Дифференциальные уравнения. Ряды: Учебное пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РЯЗАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ РАДИОТЕХНИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ

С. В. БОГАТОВА К. В. БУХЕНСКИЙ Г. С. ЛУКЬЯНОВА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ

Рязань 2009

3

Предисловие Учебное пособие содержит упрощенное изложение разделов общего курса «Высшая математика»: дифференциальные уравнения и ряды. Его можно использовать как конспект лекций при подготовке к экзамену и как задачник по указанным темам. В теоретический материал пособия включены все основные понятия и теоремы, приведены доказательства важных теорем. Подробно рассмотрены алгоритмы решения задач, содержатся примеры. Уровень изложения материала позволит студенту, впервые встретившемуся с данными разделами математики, изучить темы самостоятельно. Проконтролировать свои знания студент сможет с помощью задач для самостоятельной работы, содержащихся в пособии. Работа содержит разделы и задачи повышенной сложности, которые в тексте отмечены звёздочками. Учебное пособие предназначено для студентов заочного отделения и студентов, обучающихся по ускоренной программе.

4 1. Дифференциальные уравнения 1.1. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения Пусть некоторое явление количественно описывается функцией y = f (x ) . Часто мы не можем непосредственно установить характер зависимости между величинами x и y, а известны лишь производные y′ , y′′ ,…, y (n ) . Пример 1.1. Имеется q 0 грамм радия. Скорость распада радия прямо пропорциональна его количеству. Найти количество радия, оставшегося в момент времени t. Решение. Обозначим через q (t ) количество радия в момент времени t, t ≥ 0 . Тогда скорость распада равна вию

dq(t ) . По услоdt

dq(t ) = − kq(t ) , где k – коэффициент пропорциональности. dt

Получили уравнение

dq(t ) + kq(t ) = 0 , dt

(1.1)

которое связывает неизвестную функцию q (t ) и ее производ-

ную. Задача состоит в нахождении функции q (t ) , являющейся решением уравнения (1.1) и удовлетворяющей условию

q(0 ) = q 0 .

Пример 1.2. На упругой пружине подвешен груз массой m. Груз выведен из состояния равновесия в вертикальном направлении. Описать закон движения груза. Решение. Введем систему координат Oxyz, связанную с грузом (рис. 1.1). Обозначим через x (t ) положение груза в момент времени t, координаты y и z не меняют-

5 ся. Известно, что равнодействующая всех сил, действующих на материальную точку, равна силе инерции, т.е.

r r r r r P + Fупр + Fсопр + Fвн = Fин , r r r где P – вес, Fупр – сила упругости, Fсопр – сила сопротивления, r r Fвн – внешняя сила, Fин – сила инерции. Спроецировав векторное уравнение на ось Ox, получим

(

)

r r r r r Пр Ox P + Fупр + Fсопр + Fвн = Пр Ox Fин . Так как

(

)

r r Пр Ox P + Fупр = −kx (t ) ,

k – коэффициент пропорциональности,

r Пр Ox Fсопр = −k1V(t ) ,

V (t ) =

dx (t ) – скорость, dt

k1 – коэффициент пропорциональности, r d 2 x (t ) Пр Ox Fин = ma (t ) , a (t ) = – dt 2 ускорение, то

m

r d 2 x (t ) dx (t ) ( ) ( ) ( ) F t = Пр F + k + kx t − F t = 0 , Ox вн . 1 dt dt 2

В итоге получим уравнение

d 2 x (t ) dx + 2b + a 2 x = f (t ) , 2 dt dt где 2b =

(1.2)

k1 2 k F(t ) , a = , f (t ) = . Уравнение (1.2) описывает m m m

закон движения груза. Уравнения (1.1) и (1.2) называются дифференциальными, они позволяют найти неизвестные функции, входящие в эти уравнения.

6 1.2. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.2.1. Общие понятия Определение 1.1. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x, y, y′) = 0 , (1.3)

где x – независимая переменная, y = y(x ) – неизвестная функция, y′ =

dy – производная функции y, F – функция трех переdt

менных. Если уравнение (1.3) можно разрешить относительно y′ , то его записывают в виде y ′ = f (x , y ) . (1.4) Определение 1.2. Решением дифференциального уравнения (1.3) (или (1.4.)) называется функция y = f (x ) , опреде-

ленная и дифференцируемая на интервале (a ; b ) , при подстановке которой в уравнение (1.3) (или (1.4)) получается тождество на интервале (a ; b ) . Процесс отыскания решения называется интегрированием уравнения. Условие y(x 0 ) = y 0 называется начальным условием. Определение 1.3. Общим решением дифференциального уравнения (1.3) называется функция y = y(x, c ) , которая зависит от произвольного постоянного c и удовлетворяет следующим условиям: 1) она является решением уравнения (1.3) при любом конкретном значении постоянного c; 2) каково бы ни было начальное условие y(x 0 ) = y 0 , можно

найти такое значение c = c 0 , что функция y = y(x , c 0 ) удовлетворяет данному начальному условию. Определение 1.4. Частным решением дифференциального уравнения (1.3) называется решение, которое получается из общего решения при подстановке конкретного значения c.

7 Задача Коши состоит в нахождении частного решения дифференциального уравнения (1.3), удовлетворяющего начальному условию y(x 0 ) = y 0 . В теме «Дифференциальные уравнения», как правило, рассматриваются две задачи: 1) найти общее решение; 2) решить задачу Коши. Пример 1.3. Найти частное решение дифференциального уравнения y′ = x 2 , проходящее через точку (1;−3) (решить задачу Коши). Решение. Проинтегрировав исходное уравнение, получим

y = ∫ x 2 dx =

x3 +c. 3

Это общее решение. Чтобы найти частное решение, подставим начальные значения x 0 = 1 и y 0 = −3 в общее решение

1 x3 + c: −3 = + c. 3 3 3 10 x 10 и y= − . Тогда c = − 3 3 3 3 x 10 − . Ответ: y = 3 3 Построенный на плоскости 0 xy график всякого решения y = y(x ) дифференциального уравнения называется интеy=

гральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению y = y(x, c ) на плоскости 0 xy соответствует семейство интегральных кривых. 1.2.2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Особые решения Теорема 1.1. Пусть дано дифференциальное уравнение y′ = f (x , y ) , (1.4)

8 где функция f (x, y ) определена и непрерывна в области D, содержащей точку (x 0 , y 0 ) , частная производная

∂f существует ∂y

и ограничена в области D. Тогда существует единственное решение y = ϕ(x ) уравнения (1.4), удовлетворяющее условию

y 0 = ϕ(x 0 ) и определенное (x 0 − h, x 0 + h ) , h > 0 .

на

некотором

интервале

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует и притом единственная функция y = ϕ(x ) , интеграль-

ная кривая которой проходит через точку (x 0 , y 0 ) . Если условия теоремы не выполнены, то могут возникнуть особые решения. Определение 1.5. Особым решением дифференциального уравнения (1.4) называется такое решение, в каждой точке которого нарушается единственность. Пример 1.4. Найти особые решения дифференциального уравнения y′ = 3 y . Решение. Так как

f (x , y ) = 3 y , то ∂f 1 = . При y, 3 ∂y 3 y 2

стремящемся к нулю, частная производная

∂f стремится к беско∂y

нечности. Значит, условия теоремы 1.1 не выполнены, если в качестве области D рассматривать окрестность любой точки оси Oх. Непосредственной подстановкой в дифференциальное урав2

3 нение можно убедиться, что y = 0 и x = y 3 + c , c ∈ R , яв2 ляются решениями дифференциального уравнения. В каждой

9 точке оси Oх нарушается единственность, следовательно, y = 0 – особое решение (рис. 1.2). 1.2.3. Метод изоклин Если для дифференциального уравнения (1.4) выполняются условия теоремы 1.1, то через точку (x 0 , y 0 ) проходит единст-

венная интегральная кривая, задаваемая уравнением y = y(x ) .

Так как производная y′(x ) = f (x , y(x )) , то число f (x 0 , y 0 ) является тангенсом угла наклона касательной к интегральной кривой в точке (x 0 , y 0 ) (говорят, что задано направление интегральной кривой). Задание дифференциального уравнения равносильно заданию поля направлений для интегральных кривых. Поле направлений помогает найти множество решений данного уравнения. Определение 1.6. Изоклиной называется множество точек плоскости с одним и тем же направлением к интегральной кривой, т.е. множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению f (x, y ) = c , где c – константа. Пример 1.5. С помощью изоклин построить интегральные кривые уравнения

x y′ = − . y Решение. Так как в заданном случае

f (x , y ) = −

x , y

то изоклины задаются уравнениями −

x = c или y

1 y = − x , y ≠ 0 , c∈R . c

10 1 c

Уравнение y = − x на рис. 1.3 определяет прямую с тангенсом угла наклона −

1 . На каждой прямой – изоклине – отмечас

ем направление интегральных кривых: рисуем отрезки прямых с тангенсом угла наклона, равным c. Но

⎛ 1⎞ с ⋅ ⎜ − ⎟ = −1 , ⎝ с⎠ следовательно, изоклина и касательная к интегральной кривой перпендикулярны. Соединив плавной линией отрезки на изоклинах, получим окружности с центром в начале координат (рис. 1.3). Итак, интегральные кривые исходного дифференциального уравнения – окружности. Пример 1.6. Проинтегрировать уравнение y′ = (y − 1) ⋅ x методом изоклин. Решение. Изоклины данного дифференциального уравнения задаются уравне(y − 1) ⋅ x = с или ниями

c x ≠ 0. При +1, x c = 1,−1,2,−2,... изоклины y=

представляют собой гиперболы

y= y=

1 1 +1 , y = − +1, x x

2 + 1 , … с соответствующими направлениями, которые отx

мечены на рис. 1.4 отрезками прямых. По направлениям строим интегральные кривые, «похожие» на параболы. При с = 0 уравнение (y − 1) ⋅ x = 0 разбивается на два y = 1 или x = 0 . Подстановкой в исходное дифференциаль-

11 ное уравнение убеждаемся, что x = 0 является изоклиной, а y = 1 – решением дифференциального уравнения. 1.2.4. Уравнения с разделяющимися переменными Определение 1.7. Дифференциальное уравнение вида

P(x )Q(y )dy + M(x )N(y )dx = 0 ,

(1.5)

где P(x ) , M(x ) – непрерывные функции переменной x,

Q(y ) , N(y ) – непрерывные функции переменной y, называется

уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Для решения уравнения (1.5) разделим обе его части на P(x ) ⋅ N(y ) , предполагая, что оно не равно нулю. Получим

Q(y )dy M(x )dx + = 0, N (y ) P(x )

где при dx стоит функция только одной переменной x, а при dy стоит функция только переменной y. В этом случае говорят, что переменные разделены. Беря интегралы от левой и правой частей равенства, будем иметь

∫

Q(y )dy M(x )dx +∫ = с. N (y ) P (x )

(1.6)

Соотношение (1.6) представляет собой общий интеграл уравнения (1.5). Если P(x ) = 0 при x = a или N(y ) = 0 при y = b , то непосредственной подстановкой в уравнение (1.5) проверяется, являются ли x = a или y = b решениями уравнения. Пример 1.7. Найти общее решение уравнения

(

)

x y 2 − 1 dx + ydy = 0 . Решение. Данное уравнение имеет вид (1.5). Действитель-

но, здесь P(x ) = x , Q(y ) = y − 1 , M(x ) = 1 , N(y ) = y . Для получения уравнения с разделенными переменными разделим обе 2

12 части данного уравнения на y 2 − 1 , предполагая, что y 2 − 1 ≠ 0 . Получим

ydy = − xdx . Далее, интегрируя почленно, имеем y2 − 1 ydy = ∫ − xdx . ∫ 2 y −1

Так как

1 dt t = y2 − 1 ydy 1 1 2 =∫ = ln t + c = ln y 2 − 1 + c , = ∫ 2 t 2 2 y − 1 dt = 2 ydy то

1 x2 ln y 2 − 1 = − +c, 2 2

c – произвольная постоянная. Тогда y2 − 1 = e− x

2

+ 2c

2

y 2 = c1e − x + 1 ,

,

где c1 = e 2c . Если y 2 − 1 = 0 , то y = ±1 тоже являются решениями исходного дифференциального уравнения, при подстановке y = ±1 в уравнение получаются тождества

(x ⋅ 0 ⋅ dx + 0 = 0) . Решения

y = ±1 являются частными случая2

ми общего интеграла y 2 = c1e − x + 1 , если взять c1 = 0 . 2

Ответ: y 2 = c1e − x + 1 , c1 ∈ R . Замечание. Уравнение вида

y′ =

M(x )N(y ) P(x )Q(y )

(1.7)

тоже является уравнением с разделяющимися переменными. При P(x ) ≡/ 0 и Q(y ) ≡/ 0 уравнение (1.7) будет равносильно уравнению P(x )Q(y )dy = M(x )N(y )dx , так как производную

13 y′ можно заменять отношением дифференциалов y′ =

dy , т.е. dx

dy . dx Пример

(1 + e )y′ = ye x

y(0 ) = 2 .

1.8. x

Для

дифференциального

уравнения

решить задачу Коши с начальным условием

Решение. Представляем производную в виде y′ =

dy (1 + e ) dx = ye x

уравнении

x

разделяем

dy и в dx

переменные:

dy e x dx . Проинтегрировав это равенство почленно, полу= y 1 + ex dy e x dx =∫ . Учитывая, что чим ∫ y 1 + ex

(

)

e x dx d ex + 1 = = ln e x + 1 + c , ∫ x ∫ x e +1 e +1

(

)

ln y = ln 1 + e x + ln c , y = c 1 + e x , где c ∈ R . Чтобы найти решение задачи Коши, подставляем начальные значения x 0 = 0 и y 0 = 2 в общее решение

(

)

y = c 1 + e x , откуда c = 1 . Ответ: y = e x + 1 . 1.2.5. Однородные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним

14 Определение 1.8. Функция f (x, y ) называется однородной функцией m-го измерения, если для любых x, y и t выполняется f (tx, ty ) = t m ⋅ f (x , y ) . Пример 1.9. Функция f (x , y ) = x 3 + 3x 2 y + y 3 является однородной третьего измерения, так как

f (tx , ty ) = t 3 x 3 + 3t 2 x 2 ty + t 3 y3 = t 3f (x, y ) .

Определение 1.9. Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение

y ′ = f (x , y ) ,

(1.4)

где функция f (x, y ) – однородная нулевого измерения, т.е.

f (tx, ty ) = f (x , y ) . Решение однородного уравнения (1.4) будем искать в виде y(x ) = u (x ) ⋅ x , где u (x ) – некоторая функция переменной x. Тогда y′ = u ′ ⋅ x + u . Если y = u ⋅ x является решением уравнения (1.4), то при постановке y и y′ в уравнение получится верное равенство. Имеем u ′ ⋅ x + u = f (x , u ⋅ x ) , u ′ ⋅ x = f (1, u ) − u ,

du du dx x = f (1, u ) − u , = ( x ≠ 0 , f (1, u ) ≠ u ). Полуdx f (1, u ) − u x чили уравнение с разделяющимися переменными, у которого общий интеграл

∫

du = ln x + ln с , с ∈ R . f (1, u ) − u

После вычисления интеграла выполняется обратная замена

u=

y . x

15 Отдельно непосредственной подстановкой в уравнение u′x = f (1, u ) − u проверяется, являются ли x = 0 и u = u 0

(f (1, u 0 ) = u 0 ) решениями.

Пример 1.10. Найти общее решение дифференциального уравнения

y′ = tg

y y + . x x

(1.8)

Решение. Так как

f (tx, ty ) = tg

ty ty y y + = tg + = f (x , y ) , tx tx x x

то дифференциальное уравнение (1.8) является однородным.

y . Подставляем y = ux и y′ = u ′ ⋅ x + u x в дифференциальное уравнение (1.8), имеем u ′ ⋅ x + u = tgu + u , u ′ ⋅ x = tgu . После разделения переменных получаем du dx du dx =∫ , x ≠ 0, sin u ≠ 0 . Тогда , = ∫ tgu x tgu x ln sin u = ln x + ln c , sin u = cx , c ∈ R . Рассматриваем част-

Выполняем замену u =

ные случаи: 1) x ≠ 0 по смыслу правой части уравнения (1.8); 2) если sin u 0 = 0 , то u = u 0 является решением уравнения

u ′ ⋅ x = tgu , и это частное решение входит в общий интеграл sin u = cx при c = 0 . y Выполняя обратную замену u = , имеем общий интеграл x y уравнения (1.8) sin = cx , c ∈ R . x Ответ: sin

y = cx , c ∈ R . x

16 Замечание. Уравнение вида

dy a1x + b1 y + c1 = dx a 2 x + b 2 y + c 2

(1.9)

приводится к однородному с помощью замены x = x1 + h ,

y = y1 + k , где h и k – решение системы ⎧a1h + b1k + c1 = 0, ⎨ ⎩a 2 h + b 2 k + c 2 = 0,

(1.10)

(если система имеет единственное решение), x1 , y1 – новые переменные. Если система (1.10) не имеет решений, то замена t = a1x + b1 y в уравнении (1.9) приведет к уравнению с разделяющимися переменными. Пример 1.11. Найти частное решение уравнения

dy x + y − 3 = , dx x − y − 1 удовлетворяющее условию y(3) = 1 .

Решение. Составляем систему (1.10) для исходного диффе-

⎧h + k − 3 = 0 , она имеет решение h − k − 1 = 0 ⎩ h = 2 , k = 1 . Выполняем замену x = x1 + 2 , y = y1 + 1 , после

ренциального уравнения ⎨

подстановки

в

дифференциальное

уравнение

получаем

dy1 x1 + y1 . Это однородное уравнение решаем подстанов= dx1 x1 − y1 dy1 du du 1 + u . Тогда u + x1 кой y1 = u ⋅ x1 , = u + x1 = dx1 dx1 dx1 1 − u

или x1

du 1 + u 2 . После разделения переменных будем = dx1 1 − u

17 1− u dx du = 1 . Интегрируя почленно последнее урав2 x1 1+ u 1− u dx нение, получаем ∫ du = ∫ 1 . Так как 2 x1 1+ u

иметь

∫

(

)

1− u du 1 2udu 1 d u2 +1 = arctgu du = − − = ∫ ∫ ∫ 2 1+ u2 1+ u2 1+ u2 2 1+ u2 1 = arctgu − ln 1 + u 2 + c , 2

(

то

(

)

)

1 − ln 1 + u 2 + arctg u = ln x1 + ln c , 2

cx1 1 + u 2 = e arctg u . y1

arctg y 2 2 x1 Заменяем u = 1 , тогда c x1 + y1 = e . Но x1 = x − 2 , x1 y1 = y − 1 , значит, общий интеграл исходного уравнения имеет

(x − 2)2 + (y − 1)2

arctg

y −1

x − 2 . Подставляем в общий ин=e теграл начальное условие x 0 = 3 , y 0 = 1 , откуда c = 1 .

вид c

Ответ:

(x − 2)2 + (y − 1)2

=e

arctg

y −1 x −2

.

Пример 1.12. Найти общее решение дифференциального уравнения y′ =

x + y −1 . 2x + 2 y + 1

⎧x + y − 1 = 0, не имеет реше⎩2 x + 2 y + 1 = 0 ний, то используем подстановку t = x + y , t ′ = 1 + y′ . Тогда t −1 , дифференциальное уравнение примет вид t ′ − 1 = 2t + 1 3t t′ = . Разделяя переменные в уравнении, получаем 2t + 1 Решение. Так как система ⎨

18 2t + 1 2t + 1 2 1 dt = dx . Откуда ∫ dt = ∫ dx , t + ln t = x + c , 3t 3t 3 3 c ∈ R . Выполняя обратную замену t = x + y , имеем общий интеграл исходного дифференциального уравнения

2 (x + y ) + 1 ln x + y = x + c . 3 3 Ответ:

2 1 1 y − x + ln x + y = c , c ∈ R . 3 3 3

1.2.6. Линейные уравнения первого порядка Определение 1.10. Уравнение вида

y′ + P(x )y = Q(x ) ,

(1.11)

где P(x ) и Q(x ) – заданные на некотором интервале (a , b ) непрерывные функции переменной x (или постоянные), y - неизвестная функция переменной x, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Если Q(x ) ≡ 0 , то уравнение (1.11) называется линейным

однородным, если существует x 0 такое, что Q(x ) ≠ 0 , то уравнение (1.11) называется линейным неоднородным. Рассмотрим сначала линейное однородное дифференциальное уравнение y′ + P(x )y = 0 . (1.12) Оно является уравнением с разделяющимися переменными и приводится к виду

dy dy = − ∫ P(x )dx , = − P(x )dx . Тогда ∫ y y

− P ( x )dx будет общим решением уравln y = − ∫ P(x )dx , и y = ce ∫

нения (1.12). Для линейного неоднородного дифференциального уравнения (1.11) предлагается 2 способа нахождения общего решения.

19 1) Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) При отыскании общего решения линейного неоднородного уравнения (1.11) используем общее решение соответствующего линейного однородного уравнения (1.12): будем находить реше− P ( x )dx ние в виде ~ y = c(x )e ∫ , ~y′ = c′(x )e − ∫ P (x )dx + c(x ) − P(x )e − ∫ P (x )dx .

(

)

Здесь с(x ) – функция, подлежащая определению. Для ее нахо-

ждения подставим ~ y (x ) и ~y′(x ) в уравнение (1.11). Поскольку

~y′ = c′(x )e − ∫ P (x )dx + c(x )(− P(x ))e − ∫ P (x )dx , y (x ) и ~y′(x ) в (1.11) приводит к уравнению то подстановка ~ − P ( x )dx − P ( x )dx − P ( x )dx c′(x )e ∫ − P(x )c(x )e ∫ + P(x )c(x )e ∫ = Q (x ) P ( x )dx c′(x ) = Q(x )e ∫ . или Проинтегрировав это уравнение, получим P ( x )dx c(x ) = ∫ Q(x )e ∫ dx + ~c , ~c ∈ R . Итак, общее решение линейного неоднородного уравнения (1.11) имеет вид − P ( x )dx − P ( x )dx P ( x )dx +e ∫ ⋅ ∫ Q(x )e ∫ y = ~c e ∫ dx . 2) Метод Бернулли Будем искать решение уравнения (1.11) как произведение двух функций: y = u (x ) ⋅ v(x ) . Дифференцируя обе части равен-

dy dv du . Подставив y и y′ в уравне=u +v dx dx dx dv du ние (1.11), будем иметь u +v + P(x )uv = Q(x ) или dx dx du ⎛ dv ⎞ u⎜ + P(x )v ⎟ + v = Q(x ) . (1.13) dx ⎝ dx ⎠ Поскольку необходимо найти две функции u (x ) и v(x ) , а уравства, получаем

нение для их нахождения одно – (1.13), то выберем функцию v

20 так, чтобы

dv + P(x )v = 0 . Решив это линейное однородное dx

− P ( x )dx уравнение, получим v = c1e ∫ , c1 ∈ R . Пусть c1 = 1 , тогда − P ( x )dx v=e ∫ , где ∫ P(x )dx – одна из первообразных неопределенного интеграла.

Функцию u найдем из уравнения v

du = Q(x ) , которое dx

dv + P(x )v = 0 , т.е. при dx Q(x ) − P ( x )dx v=e ∫ . Интегрируя уравнение du = dx , получаем v Q (x ) u=∫ dx + c . Тогда общее решение линейного неоднородv

получается из (1.13) при условии

ного уравнения (1.11) запишется

y = v⋅∫

c∈R .

Q (x ) − P ( x )dx ∫ P ( x )dx dx + ce − ∫ P ( x )dx , dx + c ⋅ v = e ∫ ∫ Q(x )e v

Замечание. Уравнение (1.13) можно преобразовать и к виду

dv ⎛ du ⎞ + P(x )u ⎟ + u v⎜ = Q(x ) . dx ⎝ dx ⎠ Тогда в качестве функции u выбирается частное решение

du + P(x )u = 0 , а функция v dx Q (x ) находится по выше указанному алгоритму, v = ∫ dx + c , u c∈R . дифференциального уравнения

Пример 1.13. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

y′ - 2xy = x - x 3 .

(1.14)

21 Решение. 1 способ. Метод вариации произвольной постоянной Для уравнения (1.14) составим соответствующее ему линейное однородное уравнение y′ - 2xy = 0 , оно имеет общее 2 − P ( x )dx − (−2 x )dx = ce ∫ = ce x , c ∈ R . Будем исрешение y = ce ∫ кать общее решение уравнения (1.14) в виде y = c(x )e x . В 2

этом случае y′ = c′(x ) ⋅ e x + c(x )e x ⋅ 2 x . Подставляем y и y′ в уравнение (1.14): 2

2

с′(x )e x + c(x )e x ⋅ 2 x − 2x ⋅ c(x )e x = x − x 3 . 2

2

(

2

)

Отсюда, c′(x ) = e − x x − x 3 и 2

(

)

c(x ) = ∫ e − x x − x 3 dx = 2

=

− x2 = t 1 = ∫ e t (− t − 1)dt = dt = −2xdx 2

(

)

2 u = t + 1 du = dt 1 t 1 e (t + 1) − ∫ e t dt = x 2 e − x + ~c . t t =− dv = e dt v = e 2 2

Итак, общее решение уравнения (1.14)

y = c(x )e x = ~c e x + 2

2

1 2 ~ x , c ∈R . 2

2 способ. Метод Бернулли Представляем решение уравнения (1.14) в виде произведения y = u ⋅ v , y′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v′ . Подставляя y и y′ в уравнение

u ′ ⋅ v + u ⋅ v′ − 2 x ⋅ u ⋅ v = x − x 3 или 3 u (v′ − 2 xv ) + u ′ ⋅ v = x − x . Выражение, стоящее в скобках,

(1.14),

получаем

2 − (−2 x )dx v′ − 2 xv равно нулю, если v = ce ∫ = ce x . При c = 1 2

2

имеем v = e x . Учитывая, что v = e x , дифференциальное уравнение

(

)

запишем 2

u′ = x − x 3 e− x .

в

виде

2

u ⋅ 0 + u′ ⋅ e x = x − x 3 ,

22

(

)

2

Тогда u = ∫ x − x 3 e − x dx =

1 2 −x2 x e + c , c∈R . 2

Окончательно, 2 ⎛1 2 2 1 ⎞ y = u ⋅ v = e x ⎜ x 2 e − x + c ⎟ = ce x + x 2 . 2 ⎝2 ⎠ 2

Ответ: y = ce x +

1 2 x , c∈R . 2

1.2.7. Уравнение Бернулли Определение 1.11. Дифференциальное уравнение

dy + P(x )y = Q(x )y n , dx

(1.15)

где P(x ) , Q(x ) – непрерывные функции переменной x, n ≠ 0 , n ≠ 1 , называется уравнением Бернулли. Общее решение уравнения Бернулли находится с помощью сведения уравнения (1.15) к линейному неоднородному дифференциальному уравнению. Разделив на y n обе части уравнения (1.15), получим

dy + P(x )y − n +1 = Q(x ) . dx dt dy Выполним замену t = y1− n , тогда , = (1 − n )y − n dx dx dt + (1 − n )P(x )t = (1 − n )Q(x ) . (1.16) dx y−n

Общее решение уравнения (1.16) можно получить методом вариации произвольной постоянной или методом Бернулли, а затем производится обратная замена t = y − n +1 . Замечание. При решении конкретных уравнений Бернулли можно не выполнять замену, а сразу применять метод вариации произвольной постоянной или метод Бернулли.

23 Пример 1.14. Найти частное решение дифференциального уравнения

y′ +

y = x 2 y4 , x

(1.17)

удовлетворяющее условию y(1) = 1 . Решение 1 способ. Уравнение (1.17) – это уравнение Бернулли,

n = 4 . Разделим уравнение (1.17) на y 4 , тогда y′ 1 1 dt − 3 dy + ⋅ 3 = x 2 . Введем замену t = y −3 , = , 4 x y dx y 4 dx y y′ t′ = . Получим линейное неоднородное уравнение 4 −3 y 3 t ′ − t = −3x 2 . (1.18) x Решим уравнение (1.18) методом вариации произвольной постоянной. Соответствующее линейное однородное уравнение

t′ −

3 t = 0 имеет общее решение x t = ce

⎛ 3⎞ − ∫ ⎜ − ⎟ dx ⎝ x⎠

= ce

3 ln x

= cx 3 , c ∈ R .

Общее решение уравнения (1.18) найдем в виде t = c(x ) ⋅ x 3 .

Подставляем t и t ′ = c′(x ) ⋅ x 3 + 3x 2 c(x ) в уравнение (1.18), по-

3 3 c(x ) ⋅ x 3 = −3x 2 или c(x ) = − , x x c ⎛ 3⎞ откуда c(x ) = ∫ ⎜ − ⎟dx = −3 ln x + ln c = ln 3 . Итак, общее x ⎝ x⎠ c решение уравнения (1.18) t = x 3 ln 3 . Так как t = y −3 , то x

лучаем c′(x )x 3 + 3x 2 c(x ) −

24 y=

1 c x 3 ln 3 x

– общее решение уравнения (1.17). Подставляя в

него начальные данные x 0 = 1 , y 0 = 1 , имеем c = e . Получили частное решение y =

1 e x 3 ln 3 x

=

1 x 3 − 3 ln x

.

2 способ. Решение уравнения Бернулли (1.17) представим в виде y = u ⋅ v , где u и v – функции переменной x. Так как y′ = u ′ ⋅ v + u ⋅ v′ , то уравнение (1.17) будет равносильно уравнению

u ′ ⋅ v + u ⋅ v′ +

⎛ ⎝

или v ⋅ ⎜ u ′ +

u⋅v = x 2u 4 ⋅ v4 x

u⎞ 2 4 4 ⎟ + u ⋅ v′ = x u ⋅ v . x⎠

Выражение в скобках u ′ +

u=e

⎛1⎞ − ∫ ⎜ ⎟ dx ⎝x⎠

=e

− ln x

=

u равно нулю, если x

u 1 есть решение уравнения u ′ + = 0 . x x 4

Тогда

1 dv dx ⎛1⎞ , откуда ⋅ v′ = x 2 ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ v 4 или 4 = x x v ⎝x⎠

dv dx v −3 , = ln x + ln c , ∫ 4 =∫ x −3 v

v=

Получили общее решение уравнения (1.17)

y = u⋅v =

1 x 3 − 3 ln cx

.

1 3

− 3 ln cx

.

25 Учитывая, что x 0 = 1 , y 0 = 1 , имеем частное решение

y= Ответ: y =

1 x 3 − 3 ln x

1 x 3 − 3 ln x

.

.

1.2.8. Уравнение в полных дифференциалах Определение 1.12. Уравнение

P(x, y )dx + Q(x , y )dy = 0 , где функции P, Q, и

(1.19)

∂P ∂Q , непрерывны в некоторой области D ∂y ∂x

∂P ∂Q ≡ в этой области, называется уравнением в полных ∂y ∂x

дифференциалах. В уравнении (1.19) левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u (x, y ) , т.е. du (x , y ) = 0 . Тогда об-

щее решение уравнения (1.19) имеет вид u (x, y ) = c , c – произ-

вольная постоянная. Найдем функцию u (x, y ) . С одной стороны, du (x, y ) = P(x, y )dx + Q(x , y )dy , с другой –

du (x, y ) =

∂u ∂u dx + dy . ∂x ∂y

∂u ∂u = P(x , y ) , = Q(x, y ) . Проинтегрируем по пе∂x ∂y ременной x равенство x ∂u = P(x , y ) : u (x, y ) = ∫ P(x, y )dx + ϕ(y ) , ∂x x0

Получаем

26 где x 0 – любая точка из области D, ϕ(y ) – произвольная постоянная при интегрировании по переменной x, зависящая от y. Выполнив дифференцирование тождества x

u (x, y ) = ∫ P(x, y )dx + ϕ(y ) x0

по переменной y, получим с учетом равенства

∂u = Q (x , y ) ∂y

∂u x ∂P dx + ϕ′(y ) =Q(x, y ) . = ∫ ∂y x 0 ∂y ∂P ∂Q = , то ∂y ∂x x ∂Q dx + ϕ′(x ) ≡ Q(x , y ) − Q(x 0 , y ) + ϕ′(y ) = Q(x, y ) . ∫ x 0 ∂x Откуда ϕ′(y ) = Q(x 0 , y ) . Таким образом,

Так как

y

ϕ(y ) = ∫ Q(x 0 , y )dy + ~c , ~c ∈ R , y0

x

y

x0

y0

u (x, y ) = ∫ P(x, y )dx + ∫ Q(x 0 , y )dy + ~c . Получили общий интеграл уравнения (1.19) x

y

x0

y0

∫ P(x, y )dx + ∫ Q(x 0 , y )dy = c .

Пример 1.15. Найти общее решение уравнения

(xy

2

)

(

)

+ y − 1 dx + x 2 y + x dy = 0 .

Решение. В уравнении P(x , y ) = xy + y − 1 , 2

Q (x , y ) = x 2 y + x и

∂P ∂Q = 2xy + 1 = , ∂y ∂x

следовательно, уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Найдем функцию u (x , y ) такую, что

27 du (x , y ) = P(x , y )dx + Q(x , y )dy = 0 . Имеем,

∂u = xy 2 + y − 1 , ∂x

∂u = x 2 y + x . Проинтегрируем первое соотношение по пере∂y менной x

(

)

x 2 y2 u (x, y ) = ∫ xy + y − 1 dx + ϕ(y ) = + yx − x + ϕ(y ) , 2 0 x

2

полученное тождество u (x, y ) = ференцируем по y:

ϕ′(y ) = 0

∂ϕ = x 2 y + x + ϕ′(y ) = x 2 y + x . Получим ∂y ϕ(y ) = ~c ,

или

u (x , y ) =

~c ∈ R .

Тогда

x 2 y2 + yx − x + c и общий интеграл исходного диф2

ференциального уравнения Ответ:

x 2 y2 + yx − x + ϕ(y ) продиф2

x 2 y2 + yx − x = c . 2

x 2 y2 + yx − x = c , c ∈ R . 2

1.2.9. Задачи для самостоятельной работы Методом изоклин построить интегральные кривые дифференциального уравнения 1. y′ = x .

2. y′ = x + y .

Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

(

)

3. 2 xydy + 1 + y 2 dx = 0 .

4.

(

)

xy + x y′ − y = 0 .

28 Найти общее решение однородного дифференциального уравнения (или приводящегося к однородному).

(

7. y′ =

)

6. 3x 2 − y 2 y′ = 2 xy .

5. xy′ = y + x 2 + y 2 .

x+y−2 . y−x−4

Найти общее решение линейного дифференциального уравнения. 8. y′ + tgx ⋅ y = 0 .

(

9. y′ + 2 y = 3e x .

)

10. 1 + x 2 y′ + 2 xy = 3x 2 . Найти общее решение уравнения Бернулли. 11. xy′ + y = y 2 ln x .

12. y′ +

2y = 3x 2 y 4 / 3 . x

Найти общее решение уравнения в полных дифференциалах.

13. (x cos 2 y − 3)dx − x 2 sin 2 ydy = 0 .

(

)

(

)

14. x 2 + 2 xy + 1 dx + x 2 + y 2 −1 dy = 0 . Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию.

⎛π⎞ ⎝3⎠

15. y′ sin x − (2 y + 1) cos x = 0 , y⎜ ⎟ = 1 .

(

)

16. y′ x 2 − 2 = 2 xy , y(2 ) = 2 . 17. xy′ − y − x 3 = 0 , y(2 ) = 4 . 18. xy′ = y + xe y/x , y(1) = ln 2 . 19. 1 + y 2 = xyy′ , y(2 ) = 1 . 20. y′ +

2y = 3x 2 4 y 3 , y(1) = 1 . x

29 Ответы

(

)

3. x 1 + y 2 = c .

4. 2 y + ln y 2 x = c , y = 0 .

cx 2 1 − . 6. y 2 − x 2 = cy3 . 2 2c 2 7. x + 2 xy − y 2 − 4 x + 8y = c . 8. y = c cos x . 5. y =

1 x3 + c . 11. y = . 2 cx + ln x + 1 x +1 3 x2 13. cos 2 y − 3x = c . 12. y −1 / 3 = cx 2 / 3 − x 3 . 2 7 14. x 3 + y 3 + 3x 2 y + 3x − 3y = c .

9. y = ce −2 x + e x .

10. y =

15. 2 y + 1 = 4 sin 2 x (уравнение с разделяющимися переменными). 16. y = x 2 − 2 (уравнение с разделяющимися переменными).

1 3 x (линейное неоднородное уравнение). 2 e (однородное уравнение). 18. e - y/x = ln x 19. x 2 − 2 y 2 = 2 (уравнение с разделяющимися переменными). 17. y =

3

⎛ ⎞ 7 ⎟ (уравнение Бернулли). 20. y = ⎜ ⎜ 3 2 2 ⎟ ⎝ 10 x − 3x ⎠

30 1.3. Дифференциальные уравнения высших порядков 1.3.1. Общие понятия. Теорема существования и единственности решения задачи Коши Определение 1.13. Уравнение вида

(

)

F x, y, y′, y′′,..., y (n ) = 0 ,

(1.20)

где y – неизвестная функция переменной x, y′ , y′′ , …, y (n ) – ее производные до n-го порядка, F – функция n + 2 аргументов, называется дифференциальным уравнением n-го порядка. Например, y′′ - 2xyy′ +

y′′ ⋅ y + x 2 = 0 – дифференциаль-

ное уравнение второго порядка, y (V ) = sin x – дифференциальное уравнение пятого порядка. Если уравнение (1.20) можно записать в виде y (n ) = f x, y, y′,..., y (n −1) , (1.21)

(

)

то говорят, что оно разрешено относительно старшей производной. Далее мы будем рассматривать только такие уравнения. Определение 1.14. Решением уравнения (1.21) называется функция y = y(x ) , которая при подстановке в это уравнение обращает его в тождество (на промежутке существования производных функции y до n-го порядка включительно). Определение 1.15. Общим решением уравнения (1.21) называется функция y = y(x, c1 , c 2 ,..., c n ) , зависящая от n произвольных постоянных c1 , c 2 ,..., c n , удовлетворяющая следующим условиям: 1) y = y(x, c1 , c 2 ,..., c n ) является решением уравнения (1.21) при любых допустимых значениях c1 , c 2 ,..., c n ; 2) для любых условий

y(x 0 ) = y 0 , y′(x 0 ) = y′0 ,…, y (n -1) (x 0 ) = y (0n −1) ,

(1.22)

31 называемых начальными, существуют значения с1 = с10 ,

(

)

с 2 = с 02 ,…, с n = с 0n такие, что функция y = y x, c10 ,..., c 0n удовлетворяет этим начальным условиям.

(

0

0

)

Определение 1.16. Любая функция y = y x, c1 ,..., c n , получающаяся из общего решения уравнения (1.21) при конкретных значениях постоянных c1 , c 2 ,..., c n , называется частным решением этого уравнения. Задача Коши – задача нахождения частного решения уравнения (1.21), удовлетворяющего заданным начальным условиям (1.22). Для дифференциальных уравнений высших порядков имеет место теорема существования и единственности решения задачи Коши, аналогичная теореме 1.1. Теорема 1.2. Пусть дано дифференциальное уравнение (1.21), где функция f x, y, y′,..., y (n -1) является непрерывной в

(

(

)

)

некоторой окрестности точки M x 0 , y 0 , y′0 ,..., y 0n −1 , частные

∂f ∂f ∂f , ,…, ограничены в этой окрестно∂y ∂y′ ∂y (n −1) сти. Тогда существует число h > 0 такое, что на интервале (x 0 − h, x 0 + h ) существует единственное решение y = y(x ) производные

уравнения (1.21), удовлетворяющее начальным условиям (1.22). 1.3.2. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка В некоторых частных случаях удается понизить максимальный порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, и свести уравнение к более простому виду. Рассмотрим эти случаи. ( ) 1. Уравнение вида y n = f (x ) . После интегрирования порядок этого уравнения понижается на единицу y (n −1) = f (x )dx + c , c ∈ R . Далее

∫

1

1

32 y (n − 2 ) = ∫ (∫ f (x )dx + c1 )dx + c 2 ,… . В итоге

x n −1 x n −2 y = ∫ [...(∫ f (x )dx )]dx + c1 + c2 + ... + c n , 123 (n − 1)! (n − 2)! n

где c1 , c 2 ,..., c n – произвольные постоянные. Пример 1.16. Найти частное решение уравнения y′′ = sin x , удовлетворяющее условиям y(0 ) = 1 , y′(0 ) = 0 . Решение. Дважды интегрируем уравнение: y′ = ∫ sin xdx + c1 = − cos x + c1 ,

y = ∫ (− cos x + c1 )dx + c 2 = − sin x + c1x + c 2 . ⎧− 1 + c1 = 0, от⎩c 2 = 1,

Так как y(0 ) = 1 , y′(0 ) = 0 , то имеем систему ⎨

куда c1 = 1 , c 2 = 1 . Частное решение y = − sin x + x + 1 . Ответ: y = − sin x + x + 1 .

(

)

( ) ( ) ( ) 2. Уравнение вида F x, y k , y k + 1 ,..., y n = 0 , явно не содержащее y, y′,..., y (k −1) , k ≥ 1 .

Для понижения порядка используется замена y (k ) = z(x ) . Тогда y (k +1) = z′(x ) ,…, y (n ) = z (n − k ) (x ) , получим дифференци-

(

)

альное уравнение F x , z, z′,..., z (n − k ) = 0 порядка (n − k ) .

Пример 1.17. Найти общее решение дифференциального уравнения xy′′′ + y′′ = x + 1 . (1.23) Решение. В уравнении (1.23) не содержится y и y′ , поэто-

му применим замену y′′ = z(x ) , y′′′ = z′ . Уравнение (1.23) будет равносильно уравнению

z′ +

z x +1 = x x

(1.24)

33 при x ≠ 0 . Уравнение (1.24) является линейным неоднородным, по методу Бернулли его решение представим

z′ = u ′v + uv′ .

z = u⋅v, Тогда получим

u ′v + uv′ + Уравнение u ′ +

u = 0 имеет частное решение x

1

u=e

∫ x dx

откуда

v′ =

u⎞ x +1 uv x + 1 ⎛ = , v⎜ u ′ + ⎟ + uv′ = . x x x⎠ x ⎝

=e

ln x

= x , значит, v ⋅ 0 + x ⋅ v′ =

x +1 , x

x +1 x +1 −1 , v = ∫ 2 dx = ln x + +c. 2 x x x

Общее решение уравнения (1.24) имеет вид

z = u ⋅ v = x ln x − 1 + cx . Выполняя обратную замену y′′ = z , получаем y′′ = x ln x − 1 + cx . Тогда

x2 x2 cx 2 ln x − −x+ + c1 , 2 4 2 ⎛ x2 ⎞ x2 cx 2 y = ∫ ⎜⎜ ln x − −x+ + c1 ⎟⎟dx = 4 2 ⎝ 2 ⎠ 3 2 3 x 5 x cx = ln x − x 3 − + + c1x + c 2 . 6 36 2 6 x3 5 x 2 cx 3 ln x − x 3 − + + c1x + c 2 , Ответ: y = 6 36 2 6 c, c1 , c 2 ∈ R. y′ = ∫ (x ln x − 1 + cx )dx =

(

3. Уравнение F y, y ′,..., y висимой переменной x.

(n )

) = 0 , не содержащее явно неза-

34 Применим замену y′ = z(y ) . Тогда

y′′ = (y′)′ x = (z(y ))′ x = z′(y ) ⋅ y′x = z′(y ) ⋅ z(y ) , y′′′ = (z′z )′ = z′′ ⋅ z 2 + (z′)2 z ,… . x

Порядок дифференциального уравнения понизится на единицу, и оно будет иметь вид F(y, z, z′z,...) = 0 . Пример 1.18. Найти общее решение дифференциального

уравнения y′′ ⋅ tg y = 2(y′) . Решение. Дифференциальное уравнение не содержит явно x. Примем y в качестве независимой переменной и выполним замену y′ = z(y ) , y′′ = z ⋅ z′ , после чего получим уравнение 2

z ⋅ z′tg y = 2z 2 .

(1.25) Так как z = 0 является решением уравнения (1.25), то y′ = z = 0 и y = c является решением исходного дифференциального уравнения. Если z ≠ 0 , то уравнение (1.25) будет дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными z′tg y = 2z . Разделяем переменные и интегрируем:

dz cos y =2 dy , ln z = 2 ln sin y + ln c1 , z = c1 sin 2 y , c1 ∈ R . z sin y Заменим z на y′ и решим уравнение y′ = c1 sin 2 y : dy dy = c1dx , ∫ 2 = ∫ c1dx , − ctg y = c1x + c 2 , c 2 ∈ R . 2 sin y sin y Частное решение y = c входит в общий интеграл − ctg y = c1x + c 2 при c1 = 0 и c 2 ≠ πn , n ∈ Z . Ответ: y = arctg(c1x + c 2 ) , c1 , c 2 ∈ R . 1.3.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Свойства. Структура общего решения Определение 1.17. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида y (n ) + p (x )y (n −1) + p (x )y (n − 2 ) + ... + p (x )y = q(x ) , 1

2

n

35 где p1 (x ) , p 2 (x ) ,…, p n (x ) , q (x ) – непрерывные на интервале

(a , b ) функции,

y – неизвестная функция. Если q (x ) ≡ 0 на (a , b ) , то уравнение называется линейным однородным, в противном случае – линейным неоднородным. Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка y ′′ + p1 (x )y ′ + p 2 (x )y = 0 . (1.26) Свойство 1. Если y1 и y 2 – два частных решения уравнения (1.26), то y1 + y 2 – также решение этого уравнения. Доказательство. Так как y1 и y 2 – решения уравнения (1.26), то

y1′′ + p1 (x ) ⋅ y1′ + p 2 (x )y1 = 0 и y′2′ + p1 (x ) ⋅ y′2 + p 2 (x )y 2 = 0 .

Проверим, является ли y1 + y 2 решением уравнения (1.26), выполним подстановку:

(y1 + y 2 )″ + p1 (x ) ⋅ (y1 + y 2 )′ + p 2 (x )(y1 + y 2 ) = = (y1′′ + p1 (x )y1′ + p 2 (x )y1 ) + (y′2′ + p1 (x )y′2 + p 2 (x )y 2 ) =

= 0 + 0 = 0 , т.е. y1 + y 2 – тоже решение. ■ Свойство 2. Если y1 – решение уравнения (1.26), c – произвольная постоянная, то c ⋅ y1 – также решение уравнения (1.26). Определение 1.18. Две функции y1 и y 2 называются ли-

нейно зависимыми на сегменте [a, b] , если существует некото-

рое число λ такое, что y1 ≡ λy 2 (или y 2 ≡ λy1 ) на [a, b] . В противном случае функции называются линейно независимыми. Функции y1 = x 2 и y 2 = 2 x 2 линейно зависимы, так как

y 2 = 2 y1 .

36 Определение 1.19. Определителем Вронского или вронскианом дифференцируемых функций y1 и y 2 называется определитель

W (y1 , y 2 ) =

y1 y1′

y2 = y1 ⋅ y′2 − y1′ ⋅ y 2 . y′2

Теорема 1.3. Если функции y1 и y 2 линейно зависимы на

сегменте [a, b] , то определитель Вронского W (y1 , y 2 ) ≡ 0 на

[a, b].

Доказательство. Так как y1 и y 2 линейно зависимы, то

y1 = λy 2 , где λ – некоторое число (или y 2 = λy1 ). Тогда y1′ = λy′2 и

W (y1 , y 2 ) =

y1 y1′

y 2 y1 λy1 y =λ 1 = y′2 y1′ λy1′ y1′

y1 = 0. ■ y1′

Свойство 3. Если определитель Вронского W(y1 , y 2 ) , составленный для решений y1 и y 2 линейного однородного дифференциального уравнения (1.26), не равен нулю при некотором значении x = x 0 на сегменте [a, b] , где p1 (x ) и p 2 (x ) непрерывны, то W(y1 , y 2 ) не обращается в нуль ни при каком значе-

нии x ∈ [a, b] .

Замечание. Если найдется x 0 ∈ [a, b] такое, что

W(y1 , y 2 ) = 0 , то W(y1 , y 2 ) ≡ 0 на [a, b] . Свойство 4. Если решения y1 и y 2 уравнения (1.26) линейно независимы на сегменте [a, b] , то определитель Вронского W(y1 , y 2 ) не обращается в нуль ни в одной точке указанного сегмента. Свойство 5. (структура общего решения) Если y1 и y 2 – два линейно независимых решения уравнения (1.26), то

37 y = c1 y1 + c 2 y 2 , где c1 и c 2 – произвольные постоянные, есть его общее решение. Доказательство. Из свойств 1 и 2 следует, что y = c1y1 + c 2 y 2 – решение уравнения (1.26) при любых значениях c1 и c 2 . Покажем, что каковы бы ни были начальные условия y(x 0 ) = y 0 и y′(x 0 ) = y′0 , можно так подобрать c1 и c 2 ,

чтобы соответствующее частное решение c1y1 + c 2 y 2 удовлетворяло заданным начальным условиям. Подставляя начальные условия в функцию y = c1y1 + c 2 y 2 , получаем систему

где y10 = y1 (x 0 ) , y 20

⎧ y 0 = c1y10 + c 2 y 20 , ⎨ ′ + c 2 y′20 , ⎩ y′0 = c1y10 ′ = y1′ (x 0 ) , y′20 = y′2 (x 0 ) . = y 2 (x 0 ) , y10

Эта система имеет единственное решение c10 , c 02 , так как определитель системы есть определитель Вронского

y10 ′ y10

y 20 , коy′20

торый не равен нулю в силу линейной независимости y1 и y 2 . 0

0

Решение y = c1 y1 + c 2 y 2 удовлетворяет заданным начальным условиям. ■ Определение 1.20. Два линейно независимых решения y1 и

y 2 уравнения (1.26) называются фундаментальной системой решений уравнения (1.26). 1.3.4. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Рассмотрим уравнение вида

y′′ + by′ + ay = 0 ,

(1.27) где a и b – постоянные числа. Найдем фундаментальную систему решений данного уравнения. Пусть решения уравнения

38 (1.27) имеют вид y = e kx , где k – постоянная. Подставив функцию y и ее производные y′ = ke kx , y′′ = k 2 e kx в уравнение

(

)

(1.27), получим e kx k 2 + bk + a = 0 . Таким образом, y = e kx является решением уравнения (1.27) тогда и только тогда, когда

k 2 + bk + a = 0 .

(1.28)

Уравнение (1.28) называется характеристическим. Далее алгоритм нахождения решений зависит от вида дискриминанта уравнения (1.28). 1. Дискриминант уравнения (1.28) D > 0 . Тогда уравнение (1.28) имеет различные действительные корни k1 , k 2 , им соответствуют решения уравнения (1.27)

y1 = e k 1 x и y 2 = e k 2 x . Покажем, что они линейно независимы. Вронскиан

W(y1 , y 2 ) =

e k1x k1e k 1 x

ek 2 x = (k 2 − k1 )e k 1 x + k 2 x ≠ 0 , k2x k 2e

следовательно, y1 и y 2 образуют фундаментальную систему решений. Общее решение уравнения (1.27) –

y = c1e k 1 x + c 2 e k 2 x , c1 , c 2 ∈ R . Пример 1.19. Найти общее решение дифференциального уравнения y′′ − y′ − 2 y = 0 . Решение. Для дифференциального уравнения составим характеристическое уравнение k 2 − k − 2 = 0 . Квадратное уравнение имеет решения k1 = 2 , k 2 = −1 , им соответствуют частные

решения

дифференциального

уравнения

y 2 = e − x . Значит, общее решение y = c1e 2 x + c 2 e − x . Ответ: y = c1e 2 x + c 2 e − x , c1 , c 2 ∈ R .

y1 = e 2 x ,

39 2. Дискриминант D = 0 . Характеристическое уравнение (1.28) имеет один кратный k x

корень k 0 . Функция y1 = e 0 является решением уравнения (1.27). Можно показать, что в качестве второго решения допустимо взять y 2 = xe

W(y1 , y 2 ) =

k0x

. Вронскиан

ek 0 x k 0e

k0x

xe k 0 x e

k0x

+ xk 0 e

k0x

= e 2k 0 x ≠ 0 ,

поэтому y1 и y 2 линейно независимы, и общее решение уравнения (1.27) имеет вид y = c1e k 0 x + c 2 xe k 0 x , c1 , c 2 ∈ R . Пример 1.20. Найти фундаментальную систему решений уравнения y′′ − 4 y′ + 4 y = 0 . Решение. Характеристическое уравнение k 2 −4k + 4 = 0 имеет кратный корень k 0 = 2 . Тогда частные линейно независимые решения дифференциального уравнения – y1 = e 2x ,

y 2 = xe 2x . Ответ: y1 = e 2x и y 2 = xe 2x . 3. Дискриминант уравнения (1.28) D < 0 . Уравнение (1.28) имеет комплексно-сопряженные корни

k1, 2

b − b ± b 2 − 4a = = α ± iβ , где α = − , β = 2 2

4a − b 2 . 2

В этом случае уравнение (1.27) имеет два решения

y1 = e α x cos βx , y 2 = e α x sin βx , они линейно независимы, и из них составляется общее решение уравнения (1.27) y = с1e αx cos βx + с 2 e αx sin βx . Пример 1.21. Найти частное решение уравнения y′′ + 9 y = 0 , удовлетворяющее начальным условиям y(0 ) = 1 ,

y′(0 ) = 1 .

40 Решение.

Составляем

характеристическое

уравнение

2

k + 9 = 0 , его корни – k1 = 3i , k 2 = −3i . В соответствии с теорией дифференциальное уравнение имеет решения

y1 = e 0⋅ x cos 3x = cos 3x , y 2 = sin 3x . Значит, общее решение y = c1 cos 3x + c 2 sin 3x . Найдем частy и ное решение. Подставляя в выражения для y′ = −3c1 sin 3x + 3c 2 cos 3x условия y(0 ) = 1 , y′(0 ) = 1 , получаем систему

⎧c1 = 1, ⎨ ⎩3c 2 = 1.

1 1 , y = cos 3x + sin 3x . 3 3 1 Ответ: y = cos 3x + sin 3x . 3

Тогда c1 = 1 , c 2 =

1.3.5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Свойства. Структура общего решения Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

y′′ + p1 (x )y′ + p 2 (x )y = q (x )

(1.29)

и соответствующее ему однородное уравнение

y′′ + p1 (x )y′ + p 2 (x )y = 0

(1.26)

Свойство 1. Если y1 – решение уравнения (1.29), y 2 – решение уравнения (1.26), то y1 ± y 2 – также решение уравнения (1.29). Свойство 2. Если q (x ) = q1 (x ) + q 2 (x ) + ... + q m (x ) ,

y1 есть решение уравнения y′′ + p1 (x )y′ + p 2 (x )y = q1 (x ) , y 2 есть решение уравнения y′′ + p1 (x )y′ + p 2 (x )y = q 2 (x ) ,…,

41 y m есть решение уравнения y′′ + p1 (x )y′ + p 2 (x )y = q m (x ) , то y = y1 + y 2 + ... + y m есть решение уравнения (1.29). Свойство 3. (структура общего решения). Пусть y – общее решение линейного однородного уравнения (1.26), ~ y – какое-нибудь частное решение линейного неоднородного уравнеy является общим решением уравнения (1.29). Тогда y = y + ~ ния (1.29). Доказательство. По свойству 1 y = y + ~ y будет решением уравнения (1.29). Покажем, что y – общее решение. Выберем произвольные начальные условия y(x 0 ) = y 0 , y′(x 0 ) = y′0 . Так как y – общее решение уравнения (1.26), то y = c1 y1 + c 2 y 2 , где y1 , y 2 – линейно независимые решения уравнения (1.26).

y . Подставив в это выражение начальТогда y = c1y1 + c 2 y 2 + ~ ные условия, получим систему

⎧ y 0 = c1 y10 + c 2 y 20 + ~y0 , ⎨ ′ + c 2 y′20 + ~y′0 , ⎩ y′0 = c1 y10 ′ , y′20 , ~y′0 – числовые значения y1 , y 2 , ~y , где y10 , y 20 , ~ y0 , y10 y1′ , y′2 , ~y′ при x = x 0 . Система имеет единственное решение

с1 = с10 , с 2 = с 02 , так как ее определитель является определителем Вронского для линейно независимых функций и отличен от

y удовлетвонуля. Таким образом, решение y = c1 y1 + c 2 y 2 + ~ ряет выбранным начальным условиям, и y = y + ~ y является общим решением уравнения (1.29). ■ Пример 1.22. Найти общее решение уравнения 0

y′′ − 4 y′ − 5y = −8e x .

0

(1.30) Решение. Линейному неоднородному уравнению (1.30) соответствует линейное однородное уравнение (1.31) y′′ − 4 y′ − 5 y = 0 . Составляем характеристическое уравнение для уравнения (1.31):

k 2 − 4k − 5 = 0 ,

42 корни этого уравнения k1 = 5 , k 2 = −1 . Значит, общее решение уравнения (1.31) имеет вид

y = c1e5 x + c 2 e − x . Для уравнения (1.30) нетрудно подобрать частное решение

~y = e x (при подстановке его в уравнение (1.30) получается тож-

дество). Следовательно, по свойству 3 общим решением уравнения (1.30) будет функция

y = c1e5 x + c 2 e − x + e x . Ответ: y = c1e5 x + c 2 e − x + e x , c1 , c 2 ∈ R . 1.3.6. Метод вариации произвольных постоянных В пункте 1.3.5. показано, что если удалось подобрать частное решение уравнения (1.29), то с помощью него можно записать общее решение этого уравнения. Для произвольного уравнения сделать это достаточно сложно. Рассмотрим более общий способ рассуждений. Предположим, что известна фундаментальная система решений y1 , y 2 уравнения (1.26). Тогда общее решение уравнения (1.26) есть функция y = c1y1 + c 2 y 2 , c1 , c 2 ∈ R . Будем считать решение уравнения (1.29) в виде y = c1 (x )y1 + c 2 (x )y 2 ,

где c1 (x ) , c 2 (x ) – подлежащие определению функции переменной x. Вычисляем первую производную y′ = c1y1′ + c 2 y′2 + c1′ y1 + c′2 y 2 . Пусть функции c1 и c 2

таковы, что c1′ y1 + c′2 y 2 = 0

и

y′ = c1y1′ + c 2 y′2 . Далее y′′ = c1y1′′ + c 2 y′2′ + c1′ y1′ + c′2 y′2 . После подстановки y , y′ и y′′ в уравнение (1.29) получим c1′ y1′ + c′2 y′2 = q (x ) . Таким образом, функции c1 и c 2 должны удовлетворять системе

43 ⎧c1′ y1 + c′2 y 2 = 0, ⎨ ⎩c1′ y1′ + c′2 y′2 = q (x ).

(1.32)

Система (1.32) является системой линейных алгебраических уравнений относительно c1′ и c′2 , которая имеет единственное

c1 , решение c1′ = ϕ1 (x ) , c′2 = ϕ 2 (x ) . Откуда c1 = ∫ ϕ1 (x )dx + ~ c 2 = ∫ ϕ2 (x )dx + ~c2 , ~c1 , ~c2 – произвольные постоянные. Полу-

чили общее решение уравнения (1.29)

y = ~c1 y1 + ~c2 y 2 + ∫ ϕ1 (x )dx y1 + ∫ ϕ 2 (x )dx y 2 .

Пример 1.23. Найти общее решение дифференциального уравнения

y′′ + y =

1 . cos x

(1.33)

Решение. Уравнение (1.33) является линейным неоднородным второго порядка с постоянными коэффициентами, ему соответствует линейное однородное уравнение y′′ + y = 0 . (1.34) Найдем общее решение уравнения (1.34). Характеристическое уравнение для уравнения (1.34) имеет вид k 2 + 1 = 0 , его корни k1 = i , k 2 = −i . Таким образом, общее решение уравнения (1.34) есть y = c1 cos x + c 2 sin x , y1 = cos x , y 2 = sin x , c1 , c 2 ∈ R . Будем искать решение уравнения (1.33) в виде y = c1 (x ) cos x + c 2 (x ) sin x . Функции c1 (x ) и c 2 (x ) должны удовлетворять системе (1.32)

⎧c1′ cos x + c′2 sin x = 0, ⎪ ⎨− c′ sin x + c′ cos x = 1 . 2 ⎪⎩ 1 cos x Решив систему, получим c1′ = − tg x , c 2 = 1 . Тогда c1 = − ∫ tg xdx = ln cos x + ~c1 , c 2 = ∫ dx = x + ~c2 . Общее решение уравнения (1.33)

44 y = ~c1 cos x + ~c2 sin x + x sin x + cos x ln cos x , ~c1 , ~c2 ∈ R . Ответ: y = ~ c cos x + ~c sin x + x sin x + cos x ⋅ ln cos x . 1

2

1.3.7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов Будем рассматривать линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами y′′ + by′ + ay = f (x ) , (1.35)

где a, b ∈ R , f (x ) – некоторая функция переменной x. Чтобы найти общее решение этого уравнения, можно применить метод вариации произвольных постоянных, он требует решения системы линейных алгебраических уравнений и интегрирования различных выражений. Если правая часть уравнения (1.35) специального вида, отыскать общее решение уравнения удается и без интегрирования. Для этого по свойству 3 пункта 1.3.5 к общему решению уравнения (1.27) нужно прибавить частное решение уравнения (1.35).

I. f (x ) = P m (x )e αx , где Pm (x ) – многочлен степени m,

α ∈ R.

а) Если α не является корнем уравнения

k 2 + bk + a = 0 ,

(1.28)

то частное решение уравнения (1.35) можно искать в виде

~ y = e αx Q m (x ) , где Q m (x ) – многочлен степени m с неизвестными коэффициентами. б) Если α – корень кратности l ( l = 1 или l = 2 ) уравнения (1.28), то частное решение можно искать в виде ~ y = x l e αx Q m (x ) . Замечание. Многочлены с неопределенными коэффициентами записываются: Q 0 (x ) = A , Q1 (x ) = Ax + B , Q 2 (x ) = Ax 2 + Bx + C ,

45 A, B, C ∈ R , и так далее. Пример 1.24. Найти общее решение уравнения

y′′ + 6 y′ + 9 y = (x − 2)e −3x .

(1.36)

Решение. Линейному неоднородному уравнению (1.36) соответствуют линейное однородное уравнение y′′ + 6 y′ + 9 y = 0 и характеристическое уравнение k 2 + 6k + 9 = 0 с корнем k = −3 кратности 2. Следовательно, общее решение однородного уравнения y = c1e −3x + c 2 xe −3x . Правая часть уравнения

(1.36) имеет вид P1 (x )e αx , где P1 (x ) = x − 2 – многочлен первой степени, α = −3 – кратности l = 2 характеристического уравнения. Поэтому частное решение уравнения (1.36) ищем в виде

~y = x l Q (x )e −3x = x 2 (Ax + B)e −3x . Дальнейшие вычисления 1 y , ~y′ и ~y′′ в столоформим следующим образом. Расположим ~

бик, слева от них запишем соответствующие коэффициенты уравнения (1.36).

( ( (

)

9 ~y = Ax 3 + Bx 2 e −3x 6 ~y′ = 3Ax 2 + 2Bx − 3Ax 3 − 3Bx 2 e − 3x 1 ~y′′ = 9Ax 3 − 18Ax 2 + 9Bx 2 + 6Ax − 12Bx + 2B e − 3x . Умножая ~ y , ~y′ и ~y′′ на коэффициент слева, складываем строки

)

)

и приравниваем к f (x ) = (x − 2 )e −3x . После деления уравнения на e −3x , получим

9Ax 3 + 9Bx 2 + 18Ax 2 + 12Bx − 18Ax 3 − 18Bx 2 + 9Ax 3 − − 18Ax 2 + 9Bx 2 + 6Ax − 12Bx + 2B = x − 2 . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x левой и правой частей полученного тождества, получаем систему

46

⎧9A − 18A + 9A = 0, ⎪9B + 18A − 18B − 18A + 9B = 0, ⎪ ⎨ ⎪12B + 6A − 12B = 1, ⎪⎩2B = −2, 1 ⎛1 ⎞ , B = −1 . Таким образом, ~ y = ⎜ x − 1⎟ x 2 e − 3x и 6 ⎝6 ⎠ ⎛1 ⎞ y = ⎜ x − 1⎟ x 2 e − 3x + (c1 + c 2 x )e − 3x . общее решение y = y + ~ ⎝6 ⎠ откуда A =

⎛1 ⎞ x − 1⎟ x 2 e − 3x , c1 , c 2 ∈ R . ⎠ ⎝6

Ответ: y = (c1 + c 2 x )e − 3x + ⎜

II. f (x ) = e αx (Pn (x ) cos β x + Pm (x ) sin β x ) , где Pn (x ) и

Pm (x ) – многочлены степеней n и m соответственно, α, β ∈ R . Обозначим N = max(n, m ) . а) Если α ± βi не являются корнями уравнения (1.28), то частное решение уравнения (1.35) имеет вид

~ y = e αx (Q N (x ) cos β x + R N (x ) sin β x ) ,

Q N (x ) и R N (x ) – многочлены (разные) степени N с неопределенными коэффициентами. б) Если α ± βi – корни уравнения (1.28), то частное решение ~ y = xeαx (Q N (x ) cos β x + R N (x ) sin β x ) . Пример 1.25. Найти общее решение уравнения y′′ + y = (x + 1) cos 2 x + sin 2 x .

(1.37)

2

Решение. Характеристическое уравнение k + 1 = 0 для линейного однородного уравнения y′′ + y = 0 имеет корни

k1, 2 = ±i , поэтому общее решение линейного однородного уравнения запишется в виде y = c1 cos x + c 2 sin x , c1 , c 2 ∈ R .

47 Правая часть линейного неоднородного уравнения (1.37) представляет собой функцию f (x ) = (x + 1) cos 2 x + sin 2 x , следова-

тельно, α = 0 (в функции f (x ) e αx = 1 ), β = 2 ( β – коэффициент при x в функциях cos 2 x и sin 2 x ), Pn (x ) = x + 1 , n = 1 ,

Pm (x ) = 1 , m = 0 , N = max(n , m ) = 1 . Число α + iβ = 2i не яв-

ляется корнем характеристического уравнения, значит, частное решение следует искать в виде

~y = Q (x ) cos 2 x + R (x ) sin 2 x = 1 1 = (Ax + B) cos 2 x + (Cx + D ) sin 2 x .

Аналогично, как и в примере 1.24, составляем таблицу

1 ~y = (Ax + B) cos 2 x + (Cx + D ) sin 2 x 0 ~y′ = (A + 2Cx + 2D ) cos 2 x + (C − 2Ax − 2B) sin 2 x 1 ~y′′ = (4C − 4Ax − 4B) cos 2 x − (4A + 4Cx + 4D ) sin 2 x . Складывая строчки, имеем

~y′′ + ~y = (4C − 3Ax − 3B) cos 2 x − (4A + 3Cx + 3D ) sin 2 x =

= (x + 1) cos 2 x + sin 2 x . Приравнивая отдельно коэффициенты при sin 2 x и cos 2 x , по⎧4C − 3Ax − 3B = x + 1, В каждом уравнении системы лучаем ⎨ ⎩− 4A − 3Cx − 3D = 1. приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной x , откуда

⎧− 3A = 1, ⎪4C − 3B = 1, ⎪ ⎨ ⎪− 3C = 0, ⎪⎩− 4A − 3D = 1, 1 1 1 тогда A = − , C = 0 , B = − , D = и 3 3 9 1 ~y = − (x + 1) cos 2x + 1 sin 2x . 3 9

48 Следовательно, общее решение уравнения (1.37)

1 1 y = y + ~y = c1 cos x + c 2 sin x − (x + 1) cos 2 x + sin 2 x . 3 9 1 1 Ответ: y = c1 cos x + c 2 sin x − (x + 1) cos 2 x + sin 2 x , 3 9 c1 , c 2 ∈ R . Замечание. Если в уравнении (1.35)

f (x ) = f1 (x ) + f 2 (x ) + ... + f s (x ) , ~y – частное решение уравнения y′′ + by′ + ay = f (x ) , 1 1 ~y – частное решение уравнения y′′ + by′ + ay = f (x ) , …, 2 2 ~y – частное решение уравнения y′′ + by′ + ay = f (x ) , s

s

то общее решение уравнения (1.35) имеет вид

y = y + ~y1 + ~y 2 + ... + ~ys ,

y – общее решение уравнения (1.27). 1.3.8.* Свободные и вынужденные колебания. Резонанс В примере 1.2, находя закон движения груза, подвешенного на пружине, получили уравнение

d2x dx + 2b + a 2 x = f (t ) . 2 dt dt

(1.2)

Многие колебательные процессы описываются уравнением (1.2), в котором коэффициент b характеризует сопротивление системы, b > 0 , функция f (t ) характеризует внешнее воздействие на систему. Уравнению (1.2) соответствуют линейное однородное уравнение

x ′′ + 2bx ′ + a 2 x = 0 ,

(1.38)

характеристическое уравнение k 2 + 2bk + a 2 = 0 с дискрими-

(

)

нантом D = 4 b 2 − a 2 . [В уравнении (1.38) внешние силы не учитываются.]

49 1. D > 0 или b 2 − a 2 > 0 возможно в случае, когда сопротивление системы велико. Общее решение уравнения (1.38) имеет вид ⎛⎜ − b − b 2 − a 2 ⎞⎟ t ⎠

⎛⎜ − b − b 2 − a 2 ⎞⎟ t

x = c1e ⎝

⎠ + c 2 e⎝ . При наличии начальных условий x (0 ) = x 0 ≠ 0 , x ′(0 ) = 0 из

общего решения выделяется некоторое частное

x=

⎛ − b − b 2 − a 2 ⎞⎟ t 0 ⎜⎝ ⎠ c1 e

⎛ − b − b 2 − a 2 ⎞⎟ t 0 ⎜⎝ ⎠ + c 2e . 2

⎛⎜ − b ± b 2 − a 2 ⎞⎟ t ⎝ ⎠

2

Так как в этом случае − b ± b − a < 0 , то e стремится к нулю при t, стремящемся к + ∞ , т.е. x (t ) стремится

к нулю. Такое движение, когда x (t ) стремится к нулю при t, стремящемся к + ∞ , называется апериодическим.

Если с10 ⋅ с 02 < 0 , то существует t 0 такое, что x (t 0 ) = 0 , значит, положение равновесия системой достигается; если

с10 ⋅ с 02 > 0 , то положение равновесия не достигается. 2. D = 0 при b 2 = a 2 возможно в случае, когда сила сопротивления равна силе упругости (для груза, подвешенного на пружине). Общее решение уравнения (1.38) x = c1e − bt + c 2 te − bt снова дает апериодическое движение. 3. Если сопротивление системы мало, то b < a и D < 0 . Корнями характеристического уравнения являются

k1, 2 = −b ± a 2 − b 2 i ,

α = −b , β = a 2 − b 2 .

Общее решение уравнения (1.38) имеет вид

(

)

x = e − bt c1 cos a 2 − b 2 t + c 2 sin a 2 − b 2 t =

(

)

A = c1 + c 2 ,

γ = arcsin

= Ae− bt sin a 2 − b 2 t + γ , где

2

2

c1 2

c1 + c 2 2

.

Так

как

(

50

)

sin a 2 − b 2 t + γ – периодическая функция, то положение равновесия будет периодически повторяться. Величина A ⋅ e -bt называется амплитудой и стремится к нулю при t, стремящемся к + ∞ , величина γ называется начальной фазой. Итак, в случае 3, когда сопротивление мало, в колебательной системе, в которой внешние силы не учитываются, возникают затухающие колебания. Замечание. Если b = 0 , то x = A sin (at + γ ) описывает гармонические колебания с периодом

2π . a

Рассмотрим уравнение (1.2) в интересующем нас (3) случае. Пусть b ≠ 0 , f (t ) = H sin ωt . В соответствии с теорией

пункта 1.3.7 α = 0 (в функции f (t ) e αt = 1 ), β = ω , Pm (t ) = H ,

Pn (t ) = 0 , m = n = 0 . Число α + iβ = ωi не является корнем характеристического уравнения, значит, l = 0 . Частное решеx = B cos ωt + C sin ωt . ние уравнения (1.2) будем искать в виде ~ Составляем таблицу

a2 ~ x = B cos ωt + C sin ωt ~ 2b x ′ = −Bω sin ωt + Cω cos ωt 1 ~ x ′′ = −Bω2 cos ωt − Cω2 sin ωt. Складывая строчки и приравнивая к f (t ) , получаем

(

)

H sin ωt = − Bω2 + 2bCω + Ba 2 cos ωt +

(

)

+ − Cω2 − 2bωB + a 2 C sin ωt , откуда следует система

( )

)

⎧− 2bωB + a 2 − ω2 C = H, ⎨ 2 2 ⎩ a − ω B + 2bωC = 0.

(

Решением системы являются

51 - 2bωH

B=

(

4b 2 ω2 + a 2 − ω

)

2 2

и C=

(

H a 2 − ω2

4 b 2 ω2 + a 2 − ω2

Тогда частное решение уравнения (1.2)

~ x=

− 2bωH

(

4 b 2 ω2 + a 2 − ω

)

2 2

cos ωt +

(

)

(

H a 2 − ω2

(

)

4 b 2 ω2 + a 2 − ω2

)

2

)

2

.

sin ωt =

= D sin (ωt + ϕ) , где D =

B 2 + C 2 – амплитуда, ϕ = arcsin

B . D

В итоге общее решение уравнения (1.2) имеет вид

(

) sin ( a

y = Ae− bt sin a 2 − b 2 t + γ + D sin (ωt + ϕ) ,

)

2 в котором первое слагаемое Ae− bt − b 2 t + γ описывает свободные или собственные колебания системы, второе слагаемое D sin (ωt + ϕ) – вынужденные колебания, D – амплитуда вынужденных колебаний. Собственные колебания затухают, и система колеблется за счет внешних воздействий. Случай, когда амплитуда вынужденных колебаний максимальна, называется случаем резонанса. Известно, что амплитуда D максимальна при

ω = a 2 − 2b 2 . При b = 0 резонанс наступает, когда ω = a . Тогда частное решение системы (1.2)

~ x = t (B cos ωt + C sin ωt ) = B2 + C 2 t sin (ωt + ϕ0 ) , амплитуда

B2 + C 2 t стремится к бесконечности при t, стре-

мящемся к + ∞ , и система может быть разрушена.

52 1.3.9. Задачи для самостоятельной работы Найти общее решение дифференциального уравнения, понизив его порядок. 4 ′ ′ ′ 2. 1 − x 2 y′′ − xy′ = 2 . 1. y sin x = sin 2 x .

(

(

)

3. 1 + x 2 y′′ + (y′) + 1 = 0 .

)

4. y′′(2 y + 3) − 2(y′) = 0 .

2

2

y′ . y

5. y′′ =

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям. 6. y′′ + 18 sin y cos3 y = 0 , y(0 ) = 0 , y′(0 ) = 3 .

y′ = x (x − 1) , y(2 ) = 1 , y′(2 ) = −1 . x −1

7. y′′ −

Найти общее решение линейного дифференциального уравнения. 9. y′′ − 2 y′ − 3y = 0 . 8. y′′ + 2 y′ + 5y = 0 . 10. y′′ + 6 y′ + 9 = 0 .

11. y′′ − y = 4 xe x .

12. y′′ − 2 y′ + y = x + 1 . 13. y′′ − 6 y′ + 25y = 2 sin x + 3 cos x . 14. y′′ − 2 y′ + 2 y = e x sin x . 15. y′′ + 9 y = sin 3x − x cos 3x . Ответы: 1. y = ln sin x + c1x 2 + c 2 x + c3 . 2. y = arcsin 2 x + c1 arcsin x + c 2 .

(

2

)

3. y = 1 + c1 ln x + c1 − c1x + c 2 .

(

)

4.

1 ln(2 y + 3) = c1x + c 2 . 2

1 y − c1 ln 2 y + c1 + c 2 . 6. y = arctg3x . 2 4 3x − 4x 3 + 72 x − 36x 2 + 8 . 7. y = 24

5. x =

(

)

53 8. y = c1e − x cos 2 x + c 2 e − x sin 2 x . 9. y = c1e − x + c 2 e3x .

(

)

10. y = c1e −3x + c 2 xe −3x . 11. y = c1e x + c 2 e − x + x 2 − x e x . 12. y = c1e x + c 2 xe x + x + 3 . 13. y = e3x (c1 cos 4 x + c 2 sin 4 x ) +

14 cos x + 5 sin x . 102

14. y = e x (c1 cos x + c 2 sin x ) − 0,5xe x cos x . 15. y = c1 cos 3x + c 2 sin 3x −

13 1 x cos 3x − x 2 sin 3x . 72 12

1.4. Системы дифференциальных уравнений 1.4.1. Нормальная система дифференциальных уравнений Определение 1.21. Система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной,

⎧ y1′ = f1 (x , y1 ,..., y n ), ⎪ y′ = f (x , y ,..., y ), ⎪ 2 2 1 n ⎨ L ⎪ ⎪⎩ y′n = f n (x , y1 ,..., y n ),

(1.39)

где x – независимая переменная, y1 , y 2 ,..., y n – неизвестные функции переменной x,

f1 , f 2 ,..., f n – заданные функции n + 1 аргумента, называется нормальной системой дифференциальных уравнений. Определение 1.22. Решением нормальной системы (1.39) на интервале (a; b ) называется система n функций

y1 = y1 (x ) , …, y n = y n (x ) , дифференцируемых на интервале (a; b ) и обращающих систему (1.39) в тождества на интервале (a; b ) .

54 Задача Коши состоит в нахождении решения системы (1.39), удовлетворяющего начальным условиям

y1 (x 0 ) = y10 , y 2 (x 0 ) = y 02 , …, y n (x 0 ) = y 0n .

(1.40) Для системы (1.39) имеет место теорема о существовании и единственности решения задачи Коши, аналогичная теореме 1.2. Решением системы

⎧ y1′ = y 2 , ⎨ ⎩ y′2 = − y1 , с начальными условиями y1 (0 ) = 0 , y 2 (0 ) = 1 , является пара функций y1 = sin x , y 2 = cos x . Определение 1.23. Общим решением системы (1.39) называется система функций y1 = y1 (x , c1 , c 2 ,..., c n ) ,

y 2 = y 2 (x , c1 , c 2 ,..., c n ) , …, y n = y n (x, c1 , c 2 ,..., c n ) ,

зависящих от произвольных постоянных с1 , c 2 ,..., c n , если: 1) при любых значениях с1 , c 2 ,..., c n функции y1 , y 2 ,..., y n являются решением системы (1.39); 2) при любых заданных начальных условиях (1.40) существуют 0 0 0 числа с1 , c 2 ,..., c n такие, что функции

(

)

y1 = y1 x, c10 , c 02 ,..., c 0n , …,

(

y n = y n x, c10 , c02 ,..., c 0n

)

решают задачу Коши с условиями (1.40). Решения, получающиеся из общего решения при конкретных значениях постоянных с1 , c 2 ,..., c n , называются частными решениями. 1.4.2. Метод исключений Одним из способов нахождения общего решения нормальной системы дифференциальных уравнений (1.39) является метод исключений. Он основан на утверждении: нормальная система n уравнений (1.39) эквивалентна одному дифференциальному уравнению n-го порядка y (n ) = f x , y, y′,..., y (n −1) .

(

)

55 Рассмотрим метод исключений на примере системы двух уравнений

⎧ dy1 ⎪ dx = f1 (x , y1 , y 2 ), ⎨ dy ⎪ 2 = f 2 (x , y1, y 2 ). ⎩ dx

(1.41)

Дифференцируем первое уравнение системы (1.41) по переменной x, получаем

d 2 y1 ∂f1 ∂f1 dy1 ∂f1 dy 2 = + ⋅ + ⋅ . ∂x ∂y1 dx ∂y 2 dx dx 2 Подставляя в равенство вместо

dy1 dy 2 и соответствующие dx dx

функции из системы (1.41), имеем

d 2 y1 ∂f1 ∂f1 ∂f = + f1 (x, y1 , y 2 ) + 2 f 2 (x, y1 , y 2 ) ≡ F(x, y1 , y 2 ) . 2 ∂x ∂x ∂x dx Пусть первое уравнение системы (1.41) разрешается относительно y 2 , т.е. можно записать

dy ⎞ ⎛ y 2 = ϕ⎜ x, y1 , 1 ⎟ . dx ⎠ ⎝ Тогда

⎛ d 2 y1 dy ⎞ ⎞ dy ⎞ ⎛ ⎛ F(x, y1 , y 2 ) = F⎜⎜ x , y1 , ϕ⎜ x, y1 , 1 ⎟ ⎟⎟ ≡ Φ⎜ x, y1 , 1 ⎟ . 2 dx ⎠ ⎠ dx ⎠ dx ⎝ ⎝ ⎝ Получили систему

⎧ d 2 y1 dy1 ⎞ ⎛ ⎟, ⎪⎪ 2 = Φ⎜ x , y1 dx ⎠ dx ⎝ ⎨ ⎪ y 2 = ϕ⎛⎜ x , y1 , dy1 ⎞⎟. ⎪⎩ dx ⎠ ⎝

(1.42)

56 Первое уравнение системы (1.42) является дифференциальным уравнением второго порядка, найдя его общее решение y1 , из второго уравнения системы (1.42) можно найти y 2 .

⎧x ′ = 3x − y, ⎩ y′ = x + y,

Пример 1.26. Найти общее решение системы ⎨

(x, y – функции переменной t). Решение. Дифференцируем по t первое уравнение системы: x ′′ = 3x ′ − y′ . Так как x ′ = 3x − y , y′ = x + y , то

x ′′ = 3x ′ − y′ = 3(3x − y ) − (x + y ) = 8x − 4 y . Выражаем y из первого уравнения системы и подставляем в последнее равенство, имеем y = 3x − x ′ и

x ′′ = 8x − 4 y = 8x − 4(3x − x ′) = 4 x ′ − 4 x . Найдем общее решение дифференциального уравнения

x ′′ − 4 x ′ + 4 x = 0 . Характеристическое уравнение k 2 − 4k + 4 = 0 имеет кратный корень k 0 = 2 , тогда общее решение

x = c1e 2 t + c 2 te 2 t ,

c1 , c 2 – постоянные.

Учитывая, что

y = 3x − x ′ , x = c1e 2 t + c 2 te 2 t , x ′ = 2c1e 2 t + c 2 e 2 t + 2c 2 te 2 t , получаем

(

) (

)

y = 3x − x ′ = 3 c1e 2 t + c 2 te 2 t − 2c1e 2 t + c 2 (1 + 2 t )e 2 t = = c1e 2 t − c 2 (t + 1)e 2 t . Ответ: x = c1e 2 t + c 2 te 2 t , y = c1e 2 t − c 2 (t + 1)e 2 t . 1.4.3. Задачи для самостоятельной работы

57 Найти общее решение системы дифференциальных уравнений.

⎧x ′ = − x + 2 y, ⎩ y′ = 2x − y.

1. ⎨

⎧x ′ = x − y, ⎩ y′ = 5x − y.

⎧x ′ = 3x − 2 y, ⎩ y′ = 2x − y.

2. ⎨

3. ⎨

Ответы: 1) x = c1e t + c 2 e −3t , y = c1e t − c 2 e −3t ; 2) x = c1 cos 2 t + c 2 sin 2 t ,

y = (c1 − 2c 2 ) cos 2 t + (c 2 + 2c1 ) sin 2 t ;

⎛ ⎝

3) x = ⎜ c1 +

c2 ⎞ t t t t ⎟e + c 2 te , y = c1e + c 2 te . 2⎠ 2. РЯДЫ 2.1. Числовые ряды

2.1.1. Понятие числового ряда. Сходимость. Свойства числовых рядов Определение 2.1. Пусть задана бесконечная последовательность действительных чисел a 1 , a 2 ,..., a n ,... . Выражение

a 1 , a 2 ,..., a n ,...

(2.1)

называется числовым рядом. Числа a 1 , a 2 ,..., a n ,... называются членами ряда, число a n называется общим членом. ∞

Сокращенно ряд (2.1) обозначается ∑ a n . n =1

Примеры числовых рядов: 1) 1 + 2 + 3 + ... + n + ... ,

1 1 1 + + ... + n + ... , 2 4 2 3) sin 1 + sin 2 + ... + sin n + ... 2)

и так далее.

58 Определение 2.2. Сумма конечного числа n первых членов ряда (2.1) называется n-й частичной суммой ряда: S1 = a 1 ,

S2 = a 1 + a 2 ,... , Sn = a 1 + a 2 + ... + a n ,... . Определение 2.3. Если последовательность частичных сумм (Sn ) сходится, т.е. существует конечный lim Sn = S , то n →∞

говорят, что ряд (2.1) сходится, и его сумма равна S. Если конечный lim Sn не существует, то говорят, что ряд (2.1) расхоn →∞

дится. Пример

2.1.

1 + 1 + ... + 1 + ... . Решение.

Исследовать Составим

на

сходимость

частичную

ряд сумму

Sn = 11 +4 12 + ... Sn = lim n = +∞ , то ис4+ 31 = n ⋅ 1 . Так как nlim →+∞ n →+∞ n

ходный ряд расходится по определению. Ответ: расходится. Пример 2.2. Найти сумму ряда

1 1 1 + + ... + + ... . 1⋅ 3 2 ⋅ 4 n (n + 2) 1 в виде суммы проРешение. Представляем дробь k (k + 2) стых дробей

1 A B = + , k (k + 2) k k + 2 A, B – неизвестные постоянные. Далее

1 Ak + 2A + Bk = . k (k + 2) k (k + 2)

Учитывая, что две дроби с одинаковыми знаменателями равны, получаем равенство 1 = Ak + 2A + Bk . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях k , имеем систему

⎧A + B = 0 1 1 откуда A = , B = − . Итак, ⎨ 2 2 ⎩2A = 1,

59 1 1 1 = − k (k + 2) 2k 2(k + 2) при любом k . Значит,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − = − = − , , , 1⋅ 3 2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 4 2 ⋅ 2 2 ⋅ 4 3 ⋅ 5 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 1 1 1 1 1 1 …, = − = − , , (n − 2)n 2(n − 2) 2n (n − 1)(n + 1) 2(n − 1) 2(n + 1) 1 1 1 = − . n (n + 2) 2 ⋅ n 2(n + 2) Тогда

⎛1

1

1

1

⎞

3

⎟= . Имеем lim Sn = lim ⎜⎜ + − − n →+∞ n →+∞⎝ 2 2 ⋅ 2 2(n + 1) 2(n + 2) ⎟⎠ 4 Значит, ряд сходится и его сумма равна Ответ:

3 . 4

3 . 4

60 Рассмотрим простейшие свойства числовых рядов. Свойство1. Если ряды a 1 + a 2 + ... + a n + ... ,

b1 + b 2 + .... + b n + ...

(2.1) (2.2)

~ сходятся и их суммы соответственно равны S и S , то ряд (a1 + b1 ) + (a 2 + b 2 ) + ... + (a n + b n ) + ... (2.3) ~ также сходится и его сумма равна S + S . Доказательство. Обозначим n –е частные суммы рядов ~ (2.1), (2.2) и (2.3) через Sn , Sn и Sn соответственно. Тогда Sn = (a 1 + b1 ) + (a 2 + b 2 ) + ... + (a n + b n ) = ~ = (a1 + a 2 + ... + a n ) + (b1 + b 2 + ... + b n ) = Sn + Sn . Переходя к пределу при n → +∞ , получаем ~ ~ ~ lim Sn = lim Sn + Sn = lim Sn + lim Sn = S + S , n →+∞ n →+∞ n →+∞ n →+∞ ~ ~ так как lim Sn = S и lim Sn = S по условию. Значит, n →+∞ n →+∞ ~ ряд (2.3) сходится и его сумма равна S + S . ■ Свойство 2. Если ряд (2.1) сходится и его сумма равна S ,

(

)

то ряд

αa 1 + αa 2 + ... + αa n + ... тоже сходится и его сумма равна αS , где α – произвольное фиксированное число. Свойство 3. Если у сходящегося ряда отбросить конечное число его членов, то полученный ряд также будет сходиться. Верно и обратное: если сходится ряд, полученный отбрасыванием конечного числа членов у данного ряда, то и данный ряд также сходится. Пример 2.3. (геометрическая прогрессия). Ряд

a + aq + aq 2 + ... + aq n −1 + ...

(2.4) представляет собой сумму бесконечного числа членов геометрической прогрессии с первым членом a и знаменателем q .

Известно, что Sn =

(

)

61

a 1 − qn при q ≠ 1 . 1− q

(

)

a 1 − qn a . Зна1. Пусть q < 1 , тогда lim Sn = lim = n →+∞ n →+∞ 1 − q 1− q чит, ряд (2.4) сходится. 2. Пусть q > 1 , тогда q n стремится к бесконечности при n →+∞

(

)

a 1 − qn = ∞ . Ряд (2.4) расходитn →+∞ 1 − q

n → +∞ и lim Sn = lim

ся. 3. Если q = 1 , то ряд a + a + ... + a + ... расходится, так как

lim Sn = lim (a + a + ... + a ) = lim (n ⋅ a ) = ∞ . 4244 3 n → +∞ n → +∞ 14

n → +∞

n

4. Если q = −1 , то ряд a − a + ... + (− 1)

n +1

a + ... имеет частичные суммы S1 = a , S2 = a − a = 0 , S3 = a , S4 = 0 ,…, S2 m−1 = a , S2 m = 0 ,…. Значит, lim Sn не существует, и n →+∞

ряд (2.4) расходится. Итак, ряд (2.4) сходится при q < 1 и расходится при

q ≥ 1.

5 13 3n + 2 n Пример 2.4. Найти сумму ряда + + ... + + ... . 6 36 6n k Решение. Учитывая, что при любом k k 3k + 2 k ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ , преобразуем частичную сумму ряда 6k ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ 3n + 2 n 5 13 + ... + = Sn = + 6 36 6n 2 2 ⎛ ⎛ 1 ⎞n ⎛ 1 ⎞n ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎛⎜ ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎞⎟ =⎜ + ⎟+ ⎜ ⎟+ + ... + ⎜ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎝ 2 3 ⎠ ⎜⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎟⎠ ⎠ ⎝

62 n 2 n ⎛ 1 ⎛ 1 ⎞2 ⎛ 1 ⎞ ⎞⎟ ⎛ 1 ⎞ ⎞⎟ ⎛⎜ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎜ + ... + ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ . = + ⎜ 2 ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎟⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎟⎠ ⎜⎝ 3 ⎝ 3 ⎠ ⎝

Но 2

n

1 ⎛1⎞ ⎛1⎞ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ = 2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠

1 ⎛⎜ ⎛ 1 ⎞ 1− ⎜ ⎟ 2 ⎜⎝ ⎝ 2 ⎠ 1−

n +1 ⎞

⎟ ⎟ ⎠

1 2

и 2

n

1 ⎛1⎞ ⎛1⎞ + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ = 3 ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠

1 ⎛⎜ ⎛ 1 ⎞ 1− ⎜ ⎟ 3 ⎜⎝ ⎝ 3 ⎠ 1−

1 3

n +1 ⎞

⎟ ⎟ ⎠

как суммы геометрических прогрессий со знаменателями

1 и 2

1 . Значит, 3 ⎛ 1 ⎛ ⎛ 1 ⎞ n +1 ⎞ 1 ⎛ ⎛ 1 ⎞ n +1 ⎞ ⎞ ⎜ ⎜1 − ⎜ ⎟ ⎟ ⎜1 − ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎜ ⎝ 2⎠ ⎟ 3 ⎜ ⎝ 3⎠ ⎟ ⎟ ⎠ ⎟ =1+ 1 = 3 . ⎠+ ⎝ lim Sn = lim ⎜ ⎝ 1 1 n →+∞ n →+∞⎜ 2 2 ⎟ 1− 1− ⎜ ⎟ 2 3 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 Ответ: . 2 2.1.2. Необходимый признак сходимости ряда Теорема 2.1. Если ряд (2.1) сходится, то lim a n = 0 . n →+∞

Доказательство. Если ряд (2.1) сходится, то по определению lim Sn = S , Sn – частная сумма, S – сумма ряда. Но тогда n →+∞

63 lim Sn −1 = S . Имеем

n →+∞

0 = S − S = lim Sn − lim Sn −1 = lim (Sn − Sn −1 ) = lim a n . ■ n →+∞

n →+∞

n →+∞

n →+∞

Замечание. Из теоремы 2.1. следует достаточное условие расходимости ряда: если n – й член ряда не стремится к нулю при n → +∞ , то ряд расходится. Пример 2.5. Исследовать на сходимость ряд

1 3 n −1 + + ... + + ... . 2 4 n n −1 Решение. Так как lim a n = lim = 1 ≠ 0 , то данный n →+∞ n →+∞ n

ряд расходится. Ответ: ряд расходится. Определение 2.4. Ряд вида

1+

1 1 1 + + ... + + ... 2 3 n

(2.5)

называется гармоническим рядом, а ряд

1+

1 1 1 + α + ... + α + ... α 2 3 n

(2.6)

называется обобщенным гармоническим рядом, α – произвольная константа. Для гармонического ряда (2.5) необходимое условие схо-

⎛ ⎝ n →+∞

1 ⎞ = 0 ⎟ , но дальнейшее n →+∞ 2 ⎠

димости выполняется ⎜ lim a n = lim

исследование показывает, что сам ряд расходится. Обобщенный гармонический ряд (2.6) сходится при α > 1 и расхо∞

дится при α ≤ 1 . Например, ряд ∑

n =1 n

1 43

∞

сходится, ряд ∑

расходится. 2.1.3. Признаки сравнения для рядов

n =1

1 n

64 с положительными членами Далее будем рассматривать числовые ряды с положительными членами

и

a 1 + a 2 + ... + a n + ...

(2.7)

b1 + b 2 + .... + b n + ... ,

(2.8)

a n > 0 и b n > 0 при любом n . Теорема 2.2 (первый признак сравнения). Пусть даны ряды с положительными членами (2.7) и (2.8), при любом n a n ≥ b n . Тогда: 1) если ряд (2.7) сходится, то и ряд (2.8) сходится; 2) если ряд (2.8) расходится, то и ряд (2.7) расходится. Доказательство. 1. Обозначим частичные суммы рядов

~

(2.7) и (2.8) через Sn и Sn соответственно. Так как при любом

~ n a n ≥ b n , то Sn ≥ Sn . Если ряд (2.7) сходится, то по определению существует lim Sn = S . Ряд (2.7) – с положительными n →+∞

( ) возрастает и

членами, следовательно, последовательность Sn

( )

~ ~ Sn ≤ S . Поэтому Sn ≤ Sn ≤ S , т.е. последовательность Sn ~ является ограниченной. Так как Sn возрастающая и ограниченная последовательность, то ~ ~ ~ существует lim Sn = S предел. Очевидно, что S ≤ S .

( )

n → +∞

2. Ряд (2.8) – ряд с положительными членами, значит, по-

(~ )

следовательность его частичных сумм Sn будет возрастающей. Учитывая, что ряд (2.8) расходится, получаем ~ ~ lim Sn = ∞ . Но Sn ≥ Sn (так как a n ≥ b n ), значит, n → +∞

lim Sn = ∞ . Тогда по определению ряд (2.7) расходится. ■

n → +∞

65 Замечание. Заключение теоремы 2.2. будет верным и в случае, когда условие a n ≥ b n выполняется лишь начиная с некоторого номера n > 1 . Пример 2.6. Исследовать на сходимость ряд

1 2 3 n + + + ... + 3 + ... . 2 9 28 n +1 n . Имеем Решение. Общий член ряда b n = 3 n +1 n n 1 bn = 3 ≤ 3 = 2. n +1 n n

(2.9)

Рассмотрим ряд

1+

1 1 1 + + ... + 2 + ... , 4 9 n

он сходится как обобщенный гармонический ряд при α = 2 > 1 . Тогда по первому признаку сравнения ряд (2.9) тоже сходится. Ответ: сходится. Теорема 2.3 (второй признак сравнения). Пусть даны ряды с положительными членами (2.7) и (2.8). Если существует

an = k , k ∈ (0 ;+∞ ) , то оба ряда ведут себя одинаn →+∞ b n

предел lim

ково, т.е. сходятся и расходятся одновременно. Пример 2.7. Исследовать на сходимость ряд ∞

∑

(

n =1

)

n +1 − n .

(2.10)

Решение. Последовательно преобразовывая общий член ряда (2.10), получаем

(

)(

)

n +1 − n n +1 + n = n +1 + n 1 . = n +1 + n При n → +∞ знаменатель дроби ведет себя как n , поэтоan = n +1 − n =

му сравним ряд (2.10) с рядом

66 ∞

∑

n =1

1 . n

(2.11)

Так как

lim

n →+∞

1 n +1 + n n = lim = 2 ∈ (0 ;+∞ ) , 1 n →+∞ n n +1 + n

то ряды (2.10) и (2.11) сходятся и расходятся одновременно. Обобщенный гармонический ряд (2.11) расходится, так как

α=

1 < 1 , следовательно, ряд (2.10) расходится. 2 Ответ: расходится. Пример 2.8. Исследовать на сходимость ряд ∞

2 ∑ n tg

n =1

π . n7

(2.12)

π является бесконечно n7 π малой, поэтому при n → +∞ функция tg 7 эквивалентна арn π ⎛ π π⎞ гументу tg 7 ~ 7 ⎟ . Сравним ряд (2.12) с рядом 7 ⎜ n ⎝ n n ⎠ ∞ ∞ π 2 π ∑ n 7 = ∑ 5 , который будет сходящимся, так как обобn =1 n =1 n n ∞ 1 щенный гармонический ряд ∑ 5 при α = 5 > 1 сходится, а по n =1 n второму свойству для числовых рядов умножение на число π не Решение. При n → +∞ величина

влияет на сходимость ряда. Имеем

π n5

π 5 lim = lim n = 1 ∈ (0 ;+∞ ) , π n →+∞ 2 π n →+∞ 2 n tg 7 n 7 n n

67 1 схо5 n =1 n ∞

значит, по второму признаку сравнения ряды (2.12) и ∑ дятся и расходятся одновременно. Ряд (2.12) сходится. Ответ: сходится. 2.1.4. Признак Даламбера

Теорема 2.4. Пусть дан ряд с положительными членами

a 1 + a 2 + ... + a n + ... ,

(2.7)

a n +1 = l . Тогда: 1) если 0 ≤ l < 1 , то ряд (2.7) сходится; n →+∞ a n 2) если l > 1 , то ряд (2.7) расходится. lim

Доказательство. 1. Пусть 0 ≤ l < 1 . Зафиксируем произвольное число q , для которого l < q < 1 . Так как

a n +1 = l < q , то начиная с некоторого номера N , будет n → +∞ a n a выполняться n +1 < q . Тогда для всех n ≥ N a n +1 < qa n . an lim

Получим при n = N

a N+1 < qa N ,

при n = N + 1 a N + 2 < qa N +1 < q 2 a N , при n = N + 2

a N +3 < qa N +1 < q 3a N ,….

Рассмотрим ряд

a N + qa N + q 2 a N + ... .

(2.13)

Это геометрическая прогрессия со знаменателем q < 1 , значит, ряд (2.13) сходится. Но тогда по первому признаку сравнения сходится и ряд a N +1 + a N + 2 + ... + a n + ... , который получается из ряда (2.7) путём отбрасывания первых N слагаемых. Следовательно, по третьему свойству числовых рядов ряд (2.7) сходится.

68 2. Пусть l > 1 . Тогда начиная с некоторого номера N , бу-

a n +1 a > 1 , так как lim n +1 = l > 1 . Получили, n →+∞ a an n что при всех n ≥ N a n < a n +1 , последовательность (a n ) является возрастающей, значит, lim a n ≠ 0 . Не выполняется необдет выполняться

n →+∞

ходимое условие сходимости ряда, ряд (2.7) расходится. ■ Замечание. Если l = 1 , то данная теорема не дает ответа на вопрос о сходимости ряда, нужно применять другие признаки для исследования. Пример 2.9. Исследовать на сходимость ряд

2 2⋅5 2 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (3n − 1) + + ... + + ... . 1 1⋅ 5 1 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (4n − 3) 2 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (3n − 1) , чтобы Решение. Общий член ряда a n = 1 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (4n − 3) записать a n +1 , в выражение для a n вместо n поставим n + 1 , 2 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (3n − 1)(3n + 2) . Вычислим предел получим a n +1 = 1 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (4n − 3)(4n + 1) ⎡ 2 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (3n − 1)(3n + 2 ) 1 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (4n − 3) ⎤ a lim n +1 = lim ⎢ ⋅ ⎥= n →+∞ a n →+∞ ⎣ 1 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (4n − 3)(4n + 1) 2 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (3n − 1) ⎦ n 3n + 2 3 = lim = < 1. n →+∞ 4n − 3 4 По признаку Даламбера ряд сходится. Ответ: сходится. ∞

(2n + 1)n

n =1

n!

Пример 2.10. Исследовать ряд ∑

на сходимость.

Решение. Применим для исследования признак Даламбера:

an

( 2n + 1)n = , a n!

( 2n + 3)n +1 , n +1 = (n + 1)!

69 последовательно выполняя преобразования под знаком предела, получим

⎡ (2n + 3)n +1 a n +1 n! ⎤ lim = lim ⎢ ⋅ ⎥= n →+∞ a n →+∞ ⎢ (2n + 1)! (2n + 1)n ⎦⎥ n ⎣

⎡⎛ 2n + 3 ⎞ n 2n + 3 ⎤ ( 2n + 3)n (2n + 3) ⋅ n ! = lim = lim ⎢⎜ ⎥= ⎟ ⋅ n → +∞ ⎝ 2n + 1 ⎠ n → +∞ (n + 1) ⋅ n ! (2n + 1)n n + 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 n +1 2 ⎤ ⎡ ⋅ ⋅n 2 2 n +1 2 2n + 3 ⎥ ⎛ ⎞ ⎢ = = lim ⎜1 + ⋅ ⎟ n → +∞ ⎢⎝ 2n + 1 ⎠ n +1 ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣

⎡ 2 n 2n + 3 ⎤ = lim ⎢e 2 n +1 ⋅ ⎥ = e⋅2. n →+∞ n + 1 ⎥⎦ ⎢⎣ (Были

n → +∞

использованы 1 α (n )

(1 + α(n ))

свойства

пределов:

при

an + b a → , cn + d c

→ e, α(n ) → 0 ;

a , b, c, d – постоянные). Так как 2e > 1 , то ряд расходится. Ответ: расходится. 2.1.5. Радикальный признак Коши

Теорема 2.5. Пусть дан ряд с положительными членами (2.7), lim

n →+∞

n

a n = l . Тогда: 1) если 0 ≤ l < 1 , то ряд (2.7) сходится, 2) если l > 1 , то ряд (2.7) расходится.

Замечание. Если l = 1 , то теорема 2.5 не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда. Пример 2.11. Исследовать на сходимость ряд n

2 +1+

64 ⎛ n +1 ⎞ + ... + ⎜ 2 ⎟ + ... . 343 ⎝ n − n + 1⎠

70 n

⎛ n +1 ⎞ ⎟ . Вычисляя 2 ⎝ n − n + 1⎠

Решение. Общий член ряда a n = ⎜ предел, получаем n

lim

n →+∞

n

a n = lim

n

n →+∞

n +1 ⎛ n +1 ⎞ = 0. ⎜ 2 ⎟ = lim 2 n →+∞ n − n + 1 ⎝ n − n + 1⎠

Так как l = 0 < 1 , то по радикальному признаку Коши ряд сходится. Ответ: сходится. Пример 2.12. Исследовать на сходимость ряд

1 1 1 arctg + arctg 2 + ... + arctg n + ... . 3 5 2n + 1 Решение. Учитывая, что при n → +∞ величина

1 яв2n + 1

1 1 , имеем ~ 2 n + 1 2n + 1 1 1 a n = lim n arctg n = lim arctg = n →+∞ 2n + 1 n →+∞ 2n + 1 1 = lim = 0 < 1. n → +∞ 2n + 1

ляется бесконечно малой и arctg

lim

n

n →+∞

По радикальному признаку Коши ряд сходится. Ответ: сходится. 2.1.6. Интегральный признак Коши Теорема 2.6. Пусть дан ряд с положительными членами (2.7), a1 ≥ a 2 ≥ ... ≥ a n ≥ ... , функция f (x ) определена, не возрастает и непрерывна на полуинтервале

[1; +∞ ) ,

причем

f (1) = a1 , f (2 ) = a 2 ,…, f (n ) = a n ,…. Тогда несобственный ин+∞

теграл первого рода ∫ f (x )dx и ряд (2.7) сходятся и расходятся 1

одновременно.

71 +∞

+∞

1

a

Замечание. Так как ∫ f (x )dx и ∫ f (x )dx сходятся и расходятся одновременно, a > 1 , то, решая задачи на сходимость, +∞

можно вычислить ∫ f (x )dx . a

1 . n =2 n ln n 1 Решение. По виду общего члена ряда a n = составляn ln n 1 ем функцию f (x ) = . Для исследования ряда применим x ln x интегральный признак Коши. Функция f (x ) непрерывна и принимает только положительные значения на промежутке [2;+∞ ) . Покажем, что f (x ) монотонно убывает на [2 ;+∞ ) . Пусть 2 < x1 < x 2 . Тогда ln x1 < ln x 2 и x1 ln x1 < x 2 ln x 2 , откуда 1 1 f (x 1 ) = > = f (x 2 ) . Итак, функция f (x ) полоx1 ln x1 x 2 ln x 2 +∞

Пример 2.13. Исследовать на сходимость ряд ∑

жительна, непрерывна и монотонно убывает на полуинтервале [2;+∞ ) , значит, можно применить интегральный признак сходимости. Вычислив несобственный интеграл, получим +∞

∫

2

b dx b d (ln x ) dx b = lim ∫ = lim ∫ = lim ln(ln x ) 2 = → +∞ → +∞ → +∞ b b b x ln x 2 x ln x 2 ln x = lim (ln(ln b ) − ln (ln 2 )) = +∞ . b→+∞

Несобственный интеграл расходится, следовательно, исходный ряд тоже расходится. Ответ: расходится. 2.1.7. Знакочередующийся ряд. Теорема Лейбница Определение 2.5. Числовой ряд

72 a 1 − a 2 + a 3 − ... + (− 1)n +1 a n + ... , (2.14) где a n > 0 при любом n , называется знакочередующимся. Теорема 2.7 (теорема Лейбница). Пусть знакочередующийся ряд (2.14) удовлетворяет условиям: 1) последовательность (a n ) является убывающей, т.е.

a1 > a 2 > ... > a n > ... ; 2) lim a n = 0 . Тогда ряд (2.14) является сходящимся. n →+∞

Доказательство. Рассмотрим четную 2k – частичную сумму S2 k = (a 1 − a 2 ) + (a 3 − a 4 ) + ... + (a 2 k −1 − a 2 k ) . Так как последовательность

(a n )

убывающая, то каждая скобка в S2 k

больше нуля, S2 k > 0 и S2 k возрастает с возрастанием k . С другой стороны, S2 k = a 1 − (a 2 − a 3 ) − (a 4 − a 5 ) − ... − (a 2 k −2 − a 2 k −1 ) − a 2 k ,

значит, S2 k < a 1 . Последовательность (S2 k ) является монотонно возрастающей и ограниченной. По свойствам предела последовательности существует lim S2 k = S ∈ R. k →+∞

2k + 1 – частичную сумму Рассмотрим нечетную S2 k +1 : S2 k +1 = S2 k + a 2 k +1 . Перейдя к пределу в равенстве, получим

lim S2 k +1 = lim S2 k + lim a 2 k +1 = lim S2 k = S ,

k → +∞

потому

k → +∞

что

по

k → +∞

k → +∞

lim a 2 k +1 = 0 .

условию

k →+∞

Итак,

lim S2 k = lim S2 k +1 = S , значит, ряд (2.14) сходится. ■

k →+∞

k →+∞

Замечание. Сумма S знакочередующегося ряда (2.14) положительна и не превосходит a 1 . К тому же можно показать, что S − Sn ≤ a n +1 при любом n . Пример 2.14. Исследовать на сходимость ряд

(− 1) (n + 1) + ... . 2 3 4 − + − ... + 3 9 27 3n n +1

73 Решение. Проверим выполнение условий теоремы Лейбница. Так как при любом n

n + 2 n +1 1 n + 1 2 (n + 1) 1 = n + n = n − ⋅ n + n = n +1 3 3 3 3 ⋅3 3 ⋅3 3 3 ⋅3 n + 1 2n + 1 n + 1 = n − n < n = an , 3 3 ⋅3 3 ⎛ (n + 1) ⎞ то последовательность ⎜ ⎟ является убывающей. Далее n ⎝ 3 ⎠ n +1 lim a n = lim n = 0 (доказывается с помощью правила n →+∞ n →+∞ 3 a n +1 =

Лопиталя). По теореме 2.7 исходный ряд сходится. Ответ: сходится. Пример 2.15. Исследовать на сходимость ряд

1 − 2 + 3 − ... + (− 1) ⋅ n + ... . Решение. Вычисляя lim a n = lim n = +∞ ≠ 0 , получаем, n +1

n →+∞

n →+∞

что ряд расходится. Ответ: расходится. 2.1.8. Условная и абсолютная сходимость знакопеременного ряда Определение 2.6. Ряд

a1 + a 2 + ... + a n + ...

(2.15) называется знакопеременным рядом, если среди его членов есть бесконечно много как положительных, так и отрицательных чисел. Примеры знакопеременных рядов:

1 + cos 2 + ... + cos n + ... является знако2 переменным, потому что cos n при n → +∞ принимает беско1) ряд 1 + cos 1 +

нечно много отрицательных и положительных значений;

74 2) ряд

−

(− 1)n ⋅ n + ... является знакочере1 2 + + ... + 2 3 n +1

дующимся, это частный случай знакопеременного ряда. Определение 2.7. Знакопеременный ряд (2.15) называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из абсолютных величин его членов,

a1 + a 2 + ... + a n + ...

(2.16)

сходится. Ряд (2.16) будет рядом с положительными членами, поэтому для исследования его сходимости можно применять все ранее описанные признаки. Определение 2.8. Если знакопеременный ряд (2.15) сходится, а ряд, составленный из модулей, (2.16) расходится, то ряд (2.15) называется условно сходящимся. Пример 2.16. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд 2 5 n +1 n + 1 2 − + ... + (− 1) + ... . 8 n3

(2.17)

Решение. Составим из абсолютных величин членов ряда (2.17) ряд

2+

5 n2 +1 + ... + + ... 8 n3

(2.18)

и исследуем его на сходимость. Так как у общего члена

an =

n2 +1 в числителе – многочлен второй степени, а в знаn3

менателе – многочлен третьей степени, то сравним ряд (2.18) с

1 , который является расходящимся гармоническим n =1 n ∞

рядом ∑

рядом. По второму признаку сравнения

75 1 n3 lim 2n = lim = 1 ∈ (0 ;+∞ ) , n →+∞ n + 1 n →+∞ n n 2 + 1 n3

(

)

поэтому ряд (2.18) расходится, как и гармонический. Ряд (2.17) исследуем с помощью теоремы Лейбница. Первое условие 2 >

5 n 2 + 1 (n + 1) + 1 > ... > > > ... и второе условие 8 n3 (n + 1)3 2

n2 +1 = 0 выполняются, поэтому знакочереn →+∞ n 3

lim a n = lim

n →+∞

дующийся ряд (2.17) будет сходящимся. В итоге ряд (2.17) сходится условно. Ответ: сходится условно. Укажем некоторые важные свойства знакопеременных рядов. Свойство 1. Если знакопеременный ряд (2.15) сходится абсолютно, то он сам сходится. Пример 2.17. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

sin 1 sin 2 sin n + + ... + + ... . (3n )! 6 6!

(2.19)

Решение. Для ряда (2.19) составим ряд из абсолютных величин

sin 1 3!

+

sin 2 6!

+ ... +

sin n

(n )!

+ ... .

(2.20)

Исследуем ряд (2.20) на сходимость. Учитывая, что для лю-

1 . По приn =1 (3n )! ∞

бого n sin n ≤ 1 , сравним ряд (2.20) с рядом ∑

1 сходится, так как n =1 (3n )! ∞

знаку Даламбера ряд ∑

76 ⎡ (3n )! = a n +1 1 1 ⎤ : = lim = lim ⎢ ⎥ n → +∞ a n → +∞ (3(n + 1))! (3n )! ⎦ n → +∞ (3n + 3)! ⎣ n lim

(3n )! = n →=∞ (3n )! (3n + 1)(3n + 2 )(3n + 3)

= lim

= lim

n →=∞

При любом n

1 = 0 < 1. (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3)

sin n 1 , по первому признаку сравнения ≤ (3n )! (3n )!

ряд (2.20) будет сходиться. Значит, исходный ряд (2.19) сходится абсолютно, а следовательно, и сам сходится. Ответ: сходится абсолютно. Свойство 2. Любая перестановка членов в абсолютно сходящемся ряде не влияет на его сходимость, причем сумма ряда также не изменяется. Свойство 3. Сумма двух абсолютно сходящихся рядов есть ряд абсолютно сходящийся. При умножении абсолютно сходящегося ряда на произвольную постоянную получается ряд абсолютно сходящийся. Свойство 4. Если ряд сходится условно, то каково бы ни было число A , можно так переставить члены ряда, чтобы сумма вновь полученного ряда была равна A . В условно сходящемся ряде перестановкой членов можно добиться расходимости ряда. 2.1.9. Задачи для самостоятельной работы Найти сумму ряда.

1 + 1. 1⋅ 2 1 + 2. 1⋅ 4 3.

1 1 1 + + ... + + ... . 2⋅3 3⋅ 4 n (n + 1) 1 1 1 + + ... + + ... . (3n − 2)(3n + 1) 4⋅7 3⋅ 4

1 3 2n − 1 + + ... + n + ... . 4 16 4

77 Исследовать ряд на сходимость с помощью необходимого условия сходимости и признаков сравнения. 4. 5. 6.

7. 8. 9.

2 3 n +1 + + ... + + ... . (n + 2)n 3 8 ∞ 1 n +1 − n −1 . ∑ n =1 n 1 3 5 2n − 1 + + + ... + + ... . 2 4 6 2n 1 1 cos cos cos 1 2 + ... + n + ... . + 2 1 4 n arctg1 + arctg2 + ... + arctgn + ... . ∞ n . ∑ n =1 n 7 − n + 1

(

)

Исследовать на сходимость ряд с помощью признака Даламбера.

2 22 2n 10. + + ... + + ... . 1 2! n! 1 1⋅ 3 1 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (2n − 1) + ... . + ... + 11. + 3 3⋅6 3n ⋅ n ! 5n . 2 n =1 2n − n + 7 ∞

12. ∑

Исследовать на сходимость ряд с помощью радикального признака Коши. 13. arcsin 1 + arcsin 2

1 1 + ... + arcsin n + ... . 2 n n

⎛ 2n 2 + 2 n + 1 ⎞ ⎟ . 14. ∑ ⎜⎜ 2 ⎟ n =1⎝ 5n + 2n + 1 ⎠ ∞

78 4

1 ⎛ 2⎞ ⎛ n ⎞ 15. + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ 2 ⎝ 3⎠ ⎝ n + 1⎠

n2

+ ... .

16. Пользуясь интегральным признаком, исследовать на сходи-

1 . 2 n =1 (n + 1) ln (n + 1) ∞

мость ряд ∑

Исследовать знакопеременный ряд на абсолютную и условную сходимость.

(− 1)n +1 + ... . 1 1 ... − + + 2 2 ⋅ 22 n ⋅ 2n 3 n +1 (n + 1) 18. 2 − + ... + (− 1) + ... . 2 n 17.

∞

19. ∑

n =1

(− 1)n +1 (n + 1) . n 2 + 5n + 2

Ответы. 1. 1. 2.

1 2 . 3. . 4. Расходится. 5. Сходится. 3 3

6. Расходится. 7. Сходится. 8. Расходится. 9. Сходится. 10. Сходится. 11. Сходится. 12. Расходится. 13. Сходится. 14. Сходится. 15. Сходится. 16. Сходится. 17. Сходится абсолютно. 18. Расходится. 19. Сходится условно. 2.2. Функциональные ряды 2.2.1. Понятие функционального ряда. Область сходимости Определение 2.9. Ряд

u1 (x ) + u 2 (x ) + ... + u n (x ) + ... ,

(2.21)

где u1 (x ), u 2 (x ),..., u n (x ),... – некоторые функции переменной x , определённые на множестве X , называется функциональным рядом.

79 Примеры функциональных рядов: 1) бесконечная сумма членов геометрической прогрессии со 2

n

x ⎛x⎞ x ⎛x⎞ знаменателем 1 + + ⎜ ⎟ + ... + ⎜ ⎟ + ... является функ2 2 ⎝2⎠ ⎝ 2⎠ n

⎛x⎞ циональным рядом, при любом n u n (x ) = ⎜ ⎟ определена ⎝2⎠ на R; log 2 x log 3 x log n x + + ... + + ... – функциональный 2) ряд 2 3 n log n x ряд с u n (x ) = , x > 0. n При каждом фиксированном x 0 функциональный ряд (2.21) является числовым рядом

u1 (x 0 ) + u 2 (x 0 ) + ... + u n (x 0 ) + ... .

(2.22)

Как числовой ряд, ряд (2.22) сходится, если существует

lim (u1 (x 0 ) + u 2 (x 0 ) + ... + u n (x 0 )) = lim Sn (x 0 ) = S(x 0 ) .

n →+∞

n →+∞

Для исследования ряда (2.22) можно применять все признаки сходимости числовых рядов. Как правило, задача состоит в отыскании всех значений x 0 , при которых ряд (2.21) сходится. Определение 2.10. Множество, состоящее из всех x 0 таких, что ряд (2.22) является сходящимся, называется областью сходимости функционального ряда. При каждом x 0 lim Sn (x 0 ) принимает значение S(x 0 ) , n → +∞

зависящее от x 0 , которое называют суммой ряда. Таким обра-

зом, в области сходимости ряда сумма S(x ) является функцией переменной x . Функциональный ряд 1 + x + ... + x n + ... является бесконечной суммой геометрической прогрессии со знаменателем x . При x < 1 ряд будет сходиться. Известно, что на интервале

80 1 = S(x ) 1− x при x > 1 ряд расходится. Если x = 1 ряд 1 + 1 + ... + 1 + ... рас-

(− 1;1) 1 + x + ... + x n + ... =

ходится, так как lim a n = lim 1 = 1 ≠ 0 , и ряд n →+∞

1 − 1 + ... + (− 1)

n +1

n →+∞

+ ... при x = −1 , аналогично, расходится.

Пример 2.18. Найти область сходимости ряда

1 1 1 (2.23) + + ... + + ... . 2 2 1+ x 2+x n + x2 1 Решение. Общий член ряда u n (x ) = стремится к n + x2 нулю при n → +∞ , величина x 2 постоянна и не влияет на это ∞ 1 стремление. Поэтому сравним ряд (2.23) с рядом ∑ . Имеем n =1 n 1 2 n lim n + x = lim = 1 ∈ (0 ; + ∞ ) , 1 n →+∞ n →+∞ n + x 2 n по второй теореме сравнения ряды сходятся и расходятся одно-

1 расходится, следовательно, ряд (2.23) расn =1 n ходится при любом x . Область сходимости ряда – пустое мно∞

временно. Ряд ∑

жество. Ответ: ∅ . Пример 2.19. Найти область сходимости ряда

x+

x x + ... + + ... . 2 n!

Решение. Зафиксируем произвольное x > 0 и для числового ряда применим признак Даламбера. Учитывая, что

an =

x , n!

a n +1 =

x (n + 1)!

81 и

⎡ x a n +1 n !⎤ 1 = 0 < 1, = lim ⎢ ⋅ ⎥ = lim n →+∞ a n →+∞ (n + 1)! x ⎦ n→+∞ n + 1 ⎣ n исходный ряд сходится при любом x > 0 . При x < 0 получим lim

ряд с отрицательными членами, который, аналогично, будет сходиться. При x = 0 сумма исходного ряда равна нулю. Вывод: область сходимости функционального ряда – все действительные числа. Ответ: R. Пример 2.20. Найти область сходимости ряда

1 1 1 + + ... + 2 + ... . 2 n x + 1 4(x + 1) n (x + 1) Решение. Зафиксируем произвольное x > 0 и применим для исследования ряда радикальный признак Коши. Так как n

lim

n →+∞

lim

n →+∞

n

n = 1 , то

a n = lim

n →+∞

n

1 n2 x +1

n

= lim

( n)

n →+∞ n

1

2

x +1

=

1 =l. x +1

Под знаком предела записан a n в связи с тем, что радикальный признак Коши применим только к рядам с положительными членами. Поставив модуль, мы исследуем ряд на абсолютную сходимость, а следовательно, и просто на сходимость. По признаку Коши при l =

1 < 1 (x ∈ (− ∞;−2 ) ∪ (0 ;+∞ )) ряд сходится, x +1

при l =

1 > 1 (x ∈ (− 2;−1) ∪ (− 1;0 )) ряд расходится. x +1

1 = 1 , или x = −2 , или x = 0 , то будем исследоx +1 вать ряд непосредственной подстановкой x . Если l =

82 1 , он сходится как обобщен2 n =1 n ный гармонический, α = 2 > 1 . При x = −2 получим ряд ∞ (− 1)n ∞ 1 ∑ 2 , так как ряд из модулей ∑ 2 сходится, то ряд n =1 n n =1 n n ∞ (− 1) ∑ 2 сходится абсолютно. Итак, область сходимости – n =1 n (− ∞;−2] ∪ [0 ;+∞ ) . Ответ: (− ∞; − 2] ∪ [0; + ∞ ) . ∞

При x = 0 получим ряд ∑

2.2.2.* Равномерная сходимость функционального ряда На области сходимости функциональный ряд сходится к своей сумме, но для того, чтобы выполнять различные действия над рядом, устанавливать свойства суммы ряда, часто требуются более жесткие условия, чем просто сходимость. Одно из этих условий – равномерная сходимость функционального ряда. Определение 2.11. Функциональный ряд (2.21) называется равномерно сходящимся на сегменте [a,b], если для любого сколь угодно малого ξ > 0 существует номер N такой, что при

всех n ≥ N и любого x ∈ [a , b] будет выполняться неравенство

S(x ) − Sn (x ) < ξ .

Замечание. Важным условием в определении является фиксирование одного номера N и для n ≥ N , и для x ∈ [a , b] . Геометрически равномерная сходимость означает, что какая бы ни была полоса шириной 2ξ (с центром – кривой y = S(x ) ), начиная с номера N , все кривые

83 y = Sn (x ) будут лежать внутри этой полосы (рис. 2.1). Сформулируем достаточный признак равномерной сходимости. Теорема 2.8 (Вейерштрасса). Пусть дан функциональный ряд (2.21) и сходящийся числовой ряд

a 1 + a 2 + ... + a n + ...

(2.24)

с положительными членами, причем для любого n ∈ N и любого x ∈ [a ; b] выполняется u n (x ) ≤ a n . Тогда ряд (2.21) является

равномерно сходящимся на [a ; b] .

Определение 2.12. Сходящийся числовой ряд (2.24) из теоремы 2.8, удовлетворяющий условию u n (x ) ≤ a n при любом n

и любом x ∈ [a ; b] , называется мажорантным для функционального ряда (2.21). Пример 2.21. Доказать равномерную сходимость функцио-

xn на сегменте [0;1]. n n =1 n ⋅ 5 ∞

нального ряда ∑

Доказательство. Используем теорему Вейерштрасса. При любом x ∈ [0;1] x n ≤ 1 , u n (x ) =

xn 1 . ≤ n n ⋅5 n ⋅ 5n

Исследуем ряд

xn n n =1 n ⋅ 5 ∞

∑

(2.25)

с положительными членами на сходимость. Так как

⎛ a n +1 1 1 ⎞ n 1 ⎟⎟ = lim : = < 1, = lim ⎜⎜ n + 1 n n →+∞ a n →+∞ (n + 1) ⋅ 5 n ⋅ 5 ⎠ n →+∞ (n + 1) ⋅ 5 5 n ⎝ lim

то по признаку Даламбера ряд (2.25) сходится, а также он является мажорантным рядом для функционального ряда. Тогда функциональный ряд сходится равномерно на [0;1]. ■

84 2.2.3. Степенной ряд. Теорема Абеля. Интервал сходимости Определение 2.13. Функциональный ряд вида

a 0 + a 1 (x − x 0 ) + a 2 (x − x 0 )2 + ... + a n (x − x 0 )n + ... , (2.26) где x 0 , a 0 , a 1 , a 2 ,..., a n ,... – заданные числа, называется степенным рядом. Числа a 0 , a 1 , a 2 ,..., a n ,... называются коэффициентами ряда. При x 0 = 0 получим степенной ряд

a 0 + a 1x + ... + a n x n + ... .

(2.27)

Теорема 2.9 (Абеля) 1. Если степенной ряд (2.27) сходится при некотором x = x1 , x1 ≠ 0 , то он абсолютно сходится при любом x таком, что x < x1 . 2. Если ряд (2.27) расходится при x = x 2 , то он расходится при любом x , для которого x > x 2 . Доказательство. 1. Так как числовой ряд

a 0 + a1x1 + ... + a n x1n + ... сходится, то по необходимому условию сходимости ряда

lim a n x1n = 0 . Тогда по свойству пределов существует число

n →+∞

M такое, что при любом n a n x1n ≤ M . Ряд (2.27) запишем в виде n

⎛ x⎞ ⎛ x⎞ a 0 + a 1x1 ⎜⎜ ⎟⎟ + ... + a n x1n ⎜⎜ ⎟⎟ + ... . ⎝ x1 ⎠ ⎝ x1 ⎠ Составим ряд из абсолютных величин

x x a 0 + a 1x1 + ... + a n x1n x1 x1

n

+ ... .

(2.28)

85 x x Ряд M + M ⋅ + ... + M ⋅ x1 x1

n

+ ... является суммой геометриx , он сходится при x1

ческой прогрессии со знаменателем

x < x1 . Учитывая, что для любого n

a n x1n

x ⋅ x1

n

n

x ≤ M⋅ , x1

по первому признаку сравнения ряд (2.28) тоже сходится. Тогда ряд (2.27) сходится абсолютно. 2. Предположим противное. Пусть при некотором x 3 ,

x 3 > x 2 , ряд (2.27) сходится. Тогда по доказанному в 1) ряд (2.27) сходится при x таких, что x < x 3 . Получим проти-

(

)

воречие с тем, что при x 2 x 2 < x 3 , ряд (2.27) расходится по условию. Значит, ряд (2.27) расходится при любом x , x > x2 . ■ Из теоремы Абеля следует, что интервалом сходимости степенного ряда (2.27) является интервал с центром в начале координат (− R ; R ) такой, что в каждой его точке ряд сходится аб-

солютно, а в каждой точке, лежащей вне отрезка [− R ; R ] , ряд расходится. В точках x = ± R ряд может сходиться и может расходиться. Определение 2.14. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда (2.27). Алгоритм нахождения области сходимости степенного ряда (2.27)

1. Применяем признак Даламбера или радикальный признак Коши. Находим

a n +1 ⋅ x n +1 a = x ⋅ lim n +1 = x ⋅ c n n →+∞ a ⋅ x n →+∞ a n n lim

86 или

lim

n

n →+∞

a n ⋅ x n = x ⋅ lim

n

n →+∞

an = c ⋅ x .

При c ⋅ x < 1 ряд сходится, при c ⋅ x > 1 ряд (2.27) расходится.

⎛ 1 1⎞ ⎝ c c⎠

Интервал сходимости ряда (2.27) – ⎜ − ; ⎟ . 2. Исследуем ряд при x = ± ∞

∑

(− 1)n a n

n =1

cn

∞ a 1 . Для рядов ∑ nn и c n =1 c

используем признаки сходимости.

Пример 2.22. Найти область сходимости ряда

xn . ∑ n n =1(2n + 1)4 ∞

Решение. 1. Используем признак Даламбера. Так как

an =

1

(2n + 1)4

n

, a n +1 =

1 , то (2n + 3)4 n +1

a n +1x n +1 (2n + 1)4 n ⋅ x = x . = lim n →+∞ a x n n →+∞ (2n + 3)4 n +1 4 n lim

При

x 4

< 1 или x ∈ (− 4;4 ) исходный ряд сходится и (− 4;4 ) –

его интервал сходимости. 2. Исследуем сходимость ряда в точках x = ±4 . При x = 4 ∞ ∞ 1 4n 1 = . Учитывая, что ряд имеем ряд ∑ ∑ ∑ n n =1 (2n + 1)4 n =1 2n + 1 n =1 n 1 ∞ 1 n = 2 ∈ (0 ;+∞ ) , ряд ∑ расхорасходится и lim 1 n →+∞ n =1 2n + 1 2n + 1 ∞

дится по второму признаку сравнения.

87

(− 4)n n n =1 (2n + 1)4 ∞

При x = −4 получим ряд ∑

∞

=∑

(− 1)n

n =1 2n

+1

, он яв-

ляется знакочередующимся. Проверим выполнение условий теоремы Лейбница:

1 1 1 1 > > ... > > > ... и 3 5 2n + 1 2(n + 1) + 1

∞ (− 1)n 1 lim = 0 , значит, ряд ∑ сходится. n →+∞ 2n + 1 n =1 2n + 1

Имеем область сходимости исходного степенного ряда – промежуток [− 4;4 ) . Ответ: [− 4;4 ) . Замечание. Радиус сходимости R ряда (2.27) можно сразу искать по формулам

R = lim

n →+∞

an 1 , R= . a n +1 lim n a n n →+∞

Для обобщенного степенного ряда (2.26) интервал сходимости имеет вид (x 0 − R ; x 0 + R ) , где R – также радиус сходимости. Ход рассуждений при нахождении области сходимости сохраняется. Пример 2.23. Найти область сходимости степенного ряда

(x − 2) + (2(x − 2))2 + ... + (n (x − 2))n + ... . Решение. Имеем обобщенный степенной ряд вида (2.26) с x 0 = 2 . Для отыскания радиуса сходимости используем формулу R = lim

n →+∞ n

1 an

, получим R = lim

n →+∞ n

1 an

1 = 0 . Тоn →+∞ n

= lim

гда интервал сходимости (x 0 − R ; x 0 + R ) выражается в точку

x0 = 2 . Ответ: область сходимости – число 2.

88 2.2.4.* Непрерывность суммы, дифференцирование и интегрирование функционального ряда Для функциональных рядов, равномерно сходящихся на сегменте [a; b] , имеют место следующие теоремы. Теорема 2.10 (о непрерывности суммы ряда). Если функциональный ряд u1 (x ) + u 2 (x ) + ... + u n (x ) + ... (2.21) сходится равномерно на сегменте [a; b] к сумме S(x ) , при любом n функции u n (x ), n ∈ N, непрерывны на [a; b] , то сумма

S(x ) непрерывна на [a; b] .

Теорема 2.11 (об интегрировании ряда). Пусть функциональный ряд (2.21) сходится равномерно на [a; b] к сумме S(x ) ,

при любом n функции u n (x ) непрерывны на [a; b] . Тогда ∞ x

функциональный ряд ∑ ∫ u n (t )dt сходится равномерно на n =1α

[a; b] , α, x ∈ [a; b] , причем x ∞ x ∞ x ⎛ ⎞ ∑ ∫ u n (t )dt = ∫ ⎜ ∑ u n (t )⎟dt = ∫ S(t )dt . n =1α ⎠ α ⎝ n =1 α

Теорема 2.12 (о дифференцировании ряда). Если функциональный ряд (2.21) сходится на сегменте [a; b] к сумме

S(x ) , при любом n функция u n (x ) непрерывно дифференци∞

руема на [a; b] ( u ′n (x ) непрерывна на [a; b] , ряд ∑ u ′n (x ) схоn=2

∞

⎛ ∞ ⎝ n =2

⎞ ⎠

′

дится равномерно на [a; b] , то ∑ u ′n (x ) =⎜ ∑ u n (x )⎟ = S′(x ) . n =2

Замечание. Так как степенной ряд на интервале сходимости является равномерно сходящимся, то теоремы 2.11-2.12 формулируются более просто: на интервале сходимости степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать, при этом радиус сходимости не меняется.

89 Теоремы 2.11-2.12 расширяют класс рядов, для которых мы можем найти сумму ряда. Пример 2.24. Найти сумму ряда

x+

x5 x 4 n −3 + ... + + ... . 5 4n − 3

(2.29)

x 4 n −3 . СоставРешение. Общий член ряда (2.29) u n (x ) = 4n − 3 ляя ряд из производных u ′n (x ) = x 4 n −3 членов ряда (2.29), получаем

1 + x 4 + x 8 + ... + x 4 n −4 + ... .

(2.30) Ряд (2.30) является суммой бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем x 4 , он сходится при x < 1 , причем ∞

∑x

n =1

4 n −4

=

1 . Для степенного ряда (2.29) найдем радиус 1− x4

сходимости

1 a R = lim n = lim 4n − 3 = 1 , 1 n →+∞ a n →+∞ n +1 4n + 1 значит, ряд (2.29) сходится на интервале (− 1;1) . Через S(x ) обозначим сумму ряда (2.29). По теореме 2.12 на интервале сходимости (− 1;1)

′ ∞ ⎛∞ ⎞ = ∑ u ′n (x ) =⎜ ∑ u n (x ) = ⎟ = S′(x ) . n =1 n =1 ⎝ n =1 ⎠ 1 Получили S′(x ) = . Тогда 1− x4 x dx x⎛ ⎞ 1 1 1 1 ⎟dx = − × = + + S(x ) = ∫ ∫ ⎜⎜ 4 2 ⎟ 4(1 + x ) 2 1 − x ⎠ 4 01− x 0 ⎝ 4(1 − x ) ∞

∑x

4 n −4

(

)

1 1 1 1+ x 1 × ln 1 − x + ln 1 + x + arctgx = ln + arctgx . 4 2 4 1− x 2

90 Ответ:

1 1+ x 1 ln + arctgx . 4 1− x 2

Пример 2.25. Найти сумму ряда

1 + 2 ⋅ 3x + ... + n 3n −1 x n −1 + ... .

(2.31)

Решение. Найдем интервал сходимости степенного ряда

(2.31): a n = n 3n −1 , a n +1 = (n + 1)3n ,

an n 3n −1 1 = lim = , n →+∞ a n →+∞ (n + 1)3n 3 n +1

R = lim

⎛ 1 1⎞ ⎝ 3 3⎠

значит, ряд (2.31) сходится на интервале ⎜ − ; ⎟ . Так как

u n (x ) = n3n −1 x n −1 , то x

x

0

0

∫ u n (t )dt = ∫ n3

t

dt = 3n −1 t n

x

n −1 n −1

0

= 3n −1 x n .

Составим ряд из первообразных для u n (x )

x + 3x 2 + ... + 3n −1 x n + ... .

(2.32) Ряд (2.32) является геометрической прогрессией со знаменателем 3x , его сумма равна

x при 3x < 1 . Обозначим сумму 1 − 3x

ряда (2.31) через S(x ) . По теореме 2.11 ∞

∑3

n −1

n =1 x

Получили ∫ S(t )dt = 0

∞ x

x

n =10

0

x n = ∑ ∫ u n (t )dt = ∫ S(t )dt .

x . Тогда 1 − 3x

′ 1 ⎛ x ⎞ 1 − 3x + 3x . S(x ) = ⎜ = ⎟ = 2 (1 − 3x ) (1 − 3x )2 ⎝ 1 − 3x ⎠ 1 Ответ:

(1 − 3x )2

.

91 2.2.5. Ряд Тейлора. Разложение в ряд Тейлора элементарных функций Пусть функция f (x ) определена и имеет непрерывные производные любого порядка в некоторой окрестности точки x 0 . Определение 2.15. Степенной ряд

f (x 0 ) +

′′ f ′(x 0 ) (x − x 0 ) + f (x 0 ) (x − x 0 )2 + ... + 1! 2!

f n (x 0 ) (x − x 0 )n + ... (2.33) n! называется рядом Тейлора для функции f (x ) в окрестности точки x 0 . Ряд Тейлора (2.33) не всегда сходится к функции f (x ) . В +

общем виде пишут

f ( n ) (x 0 ) (x − x 0 )n f (x ) ~ ∑ n! n =0 ∞

(функция f (x ) разложена в ряд Тейлора). На необходимое и

достаточное условие сходимости ряда Тейлора к функции f (x ) указывает следующая теорема. Теорема 2.13. Ряд Тейлора (2.33) сходится к функции f (x ) в некоторой окрестности точки x 0 тогда и только тогда, когда

lim rn (x ) = 0 для любого x из этой окрестности, где остаточ-

n →+∞

ный член из формулы Тейлора f (n +1) (x + θ(x − x

rn (x ) =

0

(n + 1)!

0

)) (x − x )n +1 , 0

Пример 2.26. Разложить функцию

f (x ) = x 4 − 2x 3 + 3x 2 − 1 в ряд по степеням (x − 1) .

θ ∈ (0 ;1) .

92 Решение. Разложить по степеням (x − 1) – это разложить в

окрестности точки x 0 = 1 . Функция f (x ) является многочленом, а следовательно, имеет непрерывные производные любого порядка при любом действительном значении x . Вычислим производные:

f ′(x ) = 4 x 3 − 6 x 2 + 6x, f ′(1) = 4 ,

f ′′(x ) = 12 x 2 − 12x + 6, f ′′(1) = 6 , f ′′′(x ) = 24 x − 12, f ′′′(1) = 12 ,

f (IV ) (x ) = 24 ,

f (IV ) (1) = 24 ,

f ( V ) (x ) = 0 ,

… Подставляя производные в ряд Тейлора, имеем

6 (x − 1)2 + 12 (x − 1)3 + 2! 3! 24 (x − 1)4 + 0 (x − 1)5 + ... = + 4! 5!

f (x ) ~ 1 + 4(x − 1) +

= 1 + 4(x − 1) + 3(x − 1) + 2(x − 1) + (x − 1) . 2

3

4

Ответ: 1 + 4(x − 1) + 3(x − 1) + 2(x − 1) + (x − 1) . 2

3

4

Определение 2.16. Ряд Тейлора (2.33) при x 0 = 0 называется рядом Маклорена и имеет вид f ′(0) f (n ) (0) n f (0) + x + ... + x + ... .

1!

n!

Приведем разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:

x x2 x n −1 e =1+ + + ... + + ... при x ∈ (− ∞;+∞ ) , (n − 1)! 1! 2! x

sin x =

(− 1)n −1 x 2n −1 + ... при x ∈ (− ∞;+∞ ) , x x3 − + ... + (2n − 1)! 1! 3!

93

(− 1)n−1 x 2(n −1) + ... при x ∈ (− ∞;+∞ ) , x2 + ... + (2(n − 1))! 2! (1 + x )m = 1 + m x + m(m − 1) x 2 + ... + 1! 2! m(m − 1) ⋅ ... ⋅ (m − n + 2) n −1 + x + ... , при x ∈ (− 1;1) , m – любое, (n − 1)! cos x = 1 −

(− 1)n −1 x n + ... при x ∈ (− 1;1] . x2 + ... + 2 n n −1 2 n −1 3 (− 1) x + ... при x ∈ [− 1;1] . x arctgx = x − + ... + 3 2n − 1 ln (1 + x ) = x −

Пример 2.27. Разложить функцию f (x ) = e − x в ряд Маклорена. 2

x2 xn Решение. Так как e = 1 + x + + ... + + ... – разложе2! n! x

ние в ряд Маклорена функции e x при любом x , то, заменяя x на − x 2 в этом тождестве, получаем 2

e −x = 1 − x 2 + ... + Ответ: 1 − x 2 + ... +

(− 1)n x 2n n!

(− 1)n x 2n n!

+ ... .

+ ... .

2.2.6. Приближенные вычисления с помощью степенных рядов Разложение в ряд Маклорена элементарных функций применяется для приближенных вычислений значений функций, определенных интегралов, для приближенного решения дифференциальных уравнений, при этом важным является вопрос об оценке погрешности вычислений.

94 Если ряд знакочередующийся и удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то для остатка R n ряда верна формула R n = a n+1 − a n+ 2 + a n+ 3 − ... ≤ a n+1 . Если ряд с положительными членами, то используют формулу для остаточного члена (теорема 2.13). Рассмотрим примеры. Пример 2.28. Вычислить

5

1,1 с точностью до 0,001.

Решение. Подставляя в разложение функции (1 + x )

m

x = 0,1 и m =

1 , получаем 5

1 1,1 = (1 + 0,1)1 5 = 1 + ⋅ 0,1 + 5 1⎛1 ⎞ 1 ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎜ − 1⎟ ⎜ − 1⎟⎜ − 2 ⎟ 5 5 ⎠ 5 5 ⎠⎝ 5 ⎠ 0,13 + ... = + ⎝ 0,01 + ⎝ 2! 3! = 1 + 0,02 − 0,0008 + 0,000048 − ... . 5

Имеем знакочередующийся ряд. Так как в задании нужно вычислить приближенно с погрешностью ε = 0,001 , то отбрасываемый остаток R n по абсолютной величине должен быть меньше ε . Учитывая, что R 1 ≤ a 2 = 0,0008 < ε = 0,001 , 5

1,1 ≈ 1 + 0,02 = 1,020 . Ответ: 1,020.

Пример 2.29. Вычислить e , взяв в разложении в степенной ряд три члена. Оценить погрешность. Решение. Используя разложение для e x при x = 2

e1 2

⎛1⎞ ⎜ ⎟ 1 ⎝ 2⎠ ⎛1⎞ =1+ + + R2⎜ ⎟ , 2 2! ⎝ 2⎠

1 , имеем 2

95 1 1 + = 1,625 . В общем виде 2 8 f (n +1) (x 0 + θ(x − x 0 ))(x − x 0 )n +1 . R n (x ) = (n + 1)! 1 Подставляя n = 2 , x 0 = 0 , x = , f (x ) = e x , получаем 2 значит,

e ≈ 1+

1

3

1

3

θ⎛ 1 ⎞ e2 ⎜ ⎟ ⎛1⎞ ⎝ 2 ⎠ , θ ∈ (0 ;1) . R2⎜ ⎟ = 3! ⎝ 2⎠

Оцениваем: 1

3

θ⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ e2 ⎜ ⎟ e2 ⎜ ⎟ 1 1 θ ⎛1⎞ ⎝ 2 ⎠ < ⎝ 2 ⎠ < 1,7 < 0,036 . θ < 1, e 2 < e 2 , R 2⎜ ⎟ = 3! 3! 8⋅6 ⎝ 2⎠ В качестве погрешности ε можно выбрать ε = 0,05 .

e ≈ 1,63 , ε = 0,05 . 1 sin x dx с точностью до 0,0001. Пример 2.30. Вычислить ∫ 0 x sin x определена при x ≠ 0 . (Подынтегральная функция f (x ) = x При x = 0 по непрерывности получаем f (0 ) = 1 ). Решение. Разделив почленно ряд для sin x на x , будем sin x x2 x4 x6 =1− + − + ... . Отсюда, интегрируя поиметь x 3! 5! 7! Ответ:

членно, получаем 1⎛ ⎞ sin x x2 x4 x6 ⎜ dx = 1 − + − − − + ...⎟⎟dx = ∫ ∫⎜ 3! 5! 7! 0 x 0⎝ ⎠ 1 1 1 1 1 1 1 = ∫ dx − ∫ x 2 dx + ∫ x 4 dx − ... = 1 − + − ... . 3! 0 5! 0 3!⋅3 5!⋅5 0 1

96 В знакочередующемся ряде, удовлетворяющем теореме Лейб-

1 1 = < 0,0001 = ε , поэтому приближенно вычис5!⋅5 35280 1 . Итак, ляем интеграл, отбросив все члены ряда, начиная с 5!⋅5 ница,

sin x 1 dx ≈ 1 − ≈ 0,944 . 3!⋅3 0 x

1

∫

Ответ: 0,9444. Пример 2.31.* Найти решение дифференциального уравнения y′′ = 2 xy′ + 4 y , удовлетворяющее начальным условиям

y(0 ) = 0 , y′(0 ) = 1 .

Решение. Представляем решение y в виде степенного ряда

y = a 0 + a 1x + a 2 x 2 + ... + a n x n + ... . На основании начальных условий находим a 0 = 0 , a 1 = 1 . Следовательно,

y = x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ... + a n x n + ... , y′ = 1 + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + ... + na n x n −1 + ... ,

y′′ = 2a 2 + 3 ⋅ 2a 3 x + ... + n (n − 1)a n x n −2 + ... .

Подставив полученные выражения в заданное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях x , имеем

2a 2 = 0 , откуда a 2 = 0 ,

3 − 2a 3 = 2 + 4 , откуда a 3 = 1 , 4 ⋅ 3a 4 = 4a 2 + 4a 2 , откуда a 4 = 0 , n (n − 1)a n = (n − 2 )2a n −2 + 4a n −2 , откуда a n = … .

2a n −2 , n −1

97 Тогда a 2 k = 0 , a 2 k +1 =

2a 2 k −1 . 2k

Так как

a5 =

2 ⋅1 1 1 1 = , a 7 = , a 9 = ,…, a 2 k +1 = 4 2! 3! 4!

2

1 (k − 1)! = 1 ,…, 2k k!

то

y=x+

x3 x5 x7 x 2 k +1 + + + ... + + ... = 1 2! 3! k!

⎛ x2 x4 x6 ⎞ 2 x 2k = x ⎜⎜1 + + + + ... + + ...⎟⎟ = x ⋅ e x . 1! 2! 3! k! ⎝ ⎠ 2

Ответ: y = xe x . 2.2.7. Задачи для самостоятельной работы Найти область сходимости функционального ряда n

⎛ x + 1⎞ 1. ∑ n !⎜ ⎟ . n =1 ⎝ x ⎠ ∞

1 . n =1 x n + 3n + 1 ∞

2. ∑

n

(

)

2

*

3 . Доказать равномерную сходимость на множестве действи-

sin x . n n =1 2 ∞

тельных чисел R ряда ∑

Найти область сходимости степенного ряда 4.

x x2 xn + + ... + + ... ; 2 2+ 2 n+ n ∞

6. ∑

n =1 ∞

8. ∑

n =1

(2x )n ;

7. ∑

(− 1)n x n ;

9. ∑

3

n

n+2

∞

(x − 3)n

n =1

3n +1

5. x + ; n

n ⎛ x − 1⎞ ⎜ ⎟ . n =1 n + 1⎝ 2 ⎠ ∞

x2 xn + ... + n + ... ; 4 n

98 Найти сумму ряда

x 2 x3 x n +1 + + ... + + ... . 2 3 n +1 n 11*. − 2 x + 4 x 3 − 6 x 5 + ... + (− 1) 2nx 2 n −1 + ... .

10*.

Разложить функцию в ряд Тейлора 12. y =

1 , x 0 = 3 . 13. y = x ln (1 + x ), x 0 = 0 . x

14. y = 1 + x 2 ,

x0 = 0 .

15. Вычислить e 2 с точностью до 0,001.

π с точностью до 0,0001. 18 12 dx , взяв два члена в разложении ряда. 17*. Вычислить ∫ 4 0 1+ x

16. Вычислить cos

Оценить погрешность. 0 ,8

18. Вычислить ∫ x10 sin xdx с точностью до 0,001. 0

19 . Найти решение уравнения y′ = 2 x − y , удовлетворяющее *

условию y(0 ) = 2 .

2. (− ∞;−1] ∪ [1;+∞ ) .

Ответы. 1. x = −1 .

4. [− 1;1) .

⎡ 1 1⎞

5. (− ∞;+∞ ) . 6. ⎢− ; ⎟ . 7. (0 ;6 ) . 8. (− 1;1] . 9. (− 1;3) . ⎣ 2 2⎠ 10. − x − ln 1 − x . 11.

(1 + x )

2 2

.

(− 1) 1 x − 3 ( x − 3) − + + ... + 3 9 27 2

12.

− 2x

n +1

( x3 − 1)n x n +1 + ... + + ... . 13. x − 2 n 2

(x − 3)n −1 + ...

3n

.

99 2n x2 1 x4 n +1 1 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ (2n − 3) ⋅ x − + ... + (− 1) + ... . 2 2 4 2 ⋅ 4 ⋅ ... ⋅ (2n − 2 ) ⋅ 2n 15. 7,389. 16. 0,9848. 17. 0,4971, ε = 0,0001 . 18. 0,006.

14. 1 +

⎛ x ⎞ x2 x3 ⎜ 19. y = 4⎜1 − + − − + ...⎟⎟ + 2(x − 1) = 4e −x + 2(x − 1) . 2! 3! ⎝ 1! ⎠ 2.3. Ряды Фурье 2.3.1. Ряд Фурье для 2π− периодической функции Пусть функция f (x ) , определенная на множестве действительных чисел, является интегрируемой и 2π− периодической. Определение 2.17. Тригонометрический ряд вида

a0 ∞ (2.34) + ∑ (a n cos nx + b n sin nx ) , 2 n =1 в котором коэффициенты a 0 , a 1 , b1 , a 2 , b 2 ,..., a n , b n ,... находятся по формулам

1 π 1 π ∫ f (x )dx , a n = ∫ f (x ) cos nxdx , π −π π −π π 1 b n = ∫ f (x ) sin nxdx , π −π называется рядом Фурье функции f (x ) ; числа a 0 , a 1 , b1 , a 2 , b 2 ,..., a n , b n ,... называются коэффициентами a0 =

Фурье. Ряд Фурье (2.34) функции f (x ) может расходиться, может

сходиться к сумме S(x ) , не совпадающей с f (x ) . Поэтому в

общем случае говорят, что функция f (x ) порождает ряд Фурье, и пишут

f (x ) ~

a0 ∞ + ∑ (a n cos nx + b n sin nx ) . 2 n =1

100 Укажем достаточные условия представимости функции f (x ) рядом Фурье. Теорема 2.14 (Дирихле). Если 2π -периодическая функция f (x ) кусочно непрерывна и имеет кусочно непрерывную произ-

водную на отрезке [− π; π] , то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда S(x ) равна значению функции f (x ) в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции f (x ) сумма ряда равняется

среднему арифметическому пределов функции f (x ) справа и слева, т.е.

S(x 0 ) =

f (x 0 − 0) + f (x 0 + 0) , 2

x 0 - точка разрыва.

Пример 2.32. Разложить в ряд Фурье функцию

⎧ 0, − π < x ≤ 0, f (x ) = ⎨ 0 < x < π. ⎩x , Решение. Функция f (x ) (рис.2.2) удовлетворяет условиям теоремы 2.14.

. Найдем коэффициенты Фурье:

a0 =

π 1 π 1⎡0 ⎤ 1 π2 π ( ) f x dx 0 dx xdx = ⋅ + ∫ ∫ ∫ ⎥=π 2 = 2, π −π π ⎢⎣− π 0 ⎦

an =

π 1 π 1⎡0 ⎤ ∫ f (x ) cos nxdx = ⎢ ∫ 0 ⋅ cos nxdx + ∫ x cos nxdx ⎥ = π −π π ⎣ −π 0 ⎦

101 u=x π du = dx ⎤ 1 ⎡ x sin nx 1π = dv = cos nxdx = ⎢ − ∫ sin nxdx ⎥ = n0 π ⎢⎣ n 0 ⎦⎥ 1 v = sin nx n π ⎧ 2 1 cos nx ⎪− , если n = 2k + 1, = = ⎨ πn 2 πn n 0 ⎪ 0 , если n = 2k , ⎩ π ⎤ 1 π 1 ⎡ x cos nx 1π b n = ∫ f (x ) sin nxdx = ⎢− + ∫ cos nxdx ⎥ = π −π π ⎣⎢ n n0 0 ⎦⎥ π

π 1 1 =− cos nπ + 2 sin nx = − cos nπ = πn n n 0 ⎧ 1 ⎪ , если n = 2k + 1, =⎨ n 1 ⎪− , если n = 2k . ⎩ n Таким образом, ряд Фурье будет иметь вид

π 2 ⎛ cos x cos 3x cos 5x ⎞ − ⎜ 2 + + + ...⎟ + 2 2 4 π⎝ 1 3 5 ⎠ sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x ⎛ ⎞ +⎜ − + − + ...⎟ . 2 3 4 ⎝ 1 ⎠ В точках разрыва функции f (x ) x 0 = (2k − 1)π , k ∈ Z, сумма f (x ) =

ряда равна среднему арифметическому её пределов справа и слева, т.е.

π . 2

π 2 ⎛ cos x cos 3x ⎞ − ⎜ 2 + + ...⎟ + 2 4 π⎝ 1 3 ⎠ ⎛ sin x sin 2 x sin 3x ⎞ +⎜ − + − ...⎟ . 2 3 ⎝ 1 ⎠

Ответ: f (x ) =

102 Замечание. При вычислении коэффициентов Фурье можно заменить промежуток интегрирования [− π; π] промежутком

(с, c + 2π) , получим формулы a0 =

1 c + 2π ∫ f (x )dx , π c

an =

1 c + 2π ∫ f (x ) cos nxdx , π c

1 c+ 2 π ∫ f (x ) sin nxdx , с – любое число. π c Рассмотрим частные случаи для функции f (x ) . четная, то произведение 1. Если функция f (x ) f (x ) ⋅ sin nx является нечетной функцией, а f (x ) ⋅ cos nx - четbn =

ной. Тогда

a0 =

1 π 2π ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx , π −π π0

an =

1 π 2π ∫ f (x ) cos nxdx = ∫ f (x ) cos nxdx , π −π π0

bn =

a0 ∞ 1 π + ∑ a n cos nx . ∫ f (x ) sin nxdx = 0 и f (x ) ~ π −π 2 n =1

Ряд Фурье четной функции содержит «только косинусы». 2. Если

функция

f (x )

нечетная,

то

произведение

f (x ) ⋅ sin nx будет четной функцией, а f (x ) ⋅ cos nx - нечетной функцией. Имеем

a0 =

1 π ∫ f (x )dx = 0 , π −π

bn =

∞ 2π ∫ f (x ) sin nxdx , и f (x ) ~ ∑ a n sin nx . π0 n =1

an =

1 π ∫ f (x ) cos nxdx = 0 , π −π

Ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы».

103 2.3.2. Ряд Фурье 2l -периодической функции

Пусть задана 2l -периодическая функция f (x ) , l ≠ π . Вы-

lt ⎛ lt ⎞ . Тогда функция f ⎜ ⎟ будет периодичеπ ⎝π⎠ ской по переменной t с периодом 2π . Раскладывая её в ряд Фурье на сегменте [− π; π] , получаем ∞ ⎛ lt ⎞ a f ⎜ ⎟ ~ 0 + ∑ (a n cos nt + b n sin nt ) , ⎝ π ⎠ 2 n =1 1 π ⎛ lt ⎞ 1 π ⎛ lt ⎞ a 0 = ∫ f ⎜ ⎟dt , a n = ∫ f ⎜ ⎟ cos ntdt , π −π ⎝ π ⎠ n −π ⎝ π ⎠

полним замену x =

bn =

1 π ⎛ lt ⎞ ∫ f ⎜ ⎟ sin nt dt . n −π ⎝ π ⎠

Выполнив обратную замену t =

πx π , dt = dx , получим l l

πnx 1 π ⎛ lt ⎞ 1l 1l dx , ∫ f ⎜ ⎟dt = ∫ f (x )dx , a n = ∫ f (x ) cos π −π ⎝ π ⎠ l −l l −l l (2.35) πnx 1l b n = ∫ f (x ) sin dx . l −l l

a0 =

Таким образом, 2l -периодическая функция f (x ) раскладывается в ряд Фурье

f (x ) ~

a0 ∞ ⎛ πnx πnx ⎞ + ∑ ⎜ a n cos + b n sin ⎟, 2 n=1⎝ l l ⎠

где коэффициенты a 0 , a 1 , b1 , a 2 , b 2 ,..., a n , b n ,... вычисляются по формулам (2.35). Теорема Дирихле, сформулированная для ряда Фурье 2π -периодической функции f (x ) , имеет место и

для 2l -периодической функции f (x ) , а также сохраняется возможность упростить вычисления коэффициентов ряда в случае, когда функция f (x ) является четной или нечетной.

104 Если функция f (x ) – четная (f (− x ) = f (x )) , то

f (x ) ~

a0 ∞ πnx + ∑ a n cos , l 2 n =1

πnx 2 l 2 l ( ) = f x dx , a dx , b n = 0 . ∫ ∫ f (x ) cos n l −l l −l l Если функция f (x ) – нечетная (f (− x ) = −f (x )) , то a0 =

∞

f (x ) ~ ∑ b n sin n =1

a 0 = 0 , a n = 0 , bn =

πnx , l

πnx 2l dx . ∫ f (x ) sin l0 l

Пример 2.33. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f (x ) с периодом 2, заданную на отрезке [-1;1] условием

f (x ) = x 2 .

Решение. Функция f (x ) является четной (рис. 2.3), так как

f (− x ) = (− x ) = x 2 = f (x ) при любом x . Значит, функция 2

f (x ) раскладывается в ряд Фурье «только по косинусам». Найдём коэффициенты ряда: l = 1 , 1 2l 2x 3 a 0 = ∫ f (x )dx = 2 ∫ x 2 dx = l0 3 0

an =

1

= 0

2 , 3

1 2l πnx 2 ( ) f x cos dx = 2 ∫ ∫ x cos(πnx )dx = l0 l 0

105 u = x2 1 ⎡ x2 ⎤ dv = cos(πnx )dx 2 1 ⎢ =2 = sin (πnx ) − ∫ x sin (πnx )dx ⎥ = du = 2xdx π n ⎢ πn ⎥ 0 0 ⎣ ⎦ 1 v= sin (πnx ) πn u=x du = dx 4 1 ( ) =− x sin π nx dx = ∫ dv = sin (πnx )dx = πn 0 1 v= cos(πnx ) πn 1 ⎤ 4 ⎡ x 1 1 =− cos(πnx ) + ⎢− ∫ cos(πnx )dx ⎥ = πn ⎣⎢ πn πn 0 0 ⎦⎥

(− 1) ⋅ 4 , b = 0 . 4x = 2 2 cos(πnx ) = n π n π2n 2 0 1

Имеем f (x ) =

n

1 ∞ 4(− 1) +∑ cos(πnx ) . 3 n =1 π 2 n 2 n

Знак соответствия «~» здесь заменён знаком равенства «=», поскольку f (x ) непрерывна на всей области задания.

1 ∞ 4(− 1) +∑ cos(πnx ) . 3 n =1 π 2 n 2 n

Ответ:

2.3.3. Разложение в ряд Фурье непериодической функции Пусть функция f (x ) определена на сегменте [0;a]. Для разложения функции в ряд Фурье необходимо доопределить её на множестве

(− ∞; 0) ∪ (a; +∞ )

до периодической функции, сделать это можно разными способами, рассмотрим некоторые из них.

106 1 способ. Будем строить периодическую функцию F(x ) с периодом а так, чтобы на отрезке [0;a]

(рис. 2.4). Функцию F(x ) раскладываем в ряд Фурье

F(x ) ≡ f (x )

a0 ∞ ⎛ 2πnx 2πnx ⎞ + ∑ ⎜ a n cos + b n sin ⎟, 2 n =1⎝ a a ⎠ 2a 2a 2πnx a 0 = ∫ f (x )dx , a n = ∫ f (x ) cos dx , a0 a0 a 2a 2πnx b n = ∫ f (x ) sin dx , a0 a a в этом случае l = . 2 F(x ) ~

2 способ. На отрезке [0;a] доопределяем f (x ) функцию четным образом, затем строим периодическую функцию F(x ) с периодом 2а, которая будет четной (рис. 2.5). Ряд Фурье для функции F(x ) имеет вид

F(x ) ~ a0 =

2a ∫ f (x )dx , a0

3 способ. Доопределяем функцию f (x ) на сегменте [0;a] нечетным образом и строим нечетную периодическую функцию F(x ) с периодом 2а

(рис. 2.6).

a0 ∞ πnx + ∑ a n cos , 2 n =1 a πnx 2a a n = ∫ f (x ) cos dx , l = а . a0 a

107 Раскладываем функцию F(x ) в ряд Фурье: ∞

F(x ) ~ ∑ b n sin n =1

πnx , a

bn =

πnx 2a dx , l = а . ∫ f (x ) sin a0 a

Пример 2.34. Функцию

⎧ 1⎞ ⎛ ⎪⎪1, x ∈ ⎜ − 1;− 2 ⎟, ⎝ ⎠ f (x ) = ⎨ 1 ⎪ x + 1, ⎡− ; 0 ⎞⎟ , ⎢⎣ 2 ⎠ ⎪⎩ разложить в ряд Фурье: а) по косинусам; б) по синусам; в) общего вида. Решение: а) строим график функции f (x ) на интервале (-1;0) и доопределяем её на интервале (0;1) четным образом (рис. 2.7). Получим четную функцию,

2 = 1 . Тогда 2 −1 2 0 0 20 7 a 0 = ∫ f (x )dx = 2 ∫ f (x )dx = 2 ∫ dx + 2 ∫ (x + 1)dx = , l −l 4 −1 −1 −1 2

l=

an =

2 0 πnx dx = ∫ f (x ) cos l −l l −1 2

0

= 2 ∫ cos πnxdx + 2 ∫ (x + 1) cos πnxdx = −1

−1 2

=

2 2(x + 1) 2 0 sin πnx + sin πnx − ∫ sin πnxdx = πn πn πn −1 2 −1 −1 2

=

−2 πn 1 2 2 πn πn sin + sin = + 2 2 − 2 2 cos πn 2 πn 2 π n 2 π n

−1 2

0

108 ⎧ (− 1)(n +1) 2 πn + 2 , n = 2k − 1, ⎪⎪ 2 2 π n =⎨ и 2 n 2 ⎪ 1 − (− 1) , n = 2k , ⎪⎩ π 2 n 2 ∞ a 7 2−π 4 f (x ) = 0 + ∑ a n cos πnx = + 2 cos πx + 2 cos 2πx + 8 2 n =1 π π ⋅4 2 + 3π + 2 cos 3πx + ... ; π ⋅9 б) функцию f (x ) на интервале (0;1) доопределяем до не-

(

)

четной функции (рис. 2.8). Имеем периодическую нечетную функцию с периодом 2l = 2 . Раскладываем функцию в ряд Фурье:

bn =

−1 2 0 2 0 πnx ( ) f x sin dx = 2 ∫ ∫ sin πnxdx + 2 ∫ (x + 1) sin πnxdx = l −l l −1 −1 2

−2 2(x + 1) 2 0 = cos πnx − cos πnx + ∫ cos πnxdx = πn πn πn −1 2 −1 −1 2 −1 2

0

2 πn 2 2 1 2 πn πn = cos + cos πn − + cos + 2 2 sin πn 2 πn πn πn 2 π n 2 2 1 πn 2 πn 2 + =− − cos + 2 2 sin cos πn = πn πn 2 π n 2 πn ⎧ −2 (n +1) 2 , n = 2k − 1, ⎪⎪ π 2 n 2 2πn + (− 1) =⎨ n 2 ⎪ (− 1) , n = 2k, ⎩⎪ πn =−

(

)

109 ∞

f (x ) = ∑ b n sin πnx = n =1

2 − 4π 1 12π + 2 1 sin πx − sin 2πx − 2 sin 3πx + sin 4πx + ...; = 2 2π 4π π π ⋅9 в) строим периодическую функцию с периодом 2l = 1 , совпадающую на интервале (− 1;0) с функцией f (x ) (рис. 2.9). Производим вычисления коэффициентов Фурье:

a0 =

−1 2 0 10 7 ( ) = f x dx 2 ∫ ∫ 1 ⋅ dx + 2 ∫ (x + 1)dx = , l −l 4 −1 −1 2

an =

1 0 ∫ f (x ) cos(2πnx )dx = l − 2l

−1 2

0

= 2 ∫ cos(2πnx )dx + 2 ∫ (x + 1) cos(2πnx )dx = −1

−1 2

−1 2

0

1 x +1 1 0 = sin (2πnx ) + sin (2πnx ) − ∫ sin (2πnx )dx = πn πn πn −1 2 −1 −1 2 =

(

)

1 1 1 n − 2 2 cos πn = 2 2 1 − (− 1) , 2 2 2π n 2π n 2π n −1 2

0

−1

−1 2

b n = 2 ∫ sin (2πnx )dx + 2 ∫ (x + 1) sin (2πnx )dx =

=−

(− 1)n +1 . 1 cos πn = 2πn 2πn

Получили

f (x ) =

a0 ∞ + ∑ a n cos(2πnx ) + b n sin (2πnx ) = 2 n =1

110 =

(− 1)n +1 sin (2πnx )⎤ = 7 ∞ ⎡1 − (− 1)n ( ) + ∑⎢ π + cos 2 nx ⎥ 8 n =1⎢⎣ 2π 2 n 2 2πn ⎥⎦

=

7 ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ + ⎜ 2 cos 2πx − sin 2πx ⎟ + ⎜ sin 4πx ⎟ + ... . 8 ⎝π 2π ⎠ ⎝ 4π ⎠ 2.3.4. Задачи для самостоятельной работы

⎧2, − π < x ≤ 0, ⎩ 3, 0 < x < π. 2. Разложить в ряд Фурье функцию f (x ) = x на интервале 1. Разложить в ряд Фурье функцию f (x ) = ⎨

(-2;2). 3. Разложить в ряд Фурье функцию f (x ) = x на интервале (-1;1). 4. Разложить в ряд Фурье на отрезке

[0; π]

f (x ) = π − 2 x : а) по косинусам; б) по синусам.

функцию

5 1 ∞ 1 − (− 1)n sin nx . − ∑ 2 π n =1 n n 4 ∞ (− 1)n +1 πnx 1 2 ∞ 1 − (− 1) sin . 3. + 2 ∑ cos πnx . 2. ∑ 2 π n =1 n 2 π n =1 n 2 Ответы: 1.

4 ∞ 1 − (− 1) cos nx , 4. а) ∑ π n =0 n 2 n

1 sin 2nx . n =1 n ∞

б) 2 ∑

111 Оглавление Предисловие…………………………………………………….…3 1. Дифференциальные уравнения………………………………4 1.1. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения………………………………………………………….………..4 1.2. Дифференциальные уравнения первого порядка……..……..6 1.2.1. Общие понятия……………………………………………....6 1.2.2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Особые решения……………………………………….…...7 1.2.3. Метод изоклин…………………………………...…………..9 1.2.4. Уравнения с разделяющимися переменными…………....11 1.2.5. Однородные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним……………………………….……………………….…..……14 1.2.6. Линейные уравнения первого порядка…………..……….18 1.2.7. Уравнение Бернулли………………………………..……...22 1.2.8. Уравнение в полных дифференциалах……………...…….25 1.2.9. Задачи для самостоятельной работы………………..…….27 1.3. Дифференциальные уравнения высших порядков…….…..30 1.3.1. Общие понятия. Теорема существования и единственности решения задачи Коши…………………………………….………30 1.3.2 Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка…………………………………………………………….31 1.3.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Свойства. Структура общего решения………………………………………………………….……...34 1.3.4. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами…………………………………………………………………..37 1.3.5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Свойства. Структура общего решения……………………………………………………..…………...40 1.3.6. Метод вариации произвольных постоянных…………..…42 1.3.7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов………………………………….......44 1.3.8*. Свободные и вынужденные колебания. Резонанс……...48 1.3.9. Задачи для самостоятельной работы…………………..….52 1.4. Системы дифференциальных уравнений…………………...53

112 1.4.1. Нормальная система дифференциальных уравнений…………………………………………………………………53 1.4.2. Метод исключений……………………………………..….54 1.4.3. Задачи для самостоятельной работы……………….….….57 2. Ряды……………………………………………………...……..57 2.1. Числовые ряды…………………………………….…………57 2.1.1. Понятие числового ряда. Сходимость. Свойства числовых рядов………………………………………………………..….…..57 2.1.2. Необходимый признак сходимости ряда…………..……..62 2.1.3. Признаки сравнения для рядов с положительными членами………………………………………………………………..…64 2.1.4. Признак Даламбера…………………………………..…….67 2.1.5. Радикальный признак Коши…………………………..…..69 2.1.6. Интегральный признак Коши………………………..……70 2.1.7. Знакочередующийся ряд. Теорема Лейбница………..…..71 2.1.8. Условная и абсолютная сходимость знакопеременного ряда……………………………………………………………….…..73 2.1.9. Задачи для самостоятельной работы……………..……….76 2.2. Функциональные ряды………………………………….…...78 2.2.1. Понятие функционального ряда. Область сходимости………………………………………………………………….78 2.2.2*. Равномерная сходимость функционального ряда………82 2.2.3. Степенной ряд. Теорема Абеля. Интервал сходимости………………………………………………………………….84 2.2.4*. Непрерывность суммы, дифференцирование и интегрирование функционального ряда…………………………….…...88 2.2.5. Ряд Тейлора. Разложение в ряд Тейлора элементарных функций…………………………………………………………....91 2.2.6. Приближенные вычисления с помощью степенных рядов……………………………………………………………….…93 2.2.7. Задачи для самостоятельной работы………………..…….97 2.3. Ряды Фурье……………………………………………….…..99 2.3.1. Ряд Фурье для 2π - периодической функции……….…...99 2.3.2. Ряд Фурье 2l - периодической функции……….….…....103 2.3.3. Разложение в ряд Фурье непериодической функции………………………………………………..……………....105 2.3.4. Задачи для самостоятельной работы……………..……..110