Алгебра и логики, 39, N 5 (2000), 595-601
УДК 512.565.7
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ Р Е Ш Е Т О К ПОДАЛГЕБР СВОБОДНЫХ АЛГЕБР*) А. Г. ПИНУС, Г. Р О У З
При изучении многообразий универсальных алгебр естествен инте рес к изучению свойств свободных алгебр этих многообразий, в частно сти, к изучению тех свойств, которые выразимы в логике первого по рядка. Для любого многообразия V через Fy(X) обозначается У-алгебра, свободно порожденная в V множеством X. Напомним известный резуль тат о том, что для любого многообразия V и любых бесконечных мно жеств Х^У алгебры Fy(X),
Fy{Y) элементарно эквивалентны. Более то
го, если А" С У, то Fy(X)
является элементарной подалгеброй алгебры
Fy(Y). Достаточно показать, что для любой формулы Ф(#ь . . . , жп, у) ло гики первого порядка, любых а\,..., Fy(Y)
an E Fy(X)
и любого b 6 Fy(Y)
f= Ф(б&1,.. .,a n ,b) следует существование V 6 Fy(X),
го Fy(Y)
из
для которо
\= Ф ( а 1 , . . . , ariJb'). В самом деле, найдется конечное подмно
жество Х\ С X такое, что a i , . . . , a n входят в подалгебру, порожденную множеством Х\. Пусть ц> — некоторое отображение У на себя, оставля ющее Х\ на месте и такое, что продолжение
переводит элемент b в элемент V =
Тогда
Fy(Y) (= Ф(ах,..., a n ,
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
596
А. Г. Пину с, Г. Роуз
жденных У-свободных алгебр понятен интерес к вопросу об элементарной эквивалентности производных структур от свободных алгебр многообра зий, обзор результатов по этому вопросу см. в [1]. В частности, там доказа но, что для любого нормального многообразия У, для любых множеств X , У решетки конгруэнции алгебр Fy(X),
Fy(Y) элементарно эквивалентны
тогда и только тогда, когда множества X, Y эквивалентны в логике второ го порядка. Возникает вопрос об элементарной эквивалентности структур, связанных с понятием подалгебры, для У-свободных алгебр с различным числом порождающих. Для любой алгебры Л через SubA обозначим решетку подалгебр ал гебры Л, а через 8иЬ с Л — верхнюю полурешетку конечно-порожденных по далгебр алгебры Л (полурешетку компактных элементов решетки ЭиЬЛ). Практически дословно повторяя доказательство элементарной эквивалент ности алгебр Fv(X),
Fy(Y) для бесконечных множеств X, Y, получаем
следующее утверждение: для любого многообразия V и любых бесконечных множеств X} Y f полурешетки Subci*V(X), SubcFy(Y)
элементарно
эквивалентны.
Введем следующее определение. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Будем говорить, что многообразие У обладает свойством исключения, если для любого множества X и любого его эле мента х множество Fy(X) \ {х} является подалгеброй алгебры
Fy(X).
Очевидно, что свойством исключения обладают произвольное нор мальное многообразие и произвольное многообразие полурешеток. В силу хорошо известного факта о V- и Л-неразложимости У-свободных порождающих У-свободных решеток [2, лемма 1.4], любое многообра зие У решеток обладает свойством исключения. Очевидно следующее утверждение: если V — многообразие со свойством исключения, то алгебры вида Fy{X) \ {х} и только они являются коатомами в решетке SubFy(X). Подалгебры вида Fy(X)
\ {х} далее обозначим Су(Х,х).
Пусть
Ф(г;) — элементарная формула теории решеток, утверждающая, что v яв-
Элементарная эквивалентность решеток подалгебр
597
ляется коатомом. Рассмотрим формулу Ф(г>) = Эи(Ф(и)&1) < u&Vw(w jC u -> v < w)). В силу замеченного выше для любой подалгебры А алгебры SubFv{X)
Fy(X)
И Ф(Л) <=> А = (а)
для некоторого ж 6 X. Здесь и далее (У) обозначает подалгебру рассма триваемой алгебры, порожденную множеством У. Если сигнатура многообразия V конечна, то для любого конечного множества X алгебра Су{Х,) х) конечно-порождена, В силу этого и заме ченного выше имеет место следующее утверждение: для любого многообразия V конечной сигнатуры со свойством исключения, $uhcFy(X),
для любых
конечных
множеств
X,
У
полурешетки
Sub c Fy(y) элементарно эквивалентны тогда и только то
гда, когда \Х\ = |У|. Точно так же заметим, что: для любого многообразия V со свойством исключения, для любых конечных множеств X, У решетки SnbFy(X),
SuhFv(Y)
элементарно
эквивалентны тогда и только тогда, когда \Х\ = |У|. Для решеток подалгебр бесконечно порожденных свободных алгебр многообразий со свойством исключения ситуация неоднозначна. Прежде всего, укажем пример, когда все такие решетки элементарно эквивалент ны. Пусть сигнатура многообразия состоит из одной одноместной функции / , а нормальное многообразие V задается тождеством f(x) = f(y)- Тогда очевидно, что для любого множества X SubFv(*)SE<2*;U,n), и тем самым для любых бесконечных множеств Х , У имеет место эле ментарная эквивалентность решеток SubFy(X), S\ibFv(Y).
Здесь 2х —
совокупность всех подмножеств множества X. Укажем теперь несколько естественных условий, при которых для многообразия V со свойством исключения элементарная эквивалентность
598
А. Г. Пину с, Г. Роуз
решеток SubfV(X), SubFy (Y) равносильна эквивалентности множеств X , Y в логике второго порядка. Многообразие V назовем бинарным^ если его сигнатура содержит хо тя бы одну двухместную функцию / такую, что при х ф у тождества f(xiV)
=
х и
f{x,y)
— У н е входят в эквациональную теорию V. Мно
гообразие V назовем 2-конечным, если свободная 2-порожденная алгебра этого многообразия конечна. Напомним, что многообразие V называется идемпотентным, если для любой его сигнатурной функции / ( ж ь . . . , хп) на V истинно тождество / ( ж , . . . , х ) = х. Напомним также, что логика вто рого порядка является расширением узкого исчисления предикатов при разрешении в формулах навешивать кванторы V и Э по предикатам. Два кардинала называются эквивалентными в логике второго порядка, если их теории в логике второго порядка совпадают. Т Е О Р Е М А . Пусть V — конечно базируемое бинарное идемпотентное 2-конечное многообразие со свойством исключения
конечной
сигнатуры.
решетки
SubFv(X),
Тогда для любых бесконечных мноэюеств X, Y SnbFy(Y)
элементарно эквивалентны тогда и только тогда,
когда множества X, Y эквивалентны в логике второго порядка. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть многообразие V удовлетворяет всем условиям теоремы и / — двухместная функция, входящая в сигнатуру о многообразия V такая, что V \£ f(x,y)
= х и V \£ f(x,y)
= У-
Будем использовать введенные выше формулы Ф(г>),Ф(г>) сигнатуры те ории решеток. При этом, как отмечено выше, *(SubjFV(#)) = X, где Ф(£) = {х £ L | L \=. Щх)}. Фиксируем некоторое разбиение Go бесконечного множества X на двухэлементные подмножества. Через PartA обозначим решетку разбие ний множества X , а через PartX| > ©о ~ фильтр этой решетки, поро жденный разбиением во- Очевидно, что PartA ^ PartA" | > О 0 . Пусть теперь О G PartA | > QQ. Через Ъ® обозначим подалгебру
Элементарная эквивалентность решеток подалгебр алгебры Fy(X),
599
порожденную множеством
Се = {/(at, Sj) | »и Xj Е X, st- ^ Xj и ©(ж,-, я,-)} Заметим, что для произвольных различных х, у Е X подалгебра Ъ®П f)Fv(x^y)
непустая в том и только в том случае, если истинно отношение
©(#, у). Действительно, если ©(#, у), то /(ж, у) Е Ъ@ П Fy(#, у). Допустим теперь, что для некоторого t(x, у) Е Fy(x) у)Г)Ъ& имеет место -i@(#, у). То гда найдется терм q сигнатуры а, построенный из порождающих, которые входят в С©, такой, что на V истинно тождество t(x,y) = q. Таким образом, q = q(x}y,u)
= Л(/(ж, t*i),..., / ( у , и * ) , . . . , f{us, < ) , . . . ) ,
здесь Ui,ufj Е X и те элементы я, у, t^, w'-, которые входят в аргументы произвольного вхождения функции / в Л, попарно различны, но ©-экви валентны. Итак, на V истинно тождество Ч/О*» «i)> • • • 1 /(У» uk)j • • м /(w„ ^ ) , •..) = *(а, у). Подстановка вместо у элемента #, в силу идемпотентности V, влечет истинность на V равенства Ч / ( ж > w i)> • • • 1 /( ж 1 ? i *)> • • •» /( t t *> u e ) i • • •) = х-
(*)
В силу того, что имеет место отношение ^0(аг,у), все элементы х.щ^и^
которые входят в аргументы произвольного вхождения функции
/ в левую часть равенства (*), попарно различны, и тем самым элементы /(ж, t i j ) , . . . , f(x,Uk),...,
/(м в , w j , . . . алгебры Fy{X) отличны от элемента
х. Тогда равенство (*) противоречит свойству исключения для многообра зия V. Поэтому для различных ж, у из X отношение @(#,у) выполняется в том и только в том случае, если подалгебра Во П JFV(x, у) непустая. В силу условия 2-конечности многообразия V фильтр, порожденный подалгеброй ({х) V (у)) Г) Б е в решетке SubFy (я, у), конечен, а в силу от меченного выше найдется некоторое натуральное к < |SubFy(#,y)| такое, что для любых различных х) у Е А' эквивалентны следующие условия:
600
А. Г. Пину с, Г. Роуз 1)в(х,у), 2)|[«&>V
]|0. Здесь [({х) V (у)) П £©, (ж) V (у)] — фильтр, порожденный в решетке
SuhFy(#, у) подалгеброй 23© П Fy (я,у). Пусть N(u, г>, гу) — формула элементарной теории решеток, утвер ждающая, что мощность интервала [(и V v) Л w, tz V г;] не превосходит &, Тогда для любых различных я, у Е X и любой в £ PartX| > во 0(х, у) <* SubFy(X) И *«*>, (У), Be). Пусть формула г/(гу) теории решеток утверждает, что отношение, за даваемое фюрмулой H(u,v,w)
на множестве X, которое выделяется в ре
шетке формулой Ф(?г), является отношением эквивалентности, входящим
в PartX| > в 0 . Тем самым элементарные формулы теории решеток Ф(«), TJ(W)) <
&(u)v,w)&4?(u)$z4?(v)&lri(w) задают элементарную интерпретацию в ре
шетке SnbFy(X)
модели, изоморфной модели (X, PartX| > Go, 6 (ж, у, г)),
где предикат Е (я, у, г) утверждает, что элементы ж, у множества X экви валентны относительно разбиения z множества X. То есть, в элементарной теории решетки SubFy(X) интерпретируется и модель (X/Go, PartX/0o, £ (а,у,*)> £ (X,PartX, € (х,у,*)>. Хорошо известно (см., к примеру, [3, 4]), что элементарная эквива лентность моделей вида (X, PartX, € (ж, у, ^)), (У, Party, G (я, у, 2:)) равно сильна эквивалентности множеств Х) У в логике второго порядка. Таким образом, элементарная эквивалентность решеток SubFy(X), SubFv^Y) влечет эквивалентность множеств X, У в логике второго порядка. В свою очередь, эквивалентность в логике второго порядка множеств JT, У наряду с конечностью сигнатуры и конечной базируемостью мно гообразия V очевидным образом влечет элементарную эквивалентность решеток SubFy(X), SubFy(y). Теорема доказана. С Л Е Д С Т В И Е 1. Для любого конечно базируемого многообразия V решеток [многообразия полурешеток), для любых множеств X} У эле-
Элементарная эквивалентность
ментарная
эквивалентность
эквивалентности
решеток
подалгебр
решеток SnhFy(X),
множеств
601
S\ibFy(Y)
X, Y в логике второго
равносильна
порядка.
Напомним, что понятие директойда определено в работе [5]. С Л Е Д С Т В И Е 2. Для коммутативных
директойдов,
ная эквивалентность валентности
любого конечно базируемого для любых множеств
решеток
множеств
SuhFv(X),
многообразия
X, Y
элементар
SubjFV(Y) равносильна
X, Y в логике второго
экви
порядка.
ЛИТЕРАТУРА 1. A, CL Pinus, H.Rose,
Second order equivalence of cardinals: an algebraic
approach, to appear. 2. J.Freese,
J.Jezek,
J. B.Nation,
Free lattices (Math. Surv. Monogr., 42),
Providence, RI, Am. Math. Soc, 1995. 3. А. ППинус, Элементарная эквивалентность решеток разбиений, Сиб. матем. ж., 29, N 3 (1988), 211-212. 4. С. Naturman, H. Rose, Elementary equivalent pairs of algebras associated with sets, Algebra Univers., 28, N 3 (1991), 324-338. 5. J. Jezek, R. Quackenbush, Directoids: algebraic models of up-directed sets, Algebra Univers., 27, N 1 (1990), 49-69.
Адреса авторов:
Поступило 10 августа 1999 г. Окончательный вариант 20 октября 1999 г.
П И Н У С Александр Георгиевич,
ROSE Henry
РОССИЯ,
Department of mathematics
630099, г. Новосибирск,
к applied mathematics
ул. Революции, д . 10, кв. 15.
University of Cape Town
e-mail: [email protected]
Rondebosch 7701 SOUTH AFRICA e-mail: [email protected]
