Алгебра и логика, 42, N 4 (2003), 391—412
УДК 510.5+510.67
КОНСТРУКТИВНЫЕ И НЕКОНСТРУКТИВНЫЕ БЕСКОНЕЧНЫЕ ФОРМУЛЫ В ВЫЧИСЛИМЫХ МОДЕЛЯХ∗) П. Е. АЛАЕВ
Если фиксирован некоторый вычислимый язык L, то любую Lω1 ω формулу, сложность которой является конструктивным ординалом, можно представить в виде дизъюнкции конструктивных (вычислимых) Lω1 ω формул с точностью до эквивалентности в классе всех вычислимых моделей языка L, основываясь на идеях из [1]. В данной работе рассматривается вопрос о том, как связаны сложность исходной формулы и сложность соответствующих вычислимых формул, дается точная оценка возрастания сложности. Подобная проблема возникает и при переходе от произвольного семейства Скотта из Lω1 ω -формул к вычислимому семейству Скотта в фиксированной вычислимой модели M. Вычислимые семейства Скотта оказались интересным объектом при изучении ∆0α -категоричности вычислимых моделей. В работе также указывается точная оценка скачка сложности и в этом случае, что отвечает на вопрос из [2].
§ 1. Сведение неконструктивных формул к конструктивным Пусть L — произвольный язык. Формулы языка L в данной работе — это формулы логики Lω1 ω , в которой, кроме обычных способов обра∗)
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект N 99-01-00485, и
ИНТАС-РФФИ, проект N 97-139. c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2003
392
П. Е. Алаев
зования формул 1-го порядка, могут использоваться также дизъюнкции и конъюнкции счетных множеств формул. Нас интересуют лишь формулы с конечным числом свободных переменных. В Lω1 ω можно ввести несколько способов оценки сложности формул. Будет использоваться тот, который наиболее тесно связан с вычислимостью и теорией вычислимых моделей: для каждого ординала α вводятся классы Σα и Πα следующим образом. Конечные бескванторные формулы W образуют класс Σ0 = Π0 . При α > 1 в Σα лежат формулы вида ∃y¯i ψi , V i∈I где ψi ∈ Πβi , βi < α. Класс Πα образуют формулы вида ∀y¯i ψi , где i∈I
ψi ∈ Σβi , βi < α, класс ∆α — те формулы из Σα , для которых есть эквивалентные им из Πα . Любая формула ϕ из Lω1 ω обладает эквивалентной ей ϕ′ , лежащей в Σα для некоторого счетного ординала α.
Другой объект нашей работы — конструктивные бесконечные формулы языка L, образующие подкласс в Lω1 ω . В этом случае L уже должен быть вычислимым языком, т. е. вида {S0 , S1 , S2 , . . .}, где сорт и местность символов Si задаются вычислимой функцией f (i). Строгое введение конструктивных формул требует построения системы обозначений, подобной системе обозначений для ординалов, см. [3]. Хорошим источником по данной теме является также [4]. Для каждого конструктивного ординала α можно построить множество обозначений и функцию, которая каждому обозначению сопоставляет Σα -формулу. Такие формулы образуют класс Σrα конструктивных Σα -формул. Аналогичное можно сделать для Πα , класс конструктивных Πα -формул обозначим Πrα . Класс ∆rα образуют формулы из Σrα , эквивалентные некоторой Πrα -формуле. Вычислимая модель M вычислимого языка L — модель, носитель которой — вычислимое подмножество в ω, а {Si }i∈ω — вычислимое семейство вычислимых объектов. Пусть CSL — класс всех вычислимых моделей языка L. Если ϕ(¯ x), ψ(¯ x) — формулы языка L, то запись ϕ(¯ x) ∼CSL ψ(¯ x) означает, что ϕ(¯ x) и ψ(¯ x) эквивалентны в классе CSL, т. е. в любой вычислимой модели языка L эти формулы истинны на одних и тех же наборах.
Конструктивные и неконструктивные бесконечные формулы
393
ТЕОРЕМА 1. Пусть L — некоторый вычислимый язык, ψ(¯ x) — произвольная формула из Lω1 ω , β — некоторый конструктивный ординал, λ — предельный конструктивный ординал. W
i∈I
(1) Если ψ(¯ x) ∈ Σβ+1 , то ψ(¯ x) эквивалентна в CSL формуле вида ψi (¯ x), где ψi ∈ Σr2β+1 . (2) Если ψ(¯ x) ∈ Σλ , то ψ(¯ x) ∼CSL (3) Если ψ(¯ x) ∈ Σβ , то ψ(¯ x) ∼CSL
W
i∈I V
i∈I
ψi (¯ x), где ψi ∈ Σrβi , βi < λ. ψi (¯ x), где ψi ∈ Σr2β . V ψi (¯ x), где ψi ∈ Πr2β+1 .
(1′ ) Если ψ(¯ x) ∈ Πβ+1 , то ψ(¯ x) ∼CSL Vi∈I (2′ ) Если ψ(¯ x) ∈ Πλ , то ψ(¯ x) ∼CSL ψi (¯ x), где ψi ∈ Πrβi , βi < λ. i∈I W (3′ ) Если ψ(¯ x) ∈ Πβ , то ψ(¯ x) ∼CSL ψi (¯ x), где ψi ∈ Πr2β . i∈I
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть, как в [5], O — множество обозначений
для конструктивных ординалов,
2 верна эквивалентность M 6α N ⇔ для любых β < α и d¯ ∈ N<ω существует c¯ ∈ ¯ ¯ 6β (M, c¯). Пользуясь этим, вычислимой индук∈ M|d| такой, что (N, d) r a (¯ a (¯ цией по a ∈ O построим формулы RM,¯ e x) из класса Π2|a| для e x) и LM,¯
всех |a| > 1, вычислимых моделей M языка L и e¯ ∈ M<ω . Их обозна-
394
П. Е. Алаев
чения вычисляются по a ∈ O (здесь |a| > 1), индексу M и e¯ ∈ M<ω , a (¯ ¯) 6|a| (N, c¯), а кроме того, выполняются свойства: N |= RM,¯ e c) ⇔ (M, e
c) ⇔ (N, c¯) 6|a| (M, e¯) для любой модели N и c¯ ∈ N|¯e| . ПредN |= LaM,¯e (¯ полагаем, что читатель знаком с основными свойствами конструктивных формул. С л у ч а й |a| = 1: пусть Φe¯(∃) = {ϕ(¯ x) — конечная ∃-формула | M |= |= ϕ(¯ e)}, Φe¯(∀) = {ϕ(¯ x) — конечная ∀-формула | M |= ϕ(¯ e)}. Тогда V 1 (¯ Φe¯(∃) ∈ Σ01 и Φe¯(∀) ∈ Π01 . Полагаем RM,¯ x) = ϕ(¯ x), L1M,¯e (¯ e x) = ϕ∈Φe¯(∀) V ϕ(¯ x). = ϕ∈Φe¯(∃)
П е р е х о д (a → a + 1): (M, e¯) 6|a|+1 (N, x ¯) ⇔ для всех ¯b ∈ N<ω x, ¯b) ⇔ для всех ¯b ∈ N<ω имеем существует d¯ ∈ M<ω такой, что N |= LaM,¯e,d¯(¯ W a W a V N |= LM,¯e,d¯(¯ ∀¯ yk LM,¯e,d¯(¯ x, ¯b) ⇔ N |= x, y¯k ), где y¯k = (y1 , . . . , yk ). ¯ d∈M
k∈ω
¯ d∈M
a+1 Последнее выражение можно взять в качестве RM,¯ x). e (¯ Аналогично, (N, x ¯) 6|a|+1 (M, e¯) ⇔ для всех d¯ ∈ M<ω существует ¯b ∈ V a a (¯ x, y¯). Послед∃¯ y RM,¯ (¯ x, ¯b) ⇔ N |= ∈ N<ω , для которого N |= RM,¯ e,d¯ e,d¯
нее выражение можно
С л у ч а й |a| — V b LM,¯e (¯ x). LaM,¯e (¯ x) =
¯ d∈M a+1 взять в качестве LM,¯e (¯ x). a (¯ предельный ординал: RM,¯ e x)
=
V
b
b (¯ RM,¯ e x),
b
Перейдем теперь к доказательству теоремы. Докажем (3′ ). Если
β = 0, то Π0 = Πr0 , поэтому рассмотрим β > 1. Пусть ψ(¯ x) ∈ Πβ , тоW b x) | M — вычислимая модель языка L, e¯ ∈ M, гда ψ(¯ x) ∼CSL {RM,¯e (¯
M |= ψ(¯ e)}, где |b| = β.
W (1) Если ψ(¯ x) ∈ Σβ+1 , то ψ(¯ x) ∼ ∃¯ yi ϕi (¯ x, y¯i ), где ϕi ∈ Πβ . Согласно i∈I W W W ∃¯ yi ϕi,l . ϕi,l , ϕi,l ∈ Πr2β , тогда ψ(¯ x) ∼CSL (3′ ), ϕi ∼CSL l∈Li
i∈I l∈Li
(2) Если ψ(¯ x) ∈ Σλ , λ — предельный ординал, то можно считать, что W ψ(¯ x) ∼ ψi (¯ x), где ψi ∈ Σαi +1 , αi < λ; используя (1) получаем требуемое. i∈I
(3), (1′ ) и (2′ ) следуют из (3′ ), (1) и (2) в силу связи Σα - и Πα -формул
через отрицание. 2 Если M — модель языка L и a ¯, ¯b ∈ Mk для некоторого k ∈ ω, то выражение a ¯ ≡α ¯b означает, что a ¯ и ¯b неразличимы формулами из Σα ,
Конструктивные и неконструктивные бесконечные формулы
395
т. е. M |= ϕ(¯ a) ⇔ M |= ϕ(¯b) для любой формулы ϕ(¯ x) ∈ Σα языка L. Аналогично, запись a ¯ ≡r ¯b означает, что a ¯, ¯b неразличимы в M формулами α
из
Σrα .
Отношение a ¯ ≡α ¯b всегда влечет a ¯ ≡rα ¯b.
СЛЕДСТВИЕ 1. Пусть M — вычислимая модель, a ¯, ¯b ∈ M<ω . (1) Если α — произвольный конструктивный ординал и a ¯ ≡r2α+1 ¯b, то a ¯ ≡α+1 ¯b. (2) Если λ — предельный конструктивный ординал и a ¯ ≡r ¯b, то λ
a ¯ ≡λ ¯b. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) Пусть ϕ(¯ x) ∈ Σα+1 и M |= ϕ(¯ a). Тогда ϕ(¯ x) W эквивалентна в M формуле ϕi (¯ x), где ϕi (¯ x) ∈ Σr2α+1 . Отсюда, по a ¯ ≡r2α+1 i∈I
≡r2α+1 ¯b получаем M |= ϕ(¯b).
(2) Рассматривается аналогично. 2 Орбитой в модели M называется подмножество вида {¯b ∈ Mk | ¯)} для некоторых k ∈ ω, a ¯ ∈ Mk . (M, ¯b) ∼ = (M, a СЛЕДСТВИЕ 2. Пусть M — вычислимая модель, A ⊆ Mk — объединение конечного числа орбит, β — конструктивный ординал. (1) Если A определимо в M некоторой Σβ+1 -формулой, то A ∈ ∈ Σ02β+1 . (2) Если A определимо Πβ -формулой, то A ∈ Π02β . Семейство Скотта для модели M языка L — это множество формул вида {ϕi (¯ c, x ¯i ) | i ∈ I} из Lω1 ω (здесь c¯ — конечный набор из M), обладающее свойствами: (1) для любого a ¯ ∈ M<ω найдется i ∈ I такой, что M |= ϕi (¯ c, a ¯); (2) если a ¯, ¯b ∈ M<ω , M |= ϕi (¯ c, a ¯) и M |= ϕi (¯ c, ¯b) для некоторого i ∈ I, то (M, a ¯) ∼ = (M, ¯b). В случае вычислимой модели M интересным оказывается следующее понятие: Σ0α -семейство Скотта для конструктивного ординала α — это Σ0α -множество обозначений конструктивных Σα -формул языка L ∪ {¯ c}, которые образуют семейство Скотта в обычном смысле (¯ c — конечный набор из M). Нетрудно, основываясь на идеях из [1], доказать следующее ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Если α — конструктивный ординал, а вычислимая модель M обладает семейством Скотта из Σα -формул, то она
396
П. Е. Алаев
обладает и Σ02α+1 -семейством Скотта (с тем же набором параметров). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть c¯ — тот конечный набор параметров, который присутствует в формулах из Σα -семейства Скотта, тогда из c¯, a ¯ 6α c¯, ¯b следует (M, a ¯) ∼ = (M, ¯b). Пусть a ∈ O и |a| = α. Множество a (¯ a c, x ¯) | a ¯ ∈ M<ω }, где RM, {RM,¯ ¯b y ) определяется в доказательстве теореc,¯ a (¯
мы 1, образует семейство Скотта из Πr2α -формул, а соответствующее множество обозначений вычислимо перечислимо. 2 В [2] приводится формулировка этого предложения и ставится вопрос о том, насколько оценка сложности второго семейства может быть улучшена: каково наименьшее β, при котором вычислимая модель M, обладающая семейством Скотта из Σα -формул, имеет Σ0β -семейство Скотта? Ясно лишь, что α 6 β 6 2α + 1. Ниже строится серия примеров, которая позволяет дать ответ на этот вопрос.
§ 2. Вспомогательные алгоритмические факты Везде далее под ”в.ф.“ (”ч.в.ф.“) будет подразумеваться вычислимая (частично вычислимая) функция, а ”в.п.“ будет означать вычислимую перечислимость. Пусть ϕx (y) — универсальная ч.в.ф., ϕA x (y) — универсальA ная ч.в.ф. с оракулом A, Wx = domϕx , WxA = domϕA x , ϕx,s (y) — результат
вычисления ϕA x (y) после s шагов. Если f (y) — ч.в.ф. (ч.в.ф. с оракулом A), то ее ч.в.ф.-индексом (A-ч.в.ф.-индексом) будем называть любое n такое, что f (y) = ϕn (y) (f (y) = ϕA n (y)). Если при этом f всюду определена, то это n также называем в.ф.-индексом (A-в.ф.-индексом) функции f . Если предикат P (y) вычислим (вычислим с оракулом A), то вычислимый индекс предиката P (A-вычислимый индекс предиката P ) — это в.ф.-индекс (A-в.ф.-индекс) его характеристической функции. Если M — в.п.-множество (в.п. с оракулом A), то в.п.-индекс M (A-в.п.-индекс M ) — это любое n такое, что M = Wn (M = WnA ). Если I ⊆ ω, {Bi }i∈I — последовательность множеств, где Bi лежит в классе Ki и зафиксированы понятия Ki -индексов, то {Ki }i∈I -индекс по-
Конструктивные и неконструктивные бесконечные формулы
397
следовательности {Bi }i∈I — это ч.в.ф.-индекс функции f такой, что f (i)↓ и f (i) — Ki -индекс Bi для i ∈ I. Последовательность {Bi }i∈I , обладающую такой функцией f , назовем вычислимой. Все рассматриваемые функции и предикаты как правило являются одноместными. Записи f (y1 , . . . , yn ) и P (y1 , . . . , yn ) являются сокращениями для f (hy1 , . . . , yn i) и P (hy1 , . . . , yn i), где h·, . . . , ·i : ω n → ω — это стандартная биекция. Последовательность множеств {Vn }n∈ω назовем дискретной, если для каждого n ∈ ω существует ξn ∈ Vn такое, что ξn ∈ Vm ⇔ Vm = Vn для m ∈ ω. ЛЕММА 1. Для любого оракула P существует вычислимая последовательность P -в.п.-множеств {Vn }n∈ω со свойствами: (1) {hn, mi ∈ ω 2 | Vn = Vm } не является P ′ -в.п.; (2) {Vn }n∈ω дискретна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть {Vn }n∈ω — искомая последовательность. Легко показать, что {hn, mi ∈ ω 2 | Vn = Vm } лежит в классе Π02 относительно P . Поэтому вместо (1) достаточно доказать, что {hn, mi ∈ ∈ ω 2 | Vn = Vm } не является P ′ -вычислимым. Для данного k ∈ ω построим P -в.п. множества Ak и Bk . Положим A0k = {0}, Bk0 = {0}. Допустим, что Ask , Bks определены. Пусть t — наибольшее число такое, что t 6 s, ϕPk,s (2k, 2k + 1, t1 )↓ для всех t1 6 t. Рассмотрим три случая. (a) Пусть ϕPk,s (2k, 2k + 1, t) = 0, Ask 6= Bks . Тогда As+1 = Bks+1 = k = Ask ∪ Bks . (b) Пусть ϕPk,s (2k, 2k + 1, t) > 0, Ask = Bks . Находим числа x, y 6∈ Ask , полагаем As+1 = Ask ∪ {x}, Bks+1 = Bks ∪ {y}. k (c) Пусть или t не определено (т. е. ϕPk,s (2k, 2k + 1, 0) ↑), или случаи (a), (b) неверны. Тогда As+1 = Ask , Bks+1 = Bks . k S s S s Положим Ak = Ak , Bk = Bk . Ясно, что P -в.п.-индексы Ak , Bk s∈ω
s∈ω
могут быть вычислены по k. Если случай (a) выполнялся бесконечно часто, то Ak = Bk . В противном случае Ask , Bks стабилизировались с некоторого
398
П. Е. Алаев
шага и либо Ak = Bk , либо Ak \ Bk , Bk \ Ak 6= ∅. При этом, когда ϕPk (2k, 2k + 1, s) определена для всех s ∈ ω и принимает значения из {0, 1}, выполняются свойства: (1) если lim ϕPk (2k, 2k + 1, s) = 1, то случай (a) при достаточно больs→∞
ших s невозможен и Ak 6= Bk ; (2) если lim ϕPk (2k, 2k+1, s) = 0, то при достаточно больших s невозs→∞
можен случай (b) и Ak = Bk . Пусть V2k = 2k+1 · Ak + 2k , V2k+1 = 2k+1 · Bk + 2k . Очевидно, что последовательность {Vn }n∈ω дискретна. Если E = {hn, mi ∈ ω 2 | Vn = = Vm } P ′ -вычислимо, то χE (hn, mi) = lim ϕPk (n, m, s) для некоторого k ∈ s→∞
∈ ω, где ϕPk (n, m, s) всюду определена. Взяв n = 2k, m = 2k + 1, получим противоречие. 2 Последовательность H(a) для a ∈ O строится так: H(0) = ∅; H(a + 1) = H(a)′ ; H(a) = {hb, xi | b 1 может быть определен как класс H(b)-в.п. множеств (ко-H(b)-в.п. множеств), где b ∈ O, |b| = α при α > ω, |b| + 1 = α при α < ω. Если A ∈ Σ0α , |a| = α, то Σ0a -индексом A называется H(b)-в.п. индекс A, где b = a при α > ω и b + 1 = a при α < ω. Тогда Π0a -индекс множества A ∈ Π0α — это Σ0a -индекс его дополнения, ∆0a -индекс A ∈ ∆0α = Σ0α ∩ Π0α — его H(b)-вычислимый индекс. Для полноты системы обозначений будем также рассматривать Π00 -, Σ00 - и ∆00 -индексы, отождествляя их с вычислимыми индексами множеств. ЛЕММА 2. Если a ∈ O, |a| — предельный ординал, то по a и Π0a -индексу множества B можно вычислить {Π0b }b
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим симметричный случай: пусть
m — Σ0a -индекс множества A. Построим последовательность {Ab }b
лентность ϕM m (x)↓ ⇔ ∃u, v, t [R(u, v, t, x, m) & Du ⊆ M & Dv ⊆ M ], где R —
не зависящий от M вычислимый предикат.
Конструктивные и неконструктивные бесконечные формулы
399
Пусть π1 (M ) = {x | ∃y hx, yi ∈ M }, I(b) = {c ∈ O | c
Имеем x ∈ A ⇔ ϕm
(x) ↓⇔ ∃u, v, t, b [R(u, v, t, x, m) & Du ⊆ H(a) &
& Dv ⊆ H(a) & b ∈ I(a) & π1 (Du ) ∩ I(a) ⊆ I(b) & π1 (Dv ) ∩ I(a) ⊆ I(b)]. S I(b). Последний переход следует из того, что I(a) бесконечно и I(a) = b
Пусть A0 = ∅; для b 1, положим Ab =
= {x | ∃u, v, t (R(u, v, t, x, m) & ∀hc, yi ∈ Du [c ∈ I(b) & y ∈ H(c)] & ∀hc, yi ∈ ∈ Dv [c ∈ I(a) ∨ c ∈ I(b) & y ∈ H(c)])}. По c, b ∈ O, где c
вычислить n = n(c, b) такое, что ϕn(c,b) (y) — характеристическая функция для H(c). Поскольку I(a), I(b) ∈ ∆02 , их H(b)-вычислимые индексы также вычисляются по a, b. Отсюда, H(b)-в.п. индекс Ab может быть вычислен по a, b, m. Указанные выше свойства последовательности {Ab }b
и семейство Σ02α+1 -полных множеств, которые несколько
отличаются от канонических. Для всех a ∈ O, n ∈ ω определим Aan и K a . Для любого a положим K a = {n | n ∈ Aan }. Если |a| = 0, то Aan = Wn ; H(a+1)
если |a| — предельный ординал, то Aan = Wn Ab+1 n
= {y |
∃zAbϕn (y,z)
⊆
K b }.
Полагаем
Aaϕx (y,z)
; если a = b + 1 ∈ O, то
равным ∅, если ϕx (y, z)↑,
и Aak , если ϕx (y, z) = k. ЛЕММА 3. Для множества Aan справедливо включение Aan ∈ ∈ Σ02|a|+1 , и Σ02a+1 -индекс этого множества может быть вычислен по a ∈ O и n ∈ ω. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся равенством Aa+1 = {y | n ∃z (ϕn (y, z) ↑ ∨ ∃k [ϕn (y, z) = k & ∀t (t 6∈ Aak ∨ t ∈ K a )])} и индукцией по конечной части |a|. 2 ЛЕММА 4. Пусть a ∈ O и |a| = α. (1a) Если C ∈ Π02(α+1) , то существует в.ф. f такая, что x ∈ C ⇔ ⇔ Aaf (x) ⊆ K a . В.ф.-индекс функции f может быть вычислен по a ∈ O и Π02(a+1) -индексу C. (2a) Если B ∈ Σ02α+1 , то B = Aan для некоторого n ∈ ω. Это n
400
П. Е. Алаев
может быть вычислено по a ∈ O и Σ02a+1 -индексу B. (3a) Если B ∈ Σ02α+1 , то существует в.ф. g такая, что x ∈ B ⇔ ⇔ g(x) ∈ K a . В.ф.-индекс функции g можно вычислить по a ∈ O и Σ02a+1 индексу B. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство будем вести индукцией по конечной части α. Если α = 0 или α — предельный, то (2a) и (3a) — хорошо известные утверждения. В (3a) функция g может быть выбрана независящей от a. Ш а г индукции. Покажем сначала, что (1a) следует из (2a) и (3a). Если C ∈ Π02(α+1) , то x ∈ C ⇔ ∀y hx, yi ∈ B, где B ∈ Σ02α+1 . Используя (3a), получаем: x ∈ C ⇔ ∀y (g(x, y) ∈ K a ), где g — в.ф. Положим Mx = = {g(x, y) | y ∈ ω}, тогда верно включение Mx ∈ Σ01 , и Σ02a+1 -индекс этого множества может быть вычислен. Отсюда Mx = Aaf (x) , f — в.ф. и является искомой. Индекс каждого следующего объекта вычисляется по индексам предыдущих. (2a) ⇒ (3a). Пусть дан Σ02a+1 -индекс B, положим Dk = {y ∈ ω | k ∈ ∈ B}, ясно, что Dk ∈ {∅, ω}. Тогда можно вычислить Σ02a+1 -индекс Dk , откуда Dk = Aag(k) и k ∈ B ⇔ Dk = ω ⇔ g(k) ∈ Aag(k) . (1a) ⇒ (2(a + 1)). Если B ∈ Σ02α+3 , то x ∈ B ⇔ ∃yhx, yi ∈ C, где C ∈ Π02(α+1) . Отсюда x ∈ B ⇔ ∃y (Aaf (x,y) ⊆ K a ), где f (x, y) — в.ф. Если f = ϕn , то n — требуемый индекс. 2 Неформально идею построения этих нумераций можно пояснить так: хотя {Aan }n∈ω — нумерация для Σ02|a|+1 -множеств, условие ”y ∈ Aan “ записывается с помощью Σ|a|+1 -выражения: y ∈ Aa+1 ⇔ ∃z K a ⊆ Aaϕn (y,z) ⇔ n ! V ⇔ ∃z m 6∈ Aaϕn (y,z) . m∈K a
Для a ∈ O положим Sa = {B ∈ Σ02a+1 | K a ⊆ B, |B \ K a | = 1}.
ЛЕММА 5. По a ∈ O можно вычислить в.ф.-индексы функций f, g таких, что 1) если Aax ⊆ K a , то Aaf (x) = K a ; 2) если Aax 6⊆ K a , то Aaf (x) ∈ Sa ; 3) {Aag(x) | x ∈ ω} = Sa .
Конструктивные и неконструктивные бесконечные формулы
401
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала для произвольного оракула P и P -в.п. ко-бесконечного множества K построим в.ф. f, g такие, что 1) если WnP ⊆ K, то WfP(n) = K; 2) если WnP 6⊆ K, то WfP(n) ∈ S; P | n ∈ ω} = S, 3) {Wg(n)
где S = {B — в.п. с оракулом P | K ⊆ B, |B \ K| = 1}. P } Пусть {Wn,s s∈ω , {Ks }s∈ω — P -вычислимые возрастающие последоS S P = WP, вательности конечных множеств такие, что Wn,s Ks = K, и n s∈ω
s∈ω
P . Построим F ⊆ W P пусть WnP ∪ K = Wh(n) s h(n),s :
0) F0 = ∅; P 1.1) если Fs 6⊆ Ks или Wh(n),s ⊆ Ks , то Fs+1 = Fs ; P 6⊆ Ks , то Fs+1 = Fs ∪ {m}, где m — 1.2) если Fs ⊆ Ks и Wh(n),s P наименьший элемент из Wh(n),s \ Ks . S Пусть F = Fs . Легко показать, что |Fs \Ks | 6 1 и |F \K| 6 1. Если s∈ω
P P Wh(n) ⊆ K, то F ⊆ K. Если же Wh(n) 6⊆ K, то F 6⊆ K. Пусть F ∪K = WfP(n) .
Определим для n ∈ ω последовательность {Gs }s∈ω так: 0) G0 = {n}; 1.1) если Gs 6⊆ Ks , то Gs+1 = Gs ; 1.2) если Gs ⊆ Ks и Gs = {n, n+1, . . . , n+k}, то Gs+1 = Gs ∪{n+k+1}. S Положим G = Gs . В силу ко-бесконечности множества K послеs∈ω
довательность Gs с некоторого шага стабилизируется и будет иметь вид
P {n, . . . , m − 1, m}, где {n, . . . , m − 1} ⊆ K, m 6∈ K. Пусть Wg(n) = K ∪ G.
Легко видеть, что P -в.п.-индексы F, G не зависят от P , а только от P в.п.-индекса множества K и n, отсюда в.ф.-индексы f, g вычисляются по P -в.п.-индексу K. Теперь достаточно, пользуясь леммами 3 и 4, от Aax перейти к Σ02a+1 -множествам, применить указанную конструкцию и вернуться снова к Aax . 2 Пусть ¯b = {bn }n∈ω — вычислимая последовательность такая, что bn
402
П. Е. Алаев ЛЕММА 6. Пусть a ∈ O, |a| — предельный ординал, ¯b = {bn }n∈ω —
вычислимая последовательность такая, что bn
следовательность {Vn }n∈ω из Σ¯0b -множеств такая, что {hn, mi ∈ ω 2 | Vn = Vm } 6∈ Σ0a . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть xsk = 2k+1 (2s)+2k , yks = 2k+1 (2s+1)+2k . Для каждого k ∈ ω определим множества Ask , Bks ⊆ {xsk , yks }. Пусть A0k = = Bk0 = {x0k }. Будем для простоты считать, что |b1 | > 2. Ш а г s + 1: если все вопросы к оракулу H(a), задаваемые за s шагов H(a)
вычисления ϕk
(2k, 2k + 1), имеют вид ”hb, xi ∈ H(a)?“, где b 6
s+1 b
= Bks+1 = ∅. В противном случае полагаем As+1 k Легко видеть, что Σ0bs -индексы Ask ∩ {xsk , yks }, Bks ∩ {xsk , yks } вычисляS s S s Bk — Σ¯0b -множества в ются по s, k ∈ ω. Отсюда Ak = Ak , Bk = s∈ω
s∈ω
силу неравенств s 6 xsk , yks . Положим V2k = Ak , V2k+1 = Bk для k ∈ ω.
Последовательность {Vn }n∈ω дискретна в силу построения. Допустим, что H(a)
{hn, mi ∈ ω 2 | Vn = Vm } ∈ Σ0a , Vn = Vm ⇔ ϕk H(a)
k ∈ ω. Тогда Ak = Bk ⇔ ϕk
(n, m) ↓ для некоторого
(2k, 2k + 1) ↓; пришли к противоречию с
конструкцией. 2
§ 3. Построение контрпримеров На дереве ω <ω = {(n1 , . . . , nk ) | k > 0, ni ∈ ω} введем двухместный предикат S так, чтобы он соединял каждую вершину со всеми дочерними для нее: S((n1 , . . . , nk ), x) ⇔ x = (n1 , . . . , nk , m), m ∈ ω. Дерево ω <ω содержит начальную вершину ( ). Его поддеревом называется любое подмножество T , содержащее ( ) и замкнутое относительно родительских вершин: если S(a, b) и b ∈ T , то a ∈ T . Если T — поддерево ω <ω , а в T нет бесконечных путей, то на элементах x ∈ T можно ввести ординальнозначную функцию высоты: для вершин x, не имеющих дочерних, зададим h(x) = 0; в противном случае положим h(x) = sup{h(y)+1 | S(x, y)}. Строгое определение этого понятия
Конструктивные и неконструктивные бесконечные формулы
403
требует построения множеств вершин высоты α индукцией по ординалам α. Высотой поддерева T без бесконечных путей назовем h(x), где x — начальная вершина T . Интересующие нас модели будут, с точностью до изоморфизма, поддеревьями ω <ω с тем же предикатом S, но при этом некоторые вершины будут помечены одним одноместным предикатом из счетного набора (1)
(1)
{P0 , P1 , . . .}. Тем самым это будут модели языка L = {S (2) , P0 , P1 , . . .}. Все строящиеся модели будут вычислимыми. Индексом вычислимой модели языка L назовем тройку из вычислимых индексов носителя и множеств {hn, mi | S(n, m)} и {hi, ni | Pi (n)}. Для удобства наложим на модели еще некоторые ограничения и введем понятие p-дерева как вычислимой модели языка L со следующими свойствами: 1) существует ее изоморфное вложение как модели языка {S} на поддерево ω <ω (прообраз ( ) при этом вложении называем начальной вершиной p-дерева); 2) элемент носителя модели, соответствующий начальной вершине, — число 0; 3) все предикаты Pi ложны на начальной вершине. Пусть {Tx }x∈ω — вычислимая последовательность p-деревьев. Вве∞ P Tx состоит в том, что к надем две операции. Упорядоченная сумма x=0
чальной вершине a добавляем бесконечное семейство дочерних вершин
{bx }x∈ω , т. е. S(a, bx ), и на каждом элементе bx полагаем Px истинным, а Py ложными при y 6= x. Далее, к каждому bx ”подвешиваем“ Tx так, что bx P совпадет с начальной вершиной Tx . Неупорядоченная сумма Tx опредеx∈ω
ляется точно так же, но все bx ”эквивалентны“ друг другу, т. е. Py ложно на bx при всех y ∈ ω. Эти операции можно сделать конструктивными, чтобы
по индексу последовательности {Tx }x∈ω можно было вычислить индексы ∞ P P сумм Tx и Tx . x∈ω x=0 P∗ Будем также использовать операцию Tx — это неупорядоченная x∈ω
сумма p-деревьев, в которой каждое Tx присутствует в счетном числе экP ′ ′ земпляров, т. е. сумма = Tx для всех y ∈ ω, а также Tx,y , где Tx,y x,y∈ω
404
П. Е. Алаев
обозначения вида
P
x∈ω
Tx′ +
P
x∈ω
Tx′′ , подразумевая под этим сумму
где T2x = Tx′ , T2x+1 = Tx′′ , x ∈ ω.
P
Tx ,
x∈ω
Если T — p-дерево, q ∈ T , то через qˆ обозначается модель, носителем которой являются все вершины, лежащие ниже q (включая и ее), причем в этой модели предикат S наследуется из T , для всех вершин, отличных от q, предикаты Pi также наследуются из T , а на q все Pi ложны, i ∈ ω. Ясно, что qˆ также можно считать p-деревом. Формулу ϕ(y, x1 , . . . , xn ) языка L назовем локальной, когда для любых p-деревьев T1 , T2 , элементов q1 ∈ T1 , q2 ∈ T2 и изоморфизма f : qb1 → qb2 верно T2 |= ϕ(q2 , f (a1 ), . . . , f (an )), если a1 , . . . , an ∈ qb1 , T1 |=
|= ϕ(q1 , a1 , . . . , an ). Это понятие зависит от выбора переменных (y, x1 , . . . . . . , xn ); будем в такой ситуации всегда использовать y как особую переменную. Если дана формула ϕ(v1 , . . . , vn ) и y 6∈ {v1 , . . . , vn }, то под локальностью этой формулы понимаем локальность формулы ψ(y, v1 , . . . , vn ) = = ϕ(v1 , . . . , vn ). Специальное семейство Скотта для p-дерева T — это множество локальных формул {ϕi (y, x ¯i ) | i ∈ I} языка L такое, что если q0 — начальная вершина T , то {ϕi (q0 , x ¯i ) | i ∈ I} — обычное семейство Скотта для T . ЛЕММА 7. Пусть α > 1 — ординал, {Tt }t∈ω — последовательность p-деревьев, каждое из которых обладает специальным семейством Скотта из Σα -формул. P (1) Пусть T = Tt , а для каждого t ∈ ω существует локальная t∈ω
Σα -формула πt (x) такая, что если T ′ — произвольное p-дерево, q ∈ T ′ , qˆ ∼ = Tt . Тогда T также = Tt1 для некоторого t1 ∈ ω, то T ′ |= πt (q) ⇔ Tt1 ∼ обладает специальным семейством Скотта из Σα -формул. ∞ P Tt , то T также обладает специальным семейством (2) Если T = t=0
Скотта из Σα -формул.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) Пусть a ¯ = (a1 , . . . , ar ) — произвольный набор из T , q0 — начальная вершина T . Построим локальную формулу ϕa¯ (y, x ¯) так, чтобы T |= ϕa¯ (q0 , a ¯) и множество {ϕa¯ (y, x ¯) | a ¯ ∈ M<ω } образо-
Конструктивные и неконструктивные бесконечные формулы
405
вывало бы специальное семейство Скотта для T . Заметим, что конъюнкция
локальных формул ϕ1 (y, x ¯1 ) и ϕ2 (y, x ¯2 ) тоже локальна. Если некоторые ai равны q0 , то эти элементы однозначно определяются локальными формулами y = xi , поэтому для простоты будем счи(0)
(k+1)
тать, что q0 не входит в a ¯. Пусть ai
= q0 , ai
(k)
— дочерняя для ai
вершина в T , которая находится ”над“ ai . Для всех i = 0, . . . , r существу(pi )
ет pi > 1 такое, что ai
(n)
= ai и ai
не определено при n > pi . Пере(1)
группируем и перенумеруем a1 , . . . , ar по признаку равенства ai : пусть (1)
(1)
(1)
(1)
a ¯ = (a11 , . . . , a1k1 , . . . , an1 , . . . , ankn ), где ki > 1, aij1 = aij2 , ai1 1 6= ai2 1 при (p )
(1)
i1 6= i2 , и пусть aij ij = aij . Элементы ai1 обозначим как a∗i для i = 1, . . . , n. (m)
Если ψ(u) — некоторая формула, то запись вида ψ(xij ) при m
<
pij будет обозначать формулу ∃y0 . . . ∃ypij −m [S(y0 , y1 ) & . . . & (p )
& S(ypij −m−1 , ypij −m ) & ypij −m = xij & ψ(y0 )] , ψ(xij ij ) равно ψ(xij ). Смысл (m)
этих формул в p-деревьях очевиден. Если ψ(u) ∈ Σα , то и ψ(xij ) ∈ Σα . Начнем построение ϕa¯ (y, x11 , . . . , x1k1 , . . . , xn1 , . . . , xnkn ) с формулы V (1) (1) = y | i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , ki } & {xij1 = xij2 | i = 1, . . . , n, V (1) (1) 1 6 j1 , j2 6 ki } & {xi1 1 6= xi2 1 | i1 6= i2 }. Для каждого i = 1, . . . , n существует ti ∈ ω такой, что ab∗i ∼ = Tti . Будем считать, что ab∗i = Tti . Добавим к V (1) ϕa¯ (y, x ¯) (посредством конъюнкции) формулу {πti (xi1 ) | i = 1, . . . , n}. V
(0) {xij
Теперь зафиксируем i ∈ {1, . . . , n}. Пусть {ψl (y, x ¯l ) | l ∈ L′ } — спе-
циальное семейство Скотта для Tti . Найдется li ∈ L′ такое, что Tti |= (1)
|= ψli (a∗i , ai1 , . . . , aiki ). Добавим ψli (xi1 , xi1 , . . . , xiki ) к ϕa¯ (y, x ¯). Сделаем это для всех i = 1, . . . , n. Очевидно, что T |= ϕa¯ (q0 , a ¯), и ϕa¯ (y, x ¯) — локальная формула. Пусть T |= ϕa¯ (q0 , ¯b), ¯b ∈ T <ω , ¯b = (b11 , . . . , b1k1 , . . . , bn1 , . . . , bnkn ), (1)
(1)
b∗i = bi1 = . . . = biki для i = 1, . . . , n. Тогда b∗i — вершины 1-го уровня (т. е. дочерние для q0 ), bb∗i ∼ = Tt′i для некоторых t′i ∈ ω, и Tt′i ∼ = Tti , i =
= 1, . . . , n, в силу свойств πt (x). Отображение h0 : {a∗1 , . . . , a∗n } → {b∗1 , . . . . . . , b∗n }, заданное по правилу h0 (a∗i ) = b∗i , — частичная перестановка вер-
шин первого уровня в T . Ясно, что ее можно продолжить до перестановки h ⊇ h0 множества всех вершин 1-го уровня с сохранением свойства d a ˆ∼ = h(a).
406
П. Е. Алаев
Зафиксируем i ∈ {1, . . . , n}. Пусть f : ab∗i ∼ = bb∗i , тогда ab∗i = Tti |= |= ψli (a∗i , f −1 (bi1 ), . . . , f −1 (biki )), следовательно, существует g : ab∗i ∼ = ab∗i , g(aij ) = f −1 (bij ), и если fi = f ◦ g, то fi : ab∗ ∼ = bb∗ , fi (aij ) = bij . Переход i
i
от h и {fi | i = 1, . . . , n} к автоморфизму p-дерева T , переводящему a ¯ в ¯b, очевиден.
(2) Повторяем рассуждения из (1) с заменой πt (x) на Pt (x). Заметим ∞ P Tt любой автоморфизм p-дерева T оставляет только, что в случае T = t=0
все вершины 1-го уровня на месте. 2
Если T0 — p-дерево, то формула ψ(x) определяет T0 , если для любого p-дерева T и q ∈ T верно qˆ ∼ = T0 ⇔ T |= ψ(q). Очевидно, что если ψ(x) определяет некоторое T0 , то она является локальной. ЛЕММА 8. По a ∈ O, x, y ∈ ω можно вычислить индексы p-деa , D a , D a так, что ревьев Txa , Dx,y + − a изоморфны одной из двух мо(1) для каждого a ∈ O p-деревья Dx,y a ∼ D a , если y ∈ Aa , и D a ∼ D a , если y 6∈ Aa , где x, y ∈ ω, при делей: Dx,y = + x x,y = − x a a ∼ этом D = 6 D ; +
−
(2) Txa1 ∼ = Txa2 ⇔ Aax1 = Aax2 , где x1 , x2 ∈ ω; (3) деревья Txa , D+a , D−a определяются формулами τxa (v), δ+a (v), δ−a (v) соответственно, при этом δ+a , δ−a , τxa ∈ Σ|a|+ka для некоторого ka ∈ ω; (4) существует локальная формула ψ a (v) ∈ Π|a|+1 такая, что если T — p-дерево, q ∈ T , qˆ ∼ = Txa для некоторого x ∈ ω, то T |= ψ a (q) ⇔ Aax ⊆ ⊆ K a; (5) существует локальная формула ϕa (v) ∈ Σ|a|+1 такая, что если T — p-дерево, q ∈ T , а qˆ изоморфно D+a или D−a , то qˆ ∼ = D+a ⇔ T |= ϕa (q); (6) D+a , D−a как поддеревья ω <ω не имеют бесконечных путей и имеют высоту 2|a| + 1 при |a| > 1, их высота равна 1 и 0 при |a| = 0; (7) каждое из p-деревьев Txa , D+a , D−a обладает специальным семейством Скотта из Σ|a|+1 -формул. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство будем вести вычислимой индукцией по a ∈ O. По обозначению a и ч.в.ф.-индексу функции, вычисляющей индексы указанных в формулировке объектов для всех a′
Конструктивные и неконструктивные бесконечные формулы
407
0 С л у ч а й |a| = 0. По определению A0x = Wx . Положим Dx,y рав-
ным одноэлементному p-дереву, если y 6∈ A0x , и двухэлементному p-дереву, на элементах которого все Pi , i ∈ ω, ложны, если y ∈ A0x . Кроме то го, зададим ϕ0 (v) = ∃y S(v, y), δ+0 (v) = ∃y S(v, y) & ∀y1 (S(v, y1 ) → y1 = V = y) & ¬∃zS(y, z) & ¬Pi (y) , δ−0 (v) = ¬∃y S(v, y). i∈ω
Заметим, что при любом a ∈ O из возможности вычислить индекс
a по x, y ∈ ω следует и возможность вычислить индексы D a , D a . для Dx,y + −
По обозначению a можно вычислить Σ02a+1 -индексы множеств ω и ∅, по a , Da ∼ Da . ним найти m, n такие, что Aam = ω, Aan = ∅, тогда D+a ∼ = Dm,0 − = n,0 Для всех a ∈ O, в том числе и для тех, у которых |a| = 6 0, поло∞ P a . Тогда (2) будет следовать из (1), а (4) из (5): возьмем Dx,y жим Txa = y=0 V ∀y [S(v, y) & Pm (y) → ¬ϕa (y)]. ψ a (v) = m∈Ka V В качестве τxa (v) для x ∈ ω можно взять формулу ∃y [S(v, y) & m∈ω V & Pm (y)] & ∀y1 ∀y2 [S(v, y1 ) & S(v, y2 ) & Pm (y1 ) & Pm (y2 ) → y1 = y2 ] & m∈ω W V & ∀y S(v, y) → Pm (y) & ∀y [S(v, y) & Pm (y) → δεam (y)], где εm = m∈ω
m∈ω
= ”+“ при m ∈ Aax и εm = ”−“ при m 6∈ Aax .
Проверим п. (7). Построить специальное семейство Скотта для D+0 , D−0 из Σ1 -формул — простое упражнение. Для любого a ∈ O переход от специального семейства Скотта для D+a , D−a к такому семейству для Txa осуществляется на основе леммы 7. = {y | ∃zAaϕx (y,z) ⊆ K a }. П е р е х о д (a → a+1). По определению Aa+1 x Пусть f, g — функции из леммы 5 для данного a, и пусть Aaϕx (y,z) = Aah(x,y,z) для некоторой в.ф. h (ее существование следует из лемм 3, 4). Положим P∗ a P∗ a a+1 = Tf (h(x,y,z)) . Пусть m0 ∈ ω таково, что Aam0 = K a . Tg(n) + Dx,y z∈ω n∈ω P∗ a a+1 ∼ a+1 ∼ Если y 6∈ Aa+1 Tg(n) = D−a+1 , если y ∈ Aa+1 x , то Dx,y = x , то Dx,y = n∈ω P∗ a P a ∼ . Tg(n) + ∗ Tm = 0 n∈ω
В качестве ϕa+1 (v) возьмем ∃y [S(v, y) & ψ a (y)]. Построение δ+a+1 , δ−a+1
можно выполнить подобно указанному выше построению τxa (v), п. (6) легко проверяется. Проверим п. (7); и D+a+1 , и D−a+1 имеют вид
P
t∈ω
a , Tt , где Tt = Th(t)
408
П. Е. Алаев
h : ω → ω. Для того, чтобы применить лемму 7, достаточно найти локальные Σ|a|+2 -формулы πt (x), отличающие Tt от Tt , Tt ∼ 6 Tt . Если = 1
1
a , то положим π (x) = ψ a (x). Если T ∼ T a Tt ∼ = Tm t t = g(n) для некоторого 0
n ∈ ω, то Aag(n) = K a ∪ {m}, где m 6∈ K a , и если m ∈ Aag(n1 ) и n1 ∈ ω, то Aag(n1 ) = Aag(n) . В этом случае πt (x) = ∃y [S(x, y) & Pm (y) & ϕa (y)] является Σ|a|+1 -формулой. Все требуемые свойства πt (x) легко проверяются. С л у ч а й |a| — предельный ординал. По определению, Aax
=
H(a+1) Wx .
По x можно найти Π0a -индекс множества B x такого, что y ∈ T x Bb , ∈ Aax ⇔ ∃zhy, zi ∈ B x . По лемме 2 существует представление B x = =
b
где Bbx1 ⊇ Bbx2 при b1
c
b
b
x x ∼ ∼ что Ehy,zi = Eb′ для некоторого b
hy, zi 6∈ B x . a = Положим Dx,y
+
P∗
P∗
z∈ω
x Ehy,zi +
a E + = D+a при y ∈ Aax , а Dx,y
P∗ ′ a ∼ Eb + Eb′ . Очевидно, что Dx,y = b
b
при b
V
∃z (S(y, z) &
b
& δ+b (z))). Очевидно, что эта формула верна на q таких, что qˆ ∼ = D+a . Чтобы показать, что она ложна при qˆ ∼ = D−a , необходимо убедиться в том, что D+b 6∼ = D+c , D−c при b, c
из Σ|a| -формул, и для этого p-дерева есть определяющая локальная формула из класса Σ|a| . Отсюда и по лемме 7, E + и Eb′ также имеют специальные семейства Скотта из Σ|a| -формул. В свою очередь, D+a и D−a образуются из E + и Eb′ , поэтому достаточно найти локальные Π|a| -формулы, отличающие E + и Eb′ , b
Конструктивные и неконструктивные бесконечные формулы
409
V ∃y [S(x, y) & δ+b (y)], для Eb′ подформул. Для E + можно взять формулу b
c
ТЕОРЕМА 2. Для каждого конструктивного ординала α суще-
ствует вычислимая модель Mα , которая обладает семейством Скотта из Σα -формул без параметров, но не имеет Σ02α -семейства Скотта. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть a ∈ O, |a| = α. С л у ч а й a = b + 1, |b| = β. Согласно лемме 1 существует дискретная вычислимая последовательность Σ02b+1 -множеств {Vn }n∈ω со свойством {hn, mi ∈ ω 2 | Vn = Vm } 6∈ Σ02b+2 . Пусть Vn = Abf (n) и f — в.ф. P b P Пусть Mα = Tf (n) . Определяя операцию Tn , мы не оговариваn∈ω
n∈ω
ли подробностей. Будем считать, что вершины, дочерние для начальной,
образуют множество {2n + 1 | n ∈ ω}, а 2n + 1 — начальная вершина для \ Tn , т. е. 2n +1∼ = Tn . Каждое Tfb(n) имеет специальное семейство Скотта из Σα -формул. Поскольку {Vn }n∈ω дискретна, для каждого n ∈ ω существует ξn ∈ ∈ Abf (n) такое, что Tfb(n) ∼ = Tfb(m) , если ξn ∈ Abf (m) . Пусть πn (x) = = ∃y [S(x, y) & Pξn (y) & ϕb (y)] для n ∈ ω. Это локальная Σα -формула, выделяющая Tfb(n) среди {Tfb(m) }m∈ω . В силу леммы 7, Mα имеет специальное семейство Скотта {ϕi (y, x ¯i ) | i ∈ ω} из Σα -формул. Начальная вершина выделяется Π1 -формулой κ(y) = ¬∃zS(z, y). Если α > 1, то {∃y [κ(y) & ϕi (y, x ¯i )]}i∈ω образует обычное семейство Скотта. Если α = = 1, то начальная вершина может быть выделена Σ1 -формулой κ(y) = = ∃z1 , z2 , z3 [S(y, z1 ) & S(z1 , z2 ) & S(z2 , z3 )]. Покажем, что у Mα нет Σ02β+2 -семейства Скотта. Допустим, что {ϕi (¯ c, x ¯i )}i∈I — такое семейство. Тогда {hn, mi ∈ ω 2 | ∃i ∈ I [ϕi (¯ c, 2n + 1) & & ϕi (¯ c, 2m + 1)]} = {hn, mi ∈ ω 2 | Vn = Vm } ∈ Σ02β+2 , приходим к противоречию. С л у ч а й α — предельный ординал. Пусть вычислимая последовательность {bk }k∈ω такова, что bk
Согласно лемме 6 существует дискретная последовательность {Vn }n∈ω такая, что Σ0bk -индекс Vn ∩ {k} вычисляется по n, k ∈ ω и {hn, mi ∈
410
П. Е. Алаев
∈ ω 2 | Vn = Vm } 6∈ Σ0α . Пусть Vn ∩ {k} = Abfk(n,k) и f — в.ф. Положим ∞ P P Dfbk(n,k),k для n ∈ ω, Mα = Tn . Каждое Tn обладает специTn = n∈ω k=0 альным семейством Скотта из Σα -формул, Tn ∼ = Tn ⇔ Vn = Vn для 1
2
1
2
n1 , n2 ∈ ω. Пусть ξn ∈ Vn таково, что Vm = Vn , если ξn ∈ Vm , и положим πn (x) = ∃y [S(x, y) & Pξn (y) & ϕbξn (y)], последняя будет локальной Σα -формулой. Дальнейшие рассуждения те же, что и в предыдущем случае. С л у ч а й α = 0. Упростив доказательство леммы 6, можно получить дискретную вычислимую последовательность {Vn }n∈ω вычислимых множеств такую, что {hn, mi ∈ ω 2 | Vn = Vm } не является в.п. Построим (1)
(1)
M0 = hN, P0 , P1 , . . .i так: Pk (n) ⇔ k ∈ Vn . Наличие у M0 семейства Скотта из конечных бескванторных формул и отсутствие вычислимого семейства Скотта из таких формул проверяются непосредственно. 2 ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Для любого конструктивного ординала α существуют (1) вычислимая модель Mα и две орбиты A1 , A2 ⊆ Mα такие, что A1 определяется в Mα некоторой Σα+1 -формулой и, как подмножество множества ω, является Σ02α+1 -полным множеством, а A1 ∪ A2 определимо Πr1 -формулой; (2) вычислимая модель Nα и орбита A ⊆ Nα , α > 1, такие, что A определимо Πα -формулой и при этом, как подмножество множества ω, является Π02α -полным множеством. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) Пусть a ∈ O, |a| = α. Из леммы 4 следует, что K a является Σ02α+1 -полным множеством. Пусть K a = Aam . Построим P a Mα = Dm,y . Вновь считаем, что вершины, дочерние для начальной y∈ω
вершины 0, образуют множество {2y + 1 | y ∈ ω} и элемент 2y + 1 — a , 2y a . \ начальная вершина для Dm,y +1∼ = Dm,y
Вершины, дочерние для начальной в Mα , выделяются Π1 -формулой ξ(v) = ∀y [S(y, v) → ¬∃zS(z, y)]. Положим A1 = {2y + 1 | y ∈ K a }, A2 = = {2y + 1 | y 6∈ K a }. Если α > 1, то A1 выделяется формулой ξ(v) & ϕa (v), где ϕa такое, как в лемме 8, если же α = 0, то формулой
Конструктивные и неконструктивные бесконечные формулы
411
∃y∃z [S(v, y) & S(z, v)]. (2) Из леммы 4 также следует, что La = {x | Aax ⊆ K a } является Π02(α+1) -полным множеством. Пусть Aax ∪ K a = Aaf (x) и f — в.ф. Положим P a \ Nα+1 = Tf (x) , 2x +1 ∼ = Tfa(x) для x ∈ ω. Если ψ a (v) — формула из x∈ω
леммы 8, то ψ a (v) & ξ(v) выделяет A = {2x + 1 | Aaf (x) = K a } = {2x + 1 | x ∈ La }. Ясно, что A — требуемая в (2) орбита. Пусть α — предельный, L — некоторое Π0α -полное множество, {bk }k∈ω — вычислимая последовательность из O такая, что bk
орбитой. 2
ТЕОРЕМА 3. Утверждения из теоремы 1, следствий 1 и 2 являются неулучшаемыми в следующем смысле: (1) если β > 0 — конструктивный ординал, то для произвольной W формулы ψ(¯ x) ∈ Σβ+1 эквивалентность ψ(¯ x) ∼CSL ψi (¯ x), ψi (¯ x) ∈ i∈I
∈ ∆r2β+1 , вообще говоря, невозможна. Аналогично, классы, указанные в
конце пп. (1′ ), (3) и (3′ ) теоремы 1, нельзя заменить на ∆r соответствующих уровней, а классы сложности в конце пп. следствия 2 — на соответствующие ∆0 -классы; (2) ни для какого предельного конструктивного ординала λ в пп. (2) и
(2′ )
теоремы 1 нельзя ограничить все βi некоторым ординалом α < λ;
(3) ни для какого конструктивного ординала α в условиях след¯b ⇒ a ствия 1 переходы a ¯ ≡r ¯ ≡α+2 ¯b и a ¯ ≡r ¯b ⇒ a ¯ ≡α+1 ¯b не яв2α+1
2α
ляются, вообще говоря, верными. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) Достаточно показать точность оценок из следствия 2. Это непосредственно следует из существования моделей и орбит, указанных в формулировке предложения 2. (2) Если в данной модели M любая ψ(¯ x) ∈ Σλ эквивалентна Σα -формуле для некоторого α < λ, то индукцией по γ легко показать, что все
412
П. Е. Алаев
формулы из Σλ+γ , Πλ+γ также будут эквивалентны таким Σα -формулам, т. е. иерархия бесконечных формул в M выродится на шаге λ. То, что это не так в произвольной вычислимой модели M, хорошо известно. В частности, это следует из (1) при β = λ. (3) Рассмотрим переход a ¯ ≡r2α ¯b ⇒ a ¯ ≡α+1 ¯b. Контрпример для случая α = 0 совсем прост. Пусть α > 0. Рассмотрим Mα , A1 и A2 из предложения 2. Пусть a ∈ A1 и b ∈ A2 . Тогда a 6≡α+1 b. Покажем, что a ≡r2α b. Предположим противное, т. е. M |= ϕ0 (a) и M |= ¬ϕ0 (b) для некоторой Σr2α - или Πr2α -формулы ϕ0 (v). Пусть ϕ(v) = ϕ0 (v) & ξ(v), где Πr1 -формула ξ(v) выделяет A1 ∪ A2 . Тогда ϕ(v) выделяет A1 , и A1 принадлежит Σ02α или Π02α , получаем противоречие. ¯ ≡α+2 ¯b, то a ¯ ≡r2(α+1) ¯b ⇒ a ¯ ≡(α+1)+1 ¯b, получаем Если a ¯ ≡r2α+1 ¯b ⇒ a предыдущий случай. 2 ЛИТЕРАТУРА 1. C. J. Ash, Recursive labelling systems and stability of recursive structures in hyperarithmetical degrees, Trans. Am. Math. Soc., 298, N 2 (1986), 497—514. 2. C. J. Ash, Categoricity in hyperarithmetical degrees, Ann. Pure Appl. Logic, 34, N 1 (1987), 1—14. 3. C. J. Ash, J. F. Knight, Relatively recursive expansions, Fundam. Math., 140, N 2 (1992), 137—155. 4. C. J. Ash, J. F. Knight, Computable structures and the hyperarithmetical hierarchy, Amsterdam a. o., Elsevier Science B.V., 2000. 5. Х. Роджерс, Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость, М., Мир, 1972.
Адрес автора: АЛАЕВ Павел Евгеньевич, РОССИЯ, 630090, г. Новосибирск, пр. Ак. Коптюга, 4, Институт математики СО РАН. e-mail: [email protected]
Поступило 27 апреля 2001 г. Окончательный вариант 1 августа 2002 г.
