 2.9: Ñõîäèìîñòü âåðõíåé è íèæíèõ îöåíîê ýíåðãèè äëÿ ñèñòåìû Λ4 H
Ðèñ. 2.10: Ñõîäèìîñòü âåðõíåé è íèæíèõ îöåíîê ýíåðãèè äëÿ ñèñòåìû Λ4 He
66
Ðèñ. 2.11: Ñõîäèìîñòü âåðõíåé è íèæíèõ îöåíîê ýíåðãèè äëÿ ñèñòåìû Λ5 He
67
Ãëàâà 3 Ýíåðãèè ñâÿçè ãèïåðÿäåð è
ΛN -âçàèìîäåéñòâèå 3.1
Λ-ãèïåðÿäðà
è ïðîáëåìà
ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ
Íåäàâíèå ãèïåðÿäåðíûå (π + , K + ) è (K − , K + )-ýêñïåðèìåíòû äàëè òîë÷îê ê ïðîâåäåíèþ öåëîé ñåðèè òåîðåòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé ñ àíàëèçîì ïðîáëåì ΛN è ΛΛ-âçàèìîäåéñòâèÿ. Íîâûå èçìåðåíèÿ ýíåðãèé ñâÿçè òÿæåëûõ -ãèïåðÿäåð [1921,243,244], ñóùåñòâåííûì îáðàçîì äîïîëíèâøèå ïðåæíèå ðåçóëüòàòû [16, 17, 245, 246], ïîçâîëèëè áîëåå îáîñíîâàííî ïîäîéòè ê âîïðîñó î íàñûùåíèè ýíåðãèé ñâÿçè ãèïåðÿäåð è ê ïðîáëåìå ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ 13 â öåëîì. Íîâûå èçìåðåíèÿ ýíåðãèé äâîéíûõ ãèïåðÿäåð ΛΛ6 He [28], ΛΛ B [31], è ΛΛ4 H [32] ïîòðåáîâàëè ïðîâåäåíèÿ ñåðüåçíîãî òåîðåòè÷åñêîãî àíàëèçà äëÿ òîãî, ÷òîáû, ðàçîáðàâøèñü ñïåðâà â êàêîé ìåðå ýòè íîâûå èçìåðåíèÿ ñîãëàñóþòñÿ ìåæäó ñîáîé è ñ áîëåå ðàííèìè ýìóëüñèîííûìè ýêñïåðèìåíòàìè [27, 247], ïîïûòàòüñÿ ïîíÿòü êàêîâû æå íà ñàìîì äåëå ñâîéñòâà ΛΛ-ñèë. Ó÷èòûâàÿ îãðàíè÷åííîñòü èíôîðìàöèè î Y N -ðàññåÿíèè, íàèáîëüøèé èíòåðåñ äëÿ òåîðåòè÷åñêîãî àíàëèçà ïðîáëåìû ΛN è ΛΛ -âçàèìîäåéñòâèÿ ïðåäñòàâëÿþò ïðîñòåéøèå èç ýêñïåðèìåíòàëüíî èçó÷åííûõ ãèïåðÿäåðíûõ ñèñòåì, ðàñ÷åò êîòîðûõ íå òðåáóåò ïðèâëå÷åíèÿ ñïåöèàëüíûõ ìîäåëåé (íàïðèìåð êëàñòåðíîé). Ýòî ãèïåðÿäðà 1s-îáîëî÷êè Λ3 H, Λ4 H, 4 5 4 ∗ 4 ∗ 6 Λ He, Λ He è âîçáóæäåííûå ñîñòîÿíèÿ Λ H è Λ He , à òàêæå äâîéíîå ãèïåðÿäðî ΛΛ He. Äëÿ ðàñ÷åòà ãèïåðÿäåð íåîáõîäèìî ïðåæäå âñåãî âûáðàòü äîñòàòî÷íî ðåàëèñòè÷åñêèå N N -ïîòåíöèàëû, êîòîðûå îáåñïå÷èâàëè áû ïðàâèëüíîå îïèñàíèå ýíåðãèé ñâÿçè è ðàçìåðû ÿäåð 2 Í, 3 Í, 3 Íå è 4 Íå, ÿâëÿþùèõñÿ îñòîâàìè ãèïåðÿäåð 1s-îáîëî÷êè. Èñïîëüçóåìûå â íàñòîÿùåå âðåìÿ ïîòåíöèàëû áàðèîí-áàðèîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ îñíîâûâàþòñÿ íà ìîäåëè ìåçîííîãî îáìåíà. Ïîñòðîåííûé íà ýòîé îñíîâå Àðãîíñêèé ïîòåíöèàë N N -âçàèìîäåéñòâèÿ v18 [248] (ó÷èòûâàþùèé â îòëè÷èå îò Àðãîíñêîãî v14 [249] è äðóãèõ áîëåå ñòàðûõ N N -ïîòåíöèàëîâ íàðóøåíèå çàðÿäîâîé íåçàâèñèìîñòè) îïèñûâàåò íå òîëüêî âñþ ñîâîêóïíîñòü ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ïî N N -ðàññåÿíèþ äî ýíåðãèé 350 Ìý , íî 68
è (ïðè ó÷åòå òðåõ÷àñòè÷íûõ N N N -cèë [250]) òàêæå ýíåðãèè ñâÿçè è ðàçìåðû ÿäåð 2 H, 3 H, 3 He è 4 He [251] è äàæå ÿäåð 1p-îáîëî÷êè [252]. Êðîìå N N -ïîòåíöèàëîâ ìåçîííàÿ òåîðèÿ ïðåäëàãàåò ðàçëè÷íûå âàðèàíòû ãèïåðîííóêëîííûõ è ãèïåðîí-ãèïåðîííûõ ïîòåíöèàëîâ, îñíîâàííûõ íà SU(3) èëè SU(6)ñèììåòðèè ïðè êîððåêòèðîâêå èõ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè ïî ãèïåðîí-íóêëîííîìó ðàññåÿíèþ è ýíåðãèÿìè ñâÿçè ãèïåðÿäåð. Ìíîãèå ãèïåðÿäåðíûå ðàáîòû îðèåíòèðóþòñÿ íà ïîòåíöèàëû íèæìåãåíñêîãî òèïà êàê ñ æåñòêèì êîðîì [38, 39], òàê è â îñîáåííîñòè íà ïîòåíöèàëû ñ ìÿãêèì êîðîì [4143]. Ðàññìàòðèâàþòñÿ òàêæå áîííñêî-þëèõñêèé Y N ïîòåíöèàë [45] è ïîòåíöèàëû êâàðêîâîé êëàñòåðíîé ìîäåëè [253, 254]. Îäíàêî ãèïåðÿäåðíûå ðàñ÷åòû ñ áîçîííî-îáìåííûìè ïîòåíöèàëàìè (Àðãîíñèì, Íèæìåãåíñêèì) îêàçûâàþòñÿ âåñüìà òðóäîåìêèìè è ïðè èõ èñïîëüçîâàíèè íå ïðîñòî îáåñïå÷èòü âûñîêóþ òî÷íîñòü è íàäåæíîñòü, îñîáåííî ïðè ðàñ÷åòå ñèñòåì ïÿòè è øåñòè ÷àñòèö (Λ5 He è ΛΛ6 He). Ïîýòîìó â êîíêðåòíûõ ðàñ÷åòàõ îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ ôåíîìåíîëîãè÷åñêèå öåíòðàëüíûå ïàðíûå ΛN è ΛΛ è äàæå N N -ïîòåíöèàëû [255261], ëèáî ïîòåíöèàëû êëàñòåðíîé ìîäåëè [262265].  îïóáëèêîâàííûõ â ïîñëåäíèå ãîäû ãèïåðÿäåðíûõ ðàáîòàõ ðåøàþòñÿ äâå îñíîâíûå çàäà÷è: (1) îïèñàíèå íà îñíîâå åäèíîãî ΛN -ïîòåíöèàëà ýíåðãèé ñâÿçè ãèïåðÿäåð 1sîáîëî÷êè, à òàêæå è áîëåå òÿæåëûõ ãèïåðÿäåð è (2) âûÿñíåíèå íà îñíîâàíèè àíàëèçà ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ î äâîéíûõ ãèïåðÿäðàõ ñâîéñòâ ïîòåíöèàëà ΛΛ-âçàèìîäåéñòâèÿ. Êàê ïîêàçàëè Õåðíäîí, Òàíã è Äàëèö [266, 267], èñïîëüçîâàíèå öåíòðàëüíûõ ïàðíûõ ïîòåíöèàëîâ ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ õîòÿ è ïîçâîëÿåò äîñòàòî÷íî õîðîøî îïèñàòü ýíåðãèè ñâÿçè BΛ ãèïåðòðèòèÿ Λ3 H è îñíîâíûõ (0+ ) ñîñòîÿíèé Λ4 H è Λ4 He, íî ïðèâîäÿò ê çàâûøåíèþ BΛ (Λ5 He) íà 2-3 Ìý ïî ñðàâíåíèþ ñ ýêñïåðèìåíòîì, à òàêæå ê ñëèøêîì ñëàáîìó ðàñùåïëåíèþ óðîâíÿ 0+ è âîçáóæäåííîãî 1+ . Äëÿ ðåøåíèÿ ïðîáëåìû ïåðåñâÿçàííîñòè BΛ (Λ5 He) Øèíìóðà [43] ïðåäëàãàë âêëþ÷èòü â ïîòåíöèàë ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ ôåíîìåíîëîãè÷åñêèå òåíçîðíûå ñèëû, à â [51, 268] îáðàùàëîñü âíèìàíèå íà âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ äëÿ ýòîãî çíàêîïåðåìåííûõ ïîòåíöèàëîâ áîëåå ñëîæíîé ôîðìû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû Áîäìåð [60] óêàçàë, ÷òî ðåøåíèå ïðîáëåìû ìîæåò áûòü íàéäåíî ïðè ó÷åòå ïîäàâëåíèÿ ñâÿçè Λ è Σ êàíàëîâ [269]. ( ñëó÷àå äâîéíûõ ãèïåðÿäåð ñóùåñòâåííûé âêëàä ìîæåò âíîñèòü ñâÿçü ΛΛ è N Ξ-êàíàëîâ [270].) Ïîäàâëåíèå íåêîãåðåíòíîé ΛΣ-ñâÿçè, ñíèæàÿ BΛ (Λ5 He), ïîçâîëÿåò äîñòè÷ü ñîãëàñèÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì äëÿ Λ5 He. Îäíàêî ïðè ýòîì çàíèæàþòñÿ ýíåðãèè BΛ ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûõ ãèïåðÿäåð Λ4 H è 4 Λ He [271, 272]. Ó÷åò êîãåðåíòíîñòè ΛΣ-ñâÿçè [271, 273] (ýêâèâàëåíòíûé ΛN N -ñèëàì) óëó÷øàåò ïîëîæåíèå. Îäíàêî âñå æå íè îäèí èç íèæìåãåíîâñêèõ ïîòåíöèàëîâ (SC97ef [42], SC89 [41] è ND [38]) íå îïèñûâàåò ïðàâèëüíî ýíåðãèè ñîñòîÿíèé 0+ è 1+ ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûõ ãèïåðÿäåð, âåëè÷èíó èõ ñïèíîâîãî è èçîñïèíîâîãî ðàñùåïëåíèÿ, à òàêæå ñ äîñòàòî÷íîé òî÷íîñòüþ ýíåðãèè âñåõ ãèïåðÿäåð 1s-îáîëî÷êè [271, 272].  ñâÿçè ñ ýòèì íàèáîëåå ñåðüåçíûé àíàëèç ïðîáëåìû ãèïåðÿäåð 1s-îáîëî÷êè, ïîçâîëÿþùèé äîñòè÷ü äîñòàòî÷íî õîðîøåãî ñîãëàñèÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì, ïðîèçâîäèëñÿ ñ èñïîëüçî69
âàíèåì ôåíîìåíîëîãè÷åñêèõ ΛN è ΛΛ-ïîòåíöèàëîâ [261] è [255]. Ïîäõîäû â ñòàòüÿõ [261] è [255] áûëè ðàçëè÷íûìè: â ïåðâîé èç íèõ çàâûøåíèÿ BΛ (Λ5 He) óäàåòñÿ èçáåæàòü áëàãîäàðÿ ââåäåíèþ òðåõ÷àñòè÷íûõ ΛN N -ñèë, òîãäà êàê âî âòîðîé ýòî ñâÿçûâàåòñÿ ñ äåéñòâèåì ïðèíöèïà Ïàóëè â êëàñòåðíûõ êâàðêîâûõ ñèñòåìàõ ( [258, 274]). Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî â ñòàòüå Óñìàíè è äð. [261] ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé ýíåðãèè íå äëÿ îñíîâíûõ è âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé Λ4 H è Λ4 He, à äëÿ íåêîòîðûõ óñðåäíåííûõ ïî èçîñïèíó ïîëîæåíèé. Ìåæäó òåì ïðè òî÷íûõ ðàñ÷åòàõ ó÷åò íàðóøåíèÿ çàðÿäîâîé ñèììåòðèè ñóùåñòâåíåí äëÿ ñîãëàñîâàíèÿ ñ ýíåðãèåé BΛ äëÿ Λ3 H, à òàêæå ñ ñå÷åíèÿìè ðàññåÿíèÿ Λ-÷àñòèöû íà ïðîòîíàõ.  îáåèõ ðàáîòàõ ðàññ÷èòûâàþòñÿ ñèñòåìû ïÿòè è øåñòè ÷àñòèö (Λ5 He è ΛΛ6 He), íî îñòàåòñÿ âîïðîñ î òî÷íîñòè ðàñ÷åòîâ, êîòîðûå îñóùåñòâëÿëèñü ñî ñëîæíûìè ïîòåíöèàëàìè íóêëîí-íóêëîííîãî è íóêëîí-ãèïåðîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ.  íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðîâîäèòñÿ äåòàëüíûé àíàëèç ðåçóëüòàòîâ ãèïåðÿäåðíûõ ýêñïåðèìåíòîâ, êîòîðûé îñíîâûâàåòñÿ íà èñïîëüçîâàíèè ôåíîìåíîëîãè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ , íå ñâÿçàííûõ ñ âûáîðîì ñïåöèàëüíûõ ìîäåëåé áàðèîí-áàðèîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Îñíîâíîå ïðåäïîëîæåíèå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ΛN -âçàèìîäåéñòâèå ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü ýôôåêòèâíûì ïàðíûì öåíòðàëüíûì ïîòåíöèàëîì.
3.2
Ãèïåðÿäðà
1s-îáîëî÷êè
è
ΛN -ïîòåíöèàë
Íàèáîëåå öåííûìè äëÿ òåîðåòè÷åñêîãî àíàëèçà ãèïåðÿäåðíîé ïðîáëåìû îñòàþòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå ïî ýíåðãèÿì ñâÿçè ñàìûõ ëåãêèõ ãèïåðÿäåð (3Λ H, 4Λ H, 4Λ He, 5Λ He) è âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûõ ãèïåðÿäåð 4Λ H∗ è 4Λ He∗ , à òàêæå ñå÷åíèÿ Λpðàññåÿíèÿ, ïîñêîëüêó â ýòèõ ñëó÷àÿõ íå âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòè ïðèâëå÷åíèÿ òåõ èëè èíûõ ìîäåëåé. Ýòè äàííûå íàèáîëåå óäîáíû äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ âèäà ΛN -ïîòåíöèàëà, îäíàêî ðåøåíèå òàêîé îáðàòíîé çàäà÷è îêàçûâàåòñÿ ïðîöåäóðîé âåñüìà òðóäîåìêîé, ò.ê. òðåáóåò ìíîãîêðàòíîãî îáðàùåíèÿ ê ðàñ÷åòó ñèñòåì òðåõ, ÷åòûðåõ è ïÿòè ÷àñòèö ñ ïîòåíöèàëàìè äîñòàòî÷íî ñëîæíîé ôîðìû (êîðîòêîäåéñòâóþùèå çíàêîïåðåìåííûå ïîòåíöèàëû ñ êîðîì).  íàñòîÿùåé ðàáîòå ìû èñõîäèëè èç ïðåäïîëîæåíèÿ î öåíòðàëüíîì õàðàêòåðå ΛN ïîòåíöèàëà, ÷òî íå ïðîòèâîðå÷èò ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì (ñîãëàñíî ýêñïåðèìåíòó ñïèí-îðáèòàëüíàÿ êîìïîíåíòà ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ ìàëà) è ñîãëàñóåòñÿ ñ âûâîäàìè ìåçîííîé òåîðèè î ñëàáîñòè òåíçîðíûõ ñèë. Ïðè ýòîì, ìû íå ó÷èòûâàëè âîçìîæíîãî âêëàäà ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèë. Äåòàëüíûé àíàëèç ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ïðèâåë íàñ ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî: (à) ΛN -ïîòåíöèàë ñïèíîâî è çàðÿäîâîçàâèñèìûé, (b) ïîòåíöèàë ΛN âçàèìîäåéñòâèÿ èìååò êîðîòêèé ðàäèóñ äåéñòâèÿ, áîëåå êîðîòêèé ÷åì N N -ñèë è ÿâëÿåòñÿ çíàêîïåðåìåííûì, (ñ) ΛN -âçàèìîäåéñòâèå ñòàíîâèòñÿ áîëåå ñëàáûì ó òÿæåëûõ ãèïåðÿäåð (A > 4). Äåéñòâèòåëüíî, ãèïåðòðèòèé 3Λ H èìååò ñïèí 21 , â òî âðåìÿ êàê ñïèí 2 H ðàâåí 1, à ýòî óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ΛN -âçàèìîäåéñòâèå ñèëüíåå ïðè àíòèïàðàëëåëüíîé îðèåíòàöèè ñïè70
íîâ Λ-÷àñòèöû è íóêëîíà. Ýòîò âûâîä ïîäòâåðæäàåòñÿ òåì, ÷òî ñïèí îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûõ ãèïåðÿäåð 4Λ H è 4Λ He ðàâåí 0+ , òîãäà êàê âîçáóæäåííûå ñîñòîÿíèÿ èìåþò ñïèí 1+ . Î çàðÿäîâîé çàâèñèìîñòè ΛN -ïîòåíöèàëà ñâèäåòåëüñòâóåò á îëüøàÿ ýíåðãèÿ ñâÿçè 4Λ He ïî ñðàâíåíèþ ñ 4Λ H, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî â 4Λ He êóëîíîâñêîå îòòàëêèâàíèå ïðîòîíîâ ñíèæàåò ýíåðãèþ ñâÿçè. Àíàëîãè÷íîå èìååò ìåñòî è äëÿ âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé 4Λ He∗ è 4Λ H∗ . Ñëåäîâàòåëüíî Λp-âçàèìîäåéñòâèå ñèëüíåå, ÷åì Λn. Çíàêîïåðåìåííûé õàðàêòåð ΛN -ïîòåíöèàëà âûòåêàåò èç ñîâìåñòíîãî àíàëèçà ýíåðãåòè÷åñêîé çàâèñèìîñòè ñå÷åíèé Λp-ðàññåÿíèÿ ñ îäíîé ñòîðîíû è ýíåðãèé ñâÿçè ëåã÷àéøèõ (òðåõ è ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûõ) ãèïåðÿäåð ñ äðóãîé. Åñëè áû ΛN -ïîòåíöèàë áûë ÷èñòî ïðèòÿãèâàþùèì (íàïðèìåð â âèäå ïðÿìîóãîëüíîé ÿìû), òî, êàê ïîêàçûâàþò ðàñ÷åòû, äëÿ ïðàâèëüíîãî îïèñàíèÿ Λp-ðàññåÿíèÿ, îí äîëæåí áûòü ìåëêèì è øèðîêèì (∼ 2 ôì), òîãäà êàê ïðàâèëüíûå ýíåðãèè ãèïåðÿäåð îáåñïå÷èâàþòñÿ â ñëó÷àå ãëóáîêîãî, íî óçêîãî (∼ 1 ôì) ΛN -ïîòåíöèàëà. Åñòåñòâåííî îæèäàòü, ÷òî îáà òðåáîâàíèÿ óäàñòñÿ óäîâëåòâîðèòü, åñëè ΛN -ïîòåíöèàë VΛN áóäåò ìåíÿòü çíàê. Î÷åíü ñëàáàÿ óãëîâàÿ çàâèñèìîñòü ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ñå÷åíèé Λp-ðàññåÿíèÿ â äîñòàòî÷íî øèðîêîì äèàïàçîíå ýíåðãèé ïðè ñðàâíèòåëüíî áîëüøîé âåëè÷èíå ïîëíûõ ñå÷åíèé óêàçûâàåò íà ìàëûé âêëàä â ðàññåÿíèå p-ñîñòîÿíèÿ, à ýòî âîçìîæíî ïðè î÷åíü ìàëîì ðàäèóñå äåéñòâèÿ ΛN -ñèë. ×òî êàñàåòñÿ îñëàáëåíèÿ ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ â ãèïåðÿäðàõ ñ A > 4, òî çàìåòèì ïðåæäå âñåãî, ÷òî, ñîãëàñíî ýêñïåðèìåíòó, ðîñò ýíåðãèé ñâÿçè Λ-÷àñòèöû BΛ â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà íóêëîíîâ A ïðîèñõîäèò ñ èçëîìîì ïðè 5Λ He. Òàê, ïðè ïåðåõîäå îò òðåõ÷àñòè÷íîãî ãèïåðÿäðà 3Λ H ê ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûì ãèïåðÿäðàì BΛ âîçðàñòàåò íà ∆BΛ ≈ 2 Ìý (îò 0.13 Ìý äëÿ 3Λ H äî 2.39 Ìý äëÿ 4Λ He è äî 2.04 Ìý äëÿ 4Λ H), à ïðè ïåðåõîäå îò ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûõ ãèïåðÿäåð ê ïÿòè÷àñòè÷íîìó ãèïåðÿäðó 5Λ He ∆BΛ ñîñòàâëÿåò ëèøü 0.9 Ìý è â äàëüíåéøåì äî A ∼ 20 âîçðàñòàíèå BΛ îñòàåòñÿ íà òîì æå óðîâíå. Ýòî, î÷åâèäíî, ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ýôôåêòèâíîå îñëàáëåíèå VΛN ïðè ïåðåõîäå îò ñàìûõ ëåãêèõ ãèïåðÿäåð ê 5Λ He è áîëåå òÿæåëûì ãèïåðÿäðàì.  òî æå âðåìÿ, âî âñåõ ðàñ÷åòàõ, ïðîâîäèâøèõñÿ ðàçëè÷íûìè àâòîðàìè ñ íåèçìåííûìè ïîòåíöèàëàìè ΛN è N N -âçàèìîäåéñòâèÿ ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà íóêëîíîâ ïðîèñ2 õîäèò âñå áîëåå çíà÷èòåëüíîå óâåëè÷åíèå ýíåðãèè ñâÿçè BΛ , ò.å. ddAB2Λ > 0, â ÷àñòíîñòè BΛ (5Λ He) − BΛ (4Λ He) è BΛ (5Λ He) − BΛ (4Λ H) îêàçûâàåòñÿ áîëüøå, ÷åì BΛ (4Λ He) − BΛ (3Λ H) èëè BΛ (4Λ H) − BΛ (3Λ H). Íà ñàìîì äåëå, ñîãëàñíî ýêñïåðèìåíòó, ýòîãî íå ïðîèñõîäèò. Îáúÿñíåíèåì ýòîãî íåñîîòâåòñòâèÿ ÿâëÿåòñÿ îñëàáëåíèå ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ â 5Λ He ïî ñðàâíåíèþ ñ áîëåå ëåãêèìè ãèïåðÿäðàìè. ×òî êàñàåòñÿ ïðè÷èí îñëàáëåíèÿ ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ äëÿ ñèñòåì, ñîäåðæàùèõ áîëåå ÷åòûðåõ áàðèîíîâ, òî ñ êâàðêîâîé òî÷êè çðåíèÿ ýòî ìîæåò áûòü ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî â ñèñòåìå, ñîäåðæàùåé 5 áàðèîíîâ è áîëåå ñïèíîâî-öâåòîâàÿ ñèììåòðèÿ ñòàíîâèòñÿ îòëè÷íîé îò ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûõ è òðåõ÷àñòè÷íûõ ñèñòåì. Ýòî, â ÷àñòíîñòè, îòíîñèòñÿ ê 5Λ He, ãäå 71
óæå íå âñå u è d-êâàðêè ìîãóò (â îòëè÷èå îò ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûõ ñèñòåì) èìåòü íóëåâûå îðáèòàëüíûå ìîìåíòû, à ýòî ìîæåò îçíà÷àòü èçìåíåíèå (îñëàáëåíèå) ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ. Íå èñêëþ÷àÿ äðóãèå âîçìîæíûå îáúÿñíåíèÿ àíîìàëèè Λ5 He (íàïðèìåð, çà ñ÷åò ýôôåêòà ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèë), ìû ïîïûòàëèñü, ïðèíèìàÿ, êàê ñëåäóþùèé èç ýêñïåðèìåíòà ôàêò, îñëàáëåíèå ýôôåêòèâíîñòè ΛN -ñèë ïðè áàðèîííîì ÷èñëå A > 4, âûÿñíèòü âîçìîæíîñòè îïèñàíèÿ ýíåðãèé ñâÿçè ãèïåðÿäåð, êàê ëåãêèõ, òàê è òÿæåëûõ, íà îñíîâå åäèíîãî ïàðíîãî ΛN -ïîòåíöèàëà, ñîäåðæàùåãî â êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíîãî ïàðàìåòðà ñòåïåíü îñëàáëåíèÿ ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ ïðè A > 4. Ó÷èòûâàÿ ïðèâåäåííûå âûøå ñîîáðàæåíèÿ ìû ñ÷èòàëè, ÷òî ΛN -ïîòåíöèàë ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû íåçàâèñèìîé (c) è çàâèñèìîé (σ ) îò ñïèíà ÷àñòåé [275]:
VΛN = αV c (r)(1 + λT3 ) + V σ (r)(~σΛ~σN ),
(3.1)
ãäå V c (r) è V σ (r) çíàêîïåðåìåííûå ïîòåíöèàëû, T3 ïðîåêöèÿ èçîñïèíà íóêëîíà, à α ïàðàìåòð îñëàáëåíèÿ ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ. Ïðè âûáîðå ðàäèàëüíîé çàâèñèìîñòè ΛN ïîòåíöèàëà â âèäå ãàóññîâñêèõ ôóíêöèé çíàêîïåðåìåííûé õàðàêòåð ΛN -ïîòåíöèàëà ïåðåäàåòñÿ ñóììàìè ïðèòÿãèâàþùåé (a) è îòòàëêèâàþùåé (r) ÷àñòåé äëÿ V c (r) è V σ (r)
V c,σ (r) = Vac,σ exp(−µa r2 ) + Vrc,σ exp(−µr r2 ).
(3.2)
Ðàñ÷åò ãèïåðÿäåðíûõ ñèñòåì 3Λ H, 4Λ H, 4Λ He, 5Λ He, à òàêæå âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé 4Λ H∗ è 4Λ He∗ ïðîèçâîäèëñÿ ñ ïîëóðåàëèñòè÷åñêèì N N -ïîòåíöèàëîì ðàáîò [200, 276]. Çíàêîïåðåìåííûé õàðàêòåð ýòîãî ïîòåíöèàëà è íàëè÷èå ìîùíîé îòòàëêèâàòåëüíîé ñåðäöåâèíû (êîðà) îáåñïå÷èâàþò íå òîëüêî äîñòàòî÷íî õîðîøåå îïèñàíèå ýíåðãèé ñâÿçè è ðàçìåðîâ ÿäåð 2 H, 3 H, 3 He è 4 He (ÿâëÿþùèõñÿ îñòîâàìè ðàññìàòðèâàåìûõ òðåõ, ÷åòûðåõ è ïÿòè÷àñòè÷íûõ ãèïåðÿäåð), íî è ýëåêòðè÷åñêèõ ôîðìôàêòîðîâ F (q) ýòèõ ÿäåð (âêëþ÷àÿ è ïîëîæåíèå äèôðàêöèîííûõ ìèíèìóìîâ), à òàêæå ôàç np-ðàññåÿíèÿ â òðèïëåòíîì è ñèíãëåòíîì s-ñîñòîÿíèÿõ [200, 276]. Îòìåòèì, ÷òî èñïîëüçóåìûé N N -ïîòåíöèàë àíàëîãè÷åí Ìèíåñîòñêîìó ïîòåíöèàëó [277].  ñëó÷àå òðåõ è ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûõ ÿäåð, à òàêæå ñîîòâåòñòâóþùèõ ãèïåðÿäåð, ïîñëå óñðåäíåíèÿ ïî ñïèíîâûì ñîñòîÿíèÿì â ðàñ÷åòû âõîäèò ñèíãëåòíûé è òðèïëåòíûé N N ïîòåíöèàëû â âèäå èõ ïîëóñóììû, êîòîðàÿ, ñîãëàñíî [200] ñîäåðæèò êîìáèíàöèþ ïðèòÿãèâàþùåé (a) è îòòàëêèâàþùåé (r) ÷àñòåé:
VN N = −2080 exp(−1.35r2 ) + 1530 exp(−2.0r2 ),
(3.3)
ãäå VN N âûðàæåíî â ÌýÂ, à r â ôì.  ðàñ÷åòàõ äåéòðîíà è ãèïåðòðèòèÿ âìåñòî (3.3) èñïîëüçîâàëñÿ òðèïëåòíûé N N -ïîòåíöèàë ðàáîòû [276] àíàëîãè÷íîãî âèäà. Ïàðàìåòðû ΛN -ïîòåíöèàëà (3.1)-(3.2) íàõîäèëèñü ïóòåì ðåøåíèÿ îáðàòíîé ãèïåðÿäåðíîé çàäà÷è ñ N N -ïîòåíöèàëîì (3.3), ò.å. ïóòåì íàõîæäåíèÿ òàêèõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ Vac , Vrc , Vaσ , Vrσ , µa , µr è λ, êîòîðûå îáåñïå÷èâàëè áû ïðàâèëüíûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå çíà÷åíèÿ ýíåðãèé ñâÿçè îñíîâíûõ è âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé 4Λ H, 4Λ He, ýíåðãèþ ñâÿçè 3Λ H, à 72
òàêæå ýíåðãåòè÷åñêóþ è óãëîâóþ çàâèñèìîñòü ñå÷åíèé Λp-ðàññåÿíèÿ. Êðîìå òîãî, èñêîìûé ΛN -ïîòåíöèàë VΛN ïðè âûáîðå ñîîòâåòñòâóþùåãî çíà÷åíèÿ α äîëæåí áûë îáåñïå÷èâàòü ïðàâèëüíîå çíà÷åíèå ýíåðãèè ñâÿçè 5Λ He è (â ðàìêàõ ìîäåëè Λ-÷àñòèöà + íåäåôîðìèðîâàííûé îñòîâ) ýíåðãèè ñâÿçè òÿæåëûõ ãèïåðÿäåð. Ðàñ÷åòû òðåõ, ÷åòûðåõ è ïÿòè÷àñòè÷íûõ ãèïåðÿäåð, à òàêæå ñîîòâåòñòâóþùèõ ÿäåð ïðîèçâîäèëèñü âàðèàöèîííûì ìåòîäîì ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðîáíûõ ôóíêöèé ãàóññîâñêîãî òèïà. Òî÷íîñòü òðåõ, ÷åòûðåõ è ïÿòè÷àñòè÷íûõ ðàñ÷åòîâ ãàðàíòèðîâàëàñü íàõîæäåíèåì êàê âåðõíåé (EU ), òàê è íèæíèõ (EL è EQ ) îöåíîê ýíåðãèè, ñì. ïàðàãðàô 2.4, è îöåíèâàåòñÿ êàê íåñêîëüêî ñîòûõ äîëåé ÌýÂ. Äëÿ ñîêðàùåíèÿ ÷èñëà ïàðàìåòðîâ ïîòåíöèàëà VΛN ïðîèçâîäèëàñü ïîïûòêà îòûñêàòü ïîòåíöèàë â âèäå (3.1) ñ óñëîâèåì, ÷òî V σ = kV c . Ïðè ýòîì ïàðàìåòð k îïðåäåëÿëñÿ óñëîâèåì îïèñàíèÿ ðàñùåïëåíèÿ îñíîâíûõ è âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûõ ãèïåðÿäåð Λ4 He è Λ4 H. Îêàçàëîñü, ÷òî ïðè òàêîì äîïîëíèòåëüíîì óñëîâèè, â äîñòàòî÷íî øèðîêîì äèàïàçîíå ïàðàìåòðîâ ïðè õîðîøåì îïèñàíèè ïîëíûõ ñå÷åíèé ðàññåÿíèÿ, ýíåðãèè âñåõ ãèïåðÿäåð çíà÷èòåëüíî çàâûøàþòñÿ, ïîýòîìó îò òàêîãî óñëîâèÿ ïðèøëîñü îòêàçàòüñÿ. Êàê ïîêàçàëè ðàñ÷åòû, îïèñàòü ýíåðãèè ñâÿçè ëåãêèõ ãèïåðÿäåð è ïîëíûå ñå÷åíèÿ Λp-ðàññåÿíèÿ ìîæíî â äîâîëüíî øèðîêîì äèàïàçîíå ïàðàìåòðîâ Vac , Vrc , Vaσ , Vrσ , µa è µr , îäíàêî, åñëè ïàðàìåòðû µa è µr âûáèðàþòñÿ íåáîëüøèìè (÷òî ñîîòâåòñòâóåò áîëåå äàëüíîäåéñòâóþùåìó ïîòåíöèàëó) ïîÿâëÿåòñÿ î÷åíü ñèëüíàÿ óãëîâàÿ çàâèñèìîñòü Λp-ðàññåÿíèÿ, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ýêñïåðèìåíòó.  ðåçóëüòàòå, ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è ïðèâåëî ê ñëåäóþùåìó íàáîðó ïàðàìåòðîâ ΛN -ïîòåíöèàëà:
Vac = −297 ÌýÂ, Vrc = 517 ÌýÂ,Vaσ = 152 ÌýÂ, Vrσ = −500 ÌýÂ, µa = 2.5 ôì−2 , µr = 6.0 ôì−2 , λ = 0.054,
(3.4)
α = 1 ïðè A < 5 è α = 0.854 ïðè A > 5. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ΛN -ïîòåíöèàëà µa è µr çíà÷èòåëüíî áîëüøå, ÷åì àíàëîãè÷íûå âåëè÷èíû äëÿ N N -ïîòåíöèàëà, ÷òî óêàçûâàåò íà áîëåå êîðîòêîäåéñòâóþùèé õàðàêòåð ΛN -ñèë ïî ñðàâíåíèþ ñ N N -ñèëàìè. Õàðàêòåð ðàäèàëüíîé çàâèñèìîñòè ΛN -ïîòåíöèàëà â ñèíãëåòíîì s t (VΛN (r)) è òðèïëåòíîì (VΛN (r)) ñîñòîÿíèÿõ ïðèâåäåí íà ðèñ. 3.1. Íà ðèñ. 3.2 ïðèâåäåíû öåíòðàëüíàÿ, íåçàâèñÿùàÿ îò ñïèíà, ÷àñòü ïîòåíöèàëà (V c ), à òàêæå ñïèíîâàÿ ÷àñòü ïîòåíöèàëà (V σ ). Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ òðåõ-, ÷åòûðåõ- è ïÿòè÷àñòè÷íûõ ãèïåðÿäåð ñ ΛN -ïîòåíöèàëîì (3.1) ñ ïàðàìåòðàìè (3.4) è N N -ïîòåíöèàëîì (3.3), à òàêæå ñîîòâåòñòâóþùèõ ÿäåðíûõ ñèñòåì ïðèâåäåíû â òàáë. 3.1. Äëÿ ÿäåð äàíû ïîëíûå ýíåðãèè ñâÿçè (B ), äëÿ ãèïåðÿäåð ýíåðãèè ñâÿçè Λ-÷àñòèöû (BΛ ). Äëÿ íàõîæäåíèÿ ýíåðãèè ñâÿçè Λ-÷àñòèöû BΛ , èç ïîëíîé ýíåðãèè ñâÿçè ãèïåðÿäðà âû÷èòàëàñü ýíåðãèÿ ñâÿçè ñîîòâåòñòâóþùåãî îñòîâà. Äëÿ âñåõ ñèñòåì ïîäñ÷èòàíû ñðåäíåêâàäðàòè÷íûå ðàññòîÿíèÿ p, n è Λ îò öåíòðà ìàññ, ñîîòâåòñòâåííî Rp , Rn , RΛ . Äëÿ ñðàâíåíèÿ â òàáëèöå ïðèâåäåíû òàêæå ýêñïåðèìåíòàëüíûå ýíåðãèè ñâÿçè 73
Ðèñ. 3.1: Ðàäèàëüíàÿ çàâèñèìîñòü ïîòåíöèàëà ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ â ñèíãëåòíîì (V s ) è òðèïëåòíîì (V t ) ñîñòîÿíèÿõ.
Ðèñ. 3.2: Ðàäèàëüíàÿ çàâèñèìîñòü öåíòðàëüíîé, íåçàâèñÿùåé îò ñïèíà, (V c ) è ñïèíîâîé (V σ ) ÷àñòåé ïîòåíöèàëà ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ.
ÿäåð B (ñîãëàñíî òàáëèöàì [278]), ýíåðãèè ãèïåðÿäåð BΛ (èç òàáëèö ðàáîòû [12]), à òàêæå ñðåäíåêâàäðàòè÷íûå çàðÿäîâûå ðàäèóñû ÿäåð Rch , íàéäåííûå èç ýëåêòðîìàãíèòíûõ ýêñïåðèìåíòîâ (èç îáçîðà [279]). Êàê ïîêàçûâàåò ñðàâíåíèå âû÷èñëåííûõ çíà÷åíèé ýíåðãèé ñâÿçè ãèïåðÿäåð ñ ýêñïåðèìåíòîì ðàñõîæäåíèå ëåæèò â ïðåäåëàõ îøèáîê ýêñïåðèìåíòîâ. Äîñòàòî÷íî õîðîøî ñîãëàñóþòñÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì è âû÷èñëåííûå ýíåðãèè ñâÿçè è ðàçìåðû ÿäåð îñòîâîâ ãèïåðÿäåð. Èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿåò ëèøü ýíåðãèÿ ñâÿçè ÿäðà 4 He, ãäå îòêëîíåíèå îò ýêñïåðèìåíòà ñâÿçàíî ñ íåäîñòàòî÷íûì ñîâåðøåíñòâîì èñïîëüçóåìîãî N N -ïîòåíöèàëà. Ðàññ÷èòàííûå ñå÷åíèÿ Λp-ðàññåÿíèÿ â ïðåäåëàõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ îøèáîê ñîãëàñóþòñÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì [2], êàê ýòî âèäíî íà ðèñ. 3.3 äëÿ ïîëíûõ ñå÷åíèé Λp-ðàññåÿíèÿ â çàâèñèìîñòè îò èìïóëüñà Λ-÷àñòèöû â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå è äëÿ óãëîâûõ ðàñïðåäåëåíèé
74
Òàáëèöà 3.1: Ýíåðãèè ñâÿçè è ðàçìåðû ëåãêèõ ãèïåðÿäåð (A 6 5) è ÿäåð îñòîâîâ*) 3H 3H 4H 4 H∗ 3 He 4 He 4 He∗ 4 He 5 He H Λ Λ Λ Λ Λ Λ calc BΛ 0.146(7) 2.03(2) 0.93(2) 2.44(6) 1.23(2) 3.19(6) exp BΛ 0.13(5) 2.04(11) 1.00(12) 2.39(3) 1.21(5) 3.12(2) calc B 2.226 8.46 7.77 29.51 exp B 2.224 8.48... 7.719 28.29 Rp 1.98 3.21 1.66 1.72 1.81 1.69 1.71 1.79 1.47 1.51 Rn 1.98 3.23 1.66 1.74 1.83 1.66 1.71 1.79 1.47 1.51 RΛ 4.53 2.13 2.46 2.03 2.30 1.77 exp Rch 2.095 1.65(6) 1.67(6) 1.50(4) Ýíåðãèè B è BΛ âûðàæåíû â ÌýÂ, ðàññòîÿíèÿ Rp, Rn, RΛ, Rch â ôì. 2
*)
Ðèñ. 3.3: Ïîëíîå ñå÷åíèå Λp-ðàññåÿíèÿ
F/B è P/E , ñîîòâåòñòâåííî ðèñ. 3.4 è ðèñ. 3.5.  äîïîëíåíèå ê òàáë. 3.1 â òàáë. 3.2 ïðèâåäåíû ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ïîëíîé êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ãèïåðÿäåð Λ3 H, Λ4 H, Λ4 He è Λ5 He, à òàêæå ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ np, nn, pp, nΛ è pΛ, è ñðåäíåå çíà÷åíèå êóëîíîâñêîé ýíåðãèè hV Coul i.  òàáëèöå 3.3 â äîïîëíåíèå ê òàáë. 3.1 äàíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ äëÿ ãèïåðÿäåðíûõ è ñîîòâåòñòâóþùèõ ÿäåðíûõ ñèñòåì ñðåäíåêâàäðàòè÷íûõ ðàññòîÿíèé ìåæäó íåéòðîíàìè (Rnn ), ìåæäó ïðîòîíàìè (Rpp ), ìåæäó íåéòðîíîì è ïðîòîíîì (Rnp ), ìåæäó íåéòðîíîì è Λ-÷àñòèöåé (RnΛ ), ìåæäó ïðîòîíîì è Λ-÷àñòèöåé (RpΛ ). Êðîìå òîãî, ïðèâåäåíû ñðåäíåêâàäðàòè÷íûå ðàññòîÿíèÿ íåéòðîíîâ îò öåíòðà îñòîâà Rn0 , è àíàëîãè÷íûå ðàññòîÿíèÿ äëÿ ïðîòîíîâ Rp0 , à òàêæå ðàññòîÿíèÿ îò Λ-÷àñòèöû äî öåíòðà îñòîâà RΛ0 . Êàê âèäíî èç òàáë. 3.1, ñðåäíåêâàäðàòè÷íûé ðàäèóñ Rp óáûâàåò ñ ðîñòîì A êàê äëÿ ÿäåð, òàê è äëÿ ãèïåðÿäåð, ïðè ýòîì äëÿ ãèïåðÿäåð îí ìåíüøå äëÿ èçîáàðîâ ñ áîëüøèì 75
Ðèñ. 3.4: Óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå F/B Λp-ðàññåÿíèÿ
Ðèñ. 3.5: Óãëîâîå ðàñïðåäåëåíèå P/E Λp-ðàññåÿíèÿ
Òàáëèöà 3.2: Ñðåäíèå çíà÷åíèÿ êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè â ÌýÂ*) Ãèïåðÿäðî 3 ΛH 4 ΛH 4 Λ He 5 Λ He *)
hHi -2.36 -10.44 -10.09 -32.55
hT i 19.82 57.97 59.06 109.04
hV i -22.18 -68.41 -69.16 -141.60
hVpn i -18.11 -18.63 -18.65 -21.17
hVpp i -18.54 -21.01
hVnn i -18.50 -21.19
hVnΛ i hVpΛ i hVppCoul i -2.17 -1.90 -4.00 -4.65 -4.25 -4.90 0.74 -3.89 -3.87 0.79
Ðàñ÷åòû ïðè ÷èñëå ïðîáíûõ ôóíêöèé n = 500.
Z , à äëÿ ÿäåð ñ ìåíüøèì Z . Àíàëîãè÷íîå ñïðàâåäëèâî è äëÿ Rn , ïðè ýòîì Rp > Rn äëÿ ÿäåð è Rp 6 Rn äëÿ ãèïåðÿäåð, à RΛ çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò Rp è Rn . Ðàäèóñ Λ-îðáèòû îñîáåííî âåëèê ó 3Λ H. Êàê âèäíî èç òàáë. 3.3, äîáàâëåíèå Λ-÷àñòèöû ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ Rpn , Rnn è Rpp ,
76
Òàáëèöà 3.3: Ãåîìåòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ãèïåðÿäåð 1s-îáîëî÷êè è èõ îñòîâîâ*) Ñèñòåìà
Rpn Rnn Rpp RnΛ RpΛ *)
H
3 ΛH
H
4 ΛH
4 ∗ ΛH
3
He
4 Λ He
4 ∗ Λ He
4
He
5 Λ He
3.96
3.55
2.88
2.62
2.67
2.91
2.61
2.66
2.40
2.30
2.88
2.63
2.68
2.41
2.30
2.931
2.62
2.68
2.39
2.31
7.43
3.34
3.76
3.22
3.57
2.69
7.44
3.32
3.75
3.21
3.56
2.69
2
3
Âñå ðàññòîÿíèÿ âûðàæåíû â ôì.
ò.å. ê ñæàòèþ îñòîâà, êîòîðîå íàèáîëåå çíà÷èòåëüíî ó 3Λ H (êîýôôèöèåíò ñæàòèÿ 10.6%) è íàèìåíåå ó 5Λ He (3.1%). Îäíàêî áëàãîäàðÿ ñìåùåíèþ öåíòðà ìàññ ïðè ïåðåõîäå îò ÿäðà ê ñîîòâåòñòâóþùåìó ãèïåðÿäðó Rp âîçðàñòàåò, îñîáåííî ñóùåñòâåííî ó 3Λ H, ÷òî ìîãëî áû ýêñïåðèìåíòàëüíî íàáëþäàòüñÿ â àòîìíîì ñïåêòðå 3Λ H êàê âòðîå áîëüøèé, ÷åì ó 2 H ýôôåêò îáúåìà ÿäðà.
3.3
Ãèïåðÿäðà è êëàñòåðû, ìîäåëü
Λ-îñòîâ
Èìåÿ â ðàñïîðÿæåíèè âîëíîâóþ ôóíêöèÿ äëÿ òðåõ, ÷åòûðåõ è ïÿòè÷àñòè÷íûõ ãèïåðÿäåðíûõ ñèñòåì ìîæíî ïóòåì ñîïîñòàâëåíèÿ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè íóêëîííûìè ñèñòåìàìè ïîëó÷èòü ïðåäñòàâëåíèå î ñâîéñòâàõ òåõ èëè èíûõ ãèïåðÿäåðíûõ ñóáñòðóêòóð, êîòîðûå áóäåì íàçûâàòü êëàñòåðàìè. Ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ΛN -âçàèìîäåéñòâèå ñëàáåå è áîëåå êîðîòêîäåéñòâóþùåå, ÷åì N N -âçàèìîäåéñòâèå, ñëåäóåò ñ÷èòàòü ãëàâíîé ãèïåðÿäåðíîé êëàñòåðíîé ñóáñòðóêòóðîé íóêëîííûé îñòîâ.  ãèïåðòðèòèè ýòî äåéòðîí, â Λ4 H òðèòèé 3 H, â 4 3 5 Λ He ÿäðî He è â Λ He α-÷àñòèöà.  ñòðóêòóðíîé ìîäåëè ãèïåðÿäðà (Λ+îñòîâ) â êà÷åñòâå îäíîé èç õàðàêòåðèñòèê âûäåëåííîñòè îñòîâà êàê íåêîòîðîé êëàñòåðíîé ñóáñòðóêòóðû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü îòíîøåíèå χ ðàññòîÿíèÿ îò Λ-÷àñòèöû äî öåíòðà îñòîâà (íàïðèìåð ñðåäíåêâàäðàòè÷íîãî ðàññòîÿíèÿ RΛ0 ) ê ðàçìåðó îñòîâà (â êà÷åñòâå ðàçìåðà îñòîâà áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå ðàññòîÿíèå îò ïðîòîíà èëè îò íåéòðîíà äî öåíòðà îñòîâà, ñîîòâåòñòâåííî Rp0 è Rn0 ). Äðóãîé âàæíîé õàðàêòåðèñòèêîé ÿâëÿåòñÿ ñæèìàåìîñòü îñòîâà, òî åñòü èçìåíåíèå ðàçìåðîâ îñòîâà ãèïåðÿäðà ïî îòíîøåíèþ ê ðàçìåðó ñîîòâåòñòâóþùåãî ÿäðà, ñðåäíèé êî0 Rp −R0 n . ýôôèöèåíò ñæèìàåìîñòè îñòîâà îïðåäåëèì êàê ξ = 12 (ξp +ξn ), ãäå ξp = Rp p è ξn = RnR−R n ×åì ìåíüøå ξ è ÷åì áîëüøå χ, òåì ÿð÷å ïðîÿâëÿþòñÿ ñâîéñòâà êëàñòåðà êàê ñóá÷àñòèöû. Ó ãèïåðÿäåð Λ3 H, Λ4 H, Λ4 He, Λ5 He ýòè õàðàêòåðèñòèêè ìåíÿþòñÿ â âåñüìà øèðîêèõ ïðåäåëàõ, ñì. òàáë. 3.4. Ïðè ïåðåõîäå îò Λ3 H ê Λ5 He êîýôôèöèåíò ñæèìàåìîñòè ξ óìåíüøàåòñÿ áîëåå, ÷åì â 2.5 ðàçà (îò 10.4% äî 3.9%), íî ïî÷òè âî ñòîëüêî æå ðàç ñòàíîâèòñÿ ìåíüøå îòíî-
77
øåíèå ðàññòîÿíèÿ îò Λ-÷àñòèöû äî îñòîâà ê ðàçìåðàì îñòîâà (îò 4.1 äî 1.6), ñì. òàáë. 3.4. Ïðè ýòîì ñóùåñòâåííî âîçðàñòàåò ýíåðãèÿ ñâÿçè BΛ . Ïðè ðàñ÷åòàõ ýíåðãèè ñâÿçè Λ-÷àñòèöû â ðàìêàõ äâóõòåëüíîé ìîäåëè (Λ+îñòîâ) ïîòåíöèàë âçàèìîäåéñòâèÿ Λ-÷àñòèöû ñ îñòîâîì íàõîäèòñÿ ïóòåì óñðåäíåíèÿ ïîòåíöèàëà ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ ïî ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ íóêëîíîâ â îñòîâå ρ(r): Z VΛO (r) = VΛN (|~r − ~r1 |)ρ(~r1 )d3 r1 + ∆V (r), (3.5) ãäå ∆V (r) ïîïðàâêà çà ñ÷åò ñïèíîâîé è çàðÿäîâîé çàâèñèìîñòè VΛN (ñì. íàïð. [54, 62]). Åñëè íå ó÷èòûâàòü äåôîðìàöèþ îñòîâà Λ-÷àñòèöåé, òî â êà÷åñòâå ρ(r) ñëåäóåò áðàòü ïëîòíîñòü íóêëîíîâ äëÿ ñâîáîäíîãî îñòîâà. Äëÿ òîãî, ÷òîáû èìåòü ïðåäñòàâëåíèå î òî÷íîñòè ìîäåëè Λ+îñòîâ è åå çàâèñèìîñòè îò ìàññû îñòîâà, ðåçóëüòàòû ìîäåëüíûõ ðàñ÷åòîâ BΛ äëÿ âñåõ ãèïåðÿäåð 1s-îáîëî÷êè (Λ3 H, 4 4 5 Λ H, Λ He è Λ He) ñðàâíèâàëèñü ñ òî÷íûìè ðàñ÷åòàìè. Ïðè ýòîì â ìîäåëüíûõ ðàñ÷åòàõ èñïîëüçîâàëèñü ïëîòíîñòè íóêëîíîâ, íàéäåííûå â òî÷íûõ ðàñ÷åòàõ ñîîòâåòñòâóþùèõ ÿäåð (2 H, 3 H, 3 He è 4 He). Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ BΛ ïî ìîäåëè Λ+îñòîâ ïðèâåäåíû â òàáë. 3.4, ãäå îíè îáîçíà÷åíû BΛ0 . Êàê âèäíî èç òàáë. 3.4, çíà÷åíèÿ BΛ0 îêàçûâàþòñÿ çíà÷èòåëüíî çàíèæåííûìè ïî ñðàâíåíèþ ñ òî÷íûì ðàñ÷åòîì BΛ , à Λ3 H âîîáùå îêàçûâàåòñÿ íåñâÿçàííîé ñèñòåìîé. Îäíîé èç ïðè÷èí çàíèæåíèÿ BΛ ìîæíî ñ÷èòàòü íåó÷åò äåôîðìàöèè îñòîâà. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íóêëîíîâ â ãèïåðÿäðå ìîæíî ïîäñ÷èòàòü, ïðîèíòåãðèðîâàâ êâàäðàò ìîäóëÿ òî÷íîé âîëíîâîé ôóíêöèè ãèïåðÿäðà ïî êîîðäèíàòàì Λ-÷àñòèöû, ïîñëå ÷åãî â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (3.5) ìîæíî íàéòè VΛO , à çàòåì BΛ . Ïðè ó÷åòå äåôîðìàöèè îñòîâà Λ-÷àñòèöåé ýíåðãèÿ ñâÿçè Λ-÷àñòèöû BΛ ñòàíîâèòñÿ áîëüøå è ïðèáëèæàåòñÿ ê òî÷íîìó çíà÷åíèþ, ïîäñ÷èòàííîìó äëÿ ãèïåðÿäðà A Λ X êàê ñèñòåìû A-÷àñòèö. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åÒàáëèöà 3.4: Ìîäåëü Λ+îñòîâ. Ýíåðãèè ñâÿçè è ñæèìàåìîñòü îñòîâà Ñèñòåìà
Rp0 , ôì Rn0 , ôì RΛ0 , ôì ξ, %
4 ΛH
4 ∗ ΛH
4 Λ He
4 ∗ Λ He
5 Λ He
1.775
1.507
1.538
1.512
1.544
1.414
1.773
1.515
1.546
1.504
1.535
1.411
7.183
2.959
3.428
2.842
3.209
2.292
10.4
9.5
7.7
10.4
8.5
3.9
0 RΛ Rp0
4.05
1.96
2.22
1.88
2.88
1.62
ÌýÂ
0.47
0.21
0.58
0.30
2.16
ÌýÂ
0.75
0.34
0.96
0.54
2.48
0.15(2)
1.99(2)
0.93(2)
2.37(2)
1.23(2)
3.12(6)
1.490
1.256
1.177
1.266
1.179
1.084
χp = BΛ0 , BΛ00 ,
3 ΛH
BΛ , ÌýÂ η
78
Ðèñ. 3.6: Ïëîòíîñòü íóêëîíîâ â Λ5 He ïðè ðàçëè÷íûõ ôèêñèðîâàííûõ ïîëîæåíèÿõ Λ÷àñòèöû, îáîçíà÷àåò ïîëîæåíèå Λ-÷àñòèöû. Öèôðû íà ëèíèÿõ ñîîòâåòñòâóþò (â óñëîâíûõ åäèíèöàõ) ïëîòíîñòè íóêëîíîâ.
+
òîâ BΛ ïî ìîäåëè Λ+îñòîâ ñ ó÷åòîì äåôîðìàöèè îñòîâà òàêæå ïðèâåäåíû â òàáë. 3.4 è îáîçíà÷åíû BΛ00 . Îäíàêî ó÷åò äåôîðìàöèè îñòîâà îêàçûâàåòñÿ âñå æå íåäîñòàòî÷íûì äëÿ ïîëó÷åíèÿ â ðàìêàõ äâóõòåëüíîé ìîäåëè òî÷íîãî çíà÷åíèÿ ýíåðãèè BΛ , ïîñêîëüêó ñóùåñòâåííûé âêëàä äàåò ýôôåêò êîððåëÿöèè, ò.å. èìååòñÿ çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ íóêëîíîâ ρ îò ïîëîæåíèÿ Λ-÷àñòèöû. ×åì ìåíüøå ðàññòîÿíèå Λ-÷àñòèöû îò öåíòðà îñòîâà, òåì çíà÷èòåëüíåå èñêàæàåòñÿ ρ, â ÷àñòíîñòè è ôîðìà ρ. Õàðàêòåð çàâèñèìîñòè ïëîòíîñòè íóêëîíîâ ρ â îñòîâå îò ïîëîæåíèÿ Λ-÷àñòèöû èëëþñòðèðóåòñÿ íà ðèñ. 3.6 äëÿ Λ5 He è íà ðèñ. 3.7 äëÿ 4 Λ H. Óñðåäíÿÿ ïîòåíöèàë ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ ïî ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ íóêëîíîâ ρ ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì ïîëîæåíèè Λ-÷àñòèöû, ìîæíî, â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (3.5) íàéòè ¾êîððåëÿöèîííûé¿ ïîòåíöèàë âçàèìîäåéñòâèÿ Λ-÷àñòèöû ñ îñòîâîì, Vc . Äëÿ ãèïåðÿäðà Λ5 He çàâèñèìîñòü Vc îò r èçîáðàæåíà íà ðèñ. 3.8, êðèâàÿ 3. Òàì æå, êðèâàÿ 2,
79
Ðèñ. 3.7: Òî æå, ÷òî è íà ðèñ. 3.6, íî äëÿ ñèñòåìû Λ4 H
ïîêàçàí ïîòåíöèàë VO âçàèìîäåéñòâèÿ Λ-÷àñòèöû ñî ñâîáîäíûì îñòîâîì (α-÷àñòèöåé). Vc çíà÷èòåëüíî ãëóáæå, ÷åì VO , è ðàñ÷åò BΛ ïî äâóõòåëüíîé ìîäåëè ïðèâîäèò ê âåëè÷èíå äàæå áîëüøåé, ÷åì ïðè òî÷íîì 5-÷àñòè÷íîì ðàñ÷åòå (4.46 âìåñòî 3.12 äëÿ òî÷íîãî ðàñ÷åòà), òîãäà, êàê VO çàíèæàåò BΛ (2.16 ÌýÂ). Àíàëîãè÷íûé ãðàôèê ñ òàêèìè æå îáîçíà÷åíèÿìè ïðèâåäåí íà ðèñ. 3.9 äëÿ Λ4 H. Äëÿ Λ4 H ðàñ÷åò ñ ïîòåíöèàëîì VO , ñîîòâåòñòâóþùèì íåäåôîðìèðîâàííîìó îñòîâó 3 H, ïðèâîäèò ê ýíåðãèè BΛ0 = 0.47 ÌýÂ, à ñ êîððåëÿöèîííûì ïîòåíöèàëîì Vc ê ýíåðãèè 3.99 ÌýÂ. Àíàëîãè÷íûå ðàñ÷åò, ïðîâîäèâøèåñÿ äëÿ Λ3 H ïîêàçàëè, ÷òî ìîäåëü Λ+îñòîâ äàæå ïðè ó÷åòå äåôîðìàöèè îñòîâà íå ïðèâîäèò ê ñâÿçàííîìó ñîñòîÿíèþ Λ3 H è òðåáóåò óâåëè÷åíèÿ VO íà 49% äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðàâèëüíîãî çíà÷åíèÿ BΛ (0.13 ÌýÂ) áåç ó÷åòà äåôîðìàöèè è íà 24% ïðè ó÷åòå äåôîðìàöèè îñòîâà. Ïðè èñïîëüçîâàíèè æå êîððåëÿöèîííîãî ïîòåíöèàëà BΛ ïîâûøàåòñÿ äî 1.3 ÌýÂ. Îäíàêî âû÷èñëåííàÿ äëÿ ôèêñèðîâàííîãî ïîëîæåíèÿ Λ-÷àñòèöû ïëîòíîñòü ρ è ñîîòâåòñòâóþùèé åé ïîòåíöèàë Vc íå ó÷èòûâàåò òîãî, ÷òî âåðîÿòíîñòü ìåñòîíàõîæäåíèÿ Λ÷àñòèöû ñóùåñòâåííî ìåíÿåòñÿ â çàâèñèìîñòè îò åå ðàññòîÿíèÿ r îò öåíòðà îñòîâà. Ó÷è80
Ðèñ. 3.8: Êëàñòåðíûå ïîòåíöèàëû âçàèìîäåéñòâèÿ αΛ
Ðèñ. 3.9: Êëàñòåðíûå ïîòåíöèàëû âçàèìîäåéñòâèÿ 3 HΛ
81
òûâàþùàÿ ýòî óñðåäíåíèå ïî ïîëîæåíèþ Λ-÷àñòèöû ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íóêëîíîâ ñòàíîâèòñÿ áëèæå ê ñôåðè÷åñêè-ñèììåòðè÷íîé, õîòÿ îíà âñå æå íåñêîëüêî âûòÿíóòà â íàïðàâëåíèè íà Λ-÷àñòèöó.Ñîîòâåòñòâóþùèé ýòîé ïëîòíîñòè óñðåäíåííûé ïîòåíöèàë V 0 (êðèâàÿ 3 íà ðèñ. 3.8 äëÿ Λ5 He è íà ðèñ. 3.9 äëÿ Λ4 H) ìåíåå ãëóáîêèé ÷åì Vc (íî áîëåå ãëóáîêèé, ÷åì VO ). Ðàñ÷åò BΛ ñ ïîòåíöèàëîì V 0 ïðèâîäèò êàê äëÿ Λ5 He, òàê è äëÿ Λ4 H ïðàêòè÷åñêè ê òî÷íîìó çíà÷åíèþ (3.18 Ìý äëÿ Λ5 He è 1.2 Ìý äëÿ Λ4 H), à äëÿ Λ3 H ê ïî÷òè ñâÿçàííîìó ñîñòîÿíèþ. Âñå ýòî äàåò îñíîâàíèå ðàññìàòðèâàòü V 0 êàê íàèáîëåå ðåàëèñòè÷åñêèé ïîòåíöèàë âçàèìîäåéñòâèÿ Λ-÷àñòèöû ñ êëàñòåðîì (îñòîâîì), ó÷èòûâàþùèé êàê äåôîðìàöèþ îñòîâà, òàê è êîððåëÿöèþ â äâèæåíèè íóêëîíîâ è Λ-÷àñòèöû. Îòìåòèì åùå (êàê ýòî âèäíî èç òàáë. 3.4), êàê ñóùåñòâåííûé ôàêò, ÷òî ïðè ïåðåõîäå îò ñàìîãî ëåãêîãî ãèïåðÿäðà (Λ3 H) ê Λ5 He ýôôåêòû äåôîðìàöèè îñòîâà è êîððåëÿöèè îñëàáåâàþò, à òî÷íîñòü ìîäåëè Λ+íåäåôîðìèðîâàííûé îñòîâ âîçðàñòàåò, è åñëè äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðàâèëüíîãî çíà÷åíèÿ BΛ â ñëó÷àå Λ3 H òðåáîâàëîñü óâåëè÷èòü VO íà 49% (èëè, èíà÷å, ââîäèòü äëÿ ïîòåíöèàëà VΛN êîýôôèöèåíò óãëóáëåíèÿ η = 1.49, ñì. òàáë. 3.4), òî äëÿ Λ4 He è Λ4 H äîñòàòî÷íî óâåëè÷èòü VO íà ≈ 25% (η ≈ 1.26), à äëÿ Λ5 He íà 8% (η = 1.084). Ó÷èòûâàÿ ýòî, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî òà æå òåíäåíöèÿ ñîõðàíèòñÿ è äëÿ áîëåå òÿæåëûõ ãèïåðÿäåð. À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìîäåëü Λ+îñòîâ ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ðàñ÷åòà ýíåðãèé ñâÿçè Λ-÷àñòèöû BΛ â òÿæåëûõ ãèïåðÿäðàõ, óãëóáèâ VΛN íà íåñêîëüêî ïðîöåíòîâ. Ïðè ýòîì â êà÷åñòâå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ íóêëîíîâ â îñòîâå ìîæíî èñïîëüçîâàòü íàéäåííûå â ÿäåðíûõ ýêñïåðèìåíòàõ (íàïðèìåð èç ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíîâ è èç ìåçîàòîìíûõ ýêñïåðèìåíòîâ) ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íóêëîíîâ. Íàéäåííûé ïîòåíöèàë V 0 äëÿ Λ5 He ïðîâåðÿëñÿ â ðàñ÷åòå ãèïåðÿäðà Λ9 Be, ðàññìàòðèâàâøåãîñÿ êàê êëàñòåðíàÿ ñèñòåìà α + α + Λ. Ïðè ýòîì â êà÷åñòâå ïîòåíöèàëà ÿäåðíîãî α − α-âçàèìîäåéñòâèÿ áûë èñïîëüçîâàí ïîòåíöèàë Àëè-Áîäìåðà, âàðèàíò d0 [236], à òàêæå ó÷èòûâàëîñü êóëîíîâñêîå âçàèìîäåéñòâèå α-÷àñòèö. Ðàñ÷åò ïîêàçàë, ÷òî ýíåðãèÿ ñâÿçè ýòîé ñèñòåìû ñîñòàâëÿåò 6.48 Ìý áåç ó÷åòà ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäà â α-÷àñòèöå, ÷òî äîñòàòî÷íî áëèçêî ê ýêñïåðèìåíòàëüíîìó çíà÷åíèþ 6.71(4) ÌýÂ.
3.4
Ãèïåðÿäðà
1p-îáîëî÷êè
è òÿæåëûå ãèïåðÿäðà
Ðàñ÷åò ýíåðãèé ñâÿçè ëåãêèõ ãèïåðÿäåð (ãèïåðÿäåð 1s-îáîëî÷êè) Λ3 H, Λ4 H, Λ4 He è Λ5 He â ðàìêàõ äâóõòåëüíîé ìîäåëè Λ+íåäåôîðìèðîâàííûé íóêëîííûé îñòîâ ïîêàçàë, ÷òî òî÷íîñòü ìîäåëè ðàñòåò ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà íóêëîíîâ, è äëÿ Λ5 He îêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íî óãëóáèòü ïîòåíöèàë ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ íà 8% äëÿ ïîëó÷åíèÿ òî÷íîãî çíà÷åíèÿ ýíåðãèè BΛ â ðàìêàõ äâóõòåëüíîé ìîäåëè. Ýòî äàåò îñíîâàíèå ðàññ÷èòûâàòü, ÷òî äëÿ ãèïåðÿäåð òÿæåëåå, ÷åì Λ5 He ýòà ìîäåëü ñìîæåò îáåñïå÷èòü àäåêâàòíîå îïèñàíèå ýíåðãèé ñâÿçè BΛ ïðè èñïîëüçîâàíèè òîãî æå ΛN -ïîòåíöèàëà, êîòîðûé áûë íàéäåí äëÿ Λ5 He ïðè ââåäåíèè â ôîðìóëó (3.1) ôàêòîðà ìîäåëüíîñòè äâóõ÷àñòè÷íîãî (Λ+îñòîâ) ðàñ÷åòà. Íèæå, ïðè ðàñ÷å82
òå êàê ãèïåðÿäåð 1p-îáîëî÷êè, òàê è òÿæåëûõ ãèïåðÿäåð â ðàìêàõ ìîäåëè Λ+îñòîâ áûëî ïðèíÿòî îäíî è òî æå îïòèìàëüíîå çíà÷åíèÿ ôàêòîðà ìîäåëüíîñòè η0 = 1.068. Ïðè ýòîì ïîòåíöèàë ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ (3.1) îñòàåòñÿ ïðåæíèì ñ åäèíñòâåííîé ðàçíèöåé, ÷òî â (3.1) âìåñòî α ââîäèòñÿ ìíîæèòåëü α0 = αη0 = 1.068 ∗ 0.854 = 0.912. Çíà÷åíèÿ âñåõ îñòàëüíûõ ïàðàìåòðîâ â (3.4) îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè. Äëÿ òàêîãî ìîäåëüíî-ïîäêîððåêòèðîâàííîãî ΛN -ïîòåíöèàëà îáúåìíûé èíòåãðàë íåçàâèñèìîé îò ñïèíà ÷àñòè (α0 Vc (r)) ðàâåí ΩΛN = 203 Ìý·ôì3 , à ñðåäíåêâàäðàòè÷íûé ðàäèóñ RΛN = 0.953 ôì 1) Êàê áûëî ïîêàçàíî â ðàáîòàõ [5254, 62], âåëè÷èíû ΩΛN è RΛN òàêîãî ïîðÿäêà îáåñïå÷èâàþò (ïðè èñïîëüçîâàíèè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ î ðàçìåðàõ ÿäåð-îñòîâîâ) îïèñàíèå ýíåðãèé ñâÿçè BΛ ãèïåðÿäåð 1p-îáîëî÷êè è áîëåå òÿæåëûõ ãèïåðÿäåð. Äëÿ ÿäåð 1p-îáîëî÷êè ýêñïåðèìåíòû ïî ðàññåÿíèþ ýëåêòðîíîâ íà ÿäðàõ îáû÷íî èíòåðïðåòèðóþòñÿ ñ ïîìîùüþ îñöèëÿòîðíûõ ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîòîíîâ, êîòîðàÿ â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ èìååò âèä 2 ! 2 r 2 0 r −3/2 −3 0 exp − 2 . (3.6) ρcm = π a1 Zs + Zp 3 a1 a1
Zs0 è Zp0 ñâÿçàíû ñ ÷èñëîì ïðîòîíîâ â 1s-îáîëî÷êå (Zs ) è ÷èñëîì ïðîòîíîâ â 1p-îáîëî÷êå (Zp ) −1 Zp ñîîòíîøåíèÿìè: Zs0 = Zs − A−1 , Zp0 = Zp 1 − A1 [53]. Ïëîòíîñòü æå ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäà 2 2 00 r2 r −3/2 −3 00 ρch = π b Zs + 3 Zp b2 exp − b2 , ãäå b ñâÿçàíî ñî ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì çàðÿäîâûì q 2 2 ðàäèóñîì ïðîòîíà Rp ñîîòíîøåíèåì: b = a1 + 32 Rp2 , à Zs00 = Zs + Zp 1 − ab2 , Zp00 = Zp ab2 è q a1 = a 1 − A1 .  ýëåêòðîìàãíèòíûõ ýêñïåðèìåíòàõ (èç ðàññåÿíèÿ ýëåêòðîíîâ èëè ìåçîàòîìíûõ ñïåêòðîâ) îïðåäåëÿåòñÿ ñðåäíåêâàäðàòè÷íûé çàðÿäîâûé ðàäèóñ Rch , êîòîðûé ñâÿçàí ñ b ñîq Z 00
îòíîøåíèåì Rch = b 32 + Zp . Çíàÿ ýêñïåðèìåíòàëüíîå (íàéäåííîå â ýëåêòðîìàãíèòíûõ exp ýêñïåðèìåíòàõ) çíà÷åíèå çàðÿäîâîãî ðàäèóñà ÿäðà Rch , ìîæíî (ïîäñ÷èòàâ âíà÷àëå a1 ) íàéòè ýíåðãèþ BΛ ñîîòâåòñòâóþùåãî ãèïåðÿäðà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íóêëîíîâ â îñòîâå âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé 2 2 0 r2 r −3/2 −3 0 ρ(r) = π a1 As + Ap 2 exp − 2 , (3.7) 3 a1 a1 −1 Ap ãäå A0s = As − A−1 , A0p = Ap 1 − A1 , As è Ap ÷èñëà íóêëîíîâ â, ñîîòâåòñòâåííî, 1s è 1p-ñîñòîÿíèÿõ. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà BΛcalc ñîäåðæàòñÿ â òàáë. 3.5 â 3åì ñòîëáöå è òàì æå óêàçàíî â êàêèõ exp ïðåäåëàõ èçìåíÿåòñÿ BΛ ïðè ó÷åòå îøèáêè â ýêñïåðèìåíòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ Rch . Ýêñïåexp ðèìåíòàëüíûå çíà÷åíèÿ ñðåäíåêâàäðàòè÷íûõ çàðÿäîâûõ ðàäèóñîâ Rch , çàèìñòâîâàííûå 1)
Ïðè ó÷åòå ìàëîñòè ðàäèóñà äåéñòâèÿ
ñòè â (3.5) ðàçëîæåíèå ïîòåíöèàëà
ΛN -ñèë
ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçìåðàìè ÿäðà ìîæíî ïðîèçâå-
ΛN âçàèìîäåéñòâèÿ RΛN ê ðàäèóñó ÿäðà [52, 54, 62]. VΛO = Ïðè îãðàíè÷åíèèR äâóìÿ ÷ëåíàìè ðàçëîæåíèÿ p R hR2 i 2 3 2 i, hR2n i = VΛN (|~r − ~r1 |)ρ(r1 )d3 r1 ≈ −ΩΛN 1 + ΛN ∇ ρ(r) , ãäå Ω = − V (r)d r , R = hR ΛN ΛN ΛN 6 R
VΛN
ïî ñòåïåíÿì îòíîøåíèÿ ðàäèóñà äåéñòâèÿ ïîòåíöèàëà
2n 3 d r . VΛN (r)d3 r
RVΛN (r)r
83
Òàáëèöà 3.5: Ãèïåðÿäðà 1p-îáîëî÷êè Ãèïåðÿäðî 5 Λ He 6 Λ He 7 Λ Li 7 Λ Be 8 Λ He 8 Λ Li 8 Λ Be 9 Λ Li 9 Λ Be 9 ΛB 10 Λ Be 10 ΛB 11 ΛB 12 ΛB 12 ΛC 13 ΛC 14 ΛC 15 ΛN 16 ΛO
exp Rch 1.6733(10) 2.574(440) 2.4221(1000) 2.4315(431) 2.4171(240) 2.4826(15) 2.4635(35) 2.5556(79)
BΛcalc 2.80(1) (3.01) 2.7±1.7 (4.60) (6.27) 3.7±0.7 (6.27) (8.03) (7.33) (8.03) (8.68) (8.68) 8.9±0.7 10.6±0.4 (10.61) 11.14(3) 13.36(7) 13.34(16) (13.49)
BΛexp 3.12(1) 4.25(10) 5.58(3) 5.16(8) 7.16(70) 6.8(3) 6.84(3) 8.53(15) 6.71(4) 7.88(15) 9.11(22) 8.89(12) 10.24(5) 11.37(6) 10.78(19) 11.69(12) 12.17(33) 13.59(15) 13(2)
calc Rch 1.641(1) 1.859(1) 2.031(2) 2.029(7) 2.09(5) 2.121(2) 2.118(2) 2.203(8) 2.279(3) 2.241(9) 2.273(13) 2.286(7) 2.353(3) 2.378(3) 2.410(11) 2.452(7) 2.524(18) 2.543(7) 2.66(11)
0 Rch 1.887 1.990 2.079 2.079 2.159 2.159 2.159 2.232 2.232 2.232 2.299 2.299 2.361 2.419 2.419 2.474 2.526 2.575 2.622
èç îáçîðà [279], ïðèâåäåíû âî 2îì ñòîëáöå òàáëèöû, à ýêñïåðèìåíòàëüíûå çíà÷åíèÿ BΛexp (èç îáçîðîâ [12,13]), ñ êîòîðûìè ñðàâíèâàëèñü BΛcalc â 4îì ñòîëáöå. Ïðè îòñóòñòâèè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ çíà÷åíèé Rch (åñëè, íàïðèìåð, ÿäðî-îñòîâ ðàäèîàêòèâíî) îíî âû÷èñëÿëîñü 0 ïî ýìïèðè÷åñêîé ôîðìóëå Rch = 0.59 + 0.834A1/3 [280]. Âû÷èñëåííûå ïî ýòîé ôîðìóëå çíà0 ÷åíèÿ Rch ïðèâåäåíû â ïîñëåäíåì ñòîëáöå òàáëèöû, à íàéäåííûå ïî íèì çíà÷åíèÿ BΛcalc â 3åì ñòîëáöå òàáëèöû è çàêëþ÷åíû â ñêîáêè. Ïðè íàõîæäåíèè BΛcalc ïî Rch ó÷èòûâàëàñü ñîáñòâåííàÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ñòðóêòóðà ïðîòîíà è äâèæåíèå öåíòðà ìàññ, à òàêæå âêëàä ñïèíîâûõ ñèë. Ðàñïðåäåëåíèå íåéòðîíîâ è ïðîòîíîâ ïðåäïîëàãàëîñü îäèíàêîâûì, çàðÿäîâàÿ çàâèñèìîñòü ΛN -ñèë íå ó÷èòûâàëàñü. Êàê âèäíî èç òàáë. 3.5, íåñìîòðÿ íà ãðóáîñòü ìîäåëè âû÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ BΛcalc â öåëîì ñîãëàñóþòñÿ ñ BΛexp , çà èñêëþ÷åíèåì ëåãêèõ ãèïåðÿäåð 1p-îáîëî÷êè Λ6 He, Λ7 Li, Λ8 Li, exp 0 îñòîâû êîòîðûõ èìåþò àíîìàëüíî áîëüøèå ðàçìåðû (ñðàâí. Rch è Rch ). Ýòî ñâÿçàíî, î÷åâèäíî, ñ êëàñòåðíîé ñòðóêòóðîé ýòèõ ãèïåðÿäåð, à â ýòîì ñëó÷àå äëÿ ðàñ÷åòà BΛ ìîäåëü Λ+îñòîâ íåïðèãîäíà (èõ ñëåäîâàëî áû ðàññ÷èòûâàòü êàê ñèñòåìû Λαn, Λαnp, ΛαnnΛ). Èç òàáë. 3.5 âèäíî, ÷òî ýíåðãèÿ BΛcalc ìåíÿåòñÿ î÷åíü çíà÷èòåëüíî (íà âåëè÷èíó ïî84
exp â ïðåäåëàõ îøèáîê ýêñïåðèìåíòà. Ýòî áîëåå, ÷åì íà ðÿäêà 1 ÌýÂ) ïðè èçìåíåíèè Rch ïîðÿäîê ïðåâûøàåò ýêñïåðèìåíòàëüíûå îøèáêè â îïðåäåëåíèè BΛ ñ ïîìîùüþ ýìóëüñèîííîé òåõíèêè. Íî â òàêîì ñëó÷àå, èçìåðÿÿ ýíåðãèþ ñâÿçè ãèïåðÿäåð ñ òî÷íîñòüþ ïîðÿäêà 0.1 ÌýÂ, ìîæíî îïðåäåëèòü ðàçìåðû ÿäåð-îñòîâîâ ñ òî÷íîñòüþ, íà ïîðÿäîê âûøå, ÷åì â ýëåêòðîìàãíèòíûõ ýêñïåðèìåíòàõ. Îñîáåííî öåííî òî, ÷òî èñïîëüçóÿ ãèïåðÿäåðíûå èçìåðåíèÿ BΛ , ìîæíî íà îñíîâàíèè ðàñ÷åòîâ îöåíèòü ðàçìåðû ðàäèîàêòèâíûõ ÿäåð, êîãäà îíè ÿâëÿþòñÿ îñòîâàìè ãèïåðÿäåð.  òàáëèöå 3.5 â 5îì ñòîëáöå ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åcalc òà çàðÿäîâûõ ðàäèóñîâ Rch â ñëó÷àå èñïîëüçîâàíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ çíà÷åíèé BΛexp , calc a óêàçàííîå òàì îòêëîíåíèå îò ïðèâîäèìûõ çíà÷åíèé Rch âîçíèêàåò çà ñ÷åò îøèáîê â exp ýêñïåðèìåíòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ BΛ .  ñëó÷àå òÿæåëûõ ãèïåðÿäåð (A > 16) ïðè èíòåðïðåòàöèè ýëåêòðîìàãíèòíûõ ýêñïåðèìåíòîâ íàèáîëåå ðåàëèñòè÷åñêèìè ñ÷èòàþò íå îñöèëÿòîðíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäà (à òàêæå è ðàñïðåäåëåíèÿ íóêëîíîâ), à ïëîòíîñòè ôåðìèåâñêîãî (èëè ìîäèôèöèðîâàííîãî ôåðìèåâñêîãî) òèïà:
−1 r−c ρ(r) = ρ0 1 + exp z 2 −1 r − c2 r2 1 + exp ρ(r) = ρ0 1 + w 2 c z2 −1 r2 r−c ρ(r) = ρ0 1 + w 2 1 + exp c z −1 2 −2 r−c r2 r − c2 ρ(r) = ρ0 1 + exp + w 2 1 + exp z c z2
(I)
(II) (III) (IV)
 òàáë. 3.6 ïðèâåäåíû (çàèìñòâîâàííûå èç îáçîðîâ [279] è [281]) çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ïëîòíîñòè òåõ ÿäåð, äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ãèïåðÿäåð êîòîðûõ èçìåðåíû BΛexp . Ýòî ãèïå208 139 40 51 89 32 ðÿäðà 28 Λ Si, Λ S, Λ Ca, Λ V, Λ Y , Λ La è Λ Pb, êîòîðûå áûëè ïîëó÷åíû â ïîñëåäíèå ãîäû ñ ïîìîùüþ (K − , π − ) è (π + , K + )-ðåàêöèé [1921, 243246]. Ðàñ÷åòû BΛ ïðîèçâîäèëèñü â ñîîòâåòñòâèè ñ äâóõòåëüíîé ìîäåëüþ (Λ+îñòîâ) íå òîëüêî äëÿ îñíîâíûõ (1s) ñîñòîÿíèé 89 139 208 51 32 40 ãèïåðÿäåð 28 Λ Si, Λ S, Λ Ca, Λ V, Λ Y , Λ La è Λ Pb, íî è äëÿ âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé 1p, 1d, 1f .  òàáë. 3.6 ïðèâîäÿòñÿ ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ñ ðàçëè÷íûìè âàðèàíòàìè ïëîòíîñòè çàðÿäà, èñïîëüçîâàâøèåñÿ äëÿ àíàëèçà ýëåêòðîìàãíèòíûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Ïðè ýòîì óêàçàí âàðèàíò ïëîòíîñòè íóêëîíîâ (I, II, III èëè IV). Ïðè ïðîâåäåíèè ðàñ÷åòîâ ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå íåéòðîíîâ òàêîå æå, êàê ïðîòîíîâ.  òàáëèöå â îòäåëüíîé ñòðîêå íèæå ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòîâ BΛcalc ïðèâåäåíû ýêñïåðèìåíòàëüíûå çíà÷åíèÿ BΛexp èç ðàáîò [16, 1921, 243246]. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ BΛcalc ñðàâíèâàþòñÿ â òàáë. 3.6 ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè èçìåðåíèÿìè BΛexp . Ó÷èòûâàÿ äîñòàòî÷íóþ ãðóáîñòü ìîäåëè Λ+îñòîâ è îòñóòñòâèå ñâîáîäíûõ (äîïîëíèòåëüíûõ) ïàðàìåòðîâ â ýòîé ìîäåëè, ñîãëàñèå ìåæäó âû÷èñëåííûìè è ýêñïåðèìåíòàëüíûìè çíà÷åíèÿìè BΛ ñëåäóåò ñ÷èòàòü õîðîøèì. Íåêîòîðîå çàâûøåíèå ðàññ÷èòàííûõ 85
Òàáëèöà 3.6: Òÿæåëûå ãèïåðÿäðà (A > 16) Ãèïåðÿäðî 28 Λ Si 28 Λ Si 28 Λ Si 32 ΛS 32 ΛS 40 Λ Ca 40 Λ Ca 51 ΛV 51 ΛV 51 ΛV 89 ΛY 89 ΛY 89 ΛY 89 ΛY 139 Λ La 139 Λ La 208 Λ Pb 208 Λ Pb 208 Λ Pb 208 Λ Pb 208 Λ Pb
A = 40 ÷ 100 A = 40 ÷ 100
Âàð. ïëîòí.
Ïàðàìåòðû ïëîòíîñòè exp c z w Rch
1s
Ýíåðãèè ñâÿçè 1p 1d
1f
(I)
3.1600
0.5370
3.158
16.41
5.73
(II)
1.9500
2.0860
0.2860
3.122
16.77
5.83
16.6(2)
7.0(2)
18.158
7.282
9.56
0.39
Ýêñïåðèìåíò [20] (II)
2.5400
2.1910
0.1600
3.238
Ýêñïåðèìåíò [245] (III)
3.7660
0.5860
-0.1610
17.5(5) 3.481
Ýêñïåðèìåíò [20]
19.37 18.7±1.1
(I)
3.9400
0.5050
3.583
22.91
13.76
4.23
(I)
3.9100
0.5320
3.617
22.75
13.52
4.00
Ýêñïåðèìåíò [20]
19.9±1.0
(II)
4.4500
2.5260
0.2500
4.240
26.03
18.96
11.08
2.88
(I)
4.7600
0.5710
4.254
26.34
19.14
11.16
2.88
(I)
4.8600
0.5420
4.270
25.37
18.53
10.86
2.84
22.1±1.6
≈ 15.5 22.13 20.1(4) 24.25 23.78 24.25 23.74 21.3(7)
≈9 15.96
≈2 9.15
19.51
14.02
19.17
13.79
19.51
14.01
19.15
13.77
Ýêñïåðèìåíò [20] (I)
5.7100
0.5350
4.849
Ýêñïåðèìåíò [21]
27.42 23.8±1.0
(II)
6.3032
2.8882
0.3379
5.501
28.01
(II)
6.2773
2.9110
0.4345
5.535
27.35
(IV)
6.4745
2.9750
0.3610
5.502
28.01
(IV)
6.4831
3.0319
0.4909
5.539
27.30
Ýêñïåðèìåíò [21]
26.5(5) 20÷26
Ýêñïåðèìåíò [16], à òàêæå [17, 18]
22.8÷26.6
139 çíà÷åíèé BΛcalc ó 89 Λ Y è Λ La ìîæåò áûòü ñâÿçàíî ñ äåôîðìàöèåé îñòîâîâ, ÷òî ïðè ðàñ÷åòå BΛcalc íå ó÷èòûâàëîñü. Ýôôåêò äåôîðìàöèè îñòîâà ìîæåò îêàçàòüñÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèì ââèäó ÷óâñòâèòåëüíîñòè BΛ ê ðàçìåðó îñòîâà è åãî ôîðìå. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíûå ýêñïåðèìåíòû íå ïîçâîëÿþò ñäåëàòü îäíîçíà÷íûé âûâîä â ïîëüçó îïðåäåëåííîãî âèäà ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ íóêëîíîâ è äàæå îäíîçíà÷íî ñäåëàòü âûáîð ïàðàìåòðîâ.  ýòîé ñâÿçè ïðèâëå÷åíèå ãèïåðÿäåðíûõ äàííûõ âåñüìà ïîëåçíî. Âîçìîæíî óäàëîñü áû îòâåòèòü íà âàæíûé âîïðîñ î òîì â êàêîé ñòåïåíè ðàñïðåäåëåíèå íåéòðîíîâ â ÿäðå ñîâïàäàåò ñ ðàñïðåäåëåíèåì ïðîòîíîâ.
86
Ãëàâà 4 Äâîéíûå ãèïåðÿäðà è
ΛΛ-âçàèìîäåéñòâèå 4.1
6 ΛΛ He è ïîòåíöèàë
ΛΛ
âçàèìîäåéñòâèÿ
 íàñòîÿùåå âðåìÿ èçâåñòíî îá èäåíòèôèêàöèè è èçìåðåíèè ýíåðãèè ñâÿçè BΛΛ äëÿ ïÿ11 10 10 13 10 Li) [29] Li (èëè ΛΛ Be) [31], ΛΛ B (èëè ΛΛ Be [26], ΛΛ òè äâîéíûõ ãèïåðäÿåð: ΛΛ6 He [27, 28], ΛΛ 4 32 è ΛΛ Si [30], à òàêæå, âîçìîæíî, íàáëþäàëîñü îáðàçîâàíèå ΛΛ H [32]. Ðåçóëüòàòû èçìå10 Be: BΛΛ = 17.7 ± 0.4 Ìý ñ÷èòàþòñÿ íàèáîëåå äîñòîâåðíûìè, òîãäà ðåíèÿ BΛΛ äëÿ ΛΛ 13 B) = 27.6 ± 0.7 Ìý [31], êàê ââèäó íåîäíîçíà÷íîñòè èäåíòèôèêàöèè çíà÷åíèÿ BΛΛ (ΛΛ 10 32 BΛΛ (ΛΛ Li) = 20.6 ± 1.8 Ìý [29] è BΛΛ (ΛΛ Si) = 38.2 ± 6.3 Ìý [30] ìåíåå íàäåæíû.  ñëó÷àå æå ΛΛ6 He çíà÷åíèå BΛΛ , íàéäåííîå â ðàáîòå [28]: BΛΛ = 7.25 ± 0.2 Ìý ðàñõîäÿòñÿ ñ áîëåå ðàííèì èçìåðåíèåì BΛΛ = 10.9 ± 0.4 Ìý íà 4 ÌýÂ.  ñâÿçè ñ ýòèì íåîáõîäèì ñîâìåñòíûé àíàëèç ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèÿ BΛΛ äëÿ âñåõ äâîéíûõ ãèïåðÿäåð. Ïðîâîäèâøèéñÿ â ðàìêàõ 10 α-êëàñòåðíîé ìîäåëè àíàëèç ýíåðãèé BΛΛ ãèïåðÿäåð ΛΛ6 He è ΛΛ Be ïîêàçàë [100, 155], ÷òî 6 BΛΛ (ΛΛ He) = 10.9 Ìý ãîðàçäî ëó÷øå, ÷åì BΛΛ = 7.25 Ìý ñîîòâåòñòâóåò ýíåðãèè BΛΛ 10 ãèïåðÿäðà ΛΛ Be, õîòÿ îïðåäåëåííûå ðàñõîæäåíèÿ îñòàþòñÿ. Îäíàêî, èñïîëüçîâàâøàÿñÿ αìîäåëü íå áûëà ñîãëàñîâàíà äëÿ ΛΛ6 He ñ ïÿòè è øåñòè-÷àñòè÷íûìè ðàñ÷åòàìè Λ5 He è ΛΛ6 He. Ìåæäó òåì, ðàñ÷åò ΛΛ5 He è ΛΛ6 He êàê, ñîîòâåòñòâåííî, ñèñòåì ïÿòè è øåñòè ÷àñòèö ïîêàçàë [255, 261], ÷òî äîáàâëåíèå ê α-÷àñòèöå îäíîé, à òåì áîëåå äâóõ Λ-÷àñòèö ñóùåñòâåííî ìåíÿåò ñòðóêòóðó îñòîâà ãèïåðÿäðà. Ê òàêîìó æå âûâîäó ïðèâîäÿò è ïðîâåäåííûå íàìè 10 ðàñ÷åòû. Îòìåòèì, ÷òî ðàñ÷åòû ΛΛ6 He è ΛΛ Be â ðàìêàõ ðàçëè÷íûõ ìîäåëåé ïðîâîäèëèñü â ðàáîòàõ [282296]. Èñïîëüçóÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå ïî äâîéíûì ãèïåðÿäðàì è çíàÿ ïîòåíöèàë ΛN âçàèìîäåéñòâèÿ ìîæíî îöåíèòü îòíîñèòåëüíóþ âåëè÷èíó ΛΛ-âçàèìîäåéñòâèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ΛN -âçàèìîäåéñòâèåì. Ïðè ýòîì íàèáîëüøèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ãèïåðÿäðî ΛΛ6 He, ïîñêîëüêó ýòó øåñòè÷àñòè÷íóþ ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç äâóõ ïðîòîíîâ, äâóõ íåéòðîíîâ è äâóõ Λ-÷àñòèö, ìîæíî ðàññ÷èòàòü íå èñïîëüçóÿ êàêèå-ëèáî ìîäåëè. Ðàñ÷åò ΛΛ6 He ïðîèç87
âîäèëñÿ ñ òàêèì æå ΛN -ïîòåíöèàëîì, êàê ïðè ðàñ÷åòå Λ5 He, à N N -ïîòåíöèàë áûë òàêèì æå, êàê ïðè ðàñ÷åòå âñåõ ãèïåðÿäåð 1s-îáîëî÷êè (ñì. (3.3). Êðîìå âåðõíåé îöåíêè ýíåðãèè EU íàõîäèëèñü (òàêæå, êàê ïðè ðàñ÷åòå îáû÷íûõ (îäíî-Λ-÷àñòè÷íûõ) ãèïåðÿäåð) íèæíèå îöåíêè ýíåðãèè ELT è ELQ ñ ÷èñëîì ïðîáíûõ ôóíêöèé n = 50, 100, 200, 300 è 500. Ýòî ïîçâîëèëî íàõîäèòü ïóòåì ýêñòðàïîëÿöèè (ñì. ïàðàãðàô 2.4) çíà÷åíèå ýíåðãèè ñèñòåìû ñ äîñòàòî÷íî âûñîêîé òî÷íîñòüþ. Ðåøåíèåì îáðàòíîé çàäà÷è îòûñêàíèÿ ΛΛ-ïîòåíöèàëà ïðîèçâîäèëîñü â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî îí èìååò òàêóþ æå ôîðìó, êàê ΛN -ïîòåíöèàë V c (r), íî îòëè÷àåòñÿ ëèøü ãëóáèíîé. Åñëè ïðèíÿòü BΛΛ (ΛΛ6 He) = 10.9 Ìý [27], òî ðàñ÷åòû ïðèâîäÿò ê ñîîòíîøåíèþ (4.1)
VΛΛ (r) = 0.84V c (r)
, ãäå V c (r) íåçàâèñÿùàÿ îò ñïèíà ÷àñòü VΛN (r), ñì. (3.1). Ðåçóëüòàòû ïðîâåðî÷íûõ ðàñ÷åòîâ ñ ýòèì ïîòåíöèàëîì âåðõíåé è íèæíåé îöåíîê ïîëíîé ýíåðãèè ñâÿçè (EU , ELT è ELQ ) ñèñòåìû ΛΛ6 He ïîêàçàíû íà ðèñ. 4.1. Íà îñíîâå ýòèõ ðàñ÷åòîâ âåëè÷èíà BΛΛ îöåíèâàåòñÿ êàê BΛΛ (ΛΛ6 He) = (10.83 ± 0.2) ÌýÂ.  òàáë. 4.1 ïðèâåäåíû õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû ΛΛ6 He: ñðåäíåå çíà÷åíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè hT i, ñðåäíåå çíà÷åíèå ïîëíîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè hV i, à òàêæå ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè äëÿ âçàèìîäåéñòâèÿ pn hVpn i, äëÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ïðîòîíîâ hVpp i, äëÿ âçàèìîäåéñòâèÿ íåéòðîíîâ hVnn i, äëÿ Λp-âçàèìîäåéñòâèÿ hVΛp i, äëÿ Λn-âçàèìîäåéñòâèÿ hVΛn i, äëÿ ΛΛ-âçàèìîäåéñòâèÿ hVΛΛ i, äëÿ êóëîíîâñêîé ýíåðãèè hV Coul i. Äîïîëíèòåëüíî äàíû ñðåäíåêâàäðàòè÷íûå ðàññòîÿíèÿ îò öåíòðà ñèñòåìû äëÿ ïðîòîíîâ Rp , äëÿ íåéòðîíîâ Rn , äëÿ Λ-÷àñòèöû RΛ ; óêàçàíû òàêæå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìè Rpn , Rpp , Rnn , RpΛ , RnΛ , RΛΛ , ðàññòîÿíèÿ ïðîòîíîâ, íåéòðîíîâ è Λ-÷àñòèöû îò öåíòðà íóêëîííîãî îñòîâà, ñîîòâåòñòâåííî, Rp0 , Rn0 è RΛ0 . Òàáëèöà 4.1: Õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåìû
Vnn -22.664 Rp 1.446
*)
Vnp -22.682 Rn 1.444 R0 p 1.344
VnΛ -5.285 RΛ 1.461
Vpp -21.732 Rpn 2.193
VpΛ -5.281 Rnn 2.191 R0 n 1.342
VΛΛ -5.708 Rpp 2.197
*) 6 ΛΛ He
VppCoul 0.818 RnΛ 2.275
T V 143.319 -183.100 RpΛ RΛΛ 2.277 2.305 0 RΛ 1.838
Ýíåðãèè ïðèâåäåíû â ÌýÂ, à ðàññòîÿíèÿ â ôì.
Äëÿ óäîáñòâà ñðàâíåíèÿ VΛΛ ñ ïîòåíöèàëîì ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ â îäèíàêîâûõ ñïèíîâûõ ñîñòîÿíèÿõ, ïîòåíöèàë âçàèìîäåéñòâèÿ Λ-÷àñòèö ìåæäó ñîáîé ïðåäñòàâëÿåòñÿ òàêæå â s s âèäå VΛΛ (r) = α0 VΛN (r), ãäå VΛN ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîòåíöèàë âçàèìîäåéñòâèÿ Λ-÷àñòèöû ñ íóêëîíîì â ñîñòîÿíèè ñ àíòèïàðàëëåëüíûìè ñïèíàìè.  ðåçóëüòàòå ðàñ÷åòîâ áûëî íàé88
Ðèñ. 4.1: Ñõîäèìîñòü âåðõíåé è íèæíèõ îöåíîê ýíåðãèè äëÿ ñèñòåìû
6 ΛΛ He
äåíî, ÷òî ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñâÿçè BΛΛ (ΛΛ6 He) ðàâíàÿ 10.9 Ìý ïîëó÷àåòñÿ â øåñòè÷àñòè÷íîì ðàñ÷åòå ïðè çíà÷åíèè α0 = 0.655, ò.å. s VΛΛ (r) = 0.655VΛN (r).
(4.2)
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå äâóõ Λ-÷àñòèö â ñîñòîÿíèè ñ àíòèïàðàëëåëüíûìè ñïèíàìè ïðèìåðíî íà òðåòü ñëàáåå âçàèìîäåéñòâèÿ Λ-÷àñòèöû ñ íóêëîíîì â ñèíãëåòíîì ñîñòîÿíèè. Êàê óæå óïîìèíàëîñü, ñðàâíèòåëüíî íåäàâíî áûëî íàéäåíî íîâîå çíà÷åíèå äëÿ BΛΛ (ΛΛ6 He) [28], êîòîðîå ñîñòàâèëî 7.25 ± 0.19+0.15 −0.11 ÌýÂ. Ïðè ýòîì âåëè÷èíà ∆BΛΛ õàðàêA A X) − 2BΛ (A−1Λ X)) îêàçàëàñü ðàâíîé òåðèçóþùàÿ ΛΛ âçàèìîäåéñòâèå (∆BΛΛ (ΛΛ X) = BΛΛ (ΛΛ 1.01 ± 0.20+0.18 −0.11 ÌýÂ, ÷òî áîëåå, ÷åì â 4 ðàçà, ìåíüøå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷åííîãî Ïðîóçîì [27], êîòîðîå ñîñòàâëÿåò 4.66 ± 0.5 ÌýÂ. Ïðîâåäåííûå ðàñ÷åòû ïîêàçàëè, ÷òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ýíåðãèè ñâÿçè ðàâíîé 7.25 Ìý íåîáõîäèìî, ÷òîáû VΛΛ (r) = 0.12V c (r). (4.3) Ýòî â ïðèáëèçèòåëüíî â 7 ðàç ñëàáåå, ÷åì äëÿ ïîëó÷åíèÿ çíà÷åíèÿ, íàéäåííîãî ðàíåå, ñì. (4.1), íî, òåì íå ìåíåå, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ΛΛ-âçàèìîäåéñòâèå èìååò õàðàêòåð ïðèòÿæåíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî äàæå ïðè îòñóòñòâèè âçàèìîäåéñòâèÿ Λ ÷àñòèö ìåæäó ñîáîé, ýíåðãèÿ ñâÿçè BΛΛ ãèïåðÿäðà ΛΛ6 He äîëæíà áûòü áîëüøå, ÷åì óäâîåííàÿ ýíåðãèÿ ñâÿçè BΛ (Λ5 He) çà ñ÷åò 89
òîãî, ÷òî îñòîâ ãèïåðÿäðà (4 He) â ïðèñóòñòâèè äâóõ Λ-÷àñòèö ñæèìàåòñÿ áîëüøå,÷åì â ïðèñóòñòâèè òîëüêî îäíîé Λ-÷àñòèöû, ÷òî óâåëè÷èâàåò ýíåðãèþ ñâÿçè êàæäîé èç Λ-÷àñòèö. Åñëè ñðàâíèòü ïîòåíöèàë ΛΛ-âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ïîòåíöèàëîì âçàèìîäåéñòâèÿ Λ÷àñòèöû ñ íóêëîíîì â ñîñòîÿíèè ñ àíòèïàðàëëåëüíûìè ñïèíàìè, òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ íîâîé s ýíåðãèè ñâÿçè íåîáõîäèìî, ÷òîáû VΛΛ (r) = 0.095VΛN (r), ò.å. ΛΛ-âçàèìîäåéñòâèå äîëæíî áûòü â 10 ðàç áîëåå ñëàáûì, ÷åì âçàèìîäåéñòâèå ΛN â ñèíãëåòíîì ñîñòîÿíèè.
4.2
Àíàëèç ýíåðãèé ñâÿçè äâîéíûõ ãèïåðÿäåð
Ñîïîñòàâëåíèå ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòîâ äëÿ ΛΛ6 He è Λ5 He ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî ΛΛ6 He ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áîëåå êîìïàêòíóþ ñèñòåìó, ÷åì Λ5 He, â ÷àñòíîñòè â ΛΛ6 He α-êëàñòåð ñæàò çíà÷èòåëüíî ñèëüíåå, ÷åì â Λ5 He (â ΛΛ6 He Rp0 = 1.344 ôì, Rn0 = 1.342 ôì, òîãäà êàê â 0 5 0 Λ He Rp = 1.414 ôì, Rn = 1.411 ôì), à Λ-÷àñòèöû íàõîäÿòñÿ áëèæå ê íóêëîííîìó îñòîâó (RΛ0 = 1.838 ôì â ΛΛ6 He è RΛ0 = 2.292 ôì â Λ5 He).  ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêàåò âîïðîñ íàñêîëüêî øèðîêî èñïîëüçóåìàÿ ìîäåëü ãèïåðÿäðà 6 ΛΛ He êàê ñèñòåìû α + Λ + Λ ñïîñîáíà îïèñàòü ýíåðãèþ ñâÿçè ýòîãî ãèïåðÿäðà. Äëÿ ýòîãî ãèïåðÿäðî ΛΛ6 He áûëî ðàññìîòðåíî êàê òðåõ÷àñòè÷íàÿ êëàñòåðíàÿ ñèñòåìà α + Λ + Λ c ΛΛ-ïîòåíöèàëîì (4.1) è Λα-ïîòåíöèàëîì V 0 , ñîãëàñîâàííûì â ðàìêàõ äâóõòåëüíîé ìîäåëè (Λ+îñòîâ) ñ ýíåðãèåé ñâÿçè Λ5 He (ñì. ðàçäåë 3.3). Ðàñ÷åò òàêîé êëàñòåðíîé ñèñòåìû ïîêàçàë, ÷òî ýíåðãèÿ ñâÿçè ΛΛ6 He îêàçûâàåòñÿ ïî÷òè íà 1 Ìý íèæå, ÷åì ïðè òî÷íîì øåñòè÷àñòè÷íîì ðàñ÷åòå. Îòìåòèì, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè â êà÷åñòâå Λα-ïîòåíöèàëà, ïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèÿ Λ-÷àñòèöû ñ íåäåôîðìèðîâàííîé α-÷àñòèöå, íî ñ óãëóáëåíèåì ΛN -ïîòåíöèàëà íà 8% (ñì. ðàçäåë 3.3) ïîëó÷àåòñÿ ïðàêòè÷åñêè òîò æå ðåçóëüòàò äëÿ BΛΛ (ΛΛ6 He).  ñâÿçè ñ ýòèì ñëåäóåò òàêæå âñïîìíèòü, ÷òî ýíåðãèÿ ñâÿçè Λ9 Be, ðàññìàòðèâàâøåãîñÿ êàê êëàñòåðíàÿ ñèñòåìà α + α + Λ, òàêæå îêàçàëàñü íèæå (ïðèìåðíî íà 0.2 ÷ 0.3 ÌýÂ) ýêñïåðèìåíòàëüíîãî çíà÷åíèÿ (ñì. ðàçäåë 3.3). Ó÷èòûâàÿ âñå ýòî, ìû ââåëè ìîäåëüíîêîððåêòèðîâàííûé (ò.å. ó÷èòûâàþùèé èñïîëüçîâàíèå âìåñòî òî÷íîãî ðàñ÷åòà ìîäåëè 0 0 Λ+îñòîâ) Λα-ïîòåíöèàë VΛα , îòëè÷àþùèéñÿ îò ïîòåíöèàëà VΛα ≡ V 0 1) ìíîæèòåëåì η = 1.015. Åñëè òàêîé Λα-ïîòåíöèàë èñïîëüçîâàòü âìåñòå ñ αα-ïîòåíöèàëîì Àëè-Áîäìåðà (âàðèàíò d0 ), à òàêæå ñ ΛΛ-ïîòåíöèàëîì (4.1) äëÿ ðàñ÷åòà â ðàìêàõ êëàñòåðíîé ìîäå10 ëè ýíåðãèé ñâÿçè ΛΛ Be (êàê ñèñòåìû α + α + Λ + Λ) è Λ9 Be (êàê ñèñòåìû α + α + Λ), òî îíè îêàçûâàþòñÿ íåñêîëüêî çàâûøåííûìè ïî ñðàâíåíèþ ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè çíà÷åíèÿìè. ×òîáû äîñòè÷ü ñîãëàñîâàííîãî îïèñàíèÿ â ðàìêàõ êëàñòåðíîé ìîäåëè êàê ΛΛ6 He, òàê 1)
 êà÷åñòâå ïîòåíöèàëà
0 VΛα
èñïîëüçîâàëñÿ ïîòåíöèàë
V0
(ñì. ðàçäåë 3.3), êîòîðûé ïðè àïïðîêñèìàöèè
åãî ãàóññîâñêèìè ôóíêöèÿìè ïðèîáðåòàåò âèä (â ÌýÂ). 0 VΛα = 61.53 exp(−0.90r2 ) − 90.05 exp(−0.57r2 ) − 20.33 exp(−1.46r2 )
90
10 è ΛΛ Be ïðèìåì â êà÷åñòâå ìîäåëüíî-êîððåêòèðîâàííûõ ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ êëàñòåðíûõ 0 0 0 0 2) ïîòåíöèàëîâ Λα è αα-âçàèìîäåéñòâèÿ VΛα = 1.015VΛα è Vαα = 0.961Vαα , ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà ïðè ðàñ÷åòå â ðàìêàõ êëàñòåðíîé ìîäåëè ýíåðãèÿ BΛΛ (ΛΛ6 He) îêàçûâàåòñÿ ðàâíîé 10 10.4 Ìý (ïðè ýêñïåðèìåíòàëüíîì çíà÷åíèè 10.9 ± 0.5 ÌýÂ), a BΛΛ (ΛΛ Be) ðàâíîé 18.1 9 ÌýÂ, à BΛ (Λ Be) = 9.65 Ìý (ïðè ó÷åòå ðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäà â α-÷àñòèöå â âèäå ãàóññîèäû ñî ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì ðàäèóñîì 1.5 ôì). Êàê ïîêàçàëè ðàñ÷åòû, âàðèàöèÿ â îòíîñèòåëüíî øèðîêîì äèàïàçîíå ôîðìû ΛΛïîòåíöèàëà VΛΛ , ïðè óñëîâèè îïèñàíèÿ ýíåðãèè ñâÿçè BΛΛ (ΛΛ6 He), íå âëèÿåò íà âîçìîæíîñòü ñîãëàñîâàíèÿ ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòîâ êëàñòåðíûõ ãèïåðÿäåðíûõ ñèñòåì. Òàêèì îáðàçîì, íå èìååò çíà÷åíèÿ, èñïîëüçóåòñÿ ëè ïîòåíöèàë VΛΛ â âèäå (4.1) èëè, æå, â âèäå îñëàáëåííîãî ïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèÿ Λ-÷àñòèöû ñ íóêëîíîì â ñîñòîÿíèè ñ àíòèïàðàëëåëüíûìè ñïèíàìè. 13 Êðîìå òîãî, â ñîîòâåòñòâèè ñ ìîäåëüþ 11 B + Λ + Λ áûëà ïîäñ÷èòàíà ýíåðãèÿ BΛΛ (ΛΛ B). 11 Ïîòåíöèàë Λ-îñòîâ ( B) íàõîäèëñÿ ïóòåì óñðåäíåíèÿ ΛN -ïîòåíöèàëà (3.1) (ñ α = 0.854) ïî îñöèëÿòîðíîé ïëîòíîñòè íóêëîíîâ (òàêîé æå, êàê ïðè ðàñ÷åòå 12 Λ B, ñì. ðàçäåë 3.4), à 6 10 ΛΛ-ïîòåíöèàë áûë òàêèì æå, êàê ïðè ðàñ÷åòå ΛΛ He è ΛΛ Be, ò.å. âûðàæàëñÿ ôîðìóëîé (4.1). 13 Ðàñ÷åò ýòîé ñèñòåìû êàê òðåõòåëüíîé (11 B+Λ+Λ) ïðèâåë ê ýíåðãèè ñâÿçè BΛΛ (ΛΛ B) = 23.6 ÌýÂ, ÷òî ïðè ó÷åòå ãðóáîñòè èñïîëüçóåìîé ìîäåëè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðàçóìíîå ñîãëàñèå ñ ýêñïåðèìåíòîì. Îòìåòèì ïðè ýòîì, ÷òî áîëåå òî÷íûé ðàñ÷åò ñèñòåìû ïðèâåë áû ê ïîâûøåíèþ BΛΛ 3) . 13 10 Bè Be, ΛΛ Ðàñ÷èòàííûå â ðàìêàõ êëàñòåðíîé ìîäåëè õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåì ΛΛ6 He, ΛΛ 9 Λ Be ïðèâåäåíû â òàáë. 4.2. 10 Be îêàçûâàåòñÿ ìåíåå êîìïàêòíîé, ÷åì ΛΛ6 He. Òàê Êàê âèäíî èç òàáëèöû 4.2 ñèñòåìà ΛΛ 10 10 Be òàêæå áîëüøå, ÷åì â ΛΛ6 He. Be Rα ïî÷òè âòðîå áîëüøå ÷åì â ΛΛ6 He, a RΛα è RΛ â ΛΛ â ΛΛ 10 Be îñòàåòñÿ ïî÷òè òàêèì æå, êàê â ΛΛ6 He. Íî ðàññòîÿíèå ìåæäó Λ-÷àñòèöàìè â ΛΛ 13 B, ñîãëàñíî ðàñ÷åòàì, ðàññòîÿíèå ìåæäó Λ-÷àñòèöàìè ìåíüøå, ÷åì â ΛΛ6 He, à â  ΛΛ 10 9 ΛΛ Be α-÷àñòèöû áëèæå äðóã ê äðóãó, ÷åì â Λ Be. 32 10 Si. ÑõåLi è ΛΛ Ïî ìîäåëè Λ + Λ+îñòîâ áûëè ðàññ÷èòàíû òàêæå äâîéíûå ãèïåðÿäðà ΛΛ 13 ìà ðàñ÷åòà áûëà òàêàÿ æå, êàê äëÿ ΛΛ B. Ñíà÷àëà íàõîäèëñÿ ïîòåíöèàë Λ-îñòîâ VΛO â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (3.5) ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ íóêëîíîâ òàêîé æå, êàê ïðè 10 32 ðàñ÷åòå BΛ ñîîòâåòñòâóþùåãî Λ-ãèïåðÿäðà (ò.å. Λ9 Li â ñëó÷àå ΛΛ Li è 31Λ Si â ñëó÷àå ΛΛ Si). 2)
Ïîòåíöèàë Àëè-Áîäìåðà (d0 ) â ÌýÂ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàçíîñòü ãàóññîâñêèõ ýêñïîíåíò [236]: 0 Vαα = 500 exp(−0.49r2 ) − 130 exp(−0.225625r2 )
3)
Ïîòåíöèàë âçàèìîäåéñòâèÿ 11 B-Λ âû÷èñëåííûé â ñîîòâåòñòâèè ñ (3.5) ïî ìîäåëè
Λ+îñòîâ,
àïïðîêñè-
ìèðîâàëñÿ äëÿ óïðîùåíèÿ ðàñ÷åòîâ ñóììîé ãàóññîèä è îêàçàëñÿ ðàâíûì (â ÌýÂ)
VΛ11 B = 195.733 exp(−0.386364r2 ) − 19.1282 exp(−0.533464r2 ) − 211.571 exp(−0.32165r2 )
91
Òàáëèöà 4.2: Õàðàêòåðèñòèêè êëàñòåðíûõ ñèñòåì exp , Ìý BΛcalc, Ìý BΛexp, Ìý Rαα RΛα RΛΛ Rα RΛ , Ìý BΛΛ 6 10.40 10.9 ± 0.5 2.062 2.630 0.595 1.649 ΛΛ He 10 Be 18.1 17.7 ± 0.4 3.208 2.610 2.582 1.646 1.786 ΛΛ 13 B 23.6 27.6 1.952 2.546 0.309 1.729 ΛΛ 9 Be 6.65 6.71(4) 3.701 3.097 1.879 2.160 Λ Äëÿ ΛΛ13B â ãðàôå RΛα ïðèâîäèòñÿ ðàññòîÿíèå îò Λ-÷àñòèöû äî îñòîâà, à â ãðàôå Rα ðàññòîÿíèå îò öåíòðà îñòîâà äî öåíòðà âñåé ñèñòåìû calc BΛΛ
*)
*)
*)
Çàòåì ðàññìàòðèâàëàñü òðåõ÷àñòè÷íàÿ ñèñòåìà (8 Li + Λ + Λ â ñëó÷àå äâîéíîãî ãèïåðÿäðà 10 30 32 10 Si + Λ + Λ â ñëó÷àå ΛΛ Si).  ðåçóëüòàòå áûëî íàéäåíî, ÷òî BΛΛ (ΛΛ Li) = 19.7 Ìý ΛΛ Li è 32 ïðè ýêñïåðèìåíòàëüíîì çíà÷åíèè 20.6 ± 1.7 Ìý [29] è BΛΛ (ΛΛ Si) = 37 Ìý ïðè ýêñïåðèìåíòàëüíîì çíà÷åíèè 38.2 ± 6.3 Ìý [30]. Ó÷èòûâàÿ ãðóáîñòü ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè, ñîãëàñèå ìîæíî ñ÷èòàòü õîðîøèì. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ïðèíÿòü äëÿ BΛΛ ãèïåðÿäðà ΛΛ6 He çíà÷åíèå ðàáîòû [27], òî äîñòèãàåòñÿ ïðèìåðíîå ñîãëàñèå ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè çíà÷åíèÿìè BΛΛ âñåõ èçâåñòíûõ äâîéíûõ ãèïåðÿäåð. Åñëè æå ïðèíÿòü äëÿ ΛΛ6 He çíà÷åíèå BΛΛ , íàéäåííîå â ðàáîòå [28], òî íóæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî çíà÷åíèÿ BΛΛ äëÿ îñòàëüíûõ ãèïåðÿäåð ïî-âèäèìîìó íåâåðíû è òðåáóþò ýêñïåðèìåíòàëüíîé ïðîâåðêè.  ëèòåðàòóðå øèðîêî îáñóæäàåòñÿ âîïðîñ î ñòàáèëüíîñòè ïðîñòåéøèõ äâîéíûõ ãèïåðÿäåðíûõ ñèñòåì ΛΛ5 He è ΛΛ5 H, êîòîðûå îáû÷íî ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê òðåõ- ÷àñòè÷íûå ñèñòåìû 3 H + Λ + Λ èëè 3 He + Λ + Λ.  íàñòîÿùåé ðàáîòå áûë ïðîâåäåí àêêóðàòíûé ðàñ÷åò ýòèõ ãèïåðÿäåð êàê ñèñòåì ïÿòè ÷àñòèö ñ ïîòåíöèàëîì ΛΛ-âçàèìîäåéñòâèÿ (4.1), ïîòåíöèàëîì ΛN -âçàèìîäåéñòâèÿ (3.1) (ñ ïàðàìåòðàìè (3.4) ïðè α = 0.927, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ñðåäíåìó çíà÷åíèþ ìåæäó çíà÷åíèåì α äëÿ ñèñòåì ñ A < 5 è äëÿ ñèñòåì ñ A > 5) è ñ N N ïîòåíöèàëîì (3.3). Ýíåðãèÿ ñâÿçè BΛΛ (ΛΛ5 H) îêàçàëàñü ðàâíîé 3.2 ÌýÂ, à BΛΛ (ΛΛ5 He) = 4.0 ÌýÂ, ò.å. áîëüøå, ÷åì ñîîòâåòñòâåííî BΛ ãèïåðÿäåð Λ4 H è Λ4 He è ñëåäîâàòåëüíî ýòè äâîéíûå ãèïåðÿäðà äîëæíû áûòü ñòàáèëüíûìè îòíîñèòåëüíî áàðèîííîãî ðàñïàäà, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî â äâîéíûõ ãèïåðÿäðàõ ΛΛ5 H è ΛΛ5 He â îòëè÷èå îò Λ-ãèïåðÿäåð Λ4 H è Λ4 He ñïèíîâàÿ êîìïîíåíòà ΛN -ñèë íå äàåò âêëàäà. Íàïðîòèâ, ðàñ÷åòû ïîêàçàëè, ÷òî äâîéíàÿ ãèïåðÿäåðíàÿ ñèñòåìà ΛΛ4 H íå äîëæíà áûòü ñòàáèëüíà. Ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà íóêëîíîâ ýíåðãèÿ BΛΛ 206 áûñòðî ðàñòåò è äëÿ 208 Pb + Λ + Λ) îíà äîëæíà ΛΛ Pb ïî îöåíêàì (ïðè ðàñ÷åòå êàê ñèñòåìû áûòü ïîðÿäêà 55 ÌýÂ.
4.3
Ãèïåðÿäðà è ñóïåðÿäðà
Êàê ñëåäóåò èç àíàëèçà ΛΛ-âçàèìîäåéñòâèÿ íà îñíîâå ýíåðãèè ñâÿçè ΛΛ6 He, ΛΛâçàèìîäåéñòâèå íà òðåòü ñëàáåå, ÷åì ΛN -âçàèìîäåéñòâèå, åñëè ñðàâíèâàòü âçàèìîäåéñòâèå 92
â îäèíàêîâûõ (ñèíãëåòíûõ) ñîñòîÿíèÿõ è ïðèíèìàòü â êà÷åñòâå BΛΛ (ΛΛ6 He) çíà÷åíèå 10.9 Ìý [27]. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ìåçîííîé òåîðèè îñëàáëåíèå ΛΛ-âçàèìîäåéñòâèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ΛN âçàèìîäåéñòâèåì ìîæíî ñâÿçàòü ñ òåì, ÷òî â ïîòåíöèàë ΛΛ-âçàèìîäåéñòâèÿ íå âíîñèò âêëàä îáìåí îäèíî÷íûìè êàîíàìè, è ïîòîìó ñ÷èòàòü, ÷òî s s VΛΛ = VΛN − VK .
(4.4)
K -ìåçîí ÿâëÿåòñÿ ïñåâäîñêàëÿðíûì, èìååò ñòðàííîñòü åäèíèöó è èçîñïèí 1/2. Ñîãëàñíî ìåçîííîé òåîðèè ïîòåíöèàë îáìåíà êàîíàìè ñîäåðæèò þêàâñêóþ ýêñïîíåíòó è ÷ëåíû ñïèíîâîé è òåíçîðíîé çàâèñèìîñòè. Óñðåäíåííûé ïî óãëàì ïîòåíöèàë êàîííîãî îáìåíà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå VKc (r) = V0 exp(−µK r)/µK r,
(4.5)
ãäå ïàðàìåòð µK = m~K c , mK ìàññà êàîíà. Ó÷èòûâàÿ ýòî, íàõîäèì µK = 2.523 ôì−1 . V0 ñâÿçàíî ñ êîíñòàíòîé âçàèìîäåéñòâèÿ ñ êàîííûì ïîëåì. Ïàðàìåòð V0 íàõîäèëñÿ èç óñëîâèÿ ñîãëàñîâàíèÿ ñ ýíåðãèåé ñâÿçè äâîéíîãî ãèïåðÿäðà ΛΛ6 He. Ðàñ÷åòû ïîêàçàëè, ÷òî äëÿ ýòîãî V0 äîëæåí ðàâíÿòüñÿ −145 ÌýÂ, à
VK = −57.47
e−2.523r ÌýÂ. r
(4.6)
Îòìåòèì, ÷òî ïðè òàêîì âûáîðå ïîòåíöèàëà ΛΛ-âçàèìîäåéñòâèÿ ñîõðàíÿåòñÿ ñîãëàñî32 10 13 10 Si) òàêîå æå êàê Li è ΛΛ B, ΛΛ Be, ΛΛ âàíèå ñ ýíåðãèÿìè ñâÿçè äðóãèõ äâîéíûõ ãèïåðÿäåð (ΛΛ â ðàçä. 4.2. Ðàññ÷èòàííûå (ïî êëàñòåðíîé ìîäåëè) ýíåðãèè BΛΛ ìåíÿþòñÿ ëèøü â ïðåäåëàõ íåñêîëüêèõ äåñÿòûõ äîëåé ÌýÂ. Ýòî ñâèäåòåëüñòâóåò î íåçàâèñèìîñòè (òî÷íåå ñëàáîé çàâèñèìîñòè) ýíåðãèé ðàññìàòðèâàåìûõ äâîéíûõ ãèïåðÿäåð îò ôîðìû ïîòåíöèàëà VΛΛ . Ïåðåõîäÿ îò ãèïåðÿäåð ê ñóïåðÿäðàì ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü êâàðêîâóþ ñèììåòðèþ ïðè çàìåíå s-êâàðêà íà c èëè b-êâàðê.  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì, ïðè ïåðåõîäå ê î÷àðîâàííûì (c-êâàðêîâûì) ÿäðàì ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îòëè÷èå ìåæäó ïîòåíöèàëîì ΛN è Λ+ c N -âçàèìîäåéñòâèÿ áóäåò ñîñòîÿòü â òîì, ÷òî îáìåí êàîíîì ñëåäóåò çàìåíèòü íà îáìåí D-ìåçîíîì, à êðîìå òîãî ó÷åñòü íàëè÷èå ó Λ+ c -÷àñòèöû ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà, ââèäó ÷åãî ïðè ðàñ÷åòàõ ñóïåðÿäåð íóæíî áóäåò ó÷èòûâàòü äîïîëíèòåëüíîå êóëîíîâñêîå âçàèìîäåéñòâèå. Ïîòåíöèàë îáìåíà D-ìåçîíîì ìîæåò áûòü îïèñàí â ðàìêàõ ìîäåëè êâàðêîâîé ñèììåòðèè àíàëîãè÷íî ïîòåíöèàëó VK ñ êîíñòàíòîé ñâÿçè ñ ïîëåì D-ìåçîíîâ, òàêîé æå, êàê è ñ ïîëåì êàîíîâ, íî ñ ïàðàìåòðîì µD = 9.442 ôì−1 , ñîîòâåòñòâóþùèì ìàññå D-ìåçîíà 1863 ÌýÂ.  ñëó÷àå ñèñòåì ñ Λb -ñóïåðîíîì, ïàðàìåòð µB ðàâåí 27.213 ôì−1 , ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ìàññå B -ìåçîíà 5369.3 ÌýÂ. Ñ ó÷åòîì ñêàçàííîãî áûëè ïðîèçâåäåíû ðàñ÷åòû ñóïåðÿäåðíûõ ñèñòåì 3c He (Λ+ c +p+n), 4 + 4 + 3 4 4 c He (Λc +p+n+n), c Li (Λc +p+p+n), b H (Λb +p+n), b H (Λb +p+n+n) è b He (Λb +p+p+n). 93
Ìåòîä ðàñ÷åòà áûë ïîëíîñòüþ èäåíòè÷åí ðàñ÷åòó ñîîòâåòñòâóþùèõ ãèïåðÿäåð ñ çàìåíîé ïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèÿ ΛN íà ïîòåíöèàëû âçàèìîäåéñòâèÿ Λ+ c N èëè Λb N . Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïðèâåäåíû â òàáëèöå 4.3. Òàáëèöà 4.3: Ýíåðãèè ñâÿçè ñóïåðÿäåð Ñóïåðÿäðî Ýíåðãèÿ ñâÿçè, ÌýÂ
3 c He
4 c He
4 c Li
3 bH
4 bH
4 b He
íå ñâÿçàíà
0.11
íå ñâÿçàíà
0.22
1.54
1.56
Èç-çà êóëîíîâñêîãî îòòàëêèâàíèÿ áîëåå òÿæåëûå î÷àðîâàííûå ñèñòåìû ìîãóò îêàçàòüñÿ íåñâÿçàííûìè, à ýíåðãèè b-êâàðêîâûõ ñèñòåì áóäóò ðàñòè ïðèìåðíî òàê æå, êàê ýíåðãèè ãèïåðÿäåð.
94
Çàêëþ÷åíèå Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â äèññåðòàöèè, òàêîâû: 1. Íà îñíîâå âàðèàöèîííîãî ìåòîäà ðàñ÷åòà ïðîâåäåí àíàëèç ýôôåêòèâíîñòè ðàçëè÷íûõ âàðèàíòîâ íèæíèõ îöåíîê ýíåðãèè äëÿ ñèñòåì íåñêîëüêèõ ÷àñòèö (ELT , ELQ , ELW , ELH ) è ïîêàçàíà âàæíîñòü ñîïîñòàâëåíèÿ âåðõíèõ (EU ) è íèæíèõ (EL ) îöåíîê äëÿ íàõîæäåíèÿ òî÷íîãî çíà÷åíèÿ ýíåðãèè. 2. Ïîêàçàíî, ÷òî â ñëó÷àå êîðîòêîäåéñòâóþùèõ ñèë èìååò ìåñòî ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó ELT è EU , à òàêæå ìåæäó ELQ è EU ïðè èçìåíåíèè ÷èñëà ïðîáíûõ ôóíêöèé n. 3. Ðàçðàáîòàíà ïðîöåäóðà âûñîêîòî÷íûõ ðàñ÷åòîâ EU è EL äëÿ ñèñòåì òðåõ, ÷åòûðåõ, ïÿòè è øåñòè ÷àñòèö è ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ ÿäåðíûõ ñèñòåì ýêñòðàïîëÿöèÿ ELT , ELQ è EU ê n → ∞ îáåñïå÷èâàåò âûñîêóþ òî÷íîñòü îïðåäåëåíèÿ ýíåðãèè ïðè îáúåêòèâíîé îöåíêå ïðåäåëîâ òî÷íîñòè ðàñ÷åòà. 4. Ïðåäëàãàåòñÿ êàðêàñíûé âàðèàíò ïðîáíûõ ôóíêöèé, êîòîðûé äëÿ êóëîíîâñêèõ äâóõöåíòðîâûõ ñèñòåì îáåñïå÷èâàåò ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè ìåòîäàìè âûñîêóþ òî÷íîñòü ïðè íàèìåíüøåé òðóäîåìêîñòè ðàñ÷åòîâ. 5. Ïóòåì ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è áûë íàéäåí ôåíîìåíîëîãè÷åñêèé ΛN -ïîòåíöèàë, êîòîðûé îáåñïå÷èâàåò ïðàâèëüíîå îïèñàíèå ýíåðãåòè÷åñêîé è óãëîâîé çàâèñèìîñòè ñå÷åíèé Λp-ðàññåÿíèÿ è ýíåðãèé ñâÿçè îñíîâíûõ è âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé ãèïåðÿäåð 1s-îáîëî÷êè (Λ3 H, Λ4 H, Λ4 H∗ , Λ4 He, Λ4 He∗ è Λ5 He) â ïðåäåëàõ îøèáîê ýêñïåðèìåíòà. 6. Íà îñíîâå ñîïîñòàâëåíèÿ ðàñ÷åòîâ äâóõ, òðåõ, ÷åòûðåõ è ïÿòè-÷àñòè÷íûõ ãèïåðÿäåð 1s-îáîëî÷êè è ñîîòâåòñòâóþùèõ ÿäåð-îñòîâîâ àíàëèçèðóåòñÿ òî÷íîñòü è óñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòè êëàñòåðíîé ìîäåëè ãèïåðÿäåð è ìîäåëè Λ+îñòîâ. 7.  ðàìêàõ ìîäåëè Λ+îñòîâ ðàññ÷èòûâàþòñÿ áåç ââåäåíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ ïàðàìåòðîâ ýíåðãèè ñâÿçè ãèïåðÿäåð 1p-îáîëî÷êè è òÿæåëûõ ãèïåðÿäåð è ïîêàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâèå ðåçóëüòàòîâ âû÷èñëåíèé ñ ýêñïåðèìåíòîì. 8. Èç óñëîâèÿ ñîãëàñîâàíèÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì ðåçóëüòàòîâ àêêóðàòíûõ øåñòè÷àñòè÷íûõ ðàñ÷åòîâ äâîéíîãî ãèïåðÿäðà ΛΛ6 He íàõîäÿòñÿ õàðàêòåðèñòèêè ïîòåíöèàëà ΛΛâçàèìîäåéñòâèÿ. 95
9. Àíàëèçèðóåòñÿ âîçìîæíîñòü ñîãëàñîâàíèÿ íàéäåííûõ â ðàçëè÷íûõ ýêñïåðèìåíòàõ 10 13 10 32 ýíåðãèé äâîéíûõ ãèïåðÿäåð ΛΛ Be è ΛΛ B (à òàêæå ΛΛ Li è ΛΛ Si) ñ ýíåðãèåé ñâÿçè ãèïåðÿäðà ΛΛ6 He íà îñíîâå åäèíîãî ΛΛ-ïîòåíöèàëà. 10. Íà îñíîâå êâàðêîâîé ñèììåòðèè ïðîãíîçèðóþòñÿ ñâîéñòâà ñóïåðÿäåð. Ïî òåìå äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíî 5 ñòàòåé [221,222,297299], îäèí ïðåïðèíò [300] è 15 òåçèñîâ äîêëàäîâ [275,301314]. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû, âîøåäøèå â äèññåðòàöèþ äîêëàäûâàëèñü íà LII, LIII è LIV ìåæäóíàðîäíûõ ñîâåùàíèÿõ ïî ÿäåðíîé ñïåêòðîñêîïèè è ñòðóêòóðå àòîìíîãî ÿäðà, íà 19-îé Åâðîïåéñêîé êîíôåðåíöèè ïî ïðîáëåìàì ñèñòåì íåáîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòèö â ôèçèêå (The 19th European Conference on Few-Body Problems in Physics), à òàêæå íà ñåìèíàðàõ Ëàáîðàòîðèè òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè ÎÈßÈ, Ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ è ÍÈÈßÔ ÌÃÓ. Àâòîð ãëóáîêî áëàãîäàðåí ñâîåìó íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþ êàíäèäàòó ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê Í. Í. Êîëåñíèêîâó çà ïîìîùü â âûáîðå òåìû, áîëüøóþ ïîìîùü â ðàáîòå è ìíîãî÷èñëåííûå ñòèìóëèðóþùèå îáñóæäåíèÿ. Àâòîð âåñüìà ïðèçíàòåëåí À. Ã. Äîí÷åâó è Â. È. Òàðàñîâó çà ïîìîùü â îñâîåíèè òåõíèêè âàðèàöèîííûõ ðàñ÷åòîâ è â ðåøåíèè äðóãèõ âîçíèêàâøèõ âîïðîñîâ.
96
Ëèòåðàòóðà [1] Eidelman S., Hayes K., Olive K. et al. Review of Particle Physics // Phys. Lett. B. 2004. Vol. 592. Pp. 1+. [2] Alexander G., Karshon U., Shapira A. et al. Study of the Λ - N System in Low-Energy Λ - p Elastic Scattering // Phys. Rev.. 1968. Vol. 173. Pp. 14521460. [3] Sechi-Zorn B., Kehoe B., Twitty J., Burnstein R. A. Low-Energy Λ-Proton Elastic Scattering // Phys. Rev.. 1968. Vol. 175. Pp. 17351740. [4] Gal A., Soper J. M., Dalitz R. H. A shell-model analysis of Λ binding energies for the p-shell hypernuclei. I. Basic formulas and matrix elements for ΛN and ΛN N forces // Ann. Phys.. 1971. Vol. 63. Pp. 53126. [5] Kadyk J. A., Alexander G., Chan J. H. et al. Λp interactions in momentum range 300 to 1500 MeV/c // Nucl. Phys. B. 1971. Vol. 27. Pp. 1322. [6] Bassano D., Chang C. Y., Goldberg M. et al. Lambda-Proton Interactions at High Energies // Phys. Rev.. 1967. Vol. 160. Pp. 12391244. [7] Gjesdal S., Presser G., Steen P. et al. A measurement of the total cross-sections for Λ hyperon interactions on protons and neutrons in the momentum range from 6 GeV/c to 21 GeV/c // Phys. Lett. B. 1972. Vol. 40. Pp. 152156. [8] Eisele F., Filthuth H., F ohlisch W. et al. Elastic Σ± p scattering at low energies // Phys. Lett. B. 1971. Vol. 37. Pp. 204206. [9] Engelmann R., Filthuth H., Hepp V., Kluge E. Inelastic Σ− p-interactions at low momenta // Phys. Lett.. 1966. Vol. 21. Pp. 587589. [10] Dersch U., Akchurin N., Andreev V. A. et al. Total cross section measurements with π − , Σ− and protons on nuclei and nucleons around 600 GeV/c // Nucl. Phys. B. 2000. Vol. 579. Pp. 277312. [11] Anderson K. J., Gelfand N. M., Keren J., Tan T. H. Λ-proton elastic scattering from 1 to 17 GeV/c // Phys. Rev. D. 1975. Vol. 11. Pp. 473477. 97
[12] Juric M., Bohm G., Klabuhn J. et al. A new determination of the binding-energy values of the light hypernuclei (A 6 15) // Nucl. Phys. B. 1973. Vol. 52. Pp. 130. [13] Cantwell T., Davis D. H., Kielczewska D. et al. On the binding energy values and excited states of some A > 10 hypernuclei // Nucl. Phys. A. 1974. Vol. 236. Pp. 445456. [14] Pniewski J., Garbowska-Pniewska K., Kielczewska D. et al. Final-state interactions in the decay of the hypernucleus Λ9 Li and a reappraisal of the binding energies of A = 9 hypernuclei // Nucl. Phys. A. 1985. Vol. 443. Pp. 685690. [15] Dlu zewski P., Garbowska-Pniewska K., Pniewski J. et al. On the binding energy of the 12 Λ C(g.s.) hypernucleus // Nucl. Phys. A. 1988. Vol. 484. Pp. 520524. [16] Lemonne J., Mayeur C., Sacton J. et al. A determination of the Λ-nuclear potential well-depth // Phys. Lett.. 1965. Vol. 18. Pp. 354357. [17] Lagnaux J. P., Lemonne J., Sacton J. et al. The decay of heavy hypernuclei // Nucl. Phys.. 1964. Vol. 60. Pp. 97106. [18] Bhowmik B., Chand T., Chopra D. V., Goyal D. P. Λ-Binding Energies in Heavy Hyperfragments (35 . A . 80) // Phys. Rev.. 1966. Vol. 146. Pp. 703707. [19] Chrien R. E., Pile P. H., Chrien R. E. et al. Studies of hypernuclei by associated production // Nucl. Phys. A. 1988. Vol. 478. Pp. 705712. [20] Pile P. H., Bart S., Chrien R. E. et al. Study of hypernuclei by associated production // Phys. Rev. Lett.. 1991. Vol. 66. Pp. 25852588. 12 28 [21] Hasegawa T., Hashimoto O., Homma S. et al. Spectroscopic study of 10 Λ B, Λ C, Λ Si, 89 139 208 + + Λ Y , Λ La and Λ Pb by the (π ,K ) reaction // Phys. Rev. C. 1996. Vol. 53. Pp. 12101220.
[22] Æîôêà ß., Ìàéëèíã Ë., Ôåòèñîâ Â. Í., Ýðàìæàí Ð. À. Ðàñïàäíûå ñâîéñòâà ãèïåðÿäåð 1p-îáîëî÷êèé. // Ý×Àß. 1991. Ò. 22. Ñ. 12921346. [23] Ìàéëèíã Ë., Ôåòèñîâ Â. Í., Ýðàìæàí Ð. À. Ðàñïàäíûå ñâîéñòâà ãèïåðÿäåð 1pîáîëî÷êèé. II. Áàðèîííûå ðàñïàäû. // Ý×Àß. 1997. Ò. 28. Ñ. 253332. [24] Bedjidian M., Descroix E., Grossiord J. Y. et al. Further investigation of the γ -transitions in Λ4 H and Λ4 He hypernuclei // Phys. Lett. B. 1979. Vol. 83. Pp. 252256. [25] Tamura H., Tanida K., Abe D. et al. Observation of a Spin-Flip M 1 Transition in Λ7 Li // Phys. Rev. Lett.. 2000. Vol. 84. Pp. 59635966. [26] Danysz M., Garbowska K., Pniewski J. et al. Observation of a Double Hyperfragment // Phys. Rev. Lett.. 1963. Vol. 11. Pp. 2932. 98
[27] Prowse D. J. Pp. 782785.
ΛΛ He
6
Double Hyperfragment // Phys. Rev. Lett.. 1966. Vol. 17.
[28] Takahashi H., Ahn J. K., Akikawa H. et al. Observation of a ΛΛ6 He Double Hypernucleus // Phys. Rev. Lett.. 2001. Vol. 87, no. 21. P. 212502. [29] Mondal P., Saha M. An example of a double hypernucleus // Can. J. Phys. 1980. Vol. 58. Pp. 300305. [30] Mondal A. S., Basak A., Kasim M. M. et al. A probable example of a nonmesonic double hypernucleus // Nuovo Cim. A. 1975. Vol. 28. Pp. 4250. [31] Aoki S., Bahk S. Y., Chung K. S. et al. Direct Observation of Sequential Weak Decay of a Double Hypernucleus // Prog. Theor. Phys.. 1991. Vol. 85. Pp. 12871298. [32] Ahn J. K., Ajimura S., Akikawa H. et al. Production of Phys. Rev. Lett.. 2001. Vol. 87, no. 13. P. 132504.
4 ΛΛ H
Hypernuclei //
[33] Neudatchin V. G., Obukovskii I. T., Smirnov Y. F. A nonrelativistic potential model with forbidden states for the nucleon-nucleon interaction at small distances // Phys. Lett. B. 1973. Vol. 43. Pp. 1316. [34] Neudatchin V. G., Obukhovsky I. T., Kukulin V. I., Golovanova N. F. Attractive potential with forbidden states for the N-N interaction // Phys. Rev. C. 1975. Vol. 11. Pp. 128136. [35] Brueckner K. A., Watson K. M. Nuclear Forces in Pseudoscalar Meson Theory // Phys. Rev.. 1953. Vol. 92. Pp. 10231035. [36] Charap J. M., Fubini S. P. The eld theoretic de nition of potential // Nuovo Cim. 1959. Vol. 14. Pp. 540559. [37] Nagels M. M., Rijken T. A., de Swart J. J. Baryon-baryon scattering in a one-bosonexchange-potential approach. I. Nucleon-nucleon scattering // Phys. Rev. D. 1975. Vol. 12. Pp. 744758. [38] Nagels M. M., Rijken T. A., de Swart J. J. Baryon-baryon scattering in a one-bosonexchange-potential approach. II. Hyperon-nucleon scattering // Phys. Rev. D. 1977. Vol. 15. Pp. 25472564. [39] Nagels M. M., Rijken T. A., de Swart J. J. Baryon-baryon scattering in a oneboson-exchange-potential approach. III. A nucleon-nucleon and hyperon-nucleon analysis including contributions of a nonet of scalar mesons // Phys. Rev. D. 1979. Vol. 20. Pp. 16331645. 99
[40] Nagels M. M., Rijken T. A., de Swart J. J. Low-energy nucleon-nucleon potential from Regge-pole theory // Phys. Rev. D. 1978. Vol. 17. Pp. 768776. [41] Maessen P. M. M., Rijken T. A., de Swart J. J. Soft-core baryon-baryon one-bosonexchange models. II. Hyperon-nucleon potential // Phys. Rev. C. 1989. Vol. 40. Pp. 22262245. [42] Rijken T. A., Stoks V. G. J., Yamamoto Y. Soft-core hyperon-nucleon potentials // Phys. Rev. C. 1999. Vol. 59. Pp. 2140. [43] Rijken T. A. Recent Nijmegen soft-core hyperon-nucleon and hyperon-hyperon interactions // Nucl. Phys. A. 2001. Vol. 691. Pp. 322c328c. [44] Holzenkamp B., Holinde K., Speth J. A meson exchange model for the hyperon-nucleon interaction // Nucl. Phys. A. 1989. Vol. 500. Pp. 485528. [45] Reuber A., Holinde K., Speth J. Meson-exchange hyperon-nucleon interactions in free scattering and nuclear matter // Nucl. Phys. A. 1994. Vol. 570. Pp. 543579. [46] Dalitz R. H., von Hippel F. Electromagnetic Λ − Σ0 mixing and charge symmetry for the Λ-Hyperon // Phys. Lett.. 1964. Vol. 10. Pp. 153157. [47] Downs B. W. Particle mixing and the breaking of charge symmetry in the Λ − N interaction // Nuovo Cim. A. 1966. Vol. 43. Pp. 454467. [48] Èâàíåíêî Ä. Ä., Êîëåñíèêîâ Í. Í. Ýíåðãèè ñâÿçè ãèïåðÿäåð // ÆÅÒÔ. 1956. Ò. 30. Ñ. 800801. [49] Dalitz R. H., Downs B. W. Remarks on the Hypertriton // Phys. Rev.. 1958. Vol. 110. Pp. 958965. [50] Dalitz R. H., Downs B. W. Hypernuclear Binding Energies and the Λ-Nucleon Interaction // Phys. Rev.. 1958. Vol. 111. Pp. 967986. [51] Êîëåñíèêîâ Í. Í., ×åðíîâ Ñ. Ì. ΛN -ïîòåíöèàë èç ñîâìåñòíîãî àíàëèçà ãèïåðÿäåð è Λp-ðàññåÿíèÿ. // ßÔ. 1976. Ò. 23. Ñ. 960969. [52] Êîëåñíèêîâ Í. Í. Ãèïåðîí-íóêëîííûå è ãèïåðîí-ãèïåðîííûå ñèëû èç àíàëèçà ñâîéñòâ ãèïåðÿäåð // Êàîí-ÿäåðíîå âçàèìîäåéñâòèå è ãèïåðÿäðà. Ìîñêâà: Íàóêà, 1977. Ñ. 5753. [53] Êîëåñíèêîâ Í. Í., Êîïûëîâ Â. À., Êðîõèí Í. Â., Òàðàñîâ Â. È. Âëèÿíèå ôîðìû ΛN -ïîòåíöèàëà íà åãî ýôôåêòèâíîñòü // Èçâ. ÂÓÇîâ. Ôèçèêà. 1979. 4. Ñ. 128.
100
[54] Êîëü÷óæêèí À. Ì., Êîëåñíèêîâ Í. Í. Ôåíîìåíîëîêè÷åñêèé àíàëèç ýíåðãèé ñâÿçè ãèïåðÿäåð. // Èçâ. ÂÓÇîâ. Ôèçèêà. 1963. 4. Ñ. 1925. [55] Êîëåñíèêîâ Í. Í., Òàðàñîâ Â. È. Λ3 H è ðîëü ñïèíîâûõ ñèë â ΛN -âçàèìîäåéñòâèè // Èçâ. ÂÓÇîâ. Ôèçèêà. 1977. 7. Ñ. 98103. [56] Herndon R. C., Tang Y. C. Phenomenological Λ-Nucleon Potentials from S-Shell Hypernuclei. I. Dependence on Hard-Core Size // Phys. Rev.. 1967. Vol. 153. Pp. 10911099. [57] Herndon R. C., Tang Y. C. Phenomenological Λ-Nucleon Potentials from s-Shell Hypernuclei. II. Dependence on Intrinsic Range // Phys. Rev.. 1967. Vol. 159. Pp. 853861. [58] Herndon R. C., Tang Y. C. Phenomenological Λ-Nucleon Potentials from S-Shell Hypernuclei. III. Dependence on Potential Shape // Phys. Rev.. 1968. Vol. 165. Pp. 10931095. [59] Tang Y. C., Herndon R. C. Form factors of 3 H and 4 He with repulsive-core potentials // Phys. Lett.. 1965. Vol. 18. Pp. 4245. [60] Bodmer A. R. Hypertriton with S 0 State and the Λ − N Interaction // Phys. Rev.. 1966. Vol. 141. Pp. 13871397. [61] Êîëåñíèêîâ Í. Í., Òàðàñîâ Â. È., Êîëåñîâ Â. À. Îäíî÷àñòè÷íûå âîçáóæäåíèÿ ãèïåðÿäåð // Èçâ. ÂÓÇîâ. Ôèçèêà. 1980. 4. Ñ. 3337. [62] Êîëåñíèêîâ Í. Í., Àìàðàñèíãàì Ä., Òàðàñîâ Â. È. Êóëîíîâñêàÿ ýíåðãèÿ ãèïåðÿäåð è çàðÿäîâàÿ çàâèñèìîñòü ΛN -ñèë // ßÔ. 1982. Ò. 35. Ñ. 3242. [63] Gal A., Soper J. M., Dalitz R. H. A shell-model analysis of Λ binding energies for the pshell hypernuclei. II. Numerical Fitting, Interpretation, and Hypernuclear Predictions // Ann. Phys.. 1972. Vol. 72. Pp. 445488. [64] Gal A., Soper J. M., Dalitz R. H. A shell-model analysis of Λ binding energies for the p-shell hypernuclei. III. Further analysis and predictions // Ann. Phys.. 1978. Vol. 113. Pp. 7997. [65] Millener D. J., Gal A., Dover C. B., Dalitz R. H. Spin dependence of the ΛN eective interaction // Phys. Rev. C. 1985. Vol. 31. Pp. 499509. [66] Flocard H., Vautherin D. Generator coordinate calculations of monopole and quadrupole vibrations with Skyrme's interaction // Phys. Lett. B. 1975. Vol. 55. Pp. 259262.
101
[67] Laskar W. Few-nucleon reactions with central forces // Ann. Phys.. 1962. Vol. 17. Pp. 436473. [68] Thompson D. R., Tang Y. C. Exchange Processes in n + α Scattering // Phys. Rev. C. 1971. Vol. 4. Pp. 306317. [69] Mang H. J., Wild W. Zum Drei und Vierk orperproblem der Kernphysic // Zeitsch. Phys. 1959. Vol. 154. Pp. 182217. [70] Folk R. T. Improved independent-pair method for few-nucleon problems // Bull. Amer. Phys. Soc. 1965. Vol. 10. P. 112. [71] Hartree D. R. The Wave Mechanics of an Atom with a Non-Coulomb Central Field. Part I. Theory and Methods // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1927. Vol. 24. Pp. 89110. [72] Hartree D. R. The Wave Mechanics of an Atom with a Non-Coulomb Central Field. Part II. Some Results and Discussion // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1927. Vol. 24. Pp. 111132. [73] Fock V. Approximate Method of Solution of the Problem of Many Bodies in Quantum Mechanics // Z. Phys. 1930. Vol. 61. Pp. 126148. [74] Õàðòðè Ä. Ðàñ÷åòû àòîìíûõ ñòðóêòóð. Ìîñêâà: Èçäàòåëüñòâî èíîñòðàííîé ëèòåðàòóðû, 1960. 271 ñ. [75] Fischer C. F., Brage T., J onsson P. Computational Atomic Structure: An MCHF Approach. Bristol: Institute of Physics, 1997. 313 pp. [76] Volkov A. B. Equilibrium deformation calculations of the ground state energies of 1p shell nuclei // Nucl. Phys.. 1965. Vol. 74. Pp. 3358. [77] Bouten M., van Leuven P., Depuydt H., Schotsmans L. Projected hartree-fock calculation for light nuclei (I). Energies and wave functions // Nucl. Phys. A. 1967. Vol. 100. Pp. 90104. [78] Gibson B. F., Goldberg A., Weiss M. S. Hartree-Fock Calculation of Helium Hypernuclear Binding Energies // Phys. Rev.. 1969. Vol. 181. Pp. 14861493. [79] Boeker E. Hartree-Fock calculations in light nuclei // Nucl. Phys. A. 1967. Vol. 91. Pp. 2743. [80] Zabolitzky J. G. Triple self consistent solution of the three-particle Bethe-Faddeev and Brueckner-Hartree-Fock equations // Phys. Lett. B. 1973. Vol. 47. Pp. 487490. [81] Ôàääååâ Ë. Ä. Òåîðèÿ ðàññåÿíèÿ äëÿ ñèñòåìû òðåõ ÷àñòèö // ÆÝÒÔ. 1960. Ò. 34. Ñ. 14591467. 102
[82] Lippmann B. A., Schwinger J. Variational Principles for Scattering Processes. I // Phys. Rev.. 1950. Vol. 79. Pp. 469480. [83] Sch utte G. The Lippmann-Schwinger equation for nuclear scattering // Nucl. Phys. A. 1969. Vol. 126. Pp. 513528. [84] Ôàääååâ Ë. Ä. Ìàòåìàòè÷åñêèå âîïðîñû êâàíòîâîé òåîðèè ðàññåÿíèÿ // Òð. ÌÈÀÍ. 1963. Ò. 69. Ñ. 122. [85] Weinberg S. Systematic Solution of Multiparticle Scattering Problems // Phys. Rev.. 1964. Vol. 133. Pp. B232B256. [86] Êîìàðîâ Â. Â., Ïîïîâà À. Ì. Çàäà÷à 4-õ òåë ïðè ìàëûõ ýíåðãèÿõ // ÆÝÒÔ. 1964. Ò. 46. Ñ. 21122125. [87] ßêóáîâñêèé Î. À. Îá èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèÿõ òåîðèè ðàññåÿíèÿ N ÷àñòèö // ßÔ. 1967. Ò. 5. Ñ. 13121319. [88] Bhatt S. C., Levinger J. S., Harms E. Trinucleon energy using the unitary pole approximation to Reid's soft core potential // Phys. Lett. B. 1972. Vol. 40. Pp. 23 26. [89] Braudenburg R. A., Kim Y. E., Tubis A. Trinucleon properties from a complete solution of the Faddeev equations with the reid soft-core potential // Phys. Lett. B. 1974. Vol. 49. Pp. 205208. [90] Schick L. H., Hetherington J. H. Low-Energy Λ-p Scattering and the Hypertriton Binding Energy with Sums of Separable Potentials // Phys. Rev.. 1967. Vol. 156. Pp. 1602 1610. [91] Arnold L. G., Bagchi B., Mulligan B. Comparison of two-term separable Λ-N potentials // Phys. Rev. C. 1978. Vol. 17. Pp. 12051209. [92] Øìèä Ý., Öèãåëüìàí Õ. Ïðîáëåìà òðåõ òåë â êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Ìîñêâà: Íàóêà, 1979. 172 ñ. [93] Narumi H., Ogawa K. Λ-nucleon potential and binding energy of the hypertriton // Lett. Nuovo Cim. 1979. Vol. 26. Pp. 294296. [94] Kamada H., Gl ockle W. Solutions of the Yakubovsky equations for four-body model systems // Nucl. Phys. A. 1992. Vol. 548. Pp. 205226. [95] Êâèöèíñêèé À. À., Êóïåðèí Þ. À., Ìåðêóðüåâ Ñ. Ï. è äð. Êâàíòîâàÿ çàäà÷à N -òåë â êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå // Ý×Àß. 1986. Ò. 17. Ñ. 267317.
103
[96] Chen C. R., Payne G. L., Friar J. L., Gibson B. F. Low-energy nucleon-deuteron scattering // Phys. Rev. C. 1989. Vol. 39. Pp. 12611268. [97] Miyagawa K., Gl ockle W. Hypertriton calculation with meson-theoretical nucleon-nucleon and hyperon-nucleon interactions // Phys. Rev. C. 1993. Vol. 48. Pp. 25762584. [98] Miyagawa K., Kamada H., Gl ockle W., Stoks V. Properties of the bound Λ(Σ)N N system and hyperon-nucleon interactions // Phys. Rev. C. 1995. Vol. 51. Pp. 29052913. [99] Cobis A., Jensen A. S., Fedorov D. V. The simplest strange three-body halo // J. Phys. G. 1997. Vol. 23. Pp. 401421. 10 [100] Ôèëèõèí È. Í., ßêîâëåâ Ñ. Ë. Ñèñòåìû ΛΛ6 He è ΛΛ Be â òðåõ÷àñòè÷íîé êëàñòåðíîé ìîäåëè íà îñíîâå äèôôåðåöèàëüíûõ óðàâíåíèé Ôàääååâà // ßÔ. 2000. Ò. 63. Ñ. 402408.
[101] Ôèëèõèí È. Í., ßêîâëåâ Ñ. Ë. Ðàñ÷åò ýíåðãèè ñâÿçè è õàðàêòåðèñòèê íèçêîýíåðãåòè÷åñêîãî ðàñåÿíèÿ â ñèñòåìå Λnp // ßÔ. 2000. Ò. 63. Ñ. 278284. [102] ßêîâëåâ Ñ. Ë., Ôèëèõèí È. Í. Ðàñ÷åò ñîñòîÿíèé ðàññåÿíèÿ â ñèñòåìå n-3 H íà îñíîâå óðàâíåíèé äëÿ êîìïîíåíò ßêóáîâñêîãî â êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå // ßÔ. 1995. Ò. 58. Ñ. 817828. [103] Halderson D. W., Goldhammer P. Reaction matrix calculation of 4 He with three- and four-particle correlations // Phys. Rev. C. 1977. Vol. 15. Pp. 394403. [104] Adhikari S. K. Minimal four-body equations // Phys. Rev. C. 1978. Vol. 17. Pp. 903915. [105] Zickendraht W. A con guration space approach to the nuclear four-body problem // Ann. Phys.. 1978. Vol. 111. Pp. 162200. [106] Tjon J. A. Bound-State Calculations of 4 He with the Reid Soft-Core Interaction // Phys. Rev. Lett.. 1978. Vol. 40. Pp. 12391242. [107] Ôèëèõèí È. Í., ßêîâëåâ Ñ. Ë. ßäðî Ò. 63. Ñ. 409418.
16
O â êëàñòåðíîé ìîäåëè 4α // ßÔ. 2000.
[108] Ôèëèõèí È. Í. Êëàñòåðíàÿ ìîäåëü Λααα äëÿ ãèïåðÿäðà Ò. 63. Ñ. 830836.
13 ΛC
// ßÔ. 2000.
[109] Yakovlev S. L., Filikhin I. N. Cluster reduction of the four-body Yakubovscky equations in con guration space for bound-state problem and low-energy scattering // ßÔ. 1997. Ò. 60. Ñ. 19621970.
104
[110] Noyes H. P. Exterior Three-Particle Wave Function // Phys. Rev. Lett.. 1969. Vol. 23. Pp. 12011205. [111] Ìåðêóðüåâ Ñ. Ï. Î òåîðèè ðàññåÿíèÿ äëÿ ñèñòåìû òðåõ ÷àñòèö ñ êóëîíîâñêèì âçàèìîäåéñòâèåì // ßÔ. 1976. Ò. 24. Ñ. 289297. [112] Àìèðõàíîâ È. Â., Ãðå÷êî Â. Å., Òèòîâ À. È. Óðàâíåíèÿ Ôàääååâà â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè // Âåñòíèê ÌÃÓ. Ôèç. Añòðîí.. 1971. Ò. 12. Ñ. 579585. [113] Çóáàðåâ À. Ë. Âàðèàöèîííûé ïðèíöèå Øâèíãåðà â êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Ýíåðãîèçäàò: Èçäàòåëüñòâî èíîñòðàííîé ëèòåðàòóðû, 1981. 144 ñ. [114] Adhikari S. K. Separable expansions for local potentials with Coulomb interactions // Phys. Rev. C. 1976. Vol. 14. Pp. 782788. [115] Ôîê Â. À. Îá óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà äëÿ àòîìà ãåëèÿ // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ôèç.. 1954. Ò. 18. Ñ. 161172. [116] Åðìîëàåâ À. Ì. Î ðåøåíèè N -ýëåêòðîííîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà // Âåñòíèê ËÃÓ. 1958. Ò. 22. Ñ. 4861. [117] Äåìêîâ Þ. Í., Åðìîëàåâ À. Ì. Ðàçëîæåíèå Ôîêà äëÿ âîëíîâûõ ôóíêöèé ñèñòåìû çàðÿæåííûõ ÷àñòèö // ÆÝÒÔ. 1959. Ò. 36. Ñ. 896899. [118] Efros V. D., Frolov A. M., Mukhtarova M. I. Hyperspherical and related expansions in the Coulomb three-body problem // J. Phys. B. 1982. Vol. 15. Pp. L819L823. [119] Pelican E., Klar H. Treatment of the Positron-Hydrogen System in Hyperspherical Coordinates // Z. f ur Phys. A. 1983. Vol. 31. Pp. 153158. [120] Burden F. R. Origins of molecular structure. I. Three-body calculations on the ground + − states of systems from e+ 2 e to H2 using a hyperspherical basis // J. Phys. B. 1983. Vol. 16. Pp. 22892300. [121] Delves L. M. Tertiary and general-order collisions (II) // Nucl. Phys.. 1960. Vol. 20. Pp. 275308. [122] Smith F. T. Generalized Angular Momentum in Many-Body Collisions // Phys. Rev.. 1960. Vol. 120. Pp. 10581069. [123] Ñèìîíîâ Þ. À. Çàäà÷à òðåõ òåë. Ïîëíàÿ ñèñòåìà óãëîâûõ ôóíêöèé // ßÔ. 1966. Ò. 3. Ñ. 630638. [124] Áàäàëÿí À. Ì., Ñèìîíîâ Þ. À. Çàäà÷à òðåõ òåë. Óðàâíåíèå äëÿ ïàðöèàëüíûõ âîëí // ßÔ. 1966. Ò. 3. Ñ. 10321047. 105
[125] Áàäàëÿí À. Ì., Ãàäàëÿí Å. Ñ., Ëÿõîâèöêèé Â. Í. è äð. Óðîâíè â ñèñòåìå ÷åòûðåõ íóêëîíîâ // ßÔ. 1967. Ò. 6. Ñ. 473487. [126] Fang K. K. Three-body to three-body elastic scattering using hyperspherical harmonics // Phys. Rev. C. 1977. Vol. 15. Pp. 12041214. [127] Knirk D. L. Approach to the description of atoms using hyperspherical coordinates // J. Chem. Phys.. 1974. Vol. 60, no. 1. Pp. 6680. [128] Áåëÿåâ Â. Á., Âæåöèîíêî Å. Ìåòîäû è ðåçóëüòàòû â ÿäåðíîé ïðîáëåìå òðåõ òåë // Ý×Àß. 1971. Ò. 2. Ñ. 415437. [129] Ýôðîñ Â. Ä. Ê ìåòîäó K -ãàðìîíèê â çàäà÷å íåñêîëüêèõ íóêëîíîâ // ßÔ. 1972. Ò. 15. Ñ. 226241. [130] Erens G., Visschers J. L., van Wageningen R. Variational calculations on a simple triton model using a complete hyperspherical function basis // Ann. Phys.. 1971. Vol. 67. Pp. 461479. [131] Ãîðáàòîâ À. Ì. Ââåäåíèå ïðîòîíûûõ, íåéòðîíûûõ è ãèïåðîííûõ êîëëåêòèâíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû â ðàñ÷åòíóþ ñõåìó ìåòîäà K -ãàðìîíèê // ßÔ. 1973. Ò. 17. Ñ. 540546. [132] Ãîðáàòîâ À. Ì. Ìåòîä óãëîâûõ ïîòåíöèàëüíûõ ôóíêöèé. Ãèïåðÿäðà // ßÔ. 1979. Ò. 29. Ñ. 270285. [133] Krivec R., Mandelzweig V. B. Nonvariational calculation of the hyper ne splitting and other properties of the ground state of the muonic helium atom // Phys. Rev. A. 1997. Vol. 56. Pp. 36143622. [134] Krivec R., Mandelzweig V. B. Nonvariational calculation of the hyper ne splitting and other properties of the ground state of the muonic 3 He atom // Phys. Rev. A. 1998. Vol. 57. Pp. 49764979. [135] Chattopadhyay R., Das T. K. Adiabatic approximation in atomic three-body systems // Phys. Rev. A. 1997. Vol. 56. Pp. 12811287. [136] Morishita T., Lin C. D. Hyperspherical analysis of doubly and triply excited states of Li // Phys. Rev. A. 1998. Vol. 57. Pp. 42684274.
[137] Sotona M., Zofka J. Simple microscopic foundation of the breathing mode // Phys. Lett. B. 1975. Vol. 57. Pp. 2730. [138] Êàñ÷èåâ Ì., Øèòèêîâà Í. Â. Î ñæèìàåìîñòè ÿäåð â ìåòîäå ãèïåðñôåðè÷åñêèõ ôóíêöèé // ßÔ. 1979. Ò. 30. Ñ. 14791486. 106
[139] Frolov A. M. The hyperspherical expansion in the Coulomb many-body problem // J. Phys. B. 1986. Vol. 19. Pp. 20412052. [140] Ïàâëè÷åíêî È. Ì. Î òî÷íîñòè ìåòîäà K -ãàðìîíèê íà ïðèìåðå îäíîìåðíûõ çàäà÷ // ßÔ. 1972. Ò. 15. Ñ. 3945. [141] Æóêîâ Ì. Ì., Õðûëèí Á. À. ΛN è ΛΛ âçàèìîäåéñâòèÿ è ñòðóêòóðà ãèïåðÿäåð // ßÔ. 1969. Ò. 9. Ñ. 507509. [142] Äæèáóòè Ð. È., Òîì÷èíñêèé Â. Þ., Øóáèòèäçå Í. È. Êîýôôèöèåíòû ïðåîáðàçîâàíèÿ â ãèïåðñôåðè÷åñêîì ïîäõîäå ê ïðîáëåìå ÷åòûðåõ òåë ñ íåðàâíûìè ìàññàìè // ßÔ. 1973. Ò. 18. Ñ. 11641172. [143] Fang K. K., Tomusiak E. L. Three-body model of 6 Li using hyperspherical harmonics // Phys. Rev. C. 1977. Vol. 16. Pp. 21172128. [144] Barnea N. Hyperspherical functions with arbitrary permutational symmetry: Reverse construction // Phys. Rev. A. 1999. Vol. 59. Pp. 11351146. [145] Demin V. F., Pokrovsky Y. E., Efros V. D. Bound-state properties of three and four nucleons with realistic forces // Phys. Lett. B. 1973. Vol. 44. Pp. 227230. [146] Demin V. F., Pokrovsky Y. E. Calculation of 3 H, 3 He properties with realistic N N potentials in the hyperspherical basis // Phys. Lett. B. 1973. Vol. 47. Pp. 394396. [147] Kalos M. H. Monte Carlo Calculations of the Ground State of Three- and Four-Body Nuclei // Phys. Rev.. 1962. Vol. 128. Pp. 17911795. [148] Kalos M. H. Energy of a simple triton model // Nucl. Phys. A. 1969. Vol. 126. Pp. 609614. [149] Anderson J. B. Quantum chemistry by random walk: H4 square // Int. J. Quant. Chem. 1979. Vol. 15. Pp. 109120. [150] Arnow D. M., Kalos M. H., Lee M. A., Schmidt K. E. Green's function monte carlo for few fermion problems // J. Chem. Phys.. 1982. Vol. 77, no. 11. Pp. 55625572. [151] Zabolitzky J. G., Schmidt K. E., Kalos M. H. Exact ground states of few-body nuclei with and without three-body forces // Phys. Rev. C. 1982. Vol. 25. Pp. 11111113. [152] Carlson J. Green's function Monte Carlo study of light nuclei // Phys. Rev. C. 1987. Vol. 36. Pp. 20262033. [153] Mentch F., Anderson J. B. Quantum chemistry by random walk: Importance sampling for h+ 3 // J. Chem. Phys.. 1981. Vol. 74, no. 11. Pp. 63076311. 107
[154] Lee M. A., Vashishta P., Kalia R. K. Ground State of Excitonic Molecules by the Green'sFunction Monte Carlo Method // Phys. Rev. Lett.. 1983. Vol. 51. Pp. 24222425. [155] Bressanini D., Mella M., Morosi G. Stability of four-unit-charge systems: A quantum Monte Carlo study // Phys. Rev. A. 1997. Vol. 55. Pp. 200205. [156] Carlson J. Green's function Monte Carlo calculations of light nuclei // Nucl. Phys. A. 1990. Vol. 508. Pp. 141150. [157] Ford W. K., Levin F. S. Channel-coupling theory of molecular structure - Global basis-set + expansions for H+ 2 , H2 , and HeH // Phys. Rev. A. 1984. Vol. 29. Pp. 3042. [158] Levin F. S., Shertzer J. Finite-element solution of the Schrodinger equation for the helium ground state // Phys. Rev. A. 1985. Vol. 32. Pp. 32853290. [159] Ackermann J. Finite-element-method expectation values for correlated two-electron wave functions // Phys. Rev. A. 1995. Vol. 52. Pp. 19681975. [160] Ackermann J. Global and local properties of the S states of the dtµ molecular ion: A nite-element study // Phys. Rev. A. 1998. Vol. 57. Pp. 42014203. [161] Born M., Oppenheimer R. Zur Quantentheorie der Molekeln // Ann. der Phys. 1927. Vol. B84, no. 20. Pp. 457484. [162] Kolos W., Wolniewicz L. Improved theoretical ground-state energy of the hydrogen molecule // J. Chem. Phys.. 1968. Vol. 49. Pp. 404410. [163] Bishop D. M., Cheung L. M. Rigorous theoretical investigation of the ground state of H2 // Phys. Rev. A. 1978. Vol. 18. Pp. 18461852. [164] Delves L. M., Blatt J. M. Three-nucleon calculations with realistic local potentials // Nucl. Phys. A. 1967. Vol. 98. Pp. 503528. [165] Delves L. M. Variational techniques on the nuclear three-body problem // Adv. Nucl. Phys. 1973. Vol. 5. Pp. 1224. [166] Êîëåñíèêîâ Í. Í., Êîïûëîâ Â. À. Λd ðàññåÿíèå // Òåçèñû äîêëàäîâ XXX Âñåñîþçíîãî ñîâåùåíèÿ ïî ÿäåðíîé ñïåêòðîñêîïèè è ñòðóêòóðå àòîìíîãî ÿäðà. Ëåíèíãðàä: Íàóêà, 1980. Ñ. 212. [167] Delves L. M., Derrik G. H. Two-body methods for three-body problems // Ann. Phys.. 1963. Vol. 23. Pp. 133159. [168] Delves L. M., Hennell M. A. The 1/2+ state of 3 H and 3 He below the break-up threshold (I). Hamada-Johnston potential // Nucl. Phys. A. 1971. Vol. 168. Pp. 347384. 108
[169] Temple G. The Theory of Rayleigh's Principle as Applied to Continuous Systems // Royal Society of London Proceedings Series A. 1928. Vol. 119. Pp. 276293. [170] Hall R. L., Post H. R. Many-particle systems: Iv. short-range interactions // Proc. Phys. Soc.. 1967. Vol. 90, no. 2. Pp. 381396. [171] Hylleraas E. A. Neue Berechnung der Energies des Heliums im Grundzuastande, sowie des tiefsten Terms von Ortho-Helium // Z. Physik. 1929. Vol. 54. Pp. 347366. [172] Schwartz C. Ground State of the Helium Atom // Phys. Rev.. 1962. Vol. 128. Pp. 11461148. [173] Kinoshita T. Ground State of the Helium Atom // Phys. Rev.. 1957. Vol. 105. Pp. 14901502. [174] Schwartz C. Lamb Shift in the Helium Atom // Phys. Rev.. 1961. Vol. 123. Pp. 17001705. [175] Pekeris C. L. 1 1 S , 2 1 S , and 2 3 S States of H− and of He // Phys. Rev.. 1962. Vol. 126. Pp. 14701476. [176] Bartlett J. H., Gibbons J. J., Dunn C. G. The Normal Helium Atom // Phys. Rev.. 1935. Vol. 47. Pp. 679680. [177] Bartlett J. H. The Helium Wave Equation // Phys. Rev.. 1937. Vol. 51. Pp. 661 669. [178] Hylleraas E. A., Midtdal J. Ground State Energy of Two-Electron Atoms // Phys. Rev.. 1956. Vol. 103. Pp. 829830. [179] Frankowski K., Pekeris C. L. Logarithmic Terms in the Wave Functions of the Ground State of Two-Electron Atoms // Phys. Rev.. 1966. Vol. 146. Pp. 4649. [180] Thakkar A. J., Koga T. Ground-state energies for the helium isoelectronic series // Phys. Rev. A. 1994. Vol. 50. Pp. 854856. [181] Stevenson A. F., Crawford M. F. A Lower Limit for the Theoretical Energy of the Normal State of Helium // Phys. Rev.. 1938. Vol. 54. Pp. 375379. [182] Kleindienst H., M uller W. Variance Minimization. A Variational Principle for Accurate Lower and Upper Bounds of the Eigenvalues of a Selfadjoin Operator, Bounded Below // Theoret. Chim. Acta. 1980. Vol. 56. Pp. 183189. [183] Kleindienst H., Emrich R. The atomic three-body problem. An accurate lower bond calculation using wave functions with logarithmic terms // Int. J. Quant. Chem. 1990. Vol. 37. Pp. 257269. 109
[184] James H. M., Coolidge A. S. On the Ground State of Lithium // Phys. Rev.. 1936. Vol. 49. Pp. 688695. [185] McKenzie D. K., Drake G. W. F. Variational calculation for the ground state of lithium and the QED corrections for Li-like ions // Phys. Rev. A. 1991. Vol. 44. P. R6973R6976. [186] Yan Z., Tambasco M., Drake G. W. F. Energies and oscillator strengths for lithiumlike ions // Phys. Rev. A. 1998. Vol. 57. Pp. 16521661. [187] King F. W., Ballegeer D. G., Larson D. J. et al. Hylleraas-type calculations of the relativistic corrections for the ground state of the lithium atom // Phys. Rev. A. 1998. Vol. 58. Pp. 35973603. [188] Yan Z., Ho Y. K. Ground state and S-wave autodissociating resonant states of positronium hydride // Phys. Rev. A. 1999. Vol. 59. Pp. 26972701. [189] Thakkar A. J., Smith V. H. Compact and accurate integral-transform wave functions. I. The 11 S state of the helium-like ions from H− through Mg10+ // Phys. Rev. A. 1977. Vol. 15. Pp. 115. [190] Àäàìîâ Ì. Í., Äåìêîâ Þ. Í., Ôèëèíñêèé À. Â. Âàðèàöèîííûé ðàñ÷åò ýíåðãèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ òðåõ÷àñòè÷íûõ ñèñòåì íà ýêñïîíåíöèàëüíîì áàçèñå // Âåñòíèê ËÃÓ, ñåðèÿ Ôèçèêà. 1983. 22. Ñ. 7376. [191] Ôðîëîâ À. Ì., Ýôðîñ Â. Ä. Òî÷íûé ìåòîä â çàäà÷å òðåõ òåë è ýíåðãèè ñâÿçè ìåçîìîëåêóë // Ïèñüìà â ÆÝÒÔ. 1984. Ò. 38. Ñ. 449452. [192] Êîïûëîâ Â. À., Ôðîëîâ À. Ì., Êîëåñíèêîâ Í. Í. Ìíîãîïàðàìåòðè÷åñêèé âàðèàöèîííûé ìåòîä â çàäà÷å òðåõ òåë è ýíåðãèè ñâÿçè ìåçîìîëåêóë // Èçâ. ÂÓÇîâ. Ôèçèêà. 1985. Ò. 28, 10. Ñ. 114116. [193] Frolov A. M. A Discretisation of the Laplace Transformation and an Accurate Method for the Coulomb Three-Body Problem // Z. Phys. D. 1986. Vol. 2. Pp. 6165. [194] Ôðîëîâ À. Ì. Âûñîêîòî÷íûå âàðèàöèîííûå ðåøåíèÿ êóëîíîâñêîé çàäà÷è òðåõ òåë. Ìîñêâà, 1986. 21 ñ. (Ïðåïðèíò ÈÀÝ-4274). [195] Frolov A. M. Two-stage strategy for high-precision variational calculations // Phys. Rev. A. 1998. Vol. 57. Pp. 24362439. [196] Fromm D. M., Hill R. N. Analytic evaluation of three-electron integrals // Phys. Rev. A. 1987. Vol. 36. Pp. 10131044.
110
[197] Harris F. E. Analytic evaluation of three-electron atomic integrals with Slater wave functions // Phys. Rev. A. 1997. Vol. 55. Pp. 18201831. [198] Çîòåâ Â. Ñ., Ðåáàíå Ò. Ê. Ýêñïîíåíöèàëüíî-òðèãîíîìåòðè÷åñêèå áàçèñíûå ôóíêöèè â êóëîíîâñêîé çàäà÷å ÷åòûðåõ òåë // ßÔ. 2000. Ò. 63. Ñ. 4447. [199] Êðàñíîïîëüñêèé Â. Ì., Êóêóëèí Â. È. Âàðèàöèîííûå ðàñ÷åòû â ïðîáëåìå òðåõ òåë íà ñòîõàñòè÷åñêè îïòèìèçèðîâàííîì áàçèñå // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ôèç.. 1975. Ò. 39. Ñ. 543549. [200] Êîëåñíèêîâ Í. Í., Òàðàñîâ Â. È. Ôåíîìåíîëîãè÷åñêèé N N -ïîòåíöèàë èç àíàëèçà òðåõ- è ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûõ ÿäåð // ßÔ. 1982. Ò. 35. Ñ. 609619. [201] Suzuki Y., Usukura J., Varga K. New description of orbital motion with arbitrary angular momenta // J. Phys. B. 1998. Vol. 31. Pp. 3148. [202] Êîëåñíèêîâ Í. Í., Òàðàñîâ Â. È., Ñòàðîñîòíèêîâ Ì. È. Âàðèàöèîííûé ìåòîä ðàñ÷åòà ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì â åñòåñòâåííûõ êîîðäèíàòàõ // Äåïîíåíò â ÂÈÍÈÒÈ, 33832-80. Ìîñêâà, 1980. [203] Frolov A. M., Smith V. H. Positronium hydrides and the Ps2 molecule: Bound-state properties, positron annihilation rates, and hyper ne structure // Phys. Rev. A. 1997. Vol. 55. Pp. 26622673. [204] Frolov A. M., Smith V. H. Nuclear reaction rates in four-body muon molecules // Phys. Rev. A. 1997. Vol. 55. Pp. 24352437. [205] Usukura J., Varga K., Suzuki Y. Signature of the existence of the positronium molecule // Phys. Rev. A. 1998. Vol. 58. Pp. 19181931. [206] Êîëåñíèêîâ Í. Í., Òàðàñîâ Â. È. ΛN -ïîòåíöèàë èç àíàëèçà îñíîâíûõ è âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûõ ãèïåðÿäåð è Λp-ðàññåÿíèÿ // Èçâ. ÂÓÇîâ. Ôèçèêà. 1982. 5. Ñ. 6265. [207] Akaishi Y., Sakai M., Hiura J. et al. Variational Calculations of the Alpha Particle with Realistic Nucleon-Nucleon Potentials // Prog. Theor. Phys. Suppl. 1974. no. 56. Pp. 631. [208] Sakai M., Shimodaya I., Akaishi Y. et al. Variational Calculations of the Alpha Particle with Realistic Nucleon-Nucleon Potentials // Prog. Theor. Phys.. 1974. Vol. 51. Pp. 155172. [209] Austern N., Iano P. Variational calculations with repulsive core potentials // Nucl. Phys.. 1960. Vol. 18. Pp. 672680. 111
[210] Schmid E. W. A Monte Carlo method for nuclear many body problems // Nucl. Phys.. 1962. Vol. 32. Pp. 8297. [211] Afnan I. R., Tang Y. C. Investigation of Nuclear Three- and Four-Body Systems with Soft-Core Nucleon-Nucleon Potentials // Phys. Rev.. 1968. Vol. 175. Pp. 1337 1345. [212] Derrick G., Blatt J. M. Classi cation of triton wave functions // Nucl. Phys.. 1958. Vol. 8. Pp. 310324. [213] Derrick G. H. On the choice of D-state wave functions in triton calculations // Nucl. Phys.. 1960. Vol. 18. Pp. 303309. [214] Delves L. M., Blatt J. M., Pask C., Davies B. Three-nucleon calculations with the Hamada-Johnston potential // Phys. Lett. B. 1969. Vol. 28. Pp. 472475. [215] Ðåáàíå Ò. Ê., Þñóïîâ Î. Í. Êîìïëåêñíûå ýêñïîíåíöèàëüíûå áàçèñíûå âîëíîâûå ôóêíöèè â êóëîíîâñêîé çàäà÷å òðåõ òåë // ÆÝÒÔ. 1990. Ò. 98. Ñ. 18701877. [216] Bhatia A. K. Properties of the ground state of the hydrogen molecular ion // Phys. Rev. A. 1998. Vol. 58. Pp. 27872789. [217] Kinghorn D. B., Adamowicz L. A correlated basis set for nonadiabatic energy calculations on diatomic molecules // J. Chem. Phys.. 1999. Vol. 110. Pp. 71667175. [218] Mezei J. Z., Mitroy J., Lovas R. G., Varga K. Properties of some exotic ve-particle systems // Phys. Rev. A. 2001. Vol. 64, no. 3. P. 032501. [219] Çàõàðîâ Ï. Ï., Êîëåñíèêîâ Í. Í., Òàðàñîâ Â. È. ¾Êàðêàñíûå¿ âîëíîâûå ôóíêöèè â ìàëî÷àñòè÷íûõ âàðèàöèîííûõ ðàñ÷åòàõ // Âåñòíèê ÌÃÓ. Ôèç. Añòðîí.. 1983. Ò. 24, 5. Ñ. 3438. [220] Äîí÷åâ À. Ã., Êîëåñíèêîâ Í. Í., Òàðàñîâ Â. È. Êàðêàñíûå ôóíêöèè â âàðèàöèîííûõ ðàñ÷åòàõ òðåõ- è ÷åòûðåõ÷àñòè÷íûõ ÿäåðíûõ è êóëîíîâñêèõ ñèñòåì // Èçâ. ÐÀÍ. Ñåð. ôèç.. 2002. Ò. 66. Ñ. 15191524. [221] Donchev A. G., Kalachev S. A., Kolesnikov N. N., Tarasov V. I. Generalized exponential functions in variational calculations of molecular systems // Phys. Rev. A. 2004. Vol. 69, no. 3. P. 034501. [222] Äîí÷åâ À. Ã., Êàëà÷åâ Ñ. À., Êîëåñíèêîâ Í. Í., Òàðàñîâ Â. È. Êàðêàñíûå ôóíêöèè â âàðèàöèîííûõ ðàñ÷åòàõ ñèñòåì íåñêîëüêèõ ÷àñòèö // ßÔ. 2004. Ò. 67, 12. Ñ. 21782189. [223] Êàëèòêèí Í. Í. ×èñëåííûå ìåòîäû. Ìîñêâà: Íàóêà, 1978. 512 ñ. 112
[224] Freund D. E., Huxtable B. D., Morgan J. D. Variational calculations on the helium isoelectronic sequence // Phys. Rev. A. 1984. Vol. 29. Pp. 980982. [225] Êîëåñíèêîâ Í. Í., Êðîõèí Í. Â., Êîïûëîâ Â. À. Ðàñ÷åò ýíåðãèè ñâÿçè Λ9 Be è ðîëü êëàñòåðèçàöèè â ãèïåðÿäðàõ // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ôèç.. 1977. Ò. 41. Ñ. 2090 2095. [226] Êóêóëèí Â. È. Ñòîõàñòè÷åñêèé ìåòîä îïòèìèçàöèè áàçèñà äëÿ âàðèàöèîííûõ ðàñ÷åòîâ ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ôèç.. 1975. Ò. 39. Ñ. 535 542. [227] Kukulin V. I., Krasnopol'sky V. M. A stochastic variational method for few-body systems // J. Phys. G. 1977. Vol. 3. Pp. 795811. [228] Äîí÷åâ À. Ã., Êîëåñíèêîâ Í. Í., Òàðàñîâ Â. È. Íèæíèå è âåðõíèå âàðèàöèîííûå îöåíêè â ðàñ÷åòàõ êóëîíîâñêèõ è ÿäåðíûõ ñèñòåì // ßÔ. 2000. Ò. 63. Ñ. 419 430. [229] Frolov A. M., Smith V. H. Universal variational expansion for three-body systems // J. Phys. B. 1995. Vol. 28. Pp. L449L455. [230] Gremaud B., Delande D., Billy N. Highly accurate calculation of the energy levels of the H2+ molecular ion // J. Phys. B. 1998. Vol. 31. Pp. 383392. [231] Chupka W. A., Russell M. E. Photoionization study of ionmolecule reactions in mixtures of hydrogen and rare gases // J. Chem. Phys.. 1968. Vol. 49. Pp. 54265437. [232] Van Pijkeren D., Van Eck J., Niehaus A. A new method for the measurement of vibrational-state-selected ion-molecule reactions at thermal energies // Chem. Phys. Lett. 1983. Vol. 96. Pp. 2023. [233] Evett A. A. Ground state of the helium-hydride ion // J. Chem. Phys.. 1956. Vol. 24. Pp. 150152. [234] Wolniewicz L. Variational treatment of the heh+ ion and the β -decay in ht // J. Chem. Phys.. 1965. Vol. 43. Pp. 10871091. [235] Stuart J. D., Matsen F. A. One-Center Wavefunction for the Ground State of the HeH+ Molecular Ion // J. Chem. Phys.. 1964. Vol. 41. Pp. 16461650. [236] Ali S., Bodmer A. R. Phenomenological α-α potentials // Nucl. Phys.. 1966. Vol. 80. Pp. 99112. [237] Romberg W. Uber die untere schranke des He - grundzustandes, berechnet nach dem Ritzschen verfahren. // Physikalische Zeitschrift der Sowjetunion. 1935. Vol. 8. Pp. 516527. 113
[238] Stevenson A. F. On the Lower Bounds of Weinstein and Romberg in Quantum Mechanics // Phys. Rev.. 1938. Vol. 53. Pp. 199199. [239] Weinstein D. H. Modi ed Ritz Method // Proc. Nat. Acad. Sci. 1934. Vol. 20, no. 9. Pp. 529532. [240] MacDonald J. K. On the Modi ed Ritz Variation Method // Phys. Rev.. 1934. Vol. 46. Pp. 828828. [241] Basdevant J., Martin A., Richard J., Tai T. W. Optimized lower bounds in the threebody problem // Nucl. Phys. B. 1993. Vol. 393. Pp. 111125. [242] Baker G. A., Gammel J. L., Hill B. J., Wills J. G. Exact Numerical Solution of a ThreeBody Ground-State Problem // Phys. Rev.. 1962. Vol. 125. Pp. 17541758. [243] Milner C., Barlett M., Homann G. W. et al. Observation of Λ-hypernuclei in the reaction 12 C(π + , K + )12Λ C // Phys. Rev. Lett.. 1985. Vol. 54. Pp. 12371240. [244] Chrien R. E., Dover C. B. Nuclear systems with Annu. Rev. Nucl. Part. Sci.. 1989. Vol. 39. Pp. 113150.
strangeness
//
[245] Bertini R., Bing O., Birien P. et al. A full set of nuclear shell orbitals for the Λ particle 40 observed in 32 Λ S and Λ Ca // Phys. Lett. B. 1979. Vol. 83. Pp. 306309. [246] Bertini R., Bing O., Birien P. et al. Hypernuclear production in the (K − , π − ) reaction // Nucl. Phys. A. 1981. Vol. 360. Pp. 315330. [247] Danysz M., Garbowska K., Pniewski J. et al. The identi cation of a double hyperfragment // Nucl. Phys.. 1963. Vol. 49. Pp. 121132. [248] Wiringa R. B., Stoks V. G. J., Schiavilla R. Accurate nucleon-nucleon potential with charge-independence breaking // Phys. Rev. C. 1995. Vol. 51. Pp. 3851. [249] Wiringa R. B., Smith R. A., Ainsworth T. L. Nucleon-nucleon potentials with and without ∆(1232) degrees of freedom // Phys. Rev. C. 1984. Vol. 29. Pp. 12071221. [250] Nolen J. A., Schier J. P. Coulomb energies // Annu. Rev. Nucl. Sci.. 1969. Vol. 19. Pp. 471526. [251] Carlson J., Schiavilla R. Structure and dynamics of few-nucleon systems // Rev. Mod. Phys.. 1998. Vol. 70. Pp. 743841. [252] Pieper S. C., Wiringa R. B. Quantum Monte Carlo Calculations of Light Nuclei // Annu. Rev. Nucl. Part. Sci.. 2001. Vol. 51. Pp. 5390.
114
[253] Fujiwara Y., Nakamoto C., Suzuki Y. Eective meson-exchange potentials in the SU6 quark model for N N and Y N interactions // Phys. Rev. C. 1996. Vol. 54. Pp. 2180 2200. [254] Fujiwara Y., Nakamoto C., Suzuki Y. Uni ed Description of N N and Y N Interactions in a Quark Model with Eective Meson-Exchange Potentials // Phys. Rev. Lett.. 1996. Vol. 76. Pp. 22422245. [255] Nemura H., Suzuki Y., Fujiwara Y., Nakamoto C. Study of Light Λ- and ΛΛHypernuclei with the Stochastic Variational Method and Eective ΛN Potentials // Prog. Theor. Phys.. 2000. Vol. 103. Pp. 929958. [256] Hiyama E., Kamimura M., Motoba T. et al. Λ-Σ conversion in Λ4 He and Λ4 H based on a four-body calculation // Phys. Rev. C. 2002. Vol. 65, no. 1. P. 011301. [257] Shoeb M. Variational Monte Carlo calculation of ΛΛ6 He and other s-shell hypernuclei // Phys. Rev. C. 2004. Vol. 69, no. 5. P. 054003. [258] Suzuki Y., Nemura H. Quark Pauli Projection in Hypernuclear Systems // Prog. Theor. Phys.. 1999. Vol. 102. Pp. 203208. [259] Sinha R., Usmani Q. N., Taib B. M. Phenomenological Λ-nuclear interactions // Phys. Rev. C. 2002. Vol. 66, no. 2. P. 024006. [260] Usmani Q. N., Bodmer A. R. Λ single particle energies // Phys. Rev. C. 1999. Vol. 60, no. 5. P. 055215. [261] Usmani Q. N., Bodmer A. R., Sharma B. Six-Body variational Monte Carlo study of 6 ΛΛ He // Phys. Rev. C. 2004. Vol. 70, no. 6. P. 061001. [262] Filikhin I. N., Gal A. Light ΛΛ hypernuclei and the onset of stability for ΛΞ hypernuclei // Phys. Rev. C. 2002. Vol. 65, no. 4. P. 041001. [263] Hiyama E., Kamimura M., Motoba T. et al. Four-body cluster structure of A = 7 − 10 double-Λ hypernuclei // Phys. Rev. C. 2002. Vol. 66, no. 2. P. 024007. [264] Filikhin I. N., Gal A., Suslov V. M. Faddeev calculations for the A = 5, 6 ΛΛ hypernuclei // Phys. Rev. C. 2003. Vol. 68, no. 2. P. 024002. [265] Fujiwara Y., Kohno M., Miyagawa K. et al. Faddeev calculation of ΛΛ6 He using SU6 quark-model baryon-baryon interactions // Phys. Rev. C. 2004. Vol. 70, no. 3. P. 037001. [266] Herndon R. C., Tang Y. C., Schmid E. W. Λ-Nucleon Interaction from Analysis of S -Shell Hypernuclei // Phys. Rev.. 1965. Vol. 137. Pp. B294B300. 115
[267] Dalitz R. H., Herndon R. C., Tang Y. C. Phenomenological study of s-shell hypernuclei with ΛN and ΛN N potentials // Nucl. Phys. B. 1972. Vol. 47. Pp. 109137. [268] Êîëåñíèêîâ Í. Í., ×åðíîâ Ñ. Ì. Îáðàòíàÿ çàäà÷à â òåîðèè ãèïåðÿäåð // ÄÀÍ ÑÑÑÐ. 1976. Ò. 228. Ñ. 8184. [269] Gibson B. F., Goldberg A., Weiss M. S. Eects of Λ-Σ Coupling in Λ4 H, Λ4 He, and Λ5 He // Phys. Rev. C. 1972. Vol. 6. Pp. 741748. [270] Lanskoy D. E., Yamamoto Y. Hyperonic mixing in ve-baryon double-strangeness hypernuclei in a two-channel treatment // Phys. Rev. C. 2004. Vol. 69, no. 1. Pp. 014303+. [271] Nemura H., Akaishi Y., Suzuki Y. Ab initio Approach to s-Shell Hypernuclei 3Λ H, 4Λ H, 4 5 Λ He, and Λ He with a ΛN -ΣN Interaction // Phys. Rev. Lett.. 2002. Vol. 89, no. 14. P. 142504. [272] Akaishi Y., Harada T., Shinmura S., Myint K. S. Coherent Λ-Σ Coupling in s-Shell Hypernuclei // Phys. Rev. Lett.. 2000. Vol. 84. Pp. 35393541. [273] Shinmura S., Myint K. S., Harada T., Akaishi Y. Coherent Λ−Σ0 mixing in high-density neutron matter // J. Phys. G. 2002. Vol. 28, no. 2. Pp. L1L7. [274] Nemura H., Suzuki Y., Fujiwara Y., Nakamoto C. Quark Pauli Eects on the Binding Energies of s-Shell Λ Hypernuclei // Prog. Theor. Phys.. 1999. Vol. 101. Pp. 981 986. [275] Kolesnikov N. N., Kalachev S. A., Tarasov V. I. ΛN -potential from analysis of binding energies of hypernuclei and Λp-scattering // European Few Body XIX Conference Handbook. Groningen, The Netherlands: 2004. P. 142. [276] Êîëåñíèêîâ Í. Í., Òàðàñîâ Â. È. Ôåíîìåíîëîãè÷åñêèé N N -ïîòåíöèàë â ìàëîíóêëîííûõ ñèñòåìàõ // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ôèç.. 1981. Ò. 45. Ñ. 21832188. [277] Thompson D. R., Lemere M., Tang Y. C. Systematic investigation of scattering problems with the resonating-group method // Nucl. Phys. A. 1977. Vol. 286. Pp. 5366. [278] Table of Isotopes, CD-ROM Edition / Ed. by R. B. Firestone, V. S. Shirley, C. M. Baglin et al. 8-th edition. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1996. [279] De Vries H., De Jager C. W., De Vries C. Nuclear charge-density-distribution parameters from elastic electron scattering // Atomic Data and Nuclear Data Tables. 1987. Vol. 36. Pp. 495536.
116
[280] Êîëåñíèêîâ Í. Í., Ðîñòîâñêèé Â. Ñ., Ñòàðîñîòíèêîâ Ì. Í. Ôîðìóëà äëÿ ðàçìåðîâ ÿäåð ñ ó÷åòîì îáîëî÷å÷íûõ ýôôåêòîâ // ÓÔÆ. 1986. Ò. 31. Ñ. 11311135. [281] Heisenberg J., Hofstadter R., McCarthy J. S. et al. Elastic Electron Scattering by Pb208 And New Information About the Nuclear Charge Distribution // Phys. Rev. Lett.. 1969. Vol. 23. Pp. 14021405. [282] Dalitz R. H. The ΛΛ hypernucleus and ΛΛ-intercation // Phys. Lett.. 1963. Vol. 5. Pp. 5356. 10 [283] Tang Y. C., Herndon R. C. Λ-Λ Potential from Analysis of ΛΛ Be // Phys. Rev.. 1965. Vol. 138. Pp. B637B643.
[284] Bodmer A. R., Ali S. ΛΛ Hypernucleus 1965. Vol. 138. Pp. B644B652.
10 ΛΛ Be
and the Λ-Λ Interaction // Phys. Rev..
[285] Nakamura H. The S -wave Λ-Λ interaction // Phys. Lett.. 1963. Vol. 6. Pp. 207 208. 10 [286] Delo A. The Λ-Λ interaction in the ΛΛ Be hypernucleus // Phys. Lett.. 1963. Vol. 6. Pp. 8385.
[287] Dalitz R. H., Rajasekaran G. The binding of ΛΛ-hypernuclei // Nucl. Phys.. 1964. Vol. 50. Pp. 450464. [288] Ali S., Bodmer A. R. The ΛΛ hypernucleus ΛΛ6 He // Nuovo Cim. A. 1967. Vol. 50. Pp. 511534. [289] Tang Y. C., Herndon R. C. Existence of Light Double Hypernuclei // Phys. Rev. Lett.. 1965. Vol. 14. Pp. 991995. [290] Tang Y. C., Herndon R. C. ΛΛ interaction from ΛΛ6 He // Nuovo Cim. 1966. Vol. 46. Pp. 117121. [291] Roy-Choudhury H., Gautam V. P., Sural D. P. ΛΛα binding with Faddeev's approach // J. Phys. G. 1976. Vol. 2. Pp. 909915. [292] Hsieh S. T., Lee T. Y., Chen-Tsai C. T. Binding Energies of the p-Shell ΛΛ Hypernuclei // Phys. Rev. C. 1970. Vol. 2. Pp. 15971600. [293] Êîëåñíèêîâ Í. Í., ×åðíîâ Ñ. Ì., Òàðàñîâ Â. È. Äâîéíûå ãèïåðÿäðà è ΛΛâçàèìîäåéñòâèå // Èçâ. ÂÓÇîâ. Ôèçèêà. 1975. 10. Ñ. 3338. [294] Êîëåñíèêîâ Í. Í., Âåäðèíñêèé Ð. Â. Ãèïåðÿäðà ñ äâóìÿ Λ-÷àñòèöàìè è èõ ðàñïàä // ÆÝÒÔ. 1964. Ò. 46. Ñ. 16481652. 117
[295] Yamamoto Y., Takaki H., Ikeda K. Newly Observed Double-Λ Hypernucleus and ΛΛ Interaction // Prog. Theor. Phys.. 1991. Vol. 86. Pp. 867875. [296] Lanskoy D. E., Yamamoto Y. Skyrme-Hartree-Fock treatment of Λ and ΛΛ hypernuclei with G-matrix motivated interactions // Phys. Rev. C. 1997. Vol. 55. Pp. 2330 2339. [297] Äîí÷åâ À. Ã., Êàëà÷åâ Ñ. À., Êîëåñíèêîâ Í. Í., Òàðàñîâ Â. È. Ýôôåêòû êîððåëÿöèè áàðèîíîâ è äåôîðìàöèè îñòîâà â ãèïåðÿäåðíûõ ñèñòåìàõ òðåõ, ÷åòûðåõ è ïÿòè ÷àñòèö // Âåñòíèê ÌÃÓ. Ôèç. Añòðîí.. 2003. 6. Ñ. 3033. [298] Äîí÷åâ À. Ã., Êàëà÷åâ Ñ. À., Êîëåñíèêîâ Í. Í., Òàðàñîâ Â. È. Ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë âçàèìîäåéñòâèÿ Λ-êëàñòåð // Èçâ. ÐÀÍ. Ñåð. ôèç.. 2005. Ò. 69. Ñ. 106 111. [299] Äîí÷åâ À. Ã., Êàëà÷åâ Ñ. À., Êîëåñíèêîâ Í. Í., Òàðàñîâ Â. È. Êàðêàñíûå ôóíêöèè â âàðèàöèîííûõ ðàñ÷åòàõ ìîëåêóëÿðíûõ ñèñòåì // Èçâ. ÐÀÍ. Ñåð. ôèç.. 2005. Ò. 69. Ñ. 112115. [300] Êîëåñíèêîâ Í. Í., Êàëà÷åâ Ñ. À. Ãèïåðÿäðà è âçàèìîäåéñòâèå ΛN è ΛΛ. Ìîñêâà, 2004. 30 ñ. (Ïðåïðèíò ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà 18/2004). [301] Äîí÷åâ À. Ã., Êîëåñíèêîâ Í. Í., Òàðàñîâ Â. È., Êàëà÷åâ Ñ. À. Äåôîðìàöèè îñòîâà â ãèïåðÿäðàõ è ýôôåêòèâíûé Λα-ïîòåíöèàë // LII Ìåæäóíàðîäíîå ñîâåùàíèå ïî ÿäåðíîé ñïåêòðîñêîïèè è ñòðóêòóðå àòîìíîãî ÿäðà. Òåçèñû äîêëàäîâ. Ìîñêâà: 2002. Ñ. 117. [302] Êîëåñíèêîâ Í. Í., Äîí÷åâ À. Ã., Êàëà÷åâ Ñ. À. Äâîéíûå ãèïåðÿäðà è ñóïåðÿäðà // LII Ìåæäóíàðîäíîå ñîâåùàíèå ïî ÿäåðíîé ñïåêòðîñêîïèè è ñòðóêòóðå àòîìíîãî ÿäðà. Òåçèñû äîêëàäîâ. Ìîñêâà: 2002. Ñ. 118. [303] Êàëà÷åâ Ñ. À., Êîëåñíèêîâ Í. Í., Äîí÷åâ À. Ã. Ðàñïðåäåëåíèå íóêëîíîâ â ÿäðàõ èç àíàëèçà ãèïåðÿäåðíûõ äàííûõ // LII Ìåæäóíàðîäíîå ñîâåùàíèå ïî ÿäåðíîé ñïåêòðîñêîïèè è ñòðóêòóðå àòîìíîãî ÿäðà. Òåçèñû äîêëàäîâ. Ìîñêâà: 2002. Ñ. 119. [304] Êîëåñíèêîâ Í. Í., Äîí÷åâ À. Ã., Òàðàñîâ Â. È., Êàëà÷åâ Ñ. À. Ðåàëèñòè÷åñêèå ðàñ÷åòû 3õ, 4õ è 5òè ÷àñòè÷íûõ ÿäåðíûõ è ãèïåðÿäåðíûõ ñèñòåì // LII Ìåæäóíàðîäíîå ñîâåùàíèå ïî ÿäåðíîé ñïåêòðîñêîïèè è ñòðóêòóðå àòîìíîãî ÿäðà. Òåçèñû äîêëàäîâ. Ìîñêâà: 2002. Ñ. 120. [305] Äîí÷åâ À. Ã., Êàëà÷åâ Ñ. À., Êîëåñíèêîâ Í. Í., Òàðàñîâ Â. È. Ýôôåêòèâíûé ïîòåíöèàë Λ-êëàñòåð // LIII Ìåæäóíàðîäíîå ñîâåùàíèå ïî ÿäåðíîé ñïåêòðîñêîïèè è ñòðóêòóðå àòîìíîãî ÿäðà. Òåçèñû äîêëàäîâ. Ñàíêò-Ïåòåðáóðã: 2003. Ñ. 119. 118
[306] Äîí÷åâ À. Ã., Êàëà÷åâ Ñ. À., Êîëåñíèêîâ Í. Í., Òàðàñîâ Â. È. Âåêòîðíûå êàðêàñíûå ôóíêöèè â âàðèàöèîííûõ ðàñ÷åòàõ ïîëèöåíòðîâûõ ñèñòåì // LIII Ìåæäóíàðîäíîå ñîâåùàíèå ïî ÿäåðíîé ñïåêòðîñêîïèè è ñòðóêòóðå àòîìíîãî ÿäðà. Òåçèñû äîêëàäîâ. Ñàíêò-Ïåòåðáóðã: 2003. Ñ. 137138. [307] Êîëåñíèêîâ Í. Í., Êàëà÷åâ Ñ. À. Îáîëî÷å÷íûå ýôôåêòû ïðè ðàçëè÷íûõ ñîîòíîøåíèÿõ ìåæäó Z è N // LIII Ìåæäóíàðîäíîå ñîâåùàíèå ïî ÿäåðíîé ñïåêòðîñêîïèè è ñòðóêòóðå àòîìíîãî ÿäðà. Òåçèñû äîêëàäîâ. Ñàíêò-Ïåòåðáóðã: 2003. Ñ. 143144. [308] Êîëåñíèêîâ Í. Í., Êàëà÷åâ Ñ. À., Òàðàñîâ Â. È. ΛN -ïîòåíöèàë èç àíàëèçà ýíåðãèé ñâÿçè ãèïåðÿäåð è Λp-ðàññåÿíèÿ // LIV Ìåæäóíàðîäíîå ñîâåùàíèå ïî ÿäåðíîé ñïåêòðîñêîïèè è ñòðóêòóðå àòîìíîãî ÿäðà. Òåçèñû äîêëàäîâ. Áåëãîðîä: 2004. Ñ. 99100. [309] Äîí÷åâ À. Ã., Êàëà÷åâ Ñ. À., Êîëåñíèêîâ Í. Í., Òàðàñîâ Â. È. Êàðêàñíûå ôóíêöèè â âàðèàöèîííûõ ðàñ÷åòàõ ìîëåêóëÿðíûõ ñèñòåì // LIV Ìåæäóíàðîäíîå ñîâåùàíèå ïî ÿäåðíîé ñïåêòðîñêîïèè è ñòðóêòóðå àòîìíîãî ÿäðà. Òåçèñû äîêëàäîâ. Áåëãîðîä: 2004. Ñ. 101. [310] Äîí÷åâ À. Ã., Êàëà÷åâ Ñ. À., Êîëåñíèêîâ Í. Í., Òàðàñîâ Â. È. Âåðõíèå è íèæíèå âàðèàöèîííûå îöåíêè â ðàñ÷åòàõ ìàëî÷àñòè÷íûõ êóëîíîâñêèõ è ÿäåðíûõ ñèñòåì // LIV Ìåæäóíàðîäíîå ñîâåùàíèå ïî ÿäåðíîé ñïåêòðîñêîïèè è ñòðóêòóðå àòîìíîãî ÿäðà. Òåçèñû äîêëàäîâ. Áåëãîðîä: 2004. Ñ. 102. [311] Êàëà÷åâ Ñ. À., Äîí÷åâ À. Ã., Êîëåñíèêîâ Í. Í., Òàðàñîâ Â. È. Ïîòåíöèàë Λ-êëàñòåð èç 3-õ, 4-õ è 5-òè - ÷àñòè÷íûõ ðàñ÷åòîâ ãèïåðÿäåðíûõ è ÿäåðíûõ ñèñòåì // LIV Ìåæäóíàðîäíîå ñîâåùàíèå ïî ÿäåðíîé ñïåêòðîñêîïèè è ñòðóêòóðå àòîìíîãî ÿäðà. Òåçèñû äîêëàäîâ. Áåëãîðîä: 2004. Ñ. 128. [312] Donchev A. G., Kalachev S. A., Kolesnikov N. N., Tarasov V. I. Generalized Exponential (Carcass) Functions in Variational Calculations of Molecular Systems // European Few Body XIX Conference Handbook. Groningen, The Netherlands: 2004. P. 45. [313] Donchev A. G., Kalachev S. A., Kolesnikov N. N., Tarasov V. I. Upper and Lower Variational Bounds in Calculations of Few-body Coulomb and Nuclear Systems // European Few Body XIX Conference Handbook. Groningen, The Netherlands: 2004. P. 46. [314] Donchev A. G., Kalachev S. A., Kolesnikov N. N., Tarasov V. I. Potential Λ-cluster from 3,4 and 5-particle calculation of hypernuclear and nuclear systems // European Few Body XIX Conference Handbook. Groningen, The Netherlands: 2004. P. 141.
119
