Алгебра, и логика, 39, N 6 (2000), 693-710
УДК 510.53:512.55
О ГРАНИЧНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ КОЛЕЦ И МАТРИЧНЫХ КОЛЕЦ Н А Д НИМИ Ю. В. НАГРЕВЕЦКАЯ
Пусть Ън{А;сг) — граница разрешимости алгебраической системы {А; а) относительно иерархии Я , т.е. множество всех языков L £ Я , для которых £-теория системы (А; а) является И-критической [1]. Пусть, да лее, 5 и SA — схемная и схемно-альтернативная иерархии языков (см. [1]). Алгебраические системы (Aiioi)
и (А2',С2) называются Н-гранично эк
вивалентными,
— Ън{А2',ог)- Это понятие, введенное
если
JB#(AI;O"I)
Ю.М. Важениным, интересно само по себе и весьма полезно при описа нии границ разрешимости. Пусть АпХп
— множество всех квадратных матриц порядка п над
множеством А. В [1—3] найдены границы разрешимости в иерархии SA колец Z и Ъпхп S5A(Z;
в различных сигнатурах. Оказалось, в частности, что
= Bs*(Z nxn ;(7o) и ЪвА^сг,)
= S^(Z n X n ;cJo U {е0-}) для лю
бых г, j € { 1 , . . . , w}, где <То ^ (+,•), ai ^ (+?"»1)? e*j ~~ константа, которая интерпретируется как соответствующая матричная единица. Таким обра зом, кольцо Z, рассматриваемое в различных сигнатурах, SA-гранично эквивалентно матричному кольцу Z" X n в соответствующих сигнатурах. Поэтому естественно возникает вопрос об Я-граничной эквивалентности других колец R и соответствующих им матричных колец. Доказываемые здесь теоремы 1—3 содержат информацию об Я-граничной эквивалентно сти некоторых колец и соответствующих им матричных колец. В [4] анон сирована следующая
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
694
Ю. В. Нагребецкая Т Е О Р Е М А 1. Если кольцо R является телом или
целостным
кольцом и имеет нулевую или нечетную характеристику, то для любого выполняются равенства Ъз№]0о) = Bs(JRnXn;<7o) и ^>s{R\^\)
п^1
nXn
= 3s(R
]
=
&i)- Если же R — произвольное ассоциативное кольцо с еди
ницей, то 'Bs(i?;<7i) = Ъз№пХп',сгои
{etj}) для любых п ^ 1 и i,j
6
е {i,...,n}. Кроме кольца i? n X n , где R — произвольноге кольцо с единицей, ис следуем более богатую и тесно связанную с RnXn ную алгебру Mn(R)
частичную матрич
над кольцом Я, определение которой принадлежит
Ю. М. Важенину. Как алгебраический объект она интересна и тем, что равенства T>s(Kn(R)'^o) ведливые для Мп(R) и на Rn*n.
= £s(#;<7 0 ) и £ s ( M „ ( # ) ; ^ 0 ) = Ъз^аг),
спра
(они будут доказаны ниже), можно распространить
Итак, пусть, Mn(R)
основном множестве Mn(R)
^ (Mn(R); +, •), где операции + и • на
^
IJ
Rkxl
введень[ следующим образом.
Определим для всех s, t Е { 1 , . . . , п} кольцо бражение 7T8t : Мп8' \R) Ь-> RsXt.
и ото-
Ниже через х обозначается функция из
Z в {0,1}, действующая по правилу
{ Для {(tij)kxl
€ KnSlt\R)
1, если х ^ 0; 0, если х < 0.
полагаем n{(atij)kxl)
= otij • x(* - i) ' х{1 ~ Я- Д
ля
== (&ij)sxt, где а,,
произвольных (atJ)fcjl <^ , {Pi3)k2xl2 зададим
(aij)ki Xh + (Pij)k2xl2 = *" ((aO')*8X/3) + ^ ((Aj)*3x/8) > где Лз = max{Ari, ^2}? Ь = max{/i, /2}; ( a ij)*ix/i • {fiij)k2xh = ^ (( tt ii)*i xd) • 7Г (\Pij)dxh) , где rf = max{/i,&2}Смысл операций из сг0 в Mn(R) поясним на примерах: / a
u
al2
«13
«21
«22
«23
t
fill /?21
=
/3l2 \
/ «11+^11
« 1 2 + /^12
«13
«21 + /З21
«22 + /322
«23
#31
/332
0
/З22
V A>1 /332 /
V
О граничной эквивалентности колец и матричных колец
695
Ai из \
аи
аи
аи
fti
/312
ап
аХ2
ai3
«21
«22
«23
&1
022
«21
«22
«23
021
022
О
•
О /
Таким образом, операции, введенные на Mn(R)% заключаются в расшире нии при необходимости исходных матриц за счет нулевых строк и столб цов, добавляемых снизу и справа, с последующими "обычными" сложени ем и умножением полученных матриц. Легко проверить, что (М П (Д); •) — полугруппа, a (Mn(R);+)
— коммутативный моноид, причем операция
• дистрибутивна относительно операции +. Кроме того, (Rkxk;ao) к Е {1,. • • ,п} является подкольцом алгебры
для
Mn(R).
Т Е О Р Е М А 2. Если R — ассоциативное КОЛЬЦО С единицей, то Ъ3(Мп(Н))
= Ъ3(11;сго).
Наконец, рассмотрев случай, когда R ~ Z, получим явное описание границы разрешимости ЪзА(М1г(И))Т Е О Р Е М А 3. ДЛЯ любого п % А ( Ш Я ) )
^
1 выполняется
равенство
= {V-V,EbA,V3,3V}.
Таким образом, имеем 5 А-граничную эквивалентность колец (Z; OQ), (ffllXn;oo)
и алгебры M n (Z), Это еще один аргумент в пользу возможно
го распространения алгоритмических свойств алгебры М П (Л) на кольцо RnXn.
Возникает естественная ГИПОТЕЗА. Для любого ассоциативного кольца R с единицей и лю
бого п ^ 1 кольца (R;cTi) и {i?nXn;cx^) будут SA-граничио
эквивалентны,
ie {0,1}. Напомним кратко необходимые определения из [1—3]. Пусть £
-
множество всех формул логики первого порядка некоторой сигнатуры а) записанных в предваренной нормальной форме. Пусть Сг £ {V, 3}, С» ф Ci+\ для г G { 1 , . . . ,р - 1} и пусть г, s,t € {0,1}. Определим язык С\*. .Cp-nrAsV* из £, где 2 1 = г и z° — пустой символ для z Е {-и, Л, V}, сле дующим образом. Во-первых, блочная схема кванторной приставки каж дой из формул С\.. .Срп Г А8 V* является подсловом слова С\.. .Ср. Вовторых, каждая из связок ->, Л, V допускается в бескванторной части
696
Ю. В. Яагребецкая
этих формул, если соответственно г = 1 , 5 = 1 , £ = 1 , и н е
допускает
ся, если соответственно г — О, s = 0, t = 0. Через -i r Л* V* обозначается бескванторный подъязык языка V-ir Л5 V*, через ш-»г А8 V* — объедине ние (J С\ .. .C p -i r Л* V*, а через б — слово -» Л V. В теореме 3 фигурируют языки первого вида, а именно: V-»1 Л° V1 = V-»V, 3-п1 Л1 V0 = 3-iA, V 3 - 0 Л° V0 = V3, 3Vi° Л° V0 = 3V. Семейство SA всех языков вида С\ . . . Ср-\т А8 V*, ->г Л* V* и ш-пг Л* V* упорядочим по включению и назовем схемно-альтернативной
иерархи
ей языков. Более бедной по сравнению с этой иерархией языков является схемная иерархия — семейство S всех языков вида С\. • .Срв и ъив, упоря доченное включением. Для языка L E SA (S) и класса К алгебраических систем сигнатуры а через LK обозначается теория языка L класса К, т. е. совокупность всех предложений из L, истинных на К.
Схемно-алъ-
тернативной (схемной) иерархией теорий класса К называется частично упорядоченное множество НК = ({LK \L£H};
С), где Я = SA (Я = S).
Теория LK 6 SAK называется Н-критической, если она является мини мальной в НК неразрешимой теорией. Границей разрешимости относи тельно иерархии языков Я класса К называется множество Ън(К)
~ {L £ SA | LK является Я-критической теорией}.
Нахождение границы разрешимости класса К означает установление полной в рамках иерархии Я алгоритмической картины для К, поскольку теория LK £ НК будет разрешимой тогда и только тогда, когда L ^ L\ для любого языка L\ G Ън(К). Пусть даны языки L b L2 € SA сигнатур а\, а2 и алгебраические системы Аг T=t (Ai\o\)
и А 2 ^ (Л2;сг2). Будем говорить, что теория LiA±
интерпретируема в теории L2A2, и использовать запись L\AX •< L2A2, ес ли существует алгоритм, который по каждому предложению v сигнатуры G\ языка L\ строит предложение v* сигнатуры а2 языка L2 так, что Аг |= и тогда и только тогда, когда А2 (= И . Если теория Ь\АХ интерпретируема
О граничной эквивалентности колец и матричных колец в теории £ 2 А 2 ,
то из
697
неразрешимости первой вытекает неразрешимость
второй. Введем следующие обозначения:
Si € {±1} 1, Мп ^ | j S . - e * е{ Е {0,1} | • V *=1
Обозначим J?i ;=± (R;
А2 ^ (А2]о2)
~~ алгебраические
системы и
Qi*--QiOA2
(2) ^siAz)-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть одна из элементарных теорий £АХ и 6А2 разрешима. Тогда из (1) и (2) следует разрешимость другой теории. Следовательно, можно считать, что £Аг и £А 2 одновременно неразреши мы, т.е. Ъ$(Аг) / 0 и Ъ3(А2) ф 0 . Покажем, что Ъ${А\) Q <%s{A2). Пусть язык Qi.. .QiO Е SA принадлежит границе разрешимости Ъз{А1). Следо вательно, теория Qi.. .Qi9Ax неразрешима. В силу (1) теория Q\..
.Qi9A2
неразрешима. Если / = 0, то Q i . . .Qi0A2 = вА2, а вА2 Е Bs(A 2 ). Пусть I ^ 1, тогда теории Q\ .. .Qi-~i0A_} и ~»Qi...~^Q/-i^^i> покрываемые в ие рархии SA теорией Q\ .. .Qi9A\i разрешимы. В силу (2) разрешимы теории Qi .. .Q/_i#A2
и
чение Ъ${А\)
С 235(А2) доказано. Аналогично доказывается включение
^siAi)
~'Qi • • ^^Qi-i^Ai-
Значит, Q i . . -QiOAi £ ^ s G ^ ) »
и
вклю
С ®sGii)- Лемма 1 доказана. Теперь покажем, что справедлива Л Е М М А 2. Пусть R — целостное кольцо или тело. Тогда Ъ$^) —
698
Ю. В. Нагребедкая ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как сигнатура ао является обеднением
сигнатуры <хь то Q i . ..Q\9R •< Q\. ..QrfRi для любого языка Qi .. .Qi9 Е E SA, где Q, E {V, 3}. В силу полноты элементарных теорий £i?,
tR\
истинно ( Q i . . .QiORi < Qx. ..QiOR) 4Ф (-Qi .. .-.Qjflfli ^ -.Qi. . .-iQ,ftR). В силу леммы 1 для доказательства леммы 2 достаточно проинтерпрети ровать теорию 3^2 • • .QiOR\, где / ^ 1, в теории Э<22 .. *Qi9R. Поскольку R — целостное кольцо или тело, то для произвольного е 6 R выполняется: е 2 = е тогда и только тогда, когда е = О либо е = 1. Пусть С — про извольное предложение сигнатуры <7i языка 3Q2-..Qi9
Е 5А. Построим
предложение £* ^± Зе (е2 = е Л 2е ^ е Л С), где £ получается из £ заме ной всех вхождений константы 1 на переменную е. Ясно, что, формула С* эквивалентна в R формуле 3exQ2y...Qiz(e2
= е Л е ^ 0Л£(ж, у , . . . , 5 » ) ,
где £(ж, у , . . . , г, е) — бескванторная часть формулы £. Таким образом, можно считать, что предложение £* сигнатуры сто принадлежит языку 3Q2 • • .Q/0. Очевидно, R\ \= ( <£> R \= (*, следовательно, 3Q2 • • .QiORi < •< ->Qi .. .-^Qi6R, что и требовалось доказать. Лемма 2 доказана. Элементарная теория любого кольца из множества 51 ^± {{RnXn; cr0), (i2 n X n ; cTi), (RnXn;aoU
{e,j})} полна. В силу лемм 1 и 2 для доказатель
ства теоремы 1 достаточно показать, что Qi .. -QiOX -< Qi.. .QiORi и Qi .. .Q{6R •< Qi., ,Qi9X для любого Х Е Ж И любого языка Q i . . .Q/# E Е 5А. Первое очевидно, покажем второе. Для этого нам потребуется Л Е М М А 3. Пусть D — тело нулевой или нечетной характери стики, Гц,... ,г* Е End(D n ) (n ^ 1), г 2 = г,, T{Tj = туг,- для любых i,j Е {1,. •. , &}. Тогда существует базис Ъ ^ (Ь 1 ? ... , Ъп) пространства Dn, в котором эндоморфизмы Т\,... , т^ представимы матрицами из 3dn. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Известно [5], что для любой инволюции g E Е End {Dn) существует базис, в котором Q представлена матрицей из Ъп.
О граничной эквивалентности колец и матричных колец
699
Индукцией по к легко доказать: для инволюций £ь . . . ,Qk € End (Dn) та ких, что QiQj = QjQi при любых i,j £ { 1 , . . . , А:}, существует базис 3 , в котором g i , . . . , £& представим!ы матрицами из D n . Применяем это утвер ждение к инволюциям Qi т- 2т{ - 1. Поскольку D — тело нулевой или нечетной характеристики, то эндоморфизмы г,- = (#; + 1) 'З"" 1 существуют и, очевидно, представимы в базисе Ъ матрицами из 3d n . Лемма 3 доказана, Пусть R - целостное кольцо или тело, характеристика которого — нулевая или нечетная. Хорошо известно [6], что целостное кольцо вложимо в некоторое поле. Далее через F обозначается либо кольцо Д, если R яв ляется телом, либо поле, в которое вложимо Д, если R — целостное коль цо, Для х £ RnXn
через х обозначается эндоморфизм пространства F n ,
соответствующий матрице х в каноническом базисе правого векторного пространства F " . Напомним, что мы интерпретируем теорию Q\.. .QiOR в теориях Qi.. *Qi6(RnXn\ <70), Q\.. ,Q\B(RnXn\ cri). Достаточно показать, что Q1.. .QidR
.Qie(RnXn;aQ)
для любого Qi...Qi0
£ SA. Выде
лим в кольце (i? nXn ;oo) скалярные матрицы формулой языка 3-iA E 5A. Пусть \
Vi(d) ^ ( Д ^ = * I М"=1
/
л
d d
d
| Л « i= i* ) \ «,7 = 1
/
л
d
I Л *^ i \ i,j-l
)
где d ^=± d i , . . . , d /in , ju„ = |3d n | = 2 n . Если Д п Х п ^= ^ ( d ) , то по лемме 3 су ществует базис Ъ пространства F n , в котором эндоморфизмы d x , . . . ,d Mn представимы матрицами d'v . . . , d^n такими, что {d[,...
, d^ n } — 3d n . Да
лее, пусть
<Р2$ - Md) Л ( Д ( Л * d> = * ) Л 2rfi ^ * ) " Если RnXn тором
\= lp2{d)1 то существует базис пространства F n , в ко
d i , . . . , d^n
представимы
такими
матрицами
d' l5 ... , d^n, что
{d' l 5 ... , d^ n } = 3dn и dj = e n , . . . , d ' n = enn. Действительно, пока жем сначала, что в построенном базисе Ъ выполняется {d' 1} ... , dfn} = = { б ц , . . . , епп}. В противном случае из равенства \{dfv . . . , d^}| = n еле-
700
Ю. В. Яагребецкая
дует существование г 6 { 1 , . . . , п} такого, что d\ 0 {е 1 Ь . . . , епп}. Поскольп
ку di — ненулевая матрица, то d{ = е** + ец +
]Г) eiea Д л я некоторых
fc, / 6 { 1 , . . . , га}, к ф I, Si Е {0,1}. Тогда с^е** = е ^ ^ ^п следовательно, { d i , . . , , d n } = { e n , . . . , e n n } . Используя подходящую перестановку эле ментов базиса В, получаем искомый базис. Матрицы aieij, a ^ e ^ , г Е { 2 , . . . ,га},a, 6 F можно выделить отно сительно констант бц, е„ при помощи следующей формулы: V>3(а?)!/»сИ)с«) ^
( е п £ = хАхец А уеп = уАху
= хЛецу = у = еп)-
Пусть
где s ^ S 2 " - sn» ^ ^ *2 • • -'n- Если i2 n X n f= y>4(d, s, £), то существует базис В пространства F n , в котором эндоморфизмы c?t-, 5j, £,- представимы такими матрицами dj, s{, £-, что {d' x ,... , d^J - 3dn, di = е;,-, « б { 1 , . . ч п } , s,- = QftCii, £,• = a f ^ i i , г £ { 2 , . . . ,га},для некоторых a 1? a^» • • • »<*n G f • Легко убедиться, что справедлива следующая Л Е М М А 4. Если матрица х Е FnXu
перестановочна с каждой из
матриц ец} Oij€\j} i Е { 1 , . . . , n}, j £ { 2 , . . . , n}, для некоторых aj £ F , mo x — скалярная в FnXn
матрица.
Пусть R — целостное кольцо нулевой или нечетной характеристики, ср(х) ^±3d3s3ti
tp4(d,s,i) А I Д же/,- — d{X 1 Л [ Д xsi = 5»ж J J .
Тогда (Д п Х п |= у>(ж)) <£> (х - скалярная в Д п Х п матрица) . Действительно, пусть RnXn
[= у>(я). Тогда найдется базис В пространства
ri
F , в котором эндоморфизм х представим скалярной матрицей. Следова тельно, эндоморфизм х представим скалярной матрицей в любом базисе, а значит, х — скалярная в й " Х п матрица. Обратно, пусть х — скалярная матрица, х £ RnXn;
тогда, взяв в качестве d b . . . ,с?йп матрицы из Д п Х п ,
О граничной эквивалентности колец и матричных колец
701
для которых di = e»t, г € { 1 , . . . , п}, и {d b . . . , й^п} = 3dn, а в качестве s,-, U — матрицы ец, e t l , i , i € { 2 , . . . , п}, будем иметь RnXn
j=
доказана. Пусть теперь R — тело нулевой или нечетной характеристики. По строим формулу ф{х), х ;=- хх,..хгп,
такую, что RnXn
[= ф{х) тогда и
только тогда, когда существует базис Ъ пространства i? n , в котором эндо морфизмам £ i , . . . , хт соответствуют матрицы £ i e i b . . . , £ m £n Для неко торых £ i , . . . , £ т € -R. Выше нами приведена формула
где z ^± z\...zm.
Тогда ф(х) — искомая. Действительно, пусть RnXn
j=
|= ф(х). В базисе 23, который определен по формуле (/^(d), пусть эндо морфизмы ж,- и г,-, представимы матрицами ж£ и zj, г 6 { 1 , . . . , т). Тогда х[ = е ц ^ б ц = &ец, где & - элемент матрицы г-, стоящий на (1,1)м месте. Обратно, пусть существует базис В, в котором для каждого i G { 1 , . . . ,?г} эндоморфизм Х{ представим матрицей ^,-ец для некоторо го & € R. Выберем матрицы /
ь
. . . , /^ п так, что {/i,... , /„„} = 3dn и
/ i = в ц , . . . , / п = е п п . Пусть матрицы /
ь
. . . , / й п , хъ . . . , хт представля
ют эндоморфизмы / i , . . . , / P n , S i , . . . , ж т в базисе Ъ. Тогда, выбирая в ка честве матриц d\y... , dAln матрицы эндоморфизмов / i , . . . , / й п в канониче ском базисе, а в качестве z\y...
, zm — матрицы эндоморфизмов # i , . . . , ж т
в том же базисе, получаем требуемое. Пусть теперь R — произвольное ассоциативное кольцо с единицей. Обозначим R"jn
?=± (RnXn;a0
U {е^}), i,j € {1, . . . , п } . Докажем, что
Q\. ..QiOR •< Qi. . .Qj0i2"*n для любого языка Q i . . . Q ^ E 5 А и любых b i ^ {!)••• i n } ' Д л я построения искомой интепретации достаточно каж дой атомарной формуле д(х) сигнатуры <7о поставить в соответствие ато марную формулу д*(х) сигнатуры оо U {е^} так, что R (= д(х) <£> Щ^п N
702
Ю. В. Яагребедкая
Q*(x). Пусть д(х) ^ (д(х) = h{x)), где #(:?), /i(x) — многочлены с целы ми положительными коэффициентами от переменных х ^± х\.. . ж т . Если г = j , то £*(£) т± (д{ецхец) = к(ецхец)), где е^-яе;; ^ ецх\ец
...ецхтец.
Если г 7^ J, то £*(£) ^± (д(е{3х)е^ = /i(e t j£)e t j), где e t j£ ^± eya;i.. .е^ж га . Теорема 1 доказана. Мы доказали 5-граничную эквивалентность пар колец (Л; <70) и (Л
пХп
; do); (Я; яч) и (Д п Х п ; о^) для целостного кольца Д нулевой или нечет
ной характеристики (т. е. для коммутативного кольца, вложимого в поле, характеристика которого не равна 2, см. [6]). Оказывается, эти же равен ства можно доказать для более общего класса колец. Коммутативное ассоциативное кольцо F с единицей назовем специ альным локальным, если оно является локальным (см. [7]) кольцом с нильпотентным максимальным идеалом / и элемент 2 (= 1 + 1) обратим в F. Поскольку кольцо F/I является полем [7], то можно считать, что класс всех специальных локальных колец содержит класс всех полей, характери стика которых не равна 2. Значит, класс колец, вложимых в специальные локальные кольца, содержит класс целостных колец нулевой или нечетной характеристики. Известно [7], что свободный F-модуль М ^± Fn облада ет следующими свойстами: все базисы модуля М имеют одинаковое число элементов; из любой системы порождающих модуля М можно выбрать базис в М; любую линейно независимую систему в М можно дополнить до базиса в М. Справедливо обобщение утверждения теоремы 1 для целостных ко лец. Пусть кольцо R вложимо в специальное локальное кольцо. Тогда пары колец (R;
И
(RnXn^i)
будут 5-гранично эквива
лентны. Перечисленные выше свойства модуля М позволяют применить до казательство рассматриваемых равенств для целостных колец к доказа тельству этих же равенств для колец, вложимых в специальные локальные кольца. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 2. Пусть Ru ^
(Я;<ти), где аи ;=±
;=±
I
VQ2 • • •
703
О граничной эквивалентности колец и матричных колец .^QiSRu
для любого и е
Я\{0}, где I ^
1, VQ 2 .*.Q/0
б
SA]
(б) Qj .. .QrfR * Q\ • ..QiO№n(R) Для любого языка Qx.. .Qrf 6 SA. Яс но, что из бого Q\...QiB
(а) будет следовать Q\ .. .QieMn(R)
•< Qi. >.Qi6R для лю
£ SA. Действительно, в силу (а) для любого предложе
ния £ сигнатуры (JQ языка VQ«2 • • -Qi& существует предложение С* сигна туры au того же языка и такое, что Mn(R) бого и е. Л\{0}. Тогда Mn(R) ~~
u
(= С & Ru И С Д л я
\= (; <& Ru \= С*, где С* ^
лю
~
Vu(2u =
V Си) ~~ предложение сигнатуры сто языка VQ2 • • -Qi6> Таким обра
зом, VQ'2 •. *Q/#M n (^) ^ VQ2 • • -Qi^R* В силу полноты элементарных теорий £М„(Я) и £ й имеем 3-iQ2 • -^ЯФКп{Щ вательно, Qx. ..Qi9Ain(R)
< 3~<Ь . ..-*Qi6R. Следо
< Qi . ..QiBR для любого Qi .. .Q/0 £ 5 A Из
(б) и леммы 1 вытекает равенство Ъя(Мп{К))
= 33s(R).
Докажем (а). Зафиксируем ^ 6 Д\{0}. Сначала рассмотрим случай, когда char R > п или char R = 0. Для произвольных к 6 R и m £ N введем обозначения *^(&) ^ & = m-tt, ^w(fc) ?=* Д
*4Ч*0- Каждой формуле <^(ж)
сигнатуры <7о сопоставим формулу
i{x) сигнатуры au — в соответствии со следующей таблицей ХцХп
х= у
. • . ЖЫЯ21&22 . . . Х2п • • •
fC^, — /Су /\ 1>х — ^у /^
(1)
Л К"(Ыл^(У) CfesCn
™» ж + 2/ = гг
Хппкх1х,
Л 1 ^fcj ,&2 «*3 ^
п
Л
&у = у«
(2)
[ К (**) л »Ъ (fc„) л z^3 (fc,) л ^ (zx)
Л^|" (/») Л !/£(/,)) -»• ((fc3 = max{fcb fc2}) Л(/ 3 = max{/i,/г}) Л Zy = x(h - k2)x(h - Ь ) х x (a;4J + х(Лг - i)x(h + X(*i - h)x(h
j)yij)+
- /1 - l)(x(fi -
j)xij+
+ x(h - *)уц) 4- x{h - h - l)x{h - /i)x X (x(fci - *)*o + X(h - j)Vij) + x(h - fci - 1) x X x(/ 2 - h - 1) (х(^1 ~ i)x(h ~ J)xij + Vij))]»
(3)
704
Ю. В. Нагребецкая
^(УА^(ул^3(У
Л
х•у= z
Л ^ (/*) Л !/£ ( У Л vft (/,)) -> (А3 = kxhh
= l2
min{fc2>fi}
л
Л
Е
*••* • уц = %
(4)
Ki^2
(5) (6) 3x
Зж И а?12 • • . ^ l n ^ 2 1 ^ 2 2 • • • Ж2п
'
^ПП^Х^Х
К ( ^ х ) Л 1 / „ ( У Л^1, м ), Vx
V x n X 1 2 . . . XinXnX22
>-.Х2п
(7) • ^пп^х^х
К(& ж ) Ai/„(/ x ) -> ¥>£,„),
(8)
где знак * заменяет символы Л, V. Переменные ж ц , . . . ,х„„ интерпретируют элементы матрицы, а кх, 1Х — ее размеры. Нетрудно убедиться, что для любого предложения <р языка VQ2 • • • QiQ € SA сигнатуры GQ и для любого и G Д\{0} предложение V?* сигнатуры <7W, построенное при помощи таблицы, принадлежит языку VQ2 - —QiO и (М п (Д) (=<£>)<£> (Д„ [= <£*). Таким образом, (а) доказано нами для случая char Д > п или char Д = 0. Пусть теперь 2 ^ сЬагД ^ п. Обозначим д ^ с Ь а г Д — 1 и рас смотрим представление числа п = nogrf + n\qd~l + . . . + rtd-iq + nd, где n o , . . . , rid £ { 0 , 1 . . . , g — 1}, в g-ичной системе счисления. В каждой стро ке приведенной выше таблицы в <7и-терме заменим каждую переменную тх на набор переменных тх...тх\
а каждую формулу v%{m) — на
формулу M^,n1,..f^bn(^(°)i^(1).-^(d))-
(n = n0qd1+nlqi-l
+ ... + nd-1q + nd)A[
Д
<(™(t))h
Как и выше, можно показать, что и в этом случае VQ2. •'QiOM_n(R) •<
О граничной эквивалентности колец и матричных колец изоморфное
Д, средствами
языка
36
Е
SA. Введем
705 семейство
{^*(ж) | t Е { 0 , . . . , п — 2}, s Е {0,1,2,3,4}} формул сигнатуры <70 языка -V\, где ж ;=± Жцжхг • • -#in • • -%nni следующим образом: <Ро(я) ^ (
Л
2яц = «и I Л
у)* (f) ^± <^(£) Л I
Л
<р*2(х) ^
Л
<^*(ж) Л (
ф*3(х) ;=± <р*2(х) Л (
¥>£(£) ^ <£>£(£) Л |
ж
и т^ 3fcj
Xn-t,n~t + Xkl = Яп_*,п_4
х
кГ
Л
%n~t,ri-t Ф
Xn-ttn-t
S n - t - l , n - t + Sfc/ = Xn-t-l,n-t
/\
(fQ+1(x) т± <р\(х) Л I
Л
J,
Xn-.t-iin-.t • Ж*/ ^ :Zri„t~l,n-t
Л
x
ki + a n -t-i,n-t-i = z n _ t -i, n _ t _i
Пусть 0&j, &,/ E {1, . *. ,ft},— нулевая матрица размера к х /. В алгебре M n (i?) индукцией no £ можно показать, что Mn(R)
\= <^(х) Ф> ((t.0) : {Жы | 1 0 , U * - «} = {©w I 1 < * , U
<С п — £}, и если t ^ 1, то выполняется (t — 1.4)); М__п{Щ [= ¥>i(x) <£> ((*•!): выполняется (t.0) и # п п = 0 П П ); M_n{R) (= v?2(^) ^ ((^2)' выполняется (£.1) и {ж^ | l ^ / c ^ n — t — 1, 1 ^ 1 <$ п - «} = {вк1 | 1 ^ Л ^ п - t - 1, 1 ^ / ^ ft - t » ; Mn(R)
[= ^з(^) ^
((^3)* выполняется (£.2) и х п _^_1 ?п _ 4
=
M_n{R) |= ¥>4(^) ^ ((*-4): выполняется (£.3) и {а?м | l < f e ^ 7 i - t - l , l ^ Z ^ n - t - l } = { 9 W | 1 ^ к < ?г - t - 1, 1 <$ / < ft - 1 - 1}). Таким образом, при помощи формулы (р2~~2(х) выделили, в частно сти, матрицы © и , 012, 021, ©22» Легко проверить, что матрицы из мно жества R1 x l можно выделить посредством формулы (p(z) ^± Зх({р1~2(х) A z + х\2 Ф z A z + #21 Ф *)•
706
Ю. В. Нагребецк&я
Итак, искомая интерпретация построена; (б), а вместе с ним и теорема 2 доказаны. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 3. Теория 3AVM n (Z) разрешима, так как сигнатурные константы отсутствуют и в основном множестве M n (Z) содержится матрица в п Х п - Покажем, что теория VA VM n (Z) тоже разре шима; используем для этого интерпретацию последней в теории V Л VZi. Рассмотрим произвольное предложение ip ^ V хд(х) сигнатуры <т0 языка V Л V, где х ;=± Х\ .. . # т , д(х) — бескванторная фомула. Предложению <ри при интепретации теории VAVM n (Z) в V0Zu, где и == 1 (см. доказательство теоремы 2), соответствует предложение <р* сигнатуры а 0 вида 2р
<£>* ^=± \/у Vm
/
1=1
п
1
Л
Л (^пД^«) -> £пЬ...,П2р
\l^ni,...,n2p^ni=l
(1,1) (1,2) х
2р
Д ^(W|) -* I (пуп) ж
••• 1
(1,1) Х
••• Р
^ та), ^Аг(таг) ;=* ( т = fc), a ^
(п,п) Ж
•• • Р П2
-* __, '
m
^
/ m
т
\ __W ш
i • • • 2р? ^ ( ) ^
/ (га <С
~ атомарная формула сигнатуры
<7i. При этом выполняется (M n (Z) [= <£>u) <=> (Zi j= у?*). Очевидно, что формула (р* эквивалентна в Zi формуле
Ф*-Чу[
Л
^,...,П 2Р (У)
которая является формулой языка \/Л V. Следовательно, V Л VM n (Z) ^ •< V Л VZi. Теория V Л VZi разрешима [1], значит, разрешима и теория VAVM n (Z). Таким образом, для доказательства теоремы остается показать неразрешимость теорий языков V3, 3V, V-Л/, 3-нЛ алгебры M n (Z). Кольцо (Z; (То) интерпретируется в М_п{Ъ) формулой языка Зв (см. доказательство теоремы 2), Поскольку теория 3-п Л Z неразрешима [1], то неразрешима и теория 30M n (Z), а в силу полноты теории £M n (Z) неразрешимы и те ории 3-1 Л M n ( Z ) , V-i V M n (Z). Покажем теперь неразрешимость теорий языков V3, 3V алгебры M n (Z), Для этого проинтерпретируем неразреши мую теорию 3Zi [1] в теориях V3M n (Z) и 3VM n (Z). Нам понадобятся две леммы. Всюду ниже в ^ (0)пХп- Пусть д(х), h(x) ~ произвольные много члены с целыми положительными коэффициентами от переменных х ^=±
О граничной эквивалентности колец и матричных колец ^=± Х\.. ,хт. Обозначим через С(^, у), С (а, у), г Д е ^ ^
707
a a
o i • • -^2п~ь У ^
^=ь г/1 .. ., у т , соответственно формулы Д
(а5у^ + у* = ytas + yt) Л (aQg(y)a0 =
a0h(y)a0),
«€{!,.. ,2n-t} t € { l , •• ,m}
Л
(а«У* + У* + в = y f a s + yt + 6)
*€{!,.•. , 2 n ~ l } t€{l,-.. ,™}
A(a 0 y(y)a 0 + 0 = a0g(y)a0 + 0 ) . Л Е М М А 5. Яуетпъ (1) Z ( = 3 ? j ( f ) = Л(*); (2) M n (Z) h 3yVaC(a,y); (2') M n (Z) [= 3y VffC(S,y); (3) M n (Z) h Va3yC(
+ yt. Таким образом,
справедливо утверждение (2). Легко понять, что из (2) следует (3), а из (2/) следует (3'). Поэтому осталось показать импликацию (3') ==> (1). Пусть справедливо (3'). Возьмем в качестве ai, а г , . . . , «2n-i матрицы ец, в22? • • • ? ^nm ^12? ^13,... , ei n , соответственно, а в качестве UQ — матрицу Е. Зафиксируем * 6 {1,
, гп}. Пусть yt Е Ъкх1 и yt = у* + 0 . Поскольку
а, 6 Z n X n для любого s Е { 1 , . . . , 2п - 1}, то [asyt + у* + 0 = J/tfle + + yt + 0] ^> [a8yt + у* = &ав + У*] <£> asyf = у*а5. Нетрудно убедиться, что уг = r^i? для некоторого % £ Z. Следовательно, yt — ^J5 = y t . Из Ед(щЕ7...
,7]mE)E + 0 = Ек(тцЕ,...
,7]rnE)E + Q имеем у(т?) = /1(77), где
гу ^± гд . , . r/w. Лемма доказана. Заметим, что предложения из (2) и (3) являются предложениями сигнатуры (То языков 3\/Л, УЗЛ соответственно.
708
Ю. В. Яагребецкая Пусть к Л M2,j/) = v8{a,y),
фх ^±ЗуУа
к ф2 — V a 3 y Л из{а,У) =
v8(a,y),
8-1
к Д Ы а , у) + О = и, (а, у) + G),
фг^ЗуУа
^ 2 — У а З у Л К ( « , у ) + © = ^s(a,y) + 0 ) , где а ^ ai . . . a m , у ^ у ! . . . y m , a u8(a,y), v8(a, у) — многочлены с целыми положительными коэффициентами от переменных a i , . . . , a m , j / i , . . . , y m . Пусть также ф(а, Ь, у)
^± ^ ! (о, b,y) = w2(a, Ь, у),
$(а, Ь, у)
^
ti;i(a, Ь, у)
^±
£
£
w2{a,b,y)
^±
J2
12
Ш!(а, Ь, у) + G = w2(a, ft, у) + в , [(^i,^(a, y)6ji) 2 + (buvs(a, y)bji)2} > [bii{u8{a,y)bjibiiv8(a,y) +v s (a, у)ЪцЪци8{а, у)) bjX],
6
^±
6iibi2...fci n b2ib3i...bni-
J I E M M A 6. Справедливы следующие импликации: (1) [M n (Z) h tfi] => [M n (Z) И 3yVaV6^(a,&,y)],
(2) [мп(ъ) и ^2] =» [Mn(z) И vsvbaу^(г,ь,у)], (10 [Mn(Z) И 3yVaV6^(a,6,y)] => [ M J Z ) h
Ы
(20 [ ^ ( Z ) (= VaV63y^(a,b,y)j =* [M„(Z) h &]• ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Импликации
(1) и (2) очевидны. Пока
жем (]/). Пусть для любых кортежей а Е (M„( z )) m > Ь Е ( M ^ Z ) ) 2 " " 1 су ществует кортеж y-g E (M n (Z)) w такой, что истинна формула ф(а) 6, Уз?)Возьмем в качестве b кортеж матриц е ^ е ц е ^ .. .ei n e 2 i€3i.. . e n i- Лег ко понять, что равенство u?i(a, ef, у ^ ) -f 0 = ^2 (5, ?, у ^ ) + в сохранит ся, если слова и8(а,уа^) и v8{a,y^^) заменить на выражения й«(а, уг?,^) ^ ^ и8{а,уа,г) + О и vs{a,ya^)
^± v8(a,ya^)
+ ©• Поскольку й в , й, Е Z n X n ,
справедливо равенство ф{а,уа,е)^=±
]П
]Г
[еь-(й в (а,у а ^) ~ ^ ( а , y ^ ) ) e j l ] 2 = 0 .
О граничной эквивалентности колец и матричных колец Пусть rs ?± й8 - й„ и пусть г8 = eiirs£j\
709
(/3^) пхп , 5 6 { l , . . . , f c } . Тогда
= /Зу, и поэтому из равенства $ (а, уа,е) следует, что для каждо
го s 6 {1?.-. , &} и любого а <Е (M ri ,(Z)) m имеем г8 — О. Следовательно, и в (а, Уа^) + © -- ^«(«1 Уа,ё) + G и, таким образом, M n (Z) |= 0i. Аналогично доказывается импликация (2'). Лемма б доказана. Покажем, что 3Zi •< 3VM n (Z). Пусть v ^ Зж(у(ж) = ^(^)) ~ про извольное предложение языка 3 сигнатуры а^ где д(х), h(x) — много члены с целыми положительными коэффициентами от переменных х
^
^± х\.. ,хт. По предложению v в соответствие с леммой 5 построим бес кванторные формулы С(^?У) чим -01 ^
и
С № У ) языка Л сигнатуры <7Q. Обозна
3yVa£(a, у), ^ i ^± 3yVaC(a, у)* По лемме 5 M n (Z) |=
и M n (Z) f= ^ i . Теперь, воспользовавшись леммой 6, по ^>i и ^
^
строим
атомарные формулы ф(а1Ь1у) и ф(а,Ь,у) сигнатуры <т0. Из истинности импликации (1) леммы 6 следует, что Мп(Ъ) (= ЗуVа\/Ьф(а, 6, у). Обо значим г/* ^=± ЗуУаУЬф(а, Ь, у). Таким образом, в силу Ъ\ \=^ v имеем M n (Z) (=•!/*. Обратно, пусть М п (^) N */*- Тогда справедливо M n (Z) \= |= 3 y V a V 6 ^ ( a , 6, у). По утверждению (]/) леммы 6, M n (Z) [= ^ . Значит, выполняется утверждение (2') леммы 5, поэтому Zi f= u. Следовательно, 3Zi -< 3VM n (Z). Аналогично доказывается и 3Zi -< V3M n (Z). Теорема 3 доказана. В заключение автор выражает признательность Ю. М. Важенину за постановку задач и большую помощь при подготовке статьи.
ЛИТЕРАТУРА 1. Ю', М\Важенин, Критические теории, Сиб. матем. журн., 29, N 1, (1988), 23-312. Ю. М. Важенин, О границах разрешимости матричных колец, Вторые ма тем, чтения, поев, памяти М. Я. Суслика, Саратов, 1991, 82. 3. Ю. М. Важенин, Ю. В. Нагребецжя, О границах разрешимости колец це лочисленных матриц, Межд. алгебр, конф., поев, памяти Д. К.Фаддеева, Санкт-Петербург, 1997, 178.
710
Ю. В. Нагребецкая
4. Ю. В. Нагребецкая, О совпадении границ разрешимости колец и матричных колец над ними, Межд. алгебр, конф., поев, памяти А. Г.Куроша, Москва, 1998, 193-194. 5. Ж.Дъедонне,
Геометрия классических групп, М., Мир, 1974.
6. И. Ламбек, Кольца и модули, М., Мир, 1974. 7. Н. Бурбаки, Коммутативная алгебра, М., Мир, 1971.
Адрес автора: НАГРЕБЕЦКАЯ Юлия Вацлавовна, РОССИЯ, 620073, г. Екатеринбург, ул. Луначарского, д. 167, кв. 13. Тел.: (3432) 24-46-20. e-mail: [email protected]
Поступило 17 ноября 1998 г. Окончательный вариант 10 ноября 1999 г.
