Кратные интегралы: Лекции по математическому анализу

ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ

Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ ¾ÞÆÍÛÉ ÔÅÄÅÐÀËÜÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ¿ Ôàêóëüòåò ìàòåìàòèêè, ìåõàíèêè è êîìïüþòåðíûõ íàóê Êàôåäðà òåîðèè ôóíêöèé è ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà

Â.Å.ÊÎÂÀËÜ×ÓÊ, Ï.À.×ÀËÎÂ

ËÅÊÖÈÈ ÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÌÓ ÀÍÀËÈÇÓ Êðàòíûå èíòåãðàëû

Ðîñòîâ-íà-Äîíó

Îãëàâëåíèå 1

Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû . . . . . . . . . . . . . . . 1.1

2

Ïðèìåðû çàäà÷, ïðèâîäÿùèõ ê ïîíÿòèþ äâîéíîãî è òðîéíîãî èíòåãðàëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Îáúåì òåëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Ñâîéñòâà êóáèðóåìûõ òåë è èõ îáúåìîâ . . . . . . . 11

1.4

Êðàòíûå èíòåãðàëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5

Ñóììû Äàðáó è èõ ñâîéñòâà . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6

Êðèòåðèé èíòåãðèðóåìîñòè . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.7

Ñâîéñòâà èíòåãðàëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.8

Ñâåäåíèå êðàòíîãî èíòåãðàëà ê ïîâòîðíîìó . . . . . 34

1.9

Çàìåíà ïåðåìåííûõ â êðàòíîì èíòåãðàëå . . . . . . . 43

1.10

Êîíòðîëüíûå âîïðîñû, çàäà÷è, óïðàæíåíèÿ . . . . . 51

Ñïèñîê èñïîëüçîâàííîé ëèòåðàòóðû

1

. . . . . . . . . . . . . . . . 54

2

Îãëàâëåíèå

1 Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû Çàäà÷à âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè è çàäà÷à âû÷èñëåíèÿ ìàññû íåîäíîðîäíîãî ñòåðæíÿ ïî èçâåñòíîé ëèíåéíîé ïëîòíîñòè ýòîãî ñòåðæíÿ  íàèáîëåå òèïè÷íûå çàäà÷è, ïðèâîäÿùèå ê ïîíÿòèþ

¾îäíîêðàòíîãî¿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Ñóùåñòâóåò ìíîãî çàäà÷, àíàëîãè÷íûõ íàçâàííûì, íî îòíîñÿùèõñÿ ê ôóíêöèÿì íå îäíîé, à íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ, êîòîðûå ïðèâîäÿò ê ïîíÿòèþ n-êðàòíîãî èíòåãðàëà (äâîéíîãî, òðîéíîãî, è ò.ä.).

1.1 Ïðèìåðû çàäà÷, ïðèâîäÿùèõ ê ïîíÿòèþ äâîéíîãî è òðîéíîãî èíòåãðàëà Çàäà÷à î âû÷èñëåíèè îáúåìà Îäíîé èç òàêèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷ ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à íàõîæäåíèÿ îáúåìà êðèâîëèíåéíîãî (â äðóãîé òåðìèíîëîãèè  êðèâîäîííîãî) öèëèíäðà (òðåõìåðíûé àíàëîã êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè). Ïîä êðèâîëèíåéíûì öèëèíäðîì ñ îñíîâàíèåì F , ëåæàùèì â ïëîñêîñòè xOy , ïîíèìàåòñÿ òåëî T , îãðàíè÷åííîå ýòèì îñíîâàíèåì, íåêîòîðîé ïîâåðõíîñòüþ z = f (x, y) è áîêîâîé öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ (ðèñ. 1). Îáúåì òàêîãî òåëà åñòåñòâåííî èñêàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ðàçîáüåì îñíîâàíèå F ñåòüþ êðèâûõ íà êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ÿ÷ååê Fi ; òîãäà âåñü öèëèíäð T ðàçîáüåòñÿ íà ¾öèëèíäðè÷åñêèå ñòîëáèêè¿ Ti , îñíîâàíèåì êîòîðûõ ñëóæàò ÿ÷åéêè Fi . Î÷åâèäíî, ÷òî îáúåì öèëèíäð T ñëåäóåò ñ÷èòàòü ðàâíûì ñóììå îáúåìîâ ñîñòàâëÿþùèõ åãî ñòîëáèêîâ Ti . Äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ îáúåìà ñòîëáèêà Ti , âûáåðåì â Fi êàêóþ-íèáóäü òî÷êó (ξi , ηi ) è çàìåíèì öèëèíäðè÷åñêèé ñòîëáèê Ti ñ ¾êðèâûì¿ âåðõíèì îñíîâàíèåì öèëèíäðîì ñ âûñîòîé, ðàâíîé f (ξi , ηi ), è òåì æå îñíîâàíèåì Fi . Èíà÷å ãîâîðÿ, îáúåì ñòîëáèêà Ti ïðèáëèæåííî ïîëî-

1. Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû

3

z6 z = f (x, y)

Ti

T -

O ¡

y

¡

¡

Fi

¡ ¡ ª x

F

Ðèñ. 1: Êðèâîëèíåéíûé öèëèíäð æèì ðàâíûì f (ξi , ηi ) ∆si , ãäå ∆si  ïëîùàäü ÿ÷åéêè Fi . À çà ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå îáúåìà âñåãî öèëèíäðà T ïðèìåì ñóììó l X

f (ξi , ηi ) ∆si ,

(1.1)

i=1

âçÿòóþ ïî âñåì ÿ÷åéêàì, íà êîòîðûå ðàçáèòî îñíîâàíèå F . Èíòóèòèâíî ÿñíî, ÷òî ñóììà (1.1) áóäåò ïðåäñòàâëÿòü îáúåì öèëèíäðà T ñ òî÷íîñòüþ òåì áîëüøåé, ÷åì ìåíüøå ðàçìåðû ÿ÷ååê Fi . Äëÿ ïîëó÷åíèÿ òî÷íîãî çíà÷åíèÿ îáúåìà íóæíî â âûðàæåíèè (1.1) ïåðåéòè ê ïðåäåëó, íåîãðàíè÷åíî óìåíüøàÿ ðàçìåðû ÿ÷ååê Fi . Ýòîò ïðåäåëüíûé ïåðåõîä è ïðèâåäåò íàñ ê ïîíÿòèþ èíòåãðàëà îò ôóíêöèè f (x, y) äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ  òàê íàçûâàåìîìó äâîé-

íîìó èíòåãðàëó . Ïîìèìî ýòîé çàäà÷è ñóùåñòâóåò ìíîãî äðóãèõ çàäà÷, òàêæå ïðèâîäÿùèõ ê ïîíÿòèþ äâîéíîãî èíòåãðàëà. Êðîìå ýòîãî, èìååòñÿ ìíîæåñòâî ôèçè÷åñêèõ è ãåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ ïîíÿòèåì èíòåãðàëà îò ôóíêöèé òðåõ è áîëüøåãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ.

4

Îãëàâëåíèå

Çàäà÷à î âû÷èñëåíèè ìàññû íåîäíîðîäíîãî òåëà Òàê çàäà÷à âû÷èñëåíèÿ ìàññû íåîäíîðîäíîãî òåëà T ïî èçâåñòíîé îáúåìíîé ïëîòíîñòè ρ(x, y, z) ýòîãî òåëà ïðèâîäèò ê ïîíÿòèþ òðîéíîãî èíòåãðàëà. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàññû òåëà ðàçîáüåì åãî íà êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ¾äîñòàòî÷íî ìàëûõ òåë¿ T1 , T2 , . . . , Tl . Ïðèáëèæåííî ìîæíî ñ÷èòàòü îáúåìíóþ ïëîòíîñòü êàæäîãî òåëà Ti ïîñòîÿííîé è ðàâíîé ρ (ξi , ηi , ζi ), ãäå

(ξi , ηi , ζi )  íåêîòîðàÿ òî÷êà òåëà Ti . Ïîýòîìó ìàññû òåëà Ti áóäåò ïðèáëèæåííî ðàâíà ρ (ξi , ηi , ζi ) ∆vi , ãäå ∆vi  îáúåì òåëà Ti . Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ìàññû âñåãî òåëà T áóäåò ðàâíà l X

ρ (ξi , ηi , ζi ) ∆vi .

(1.2)

i=1

Òî÷íîå çíà÷åíèå ìàññû òåëà T åñòåñòâåííî îïðåäåëèòü êàê ïðåäåë ñóììû (1.2) ïðè ¾íåîãðàíè÷åííîì¿ óìåíüøåíèè òåë Ti . Ýòîò ïðåäåë è áóäåò èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè ρ(x, y, z) òðåõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, òî åñòü

òðîéíûì èíòåãðàëîì . Èçëîæåíèå òåîðèè êðàòíûõ èíòåãðàëîâ íà÷íåì ñ íåîáõîäèìûõ â äàëüíåéøåì îñíîâîïîëàãàþùèõ ïîíÿòèé  ïîíÿòèÿ òåëà è ïîíÿòèÿ îáúåìà òåëà.

1.2 Îáúåì òåëà Ïóñòü a(k) = (ak1 , ak2 , . . . , akn ) ,

k = 1, 2, . . . , n,  ïðîèçâîëüíûå ýëå-

ìåíòû (âåêòîðû) n-ìåðíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà Rn . Ýòè âåêòîðû îïðåäåëÿþò n-ìåðíûé ïàðàëëåëåïèïåä Π, äëÿ êîòîðîãî îíè ñëóæàò ðåáðàìè, âûõîäÿùèìè èç îäíîé âåðøèíû. Ïðèìåðîì n-ìåðíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ÿâëÿåòñÿ øàð â Rn â ìåòðèêå

ρ1 (x, y) = max {|xi − yi | : i = 1, 2, . . . , n} , ãäå x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ), êîòîðûé, êàê îáû÷íî, ìû áóäåì íàçûâàòü n-ìåðíûì êóáîì èëè ïðîñòî êóáîì.

1. Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû

5

Êàê èçâåñòíî, îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà ìîæåò áûòü âû÷èñëåí ïî ôîðìóëå

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ V (Π) = abs det (aij ) = abs ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯ ¯ a1n ¯ ¯ ¯ a21 a22 . . . a2n ¯ ¯. ¯ ... ... ... ... ¯ ¯ ¯ an1 an2 . . . ann ¯ a11 a12 . . .

(1.3)

Ðàññìîòðèì n-ìåðíóþ ïèðàìèäó, áîêîâûìè ðåáðàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ âåêòîðû a(k) , k = 1, 2, . . . , n, à îñíîâàíèåì n − 1-ìåðíàÿ ïèðàìèäà, âåðøèíàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ êîíöû äàííûõ âåêòîðîâ. Ýòó ïèðàìèäó íàçûâàþò n-ìåðíûì ñèìïëåêñîì. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îáúåì îïèñàííîãî ñèìïëåêñà S âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëà

V (S) =

1 1 V (Π) = abs det (aij ) . n! n!

(1.4)

Çàìåòèì, ÷òî îáúåì n-ìåðíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà (è n-ìåðíîãî ñèìïëåêñà) íå çàâèñèò îò âûáðàííîãî â Rn îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà, ïîñêîëüêó ïåðåõîä îò îäíîãî îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà ê äðóãîìó ñâîäèòñÿ ê ïàðàëëåëüíîìó ïåðåíîñó, ïðè êîòîðîì ìàòðèöà (aij ) íå èçìåíÿåòñÿ, è îðòîãîíàëüíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ, ïðè êîòîðîì îíà óìíîæàåòñÿ íà îðòîãîíàëüíóþ ìàòðèöó, ìîäóëü îïðåäåëèòåëÿ êîòîðîé ðàâåí åäèíèöå.

Îïðåäåëåíèå 1.1 Ìíîãîãðàííèêîì íàçûâàþò ëþáîå ìíîæåñòâî â Rn , êîòîðîå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå êîíå÷íîãî îáúåäèíåíèÿ n-ìåðíûõ ñèìïëåêñîâ, íå èìåþùèõ ïîïàðíî îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê. Ïðèìåðû ìíîãîãðàííèêîâ ïðèâåäåíû íà ðèñóíêå 2. Èòàê, åñëè P  ìíîãîãðàííèê, òî

P =

m [

Sj ,

(1.5)

j=1

ïðè÷åì intSj ∩ intSk = ∅ ïðè k 6= j , j, k = 1, 2, . . . , m.

Îïðåäåëåíèå 1.2 Îáúåìîì ìíîãîãðàííèêà íàçûâàþò ñóììó îáúåìîâ ñîñòàâëÿþùèõ åãî ñèìïëåêñîâ.

6

Îãëàâëåíèå

(a)

© ©©

©© © HH ¡ ¡ ¡© ¡© @@ ©

¢B ¢ B ¢ B ¢ BB ¡ ¡ ¡ ¡

(b)

¡£ £ H ¡ ¢H HH¡ £ ¢ £ ¢ ¡@ £ @ ¢ ¡ ¢ ¡ HH ¢ £ £ @ H¢ £ @ @ £

(c) ¢

¢ ©© ¢©©© ¢ © ` Q```` ¢@ QQ ¡ Q¡ @ ¢ » ¢ »» »

Ðèñ. 2: Ìíîãîãðàííèêè â R2 Òàêèì îáðàçîì, åñëè ìíîãîãðàííèê P èìååò ïðåäñòàâëåíèå (1.5), òî

V (P ) =

m X

V (Sj ) .

(1.6)

j=1

Îáúåì ìíîãîãðàííèêà îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:

1◦ . (íåîòðèöàòåëüíîñòü) V (P ) ≥ 0 äëÿ ëþáîãî ìíîãîãðàííèêà P ; 2◦ . (àääèòèâíîñòü) åñëè ìíîãîãðàííèêè P1 è P2 íå èìåþò îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê, òî V (P1 ∪ P2 ) = V (P1 ) + V (P2 ) ;

3◦ . (ìîíîòîííîñòü) åñëè P1 ⊂ P2 , òî V (P1 ) ≤ V (P2 ) ; 4◦ . (èíâàðèàíòíîñòü) åñëè ìíîãîãðàííèêè P1 è P2 êîíãðóýíòíû, òî V (P1 ) = V (P2 ) . Ñâîéñòâà 1◦ è 4◦ î÷åâèäíû, à ñâîéñòâà 2◦ è 3◦ ïðè n = 2, 3 èçâåñòíû, à ïðè n > 3 ïðèìåì áåç äîêàçàòåëüñòâà (ñëîæíîñòè â èõ äîêàçàòåëüñòâå  ÷èñòî àëãåáðàè÷åñêèå). Äîãîâîðèìñÿ ñ÷èòàòü ïóñòîå ìíîæåñòâî (âûðîæäåííûì) ìíîãîãðàííèêîì, îáúåì êîòîðîãî ðàâåí íóëþ.

Îïðåäåëåíèå 1.3 Ñâÿçíîå ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ êîíå÷íîñâÿçíûì, åñëè åãî ãðàíèöà ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ñâÿçíûõ êîìïîíåíò.

Îïðåäåëåíèå 1.4 Îãðàíè÷åííîå êîíå÷íîñâÿçíîå ìíîæåñòâî â Rn íàçûâàåòñÿ òåëîì. Íàïîìíèì, ÷òî îãðàíè÷åííîñòü ìíîæåñòâà â Rn îçíà÷àåò ñóùåñòâîâàíèå êóáà ñîäåðæàùåãî äàííîå ìíîæåñòâî.

1. Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû

7

Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå òåëî G. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïóñòîå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ ìíîãîãðàííèêîì è ∅ ⊂ G, â òåëî G âñåãäà ìîæíî âïèñàòü õîòÿ áû îäèí ìíîãîãðàííèê P . Ïóñòü K  ëþáîé êóá ñîäåðæàùèé òåëî G. Î÷åâèäíî, ÷òî P ⊂ K . Íî òîãäà, ââèäó ìîíîòîííîñòè îáúåìà ìíîãîãðàííèêà (ñâîéñòâî 3◦ ), ñïðàâåäëèâà îöåíêà V (P ) ≤ V (K). Ïîýòîìó ñîâîêóïíîñòü

{V (P ) : P ⊂ G} îáúåìîâ âñåâîçìîæíûõ ìíîãîãðàííèêîâ, âïèñàííûõ â òåëî G îãðàíè÷åíî ñâåðõó (íàïðèìåð, ÷èñëîì V (K)). Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò òî÷íàÿ âåðõíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà {V (P ) : P ⊂ G}.

Îïðåäåëåíèå 1.5 ×èñëî V∗ (G) = sup {V (P ) : P ⊂ G}

(1.7)

íàçûâàþò âíóòðåííèì îáúåìîì òåëà G. Ðàññìîòðèì òåïåðü ñîâîêóïíîñòü âñåõ ìíîãîãðàííèêîâ Q, îïèñàííûõ îêîëî òåëà G. Ïîñêîëüêó òåëî G, êàê îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî, ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì êóáå K , à êóá ÿâëÿåòñÿ ìíîãîãðàííèêîì, òî ìíîæåñòâî ìíîãîãðàííèêîâ, îïèñàííûõ îêîëî òåëà G íå ïóñòî. Îòñþäà è íåîòðèöàòåëüíîñòè îáúåìà ìíîãîãðàííèêà ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî {V (Q) : Q ⊃ G} òàêæå íå ïóñòî è îãðàíè÷åíî ñíèçó. Ïîýòîìó îíî èìååò òî÷íóþ íèæíþþ ãðàíü.

Îïðåäåëåíèå 1.6 ×èñëî V ∗ (G) = inf {V (Q) : Q ⊃ G}

(1.8)

íàçûâàþò âíåøíèì îáúåìîì òåëà G.

Ëåììà 1.1 Äëÿ âñÿêîãî òåëà G ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî V∗ (G) ≤ V ∗ (G) .

(1.9)

Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûå ìíîãîãðàííèêè P è Q ñîîòâåòñòâåííî âïèñàííûé â òåëî G è îïèñàííûé îêîëî íåãî. Â ñèëó ìîíîòîííîñòè îáúåìîâ ìíîãîãðàííèêîâ (ñâîéñòâî 3◦ ) èìååì:

V (P ) ≤ V (Q) .

8

Îãëàâëåíèå

Èç ýòîé îöåíêè ñëåäóåò, ÷òî êàêîâ áû íè áûë ìíîãîãðàííèê Q ⊃ G, ÷èñëî V (Q) ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç âåðõíèõ ãðàíåé ìíîæåñòâà îáúåìîâ âñåâîçìîæíûõ ìíîãîãðàííèêîâ, âïèñàííûõ â òåëî G. Ñëåäîâàòåëüíî, V∗ (G) ≤

V (Q). À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷èñëî V∗ (G) åñòü êàêàÿ-òî íèæíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà îáúåìîâ âñåõ ìíîãîãðàííèêîâ, îïèñàííûõ îêîëî òåëî G. Ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî (1.9). Ñóùåñòâóþò òåëà, äëÿ êîòîðûõ â (1.9) èìååò ìåñòî ñòðîãîå íåðàâåíñòâî. Íàïðèìåð, äëÿ òåëà

½ G=

¾ ¢ 1¡ (x, y) ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1+ ≤ D(x) , 2 2

ãäå D : [0, 1] −→ {0, 1}  ôóíêöèÿ Äèðèõëå, èìååì:

1 V∗ (G) = , 2

V ∗ (G) = 1.

Îïðåäåëåíèå 1.7 Òåëî G íàçîâåì êóáèðóåìûì, åñëè åãî âíóòðåííèé è âíåøíèé îáúåìû ñîâïàäàþò, òî åñòü åñëè

V∗ (G) = V ∗ (G) .

(1.10)

V (G) = V∗ (G) = V ∗ (G)

(1.11)

Ïðè ýòîì ÷èñëî

íàçûâàþò îáúåìîì òåëà G.

Çàìå÷àíèå 1.1 Ïðè n = 2 ïðèíÿòî óïîòðåáëÿòü òåðìèíû ¾ôèãóðà¿, ¾êâàäðèðóåìàÿ ôèãóðà¿ è ¾ïëîùàäü¿ âìåñòî òåðìèíîâ ¾òåëî¿, ¾êóáèðóåìîå òåëî¿, ¾îáúåì¿ è îáîçíà÷àòü ïëîùàäü ôèãóðû áóêâîé S èëè P âìåñòî V .

Çàìå÷àíèå 1.2 Ñâÿçíûé ìíîãîãðàííèê P  êóáèðóåìîå òåëî, èáî, î÷åâèäíî, ÷òî V∗ (P ) = V ∗ (P ) = V (P ), ãäå V (P ) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (1.6). Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ñâÿçíîãî ìíîãîãðàííèêà îáúåì, îïðåäåëÿåìûé ôîðìóëàìè (1.6) è (1.11), îäèíàêîâ.

1. Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû

9

Òåîðåìà 1.1 (Ïåðâûé êðèòåðèé êóáèðóåìîñòè.)Òåëî G êóáèðóåìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäóòñÿ äâà ìíîãîãðàííèêà

P ⊂ G è Q ⊃ G òàêèå, ÷òî V (Q) − V (P ) < ε.

(1.12)

Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü G  êóáèðóåìîå òåëî. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ 1.7 ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (1.10). Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèé 1.5, 1.6 è òî÷íûõ ãðàíåé, íàéäóòñÿ ìíîãîãðàííèêè P ⊂ G è Q ⊃ G òàêèå, ÷òî

ε V (P ) > V∗ (G) − , 2

ε V (Q) < V ∗ (G) + . 2

Òîãäà, ó÷èòûâàÿ (1.10), ïîëó÷àåì

³ ε´ ε´ ³ − V∗ (G) − = ε, V (Q) − V (P ) < V ∗ (G) + 2 2 è (1.12) óñòàíîâëåíî.

Äîñòàòî÷íîñòü. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïî óñëîâèþ ñóùåñòâóþò ìíîãîãðàííèêè P ⊂ G è Q ⊃ G äëÿ îáúåìîâ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà (1.12). Èñïîëüçóÿ òåïåðü (1.12), ëåììó 1.1), íà îñíîâàíèè îïðåäåëåíèé 1.5, 1.6 è òî÷íûõ ãðàíåé, âûâîäèì

0 ≤ V ∗ (G) − V∗ (G) ≤ V (Q) − V (P ) < ε. Òàê êàê V ∗ (G) è V∗ (G)  ÷èñëà, îòñþäà, ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè ε, âûòåêàåò ðàâåíñòâî V ∗ (G) − V∗ (G) = 0, òî åñòü V ∗ (G) = V∗ (G). Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1.7 òåëî G êóáèðóåìî.

Îïðåäåëåíèå 1.8 Ìíîæåñòâî F ⊂ Rn íàçîâåì ìíîæåñòâîì íóëåâîãî îáúåìà, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ ìíîãîãðàííèê P ⊃ F òàêîé, ÷òî

V (P ) < ε.

(1.13)

Îòìåòèì äâà ïðîñòûõ, íî ïîëåçíûõ â äàëüíåéøåì, ñâîéñòâà ìíîæåñòâ íóëåâîãî îáúåìà.

10

Îãëàâëåíèå

Ïðåäëîæåíèå 1.1 Êîíå÷íîå îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ íóëåâîãî îáúåìà åñòü ìíîæåñòâî íóëåâîãî îáúåìà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü F1 , F2 , . . . , Fk  ìíîæåñòâà íóëåâîãî îáúåìà è F =

k S

j=1

Fj .

Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1.8, äëÿ êàæäîãî

j = 1, 2, . . . , k íàéäåòñÿ ìíîãîãðàííèê Pj ⊃ Fj òàêîé, ÷òî V (Pj ) < Ïîëîæèì P =

k S j=1

ε . k

Pj . Î÷åâèäíî, ÷òî F ⊂ P è V (P ) ≤

(1.14) k P j=1

V (Pj ). Îò-

ñþäà, èñïîëüçóÿ (1.14), âûâîäèì îöåíêó V (P ) < ε. Ïî îïðåäåëåíèþ 1.8, ìíîæåñòâî F åñòü ìíîæåñòâî íóëåâîãî îáúåìà.

Ïðåäëîæåíèå 1.2 Ëþáîå ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà íóëåâîãî îáúåìà ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì íóëåâîãî îáúåìà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü F  ìíîæåñòâî íóëåâîãî îáúåìà è F0 ⊂ F . Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïî îïðåäåëåíèÿ 1.8 íàéäåòñÿ ìíîãîãðàííèê

P ⊃ F òàêîé, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ (1.13). Íî òàê êàê F0 ⊂ F , òî P ⊃ F0 . À òîãäà, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1.8, ìíîæåñòâî F0 åñòü ìíîæåñòâî íóëåâîãî îáúåìà.

Òåîðåìà 1.2 (Âòîðîé êðèòåðèé êóáèðóåìîñòè.) Òåëî G êóáèðóåìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî ãðàíèöà ∂G åñòü ìíîæåñòâî íóëåâîãî îáúåìà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Ïóñòü G  êóáèðóåìîå òåëî. Òîãäà, ïî êðèòåðèþ êóáèðóåìîñòè, äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäóòñÿ ìíîãîãðàííèêè

P è Q, P ⊂ G ⊂ Q, òàêèå, ÷òî V (Q) − V (P ) < ε. Áóäåì ñ÷èòàòü ìíîãîãðàííèê P îòêðûòûì, à ìíîãîãðàííèê Q çàìêíóòûì. Òîãäà, î÷åâèäíî,

∂G ⊂ Q \ P . Íî òàê êàê ðàçíîñòü äâóõ ìíîãîãðàííèêîâ åñòü ìíîãîãðàííèê è V (Q \ P ) = V (Q) − V (P ) < ε, òî ãðàíèöà ∂G òåëà G çàêëþ÷åíà â ìíîãîãðàííèê Q \ P , îáúåì êîòîðîãî ìåíüøå ε.

1. Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû

11

Äîñòàòî÷íîñòü. Òàê êàê ãðàíèöà ∂G òåëà G ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì íóëåâîãî îáúåìà, äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ ìíîãîãðàííèê P 0 ⊃ ∂G òàêîé, ÷òî V (P 0 ) < ε. Åñëè ãðàíèöà ∂P 0 ìíîãîãðàííèêà P 0 ñîñòîèò èç îäíîé ñâÿçíîé êîìïîíåíòû, òî P 0  îäíîñâÿçíîå ìíîæåñòâî, ïîýòîìó âìåñòå ñ ãðàíèöåé òåëà G ìíîãîãðàííèê P 0 ñîäåðæèò è âñå òåëî G. Ïîýòîìó, ïîëàãàÿ Q = P 0 , P = ∅, èìååì P ⊂ G ⊂ Q è

V (Q) − V (P ) = V (P 0 ) − V (∅) = V (P 0 ) < ε. Ïóñòü òåïåðü ãðàíèöà ∂P 0 ìíîãîãðàííèêà P 0 ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ ñâÿçíûõ êîìïîíåíò. Íåñêîëüêî èçìåíèâ, ïðè íåîáõîäèìîñòè, ðàçìåðû ìíîãîãðàííèêà P 0 , ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî ãðàíèöû ∂G òåëà G è ∂P 0 ìíîãîãðàííèêà P 0 íå èìåþò îáùèõ òî÷åê. Âûáåðåì òå èç êîìïîíåíò ãðàíèöû ìíîãîãðàííèêà P 0 , êîòîðûå íå ïðèíàäëåæàò òåëó G. Ïóñòü Q  ìíîãîãðàííèê, ãðàíèöåé êîòîðîãî ñëóæàò ýòè êîìïîíåíòû, à P  ìíîãîãðàííèê, ãðàíèöåé êîòîðîãî ñëóæàò îñòàâøèåñÿ êîìïîíåíòû ãðàíèöû

∂P 0 ìíîãîãðàííèêà P 0 . Î÷åâèäíî, ÷òî G ⊂ Q, P ⊂ G è Q \ P = P 0 . Ñëåäîâàòåëüíî, èìååì äâà ìíîãîãðàííèêà P è Q òàêèõ, ÷òî P ⊂ G ⊂ Q è

V (Q) − V (P ) = V (Q \ P ) = V (P 0 ) < ε. Ñîãëàñíî ïåðâîìó êðèòåðèþ êóáèðóåìîñòè òåëà (òåîðåìà 1.1), òåëî G ÿâëÿåòñÿ êóáèðóåìûì. Äîêàçàííûå êðèòåðèè ïîçâîëÿþò óñòàíîâèòü êóáèðóåìîñòü äîñòàòî÷íî øèðîêèõ êëàññîâ òåë.

1.3 Ñâîéñòâà êóáèðóåìûõ òåë è èõ îáúåìîâ Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèé 1.7, 1.5 è íåîòðèöàòåëüíîñòè îáúåìà ìíîãîãðàííèêà âûòåêàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.

Ñâîéñòâî 1.1 Îáúåì V (G) ëþáîãî êóáèðóåìîãî òåëà G íåîòðèöàòåëåí.

12

Îãëàâëåíèå

Ñâîéñòâî 1.2 Ïóñòü G1 è G2  êóáèðóåìûå òåëà. Åñëè G1 ⊂ G2 , òî V (G1 ) ≤ V (G2 ).

Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê G1 ⊂ G2 , òî è ëþáîé ìíîãîãðàííèê P , ñîäåðæàùèéñÿ â G1 , ñîäåðæèòñÿ òàêæå è â G2 . Ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî âêëþ÷åíèå

{V (P ) : P ⊂ G1 } ⊂ {V (P ) : P ⊂ G2 } , êîòîðîå âëå÷åò îöåíêó

V (G1 ) = V∗ (G1 ) = sup {V (P ) : P ⊂ G1 } ≤ ≤ sup {V (P ) : P ⊂ G2 } = V∗ (G2 ) = V (G2 ) .

Ñâîéñòâî 1.3 Åñëè òåëî G = G1 ∪ G2 , ãäå G1 è G2  êóáèðóåìûå òåëà, íå èìåþùèå îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê, òî G  êóáèðóåìîå òåëî è

V (G) = V (G1 ) + V (G2 ) .

(1.15)

Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, ÷òî ∂G ⊂ ∂G1 ∪ ∂G2 .

(1.16)

Íî ñîãëàñíî âòîðîìó êðèòåðèþ êóáèðóåìîñòè (òåîðåìà 1.2), ãðàíèöû ∂G1 è ∂G2 ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâàìè íóëåâîãî îáúåìà. Ââèäó (1.16) è ïðåäëîæåíèé 1.1, 1.2, ãðàíèöà ∂G òåëà G ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì íóëåâîãî îáúåìà. Ïî òåîðåìå 1.2 òåëî G  êóáèðóåìîå. Äîêàæåì ðàâåíñòâî (1.15). Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïî ïåðâîìó êðèòåðèþ êóáèðóåìîñòè (òåîðåìà 1.1), íàéäóòñÿ ìíîãîãðàííèêè P1 , Q1 ,

P1 ⊂ G1 ⊂ Q1 , è P2 , Q2 , P2 ⊂ G2 ⊂ Q2 , òàêèå, ÷òî ε V (Q1 ) − V (P1 ) < , 2

ε V (Q2 ) − V (P2 ) < . 2

(1.17)

Îáðàçóåì ìíîãîãðàííèêè P è Q, ïîëàãàÿ P = P1 ∪ P2 , Q = Q1 ∪ Q2 . Òàê êàê òåëà G1 è G2 íå èìåþò îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê, òî è ìíîãîãðàííèêè

1. Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû

13

P1 è P2 îáëàäàþò ýòèì æå ñâîéñòâîì. Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó àääèòèâíîñòè îáúåìîâ ìíîãîãðàííèêîâ (ñâîéñòâî 2◦ ), ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

V (P ) = V (P1 ) + V (P2 ) .

(1.18)

À âîò ìíîãîãðàííèêè Q1 è Q2 ìîãóò èìåòü îáùóþ âíóòðåííþþ ÷àñòü, ïîýòîìó

V (Q) = V (Q1 ) + V (Q2 ) − V (Q1 ∩ Q2 ) ≤ V (Q1 ) + V (Q2 ) .

(1.19)

Ïîñêîëüêó P ⊂ G ⊂ Q, òî, ó÷èòûâàÿ (1.18) è (1.19), ïîëó÷àåì

V (P1 ) + V (P2 ) = V (P ) ≤ V (G) ≤ V (Q) ≤ V (Q1 ) + V (Q2 ) . Îòñþäà è î÷åâèäíûõ íåðàâåíñòâ

V (P1 ) ≤ V (G1 ) ≤ V (Q1 ) ,

V (P2 ) ≤ V (G2 ) ≤ V (Q2 ) ,

âûâîäèì

− (V (Q1 ) − V (P1 )) − (V (Q2 ) − V (P2 )) = = (V (P1 ) + V (P2 )) − V (Q1 ) − V (Q2 ) ≤ ≤V (G) − (V (G1 ) + V (G2 )) ≤ ≤ (V (Q1 ) + V (Q2 )) − V (P1 ) − V (P2 ) = = (V (Q1 ) − V (P1 )) + (V (Q2 ) − V (P2 )) , ÷òî ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî â âèäå

|V (G) − (V (G1 ) + V (G2 ))| ≤ (V (Q1 ) − V (P1 )) + (V (Q2 ) − V (P2 )) . Èñïîëüçóÿ òåïåðü (1.17), ïîëó÷àåì

|V (G) − (V (G1 ) + V (G2 ))| < ε. Ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà ε, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàâåíñòâî (1.15) âûïîëíÿåòñÿ.

Ñâîéñòâî 1.4 Åñëè òåëî G2 êîíãðóýíòíî êóáèðóåìîìó òåëó G1 , òî îíî êóáèðóåìî è V (G2 ) = V (G1 ).

14

Îãëàâëåíèå

Ýòî ñâîéñòâî î÷åâèäíî.

Ñâîéñòâî 1.5 Åñëè G1 è G2  êóáèðóåìûå òåëà è G = G1 ∩ G2 , òî G  êóáèðóåìîå òåëî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê ïåðåñå÷åíèå äâóõ ñâÿçíûõ è îãðàíè÷åííûõ ìíîæåñòâ åñòü ñâÿçíîå è îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî, òî G  òåëî. Ïîêàæåì, ÷òî

∂G ⊂ ∂G1 ∪ ∂G2 .

(1.20)

Ïóñòü, êàê îáû÷íî, CF îáîçíà÷àåò äîïîëíåíèå, à intF  ñîâîêóïíîñòü âíóòðåííèõ òî÷åê ìíîæåñòâà F . Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó a ∈ ∂G. Òîãäà a 6∈ intG è a 6∈ intCG. Íî ïîñêîëüêó intG = intG1 ∩ intG2 ,

intCG = intCG1 ∪ intCG2 ,

òî, ìíîæåñòâà intCG1 , intCG2 è, ïî êðàéíåé ìåðå, îäíî èç ìíîæåñòâ intG1 è intG2 íå ñîäåðæàò òî÷êè a. Ïîýòîìó, åñëè a 6∈ intG1 , òî a ∈ ∂G1 è (1.20) äîêàçàíî. Åñëè æå a ∈ intG1 , òî a 6∈ intG2 , è, ñëåäîâàòåëüíî, a ∈ ∂G2 . Òàêèì îáðàçîì, è â ýòîì ñëó÷àå, (1.20) âûïîëíÿåòñÿ. Èç ýòîãî âêëþ÷åíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ∂G åñòü ìíîæåñòâî íóëåâîãî îáúåìà, ñëåäîâàòåëüíî, òåëî G êóáèðóåìî. Ìîæíî ðàñøèðèòü ïîíÿòèÿ òåëà è êóáèðóåìîãî òåëà, îòêàçàâøèñü îò òðåáîâàíèÿ ñâÿçíîñòè.

Îïðåäåëåíèå 1.9 Íàçîâåì (íåñâÿçíûì) òåëîì ëþáîå îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî â Rn , ñîñòîÿùåå èç êîíå÷íîãî ÷èñëà êîíå÷íîñâÿçíûõ êîìïîíåíò.

Îïðåäåëåíèå 1.10 Íåñâÿçíîå òåëî íàçîâåì êóáèðóåìûì, åñëè êàæäàÿ åãî êîìïîíåíòà åñòü êóáèðóåìîå òåëî. Ïðè ýòîì îáúåìîì òåëà íàçîâåì ñóììó îáúåìîâ åãî êîìïîíåíò. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî äëÿ íåñâÿçíûõ òåë ñîõðàíÿþòñÿ ñâîéñòâà 1.1 1.5.

1. Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû

15

Òåîðåìà 1.3 Ïóñòü E  êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî â Rn−1 , f : E −→ R  íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà ìíîæåñòâî (ãðàôèê ôóíêöèè f )

© ª Γ = x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : x e = (x1 , . . . , xn−1 ) ∈ E, xn = f (e x) åñòü ìíîæåñòâî íóëåâîãî îáúåìà.

Äîêàçàòåëüñòâî. Íàïîìíèì, ÷òî â Rn ìíîæåñòâî êîìïàêòíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî îãðàíè÷åíî è çàìêíóòî. Òàê êàê E îãðàíè÷åíî, íàéäåòñÿ êóá K0 (øàð â ïðîñòðàíñòâå Rn−1 â ìåòðèêå ρ1 (x, y) = max {|xi − yi | : i = 1, 2, . . . , n − 1}), ñîäåðæàùèé ìíîæåñòâî E . Ïóñòü V0 îáîçíà÷àåò îáúåì êóáà K0 , à a  äëèíó åãî ðåáðà. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïî òåîðåìå Êàíòîðà ôóíêöèÿ f ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà êîìïàêòíîì ìíîæåñòâå E . Ïîýòîìó íàéäåòñÿ

δ > 0 òàêîå, ÷òî ïðè ëþáûõ x0 , x00 ∈ E è óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ ρ1 (x0 , x00 ) < δ , ñïðàâåäëèâà îöåíêà |f (x0 ) − f (x00 )| <

ε . V0

(1.21)

a áûëî ìåíüøå, m ÷åì δ , è ðàçîáüåì êàæäîå ðåáðî êóáà K0 íà m ðàâíûõ ÷àñòåé. Òåì ñàìûì

Ïîäáåðåì íàòóðàëüíîå ÷èñëî m òàê, ÷òîáû ÷èñëî δ1 =

êóá K0 ðàçîáüåòñÿ íà (çàìêíóòûå) êóáèêè ñ ðåáðîì δ1 . Âûáåðåì òå èç íèõ, êîòîðûå èìåþò íåïóñòîå ïåðåñå÷åíèå ñ ìíîæåñòâîì E è çàíóìåðóåì èõ:

K1 , K2 , . . . , Kl . Äëÿ êàæäîãî j = 1, 2, . . . , l ìíîæåñòâî E ∩ Kj êîìïàêòíî, à ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà íåì. Ïîýòîìó äîñòèãàþòñÿ òî÷íûå ãðàíè

© ª mj = inf f (x) : x ∈ E∩Kj ,

© ª Mj = sup f (x) : x ∈ E∩Kj ,

j = 1, 2, . . . , l,

òî åñòü äëÿ êàæäîãî j = 1, 2, . . . , l ñóùåñòâóþò x(j) , y (j) ∈ E ∩ Kj òàêèå, ÷òî

f (x(j) ) = Mj ,

f (y (j) ) = mj .

(1.22)

À ïîñêîëüêó ðåáðî êóáà Kj ðàâíî δ1 < δ , òî ρ1 (x(j) , y (j) ) < δ . Ââèäó (1.22) è (1.21), èìååì

Mj − mj <

ε . V0

(1.23)

16

Îãëàâëåíèå Äëÿ êàæäîãî j = 1, 2, . . . , l ïîñòðîèì ïàðàëëåëåïèïåä

Πj = {x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : (x1 , . . . , xn−1 ) ∈ Kj , mj ≤ xn ≤ Mj } è ïîëîæèì P =

l S j=1

Πj . Î÷åâèäíî, ÷òî P  ìíîãîãðàííèê è ïî ïîñòðîåíèþ

P ⊃ Γ. Ïîýòîìó äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâà, äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî îáúåì V (P ) ìíîãîãðàííèêà P ìåíüøå ε. Èñïîëüçóÿ (1.23), îöåíèì îáúåì ìíîãîãðàííèêà P :

V (P ) =

l X

V (Πj ) =

j=1

l X

V (Kj ) (Mj − mj ) <

j=1

=

l X j=1

V (Kj )

ε = V0

l ε ε ε X V (Kj ) ≤ V (K0 ) = V0 = ε. V0 j=1 V0 V0

Òåîðåìà äîêàçàíà.

Îïðåäåëåíèå 1.11 Ïóñòü E  ñâÿçíîå ìíîæåñòâî â Rn−1 , à ôóíêöèÿ f : E −→ R íåïðåðûâíà íà E . Ìíîæåñòâî © ª Γ = x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : x e = (x1 , x2 , . . . , xn−1 ) ∈ E, xn = f (e x) (ãðàôèê ôóíêöèè f ) íàçûâàþò ïîâåðõíîñòüþ, çàäàííîé íàä ìíîæåñòâîì

E.

Òåîðåìà 1.4 Ïóñòü ãðàíèöà òåëà G ⊂ Rn ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ïîâåðõíîñòåé, çàäàííûõ íàä êîìïàêòíûìè ìíîæåñòâàìè. Òîãäà G  êóáèðóåìîå òåëî. Ýòà òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òåîðåìû 1.3.

Ïðèìåð 1.1 Ïîêàçàòü, ÷òî â Rn çàìêíóòûé øàð ª © B(0, R) = x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : x21 + x22 + . . . + x2n ≤ R2 ñ öåíòðîì â òî÷êå 0 è ðàäèóñà R ÿâëÿåòñÿ êóáèðóåìûì òåëîì.

1. Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû

17

Ðåøåíèå. Äåéñòâèòåëüíî, ãðàíèöà © ª Γ = x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : x21 + x22 + . . . + x2n = R2 øàðà B(0, R) ñîñòîèò èç äâóõ ïîâåðõíîñòåé

xn = ±

q ¡ ¢ R2 − x21 + x22 + . . . + x2n−1 ,

çàäàííûõ íàä ìíîæåñòâîì

© ª E= x e = (x1 , x2 , . . . , xn−1 ) ∈ Rn−1 : x21 + x22 + . . . + x2n−1 ≤ R2 . Ïîñêîëüêó âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ òåîðåìû 1.4, øàð B(0, R)  êóáèðóåìîå òåëî.

Îïðåäåëåíèå 1.12 Ïóñòü E  çàìêíóòîå òåëî â Rn−1 , ϕ, ψ : E −→ R  íåïðåðûâíûå ôóíêöèè, ïðè÷åì ϕ(e x) ≤ ψ(e x), x e = (x1 , x2 , . . . , xn−1 ) ∈ E . Ìíîæåñòâî

G = {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : x e ∈ E, ϕ (e x) ≤ xn ≤ ψ (e x)}

(1.24)

íàçûâàþò öèëèíäðè÷åñêèì òåëîì.

Òåîðåìà 1.5 Ïóñòü G  öèëèíäðè÷åñêîå òåëî, îïðåäåëåííîå ðàâåíñòâîì (1.12). Åñëè òåëî E êóáèðóåìî, òî è òåëî G êóáèðóåìî.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ãðàíèöà òåëà G ñîñòîèò èç òðåõ ÷àñòåé: ¾íèæíÿÿ¿ è ¾âåðõíÿÿ¿ ïîâåðõíîñòè, çàäàííûå íàä òåëîì E (ãðàôèêè ôóíêöèé ϕ è

ψ) Γϕ = {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : x e = (x1 , x2 , . . . , xn−1 ) ∈ E, xn = ϕ (e x)} , Γψ = {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : x e = (x1 , x2 , . . . , xn−1 ) ∈ E, xn = ψ (e x)} , è áîêîâîé ïîâåðõíîñòè

Γáîê. = {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : x e ∈ ∂E, ϕ (e x) ≤ xn ≤ ψ (e x)} .

18

Îãëàâëåíèå Ïî òåîðåìå 1.3 ìíîæåñòâà Γϕ è Γψ èìåþò íóëåâîé îáúåì. Ïîêàæåì,

÷òî è áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü Γáîê. åñòü ìíîæåñòâî íóëåâîãî îáúåìà. Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî E îãðàíè÷åíî è çàìêíóòî, òî åñòü êîìïàêòíî, à ôóíêöèè ϕ è ψ íåïðåðûâíû íà E , ïî ïåðâîé òåîðåìå Âåéåðøòðàññà íàéäóòñÿ ÷èñëà m è M òàêèå, ÷òî

m ≤ ϕ (e x) ≤ ψ (e x) ≤ M

äëÿ âñåõ x e ∈ E.

(1.25)

Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Òàê êàê E  êóáèðóåìîå òåëî, â ïðîñòðàíñòâå Rn−1 íàéäåòñÿ ìíîãîãðàííèê Pe ⊃ ∂E òàêîé, ÷òî ³ ´ ε V Pe < . M −m

(1.26)

Ïîñòðîèì ìíîãîãðàííèê P ⊂ Rn , ïîëàãàÿ

© ª P = x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : x e = (x1 , x2 , . . . , xn−1 ) ∈ Pe, m ≤ xn ≤ M . ³ ´ Èç (1.25) ñëåäóåò, ÷òî P ⊃ Γáîê. . Î÷åâèäíî, ÷òî V (P ) = V Pe (M − m). ³ ´ Ñëåäîâàòåëüíî, ââèäó (1.26), V Pe < ε. Ïîýòîìó ïîâåðõíîñòü Γáîê. ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì íóëåâîãî îáúåìà. Òàêèì îáðàçîì, êóáèðóåìîñòü öèëèíäðè÷åñêîãî òåëà äîêàçàíà.

Ñëåäñòâèå 1.1 Êðèâîëèíåéíàÿ òðàïåöèÿ  êâàäðèðóåìàÿ ôèãóðà.

1.4 Êðàòíûå èíòåãðàëû Èçâåñòíàÿ íàì òåîðèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà îò ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé áåç êàêèõ-ëèáî îñëîæíåíèé ïåðåíîñèòñÿ ñëó÷àé èíòåãðàëîâ îò ôóíêöèé íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ.

Îïðåäåëåíèå 1.13 Ïóñòü G ⊂ Rn  êóáèðóåìîå òåëî. Ðàçáèåíèåì òåëà G íàçûâàþò ëþáîå åãî ïðåäñòàâëåíèå â âèäå êîíå÷íîãî ÷èñëà êóáèðóåìûõ òåë, íå èìåþùèõ ïîïàðíî îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê. Èòàê, åñëè T ðàçáèåíèå òåëà G, òî T = {G1 , G2 , . . . , Gm }, ãäå Gk  êóáèm S ðóåìîå òåëî ïðè êàæäîì k = 1, 2, . . . , m, G = Gk è intGk ∩ intGl = ∅ ïðè l 6= k .

k=1

1. Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû

19

Îïðåäåëåíèå 1.14 Ïóñòü E ⊂ Rn  îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî. ×èñëî d (E) = sup {ρ(x, y) : x, y ∈ E}

(1.27)

íàçûâàþò äèàìåòðîì ìíîæåñòâà E . Ïóñòü G ⊂ Rn  êóáèðóåìîå òåëî è T = {G1 , G2 , . . . , Gm }  åãî ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå.

Îïðåäåëåíèå 1.15 ×èñëî ∆ = max {d (Gk ) : k = 1, 2, . . . , m}

(1.28)

íàçûâàþò ïàðàìåòðîì ðàçáèåíèÿ T . Ïóñòü G ⊂ Rn  êóáèðóåìîå òåëî, f : G −→ R  íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ è T = {G1 , G2 , . . . , Gm }  êàêîå-ëèáî ðàçáèåíèå òåëà G. Â êàæäîì òåëå

Gk , k = 1, 2, . . . , m, âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ξk è ñîñòàâèì ñóììó σ = σ (f, T, {ξk }) =

m X

f (ξk ) ∆vk ,

(1.29)

k=1

ãäå ∆vk = V (Gk ).

Îïðåäåëåíèå 1.16 Ñóììó σ íàçûâàþò èíòåãðàëüíîé ñóììîé ôóíêöèè f , îòâå÷àþùåé äàííîìó ðàçáèåíèþ T è äàííîìó âûáîðó òî÷åê ξk ,

k = 1, 2, . . . , m. Ïóñòü G ⊂ Rn  êóáèðóåìîå òåëî, f : G −→ R, {σ}  ìíîæåñòâî èíòåãðàëüíûõ ñóìì ôóíêöèè f , îòâå÷àþùèõ âñåâîçìîæíûì ðàçáèåíèÿì òåëà G è ëþáûì íàáîðàì òî÷åê ξk .

Îïðåäåëåíèå 1.17 ×èñëî I íàçûâàþò ïðåäåëîì èíòåãðàëüíûõ ñóìì σ ïðè óñëîâèè, ÷òî ïàðàìåòð ðàçáèåíèÿ ∆ → 0,

I = lim σ, ∆→0

åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî ïðè ëþáîì ðàçáèåíèè

T òåëà G ñ ïàðàìåòð ðàçáèåíèÿ ∆ < δ è ïðè ëþáîì âûáîðå òî÷åê ξk ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

|σ − I| = |σ (f, T, {ξk }) − I| < ε.

(1.30)

20

Îãëàâëåíèå

Îïðåäåëåíèå 1.18 Åñëè äëÿ ôóíêöèè f ïðåäåë I èíòåãðàëüíûõ ñóìì σ ïðè ∆ → 0 ñóùåñòâóåò, òî ôóíêöèþ f íàçûâàþò èíòåãðèðóåìîé (ïî Ðèìàíó) íà òåëå G, à ÷èñëî I  îïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè

f ïî òåëó G è ïèøóò Z Z Z Z I = f (x) dv = · · · f (x1 , x2 , . . . , xn ) dx1 dx2 . . . dxn . G

G

Ñîâîêóïíîñòü âñåõ èíòåãðèðóåìûõ íà òåëå G ôóíêöèé áóäåì îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì R (G). Èçâåñòíî, ÷òî âñÿêàÿ ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìàÿ ïî Ðèìàíó íà ñåãìåíòå [a, b] îãðàíè÷åíà íà ýòîì ñåãìåíòå. Ïðè n ≥ 2 ýòî ñâîéñòâî íå èìååò ìåñòà, òî åñòü ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü èíòåãðèðóåìîé íà òåëå G, íî íåîãðàíè÷åííîé íà íåì.

Ïðèìåð 1.2 Ðàññìîòðèì â R2 ôèãóðó G, ñîñòîÿùóþ èç ñåãìåíòà [0, 1] îñè Ox è çàìêíóòîãî êðóãà K åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â òî÷êå

(2, 0), à íà íåì ôóíêöèþ f : G −→ R çàäàííóþ ðàâåíñòâîì   0, åñëè x = 0,    1 f (x, y) = , åñëè 0 < x < 1,  x    1, åñëè 1 ≤ x ≤ 3. Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f íåîãðàíè÷åíà íà G, íî èíòåãðèðóåìà íà íåì.

1 = +∞, ôóíêöèÿ f íåîãðàíè÷åíà íà G. x→+0 x Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå T = {G1 , G2 , . . . , Gm }.

Ðåøåíèå. Òàê êàê lim

Ìíîæåñòâî òåë Gk ðàñïàäàåòñÿ íà òðè ïîäìíîæåñòâà: 1) Gk öåëèêîì ñîäåðæèòñÿ â îòðåçêå [0, 1]; 2) Gk öåëèêîì ñîäåðæèòñÿ â êðóãå K ; 3) îäíî

Gk0 ÷àñòè÷íî ñîäåðæèòñÿ â îòðåçêå [0, 1] è ÷àñòè÷íî â êðóãå K . Ñîñòàâèì èíòåãðàëüíóþ ñóììó

σ=

X Gk ⊂[0,1]

f (ξk , 0) ∆sk +

X

f (ξk , ηk ) ∆sk + f (ξk0 , ηk0 ) ∆sk0 .

(1.31)

Gk ⊂K

Ïåðâàÿ ñóììà â (1.31) ðàâíà íóëþ, ïîñêîëüêó ∆sk = 0 êîãäà Gk ⊂

[0, 1]. Åñëè Gk ⊂ K , òî f (ξk , ηk ) = 1. Ïîýòîìó âòîðàÿ ñóììà â (1.31)

1. Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû

21

ðàâíà ïëîùàäè êðóãà K áåç ïëîùàäè òåëà Gk0 , òî åñòü ÷èñëó π − ∆sk0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî

σ = (π − ∆sk0 ) + f (ξk0 , ηk0 ) ∆sk0 .

(1.32)

Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ñòðåìëåíèè ê íóëþ ïàðàìåòðà ðàçáèåíèÿ, ∆sk0 → 0, à (ξk0 , ηk0 ) → (1, 0) è ïîýòîìó f (ξk0 , ηk0 ) → f (1, 0) = 1. Òàêèì îáðàçîì, ïåðåõîäÿ â (1.32) ê ïðåäåëó ïðè ∆ → 0, ïîëó÷àåì lim σ = π . Ñîãëàñíî ∆→0

îïðåäåëåíèþ 1.18, ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà òåëå G è èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî

ZZ f (x, y) dxdy = π. G

Èòàê, ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü èíòåãðèðóåìîé íà íåêîòîðîì òåëå, íî íå îãðàíè÷åííîé íà íåì. Îäíàêî, â äàëüíåéøåì áóäåì ðàññìàòðèâàòü ëèøü îãðàíè÷åííûå ôóíêöèè.

1.5 Ñóììû Äàðáó è èõ ñâîéñòâà Ïóñòü G ⊂ Rn  êóáèðóåìîå òåëî, f : G −→ R  îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ, T = {G1 , G2 , . . . , Gm }  ðàçáèåíèå òåëà G, mk = inf {f (x) : x ∈ Gk },

Mk = sup {f (x) : x ∈ Gk }, k = 1, 2, . . . , m.

Îïðåäåëåíèå 1.19 Ñóììû s=

m X

mk ∆vk ,

S=

k=1

m X

Mk ∆vk

(1.33)

k=1

íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî íèæíåé è âåðõíåé ñóììàìè Äàðáó ôóíêöèè

f äëÿ äàííîãî ðàçáèåíèÿ T . Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî

s ≤ S.

(1.34)

Ñâîéñòâà ñóìì Äàðáó ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ àíàëîãè÷íû ñâîéñòâàì ñóìì Äàðáó ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå èç íèõ.

22

Îãëàâëåíèå

Ñâîéñòâî 1.1 Äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ T è ëþáîé èíòåãðàëüíîé ñóììû σ âûïîëíÿþòñÿ îöåíêè (1.35)

s ≤ σ ≤ S.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ T ïðè ëþáîì âûáîðå òî÷åê ξk ∈ Gk , k = 1, 2, . . . , m, ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà

mk ≤ f (ξk ) ≤ Mk . Óìíîæàÿ ýòè íåðàâåíñòâà íà ∆vk è ñóììèðóÿ ïî âñåì k îò 1 äî m, ïðèäåì ê (1.35).

Ñâîéñòâî 1.2 Äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ T s = inf {σ} ,

S = sup {σ} .

(1.36)

Äîêàçàòåëüñòâî. Îáà ñîîòíîøåíèÿ (1.36) äîêàçûâàþòñÿ îäèíàêîâî, ïîýòîìó îñòàíîâèìñÿ íà äîêàçàòåëüñòâå ïåðâîãî èç íèõ. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå T è çàôèêñèðóåì ε > 0. Ïî âòîðîìó ñâîéñòâó òî÷íîé íèæíåé ãðàíè äëÿ êàæäîãî k = 1, 2, . . . , m íàéäåòñÿ òî÷êà ξk ∈ Gk òàêàÿ, ÷òî

f (ξk ) < mk +

ε , V

ãäå V = V (G). Óìíîæèâ îáå ÷àñòè ýòèõ íåðàâåíñòâ íà ∆Vk è ïðîñóììèðîâàâ ïî âñåì k îò 1 äî m, ïîëó÷èì:

σ<

m ³ X k=1

mk +

m m X ε X ε´ ∆vk = mk ∆vk + ∆vk = s + ε. V V k=1 k=1

Ýòà îöåíêà âìåñòå ñ ëåâîé ÷àñòüþ (1.35) óñòàíàâëèâàåò ñïðàâåäëèâîñòü ïåðâîãî èç ðàâåíñòâ (1.36).

Îïðåäåëåíèå 1.20 Ðàçáèåíèå T 0 = {G01 , G02 , . . . , G0l } íàçûâàåòñÿ ïðîäîëæåíèåì ðàçáèåíèÿ T = {G1 , G2 , . . . , Gm }, åñëè êàæäîå òåëî Gk ëèáî ñîâïàäàåò ñ íåêîòîðûì G0j , ëèáî ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì íåñêîëüêèõ G0j .

1. Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû

23

Ïåðåíóìåðîâàâ G0j äîëæíûì îáðàçîì, ìîæíî äîáèòüñÿ, ÷òîáû

Gk =

jk [

G0j ,

ãäå 0 = j0 < j1 < j2 < . . . < jm = l.

j=jk−1 +1

Òîãäà èìååì

G=

m [

Gk =

k=1

m [ k=1

 



jk [

G0j  .

(1.37)

j=jk−1 +1

Ñâîéñòâî 1.3 Ïóñòü T è T 0  ðàçáèåíèÿ òåëà G, s è S  íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ñóììû Äàðáó ôóíêöèè f äëÿ ðàçáèåíèÿ T , s0 è S 0  íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ñóììû Äàðáó ôóíêöèè f äëÿ ðàçáèåíèÿ T 0 . Åñëè ðàçáèåíèå T 0 ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì ðàçáèåíèÿ T , òî

s ≤ s0 ,

S 0 ≤ S.

(1.38)

Äîêàçàòåëüñòâî. Îáà ñîîòíîøåíèÿ (1.38) äîêàçûâàþòñÿ îäèíàêîâî, ïîýòîìó îñòàíîâèìñÿ íà äîêàçàòåëüñòâå ïåðâîãî èç íèõ. Ïóñòü T = {G1 , G2 , . . . , Gm }, T 0 = {G01 , G02 , . . . , G0l } è ñïðàâåäëèâî jk S ðàâåíñòâî (1.37). Ïîñêîëüêó Gk = G0j , òî äëÿ êàæäîãî j òàêîj=jk−1 +1

G0j

ãî, ÷òî jk−1 < j ≤ jk èìååì ⊂ Gk . Ñëåäîâàòåëüíî, m0j ≥ mk , ãäå © ª m0j = inf f (x) : x ∈ G0j , mk = inf {f (x) : x ∈ Gk }. Èñïîëüçóÿ ýòó îöåíêó, âûâîäèì

s0 =

l X

m0j ∆vj0 =

j=1

m X k=1

=

m X k=1

 



jk X

m0j ∆vj0  ≥

j=jk−1 +1



mk 

jk X j=jk−1 +1

 

k=1

 ∆vj0 

m X

=

m X

jk X

 mk ∆vj0  =

j=jk−1 +1

mk ∆vk = s.

k=1

Ñâîéñòâî 1.4 Ïóñòü T è T 0  ïðîèçâîëüíûå ðàçáèåíèÿ òåëà G, s  íèæíÿÿ ñóììà Äàðáó ôóíêöèè f äëÿ ðàçáèåíèÿ T , S 0  âåðõíÿÿ ñóììà Äàðáó ôóíêöèè f äëÿ ðàçáèåíèÿ T 0 . Òîãäà

s ≤ S 0.

(1.39)

24

Îãëàâëåíèå

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü T = {G1 , G2 , . . . , Gm }, T 0 = {G01 , G02 , . . . , G0l }. Ðàññìîòðèì ðàçáèåíèå

© ª T 00 = Gk ∩ G0j : k = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , l . Î÷åâèäíî, ÷òî ðàçáèåíèå T 00 ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì êàæäîãî èç ðàçáèåíèé T è T 0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðåäûäóùåìó ñâîéñòâó,

s ≤ s00 ≤ S 00 ≤ S 0 .

1.6 Êðèòåðèé èíòåãðèðóåìîñòè Èç ñâîéñòâà 1.4 ñóìì Äàðáó ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî {s} íèæíèõ ñóìì Äàðáó ëþáîé îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè f îãðàíè÷åíî ñâåðõó (ëþáîé âåðõíåé ñóììîé Äàðáó), à ìíîæåñòâî {S} âåðõíèõ ñóìì Äàðáó îãðàíè÷åíî ñíèçó.

Îïðåäåëåíèå 1.21 Ïóñòü G ⊂ Rn  êóáèðóåìîå òåëî, f : G −→ R  îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ. ×èñëà I∗ = sup {s} è I ∗ = inf {S} íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî íèæíèì è âåðõíèì èíòåãðàëàìè Äàðáó ôóíêöèè f .

Ëåììà 1.2 Èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî I∗ ≤ I ∗ . Äîêàçàòåëüñòâî. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå Te òåëà G. Ïóñòü se è Se  ñîîòâåòñòâåííî íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ñóììû Äàðáó ôóíêöèè f äëÿ ýòîãî ðàçáèåíèÿ. Ïî ñâîéñòâó 1.4 ÷èñëî Se ÿâëÿåòñÿ êàêîé-òî âåðõíåé ãðàíüþ ìíîæåñòâà {s}. Îòñþäà è îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà I∗ ñëåäóåò, ÷òî I∗ ≤ Se. À â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè ðàçáèåíèÿ Te, ýòî íåðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî ÷èñëî I∗ åñòü êàêàÿ-òî íèæíÿÿ ãðàíü ìíîæåñòâà {S}. Ïîýòîìó, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ÷èñëà I ∗ , èìååì I∗ ≤ I ∗ .

Òåîðåìà 1.6 (Êðèòåðèé èíòåãðèðóåìîñòè). Îãðàíè÷åííàÿ íà êóáèðóåìîì òåëå G ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà íåì òîãäà è òîëüêî òîãäà,

1. Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû

25

êîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ

T òåëà G ñ ïàðàìåòðîì ðàçáèåíèÿ ∆ < δ áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî

S − s < ε.

(1.40)

Äîêàçàòåëüñòâî. Íåîáõîäèìîñòü. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Òàê êàê f ∈ R (G), íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ T ñ ïàðàìåòðîì ∆ < δ ïðè ëþáîì âûáîðå òî÷åê ξk áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî

I−

ε ε <σ
(1.41)

Íî òîãäà ïî ñâîéñòâàì 1.1 è 1.2 ñóìì Äàðáó áóäåì èìåòü

I−

ε ε ≤s≤σ≤S≤I+ . 3 3

Îòñþäà âûâîäèì

³ ε ´ 2ε ε´ ³ − I− = < ε. S−s≤ I + 3 3 3

Äîñòàòî÷íîñòü. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïî óñëîâèþ, íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ T ñ ïàðàìåòðîì ∆ < δ áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî (1.40). Èç îïðåäåëåíèÿ 1.21 è ëåììû 1.2 ñëåäóåò, ÷òî

s ≤ I∗ ≤ I ∗ ≤ S.

(1.42)

Ýòî íåðàâåíñòâî âìåñòå ñ (1.40), âëå÷åò îöåíêó 0 ≤ I∗ − I ∗ ≤ S − s < ε. Ââèäó ïðîèçâîëüíîñòè ε, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî I∗ = I ∗ . Ïóñòü I = I∗ = I ∗ . Èç (1.42) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ÷èñëà I ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

s ≤ I ≤ S. Âû÷èòàÿ åãî èç íåðàâåíñòâà (1.35), ïîëó÷àåì − (S − s) ≤ σ − I ≤ S − s. Òåïåðü îòñþäà è (1.40) âûâîäèì îöåíêó |σ − I| ≤ S − s < ε. Ïî îïðåäåëåíèþ 1.18 ôóíêöèÿ f ∈ R (G). Ïóñòü G  êóáèðóåìîå òåëî, f : G −→ R  îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ,

m = inf {f (x) : x ∈ G}, M = sup {f (x) : x ∈ G}.

26

Îãëàâëåíèå

Îïðåäåëåíèå 1.22 ×èñëî ω = M − m íàçûâàåòñÿ êîëåáàíèåì ôóíêöèè f íà òåëå G.

Òåîðåìà 1.7 (Âòîðîé êðèòåðèé èíòåãðèðóåìîñòè). Îãðàíè÷åííàÿ íà êóáèðóåìîì òåëå G ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà íåì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ T = {G1 , G2 , . . . , Gm } òåëà G ñ ïàðàìåòðîì ðàçáèåíèÿ ∆ < δ áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî m X

(1.43)

ωk ∆vk < ε,

k=1

ãäå ωk êîëåáàíèå ôóíêöèè f íà òåëå Gk , k = 1, 2, . . . , m. Ýòî óòâåðæäåíèå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì êðèòåðèÿ èíòåãðèðóåìîñòè (òåîðåìà 1.6), òàê êàê m X

ωk ∆vk =

m X k=1

k=1

(Mk − mk ) ∆vk =

m X

Mk ∆vk −

m X

mk ∆vk = S − s.

k=1

k=1

Òåîðåìà 1.8 Ïóñòü G  çàìêíóòîå êóáèðóåìîå òåëî, ôóíêöèÿ f : G −→ R  íåïðåðûâíà íà G. Òîãäà f ∈ R (G).

Äîêàçàòåëüñòâî. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî G îãðàíè÷åíî è çàìêíóòî, òî îíî êîìïàêòíî. À ñîãëàñíî òåîðåìå Êàíòîðà íåïðåðûâíàÿ íà G ôóíêöèÿ f ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà íåì. Ïîýòîìó íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ x, y ∈ G è óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ ρ1 (x, y) < δ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

|f (x) − f (y)| <

ε , V0

(1.44)

ãäå V0 > V (G). Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå T = {G1 , G2 , . . . , Gm } òåëà G, ïàðàìåòð êîòîðîãî ∆ < δ . Òîãäà, ââèäó (1.44), äëÿ êîëåáàíèÿ ωk ôóíêöèè f ε íà òåëå Gk ñïðàâåäëèâî îöåíêà ωk < , ïîýòîìó V0 m X

m m X ε ε X ε ωk ∆vk < ∆vk = ∆vk = V (G) < ε. V0 V0 k=1 V0 k=1 k=1

Ïî òåîðåìå 1.7 ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà òåëå G.

1. Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû

27

Òåîðåìà 1.9 Ïóñòü G  çàìêíóòîå êóáèðóåìîå òåëî, ôóíêöèÿ f : G −→ R  îãðàíè÷åíà íà G. Åñëè ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ôóíêöèè f åñòü ìíîæåñòâî íóëåâîãî îáúåìà, òî ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà G.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ M òàêîâà, ÷òî |f (x)| ≤ M,

x ∈ G.

(1.45)

Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïóñòü Γ îáîçíà÷àåò ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà ôóíêöèè f . Òàê êàê Γ  ìíîæåñòâî íóëåâîãî îáúåìà, íàéäåòñÿ ìíîãîãðàííèê P1 ⊃ Γ, îáúåì êîòîðîãî

V1 = V (P1 ) <

ε . 8M

(1.46)

Áåç íàðóøåíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ïðåäïîëàãàòü, ÷òî Γ ⊂ intP1 . Ïîñòðîèì òåïåðü ìíîãîãðàííèê P2 ⊃ P1 òàê, ÷òîáû ãðàíèöû S1 è S2 ìíîãîãðàííèêîâ P1 è P2 íå ñîïðèêàñàëèñü è ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå

V2 = V (P2 ) <

ε . 4M

(1.47)

Òàê êàê ãðàíèöû S1 è S2 ìíîãîãðàííèêîâ P1 è P2 íå èìåþò îáùèõ òî÷åê, ÷èñëî def

δ1 = inf {ρ1 (x, y) : x ∈ S1 , y ∈ S2 } > 0. e = G \ intP1 . Êàê ðàçíîñòü çàìêíóòîãî è îòÐàññìîòðèì ìíîæåñòâî G êðûòîãî ìíîæåñòâ îíî çàìêíóòî, à ñëåäîâàòåëüíî, êîìïàêòíî. Ïîñêîëü-

e, ïî òåîðåìå Êàíòîðà îíà è ðàâíîìåðíî êó ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà G e íåïðåðûâíà íà íåì. Ïîýòîìó íàéäåòñÿ δ2 > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ x, y ∈ G è óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ ρ1 (x, y) < δ2 ñïðàâåäëèâà îöåíêà

|f (x) − f (y)| <

ε , 2V0

(1.48)

ãäå V0  ëþáîå ÷èñëî áîëüøåå, ÷åì V (G). Ïîëîæèì δ = min {δ1 , δ2 } è âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå

T = {G1 , G2 , . . . , Gm } òåëà G ñ ïàðàìåòðîì ∆ < δ . Ñîñòàâèì ñóììó

28 m P k=1

Îãëàâëåíèå

ωk ∆vk . Ðàçîáüåì åå íà äâå ñóììû: m X

ωk ∆vk =

X0

ωk ∆vk +

X00

(1.49)

ωk ∆vk ,

k=1

âêëþ÷èâ â ïåðâóþ ñóììó

P0

ñëàãàåìûå ωk ∆vk , ñîîòâåòñòâóþùèå òåì Gk , P êîòîðûå èìåþò îáùèå òî÷êè ñ P 1 , à âî âòîðóþ ñóììó 00 - âñå îñòàëüíûå

ñëàãàåìûå. Òîãäà äëÿ ñëàãàåìûõ ïåðâîé ãðóïïû èìååì: ωk ≤ 2M (ââèäó (1.45)),

Gk ⊂ P2 (ââèäó ïîñòðîåíèÿ ìíîãîãðàííèêà P2 è îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà δ ). Îòñþäà è îöåíêè (1.47) ñëåäóåò, ÷òî

X0

ωk ∆vk ≤ 2M

X0

∆vk ≤ 2M V2 < 2M

ε ε = . 4M 2

(1.50)

e, òî äëÿ ýòèõ Òàê êàê ñëàãàåìûå âòîðîé ãðóïïû ñîîòâåòñòâóþò Gk ⊂ G ε ñëàãàåìûõ, ââèäó âûáîðà δ è îöåíêè (1.48), èìååì ωk < . Ïîýòîìó 2V0 X00 ε X00 ε ε ωk ∆vk < ∆vk ≤ V1 < . (1.51) 2V0 2V0 2 Èç ðàâåíñòâà (1.49) è îöåíîê (1.50), (1.51) ñëåäóåò, ÷òî Ñîãëàñíî òåîðåìå 1.7 ôóíêöèÿ f ∈ R (G).

m P k=1

ωk ∆vk < ε.

1.7 Ñâîéñòâà èíòåãðàëà Ïðè ôîðìóëèðîâêå ñâîéñòâ èíòåãðàëà áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî G  êóáèðóåìîå òåëî, à ôóíêöèè, ðàññìàòðèâàåìûå íà íåì, îãðàíè÷åíû.

Z

Ñâîéñòâî 1.1 Åñëè V (G) = 0, òî

f (x) dv = 0. G

Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà, îãðàíè÷åííîñòü ôóíêöèè f è ñâîéñòâî ìíîæåñòâ íóëåâîãî îáúåìà, âûâîäèì

Z f (x) dv = lim σ = lim ∆→0

G

∆→0

m X k=1

f (ξk ) ∆vk = 0.

1. Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû

29

Ñâîéñòâî 1.2 Åñëè f ∈ R (G) è c ∈ R, òî cf ∈ R (G) è Z

Z cf (x) dv = c

(1.52)

f (x) dv.

G

G

Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ T = {G1 , G2 , . . . , Gm } òåëà G ïðè ëþáîì âûáîðå òî÷åê ξk ∈ Gk èìååì

σ (cf ) =

m X

cf (ξk ) ∆vk = c

m X

k=1

f (ξk ) ∆vk = cσ (f ) .

k=1

Îòñþäà è èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè f (ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà lim σ (f )) ∆→0

ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà lim σ (cf ) è ðàâåíñòâî ∆→0

lim σ (cf ) = c lim σ (f ) .

∆→0

∆→0

Ýòèì óñòàíîâëåíû è èíòåãðèðóåìîñòü ôóíêöèè cf è ðàâåíñòâî (1.52).

Ñâîéñòâî 1.3 Åñëè f, g ∈ R (G), òî f + g ∈ R (G) è Z

Z (f (x) + g(x)) dv =

G

Z f (x) dv +

G

g(x) dv.

(1.53)

G

Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå T = {G1 , G2 , . . . , Gm } òåëà G è ëþáóþ èíòåãðàëüíóþ ñóììó ôóíêöèè f + g , ñîîòâåòñòâóþùóþ ýòîìó ðàçáèåíèþ. Î÷åâèäíî, ÷òî

σ (f + g) = =

m X k=1 m X

(f (ξk ) + g (ξk )) ∆vk = f (ξk ) ∆vk +

k=1

m X

g (ξk ) ∆vk = σ (f ) + σ (g) .

k=1

Îòñþäà è ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëîâ lim σ (f ) è lim σ (g) ñëåäóþò ñóùå∆→0

∆→0

ñòâîâàíèå ïðåäåëà lim σ (f + g) è ðàâåíñòâî ∆→0

lim σ (f + g) = lim σ (f ) + lim σ (g) .

∆→0

∆→0

∆→0

Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1.18 ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà òåëå G è âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (1.53).

Ñâîéñòâî 1.4 Åñëè f ∈ R (G) è G0 ⊂ G, òî f ∈ R (G0 ).

30

Îãëàâëåíèå

Äîêàçàòåëüñòâî. Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Òàê êàê f ∈ R (G), ïî êðèòåðèþ èíòåãðèðóåìîñòè íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ðàçáèåíèÿ T = {G1 , G2 , . . . , Gm } òåëà G ñ ïàðàìåòðîì ∆ < δ áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî

m X

(1.54)

ωk ∆vk < ε.

k=1

o n (0) (0) (0) Âîçüìåì òåïåðü ëþáîå ðàçáèåíèå T0 = G1 , G2 , . . . , Gl òåëà G0 ñ ïàðàìåòðîì ∆0 < δ è ñîñòàâèì äëÿ íåãî ñóììó m0 X

(0)

(0)

(1.55)

ωk ∆vk .

k=1

Äîïîëíèì ðàçáèåíèå T0 äî ðàçáèåíèÿ T òåëà G òàê, ÷òîáû åãî ïàðàìåòð ∆ óäîâëåòâîðÿë óñëîâèþ ∆ < δ . Òîãäà ñóììà (1.55) åñòü ÷àñòü m P ñóììû ωk ∆vk , ñîîòâåòñòâóþùåé ðàçáèåíèþ T . Ïîñêîëüêó äëÿ ñóììû m P k=1

k=1

ωk ∆vk ñïðàâåäëèâà îöåíêà (1.54) è âñå åå ñëàãàåìûå íåîòðèöàòåëüíû,

òî

m0 X

(0)

(0)

ωk ∆vk < ε.

k=1

Ïîýòîìó, ñîãëàñíî êðèòåðèþ èíòåãðèðóåìîñòè, f ∈ R (G0 ).

Ñâîéñòâî 1.5 Åñëè f ∈ R (G) è òåëî G = G(1) ∪ G(2) , ãäå G(1) è G(2)  êóáèðóåìûå òåëà, íå èìåþùèå îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê, òî Z Z Z f (x) dv = f (x) dv + f (x) dv. G

G(1)

(1.56)

G(2)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ïðåäûäóùåìó ñâîéñòâó 1.4 ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà G(1) è G(2) . Ïóñòü T (1) è T (2)  ïðîèçâîëüíûå ðàçáèåíèÿ òåë G(1) è G(2) . Îáúåäèíèâ èõ, ïîëó÷èì ðàçáèåíèå T = {G1 , G2 , . . . , Gm } òåëà G.  êàæäîì òåëå Gk , k = 1, 2, . . . , m, âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó ξk . Ïî ïîñòðîåíèþ, äëÿ èíòåãðàëüíûõ ñóìì

σ =σ (f, T, {ξk }) =

m X k=1

¡ ¢ σj =σ f, T (j) , {ξk } =

f (ξk ) ∆vk , X

k:Gk ⊂G(j)

f (ξk ) ∆vk ,

j = 1, 2,

1. Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû

31

ôóíêöèè f ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (1.57)

σ = σ1 + σ2 .

Òàê êàê ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà êàæäîì èç òåë G, G(1) è G(2) , òî ïðè ∆ → 0 ïðåäåëû èíòåãðàëüíûõ ñóìì è ðàâíû Z Z σ , σ1 è σ2 ñóùåñòâóþò Z ñîîòâåòñòâåííî èíòåãðàëàì f (x) dv , f (x) dv è f (x) dv . Ïîýòîìó, G

G(1)

G(2)

ïåðåéäÿ â ðàâåíñòâå (1.57) ê ïðåäåëó ïðè ∆ → 0, ïîëó÷èì (1.56).

Ñâîéñòâî 1.6 Ïóñòü G = G(1) ∪G(2) , ãäå G(1) è G(2)  êóáèðóåìûå òåëà,

¡ ¢ ¡ ¢ íå èìåþùèå îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê, f ∈ R G(1) è f ∈ R G(2) . Òîãäà f ∈ R (G) è èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî (1.56).

Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè áóäåò äîêàçàíà èíòåãðèðóåìîñòü ôóíêöèè f íà òåëå G, òî ðàâåíñòâî (1.56) áóäåò ñëåäîâàòü èç ïðåäûäóùåãî ñâîéñòâà 1.5. Äîêàæåì, ÷òî f ∈ R (G). Ïóñòü M  ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ òàêàÿ, ÷òî

|f (x)| ≤ M,

x ∈ G.

(1.58)

Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ε > 0. Ïóñòü Γ  îáùàÿ ÷àñòü ãðàíèö òåë G(1) è

G(2) . Ïîñêîëüêó Γ, êàê ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà íóëåâîãî îáúåìà åñòü ìíîæåñòâî íóëåâîãî îáúåìà, íàéäåòñÿ ìíîãîãðàííèê P1 ⊃ Γ òàêîé, ÷òî

V (P1 ) <

ε . 8M

(1.59)

Çàêëþ÷èì òåïåðü ìíîãîãðàííèê P1 â ìíîãîãðàííèê P2 , îáúåì êîòîðîãî

V (P2 ) <

ε , 4M

(1.60)

ïðè÷åì ñäåëàåì ýòî òàê, ÷òîáû ãðàíèöû S1 è S2 ìíîãîãðàííèêîâ P1 è P2 íå ñîïðèêàñàëèñü. Òîãäà ÷èñëî def

δ0 = inf {ρ1 (x, y) : x ∈ S1 , y ∈ S2 } ïîëîæèòåëüíî.

32

Îãëàâëåíèå

Òàê êàê f èíòåãðèðóåìà íà G(1) è G(2) , íàéäåòñÿ δ > 0 òàêîå, ÷òî n o (1) (1) (1) äëÿ ëþáûõ ðàçáèåíèé T (1) = G1 , G2 , . . . , Gm1 òåëà G(1) è T (2) = n o (2) (2) (2) G1 , G2 , . . . , Gm2 òåëà G(2) ñ ïàðàìåòðàìè ðàçáèåíèé ∆1 < δ è ∆2 < δ áóäóò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâà m1 X

ε (1) (1) ωk ∆vk < , 4 k=1

m2 X

ε (2) (2) ωk ∆vk < . 4 k=1

(1.61)

Íå óìåíüøàÿ îáùíîñòü, áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî δ < δ0 . Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå T = {G1 , G2 , . . . , Gm } òåëà G ñ ïàðàìåòðîì ∆ < δ . Ìíîæåñòâî íîìåðîâ K = {1, 2, . . . , m} ðàçîáüåì íà òðè ïîäìíîæåñòâà

K0 , K1 è K2 , ïîëàãàÿ K0 = {k ∈ K : intGk ∩ intP1 6= ∅} , © ª Kj = k ∈ K \ K0 : Gk ⊂ G(j) , j = 1, 2. Ïðåäñòàâèì ñóììó âèäå m X k=1

m P k=1

ωk ∆vk =

ωk ∆vk , ñîîòâåòñòâóþùóþ ðàçáèåíèþ T òåëà G â

X

ωk ∆vk +

k∈K0

X

ωk ∆vk +

k∈K1

X

(1.62)

ωk ∆vk .

k∈K2

Èç âûáîðà ÷èñëà δ ñëåäóåò, ÷òî ïðè k ∈ K0 òåëî Gk íàõîäèòñÿ â ìíîãîãðàííèêå P2 , ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ îöåíêè (1.58) è (1.60), âûâîäèì îöåíêó

X k∈K0

ωk ∆vk ≤ 2M

X

∆vk ≤ 2M V (P2 ) < 2M

k∈K0

ε ε = . 4M 2

(1.63)

Äîïîëíèì ñîâîêóïíîñòü ìíîæåñòâ {Gk : k ∈ K1 } äî ðàçáèåíèÿ T (1) òåP ωk ∆vk ëà G(1) òàê, ÷òîáû ñ ïàðàìåòðîì ∆1 < δ . Òîãäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñîñòàâëÿåò ëèøü ÷àñòü ñóììû âåíñòâ (1.61), çàêëþ÷àåì, ÷òî

k∈K1

m1 P k=1

X k∈K1

(1) (1) ωk ∆vk ,

íà îñíîâàíèè ïåðâîãî èç íåðà-

ε ωk ∆vk < . 4

(1.64)

Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ïðèâîäÿò ê îöåíêå

X k∈K2

ε ωk ∆vk < . 4

(1.65)

1. Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû

33

Ïðèìåíÿÿ (1.63), (1.64) è (1.65) ê îöåíêå ïðàâîé ÷àñòè (1.62), ïîëó÷àåì

m X

ωk ∆vk < ε.

k=1

Ïî êðèòåðèþ èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà òåëå G.

Ñâîéñòâî 1.7 Ïóñòü f ∈ R (G). Åñëè m ≤ f (x) ≤ M ïðè âñåõ x ∈ G, òî

Z mV (G) ≤

f (x) dv ≤ M V (G) .

(1.66)

G

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü T = {G1 , G2 , . . . , Gm }  ïðîèçâîëüíîå ðàçáèåíèå òåëà G, à σ =

m P

k=1

f (ξk ) ∆vk  ëþáàÿ èíòåãðàëüíàÿ ñóììà ôóíêöèè

f , ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðàçáèåíèþ T . Èñïîëüçóÿ îöåíêó ôóíêöèè f , îöåíèì ñóììó σ :

mV (G) = m

m X

∆vk ≤ σ ≤ M

m X

∆vk =≤ M V (G) .

k=1

k=1

Îòñþäà, ïóòåì ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà, ïîëó÷àåì (1.66).

Ñâîéñòâî 1.8 (Ôîðìóëà ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ). Åñëè f ∈ R (G), m = inf {f (x) : x ∈ G}, M = sup {f (x) : x ∈ G}, òî ñóùåñòâóåò ÷èñëî µ ∈ [m, M ] òàêîå, ÷òî Z f (x) dv = µV (G) .

(1.67)

G

Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè V (G) = 0, òî ââèäó ñâîéñòâà 1.1, ðàâåíñòâî (1.67) âåðíî ïðè ëþáîì µ. Ïóñòü V (G) 6= 0. Òàê êàê âûïîëíåíû óñëîâèÿ ñâîéñòâà 1.7, òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (1.66). Ðàçäåëèâ åãî íà

V (G), ïîëó÷èì 1 m≤ V (G) Ïîëàãàÿ µ =

1 V (G)

Z f (x) dv ≤ M. G

Z

f (x) dv , âèäèì, ÷òî m ≤ µ ≤ M , è ÷òî ñ íàéäåííûì G

µ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî (1.67).

34

Îãëàâëåíèå

Ñâîéñòâî 1.9 (Ôîðìóëà ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ). Åñëè òåëî G  çàìêíóòî, à ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà íà G, òî ñóùåñòâóåò òî÷êà ξ ∈ G òàêîé, ÷òî Z f (x) dv = f (ξ)V (G) . (1.68) G

Ôîðìóëó (1.68) íàçûâàþò ôîðìóëîé ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó çàìêíóòîå òåëà G êîìïàêòíî, ñîãëàñíî âòîðîé òåîðåìå Âåéåðøòðàññà ñóùåñòâóþò a, b ∈ G òàêèå, ÷òî

f (a) = inf {f (x) : x ∈ G} ,

f (b) = sup {f (x) : x ∈ G} .

Íî ïî ïðåäûäóùåìó ñâîéñòâó 1.8 ñóùåñòâóåò ÷èñëî µ ∈ [f (a), f (b)] ñ êîòîðûì âåðíî ðàâåíñòâî (1.67). À òàê êàê òåëî  ñâÿçíîå ìíîæåñòâî, ïî òåîðåìå î ïðîìåæóòî÷íîì çíà÷åíèè íàéäåòñÿ ξ ∈ G òàêîé, ÷òî f (ξ) áóäåò ðàâíî µ. Çàìåíÿÿ â (1.67) µ íà f (ξ), ïîëó÷àåì (1.68).

1.8 Ñâåäåíèå êðàòíîãî èíòåãðàëà ê ïîâòîðíîìó Ìû óæå ïîçíàêîìèëèñü ñ îïðåäåëåíèåì è îñíîâíûìè ñâîéñòâàìè êðàòíîãî èíòåãðàëà, óñëîâèÿìè åãî ñóùåñòâîâàíèÿ. Íî äî ñèõ ïîð ìû íå çàòðàãèâàëè âîïðîñà î ñïîñîáàõ ôàêòè÷åñêîãî âû÷èñëåíèÿ òàêîãî èíòåãðàëà.  ðåøåíèè ýòîé çàäà÷è âàæíóþ ðîëü èãðàåò óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî âû÷èñëåíèå êðàòíîãî èíòåãðàëà ñâîäèòñÿ, ïðè äîñòàòî÷íî øèðîêèõ óñëîâèÿõ, ê ïîñëåäîâàòåëüíîìó èíòåãðèðîâàíèþ ïî êàæäîé èç ïåðåìåííûõ â îòäåëüíîñòè. Îòìåòèì, ÷òî ñâåäåíèå êðàòíîãî èíòåãðàëà ê ïîâòîðíîìó îäíîêðàòíîìó ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ýôôåêòèâíûõ ñïîñîáîâ âû÷èñëåíèÿ êðàòíîãî èíòåãðàëà. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ÷àñòíûé ñëó÷àé  ñëó÷àé ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà. Èòàê, ïóñòü òåëî G åñòü ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä

Π = {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : ai ≤ xi ≤ bi , ai < bi , i = 1, 2, . . . , n} . Ïðåäñòàâèì ïðîñòðàíñòâî Rn â âèäå äåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿ Rn = Rk ×

Rl äâóõ ïîäïðîñòðàíñòâ Rk è Rl , ãäå k + l = n. Ýëåìåíòû (x1 , x2 , . . . , xk , xk+1 , xk+2 , . . . , xn ) ∈ Rn

1. Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû

35

áóäåì çàïèñûâàòü êàê ïàðû (x, y), ñ÷èòàÿ x = (x1 , x2 , . . . , xk ) ∈ Rk , à

y = (xk+1 , xk+2 , . . . , xn ) ∈ Rl . Ôóíêöèè f , çàäàííûå íà Π, áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèè äâóõ âåêòîðíûõ ïåðåìåííûõ x ∈ Πk è y ∈ Πl , ãäå Π = Πn = Πk × Πl , Πk ⊂ Rk ,

Πl ⊂ Rl , è áóäåì ïèñàòü f (x, y). Íàêîíåö, ðàññìàòðèâàÿ îáúåìû òåë â ïðîñòðàíñòâàõ Rn , Rk , Rl , áóäåì îáîçíà÷àòü ýòè îáúåìû ñîîòâåòñòâåííî V (n) , V (k) , V (l) .

Òåîðåìà 1.10 (Òåîðåìà Ôóáèíè). Ïóñòü ôóíêöèè f èíòåãðèðóåìà íà Πn è äëÿ êàæäîãî x ∈ Πk èíòåãðèðóåìà íà Πl . Òîãäà ôóíêöèÿ Z I(x) = f (x, y) dv (l)

(1.69)

Πl

èíòåãðèðóåìà íà Πk è èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî   Z Z Z Z f (x, y) dv (n) = I(x)dv (k) =  f (x, y) dv (l)  dv (k) . Πn

Πk

Πk

Πl

Ðàâåíñòâî (1.70) îáû÷íî çàïèñûâàþò â âèäå Z Z Z (n) (k) f (x, y) dv = dv f (x, y) dv (l) , Πn

Πk

(1.70)

(1.71)

Πl

è èíòåãðàë, ñòîÿùèé â åãî ïðàâîé ÷àñòè, íàçûâàþò ïîâòîðíûì èíòåãðàëîì.

©

ª

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü T 0 = Πks : s = 1, 2, . . . , p  ðàçáèåíèå ïàðàë© ª ëåëåïèïåäà Πk , T 00 = Πlr : r = 1, 2, . . . , q  ðàçáèåíèå ïàðàëëåëåïèïåäà

Πl íà ÷àñòè÷íûå ïàðàëëåëåïèïåäû. Îáðàçóåì ïàðàëëåëåïèïåäû Πns,r = Πks × Πlr , s = 1, 2, . . . , p, r = 1, 2, . . . , q . Î÷åâèäíî, ÷òî ª © T = Πns,r : s = 1, 2, . . . , p; r = 1, 2, . . . , q åñòü ðàçáèåíèå ïàðàëëåëåïèïåäà Πn . Ïàðàìåòðû ðàçáèåíèé T 0 , T 00 è T îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåííî ∆(k) , ∆(l) è ∆(n) . Ïóñòü

© ª ms,r = inf f (x, y) : (x, y) ∈ Πns,r ,

© ª Ms,r = sup f (x, y) : (x, y) ∈ Πns,r .

36

Îãëàâëåíèå

Íà êàæäîì ïàðàëëåëåïèïåäå Πks âîçüìåì ïî îäíîé òî÷êå ξs . Òîãäà

ms,r ≤ f (ξs , y) ≤ Ms,r ïðè ëþáîì y ∈ Πlr ,

s = 1, 2, . . . , p; r = 1, 2, . . . , q.

Ïî óñëîâèþ ôóíêöèÿ f (ξs , y) (ôóíêöèÿ ïåðåìåííîé y ) èíòåãðèðóåìà íà

Πl . Òîãäà, ïî ñâîéñòâó 1.4 èíòåãðàëà îíà èíòåãðèðóåìà íà Πlr , r = 1, 2, . . . , q , à ïî ñâîéñòâó 1.7,

Z ms,r ∆vr(l)

f (ξs , y) dv (l) ≤ Ms,r ∆vr(l) ,

≤

(1.72)

Πlr

s = 1, 2, . . . , p; r = 1, 2, . . . , q, ¡ ¢ (l) ãäå ∆vr = V Πlr . Ïðîñóììèðóåì íåðàâåíñòâà (1.72) ïî r îò 1 äî q . Òàê êàê ïî ñâîéñòâó 1.5 èíòåãðàëà Z q Z X (l) f (ξs , y) dv = f (ξs , y) dv (l) , r=1

Πlr

Πl

òî â ðåçóëüòàòå ñóììèðîâàíèÿ ìû ïîëó÷èì Z q q X X (l) (l) ms,r ∆vr ≤ f (ξs , y) dv ≤ Ms,r ∆vr(l) , r=1

s = 1, 2, . . . , p.

(1.73)

r=1

Πl

Âîñïîëüçîâàâøèñü (1.69), ïåðåïèøåì (1.73) â âèäå q X

ms,r ∆vr(l)

≤ I(ξs ) ≤

r=1

q X

Ms,r ∆vr(l) ,

s = 1, 2, . . . , p.

(1.74)

r=1 (k)

Óìíîæèì íåðàâåíñòâà (1.74) íà ∆vs

¡ ¢ = V Πks , à çàòåì ïðîñóììèðóåì

ïî s îò 1 äî p è ïîëó÷èì p q X X

ms,r ∆vr(l) ∆vs(k) ≤

p X

s=1 r=1

I(ξs )∆vs(k) ≤

s=1

p q X X

Ms,r ∆vr(l) ∆vs(k) .

s=1 r=1

Ïîñêîëüêó

¡ ¢ ¡ ¢ ∆vr(l) ∆vs(k) = ∆vs(k) ∆vr(l) =V Πks V Πlr = ¢ ¢ ¡ ¡ (n) , =V Πks × Πlr = V Πns,r = ∆vs,r ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî ìîæåò áûòü çàïèñàíî â ñëåäóþùåì âèäå: p q X X s=1 r=1

(n) ms,r ∆vs,r

≤

p X s=1

I(ξs )∆vs(k)

≤

p q X X s=1 r=1

(n) . Ms,r ∆vs,r

(1.75)

1. Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû

37

Ñëåâà è ñïðàâà â íåðàâåíñòâå (1.75) ñòîÿò ñîîòâåòñòâåííî íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ñóììû Äàðáó ôóíêöèè f äëÿ ðàçáèåíèÿ T ïàðàëëåëåïèïåäà Πn , à â öåíòðå  èíòåãðàëüíàÿ ñóììà ôóíêöèè I îòâå÷àþùàÿ ðàçáèåíèþ T 0 ïàðàëëåëåïèïåäà Πk . Óñòðåìèì ê íóëþ ïàðàìåòðû ∆(k) è ∆(l) . Òîãäà, î÷åâèäíî, ÷òî ïàðàìåòð ∆(n) òàêæå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Ïîýòîìó, ââèäó èíòåãðèðóåìîñòè ôóíêöèè f íà ïàðàëëåëåïèïåäå Πn , ëåâàÿ è ïðàâàÿ ÷àñòè (1.75) ñòðåìÿòZ f (x, y) dv (n) , ñòîÿùåìó â ëåâîé ÷àñòè (1.70). ñÿ ê Πn

Ïî ïðèíöèïó äâóõñòîðîííåé îãðàíè÷åííîñòè ïðåäåë

lim

p X

∆(k) →0

Z

I(ξs )∆vs(k)

s=1

f (x, y) dv (n) . À ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ 1.18,

ñóùåñòâóåò è ðàâåí Πn

lim

∆(k) →0

p X

Z I(ξs )∆vs(k)

s=1

I(x)dv (k) .

= Πk

Ñëåäîâàòåëüíî, â ðåçóëüòàòå ïåðåõîäà ê ïðåäåëó â (1.75) ïðè ∆(k) → 0 è

∆(l) → 0 ìû ïîëó÷èì ðàâåíñòâî (1.70).

Çàìå÷àíèå 1. Ýëåìåíòû (x1 , x2 , . . . , xk , xk+1 , xk+2 , . . . , xn ) ïðîñòðàíñòâà Rn â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû 1.10 áûëè ðàçáèòû íà ïàðû (x, y) âèäà

x = (x1 , x2 , . . . , xk ) ∈ Rk è y = (xk+1 , xk+2 , . . . , xn ) ∈ Rl òîëüêî ðàäè óäîáñòâà. Ðàçóìååòñÿ, òåîðåìà îñòàåòñÿ â ñèëå, åñëè åå óñëîâèÿ âûïîëíåíû ¡ ¢ äëÿ ïàð (x, y) âèäà x = (xi1 , xi2 , . . . , xik ) ∈ Rk è y = xik+1 , xik+2 , . . . , xin ∈

Rl , ãäå i1 , i2 , . . . , ik , ik+1 , ik+2 , . . . , in  ëþáàÿ ïåðåñòàíîâêà èíäåêñîâ îò 1 äî n.

Çàìå÷àíèå 2. Ïóñòü k = 1, l = n − 1. Òîãäà ðàâåíñòâî (1.71) ïðèíèìàåò âèä

Z Z

Z ···

Z = [a1 ,b1 ]

Πn

dx1

f (x1 , x2 , . . . , xn ) dx1 dx2 . . . dxn = Z Z

Z ··· Πn−1

f (x1 , x2 , . . . , xn ) dx2 dx3 . . . dxn .

38

Îãëàâëåíèå

Z Ïîñêîëüêó äëÿ ëþáîé ôóíêöèè g : [a1 , b1 ] −→ R èíòåãðàë

g(x1 )dx1 [a1 ,b1 ]

Zb1 ïðèíÿòî çàïèñûâàòü â âèäå

g(x1 )dx1 , èìååì a1

Z Z

Z ···

f (x1 , x2 , . . . , xn ) dx1 dx2 . . . dxn =

Πn

Zb1 =

Z Z

Z

dx1

···

a1

f (x1 , x2 , . . . , xn ) dx2 dx3 . . . dxn .

(1.76)

Πn−1

Åñëè òåïåðü íà ïàðàëëåëåïèïåäå Πn−1 äëÿ ôóíêöèè f âûïîëíåíû óñëîâèÿ äîêàçàííîé òåîðåìû (ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì x1 ∈ [a1 , b1 ]) äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ k = 1, òî ïðèìåíÿÿ åå ê âíóòðåííåìó èíòåãðàëó â (1.76), áóäåì èìåòü: Z Z Z · · · f (x1 , x2 , . . . , xn ) dx1 dx2 . . . dxn = Πn

Zb1 =

Zb2 dx1

a1

Z Z dx2

a2

Z ···

f (x1 , x2 , . . . , xn ) dx3 dx4 . . . dxn ,

Πn−2

è ò. ä.

Ñëåäñòâèå 1.2 Ïóñòü ôóíêöèè f èíòåãðèðóåìà íà Πn . Åñëè äëÿ ëþáîãî k = 1, 2, . . . , n − 1 ôóíêöèÿ f èíòåãðèðóåìà íà ñîîòâåòñòâóþùåì ïàðàëëåëåïèïåäå ïî ïåðåìåííûì xk+1 , xk+2 , . . . , xn ïðè ëþáûõ ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ x1 , x2 , . . . , xk , òî ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Z Z Z · · · f (x1 , x2 , . . . , xn ) dx1 dx2 . . . dxn = Πn

Zb1 =

Zb2 dx1

a1

Zbn dx2 . . .

a2

f (x1 , x2 , . . . , xn ) dxn .

(1.77)

an

Óñëîâèÿ òåîðåìû è ñëåäñòâèÿ èç íåå âûïîëíÿþòñÿ äëÿ ôóíêöèé íåïðåðûâíûõ íà Πn , ñëåäîâàòåëüíî, ïî êðàéíåé ìåðå äëÿ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, âû÷èñëåíèå n-êðàòíîãî èíòåãðàëà ñâîäèòñÿ ê ïîñëåäîâàòåëüíîìó èíòåãðèðîâàíèþ ïî êàæäîé ïåðåìåííîé â îòäåëüíîñòè.

1. Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû

39

ZZ

Ïðèìåð 1.3 Âû÷èñëèòü

(x + y) dxdy , ãäå P

P = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} .

Ðåøåíèå. Ââèäó íåïðåðûâíîñòè ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ìîæíî ïðèìåíèòü ôîðìóëó (1.77). Ñîãëàñíî ýòîé ôîðìóëå ïîëó÷àåì

ZZ

Z1 (x + y) dxdy =

Z1 dx

0

P

(x + y) dy = 0

Z1 µ =

Z1 0

1 x+ 2

¶

µ dx =

¶ ¯y=1 µ y 2 ¯¯ = dx xy + 2 ¯y=0

x2 x + 2 2

¶ ¯x=1 ¯ ¯ = 1. ¯ x=0

0

ZZZ

Ïðèìåð 1.4 Âû÷èñëèòü

xy 2 z 3 dxdydz , ãäå P

P = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1} .

Ðåøåíèå. Îïÿòü ìîæíî ïðèìåíèòü ôîðìóëó (1.77), íî çäåñü x è y 2 ìîæíî âûíåñòè èç ïîä âíóòðåííèõ èíòåãðàëîâ êàê ïîñòîÿííûå ìíîæèòåëè, ïîýòîìó

Z1

ZZZ xy 2 z 3 dxdydz =

Z1 y 2 dy

x dx 0

P

Z1 0

z 3 dz. 0

Ïðè âû÷èñëåíèè êàæäîãî âíóòðåííåãî èíòåãðàëà ïîëó÷àåòñÿ ÷èñëî, êîòîðîå ìîæåò áûòü âûíåñåíî çà çíàê èíòåãðàëà, ïîýòîìó òðîéíîé èíòåãðàë ïðåäñòàâèì â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ òðåõ îäíîêðàòíûõ èíòåãðàëîâ, êîòîðûå ìîæíî âû÷èñëÿòü íå ïîñëåäîâàòåëüíî, à îäíîâðåìåííî. Èòàê

ZZZ

¯1 ¯1 ¯1 1 1 1 x2 ¯¯ y 3 ¯¯ z 4 ¯¯ 1 xy z dxdydz = ¯ · ¯ · ¯ = · · = . 2 0 3 0 4 0 2 3 4 24 2 3

P

Òåïåðü ðàññìîòðèì â îáùåé ñëó÷àé ñâåäåíèå êðàòíîãî èíòåãðàëà ê ïîâòîðíîìó.

40

Îãëàâëåíèå

Òåîðåìà 1.11 (Òåîðåìà Ôóáèíè). Ïóñòü E  çàìêíóòîå êóáèðóåìîå òåëî â Rn−1 , ϕ, ψ : E −→ R  íåïðåðûâíûå ôóíêöèè, ïðè÷åì ϕ(e x) ≤

ψ(e x), x e = (x1 , x2 , . . . , xn−1 ) ∈ E , G  öèëèíäðè÷åñêîå òåëî, îïðåäåëåííîå ôîðìóëîé

G = {x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn : x e ∈ E, ϕ(e x) ≤ xn ≤ ψ(e x)} . Åñëè ôóíêöèÿ f : G −→ R èíòåãðèðóåìà íà òåëå G è ïðè êàæäîì x e∈E èíòåãðèðóåìà ïî xn íà ñåãìåíòå [ϕ(e x), ψ(e x)], òî ôóíêöèÿ ψ(e x) Z I(e x) = f (x) dxn

(1.78)

ϕ(e x)

èíòåãðèðóåìà íà òåëå E è èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî

Z

Z I(e x) dv (n−1) =

f (x) dv = G

Z

E

dv (n−1) E

ψ(e x) Z f (x) dxn .

(1.79)

ϕ(e x)

Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå 1.5 òåëî G êóáèðóåìî. Òàê êàê òåëî  îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî, íàéäåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä Π ⊃

G. Îïðåäåëèì ôóíêöèþ fe : Π −→ R ïî ïðàâèëó   f (x), åñëè x ∈ G, e f (x) =  0, åñëè x ∈ Π \ G. Ïî ñâîéñòâó 1.6 èíòåãðàëà, ôóíêöèÿ fe èíòåãðèðóåìà íà Π = Πn è íà ñåãìåíòå [an , bn ] = Π1 ïðè êàæäîì x e ∈ Πn−1 . Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå 1.10 (k = n − 1, l = 1) èìååì

Z fe(x) dv = Π

Zbn

Z

fe(x) dxn .

dv (n−1) Πn−1

(1.80)

an

Ïðåîáðàçóåì êàæäóþ èç ÷àñòåé ýòîãî ðàâåíñòâà. Òàê êàê Π = G∪(Π \ G), òî ïî ñâîéñòâó 1.5 èíòåãðàëà, ïîëó÷àåì Z Z Z e e f (x) dv = f (x) dv + fe(x) dv. Π

G

Π\G

(1.81)

1. Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû

41

Íî ââèäó îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè fe, Z Z fe(x) dv = f (x) dv, G

G

Z fe(x) dv = 0, Π\G

ïîýòîìó ðàâåíñòâî (1.81) ïðèíèìàåò âèä Z Z e f (x) dv = f (x) dv. Π

(1.82)

G

Zbn fe(x) dxn , ìû ìîæåì ïðåä-

e x) äëÿ èíòåãðàëà Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèå I(e an

ñòàâèòü èíòåãðàë, ñòîÿùèé â ïðàâîé ÷àñòè (1.80), â ñëåäóþùåì âèäå: Z e x) dv (n−1) , à çàòåì, ðàññìàòðèâàÿ ïàðàëëåëåïèïåä Πn−1 êàê ìíîI(e Πn−1

æåñòâî ÿâëÿþùååñÿ îáúåäèíåíèåì äâóõ ìíîæåñòâ E è Πn−1 \ E , ñíîâà âîñïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâîì 1.5 èíòåãðàëà, è ïîëó÷èì Z Z Z (n−1) (n−1) e e e x) dv (n−1) . I(e x) dv = I(e x) dv + I(e E

Πn−1

(1.83)

Πn−1 \E

Î÷åâèäíî, ÷òî fe(x) = 0 íà ìíîæåñòâå (Πn−1 \ E) × [an , bn ]. Ïîýòîìó ïîñëåäíèé èíòåãðàë â ðàâåíñòâå (1.83) ðàâåí íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî,

Z

Zbn dv

Z fe(x) dxn =

(n−1) an

Πn−1

Zbn dv

fe(x) dxn .

(n−1)

(1.84)

an

E

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïðè êàæäîì x e ∈ E ôóíêöèÿ fe(x) íà ñåãìåíòå [ϕ(e x), ψ(e x)] ñîâïàäàåò ñ f (x), à âíå åãî fe(x) = 0, çàìå÷àåì, ÷òî

Zbn

ϕ(e x) ψ(e x) ψ(e x) Zbn Z Z Z fe(x) dxn = fe(x) dxn + fe(x) dxn + fe(x) dxn = f (x) dxn .

an

an

ϕ(e x)

ψ(e x)

ϕ(e x)

Îòñþäà è (1.84), ïîëó÷àåì

Zbn

Z

fe(x) dxn =

dv (n−1) Πn−1

Z

an

dv (n−1) E

ψ(e x) Z f (x) dxn .

(1.85)

ϕ(e x)

Êîìáèíèðóÿ òåïåðü (1.80), (1.82) è (1.85), ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó (1.79).

42

Îãëàâëåíèå

Çàìå÷àíèå 1. Åñëè E , â ñâîþ î÷åðåäü ÿâëÿåòñÿ öèëèíäðè÷åñêèì òåëîì è ôóíêöèÿ I , îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì (1.78), óäîâëåòâîðÿåò íà íåì óñëîâèÿì äîêàçàííîé òåîðåìû 1.11, òî âíåøíèé èíòåãðàë â (1.79) òîæå ìîæåò áûòü çàìåíåí ïîâòîðíûì è òàê äàëåå.

Çàìå÷àíèå 2. Åñëè òåëî G íå ÿâëÿåòñÿ öèëèíäðè÷åñêèì, íî åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå êîíå÷íîãî îáúåäèíåíèÿ öèëèíäðè÷åñêèõ òåë, òî, ñîãëàñíî ñâîéñòâó 1.5, èíòåãðàë ïî òåëó G ìîæíî çàìåíèòü ñóììîé èíòåãðàëîâ ïî óïîìÿíóòûì öèëèíäðè÷åñêèì òåëàì, êàæäûé èç êîòîðûõ, ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû 1.11, ñâîäèòñÿ ê ïîâòîðíîìó. ZZ Ïðèìåð 1.5 Âû÷èñëèòü x2 dxdy , ãäå D  ôèãóðà, çàêëþ÷åííàÿ D

ìåæäó ýëëèïñîì x2 + 4y 2 = 4 è îêðóæíîñòüþ x2 + y 2 = 1.

Ðåøåíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî D = D1 ∪ D2 , ãäå D1 è D2  êðèâîëèíåéíûå òðàïåöèè. Èõ ãðàíèöû îáðàçóþò êðèâûå, çàäàííûå óðàâíåíèÿìè x = p p ± 1 − y 2 è x = ±2 1 − y 2 . Ñëåäîâàòåëüíî, √ − 1−y 2 1 ZZ ZZ Z ZZ Z 2 2 2 x dxdy = x2 dx+ x dxdy + x dxdy = dy √ −1 D D1 D2 −2

Z1 + −1

7 = 3

1−y 2

√     2 √ ¯ ¯ √ 2 2 Z1 Z1−y Z1 3 ¯x=2 1−y 3 ¯x=− 1−y x  dy +  x ¯  dy x2 dx =  ¯¯ √ ¯ √ 2 dy = 3 3 2 x=−2 1−y x= 1−y √ −1 −1 2

1−y 2

Z1 −1

¡

1−y

2

¢ 32

7 dy + 3

Z1

¡

1−y

2

¢ 32

28 dy = 3

−1

Z1

¡

1 − y2

¢ 23

dy =

0 π

¯ ¯ Z2 ¯ ¯ 28 cos4 t dt = =¯¯ çàìåíà y = sin t ⇒ dy = cos t dt¯¯ = 3 0

7 = 6

π 2

Z

7 (3 + 4 cos 2t + cos 4t) dt = 6

0

µ

¶ ¯ π2 ¯ 7π 1 . 3t + 2 sin 2t + sin 4t ¯¯ = 4 4 0

ZZZ

Ïðèìåð 1.6 Âû÷èñëèòü

(x + y + z) dxdydz , ãäå G  òåëî, îãðàG

íè÷åííîå ïëîñêîñòÿìè x = 0, y = 0, z = 0 è x + y + z = 1.

1. Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû

43

Ðåøåíèå. Çäåñü G  öèëèíäðè÷åñêîå òåëî íàä òðåóãîëüíèêîì D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ x + y ≤ 1} , îãðàíè÷åííîå ñâåðõó ïëîñêîñòüþ x + y + z = 1, ñíèçó - ïëîñêîñòüþ z =

0. Òðåóãîëüíèê D  òîæå öèëèíäðè÷åñêàÿ ôèãóðà íàä ñåãìåíòîì [0, 1], îãðàíè÷åííàÿ ñâåðõó ïðÿìîé x + y = 1, ñíèçó - ïðÿìîé y = 0. Ïîýòîìó

ZZZ

ZZ (x + y + z) dxdydz =

G

Z1 = 0

1 = 2

dxdy

(x + y + z) dz = 0

D

¯z=1−x−y ! Z1−x 1−x−y Z Z1 Z1−xà (x + y + z)2 ¯¯ dx dy (x + y + z) dz = dx dy = ¯ 2 z=0 0

Z1 dx 0

1 = 6

1−x−y Z

Z1

0

Z1−x ¡

0

¢ 1 1 − (x + y)2 dy = 2

0

¡

2 − 3x + x

Z1 ÃÃ

0

(x + y)3 y− 3

!¯ ! ¯y=1−x ¯ dx = ¯

0 3

¢

1 dx = 6

µ

0

y=0

¶ ¯1 1 3 2 1 4 ¯¯ 2x − x + x ¯ = . 2 4 8 0

1.9 Çàìåíà ïåðåìåííûõ â êðàòíîì èíòåãðàëå Çàìåíà ïåðåìåííûõ â êðàòíîì èíòåãðàëå èãðàåò åùå áîëåå âàæíóþ ðîëü, ÷åì â èíòåãðàëå ïî îòðåçêó, ïîñêîëüêó íåîáõîäèìîñòü â íåé âûçûâàåòñÿ íå òîëüêî ñëîæíîñòüþ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè, íî è ñëîæíîé êîíôèãóðàöèåé òåëà, ïî êîòîðîìó ïðèõîäèòñÿ èíòåãðèðîâàòü, èëè íå ïîçâîëÿþùåé ñâåñòè êðàòíûé èíòåãðàë ê ïîâòîðíîìó, èëè ïðèâîäÿùåé ê ãðîìîçäêèì âû÷èñëåíèÿì. Âîçüìåì äâà ýêçåìïëÿðà ïðîñòðàíñòâà Rn : Rn (x) = {x = (x1 , x2 , . . . , xn )} è Rn (ξ) = {ξ = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn )}, â ïåðâîì ðàññìîòðèì çàìêíóòîå îäíîñâÿçíîå êóáèðóåìîå òåëî G, âî âòîðîì - çàìêíóòîå îäíîñâÿçíîå êóáèðóåìîå

e. È ïóñòü îòîáðàæåíèå ψ : G e −→ G (òî åñòü n-ìåðíàÿ ôóíêöèÿ n òåëî G âåùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ) îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:

e â G íåïðåðûâíî è intG e â intG áèåêòèâíî; 1. ψ îòîáðàæàåò G

44

Îãëàâëåíèå

e, òî åñòü ψ äèôôåðåíöèðóåìî 2. ψ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìî â G e è âñå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå êàæäîé êîîðäèíàòíîé ôóíêöèè â intG íåïðåðûâíû â G; 3. ÿêîáèàí J (ξ) =

D (x1 , x2 , . . . , xn ) e. 6= 0 â êàæäîé òî÷êå ξ ∈ intG D (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn )

Íàïîìíèì, ÷òî

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ D (x1 , x2 , . . . , xn ) 0 J (ξ) = = det ψ (ξ) = ¯¯ D (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

∂x1 ∂ξ1 ∂x2 ∂ξ1 ... ∂xn ∂ξ1

∂x1 ∂ξ2 ∂x2 ∂ξ2 ... ∂xn ∂ξ2

∂x1 ∂ξn ∂x2 ... ∂ξn ... ... ∂xn ... ∂ξn ...

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ . (1.86) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

Èç ñâîéñòâ 2 è 3 ñëåäóåò, ÷òî

e; a) ÿêîáèàí J (ξ) îòîáðàæåíèÿ ψ ñîõðàíÿåò çíàê â intG e. b) ñóùåñòâóåò îáðàòíîå îòîáðàæåíèå ψ −1 : intG −→ intG e. ×åðåç íåå Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ intG ïðîõîäÿò n ãèïåðïëîñêîñòåé ξi = αi , i = 1, 2, . . . , n. ×àñòè ýòèõ ãèïåð-

e, îòîáðàæåíèå ψ ïåðåâîäèò â ÷àñòè ãèïëîñêîñòåé, ñîäåðæàùèåñÿ â G ïåðïîâåðõíîñòåé xi = ψ (ξ1 , ξ2 , . . . , ξi−1 , αi , ξi+1 , . . . , ξn ), ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êó a = (a1 , a2 , . . . , an ) = ψ (α). Åñëè ðàññìîòðåòü äðóãóþ òî÷êó ´ ´ ³ ³ (1) (1) (1) (1) (1) e, òî åå îáðàç a(1) = a(1) = , a , . . . , a α(1) = α1 , α2 , . . . , αn ∈ intG n 1 2 ¡ (1) ¢ ψ α , íàõîäèòñÿ íà ïåðåñå÷åíèè ãèïåðïîâåðõíîñòåé

³ ´ (1) xi = ψ ξ1 , ξ2 , . . . , ξi−1 , αi , ξi+1 , . . . , ξn ,

i = 1, 2, . . . , n,

ïðè÷åì, ïîñêîëüêó îòîáðàæåíèå ψ áèåêòèâíî (ñâîéñòâî 1), íàáîð ãèïåðïîâåðõíîñòåé, îïðåäåëÿþùèõ ïîëîæåíèå òî÷êè a(1) , îòëè÷åí îò íàáîðà ãèïåðïîâåðõíîñòåé, îïðåäåëÿþùèõ ïîëîæåíèå òî÷êè a. Òàêèì îáðàçîì, ïîëîæåíèå êàæäîé òî÷êè a ∈ intG ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî êàê ïåðåñå÷åíèåì ãèïåðïëîñêîñòåé xi = ai , i = 1, 2, . . . , n, òàê è ïåðåñå÷åíèåì ãèïåðïîâåðõíîñòåé, ÿâëÿþùèõñÿ îáðàçàìè ÷àñòåé ãèïåðïëîñêîñòåé ξi = αi ,

i = 1, 2, . . . , n, òî åñòü, ôàêòè÷åñêè, çíà÷åíèÿìè (α1 , α2 , . . . , αn ). Ïðèíÿòî ïîýòîìó (α1 , α2 , . . . , αn ) íàçûâàòü êðèâîëèíåéíûìè êîîðäèíàòàìè òî÷êè

1. Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû

45

a ∈ intG, à ãèïåðïîâåðõíîñòåé xi = ψ (ξ1 , ξ2 , . . . , ξi−1 , αi , ξi+1 , . . . , ξn ), i = 1, 2, . . . , n,  êîîðäèíàòíûìè ãèïåðïîâåðõíîñòÿìè (ëèíèÿìè ïðè n = 2, ïîâåðõíîñòÿìè ïðè n = 3).

Ïðèìåð 1.7 Ðàññìîòðèì â R2 ïîëÿðíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (r ≥ 0, 0 ≤ ϕ < 2π ). Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî îòîáðàæåíèå ψ : (r, ϕ) −→ (x, y) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì 1-3 äëÿ ëþáîé êâàäðèðóåìîé çàìêíóòîé îäíîñâÿçíîé

e, ðàñïîëîæåííîé â ïîëóïîëîñå ôèãóðû G Π = {(r, ϕ) : 0 ≤ r < +∞, 0 ≤ ϕ < 2π} . Êîîðäèíàòíûå ëèíèè  îêðóæíîñòè r = const è ëó÷è ϕ = const. Âû÷èñëèì ÿêîáèàí îòîáðàæåíèÿ ¯ ¯ ∂x ∂x ¯ ¯ ∂r ∂ϕ J(r, ϕ) = ¯ ∂y ∂y ¯ ¯ ∂r ∂ϕ

ψ: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ cos ϕ −r sin ϕ ¯ ¯ ¯=¯ ¯ ¯ sin ϕ r cos ϕ ¯

¯ ¯ ¯ ¯ = r. ¯ ¯

Ïðèìåð 1.8 Ðàññìîòðèì â R3 öèëèíäðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = u (r ≥ 0, 0 ≤ ϕ < 2π , −∞ < u < +∞). Îòîáðàæåíèå ψ : (r, ϕ, u) −→ (x, y, z) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì 1-3 íà

e, óäîâëåòâîðÿþùåì ëþáîì çàìêíóòîì êóáèðóåìîì îäíîñâÿçíîì òåëå G ïðèâåäåííûì âûøå îãðàíè÷åíèÿì. Êîîðäèíàòíûå ïîâåðõíîñòè  öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè r = const, ïîëóïëîñêîñòè ϕ = const è ïëîñêîñòè

u = const. Âû÷èñëèì ÿêîáèàí îòîáðàæåíèÿ ψ : ¯ ¯ ¯ ¯ ∂x ∂x ∂x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂r ∂ϕ ∂u ¯ ¯ cos ϕ −r sin ϕ 0 ¯ ¯ ¯ ∂y ∂y ∂y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = J(r, ϕ, u) = ¯ ¯ ¯ sin ϕ r cos ϕ 0 ¯ = r. ¯ ¯ ∂r ∂ϕ ∂u ¯ ¯ ¯ ¯ ∂z ∂z ∂z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 1 ¯ ¯ ∂r ∂ϕ ∂u ¯

Ïðèìåð 1.9 Ðàññìîòðèì â R3 ñôåðè÷åñêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò x = r cos ϕ cos θ, y = r sin ϕ cos θ, z = r sin θ (r ≥ 0, 0 ≤ ϕ < 2π , −

π π ≤ u ≤ ). 2 2

46

Îãëàâëåíèå È ýòî îòîáðàæåíèå ψ : (r, ϕ, θ) −→ (x, y, z) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì

e, óäîâëåòâîðÿ1-3 íà ëþáîì çàìêíóòîì êóáèðóåìîì îäíîñâÿçíîì òåëå G þùåì ïðèâåäåííûì âûøå îãðàíè÷åíèÿì. Êîîðäèíàòíûå ïîâåðõíîñòè  ñôåðû r = const, ïîëóïëîñêîñòè ϕ = const è êîíè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè

θ = const. Âû÷èñëèì ÿêîáèàí îòîáðàæåíèÿ ψ : ¯ ¯ ¯ ∂x ∂x ∂x ¯ ¯ ¯ ¯ ∂r ∂ϕ ∂θ ¯ ¯ ∂y ∂y ∂y ¯ ¯ ¯ J(r, ϕ, θ) = ¯ ¯= ¯ ∂r ∂ϕ ∂θ ¯ ¯ ∂z ∂z ∂z ¯ ¯ ¯ ¯ ∂r ∂ϕ ∂θ ¯ ¯ ¯ ¯ cos ϕ cos θ −r sin ϕ cos θ −r cos ϕ sin θ ¯ ¯ = ¯ sin ϕ cos θ r cos ϕ cos θ −r sin ϕ sin θ ¯ ¯ ¯ sin θ 0 r cos θ

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = r2 cos θ. ¯ ¯ ¯

e  çàìêíóòûå îäíîñâÿçíûå êóáèðóåÒåîðåìà 1.12 Ïóñòü òåëà G è G e −→ G ìûå òåëà â Rn (x) è Rn (ξ) ñîîòâåòñòâåííî, îòîáðàæåíèå ψ : G óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì 1-3. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Z V (G) = |J (ξ)| dv (ξ) ,

(1.87)

e G

ãäå dv (ξ) îáîçíà÷àåò ýëåìåíò îáúåìà â ïðîñòðàíñòâå Rn = {ξ}.

e, îáðàçîâàííîå ãèÑõåìà äîêàçàòåëüñòâà. Ïóñòü Te  ðàçáèåíèå òåëà G ïåðïëîñêîñòÿìè, ïàðàëëåëüíûìè êîîðäèíàòíûì ãèïåðïëîñêîñòÿì. Ðàçáèåíèå Te ñîñòîèò èç ìíîæåñòâ äâóõ òèïîâ:

e k , k = 1, 2, . . . , m, ïîëíîñòüþ ñî(A) ïðÿìîóãîëüíûå ïàðàëëåëåïèïåäû Π e; äåðæàùèåñÿ â intG e k , k = m + 1, m + 2, . . . , m1 (m1 > (B) ïðÿìîóãîëüíûå ïàðàëëåëåïèïåäû Π e òåëà G e. m), èëè èõ ÷àñòè, èìåþùèå îáùèå òî÷êè ñ ãðàíèöåé ∂ G e, ïðè äîñòàòî÷íî ìåëêîì ðàçáèåíèè ñóììà Ââèäó êóáèðóåìîñòè òåëà G îáúåìîâ ýëåìåíòîâ ðàçáèåíèÿ, ïåðå÷èñëåííûõ â (B), íàñòîëüêî ìàëà (ïî ñðàâíåíèþ ñ ñóììàðíûì îáúåìîì ïàðàëëåëåïèïåäîâ, ïåðå÷èñëåííûõ â (A)), ÷òî åþ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü.

1. Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû

47

e îïðå ñèëó íåïðåðûâíîñòè, îòîáðàæåíèå ψ ïî ðàçáèåíèþ Te òåëà G äåëÿåò ðàçáèåíèå T òåëà G. Ðàçáèåíèå T òàêæå ñîñòîèò èç ìíîæåñòâ äâóõ òèïîâ: (C) êðèâîëèíåéíûõ ïàðàëëåëåïèïåäîâ Πk , ÿâëÿþùèõñÿ îáðàçàìè ïàðàë-

e k , k = 1, 2, . . . , m; ëåëåïèïåäîâ Π (D) îáðàçîâ ÷àñòè÷íûõ òåë, ïåðå÷èñëåííûõ â (B). Ïðè äîñòàòî÷íî ìåëêîì ðàçáèåíèè Te, ââèäó íåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèÿ ψ , ðàçáèåíèå T òîæå áóäåò äîñòàòî÷íî ìåëêèì, ïîýòîìó ñóììà îáúåìîâ òåë, ïåðå÷èñëåííûõ â (D), áóäåò î÷åíü ìàëà, ïî ñðàâíåíèþ ñ ñóììàðíûì îáúåìîì òåë, ïåðå÷èñëåííûõ â (C). Ñëåäîâàòåëüíî, îáúåì òåëà G ïðàêòè÷åñêè ðàâåí ñóììå îáúåìîâ êðèâîëèíåéíûõ ïàðàëëåëåïèïåäîâ Πk , ïåðå÷èñëåííûõ â (C). Âû÷èñëèì îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà Πk (k = 1, 2, . . . , m). Ïóñòü òî÷êà ´ ³ (k) (k) (k) (k) e e  Ak  îäíà èç âåðøèí ïàðàëëåëåïèïåäà Πk , ξ = ξ1 , ξ2 , . . . , ξn åå êîîðäèíàòû, à h1 , h2 , . . . , hn  âåëè÷èíû ðåáåð (ñ ó÷åòîì çíàêà), âû-

e k , ñîñåäõîäÿùèõ èç ýòîé âåðøèíû. Òîãäà âåðøèíû ïàðàëëåëåïèïåäà Π ek , èìåþò êîîðäèíàòû ξ (k) + h(i) , ãäå h(i) = (0, 0, . . . , 0, hi , 0, . . . , 0), íèå ñ A ³ ´ e k ïàðàëëåëåi = 1, 2, . . . , n. Òîãäà, ñîãëàñíî ôîðìóëå (1.3), îáúåì V Π e k ðàâåí |h1 h2 . . . hn |. ïèïåäà Π ¢ ¡ ek ïåðåâåäåò â âåðøèíó Ak x(k) ñ x(k) = Îòîáðàæåíèå ψ âåðøèíó A ¡ ¢ ψ ξ (k) , à ñîñåäíèå ñ Ak âåðøèíû êðèâîëèíåéíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà Πk ¢ ¡ áóäóò èìåòü êîîðäèíàòû ψ ξ (k) + h(i) , i = 1, 2, . . . , n. Çàìåíèì êðèâîëèíåéíûé ïàðàëëåëåïèïåä Πk ïðÿìîëèíåéíûì (êîñîóãîëüíûì) ïàðàëëåëåïèïåäîì Π0k , îñòàâèâ âåðøèíó Ak íåèçìåííîé, à êî¡ ¢¡ ¢ ¡ ¢ îðäèíàòû ñîñåäíèõ ñ íåé âåðøèí ïîëîæèì ðàâíûìè ψ ξ (k) +dψ ξ (k) h(i) .

48

Îãëàâëåíèå

Òàê êàê âåëè÷èíû ðåáåð ïàðàëëåëåïèïåäà Π0k ñóòü

¡ ¢¡ ¢ ¡ ¢ dψ ξ (k) h(i) = ψ 0 ξ (k) · h(i) =       =    

∂ψ1 ∂ξ1 ∂ψ2 ∂ξ1 ... ∂ψn ∂ξ1

∂ψ1 ∂ξ2 ∂ψ2 ∂ξ2 ... ∂ψn ∂ξ2

   ∂ψ1  ...  ∂ξn    ∂ψ2   ...   ∂ξn  ·     ... ...     ∂ψn    ...  ∂ξn 

 0 ... 0 hi 0 ...

              =          

∂ψ1 ∂ξi ∂ψ2 ∂ξi ... ∂ψn ∂ξi

      · hi ,    

0 òî åãî îáúåì, âû÷èñëåííûé ïî ôîðìóëå (1.3), áóäåò ðàâåí µ µ ¶ ¶ ³ ´ ¯ ¡ k ¢¯ ∂ψj ¡ (k) ¢ 0 ek . ¯ ¯ V (Πk ) = abs det ξ · h1 h2 . . . h n = J ξ · V Π ∂ξi ¡ ¢¡ ¢ Ïðè ïåðåõîäå îò Πk ê Π0k ìû çàìåíèëè ïðèðàùåíèÿ ∆ψ ξ (k) h(i) äèô¡ ¢¡ ¢ ôåðåíöèàëàìè dψ ξ (k) h(i) , ïîýòîìó

³ ´ ¯ ¡ ¢¯ ek , V (Πk ) ≈ V (Π0k ) = ¯J ξ k ¯ · V Π

(1.88)

ïðè÷åì ðàçíîñòü ìåæäó ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿìè â (1.88) åñòü áåñêîíå÷íî ³ ´ e k . Ñóììèðóÿ (1.88) ìàëàÿ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ïî ñðàâíåíèþ ñ V Π ïî k îò 1 äî m, ïîëó÷àåì m X ¯ ¡ (k) ¢¯ ¯J ξ ¯ · ∆vk (ξ) , V (G) ≈

(1.89)

k=1

ãäå ∆vk (ξ) = V

³

´ ek . Π

Äîáàâèì â ïîëó÷åííóþ ñóììó ñëàãàåìûå, îòâå÷àþùèå çíà÷åíèÿì k

ek îò m + 1 äî m1 . Ýòè ñëàãàåìûå ñîîòâåòñòâóþò ïàðàëëåëåïèïåäàì Π e.  ñèëó ìàëîñòè èëè èõ ÷àñòÿì, êîòîðûå ïðèìûêàþò ê ãðàíèöå òåëà G ³ ´ m1 P e k , íåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèÿ ψ è íåïðåðûâíîñòè, à ñëåäîV Π k=m+1

âàòåëüíî, è îãðàíè÷åííîñòè ÿêîáèàíà J (ξ), äîáàâëåííàÿ ñóììà ¾î÷åíü

ìàëà ¿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ñóììîé, ñòîÿùåé â ïðàâîé ÷àñòè (1.89). Ïîýòîìó m1 X ¯ ¡ (k) ¢¯ ¯J ξ ¯ · ∆vk (ξ) . V (G) ≈ k=1

(1.90)

1. Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû

49

Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñóììà, ñòîÿùàÿ â ïðàâîé ÷àñòè (1.90), åñòü èíòåãðàëü¯ ¡ ¢¯ e. íàÿ ñóììà ôóíêöèè ¯J ξ (k) ¯, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðàçáèåíèþ Te òåëà G ¡ ¢ e îáîçíà÷àåò ïàðàìåòð ðàçáèåíèÿ Te. Ïîñêîëüêó ÿêîáèàí J ξ (k) Ïóñòü ∆

e → 0 åñòü íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, òî ïðåäåë èíòåãðàëüíûõ ñóìì ïðè ∆ e → 0 è ïîëó÷èì (1.87). ñóùåñòâóåò. Ïåðåéäåì â (1.90) ê ïðåäåëó ïðè ∆ Òî÷íûå îöåíêè, îáîñíîâûâàþùèå âñå ïðèâåäåííûå ðàññóæäåíèÿ, ââèäó èõ ñëîæíîñòè, îïóùåíû.

e  çàìêíóòûå îäíîñâÿçíûå êóáèðóåÒåîðåìà 1.13 Ïóñòü òåëà G è G e −→ G ìûå òåëà â Rn (x) è Rn (ξ) ñîîòâåòñòâåííî, îòîáðàæåíèå ψ : G óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì 1-3, f : G −→ R íåïðåðûâíà íà G. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Z

Z f (ψ (ξ)) |J (ξ)| dv (ξ) .

f (x) dv (x) = G

(1.91)

e G

Äîêàçàòåëüñòâî. Ââèäó íåïðåðûâíîñòè ïîäûíòåãðàëüíûõ ôóíêöèé, êàæäûé èç èíòåãðàëîâ â (1.91) ñóùåñòâóåò. Îñòàåòñÿ äîêàçàòü ëèøü ñàìî ðàâåíñòâî (1.91). n o ³ ´ ek : k = 1, 2, . . . , m  ðàçáèåíèå òåëà G e, Gk = ψ G ek , Ïóñòü Te = G

k = 1, 2, . . . , m. Ââèäó íåïðåðûâíîñòè îòîáðàæåíèÿ ψ âñå òåëà Gk êóáèðóåìû, à ñîãëàñíî òåîðåìå (1.12), èõ îáúåìû íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëå Z V (Gk ) = |J (ξ)| dv (ξ) . (1.92) ek G

Èç ñâîéñòâ 1-3 îòîáðàæåíèÿ ψ ñëåäóåò, ÷òî òåëà Gk ïðè ðàçëè÷íûõ m S k íå èìåþò îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê è Gk = G. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîâîk=1

êóïíîñòü T = {Gk : k = 1, 2, . . . , m} îáðàçóåò ðàçáèåíèå òåëà G. Ñîñòàâèì èíòåãðàëüíóþ ñóììó ôóíêöèè f , ñîîòâåòñòâóþùóþ ýòîìó ðàçáèåíèþ. Ó÷èòûâàÿ (1.92), ïîëó÷àåì

Z m m X X ¡ (k) ¢ ¡ (k) ¢ |J (ξ)| dv (ξ) , ∆vk (x) = f x σ= f x k=1

ãäå ∆vk (x) = V (Gk ).

k=1

ek G

(1.93)

50

Îãëàâëåíèå Ïî ñâîéñòâó 1.9 èíòåãðàëà, äëÿ êàæäîãî k = 1, 2, . . . , m íàéäåòñÿ òî÷-

êà ξ (k) ∈ Gk òàêàÿ, ÷òî Z ³ ´ ¯ ¡ ¢¯ ¯ ¡ (k) ¢¯ ek = ¯J ξ (k) ¯ · ∆vk (ξ) . ¯ ¯ |J (ξ)| dv (ξ) = J ξ ·V G

(1.94)

ek G

 (1.93) òî÷êè x(k) ìîãóò áûòü âûáðàíû ïðîèçâîëüíî, ïîýòîìó ìû ìîæåì ¡ ¢ ïîëîæèòü x(k) = ψ ξ (k) , ãäå ξ (k) óäîâëåòâîðÿþò (1.94). Òîãäà, ïîäñòàâëÿÿ (1.94) â ðàâåíñòâî (1.93), ïîëó÷àåì m m X X ¡ (k) ¢ ¡ ¡ ¢¢ ¯ ¡ ¢¯ f x ∆vk (x) = f ψ ξ (k) ¯J ξ (k) ¯ · ∆vk (ξ) . k=1

(1.95)

k=1

 îáåèõ ÷àñòÿõ ýòîãî ðàâåíñòâà ñòîÿò èíòåãðàëüíûå ñóììû ñîîòâåòñòâóþùèõ èíòåãðàëîâ ðàâåíñòâà (1.91).

e è ∆  ïàðàìåòðû ðàçáèåíèé Te è T ñîîòâåòñòâåííî. Òàê êàê Ïóñòü ∆ e çàìêíóòûå òåëà, òî îíè ÿâëÿþòñÿ êîìïàêòíûìè ìíîæåñòâàìè. G è G Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî òåîðåìå Êàíòîðà, íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå ψ :

e −→ G ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíî íà G e. Ïîýòîìó ∆ → 0 ïðè ∆ e → 0. G e → 0 è ïîëó÷èì Ïåðåéäåì òåïåðü â ðàâåíñòâå (1.95) ê ïðåäåëó ïðè ∆ ðàâåíñòâî (1.91).

Çàìå÷àíèå. Óòâåðæäåíèå òåîðåìû 1.13 îñòàåòñÿ âåðíûì, åñëè óñëîâèÿ íàðóøåíû íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå íóëåâîãî îáúåìà. ZZ xy dxdy , ãäå D  ôèãóðà, îãðàíè÷åííàÿ Ïðèìåð 1.10 Âû÷èñëèòü D

x2 y2 ýëëèïñîì 2 + 2 (a > 0, b > 0) è êîîðäèíàòíûìè îñÿìè x = 0, y = 0 a b (x > 0, y > 0).

Ðåøåíèå. Ïåðåéäåì ê îáîáùåííûì ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì, ïîëàãàÿ x = ar cos ϕ, y = br sin ϕ. Ýòè ôóíêöèè îïðåäåëÿþò îòîáðàæåíèå ψ ïðÿìîóãîëüíèêà

πo Π = (r, ϕ) : 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ϕ < 2 íà D, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì 1-3. Âû÷èñëèì ÿêîáèàí ýòîãî îòîáðàæåíèÿ.

n

¯ ¯ ¯ a cos ϕ −ar sin ϕ J(r, ϕ) = ¯¯ ¯ b sin ϕ br cos ϕ

¯ ¯ ¯ ¯ = abr. ¯ ¯

1. Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû

51

Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1.91), èìååì ZZ ZZ xy dxdy = (ar cos ϕ) (br sin ϕ) abr drdϕ = D

Π

1 = a2 b2 2

π 2

Z1

Z r3 dr

0

1 sin 2ϕ dϕ = a2 b2 · 2

0

Ã

¯1 ! à ¯π ! ¯ ¯2 1 4¯ 1 1 r ¯ − cos 2ϕ¯¯ = a2 b2 . 4 0 2 8 0

ZZZ

Ïðèìåð 1.11 Âû÷èñëèòü

x dxdydz , ãäå G  òåëî, îãðàíè÷åííîå G

êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè x = 0, y = 0, z = 0 (x > 0, y > 0, z > 0) è ñôåðîé x2 + y 2 + z 2 = R2 .

Ðåøåíèå. Ïåðåéäåì ê ñôåðè÷åñêîé êîîðäèíàòàì, ïîëàãàÿ x = r cos ϕ cos θ, y = r sin ϕ cos θ, z = r sin θ. Ýòè ôóíêöèè îñóùåñòâëÿþò îòîáðàæåíèå ψ ïàðàëëåëåïèïåäà n π πo Π = (r, ϕ, θ) : 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ ϕ < , 0 ≤ θ < 2 2 íà òåëî G.  ïðèìåðå 1.9 âû÷èñëåí ÿêîáèàí ýòîãî îòîáðàæåíèÿ; îí ðàâåí

r2 cos θ. Ïîýòîìó ZZZ ZZZ x dxdydz = r cos ϕ cos θ · r2 cos θ drdϕdθ = G

Π π

π 2

Z

Z2 cos ϕ dϕ

= 0

ZR 2

r3 dr =

cos θ dθ 0

0

¯π ¯ µ ¶ ¯ π2 ¯2 1 ¯ 1 4 ¯R πR4 1 ¯ ¯ = sin ϕ¯ · θ + sin 2θ ¯ · r ¯¯ = . 2 2 4 0 16 0 0

1.10 Êîíòðîëüíûå âîïðîñû, çàäà÷è, óïðàæíåíèÿ 1. Ïîêàæèòå, ÷òî åñëè ìíîæåñòâî E ⊂ Rn èìååò íóëåâîé îáúåì, òî è åãî çàìûêàíèå E åñòü íóëåâîãî îáúåìà. 2. Ïîêàæèòå, ÷òî êóáèðóåìîå òåëî áåç âíóòðåííèõ òî÷åê èìååò íóëåâîé îáúåì.

52

Îãëàâëåíèå 3. Ïîêàæèòå, ÷òî êóáèðóåìîå òåëî íóëåâîãî îáúåìà íå èìååò âíóòðåííèõ òî÷åê. 4. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ïðîåêöèÿ îãðàíè÷åííîãî ìíîæåñòâà E ⊂ Rn íà ãèïåðïëîñêîñòü Rn−1 èìååò (n − 1)-ìåðíûé íóëåâîé îáúåì, òî ñàìî ìíîæåñòâî E èìååò n-ìåðíûé íóëåâîé îáúåì. 5. Ñîñòàâüòå íèæíþþ è âåðõíþþ ñóììû Äàðáó äëÿ ôóíêöèè f (x, y) =

x2 + y 2 íà ïðÿìîóãîëüíèêå © ª Π = (x, y) ∈ R2 : 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 3 , ðàçáèâàÿ åãî íà ïðÿìîóãîëüíèêè ïðÿìûìè

x=1+

k , m

y =1+

2l , m

k, l = 0, 1, . . . , m.

×åìó ðàâíû ïðåäåëû ýòèõ ñóìì ïðè m → ∞? 6. Ïóñòü G ⊂ Rn  êóáèðóåìîå òåëî, îáúåì êîòîðîãî V (G) > 0, à f :

G −→ R  ôóíêöèÿ íåïðåðûâíàÿ, íåîòðèöàòåëüíàÿ èíòåãðèðóåìàÿ íà G è M = sup f (x). Ïîêàæèòå, ÷òî x∈G



 k1

Z

lim 

(f (x))k dV  = M.

k→∞

G

7. Ïóñòü Φ(x, y) =

Rx a

f (t, y) dt. Íàéäèòå

∂Φ ∂Φ è . ∂x ∂y

8. Ïóñòü f : G −→ R  ôóíêöèÿ íåïðåðûâíàÿ íà ìíîæåñòâå

© ª G = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x . Äîêàæèòå, ÷òî

Z1

Zx dx

0

Z1 f (x, y) dy =

0

Z1 dy

0

f (x, y) dx. y

1. Îáúåì òåëà è êðàòíûå èíòåãðàëû

53

Z2π 9. Íà ïðèìåðå ïîâòîðíîãî èíòåãðàëà

sin x Z

dy îáúÿñíèòå, ïî÷åìó

dx 0

0

íå êàæäûé ïîâòîðíûé èíòåãðàë ÿâëÿåòñÿ ðàñïèñàííûì ïî òåîðåìå Ôóáèíè äâîéíûì èíòåãðàëîì. 10. Êàêîé âèä èìååò îáëàñòü D, åñëè ïîñëå ïåðåõîäà ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì ïîëó÷àåì:

Z Z

Zϕ2 Zr2 f (x, y)dxdy =

rf (r cos ϕ, r sin ϕ)dr, ϕ1 r1

D

ãäå ϕ1 , ϕ2 , r1 , r2  ïîñòîÿííûå ÷èñëà? 11. Ïóñòü f  ôóíêöèÿ íåïðåðûâíàÿ íà ñåãìåíòå [a; b]. Äîêàçàòü íåðàâåíñòâî



Zb



2

Zb

f (x)dx ≤ (b − a) a

f 2 (x)dx. a

Zb Óêàçàíèå. Ðàññìîòðèòå èíòåãðàë

Zb (f (x) − f (y))2 dy .

dx a

a

54

Îãëàâëåíèå

Ëèòåðàòóðà [1] Á.Ï. Äåìèäîâè÷, Ñáîðíèê çàäà÷ è óïðàæíåíèé ïî ìàòåìàòè÷åñêî-

ìó àíàëèçó (äëÿ óíèâåðñèòåòîâ è ïåäàãîãè÷åñêèõ èíñòèòóòîâ), Ì.:Íàóêà, 1961. [2] Â.À. Çîðè÷, Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. ×àñòü II, Ì.:Íàóêà, 1984. [3] Â.À. Èëüèí, Ý.Ã. Ïîçíÿê, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. ×àñòü

II, Ì.: Íàóêà, 1973. [4] È.È. Ëÿøêî, À.Ê. Áîÿð÷óê, ß.Ã. Ãàé, À.Ô. Êàëàéäà, Ìàòåìàòè÷å-

ñêèé àíàëèç. ×àñòü II, Êèåâ: Âèùà øêîëà, 1985. [5] Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö, Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñ-

ëåíèÿ. Òîì II, Ì.: Íàóêà, 1962. [6] Ã.Ì. Ôèõòåíãîëüö, Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Òîì II, Ì.: Íàóêà, 1968.

55

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü äèàìåòð ìíîæåñòâà, 19

öèëèíäðè÷åñêîå, 17

ôîðìóëà ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ, 34

êóáèðóåìîå, 8

ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìàÿ íà òåëå, 20 èíòåãðàë äâîéíîé, 3 òðîéíîé, 4 èíòåãðàë ïîâòîðíûé, 35 èíòåãðàëû Äàðáó, 24 ìíîãîãðàííèê, 5 ìíîæåñòâî êîíå÷íîñâÿçíîå, 6 íóëåâîãî îáúåìà, 9 îáúåì òåëà, 8 âíåøíèé, 7 âíóòðåííèé, 7 ïàðàìåòð ðàçáèåíèÿ, 19 ïîâåðõíîñòü, 16 ïðîäîëæåíèå ðàçáèåíèÿ, 22 ðàçáèåíèå òåëà, 18 ñèìïëåêñ n-ìåðíûé, 5 ñóììà èíòåãðàëüíàÿ, 19 ñóììû Äàðáó, 21 òåëî, 6 56