Начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности. Метод Фурье: Методические указания

М и ни сте р ство о б р а зо ва ни я Ро сси йско й Ф е де р а ци и В о р о не ж ски й Го суда р стве нный уни ве р си те т Ф а культе тпр и кла дно й ма те ма ти ки и ме ха ни ки Ка фе др а ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й

Н а ча льно -кр а е вые за да чи для ур а вне ни я те пло пр о во дно сти . М е то д Ф ур ье .

М е то ди че ски е ука за ни я для студе нто в 3 кур са дне вно го о тде ле ни я фа культе та ПМ М .

Со ста ви те ль: П. С. Укр а и нски й. В о р о не ж 2002.

В ведени е В на сто ящ е й ме то ди че ско й р а зр а б о тке ме то д Ф ур ье пр и ме няе тся пр и р е ш е ни и на ча льно -кр а е вых за да ч для ур а вне ни я те пло пр о во дно сти . В §1 пр и во дятся не о б хо ди мые све де ни я о по ста но вке р е ш е ни и и сво йства х р е ш е ни й за да чи Ш тур ма -Ли уви лля. В §2 пр и ве де ныо б р а зцыр е ш е ни й за да ч, на чи на я с о дно р о дно го ур а вне ни я с о дно р о дными гр а ни чными усло ви ями и ко нча я не о дно р о дным ур а вне ни е м с не о дно р о дными гр а ни чными усло ви ями . § 1. З а да ча Ш т у рм а -Л и у ви лля. Сущ но сть ме то да Ф ур ье р а зде ле ни я пе р е ме нных для р е ш е ни я кр а е вых за да ч со сто и тв то м, что р е ш е ни е за да чи и щ е тся в ви де суммыр яда

U ( x, t ) =

∞

∑ T (t ) X n

n =1

n

( x ) , где функци и T (t ) на до на йти , а си сте ма функци й n

X n (t ) - это со б стве нные функци и вспо мо га те льно й за да чи Ш тур ма -Ли уви лля. (1) Ур а вне ни е ( py ') '− qy + λρ y = 0 , где p ( x ) , q ( x ) , ρ ( x ) не пр е р ывные на (0, l ) функци и , пр и че м ρ ( x ) и ме е т не пр е р ывную на (0, l ) пр о и зво дную, на зыва е тся ур а вне ни е м Ш тур ма -Ли уви лля, е сли , p ( x) > 0 , q ( x ) ≥ 0 , ρ ( x) > 0 всюду на (0, l ) , пр и че м ρ ( x ) о гр а ни че на на (0, l ) . Зде сь λ – по сто янно е чи сло . Пусть функци я y(x), являющ а яся р е ш е ни е м ур а вне ни я Ш тур ма -Ли уви лля, удо вле тво р яе тна ле во м ко нце и нте р ва ла (0, l ) о дно му и з сле дующ и х усло ви й: 1. y(0) = 0 (кр а е во е усло ви е 1-го ти па ); 2. y '(0) = 0 (кр а е во е усло ви е 2-го ти па ); 3. y '(0) + Hy (0) = 0 , H > 0 (кр а е во е усло ви е 3-го ти па ); то гда го во р ят, что это р е ш е ни е удо вле тво р яе тв то чке x = 0 кр а е во му (и ли гр а ни чно му) усло ви ю 1,2 и ли 3-го ти по в. А на ло ги чные кр а е вые усло ви я за да ются и на пр а во м ко нце и нте р ва ла x = l . Пр и это м кр а е вые усло ви я на ле во м и пр а во м ко нца х мо гутб ыть р а зных ти по в. Пусть да но ур а вне ни е (1) и кр а е вые усло ви я в то чка х x = 0 , x = l . Э то му ур а вне ни ю и эти м кр а е вым усло ви ям удо вле тво р яе тфункци я то ж де стве нно р а вна я нулю (тр и ви а льно е р е ш е ни е ). Т е зна че ни я λ , пр и ко то р ых ур а вне ни е (1) и ме е тне тр и ви а льно е р е ш е ни е , удо вле тво р яющ е е за да нным кр а е вым усло ви ям, на зыва ются со б стве нными чи сла ми (и ли со б стве нными зна че ни ями ) да нно й кр а е во й за да чи , а са ми не тр и ви а льные р е ш е ни я, со о тве тствующ и е эти м λ , на зыва ются со б стве нными р е ш е ни ями (и ли со б стве нными функци ями ). За да ча о тыска ни я все х со б стве нных чи се л и со б стве нных функци й ур а вне ни я Ш тур ма -Ли уви лля пр и кр а е вых усло ви ях 1,2 и ли 3-го ти по в на ко нца х и нте р ва ла (0, l ) на зыва е тся за да че й Ш тур ма -Ли уви лля. И ме е тме сто сле дующ а я о сно вна я те о р е ма о со б стве нных чи сла х и со б стве нных функци ях за да чи Ш тур ма Ли уви лля.

2

Т е о р е ма 1. Пусть за да но ур а вне ни е ( py ') '− qy + λρ y = 0 и кр а е вые усло ви я 1,2 и ли 3-го ти по в на ко нца х и нте р ва ла (0, l ) . Пусть функци и p ( x) , p '( x ) , q ( x ) , ρ ( x) не пр е р ывнына и нте р ва ле (0, l ) , пр и че м всюду на это м и нте р ва ле p ( x) > 0 , q ( x) ≥ 0 , ρ ( x) > 0 и ρ ( x ) о гр а ни че на на (0, l ) . Т о гда со б стве нные чи сла и со б стве нные функци и это й кр а е во й за да чи сущ е ствуюти о б ла да ютсле дующ и ми сво йства ми : 1) со б стве нные чи сла ве щ е стве нны, со б стве нных чи се л сче тно е мно ж е ство и и х мо ж но р а спо ло ж и ть в ви де во зр а ста ющ е й по сле до ва те льно сти λ1 < λ2 < ... < λn < ... ; 2) все со б стве нные чи сла не о тр и ца те льны; 3) ка ж до му со б стве нно му чи слу λk со о тве тствуе тто лько о дна (с

то чно стью до чи сло во го мно ж и те ля) функци я ϕ k ( x) ; 4) ка ж до й со б стве нно й функци и о тве ча е тто лько о дно со б стве нно е чи сло ; 5) со б стве нные функци и , со о тве тствующ и е р а зли чным но ме р а м k и m, о р то го на льныс ве со м ρ ( x) , это зна чи т, что для люб ых k и m, та ки х, что k ≠ m l

(ϕ k , ϕ m ) = ∫ ϕ k ( x )ϕ m ( x ) ρ ( x)dx = 0

(2)

0

В да льне йш е м по д но р мо й со б стве нно й функци и б уди м по ни ма ть ве ли чи ну l

ϕ k ( x) =

(ϕ k ,ϕ k ) = ∫ ϕ k2 ρ ( x)dx .

(3)

0

По ско льку со б стве нные функци и за да чи Ш тур ма -Ли уви лля о пр е де ляются с то чно стью до по сто янно го мно ж и те ля, то это тмно ж и те ль мо ж но выб р а ть та к, что б ы ϕ k = 1 . Т а кую си сте му со б стве нных функци й б уде м на зыва ть но р ми р о ва нно й. Т е о р е ма Сте кло ва . В сяка я функци я f(x), удо вле тво р яющ а я кр а е вым усло ви ям

α f (0) + β f '(0) = 0, γ f (l ) + δ f '(l ) = 0

и и ме ющ а я не пр е р ывную пе р вую пр о и зво дную и кусо чно -не пр е р ывную вто р ую пр о и зво дную, р а зла га е тся в а б со лютно и р а вно ме р но схо дящ и йся р яд по со б стве нным функци ям со о тве тствующ е й за да чи Ш тур ма -Ли уви лля ∞

l

k =1

0

f ( x) = ∑ akϕ k ( x) , где ak = ( f , ϕ k ) = ∫ f ( x)ϕ k ( x) ρ ( x) dx . Си сте ма функци й ϕ k ( x ) пр е дпо ла га е тся но р ми р о ва нно й.

Пр и ве де м да ле е на и б о ле е ча сто встр е ча ющ и е ся случа и за да чи Ш тур ма Ли уви лля. 3

Пр и ме р 1. Н а и нте р ва ле (0, l ) р е ш и ть сле дующ ую за да чу Ш тур ма Ли уви лля: (4) X "( x) + λ X ( x) = 0 , X '(0) = 0 , (5) X '(l ) = 0 . (6) Ре ш е ни е . По ско льку и з те о р е мы1 сле дуе т, что со б стве нные чи сла не о тр и ца те льны, р а ссмо тр и м случа й λ = 0 . Т о гда ур а вне ни е X "( x ) = 0 и ме е то б щ е е р е ш е ни е

X ( x ) = C1 + C2 x . О ткуда X '( x) = C2 , X '(0) = C2 = 0 . Зна чи т, X ( x ) = C1 и X '( x) = 0 . О ткуда X '(0) = X '(l ) = 0 . По луча е м λ0 = 0 со б стве нно е чи сло и X 0 ( x ) = const со б стве нна я функци я. l

X 0 ( x) = ∫ C 2 dx = C 2l , C 2l = 1, C = 2

0

т.е . X 0 ( x) =

1

1 l

,

но р ми р о ва нна я со б стве нна я функци я.

l Пусть λ > 0 . Т о гда о б щ и е р е ш е ни е ур а вне ни я (4) и ме е тви д X ( x ) = C1 cos λ x + C2 sin λ x. По дб е р е м C1 и C2 та к, что б ыфункци я X(x) удо вле тво р яла кр а е вым

усло ви ям (5), (6).

X '( x) = −C1 λ sin λ x + C2 λ cos λ x, X '(0) = C2 λ = 0. О ткуда C2 = 0. X '(l ) = −C1 λ sin λ l = 0 , т.к. λ > 0 и C1 ≠ 0 (и на че X ( x ) ≡ 0 ), то sin λ l = 0, λ l = π k , k=1,2,… 2 πk  λk =   , k=0,1,2,… - это со б стве нные зна че ни я (пр и k = 0 , λ0 = 0 б ыло  l  на йде но р а не е ).

kπ x , k = 1, 2,... l l l C1 2 kπ x 2 2 2 kπ x X k ( x ) = ∫ C1 cos dx = ∫ (1 + cos ) dx = l 2 l 0 0

X k ( x) = C1 cos

4

C12 l 2kπ x C12 = l+ sin = l. 2 2kπ l 0 2 C12 2 . l = 1, C1 = l 2 kπ x 2 По сле но р ми р о вки X k ( x) = cos , k = 1, 2... О ко нча те льно и ме е м l l 1 λ0 = 0 , X 0 ( x) = , l 2 2 kπ x πk  λk =  , X ( x ) = cos , k = 1, 2... k  l l  l  l

Пр и ве де м р е зульта тыр е ш е ни я е щ е тр е х за да ч Ш тур ма -Ли уви лля. Ре ко ме ндуе м чи та те лю во сста но ви ть р е ш е ни е . Пр и ме р 2. Д ля x ∈ (0, l ).

X "( x) + λ X ( x ) = 0, X (0) = 0, X (l ) = 0.

2 π kx πk  X x = О тве т: λk =  , ( ) sin , k = 1, 2... k  l l  l  Пр и ме р 3. Д ля x ∈ (0, l ). X "( x) + λ X ( x ) = 0, X (0) = 0, X '(l ) = 0. 2

 ( 2k + 1) π  ( 2k + 1)π x 2 О тве т: λk =  , X ( x ) = sin , k = 0,1, 2...  k 2 l l 2 l   Пр и ме р 4. x ∈ (0, l ). X "( x) + λ X ( x ) = 0, X '(0) = 0, X (l ) = 0. 2

 ( 2k + 1) π  ( 2k + 1) π x 2 О тве т: λk =  cos , k = 0,1, 2...  , X k ( x) = 2 2 l l l   2

§ 2. М етод р аз д ел ен ия пер ем ен н ы х д л я пер вой к р аевой з ад ач и ур авн ен ия тепл опр овод н ости.

{

}

Р а ссмо т р и м п р я мо у го льни к Q = ( x, t ) ∈ R ,0 ≤ x ≤ l ,0 ≤ t ≤ T . 2

За да ча 1. Н а йти не пр е р ывную в пр ямо уго льни ке Q функци ю U(x,t), удо вле тво р яющ ую в Q ур а вне ни ю те пло пр о во дно сти

U t = a 2U xx ,

(2.1)

на ча льно му усло ви ю U ( x, 0) = ϕ ( x ), (0 ≤ x ≤ l ) 5

(2.2)

и гр а ни чным усло ви ям U (0, t ) = 0, U (l , t ) = 0, (0 ≤ t ≤ T ). (2.3) Пр е дпо ло ж и м, что ϕ ( x) не пр е р ывна и и ме е ткусо чно -не пр е р ывную пр о и зво дную и ϕ (0) = ϕ (l ) = 0. Ре ш е ни е . Д ля р е ш е ни я это й за да чи со ста ви м о сно вную вспо мо га те льную за да чу: 2 (2.1`) на йти р е ш е ни е ур а вне ни я U t = a U xx , не р а вно е то ж де стве нно нулю, удо вле тво р яющ е е о дно р о дным гр а ни чным усло ви ям (2.2`) U (0, t ) = 0,U (l , t ) = 0 и пр е дста ви мо е в ви де (2.4) U ( x, t ) = X ( x)T (t ), где X ( x) и T (t ) функци и то лько о дно й пе р е ме нно й. По дста ви м (2.4) в ур а вне ни е (2.1`) и р а зде ли м пе р е ме нные . По лучи м

T '(t ) X "( x) = . a 2T (t ) X ( x )

В по сле дне м р а ве нстве ле ва я ча сть за ви си тто лько о тt, а пр а ва я то лько о тx, р а ве нство во змо ж но то лько , е сли ка ж да я и з др о б е й р а вна −λ = const .

T' X" = = −λ . a 2T X

О ткуда сле дуе т, что X "+ λ X = 0 ,

T '+ a λT = 0. 2

Гр а ни чные усло ви я (2.2`) да ют X (0)T (t ) = 0, X (l )T (t ) = 0, о ткуда X (0) = 0 и X (l ) = 0 , т.к. е сли T (t ) = 0 , то U ( x, t ) ≡ 0. По лучи ли за да чу Ш тур ма -Ли уви лля для функци и X ( x)

(2.5) (2.6)

X "+ λ X = 0, X (0) = 0, X (l ) = 0.

Т а ка я за да ча по р о ж да е тси сте му со б стве нных зна че ни й λk и со б стве нных функци й X k ( x ). И х явный ви д ука за н в пр и ме р е 2. Ре ш е ни е о сно вно й за да чи (2.1)-(2.3) б уде м и ска ть в ви де фо р ма льно со ста вле нно го р яда ∞

U ( x, t ) = ∑ Tk (t ) X k ( x )

(2.7)

k =1

в пр е дпо ло ж е ни и , что р яд до пуска е тпо чле нно е ди ффе р е нци р о ва ни е . Ф ункци и Tk (t ) по дле ж а то пр е де ле ни ю. По дста ви м р яд (2.7) в и схо дно е ур а вне ни е (2.1). По лучи м ∞

∑T k =1

k

'(t ) X k ( x) = a

∞

2

∑ T (t ) X k =1

k

k

"( x) = 0 ,

где X k "( x) = −λk X k , т.к. X k ( x) р е ш е ни е ур а вне ни я (2.5). По дста ви м, пе р е не се м все чле нына ле во и по лучи м

6

∞

∑ (T

k

k =1

'(t ) + a 2 λk Tk (t ) )X k ( x) = 0 .

О ткуда , в си лу е ди нстве нно сти р а зло ж е ни я функци и в р яд по со б стве нным функци ям за да чи Ш тур ма -Ли уви лля, сле дуе т, что

πk  Tk '(t ) + a λk Tk (t ) = 0 , где λk =   .  l  2

2

Э то о б ыкно ве нно е ди ффе р е нци а льно е ур а вне ни е ле гко р е ш а е тся р а зде ле ни е м пе р е ме нных. По лучи м

Tk (t ) = Ck e − a λk t , Tk (0) = Ck . По дста ви м Tk (t ) в р яд (2.7) 2

∞

U ( x, t ) = ∑ Ck e − a

2

λk t

k =1

X k ( x).

Э та функци я удо вле тво р яе тур а вне ни ю (2.1) и гр а ни чным усло ви ям (2.3). О ста ло сь по до б р а ть Ck та к, что б ывыпо лняло сь на ча льно е усло ви е (2.2). Пр и t = 0 по лучи м ∞

U ( x,0) = ϕ ( x) = ∑ Ck X k ( x). k =1

Зна чи т, Сk - это ко эффи ци е нтыр а зло ж е ни я функци и ϕ ( x) в р яд по со б стве нным функци ям X k ( x). l

l

kπ x 2 Ck = (ϕ , X k ) = ∫ ϕ ( x ) X k ( x) dx = ϕ ( x )sin dx. ∫ l l 0 0

О ко нча те льно по лучи м, пе р е о б о зна чи в Ck = ϕ k . ∞

U ( x, t ) = ∑ ϕ k k =1

2

 aπ k  −  t e  l 

2 kπ x sin . l l

И зве стно , что пр и да нных о гр а ни че ни ях на функци ю ϕ ( x) р яд (2.8) до пуска е тпо чле нно е ди ффе р е нци р о ва ни е по t и два ж дыпо x (см. [1]), по это му функци я U ( x, t ) являе тся кла сси че ски м р е ш е ни е м за да чи в пр ямо уго льни ке Q . Пр и ме р 5. Н а йти за ко н р а спр е де ле ни я те мпе р а тур ывнутр и то нко го сте р ж ня дли ны l , ле ж а щ е го на о тр е зке [0, l ] , е сли в на ча льный мо ме нтте мпе р а тур а внутр и сте р ж ня б ыла р а спр е де ле на сле дующ и м о б р а зо м:

U ( x , t )t = 0

l  U0  l x, 0 < x < 2 , = ϕ ( x) =  U 0 (l − x), l < x < l ,  l 2 7

(2.9)

где U 0 = const. Н а ко нца х сте р ж ня по дде р ж и ва е тся по сто янна я нуле ва я те мпе р а тур а . Зде сь пр е дпо ла га е тся, что сте р ж е нь о дно р о де н, и зо тр о пе н и что е го сте нки те пло и зо ли р о ва ныо то кр уж а ющ е й ср е ды. Э то зна чи т, что мыи ме е м сле дующ ую за да чу:

U t = a 2U xx , 0 < x < l , U ( x, 0) = ϕ ( x), U (0, t ) = 0, U (l , t ) = 0. За ме ти м, что функци я ϕ ( x) , за да нна я (2.9), не пр е р ывна и кусо чно ди ффе р е нци р уе ма . Ре ш е ни е это й за да чи б уде то пр е де ляться фо р муло й (2.8). О ста е тся вычи сли ть ко эффи ци е нты ϕ k . l 2

l

2 2 U0 kπ x π kx ( )sin sin x dx x dx + ϕ = l ∫0 l l ∫0 l l

ϕk =

l 2

l

2 U0 2 U0 kπ x π kx (l − x) sin ( ∫ x sin dx = dx + ∫ l l l l l l 0 l

+

2 l

+ ∫ (l − x)sin l 2

kπ x dx ) = l

2 U0 l = (− l l kπ

l 2

l

kπ x l kπ x (cos ) − ( − ) (cos )) = xd l x d ∫ ∫ l k l π l 0 2

=

l kπ x 2

2 U0 lx (− cos l l kπ l

0

+

l 2

l kπ x 2

l kπ x l (l − x ) cos dx − cos kπ ∫0 l kπ l

0 l

l

2 U0 l kπ x l2 kπ l 2 kπ x 2 − cos dx ) = ( − cos + ( ) sin + kπ ∫l l l l 2kπ 2 kπ l 0 2

l2 kπ l 2 kπ x l 2 U 0 2l 2 kπ cos ) sin + − ( ) sin = = kπ l l l l k 2π 2 2 kπ 2 2 2

8

−

l 4U 0 πk sin . 2 k 2π 2 2 По дста ви м ϕ k в р яд (2.8). По лучи м =

U ( x, t ) =

4U 0

∞

2

1

∑ k 2 sin

π 2 k =1

kπ 2

 aπ k  −  t l   e

sin

kπ x . l

kπ пр и че тных k р а ве н нулю, то не нуле вые чле ныр яда то лько с 2 не че тными но ме р а ми k = 2n − 1. Д ля та ки х k по лучи м ( 2n − 1) π = − n −1 kπ = sin sin ( 1) . 2 2

Т .к. sin

О ко нча те льно

 ( 2 n −1)π a  n −1 −   t l   e 2 2

U ( x, t ) =

4U 0 π

2

( −1) n =1 ( 2 n − 1) ∞

∑

sin

( 2n − 1) π x l

.

Пр и ме р 6. Ре ш и ть за да чу

U t = U xx , 0 < x < π , t > 0, U x (0, t ) = 0, U x (π , t ) = 0, U ( x, 0) = cos 2 x.

За ме ча ни е . По ско льку да нна я за да ча не являе тся по вто р е ни е м за да чи 1, то во спо льзо ва ться го то во й фо р муло й р е ш е ни я (2.8) не льзя, но ме то д р е ш е ни я б уде т то тж е . По вто р и м е го . Со ста ви м вспо мо га те льную за да чу

U t = U xx , 0 < x < π , t > 0, U x (0, t ) = 0, U x (π , t ) = 0. Ре ш е ни е и щ е тся в ви де U ( x, t ) = X ( x)T (t ). По дста вляя в ур а вне ни е и р а зде ляя пе р е ме нные , по лучи м

T '(t ) X "( x ) = = −λ . T (t ) X ( x) О ткуда для X ( x ) по лучи м за да чу Ш тур ма -Ли уви лля X "( x) + λ X ( x ) = 0, X '(0) = 0, X '(π ) = 0. В о спо льзуе мся р е зульта то м р е ш е ни я пр и ме р а 1.

λk = k 2 , k = 0,1, 2... X 0 ( x) =

1 π

, X k ( x) =

2 cos kx, k = 1, 2... π 9

Д а ле е р е ш е ни е и схо дно й за да чи и щ е м в ви де U ( x, t ) =

∞

∑ Tk (t )X k ( x).

k =0

По дста ви м в и схо дно е ур а вне ни е , по лучи м T '(t ) + λk T (t ) = 0, где

λk = k 2 , k = 0,1, 2...

Tk (t ) = ϕ k e − k t (по др о б ные выкла дки в за да че 1). 2

О ткуда 2 1 ∞ 2 (2.10) U ( x, t ) = ϕ 0 + ∑ ϕk e−k t cos kx. π k =1 π Д а ле е для вычи сле ни я ϕ k (в за да че 1 ϕ k = Ck ) во спо льзуе мся на ча льным

усло ви е м пр и ме р а 6. U ( x,0) = ϕ ( x) = cos ( x ). В р а ве нстве (2.10) по ло ж и м t = 0 . По лучи м 2

1 ∞ 2 U ( x, 0) = ϕ 0 + ∑ ϕk cos kx. (2.11) π k =1 π О ткуда за ключа е м, что ϕ k е сть ко эффи ци е нтыФ ур ье р а зло ж е ни я функци и

ϕ ( x) = cos 2 x по си сте ме со б стве нных функци й и мо гутб ыть вычи сле ныпо π

∫

фо р муле ϕ k = cos x ⋅ X k ( x )dx. Н о в да нно м случа е cos x = 2

2

0

1 1 + cos 2 x, а 2 2

это ли не йна я ко мб и на ци я со б стве нных функци й X 0 ( x) и X 2 ( x). Пе р е пи ш е м

1 1 1 ∞ 2 (2.11) в ви де + cos 2 x = ϕ 0 + ∑ ϕk cos x. О ткуда , пр и р а вняв 2 2 π k =1 π ко эффи ци е нтыпр и о ди на ко вых функци ях, по луча е м О ткуда ϕ 0 =

1 1 1 2 = ϕ0 , = ϕ2 . 2 π 2 π

π π , ϕ2 = . О ста льные ко эффи ци е нты ϕ1 = ϕ3 = ϕ 4 = ... = 0. 2 2 2

По это му р яд (2.10) пр е вр а щ а е тся в ко не чную сумму

U ( x, t ) =

π 2

1 π −4t 2 1 1 + e cos 2 x = + e−4t cos 2 x. π 2 2 π 2 2

Пр и ме р 7. Ре ш и ть за да чу пр и 0 < x < l , t > 0.

U t = U xx − U , U (0, t ) = 0, U (l , t ) = 0, U ( x, 0) = 1.

(7.а ) (7.b) (7.c) 10

По вто р и м пр е дыдущ и й ме то д. Со ста ви м вспо мо га те льную за да чу.

U t = U xx − U , U (0, t ) = 0, U (l , t ) = 0. Пусть U ( x, t ) = T (t ) X ( x ). По дста ви м в ур а вне ни е и р а зде ли м пе р е ме нные . T' X" +1 = . T X Пр и р а зде ле ни и пе р е ме нных все во зни ка ющ и е ко нста нтыр е ко ме ндуе тся пе р е но си ть в ле вую ча сть р а ве нства . Пр и р а вни ва е м по луче нные выр а ж е ни я −λ и для X ( x) по лучи м:

X "+ λ X = 0, X (0) = 0, X (l ) = 0.

О ткуда (см. пр и ме р 2) 2

2 π kx πk  λk =  , X ( x ) = sin , k = 1, 2... k  l l  l  Ре ш е ни е и схо дно й за да чи и щ е м в ви де суммыр яда по си сте ме функци й X k ( x). ∞

U ( x, t ) = ∑ Tk (t ) X k ( x) . k =1

По дста ви м в (7.a), за ме няя X k "( x ) = −λk X k ( x), по лучи м ∞

∑ (Tk '+ λk Tk + Tk ) X k = 0,

k =1

2

 kπ  Tk '(t ) = −(1 + λk )Tk (t ), где λk =   .  l  l 2 kπ x − (1+ λk )t Tk (t ) = ϕ k e , где ϕ k = ∫ 1 ⋅ sin dx. l l 0

)

(

2 l kπ x l 2l 2l k ϕk = − cos = (1 − cos π k ) = 1 − ( −1) . l πk l 0 πk πk ∞

(

2l 1 − ( −1) π k k =1

U ( x, t ) = ∑

  kπ 2  −  1+  t   l   k   e

)

2 kπ x sin . l l

Пр и че тных k чле ныр яда нуле вые . Пусть k=2n-1. По лучи м

4 ∞ 1 U ( x, t ) = ∑ e π n =1 2n − 1

  ( 2 n −1)π  2  − 1+   t   l   

За ме ча ни е , пр и t = 0

11

sin

π ( 2n − 1) x l

.

π ( 2n − 1) x 4 ∞ 1 U ( x, 0) = ∑ sin . π n =1 2n − 1 l Э то тр яд схо ди тся для 0 ≤ x ≤ l , но не р а вно ме р но , а р яд, по луче нный

по чле нным ди ффе р е нци р о ва ни е м, р а схо ди тся. Т а ко е р е ш е ни е пр и нято на зыва ть о б о б щ е нным. Пр о и зо ш ло это по то му, что в по ста но вке за да чи на р уш е но усло ви е со гла со ва ни я гр а ни чных и на ча льно го усло ви й U ( x, 0) = ϕ (0) = 1 , а U (0, t ) = 0, то ж е для x = l . В о б ла сти t > 0 р яд мо ж но по чле нно ди ффе р е нци р о ва ть, и на йде нна я функци я U ( x, t ) б уде тр е ш е ни е м за да чи . Пр и ме р 8. Ра ссмо тр и м не о дно р о дно е ур а вне ни е . Пусть f ( x, t ) - не пр е р ывна я функци я, и ме е ткусо чно -не пр е р ывную пе р вую пр о и зво дную по x и пр и все х t > 0 выпо лняются усло ви я (2.12) f (0, t ) = f (l , t ) = 0. Ре ш и м сле дующ ую за да чу:

U t = a 2U xx + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, (2.13) U (0, t ) = 0, U (l , t ) = 0, (2.14) U ( x, 0) = ϕ ( x ). (2.15) Пр е дпо ло ж и м, что ϕ ( x) не пр е р ывна , и ме е ткусо чно -не пр е р ывную пр о и зво дную и ϕ (0) = ϕ (l ) = 0. Ре ш е ни е . Со ста ви м вспо мо га те льную за да чу.

U t = a 2U xx , U (0, t ) = 0, U (l , t ) = 0.

(2.16) (2.17)

Ре ш е ни е , ка к и р а не е , и щ е м в ви де U ( x, t ) = T (t ) X ( x ). По дста ви м в (2.16), р а зде ли м пе р е ме нные и пр и р а вняе м к −λ.

T' X" = = −λ . aT X

О ткуда , с уче то м (2.17), по лучи м за да чу Ш тур ма -Ли уви лля.

X "( x) + λ X ( x ) = 0, X (0) = 0, X (l ) = 0.

(2.18) 2

πk  Ре ш е ни е м это й за да чи б уде тси сте ма со б стве нных зна че ни й λk   и си сте ма l   2 π kx со б стве нных функци й X k ( x ) = sin , k = 1, 2... l l Ре ш е ни е за да чи (2.13) – (2.15) и щ е м в ви де

U ( x, t ) =

∞

∑ Tk (t ) X k ( x),

(2.19)

k =1

где X k ( x) на йде нные со б стве нные функци и вспо мо га те льно й за да чи , а Tk (t ) по дле ж а то пр е де ле ни ю. 12

Ра зло ж и м f ( x, t ) в р яд по со б стве нным функци ям X k ( x) . Э то во змо ж но (см. те о р е му Сте кло ва в §1).

f ( x, t ) =

∞

∑ f k (t ) X k ( x),

(2.20)

k =1 l

где f k (t ) =

∫ f ( x, t ) X k ( x)dx, в на ш е м случа е 0 l

f k (t ) =

2 kπ x f ( x , t )sin dx. l ∫0 l

(2.21)

По дста ви м на йде нные р а зло ж е ни я в ур а вне ни е (2.13). По лучи м ∞

∞

k =1

k =1

∞

∑ Tk '(t ) X k ( x) = ∑ a Tk (t ) X k "( x) + ∑ f k (t ) X k ( x), 2

k =1

X k "( x ) = −λk X k ( x), ∞

∑ (Tk '(t ) + a 2λkTk ( x) − fk (t ) ) X k ( x) = 0.

k =1

2

πk  О ткуда Tk '(t ) + a λk Tk (t ) = f k (t ), где λk =   . Е сли в (2.19) по ло ж и ть l   2

t = 0, то по лучи м U ( x,0) = ϕ ( x) =

∞

∑ Tk (0) X k ( x), т.к. Tk (0) - ко эффи ци е нты

k =1

Ф ур ье функци и ϕ ( x) по си сте ме функци й X k ( x). О б о зна чи м l

2 ϕ k = Tk (0), ϕ k = ϕ ( x) X k ( x )dx. l ∫0 И та к, для о пр е де ле ни я Tk (t ) по лучи м за да чу Ко ш и для о б ыкно ве нно го ди ффе р е нци а льно го ур а вне ни я.

Tk '(t ) + a 2λk Tk = f k (t ),  Tk (0) = ϕ k , k = 1, 2...

(2.22)

О спо со б а х р е ш е ни я за да чи (2.22) смо тр и кур с о б ыкно ве нных ди ффе р е нци а льных ур а вне ни й. Пр и ве де м зде сь о ди н и з ви до в о ко нча те льно го р е зульта та .

Tk (t ) = ϕ k e

− a 2 λk t

t

+ ∫ f k (τ )e

− a 2 λk (t −τ )

0

13

dτ .

(2.23)

О тве т: U ( x, t ) =

2 ∞ kπ x Tk (t ) sin , где Tk (t ) - см. (2.23). ∑ l k =1 l

l

l

2 kπ x 2 kπ x ϕk = ϕ ( x )sin dx , f = f ( x , t )sin dx, k = 1, 2... k l ∫0 l l 0∫ l Пр и ме р 8.1. Ре ш и ть за да чу:

U t = U xx + t sin 2 x, 0 < x < π , t > 0, U (0, t ) = 0, U (π , t ) = 0, U ( x, 0) = sin x.

Д ля р е ш е ни я во спо льзуе мся го то вым р е зульта то м пр и ме р а 8. В ычи сли м пр е два р и те льно ϕ k и fk . И ме е м

l = π , λk = k 2 ,

X k ( x) =

2 sin kx, k = 1, 2... π π

π

2 2 f k (t ) = t sin 2 x ⋅ sin kxdx = t sin 2 x ⋅ sin kxdx. π ∫0 π ∫0

В си лу о р то го на льно сти си сте мысо б стве нных функци й X k ( x) и ме е м f k (t ) = 0 для k = 1,3, 4... π

2 2 π π f 2 (t ) = t ∫ sin 2 2 xdx = t =t . π 0 π 2 2 А на ло ги чно

0, k = 2,3,... π 2  ϕk = sin x ⋅ sin kxdx =  π π ∫0 , k = 1.   2

По фо р муле (2.23) на хо ди м

π −t e , 2

T1 (t ) = t

t

π −4(t −τ ) π −4t T2 (t ) = ∫ τ e dτ = e ∫ τ e 4τ dτ = 2 2 0 0 t

π −4t 1 4τ t 1 4τ π 1 1 1 −4t  = e ( τ e 0 − ∫ e dτ ) =  t − + e . 2 4 40 2  4 16 16  U ( x, t ) = T1 (t ) X1 ( x) + T2 (t ) X 2 ( x ) (о ста льные чле ныр яда нуле вые ). 14

О тве т: U ( x, t ) = e

−t

t 1 1  sin x +  − + e −4t  sin 2 x.  4 16 16 

Пр и ме р 9. Н е о дно р о дно е ур а вне ни е те пло пр о во дно сти с не о дно р о дными гр а ни чными усло ви ями . Ра ссмо тр и м сле дующ ую за да чу

U t = a 2U xx + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, (2.24) U (0, t ) = µ1 (t ), (2.25) U (l , t ) = µ 2 (t ), (2.26) (2.27) U ( x, 0) = ϕ ( x ). Пусть выпо лне ныусло ви я со гла со ва ни я µ1 (0) = ϕ (0) и µ 2 (0) = ϕ (l ). Ре ш е ни е и щ е м в ви де U ( x, t ) = V ( x, t ) + W ( x, t ), где W ( x, t ) ди ффе р е нци р уе ма по t и два ж дыпо x и удо вле тво р яе тгр а ни чным усло ви ям (2.25) и (2.26).

W (0, t ) = µ1 (t ), W (l , t ) = µ 2 (t ). (2.28) В да нно м случа е W ( x, t ) и щ е м в ви де W ( x, t ) = a (t ) x + b(t ), где a (t ) и b (t ) не и зве стные функци и . По ло ж и м x = 0 . По лучи м W (0, t ) = b(t ), о ткуда b(t ) = µ1 (t ).

По ло ж и м x = l . По лучи м W (l , t ) = a(t )l + µ1 (t ) = µ 2 (t ), о ткуда

a (t ) =

1 ( µ 2 (t ) − µ1(t ) ) . О ко нча те льно l

x W ( x, t ) = µ1 (t ) + ( µ 2 (t ) − µ1 (t ) ) . l

(2.29)

За ме ча ни е 1. В случа е др уги х кр а е вых усло ви й функци ю W ( x, t ) мо ж но и ска ть в ви де W ( x, t ) = c(t ) x + a(t ) x + b(t ). По дста вляя да ле е функци ю U ( x, t ) = V ( x, t ) + W ( x, t ) в ур а вне ни е (2.24) и на ча льно е усло ви е (2.27), по лучи м для функци и V ( x, t ) за да чу с о дно р о дными гр а ни чными усло ви ями , р е ш а ть ко то р ую уж е уме е м (см. пр и ме р 8). За ме ча ни е 2. Усло ви я со гла со ва ни я гр а ни чных и на ча льно го усло ви я за ча стую не б ыва ютвыпо лне ны. Пр и ме нять да нный ме то д все р а вно мо ж но , но по лучи м не кла сси че ско е р е ш е ни е , а о б о б щ е нно е . Пр и ме р 9.1. Ре ш и ть за да чу U t = U xx + x, 0 < x < 1, t > 0, (2.30) 2

U (0, t ) = t , U (1, t ) = 2t + 1,

(2.31) (2.32)

U ( x,0) = 2 x 2 − x. Ре ш е ни е и щ е м в ви де U ( x, t ) = V ( x, t ) + W ( x, t ). И з (2.29) по лучи м W ( x, t ) = (t + 1) x + t. U ( x, t ) = V ( x, t ) + (t + 1) x + t.

15

(2.33)

(2.34)

По дста ви м (2.34) в (2.30), по лучи м Vt = Vxx − 1. Гр а ни чные усло ви я (2.31) и (2.32) пе р е йдутв о дно р о дные V (0, t ) = 0,V (1, t ) = 0. По ла га я в (2.34) t = 0, по лучи м

U ( x,0) = V ( x, 0) + x,

V ( x,0) + x = 2 x 2 − x, V ( x,0) = 2 x 2 − 2 x. Д ля функци и V ( x, t ) по лучи м за да чу Vt = Vxx − 1, V (0, t ) = 0, V (1, t ) = 0,

(2.35) (2.36) (2.37)

V ( x, 0) = 2 x 2 − 2 x.

(2.38)

Ре ш а е м е е а на ло ги чно пр и ме р у 8.1. Со ста ви м вспо мо га те льную за да чу

Vt = Vxx , V (0, t ) = 0, V (1, t ) = 0.

Пр и ме няя ме то д р а зде ле ни я пе р е ме нных V ( x, t ) = T (t ) X ( x), пр и де м к за да че Ш тур ма -Ли уви лля X "+ λ X = 0, X (0) = 0, X (1) = 0. О ткуда

λk = (π k ) , X k ( x) = 2 sin π kx, k = 1, 2,... 2

Ре ш е ни е за да чи (2.35) – (2.38) и щ е м в ви де V ( x, t ) =

∞

∑ Tk (t ) X k ( x). Ра зло ж и м

k =1

f ( x, t ) = −1 в р яд по со б стве нным функци ям X k ( x).

−1 =

∞

∑ fk X k ( x).

k =1

1

f k = 2 ∫ ( −1) sin π kxdx = 0

2 2 ( cos π k − cos 0 ) = πk πk

(( −1) − 1). k

Д ля вычи сле ни я Tk (t ) по лучи м за да чу Ко ш и (см. пр и ме р 8).

Tk '(t ) + (π k ) T = − f k , 2

(2.39)

Tk (0) = ϕ k , 1

где ϕ k =

0

ϕk =

(

)

2 ∫ 2 x 2 − 2 x sin π kxdx. И нте гр и р уя два р а за по ча стям, по луча е м

( −1) − 1) . ( (π k ) 4 2

k

3

16

Ре ш е ни е за да чи (2.39) мо ж но по лучи ть по го то во й фо р муле (2.23).

Tk (t ) = ϕ k e

t

−π 2 k 2 t

+ fk ∫ e

−π 2 k 2 ( t −τ )

0

= ϕ k e−π =

2 2

4 2

(π k )3

k t

(

+ fk

1 π k

2 2

)

( −1)k − 1

(

1 − e −π

2 2 e−π k t +

2 2

k t

2 π 2k 2

dτ =

)= (

)(

( −1)k − 1

)

2 2 1 − e −π k t .

За ме ти м, что Tk (t ) = 0 пр и че тных k.

V ( x, t ) =

∞

∑ T2n −1(t ) X 2n −1 ( x), U ( x, t ) = W ( x, t ) + V ( x, t ).

n =1

О ко нча те льно по луча е м

U ( x, t ) = (t + 1) x + t −

12

∞

∑ π3

n =1

e−π

2

(2 n −1)2 t

( 2n − 1)

3

+1

sin π kx.

Пр и ме р 10. Ре ш и ть за да чу

U t = U xx + 4U + x 2 − 2t − 4tx 2 + 2 cos 2 t , 0 < x < π , t > 0, U x (0, t ) = 0, U x (π , t ) = 2π t , U ( x, 0) = 0.

(2.40) (2.41)

(2.42) (2.43) Ре ш е ни е . Н а пе р во м эта пе све де м за да чу (2.40) – (2.43) к за да че с о дно р о дными гр а ни чными усло ви ями . Д ля это го р е ш е ни е за да чи и щ е м в ви де U ( x, t ) = W ( x, t ) + V ( x, t ), (2.44) где W(X,t) удо вле тво р яе тусло ви ям (2.41),(2.42). W(x,t) и щ е м в ви де

W ( x, t ) = a(t ) x 2 + b(t ) x . В ычи сляя a(t) и b(t), по лучи м W ( x, t ) = tx 2 . По дста вляя U ( x, t ) = tx + V ( x, t ) в (2.40) – (2.41), по лучи м за да чу для функци и V(x,t) 2

Vt = Vxx + 4V + 2 cos 2 t , 0 < x < π , t > 0, Vx (0, t ) = 0, Vx (π , t ) = 0, V ( x, 0) = 0.

(2.45) (2.46) (2.47)

(2.48) 2 эта п. Д ля р е ш е ни я за да чи (2.45) – (2.48) со ста вляе м вспо мо га те льную за да чу с о дно р о дным ур а вне ни е м.

Vt = Vxx + 4V , Vx (0, t ) = 0, Vx (π , t ) = 0. Ре ш е ни е на чи на е м и ска ть в ви де V ( x, t ) = T (t ) X ( x ) , что пр и ве де тна с к за да че Ш тур ма -Ли уви лля. 17

 X "( x ) + λ X ( x) = 0,   X '(0) = 0,  X '(π ) = 0. 

(2.49)

Ре ш е ни е это й за да чи ука за но в пр и ме р е 1.

1

λ0 = 0, X 0 ( x) =

π

, λk = k 2 , X k ( x) =

2 cos kx, k = 1, 2... π

(2.50)

3 эта п. Ре ш е ни е за да чи (2.45) – (2.48) и щ е м в ви де ∞

V ( x, t ) =

∑ Tk (t ) X k ( x).

(2.51)

k =0

Ф ункци ю f ( x, t ) = 2 cos t на до пр е дста ви ть в ви де суммыр яда 2

2 cos t = 2

∞

∑

k =0

f k (t ) X k ( x),

2 cos 2 t = f0 (t )

1

О ткуда 2 cos t = f 0 (t ) 2

+ f1 (t )

π

1 π

(2.52)

2 2 cos x + f 2 (t ) cos 2 x + ... π π

и ли f 0 (t ) = 2 π cos t , f k (t ) = 0 для k=1,2… 2

По дста вляя (2.51) и (2.52) в ур а вне ни е (2.45) и учи тыва я (2.48) для функци и Tk (t ) , по лучи м

Tk '(t ) + (4 − k 2 )Tk (t ) = f k (t ),  Tk (0) = 0.

(2.53)

Пр и k = 0 (2.53) пр и ни ма е тви д

T0 '(t ) + 4T0 (t ) = 2 π cos 2 t ,  T0 (0) = 0.

Ре ш а я не по ср е дстве нно и ли по фо р муле (2.23), по лучи м

(

T0 (t ) = 0, 45e4t − 0, 25 − 0, 2 cos 2t + 0,1sin 2t

)

π.

Пр и k = 1,2,… по лучи м

Tk '(t ) + (4 − k 2 )Tk (t ) = 0,  Tk (0) = 0. О ткуда Tk (t ) ≡ 0 пр и k = 1,2,… Зна чи т, р яд (2.51) б уде тсо сто ять и з о дно го сла га е мо го . О ко нча те льно по лучи м

U ( x, t ) = W ( x, t ) + V ( x, t ) = tx 2 + 0, 45e 4t − 0, 25 − 0, 2 cos 2t + 0,1sin 2t. Пр и ме р 11. Ре ш и ть за да чу 18

U t = U xx − 2U x + U + e x sin x − t , 0 < x < π , t > 0, U (0, t ) = 1 + t , U (π , t ) = 1 + t ,

(2.54)

U ( x,0) = 1 + e x sin 2 x.

(2.55) (2.56)

Ре ш е ни е . В си лу не о дно р о дно сти гр а ни чных усло ви й, р е ш е ни е и щ е м в ви де

U ( x, t ) = W ( x, t ) + V ( x, t ). W ( x, t ) и щ е м в ви де W ( x, t ) = a (t ) x + b(t ). По лучи м (см. пр и ме р 9) W ( x, t ) = 1 + t. Д ля функци и V ( x, t ) по лучи м

Vt = Vxx − 2Vx + V + e x sin x, 0 < x < π , V (0, t ) = 0, V (π , t ) = 0,

(2.57) (2.58)

V ( x, 0) = e x sin 2 x.

(2.59)

Ур а вне ни е (2.57), в о тли чи е о тпр е дыдущ и х за да ч, со де р ж и тVx ( x, t ) , что в да льне йш е м пр и ве де тк не ста нда р тно й за да че Ш тур ма -Ли уви лля. Ч то б ы и зб а ви ться о тэто го чле на , вве де м но вую функци ю θ ( x, t ) .

V ( x, t ) = eα xθ ( x, t ) , где α по дле ж и то пр е де ле ни ю. По дста ви м в ур а вне ни е (2.57), по лучи м

eα xθt ( x, t ) = eα xθ xx ( x, t ) + 2eα x (α − 1)θ x ( x, t ) +

+ eα x (α 2 − 2α + 1)θ ( x, t ) + e x sin x. Ч то б ычле н, со де р ж а щ и й θ x ( x, t ) о б р а ти лся в но ль, по ло ж и м α = 1. По лучи м θ t = θ xx + sin x, (2.59) θ (0, t ) = 0,θ (π , t ) = 0, (2.60) θ ( x, 0) = sin 2 x. (2.61) За да ча (2.59) – (2.61) та ка я ж е , ка к в пр и ме р е 8. И спо льзуе м р е зульта ты пр и ме р а 8. Б уде м и ме ть

λk = k 2 , X k ( x ) =

2 sin kx, k = 1, 2... π

Ре ш е ни е за да чи (2.59) – (2.61) и щ е м в ви де θ ( x, t ) =

Tk (t ) = ϕ k e π

∑ Tk (t ) X k ( x) .

k =1

По фо р муле (2.23) − k 2t

∞

t

+ ∫ f k (τ )ek

2

(τ − t )

dτ ,

0

π

2 2 где ϕ k = sin 2 x ⋅ sin kxdx , f ( t ) = f ( x, t ) sin kxdx. k π ∫0 π ∫0

19

В си лу о р то го на льно сти си сте мысо б стве нных функци й, по лучи м пр и k ≠ 2 π

2 π ϕk = 0 , ϕ2 = sin 2 2 xdx = . ∫ π 0 2

А на ло ги чно f k = 0 пр и k ≠ 1, π

2 π f1 = sin 2 xdx = . ∫ π 0 2 t

T1 (t ) = ∫ 0

(

)

π −4t π τ −t π e . e dτ = 1 − e −t , T2 (t ) = 2 2 2

(

)

θ ( x, t ) = T1 X1 + T2 X 2 = 1 − e −t sin x + e −4t sin 2 x. Учи тыва я, что U ( x, t ) = W ( x, t ) + V ( x, t ) = W ( x, t ) + e θ ( x, t ) , о ко нча те льно по лучи м x

(

)

U ( x, t ) = 1 + t + 1 − e −t e x sin x + e x − 4t sin 2 x .

Ли те р а тур а : 1. Сми р но в, М . М . Д и ффе р е нци а льные ур а вне ни я в ча стных пр о и зво дных вто р о го по р ядка / М .М . Сми р но в. – М ., 1964. – 208 с. 2. В ла ди ми р о в, В .С. Сб о р ни к за да ч по ур а вне ни ям ма те ма ти че ско й фи зи ки / В .С. В ла ди ми р о в. – М ., 1974. – 272 с. 3. Ко ш ляко в, Н . С. Ур а вне ни я в ча стных пр о и зво дных ма те ма ти че ско й фи зи ки : / Н .С. Ко ш ляко в и др . Уче б . по со б и е для ме х. – ма т. фа к. ун-то в. М ., В ысш . ш ко ла ,1970. – 712с. с и лл.

Со ста ви те ль Ре да кто р

Укр а и нски й Па ве л Се р ге е ви ч Т и хо ми р о ва О .А .

20