Динамика спеклов и эффект Доплера

ФИЗИКА ДИНАМИКА СПЕКЛОВ И ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА С. С. УЛЬЯНОВ Саратовский государственный университет

ВВЕДЕНИЕ

SPECKLE DYNAMICS AND DOPPLER EFFECT S. S. UL’YANOV

The reasons why dynamic speckle patterns occur are discussed. It is shown that Doppler effect can also cause the intensity of scattered light to fluctuate. It is demonstrated that the speckle dynamics, which accompanies the diffraction of laser irradiation in a random medium, can be explained as a manifestation of Doppler effect.

© Ульянов С.С., 2001

Проанализированы причины появления динамических спекл-картин. Показано, что эффект Доплера также может приводить к возникновению флуктуаций интенсивности рассеянного поля. Продемонстрировано, что динамику спеклов, сопровождающую дифракцию лазерного излучения в случайной среде, можно интерпретировать как проявление эффекта Доплера.

Рассеяние когерентного излучения на шероховатых поверхностях или в случайных средах приводит к появлению спеклов. Спеклы – это световые пятна, хаотически расположенные в плоскости наблюдения [1, 2]. Поскольку световая волна, проходя через случайную среду, претерпевает случайную амплитудную и фазовую модуляцию, то рассеянное поле также будет иметь хаотический характер. Случайными будут форма образующихся пятен, их яркость, размеры и взаимная ориентация (рис. 1). В зависимости от свойств рассеивающего объекта и условий освещения число спеклов может быть различным – от нескольких единиц до сотен тысяч пятен. Если рассеивающий объект находится в движении, то спекл-структура также меняется во времени. В этом случае говорят, что наблюдается динамика спеклов. Это явление было обнаружено сравнительно недавно, в середине XX века, вскоре после создания источников когерентного излучения – лазеров. Однако другое явление, также сопровождающееся изменениями свойств рассеянного излучения во времени, открыто уже довольно давно, более 150 лет назад. Это всем известный эффект Доплера. С методической точки зрения представляет интерес вопрос, как взаимосвязаны между собой эти два явления: динамика спеклов и эффект Доплера. Сравнительный анализ упомянутых явлений и составляет предмет данной статьи.

www.issep.rssi.ru Рис. 1. Фотография спекл-поля

УЛ Ь Я Н О В С . С . Д И Н А М И К А С П Е К Л О В И Э Ф Ф Е К Т Д О П Л Е РА

109

ФИЗИКА ДИНАМИЧЕСКИЕ СПЕКЛ-ПОЛЯ Очевидно, что если рассеяние лазерного пучка происходит на неподвижных поверхностях, то спеклы также неподвижны в плоскости наблюдения. Что произойдет со спекл-структурой, если рассеивающую поверхность сместить относительно лазерного пучка в поперечном направлении? В этом случае образуется новая спеклкартина. Если смещение невелико по сравнению с диаметром пучка, то обе рассматриваемые спекл-картины будут похожи друг на друга (поскольку они сформировались в схожих условиях). Но даже при небольшом смещении пучка часть рассеивателей ушла из области освещения с одного края, а в зону освещения вошли новые рассеиватели с другого края. Рассеиватели в центральной части освещенного участка поверхности остались неизменными, но они немного сдвинулись относительно пучка. Таким образом, в результате смещения шероховатой поверхности расположение рассеивателей под пучком и сами рассеиватели несколько изменились. Это приведет к некоторым отличиям второй спекл-картины от предыдущей. Очевидно, что одна спекл-картина полностью сменит другую, когда все прежние рассеиватели уйдут из области освещения, а на их смену придут новые. Это произойдет при смещении пучка на расстояние, превышающее его диаметр. При движении пучка относительно шероховатой поверхности очертания световых пятен непрерывно видоизменяются, а спекл-картины постоянно меняют одна другую. Таким образом, под динамикой спеклов понимаются любые временные изменения спекл-картин, вызванные движением рассеивателей. Наблюдателю кажется, что спеклы как бы следуют за шероховатой поверхностью. Этот процесс иллюстрирует рис. 2. Фрагменты спекл-поля получены на основе численного моделирования процесса дифракции пучка He–Ne-лазера на шероховатой поверхности. Размер пятна, освещающего поверхность, был порядка 400 мкм, среднеквадратическое отклонение высот шероховатостей поверхности 6,3 мкм, а наблюдение спекл-картины производилось в плоскости, находящейся на расстоянии 17 см от плоскости рассеяния. Каждый новый кадр на рис. 2 соответствует смещению рассеивающей поверхности под пучком на величину 50 мкм. Следует заметить, что в оптике обычно выделяют несколько зон дифракции: ближнюю, зону Френеля и

Рис. 2. Динамика спеклов в зоне Френеля

110

дальнюю зону (ее также часто называют зоной Фраунгофера). Каждая из этих трех зон характеризуется своим значением волнового параметра λz D = -----2- , d

(1)

где λ – длина волны падающего излучения, z – расстояние между плоскостью рассеяния и плоскостью наблюдения, d – размер освещенного участка поверхности. Так, ближней зоне соответствует значение D ! 1, для зоны Френеля свойственно значение D ∼ 1, для зоны Фраунгофера D @ 1. Важно подчеркнуть, что наблюдателю кажется, что спеклы двигаются за рассеивателями только в первых двух зонах. При этом характер динамики спеклов в ближней зоне и зоне Френеля идентичен. Иначе говоря, в ближней зоне спеклы ведут себя точно так же, как и в зоне Френеля, а именно перемещаются вслед за рассеивающим объектом. В дальней зоне наблюдается “мерцание” спеклов. В этой зоне спеклы не могут двигаться вслед за рассеивающим объектом. Дело в том, что средний размер а спеклов связан с размером d освещенного участка поверхности простым соотношением [1] λz a ≈ ------ . d

(2)

Несложно показать, что в области дифракции Фраунгофера размеры спеклов значительно больше, чем размеры освещенного элемента поверхности. Как только спеклы успевают немного сместиться, перемещаясь вслед за поверхностью, в этот момент под пучком оказывается уже совершенно новый участок рассеивающей поверхности. При этом все прежние спеклы исчезают, а формируются новые. В дальней зоне одни спеклы как бы переливаются в другие. Поэтому наблюдатель не может заметить какого-либо направленного движения спеклов, а видит лишь непрерывное “кипение” пятнистых структур. ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА Как уже упоминалось, исследователи наблюдали изменение характеристик рассеянного излучения во времени еще задолго до открытия спеклов. Речь идет об эффекте Доплера. В мае 1842 года Кристиан Доплер опубликовал свою известную статью “On the Colored Light of Double Stars and Some Other Heavenly Bodies”. В этой работе сформулирован принцип, согласно которому “при относительном движении источника и приемника излучения регистрируемая частота излучения зависит от скорости их движения”. Впервые этот эффект был подтвержден экспериментально в акустическом диапазоне волн в 1845 году английским ученым Байсом

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 1 0 , 2 0 0 1

ФИЗИКА Бэллотом. Поставленный им опыт состоял в следующем. На платформе, сцепленной с движущимся локомотивом, находился музыкант, играющий на трубе на одной ноте. Второй музыкант был на перроне вокзала. Он констатировал, что, когда поезд приближался к станции, труба звучала на полтона выше; когда поезд удалялся от станции, этому музыканту казалось, что труба играет на полтона ниже. Применительно к задачам астрономии эффект Доплера был проверен Уильямом Хаггинсом в 1868 году. В оптическом диапазоне в лабораторных условиях это явление наблюдалось русским ученым А. А. Белопольским в 1900 году. Проще всего проиллюстрировать явление Доплера в акустическом диапазоне. Представим себе, что плоская волна излучается источником на частоте f0 (рис. 3). Скорость звуковой волны в воздухе cзв , длина волны λ. Между частотой f0 и длиной волны существует простая зависимость c зв -. f 0 = ----λ

υt зв t 0  c--------- + -------0  λ λ  c зв υ - + --- . f н = ------------------------------ = ----t0 λ λ

Таким образом, видно, что наблюдаемая частота отличается от частоты звука f0 , излучаемого источником, на величину fдоп = υ / λ. Частота fдоп называется частотой доплеровского сдвига. Рассмотрим особенности проявления эффекта Доплера в оптическом диапазоне длин волн. Пусть лазерный пучок, характеризуемый частотой f0 и волновым вектором k 0 (рис. 4, а), падает на движущуюся со скоростью υ частицу и рассеивается во все стороны. Рассеянная волна характеризуется волновым вектором k s и частотой fs . Установим взаимосвязь между частотами fs и f0 . Движущаяся в потоке частица воспринимает лазерный пучок с частотой, отличной от f0 , которая, согласно эффекту Доплера [3],

(3)

Если источник звука и наблюдатель неподвижны, то за некоторое время t0 ухо наблюдателя воспримет cзвt0 / λ звуковых колебаний (рис. 3, а). Предположим теперь, что наблюдатель движется со скоростью υ навстречу источнику. Очевидно, что в этом случае, двигаясь сквозь акустическое поле, наблюдатель воспримет еще υt0 / λ дополнительных звуковых колебаний (рис. 3, б ). Но, с точки зрения наблюдателя, частота звука определяется числом колебаний, которые он “слышит” в единицу времени, то есть а

(4)

υ f н = f 0 1 –  --- ⋅ cos θ ,  c

(5)

где θ – угол между направлением распространения лазерного пучка и направлением движения частицы, с – скорость света. Из соотношения (5) следует, что при удалении частицы от источника лазерного излучения fн < f0 , а при приближении fн > f0 . При θ = π /2 частоты fн и f0 равны между собой. Теперь рассмотрим частицу как движущийся источник излучения. Частота рассеянной волны, которую воспринимает неподвижный наблюдатель (иначе говоря, детектор оптического излучения), может быть вычислена как fн f s = ----------------------------------------. υ 1 –  --- ⋅ cos ϕ  c

(6)

где ϕ – угол между направлением регистрации рассеянной волны и вектора скорости частицы. Подставляя в б

→

v

а

б

→

v

→

k1 ϕ

θ

→

k0

→

∆K

α →

∆K →

k3 Рис. 3. Иллюстрация эффекта Доплера

→

k2

Рис. 4. Рассеяние света на движущейся частице

УЛ Ь Я Н О В С . С . Д И Н А М И К А С П Е К Л О В И Э Ф Ф Е К Т Д О П Л Е РА

111

ФИЗИКА последнее соотношение выражение для fн из формулы (5), можно найти частоту рассеянного излучения

fs = f0

υ 1 –  --- ⋅ cos θ  c ----------------------------------- . υ 1 –  --- ⋅ cos ϕ  c

f s1 = f 1 + ( k s1 – k 1 ) ⋅ υ, (7)

Так как обычно υ / c ! 1, то соотношение (7) можно существенно упростить и записать в виде υ f s = f 0 1 –  --- ( cos θ – cos ϕ ) .  c

(8)

Соотношение (8) позволяет рассчитать частоту рассеянной волны, если известны частота лазерного излучения f0 , скорость частицы υ, направления движения частицы и регистрации рассеянного излучения. Однако в оптическом диапазоне непосредственно измерить изменение частоты рассеянного излучения крайне сложно. Поэтому при проведении экспериментальных исследований обычно используются методы измерения разности частот падающего и рассеянного излучений. С учетом соотношения (8) можно определить сдвиг частоты рассеянного излучения, обусловленный эффектом Доплера: υ f доп ≡ f s – f 0 = f 0 --- ( cos θ – cos ϕ ) . c

(9)

Это соотношение удобно записать в векторной форме. Для этого вводятся волновые векторы зондирующего пучка k 0 (где | k 0 | = ω 0 ⁄ c ) и рассеянного излучения k s (где | k s | = 2π f s ⁄ c ). Тогда из выражения (8) следует, что величина доплеровского сдвига частоты определяется как скалярное произведение разности волновых векторов и вектора скорости частицы 1 f доп = ------ ( k s – k 0 ) ⋅ υ. 2π

(10)

Для непосредственного наблюдения временных колебаний рассеянного поля в эксперименте широко используется дифференциальная схема с двумя освещающими пучками [4]. При использовании такой оптической схемы на движущуюся частицу направляются два лазерных пучка (рис. 4, б ). В этом случае, как будет показано ниже, сдвиг частоты рассеянного излучения не зависит от направления наблюдения. Если f1 , f2 , k 1, k 2 суть частоты и волновые векторы первого и второго пучков соответственно, то частоты

112

рассеянного движущейся частицей излучения определяются как (11)

f s2 = f 2 + ( k s2 – k 2 ) ⋅ υ , где k s1 и k s2 – волновые векторы рассеянного поля для первого и второго пучков. Так как рассеянное излучение от двух лазерных пучков регистрируется в одном направлении, то |k s1 | = |k s2 |. В этом случае доплеровский сдвиг частоты 1 f доп = f s1 – f s2 = ( f 1 – f 2 ) –  ------ ( k 1 – k 2 ) ⋅ υ.  2π 

(12)

Если разность частот зондирующих лазерных пучков f1 − f2 обозначить ∆f12 , а разность волновых векторов k 1 – k 2 = ∆K, то последнее соотношение примет вид 1 f доп = ∆ f 12 – ------∆K ⋅ υ. 2π

(13)

Из выражения (13) видно, что при падении на движущуюся частицу двух лазерных пучков величина доплеровского сдвига частоты не зависит от угла наблюдения рассеянного излучения, то есть положения фотодетектора. Обычно частоты зондирующих пучков одинаковы, то есть f1 = f2 . В этом случае модуль разности волновых векторов α 4π α |∆K| = 2|k 0 | sin --2- = ------ sin ---, 2 λ

(14)

где α – угол между зондирующими пучками. Как следует из выражений (13) и (14), в рассеянном поле будут наблюдаться колебания интенсивности на частоте, зависящей от скорости движения частиц и условий их освещения. КАК СВЯЗАНЫ МЕЖДУ СОБОЙ ДИНАМИКА СПЕКЛОВ И ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА Динамика спеклов широко используется в лазерной метрологии при измерениях скорости движения шероховатых поверхностей и случайных потоков. Как в ближней, так и в дальней зоне быстрота смены реализаций спекл-поля определяются скоростью движения рассеивающего объекта. Способ измерения скорости с использованием динамики спеклов получил название спекл-интерференционного метода. В свою очередь, выражения (11) и (12) положены в основу лазерной доплеровской диагностики [4]. По технике эксперимента оба этих метода практически идентичны. Различия состоят только в теоретическом описании процессов

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 1 0 , 2 0 0 1

ФИЗИКА рассеяния когерентного света в движущихся случайных объектах. Как же связаны между собой динамика спеклов и эффект Доплера? Следует заметить, что при зондировании когерентным пучком случайного потока происходит одновременное рассеяние света не на одной частице, а на их ансамбле. При этом волны, дифрагированные на каждой из освещенных частиц, складываются и интерферируют в дальней зоне дифракции. Случайное поле формируется как результат интерференции парциальных волн, приходящих от многих рассеивателей. Величина доплеровского сдвига зависит от угла наблюдения рассеянного поля. Каждому рассеивателю, порождающему дифрагированную волну, во всякий момент времени соответствует свой угол наблюдения. Следовательно, каждой из парциальных волн соответствует свое значение доплеровского сдвига. Поэтому суперпозиция большого числа случайных волн, пришедших от различных рассеивателей, приводит к тому, что в результирующем спекл-поле будут наблюдаться мерцания светового поля. Действительно, интенсивность рассеянного поля в некоторой точке наблюдения можно записать как N

I(t) =

∑ exp { 2πi [ f

0

+ f допi ] ⋅ t } ×

i=1

*

N

×

∑ exp { 2πi [ f

0

(15)

+ f допi ] ⋅ t } ,

i=1

где f допi – величина доплеровского сдвига в i-й парциальной волне, f0 – по-прежнему длина волны лазерного излучения, N – число рассеивателей, принимающих участие в формировании спекл-картины, звездочка – символ комплексного сопряжения. После упрощения в выражении (15) исчезает зависимость от величины f0 : N

I(t) =

∑ i=1

N

exp { i f допi ⋅ t } ⋅

∑

* exp { i f допi ⋅ t } .

(16)

i=1

Последнее выражение описывает низкочастотные флуктуации интенсивности. Иными словами, это и есть динамика спеклов. Важно подчеркнуть, что низкочастотные биения наблюдаются в доплеровском сигнале всегда, даже при отсутствии дополнительной опорной волны. Проанализируем более подробно выражение (16). Как это вытекает из соотношения (10), величина доплеровского сдвига в каждой из парциальных волн определяется углом наблюдения рассеянного поля и скоростью движения рассеивателей. Следовательно, разброс доплеровских сдвигов ∆fдоп , характеризующий среднюю частоту флуктуаций интенсивности в спекл-поле,

зависит от углового размера d/z освещенного элемента поверхности. Иными словами, d υ ∆ f доп ≈ --- ⋅ --- . z λ

(17)

Таким образом, время мерцаний спеклов 1 λz τ ≈ ------------- = ------. ∆ f доп dυ

(18)

Соотношение (18) с учетом выражения (2) может быть переписано в виде a τ = --- . υ

(19)

Последняя формула иллюстрирует взаимосвязь эффекта Доплера и динамики спеклов. В левой части этой формулы стоит время, в среднем соответствующее одной флуктуации интенсивности. Эта величина была получена в рамках подхода, основанного на эффекте Доплера (см. выражения (17) и (18)). Несложно показать, что в правой части формулы (19) стоит характерное время мерцаний спекл-поля. Спеклы перемещаются (мимо фотоприемника) со скоростью υ движения рассеивающей поверхности. Следовательно, время одной флуктуации, регистрируемой фотодетектором, соответствует времени прохождения одного спекла мимо него. Таким образом, изучение процессов динамического рассеяния света как в рамках спекл-интерферометрии, так и в теории Доплера приводит к совершенно одинаковым результатам. Осталось выяснить влияние числа рассеивателей на динамику флуктуаций интенсивности. На основании доплеровских представлений были проведены исследования (численное моделирование) флуктуаций интенсивности при освещении пятна диаметром 400 мкм на шероховатой поверхности, движущейся со скоростью υ = 10 мм/с. Флуктуации интенсивности анализировались на расстоянии 17 см от рассеивающей поверхности. Очевидно, что число парциальных волн N в выражении (16) соответствует числу рассеивателей на освещенном элементе поверхности. Это число оценивалось как 2

d N ≈  --- ,  l c где lc – средний поперечный размер неоднородностей поверхности. Зависимость характера флуктуаций интенсивности от числа рассеивателей представлена на рис. 5. Видно, что количество рассеивателей в освещенной области мало влияет на число флуктуаций интенсивности рассеянного поля в единицу времени. Подобные результаты были получены и в оптике спеклов. Если число рассеивателей, принимающих

УЛ Ь Я Н О В С . С . Д И Н А М И К А С П Е К Л О В И Э Ф Ф Е К Т Д О П Л Е РА

113

ФИЗИКА I 15 10 5 0 15 10 5 0 15 10 5 0

а

а

б

б 0,5

в

0 0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 t, с

Рис. 5. Временные флуктуации интенсивности спекл-поля: а – N = 50, б – N = 100, в – N = 300

участие в формировании дифракционной картины, достаточно велико, то характеристики спекл-поля практически не зависят от структуры рассеивающей поверхности и количества неоднородностей под освещающим пучком. Еще один вопрос требует детального изучения. Итак, практически измерить смещение частоты в эксперименте можно только при сложении рассеянного света с дополнительной опорной волной. Однако если рассеяние в среде невелико, то дифракционная картина должна представлять собой интерференцию зеркального (нерассеянного) компонента с рассеянным полем. Почему же тогда в этом случае спектр флуктуаций интенсивности не содержит высокочастотного максимума? Иными словами, почему эффект Доплера не наблюдается явным образом при динамике частично развитых [5] спеклов? Дело в том, что спеклы имеют угловой размер порядка угловой расходимости невозмущенного пучка [5]. Поэтому интерференция рассеянной и зеркальной составляющих спекл-поля происходит лишь в очень малой области пространства, которой соответствуют малые углы наблюдения и как следствие – малые значения доплеровских сдвигов. Взаимное соответствие эффекта Доплера и динамики спеклов наилучшим образом демонстрируется в экспериментах по дифракции остросфокусированных лазерных пучков в слабо рассеивающих потоках. В этом случае падающий пучок обладает большой угловой расходимостью и интерферирует с рассеянным компонентом в большой области пространства. На рис. 6 представлены спектры флуктуаций интенсивности динамического спекл-поля, образующегося при дифракции жестко сфокусированного лазерного пучка в слаборассеивающем потоке. Видно, что доплеровский пик в спектре флуктуаций интенсивности отчетливо наблюдается при больших углах наблюдения.

114

S(f) 1,0

0,2

0,4

0,6

0,8 1,0 f, кГц

Рис. 6. Спектры флуктуаций интенсивности спеклполя при дифракции остросфокусированных гауссовых пучков в слаборассеивающих потоках: а – наблюдение в центре дифракционной картины, б – наблюдение на периферии спекл-поля

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В последнее время в литературе часто проводится сопоставление доплеровского и спекл-интерференционного методов. Как правило, отмечается их чрезвычайное сходство по технике эксперимента. Между тем теоретические основы спекл-интерферометрии и доплеровской диагностики существенно различаются между собой. В первом случае рассматривается дифракция непрерывных волн (временной подход). Во втором случае анализируются сдвиги частот, приобретаемые парциальными волнами в процессе рассеяния (частотный подход). Однако, несмотря на указанные принципиальные различия, из обеих теорий вытекают одни и те же результаты, а оба подхода могут быть легко увязаны между собой. ЛИТЕРАТУРА 1. Франсон М. Оптика спеклов. М.: Наука, 1980. 171 с. 2. Гудмен Дж. Статистическая оптика. М.: Мир, 1985. 527 с. 3. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. М.: Наука, 1988. Т. 2: Теория поля. 510 с. 4. Ринкевичюс Б.С. Лазерная диагностика потоков. М.: МЭИ, 1990. 288 с. 5. Ульянов С.С. Что такое спеклы // Соросовский Образовательный Журнал. 1999. № 5. С. 112–116.

Рецензент статьи П.В. Короленко *** Сергей Сергеевич Ульянов, доктор физико-математических наук, профессор кафедры оптики Саратовского государственного университета. Автор более 100 научных работ по статистике, оптике спеклов и биомедицинской оптике.

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 7 , № 1 0 , 2 0 0 1