Теория фигуры Земли

Теория фигуры Земли В.Л.Пантелеев Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова Физический факультет

Курс лекций Москва, 2000 • •

Оглавление Лекция 1. Теория фигуры Земли Предмет теории фигуры Земли. "Фигуры" и строения планет. Геодинамика. Основные понятия физической геодезии. История изучения фигуры Земли. Космическая геодезия.

•

Лекция 2. Геодезические системы координат Сферическая система. Широта долгота и радиус-вектор. Система координат, построенная на эллипсоиде. Геодезические координаты: широта, долгота и высота. Связь между сферической, геодезической и декартовой системами координат.

•

Лекция 3. Основные формулы теории потенциала Интеграл Дирихле, первая, вторая и третья формулы Грина. Гармонические функции и их свойства, теоремы о гармонических функциях. Шаровые и сферические функции. Дифференциальное уравнение для сферических функций и его решение.

•

Лекция 4. Сферические функции Полиномы Лежандра и сферические функции. Ортогональность сферических функций. Нормирование. Ряд Лапласа. Аналитическое представление функций, заданных на сфере. Функции Лапласа.

•

Лекция 5. Аналитическое представление гравитационного потенциала Производящая функция полиномов Лежандра. Разложение потенциала притяжения в ряд по шаровым функциям. Стоксовы постоянные. Гравитационный потенциал тела вращения. Потенциал тяжести.

•

Лекция 6. Нормальная Земля Нормальный потенциал тяжести. Четыре фундаментальных постоянных, определяющих потенциал тяжести. Сфероид Клеро. Теорема Стокса. Гравитационный потенциал эллипсоида вращения. Дифференциальные уравнения, определяющие потенциал притяжения эллипсоида. Условия гидростатического равновесия эллипсоида вращения.

•

Лекция 7. Нормальное поле тяжести Земли Формула Сомильяны. Нормальная сила тяжести. Вторые производные гравитационного потенциала. Локальное уравнение поверхности уровня. Кривизны и радиусы кривизны нормального сечения поверхности уровня. Вторые производные нормального потенциала. Первые и вторые производные гравитационного потенциала в околоземном пространстве.

•

Лекция 8. Определение фигуры геоида Возмущающий потенциал, гравитационные аномалии. Краевое условие для возмущающего потенциала. Внешние и внутренние краевые задачи Дирихле, Неймана, смешанные краевые задачи. Определение высот геоида методом Стокcа. Функция Стокса. Определение уклонений отвеса. Формулы ВенингМейнеса.

•

Лекция 9. Квазигеоид Молоденского Основные трудности решения проблемы Стокса. Проблема регуляризации Земли. Система высот. Геодезическая, ортометрическая и нормальная высоты. Квазигеоид. Аномалия высоты. Теллуроид. Краевые условия задачи Молоденского.

Лекция 1. Теория фигуры Земли Предмет теории фигуры Земли "Фигуры" и строения планет. Геодинамика. Основные понятия физической геодезии. История изучения фигуры Земли. Космическая геодезия. Фигура планеты... что это? Форма ее физической поверхности? Форма или фигура? Вообще говоря, эти два слова не эквивалентны, если их применять по отношению к планете. Термин фигура Земли введен давно. Так учебник проф. А.А.Михайлова, впервые изданный в 1933 году, называется "Курс гравиметрии и теории фигуры Земли". Однако не он ввел этот термин. В том же году вышел перевод книги П.Пицетти " Механические основы фигуры планет " Оригинал, естественно, вышел раньше. У А.А.Михайлова есть ссылка на книгу Buchholz H. Angewandte Mathematic. Das mechanische Potenzial und seine Anwendung zur Beschtimmung der Figur der Erde. Leipzig, 1916. Имеется ссылка и на более ранний источник: Todhunter J. A history of the mathematical Theory of Attraction and the Figure of the Earth. London, 1873. В том же 1973 году немецкий физик Листинг предложил термин геоид для замкнутой поверхности равного потенциала. Таким образом, термин фигура Земли, как правило, обозначает фигуру ее уровенной поверхности, принятой в качестве поверхности, относительно которой измеряются высоты ее физической поверхности. Под фигурой планеты можно понимать: --- Фигуру ее физической поверхности (геометрическая фигура) --- Фигуру эквипотенциальной поверхности (геоид, селеноид, ареоид и т.п.) --- Динамическую фигуру планеты, которой является центральный эллипсоид инерции. Особый интерес вызывают фигуры гидростатически равновесных тел. Если представить модель планеты, состоящей из концентрических, тонких слоев, имеющих некоторое сжатие, то для гидростатически равновесных тел давление внутри каждого слоя -- постоянно. Отсутствуют горизонтальные составляющие сил давления, способные создать течения. Вертикальная составляющая давления, обусловленная совокупностью внешних (по отношению к рассматриваемой точке) слоев, компенсируется реакцией подстилающих слоев. В этом случае выполняется условие

где

-- потенциал гидростатического давления,

-- потенциал тяжести,

--

плотность. Это соотношение выполняется для всех точек тела планеты, включая ее внешнюю поверхность. В последнем случае условие

определяет и

физическую поверхность модели планеты. Задача исследования внутреннего строения планеты часто сводится к согласованию ее

теоретического

и

наблюденного

потенциала

тяжести.

При

этом

ее

гидростатическое равновесие принимается как гипотеза. Отсюда ясно, что теория фигур равновесия небесных тел, являющаяся одним из крупных разделов небесной механики, имеет фундаментальное значение. Отличия модели от гидростатически равновесной фигуры не обязательно указывают на неадекватность принятой модели реальной планете. Эти отличия могут быть и источником информации о внутренних силах, создающих напряжения сдвига или растяжения. При текучести материала эти напряжения создадут конвекционные течения, которые находят отражение в тепловых и магнитных полях планеты. Кроме того, эти явления не могут не влиять на вращение планеты, на движение отдельных блоков ее поверхности. Наблюдения за изменением форм поверхности доступны геодезии и являются одним из важнейших предметов ее изучения. На стыке наук -- геодезии, геофизики и астрономии -- возникла геодинамика, объединяющая

кинематическую

и

динамическую

геодезии

(терминология

М.С.Молоденского). В первом случае изучают движение, во втором -- силы. Сейчас науки о Земле очень много уделяют внимания геодинамическим исследованиям, которые помогают правильно осмыслить медленные эволюционные процессы, предсказывать землетрясения и поддерживать высокую точность астрономогеодезических сетей. Геодинамические вариации достигают величин

в

год, то есть 0,6-0,7 см смещения, 1-10 мкГал вариаций силы тяжести, 0,0002-0,02" отклонений отвесной линии. Вернемся к фигуре Земли. Реальная фигура планеты, естественно, отличается от эллипсоидальной. Физическая поверхность Земли, да и любой планеты настолько сложна, что она не поддается строгому математическому описанию. Наиболее наглядное представление -- карта высот этой поверхности над уровнем моря или

геоида -- поверхности равного потенциала тяжести, проходящая через начало

отсчета высот. Эта поверхность близка к невозмущенной поверхности водной глади океанов и сообщающихся с ними морей. Однако, из-за различия температуры и солености, атмосферного давления и т.п. поверхность водной глади не совпадает строго с геоидом, а отклоняется приблизительно в пределах одного метра. Например, в зоне Панамского канала разность уровней Тихого и Атлантического океанов составляет 62 см. Для построения карты высот нужно поверхность уровня океанов продолжить под континенты. Сделать это не просто: необходимо знать распределение плотностей горных пород. Эта трудность была преодолена М.С.Молоденским: вместо геоида он предложил строить квазигеоид, что не требует знания внутреннего строения земной коры. Геодезия -- в переводе с греческого землеразделение -- располагает приборами для определения углов и расстояний, то есть имеет дело с геометрическими величинами. Однако для построения квазигеоида требуется знать и удельную силу тяжести, то есть гравитационное поле. Поэтому этот раздел геодезии называют физической

геодезией. Задачей физической геодезии является не только построение фигуры поверхности планеты или ее геоида (селеноида, ареоида и т.п.), но и изучение геометрии силовых линий в пространстве, отклонений отвеса, характеристик гравитационного потенциала и его взаимодействия с другими физическими полями. Термин физическая геодезия, пожалуй, можно отождествить с термином теория

фигуры Земли, если этот предмет понимать более широко, чем указано в его названии.

Краткий исторический обзор Что такое наша Земля? Какой она формы? Этими вопросами интересовались на самой заре пробуждения сознания. До нас дошли сведения, что Пифагор, живший в V1 веке до нашей эры, считал Землю шаром. Его почему-то не смущал вопрос, как же удерживаются все предметы на "покатой" поверхности шара. Два века спустя великий Аристотель прямо указал на доказательство шарообразности Земли. Это -лунные затмения. Земля бросает тень на Луну, когда Солнце находится с противоположной стороны. А эта тень -- круглая! Еще один греческий ученый

Эратосфен, живший в третьем веке до нашей эры, предпринял первую попытку определить радиус Земного шара. Он оценил длину дуги меридиана между Александрией и Ассуаном (Сиеной) и воспользовался тем, в день летнего солнцестояния Солнце в Ассуане стоит точно в зените. Оно может "заглянуть" даже в самые глубокие колодцы. В это же время в Александрии наименьшее зенитное расстояние Солнца составляет 1/50 долю окружности. Между Александрией и Ассуаном

существовал

караванный

путь

длиной

в

5000

стадий,

то

есть

приблизительно 800-900 км. Точная длина стадии неизвестна, полагают, что она равна 0,158-0,185 км. Умножая 5000 на 50, Эратосфен получил длину меридиана, равную 250000 стадий. Радиус Земли, в этом случае, будет равен 40000 стадий, то есть

6000-7400 км.

Современное

значение

среднего

радиуса

Земли

равно

6371,023 км. Так что результат Эратосфена неплохой. Первые измерения размеров Земли были основаны на измерении длин дуг. Впоследствии это направление исследований развилось как градусные измерения. В VII веке в период расцвета арабской цивилизации были выполнены градусные измерения, причем проводились и угловые и линейные измерения. Угловые измерения они выполняли по наблюдениям высот звезд в меридиане. У них один градус оказался равным 111,8 км, а радиус Земли -- 6406 км -- почти современный результат. Затем снова наступил продолжительный перерыв. Он связан с падением арабской цивилизации под влиянием экспансии монгольских племен и средневековой схоластики, которая надолго задержала развитие научной мысли. Только в XV веке в Европе появился интерес к размерам нашей планеты. Он связан с развитием торговых отношений и колонизацией дальних земель. Необходимы были точные морские карты. Родилась геодезия. Голландский ученый Снеллиус (1580-1626) предложил метод триангуляции. Основная идея метода заключается в том, чтобы с помощью измерения только одного базисного отрезка и измерения углов получить расстояние до любой другой точки, находящейся вне базиса. Расстояние между точками углы

и

измеряется с наибольшей возможной точностью ( рис. 1). Измеряя и

определения треугольника

, будем иметь все необходимые сведения для , следовательно, будем знать сторону

. Ее мы

можем считать базисом для следующего треугольника

. Повторяя операции с

измерением углов, определим стороны нового треугольника. Цепочка, состоящая из таких треугольников, может быть как угодно длинной. Остается определить астрономические координаты точек, чтобы развернуть данную триангуляционную сеть на сфере или эллипсоиде. Этот метод оказался очень эффективным и дожил до настоящего времени.

Рис. 1. Триангуляционная сетка Классическим градусным определением следует считать работу Пикара (Франция, 1620-1682). Была определена длина дуги от Парижа до Амьена, которая оказалась равной 153689 м, а в градусной мере -- 1° 23' 55". Таким образом, длина одного градуса составила 111212 м. Современное значение длины дуги одного градуса на широте Парижа равно 111221 м, то есть измерения Пикара отличаются всего на 9 м. В XV111 веке в математической столице мира -- Париже вновь были организованы экспедиции. В экваториальной зоне (Перу) экспедиция в составе Буге, Годена и Лакондамина измерила длину дуги меридиана от 0° 2' 30" северной широты до 3° 4' 30" южной широты. Значение длины дуги одного градуса получено равным 110604 м. В полярной зоне (Скандинавия) работала другая экспедиция (Клеро, Мопертюи, Камюз, Цельсий). Длина одноградусной дуги на широте 66° оказалась равной 111917 м.

Наконец,

несколькими

годами

раньше

была

измерена

длина

одноградусной дуги под Парижем. Она оказалась равной 111258 м. Результаты градусных измерений в XVIII веке можно свести в следующую таблицу Широта, градусы Длина одноградусной дуги, м 1

110604

49

111258

66

111917

По этим данным легко определить и большую полуось общего земного эллипсоида и его сжатие. Ньютон доказал, что Земля имеет форму эллипсоида вращения со сжатием 1:230 (современное значение 1:298,25). Эту величину он получил теоретически, принимая Землю за однородный, жидкий эллипсоид. Современник Ньютона Гюйгенс определил сжатие земного эллипсоида иначе. Он предположил, что сила притяжения всегда направлена к центру масс Земли, а эллипсоидальность поверхности уровня создает

центробежная сила, которая отклоняет отвесную линию. Вычислив сжатие, он получил величину, равную 1:576, то есть существенно меньше. Расхождение результатов Ньютона и Гюйгенса позже объяснил французский математик Клеро, который получил формулу зависимости сжатия от внутреннего строения планеты. Он обобщил теорию равновесия планет и показал, что случаи Ньютона и Гюйгенса являются частными случаями его модели. Сжатие по Клеро равно

Для однородного эллипсоида с малым сжатием

. Обозначим

безразмерную величину, близкую к отношению центробежной силы к силе тяжести на экваторе через

, получим

Для общего земного эллипсоида принято

Следовательно Сжатие по Ньютону в этом случае равно

= 1:231,12, а по Гюйгенсу

= 1:577.80. В

настоящее время Генеральная Ассамблея МАС в 1976 году утвердила значение

сжатия для Земли

= 1:298,2570, которое лежит между двумя выше указанными

значениями. Это означает, что планета Земля не является однородным эллипсоидом и, одновременно, вся притягивающая масса не сосредоточена в центра планеты. Исследования Клеро дали начало целой серии работ таких математиков как Пуанкаре, Лаплас, Лежандр, Стокс, Вихерт, Дарвин и др. Они создали научное направление, тесно примыкающее к нашему предмету -- теории фигур равновесия небесных тел. Большой вклад в теорию фигур небесных тел внесли Маклорен и Якоби, которые исследовали устойчивость фигур равновесия тел эллипсоидальной формы. Для изучения формы эквипотенциальной поверхности с максимальной детальностью необходимо ввести тело отсчета, относительно которого можно выявить эти детали. Для Земли в качестве тела отсчета берут земной эллипсоид. Тогда задача определения фигуры Земли сводится к вычислению высот геоида над этим эллипсоидом.

Исходным

материалом

для

решения

такой

задачи

служат

геодезические и гравиметрические сведения, полученные на поверхности Земли. Впервые задачу определения фигуры Земли поставил и теоретически решил Стокс. Принципиальная

возможность

определения

уровенной

поверхности

по

гравитационному полю доказывается теоремой Стокса:

Если уровенная поверхность, целиком охватывающая массы, известна, известны также масса и угловая скорость вращения, то сила тяжести однозначно определяется как на самой поверхности, так и во всем внешнем пространстве. Символически это утверждение можно записать так:

. Наша задача --

определение фигуры Земли -- является обратной: требуется определить заданным определением

,

и

по

. Основная трудность решения этой задачи связана с

на поверхности уровня. На практике мы можем измерять удельную

силу тяжести только на физической поверхности. Возникает задача переноса этого значения (редукции) с физической поверхности на геоид (не на эллипсоид!). Над проблемой редукции работало много ученых. Доминирующую роль в этой теории сыграли наши ученые. Основная трудность заключалась в том, как "отправить" все массы, лежащие выше поверхности геоида, под эту поверхность, при этом не исказив саму поверхность уровня. Эта проблема получила название

проблемы регуляризации Земли. Последнюю точку в этой задаче поставил М.С.Молоденский.

Он

доказал,

что

фигуру

Земли

можно

изучать

и

без

регуляризации. Достаточно все измерения выполнять на физической поверхности, но кроме силы тяжести необходимо знать и приращение потенциала, для чего должны быть выполнены и геодезические работы. Итак, пусть на земной поверхности в точках с известными значениями

и

и гравитационный потенциал

иметь вектор силы тяжести

будем . Тогда

. Здесь черта сверху означает, что соответствующие величины берутся на поверхности

. Если

и

однозначно определяют вектор

уместно поставить и обратную задачу: определить и

, то

по заданным на поверхности

. При этом поверхность, вообще говоря, не является поверхностью уровня!

Австрийский геодезист Г.Мориц так отозвался о работе М.С.Молоденского: "Когда блестящая работа М.С.Молоденского стала известной на западе, она произвела поистине революцию Коперника в умах геодезистов всех стран ..." (Г.Мориц, "Современная

физическая

геодезия",

Москва

"Недра"

1983).

Эта

работа

стимулировала математические исследования в области теории гравитационного потенциала. На вооружение взяты такие серьезные математические дисциплины как теория функций, теория групп, интегральные уравнения, матрично-тензорный анализ и

др.

Последователи

М.С.Молоденского

советские

ученые

Л.П.Пеллинен,

В.В.Бровар, М.Ю.Нейман хорошо известны в мировом сообществе ученых. Появление спутников и новых возможностей исследования гравитационного поля существенно расширило круг задач теории фигуры Земли. Появилось новое направление в высшей геодезии -- космическая геодезия. Если раньше триангуляция развертывалась на физической поверхности Земли, то сейчас она стала трехмерной. Космические триангуляционные пункты -- пункты слежения за геодезическими спутниками. Движение спутников, как известно, определяется как движение по некоторой орбите вокруг центра масс. Поэтому за начало системы отсчета берут центр масс. Кроме того, необходимо знать расположение этих пунктов относительно тела отсчета, которым служит общий земной эллипсоид. Взаимное расположение

пунктов задают геодезическими координатами

, соответственно, широтой,

долготой и высотой. Фундаментально задачей является определение центра общего земного эллипсоида относительно центра масс. В доспутниковую эпоху геодезические работы вполне удовлетворяла привязка к эллипсоиду, аппроксимирующему исследуемую территорию. Советский геодезист Ф.М.Красовский получил параметры эллипсоида для Советского Союза с началом отсчета высот по Кронштадскому футштоку. Сжатие эллипсоида Красовского равно 1:298,3, Эта величина значительно отличалась от сжатия общего земного эллипсоида принятого в то время и полученного по гравиметрическим данным. Авторы давали разные оценки сжатия от 1:296,6 до 1:297,4. Первое же определение сжатия по спутниковым данным дало величину, практически совпадающую со сжатием эллипсоида Красовского. Точность определения существенно возросла. Генеральная Ассамблея МАС в 1976 г для сжатия Земли утвердила значение 1:298,2570. Спутниковые альтиметрические исследования дали прямые измерения топографии водной глади поверхности океанов, которая совпадает с геоидом с точностью

м. Сами альтиметрические наблюдения достигли точности нескольких сантиметров. Появилась необходимость с такой же точностью строить и теорию движения спутников и определять поверхность геоида. Классическое линейное приближение с точностью до первой степени сжатия стало неприемлемым. Если радиус Земли равен R, то малыми величинами мы должны считать линейные величины

км. Малыми величинами второго порядка будут

м, а третьего порядка --

см. Отсюда следует, что теория движения спутников должна обеспечивать сантиметровую точность, а современная теория фигуры Земли должна строиться так, чтобы обеспечить точность до малых третьего порядка. К сожалению, таких точностей еще не получено.

Лекция 2. Геодезические системы координат • • • •

2.1 Декартовы системы координат 2.2 Сферическая система координат 2.3 Геодезическая система координат 2.4 Эллипсоидальная система координат

Сферическая система. Широта долгота и радиус-вектор. Система координат, построенная на эллипсоиде. Геодезические координаты: широта, долгота и высота. Связь между сферической, геодезической и декартовой системами координат. Геодезические задачи решают на плоскости, если размеры площади невелики. Если исследуемая часть поверхности занимает несколько градусов широты или долготы, то необходимо учитывать и кривизну поверхности. В этом случае часто подходит и шар. Для решения глобальных задач, в том числе и задач по космической геодезии в качестве тела отсчета берут эллипсоид вращения. В частности на эллипсоиде решают следующие задачи: -- Уточнение формы и размеров общего земного эллипсоида (ОЗЭ). -- Перенос направлений и расстояний с физической поверхности на эллипсоид. -- Определение координат точек на поверхности референц-эллипсоида. -- Определение расстояний между точками с заданными координатами. -- Уточнение координат по мере уточнения элементов эллипсоида.

2.1 Декартовы системы координат Введем две прямоугольные системы координат: локальную и глобальную. Начало системы отсчета (точка Р) для локальной прямоугольной системы координат выберем в точке наблюдения, лежащей на поверхности эллипсоида. Ось РХ направим на Север, ось РУ? на Восток, а ось эллипсоида

вниз

(по

внутренней

нормали).

по нормали к поверхности В

этой

системе

координат

"горизонтальная" плоскость ХРУ не совпадает с плоскостью астрономического горизонта. Глобальную

декартову

геодезическую

систему

координат

Oxyz

строят

так:

начало отсчета совмещают с центром ОЗЭ (не путать с центром масс Земли!), плоскость xOy -- c плоскостью экватора. Ось Ox совмещают с линией пересечения плоскости нулевого меридиана и плоскости экватора. Ось Oy пересекает экватор в точке с долготой 90°. Ось Oz совпадает с осью вращения ОЗЭ. Эта ось не обязательно совпадает с осью вращения Земли. Для трехосного ОЗЭ начало координат берут в центре масс Земли, а оси -- совпадающими с главными осями

инерции. В этом случае плоскость xOy, вообще говоря, не будет лежать в плоскости экватора.

2.2 Сферическая система координат Телом отсчета для сферической системы координат является сфера с радиусом

.

Начало этой системы координат совмещают с центром сферы. Координатами являются геоцентрическая широта

, долгота

и радиус-вектор

. Широтой

называется угол между радиусом-вектором и плоскостью экватора. Долгота есть угол между плоскостью, проходящей через заданную точку и осью вращения (плоскость меридиана) и плоскостью меридиана, принятого в качестве нулевого. Связь между сферической системой и глобальной декартовой определяется формулами (2.1)

В том случае, когда широта определяется как угол между плоскостью экватора и

отвесной линией, сферическая система координат называется астрономической. Широта и долгота, определенные в этой системе мы будем обозначать через

и

.

2.3 Геодезическая система координат С геодезической системой координат

связывают понятия геодезической

широты, долготы и высоты. Геодезическая широта В есть угол, под которым пересекается нормаль к поверхности эллипсоида с плоскостью экватора. Долгота

-

- двугранный угол между плоскостью нулевого меридиана и плоскостью меридиана, проходящего через заданную точку. Геодезические широта и долгота отличаются от соответствующих астрономических координат, связанных с отвесной линией, так как отвесная линия не совпадает с нормалью к эллипсоиду. Отклонение отвесной линии можно спроецировать на две плоскости: плоскость меридиана и плоскость первого вертикала. Нетрудно понять,

что

обе

эти

составляющие

можно

определить

через

разности

между

астрономическими и геодезическими координатами (2.2)

Отклонения отвесной линии составляют, как правило, первые несколько секунд дуги. Заметим, что геодезическая и геоцентрическая долготы совпадают. Обе они определены как двугранный угол между плоскостью нулевого меридиана и плоскостью, содержащей ось вращения и заданную точку. Геоцентрическая же широта отличается от геодезической. Рассмотрим точку

, лежащую вне ОЗЭ. Опустим из этой точки перпендикуляр на

поверхность эллипсоида и продолжим его до пересечения с экваториальной плоскостью (рис. 2). Проекцию точки

на поверхность эллипсоида обозначим через

Тогда отрезок PQ есть геодезическая высота точки

. Угол, под которым

упомянутый перпендикуляр пересекает плоскость экватора, есть геодезическая широта

. Она относится как к точке

, так и к точке

. Геоцентрические широты

этих двух точек, как видно из рисунка, различаются. Геоцентрическая широта точки угол

между радиус-вектором этой точки и плоскостью экватора.

Рис. 2. Установим связь между координатами точки и

. Поскольку точка

координаты

, сжатием эллипсоида

лежит на поверхности эллипсоида, то ее прямоугольные подчиняются

уравнению

. Рассмотрим сечение . Чтобы определить точке

и широтами

. Уравнение нормали к кривой

эллипсоида

вращения:

. Тогда, как легко видеть,

, нужно найти угловой коэффициент нормали в в точке

имеет вид (2.3)

У нас

, поэтому

,

,

Следовательно,

Определим отличие геоцентрической широты

от геодезической

. Имеем

очевидные равенства (2.4)

Второй эксцентриситет эллипса, как мы знаем, определяется следующим образом , поэтому

Для Земли второй эксцентриситет мал, поэтому, пренебрегая малыми второго порядка относительно сжатия, получим

. Можно также считать, что

Учитывая сказанное, получим Наибольшее отличие геодезической широты от геоцентрической достигается на .

широте 45° и составляет Связь

глобальных

декартовых

координат

с

геоцентрическими

определяется

формулами (2.1). Определим теперь формулы, связывающие декартовы координаты с геодезическими. Это означает, что бы должны определить координаты точки через параметры эллипсоида и геодезические широту и долготу.

Поскольку

, для определения координат и

начала, определить только координаты только для сечения

,

,

точки

достаточно, для

, то есть все рассуждения проводить

. Обратимся к рис. 3.

Рис. 3. Определим прямоугольные координаты точки

, расположенной на высоте Н над

поверхностью эллипсоида. Сначала определим координаты проекции точки поверхность эллипсоида (точка

на

). Ее координаты в сечении Охz равны

Индексом "0" мы отметили принадлежность координат к точке, лежащей на поверхности эллипсоида. Как мы видели

поэтому

Остается определить радиус-вектор точки

. Воспользуемся уравнением эллипса и

выполним необходимые преобразования. (2.5)

Выразим

и

через

и

, для чего воспользуемся приведенными

выше формулами. Определим радиус-вектор точки

следовательно, (2.6)

Обозначим (2.7)

Теперь (2.8)

Для произвольного сечения, проходящего через ось вращения

, будем иметь (2.9)

Теперь поднимем точку координаты изменятся на

на высоту Н и совместим ее с точкой

. Прямоугольные

(2.10)

Окончательно, теперь формулы для пересчета геодезических координат прямоугольные

иНв

примут вид (2.11)

Здесь

, определенный формулой (2.7) имеет простой геометрический смысл: он

равен отрезку нормали, проходящей через точку

, от этой точки до точки

пересечения ее с осью вращения эллипсоида. Справедливость этого утверждения предлагается доказать самостоятельно.

2.4 Эллипсоидальная система координат Рассмотрим еще одну систему координат, имеющую приложение в теории гравитационного потенциала:

Эти формулы содержат не три, а четыре переменные величины. Четвертая переменная устанавливает семейство координатных поверхностей -- эллипсоидов. Убедимся в этом. Проделаем простые преобразования:

Разделив первое уравнение на

Очевидно, что при

а второе -- на

, получим

получим уравнение эллипсоида вращения

где

Поскольку

, имеем

, отсюда параметр

имеет простой

физический смысл: он равен половине межфокусного расстояния. Понятно, что при условии

изменяя

, получим семейство софокусных эллипсоидов,

играющих важную роль в теории потенциала фигур равновесия Построим теперь семейство

координатных

поверхностей

.

Проделаем

очевидные

преобразования

меняя

, получим семейство однополостных гиперболоидов вращения. Обозначив ,

, получим уравнение гиперболоида в общепринятой форме.

Разделив у на х, получим

. Изменяя

, получим семейство плоскостей,

проходящее через ось Оz. Все три семейства поверхностей образуют взаимно ортогональную систему.

Лекция 3. Основные формулы теории потенциала • • •

3.1 Формулы Грина 3.2 Гармонические функции 3.3 Шаровые функции

Интеграл Дирихле, первая, вторая и третья формулы Грина. Гармонические функции и их свойства, теоремы о гармонических функциях. Шаровые и сферические функции. Дифференциальное уравнение для сферических функций и его решение. В данном разделе перечислим без вывода основные формулы теории потенциала, которые находят применение в теории фигуры Земли. Остановимся лишь на некоторых, наиболее важных теоремах. Введем векторный оператор набла

:

, где

-- единичные, взаимно ортогональные вектора. С

векторным оператором можно обращаться, как с обыкновенным вектором. Например, скалярное

произведение

двух

операторов

набла

дает

оператор

Лапласа:

. Допустим, что в нашем распоряжении имеется некоторая скалярная функция . Тогда

3.1 Формулы Грина 3.1.1 Формула Остроградского С помощью оператора Лапласа интегрирование по объему можно заменить интегрированием по поверхности. В дальнейшем для обозначения пределов интегрирования мы будем использовать следующий прием. Все двукратные или трехкратные интегралы мы будем изображать однократным интегралом. Под интегралом будем использовать символ ( ограниченному поверхностью ведется по поверхности

) если интегрирование ведется по телу,

, или просто значком

, если интегрирование

. С этими где оговорками формула Остроградского (3.1)

принимает вид (3.1)

-- элемент объема, где нормаль.

-- элемент поверхности, а буквой

обозначена внешняя

3.1.2 Первая формула Грина Введем обозначение оператора (3.2)

тогда первая формула Грина примет вид (3.3)

Интеграл по объему от функции

называется интегралом Дирихле: (3.4)

Очевидно, что в формуле Грина функции

и

можно менять местами, то есть

вместо (3.3) можно написать (3.5)

3.1.3 Вторая формула Грина Вычитая левые и правые части формул (3.3) и (3.5), получим вторую формулу Грина (3.6)

3.1.4 Третья формула Грина

Рассмотрим частный случай, когда точками P(x,y,z) и

, где

-- расстояние между двумя

Первая точка имеет фиксированные координаты, а

вторая -- принадлежит телу и имеет текущие координаты, принадлежащие элементу объема. Тогда

Нетрудно убедиться, что для

, имеет место равенство

. Имеем

Проделаем следующие выкладки

Обратимся снова к второй формуле Грина. Перепишем ее для случая, когда . Возможны три варианта, когда точка

лежит вне тела, внутри его и на

поверхности, которое ограничивает это тело. •

Точка Р -- внешняя. В этом случае во всем внутреннем пространстве тела, по которому ведется интегрирование, радиус-вектор r не обращается в нуль и . Вторая формула Грина (3.6) принимает вид

(3.7)

• • •

Мы получили третью формулу Грина для внешней точки. Точка Р -- внутренняя. В одной точке внутреннего пространства радиус-вектор обращается в нуль и функция

обращается в бесконечность. Опишем вокруг этой

точки сферу с малым радиусом. Интегрирование по телу, ограниченному поверхностью , можно разбить на два этапа: интегрированию по всем точкам тела, исключая малую сферу, содержащую точку , и интегрирование по малому шару, ограниченному малой сферой :

где

-- тело с выколотой точкой

пространстве

. Поскольку

во всем внутреннем

, то первое слагаемое в правой части полученной формулы

. Займемся вторым слагаемым. Будем считать, обращается в нуль, так как что радиус малой сферы настолько мал, что функцию внутри этой сферы -постоянная величина. Тогда

Воспользуемся формулой Остроградского, в которой положим

, тогда

вместо интегрирования по объему будем интегрировать по поверхности малой сферы

Отношение из точки

есть элементарный телесный угол

, под которым "виден"

элемент поверхности сферы. Понятно, что, если точка

находится

внутри этой сферы, то рассматриваемый интеграл будет равен полному телесному углу, по которым видна поверхность сферы изнутри. Очевидно, что он равен

, то есть

Перепишем формулу (3.6) в следующем виде

В случае

, для внешней точки получим

(3.8)

•

Точка P лежит на поверхности. Третий случай -- это когда точка не является ни внутренней ни внешней: она лежит на поверхности тела. Можно показать, что в этом случае

noindent поэтому третья формула Грина принимает вид

(3.9)

Формулы (3.7), (3.8) и (3.9) можно записать одной формулой

(3.10)

3.2 Гармонические функции

Гармонической функцией координат

называется функция, непрерывная

вместе со своими первыми и вторыми производными в некоторой области удовлетворяющая во всех точках этой области уравнению Лапласа

,

.

3.2.1 Свойства гармонических функций 1. Линейная комбинация двух и более гармонических функций есть функция гармоническая. Пусть U(x,y,z) и V(x,y,z) -- две гармонические функции, то есть и

. Возьмем их линейную комбинацию . Очевидно, что

Поскольку

,

, то и

.

, что и доказывает наше

утверждение. 2. Если -- гармоническая функция, то все ее частные производные гармонические функции. Доказательство основано на взаимной переставимости оператора Лапласа и производных. Пусть

тогда

3. Линейное преобразование координат (поворот осей, изменение масштаба) не нарушает свойство гармоничности. Пусть

-- гармоническая функция. Введем новые координаты

В матричном виде приведенное равенство выглядит следующим образом

или

Подставим в функцию

линейные выражения для

,

,

воспользуемся вторым из приведенных выше равенств, получим V( Докажем, что если

функция гармоническая, то и

гармонической функцией. Очевидно, что

Аналогично

Запишем полученные равенства в матричной форме

, для чего . является

Поскольку оператор Лапласа есть квадрат векторного оператора набла

, то

В правой части будем иметь

Поскольку матрицы направляющих косинусов являются ортонормированными, их произведения равны единичной матрице и оператор Лапласа принимает вид

Отсюда следует, что оператор Лапласа является инвариантом по отношению к повороту осей, а при изменении масштаба множителем с изменяется на множитель

. Другими словами, если

, то

.

3.2.2 Теоремы о гармонических функциях 1. Теорема Гаусса: Поток градиента гармонической функции через замкнутую поверхность равен нулю. Потоком называется интеграл по заданной поверхности от нормальной производной функции.

Пусть

--

гармоническая

функция.

Предположим,

что

задана

замкнутая поверхность S, ограничивающая область, внутри которой эта функция -- гармоническая. Тогда, используя формулу Остроградского (3.1), получим

Но так как функция

В случае, когда Пуассона

гармоническая, то

, поэтому

-- потенциал притяжения, то справедливо уравнение , где

-- плотность притягивающих масс. Тогда

формула (3.1) приводит к формуле Гаусса.

(3.11)

2. Гармоническая функция в замкнутой области D не имеет ни минимума, ни максимума. Преположим обратное: внутри области

существует точка

, в которой

гармоническая функция имеет максимум. В малой окрестности этой точки на сфере

нормальная производная функции

будет отрицательной, тогда

, что противоречит теореме Гаусса. 3. textitПотенциал притяжения вне притягивающих масс не может иметь ни минимума, ни максимума; внутри этой области может иметь только максимум.

Любая

область

вне

притягивающего

тела

есть

область

определения

гармонической функции, внутри которой, согласно теореме 2, не может иметь ни минимума, ни максимума. Предположим обратное: внутри притягивающего тела существует точка

, в которой потенциал притяжения достигает

минимума.

точке

В

этой

справедливо

уравнение

Пуассона

. По формуле Остроградского будем иметь

Mы пришли к противоречию: вследствие минимума внутри малой сферы, нормальная производная на поверхности этой сферы будет положительной, следовательно и приведенные выше интегралы будут положительны, что противоречит сделанному выше выводу. Таким образом, теорему можно считать доказанной. 4. Теорема Гаусса. Значение гармонической функции в центре сферы равно среднему из значений этой функции на поверхности. Обратимся к третьей формуле Грина, когда точка гармонической функции

, поэтому на сфере

внутренняя. Для формула (3.8)

принимает вид

На поверхности сферы нормальная производная совпадает с производной по радиусвектору, поэтому

Кроме того, на поверхности сферы

, поэтому

но согласно теореме Гаусса о потоке первое слагаемое в полученном выражении равно нулю, то есть

что и требовалось доказать.

3.3 Шаровые функции Шаровой функцией степени

называется гармоническая функция, являющаяся

однородным степенным полиномом вида (3.12)

где

-- постоянные. Возьмем сферическую систему координат (3.13)

где

-- долгота,

-- полярное расстояние,

-- радиус-вектор точки

. Очевидно, что (3.14)

Функция вида (3.15)

называется сферической функцией. Итак, шаровая функция степени

имеет вид

(3.16) Существует и другой класс шаровых функций, который приведем здесь без вывода (3.17)

где

-- та же сферическая функция, которая входит и в формулу (3.16).

Число постоянных шаровой функции степени

равно

. Убедимся в этом на

при мере шаровой функции третьей степени:

Всего однородный полином третьей степени имеет 10 постоянных. Однако не все постоянные независимы. Шаровые функции подчиняются уравнению Лапласа. Выполнив необходимые выкладки, получим

Следовательно, из 10 постоянных 3 линейно связаны уравнением Лапласа. Остается 10-3=7 независимых постоянных.

3.3.1 Дифференциальное уравнение для сферических функций Поскольку шаровые функции удовлетворяют уравнению Лапласа, то есть то должны выполняться и уравнения

В последнем варианте шаровые функции записаны в сферических координатах, поэтому нам необходимо уравнение Лапласа переписать также в сферических координатах. Из дифференциальной геометрии известно, что если

,

,

-- обобщенные

координаты, то элемент дуги в этой системе координат будет иметь вид

где

,

,

-- коэффициенты Ламе:

Теперь оператор Лапласа можно определить следующим образом (без вывода) (3.18)

Определим коэффициенты Ламе для сферической системы координат. В данном случае

,

,

, поэтому

Оператор Лапласа для сферических координат будет выглядеть так (3.19)

Применим этот оператор к шаровой функции вида

Очевидно, что

оператор Лапласа для шаровой функции равен нулю, поэтому

Таким образом, дифференциальное уравнение для сферической функции порядка имеет вид (3.20)

Предлагаем самостоятельно убедиться в том, что дифференциальное уравнение для функции входящую в шаровую функцию второго рода

совпадает

с уравнением (3.20).

3.3.2 Интегрирование дифференциального уравнения Заменим переменную

на . тогда

. Очевидно, что

поэтому дифференциальное уравнение (3.20) можно переписать так (3.21)

Будем искать решение этого уравнения в виде

. Подставив это

выражение в дифференциальное уравнение, будем иметь

Умножив каждый член полученного выражения на

и поделив на

,

получим

Видим, что первые два члена зависят только от того, чтобы уравнение выполнялось для любых

, а последний -- только от и

Для

, необходимо, чтобы эти

функции выродились в константы. Например, уравнение будет выполняться, если (3.22)

Второе уравнение есть уравнение гармонических колебаний

Его решение для любых действительных значений где

и

имеет вид

-- постоянные интегрирования. Решение первого из приведенных выше уравнений,

зависит как от постоянной получим

, так и от постоянной

. Обозначив решение через

,

(3.23)

Функция

при целочисленных значениях

(ассоциативной) функции Лежандра. В случае

носит название присоединенной , эти функции становятся

степенными полиномами, которые называются полиномами Лежандра. Полагая в уравнении (3.23)

, получим дифференциальное уравнение для полиномов

Лежандра (3.24)

В теории специальных функций свойства функций и полиномов Лежандра достаточно хорошо изучены. Приведем лишь некоторые сведения (без вывода), которые могут пригодиться в нашем курсе. Присоединенные функции Лежандра и полиномы Лежандра связаны между собой соотношением (3.25)

Подводя итог сказанному, выпишем окончательный вид решения дифференциального уравнения для сферических функций (3.26)

Заметим, что порядок производной

в (3.25) не может быть больше степени

полинома Лежандра. По этой причине постоянные

и

называют степенью и

порядком сферических функций.

Лекция 4. Сферические функции • • •

4.1 Полиномы Лежандра и их свойства 4.2 Нормированные сферические функции 4.3 Аналитическое представление функции, заданной на поверхности сферы, рядом Лапласа

4.1 Полиномы Лежандра и их свойства Как мы видели, для вычисления сферических функций необходимо пользоваться полиномами и функциями Лежандра, которые входят в аналитический вид сферической функции. Для вычислений значений полиномов, и выполнения ряда аналитических

выкладок

весьма

полезными

являются

некоторые

свойства

полиномов, на которых мы здесь остановимся.

Рекуррентная формула позволяет вычислить полином значения полиномов

и

степени, если известны

степеней (4.1)

Производящая функция полиномов Лежандра используется в представлении потенциала притяжения рядом по сферическим функциям. Она имеет вид (4.2)

4.1.1 Ортогональность сферический функций Ортогональность полиномов Лежандра определяется формулой

(4.3)

где

-- символ Кронекера. Присоединенные функции Лежандра также обладают

свойством ортогональности. Из теории специальных функций известно, что (4.4)

Сферические функции также образуют класс ортогональных функций. Докажем свойство ортогональности сферических функций. Возьмем две шаровые функции и

первого рода

.

Применим к ним вторую формулу Грина для сферы. Учитывая, что , формула Грина принимает вид (4.5)

Для сферы производная по нормали совпадает с производной по радиус-вектору

,

поэтому

Подставляя полученные выражения в формулу (4.5), будем иметь

Поскольку радиус-вектор -- постоянная величина, полученное выражение можно переписать в следующем виде (4.6)

При

приведенный интеграл равен нулю, что указывает на ортогональность

сферических функций. Вернемся теперь к сферическим функциям степени

, заданной в общем виде (4.7)

Функции вида (4.8)

называются сферическими гармониками. Очевидно, что

,

. Можно показать, что (4.9)

Все основные выкладки можно найти в учебниках по специальным функциям.

4.2 Нормированные сферические функции Как мы видели, средние значения квадратов сферических гармоник достаточно сложно выражаются через постоянные

и

. Однако, каждую из гармоник можно

умножить на постоянные так, чтобы интегралы в формулах (4.9) были равны единице. Эта операция называется нормировкой. Обозначая чертой сверху нормированные функции, можно записать

где

-- нормировочный множитель. Выберем его так, чтобы выполнялись

равенства (4.10)

Обращаясь к формулам (4.9) легко устанавливаем, что

Полученную формулу можно переписать следующим образом (4.11)

Операции нормировки подвергают не только сферические гармоники, но и полиномы и функции Лежандра. В частности, если нормированная сферическая функция имеет вид (4.12)

то

4.3 Аналитическое представление функции, заданной на поверхности сферы, рядом Лапласа Свойство ортогональности сферических функций делает их незаменимыми для аналитического представления физического поля, рельефа или других величин, заданных в виде карты на сферической поверхности. Сферические функции играют ту

же

роль,

что

и

тригонометрические

для

приближенного

представления

произвольной функции, заданной на отрезке рядом Фурье. Ряд, заданный в виде суммы сферических гармоник, иногда называют рядом Лапласа. Пусть

-- известная, кусочно-непрерывная функция, заданная в сферических

координатах. Аппроксимацию этой функции зададим в виде конечного ряда, содержащего

сферических гармоник

(4.13)

Определим коэффициенты этого разложения так, чтобы функция аппроксимировала функцию

с наименьшим среднеквадратическим

отклонением (4.14)

Для определения коэффициентов

где

и

и

воспользуемся условиями

, заданные числа. Выполняя дифференцирование, с учетом (4.13), получим (4.15)

В полученные выражения нужно подставить вместо (4.13), заменив в ней индексы суммирования

и

правую часть формулы на

и . Мы получим интегралы

вида

Вследствие ортогональности сферических гармоник только те из интегралов отличны от нуля, которые содержат произведения одноименных гармоник с одинаковыми индексами. Выполнив операции, получим (4.16)

Итак, наилучшая средняя квадратическая аппроксимация функции

заданной

на сфере, многочленом, составленным из нормированных сферических гармоник степени и порядка

, имеет вид (4.17)

где

-- нормированная присоединенная функция Лежандра.

Специальное исследование показало, что наш ряд при неограниченном увеличении числа членов при некоторых дополнительных условиях, накладываемых на функцию , сходится. Однако, исследование скорости этой сходимости лежит за пределами нашего курса.

4.3.1 Интегральная форма ряда Лапласа Мы уже говорили, что разложения вида (4.17) есть аналог ряда Фурье, в котором роль тригонометрических функций выполняют сферические функции. Существует также и аналог интеграла Фурье -- интегральная форма ряда Лапласа. Для того, чтобы ее получить, подставим в (4.17) постоянные

и

, которые

определятся с помощью интегралов (4.16). Переменные, по которым производится интегрирование мы будем помечать штрихом. Таким образом

Принимая во внимание, что

получим (4.18)

Для дальнейшего упрощения полученной интегральной формулы воспользуемся так называемой теоремой сложения сферических функций. Пусть точка поверхности

имеет постоянные координаты, а точка и

имеет

штрихованные

координаты.

принадлежит элементу Обозначим

расстояние между этими двумя точками греческой буквой

центральное

. Тогда теорема

сложения для нормированных сферических функций выглядит так (4.19)

Теперь формулу (4.18) можно переписать следующим образом (4.20)

Каждое слагаемое в полученной формуле часто называют функциями Лапласа (4.21)

Лекция 5. Аналитическое представление гравитационного потенциала • • • • •

5.1 Разложение гравитационного потенциала в ряд Лапласа 5.2 Посточнные Стокса 5.3 Механический смысл стоксовых постоянных 5.4 Потенциал тяжести 5.5 Пределы Пуанкаре и Крудели для угловой скорости вращения. Фигуры равновесия

5.1 Разложение гравитационного потенциала в ряд Лапласа

Напомним, что под потенциалом какой либо силы, в том числе и силы тяжести мы будем понимать силовую функцию. Для начала остановимся на потенциале сил

притяжения, который чаще всего называют гравитационным потенциалом. Пусть элемент массы dm находится в точке Q

, а точка P(x,y,z) с фиксированными

координатами находится вне притягивающего тела. Радиус-вектор, соединяющий точки Р и Q, будем обозначать через через

и

, а радиус-векторы этих точек соответственно

. Угол между этими векторами будем обозначать через

. Если точка О -

- начало координат, то из треугольника ОРQ следует

Потенциал притяжения тела в точке

имеет вид (5.1)

где

-- элемент объема,

-- плотность. Вынесем из-под знака корня величину

, получим

Под знаком интеграла стоит производящая функция полиномов Лежандра (см. формулу (4.1)), поэтому

где

-- полином Лежандра степени

Теперь потенциал притяжения в точке

.

принимает вид (5.2)

Каждое отдельное слагаемое полученной формулы есть функция Лапласа для потенциала притяжения во внешней точке. Обозначив ее через

, получим (5.3)

Теперь ряд Лапласа можно записать так (5.4)

Функции Лапласа, как следует из формулы (5.3), зависят от распределения плотности внутри притягивающего тела. Приведенный интеграл есть постоянная величина, которая, в свою очередь, определяется с помощью так называемых постоянных Стокса, или, стоксовых постоянных.

5.2 Посточнные Стокса Постоянной Стокса называется величина, которая определяется следующим образом (5.5)

где гармоническая функция внутри объема интегрирования. Вернемся к формуле (5.3). Воспользуемся формулой сложения гармонических функций (4.19). Ее, очевидно, можно переписать следующим образом

Следовательно

(5.6)

Функции текущих (штрихованных) координат

и

являются

гармоническими, так как они принадлежат к шаровым функциям первого типа. Следовательно, по определению (5.5) интегралы вида

и

являются стоксовыми постоянными. Введем обозначения (5.7)

Здесь, как несколько позже убедимся, М -- масса тела, а -- постоянная, имеющая размерность длины, а

и

безразмерные постоянные Стокса.

Теперь функцию Лапласа для потенциала притяжения во внешней точке Можно представить следующим образом (5.8)

Суммируя по всем

, получим искомое разложение потенциала притяжения в ряд

Лапласа (5.9)

Все рассуждения мы провели для нормированных функций, отмечая их чертой сверху. Однако эти же рассуждения справедливы и для ненормированных функций. В этом случае постоянные Стокса будут иметь несколько иной вид. Опуская выкладки, приведем лишь окончательную формулу

(5.10)

где

при

и

при

.

5.3 Механический смысл стоксовых постоянных Рассмотрим сначала случай, когда

. Поскольку гармоника

изменяется от нуля до определить только

. Тогда и

, так как эта переменная также равна нулю, остается

. Из формулы (5.10) следует (5.11)

Рассмотрим теперь случай, когда стоксовых постоянных:

,

,

. Теперь мы должны определить четыре ,

. Обращаясь к формуле (5.10), получим (5.12)

(5.13)

Для того, чтобы выполнить интегрирование, нужно перейти к декартовым координатам (5.14)

По определению сферических гармоник имеет место равенство (5.15)

При

имеем

, поэтому

Из теоретической механики известно, что координаты центра масс тела определяются следующим образом

поэтому (5.16)

Итак, шаровая функция первой степени, которую представляет собой функция Лапласа первой степени, определяет центр масс притягивающего тела. Определим теперь функцию Лапласа второй степени. Из формулы (5.7) следует

Снова перейдем к декартовым координатам

(5.17)

Следуя правилам теоретической механики, выполним интегрирование. Будем использовать традиционные обозначения для моментов массы второго порядка -моментов инерции

(5.18)

Для того, чтобы привести формулу для коэффициентов к окончательному виду, заметим, что

Следовательно, матрицу, составленную из коэффициентов разложения потенциала притяжения для шаровой функции второй степени, можно представить в виде (5.19)

Вернемся к формуле представления гравитационного потенциала рядом Лапласа. Определяя стоксовы постоянные через ненормированные шаровые функции, формула (5.9) будет иметь тот же вид, за исключением того, что стоксовы постоянные и сферические функции "потеряют" черту сверху

(5.20)

где коэффициенты и определяются формулами (5.10), (5.16) и (5.19). Полученную формулу можно упростить, если принять 1. начало координат совпадает с центром масс, 2. направление осей совпадают с главными осями инерции.

При выполнении этих условий функция Лапласа первой степени будет равна нулю, . Кроме того, будут равны нулю и произведения инерции

то есть ,

,

. Следовательно,

,а

Теперь формула (5.20) принимает вид

(5.21)

Полученная формула говорит о том, что потенциал притяжения в точке

зависит как

от расстояния рассматриваемой точки от начала координат, так и сферических координат: полярного расстояния и долготы. Однако отдельные сферические гармоники могут зависеть только от широты, например, при

, в этом случае

гармоники называют зональными. Поверхность сферы в этом случае оказывается разбитой на зоны -- сферические пояса. Второй крайний случай возникает при

. Обратимся к формуле (5.15). В этом

случае она приобретает вид

Нетрудно понять, что знак сферическая гармоника может менять при определенных значениях долготы, так как постоянная величина, а

-ая производная полинома

-ой степени есть

при изменении полярного расстояния от нуля до

не

меняет знака. Поверхность сферы оказывается разбитой подобно арбузу на сектора и соответствующие гармоники, называются секториальными. Наконец, в остальных случаях границы изменения знака сферической гармоники на поверхности сферы образуют мозаику подобно шахматной доске. Эти гармоники называют тессеральными от латинского слова tessera, что означает сферический четырехугольник в мозаике.

Для многих задач небесной механики силовую функцию планеты аппроксимируют только

зональными

гармониками.

В

этом

случае

мы

предполагаем,

что

рассматриваемая планета есть тело вращения и зависимость силы притяжения от долготы

точки,

для

которой

берется

силовая

функция,

отсутствует.

Тогда

гравитационный потенциал записывают в виде (5.22)

где

Эту постоянную относят к фундаментальным постоянным.

Если планета представляет собой тело вращения, то

и

.

Она зависит лишь от моментов инерции, то есть от моментов масс второго порядка. Остальные коэффициенты называют мультипольными моментами массы. Они не имеют столь ясного механического смысла.

5.4 Потенциал тяжести Силовую функцию удельной силы тяжести обычно называют потенциалом силы тяжести. Под силой тяжести часто понимают силу, с которой всякое тело притягивается

к

Земле

(см.,

например,

Л.В.Сорокин

"Гравиметрия

и

гравиметрическая разведка", Гостоптехиздат, М., 1953). Молчаливо предполагается, что это тело имеет массу, равную единице. Поэтому речь идет об удельной силе тяжести. Кроме того, наблюдения за действием силы проводятся во вращающейся вместе с Землей системе координат, то есть в неинерциальной системе отсчета. На пробное тело, если нет специальных оговорок, действуют лишь две физические силы: сила притяжения со стороны Земли и упругая сила реакции опоры. Результирующая этих двух сил не равна нулю. Суммы их дает как раз ту силу, которая сообщает пробному телу ускорение, с которым тело совершает движение по круговой траектории в процессе суточного вращения. Согласно третьему закону механики пробное тело взаимодействует с опорой, оно давит на опору с той же самой силой, что и опора давит на тело. Тяжесть пробного тела создает реакция опоры (подставки). Эту силу называют весом тела. Очевидно, что вес тела есть сила,

равная равнодействующей силы притяжения и силы инерции, которую принято называть центробежной силой. Итак, удельная сила тяжести есть вес тела единичной массы, неподвижной относительно поверхности Земли (или какой-либо другой планеты). Удельная сила имеет размерность ускорения, поэтому часто вместо термина удельная сила тяжести говорят ускорение силы тяжести. На английском языке ускорение силы тяжести называют gravity, на немецком -schwehre, в обоих случаях эти слова обозначают тяжесть. Для того, чтобы записать потенциал силы тяжести, необходимо потенциал силы притяжения сложить с силовой функцией для центробежной силы. Эту силовую функцию в дальнейшем будем называть потенциалом тяжести:

где

-- силовая функция для центробежной силы инерции, которую мы

условно будем называть центробежным потенциалом. Если ось Оz выбрать так, чтобы она строго совпадала с осью вращения Земли, то центробежный потенциал будет иметь вид

или в сферических координатах (5.23)

Поверхностью уровня, то есть поверхностью равного потенциала (эквипотенциальной поверхностью) называют поверхность, имеющей уравнение . В отличие от потенциала притяжения потенциал тяжести не является гармонической функцией, ибо

поэтому вне тела, ограниченного поверхностью

, будет иметь место равенство (5.24)

5.5 Пределы Пуанкаре и Крудели для угловой скорости вращения. Фигуры равновесия Поверхность фигуры равновесия определяется формулой

. Она

совпадает с поверхностью уровня. Потенциал тяжести на этой поверхности -постоянная величина. Однако, для того, чтобы это тело существовало, необходимо, чтобы сила тяжести была направлена внутрь этого тела. Иными словами, нормальная производная потенциала (силовой функции) должна быть отрицательна: . Применим формулу Остроградского (5.25)

Внутри тела потенциал притяжения не является гармонической функцией, ибо . Поэтому

. Перепишем формулу (5.25) в виде

где М -- масса планеты, а Т -- ее объем. Условие сохранение планет, как твердого тела -положительное значение силы тяжести, поэтому левая часть полученного равенства отрицательна. Следовательно

. Отсюда следует, что угловая скорость

планеты не может превосходить величины , где -- средняя плотность планеты. Это есть предел Пуанкаре для угловой скорости вращения планеты. Для Земли

,

, то есть предельный период

вращения для Земли составляет 4125 с=1,14 час. Предел Пуанкаре не гарантирует устойчивость покоя всех тел, лежащих на поверхности. Может так случиться, что

, но на отдельных участках

поверхности сила тяжести отрицательна, то есть направлена вверх! Устойчивость покоя тел будет обеспечена, если поверхность уровня, совпадающая с поверхность

планеты, будет всегда выпуклой. Для этого условия итальянский ученый Крудели для однородной планеты снизил предел для скорости вращения в

раз:

.

Период вращения Земли согласно пределу Крудели не должен быть меньше 1,61 часа.

Лекция 6. Нормальная Земля • • • •

6.1 Нормальный потенциал тяжести 6.2 Сфероид Клеро 6.3 Теорема Стокса 6.4 Гравитационный потенциал эллипсоида вращения

Термин нормальная Земля -- традиционный среди специалистов-геодезистов. Слово

нормальная применительно к силе тяжести, высоте и т.п. означает, что данный параметр является предсказуемым. Его можно вычислить по известным формулам. Нормальная Земля -- это тело отсчета для построения карт высот, глубин морей и т.д. Причем, это тело должно описываться достаточно простыми математическими формулами и, кроме того, достаточно хорошо аппроксимировать физическую поверхность планеты.

6.1 Нормальный потенциал тяжести Общепризнанно, что наиболее удобным геометрическим телом для модели Земли является общеземной эллипсоид (ОЗЭ) -- уровенный эллипсоид вращения. Его гравитационный потенциал (потенциал тяжести!)

называют нормальным

потенциалам. Условие для выбора параметров нормальной Земли: 1. Центр масс и ось вращения нормальной Земли совпадают соответственно с центром масс и осью вращения реальной Земли. 2. Угловая скорость вращения эллипсоида и реальной Земли совпадают. 3. Масса эллипсоида равна массе Земли. 4. Зональный коэффициент разложения потенциала второй степени реальной Земли равен соответствующему коэффициенту нормальной Земли. Обозначения параметров нормальной Земли мы будем отмечать верхним или нижним индексом "0".

Итак, потенциал тяжести реальной Земли имеет вид

(6.1)

где

-- средний экваториальный радиус Земли. Учитывая, что потенциал эллипсоида

вращения содержит только зональные гармоники можно записать (6.2)

Условие для выбора параметров нормальной Земли:

Эти четыре параметра подлежат уточнению, по мере накопления новых данных. Астрономо-геодезические

исследования

нуждаются

в

единой

системе

фундаментальных постоянных. Такая система обычно устанавливается на крупных международных собраниях ученых. На Генеральной Ассамблее Международного Астрономического Союза (МАС) в 1976 г принято

Несколько позже мы докажем замечательную теорему Стокса, которая утверждает, что, если известна поверхность планеты, являющаяся поверхностью уровня, которая охватывает все массы, известна также планетоцентрическая гравитационная постоянная

и угловая скорость вращения

, то гравитационное поле может

быть однозначно определено во внешнем пространстве. Число параметров, определяющих эллипсоид вращения равно двум (большая и малая полуоси). Следовательно всего нам нужно знать четыре параметра, остальные определяются через геоцентрическую гравитационную постоянную, угловую скорость вращения, большую полуось и сжатие планеты. В формулу (6.2) входят бесчисленное

множество параметров. Однако теория показывает, все стоксовы постоянные определяются через уже упомянутые четыре параметра. Поскольку последовательность

для гидростатически равновесных фигур

убывает достаточно быстро, часто в формуле (6.2) для нормального потенциала ограничиваются только первым членом суммы. Тогда нормальный потенциал тяжести принимает вид (6.3)

Отбрасывание малых членов в разложении потенциала приводит к тому, что поверхность

где

-- постоянная величина, уже перестает, строго

говоря, быть эллипсоидом. Такую поверхность, близкую к сфере, называют

сфероидом. Перепишем уравнение сфероида в следующем виде (6.4)

Введем обозначение

Поскольку

и

. Формула (6.4) теперь принимает вид

-- малые величины, уравнение сфероида можно представить так (6.5)

-- сжатие планеты. Пренебрегая величинами порядка где сфероида (6.4) можно упростить. Заметим, что

следовательно,

, уравнение

Сравнивая полученное выражение с (6.5), получим (6.6)

Таким образом, сжатие равновесной планеты зависит от стоксовой постоянной и безразмерной угловой скорости вращения

,

которая имеет простой физический смысл: это отношение центробежной силы на экваторе к величине, достаточно близкой к силе тяжести на экваторе. Такой гидростатически равновесный сфероид носит название сфероида Клеро, по имени французского математика, работавшего над теорией равновесных фигур планет. Сжатие для сфероида Клеро можно записать и так

где

-- среднее значение из двух экваториальных моментов инерции.

Четырьмя фундаментальными постоянными, в данном случае, являются . При выводе формулы для сжатия планеты мы не пользовались никакими гипотезами о ее строении. Клеро же рассматривал гидростатически равновесную модель, полагая, что массы распределены в виде тонких сфероидальных слоев. Им построена не только зависимость сжатия планеты от ее угловой скорости вращения, но и сжатии внутренних слоев. Показано, что эти сжатия уменьшаются по мере приближения к центру планеты. Остается определить закон изменения силы тяжести с широтой на сфероиде Клеро также с точностью до сжатия. Из формулы (6.3) следует Сила тяжести на экваторе

Сила тяжести на полюсе

иногда называют гравитационное сжатие. Из

Отношение

приведенных выше формул следует

6.2 Сфероид Клеро Эта теорема устанавливает связь геометрического и гравитационного сжатия с угловой скоростью вращения планеты. Из приведенных формул следует, что Заметим, что сумма геометрического и гравитационного сжатия в первом

приближении не зависит от второго гармонического коэффициента лишь от

,

и

, а зависит

.

6.3 Теорема Стокса Эта

теорема

доказывает

единственность

внешней

краевой

задачи

теории

потенциала. Другими словами, если некоторое тело равномерно вращается с известной угловой скоростью, его поверхность, являющаяся поверхностью уровня, которая охватывает всю массу, также известна, то потенциал тяжести и его первые производные будут однозначно определены как на поверхности

, так и во всем

внешнем пространстве. Теорема доказывается от противного. Предположим, что существует два различных потенциала тяжести значения

и

и

, которые принимают на поверхности

. Таким образом,

,

сверху означает, что значения функции относятся к поверхности

постоянные , где черта . Поскольку

потенциал тяжести есть сумма потенциала тяготения и центробежного потенциала, то

Обозначим

разность

гармоническая,

так

. как

потенциал

притяжения

--

Полученная

функция

гармоническая

функция,

удовлетворяющая во внешнем пространстве уравнению Лапласа. Применим первую формулу Грина (см. лекцию 3, раздел 3.1.2???) для случая, когда и

. Выберем, в качестве "тела" по которому нужно выполнить

интегрирование -- пространство, лежащее между поверхностью

и сферой

с

очень большим радиусом, так чтобы наша поверхность была целиком внутри сферы. Обозначим это пространство через

. Теперь первая формула Грина будет

выглядеть следующим образом (6.7)

Знак минус между интегралами в правой части полученной формулы означает лишь то, что внешняя нормаль для одной поверхности является внутренней для другой поверхности. Рассмотрим последний интеграл. Функция - постоянная величина, равная

на поверхности

-

, поэтому

Однако, поскольку функция Т является гармонической, интеграл по замкнутой поверхности от нормальной производной, согласно теореме о потоке (см. лекцию 3, раздел 3.2.2), равен нулю. Рассмотрим теперь второй интеграл в правой части выражения (6.7). Производная по нормали к сфере есть производная по радиус-вектору. Поскольку для очень большого радиуса исходное тело можно считать материальной точкой, то Аналогично

, где

-- постоянная величина. Отсюда следует

В левой части равенства (6.7) нужно положить гармоническая, поэтому это выражение принимает вид

, так как

-- функция

.

Поскольку подынтегральное выражение не может быть отрицательным ни при каких значениях координат, остается сделать вывод, что

-- постоянная величина во всем

внешнем пространстве. Но на сфере с бесконечно большим радиусом она равна нулю и в силу непрерывности она равна нулю и на поверхности

. Таким образом

T(x,y,z)=0 во всем внешнем пространстве, то есть

, что и

доказывает теорему.

6.4 Гравитационный потенциал эллипсоида вращения Рассмотрим случай, когда уровенная поверхность есть эллипсоид вращения. Уравнение этой поверхности в декартовых координатах имеет вид

Перейдем к гиперболической системе координат (см. лекцию 2, раздел 2.4)

Как мы видели, уравнение эллипсоида вращения с полуосями имеет вид

,

. Для определения потенциала притяжения на

поверхности уровенного эллипсоида

Итак, нам известен потенциал притяжения на поверхности эллипсоида. Требуется определить его во всем внешнем пространстве. Поскольку потенциал притяжения -гармоническая функция, она подчиняется дифференциальному уравнению Лапласа, которое можно написать в виде

где

-- коэффициенты Ламе. Определим их (6.8)

Вычислим отношения коэффициентов Ламе, стоящие в дифференциальном уравнении Лапласа (6.9)

Итак, уравнение Лапласа для функции

принимает вид (6.10)

Полученное дифференциальное уравнение линейно, поэтому будем искать решение в виде суммы гармонических функций. В силу осевой симметрии эллипсоида вращения и того, что граничные условия не зависят от переменной

-- аналога

долготы, то и решение уравнения не должно содержать этой переменной. Иными словами ищем решение в виде

-- постоянные, которые нужно определить из краевых условий, а где гармонические функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа

--

(6.11)

Как и в случае решения дифференциального уравнения для сферических функций, будем искать решение в виде произведения двух функций, каждая из которых является функцией одной переменной (6.12)

Подставим решение, заданное в виде (6.12) в уравнение (6.11) и поделим полученное уравнение на

:

Полученное уравнение справедливо при любых значениях независимых переменных. Это возможно лишь в том случае, когда обе части этого уравнения равны одной и той же постоянной. Обозначим эту постоянную через

. Получим два

дифференциальных уравнения (6.13)

Покажем, что первое из приведенных здесь уравнений при

есть

уравнение для полиномов Лежандра (см. лекцию 3, уравнения (3.24)-(3.26)), то есть (6.14)

Положим

,

, тогда вместо первого из уравнений (6.13) будем

иметь

или (6.15)

Уравнение (6.15) совпадает с уравнением для полиномов Лежандра (см. лекцию 3, формула (3.24)) Итак, решением уравнения Лапласа в гиперболической системе координат будет функция (6.16)

которая на поверхности эллипсоида принимает значения (6.17)

При выводе формулы (6.17) мы приняли во внимание, что

.

Сравнивая левую и правую части формулы (6.17) мы приходим к выводу, что

(6.18)

Итак, в формуле (6.16) для потенциала притяжения эллипсоида отличные от нуля только коэффициенты

и

, поэтому строгое выражение для потенциала в

гиперболических координатах можно записать в виде (6.19)

Остается определить функции функцию и при

и

. Как следует из уравнений (6.13),

можно определить, решив второе из названных уравнений при : (6.20)

Полученным дифференциальным уравнениям удовлетворяют функции

в чем можно убедится простой подстановкой в уравнения (6.20). Избавимся теперь от гиперболических функций, полученных нами при решении дифференциальных уравнений. Как мы уже говорили, переменная

определяет

семейство софокусных эллипсоидов. Возьмем некоторую точку на оси вращения

эллипсоида, находящуюся на расстоянии . Заменим переменную

от центра. Тогда для этой точки на

,

: (6.21)

Итак, потенциал притяжения в произвольной точке

вне эллипсоида имеет вид (6.22)

Коэффициенты

и

определим из краевого условия

Заметим, что

,

, после соответствующих

преобразований получим (6.23)

Формулы (6.22) и (6.23) определяют потенциал притяжения эллипсоидальным телом материальной точки, лежащей на поверхности софокусного эллипсоида

Зная координаты точки параметр

,

а

и полуоси эллипсоида

следовательно

и

малую

полуось

и

легко определить эллипсоида,

проходящего через заданную точку. Из приведенных формул видно, что потенциал притяжения содержит лишь четыре независимых параметра

и

. Эти четыре параметра абсолютно строго

определяют потенциал притяжения эллипсоидальным телом материальной точки, лежащей во вешнем пространстве, при любом распределении масс внутри тела лишь бы его поверхность оставалась поверхностью уровня.

6.4.1 Связь коэффициентов разложения потенциала притяжения с четырьмя фундаментальными постоянными Потенциал тела вращения при осевой симметрии распределения масс может быть представлен в виде разложения по зональным гармоникам. Дополнительное предположение о плоскости экватора как о плоскости симметрии приводит к тому, что это разложение будет представлено только четными зональными гармониками: (6.24)

Четность гармоник, возможно, не очевидна. Но обратимся к здравому смыслу. Если эллипсоид вращения -- симметричное относительно экватора тело, то и массы его должны

быть

распределены

симметрично.

В

противном

случае

возникнет

"грушевидность", что приведет к тому, что поверхность эллипсоида перестанет быть поверхностью уровня. Более корректные рассуждения проводятся с позиции теории фигур равновесия небесных тел, в которой существование экватора, как плоскости симметрии, доказано вполне строго. Формула (6.24) содержит бесконечное число параметров, хотя их должно быть только четыре. Отсюда следует, что коэффициенты

можно выразить через

другие фундаментальные постоянные. Не будем приводить здесь довольно громоздких выкладок, которые можно найти в книге Л.П.Пеллинена "Высшая геодезия" М., Недра, 1978. Там показано, что

где

и

соответственно первый и второй эксцентриситеты эллипсоида. Например,

Поскольку величина

-- малая порядка сжатия, то коэффициенты

гидростатически равновесного эллипсоида убывают с ростом функция

или

для

как степенная

. Отклонение от этого закона, которое часто можно

наблюдать на практике, говорит прежде всего о неравновесном состоянии планеты.

Лекция 7. Нормальное поле тяжести Земли • • • •

7.1 Формула Сомильяны 7.2 Нормальная сила тяжести 7.3 Вторые производные гравитационного потенциала 7.4 Вторые производные потенциала притяжения в околоземном пространстве

7.1 Формула Сомильяны Итальянский геодезист Сомильяна (Somigliana) в 1929 году получил точную формулу, показывающую распределение силы тяжести на уровенной поверхности эллипсоида вращения. Вопреки правилам русского языка эта формулa вошла в русскую литературу как формула Сомильяна, как если бы его фамилия была Сомильян. Мы будем склонять его фамилию, поэтому должны назвать его формулу именем Сомильяны. Как мы видели, потенциал притяжения эллипсоида в эллипсоидальных координатах имеет вид (формула (6.17)): Потенциал тяжести отличается тем, что аддитивно включает в себя центробежный потенциал

Таким образом (7.1)

Учитывая, что

, получим

где обозначено

Для того, чтобы получить силу тяжести на поверхности эллипсоида необходимо продифференцировать функцию

,

вдоль координатной линии

Элемент дуги в этом случае равен

, где

--

коэффициент Ламе, который, в данном случае, равен

Таким образом, производную потенциала тяжести по нормали к поверхности эллипсоида

можно записать так

где

, но

Очевидно, что

,

, поэтому

Теперь удельную силу тяжести на поверхности эллипсоида можно записать так (7.2)

Мы получили искомую формулу для удельной силы тяжести на поверхности уровенного эллипсоида. Однако нам необходимо избавиться от постоянных . Заметим, что точка

,

соответствует полюсу эллипсоида, а

и

точка

,

-- экватору. Будем снабжать обозначение для силы тяжести

соответственно индексами

и е. Из (7.2) получим

то есть Теперь формулу (7.2) можно переписать следующим образом (7.3)

Для того, чтобы получить формулу Сомильяны в окончательном виде, необходимо от эллипсоидальной системы координат перейти к геодезической. Сопоставим две системы координат для точек поверхности эллипсоида

где Поскольку

(см. лекцию 2, раздел 2.4). ( понятия долготы в геодезической и эллипсоидальной системах

координат совпадают), поэтому

Отсюда

Имеем очевидные выражения для связи

и

:

После несложных упрощений, окончательно получим формулу Сомильяны (7.4)

7.2 Нормальная сила тяжести В геодезии и геофизике основной характеристикой гравитационного поля являются

гравитационные аномалии, полученные как разность между наблюденным значением удельной силы тяжести и предвычисленным. Однако сравнивать эти значения можно только, в случае когда наблюденное и нормальное значения относятся к одной и той же точке пространства. В действительности же нормальную силу тяжести относят к общему земному эллипсоиду, а наблюденное -- к физической поверхности Земли. Такие аномалии в геодезии именуют смешанными аномалиями. Иногда наблюденное значение редуцируют, то есть вносят поправки, позволяющие вычислить значение силы тяжести в другой точке или на другой поверхности. При этом используют ту или иную гипотезу о строении верхних слоев Земли. В этом случае понятие гравитационные

аномалии

уточняют,

например

гравитационные аномалии в

редукции Фая или гравитационные аномалии в редукции Гленни. Итак, нормальное значение силы тяжести относят к общему земному эллипсоиду, которое можно вычислить по строгой формуле (7.4). Эта формула строгая лишь в том случае, когда поверхность эллипсоида есть поверхность уровня, чего в действительности нет. На практике в задачах геодезии и геофизики применяют приближенную формулу для нормальной силы тяжести. Причем численные значения коэффициентов, входящие в эту формулу, утверждают на Генеральной ассамблее Международного Союза геодезии и геофизики. Вернемся к формуле Сомильяны. Упростим ее, отбрасывая малые величины порядка и

куба сжатия. Введем в обращение понятия геометрического сжатия гравитационного сжатия

. Обе величины мы будем считать одного

порядка малости. В формуле Сомильяны мы должны заменить , а вместо

взять

величиной

:

Разлагая полученное выражение в степенной ряд относительно

и

, будем иметь

Поскольку

, полученная формула принимает вид

Итак, сила тяжести на поверхности эллипсоида вращения (уровенного) с точностью до малых второй степени относительно сжатия может быть представлена формулой (7.5)

численные значения коэффициентов

определяются эмпирически. На

Генеральной Ассамблее Международного Союза, состоявшейся в Москве в 1971 году рекомендованы следующие значения (сила тяжести -- в миллигалах)

7.3 Вторые производные гравитационного потенциала Гравитационный потенциал, а вернее силовая функция для удельной силы тяжести является непрерывной функцией. Принимающей единственное значение в каждой точке

пространства.

Поверхности

равного

потенциала

(эквипотенциальные

поверхности) как угодно плотно заполняют внешнее пространство, нигде не пересекаясь. Вектор силы тяжести в точке P направлен перпендикулярно к эквипотенциальной поверхности, проходящей через эту точку. Таким образом, гравитационный потенциал во внешнем пространстве образует силовое поле. Оно пронизано силовыми линиями, причем направление силы тяжести совпадает с касательной к силовой линии. Из сказанного следует, что силовые линии не могут пересекаться, так как в точке пересечения не может существовать два вектора силы тяжести. Вектор силы тяжести (удельной) можно записать следующим образом

-- орты, направленные соответственно вдоль осей PX, PY иPZ. Очевидно, что где составляющие вектора силы тяжести суть первые производные потенциала тяжести

В геодезической и геофизической практике рассматривают также и вторые производные гравитационного потенциала, которые отмечают двойными нижними индексами

Вторые производные потенциала можно изобразить в виде квадратной матрицы

Полученная матрица имеет 9 элементов, но не все они независимы. Совершенно очевидно, что , лапласиан, поэтому

,

. Кроме того, след этой матрицы есть (7.6)

Остается 5 независимых элементов этой матрицы, которая представляет собой

тензор вторых производных гравитационного потенциала. Рассуждения можно продолжить и дальше, образуя третьи производные, четвертые и т.д. Но уже третьи производные нельзя изобразить в виде матрицы: это будет куб размером 3х3, который на двухмерном листе бумаги изобразить трудно. Совершенно невозможно изобразить в виде геометрических фигур производные более высоких порядков. Это будут тензоры высоких валентностей. Эквипотенциальную

поверхность

в

окрестности

точки

можно

аппроксимировать плоскостью -- это будет касательная плоскость -- эллипсоидом, гиперболоидом и другими поверхностями второго порядка. В последнем случае уравнение этой поверхности будет иметь вид

(7.7)

Уравнение касательной плоскости получим, отбрасывая в (7.7) квадратичную форму (7.8)

где

. Величины

-- суть компоненты

, получим семейство плоскостей,

вектора силы тяжести. Изменяя постоянную параллельных той, что проходит через точку P.

Для упрощения выкладок, часто направление местной геодезической системы выбирают следующим образом: ось PX направляют на север, ось PY -- строго на восток, а ось PZ совпадает с вектором силы тяжести и направлена вертикально вниз. В

этом

.

случае

Уравнение(7.8)

. Обозначим приращение высоты буквой

принимает

вид

, получим формулу для

, которую часто называют формулой

вычисления приращения потенциала Брунса. Определим

кривизну

нормального

.

это

Решим

. Тогда радиус кривизны формулой

сечения

уравнение в точке

уровенной

относительно

переменной

:

по формуле Монжа определяется , где

-- угол, который образует ось

PX с плоскостью нормального сечения. В данной формуле буквами вторые производные

поверхности

обозначены

Наша поверхность уровня задана не разрешенной относительно вертикальной координаты. Поэтому нам нужно получить формулу для кривизны сечения поверхности,

заданной

в

неявном

виде.

Продифференцируем

по одной из координат, например по

зависимость

. Тогда

Дифференцируя второй раз, получим:

Но точка

есть точка касания, где

, поэтому

Используя обозначения Монжа, будем иметь образом, легко получим вид

,

. . Рассуждая аналогичным

. Теперь формула Монжа принимает (7.9)

Рассмотрим важные частные случаи:

•

Меридиональное сечение (A=0). Радиус кривизны:

. Кривизна:

(7.10)

• •

Сечение в первом вертикале (А=90°). Радиус кривизны:

. Кривизна:

(7.11)

•

Итак, вторые производные потенциала тяжести

определяют

кривизну (радиус кривизны) нормального сечения уровенной поверхности. Остается

выяснить физический или геометрический смысл еще трех вторых производных: . Поскольку

, то

Горизонтальную компоненту этого

градиента называют горизонтальным градиентом силы тяжести, а вертикальную компоненту -вертикальным градиентом силы тяжести. Выведем теперь формулу для вертикального градиента силы тяжести. Если точка внешняя, то справедливо уравнение

. Для внутренней точки уравнение

Лапласа для потенциала притяжения превращается в уравнение Пуассона, тогда . Перепишем равенство в наших обозначениях

Из формул (7.10) и (7.11) следует, что

,

, поэтому (7.12)

Мы видим, что для вычисления вертикального градиента силы тяжести необходимо знать радиусы кривизны нормальных сечений уровенной поверхности, плотность и угловую скорость вращения Земли. Наоборот, если нас интересует плотность пород, окружающих точку наблюдения, нужно измерить вертикальный градиент силы тяжести. Поэтому измерение вертикального градиента является очень важной задачей для целей гравитационной разведки. В заключении, приведем основные формулы для вторых производных нормального потенциала. Как мы видели, поверхностью уровня в этом случае является эллипсоид вращения.

Радиус

кривизны

меридионального

сечения

эллипсоида

равен

, а сечения в первом вертикале (7.13) Ограничиваясь малыми порядка сжатия, получим

(7.14)

где

нужно взять из нормальной формулы (7.5).

Заметим, что

-- достаточно малая величина. Основной . Легко видеть, что вторые

вклад в вертикальный градиент силы тяжести вносит

производные потенциала по горизонтальным координатам приблизительно в два раза меньше вертикального градиента силы тяжести и имеют противоположный знак. Для того, чтобы привести численные значения коэффициентов в формулу (7.14) необходимо договорится о единицах измерения. В геофизике принято градиент силы тяжести измерять в Этвешах, по имени венгерского ученого Лоранда Этвеша, который создал прибор для измерения вторых производных гравитационного потенциала. Установлено, что один Этвеш (1 Э) равен градиенту, соответствующему 0,0001 мГал/м или в метрической системе единиц

.

Прежде, чем привести численные значения, сделаем еще одно замечание. Со времени Этвеша основным инструментом для измерения вторых производных потенциала тяжести служит коромысло, на концах которого закреплены на разной высоте массы. Ось вращения коромысла -- вертикальна. Неоднородность поля тяжести создает момент, вращающий коромысло, который уравновешивается моментом упругой силы. Не останавливаясь на подробностях ( это не предмет обсуждения для нашего курса) укажем лишь, что с этим прибором можно получить четыре параметра гравитационного поля

,

,

,

.

Приведем численные значения, согласованные с нормальной формулой для силы тяжести (см. Шокин П.Ф., "Гравиметрия" Геодезиздат, 1960) (7.15)

При измерении элементов гравитационного поля в космическом пространстве серьезной помехой является невесомость: пробное тело не взаимодействует с

опорой и сила, которая действует на пробное тело, не может быть измерена. Однако невесомость, строго говоря, имеет место только в одной точке космического аппарата: в центре масс. Если пробные тела разместить в разных точках космического аппарата, то гравитационные силы будут действовать по-разному. Дифференциальные измерения положения этих пробных тел позволяет получить вторые производные гравитационного потенциала.

7.4 Вторые производные потенциала притяжения в околоземном пространстве Как мы уже говорили, главным препятствием для измерения силы тяжести на борту космического аппарата служит невесомость. Однако существует принципиальная возможность измерять элементы тензора вторых производных потенциала. есть точка, совпадающая с центром масс космического аппарата.

Пусть точка

Выберем прямоугольную систему координат, связанную с космическим аппаратом (сопровождающий трехгранник). Начало этой системы координат возьмем в точке

.

Направления осей выберем следующим образом: ось Px направим по касательной к меридиану, проходящему через точку

, ось Py -- на восток, а ось Pz -- в начало

сферической системы координат, то есть в центр Земли. Пусть точки

,

и

-- радиус-вектор

-- соответственно геоцентрическая широта и долгота этой точки.

Тогда потенциал притяжения в этой точке будет равен (7.16)

Здесь

и

-- стоксовы постоянные. В данном случае мы центробежный член

не учитываем, так как речь идет о потенциале гравитационного притяжения, а не тяжести. Элементарные приращения декартовых координат, очевидно будут (7.17)

Первые производные гравитационного потенциала по осям сопровождающего трехгранника можно записать в виде дифференциального оператора (7.18) Обозначим

теперь формулу (7.16) можно переписать так (7.19)

Подставляя полученную формулу в (7.18), будем иметь компоненты градиента потенциала притяжения на расстоянии

от центра Земли

(7.20)

Чтобы получить вторые производные потенциала притяжения, необходимо каждую из компонент силы притяжения продифференцировать по трем координатным осям. При вычислении вторых производных нельзя пользоваться формулами линейной связи элементарных приращений координат (7.17), как мы это делали при вычислении первых производных. Самый очевидный путь (но не самый легкий!) -прямое дифференцирование функции

как неявную функцию переменных

. Однако он связан с громоздкими выкладками. Наша цель -- показать как изменяются вторые производные потенциала с увеличением расстояния до спутника. Поэтому ограничимся лишь второй радиальной производной потенциала. Силовая линия для этой координаты -- прямая

линия, поэтому учитывать ее кривизну не требуется. Дифференцируя потенциал, заданный формулой (7.19), по координате

, получим (7.21)

Мы видим, что после дифференцирования каждый член разложения потенциала Таким образом,

приобретает коэффициент, растущий с увеличением степени как множитель

указывает, что с повышением "частоты" увеличивается и

множитель, точно так же, как и при спектральном разложении функции времени. Таким образом, дифференцирующий эффект увеличивает "верхние" гармоники разложения потенциала. Однако, одновременно с этим эффектом существует и "интегрирующий" эффект: с множитель

увеличением расстояния

уменьшает амплитуду гармоники.

Поэтому возникает вопрос, какие гармоники и на какой высоте следует определять при планировании космического эксперимента. Английский ученый Каула экспериментально показал, что амплитуды сферических гармоник потенциала убывают с возрастанием степени

как

. С другой стороны

амплитуды гармоник второй производной потенциала увеличиваются как

.

Следовательно гармоники вторых производных в широком диапазоне частот имеют характер "белого шума". Но с увеличением высоты благодаря интегральному эффекту верхний диапазон частот оказывается подавленным. Выполним

простейший

расчет

"частотной

характеристики"

преобразования

сферических гармоник потенциала в гармоники радиальной второй производной на высоте Пусть

. , где

-- высота полета спутника над планетой. В качестве

характеристики подавления гармоники степени

Приведем таблицу значений

, очевидно, можно принять

при различных высотах и степеней гармоник.

h

200 км 500 км 1000 км 5000 км

n 2

0.86

0.68

0.48

0.055

4

0.80

0.59

0.36

0.017

6

0.76

0.51

0.27

0.005

8

0.71

0.44

0.20

-

10

0.67

0.37

0.15

-

20

0.49

0.18

0.035

-

50

0.19

0.018

--

-

--

--

-

100 0.041

Таблица показывает, что для выполнения задачи измерения вторых производных годятся лишь очень низкие спутники. Причем на высоте 200 км от гармоник степени и порядка 100 остается лишь около 4%. Это означает, что если на поверхности Земли нас может удовлетворить точность 1% от амплитуды аномалий градиента, то в космических условиях мы будем вынуждены требовать точность на два порядка выше. Следовательно, в качестве приемлемой точности измерения мы должны планировать чувствительность приборов не менее 0,001Э, что эквивалентно градиенту

мГал/м

g/м. Такой высокой чувствительности в земных

условиях вряд ли можно достигнуть. Однако в космосе, в условиях глубокого вакуума и сверхнизких температурах надежда на успех остается.

Лекция 8. Определение фигуры геоида • • • • • •

8.1 Возмущающий потенциал 8.2 Краевая задача Дирихле для сферы 8.3 Краевые задачи Неймана 8.4 Смешанная краевая задача 8.5 Определение высот геоида 8.6 Определение уклонений отвеса

8.1 Возмущающий потенциал Среди специалистов по высей геодезии широко применяется термин возмущающий

потенциал, как разность между реальным и нормальным потенциалами в одной

точке. Нельзя сказать, что термин удачен. В небесной механике часто употребляется термин

возмущающие

силы,

возмущающая

силовая

функция,

возмущения.

Возникает вопрос, что именно возмущает данная сила? Для небесной механики ответ ясен -- закон движения тела, делает его отличным от кеплеровского, невозмущенного. Правда, терминология московской и петербургской школ небесных механиков различаются. Москвичи говорят функция возмущающая, а петербуржцы -пертурбационная. Так что же "возмущает" возмущающий потенциал? Ответ -- ничего. По-видимому прав австрийский геодезист Г.Мориц, который предлагает ввести термин аномалия потенциала. Говорим же мы аномалия силы тяжести, имея в виду разность реальной и нормальной силы тяжести! Но отдавая дань традиции, мы будем употреблять термин возмущающий потенциал именно как разность реального и нормального потенциалов тяжести или притяжения взятых в одной и той же точке. Возьмем точку , где

на поверхности геоида -- уровенной поверхности -- с координатами геодезическая высота точки (расстояние от уровенной поверхности

до эллипсоида) Другими словами это высота геоида в точке координаты --

и

. Две другие

соответственно геодезические широта и долгота (см. лекцию 2,

раздел 2.3). На поверхности эллипсоида точку с такими же значениями широты и долготы будем обозначать буквой Сила тяжести в точке

. Понятно, что высота этой точки равна нулю.

:

Нормальная сила тяжести в точке

:

Разность абсолютных значений этих векторов определяет смешанную

гравитационную аномалию. Возмущающий потенциал в точке

Однако, поскольку

(на эллипсоиде) равен

, получим

(8.1)

Определим смешанную аномалию (8.2)

В первом слагаемом мы дифференцируем потенциал по внешней нормали к геоиду, а во втором -- к эллипсоиду. Эти два направления, вообще говоря, не совпадают. Правда, отличие не велико и ошибка составляет всего

, то есть

величину порядка квадрата отклонения отвесной линии. Это существенно меньше квадрата сжатия, поэтому в нашем приближении можно не делать различия в направлениях отвесной линии и нормали к эллипсоиду. "Опустим" значение силы тяжести из точки

в точку

, применяя формулы

линейного приближения (8.3)

Вертикальный градиент силы тяжести, как мы видели (см. лекцию 7, уравнение (7.12)), зависит от радиусов кривизны нормальных сечений и угловой скорости вращения Земли (8.4)

Пренебрегая малыми порядка поскольку

, можно пренебречь и членом

также малая величина (сравнению с

. Кроме того,

), можно не учитывать различия

между радиусами кривизны меридионального сечения и сечения в первом вертикале. После упрощений, формула (8.3) принимает вид (8.5)

Теперь смешанную аномалию можно записать так

Разность

есть возмущающий потенциал в точке

очередь, связан с высотой геоида

, а тот, в свою

формулой (8.1). Заменяя в этой формуле

реальное значение силы тяжести на нормальное, получим

. Теперь

смешанную аномалию можно выразить через возмущающий потенциал следующим образом (8.6)

Итак, задача определения фигуры геоида (поверхности уровня относительно эллипсоида) сводится к определению гармонической функции Т -- возмущающего потенциала, который линейно связан с высотой геоида. Проблема интегрирования уравнения Лапласа, при условии, что на заданной поверхности искомая функция подчиняется

некоторому

условию,

которое

называют

краевым

условием,

принадлежит к большому классу краевых задач, с некоторыми из них мы и познакомимся.

8.2 Краевая задача Дирихле для сферы Попытаемся решить следующую задачу. Дано дифференциальное уравнение Лапласа, определяющее функцию ограниченной замкнутой поверхностью области, то есть на поверхности

, гармоническую в некоторой области, . Все значения этой функции на границе

, известны. Из всех решений уравнения Лапласа

требуется выбрать только те, которые удовлетворяют краевому условию. Решение этой задачи существенным образом зависит от вида граничной поверхности. Покажем, как она решается, если заданная поверхность -- сфера. В данной формулировке имеем дело с внутренней проблемой Дирихле. Иногда требуется определить гармоническую функцию вне граничной поверхности. Тогда это внешняя проблема Дирихле.

8.2.1 Внутренняя проблема Дирихле Допустим, что искомая функция

задана на поверхности сферы

. Разложим функцию

Внутренняя проблема Дирихле Искомым решением будет

значениями

в ряд Лапласа:

Внешняя проблема Дирихле Решение уравнения Лапласа задают в виде суммы шаровых функций второго рода

(8.7)

(8.8) Эта функция также:

так как: 1. удовлетворяет уравнению Лапласа, как шаровая функция первого рода; 2. на сферической поверхности радиуса

она равна

.

1. удовлетворяет уравнению Лапласа как шаровая функция второго рода; 2. на поверхности она равна 3. на бесконечности стремится к

;

нулю как , что говорит о ее регулярности на бесконечности.

8.3 Краевые задачи Неймана На поверхности иногда заданы не значения функции, а ее нормальные производные. Тогда это задача Неймана, которая также может быть и внутренней и внешней. Краевое условие в этом случае имеет вид

Для сферы имеет место равенство записать так:

, поэтому краевое условие можно

(8.9)

где

-- функция Лапласа.

Поскольку

, для выполнения теоремы Гаусса для

гармонических функций о потоке необходимо, чтобы выполнялось условие

,

.

что эквивалентно условию Внутренняя проблема Неймана

Внешняя проблема Неймана

Нетрудно убедиться, что решением внутренней проблемы Неймана будет

Эту проблему на сфере решает функция

(8.10)

(8.11)

В справедливости этого утверждения предлагаем Действительно, эта функция гармоническая, так как состоит из суммы убедить самостоятельно. шаровых функций первого рода, а подстановка ее в краевое условие (8.9) убеждает нас, что оно выполняется.

8.4 Смешанная краевая задача Эта задача, как и две предыдущие может быть и внутренняя, и внешняя. Рассмотрим вариант внешней смешанной краевой задачи, имеющей отношение к теории фигуры Земли. Краевым условием в этом случае будет линейная комбинация самой искомой функции и ее нормальной производной на граничной поверхности (8.12)

Снова решение будем искать в виде разложения по сферическим функциям

-- сферическая функция, подлежащая определению. Подставим это выражение в где краевое условие (8.12):

Приравнивая сферические функции одинаковых степеней почленно, получим

Следовательно, решением внешней смешанной краевой задачи будет (8.13)

8.5 Определение высот геоида Мы убедились в том, что возмущающий потенциал является гармонической функцией и на сфере выполняется краевой условие (8.6). Это типичная внешняя смешанная краевая задача. Чтобы ее решить, нужно представить смешанную гравитационную аномалию рядом Лапласа

где (8.14)

где -- сферическое расстояние между точкой и элементом сферической поверхности . Представим теперь правую часть уравнения (8.6), задающее краевое условие. Для

возмущающего потенциала справедливо разложение

, где

В классическом решении данной задачи, получившей название задачи Стокса, предполагается, что масса эллипсоида равна массе реальной Земли, то есть , а начало координат совпадает с центром масс планеты Отсюда следует, что разложение возмущающего потенциала начинается с

:

Пренебрегая квадратом сжатия, мы снова дифференцирование по нормали заменим дифференцированием по радиус-вектору

Следовательно

Заметим, что при

, должно быть

а при

Итак, для того, чтобы решение задачи Стокса существовало необходимо, чтобы среднее значение смешанных гравитационных аномалий равнялось нулю и, кроме того, должен равняться нулю интеграл потенциала принимает вид

. Теперь решение краевой задачи для возмущающего

(8.15)

Подставим сюда интегральную форму (8.14) для функций Лапласа: (8.16)

Поскольку интегрирование ведется по сфере радиуса полагали

в формуле (8.16) мы

. Введем обозначение (8.17)

и решение задачи Стокса принимает окончательный вид (8.18)

Функцию

часто называют функцией Стокса. В (8.17) она задана в виде

разложения по степеням полиномов Лежандра от косинуса центрального расстояния . Ее "компактный" вид следующий

Легко видеть, что точка

-- особая. Здесь функция Стокса обращается в

бесконечность, тем не менее интеграл (8.18) сходится, но при выполнении двух указанных

выше

условий,

которым

должны

удовлетворять

гравитационные

аномалии. Используя формулу (8.1), которую часто называют формулой Брунса, из возмущающего потенциала легко получить высоты геоида (8.19)

8.6 Определение уклонений отвеса Отвесная линия (вертикаль) совпадает с направление вектора силы тяжести g. Она является нормалью к уровенной поверхности. С другой стороны нормаль к эллипсоиду совпадает с направлением вектора нормальной силы тяжести. Эти две нормали не совпадают. Между ними образуется угол, который геодезисты называют

уклонением отвеса. Не будет ошибкой сказать и отклонение отвесной линии. Правда возникает вопрос отклонение от чего? Чтобы таких вопросов не возникало, мы будем употреблять геодезический термин. Две упомянутые нормали, продолженные вверх, пересекаются с воображаемой небесной сферой в точках, одна из которых будет астрономическим зенитом (или просто зенитом), а другая -- геодезическим. Понятно, что и плоскости горизонта астрономического и геодезического не совпадают. Договорились считать уклонения отвеса положительным, если зенит смещается в северном или восточном направлении. Обратимся к локальной геодезической системе координат с началом в пункте наблюдений (точка

). Горизонтальные оси PX и PY, как мы знаем из лекции 7,

лежат в плоскости, перпендикулярной к нормали к эллипсоиду. Одна из них направлена на север, другая -- на восток. Ось PZ направлена вниз по внутренней нормали к эллипсоиду. Нетрудно понять, что при положительных "горизонтальных" компонентах вектора силы тяжести обе компоненты уклонения отвеса будут отрицательны. Поэтому компоненты уклонения отвеса в плоскости меридиана и первого вертикала соответственно определяют следующим образом (8.20) Из приведенных формул видно, что обе компоненты -- безразмерные величины, хотя на практике они измеряются в угловых единицах. Дело в том, что уклонения отвеса на Земле составляют секунды дуги, поэтому вместо тригонометрических формул, связывающих уклонения отвеса с компонентами вектора силы тяжести, мы взяли простое отношение. С другой стороны

поэтому (8.21)

Ранее мы видели, что

, поэтому (8.22)

Формула (8.19) позволяет вычислить высоты геоида, если на поверхности Земли заданы смешанные гравитационные аномалии. Принципиально не имеет значения, в каких координатах заданы эти аномалии и в каких координатах практически ведется интегрирование. Мы для этих целей будем применять геодезические координаты

и

. Перепишем формулу (8.19)

Интегрирование будем выполнять на сфере, а не на эллипсоиде. При этом можно ожидать погрешность в определении высот геоида порядка сжатия. Пренебрегая этими погрешностями, определим элементарные приращения для осей PX и PY

поэтому (8.23)

Теперь нужно вычислить производные

и

. Для этого обратимся к

формулам сферической тригонометрии. Рассмотрим сферический треугольник, который образуют дуги, соединяющие три точки на сфере: точку -- полюс, и точку

, в которой мы хотим определить уклонение отвеса, точку

-- текущую точку на поверхности сферы, где расположен элемент

поверхности. Дуга PN равна 90-- азимуту текущей точки при полюсе

, а дуга QN равна 90-

. Угол при точке

равен

Дуга РР' равна аргументу функции Стокса --

. Угол

равен разности долгот точки

и точки

, то есть

. Используя

формулы сферической тригонометрии, несложно получить производные угла и по

по

, входящие в формулы (8.23)

Подставим полученные выражения в (8.23), получим

Запишем приведенный интеграл в виде двукратного интеграла. Элемент сферы , причем переменная

равен -- от 0 до

изменяется от 0 до

, а переменная

. Получим (8.24)

Эти формулы носят имя голландского ученого Венинг-Мейнеса. Как и в формулу Стокса, определяющей высоту геоида точка

является устранимой особой

точкой. На практике используют более сложные методики для вычисления уклонений отвеса с использованием и гравиметрических и геодезических данных.

Лекция 9. Квазигеоид Молоденского • • •

9.1 Критика классической теории Стокса 9.2 Система высот 9.3 Краевые условия задачи Молоденского

9.1 Критика классической теории Стокса Применение формулы Стокса для определения высот геоида относительно общего земного эллипсоида наталкивается на серьезные трудности. Во-первых, для интегрирования необходимо, чтобы гравитационные аномалии были известны по всей поверхности Земли, более двух третей которой покрыта морями и океанами.

Измерение силы тяжести на поверхности океанов стало возможно лишь в ХХ столетии. В 1922-1929 годы голландский ученый Ф.А.Венинг-Мейнес работал над созданием аппаратуры для измерения силы тяжести на подвижном основании. Наконец, в 1929 году им был создан окончательный вариант маятникового прибора с которым ВенингМейнес совершил плавание на подводной лодке в акваторию юго-восточной Азии, где в то время у Голландии были колонии. Точность гравиметрической съемки ученый оценил в 3-4 мГал, что было достаточно для изучения состояния земной коры в том регионе. На основании этих данных предложил новую теорию изостазии. Уже в 1930 году заведующий кафедрой гравиметрии механико-математического факультета МГУ профессор Л.В.Сорокин совершил первое плавание в Черном море также на подводной лодке с оригинальной аппаратурой, изготовленной в мастерских ГАИШ. В 1954 году силами института ВНИИГеофизика был создан первый в мире морской гравиметр, а в 1955 году прошел морские испытания на подводной лодке во время плавания вокруг Новой Земли. Результаты убедительно показали, что точность гравиметра не уступает точности маятникового прибора, требует гораздо более

простой

обработки

наблюдений.

Маятниковые

приборы

наземной

гравиметрии, как известно, были вытеснены гравиметрами, то же произошло и с морскими

приборами.

Морские

гравиметры

сейчас

являются

основными

инструментами морской гравиметрии. Все меньше и меньше остается "белых" пятен на Земле, где сила тяжести неизвестна Вторая проблема -- более серьезная. Теория Стокса требует, чтобы все массы лежали под уровенной поверхностью, называемой геоидом. Кроме того, измерения силы тяжести выполняются на физической поверхности, не совпадающей с геоидом. Задача состоит в том, чтобы в измеренной значение внести такие поправки, которые бы перенесли все массы под уровень моря, не изменяя самой уровенной поверхности, а сила тяжести оказалась бы отнесенной к уровню моря (геоиду). Эта проблема широко обсуждалась в научной литературе и получила название проблемы

регуляризации Земли. Оказалось, что для успешного решения проблемы регуляризации необходимо знать внутреннее строение Земли. В научный спор о том, как решать проблему регуляризации, в 50-х годах вмешался М.С.Молоденский, который доказал, что

различные варианты решения практически эквивалентны, но они не решают задачу вполне строго. Он предложил строгое решение задачи определения фигуры Земли. При этом определяются высоты не поверхности, которую мы называем геоидом, а другой поверхности, достаточно близкой к геоиду, которую он назвал квазигеоидом. М.С. Молоденский разработал теорию построения квазиеоида, предложил алгоритмы приближенного решения проблемы. Во-первых, редукция (перенос) силы тяжести или потенциала выполняется в линейном приближении. Во-вторых, хотя все измерения и редукции относятся к физической поверхности или к эллипсоиду, интегрирование малых

функций,

где

это

требуется,

выполняется

по

сфере

(сферическое

приближение). Молоденского. Конечно, теория Молоденского не окончательная. Она постоянно совершенствуется его учениками. В Советском Союзе возникла школа Молоденского, которая широко известна не только у нас, но и за рубежом.

9.2 Система высот Определить фигуру какой-либо поверхности -- это значит определить расстояния каждой точки этой поверхности до тела отсчета, за которое берется эллипсоид вращения. Эти расстояния обычно называют геодезическими высотами. Понятие высоты,

на

первый

взгляд,

не

требует

уточнения.

Однако

это

не

так.

М.С.Молоденский разработал целую систему высот для геодезии. Допустим, что имеем две точки

и

, причем точка

выше точки

. Если

соединить эти точки каналом и пустить воду, куда она потечет? Кажется вполне естественным ответ: из точки

к точке

. Однако это не совсем так. Весь вопрос в

том, как проходит уровенная поверхность через эти точки. Если обе точки лежат на одной уровенной поверхности, то вода никуда не потечет. Если уровенная поверхность, проходящая через точку точки

окажется под уровенной поверхностью

, то будет наблюдаться обратная картина: вода потечет от точки

к точке

. Таким образом, для гидротехнических сооружений система геодезических высот оказывается непригодной. В геодезии высоты определяют нивелированием. Нивелир -- это оптическая труба, визирная линия которой устанавливается строго горизонтально с помощью достаточно высоко чувствительного уровня. Чтобы определить превышение одной

точки над другой, в этих точках устанавливаются специальные вертикальные рейки. С помощью нивелира с каждой рейки поочередно берут отсчеты, тогда разность этих отсчетов есть нивелирное превышение одной точки над другой.

Нивелирный ход от точки

, расположенной, например, на уровне моря, к точке

даст измеренную высоту точки

над уровнем моря

, где

нивелирное превышение одного звена. Если нивелирный ход имеет много звеньев,

.

то сумму можно заменить интегралом Вычислим разность потенциалов меду точками

и

. (9.1)

Таким образом, для определения разности потенциалов нужно иметь нивелирные превышения и силу тяжести вдоль всего профиля. Введем в рассмотрение еще одну точку. Через точку

проходит силовая линия,

которую можно продолжить до поверхности геоида (уровень моря). Она пересечется с этой поверхностью в токе textitР'. Таким образом точки

и Р' лежат на одной

поверхности уровня (на геоиде) Поскольку результат определения разности потенциалов не зависит от пути интегрирования, выберем такой маршрут О-Р'-Р. Приращение потенциала мы получим лишь на отрезке силовой линии Р'-Р:

. При движении по силовой линии сила тяжести непрерывно меняется. Согласно теореме о среднем, в курсе математического анализа, можно найти такое значение подынтегральной функции, которое она принимает внутри интервала интегрирования, которым можно заменить подынтегральное выражение

Отрезок силовой линии РР' называется ортометрической высотой точки уровнем моря (то есть над геоидом). Итак

над

(9.2)

Чтобы вычислить ортометрическую высоту, необходимо знать не только приращение потенциала, но и уметь вычислить среднее значение силы тяжести на отрезке силовой линии, а для этого необходимо знать как меняется сила тяжести на этом отрезке внутри Земли. М.С.Молоденский предложил заменить

на среднее

значение нормально силы тяжести. Высоту, которую мы таким образом получим он назвал нормальной. Такая замена неизбежно внесет погрешность, которая, впрочем, невелика. Согласно определению, нормальная высота может быть определена по формуле (9.3)

Поскольку ортометрическая высота есть высота точки над уровнем моря, то мало отличающаяся от нее нормальная высота будет равна высоте точки от поверхности мало отличающейся от геоида. Молоденский назвал эту поверхность квазигеоидом. Отличие истинной (геодезической)

высоты от нормальной уместно назвать

аномалией высоты. Это понятие также ввел Молоденский. Итак, аномалия высоты есть (9.4) Аномалия высоты есть расстояние квазигеоида от эллипсоида, или равна высоте

почтигеоида. Очевидно, что

. В классическом понимании, определить фигуру

Земли -- это значит определить высоты геоида

. Однако, мы не сделаем большой

погрешности, если будем считать фигурой Земли -- фигуру квазигеоида, а для этого мы должны определить аномалии высот. Сведем задачу снова к краевой задаче для гармонических функций. Следовательно, аномалию высоты нужно определить через возмущающий потенциал (см лекцию 8, раздел 8.1). Итак, имеем:

•

потенциал тяжести в точке от уровня моря (точка );

•

нормальный потенциал в точке

Таким образом, точка

равен

, С -- приращение потенциала

, равный

не совпадает с точкой

. , так как она подбирается так,

чтобы приращение потенциала реального и нормального были одинаковыми

Здесь постоянные

и

означают следующее: первая постоянная есть величина

потенциала тяжести на геоиде, а вторая -- величина нормального потенциала на уровенном эллипсоиде. Нетрудно убедиться, что отрезок высоты

равен аномалие

. Следовательно

.

поэтому

, поэтому

С другой стороны

Отсюда следует (9.5)

Мы получили вновь формулу Брунса, однако она отличается тем, что содержит дополнительный член

, который в "классической" формуле отсутствует. В

теории Стокса предполагается, что обе эти постоянные равны: потенциал тяжести на уровне моря равен потенциалу уровенного эллипсоида. Другое отличие: нормальная сила тяжести задается не на геоиде, а в некоторой точке

отстоящей от текущей токи на физической поверхности на величину,

равную аномалии высоты. Геометрическое место всех точек

называется

теллуроидом. Гравитационные аномалии, как и прежде, относятся к разным точкам: наблюденное значение задано на физической поверхности, а нормальное -- на теллуроиде. В

литературе,

встречаются

посвященной

и

другие

исследованию

определения

гравитационных

понятия

теллуроида,

полей как

планет,

поверхности

аппроксимирующую форму Земли.

Теллуроид

Марусси

определяется

следующим

образом.

Теллуроид

--

геометрическое место точек, в которых потенциал тяжести совпадает с нормальным .

Теллуроид Крарупа (гравиметрический теллуроид) -- геометрическое место точек, в котором нормальная сила тяжести совпадает с силой тяжести на поверхности Земли . Каждое из определений теллуроида требует своего подхода для определения его фигуры. Мы остановимся здесь лишь на теллуроиде и квазигеоиде Молоденского.

9.3 Краевые условия задачи Молоденского В точке тяжести

на физической поверхности Земли нам известно значение потенциала , а в точке

на теллуроиде -- значение нормального потенциала

. Используя векторно-матричную математику запишем основные соотношения, связывающие возмущающий потенциал

разность потенциалов

, так называемую аномалию потенциала, аномалию высоты и смешанную аномалию силы тяжести Нетрудно видеть, что на теллуроиде Молоденского Марусси

, а на теллуроиде Крарупа

. , на теллуроиде . В общем случае имеем (9.6)

Тогда

или (9.7)

Аналогично получим смешанную аномалию (9.8) но градиент вектора g есть градиент всех его составляющих, что дает матрицу-тензор. Обозначим поэтому

Заметим, что разность

, есть так называемая

"чистая" аномалия, равна градиенту возмущающего потенциала

, поэтому

вместо (9.8) можно записать (9.9) Итак, мы получили два уравнения, которые на физической поверхности Земли можно взять в качестве краевых условий (9.10)

Первая из приведенных формул есть обобщение формулы Брунса, связывающей возмущающий потенциал с высотой квазигеоида. Из этих двух уравнений можно построить одно, если исключить аномалию высоты уравнений. Предполагая, что матрица

. Решим второе из приведенных

неособая, получим

.

Подставим найденное решение в первое уравнение. Заметим, что (9.11) Подставляя полученное выражение в первое уравнение из (9.10), будем иметь

Для упрощения записи, введем обозначение

. Теперь краевое условие

обобщенной задачи Молоденского принимает вид (9.12)

9.3.1 Частный случай: измерения выполнены на уровенной поверхности Рассмотрим случай, когда аномалия потенциала -- постоянная величина. Другими словами точка

, как и в задаче Стокса, находится на поверхности уровня. Тогда . Выберем локальную систему отсчета с началом в точке

направим на север, ось

-- на восток, а ось

. Ось

-- по направлению

внутренней нормали к эллипсоиду вниз. Тогда вектор аномалии высоты может быть определен матрицей-строкой

Градиенты нормального потенциала в точках

и

равны

Матрица вторых производных нормального потенциала

Первое из уравнений (9.10) для краевых условий дает

то есть Следовательно,

(9.13)

Второе уравнение из (9.10) выглядит следующим образом (9.14)

Первые два уравнения дают уклонения отвеса (9.15)

где

=206265 -- число секунд в радиане. Последний член в скобках формул (9.15)

дает очень малый вклад и может быть отброшен. Действительно, мы видели, что для нормальной силы тяжести максимальное значение горизонтального градиента равно 0,000811 мГал/м. При

=100 м, что бывает очень редко, величина

составит

0,081 мГал и внесет погрешность в уклонение отвеса 0,017", тогда как уклонения отвеса достигают несколько секунд дуги. Третье уравнение имеет вид

. Подставив сюда величину

из (9.13) получим краевое условие для смешанных аномалий (9.16)

Мы получили, таким образом, краевое условие почти совпадающее с краевым условием Стокса. Задача определения фигуры Земли сводится к построению решения уравнения Лапласа, которое удовлетворяет краевому условию (9.16) или, в общем случае, условию (9.12). Способы решения этой задачи заслуживают специального изучения, но выходят за пределы нашего курса.