Дифференциальная топология

М.Хирш ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ТОПОЛОГИЯ Книга принадлежит перу известного американского тополога и представляет собой учебное пособие по дифференциальной топологии, включающее разнообразные сведения из анализа и алгебраической топологии. Изложение построено так, что необходимый запас предварительных знаний сведен к минимуму. Много внимания уделено методической стороне дела: мотивированности определений и геометрической наглядности формулировок автор придает не меньшее значение, чем полноте доказательств. Книга будет полезна математикам всех специальностей, а также студентам физико-математических факультетов университетов и пединститутов. Содержание Предисловие 5 Введение 7 Глава 1. Многообразия и отображения 14 16 0. Подмногообразия пространства Rn+k 1. Дифференциальные структуры 20 2. Гладкие отображения и многообразия касательных векторов 25 3. Вложения и погружения 32 4. Многообразия с краем 43 5. Соглашение 47 Глава 2. Функциональные пространства 48 49 1. Слабая и сильная топологии в C r (M,N) 2. Аппроксимации 58 77 3. Аппроксимации на ∂ -многообразиях и парах многообразий 4. Струи и свойство Бэра 80 5. Аналитические аппроксимации 89 Глава 3. Трансверсальность 92 1. Теорема Морса—Сарда 93 2. Трансверсальность 101 Глава 4. Векторные расслоения и трубчатые окрестности 115 1. Векторные расслоения 117 2. Конструкции в категории векторных расслоений 124 3. Классификация векторных расслоений 133 4. Ориентированные векторные расслоения 138 5. Трубчатые окрестности 146 6. Воротники и трубчатые окрестности правильных подмногообразий 152 7. Аналитические дифференциальные структуры 158 Глава 5. Степени, индексы пересечения и эйлерова характеристика 160 1. Степени отображений 161 2. Индексы пересечения и эйлерова характеристика 175 3. Исторические замечания 186 Глава 6. Теория Морса 188

1. Функции Морса 2. Дифференциальные уравнения и регулярные поверхности уровня 3. Прохождение критического уровня и присоединение клеток 4. Клеточные пространства Глава 7. Кобордизмы 1. Кобордизмы и трансверсальность 2. Гомоморфизм Тома Глава 8. Изотопия 1. Изотопия 2. Склеивание многообразий 3. Изотопии дисков Глава 9. Поверхности 1. Модели поверхностей 2. Характеризация диска 3. Классификация компактных поверхностей Приложение Список литературы Список обозначений Предметный указатель Предметный указатель Абсолютный окрестностный ретракт — — тотальное пространство 118 25 ——тривиализация 119 Аппроксимации 67—69, 77—80 Векторное поле вполне — алгебраические 90 интегрируемое 209 — аналитические 89—90 — — ограниченной скорости 204, — более гладкими отображениями 67 232 — вложениями 39 — расслоение 118 — диффеоморфизма 72 — — грассманово 134 — погружениями 40 — — индуцированное 130 — сечения 76 Атлас 16, 20 — — ориентированное 139 —векторного расслоения 117t 118 — — ортогональное 128 — — — ортогональный 129 — — тривиальное 119 — на множестве 24 — — универсальное 116, 134 — ориентирующий 139 Вложение 32 Бетти числа 211 — незаузленное 242 Биморфизм 119 — правильное 45 Буферная функция 58 Воротник 152 Бэра подмножество 89 Гессиан 190 — пространство 81 Глобализационная теорема 73 Векторного расслоения база 118 Грассмана многообразие 23 — — нулевое сечение 118 Диагональ 38 — — проекция 118 Диффеоморфизм 26 — — размерность 118 — обращающий ориентацию 142 — — сужение 118 — сохраняющий ориентацию 142

189 197 206 217 220 221 224 230 231 238 239 244 245 251 258 268 271 275 278

Диффеотопия 231 Изоморфизм между векторными расслоениями 119 Изотония 149, 231 — между трубчатыми окрестностями 150 — ограниченной скорости 234 Иммерсия 32 Индекс векторного поля 177 — зацепления 174 — квадратичной формы 191 — пересечения 175, 184 — сечения 177 Интегральная кривая 197—199 Источник струи 82 Карта 16, 20 —векторного расслоения 117 — естественная (многообразия касательных векторов) 28 — нормальная (пары) 23 — приспособленная 25 Касательный вектор 27 Класс отображений 101 Клейна бутылка 241 Клетка 207 Кобордизм 221 — ориентированный 221 — оснащенный 228 Кокасательное расслоение 189 Конец поверхности 267 Коразмерность 23 Коцикл атласа 118 Край 44 Краевая точка 43 Критическая точка 94 — — невырожденная 190 Критическое значение 34 Лефшеца число 184 Ли группы 9, 124 Линия тока 197, 199 Локализация аксиома 106 Локальная конечность 50 Локальное представление отображения 25

Мёбиуса лента 249 — число 265 Многообразие 7, 14, 20 — алгебраическое 90 — без края 44 — гладкое 20 — касательных векторов 19, 27 — — — единичных 39 — класса Cr 20 — обращаемое 246 — ориентированное 141 — параллелизуемое 120 — реперов 132 — с углами 47 Множество второй категории 269 — массивное 94 — меры нуль 93, 94 — нигде не плотное 268 — первой категории 269 Мономорфизм между векторными расслоениями 119 Морса лемма 192 — — обобщенная 196 — неравенства 211 — и Сарда теорема 95 — функция 188, 190 — — допустимая 206 Морфизм между векторными расслоениями 115, 119 Накрытие ориентирующее 141, 142 Нормальное расслоение 129 Носитель изотопии 233 — функции 59 Общее положение 106 Ориентация векторного пространства 138 — — расслоения 139 — индуцированная 138, 162 — многообразия 141 — стандартная пространства R" 161 Отображение антиподальное 142, 162, 237 — гладкое 25 — замкнутое 56

— иммерсивное 32 — источника 82 — класса Cr 17, 25 — классифицирующее 135 — открытое 57 — собственное 53 — субмерсивное 32 — трансверсальное к другому отображению 113 — — — подмногообразию 34, 101 —устья 82 Петля обращающая ориентацию 140 — сохраняющая ориентацию 140 Поверхность модельная 250 — риманова 8 — рода р 41, 247 — — — неориентируемая 248 Погружение 32 — общего положения 112 Подмногообразие 23 — правильное 45 Подрасслоение 124 — шаровое 155 Полуорбита 205 Полупространство 43 Поток 198, 199 Пространство клеточное 217 — — конечное 217 — — относительное 219 — нормальное 259 — паракомпактное 269 — проективное вещественное 22 — — кватернионное 24 — — комплексное 23 — хаусдорфово 269 Прямая длинная 24 — с двумя нулями 24 Пуанкаре гипотеза 8 Разбиение единицы 59 Регулярное значение 23, 34 Росток 73, 123 Ручка 246 Сборка 112 Свертка 62

Связная сумма 248 Связность 8, 244, 267 Сечение 76, 176 Склеивание дифференциальных структур 22 — многообразий 238 Скрещенный колпак 249 След изотонии 231 Степень отображения 163 Структура дифференциальная 20 — — индуцированная 22 — — ориентированная 142 Струя 82 Субмерсия 32 Сфера 16 Теорема глобализационная 73 — классификационная для расслоений 135 — о накрывающей гомотопии 122 — — продолжении гомотопии 122 — — — трубчатой окрестности 153 Типовые числа функции Морса 210 Тома пространство 224 Топология в функциональном пространстве сильная 49, 81 — — — — слабая 49, 80 — произведения сильная 88 Точка k-кратная 113 — неподвижная 91, 98, 184 — периодическая 185 Точная последовательность векторных расслоений 125 — — — — расщепляющаяся 126 Траектория 197, 199 — градиентная 252 Трансверсальности теорема 101 — — параметрическая 108 Трубчатая окрестность 146 — — замкнутая 155 — — нормальная 148 — — частичная 146 Удвоение 46 Ужатие покрытия 59 Уитни сумма 126

— теорема о вложении 12, 37 Устье струи 82 Фактор расслоение 126 Фрейденталя теорема 237 Функтор касательный 14, 120 — структурный 72 Функции перехода 20, 118 Хопфа инвариант 174 — отображение 174 — теорема 214

Штифеля многообразие 186 Эйлера число 161, 176 Эйлерова характеристика 177 — — гомологическая 211 Эквивалентность между векторными расслоениями 119 Эпиморфизм между векторными расслоениями 119 Ядро эпиморфизма между векторными расслоениями 125