Уединение волны в электронном потоке и юбилей одного уравнения

ФИЗИКА УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ В ЭЛЕКТРОННОМ ПОТОКЕ И ЮБИЛЕЙ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ Д. И. ТРУБЕЦКОВ Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

ВВЕДЕНИЕ

SOLITARY WAVES IN AN ELECTRON BEAM AND A JUBILEE OF ONE EQUATION D. I. TRUBETSKOV

Solitary space-charge waves in an electron beam and their connection with solitons described by the Korteweg–de Vries equation are examined. Рассказано об уединенных волнах пространственного заряда в электронном потоке и их связи с солитонами, описываемыми уравнением Кортевега–де Фриса.

Электроника сверхвысоких частот (СВЧ) всегда использовала язык теории колебаний и волн. Более того, по-видимому, она одной из первых стала нелинейной наукой, активно применяющей методы вычислительной физики. Однако, начав с нелинейных волн, электроника СВЧ-надолго забыла о них, используя для описания обгона одних электронов другими метод Лагранжа, когда следят за каждой частицей. В последние годы успехи нелинейной динамики были столь значительны, что специалисты в области СВЧ электроники стали активно искать уединенные волны, режимы возникновения динамического хаоса и образования структур в электронных потоках и системах поток – электромагнитное поле. В статье обсуждаются следующие вопросы. В разделе 1 дано краткое описание линейных волн пространственного заряда – медленной волны пространственного заряда (МВПЗ), с которой связывают перенос отрицательной энергии, и быстрой волны пространственного заряда (БВПЗ), переносящей положительную энергию. Рассмотрены два взаимодействующих электронных потока как иллюстрация систем с волновыми неустойчивостями – конвективной и абсолютной.

© Трубецков Д.И., 2000

Раздел 2 посвящен юбиляру – уравнению Кортевега–де Фриса. Для электронного потока это уравнение получено в ряде работ из исходных уравнений при весьма серьезных упрощениях, которые не всегда оправданны.

www.issep.rssi.ru

Наконец, в разделе 3 приведены результаты аналитических исследований и вычислительного эксперимента, доказывающие существование медленной и быстрой уединенных волн пространственного заряда. Результаты вычислительных экспериментов сравниваются с аналитическими решениями уравнения Кортевега–де Фриса.

Т Р У Б Е Ц К О В Д . И . У Е Д И Н Е Н Н Ы Е В О Л Н Ы В Э Л Е К Т Р О Н Н О М П О Т О К Е И Ю Б И Л Е Й О Д Н О ГО У РА В Н Е Н И Я

103

ФИЗИКА 1. ДВУХЛУЧЕВОЙ УСИЛИТЕЛЬ И ЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА

перед другой, так что электроны, эмитируемые первым катодом, проходят между витками второго катода, чем и обеспечивается хорошее смешивание потоков).

Начнем с поучительного примера неудавшегося прибора, предложенного известными в области СВЧ-электроники американскими физиками Джоном Пирсом и Андреем Гаевым. Прибор не удался, но его исследование дало чрезвычайно много для линейной теории волн и развития общей концепции колебаний и волн в электронных потоках. На рис. 1 двухлучевая лампа изображена схематически, причем пучки для наглядности разнесены. В экспериментальных макетах использовали две электронные пушки, которые обеспечивали различие в скоростях электронных потоков (это достигалось тем, что на катоды подавали разные отрицательные потенциалы, а аноды находились под нулевым потенциалом). Конструкция катодов выбиралась такой, чтобы обеспечить хорошее взаимопроникновение потоков (например, в одной из конструкций катод был выполнен в виде двух плоских спиралек, размещенных одна а

v02 ≈ vф 2 5

А

В

3

5

4

v02 4 1

v01 > v02 А б

1

В

2

5

vф v0

которых 3 4

6

Рис. 1. а – схематическое изображение двухлучевого усилителя: 1 – электронные пушки; К – катод, А – аноды; 2 – входное и 3 – выходное устройства; 4 – коллекторы; 5 – согласованные нагрузки; В – фокусирующее магнитное поле; б – схематическое изображение ЛБВ: 1 – электронная пушка; 2 – электронный поток; 3 – спираль; 4 – коллектор; 5 – входное и 6 – выходное устройства; В – фокусирующее магнитное поле; внизу рисунок, поясняющий в рамках механической модели процессы группирования электронов в бегущей волне и взаимодействия с ней

104

h рали υ ф ≈ c --------- , где c – скорость света в свободном 2πr пространстве, h – шаг спирали, r – радиус спирали, то есть коэффициент замедления волн приближенно равен отношению длины витка спирали 2πr к ее шагу. Скорость одного из потоков подбирается близко к продольной составляющей фазовой скорости волны в спирали для того, чтобы воздействие поля на поток было эффективным1. Входное устройство модулирует медленный электронный поток по скорости и по плотности, что приводит к образованию электронной периодической структуры – чередующихся уплотнений и разрежений электронов. Такая ситуация при слабом усиливаемом сигнале соответствует распространению в пучке двух линейных волн пространственного заряда: быстрой (БВПЗ) и медленной (МВПЗ), фазовые скорости

1

К

Для введения усиливаемого электромагнитного сигнала в один или оба потока обычно используют отрезок электродинамической системы (например, проволочной спирали), по которой распространяется электромагнитная волна, ВЧ продольное электрическое поле которой изменяет скорость и плотность электронов (модулирует электроны по скорости и плотности). Роль электродинамической системы состоит в том, чтобы создать продольную составляющую электрического поля и уменьшить продольную составляющую фазовой скорости υф волны до скорости электронов. Так, в спи-

–1 −ω ------q , υ ФБМ = υ 02  1 +  ω

где

eρ 1 ⁄ 2 ω q = R  --------0- ,  mε 0

eρ 1 ⁄ 2 – плазменная частота, e и m – заряд и неω p =  --------0-  mε 0 релятивистская масса электрона, ρ0 – постоянная составляющая плотности бесконечно широкого электронного потока, ε0 – диэлектрическая проницаемость вакуума, R – фактор влияния окружающих стенок, вообще говоря зависящий от частоты сигнала ω. Можно считать, что роль модулированного электронного потока в двухлучевой системе аналогична роли замедляющей системы (скажем, той же проволочной спирали) в лампе бегущей волны (ЛБВ), где электронный поток длительно взаимодействует с продольной составляющей поля замедленной волны в электродинамической системе. 1 Условие равенства фазовой скорости волн переносной скорости электронов называют условием синхронизма или условием пространственного резонанса.

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 6 , № 4 , 2 0 0 0

ФИЗИКА Для объяснения особенностей группирования электронов в бегущей волне и их взаимодействия с ней привлечем механическую модель, в которой электроны можно представить в виде шариков, а эффект действия поля заменить действием гравитационных сил некоторой поверхности, форма которой соответствует мгновенному распределению потенциала ВЧ-поля вдоль длины пространства взаимодействия (рис. 1, б ). Предложим, что невозмущенная скорость электронов υ0 больше фазовой скорости υф замедленной волны, распространяющейся в волноведущей линии без пучка, а амплитуда волны растет с расстоянием. В системе координат, связанной с волной, вершины и впадины потенциальной поверхности неподвижны относительно продольной координаты. Электроны-шарики на своем пути встречают области подъема и спада потенциальной поверхности, поэтому они группируются на тормозящих (“правых”) склонах и разгруппировываются на ускоряющих (“левых”). Следовательно, сгустки электронов-шариков формируются на правых склонах, причем эффект торможения превосходит эффект ускорения, поскольку мы допустили существование волны с нарастающей амплитудой. Энергия взаимодействия будет наибольшей, когда электроны-шарики за время пролета пройдут весь тормозящий склон. Таким образом, усиление волны происходит в результате непрерывного последовательного отбора от электронного потока незначительных порций энергии по всей длине пространства взаимодействия пучка с волной. Распространение волны со скоростью, близкой к скорости потока, обеспечивает возможность пребывания электронов в поле данной фазы в течение всего времени пролета пространства взаимодействия. Хороший зрительный образ идеи синхронизма электронов и волны – спортсмен, занимающийся серфингом: в случае удачи он удерживается на волне и движется вместе с ней. В двухлучевой лампе немодулированный быстрый поток (υ01 > υ02) взаимодействует с продольной составляющей медленной электронной волны в промодулированном потоке. Тогда, как и в ЛБВ, при соответствующем выборе скорости υ01 потока (должны выполняться условия пространственного резонанса – скорость электронного потока должна быть близка к скорости волны в электронной периодической структуре) последний будет отдавать энергию ВЧ-полю; в результате возможно усиление выходного сигнала. Особенно перспективной двухлучевая лампа казалась в диапазоне миллиметровых длин волн, поскольку сочетала длительное взаимодействие с отсутствием мелкоструктурных замедляющих систем (напомним, что на СВЧ характерные размеры прибора соизмеримы с усиливаемой длиной волны). Правда, входное и вы-

ходное устройства все же оставались бы в этом диапазоне мелкоструктурными. Однако, как оказалось, переход к высоким частотам требует уменьшения разности скоростей потоков и увеличения плотности в них. Сближение скоростей потоков ограничено разбросом электронов по скоростям, который характеризуется функцией распределения электронов по скоростям. Понятно, что, когда разность |υ01 | − |υ02 | сравнима с разбросом по скоростям, два луча практически неразличимы. Двухлучевой усилитель не состоялся как прибор, но он стал каноническим примером для описания волновых неустойчивостей в теории колебаний и волн: два взаимодействующих встречных потока – пример системы с абсолютной неустойчивостью, два одинаково направленных – конвективной. При абсолютной неустойчивости среди нарастающих возмущений находятся такие, которые не покидают заданной области, то есть в каждой точке этой области возмущение растет. Если же возмущение, нарастая во времени, покидает рассматриваемую область, убегает из нее, то имеет место конвективная (сносовая) неустойчивость. Необычайно важную роль в теории волн в электронных потоках сыграло введение понятий о волнах с положительной и отрицательной энергией (впоследствии эти понятия стали основными в теории неравновесных сред независимо от их природы). Понятие о волнах с отрицательной энергией впервые появилось в СВЧэлектронике. Было показано, что с МВПЗ в электронном пучке связан поток отрицательной кинетической мощности. Поясним важность этого факта на примере. Было установлено, что в системе координат, движущейся с невозмущенной скоростью потока, дрейфующий (предварительно модулированный) электронный пучок эквивалентен в смысле протекающих волновых процессов длинной линии без потерь. В силу такой аналогии может показаться, что, поскольку в подвижной системе координат волны пространственного заряда распространяются в разные стороны, МВПЗ прямая, БВПЗ встречная. Но это неверно, так как если ωq = const, то, по определению, групповая скорость обеих волн ∂( ω ⁄ υ 0 ± ω q ⁄ υ 0 ) ∂ω υ гр = ------- = -----------------------------------------∂ω ∂k

–1

= υ0 ,

то есть равна переносной скорости электронного потока. Правильность объяснения состоит в том, что БВПЗ – волна с положительной энергией, а МВПЗ – с отрицательной. По физическому смыслу волны с отрицательной энергией – это такие волны, с ростом амплитуды которых суммарная энергия системы среда–волна уменьшается. Очевидно, что волнам с положительной

Т Р У Б Е Ц К О В Д . И . У Е Д И Н Е Н Н Ы Е В О Л Н Ы В Э Л Е К Т Р О Н Н О М П О Т О К Е И Ю Б И Л Е Й О Д Н О ГО У РА В Н Е Н И Я

105

ФИЗИКА энергией соответствуют те, с ростом амплитуды которых полная энергия системы среда–волна увеличивается. Было показано, что в МВПЗ возмущение скорости υM находятся в противофазе с возмущениями плотности ρМ объемного заряда, а в БВПЗ (υБ и ρБ) – в фазе. Из сказанного следует, что для БВПЗ в области, где возмущение приводит к увеличению ρБ , скорость движения частиц больше υ0 , а там, где плотность уменьшилась, скорость электронов меньше υ0 . Поэтому при возбуждении БВПЗ в потоке преобладают ускоренные по сравнению с υ0 электроны, и результирующая кинетическая энергия, переносимая пучком, больше энергии невозмущенного пучка. Если же возбуждена МВПЗ, то в тех случаях, где образуется сгущение (увеличение ρМ), скорость электронов, наоборот, меньше υ0 и больше там, где возникает разрежение (уменьшение ρМ). В результате при возбуждении в электронном потоке МВПЗ в нем преобладают замедленные по сравнению с υ0 электроны, и энергия, переносимая таким пучком, меньше, чем энергия пучка без волны. Понятно, что для того, например, чтобы в среде возникла волна с отрицательной энергией, волна должна иметь возможность отдавать часть своей энергии среде или другим волнам. Взаимодействие волн с отрицательной энергией с волнами с положительной энергией должно сопровождаться неустойчивостью – обе волны будут расти по амплитуде. Так появились изящная волновая картина физических процессов в СВЧ-лампах с длительным взаимодействием электронов и волны и ее не менее изящное математическое оформление – теория связанных волн. Особенно наглядно и просто можно проследить за процессами, когда во взаимодействии участвуют всего две волны. С этих позиций конвективная неустойчивость в двухлучевой лампе объясняется взаимодействием МВПЗ одного потока с БВПЗ другого. Естественно, что в разное время возникал вопрос: а существуют ли нелинейные аналоги описанных выше волн? 2. ЮБИЛЕЙ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ Во время солитонного бума появились работы, в которых уравнения, описывающие электронный поток или тот или иной СВЧ-прибор, сводились к одному из эталонных уравнений теории нелинейных волн, чаще всего к уравнению Кортевега–де Фриса (КдФ)1. Остановимся кратко на этом уравнении и его решении в виде уединенной волны – солитона. 1 Мы не останавливаемся на введении понятия уединенных волн и солитонов, поскольку в “Соросовском Образовательном Журнале” была опубликована статья Л.И. Маневича “Линейная и нелинейная математическая физика: от гармонических волн к солитонам” (1996. № 1. С. 86–93), где эти вопросы обсуждались.

106

Уравнению КдФ более ста лет, если считать, что впервые оно явно выписано в статье Кортевега и де Фриса (Korteweg D.J., de Vries G. On the Change of Form of Long Waves Advancing in Rectangular Channel, and on a New Type of Long Stationary Waves // Philos. Mag. 1895. Vol. 39. P. 422–443). Это официальная дата, хотя раньше уравнение появилось в докторской диссертации Густава де Фриса, которая и послужила основой знаменитой статьи 1895 года. Существует мнение, что это уравнение косвенно возникает в исследованиях 1871–1877 годов французского физика Жозефа Валантена Буссинеска. Но истории было угодно, чтобы открытие уравнения стало навсегда связано с именами известного голландского физика и механика Дидерика Иоганна Кортевега и преподавателя математики в голландских гимназиях Густава де Фриса. Д.И. Кортевег (1848–1941) был учеником Я.Д. Вандер-Ваальса. Его первая докторская диссертация (1878) была посвящена движению вязкой жидкости в упругой трубе применительно к артериальному течению крови. С 1881 по 1918 год Кортевег возглавлял в Амстердамском университете кафедру математики и механики. Весьма занятно, что в биографических статьях о Кортевеге нет упоминания о его работе о волнах на воде и, более того, нет ссылки на совместную работу с де Фрисом. Судя по всему, ни Кортевег, ни де Фрис не знали об исследованиях Буссинеска. Де Фрис после защиты диссертации преподавал в гимназиях и опубликовал в “Трудах Голландской королевской академии наук” две статьи о циклонах. Больше о нем ничего не известно. В диссертации де Фриса уравнение КдФ было получено для описания длинных гравитационных волн в невязкой несжимаемой жидкости конечной глубины, причем в качестве переменной использовалось смещение свободной поверхности жидкости до равновесного уровня. Несомненная ценность уравнения КдФ в том, что оно является модельным (иногда говорят, эталонным) для любой физической системы с приближенным законом дисперсии ω ---- = c 0 ( 1 – bk 2 ) k

(30)

и слабой квадратичной нелинейностью. Здесь b ! l, l – характерный масштаб длины вдоль направления распространения волны, c0 – фазовая скорость линейных бездисперсных волн, k – волновое число. В общем случае, когда нелинейные и дисперсионные добавки в исходных уравнениях, описывающих распространение волн, одного порядка величины и

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 6 , № 4 , 2 0 0 0

ФИЗИКА малы по сравнению с линейными членами, уравнение одноволнового приближения имеет вид ∂u ∂u ∂u ----- + [ c 0 + υ ( u ) ] ----- + β -------3- = 0. ∂x ∂t ∂x 3

(31)

Оно может быть приближенно получено из (1) следующим образом. Если при малых возмущениях u изменяет∂ ----, ся как e j(ωt − kx), то имеет место соответствие jω ∂t ∂ -----. Тогда, используя (1), можно написать ∂x уравнение – jk

∂u ∂u ∂u ----- + c 0 ----- + β -------3- = 0. ∂x ∂t ∂x 3

Добавив, как любят говорить теоретики, “руками” ∂u в это уравнение нелинейное слагаемое υ ( u ) -----, прихо∂x дим к уравнению (2). В уравнении (2) все переменные безразмерные: x – продольная координата, t – время, u(x, t) – функция, характеризующая процесс, β = c0b = = const. Предположим, что υ(u) = u, то есть имеет место простейшая квадратичная нелинейность. Тогда в системе координат, движущейся со скоростью c0 , находим более распространенную форму уравнения КдФ ∂u ∂u ∂u ----- + u ----- + β -------3- = 0. ∂x ∂t ∂x 3

(32)

При помощи уравнения (3) из (2) для перехода в движущуюся систему координат введены xн = x − c0t и tн = t, а индекс “н” далее опущен. Современный интерес к уравнению (3) и непрекращающийся поток публикаций, связанных с изучением (3) и родственных ему уравнений, был инициирован Н.Дж. Забуски и М.Д. Крускалом, которые в 1965 году переоткрыли солитон. Солитону, как известно, соответствует полная компенсация изменений, происходящих в волне за счет дисперсионных свойств среды, изменениями, связанными с ее нелинейностью. Аналитически решение уравнения (3), соответствующее одиночному возвышению или уединенной волне – солитону, записывается в виде – 2 x – Vt u ( x, t ) = u max ch --------------, ∆

(33)

из которых следует, что, чем большую амплитуду имеет солитон, тем он уже и тем больше его скорость. У солитонов есть еще одно свойство, выделяющее их из семейства уединенных волн. Это свойство положено в одно из рабочих определений солитона, которое звучит так: солитон – это уединенная волна, сохраняющая форму и скорость после столкновения с другой такой уединенной волной. Термин “солитон” во многом связан именно с таким частицеподобным поведением волны. Уже упоминалось, что уравнение (3) получалось и из исходных уравнений, описывающих электронный поток, стандартными методами, включающими различные приближения. Очевидно, что при таком подходе всегда остается вопрос о применении полученного результата. Более того, как показал анализ, солитонные решения имеют место в таком диапазоне параметров, где реальные СВЧ-приборы не используют. Снять сомнение могут либо нахождение точного решения исходных уравнений, либо вычислительный эксперимент. 3. УЕДИНЕННЫЕ ВОЛНЫ В ЭЛЕКТРОННОМ ПОТОКЕ1 Рассмотрим цилиндрический электронный поток радиуса r1 , сфокусированный бесконечно сильным продольным магнитным полем, который движется вдоль оси трубы радиуса r2 с идеально проводящими стенками (ось трубы совпадает с осью x). Предположим, что постоянная составляющая плотности электронного потока скомпенсирована ионным фоном. Возмущения скорости таковы, что обгона одних электронов другими не происходит и справедливы гидродинамические уравнения движения и непрерывности

6β u max -----2- = ---------, 2 ∆

(34)

∂ρ ∂( ρυ ) ------ + -------------- = 0. ∂x ∂t

(35)

Переменные в уравнениях (5) и (6) безразмерные и нормированы следующим образом: скорость υ и плотность ρ объемного заряда отнесены к невозмущенным значениям υ0 и ρ0 , потенциал поля пространственного 2 –1 заряда ϕ – к mυ 0 ⁄ e, время – к ω p , а координата – к υ0 /ωp (заметим, что ωq = ωp при R = 1). Для потенциала ϕ используем уравнение

где umax = 3V, V – постоянная скорость солитона, ∆ – характерная ширина солитона. Решение (4) удовлетворяет уравнению КдФ при выполнении равенств 4β -----2- = V , ∆

∂υ ∂ϕ ∂υ ------ + υ ------ = ------ , ∂x ∂x ∂t

∂ϕ 2 --------2 – k ⊥ ϕ = ρ – 1, ∂x 2

(36)

1

В этом разделе изложены результаты, полученные в кандидатской диссертации Н.М. Рыскина (1996), выполненной под руководством автора.

Т Р У Б Е Ц К О В Д . И . У Е Д И Н Е Н Н Ы Е В О Л Н Ы В Э Л Е К Т Р О Н Н О М П О Т О К Е И Ю Б И Л Е Й О Д Н О ГО У РА В Н Е Н И Я

107

ФИЗИКА α 2 k ⊥ = ---- , r1

1 # α # 2.

Будем искать стационарные волны, то есть решения, зависящие от θ = x − ut, где u = const – скорость стацио∂ ∂ ∂ ∂ нарной волны. Тогда ----- = ------ , а ---- = – u ------ и уравнения ∂ x ∂θ ∂t ∂θ (5) и (6) принимают вид ∂υ ∂ϕ ( υ – u ) ------ = ------ , ∂x ∂x ∂ρ ∂( ρυ ) – u ------ = --------------. ∂x ∂x Интегрируя эти уравнения с граничными условиями υ = 1,

ρ = 1,

ϕ = 0 при θ

±∞

(37)

и используя полученные соотношения в уравнении (7), приходим к уравнению “нелинейного осциллятора” ∂ϕ 2ϕ --------2 = k 2⊥ ϕ + 1 + ------------------2 ∂x (1 – u) 2

–1 ⁄ 2

– 1.

(38)

Потенциальная энергия этого осциллятора описывается функцией k⊥ϕ 2ϕ 2 - + ( 1 – u ) 1 – 1 + ------------------2 . U ( ϕ ) = ϕ – ---------2 (1 – u) 2

2

(39)

2ϕ ------------------2 ! 1 (слабая нелиней(1 – u) ность), то, разлагая правые части соотношений (9) и (10) в ряд Тейлора с точностью до членов второго порядка малости, можно получить уравнения, имеющие решения в виде КдФ-солитонов. Анализ уравнения (9) с учетом (10) показывает, что уединенная волна может существовать и будет устой2 чивой при 1 < M < 2, где M = k ⊥ 1 – u . Исследование Заметим, что если

также показывает, что скорость быстрой уединенной волны всегда больше, а медленной меньше, чем соответствующие фазовые скорости линейных волн пространственного заряда. Точное решение задачи удается найти лишь в неявной форме. При этом удается показать, что скорость u уединенной волны пропорциональна ее амплитуде υmax , но связь между этими величинами иная, чем для КдФ-солитонов. Непосредственное численное решение исходных уравнений проводилось в системе координат, которая движется со скоростью электронного потока. На рис. 2 представлен пример образования быстрой уединенной волны пространственного заряда и осциллирующего “хвоста” малой амплитуды. Вычислительный эксперимент показал, что в процессе эволюции довольно широкого класса начальных возмущений возникают одна или несколько устойчивых уединенных волн, распространяющихся практически без изменения их формы и скорости. Что происходит при столкновении уединенных волн пространственного заряда? Столкновение попутных волн с высокой степенью точности оказывается упругим (рис. 3, 4), как для КдФ-солитонов. Когда амплитуды волн близки, столкновение происходит без образования одиночного пика (рис. 4). Быстрая и медленная волна (встречные волны) сталкиваются неупруго (рис. 5). Отметим, что только столкновение попутных волн можно, по крайней мере качественно, описать с помощью КдФ-уравнения, включая различия во взаимодействии волн с близкими и сильно различающимися амплитудами.

б

а

v 1,2

ρ 5

t

3

1,1 1,0

t

1 x

x

Рис. 2. Образование уединенной волны и осциллирующего хвоста при эволюции начального возмущения: а – скорость электронов, б – плотность заряда

108

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 6 , № 4 , 2 0 0 0

ФИЗИКА

а

v 1,2

б

ρ 5

t

t

3

1,1

1

1,0

x

x

Рис. 3. Взаимодействие двух быстрых уединенных волн с сильно различающимися амплитудами: а – скорость электронов, б – плотность заряда

б

а

v 1,2

ρ 5

t

t

3

1,1

1

1,0

x

x

Рис. 4. Взаимодействие двух быстрых уединенных волн с близкими амплитудами, при котором одиночный пик не образуется: а – скорость электронов, б – плотность заряда

б

а

v 1,2

ρ 5

t

1,1

3

1,0 0,9

t

1 x

x

Рис. 5. Взаимодействие быстрой и медленной уединенных волн, при котором появляются неупругие эффекты: а – скорость электронов, б – плотность заряда

Т Р У Б Е Ц К О В Д . И . У Е Д И Н Е Н Н Ы Е В О Л Н Ы В Э Л Е К Т Р О Н Н О М П О Т О К Е И Ю Б И Л Е Й О Д Н О ГО У РА В Н Е Н И Я

109

ФИЗИКА ВМЕСТО ЗАКЛЮЧЕНИЯ И СПИСКА РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Изложенные результаты позволяют утверждать, что уединенные волны пространственного заряда существуют. Они отличаются от КдФ-солитонов, хотя по некоторым свойствам и близки к ним. Если читатель заинтересовался волнами пространственного заряда и КдФ-уравнением, то может заглянуть в следующие книги и статьи: 1. Шевчик В.Н., Шведов Г.Н., Соболева А.В. Волновые и колебательные явления в электронных потоках на сверхвысоких частотах. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1962. 336 с.

Несмотря на давний год издания, книга, имеющая характер энциклопедического обзора, может служить прекрасным введением в линейную теорию волн пространственного заряда. 2. Филиппов А.Т. Многоликий солитон. М.: Наука, 1990. 288 с.

Прекрасный популярный рассказ о колебаниях и волнах, в частности о солитонах. 3. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. 694 с.

Пожалуй, одна из лучших учебных монографий о солитонах. В книге приведено много хороших задач. 4. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. 432 с.; 2-е изд. 1992. 456 с.

В учебном пособии для студентов излагаются необходимые сведения и о волнах пространственного заряда, и о солитонах. 5. Рыскин Н.М. Уединенные волны пространственного заряда // Изв. вузов. Прикл. нелинейная динамика. 1994. Т. 2, № 5. С. 84–91.

110

В этой статье читатель найдет подробности математического анализа, детали вычислений и т.п., соответствующие результатам, приведенным в данной статье. В частности, в статье изложены детали получения уравнения (9) и соотношения (10). 6. Трубецков Д.И. Колебания и волны для гуманитариев. Саратов: Изд-во гос. учеб.-науч. центра “Колледж”, 1997. 391 с.

В учебном пособии для студентов вузов есть глава “Нелинейные волны”, где дано описание солитонов. Кроме того, в главе “Линейные волны” изложена история открытия ЛБВ и приведено качественное описание физических процессов в ней. 7. Пирс Дж. Электроны, волны и сообщения. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1964.

В научно-популярной книге одного из создателей ЛБВ даны ее описание, принцип работы и много любопытных фактов из истории создания лампы. Рецензент статьи В.В. Осипов *** Дмитрий Иванович Трубецков, доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН, зав. кафедрой электроники, колебаний и волн, ректор Саратовского государственного университета. Область научных интересов – радиофизика, сверхвысокочастотная электроника, теория колебаний и волн, применение методов нелинейной динамики в различных областях науки. Автор и соавтор 15 монографий и учебных пособий и более 200 статей.

С О Р О С О В С К И Й О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н Ы Й Ж У Р Н А Л , Т О М 6 , № 4 , 2 0 0 0