Задачи и упражнения по функциональному анализу: Методические указания

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра высшей математики

Задачи и упражнения по функциональному анализу

Методические указания

Ростов-на-Дону 2002

Составители: Баранов И.В., Братищев А.В., Ватульян А.О., Виноградова Г. Ю.,

Ефимов С.В., Мул А.П.

Задачи и упражнения по функциональному анализу: Метод. указания. / ДГТУ, Ростовна-Дону, 2002, 16 с.

В методическое пособие вошли различные задачи функционального анализа: исследование вопросов сходимости в функциональных пространствах, ограниченности и компактности операторов и другие. Даны подробные объяснения и разобраны примеры. Предлагаются задания для самостоятельной работы. Пособие предназначено для студентов всех специальностей ДГТУ, изучающих функциональный анализ.

Печатается по решению методической комиссии факультета “Автоматизация и информатика”.

Рецензент: доцент Т.Н.Радченко

© Издательский центр ДГТУ, 2002.

1. Метрические пространства. 1. Доказать, что для любых четырех точек x,y,z,t пространства (X,ρ) справедливы неравенства:

метрического

1) |ρ(x,z)- ρ(y,z)|≤ ρ(x,y); 2) |ρ(x,z)- ρ(y,t)|≤ ρ(x,y)+ρ(z,t).

2. Доказать, что аксиомы метрического пространства эквивалентны следующим двум аксиомам:

1) ρ(x,y)=0⇔x=y; 2) ρ(x,y)≤ ρ(x,z)+ ρ(y,z).

3. Пусть ρ(x,y) – метрика на множестве X. Доказать, что функции ρ1(x,y)= ρ(x,y)/(1+ρ(x,y)), ρ2(x,y)=min{ρ(x,y), 1} являются метриками на X. 4. Доказать, что следующие множества с заданными на них метриками являются полными метрическими пространствами. 1) Множество lp, p≥1, числовых последовательностей x=(x1,x2,…), p ∞ удовлетворяющих условию ∑ k=1|xk| <∞, с метрикой

ρ(x,y)=( ∑∞k=1|xk-yk|p)1/p;

2) множество l∞ всех ограниченных числовых последовательностей x=(x1,x2,…) с метрикой ρ(x,y)=supk| xk-yk|; 3)множество l0∞ всех числовых последовательностей x=(x1,x2,…), стремящихся к нулю, с метрикой ρ(x,y)=maxk| xk-yk|; 4)множество s всех числовых последовательностей x=(x1,x2,…) с ∞ -k метрикой ρ(x,y)=∑k=1 2 | xk-yk|/(1+| xk-yk|); 5)множество C[a,b] всех непрерывных функций на отрезке [a,b] с метрикой ρ(x,y)=maxt∈[a,b]|x(t)-y(t)|; 6)множество Cm[a,b] всех функций на отрезке [a,b], имеющих непрерывные производные до порядка m включительно, с m (k) (k) метрикой ρ(x,y)=∑k=0 maxt∈[a,b]|x (t)-y (t)|; 7)множество CB[a,b] всех ограниченных непрерывных функций на интервале (a,b) с метрикой ρ(x,y)=supt∈(a,b)|x(t)-y(t)|; 8) множество B[a,b] всех ограниченных функций на интервале (a,b) с метрикой ρ(x,y)=supt∈(a,b)|x(t)-y(t)|; 9)множество L2(a,b) функций x(t), удовлетворяющих условию b 2 1/2 ∫ab|x(t)|2dt<∞, с метрикой ρ(x,y)= (∫a |x(t)-y(t)| dt) ;

10)множество H1[a,b] функций, удовлетворяющих на отрезке [a,b] условию Липшица |x(t1)-x(t2)|≤C|t1-t2|, с метрикой ρ(x,y)=

maxt∈[a,b]|x(t)-y(t)|+supa≤t1≤t2≤b|x(t1)-y(t1)-x(t2)+y(t2)|/|t1-t2|. 11) множество m ограниченных числовых последовательностей x=(x1,x2,…) с метрикой ρ(x,y)=supi|xi-yi|. 12) множество c сходящихся числовых последовательностей x=(x1,x2,…), где limi→∞xi=a, с метрикой ρ(x,y)=supi|xi-yi|. 5. Являются ли следующие множества с заданными на них метриками полными метрическими пространствами:

1) множество целых чисел с метрикой ρ(m,n)=|eim-ein|; 2) множество натуральных чисел с метрикой ρ(m,n)=1+1/(m+n), если m≠n, ρ(m,n)=0, если m=n; 3) множество Lp(a,b) (p≥1) функций x(t), удовлетворяющих условию b p 1/p ∫ab|x(t)|pdt<∞, с метрикой ρ(x,y)= (∫a |x(t)-y(t)| dt) ; 4) множество C1[0,1] с метрикой ρ(x,y)=∫01|x(t)-y(t)|dt; 5) множество Cp[0,1] (p≥1) с метрикой ρ(x,y)= (∫01|x(t)-y(t)|pdt)1/p; 6) множество финитных числовых последовательностей с метрикой ρ(x,y)=maxk|xk-yk|? 6. Будут ли указанные ниже множества метрическими пространствами: 1) множество всех действительных чисел с метрикой

ρ(x,y)=sin2(x-y);

2)

3)

множество

всех

действительных чисел с метрикой ρ(x,y)=|arctgx-arctgy|; множество точек плоскости (x,y) с метрикой ρ(x,y)= | x2-

x1|+| y2-y1|;

4)

множество всех прямых на плоскости l: x⋅cosα+y⋅sinα-p=0 с метрикой ρ(l1,l2)=| p1-p2|+| sinα1- sinα2|?

2. Нормированные пространства. 1. Показать, что пространства нормированы относительно указанных норм. Показать полноту каждого пространства.

1) Rn, ||x||=(∑nk=1|xk|2)1/2; 2) lp, ||x||=(∑nk=1|xk|p)1/p, (1≤p<∞);

3) l∞, ||x||=supk|xk|; 4) c, ||x||=supk|xk|; 5) l0∞, ||x||=supk|xk|; 6) Lp(a,b), ||x||=(∫ab|x(t)|pdt)1/p; 7) C[a,b], ||x||=supa≤t≤b|x(t)|; 8) L∞(a,b), ||x||=esssupa≤t≤b|x(t)|; 9) B(R), ||x||=supt∈R|x(t)|; 10) Cl[a,b], ||x||=∑k=0 lmaxa≤t≤b|x(k)(t)|. p

2. При каких p,q справедливо вложение l

⊂lq?

3. Доказать, что C[a,b] не полно по норме ||x||=∫ab|x(t)|dt. 4. Доказать утверждения: 1) конечномерное пространство полно; 2) конечномерное подпространство нормированного пространства замкнуто. 5. Проверить, сеперабельны ли пространства:

1) lp, 1≤p<∞; 2) l0∞; 3) l∞; 4) Lp, 1≤p<∞; 5) L∞; 6) Rn; 7) C[a,b]; 8) Cl[a,b].

2. Линейные операторы и функционалы в нормированных пространствах. 1. Являются ли линейными следующие функционалы в C[0,1]?

1) F(x)=∫01x(t)sintdt; 2) F(x)=x(1/2); 3) F(x)=∫01x(t)sign(t-1/2)dt; 4) F(x)= ∫01x(t2)t1/2dt; 5) F(x)= ∫01x(t)t-1/3dt; 6) F(x)= ∫01x(t2)dt; 7) F(x)=x′(t0);

8) F(x)=max0≤t≤1x(t); 9) F(x)= ∫01|x(t)|dt; 10) F(x)= ∫01x2(t)dt.

Какие из этих функционалов непрерывны в C[0,1]? Вычислить их нормы. Какие из этих функционалов непрерывны в L2(0,1)? Вычислить их нормы. 2. Какие из следующих операторов являются непрерывными? 1) A: Rn→Rn определен формулой yi=∑nk=1aikτk, i=1,…,n; 2) A: C[0,1]→C[0,1] определен формулой Ax(t)=∫0tx(τ)dτ; 3) d/dt: C1[0,1]→C[0,1]; 4) d/dt: C[0,1]→C[0,1] определен на множестве непрерывно дифференцируемых функций из C[0,1]; 1 5) A: C[0,1]→C[0,1] определен формулой Ax(t)=∫0 K(t,τ)x(τ)dτ, где K(t,τ) непрерывна на квадрате [0,1]×[0,1]; 1 6) A: L2(0,1)→L2(0,1) определен формулой Ax(t)=∫0 K(t,τ)x(τ)dτ, 2 где K(t,τ)∈L ((0,1)×(0,1)). 3. Доказать следующие утверждения: 1) любой линейный оператор A: Rn→Rm компактен; 2) любой линейный оператор A: E1→E2 компактен, если E1 – конечномерное пространство; 3) любой ограниченный линейный оператор A: E1→E2 компактен, если E2 – конечномерное пространство; 4) линейный ограниченный оператор, образ которого лежит в конечномерном пространстве, компактен. 4. Являются ли компактными следующие операторы в пространстве C[0,1]? В пространстве L2(0,1)?

1) Ax(t)=∫01x(s)ds; 2) Ax(t)=∫01x(s)|t-s|-1ds; 3) Ax(t)=∫01x(s)(t-s)-1ds; 4) Ax(t)=∫01x(s)|t-s|-αds; 5) Ax(t)=∫01x(s)tg(|t-s|-1/2)ds; 6) Ax(t)=∫01x(s)tg(π/2(t-s))ds; 7) Ax(t)=∫01x(s)|sint-sins|-1/2ds; 8) Ax(t)=∫01x(s)(s-1/2)-1ds; 9) Ax(t)=∫01x(s)(ts+t2s2)ds; 10) Ax(t)=∫01x(s2)ds;

11) Ax(t)=x(t2); 12) Ax(t)=x(s1/2). 3. Гильбертовы пространства. 1. Проверить, что следующие пространства являются гильбертовыми: 1) l2 со скалярным произведением (x,y)=∑k=1∞xk⎯yk, где

x={x1,x2,…}, y={y1,y2,…};

2) L2(0,1) со скалярным произведением (x,y)=∫0 x(s)⎯y(s)ds. Для указанных пространств доказать теорему Пифагора: если (x,y)=0 2 2 2 и z=x+y, то ||z|| =||x|| +||y|| . 1

2. Какие из указанных функционалов, действующих на соответствующих классах функций из L2(0,1), будут линейными; непрерывными?

1) f[x(t)]=∫01x(t)sintdt; 2) f[x(t)]=∫01x(t)sign(t-1/2)dt; 3) f[x(t)]=x(1/2); 4) f[x(t)]=∫01/2x(t2)t1/2dt; 5) f[x(t)]=∫01x(t)t-1/3dt; 6) f[x(t)]=∫01x(t2)dt; 7) f[x(t)]=∫01|x(t)|dt; 8) f[x(t)]=∫01x2(t)dt; 9) f[x(t)]=x′(t0); 10) f[x(t)]=supt|x(t)|.

3. Какие из указанных функционалов, действующих на соответствующих классах элементов из l2, будут линейными; непрерывными?

1) f(x)=∑k=1∞xksink; 2) f(x)= xk; 3) f(x)=∑k=1∞xksign(k-n); 4) f(x)=∑k=1∞xk2k1/2; 5) f(x)=∑k=1∞xkk-1/2; 6) f(x)=∑k=1∞xk2; 7) f(x)= xk-xk-1; 8) f(x)=∑k=1∞|xk|; 9) f(x)=supk|xk|; 10) f(x)=∑k=1∞|xk| 2.

4. Примеры.

Проверить сходимость последовательности xn в метрических p пространствах s, l (p≥1) или m. Указание 1. Если существует предел xn по метрике, то он равен покоординатному пределу. 1. Проверить сходимость последовательности xn в пространствах s и m, если xn,k=1 при k=n и xn,k=0 при k≠n. Решение.

x1={1,0,0,0,…}, x2={0,1,0,0,…}, x3={0,0,1,0,…},…

Покоординатный предел существует и равен θ={0,0,0,0,…}. Поскольку покоординатная сходимость равносильна сходимости по метрике s, то xn→θ в s. Однако в пространстве m limn→∞ρ(xn,θ)= limn→∞1=1≠0, поэтому θ не является пределом xn по метрике пространства m. А тогда у xn Вообще не может быть предела в m, то есть последовательность xn не является сходящейся в m. 2. Проверить сходимость последовательности xn в пространствах s и m, если xn,k=(k+n)/n. Решение. Предел по каждой координате равен limn→∞ xn,k= limn→∞(k+n)/n= limn→∞(k/n+1)=1, поэтому в s имеет место сходимость xn→e={1,1,1,1,…}. О сходимости в m говорить не имеет смысла вообще, поскольку xn∉m. Действительно, при любом фиксированном n limk→∞(k+n)/n=∞, поэтому supk| xn,k |=∞. 3. Проверить сходимость последовательности xn в пространствах lp(p≥1) и m, если xn,k=1/(nk). Решение. p p p ∞ ∞ Рассмотрим числовой ряд ∑k=1 | xn,k | =∑k=1 1/(n k ). При любом p фиксированном n этот ряд сходится для p>1 (и тогда xn∈ l ) и p расходится для p=1 (тогда xn∉ l , говорить о сходимости не имеет смысла). Поскольку для всякого фиксированного k мы имеем limn→∞ xn,k= limn→∞1/(nk)=0, то у последовательности xn существует

покоординатный предел θ={0,0,0,0,…}∈l . Если p>1, то ряд ∑k=1∞1/kpсходится, и тогда в пространстве lp p

limn→∞ρ(xn,θ)=limn→∞(∑k=1∞1/|nk|p)1/p= =limn→∞(∑k=1∞1/(npkp))1/p= limn→∞1/n(∑k=1∞1/(kp))1/p=0, p p поэтому xn→θ в l (p>1). Поскольку сходимость в любом l сильнее, чем в m, то и в пространстве m имеет место сходимость xn→θ. 4. Проверить сходимость последовательности xn в пространствах lp(p≥1) и m, если xn,k=1/(k(nk)1/2). Решение. 1/2 3/2 ∞ ∞ Числовой ряд ∑k=1 |xn,k| =∑k=1 1/(n k ) сходится, поскольку 1 p 1,5>1, следовательно, все xn∈ l ⊂ l ⊂ m. У последовательности xn, очевидно, существует покоординатный предел θ={0,0,0,0,…}, и в 1 пространстве l

limn→∞ρ(xn,θ)= limn→∞∑k=1∞|xn,k|= limn→∞1/n1/2∑k=1∞1/k3/2=0. 1 1 Таким образом, xn→θ в l . Сходимость в l сильнее, чем в остальных lp(p>1) и в m, поэтому xn→θ во всех пространствах m и lp(p≥1). 5. Проверить сходимость последовательности xn в пространстве m, если xn,k=(k+n)/(3+k+n).

Решение. Поскольку ∀k,n(∈Ν) 0< xn,k<1, то все xn∈m. При любом фиксированном k limn→∞xn,k= limn→∞(k/n+1)/((3+k)/n+1)=1, Поэтому у последовательности существует покоординатный предел e={1,1,1,1,…}. В пространстве m

limn→∞ρ(xn,e)=limn→∞supk|xn,k|=limn→∞supk|(k+n)/(3+k+n)-1|= limn→∞supk3/(3+k+n)= limn→∞3/(4+n)=0. Итак, xn→θ по метрике пространства m. 6. Проверить сходимость последовательности xn в пространстве m, если xn,k=(n)/(k+2n).

Решение. Так как 0< xn,k<1/2, то все xn∈m. Найдем покоординатный предел:

y={1/2,1/2,1/2,1/2,…}∈m.

Замечание. Если последовательность xn сходится в m, то ее пределом может быть только y (см. указание 1). Оценим метрику ρ(xn,y): ρ(xn,y)= supk|xn,k-1/2|= supk k/(2(k+2n))≥ n/(2(n+2n))=1/6. Поскольку ρ(xn,y) ≥ 1/6, то limn→∞ρ(xn,y)≠0. Вывод: y не является пределом xn, и, согласно замечанию, последовательность xn не является сходящейся в m. 7. Проверить сходимость последовательности xn в пространствах lp(p≥1) и m, если xn,k=1/(2n+k). Решение. p p p ∞ ∞ ∞ Числовой ряд ∑k=1 |xn,k| =∑k=1 1/(2n+k) ∼∑k=1 1/k сходится при p>1 и расходится при p=1 (нет смысла говорить о сходимости в l1последовательности xn ∉l1). Таким образом, xn ∈ lp⊂ m (p>1). Покоординатным пределом xn является θ={0,0,0,0,…}. Вычислим p метрику ρ(xn, θ) в l (p>1):

ρ(xn, θ)=(∑k=1∞|xn,k|p)1/p=(∑k=1∞1/(2n+k)p)1/p. p 1/p ∞ Обозначив m =2n+k, получаем ρ(xn,θ)=(∑m=2n+1 1/m ) . ∞

p

Величина ∑m=2n+1 1/m является остатком сходящегося ряда ∑m=1∞1/mp и поэтому стремится к 0, когда n→∞. А тогда limn→∞ρ(xn, θ)=0, что означает сходимость xn к θ в lp (p>1). Из p сходимости в l (p>1) следует, что и в m xn→ θ. 8. Проверить сходимость последовательности xn в пространстве m, если xn,k=1/n+1/k. Решение. Так как,

0<xn,k<2, то xn∈m. Пределы координат: yk=limn→∞xn,k=1/k. 0
Так как, 0<xn,k
10. Проверить сходимость последовательности xn в пространстве l1, если xn,k=n/(nk2+1). Решение. 2 2 ∞ ∞ ∞ Числовой ряд ∑k=1 |xn,k|=∑k=1 1/(k +1/n)∼∑k=1 1/k сходится (т.к. показатель степени 2>1), т.е. xn∈l1. Пределы координат:

yk=limn→∞xn,k= limn→∞1/(k2+1/n)=1/k2, а это значит, что у xn есть покоординатный предел: y={1/,1/4,1/9,…}. При этом y∈l1. Оценим метрику ρ(xn,y) в 1 пространстве l : 0≤ρ(xn,y)=∑k=1∞|xn,k-yk|=∑k=1∞|n/(nk2+1)-1/k2|= =∑k=1∞ 1/((nk2+1) k2)<∑k=1∞ 1/(nk2)=1/n∑k=1∞ 1/k2. 1 Тогда limn→∞ρ(xn,y)=0, т.е. xn→ y по метрике l . 11. Проверить сходимость последовательности xn в пространстве m, если xn,k=n sin(1/(nk)). Решение. Т.к. при x>0 sin x<x, то 0<xn,k
yk=limn→∞xn,k= limn→∞(1/k ⋅ sin(1/(nk))/ (1/(nk)))=1/k. Т.к. 0<1/k≤ 1, то покоординатный предел y={1,1/2,1/3,…}∈m. В пространстве m ρ(xn,y)=supk|xn,k-yk|= supk |n sin(1/(nk)) - 1/k|= = supkn|sin(1/(nk)) - 1/(nk)|=n supk (1/(nk)-sin(1/(nk))). / Поскольку (x-sin x) =1-cos x≥0, то функция x-sin x монотонно возрастающая. Следовательно,

ρ(xn,y)=n(1/n-sin(1/n))=1 - n sin(1/n)=1 - (sin(1/n))/(1/n)→0 при n→∞, т.е. xn→ y в m.

Проверить сходимость последовательностей xn=xn(t) в функциональных метрических пространствах. В случаях сходимости найти пределы.

Указание 2. Если существует поточечный предел и предел по метрике, то они совпадают. -nt

1. xn(t)=e

(p≥1).

, 0≤ t≤ 1, в C[0;1], Cp[0;1], PC[0;1], PCp[0;1]

Решение. Найдём поточечный предел: при t=0 xn(0)=1, limn→∞xn(0)=1; −∞ при 0
ρ(xn,y)=sup0≤ t≤ 1|xn(t)-y(t)|=sup0
поэтому xn не может сходиться к y в PC[0;1] (нет равномерной сходимости), а тогда, согласно указанию 2, xn вообще не может сходиться в PC[0;1]. В PC[0;1] 1

1

0

0

ρ(xn,y)=( ∫ |xn(t)-y(t)|pdt)1/p=( ∫ e -nptdt)1/p= =(-1/(np)

t =1 -npt e t = 0 )1/p=(1-e -np)/(np),

limn→∞ρ(xn,y)=(1-0)/(+∞)=0, следовательно, xn→ y по метрике пространства PCp[0;1]. 2. xn(t)=e

(p≥1).

-nt

, 1≤ t≤ 2, в C[1;2], Cp[1;2], PC[1;2], PCp[1;2]

Решение. −∞ Для всякого t∈[1;2] limn→∞xn(t)= e =0, т.е. поточечно xn(t)→θ(t)≡0. В пространстве C[1;2]

ρ(xn,θ)=max1≤ t≤ 2e -nt=e -n, limn→∞ρ(xn,θ)= e − ∞ =0, поэтому xn→θ по метрике C[1;2] (имеет место равномерная сходимость xn к θ). Из равномерной сходимости следует сходимость xn→θ и по метрике Cp[1;2]. Поскольку C[1;2] и Cp[1;2] являются

PC[1;2] и PCp[1;2] метрическими подпространствами соответственно, то и в более широких пространствах PC[1;2] и PCp[1;2] xn→θ.

3. xn(t)=te

, 0≤ t≤ 1, в C[0;1], Cp[0;1], C1[0;1], (p≥1).

-nt

Решение. −∞ При t=0 xn(0)=0, при 00, при 1/n0 ⇒ ⇒ max0≤ t≤ 1xn(t)=xn(1/n)=1/(en). Тогда limn→∞ρ(xn,θ)=limn→∞(1/(en))=0, и xn→θ в C[0;1]. Из равномерной сходимости следует сходимость xn→θ в Cp[0;1]. 1 В пространстве C [0;1]

ρ(xn,θ)=max0≤ t≤ 1| xn(t)-θ(t)|+max0≤ t≤ 1| xn/(t)-θ /(t)|≥ ≥ max0≤ t≤ 1| xn/(t)|≥ | xn/(0)|=1. Поэтому limn→∞ρ(xn,θ) не может быть равен 0. 1

Согласно указанию 2, xn не является сходящейся в C [0;1]. 4. xn(t)=∑k=0 t /k! , a≤ t≤ b, в C[a;b], C [a;b], C [a;b]. n k

1

2

Решение. t ∞ k Используя ряд Маклорена e =∑k=0 t /k! (-∞
⎧− 1,−1 ≤ t ≤ −1 / n 5. xn(t)= ⎪⎨ nt , | t |< 1 / n в PC[-1;1], ⎪ 1,1 / n ≤ t ≤ 1 ⎩

Решение.

PCp[-1;1] (p≥1).

Поточечно xn(t)→y(t)=

⎧− 1,−1 ≤ t < 0 ⎪ и y∈PC[-1;1]. ⎨ 0, t = 0 ⎪ 1,0 < t ≤ 1 ⎩

В пространстве PC[-1;1]

ρ(xn,y)=sup−1≤ t≤ 1|xn(t)-y(t)|=sup0
поэтому сходимость xn к y невозможна, и, согласно указанию 2, xn не является сходящейся в PC[-1;1]. В PCp[-1;1] 1

ρ(xn,y)=( ∫ |xn(t)-y(t)| dt) =(2 p

1/ n

∫

|nt-1|pdt)1/p=

p+1

t = 1/ n /(p+1) t = 0 )1/p=2/(n(p+1)),

1/p

−1

0

1/ n

=(2

∫

(1-nt) dt) =(-2/n ⋅ (1-nt) p

1/p

0

limn→∞ρ(xn,y)=0, следовательно, xn→y по метрике PCp[-1;1]. 2 6. xn(t)=1/(1+(nt- n ) ) в C[0;1], Cp[0;1].

Решение. Поточечный предел xn(t)→θ(t)≡0. В C[0;1]

ρ(xn,θ)=max0≤ t≤ 1xn(t).

Найдём максимум с помощью производной xn/(t)= -2n(nt- n )/(1+( nt- n )2)=-2n2(t-1/ n )/(1+( nt- n )2)2 ,

xn/(t)=0 при t=1/ n , / / при 0≤ t<1/ n xn (t)>0, при 1/ n
1

0

0

ρ(xn,θ)=( ∫ |xn(t)-θ(t)|pdt)1/p=( ∫ (xn(t))pdt)1/p . Поскольку 0<xn(t)≤ 1 и p≥1, то (xn(t)) 1

p

≤ xn(t), поэтому

1

ρ(xn,θ)≤ ( ∫ (xn(t))dt)1/p=(1/n ∫ d(nt- n )/(1+( nt- n )2))1/p= 0

=(1/n ⋅ arctg(nt-

0

t =1 n ) t = 0 )1/p=1/n1/p(arctg(n-

n )+arctg( n )).

Так как величина арктангенс ограниченная, то limn→∞ρ(xn,θ)=0,

и xn→θ в метрике Cp[0;1]. 7. xn(t)=e

t-n

в C[0;1], C [0;1] (m∈N),Cp[0;1] (p≥1). m

Решение. −∞ Поточечно xn(t)→θ(t)=e =0. В C[0;1]

ρ(xn,θ)=max0≤ t≤ 1|xn(t)-θ(t)|=max0≤ t≤ 1(et/en)=e/en, limn→∞ρ(xn,θ)=0, поэтому xn→θ в C[0;1]. /

//

(m)

t-n

Все производные xn (t)=xn (t)=…= xn (t)=e m равномерно стремятся к θ, поэтому xn→θ в C [0;1]. Из равномерной сходимости следует и сходимость xn→θ по метрике Cp[0;1]. Разные задачи.

⎛ 2 1) Доказать, что y = ⎜ x ln ⎝ p > 1. 2) При каких α , β ∈ R

1⎞ ⎟ x⎠

−1

y=

∈ L1

[ 0, 12 ]

(arctgx) β 2 α

(1 + x )

и не принадлежит

p

L[0, 1 ] , 2

∈ L(p−∞,∞ ) ?

3) Пусть {t n } – числовая последовательность 1 , 1 , 3 , 1 , 3 , 5 , 7 , 1 ,L 2 4 4 8 8 8 8 16

Показать, что последовательность функций

4 ⎧ n x t x t 1 , − − − < n n ⎪ n f n ( x) = ⎨ 4 4 ⎪0, x − tn ≥ ⎩ n 2 сходится к функции f ( x) = 0 в L( 0,1) , но не сходится ∀x ∈ (0,1) . 4. Найти преобразование Фурье функций

1

а)

ϕ ( x) =

б)

ϕ ( x) = e −α x , (α > 0 );

в)

ϕ ( x) = xe −α x , (α > 0 ) ;

(x − λ)

m

, m ∈N,

λ ∈С, Im z ≠ 0 .

г)

ϕ ( x) = e

−

x2 cos(αx ) 2 ;

⎧ 4i , 0 < x < 2a ⎪ д) ϕ ( x) = ⎨− 4i , − 2a < x < 0 ⎪ 0, x ≥ 2a ⎩

sin x x sin ax sin bx ж) ϕ ( x) = , ( a, b ∈ R); x x з) ϕ ( x) = , (α ∈R); 2 2 x +α

е)

ϕ ( x) =

5. Найти полную вариацию функции а) ϕ ( x) = x − 1 , x ∈ [−2,2] ;

x ∈[0,5; 3,5]; б) ϕ ( x ) = [ x ] , в) ϕ ( x) = cos 2 x , x ∈ [0,2π ] ; 6. Вычислить интеграл Стилтьеса 2π

а)

2 ∫ x d sin x ;

0

x = −1 ⎧ 0, ⎪ б) ∫ xdϕ (x) , ϕ ( x) = ⎨1, −1 < x < 2 −1 ⎪− 1, 2≤ x≤3 ⎩ 3

7. Найти норму функционала 1

а)

∫ f ( x) cos 2πxdx

0 3

б)

в пространстве C[ 0,1] .

∫ f ( x)dϕ ( x) в C[ −1,0] ,

функция ϕ (x) та же, что и в примере 6.б.

−1

6. Проверить аксиомы нормированного пространства для пространства матриц M m×n размера m × n : а) A 1 = max aij , i, j

n

б) A 2 = max ∑ aij , i ≤ m j =1

в) A =

m n

∑ ∑ aij

2

.

i =1 j =1

7. Доказать, что пространство M m×n банахово в нормах предыдущего примера. 8. Доказать, что ∀A, B ∈ M n×n неравенство Минковского).

AB ≤ A ⋅ B

(Использовать

9.

Доказать,

что

f ( k ) (0) k f ( z) = ∑ z ! k k =0 ∞

если

⎛ ⎞ f ( k ) ( 0) ⎟ ⎜ k lim 0 = ⎟ , то матричный ряд ⎜ → ∞ k k! ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ абсолютно в банаховом пространстве M n×n .

–

целая

функция

f ( k ) (0) k A ∑ k! k =0

сходится

∞

10. Вычислить производную Фреше следующих отображений: 3

2

3

а) F1 : R → R , F ( x1 , x 2 , x3 ) = x1 + x 2 + x3 в точке (1,1,1) . 3

б) F2 : R → R , F (t ) = {sin πt , cos πt , t} 2

3

3

2

в точке t = 1.

{ x sin πx2 , e x cos πx2 , e x } в точке (1,1) .

в) F3 : R → R , F ( x1 , x 2 ) = e

г) F4 : R → R , F ( x1 , x 2 , x3 ) =

1

{ 4− x

1

2 1

1

}

+ x 22 + x32 , x1 x 2 x3 в точке

(1,1,1) . 11. Вычислить производную Фреше сложного отображения: а) F1 o F2 : R → R в точке t = 1. 3

3

3

3

б) F2 o F1 : R → R в точке t = (1,1,1) . 2 2 в) F4 o F3 : R → R в точке (1,1) . г) F3 o F4 : R → R в точке (1,1,1) . 12. Найти производную оператора в точке u 0 а) F (u ) = sin u : C[ 0,π ] → C[ 0,π ] , u 0 ( x) = cos x . б) F (u ) = cos u : C[ 0,π ] → C[ 0,π ] , в) F (u ) = u + e

ux

: C[0,1] → C[0,1] ,

2

u 0 ( x) = sin x . u 0 ( x) ≡ 0 .

г) F (u ) = x u + sh(u ) : C[ 0,1] → C[ 0,1] ,

u 0 ( x) ≡ 0 .

1

д) функционала

ϕ ( x) = ∫ Φ (t , x(t ), x ′(t ))dt на пространстве C[10,1] 0

непрерывно дифференцируемых на [0,1] , обращающихся в ноль в точках t = 0 , t = 1. 13. Вычислить градиент нормы ⋅ = (⋅,⋅) на элементе x0 в гильбертовом пространстве.

F : R n × R n → R n определяется формулами F ( x1 , x 2 ) := x1Т A1 x 2 , K , x1Т An x 2 , где Ak = aijk , размера n × n ,

14.

Пусть

оператор

{

}

( )

⎛ x k1 ⎞ ⎜ ⎟ x k = ⎜ L ⎟ . Показать, что он билинейный и ограниченный. ⎜x ⎟ ⎝ kn ⎠ 15. Пусть F ( x) :=

d 2x dt

2

+ sin x : C[20,1] → C[0,1] . Показать, что в точке

x0 (t ) = t первый дифференциал d [ F ( x0 ), h] =

d2 2

dt 2 2 второй дифференциал d [ F ( x0 ), h] = −(sin t )h (t ) .

h(t ) + (cos t )h(t ) , а