ᮢë ⥮ਨ ¢á¯«¥áª®¢ ®¢¨ª®¢ ..
â¥çª¨ ..
®¤¥à¦ ¨¥ 1
¢¥¤¥¨¥
2
2
¡®§ ç¥¨ï ¨ ®¯à¥¤¥«¥¨ï
4
3
à®â®â¨¯ë ¢á¯«¥áª®¢ ¢ à ¡®â å 㧨 ¨ «ì¤¥à®
7
4
८¡à §®¢ ¨¥ ¡®à
9
5
ª®®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥
12
6
â¥£à «ì®¥ ¢á¯«¥áª®¢®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥
13
7
¢®¨çë¥ ¢á¯«¥áª¨ ¨ ä®à¬ã«ë ®¡à 饨ï
17
8
३¬ë
19
9
ᯫ¥áª®¢ë¥ àï¤ë
21
10 ¨á⥬ à ¯àאַ©
24
11 à ⮬ áèâ ¡ë© «¨§ ¢
L2(R)
27
12 ¨á⥬ ¨ââ ª¥à -¥® -®â¥«ì¨ª®¢
33
13 ®áâ âë ¥®¯à¥¤¥«¥®áâ¨
35
14 ᯫ¥áª¨ ¥©¥à
35
1
15 ᯫ¥áª¨ ¥¬ à¨-íâ« ¨ â६¡¥à£
36
16 à⮣® «ìë¥ ¢á¯«¥áª¨ á ª®¬¯ ªâë¬ ®á¨â¥«¥¬
40
17 ëáâàë¥ «£®à¨â¬ë
42
18 ®«ã®à⮣® «ìë¥ á¯« ©-¢á¯«¥áª¨ á ª®¬¯ ªâë¬ ®á¨â¥«¥¬
45
19 ¥£ã«ïàë¥ ¢
L2(Rn)
47
20 ¥à ¢¥á⢠¥àè⥩
50
21 ¥£ã«ïàë¥ ¨ ¯®«¨®¬ë
52
22 ¢ ¯à®áâà áâ¢ å ®¡®«¥¢
59
23 ¯¥à â®àë
Qj = Pj+1 , Pj
61
24 à®áâà á⢠¥á®¢ 25 ஥ªâ®àë
Pj
66
¨ ¯á¥¢¤®¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ®¯¥à â®àë
26 ᯫ¥áª®¢ ï å à ªâ¥à¨§ æ¨ï ¯à®áâà á⢠¥«ì¤¥à ®¡®«¥¢
Ws 2
¨ ¥á®¢
Bps;q
27 ᯫ¥áª®¢ ï å à ªâ¥à¨§ æ¨ï ¯à®áâà á⢠28 ᯫ¥áª®¢ ï
Wps(Rn )
å à ªâ¥à¨§ æ¨ï
29 ¥à¨®¤¨ç¥áª¨¥ ¢á¯«¥áª¨
1
67
Cs ;
H 1(Rn) ¨ BMO
¯à®áâà áâ¢
Lp(Rn)
71 73
¨ 78 80
¢¥¤¥¨¥
ᯫ¥áª®¬, ¢ á ¬®¬ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥, §ë¢ îâ ®¯à¥¤¥«¥ãî ç¨á«®¢®© ®á¨ äãªæ¨î , ¨¬¥îéãî ã«¥¢®¥ á।¥¥ ¨ ¤®áâ â®ç® ¡ëáâ஥ ã¡ë¢ ¨¥ ¡¥áª®¥ç®áâ¨. ¥à¬¨ ¢á¯«¥áª ¯à¥¤«®¦¥ ..᪮«ª®¢ë¬ ¢ ª ç¥á⢥ íª¢¨¢ «¥â £«¨©áª®£® â¥à¬¨ wavelet (äà. - ondelette), çâ® 2
¡ãª¢ «ì® ¯¥à¥¢®¤¨âáï ª ª ¬ «¥ìª ï (¨¬¥¥âáï ¢ ¢¨¤ã ¯à®¤®«¦¨â¥«ì®áâì) ¢®« , ¢®«®çª . ¥à¬¨ ¢á¯«¥áª «ãçè¥ ®âà ¦ ¥â áãâì ¤¥« , â ª ª ª ¢ëè¥ ã¯®¬ïãâë¥ á¢®©á⢠®§ ç îâ, çâ® äãªæ¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© § âãå î饥 ª®«¥¡ ¨¥. ᯫ¥áª¨ ¨á¯®«ì§ãîâáï ¨«¨ ¢ ª ç¥á⢥ ï¤à ¨â¥£à «ì®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ! Z t , b 1 (1.1) (W f )(a; b) = pa f (t) a dt; a; b 2 R; a > 0; R ¨«¨ ¢ ª ç¥á⢥ £¥¥à¨àãî饩 äãªæ¨¨ ¤«ï ¯®áâ஥¨ï ¡ §¨á ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¤¨« â 権, â.¥. ᦠ⨩ á á®åà ¥¨¥¬ ®à¬ë ¢ L2(R) j (t) := j 0(t) := 2j=2 (2j t); j 2 Z; ¨ ᤢ¨£®¢ jk (t) := j (t , k 2,j ) = = 2j=2 (2j t , k); k 2 Z: ¥®à¨ï ¢á¯«¥áª®¢ «¥¦¨â ¯¥à¥á¥ç¥¨¨ ç¨á⮩ ¬ ⥬ ⨪¨, ¢ëç¨á«¨â¥«ì®© ¬ ⥬ ⨪¨, ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ᨣ «®¢ ¨ ¨§®¡à ¦¥¨©. ᯫ¥áª®¢ë© «¨§ 室¨â ¢á¥ ¡®«¥¥ è¨à®ª®¥ ¯à¨¬¥¥¨¥ ¢ à §«¨çëå ®¡« áâïå 㪨, â ª ª ª ® ¤ ¥â ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡ãî ¨ä®à¬ æ¨î ® ᨣ «¥, ¨§®¡à ¦¥¨¨ ¨«¨ ®¯¥à â®à¥, 祬 áâ ¤ àâë© «¨§ ãàì¥. â¥£à «ì®¥ ¢á¯«¥áª®¢®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¤ ¥â ®¤®¢à¥¬¥® «®ª «ìãî ¨ä®à¬ æ¨î ® äãªæ¨¨ ¨ ® ¥¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨ ãàì¥, ¯à¨ç¥¬ ¤«ï «¨§ ¢ë᮪®ç áâ®âëå á®áâ ¢«ïîé¨å äãªæ¨¨ - «®ª «¨§ æ¨ï ¡®«¥¥ ᨫì ï (¤«ï ¯®¢ë襨ï â®ç®áâ¨), ¤«ï ¨§ª®ç áâ®âëå - «®ª «¨§ æ¨ï ¡®«¥¥ á« ¡ ï (¤«ï ¯®«ãç¥¨ï ¯®«®© ¨ä®à¬ 樨). ᯫ¥áª®¢ë¥ àï¤ë ®ç¥ì 㤮¡ë ¤«ï ¯à¨¡«¨¦¥ëå ¢ëç¨á«¥¨©, ¯®áª®«ìªã ª®«¨ç¥á⢮ ®¯¥à 権, ¥®¡å®¤¨¬ëå ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï ª®íää¨æ¨¥â®¢ à §«®¦¥¨ï, â ª ¦¥ ª ª ¨ ª®«¨ç¥á⢮ ®¯¥à 権 ¤«ï ¢®ááâ ®¢«¥¨ï äãªæ¨¨ ¯® ¥¥ ¢á¯«¥áª®¢ë¬ ª®íää¨æ¨¥â ¬, ¯à®¯®à樮 «ì® ª®«¨ç¥áâ¢ã ®âáç¥â®¢ äãªæ¨¨. ¥à¥ç¨á«¥ë¥ ®á®¡¥®á⨠¢á¯«¥áª®¢ ¤¥« îâ ¨å ®ç¥ì ¯®¯ã«ïà묨 ¢ á ¬ëå à §«¨çëå ¯à¨«®¦¥¨ïå: ¯à¨ «¨§¥ ᢮©á⢠ᥩᬨç¥áª¨å ¨ ªãáâ¨ç¥áª¨å ᨣ «®¢ (¨¬¥® §¤¥áì ¢¯¥à¢ë¥ ¢®§¨ª â¥à¬¨ wavelet [GM]); ¯à¨ ®¡à ¡®âª¥ ¨ á¨â¥§¥ à §«¨çëå ᨣ «®¢, ¯à¨¬¥à à¥ç¥¢ëå; ¯à¨ «¨§¥ ¨§®¡à ¦¥¨©; ¤«ï ¨§ã票ï âãà¡ã«¥âëå ¯®«¥©; ¤«ï ᦠâ¨ï ¡®«ìè¨å ®¡ê¥¬®¢ ¨ä®à¬ 樨 ¨ â.¤. ᮢ묨 ¬®®£à ä¨ï¬¨ ® ¢á¯«¥áª å ïîâáï [M],[D],[C]. àãá᪮¬ ï§ëª¥ «¨â¥à âãàë ¯® ¢á¯«¥áª ¬ ªà ©¥ ¬ «®. ⬥⨬ ¥¤ ¢¨© ®¡§®à ..áâ ä쥢®© [A] ¨ ¯à¥¤ë¤ãéãî áâ âìî ¢â®à®¢ [NS]. 3
2
¡®§ ç¥¨ï ¨ ®¯à¥¤¥«¥¨ï
kf kp = (RRn jf (x)jpdx)1=p - ®à¬ ¢ ¯à®áâà á⢥ Lp(Rn); 1 p < 1:
e { å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª ï äãªæ¨ï ¬®¦¥á⢠e: jej { ¬¥à ¥¡¥£ ¬®¦¥á⢠e Rn: ®¤ã«¨ ¥¯à¥à뢮áâ¨: ! (h; f ) := supjx,yj
Rn++1 := f(x; t) : x 2 Rn ; t > 0g - ¢¥à奥 ¯®«ã¯à®áâà á⢮. [xk]k - § ¬ëª ¨¥ «¨¥©®© ®¡®«®çª¨ fxk gk ¢ à áᬠâਢ ¥¬®¬ ¯à®-
áâà á⢥. - ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á. C (A) - ¯à®áâà á⢮ äãªæ¨©, ¥¯à¥àë¢ëå A: C m(A) - ¯à®áâà á⢮ äãªæ¨©, m à § ¥¯à¥à뢮 ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬ëå A: D(Rn ) - ¯à®áâà á⢮ ¡¥áª®¥ç® ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬ëå äãªæ¨© á ª®¬¯ ªâë¬ ®á¨â¥«¥¬. S (Rn) - ¯à®áâà á⢮ ¢ àæ ¡¥áª®¥ç® ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬ëå ¡ëáâà® ã¡ë¢ îé¨å ¡¥áª®¥ç®á⨠äãªæ¨©. ८¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ äãªæ¨¨ f 2 S (Rn ) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© Z bf (!) := e,ihx;!if (x) dx; ! 2 Rn; (2.1) Rn R £¤¥ hx; !i := Pn1 xk !k : ®£¤ f (x) = (21)n Rn eihx;!ifb(!) d!; x 2 Rn ¨ R R (2)n Rn jfb(!)j2d! = Rn jf (x)j2dx (⮦¤¥á⢮ « è¥à¥«ï). «ï ¬ã«ì⨨¤¥ªá = ( 1; : : :; n) @ := (@=@x1) 1 + + (@=@xn) n ¨ j j := 1 + + n: 4
= @x@221 + @x@222 + + @x@22n : ãáâì z := x + it; £¤¥ (x; t) 2 R2+ : ãªæ¨ï f (z) ¯à¨ ¤«¥¦¨â ¯à®áâà áâ¢ã न Hp(R2+); 0 < p < 1; ¥á«¨ ® £®«®¬®àä R2+ ¨ ¯à¥¤¥«¥¨¥ 2.1
sup
Z
t>0
¯à¥¤¥«¥¨¥ 2.2
1=p
R
jf (x + it)jp dx
< 1:
(2.2)
¤à® ã áá® Rn++1 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©
pa(x) := ,(n+1)=2,( n +2 1 ) (jxj2 + aa2)(n+1)=2 ; x 2 Rn; a > 0: â¥£à «®¬ ã áá® §ë¢ îâ ᢥàâªã äãªæ¨¨ f á ï¤à®¬ pa :
F (x; a) :=
Z
Rn
pa(x , y)f (y)dy; x 2 Rn; a > 0:
ãªæ¨ï F ï¥âáï £ ମ¨ç¥áª®© Rn++1 ¨ ᮢ¯ ¤ ¥â £à ¨æ¥ Rn++1 á f: ¥ª á ⥫ì ï ¬ ªá¨¬ «ì ï äãªæ¨ï à ¢ n F (x) := sup (x) jF (y; a)j; £¤¥ (x) := f(y; a) 2 R+ : a > jy , xjg - ª®ãá 㧨 . ¥é¥áâ¢¥ë¥ ª« ááë न H p (Rn );R p > 0; á®áâ®ïâ ¨§ «®ª «ì® j < 1 ¨ ¥ª á ⥫ì¨â¥£à¨à㥬ëå äãªæ¨© f; ¤«ï ª®â®àëå Rn 1+jfjx(xjn)+1 ï ¬ ªá¨¬ «ì ï äãªæ¨ï F ¯à¨ ¤«¥¦¨â Lp (Rn ), kf kH p(Rn) = kF kLp(Rn ): ãªæ¨ï f 2 L2loc (Rn ) ¯à¨ ¤«¥¦¨â ¯à®áâà áâ¢ã BMO(Rn ), ¥á«¨ ® ¨¬¥¥â ®£à ¨ç¥ë¥ á।¨¥ ®á樫«ï樨 (Bounded Mean Oscillations) ¯à¥¤¥«¥¨¥ 2.3
!1=2 Z 1 2 sup jB j jf (x) , fB j dx = kf kBMO < 1; B B R £¤¥ sup ¡¥à¥âáï ¯® ¢á¥¬ è à ¬ B Rn ¨ f := 1 f (x)dx: B
5
jB j B
८¡à §®¢ ¨¥¬ ¨«ì¡¥àâ Hu ¤¥©á⢨⥫쮩 äãªæ¨¨ u §ë¢ îâ ¤¥©á⢨⥫ìãî äãªæ¨î v, â ªãî, çâ® äãªæ¨ï u(x) + iv (x) ï¥âáï á«¥¤®¬ R £®«®¬®à䮩 äãªæ¨¨ f (x + iy): â¥à¬¨ å ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥ íâ® íª¢¨¢ «¥â® ⮬ã, çâ® vb( ) = ,i sgn()ub(): ¯à¥¤¥«¥¨¥ 2.5 ¨¥©ë© ®¯¥à â®à, ®¯à¥¤¥«¥ë© ¨ ®£à ¨ç¥ë© ¢ L2(Rn ), §ë¢ ¥âáï ®¯¥à â®à®¬ «ì¤¥à® -¨£¬ã¤ , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â äãªæ¨ï K (x; y ); ®¯à¥¤¥«¥ ï ¯à¨ x; y 2 Rn ; x 6= y; â ª ï, çâ® ¤«ï ¥ª®â®à®£® > 0 jK (x; y)j jx,Cyjn ; ¯à¥¤¥«¥¨¥ 2.4
jK (x; y) , K (x; y0)j C jxjy,,yyjn0 j+ ; jy , y0j 12 jx , yj; jK (x; y) , K (x0; y)j C jxjx,,yxjn0j+ ; jx , x0j 12 jx , yj; ¨ ¤«ï «î¡®© äãªæ¨¨ f 2 D(Rn ) ¨ ¤«ï «î¡®£® x 62 supp f R Tf (x) =
K (x; y)f (y)dy: ¥®à¥¬ 2.1 ãáâì T { ®¯¥à â®à «ì¤¥à® -¨£¬ã¤ . ®£¤ ¯à¨ 1 < p < 1 kTf kp Cp jkT kj kf kp; £¤¥ jkT kj := kT k2 + inf C: ¯à¥¤¥«¥¨¥ 2.6
᫨ s = 0; â® ¯à®áâà á⢮ ®¡®«¥¢ W2s (Rn ) ᮢ¯ ¤ ¥â á L2 (Rn ): «ï s 2 N äãªæ¨ï f ¯à¨ ¤«¥¦¨â W2s (Rn ); ¥á«¨ ® ¯à¨ ¤«¥¦¨â L2(Rn ) ¢¬¥á⥠ᮠ¢á¥¬¨ ᢮¨¬¨ ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ @ f (¢ á¬ëá«¥ ®¡®¡é¥ëå äãªæ¨©) á j j s: R §¢¥áâ®, çâ® ¯®á«¥¤¥¥ íª¢¨¢ «¥â® Rn (1 + j!j2 )s jfb(! )j2 d! < 1; çâ® ¯à¨¨¬ ¥âáï ¢ ª ç¥á⢥ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à¨ ¯à®¨§¢®«ì®¬ s 0: à®áâà á⢠W2s (Rn ) ¤«ï s < 0 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª ¤¢®©á⢥®¥ ª , W2 s (Rn): ਬ¥ïï ⮦¤¥á⢮ àᥢ «ï, «¥£ª® ¯®«ãç¨âì, ç⮠㬥८¥ à á¯à¥¤¥«¥¨¥ S ¯à¨ ¤«¥¦¨â W2s(Rn ) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¥£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ Sb ¯à¨ ¤«¥¦¨â L2loc (Rn ) ¨ 㤮¢«¥â¢®R 2 b àï¥â ãá«®¢¨î Rn jS (!)j (1 + j! j2)s d! < 1: ¯à¥¤¥«¥¨¥ 2.7 ãáâì 1 p 1:
᫨ s 0 ¨ s { 楫®¥, â® ¯à®áâà á⢮ Wps á®á⮨⠨§ äãªæ¨© f; â ª¨å, çâ® f ¨ ¢á¥ ¥¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ @ f á j j s ¯à¨ ¤«¥¦ â Lp(Rn): â® íª¢¨¢ «¥â® ãá«®¢¨î (I , )s=2f 2 Lp(Rn ): ®á«¥¤¥¥ ãá«®¢¨¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â Wps ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® ¤¥©á⢨⥫쮣® s: Rn
6
ãáâì 1 p; q 1; s > 0 ¨ s < m 2 N: ãªæ¨ï f ¯à¨ ¤«¥¦¨â ¯à®áâà áâ¢ã ¥á®¢ Bps;q ; ¥á«¨ f 2 Lp (Rn ) ¨ áãé¥áâ¢ãîâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¯®«®¦¨â¥«ìëå ç¨á¥« j ¨§ lq(N) ¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì äãªæ¨© fj ¨§ Lp (Rn ); â ª¨¥, çâ® ¯à¥¤¥«¥¨¥ 2.8
kf , fj kp j 2,js ; j 2 N;
(2.3)
¨
k@ fj kp j 2(m,s)j ; ¤«ï «î¡®£® ¬ã«ì⨨¤¥ªá 2 Nn á j j = m:
(2.4)
ਠ0 < s < 1 ¯à®áâà á⢮ ¥«ì¤¥à Cs (Rn ) á®á⮨⠨§ äãªæ¨© f 2 C (Rn) â ª¨å, çâ® supx2Rn jf (x)j < 1 ¨ suph>0 !h(hs ) < 1: C1(Rn ) - íâ® ª« áá ¨£¬ã¤ : C1(Rn ) := ff 2 C (Rn) : supn jf (x)j < 1; sup !2(h; f ) < 1g: ¯à¥¤¥«¥¨¥ 2.9
x2R
h>0
«ï s 2 (m; m + 1]; m 2 N;
h
Cs (Rn) := ff 2 C m(Rn) : 8j j m @ f 2 Cs,m g:
3
à®â®â¨¯ë ¢á¯«¥áª®¢ ¢ à ¡®â å 㧨 ¨ «ì¤¥à®
¤® ¨§ ¯¥à¢ëå ¯®ï¢«¥¨© ¢á¯«¥áª®¢ ¢ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¬ «¨§¥ ®â®á¨âáï ª 30-âë¬ £®¤ ¬. ®à®è® ¨§¢¥áâ ï å à ªâ¥à¨§ æ¨ï ¯à®áâà á⢠Hp ¢ â¥à¬¨ å ¨â¥£à « ¯«®é ¤¥© ¨«¨ äãªæ¨¨ 㧨 [L] ᮤ¥à¦¨â ¯à®â®â¨¯ë ¢á¯«¥áª®¢ (á¬. [CW]). ¡®â ..㧨 [L] ¯®á¢ïé¥ «¨§ã ¨ á¨â¥§ã äãªæ¨© ¨§ p H (R2+) ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¨â¥£à «ì®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ZZ 2 i (3.1) f (x) = 2 tf 0(y + it) (x ,dydt y + it)2 ; x 2 R: R+ ।áâ ¢«¥¨î (3.1) ¬®¦® ¯à¨¤ âì ¢á¯«¥áª®¢ë© ¢¨¤ (1.1). áᬮâਬ äãªæ¨î (t) := (t + i),2; t 2 R; ª®â®à ï ®á樫«¨àã¥â (â.¥. 7
R (t)dt = 0), ॣã«ïà ¨ «®ª «¨§®¢ . « £®¤ àï í⨬ ᢮©á⢠¬ à®R ¤® ç «ì¨ª¨ ¢á¯«¥áª®¢ .à®áᬠ(A.Grossman) ¨ .®à«¥ (J.Morlet) [GM] §¢ «¨ - wavelet, ¡ãª¢ «ì® ¬ «¥ìª ï (¨¬¥¥âáï ¢ ¢¨¤ã ¯à®¤®«¦¨â¥«ì®áâì) ¢®« .
¨á.1. à 䨪 Re( (t)): ¨á.2. à 䨪 Im( (t)): t , b , 1 = 2 áᬮâਬ a;b(t) := a ( a ) = a3=2(t , b + ia),2 ¤«ï a > 0; b 2 R: ¯à¥¤¥«¨¬ (W f )(a; b) := hf; a;bi = 2ia3=2f 0(b + ia): (3.2) ᨫã (3.1) äãªæ¨ï f ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ á㯥௮§¨æ¨î ¢á¯«¥áª®¢ a;b(t) á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ (W f )(a; b): «ï «î¡®© äãªæ¨¨ f 2 H2 (R2+ ) ¨¬¥¥¬ RR f (x) = 2i R2+ af 0(b + ia) (x,dbda b+ia)2 = (3.3) R R = 12 01 [ R (W f )(a; b) a;b(x) db] ada2 : ।áâ ¢«¥¨¥ (3.1) ¯®§¢®«ï¥â ®å à ªâ¥à¨§®¢ âì äãªæ¨¨ ¨§ Hp(R2+): ¯à¥¤¥«¥¨¥ 3.1 â¥£à «®¬ ¯«®é ¤¥© ¨«¨ äãªæ¨¥© 㧨 §ë¢ ¥âáï !1=2 ZZ 0 2 (Sf )(x) = jf (y + it)j dydt ; x 2 R (3.4)
(x)
£¤¥ (x) = f(y; t) 2 R : t > jy , xjg - ª®ãá 㧨 . ¥®à¥¬ 3.1 ãáâì 0 < p < 1: ®£¤ f 2 Hp(R2+ ) ¥á«¨, ¨ ⮫쪮 ¥á«¨, Sf 2 Lp(R): «ï 1 < p < 1 íâ® ª« áá¨ç¥áª¨© १ã«ìâ â (á¬. [S],[Z]). «ï 0 < p 1 í⮠१ã«ìâ â . «ì¤¥à® [Ca]. áᬮâà¥ë¥ ä®à¬ã«ë ®¡®¡é îâáï ¢ ⮦¤¥á⢥ «ì¤¥à® [Ca1]. ãáâì 2 L1(Rn); RRn (x)dx = 0 ¨ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ b(!); ! 2 Rn; 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î 2
Z1 0
j b(t!)j2 dtt = 1 ¤«ï «î¡ëå ! 6= 0: 8
(3.5)
¯à¨¬¥à, ¥á«¨ ¤®áâ â®ç® ॣã«ïà , «®ª «¨§®¢ , ¨¬¥¥â ã«¥¢®¥ á।¥¥ ¨ à ¤¨ «ì , â® áãé¥áâ¢ã¥â ª®áâ â c > 0; â ª ï, çâ® c (x) 㤮¢«¥â¢®àï¥â (3.5). ®«®¦¨¬ a(x) = a,n=2 ( xa ) ¨ a;b(x) = a,n=2 ( x,a b ): «¥¤ãï [GM], ®¯à¥¤¥«¨¬ (W f )(a; b) := hf; a;bi: (3.6) ®£¤ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® á«¥¤ãîé ï ä®à¬ã« ¢®ááâ ®¢«¥¨ï da Z 1 Z (3.7) f (x) = 0 Rn (W f )(a; b) a;b(x) db an+1 : ª¢¨¢ «¥â ï ä®à¬ã«¨à®¢ª ¤«ï (3.7) ¨¬¥¥â ¢¨¤ Z1 I = QaQa ada (3.8) n+1 ; 0 £¤¥ I - ⮦¤¥áâ¢¥ë© ®¯¥à â®à, Qa(f ) = f a - ®¯¥à â®à ᢥà⪨, Qa - ᮯàï¦¥ë© ª Qa ®¯¥à â®à. ®¦¤¥á⢮ «ì¤¥à® (3.8) ¨¬¥¥â ¢ ¦ë¥ ¯à¨«®¦¥¨ï ¢ «¨§¥ ª« áá¨ç¥áª¨å äãªæ¨® «ìëå ¯à®áâà á⢠¯®á।á⢮¬ ãá«®¢¨©, ¨á¯®«ì§ãîé¨å ¬®¤ã«ì £à ¤¨¥â £ ମ¨ç¥áª®£® ¯à®¤®«¦¥¨ï (á¬. [S]). ¯à¨¬¥à, ¤«ï ¯®«ã£à㯯ë ã áá® Paf (x) := F (x; a) (®¯à. 2.2), ®¯¥à â®à Qa ¨¬¥¥â ¢¨¤ Qa = ,a(@=@a)Pa: ä®à¬ã« å (3.6) ¨ (3.7) äãªæ¨¨ a;b; b 2 Rn ; a > 0; ¨á¯®«ì§ãîâáï â ª, ª ª ¡ã¤â® ®¨ ®¡à §ãîâ ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¢ L2(Rn) : ª®íää¨æ¨¥âë à §«®¦¥¨ï ¢ëç¨á«ïîâáï ¯® ä®à¬ã«¥ (3.6), ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ äãªæ¨¨ f ¢ â¥à¬¨ å íâ¨å ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¤ ¥âáï (3.7). ®¦® § ¬¥¨âì ¨§¡ëâ®ç®¥ ¬®¦¥á⢮ äãªæ¨© a;b; b 2 Rn ; a > 0; ®à⮣® «ìë© ¡ §¨á ; 2 ; ª®â®àë© ª®áâàã¨àã¥âáï ¯® ⥬ ¦¥ «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬ ¯à ¢¨« ¬ (¯ã⥬ ᦠ⨩ ¨ ᤢ¨£®¢). à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ; 2 ; ®ª §ë¢ ¥âáï 㨢¥àá «ìë¬ ¡¥§ãá«®¢ë¬ ¡ §¨á®¬ ¤«ï ª« áá¨ç¥áª¨å ¯à®áâà á⢠äãªæ¨© ¨ à á¯à¥¤¥«¥¨©. 4
८¡à §®¢ ¨¥ ¡®à
à㣨¬ ¯à¥¤è¥á⢥¨ª®¬ ¢á¯«¥áª®¢ëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ï¥âáï ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¡®à . ãáâì äãªæ¨ï f ¯à¨ ¤«¥¦¨â L2(R) ¨ fb - ¥¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ (2.1). «ï ¢ëç¨á«¥¨ï fb(!) ¢ «î¡®© â®çª¥ ! ¢ 9
à ¢®© á⥯¥¨ ¨á¯®«ì§ãîâáï ¢á¥ § 票ï f , ¯®í⮬ã fb ¥ ®âà ¦ ¥â ¨§¬¥¥¨© ç áâ®âëå å à ªâ¥à¨á⨪ f ¯® ¢à¥¬¥¨ t: ஬¥ ⮣®, ¨§¬¥¥¨¥ äãªæ¨¨ f ¢ ᪮«ì 㣮¤® ¬ «®© ®ªà¥áâ®á⨠¯à®¨§¢®«ì®© â®çª¨ t0 ¯à¨¢®¤¨â ª ¨§¬¥¥¨î ¢á¥£® ᯥªâà . «ï ¨á¯à ¢«¥¨ï íâ¨å ¥¤®áâ ⪮¢ . ¡®à à áᬮâ५ ¢ [G] á«¥¤ãî饥 ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥. ãáâì 2 g (t) := 2p1 e, 4t ; (4.1) £¤¥ - 䨪á¨à®¢ ë© ¯ à ¬¥âà.
¨á.1. à 䨪 g ; = 1; 12 ; 14 : ãªæ¨ï g ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¢ ª ç¥á⢥ â ª §ë¢ ¥¬®£® ¢à¥¬¥®£® ®ª . ८¡à §®¢ ¨¥ ¡®à äãªæ¨¨ f 2 L2(R) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®© Z (,b f )(!) := (e,i!tf (t))g (t , b) dt: (4.2) R
á®, çâ® (, bR)(!) «®ª «¨§ã¥â R¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ â®çª¨ t = b: R ¢®ªà㣠ª ª ª R g (t , b) db = R g (x) dx = 1; â® R (,b f )(!) db = fb(!); ! 2 R: ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¡®à à §« £ ¥â ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ «®ª «ìãî ᯥªâà «ìãî ¨ä®à¬ æ¨î. ਢ¥¤¥¬ ®¡é¥¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ®ª®®© äãªæ¨¨. ãªæ¨î w §ë¢ îâ ®ª®®©, ¥á«¨ w 2 L2(R) ¨ xw(x) 2 L2(R): «ï ª®«¨ç¥á⢥®© å à ªâ¥à¨á⨪¨ «®ª «¨§®¢ ®á⨠äãªæ¨¨ w ¨á¯®«ì§ãîâáï á«¥¤ãî騥 ¢¥«¨ç¨ë: t := kw1k22 RR xjw(x)j2 dx - æ¥âà; R w := kw1k22 f R (x , t)2jw(x)j2 dxg1=2 - à ¤¨ãá: ¨à¨ äãªæ¨¨pw ¯®« £ ¥âáï à ¢®© ¤¢ã¬ à ¤¨ãá ¬. ¥£ª® ¢ëç¨á«¨âì, çâ® g = : 10
८¡à §®¢ ¨¥ ¡®à ¬®¦® ¨â¥à¯à¥â¨à®¢ âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ãáâì G b;! (t) := ei!tg (t , b):
¨á.2. à 䨪 Re(G00:;52 (t)): ¨á.3. à 䨪 Im(G00:;52 (t)): ®£¤ Z (,b f )(!) = f (t)G b;! (t) dt: (4.3) R २¬ãé¥á⢮ (4.3) á®á⮨⠢ ¢®§¬®¦®á⨠¯à¨¬¥¨âì ⮦¤¥á⢮ « ( ) = e,ib(,!) e, (,!)2 : ®í⮬ã è¥à¥«ï. ¥©á⢨⥫ì®, Gd b;! R (, bf )(!) = 21 R fb()eib(,!)e, (,!)2 d = R ib b e,ib! 1=4 b = 2ep,ib! R (e f ( ))g1=4 ( , ! ) d = 2p (,! f )(,b):
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¡®à äãªæ¨¨ f á ®ª®®© äãªæ¨¥© g ¢ â®çª¥ t = b á â®ç®áâìî ¤® ¬®¦¨â¥«ï ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ ¡®à äãªæ¨¨ fb á ®ª®®© äãªæ¨¥© g1=4 ¢ â®çª¥ = !: ந§¢¥¤¥¨¥ è¨à¨ë p®ª g p è¨à¨ã ®ª g1=4 à ¢® 2: ¥ª à⮢® ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ [b , ; b + ] [! , 2p1 ; ! + 2p1 ] íâ¨å ¤¢ãå ®ª® §ë¢ îâ p ¯àאַ㣮«ìë¬ ¢à¥¬ï-ç áâ®âë¬ ®ª®¬. ¨à¨ 2 ¢à¥¬¥®£® ®ª p §ë¢ ¥âáï è¨à¨®© ¢à¥¬ï-ç áâ®â®£® ®ª , è¨à¨ 1= ç áâ®â®£® ®ª §ë¢ ¥âáï ¢ëá®â®© ¢à¥¬ï-ç áâ®â®£® ®ª . ⬥⨬, çâ® è¨à¨ ¢à¥¬ï-ç áâ®â®£® ®ª ¢ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨ ¡®à ¥ ¨§¬¥ï¥âáï ¯à¨ ¡«î¤¥¨¨ ᯥªâà ¢á¥å ç áâ®â å. !
6
!2 !1
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p pp p p p p p p p p p p
p
p
p
p
p
p
p
p
pp p
p p
p p p
p p p
p p
p p
p p
p p
-
t1 t2 t ¨á.4. ª ¡®à . 11
5
ª®®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥
८¡à §®¢ ¨¥ ¡®à ¬®¦® ®¡®¡é¨âì. ãáâì w 2 L2(R) ¨ tw(t) 2 L2(R): ª®ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ ãàì¥ §ë¢ ¥âáï Z f (,b)(!) := (e,i!tf (t))w(t , b) dt:
(5.1)
R
®« £ ï
Wb;! (t) := ei!tw(t , b); cb;! () = e2ib! e,ib wb( , !); Vb;! () := 21 W ¨¬¥¥¬ Z Z (,fb )(!) := f (t)Wb;! (t) dt = fb()Vb;! () d: R R ª¨¬ ®¡à §®¬, ®ª®®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¤ ¥â «®ª «ìãî ¨ä®à¬ æ¨î ®¡ f ¢® ¢à¥¬¥®¬ ®ª¥ [t + b , w ; t + b + w ] ¨ «®ª «ìãî ¨ä®à¬ æ¨î ®¡ fb ¢ ç áâ®â®¬ ®ª¥ [! + ! , wb; ! + ! + wb]; £¤¥ ! - æ¥âà wb.
᫨ ¨ w, ¨ wb 㤮¢«¥â¢®àïîâ (5.1), â® ¢à¥¬ï-ç áâ®â®¥ ®ª® [t + b , w ; t + b + w ] [! + ! , wb; ! + ! + wb] ¨¬¥¥â ¯®áâ®ïãî è¨à¨ã 2w ¨ ¯®áâ®ïãî ¯«®é ¤ì 4w wb: ந§¢¥¤¥¨¥ w wb å à ªâ¥à¨§ã¥â ¢à¥¬ï-ç áâ®âãî «®ª «¨§ æ¨î w ¨ §ë¢ ¥âáï ª®áâ ⮩ ¥®¯à¥¤¥«¥®á⨠w: ¯®¬¨¬ ¯à¨æ¨¯ ¥®¯à¥¤¥«¥®á⨠(á¬., ¯à¨¬¥à, [La]). b ®£¤ ¥®à¥¬ 5.1 ãáâì w 2 L2 (R) 㤮¢«¥â¢®àï¥â (5.1) ¢¬¥á⥠á w: 1 w wb 2 : ®«¥¥ ⮣®, à ¢¥á⢮ ¤®á⨣ ¥âáï ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ w(t) = ceiatg (t , b); £¤¥ c 6= 0; > 0; a; b 2 R: ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¡®à ¨¬¥¥â ¨¬¥ì襥 ¢à¥¬ïç áâ®â®¥ ®ª®. ¥ª®â®àëå ¯à¨«®¦¥¨ïå ¯à¨å®¤¨âáï ¨á¯®«ì§®¢ âì ¡®«ì訥 ®ª ¤«ï ¯®«ãç¥¨ï ¤®¯®«¨â¥«ìëå ᢮©áâ¢, ¯à¨¬¥à «¥£ª®á⨠¢ëç¨á«¥¨©. ਢ¥¤¥¬ ä®à¬ã«ã ®¡à é¥¨ï ¤«ï ®ª®ëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ãàì¥. b 㤮¢«¥â¢®àïîâ (5.1). ¥®à¥¬ 5.2 ãáâì w 2 L2 (R); kwk2 = 1; w ¨ w ®£¤ Z Z hf; Wb;! ihg; Wb;! i db d! = 2hf; gi: R R
12
᫨ x - â®çª ¥¯à¥à뢮á⨠f , â® Z Z 1 f (x) = 2 [ei!x(,fb f )(!)]w(x , b) d! db: R R ª 㦥 ®â¬¥ç «®áì ¢ëè¥, ¢ ®ª®®¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨ ãàì¥ è¨à¨ ®ª ¥ ¨§¬¥ï¥âáï ¯à¨ ¨§ã票¨ «î¡®© ç áâ®â®© ¯®«®áë. ¤ ª®, ç áâ®â ¯àאַ ¯à®¯®à樮 «ì ç¨á«ã ¯¥à¨®¤®¢ ¢ ¥¤¨¨æ㠢६¥¨, ¯®í⮬㠤«ï «®ª «¨§ 樨 ¢ë᮪®ç áâ®âëå ¨§¬¥¥¨© ¥áâ¥á⢥® ¡à âì ¡®«¥¥ 㧪®¥ ®ª® ¤«ï 㢥«¨ç¥¨ï â®ç®á⨠¢ëç¨á«¥¨©, ¤«ï ¨§ª®ç áâ®âëå - ¡®«¥¥ è¨à®ª®¥ ¤«ï ¯®«ãç¥¨ï ¯®«®© ¨ä®à¬ 樨. ª¨¬ ®¡à §®¬, ®ª®®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ ¥ ¯à¨¬¥¨¬® ª ¨§ã票î ᨣ «®¢, ᮤ¥à¦ é¨å ª ª ®ç¥ì ¢ë᮪¨¥, â ª ¨ ®ç¥ì ¨§ª¨¥ ç áâ®âë. ë© ¥¤®áâ ⮪ ¨á¯à ¢«ï¥âáï ¢ ¨â¥£à «ì®¬ ¢á¯«¥áª®¢®¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¨¨, ¢à¥¬ï-ç áâ®â®¥ ®ª® ª®â®à®£® ¢â®¬ â¨ç¥áª¨ á㦠¥âáï ¯à¨ ¡«î¤¥¨¨ ¢ë᮪®ç áâ®âëå ¨§¬¥¥¨© ¨ à áè¨àï¥âáï ¤«ï ¨§ãç¥¨ï ¨§ª®ç áâ®âëå. 6
â¥£à «ì®¥ ¢á¯«¥áª®¢®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥
ãªæ¨î 2 L2 (R) §ë¢ îâ ¡ §®¢ë¬ ¢á¯«¥áª®¬, ¥á«¨ ® 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î: ¯à¥¤¥«¥¨¥ 6.1
Z j b(!)j2 C := j!j d! < 1: R
ਠ¯®¬®é¨ ¡ §®¢®£® ¢á¯«¥áª ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨â¥£à «ì®¥ ¢á¯«¥áª®¢®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ () L2(R) :
(W
f )(b; a) := jaj,1=2
Z
R
f (t)
£¤¥ a; b 2 R á a 6= 0:
®« £ ï
,1=2 b;a (t) := jaj
13
! t , b dt; f 2 L2(R); a ! t,b ; a
(6.1)
¨¬¥¥¬
(W f )(b; a) = hf; b;ai: (6.2) ¤ «ì¥©è¥¬, ¡ã¤¥¬ áç¨â âì çâ® ¨ , ¨ b 㤮¢«¥â¢®àïîâ (5.1). ®£¤ , ¥á«¨ æ¥âà ¨ à ¤¨ãá à ¢ë t ¨ ,ᮮ⢥âá⢥®, â® äãªæ¨ï b;a ï¥âáï ®ª®®© á æ¥â஬ ¢ b + at ¨ à ¤¨ãᮬ a . ç¨â ¤ ¥â «®ª «ìãî ¨ä®à¬ æ¨î ® äãªæ¨¨ f á ¢à¥¬¥ë¬ ®ª®¬ [b + at , a ; b + at + a ]: â® ®ª® á㦠¥âáï ¯à¨ ¬ «ëå § 票ïå a ¨ à áè¨àï¥âáï ¯à¨ ¡®«ìè¨å. áᬮâਬ ⥯¥àì ! 1 b (!) = jaj,1=2 Z e,i!t t , b dt = ajaj,1=2 e,ib! b(a!); (6.3) 2 b;a 2 R a 2 ¨ ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® æ¥âà ¨ à ¤¨ãá äãªæ¨¨ b à ¢ë ! ¨ b; ᮮ⢥âá⢥®. ®« £ ï (!) := b(! + !); ¯®«ãç ¥¬ ®ª®ãî äãªæ¨î á æ¥â஬ ¢ ã«¥ ¨ à ¤¨ãᮬ b: ਬ¥ïï ⮦¤¥á⢮ « è¥à¥«ï ª (6.2), ¨¬¥¥¬ ,1=2 Z (W f )(b; a) = aja2j fb(!)eib! (a(! , !a )) d!: R á®, çâ® ®ª® ï äãªæ¨ï (a(! , !a )) = (a! , !) = b(a!) ¨¬¥¥â à ¤¨ãá a1 b: ®í⮬ã, á â®ç®áâìî ¤® ¬®¦¨â¥«ï aja2j,1=2 ¨ «¨¥©®£® ä §®¢®£® ᤢ¨£ eib! ; W f ¤ ¥â «®ª «ìãî ¨ä®à¬ æ¨î ®¡ fb á ç áâ®âë¬ ®ª®¬ ! 1 ! 1 (6.4) a , a b; a + a b : ¤ «ì¥©è¥¬ ¡ã¤¥¬ áç¨â âì æ¥âà ! äãªæ¨¨ b ¯®«®¦¨â¥«ìë¬. ®£¤ ®ª® (6.4) ï¥âáï ç áâ®â®© ¯®«®á®© (¨«¨ ®ªâ ¢®©) á æ¥âà «ì®© ç áâ®â®© !=a ¨ è¨à¨®© ¯®«®áë 2 b=a: ¦®, çâ® ®â®è¥¨¥ æ¥âà «ì ï ç áâ®â = !=a = ! è¨à¨ 2 b=a 2 b ¥ § ¢¨á¨â ®â ¬ áèâ ¡ a. 14
â ª, ¤«ï ¨¬¥¥¬ ¯àאַ㣮«ì®¥ ¢à¥¬ï-ç áâ®â®¥ ®ª® [b + at , a ; b + at + a ] [ ! , 1 b; ! + 1 b] a a a a ⬥⨬ ¥é¥ à §, çâ® ®ª® á㦠¥âáï ¤«ï ¢ë¥¨ï ¢ë᮪®ç áâ®âëå ¥¨© ¨ à áè¨àï¥âáï ¤«ï ¨áá«¥¤®¢ ¨ï ¨§ª®ç áâ®âëå. !
6
! a1 ! a2
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p p p p p p p p p p p p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p pp p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p p
p p
p p p
p p p
p p
p p
-
b + a1t b + a2t t ¨á.1. ª . «¥¤ãî騩 १ã«ìâ â ¯®ª §ë¢ ¥â, ª ª ¢®ááâ ®¢¨âì äãªæ¨î ¯® ¥¥ . ¥®à¥¬ 6.1
f; g 2 L2(R)
ãáâì
Z Z R R
- ¡ §®¢ë© ¢á¯«¥áª.
®£¤ ¤«ï «î¡ëå
[(W f )(b; a)(W g)(b; a)] da a2 db = C hf; gi:
®«¥¥ ⮣®, ¤«ï «î¡®© f 2 L2 (R) ¨ «î¡®© â®çª¨ x; ¢ ª®â®à®© f ¥¯à¥àë¢ , Z Z 1 f ( x) = [(W f )(b; a)] b;a(x) da2 db; £¤¥
C
b;a
a
R R
®¯à¥¤¥«¥ë ¢ (6.1).
®ª § ⥫ìá⢮. ᨫã (6.3) ¨ ⮦¤¥á⢠« è¥à¥«ï Z 1 (W f )(b; a) = hf; b;ai = 2 fb(!)ajaj,1=2e,ib! b(a!) d! = 21 Fba(b); R
15
£¤¥ Fa(!) := ajaj,1=2fb(!) b(a!): ®í⮬ã, ®¯ïâì ¨á¯®«ì§ãï ⮦¤¥á⢮ « è¥à¥«ï, ¨¬¥¥¬ R R [(W f )(b; a)( W g)(b; a)] da R R a2 db = R R 1 R fb(! )gb(! ) R j b(a!)j2 da d! = = = 412 R R Fba(b)Gb a(b)db da R a2 2 R jaj 1 b = 2 C hf; gbi = C hf; gi: â®à®¥ ã⢥ত¥¨¥ ⥮६ë á«¥¤ã¥â ¨§ ¯¥à¢®£®, ¥á«¨ ¢§ïâì ¢ ª ç¥á⢥ äãªæ¨© g £ ãáᮢ᪨¥ äãªæ¨¨ g ( , x) (á¬. (4.1)) ¨ ãáâ६¨âì ª ã«î. 2 ® ¢á¯«¥áª®¢ëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨ïå ®á®¢ãî à®«ì ¨£à ¥â ª®¬¬ãâ ⨢ ï «®ª «ì® ª®¬¯ ªâ ï £à㯯 ®â®¡à ¦¥¨© R 7! R ¢¨¤ g(x) = ax + b; a 2 Rnf0g; b 2 R; x 2 R á ¬¥à®© à a,2 da db: ..㪠襪® [Lu] ®¡®¡é¨« ⥮६ã 6.1 ¯à®¨§¢®«ìãî ª®¬¬ãâ ⨢ãî «®ª «ì® ª®¬¯ ªâãî £à㯯ã. ¬¥ç ¨¥ 6.1
ਠ«¨§¥ 䨧¨ç¥áª¨å ᨣ «®¢ à áᬠâਢ îâáï ⮫쪮 ¯®«®¦¨â¥«ìë¥ ç áâ®âë. ª ª ª ç áâ®â ®¡à â® ¯à®¯®à樮 «ì ¯ à ¬¥âàã ᦠâ¨ï a: ! = !=a; â® ¢ í⮬ á«ãç ¥ ¥®¡å®¤¨¬® à áᬠâਢ âì ⮫쪮 ¯®«®¦¨â¥«ìë¥ a ¨ ¢®ááâ ¢«¨¢ âì ᨣ « ¯® § ç¥¨ï¬ (W f )(b; a); a > 0: «ï í⮣® ¡ §®¢ë© ¢á¯«¥áª ¤® «®¦¨âì ¤®¯®«¨â¥«ì®¥ âॡ®¢ ¨¥: Z 1 j b(w)j2 Z 1 j b(!)j2 1 C < 1: d! = d! = (6.5) ! ! 2 0 0 ¥®à¥¬ 6.2 ãáâì ¡ §®¢ë© ¢á¯«¥áª 㤮¢«¥â¢®àï¥â (6.5). ®£¤ ¤«ï 2 «î¡ëå f; g 2 L (R) Z 1 Z 1 1 C hf; gi: = (W f )(b; a)(W g)(b; a) db da a2 2 0 ,1 ®«¥¥ ⮣®, ¤«ï «î¡®© f 2 L2(R) ¨ «î¡®© â®çª¨ x; ¢ ª®â®à®© f ¥¯à¥àë¢ , da Z 1 Z 2 f (x) = C 0 R (W f )(b; a) b;a(x) db a2 ; £¤¥ b;a ®¯à¥¤¥«¥ë ¢ (6.1). 16
7
¢®¨çë¥ ¢á¯«¥áª¨ ¨ ä®à¬ã«ë ®¡à 饨ï
ਠ«¨§¥ ᨣ «®¢ ç áâ®âãî ®áì ç áâ® à §¡¨¢ îâ ¤¨§êîªâë¥ ç áâ®âë¥ ¯®«®áë (¨«¨ ®ªâ ¢ë). áᬮâਬ ¤¢®¨ç®¥ à §¡¨¥¨¥: S 1 (0; 1) = j=,1 (2j b; 2j+1 b)]; £¤¥ b > 0 - à ¤¨ãá ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥ b ¡ §®¢®£® ¢á¯«¥áª : ë, ª ª ®¡ëç®, ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® b 㤮¢«¥â¢®àï¥â (5.1). ¬¥â¨¬, çâ®, ¥ ®£à ¨ç¨¢ ï ®¡é®áâ¨, ¬®¦® áç¨â âì ! = 3 b (¤®áâ â®ç® ¯à¨¬¥¨âì ª ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ä §®¢ë© ᤢ¨£: 0(t) := ei t (t)). ®£¤ ¯à¨ a := 2,j ¨¬¥¥¬ j ( !a , a1 b; !a + a1 b] = (2j+1 b; 2j+2 b]: j j j j ¥âà «ì ï ç áâ®â í⮩ ¯®«®áë à ¢ !j := !aj = 3 2j b: ਠ¤®¯®«¨â¥«ìëå ¯à¥¤¯®«®¦¥¨ïå ¡ §®¢ë© ¢á¯«¥áª ®ª §ë¢ ¥âáï ¢®§¬®¦ë¬ ¢®ááâ ®¢¨âì äãªæ¨î, ¨á¯®«ì§ãï § 票ï (W f )(b; a) ⮫쪮 ¤¨áªà¥â®¬ ¬®¦¥á⢥ ç áâ®â j f!j = 3 2 bgj2Z (â.¥. a = aj ; j 2 Z). ¯à¥¤¥«¥¨¥ 7.1 ãªæ¨ï 2 L2(R) §ë¢ ¥âáï ¤¢®¨çë¬ ¢á¯«¥áª®¬, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ãîâ ¤¢¥ ¯®«®¦¨â¥«ìë¥ ª®áâ âë A ¨ B; 0 < A B < 1; â ª¨¥, çâ® ¯®ç⨠¢áî¤ã (¯.¢.) X A j b(2,j !)j2 B: (7.1) j 2Z
á«®¢¨¥ (7.1) §ë¢ îâ ãá«®¢¨¥¬ ãá⮩稢®áâ¨.
ãáâì f ,(x) := f (,x): ¯à¥¤¥«¨¬ ®à¬¨à®¢ ®¥ (Wj f )(b) := 2j=2(W f )(b; 2,j ) = 2j (f ,(2j ))(b): ᯮ«ì§ãï ⮦¤¥á⢮ « è¥à¥«ï, «¥£ª® ¯®ª § âì, çâ® (7.1) íª¢¨¢ «¥â® X Akf k22 kWj f k22 B kf k22; f 2 L2(R): j 2Z
«¥¤ãî騩 १ã«ìâ â ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¤¢®¨çë© ¢á¯«¥áª ¢á¥£¤ ï¥âáï ¡ §®¢ë¬. 17
¥®à¥¬ 7.1
¢á¯«¥áª®¬ ¨
ãáâì 㤮¢«¥â¢®àï¥â (7.1). ®£¤ ï¥âáï ¡ §®¢ë¬
Z1 b 2 Z 1 j b(,!)j2 A ln 2 j (!!)j d!; ! B ln 2: 0 0 ®«¥¥ ⮣®, ¥á«¨ A = B; â® Z b 2 C := R j j(!!j)j d! = 2A ln 2:
«ï ¢®ááâ ®¢«¥¨ï f 2 L2(R) ¯® § ç¥¨ï¬ (W f )(b; 2,j ); j 2 Z; «¥£ç¥ ¢á¥£® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¤à㣮© ¤¢®¨çë© ¢á¯«¥áª ; ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë© ¢ ®¡à § å ãàì¥ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: b(!) := P b(!) : b k2Z j (2,k ! )j2 ®£¤ P R (W f )(b)f2j (2j (x , b))g db = j 2Z R j R b ,j ix! = Pj2Z 21 R (Wd j f )(! ) (2 ! )e d! = (7.2) R P 1 , j , j ix! b b b = j2Z 2 R f (!) (2 !) (2 !)e d! = = 21 RR fb(!)eix! d! = f (x): ¯à¥¤¥«¥¨¥ 7.2 ãªæ¨ï e 2 L2 (R) §ë¢ ¥âáï ¤¢®¨ç®-¤¢®©á⢥®© ª ¤¢®¨ç®¬ã ¢á¯«¥áªã ; ¥á«¨ ª ¦¤ ï äãªæ¨ï f 2 L2(R) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥ ¢ ¢¨¤¥ R f (x) = Pj2Z R (Wj f )(b)f2j e(2j (x , b))g db = R = Pj2Z 23j=2 R (W f )(b; 21j ) e(2j (x , b)) db: ᨫã (7.2) äãªæ¨ï ï¥âáï ¤¢®¨ç®-¤¢®©á⢥®© ª : ஬¥ ⮣®, ï¥âáï ¤¢®¨çë¬ ¢á¯«¥áª®¬: 1 X j b(2,j !)j2 1 : B j2Z A ⬥⨬, çâ® ¤¢®¨ç®-¤¢®©áâ¢¥ë© ¢á¯«¥áª ª ¤ ®¬ã ¢á¯«¥áªã ¥ ¥¤¨á⢥¥. 18
ãáâì - ¤¢®¨çë© ¢á¯«¥áª ¨ e - ¯à®¨§¢®«ì ï äãªæ¨ï ¨§ L2(R); 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ãá«®¢¨î ¥®à¥¬ 7.2
ess sup
X be ,j 2 j (2 x)j < 1:
x2R j 2Z
ãªæ¨ï e ï¥âáï ¤¢®¨ç®-¤¢®©á⢥®© ª ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ X b ,j! be ,j (2 ) (2 !) = 1; ¯.¢. j 2Z
8
३¬ë
«ï ¢ëç¨á«¨â¥«ì®© íä䥪⨢®á⨠¬®¦® ¤¨áªà¥â¨§¨à®¢ âì ¨ ¯ à ¬¥âà ᤢ¨£ b; à áᬠâਢ ï ⮫쪮 ¤¨áªà¥â®¥ ¬®¦¥á⢮ § 票©: bj;k := 2kj b0; j; k; 2 Z; £¤¥ b0 > 0 - 䨪á¨à®¢ ï ª®áâ â , §ë¢ ¥¬ ï ⥬¯®¬ ¨§¬¥à¥¨©. ¡®§ 稬 j
(2j t , kb0): 㤥¬ à áᬠâਢ âì ⮫쪮 á«¥¤ãî騥 § 票ï : (W f )(bj;k ; aj ) = hf; b0;j;k i; j; k 2 Z:
᫨ áãé¥áâ¢ãîâ ª®áâ âë A ¨ B , 0 < A B < 1; â ª¨¥, çâ® X Akf k22 jhf; b0;j;k ij2 B kf k22; f 2 L2(R); b0 ;j;k (t) := bj;k ;aj (t) = 2 2
j;k2Z
(8.1) (8.2)
â® äãªæ¨î f 2 L2(R) ¬®¦® ¢®ááâ ®¢¨âì ¯® § ç¥¨ï¬ ¨§ (8.1). ¯à¥¤¥«¥¨¥ 8.1 ®¢®àïâ, çâ® äãªæ¨ï 2 L2(R) ¯®à®¦¤ ¥â ä३¬ ¢ L2 (R) á ⥬¯®¬ ¨§¬¥à¥¨© b0 > 0; ¥á«¨ ¢ë¯®«ï¥âáï (8.2) á ª®áâ â ¬¨ A ¨ B , ª®â®àë¥ §ë¢ îâáï £à ¨æ ¬¨ ä३¬ .
᫨ A = B; â® ä३¬ §ë¢ îâ ¦¥á⪨¬ (¥áâ¥á⢥® §ë¢ âì ¦¥á⪨© ä३¬ ®¡®¡é¥®© á¨á⥬®© àᥢ «ï). áᬮâਬ «¨¥©ë© ®¯¥à â®à T L2(R): X Tf := hf; b0;j;k;i b0;j;k ; f 2 L2(R): j;k2Z
19
§ (8.2) á«¥¤ã¥â, çâ® T ï¥âáï ¢§ ¨¬®-®¤®§ çë¬. ¥©á⢨⥫ì®, X hTf; f i = jhf; b0;j;k ij2: j;k2Z
®í⮬㠤«ï g = Tf ¨¬¥¥¬
AkT ,1gk22 = Akf k22 hTf; f i = hg; T ,1gi kgk2kT ,1gk2: âªã¤ kT ,1gk2 A1 kgk2 ¨«¨ kT ,1k A,1: ª¨¬ ®¡à §®¬, «î¡ãî äãªæ¨î f 2 L2(R) ¬®¦® ¢®ááâ ®¢¨âì ¯® § ç¥¨ï¬ ¨§ (8.1), ¯à¨¬¥ïï ä®à¬ã«ã X f = T ,1Tf = hf; b0;j;k iT ,1 b0;j;k : (8.3) j;k2Z
®« £ ï bj;k0 := T ,1 b0;j;k ; j; k 2 Z; ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì ä®à¬ã«ã (8.3) á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: ¤«ï «î¡ëå f; g 2 L2(R) hf; gi = Pj;k2Zhf; b0;j;k ih bj;k0 ; gi; f = P hf; i j;k : j;k2Z
áâ¥á⢥® §ë¢ âì f f b0;j;k g:
j;k b0 g
b0 ;j;k
b0
¤¢®©áâ¢¥ë¬ ä३¬®¬ ª ä३¬ã
®¢®àïâ, çâ® äãªæ¨ï 2 L2 (R) ¯®à®¦¤ ¥â ¡ §¨á ¨áá (¨«¨ ¡¥§ãá«®¢ë© ¡ §¨á) f b0;j;k g á ⥬¯®¬ ¨§¬¥à¥¨© b0 , ¥á«¨ ¢ë¯®«¥ë á«¥¤ãî騥 ¤¢ ãá«®¢¨ï: (i) «¨¥© ï ®¡®«®çª f b0;j;k gj;k2Z ¯«®â ¢ L2(R); (ii) áãé¥áâ¢ãîâ ¯®«®¦¨â¥«ìë¥ ª®áâ âë A ¨ B; 0 < A B < 1; â ª¨¥, çâ® ¤«ï «î¡ëå fcj;k g 2 l2(Z2) ¯à¥¤¥«¥¨¥ 8.2
X Akfcj;k gk2l2
cj;k
j;k2Z
2
2 b0 ;j;k
B kfcj;k gkl2 :
2
®áâ âë A ¨ B §ë¢ îâ ª®áâ â ¬¨ ¨áá ¤«ï f b0 = 1; â® äãªæ¨ï §ë¢ ¥âáï R-äãªæ¨¥©.
20
b0 ;j;k g:
᫨
¤ «ì¥©è¥¬ ¡ã¤¥¬ ¨á¯®«ì§®¢ âì ®¡®§ 票¥ j=2 (2j x , k ); j;k (x) := 1;j;k (x) = 2 ª®â®à®¥ ¥ ¤® ¯ãâ âì á b;a ¨§ (6.1). «¥¤ãî騩 १ã«ìâ â ¯®ª §ë¢ ¥â à §¨æã ¬¥¦¤ã ä३¬®¬ ¨ ¡ §¨á®¬ ¨áá . ¥®à¥¬ 8.1 ãáâì 2 L2(R) ¨ b0 > 0: ®£¤ á«¥¤ãî騥 ã⢥ত¥¨ï íª¢¨¢ «¥âë: (i) f b0 ;j;k g - ¡ §¨á ¨áá ¢ L2 (R); 2 2 (ii) f bP 0 ;j;k g - ä३¬ ¢ L (R) ¨ l -«¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬®¥ ᥬ¥©á⢮, 2 â.¥. ¥á«¨ cj;k b0 ;j;k = 0 ¨ fcj;k g 2 l ; â® cj;k = 0: ®«¥¥ ⮣®, ª®áâ âë ¨áá ᮢ¯ ¤ îâ á £à ¨æ ¬¨ ä३¬ . ãªæ¨ï, ¯®à®¦¤ îé ï ä३¬, ¢á¥£¤ ï¥âáï ¤¢®¨çë¬ ¢á¯«¥áª®¬. ¥®à¥¬ 8.2 ãáâì 2 L2(R) ¯®à®¦¤ ¥â ä३¬ f b0;j;k g ¢ L2(R) á £à ¨æ ¬¨ A; B ¨ ⥬¯®¬ ¨§¬¥à¥¨© b0 > 0: ®£¤ X b0A j b(2,j !)j2 b0B; ¯.¢. j 2Z
9
ᯫ¥áª®¢ë¥ àï¤ë
¤ «ì¥©è¥¬ ¡ã¤¥¬ ¯à¥¤¯®« £ âì ⥬¯ ¨§¬¥à¥¨© b0 = 1: ãáâì - R-äãªæ¨ï, f j;k g - ¡ §¨á ¨áá , f j;k = T ,1 j;k g - ¤¢®©áâ¢¥ë© ä३¬ (á¬.(8.3)). ª« áᥠR-äãªæ¨© ¢ë¤¥«ïîâ ¤¢ ¢ ¦ëå ¯®¤¬®¦¥á⢠. ¯à¥¤¥«¥¨¥ 9.1 ãáâì 2 L2(R) - R-äãªæ¨ï. ®£¤ (i) §ë¢ îâ ®à⮣® «ìë¬ ¢á¯«¥áª®¬, ¥á«¨ j;k 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î ®à⮣® «ì®áâ¨: h j;k ; l;mi = j;lk;m; j; k; l; m 2 Z; (ii) §ë¢ îâ ¯®«ã®à⮣® «ìë¬ ¢á¯«¥áª®¬, ¥á«¨ j;k 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î: h j;k l;mi = 0; j 6= l; j; k; l; m 2 Z: 21
祢¨¤®, çâ® ®à⮣® «ìë¥ ¢á¯«¥áª¨ ïîâáï á ¬®¤¢®©á⢥묨: j;k = j;k ; j; k 2 Z: «ï ⮣®, ç⮡ë 㪠§ âì ¤¢®©áâ¢¥ë© ä३¬ ¢ ¯®«ã®à⮣® «ì®¬ á«ãç ¥, ¯à¨¢¥¤¥¬ á«¥¤ãî騩 ªà¨â¥à¨© ®à⮣® «ì®áâ¨. «ï «î¡®© äãªæ¨¨ 2 L2 (R) á«¥¤ãî騥 ã⢥ত¥¨ï íª¢¨¢ «¥âë: (i) f (x , k ) : k 2 Zg - ®à⮮ନ஢ ®¥ ᥬ¥©á⢮: ¥®à¥¬ 9.1
h ( , k); ( , l)i = k;l; k; l 2 Z: (ii) ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ b 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î: 1 Z e,ijxj b(x)j2 dx = ; j 2 Z: j;0 2 R (iii) «ï ¯®ç⨠¢á¥å x
X b j (x + 2k)j2 = 1:
j 2Z
®«¥¥ á« ¡ë¬, 祬 ãá«®¢¨¥ ®à⮣® «ì®áâ¨, ï¥âáï ãá«®¢¨¥ ¨áá ¨«¨ ãá«®¢¨¥ ¡¥§ãá«®¢®áâ¨. «ï «î¡®© äãªæ¨¨ ¨ ª®áâ â 0 < A B < 1 á«¥¤ãî騥 ã⢥ত¥¨ï íª¢¨¢ «¥âë: (i) f ( , k ) : k 2 Zg 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î ¨áá á ª®áâ â ¬¨ A ¨ B , â.¥. ¤«ï «î¡ëå fck g 2 l2 ¥®à¥¬ 9.2
2 X
Akfckgk2l2
ck ( , k)
B kfck gk2l2 :
k 2Z
2
(ii) ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ b 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¯.¢. ãá«®¢¨î
A
X b j (x + 2k)j2 B:
k2Z
22
ãáâì 2 L2 (R) - ¯®«ã®à⮣® «ìë© ¢á¯«¥áª. ¯à¥¤¥«¨¬ e ¢ ®¡à § å ãàì¥ b(!) be(!) := P j b(! + 2k)j2 : k2Z ®£¤ äãªæ¨ï e ¤¢®©á⢥ ª ; â.¥. h j;k ; el;mi = j;lk;m; j; k; l; m 2 Z; (9.1) £¤¥ el;m (x) := 2l=2 e(2l x , m): ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤¢®©áâ¢¥ë© ä३¬ ª f j;k g - íâ® f j;k = ej;k g: â ⥮६ 㪠§ë¢ ¥â, ª ª ¨á¯à ¢¨âì ¯®«ã®à⮣® «ìë© ¢á¯«¥áª ¢ ®à⮣® «ìë©. ¥©á⢨⥫ì®, ¯®« £ ï b(!) d?(!) := P ; (9.2) ( k2Z j b(! + 2k)j2)1=2 ¯®«ãç ¥¬, çâ® d?(!) d g?(!) = P = d?(!): d ? 2 k2Z j (! + 2k )j ª¨¬ ®¡à §®¬, g? = ?; â.¥. ? - á ¬®¤¢®©á⢥¥. ãé¥áâ¢ãîâ R-äãªæ¨¨, ã ª®â®àëå ¥â ¤¢®©á⢥ëå, â.¥. ¤¢®©áâ¢¥ë© ¡ §¨á f j;k g ª ¡ §¨áã ¨áá f j;k g ¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤ f ej;k g ¨ ¤«ï ª ª®© äãªæ¨¨ e 2 L2(R): ¯à¥¤¥«¥¨¥ 9.2 R-äãªæ¨ï 2 L2(R) §ë¢ ¥âáï ¢á¯«¥áª®¬, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¤¢®©á⢥ ï äãªæ¨ï e 2 L2(R), â ª ï çâ® f j;k g ¨ f ej;k g, 㤮¢«¥â¢®àïîâ (9.1). 祢¨¤®, çâ® e - ⮦¥ ¢á¯«¥áª á ¤¢®©áâ¢¥ë¬ :
᫨ - ¢á¯«¥áª á ¤¢®©áâ¢¥ë¬ e, â® «î¡ãî äãªæ¨î f 2 L2(R) ¬®¦® à §«®¦¨âì ¢ àï¤ë: X X e f (x) = cj;k j;k = dj;k j;k : (9.3) ¥®à¥¬ 9.3
j;k2Z
j;k2Z
¡ íâ¨å àï¤ §ë¢ îâáï ¢á¯«¥áª®¢ë¬¨. ᨫã (9.1) cj;k = hf; ej;k i; dj;k = hf; j;k i: 23
- ¢á¯«¥áª á ¤¢®©áâ¢¥ë¬ e: «ï ¯à®¨§¢®«ì®© äãªæ¨¨ f 2 L2 (R) ¢ëç¨á«¨¬ á ¨ e ¢ â®çª å 1 k (b; a) = ( 2j ; 2j ); j; k 2 Z : ¥®à¥¬ 9.4
ãáâì
dj;k = hf; j;k i = (W f )( 2kj ; 21j ); cj;k = hf; ej;k i = (W ef )( 2kj ; 21j ): ®£¤ f ¬®¦® ¢®ááâ ®¢¨âì ¨«¨ ¯® fdj;k g, ¨«¨ ¯® fcj;k g; ¨á¯®«ì§ãï
àï¤ë (9.3). ®«¥¥ ⮣®, ᪠«ï஥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ «î¡ëå ¤¢ãå äãªæ¨© ¨§ L2(R) ¬®¦® â ª¦¥ ¢ëç¨á«¨âì ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¤¨áªà¥âëå § 票© : X hf; gi = hf; j;k ih ej;k ; gi: j;k
10
¨á⥬ à ¯àאַ©
¨á⥬ à ¢á¥© ¯àאַ© ï¥âáï á ¬ë¬ ¯à®áâë¬, ® ¢¬¥á⥠á ⥬ ¨ ®¤¨¬ ¨§ á ¬ëå ¬®¤¥«ìëå ¯à¨¬¥à®¢ ®à⮣® «ìëå ¢á¯«¥áª®¢. ë à á᪠¦¥¬ ® ¥© á ᮢ६¥ëå ¯®§¨æ¨© ⥮ਨ ¢á¯«¥áª®¢, ¯®¤£®â ¢«¨¢ ï ç¨â ⥫¥© ª ¯®¨¬ ¨î ®¡é¥© áå¥¬ë ¯®áâ஥¨ï ¢á¯«¥áª®¢, â ª §ë¢ ¥¬®¬ã ªà ⮬ áèâ ¡®¬ã «¨§ã (multiresolution analysis). ãáâì 'H (t) = [0;1](t) (¢ ᮢ६¥®© â¥à¬¨®«®£¨¨, íâ® - ¬ áèâ ¡¨àãîé ï äãªæ¨ï à ). áᬮâਬ § ¬ëª ¨¥ ¯® ®à¬¥ L2(R) «¨¥©®© ®¡®«®çª¨ 楫®ç¨á«¥ëå ᤢ¨£®¢ äãªæ¨¨ 'H : X X V0 := ['H0k() := 'H ( , k)]k2Z = f c0k 'H0k : j c0k j2< 1g: k 2Z
k2Z
áâ¥á⢥® §¢ âì íâ® ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¯®¤¯à®áâà á⢮¬ äãªæ¨© ¬ áèâ ¡ 1. «ï «¨§ äãªæ¨© ¨§ L2(R) ã¦ë ¯®¤¯à®áâà á⢠äãªæ¨© á à §«¨ç묨 ¬ áèâ ¡ ¬¨. ¯à¥¤¥«¨¬ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ¯®¤¯à®áâà á⢠fVj gj2Z : Vj := ['Hjk (t) := 2j=2'H (2j t , k)]k2Z (Vj - ¯®¤¯à®áâà á⢮ äãªæ¨© ¬ áèâ ¡ 2,j ). ⬥⨬, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì f'Hjk gk2Z ®¡à §ã¥â ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¢ Vj . 祢¨¤®, çâ® \ Vj = f0g (10.1) ¨
j 2Z
[ j 2Z
Vj = L2(R): 24
(10.2)
¤¥áì X ®¡®§ ç ¥â § ¬ëª ¨¥ ¯®¤¯à®áâà á⢠X ¯® ®à¬¥ L2(R): ®á«¥¤¥¥ ᢮©á⢮ â «ª¨¢ ¥â ¬ëá«ì ¯®«ãç¨âì ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¢ L2(R), ¨á¯®«ì§ãï ᮢ®ªã¯®áâì ®à⮮ନ஢ ëå ¡ §¨á®¢ ¢ Vj . í⮬ ¯ã⨠¥áâì ¥¡®«ì讥 ¯à¥¯ïâá⢨¥. ¥á¬®âàï ¢«®¦¥¨¥ Vj Vj+1 ; ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á f'Hjk gk2Z ¢ Vj ¥ ï¥âáï ç áâìî ®à⮮ନ஢ ®£® ¡ §¨á f'Hj+1;k gk2Z ¢ Vj+1 : ®í⮬㠥®¡å®¤¨¬® à áá㦤 âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ãáâì W0 - íâ® ®à⮣® «ì®¥ ¤®¯®«¥¨¥ V0 ¤® V1: V0 W0 = V1 : §¨á ¯à®áâà á⢠V0 á®á⮨⠨§ 楫®ç¨á«¥ëå ᤢ¨£®¢ äãªæ¨¨ 'H00: §¨á V1 á®á⮨⠨§ p ¯à®áâà á⢠H H ᤢ¨£®¢ k=2 (k 2 Z) äãªæ¨¨ '1 (t) = 2'(2t) : '1;k(t) = 'H1 (t , k=2): ᨫã íâ¨å ä ªâ®¢ ¥áâ¥á⢥® ¯®¯ëâ âìáï ©â¨ äãªæ¨î ; 楫®ç¨á«¥ë¥ ᤢ¨£¨ ª®â®à®© ®¡à §ãîâ ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¢ W0: ª¨¬ ᢮©á⢮¬ ®¡« ¤ ¥â äãªæ¨ï 8 > < 1; t 2 (0; 1=2); H (t) = ,1; t 2 (1=2; 1); > : 0; ¢ ®áâ «ìëå á«ãç ïå. â® ¨ ¥áâì ¢á¯«¥áª à . p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p p
p p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p
p p p p p p
0 p p
-
p p p p p p p p
p
p
p
p
p
1 p
p
p
p p
p
p
p
-
0 1 ¨á.1. áèâ ¡¨àãîé ï ¨á.2. ᯫ¥áª à . äãªæ¨ï à . â ª, W0 = [ 0Hk () := H ( , k)]k2Z:
᫨ ®¯à¥¤¥«¨âì Wj := [ jkH (t) := 2j=2 H (2j t , k)]k2Z; â® ®ç¥¢¨¤® Vj Wj = Vj+1: (10.3) § (10.1), (10.2), (10.3) á«¥¤ã¥â, çâ® L2(R) = 1j=,1 Wj : (10.4) ®áª®«ìªã ¯à®áâà á⢠Wj ¢§ ¨¬® ®à⮣® «ìë, â®, ®¡ê¥¤¨ïï ¢á¥ ®à⮮ନ஢ ë¥ ¡ §¨áë ¢ Wj , ¬ë ¯®«ã稬 ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¢ L2(R): f jkH gj2Z;k2Z: ⬥⨬ áà §ã, çâ® ¢ ¯à¨«®¦¥¨ïå ç é¥ ¢á¥£® 㤮¡¥¥ § ¬¥¨âì ¢ (10.4) ,j=1,1 Wj V0 : V0 f1j=0Wj g = L2(R): 25
p
p
p
p
í⮬ á«ãç ¥ ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¢ L2(R) á®á⮨⠨§ f'H0k gk2Z ¨ f jkH gj2Z;k2Z;j0: ª¨¬ ®¡à §®¬, «î¡ãî äãªæ¨î ¨§ L2(R) ¬®¦® à §«®¦¨âì ¢ àï¤ 1 X XX X X f= djk jkH = c0k 'H0k + djk jkH : j 2Z k2Z
k2Z
j =0 k2Z
®á«¥¤¨© àï¤ ã¤®¡¥, ¢ ç áâ®áâ¨, ¯®â®¬ã, çâ® «¥£ª® ¯¥à¥®á¨âáï á® ¢á¥© ¯àאַ© ®â१®ª [0; 1]: «ï f 2 L2[0; 1] ¨¬¥¥¬
f = c0 +
j ,1 1 2X X
j =0 k=0
djk
H jk :
(10.5)
¬¥® ¢ â ª®¬ ¢¨¤¥ á¨á⥬㠮¯à¥¤¥«¨« . à [H]. ¥à¥ç¨á«¨¬ ¯à¥¨¬ãé¥á⢠(10.5) ¯® áà ¢¥¨î á ª« áá¨ç¥áª¨¬ à冷¬ ãàì¥ ¯® âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ 1 X f (t) = 12 a0 + (al cos lt + bl sin lt): (10.6) l=1 ¥à¢®¥ ¯à¥¨¬ãé¥á⢮ á®á⮨⠢ ⮬, çâ® àï¤ à ï¥âáï å®à®è® «®ª «¨§®¢ ë¬.
᫨ ¬ë ¨â¥à¥á㥬áï ¯®¢¥¤¥¨¥¬ äãªæ¨¨ f ¯®¤¨â¥à¢ «¥ [a; b]; â® ¢ à §«®¦¥¨¨ (10.5) ¬ ã¦ë ⮫쪮 ⥠¨¤¥ªáë j ¨ k; ¤«ï ª®â®àëå supp jkH = [k2,j ; (k + 1)2,j ] ¯¥à¥á¥ª ¥âáï á [a; b]; ⮣¤ ª ª ¢ à §«®¦¥¨¨ (10.6) ¬ ¯®âॡãîâáï ¢á¥ ª®íää¨æ¨¥âë. â®à®¥ ®â«¨ç¨¥ á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ç áâ¨ç ï á㬬 àï¤ à ¯® j = 0; 1; 2; :::; N ï¥âáï ¯à¨¡«¨¦¥¨¥¬ ¨á室®© äãªæ¨¨ á â®ç®áâìî ¤® ¬ áèâ ¡ 2,N ,1 : ⨠¤¢ ᢮©á⢠, «®ª «¨§®¢ ®áâì ¨ ¬ áèâ ¡¨à®¢ ¨¥, ïîâáï å à ªâ¥à묨 ¤«ï ¢á¥å ¢á¯«¥áª®¢ëå à §«®¦¥¨©. ०¤¥ 祬 à á᪠§ âì ® ¤àã£¨å ¢á¯«¥áª å, ¨§«®¦¨¬ ¨¡®«¥¥ ®¡é¨© ¬¥â®¤ ¯®áâ஥¨ï ¢á¯«¥áª®¢, â ª §ë¢ ¥¬ë© ªà ⮬ áèâ ¡ë© «¨§.
26
11
à ⮬ áèâ ¡ë© «¨§ ¢
L
R)
2(
à ⮬ áèâ ¡ë© «¨§ () - íâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fVj gj2Z § ¬ªãâëå ¯®¤¯à®áâà á⢠L2(R); 㤮¢«¥â¢®àïîé ï á«¥¤ãî騬 ᢮©á⢠¬: ¯à¥¤¥«¥¨¥ 11.1
Vj Vj+1 ; (11.1) [j2ZVj = L2(R); (11.2) \j2ZVj = f0g; (11.3) , j f 2 Vj , f (2 ) 2 V0; (11.4) f 2 V0 , f ( , k) 2 V0 ¤«ï «î¡®£® k 2 Z; (11.5) áãé¥áâ¢ã¥â äãªæ¨ï ' 2 V0 â ª ï, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì f'( , k)gk2Z ®¡à §ã¥â ¡ §¨á ¨áá ¢ V0: (11.6) â® ¯®ï⨥ ¢¢¥¤¥® ¨ ¨áá«¥¤®¢ ® ¢ [Ma].
᫨ ®¡®§ ç¨âì ç¥à¥§ Pj ®à⮣® «ìë© ¯à®¥ªâ®à Vj ; â® ¨§ ãá«®¢¨ï (11.2) á«¥¤ã¥â, çâ® limj!1 Pj f = f ¤«ï «î¡®© äãªæ¨¨ f 2 L2(R): á«®¢¨¥ (11.4) ®§ ç ¥â, çâ® ¢á¥ ¯®¤¯à®áâà á⢠Vj ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¨§ æ¥âà «ì®£® ¯®¤¯à®áâà á⢠V0 ¯à¨ ¯®¬®é¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 § ¬¥ë ¯¥à¥¬¥ëå (ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¨§¬¥¥¨ï ¬ áèâ ¡ ). § (11.4) ¨ (11.5) á«¥¤ã¥â, çâ® ¤«ï «î¡®© äãªæ¨¨ f 2 Vj äãªæ¨ï f ( , 2,j k) â ª¦¥ ¯à¨ ¤«¥¦¨â Vj ¯à¨ «î¡®¬ k 2 Z: ãáâì 'jk (t) := 2j=2'(2j t , k); j; k 2 Z: § (11.4) ¨ (11.6) á«¥¤ã¥â, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì f'jk gk2Z ï¥âáï ¡ §¨á®¬ ¨áá ¢ Vj ¤«ï «î¡®£® j 2 Z: ¥ ®£à ¨ç¨¢ ï ®¡é®áâ¨, ¬®¦® áç¨â âì, çâ® f'( , k)gZ - ¢ V0 (í⮣® ¢á¥£¤ ¬®¦® ¤®áâ¨çì § áç¥â ®à⮣® «¨§ 樨 (9.2)). á®¢ë¬ á¢®©á⢮¬ ï¥âáï ¢®§¬®¦®áâì ¯®áâ஥¨ï ®à⮮ନ஢ ®£® ¢á¯«¥áª®£® ¡ §¨á f jk gj; k2Z; jk (t) = 2j=2 (2j t , k); â ª®£®, çâ® ¤«ï «î¡®© äãªæ¨¨ f ¨§ L2(R) X Pj+1f = Pj f + hf; jk i jk : (11.7) k2Z
¯¨è¥¬ ¯à®æ¥áá ¯®áâ஥¨ï â ª®£® ¡ §¨á . ãáâì Wj - íâ® ®à⮣® «ì®¥ ¤®¯®«¥¨¥ Vj ¤® Vj+1 : Wj Vj = Vj+1 : ᨫã (11.1)
Wj ? Wj1 ¯à¨ j 6= j1; 27
(11.8)
¨ ¯à¨ «î¡ëå j0 < j
Vj = Vj0 jl=,j10 Wl : § (11.2) ¨ (11.3) á«¥¤ã¥â, çâ® L2(R) = j2ZWj :
(11.9) (11.10)
®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fWj gj2Z á«¥¤ã¥â ®â Vj ᢮©á⢮ (11.4):
f 2 Wj , f (2,j ) 2 W0:
(11.11)
®à¬ã« (11.7) íª¢¨¢ «¥â ⮬ã, çâ® ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ®¬ j ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì f jk gk2Z ®¡à §ã¥â ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¢ Wj : ᨫã (11.10) ¯®á«¥¤¥¥ ®§ ç ¥â, çâ® f jk gj; k2Z - ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¢ L2(R): ¬¥â¨¬ ⥯¥àì, ç⮠᢮©á⢮ (11.11) £ à â¨àã¥â, çâ® f jk gk2Z ¡ã¤¥â ¡ §¨á®¬ ¢ Wj ; ¥á«¨ f 0k gk2Z ï¥âáï ¡ §¨á®¬ ¢ W0: ª¨¬ ®¡à §®¬, § ¤ ç ¯®áâ஥¨ï ¢á¯«¥áª®£® ¡ §¨á ᮠ᢮©á⢮¬ (11.7) ᢮¤¨âáï ª 宦¤¥¨î äãªæ¨¨ â ª®©, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì f ( , k)gk2Z ®¡à §ã¥â ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¢ W0: «ï ¯®áâ஥¨ï äãªæ¨¨ ¬ ¯®âॡãîâáï ¥ª®â®àë¥ á¢®©á⢠' ¨ W0: ª ª ª ' 2 V0 V1 ¨ f'1k gk2Z - ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¢ V1; â® X ' = hk '1k ; (11.12) £¤¥
k 2Z
hk := h'; '1k i;
¥à¥å®¤ï ª ®¡à § ¬ ãàì¥, ¨¬¥¥¬
X k 2Z
jhk j2 = 1:
'b(!) = m(!=2)'b(!=2);
(11.13) (11.14)
£¤¥ m(!) = p12 Pk2Z hk e,ik! : ãªæ¨î ' §ë¢ îâ ¬ áèâ ¡¨àãî饩 (scaling), à ¢¥á⢮ (11.12) - ¬ áèâ ¡ë¬, à ¢¥á⢮ (11.14) - ãâ®çïî騬 (re nement), äãªæ¨î m - ãâ®çïî饩 ¬ ᪮© (re nement mask) ¨«¨ ¬ áèâ ¡¨àãî騬 䨫ìâ஬ (scaling lter). ᨫã ⥮६ë 9.1 X j'b(! + 2l)j2 = 1 (11.15) l2Z
28
¤«ï ¢á¥å !:
᫨ ¯®¤áâ ¢¨âì (11.14) ¢ (11.15), â® ¯®«ã稬, çâ® P ¯®ç⨠2 l2Z jm(!=2 + l)'b(!=2 + l)j = 1: §¡¨¢ ï á㬬㠤¢¥ (¯® ç¥âë¬ ¨ ¯® ¥ç¥âë¬ l) ¨ ãç¨âë¢ ï 2-¯¥à¨®¤¨ç®áâì m; ¨¬¥¥¬ X X jm(!=2 + 2l)'b(!=2 + 2l)j2 + jm(!=2 + 2l + )'b(!=2 + 2l + )j2 = l2Z
l2Z
= jm(!=2)j2 + jm(!=2 + )j2 = 1: (11.16) å à ªâ¥à¨§ã¥¬ ¯®¤¯à®áâà á⢮ W0 ¢ â¥à¬¨ å ®¡à §®¢ ãàì¥. î¡ ï äãªæ¨ï f ¨§ W0 P ¯à¨ ¤«¥¦¨â V1 ¨ ®à⮣® «ì V0 : ¥à¢®¥ ᢮©á⢮ ®§ ç ¥â, çâ® f = f ' £¤¥ f = hf; ' i: ®¡à § å ãàì¥ ¨¬¥¥¬ k2Z k 1k
k
1k
fb(!) = mf (!=2) 'b(!=2); (11.17) £¤¥ mf = p12 Pk2Z fk e,ik! { 2-¯¥à¨®¤¨ç¥áª ï äãªæ¨ï ¨§ L2[0; 2]: á«®¢¨¥ ®à⮣® «ì®á⨠f ª V0 íª¢¨¢ «¥â® ⮬ã, çâ® f ? '0k ¤«ï «î¡®£® R b k 2 Z; â.¥. R f (!)'b(!) eik! d! = 0: ¬¥â¨¬,çâ® Z Z bf (!)'b(!) eik! d! = 2 eik! X fb(! + 2l)'b(! + 2l) d! = 0: (11.18) 0
R
l2Z
ª ª ª à ¢¥á⢮ (11.18) ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¤«ï «î¡®£® k 2 Z; â® Xb f (! + 2l)'b(! + 2l) = 0: l2 Z
(11.19)
ï¤ ¢ (11.19) á室¨âáï ¡á®«îâ® ¢ L1([0; 2]): ®¤áâ ¢«ïï (11.14) ¨ (11.17) ¢ (11.19) ¨ £à㯯¨àãï á㬬ë á ç¥â묨 ¨ ¥ç¥â묨 l; ¯®«ã稬, ãç¨âë¢ ï (11.15), çâ® P fb(! + 2l)'b(! + 2l) = l2Z = mf (!=2)m(!=2) + mf (!=2 + )m(!=2 + ) = 0: ᨫã (11.16) m(!) ¨ m(! +) ¥ ¬®£ãâ ®¡à â¨âìáï ¢ ®«ì ®¤®¢à¥¬¥®, ¯®í⮬ã áãé¥áâ¢ã¥â 2-¯¥à¨®¤¨ç¥áª ï äãªæ¨ï (!) â ª ï, çâ® mf (!) = (!)m(! + ) :: (11.20) ¨ (!)+(! +) = 0: ®á«¥¤¥¥ à ¢¥á⢮ ¬®¦® ¯¥à¥¯¨á âì, ª ª (!) = e,i! (2!); £¤¥ - ¥ª®â®à ï 2-¯¥à¨®¤¨ç¥áª ï äãªæ¨ï. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ ¯à®¨§¢®«ì®© äãªæ¨¨ ¨§ W0 ¨¬¥¥â ¢¨¤ fb(!) = e,i!=2m(!=2 + ) (!)'b(!=2); (11.21) 29
£¤¥ { ¥ª®â®à ï 2-¯¥à¨®¤¨ç¥áª ï äãªæ¨ï. ஬¥ ⮣®, kf kL2 (R) = 21 kfbkL2(R) = = 21 R02 j j2 Pl2Z jm(!=2 + l + )'b(!=2 + l)j2 d! = = k kL2 ([0; 2]): ª¨¬ ®¡à §®¬, 2-¯¥à¨®¤¨ç¥áª ï äãªæ¨ï ï¥âáï ª¢ ¤à â¨ç® á㬬¨à㥬®©. ¬¥ï ®¯¨á ¨¥ (11.21) ¯à®áâà á⢠W0 «¥£ª® ©â¨ äãªæ¨î 2 W0; æ¥«ë¥ á¤¢¨£¨ ª®â®à®© f ( , k)gk2Z ®¡à §ãîâ ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¢ W0: ãáâì - ¨áª®¬ ï äãªæ¨ï. ®£¤ b(!) = e,i!=2m(!=2 + ) (!)'b(!=2): ®¤áâ ¢«ïï íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ ¢ (11.15), ¯®«ãç ¥¬, ¨á¯®«ì§ãï (11.16), çâ® j (!)j2 1 ¯.¢. (11.22) à®é¥ ¢á¥£® ¯®«®¦¨âì (!) 1: ᨫã (11.21) æ¥«ë¥ á¤¢¨£¨ äãªæ¨¨ ; ®¯à¥¤¥«ï¥¬®© à ¢¥á⢮¬ b(!) = e,i!=2m(!=2 + )'b(!=2); (11.23) P e,ik! ; â® ¡ã¤ãâ ¡ §¨á®¬ ¢ W 0: ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ (! ) = k 2Z k bf (!) = Pk2Z k e,ik! b(!) ¨«¨ f () = Pk2Z k ( , k): ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ᨫã (11.22) ®¡à § ãàì¥ «î¡®© äãªæ¨¨, æ¥«ë¥ á¤¢¨£¨ ª®â®à®© ®¡à §ãîâ ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¢ W0; ®â«¨ç ¥âáï ®â ®¡à § ãàì¥ äãªæ¨¨ ¨§ (11.23) «¨èì ¥ª®â®àë¬ 2-¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¬ ¬®¦¨â¥«¥¬ ¯® ¬®¤ã«î à ¢ë¬ 1. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨¬¥ï ªà ⮬ áèâ ¡ë© «¨§ fVj gj2Z; ¯®à®¦¤ ¥¬ë© ¬ áèâ ¡¨àãî饩 äãªæ¨¥© '; ¢á¥£¤ ¬®¦® ¯®áâநâì ®à⮮ନ஢ ë© ¢á¯«¥áª®¢ë© ¡ §¨á f jk gj; k2Z ¢ L2(R); ®¡« ¤ î騩 ᢮©á⢮¬ (11.7). § ä®à¬ã«ë (11.23) á«¥¤ã¥â, çâ® X (t) = (,1)k,1h,k+1 '1k (t): (11.24) k2Z
«¨â¥à âãॠ¤«ï ᮪à é¥¨ï § ¯¨á¥© ç é¥ ¢á¥£® ¨á¯®«ì§ãîâ X (t) = (,1)k h,k+1 '1k (t): (11.25) k 2Z
30
§ ª«î票¥ í⮣® ¯ à £à ä ¯à® «¨§¨à㥬, ¡®«¥¥ ¯®¤à®¡®, ᢮©á⢠(11.2) ¨ (11.3). ਢ®¤¨¬ë¥ ¨¦¥ १ã«ìâ âë ¤®ª § ë ¢ [BDR]. ãáâì Vb := ffb : f 2 V g: § ⮦¤¥á⢠« è¥à¥«ï ¨ ᢮©á⢠(11.4-11.6) á«¥¤ã¥â, çâ® f 2 Vj ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ fb(!) = m(2,j ) 'b(!2,j ); fb(!) 2 L2(R); (11.26) £¤¥ m - ¥ª®â®à ï 2-¯¥à¨®¤¨ç¥áª ï äãªæ¨ï. ¥¬¬ 11.1
§ ᢮©á⢠(11.4) ¨ (11.5) á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à®áâà á⢮
[j2ZVj ¨¢ ਠ⮠®â®á¨â¥«ì® ᤢ¨£®¢.
®ª § ⥫ìá⢮. ᨫã (11.4-11.5) ¨§ f 2 [j2Z Vj á«¥¤ã¥â, çâ® f ( + t) 2 [j2ZVj ¤«ï «î¡®£® ¤¢®¨ç®-à 樮 «ì®£® t = 2,j l; l; k 2 Z. ª ª ª ᤢ¨£ ï¥âáï ¥¯à¥à뢮© ®¯¥à 樥© ¢ L2(R), â® f ( + t) 2 [j2ZVj ¤«ï «î¡®£® t 2 R:
᫨ ⥯¥àì g 2 [j2ZVj , â®, ¯à¨¡«¨¦ ï g äãªæ¨ï¬¨ f 2 [j2ZVj ; ¨, § ¬¥ç ï, çâ® kf ( + t) , g( + t)kL2(R) = = kg , f kL2(R); ¯®«ãç ¥¬ ã⢥ত¥¨¥ «¥¬¬ë. 2 ®à®è® ¨§¢¥áâ®, çâ® § ¬ªã⮥ ¯®¤¯à®áâà á⢮ X ¢ L2(R) ï¥âáï ¨¢ ਠâë¬ ®â®á¨â¥«ì® ᤢ¨£®¢ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ Xc = L2( ) ¤«ï ¥ª®â®à®£® ¨§¬¥à¨¬®£® ¬®¦¥á⢠: ¤ «ì¥©è¥¬ à ¢¥á⢠¬¥¦¤ã ¬®¦¥á⢠¬¨ ¯®¨¬ îâáï á â®ç®áâìî ¤® ¬®¦¥á⢠㫥¢®© ¬¥àë. ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fVj ; gj2Z 㤮¢«¥â¢®àï¥â ᢮©á⢠¬ (11.4-11.6). ®£¤ [j2Z Vj = L2(R) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ 0 := [j2Z supp 'b(2,j ) = R: ¥®à¥¬ 11.1
c = L2( ): ª¨¬ ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì X := [j2ZVj : ®£¤ X ®¡à §®¬, X = L2(R) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ = R: ª ª ª '(2j ) 2 Vj ; j 2 Z; â® supp 'b(2,j ) : ®í⮬ã 0 : ।¯®«®¦¨¬ ⥯¥àì, çâ® n 0 ᮤ¥à¦¨â ¬®¦¥á⢮ ¯®«®¦¨â¥«ì®© ¬¥àë 1: ᨫã (11.26) ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ «î¡®£® í«¥¬¥â ¨§ Vj ®¡ã«ï¥âáï 1: «¥¤®¢ ⥫ì®, ⮦¥ á ¬®¥ ¢¥à® ¤«ï «î¡®£® í«¥¬¥â ¨§ [j2ZVj ; ¥à¥å®¤ï ª ¯à¥¤¥«ã, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ «î¡®£® í«¥¬¥â ¨§ X ®¡ã«ï¥âáï 1; çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ⮬ã, çâ® Xc L2( 1): 2 31
ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fVj ; gj2Z 㤮¢«¥â¢®àï¥â ᢮©á⢠¬ (11.4-11.6) ¨ 'b ¥ à ¢® ã«î ¯®ç⨠¢áî¤ã ¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ®á⨠ã«ï. ®£¤ [j 2ZVj = L2(R): «¥¤á⢨¥ 11.1
®ª ¦¥¬ ⥯¥àì, çâ® ãá«®¢¨¥ (11.3) á«¥¤ã¥â ¨§ ᢮©á⢠(11.4-11.6) ªà ⮬ áèâ ¡®£® «¨§ . «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¬ ¯®âॡãîâáï ¤¢¥ «¥¬¬ë, ¯¥à¢ ï ¨§ ª®â®àëå å®à®è® ¨§¢¥áâ . ãáâì - ¨§¬¥à¨¬®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ R; ¯à¨ç¥¬ + t =
¤«ï ¥ª®â®à®£® ¤¥©á⢨⥫쮣® ç¨á« 6= 0 ¨ ¤«ï «î¡®£® ¤¢®¨ç®à 樮 «ì®£® ç¨á« t 2 R: ®£¤ = R ¨«¨ = ;: ஬¥ ⮣®, ¥á«¨ f - ¥ª®â®à ï ¨§¬¥à¨¬ ï äãªæ¨ï R; 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ãá«®¢¨î f ( + t) = f () ¤«ï «î¡®£® ¤¢®¨ç®-à 樮 «ì®£® t; â® f = const ¯®ç⨠¢áî¤ã. ¥¬¬ 11.2
®ª § ⥫ìá⢮ í⮩ «¥¬¬ë ®á®¢ ® ᢮©á⢠å â®ç¥ª ¥¡¥£ ¨§¬¥à¨¬®© äãªæ¨¨. ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fVj ; gj 2Z § ¬ªãâëå ¯®¤¯à®áâà á⢠L2 (R) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ᢮©á⢠¬ (11.4-11.6) ªà ⮬ áèâ ¡®£® «¨§ . ®£¤ Y = \j 2ZVj ¨¬¥¥â à §¬¥à®áâì 1: ¥¬¬ 11.3
®ª § ⥫ìá⢮. ।¯®«®¦¨¬, çâ® Y 6= f0g: ®ª ¦¥¬, çâ® ¢ í⮬ á«ãç ¥ dim Y = 1: ãáâì f; g - ¤¢¥ ¯à®¨§¢®«ìë¥ äãªæ¨¨ ¨§ Y: áᬮâਬ ®â®¡à ¦¥¨¥ F : R ! C2:
8 0; ¥á«¨ fb(!) = gb(!) = 0; > > < (fb(!);bg(!)) F (!) = > fb(!) ; ¥á«¨ fb(!) 6= 0; gb(!) = 0; > : (fb(!);bg(!)) ; ¥á«¨ gb(!) 6= 0: bg(!) ®ª ¦¥¬, çâ® ®â®¡à ¦¥¨¥ F ¯®áâ®ï® ᢮¥¬ ®á¨â¥«¥. «ï í⮣® à áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì®¥ ¨§¬¥à¨¬®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢮ K C2nf0g: ।¯®«®¦¨¬, çâ® A := F ,1(K ) ¨¬¥¥â ¯®«®¦¨â¥«ìãî ¬¥àã. ãáâì D - íâ® ¬®¦¥á⢮ â®ç¥ª ¢¨¤ 2j k; k 2 Z; j 2 Z: áᬮâਬ ! 2 A ¨ t = 2j+1 k 2 D: ᨫã (11.26) áãé¥áâ¢ãîâ 2-¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¥ äãªæ¨¨ 32
¨ â ª¨¥, çâ® fb(!) = (!2,j ) 'b(!2,j ); gb(!) = (!2,j ) 'b(!2,j ) ¯.¢. ª ª ª 0 62 K; â® F (!) 6= 0; ¨ § ç¨â 'b(!2,j ) 6= 0: ®í⮬ã (fb(! + t); gb(! + t)) = 'b(2,j (! + t))( (2,j ! + 2k); (2,j ! + 2k)) = ,j = 'b(2,j (! + t))( (2,j !); (2,j !)) = 'b(2'b(2,(!j !+)t)) (fb(!); gb(!)): ®«ã祮¥ à ¢¥á⢮ ®§ ç ¥â, çâ® «¨¡® F (! + t) = 0; «¨¡® F (! + t) = F (!): ®í⮬ã F (A + D) K [ f0g: ᨫ㠫¥¬¬ë 11.2 A + D = R; â ª ª ª A ¨¬¥¥â ¯®«®¦¨â¥«ìãî ¬¥àã. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢á¥ ¥ã«¥¢ë¥ § 票ï F ¯à¨ ¤«¥¦ â K: ®áª®«ìªã K ¬®¦® ¢ë¡à âì ᪮«ì 㣮¤® ¬ «ë¬, ®â®¡à ¦¥¨¥ F ¯®áâ®ï® ᢮¥¬ ®á¨â¥«¥. ®á«¥¤¥¥ ®§ ç ¥â, çâ® äãªæ¨¨ f ¨ g «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë. 2 ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fVj ; gj 2Z § ¬ªãâëå ¯®¤¯à®áâà á⢠L2(R) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ᢮©á⢠¬ (11.4-11.6) . ®£¤ Y := \j2ZVj = f0g: ¥®à¥¬ 11.2
®ª § ⥫ìá⢮. ।¯®«®¦¨¬ ¯à®â¨¢®¥: ¯ãáâì f 2 Y ¨ f 6= 0: ᨫã (11.4) Vj ï¥âáï ᦠ⨥¬ ¢ ¤¢ à § Vj,1 ; ¯®í⮬㠯®¤¯à®áâà á⢮ Y ¨¢ ਠ⮠®â®á¨â¥«ì® ᦠâ¨ï ¢ 2 à § . ¤à㣮© áâ®à®ë, ¢ ᨫ㠫¥¬¬ë 11.3 dimY 1; ¯®í⮬ã áãé¥áâ¢ã¥â ª®áâ â ; â ª ï, çâ®
f (2) = f () ¯.¢. R:
(11.27)
®ª ¦¥¬, çâ® (11.27) ¯à®â¨¢®à¥ç¨â f 2 L2(R)nf0g: ¥©á⢨⥫ì®, ¤«ï «î¡®£® C > 0 ¬®¦¥á⢠Fj := ft : 2j jtj < 2j+1 ¨ jf (t)j > C jjj g ¨¬¥îâ á«¥¤ãî騥 ᢮©á⢠: Fj = 2Fj,1; jFj j = 2jFj,1j; j 2 Z:
᫨ f 6= 0; â® áãé¥áâ¢ã¥â C > 0; â ª®¥, çâ® jF0j 6= 0: § (11.27) á«¥¤ã¥â, çâ® jf (t)j > C jjk ¤«ï t 2 2k F0: ®í⮬ã, RR jf (t)j2 dt jF0j Pk2Z(2jj2)k ; çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â f 2 L2(R): 2 12
¨á⥬ ¨ââ ª¥à -¥® -®â¥«ì¨ª®¢
à㣨¬ ¯à®á⥩訬 ¯à¨¬¥à®¬ ®à⮣® «ìëå ¢á¯«¥áª®¢ ï¥âáï á¨á⥬ ¨ââ ª¥à -¥® -®â¥«ì¨ª®¢ (á¬., ¯à¨¬¥à, [W]). áᬮ33
âਬ äãªæ¨î 'S ; ¨¬¥îéãî ®¡à § ãàì¥ ( j!j ; S 'b (!) := [,; ](!) = 10;; ¥á«¨ ¢ ®áâ «ìëå á«ãç ïå. á®, çâ® 'S (t) = sintt : 祢¨¤®, çâ® 'bS 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î (11.15), § ç¨â äãªæ¨¨ 'S0k () := 'S ( , k) ®¡à §ãîâ ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¢ V0 := ['S0k ]k2Z: ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® Vc0 := ffb : f 2 V0g = L2([,; ]): ஬¥ ⮣®, ¥á«¨ f 2 V0; â® X f (t) = f (k)'S (t , k): (12.1) k2Z
¥«® ¢ ⮬, çâ® hf; 'S0k i = 21 hf;b 'bS0k i = 21 R, fb(!)eik! dt = f (k):
᫨ ⥯¥àì ®¯à¥¤¥«¨âì ¤«ï «î¡®£® 楫®£® j Vj := ['Sjk ]k2Z; â® «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® fVj gj2Z ®¡à §ãîâ . ®áâந¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¢á¯«¥áª®¢ë© ¡ §¨á. ¬¥â¨¬, çâ® 'bS (!) = mS (!=2)'bS (!=2); £¤¥ 2-¯¥à¨®¤¨ç¥áª ï ãâ®çïîé ï ¬ ᪠mS à ¢ ( j!j =2; S m (!) = 10;; ¥á«¨ ¥á«¨ 2 j!j : ®íää¨æ¨¥âë fhk gk2Z ¨§ (11.12) ¬®¦® ©â¨, ¯®«ì§ãïáì ä®à¬ã«®© (12.1) (â®ç¥¥ ¥¥ «®£®¬ ¤«ï äãªæ¨© ¨§ V1): X 'S (t) = 'S (k=2) 'S (2t , k): (12.2) k 2Z
ç¨â
8 > < S hk = > :
¥á«¨ k = 0; ¥á«¨ k - ¥ç¥â®¥; 0; ¥á«¨ k - ç¥â®¥. ᮮ⢥âá⢨¥ á ®¡é¥© á奬®© ¢á¯«¥áª ¨ââ ª¥p -¥® -®â¥«ì¨ª®¢ ¨¬¥¥â ®¡p § ãpì¥, p ¢ë© bS = e,i!=2mS (!=2 + )'bS (!=2) = e,i!=2[,2; ][[; 2](!) = = e,i!=2('bS (!=2) , 'bS (!)): âªã¤
1; p 2 (,1)(k,1)=2 ; k
S (t) = 2'S (2t , 1) , 'S (t , 1=2):
34
¨á.1. à 䨪 'S (t): 13
¨á.2. à 䨪
S (t):
®áâ âë ¥®¯à¥¤¥«¥®áâ¨
ᯫ¥áª¨ à ¨ ¨ââ ª¥à -¥® -®â¥«ì¨ª®¢ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®©, ãá«®¢® £®¢®àï, ¤¢ ¯®«îá ¢ èª «¥ ¢á¯«¥áª®¢. ᯫ¥áª¨ à ¨¬¥î⠯४à áãî ¢à¥¬¥ãî «®ª «¨§®¢ ®áâì (ª®¬¯ ªâë© ®á¨â¥«ì), ®¤ ª® ¯«®å® «®ª «¨§®¢ ë ¯® ç áâ®â¥ (¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ ¢á¯«¥áª à ã¡ë¢ ¥â ¡¥áª®¥ç®á⨠ª ª j!j,1). ᯫ¥áª¨ ¦¥ ¨ââ ª¥à -¥® -®â¥«ì¨ª®¢ ®¡®à®â ¨¬¥îâ ª®¬¯ ªâë© á¯¥ªâà (®á¨â¥«ì ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥), ® ã¡ë¢ îâ ¡¥áª®¥ç®á⨠ª ª jtj,1: ¬¥â¨¬, çâ® jk = 2,j ; bjk = 2j b; j; k 2 Z: ª¨¬ ®¡à §®¬, ª®áâ â ¥®¯à¥¤¥«¥®á⨠(á¬. á. 12) ¤«ï ¢á¥å í«¥¬¥â®¢ ¢á¯«¥áª®¢®£® ¡ §¨á ®¤ ¨ â ¦¥. «ï ¢á¯«¥áª®¢ à ¨ ¨â ªª¥à -¥® ®â¥«ì¨ª®¢ ª®áâ â ¥®¯à¥¤¥«¥®áâ¨ à ¢ ¡¥áª®¥ç®áâ¨: bH = 1; S = 1: ਬ¥à ¬¨ ¢á¯«¥áª®¢ëå ¡ §¨á®¢ á ª®¥ç®© ª®áâ ⮩ ¥®¯à¥¤¥«¥®á⨠ïîâáï ¢á¯«¥áª¨ ¥©¥à , â६¡¥à£ , ¥¬ à¨-íâ« ¨ ®¡¥è¨. 14
ᯫ¥áª¨ ¥©¥à
ᯫ¥áª¨ ¥©¥à ïîâáï ᣫ ¦¥ë¬ ¢ ਠ⮬ ¢á¯«¥áª®¢ ¨ââ ª¥à -¥® -®â¥«ì¨ª®¢ . áèâ ¡¨àãîé ï äãªæ¨ï ¥©¥à 'M ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. ãáâì (!) - ¥ç¥â ï ¡¥áª®¥ç® ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ï äãªæ¨ï, à ¢ ï =4 ¯à¨ ! > =3 ¨ ,=4 ¯à¨ ! < ,=3: ¯à¥¤¥«¨¬ ç¥âãî äãªæ¨î (!) ä®à¬ã«®© 8 > < =4 + (!! , ); ¥á«¨ ! 2 [2=3; 4=3]; (!) = > =4 , ( 2 , ); ¥á«¨ ! 2 [4=3; 8=3]; : 0; ¥á«¨ ! 2 [0; 2=3) [ (8=3; 1]: 35
८¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ ¬ áèâ ¡¨àãî饩 äãªæ¨¨ ¥©¥à à ¢® ( (!)); ¥á«¨ j!j 4=3; 'bM (!) = cos( 0; ¥á«¨ j!j > 4=3: R âªã¤ 'M (t) = 21 R cos (t!) cos ((!)) d!: ¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® 'bM 㤮¢«¥â¢®àï¥â (iii) ¨§ ⥮६ë 9.1. ஬¥ ⮣®, b'M (!) = mM (P!=2) 'bM (!=2); £¤¥ 2-¯¥à¨®¤¨ç¥áª ï ãâ®çïîé ï ¬ ᪠mM (!) à ¢ l2Z 'bM (2! + 4l). ®í⮬ã, ¬ áèâ ¡¨àãîé ï äãªæ¨ï 'M ¯®à®¦¤ ¥â ªà ⮬ áèâ ¡ë© «¨§, ¨, § ç¨â, áãé¥áâ¢ã¥â ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¢á¯«¥áª®¢ë© ¡ §¨á f jkM gj;k2Z; £¤¥ bM (!) := e,i!=2m(!=2 + )'bM (!=2) = e,i!=2 sin ((!)) ¨«¨ Z M (t) = 1 (14.1) 2 R cos((t , 1=2)!) sin ((!)) d!:
¨á.1. à 䨪 'M (t): ¨á.2. à 䨪 M (t): ⬥⨬, çâ® ¬ áèâ ¡¨àãîé ï äãªæ¨ï ¥©¥à , â ª¦¥ ª ª ¨ ¬ áèâ ¡¨àãîé ï äãªæ¨ï ¥® (á¬. (12.2)), 㤮¢«¥â¢®àï¥â à ¢¥áâ¢ã P M ' (t) = k2Z 'M (k=2) 'M (2t , k): ¥©á⢨⥫ì®, h'M ; 'M (2 ,k)i = = 1 R 'bM (!)'bM (!=2)e,ik!=2 d! = 1 R 'bM (!)e,ik!=2 d! = 1 'M (k=2): 4 R
15
4 R
2
ᯫ¥áª¨ ¥¬ à¨-íâ« ¨ â६¡¥à£
䨪á¨à㥬 ¯à®¨§¢®«ì®¥ âãà «ì®¥ ç¨á«® m: áᬮâਬ ¤«ï «î¡®£® 楫®£® j ¯®¤¯à®áâà á⢮ Vjm ; á®áâ®ï饥 ¨§ (m,2) à § ¥¯à¥à뢮 ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬ëå äãªæ¨© ¨§ L2(R); ª®â®àë¥ «î¡®¬ ¨â¥à¢ «¥ ¢¨¤ [k2,j ; (k + 1)2,j ]; k 2 Z; ᮢ¯ ¤ îâ á ¥ª®â®àë¬ ¯®«¨®¬®¬ á⥯¥¨ ¥ ¢ëè¥ m , 1: ®¢¥à襮 ®ç¥¢¨¤®, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fVjmgj2Z 㤮¢«¥â¢®àï¥â ᢮©á⢠¬ ªà ⮬ áèâ ¡®£® «¨§ . ª ç¥á⢥ ¬ áèâ ¡¨àãî饩 äãªæ¨¨ ¬®¦® ¢§ïâì B -ᯫ © Z1 N m(x) := (N m,1 N 1)(x) = N m,1(x , t) dt; m 2; (15.1) 0
36
£¤¥ N 1 = [0;1): á®, çâ® æ¥«ë¥ á¤¢¨£¨ N m ¥ ®à⮣® «ìë ¤à㣠¤àã£ã ¯à¨ m > 1. ¯à¨¬¥à, ¯à¨ m = 2 8 > < t; ¥á«¨ t 2 [0; 1]; 2 N (t) = > 2 , t; ¥á«¨ t 2 (1; 2]; : 0; ¥á«¨ t 2= [0; 2]; ¨ äãªæ¨¨ N 2() ¨ N 2( 1) ¥ ®à⮣® «ìë ¤à㣠¤àã£ã. § (15.1) á«¥¤ã¥â, çâ® m m Ndm (!) = 1,i!e,i! ; jNdm(!)j = sin!=(!=2 2) ; P jNdm(! + 2l)j2 = P sin (!=2+l) 2m: l2Z
l2Z
!=2+l
®í⮬ã, ¢ ᨫã ⥮६ë 9.2 fN m ( , k)gk2Z - ¡ §¨á ¨áá ¢ V0m: «ï ¯®áâ஥¨ï ®à⮣® «ìëå ᯫ ©-¢á¯«¥áª®¢ ®¯à¥¤¥«¨¬ á ç « ®à⮣® «ìãî ¬ áèâ ¡¨àãîéãî äãªæ¨î (á¬. ⥮६ã 9.1) X ,1=2 'bB;m(!) = Ndm(!) jNcm(! + 2l)j2 : (15.2) l2Z
(¥à娩 ¨¤¥ªá B - ¯¥à¢ ï ¡ãª¢ ä ¬¨«¨¨ .íâ« , ¢á¯«¥áª¨ ª®â®à®£® ¯®«ãç âáï ¯à¨ â ª®¬ ¢ë¡®à¥ ®à⮣® «ì®© ¬ áèâ ¡¨àãî饩 äãªæ¨¨.) áᬮâਬ ¤¢ á«ãç ï. ãáâì m - ç¥â®¥, m = 2s; s 2 N: ®£¤ Ndm (!) = ((sin !=2)=(!=2))2s e,i!s : «ï ã¯à®é¥¨ï ¢ëª« ¤®ª § ¬¥¨¬ N m (t) N m(t + s): ®£¤ Ndm(!) = ((sin !=2)=(!=2))2s : «ï ®à⮣® «¨§ 樨 ¤® ¯®áç¨â âì 0 11=2 X @ jNdm (! + 2l)j2A = (sin !=2)2s (X(!=2 + l),4s)1=2: l2Z
l2Z
â® ¬®¦® ᤥ« âì, ¤¨ää¥à¥æ¨àãï ⮦¤¥á⢮ Pl2Z(! + l),1 = ctg !: த¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¢ (q , 1) à §, ¯®«ã稬 X 1 Pq (cos !) ; = (15.3) q (sin !)q l2Z (! + l ) 37
£¤¥ Pq - ¯®«¨®¬ á⥯¥¨ q , 2: «ï ç¥âëå q ®ç¥¢¨¤®, çâ® Pq (t) áâண® ¯®«®¦¨â¥«¥ [0; 1]: ª®ç â¥«ì® ¨¬¥¥¬
'bB;m(!) = ((sin !=2)=(!=2))m (P2m (cos !=2)),1=2 : ãªæ¨ï 'B;m ¤¥©á⢨⥫쮧 ç ¨ ᨬ¬¥âà¨ç ®â®á¨â¥«ì® t = 0:
᫨ m - ¥ç¥â®, â® «®£¨çë¥ ¢ëª« ¤ª¨ ¯®ª §ë¢ îâ, çâ®
'bB;m(!) = e,i!=2 ((sin !=2)=(!=2))m (P2m(cos !=2)),1=2: í⮬ á«ãç ¥, äãªæ¨ï 'B;m ¤¥©á⢨⥫쮧 ç ¨ ᨬ¬¥âà¨ç ®â®á¨â¥«ì® t = 1=2: ᮮ⢥âá⢨¨ á ®¡é¥© á奬®©, á ¬ áèâ ¡¨àãî饩 äãªæ¨¥© 'B;m ¯®§¢®«ï¥â ¯®áâநâì ¢á¯«¥áª®¢ë© ¡ §¨á f jkB;mgj;k2Z: â®â ¡ §¨á ¡ë« ¯®áâ஥ (¡¥§ ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ) ¢ à ¡®â å: [B], [L].
¨á.1. à 䨪 'B;2(t): ¨á.2. à 䨪 B;2(t): à⮣® «¨§®¢ âì B -ᯫ © N m ¬®¦® çãâì-çãâì ¯®-¤à㣮¬ã. § (15.3) á«¥¤ã¥â, çâ® X dm jN (! + 2l)j2 = P2m (cos !=2): (15.4) l2Z
®íää¨æ¨¥âë ¯®«¨®¬ P2m(cos !=2) ¥âà㤮 ©â¨ ¨§ á«¥¤ãîé¨å á®®¡à ¦¥¨©. 祢¨¤®, çâ® supp N m = [0; m]: áâ ¥âáï § ¬¥â¨âì, çâ® ¯® ä®à¬ã«¥ « è¥à¥«ï 1 R 2 ik! P jN 1 R ik! d 2 2 d l2Z m (! + 2l )j d! = 2 R e jN m (! )j d! = 2 R 0 e = R N m(t)N m(t + k) dt: ஬¥ ⮣®, hN0mk ; N00mi = hN0m;,k ; N00m i: ¯®¬¨¬ å®à®è® ¨§¢¥áâãî «¥¬¬ã ¨áá [R, ¤ ç 40]. 38
(15.5) (15.6)
ãáâì A() = PT,T k eik - âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨© ¯®«¨®¬, ¯®«®¦¨â¥«ìë© ¨«¨ à ¢ë© ã«î ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨. ®£¤ áãP T ik é¥áâ¢ã¥â âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨© ¯®«¨®¬ h() = 0 k e ; â ª®©, çâ® jh()j2 = A(): ®«¥¥ ⮣®, ¥á«¨ ª®íää¨æ¨¥âë k ¤¥©á⢨⥫ìë, â® h() ¬®¦® ⮦¥ ¢ë¡à âì á ¤¥©á⢨⥫ì묨 k : ¥¬¬ 15.1
§ í⮩ «¥¬¬ë á«¥¤ã¥â, çâ®
P2m(cos !=2) = amj(1 + z1 ei! ) (1 + zm,1 ei! )j2; £¤¥ fzlgml=1,1 ¢á¥£¤ ¬®¦® ¢ë¡à âì ¢ãâਠ¥¤¨¨ç®£® ªà㣠: jzlj < 1: ®«¥¥ ⮣®, ¨§ १ã«ìâ ⮢ .®¡¥à£ (I.J.Shoenberg) [Sh] á«¥¤ã¥â, çâ® fzlgml=1,1 ¯®«®¦¨â¥«ìë¥ ç¨á« . ¡®§ 稬 ¨å sm,1 < < s1: ãáâì
Am(w) := pam(1 + s1 eiw ) (1 + sm,1 eiw):
®£¤ äãªæ¨ï 'St;m; ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ï
cm St;m (! ) = N (! ) ; 'd A (!)
(15.7)
m
â ª¦¥ ª ª ¨ 'B;m, 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨î (iii) ¨§ ⥮६ë 9.1 ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ï¥âáïP®à⮣® «ì®© ¬ áèâ ¡¨àãî饩 ¤«ï fVjm gj2Z: ª iw l St;m à §ª ª (1+ s eiw ),1 = 1 l=0 (,s e ) ; à ¢¥á⢮ (15.7) ®§ ç ¥â, çâ® ' m « £ ¥âáï ¢ àï¤ ¯® æ¥«ë¬ á¤¢¨£ ¬ ¢«¥¢® B -ᯫ © N ; ¯à¨ç¥¬ ª®íää¨æ¨¥âë à §«®¦¥¨ï ã¡ë¢ îâ ª ª £¥®¬¥âà¨ç¥áª ï ¯à®£à¥áá¨ï. ç¨â, supp 'St;m = (,1; m] ¨ 'St;m(t) ã¡ë¢ ¥â íªá¯®¥æ¨ «ì® ¯à¨ t ! ,1: á â ª®© ¬ áèâ ¡¨àãî饩 äãªæ¨¥© ¯®à®¦¤ ¥â ¢á¯«¥áª®¢ë© ¡ §¨á f jkSt;mgj;k2Z; ¯®áâà®¥ë© (¡¥§ ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ) ¢ [St].
¨á.1. à 䨪 'St;2(t):
¨á.2. à 䨪
39
St;2(t):
16
à⮣® «ìë¥ ¢á¯«¥áª¨ á ª®¬¯ ªâë¬ ®á¨â¥«¥¬
à®á⥩訩 ᯮᮡ ¯®áâ஥¨ï ®à⮣® «ìëå ¢á¯«¥áª®¢ á ª®¬¯ ªâë¬ ®á¨â¥«¥¬ ®á®¢ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ®à⮣® «ìëå ¬ áèâ ¡¨àãîé¨å äãªæ¨© p áR ª®¬¯ ªâë¬ ®á¨â¥«¥¬. í⮬ á«ãç ¥, ¢ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠hn := 2 R '(x)'(2x , n) dx; n 2 N; ¨§ (11.12) ⮫쪮 ª®¥ç®¥ ç¨á«® hn ®â«¨ç® ®â ã«ï, ¨ ¯®í⮬ã ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¢á¯«¥áª (á¬.(11.25)) ï¥âáï ª®¥ç®© «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樥© äãªæ¨© á ª®¬¯ ªâë¬ ®á¨â¥«¥¬, â.¥. á ¬ ¨¬¥¥â ª®¬¯ ªâë© ®á¨â¥«ì. â®çïî騩 䨫ìâà m0 P 1 , p ¡ã¤¥â âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¯®«¨®¬®¬ m0(!) = 2 n2Z hn e in! : ᨫã (11.16) jm0(!=2)j2 + jm0(!=2 + )j2 1:
áâ¥á⢥® áâ à âìáï ¯®áâநâì ' ¨ ¤®áâ â®ç® ॣã«ïà묨. ⬥⨬ §¤¥áì á«¥¤ãî饥 ¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥ [D]. ãáâì f 2 L2(R) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨ï¬ hfj;k ; fl;mi = j;lk;m; £¤¥ fj;k (x) = 2j=2f (2j x , k): ।¯®«®¦¨¬, çâ® f ¨¬¥¥â ª®¬¯ ªâë© ®á¨â¥«ì, f 2 C m(R) ¨ f (l) ®£à ¨ç¥ë ¯à¨ l m: ®£¤ Z xlf (x) dx = 0 ¤«ï l = 0; 1; :::; m: (16.1) ¥®à¥¬ 16.1
R
¢®©á⢮ (16.1) íª¢¨¢ «¥â® ⮬ã, çâ® b(l)(0) = 0 ¯à¨ l = 0; 1; :::; m: ª ª ª b(!) = e,i!=2m0(!=2 + )'b(!=2) ¨ 'b(0) = 1, â® ¨§ 2 C m(R) á«¥¤ã¥â, çâ®i! m0 ¨¬¥¥â ®«ì ªà â®á⨠m + 1 ¢ ¨«¨ m0(!) = ( 1+2e )m+1L(!); £¤¥ L - ¥ª®â®àë© âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨© ¯®«¨®¬. 1+ei! N â ª, ¡ã¤¥¬ ¨áª âìà¥è¥¨ï (11.16) ¢ ¢¨¤¥ m 0 (! ) = ( 2 ) L(! ): N N ¬¥â¨¬, çâ® jm0(!)j2 = cos2 !2 jL(!)j2 = cos2 !2 P (sin2 !2 ); £¤¥ P (sin2 !2 ) := jL(!)j2: ®¤áâ ¢«ïï íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ ¢ (11.16), ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨¥ P :
xN P (1 , x) + (1 , x)N P (x) = 1:
(16.2)
ª ª ª xN ¨ (1 , x)N - ¢§ ¨¬®-¯à®áâë¥ ¯®«¨®¬ë á⥯¥¨ N; â® ¯® ⥮६¥ ¥§ã áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨á⢥ë©P¯®«¨®¬ PN ,1 á⥯¥¨ N ,1; 㤮¢«¥â¢®àïî騩 (16.2): PN ,1(x) = Nk=0,1 N ,k1+k xk : 祢¨¤®, çâ® PN ,1(x) > 0: ãé¥áâ¢ãîâ à¥è¥¨ï (16.2) ¡®«¥¥ ¢ë᮪®© á⥯¥¨ 40
P (x) = PN ,1(x) + xN R(x , 12 ); £¤¥ R - ¯à®¨§¢®«ìë© ¥ç¥âë© ¯®«¨®¬. «ï ¯à®áâ®âë à áᬮâਬ §¤¥áì ⮫쪮 á«ãç © R = 0: ï P; ¯®«¨®¬ m0 室¨âáï ¯à¨ ¯®¬®é¨ «¥¬¬ë 15.1. â ª, ¯ãáâì N 2 N. ¨«ìâà ¬¨ ®¡¥è¨ §ë¢ îâ âਣ®®¬¥âà¨2N ,1 ç¥áª¨¥ ¯®«¨®¬ë dN (!) = 2,1=2 P hN (l)eil!; hN (l) 2 R; 㤮¢«¥â¢® l=02 ! N 2 àïî騥 à ¢¥á⢠¬ jdN (!)j = cos 2 PN ,1(sin2 !2 ): [D1] ¤®ª § á«¥¤ãîé ï ¥®à¥¬ 16.2 ãªæ¨ï 'D;N , ®¯à¥¤¥«¥ ï ¢ ®¡à § å ãàì¥ ª ª D;N (! ) := Q1 dN (! 2,l ); ï¥âáï ®à⮣® «ì®© ¬ áèâ ¡¨àãî饩 'd l=1 äãªæ¨¥©. ®®â¢¥âáâ¢ãî騩 ¢á¯«¥áª D;N ; ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë© ä®à¬ã«®© d D;N (!=2); ¯®à®¦¤ ¥â ®à⮮ନ஢ ë© D;N (! ) = e,i!=2dN (!=2 + )'d D;N ¡ §¨á ¢ L2(R) : f jk () := 2j=2 D;N (2j ,k)gj2Z;k2Z: ®«¥¥ ⮣®, supp D;N = [,(N , 1); NR ], ¨ áãé¥áâ¢ã¥â > 0; â ª ï, çâ® D;N 2 C N ; £¤¥ C := ff : ^ R f (! )(1 + j! j) d! < 1g; > 0:
¨á.1. à 䨪 'D;2(t):
¨á.2. à 䨪
D;2(t):
¨á.1. à 䨪 'D;4(t):
¨á.2. à 䨪
D;4(t):
41
17
ëáâàë¥ «£®à¨â¬ë
à ⮬ áèâ ¡ë© «¨§ ¯®§¢®«ï¥â ¡ëáâà® ¢ëç¨á«ïâì ¢á¯«¥áª®¢ë¥ ª®íää¨æ¨¥âë § ¤ ®© äãªæ¨¨. ।¯®«®¦¨¬, çâ® ¬ ¨§¢¥áâë ᪠«ïàë¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï f á f'jk gk2Z ¤«ï ¥ª®â®à®£® j: ¥ ®£à ¨ç¨¢ ï ®¡é®áâ¨, ¬®¦® áç¨â âì j = 0 (ª í⮬ã á«ãç î ¢á¥£¤ ¬®¦® ¯¥à¥©â¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 § ¬¥®© ¯¥à¥¬¥ëå). ï hf; P'0k i; k 2 Z; «¥£ª® ¯®¤áç¨â âì hf; jk i ¤«ï j < 0: ¥©á⢨⥫ì®, = k2Z gk '1k ; £¤¥ gk = (,1)k h1,k (á¬.(11.25)). «¥¤®¢ ⥫ì®, (t) = 2j=2 (2j t , k) =P2j=2 Pl2Z '(2j t , 2k , l) = jkP (17.1) = l2Z gl 'j+1;2k+l(t) = l2Z gl,2k 'j+1;l(t): ç¨â hf; ,1;k i = Pl2Z gl,2k hf; 0li; â.¥. fhf; ,1;k igk2Z ¯®«ãç ¥âáï ᢥà⪮© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠fhf; '0ligl2Z á fg,l gl2Z á ¯®á«¥¤ãî騬 ¢ë¡®à®¬ ⮫쪮 ç¥âëå í«¥¬¥â®¢. «®£¨ç® ¢ë¯®«ï¥âáï ¯¥à¥å®¤ ®â á«®ï j ª j,1 X hf; j,1;k i = gl,2k hf; 'j;li; (17.2) l2Z
¯à ¢¤ ¯à¨ í⮬ 㦮 ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì® ¢ëç¨á«¨âì fhf; 'j;k igk2Z: ®, ¢ ᨫ㠬 áèâ ¡®£® à ¢¥á⢠X 'j;k = hl,2k 'j+1;l: (17.3) l2Z
®í⮬ã,
hf; 'j;k i =
X l2Z
hl,2k hf; 'j+1;li:
(17.4)
â ª, ç¨ ï á fhf; '0;k igk2Z; ¬®¦® ¢ëç¨á«¨âì fhf; ,1;k igk2Z ¯® (17.2) ¨ fhf; ',1;k igk2Z ¯® (17.4). ⥬ ¬ë ¬®¦¥¬ ¯à¨¬¥¨âì (17.2) ¨ (17.4) ᮢ ¨ ¯®«ãç¨âì fhf; ,2;k igk2Z ¨ fhf; ',2;k igk2Z; ¨á¯®«ì§ãï fhf; ',1;k igk2Z: ª¨¬ ®¡à §®¬, ª ¦¤®¬ è £¥ ¢ëç¨á«ïîâáï ¥ ⮫쪮 ¢á¯«¥áª®¢ë¥ ª®íää¨æ¨¥âë j - £® á«®ï, ® ¨ ¢á¯®¬®£ ⥫ìë¥ ª®íää¨æ¨¥âë fhf; 'j;k igk2Z ª®â®àë¥ ¯®âॡãîâáï ¤«ï 宦¤¥¨ï ¢á¯«¥áª®¢ëå ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¢ (j , 1)-®¬ á«®¥. 楫®¬ ¢¥áì ¯à®æ¥áá ¬®¦® à áᬠâਢ âì ª ª ¯®á«¥¤®¢ ⥫쮥 ¢ëç¨á«¥¨¥ ¡®«¥¥ £àã¡ëå ¯à¨¡«¨¦¥¨© äãªæ¨¨ f ¢¬¥á⥠á 䨪á 樥© ¤¥â «¥©, ¥®¡å®¤¨¬ëå ¤«ï ¯®«ãç¥¨ï ¡®«¥¥ â®ç®£® ¯à¨¡«¨¦¥¨ï 42
¨§ ¡®«¥¥ £àã¡®£®. í⮩ â®çª¨ §à¥¨ï, ¬ë ç¨ ¥¬ á ¯à¨¡«¨¦¥¨ï f 0 = P0f ( ¯®¬¨ ¥¬, çâ® Pj - íâ® ®à⮣® «ìë© ¯à®¥ªâ®à Vj ; ç¥à¥§ Qj ¬ë ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âì ¯à®¥ªâ®à Wj ). «¥¥ ¬ë à §« £ ¥¬ f 0 2 V0 = V,1 W,1 f ,1 ¨ ,1 : f 0 = f ,1 + ,1; £¤¥ f ,1 = P,1f 0 = P,1 f - ¡®«¥¥ £àã¡®¥ ¯à¨¡«¨¦¥¨¥ f ¢ èª «¥ ªà ⮬ áèâ ¡®£® «¨§ , ,1 = f 0 , f ,1 = Q,1f 0 = Q,1f - íâ® "¯®â¥àï" ¢ ¨ä®à¬ 樨 ¯à¨ ®â®¡à ¦¥¨¨ f 0 ! f ,1 : ª ¦¤®¬ ¨§ ¯à®áâà á⢠Vj ¨ Wj ¥áâì ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á f'j;k gk2Z ¨ f j;k gk2Z; ¯®í⮬ã X X X f 0 = s0k '0k ; f ,1 = s,k 1 ',1;k ; ,1 = d,k 1 ,1;k : k2Z
k 2Z
k2Z
ª¨¬ ®¡à §®¬, ä®à¬ã«ë (17.2), (17.4) § ¤ î⠯८¡à §®¢ ¨¥ ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ®â ®à⮮ନ஢ ®£® ¡ §¨á f'0k gk2Z ¢ V0 ª ®à⮮ନ஢ ®¬ã ¡ §¨áã f',1;k gk2Z Sf ,1;k gk2Z : X X s,k 1 = hl,2k s0k ; d,k 1 = gl,2k s0k : (17.5) l 2Z
l2Z
᫨ ®¡®§ ç¨âì a := falgl2Z; A := fa,lgl2Z ¨ (Ab)k = Pl2Z A2k,l bl; â® (17.5) ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ s,1 = Hs0; d,1 = Gs0: ਡ«¨¦¥¨¥ f ,1 2 V,1 = V,2 W,2 ¬®¦¥â ¡ëâì ᮢ à §«®¦¥®:
f ,1 = fP,2 + ,2; f ,2 2 V,2 ; P,2 2 W,2; f ,2 = k2Z s,k 2 ',2;k ; ,2 = k2Z d,k 2 ,2;k : ¯ïâì s,2 = Hs,1; d,2 = Gs,1: 奬 â¨ç®, ¢¥áì ¯à®æ¥áá ¬®¦® ¨§®¡à §¨âì â ª: H H H s,1 ,! s,2 sj ,! sj,1 s0 ,! G
&
G
G
&
&
d,1 d,2 dj dj,1 ¯à ªâ¨ª¥, ¯®á«¥ ¢ë¯®«¥¨ï ª®¥ç®£® ç¨á« è £®¢ ¯à®æ¥áá ¯à¥ªà é ¥âáï, çâ® ®§ ç ¥â, çâ® ¨á室 ï ¨ä®à¬ æ¨ï fhf; '0k igk2Z = s0 ¯à¥®¡à §®¢ ¢ d,1 ; d,2; ; d,j0 ¨ s,j0 ; â.¥. ¢ fhf; ,j;k igj=1;j0; k2Z ¨ fhf; ',j0 ;k igk2Z: ª ª ª ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¢ë¯®«ï«¨áì ¯à¨ ¯®¬®é¨ 43
¨§¬¥¥¨ï ®à⮣® «ìëå ¡ §¨á®¢, ®¡à â ï ®¯¥à æ¨ï § ¤ ¥âáï ᮯàïP P j j +1 j j ¦¥®© ¬ âà¨æ¥©. ®ç¥¥: f = f + = k2Z sk 'jk + k2Z djk jk ; «¥¤®¢ â¥«ì® (á¬. (17.1), (17.3))
sjk+1P = hf j+1 ; 'j+1;k i = P (17.6) = Pl2Z sjl h'jl ; 'j+1P;k i + l2Z djl h jl; j+1;k i = j j = l2Z hk,2l sl + l2Z gk,2l dl :
᫨ ®¡®§ ç¨âì (~ab)k := Pl2Z ak,2l bl; â® sj+1 = h~ sj + g~dj ¨ á奬 â¨ç® ¯à®æ¥áá ¢®ááâ ®¢«¥¨ï ¢ë£«ï¤¨â â ª: ~h ~h ~h sj ,! sj+1 ,! sj+2 s,1 ,! s0
g~
%
g~
g~
%
%
dj dj+1 dj+2 d,1 ¦¥©è¥© ç¥à⮩ ¨§«®¦¥®£® «£®à¨â¬ à §«®¦¥¨ï ¨ ¢®ááâ ®¢«¥¨ï ï¥âáï ¥£® ¡ëáâà®â . ¯à¨¬¥à, ¤«ï á¨á⥬ë à ¨¬¥¥¬ á«¥¤ãî饥. ãáâì ¨á室 ï ¨ä®à¬ æ¨ï á®áâ®ï« ¨§ 2N ç¨á¥« fs0k g2kN=0,1: ®£¤ ,N , ¯¥à¢®¬ è £¥ ¢ëç¨á«ï¥âáï 2N ,1 ¢á¯®¬®£ ⥫ìëå Nç¨á¥« p 1 fs,k 1g2k=0 ,1 : s,k 1 =p(s02k + s02k+1)= 2 ¨ 2N ,1 ª®íää¨æ¨¥â®¢ fd,k 1 g2k=0,1,1 : d,k 1 = (s02k , s02k+1) 2: ª ¦¤®¬ á«¥¤ãî饬 è £¥ ª®«¨ç¥á⢮ ¢á¯®¬®£ ⥫ìëå ç¨á¥« ¨ ª®íää¨æ¨¥â®¢ 㬥ìè ¥âáï ¢ ¤¢ à § . ®«¨ç¥á⢮ ®¯¥à 権 ¢® ¢á¥¬ «£®à¨â¬¥ à §«®¦¥¨ï à ¢® 2 2N ( 21 + 14 + ) = 2 2N : «ï ¡®«¥¥ á«®¦ëå ¢á¯«¥áª®¢ëå ¡ §¨á®¢ ¢ëç¨á«¥¨ï ¢á¯®¬®£ ⥫ìëå ç¨á¥« (ãá«®¢® £®¢®àï, "á।¨å") ¨ ª®íää¨æ¨¥â®¢ ("à §®á⥩") âॡãîâ ¡®«¥¥ 祬 ¤¢ ¯à¥¤ë¤ãé¨å ç¨á« , ® à áá㦤¥¨ï ® ª®«¨ç¥á⢥ ª®íää¨æ¨¥â®¢ ª ¦¤®¬ á«®¥ ®áâ îâáï ¢ ᨫ¥.
᫨ "®¡®¡é¥ë¥ á।¨¥" ¨ "à §®áâ¨" ¨á¯®«ì§ãîâ K ¯à¥¤ë¤ãé¨å ç¨á¥«, â® ®¡é¥¥ ç¨á«® ®¯¥à 権 à ¢® 2KN (KN - 㬮¦¥¨©, KN - á«®¦¥¨©). «¥¤ã¥â ®â¬¥â¨âì, çâ® ¡ëáâàë© «£®à¨â¬ à §«®¦¥¨ï ¨ ¢®ááâ ®¢«¥¨ï ¯® ¢á¯«¥áª®¢®¬ã ¡ §¨áã (ª®à®âª®, ¡ëáâ஥ ¢á¯«¥áª®¢®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ()) ¡ë« ¨§¢¥á⥠¢ æ¨ä஢®© ®¡à ¡®âª¥ ᨣ «®¢ ¯®¤ §¢ ¨¥¬ ¯®«®á®¢ ï 䨫ìâà æ¨ï á â®çë¬ ¢®ááâ ®¢«¥¨¥¬ (subband ltering scheme with exact reconstruction). â á奬 ¡ë« ¯à¥¤«®¦¥ ¤® ¯®ï¢«¥¨ï ⥮ਨ ¢á¯«¥áª®¢ ¢ à ¡®â å: [Sm], [Mi], [V]. 44
18
®«ã®à⮣® «ìë¥ á¯« ©-¢á¯«¥áª¨ á ª®¬¯ ªâë¬ ®á¨â¥«¥¬
ãáâì ' - ¬ áèâ ¡¨àãîé ï äãªæ¨ï á ª®¬¯ ªâë¬ ®á¨â¥«¥¬, ¯®à®¦¤ îé ï fVj gj2Z ¢ L2(R): í⮬ á«ãç ¥ ¬®¦® ¯®áâநâì ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¯®«ã®à⮣® «ìë© ¢á¯«¥áª á ª®¬¯ ªâë¬ ®á¨â¥«¥¬. í⮬ ¯ à £à ä¥ ¬ë ¥ ¯à¥¤¯®« £ ¥¬ ®à⮮ନ஢ ®áâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠f'( , k)gk2Z (¤¥«® ¢ ⮬, çâ® ®à⮣® «¨§ æ¨ï (9.2) ¬ áèâ ¡¨àãî饩 äãªæ¨¨ á ª®¬¯ ªâë¬ ®á¨â¥«¥¬ ¯à¨¢®¤¨â ª ¯®â¥à¥ ª®¬¯ ªâ®£® ®á¨â¥«ï). ãáâì supp ' = [0; M ]; M 2 N: ®£¤ ' = P2,MM,+11 hk '1k : «ï 㤮¡á⢠¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¤¥©á⢨⥫쮧 çë¥ ': 祢¨¤®, çâ® ¢R ⮪®à५ï樮 ï äãªæ¨ï (t) := R '(x , t)'(x)dx ï¥âáï ç¥â®© äãªæ¨¥© ¨ supp = [,M; M ]: ãáâì n' - ¨¡®«ì襥 楫®¥, ¤«ï ª®â®à®£® (n') 6= 0: ª ª ª - ¥¯à¥àë¢ ï äãªæ¨ï, â® (M ) = 0 ¨ 0P n' M , 1: «®£¨ç® (15.6) ¯®«ãç ¥¬, çâ® 2 = E (e,i! ); £¤¥ E (z ) := Pn' k b j ' ( ! +2 l ) j ' ' l2Z k=,n' (k )z : ®«¨®¬ P' (z ) §ë¢ îâ ¯®«¨®¬®¬ ©«¥à -஡¥¨ãá ¤«ï ¬ áèâ ¡¨àãî饩 äãªæ¨¨ ': ®áâ஥¨¥ ¯®«ã®à⮣® «ì®£® ¢á¯«¥áª®¢®£® ¡ §¨á «®£¨ç® ¯®áâ஥¨î ®à⮣® «ì®£® (á¬. ¯ à £à ä 11). ०¤¥ ¢á¥£® ®å à ªâ¥à¨§ã¥¬ äãªæ¨¨ 2 W0; £¤¥ V0 W0 = V1; W0 ? V0: ª ª ª W0 V1; â® = Pk rk '1k : P ®¡à § å ãàì¥ ¨¬¥¥¬ b(!) = R(e,i!=2) 'b(!=2); £¤¥ R(z) = p1 k2Z rk zk { 2-¯¥à¨®¤¨ç¥áª ï 2 äãªæ¨ï ¨§ L2[0; 2]: «®£¨ç®P ¤«ï ' : ' = Pk pk '1k ; 'b(!) = P (e,i!=2) 'b(!=2); P (z) = p12 k2Z pk zk : ãáâì z = e,i!=2: ਬ¥ïï ⮦¤¥á⢮ « è¥à¥«ï, ¨¬¥¥¬ h'( , l); ()i = 21 RR 'b(!)e,il! b(!)d! = R = 21 R j'b(!=2)j2P (z)R(z)e,il! d! = R = 21 04 fPk2Z j'b(!=2 + 2k)j2g P (z)R(z)e,il! d! = R = 21 04 E'(z)P (z)R(z)e,il! d! = R = 21 02 fE'(z)P (z)R(z) + E'(,z)P (,z)R(,z)ge,il! d!: 45
âªã¤ á«¥¤ã¥â, çâ® 2 W0 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ E'(z)P (z)R(z) + E'(,z)P (,z)R(,z) = 0; jzj = 1: (18.1)
᫨ ¯à¥¤¯®«®¦¨âì, çâ® ª®íää¨æ¨¥âë R ¤¥©á⢨⥫ìë, â® ¥âà㤮 㪠§ âì ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ (18.1): R(z) = zK (z2)P (, 1z )E'(,z); jzj = 1; (18.2) £¤¥ K (z) - ¯à®¨§¢®«ì ï ª¢ ¤à â¨ç®-á㬬¨à㥬 ï äãªæ¨ï ¥¤¨¨ç®© ®ªà㦮á⨠jzj = 1: ¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ ® â®, çâ® E'(z,1) = E' (z) ¯à¨ jzj = 1; â ª ª ª (,k) = (k):
᫨ ' ¨¬¥¥â ª®¬¯ ªâë© ®á¨â¥«ì, â® P ¨ E' ïîâáï ¯®«¨®¬ ¬¨ ®à . § (18.2) á«¥¤ã¥â, çâ® R ¡ã¤¥â ⮦¥ ¯®«¨®¬®¬ ®à , ¥á«¨ K - ¯®«¨®¬ ®à . ¥®à¥¬ 18.1 ®«ã®à⮣® «ìë© ¢á¯«¥áª á ¬¨¨¬ «ìë¬ ª®¬¯ ªâë¬ ®á¨â¥«¥¬, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 '; ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¤¢ãå-¬ áèâ ¡ë¬ á®®â®è¥¨¥¬ X := qk '1;k ¨«¨, ¢ ®¡à § å ãàì¥,
k
b(!) := Q(e,i!=2)'b(!=2);
£¤¥ Q(z) := p12 qk zk = cz 2N +1P (, 1z )E' (,z ): ¤¥áì N - ¯à®¨§¢®«ì®¥ 楫®¥, c - ¯à®¨§¢®«ì ï ¥ã«¥¢ ï ª®áâ â . ç áâ®áâ¨, ¥á«¨ ¯®«®¦¨âì N à ¢ë¬ æ¥«®© ç á⨠(M + n' )=2; â® Q ¡ã¤¥â «£¥¡à ¨ç¥áª¨¬ ¯®«¨P M +2n' ®¬®¬ ¨ := k=0 qk '1;k : ®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì f (,k )gk2Z ®¡à §ã¥â ¡ §¨á ¨áá ¢ W0; f j;k (t) := j= 2 2 (2t , k)gj;k2Z { ¯®«ã®à⮣® «ìë© ¡ §¨á ¢ L2(R): ਬ¥¨¬ íâã ⥮६㠪 B -ᯫ ©ã ' = N m ; m 2 N: í⮬ á«ãç ¥ M = m; n' = m , 1: ®« £ ï N = m , 1; c = ,1; ¨¬¥¥¬ Qm(z) = ,z2m,1P (, 1z )E (,z) =
m = ,z2m,1 z2,z1 Pmk=,,1m+1 (,1)k N 2m(m + k)zk = m = 1,2 z Pk2m=0,2(,1)k N 2m(k + 1)zk = p12 P3km=0,2 qm;k zk ; 46
k £¤¥ qm;k = 2(,m1), 12 Pml=0 N 2m(k , l + 1); k = 0; : : : ; 3m , 2: ¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ ë «¥£ª®P¯à®¢¥àï¥¬ë¥ m á®®â®è¥¨ï: Pm,1 2m m m , m +1 m k N (t) = k=0 2 k N (2t , k ); EN m (z ) = ,m+1 N (m + k )z : ª®ç ⥫ì®, ¯®«ã®à⮣® «ìë© á¯« ©-¢á¯«¥áª ¯®à浪 m à ¢¥ m (t) = P3m,2 p2q N m (2t , k ); supp m = [0; 2m , 1]:
m;k
k=0
¨á.1. à 䨪 19
2(t):
¨á.2. à 䨪 3(t):
¥£ã«ïàë¥ ¢
R
2( n )
L
¥à¥©¤¥¬ ®â à áᬮâà¥¨ï ®¤®¬¥àëå ª ¬®£®¬¥àë¬. «¥¤ãî饥 ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ®¡®¡é ¥â ®¯à¥¤¥«¥¨¥ 11.1 à ⮬ áèâ ¡ë© «¨§ () - íâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fVj gj2Z § ¬ªãâëå ¯®¤¯à®áâà á⢠L2(Rn ); 㤮¢«¥â¢®àïîé ï á«¥¤ãî騬 ᢮©á⢠¬: ¯à¥¤¥«¥¨¥ 19.1
Vj Vj+1 ; (19.1) 2 n (19.2) j 2Z Vj = L (R ); T V = f0g; (19.3) j 2Z j , j f 2 Vj , f (2 ) 2 V0; (19.4) f 2 V0 , f ( , k) 2 V0 ¤«ï «î¡®£® k 2 Zn; (19.5) áãé¥áâ¢ã¥â äãªæ¨ï g 2 V0 â ª ï, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fg( , k)gk2Zn ®¡à §ã¥â ¡ §¨á ¨áá ¢ V0: (19.6)
S
¯®¬¨¬, çâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fg0k () := g( , k)gk2Zn ï¥âáï ¡ §¨á®¬ ¨áá ¢ V0, ¥á«¨ [g0k]k2Zn = V0 ¨ áãé¥áâ¢ãîâ ¤¢¥ ª®áâ âë A > 0; B > 0 â ª¨¥, çâ® X X X A( jck j2)1=2 k ck g0k kL2(R) B ( jck j2)1=2 k2Zn
k2Zn
k2Z
¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠ç¨á¥« fck gk2Zn : 47
ä䥪⨢®áâì ¨á¯®«ì§®¢ ¨ï ¢á¯«¥áª®¢ëå ¡ §¨á®¢ ¢ äãªæ¨® «ìëå ¯à®áâà á⢠å, ®â«¨çëå ®â L2(Rn); § ¢¨á¨â ®â ॣã«ïà®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® . fVj gj 2Zn §ë¢ ¥âáï r-ॣã«ïàë¬ (r 2 N); ¥á«¨ äãªæ¨ï g(x) ¢ (19.6) ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ë¡à â ª, çâ® ¯à¥¤¥«¥¨¥ 19.2
j@ g(x)j Cm (1 + jxj),m (19.7) ¤«ï «î¡®£® 楫®£® m 2 N ¨ ¤«ï «î¡®£® ¬ã«ìâ¨-¨¤¥ªá = ( 1; :::; n); 㤮¢«¥â¢®àïî饣® j j r: «¥¤ãîé ï ⥮६ ¯®ª §ë¢ ¥â, ª ª ¯¥à¥©â¨ ®â ¡ §¨á ¨áá ª ª ®¨ç¥áª®¬ã ®à⮮ନ஢ ®¬ã ¡ §¨áã (á¬. ¤«ï áà ¢¥¨ï ®¤®¬¥àë© á«ãç © ¢ ⥮६ å 9.1, 9.2, 9.3). ãáâì fVj gj2Z { ¢ L2 (Rn ): ®£¤ áãé¥áâ¢ãîâ ¤¢¥ ª®áâ âë c2 c1 > 0; â ª¨¥, çâ® ¤«ï ¯®ç⨠¢á¥å ! 2 Rn ¨¬¥¥¬ ¥®à¥¬ 19.1
0 11=2 X c1 @ jgb(! + 2k)j2A c2: k2Zn
(19.8)
«¥¥, ¥á«¨ ' 2 L2(Rn ) ®¯à¥¤¥«¥ ¢ ®¡à § å ãàì¥
0 1,1=2 X 'b(!) = gb(!) @ jgb(! + 2kj2A ; k2Zn
(19.9)
â® f'(x , k)gk2Zn ï¥âáï ¢ V0: ª®¥æ, ¯ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ff (x , k)gk2Zn ®à⮮ନ஢ , £¤¥ äãªæ¨ï f 2 V0 . ®£¤ íâ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ï¥âáï ¢ V0 ¨ fb(!) = (!)'b(!); £¤¥ (!) 2 C 1 (Rn); j(! )j = 1 ¯®ç⨠¢áî¤ã, ¨ (! + 2k) = (!) ¤«ï «î¡®£® k 2 Zn :
«¥¤ãîé ï ⥮६ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ®à⮣® «¨§ æ¨ï (19.9) á®åà ï¥â ॣã«ïà®áâì . 48
ãáâì fVj gj 2Z { r-ॣã«ïàë© ¢ L2(Rn ): ®£¤ äãªæ¨ï ' 2 V0; ®¯à¥¤¥«¥ ï ¢ (19.9), 㤮¢«¥â¢®àï¥â ®æ¥ª¥ ¥®à¥¬ 19.2
j@ '(x)j Cm(1 + jxj),m; (19.10) ¤«ï «î¡®£® 楫®£® m 2 N ¨ ¤«ï «î¡®£® ¬ã«ìâ¨-¨¤¥ªá 2 Nn ; 㤮¢«¥â¢®àïî饣® j j r: ®ª ¦¥¬, ª ª ¯®«ãç¨âì ¢ L2(R2); ¨á¯®«ì§ãï ®¤®¬¥àë© fVj gj2Z ¢ L2(R): ¯à¥¤¥«¨¬ Vj L2(R2) ª ª § ¬ëª ¨¥ ¢ L2(R2),®à¬¥ «£¥¡à ¨ç¥áª®£® ⥧®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï Vj Vj : ®«ãç¥ë©
§ë¢ îâ ᥯ à ¡¥«ìë¬.
᫨ ¬®£®¬¥àë© ¥«ì§ï ¯®«ãç¨âì ®¯¨á ë¬ á¯®á®¡®¬, â® ¥£® §ë¢ î⠥᥯ à ¡¥«ìë¬. ᥯ à ¡¥«ì®¬ á«ãç ¥ ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¢ V0 á®á⮨⠨§ ¯à®¨§¢¥¤¥¨© '(x , k)'(y , k); (k; l) 2 Z2: à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¯®« £ ï '(x; y) := '(x)'(y); ¯®«ãç ¥¬, çâ® ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¢ V0 ï¥âáï ®à¡¨â®© äãªæ¨¨ ' ¯®¤ ¤¥©á⢨¥¬ Z2: ãáâì W0 - ®à⮣® «ì®¥ ¤®¯®«¥¨¥ V0 ¤® V1: ®£¤
V1 = V0 V0 W0 W0 V0 W0 W0: ¥©á⢨⥫ì®, V1 = (V0 W0) (V0 W0); ¨ ¤®áâ â®ç® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¤¨áâਡã⨢®áâìî ⥧®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¯® ®â®è¥¨î ª á«®¦¥¨î. ãáâì W0 ®¡®§ ç ¥â ®à⮣® «ì®¥ ¤®¯®«¥¨¥ V0 ¤® V1: ®£¤ W0 = W0;1 W1;0 W1;1; £¤¥ W0;1 = V0 W0; W1;0 = W0 V0; W1;1 = W0 W0: «ï ¯®«ãç¥¨ï ®à⮮ନ஢ ®£® ¡ §¨á ¢ W0 ¤® ¢§ïâì ®¡ê¥¤¨¥¨¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⥩ '(x , k) (y , l); (x , k)'(y , l); ¨ (x , k) (y , l); k; l 2 Z2; ª®â®àë¥ ï¢«ïîâáï ®à⮮ନ஢ 묨 ¡ §¨á ¬¨ ¢ W0;1; W1;0 ¨ W1;1: ஡«¥¬ ¯®áâ஥¨ï ¢á¯«¥áª®¢®£® ¡ §¨á ®á®¢¥ ¢ L2(Rn) ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ï¥âáï ¡®«¥¥ á«®¦®©. ¤ ª® ¢ [Gr] ¤®ª § ¥®à¥¬ 19.3 ãáâì fVj gj 2Z { r-ॣã«ïàë© ¢ L2 (Rn ): Wj - ®à⮣® «ì®¥ ¤®¯®«¥¨¥ Vj ¤® Vj +1: ®£¤ áãé¥áâ¢ãîâ q := 2n , 1 äãªæ¨© 1; :::; q ¨§ V1 á® á«¥¤ãî騬¨ ᢮©á⢠¬¨:
j@ l(x)j CN (1 + jxj),N 49
(19.11)
¤«ï «î¡®£® ¬ã«ìâ¨-¨¤¥ªá 2 Nn á j j r; «î¡®£® x 2 Rn ¨ «î¡®£® N 1; f l(x , k); 1 l q; k 2 Zn g ï¥âáï ¢ W0: «¥¤á⢨¥ 19.1 ãªæ¨¨ 2nj=2 l(2j x , k ); 1 l q; k 2 Zn ; j 2 Z; ®¡à §ãîâ ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¢ L2(Rn): ¬¥ç ¨¥ 19.1 ¥ ¨§¢¥á⥠¬¥â®¤ ¯®áâ஥¨ï ¥á¥¯ à ¡¥«ì®£® ¬®£®¬¥à®£® fVj gj2Z ¢ L2 (Rn), ã ª®â®à®£® ¢á¯«¥áª®¢ë© ¡ §¨á á®á⮨⠨§ ª®¬¯ ªâëå äãªæ¨©. ¥«® ¢ ⮬, çâ® «£®à¨â¬ .à®è¥¨£ (K.Grochenig) ¤ ¦¥ ¯à¨ ¯à¨¬¥¥¨¨ ª ª®¬¯ ªâ®© ¬ áèâ ¡¨àãî饩 äãªæ¨¨ ' ¥ ¤ ¥â ¢á¯«¥áª®¢ á ª®¬¯ ªâë¬ ®á¨â¥«¥¬. 祢¨¤®, ç⮠᥯ à ¡¥«ìë¥ ¬®£®¬¥àë¥ ¢á¯«¥áª¨, ¯®«ãç¥ë¥ ®á®¢¥ ¢á¯«¥áª®¢ ®¡¥è¨, ¨¬¥îâ ª®¬¯ ªâë© ®á¨â¥«ì. 20
¥à ¢¥á⢠¥àè⥩
¥£ã«ïà®áâì ¬ áèâ ¡¨àãî饩 äãªæ¨¨ (19.7) ¯®§¢®«ï¥â à áᬠâਢ âì fVj gj2Z ¥ ⮫쪮 ¢ L2(Rn), ® ¨ ¢ ¤à㣨å äãªæ¨® «ìëå ¯à®áâà á⢠å, ¯à¨¬¥à, ¢ Lp(Rn); p 2 [1; 1]: ¥¬¬ 20.1 ãáâì ®à⮣® «ì ï ¬ áèâ ¡¨àãîé ï äãªæ¨ï ' 㤮¢«¥â¢®àï¥â (19.7). ®£¤ áãé¥áâ¢ãîâ ¤¢¥ ª®áâ âë c2 > c1 > 0 â ª¨¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® p 2 [1; 1] ¨ «î¡®© ª®¥ç®© á㬬ë P f (x) = k (k)'(x , k) ¢ë¯®«¥ë ¥à ¢¥á⢠X c1kf kp ( j (k)jp)1=p c2kf kp: (20.1) k
®ª § ⥫ìá⢮. 祬 á ªà ©¨å á«ãç ¥¢. ਠp = 1 X jf (x)j j (k)jj'(x , k)j sup j (k)jC ('); k
k
£¤¥ C (') := supRx2Rn Pk2Z j'(x , k)j: ¤àã£ãî áâ®à®ã ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ⥬, çâ® (k) = Rn f (x)'(x , k)dx; ¯®í⮬ã j (k)j kf k1k'k1: «ãç © p = 1 à §¡¨à ¥âáï â ª¦¥: R jf (x)jdx R P j (k)jj'(x , k)jdx P j (k)jk'k ; 1 k Rn Rn k P j (k)j R jf (x)j P j'(x , k)jdx C (')kf k : 1 k k Rn 50
áᬮâਬ ®¡é¨© á«ãç ©. ãáâì q { ᮯàï¦¥ë© ¯®ª § â¥«ì ª p; â.¥. 1=p +1=q = 1: ¯¨è¥¬ j'(x , k)j = j'(x , k)j1=pj'(x , k)j1=q; çâ® ¤ ¥â jf (x)j Pk j (k)jj'(x , k)j (P j (k)jpj'(x , k)j)1=p(P j'(x , k)j)1=q C (')(P j (k)jp)1=p; k
k
k
®âªã¤ á«¥¤ã¥â «¥¢ ï ç áâì ¥à ¢¥á⢠(20.1). «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠R ¯à ¢®© ç á⨠¨á¯®«ì§ã¥¬ â®, çâ® (k) = Rn f (x)'(x , k)dx; ¯®í⮬ã R j (k)j ( Rn jf (x)jpj'(x , k)jdx)1=pk'k11=q:2 ¯à¥¤¥«¨¬ V0(p) ª ª ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ V0 \ Lp(Rn ) ¤«ï 1 p 2; ¨ ª ª § ¬ëª ¨¥ V0 ¯® Lp(Rn )-®à¬¥ ¤«ï 2 pP< 1. ® «¥¬¬¥ 20.1 f 2 V0 (p) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ f (x) = k2Zn (k)'(x , k); £¤¥ (k) 2 lp(Zn): ¯à¥¤¥«¨¬ V0(1) ª ª ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮, çì¨ í«¥¬¥âë ¬®£ãâ ¡ëâì § ¯¨á ë ª ª f (x) = lim fm(x); £¤¥ ¯à¥¤¥« ï¥âáï à ¢®¬¥àë¬ ª®¬¯ ªâ å ¨ £¤¥ fm 2 V0 ¨ supm0 kfmk1 < P 1: à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, f 2 V0(1) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ f (x) = k2Zn (k)'(x , k); £¤¥ (k) 2 l1(Zn): ª®¥æ, ®¯à¥¤¥«¨¬ Vj (p): f () 2 Vj (p) , f (2,j ) 2 V0(p): 祢¨¤®, çâ® Vj (p) ¢«®¦¥® ¢ Lp(Rn): [M, á.32] ãáâì Vj ; j 2 Z { r-ॣã«ïàë© ¢ L2 (Rn ): ®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ª®áâ â C â ª ï, çâ® ¤«ï 1 p 1; j 2 Z; f 2 Vj (p) ¨ j j r ¢ë¯®«¥® ¥à ¢¥á⢮ ¥®à¥¬ 20.1
k@ f kp C 2j jj kf kp:
(20.2)
®ª § ⥫ìá⢮. ¬¥®© ¯¥à¥¬¥®© ¢á¥ ᢮¤¨âáï ª á«ãç î j = 0: ãáâì f (x) = Pk (k)'(x , k): ®£¤ j@ f (x)j Pk j (k)jj@ '(x , k)j: ®¢â®à¥¨¥ Pà áá㦤¥¨© ¤®ª § ⥫ìá⢠«¥¢®© ç á⨠(20.1) ¤ ¥â k@ f kp C ( k j (k)jp)1=p; çâ® ¬®¦® ®æ¥¨âì, ¨á¯®«ì§ãï ¯à ¢ãî ç áâì (20.1). 2 ¯®¬¨¬, çâ® ª« áá¨ç¥áª®¥ ¥à ¢¥á⢮ ¥àè⥩ ã⢥ত ¥â, çâ® ¤«ï «î¡®£® 2 Nn k@ f kp Rj jkf kp: £¤¥ f { ¯à®¨§¢®«ì ï äãªæ¨ï ¨§ Lp(Rn); 1 p 1; çì¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ ¨¬¥¥â ®á¨â¥«ì ¢ è ॠj!j R:
51
ª¨¬ ®¡à §®¬, ⥮६ 20.1 ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¯® ᢮¨¬ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¬ á¢®©á⢠¬ í«¥¬¥âë Vj ¡«¨§ª¨ ª æ¥«ë¬ äãªæ¨ï¬ íªá¯®¥æ¨ «ì®£® ⨯ 2j , ¨å ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ á®á।®â®ç¥® ¢ ¯®«®á¥ [,2j ; 2j ]: 21
¥£ã«ïàë¥ ¨ ¯®«¨®¬ë
ãáâì fVj gj2Z { r-ॣã«ïàë© ªà ⮬ áèâ ¡ë© «¨§ ¢ L2(Rn); fPj : L2(R) ! Vj gj2Z { ®à⮣® «ìë¥ ¯à®¥ªâ®àë. 祢¨¤®, çâ® Z P0f (x) = n E (x; y)f (y)dy; (21.1) R £¤¥ E (x; y) := Pk2Z '(x , k)'(y , k); ' { ®à⮣® «ì ï ¬ áèâ ¡¨àãîé ï äãªæ¨ï. «ï ¯à®¨§¢®«ì®£® j 2 Z Z Pj f (x) = n Ej (x; y)f (y)dy; R
£¤¥ Ej (x; y) := 2nj E (2j x; 2j y): ¥à¥ç¨á«¨¬ ¯à®á⥩訥 ᢮©á⢠拉à. ¥¬¬ 21.1
j@x @y E (x; y)j Cm(1 + jx , yj),m; ¤«ï «î¡ëå m 2 N; j j r; j j r; E (x + k; y + k) = E (x; y); k 2 Zn; lim kP f , f kL2(R) = 0: j !1 j
(21.2) (21.3)
«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¯®á«¥¤¥£® ᢮©á⢠¢ äãªæ¨® «ìëå ¯à®áâà áâ¢, ®â«¨çëå ®â L2(Rn), ¬ ¯®âॡã¥âáï á«¥¤ãî騩 ä㤠¬¥â «ìë© à¥§ã«ìâ â, ¯®ª §ë¢ î騩, çâ® ¯®«¨®¬ë á⥯¥¨ ¥ ¢ëè¥ r ¨¢ ਠâë ®â®á¨â¥«ì® ¯à®¥ªâ®à®¢ Pj r-ॣã«ïண® (â®ç ï ä®à¬ã«¨à®¢ª ¢ á«¥¤á⢨¨ 21.2 ¨¦¥). ¥®à¥¬ 21.1 [M, c.33] «ï «î¡®£® ¬ã«ì⨨¤¥ªá 2 Nn á ¯®à浪®¬ j j r ¢ë¯®«ï¥âáï à ¢¥á⢮ Z E (x; y)y dy = x : (21.4) Rn 52
奬 ¤®ª § ⥫ìá⢠. ¤®ª § ⥫ìá⢥ áãé¥á⢥ãî à®«ì ¨£à ¥â ¢«®¦¥¨¥ V0 Vj ; j 2 N; ª®â®à®¥ ï§ëª¥ ¯à®¥ªâ®à®¢ ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ à ¢¥á⢮ P0 = Pj P0 ¨«¨ ¢ â¥à¬¨ å 拉à:
E (x; y) = 2nj
Z
Rn
E (2j x; 2j u)E (u; y)du:
áᬮâਬ á ç « á«ãç © r = 0: ¤® ¤®ª § âì, çâ® Z E (x; y)dy = 1 8x 2 Rn: n R
(21.5) (21.6)
¢®©á⢮ (21.2) ¨¬¥¥â ¢¨¤:
jE (x; y)j Cm (1 + jx , yj,m ); 8m 2 N: (21.7) R ãáâì 0(x) := Rn E (x; y)dy: ᨫã (21.3) 0 ï¥âáï Zn -¯¥à¨®¤¨ç¥áª®© äãªæ¨¥©
0(x + k) = 0(x) 8k 2 Zn : (21.8) ¢¥á⢮ (21.6) ¯®«ãç ¥âáï ¯à¥¤¥«ìë¬ ¯¥à¥å®¤®¬ ¨§ (21.5) ¯à¨ ¯®¬®é¨ á«¥¤ãî饣® १ã«ìâ â . ¥¬¬ 21.2
¨¬¥¥¬
[M, c.34] «ï «î¡®£® y 2 Rn ¨ ¤«ï ¯®ç⨠¢á¥å x 2 Rn
Z nj j x; 2j u)E (u; y )du , (2j x)E (x; y ) = 0: lim 2 E (2 0 n j !1 R
(21.9)
®ª § ⥫ìá⢮ í⮩ «¥¬¬ë ®á®¢ ® ᢮©á⢠å â®ç¥ª ¥¡¥£ . § (21.9) á ¯®¬®éìî (21.5) ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¤«ï ¯®ç⨠¢á¥å x 2 Rn lim (1 , 0(2j x))E (x; y) = 0 8y 2 Rn:
j !1
(21.10)
¬®¦ ï (21.10) f 2 V0 ¨ ¨â¥£à¨àãï, ¨¬¥¥¬ j x)f (x) = f (x)
lim (2 j !1 0
8f 2 V0:
(21.11)
¬¥®© ¯¥à¥¬¥ëå ¯®«ãç ¥¬ ⮦¥ á ¬®¥ ¤«ï f 2 Vj0 ; j0 0: ª ª ª 0 ¯à¨ ¤«¥¦¨â L1(Rn ); á室¨¬®áâì ¢ (21.11) ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¢ L2(Rn): 53
§ (19.2) á«¥¤ã¥â, çâ® (21.11) ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¤«ï «î¡®© f 2 L2(Rn): ç áâ®áâ¨, ¯®« £ ï f = [0;1]n ¨ ¨á¯®«ì§ãï ¯¥à¨®¤¨ç®áâì 0 (á¬.(21.8)), ¨¬¥¥¬ Z Z 2 dx = j 1 , ( x ) j j1 , 0(2j x)j2dx ! 0 ¯à¨ j ! 1: 0 n n [0;1]
[0;1]
âªã¤ á«¥¤ã¥â, çâ® 0(x) = 1: «ï r = 0 १ã«ìâ â ¬®¦® ¤®ª § âì ¯à®é¥, ®¤ ª® ¯à¨¢¥¤¥®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¡¥§ ¡®«ìè¨å ¨§¬¥¥¨© ¯¥à¥®á¨âáï r 1: §«®¦¨¬R E (u; y) ¢ àï¤ ¥©«®à ¯® á⥯¥ï¬ u , x ¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ®æ¥¨âì 2nj E (2j x; 2j u)E (u; y)du: ¬¥¥¬ X (u , x) E (u; y) = (21.12) ! @x E (x; y) + R(u; x; y); 0j j
¡®§ 稬
Z (x) := 1! n E (x; u)(u , x) du: (21.14) R ãªæ¨ï (x) ï¥âáï ¥¯à¥à뢮© ¨ Zn -¯¥à¨®¤¨ç¥áª®© (á¬. (21.8)). ®¤áâ ¢«ïï (21.13-21.14) ¢ (21.12) ¨ ¢ (21.5), ¯®«ã稬, çâ® R 2nj Rn E (2j x; 2j u)E (u; y)du = P0
54
£¤¥ ®æ¥ª O à ¢®¬¥à ¯® x ¨ y: ¬®¦¨¬ (21.16) 2j ¨ ¯¥à¥©¤¥¬ ª ¯à¥¤¥«ã X lim (2j x)@x E (x; y) = 0: (21.17) j !1 j j=1
¥¯¥àì ¬ë ¯®¢â®à塞 «¨§, ¯à®¤¥« ë© ¤«ï á«ãç ï r = 0: ¬®¦¨¬ (21.17) f 2 V0 ¨ ¯à®¨â¥£à¨à㥬: X lim (2j x)@ f = 0: (21.18) j !1 j j=1
ãáâì g { ¥¯à¥àë¢ ï Zn -¯¥à¨®¤¨ç¥áª ï äãªæ¨ï. ¬®¦¨¬ (21.18) ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ g(2j x)h(x); £¤¥ h 2 D(Rn ); ¨ ¯à®¨â¥£à¨à㥬. ¥à¥©¤¥¬ ª ¯à¥¤¥«ã ¯® j ! 1 ¨ ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï å®à®è® ¨§¢¥á⮩ «¥¬¬®©. ¥¬¬ 21.3
᫨ u(x) 2 L1 (Rn ) ï¥âáï Zn -¯¥à¨®¤¨ç¥áª®© äãªæ¨¥© ¨ v (x) 2 L1 (Rn ); â® Z Z Z lim u(Nx)v(x)dx = ( u) n v(x)dx; (21.19) N !1 n £¤¥
R
Z
R
Z1
Z1
u = u(x1; : : : ; xn)dx1 dxn : 0 0 ª®ç â¥«ì® ¯®«ã稬, çâ® X Z ( g )h@ f; hi = 0: (21.20) j j=1 R ®« £ ï c = g ; ¨§ (21.20) ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¢¥ªâ®à®¥ ¯®«¥ Pj j=1 c @ 㫨àã¥â «î¡ãî äãªæ¨î ¨§ V0 : ¬¥®© ¯¥à¥¬¥®© ãáâ ¢«¨¢ ¥âáï, çâ® ¨£¨«ïæ¨ï ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¤«ï «î¡®© äãªæ¨¨ ¨§ Vj ; j 2 N: ç¨âë¢ ï (19.2), ¯®«ãç ¥¬ í⮠᢮©á⢮ (¢ á¬ëá«¥ ®¡®¡é¥ëå äãªæ¨©) ¤«ï ¢á¥å f 2 L2(Rn): ª¨¬ ®¡à §®¬, c = 0 ¤«ï «î¡®© äãªæ¨¨ g; çâ® ®§ ç ¥â, çâ® = 0 ¯à¨ j j = 1: «ï p = j j < r ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¯à®å®¤¨â ¡¥§ ª ª¨å-«¨¡® ¨§¬¥¥¨©. ë ¯®«ãç ¥¬, çâ® = 0 ¯à¨ j j < r: áâ ¥âáï à §®¡à âìáï á® á«ãç ¥¬ j j = r: ¢¥á⢮ (21.15) ¯à¥¢à é ¥âáï ¢ XZ Z1 j j s r E (2 x; 2 x + s) ! @x E (x + t2,j s; y)(1 , t)r,1dtds = 0: (21.21) n j j=r R 0 55
®á¯®«ì§ã¥¬áï ⥬, çâ® @x E (x; y) 2 L1 (dx) ¤«ï «î¡®£® 䨪á¨à®¢ ®£® y: ®ç⨠¢á¥ â®çª¨ x 2 Rn ïîâáï â®çª ¬¨ ¥¡¥£ à áᬠâਢ ¥¬®© äãªæ¨¨.
᫨ x { â®çª ¥¡¥£ , â® ¢ (21.21) @x E (x + t2,j s; y) ¬®¦® § ¬¥¨âì @x E (x; y): ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯à¥¤¥« ¯® j R R Sj (x; y) := r Pj j=r Rn 01 E (2j x; 2j x + s) s ! @x E (x; y)(1 , t)r,1dtds = R R = r Pj j=r Rn E (2j x; 2j x + s) s ! @x E (x; y)ds 01(1 , t)r,1dt = = Pj j=r (2j x)@x E (x; y) à ¢¥ 0 ¤«ï «î¡®£® y 2 Rn ¨ ¤«ï ¯®ç⨠¢á¥å x 2 Rn : ãªæ¨¨ Sj (x; y) 㤮¢«¥â¢®àïîâ à ¢®¬¥à®© ®æ¥ª¥ jSj (x; y)j P Cm(1 + jx , yj),m: ¬®¦ ï f 2 V0 ¨ ¨â¥£à¨àãï, 室¨¬, çâ® j j=r (2j x)@ f á室¨âáï ª 0 ¯®ç⨠¢áî¤ã ¨ ¢ L2(Rn); â ª ª ª ¬®¦® ¯à¨¬¥¨âì ⥮६㠥¡¥£ . ª¦¥ ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ s < r; § ª«îç ¥¬, çâ® ¢á¥ ª®íää¨æ¨¥âë ®¡ã«ïîâáï ¯à¨ j j = r: R ¤®ª § ®, çâ® Rn E (x; y)(x , y) dyR = 0 ¤«ï 1 j j r ¨ R â ª, Rn E (x; y )dy = 1: âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® Rn E (x; y )y dy = x ¯à¨ x P ( y , x ) y j j r: ¥©á⢨⥫ì®, § ¯¨è¥¬ ! = + = ! ! ¨, ¯®á«¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï ¯® y; ¢á¥ ç«¥ë ¢ ¯à ¢®© ç á⨠®¡ã«ïîâáï, § ¨áª«î票¥¬ = 0 ¨ = :2 ¥®à¥¬ 21.1 ¬®¦¥â ¡ëâì ¯¥à¥ä®à¬ã«¨à®¢ , ¥á«¨ à áè¨à¨âì ®¡« áâì ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¯à®¥ªâ®à®¢ Pj ®¡ê¥¤¨¥¨¥ ¯à®áâà á⢠L2(Rn; (1 + jxj),mdx); m 2 N: ª®¥ à áè¨à¥¨¥ ¢®§¬®¦®, â.ª. ï¤à ¯à®¥ªâ®à®¢ Pj ã¡ë¢ îâ ¡ëáâ॥ «î¡®© á⥯¥¨ ¯à¨ jy , xj áâ६ï饬áï ª ¡¥áª®¥ç®áâ¨. à®áâà á⢮ ®¡à §®¢ ⥯¥àì ¡ã¤¥â ®â«¨ç âìáï ®â Vj ; ® ¡ã¤¥â ¯®«ë¬ ¯® ®à¬¥ L2(Rn ; (1 + jxj),mdx): «¥¤á⢨¥ 21.1 ãáâì Vj { r-ॣã«ïàë© ¢ L2 (Rn ) ¨ ¯ãáâì Pj : L2(Rn) ! Vj ®à⮣® «ìë© ¯à®¥ªâ®à Vj : ®£¤ Pj (M ) = M ¤«ï «î¡®£® ¯®«¨®¬ M á⥯¥¨ ¬¥ìè¥ ¨«¨ à ¢®© r: 票¥ ⥮६ë 21.1 á®á⮨⠢ ⮬, çâ® ® ãáâ ¢«¨¢ ¥â á室á⢮ ¯à®¥ªâ®à®¢ Pj á ®¯¥à â®à ¬¨ ᢥà⪨. ®á«¥¤¨¥ ª®¬¬ãâ¨àãîâ á ®¯¥à â®à ¬¨ ç áâ¨ç®£® ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï, ⮣¤ ª ª ®¯¥à â®àë Pj ª®¬¬ãâ¨àãî⠯ਡ«¨¦¥® á @ ¯à¨ j j r: 䨪á¨à㥬 äãªæ¨î g 2 D(Rn ) á ¨â¥£à «®¬, à ¢ë¬ 1: ¡®§ 稬 ç¥à¥§ gj äãªæ¨î 2nj g(2j x) ¨ ç¥à¥§ Gj { ®¯¥à â®à ᢥà⪨ á gj ; j 2 Z: 56
¥®à¥¬ 21.1 ¯®§¢®«ï¥â áà ¢¨âì @ Pj á Gj @ ¤«ï ¬ã«ì⨨¤¥ªá®¢ á j j r: ãáâì Vj ; j 2 Z; { r-ॣã«ïàë© ¢ L2(Rn ): ®£¤ ¤«ï «î¡®£® ¬ã«ì⨨¤¥ªá á j j r áãé¥áâ¢ãîâ äãªæ¨¨ R( ; )(x; y) 2 L1 (Rn; Rn); § ¨¤¥ªá¨à®¢ ë¥ ¬ã«ì⨨¤¥ªá ¬¨ á j j = j j ¨ 㤮¢«¥â¢®àïî騥 ¥à ¢¥á⢠¬ ¥®à¥¬ 21.2
jR( ; )(x; y)j Cm(1 + jx , yj),m
(21.22)
¤«ï «î¡®£® m 2 N: ⨠äãªæ¨¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ â ª¦¥ à ¢¥áâ¢ã
Z
Rn
R( ; )(x; y)dy = 0
(21.23)
⮦¤¥á⢥® ¯® x ¨ ®¯à¥¤¥«ïîâ ¤«ï «î¡®£® j 2 Z ®¯¥à â®àë ( ; )
Rj
f (x) := 2nj
Z
Rn
R( ; )(2j x; 2j y)f (y)dy;
(21.24)
¤«ï ª®â®àëå ¢¥à® á«¥¤ãî饥 ⮦¤¥á⢮
@ Pj = Gj @ +
X
j j=j j
R(j ; )@ ;
(21.25)
£¤¥ @ = (@=@x1) 1 (@=@xn) n : ®ª § ⥫ìá⢮. á®, çâ® (21.25) ¤®áâ â®ç® ¤®ª § âì ¤«ï j = 0: ¡é¨© á«ãç © ¯®«ãç ¥âáï § ¬¥®© ¯¥à¥¬¥ëå. 䨪á¨à®¢ ¢R x; à áᬮâਬ @x E (x; y) ª ª äãªæ¨î ¯® y: ® ⥮ Rn @x E (x; y )y dy = 0 ¯à¨ j j j j ¨ 6= ; ⮣¤ ª ª R६¥ 21.1 ¨¬¥¥¬ Rn @x E (x; y )y dy = !: ¬¥â¨¬ ⥯¥àì,R çâ® ï¤à® g(x , y) ®¯¥à â®à G := G0 ¨¬¥¥â â ª¨¥ ᢮©á⢠: Rn @x g(x , y)y dy = 0 ¯à¨ j j j j ¨ 6= ; R @¦¥ Rn x g (x , y )y dy = !: à §®áâì R (x; y) := @x E (x; y) , @x g(x , y); ¤«ï ª®â®à®© R áᬮâਬ = 0 ¯à¨ j j j j: áᬮâਬ Rn R (x; y )y dy f (x; y) := R (x; x + y) = @x E (x; x + y) , @x g(,y); ª ª äãªæ¨î ®â y ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ®¬ x: â äãªæ¨ï ¯à¨ ¤«¥¦¨â ¯à®áâà áâ¢ã Sr (Rn); ª®â®à®¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬.
57
Sr(Rn ) { íâ® ¢¥ªâ®à®¥ ¯à®áâà á⢮ äãªæ¨© f; 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ¥à ¢¥á⢠¬ j@ f (x)j Cm (1 + jxj),m ¤«ï «î¡®£® m 2 N ¨ «î¡®£® ¬ã«ì⨨¤¥ªá 2 Nn á j j r: ¯à¥¤¥«¥¨¥ 21.1
ãáâìR 0 s r:
᫨ f ¯à¨ ¤«¥¦¨â Sr (Rn ) ¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨ï¬ Rn f (x)x dx = 0 ¤«ï «î¡®£® 2 Nn á j j r; â® ¥¬¬ 21.4
f (x) = £¤¥ f 2 Sr (Rn ) ¨
X
j j=s
@ f (x);
R f (x)dx = 0 ¤«ï «î¡®£® 2 Nn á j j = s: Rn
®ª § ⥫ìá⢮ «¥¬¬ë ¯à®¢®¤¨âáï ¨¤ãªæ¨¥© ¯® à §¬¥à®á⨠n. ਠn = 1 fs ï¥âáï ¯¥à¢®®¡à §®© ¤«ï f ¯®à浪 s; ª®â®à ï áâ६¨âáï ª 0 ¡¥áª®¥ç®áâ¨. ਬ¥¨¬ «¥¬¬ã ª äãªæ¨¨ f (x; y); ª®â®àãî ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ª ª äãªæ¨î ¯® y; § ¢¨áïéãî ®â ¯ à ¬¥âà x: ®«ãç ¥¬, çâ® X ( ; ) @x E (x; y) = (,1)j j@y g(x , y) + @y R (x; y); (21.26) j j=j j
( ; ) ,m £¤¥ R jR( ; ) (x; y)j Cm (1 + jx , yj) ¤«ï «î¡ëå m 2 N: ®«¥¥ ⮣®, (x; y)dy = 0 ¤«ï «î¡®£® x: Rn R ⥣à¨à®¢ ¨¥ ¯® ç áâï¬ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ï¤à® ®¯¥à â®à G0@ ᮢ¯ ¤ ¥â á (,1)j j@y g(x , y): 2
ãªæ¨¨ f ¨§ «¥¬¬ë 21.4 «¨¥©® ¨ ¥¯à¥à뢮 § ¢¨áïâ ®â f: ¯à¨¬¥à, ¥á«¨ f ï¥âáï ¥¯à¥à뢮© äãªæ¨¥© ¥ª®â®àëå ¯ à ¬¥â஢, ⮠⮦¥ ¡ã¤¥â ¢¥à® ¤«ï äãªæ¨© f : â® ®§ ç ¥â, çâ® äãªæ¨¨ R( ; ) ¡ã¤ãâ ¥¯à¥àë¢ë¬¨ ¯® ¢á¥¬ ¯¥à¥¬¥ë¬, ¥á«¨ ¬ áèâ ¡¨àãîé ï äãªæ¨ï ' ¯à¨ ¤«¥¦¨â C r (Rn): ¬¥ç ¨¥ 21.1
¬¥ç ¨¥ 21.2
«®£¨ç묨 à áá㦤¥¨ï¬¨ ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ®
Pj+1 , Pj = 2,jr
X
j j=r
R(j ) @ ;
£¤¥ R(j ) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ï¤à ¬¨ 2nj R( )(2j x; 2j y) ¨ R( ) 㤮¢«¥â¢®àïîâ ᢮©á⢠¬, «®£¨çë¬ á¢®©á⢠¬ R( ; ):
58
22
¢ ¯à®áâà áâ¢ å ®¡®«¥¢
ãáâì r 2 N ¨ Vj ; j 2 Z; ï¥âáï r-ॣã«ïàë¬ ¢
᫨ f ¯à¨ ¤«¥¦¨â ¯à®áâà áâ¢ã ®¡®«¥¢ W2s (Rn) ¨ ,r s r; â® Pj (f ) á室¨âáï ª f ¢ W2s(Rn )-®à¬¥. ¤®ª § ⥫ìá⢥ í⮩ â¥®à¥¬ë ¨á¯®«ì§ã¥âáï á«¥¤ãîé ï «¥¬¬ . ¥¬¬ 22.1 ãáâì K (x; y ) { äãªæ¨ï ¨§ L1 (Rn Rn ); 㤮¢«¥â¢®àïîé ï ¥à ¢¥áâ¢ã jK (x; y )j C (1 + jx , y j),n,1 ; ¨ T : Lp(Rn ) ! Lp(Rn); 1 p 1; > 0; n K (x; y ); Tf (x) = n R n K (x; y )f (y )dy: ®¯¥à â®àë á ï¤à ¬¨ R R
᫨ Rn K (x; y)dy = 0 ⮦¤¥á⢥® ¯® x ¨ 1 p < 1; â® lim kT (f )kp = 0 ¤«ï f 2 Lp: !1 ¥®à¥¬ 22.1
L2(Rn):
᫨
R K (x; y)dy = 1 ⮦¤¥á⢥® ¯® x ¨ 1 p < 1; â® Rn lim kT (f ) , f kp = 0 ¤«ï f 2 Lp: !1
ਠp = 1 ¯à¥¤¯®«®¦¨¬ ¢ ¤®¯®«¥¨¥, çâ® f ï¥âáï à ¢®¬¥à® ¥¯à¥à뢮© ¨ çâ® K (x; y ) ï¥âáï ¥¯à¥à뢮© äãªæ¨¥© ¯® x ¯à¨ R ª ¦¤®¬ 䨪á¨à®¢ ®¬ y: ®£¤ , ¥á«¨ Rn K (x; y)dy = 1 ¨ f 2 L1 (Rn ); â® lim kT (f ) , f k1 = 0: !1
®ª § ⥫ìá⢮. ®-¯¥à¢ëå, § ¬¥â¨¬, çâ® ®à¬ ®¯¥à â®à p n p n T : L (R ) ! L (R ) ï¥âáï ª®¥ç®© ¨ ¥ § ¢¨á¨â ®â :
᫨ 1 p < 1; â® ¤®áâ â®ç® à áᬮâà¥âì ¯«®â®¥ ¯®¤¬®¦¥á⢠¢ Lp(Rn): ãáâì f ¥¯à¥àë¢ ï äãªæ¨ï á ª®¬¯ ªâë¬ ®á¨â¥«¥¬. ®£¤ TR f (x) ï¥âáï O(jxj,n,1 ) ¯à¨ jxj ! 1 à ¢®¬¥à® ¯® 1: ª ª ª Rn K (x; y )dy = 0, â®
Z n K ( x; y ) f ( y ) dy = K (x; y)(f (y) , f (x))dy; Rn Rn R çâ® ¬¥ìè¥, 祬 C Rn (1 + jyj),n,1w(,1 jyj; f )dy =: (); £¤¥ w { ¬®¤ã«ì ¥¯à¥à뢮á⨠f: § â¥®à¥¬ë ¥¡¥£ ® ¤®¬¨¨à㥬®© á室¨¬®á⨠᫥¤ã¥â, çâ® lim!1 () = 0: ª¨¬ ®¡à §®¬, äãªæ¨¨ Tf (x) á室ïâáï ª 0 Tf (x) = n
Z
59
à ¢®¬¥à® ¯® x ¨ à ¢®¬¥à® ¯® ïîâáï O(jxj,n,1 ) ¯à¨ jxj ! 1: ç¨â ®¨ á室ïâáï ª 0 ¢ Lp(RnR)-®à¬¥. â®à®© á«ãç © «¥¬¬ë, ª®£¤ Rn K (x; y)dy = 1; ï¥âáï á«¥¤á⢨¥¬ ¯¥à¢®£®. ãáâì g { ¥¯à¥àë¢ ï äãªæ¨ï á ª®¬¯ ªâë¬ ®á¨â¥«¥¬, 祩 ¨â¥£à « à ¢¥ 1: ¬¥¨¬ K (x; y) R(x; y) := K (x; y) , g(x , y) ¨ ¯à¨¬¥¨¬ ¯¥à¢ë© á«ãç ©. ®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 22.1. ãáâì s = r: ¤® ¤®ª § âì, çâ® ¤«ï f 2 W2s(Rn ) ¨ j j r Plimj!1 k@ Pj (f ) , @ f k2 = 0: ® ⥮६¥ 21.2 ¨¬¥¥¬ @ Pj = Gj @ + j j=j j R(j ; )@ ; ¯®í⮬㠤®áâ â®ç® ¯à¨¬¥¨âì «¥¬¬ã 22.1.
᫨ s ¥ 楫®¥ ¨ 0 < s < r; â® § ¬¥â¨¬, çâ® ®¯¥à â®àë Pj : W2s ! W2s à ¢®¬¥à® ®£à ¨ç¥ë. â® á«¥¤ã¥â ¨§ ªà ©¨å á«ãç ¥¢ s = 0; s = r ¨ á«¥¤ãî饩 ¨â¥à¯®«ï樮®© ⥮६ë. ⢥ত¥¨¥ 22.1 î¡®© ¥¯à¥àë¢ë© ®¯¥à â®à T : L2 ! L2 ; çì¥ á㦥¨¥ ¯à®áâà á⢮ ®¡®«¥¢ W2r ï¥âáï ¥¯à¥àë¢ë¬ «¨¥©ë¬ ®¯¥à â®à®¬ ¨§ W2r ¢ W2r ; ï¥âáï â ª¦¥ ¥¯à¥àë¢ë¬ ®¯¥à â®à®¬ ¨§ W2s ¢ W2s ¤«ï 0 < s < r:
᫨ ®à¬ë T ª ª ®¯¥à â®à ¢ L2 ¨ W2r ®¡®§ ç¨âì ª ª C0 ¨ C1 ᮮ⢥âá⢥®, â® ®à¬ T ª ª ®¯¥à â®à ¢ W2s; 0 < s < r; ¥ ¯à¥¢®á室¨â max(C0; C1): § à ¢®¬¥à®© ®£à ¨ç¥®á⨠®¯¥à â®à®¢ Pj ¨ ¯«®â®á⨠W2r (Rn) ¢ W2s(Rn) á«¥¤ã¥â ã⢥ত¥¨¥ ⥮६ë. «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 22.1 ¯à¨ ,r s 0 㦮 á ç « ®¯à¥¤¥«¨âì Pj W2s (Rn): ¬¥â¨¬, çâ® L2(Rn ) ¯«®â® ¢ W2s(Rn ):
᫨ f ¨ g ¯à¨ ¤«¥¦ â L2(Rn ); â® (Pj (f ); g) = (f; Pj (g)): ¥¯¥àì ¬ë ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® f ¯à¨ ¤«¥¦¨â W2s(Rn ); £¤¥ ,r s 0; ¨ çâ® fm { íâ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì äãªæ¨© L2(Rn); á室ïé ïáï ª f ¢ W2s (Rn)-®à¬¥. ®£¤ , ¤«ï t = ,s ¨ g 2 W2t(Rn); ¨¬¥¥¬ (Pj (fm); g) = (fm; Pj (g)) ! (f; Pj (g)) ¯à¨ m ! 1: ®íâ®¬ã ¬ë ®¯à¥¤¥«ï¥¬ Pj (f ) 2 W2s(Rn) á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: (Pj (f ); g) = (f; Pj (g)): ª ª ª Pj2 = Pj ; â® (Pj (f ); Pj (g)) = (Pj (f ); g): ® ¤¢®©á⢥®á⨠®¯¥à â®àë Pj : W2s(Rn ) ! W2s(Rn) à ¢®¬¥à® ®£à ¨ç¥ë. ஬¥ ⮣®, L2(Rn) ¯«®â® ¢ W2s(Rn) ¨ Pj (f ) á室¨âáï ª f ¤«ï f 2 L2(Rn ): § í⮣® á«¥¤ã¥â, çâ® Pj (f ) á室¨âáï ª f ¢ W2s(Rn )®à¬¥. â ¤ àë¬ á¯®á®¡®¬ ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® limj!1 Pj (f ) = f ¤«ï à á¯à¥¤¥«¥¨© f; ¯à¨ ¤«¥¦ é¨å W2s(Rn) ¯à¨ ,r s < 0:2 60
¥®à¥¬ã 22.1 ¬®¦® ®¡®¡é¨âì ¯à®áâà á⢠Wps á ,r s r ¨ 1 < p < 1: «ï äãªæ¨© ¨ à á¯à¥¤¥«¥¨© f 2 Wps ¯à®¥ªæ¨¨ Pj (f ) á室ïâáï ª f ¢ Wps -®à¬¥. «ãç © p = 1 âॡã¥â ®â¤¥«ì®£® à áᬮâ२ï. ¯à¥¤¥«¨¬ ¯à®áâà á⢮ W1m; m 2 N; ãá«®¢¨¥¬, çâ® @ f ¯à¨ ¤«¥¦ â L1 (Rn ) ¤«ï «î¡ëå á j j m: ®£¤ , ¤«ï f 2 W1m ; 0 m r; ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì Pj (f ) à ¢®¬¥à® ®£à ¨ç¥ ¢ W1m ¨ á« ¡® á室¨âáï ª f; â.¥. ¬¥ç ¨¥ 22.1
Z
Z
Pj (f )gdx ! fgdx 8g 2 S (Rn):
®¦® § ¬¥¨âì W1m (Rn ) ¯à®áâà á⢮ C1m (Rn ); ®¯à¥¤¥«ï¥¬®¥ ãá«®¢¨¥¬, çâ® ¢á¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ @ f; j j m; ®£à ¨ç¥ë ¨ à ¢®¬¥à® ¥¯à¥àë¢ë Rn : ®£¤ , ¤«ï «î¡®© äãªæ¨¨ f 2 C1m (Rn ) ¯à®¥ªæ¨¨ Pj (f ) á室ïâáï ª f ¢ C1m(Rn)-®à¬¥ ¯à¨ 0 m < r:
᫨ ¬ áèâ ¡¨àãîé ï äãªæ¨ï ' ¯à¨ ¤«¥¦ « C1m (Rn) ¨ ¡ëáâà® ã¡ë¢ ¥â ¡¥áª®¥ç®á⨠¢¬¥á⥠ᮠ¢á¥¬¨ ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ ¯®à浪 j j r; â® á室¨¬®áâì ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¨ ¯à¨ m = r:
᫨ ' 2 C m(Rn ) ¨ ¨¬¥¥â ª®¬¯ ªâë© ®á¨â¥«ì, â® Pj (f ) á室ïâáï ª f 2 C m (Rn) ¢ C m (Rn)-®à¬¥.
j = Pj +1 , Pj ãáâì Vj ; j 2 Z; { r-ॣã«ïàë© ¢ L2(Rn) ¨ Wj { ®à⮣® «ì®¥ ¤®¯®«¥¨¥ Vj ¤® Vj+1 : à⮣® «ìë© ¯à®¥ªâ®à ¨§ L2(Rn) Wj à ¢¥ Qj = Pj+1 , Pj : á®, çâ® f () 2 W0 ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ f (2j ) 2 Wj : ஬¥ ⮣®, 1 M 2 n L (R ) = Wj ; (23.1) 23
¯¥à â®àë
Q
,1
â.ª. ®¡ê¥¤¨¥¨¥ Vj ¯«®â® ¢ L2(Rn); ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ Vj à ¢® f0g: î¡ãî äãªæ¨î f 2 L2(Rn) ¬®¦® à §«®¦¨âì ¢ ®à⮣® «ìë© àï¤ 1 X f = Qj (f ): (23.2) ,1
®ª ¦¥¬, çâ® ª« áá¨ç¥áª¨¥ ®à¬ë ¯à®áâà á⢠äãªæ¨© ¨ à á¯à¥¤¥«¥¨© «¥£ª® ¢ëç¨á«ïîâáï á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ í⮣® à §«®¦¥¨ï. 61
á¯à®áâà ¨¬ à §«®¦¥¨¥ (23.1) Lp(Rn); 1 p 1:
᫨ 1 p 2; â® Wj (p) ®¯à¥¤¥«¨¬ ª ª ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ Wj á Lp(Rn); ç⮠ᮣ« ᮢ ® á ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ Vj (p) (á¬. á. 51). ®£¤ Vj+1 (p) = Vj (p) + Wj (p); £¤¥ á㬬 ¯àï¬ ï, ® ¥ ®à⮣® «ì ï. ¯¥à â®àë Pj ¨ Qj ; ¯à®¥ªâ¨àãî騥 Vj+1 (p) Vj (p) ¨ Wj (p) ᮮ⢥âá⢥®, ïîâáï ¥¯à¥àë¢ë¬¨ ¢ Lp(Rn) (á¬. «¥¬¬ã 22.1). ஬¥ ⮣®, ¯à¨ 1 < p 2 ¤«ï «î¡®© äãªæ¨¨ f 2 Lp(Rn ) kPj f kp ! 0 ¯à¨ j ! ,1. ª¨¬ ®¡à §®¬, äãªæ¨ï f 2 Lp(Rn) ¬®¦¥â ¡ëâì ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ § ¯¨á ¢ ¢¨¤¥ 1 X f = qj ; £¤¥ qj 2 Wj (p); (23.3) ,1
£¤¥ ç áâë¥ á㬬ë á室ïâáï ª f ¢ Lp(Rn ) ¯à¨ 1 < p 2. á«ãç ¥ 2 p < 1 ¯à®áâà á⢠Wj (p) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ª ª § ¬ëª ¨¥ Wj ¢ Lp(Rn): ®£¤ (23.3) à á¯à®áâà ï¥âáï Lp(Rn); 2 p < 1: «ï p = 1 Wj (p) { íâ® § ¬ëª ¨¥ Wj ¢ L1 (Rn) á ⮯®«®£¨¥© (L1; L1): «¥¤ãî騩 १ã«ìâ â ¤®¯®«ï¥â ¨ ãâ®çï¥â ¥à ¢¥á⢠¥àè⥩ . ¥®à¥¬ 23.1 ãáâì Vj ; j 2 Z; { r-ॣã«ïàë© ¢ L2 (Rn ): ®£¤ áãé¥áâ¢ãîâ ¤¢¥ ª®áâ âë C2 C1 > 0 â ª¨¥, çâ® ¤«ï «î¡®£® 楫®£® s 2 N; s 2 [0; r]; ¤«ï «î¡®£® p 2 [1; 1] ¨ «î¡®© äãªæ¨¨ f 2 W0(p) X C1kf kp k@ f kp C2kf kp: (23.4) j j=s
᫨ s ¥æ¥«®¥ ¨ 0 < s < r; â®
C1kf kp ksf kp C2kf kp;
(23.5)
£¤¥ = (,)1=2: ®ª § ⥫ìá⢮. à ¢ ï ç áâì (23.4) ¯®«®áâìî ᮢ¯ ¤ ¥â á (20.2). «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠«¥¢®© ç á⨠®¡®§ 稬 ç¥à¥§ Q(x; y) ï¤à® ¯à®¥ªR â®à Q0 = P1 , P0: ®£¤ ®ç¥¢¨¤®, çâ® f (x) = Rn Q(x; y)f (y)dy; ¥á«¨ f 2 W0: ®¤®© áâ®à®ë, jQ(x; y)j Cm(1 + jx , yj),m ¤«ï «î¡®£® m 2 N: ¤à㣮©, Q(x; y) = 2n ER (2x; 2y) , E (x; y); £¤¥ E (x; y) { ï¤à® P0; á«¥¤®¢ â¥«ì® ¯® ⥮६¥ 21.1 Rn Q(x; y)y dy = 0 ¯à¨ j j r:
62
ᯮ«ì§ãï «¥¬¬ã 21.4, ¯®«ã稬, çâ® Q(x; y) = Pj j=s @y Q (x; y); £¤¥ äãªæ¨¨ Q â ª¦¥ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨ï¬ 0 , m jQ (x; y)j Cm (1 + jx , yj) ¤«ï «î¡®£® m 2 N: ª¨¬ ®¡à §®¬ Z XZ f (x) = n Q(x; y)f (y)dy = (,1)s Q (x; y)@ f (y)dy: n R
j j=s
R
ª ª ª ï¤à Q (x; y) ®¯à¥¤¥«ïîâ ®£à ¨ç¥ë¥ ®¯¥à â®àë ¢ Lp(Rn) ¯à¨ 1 p 1 (á¬. ¤®ª § ⥫ìá⢮ «¥¬¬ë 22.1), â® «¥¢ ï ç áâì (23.4) ¤®ª § . ãáâì s { ¥æ¥«®¥ ¨ m 2 Z â ª®¥, çâ® m < s
j j=m
¥¯à¥à뢮áâì G ¢ Lp(Rn ) á«¥¤ã¥â ¨§ ¥¯à¥à뢮á⨠®¯¥à â®à®¢ @ ,s U; j j = m+1; ¨ @ ,s V; j j = m; ¢ Lp(Rn); ª®â®àë¥ ï¢«ïîâáï ®¯¥à â®à ¬¨ ᢥà⪨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騬¨ ¬ã«ì⨯«¨ª â®à ¬ , s , s jj u(); j j = m + 1; ¨ jj (1 , u()); j j = m; (á â®ç®áâìî ¤® á⥯¥¨ i). ⨠äãªæ¨¨ ïîâáï ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¬¨ ãàì¥ ¨â¥£à¨à㥬ëå äãªæ¨©, çâ® § ¢¥àè ¥â ¤®ª § ⥫ìá⢮. 2 «¥¤á⢨¥ 23.1
᫨ 1 p 1 ¨ f ¯à¨ ¤«¥¦¨â Wj (p); â®
C12js kf kp
X
j j=s
k@ f kp C22js kf kp
(23.6)
¯à¨ 楫®¬ s 2 [0; r]: ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¤¥©á⢨⥫쮣® s 2 [0; r]
C12js kf kp ksf kp C22js kf kp: 63
(23.7)
®ª § ⥫ìá⢮. «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¤®áâ â®ç® ᤥ« âì § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥ëå ¢ (23.4) ¨ (23.5). 2 ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ j 2 N s ¬®¦® § ¬¥¨âì ¢ (23.7) (I , )s=2. á®, çâ® ¯à¨ 1 p 1 ksf kp C (s; n)k(I , )s=2f kp : ®áâ â®ç® áà ¢¨âì ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ãàì¥ sf ¨ (I , )s=2f: ¤à㣮© áâ®à®ë, k(I , )s=2f kp C 0(s; n)k(I + s )f kp ¯à¨ 1 p 1: ⢥ত¥¨¥ 23.1
â®
᫨ ,r s r; 1 p 1 ¨ f 2 Wj (p) ¤«ï j 2 N;
C10 2js kf kp k(I , )s=2f kp C20 2js kf kp;
£¤¥ C20 > C10 > 0 { ª®áâ âë.
(23.8)
®ª § ⥫ìá⢮. ¤®ª § ⥫ìá⢥ 㦤 ¥âáï ⮫쪮 á«ãç © ,r s < 0; â.ª. á«ãç © 0 s r à áᬮâॠ¢ á«¥¤á⢨¥ 23.1. ¬¥ ¯¥à¥¬¥®© x 7! 2j x ᢮¤¨â ¤®ª § ⥫ìá⢮ ª á«¥¤ãî騬 ¥à ¢¥á⢠¬
C10 kf kp k(I , )s=2f kp C20 kf kp; (23.9) ¤«ï f 2 W0(p) ¨ := 4,j : «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¯à ¢®© ç á⨠¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ⮦¤¥á⢮¬ I = U +V (á¬. ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 23.1). ¯¥à â®à (I ,)s=2 à §« £ ¥âáï á㬬ã (I , )s=2U ¨ (I , )s=2V: â®à®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ { íâ® ®¯¥à â®à ᢥà⪨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¬ã«ì⨯«¨ª â®àã 2 s= 2 ( + j!j ) (1 , u(!)): ª ª ª u(!) = 1 ¯à¨ j!j 1=2; ᨣã«ïà®á⨠¯¥à¢®£® ¬®¦¨â¥«ï ¢ ã«¥ ã¨ç⮦ îâáï § áç¥â ¢â®à®£®. ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¯¥à â®à (I , )s=2V à ¢®¬¥à® ®£à ¨ç¥ Lp(Rn) ¯à¨ 1 p 1: «ï ¨§ãç¥¨ï ¤¥©á⢨ï (I , )s=2U W0(p) ¨á¯®«ì§ã¥¬ R ¢®á¯à®¨§¢®¤ï饥 ï¤à® Q(x; y) ¯®¤¯à®áâà á⢠W0: ®£¤ f (x) = Rn Q(x; y)f (y)dy ¤«ï fP2 W0: ¯¥à â®à Q0 ï¥âáï á ¬®á®¯àï¦¥ë¬ ¨ ⮦¤¥á⢮ P Q0 = j j=r Q @ ¯à¨¢®¤¨â ª Q0 = j j=r @ Q~ ; £¤¥ Q~ à ¢®¬¥à® ®£à ¨ç¥ë ¢ Lp(Rn) ¯à¨ 1 p 1: ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨¬¥¥¬ X (I , )s=2Uf = ((I , )s=2U@ )Q~ f; j j=r
¨ ®¯¥à â®àë (I , )s=2U@ : Lp(Rn) ! Lp(Rn) à ¢®¬¥à® ®£à ¨ç¥ë ¢ Lp(Rn) ¯à¨ j j = r > jsj ¨ 0 1; â.ª. ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¬ã«ì⨯«¨ª â®àë à ¢ë ( + j!j2)s=2u(!)! (c â®ç®áâìî ¤® á⥯¥¨ i) ¨ ᮢ¯ ¤ îâ 64
á ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ ãàì¥ ¨â¥£à¨à㥬ëå äãªæ¨©. à ¢ ï ç áâì ¥à ¢¥á⢠(23.9) ¤®ª § . ãáâì t = ,s: ®£¤ f = E0(f ) = E0(I , )t=2(I , )s=2f: ¯¥à â®àë E0(I , )t=2 à ¢®¬¥à® ®£à ¨ç¥ë ¢ Lp(Rn) ¯à¨ 1 p 1; â.ª. ᮯàï¦¥ë¥ ª ¨¬ ®¯¥à â®àë à ¢®¬¥à® ®£à ¨ç¥ë ¢ Lp(Rn ) ¢ ᨫã ⥮६ë 20.1. 2 å à ªâ¥à¨§ã¥¬ ¯à®áâà á⢠®¡®«¥¢ W2s(Rn) ¢ â¥à¬¨ å à §«®¦¥¨ï (23.2).
᫨ Vj ; j 2 N; { r-ॣã«ïàë© ¢ L2 (Rn ) ¨ s 2 (,r; r); â® äãªæ¨ï f ¯à¨ ¤«¥¦¨â ¯à®áâà áâ¢ã ®¡®«¥¢ W2s(Rn) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ P0(f ) 2 L2(Rn ) ¨ kQj f k2 = j 2,js 2 s ¤«ï ¢á¥å j 2 N; £¤¥ fj g1 0 2 l (N): ®«¥¥ ⮣®, W2 -®à¬ f íª¢¨¢ «¥â á㬬¥ L2-®à¬ë P0 (f ) ¨ l2(N)-®à¬ë ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠j : ¥®à¥¬ 23.2
®ª § ⥫ìá⢮. § ⥮६ë 20.1 á«¥¤ã¥â, çâ® V0 W2s (Rn): ®í⮬㠤«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¤®áâ â®ç®á⨠㦮 ¯®ª § âì, çâ® á㬬 äãªæ¨© qj 2 Wj á kqj k2 = j 2,js ; £¤¥ j 2 l2(N); ¯à¨ ¤«¥¦¨â W2s(Rn ): 䨪á¨à㥬 ¯®«®¦¨â¥«ì®¥ ; ¤«ï ª®â®à®£® jsj +2 r: à®áâà á⢮ W2s ï¥âáï £¨«ì¡¥àâ®¢ë¬ á® áª «ïàë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ h(I , )s=2u; (I , )s=2vi: ¡®§ 稬 ç¥à¥§ kks ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ®à¬ã ¢ W2s: ¬¥â¨¬, çâ® jh(I , )s=2u; (I , )s=2vij = s= 2+ s= 2 , =P h(I , P ) u; (I , ) vi kuks+2kvks,2: ®í⮬ã k 10 qj k2s 2 Pj
᫨ ,r < s < r; f 2 W2s (Rn ) ¨ g 2 W2,r (Rn ); â® 1 X
hf; gi = hP0 f; P0gi + hQj f; Qj gi; 0
¯à¨ç¥¬ àï¤ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠á室¨âáï ¡á®«îâ®.
65
(23.10)
®ª § ⥫ìá⢮. ¥©á⢨⥫ì®, kPQj (f )k2 j 2,js ¨ kQj g k2 j 2js ; ¯®í⮬ã hQj (f ); Qj (g)i j j ¨ àï¤ 10 j j á室¨âáï ¡á®«îâ®.2 24
à®áâà á⢠¥á®¢
᫨ ¢ ®¯à¥¤¥«¥¨¨ 2.8 ¯à®áâà á⢠¥á®¢ ¯®«®¦¨âì gj := fj+1 , fj ; â® 1 X f = f0 + gj ; (24.1) 0
£¤¥ @ gj j 2(m,s)j ¯à¨ j j = m ¨ kgj k j 2,js : 祢¨¤®, çâ® ¢¥à® ¨ ®¡à ⮥. ãáâì Vj ; j 2 Z { r-ॣã«ïàë© ¢ L2(Rn); Pj : L2(Rn) ! Vj { ®à⮣® «ìë© ¯à®¥ªâ®à, Qj = Pj+1 , Pj : ãáâì 0 < s < r ¨ f 2 Lp (Rn): ãªæ¨ï f ¯à¨ ¤«¥¦¨â ¯à®áâà áâ¢ã ¥á®¢ Bps;q (Rn) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì f2js kQj (f )kp gj2N ¯à¨ ¤«¥¦¨â lq (N): ®«¥¥ ⮣®, ®à¬ f ¢ Bps;q (Rn) íª¢¨¢ «¥â á㬬¥ lq -®à¬ë í⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠¨ kP0 (f )kp: ⢥ত¥¨¥ 24.1
®ª § ⥫ìá⢮. ®áâ â®ç®áâì á«¥¤ã¥â ¨§ ⥮६ë 20.1. ¥®¡å®¤¨¬®áâì. § (24.1) á«¥¤ã¥â, çâ® Qj (f ) = Qj (f0) + P1k=0 Qj (gk ): «ï k j kQj (gk )kp C kgk kp; â.ª. ®¯¥à â®àë Qj : Lp ! Lp à ¢®¬¥à® ®à ¨ç¥ë ¯à¨ 1 p 1: «ï k < j ¢ ᨫ㠧 ¬¥ç ¨ï 21.2 Qj = 2,jr Pj j=r R(j )@ : ®í⮬ã kQj (gk )kp Ck2(r,s)k 2,rj : ª®ç ⥫ì®, j 1 X X , rj kQj (f )kp C 2 k 2(r,s)k + C k 2,js C 0~j 2,sk ; k=0
k=j +1
£¤¥ ~j := Pk k 2,(r,s)jj,kj ¯à¨ ¤«¥¦¨â lq; ª ª ᢥà⪠lq-¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®á⨠á l1-¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî.2 ® «®£¨¨ á ¯à®áâà á⢠¬¨ ®¡®«¥¢ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¯à®áâà á⢠¥á®¢ ¬®¦® à á¯à®áâà ¨âì ¥¯®«®¦¨â¥«ìë¥ s: ¯à¥¤¥«¥¨¥ 24.1 ãáâì s 0; jsj < r 2 N: 㤥¬ £®¢®à¨âì, çâ® f 2 Bps;q (Rn); ¥á«¨ P0f 2 Lp(Rn) ¨ kQj f kp j 2,js ; £¤¥ fj g1j=0 2 lq (N): 66
¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¯à¨ s0 = ,s; s0 > 0; 1=p + 1=p0 = 1; 1=q + 1=q0 = 1 ¤¢®©á⢥®áâì ¬¥¦¤ã à á¯à¥¤¥«¥¨ï¬¨ f 2 Bps;q (Rn) ¨ ¯à®¡ë¬¨ äãª0 0 æ¨ï¬¨ g 2 Bps0 ;q (Rn) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ 1 X hf; gi = hP0 f; P0gi + hQj f; Qj gi: 0
0 0
᫨ p > 1 ¨ q > 1, â® Bps;q(Rn ) { ¤¢®©á⢥®¥ ¯à®áâà á⢮ ª Bps0 ;q (Rn) ¨ ¥£® ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à . «ï p = 1 ¨«¨ q = 1 ¥§ ¢¨á¨¬®áâì ®¯à¥¤¥«¥¨ï ®â ¯à®¢¥àï¥âáï ¥¯®á।á⢥®. ᯮ«ì§ãï ã⢥ত¥¨¥ 24.1, ¥âà㤮 ¯®ª § âì, çâ® Cr (Rn) = B1r;1(Rn) = (B1,r;1)(Rn): (24.2) ⢥ত¥¨¥ 24.2 ãáâì Vj ; j 2 Z { r-ॣã«ïàë© ¢ L2 (Rn ); r > s: ®£¤ f 2 Cs (Rn) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ P0f 2 L1(Rn) ¨ kQj f k1 C 2,js ¤«ï ¥ª®â®à®© ª®áâ âë C: 25
஥ªâ®àë
j
P
¨ ¯á¥¢¤®¤¨ää¥à¥æ¨ «ì-
ë¥ ®¯¥à â®àë
ãáâì ᨬ¢®« (x; !) ï¥âáï äãªæ¨¥© ®â x 2 ¨ ®â ! 2 Rn (¨®£¤ ¤®¯®«¨â¥«ì® âॡãîâ, ç⮡ë ! 6= 0). ᥢ¤®¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë© ®¯¥à â®à () T ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯®á।á⢮¬ ä®à¬ «ì®£® ¯à ¢¨« T (eix!) = (x; !)eix!: (25.1) ¯à¥¤¥«¥¨¥ 25.1
Rn
¯à¥¤¥«¥¨¥ 25.2
0 ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãá«®¢¨¥¬ « áá ¥à¬ ¤¥à S;
j@! @x (x; !)j C ( ; )(1 + j!j)j j,j j;
£¤¥ á«ãç © = = 1 ¨áª«îç ¥âáï ¨§ à áᬮâ२ï.
ந§¢®«ì ï äãªæ¨ï ¨§ S (Rn) à ¢ f (x) = (21)n ¯®í⮬㠤«ï «¨¥©®£® T ¯®«ãç ¥¬, çâ® Z 1 Tf (x) = (2)n n eix! (x; !)f^(!)d!: R 67
(25.2)
R eix!f^(!)d!; Rn (25.3)
®à¬ã« (25.3) ¨¬¥¥â á¬ëá« ¤«ï (x; !) 2 L1(Rn Rn): ãáâì Vj ; j 2 Z; { r-ॣã«ïàë© ¢ L2(Rn); ' { ®à⮣® «ì ï ¬ áèâ ¡¨àãîé ï äãªæ¨ï, Pj : L2(Rn) ! Vj { ®à⮣® «ìë¥ ¯à®¥ªâ®àë. ⢥ত¥¨¥ 25.1 ¨¬¢®« ¯à®¥ªâ®à Pj à ¢¥ (2j x; 2,j ! ); £¤¥ X 2ikx (x; !) := e 'b(! + 2k)'b(!): (25.4) k2Zn
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì (x; !) ᨬ¢®« P0 : ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¤«ï «î¡®£® a 2 Rn (x , a; !) ï¥âáï ᨬ¢®«®¬ ®¯¥à â®à RaP0 R,a 1; £¤¥ Raf (x) := f (x , a): ª ª ª ®¯¥à â®à P0 ª®¬¬ãâ¨àã¥â ᮠᤢ¨£ ¬¨ Rk ; k 2 Zn ; ¥£® ᨬ¢®« (x; !) ï¥âáï ZnP-¯¥à¨®¤¨ç¥áª®© äãªæ¨¥© ¯® P x: ¬¥â¨¬, çâ® k2Zn e2ikx'b(! + 2k) = l2Zn e,i!(x+l)'(x + l) â.ª.
R
,2ikx (P n e,i!(x+l) '(x + l))dx = l2Z b(! + 2k): n e,2ikx e,i!x '(x)dx = '
[0;1]n e
=
R
R
ª¨¬ ®¡à §®¬ (25.4) ¯¥à¥¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ X , i! ( x + l ) (x; !) = e '(x + l) 'b(!): l2Zn
(25.5)
«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠(25.5) ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ⮦¤¥á⢮¬ P0(eix! ) = (x; !)eix!: ª ª ª E0(x; y) := Pk2Z '(x , k)'(y , k); â® P0 (eix!) = Pk2Z '(x , k) RRn '(y , k)eiy! dy = = Pk2Z '(x , k)ei(k,x)! 'b(!)eix! = (x; !)eix!: 2 ª ª ª ¯à®¨§¢®¤ë¥ ' ¯®à浪 ¥¢ëè¥ r ¡ëáâà® ã¡ë¢ îâ, â® j@! @x (x; !)j C ( ); (25.6) ¤«ï «î¡®£® 2 Nn ¨ «î¡®£® 2 Nn; j j r: áá«¥¤ã¥¬ ª ª¨¥ ᢮©á⢠ᨬ¢®« (x; !) á«¥¤ãîâ ¨§ ⥮६ë 21.1. ëç¨á«¨¬ P0(x ); ¨á¯®«ì§ãï (25.3). «ï í⮣® ¯à¨¡«¨§¨¬ x äãªæ¨ï¬¨ ¨§ ª« áá ¢ àæ . áᬮâਬ ¤«ï «î¡®£® > 0 äãªæ¨î 68
f(x) = x e,jxj2 ; ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ ª®â®à®© à ¢® ij j@! g(!); £¤¥ 2 g (!) := (=)n=2e,j!j =4: ®£¤ j j Z i P0f (x) = (2)n eix! (x; !)@! g (!)d!: ⥣à¨àãï ¯® ç áâï¬, ¨¬¥¥¬ j j Z P0f(x) = ((2,i))n @! (eix!(x; !))g(!)d!: (25.7) ª ª ª ï¤à® E (x; y) ®¯¥à â®à P0 ¥áâì O(jx,yj,m) ¡¥áª®¥ç®á⨠¤«ï «î¡®£® m 2 N; ¯® ⥮६¥ ¥¡¥£ ¯®«ãç ¥¬, çâ® P0(x ) = lim#0 P0(f)(x): ¥à¥å®¤ï ª ¯à¥¤¥«ã ¢ (25.7), ¨¬¥¥¬ x = (,i)j j@! (eix!(x; !))j!=0:
(25.8)
¢¥á⢮ (25.8) ¢ë¯®«¥® ¤«ï «î¡ëå 2 Nn á j j r: ®í⮬ã (x; 0) = 1 ¨ @! (x; !)j!=0 = 0 ¯à¨ 1 jP j r: ç¨âë¢ ï (25.4), ¨¬¥¥¬ (x; 0) = k2Zn e2ikx'b(0 + 2k)'b(0) = 1; ®âªã¤ á«¥¤ã¥â, çâ® 'b(2k) = 0 8k 6= 0: (25.9) ® ¨¤ãªæ¨¨ ¯®«ã稬, çâ® (@ 'b)(2k) = 0 8k 6= 0; j j r: ª ª '(x) Cm(1 + jxj),m ¤«ï «î¡®£® m 2 N; â® àï¤ P ª 2 k2Zn j'b(! + 2k )j ¨ ¢á¥ ¥£® ¯à®¨§¢®¤ë¥ à ¢®¬¥à® á室ïâáï ª®¬¯ ªâ å. § ⥮६ã 9.1 á«¥¤ã¥â ⢥ত¥¨¥ 25.2
j'b(!)j2 = 1 + O(j!j2r+2) ¯à¨ j!j ! 0:
(25.10)
ᥣ¤ ¬®¦® ᪮à४â¨à®¢ âì ' â ª¨¬ ®¡à §®¬, ç⮡ë ᪮à४â¨à®¢ ï äãªæ¨ï '~ 㤮¢«¥â¢®àï« ãá«®¢¨ï¬ Z Z '~(x)dx = 1 ¨ x '~(x)dx = 0; (25.11) n n R
R
¯à¨ 1 j j r; á®åà ïï ¯à¨ í⮬ ᢮©á⢮ ®à⮣® «ì®á⨠f'~( , k)gk2Z ¨ ¡ëáâண® ã¡ë¢ ¨ï ¡¥áª®¥ç®á⨠¯à®¨§¢®¤ëå @ '~ 69
¯à¨ j j r: «ï í⮣® 㬮¦¨¬ á ç « 'b ª®áâ âã, ¯® ¬®¤ã«î à ¢ãî 1, ¤«ï ⮣®, ç⮡ë 'b~(0) = 1: «¥¥, ¯ãáâì (!) { à£ã¬¥â 'b(!) ¢ ®ªà¥áâ®á⨠0; â.¥. 'b(!) = j'b(!)jei (!) ¤«ï j!j < ; £¤¥ (0) = 0 ¨ (!) ¡¥áª®¥ç® ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ï äãªæ¨ï j!j < : ãáâì ¤¥©á⢨⥫ì ï, ¡¥áª®¥ç® ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ï äãªæ¨ï (!) ï¥âáï 2-¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¬ ¯à®¤®«¦¥¨¥¬ (!) Rn . ¯à¥¤¥«¨¬ 'b~(!) ª ª e,i (!)'b(!): ®£¤ 'b~(!) = j'b(!)j ¢ ®ªà¥áâ®á⨠0 ¨ ¢ë¯®«¥® (25.11). ᯫ¥áª¨ 1; : : :; q ; q := 2n , 1; ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ¢ ⥮६¥ 19.3 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨ï¬ ⢥ত¥¨¥ 25.3
Z
Rn
x l(x)dx = 0;
(25.12)
¤«ï j j r ¨ 1 l q: ®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì 'b(!) = m0(!=2)'b(!=2); cl(!) = ml(!=2)'b(!=2); £¤¥ ml { ¡¥áª®¥ç® ¤¨ää¥à¥æ¨àã¥¬ë¥ 2Zn ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¥ äãªæ¨¨. «®£¨ç® ®¤®¬¥à®¬ã á«ãç î ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® jm0(!)j2 + jm1(!)j2 + + jmq(!)j2 = 1; ®âªã¤ á«¥¤ã¥â, çâ® j'b(!)j2 + j b1(!)j2 + + j bq (!)j2 = j'b(!=2)j2: § (25.10) á«¥¤ã¥â, çâ® bl(!) = O(j!jr+1); 1 l q: ª ª ª l ¡ëáâà® ã¡ë¢ îâ ¡¥áª®¥ç®áâ¨, ¨å ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ ¡¥áª®¥ç® ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®. ç¨â @ l(!) = 0 ¯à¨ ! = 0 ¨ 1 l q; ®âªã¤ á«¥¤ã¥â (25.12). ਬ¥à. ਬ¥¨¬ (25.4) ª ¥©¥à (á¬. ¯ à £à ä 14). ª ª ª supp 'bM = [,4=3; 4=3], â® ¢ (25.4) ¢á¥£® âਠ¥à ¢ëå ã«î ç«¥ (t; !) = e,2it'b(! , 2)'b(!) + ('b(!))2 + e2it'b(! + 2)'b(!): (25.13)
ãáâì Sj { ®¯¥à â®à ᢥà⪨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¬ã«ì⨯«¨ª â®àã ('b(2,j !))2: ¡®§ 稬 (!) := 'b(! , 2)'b(!) ¨ (!) := 'b(! +2)'b(!): á®, çâ® supp = [2=3; 4=3]; (2 , !) = (!); supp = [,4=3; ,2=3]; (,2 , !) = (!): ãáâì +j ¨ ,j { ®¯¥à â®àë ᢥà⪨, ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¬ã«ì⨯«¨ª â®à ¬ (2,j !) ¨ (2,j !) ᮮ⢥âá⢥®. ãáâì Mj jt 2 i 2 { ®¯¥à â®à ¯®â®ç¥ç®£® 㬮¦¥¨ï e : § (25.13) á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à®¥ªâ®àë ¥©¥à ¨¬¥îâ ¢¨¤
Pj = Sj + Mj ,j + Mj,1 +j : 70
(25.14)
26
ᯫ¥áª®¢ ï
å à ªâ¥à¨§ æ¨ï
¯à®áâà á⢠¥«ì¤¥à
Cs
;
®¡®«¥¢
s 2
W
s;q p ᯫ¥áª®¢ë¥ àï¤ë ®¡« ¤ îâ á«¥¤ãî騬¨ ¯à¥¨¬ãé¥á⢠¬¨: - ¢á¯«¥áª¨, «®ª «¨§®¢ ë¥ ¢ ®¡« á⨠ॣã«ïà®á⨠äãªæ¨¨, ¨¬¥î⠯॥¡à¥¦¨¬® ¬ «¥ìª¨¥ ª®íää¨æ¨¥âë, ¢á¯«¥áª¨, «®ª «¨§®¢ ë¥ ®ª®«® ®á®¡¥®á⥩ äãªæ¨¨, ®¡®à®â ¨¬¥îâ ¡®«ì訥 ª®íää¨æ¨¥âë (í⠮ᮡ¥®áâì ¢ëà ¦¥ ⥬ ïàç¥, 祬 ¡®«ìè¥ ã«¥¢ëå ¬®¬¥â®¢ 㠢ᯫ¥áª ); -¢á¯«¥áª®¢ë¥ ª®íää¨æ¨¥âë ¯®§¢®«ïîâ ¢ëç¨á«ïâì, á â®ç®áâìî ¤® íª¢¨¢ «¥â®áâ¨, ®à¬ã äãªæ¨¨ ¢ ¡®«ìè¨á⢥ äãªæ¨® «ìëå ¯à®áâà áâ¢. n ,1 ãáâì f lg2l=0 - äãªæ¨¨, ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ¢ ¥®à¥¬¥ 19.3. ®£®¬¥àë© ¢á¯«¥áª®¢ë© àï¤ ¨¬¥¥â ¢¨¤ X f (x) = hf; i (x); (26.1) ¨ ¥á®¢
B
2
£¤¥ := f = (l; j; k) : 1 l 2n , 1; k 2 Zn; j 2 Zg; (x) := 2nj=2 l (2j x , k ): ¯à®áâà á⢠å, ®â«¨çëå ®â L2(Rn), ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥ (26.1) ¡ë¢ ¥â § âà㤨⥫ìë¬. ¯à¨¬¥à, ¢ L1 (Rn) ¤«ï f 1 (26.1) ¯à¥¢à é ¥âáï R ¢ 1 =R 0: ¢®©áâ¢¥ë© ¯à¨¬¥à: ¯ãáâì f 2 D(Rn ) ¨ Rn f (x)dx = 1: ª ª ª Rn l(x)dx = 0, â® àï¤ (26.1) ¥ á室¨âáï ¢ L1(Rn): ®í⮬㠢¬¥áâ® (26.1) 㤮¡¥¥ ¯®«ì§®¢ âìáï à冷¬ ¯® ᤢ¨£ ¬ ¬ áèâ ¡¨àãî饩 äãªæ¨¨ ' ¨ ¢á¯«¥áª ¬, ᦠâë¬ ¢ 2j à § á j 0 : X X f (x) = hf; '0;k i'0;k (x) + hf; i (x); (26.2) k2Zn
2[j0j
£¤¥ j := f = (l; j; k) : 1 l 2n , 1; k 2 Zn g: ï¤ (26.2) å®à®è® ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â äãªæ¨¨ ¨§ ¯à®áâà áâ¢, ª®â®àë¥ å à ªâ¥à¨§ãîâáï ¥ª®â®àë¬ «®ª «ìë¬ ãá«®¢¨¥¬ ¨ ¥ª®â®àë¬ £«®¡ «ìë¬ ãá«®¢¨¥¬ à®áâ ¡¥áª®¥ç®áâ¨. ந««îáâà¨à㥬 ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥ (26.1) ¨ (26.2) ¯à¨¬¥à¥ ¯à®áâà á⢠®¡®«¥¢ W2s(Rn) (¯à¥¤¥«¥¨¥ 2.6), ¥«ì¤¥à Cs (Rn) (¯à¥¤¥71
«¥¨¥ 2.9) ¨ ¥á®¢ Bps;q (¯à¥¤¥«¥¨¥ 2.8). 㤥¬ à áᬠâਢ âì ¢á¯«¥áª¨, ¯®«ãç¥ë¥ ¨§ r-ॣã«ïண® . ਠí⮬ ¯®à冷ª à á¯à¥¤¥«¥¨ï, ¤«ï ª®â®à®£® ¢ëç¨á«ïîâáï ª®íää¨æ¨¥âë, ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï áâண® ¬¥ì訬 r: ¢¥á⢮ (26.1) ¯®¨¬ ¥âáï ª ª à ¢¥á⢮ ¨â¥£à «®¢ ®â ®¡¥¨å ç á⥩ à ¢¥á⢠, 㬮¦¥ëå äãªæ¨î ¨§ C r (Rn) á ª®¬¯ ªâë¬ ®á¨â¥«¥¬. ¥®à¥¬ 26.1 á¯à¥¤¥«¥¨¥ f ¯à¨ ¤«¥¦¨â W2s (Rn ) á s 2 (,r; r) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¢á¯«¥áª®¢ë¥ ª®íää¨æ¨¥âë () := hf; i 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨ï¬ XX X X js j ()j2 + 4 j ()j2 < 1: (26.3) j<0 2j
j 0 2j Cs (Rn) á s 2 (0; r)
ãªæ¨ï f ¯à¨ ¤«¥¦¨â ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ áãé¥áâ¢ãîâ ¤¢¥ ª®áâ âë C0 ¨ C1; â ª¨¥, çâ® ª®íää¨æ¨¥âë (k) := (f; '0;k); k 2 Zn; ¨ () := (f; ); 2 j ; j > 0; 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨ï¬ j (k )j C0 ; j ()j C1 2,nj=2 2,js : ®ª § ⥫ìá⢮. á«ãç ¥ ¯à®áâà á⢠®¡®«¥¢ ⥮६ á«¥¤ã¥â ¨§ ⥮६ë 23.2 ¨ P ⮣®, çâ® f g2j { ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¢ Wj ; 2 ¯®í⮬ã kQj f k2 = 2j jhf; ij2: «ï ¯à®áâà á⢠¥«ì¤¥à १ã«ìâ â á«¥¤ã¥â ¨§ ã⢥ত¥¨ï 24.2 ¨ ⮣®, çâ® kf k1 ¨ sup20 jhf; ij íª¢¨¢ «¥âë W0: ¥©á⢨⥫ì®, jhf; ij k k1kf k1 = C kf k1 ¨ sup20 j (x)j C 0 ¢ ᨫã (19.11), ®âªã¤ jf (x)j C 0 sup20 jhf; ij: 2 à®áâà á⢮ Cs ¥«ì§ï ®å à ªâ¥à¨§®¢ âì, ¨á¯®«ì§ãï ⮫쪮 ¬®¤ã«¨ ª®íää¨æ¨¥â®¢ àï¤ (26.1). â® á¢ï§ ® á ¥¢®§¬®¦®áâìî ®å à ªâ¥à¨§®¢ âì â ª¨¬ ᯮᮡ®¬ L1(Rn ). ¯à¨¬¥à, ¯à¨ x 2 R ¬®¤ã«¨ ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¢á¯«¥áª®¢ ¥©¥à (á¬.(14.1)) ¤«ï log jxj ¨ ¤«ï x=jxj ᨬ¯â®â¨ç¥áª¨ ᮢ¯ ¤ îâ. â® á¢ï§ ® á ⥬, çâ® ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¨«ì¡¥àâ H ®â®¡à ¦ ¥â x=jxj ¢ log jxj, ¢á¯«¥M ¯à¥®¡à §ãîâáï ¢ ᮢ¥à襮 «®£¨çë¥ ¢á¯«¥áª¨ ~M , ᪨ ¥©¥à j;k j;k R £¤¥ ~M (t) := (H M )(t) = 21 R sin((t , 1=2) ) sgn() sin (( )) d: ¬¥ç ¨¥ 26.1
à®áâà á⢮ ®¡®«¥¢ W2s ¬®¦® ®å à ªâ¥à¨§®s ¢ âì ¯à¨ ¯®¬®é¨ àï¤ (26.2): fP 2 W 2 ; ,r < s < r ⮣¤ ¨ ⮫쪮 P P 2 ⮣¤ , ª®£¤ k2Z j (k )j < 1 ¨ j 0 2j 4js j ()j2 < 1: ¬¥ç ¨¥ 26.2
72
¥«® ¢ ⮬, çâ® Pk2Z j (k )j2 = Pj<0 P2j j ()j2 < 1; â ª ª ª V0 - ¯àï¬ ï á㬬 ¯à®áâà á⢠Wj ; j < 0:
«®£¨ç® «¥¬¬¥ 20.1 ¤®ª §ë¢ ¥âáï ⢥ত¥¨¥ 26.1 ãáâì p 2 [1; 1]: ãé¥áâ¢ãîâ ª®áâ âë C 0 >P C > 0; â ª¨¥, çâ® ¤«ï «î¡®© ª®¥ç®© á㬬ë f (x) = () (x) 2 W 2j
j
1 1
X
C kf kp 2nj( 2 , p )(
2j
j ()jp )1=p C 0kf kp:
§ ã⢥ত¥¨© 24.1 ¨ 26.1 á«¥¤ã¥â ¥®à¥¬ 26.2 ãªæ¨ï X XX f (x) = (k)'(x , k) + () (x) j 0 2j
k2Zn
¯à¨ ¤«¥¦¨â Bps;q ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ f (k )gk2Zn 2 lp(Zn ) ¨ 1 1 (P2j j ()jp)1=p = 2,nj( 2 , p )2,js aj ; £¤¥ faj gj2N 2 lq (N): 27
ᯫ¥áª®¢ ï ¯à®áâà áâ¢
H
R
1( n )
å à ªâ¥à¨§ æ¨ï ¨
BM O
n ,1 ãáâì f lg2l=0 - ¢á¯«¥áª¨, ®¯à¥¤¥«¥ë¥ ¢ ¥®à¥¬¥ 19.3, r 1; := f = (l; j; k) : 1 l 2n , 1; k 2 Zn ; j 2 Zg; (x) := 2nj=2 l (2j x , k ):
ᯫ¥áª¨ f g2 ®¡à §ãîâ ¡¥§ãá«®¢ë© ¡ §¨á ¢ ¢¥é¥á⢥®¬ ª« áᥠन H 1(Rn ): ¥®à¥¬ 27.1
奬 ¤®ª § ⥫ìá⢮. ç « à áᬮâਬ ¢á¯«¥áª¨ á ª®¬¯ ªâë¬ ¥ ®£à ¨ç¨¢ ï ®¡é®á⨠¬®¦® áç¨â âì, çâ® R j®á¨â¥«¥¬. 2 n [0;1]n l(x)j dx 6= 0; 1 l < 2 (í⮣® ¢á¥£¤ ¬®¦® ¤®¡¨âìáï § áç¥â ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ᤢ¨£ ). ®£¤ áãé¥áâ¢ãîâ ª®áâ âë c > 0; > 0 ¨ ªã¡ë Al [0; 1)n ; â ª¨¥, çâ® j l(x)j c; ¥á«¨ x 2 Al; ¨ jAlj :
73
᫨ = (l; j; k); 1 l 2n , 1; k 2 Zn; j 2 Z; â® ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î Q() := Q(j; k) := fx 2 Rn : 2j x , k 2 [0; 1)ng ¨ R() := fx 2 Rn :P2j x , k 2 Alg: ãáâì f (x) = 2 () (x): ⢥ত¥¨¥ ⥮६ë á«¥¤ã¥â ¨§ ⮣®, çâ® kf kH 1(Rn) íª¢¨¢ «¥â á«¥¤ãî騬 ¢¥«¨ç¨ ¬: X k( j ()j2 j (x)j2)1=2kL1(Rn); (27.1) 2 X k( j ()j2jQ()j,1R()(x))1=2kL1 (Rn); (27.2) 2 X k( j ()j2jQ()j,1Q()(x))1=2kL1(Rn): (27.3) 2
¤¥áì jej - ¬¥à ¥¡¥£ ¬®¦¥á⢠e: ¤®ª § ⥫ìá⢥ ¨á¯®«ì§ã¥âáï ⮬ ஥ ®¯¨á ¨¥ H 1(Rn ): ¯à¥¤¥«¥¨¥ 27.1 ⮬®¬ ¢ H 1 (Rn ) §ë¢ îâ äãªæ¨î a(x) ¨§ L2(Rn); ¤«ï ª®â®à®© áãé¥áâ¢ã¥â è à B Rn â ª®©, çâ® ¢ë¯®«¥ë âਠ᢮©áâ¢
a(x) = 0; ¥á«¨ x 62 B ; kZak2 jB j,1=2; a(x)dx = 0:
(27.4) (27.5) (27.6)
B
[CW] ãªæ¨ï f 2 L1 (Rn ) ¯à¨ ¤«¥¦¨â H 1(Rn) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ⮬®¢ aj (x) ¨ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ç¨á¥« j â ª¨¥, çâ® ¥®à¥¬ 27.2
1 X 0
jj j < 1 ¨ f (x) =
1 X 0
j aj (x):
(27.7)
ª §ë¢ ¥âáï ¢®§¬®¦ë¬ á£à㯯¨à®¢ âì ç«¥ë ¢á¯«¥áª®¢®£® àï¤ f (x) = P2 () (x) â ª, çâ® ç áâë¥ á㬬ë P2(l;m;r) () (x); £¤¥ f(l; m; r)g { ¤¨§êîªâ®¥ à §¡¨¥¨¥ ; ®¡à §ãîâ ⮬ ஥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ f: ®¦¥á⢠(l; m; r) ®¯à¥¤¥«ïîâáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. P ãáâì l(x) := ( Q2 j (l; Q)j2jQj,1R(l;Q)(x))1=2; £¤¥ - ᮢ®ªã¯®áâì ¢á¥å ¤¢®¨çëå ªã¡®¢, (l; Q) = (l; j; k) ¤«ï Q = Q(j; k); 74
R(l; Q) := R(l; j; k): ãáâì E (l; m) := fx : l(x) > 2mg; m 2 Z: á®, çâ® Z X m 2 jE (l; m)j 2 n l(x)dx: (27.8) R
m2Z
¡®§ 稬 ç¥à¥§ (l; m) ᮢ®ªã¯®áâì ¤¢®¨çëå ªã¡®¢ Q, ¤«ï ª®â®àëå jQ \ E (l; m)j jQj; £¤¥ 2 (0; ) { 䨪á¨à®¢ ï ¯®áâ®ï ï. ãáâì fA(l; m; r)gr { ᮢ®ªã¯®áâì ¢á¥å ¬ ªá¨¬ «ìëå ¯® ¢ª«îç¥¨î ªã¡®¢ ¢
(l; m): ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® [ (27.9) j A(l; m; r)j < 1 jE (l; m)j: r ª®¥æ, (l; m; r) á®á⮨⠨§ â¥å = (l; j; k) 2 ; ¤«ï ª®â®àëå Q() 2 (l; m)n (l; m + 1) ¨ Q() A(l; m; r): ¥âà㤮 ¯®ª § âì, çâ® X j ()j2 ,1 4m+1 jA(l; m; r)j: (27.10) 2(l;m;r) ãáâì b(l; m; r) := jA(l; m; r)j1=2(P2(l;m;r) j ()j2)1=2; ~() := (b(l; m; r)),1 () ¤«ï 2 (l; m; r) ¨ ~() := 0 ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥. § (27.9),(27.10) ¨ (27.8) á«¥¤ã¥â, çâ® ¤«ï «î¡®£® l; 1 l 2n , 1; P P b(l; m; r) 2 P 2m j S A(l; m; r)j m2Z r r ( , )1=2 m2Z (27.11) 2 P 2m jE (l; m)j 4 k k : ( , )1=2
m2Z
( , )1=2
l 1
ª ª ª ¬ë ¯®ª à áᬠâਢ ¥¬ ¢á¯«¥áª¨ á ª®¬¯ ªâë¬ ®á¨â¥«¥¬, â® áãé¥áâ¢ã¥â d 2 N â ª®¥, çâ® supp dQ(); £¤¥ dQ ®¡®§ ç ¥â ªã¡ á ⥬ ¦¥ æ¥â஬ ¨ ¢ d-à § ¡®«ì襩, 祬 ã Q ¤«¨®© áâ®à®ë. ãªæ¨¨ a(l; m; r; x) := d,n=2 P2(l;m;r) ~ () (x) ïîâáï ⮬ ¬¨ ¢ H 1(Rn): P¥©á⢨⥫ì®, supp a(l; m; r; x) dQ(l; m; r) ¨ ka(l; m; r; )k2 d,n=2 ( 2(l;m;r) j ~()j2)1=2 jdQ(l; m; r)j,1=2: ®í⮬ã àï¤, ®¯à¥¤¥«ïî騩 a(l; m; r; x); á室¨âáïR ¢ L1(Rn) ¨ ¯®ç«¥®¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥ ¤ ¥â ¯®á«¥¤¥¥ ᢮©á⢮ ⮬ Rn a(l; m; r; x)dx = 0 ¢ ᨫã (25.12). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤®ª § ®, çâ® ¨§ ª®¥ç®á⨠(27.2) á«¥¤ã¥â ¢®§¬®¦®áâì ⮬ ண® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï äãªæ¨¨ f: ®ª ¦¥¬, çâ® ¨§ ⮬ ண® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï f á«¥¤ã¥â ¨â¥£à¨à㥬®áâì äãªæ¨¨ Sf (x) := (P jhf; ij2j (x)j2)1=2: á®, çâ® ¤«ï íâ®
2
75
£® ¤®áâ â®ç® ¯à®¢¥à¨âì ¢ë¯®«¥¨¥ í⮣® ᢮©á⢠¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® ⮬ ¢ H 1(Rn): ãáâì f { ⮬, B { ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 è à á æ¥â஬ ¢ x0 ¨ à ¤¨ãᮬ r > 0: ãáâì C { ¥ª®â®à ï ª®áâ â , § 票¥ ª®â®à®© ¡ã¤¥â ®¯à¥¤¥«¥® ¨¦¥. §®¡ì¥¬ Rn æ¥âà «ìë© è à B~ := fx : jx , x0j Crg ¨ ¤¢®¨çë¥ ®¡®«®çª¨ R fx : R 2mCr jxP ,R x0j < 2m+1 Crg; m 2 N: ®£¤ R m Sf:=(x)dx = B~ Sf (x)dx + 10 Rm Sf (x)dx: ¥à¢ë© ¨â¥£à « ®æ¥¨Rn ¢ ¥âáï ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¥à ¢¥á⢠®è¨ Z Sf (x)dx jB~ j1=2kSf k2 = C n=2jB j1=2kf k2 C n=2: ~ B
«ï ®æ¥ª¨ ®áâ «ìëå ¨â¥£à «®¢ § ¬¥â¨¬, çâ® hf; i = 0; ¥á«¨ dQ() ¥ ¯¥à¥á¥ª ¥âáï á B: ¡®§ 稬 ç¥à¥§ m ᮢ®ªã¯®áâì â¥å , ¤«ï ª®â®àëå dQ() ¯¥à¥á¥ª ¥âáï ª ª á B , â ª ¨ á Rm :
᫨ ª®áâ â C ¤®áâ â®ç® ¡®«ìè ï, â® áãé¥áâ¢ã¥â c > 0 â ª®¥, çâ® ¨§ 2 m á«¥¤ã¥â ¥à ¢¥á⢮ 2,j cr2m ; £¤¥ 2R,j { ¤«¨ áâ®à®ë ªã¡ Q(): § ॣã«ïà®á⨠¢á¯«¥áª®¢ ¨ ⮣®, çâ® Rn f (x)dx = 0; á«¥¤ã¥â,Pçâ®R jhf; ij C 2nj=22j r: ®í⮬㠯ਠx 2 Rm Sf (x) C 02,m(n+1) r,n ¨ 10 Rm Sf (x)dx < 1:
᫨ ¢á¯«¥áª¨ ¥ ¨¬¥îâ ª®¬¯ ªâ®£® ®á¨â¥«ï, â® ¢¬¥á⮠⮬ ன å à ªâ¥à¨§ 樨 H 1(Rn) ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¬®«¥ªã«ïà ï. ¯à¥¤¥«¥¨¥ 27.2 ãáâì s > n: ®«¥ªã«®© á æ¥â஬ ¢ x0 ¨ è¨à¨®© äãªæ¨î f; 㤮¢«¥â¢®àïîéãî â६ ãá«®¢¨ï¬: R fd(x>)dx0= §ë¢ îâ R 0; Rn jf (x)j2(1 + jxj)sdx < 1 ¨ Rn !s !1=2 Z j x , x 0j 2 jf (x)j 1 + d dx d,n=2 : Rn
¥âà㤮 ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¢ ⥮६¥ 27.2 â®¬ë ¬®¦® § ¬¥¨âì ¬®«¥ªã«ë. á«ãç ¥ ¢á¯«¥áª®¢ á ¥ª®¬¯ ªâë¬ ®á¨â¥«¥¬ à ¥¥ ®¯à¥¤¥«¥ë¥ P , n= 2 äãªæ¨¨ a(l; m; r; x) := d ~() (x), ¥ ¡ã¤ãç¨ â®¬ ¬¨, 2(l;m;r) ïîâáï ¬®«¥ªã« ¬¨. 2 à®áâà á⢮ BMO(Rn ) ï¥âáï ᮯàï¦¥ë¬ ª H 1(Rn): ¥®à¥¬ 27.3
᫨ f (x) ¯à¨ ¤«¥¦¨â BMO(Rn ); â® ¢á¯«¥áª®¢ë¥ ª®íää¨æ¨¥âë () := hf; i 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î ૥ᮠX j ()j2 C jQj (27.12) Q()Q
76
¤«ï «î¡®£® ¤¢®¨ç®£® ªã¡ Q: ¡à â®, ¥á«¨ ª®íää¨æ¨¥âë (); 2 ; 㤮¢«¥â¢®àïîâ (27.12), P â® àï¤ 2 () (x) á室¨âáï ¢ á« ¡®© ⮯®«®£¨¨ (BMO; H 1) ª äãªæ¨¨ ¨§ BMO: ®ª § ⥫ìá⢮. «ï ã¯à®é¥¨ï ¢ëª« ¤®ª ¯à¥¤¯®« £ ¥¬, çâ® ¢á¯«¥áª¨ l; 1 l 2n , 1; ¨¬¥îâ ª®¬¯ ªâë© ®á¨â¥«ì. ¡é¨© á«ãç © à áᬠâਢ ¥âáï «®£¨ç®. ¥®¡å®¤¨¬®áâì. ãáâì supp dQ() (®¡®§ 票ï á¬. á. 75). 䨪á¨à㥬 ¯à®¨§¢®«ìë© ¤¢®¨çë© ªã¡ R Q: ।áâ ¢¨¬ f 2 BMO ¢ ¢¨¤¥ f = f1 + f2 + fdQ; £¤¥ fdQ = jdQ1 j dQ f (x)dx; f1(x) = f (x) , fdQ ¯à¨ x 2 dQ ¨ f1(x) = 0 ¯à¨ x 62 dQ: á®, çâ® hf2; i = 0; ¥á«¨ Q() Q: ç¨âë¢ ï (25.12), ¯®«ãç ¥¬, çâ® hf; i = hf1; i ¯à¨ Q() Q: ®í⮬ã
X
Q()Q
j ()j2
X
2
jhf1; ij2 = kf1k22 dn kf k2BMOjQj:
®áâ â®ç®áâì. ãáâì ¢ë¯®«¥® ãá«®¢¨¥ (27.12). áᬮâਬ è à B à ¤¨ãá r á æ¥â஬ ¢ x0. 롥६ q 2 Z â ª, ç⮡ë 2,q r < 2,q+1 : ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ¯à¨ j q ¨§ ⮣®, çâ® dQ() \ B 6= ; ¨ ¤«¨ áâ®à®ë Q() à ¢ 2,j ; á«¥¤ã¥â, çâ® Q() MB; £¤¥ ª®áâ â M § ¢¨á¨â ⮫쪮 ®â d: ãáâì 1;1 := f = (l; j; k) 2 : jP q; Q() MB g; P1;2 := f = (l; j; k) 2 : j q; 62 1;1g; f1;1 := 21;1 () , f1;2 := 21;2 () : ®£¤ äãªæ¨ï f1;2 à ¢ ã«î B; ¤«ï f1;1 P 2 ¨¬¥¥¬ ®æ¥ªã kf1;1k2 Q()MB j ()j2 C jB j: áᬮâਬ j < q: «ï ª ¦¤®£® â ª®£® j ⮫쪮 M n ¢á¯«¥áª®¢ ; á ¤«¨®© áâ®à®ë Q() à ¢®© 2,j ; ¥ à ¢ë ã«î ⮦¤¥á⢥® B: «ï ª ¦¤®£® â ª®£® ¢á¯«¥áª ¢ ᨫã (19.11) ¨¬¥¥¬ j (x) , (x0)j C 2j 2nj=2jx , x0j: § (27.12) á«¥¤ã¥â, çâ® j ()j C jQ()j1=2 = C 2,nj=2: § ¢á¥£® ᪠§ ®£® ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¯à¨ x2B j Pf=(l;j;k)2:jqg () (x) , Pf=(l;j;k)2:jqg () (x0)j CM n Pj
28
ᯫ¥áª®¢ ï
R
R
s n p( ) ãáâì ; 2 { ¢á¯«¥áª¨, ¯®áâà®¥ë¥ ®á®¢¥ r-ॣã«ïண® ¯à¨ ¯®¬®é¨ ⥮६ë 19.3, r 1. ᯮ«ì§ã¥¬ë¥ ¢ ¤ «ì¥©è¥¬ ®¡®§ ç¥¨ï ®¯à¥¤¥«¥ë á. 74. P () (x) ¯à¨¥®à¥¬ 28.1 ãáâì 1 < p < 1: ᯫ¥áª®¢ë© àï¤ 2 p n ¤«¥¦¨â L (R ) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ 2 j (x)j2)1=2k k(P j ( ) j < 1 : ஬¥ ⮣®, ®à¬ p 2 2 j (x)j2)1=2k k(P j ( ) j íª¢¨¢ «¥â ®à¬¥ p 2 k(P2 j ()j2jQ()j,1Q()(x))1=2kp: ¯à®áâà áâ¢
L
p( n )
å à ªâ¥à¨§ æ¨ï
¨
W
®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì := f() = 1g2 { ¯à®¨§¢®«ì ï à ááâ ®¢ª § ª®¢. ¯à¥¤¥«¨¬ «¨¥©ë© ®¯¥à â®à T : L2(Rn) 7! L2(Rn ); ¯®« £ ï T = () : ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ®¯¥à â®àë T ïîâáï ®¯¥à â®à ¬¨ «ì¤¥à® -¨£¬ã¤ (®¯à¥¤¥«¥¨¥ 2.5) á ï¤à ¬¨ P K (x; y) = 2 () () (x) (y); 㤮¢«¥â¢®àïî騬¨ ¢ ᨫã (19.11) ®æ¥ª ¬ jK (x; y)j C jx , yj,n ¨
@K + @K C jx , yj,n,1 @xj @yj
à ¢®¬¥à® ¯® : ᨫã ⥮६ë 2.1 ®¯¥à â®àë T à ¢®¬¥à® ®£à ¨ç¥ë ¢ Lp(Rn): ¥¯¥àì ¯¥à¢®¥ ã⢥ত¥¨¥ ⥮६ë á«¥¤ã¥â ¨§ ¥à ¢¥á⢠¨ç¨ . â®à®¥ ã⢥ত¥¨¥ á«¥¤ã¥â ¨§ ⮣®, çâ® «¨¥©ë© ®¯¥à â®à U : L2(Rn ) 7! L2(Rn), ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë© à ¢¥á⢠¬¨ U ( lH ) = l; 1 l < 2n; £¤¥ lH { ¬®£®¬¥àë¥ ¢á¯«¥áª¨ à , ï¥âáï ¨§®¬®à䨧¬®¬ ¢ Lp(Rn): ¥©á⢨⥫ì®, U { ¨§®¬®à䨧¬ ¤¢®¨ç®£® H 1(Rn) ¨ ®¡ë箣® H 1(Rn) (¤¢®¨ç®¥ H 1(Rn) á®á⮨⠨§ äãªæ¨©, ¤®¯ã᪠îé¨å ⮬ ஥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¯® ⮬ ¬ á ®á¨â¥«ï¬¨, à ¢ë¬¨ ¤¢®¨çë¬ ªã¡ ¬, á¬. ⥮६ã 27.1). 祢¨¤®, çâ® U { ¨§®¬¥âà¨ï ¢ L2(Rn ): áâ ¥âáï ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï ¨â¥à¯®«ï樥© ¬¥¦¤ã H 1 ¨ L2 (á¬. [FS]). 2
78
ãáâì 1 < p < 1 ¨ 0 s < r: ᯫ¥áª®¢ë© àï¤ s n 2 () (x) ¯à¨ ¤«¥¦¨â Wp (R ) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤
P
¥®à¥¬ 28.2
0 11=2 X @ j ()j2(1 + 4js)2nj Q()(x)A 2 Lp(Rn ): 2
(28.1)
᫨ ,r < s 0; â® ¢á¯«¥áª®¢ë© àï¤ ¯à¨ ¤«¥¦¨â Wps (Rn ) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤
0 11=2 X 2 , js , 1 nj @ j ()j (1 + 4 ) 2 Q()(x)A 2 Lp(Rn): 2
(28.2)
奬 ¤®ª § ⥫ìá⢠. ç « à áᬮâਬ ¢á¯«¥áª¨ ¥©¥à . «ï ¨å ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ãàì¥ bl à ¢® ã«î ¢ ®ªà¥áâ®á⨠ã«ï ¨ ¨¬¥¥â ª®¬¯ ªâë© ®á¨â¥«ì. ®í⮬㠤«ï2 «î¡®£®
2 R2 ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì 2
@ @
= 2 äãªæ¨¨ l := (,) l; £¤¥ = @x21 + @x22 + + @x@ 2n : á®, çâ® bl () = jj bl(): ¯à¥¤¥«¨¬ (x) := 2nj=2 l (2j x , k); £¤¥ = (l; j; k): áᬮ- âਬ «¨¥©ë¥ ®¯¥à â®àë D ; ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ä®à¬ã« ¬¨ D ( ) = : «ï «î¡®£® 2 R ®¯¥à â®àë D ïîâáï ¨§®¬®à䨧¬ ¬¨ ¢ Lp(Rn): ¥«® ¢ ⮬, çâ® ; 2 ; ®¡à §ãîâ ¡ §¨á ¨áá ¢ L2(Rn); ®âªã¤ á«¥¤ã¥â, çâ® D { ¨§®¬®à䨧¬ ¢ L2(Rn): ஬¥ ⮣®, ï¤à® ®¯¥à â®à D P à ¢® 2 (x) (y) ¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â âॡ®¢ ¨ï¬ ®¯à¥¤¥«¥¨ï 2.5. ç¨â ¯® ⥮६¥ 2.1 D { ¥¯à¥àë¢ë© ®¯¥à â®à ¢ Lp(Rn): ¡à âë© ®¯¥à â®à ¨áá«¥¤ã¥âáï «®£¨ç®. ®à¬ f ¢ ¯à®áâà á⢥ Wps(Rn ) íª¢¨¢ «¥â kf kp + k(,)s=2f kp: P ®í⮬㠤«ï ®æ¥ª¨ Wps(Rn)-®à¬ë àï¤ 2 ()P(x) ¥®¡å®¤¨¬® P p n s= 2 js s ¢ëç¨á«¨âì L (R )-®à¬ã (,) 2 () (x) = 2 ()2 (x): p n áâ ¥âáï ¨á¯®«ì§®¢ âì ¨§®¬®à䨧¬ Ds ¢ L (R ) ¨ ⥮६ã 28.1. ®¡é¥¬ á«ãç ¥ r-ॣã«ïண® ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® äãªæ¨¨ (,),s=2 l; 1 l < 2n ; ¨¬¥îâ ã«¥¢®¥ á।¥¥ ¨ ¢¬¥á⥠ᮠ¢á¥¬¨ ¯à®¨§¢®¤ë¬¨ ¯®à浪 r ¨¬¥îâ ¯®à冷ª O(jxj,n,r+s ) ¡¥áª®¥ç®áâ¨. «®£¨ç®, äãªæ¨¨ (,)s=2 l; 1 l < 2n ; ¯à¨ ¤«¥¦ â ª« ááã ¥«ì¤¥à H r,s ; ã¡ë¢ îâ ¡¥áª®¥ç®á⨠ª ª O(jxj,n,r+s ) ¨ ¨¬¥îâ ã«¥¢®¥ á।¥¥. ⨠᢮©á⢠¯®§¢®«ïîâ ¯®¢â®à¨âì à áá㦤¥¨ï, ¨á¯®«ì§®¢ ë¥ ¤«ï ¢á¯«¥áª®¢ ¥©¥à . ⢥ত¥¨¥ â¥®à¥¬ë ¤«ï s < 0 ¯®«ãç ¥âáï ¯® ¤¢®©á⢥®áâ¨.2
79
«¥¤á⢨¥ 28.1
f (x) =
ï¤
X
k2Zn
(k)'(x , k) +
X f=(l;j;k)2; j 0g
() (x)
(28.3)
¯à¨ ¤«¥¦¨â Wps(Rn ); 1 < p < 1; jsj < r; ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ f (k)gk2Zn 2 lp(Zn ) ¨
0 @
X f=(l;j;k)2; j 0g
29
11=2 2nj 4js j ()j2Q()(x)A 2 Lp(Rn ):
(28.4)
¥à¨®¤¨ç¥áª¨¥ ¢á¯«¥áª¨
®á®¢¥ ¢á¯«¥áª®¢®£® ¡ §¨á ¯àאַ© ¬®¦® ¯®áâநâì ¢á¯«¥áª®¢ë© ¡ §¨á ®â१ª¥ [0; 1]: ãáâì fVj gj2Z | r-ॣã«ïàë© ¢ L2(R); r 1; Vj1 { § ¬ëª ¨¥ Vj ¢ á« ¡®© ⮯®«®£¨¨ (L1; L1): ãáâì Tj ¯®¤¯à®áâà á⢮ äãªæ¨© ¨§ Vj1 ; ¨¬¥îé¨å ¯¥à¨®¤ 1:
᫨ j 0; â® Tj ᮢ¯ ¤ îâ ¨ á®áâ®ïâ ⮫쪮 ¨§ ¯®áâ®ïëå äãªæ¨©.
᫨ j > 0; â® à §¬¥à®áâì Tj à ¢ 2j : ¥¬¬ 29.1
®ª § ⥫ìá⢮. ¬¥â¨¬, çâ® ª®áâ âë ¯à¨ ¤«¥¦ ⠢ᥬ Vj ; â ª P ª ª k2Z '(t , k) 1: ®á«¥¤¥¥ á«¥¤ã¥â ¨§ (25.9), â ª ª ª
Z1X
,1 k2Z
'(t , k)e,2lt dt =
Z
R
'(t)e,2lt dt = 'b(2l) = l;0:
ª ª ª Vj1 Vj1+1; â® ¯¥à¢®¥ ã⢥ত¥¨¥ «¥¬¬ë ¡ã¤¥â ¤®ª § ®, ¥á«¨ «î¡ ï äãªæ¨ï f 2 T0 ï¥âáï ª®áâ ⮩. ¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ f 1-¯¥à¨®¤¨ç , â® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ª®íää¨æ¨¥â®¢ R ck := R f (t)'(t , k) dt ¯®áâ®ï , § ç¨â ¨ f (t) = Pk2Z ck '(t , k) à ¢ ª®áâ â¥. ãáâì j > 0: ®£¤ «î¡ ï äãªæ¨ï f 2 Tj ¨¬¥¥â ¢¨¤ R P 1 j j j f (t) = k=,1 ck '(2 t , k); £¤¥ ck := 2 R f (t)'(2 t , k) dt: § ¯¥à¨®¤¨ç®á⨠f á«¥¤ã¥â, çâ® ck+2j = ck : 祢¨¤®, çâ® ¢¥à® ¨ ®¡à ⮥. ª¨¬ ®¡à §®¬, à §¬¥à®áâì Tj à ¢ 2j :2 80
¡ê¥¤¨¥¨¥ Tj ; j 0; ¯«®â® ¢ ¡ 客®¬ ¯à®áâà á⢥ ¥¯à¥àë¢ëå ¤¥©á⢨⥫쮩 ®á¨ ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å á ¯¥à¨®¤®¬ 1 äãªæ¨©. ¥¬¬ 29.2
®ª § ⥫ìá⢮. à⮣® «ìë© ¯à®¥ªâ®à RPj : L2 (R) ! Vj ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã« ¬¨ Pj f (t) P = £¤¥ R Ej (t; s)f (s) ds; Ej (t; s) := 2j E (2j t; 2j s) ¨ E (t; s) := 1k=,1 '(t , k)'(s , k):
᫨ f { ®£à ¨ç¥ ¨ à ¢®¬¥à® ¥¯à¥àë¢ R; â® kf , Pj (f )k1 ! 0 ¯à¨ j ! 1 (á¬. «¥¬¬ã 22.1). áâ ¥âáï § ¬¥â¨âì, çâ® Pj (f ) 2 Tj ¤«ï «î¡®£® j 2 N, ¥á«¨ f ¯¥à¨®¤¨ç á ¯¥à¨®¤®¬ 1.2 «®¦¥ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fTj gj 2N; ®¯à¥¤¥«¥ ï ¢ëè¥, §ë¢ ¥âáï r-ॣã«ïàë¬ ¢ L2 (T); £¤¥ T - ®â१®ª [0; 1] á ®â®¦¤¥á⢫¥ë¬¨ ª®æ ¬¨. ¯à¥¤¥«¥¨¥ 29.1
j=2 P '(2j (t , k )): ãáâì 'per k 2Z j (t) := 2 per ¥¬¬ 29.3 «ï «î¡®£® j 2 N äãªæ¨¨ 'j (t , k 2,j ); 0 k < 2j ; ®¡à §ãîâ ¢ Tj : ®ª § ⥫ìá⢮. ª ª ª à §¬¥à®áâì Tj à ¢ 2j ; â® ¤®áâ â®ç® ,j j ¯à®¢¥à¨âì ®à⮮ନ஢ ®áâì äãªæ¨© 'per j (t , k 2 ); 0 k < 2 ; ¢ L2[0; 1]: «ï í⮣® ¥®¡å®¤¨¬® ¢ëç¨á«¨âì X XZ 1 j j 2j '(2 t , 2 k , m)'(2j t , 2j l , m0) dt: k2Z l2Z 0
¤¥« ¥¬ § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥ëå t , k = 2,j t0; £¤¥ 0 t < 1; k 2 Z: ¯à¨¢®¤¨â ª ¢ëà ¦¥¨î XZ 1 0 '(t , m)'(t , 2j q , m0) dt: q2Z ,1
᫨ 0 m < 2j ; 0 m0 < 2j ¨ m 6= m0; â® ª ¦¤ë© ¨§ ¨â¥£à «®¢ à ¢¥ ã«î.
᫨ m = m0; â® ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ¥à ¢ë¬ ã«î ¨â¥£à «®¬ ï¥âáï ¨â¥£à « ¯à¨ q = 0; ª®â®àë© à ¢¥ 1:2 ãáâì Uj ®¡®§ ç ¥â ®à⮣® «ì®¥ ¤®¯®«¥¨¥ Tj ¤® Tj+1 ¨ ¯ãáâì j=2 X (2j (t , k )): j (t) := 2 k 2Z
81
«ï «î¡®£® j 2 N äãªæ¨¨ ®¡à §ãîâ ¢ Uj : ¥¬¬ 29.4
j (t
, k2,j ); 0 k < 2j ;
®ª § ⥫ìá⢮. ®ª § ⥫ìá⢮ «®£¨ç® ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã «¥¬¬ë 29.3. ¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® äãªæ¨¨ j (t , k2,j ) ¯à¨ ¤«¥¦ â Tj+1 ¨ ®à⮣® «ìë ª Tj : ஬¥ ⮣®, äãªæ¨¨ j (t , k2,j ); 0 k < 2j ; ¯®¯ à® ®à⮣® «ìë. áâ ¥âáï § ¬¥â¨âì, çâ® à §¬¥à®áâì Uj à ¢ 2j ; â ª ª ª à §¬¥à®áâì Tj à ¢ 2j ; à §¬¥à®áâì Tj+1 à ¢ 2j+1 :2 ª¨¬ ®¡à §®¬,
L2(T) = T0 U0 U1 U2 ; ®âªã¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¯®áâ®ï ï äãªæ¨ï 1 ¢¬¥áâ¥ á ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâìî f j (t , k2,j )g0k<2j ; j2N ®¡à §ãîâ ¢ L2(T): 㬥à㥬 íâã ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì «¥ªá¨ª®£à ä¨ç¥áª¨: g0(t) 1; ¥á«¨ m = 2j + k; 0 k < 2j ; â® gm (t) := j (t , k2,j ): ¥®à¥¬ 29.1 ãáâì fVj gj 2Z { r-ॣã«ïàë© ¢ L2 (R); r 1: ®£¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fgm gm2N ï¥âáï ¡ §¨á®¬ ã¤¥à ¢ C (T) ¨ L1(T): â ª¦¥ ï¥âáï ¡ §¨á®¬ ã¤¥à ¨ ¢ C k(T) ¯à¨ 0 k < r: ¦¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fgmgm2N ï¥âáï ¡¥§ãá«®¢ë¬ ¡ §¨á®¬ ¢ ¯à®áâà á⢥ ¥«ì¤¥à C ¯à¨ 0 < < 1; ¢ ª« áᥠ¨£¬ã¤ ? = C1 ¯à¨ r 2; ¢ ¯à®áâà á⢠å Lp á 1 < p < 1; ¢ ¯à®áâà á⢥ न H 1(T) ¨ ¢ ¥£® ¤¢®©á⢥®¬ ¯à®áâà á⢥ BMO(T): ⬥⨬, çâ® âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª ï á¨á⥬ ¥ ï¥âáï ¡ §¨á®¬ ã¤¥à ¢ C (T) ¨ ¢ L1(T): ¯à®áâà á⢠å Lp ¯à¨ 1 < p < 1 ® ®¡à §ã¥â ¡ §¨á 㤥à , ® ¥ ¡¥§ãá«®¢ë©. ¬¥ç ¨¥ 29.1
®ª § ⥫ìá⢮. ª ª ª S Tj ¯«®â® ¢ C (T) (á¬. «¥¬¬ã 29.2), â® ¤«ï ¡ §¨á®á⨠fgm gm2N ¢ C (T) ¤®áâ â®ç® ¤®ª § âì, çâ® k Plm=0hf; gm igm k1 C kf k1 ¤«ï «î¡®£® l 2 N: த®«¦¨¬ äãªæ¨î fP j 2 C (T) ¯® ¯¥à¨®¤¨ç®á⨠¢áî ¯àï¬ãî R: ®£¤ 2 hf; g ig = P f; ¯à¨ç¥¬ ®¯¥à â®àë P à ¢®¬¥à® ®£à ¨ç¥ë m m j j m=0 1 j L (R); â.ª. kPj k1 = kP0k1: ãáâì 2 l < 2j+1: ¬¥â¨¬, çâ®
k
Xl m=2j
hf; gmigm k1 kf k1
!
X
j g sup k g m j
m k1
j j+1 2j m<2j+1 2 m<2
82
1
¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® kgm kL1(T) = 2,j=2k kL1(R) ¯à¨ 2j m < 2j+1 : ஬¥ ⮣®,
P
2j m<2j+1 jgmj
1 =
Pk2Z j2j=2 (2j ,k)j
1 = = 2j=2 kPk2Z j ( , k)jk1 = C 2j=2: ®í⮬ã k Pl hf; g ig k C kf k . m m 1 1 m=2j k C (T) à §¡¨à ¥âáï «®£¨ç®
«ãç © á ¨á¯®«ì§®¢ ¨¥¬ ⥮६ë 21.2. §¨á®áâì ¢ L1(T) ¯®«ãç ¥âáï ¯® ¤¢®©á⢥®áâ¨. § ⥮६ë 26.1 á«¥¤ã¥â, çâ® 1 X mgm 2 Cs (T) , m = O(m,s,1=2); (29.1) m=0
¨§ 祣® á«¥¤ã¥â ¡¥§ãá«®¢ ï ¡ §¨á®áâì ¢ Cs (T): ¥§ã«ìâ â ¤«ï ¯à®áâà á⢠Lp(T); H 1(T); BMO(T) á«¥¤ã¥â ¨§ ⥮६ 28.1, 27.1 ¨ 27.3. 2 à ¢¨¬ ¢á¯«¥áª®¢ë¥ àï¤ë ¨ àï¤ë ãàì¥. ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¯®«ë¥ ¢á¯«¥áª®¢ë¥ àï¤ë, ¨¬¥î騥 ¬®£® ¡®«ìè¨å ª®íää¨æ¨¥â®¢ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ¯ ⮫®£¨ç¥áª¨¥ äãªæ¨¨, ⮣¤ ª ª ¢á¯«¥áª®¢ë¥ àï¤ë å®à®è¨å äãªæ¨© ¨¬¥îâ ¬ «® ¡®«ìè¨å ª®íää¨æ¨¥â®¢. â® ¯àאַ ¯à®â¨¢®¯®«®¦® á¨âã 樨 á ®¡ëç묨 àï¤ ¬¨ ãàì¥: ¤«ï å®à®è¨å äãªæ¨© ®¨ ¯®«ë¥, ¤«ï ¯ ⮫®£¨ç¥áª¨å { « ªã àë¥. â® ®¡êïáï¥âáï ⥬, çâ® ¢á¯«¥áª®¢ë© «¨§ ®á¨â «®ª «ìë© å à ªâ¥à. ®«ì訥 ª®íää¨æ¨¥âë ¨¬¥î⠢ᯫ¥áª¨, «®ª «¨§®¢ ë¥ ¢¡«¨§¨ ®á®¡¥®á⥩ «¨§¨à㥬®© äãªæ¨¨. ¥ ®á®¡¥®á⥩ «¨§¨à㥬 ï äãªæ¨ï ï¥âáï ¡¥áª®¥ç® ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¢á¯«¥áª®¢ë¥ ª®íää¨æ¨¥âë ïîâáï ¯à¥¥¡à¥¦¨¬® ¬ «ë¬¨ § áç¥â ᢮©á⢠(25.12). áᬮâਬ äãªæ¨î j sin tj, , £¤¥ 0 < < 1:
¥ ª®íää¨æ¨¥âë ãàì¥ ck ; k 2 Z; ¨¬¥îâ á«¥¤ãîéãî áᨬ¯â®â¨ªã , 1+ , 3+ ck = ( )jkj + O(k ); £¤¥ ( ) 6= 0 (á¬.[Z, « ¢ 5].) ª¨¬ ®¡à §®¬, ®á®¡¥®áâì ¢ 0 äãªæ¨¨ j sin tj, ¢«¨ï¥â ¢á¥ ª®íää¨æ¨¥âë ãàì¥. ᯫ¥áª®¢ë¥ ª®íää¨æ¨¥âë ¯®¤¢¥à£ îâáï ¢«¨ï¨î ®á®¡¥®á⨠⮫쪮, ¥á«¨ ¨â¥à¢ « Im := [k2,j ; (k + 1)2,j ]; m = 2j + k; 0 k < 2j ; ®¯à¥¤¥«ïî騩 «®ª «¨§ æ¨î ¢á¯«¥áª gm (t); 室¨âáï ¡«¨§ª® ª ®á®¡¥®áâ¨. ®«¥¥ â®ç®, ¤«ï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨å ¢á¯«¥áª®¢, ¯®áâ஥ëå ®á®¢¥ ¢á¯«¥áª®¢ ¥©¥à , ¨¬¥¥¬ á«¥¤ãîéãî ®æ¥ªã: ¥á«¨ 2j m < 2j+1 83
¨ l := min(m , 2j ; 2j+1 , m); â® j mj CN 2j( ,1=2)=(1+ l)N ¤«ï «î¡®£® âãà «ì®£® N: ª¨¬ ®¡à §®¬, ¡®«ì訬¨ ¡ã¤ãâ ⮫쪮 ª®íää¨æ¨¥âë á ®¬¥à ¬¨ ¡«¨§ª¨¬¨ ª 2j ; j 2 N:
¨á.2. 楪 ¬®¤ã«¥© ¨á.1. à 䨪 j sin tj,1=2: ¢á¯«¥áª®¢ëå ª®íää¨æ¨¥â®¢. áᬮâਬ ¯ ⮫®£¨ç¥áª¨¥ äãªæ¨¨. ãáâì q > 1; 1 > 0; P 1 k+1 > qk ; k 2 N; 0 j k j < 1; ® k k ¥ P áâ६¨âáï ª 0: §¢¥áâ® [Z, « ¢ 2.], çâ® ¯à¨ íâ¨å ¯à¥¤¯®«®¦¥¨ïå àï¤ 10 k cos k t ®¯à¥¤¥«ï¥â ¥¯à¥àë¢ãî ¨£¤¥ ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬ãî äãªæ¨î. «ï ¢á¯«¥áª®¢ëå à冷¢ ¨¬¥¥¬ á«¥¤ãî騩 १ã«ìâ â. ¥®à¥¬ 29.2 ãáâì fgm gm2N { ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨¥ ¢á¯«¥áª¨, ¯®«ãç¥ë¥ P g (t) { ¥¯à¥àë¢ ï ¨§ r-ॣã«ïண® á r 2: ãáâì f (t) = 1 0 m m äãªæ¨ï, ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ï ¢ â®çª¥ t0: ®£¤ ¤«ï «î¡®£® 䨪á¨à®¢ ®£® q 1 m = o(m,3=2 ) ¯à¨ m áâ६ï饬áï ª ¡¥áª®¥ç®á⨠¨ â ª®¬, çâ® ¨â¥à¢ «ë qIm ᮤ¥à¦ â â®çªã t0: ¤¥áì , j , j j j Im := [k2 ; (k + 1)2 ] ¯à¨ m = 2 + k; 0 k < 2 ; qIm - ¨â¥à¢ « á ⥬ ¦¥, çâ® ¨ ã Im æ¥â஬ ¨ ¤«¨®© q=2j : ®ª § ⥫ìá⢮. ¥§ã«ìâ â «¥£ª® á«¥¤ã¥â ¨§ (19.11) ¨ (25.12).2 § ⥮६ 29.1 ¨ 29.2 á«¥¤ã¥â «¥¤á⢨¥ 29.1 ãáâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ç¨á¥« m ; m 1 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¥à ¢¥á⢠¬ C1m,3=2 j P m j C2 m,3=2 ¤«ï ¤¢ãå ª®áâ â 1 2 C1 > 0: ®£¤ äãªæ¨ï f (t) = 0 m gm (t) ¯à¨ ¤«¥¦¨â ª« ááã ¨£¬ã¤ ? = C1 ; ® ¨£¤¥ ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 . ãªæ¨¨ ¥©¥àèâà áá ïîâáï ç áâë¬ á«ãç ¥¬ á«¥¤á⢨ï 29.1. ãáâì ;M (t) - ¯¥à¨®¤¨ç¥áª¨© p ¥©¥à . àï¬ë¥ ¢ëç¨á«¥¨ï ¯®P1 M (t , k)¢á¯«¥áª ª §ë¢ îâ, çâ® = , 2 cos 2t: ®í⮬ã äãªæ¨ï f (t) = P P2j ,1 (j; k),1;M (t , k ) á ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ (j; k) = (j ); ¥ § j 2N 0 j 2j p P 1 j= 2 ¢¨áïé¨å ®â k; à ¢ f (t) = , 2 0 2 (j ) cos(22j t): ª¨¬ ®¡à §®¬, ¯®«ë© ¢á¯«¥áª®¢ë© àï¤ á®¢¯ ¤ ¥â á « ªã àë¬ à冷¬ ãàì¥. 84
¯¨á®ª «¨â¥à âãàë
[GM] Grossman A., Morlet J. Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape. SIAM J.Math.Anal. 1984. 15. C.723-736. [M] Meyer Y. Ondelettes et operateurs. Paris: Hermann. 1990. [D] Daubechies. Ten lectures on wavelets. CBMS-NSF. Regional conference series in applied mathematics, SIAM. 1992. [C] Chui C.K. An Introduction to Wavelets. New York: Academic Press. 1992. [A] áâ ä쥢 .. ¥©¢«¥â- «¨§: ®á®¢ë ⥮ਨ ¨ ¯à¨¬¥àë ¯à¨¬¥¥¨ï. . 166, 11. .1145-1170. [NS] ®¢¨ª®¢ .., â¥çª¨ .. á®¢ë¥ ª®áâàãªæ¨¨ ¢á¯«¥áª®¢. 㤠¬¥â «ì ï ¨ ¯à¨ª« ¤ ï ¬ ⥬ ⨪ . 1997. 3, 4. C.999-1028. [L] 㧨 .. Sur une propriete des fonctions a carre sommable. Bull.Calcutta Math.Soc. 1930. 20. C.139-154. [CW] Coifman R.R., Weiss G. Extentions of Hardy spaces and their use in analysis. Bull AMS. 1977. 83. C.569-645. [S] ⥩ . ¨£ã«ïàë¥ ¨â¥£à «ë ¨ ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ á¢®©á⢠äãªæ¨©. ®áª¢ : ¨à. 1973. [Z] ¨£¬ã¤ . ਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ àï¤ë. I-II. .:¨à. 1965. [Ca] Calderon A. P. Commutators of singular integral operators. Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1965. 53. C.1092-1099. 15. C.723-736. [Ca1] Calderon A. P. Intermediate spaces and interpolation, the complex method. Studia Math. 1964. 24. C.113-190. [G] Gabor D. Theory of communication. J.IEE (London) 1946. 93. C.429457. [La] ¤ ã .., ¨äè¨æ
.. ¢ ⮢ ï ¬¥å ¨ª , 3 ¨§¤. .: 㪠. 1974. 85
[Lu] 㪠襪® .. ᯫ¥áª¨ ⮯®«®£¨ç¥áª¨å £à㯯 å. . 1993. 332, 1. .15-17. [H] Haar A. Zur theorie der orthogonalen functionensysteme. Math.Annalen 1910. 69. C.331-371. [Ma] Mallat S. Multiresolution approximation and wavelets. Trans.AMS 1989. 315. C.69-88. [BDR] de Boor C., DeVore R., Ron A. On the construction of multivariate (pre)wavelets. Constr.Approx. 1993. 2. 3. C.123-166. [W] Whittaker J.T. Interpolatory function theory. Cambridge: Cambridge University Press. - 1935. [M] Meyer Y. Principe d'incertitude, bases hilbertiennes et algebres d'operateurs. Seminaire Bourbaki. 1985-86. nr.662. [B] Battle G. A block spin construction of ondelettes, Part II: QFT connection. Comm. Math. Phys. 1988. 114. C.93-102. [L] Lemarie P.G. Une nouvelle base d'ondelettes de L2(Rn): J. de Math. Pures et Appl. 1988. 67. C.227-236. [R] ®«¨ ., ¥£¥ . ¤ ç¨ ¨ â¥®à¥¬ë ¨§ «¨§ . .2. ®áª¢ : 㪠. 1978. [Sh] Schoenberg I.J. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions. Quart.Appl.Math. 1946. 4. C.4599,112-141. [St] Stromberg J.O. A modi ed Franklin system and higher order spline systems on Rn as unconditional bases for Hardy spaces. Conf. in honor of A.Zygmund, Vol. II. 1982. C.475-493. [D1] Daubechies I. Orthonormal basis of compactly supported wavelets. Comm. Pure Appl. Math. 1988. 46. C.909-996. [Sm] Smith M.J.T.,Barnwell T.P. Exact reconstruction techniques for treestructured subband coders. IEEE Trans.ASSP 1986. 34. C.434-441. 86
[Mi] Mintzer F. Filters for distortion-free two-band multirate lter banks. IEEE Trans.Acoust.Speech Signal Process. 1985. 33. C.626-630. [V] Vetterli M. Filter banks allowing perfect reconstruction. Signal Proc. 1986. 10. C.219-244. [Gr] Grochenig K. Analyse multiechelle et bases d'ondelettes. C. R. Acad.Sci. Paris. Serie I. 1987. 305. C.13-17. [FS] Fe erman C., Stein E.M. H p spaces of several variables. Acta Matematica. 1972. 129. C.137-193.
87
