Изучение внутренних волн в стратифицированных средах: Методические указания к лабораторной работе

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физический факультет Кафедра общей физики

ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

Часть 2. Молекулярная физика

Новосибирск, 1988

3. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗА Лабораторная работа 3.8 ИЗУЧЕНИЕ ВНУТРЕННИХ ВОЛН В СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ СРЕДАХ Цель расчеты - знакомство с оптическими методами, наблюдение и исследование внутренних волн; определение частоты Вяйсяля - Брента из дисперсионного соотношения, фазовой скорости внутренних волн, оценка градиента плотности по высоте. Оборудование: рабочий объем - сосуд с жидкостью, имеющий линейное распределение плотности по высоте, теневой прибор, фотоаппарат, частотомер, источник низкочастотных колебаний, система заполнения. Для окружающей природы (атмосферы, океана) характерна устойчивая стратификация. Под стратификацией понимается изменение плотности с высотой. Плотность морской воды зависит от давления, температуры, солености относительного содержания массы растворенных солей. Изменение плотности по глубине океана составляет примерно 4 % и является следствием больших давлений порядка 108 Н/м2 , зарегистрированных на океанических глубинах, равных 10 км. Изменение температуры морской воды от точки замерзания 271 К до значений 300 К вызывает изменение плотности на 0,5 %. Изменения солености от 3,4 до 3,7 % вызывают увеличение плотности на 0,2 %. Произвольные возмущения в стратифицированной жидкости приводят к возникновению внутренних волн. Волновые движения имеют различную форму, а их наличием объясняется широкий круг явлений. Внутренние волны можно наблюдать на границе раздела послойно залитых жидкостей с различными плотностями. Такие волны подобны волнам на свободной поверхности воды, однако эти волны не являются наиболее характерными для волновых движений, происходящих в непрерывно стратифицированной среде. В непрерывно стратифицированной среде, где плотность изменяется плавно с высотой, энергия может переноситься под углом к горизонтали, а не только вдоль поверхностей постоянной плотности. В настоящей работе исследуются малые возмущения равновесного распределения плотности ρ(z), где z - ось координат, направленная так, что увеличение ρ0 отвечает уменьшению z. Среда с градиентом плотности по высоте характеризуется параметром Вяйсяля - Брента  dρ (z )  g ω 0 =  − − 0  , dz   ρ 0 (z ) 12

где g - ускорение свободного падения, ω0 имеет размерность частоты. Характерные периоды колебаний 2π ω 0 могут изменяться от нескольких минут до часов для больших глубин океана. Отметим, что частота ω0, постоянна, когда плотность по z измеряется по экспоненциальному закону ρ = ρ 0 e − z H , и ω 02 = g H , где Н - характерная высота. Экспоненциальное распределение часто применяется в

теоретических задачах для упрощения анализа. →

Введем вектор скорости g = (u , v ) , где u и v,- компоненты вектора в направлении оси x и z соответственно, и обозначим невозмущенные величины индексом 0, а отклонение от равновесия индексом 1. Тогда в случае двумерных движений уравнения для малых возмущений примут вид

ρ 0 (du1 dt ) = −(dρ1 dx ) , (1) ρ 0 (dv1 dt ) = −(dρ1 dz ) − ρ1 g , (2)

(dρ1

dx ) + v1 (dρ 0 dz ) = 0 , (3)

(du1

dx ) + (dv1 dz ) = 0 , (4)

сравнения (1) - (2) получены из уравнений Навье - Стокса в пренебрежении молекулярной вязкостью и с помощью процедуры линеаризации, т.е. пренебрежением du du конвективными членами типа u по сравнению с . dx dt Уравнение (3) характеризует несжимаемость жидкости и отсутствие диффузии. Уравнение (4) - равнение неразрывности. Система уравнений (1) - (4) является приближением Буссинеска, уравнения движения Эйлера и уравнения неразрывности. Для решения системы (1) - (4) введем функцию тока u1 = − разрешая ее относительно ϕ, получим

dϕ dϕ , v1 = ; dx dz

∇ 2ϕ!! − ω 02 g −1 dϕ!! dz + ω 02 d 2ϕ dx 2 = 0 , (5) Уравнение (5) было получено Лауэ и Лэмбом. Для экспоненциального распределения плотности, т.е. ω 02 = const , уравнение (5) имеет решение:

ϕ = const ⋅ exp(ω 02 z 2 g )exp(i (k1 x + k 2 z − ωt )) , (6) →

здесь k, и k1 компоненты волнового вектора K . Подставив (6) в (5), найдем дисперсионное соотношение:

(

)

ω 2 = ω 02 k12 k12 + k 22 + (ω 02 2g ) .

(

2

)

2

Если ω 02 2 g << k12 + k 22 = 4 π 2 λ2 (λ - длина волны), что в условиях эксперимента выполняется с хорошей точностью, тогда

ω 2 = ω 02 k12 (k12 + k 22 ) = ω 02 sin 2 θ , →

где θ - угол между направлением вектора K и вертикальной осью z (рис. 1).Видно, что

→

групповая скорость перпендикулярна волновому вектору K :

Рио.1. Взаимное расположение групповой скорости и волнового вектора Дисперсионное соотношение тогда имеет вид

ω 2 = ω 02 cos 2 α →

где α - угол на между направлением вектора v гр и осью z. Из сказанного следует, что колебания частиц жидкости происходят вдоль лучей, расположенных под углом α к вертикали, это можно наблюдать при внимательном рассмотрении столба жидкости при колебании пульсатора. Фазовая скорость перпендикулярна к движению частиц. Описание установки Экспериментальная установка состоит из следующих систем: рабочего объема, оптической системы, системы возбуждения и устройства для измерения частоты колебаний пульсатора, устройства для заполнения рабочего объема.

Рис. 2. Схема экспериментальной установки: 1 - рабочий объем, 2 - оптические стекла, 3 - пульсатор, 4 - лазер, 5,6 – система линз, 7 - объектив, 8 - нож Фуко, 9 - экран, 10 - фотоаппарат

На рис. 2 представлены рабочий объем и оптическая система. Рабочий объем (1) представляет собой прозрачный сосуд с площадью сечения 60х80 мм2 и высотой 600 мм. На гранях сосуда установлены оптические стекла (2) диаметром 63 мм. Пульсатор (3) представляет собой круглый цилиндр диаметром 4 мм и длиной 70 мм. Это позволяет рассматривать двумерную задачу из-за однородности скорости по y. Для регистрации явления используется теневой метод (шлирен-метод). С помощью лазера (4) и системы линз (5,6) создается параллельный пучок лучей. В фокальной плоскости объектива (7), где имеет место минимальное сечение пучка, устанавливается нож Фуко (8). Если испытываемая среда не имеет неоднородностей показателя преломления, при перемещении ножа, перпендикулярно оптической оси, на экране (9) отмечается равномерное потемнение поля, обусловленное постепенным перекрытием световых лучей ножом (8). Присутствие неоднородностей обусловливает появление косых пучков, которые в фокальной плоскости объектива (7) наряду с основными изображениями дают побочные изображения. Косые лучи перекрываются ножом, и тогда на экране (9) наблюдаются потемнения. Если потом перекрыть только основное изображение, то на темном фоне останутся светлые области, которые будут соответствовать исследуемым неоднородностям /39/. Исследуемую картину можно фотографировать с экрана либо спроецировать изображение прямо на пленку в фотоаппарате. Все выше сказанное остается справедливым, если мы исследуем процессы в линейно стратифицированной среде (соляная стратификация). Такая среда лишь сместит положение фокуса в вертикальном направлении, а регистрироваться будут отклонения от линейности. Действительно, параллельный пучок света, пройдя среду с dn показателен преломления n(х), отклонится на угол α ≈ l (l- размер среды в dz направлении пучка). dρ , т.е. dz пучок отклонится на угол α, оставаясь параллельным, и линзой (7) соберется в точку. Для соляных растворов n(ρ) - линейная функция, следовательно, α ≈ l

На рис. 3 представлена система, которая приводит в действие пульсатор и измеряет частоту его колебаний.

Рис.3. Схема счетчика частоты колебаний пульсатора: 1 - электродвигатель, 2 источник питания, 3 - лампа, 4 - диск-прерыватель, 5 - фотодиод, 6 - электрическая схема, 7 -частотомер Пульсатор с помощью механических приспособлений, в которых заложен эксцентрик, соединен с валом электродвигателя (1). С помощью эксцентрика можно

регулировать амплитуду колебаний пульсатора. Двигатель подключен к источнику питания (2), изменения питания которого, можно регулировать частоту колебаний пульсатора. Измерение частоты колебаний производится следующим образом. Свет от лампы (3), проходя через дискретный прерыватель (4), попадает на фотодиод (5). Сигнал от фотодиода через электрическую схему (6) идет на частотомер (7), на котором измеряется его частота. На рис. 4 показана форма сигнала на различных участках цепи.

Рис.4. Форма электрических сигналов Зная частоту следования импульсов (по частотомеру), а также количество отверстий на диске-прерывателе, определяем частоту колебаний пульсатора. На рис. 5 схематично представлена система для заполнения рабочего объема. Задача состоит в том, чтобы создать среду с линейным профилей плотности по высоте. Такой профиль может быть получен заполнением рабочего объема (1) слоями соляного раствора с различными концентрациями. Определенное количество раствора с концентрацией Ci заливается из сосуда (2) через соединительную трубку (3) и отверстие (4). По мере заполнения поплавок (5) поднимается. После заполнения i - го слоя в сосуд заливается раствор с концентрацией Сi+1 и процедура повторяется. Время заполнения надо подбирать эмпирически, чтобы не происходило перемешивание слоев. Таким образом, в момент времени t = 0 имеем ступенчатый профиль концентрации. Дальнейшая его эволюция подчиняется уравнению молекулярной диффузии dC d 2C − D 2 = 0 , (8) dt dz где D – коэффициент диффузии соляного раствора. В работе /36/ представлено численное решение уравнения (8) с начальными условиями Ci = C1(i-1)(m-1). Здесь m – количество слоев, i – номер слоя при отсчете сверху. На рис.6 приведено решение для m = 10 (L- общая высота слоев; решение симметрично относительно среднего уровня).

Рис.5. Схема заполнения рабочего объема: 1 - рабочий объем, 2 - сосуд, 3 -

соединительная трубка, 4 - отверстие, 5 - поплавок

Рис.6. Распределение плотности раствора по высоте с течением времени z < 0,8 устанавливается линейный L профиль. Этот профиль не меняется до τ = 0,1. В этом интервале проводится эксперимент (D ~ 10-5 см2 с-1). Видно, что за время τ = 0,01 на участке 0,2 <

Порядок выполнения работы ВНИМАНИЕ! В работе используется источник света - газовый лазер типа ЛГ7Э, который имеет высоковольтное питание. НЕДОПУСТИМО ПРЯМОЕ ПОПАДАНИЕ ПУЧКА СВЕТА ЛАЗЕРА В ГЛАЗА. 1. Настройте теневой прибор так, чтобы луч света лазера и оптическая система (см. рис.2) находились на одной оптической оси. 2. Убедитесь в линейности профиля плотности – показателя преломления по высоте измерительного объема. В фокальной плоскости линзы (7) (рис.2) пучок света должен фокусироваться в точку. 3. Установите нож Фуко таким образом, чтобы при перекрытии им фокуса линзы (7) затемнение экрана (9) происходило равномерно по всему полю. 4. Предварительно установив ручку регулировки напряжения в нулевое положение на источнике питания низкочастотного пульсатора, включите его в сеть. 5. В каком диапазоне частот колебаний пульсатора проводить измерения? Частота вынужденных колебаний пульсатора не должна превышать частоту свободных колебаний Вяйсяля – Брента ω0. В противном случае произойдет перемешивание ω раствора и нарушится линейный профиль плотности. Для соляных растворов 2π -1 должно быть менее 0,25 с . 6. При минимальных частотах работы генератора низкочастотных колебаний на

экране должна наблюдаться чередующаяся последовательность темных полос, расположенных под углом α к вертикали (рис.7).

Рис.7. Теневая картина внутренних волн Задания 1. Измерьте угол α при различных частотах ω. Постройте график зависимости частоты ω от cosα. 2. Из дисперсионного соотношения (7) определите частоту Вяйсяля - Брента. 3. Измерьте фазовую скорость внутренних волн v ср = ωλ 2π , λ - длина волны (расстояние между лучами). 4. Определите погрешности измерений. Приложение Рекомендации по заливке соляных растворов в рабочий объем Заливка производится послойно, десятью слоями. Рекомендуемое соотношения соли NaCl на 300 г смеси (масса смеси равна массе воды плюс масса соли): Номер слоя 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Соль в граммах, на 300 г смеси 75 67,5 60 52,5 45 37,5 30 22,5 15 7,5 См. библиографический список: /14/, /35/, /39/. Интернет версия подготовлена на основе издания: Описание лабораторных работ. Часть2. Молекулярная физика. Новосибирск: Изд-во, НГУ, 1988  Физический факультет НГУ, 1999  Лаборатория молекулярной физики НГУ, 1999, http://www.phys.nsu.ru/molecules/