Двухуровневое моделирование дискретных эволюционных процессов(Автореферат)

На правах рукописи

Темирова Лилия Гумаровна

ДВУХУРОВНЕВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Специальность 05.13.18 – математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ставрополь-2004

Работа выполнена в Карачаево-Черкесской государственной технологической академии на кафедре «Прикладная математика» Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Перепелица Виталий Афанасьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Наац Игорь Эдуардович доктор технических наук, профессор Винтизенко Игорь Георгиевич

Ведущая организация:

Кабардино-Балкарский государственный университет им. Бербекова Х.М., г. Нальчик

//Известия вузов. Северо-Кавказский регион.- 2003.- №4.- С.67-76. 12. Касаева М.Д., Перепелица В.А., Темирова Л.Г. Прогнозная модель урожайности на базе линейного клеточного автомата //Современные аспекты экономики – 2003. - №4(32). – С.190-206. 13. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г. Математическая модель землепользования на базе нечетких множеств и клеточных автоматов //Электронный журнал «Исследовано в России».- 2003.- С. 2429-2438, http:// zhurnal.ape.relarn.ru/articles/003/207.pdf. 14. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г., Касаева М.Д. Об одном подходе к оценке глубины фрактальной памяти временных рядов урожайностей. Международный Российско-Узбекский симпозиум «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», Нальчик - п.Эльбрус, 21-25 мая 2003 г.- Нальчик: НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2003. – С.59-61. 15. Перепелица В.А.,Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г., Касаева М.Д. Прогнозная модель урожайности на базе клеточных автоматов и нечетких множеств /Труды III Международной конференции «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве», г.Невинномысск, 2003, 30 мая 2003 г., – Невинномысск: ИУБиП, 2003. – С.163-167.

Защита состоится 12 марта 2004 г. в 16.00. часов на заседании диссертационного совета Д 212.256.05 по присуждению ученой степени кандидата физикоматематических наук в Ставропольском государственном университете по адресу: 355009, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1, ауд. 214

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СГУ по адресу: г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1.

Автореферат разослан «

» февраля 2004 г.

Формат 60х84 1/16 Бумага офсетная

Ученый секретарь диссертационного совета канд.физ.-мат. наук, доцент

Подписано в печать Усл.печ.л. 1,1 06.02.04 Тираж 100 экз. Заказ 00087 Отпечатано в Издательско-полиграфическом участке Карачаево-Черкесской государственной технологической академии 369000, г. Черкесск, ул. Ставропольская, 36.

Л.Б.Копыткова 19

3.

Темирова Л.Г., Петова Е.Х. Об одном подходе к моделированию процесса формирования состава малых групп. Решение научнотехнических и социально-экономических проблем современности /Сб. трудов IV научно-практической конференции. Часть II.- Черкесск: Издво КЧГТИ, 2002. – С.42-44. 4. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г. Моделирование экстремальных задач на графах с нечеткими данными /Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, 5-11 сентября 2002 г. – Ростов-на-Дону: МГУ, РГУ, 2002. - С.267. 5. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г. Дискретное программирование с нечеткими данными. Сб.науч.трудов V Всероссийского симпозиума. «Математическое моделирование экономических и экологических систем», г. Кисловодск, 17-19 октября 2002г.–Кисловодск: Изд.центр КИЭП, 2002. – С.7-10. 6. Темирова Л.Г. Статистически эффективный алгоритм для одной задачи землепользования //Современные аспекты экономики. - СанктПетербург. - 2002 г.- №15(28). - С.47-56. 7. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г. Об одной задаче землепользования в условиях неопределенности. Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании: Сб. статей X Международной научно-технической конференции.- 24-25 декабря 2002 г. – Пенза, 2002. - С.69-71. 8. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г. Новый метод прогнозирования на базе клеточных автоматов и нечетких множеств /Тезисы докладов VIII Международной конференции серии «Нелинейный мир», г. Астрахань, 15-20 сентября 2003г. – Астрахань: ГУП «Издательскополиграфический комплекс», «Волга», 2003.- С.240. 9. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г, Касаева М.Д. Построение прогнозной модели урожайности на базе клеточных автоматов и нечетких множеств /«Менеджмент, экономика и финансы, региональное управление». Труды III Международной научно-практической конференции «Проблемы регионального управления, экономики, права и инновационных процессов в образовании», г. Таганрог, 10-13 сентября 2003 г. – Таганрог: Изд-во Таганрогского института управления и экономики, 2003. – С.182-185. 10. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г. Фрактальный анализ устойчивости развивающихся агросистем. Материалы III Международной научно-практической конференции «Математическое моделирование в образовании, науке и производстве». Тирасполь, 17-20 сентября, 2003 г. – Тирасполь: РИО ПГУ, 2003. – С.56-59. 11. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г., Касаева М.Д. Использование инструментария клеточных автоматов для формирования прогнозных нечетких значений урожайностей на базе временного ряда 18

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность проблемы. Диссертационная работа посвящена разработке методов математического моделирования дискретных слабо структурированных процессов, для которых характерны множественность критериев, стохастичность, интервальность или нечеткость значений исходных данных. Дальнейшее развитие каждого такого процесса существенным образом зависит от его состояния на предыдущих этапах эволюционирования. Как часть этой проблемы в настоящей работе рассматриваются различные постановки задачи землепользования и предлагается двухуровневый подход к их моделированию. Классические подходы моделирования таких задач оказываются недостаточными по той причине, что представление параметров этих задач четкими числовыми значениями оказывается в принципе неадекватным в силу их слабой структурированности, изменчивости во времени и неопределенности. Авторская концепция двухуровневого моделирования задач землепользования состоит в том, что исходные данные для многокритериальных задач верхнего уровня должны базироваться на прогнозных значениях, получаемых на нижнем уровне моделирования. В свою очередь исходными данными для нижнего уровня служат временные ряды, отражающие эволюцию основных показателей рассматриваемых процессов. К настоящему времени математическое моделирование на нижнем уровне исходных данных (т.е. численных значений параметров, коэффициентов и т.п.) для классических оптимизационных моделей верхнего уровня находится еще в зачаточном состоянии. Вместе с тем уже появилась ясность того, что наиболее подходящим математическим аппаратом для моделирования задач верхнего уровня является инструментарий теории графов. При этом заслуживает внимания тот факт, что к настоящему времени отсутствуют достаточно эффективные, имеющие полиномиальную трудоемкость, алгоритмы практически для всех дискретных экстремальных задач. Поэтому актуальной является разработка малотрудоемких приближенных алгоритмов, которые всегда или почти всегда гарантируют нахождение приемлемых решений. Цель и задачи диссертационного исследования. Основной целью настоящей работы является разработка (на содержательном примере задач землепользования) двухуровневого подхода к математическому моделированию дискретных эволюционных процессов, числовые параметры которых являются слабо структурированными. Поставленная цель требует решения следующих задач: - разработка общей структурной схемы двухуровневого моделирования и численных методов его реализации; - разработка в качестве основной составляющей модели нижнего уровня новых методов прогнозирования эволюционных процессов на базе линейных клеточных автоматов, математического аппарата теории нечетких множеств и инструментария теории детерминированного хаоса; 3

- осуществление анализа известных теоретико-множественных определений операции суммирования нечетких множеств и вместе с тем представление нового обоснованного определения операций суммирования и сравнения нечетких весов для исследуемой задачи землепользования; - исследование вычислительной сложности рассматриваемых задач на графах с нечеткими или интервально заданными весами ребер, представляющими урожайность; - исследование разрешимости с помощью классических подходов (в частности, алгоритмов линейной свертки критериев) рассматриваемых экстремальных задач на графах с интервальными весами; - разработка малотрудоемких алгоритмов для экстремальных задач покрытия графа типовыми подграфами (паросочетаниями, звездами, 4циклами) и обоснование достаточных условий статистической эффективности предлагаемых алгоритмов. Методы исследования. Для решения поставленных в работе научных задач использованы методы теории алгоритмов с оценками, теории графов, многокритериальной оптимизации, теории вероятностей и математической статистики, теории нечетких множеств и интервального исчисления, методы прогнозирования временных рядов. Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе теоретических результатов и формулировок обеспечивается корректным применением аппарата теории графов, математического программирования и теории вычислительной сложности алгоритмов, математической статистики, математического аппарата нечеткой и интервальной математики, методов теории детерминированного хаоса. Информационную базу исследования составили аналитические и статистические материалы Госкомстата России, в частности по Ставропольскому краю и КабардиноБалкарской республике (КБР). Эффективность предложенных методов подтверждается валидацией результатов, полученных путем проведения численных расчетов. На защиту выносятся следующие основные положения: 1. Концепция двухуровневого моделирования эволюционных дискретных процессов в условиях многокритериальности и неопределенности данных. 2. Конкретный алгоритм реализации фрактального анализа временных рядов урожайности с целью выявления в них наличия долговременной памяти как предпосылки для построения прогнозной модели. 3. Построенная для нижнего уровня на базе инструментария клеточных автоматов и теории нечетких множеств математическая модель и метод прогнозирования урожайности основных культур, выращиваемых в зонах рискового земледелия. 4. Разработанные для верхнего уровня специальные подходы к моделированию задач землепользования с нечеткими весами, включая обоснование операций суммирования и сравнения, адекватных реальному содержанию 4

ставить в виде следующего перечня: 1. Сформулирована авторская концепция двухуровневого моделирования задач землепользования: математическая модель верхнего уровня – это модель теории оптимизации, на базе которой строится и обосновывается наиболее целесообразное управление рассматриваемым процессом; на нижнем уровне осуществляется моделирование исходных данных для модели верхнего уровня; исходными данными для нижнего уровня служат временные ряды, отражающие эволюцию основных показателей рассматриваемых эволюционных процессов; изложена необходимость многокритериального подхода и суть его реализации. 2. На базе инструментария фрактального анализа выявлены такие свойства временных рядов, как долговременная память с оценкой ее глубины, трендоустойчивость, квазицикличность; для выявления этих свойств разработан метод фазового анализа временных рядов; на базе инструментария линейных клеточных автоматов и нечетких множеств разработана новая прогнозная модель, включая алгоритмы ее валидации и вычисления оценок точности прогнозирования. 3. В качестве конкретной реализации двухуровневого моделирования представлена математическая постановка экстремальных задач покрытия графа 4-циклами (паросочетаниями, звездами); показана неприменимость известных в научной литературе определений операций сложения и сравнения нечетких весов; представлено новое определение операций суммирования и сравнения нечетких весов, которые адекватны рассматриваемым задачам землепользования. 4. Исследована на разрешимость с помощью алгоритмов линейной свертки критериев векторная задача покрытия графа 4-циклами с интервальными весами; осуществлено ее сведение к 2-критериальной задаче и установлена ее неразрешимость. 5. В качестве базы для использования алгоритма линейной свертки разработан малотрудоемкий алгоритм покрытия графа 4-циклами и доказаны достаточные условия, при которых он является статистически эффективным. 1.

2.

Список основных трудов по теме диссертации Темирова Л.Г. Полиномиально разрешимый подкласс теоретикографовой модели для задачи землепользования /Тезисы II Международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики». КБНЦ РАН, 3-7 декабря 2001 г. - Нальчик, 2001. - С.45-46. Темирова Л.Г. Статистически эффективный алгоритм для одной задачи формирования целевых групп. Материалы Северо-Кавказской региональной научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Перспектива-2001».- Нальчик, 2001.- С.191-198.

17

поставленной в соответствие вершине b . При этом ребру ρ 0 приписывает-

ся вес W ( ρ 0 ) = w(e′) + w(e′′) . Если же пара рёбер e ′ , e ′′ , удовлетворяющая указанным условиям (10) и (11) отсутствует в данном графе G , то соответственно ребро ρ 0 не включается во множество ℜ . Четвертый вычислительный этап состоит в том, что с помощью соответствующего алгоритма в двудольном графе D = (V , B, ℜ) выделяется оптимальное паросочетание M 4 = {ρ} , затем для каждого ребра ρ , принадлежащего выделенному паросочетанию M 4 , в графе G выделяется соответствующая ему пара рёбер

e ′ и e ′′ , которая замыкает соответствующую цепь

c = [v1 , v2 , v3 ] в 4-вершинный цикл c = [v1 , v0 , v3 , v2 ] . Работа алгоритма завершается проверкой, все ли вершины исходного графа G оказались покрытыми выделенными 4-циклами. В случае положительного исхода множество выделенных циклов представляется в виде допустимого решения задачи о покрытии графа 4-циклами. Пусть ϕ = ϕ (n ) - сколь угодно медленно растущая функция от n ,

n - вершинных графов ϕ (n ) → 0 . ℑ(n, R ) = {G} - множество всех G = (V , E ) , в каждом из которых всякому ребру e ∈ E , приписан вес

w(e ) ∈ {1,2,3,..., R} ; R = R (n ) . Для всякого n обозначим через ℑα (n, R ) подмножество таких графов G ∈ ℑ(n, R ) , для каждого из которых определенный алгоритм α находит оптимальное покрытие 4-циклами. Если отноше-

ℑα (n, R )

→ 1 при n → ∞ , то алгоритм α называется стаℑ(n, R ) тистически эффективным. Достаточное условие статистической эффективности предложенного выше алгоритма α представляет n алгоритм α Теорема 2. При выполнении неравенства R 2 ≤ 4 ln n + ϕ является статистически эффективным. В процессе своей работы алгоритм α рассматривает каждое ребро данного графа G = (V , R ) не более нескольких раз, откуда вычислительная сложность его первых трех этапов составляет O( E ) ≤ O(n 2 ) . Отсюда вычис-

ние мощностей

лительную сложность алгоритма α можно оценить через вычислительную сложность четвертого этапа (нахождения совершенного паросочетания): τ (α ) ≤ O(n2 ) + O(n3 ) = O(n3 ) . ЗАКЛЮЧЕНИЕ Основные результаты, полученные в ходе исследований можно пред16

задач землепользования. 5. Результаты анализа применимости классических подходов, в частности, алгоритмов линейной свертки критериев к конкретной задаче землепользования, сформулированной как задача покрытия графа 4-циклами с интервальными весами. 6. Разработанный для верхнего уровня моделирования задачи землепользования алгоритм отыскания оптимального покрытия графа 4-циклами, включая обоснование достаточных условий его статистической эффективности. Научная новизна. Научную новизну диссертационного исследования содержат следующие положения: 1. Предложен двухуровневый подход к моделированию эволюционных задач землепользования в условиях многокритериальности и неопределенности данных. 2. На базе R/S-анализа разработан и реализован метод фрактального анализа временных рядов с целью выявления в них долговременной памяти и оценки степени применимости инструментария клеточных автоматов и нечетких множеств для построения прогнозной модели. 3. В качестве реализации модели нижнего уровня построена прогнозная модель на базе клеточных автоматов, а также разработаны алгоритмы прогнозирования, валидации и вычисления оценки погрешности результатов. 4. С учетом принципиальной нечеткости исходных данных, получаемых на нижнем уровне, оценена степень пригодности известных теоретикомножественных определений арифметических операций для нечетких множеств и предложены новые способы операций сложения и сравнения, отвечающие содержательному смыслу рассматриваемых задач землепользования. 5. В качестве математической модели для верхнего уровня сформулирована и исследована векторная задача покрытия графа 4-циклами и паросочетаниями. Первая из этих задач исследована для случая интервальных данных: осуществлено ее сведение к 2-критериальной задаче и установлена ее неразрешимость с помощью алгоритмов линейной свертки критериев (АЛСК). 6. В качестве базы для использования АЛСК разработан малотрудоемкий оптимизационный алгоритм покрытия графа 4-циклами и доказаны достаточные условия, при которых он является статистически эффективным. Практическая ценность полученных результатов и их реализация. Практическая значимость результатов исследования заключается в том, что предложенные подходы, математические модели и алгоритмы универсальны и позволяют решать широкий круг агроэкономических задач. Построенные на базе клеточных автоматов модель и метод прогнозирования временных рядов урожайности могут быть использованы всюду, где поведение рассматриваемого эволюционного процесса с памятью не подчиняется нор5

мальному закону. Предложенные методы, методики и алгоритмы моделирования на нижнем уровне были погружены в модельные и реальные экономические процессы и оправдали себя. Их корректность подтверждается расчетами на конкретных материалах прогнозирования; оценки точности прогнозирования вычислены в процессе валидации по заказу Министерства сельского хозяйства Ставропольского края; прогнозное значение урожайности озимой пшеницы за период с 1952 г. по 2002 год уклонялось от реального временного ряда в среднем не более, чем на 10%. Разработанная модель и математический аппарат их количественного анализа и прогнозирования включены в лекционные курсы следующих дисциплин: «Теория рисков», «Дискретное программирование с нечеткими данными», читаемых на факультете прикладной математики и информатики КЧГТА, а также использованы при выполнении курсовых и дипломных проектов. Апробация работы. Результаты исследования и основные его положения докладывались и обсуждались на заседаниях научно-методического семинара кафедры прикладной математики (КЧГТА, г. Черкесск, 2001-2003 гг.) и получили положительную оценку на следующих конференциях и симпозиумах, проводимых различными академическими учреждениями и высшими учебными заведениями России: - на IV Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, 2001); - на Северо-Кавказской региональной научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Перспектива–2001» (Нальчик, 2001); - на II Международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (Нальчик, 2001); - на IV научно-практической конференции аспирантов и студентов «Региональная экономика управления и права» (Черкесск, 2002); - на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, база отдыха Ростовского госуниверситета «Лиманчик», 2002); - на Х Международной научно-технической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании» (Пенза, Приволжский Дом знаний, 2002); - на III Международной конференции «Новые технологии в управлении, бизнесе и праве» (Невинномысск, 2003г.); - на VIII Международной конференции серии «Нелинейный мир» (Астрахань, 2003). Теоретические и практические результаты диссертационной работы использованы при выполнении НИР по гранту РФФИ, проект № 00-0100652 «Математическое моделирование структуры слабо формализованных систем в условиях неопределенности». 6

ставленное в главе 1 МДР X = {x} невозможно определить системой линейных равенств и неравенств, т.е. невозможно представить в виде многогранника в соответствующем пространстве. Разработанный алгоритм α состоит из подготовительного этапа, четырех вычислительных этапов и заключительного этапа формирования результатов. Подготовительный этап заключается в разбиении в данном n - вершинном графе G = (V , E ) множества V на четыре равномощных подмножества n Vs мощности Vs = m = , s = 1,4 , (ребрам e ∈ E приписаны веса 4 w(e) ∈{1,2,....,R} ). Далее, для двух пар V1,V2 и V2 ,V3 строятся два двудольных графа Gst = (Vs ,Vt , Est ) , 1 ≤ s < t ≤ 3, где множество Est состоит из всех та-

ких ребер e = (v′, v′′) ∈ E , у каждого из которых один конец v′ ∈ Vs , а другой конец v′′ ∈ Vt . Второй этап состоит из двух вычислительных подэтапов. Работа подэтапов заключается в том, что в каждом из двудольных графов G12 и G23 осуществляется нахождение оптимальных совершенных паросочетаний, которые обозначим соответственно через M 12 и M 23 . Для нахождения каж-

дого из таких паросочетаний M st = {e} можно воспользоваться каким-либо известным алгоритмом (например, венгерским методом или алгоритмом Лоулера). Объединяя паросочетания M12 и M 23 , получаем m пар пересекающихся рёбер вида e′ = (v1 , v 2 ), e′′ = (v 2 , v3 ), . Такие пары рёбер объединяем в 3-вершинные цепи вида c = [v1 , v2 , v3 ] , множество этих цепей обозначим C = {c}. Третий этап состоит в построении специального двудольного графа D = (V4 , B, ℜ) с равномощными долями мощности V4 = B = m . Доля B = {b} состоит из вершин b ∈ B , которые поставлены во взаимнооднозначное соответствие цепям с ∈ С . Если ребро ρ0 = (v0 , b) содержится в ℜ , то оно определяется следующим образом: ребро ρ 0 = (v0 , b) включается в состав

ℜ

тогда и только тогда, когда в исходном графе G = (V , E ) множество E содержит пару рёбер

e ′ , следующего вида:

e′ = (v0 , v1 ) , e ′′ = (v 0 , v3 ) , где

(10)

v1 и v3 являются висячими вершинами цепи c = [v1 , v 2 , v 3 ] ,

(11) 15

ком w(e ) = [w1 (e ), w2 (e )] , где w(e1 ) ≤ w2 (e ) . Подграф x = (V x , E x ) , V x ⊆ V , E x ⊆ E представляет собой допустимое решение рассматриваемой задачи.

Обозначим через X = {x} МДР рассматриваемой задачи, на котором определена интервальная целевая функция (ИЦФ) (8) w(x ) = w(e ) → max

∑

e∈E x

или ИЦФ

w( x ) = min w(e ) → max . e∈ E x

(9)

Значение этих ИЦФ можно получить из свойств операций сложения интервалов и сравнения интервалов, представляющих значение ИЦФ w(x ) = [w1 (x ), w2 ( x )], где wi ( x ) = ∑ wi ( x ), i = 1,2 . Под решением интерe∈E x

вальной задачи понимается такой элемент x 0 ∈ X , на котором значение ИЦФ (8) или (9) достигает требуемого экстремума. В случае интервальных весов нахождение оптимума наталкивается на проблему выбора наиболее целесообразного решения из множества несравнимых альтернатив. Отношения предпочтения, эквивалентности и несравнимости определены в главе 3 настоящего исследования. Отношения предпочтения и несравнимости порождают на МДР X па~ ретовское множество (ПМ) X ⊆ X , состоящее из паретовских оптимумов (ПО). Определение 3. Для задачи с ИЦФ (8) решение ~ x ∈ X называется ПО,

x. если не существует x * ∈ X такого, что x f ~ В качестве искомого решения сформулированной задачи можно рас*

~

сматривать как ПМ X , так и используемое в многокритериальной оптими0

зации понятие ПМА X . ~ Определение 4. ПМА есть подмножество X 0 ⊆ X минимальной мощности, содержащее по одному представителю на каждое значение w( x ) ,

~ x ∈ X , где w(x ) есть значение ИЦФ (8). Теорема 1. Для всякого n -вершинного графа G ( n кратно 4), интер-

вальная задача покрытия графа 4-циклами с критериями вида MAXSUM неразрешима с помощью АЛСК. В качестве базы для реализации АЛСК предлагается приближенный алгоритм покрытия графа 4-циклами и произведено обоснование его статистической эффективности. Необходимость разработки такого алгоритма обусловлена тем обстоятельством, что для решения рассматриваемых задач верхнего уровня неприменимы какие-либо известные алгоритмы, в том числе и алгоритмы линейного или целочисленного программирования. Указанная неприменимость, в свою очередь, обусловлена тем фактом, что пред14

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 4 научных статьях (из них 2 – в рецензируемых журналах) и в 11 тезисах докладов. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений и списка литературы, содержащего 92 наименования. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, сформулирована цель работы, описана структура и дан краткий обзор работы, изложены основные научные результаты, выносимые на защиту, раскрыта научная новизна и практическая значимость полученных результатов. В главе 1 дано содержательное описание предложенного двухуровневого подхода к моделированию эволюционных агроэкономических процессов, показатели которых не подчиняются нормальному закону распределения. Математическая модель верхнего уровня – это модель теории оптимизации, на базе которой строится и обосновывается наиболее целесообразное управление рассматриваемым процессом. На нижнем уровне осуществляется моделирование исходных данных для модели верхнего уровня. На верхнем уровне формируются теоретико-графовые модели задач землепользования. В качестве таких постановок рассмотрены задачи покрытия графа 4-циклами, звездами и ребрами. Если задача формулируется на графе G = (V , E ) , то ее допустимое решение представляет собой такой ос-

товный подграф x = (V, Ex ) , Ex ⊆ E , в котором каждая компонента связности является соответственно 4-циклом, звездой или ребром. Эти задачи являются многокритериальными, т.е. на множестве допустимых решений (МДР) X = {x} определена векторная целевая функция (ВЦФ) F ( x ) = (F1 ( x ), F2 (x ), ..., FN ( x )) , состоящая из критериев вида MAXSUM Fν (x ) =

∑ wν (e) → max , ν = 1, N , 1

N1 ≤ N

e∈E x

и критериев вида MAXMIN Fν ( x ) = min wν (e ) → max, ν = N 1 + 1, N , e∈E x

где wν (e ) - веса, приписанные ребрам e ∈ E данного графа. Критерии вида MAXSUM представляют собой обычно экономические показатели, а критерии вида MAXMIN – агроэкологические показатели, например, процентное содержание гумуса в почве. ВЦФ F ( x ) определяет в МДР X паретовское

~

множество (ПМ) X . Искомым решением векторной N - критериальной 7

0

задачи является полное множество альтернатив (ПМА) X . Термин ПМА означает подмножество X 0 ⊆ X~ , удовлетворяющее двум условиям: 1.

Мощность X 0 - минимальна;

2. F (X 0 ) = F (X~ ) , где F (X * ) = {F ( x ) : x ∈ X * } ∀ X * ⊆ X . В главе 2 предлагаются инструментальные и математические методы моделирования временных рядов, которые обладают долговременной памятью и вместе с тем в характере их поведения проявляется хаотичность. Наличие такой памяти исключает независимость наблюдаемых значений элементов временных рядов, что, в свою очередь является причиной неподчинения этих рядов нормальному закону распределения. Этот факт подтверждается также такими результатами статистического анализа, как аномально большие значения коэффициентов эксцесса и асимметрии. С учетом выявленных ситуаций становится неправомерным использование классических методов прогнозирования, которые базируются на вычислении скользящей средней и авторегрессии. В главе осуществлено построение прогнозной модели для нижнего уровня на базе аппарата нечетких множеств и клеточных автоматов. Разработаны и представлены методы и алгоритмы для выявления фундаментальных качественных и системных свойств, а именно: глубина долговременной памяти и ее оценка, мера хаотичности или, наоборот, трендоустойчивости, квазицикличность, самоподобие. Предлагаемая новая прогнозная модель для временного ряда с памятью состоит из следующих пяти этапов, т.е. отдельных алгоритмов или процедур. Этап 1. Оценка степени прогнозируемости данного семейства временных рядов осуществляется на базе фрактального анализа некоторой выборки из этого семейства. На выходе вычислительного алгоритма фрактального анализа получаются оценки следующих характеристик для рассматриваемых рядов: признаки наличия трендоустойчивости и долговременной памяти, оценка ее глубины; цвет шума, достаточно удаленный от зоны белого шума. Этап 2. Преобразование исходного числового временного ряда (ВР) в лингвистический временной ряд (ЛВР) с целью создания базиса памяти клеточного автомата. Для выполнения этапа 2 разработан «алгоритм преобразования ВР в ЛВР». На начальном этапе этого алгоритма формируется терм-множество U = {u} характерных состояний исходного ВР, в частности трехэлементное множество U = {Н , С , В} : u = H – низкая урожайность, u = C – средняя урожайность, u = B – высокая урожайность. Алгоритм преобразования ВР в ЛВР является вполне детерминированным, за исключением процедуры принятия решения о мощности U множества (экспертная оценка). 8

формируемого терм-

тен варианту x 2 ), или в другой терминологии, x 2 доминируется вариантом

x1 (x1 f x2 ) , если выполняются неравенства µ (x1 ) ≥ µ (x2 ) , w(x1 ) ≥ w(x2 ) , среди которых хотя бы одно является строгим (равенства µ ( x1 ) = µ (x2 ) , w( x1 ) = w( x2 ) ). Эквивалентность этих вариантов обозначаем через

x1 ~ x2 . Определение 2. Варианты x1 и x 2 являются несравнимыми ( x1 ↔ x 2 ) ,

если в паре интервалов [µ (x j ), w (x j )], j = 1,2 , один из них является строгим включением другого. В главе 4 исследуется разрешимость интервальной задачи покрытия графа 4-циклами с помощью алгоритмов линейной свертки критериев (АЛСК). Предлагается малотрудоемкий алгоритм покрытия графа 4циклами с оценкой его эффективности. Следует отметить, что интервальные задачи являются крайним случаем неопределенности, т.к. возникают в условиях неточных данных параметров задачи. Вопрос разрешимости интервальной задачи покрытия графа 4циклами с помощью АЛСК до настоящего времени оставался открытым. В главе 4 обосновывается сведение интервальной задачи покрытия графа 4циклами к 2-критериальной и доказывается ее неразрешимость с помощью АЛСК, а следовательно, и соответствующей ей интервальной задачи. Алгоритмы линейной свертки критериев являются традиционными методами нахождения парето-оптимальных решений многокритериальных задач. На сегодняшний день построение эффективных АЛСК для многокритериальных задач остается одной из основных проблем оптимизации. Утверждение 1. Для любого вектора ⎫ ⎧ * λ ∈ Λ N = ⎨λ = (λ1 , λ 2 ,..., λ N ) : ∑ λν = 1, λν > 0, ν = 1,2,..., N ⎬ элемент x , ⎭ ⎩ максимизирующий на МДР X линейную свертку критериев F λ (x ) = ∑ λν Fν (x ) целевых функций Fν ( x ), ν = 1,2,..., N , является ПО. N

ν =1

Заметим, что АЛСК не всегда гарантируют нахождение всех ПО ~ ~ ~ x ∈ X . Если ПМ X индивидуальной интервальной задачи и 2*

критериальной задачи содержит такой элемент x , на котором не достигает

максимума значение свертки F ( x ) ни при каком λ ∈ Λ 2 , то эти задачи неразрешимы с помощью АЛСК. Из неразрешимости хотя бы одной индивидуальной задачи вытекает неразрешимость соответствующей массовой задачи. В качестве частного случая задачи на графах с НВ сформулируем интервальную экстремальную задачу на графах. В заданном n -вершинном графе G = (V , E ) каждое ребро e ∈ E взвешено интервалом w(e) , т.е. отрезλ

13

ставляется в виде нечеткого множества w( z1 ) (+) w(z 2 ) = {((w∆ ( z1 ) + w∆ ( z 2 )); µ (w∆ (z1 ) + w∆ ( z 2 ))) : ∆ ∈ W 0 },

(3)

где функция принадлежности при этом определяется выражением: (4) L (z , z ) µ (w∆ (z1 ) (+) w∆ (z 2 )) = ∆ 1 2 , N ∆ ( z1 , z 2 ) где L∆ ( z1 , z 2 ) = w∆ ( z1 ) ⋅ µ ∆ ( z1 ) + w∆ (z 2 ) ⋅ µ ∆ ( z 2 ) , N ∆ ( z1 , z 2 ) = w∆ ( z1 ) + w∆ ( z 2 ) , ∆ ∈ W 0 . Математическая постановка рассматриваемой задачи завершается определением бинарной операции сравнения. Практически все известные методы сравнения оперируют исключительно только функциями принадлежности, без учета численных значений элементов-носителей сравниваемых НВ. Такой способ сравнения не соответствует содержательному смыслу задачи землепользования. Предлагаемый в настоящей главе метод упорядочения НВ по предпочтительности базируется на процедуре полной дефазификации. Прежде, чем приводить описание этой процедуры, отмечаются условия, при которых операция сравнения считается определенной. Рассматриваются два допустимых решения x1 , x 2 ∈ X , на которых ЦФ (1) принимает значения в виде двух НВ (5) F (x j ) = {(w∆ (x j ); µ ∆ (x j ))}, ∆ ∈ {Н , С, В} , j = 1,2 .

( )

Тогда, рассматривая величины w∆ x j и µ ∆ (x j ) в качестве максимизи-

руемых показателей, можно утверждать, что вариант x1 предпочтительнее варианта x 2 , если выполняются следующие неравенства

w∆ (x1 ) ≥ w∆ ( x 2 ) , µ ∆ ( x1 ) ≥ µ ∆ (x2 ) , ∆ ∈ {Н , С, В} ,

(6)

среди которых хотя бы одно является строгим. В случае невыполнения условия (6) предлагается применить новый способ сравнения двух НВ. Для этого сначала вычисляются величины: L (x j ) = ∑ w∆ (x j ) ⋅ µ ∆ (x j ) , M (x j ) = ∑ µ ∆ (x j ) , N (x j ) = ∑ w∆ (x j ) , j = 1,2 , ∆∈W 0

∆∈W 0

∆ ∈W 0

а затем и соответствующие им носители и степени принадлежности: w(x j ) = L (x j ) M (x j ), µ (x j ) = L (x j ) N (x j ) .

(7)

Пару (w(x j ); µ (x j )) условимся называть сверткой нечетких весов. Для

упорядочения вариантов x j , j = 1, 2 по предпочтительности осуществляет-

[

]

ся операция сравнения интервалов µ (x j ), w(x j ) , j = 1,2 . При этом границы

этих интервалов рассматриваются в качестве максимизируемых показателей. Определение 1. Вариант x1 предпочтительнее варианта x 2 (эквивален-

12

Этап 3. Алгоритм формирования оперативной памяти клеточного автомата. Эта память может иметь комбинаторное или теоретико-графовое представление. В последнем случае она строится в виде множества 2дольных ориентированных графов, в каждом из которых вершины правой доли взаимнооднозначно представляют собой элементы терм-множества U , а вершины левой доли - фиксированные l - конфигурации; значения l = 1,2,..., L , где L - глубина памяти ЛВР. Дугам этих орграфов приписаны веса, означающие собой частости переходов заданной конфигурации в соответствующие состояния из U = {u}. Этап 4. Алгоритм формирования прогноза для данного ЛВР u i ,

i = 1,2,.., n . Алгоритм вычисляет и представляет прогнозируемый элемент

u n +1

в виде нечеткого множества (НМ) U n +1 (µ ) = {(u j , µ j )}, где µ j – зна-

чение функции принадлежности элемента u j ∈ U , j = 1,2,..., m, m = U . Поскольку перечень элементов u j ∈U является известным, то формирование прогноза в виде НМ сводится к вычислению значений

µ j , j = 1, m

путем

суммирования и нормирования весов соответствующих дуг в последовательности орграфов, затребованных из оперативной памяти. По своему содержательному определению эти веса отражают долговременную память о поведении рассматриваемого ЛВР, а затребованная последовательность орграфов определяется завершающим отрезком длины L в рассматриваемом ЛВР. Этап 5. Алгоритм трансформации полученного прогноза в виде нечеткого терм-множества в числовой прогноз. В качестве подходящих числовых значений элементов u j , где u j ∈ U , j = 1,2,..., m, выбираются в ВР ближайшие к ним низкие, средние и высокие урожайности, которые затем усредняются. Применяя к полученному нечеткому множеству операцию дефазификации имеем прогнозное значение урожайности в обычном числовом виде. Для проведения валидации, т.е. проверки соответствия полученных на основе модели данных реальному процессу, последовательно рассматриваем лингвистические временные ряды u i , i = 1,2,..., m, m = n − r , r = 1, n − k , которые получаются путем последовательного удаления из ЛВР последних r его членов. Для каждого фиксированного индекса m строим прогноз терма u m +1 , представляемого в виде НТМ U m +1 = {(H ; µ H ), (C ; µ C ), (B; µ B )} . Пусть, в полученном НТМ U m +1 , среди чисел мальным является то число

µ H , µ C , µ B макси-

µ ∆ , ∆ ∈ {H , C , B}, у которого индекс ∆ 9

совпада-

ет с термом

u m +1

рассматриваемого ряда. Тогда, говорим, что для рассмат-

риваемого индекса m прогнозная нечеткая модель привела к непротиворечивому прогнозу. В противном случае, говорим о противоречивом прогнозе для терма u m +1 . Валидация результатов прогнозирования осуществлена на примере временных рядов урожайности озимой пшеницы по Ставропольскому краю и КБР. Для числового прогноза отклонение от реальных значений в среднем не превысила 10%. В главе 3 сформулирована задача верхнего уровня моделирования, которая представляет собой теоретико-графовую модель задачи землепользования с нечеткими данными. Для математической постановки задачи землепользования введены следующие обозначения. Считается заданным n -вершинный граф, в котором: k = 1,2,..., m - индекс, которым занумерованы выращиваемые в хозяйстве культуры; i = 1,2,..., n - индекс, которым занумерованы засеваемые этими культурами поля;

ры k ; G = (V1 ,V2 , E ) - двудольный граф, в котором вершины первой доли V1 = {v1 ,..., v k ,..., v m } перенумерованы индексами культур k = 1,2,..., m , а вершины второй доли V2 = {v1 ,..., vi ,..., v n } перенумерованы индексами полей i = 1,2,..., n ; E = {e}- множество ребер графа G , которое содержит ребро e = (vk , vi ) тогда и только тогда, когда в прогнозируемом году разрешается

засевать культуру k на пахотные угодья поля i . Каждому ребру e ∈ E , приписан вес W k ,i , представляющий собой нечеткое множество w(e) = W k ,i = WHk ,i ; µ Hk , WCk ,i ; µ Ck , WBk ,i ; µ Bk и являющееся результатом

)(

)(

)}

моделирования на нижнем уровне. Элемент-носитель W

k ,i H

= c k ⋅ si ⋅ U

объем выхода продукции в рублях культуры k с поля i в случае низкого (среднего, высокого) прогнозируемого урожая U Hk ,i (U Ck ,i ,U Bk ,i ). В общем случае единицей измерения каждого веса W∆k ,i , ∆ ∈ {H , C , B} могут быть рубли, протеиновые единицы и др. Теоретико-графовая постановка сформулированной выше задачи представляет собой задачу покрытия 2-дольного графа G = (V1 ,V2 , E ) звездами. Допустимое решение представляет собой такой его остовный подграф x = (V1 , V2 , E x ) , E x ⊆ E , в котором каждая компонента связности представ10

k

vk

из первой доли V1 и множеством V2k висячих вершин из второй доли V2 . На МДР графа G определена целевая функция (ЦФ) F (x ) → max следующим образом. Для каждой пары (v k , vi ) , vk ∈ V1 , vi ∈ V2 определен объем W k ,i ожидаемого урожая культуры k на поле i .

Допустимым является всякое такое решение x = (V1 ,V2 , E x ) , E x = U E xk , для m

∑ w(e) ≥ d

которого выполняются неравенства

k =1

k

, k = 1, m ; X = X (G ) = {x} -

e∈E xk

множество всех допустимых решений на графе G . Если целевой функцией (ЦФ) F ( x ) является экономический эффект, то она определяется на МДР

X следующим образом: m

F (x ) = ∑

∑c

k =1 e∈E xk

k

m

⋅ w(e ) = ∑ сk k =1

(1)

∑ w(e) → max .

e∈E xk

Задача состоит в том, чтобы найти максимизирующее значение ЦФ (1) решение, т.е. построить и обосновать достаточно эффективный алгоритм нахождения указанного оптимума. При верификации модели возникла проблема адекватного суммирования нечетких весов. Анализ известных теоретико-множественных операций суммирования нечетких множеств показал их несоответствие содержательному смыслу суммирования НВ в ЦФ (1). Этот факт обусловил приведение нового способа суммирования «(+)» нечетких весов, основанный на принципе частичной дефазификации. Суть этого суммирования состоит в следующем. Если конкретное допустимое решение x ∈ X (G ) состоит из звезд z k = v k , E k , vk ∈ V1 , k = 1, m , то НВ

(

( )

)

k

z определяется выражением:

w z k одной звезды

( ) = (+) w(e ) = {(w (z ); µ ): ∆ ∈W },

k ,i H

( WCk ,i = c k ⋅ si ⋅ U Ck ,i , W Bk ,i = c k ⋅ s i ⋅ U Bk ,i ) содержательно означает ожидаемый

)

в определенной вершине

ck - стоимость единицы k -ой культуры; si - площадь i -го

поля; d k - директивное ограничение на минимальный объем выхода культу-

{(

(

ляет собой звезду x k = {v k }, V2k , E xk , v k ∈V1 , V2 ⊂ V2 , E xk ⊂ E x с центром

wz

k

∆

e∈E xk

( )

где значение w∆ z

k

k ∆

(2)

0

элементов-носителей определяется их скалярным

( ) = ∑ w (e ) ,

суммированием w∆ z

k

k

∆

∆ ∈ W 0 , k = 1, m , а функция принад-

e∈E xk

лежности µ вычисляется операцией дефазификацией. Для определения операции суммирования НВ, относящихся к различk ∆

ным культурам k1 , k 2 рассматриваются две звезды z1 = z 1 и z 2 = z 2 , для которых вычислены их НВ согласно принципа частичной дефазификации (2). Результирующая сумма (+) нечетких весов этих двух культур предk

11

k