物理学 (理工学講座)

理工学講座

改訂物 理 学

青 野朋義 阿部陽

一

尾林見 郎 加 瀬邦夫 木 下 彬  共著

東京電機大学出版局

物

理

学

執筆 分担 第 １∼ ３ 章

尾 林 見 郎

第 ４∼ ６章

阿  部  陽  一

第 ７章

加  瀬  邦  夫

第 ８∼10章

木

第11∼15章

青

下 野

 彬 朋

義

は し が き

  この本 は,理 工 系 大 学 の教 養 課 程,一

般 教 育 科 目,自 然 科 学 分 野 の “物 理 学 ”

の教 科 書 と して 編 集 され た も ので あ る。１週 間 に１回,90分

の講 義 で,１ 年 間 で物

理 学 全般 を一 通 り終 わ らせ る とい う に と は なか な か 難 し く,多 くの大 学 は ２年 次 に “現代 物 理 学 ” そ の他 の名 称 で,専 で あ る。 そ れ で,に

門 基 礎 的 な物 理 学 の 科 目 を置 い て い る よ う

の大 学 の １年 次 で履 修 す る “物 理 学 ” の範 囲 を ど に ま で に し

た らよ い か とい う議 論 は,そ の 内 容 と と も に,執 筆 者 の 間 で 数 度 に わ た っ て検 討 され,古

め か し い形 で は あ るが,一 応 電 磁 気 学 まで と し,原 子 物 理 学 的 な章 は割

愛 した。 この 本 に続 く “現 代 物 理 学 ” は近 い将 来 に ま とめ られ る予 定 で あ る。   古 め か しい と言 え ば,こ の 本 の 体 裁 はB5判

で,学 生 諸 君 の 使 う大 学 ノ ー ト,

ま た は学 会 誌 や,科 学 雑 誌 と同 じ大 き さで あ る。 この 大 き さ ま で の本 で あれ ば, 学 生 諸 君 の鞄 の 中 で もそ ん な に違 和 感 は与 えず に す む。 標 準 的 な教 科 書 の大 き さ, A5判

を さ けた 一 つ の理 由 は,図

を な るべ く大 きな形 で 挿 入 し,図 か ら得 る情 報

量 を大 き く した い 配 慮 が あ っ た た め で あ る。 図 版 の製 作 に 関 し て は 出版 局 に多 く の注 文 を つ け,上 質 紙 を使 っ て あ る程 度 成 功 し た よ うに 思 う。   一 方,B5と

い う大 き さ に した に もか か わ らず,１ ペ ー ジあ た りの字 数 を,A5

判 の 本 と比 較 して,そ ん な に 多 くし な か っ た た め,頁 数 が 多 くな り,ち よ っ と贅 沢 な 本 が で き上 が っ た。 欧 米 に は,よ ス ペ ー ス を広 く取 っ た,こ

く こん な 本 が あ るが,日 本 規 格B5の

中 で,

ん な教 科 書 が １冊 くら い あ っ て も よ いか も しれ な い。

  さ て,肝 心 の 内容 で あ るが,数

人 の 執 筆 者 に よ る分 担 作 業 とい う もの は,な か

な か う ま くい か な い 。 古 典 的 物 理 学 の 範 ち ゅ うで も,物 理 現 象 を表 現 す る方 法 は 各 人 で 若 干 異 な る。 そ れ を他 の人 が別 な言 い まわ し に改 め る と,書 い た本 人 には 不 服 な部 分 が ど う して も出 て くる 。 そ れ で,文

章 的 な統 一 を 多 少 犠 牲 に して,各

章 を 担 当 し た執 筆 者 の 表 現 を尊 重 した 形 に な っ た 。 こ の教 科 書 を使 って 頂 く先 生

方 の御 理 解 を願 う次第 で あ る。 新 しい 本 を作 る と,ど た 方 は,ど

う して も多 少 の ミス は さ け られ な い 。 ミス を見 つ け られ

し ど し著 者 の ほ うに 申 し出 て 下 され ば幸 い で あ る。

1985年11月

青野朋 義

改訂 にあたって   この 「物 理 学 」 も上 梓 し てか ら ６年 に な っ た。 使 っ て み て,内 容 的 に多 少 不 満 が 残 る表 現 箇 所 も 目 につ くよ う に な っ た 。 な るべ く早 い 機 会 に改 訂版 を 出 そ う と, 執 筆 者 間 で の話 し合 い もあ り,今 回 よ うや く部 分 的 な 改 訂 を した版 を つ く る こ と に した 。 出 版 局 か らの 要 請 もあ っ て,こ の機 会 に本 の体 裁 を大 学 教 科 書 と して標 準 的 なA5判

に した。 図 は多 少 縮 少 され,ま た 頁 数 も多 くな っ た が,執 筆 者 等 が

最 初 に意 図 した “読 者 が 書 き込 め る本 ” と して の 体 裁 は まだ 残 っ て い る よ うに 思 え る。 この 改 訂 版 全 般 の 校 正 は,尾 林 見 郎 氏 が快 く引 き受 け て くだ さ った 。 厚 く お 礼 を申 し上 げ る。

1992年

１月

青 野 朋義

目    次

第 １章 質点の運動 1・1変変位 とベ ク トル                            １ 1・2 速度 と加速度                         ５ 1・3 運動 の ３法則                         ７ 1・4質質 点の運動 の例                             ９ 1・5平 平面 極 座 標 に よ る運 動 の 表 示                            12

1・6 接線加 速度 と法線加速度                 15 1・7相相対運 動                               16 演 習問題[１]                            21

第 ２章   仕 事 とエ ネ ル ギ ー 2・1仕 仕

事

 

 

 

 

 

 

 

23

2・2  エ ネ ル ギ ー                                          25

2・3万万有 引力                               31 2・4運 運動 量 と角 運 動 量                                    36

演 習問題[２]                            40

第 ３章 質点系および剛体の力学 3・1 質量 中心 の運動                        41

3・2質

質.点

系 の 角 運 動 量 と運 動 エ ネ ル ギ ー                    44

3・3剛 剛体 とそ の つ り合 い                                  47

3・4  剛体 に働 く力 の合成                     48 3・5  剛体 の 自由度                         52 3・6固 固定 軸 の まわ りの剛 体 の運 動                          54 3・7  慣 性 モ ー メ ン トの計 算                           56

3・8  剛体 の運動 の例                        60 演習問題[３]                        67

第 ４章

固 体 の 弾性

4・1  固体 の変形 の様子                          69 4・2  力 と変 形 の数 量 的取 り扱 い                             71 4・3  弾 性 の エ ネル ギ ー                                      78 4・4  た わ み とね じれ                                   79

4・5塑塑性変形                                    84 演習 問題[４]                        86

第 ５章

流 体 の運 動

5・1  静止流体 の力 学                       87 5・2運 運動す る流体 の力学                              94 演習問題[５]                           106

第 ６章

振 動 と波 動

6・1振 振

動

 

 

 

 

 

 

 

107

6・2波 波

動

 

 

 

 

 

 

 

119

6・3  い ろ い ろな 波 動                                      123 6・4波 波の 重 ね 合 わ せ                                   129

6・5 位相 速度 と群速度                    138 演習問題[６]                           139

第 ７章

光   学

7・1  フ ェル マ ー の 原 理                                    141 7・2光 光 の 反 射 と屈 折                                    144

7・3光光 の干渉                                       152 7・4光光 の回折                                          157 7・5偏 偏

 光

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  164

演習 問題[７]                            171

第 ８章  熱 力学 の第 １法 則 8・1温 温

 度

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  173

8・2準 準静的変 化                                 175 8・3  熱 力 学 の 第 １法 則                                   176

8・4状状 態変数 の性 質                           178 8・5  熱 エ ネ ル ギ ー                                        181

8・6 理想 気体 の比 熱                      184 8・7 力学 的仕事                                  187 演習 問題[８]                        195

第 ９章   カ ル ノ ー ・サ イ ク ル 9・1カ カ ル ノー ・サ イ クル の 定 性 的取 り扱 い                

197

9・2  カル ノ ー ・サ イ ク ル の 定 量 的 取 り扱 い                   205

演習問題[９]                           210

富早

第10章

熱 力 学 の 第 ２法 則

10・1変 変化 の 方 向                                          211 10・2実 実現 可 能 な サ イ ク ル と カル ノ ー ・サ イ クル             215 10・3  ク ラ ウ ジ ュス の不 等 式                               218 10・4エ 工 ン トロ ピー とそ の増 大 則                           222 10・5  自 由 エ ネ ル ギ ー と熱 力 学 的 関 係 式                       233

演習 問題[10]                           243

虫早

第11章

静 電 気

11・1  ク ー ロ ンの 法則                                       245 11・2  ガ ウ ス の法 則                                       246 11・3電 電

 位

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

249

11・4電 電気双極子                         251 11・5導 導

体

 

 

 

 

 

 

  253

11・6静 静電容量                                  254 11・7誘 誘 電 体                             256

演習問題[11]                       259

第12章  定 常電 流 12・1電 電

 流

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

261

12・2電 電 気 抵 抗                                            263 12・3電 電

 力

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   265

12・4  キル ヒホ ッ フの 法 則                                  266

12・5 接触電位差                         268 12・6熱 熱電効果                              269 12・7 電束電 流                               270 演習 問題[12]                           271

第13章   電 流 と磁 場 13・1  ロ ー レ ン ツカ                                     273 13・2  ビオ ・サ バ ー ル の法 則                                274 13・3  ガ ウ ス の 法 則                                        277 13・4磁 磁気 モ ー メ ン ト                                    278 13・5磁 磁

位

 

 

 

 

 

 

 

280

13・6    磁      磁 化                                       281

13・7磁 磁 性 体                             284 13・8磁 磁

荷

 

 

 

 

 

 

 

286

13・9ベ べ ク トル ・ポ テ ン シ ャル                           287 13・10  磁 気 回路                                          288

演習 問題 ［13］                       289

第14章   電磁 誘 導 と交流 14・1磁

磁場 に よ る起 電 力                                     291

14・2相 相互 誘 導 と 自己誘 導                                  294 14・3交 交

 流

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   295

14・4磁 磁場 の エ ネ ル ギ ー                                  298 14・5交 交流 のベ ク トル 表 示 と複 素 数 表 示                     299 14・6共

丘ノ 、

 振

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   301

演 習問題[14]                                 304

第15章

電 磁 波

15・1 変位電 流                       305 15・2  マ ク ス ウ ェル の 方程 式                               307

15・3電

磁 波                             309

15・4 導体 内 の電磁 波                             312 15・5  電 磁 波 の反 射,屈

折                                   314

演 習問題[15]                           318

付   録 付録1.  国 際単位 系 （SI)に つい て                 319 付録2.  簡単 な数 学 の公式                          322 付 録3.  年表                                    324

演 習問題 の解答                          326

索  引                        330

第 １章

質 点 の 運動

 物 体 の 運 動 は,一 般 に は,非 常 に複 雑 で,物 を伴 わ な い 回転 運 動,形

の 変 化 な ど が,普

を一 度 に 取 り扱 わ な い で,こ

の 章 で は,ま

体 全 体 の 並 進 運 動,形

通,同

の変化

時 に起 こ っ て い る.こ

れ ら

ず 問 題 を 制 限 して 取 り扱 う こ と に

し よ う. 物 体 の 動 く距 離 に 比 べ て 物 体 の 大 き さ が 非 常 に小 さ い場 合 に は,実 際 問 題 と して 物 体 を １つ の 点 と し て取 り扱 う こ とが で き る.   理 想 の場 合 と し て,物 体 が １点 に 集 中 した もの を 考 え て,こ

れ を質 点 と名

づ け る.質 点 の 運 動 は幾 何 学 的 な 点 の位 置 の 動 き と して 取 り扱 う こ とが で き る.

1・1変 1.1

ベ ク 変位 変 位 と とベ ク トル トル

 物 体 が 運 動 す る と い う こ とは,そ の 物 体 の位 置 が 時 間 的 に 変 化 し て い くこ とで あ る.物 体 の位 置 を決 め る に は,基 準 に な る座 標 軸 を きめ な くて は な らな い.地 表 で の 運 動 は観 測 者 が 地 表 に静 止 して 見 て い る と,そ の位 置 の 変 わ り方 を は っ き りと認 め る こ とが で き る の で,地 球 上 で の物 体 の運 動 を論 ず る に は,地 球 に固 定 した座 標 軸 を基 準 にす る と都 合 が よい.一

方,太 陽 の まわ りの 地 球 の運 動 を論 ず

るに は,太 陽 に 固 定 し た座 標 軸 を 用 い る ほ うが 便 利 で あ る.   空 間 中 にお け る質 点 の 位 置 Ｐ を表 す に は,図1-1に

示 す よ う に,基 準 座 標 軸 の

原 点 Ｏ か らの相 対 的 位 置 と して表 示 す る.Ｏ か ら Ｐ に 引 い た線 分OPを き も考 慮 して 記 号OPで

Ｐ の位 置 を表 す こ と にす る と, OPは

用 い,向

位 置 ベ ク トル,と

い うベ ク トル を意 味 す る.位 置 の よ う に大 き さの ほか に,方 向 と向 き を含 ん だ 物 理 量 をベ ク トル 量 とい う.普 通,OPは,例

え ばrの

よ うに ゴ シ ッ ク活 字 で表 す

場 合 が 多 く,そ の 大 き さ だ け を示 す場 合 に は,￨ｒ￨か 細 字 の γの 記 号 を用 い る.

図1-1位

図 に お い て,質 と い う.こ

点 の 位 置 が Ｐ か らP'に

れ を ⊿rで 表 し,P'の

置 ベ ク トル と 変 位 ベ ク トル

移 っ た とす る と,PP'を

Ｏ に 対 す る 位 置 をr'と

と を ２辺 と す る 平 行 四 辺 形 の 対 角 線 と し て 与 え ら れ る.こ

変 位 ベ ク トル

す る と,r'は の操 作 を

r'=r+⊿r r'_ r十dr

と表 し,r'を 一般 に

ｒ と ⊿r

(1・1)

ｒ と ⊿rの ベ ク トル 和 ま た は合 成 と い う.

,ベ

ク トル Ａ,Ｂ が あ る と,

A+B=B+A A十B= が 成 り立 つ.こ

B十A

(1・2)

れ を 交 換 則 と い う.ま

が 反 対 な ベ ク トル を-Bと

表 し,Ａ

た,Ｂ と-Bと

と大 き さ お よ び 方 向 が 等 し く,向 を 合 成 し た も の をA-Bと

き

書 く.

つ ま り,

A-B=A+(-B) A-B= A+(一B) で あ る.３

(1・3)

つ の ベ ク トル Ａ,Ｂ,Ｃ

を 合 成 す る と き は,

A+(B+C) (A+B)+C=A+(B+C) (A十B)十C= が 成 り立 つ.こ   ま た,Ａ

(1・4)

れ を結 合 則 とい う.

と い う ベ ク トル に 任 意 の ス カ ラ ー ｍ を 掛 け る こ と が で き,積

と表 す.mAは, 

m＞0な

をmA

ら ば, Ａ と 同 じ 向 き で 大 き さ が Ａ の ｍ 倍 の ベ ク ト

ル,m＜0な

ら ば, Ａ と 逆 向 き で 大 き さ が￨ｍ￨倍

の ベ ク トル の 意 味 で あ る.ス

カ

ラ ー 量 ｍ,ｎ に 対 し て,

(m+n)A=mA+nAmA十nA (m+n)A=

(1・5)

m(A+B)=mA+mBmA十mB m(A+B)_

(1・6)

が成 り立 ち,こ れ を分 配 則 とい う.   大 き さ が １で あ る ベ ク トル ｓ を,そ

の 向 き の 単 位 ベ ク トル と い う.ベ

と ｓ と が 同 じ 方 向 の ベ ク トル で あ れ ば,A=±Asと とが 同 じ 向 き な ら ば+,逆 直 角 座 標 系 に お い て,各

向 き な ら-符

書 く こ と が で き る. Ａ と ｓ

号 を と る.図1-2の

に 基 本 ベ ク トル と呼 ぶ.ベ

の 正 射 影 を Ａ の ｘ,ｙ,ｚ成 分 と い い,(Ax,Ay, 

Az)で

図1-2基

表 す.

ク トル Ａ の ｘ,,ｙ,  ｚ軸 へ

表 す.

本 ベ ク トル

ク トル Ａ は,

A=Axi+Ayj+Azk A= Axl十 ノ1猷 ノ 十 ノ193 と表 す こ と が で き る.Ａ AZ+A  ￨A￨=√Ax2+Ay2+Az2 IA1=

と な る.ベ

よ う に,ｘ,  ｙ,ｚの

座 標 軸 の 正 方 向 に 向 か う単 位 ベ ク トル を(i,j,k)で

こ れ ら の 単 位 ベ ク トル を,特

こ れ ら を 用 い て,ベ

ク トル Ａ

(1・7)

の 大 き さ￨Ａ￨は, Zy+AZz

(1・8)

ク トル Ａ と ｘ,ｙ,ｚ軸 の 正 方 向 と の な す 角 を そ れ ぞ れ α,β,γ と す れ

ば,

(1・9)

と な り,(cosα,  一 般 に(ｌ

cosβ,  cosγ)は

ベ ク トル Ａ

の ｘ,  ｙ,  ｚ 軸 に 対 し て も っ 方 向 余 弦 で,

,ｍ, ｎ)と 表 さ れ る.式(1・8),式(1・9)か

ら, (1・10)

と な る.

  Ａ と は 別 の ベ ク トル Ｂ が あ り,Ａ OPQに

と Ｂ と の な す 角 を θ と す る と(図1-3),△

お い て,

図1-3２ つ のベ ク トルの な す角 と 方 向余 弦 との関 係

の 関 係 が あ る.こ

こ で,PQは

と表 す こ とが で き,OP=A, 

ベ ク ト ル 成 分(Ax, 

OQ=Bで

あ る か ら,

Ay,  Az),(Bx, 

By,  Bz)を

使 って

と な る.ベ

ク ト ル Ａ,Ｂ

の 方 向 余 弦 を(ｌ,ｍ,ｎ),(l',m',n')と

す れ ば,

cos  θ=ll'+mm'+nn' COSθ=〃 ノ十mm'十nn' 十mm' 十nn'

(1・11)

の関 係 が 成 り立 っ.

1・2  速 度 と加 速 度   一 般 的 な三 次 元 運 動 を す る質 点 に つ い て は,図1-4に

示 す よ う に,任 意 の 時 刻

ｔに位 置 ベ ク トル ｒで示 され る位 置 Ｐ に あ っ た質 点 が ⊿t時 間 後 に位 置 ベ ク トル r'で 示 され る位 置P'に

な っ た とす る と,質 点 の 変 位 はr-r=⊿rで

与 え られ る

変 位 ベ ク トル ⊿rで 示 され る.

図1-4速

度 ベ ク トル の 説 明

  変 位 ベ ク トル ⊿rを そ れ に 要 し た 時 間 ⊿tで 割 っ て 得 ら れ る ベ ク トル ⊿r/⊿tは, 時 刻 ｔ とt+⊿tの 決 め て も,選

間 の 平 均 速 度 を 表 す と考 え ら れ る.し

ぶ 時 間 間 隔 ⊿tに よ っ て,大

か し,⊿r/⊿tは

き さ も 方 向 も 変 わ る.そ

時 刻 ｔを

こ で,時

間間隔

⊿tを 十 分 小 さ く し た 極 限 と し て 得 ら れ る ベ ク トル

(1・12)

を作 り,こ れ で 点 Ｐ に お け る速 度 を定 義 す る.

  υ の 方 向 は 質 点 の 軌 道 の 接 線 方 向 に あ り,そ 点 が 軌 道 上 を 運 動 す る 速 さ υ に 等 し い.点 ｙ,ｚ)お よ び(x+⊿x,y+⊿y,z+⊿z)と で あ る か ら,速

の 大 き さ は,時

Ｐ お よ び 点P'の

す れ ば,⊿rの

度 υ の ｘ,ｙ,  ｚ成 分 は,次

刻 ｔに お い て,質 座 標 を そ れ ぞ れ(ｘ,

ｘ,ｙ,ｚ 成 分 は ⊿x,⊿y,⊿z

の よ う に 書 か れ る.

(1・13)

  す な わ ち,速 度 の ｘ,ｙ,  ｚ成 分 は,そ れ ぞ れ の座 標 軸 方 向 の質 点 の 正 射 影 が そ の 軸 上 を運 動 す る と きの速 さ に等 しい. ま た,速

度 の 大 き さ υ は,

(1・14)

と な る.た

だ し,⊿S=√

（ ⊿x)2+(⊿y)2+(⊿z)2は

接 近 し た 軌 道 上 の ２点 Ｐ,P'間 い ま,時

刻 ｔお よ びt+⊿tに

の 距 離 で あ る.速

し,そ

間 に お け る 速 度 の 変 化 は υ'-υ=⊿

る ベ ク トル を 考 え る と,こ

な わ ち十 分

度 は ま た 時 間 と と も に 変 化 す る.

お け る 質 点 の 位 置 を Ｐ お よ びP'と

度 を υ お よ び υ'と す れ ば,⊿t時 そ ・ で,Dυ/ ⊿tな

軌 道 曲 線 の 線 分,す

こで の速 υ で あ る.

れ は ⊿t時 間 の 速 度 変 化 ⊿υ と 同 じ 方

図1-5加

速度 ベ ク トル の説 明

向 お よ び 向 きを もち,￨

⊿ υ/⊿t￨の 大 き さ を も っ た ベ ク トル で あ る.変 位 の 時 間 的

変 化 か ら速 度 を定 義 した よ う に,速 度 の 時 間 的 変 化 の 割 合 と して, (1・15)

を 作 り,こ ay, azと

れ を 点 Ｐ に お け る 加 速 度 と定 義 す る.加

速 度 α の ｘ,ｙ,  ｚ 成 分 をax,

す れ ば,

(1・16)

加 速 度 の大 き さ ａ は, (1・17)

で 与 え ら れ る.

  加 速 度 はベ ク トル で あ るか ら,質 点 が 静 止 して い るか,ま

た は等 速 度 運 動 して

い る と きの ほ か は,す べ て加 速 度 を もっ て い る.運 動 が 一 直 線 上 の場 合 は,加 速 度 の 方 向 は直 線 の 方 向 と一 致 す るが,一 般 の 曲 線 運 動 の 場 合 は,加 速 度 の方 向 と 運 動 の 方 向 と は必 ず し も一 致 しな い.

1・3  運 動 の ３法 則   物 体 は どん な原 因 で 動 き始 め,そ か? 

の 結 果 と して ど ん な 運 動 を す る の で あ ろ う

これ が 力 学 の基 本 的 な 問 題 で あ る.し か し,実 際 に あ る物 体 の 運 動 に は,

い ろい ろ な形 や 大 きさ の違 い が あ り,か つ,運 動 を止 め よ う とす る摩 擦 な ど も働 くほ か に い ろい ろ の現 象 が 重 な り合 う こ とが 多 くて,簡 単 に きわ め難 い.し っ て,な

たが

る べ く対 象 を簡 単 化 す る と と もに,実 験 や 推 理 的 洞 察 に基 づ い て,こ

問 題 に 当 た らな けれ ば な ら な い.16世

紀 か ら17世 紀 へ か け,ガ

トン な ど に よ る巧 み な 実 験 や 理 論 の お か げで,現

の

リ レイ や ニ ュー

在 で は確 実 な 自然 法 則 と して す

べ て の人 に信 じ られ る よ うに な っ た運 動 に 関 す る ３つ の 法則 が あ る.

[１]  運動の第1法 [1] 運 動 の 第 １法 則 則   「力 を受 けな い物 体 は,静 止 し た ま まで あ るか,ま た は 等 速 度 運 動 を す る」.言 い換 え れ ば,物 体 は,現 在 の運 動 状 態 を保 持 し よ う とす る性 質,す

な わ ち慣 性 を

もっ て い る こ とを述 べ た もの で,慣 性 の 法 則 と も呼 ばれ る.物 理 的 にい う運 動 は, 常 に相 対 的 で あ る.つ

ま り,何 か あ る位 置 の基 準 に対 す る運 動 を考 え るわ け で あ

るか ら,運 動 の 記 述 に は座 標 系 が必 要 に な る.第 て も成 立 す る とい う法 則 で は な い.第

１法則 は,ど ん な座 標 系 に つ い

１法 則 の成 立 す る よ う な座 標 系 を,慣 性 座

標 系 ま た は慣 性 系 と呼 ぶ.

[２]運 運動の第2法 [2]運 [2] 動 の 第2法 第 ２法 則 則   「 物 体 の加 速 度 ａ は,物 体 の 受 け て い る力 Ｆ に比 例 し,物 体 の 質 量 ｍ に 反 比 例 す る」.こ こで,加 速 度 ａ も力 Ｆ もベ ク トル 量 で あ っ て,第

２法 則 は単 に ａ と

Ｆ の比 例 関 係 だ け で な く,両 者 の 向 きが 同 一 で あ る こ と も意 味 す る.ma=kF と書 き,比 例 定 数 ｋ を １ とす る よ う に力 Ｆ の単 位 を選 ぶ と,運 動 の 第 ２法 則 は, ma=F ma=

F

と な る.式(1・18)を

(1・18)

ニ ュ ー ト ン の 運 動 方 程 式 と い う.ｘ, ｙ,  ｚの 直 角 座 標 に分 け た

ａ と Ｆ の 成 分 を(ax, ay, az)お よ び(Ｘ,  ｙ,  Ｚ)と す る と,式(1・18)は

各成 分 ご と

に, max=X  max=X  max= と 表 さ れ る.も 分 をXi,Yi,Ziの

X  ,  ,

may=Y  may=Y  may=

Y 

,  ,

し 力 Ｆ がF1,  F2,… …,Fnの

maz=Z maz=

Z

(1・19)

よ う な ｎ 個 の 力 の 合 力 な ら, Fiの

よ う に 表 せ ば,

(1・20)

成

と な る.力

Ｆ あ る い は そ の 成 分 Ｘ,Ｙ, Ｚ が ｘ,  ｙ,  ｚ お よ び ｔの 関 数 と し て 知 れ る

と き は,こ

の 運 動 方 程 式 を 満 足 す る よ う なx(t),y(t),z(t)を

求 め る こ と が で き,

そ の 力 の 作 用 に よ る運 動 が 決 定 さ れ る.

  力 の 単 位     国 際 単 位 系(SI)で

は,「 長 さ 」,「質 量 」,「時 間 」の 単 位 と し て,そ

れ ぞれ 〔 ｍ 〕,〔kg〕,〔 ｓ〕 を 用 い る.こ 量1〔kg〕

の 物 体 に1〔m/s2〕

の 単 位 系 に お け る 力 の 単 位 は 〔Ｎ 〕 で,質

の 加 速 度 を 与 え る 力 と し て 定 義 さ れ て い る.

  「長 さ 」,「 質 量 」,「時 間 」 の 単 位 と し て,〔cm〕,〔 系 で は,力

の単 位 は

〔dyn〕( 105 dyn-1N)を

ｇ〕,〔ｓ〕 を 用 い るCGS単

位

用 い る.

[３]  運 動 の 第 ３法 則   「２っ の 物 体 Ａ と Ｂ が 力 を 及 ぼ し合 う と き,Ａ が Ｂ に 及 ぼ す 力 を Ｆ と す る と,こ の と き,Ｂ が Ａ に及 ぼ し て い る力 は-Fで

表 さ れ, Ｆ も-Fも

Ａ とＢ

を結 ぶ直 線 上 に あ る」.こ の法 則 は,作 用 ・反 作 用 の 法則 と も呼 ば れ,後 で 述 べ る よ う に,運 動 量 保 存 則 と相 補 的 な 関 係 に あ り,第 ２法 則 を前 提 とし て,運 動 量 保 存 則 か ら第 ３法 則 を,ま た 第 ３法則 か ら運 動 量 保 存 則 を 導 くこ とが で き る.

1・4質 [１]等

点 の運 動 の例 加速度運動

  ｘ 軸 上 を一 定 の 加 速 度 ａで 直 線 的 に 質 点 が 運 動 して い る場 合,質 点 の 変 位 ｘ を 適 当 な座 標 原 点 か ら定 めれ ば,ｘ は 時 間 ｔの関 数 で あ るか ら,運 動 方 程 式 は, (1・21)

と な り,質

点 に はmaの

力 が 働 い て い る こ と に な る.式(1・21)を

ｔで 積 分 す る と,

(1・22)

と表 さ れ る(ｂ は 積 分 定 数).さ

ら に,時

間 ｔで 積 分 し て,

(1・23)

が 得 られ る(ｃ は積 分 定 数).   こ の よ う に,式(1・21)の

よ う な ２階 微 分 方 程 式 の 一 般 解 は,２

含 ん で い る.い

な わ ち 運 動 の 始 め に お い て,質

つ,質

ま,t=0す

点 はx0の

C=χ0で

位 置 に あ っ た と す れ ば,式(1・23)の

つ の積 分 定 数 を

点 の 速 度 を υ0と し,か

積 分 定 数 は,そ

れ ぞ れb=υ0,

な け れ ば な ら な い の で,

(1・24)

と な る.こ

れ が 運 動 方 程 式(1・21)の

解 で あ る.

  この よ うに 運 動 の始 め に お い て,２ つ の条 件 が 定 まっ て い る と,そ の後,一 定 の 加 速 度 ａで動 い て い く質 点 の位 置 は,時 間 と と も に刻 々 定 め られ て,運 動 は一 義 的 に決 っ て し ま う.運 動 方 程 式 の一 般 解 に入 っ て くる積 分 定 数 を決 め るた め の 条 件 を初 期 条 件 ま た は境 界 条 件 とい い,こ れ は運 動 の始 め だ け に 限 定 す る必 要 は な く,積 分 定 数 を定 め る もの で あれ ば よい.

[２]放

物 運 動

  空 気 の 抵 抗 を無 視 す る と,一 様 な重 力 の働 く地 上 で任 意 の方 向 に投 げ出 され た 質 点 は,質 量 を ｍ,重 力 加 速 度 を ｇ と し て,鉛 直 下 方 に の みmgの が,水

平 方 向 に は 力 が 作 用 しな い.し

力 を受 け る

た が っ て,質 点 は 最 初 の速 度 を含 む鉛 直 平

面 内 で運 動 す る.   い ま,こ の 平 面 内 で 水 平 方 向 に ｘ軸,鉛

直 方 向 に ｙ軸 に とれ ば,運 動 方 程 式

は,

(1・25)

で,等 加 速 度 運 動 の 一 例 に過 ぎな い. 初 期 条 件 と し て,は

じ めt=0で

質 点 はx=0,y=0の

き さ υ0で ｘ 軸 と θ の 角 を な し て 放 射 さ れ た と す れ ば,

原 点 に あ り,初

速度 の大

図1-6  重力 場 で の 質点 の運 動

(1・26)

と な る.こ

の ２つ の 式 か ら ｔを 消 去 す る と,

(1・27)

とな り,軌 道 は放 物 線 を描 く.

[３]単

振

動

ｘ 軸 上 を 時 間 ｔ と と も に, (1・28)

に従 っ て運 動 す る質 点 を考 え る.こ の質 点 は,原 点(x=0)の

左 右 ±Aの

間 を周

期 的 に往 復 運 動 して い る.こ の よ うな 運 動 を単 振 動 と呼 ぶ.運 動 は 時 間 間 隔T= 2π/ ω ごと

繰 り返 さ れ る の で,Ｔ

を 周 期 とい う.ま た,そ

の 逆 数 υ=1/T=ω/2πは,

単 位 時 間 に運 動 の 繰 り返 さ れ る 回 数 に な る の で,こ れ を振 動 数 とい い,ω=2π を 角振 動 数 とい う.さ ら に,(ωt+α)を

振 動 の位 相,α を初 期 位 相 と呼 び,Ａ

振 動 の 振 れ 幅 を示 す 量 で あ る か ら振 幅 とい う.

υ は

単 振 動 の 速 度 お よび加 速 度 の 大 きさ υお よ び ａ は,式(1・28)を 微 分 して, (1・29)

さ ら に,微

分 し て, (1・30)

を得 る.式(1・30)に

よれ ば,単 振 動 の加 速 度 は常 に中 心 に 向 か う求 心 加 速 度 で あ

っ て,そ の 大 きさ は運 動 し て い る質 点 の 変 位 の大 き さ に比 例 して い る.こ の こ と か ら,あ る質 点 に 力 が働 き,そ の運 動 方 程 式 が, (ｍ は質 量,ｋ

は正 の定 数)

で 与 え ら れ る よ う な 質 点 の 運 動 を 考 え る と,ω2=k/mと

(1・31)

置 くこ とに よ っ て (1・32)

とな り,こ の質 点 の加 速 度 は単 振 動 の場 合 の加 速 度 と一 致 す る.し たが っ て,こ の運 動 は単 振 動 で あ り,式(1・31)お よび 式(1・32)の 形 は 単振 動 を示 す 運 動 方 程 式 で あ る.そ

こで,式(1・31)を 満 足 す る質 点 の運 動 は,こ の微 分 方 程 式 を解 くこ と

に よ り,

と な る.た た凋

だ し,こ

期 Ｔ は,T=2π

こ の Ａ お よ び α は 運 動 の 初 期 条 件 で 定 ま る 定 数 で あ る.ま √

ｍ/ ｋ で 与 え られ る．

1・5  平面 極座 標 に よ る運 動 の表 示   質 点 の 位 置 を表 す た め の座 標 系 と し て,ｘ, ｙ,  ｚ直 角 座 標 が よ く用 い られ る が, こ こで は,質 点 の 平 面 運 動 を二 次 元 の 極 座 標 を使 っ て表 して み る.図1-7の

よう

に,平 面 上 の １点 Ｐ の 位 置 を,原 点 か ら Ｐ へ 引 い た 動 径 の 長 さ γ と,動 径 が ｘ 軸 の 正 の 方 向 とな す 角 θで 表 し,θ は 反 時 計 回 り を正 の 向 き と決 め る と,Ｐ の位 置 は(γ,θ)で 一 義 的 に決 ま る.ｘ, ｙ座 標 との 関 係 は,

図1-7  平面 極座 標(γ,θ)の

x=γcos 

θ     y=γsinθ

表示法

(1・33)

(1・34)

で 与 え られ る.   図1-8の

よ う に,速

度 ベ ク トル υ を 動 径 方 向 と こ れ に 直 角 な 方 向 と に 分 解 し,

こ れ を(υ γ,υθ)とす る.図

か ら 明 ら か な よ う に,ｘ ,  ｙ 成 分(υx,υy)と(υ γ,υθ)との 関

係 は, υγ=υx 

υθ=-υx 

cos  θ+υy 

sin  θ

sin  θ+υy 

cos  θ

}

(1・35)

図1-8  ベ ク トル の直 角座 標 成 分 と 極 座標 成 分 との関係

と な る.一

方,式(1・33)を

時 間 ｔで 微 分 す る と,

(1・36)

で あ る の で,こ

れ を 式(1・35)に

υγ=dγ/dt,υ

θ=γ

代 入 す る と,次

の 関 係 が 得 ら れ る.

(1・37)

dθ/dt

  ｘ,ｙ 直 角 座 標 系 で は, υxと υyは そ れ ぞ れ 独 立 な 形 で 運 動 を 記 述 で き た が,極 座 標 表 示 で は υγ と υθと は 独 立 で は な く,υ θは γ と θ の 関 数 と な っ て い る.   次 に,加

速 度 ａ の 極 座 標 成 分(aγ,aθ)を 求 め て み る.式(1・36)を

さ ら に ｔで 微

分 す る と,

(1・38)

ま た,υ

の 場 合 と 同 様 に,極 aγ=ax 

aθ=-ax 

cos  θ+ay 

座 標 成 分 と ｘ,  ｙ 成 分 の 間 に は, sin  θ

Sinθ+ayCOSθ

の 関 係 が あ る の で,式(1・38)を

}

式(1・39)に

(1・39)

代 入 す る こ と に よ り,

(1・40)

と な る.

1・6  接 線加 速 度 と法 線 加速 度   加 速 度 は,直 角 成 分,極

座 標 成 分 の ほか に,接 線 成 分,法 線 成 分 に分 け て 取 り

扱 わ れ る こ と もあ る.こ れ は,束 縛 運 動 に関 す る運 動 方程 式 を考 え る場 合 に必 要 とな る に とが 多 い. 図1-9の

よ う に,質 点 が 軌 道PP'に

沿 っ て 運 動 し て お り,時 刻 ｔに 点 Ｐ に い た

図1-9接 線加速度 と 法線 加 速 度 の 説 明図

質 点 が ⊿t時 間 後 に 点P'の

位 置 に あ る と す る.Ｐ

とP'に

お い て軌 道 の 接 線 方 向

を 向 く単 位 ベ ク トル(接 線 ベ ク トル)を そ れ ぞ れ ｅ,e'と す れ ば,点 点の速度ベ ク

ト ルυ は ｅ と 同 じ 向 き で,大

υ=ds/dt 

Ｐ に お け る質

き さ はds/dtに 等 し い.

(1・41)

e

加 速 度 は,こ れ を微 分 して, (1・42)

と な る.こ し い.図1-9か

こ で,de／dsは 接 線 ベ ク トル の 軌 道 に沿 っ て の 変 化 率 で, ら わ か る よ う に, e'-eは

大 き さ は ⊿ θ に 等 し く,向

に 等

両 ベ ク トル の な す 角 ⊿θ が 小 さ け れ ば,

き は ｅ に ほ ぼ 垂 直 で あ る.

(1・43)

  Ｐ,P'か

ら ｅ とe'に

垂 直 な 線 を 引 き,そ

な す 角 が ⊿θ と な る.⊿Sが ρで 表 す と,⊿S=ρ

の 交 点 を Ｃ と す る と, PCとP'Cと

小 さ い 極 限 で は,PCとP'Cの

⊿θ で あ る か ら,

で,点

の

長 さ は 等 し く,こ

れを

Ｐ にお いて Ｃ の方 向 を向 く

法 線 方 向 の単 位 ベ ク トル(法 線 ベ ク トル)を ｎ と書 け ば, (1・44)

と 表 さ れ る.ρ

を 曲 率 半 径,Ｃ

を 曲 率 中 心 と い う.式(1・44)を

式(1・42)に

代 入す

れ ば,

(1・45)

とな る.こ の 式 は,加 速 度 ａ を接 線 方 向 の 成 分atと

法 線 方 向 の 成 分anに

分 けた

こ と を意 味 す る.

(1・46)

  atを 接 線 加 速 度,anを

法 線 加 速 度 と呼 ぶ.軌

道y=f(x)が

って 直 角 座 標 ｘ,ｙを用 い て 表 され て い る と き,  y=f(x)上

１つ の 平 面 内 に あ

の 任 意 の 点 に お け る曲

率 半 径 ρは,

(1・47)

で 与 え ら れ る.

1・7相   図1-10の r(t),O'座

対運動 よ う な 座 標 系 で,時 標 系 で はr'(t)で

刻 ｔに お け る 点 Ｐ の 位 置 は,Ｏ

表 さ れ る と し,Ｏ

座 標 系 か ら 見 てO'座

座 標 系 で は 標 系 の原点

図1-10ガ 図1-10

O'がr0(t)で

ガ リレイ変 リレイ変 換 換の の説 説明 明

表 さ れ る と す る と, (1・48)

と な る.

O'が

Ｏ に 対 し 一 定 速 度 υ0で 等 速 直 線 運 動 を し て い れ ば,r0(t)=υ0t+r0と

し

て,式(1・48)は, (1・49)

と書 け る.こ の よ う な座 標 変 換 を ガ リレ イ 変 換 と い う.式(1・49)の 両 辺 を時 間t で 微 分 す る と, (1・50)

と な る の で,υ

と υ'の ど ち ら か 一 方 が 一 定 な ら 他 方 も そ う な る か ら,一

系 で あ る な ら ば,他

方が慣性

もす べ て 慣 性 系 で あ る.

  しか し,慣 性 系 に対 し て加 速 度 を もっ て 並 進 運 動 して い る座 標 系 は,慣 性 系 で な く,も はや 運 動 の 法則 は そ の ま まで は成 立 しな い.式(1・48)を 時 間 ｔで ２回微 分 す る と,

(1・51)

慣 性 系 Ｏ に対 して座 標 系O'が 加 速 度 運 動 して い れ ば, 系 に お い て,物

体 に 働 く力 が Ｆ で あ れ ば,式(1・51)よ

で あ る.慣 性

り,

(1・52)

と な る.座 標 系O'で

は,Ｆ

以外 に

とい う見 か けの 力 が物 体 に働 い て い

る と考 えれ ば,慣 性 系 と同様 に運 動 を扱 え る.こ の 見 か けの 力 は,物 体 の質 量 ｍ に比 例 す る こ とか ら,慣 性 力 と呼 ば れ る.慣 性 力 対 し て もつ加 速 度

は,座

標 系O'が

Ｏ に

と は逆 向 きで あ る.こ の座 標 系 の よ う に,運 動 の 法 則 が

そ の ま ま で は成 り立 た ず,慣 性 力 が現 れ て くる座 標 系 を非 慣 性 系 とい う.   図1-11の よ う に,座 標 系 Ｏ を慣 性 系 と し,そ れ に 対 して 原 点 が 一 致 した ま ま 一 定 の 角 速 度 ω で 回転 す る座 標 系(回 転 座 標 系)O'を 考 え る .O'も 非 慣 性 系 で あ る.

図1-11ｚ z軸 図1-11 軸 の まわ りに回 転 す る 回 転座 標 系 回転座標系   回 転 軸 を ｚ軸 と し,慣

性 系 に 対 す る 質 点 Ｐ の 座 標 を(ｘ,ｙ,  ｚ),運 動 系 に 対 す る

座 標 を(x',y', z')と す れ ば, t=０ で 一 致 し て い た と し て,

(1・53)

の 関係 が あ る.   ま た,質 る と,同

点 に 働 く力 Ｆ の Ｏ,O'系

に 対 す る成 分 を(Ｘ,Ｙ,  Ｚ),(X',  Y', Z')と す

様 に,

(1・54)

こ こで,慣 性 系 で の 運 動 方 程 式 は,

(1・55)

で あ る か ら,式(1・53),式(1・54)を

式(1・55)に

代 入 す る.す

な わ ち,式(1・53)か

ら,

に つ い て も,同

様 に 計 算 が で き,こ

れ と式(1・54),式(1・55)か

ら,

(1・56)

書 き 換 え る と,

(1・57)

こ こ で,

お よ び(X',Y',  Z')は,回

の 加 速 度 お よ び 力 の 成 分 で,式(1・57)か (X',Y')の

ほ か に,

転 座 標 系 か ら み た質 点

らみ る と,慣 性 系 と し て み た 場 合 の 力 お よ び(mω2x',mω2y')を

そ れ ぞ れx',

y'成 分 とす る慣 性 力 が働 く もの とす れ ば,回 転 座 標 系 で も運 動 方 程 式 は成 り立 つ.

  前 者 を コ リオ リの 力,後

者 を 遠 心 力 と い う.コ

リオ リ の 力 をF1',速

度 を υ'と

す れ れ ば,

  す な わ ち,(F1'・ は￨F1'￨=2mυ'ω

υ')=0と

な る か ら,コ

リ オ リの 力 は υ'に垂 直 で,そ

の大 きさ

で 与 え ら れ る 力 で あ る(図1-12).

図1-12  回転 座 標 系 で現 れ る見 か けの 力

演 習 問 題[１] １.２

点P,Qの

を 求 め よ.ま

位 置 ベ ク トル が,  i+3j-7k,5i-2j+4kで た,そ

３.高

先 き で 止 ま っ た.点

の加 速 度 で 動 い て い る.こ の 質 点 が 点 Ａ を過

Ａ に お け る 質 点 の 速 度 は い く ら か.

さ んの 屋 上 の端 か ら初 速 度 υ0でボ ー ル を投 げ,で

た い.投

ク ト ルPQ

の 大 き さ と 方 向 余 弦 は い く ら か.

２.１ つ の 質 点 が 一 直 線 上 を-2〔m/s2〕 ぎて16〔m〕

あ る と き,ベ

き る だ け遠 くの地 上 へ 届 か せ

げ 上 げ る 角 度 θ お よ び 到 達 距 離 ｘ を求 め よ.た

だ し,空 気 の 抵 抗 は な い も

の とす る.

４． ば ね の 一 端 を 固 定 し,下 端 に お も りを つ る す と き,そ の 単 位 質 量 の増 加 に つ き,ば ね の 伸 び は ｌの 割 合 で 増 加 す る とい う.い

ま,こ れ に 質 量 ｍ の お も りを つ け,つ

合 い の 位 置 か ら 少 し下 方 に 引 き下 げ て か ら放 す と,お ま た,そ

５.半

り

も り は 単 振 動 す る こ と を示 せ.

の 振 動 の 周 期 は い くら か.

径12〔 ㎝ 〕の 円 周 に 沿 っ て 動 く質 点 が あ る.あ

る 時 に.そ

の 速 さ が6〔 ㎝/s〕

で,3〔 ㎝/s2〕 の 割 合 で 速 さ が 増 し て い る とす れ ば,そ の と き の 質 点 の 加 速 度 は い く らか.

６.xy平

面 内 を運 動 す る 質 点 の 軌 道 がx=υt,y=-1/2gt2で

の 点 に お け る接 線 加 速 度atお

よ び 法 線 加 速 度anを

表 さ れ る.軌

求 め よ.た

る軌 道 の 接 線 は,ｘ 軸 と θの 角 度 を な す も の とす る.

趾

の任 意

だ し,そ の 点 に お け

第 ２章   仕 事 とエ ネ ル ギ ー

  「エ ネ ル ギ ー と は,仕 事 を す る能 力 で あ る.」 とい う定 義 は,ト マ ス ・ヤ ン グ に よ っ て 与 え られ た と い わ れ て い る.運 動 し て い る物 体 は 仕 事 をす る こ と が で き る.同 て,多

じ よ う に,高

い と こ ろ に あ る水 は,低

い位 置 に あ る と き と比 較 し

くの 仕 事 を 成 し得 る 状 態 に あ る と い え る.仕 事 は,状 態 が 変 化 した と

き に始 め て 認 め られ る が,我

々 は,物 体 の状 態 変 化 の 前 後 に お い て,物 体 の

有 す る エ ネ ル ギ ー を定 め る と,そ の 増 減 の大 き さか ら仕 事 の 大 き さ を 決 め る こ とが で き る よ う に な る.

2・1 2・

1

仕

事

  物 体 に力 Ｆ が 作 用 し,物 体 が ⊿rだ け変 位 した と き,そ の 力 が 物 体 に な す 仕 事 ⊿Wは,物

体 の動 い た 変 位 とそ の 方 向 に 有 効 な力 の成 分Fγ との 積 と し て 定 義 さ

れ る. 図2-1に

示 す よ う に,両 ⊿W=Fγ

と表 さ れ,0≦

者 の 間 の 角 を θ と す る と,

×￨⊿ γ￨=￨F￨￨⊿

γ￨cosθ

(2・1a)

θ<π/2な ら 力 は 物 体 に(正 の)仕 事 を し た こ と に な り,θ=π/2な

事 を せ ず,π/2<θ

≦ π な ら 負 の 仕 事 を し た と い う こ と に な る.

図2-1仕

事 の 定 義 の説 明 図

ら仕

  力 Ｆ も 変 位 ⊿rも ベ ク トル 量 で あ る.ベ １つ は 積 が ス カ ラ ー に な る 場 合 で,ス ク トル に な る 場 合 で,ベ   ス カ ラ ー 積 は,ベ

カ ラ ー 積 ま た は 内 積 と 呼 ぶ.他

ク トル Ａ とベ ク トル Ｂ が あ る と き,両

用 い ら れ る.す

は,積

がベ

ク トル 積 ま た は外 積 と呼 ぶ.

に 両 者 の 大 き さ￨Ａ￨と￨Ｂ￨を (A,B)が

ク トル の 積 の 演 算 に は ２ と お り あ り,

掛 け た 値 で 定 義 さ れ,表

者 の作 る角 θの 余 弦

示 と し て は,A・Bま

た は

な わ ち, (2・1b)

で あ る.つ な る.こ

ま り,Ａ の 関 係 を,直

の Ｂ 方 向 へ の 正 射 影 に Ｂ の大 き さ を掛 け る とス カ ラ ー 積 に 角 座 標 系 の 基 本 ベ ク トル(i,j,  k)に 適 用 す る と,

(2・1c)

と な る.し

た が っ て,A・Bをi,j, 

kを

使 っ て 表 せ ば,

(2・1d)

とな り,ス カ ラ ー積 は各 座 標 成 分 の 積 の和 に な る.   し た が って,仕 事 と は,力

と物 体 の 変 位 との ス カ ラー 積 で あ る.ス カ ラー 積 の

記 号 を使 え ば, (2・2)

図2-2  仕事 量 の計 算 方法

こ こで,各

々 を直 角 座 標 成 分 に分 けて,

F=Xi十Yj十Zk ⊿r=⊿xi十

⊿yj十 ⊿zk

}

と表 せ ば, ⊿W=F・

⊿r∴=X⊿x十Y⊿y十z⊿z

(2・3)

と な る.

  力 Ｆ が 場 所 に よ っ て異 な り,物 体 の 移 動 す る軌 跡 も曲 線 を な して い る と き,そ の 変 位 は微 小 変 位 ⊿rを 次 々 に行 っ た もの と考 え られ る.そ れ ゆ え,微 小 変 位 に 対 す る微 小 仕 事 を 集 め て, (2・4)

とな る.   仕 事 の 単 位     SI(国 際 単 位 系)で は,仕 事 の 単 位 と して,1〔N〕 そ の 力 の 向 き に質 点 を1〔m〕 動 か した と きの 仕 事,す れ を1〔J〕と呼 ぶ.ま

なわ ち1〔N・ ㎜〕を用 い,こ

た,仕 事 とエ ネ ル ギ ー は 同 じ単 位 を用 い る.

  単位 時 間 に な さ れ る仕 事 の 量 を仕 事 率 とい う.⊿t時 ⊿Wと

の力 を加 え て

間 に な さ れ た仕 事 の 量 を

し,仕 事 率 を Ｐ とす れ ば, (2・5)

で,任 意 の 時 刻 の 仕 事 率 が 与 え られ る.毎 秒1〔J〕の 仕 事 が な さ れ る場 合 の 仕 事 率 を1〔W〕 と表 す.

2・2 

エ ネル ギ ー

力 Ｆ の 作 用 の 下 で 質 点 が 運 動 し て い る と き,運 動 方 程 式 はmdυ/da=Fで ら れ る.こ

の 式 の 両 辺 と微 小 変 位drと

跡 に 沿 っ て 位 置 ベ ク トルr0か

らr1ま

の ス カ ラ ー 積 を つ く り,質

与え

点 の運 動 の 軌

で 積 分 す る と, (2・6)

と な る.式(2・6)の

左 辺 をdr=υdtの

関 係 を 使 っ て 時 間 ｔに 関 す る 積 分 に す る と, (2・7)

t0,t1は,質

点 がr0, r1に あ る と き の 時 刻 を 表 す.

  式(2・6)の 右 辺 は,力

Ｆ がr0→r1間

に な す 仕 事W(r0,r1)で

あ る か ら, t0,  t1に

お け る 速 度 を そ れ ぞ れ υ0,  υ1と す れ ば, (2・8)

こ の1/2mυ2と い う量 を質 点 の もつ運 動 エ ネ ル ギ ー と呼 ぶ. 式(2・8)は,力

Ｆ が 質 点 に働 い た 結 果,運 動 エ ネル ギ ー が1/2mυ02か ら1/2mυ12

まで 増 加 した こ とを表 す.こ の とき,こ の 力 の な した 仕 事 はW(r0,  r1)で あ る か ら,「 運 動 エ ネ ル ギ ー の 増 加 は,そ の 間 に質 点 に働 い た力 の な す 仕 事 に等 しい.」 こ とが わ か る.逆 に,質 点 の 運 動 エ ネル ギ ー が 減 少 す る場 合 に は,質 点 は減 少 分 だ けの 仕 事 を外 部 にす る こ とが で き る.す な わ ち,運 動 し て い る物 体 は静 止 の状 態 に比 較 して 仕 事 を な し得 る能 力 を多 く もっ て い る.   この よ うに,仕 事 は,状 態 の 変 化 した と き に始 め て認 め られ る が,物 体 の 状 態 変 化 の 前 後 に お いて,物 体 の有 す るエ ネ ル ギ ー を定 め る と,そ の増 減 の 大 き さ か ら仕 事 の程 度 を決 め る こ とが で き る.   質 点 が 空 間 中 の あ る点P0か

ら別 の 点P1ま

で,力

Ｆ に よ っ て 動 くと き,Ｆ

す る仕 事 Ｗ は,質 点 が ど う い う経 路 を と る か で 異 な る の が 普 通 で あ る.図2-3 に お い て,P0AP1とP0BP1と

い う経 路 が あ る とす る と,一 般 に は,

図2-3異

な る経 路 を た ど る状 態 変 化

(P0→P1)

の

と な る.と

こ ろ が,あ

と 終 点Plの

る 種 の 力 の 場 合 に は,線

積 分 の 値 が 経 路 に よ ら ず,始

位 置 だ け で 決 ま っ て し ま う こ と が あ る.こ

く際 の 仕 事 がP0,P1の

の よ う に, P0か

らPlへ

位 置 だ け で 定 ま る よ う な 力 を 保 存 力 と名 づ け る.保

働 い て い る 空 間 を 保 存 力 の 場 と い う.場

と い う の は,そ

点P0 動

存力 が

の 空 間 的 な 位 置 で あ っ て,

保 存 力 は 場 の 関 数 で あ る.   例 え ば,外

力 が 一 様 な 重 力 だ け の 場 合,す

な わ ち重 力場 で の仕 事 を求 め て み よ

う ・ 図2-4の

よ う に,質

らPl(x1,  y1,  z1)ま で 動 い た 場 合 を 考

え る と,質

点 がP0(x0,  y0,z0)か

点 の 質 量 を ｍ と す れ ば,質

点 に は ｚ 方 向 にZ=-㎎

の 重 力 の み作 用

図2-4  重 力の な す仕 事

し,重 力 の な した仕 事 は,

(2・9)

と な る.こ れ に よれ ば,重 力 の な す仕 事 は,質 点 の最 初 と最 後 にい た位 置 だ け に 関 係 して,そ の 経 路 に は全 く無 関 係 で あ る.し た が っ て,重 力 は保 存 力 で あ る. 図2-3で,も

し力 Ｆ が 保 存 力 で あ れ ば, (2・10)

で あ る.一 ら点P0へ

般 に,点P0か

ら 点P1に

質 点 を 動 か す と き の 仕 事W(p0,  p1)と,点P1か

動 か す と き の 仕 事W(P1,p0)と

は,絶

対 値 は 等 し く符 号 が 逆 に な る.す

な

わ ち,

で あ る か ら,P0→A→Pl→B→P0と

い う閉 曲線 に沿 っ て一 周 す る線 積 分 を 考 え る

と, (2・11)

  す な わ ち,任 意 の閉 曲 線 に沿 って 質 点 が一 周 す る と き,保 存 力 の な す 仕 事 は ０ で あ る.  一 般 に,標 準 状 態(任 意 に決 め る.例 え ば,原 点 に お け る状 態 を標 準 に取 れ ぼ よ い.)か ら任 意 の場 所(x,y, z)ま で の 保 存 力 の な す 仕 事 を,

-U(x と 置 け ば,質

,y,z)

(2・12)

点 をP0(x0,y0,  z0)の 位 置 に も っ て く る 保 存 力 の 仕 事 は-U0(x0, 

z0)で あ り, P1(xl,  y1,z1)ま で は-U1(x1,  点 の 有 限 な 変 位 に 対 し て は,保

y1,  z1)で あ る か ら, P0か

存 力 の な す 仕 事 を Ｗ,そ

らP1ま

y0,

で の質

の 微 小 変 化 を δWと

し

て,

8W=-dU と表 す こ とが で き る.Ｕ

(2・13)

は 質 点 の位 置 の み で 表 さ れ るか ら位 置 エ ネ ル ギ ー,ま た

は ポ テ ン シ ャル エ ネ ル ギ ー とい う.ポ テ ン シ ャル エ ネ ル ギ ー か ら保 存 力 を 導 く こ とが で き る.   い ま,質 点 が ｒの位 置 か ら ⊿Sだ け微 小 変 位 し た とす る と,

x,y,z成

分 に 分 け て 考 え る と,⊿sは

十 分 小 さ い の で,

⊿x,⊿y,⊿zの

係 数 を 比 較 し て,

(2・14)

が 成 り立 つ.基

本 ベ ク トル(i,j,  k)を 用 い て,

(2・15)

と表 さ れ る.こ

こ で,gradは

勾 配 ま た は グ ラ デ ィ エ ン ト と呼 ば れ,

(2・16)

で 定 義 さ れ る微 分 演 算 子 で あ る.   外 力 が 保 存 力 の みで あ る場 合 は,質 点 は 一 般 に位 置 の 変 化 と同 時 に 速 度 を変 え て お り,

す な わ ち, (2・17)

が 得 ら れ る.

  運 動 エ ネ ル ギ ー と位 置 エ ネル ギ ー の和 を全 エ ネ ル ギ ー とい い,「 保 存 力 だ け の 作 用 を受 け る質 点 の 全 エ ネ ル ギ ー は常 に 一 定 で あ る」.こ れ を力 学 的 エ ネ ル ギ ー の 保 存 則 とい う.   単 振 り子 の例     長 さ一 定 の 糸 の 先 に 質 点 を つ け,上 端 を固 定 して 鉛 直 面 内 に 運 動 す る よ うに し た もの を単 振 り子 とい う.こ の場 合,糸

の 張 力 は運 動 方 向 に垂

直 で あ るか ら仕 事 を し な い.し た が っ て,質 点 に作 用 す る力 は重 力(保 存 力)の み

で,エ

ネ ル ギ ー 保 存 則 が 成 り立 つ.

  図2-5の

よ う に,糸

の 長 さ を ｌ,糸 の 傾 き を θ,位 置 エ ネ ル ギ ー の 取 り方 は,最

下 点 Ｍ か ら計 る も の と し て,

図2-5  単振 り子 の運 動

一定

が 成 り立 つ.こ

(2・18)

の式 を 時 間 ｔで 微 分 し,

の関 係 を代 入 す る と,

(2・19)

と な る.こ れ が単 振 り子 の運 動 方 程 式 で あ る.こ

の式 は,質 点 に働 く力 を考 え て

直 接 に導 く こ とが で きる が,こ れ を解 い て運 動 を定 め る こ と は簡 単 で な い. そ こで,い

ま振 動 の範 囲 が 小 さ くて,sinθ

三 次 以 上 を無 視 で き る場 合 に は,sinθ

≒ θ-θ/6+… … と展 開 し た と きの

≒ θ と して,式(2・19)は, (2・20)

と な る.ご

れ は 単 振 動 で あ り,lθ=x,g/l=ω02と

置 け ば,

(2.21) と書 く こ と が で き,そ

の 一 般 解 は, (2・22)

と表 され る.こ

こで,Ａ

とα は,初 期 条 件 な どに よ っ て決 ま る 積 分 定 数 で あ る.

単 振 動 して い る質 点 の運 動 エ ネ ル ギ ー Ｋ は, (2・23)

で あ り,位

置 エ ネ ル ギ ー Ｕ は,

よ り,

(2・24)

で あ る か ら,全

エ ネ ル ギ ー Ｅ は,

(2・25)

と な る.つ る.全

2・3

ま り,単

振 動 の エ ネ ル ギ ー は,角

エ ネ ル ギ ー が 式(2・25)の

振 動 数 の ２乗 と振 幅 の ２乗 に 比 例 す

よ う に 表 さ れ る 系 を(一 次 元 の)調 和 振 動 子 と い う.

万有引力

  ケ プ ラ ー は,テ ィ コ ・ブ ラー エ の 天体 観 測 の仕 事 を 引 き継 いで 研 究 し,惑 星 の 運 動 に関 す る次 の ３つ の法 則 を発 見 した.  ①

惑 星 の軌 道 は,太 陽 を １つ の焦 点 とす る楕 円 で あ る.

 ②

惑 星 が太 陽 の 周 囲 に描 く面 積 速 度 は 一 定 で あ る.

 ③

惑 星 の公 転 周 期 の ２乗 は軌 道 の長 半径 の ３乗 に比 例 す る.

  これ ら は,観 測 事 実 よ り得 られ た結 果 で あ る.   す べ て 物 体 の運 動 は力 に よっ て 支 配 さ れ る.惑 星 とい え ど も例 外 で は な い.そ うで あ る な らば,惑 星 に は一 体 どの よ うな力 が働 い て い るで あ ろ う か.こ 理 論 的 に 導 き,遂 に万 有 引 力 の 法則 に到 達 した の が ニ ュー トンで あ る.

の力 を

太 陽 を原 点 と した 極 座 標(γ,φ)で 惑 星 の軌 道 を表 す と,ケ プ ラ ー の 第 １法 則 よ り楕 円 で あ る か ら(図2-6),

図2-6  楕 円 軌道 の平 面極 座 標 (γ,φ)表

示法

(2・26)

た だ し,ｌ は長 径 に垂 直 な位 置 にお け る動 径 の長 さで,半 直 弦 と呼 び,

(2・27)

で 定 義 さ れ る.ｅ

は 離 心 率 と い い,

(2・28)

で 定 義 され る.   次 に,面 積 速 度 とは,太 陽 と惑 星 を結 ぶ 動 径 が単 位 時 間 に つ い て 描 く面 積 の 大 き さ の こ とで あ るか ら,第

２法則 を式 で書 け ば,面 積 速 度 を Ｓ と して,

(2・29)

で あ る(図2-7).   こ こで,惑 星 の 質 量 を ｍ と して極 座 標 表 示 の 運 動 方 程 式 は,

(2・30)

図2-7  面積 速 度 の説 明 図

よ っ て,式(2・29)か 式(2・30)のFγ

らFφ=0と

に 関 す る 式 は,Ｓ

な る. を 用 い て, (2・31)

式(2・26)の

両 辺 を ｔで 微 分 す る と,

こ れ に 式(2・29)を

代 入 し て,

こ れ を さ ら に ｔで 微 分 し て,式(2・26),式(2・29)を

こ れ を 式(2・31)に

代 入 す る と,

代 入 し て,

(2・32)

  よっ て,惑 星 は γ2に反 比 例 す る 力 で 太 陽 の ほ うに 引 か れ て い る こ とが わ か る. 楕 円 の性 質 に よ り,

公 転 周 期 を Ｔ とす れ ば,Ｓ

は 一 定 で あ るか ら,

第 ３法 則 よ り,T2∝OA3で

あ る か ら,

よ っ て,式(2・32)は,

(Ｃ は定 数) と書 くこ とが で き る.こ の 定 数 Ｃ は,す べ て の惑 星 に つ いて 一 定 で あ る.す な わ ち,す べ て の惑 星 は 自分 の 質 量 に比 例 し,γ2に 反 比 例 す る 力 で 太 陽 に 引 か れ る.   作 用 ・反 作 用 の 法則 か ら み て,こ

の 力Fγ は 太 陽 に も働 き,太 陽 は 惑 星 に引 か

れ て い る.し たが っ て,、Fγは 惑 星 の質 量 の み に関 係 す るだ けで な く,太 陽 の 質 量 Ｍ に も関 係 す る と考 え られ る. (2・33)

  こ こに,Ｇ

は,太 陽 に も惑 星 に も関 係 しな い普 遍 定 数 で あ る.

  ニ ュ ー トン は,こ こ で さ らに 考 え を発 展 し,こ の種 の 力 は質 量 を有 す る物 体 な ら ば,ど ん な もの の 間 に も働 く もの と考 え た.す なわ ち,「 ２つ の 物 体 間 に は,そ の 距 離 の ２乗 に 反比 例 し,そ の 質 量 の積 に比 例 す る性 質 の 力 が 働 く」 と し,こ の 力 を万 有 引 力 と名 づ け た.す な わ ち,２ つ の物 体 の 質 量 をml,  m2,物

体 間 の距 離

を γ とす る と, (2・34)

を万 有 引 力 の 法 則 と呼 ぶ.こ の Ｇ は,万 有 引 力 定 数 と呼 ば れ,

(2・35)

の 値 が 得 られ て い る.   図2-8の

よ うに,原 点 Ｏ に質 量 Ｍ の質 点 が あ る と き,点P(x,y,z)に

量 ｍ の 質 点 に働 く万 有 引 力 Ｆ は,点

あ る質

Ｐ の 動 径 ベ ク トル を ｒ とす る と,ｒ に逆 向

きで あ る か ら, (2・36)

と 表 す こ と が で き る.

図2-8太

陽 を原点 に とっ た

極座標系 い ま,質 量 ｍ の質 点 が,万 ら,点P0か

で,rds=rds 

とな る.Ｗ

有 引 力 Ｆ の も と に,微 小 変 位 ⊿sを と り続 け な が

ら点 Ｐ に移 った とす れ ば,力

cos  θ=γdγ

Ｆ の な した 仕 事 Ｗ は,

と な り,

は,始 め と終 わ りの 位 置 に よ って の み定 ま る か ら,万 有 引 力 は保 存 力

で あ る こ とが わ か る.そ こ で,点P0の

位 置 を無 限 遠 の 点 に選 ん で そ こ を 基 準 点

と

とす れ ば,質 点 ｍ を 無 限 遠 か ら点 Ｐ に持 っ て くる の に 要 す る 仕 事 が な る か ら,点

Ｐ に お け る万 有 引 力 の ポ テ ン シ ャ ル Ｕ は, (2・37)

で 与 え ら れ る. U(γ)を

一方

,Ｆ

ｘ で 偏 微 分 す る と,

の ｘ成 分 は

4

で あ る か ら,

も成 立 す る.

同 様 に,

2・4

で あ る か ら,

運動量 と角運動量

質 量 ｍ の物 体 が 速 度 υで 運 動 して い る とき, P=mυ

(2・38)

で 定 義 さ れ るベ ク トル量 Ｐ を運 動 量 と い う.Ｐ

も υ もベ ク トル と して の 向 き は

同 じで あ る.運 動 量 を使 う と運 動 方程 式(1・18)は, (2・39)

と表 す こ とが で き る.す

な わ ち,運 動 の 第 ２法 則 は,「 運 動 量 変 化 の 時 間 的 割 合

が,そ の物 体 に働 く力 に等 しい.」 と表 現 で きる.こ の式 は,物 体 の 質 量 が 時 間 的 に 変 化 す る よ うな 場 合 に も適 用 で き,運 動 方 程 式 の表 現 と し て は,式(1・18)よ

り

基 本 的 で あ る.   ２つ の質 点 が 質 点 間 の相 互 作 用(内 力)の み の 力 の も とで 運 動 して い る と き,各 質 点 の 運 動 量 をP1,P2と

す る と,運 動 方程 式 は,そ れ ぞ れ 次 の よ う に な る. (2・40)

と こ ろが,運

動 の 第 ３ 法 則 よ り,F1=-F2で

あ る か ら, (2・41)

で あ り,こ れ は ２個 の質 点 の 運 動 量 の和 が 一 定 に保 た れ て い る こ と を意 味 す る.   一 般 に,多

くの 質 点 が 互 い に相 互 作 用 を及 ぼ し合 っ て い る よ うな 系 を考 え る と

き,個 々 の 質 点 に働 く力 が,相 互 間 に働 く内力 だ けで,系

の外 部 か ら働 く外 力 が

な い場 合 に は, (2・42)

が 成 り立 ち,各 質 点 の 運 動 量 の 和 ΣPiは 一 定 に 保 た れ る.こ れ を運 動 量 保 存 の 法 則 とい う.   式(2・39)を 時 間t1か らt2ま で積 分 す る と, (2・43)

が 得 られ る.右 辺 のベ ク トル 量 は,力

Ｆ がt1か らt2ま で働 い た 全 体 と して の効

果 に相 等 し く,力 積 と呼 ばれ る.し た が っ て,「t1か らt2ま で の 問 の運 動 量 の変 化 は,そ の 間 に質 点 に作 用 し た力 の 力 積 に等 しい.」 こ と に な る.   任 意 の座 標 原 点 Ｏ か ら測 っ た 質 点 の 位 置 ベ ク トル ｒ と運 動 量 ベ ク トルmυ

と

のベ ク トル 積

図2-9  角運 動 量(運 動 量 の モ ー メ ン ト)

の説明図

(2・44)

で 定 義 さ れ る 量 Ｌ を,質

点 の Ｏ に 関 す る 角 運 動 量(ま た は 運 動 量 の モ ー メ ン ト)

と い う.   Ｌ は,図2-9に

示 す よ う に,ｒ

と υ の 両 方 に 垂 直 な 向 き を も つ ベ ク トル 量 で あ

る.   ベ ク トル の ベ ク トル 積(外 積)  積 を 扱 っ た が,も

仕 事 の 定 義 の と こ ろ で,ベ

う １つ の ベ ク トル の 積 の 演 算 に ベ ク トル 積(外 積)が あ る.こ

は,積 が ベ ク トル に な る もの で あ る.一 般 に,角 が あ っ て,そ ら れ,Ａ

ク トル の ス カ ラ ー

の 大 き さ を そ れ ぞ れA,Bと

れ

θ を は さ む ２つ の ベ ク トルA,B

す る と き,大

と Ｂ と を 含 む 平 面 に 垂 直 な 方 向 を も ち,か

き さ がAB 

つ,右

sin θ で 与 え

ね じ を Ａ か ら Ｂ へ(π

よ り小 さ い 角 を 通 っ て)回 す と き の ね じ の 進 む 向 き を も つ １ つ の ベ ク トル を Ａ と Ｂ の ベ ク トル 積 と定 義 す る.   こ の よ う な Ａ と Ｂ の ベ ク トル 積 を 表 す に は,記

号A×Bま

た は[AB]を

用 い

る.   図2-10に

示 す よ う に,AB 

の 面 積 に 等 し い.θ=0,つ で あ る か ら,同

sinθ

は, A,Bを

隣 り 合 う2辺

とす る 平 行 四 辺 形

ま り Ａ と Ｂ が 平 行 ま た は 反 平 行 の と き はA×B=0

じ ベ ク トル ど う し で は,必 ずA×A=0と

と Ｂ が 垂 直 な ら￨A×B￨=￨A￨￨B￨に

な る.ま た,θ=π/2で

Ａ

な る.

図2-10  ベ ク トル積(外 積)の 説明 図 こ の 関 係 を 基 本 ベ ク トル(i,j,k)に

適 用 す る と,

と な る.し

た が っ て,ベ

ク トル 積 の 直 角 座 標 成 分 に は,

の 関 係 が あ る.   式(2・44)の

両 辺 を 時 間 ｔで 微 分 す る と,

(2・45)

こ こ で,質

点 に 働 く力 を Ｆ と す る と,

で あ る か ら, (2・46)

と な る.   こ こ で,r×Fは

力 の モ ー メ ン ト(ま た は トル ク)と い い,一

般 に Ｎ で 表 す.す

な わ ち, (2・47)

(2・48)

  式(2・48)は,ト

ル ク 方 程 式 と も呼 ば れ,「 角 運 動 量 変 化 の 時 間 的 割 合 は 力 の モ ー

メ ン トに 等 し い.」 こ と を 示 す.

質 点 に働 く力 の 作 用 線 が,い つ もあ る定 まっ た点 を通 り,大

き さが 質 点 と定 点

との 距 離 だ け で決 ま る と き,こ の力 を中 心 力 とい う.中 心 力 を Ｆ と し,定 点 を Ｏ とす る と,Ｆ

は,Ｏ

か らの距 離 γ を用 い て,一 般 に, (2・49)

と書 く こ とが で き る.  ゆ え に,質 点 に 働 く力 が 中 心 力 で あ る と き,

とな り,Ｌ は一 定 とい う こ とに な る.し た が っ て,「 質 点 に働 く力 が 中 心 力 で あ る と き,質 点 は力 の 中心 を通 る平 面 内 で 運 動 し,そ の 角運 動 量 は一 定 で あ る」.こ れ を角 運 動 量 保 存 則 と い う.

演 習 問 題[２] １.一

定 な 力F=5i+4j+3k[N]が,１

=6i+7j+8k[m]の

２.摩

つ の物 体 をr1=3i+4j+5k[m]の

点 か ら γ2

点 まで動 かす 間 になす仕 事 は い くらか.

擦 の あ る水 平 面 上 で,初 速 υ0です べ り始 め た 質 量 ｍ の質 点 が,静 止 す る ま で に

摩 擦 力 の な す 仕 事 は い く ら か.

３.単

振 動 す る質 点 に つ い て,そ の １周 期 に つ い て の 運 動 エ ネ ル ギ ー の 平 均 値 と,位 置

エ ネ ル ギ ー の平 均 値 とが 等 しい こ と を 示 せ.

４.単

振 子 の 運 動 方 程 式 を ニ ュ ー ト ン の 運 動 方 程 式 か ら直 接 に 求 め,そ

れ を積分 す る

こ とに よ っ て エ ネ ル ギ ー保 存 の 関 係 式 を 導 け.

５.質

量 ｍ,長 さ ｌの一 様 な 棒 が,そ の 延 長 上 で 棒 の 一 端 か ら距   ａ に あ る質 量 Ｍ の

質 点 に 作 用 す る 万 有 引 力 を 計 算 せ よ.

６. 中心 力 を受 けて運動 す る質 点 の直 角座 標 に よる運動 方程 式 を基 として,面 積 速 度 が一定 で あ るこ とを証 明せ よ.

第 ３章

質点系 お よび剛体 の 力学

  ２つ 以上 の質 点 の集 ま りを質 点系 とい う.質 点 は散在 して いて も密 集 して い て も よい.質 点が 密集 して連続 体 をな し,外 力 を加 え られ て も形 や体積 を 全 く変 え ない理想 的 な物 体 を剛体 とい う.質 点系 や剛体 の運 動 は,外 力 に加 え て各質 点相 互 に及 ぼ し合 う力 を考 えた運 動 の法則 か ら決 まるので あ るが, 質点 の数 が多 くな る と非 常 に複 雑 に な るので,少 し違 った角度 か ら質 点系全 体 を ま とめ た取 り扱 いが 必 要に なっ て くる.

3・1 3・

1

質量 中心の運動

  ２個 の 質 点 か ら な る 最 も 簡 単 な 質 点 系 を 考 え る.２ 個 の 質 点 の 質 量 をm1,m2と し,そ

れ ぞ れ(x1, y1,  z1),(x2  y2,  z2)の 位 置 に あ る と き, m1とm2の

m1:m2の 図3-1に

逆 比 に 内 分 す る 点 を,こ お い て,質

量 中 心 点G12の

間 の距 離 を

の 質 点 系 の 質 量 中 心 と い う. 座 標 を(x12,y12,z12)と

す る と,

図3-1２

質点 系 にお け る

質 量 中心(G12)

(3・1)

と な る.

  一 般 に,多

数 の 質 点 か ら な る 質 点 系 に お い て,そ

点 の 質 量 をmi,そ

の 質 量 中 心G(x,y,z)は,質

の 座 標 を(xi,yi, zi)と す る と, (3・2a)

ま と め る と, (3・2b)

で 与 え ら れ る.

  質 点 系 に属 す る １つ の 質 点 に働 く力 の中 で,質 点 系 以 外 か らか か る力 を外 力 と い い,質 点 系 に 属 す る他 の 質 点 が 及 ぼ す 力 を内 力 とい う.内 力 の 特 徴 は,運 動 の 第 ３法 則 よ り,常 に ２つ ず つ 対 に な っ て現 れ,同 一 直線 上 で 大 き さが 等 し く向 き が反 対 で あ る. 質 点 系 に 属 す る 質 点miの Yi,Zi),他

のmjの

座 標 をri(xi,yi,zi)と

し,こ

れ に 働 く外 力 をFi(Xi,

質 点 か ら 受 け る 内 力 をFij'(Xij',Yij',  Zij')と す れ ば,質

点mi

の運 動 方 程 式 は,

(3・3)

各 質 点 に関 す る式(3・3)を 質 点 系 全 体 につ いて 加 え る と,内 力 の 性 質 よ り,

と な る か ら,結

局

(3・4)

と な る.こ

こ で,質

点 系 の 全 質 量 Σmi=M,質

量 中 心 の 座 標 を(x,  y, z)と

すれ

ば,

で あ る か ら,式(3・4)は,

(3・5)

つ ま り,

(3・6) と な る.

  この式 は,質 量 Ｍ の １つ の 質 点 がr(x,y, 

z)の 位 置 に あ っ て,外 力 ΣFiの

み の作 用 を受 けて 運 動 す る場 合 の運 動 方 程 式 で あ る.す な わ ち,質 量 中 心 の運 動 で は,内 力 の影 響 は考 え な くて もよ い こ とが わ か る.   質 点 系 の全 運 動 量 Ｐ を (3・7)

の よ う に個 々 の 質 点 の運 動 量 の和 と して 定 義 す る と, (3・8)

とな り,「質 点 系 の全 運 動 量 の 時 間 的 変 化 割 合 は,外 力 の 総 和 に 等 し く,内 力 とは 無 関 係 で あ る 」.   した が っ て,質 点 系 で,外 力 が 全 く働 か な いか,ま 合 に は,ΣFi=0と

な るか ら,式(3・6)よ

た は偶 力 だ け に直 し得 る場

り,

で あ る か ら,質 量 中 心 は静 止 か 等速 直 線 運 動 を続 け る こ とに な り,こ れ は質 点 系 にお け る運 動 の第 １法 則 に相 当 す る.   ま た,式(3・8)よ

り,

で あ る か ら,質 点 系 の 全 運 動 量 は一 定 に保 た れ る(運 動 量 保 存 の 法 則).

3・

2

質 点 系 の 角運動 量 と運 動 エ ネ ル ギ ー

  質 点 系 の 原 点 に 関 す る全 角 運 動 量 Ｌ は,系

に含 まれ る各 質 点 の 角 運 動 量 の 総

和 と し て定 義 され る.す な わ ち, (3・9)

式(3・9)の

と な る が,右

両 辺 を 時 間 ｔで 微 分 す る と,

辺 第 １項 は ベ ク トル 積 の 定 義 よ り ０で あ る.第

２項 は,

の関 係 を使 う と,

と こ ろ が,

の 項 は,

が 対 に な っ て 含 まれ て

お り,作

用 ・反 作 用 の 法 則 よ り,Fji=-Fijで

等 し い.と る.結

こ ろ が,(ri-rj)はFijと

あ る か ら,こ

平 行 と な る の で,両

れ は(ri-rj)×Fijに

者 の ベ ク トル 積 は ０ に な

局,

(3・10)

とな る.「質 点 系 の 原 点 に 関 す る全 角 運 動 量 が 時 間 的 に変 化 す る割 合 は,原 点 の ま わ りの 外 力 の モ ー メ ン トの 総 和 に等 し く,内 力 に は 関係 し な い.外 力 が働 か な い か,モ ー メ ン トの総 和 が ０の場 合 に は,原 点 の まわ りの全 角 運 動 量 は一 定 に保 た れ る」(質 点 系 に 関 す る 角 運 動 量 保 存 則). 次 に,質 点 系 の質 量 中 心 の まわ りの角 運 動 量 に つ い て考 え て み よ う.

図3-2質

量 中 心 を原 点 とす る

座標系

  図3-2の

よ うに,質 点 に対 し て 固定 した 直 角 座 標 系(x,y, z)と,こ

の座標 系 の

原 点 を 質 点 系 の質 量 中 心 Ｇ に平 行 移 動 した 座 標 系(x',y', z')を 考 え よ う.固 定 し た座 標 系 か らみ た質 点miの か ら測 った 質 点miの

位 置 をriと し,質 量 中心(Ｇ)の 位 置 を ｒ,質 量 中 心

位 置 をri'と す る と,原 点 Ｏ に関 す る質 点 系 の角 運 動 量 は,

L=Σ(ri×miυi)

こ こでゆ

で あ る か ら,

(3・11)

た だ し,

式(3・11)の

両 辺 を ｔで 微 分 す る と,

と こ ろ が,

で あ る か ら,

(3・12)

  す な わ ち,「質 点 系 の 質 量 中心 に 関 す る全 角運 動 量 変 化 の 時 間 的 割 合 は,質 量 中 心 に関 す る外 力 のモ ー メ ン トの 総 和 に等 し い.」 こ とに な る.質 量 中 心 は静 止 し た 点 で は な く,一 般 に加 速 度 運 動 をす る.し

たが っ て,質 量 中心 に 固 定 した座 標 系

は慣 性 系 で は な い.

次 に,質 点 系 の運 動 エ ネ ル ギ ー を考 え て み よ う. 図3-2の

よ う に,質

量 中 心(Ｇ)の 位 置 を ｒ,質 点miの

位 置 をri,O'(G)か

ら見

た 質 点miの

位 置 をri'と

す れ ば,

であ るか ら,こ れ を時 間 ｔで微 分 す れ ば, (3・13)

とな る.υi'は,質

量 中心 Ｇ か ら見 た質 点miの

相 対 速 度 で あ る.質 点 系 の 運 動 エ

ネ ル ギ ー Ｋ は, (3・14)

の よ う に,各

質 点 の 運 動 エ ネ ル ギ ー の 総 和 と し て 定 義 さ れ る.式(3・13)を

式(3・

14)に 代 入 す る と,

右 辺 第 ２項 は

と な り,質 量 中 心 の 定 義 か ら,

で あ る か ら, 結 局, (3・15)

とな る.す な わ ち,「 質 点 系 の運 動 エ ネル ギ ー は,各 質 点 の質 量 が 質 量 中 心 点 に 集 中 し た とす る と き の運 動 エ ネ ル ギ ー と,質 量 中 心 に対 す る各 質 点 の 相 対 運 動 エ ネ ル ギ ー との和 に等 しい 」.

3・3剛

体 とそ の つ り合 い

剛 体 とは,１ つ の質 点 系 で,各 質 点 間 の距 離 が 常 に 一 定 に保 た れ て い る よ う な 理想 的 な物 体 を さ す.こ れ まで に得 られ た 質 点 系 に つ い て の 一 般 的 な性 質 は,剛 体 に もそ の ま ま適 用 で き る. 剛 体 の運 動 と して は,全 体 と して の移 動 ― えれ ば よ い.こ

並進運 動―

お よ び回 転 運 動 を考

の と き,重 力 は剛 体 の質 量 中 心 に働 く大 き さ がMg(Mは

剛体 の

全 質 量)の １つ の力 とみ な せ ば よ い.こ の こ とか ら,質 量 中心 は 重 心 と同 じ意 味 で あ る.剛 体 の重 心(質 量 中 心)の 位 置 は,式(3・2)と 同様 に定 義 され るが,連 続 体 で あ るた め和 の か わ りに積 分 が 用 い られ る.す な わ ち,riの 度 を ρ(ri),微 小 部 分 の体 積 をdVと

位 置 にお け る剛 体 の 密

す る と,

(3・16)

で与 え られ る.   剛 体 の つ り合 い の 条 件(平 衡 条 件)を 考 え て み る. 剛 体 に 働 く外 力 を 重 力 も含 め て,F1,  F2,… …, Fnと r2,… …, rnと す る.つ

り合 う た め に は,つ

し,そ

れ が 作 用 す る 点 をr1,

ま り静 止 の 状 態 が 続 く た め に は,重

も 静 止 し て い な け れ ば な ら な い か ら,式(3・6)か

ら,

ΣFi=0

(3・17)

で な け れ ば な ら な い.次

に,た

と え重 心 が 静 止 し て い て も,そ

て い て は 静 止 と は い え な い か ら,L'=0で れ ば,LG=0で

な け れ ば な ら な い.重

あ る か ら, L=LG+L'=0で

あ る.し

Σri×Fi=0

心が 止 まってい

た が っ て,式(3・10)か

ら,

基 準 点 は 固 定 点 な ら ど こ に と っ て も よ い.式(3・17),

ど ち ら も ベ ク トル 式 で あ る か ら,直

つ ず つ の 式 に な る.一

の ま わ りで 回 転 し

(3・18)

で な け れ ば な ら な い.riの 式(3・18)は

心

般 に は,こ

角 座 標 成 分 に 分 け て 考 え る と,３

の 合 計 ６個 の 式 が 成 り立 っ て い る こ と が,剛

体

が つ り合 う た め の 必 要 条 件 で あ る.

3・4  剛体 に働 く力 の合 成   ベ ク トル 量 は,大

き さ と 向 きが 同 じ な ら等 し い と 考 え て よ い も の が 多 い.そ

よ う な も の を 自 由 ベ ク トル と い う.し F2で

は,剛

か し,図3-3の

体 に 及 ぼ す 効 果 は 異 な る.そ

の

よ う に,剛 体 に 働 く力F1と

れ ぞ れ の 着 力 点 Ａ,  Ｂ を通 っ て力 の ベ ク

トル を含 む 直 線 を力 の 作 用 線 とい う.

図3-3剛

体 に力 が作 用 す る とき,そ の

作用 す る点 に よ って効 果 が 異 な る

  「剛 体 に働 く力 の ベ ク トル は,作 用 線 に沿 っ て 移 動 させ る こ とが で き るが,任 意 に 平 行 移 動 させ る こ とは で き な い.」 とい う性 質 を もっ て い る.作 用 線 が 交 わ る場 合 に は,平 行 四 辺 形 の法 則 を使 っ て,２ 力F1,F2の

合 力 Ｆ は簡 単 に求 られ る(図

3-4).

図3-4  作 用 線 が 交わ る場合 の ２力 の合 成 法 図3-5の

よ う に,作

用 線 が 交 わ ら な い 平 行 な ２力F1,F2の

場 合 は,次

の よ うな

図3-5  作 用 線 が交 わ らな い場 合 の ２力 の合 成 法

方 法 で 合 成 す る.A',B'を

結 ぶ 直 線 上 で,逆 向 き の 力 ｆ と-ｆ

F2に 加 え る.ｆ

つ り合 っ て い る力 で あ る か ら,剛 体 に 及 ぼ す 力 の効 果

は変 わ らな い.ｆ

と-fは とF1で

合 成 し た力F1'と-fとF2で

線 が 交 わ る点 を Ｏ と す る.Ｏ

した結 果 に な っ て い る.F1とF2の て も,ｆ

と-fを

合 成 し た 力F2'の 作 用

を基 点 とす る よ うにF1'とF2'を

四 辺 形 の 法則 に よ って,両 者 を合 成 す れ ば,Ｆ

を そ れ ぞ れF1,

移 動 し て か ら平 行

が得 られ,こ れ がF1と

大 きさ が異 な っ て も,  F1とF2が

Ｆ2を 合 成

逆 平行で あっ

両 者 に加 え る こ と に よ っ て合 成 で き る.し か し,F1とF2の

き さが 等 し くて逆 平 行 の場 合 は,ｆ

と-fを

大

加 え て も合 成 した 力 の 作 用 線 が 交

わ ら な い の で １つ の力 に合 成 す る こ と はで き な い.こ

の よ う な １対 の 力 を偶 力 と

い う.偶 力 に は,次 の よ う な性 質 が あ る.  ①

偶 力 を つ くる ２力 の,そ の 平 面 内 の １点 の まわ りの モ ー メ ン トの和(偶 力 の モ ー メ ン ト)は,点 の位 置 に関 係 せ ず一 定 で あ る.

 ②

偶 力 は モ ー メ ン トの 大 きさ と向 き さ え変 え な け れ ば,同 一 平 面 も し くは平 行 な平 面 内 を動 か す こ とが で きる.

  この 性 質 か ら,偶 力 は １つ のベ ク トル と考 え られ,多

くの偶 力 が あ る と き は,

そ の偶 力 はベ ク トル 的 に 合 成 す る こ とが で き る.こ の場 合,偶 力 ベ ク トル Ｎ は, 偶 力 の モ ー メ ン トの大 き さ をベ ク トル の 大 き さ と し,力 の 面 に垂 直 な方 向 をベ ク

トル の 方 向 と し,力 の 向 き に右 ね じ を 回 した と きの,右 ね じの 進 む 向 き をベ ク ト ル の 向 き と定 め る.   次 に,剛 体 に働 く力 の効 果 に つ い て 考 え て み よ う.   図3-6の

よ う に,剛 体 内 の 任 意 の点 Ｐ に力 Ｆ が働 く と き,剛 体 内 に 任 意 に と

っ た定 点 Ｏ に,Ｆ

と平 行 で 大 き さ が 等 し く向 きの 反 対 な ２つ の 力 Ｆ と-Fを

作 用 させ て も,そ の 効 果 は変 わ らな い.し た が って,点 は,点 Ｏ に働 く力 Ｆ と,点

Ｐ の Ｆ と点 Ｏ の-Fが

Ｐ に働 く １つ の 力 の 効 果 つ くる偶 力 と に置 き換 え る

こ とが で き る.ｒ を 点 Ｏ か ら とっ た Ｆ の 作 用 点 Ｐ の位 置 ベ ク トル とす れ ば,偶 力 ベ ク トル Ｎ は, N=r×F と表 さ れ る.こ

(3・19)

れ は,力

Ｆ の 点 Ｏ に 関 す る モ ー メ ン トで あ る.

図3-6剛 体 に働 く力 の効 果 の 説明図

  こ の 結 果 を 用 い れ ば,剛 し た 場 合 に も,そ こ と に な る.な ば,１

ぜ な ら ば,任

点 に 働 く力Fiは

点 Ｏ に つ く る-Fiと 力N=ΣNiに

体 の 各 点P1, P2,… …,Pn  に 力F1,  F2,… …, Fnが

作 用

の 多 く の 力 の 効 果 を １つ の 力 Ｆ と １つ の 偶 力 Ｎ に 合 成 で き る 意 の １点 Ｏ を 選 ん で,こ

１つ の 力F=ΣFiに が つ く る 偶 力Niも,ベ

れ ら の 力 の効 果 を 集 め れ

合 成 で き,作

用 点Piに

働 く力Fiと

ク トル 的 に 合 成 が 可 能 で,１

つの偶

ま と め る こ とが で き る か ら で あ る.

  点 Ｏ は任 意 に選 ぶ こ とが で き るが,剛 体 に 固 定 され た点 が な け れ ば,点 Ｏ を重

心 Ｇ に選 ぶ こ とが 多 い.な ぜ な らば,剛 体 に働 く多 くの力 の 中 で,重 力 は大 きな 役 割 をす るが,重 心 Ｇ に関 す る重 力 の モ ー メ ン トは ０ とな り,重 力 は 重 心 Ｇ に 働 く １つ の力 の み と な る か らで あ る.   点 Ｏ に ま とめ られ た力 Ｆ は,そ の点 を動 か そ う とす る 並 進 運 動 の 原 因 と な り, 点 Ｏ に つ い て と っ た偶 力 Ｎ は,そ の 点 の まわ りの 回転 運 動 の 原 因 とな る.

3・5  剛 体 の 自 由 度   質 点 の 運 動 を 指 定 す る に は,位

置 ベ ク トル ｒ の ３ つ の 直 角 成 分(x,y,  z)の 時 間

的 変 化 を 決 め る ３ つ の 運 動 方 程 式 が 必 要 で あ る.一 点 系 の 場 合,そ ……

の 状 態 を 指 定 す る の に3n個

,(xn,  yn, zn)が 必 要 で あ る.こ

ｎ 個 の 質 点 よ り な る 質 点 系 は3nの 方 位 を 指 定 す る 座 標 の う ち,独 3nの る3n個

般 に,ｎ

個 の質 点 か ら な る質

の 直 角 座 標(x1, y1,  z1),(x2,  y2,  z2),

の こ と を 簡 単 に,質

点 は ３個 の 自 由 度 を も ち,

自 由 度 を も つ と い う.つ

ま り,物

体 の位置 や

立 に 変 化 で き る も の の 数 を 運 動 の 自 由 度 と い う.

自 由 度 を も つ 質 点 系 の 運 動 を 決 定 す る た め に は, x1(t),…

…, zn(t)を 決 め

の 運 動 方 程 式 が 必 要 で あ る.

  剛 体 の 場 合,図3-7に て み る.Ａ

示 す よ う に,剛

の 位 置 は(x,  y,  z)の

体 の 中 に △ABCの

部 分 を任 意 に想 定 し

３個 の 座 標 で 決 ま る が, Ａ を 決 め た らABの

距

図3-7  剛体 の 自由 度の 説 明 図

離 ａ は不 変 で あ る か ら,Ｂ の位 置 は,  Ａ を 中心 と した 半 径 ａの 球 面 上 に 制 限 され る.つ ま り,Ｂ に 関 して は独 立 に選 べ る変 数 の 数 は ２で あ る.い っ た ん, Ａ と Ｂ の位 置 が 決 ま る と,BC=b, 

AC=cの

制 限 が あ る か ら, Ｃ の位 置 は, ABを

軸 と して 回 転 す る 円周 上 に な けれ ば な らな い.つ

ま り,Ｃ の位 置 に関 して は独 立

に選 べ る変 数 は 回 転 角 だ け で １個 に な る.△ABCの

位 置 が 決 まれ ば,剛 体 内 の

す べ て の 点 の座 標 は決 ま り,自 由 に選 ぶ こ と はで きな い.つ 自 由度 は6(=3+2+1)と

中心

ま り,剛 体 の運 動 の

い う こ とに な る.

  剛 体 の 運 動 を 決 め る場 合,重

心 の並 進 運 動 方 程 式

と回転運 動方程式

は,い ず れ もベ ク トル 方 程 式 で あ るか ら,成 分 ご と に考 え れ ば ６個 の 方程 式 で あ る.自 由 度 が ６,つ ま り末 知 数 が ６で 方 程 式 が ６個 あ る か ら,方 程 式 を解 くこ と に よ って,剛 体 の 位 置 や 方 位 を決 定 す る こ とが で き る.   平 面 運 動     剛 体 上 の す べ て の点 が 常 に １つ の 固定 し た平 面 に平 行 に運 動 す る と き,そ れ を 剛 体 の 平 面 運 動 とい う.平 面 運 動 に お い て は,こ の 平 面 に平 行 な 剛 体 の 一 断 面 の運 動 が わ か れ ば よい.し 図3-8に ABが

た が って,剛 体 の 平 面 運 動 を記 述 す る に は,

示 す よ う に,こ の 平 面 内 の １点 Ａ の 座 標(x,y)と,そ

の点 を通 る 線 分

ｘ軸 とな す 角 θ との ３つ を用 い れ ば十 分 で あ る(剛 体 の 平 面 運 動 の 自 由度

図3-8  平 面 運 動 の記 述 法

は ３で あ る).

  点 Ａ の 座 標 変 化 の 運 動 は 剛 体 の 並 進 運 動 を代 表 す る も の で あ り,線 分ABが 点 Ａ を まわ る角 度 を変 え る の は,点

Ａ が 固 定 さ れ て い る と考 え た 剛 体 の 回 転 運

動 で あ っ て,一 般 の平 面 運 動 は この 両 者 の組 み合 わ せ で 調 べ る こ とが で き る.   点 Ａ は,質 量 中心(重 心)に と る場 合 が普 通 で あ る.こ の場 合,質 量 中 心 の 座 標 を(x,y)と

す れ ば,運 動 方 程 式 は,

並 進運動 (3・20)

回転 運動 とな る.こ れ が 剛 体 の平 面 運 動 を論 ず る基 本 式 で あ る.

3・6固

定軸 の まわ りの剛体 の運 動

  剛 体 が あ る決 ま っ た 軸 の まわ りに 回転 す る場 合 を考 え る.回 転 軸 を ｚ軸 と し, 図3-9の

よ う に,原 点 か らriの 位 置 に あ る 剛 体 の 微 小 部 分 Ｐ の 質 量 をmiと

す

る.

図3-9  ｚ 軸 の まわ りの 回転 運 動

点 Ｐ か ら ｚ軸 へ の 垂 直 距 離 γiはriのx-y平

面 へ の 斜 影 長 に 等 し く,

で あ る.ｚ 軸 の まわ りの 角速 度 を ω とす れ ば,ω は剛 体 の す べ て の 部 分 に 共 通 で あ る.点

Ｐ は ｚ軸 の ま わ り に γiωの 速 さ で 円 運 動 す る か ら, miの

角 運 動 量 の ｚ 成 分Lziは,

(3.21) で与 え られ る.こ れ を剛 体 全 体 に つ い て加 え合 わ せ る こ とに よ り,剛 体 全 体 の 角 運動 量 の ｚ成 分 が, (3・22)

と し て 求 ま る. ま た,miの

運 動 エ ネ ル ギ ーKiは,

とな るか ら,剛 体 全 体 の運 動 エ ネル ギ ー Ｋ は,

(3・23)

と な る.こ

こ で,式(3・22),式(3・23)に

現 れ る

(3・24)

と い う量 は,剛 体 の形 状,質

量 分 布,固

定 軸 の取 り方 に よ っ て決 ま る定 数 で,慣

性 モ ー メ ン トとい う.   剛 体 で は,普

通,質

量 が 連 続 的 に 広 が っ て い る か ら,微 小 部 分 の 体 積 をdV,そ

の 部 分 の 密 度 を ρ(r)と し て,mi→

ρ(r)・dVと

置 き,和

の 代 わ りに 積 分 を 用 い

て,

(3・25)

と し て 慣 性 モ ー メ ン ト を 求 め る. 慣 性 モ ー メ ン トIzを 用 い る こ と に よ り,式(3・22)お

よ び 式(3・23)は,そ

れ ぞれ

(3・26)

(3・27)

と書 け る.

  こ こで,角 運 動 量 の 時 間 変 化 に 関 す る式(3・10)を ｚ軸 の まわ りの 回 転 に つ い て 適 用 す る と, (3・28)

(3・29)

を用 い れ ば, (3・30)

の関 係 が 得 られ る.式(3・29)ま た は式(3・30)は,固

定 軸 の まわ りに 剛 体 が 回 転 運

動 す る と き の基 本 的 な方 程 式 で あ る. 剛 体 の 質 量 を Ｍ,あ

る軸 の まわ りの 慣 性 モ ー メ ン トを １ とす る と き, (3・31)

に よ っ て定 義 され る長 さ

3・7慣

の こ と を,そ の 軸 の まわ りの回 転 半 径 と い う.

性 モ ー メ ン トの計 算

慣 性 モ ー メ ン トを計 算 す る とき に よ く用 い られ る定 理 が ２つ あ る.

[１]平

行軸 の定理

剛 体 の 重 心 Ｇ を通 る軸 の まわ りの慣 性 モ ー メ ン トをIG,そ

の 軸 に 平 行 な任 意

の軸 の まわ りの慣 性 モ ー メ ン トを １ とす る と,１ とIGと の 間 に は, (3・32)

の 関 係 が あ る.こ こ れ を,図3-10に

こで,Ｍ

は剛 体 の質 量, ｈ は ２つ の軸 間 の距 離 を表 す.

よ っ て 証 明 す る.慣 性 モ ー メ ン トがIで

あ る 軸 を ｚ軸,重

心

図3-10  平 行軸 の定 理 の 説明図

Ｇ を 通 り,こ

れ に 平 行 な 軸 をz'軸

と し,x-y平

面 に 投 影 し た Ｇ の 位 置 を(xG, yG)

とす る と,

dVとz軸

と の 距 離 を γ と す る と,

dVとz'軸

と の 距 離 を γ'と す る と,

で あ る か ら,

一 方

,

と な る.

であ るか ら

[２]平 板 にお ける直交軸 の定理   x-y面

に お か れ た 厚 さが 一 様 で薄 い平 板 状 剛 体 の １点 を通 り,平 板 に垂 直 な ｚ

軸 の まわ りの慣 性 モ ー メ ン トIzは,こ

の 点 を通 り板 の面 内 に あ る互 い に垂 直 なx

軸 と ｙ軸 の まわ りの慣 性 モ ー メ ン トIxとIyと

の 間 に, (3・33)

の 関 係 が あ る.   これ は,図3-11よ

り,平 板 内 の任 意 のdVま

で の距 離 を γ と し,平 板 の 密 度 を

ρ と し た場 合

と直 ち に証 明 され る.

図3-11直

  [例 １]質 量 Ｍ,半

交 軸 の定 理 の説 明 図

径 ａの一 様 な薄 い 円板 の 中 心 を 通 る軸 の ま わ りの 慣 性 モ

ー メ ン トを求 め よ.       円板 がx-y面

に あ る と し,ｚ 軸 を円 板 に垂 直 な 円板 の 中 心 を通 る よ う にす

図3-12慣

性 モ ー メ ン トの 計算法

る.最

初 に ｚ 軸 の ま わ りの 慣 性 モ ー メ ン トIzを

  図3-12の 考 え,こ

よ う に,半

径 γ と γ+dγ

求 め る.

の 同 心 円 で 区 切 っ た 円 環 の 質 量dmを

の 部 分 の ｚ軸 に 関 す る 慣 性 モ ー メ ン ト をdIzと

す る と,面

密度 を σ

と し て, dIz=γ2dm=2π

γdγ ・σ ・γ2=2π

σγ3dγ

こ れ を γ に つ い て ０ か ら ａ ま で 積 分 す れ ば,

次 に,円 トIx

板 の 中 心 を 通 り,ｚ 軸 に 垂 直 な ２軸ｘ, ｙ軸 に 関 す る 慣 性 モ ー メ ン

,  Iyは,直

交 軸 の 定 理 よ り,

  [例 ２] 質 量 Ｍ,半

径a,長

さ ｌの 円柱 の 中 心 を通 り,柱 に垂 直 な軸 の まわ り

の慣 性 モ ー メ ン トを求 め よ.   円 柱 の 中 心 線 を ｘ 軸 に と り,中 心 を 通 りx軸   中 心 か らxの 軸 をz'軸

距 離 に あ る厚 さdxの

と す る と,こ

の 内 板 のz'軸

円 板 の,面

に 垂 直 な ｚ 軸 を と っ て 考 え る. の 中 心 を 通 り ｚ軸 に 平 行 な

に 関 す る 慣 性 モ ー メ ン トdIz'(x)は,密

図3-13  平 行軸 の定 理 を使 った 慣 性 モ ー メ ン トの求 め 方

度 を ρ と し て,[例

  した が っ て,こ ー メ ン トdIは,平

１]の

Ｍ を πa2dxρ で 表 し て,

の 円 板 の 円柱 の 中心 を通 り,柱 に垂 直 な 軸 に 関 す る慣 性 モ 行 軸 の 定 理 よ り,

これ を ｘ に つ い て-l/2か

ら+l/2ま

で積 分 す れ ば,z軸

に関 す る 円柱 の 慣

性 モ ー メ ン ト は,

3・8  剛体 の運 動 の例 [１]  実 体 振 り子 任 意 の形 の 剛 体 が,重 心 Ｇ を通 らな い 水 平 軸 の まわ りで,重 力 の 作 用 で 振 動 し て い る もの を実 体 振 り子 ま た は物 理 振 り子 とい う.   図3-14の

よ うに,回 転 軸 Ｏ か ら重 心 Ｇ まで の 距 離 を ｈ と し,OGの

鉛直 線 に

図3-14

対 す る 傾 き の 角 を θ,質 量 を Ｍ,慣

性 モ ー メ ン トを Ｉ とす る.

  回 転 軸 に 対 す る 重 力 の モ ー メ ン ト は-Mgh  θ が 小 さ い と き に はsinθ

実体 振 り子 の運 動

sin θ で あ る か ら,運

動 方 程 式 は,

≒ θ と し て, (3・34)

と な っ て 単 振 動 の 式 と な る.し

た が っ て,周

期 Ｔ は, (3・35)

で 与 え ら れ る.い

ま,軸

の ま わ り の 回 転 半 径 を ｋ とす る と,I=Mk2で,こ

の実体

振 り 子 と 同 じ 周 期 を も つ 単 振 り 子 の 糸 の 長 さ を ｌ と す れ ば,式(3・35)をT= 2π√l/gの 式 と比 較 し て, (3・36)

の 関 係 が あ る.こ

の こ と か ら,

で 決 ま る長 さ ｌの こ と を相 等 単 振 り子 の 長 さ と

呼 ぶ.い

ま,線 分OGを

す る.重

心 Ｇ の ま わ り の 回 転 半 径 をkG,O'の

I=IG+Mh2の

関係か ら

延 長 し て,長

さ ｌの 点 に 点 Ｏ'を と り,O'Gの

長 さ を ｈ'と

ま わ り の 回 転 半 径 をk'と

す る と,

ま た,1'=IG+Mh'2の

関 係 か ら

こ こ で,

で あ る か ら,上

の 式 か らkG2=hh'の

関 係 か ら 得 ら れ,こ

れ を 下 の 式 に 入 れ る と,

と な る.こ れ か ら新 た にO'を 軸 と して 回 転 振 動 を させ て も,そ の 相 等 単 振 り子 の 長 さが 同 じで あ り,周 期 も等 し くな る こ とが わ か る.こ の 関 係 に あ る点O'をO の振 動 の 中 心 とい う.式(3・36)で,

で,dl/dh＝-kG2/h2+1=0と

お く

と ，h=kG で,ｌ

は 最 小 値 を と る こ とが わ か る .こ

の と き 周 期 は 最 小 と な り,

と な る.

[２]一

様 な 円板 の 運 動

傾 角 θの斜 面 の傾 斜線 に沿 っ て す べ る こ とな く こ ろが り落 ち る一 様 な 円板(質

図3-15  斜 面 を こ ろが る円 板 の運 動

量 Ｍ,半

径 ａ)の運 動(平 面 運 動 の例)を 考 え る.

  円板 に働 く力 は,重 力Mg,斜

面 との接 点 で の摩 擦 力 Ｆ と垂 直 抗 力 Ｒ の ３力 で

あ る.円 板 の 重 心 を通 り斜 面 に 平 行 に ｘ軸,斜 面 に垂 直 な 方 向 に ｙ軸 を とる.重 心 の 座 標 を(x,y)と

す る と,並 進 運 動 の 方 程 式 は, (3・37)

(3・38)

と な る.ま た,円 板 の 中 心 軸 に関 す る慣 性 モ ー メ ン ト1/2Ma2を 用 い て 回転 運 動 の 方 程 式 は, (3・39)

1/2Ma2d/dt＝aF と な る.

図3-15の

よ う な 座 標 で は,y=0で

運 動 に 対 し て こ の 値 は 変 わ ら な い か ら,

∴   R=Mgcos 

  ま た,円

θ

(3・40)

板 と 斜 面 の 接 触 点 で す べ りが 起 き な い か ら,円

と,x=aφ

の 関 係 が 成 り立 つ.dφ/dt=ω

板 の 回 転 角 を φ とす る

で あ る か ら,

(3・41)

式(3・41)を

用 い て,式(3・37)と

式(3・39)よ

り,Ｆ

を 消 去 す る と,

(3・42)

式(3・42)を 式(3・37)に F=Mg/3 

代 入 し て,

sin  θ

(3・43)

と な る.接 触 点 が す べ ら な い た め に は,式(3・43)で 力 μRよ

り小 さ くな け れ ば な ら な い か ら,Ｒ

に 式(3・40)を

∴1/3tanθ

の条 件 が 必 要 で あ る.

与 え られ る Ｆ が 最 大 静 止 摩 擦

≦

μ

用 い て, (3・44)

[３]  撃 力 に よ る剛 体 の 運 動   剛 体 に 力 積 Ｉ(そ のx,y成

分Ix, Iy)を も つ 撃 力 が 働 く と き,撃

お い て 運 動 量 の 変 化 を 生 ず る.撃

力 の 働 く前 後 で,質

力 の 働 く前 後 に

量 中 心 の 速 度 の ｘ,ｙ成 分 を

そ れ ぞ れ υx,  υy,お よ び υx',  υy'と し,撃

力 の ｘ,  ｙ 成 分 を Ｘ, Ｙ,撃

間 を ｔか らt'と

と し て,

す れ ば,剛

体 の質 量 を Ｍ

力 の 働 く時

(3・45)

また,撃 力 の働 く前 後 で の 剛体 の 角 速 度 を それ ぞ れ ω,ω'と表 す と,

(3・46)

とな る.式(3・45)と 式(3・46)が 撃 力 に よ る 剛 体 の平 面 運 動 を表 す 方程 式 で あ る.   い ま,図3-16に

示 す よ う に,x-y平

面 上 に静 止 して い る質 量 Ｍ の 剛 体 上 の １

点 Ｏ に力 積Ixの 撃 力 を加 え る場 合 を 考 え て み る.

図3-16  剛 体 に撃 力 が作 用 す る場 合

質 量 中心 Ｇ は撃 力 の 方 向 に υxの速 さ を もつ こ とに な るが,そ         Mdυx=Xdt

の 大 き さ は,

∴Mυx=Ix

と な る.一

(3・47)

方,撃

力 は Ｇ の ま わ り に モ ー メ ン ト を も つ の で,そ

度 を ω と し,OG=h, 

Ｇ の ま わ り の 慣 性 モ ー メ ン ト をIGと

の 結 果 生 じ る角 速

す る と,

∴    IGω=Ixh

(3・48)

と な る.式(3・47),式(3・48)か

ら,ω

を 求 め る と,IG=MkG2で, (3・49)

と な る.kGは OGの

Ｇ の ま わ り の 回 転 半 径 で あ る.

延 長 上 に 点O'を

選 び,O'G=h'と

す れ ば,点O'の

速 度 υx'は (3・50)

と な る.し た が っ て,も れ ば,点O'の

し点O'がh'＝

ｋG2/hの関 係 を満 足 す る よ う に選 ば れ て い

速 度 は ０ とな る.す な わ ち,点O'は

撃 力 を受 け た瞬 間 の 回 転 の 中

心 とな り,そ こ に は撃 力 の作 用 が 及 ば ない こ とに な る ので,点O'を 呼 ぶ.こ

のO'と

打 撃の中心 と

Ｏ の 関 係 は,実 体 振 り子 に お け る振 動 の 中 心 と支 点 との 関 係 に

一 致 して い る.

[４]  こ まの 運 動   図3-17(a)の

よ う に,質 量 Ｍ で 回 転 軸OPに

関 して 回 転 対 祢 な こ まが,回 転

軸 が 鉛 直 方 向 と角 度 θ だ け傾 い て 角 速 度 ω で 回 転 して い る場 合 を考 え る.   こ ま に働 く力 は,重 心 Ｇ に お け る重 力Mgと,軸 あ る.こ ま の支 点 Ｏ がx-y水

の 支 点 Ｏ に お け る抗 力 Ｒ で

平 面 上 で動 か ない た め に は,抗 力 Ｒ の 水 平 成 分Rn

(摩擦 力)は 支 点 を水 平 面 円 で 動 か そ う とす る力 とつ り合 っ て お り,Ｒ の垂 直 成 分 RLは,そ

の大 き さがMgと

等 し く,Mgと

偶 力 を形 成 す る.ゆ え に,こ まに働 く

偶 力 の モ ー メ ン トは, N=rG 

×  Mg

(3・51)

(a)

(b) 図3-17 

と な る.rGは

こま の歳差 運 動

Ｏ を 原 点 と す る 重 心 の 位 置 ベ ク トル で あ る.

  式(3・51)は,Ｎ

の 方 向 がrGに

角 運 動 量 Ｌ の 方 向 はrGの

dL/ dt=N, 

も ｇ に も垂 直 で あ る こ と を 示 す.一

方,こ

まの

方 向 と 一 致 し て お り, (3・52)

L=Iω

に よ り,Ｌ は Ｎ の た め鉛 直 軸 の ま わ りを回 転 す る こ と に な る.Ｉ は こ ま の慣 性 モ ー メ ン トで あ る.こ の場 合,Ｎ

は重 力Mgの

方 向 に は成 分 を も た ず, Ｌ の先 端 の

動 く方 向(回 転 軸 の 先 端 が まわ る方 向)は 常 に水 平 に保 た れ る.こ れ が,こ まが倒 れ ず に鉛 直 軸 の まわ りに 円 錐 を描 き続 け る理 由 で あ る.こ の運 動 を歳 差 運 動 とい う.   歳 差 運 動 の 角 速 度 を ω'を求 め て み よ う. ｜N｜=MgγG 

sin  θ

Ｌ の 回 転 を 示 す 図3・17(b)か ｜dL｜=Lsinθ

(3・53)

ら,

・dφ=｜Ndt 

｜=MgrG 

sinθ

・dt

(3・54)

と な る.ω'は とが わ か る.

ω に 反 比 例 し て お り,こ

ま の 回 転 が お そ く な る と ω'は 速 く な る こ

演 習 問 題[３] 1.一

様 な 重 力 が 作 用 す る と き,剛 体 に働 く重 力 の 合 力 の 着 力 点 は,質 量 中 心 に な る こ

  と を 示 せ.

2.半

径 γ1,γ2,質量m1, m2の

２つ の 一 様 な球 が,滑

  で 連 結 さ れ て ふ れ あ っ て い る.つ

3.半

らか な 釘 に か け られ た 長 さ ｌの 糸

り合 い の位 置 と そ の と き の 糸 の 張 力 を 求 め よ.

径 γ の 滑 らか な 内 壁 を も っ た 半 球 殼 が ふ ち を 上 方 に 水 平 に し て 固 定 さ れ て い る.

  これ に 一 様 な ま っ す ぐな 棒(長 さ2l,重   る.棒

さW)が,図3-18の

よ うに よ りかか っ て い

の つ り合 い の位 置 と棒 の 受 け る抗 力 を 求 め よ.

図3-18

4.質

量 Ｍ,幅

ａ,奥 行bの

一 様 な 長 方 形 状 の 板 が あ る.こ の 板 の 重 心 を通 り,板 の 面

  に垂 直 な 軸 に 関 す る慣 性 モ ー メ ン トを 求 め よ.

5.一

様 な 円 柱(半 径 γ,質 量 Ｍ)の 中 心 線 を 水 平 に し て 支 え,表

  固 定 し,他 端 に お も り(質 量 ｍ)を 結 ぶ.円   せ る 場 合,お

面 に軽 い糸 の 一端 を

柱 に あ る 角 速 度 を 与 え て 糸 を 巻 き上 げ さ

も りの 初 速 度 を υ0とす る と き,お

も りの 静 止 す る ま で に上 が っ た 距 離

  は い く らか.

6.半

径 ａの 一 様 な 円板 が,摩

擦 係 数 μ の 水 平 台 上 に,水

  心 を通 る 鉛 直 な 軸 の まわ り に 回 転 す る場 合,は   ま る まで の 時 間 を求 め よ.

平 に 置 か れ て あ り,板

の中

じめ の 角 速 度 を ω0と し て,回 転 が 止

固体 の弾性

第 ４章

  こ こ ま で の 章 で は,物 た.す

体 に 外 力 が 加 わ っ た と き の 運 動 を 主 に 取 り扱 っ て き

な わ ち,質 点 に お い て は位 置 の 変 化,剛

化 が生 じ る.と

こ ろが,一

体 に お い て は位 置 と姿 勢 の 変

般 の物 体 は 完 全 な 剛 体 で は な く,外 力 に よ っ て 位

置 の変 化 が な くて も形 の 変 化 が 生 じ る場 合 が 多 い.こ 外 力 を取 り去 っ た と き元 に も ど る場 合,こ

の形 の 変 化(変 形)が,

の 性 質 を 弾 性 とい う.こ れ に 対 し,

外 力 を取 り去 っ て も変 形 が そ の ま ま 残 っ て し ま う性 質 を塑 性 と い う.こ

れら

の 性 質 は,厳 密 に は物 質 を構 成 す る原 子 ・ 分 子 の 結 合 状 態 に まで 立 ち 入 っ て 説 明 され るべ き こ とで あ る が,こ

こで は,マ

ク ロ な 立 場 か ら,物 質 を連 続 し

た もの と して 取 り扱 っ て い く こ と に す る.

4.1 4・

1

固体 の変形 の様子

  固体 を引 っ張 る と力 に 応 じて徐 々 に伸 び,さ な っ て切 れ て し ま う.こ

ら に引 っ張 り続 け る とや が て細 く

の よ うな様 子 を模 式 的 に描 い た の が 図4-1で

あ る.

  図 を詳 し く見 る と,ま ず Ｏ か ら Ａ ま で は伸 び と力 との 関 係 が 直 線 的 で あ る こ とが わ か る.こ の範 囲 を弾 性 領 域 と い い,力 っ て変 形 を残 さ な い.Ａ

を取 り去 る と伸 び は完 全 に元 に も ど

点 を弾 性 限界 とい う.こ の範 囲 まで の 伸 び(変 形)と 力 と

の比 例 関 係 の こ とを フ ッ クの 法 則 とい う.弾 性 限 界 を超 え て 引 き伸 ば す と,伸 び と力 とは比 例 しな くな り,例 え ばA'点 り,OO'の

経路で もど

変 形 が 残 っ て し ま う.こ れ を残 留 ひ ず み とい う.

  再 び 力 を加 え る と,今 度 はO'A'に 則 が成 り立 つ.し な く,A"の

で 力 を 取 り去 っ て もA'O'の

沿 っ て伸 び,こ の状 態 で 新 た な フ ッ ク の 法

か しな が ら,こ の関 係 は ど こ ま で伸 ば して も成 り立 つ わ けで は

ピー ク位 置 を超 え る と,力 を弱 め て も際 限 な く伸 び 続 け て あ た か も

図4-1固

体 の 変形 の様 子

液 体 の よ うに 振 舞 う こ とに な る.こ のA"を

降 伏 点 とい う.さ ら に伸 ば す と,Ｂ

点 で切 れ て し ま う.こ れ を破 断 点 と い う.   以 上,主

と して 金 属 の伸 び と力 の 関 係 に つ い て 一 般 的傾 向 を示 した が,実 際 は,

物 質 に よ っ て この 曲 線 の形 は か な り違 い,特 雑 で あ る.例 え ば,ガ

に 弾 性 限 界 を超 えて か らの挙 動 は複

ラ ス の よ うに 固 くて も ろい 物 質 で は,弾 性 限 界 を超 えた と

た ん に い き な り破 壊 して し ま う し,ゴ ム の よ うな 物 質 で は,切 れ る ま で 引 き伸 し て も弾 性 限 界 が 認 め られ な い.一 方,圧

縮 す る場 合 も弾 性 限界 内 で は 同様 の傾 向

を示 す が,こ れ を超 えて も引 っ張 りの よ う な明 確 な 破 壊 は起 こ ら な い.こ の ほ か, 同 一 物 質 に繰 り返 し変形 を与 え る と弾 性 が 失 わ れ る弾 性 疲 労 とい う現 象 が あ り, 機 械 部 品 の 強 度 寿 命 等 の 設 計 に お い て は,重 要 な 要 素 とな る.   これ らの 現 象 を深 く理 解 す る に は,本 来,物 原 子 の配 列 の 仕 方(結 晶構 造),力

質 を構 成 す る原 子 ど う しの 結 合 力,

が 加 わ っ た と きの配 列 のず れ や乱 れ(格 子 欠 陥)

等 の知 識 を総 合 し て 当 た らな けれ ば な らな い.

4.2   [１]応

力 と変形 の数 量 的取 り扱 い 力 とひ ず み

  ゴ ム を両 手 で 引 き伸 ば し た状 態 を考 え て み よ う.力 が つ り合 っ て い れ ば,ゴ

ム

は左 右 に 動 く こ と な く静 止 して い る.し か し,ゴ ム の 内 部 を考 えて み る と,引 き 伸 ば さ れ た こ とに よ る緊 張 状 態 が 生 じて い る はず で あ る.試 み に,ゴ ム の一 部 に 力 と直 角 な切 れ 目 をカ ミ ソ リの 刃 で 入 れ て み る と,た ち ま ち両 側 に裂 け 目が 広 が って い くで あ ろ う.こ れ は,外 力 に よ って 引 き伸 ば され た状 態 に お い て,ゴ 内部 に,切

ムの

り口 を境 に両 側 に引 き離 そ う とす る力 が 生 じて い た こ と を示 す.こ

の

よ う に,弾 性 体 に外 力 を加 え て変 形 させ た と き,内 部 に考 え た 任 意 の 断 面 の 両 側 に生 じて,こ

れ を引 き離 した り,逆 に押 し付 け た り,あ る い は ず ら した りす る よ

うに働 く力 を単 位 面 積 当 た りで 考 え,こ れ を応 力 とい う.   簡 単 な例 で,断 面 の 取 り方 と応 力 との関 係 を考 え て み る.図4-2に 示 す よ うに, 一 様 な棒 を力 Ｆ で 引 っ 張 っ た と き ,棒 は変 形 し,元 に 戻 ろ う とす る応 力 を 生 じ

図4-2  断 面 の取 り方 と応 力

る.変 形 後 の 力 の つ り合 い は,外 力 Ｆ に対 して,そ の 方 向 の 全 応 力 に 等 し い.力 の 方 向 に直 角 な 面 積 Ｓ の 断面(ａ)に お け る応 力 は, (4・1)

と定 義 さ れ る.   次 に,力 に 直 角 な断 面 は に対 し て 角 θだ け傾 い た 面(ｂ)に お け る 応 力 を考 え て み る.ま ず,力

Ｆ の 方 向 で考 え る と,断 面 積 が 傾 斜 は によ り増 し て い る の で,応 力 は

小 さ くな り, (4・2)

とな る.こ の応 力 を 断 面 に 垂 直 な 成 分(法 線 応 力)pnと 平 行 な 成 分(接 線 応 力)pt に分 け て考 え る と,こ れ ら は そ れ ぞ れ

(4・3)

とな り,こ の 断 面 に対 して は,こ の ひ ず み(変 形 の度 合)に 応 じた 応 力 が 現 れ て い る こ とに な る.こ の よ う に応 力 は,同

じ点 に お い て も面 の取 り方 に よ って 異 な っ

て く るの で,材 料 の 向 き は によ っ て 強 度 に違 い の あ る よ うな場 合(異 方 性 とい う), 力 の働 く方 向 と材 料 の 向 き の選 択 は,重 要 な 問 題 とな っ て くる.   法線 応 力 は,力 が 引 っ張 り力 で あ る と き,こ れ を張 力 とい い,圧 縮 力 で あ る と き圧 力 と い う.こ れ ら は それ ぞ れ,伸

び お よび 縮 み の変 形 に よ っ て生 じ て く る.

  断面 に 沿 っ てず れ変 形 が 起 っ て い る場 合 は,面 に沿 っ て接 線 応 力 が 現 れ る.金 属 な ど を引 き伸 ば した とき,結 晶 内 の原 子 配 列 の 各 所 に この ず れ 変 形 が 起 こ って い る こ とが,電 子 顕 微 鏡 観 察 に よ り確 か め られ て い る.

  [２]弾

性 定 数

  外 力 に よっ て物 体 が 変 形 した 場 合,内 部 に生 じた ひ ず み と応 力 の 関 係 を示 す 弾 性 定 数 とい う量 が 定 義 され て い る.い

ま,変 形 は によ り弾 性 体 に ひ ず み εが 生 じと

そ の 結 果 応 力 ｐが 生 じた とす る と,フ

ッ ク の 法 則 が 成 り立 つ 弾 性 限 界 内 に お い

て,一 般 に, (4・4)

の 関係 が 認 め られ,比 例 定 数 ｃ を弾 性 定 数 と い う.ｐ は単 位 面 積 当 た りの 力 で あ り,ε は元 の 寸 法 に対 す る変 形 の 割 合(以 後,本 書 で は,こ れ を ひず み と呼 ぶ こ と にす る.)で 表 さ れ るの で,こ の 値 ｃは物 体 の形 に よ ら な い値 とな り,物 質 に固 有 の量(物 質 定 数 とい う)と な る.   弾 性 定 数 に は,力 の加 わ り方 と変 形 の し方 は によ り,次 の ４種 類 の もの が 定 義 さ れ て い る.   (１)  ヤ ン グ 率 ―

張 力(ま た は圧 力)と 伸 び(縮 み)と の 関 係     長 さ ｌ,断

面 積 Ｓ の棒 の軸 方 向 に,力 Ｆ を加 え て 引 っ張 った と ころ,そ の長 さが ⊿lだ け伸 び た とす る と,応 力(張 力)はF/S,ひ

ず み は ⊿l/lで あ るか ら,式(4・4)の 関 係 か

ら,比 例 定 数 を Ｅ と して, F

/S＝E ⊿l/l

(4・5)

の 関係 が 成 立 し,

(4・6)

をヤ ン グ率 とい う.圧 縮 の 場 合 も値 は ほ ぼ等 しい こ とが,実 験 的 に確 か め られ て い る.   (２)ポ

ア ッ ソ ン比 ―

力 の 方 向 とそ れ に直 角 な 方 向 との ひ ず み の比    こ の

弾 性 定 数 は,式(4・4)の 定 義 とは趣 を異 にす る が,一 般 に物 体 を 引 き伸 ばす と細 く な り,逆 に 圧 縮 す る と太 くな る とい う経 験 則 を数 量 化 した も ので あ る.   い ま,力 の 方 向 の ひ ず み を ε,そ れ と直 角 方 向 の ひ ず み を ε'とす る と,そ の比 σ=-ε'/ε

(4・7)

を ポ ア ッ ソ ン比 とい う.負 号 は,ε が 正(伸 び)な らとε'は必 ず 負(縮 み)と な り,逆 符 号 で あ る た め,σ の値 を正 に す るた め に つ けて あ る.   変 形 に際 して,体 積 変 化 が な い とす れ ば,σ の 値 は1/2を 超 え る こ とが な い こ とは容 易 に証 明 さ れ る.

(３)体 積弾性率 ―

一様 な圧力 に対 す る体積 変化  風船 を水中 に沈 めた場

合 の よ う に,一 様 な物 体(等 方 性 物 体 とい う)に す べ て の 方 向 か ら一 様 な 圧 力 が 加 わ る と,物 体 は圧 縮 さ れ て相 似 的 に体 積 が 減 少 す る.   圧 力 をpと ⊿V/Vと

し,は

じ め の 体 積 Ｖ が ⊿Vだ

け 変 化 し た と す る と,ひ ず み は

な るか ら,式(4・4)の 関 係 か ら,比 例 定 数 を ｋ と して, (4・8)

と な り,

(4・9)

を体 積 弾 性 率 とい う.こ の逆 数1/kを 圧 縮 率 とい う. 負 号 は,圧 力 が加 わ っ た と き体 積 は減 少 す るた め,ｋ の値 を正 にす る た め に つ けて あ る. (４)

剛性 率 ―― ず れ 応 力 とず れ 変 形 との 関 係    図4-3に

の逆 向 きの応 力pに

示 す よ う に,一 対

よ っ て 長 方 形 が ゆ が ん で 平 行 四辺 形 に な る と き,こ れ を ず れ

変 形 とい い,角 度 θを ず れ の 角 とい う.式(4・4)に お け る比 例 定 数 を ｎ とお け ば, p=nθ

(4・10)

の関 係 が 成 り立 ち, n=p/θ

(4・11)

図4-3  ずれ 変 形

を剛性 率 とい う.

  [３]弾

性 定 数 ど う しの 関 係

  以上,４ つ の弾 性 定 数 は,互 い に無 関 係 な もの で な く,深 く関連 し て い る.例 え ば,ヤ

ン グ率 は,張 力 また は圧 力 が 長 さ 方 向 の ひ ず み に対 して ど の よ う に変 わ る

か を示 す 弾 性 定 数 で あ るが,そ

の 際,長

さ以 外 の ひ ず み が 全 くな い こ と は あ り得

な い で あ ろ う.ま た,体 積 弾 性 率 は,一 様 な圧 力 変 化 が体 積 収 縮 に対 し どの よ う に変 わ るか を示 す もの で あ るが,こ

の圧 力 を各 方 向 で の成 分 に分 けて 考 え れ ば,

それ ぞれ の 方 向 で の 圧 力 変 化 は そ の 方 向 で の ひず み か らで て お り,全 体 と して 重 ね 合 わ せ た もの と考 え る こ と もで きる.次

に,こ れ ら ４つ の 弾 性 定 数 の関 係 を導

い て み よ う.   十 分 小 さ い弾 性 変 形 に お い て は,い

くつ か の 力 に よ る ひ ず み を単 純 に加 算 す る

こ とが で き る とい う,い わ ゆ る重 ね 合 わ せ の 原 理 が 成 り立 つ こ とが 前 提 とな る.   い ま,直 方 体 を と り,相 対 す る ３組 の面 に そ れ ぞ れ 圧 力pχ,py,pzが,図4-4の よ うに加 わ った とき,ど の よ う な ひ ず み が 生 じる か を考 え て み る.重 ね 合 わ せ が 成 り立 つ か ら,こ の ひず み は,そ れ ぞ れ の方 向 の単 純 な圧 縮 に よ る ひ ず み が 順 次 ３回加 わ っ た もの と考 えれ ば よい.ま ず,x方

向 の 圧 力pχ が 加 わ っ た と きの ひ ず

図4-4弾

性変形 の

重 ね合 わ せ

み を 考 え る と,ｘ

方 向 に は ヤ ン グ 率 Ｅ で 決 ま る 単 位 長 さ 当 た り の 縮 み εxxが,  ｙ

方 向,ｚ

方 向 に は,ポ

じ る.す

な わ ち,

ア ッ ソ ン 比 σ で 決 ま る 単 位 長 さ 当 た り の 伸 び εχy,ε χzが 生

(4・12)

py,  pzが 作 用 し た と き も 同 様 で,３

方 向 の 力 に よ る ひ ず み を 加 え 合 わ せ る と, (4・13)

他 の 方 向 の ひ ず み も同 様 に, (4・14)

と表 す こ とが で き る.   も し,３ 方 向 の 圧 力 が す べ て等 しい とす れ ば,ひ

ず み もす べ て等 し い は ず な の

で， p=pχ=py=pz 

と お け ば,ひ

, 

(4・15)

ε=ε χ=εy=εz

ず み ε は す べ て の 方 向 に, (4・16)

と書 け る. 体 積 変 化 の 割 合 は,ε が 非 常 に小 さい とし て,ε の二 次 以 上 を省 略 す る と, (4・17)

こ れ が-⊿V/Vに

当 た る わ け だ か ら,体

積 弾 性 率 の 式(4・9)に

代 入 す る と,

(4・18)

  これ で,体

積 弾 性 率 が,ヤ

  さ ら に,こ

の 式 の 分 母 の(1-2σ)に

も 正 で な け れ ば な ら ず,1-2σ   こ の よ う な 関 係 は,他 て は,

ン グ 率 と ポ ア ッ ソ ン比 で 表 せ た こ と にな る.

＞0よ

着 目 す る と,ｋ

も Ｅ も正 で あ る か ら,こ

れ

り σ＜1/2が 導 か れ る.

の 弾 性 定 数 に対 し て も求 め ら れ,例

え ば,剛

性 率 につ い

(4・19)

の関 係 が 導 か れ る.し た が って,４ つ の 弾 性 定 数 の う ち ２つ が わ か れ ば,他 の ２つ は計 算 で求 め る こ とが 原理 的 に は可 能 で あ る.   表4-1に,い

ろ い ろ な物 質 の 弾 性 定 数 を い くつ か あ げ,測 定 値 と他 の弾 性 定 数

か ら求 め た計 算 値 と を比 較 して 示 す.一 般 に,測 定 値 と計 算値 は非 常 に良 い一 致 を示 して い る こ とが わ か る. 表4-1い

ろい ろな 物 質 の 弾 性 定 数 お よ び計 算 値 との比 較

(測 定 値 は理 科 年 表1991年

版 に よ る)

4・3 4・

3

  再 度,ゴ

弾 性 のエ ネル ギー ム を引 き伸 ば す 場 合 を考 え て み よ う.ゴ ム が 引 き伸 ば され る と,そ れ

に対 して 内 部 応 力 が 生 じ る.し た が って,引

き伸 ばす た め に は,こ

て力 を加 え な けれ ば な らな い.す な わ ち,こ

こで 仕 事 が な さ れ る こ とに な る.そ

し て,こ の 仕 事 は,引

の応 力 に抗 し

き伸 ば さ れ た ゴム の 内部 に 蓄 え られ て い く.こ の よ う に,

弾 性 体 を変 形 させ る こ とで 弾 性 体 内 部 に蓄 え られ る仕 事 を弾 性 エ ネ ル ギ ー とい う.   簡 単 な例 で,弾 性 エ ネ ル ギ ー を計 算 し て み よ う.長 さ ｌ,断 面 積 Ｓ の一 様 な棒 に力 Ｆ を加 え て 引 き伸 ば した と き,伸 び が ｘ だ っ た とす る と,ヤ ン グ 率 を Ｅ と し て, (4・20)

が 成 り立 つ.こ ⊿Wを

の 状 態 か ら,さ

ら に微 小 な 長 さ ⊿xだ け引 き伸 ば す と き の 仕 事

考 えて み る.こ の わ ず か な 伸 び の間,力

Ｆ は ほ とん ど一 定 で あ る とみ な

して よ い か ら, (4・21)

し たが っ て,伸 び が ０か ら ｘ まで の間 に外 力 が なす 仕 事 Ｗ は,積 分 し て,

(4・22)

と な り,こ

れ だ け の エ ネ ル ギ ー が 棒 に 蓄 え ら れ た こ と に な る.

  さ ら に 一 般 化 し て,変

形 し た 状 態 に あ る弾 性 体 の 単 位 体 積 当 た り に 蓄 え ら れ る

エ ネ ル ギ ー の 量 を 求 め て み よ う.上

の 例 に お い て,ひ

ず み は ε=x/lと

な る か ら,

単 位 体 積 当 た り の エ ネ ル ギ ー を Ｗ と す る と,

(4・23)

ま た,Eε

は 応 力 に 当 た る か ら,こ

  圧 縮 の 場 合 に は,ｐ,ε な る.す

な わ ち,引

の 符 号 は 共 に 逆 にな る が,エ

き 伸 ば す 場 合 も,圧

も 蓄 え ら れ る こ と に な り,変

4・4

れ を ｐ と す る と,上

ネ ル ギ ー と して は結 局 正 と

縮 す る 場 合 も,弾

形 が も ど る と き は,外

式 は1/2pε と も書 け る.

性 エ ネ ル ギ ー はい ず れ

部 に 仕 事 を す る こ と が で き る.

たわ み とね じれ

  弾 性 体 の変 形 は,基 本 的 に は 前 に定 義 した ４つ の 弾性 定 数 で取 り扱 う こ とが で き るが,現 実 に観 察 され る変 形 は,見 か け上 も っ と複 雑 な場 合 が あ る.こ こ で は, そ の よ う な場 合 の代 表 的 な 例 と して,た わ み とね じれ を取 り上 げ,こ れ らが ,基 本 的 な 弾性 定 数 に よっ て どの よ うに 説 明 され るの か を示 そ う.

[１]た

わ

み

  一 様 な棒 の 両 端 に力 を加 えて 曲 げ る と,棒 は ほ ぼ 円弧 を描 い て たわ む.こ

のと

き棒 は弧 の外 側 で は伸 び,内 側 で は縮 む こ とに な るか ら,そ の 中 間 に は必 ず 伸 び 縮 み し な い部 分 が で き る.こ の部 分 を 中立 層 とい う.一 様 な棒 で あ れ ば,中 立 層 は棒 の 中 心 軸 を 含 む.

図4-5棒

のたわみ

  図4-5に

示 す よ う に,中 立 層 の 曲 率 半 径 を Ｒ と し,棒 の軸 方 向 に ｙ軸,曲 率 中

心 か らの 延 長 方 向 にｚ軸 お よ び これ ら に垂 直 な ｘ軸 を 考 え る.す な わ ち,ｚ 軸, ｘ 軸 は棒 の 軸 方 向 に垂 直 な断 面 内 に あ り,ま た 中 立 層 はx-y面 曲率 中 心 か ら角 θ で切 り と られ る ２面P,Qを 面 間 の長 さ はRθ,中

に あ る と して よ い.

考 え る と,中 立 層 上 に お け るPQ

立 層 か ら ｚだ け外 側 部 分 で の 長 さ は(R+z)θ

で あ る か ら,

この 部 分 で の伸 び の割 合 は, (4・24)

とな る.ヤ ン グ率 を Ｅ とす る と,こ れ だ け の ひ ず み に対 応 す る張 力 は, (4・25)

で あ り,中 立 層 か らの距 離 に比 例 す る こ とが わ か る.中 立 層 か ら ｚの 位 置 に,幅 dzの

ｘ軸 に平 行 な帯 状 の 部 分 を考 え,こ の面 積 をdSと

す る と,こ の 部 分 で は, (4・26)

の全 張 力 が 棒 の軸 方 向 に働 い て い る こ とに な り,ｘ 軸 に関 す る この 力 の モ ー メ ン トは, (4・27)

と な る.こ れ を 断 面 全 体 につ い て積 分 す れ ば (4・28)

た だ し,I=∫z2dSで

あ る.

(4・29)

  す な わ ち,Ｉ は,密 度 を １ とした と きの ｘ軸 に関 す る 断 面 の 慣 性 モ ー メ ン トに 相 当 す る こ と に な る.こ の Ｎ を曲 げ モ ー メ ン ト,Ｉ を 断 面 二 次 モ ー メ ン トとい う.慣 性 モ ー メ ン トは形 状 因 子 で あ るが,慣 性 モ ー メ ン トが 大 き い と き 回転 させ に くいの と同 じ よ う に,こ れ が 大 きい場 合 は曲 げ に くい とい う こ とに な る.し た が っ て,同

じ面 積 の 断 面 で も,で

きる だ け断 面 二 次 モ ー メ ン トを大 き くす る よ う

な形 状 にす る ほ ど曲 げ に対 して 強 くな る.例

え ば,丸 棒 よ りパ イ プ に した ほ うが

同 じ量 の 材 料 を使 っ て も強 度 が 増 す.建 設 用 の 鋼 材 を Ｈ 型 断 面 等 に成 型 し て あ るの も,こ の 理 由 に よ る.

問1.円

形 断 面 の 断 面 二 次 モ ー メ ン トを計 算 して み よ.幅

ａ,厚 さ ｂの 長 方 形 断 面 で

は ど う か.

  次 に,図4-6の

よ うに,長

さ ｌの棒 の先 端 に Ｗ の 重 さ の お も りを つ る し た と

き,ど れ だ け下 る か を計 算 し て み よ う.固 定 端 か ら水 平 方 向 に ｘ の 距 離 に あ る断 面 を考 え る と,こ の 面 は静 止 し て い るの で あ る か ら,曲 げ モ ー メ ン ト Ｎ と,荷 重 に よ る モ ー メ ン ト(l-x)Wと

が つ り合 って い な け れ ば な ら な い.す

N=EI/R=(l-x)W

な わ ち, (4・30)

た だ し,0≦x≦l

が 成 り立 ち,xがlに

近 づ くに つ れ て 曲 率 半 径 Ｒ は増 大 す る こ とが わ か る.鉛 直

上 向 き に ｙ軸 を と り,棒 の 中立 層 の 形 をy=f(x)と

い う関 数 形 で 表 す とす る と,

図4-6  お も りをつ る した ときの 先端 の 降下

曲 率 半 径 Ｒ は微 分 幾 何 学 の公 式 か ら次 の よ う に 表 さ れ,さ な い とす れ ば(弾 性 限 界 内 の 変 形 を考 え て い る た め),次

らに たわ み が ひ ど く

の よ う に近 似 され る.

(4・31)

こ の 結 果 を 式(4・30)に

代 入 し て,図4-6に

お け る 符 号 を 考 慮 す れ ば, (4・32)

とな る.こ れ を積 分 す れ ば,棒 の た わ み の形 状 が 求 ま る こ と に な る. ま ず,一

度 積 分 し て, (4・33)

積 分 定数 ｃは,固 定 端 に お い て棒 が 水 平 で あ る こ と(x=0でdy/dx=0)を 条 件 と す れ ば,０

と な る.さ

境界

ら に 積 分 す る と, (4・34)

  固 定 端 が 座 標 原 点 で あ る こ と(x=0でy=0)を な る.し

た が っ て,先

境 界 条 件 と す れ ばc'=0と

端 に お け る 棒 の 下 降 δ は,上

式 でx=lと

おいた ときの ｙ

の 値 に 等 し い か ら, (4・35)

と な る.

問2.棒

の 両 端 を 支 え,中

[２]ね

じ

点 に荷 重 を か け た と き の 中 点 の 下 降 を 求 め よ.

れ

  半 径 ａ,長

さ ｌの 円 柱 の 一 端 を 固 定 し,他

を 図4-7(a)に

示 す.円

端 を角 度 θ だ け ね じ っ た と きの様 子

柱 の 軸 か ら γ の と こ ろ に 厚 さdγ

筒 が 図 の よ う に 変 形 し た と 考 え られ,さ

の 層 を 考 え る と,こ

ら に こ れ を 切 り 開 い て,図4-7(b)の

の 円 よう

(

(ｂ)

ａ)

図4-7  円柱 の ね じれ

に広 げ て み る と,一 枚 の 板 に,単 純 な ず れ 変 形 が 生 じ た もの と考 え る こ とが きる . したが っ て,ね 図4-7か

ら,ず

じれ は,剛 性 率 に よ っ て表 現 さ れ る もの と推 測 され る. れ の 角 φ とね じ れ 角 θ と はlφ=γ

φ=γ/lθ

θ で,

(4・36)

の 関 係 に あ る こ とが わ か り,円 筒 層 の上 面 に は,剛 性 率 を ｎ とす る と, p=nφ=nγθ/l

(4・37)

の ず れ応 力 が 働 い て い る こ とに な る.   した が って,断 面 積dSに い て い る.こ

は, pdSの

力 が 半径 γ と直 角 に 接 線 方 向 に 沿 っ て働

の力 の 中 心 軸 に対 す るモ ー メ ン トは γpdSで あ り,円 断 面 全 部 にわ

た っ て積 分 す る と,中 心 軸 に対 し,こ の 断 面 に働 く力 の モ ー メ ン トが 得 られ る. (4・38)

た だ し,

で あ る.

  Ｉ は密 度 を １と した と きの 断 面 の軸 に対 す る慣 性 モ ー メ ン トに 当 た る もの で, 一 般 に断 面形 状 に よ っ て異 な り,こ の 値 が 大 きい と き,ね じれ に くい こ とに な る. 同 じ量 の材 料 を使 う場 合,当

然,円

柱 よ り同筒 の ほ うが 強 い こ と に な り,た わ み

の 場 合 と同様 の 結 果 を得 る.円 柱 の 場 合,dS=2π

γdγで あ る こ とか ら,Ｉ の 値 を

具 体 的 に計 算 す る と, (4・39) と な り,力

の モ ー メ ン ト は,式(4・38)か

ら,

(4・40)

と な る.す

な わ ち,力

の モ ー メ ン ト は,ね

じ れ 角 θ に 比 例 す る.μ

を ね じれ 定 数

と い う.

  こ こで,ね

じれ た棒 に蓄 え られ る弾 性 エ ネ ル ギ ー を計 算 し て み よ う.N=μ

の 関 係 に あ り,ね じれ に よ る仕 事 は,力 あ るが,力

の モ ー メ ン トＮ は,角

θ

の モ ー メ ン トに ね じれ 角 を掛 け た も の で

θの 関 数 で あ る の で,最 初 の 状 態 か ら角 θ だ

けね じ る に 要 す る仕 事 は,積 分 して, (4・41)

とな る.し たが っ て,こ の Ｗ に等 しい 弾性 エ ネ ル ギ ー が,ね じ ら れ た 弾 性 体 の 中 に蓄 え られ る.

問3.ね

じ れ の 定 数 が μ で あ る 針 金 に,軸 の 回 りの 慣 性 モ ー メ ン トが Ｉで あ るお も り

を つ る して ね じれ 振 動 させ た と き,そ

4・5塑

の 周 期 を 求 め よ.

性変 形

  これ まで は,外 力 に よ っ て 変 形 して も,外 力 を取 り去 れ ば元 に も ど る弾 性 変 形 の み に つ い て 考 察 し て きた.し か し,現 実 問 題 と して,物 体 は弾 性 変 形 の み を起 こす わ け で はな く,力 を取 り去 っ て もひ ず み が 残 る塑 性 変 形 も起 こす.こ

の塑 性

変 形 を起 こす性 質 自体 は必 ず し も不 都 合 な こ とで は な く,プ レ ス加 工 に よ る成 形 な ど は,こ の性 質 が な け れ ば不 可 能 で あ る.こ こ で は,数 量 的 取 り扱 い に は立 ち 入 らず,塑 性 変形 を ミク ロ な立 場 か ら考 察 して み よ う.   物 質 が 原 子 か ら構 成 され て い る こ とは良 く知 られ て い る.多

くの 固体 で は,原

子 の 配 列 に規 則 性 が あ り,こ の規 則 性 を基 本 と し て組 み 立 て られ た物 質 の状 態 を 結 晶 とい う.物 質 に 外 力 が 加 え られ て 変 形 が起 こ る場 合,ミ の配 列,す

ク ロ に見 る と,原 子

な わ ち 結 晶 格 子 に乱 れ が 生 じる こ と に な る.こ の 乱 れ が わ ず か で あ る

と,外 力 の 消 滅 と共 に 元 の安 定 な位 置 に回 復 す るが,あ

る程 度 以 上 の乱 れ が 生 じ

る と,原 子 の並 べ換 えに よ っ て新 た な 安 定 状 態 が 生 じ,こ れ が 塑 性 変 形 とな る. 一 定 の 間 隔 で 人 が 並 び ,順 々 にパ ー トナ ー を交 換 し なが ら踊 る フ ォー ク ダ ンス を 考 え て み よ う.パ ー トナ ー と離 れ よ う とす る状 態 は一 種 の不 安 定 状 態 で あ る が, 完 全 に次 の パ ー トナ ー と手 を結 び合 っ た状 態 は安 定 で あ り,し か も前 の 状 態 と は １人 分 食 い 違 って い る.こ う な れ ば,も う元 に も ど る理 由 は な く,新 しい 組 み合 わ せ で 安 定 し た とい え る.こ れ が 塑 性 変 形 の １つ の形 で あ り,塑 性 変 形 で は,こ の よ う な状 態 が 固 体 中 に 多数 生 じて い る と考 え られ る.   も う少 し詳 し く塑 性 変 形 に お け る結 晶格 子 の乱 れ につ い て説 明 し よ う.結 晶 は 規 則 的 な 原 子 の配 列 で あ るが,常

に完 全 で は な く,部 分 的 に乱 れ を もつ 場 合 が あ

る.例 え ば,格 子 点 に原 子 が存 在 しな か っ た り,他 の 原 子 が 置 き換 った り,あ る い は余 分 な 原 子 が 間 に浸 入 した り した場 合 の よ うに,格 子 点 付 近 の わ ず か な 範 囲 が 乱 れ る点 欠 陥,ま

た,規 則 的 な 乱 れ が あ る線 に沿 って 延 び て い る よ うな 線 欠 陥

(転位 な ど),さ ら に,格 子 面 の重 な りが あ る面 か らず れ て い る面 欠 陥(積 層 欠 陥 な ど)が あ る。外 力 が加 わ った 場 合,主

とし て,線 欠 陥,面 欠 陥 が 生 じ,格 子 の ず れ

が起 こ り,回 復 不 能 の ず れ が 固 定 され れ ば,塑 性 変 形 とな る.こ の よ うに,原 子 の配 列 の ず れ と し て塑 性 変 形 を理 解 す る こ とか ら,定 量 的 な 取 り扱 い の可 能 性 が 確 か な もの とな って くる の で あ る.

演 習 問 題[４] 1.断

面 が 半 径 ａの 円 で あ る ま っ す ぐ な棒 を Ｆ の力 で 引 っ張 る と き,棒

の軸 に垂 直 な

断 面 に お け る応 力 を 求 め よ.ま た,棒 の 中 に ど ん な 方 向 の 面 を 考 え た と き,そ の 面 に つ い て の 接 線 応 力 が 最 大 と な る か.そ

2.半

径5〔cm〕

の 最 大 接 線 応 力 は い く らか.

の 鋼 鉄 の 球 を 深 さ10〔km〕

縮 む か.た だ し,水 温 は 一 定 で,10〔m〕

の 深 海 底 に 沈 め た と き,半

ご とに 圧 力 が1〔atm〕(気

の と し,鋼 鉄 の 体 積 弾 性 率 を17.0×1010〔N/㎡

径 は どれ だ け

圧)ず つ 増 加 す る も

〕 と す る.

3.  円筒形 の 中空容 器 内 に圧 力 ｐで気 体 を封 じ込 ん だ.容 器 壁 に生 じ る引張 応力 を求 め よ.た だ し,肉 厚 を ｔ,内 径 を2γ と し,外 圧 は無 視 す る.

4.長

さ ｌ,密 度 ρ,ヤ ン グ率 Ｅ の 一 様 な 棒 を鉛 直 に つ り下 げ た.棒

の伸 び はい くら

か.

5.長

さ ｌ,半 径 ａの 針 金 で,質 量 Ｍ,半

せ た ら,周 期 Ｔ で あ っ た.針

径 Ｒ の 円板 の 中 心 を つ る し,ね

金 の 剛 性 率 を求 め よ.

じ れ振 動 さ

第 ５章

流体 の 運動

  液 体 と気 体 を総 称 し て 流 体 と呼 ぶ.水

や 空 気 が そ の代 表 で あ る.そ

れ らは

決 っ た 形 を も た な い.静

ず か の 力 を加 え た だ け で,容

易 に形

止 状 態 で は,わ

を変 え る.弾 性 体 の よ う に変 形 に 対 して 抵 抗 す る こ と も な く,塑 性 変 形 す る 物 体 の よ うに 変 形 後 の 形 を保 つ こ と もで きな い.一 方,運

動 し て い る流 体 は,

時 に 巨 大 な 力 を見 せ る こ と もあ る.洪 水 は岩 や 家 屋 を押 し 流 し,台 風 は 大 木 を も吹 き倒 す.   こ こで は,流 体 を静 止 状 態 と運 動 状 態 とに 分 け て 取 り扱 い,状

況 に応 じて

様 々 な 姿 を見 せ る 流 体 の 特 徴 を学 ぶ こ と にす る.

5・1静 5.1

止 流体 の力学 の力 学 静止流体 静 止流体

[１]静 止 流体 中の応 力―― 圧 力   静 止 して い る流 体 の 内部 に適 当 な 面 を考 え る と,固 体 の場 合 と同 様 に,こ

の面

の両 側 か らの 力 が つ り合 う.す な わ ち,応 力 が 働 くこ と に な る.し か し,こ の応 力 に は法 線 応 力(圧 力)し か な く,接 線 応 力(ず れ 応 力)は 全 く存 在 し な い 。 も し, 接 線 応 力 が あ った とす る と,こ の面 に 沿 っ て流 体 の移 動 が 生 じ,静 止 して い る と い う前 提 と矛 盾 して し ま う.こ の こ と は,静 止 流 体 を取 り扱 う場 合 の 基 本 的 な要 素 で あ る.   流 体 内 の １点 を通 る面 は,ど の よ うに で も と り得 る か ら,流 体 中 の １点 に お け る圧 力 は方 向 に よ らず 一 定 で あ る.こ の こ と を証 明 して み よ う.流 体 内 に任 意 の １点 Ｏ を中 心 と して,図5-1に

示 す よ うな微 小 な直 角 三 角形 の 断 面 を も つ液 柱 を

考 えて み る.こ れ が静 止 して い る た め に は,AB,  BC, CAの

３つ の面 に 働 く圧 力

に よ る力 が つ り合 っ て い な け れ ば な らな い.３ つ の面 の 面 積 を そ れ ぞ れS1,S2,S3,

図5-1  流 体 内 の １点 に おけ る圧 力

各 面 に 働 く圧 力 をp1, p2,p3と p3S3  cosθ=p1S1 

す る と,θ

が 成 り立 つ は ず で あ る.さ S3 cos  θ=S1 

の 関 係 が あ る か ら,こ

を 図 の よ う に と っ て, (5・1)

,  p3S3  sinθ=p2S2

ら に,図

の 三 角 形 に お い て は,

,  S3 sin  θ=S2

(5・2)

れ を 式(5・1)に 代 入 し て 整 理 す る と,結

局,

p1=p2=p3

(5・3)

とな り,す べ て の 方 向 で 圧 力 は 等 しい こ とに な る.   重 力 が 働 く場 合,図

のBC面

重 さ が 加 わ る こ と にな るが,三

で は, p3の 下 向 き成 分 以 外 に,三 角 柱 内 の 液体 の 角形 を極 限 まで小 さ く して い け ば,結 局,圧

力に

対 して 無 視 で き る.   流体 に お け る圧 力 の 単 位 を説 明 して お こ う.圧 力 は応 力 の 一種 で あ り,単 位 面 積 当 た りの力 で 示 され る.圧 力 の 国 際 単 位(SI)を パ ス カ ル 〔Pa〕と い い,〔N/㎡ に 等 しい.以 前 は,理 学,工 学 の各 分 野 で ま ち まち な単 位 が使 わ れ,そ 歴 史 を も っ て い た.よ

く知 られ て い る も の で は,気

〕

れぞれ の

象 関 係 で 使 わ れ る気 圧 〔atm〕,

バ ー ル 〔bar〕,真空 工 学 で使 わ れ る 〔torr〕 ま た は 〔mm Hg〕 な どで あ る.い ず れ も,大 気 の圧 力 を 基 準 とし た もの で,水 銀 柱 の 高 さ に して760〔mm〕

に 当 た る圧

力 を １気 圧 とい い,圧 力 を水 銀 柱 の 高 さ そ の もの で 表 した の が,〔torr〕(〔mm  Hg〕

も同 じ)で あ る.現 在 は,す べ て の分 野 を 国 際 単 位 系 で 統 一 す る 方 向 に あ り,圧 力 も 〔Pa〕に統 一 され て い る.表5-1に

表5-1各

[２]重

各 種 圧 力 単 位 の 関 係 を示 そ う.

種 圧 力単 位 の関 係

力の作用下 での静止流体

  前 に述 べ た よ うに,流 体 は 固有 の形 を もた な い が,質 量 は も っ て い る ので,重 力 の作 用 下 にお い て は,常 に ポ テ ン シ ャル の低 い ほ うへ 移 動 し,容 器 内 で は,底 の ほ う か らた ま っ て 上 に水 平 な面 を作 る.こ の 面 だ け は,な ん ら具 体 的 な物 に支 え られ ず に 形 を保 つ こ とが で き る.   重 力 の作 用 下 で静 止 し て い る流 体 内 にお い て は,同 一 水 平 面 上 に あ る点 の圧 力 は どこ で も等 し い.図5-2の

よ うに,円 柱 を流 体 中 に水 平 に お く と,円 柱 の側 面

に働 く圧 力 は両 端 面 に働 く圧 力 と は垂 直 で,水 る.よ っ て,円 柱 が 静 止 の 状 態 で はp1S=p2Sで, 

平 方 向 の つ り合 い に は無 関 係 で あ p1=p2が

成 り立 ち,水 平 面 上 で

圧 力 が 等 しい こ とが証 明 され る.

図5-2  同一 水 平面 上 に お け る圧 力

次 に,高

さ 方 向 で は,圧

力 は ど う な る だ ろ う か.図5-3の

よ う に,流

体 中 に,

図5-3  高 さ(深 さ)と 圧 力 との関係

高 さ ｈ,断 面 積 Ｓ の 円 柱 を 考 え て み る.下 圧 力 をp2と く圧 力p1に

す れ ば, p2Sで よ るp1Sと,さ

は 流 体 の 密 度 で あ り,つ p2S=p1S+ρghS

あ る.こ

端 に 働 く上 向 き の 力 は,そ

れ に 対 し,上

方 か ら働 く力 は,円

ら に 円 柱 内 の 流 体 の 重 さ ρghSが

の高 さでの 柱 上 面 に働

加 わ る.こ

こ で,ρ

り合 い の 条 件 は, ∴  p2=p1+ρgh

とな る.こ の関 係 は,高 度 計 と して 利 用 され る.す な わ ち,あ

(5・4)

る高 さ に お け る圧

力 が あ らか じ め知 られ て い れ ば,任 意 の 高 さ にお い て,そ の 点 の 圧 力 を測 定 す る こ とに よ り,高 度 を知 る こ とが で き る.

[３]分

子 間 力 の 作 用 下 で の 静 止 流 体 ― ―表 面 張 力

  流 体 は 固有 の 形 を もた な い と述 べ た が,必 例 え ば,早 朝 の 木 の葉 の上 の 水 滴,机

ず し も そ う言 い切 れ な い場 合 が あ る.

に こぼ れ た 水 銀 の玉,さ

ら に は,宇 宙 船 内

の 無 重 力 空 間 を 漂 う水 の球 を考 え て み る とよ い.こ れ ら は,液 体 にお い て 特 に 明 確 で あ るが,そ

の 原 因 は,構 成 分 子 ど う しが 互 い に分 子 間 力 を及 ぼ し合 っ て凝 集

し よ う とす る作 用 に あ る.こ の 作 用 は,巨 視 的 に は,液 体 が そ の表 面 積 をで き る

だ け小 さ く しよ う と して い る よ うに見 え,そ の結 果,引

き伸 ば され た ゴ ム膜 が あ

た か も縮 も う と して 内部 に張 力 を生 じ る よ う に,液 体 の表 面 に も張 力 が 生 じて い る もの と考 え る こ とが で き る.こ の よ う な力 を表 面 張 力 とい う. 表 面 張 力 の 強 さ を求 め る た め,図5-4の

よ うに,針 金 に石 け ん液 の膜 を張 る場

図5-4表

面張力

合 を考 え て み る.コ の 字 形 に折 り曲 げ た針 金 の 枠 に 自 由 に動 き得 る針 金CDを せ,全 体 を石 け ん液 に 浸 して か ら,CDを

乗

図 の よ う に 引 っ 張 る と,石 け ん液 の 薄 い

膜 が で き る.こ の とき,膜 が縮 ま ろ う とす る力 に抗 して それ に つ り合 う力 Ｆ の 大 きさ を測 定 して み る と,枠 の幅 ａ に は比 例 す るが,動

く方 向 の距 離 と張 られ た膜

の厚 さに は無 関 係 で あ る こ とが わ か る.液 体 の表 面 張 力 を Ｔ とす る と,単 位 長 さ 当 た りの 力 とし て, T=F/2

とな る.こ

a

(5・5)

こで,分 母 の ２は,膜 面 が 表 裏 ２面 あ る た め に入 れ た.

膜 を張 る た め に必 要 な仕 事 を 考 えて み よ う.針 金 が は じめ 左 端 に あ り,膜 が ま だ張 られ て い な い状 態 か ら,右 方 へ ｂだ け移 動 す る 間 に な され る仕 事 Ｗ は, W=Fb=2abT

(5・6)

張 られ た膜 の単 位 面 積 当 た りの仕 事 を考 え る と, (5・7)

とな り,こ れ は表 面 張 力 そ の も ので あ る.す な わ ち,表 面 張 力 とは,膜

を張 る た

め の仕 事 で あ り,張 られ た 膜 中 に蓄 え られ る エ ネ ル ギ ー に相 当 す る もの で あ る. 液 面 が容 器 の 壁 に 接触 し て い る と き,接 触 部 分 で は 図5-5(a)ま

た は(ｂ)の よ う

に液 面 が 曲 が っ て い るの が 普 通 で あ る.こ の と き壁 と液 面 との な す 角 を接 触 角 と い う.こ の角 度 は,液 体 を構 成 す る分 子 ど う しが 凝 集 し よ う とす る分 子 間力(凝 集 力)と,液

体 分 子 と壁 を構 成 す る 分 子 との 間 に働 く分 子 間 力(付 着 力)と の兼 ね 合

い で決 ま る.例 え ば,図5-5(a)の ル が 壁 の外 部 に 向 く結 果,そ

場 合,付 着 力 が 大 き く,凝 集 力 との 合 成 ベ ク ト

れ と直 交 す る液 面 が壁 を は い上 る よ うな 形 で 接 触 す

る こ とに な る.水 とガ ラ ス の 接 触 が こ の例 で あ る.図5-5(b)の

場 合,逆

に凝 集 力

の ほ うが 強 く,水 銀 とガ ラ ス の接 触 が この 例 とな る.図(ａ)の 状 態 は,い わ ゆ る ぬ れ や す い状 態 で,洗

剤 な どに使 わ れ る界 面 活 性 剤 は,水 の物 質 との ぬ れ や す さ を

極 端 に増 し,ど ん な 汚 れ の 間 に も割 り込 ん で,物 質 と引 き離 し て し ま う.

(ｂ)

(ａ)

図5-5接

触角

  この よ うに 考 え て く る と,表 面 張 力 と は,独 立 し た表 面 で 考 え る もの で はな く, 流 体 が 他 の 流体 あ る い は固 体 と接 触 す る と き,そ の界 面 に現 れ て くる もの で あ る こ とが わ か る.   ガ ラ ス の毛 細 管 の一 端 を水 に浸 す と水 が上 昇 し て くる 現 象 は,毛 細 管 現 象 と し

て知 られ て い る.こ れ は,水 が ガ ラ ス と接 触 角 を もつ こ と に よ り曲 面 を な す と き, 表 面 張 力 に よっ て水 面 の両 側 に圧 力 差 を生 じ る こ とに よ る も の で あ る.図5-6(a) に示 す よ う に,曲 面 を な した 液 面 に微 小 な四 辺 形 を考 え,こ の 四 辺 が 表 面 張 力 に よ って 外 側 に引 っ張 られ る こ とに よ る力 を考 え て み る.４ つ の辺 は近 似 的 に は 円 の 一 部 とみ な せ るか ら,そ の長 さ をS1,S2と

し,そ れ ぞ れ の 曲率 半 径 を γ1,  γ2,中

心 角 を θ1,θ2と す る と, (5・8)

γ1θ1=S1   ,  γ2  θ2=S2

の関 係 が あ る.表 面 張 力 を Τ とす る と,四 辺 形 の 向 か い 合 っ た １組 に は,図56(b)の よ う に,液 面 を張 る力 が働 き,こ の合 力 は 面 に垂 直 上 向 き とな る.こ の力

(ａ)

(ｂ)

図5-6  曲面 の両 側 に生 じる圧力差 が 液 面 を 引 き 上げ る 力 と な る わ け で あ る.図5-6(b)か

ら,こ

の 力 の 合 力 は,

(θ1は 微 小)

(5・9)

(θ2は 微 小)

(5・10)

とな り,こ れ と直 交 す る 辺 につ い て も同 様 に,

と な る.こ

の ２力 を 加 え た も の が,曲

面 の 上 方 に 向 か っ て 働 く こ と に な る.四

辺

形 の 面 積 はS1S2で

あ る か ら,圧

力 差 を ⊿pと す れ ば, (5・11)

と な る.球

面 の 場 合,γ1=γ2だ

か ら,こ

れ を Ｒ と し て 上 式 を 書 き直 す と,

⊿p=2T/R

(5・12)

と な る.

問1.半

径 γ の 毛 細 管 中 を上 昇 す る 水 の 高 さ を求 め よ.た

だ し,水

の 表 面 張 力 を Ｔ,

接 触 角 を θ とす る.

5・2  運動 す る流 体 の力 学 [１] 完全流体の運動   流 体 が 静 止 して い る と き は,圧 力 とつ り合 い の み を扱 え ば よか っ たが,流 体 が 運 動 して い る と きは,流 体 の 速 度 が加 わ る.す な わ ち,位 置 エ ネ ル ギー だ け で な く,運 動 エ ネル ギ ー を含 む取 り扱 い が 必 要 とな る.   運 動 の状 態 を表 す に は,流 体 を構 成 す る分 子 が,時

間 と と も に どの よ う に位 置

を変 え るか を知 らね ば な らな い.個 々 の粒 子 の 動 き をす べ て記 述 す るの は大 変 で あ るが,あ

る種 の流 れ で は,運 動 中 の流 体 内 の 任 意 の １点 を と る と,そ こで は,

流 れ の 速 度,方

向 が 常 に一 定 に保 たれ,時

間 に よ っ て 変 わ る こ とが な い.こ

のよ

うな 流 れ を定 常 流 と呼 ぶ.   図5-7に

示 す よ う に,定 常 流 に お い て流 体 の 軌 跡 を表 す線 を流 線 とい う.流 線

は無 数 に考 え る こ とが で きる が,決

し て交 わ る こ とが な い.並 行 した流 線 は,流

れ の道 筋 に沿 っ て接 近 し た り離 れ た りし なが ら進 む.流 線 を何 本 か 束 ね て管 と し て考 え た も の を流 管 と呼 ぶ.現 実 に,こ の 様 子 を 見 る た め に は,水

の場 合 な ら表

面 に ア ル ミニ ウ ム の粉 末 を浮 か せ た り,空 気 な ら煙 を流 した り して 実 験 を行 う. これ を写 真 に記 録 す る場 合,定

常 流 で あ れ ば どん な 瞬 間 に撮 っ た写 真 で も同 じパ

図5-7流

線 と

流管 ター ン を示 す こ とに な る.非 定 常 流 で は,流 線 の様 子 は,刻 々 と変 わ っ て し ま う.   流 体 が 静 止 して い る と き,内 部 に生 じ る応 力 は圧 力 だ け で あ っ た が,運 動 し て い る と きは接 線 応 力(ず れ応 力)が 現 れ て くる.し か し,こ

こで は,ま ず 理想 的 な

場 合 と して,接 線 応 力 の 全 くな い流 体 に つ いて の運 動 の記 述 か らは じめ よ う.こ の よ う な流 体 を完 全 流 体 とい う.   図5-8に

示 す よ うな任 意 の 流 管 を考 えて み る.定 常 流 で あ るか ら,流 体 が こ の

管 の 外 部 へ 出 入 りす る こ とは な い.い

ま,断 面 Ａ に お け る断 面 積 をSA,流

体の

速 さ を υA,密 度 を ρAと し,断 面 Ｂ に お け る そ れ ら をSB, υB,  ρBと す る.⊿t時 間 後 に は,断 面 Ａ に あ っ た 流 体 がA'に,Ｂ

に あ っ た 流 体 がB'に

と,流 管 外 へ の 出入 りが な い の だ か ら,AA'間, 

BB'間

移 動 し た とす る

に そ れ ぞ れ 含 ま れ る流体

の 質 量 は 同 じで な け れ ば な ら な い.言 い 換 えれ ば,断 面 Ａ へ 流 入 す る量 と断 面 Ｂ か ら流 出 す る量 が 同 じで な けれ ば,流 管 は定 常 に保 た れ な い.し た が っ て, ρAυASA⊿t=ρBυBSB⊿t

(5・13)

す な わ ち, ρAυASA=ρBυBSB

が 成 り立 つ.断

面 は ど こ に と っ て も良 い は ず だ か ら,任

(5・14)

意 の 断 面 で の 値 を ρ,υ,  Ｓ

図5-8  連 続 の 方 程式 とベ ル ヌ ー イ の 定理

と す れ ば,一

般 に,

ρυS=一

定

(5・15)

とな り,こ れ を連 続 の 方 程 式 とい う. 気 体 の場 合 は,密 度 が 場 所 に よ っ て か な り変 わ る こ とが あ るが,液 体 で は ほ と ん ど変 化 し ない とみ な せ る こ とが 多 い.こ の よ う に密 度 が ど こで も一 定 で あ る よ う な流 体(非 圧 縮 性 流 体)で は,ρ が一 定 と して,上 式 は, υS=一

定

(5・16)

とな る.   この 式 か ら,速 度 と断 面 積 は反 比 例 の 関 係 に あ る こ とが わ か る.流 れ の 速 い と こ ろで は流 管 は細 い.河 幅 が細 くな る と こ ろで は流 れ が速 くな る.   次 に,図5-8が

非 圧 縮 性 の 完 全 流 体 に よ る定 常 流 で あ る と して,エ

関 係 を考 え て み よ う.ABの

流 管 が ⊿t時 間 後A'B'に

ネルギー の

位 置 を変 え る間 に,外 部 か

ら流管 にな され た仕 事 は, ⊿W=pASAυA⊿t-pBSBυB⊿t

(5・17)

で あ る.断

面 Ａ で は 圧 力 で 押 さ れ て 仕 事 を さ れ,Ｂ

こ と に な る.流

管 の 側 面 か ら の 力 は 常 に 流 れ に垂 直 で あ り仕 事 を し な い.ま

完 全 流 体 で あ る か ら,側

面 で の 摩 擦 抵 抗 も な い.こ

力 学 的 エ ネ ル ギ ー の 増 加 と な り,運 す る.流

の 仕 事 ⊿Wは,結

部 分 は,⊿t時

の 高 さ を そ れ ぞ れhA, hBと

体 の

間 の 前 後 に お い て 不 変 で,

移 っ た も の と み る こ と が で き る. AA'間

ρυASA⊿t, ρυBSB⊿tだ か ら,力

局,流

た,

動 エ ネ ル ギ ー と位 置 エ ネ ル ギ ー の 変 化 に 対 応

管 を も う 一 度 み る と,A'Bの

AA'がBB'へ

で は圧 力 に 抗 し て仕 事 をす る

お よ びBB'間

学 的 エ ネ ル ギ ー 変 化 は,任

の 質 量 は,

意 の 基 準 面 か ら の Ａ,  Ｂ

し た と き, (5・18)

と な る.⊿W=⊿Eと

お き,連

pA+1/2ρ

続 の 方 程 式 υASA=υBSBを

が 成 り立 つ.Ａ,Ｂ

υA2+ρghA=pB+1/2ρ

υ2+ρgh=一

(5・19)

υB2+ρghB

は 任 意 に と れ る か ら,一

p+1/2ρ

適 用 す る と,

般 に,１ 本 の 流 線 上 で, (5・20)

定

とな る.こ れ をベ ル ヌ ー イ の 定 理 とい う.こ れ は完 全 流 体 の定 常 流 にお い て 基 本 とな る式 で あ る. 以 下 に,ベ ル ヌ ー イ の 定 理 の応 用 をい くつ か 示 そ う.   (１)  トリチ ェ リの定 理     図5-9の

よ う に,大

きな容 器 に 液体 が 入 れ て あ り,

下 方 の 小 孔 か ら流 出 す る場 合 を考 え る.液 面 か ら小 孔 へ は無 数 の 流 線 が 考 え られ る が,そ の うち の １本 に着 目 し,ベ ル ヌ ー イ の定 理 を適 用 して み る.両 端 は い ず れ も大 気 に開 放 され て い るか ら,圧 力 は等 し く大 気 圧p0で

あ る.小 孔 か ら流 出 す

る液 体 の 量 は,短 時 間 で は容 器 の液 面 の 変 化 をほ とん ど生 じな い とみ なせ るか ら, 液 面 で の速 度 は ０,高 さの 基 準 を小 孔 の位 置 に と る と, p0+1/2ρ

が 成 り立 ち,こ

・02+ρgh=p0+1/2ρ

υ2+ρg・0

(5・21)

れ か ら直 ち に,

υ=√2gh

(5・22)

図5-9 

トリチ ェ リ

の定理 が 導 か れ る.こ の 関 係 を ト リチ ェ リの 定 理 とい う.こ れ は,ｈ の 高 さ か ら 自由 落 下 した物 体 の速 さ と全 く同 じで あ る.   (２)  ピ トー 管     流 体 が 水 平 方 向 に流 れ るか,非 常 に 速 くて 重 力 の項 が無 視 で きる場 合,

P+1/2ρ

が 成 り立 つ.こ

υ2=一

(5・23)

定

の と き,１ つ の 流 線 上 で,速 度 の違 い に よ って 圧 力 の 違 い が生 じ

図5-10ピ

トー 管

る こ と が わ か る.

  図5-10に

示 す構 造 の装 置 を ピ トー 管 とい い,流 速 を測 定 す る の に使 わ れ る.管

の先 端 と側 面 とに穴 が あ り,液 を入 れ た Ｕ 字 管 で つ な いで あ る .側 面 の 穴 か ら は 外 圧 を受 け るが,先 端 の 穴 か ら入 っ た流 体 は止 め られ て し ま うの で,そ

の 分,圧

力 が 上 が る.こ の 圧 力 を ｐ と し,外 圧 をp0と す れ ば, p0+1/2ρ

と な り,流

υ2=p

(5・24)

速 は,

(5・25)

と し て 求 め ら れ る.(p-p0)は こ のp0を

静 圧,(p-p0)を

ピ トー 管 は,飛

[２]粘

Ｕ 字 管 内 の 液 面 の 高 さ の 差 ｈ か ら求 め ら れ る . 動 圧 と い う.ま

行 機 の 速 度 計 と し て,広

た, ｐ の こ と を 総 圧 と い う. く使 わ れ て い る .

性 をもった流体の運 動

  い ま まで の 議 論 は,接 線 応 力 の な い,完 全 流体 につ い て進 め て き た が,現 実 の 流 体 に は,多 か れ 少 な か れ 接 線 応 力 が 現 れ る.も

し,接 線 応 力 の 全 くな い 流 体 の

運 動 を考 え る と,我 々 の経 験 か ら見 て,大 変 奇 妙 な こ と に な る.例

え ば,水

の中

で も何 の抵 抗 もな く自 由 に 動 け る か わ り,風 呂 の湯 を どん な にか き まわ して も湯 は全 く動 い て くれ な い.つ

ま り,完 全 流体 とは,流 体 を構 成 す る分 子 ど う しが,

全 く相 互 作 用 を もた な い場 合 に 相 当 す る もの で あ っ た.実 際 に は,分 子 間 力 の働 きに よ り,あ る分 子 が 動 け ば,そ の 近 くに あ る他 の 分 子 もそ れ に引 か れ て 運 動 を 起 こ し,こ れ が 周 囲 に 広 が っ て い く.逆 に,静 止 し た壁 に沿 っ て 流 れ る流 体 の場 合 な ら,壁 を構 成 す る分 子 との分 子 間 力 で引 か れ て 流 れ を妨 げ られ,さ

ら に壁 か

ら離 れ て流 れ る流 体 に まで 影 響 が 及 ん で い く.こ れ は,流 体 の 内部 摩 擦 と もい う べ き もの で,こ の性 質 を粘 性 と い う.   い ま,図5-11の

よ う に,ｘ 軸 方 向 の 平行 な流 れ が あ り,ｙ 軸 方 向 に 速 度 の勾 配

が あ る場 合 を考 え よ う.流 れ に 沿 っ た矢 印 は,速 度 の大 きさ を表 す もの とす る .

図5-11速

度勾 配 と粘 性

図 に示 す よ う に,流 速 が υの と こ ろ に面 を考 え る と,こ の面 の両 側 に接 線 応 力 ｐ が 働 き,速 い部 分 を遅 く,遅 い 部 分 を速 く し よ う とす る.ｙ 方 向 の速 度 勾 配 を dυ/dyと す る と,接 線 応 力 は これ に比 例 す るの で,面

の接 触 面 積 を Ｓ とす れ ば,

面 間 に働 く力 は, F=pS=ηSdυ/dy

と表 す こ とが で き る.こ と も い う)と い う.η

(5・26)

こ で,Ｆ

例 定 数 η を 粘 性 率(粘 性 係 数,粘

は 流 体 の 種 類 に よ っ て 決 ま る 物 質 定 数 で,液

高 く な る ほ ど 小 さ く な る.粘 s/㎡)で

を 粘 性 力,比

あ る が,〔P〕(poise,ポ

10-1〔Pa・s〕 で あ る.η

性 率 の 単 位 は,国

体 の場 合 温 度 が

際 単 位 系 で は,〔Pa・s〕(=N・

ア ズ)と い う 単 位 も 広 く用 い ら れ て き た.1〔P〕

と密 度 ρ と の 比 を

ν=η/ρ

と表 し,こ れ を動 粘 性 率 とい う. 表5-2に,い

度

ろ い ろ な物 質 の 粘性 率 と温 度 と の関 係 を示 す.

(5・27)

は

表5-2い

ろい ろな物 質 の 粘性 率 とそ の温 度 依 存性

(理科 年表1991年

版 に よ る)

  粘 性 率 を測 定 す る方 法 と して,良 く使 わ れ る方 法 の １つ を示 す.図5-12に

示す

よ うに,円 形 の パ イ プ に 液体 を流 し,両 端 に 一 定 圧 力 差 を与 え た と きの 流 量 か ら 粘 性 率 を求 め る.完 全 流 体 で あれ ば,全

く抵 抗 な く流 れ る は ず だが,粘 性 の あ る

場 合 は,抵 抗 に 打 ち勝 つ だ け の圧 力 差 を与 え る必 要 が あ る.

(ａ)

図5-12管

内 の 流 れ(ハ

(ｂ)流 速 分 布

ー ゲ ン ・ポ ア ズ イ ユ の 法 則)

  図5-12(a)の

よ う に,半 径 α,長 さ ｌの 管 内 を流 れ る流 体 を考 え,そ の 中 で 中心

か ら半 径 γ ま で の部 分 につ い て,両 端 の 圧 力 差 に よ る力 と,γ よ り外 側 の部 分 か ら受 け る粘 性 抵 抗 との つ り合 い を考 え る.こ の両 者 が 等 しい とき,流 体 は一 定 速 度 で 流 れ る はず で あ る.両 端 の 圧 力 差 に よ り半 径 γ の 流体 が 流 れ の 方 向 に 受 け る 力 Ｆ は, F=π

γ2(p1-p2)

(5・28)

この 液 柱 の 表 面 に 外部 か ら抵 抗 と して働 く力 ｆ は,粘 性 率 を η と し て, (5・29)

と な る.F=-fで

あ る か ら,

(5・30)

が 成 り立 ち,こ

れ を 整 理 す る と,

(5・31)

の 微 分 方程 式 が 得 られ る.こ れ を積 分 す る と, (Ｃ は積 分 定 数)

(5・32)

管 壁 で は,流 速 が ０で な けれ ば な ら な い か ら,境 界 条 件 と し て γ=α の と き υ =0を 代 入 して Ｃ の値 を求 め る と,結 局, (5・33)

と な り,流

速 分 布 は,図5-12(b)に

示 す よ う に,二

次 元 的 に は放 物 線 状 に な る こ

と が わ か る.

速 度 υで通 過 す る半 径 γか ら γ+dγ まで の部 分 の体 積 は, (5・34)

で あ る か ら,全

流 量 を Ｑ と す る と,

(5・35)

とな る。 これ をハ ー ゲ ン ・ポ アズ イ ユ の 法 則 とい う.こ の結 果 で特 徴 的 な の は,流 量 が 半 径 の ４乗 に比 例 す る こ とで あ る.完 全 流体 な ら断 面 積(半 径 の ２乗 に比 例) に比 例 す る はず だが,粘 性 の あ る場 合,さ

らに そ の ２乗 に比 例 す るわ け で,パ

イ

プ径 の わ ず か の 差 も流 量 に大 き く影 響 す る こ とに な る.

［３］ 層 流 と乱 流   これ ま で は,流 体 の 運 動 と して,定 常 流 の み を考 え て きた.す

な わ ち,流 体 の

粒 子 が 一 定 の 流線 に 沿 って 運 動 し,流 線 上 の各 点 の速 度 は 時 間 に よ っ て変 動 が な く,粒 子 の運 動 は定 常 的 で あ る.こ の よ うな 流 れ を層 流 とい う.と

ころ が,全 体

の流 れ が 速 くな っ て くる と,流 線 の形 は定 常 な状 態 か らは ず れ,場 合 に よ っ て は 流 線 が途 中 で 切 れ た り,途 中 か ら急 に 現 れ た りす る よ うに な っ て,規 則 性 は 乱 れ て くる こ とが し ば し ば経 験 され る.例

え ば,急 流 で 流 れ が 渦 ま くとい う表 現 が あ

る よ うに,台 風 の 後 で 増 水 した 川 の流 れ な どで は,渦 が 現 れ た り消 えた り,場 所 を変 え た り形 を変 え た り,一 瞬 た り と も同 じ形 が 保 た れ な い.こ の よ うな 流 れ を 乱 流 とい う.流 れ の 中 に物 体 を置 き,そ の 周 りの流 線 の 形 を調 べ て み る と,流 れ が ゆ っ く りの と き は,図5-13(a)の 流 れ が 速 くな るに つ れ,図(ｂ)の

よ う に流 線 が な め らか に物 体 に沿 って い るが, よ う に流 線 が は が れ て 後 方 に 渦 を作 る こ とが わ

(ａ)層 流

(ｂ)乱 流

図5-13  層 流 と乱 流

か る 。 図(ａ)が 層 流,図(ｂ)が

乱 流 で あ る.

  流体 内 を動 く物 体 に働 く抵 抗 力 を考 え て み る.運 動 は 相 対 的 で あ る か ら,静 止 流 体 中 を物 体 が動 くの と,流 れ の 中 で物 体 が 静 止 して い る の と は同 等 で あ り,流 れ と物 体 との相 対 速 度 が 問題 に な る.完 全 流体 で は,前 が働 か な いが,現

に述 べ た よ う に,全

く力

実 に は粘 性 が あ り,こ れ が 抵 抗 の 原 因 とな る.

  物 体 に 対 す る流 れ の速 度 が 小 さ い と き,図5-13(a)の

よ う に,流 体 は物 体 に 沿

っ て流 れ,物 体 表 面 に付 着 した 形 で 動 く流 体 と,離 れ て 動 く流 体 との 間 に速 度 勾 配 が で きて,粘 性 に よ る抵 抗 力 が 生 じ る.こ れ を粘 性 抵 抗 とい う.直 径 Ｄ の球 を 考 え,流 体 との 相 対 速 度 を υ と して,粘 性 抵 抗 を概 算 し て み よ う.球 面 か らほ ぼ 直 径 Ｄ 程 度 離 れ た あ た り まで 直 線 的 に速 度 が 増 して,こ

の層 が粘性 抵抗 に寄与

す る もの とす る と,速 度 勾 配 は υ/Dと な り,こ れ に 粘 性 率 をか け れ ば 接 線 応 力 と な る.流 れ と接 す る表 面 積 を,お

よ そD2程

度 と見 積 る と,粘 性 抵 抗Fυ は, (5・36)

の程 度 とな り,速 度 に 比 例 す る.正 確 な計 算 に よれ ば, Fυ=3π

と な り,こ

ηυD

(5・37)

れ を ス トー ク ス の 法 則 と い う.

  速 度 υが 大 き くな っ て くる と,表 面 付 近 の 速 度 勾 配 が 非 常 に大 き くな っ て,そ の 外 側 の比 較 的 速 度 勾 配 の 小 さ い層 と区 別 され る よ う に な る.こ を境 界 層 とい う.さ

の表 面 層 の こ と

らに υが 増 す と,境 界 層 が 表 面 か ら は が れ て,図5-13(b)の

よ う に,後 方 に渦 が で き る よ う に な る.こ の 渦 の あ る部 分 で は圧 力 が 小 さ くな り, 物 体 を後 方 に 吸 引 しよ う とす る た め に抵 抗 が 生 じ る.こ れ は粘 性 とは無 関 係 で, この 抵 抗 を慣 性 抵 抗 とい う.こ の値 を,前 密 度 を ρ と し,質 量 が 約pD3(球

と同 じ よ うに概 算 して み よ う.流 体 の

の 体 積 に相 当 す る 流 体 の 量)の 流 体 が 約D/υ の

時 間(流 体 が 球 を 通 り過 ぎ る 時 間)で 速 度 を 失 う とす る と,平 均 の 加 速 度 は -υ2/Dで

あ り,こ れ に 質 量 を掛 け た もの が 慣 性 抵 抗Fiと

な っ て, (5・38)

の程 度 とな る.こ れ は速 度 の ２乗 に比 例 す る こ とが わ か る.こ の抵 抗 を減 らす た め に は,物 体 か ら境 界 層 が で き る だ け は が れ な い よ う,形 状 を工 夫 す れ ば よ い. この よ うな 形 状 が,い

わ ゆ る流 線 形 で あ る.

  現 実 に は,粘 性 抵 抗 と慣 性 抵 抗 の どち らか一 方 の み が 単 独 に 作 用 す るわ け で は な く,物 体 の形 状 等 に よ り,そ の 両 者 が あ る比 率 で働 いて い る こ とに な る.そ で,粘 性 抵 抗 と慣 性 抵 抗 の 比,つ

こ

ま り式(5・36)と 式(5・38)か ら, (5・39)

で 定 義 され る無 次 元 の量Reを

レ イ ノ ルズ 数 と呼 び,流 れ の 性 質 を 判 断 す る 指標

と して い る.式(5・36),式(5・38)で

は,Ｄ

は球 の 直 径 で あ っ た が,一 般 に は,流

体 中 の物 体 の形 状 を代 表 す る寸 法 が と られ る.Reが 主 で 流 れ は層 流 とな り,Reが

小 さ い と き は,粘 性 抵 抗 が

大 き くな る と慣 性 抵 抗 が 主 と な っ て 乱 流 とな る.

文 献 に よっ て か な り差 が あ る が,Reが

約1000∼2000程

度 以 上 で 層 流 か ら乱 流

に な る こ とが,気 体 を含 め て い ろい ろ な流 体 で観 察 され て い る.   レ イ ノ ル ズ 数 は,単 に 流体 が 層 流 か 乱 流 か の判 定 に使 わ れ る だ けで な く,模 型 実 験 に よ っ て 実物 の 流 体 中 で の運 動 を調 べ よ う とす る と きの 尺 度 と もな る.す な わ ち,模 型 実 験 の 条 件 を,レ

イ ノ ル ズ 数 が 実 際 と等 し くな る よ うに 設 定 す れ ば,

力 学 的 に同 等 で あ り,こ れ を 力 学 的 相 似 とい う.飛 行 機 の 開 発 に お け る風 洞 実験 な ど は,こ の原 理 に 基 づ い て な され て い る.

問 ２.次 元 解 析 に よ り,粘 性 抵 抗 と慣 性 抵 抗 の 式 の形 を導 い て み よ. 問 ３.1/10の

寸 法 の 模 型 飛 行 機 を風 洞 中 に つ る し て 実 験 す る場 合,条

設 定 す れ ば よ い か.

件 を どの よ うに

演 習 問 題 ［５］ １.深

さ ｈ,辺 の長 さ ｌの 直 方 体 の 形 を し た 水 槽 の縁 まで 水 を入 れ た と き,１ つ の 側 面

の 受 け る 全 圧 力(圧 力 を 面 全 体 に つ い て 積 分 し た もの)と,そ

２.地

表 に お け る大 気 圧 お よ び 密 度 をp0,ρ0と

を求 め よ.た

３.表

の 着 力 点 を 求 め よ.

す る と き,上 空 ｈの 高 さ に お け る 気 圧

だ し,大 気 の 温 度 は一 定 で あ る とす る.

面 張 力4×10-2〔N/m〕

の 石 け ん 液 で で き た 半 径4〔cm〕 の シ ャ ボ ン 玉 に 蓄 え られ

る表 面 エ ネ ル ギ ー は い く らか.

４. ピ トー 管 を風 に 向 け た と こ ろ,両 端 の 圧 力 差 は12〔mm〕

の 水 圧 に 等 し か っ た.風

速 は い く らか 。 た だ し,空 気 の 密 度 を1.2〔㎏/m3〕 とす る.

５.半

径 α の 円 筒 容 器 に 液 体 を入 れ,中

心 軸 の まわ りに 角 速 度 ω で 回 転 させ た.時

間

が た つ と容 器 と水 とは 相 対 的 に 速 度 が 零 の 状 態 とな る.軸 が 鉛 直 で あ る と し て,液 体 は 静 止 の と き に比 べ て 軸 上 ど れ だ け 下 が るか.ま

た,円 筒 の 内壁 で は,ど れ だ け 上 が

る か.

６.場

所 に よ っ て太 さ の 違 う水 平 な 管 に 水 を 流 し た。 断 面 積 がSA, SBの

が そ れ ぞ れ ｐA,pBで あ っ た とす る と,管 を流 れ る 水 の 量(体 積)は,毎 だ し,水

７.密

と こ ろ の圧 力

秒 い く らか.た

の密 度 を ρ とす る.

度 ρ,粘 性 率 ηの液 体 中 を,密 度 σ,半 径 α の 球 が 落 下 す る と き,終 端 速 度 が

に落 ち 着 く こ と を説 明 せ よ.

振動 と波動

第 ６章

  振 動 は,物

理 学 に お い て 重 要 な 基 本 現 象 の １つ で あ る.身

り子 の 振 動 や 地 震 等 が あ るが,振

あ り,空 気 の 弾 性 振 動 で あ る音 や,固

体 内原子 の平 衡点 付近 で の振動 の現 れ

で あ る熱 現 象 な どが 知 ら れ て い る.一 方,波 み 深 い が,光 子 さ え もが,物 波 動 と は,あ

近 な 例 で は,振

動 が 本 質 的 な 働 き を し て い る現 象 は 他 に も

動 も,水

は電 磁 波 と呼 ば れ る 波 で あ り,さ

の 波,音

の波等 で な じ

ら に 量 子 力 学 で は 電 子 等 の粒

質 波 と呼 ば れ る 波 の 性 質 を 合 わ せ もつ こ とが 明 らか に され た. る変 位 が媒 質 中 を伝 わ っ て エ ネ ル ギ ー の み を伝 達 す る現 象 で あ

り,必 ず し も周 期 的 な 変 位 で な くて も良 い の で あ る が,一

般 に,媒

質 中で生

じ た振 動 は,波 動 と して 伝 達 さ れ て い くの が 普 通 で あ り,両 者 を 関 連 して 取 り扱 っ た ほ うが 便 利 で あ る.

6・1振

動

［１］ 単

振

動

 振 動 現 象 の うち,最 て は,第

も基 本 的 な のが 単 振 動 で あ る.現 象 と そ の取 り扱 い に つ い

１章 で触 れ た の で,こ

 単 振 動 とは,あ

こで は結 果 だ け を示 す.

る物 理 量 が 時 間 とと もに正 弦 関 数 的 に 変化 す る現 象 で,物 理 量

を ｘ とす る と,次 の よ う に表 され る. (6・1)

ｘ が 質 量 ｍ の 質 点 の 変位 で あ る とす る と,２ 回 微 分 し て運 動 方程 式 を求 め れ ば,働 い て い る力 が 求 め られ る.す な わ ち, (6・2)

とな り,力 は常 に変 位 の大 き さ に比 例 して,し

か も変位 の 向 き に対 して逆 向 き に

働 く力 で あ る こ とが わ か る.こ

の よ う な 力 を 復 元 力 と い う.式(6・2)を

整 理 し て, (6・3)

と書 い た もの を単 振 動 の 方 程 式 とい い,あ

る物 理 現 象 が,結 局,こ

の形 の 式 で 表

され る な ら,そ れ は単 振 動 で あ る こ と にな る.   式(6・3)の 形 に な る現 象 の例 と して 弾 性 振 動 が あ る.弾 性 体 で は,弾 性 限界 内 に お い て,伸

び と応 力 とが 比 例 関 係 に あ る フ ッ ク の法 則 が 成 り立 つ の で,伸

とす れ ば,F=-kxの

びを ｘ

復 元 力 が 生 じる.よ っ て,運 動 方 程 式 は, (6・4)

と な り,式(6・3)と

対 応 さ せ れ ば,k/m=ω2と

な る の で,周

期 は,

(6・5)

と な る. ま た,図6-1の

よ う な 回 路 を 流 れ る 電 流 ｉを 考 え よ う.コ

図6-1電

電 圧 は,コ

で あ る.回

気振動

イ ル の イ ン ダ ク タ ン ス を Ｌ と す れ ば,-Ldi/dtで

サ の 両 極 間 の 電 圧 は,コ

ン デ ン サ の 静 電 容 量 を Ｃ と し,電

路 を 一 巡 し て,両

イ ル の 両 端 に現 れ る

あ る.ま

た,コ

ンデ ン

荷 を ｑ と す れ ば,q/C

者 の 和 が ０ に な る か ら,

(6・6)

と な る.極

板 上 の 電 荷 の 減 少 率 が 電 流 に 当 た る こ と か ら,i=-dq/dtで

使 い,式(6・6)を

あ る ことを

ｔで 微 分 し て 整 理 す る と, (6・7)

と な り,こ れ は 単 振 動 の 式 で あ る.式(6・3)と

対 応 さ せ る と,ω2=1/LCと

な り,周

期 は, (6・8)

と な る.つ

 単 振

ま り,電

流 は 単 振 動 的 に 変 化 す る こ と が わ か る.

り 子   近 似 的 に 単 振 動 に な る もの の 例 と し て,単 振 り子 に つ い て 説

明 して お こ う.図6-2に

示 す よ うに,長 さ ｌの糸 に質 量 ｍ の お も り(質 点)を つ け

た もの を単 振 り子 とい う.糸 の 重 さ は無 視 で き る もの とす る.単 振 り子 を振 動 さ

図6-2  単 振 り子

せ,糸 が鉛 直 と角 θ を な す 瞬 間 に お け る運 動 方 程 式 を考 え て み る.糸 の 延 長 方 向 に働 く力 は,張 力 とつ り合 っ て運 動 に は無 関 係 な の で,接 線 方 向 の み を 考 え れ ば よ い.重 力 の接 線 成 分 は-mg  sinθ,負 号 は θの増 加 方 向 と常 に 逆 に働 くこ とを 表 す.回 転 の運 動 方 程 式 を た て る と,ml2が

慣 性 モ ー メ ン トに当 た るか ら, (6・9)

整 理 し て,

(6・10)

とな る.こ の 式 は簡 単 に は解 け な い の で,現 実 の 振 動 に お い て 振 れ の 角 θが 小 さ い 場 合 を仮 定 して,近 似 式sinθ ≒ θ を使 う と,上 式 は, (6・11)

と 書 け る.こ

の 式 は,結

局,式(6・3)の

形 に 帰 着 し,単

振 動 と な る こ と が わ か る.

周期が (6・12)

と な る こ と は,良

く知 ら れ て い る.

  振 れ が 大 き く,式(6・10)に

お い て,sinθ

≒ θ と 近 似 で き な い 場 合 の 周 期 は,最

大 振 れ 角 を α と し て, (6・13)

と表 さ れ,も

はや 単 振 動 で は な い.な ん らか の ロス で,振 れ が 徐 々 に減 衰 す る と

す れ ば,等 時 性 も保 た れ な くな る.   単 振 り子 が あ る か ら に は複 振 り子 が あ る.こ れ は,重

さの な い糸 と質 点 と の組

み 合 わ せ で あ る単 振 り子 に対 し,剛 体 が 任 意 の軸 の まわ りで 振 動 す る もの で あ る. し たが っ て,剛 体 が重 心 の まわ りに 回転 す る要 素 が 入 っ て きて 複 雑 に な る.こ れ につ い て は,第

３章3・8節 で,実 体 振 り子 と して 説 明 して あ る の で,こ

こで は繰

り返 さな い.

問 １.式(6・13)に つ い て,α

と Ｔ との 関 係 を 実 際 に計 算 し,作 図 し て み よ.

［２］   単振動の合成   現 実 に お い て,単 振 動 は独 立 して現 れ て く る とは 限 らな い.鉄 道 車 両 や 自動 車 に お い て,振 動 の解 析 は重 要 で あ る.例 え ば,自 動 車 の振 動 を考 え て み よ う.地 面 か ら人 まで の 間 に ど の く らい の ば ね が あ る か 考 え て み る と,ま ず タ イ ヤ 自体,

次 に タ イ ヤ と シ ャ シ ー をつ な ぐば ね,さ

ら に椅 子 の ク ッ シ ョ ンが これ に加 わ る.

もっ と厳 密 に見 れ ば,車 体 構 造 自体 の弾 性 も考 慮 しな けれ ば な ら な い.こ れ ら は, ば らば ら に あ るの で は な く,す べ て結 合 され て い るの で あ る.し 心 地 を 考 え る場 合,こ

たが っ て,乗

り

れ ら多 数 の振 動 体 の個 々 の振 動 で な く,そ れ が 合 成 され た

もの を 扱 わ ね ば な らな い.こ

こで は,単 振 動 の組 み合 わ せ と して 基 本 的 な もの を

あ げ,そ の 取 り扱 い 方 を学 ぶ こ とに す る.   (１)同

一 直線 上 での 合 成     図6-3に

て Ｑ が 単 振 動 し,さ

示 す よ うに,直 線 上 の 点 Ｏ を 中 心 に し

ら に Ｑ を 中心 に して Ｐ が 単 振 動 して い る 場 合 を考 え る.こ

図6-3  同一 直 線上 での 単振 動 の 合 成

の とき点 Ｐ の 運 動 に は,Ｏ に対 す る Ｑ の運 動 が 上 乗 せ され る こ と に な る.Ｐ の Ｑ に 対 す る変 位 をx1, Ｑ の Ｏ に対 す る変 位 をx2と

し,そ れ らが 次 式 で 表 され る と

す る. x1=A1 

sin(ω1t+ε1) 

,  x2=A2 

sin(ω2t+ε2)

(6・14)

点 Ｏ に対 す る点 Ｐ の変 位 は,こ れ ら を単 に 加 え た もの で,こ x=X1+x2=A1 

sin(ω1t+ε1)+A2 

sin(ω2t十

ε2)

れ を ｘ とす る と, (6・15)

とな る.こ の 式 は,こ の ま まで は合 成 振 動 が どの よ う な振 動 に な る か の イ メー ジ を つ か む こ と は困 難 で あ るが,図6-4に 示 して,そ

示 す よ うに,時 間 軸 に 対 す る変 位 を図 に

れ ら を作 図 的 に合 成 す る こ とに よ り,比 較 的 簡 単 に 振 動 の様 子 を知 る

こ とが で き る.こ れ らの作 業 は,現 在 で は パ ー ソ ナ ル コ ン ピ ュー タ等 を 利 用 す る こ とで,簡 単 に行 え る.   ２つ の 単 振 動 の 周 期 が 等 し い 場 合,ど

う な る だ ろ う か.す

ω1=ω2=ω

法 定 理 か ら,

と お い て 計 算 し て み る と,加 X=A1 

sin(ωt+ε1)+A2 

sin(ωt+ε2)

な わ ち,式(6・15)で,

図6-4  単 振 動 の作 図 に よる合 成

(6・16)

こ こ で,

(6・17)

と置 く と,式(6・16)は

簡 単 に な り, (6・18)

とな る.結 局,こ

れ は単 振 動 で あ り,周 期 の 等 しい単 振 動 を合 成 す る と,同

じ周

期 の単 振 動 に な る こ とが わ か る 。式(6・17)の 置 き換 え が可 能 で あ る こ とは,図65で 明 らか で あ ろ う.す な わ ち,同 トル は,大

き さ を変 え ず,同

じ速 さ で 回転 す る ２つ のベ ク トル の 合 成 ベ ク

じ速 さで 回転 す る こ とに な る.式(6・18)に

お け る振

幅 お よ び初 期 位 相 は,そ れ ぞれ 次 の よ うに な る.

(6・19)

特 に,位

相 差 ε1-ε2が ０ の と き,合

成 振 動 の 振 幅 Ａ は 最 大 と な る.ま

た,ε1

  同 じ角振 動 数 ω で振 動 す る振 幅A1とA2の 単振 動 を合 成 す る と,振 幅 Ａ で,同 じ振 動数 を もつ単 振 動 とな る. 図6-5  振 動 数 の 等 しい ２つ の単 振 動 の合 成 -ε2が

π か そ の 奇 数 倍 の と き Ａ は 最 小 に な り,こ

と な っ て,振

(２)互

の と きA1=A2な

ら振 幅 は ０

動 は 消 滅 す る.

い に垂 直 な単 振 動 の 合 成     ２つ の 単 振 動 が x=Acos(ω1t+α)  x=Acos(CUlt+α),

で 表 さ れ る と き,運

動 の 軌 道 は,こ

を 求 め る こ とで 得 ら れ る.し

(6・20)

，y=Bcos(ω2t+β) y=BcOS((U2t+β) の ２式 か ら 時 間 ｔを 消 去 し,ｘ

か し,一

般 に は,式

と ｙの 関 係 式

の 形 が 複 雑 に な り,単

純 に軌 道

の 形 を つ か む の は 困 難 で あ る の で,作

図 に よ る 方 法 が 便 利 で あ る.図6-4で

た 方 法 と 基 本 的 に は 同 じ で あ る が,一

例 を 図6-6に

サ ジ ュ ー の 図 形 と呼 ば れ る.実 た 周 波 数,振

験 的 に は,オ

示 す.こ

  ２つ の 振 動 の 周 期 が 等 し い(ω1=ω2=ω)場 (6・20)の ２ つ の 式 か ら ｔを 消 去 し て,次

の よ う な 図 形 は,リ

シ ロ ス コ ー プ の ｘ 軸,ｙ

幅 の 電 気 信 号 を 入 れ る こ と に よ り,簡

示 し

軸 に異 な っ

単 に 観 察 す る こ と が で き る.

合 を 考 え て み よ う.こ

の 場 合 は,式

式 が 得 ら れ る.

(6・21)

  こ れ は 楕 円 の 式 で あ り,振 幅 比(A/B)や ろ に 変 わ る.特

に,α-β=π/2+nπ(nは

位 相 差(α-β)に 整 数)の

と き は,よ

よ っ て,形

は い ろい

く知 ら れ た

(6・22)

と な っ て,ｘ

軸 と ｙ軸 を 主 軸 と す る 楕 円 と な る.

x=Acos(ω1t+α) y=BcaS(ω2t+β)

}

この例 で は, ω1:ω2=3:2

す な わ ち,

T1:T2=2:3 初 期 位 相 α,β が変 わ れ ば, 図形 も変 わ る. 図6-6  リサ ジ ュー の 図形 作 図法

問2.ω1:ω2を 問3.式(6・21)を

い ろ い ろ に変 え,リ サ ジ ュ ー の 図 形 を 作 図 し て み よ. 導 い て み よ.

[３] 減 衰振動 と強制振動   単 振 動 に お い て は,常

に力 学 的 エ ネ ル ギー が保 存 され る.こ

の こ と は運 動 方 程

式 を積 分 して み れ ば わ か る.式(6・4)を 例 に と って み よ う.結 局, /1 2mυ2+1/2kx2=一

(6・23)

定

とな り,運 動 エ ネ ル ギ ー と ポテ ン シ ャル エ ネ ル ギ ー の和 は,常 に 一 定 に な る こ と が わ か る.振 動 は永 久 に 止 らな い.   と こ ろが,現

実 の 振 動 に お い て は,空 気 抵 抗 や 機 械 的摩 擦 の た め,だ

振 幅 が小 さ くな り,や が て止 っ て し ま うの が普 通 で あ る.こ

んだん と

の よ うな 振 動 を減 衰

振 動 とい う.一 方,時 計 の振 り子 や 人 が 乗 っ て い る と きの ブ ラ ン コの よ う に,い

つ まで も動 き続 け た り,場 合 に よ っ て は振 幅 が 大 き くな る よ う な振 動 もあ る.こ れ らは 外 部 か ら意 図 的 に エ ネ ル ギ ー が 供給 され て お り,こ の よ うな 振 動 を 強 制 振 動 とい う.こ

こで は,単 振 動 の よ う な 理想 化 され た振 動 に 対 し,現 実 に観 察 され

る振 動 が どの よ うな もの で あ り,ど の よ うに 取 り扱 わ れ るか を考 え る.   (１)  減 衰 振 動     単 振 動 にお い て は,変 位 に比 例 す る復 元 力 が働 い て い た が, 減 衰 振 動 に お い て は,こ れ に さ ら に抵 抗 力 が加 わ って くる.こ れ を ｆ と して 運 動 方 程 式 を書 い て み る と, (6・24)

とな る.現 実 に働 く抵 抗 力 は い ろい ろ あ り,空 気 抵 抗,接 触 部 で の摩 擦,弾 性 体 の内 部 摩 擦,ま

た,こ れ ら の複 合 し た もの な ど複 雑 で あ る が,こ

こで は,数 学 的

取 り扱 い の都 合 上,流 体 にお け る粘 性 抵 抗 の よ う に,速 度 に比 例 す る抵 抗 力 が働 く場 合 を考 え る.こ れ をf=hdx/dtと

置 く と,式(6・24)は, (6・25)

と 書 け る.こ

こ で,式

の 形 を 整 理 す る た め,k/m=ω2お

よ びh/m=2λ

と 置 く と,式

( 6・25)は,

(6・26)

と な り,２ 階 の 線 型 微 分 方 程 式 と 呼 ば れ る 形 に な る.こ ま か せ る が,簡

単 に 結 果 を述 べ る.一

套 手 段 と し て,x=eβtと

の 解 法 は,数

般 解 を 求 め る た め に,こ

置 い て み る と, 

学 の教 科 書 に

の よ うな場 合 の常 と な る か ら,式

(6・26)に 代 入 し て 整 理 す る と, β2+2λ

と い う 二 次 方 程 式 が 得 ら れ る.λ2〓 る と,式(6・26)の

(ｉ)λ2＞

ω2の と き,上

式 が ２根 β1,β2を もつ も の と す

一 般 解 は,

x=C1eβ1t+C2eβ2t

と な る 。 次 に,λ

(6・27)

β+ω2=0

(C1,C2は

任 意 定 数)

(6・28)

と ω の 大 小 に よ る減 衰 の 様 子 を 調 べ よ う 。

ω2の 場 合   す な わ ち,抵

抗 が 非 常 に 大 き い 場 合 は,式(6・27)の

２根

は実 根 で, (6・29)

と な る.β1,β2は

と も に 負 で あ る の は 明 ら か で あ る か ら,式(6・28)の

れ も 単 調 に 減 衰 し,時 大 き け れ ば,振

間 と と も に ０ に 近 づ く.常

０に 近 づ き,式(6・28)の

らに

第 １項 は な か な か 減 衰 し な くな

さ に 蜂 蜜 の 中 で 振 り子 を振 る よ う な も の で あ る.

  (ⅱ)λ2<ω2の 27)の

抗 が非 常 に

動 す る こ と な く直 接 停 止 に 向 か う こ と が わ か る で あ ろ う.さ

抵 抗 が 大 き け れ ば,β1は る.ま

識 的 に 考 え て も,抵

２項 は い ず

場 合   す な わ ち,復

元 力 に 比 べ て 抵 抗 が 小 さ い 場 合 は,式(6・

２根 は 虚 根 と な る.式(6・28)は, (6・30)

と な る が,ejx=cos 

x+jsin 

xの

関 係 を 利 用 し て 上 式 を 書 き直 す と,

(6・31)

と な る.ｘ

が 実 数 で あ る た め に は, C1とC2が

こ れ をC1=D1+jD2, 

共 役 複 素 数 で あ る 必 要 が あ る の で,

C2=D1-jD2(D1,D2は

任 意 実 数)と 仮 定 す る と, (6・32)

と 書 き 直 せ る.こ

こ で さ ら に,2D1=Acosα,2D2=Asinα

と 置 く と,結

局,

(6・33) と な る.

  この 式 は,単 振 動 の振 幅 がAe-λtで

あ り,こ れ が 指 数 関 数 的 に減 衰 し て い く こ

とを 表 し て い る.す なわ ち,抵 抗 が 小 さ い と き振 幅 が徐 々 に減 少 しな が ら振 動 が 続 くわ け で,こ れ を減 衰 振 動 とい う.図6-7に

そ の様 子 を示 す.

式(6・33)か ら,減 衰 振 動 の周 期 Ｔ は

に等 し く,抵 抗 が な い場 合 の単

振動 の 周 期2π/ωに 比 べ て 長 くな る. １周 期 ご と の振 幅 の比 を求 め る と,指 数 関 数 的 減 衰 の 特 徴 と して,そ れ ら はす

*  jは 虚 数 単 位 で あ る(j2=-1).数 で,習

慣 上jを

学 で はiを 用 い る が,電

用 い る こ とが 多 い.本 書 で は,jを

気 工 学 で はiを 電 流 の記 号 に用 い る の

用 い る こ と にす る.

図6-7減

衰振動

べ て 等 し く,

(6・34)

と な る.こ

の対 数 を とっ た値

(6・35)

を対 数 減 衰 率 とい う.   (ⅲ) 

λ2=ω2の 場 合   す な わ ち,復

(6・27)は 等 根 を も つ の で,一

元 力 と 抵 抗 力 と が ほ ぼ同 程 度 の 場 合 は,式

般 解 は 式(6・28)の 形 に は な ら な い.こ

の場 合 の一 般

解 は, x=e-λt(A+Bt) 

  (Ａ,Ｂ

の 形 で 与 え られ る.こ の場 合,減 らな いが,(ⅰ)よ

は 任 意 定 数)

衰 の仕 方 は,(ⅰ)の

(6・36)

場 合 と似 て い て振 動 的 に な

り速 や か に に減 衰 す る.こ の場 合 を臨 界 制 動 とい う.メ ー タ ー の

指 針 や 直 示 天 秤 な ど の よ うに,平 衡 点 に す ば や く静 止 す る 必 要 の あ る振 動 系 で は,

制 動 特 性 が 臨 界 制 動 に な る よ うに 設 計 され て い る.   (２)  強 制 振 動     復 元 力 以 外 の 力 と して,周 期 的 な力 が 加 わ る場 合 を考 え て み る.す な わ ち,式(6・24)の 抵 抗 力-fの

代 わ りに,周 期 的外 力Lcos  ptが 加 わ

る とす る と,運 動 方 程 式 は, (6・37)

と 書 け るk.k/ m=ω2,L/m=lと

置 い て 書 き 直 す と, (6・38)

の微 分 方 程 式 とな る.こ の 場 合 の 振 動 は,外 力 が 強 い極 限 で は それ と同 じ周 期 に な り,逆 に外 力 が 弱 い極 限 で は本 来 の単 振 動 に な る と考 え られ るか ら,一 般 解 は cos ptを 含 む 項 とcos(ωt+α)を

含 む項 と の和 に な り, (6・39)

とな る.第

１項 は,振 動 体 が 外 力 な しで 自 由 に振 動 す る場 合 の振 動 数 を もつ もの

で,固 有 振 動 と呼 ばれ る.第

２項 は,外 力 と同 じ振 動 数 を も つ もの で,強 制 振 動

と呼 ばれ る. 第 ２項 の 係 数,す

なわ ち強制 振動 の振幅

に注 目す る と,外 力 の振 幅l

に比 例 す る の は 当然 で あ る が,分 母 が ω2-p2で あ る の で,固 有 振 動 と外 力 の振 動 数 が近 くな る と急速 に振 幅 が 大 き くな る.こ の 状 態 を共 振 また は共 鳴 と い う.   一 般 の 振 動 系 で は,抵 抗 も周 期 的 外 力 も同 時 に働 い て い る こ とが 多 い.こ 合,運

動 方 程 式 は, (6・40)

と な る.い

ま ま で と 同 様 に,ω,λ,lを

導 入 す る と, (6・41)

と 書 け る.ω2-λ2>0の

た だ し,

と き の 一 般 解 は,

の場

(6・42)

と な り,当 然 の こ となが ら,減 衰 振 動 と強 制 振 動 をつ き合 せ た結 果 とな る.注

目

され る の は,強 制 振 動 項 に位 相 の ず れ εが 生 じ る こ とで,こ れ は抵 抗 力 の 影 響 で あ る.す な わ ち,外 力 が 働 い て か ら,実 際 に振 動 が起 こ る の に遅 れ が 生 じる に と に な る.

6・2波

 動

［１］ 媒 質 と波 の エ ネ ル ギ ー   前 に 述 べ た よ うに,波 動 ま た は 波 とは,媒 質 中 に生 じた ひず みが 時 間 と共 に ま わ りに 伝 わ っ て い く現 象 を い う.水 の 波 が存 在 す る た め に は水 が な け れ ば な らな い.音 が 空 気 中 を伝 わ る に は空 気 が い る.真 空容 器 の 中 で音 叉 を鳴 ら して も何 も 聞 こえ な い.こ

の よ う に,波 動 が 伝 わ る に は媒 質 が 必 要 で あ る.し か し,水 上 の

舟 は波 の速 さ で流 され るわ け で もな く,音 が 聞 こ え た か ら とい っ て 同 じ速 さで 風 が 吹 い て くる わ け で もな い.す

な わ ち,波 動 は あ くま で も波動 と し て の運 動 状 態

が 移 動 す る だ け で あ っ て,媒 質 そ の もの の 移 動 で は な い.つ

ま り,エ ネ ル ギ ー の

み が 伝 わ っ て い く もの で あ る.   そ れ で は,ど

ん な物 体 で も媒 質 に な り得 る か とい う とそ うで はな い.例

変 形 に対 して 全 く抵 抗 しな い 物 質 で は,あ 伝 わ る に とが で きな い.つ

えば,

る部 分 が 変 形 して もそ の 付 近 に そ れ が

ま り,弾 性 的 な 結 合 が あ る こ とが重 要 で,変 形 を 元 に

も どそ う とす る復 元 力 が 必 要 で あ る.ま た,運 動 が 継 続 す るた め に は,慣 性 が 必 要 で あ る.水

に石 を投 げ込 ん だ と き波 紋 が 広 が る理 由 を考 え て み れ ば よ い.石 が

押 しの け た水 は,石 が 通 過 して し ま え ば元 に も どっ て くるが,そ

の ま ま直 ち に 停

止 す るわ け で はな く,慣 性 の た め に安 定 点 を行 き過 ぎ る.や が て も ど って きた 水 は再 び 行 き過 ぎ,こ の よ うな運 動 を操 り返 して,連 続 した 波 紋 を水 面一 杯 に広 げ

て い く.に の よ う に,運 動 エ ネル ギ ー と位 置 エ ネル ギ ー を交 互 に 交 換 す る振 動 が 波 源 で操 り返 され,こ

れ が 弾 性 的 に結 合 した 周 囲 の 媒 質 に伝 え られ て い くの が,

一 般 的 な 波 動 の特 徴 で あ る.   しか し,電 磁 波(光)だ け は例 外 で,物 質 の何 もな い空 間 す なわ ち真 空 中 を伝 わ る こ とが で き る.こ

の こ とは 長 年 の 間,物 理 学 者 を悩 ませ,エ

的 な媒 質 まで 考 え られ たが,や

ー テ ル とい う仮 想

が て ア イ ン シ ュ タ イ ン の相 対 性 理 論 の 登 場 に よ り,

空 間 自体 の 基 本 的 性 質 に帰 着 し,さ ら に は物 理 学 の 根 本 的 変 革 に つ な が って い く こ とに な る.

  ［２］ 波 動 の 式   最 も簡 単 で 代 表 的 な 波 形 で あ る正 弦 波 を例 に とっ て 考 え て み よ う.図6-8に い て,波 源 が1回 振 動 す る間 に波 動 が進 む 距 離,す

図6-8進

お

な わ ち進 ん で い く波 の 山 か ら

行 す る波

山,ま た は 谷 か ら谷 まで の距 離 を波 長 と呼 び,λ で表 す こ とに す る.振 幅 を Ａ,波 の 進 む速 さ を υ と し,波 の進 む 方 向 を ｘ軸,変

位 を ｙ軸 に と っ て,波 の 形 を

y=Asin 

(6.43)

ax

と書 くこ とに す る.波 の形 は周 期 的 に操 り返 す の で,ｘ 点 の変 位 と,そ ょ う ど波長 分 λだ け進 ん だ 点(x+λ)に Asin 

ax=A 

お け る変 位 とは,同

じ大 き さで あ るか ら,

(6.44)

sin a(x+λ)=Asin(ax十aλ)

で な け れ ば な ら な い.三

角 関 数 の 性 質 と し て,上

(6・43)に 代 入 す れ ば,変

位 の 式 は,

こか ら ち

式 で αλ=2π

に 当 た る の で,式

(6・45)

と 表 し て も よ い こ と に な る.t=0で

の 波 の 形 が,こ

る と,ｔ だ け 時 間 が た っ た 後 の ｘ 点 の 変 位 は,は い た 変 位 に 当 た る か ら,時

の 式 で 表 され て い た もの とす

じ めx-υtの

刻 ｔに お け る 変 位 は,ｘ

と こ ろ に起 こっ て

の 代 り にx-υtと

お い て,

(6・46)

と な る 。 こ れ で,式

の 中 に,ｘ(位

置)と

ｔ(時刻)が 同 時 に入 っ た わ け で あ り,波 が

時 間 と と も に 進 ん で い く様 子 が 表 さ れ た こ と に な る.同 む 波 は,ｘ

点 の 変 位 が は じ めx+υtの

じ よ う に,負

の 向 き に進

と こ ろ に 起 こ っ て い た 変 位 で あ る か ら,

(6・47)

と 表 せ る.さ ら な い の で,初

ら に,波

は,x=0,t=0で,ち

ょ う どy=0か

期 位 相 を ε と す る と,式(6・46),(6・47)は,ま

ら ス タ ー トす る と は 限 とめ て一 般 に (6・48)

の よ う に 表 さ れ る こ と に な る.

波 動 の 周 期 を Ｔ とす る と,波 長 とは １周 期 の 間 に波 が 進 む 距 離 で あ る か ら, λ=υT の 関 係 が あ り,こ

(6・49)

れ を 使 え ば,式(6・48)は,

(6.50) の よ うに 書 くこ と もで き る.さ ら に,単 振 動 の場 合 と同 様 に,周 期 Ｔ と振 動 数 Ｌ の関 係

    ν=1/T

(6・51)

を 使 う と,式(6・48)は,

(6.52) と も書 け る.ま た,2π

とい う 区間 に 含 まれ る 波 の 数 に 相 当 す る量 で あ る 波 数 ｋ

お よび 振 動 数 νと角 振 動 数 ω との関 係 を使 う と, ω=2π

ν

(6・53)

か ら,式(6・48)は, (6・54)

と も表 せ る.こ れ ら い ろ い ろの表 現 は,波 動 の ど の要 素 に注 目 し て数 式 化 す る か の違 い に よ る もの で,本 質 的 に は 全 く同 じで あ る.も ち ろん,sinの

代 わ りにcos

を使 う こ と もで き る.こ れ は,単 に 位 相 の取 り方 を変 えた も の に す ぎな い.   密 度 ρ の媒 質 中 を,振 幅 Ａ,角 振 動 数 ω の 波 が 速 さ υで 進 む と き,波 の 進 行 方 向 に垂 直 な単 位 面積 を単 位 時 間 に 通 過 す る エ ネ ル ギ ー Ｉは, 1=1/2ρ υω2A2

(6・55)

とな る.こ れ を波 動 の エ ネル ギ ー ま た は波 の 強 さ とい う.波 の強 さ は,振 動 数 の ２乗 と振 幅 の ２乗 に比 例 す る こ とが わ か る. 波 動 方 程 式     波 動 の式 が 式(6・48)の よ う に与 え られ る と き,ｙ を ｘ につ い て ２度 偏 微 分 して み る(偏 微 分 とは,複 数 の 変 数 を もつ 関 数 を微 分 す る とき,そ の う ち の １つ の変 数 の み につ い て微 分 を行 い,他 の 変 数 は定 数 と して取 り扱 う方 法 を い う).す な わ ち,

(6・56)

とな り,単 振 動 の 方 程 式 とな る.次 に,も 微 分 を行 っ て み る と,

う １つ の変 数 で あ る ｔに 関 して ２度 偏

(6・57)

と な り,こ

れ も単 振 動 の 方 程 式 で あ る.す

な わ ち,波

動 は,位

置 的 に も時 間 的 に

も単 振 動 し て い る こ と が わ か る. 次 に,式(6・56),式(6・57)を

右 辺 の 共 通 部 分 を 利 用 し て ま と め る と,

(6・58)

の 関 係 が 成 立 す る.こ の 形 の偏 微 分 方 程 式 を,一 般 に波 動 方 程 式(一 次 元 の)と い う.   こ こで は,正 弦 波 的 な 周 期 を もつ 波 を例 に とっ て 議 論 を進 め た が,波 動 方 程 式 を 満足 す る もの と して は正 弦 波 で あ る 必 要 はな い.一 般 的 に,ｙ がx-υt,あ い はx+υtに

る

対 す る任 意 の関 数 y=f(x-υt) 

，   y=g(x+υt)

(6・59)

で あれ ば,

(6・60)

(6・61)

が 成 立 し,波 動 方程 式 が 満 足 され る.さ らに,波 動 方 程 式 の 重 要 な特 徴 は,重 ね 合 わ せ が 可 能 な こ とで,式(6・59)の y=c1f(x-υt)+c2g(x+υt) 

２式 が 波 動 方 程 式 の 解 な ら,こ れ らの線 型 結 合   (c1,c2は

定 数) 

     

(6・62)

もや は り解 とな る.こ の こ とが,複 数 の 波 が 重 な っ た と き に そ の 強 度 が 足 し引 き され る とい う,い わ ゆ る干 渉 現 象 に対 す る数 学 的 根 拠 とな っ て い る.

6・3  い ろ い ろ な 波 動 い ま まで正 弦 波 を例 に と り,波 動 の 数 学 的 表 現 を学 ん だ.さ

ら に,波 動 現 象 の

基 礎 とな る波 動 方 程 式 を 導 き,そ の 一 般 解 が 重 ね 合 わ せ の原 理 に従 う こ とが 明 ら か に さ れ た.こ れ に対 して,こ

こで 我 々 が 日常 観 察 す る い ろい ろ な波 動 現 象 を取

りあ げ,説 明 を試 み る こ と とす る.

  [１]弾   (１)弦

性

波

を 伝 わ る横 波    張 力 Ｔ で 張 っ た 弦 を考 え る.こ れ を手 で 弦 と直 角

方 向 に引 き伸 ば す と弦 の弾 性 の た め元 に も どろ う とす る応 力 が生 じ,手

を離 せ ば

振 動 し は じめ,波 動 とし て 弦 を伝 わ っ て い く.こ の よ う に変 形 を元 に も どそ う と す る力 が 媒 質 の弾 性 に起 因 して い る波 を弾 性 波 とい う.弦 の 振 動 方 向 は,弦

と直

角 方 向 で あ り,波 の伝 わ る 方 向 と直 角 で あ る.こ の よ うな 波 を横 波 とい う.   この よ うに して,振 動 して い る弦 の一 部 が,い る とす る.長 さ δxの 微 小 部 分PQの

ま 図6-9に

示 す よ う な状 態 に あ

両 端 は,振 幅 が 極 端 に大 き く な い 限 り同 じ

張 力 Ｔ で 引 っ 張 られ て い る と考 え て よ い.弦

は 曲線 を な して い る の で,両 端 で

Ｔ の 向 きが わ ず か に異 な り,そ の ｙ方 向 成 分 の 合 力 が 弦 を 元 に 引 き も どそ う と す る力 に な る.弦 のPQ部

分 の 運 動 方 程 式 を求 め る と,線 密 度 を σ と して, (6・63)

図6-9弦    横波

を伝 わ る

と な る.し

か し な が ら,ψ,ψ'が

と も に 微 小 で あ る と 考 え て よ い か ら,

(6・64)

さ ら に,微

分 法 の 公 式 を適 用 す れ ば,式(6・63)の

右 辺 に お い て,

(6・65)

と な る か ら,式(6・63)は,

(6・66)

と な り,こ

れ は 波 動 方 程 式 に ほ か な ら な い.式(6・58)と

比 較 す れ ば,T/σ

は υ2に

相 当 す るか ら,弦 を伝 わ る波 の速 さ υは, (6・67) と な る.

  (２)棒

を 伝 わ る縦 波    棒 の 一 端 を長 さ の 方 向 に た た くか こす るか す る と,

棒 は伸 縮 し,こ れ を も どそ う とす る弾 性 が 振 動 を生 じ て,棒 の 中 を波 動 が 伝 わ っ て い く.こ の と きの 波 の伝 わ り方 は,ば ね を使 っ た 実験 で 見 られ る よ う に,波 の 進 む 方 向 に伸 び縮 み を交 互 に繰 り返 し な が ら進 む.こ の よ うに,波 の 進 行 方 向 と 変 位 の 方 向 が一 致 す る波 を縦 波 とい い,伸 縮 に よ り密度 が 疎 密 を繰 り返 して 進 む の で,疎 密 波 と もい う.   い ま,棒 の 長 さ方 向 に ｘ軸 を と り,ｘ か らx+δxま で の微 小 部 分PQが,図6 -10に 示 す よ う に,そ れ ぞれ,x+uか ら(x+δx)+(u+δu)ま で のP'Q'部 分 へ 長 さ を変 え つ つ移 動 した とす る.長

さ δxの 部 分 が δuだ け伸 び たわ け で あ るか

ら,δx全 体 を考 え た と きひ ず み は ∂u/∂ xで 与 え られ,こ れ は この 部 分 の 両 端 で そ れ ぞれ の ひ ず み に応 じて働 い て い る張 力 の 差 に よ っ て生 じた もの で あ る.棒 の 断 面積 を Ｓ,ヤ ン グ率 Ｅ,密 度 を ρ と して,運

動 方 程 式 をた て て み る と, (6・68)

図6-10

式(6・65)と

同 様 に し て,右

棒 を伝わる縦波

辺 を ま と め て 整 理 す る と,

(6・69)

と な り,波

の 伝 わ る 速 さ は,式(6・58)と

の 比 較 か ら,

(6・70)

と な る こ とが わ か る.

この よ う に,弾 性 波 の場 合,そ

υ=√弾 性率/密度

の伝 わ る速 さ は, (6・71)

の 形 で 一 般 化 で き る こ とが わ か る.弾 性 率 は す な わ ち復 元 力 の大 き さ に比 例 し, 密 度 は慣 性 の大 き さ に比 例 す るわ け だ か ら,波 の 速 さ が この よ う に表 さ れ るの は も っ と もな こ とで あ る. (３)

気体 中の音速

密 度 ρ,体 積 弾 性 率 ｋ の流 体 中 を伝 わ る縦 波 の速 さ は,

同 様 の考 え 方 か ら, (6・72)

とな る こ とが わ か っ て い る.し か し なが ら,気 体 中 を伝 わ る音 波 の場 合,そ

う単

純 で は な い.   理 想 気 体 の体 積 弾 性 率 は等 温 変 化 な ら圧 力 ｐに 等 しい.な ぜ な ら,ボ イ ル の 法 則pV=一

定   が 成 り立 つ の で,こ

れ を全 微 分 す る と,

pdV+Vdp=0 (6・73)

とな り,簡 単 に証 明 で きる.音 が 伝 わ る短 い時 間 内 に,温 度 が 急 激 に変 わ る こ と は考 え られ な い の で,こ た.実

の ｋ を使 っ て よ さ そ うで あ るが,実 験 と は一 致 し なか っ

は,音 波 の 進 行 に伴 って 気 体 の膨 張 圧 縮 は非 常 に急 激 に行 わ れ,局

は熱 の 出入 りの な い 状 態,す

所的 に

な わ ち 断 熱 変 化 で あ る とみ な さ な け れ ば な ら な い.

この と き,圧 力 ｐ と体 積 Ｖ の 間 に は,pVγ=一

定(γ は比 熱 比,す

な わ ち定 圧 比

熱 と定 積 比 熱 の比)の 関 係 が あ るの で,同 様 の計 算 を行 う と, k=γp と な り,こ

(6・74)

れ を 式(6・72)に

代 入 す る と,

(6・75)

が 得 られ る.こ の 式 を理 想 気 体 の 状 態 方 程 式 を使 っ て 書 き直 す と,気 体 定 数 を Ｒ,気 体 の 分 子 量 を Ｍ,絶

対 温 度 を Ｔ と して, (6・76)

と も 表 せ る.表6-1に,い

[２]

水

の

ろ い ろ な 物 質 に つ い て,実

測 さ れ た 音 速 を 示 し て お く.

波

  水 面 にで きる波 は,波

と して 日常 最 も 目に触 れ る もの で あ るが,単 純 で は な い.

水 面 に 浮 か ん だ木 の葉 の 動 きを観 察 す る と,単 な る上 下 運 動 で は な く,図6-11に 示 す よ う に,波 の進 行 方 向 へ の往 復 運 動 が 加 わ り,結 果 と して 円 を描 い て い る こ とが わ か る.こ れ は,盛

り上 が っ た 水 面 が重 力 に よ っ て水 平 に な ろ う と し て起 こ

い ろい ろな物 質 中 の 音速

表6-1 (ａ)

気体 中の音速

(ｂ)

(ｃ)

固体中の音速

(理科 年 表1991年

図6-11

液体中の音速

水面の波

版 によ る)

る波 動 で あ っ て,重 力 が 復 元 力 と して働 い て い る.こ れ を重 力 波 と い う.重 力 波 の 速 度 は,結 果 の み 示 す と,

(6・77)

とな り,速 度 が 波 長 に関 係 す る.  波 長 に対 し て水 深 が 浅 くな る と,水 面 は完 全 な 円 運 動 が で き な くな り,水 平 方 向 に長 い楕 円 運 動 に な っ て くる.こ の とき の波 の速 度 は,水 深 を ｈ とす る と, (6・78)

とな り,波 長 に無 関 係 と な る.外 洋 か らや って きた波 が,岸

に近 付 くに つ れ て ほ

ぼ海 岸 線 と平 行 に な る の は,こ の理 由 に よ る.   波 長 が 非 常 に短 くな る と,水 面 の 曲率 半 径 が 小 さ くな って 表 面 張 力 の影 響 が現 れ て くる.液 の 密 度 ρ,表 面 張 力 の 大 き さ を Ｔ とす る と,波 の速 さ は,

(6・79)

とな り,第 ２項 が 表 面 張 力 に よ る もの で あ る.波 長 が 極 端 に小 さ くな っ て 第 １項 が 無 視 で き る よ うに な る と,表 面 張 力波 と して さざ 波 が 現 れ る.

6・

4

波 の重ね合わせ

  波 は,波 動 方程 式 に 支 配 され る現 象 で あ る.１ つ の 波 動 方 程 式 を満 足 す る い く つ か の波 が 可 能 で,こ

れ ら を加 え合 わせ た変 位 を もつ 波 も起 こ り得 る こ とが,前

の6・2節 で 示 され た.こ

の よ う に波 を重 ね合 わ せ,そ

の結 果 と して波 が 強 め合 っ

た り弱 め 合 っ た りす る現 象 を干 渉 とい う.波 の干 渉 の結 果 と して 特 徴 的 な 現 象 を い くつ か 示 そ う.

[１]

２点 か ら 出 る 波 の 干 渉

  図6-12に

示 す よ う に,２ つ の波 源A,Bか

ら等 し い ２つ の 正 弦 波 が 発 し,干 渉

す る場 合 を 考 え る.水 面 で ２つ の波 紋 が 重 な り合 う様 子 を考 えれ ば よ い.波 は 波

図6-12

２点 か ら出 る波 の干 渉

源 か ら放射 状 に出 る の で あ るか ら減 衰 す る は ず で あ るが,こ

れ を無 視 す る.２ つ

の波 の 式 を (6・80)

と し,γ1, γ2は,そ

れ ぞ れ の 波 源 か ら,任

意 の 点 Ｐ ま で の 距 離 とす る.

  点 Ｐ に お い て ２つ の 波 の 振 動 方 向 が 一 致 して い る とす れ ば(例 え ば,振 動 方 向 が紙 面 に垂 直 な横 波),合

成 波 は,

(6・81)

と な る.こ

こ で,cosの

項 に は 時 間 ｔが 含 ま れ な い の で,こ

の項 が ０に な る と き は

時 間 に 関係 な くyが

０ とな り,こ の条 件 を満 た す 点 は常 に振 幅 が 極 小 とな る.す

な わ ち, (6・82)

の 点 が これ に 当 た る.一

方,

(6・83)

を満 た す 点 で は,振 幅 が 極 大 とな る.す な わ ち,こ れ らの 点 が 空 間 的 に 固 定 され る こ とに な り,例 え ば,水 面 の波 紋 で 実 験 した場 合,固 定 した 縞 模 様 が現 れ る こ と に な る.

[２]う

  な り

 振 幅 と速 さは 等 し いが,振 動 数 が わ ず か に 異 な る ２つ の 正 弦 波 が 同 じ方 向 に伝 わ っ て い る場 合 を考 え る.２ つ の 波 の 式 を (6・84)

と し,合

成 す る と, y=y1+y2 (6・85)

と な る.

sinの 項 は,ほ

とん どは じめ の波 の振 動

常 に 小 さ な 値 に な る た め,ゆ

数 に等 し い が ，cosの

っ く り と振 動 す る 項 に な る.し

sinの 項 の 振 幅 で あ る と考 え て も よ い こ と に な り,sinの 動 数 で ゆ っ く り と変 化 す る こ と に な る.図6-13に

項 は 〓が

た が っ て,cosの

非 項 は

項 の振 幅 が

〓の振

そ の 様 子 を 示 す.音

の場 合 で あ

る と 一 定 の 高 さ の 音 が 周 期 的 に 強 く な っ た り弱 く な っ た りす る よ う に 聞 こ え る. こ の 現 象 を う な り と い う.単

位 時 間 に 操 り返 さ れ る う な り の 回 数 は,式(6・85)の

cosの

つ の 波 の か た ま り を 作 る か ら,結

項 の １振 動 の 間 に,２

局,

(6・86)

図6-13 

うな り

と な り,良 く知 られ て い る よ う に,２ つ の 波 の 振 動 数 の差 に等 しい.   この 現 象 は,楽 器 の音 程 を合 わ せ るの 数 に使 わ れ る.ま た,電 気 の ほ うで は,高 周 波 と音 声 信 号 とが 合 成 さ れ た 入 力 信 号 か ら音 声 信 号 の み を取 り出 す た め に,こ の 現 象 を利 用 す る.す な わ ち,入 力 信 号 と近 い 周 波 数(振 動 数)の 信 号 を別 に作 っ て 合成 して や る と,２ つ の信 号 の差(う な り)と して,音 声 信 号 の み を取 り出 す こ とが で き る.こ の 方 法 をヘ テ ロダ イ ン検 波 とい う.

[３]定

常波 および波 の反射 と位 相の関係

  全 く等 しい ２つ の 正 弦 波 が,一

直線 上 を互 い に逆 向 き に進 ん で 干 渉 す る場 合 を

考 え る.２ つ の 波 の 式 を (6・87)

とす る と,合

成 波 は,

y=y1 

+y2

(6・88) と な る.

  こ の 結 果 を み る と,cosの が わ か る.し

た が っ て,cosの

項 は 位 置x,sinの

項 は 時 間 ｔの み の 関 数 で あ る こ と

項 が ０ と な る 位 置 は 常 に ｙ が ０ と な り,あ

動 い て い な い よ う な 波 形 を 作 る.こ

れ を 定 常 波 と い う.図6-14に

た か も

模 式 図 を示 す

図6-14

が,y=0の

定常波

固 定 し た点 を節 とい い,そ の 中 間 の最 も振 幅 の大 き くな る点 を腹 と い

う 。 節 の 位 置 は,の

点 で あ り,腹

の 位 置 は,x=0,λ/2,λ,…

の点 で あ る こ とは,容 易 に導 か れ る.   定 常 波 の で きる原 因 が,互 が,こ

い に逆 数 に進 む 等 しい 波 の合 成 で あ る に とが わ か っ た

の よ う な条 件 は,ど の よ う な場 合 に起 こ り得 る だ ろ うか.実

は,進 行 し て

い る波 が媒 質 の異 な る境 界 面 あ るい は固 定 点 で 反 射 さ れ る と き,進 行 波 と反 射 波 が 干 渉 して 定 常 波 とな る こ とが 多 い の で あ る.波 が 反 射 す る と き,境 界 条 件 数 によ っ て位 相 が 変 わ る こ とが あ る.こ の 条 件 を考 えて み よ う.   弦 の 両端 の よ うに媒 質 の端 が 固 定 され て い る場 合,波 で な け れ ば な らな い.つ

は この 点 で 常 に振 幅 が ０

ま り,振 動 の節 の位 置 数 にな る.固 定 点 を原 点x=0に

と

り,Χ 軸 上 を 波 が 進 んで きて,固 定 点 で 反 射 して も ど る場 合 を考 え る.進 行 波 の 式を (6・89)

とす る と,反 射 波 は反 対 向 きに進 む の だ か ら, (6・90)

と書 け る ・ こ の ２ つ が 合 成 さ れ る と き,x=0に

お け る 変 位 は,

(6.91) とな る.こ れ が 常 に ０で あ るた め に は,A=B,ε=π わ ち,波

で な け れ ば な らな い.す な

が 固 定 端 で反 射 す る と き は,振 幅 が 変 らず位 相 が π(半波 長)ず れ る こ と

に な る.   棒 の 両 端 の よ う に,媒 質 の端 が 自 由 で あ れ ば,そ

こ に は応 力 が 生 じ な い の で振

幅 は最 大 とな る.す な わ ち,振 動 の 腹 の位 置 に な る.こ るか ら,で

の点 は変 位 の極 大 に 当 た

な けれ ば な らな い.し た が って,式(6・89),式(6・90)を

分 して,x=0に

微

お いて 加 え合 わ せ た 式

(6・92)

が,常 数 に ０数 にな る た め 数 には,A=B,ε=0で

あ る必 要 が あ る.す な わ ち,波 が 自 由

端 で 反 射 す る と きは,振 幅 も位 相 も変 わ ら な い.   固 定 端 や 自 由端 で は,入 射 す る波 は す べ て反 射 され て し ま うが,一 般 の場 合, 完 全 な固 定 端,自

由端 と は限 らな い こ とが 多 い.例

弦 をつ な い だ よ うな場 合,波

え ば,弦 の 端 に密 度 の 異 な る

の一 部 は反 射 され 一 部 は さ らに に の弦 に伝 わ っ て い

くこ とに な る.こ れ は,光 の場 合 に お け る屈 折 率 の違 う媒 質 へ の 入 射 と同 じ こ と で,反 射 率,透

過 率 等 も定 義 され る こ とに な るが,こ

こ で は省 略 す る・

  以 上,進 行 波 と反 射 波 の 干 渉 で 定 常 波 が で き,媒 質端 面 の性 質 か ら入 射 波 に対 す る反 射 波 の 位 相 関 係 が決 る こ とが わ か っ た.こ れ らの 結 果 を利 用 す れ ば,あ 長 さ の 弦 あ る い は気 柱 に お い て,ど

る

の よ うな 定 常 振 動 が 存 在 し得 るか を,簡 単 に

見 積 る こ とが で き る.２,３ の 例 を示 そ う.   図6-15に

示 す よ う に,長 さ τの弦 が あ っ た と き,ど の よ う な振 動 が 可 能 か を 考

え る.弦 の場 合,両 端 が 固定 端 で あ るか ら,弦 の中 を進 む波 は両 端 で 反 射 す る こ と数 に π ず つ 位 相 を 変 え,結 局,両 端 が 節 に な っ た 形 で定 常 波 が 形 成 され る こ とに な る.定 常 波 を表 す 式(6・88)の

図6-15

か らわ か る よ う数 に,隣

り合 う節(ま た は 腹)の 間 隔 は,cosの

弦 の 定 常振 動

項 が ０に な る条 件 で

あ る か ら, (6・93)

と な り,半 は,図6‐15に

波 長 ご と に 節 が 形 成 さ れ る.し

た が っ て,長

さ τの 弦 に 可 能 な 定 常 波

示 す よう数 に,

(6・94)

と な り,と び とび の 波 長 の もの だ け が許 され る こ とに な る.   同 じ よ う に,開 管 に お け る気 柱 の振 動 を図 示 し た もの が 図6-16で   これ らの 事 実 は,ま

あ る.

た,振 動 体 に外 部 か ら不 規 則 な振 動 エ ネ ル ギ ー が 与 え られ

た と き,定 常 振 動 にな り得 る振 動 数 の もの だ けが 選択 的 に 取 り入 れ られ る こ とを 示 して い る.こ の た め,弦 楽 器 にお い て,単 に弦 を こす っ た りは じい た りす る だ

図6-16

気柱の定常振動

けで,一 定 の 音 程 の音 が 得 られ る こ と に な る.定 常 波 の 考 え 方 は物 理 的 に 重 要 で, 例 え ば,原 子 内 の 電 子 の軌 道 に お い て も,波 動 と して の 電 子 が 定 常 波 を な す エ ネ ル ギ ー だ け が とび とび の値 で 許 され る もの と解 釈 さ れ て い る.

問

４

[４]

管 の 片 側 が 開 口,反

対 側 が 閉 口 の 場 合 の,定 常 波 を作 図 し て み よ.

フー リエ 分 析

  周 期 的 な 関 数y=f(x)は,次

の よ うな 正 弦 関 数 の和 の 形 に 展 開 され る こ とが

数 学 的 に証 明 され て お り,こ れ をフ ー リエ 級 数 とい う.

(6.95) た だ し,各

係 数 は,f(x)が2π

の 周 期 を も つ も の と し て,

(6.96)

で 決 め ら れ る.

  こ の事 実 は,複 雑 な振 動 で も,周 期 性 さ え あ れ ば正 弦 波 の和 に還 元 し得 る こ と を示 す もの で,周 波 数 分 析 な ど に応 用 され て い る.実 際 に は,周 期 性 の な い １回 限 りの パ ル ス状 波 形 で あ っ て も,周 期 的 に 操 り返 す も の と して 計 算 す る こ とが で き る.こ の こ と は逆 に,多 数 の 正 弦 波 を合 成 す れ ば,ど

ん な波 形 で も作 り得 るわ

け で,音 声 合 成 とか シ ン セ サ イ ザ 等 の 原 理 的 根 拠 とな って い る.現 代 の エ レ ク ト ロ ニ ク ス の 進 歩 に よ り,こ れ らの 分析,合

成 は,比 較 的 手 軽 に行 え る よ う に な り

図6-17

尺八(口)

音の周波数 分析

地 震 対 策 か ら音 楽,オ 析 例 を 図6-17に

6・

5

ー デ ィオ に至 る ま で,広

く応 用 さ れ て い る.尺 八 の音 の 分

示 す.

位相速度 と群速度

  通 常 の波 動 は 同 一 媒 質 中 で は,そ の波 長 に関 係 な く速 度 は一 定 で あ る.と が,水

ころ

の波 の例 で 見 られ た よ う に,波 長 に よ り速 度 の異 な る場 合 が あ る.こ の よ

うな媒 質 に お い て,波 長 の 異 な る波 が い くつ か 重 な っ て進 行 す る と,合 成 波 形 は 一 定 に 保 たれ ず

,刻 々 とそ の 形 を変 え て い くこ と に な る.こ

の よ うな 性 質 を波 の

分 散 とい い,分 散 を生 ず る よ う な媒 質 を分 散 性 の 媒 質 とい う.   単 一 な 波 の 進 む速 さ は,そ の 波 形 が 移 動 す る速 さで 定 義 され て お り,こ れ を位 相 速 度 とい って い る.と

こ ろが,分 散性 媒 質 中 を上 記 の よ うに 複 数 の 波 が 進 む場

合,合 成 され た 波 形 の進 む 速 さ は個 々 の 波 の 位 相 速 度 と は一 致 し な くな る.波 の エ ネル ギ ー が振 幅 の ２乗 に比 例 す る こ とか ら もわ か る よ う に,波 波 形 の ピー ク に 乗 っ て移 動 す る と考 え て よい.し

のエ ネ ル ギー は

たが っ て,合 成 され た波 形 の移

動 速 度 が 個 々 の 波 の 速 度 と一 致 しな くて も,こ れ はエ ネ ル ギ ー の 移 送 速 度 と し て 意 味 を もつ こ とに な る.こ の よ うな速 度 を,波 の 群 れ が進 む速 度 とい う意 味 で 群 速 度 と い う. い ま,波 数 と角振 動 数 が わ ず か に異 な る ２つ の 波 を考 え る. (6・97)

た だ し,

これ を合 成 す る と,

(6・98) と な る.k=k1≒k2,ω=w1≒

ω2と 仮 定 し て い る か ら,こ

の 式 は,

(6・99)

た だ し,δk=k2-k1,δ

と書 け る.sinの

項 は,は

ず れ も小 さ い の で,う

ω=ω2-ω1

じ め の 波 と ほ と ん ど 同 じ だ が, cosの

な り の 場 合 と 同 じ よ う に,振

項 は,δk,δ ω が い

幅 が2Acos1/2(δk・x-δ

で ゆ っ く り と 変 っ て い く １つ の 波 群 を 作 る こ と に な る.こ

ω ・t)

の 波 群 の 進 む 速 さ は, (6・100)

とな る.速 度 υが 波 長 の 関 数 で あ る場 合 は,結 局, (6・101)

と な り,こ

問

５.

れ を群 速 度 と い う.υ

が ｋ と無 関 係 な ら υg=υ で あ る.

水 の表面 波 中,重 力波 の群速 度 を求 め てみ よ.

演 習 問 題 １,

[６]

次 の ２つ の単 振 動 を合 成 し,軌 道 の 式 を 導 き,図 示 せ よ.

２.ば

ね 定 数 ｋ の ば ね の 下 端 に 質 量 ｍ の お も り を つ け て静 止 さ せ た.ば

る弾 性 エ ネ ル ギ ー,お

も りの 失 う位 置 エ ネ ル ギ ー,ば

ね に 蓄 え られ

ね とお も り の 全 エ ネ ル ギ ー は,

お も りに よ っ て ば ね が 伸 び る 前 に 比 べ て ど う な るか.

３.水

平 な 台 上 に 物 体 が 置 い て あ る.台 が 周 期 １秒 で 上 下 に単 振 動 す る と き,物 体 が 台

か ら離 れ な い た め に は,振

４.地

幅 を い くら以 下 に し な けれ ば な ら な い か.

球 の 中 心 を通 る ま っ す ぐな 穴 を堀 り,こ の 中 へ 物 体 を落 とす と,単 振 動 す る こ と

を示 せ.ま た,地 球 の 半 径 を Ｒ,表 面 に お け る重 力 加 速 度 を ｇ と し た と き,こ の 振 動

の 周 期 を 求 め よ.R=6370〔

５.波

㎞

の 式 がy=asin(bt+cx)で

〕, g=9.8〔m/s2〕

と す る と,そ

表 さ れ る と き,波 長,周

期,波

の 値 は い く ら か.

の伝 わ る 速 さ を求 め

よ.

６.一

端 の 閉 じ た 管 の 開 口 端 に ス ピ ー カ ー を 置 き,低 音 か ら 高 音 に徐 々 に 音 程 を 上 げ

な が ら音 を 出 し た ら,は

じ め100〔Hz〕 で 共 鳴 し た.

(ⅰ)

管 の 長 さ は い く らか.た

(ⅱ)

次 に共 鳴 す る の は,何

だ し,音 速 を340〔m/s〕 〔Hz〕の と き か.

とす る.

第 ７章

光   学

  我 々 は,日 頃,光 線 とい う言 葉 を よ く用 い る.こ れ は,光 を幾 何 学 的 な １本 の 直 線 で 表 現 して い る わ け で あ る が 別 段 不 都 合 も感 じな い.光 い て も光 を直 線 で 近 似 し て,光

学 の分 野 にお

の い ろ い ろ な 性 質 を説 明 す る手 法 が あ る .こ

れ を幾 何 光 学 とい う.   一 方,光

の 本 性 に 目 を 向 け る と き,光

は粒 子 か 波 か と い う論 争 に 光 学 の長

い歴 史 が あ っ た こ とが わ か る.物 理 学 は 光 と と もに あ っ た と もい わ れ る .光 は高 速 微 粒 子 で あ る と い う17世 は19世

紀 の ニ ュ ー トン の 粒 子 説 が 終 止 符 を う つ の

紀 に光 の 波 動 説 が確 立 され て か らで あ る・ もち ろ ん,今

電 磁 波 ― で あ り,ま た,粒

日,光 は 波 ―

子 ― 光 量 子 ― と し て の 振 舞 を す る 二 重 性 を,そ

の

本 性 とす る こ とが 知 られ て い る.   光 を 波 と し て と ら え る手 法 を物 理 光 学 また は波 動 光 学 と い う.本 章 で は, は じ め に,幾 何 光 学 に よ っ て 光 の 反 射 ・屈 折 と い う基 本 法 則 を 説 明 し,次

に,

波 動 性 の 現 れ と し て の干 渉 ・回 折 ・ 偏 光 を 物 理 光 学 に よ っ て 述 べ る.

7・1 7・

1

フ ェル マ ー の 原 理

［１］ 光 の速 さ と光 学 距 離   光 の速 さ は,光 学 の み な らず物 理 学 全 般 に お い て 重 要 な普 遍 定 数 の １つ で あ り, 現 在,最

も正 確 で あ る と され る真 空 中 で の値 は,波 長 お よ び発 光 源 や観 測 者 の運

動 に関 係 な く, c=2.99792458×108〔m/s〕

で あ る.概

略 値 と し て,3.00×108〔m/s〕

速 い 光 の 速 さ は,最

初,ケ

(7・1)

が よ く用 い ら れ る.し

か し,こ

の ように

プ ラ ー や デ カ ル ト に よ っ て 無 限 大 と考 え ら れ て い た.

有 限 で あ る こ と を 最 初 に 説 明 し た の は レ ー マ ー で あ る と い わ れ る.レ

ー マ ー は,

木 星 の第 １衛 星 イ オ の食 現 象 を観 測 し て,食 の 周 期 が 規 則 的 に 変 化 す る こ とを発 見 した。 そ し て,こ の変 化 は,図7-1に

示 す よ う に,地 球 が木 星 に最 も近 づ く と

き と最 も離 れ た と きの観 測 に よ る ず れ,す

な わ ち光 が 地 球 の公 転 軌 道 を横 切 る 間

の 時 間差 に よ る もの で あ る こ とを結 論 した.そ の 後,多

くの研 究 者 に よ って 各 種

の実 験 が繰 り返 さ れ,近 年 に な っ て 式(7・1)の 値 が 得 られ る に至 っ て い る.

  レー マ ー は,1676年,地 球 が １お よ び ２とい うよ う な公 転軌 道 上 の 異 な る位 置 に い る と きに観 測 され る木 星 の 衛星 イオ の 食 の周 期 に ずれ の あ る こ と を発 見 し, それ は,光 が 地 球 の公 転 軌 道 を横 切 る間 の 時 間差 に よ る もの で あ る こ とを結 論 し た.こ の方 法 で,レ ー マー は,ｃ(光 速)〓3.1×108m/s を得 た. 図7-1 

レ ーマ ー の光 速 の 測定

  と こ ろで,我 々 は,実 際 に は,空 気 中 とか水 中 あ る い は ガ ラス の 中 の光 とい う よ う に,い ろ い ろな媒 質 中 で の光 を扱 う場 合 が 多 い.こ の よ うな 媒 質 中 で は,光 の速 さ は どう な る の で あ ろ う か.こ の 問 の 答 え の1つ は,光 の 屈 折 現 象 で あ る. 光 が あ る媒 質 中 か ら他 の 媒 質 へ,媒 質 の境 界 面 に対 して斜 め 方 向 か ら入 射 す る と きに,そ

の進 行 方 向 を変 え る こ と,す な わ ち 屈 折 す る こ と は 日常 よ く経 験 す る こ

とで あ るが,こ

れ は光 が 他 の媒 質 へ 入 射 した と きに そ の速 さ を変 化 させ る こ と に

よ る もの で あ る.そ して,屈 折 の 大 き さ は,そ れ ぞ れ の媒 質 中 で の光 の 速 さ の比 で与 え られ る.特

に,真 空 中 か らあ る媒 質 中 へ 光 が 入 射 す る と き,媒 質 中 の光 の

速 さ を υ とす る と, (7・2)

で 与 え ら れ る ｎ を,そ に 示 す.こ

の 媒 質 の 屈 折 率*と い う.い

の よ う に,n>1で

くつ か の 物 質 の 屈 折 率 を 表7-1

あ り,し た が っ て υ
な わ ち媒 質 中 の 光 の速 さ

表7-1  い ろい ろな物 質 の屈 折 率

  数 値 は,ナ トリウ ム Ｄ線(589.3nm)に は18℃,液

体 は20℃,気

体 は0℃,１

お け る屈 折 率 を示 す.固 体 気 圧 の状 態 での値 で,固 体 と

液 体 は同温 の空 気 に対 す る屈 折 率,気 体 は真 空 に対 す る値.１)ガ ラ ス は Ｋ(ク ラ ウ ン),Ｆ(フ リン ト)など い くつ か の 種 類 を含 む.2)は 常 光 線 に対 す る値 (理科 年 表1991年 版 に よ る)

は真 空 中 の 速 さ よ り も遅 くな る.

  い ま,屈 折 率 ｎの均 質 な媒 質 中 で長 さ ｌの直 線 を考 え る と き,光 が距 離 ｌを進 む の に 要 す る時 間 は,式(7・2)を 用 い て,

(7・3)

と な る.右 辺 の分 子nl,す

なわ ち媒 質 の 屈 折 率 と その 媒 質 中 で 光 が 伝 搬 した 距 離

との 積 を光 学 距 離 また は 光路 長 とい う.こ れ は,媒 質 中 で光 が 距 離 ｌ進 む の に要 す る時 間 に,真 空 中 で光 が伝 搬 す る距 離 に相 当 す る.

［２］   フ ェル マ ー の 原 理   媒 質 中 に ２つ の点 Ａ,Ｂ を考 え る と き,点 無 数 に あ る.し か し,点

Ａ か ら点 Ｂ へ の幾 何 学 的 な道 筋 は

Ａ か ら発 せ られ た光 が 点 Ｂ に 達 す る経 路 は,Ａ

とＢ を

結 ぶ 直 線 の み で あ る とい う こ と を,我 々 は 経 験 的 に知 って い る.光 線 の 経 路 に 関 *(142ペ

ー ジ)  この よ う に,真 空 に対 す る媒 質 の屈 折 率 を絶 対 屈 折 率 と もい う.ま た,こ

真 空 以 外 の 媒 質 ど う しの 屈 折 率 を相 対 屈 折 率 とい う.

れ に対 して

す る この 経 験 的 法 則 は,「 光 が ２点 間 Ａ,Ｂ を伝 搬 す る と きの 経 路 は,伝 搬 に要 す る時 間 が 最 小 とな る経 路 で あ る」 とい う フ ェル マ ー の原 理 に よ っ て 説 明 され る. こ こで,光 が そ の 所 要 時 間 を最 小 とす る経 路 を通 る と は,必 ず し も Ａ ,Ｂ 間 の 幾 何 学 的 直 線 を通 る こ と を意 味 す る も ので は な く,式(7・3)か らわ か る よ う に,光 学 路 離nlが

最 小 とな る よ うな 経 路 を通 る こ とを 意 味 して い る.こ の こ と は,光 が

屈 折 率 の異 な る媒 質 を次 々 と屈 折 して伝 搬 す る よ うな場 合 に,特

に注 意 し な け れ

ば な らな い.   い ま,媒 質 中 の点 Ａ,Ｂ 間 の屈 折 率 が 均 質 で な く,連 続 的 に変 化 し て い る と し て,光

が微 小 距 離dl進

む 間 の 屈 折 率 をn(l)と

す れ ば,フ

ェル マ ー の 原 理 は,次

の よ う に表 す こ とが で き る. (7・4)

  幾何 光 学 に お け る光 の反 射 や 屈 折 の 法則 は,す べ て この フ ェ ル マ ー の 原 理 に よ っ て説 明 す る こ とが で き る.

問1.光

が 屈 折 率n1の

媒 質 中 をl1,屈 折 率n2の

媒 質 中 をl2進 ん だ と き の光 学 距 離 を

求 め よ.

7・2光 [１]平   図7-2に

の 反 射 と屈 折 面 に よ る光 の 反 射 示 す よ う に,均 質 な 媒 質 中 で 点 Ａ か ら出 た光 が 平 面 鏡 上 の あ る 点 Ｃ

で 反 射 さ れ て 点 Ｂ に 到 達 す る場 合 に,ど の よ うな経 路 を通 る か 考 え よ う.点 Ｂ の 反 射 面 に対 す る対 称 点 をB'と て,経 路ACBの

す る と,AC+CB=AC+CB'と

最 短 な もの,す な わ ち光 学 距 離 が 最 小 とな る経 路 は, AC+CB'

が最 短 とな る場 合 で あ り,こ れ は,点 あ る・直 線AB'と て,経 路AOBが

な る.し た が っ

Ａ,Ｃ,  B'が 一 直 線 上 に あ る よ うな 経 路 で

反 射 面 の交 点 を Ｏ とす れ ば,こ の場 合 の点 Ｃ は 点 Ｏ に一 致 し 求 め る光 路 と な る.

  点 Ａ か ら出 た光 が,平 面 上 の点 Ｃ で 反 射 して 点 Ｂ に達 す る と,経 路 はAC+CB. B'を Ｂ の 対 称 点 と す れ ば,AC+CB= AC+CB'.こ れ を 最 小 と す る 経 路 は, ACB'が 一直 線 にあ る場 合 で あ る.こ の と きの Ｃ を Ｏ と改 め る と,実 際 の光 は,点 Ｏ で反 射 す る.こ の と き,入 射 角i=反

射角 ｊ

で あ る(反 射 の 法則). 図7-2平

  また,ONを (∠AONす

面 に よ る光 の反 射

反 射 面 へ の 法 線 とす れ ば,∠AON=∠BONで な わ ちi)と 反 射 角(∠BONす

あ る か ら,入 射 角

な わ ちj)が 等 し い こ とが 示 さ れ る.こ

れ を反 射 の 法 則 とい う.

[２]平

面 に よ る光 の 屈 折

  次 に,平 面 に よ る光 の屈 折 に つ い て 考 え よ う.図7-3の 質 Ｉ と屈 折 率n2の

よ う に,屈 折 率n1の

媒

媒 質 Ⅱ とが 平 面 で 接 して い る と き,媒 質 Ｉの 中 の 点 Ａ か ら

出 た光 が 境 界 面 上 の点 Ｏ で媒 質 Ⅱへ 斜 め に入 射 し,屈 折 して 点 Ｂ へ 達 す る とす

  屈 折 率 の 異 な る 媒 質 に斜 め に 入 射 し た 光 は,進 行 方 向 を変 化 さ せ て 進 む(屈 わ り と み え る 道 筋 も,そ て い る.媒

折).幾

質 Ⅰ,Ⅱ に お け る光 の 速 さ を υ1,υ2,屈

折 率 をn1,n2と

す る と,入 射 角 ｉと 屈 折 角 γ と の

間 に,sin  i/sin γ=υ1/υ2=n2/n1な す る(屈

何 学 的 に遠 ま

の光 学距 離 は最 小 とな っ

折 の 法 則).

図7-3  平 面 に よ る光 の 屈折

る関 係 が 成 立

る.点

Ａ,Ｂ,Ｏ

は,媒

の 交 線 を ｘ 軸,ま を と る.さ

ら に,各

質 の 境 界 面 に 垂 直 な 同 一 平 面 に あ り,こ の 平 面 と境 界 面 と

た こ の 平 面 内 に あ り,点

Ｏ で ｘ軸

と垂 直 に 交 わ る よ う に ｙ 軸

点 の 座 標 をA(x1,  y1), B(x2, y2),O(x,0)と

し て,ま

た入 射 角

を ｉ,屈 折 角 を γ とす る. 光 が 点 Ａ か ら 出 て 点 Ｏ を 経 て 点 Ｂ に 達 す る ま で に 要 す る 時 間 ｔは,媒 Ⅱ で の 光 の 速 さ を,そ

質 Ⅰ,

れ ぞ れ υ1,υ2と す る と,

(7・5)

と な る.フ

ェ ル マ ー の 原 理 に 従 っ て 所 要 時 間 を 最 小 と す る 条 件 を,dt/dx=0と

お

い て 求 め る と,

す な わ ち,

(7・6)

一 方

,図7-3か

ら,入

射 角 ｉと屈 折 角 γ は,

で あ る の で,

(7・7)

の 関 係 が得 られ る.こ れ を屈 折 の 法 則 また はス ネ ル の 法 則 とい う.

問2.式(7・7)で,υ1/υ2=n2/n1と

[３]球

な る こ と を 証 明 せ よ.

面 に よ る光 の 反 射 と屈 折

  まず,球 面 鏡 に よ る光 の反 射 を考 え よ う.球 面 鏡 に は凹 面 鏡 と凸 面 鏡 が あ るが, 図7-4に き,Ｏ,Ｃ

凹 面 鏡 の場 合 を示 す.球 面 の 曲 率 中 心 を Ｃ,球 面 の 中 心 を ０ と す る と を通 る直 線 を主 軸 また は鏡 軸 とい う.い ま,主 軸 上 の 点 Ａ か ら出 た光

(ａ)

(ｂ)

 点 Ａ か ら出 た光 が 近軸 光 線 で あ る場 合 は,球 面 の ど こで反 射 して も必 ず点 Ｂ を通 る. 点 Ｂ は 点 Ａ の 実像 で あ る(図(ａ)).ま

た,主 軸 に平 行 な光 線 を入射 させ る と,f=(曲

率半径)/2な る焦 点 Ｆ を通 る(図(ｂ)). 図7-4凹

面鏡 に よる光 の 反射

が,球 面 上 の 点 Ｐ で 反 射 す る とす る.反 射 光 が 主 軸 と交 わ る点 を Ｂ,点 ０ か ら点 Ａ お よ び Ｂ まで の距 離 を そ れ ぞ れ αお よ び ｂ,ま た 曲 率 半 径 を Ｒ とす る.図74(a)か ら, i=θ3-θ1お

さ ら に,反

よ びj=θ2-θ3

射 の 法 則 か ら,i=jで

(7・8)

あ る か ら,

2θ3=θ1+θ2 と な る.こ

(7・9)

こ で,θ １ が 小 さ く,し

た が っ て 他 の 角 も小 さ く てtanθ1≒

θ1な ど の 近

似 が 成 立 す る よ う な 光 線(こ れ を 近 軸 光 線 と 呼 ぶ)の 場 合 を 扱 う とす れ ば,点 点 Ｏ に 立 て た 垂 線 上 に あ る と 見 な せ る の で,OP=αtan  の 関 係 か ら,次

θ1=btanθ2=Rtan 

の 近 似 式 を 得 る.

OP=α

θ1=bθ2=Rθ3

式(7・9),式(7・10)か

1/a+1/b=2/R

(7・10)

ら,

(7・11)

Ｐ は θ3

な る 関 係 式 を 得 る.こ

の 式 は,点

Ａ を 出 た 光 が 近 軸 光 線 で あ る な ら ば,反

の 位 置 に 関 係 な く,反 射 後 す べ て 点 Ｂ を 通 る こ と を 示 し て い る .つ 像 が 点 Ｂ に 結 ば れ る こ と を 示 し て い る.こ

の と き,点

  式(7・11)で,a→

な る.す

に,無

∞ と す る と,ｂ=R/2と

限 遠 に 光 源 を 置 き,主

べ て 球 面 の 曲 率 半 径 の1/2の ま で の 距 離 をf(f=R/2)い を 用 い る と,式(7・11)は

ま り,点

な わ ち,図7-4(b)に

示 す よ う

点 を 通 る こ と が わ か る .こ の 点 を Ｆ,点 Ｆ を 焦 点,ま

Ａ の

Ｂ を 点 Ａ の 実 像 と い う.

軸 に 平 行 な 光 線 を こ の 鏡 に 入 射 す る と,反

し て,点

射 点 Ｐ

射光 はす

Ｏ か ら点 Ｆ

た ｆ を 焦 点 距 離 と呼 ぶ ・ こ の ｆ

次 の よ う に 表 さ れ る.

(7・12)

図7-5は,凸

面 鏡 に よ る光 の反 射 の様 子 を示 す.各 点 や 距 離 な ど の記 号 は,図

  各 点 ま で の 距 離 を, 例 え ば,図

に示 す よ う

に,正,負

の 符 号 を付

け て 側 る と,球 像 の 式 は,凹

面 の結 面 凸面 に

か か わ ら ず ｌつ の 関 係 式1/a+1/b=2/R= 1/fと

な る.ま

面 鏡 の 場 合,点

た,凸 Ｐ で反

射 し た 光 を 見 る と,あ た か も点 Ｂ か ら 発 し た よ う に 見 え る.こ と き,点

の

Ｂを 点 Ａ の

虚 像 と い う. 図7-5

凸面鏡 による

光 の反射 7-4の

場 合 と 同 じ 意 味 で あ る.図7-5か

ら, (7・13)

し た が っ て,反

射 の 法 則 を 用 い る と, (7・14)

と な り,凹

面 鏡 の 場 合 の 式(7・12)に

対 応 す る 式 と し て,

(7・15)

が 得 ら れ る.こ

の 式 は,式(7・12)の

で,ａ, ｂ,  Ｒ お よ び ｆ に,次 す な わ ち,図7-5に か らx軸

の よ う な 規 約 に 従 っ て 正,負

示 す よ う に,主

軸 上 にx軸

の 正 方 向 に 測 る 点 の 距 離 に は 正,負

付 け る も の と す る(以 後,こ b>0,Ｒ(し

左 辺 第 １項 の 符 号 を 変 え た も の で あ る.こ

た が っ てf)>0で

凹 面 鏡 の 場 合 の 式(7・12)と

の 符 号 を 付 け て み よ う.

を と り,点

０ を 原 点 と す る.原

場 合 で は,α<0,

の 規 約 の も と に 式(7・15)を

同 じ結 果 に な る こ と が 理 解 さ れ よ う.つ

う に 符 号 の 規 約 を 定 め る と,式(7・12)は

点

方 向 に測 る点 の距 離 に は負 の符 号 を

れ を 符 号 の 規 約 と呼 ぼ う).図7-5の あ る.こ

こ

書 き換 え る と, ま り,こ

の よ

凹 面 鏡 と凸 面 鏡 の両 方 に用 い られ る共 通

の 式 と な る.

問3.上

に 述 べ た 符 号 の規 約 を 用 い て,凹

    か め よ.ま 問4.図7-4(a)で,点

面 鏡 の 場 合 の 式(7・12)が 成 立 す る こ と を確

た,符 号 の 取 り方 を 正 負 逆 に し た ら ど う な る か. 光 源 Ａ が 主 軸 上 のCOの

間 に ある場 合 の光線 の経路 を作 図せ

よ.

  式(7・12)は,光

の 出 発 点 と,そ の光 が 到 達 して 像 を結 ぶ 点 の 位 置 の関 係 を示 す

式 で あ り,反 射 鏡 の 結 像 式 と呼 ば れ る.な お,図7-5に

示 し た点 Ｂ へ は,光 が 実

際 に 到達 す る わ け で はな いが,反 射 光 を 見 る とあ た か も点 Ｂ か ら発 した よ う に見 え る点 で あ る.こ の よ うな 点 Ｂ を 点 Ａ の虚 像 とい う.   次 に,球 面 に よ る光 の 屈 折 の 様 子 を,凸 面 を用 い て 考 え て み よ う.図7-6は, 曲 率 半 径 Ｒ の球 面 を境 界 と して屈 折 率 がn1,n2で して い る場 合 に,媒 質Iの

あ る ２種 類 の 媒 質 Ⅰ,Ⅱ が 接

主 軸 上 の点 Ａ か ら出 た光 が,境 界 面 の 点 Ｐ に 入 射 し

屈 折 して媒 質 Ⅱ の点 Ｂ に 到 達 す る様 子 を 示 す.各 記 号 は,上 に述 べ た 反 射 の 場 合 と同 じ意 味 で あ り,ま た光 は近 軸 光 線 とす る.式(7・7)の 屈 折 の 法則 は,球 面 の場 合 に も成 り立 つ か ら,近 軸 光 線 で あ る こ と を考 慮 し て, n1i=n2γ

(7・16)

  球 面 に入 射 した光 も,屈 折 の 法則 に従 って 屈 折 す る.各 点 の 距 離 に,図7-5に 示 した よ うな 符 号 の規 約 を用 い る と,結 像 の 関 係 は,凹 凸 両面 に共 通 な １つ の式(本 文 の 式(7・19),単 一 球 面 の結 像 式)で 示 され る. 図7-6

い な る.ま

球面 に よ る光 の屈 折

た, (7・17)

で あ る か ら, (7・18)

が 得 ら れ る.こ

れ に,OP/(-a)=tan 

θ1≒θ1な ど の 近 似 式 を 用 い る と,

(7・19)

が成 り立 つ.こ な わ ち,点

の 式 も式(7・12)と 同 じ よ うに,ａ の 値 を与 えれ ば ｂが 定 ま る.す

Ａ を出 た光 は,入 射 点 の位 置 に関 係 な く,す べ て Ｂ に集 ま り Ａ の 像

を Ｂ に結 ぶ こ と を示 す結 像 の式 で,単 一 球 面 の 結 像 式 とい う.

問 ５.符 号 の 規 約 を 用 い れ ば,式(7・19)は

凹 面 の 場 合 に も成 立 す る こ と を 示 せ.ま

た,凹 面 の場 合 の屈折 の様 子 を作 図せ よ・

[４]

レ ンズ に よ る結 像

  一 般 に,２ 組 の 球 面 に よ る屈 折 を利 用 して 像 を結 ば させ る光 学 素 子 を レ ンズ と 呼 んで い る.い ま,図7-7の

よ うに,屈 折 率 ｎの レ ン ズが 屈 折 率 ｎ0の媒 質 中 に あ

る とす る.両 球 面 と主軸 との交 点 をO1,O2,ま ぞ れC1,  C2い す る.点

た両 球 面 の 曲 率 半 径 の 中 心 を そ れ

Ａ か ら出 た 光 は,ま ず 第 １の球 面 で 屈 折 す る.そ の後 屈

折 す る こ とな く直 進 す れ ば点 Ｂ'に 達 す る.し か し,実 際 に は光 が 第 ２球 面 か ら外

に 出 る際 に も屈 折 す る ので,B'と

  第 １球 面 上 の 点P1で ２球 面 上 の 点P2で

は 異 な る点 Ｂ に向 か う.

入 射 した 光 は,レ

外 部 に 出 る と,さ

ン ズ 中 で 屈 折 し て,点B'に

向 か っ て 進 む が,第

ら に 屈 折 し て 点 Ｂ を 通 る こ と に な る.レ

ｄ を考 慮 し な く て も よ い 薄 肉 レ ン ズ の 場 合 の 結 像 の 式 は,1/b-1/a=1/f(本 25))と

ンズの 厚 さ 文 の 式(7・

な る.

図7-7凸

レ ンズ に よ る光 の屈折

  光 は近 軸 光 線 で あ り,ま た 各 点 の距 離 は,第 球 面 の場 合 は 点O2を と して,こ

１球 面 の場 合 は点 Ｏ1を 原 点,第2

原 点 と して 測 り,ま た前 項 で 述 べ た 符 号 の 規 約 に従 う もの

の レ ンズ に よ る物 体 と像 の 関 係 を求 め て み よ う.ま ず,第

１の球 面 に

よ る屈 折 は,式(7・19)を 用 い て, (7・20)

と な る.第

２球 面 に 対 し て は,点B'を

そ の 光 源 と 考 え て,

(7・21)

と な る.さ

ら に,レ

ン ズ の 厚 さ が 薄 く,ａ

や ｂに対 して ｄ を無 視 し て よい 場 合 に

は(こ の よ う な レ ン ズ を 薄 肉 レ ン ズ と い う),式(7・21)は, (7・22)

と な る.式(7・20),式(7・22)か

ら,n/b'を

消 去 す る と,

(7・23)

が得 られ る.こ の 式 は,点 Ａ に光 源 を置 い た と き,そ の像 を点 Ｂ に 結 ぶ こ とを示 す レ ンズ の結 像 の 式 で あ る.上 式 の 右 辺 を (7・24)

と お く と き,こ

の ｆ を レ ン ズ の 焦 点 距 離 と い い,式(7・23),式(7・24)か

ら, (7・25)

を 得 る.式(7・25)を い る 場 合,ガ

薄 肉 レ ン ズ の 結 像 公 式 と い う.ガ

ラ ス の 屈 折 率 は,表7-1に

は ほ ぼ １で あ る の で,n/n0>1で た 凸 レ ン ズ(R1>0,R2<0)で

ラ ス 製 レ ン ズ を空 気 中 で 用

示 し た よ う に,１ よ り大 き く空 気 の 屈 折 率

あ る.し はf>0,ま

た が っ て,式(7・24)か た 凹 レ ン ズ(R1<0, 

ら,図7-7に R2>0)で

示 し はf<0

と な る.

問 ６.両 凹 レ ンズに,主 軸 に平 行 な光線 を入射 す る場 合の屈 折 の様 子 を,曲 率半 径 を 適 当 に仮 定 して作 図せ よ.

7・3  光 の干 渉 [１]  ヤ ン グ の 実 験   い くつ か の 波 が,あ

る １点 に 同 時 に達 した と き に互 い に 強 め合 っ た り弱 め合 っ

た りす る現 象 を波 の 干 渉 とい う こ と は,す で に 前 章6・4節 で 学 ん だ.光 が 波 で あ る とす れ ば,当 然 この 干 渉 現 象 を示 す はず で あ る.光 の干 渉 を示 す実 験 は,最 初, ヤ ン グ に よ っ て行 わ れ た.図7-8に

ヤ ン グ の実 験 の 原 理 図 を示 す.こ

の図 をも と

に,波 動 とし て の 光 の 干 渉 を説 明 し よ う.   １つ の光 源 か ら出 た光 は,最 初 の ス リ ッ ト(細隙)Ｓ を通 っ た 後 で 広 が っ て進 み, 次 の遮 光 板 上 の狭 い間 隔 ｄ を 隔 て た ２つ の ス リ ッ トS1, S2で ２つ の光 に分 け ら れ る.こ の ２つ の光 の 波 が 後 方 の ス ク リー ン に達 して 干 渉 す る こ とに な る.遮 光

  １つ の光 源 か ら出た光 の球 面 波 は,ス リ ッ トS1,S2に よっ て ２つ の光 の波 に分 け られ る が,十 分 遠 方 に置 か れ た ス ク リー ン上 で は,平 面 波 に近 似 で き,こ の ２つ の平 面 波 が重 ね 合 わ さ り,合 成 波 が発 生 す る.合 成 波 の 強 さは,距 離 γ1,γ2,す なわ ち ス ク リー ン上 の点 Ｐ の 位置 に よ って変 わ る両 波 の位 相 差 に依 存 す る.距 離 の 差 γ2∼γ1が ０また は 半波 長 の 偶 数倍 に なる位 置 で は 明 る く,奇 数倍 とな る位 置 で は暗 くな り,明 暗 の 干渉 縞 が発 生 す る. 図7-8  ヤ ング の実 験(光 の 干渉)

板 と ス ク リ ー ン は 距 離 Ｒ を 隔 て て 平 行 に 置 か れ て お り,ス

リ ッ トS1, S2か

ク リ ー ン 上 の 光 の 到 達 点 Ｐ ま で の 距 離 を そ れ ぞ れ γ1,γ2と し,ま か ら ス ク リ ー ン に 下 し た 垂 線 の 足 を Ｏ,そ

たSl, S2の

らス 中点

し て 点 Ｏ か ら点 Ｐ ま で の 距 離 を ｘ と

す る.   前 章6・4節

で 学 ん だ よ う に,点

Ｐ に お け る 合 成 波 の 振 幅 は,距

離 γ1,γ2の差 が

半 波 長 の 偶 数 倍 の 点 で 極 大 と な り,奇 数 倍 の 点 で は 極 小 と な る.図7-8か

ら γ１,γ2

を 求 め る と, (7・26a)

(7・26b)

  こ こ で,Rはdお

よ び ｘ に 比 べ て 十 分 大 き い と し て よ い か ら(実 際 に,実

る と す れ ば,ｄ,  x〓1mmに る と,

対 し てR〓

数mで

あ る),上

験 す

式 の 高 次 の 項 を無 視 す

γ2-γ1=dx/R

(7・27)

と な る.

  波 の 強 さ は, 振 幅 の ２乗 に比 例 す るか ら(6・2節 参 照),振

幅 の大 き い 点 で は 明

る く,ま た 振 幅 の小 さい 点 で は暗 くな る.し た が っ て,い ま可 視 光 の単 色 光(波 長 λが 一 定 の光)を 用 い る とす れ ば,ス

ク リー ン上 の 点 Ｏ を中 心 に,

明 る い 部 分:γ2-γ1=2mλ/2

す な わ ち, 暗

い 部

分

x=R/dmλ,m=0,±1,±2,…

(7・28a)

： γ2-γ1=(2m+1)λ/2

す な わ ち,

(7・28b)

が 交 互 に現 れ,間 隔 λR/dの 明 暗 の 干 渉 縞 が 見 え る こ と に な る.こ れ をヤ ング の 干 渉 縞 とい う.

問7.ヤ

ン グ の 実 験 で,１ 個 の 光 源 を 用 い る の は な ぜ か.ま た,白 色 光 を 用 い る と ど の

よ う な 現 象 が 見 られ る か.

[２]  薄 膜 の 干 渉   水 面 に広 が っ た薄 い 油膜 や シ ャボ ン玉 に太 陽 光 が 当 た る と,美

しい色 が つ い て

見 え る の は,薄 膜 に よ る光 の 干 渉 に よ る もの で あ る.   図7-9の

よ う に,屈 折 率 が ｎ で,厚 さ ｄ の 薄膜 に,波 長 λの 平 行 光 線 が 空 気 中

か ら入 射 角iで 入 射 す る場 合 を考 え る.薄 膜 は均 質 で,そ の 両 面 は 平 行 で あ る と し,入 射 光 線 を1,2,こ

の うち膜 の 表 面 で反 射 す る反 射 光 を1',2',ま

伝 搬 し,膜 の底 面 で 反 射 し て再 び上 面 か ら外 部 へ 出 る光 を1",2"と 点A'に

注 目 して,そ

よ びA'C'は

す る.い

ま,

こで 直 接 反 射 す る光2'と 膜 内 か ら出 て くる光1"と の 間 で 起

こ る 干 渉 を考 え よ う.点 ACお

た膜 中 へ

Ｃ,C'を 図7-9の

よ う に定 め る と,図 中 に 破 線 で 示 す

入 射 光 線 お よび 屈 折 光 線 の 波 面 とな る.

  薄膜 の表 面 で直 接 反射 す る光 と 膜 中 を伝 搬 して膜 の底 面 で反 射 し て くる光 との間 で 干渉 が起 こ る. た だ し,両 光 線 の位相 差 を考 える と き,膜 の表 面 で 反射 す る光 は, 光学 的 に疎 な媒 質(空 気)か ら密 な媒 質 へ の入 射 で あ る か ら,反 射 に 際 し て位 相 が π だ け ず れ る こ とに注 意 す る こ とが必 要 で あ る. 図7-9薄

  ま ず,経 路ABA'の 中 で Ｃ か らA'に

光 と経 路CA'の

進 む 間 に,光

膜 に よる光 の干渉

光 の光 学 距 離 の 差 を求 め る.光

１の う ち膜 中 へ屈 折 入 射 し た光 は,Ａ

２が 空 気 か らC'ま

で 進 む こ と に な る.し た が っ て,こ れ ら ２つ の光 の光 学 距 離 の 差 を ⊿lと す る と, ⊿l=n(C'B十BA')=nC'D=2nd 

と な る.た

だ し,図7-9の

cos  γ

点 Ｄ は,薄

(7・29)

膜 の 底 面 に 対 す る 点A'の

対 称 点 で あ る.

  と こ ろ で,前 章6・4節 で は,一 般 の 波 動 が 固 定 端 で 反 射 す る とき に は 位 相 が π ず れ る こ と を学 ん だが,光

の 波 も屈 折 率 の 小 さ な媒 質(光 学 的 に疎)か ら大 き な媒

質(光 学 的 に 密)へ 入 射 し て 反 射 す る 際 に 位 相 が π だ け ず れ る.図7-9の

場合で

は,膜 の 表 面 で反 射 す る光1',2'の 位 相 が π,す な わ ち半 波 長(λ/2)だ けず れ る.式 (7・29)に,こ の位 相 の変 化 分 を加 え る と,実 際 の光 学 距 離 の差 ⊿Lは, ⊿L=⊿l+λ/2=2nd 

と な る.し

た が っ て,こ

2ndcos 

cosγ

十 λ/2

の 場 合 の 干 渉 光 は,ｍ

(7・30)

を 整 数 と し て,

γ=(2m+1)λ/2

(7・31a)

の と き明 る く 2nd  cos  γ=mλ

の と き暗 くな る.そ

れ ゆ え,式(7・31a)ま

(7・31b)

た は 式(7・31b)を

満 足 す る よ う に,光

の

入 射 方 向 を変 え るか 目の 位 置 を変 え る と,単 色 光 の場 合 は,光 の 入 射 点 が 明 る く ま た は暗 く見 え る.日 常 経 験 す る水 面 上 の油 膜 な どの 場 合 は,い 含 ん だ 白色 光 が,い

ろい ろ な 角度 で 入 射 して い る の で,色

ろ い ろの 波 長 を

づ い た干 渉 縞 が 見 え る

の で あ る.

問8.薄

膜 の 干 渉 で,膜

厚 を厚 くす る と,干 渉 縞 は ど う な る か.

  薄 膜 の干 渉 を利 用 した も の に,カ 防 止 膜 が あ る.こ れ は,図7-10に 面 にngよ

メ ラや メ ガ ネ の レ ン ズ な ど に用 い られ る反 射 示 す よ う に,屈 折 率ngの

り若 干 小 さ い 屈 折 率n(n
ガ ラ ス(レ ンズ)の 表

も つ物 質 の薄 膜 を つ け た もの で あ る.

  ガ ラス面 で の反 射 を減 少 さ せ るた め に,入 射 光 の波 長 の 1/4程 度 の 厚 さの 膜 をつ け る. この 条件 で,膜 中 を往復 して きた 光 と,膜 の表 面 で直 接 反 射 す る光 とが互 い に打 ち消 し 合 って,反 射 光 の 強 さが減 少 す る.n=√ngな る屈 折 率 の 薄 膜 をつ け る と,膜 の表 面 と 底 面 で の反 射 率 を同 程度 に す る こ とが で きる ので,反 射 防 止 効 果 を上 げ る こ とが で きる. 図7-10光

入 射 光 や 反 射 光 に 付 け た記 号 は,図7-9の

反 射 防 止膜

場 合 と同 じ意 味 で あ る.こ

の場 合 に は,

薄 膜 の 表 面 Ａ で 反 射 す る光 も,薄 膜 と ガ ラ ス 面 の境 界 面 Ｂ で 反 射 す る光 も,と も に光 学 的 に疎 な媒 質 か ら密 な 媒 質 へ の入 射 に よ る反 射 で あ る か ら,反 射 に際 し て,す で に述 べ た よ う に,位 相 が π だ け ず れ る.こ の こ とを 考 慮 す る と,干 渉 に よ って 反 射 光 の 強 度 が 弱 くな る条 件 は,mを 2ndcos 

γ=(2m+1)λ/2

整 数 と して, (7・32)

と な る.ま

た,光

が ほ ぼ 垂 直 に 入 射 す る 場 合 を 考 え る と,γ=0,し

たが って

(7・33)

を満 た す厚 さの 膜 を つ けれ ば,反 射 光 を防 ぐ こ とが で きる.通 常 は,m=0の か ら,d=λ/4nす

な わ ち膜 内 の 波 長 の1/4程

度 の 厚 さ の膜 を 用 い る.さ

条件 ら に,反

射 光 の強 度 を ０にす る た め に は,干 渉 し合 う光 の 強 さが 等 しい こ とが 必 要 で あ る が,反 射 光 の強 度 は反 射 率 に 比 例 す るの で,表 面 Ａ で の反 射 率 をRA,底 の 反 射 率 をRBと

す る と, RA=RBで

面 Ｂで

あ る こ とが 必 要 で あ る.屈 折 率 がn1, n2の ２

つ の媒 質 の境 界 面 に 垂 直 に入 射 し た光 の 反射 率 Ｒ は, (7・34)

で あ るの で,図7・10で,空

気 の屈 折 率 を １と して垂 直 入 射 の場 合 を 考 え る と, (7・35a)

(7・35b)

と な る.し

た が っ て,RA=RBと

お く と,次

の 関 係 が 得 ら れ る. (7・36)

  通 常 レ ンズ と して 用 い られ るng=1.7程 ッ化 マ グネ シ ウ ム(MgF2)透

度 の ガ ラ ス に対 し て は, n=1.38の

フ

明 薄 膜 な どが 用 い られ る.ま た,実 際 に は い ろい ろ

な 波 長 の 光 が 入 射 す るの で,単 一 の 厚 さ の一 種 類 の膜 で は反 射 を防 止 で き る波 長 範 囲 が 限 られ る.通 常 は,波 長 λ=550〔nm〕 付 近 の 光 を 中心 に 考 え,屈 折 率 の異 な る い くつ か の膜 を重 ね るな ど して,実 用 上 の 波 長 範 囲 を広 げ て い る.

7・4光   [１]フ

の回折 レネル 回 折 と フ ラ ウ ンホ-フ

ァー 回 折

  光 の道 筋 を単 に直 線 とす る幾 何 光 学 で考 え る と,光 の進 路 の 一 部 に 障 害 物 が あ れ ば,そ

の部 分 の光 は障 害 物 の後 方 へ は まわ り込 む こ とが で きな い.し

か し,実

際 に は,光 が わ ず か なが ら物 体 の 後 側 へ まわ り込 む現 象 は,日 常 よ く見 られ る. この現 象 を光 の 回 折 とい う.い う まで も な く,す で に述 べ た干 渉 と同様 に,光 の 波 動 性 に基 づ く現 象 で あ る.と

こ ろで,物 体 の後 ろへ まわ り込 ん だ光 は,物 体 の

す ぐ後 と十 分 離 れ た 所 で は異 な る現 象 を示 す.そ

れ で,回

折 現 象 は一 般 に ２つ に

分 け られ る.す な わ ち,光 の進 路 に影 響 を及 ぼ す 物 体 の後 ろ側 で,比 較 的 物 体 に 近 い距 離 で 観 測 され る 回折 現 象 をフ レネ ル 回 折 とい い,物 体 の 後 ろ無 限 遠 で 観 測 され る 回折 現 象 をフ ラ ウ ンホ-フ

ァー 回 折 とい う.し か し,後 者 の場 合 も,実 際

に は レ ンズ な ど を用 い て有 限 距 離 で見 る方 法 を と る.こ

こで は,光 学 機 器 な どで

実 際 に利 用 度 の大 きい フ ラ ウ ン ホ ー フ ァー 回 折 の例 を述 べ る.

[２]単

一 ス リ ッ トに よ る回 折

  図7-11は,幅

ｐで 紙 面 に垂 直 方 向 に は十 分 長 く細 長 い ス リ ッ トに,波 長 λの

平 行 光 線 を 垂 直 に入 射 させ,レ

ン ズ の焦 点 距 離 に 置 い た ス ク リー ン に 回折 像 を結

ば せ る様 子 を示 す.こ の と き,ス リ ッ ト上 の波 面ABの の 原 理 に よ って,そ

各 点 か らは,ホ イ ヘ ンス

れ ぞ れ の 素 元 波(要 素 波)が 出 て い るが,こ

れ らが 作 る新 しい

  ス リ ッ トの 端 Ａ を通 る光 と, それ よ りx離 れ た 点 を通 る 回 折 光 間 の位 相 差 に よ る干渉 効 果 に よっ て,ス ク リー ン上 に は明 暗 の縞 が発 生 す る.ス リ ッ トの 後 方,近 距 離 で観 測 され る 回折 現 象 を フ レネ ル 回折 とい い,無 限遠 で観 測 され る現 象 をフ ラウ ンホー フ ァー 回折 とい う.図 は, 凸 レン ズ を用 い て フ ラ ウン ホー フ ァー 回折 を観 測 す る原理 を示 す. 図7-11単

一 ス リ ッ トに よ る

フ ラ ウ ンホー フ ァー回 折

波 面 の う ち,入 射 光 の 方 向 と θ だ け異 な る 波 面ACを

作 る 向 き に進 む 回 折 光 を

考 え る.   ス リ ッ トの端 Ａ を通 る光 と,Ａ Ｐ まで の光 学 距 離 の差 ⊿lは,図 ⊿l=xsin 

で あ るか ら,Ａ

か ら ｘ離 れ た所 を 通 る光 の ス ク リー ン上 の 点 か ら明 らか な よ う に,

θ

(7・37)

を通 る光 と ｘ を通 る光 の位 相 差 は, (7・38)

い な る.し

た が っ て,ｘ

て 変 わ る が,θ

を 通 る 光 の 変 位Uxは,振

幅 を ａ と し て(ａ は 方 向 に よ っ

が 小 さ い と き は 一 定 とみ な せ る), (7・39)

こ こ に,

い 表 さ れ る.た

だ し,ω

は 角 振 動 数,ｃ

で の 回 折 光 の 変 位 は,式(7・39)を の と な る.こ

は 光 の 速 さ で あ る.ス

ス リ ッ ト の 全 域(0≦x≦p)に

ク リー ン上 の点 Ｐ つ い て積 分 した も

れ を Ｕ と す る と,

(7・40)

た だ し,

が 得 ら れ る.点 例 す る か ら,比

Ｐ に お け る 光 の 強 さ を Ｊsと す る と,Jsは 例 定 数 をCsと

上 式 の 振 幅 の ２乗 に 比

お い て,

(7・41)

と な る.

  式(7・41)の

関 数(sinα/α)2は,α=0で

dJs/da=0と

し て 得 ら れ る 関 係 式 α=tanα

±2.459π,…(近

主 極 大 値 １ を と り,第

似 的 に α≒(2m+1)π/2, 

小 値 ０ を α=mπ(ｍ sin θ=0 

は 整 数)で  (θ=0)

と る.し

２極 大 値 以 下 は,

を 満 足 す る α の 値,α=±1.430π,

ｍ は 整 数)で 急 激 に 減 少 す る .一 た が っ て,ス

方,極

ク リ ー ン 上 の 回 折 光 は,

お よび sinθ ≒(2m+1)λ/2p

(7・42)

を満 足 す る方 向 で明 る く(θ=0で 最 も明 るい), sinθ=mλ/p

(7・43)

の 方 向 で は 暗 くな る.図7-12は,回

折 光 の 強度 と回 折 角(sinθ)と の 関 係 を示 す.

明 る い縞 を 中 心 に,左 右 対 称 に急 激 に暗 くな る明 線 と暗線 の縞 が 見 え る こ とが 示 され る.

  単一 ス リ ッ トか らの フ ラウ ン ホー フ ァー回 折光 の強 度 分布 は,回 折 角 θ=0方 向 に非 常 に強 く,回 折 角 が 大 きい方 向で は,急 激 に減 少 す る. 図7-12単

一 ス ク ッ トに よ る回折 光 の 強度 と回 折角 との関 係

問

９.式(7・40)の

[３]

結 果 を 導 出 せ よ.

回 折 格 子

  光 の 回 折 現 象 を利 用 し た光 学 素 子 の １つ に 回 折 格 子 が あ る.こ れ は,前 項 に述 べ た 細 長 い ス リ ッ トを用 途 に応 じて1〔 ㎜

〕当 た り数1OO∼1000本

程 度規 則 的

に並 べ 回折 効 果 を 大 き くし た もの で あ り,光 の 波長 を測 定 し た り,あ る い は光 学 測 定 に必 要 な い ろい ろ な単 色 光 を得 るた め に用 い られ る.こ の 素 子 に よ る回折 光 の 強 さ は,個 々 の ス リ ッ トに よ る 回折 効 果 と各 ス リッ トを通 った 回 折 光 ど う しの 干 渉 効 果 が 重 ね 合 わ さ った もの とな る.   図7-13に

示 す よ う に,入 射 光 は 回折 格 子 に垂 直 に入 射 す る い し て,い ま,入 射

方 向 に対 して 角 度 θ の方 向 に 回折 す る光 を 考 え る.ス リ ッ トの 数 を Ｎ,各 回折 光

  1㎜ 当 た り数100 ∼1000本 と い う 多 数 の ス リッ トを規 則 的 に 配 列 した回 折格 子 は, 各 ス リッ トに よ る回折 効 果 と回 折光 ど う しの 干 渉効 果 との相 乗 作 用 を利 用 して,回 折効 率 を高 め る光学 素 子 で あ る. 図7-13

回折 格 子 に よ る光 の 回折

の 振 幅 を ａ,そ の 角 振 動 数 を ω と す る.ま す る 点 間 の 距 離 を ｄ と し,こ 距 離 の 差 はdsinθ

た,隣

り合 っ た ２つ の ス リ ッ トの 対 応

れ を 格 子 定 数 と い う.こ

で あ る か ら,位

の と き,隣

り合 う光 の 光 学

相 差 δ は, (7・44)

い な る.第

１の ス リ ッ トか ら 出 る 光 の 変 位 をu1,第

２の そ れ をu2,…

と す る と,

u1=asin 

ωt, u2=asin(ωt)δ),…

と 表 せ る の で,こ

れ ら を重 ね 合 わ せ た 全 回折

光 の 変位UGは,

(7・45)

とな る.な お,こ の 場 合 も,各 回 折 光 の振 幅aは

方 向 に よ っ て 異 な る はず で あ る

が,前 項 の場 合 と同様 に,θ が 小 さい範 囲 で は一 定 と して い る.こ 式(7・45)か ら得 られ る点 Ｐ で の 合 成 波 の強 さJGは,各

の よ う に して,

回折 光 ど う しの 干 渉 の結

果 と して, (7・46)

と な る.実

際 の 回 折 光 は,こ

の 結 果 に,個

41)を 重 ね 合 わ せ る こ と に な る の で,改

々 の ス リ ッ トに よ る 回 折 効 果 の 式(7・

め て 比 例 定 数 をCGと

お く と,

(7・47)

と表 す こ と が で き る.た (ｄ は格 子 定 数),Ｎ

だ し,α=πpsinθ

μ(pは

ス リ ッ ト幅),δ=2πd 

sinθ μ

は ス リ ッ ト数 で あ る.

  図7-14(a)は,式(7・46)の 示 す(い ず れ も正 領 域).多

グ ラ フ を,ま

た 同 図(ｂ)は 式(7・47)の

数 の ス リ ッ トに よ る 回 折 像 は,単

グ ラ フの 概 形 を

一 ス リ ッ トに よ る 回

折 効 果 と規 則 的 に 並 ん だ 多 数 の ス リ ッ トに よ る 回 折 効 果 と が 重 畳 さ れ た も の で あ る こ と が 理 解 さ れ よ う.こ

れ ら の 結 果 か ら,ｍ

を 整 数 と し て,

すなわ ち

(7・48)

を 満 た す 方 向 に 鋭 い 明 線 が 現 れ る こ と が わ か る.そ ± ２,… に 対 応 さ せ て,０ 次,± ｍ 次 の ス ペ ク トル と い う.高 を 受 け て,そ

１次,±

２次,…

れ ぞ れ の 明 線 をm=0,±

１,

ｍ 次 の 回 折 ス ペ ク トル ま た は 単 に

次 の ス ペ ク トル ほ ど ス リ ッ ト の 回 折 効 果(sinα/α)2

の 明 る さ が 弱 く な る.

  回折 格 子 を実 際 に使 用 す 場 合,波 長 λの変 化 に対 して 回 折 角 θが 大 き く変 わ れ ば スペ ク トル線 を分 離 しや す い.λ がdλ 変 化 した と き の θの 変 化dθ は,式(7・

図(ａ)は,各 ス リッ トか らの 回折 光 ど う しの干 渉 に よ る回折 像 を示 し,図(ｂ)は,こ れ ら が さ らに各 ス リ ッ トの 回折 作 用 を受 け た実 際 の 回折像 の強度 と回折 角 の関 係 を示 す. 図7-14

48)か

回 折 格子 に よ る回折 強 度 と回折 角 との関 係

ら,

(7・49)

とな り,こ れ を 回折 格 子 の 分 散 度 と い う.こ の値 を大 き くす るた め に,格 子 定 数 ｄ を小 さ くす る.   次 に,波 長 λ と λ+Sλ の わ ず か に波 長 の 異 な る ２つ の光 が 入 射 した と き,ど の 程 度 微 小 な δλま で,こ れ を ２本 の ス ペ ク トル 線 と して 判 別 で き るか を 示 す 能 力 を 回折 格 子 の 分 解 能 とい い,次 式 で定 義 され る.

(7・50)

し た が っ て,ス

リ ッ ト数 Ｎ を 多 く す れ ば,分

解 能 が よ くな る.な

お,回

折格 子

を用 い た 実 際 の光 学 機 器(分 光 器)で は,回 折 ス ペ ク トル を さ らに別 の ス リ ッ トへ 通 す こ とに よ り,ス ペ ク トル 線 の 波長 純 度 を制 御 す る 方 法 が 用 い られ る.

偏

5

7・5 7・

[１]偏

光

光 と種 類

  前 節 まで に述 べ て きた光 の 干 渉 や 回 折 は,光 が 波 で あ る こ との 証 明 で もあ っ た. と こ ろで,波

に は,前 章 で 学 ん だ よ う に,横 波 と縦 波 が あ り,縦 波 で あ る音 波 も

干 渉 や 回 折 現 象 を示 し た。 そ れ で は,光 は横 波 な の だ ろ うか 縦 波 な のだ ろ うか. これ か ら述 べ る偏 光 とい う現 象 に よ っ て,光 が横 波 で あ る こ とが 示 され る.後 の 第15章

で詳 し く学 ぶ よ う に,光 は電 磁 波 で あ るが,電 磁 波 は電 場 と磁 場 が 波 の進

行 方 向 に垂 直 な面 内 で 互 い に直 角 方 向 に振 動 して い る波,す

な わ ち横 波 で あ る.

  と ころ で,太 陽 光 や 通 常 の光 源 か ら出 る光 の振 動 方 向,す

なわ ち電 場 ベ ク トル

の 振 動 方 向 は,定

まっ て い な い.進 行 方 向 に垂 直 な 任 意 の面 内 で 振 動 して い る.

この よ う な光 を 自然 光 とい う.こ れ に対 して,電 場 ベ ク トル の 振 動 方 向 が規 則 的 に定 ま っ て い る光 を偏 光 とい う.偏 光 の うち,振 動 方 向 が 常 に一 定 で あ る もの を 直線 偏 光 あ る い は平 面 偏 光 と い う.こ れ に対 し て,振 動 方 向 が 時 間 と共 に 回転 す

(ａ)自

然光

電場 ベク トルＥの振動 方向 は時間的 に不規則

(ｂ)直 線 偏 光

電 場ベ ク トルＥの振 動 方向 は常 に一定

図7-15

各種の偏光

(ｃ)楕 円 偏 光 電 場 ベ ク トル Ｅの 振 動 方 向 は, 時 間 と共 に 回 転 し,ベ ク トル の 先 端 は楕 円 運 動 をす る 。

る光 を楕 円偏 光 と呼 び,特

に,電 場 ベ ク トル の先 端 の 回 転 が 円 で あ る 場 合 を 円偏

光 とい う(図7-15).

[２]偏

光 の 発 生 と合 成

  自然 光 か ら偏 光 を取 り出 す素 子 を偏 光 板 また は偏 光 子 とい う.こ れ に は,簡 単 な方 法 と して,電 気 石 と呼 ば れ る ケ イ酸 塩 系 の鉱 物 の 結 晶 が 用 い られ て き た.こ の結 晶 を,主 軸 と呼 ば れ る特 定 の 方 向 に平 行 に薄 い板 状 に成 形 し,こ れ に 自然 光 を入 射 す る と,主 軸 方 向 に の み 電場 ベ ク トル の振 動 方 向 を も った 光 だ けが 透 過 し, 他 の振 動 方 向 の 光 は吸 収 され て し ま うの で,直 線 偏 光 が 得 られ る(図7-16).ま

  電 気 石 な どの結 晶 板 に 自 然 光 を入射 す る と,電 場 の 振 動 方 向 が結 晶 の主 軸 に平 行 な光 だけ が透 過 し,直 線 偏 光 が 得 られ る. 図7-16  直線 偏 光 の発 生

た,こ の よ うな 方 法 で 直 線 偏 光 の得 られ て い る こ とは,図7-17の

よ うに し て確 か

め られ る.す な わ ち,同 図(ａ)の よ うに,主 軸 方 向 を互 い に 平 行 と した 場 合 は,２ 枚 目 の偏 光 板 の 後 か らで も透 過 光 を見 る こ とが で き るが,図(ｂ)の を互 い に直 交 さ せ た場 合 に は,１ 枚 目 で 作 られ た 直 線 偏 光 は,そ

よ うに,主 軸 の振 動 方 向 が ２

枚 目 の偏 光 板 の 主 軸 と直 交 す る の で,こ れ を透 過 しな くな る結 果,暗 が 確 か め られ る.な お,こ

くな る こ と

の場 合 の ２枚 目 の偏 光 板 の よ う に,偏 光 の性 質 を調 べ

る素 子 を,特 に 検 光 子 と呼 ぶ.偏 光 子 や 検 光 子 と して は,実 際 に は,プ

ラスチ ッ

ク板 上 に過 ヨ ウ化 硫 酸 キ ニ ー ネ な どの 針 状 結 晶 を一 定 方 向 に つ け た素 子 や,方 解

(ａ) ２枚 の 偏 光 板 の 主 軸 を平 行 と した 場 合

(ｂ) ２枚 の 偏 光 板 の 主 軸 を 直 交 させ た 場 合

最 初の 偏光板(偏 光子)で 作 られ た直線 偏光は,次 の偏光 板(検光 子)を透 過す る。

偏光 子 で作 られた 直線偏光 の電 場 の振 動 方向 は,検 光 子 の主軸 と垂 直 とな る の で,検 光子 を透過 で きな い。

図7-17偏

光 子 と検 光 子 に よる偏 光 の検 出

石 か ら作 られ るニ コル プ リズ ム な どが 用 い られ る.   光 を水 面 や ガ ラ ス 面 で 反 射 させ て も部 分 的 な 偏 光 を得 る こ とが で き る.い 図7-18(a)の

ま,

よ うに,入 射 光 の 電 場 ベ ク トル の振 動 成 分 の 中 に入 射 面(紙 面 に平 行

な面)に 平 行 な成 分(―― 印,Ｐ 偏 光 と い う)と これ に垂 直 な成 分(● 印, Ｓ偏 光 と い う)が 含 まれ て い る とす る と,反 射 に よ っ て 入 射 面 に垂 直 に振 動 す る電 場 ベ ク トル は,ほ

とん ど影 響 を受 け な いが,平

行 成 分 はそ の振 動 方 向 を変 化 させ る こ と

に な り減 衰 す る こ とが,電 磁 波 の理 論 に よ っ て示 され る.特 に,媒 質 の屈 折 率 を ｎ とす る とき, tan  i=n

(7・51)

を満 た す角 ｉで 入 射 さ せ る と完 全 な偏 光 が 得 られ る.こ れ を ブ リ ュー ス タ ー の 法 則,ま

た この と きの 角 をブ リュ ー ス ター 角 あ る い は偏 光 角 とい う.図7-18(b)は,

Ｐ 偏 光 と Ｓ偏 光 を屈 折 率n=1.5の

媒 質 に 入 射 させ た と き の入 射 角 と反 射 率 の 関

係 を示 す.   次 に,こ

の よ う に して 発 生 させ た偏 光 を合 成 す る場 合 を考 え よ う.い

ま,電 場

ベ ク トル が そ れ ぞ れx ,y方 向 に 振 動 して, ｚ方 向 に進 む ２つ の 直 線 偏 光 をEx,

(ａ)

(ｂ)

  ガ ラ ス面 や 水 面 で の 反 射 光 も偏 光 と な る.― 成 分(Ｐ

偏 光),●

印 は,垂

は 影 響 を受 け な い が,平 法 則)を

射 面 に 平 行 な 電 場 ベ ク トル の 振 動

偏 光)を

行 成 分 は 減 少 す る(図(ａ)).特

満 た す 入 射 角 で は,反

５の ガ ラ ス の 場 合,ブ

印 は,入

直 成 分 を も つ 偏 光(Ｓ

示 す.反 に,tan 

射 に よ っ て,垂 i=n(ブ

射 光 は 入 射 面 に 垂 直 な 成 分 の み の 偏 光 と な る.屈

リ ュ ー ス タ ー 角 は,約56°

直成分

リュー ス ター の 折 率n=1.

と な る(図(ｂ)).

図7-18  ガ ラ ス面 の反 射 に よ る偏光 の 発 生 と入 射 角 と偏 光 の 反射 率 との 関係

(ａ)

(ｂ)

 ｘ 方 向 と ｙ 方 向 に振 動 し,と もに ｚ 方 向 に進 行 す る ２つの 直線 偏 光(図(ａ))を 合成 す る と,両 者 に位 相 差 の あ る場 合 は,一 般 に楕 円偏 光 とな る.図(ｂ)は,合 成電 場 ベ ク ト ルの 先 端 の動 き をxy面 上 に投影 した 結果 を示 す. 図7-19  直線 偏光 の合 成 に よ る楕 円偏 光 の発 生

Eyと

し た と き, (7・52a)

Ex=ａx 

Siｎ

ωt

Ey=ay 

sin(ωt+δ)

(7・52b)

で あ る場 合 を考 え よ う.こ の ２つ の振 動 を合 成 す る と,前 章6・1節 の 結 果 を 用 い て ，

(7・53)

と な る.す

な わ ち,こ

し た も の で あ る.ま

の 場 合 の 合 成 波 は 楕 円 偏 光 と な る.図7-19は,こ

た,す

で に 示 し た 図7-15(c)は,こ

れを図解

の よ う に合 成 され る楕 円偏

光 の 時 間 的 な 変 化 を 示 し た も の で あ る.

[３]

複

屈

折

  水 晶 や 方 解 石 な どの 結 晶 を通 して 物 を見 る と,物 が 二 重 に 見 え る.こ した １つ の光 が,結

れは入射

晶 の原 子 配 列 な ど に基 づ く電 磁 気 的 な作 用 に よ っ て,２ 種 類

の屈 折 光 に分 か れ るた め に起 こ る現 象 で あ り,こ れ を複 屈 折 とい う.分 か れ た ２ つ の光 を検 光 子 で調 べ る と,互 い に直 交 した振 動 面 を もつ直 線 偏 光 で あ る こ とが 確 か め られ る(図7-20).さ

ら に,そ の 一 方 は,通 常 の屈 折 の 法 則 に 従 わ な い性 質

を もっ て い る こ とが知 られ て お り,こ れ を異 常光 線 とい う.こ れ に対 し て,屈 折 の法 則 に 従 う偏 光 を常 光 線 とい う.   結 晶 中 を伝 搬 す る常 光 線 と異 常 光 線 の速 さは 一般 に異 な る.常 光 線 は,結 晶 中 の あ らゆ る方 向 に一 定 の速 度 で伝 搬 す るが,異

常光 線 の伝 搬 速 度 は 方 向 に よ って

異 な る.   つ ま り,屈 折 率 に 注 目す る と,常 光 線 に対 す る屈 折 率 は結 晶 の あ ら ゆ る方 向 で 一 定 で あ るが ,異 常 光 線 に対 す る屈 折 率 は方 向 に よ って 異 な る の で あ る.た だ し, 特 定 の 方 向 で は,常 光 線 と異 常 光 線 の 速 度 が 一 致 し,し た が っ て両 光 線 に対 す る 屈 折 率 も一 致 す る.こ の 方 向 を光 軸 とい う.常 光 線 に対 す る屈 折 率 をn0,光 直 角 な 方 向 に 伝 搬 す る異 常 光 線 の 屈 折 率 をneと の値 昂表7-2に

して,い

示 す 一例 え ば.方 解 石 の 場 合.n0は

軸 と

くつ か の 結 晶 の こ れ ら

あ ら ゆ る 方 向 で 一 定(n0=

  方 解石 な どの結 晶 に,結 晶 の光 軸 と垂直 に な らな い方 向 か ら 自然 光 を入射 す る と,光 は 振 動 方 向が 互 い に直 角 で あ る ２つ の直線 偏 光 に分 か れ る(複 屈 折).こ の うち,屈 折 の法 則 に従 う光 を常 光線 とい い,従 わ な い光 を異 常 光 線 とい う.   -●-●-は,振 動 面 が紙 面 に垂 直,〓 は振 動 面 が紙 面 に平 行 で あ る こ とを示 す.た だ し, これ は一 例 で あ り,こ れ らの光 線 の 電場 の振 動 が紙 面 に対 して 常 に この ような 方 向 で あ る とは限 らない. 図7-20  複屈 折 1.6584)で

あ る が,neは

方 向 に よ っ て1.6584か

が 一 方 向 の み で あ る結 晶 を 一 軸 結 晶 と 呼 び,方

ら1.4864ま

で 変 わ る.な

お,光

軸

解 石 や 水 晶 な ど が こ れ に 属 し,ま

た 雲 母 や 硝 石 な ど の 結 晶 は 二 方 向 に 光 軸 を 持 ち,二

軸 結 晶 と呼 ば れ る.

表7-2  複 屈折 を示 す物 質 の 屈折 率

ナ ト リウ ム Ｄ 線(589.3nm)に の 値.n0は

常 光 線,  neは

対 す る20℃

で

異 常 光線

(理 科 年 表1991年

版 に よ る)

  い ま,結 晶 中 の １点 か ら発 し た光 の波 面 を考 え る と,常 光 線 の 波 面 は球 面 状 に な るが,異 常 光 線 の 波 面 は,一 般 に 回転 楕 円 面 状 に な る こ とが 理 解 さ れ よ う.   図7-21は,こ

れ らの 波 面 の広 が りの 様 子 を 示 す.常 光 線 の伝 搬 速 度 を υ0,異常

図7-21一

軸 負 結晶 にお け る常 光線 と異常 光 線 の 波面 の広 が りの様 子

光 線 の 伝 搬 速 度 を νeとす る と き,ν0>v,な

る結 晶 を正 結 晶,ν0<ν0な る結 晶 を負

結 晶 とい う.   一 軸 結 晶 の 光 軸 に平 行 に切 り出 した結 晶板 に,直 線 偏 光 を垂 直 に入 射 さ せ る と, 入 射 光 は常 光 線 と異 常 光線 に分 か れ る が,両 光 線 と も光 軸 に垂 直 な方 向 に進 む. た だ し,両 光 線 の速 度 が 異 な る の で,結 晶板 を 出 る と き に,位 相 差 が 発 生 す る. 結 晶 板 の厚 さ を ｄ,両 光 線 に対 す る光 学 距 離 の 差 を ⊿l,ま た 位 相 差 を δ とす る と, (7・54)

(7・55)

とな る.た だ し,λ は真 空 中 にお け る光 の波 長 で あ る.し た が っ て,結 晶板 の 厚 さ を変 え る こ とに よ って,位 相 差 を制 御 す る こ とが で き る.特 に,π/2の

位相 差 を

与 え る厚 さの 結 晶 板 を1/4波 長 板,ま た π の位 相 差 を与 え る も の を1/2波 い う.

長板 と

問10.

ナ トリ ウ ム の Ｄ 線(589.3nm)に 求 め よ(表7-2参

対 す る1/4波

長 板 を水 晶 で 作 る 場 合 の 厚 さ を

照).

演 習 問 題[７] １

屈 折 率n1の 入 射 角iを

媒 質 Ｉか ら,屈 折 率n2(nl>n2)の

媒 質 Ⅱ へ 光 が 斜 め に 入 射 す る と き,

次 第 に 大 き く し て い く と,あ る角 度icで

屈 折 角 γ=90° とな り, icよ り大

き い 角 度 で 入 射 し た 光 はす べ て 反 射 す る よ う に な る.こ れ を全 反 射 とい い,icを 臨 界 角 とい う.光 フ ァ イバ ー は,全 反 射 を利 用 し て光 を遠 方 まで 伝 送 す る 素 子 で あ る.図 7-22に 示 す 構 造 の光 フ ァ イ バ ー で,光

を遠 方 ま で 伝 送 す る た め の 入 射 角 の 範 囲 を求

め よ.た だ し,コ ア(芯)の 屈 折 率n1=1.47,ク の 屈 折 率n0=1と

ラ ッ ド(被 覆)の 屈 折 率n2=1.46,空

気

す る.

図7-22

２,

光 を光 子(光 量 子)と 考 え る と,波 長 λ,振 動 数 νの 光 は,ｈ て,h/λ の 運 動 量 とhν の エ ネ ル ギ ー を もつ 光 子 とな る.光

を プ ラ ン ク定 数 と し

の反射 お よび屈 折 に際 し

て,媒 質 の境 界 面 に平 行 な 方 向 の光 子 の運 動 量 は保 存 さ れ る と して,反 射 と屈 折 の 法 則 を光 子 の 立 場 か ら証 明 せ よ.

３,

  焦 点 距 離10〔 ㎝ 〕の 凸 レ ン ズ と6〔 ㎝ 〕の 凹 レ ン ズ が 距 離9〔 ㎝ 〕を 隔 て て,平 行 に 置 か れ て い る.凸

レ ン ズ の 前 方60〔 ㎝ 〕の 位 置 に あ る 高 さ2〔 ㎝ 〕の 物 体 の 像 は,ど

こ に で き るか.ま

た,像

の 高 さ を 求 め よ.た だ し,１ 個 の レ ン ズ に よ っ て 結 ば れ る高

さ Ｈ の 物 体 の 像 の 高 さ を Ｈ'と す る と き,像 る.こ

こ に,a,bは,そ

れ ぞ れ,レ

の 倍 率 はm=H'/H=b/aで

与 え られ

ン ズ の 中 心 か ら物 体 お よ び像 ま で の距 離 で あ り,

本 文7・2節[３]項

に述 べ た符 号 の 規 約 に 従 う と き,m>0の

と き は 正 立 像, m<0の

と き は 倒 立 像 と な る,

４.

  ガ ラ ス 平 面 の 上 に,曲 に 垂 直 に 入 射 し て,そ る.こ

率 半 径 Ｒ の 平 凸 レ ン ズ を置 き,波 長 λの 光 を 上 方 か ら 平 面

の 反 射 光 を 見 る と,接 触 点 を 中 心 に 同 心 円状 の 干 渉 縞 が 見 え

れ を ニ ュ ー トン リ ン グ とい う(図7-23).γ

γ2・/R=(m+1/2)λ ま た,λ=600〔nm〕 の 間 に23個

の と き明 る く,γ2/R=mλ

を干 渉 縞 の 半 径, ｍ を整 数 と し て,

で は 暗 い 環 が 現 れ る こ とを 証 明 せ よ ．

の 単 色 光 を 用 い た と き,γ=2.4〔

の 暗 い 環 が 現 れ た と し て,Ｒ

㎜ 〕,4.8〔㎜

〕の ２ つ の 暗 い 環

を 求 め よ,

図7-23

５.

  1〔 ㎜〕当 た り500本

の ス リ ッ トを も つ 回 折 格 子 に,ナ

(波長589.6〔nm〕,589.0〔nm〕)を

ト リ ウ ム のD線

の二 重 線

垂 直 に 入 射 し,一 次 の 回 折 ス ペ ク トル に よ っ て ２本

の 線 を 区別 し て,観 測 す る た め に必 要 な 回 折 格 子 の 幅 を求 め よ.

６.

  偏 光 板 と1/4波

長 板 が 平 行 に 置 か れ て い る.偏 光 板 を透 過 し た 直 線 偏 光 を さ ら に

1/4波 長 板 を透 過 さ せ る こ と に よ っ て 円 偏 光 を得 る た め に は,偏 光 板 の 主 軸 の 方 向 を 1/4波 長 板 の 主 軸 に対 し て 何 度 傾 け た ら よ い か.

７,

光 軸 に平 行 に切 り出 した水 晶板 に直 線偏 光 を垂 直 に入射 す る と き,光 の 振動 方 向 と光 軸 のなす 角が30°で あ る場 合 の透過 した常光 線 と異常光 線 の強 さの比 を求 め よ.

第   現 在,我

８

熱 力学 の 第 １法 則

章

々 は熱 と は エ ネ ル ギ ー の 一 形 態 で あ る こ とを 知 っ て い る.物 体 は

熱 エ ネ ル ギ ー を た め る こ とが で き る(物 体 を 温 め る)と 同 時 に 他 の 形 態 の エ ネ ル ギ ー,例

え ば外 部 か ら仕 事 の形 で 与 え られ る エ ネ ル ギ ー を も そ の 内 部 に た

め る こ とが で き る(例 え ば,物 体 に ひ ず み を 与 え る).そ 変 化 す る が,こ

の結 果物体 の状 態 が

れ ら の変 化 を そ の物 体 の 温 度 や 圧 力 や 体 積 の変 化,す

巨 視 的 な量 の 変 化 で 表 す と き,熱 力 学 で は,こ

なわ ち

れ らの 量 の 間 に は どん な 関 係

が あ るの か,ま

た変 化 を 表 す に は どん な 量(変 数)を 必 要 とす る か を 学 ぶ.

  熱 力 学 は,経

験 か ら生 まれ た 学 問 で あ る.熱 力 学 的 現 象,す

な わ ち 熱 と力

学 的 エ ネ ル ギ ー の双 方 に 関 係 す る現 象 を 近 似 を使 わ な い で 正 し く表 現 す る現 象 論 で あ る.し

た が っ て,熱 力 学 で は,"な

こ っ た 原 因 を調 べ る の で は な く,起

ぜ そ う な る の か"と い う現 象 が 起

こ っ た こ と を 矛 盾 な く記 述 す る こ とが 目

的 で あ る.   現 在,我

々 は 熱 力 学 的 現 象 を す べ て 正 し く記 述 で き るわ けで は な い.本

も 含 め て 第 ９章 お よ び 第10章

で 取 り上 げ る 熱 力 学 的 現 象 は,あ

状 態 と他 の安 定 し た状 態 の 差 異 の み で あ り,そ な い.し

た が っ て,熱

る安 定 し た

の 間 の変 化 の 速 度 は問 題 に し

力 学 に は 時 間 と い う変 数 は顔 を 出 さ な い.こ

熱 力 学 は 古 典 熱 力 学 と呼 ば れ る,熱 力 学 に は,こ と呼 ばれ る もの が あ る.こ

章

の範 囲 の

の 他 に不 可 逆 過 程 の 熱 力 学

ち ら は 変 化 の 速 度 を も取 り扱 う もの で あ り,学 問

的 に は新 し く,現 在 そ の 研 究 が 活 発 に行 わ れ つ つ あ る領 域 で あ る.

8・

1

温

度

我 々 は,温 度 を計 る と きに水 銀 温 度 計 とか ア ル コ ー ル 温 度 計 を 用 い る.温 度 の

単 位 と し て は ℃(セ ル シ ウ ス 温 度)を 用 い るが,こ

れ は 水 と氷 の 共 存 す る温 度 を0

〔 ℃ 〕と し,１ 気 圧 で の水 の 沸 点 を100〔 ℃ 〕と して,そ

の 間 を100等

分 し,こ

の割

合 で これ らの 温 度 の 上 下 に 目盛 を つ け た もの で あ る.基 準 とな る物 質 に水 を選 ん だ の は,た だ我 々 の 周 囲 に 多 く存 在 し用 い や す い とい う理 由 以 外 に何 もな く,ま た氷 点 と沸 点 間 を100に

割 っ た の も他 に 大切 な 意 味 が あ るわ け で は な い.

  温度 は熱 に関 係 す る重 要 な 変 数 で あ る.こ の 変 数 の基 準 を上 記 の よ うな 都 合 で 定 め る こ とは本 質 的 で な い.絶 対 零 度 の概 念 は,始 め気 体 の 体 積 が そ の種 類 に よ らず ０に な る 温 度 と して 認 識 され た.シ は,圧 力 が 一 定 の も とで,次

ャ ル ル の 法 則 に よ る と,気 体 の 体 積 Ｖ

式 で 表 さ れ る. (8・1)

  た だ し,Ｔ

は,セ ル シ ウ ス 目盛 で計 っ た気 体 の温 度 〔 ℃ 〕,  V0は, 0  [℃]の とき

の気 体 の 体 積 で あ る.式(8・1)か

ら,絶 対 零 度 は-273.15〔 ℃ 〕に対 応 す る こ とが

わ か る.こ の 温 度 を基 準 に して,目 盛 間 隔 と して はセ ル シ ウ ス 目盛 を利 用 し た も の が絶 対 温 度(単 位 を Ｋ と書 き,ケ ル ビ ン と読 む)で あ る.よ り正 確 に は巻 末 の 付 表 １を参 照 され た い.こ れ か ら先,単 に温 度 Ｔ と書 い た もの は絶 対 温 度 を意 味 す る.   気 体 の 温 度 を一 定 に保 つ と,そ の 圧 力 ｐ と体 積 Ｖ の 間 に は,ボ イ ル の 法 則 が 成 り立 つ. pV=一

定

(8・2)

  この ２つ の 法 則 を組 み 合 わ せ る と,い わ ゆ る ボ イ ル ーシ ャ ル ル の 法 則 が 成 り立 つ.

pV=nRT

(8・3)

  こ こに,ｎ は 気 体 の モ ル 数, Ｒ は気 体 定 数 と呼 ばれ る定 数 で あ る.式(8・3)が 正 確 に成 り立 つ 気 体 を仮 想 して,こ れ を理 想 気 体 とい う.圧 力 ｐが 低 い と き,実 際 の気 体 は 理 想 気 体 と見 な す こ とが で き る.式(8・3)に は理 想 気 体 の状 態 を 特 徴 づ け る変 数 と して 圧 力 ｐ,体 積 Ｖ,温 度 Ｔ を含 むが,こ

れ ら の変 数 を状 態 変 数(ま

た は状 態 量)と い う.こ の よ う に,物 質(こ の場 合 は理 想 気 体)の 状 態 を表 す 状 態 変

数 は これ 以 外 に も あ るが,そ

れ らは後 に顔 を 出 す で あ ろ う.状 態 変 数 の １つ で あ

る系 の 体 積 は,系 の 大 き さ を半 分 に す る と半 分 に な るが,他 方,圧

力 や 温 度 は系

の 大 き さ に は無 関係 で あ る.前 者 の性 質 を もつ もの を示 量 性 の 状 態 変 数,後

者の

性 質 を もつ もの を示 強 性 の 状 態 変 数 とい う.   式(8・3)は,理 想 気 体 の ３つ の状 態 変 数 の う ち ２つ を定 め る と残 りの １つ は こ の 式 に よ っ て定 ま っ て し まい,勝 手 に 選 ぶ こ とが で きな い こ とを示 し て い る.そ れ ゆ え,式(8・3)は,理

想 気 体 の状 態 方 程 式 と呼 ばれ る.理 想 気 体 は 熱 力 学 を学 ぶ

と き,考 察 の 対 象 と して よ く用 い られ る が,そ の理 由 は,式(8・3)に 示 した よ う に そ の 状 態 方 程 式 が単 純 で 理 解 しや す い か らで あ る.   我 々 は,経 験 に よ り次 の こ とを 知 っ て い る.す なわ ち,２ つ の 物 体 を十 分 長 い 時 間 熱 的 に接 触 させ て お く と,両 物 体 の温 度 は等 し くな る.こ の こ と を ２つ の 物 体 が熱 平衡(状 態)に あ る と い う.い ま,物 体 Ａ と物 体 Ｂ が 熱平 衡 に あ り,ま た 物 体 Ｂ と物 体 Ｃ が 熱 平 衡 に あ れ ば,物 体 Ａ と Ｃ は直 接 に接 触 させ な くて も同 じ 温 度,す

な わ ち熱 平 衡 に あ る.こ の 経 験 則 は,し

ば しば熱 力学 第 ０法 則 と呼 ば れ

て い る.

8・2 8・

2

準静的変化

  一 般 に,あ

る １つ の熱 力 学 的 状 態 か ら の変 化 の 仕 方 は時 間 に 関係 し,現 象 が す

ばや く進 行 す るか,ゆ

っ く り進 行 す るか で,こ

の 変 化 で 到 達 す る 目的 地 が 異 な っ

て くる の で あ る.な ぜ か とい う と,熱 力 学 で は物 質 へ 出 入 す る熱 エ ネル ギ ー と他 の エ ネル ギ ー(話 を単 純 にす る た め に力 学 的 エ ネ ル ギ ー で代 表 させ る)が 互 い に関 係 してお り,変 化 の 速 度 に よ り一 方 か ら他 方 の エ ネ ル ギ ー 形 態 に変 化 し,そ の割 合 が 異 な る か らで あ る.し た が っ て,変 化 の速 度 をあ い ま い に して 話 を進 め るわ け に は いか な くな る.そ

こで,こ れ か ら学 ぶ 熱 力 学 で は変 化 の 速 度 が 無 限 に遅 い

場 合 のみ を扱 い,変 化 の 速 度 が有 限 の場 合 に は,前 者 との 定 性 的 な差 異 の み の 議 論 に と ど ま っ て い る.   無 限 に小 さ な速 度 の 変 化 を準 静 的 変 化 とい う.力 学 の例 で い え ば,外 力 で ばね

を引 きの ば す と き,外 力 の 大 き さを ば ね の 弾 性 力 の 大 き さ に か ぎ りな く近 づ け る こ とに相 当 す る.こ か か るが,こ

うす る と,あ る長 さ まで ば ね を引 き伸 ば す の に無 限 に時 間 が

の こ とは無 視 して,頭

の加 速 度 は無 限 小 で あ るの で,も

の 中 で 思 考 実 験 を行 う の で あ る.伸 び る ば ね

し これ まで と逆 の 方 向 に無 限 小 の 力 を加 え る と,

ば ね の 質 量 が有 限 で あ っ て も ま った く慣 性 を も た な い の で,す

み や か に逆 の過 程

が 生 ず る.こ れ を現 象 が 可 逆 的 で あ る とい う.す なわ ち,準 静 的変 化 は可 逆 変 化 で あ る.こ れ に対 し て,慣 性 の た め に無 限 小 の 逆 向 きの力 で 引 き も どせ な い 変 化 を不 可 逆 変 化 とい う.熱 力 学 で は,可 逆 変 化 を 実 行(頭 の 中 で)す る た め に 着 目 し て い る対 象(こ れ を系 とい う)と そ の 周 囲(こ れ を外 界 とい う)の 圧 力 差 は無 限 小 に し な くて は い け な い し,系

と外 界 との 温 度 差 も無 限 小 に しな くて は い け な い.こ

れ に よ り,系 の 圧 力 と温 度 は系 の どの部 分 で も一 様 で あ る と考 え る こ とが で き る の で,一 般 に系 の形 状 は問題 にす る必 要 が な い し,ま た,系 の 圧 力 と温 度 は そ れ ぞ れ １つ の値 で 十 分 な の で あ る.   熱 力 学 で は,可 逆 変 化 に よ っ て生 ず る ２つ の状 態(出 発 状 態 と到 達 した 地 点 の 状 態)の 間 の状 態 変 数 の差 の み を定 量 的 に 取 り扱 う こ とが で き,不 可 逆 変 化 に よ る状 態 変 数 の変 化 量 は定 め る こ とが で き な い.す

なわ ち,不 可 逆 変 化 で ど の状 態

へ到 達 す るか は,定 量 的 に は取 り扱 う こ とが で き な い.し か し,不 可 逆 的 に到 達 した状 態 の 状 態 変 数 が 明 らか な場 合 に は,出 発 状 態 との状 態 変 数 の差 は定 量 的 に 求 め る こ とが で き る.こ の こ とに つ い て は,8・4節 で 説 明 す る.

8・3

熱力学の第 １法則

  い ま,１ つ の 系 を 考 え る.こ

の 系 は 一 塊 の 物 体 で も,ピ ス ト ン と シ リ ン ダ に 囲 ま

れ た 容 積 の 中 に と じ こ め ら れ た 気 体 で も よ い し,本 球 全 体 で あ っ て も よ い.こ

の 系 と外 界 と の 間 の エ ネ ル ギ ー の や り と り を 考 え よ う.

エ ネ ル ギ ー の 形 態 と し て は,熱 ギ ー 等 い ろ い ろ あ る が,こ ー プ に分 け て考 え よ う

.

質 的 に は １ぴ き の 猫 で も,地

的 エ ネ ル ギ ー,力

学 的 エ ネ ル ギ ー,電

気的エ ネル

れ を 熱 エ ネ ル ギ ー と そ の 他 の エ ネ ル ギ ー の ２つ の グ ル

  い ま,図8-1に

示 す よ う に,１ つ の 系 に 外 界 か ら熱 エ ネ ル ギ ー と そ の 他 の エ ネ

ル ギ ー が 移 動 し た とす る と,こ

図8-1

増 加 し,そ

れ らの エ ネ ル ギ ー の和 の 分 だ け 系 のエ ネ ル ギ ー は

外 界 か ら系 へ の エネ ル ギー の移 動 が 内部 エネ ル ギ ーの 増 加

の 分 だ け 外 界 の エ ネ ル ギ ー は 少 な く な っ て い る.系

加 分 に 着 目 し て 考 え る と,エ

系 の エ ネ ル ギ ー の増 加 分

ネ ル ギ ー の 保 存 則 は,式(8・4)の 系 に入 った熱 エ ネルギー

十

の エ ネ ル ギ ー の増 よ う に 書 け る. 系 に入 った その他 のエ ネル ギー

(8・4)

これ を熱 力 学 の 第 １法 則 とい う.   系 の 保 有 す るエ ネ ル ギ ー を内 部 エ ネ ル ギ ー とい い,Ｕ 純 にす る た め に,系

で 表 す.い

ま,説 明 を単

と して ０〔 ℃ 〕にあ る一 塊 の氷 を考 え よ う.こ の氷 に 外 界 か ら

熱 エ ネル ギ ー を少 し加 え る と氷 の一 部 は とけ て水 に な る.こ の状 態 の 系(氷+水) の 温 度 は変 わ らず ０〔 ℃ 〕で あ るが,氷 の 内 部 エ ネ ル ギ ー は 出発 状 態 の 系 の 内 部 エ ネ ル ギー よ り高 い.さ

ら に,外 部 か ら熱 エ ネ ル ギ ー を加 え る と,つ い に 氷 はす べ

て 水 とな り,水 の温 度 は ０〔 ℃ 〕よ り上 昇 し,系 の 内部 エ ネ ル ギ ー は さ ら に高 くな る.こ の よ う に系 の 内 部 エ ネ ル ギ ー の 差 は系 を構 成 す る物 質 の 形 態(氷 → 水)や そ の温 度 の違 い とい う形 で 認 識 され る.   上 の例 や 式(8・4)か らわ か る よ う に,熱 力 学 で は 内 部 エ ネ ル ギ ー を常 に 変 化 分 (差分)の 形 で 取 り扱 う.一 塊 の氷 が もつ す べ て の 内部 エ ネ ル ギ ー を 問題 にす るわ けで は な い.一 魂 の氷 の 内部 エ ネ ル ギ ー は,水 の分 子 が 結 晶 を作 る エ ネ ル ギ ー,

水 素 お よ び酸 素 原 子 に属 す る電 子 の もつ エ ネ ル ギ ー,こ れ らの 原 子 の核 エ ネ ル ギ ー と多 くの種 類 を含 む.熱 力 学 の 第 １法 則 で は,こ の う ち,状 態 の 変 化 に 際 して 変 わ っ た分 の み を取 り扱 うの で あ る.   い ま,系 に入 っ た 熱 エ ネ ル ギ ー を ⊿Q(Ｑ は符 号 も含 む と し,系 に 入 っ た と き に 正,系 か ら出 た と きに 負 とす る),系 に入 っ た そ の他 の エ ネ ル ギー と して 力 学 的 な 仕 事 ⊿W(Ｗ

も Ｑ と同 様 に符 号 も含 む とす る)を 考 え,そ の結 果,系

ル ギ ー の 変 化 を ⊿Uと

の内部 エネ

す る と,熱 力 学 の第 １法則 は,次 の よ う に書 くこ とが で き

る. ⊿U=4Q十

⊿W

(8・5)

無 限 少 の変 化 につ い て書 くと, dU=dQ十dW   dWは,8・7節 dVを

(8・6)

で 述 べ る よ う に,可

用 い て,-pdVと

逆 変 化 で は 系 の 圧 力 ｐ と体 積 の 微 少 変 化

書 け る の で,式(8・6)は

次 の よ う に な る.

dU=dQ-pdV

8.4 4

(8・7)

状態変数 の性質

  熱 力 学 的 な状 態 を定 め る状 態 量 は,そ 至 る経 路 に は依 存 して は い け な い.ど

の状 態 に 固有 の もの で あ り,そ の状 態 へ

の 道 筋 を通 っ て そ の 状 態 に 到 達 した か で 変

わ って し ま う よ うな 量 は,状 態 量 とは い う こ とが で きな い.こ れ は,次

の ことに

例 え る と理 解 しや す い.   図8-2に

示 す よ うに,大 学 か ら裏 山 の お 宮 へ 行 く方 法 が ２ とお りあ る.Ａ

で 行 く コー スで,Ｂ

は車

は近 道 を歩 い て行 くコ ー ス で あ る.大 学 の 建 物 か らお 宮 へ 行

く まで の距 離 は,Ａ コー ス と Ｂ コー ス で は異 な るの で,こ の距 離 は状 態 量 的 な性 格 は もっ て い な い.だ が,大 学 とお 宮 の標 高 差 は ど うで あ ろ う か.こ れ は Ａ コ ー ス を進 み な が ら計 測 し た と して も,Ｂ

コー ス で計 測 した と し て もお 宮 に つ け ば 同

じで あ る.し た が っ て,標 高 差 は状 態 量 的 な 性 格 を もっ た 量 で あ る.

熱 力学 が わ か る よ うに お宮 まい り

図8-2

図8-3

状態変数 と完全微分

  第 ９章,第10章

で 詳 し く学 ぶ が,系

の 温 度 Ｔ と体 積

の 内 部 エ ネ ル ギ ー Ｕ は 状 態 量 で あ り,系

Ｖ の 関 数 と し て 表 す こ とが で き る.い

ま,図8-3に

内 部 エ ネ ル ギ ー Ｕ が わ ず か に 異 な る ２点P0と

Ｐ を 考 え よ う.点

ル ギ ーU(p)と

差 ⊿U(=U(p)-U(p0))を

点P0の

る た め に,点P0を

内 部 エ ネ ル ギ ーU(p0)の

Ｐ の内部 エ ネ 求 め

出 発 し て 図 に 示 し た ど の コ ー ス を 進 み な が ら 計 算 し て も,結

果 は 同 じ く な る は ず で あ る.い め に温 度

示 す よ う に,

ま,Ａ

コ ー ス で 行 っ て み よ う. Ａ コ ー ス で は,始

Ｔ を 一 定 に し体 積 を 変 化 し た と き の 内 部 エ ネ ル ギ ー の 変 化 ⊿U1を

次 に 体 積 を 一 定 に し て 温 度 を 変 化 し た と き の 内 部 エ ネ ル ギ ー の 変 化 ⊿U2を る.こ

の ２つ の 和 が 点P0と ⊿U=⊿U1十

  点P0と

点 Ｐ の 内 部 エ ネ ル ギ ー の 差 ⊿Uで

求 め, 求 め

あ る.

⊿U2

(8・8)

Ｐ の 内 部 エ ネ ル ギ ー の差 ⊿Uは 小 さ い と して い る の で,Ａ

つ の部 分 は直 線 的 に変 化 して い る と して よい .ま ず,⊿U1を

コース の ２

求 め よ う.体 積 の 変

化 に よ る内 部 エ ネ ル ギ ー の 変 化 の 勾 配(微 係 数)はdU/dVで 与 え られ る.こ の と き 温 度 を 一 定 に して い るの で,そ の こ とを明 記 す ・ た め に(avav)

Tを 用 い る.∂(ギ リシ ャ文 字 で,デ ル タ ー と読 む)は,数 学 で 用 い る偏 微 分 の 記 号 で あ る.し た が っ

て,体 積 変化 ⊿Vに

よ る内 部 エ ネ ル ギ ー 変 化 ⊿U1は,次

式 とな る.

(8・9)

同 じ よ うに考 えて,体 積 を一 定 に して温 度 を変 化 した場 合 の 内部 エ ネ ル ギ ー の

勾配 は

と 書 け る の で,

(8・10)

式(8・9),式(8・10)を

式(8・8)に

代 入 す る と,

(8・11)

  こ の 式 は,体 積 と温 度 が そ れ ぞ れ ⊿V,⊿Tだ ー の 変 化 ⊿Uを 表 して い る. ⊿Vと

⊿Tを 無 限 小 の 変 化 に す る と,

け変 化 し た と きの 内 部 エ ネ ル ギ

(8・12)

  式(8・12)の 形 の式 を完 全 微 分 とい う.し た が って,状 態 量(ま た は 状 態 変 数)は 完 全 微 分 の形 に書 く こ とが で き る.ま

た, (8・13)

が 成 り立 つ.な ぜ な ら,状 態 量 Ｕ は 変 化 の道 筋 に依 存 し な い の で,Ｖ

で微 分 して

か ら Ｔ で 微 分 し て も,そ の逆 に始 め に Ｔ で微 分 し て か ら Ｖ で 微 分 して も同 じ で あ るか らで あ る.式(8・13)は,第

９章 で 状 態 変 数 を書 き換 え る と き に 用 い られ

る.

8・5 

熱 エ ネル ギ ー

  温 度 Ｔ の物 体 が 熱 量 ⊿Qを 吸 収 して,温

度 がT+⊿Tに

な っ た と き,こ の 物

体 の 熱容 量 Ｃ は,次 式 で表 され る. (8・14)

  物 質 と して １モル の量 を選 べ ば,上 記 の Ｃ は モ ル 比 熱 と呼 ば れ,1〔g〕 の 物 質 で あ れ ば グ ラム 比 熱 と呼 ばれ る.式(8・14)か

ら,熱 容 量 は物 体 の温 度 を1〔K〕 上

昇 さ せ る と き外 界 か ら物 体 に入 る 熱 エ ネ ル ギ ー で あ る.式(8・14)を 無 限 少 の変 化 で表 現 す る と, (8・15)

  あ る一 定 量 の 熱 量 ⊿Qを 外 界 か ら加 え た 場 合,物 体 の 種 類 と量 が 決 ま っ た らそ の物 体 の温 度 上 昇 ⊿Tは,一

義 的 に決 ま るの だ ろ うか?.簡

単 な ２つ の場 合 を考

え て み よ う.   そ の １つ は,物 体 を圧 力 の 一 定 な場 に置 き,常 に物 体 に加 わ る圧 力 が 変 化 し な い よ う に した場 合 で あ る.一 般 に,物 体 は加 熱 に よ りそ の体 積 が 膨 脹 す る の で, その 分 だ け物 体 は外 界 に力 学 的 な 仕 事 をす る.こ の場 合 に は,吸 収 され た熱 量 は

物 体 の 温 度 を高 め る の に使 わ れ る だ け で な く,そ の 一 部 を仕 事 と して外 界 へ放 出 して い る.   これ に対 して,第

２の場 合 と して,同

じ物 体 を外 側 か ら体 積 の 変 化 しな い枠 に

は め込 み 加 熱 す る こ とを考 え よ う.こ の場 合 に は,物 体 の体 積 は変 化 しな い の で 加 熱 中 に物 体 は 外 界 に仕 事 を し ない.し

た が って,外

界 か ら吸 収 した 熱 エ ネ ル ギ

ー ⊿Qは ,す べ て物 体 の 温 度 上 昇 に 用 い られ る こ と に な る.   第 １の 場 合 に比 べ て 第 ２の場 合 に は,⊿Qな

る熱 エ ネル ギ ー を与 え た と き の温

度 上 昇 ⊿Tは 大 きい こ と は明 らか で あ る.   この よ う に物 体 に 加 え られ る熱 エ ネ ル ギー は 同 じで あ っ て も,そ の物 体 の 置 か れ て い る力 学 的 な環 境 に よ っ て物 体 の状 態(温 度 上 昇)は 異 な っ て し ま うの で あ る. この こ とか ら,熱 エ ネ ル ギ ー は物 体 の状 態 を一 義 的 に定 め る変 数 で は な い こ とが 明 らか で あ る.す

な わ ち,“ 熱 エ ネ ル ギ ー は状 態 量 で は な い” と い う こ とが で き

る.   上 記 の よ う に,熱 エ ネ ル ギ ー ⊿Qは 状 態 を一 義 的 に決 め る量 で は な い の で,こ れ を ⊿Tで 割 っ た 熱 容 量 とか比 熱(式(8・14),式(8・15))も

状 態 量 で は な い.し た

が っ て,“ こ の物 質 の モ ル 比 熱 は い くら” とい うい い 方 は不 正 確 で,“ この 物 質 を この力 学 的 環 境 に置 い た と きの モ ル 比 熱 は い くら” とい わ な け れ ば な らな い.こ の た め に,次 の よ う な表 し方 を す る.

(8・16)

(8・17)

  Cpは 定 圧 比 熱 と呼 ば れ,そ 味 し,Cvは

の物 質 が 一 定 の 圧 力 下 に 置 か れ た と きの 比 熱 を 意

定 積 比 熱 と呼 ば れ,そ

の物 質 が 体 積 を一 定 に 固 定 され た条 件 下 で の

比 熱 を意 味 す る.右 辺 の カ ッ コの 右 下 の ｐ,Ｖ

も同様 の意 味 で あ る.す で に述 べ

た よ う に ∂は数 学 で 使 用 され る偏 微 分 記 号 で,上 記 の 例 で は圧 力 ｐ ま た は 体 積 Ｖ を一 定 に保 ち つ つ微 分 を とる意 味 で あ る.わ か りに くけれ ば一 般 の微 分 記 号 ｄ に置 き換 え て 考 え て よ い.

熱 力 学 の 第 １法 則(式(8・7))よ

り, (8・18)

変 化 の 過 程 で 系(物 質)の 体 積 が 一 定 と す る とdV=0で な り,こ

れ を 式(8・17)に

あ る の で, dQ=dUと

代 入 す る と,

(8・19)

と書 くこ とが で き る.こ の 式 は,物 質 の定 積 比 熱 は そ の物 質 の 内部 エ ネ ル ギ ー Ｕ の 温 度 に よ る変 化 で あ る こ とを意 味 して い る.式(8・18)で,圧

力 ｐが 一 定 とす る

と,次 の よ うに書 き換 え られ る. (8・20)

  上 式 の カ ッ コ内 のU+pVは,し 名 前 をつ け,記 号 Ｈ で 表 す.す

ば しば 現 れ る量 な の で,エ

ン タ ル ピ ー とい う

な わ ち, (8・21)

  Ｕ,ｐ,  Ｖ は 状 態 量 で あ る の で, Ｈ も状 態 量 で あ る.こ

れ を 用 い る と,式(8・16)

は,

(8・22)

と表 す こ とが で き る.こ の 式 か ら,圧 力 を一 定 に し た と きの エ ン タ ル ピ ー の 温度 変 化 が 定 圧 比 熱 で あ る とい う こ とが で きる.   す で に述 べ た よ う に,圧 力 を一 定 に した と き と体 積 を一 定 に した とき で は,同 じ物 質 を1〔K〕 だ け温 度 上 昇 させ る の に必 要 な 熱 エ ネ ル ギ ー は,前 者 の ほ う が後 者 よ り大 き い.し た が っ て,式(8・16)お よ び式(8・17)か ら,定 圧 比 熱Cpは 積 比 熱Cvよ

常 に定

り大 きい こ とが わ か る.こ の ２種 の 比 熱 の 比 は比 熱 比 γ(ギ リ シ ャ

文 字 で,ガ ンマ ー と読 む)と 呼 ばれ,し ば しば物 質 の 熱 的 性 質 を特 徴 づ け る量 と し て 用 い られ る. (8・23)

比 熱 比 γ は,常

に １よ り大 き な 量 で あ る.

8・6理   さ て,こ

想 気体 の比 熱 こで 熱 力 学 的 な 手 法 を しば ら くの間 離 れ て,こ れ か ら先,第

９章 で お

付 き合 い をす る理 想 気 体 の 比 熱 に つ い て,微 視 的 な 立場 か ら,そ の性 質 に つ い て 学 ん で お くこ とは有 益 な こ と だ ろ う.   理 想 気 体 と は,式(8・3)に 示 した状 態 方 程 式 に 従 う気 体 で あ る が,こ れ を構 成 す る原 子 の 寸 法 程 度 の微 視 的 な大 き さ で み る と,構 成 して い る気 体 分 子 間 に どん な 力 も働 か な い 気体 とい う こ とが で きる.気 体 分 子 自体 につ い て は,実 在 の気 体 分

熱 素 説   19世 紀 の 初 頭 ま で,物

質 を加 熱 す る と膨 張 す るの は,物

質 中に熱

素(caloric)と 呼 ば れ る 一 種 の 流 体 が 入 る た め と考 え られ て い た 。 こ の 考 え 方 は,当 た が,熱

時,熱

に 関 す る現 象 を あ る程 度 合 理 的 に 説 明 で き

素 説 に 満 足 し な い 人 もい た 。1798年,ラ

ン フ ォー ドは,彼

の 指 揮 の も と で 行 わ れ て い た大 砲 の 穴 あ け 作 業 中 に,大 時 間 に 放 出 され るの を観 察,こ

れ を 用 い て,熱

素説の 是非論 に合 理

的 な判 断 が 下 せ る の で は な い か と考 え た。 彼 は,水 しん ち ゅ うの 大 砲 の 穴 を あ け る 実 験 を 行 い,水 量 の 目安 に 用 い,こ

量 の熱 が短

桶 の中 に入れ た

の 沸 騰 を放 出 す る 熱

の 際 に 発 生 す る熱 量 に は 際 限 が な い こ と を 見 い

出 した 。 ま た,彼

は 氷 と そ れ が とけ た 水 の 重 さ を正 確 な 天 秤 を用 い

て 測 定 し た が,熱

素 の 重 さ を求 め る こ とは で き な か っ た 。 こ れ ら の

実 験 結 果 か ら,「熱 は 物 質 の よ うな も の で な く,運 動 以 外 の も の を そ の 原 因 と し て 考 え る こ とは む ず か し い 」 と の 結 論 に達 した 。 そ の 後, 多 くの 人 に よ り研 究 さ れ,今

日 で は,我

形 態 で あ る こ と を知 っ て い る 。

々 は,熱

は エ ネ ル ギー の 一

子 と同 様 に,１ 原 子分 子,２ 原 子 分 子,３ 個 以 上 の 原 子 の集 合 で あ る 多 原 子 分 子 と 分 類 す る こ とが で き る.い ず れ の場 合 も,分 子 間 に力 が働 か な い の で,分 子 は こ れ に起 因 す る位 置 エ ネ ル ギ ー を もた な い.し

た が って,外 部 か ら作 用 す る場 が な

けれ ば,理 想 気 体 の 内部 エ ネ ル ギ ー Ｕ は,分 子 の もつ 運 動 エ ネ ル ギ ー の 総和 の み とな る.一 般 に,理 想 気 体 を構 成 す る分 子 １個 の運 動 エ ネ ル ギ ー Ｅ は,並 進 運 動 の項 Ｅ並進と回 転 運 動 の 項 Ｅ回転の和 と な り,次 式 で 表 され る.

(8・24)

  こ こ で,ｍ

は 分 子 １個 の 質 量,υ2は

モ ー メ ン ト,ω2は

そ の ２乗 平 均 速 度,Ｉ

は １個 の 分 子 の 慣 性

そ の 角 振 動 数 の ２乗 平 均 で あ る .式(8・24)は,ｘ, 

の 各 成 分 に 分 け て 書 く と,次

ｙ,  ｚ直 角 座 標

の ６個 の 項 の 和 で 表 さ れ る.

(8・25)

  式(8・25)の る.上

６ つ の 運 動 エ ネ ル ギ ー は,巨

視 的 に は熱 エ ネ ル ギ ー に よ る運 動 で あ

記 の ６つ の 項 に 公 平 に 熱 エ ネ ・ レギ ー1/2kTが

エ ネ ル ギ ー 等 分 配 則 と い う .こ を ア ボ ガ ド ロ 数N0で 自 由 度 を も ち,各

こ に,ｋ

割 っ た 値 を も つ.別

分 配 さ れ る と考 え る.こ

は ボ ル ツ マ ン 定 数 と 呼 ば れ,気

体 定数 Ｒ

の 表 現 を す る と,“ 多 原 子 分 子 は ６つ の

自 由 度 に 等 し い 熱 エ ネ ル ギ ー1/2kTが

自 由 度 を ｆ で 表 す と,式(8・25)は

れ を

割 り当 て ら れ る ” と な る.

次 の よ う に 書 け る.

E=1/2fkT

(8・26)

理 想 気 体 １モ ル の 内部 エ ネ ル ギ ー Ｕ は, (8・27)

  同 じ くエ ン タ ル ピ ー Ｈ は,そ 式 をn=1と

の 定 義 式 で あ る 式(8・21)に,式(8・3)の

状 態 方程

し て 代 入 し て,

H=U+pV=U+RT

(8・28)

左 辺 と右 辺 を温 度 で 微 分 す る と, Cp=Cv+R Cp= α 十R

(8・29)

こ れ を マ イ ヤ ー の 関 係 と い う.式(8・28)に

式(8・27)を 代 入 す る と,

(8・30)

  １原 子 分 子 の 自 由度 ｆ は,理 想 気 体 を構 成 す る 原子 自体 は大 き さ を もた な い と す る と,慣 性 モ ー メ ン トが ０と な る の で,並 進 運 動 の エ ネ ル ギ ー の み とな るの で ３ とな る.２ 原 子 分 子 に関 して は,図8-4か

ら明 らか な よ う に,直 交 す る ３つ の 座

標 軸 の う ち ２つ の軸 に関 して はふ く らみ を も ち,し た が っ て 慣 性 モ ー メ ン トは ０ で はな い が,残

りの １つ の軸 に関 して は ふ くらみ を もた な い の で ０ とな る.し

た

図8-42原 2原 子 図8-4 子 分 分

子 の慣 性 モ ー メ ン ト, 原子 は大 き さを考 え な い. が っ て,自

由 度 ｆ は,並

原 子 分 子 に 関 し て は,一

進 運 動 の ３ と 回 転 運 動 の ２ つ の 合 計 ５ と な る.ま 般 に 分 子 は ３次 元 的 な ふ く ら み を も つ の で,回

た,多

転運 動 の

自 由 度 ３,こ れ に 並 進 運 動 の 自 由 度 ３ を 加 え,合 計 ６ と な る.こ れ ら を 表8-1に と め た.こ

れ ら の 自 由 度 を 式(8・27)と

式(8・28)に 代 入 す る と,内

と エ ン タ ル ピ ー Ｈ は 表8-1に

示 す よ う に な る.Ｕ

そ れ ぞ れ 定 積 モ ル 比 熱Cv,定

圧 モ ル 比 熱Cpを

ま

部 エネル ギー Ｕ

と Ｈ を 温 度 Ｔ で 微 分 す る と,

得 る(式(8・19),式(8・22))が,こ

表8-1

れ ら も同 表 に 示 した.こ れ よ り,比 熱 比 γ は同 表 に示 した よ う に な る.こ れ らの 比 熱 比 の 値 と実在 気 体 の 比 熱 比 の 実 験 値(同 表 最 下 段)と 比 較 す る と,両 者 は よ く 一 致 して い る.

8・7  力学 的 仕事  図8-5の

よ う に,断 面 積 Ｓ の ピ ス ト ン と シ リ ン ダ の 空 間 に入 っ て い る圧 力 ｐ

の気 体 が外 力 Ｆ とつ り合 っ て い る とす る と, F=pS が 成 り立 つ.い

(8・31)

ま,外 力 Ｆ がpSよ

縮 す る こ とが で き る.距 離dxだ 第 ２章 の 式(2・2)か ら,

りわ ず か に(無 限 少)大 きい と,こ の 気体 を圧 け圧 縮 す る と き,外 界 が 気 体 に な す 仕 事dWは,

図8-5  気 体 の圧 縮,力 Ｆ とピ ス トン の変 位dx

dW=Fdx

(8・32)

で 与 え ら れ る.式(8・31)を

式(8・32)に

代 入 す る と,

dW=pSdx=pdV

(8・33)

を得 る.た だ し,dV(=Sdx)は た ので あ るか らdVは

負 の 値 で あ り,一 般 に 気体 の圧 力 を正 の値 と考 え る こ と に

す る と,微 少 仕 事dWは (気体)に 与 え られ,そ

圧 縮 し た気 体 の 体 積 で あ る.気 体 の 体 積 は減 少 し

負 の値 を もつ.気 体 を圧 縮 す る場 合,仕 事 は外 界 か ら系 の分,系

立 場 で 考 えて,式(8・33)に

の エ ネル ギ ー は増 加 す るの で,系

の エ ネル ギ ー の

負 号 をつ けて 仕 事 を定 義 す る と,式(8・34)と

dW=-pdV

な る.

(8・34)

  この式 で,ｐ は 気 体 の 圧 力 で あ る の で,現 実 に は つ り合 っ て(平 衡)い て 体 積 変 化 を さ せ る こ とが で き な いが,こ

の圧 力 ｐよ り無 限 小 だ け大 きな圧 力 が 外 界 か ら

加 え られ て い る と考 え る の で あ る.し た が っ て,式(8・34)は 気 体 の圧 力 ｐよ り無 限 小 だ け大 き な圧 力peが

外 部 よ り加 え られ て い る と考 え て よ い.い ま,こ の外 圧

peが 内 部 の気 体 の 圧 力 ｐよ り有 限 に 大 きい とす る と, dVだ の 仕 事-pedVは,平

け体 積 を圧 縮 す る際

衡 を保 ち な が ら圧 縮 す る と き の仕 事-pdVよ

り も明 らか に

大 き くな る.こ の と きの 余 分 な仕 事 は,次 の よ う に考 え る と気 体 に与 え られ て い る こ とが わ か る.す な わ ち,体 積 をdVだ

け圧 縮 した と き に ピス トン は,前 向 き

の 力 が 加 わ っ て い る た め加 速 度 を もち,こ の ピ ス トンの 内 壁 と衝 突 し た気 体 分 子 の速 度(分 布)が 変化 し て,気 体 分 子 の平 均 の 速 度 が 大 き くな る の で あ る.   以上,平

衡 を保 ち なが ら“ じ わ じわ ”と圧 縮(準 静 的 圧 縮)す る場 合 と,有 限 の 速

度 で圧 縮 す る場 合 の 仕 事 を ま とめ て 表 現 す る と,“ 一 般 に外 部 か ら加 え ら れ る仕 事dWは,平

衡 を保 ち な が ら準 静 的 に圧 縮 す る場 合 の仕 事-pdVに

等 しいか大

きい ” とな る. dW≧-pdV

(8・35)

  有 限 の速 度 で圧 縮 す る場 合(p＜pe),ピ

ス トン は速 度 を も っ て い る の で,も

し

逆 向 き の無 限小 の 力 を ピス トン に加 えた とし て も,気 体 の 体 積 を 直 前 の状 態 に 引 き も どす こ とは で き な い.し

た が っ て,こ れ は不 可 逆 過 程 で あ る.一 方,平 衡 を

保 ち つ つ 圧 縮 す る場 合 は,明

らか に準 静 的 変 化 で あ る の で 可 逆 過 程 で あ る.し た

が って,式(8・35)の

等 号 と不 等 号 は そ れ ぞ れ 可 逆 変 化 と不 可 逆 変 化 に対 応 して い

る.   熱 力 学 で は,こ の よ う に平 衡 を保 ち つ つ変 化 させ る と き(可 逆 変 化)の 値(こ の 場 合 は仕 事)の み を定 量 的 に扱 い,不 可 逆 変 化 の と きの値 は,こ れ よ り大 きい か 小 さ いか を議 論 す る に と どめ る の で あ る.   それ で は,次

に可 逆 変 化 の場 合 の仕 事 を求 め る こ と を考 え よ う.

  ピ ス トン と シ リン ダ の 空 間 に入 っ て い る圧 力pl,体 力p2,体

積V2の

体 積 がV1か

積V1の

気 体 を圧 縮 して 圧

状 態 に可 逆 的 に変 化 す る場 合 の 仕 事 を求 め よ う.図8-6(a)に

は,

らV2に 圧 縮 され る過 程 で 圧 力 が 直 線 的 に変 化 す る場 合 を示 した.こ

の と き,外 界 か ら系(気 体)に 与 え られ る仕 事W1は,式(8・34)をV1か

らV2ま

で

積 分 す る こ と に よ り得 られ る. (8・36)

  図8-6(a)か 次 に,出

ら明 ら か な よ う に,W1は

発 状 態 と到 達 状 態 は 同 じ で あ る が,途

下 に 湾 曲 し て い る 場 合 を 考 え よ う.こ 事W2も,明

図 中 の 濃 い 灰 色 の 部 分 の 面 積 に 等 し い.

ら か に 図8-6(b)の

中 の 圧 力 が,図8-6(b)の

の と き,外

よ う に,

部 か ら 与 え な くて は い け な い 仕

濃 い 灰 色 の 部 分 の 面 積 に 等 し い.

(a)

図8-6仕

事 の計 算 ２

例 の説 明 ・ 始 め と終 わ りが 同 じ で も,途 中が 違 えば,仕 事 の 大 きさ は違 って く る.

(b)

  こ の ２つ の例 か ら明 ら か な よ う に,W1とW2は

異 な っ て い る.こ の こ とか ら,

仕 事 とい う量 は,始 め と終 わ りの ２つ の状 態 を指 定 した だ けで は,一 義 的 に決 め る こ とが で きな い こ とが わ か る.す

な わ ち,仕 事 は前 記 の熱 エ ネ ル ギ ー と同 様 に

状 態 量(状 態 変 数)で は な い ので あ る.し た が っ て,仕 事 を計 算 す る に は変 化 の過 程 で圧 力 が どの よ うに 変 わ るか とい う こ と も指 定 し な くて は い け な い.   圧 縮 の 過 程 で の圧 力 の 変 化 の仕 方 は気 体 に与 え られ た熱 的 な状 態 の 差 異 で 異 な

っ て くる の で あ る.以 下 に ２つ の熱 的 な状 態 の場 合 につ い て,具 体 的 に仕 事 を計 算 して み よ う.

[１]等

温 仕 事

  気 体 を圧 縮 す る過 程 で,気 体 の 温 度 が常 に 一 定 に保 たれ て い る場 合 を考 え よ う. これ を実 現 す る に は,図8-7に

示 す よ うに,十 分 大 き な熱 容 量 を もち,一 定 な温

度 Ｔ に保 たれ て い る物 体 を シ リ ンダ に 接 触 さ せ れ ば よ い.こ れ を熱 源(ま た は熱

図8-7  この状 態 で気 体 を 圧 縮 す る ときの仕 事 が,図8-8の

Ｗ

浴)と い う.そ して,シ リン ダ の熱 伝 導 は とて も よ い もの とす る.話 を単 純 に す る た め に,中 に入 っ て い る気 体 は １モ ル の 理 想 気 体 とす る.こ らV2ま

の気 体 を体 積V1か

で 可 逆 的 に圧 縮 す る と きの 仕事 は, (8・37)

こ こ で,理 想 気 体 の状 態 方 程 式(式(8・3))を 用 い て 圧 力 ｐを書 き直 す と, (8・38)

こ こ で,Ｔ

は熱 源 の温 度 が 一 定 で あ るの で,

(8・39)

  気 体 は圧 縮 され る の で,V1＞V2ゆ

え にlnV2/V1は

負 の値,し た が っ てWは

の 値 とな り,こ れ は気 体 が 仕 事 を も ら う こ とに対 応 す る.逆 場 合 に はV1＜V2な

の で,Ｗ

と に相 当 す る.式(8・39)で

正

に気 体 を膨 脹 させ る

は負 の値 と な り,こ れ は 気 体 が外 部 に仕 事 をす る こ 与 え られ る仕 事 は,図8-8の

濃 い灰 色 の部 分 の 面 積 に

等 しい こ とは明 らか で あ ろ う.

図8-8等

温仕 事 Ｗ,計 算 は

式(8・39)

  こ こ で,等 温 仕 事 の過 程 に お け る熱 エ ネ ル ギ ー の移 動 に つ い て 考 え て お く こ と は意 義 が あ る.体 積 を圧 縮 す る過 程 で は,気 体 は外 界 か ら仕 事 を も ら うの で あ る か ら,も

し,シ

リン ダ と熱 源 が 接 して い な けれ ば,気 体 の 内 部 エ ネ ル ギ ー は増 加

す る.こ の こ とは,気 体 の温 度 が 上 昇 す る こ と を意 味 す る.し た が っ て,シ

リン

ダ と熱 源 が 接 触 す る こ とに よ り,気 体 か ら熱源 へ 向 け て熱 の 移 動 が起 こ っ て い る は ず で あ る.気 体 の圧 縮 は準 静 的 に行 われ て い る と して い るの で,こ

の熱 の移動

も準 静 的,す

な わ ち 可 逆 的 に起 こ っ て い る はず で あ る.こ の点 が 熱 伝 導 に よ る熱

の 移 動(温 度 差 が 必 要)と 本 質 的 に異 な る こ とに注 意 す べ きで あ る.等 温 的 に 気体 が膨 張 す る と きに は,も

[２]断

ち ろん 熱 の移 動 は熱 源 か ら気 体 へ 向 か っ て起 こ る.

熱 仕 事

  次 に,図8-7の

熱 源 を シ リ ンダ か ら切 り離 し,周 囲 か ら全 く熱 の 出入 の な い状

態 に した と き の仕 事 に つ い て考 え よ う.ま ず 具 体 的 な仕 事 を求 め る前 に 断 熱 変 化 の特 徴 に つ い て考 え よ う.   熱 力学 の 第 １法 則 に,dQ=0を

代 入 す る と, (8・40)

  上 式 の第 １項 を式(8・19)を 用 い て 書 き換 え,理 想 気 体 の状 態 方 程 式 を 用 い て, 第 ２項 の ｐを 消去 し,両 辺 を Ｔ で割 る と, (8・41)

両 辺 を積 分 して, (8・42) (8・43)

  こ れ を,マ て,次

イ ヤ ー の 関 係 式(式(8・29))と

比 熱 比 γ の 定 義 式(式(8・23))を

用 い

の よ う に 書 き 換 え る. 一定

(8・44) (8・45)

ま た,再 び状 態 方 程 式 を 用 い て Ｔ を消 去 す る と, (8・46)

  式(8・46)は 断熱 変 化 に お け る理 想 気 体 の 圧 力 ｐ と体 積 Ｖ の 関 係 を与 え る もの で,ポ ア ッ ソ ンの 式 と呼 ば れ て い る.γ ＞1で あ る の で,断 熱 的 な体 積 の 変 化 に よ る圧 力 の変 化 は,等 温 変 化 の場 合(pV=一 た.

定)よ り も激 しい.こ れ を 図8-9に

示し

図8-9  等 温変 化 と断熱 変 化 の

比較   断 熱 変 化 に お け る仕 事 を計 算 しよ う.仕 事 の定 義 式(式(8・36))を 用 い る.こ

の

式 は,可 逆 変 化 を した と きの 仕 事 を表 して い る の で,正 確 に い え ば断 熱 可 逆 変 化 に お け る仕 事 とな る.ｐ と Ｖ の 関係 に ポ ア ッ ソ ン の式 を用 い, (8・47)

こ こ に,Ｋ

は ポ ア ッ ソ ン の 式 の 定 数 で あ る.

(8・48)

  こ こ に,T1, 

T2は

さ れ る 仕 事 は,図8-10の

そ れ ぞ れ 体 積 がV1, 

V2の

と き の 温 度 で あ る.式(8・48)で

濃 い 灰 色 の 部 分 の 面 積 に 等 し い.

表

図8-10  断熱 仕 事 Ｗ,計 算 は 式(8・48)

演 習 問 題[８] １.27〔 ℃ 〕,10気 圧 の 状 態 に あ る 理 想 気 体 １モ ル を等 温 準 静 的 に １気 圧 まで 膨 張 さ せ た.こ

２.問

の と き 気 体 が 外 界 に な した 仕 事 を求 め よ.

題 １.で,外

界 か ら理 想 気 体 へ 流 入 す る熱 量 を求 め よ.

３.27〔 ℃ 〕の 水 素 ガ ス 中 の 水 素 分 子 の平 均 速 度(２ 乗 平 均 速 度 の根)を 求 め よ.

第 ９章

カ ル ノ ー ・サ イ ク ル

  カ ル ノ ー ・サ イ ク ル と は,熱 エ ネ ル ギ ー を 力 学 的 エ ネ ル ギ ー に,ま た は そ の 逆 に 変 換 す る １種 の 熱 機 関 ま た は そ の 動 作 を 表 す 言 葉 で あ る.カ イ ク ル の 動 作 は,い な い.頭

ろ い ろ の制 約 の た め,実

ル ノ ー ・サ

際 に 実 験 で確 か め る こ とが で き

の 中 で の思 考 実 験 で の み 実 現 が 可 能 で あ る.そ

し て,正

て 思 考 で の み 可 能 で 実 際 に 実 験 を行 う こ とが で きな い か?」

に 「ど う し

を理解 す る こ と

が カ ル ノ ー ・サ イ ク ル の 重 要 性 に つ な が るの で あ り,こ の こ とが,熱 力 学 第 ２ 法 則 を知 る た め の 重 要 な 手 掛 り とな る.   ま た,カ ル ノ ー ・サ イ ク ル は,熱 エ ネ ル ギ ー を力 学 的 エ ネ ル ギ ー に変 換 す る と き の最 大 効 率 が 何 に よ っ て 決 ま る か,最 い け な い か,を

大 効 率 を 得 る に は ど う し な くて は

教 え て くれ る.

9・1  カ ル ノ ー ・サ イ ク ル の定 性 的 取 り扱 い   一般 に熱 エ ネ ル ギ ー は 高温 か ら低 温 へ と移 動 す る.ま

た,熱 エ ネル ギ ー を利 用

す る と き,そ の 熱 エ ネ ル ギ ー を もつ 系 の温 度 が 高 い ほ ど使 い や す い こ とを,我 々 は経 験 的 に知 っ て い る.さ

らに,い

っ た ん低 い温 度 に な っ た系 に,周 囲 の よ り温

度 が低 い 部 分 か ら 自然 に熱 が 移 動 し,系 の温 度 が 高 くな る とい う こ と は決 して起 こ らな い と い う こ と も,我 々 は経 験 的 に知 っ て い る.す な わ ち,熱 伝 導 は不 可 逆 な 現 象 で あ り,い った ん 起 こ る と取 り替 しが つ か な い.し た が っ て,効 率 の よ い 熱 機 関 を作 る に は,高 温 熱 源 の熱 エ ネ ル ギ ー を力 学 的 エ ネ ル ギ ー に変 え る過 程 で 不 可 逆 な熱 の移 動,す

な わ ち熱 エ ネ ル ギ ー の た れ 流 しが 起 こ ら な い よ うに しな け

れ ば な らな い.   熱伝 導 は,高 温 か ら低 温 へ 向 か っ て起 こ る こ と を我 々 は知 って い る が,一 方,

我 々 は仮 想 的 で は あ る が 温 度 差 が ０で も熱 エ ネ ル ギ ー を移 動 させ る 方法 を第 ８章 で知 っ た.そ れ は等 温 変 化 に よ る 熱 の 移 動 で あ り,こ の 変 化 は 熱 伝 導 と異 な り, 可 逆 に起 こす こ とが で き る.   い ま,温 度 の異 な る ２つ の 熱 源 を考 え よ う.ピ ス トン と シ リ ンダ に閉 じ込 め た １モル の理 想 気 体 を,ま ず 高 温 の熱 源(温 度T1)に 接 触 させ,そ 積V1か

ら等 温 的 に膨 脹 させ てV2に

の体 積 を始 め の体

す る.そ の 間,気 体 の 温 度 は 一 定 に保 た れ て

い る の で,熱 源 か ら気 体 へ 向 か っ て の熱 の移 動 が あ る.す で に第 ８章 で 学 ん だ よ う に,理 想 気 体 の 内部 エ ネ ル ギ ー は,温 度 の み の 関 数 で 表 す こ とが で き る(式(8・ 27)).そ

れ ゆ え,今 考 えて い る等 温 膨 張 の過 程 で は,気 体 の 内 部 エ ネ ル ギ ー は一

定 で あ る.し た が っ て,熱 力 学 の 第 １法 則 か ら,熱 源 か ら移 動 した 熱 エ ネル ギ ー

図9-1効

率 よ く熱 エ ネ ル ギ ー を仕 事 に 変 え る に は,…

…

と等 しい 仕 事W1を

気 体 は外 界 に して い る こ とが わ か る(図9-1参

べ た よ う に,こ の仕 事W1,は,図9-1に 次 に,同

接触 さ せ な が ら体 積V1ま

き外 界 か らの 仕 事 が 必 要 で あ る が,こ の部 分 の面 積 で 表 され る.図

で に述

示 した濃 い灰 色 の部 分 の 面 積 に 等 し い.

じ く １モ ル の理 想 気 体 を詰 め 始 め の体 積V2の

低 温 熱 源(温 度T2)に

照).す

ピ ス トン と シ リ ン ダ を,

で圧 縮 す る こ と を考 え る.こ

の仕 事 の 大 き さW2は

に は示 し て い な い が,こ

のと

図 に 示 した 濃 い 灰 色

の 仕 事W2と

同 じ大 き さ の

熱 エ ネ ル ギ ー が 理 想 気 体 か ら今 度 は 熱 源 へ 向 か って 移 動 して い る.   したが っ て,高 温 熱 源 か らW1の

熱 エ ネ ル ギ ー を取 り出 し,低 温 熱 源 へW2の

熱 エ ネル ギ ー を与 え,正 味￨W1￨-￨W2￨の

力 学 的 エ ネ ル ギー を外 界 へ 与 え る こ と

に な る.こ の 過程 で ピ ス トン は 一 往 復 して 元 の体 積V1に り返 し(サ イ クル)て 行 う こ とで,熱

も どる の で,こ

れ を繰

エ ネ ル ギー を い く分 で も力 学 的 エ ネ ル ギ ー に

変 え る こ とが で き る.こ れ で 諸 君 は カ ル ノ ・サ イ ク ル の 主 要 な 部 分 を理 解 した こ と に な る.   この サ イ ク ル の各 過 程 は す べ て 可 逆 の よ う に見 え る が,実 温 熱 源 で 体 積V2ま

は そ うで は な い.高

で 膨 脹 し た気 体 を低 温 熱 源 に 接 触 す る と き,温 度 差(T1-T2)

が あ るた め,熱 伝 導 に よ り不 可 逆 的 に気 体 か ら低 温 熱 源 へ熱 が 流 れ て し ま う.ま た,逆 に 低 温 熱 源 で体 積V1に きは,逆

圧 縮 され た気 体(温 度T2)を 高 温 熱 源 に接 触 す る と

に高 温 熱 源 か ら気 体 へ 向 か っ て の熱 伝 導 を生 じ,こ こで も不 可 逆 的 な 熱

の移 動 を 生 じ て し ま う.こ れ らの不 可 逆 過 程 をな くす た め に カ ル ノー は,次

の方

法 を 用 い た.   高温 熱源 に接 し体 積 がV2に

な っ た気 体(温 度T1)を

低 温 熱 源 に接 触 させ る前 に,

気 体(す なわ ち ピス トン とシ リ ン ダ)を い っ た ん 高 温 熱 源 か ら切 り離 し,断 熱 状 態 に す る.断 熱状 態 で 気 体 を膨 脹 させ る と,気 体 の 温度 は低 下 す る(第 ８章 参 照). 気 体 の温 度T1が

ち ょ う ど低 温 熱 源 の 温 度T2に

等 し くな る まで 断 熱 膨 脹 させ る.

こ の よ うに,気 体 と低 温 熱 源 の 温 度 を等 し く して か ら接触 させ れ ば,前 記 の 不 可 逆 性 は生 じな い.ま た,逆 接 触 させ る 前 に,い

に 低 温 熱 源 に 接 し温 度 がT2で

あ る気 体 を高 温 熱 源 に

っ た ん低 温 熱 源 か ら切 り離 し断熱 状 態 に して 断 熱 圧 縮 させ る.

断 熱 圧 縮 に よ り気 体 の 温 度 は 高 くな る の で,ち

ょ う ど気 体 の 温 度 が 高 温 熱 源 の 温

(ａ)

(ｂ)

(ｃ)

(ｄ) 図9-2 

度T1に

カ ル ノ ー ・サ イ ク ル の 定 性 的 な 説 明

等 し くな る ま で圧 縮 す る.こ の 状 態 で 気 体 を高 温 熱 源 に接 触 さ せ れ ば,

熱 伝 導 に よ る不 可 逆 な 熱 の移 動 は 生 じな い.   す なわ ち,カ ル ノ ー は前 記 の ２つ の 等 温 過 程(等 温 膨 脹 と等 温 圧 縮)の 間 に ２つ の 断 熱 過 程(断 熱 膨 脹 と断 熱 圧 縮)を 入 れ る こ とに よ り,サ イ クル を す べ て 可 逆 的 に変 化 で き る と考 え た.こ の よ うな サ イ クル をカ ル ノ ー ・サ イ ク ル とい う.カ ル ノ ー ・サ イ クル に お け る気 体 の状 態 変 化 を 図9-2(a)に

示 す .各 過 程 に お け る 熱 源 と

気 体 と外 界 の 間 の エ ネ ル ギ ー の や り取 りは,同 図(ｂ),(ｃ)に 図示 し て あ る.そ れ ゆ え に,１ サ イ ク ル の 動 作 で カ ル ノー ・サ イ クル か ら外 界 へ 取 り出 す こ との で き る 仕 事 は,同 図(ｄ)で 示 す よ うに,p-V曲

線 上 に描 か れ た 閉 曲面 の 面 積 とな る.こ

の こ とか ら,１ サ イ ク ル で 得 ら れ る仕 事 を大 き くす る に は,２ つ の 熱 源 の 温 度 差 T1-T2を

大 き く とれ ば よい こ とが わ か る.

  この よ うな カ ル ノ ー ・サ イ クル の働 き を模 式 的 に 図 示 す る と,図9-3の

よ うに

な る.こ の 図 で,カ ル ノ ー ・サ イ クル は高 温 熱 源 か ら熱 エ ネル ギ ー を取 り,一 部 を 低 温 熱 源 へ 捨 て,残

りを仕 事 と し て外 界 へ放 出 す る様 子 が矢 印 で 示 され て い る.

  す で に 述 べ た よ うに,カ ル ノ ー ・サ イ クル は可 逆 過 程 で の み 構 成 され て い る.し た が っ て,図9-2(a)の

矢 印 と は逆 の向 きに カ ル ノ ー ・サ イ クル を動 か す こ とが で

き る.こ の場 合,同 図(ｂ),(ｃ)に 示 し たエ ネ ル ギ ー の や り取 りの 方 向 はす べ て逆 に な り,し た が っ て,同

図(ｄ)に示 した 閉 曲線 の 面 積 は気 体 が 外 界 に な した 仕 事

で は な く,外 界 か らな され た仕 事 で あ る.こ の仕 事 は,低 温 熱 源 か ら熱 を くみ上

図9-3 

げ高 温 熱 源 へ 注 入 す る の に 用 い られ る.し

たが って,こ

カ ル ノ ー ・サ イ ク ル の 図 的 表 現

の と き図9-3の

矢 印 もす

べ て 逆 に な る.こ の と き カ ル ノ ー ・サ イ ク ル は,一 種 の 熱 ポ ンプ と し て作 用 し て い る(冷 蔵 庫 や ク ー ラ ー を想 像 す る と よ い).こ の よ うに,カ ル ノー ・サ イ ク ル は どち らの 方 向 へ も運 転 で きる の で 可 逆 サ イ ク ル と呼 ば れ る.も ち ろん,可 逆 サ イ ク ル と して 動 作 さ せ る た め に各 過 程 を準 静 的 に動 か さな くて は い け な い(第 ８章 参 照). す な わ ち,原 理 的 に は カ ル ノー ・サ イ クル を １サ イ クル 動 か す に も無 限 の 時 間 が 必 要 とい う こ とに な る.し たが っ て,カ ル ノ ー ・サ イ ク ル は 実 現 不 可 能 で あ る.こ の た め カ ル ノ ー ・サ イ ク ル は理 想 サ イ クル(理 想 機 関)と も呼 ば れ て い る.   これ で カ ル ノ ー ・サ イ ク ル の す べ て の 動 作 原 理 を定 性 的 に 理 解 す る こ とが で き た が,次 に,カ ル ノ ー ・サ イ クル の 効 率(熱 エ ネ ル ギ ー を仕 事 に 変 え る)に つ い て考 え よ う.我 々 が今,熱

エ ネ ル ギ ー を仕 事 に 変 え て有 効 に 役 立 て た い とす る と,カ

ル ノ ー ・サ イ クル の効 率 は 次 式 で 与 え られ る.

カ ル ノ ー ・サ イ ク ル の 効 率=

１サ イ クル で外 界 へ 放 出 す る仕 事/ 高 温 熱 源 か ら １サ イ クル で 取 り出 した 熱 エ ネ ル ギ ー (9・1)

エ ネ ル ギ ー保 存 則 か ら, 高 温 熱 源 か ら １サ イ クル で 取 り出 した 熱 エ ネ ル ギ ー=

１サ イ クルで外 界 へ 放 出 す る仕 事

+

低 温 熱 源 へ １サ イ ク ル で 放 出 す る熱 エ ネ ル ギ ー (9・2)

と な る.し た が っ て,カ ル ノー ・サ イ クル の効 率 は もち ろん １よ り小 さい こ とが わ か る.し か し,カ ル ノ ー ・サ イ クル の効 率 が 我 々 の 作 り う る熱 機 関 の効 率 の 中 で最 大 値 を示 し,こ れ以 上 の 効 率 を もつ 熱 機 関 を作 る こ とは 原 理 的 に もで き な い こ と を容 易 に 示 す こ とが で き る.  仮 に,カ ル ノ ー ・サ イ ク ル の効 率 よ り高 い効 率 を もつ サ イ クル(仮 に,パ クル と呼 ぶ)が 存 在 し た と し よ う.こ の サ イ クル を用 い て,図9-4に

ラサイ

示 す よ うに,

高 温 熱 源 か ら熱 エ ネ ル ギ ー を受 け取 り,外 部(エ ネ ル ギ ー 溜)に 仕 事 を 出 し,残

り

を低 温 熱 源 に 捨 て る動 作 を行 わ せ る.次 に,図 に 示 す よ うに,カ ル ノ ー ・サ イ クル

図9-4カ

ル ノ ー ・サ イ ク ル よ り高 効 率 の パ ラ サ イ ク ル

をつ な ぎ,パ ラ サ イ ク ル で 取 り出 した エ ネ ル ギ ー を用 い て,低

温 熱 源 か ら熱 を く

み 上 げ高 温 熱 源 に 注 入 す る.カ ル ノ ー ・サ イ ク ル が 動 作 す る と,パ ラ サ イ クル に よ って 高 温 熱 源 か ら失 わ れ た 熱 エ ネ ル ギ ー は元 に も ど り,ま た,パ って 低 温 熱 源 に入 れ られ た 熱 エ ネ ル ギ ー も再 び くみ 出 され,つ

ラ サ イ クル に よ

い に ２つ の 熱 源 は,

パ ラサ イ ク ル を動 作 させ る前 と同 じ状 態 に な る.こ の と き,エ ネ ル ギ ー 溜 の 中 に は まだ エ ネル ギ ー が 残 っ て い る は ず で あ る.な ぜ な ら,パ ラサ イ ク ル の効 率 は, カ ル ノー サ イ ク ル の 効 率 よ り高 い と仮 定 して い る か らで あ る.そ

うす る と,こ の

エ ネ ル ギ ー は ２つ の 熱 源 が 元 の状 態 に も ど って い る の で無 か ら出現 した こ と に な り,こ れ はエ ネ ル ギ ー 保 存 則 に反 す る こ と に な る.こ の こ と は,始

めのパ ラサイ

クル の存 在 の 仮 定 が 正 し くな か っ た こ と を意 味 し て お り,カ ル ノ ー ・サ イ ク ル の 効 率 を超 え るサ イ クル は あ り えな い こ とに な る.

サ ジ ・カ ル ノ ー

(1796∼1832)

  熱 を一 種 の 流 体 とみ な す 熱 素 説 が 支持 さ れ て い た 時 代 に,カ ーの 天才 は い て,熱

,今

日 カ ル ノー ・ サ イ ク ル と呼 ば れ て い る 思 考 過 程 を 用

力 学 の 基 礎 を 作 り,物 理 学 に 貢 献 した 。 彼 の 考 え が 発 表 さ

れ た 当 時(1824),彼 死 後(コ

ル ノ

の 意 見 は 一 般 に は 注 目 され な か っ た が,彼

の

レ ラ の ため36才 で 急 死),ま ず ク ラ ウ ジ ュ スに よ り,次 い で

トム ソ ン に よ り,彼 の 仕 事 の 重 要 性 が 紹 介 さ れ,一 般 に 認 識 さ れ た 。   彼 の 父 は,応

用 数 学 の 分 野 で 著 名 で あ る と と も に,フ

ラ ン ス革 命

の 立 役 者 の 一 人 と して 有 名,母

は ピ ア ニ ス ト,彼 も ま た 軍 務 に つ い

た が,退

楽 を は じめ 広 範 な 趣 味 を も ち,社

役 し て 科 学 に専 念,音

会

不 正 に 対 す る 正 義 感 の 強 い 人 で あ っ た と 同 時 に,非 社 交 的 な性 格 の 持 主 で もあ っ た と い う。

  以 上 の 説 明 は 単純 で 理 解 しや す い が,そ

の論 法 に 少 し不 正 確 な部 分 を含 ん で い

る.読 者 は この こ と に気 が つ い た だ ろ うか?  ２法 則 が 関係 し て く る.し た が っ て,第10章

よ り正 確 な説 明 に は,熱 力 学 の 第

を読 み終 わ っ た後 に再 び こ こ の部 分

を読 む こ と に よ り,さ ら に詳 細 に 理 解 で き る だ ろ う.

2

9・2

カ ル ノ ー ・サ イ ク ル の 定 量 的 取 り扱 い

  次 に,カ ル ノ ー ・サ イ クル の動 作 を定 量 的 に 考 察 し よ う.こ の 考 察 は熱 力 学 の第 ２法 則 や エ ン トロ ピー の概 念 を 理 解 す るの に大 切 で あ る の で,気 図9-5に

こ の サ イ クル の動 作 の 各 過 程 で の 気 体 の 内部 エ ネ ル ギ ー変 化 ⊿U,移

す る熱 エ ネ ル ギ ー ⊿Q,外 部 とや り取 りす る仕 事 量 ⊿Wを 膨 張,断

を 入 れ て 読 も う.

熱膨 張,等

図 と表 で 表 し た.等 温

温圧 縮,断 熱 圧 縮 の順 に 各 過 程 で の上 記 の 量 を １か ら ４の 番

号 の添 え字 で 表 した.こ の例 で は,カ

ル ノ ー ・サ イ クル は熱 エ ネ ル ギ ー を仕 事(力

学 的 エ ネ ル ギ ー)に 変 え る向 き に動 か して い る.高 温 熱源 の温 度 をT1,低 の温 度 をT2と

動

温 熱源

す る.

  まず,等 温 過 程 で は 温度 が 変 化 しな い の で ⊿U1=0,⊿U3=0で で は ⊿Q2=0,⊿Q4=0で

あ り,断 熱 過 程

あ る.そ れ ゆ え,各 過 程 に 熱 力 学 の第 １法 則 を適 用 す る

と,表 の 下 段 に 示 し た関 係 を得 る.ま た,断 熱 過 程 で の 仕 事 は第 ８章 で 示 した よ うに,次 式 の よ うに な る. (9・3)

(9・4)

  式(9・3),式(9・4)よ

り,⊿W2は

負 の 値(系 か ら外 界 へ 仕 事 を す る)で,⊿W4は

の 値(外 界 か ら系 へ 仕 事 が な さ れ る)で あ る こ と が わ か り,さ ⊿W2+⊿W4=Q

正

ら に, (9・5)

で あ る こ とが わ か る.こ の こ とか ら,断 熱 過 程 で の正 味 の 仕 事 は ０で あ り,カ ル ノー ・サ イ クル の効 率 に は断 熱 過 程 の 仕 事 は実 質 的 に 寄 与 して い な い こ とが わ か る.式(9・5)に 表 の下 段 に記 した 関 係 を代 入 す る と,

図9-5カ

ル ノ ー ・サ イ クル の定 量 的 説明 の た め の 図

⊿ U2十⊿U4=0

を得 る.ま た,前 記 の よ う に ⊿U1=⊿U3=0で

(9・6)

あ る の で,１ サ イ クル 後 の 気体 の 内

部 エ ネ ル ギ ー は始 め と同 じ状 態 とな っ て い る こ とが 確 認 で き る.こ の こ と は何 も

上 記 の よ う に 考 え な くて も,図9-5の

上 の 図 で 気 体 の 状 態 がA-B-C-D-A

と始 め の 状 態 に も どっ て い る こ とか ら も当然 で あ る.   次 に,等 温 過程 の仕 事 を考 え よ う.第

８章 で す で に述 べ た よ うに,こ

れ ら は次

の よ う に書 け る. (9・7)

(9・8)

  VA
あ る の で ⊿W1<0,つ

様 に,VC>VDで

と が わ か る.す

ま り系 か ら 外 界 へ 仕 事 を す る こ と が わ か る.

あ る の で ⊿W3>0,つ

ま り 系 は 外 界 か ら仕 事 を さ れ る こ

で に 述 べ た よ う に,￨⊿W1￨>￨⊿W3￨で

2(d)の

閉 曲 線 の 面 積 に 等 し い わ け で あ る.こ

9-5に

示 し た ２つ の 断 熱 線 上 の ２点 Ａ と Ｄ,お

あ り,こ

の 差 は,図9-

れ は 次 の よ う に し て 求 め ら れ る.図 よ び Ｂ と Ｃ で は,次

の式が 成 り

立 つ. pA  VAγ=pD 

(9・9)

VDγ

pBVBγ=pcVcγ

(9・10)

これ らの 式 を,理 想 気 体 の状 態 方 程 式 を用 い て書 き換 え る と, RT1 

VAγ-1=RT2 

VDγ-1

(9・11)

RT1VBγ-1=RT2Vcγ-1

(9・12)

上 ２式 の 辺 々 の 比 を と る と, (9・13)

(9・14)

式(9・14)を

式(9・7)に

代 入 し,式(9・8)と

和 を と る と,

(9・15)

  VC>VD,T1>T2で

あ る の で,式(9・15)は

負 の 値 と な る.す

な わ ち,こ

の １サ

  等 温 過 程 で の ２つ の 熱 源 と の 正 味 の 熱 エ ネ ル ギ ー の や り取 り は,図9-5の

表 の

イ ク ル で 系 は 正 味 の 仕 事 を 外 界 に し て い る こ と に な る.

下 段 よ り, ⊿Q1+⊿Q3=-(⊿W1+⊿W3) と な り,⊿W1+⊿W3が る.す

な わ ち,系

放 出 し,気

(9・16)

負 の 値 を と る の で,⊿Q1+⊿Q3は は 高 温 熱 源 か ら ⊿Q1(>0)を

体 は 正 味 ⊿(Q1+⊿Q3の

正 の値 を と る こ とが わ か

受 け と り,低 温 熱 源 へ ⊿Q3(<0)を

熱 量 を 受 け取 りな が ら順 次 これ に等 し い仕 事 を

外 界 へ 放 出 し て い る こ とが わ か る.   次 に,カ

ル ノ ー ・サ イ ク ル の 効 率 を 求 め て み よ う.す

で に 述 べ た よ う に,効

式(9・1)で 与 え られ る.外 界 へ 放 出 す る 仕 事 は 式(9・15)で 含 め た 式 で あ り,系

の 式 は符 号 も

の エ ネ ル ギ ー が 増 加 す る 向 き を 正 と し て い る.い

界 に 仕 事 を す る の で,式(9・15)は

負 の 値 で あ る が,効

号 は 関 係 な い の で(常 に 正 の 量 と し て 扱 え ば よ い),結 率 ηcは,次

あ る が,こ

率 は

ま,系

は外

率 を 求 め る と き は,こ

の符

局,カ

ル ノ ー ・サ イ ク ル の 効

式 で 与 え ら れ る. ηc=出 力/入力=-(⊿W1+⊿W3)/⊿Q1

式(9・16)を

(9・17)

用 い て 書 きか え る と, (9・18)

ま た,図9-5の

下 段 の 関 係 を 用 い る と, (9・19)

式(9・19)を

式(9・7),(9・14),(9・15)を

用 い て 書 き か え る と,

(9・20)

とな り,カ ル ノ ー ・サ イ クル の効 率 ηcは用 い た ２つ の熱 源 の 温 度 の み で表 す こ と が で き る.使 用 した 理 想 気 体 の性 質 は効 率 に は全 く関 係 して こな い こ とに注 意 し て ほ し い.式(9・20)か らわ か る こ と は,カ ル ノ ー ・サ イ クル の効 率 を上 げ る た め に は低 温 熱 源 の 温 度T2を

下 げ れ ば よ く, T2=0〔K〕 で効 率 は １とな る.T2が

有限

の 温 度 で あ れ ば熱 エ ネ ル ギ ー を そ っ く り,そ の ま ま仕 事 に変 え る こ とは で き な い.

例 え ば,T1-1000〔K〕, 

と な り,熱

T2=500〔K〕

と す る と,

エ ネ ル ギ ー の 半 分 し か 有 効 な 仕 事 と し て 取 り 出 す こ と が で き な い.

我 々 が 作 り得 る 熱 機 関 は,不

可 逆 性 が 入 る た め に,式(9・17)∼(9・20)で

与 え られ

る 効 率 よ り も さ ら に 低 い こ と に な る.   式(9・20)は,ま も しT2＜0と れ は,エ 可 能 で,負

た 絶 対 温 度 目盛 の 下 限0〔K〕

す る と,式(9・20)か

に つ い て 教 え て くれ る.す

な わ ち,

ら,効 率 ηcは １よ り も 大 き くな っ て し ま う.こ

ネ ル ギ ー 保 存 則 に 反 す る こ と に な り,絶

対 温 度 目盛 は正 の値 か ０の み が

の 値 は 取 り得 な い こ と が わ か る.

  式(9・18)と

式(9・20)か

ら,次

の 式 を 得 る.

(9.21)   こ の式 を 変 形 す る こ と に よ り,現 在,熱

力 学 は も とよ り,機 械,化 学,生

物学

と あ ら ゆ る 分 野 で用 い られ て い る エ ン トロ ピ ー の概 念 が 生 れ る.

(9.22)   式(9・22)は,高

温 熱源 か ら系(気 体)が 得 た熱 エ ネ ル ギ ー と高 温 熱 源 の 温 度 の比

と,低 温 熱 源 へ 系 か ら移 動 し た熱 エ ネ ル ギ ー と低 温 熱 源 の 温度 の比 の和 が ０と な る こ と を示 して い る.式(9・22)の で あ る.す な わ ち,第

２つ の 項 は そ れ ぞ れ エ ン トロ ピー と呼 ば れ る量

１項 は,図9-5の

Ａ か ら Ｂ へ の 等 温 膨 張 の 過 程 で の系(気

体)の エ ン トロ ピー の増 加 分 を表 して い る.同 様 に,第 ２項 は,図9-5の へ の 等 温 圧 縮 の 過 程 で の 系(気 体)の エ ン トロ ピー の 減 少 分(⊿Q3は い る.断 熱 過 程 で は,熱 の移 動 は零(⊿Q=0)で

あ るの で,カ

Ｃか ら Ｄ

負)を 表 して

ル ノー ・サ イ クル に

お け る ２つ の 断 熱 過 程 で の エ ン トロ ピー 変 化 は 当然 零 で あ る.「 カ ル ノー ・サ イ ク ル は可 逆 過 程 の みで 作 られ て い る.」 とい う事 柄 が,式(9・22)の

「２つ の エ ン トロ

ピー の変 化 分 の和 が 零 に な る.」 こ と と密 接 に 関 係 し て い る.こ れ に つ い て は第 10章 で 学 び,こ

れ か ら熱 力 学 第 ２法 則 が 導 か れ る こ とを知 るで あ ろ う.

演 習 問 題

[９]

１.カ ル ノ ー ・サ イ ク ル の 状 態 変 化 を,温 度 Ｔ とエ ン トロ ピ ー Ｓ を 変 数 と して 図 示 せ よ.

２.カ ル ノ ー ・サ イ ク ル 以 外 に 可 逆 サ イ クル は 可 能 だ ろ うか.

熱 力学 の 第 ２法 則

第10章

  世 の 中 に は,二 度 と取 り返 し の つ か な い こ とが あ る.水 で 割 っ た ウ イ ス キ ー ,火

を つ け た た ば こ,青 春 の 日 々 な ど,こ

き な い.そ

れ で は,元

に も どす こ と が で き る もの は あ る だ ろ うか? 

五 感 で 認 識 で き る 巨 視 的 な もの は,す うか? 

れ は二 度 と元 に も ど す こ と は で 我々の

べ て 一 方 通 行 で あ る.こ れ は なぜ だ ろ

エ ン ト ロ ピー と呼 ば れ る量 は,こ

の 一 方 通 行(不 可 逆 性)を 記 述 す る.

変化 の方向

10・1

  我 々 は,前 章 で,熱 力 学 の第 １法 則 は エ ネル ギ ー の保 存 則 で あ り,自 然 現 象 は これ を満 足 す る よ う に起 こる こ と を知 っ た.し

か し,こ の 逆 の熱 力 学 の第 １法 則

を満 足 す る過 程 は す べ て 自然 に起 りう るか ど う か に つ い て は,何 な い.図10-1に

も考 察 を し て い

は,自 然 現 象 の ３つ の例 を示 して い る.い ず れ の場 合 も,系 は大

き さ を変 え な い断 熱 壁 で 囲 ま れ て い て,外 界 とは 孤 立 して い る.図10-1(ａ)で １つ の物 質 の 中 央 を境 に して 左 右 で 温 度 が異 な る状 態 が 始 め に あ る.図(ｂ)で

は, は,

中央 の膜 を境 に して一 方 に気 体 分 子 が 入 れ られ て お り,他 方 は真 空 に し て あ る. 図(ｃ)で は,コ マ が気 体 の中 で まわ っ て い る.我 々 は,経 験 的 に次 の こ とを知 っ て い る.時 間 が 十 分 に経 過 す る と,図(ａ)で は,左 右 の 温 度 が 等 し くな り,図(ｂ)で は,膜 が 破 れ る と気 体 分 子 は真 空 中 へ 流 れ 込 み,ど

こ も同 じ圧 力 に な り,ま た図

(ｃ)では,コ マ の 回 転 が 空 気 の 粘 性 や 箱 の底 と コマ の軸 との摩 擦 の た め に遅 くな り,つ い に止 っ て し ま う.こ の と き,空 気 や コ マ は少 し温 度 が 高 くな っ て い る だ ろ う.   い ず れ の場 合 に も,こ れ ら の容 器 を通 して 外 界 とエ ネ ル ギ ー のや り取 りは で き な い の で,出 発 状 態 と最 終 状 態 の容 器 内 の エ ネ ル ギ ー は 同 じで あ る.上 記 の 事 柄

(ａ)

(ｂ)

(ｃ) 図10-1

一 方 向 の み変 化 が起 こ る例

に加 え て,我 々 は,さ

らに 次 の こ と も経 験 と して 知 っ て い る.

  す な わ ち,図(ａ)で は,さ らに どん な長 い時 間 待 っ て い て も い っ た ん 一 様 な温 度 に な っ た物 質 の温 度 が 不 均 一 に な り,一 方 が 温 か く,他 方 が 冷 た くな る こ とは な い.ま た,図(ｂ)で も,い っ た ん 一様 に広 が っ た気 体 分 子 が た とえ一 瞬 で あ ろ う と 左 半 分 の み に よ り集 る こ とは な い.さ らに,図(ｃ)で も,静 止 し て い る コマ が 起 き 上 が り回転 を始 め る こ とは あ り えな い.以 上,い ず れ の場 合 に も図10-1の エ ネ ル ギ ー は等 しい の で,こ

左右 で

れ らが起 っ た と して もエ ネ ル ギ ー 保 存 則 は満 足 して

い る の で あ る.   これ らの 例 か ら,自 然 界 に は エ ネ ル ギ ー 保 存 則 を満 し て も決 し て起 らな い現 象 が 存 在 す る こ とが わ か る.す な わ ち,変 化 の 方 向 が 一 方 の み とい う不 可 逆 な現 象 が 我 々 の 回 りに は存 在 す る.い や,我 々 の周 囲 に あ る現 象 は,す べ て不 可 逆 で あ る とい っ て も よ い.

  純粋 な 力 学 過 程,例 えな けれ ば,振

え ば,第

２章 で 学 ん だ振 り子 の 運 動 を 考 え よ う.摩 擦 を考

り子 は常 に一 定 な振 幅 を保 ち,運 動 エ ネル ギ ー と位 置 の エ ネ ル ギ

ー の 交 換 を周 期 的 に行 う.し か し,我 々 は振 り子 と周 囲 の間 の摩 擦 を 小 さ くす る こ と はで き るが,摩

擦 を ０にす る こ と はで きな い.し た が っ て,振

り子 は つ い に

は 静止 し,再 び動 き出 す こ と は な い.   この よ う に,図10-1の 差 が あ るの で あ る.左 何 だ ろ うか,ま

出 発 状 態 と最 終 状 態 はエ ネル ギ ー 的 に は 同 じ で あ るが, か ら右 に は現 象 は進 行 す るが,そ

の 逆 は起 こ らな い 理 由 は

た そ の 条 件 と は ど ん な もの だ ろ うか.初 め の 状 態 と終 わ りの 状 態

で何 が 異 な る の で あ ろ うか.   これ らの 状 態 を指 定 す る適 当 な(状 態)変 数 が 見 い 出せ る と よ い が,こ ろ う.系 の エ ネル ギ ー 自身 は始 め と終 わ りで 同 じで あ る の で,こ

れ は何 だ

の た め の状 態 変

数 とは な りえ な い こ と は明 らか で あ る.   も し,こ れ ら の不 可 逆 な現 象 に よ る状 態 の 差 を記 述 す る適 当 な状 態 変 数 が 見 い 出 せ た ら,こ れ を求 め て 変 化 の 方 向 を あ らか じ め知 る こ とが で き るだ ろ う し,あ る与 え られ た状 態 が 別 の 状 態 へ 変 化 す る か,し な い か を知 る こ と もで き る だ ろ う. こ の よ うな 可 能 な 変 化 の 方 向 は,熱 力 学 の第 １法則 か ら は決 して 出 て こ な い こ と は明 らか で あ り,別 に他 の 法 則 が存 在 す る こ とに な る.こ れ が 熱 力 学 の 第 ２法 則 で あ る.   熱 力 学 の第 １法 則 と同 じ く,熱 力 学 の 第 ２法 則 も多 くの 経 験 の 中 か ら見 い 出 さ れ て きた.以 下 に,経 験 的 に見 い 出 され た ２つ の 表 現 を示 す.   ク ラ ウ ジ ュ ス の 原 理     「低 温 熱 源 か ら高 温 熱 源 へ サ イ クル に よ っ て 熱 を移 動 させ る以 外 に,ど

こ も変 化 を残 さな い よ う な装 置 は存 在 し な い.」

  トム ソ ンの 原 理     「１つ の熱 源 か ら熱 エ ネ ル ギ ー を取 り出 して,外 に対 し て こ れ と等 し い仕 事 を す る装 置(サ イ クル)は 存 在 し な い.」   これ ら ２つ の 表 現 は,前 章 で カ ル ノ ー ・サ イ クル の各 過 程 を考 察 した 経 験 か ら も,な る ほ ど 当然 で あ る と うな ず け るで あ ろ う.   また,ク

ラ ウ ジ ュス の原 理,ト

ム ソ ンの 原 理 と もに,熱 機 関 の 動 作 に託 し た表

現 とな って い る が,前 者 は 自然 現 象 を用 い て表 現 す る と,「熱 の 伝 導 は不 可 逆 な 現

象 で あ る.」 とい う こ と と等 価 で あ り,ま た 後 者 は 「熱 エ ネ ル ギー が他 の 力 を か り な い で 同 量 の 力 学 的 エ ネ ル ギ ー に変 わ る よ うな 自然 の メ カ ニ ズ ム は存 在 し な い 」 こ と を い って い る.   これ らの ２つ の原 理 は,一 見 異 な っ た こ とを い っ て い る よ う に見 え,そ れ ぞ れ 独 立 な事 柄 の よ う で あ るが,実 は同 じで あ る こ と を以 下 に示 す.図10-2に うに,仮

示す よ

に ク ラ ウ ジ ュ ス の 原 理 に反 す る装 置 が 存 在 した と し よ う.い ま,こ

図10-2

の装

クラ ウ ジ ュス の原 理 と ト

ム ソン の原 理 の等 価 性 の 説 明図

置 を用 い て 低 温 熱 源 か ら ⊿Qな る熱 エ ネ ル ギー を くみ 出 し,高 温 熱 源 へ こ の熱 エ ネ ル ギ ー ⊿Qを 押 し入 れ た とす る.次 に,同 図 右 側 の よ う に,こ の ２つ の 熱 源 の 間 に カ ル ノー ・サ イ クル を つ な ぎ,い ま,高 温 熱 源 に 押 し込 ん だ熱 エ ネ ル ギ ー ⊿Q を用 い て外 部 へ 仕 事 ⊿Wを の 結 果,高

し,残

り ⊿Q'を 低 温 熱 源 へ 捨 て る こ とを 考 え る.こ

温 熱 源 の熱 エ ネ ル ギ ー は,こ れ らの ２つ の装 置 を動 か す 前 と同 じ状 態

で あ り,低 温 熱 源 で は ⊿Q-⊿Q'だ 大 き さ の仕 事 ⊿Wが

け熱 エ ネ ル ギ ー が 減 少 し,こ の減 少 分 と同 じ

外 界 に与 え られ た こ とに な る.す な わ ち,１ つ の熱 源(低 温

熱 源)か ら熱 エ ネ ル ギ ー を取 り出 し,そ の 分 を 外 界 へ 仕 事 と して放 出 して い る こ

と に な り,こ れ は トム ソ ンの原 理 に反 す る こ と に な る.そ れ ゆ え,ク ラ ウ ジ ュ ス の 原 理 に 反 す る こ と をす れ ば,ト ム ソ ン の原 理 に も反 して し まい,こ

の ２つ の 原

理 は本 質 的 に は 同 じ こ とを い っ て い る こ とが わ か る.   以 上,我

々 は 自然 現 象 の方 向性(不 可 逆 性)を 熱 機 関(サ イ クル)の 動 作 を通 して

明 らか に で き る こ と を知 っ た の で,不 可 逆 性 を 含 ん だ現 実 のサ イ クル と可 逆 過 程 の み で で きて い る カ ル ノー ・サ イ クル の比 較 を し て み よ う.

10・2

2

実現可能 な サ

 ２つ の 熱 源(温 度 をT1,T2)の

イ ク ル と カ ル ノ ー ・サ イ ク ル 間 に実 現 可 能 な サ イ ク ル とカ ル ノ ー ・サ イ ク ル を

つ な ぎ,そ れ ぞ れ 高 温 熱 源 か ら ⊿Q1な る熱 エ ネ ル ギ ー を入 力 と し て 外 部 に仕 事 を さ せ る こ とを 考 え よ う(図10-3).現 して の仕 事 ⊿W'は

実 の サ イ ク ル は不 可 逆 性 の た め に,出 力 と

カ ル ノー ・サ イ ク ル の そ れ(⊿W)よ

り も小 さい はず で あ る.ま

た,低 温 熱 源 へ の熱 エ ネ ル ギー の放 出 量 は,現 実 サ イ クル で の 不 可 逆 性(熱 伝 導損

図10-3

カ ル ノ ー ・サ イ

クル と現 実 のサ イ クル の動作 比 較

失 や 摩 擦 に よ る 損 失)を す べ て 低 温 熱 源 へ 捨 て る 熱 エ ネ ル ギ ー ⊿Q2′ で 代 表 さ せ る と,カ

ル ノ ー ・サ イ ク ル の そ れ(⊿Q2)よ

の 場 合 も,エ

り,そ

の 値 は 大 き い は ず で あ る.い

ネ ル ギ ー 保 存 則 か ら,

⊿Q1+⊿Q2＋

⊿W=0

(10・1)

⊿Q1+⊿Q2+⊿W′=0

(10・2)

が 成 り 立 つ(こ こ で,⊿Qと⊿Wは,系 負 と し,そ

ず れ

が エ ネ ル ギ ー を も ら う 場 合 を 正,そ

の 符 号 も 含 め て あ る も の と す る.ま

た,両

の逆 を

サ イ クル と も系 の 内部 エ ネ

ル ギ ー は 始 め の 値 に も ど っ て い る も の と す る).   し た が っ て,現

実 サ イ ク ル の 効 率 η現実は, (10・3)

と書 け る(⊿W′ は負 の値 で あ る の で,こ れ を正 の値 にす る た め に負 号 が つ い て い る こ とに 注意). 一方

,カ ル ノ ー ・サ イ ク ル の 効 率 ηcは,式(9・20)よ

り,２ つ の 熱 源 の 温 度 で 表 す

こ とが で き,

と な る.カ

ル ノ ー ・サ イ ク ル の 効 率 は,当

で,式(9・20)と

式(10・3)か

然,現

実 の サ イ クル の効 率 よ り大 き い の

ら,

(10・4)

を得 る.こ

の 式 を 変 形 す る と,

(10・5)

とな り,こ の 式 は,現 実 の サ イ クル で は,“高 温 熱 源 か らサ イ クル が 得 た 熱 エ ネ ル ギー と高 温 熱 源 の温 度 の 比 ” と,“低 温 熱 源 ヘ サ イ クル が 捨 て た 熱 量 と低 温 熱 源 の 温 度 の比” を加 え た もの は負 の値 を とる こ とを 示 して い る.   式(10・5)は,カ

ル ノ ー ・サ イ クル に つ い て,我 々 が す で に 学 ん だ 第 ９章 の 式(9・

22)と 比 較 し う る もの で あ る.

  こ こ で,⊿Q3は

カ ル ノ ー ・サ イ ク ル が 低 温 熱 源 へ 捨 て た 熱 エ ネ ル ギ ー で あ り,

式(10・5)の

対 応 す る 量 で あ る.式(10・5)と

⊿Q2に

式(9・22)を

ま と め る と,

⊿Q高 温/Ｔ 高 温+⊿Q低温/T低温 ≦0

(10・6)

と書 く こ とが で き る.す で に述 べ た よ うに,カ ル ノ ー ・サ イ クル は,実 際 に は 動 か す こ とが で きな い.そ

の理 由 は,い

ろい ろ な表 現 が 可 能 で あ るが,可 逆 性 を保 つ

た め に準 静 的 に動 作 させ な くて は い け な い し,こ の こ と は,１ サ イ クル 完 了 す る の に 無 限 の時 間 が 必 要 で あ る こ と を意 味 して い る.別 の表 現 をす る と,カ ル ノー ・ サ イ クル は事 実 上 これ を動 か す た め の起 動 力 が ０(無限 小)で あ り,こ れ は 言 葉 を 変 え れ ば,カ

ル ノ ー ・サ イ ク ル は そ の 過 程 の どの 位 置 で も系 と外 界 は つ り合 い の

状 態(平 衡 状 態)に あ る とい え る.第

９章 で は,こ

の よ うに ほ っ て お け ば止 っ て い

る もの を,仮 想 的 につ り合 い を くず さな い よ うに(し た が っ て,無 限 の時 間 をか け て)動 か し た と して,そ   一 方,不

の動 作 の 解 析 を行 っ た の で あ る.

可 逆 な過 程 を含 む 現 実 の サ イ ク ル は運 転(変 化)が 可 能 で あ り,こ の両

者 を比 較 す る と,現 実 の サ イ ク ル は,図10-1で,左

側 の 始 め の状 態 か ら右 側 の 終

わ りの状 態 へ移 行 す る過 程 に相 当 す る(不 可 逆 な)過 程 で 構 成 され て い る の に対 し て,カ ル ノ ー ・サ イ ク ル は,図10-1の

右 側 の終 わ りの状 態 で ほ っ て お い て も変 化

しな い 状 態 を仮 想 的 に動 か した と し て,そ の 過 程 が 構 成 され て い る.   した が っ て,図10-1の

左 側 の 始 め の状 態 と右 側 の終 わ りの状 態 の差 は,式(10・

6)の 左 辺 が 負 の値 を と る とか,あ

るい は ０に な る とか とい う事 柄 に関 係 す る こ と

が わ か る.こ の こ とか ら,式(10・6)の 左 辺 を構 成 し て い る 熱 源 か ら系 へ の 熱 エ ネ ル ギ ー の 出入/ 熱源 の温度 な る量 は,図10-1の

左,右 の ２つ の状 態 の 差 を表 す た め の変 数 と して 重 要 な 意 味

を もつ の で あ る.   ク ラ ウ ジ ュ ス は,こ の考 え を さ らに発 展 させ,式(10・6)の

左 辺 の各 項 は状 態 変

数(第 ８章 参 照)と して 取 り扱 う こ とが で き,こ の状 態 が 自然 現 象 の変 化 の 方 向 を

指 定 で き る こ と を示 した.

10・3 10・

3

クラ ウ ジ ュスの不 等 式

  カ ル ノー ・サ イ クル で は ２つ の熱 源 を利 用 した.熱 源 の数 を もっ と増 して み る. い ま,ｎ 個 の 熱 源 を 用 意 し,こ れ らの 熱 源 と熱 エ ネ ル ギ ー の や り取 りを し な が ら 外 界 へ 仕 事 を す る(ま た は外 界 か ら仕事 を さ れ る)１つ の サ イ ク ル を考 え よ う.こ の サ イ クル は,カ ル ノー ・サ イ クル の よ う に可 逆 サ イ クル で も よい し,不 可 逆 過 程 を含 む現 実 の サ イ クル で あ っ て も よ い.図10-4は,こ る.Ri(Ti)は,温

度Tiの

の様 子 を模 式 的 に示 して い

ｉ番 目 の 熱 源 の 意 味 で あ る.Qiは,サ

イ ク ルC0が

１サ

イ クル 動 作 し た と き に,こ の熱 源 とや り取 りす る熱 エ ネ ル ギ ー を 表 す.こ れ まで と同 じ よ う に,記 号Qiの

中 に は符 号 も含 め て 考 え,サ

イ ク ル(系)が 熱 エ ネ ル ギ

ー を受 け取 る と きに 正 ,そ の 逆 を 負 とす る.ｉ 番 目 の 熱 源Riか

ら熱 エ ネ ル ギ ー が

系 に入 っ た の か あ るい は そ の逆 に 系 か ら熱 源 へ 向 か っ て熱 エ ネル ギ ー が移 動 した

図10-4

ｎ個 の熱 源(Ｒ)と

接 触 す るサ イ クルC0

の か は個 々 に は決 め な い で よい.こ と熱 源 の温 度 の 関 係 が,サ

の よ うな状 況 で,ｎ 個 の 熱 源 か らの 熱 の 出 入

イ クル が 可 逆 か不 可 逆 か とい う こ と と ど う関 係 し て く

るか を調 べ る.   これ を調 べ る手 段 と し て,図10-5に

示 す よ う に,温 度 Ｔ の も う １つ の熱 源 Ｒ

を用 意 し,先 の ｎ個 の熱 源 との 間 に ｎ個 の カ ル ノ ー ・サ イ クル を つ な ぐ.カ ル ノ ー ・サ イ クル は,動 作 の 方 向 に よ り熱 エ ネ ル ギ ー を 仕 事 に 変 え る熱 機 関 と して も 働 くし,逆 に外 界 か ら仕 事 を加 えて 熱 を移 動 さ せ る熱 ポ ン プ と して も働 くの で, 次 の よ う に動 作 させ る.す な わ ち,例 え ば,サ イ ク ルC0の ら熱 エ ネ ル ギ ーQ1が

図10-5

サ イ ク ルC0へ

動 作 に よ り熱 源R1か

移 動 した ら, R1か ら失 わ れ た熱 エ ネ ル ギ ー

クラ ウ ジ ュス の不 等式 を導 くた めの装 置 構 成

Q1に

等 し い 量 を カ ル ノ ー ・サ イ ク ルC1で

Q1"で

図10-5に

事 を 得,熱 イ ク ルC0の

示 し て あ る.こ

源 Ｒ か らQ1'の

の た め に,カ

送 り込 む

  こ の よ う に,ｎ

ル ノ ー ・サ イ ク ルC1は,外

用 い て,こ

熱 エ ネ ル ギ ー がQ2だ

界 よ り仕

様 に,仮

に,サ

け 入 っ た と す る と,カ

れ に 等 し い 熱 エ ネ ル ギ ーQ2"をR2か

こ の と き,カ ル ノ ー ・サ イ ク ルC2は ーQ2'を

の 補 給 量 を一 応 区別 して

熱 エ ネ ル ギ ー を く み 上 げ た とす る.同

動 作 に よ り熱 源R2へ

ノ ー ・サ イ ク ルC2を

補 給 す る.こ

外 界 へ 仕 事 を 与 え,ま

ル

ら 取 り 出 す.

た熱源 Ｒ へ熱エ ネル ギ

. 個 の カ ル ノ ー ・サ イ ク ル の 役 目 は,サ

イ ク ルC0の

動作 に よる ｎ

個 の 熱 源 の 中 の 熱 エ ネ ル ギ ー の 増 減 を 補 償 す る よ う に 働 か せ る も の と す る.ｎ の カ ル ノ ー ・サ イ ク ル の そ れ ぞ れ は,第

９章 で 示 し た 式(9・22)の

個

関 係 が 成 り立 つ

の で,

(10・7)

上 記 の各 式 を加 え合 せ る と, (10・8)

  R1∼Rnま

で の ｎ個 の 熱 源 は,カ ル ノ ー ・サ イ ク ル の 動 作 で 熱 の 出 入 を補 償 さ

れ て い る の で,例

え ば,ｉ 番 目 の熱 源 に つ い て は下 式 が 成 り立 つ.

Qi+Qi"=0 式(10・8)と

式(10・9)か

(10・9) ら,

(10・10)

が 成 り 立 つ.こ

の よ う に し て 得 た 式(10・10)を,次

の よ う に 吟 味 を 行 う.す

なわ

ち,右

辺 の 値 が 正 の 値 を と る と き と,０ に な る と き,お

よ び 負 の 値 を とる と きの ３

つ に 分 け る.

の場合

(１)

ら正 味

式(10・10)か

ら

と な る.こ

れ は熱 源 Ｒ か

だ け の 熱 エ ネ ル ギ ー が 放 出 さ れ た こ と を意 味 す る.ｎ 個 の カ ル ノ

ー ・サ イ ク ル に エ ネ ル ギ ー 保 存 則 を適 用 す る と,R1∼Rnの

ｎ個 の 熱 源 は そ れ ら

が も っ て い る 熱 エ ネ ル ギ ー に変 化 が な い の で あ るか ら,熱 源 Ｒ か ら放 出 さ れ た 熱 エ ネルギ ー 放 出 に は,カ

は,そ

ル ノ ー ・サ イ ク ル の ｎ 個 の 外 界 と の 窓 口 と サ イ ク ルC0の

用 さ れ て い る).こ 取 り 出 し,外 が っ て,こ

っ く り外 界 へ 仕 事 と して 放 出 され た こ とに な る(こ の

れ は,ト

ム ソ ンの 原 理 で あ る “ １ つ の 熱 源 か ら熱 エ ネ ル ギ ー を

界 へ 等 量 の 仕 事 を す る サ イ ク ル は 存 在 し な い ” に 反 し て い る.し

の よ う な こ と は 起 こ り え な い.カ

能 で あ る の で,サ (２)

窓 口が利

イ ク ルC0が

の場合

ル ノ ー ・サ イ ク ル は,論

た

理 的 に存 在 可

存 在 し え な い こ と に な る. 式(10・10)か

ら

と な る.こ

Ｒ か らの 正 味 の 熱 の 出入 は ０で あ る こ と を意 味 す る.R1∼Rnの

の こ と は,熱 源

ｎ個 の 熱 源 か ら

熱 の 出入 も ０に な る よ う に カ ル ノ ー ・サ イ ク ル で 調 整 し て あ る の で,す 源 はサ イ クル が 働 い て も全 く変 化 しな い.し た が っ て,エ 界 へ の正 味 の 仕 事 も ０ とな り,系,熱

べ て の熱

ネ ル ギ ー保 存 則 か ら外

源,外 界 と も,そ の状 態 は サ イ クル 開 始 前

と同 じで あ る.こ の こ と は,す べ て の サ イ ク ル が 可 逆 的 に動 作 した こ と を意 味 し, サ イ クルC0は

可 逆 サ イ クル で あ る こ とが わ か る(カ ル ノ ー ・サ イ クル は,元 来,

可 逆 サ イ ク ル で あ る こ と に注 意). (３)

Ｒ へ正味

の場 合

式(10・10)か

ら

と な る.こ

の こ と は,熱

源

の 熱 エ ネ ル ギ ー が 入 っ た こ と を 意 味 す る.エ ネ ル ギ ー 保 存 則 か

ら,こ れ に等 しい 仕 事 が外 界 か らな さ れ た こ とに な る.仕 事 が 熱 エ ネ ル ギ ー に な っ た の で あ る か ら,全 体 と して は不 可 逆 サ イ クル と して 働 い て い る.カ ル ノ ー ・サ イ ク ル は 可 逆 で あ る の で,サ い る. 以 上 を ま と め る と,

イ ク ルC0が

不 可 逆 サ イ ク ル で あ る こ と を意 味 して

サ イ ク ルC0は,こ

の よ うな 特 性 を 示 す こ と は決 し て な

い.

し た が っ て,起

サ イ クルC0は

可 逆 サ イ クル(つ り合 い の 状 態)

サ イ クルC0は

不 可 逆 サ イ クル

こ り得 る 状 態 を ま と め る と,

(10・11)

  読 者 は,式(10・11)が

２つ の 熱 源 を 用 い て カ ル ノ ー ・サ イ ク ル と実 現 可 能 な サ イ

ク ル(不 可 逆 サ イ ク ル)の 動 作 を 考 察 し て 得 た 式 で あ る 式(10・6)を,ｎ 拡 張 し た もの で あ る こ と が わ か る で あ ろ う.式(10・11)を

個 の熱源 に

ク ラウ ジュス の不等 式

と い う.

  ク ラ ウ ジ ュ ス の 不 等 式 は,熱 源 か ら出 入 す る熱 量 と そ の熱 源 の温 度 の 比 を ｎ個 の 熱 源 に つ い て加 え合 わ せ た もの が ０で あれ ば,現 象 が 可 逆(平 衡)で あ り,負 で あ れ ば 現 象 が不 可 逆 で あ る こ とを示 して い る.次 に,こ の 式 を以 下 の よ う に変 形 して み よ う.   い ま まで は ｎ個 の と び とび の 熱 源 を考 え た が,温 度 が無 限 小 ず つ 異 な る無 限 個 の 熱源 を考 え る.こ の 場 合,式(10・11)の る.温 度 Ｔ の熱 源 の熱 の 出 入 をdQと

和 の記 号 Σ は積 分 記 号 に置 き換 え られ す る と,式(10・11)は 次 の よ う に書 け る.

(10.12) た だ し,∮ は状 態 変 化 が サ イ クル で あ る こ と(積 分 経 路 が閉 じて い る こ と)を 示 し て い る.式(10・12)も

10・4 

ク ラ ウ ジ ュ ス の 不 等 式 と呼 ば れ る.

エ ン トロ ピー と そ の増 大 則

系 が 始 め の あ る状 態 か ら可 逆 的(準 静 的)に 状 態 を変 化 し,再 び 始 め の状 態 まで

も ど る と し よ う.図10-6(ａ)に Ｐ,経

示 す よ う に,始

路 ｂ と順 に 通 っ て 再 び 出 発 状 態P0へ

  ク ラ ウ ジ ュ ス の 式 は,変

め の 状 態 をP0と

し,経

路 ａ,状 態

も ど る １つ の サ イ ク ル を 考 え る.

化 が す べ て 可 逆 で あ る の で,０

と な る.こ

れ を次 の式

(10・13)の よ う に ２つ の 項 の 和 で 表 す. (10・13) (経路 ａ)

(経路 ｂ)

  永 久機 関   で き る だ け 効 率 の よ い 機 関 を 作 る 試 み は,我

々 が 永 年 に わ た り研

究 し 続 け て い る 目 標 で あ る 。 エ ネ ル ギー を全 く使 用 し な い で動 作 す る機 関 が 存 在 し な い こ とは,エ

ネ ル ギー の 保 存 則 で あ る熱 力 学 の

第 １法 則か ら明 らか で あ る 。 こ の よ うな 仮 想 的 な装 置 を 第 １種 の 永 久 機 関 と い う。 こ れ に 対 して,１

つ の 熱 源 か ら熱 エ ネ ル ギー を取 り

出 す だ け で 外 界 に 仕 事 をす る装 置 を第 ２種 の 永 久 機 関 とい う。 こ の 装 置 は,エ

ネ ル ギ ー 保 存 則 に は 反 しな い が,熱

力 学 の 第 ２法 則 に 反

す る 。 図 の “水 の み 鳥 ” は,水が あ るか ぎ り首 ふ り運 動 を 続 け るが,こ の 運 動 か ら機 械 的 な 仕 事 を取 り出 す こ とが で き るだ ろ うか?。 こ の 鳥 は ど こ か ら エ ネ ル ギ ー を 得 て い る の だ ろ うか?。

ま た,

図10-6 

(ａ)状 態P0か

ら

状 態 Ｐを通 っ て再 びP0へ も ど る 可 逆 的 状 態 変 化(可 逆 サ イ クル).式(10・13) に対 応

第 ２項 を 移 項 し て,積 る と,式(10・13)は

分 範 囲 を 逆(P→P0をP0→Pと

し て 負 号 を つ け る)に す

次 式 と な る.

(10・14) (経路 ａ)

(経 路 ｂ)

左 辺 は,も ち ろん,経 路 ａを通 っ てdQ/Tな

る量 をP0か

とを意 味 す る.右 辺 は,経 路 ｂを通 っ てdQ/TをP0か 書 き換 え ら れ て い る(図10-6(b)参

値 は,状 態P0と

照).し

ら Ｐ まで積 分 す る こ

ら Ｐ ま で積 分 す る よ うに

た が っ て,式(10・14)は,

の

Ｐ の ２点 が 決 まれ ば,積 分 の 経 路 が ａで あ ろ う と ｂで あ ろ う と

同 じで あ る こ と を意 味 して い る.経 路 ａ,ｂ は始 め任 意 に選 ば れ た の だ か ら,結 局,ａ,ｂ 以 外 の どん な 経 路 で もよ い.す な わ ち,∫dQ/Tは 状 態 の み で 決 ま るの で,状 態 量(第 ８章 図8-1参

始 め の状 態 と終 わ りの

照)で あ る.

  ク ラ ウ ジ ュ ス は,こ の 状 態 量 を エ ン トロ ピー と名 づ け た.エ ン トロ ピ ー を Ｓ で 表 す と,式(10・14)の 左 辺 と右 辺 は,経 路 の 指 定 は不 要 な の で,取 りは ず して 次 式 の よ う に 書 け る.

図10-6 

(ｂ)P0か

ら可逆 的

に Ｐへ状 態変 化 す る ２ つ の 経 路 ａ と ｂ, 式(10・14)に

対応

(10・15)

  Spは

状 態 Ｐ に お け る エ ン ト ロ ピ ー,  Sp0は 状 態P0に

味 す る.し

た が っ て,式(10・15)は,変

か ら 出 発 状 態 の エ ン トロ ピ ーSp0を dQ/Tは

お け るエ ン トロ ピー を意

化 に よ り 到 達 し た 状 態 の エ ン ト ロ ピ ーSp 差 し引 い た も の で あ る.ゆ

エ ン ト ロ ピ ー の 微 少 変 化dSに

dS=dQ/T

え に,式(10・15)の

等 し い の で,

(10・16)

と書 く こ と が で き る.

式(10・15)の 積 分 か らは,２ つ の 状 態 間 の エ ン トロ ピー の差 の みが 決 ま り,エ ン トロ ピー の絶 対 値 自体 は定 ま らな い.エ

ン トロ ピー の絶 対 値 を求 め る に は,こ れ

まで の議 論 の よ う に 巨視 的 な量 の取 り扱 い で は な く,微 視 的 な量(分 子 論 的 内容) を考 察 しな くて は い け な い.こ れ に つ い て は この 節 で 後 に 述 べ る.式(10・16)を 書 き直 す と,

dQ=TdS

(10・17)

とな るが,こ

れ と熱 力 学 の第 １法 則dU=dQ-pdVを

組 み合 わ せ る と, (10・18)

とな る.こ の式 は,状 態 量 で な い 熱 エ ネ ル ギ ー 変 化 が 消 去 され て お り,熱 力 学 の 基 本 と し て重 要 な 式 で あ り,熱 力 学 恒 等 式 と呼 ばれ て い る.

図10・7  P0か ら 自 然 に Ｐ へ状 態 変 化 した もの を可 逆 的 に元 の 点P0へ も どす

  こ こで,可 逆 変 化 と不 可 逆 変 化 の差 を考 え よ う.図10-7に P0と

示 し た ２つ の状 態

Ｐ を通 るサ イ ク ル を考 え る.  P0か ら Ｐ まで の 変 化 は不 可 逆 的 に,  Ｐ か らP0

まで は可 逆 的 に変 化 す る もの とす る.こ の サ イ クル の 中 には不 可 逆 変 化 を含 ん で い るか ら,ク

ラ ウ ジ ュ ス の不 等 式(10・12)の 右 辺 は負 とな るの で, (10・19)

(不可逆過程〉(可逆過程) 中 辺 の 第 ２項 は 可 逆 変 化 で あ る か ら,SP0-Spと

書 く こ とが で き る の で, (10・20)

(不可逆過程)

  この 式 よ り,任 意 の ２つ の状 態P0と

Ｐ の 間 を 不 可 逆 的 にP0か ら Ｐ へ 変 化 す

る と きのdQ/Tの 和 は,そ の 間 を可 逆 的 に変 化 す る と きのdQ/Tの 和(こ れ は エ ン ト ロ ピー の 差)よ り も小 さ い こ とが わ か る.図10-7の

状 態P0と

Ｐが極 めて接近 し

た ２ つ の 状 態 で あ る と し よ う.   式(10・20)は

微 分 形 で 書 く こ とが で き,

(10・21)

(不可逆 な 微 小変化)

  式(10・16)で 示 し た可 逆 微 小 変 化 と式(10・21)で 示 した不 可 逆 な微 小 変 化 を ま と め る と, (10・22)

  こ こで,等 号 は可 逆 変 化 に 対 応 し,不 等 号 は不 可 逆 変 化 に対 応 す る.こ の 式 は, 熱 力 学 の 第 ２法 則 の簡 潔 な 式 に よ る表 現 とい う こ とが で きる. 式(10・22)の

①

内 容 は,次

の よ う に ま と め る こ と が で き る.

系(温 度 Ｔ)が 可 逆 的 に熱 エ ネ ル ギ ーdQを と き,系 の エ ン トロ ピー 変化dSはdQ/Tに

②

熱 源(温 度 Ｔ)と や り と りし た

等 し い.

系(温 度 は 有 限 の大 きさ だ け Ｔ よ り大 き い か 小 さ い)が 不 可 逆 的 に 熱 エ ネ ル ギ ーdQを

熱 源(温 度 Ｔ)と や りと り した と き,dQ/Tな

  化 に 対 応 す るエ ン トロ ピー変 化dSよ

る量 は,こ の状 態 変

り小 さ い.

② よ り,不 可 逆 的 に 出 入 した 熱 エ ネ ル ギ ーdQを

用 い て,エ

ン トロ ピー 変 化

dSを 求 め る こ と はで き な い こ とに 注 意 す る必 要 が あ る.   こ こ で 系 が 外 界 と 断 熱 さ れ た 状 態 で,図10-7(b)で た と し よ う.式(10・20)でdQ=0で

あ る の で,次

示 し た不 可 逆 過 程 が 起 こ っ の 式(10・23)の

SP0<Sp   式(10・23)は

次 の こ と を 示 し て い る.す

(10・23)

な わ ち,「 も し 系 が 断 熱 不 可 逆 的 に 変 化

し た と す る と,到 達 し た 状 態 の エ ン ト ロ ピ ーSpは,出 よ り必 ず 大 き い 」 と い う こ と で あ る.こ

関 係 が 得 ら れ る.

れ は,断

発 状 態 の エ ン ト ロ ピ ーSP0

熱 系 に お け る エ ン トロ ピー 増 大

則 と 呼 ば れ て い る.

  こ こ で 示 した エ ン トロ ピー の 増 大 則 か ら,こ の 章 の始 め に 図10-1で

示 した ３

種 の不 可 逆 的 変 化 に よ り生 じた状 態 とそれ ぞ れ の出 発 状 態 の差 異 を 記述 す る た め

の 状 態 量(状 態 変 数)は,ま

さに この エ ン トロ ピー と呼 ば れ る状 態 量 で あ る こ とが

わ か る.す な わ ち,図10-1の

左 側 に 示 し た変 化 前 の状 態 の エ ン トロ ピー は,変 化

後 の状 態 す な わ ち対 応 す る右 側 の 状 態 の エ ン トロ ピー よ り小 さ い の で あ る.そ

し

て,変 化 後 の 右 側 の状 態 は,こ の 後 い く ら放 置 して も これ 以 上 変 化 し え な い の で あ る か ら,右 側 の状 態 は一 連 の状 態 変 化 の経 路 で エ ン トロ ピー が 極 大 値 を と る状 態 とい え るの で あ る.こ の 状 態,つ

の,こ れ 以 上 変 化 を しな い状 態 は,熱 力 学 的 につ り合 い

ま り平 衡 状 態 で あ る の で,平 衡 状 態 で はエ ン トロ ピ ー は極 大 値 を と る

とい う こ とが で きる.様 子 を模 式 的 に図10-8に

示 す.

図10-8 

断 熱 系 の エ ン トロ ピ

ー は増 加 す るか,一 定 値 を取 る.一 定 値 を取 っ た状 態 が,熱 平 衡状 態 で あ る。

  こ こで注 意 を必 要 とす る こ とは,こ れ ま で の議 論 で 不 可 逆 過 程 の前 後 の 状 態 の 差 異 を規 定 す る状 態 変 数 と して エ ン トロ ピーが 選 ば れ るの は,系 が 外 界 と断 熱 さ れ る とい う条件 が つ い た と きの み で あ り,他 の条 件 下 で は,他 の 状 態 変 数 が そ の 役 割 を は た す とい う こ とで あ る.こ れ につ い て は次 節 で 論 ず る.   我 々 は,熱 伝 導 の 不 可 逆 性 を明 白 な 事 実 と して熱 力 学 の 第 ２法 則 の根 拠 と して 用 い,エ

ン トロ ピー な る状 態 変 数 を 得 た.こ

め に不 可 逆 性 の 実 例 の １つ(図10-1の(a))と   図10-1(a)を 半 分 は温 度T1に

の エ ン トロ ピー を 用 い,こ

の 章 の始

して示 した 熱 伝 導 を考 察 し よ う.

も う少 し詳 し く記 述 す る と,系 は均 質 な物 質 で で きて お り,そ の あ り,他 の 半 分 は 温度T2(＜T1)に

あ る.状 況 を単 純 に す る た め

に,こ の 物 質 の体 積 と比 熱 は温 度 に よ らず 一 定 で あ る と仮 定 す る.熱 力 学 恒 等 式 (10・18)か ら出 発 す る と, TdS=dU+pdV こ れ に,dV=0, 

(10・18)

dU=CdTを

代 入 す る と,

dS=C/TdT   こ こ に,Ｃ

(10・24)

は 系 の 定 積 熱 容 量 で あ る.式(10・24)を

ー を表 す式 と して

,次

積 分 す る と,系

の エ ン トロ ピ

式 を 得 る.

S=ClnT+S0

(10・25)

S0は 積 分 定 数 で あ り,系

の エ ン ト ロ ピ ー の 定 数 項 で あ る.熱 伝 導 前 の 系 の エ ン

ト ロ ピ ーS1は,

温 度T1の

左半分

温 度T2の

右 半分

(10・26)

  こ こ に,Ｃ

と Ｓ は 示 量 性 の 状 態 量 で あ るの で,系 の1/2に

つ いて は それ ぞれ

1/2と な る こ と に注 意 しな けれ ば な ら な い. 熱 伝 導 後 の 系 の エ ン ト ロ ピ ーS2は,

(10・27)

(10・28)

式(10・28)の

最 後 の 表 現 の 第 ２項 は 正 の 値 を と り,し

り大 き な 正 の 値 で あ る の で,⊿S＞0と

な る.こ

た が っ て,{ 

}内 は １よ

れ か ら熱 伝 導 が 起 こ る と,系

のエ

ン ト ロ ピ ー は 増 加 し て い る こ と が 確 か め ら れ た.

次 に,図10-1(b)に

示 した気 体 分 子 の 真 空 中 へ の 拡 散 の例 につ い て 考 察 し よ う.

この場 合 も,左 側 の 出 発 状 態 か ら右 側 の最 終 状 態 へ 不 可 逆 的 に状 態 は 変 化 す るの

で あ っ た.こ

の 不 可 逆 性 を説 明 す る の に,い

違 っ た 見 方 を して み よ う.図10-9は,気

ま ま で の 熱 力 学 的 手 法 と はち ょ っ と

体 分 子 が 真 空 の 空 間 へ 拡 散 した後 の 状 態

を示 して い る.各 気 体 分 子 は,熱 エ ネ ル ギ ー に よ り左 右 の領 域(図 中 Ａ と Ｂ)内 で 運 動 して い る.こ の 中 の １つ の分 子 の み に 着 目す る と,こ の 分 子 が領 域 Ａ 中 に い る時 間 は領 域 Ｂ 中 に い る 時 間 に 等 し い は ず で あ る(２つ の領 域 の 体 積 が 等 しい の で).ゆ +Bの

え に,こ の 分 子 を領 域 Ａ の 中 に見 い 出 す 確 率 は1/2で あ る.一 方,領 域A 中 に こ の 分 子 を見 い 出 す 確 率 は １で あ る(必 ず,こ

の 中 に存 在 す る の で).

図10-9  領 域 Ａ,Ｂ と 気体 分 子 の 見 い 出 され る確率

 次 に,こ

の分 子 と他 の １つ の 分 子 の ２つ に 着 目 す る と,こ の ２つ の分 子 を同 時

に領 域 Ａ の 中 に 見 い 出 す 確 率 は(1/2)2で あ り,領 域A+Bの 表10-1

中 に見 い 出 す確 率

は １で あ る.10個 域A+Bに

の 分 子 に 着 目 す る と,こ れ ら が 領 域 Ａ に い る 確 率 は(1/2)10,領

い る 確 率 は １で あ る.表10-1に,ま

と め て 分 子 の 個 数 と確 率 を 示 し

た.   系 の 中 に ア ボ ガ ド ロ 数(N0〓6×1023個)の

分 子 が 存 在 す る と仮 定 す る と,そ

ら が み な 領 域 Ａ に 入 る 確 率 は(10-10)23と,と +Bに

い る 確 率 は 依 然 １で あ る の で,こ

年 と し て も,こ

れ は109秒

れ が た っ た1017秒 と に な る.し

う い う こ と か と い う と,我

に し か な ら ず,宇

っ た ん 領 域A+Bに

は も ど ら な い と 断 言 す る こ とが で き る.こ り,系

域A

だ け 待 っ て い れ ば よ い こ と に な る.こ 々 の 寿 命 を 仮 に100

宙 が 誕 生 し て100億

で し か な い こ と を 考 え る と,と

た が っ て,い

方,領

れ ら の 分 子 が １秒 間 だ け 領 域 Ａ に 存 在

し て い る の を 見 い 出 す た め に は,(1010)23秒 れ だ け の 時 間 待 っ て い る と は,ど

て つ も な く小 さ い.一

れ

年 と し て も,こ

て も待 っ て は お れ な い と い う こ 広 が った 分 子 は決 して 領 域 Ａ に

れが 熱 力 学 の 不 可 逆 性 の別 の 見 方 で あ

を 構 成 す る 分 子 数 が き わ め て 大 き い こ と に 由 来 す る.

  上 記 の こ とか ら,不 可 逆 過 程 とは確 率 の 小 さ な状 態(始 め の状 態)か ら確 率 の 大 きな状 態(終 わ りの状 態)へ の変 化 で あ る こ とが わ か る.こ の 変 化 に よ り,系 の あ る種 の 秩 序 ま た は 規 則 性 が 失 わ れ る の で あ る.例 え ば,上 記 の例 で は気 体 分 子 が 必 ず領 域 Ａ に 見 い 出 され る状 態(始 め の状 態)か ら,領 域 Ａ に い る の か Ｂ に い る の が わ か ら な い状 態(終 わ りの状 態)へ 変 化 す るの で あ る.別 の 表 現 をす る と,こ の 変化 に よ り系 の 中 に乱 雑 さ ま た は無 秩 序 性 が 増 加 す る の で あ る.こ れ らの表 現 は み な,エ

ン トロ ピー の性 質 を理 解 す る の に 役 に立 つ.例

え ば,系 の 無 秩 序 の度

合 が エ ン トロ ピー で あ る とイ メ ー ジ し て も よい.ボ ル ツ マ ン はエ ン トロ ピ ー と確 率 を次 式 で 結 びつ けた. S=klnω

(10・29)

  こ こに,ｋ は ボ ル ツ マ ン定 数,ω

は確 率 で あ る.ω

は よ り正 確 に は 統 計 的 重 さ

と呼 ば れ,１ つ の 巨 視 的 な 系 の状 態 を 形成 す る た め の微 視 的 な状 態 の数 で あ る.   式(10・29)を

用 い て,上

記 の 気 体 の 拡 散 に よ る エ ン トロ ピー 変 化 を 求 め て み よ

う.１ モ ル の 気 体 分 子 が 領 域 Ａ の み に 存 在 し て い る始 め の 状 態 の エ ン ト ロ ピ ー SAは,

(10・30)

こ こ に,R(=kN0)は ーSA+Bは

方,気

体 が拡 散 し た の ち の エ ン トロ ピ

,

SA+B= ∴

気 体 定 数 で あ る.一

kIn1N0=0

⊿S=SA+B-SA=0-(-Rln 

(10・31) 2)=Rln 

2

(10・32)

  この エ ン トロ ピー 変 化 を これ まで に学 ん だ熱 力 学 的 手 法 を用 い て 求 め て み よ う. 熱 力 学 恒 等 式(10・18)か ら出 発 す る. TdS=dU+pdV

(10・18)

  こ の変 化 で 外 界 との仕 事 の や り取 り はな く,断 熱 され て い る か ら内 部 エ ネ ル ギ ー の 変 化dU=0で

あ る.１ モ ル の理 想 気 体 の状 態 方 程 式pV=RTを

dS=p/T

dV=R/VdV

用 い る と, (10・33)

(10・34)

VA+B=2VAで

あ る の で, ⊿S=RIn 

2

(10・35)

とな り,統 計 力 学 的 手 法 に よ る結 果 と一 致 す る.   前 記 の よ う に,エ

ン トロ ピー は統 計 的 に見 る と,乱 雑 さ の表 現 で あ っ た.こ

の

乱 雑 さ の 原 因 の １つ は,原 子,分 子 の 熱 運 動 で あ る.し たが っ て,物 質 の エ ン ト ロ ピ ー は,大

ざ っ ぱ に い え ば,温 度 が 高 い ほ ど大 き い.温 度 目盛 の 最 下 限 で あ る

絶 対 ０度 で は,原 子 分 子 の 運 動 は停 止 す る の で,こ れ に よ る乱 雑 さ は な く,完 全 な る秩 序 状 態 で あ る.つ

ま り,す べ て の分 子 は 同 じ状 態 に あ るの で,物 質 の 取 り

う る微 視 的 な 状 態 は た だ １つ で あ り,ω=1と

な る の で,式(10・29)に

よ り,絶 対

０度 で の エ ン トロ ピー は ０で あ る こ とが わ か る. T=0でS=0

これ をネ ル ンス トの 熱定 理 ま た は 熱 力 学 の 第 ３法 則 とい う.

(10・36)

10・5 

自 由 エ ネ ル ギ ー と熱 力 学 的 関 係 式

[１]  自由 エ ネ ル ギ ー   前 節 で 述 べ た よ うに,断 熱 系 が 自然 に(自 発 的 に)変 化 す る と,系 の エ ン トロ ピ ー は増 加 し,断 熱 系 が 平衡 に あれ ば,系 の エ ン トロ ピ ー 変化 は0で あ る.そ れ で は,系 が 外 界 と熱 の交 換 をす る と きは,ど 図10-11に

の よ う に考 え れ ば よい か を次 に示 そ う.

示 す 系 は,外 界 と断 熱 さ れ て お らず,外

を す る と し よ う.こ の と き,系

界 と熱 エ ネ ル ギ ー の や り取 り

と外 界 を含 め た もの を一 塊 に 考 え,こ れ を大 きな

１つ の 系 と考 え れ ば,こ の大 きな 系 は断 熱 系 と み な す こ とが で き る.し た が っ て, 大 きな 系 に つ い て はエ ン トロ ピー 増 大 則 を適 用 す る こ とが で き るの で,系(図10-

これ 全体 を大 き な １つ の系 と考 え る。

図10−10大

き く系 を と れ ば 断 熱 系

10の 小 さな 系)と 外 界 との 間 の 熱 の 移 動 が 自発 的 で あ れ ば,そ の 前 後 の エ ン トロ ピー 変化 量 に 関 し て. dS系+dS外

また,熱

界＞0

(10・37)

エ ネ ル ギー の移 動 が 準 静 的 に行 わ れ た の で あ れ ば, dS系+dS外

が 成 り立 つ.ま

た,系

dS系+dS外

界=0

(10・38)

と外 界 との 間 で 決 して起 こ り得 な い 現 象 に 関 して は, 界＜0

(10・39)

とな る.し た が っ て,系

と外 界 の エ ン ロ ピー変 化 を計 算 す れ ば,そ の 変 化 が 自発

的 で あ る の か,準 静 的(平 衡)で あ るの か,起

こ り得 な い か を知 る こ とが で き る.

しか し,外 界 の エ ン トロ ピー 変 化dS外 界 は必 ず し も計 算 しや す い と もか ぎ らな い し,計 測 しや す い と もか ぎ らな い.そ

こで,dS外

界 を用 い な い で も よ い 方 法 を次

に示 そ う.   以 下 の 論 議 で は 起 こ り 得 な い 場 合(式(10・39))は 場 合(式(10・37))と

無 視 し て,自

平 衡 で つ り合 っ て い る 場 合(式(10・38))に

発 的 に変 化 す る

つ い て の み 行 う.

  この 変 化 が 自発 的(不 可 逆 的)に 起 こ った と して も,外 界 と し て,熱 伝 導 が 無 限 に大 き く(し た が っ て,外 界 の 温 度 は 空 間 的 に一 様),熱

容 量 が 無 限 に大 き な もの

(し た が っ て,外 界 の 温 度 は 時 間 的 に 変化 し な い)を もっ て くれ ば,外 界 で の 熱 の 移 動 は可 逆 的(準 静 的)に な る.そ れ ゆ え に, (10・40)

  こ こに,dQ外

界 は外 界 に着 目 した と きの 熱 エ ネ ル ギ ー の 出 入 で あ るが,こ れ は

系 に着 目 した とき の熱 エ ネ ル ギ ー の 出 入dQ系

に 負号 を つ け た も の に等 しい の で, (10・41)

と書 く こ と が で き る.

系 と外 界 が 平 衡 して い る と きに は,系

と外 界 の温 度 は等 しい の で, (10・42)

  ま た,す あ り,系

で に 第 ８章 で 学 ん だ よ う に,系

の 体 積 を 一 定 に 保 て ばdQ系=dU系

の 圧 力 が 変 わ な い よ う に す る と,dQ系=dH系

37)と(10・38)に

で あ っ た.こ

で

れ ら を 式(10・

代入 す ると

(10.43) (10.44) (10.45) (10.46) 上 記 の ４式 で,自 発 変 化 す る場 合 の み温 度 の 表 現 に Ｔ外界 と,系 の 温 度 で は な

く外 界 の温 度 が 現 れ た が,そ

の他 の 量 は す べ て 系 に つ い て の もの で あ っ た.そ

で,こ の こ と を頭 に入 れ て お け ば,下 付 き の添 え字 は省 略 で き,さ

こ

らに ２つ ず つ

一 ま とめ に して ,下 記 の よ う に書 け る.た だ し,等 号 と不 等 号 は,そ れ ぞ れ 平 衡 の と き と自発 変 化 の と きに対 応 す る. dU-TdS≦0 

 体積 一定

(10・47)

dH-TdS≦0 

圧 力一定

(10・48)

こ こで,上 記 の微 小 変 化 に 際 し て温 度 を変 化 させ な い との 条 件 を加 え る と, d(U-TS)≦0 

  体 積 と温 度 一 定

(10・49)

d(H-TS)≦0 

圧 力 と温 度 一 定

(10・50)

  上 の ２式 の か っ この 中 身 の 形 は,し ば しば 現 れ る の で,こ れ らに名 称 と記 号 を 与 え て お くと都 合 が よ い.す

な わ ち,

F≡U-TS 

 ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由エ ネル ギ ー

(10・51)

G≡H-TS 

 ギ ブスの 自由エネルギー

(10・52)

こ の 表 現 を 用 い る と,式(10・49)と(10・50)は,以

下 の よ う に な る.

dF≦0    体 積 と温 度 一 定

(10・53)

dG≦0    圧 力 と温 度 一 定

(10・54)

上 の ２式 は,次

の こ と を い っ て い る.

鍮

轟総蘇 図10-11 

自 由エ ネ ル ギ ーの性 質

  「系 の体 積 と温 度 を一 定 に保 て ば,も し系 に 自発 的 な 変 化 が生 じ る と,系 の ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ー Ｆ は減 少 し,何 の 変 化 も起 こ らな い と き(平 衡 時)に は Ｆ は変 化 し な い 」.ま た,「 系 の 圧 力 と温 度 を一 定 に し た条 件 下 で 系 に 自発 的 な 変 化 が起 これ ば,系 の ギ ブ ス の 自 由 エ ネ ル ギ ー Ｇ は減 少 を示 し,何 の変 化 も起 き な い な ら,Ｇ

は変 化 しな い 」.

こ れ ら の こ と を 模 式 的 に 図 示 す る と,図10-11(ａ),(ｂ)の

よ う に な る.

  自由 エ ネ ル ギ ー の性 質 を別 の角 度 か ら調 べ よ う.こ れ まで 同様,自 発 変 化(不 可 逆 変 化)が 起 こ る場 合(不 等 号)と 平 衡 して い る(可 逆 変 化)場 合(等 号)を ま とめ て 扱 う こ とに す る.   系 が 外 界 と や り と りす る 熱 エ ネ ル ギ ー 以 外 の エ ネ ル ギ ー を 力 学 的 エ ネ ル ギ ー と す る と,式(8・35)で

表 さ れ る.

dW≧-pdV

(8・35)

こ れ を 熱 力 学 恒 等 式(式(10・18))に -dW 

こ こで,こ

代 入 す る と,

≦-(dU-TdS)

(10・55)

の微 小 変 化 の間,系

-dW≦-dF 

と外 界 の温 度 が一 定 とす る と,

  等温変化

(10・56)

こ の 式 は 次 の こ と を い っ て い る.

  「変 化 が 可 逆 的(準 静 的)に 行 わ れ る の で あ れ ば,系 が 外 界 に す る仕 事(-dWこ れ はpdVに (-dF)に

等 し い)は そ の と きの 系 の ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ー の 減 少 分 等 しい.ま た,系 が 自発 的(不 可 逆 的)に 変 化 す る の で あれ ば,こ の と き

系 が外 界 にす る こ とが で きる仕 事(-dW)は の減 少 分(-dF)よ

系 のヘル ム ホル ツの自由エ ネル ギー

り必 ず小 さい.」

  す な わ ち,等 温 変 化 で は,系 の ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ー の 減 少 分 以 上 の 仕 事 を系 か ら取 り出 す こ とは で き な い.変 化 の 速 度 を遅 く して い く と次 第 に準 静 的条 件 に近 づ き,そ の極 限 で 式(10・56)の 等 号 が 成 り立 つ の で あ る. 式(10・17)で,系

と 外 界 が 準 静 的 に や り と りす る 熱 エ ネ ル ギ ーdQを

dQ=TdS の よ う に表 現 し た.こ の 式 の右 辺TdSは

(10・17)

系 の 性 質 の み で 表 現 され て お り,系 か

ら仕 事 の形 で は取 り出 せ な い エ ネ ル ギ ー とい う意 味 を もっ て い る.こ れ は次 の こ とか ら理 解 で き る し,こ れ を通 し て 自 由 エ ネ ル ギ ー の意 味 も明 らか に な る.   ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ー の 定 義 式(10・51)を 温 度 一 定 の も とで 微 小 変 化 の 式 に な お す と, dF=dU-TdS

(10・57)

この 式 は,次 の よ う に 書 く と意 味 が取 りや す い. -dU=-dF-TdS

(10・58)

  す な わ ち,一 定 温 度 の も とで は,系 の 内 部 エ ネ ル ギ ー の 減 少 分(-dU)の

う ち,

有 効 な仕 事 と し て 取 り出 せ る分 は ヘ ル ム ホ ル ツ の 自 由 エ ネ ル ギ ー の 減 少 分(dF)で あ り,残 り(-TdS)は

熱 と して放 出 され るの で あ る.式(10・56)で,不

変 化 の場 合 に 取 り出 せ る仕 事(-dW)は (-dF)よ

ヘ ル ム ホ ル ツ の 自由 エ ネ ル ギ ー の 減 少 分

り小 さ くな る こ と を示 し たが,上

熱 放 出(-TdS)が

図10-12エ

可逆

式 か ら正 に この 仕 事 が 減 っ た 分 だ け

増 え る の で あ る.こ の様 子 を 図10-12に

示 す.

ネル ギ ー収 支(内 部 エ ネル ギ ー の減 少分 を基 準 に し て描 い て あ る)

  次 に,ギ ブ ス の 自 由 エ ネ ル ギ ー Ｇ の性 質 を調 べ る.系 と外 界 と の熱 以 外 の エ ネ ル ギ ー の や り と り と し て,今

まで は系 の体 積 変 化 に伴 う力 学 的 エ ネ ル ギ ー

(-PdV)の

こで,別 の形 態 の エ ネ ル ギ ー の や り と り も考 え て

み を扱 っ て き た.こ

み よ う.そ の一 例 と し て,電 池 を系 と見 立 て る.系(電 の可 逆 的 お よび 不 可 逆 的 エ ネ ル ギ ー の や り と りをdW電

池)と 外 界(電 気 回 路)の 間 とす る. dW電

は常 に正

の値 と し,こ れ まで の 例 に な らっ て外 界 か ら系 に 移 動(充 電)す る量 をdW電,逆 に系 か ら外 界 へ 移 動(放 電)す る量 を-dW電

と表 す.こ

の よ う に状 況 設 定 を す る

と,外 界 が 系 に な す 全 仕 事dWは, (10・59)

熱 力 学 恒 等 式dU=TdS-pdVの も含 め たdWで

右 辺 の 第 ２項 の 仕 事(-PdV)を

不可 逆 時 を

お きか え る と, (10・60)

  一 定 圧 力 の も と で はdH=dU+PdV(式(8・21)を

見 よ)で あ る の で,上

式 を代

入 す る と, (10・61)

さ ら に,温

度 も一 定 に す る と,dG=dH-TdS(式(10・52)を

見 よ)で あ る の で, (10・62)

 上 式 は ギ ブ ス の 自 由エ ネ ル ギ ー Ｇ の性 格 を 如 実 に物 語 って い る.す な わ ち,ギ ブ ス の 自 由 エ ネ ル ギ ー の変 化dGは,系

が 外 界 とや り と りす るエ ネ ル ギ ー の う ち,

熱 と力 学 エ ネ ル ギ ー 以 外 の エ ネ ル ギ ー(こ こで は電 気 エ ネ ル ギ ー)に の み 関 係 す る の で あ る.式(10・62)は,さ   電 池 を可 逆 的 にdW電

らに次 の こ とを 示 し て い る. だ け充 電 す る と,電 池 の ギ ブ ス の 自 由 エ ネ ル ギ ー は,そ

れ に等 しい量 だ け増 加 す る(等 号).ま

た,不 可 逆 的 にdW電

電 池 の ギ ブ ス 自由 エ ネル ギ ー の 増 加 分dGはdW電 で もな い が,可 逆 的 に充 電 す る とは,小

だ け 充 電 し た と き は,

よ り小 さい(不 等 号).い

うま

さ な電 流 で ゆ っ く り時 間 をか け て 充 電 す

る操 作 の極 限 を イ メ ー ジ す れ ば よ い. 式(10・62)を

次 の よ う に 書 き な お す と,電

池 の 放 電 時 を 表 す. (10・63)

  す な わ ち,電 池 か ら可 逆 的 に-dW電

だ け放 電 す る と,電 池 の ギ ブ ス 自 由 エ ネ

ル ギ ー はち ょう どそ の分 だ け減 少 す る.し た が って,可 逆 的操 作 の も とで は電 池 の ギ ブ ス 自由 エ ネル ギ ー を100%電

力 と して取 り出 す こ とが で きる.現 実 に は,

可 逆 操 作 に は無 限 大 の時 間 が 必 要 な の で,こ ス 自 由 エ ネ ル ギ ー の減 少 分dGだ

れ を行 う こ と はで きず,電

池 のギ ブ

け電 力 と し て取 り出 す こ とは で き な い が,時

間

をか け て 少 量 ず つ放 電 す る こ とで,い   以 上,電

く らで も これ に近 づ け る こ とが で き る.

池 を系 と して 示 した ギ ブ ス 自由 エ ネ ル ギ ー の変 化 と関 連 す る熱 力 学 変

数 の関 係 を 図10-13に

図10-13電

示 した.

池 の エ ネル ギ ー収 支(圧 力,温 度 を一 定 に し た場 合,左 側 の不 可 逆 過程 の

場 合,不 可 逆 性 は電 気 エ ネル ギ ー のや りと りに つい て の み考 慮)

[２]い

ろ い ろ な関 係 式

  通 常,我 々 が 用 い る熱 力 学 的 状 態 変 数 は ｐ,Ｖ,  Ｔ, Ｓ,Ｕ,  Ｈ, Ｆ, Ｇ の ８個 で あ る.こ れ らの 変 数 の間 の 関 係 式 の 一 部 は す で に示 した.こ

れ らの 関 係 式 を変

形 して さ ら に便 利 な表 現 を得 る こ とが で き る し,実 験 で 求 め る こ との で き る物 性 定 数(例 へ ば,第 で は,ご

８章 で示 した比 熱)を これ らの変 数 を組 合 せ て 表 現 で き る.こ こ

く基 本 的 な もの を示 す. dU=TdS-pdV

(10・64)

dH=TdS+Vdp

(10・65)

dF=-SdT-pdV

(10・66)

dG=-SdT+Vdp

(10・67)

  式(10・64)は,熱

力 学 恒 等 式(10・18)を

書 き な お し た も の で あ る.式(10・65)は,

エ ン タ ル ピ ー の 定 義 式(8・21)を 微 分 し て 式(10・64)を (10・66)は,ヘ

代 入 す れ ば 得 ら れ る .式

ル ム ホ ル ツ 自 由 エ ネ ル ギ ー の 定 義 式(10・51)を

を 代 入.式(10・67)は

微 分 し て 式(10・64)

ギ ブ ス 自 由 エ ネ ル ギ ー の 定 義 式(10・52)を

微 分 し て 式(10・

65)を 代 入 し て 得 ら れ る.   式(10・64)に

体 積 一 定 お よ び エ ン トロ ピ ー 一 定 の 条 件 を つ け る と,そ

れ ぞれ次

式 の 左 と右 が 得 ら れ る. (10・68)

同 様 に,式(10・65)∼(10・67)か

ら 次 式 を 得 る. (10・69)

(10・70)

(10・71)

  第 ８章8・4節 で示 し た状 態 変 数 の 性 質(完 全 微 分,式(8・13))を

用 い る と,上 記

の ４式 か ら下 記 の ４つ の 関 係 式 が 得 られ る.こ れ ら はマ ッ ク ス ウ ェ ル の 関 係 式 と 呼 ば れ,よ

く用 い られ る.

(10・72)

実 験 で求 め られ る物 性 定 数 と偏 導 関 数 の関 係 の い くつ か を下 式 に示 す.

熱膨張係数 等温圧縮率 断熱圧縮率 定積比熱 定圧比熱

マ ックスウ ェルの 関係 式の 簡単 な覚 え方   式(10・72)に

示 し た マ ッ ク ス ウ ェ ル の 関 係 式 は,次

の よ うに 覚 え

て お く と便 利 で あ る。 ①

８個 の 熱 力 学 変 数(p,V,T,S,U,H,F,G)の

(p,V,T,S,)し

う ち,前

半 の ４つ

か 関 係 な い。 こ れ らは 力 学 的 エ ネ ル ギー の 表 現 に

関 係す る ｐと Ｖ,お よび熱 エ ネル ギー の 衰現 に関 係す る Ｔ とＳで あ る 。

②

マ ッ クス ウ ェルの式 で は,等 号 の左右 の偏 導関係 の分 子,分 母 をた す き掛(ば っ て ん に 掛 け 算)を す る と ｐ と Ｖ,Ｔ と Ｓ の 組 合せ が常 に で きる。

③

一定 にす る状 態量 は常 に等号 の反対側 の偏 微分 をす る変数(分 母 に あ る 変 数)で

④

あ る。

４つ の 関 係 式 の う ち ２つ に 負 号(-)が

つ い て い るが,こ

れ

をつけ な くて はいけ ない蘭係 式 は Ｔ と Ｖ の位 置関係 が縦(上下) に な っ て い る式(10.72)で 向 きで あ る の で,Ｔ に並 ん だ も の は,こ

で る。TV(テ

レ ビ)の 操 作 線 は 横

と Ｖ が 横 に並 ん で い る も の は よ い が,縦 れ を 訂 正 す る た め に 横 棒(-)

を 入 れ る と覚 え て お け ば,忘

れ ない。

[３]理 想 気体の熱 力学変 換   我 々 は,す で に理 想 気 体 はPV=RTな

る状 態 方 程 式 を もち,内 部 エ ネ ル ギ ー

は温 度 の み の 関 数 で あ る こ と を知 っ て い る.ま た,カ ル ノ ー ・サ イ クル の取 扱 い の 中 で,等 温 お よ び 断熱 変化 で の熱 と仕 事 の 出入 と,内 部 エ ネ ル ギ ー の変 化 に つ い て学 ん だ.こ

こで は よ く用 い られ る状 態 変 化 に つ い て,こ れ まで に学 ん だ 諸 熱

力 学 変 数 が どの よ うに変 化 す るか に つ い て ま とめ る.   状 態 変 化 と し て は,等 温,断 熱,等 圧,等

積(体 積 一 定)お よ び 系 が 真 空(外 界)

へ 向 か っ て膨 張 す る こ と を意 味 す る 断 熱 自 由膨 張 につ いて 扱 う.状 態 量 変 化 と し

て は ⊿U,⊿H,⊿s,⊿F,⊿Gと

し,出 発 状 態 に つ い て下 付 き添 え字 １を つ け,

到 着 した状 態 は 下 付 き添 え字 ２をつ け て表 し た.ま た,比 熱 は 温 度 依 存 性 が な い もの と した.結

果 の 主 要 部 分 は表10-2に

表10-2理

ま とめ た.

想 気体 の各種状 態変化 に伴 う熱 と仕事 の出入 と状態変化 は カ ル ノ ー ・サ イ クル(第 ９章)に て 取 扱 っ た.

  ⊿Uと

⊿HはdU=CvdTとdH=CpdTか

ら求 ま る.⊿Sを

求 め るた めの一

般 式 を示 す と,熱 力 学 恒 等 式 か ら出 発 し て,

dU=CVdT,お

よび状 態 方 程 式 よ り

これ と同等 な式 は状態 方程式 の微分形

これ ら を積 分 して,

を代 入 して,

  これ ら を各 変 化 の 条 件 に よ っ て使 えば よい. ⊿Fと

⊿Gは

⊿U,⊿H,⊿Sか

ら求 め られ る.一 部 表10・2に 入 ら な か っ た もの

を以 下 に示 す. ⊿Fad=Cv(T2-T1)-S1(T2-T1) ⊿Gad=Cp(T2- 

これ は の式 に はS1,す

T1)一S1(T2-T1)

な わ ち状 態 １のエ ン トロ ピー の 絶 対 値 が 必 要 と な る.

演 習 問 題[10] １・ 図10-14の

よ う に,２ つ の 断 熱 線 が 交 わ る とす る と,ト ム ソ ン の 原 理 に 反 す る こ と

を 示 せ.

図10-14

２. 実 験 に よ り,あ る物 質 の 定 圧 比 熱Cpの の 物 質 の エ ン トロ ピー,自

３.理

温 度 依 存 性 が 求 ま っ た.こ れ を用 い て,こ

由 エ ネ ル ギ ー を求 め る 式 を示 せ.

想 気 体 の 状 態 方 程 式 か ら,理 想 気 体 の 内 部 エ ネ ル ギ ー とエ ン タ ル ピー を 温 度 の

関 数 と し て 示 せ.

静

第11章

電

気

  電 磁 気 学 の 最 初 の 概 念 は,電 気 量 を も っ た 粒 子 を想 定 す る こ とで あ る.こ の 粒 子 は,当

然,質

量 を もっ て お り,電 気 量 以 外 の物 理 量 も も っ て い る が,

電 気 量 に 関 連 す る 以 外 の 性 質 は,こ と い い,電

こで は 問 わ な い.こ

の粒 子の ことを電荷

気 量 の 単 位 は,こ れ まで に知 っ て い る力 学 的 単 位 か ら決 め られ る.

我 々 は,電 荷 と い う もの を直 接 み る こ と は で き な い が,電

気 的 な種 々 の 現 象

か ら電 荷 が そ の 周 囲 に 及 ぼ す 影 響 を,力 学 の 場 合 と同 じ よ う に 記 述 す る こ と が で き る.

11・1

問

クー ロ ンの法則

電 気 量 の 最 小 量 は い く ら か.こ

れ を電 気 素 量 とい う.

  距 離 γ 〔m〕だ け 離 れ た ２ つ の 点 電 荷q1〔C〕,q2〔C〕

の 間 に 働 く電 気 的 な 力F

〔N〕は, (11・1)

で 表 さ れ る.ε0は

真 空 の 誘 電 率 で,

  クー ロ ン の 法 則 は,万 有 引 力 の法 則 と同 じ く,距 離 の 逆 ２乗 に比 例 す る力 を与 えて お り,そ の 力 の 方 向 は,２ つ の 点 電 荷 の空 間 的 配 置 に よ っ て 決 ま る ２つ の 点 電 荷 を結 ぶ 直 線 上 に あ る.係 数 の 中 で,4π は全 立 体 角 を意 味 して お り,後 で 述 べ る よ う に,点 電 荷 ｑか らで る電 気 力 線 の 数 をq/ε0に す る よ う に,全 空 間 積 分 の

4π を 係 数 の 分 母 に 入 れ て い る の で あ る.力 斥 力 を,異

Ｆ は,q1  q2が 同 種 類 の 電 荷 で は 正 で

種 類 の 電 荷 で は 負 で 引 力 を 表 し て い る.

  こ の 力 を ベ ク トル 的 に 表 す に は,q2に

働 く力 Ｆ を, q1か

ら測 っ たq2の

位置 ベ

ク トル ｒ を 用 い て,

(11・2)

の よ う に す る.   多 数 の 点 電 荷ql, q2,…

…,  qi,… …,qnが

空 間 に 分 布 し て お り,こ

が 別 の １つ の 点 電 荷q0に

働 く ク ー ロ ン カ を 考 え る と き は,

れ らの 点 電 荷

(11・3)

と す る.riはqiか

らq0ま

表 し て い る.Fの

方 向,向

で の 位 置 ベ ク トル を 表 し,Fiはqiと き は, Σriの

ベ ク トル 和 に よ っ て 決 ま る.

  電 荷 が １つ の 曲 線 Ｌ 上 に 分 布 し て い る 場 合 は,電 上 の 微 小 片dsか

の ク ー ロ ンカ を

荷 線 密 度 を σ と し,曲

線 Ｌ

ら の 位 置 ベ ク トル が ｒ の 点 に あ る 電 荷 ｑ に 働 く力 を

(11・4)

と す る.

11・2

ガ ウス の法則

  ク ー ロ ン力 の働 く空 間 を電 場(電 界)と い い,点 電 荷q0が 電 場 Ｅ の 中 に あ る と き,q0に

働 く力 を F=q0E

と し,電

場 の 強 さ Ｅ を 式(11・5)で

(11・5)

定 義 す る.式(11・3)と

の 比 較 で は,

(11・6)

が 電 場 とな っ て い る。   Ｅ はベ ク トル で あ る の で,そ の成 分 を考 え る こ とが で き る.電 場 内 に微 小 面 積

  電 荷qか らで る 電 気 力 線 はq/ε0本で,こ れ が qを囲 む閉 曲面 か ら で る. 図11-1電

dSを

と り,そ の 法 線 方 向 の 電 場 成 分 をEnと

い い,そ

の ε0倍 の ε0EndSをdSを

表 す.こ

の と きEndSを

場

電 気力束 と

通 る 電 束 と い う.

  正 の 点 電 荷 ｑ を 包 む 閉 曲 面 Ｓ を考 え,Ｓ

上 で の 全 電 束 を計 算 す る と, (11・7)

 閉 曲 面 内 に電 荷 が な い 場 合 は,当 然,左 辺=0で

あ り,多 くの 点 電 荷 が あ る場 合

に は, (11・8)

と な る.こ

れ を ガ ウ ス の 法 則 と い う.こ

あ ら ゆ る 電 気 量 の 集 合 と し て よ い.電 D=ε0E

の 式(11・8)の

右 辺 は,点

電 荷 と は 限 らず,

束 密 度 と い う ベ ク トル を (11・9)

で 定 義 す る と,式(11・8)は, (11・10)

と な る.

電 荷 密 度 を ρの 形 で 表 す と,電 場 中 の微 小 閉 曲 面 で, (11・11)

が 得 られ る.こ の 式(11・11)は,ガ

ウス の法 則 の微 分 形 で あ る.

  電 場 内 で 電 場 の 方 向 に 曲 線 を考 え,そ の上 の 各 点 の 接線 の方 向 が そ の点 の電 場 Ｅ の 方 向 と一 致 す る よ うに した と き,こ の 曲線 を電 気 力 線 と い う.電 気 力 線 は, 正 電 荷 か ら出 て,負 電 荷 に入 っ て終 わ る.電 場 内 の小 さ な 面dSの

上 のすべ て の

点 を通 る電 気 力 線 は,電 気 力 管 を形 成 す る.

 電 気 力線 は正 電荷 ｑか ら出 て負電 荷 −qに 入 る.電 気 力 束 をE・ ⊿Sで 表 す と,⊿Sの 中 を Ｅ 本 の電 気 力線 が 通 って い る. 図11-2電

気 力管

  電 気 力 管 を 垂 直 に 切 っ た 断 面 を ２箇 所 で と り,そ れ を ⊿S1,⊿S2と 電 気 力 管 で は,電

気 力 束E・ ⊿sが

一 定 に な っ て い る.E・

⊿Sの

す る.１ 本 の

値 が １に等 しい 電

気 力 管 で 電 場 を埋 め,各 管 ご とに １本 の割 合 で 電 気 力 線 を 引 く と約 束 す る と,電 場 の強 さ は,こ れ に垂 直 な単 位 面 積 を通 る電 気 力 線 の数 で表 せ る.   ガ ウス の法 則 で は,正

の 電 荷 ｑか ら はq/ε0本 の電 気 力 線 が 出 て い る こ と に な

る.

電

11・3

位

  電場 内 の ２点P,Q間 場 合,こ

の 電 位 差(電 圧)VPQは,  P,  Q点 が 同一 電 気 力 線 上 に あ る

の 電 気 力 線 に沿 っ た線 積 分 を考 えて, (11・12)

  dsは 曲線 の微 小 部 分, Esは と した場 合 は,VPQは

Ｅ のds方

向 の 成 分 を表 して い る.点

点 Ｐ の電 位 と な る.通 常,基

Ｑ を基 準 点

準 点 は十 分 遠 方 の 点 を考 え

る. (11・13)

1〔C〕の 正 電 荷 を移 動 す る に 要 す る仕 事 が1〔J〕 で あ る よ う な ２点 問 の 電 位 差 を1〔V〕 とす る. (11・14)

多 くの 点 電 荷ql, q2,……,  qi,… …qnが

空 間 に 分 布 し て い る と き,こ

れ らの 電 荷

に よ る 点 Ｐ の 電 位VPは,

(11・15)

で 表 せ る.γiは   式(11・12)で

点 Ｐ とqiと は,VPQは

の 距 離 で あ る.

Ｐ か ら Ｑ へ の 道 筋 に よ ら な い.す

な わ ち,ク

ー ロ ン電

場 は保 存 力 の 場 で あ る.電 位 は 静 電 ポ テ ン シ ャ ル ・エ ネ ル ギ ー と も 呼 ば れ る.２ 点 PQ間

の 電 位 差VPQは,そ VPQ=VP-VQ

れ ぞ れ の 点 の 電 位 の 差 と し て, (11・16)

で 与 え られ,Ｐ

と Ｑ の位 置 だ けで 決 ま って くる.

  一 般 に,電 場 内 に考 え た任 意 の閉 曲線 に 沿 っ て の電 場 の 線 積 分 は常 に ０で あ る. (11・17)

  電 場 内 の １つ の 点 に お け る電 場 Ｅ の ｓ方 向 の成 分Esは,そ

の 点 にお け る電 位

の そ の方 向 に お け る減 小 の割 合 に等 しい. (11・18)

  点Q'と

Ｑ と を結 ぶ 破 線 は 等

電位 面 を表 し,こ の上 で 電 荷 を 動 か して も電 場 は仕 事 を しな い. VPQ=VP-VQでP→Qへ の 電 場 の仕 事 は道 筋 に よ らな い. 図11-3電

  電 場 内 に 等 電 位 面 を 考 え る と,等 場 合,Esも 取 り,そ

０で,電

位

電 位 面 に 沿 っ て ∂V/∂sは ０で あ る か ら,こ

場 Ｅ は 等 電 位 面 と直 交 す る.直

角 座 標 軸x,  y,zを

れ ぞ れ の 方 向 の 電 場 Ｅ の 成 分 をEx,  Ey, Ezと

電 場 内に

す れ ば, (11・19)

に な る.i,j, 

kをx, 

y, z方

の

向 の 単 位 ベ ク ト ル と す る と,

(11・20)

式(11・11)と

一 緒 に す る と, (11・21)

  これ をボ ア ッ ソ ンの 式 とい い,電 荷 が 空 間 に分 布 して い る場 合 の電 位 Ｖ を表 して い る. ρ=0の 空 間 で は, ⊿V=O

が成 立 す る.こ の 式 を ラ プ ラ ス の 式 とい い,例

え ば,コ

ンデンサの電極 間にお け

る電 位 は,こ の 式 か ら求 め られ る.

11・4

電気双極子

微 小 距 離 ｄ だ け 離 れ た ２点 に-q,+qの

点 電 荷 が 存 在 す る状 態 を電 気 双 極 子

とい う.負 電 荷 よ り正 電 荷 に 向 く距 離 ベ ク トル を ｄ で表 して,

Ｅ は Ｐ に よ る点 Ｐの 電場 の強 さ Eγ は Ｅ の γ方 向 の成 分 Eφ は Ｅ の φ 方 向 の成 分 図11-4  電 気双 極 子

(11・22)

を,こ

の 電 気 双 極 子 の モ ー メ ン ト と い う.

  こ の モ ー メ ン トか ら ｒ だ け 離 れ た 点 Ｐ の 電 位 は,

(11・23)

と な る.   ま た,点

Ｐ の 電 場 Ｅ の γ 方 向,φ

方 向 の 極 座 標 成 分 を,そ

れ ぞ れE`γ,Eφ で 表

す と,

(11・24)

  電 気 双 極 子 ｐ が一 様 な 電 場 Ｅ の 中 に あ る と,双 極 子 は電 場 に よ っ て偶 力 Ｎ を 受 け る. (11・25)

  電 場 Ｅ は一 定(電 場 の 強 さ Ｅ は, その 方向 に直 角 な単 位 断 面積 を通 る電 気力 線 の 数 に比 例 す る.)  電 気 双極 子 は,電 場 Ｅ に よっ て      N=d×qE=qd×E=p×E の偶 力 を受 け る. 図11-5電

気 双 極 子 の電 場 よ り受 け

る偶 力 モ ー メ ン ト

  x,y,z直

角 座 標 系 で,-qを(x, 

y,  z)に,+qを(x+⊿x, 

置 く と,ｄ

の 成 分 は(⊿x,⊿y,⊿z)に

な り,電 場 Ｅ 内 でpの

と す る と,双

極 子 の もつ ポ テ ン シ ャ ル は,

y+⊿y,  z+⊿z)に あ る場 所 の電 位 を Ｖ

(11・26)

と な る.

11・5

導

体

  導 体 とい うの は,そ の 中 で 電 荷 が 自 由 に動 く こ との で き る物 体 で あ る が,電 荷 の動 く原 因 は電 場 で あ る の で,電 荷 が 動 か な い静 的 な 状 態 に あ る導 体 を考 え る と, そ の 中 に は電 場 はな い と して よい.導 体 内 の 閉 曲面 で ガ ウ ス の 法則 を適 用 す る と, 内部 で は電 場 が ０で あ る か ら,静 的 な状 態 で は導 体 内 に は電 荷 は考 え な くて よ い. した が って,電 荷 は 表 面 に だ け分 布 し,導 体 内 部 は等 電位 領 域,表

面 は等 電 位 面

とな る.電 場 は導 体 の外 側 に だ け 生 じ,導 体 の す ぐ外 の 電 場 は面 に垂 直 で あ る.

 電 気 力 線 の 数 は,単 位 面 積 当 た り σ/ε0 で,こ れ が電 場 の 強 さ を与 える.  表 面 電荷 密 度 が一 定 な ら,電 場 は一定 と な る.

導 体 内部 に は電 場 はな い. 図11-6  導 体 表面 の電 場

 真 空 中 に置 か れ た 導 体 の表 面 電 荷 密 度 が σの と き,表 面 を は さん で,単 位 面 積 を もつ 薄 い板 状 領 域 で ガ ウ ス の 法 則 を適 用 す る と,

(11・27)

で,Enは

σ/ε0で与 え ら れ る.こ

の 電 場 を次 の よ う に 考 え る.

  σだ け に よ る電 場 を

(11・28a)

導体 表面 に存 在す る σ以外 の電荷 に よる電場 を (11・28b)

  内 部 で は,E1とE2と

は 逆 向 き で,電

場 は ０,外 側 で は 同 じ 向 き で,電

場 は σ/ε0

に な る.

図11-7  導体 表 面 電荷 の電 場 よ り受 け る力

この よ うに考 え る と,σ が σ以 外 の電 場 に よ っ て受 け る力 ｆ は, (11・29)

とな る.σ が 正 で あれ ば,こ の 力 は導 体 表 面 に垂 直 で 外 部 に 向 っ た 力 とな る.

11・6

静電容量

  導体 に電 荷Q〔C〕 を与 え た と き,導 体 の 電 位 がV〔V〕 れ ば,そ

の導 体 の 静 電 容 量C〔F〕 は,

だ け大 き くな っ た とす

C=Q/V

(11・30)

1〔F〕 の10-6倍

を1〔

μF〕,10-12倍

を1〔pF〕

で 表 す.

コ ンデ ンサ

図11-8コ 図11-8

  2つ の 接 近 した 導体 が 絶 縁 され て支 え られ て い る もの を コ ン デ ンサ と い い,孤 立 し た導 体 よ り大 き な静 電 容 量 を もつ.コ

ン デ ン サ の もつ静 電 エ ネ ル ギ ー は, (11・31)

に な る.数 V2,…

多 く の 帯 電 体q1,  q2,…

…, Vi,…

…, Vnと

す る と,こ

……,  qi,…

…,qnが

あ っ て,そ

れ ぞ れ の 電 位 をV1,

れ ら の 帯 電 体 の 静 電 エ ネ ル ギ ー の 総 和 は,

(11・32)

と な る. 容 量C1,  C2,…

… の コ ン デ ン サ の 連 結 の 合 成 容 量 は,

並列 で 直列 で と な る.

C=C1+C2+…

…

｝

(11・33)

11・7誘

 電  体

 誘 電 体(絶 縁 体)中 に は,自 由 に動 き う る電 荷 は な い.誘 電 体 を電 場 の 中 に置 く と,誘 電 分 極 を起 こす.こ の 分 極 は,導 体 の 静 電 誘 導 とは本 質 的 に異 な る.分 極 は誘 電 体 内部 に も一 様 に起 こ って お り,そ の 結 果 と し て表 面 に 分 極 電 荷 が 現 れ る の で あ る.

Ｅ は,一 様 な電 場  表 面単 位 面積 当 た り σpの分 極 電 荷 が れ る. 図11-9  誘 電 分極

  電 場 Ｅ 方 向 の長 さ ｌ,垂 直 断 面 積 Ｓ の 誘 電 体 表 面 に 現 れ る分 極 電 荷 を ±σpS とす る と,こ の誘 電 体 の もつ双 極 子 モ ー メ ン トは σpSlと な っ て,体 積Slに

比例

す る.単 位 体 積 当 た りの双 極 子 モ ー メ ン トの大 き さ σpを大 き さ と して,双 極 子 モ ー メ ン ト と同 じ向 き を も つベ ク トル Ｐ を考 え,こ れ を分 極 ベ ク トル と呼 ぶ. (11・34)

で,Ｐ

に垂 直 な 面 で 誘 電 体 を切 る と,そ の 面 に は σpの 面 密 度 で 分 極 電 荷 が 現 れ

る. 等 方 性 の 誘 電 体 で は,Ｐ

と Ｅ と は平 行 で, (11・35)

χeを誘 電 体 の電 気 感 受 率 とい う.Ｐ

の 単 位 は 〔C/㎡ 〕,  Ｅ の 単 位 は 〔V/m〕 で,

xeは

ε0と 同 じ 〔F/m〕 の 単 位 を も つ. xe=xeε0

のxeを

(11・36)

比 電 気 感 受 率 とい う.

平 行 極 板 コ ン デ ン サ の 容 量 を考 え る.極 板 間 に誘 電 体 を入 れ た と き の容 量 Ｃ と,極 板 問 が 真 空 の場 合 の容 量C0と

の比 は,誘 電 体 の種 類 だ け で 決 ま る定 数 で, (11・37)

こ の εγを 誘 電 体 の 比 誘 電 率 と い い,単 ε=ε0ε

位 は 〔１〕 で あ る.ま

た,

γ

(11・38)

を誘 電 体 の誘 電 率 とい う.単 位 は 〔F/m〕 で あ る.

  σ-σp=σ0の 関 係 に あ る. 図11-10比

誘 電率

図11-10で,誘

電 体 を 入 れ た 場 合 と,入

れ な い 場 合 の 容 量C,C0を

比 較 す る と,

(11・39)

この第2式

に電 場 Ｅ を掛 け る と,

εE=D=ε0E+P

(11・40)

で,誘 電 体 中 の 電 束 密 度 は真 空 中 と比 較 して Ｐ だ け大 き くな っ て い る.こ れ が 物 質 中 で の電 束 密 度 の定 義 で,物 質 中 で も電 束 線 また 電 束 管 を考 え る こ とが で き る. ガ ウ ス の 法則 は,物 質 中 で,

(物質 中での真電荷 の代 数和) と な り,そ

(11・41)

の 微 分 形 は, div D=ρi 

(真 電 荷 の 密 度)

(11・42)

とな る.誘 電 体 が存 在 す る場 合 の 電 界 は, div  E=(ρi+ρp)/ε0

(11・43)

と な る.

  ２つ の誘 電 体 の境 界 で は,そ こ に真 電 荷 が 存 在 しな い 場 合 は,境 界 面 で Ｄ の 法 線 成 分,Ｅ

の 接 線 成 分 が,そ れ ぞ れ 連 続 で あ る.

図11-11誘 Dn1=Dn2

電体 境 界面

(11・44)

ま た, E1sin 

θ1=E2 

sin  θ2

(11・45)

(11・46)

これ が 電 気 力 線 の 屈 折 の条 件 とな る. 誘 電 体 中 で の静 電 エ ネ ル ギ ー 密 度 は, w=1/2E・D

(11・47)

とな る.こ れ は静 電 場 の 単 位 体 積 が もつ エ ネ ル ギ ー と解 釈 で き る.

演 習 問 題[11] １.力

学 的 ポ テ ン シ ャ ル と静 電 ポ テ ン シ ャ ル と を対 比 さ せ て,そ

の 中 に 現 れ る物 理 量

問 の 関 係 を よ く理 解 せ よ.ま た,熱 力 学 に 現 れ る エ ン トロ ピー の概 念 と も比 較 して み よ.

２.球

状 導 体 の 表 面 に,単 位 面 積 当 た り σ の 電 荷 が 分 布 して い る と し,式(11・09)を

導

出 せ よ.

３. コ ン デ ン サ に は 耐(電)圧

と い う も の が あ る が,こ れ を 調 べ よ.決 め られ た 耐 圧 以 上

の 電 圧 を 印 加 し た 場 合 は ど う な るの か.

第12章

 定 常電 流

  針 金(抵 抗 導 線)を 電 池 の 両 極 の 間 に つ な ぐ と,針 金 に は電 気 的 な種 々 の現 象 が 現 れ る.針 金 の 温 度 上 昇(熱 効 果)や,針

金 の 周 囲 に 磁 場 が で き て,鉄

な

ど を 引 きつ け る現 象(磁 場 効 果)で あ る.こ れ は,針 金 を流 れ る荷 電 粒 子 の 働 き に よ る.針

金 中 に は 多 くの 荷 電 粒 子 が あ っ て,電

力(電 場)に よ っ て,そ

の 力 の 方 向 に 流 れ,仕

池 か ら与 え られ た 電 気 的

事 を す る の で あ る.定 常 的 な 荷

電 粒 子 の流 れ を定 常 電 流 と い い,電 池 と針 金 を ま とめ た 電 流 の 閉 回 路 を考 え た 場 合 に,そ

の 閉 回路 の ど の 部 分 を と っ て も常 に一 定 の 電 流 が 存 在 し て い る.

しか し,電 流 が 存 在 し て い る状 態 で も,針 金 中 の 任 意 の部 分 で 電 気 的 な 中性 条 件 は成 立 し て い る と し な け れ ば な らな い.

12・1  電   流

問  電 流 の単位 は 〔 Ａ〕で あ る.こ

の 〔 Ａ 〕と い う単 位 は,ど

の よ うに して 決 め られ る

か.

  電 流 とい うの は,荷 電 粒 子(例 え ば,電 子)の 流 れ を い う.導 体 の 中 に は,電 子 の よ う な電 気 量 を も っ た荷 電 粒 子 が 多 くあ っ て,こ れ が 電 場 の 中 に導 体 が お か れ た場 合 に,導 体 中 の 電 場 の 方 向 に流 れ るの で あ る.導 体 中 に あ っ て,こ

の電気 を

運 ぶ粒 子(例 え ば,電 子)を キ ャ リア とい う. 電 流 に は,そ の 時 間 的 な変 化 の 形 か ら,直 流,交 流,パ 導線 の 任 意 の断 面 をdt秒

の 間 にdQの

ル ス 電 流 等 が あ る.

電 荷 が 通 過 す る と きの電 流 Ｉは, (12・1)

と な る.１ 秒 間 に1〔C〕 の 電 荷 が 流 れ る 電 流 の 強 さ を1〔A〕

  電 流 の 方 向 に垂 直 な微 小 面 積dSを

取 り, dSを

と す る.

流 れ る電 流 をdIと

した と き,

電 流密度 を i=dI

(12・2)

/dS・n

で 定 義 す る.ｎ はdSの

法線 方 向 の単 位 ベ ク トル で,そ

の 向 きは 電 流 の 流 れ る向

き に とる.

 電 流 の流 れ て い る方 向 に垂 直 にdSの 面 を と り, dSを 流 れ る電 流 をdIと した とき,電 流 密 度 は, i=dI

/dS・n

で あ る.ｎ はdSに

垂 直 な電流 の 流 れ て い く向 き

に と った単 位 ベ ク トル で あ る. 図12-1電

  電 流 の 流 れ て い る空 間 に,任 意 のdSを

流

とっ た と きは,そ

こ を通 過 す る電 流 の

強 さ は, dl=indS で,面

(12・3)

Ｓ 全 体 で の 電 流 の強 さ は, (12・4)

と な る.

  導 体 を 流 れ る電 流 は伝 導 電 流 と呼 ば れ,こ

の場 合 の キ ャ リ ア は電 子 で あ る.荷

電 物 体 の移 動 で も電 流 が 考 え られ る が,こ れ を対 流 電 流 とい う.ま た,一 般 に, 電 束 密 度 Ｄ が 時 間 的 に変 化 す る と き,そ 在 す る.こ れ を電 束 電 流 と い う.

こに ∂D/∂tの電 流 に 相 当 す る もの が 存

導 体 中 の 単 位 体 積 当 た りキ ャ リア の数 が ｎ個 あ り,１ 個 １個 の キ ャ リア の も っ て い る電 気 量 を ｑ と し,こ れ らが 等 速 度 υで 動 いて い る と き の電 流 密 度 は, i=qnυ=ρ

(12・5)

υ

と表 せ る.ρ=qnは,電

12・2 

荷 密 度 で あ る.

電 気抵 抗

  導 線 を流 れ る電 流 の 強 さ Ｉ は,導 線 の 両 端 の 電 位 差 Ｖ に 比 例 す る.導 体 中 を 流 れ る キ ャ リア は,真 空 中 と は違 っ た抵 抗 を 受 け,そ の速 度 は,電 場 の強 さに比 例 した形 で 一 定 とな る.こ の 定 常 的 な状 態 で電 気 抵 抗 を考 え る.

    抵抗 Ｒ を流 れ る電 流 が Ｉの とき, 抵 抗 の 両端 の電 位差 は V=IR で あ る. 

図12-2  電 気 抵 抗

I=V

(12・6)

/R

比 例 定 数1/Rを 電 気 伝 導 度(コ ン ダ クタ ンス)と い い, Ｒ を電 気 抵 抗 とい い,こ の 式 を オ ー ム の 法 則 と い う.1〔A〕 の 電 流 が 流 れ る導 線 の 両 端 の 電 位 差 が1〔V〕 の と きの 抵 抗 を1〔 Ω〕とす る.電 気 伝 導 度 は 電 気 抵 抗 の逆 数 で,そ

の単 位 は,ジ

ー メ ンス 〔Ｓ〕で あ る.   この 場 合 の導 線 は抵 抗 体 で あ るが,一 般 に抵 抗体 の 電 気 抵 抗 は,電 流 方 向 の長 さ ιに比 例 し,断 面 積 Ｓ に反 比 例 す る. R=ρ

ι/S

(12・7)

比 例 定 数 ρ を 抵 抗 率 と い う.単 位 は 〔 Ω ・m〕で あ る.ま い,単

た,σ=1/ρ

を導 電 率 とい

位 は 〔S/m〕 で あ る.

  空 間 的 に広 が り を も っ た導 体 内 に電 流 が 分 布 して い る場 合 で も,そ の各 点 で オ ー ム の 法 則 が 成 立 す る と考 え る .一 般 的 な形 は, i=σE

(12・8)

で あ り,ｉ,  Ｅ は そ の 点 で の 電 流 密 度,電 場 の 強 さを そ れ ぞ れ 表 して い る.   導 体 内 に一 様 な電 荷 密 度 ρが あ る と し よ う.す なわ ち,単 位 体 積 当 た りの 電 荷 は ρで あ って,こ

の単 位 体 積 か ら四 方 に電 流 が 流 れ 出 て い る とす る と,そ の 電 流

量 は, (12・9)

体積 Ｖの 空 間 で,そ の 全 表 面 Ｓか ら出 る電 流 量 は,

で あ り,こ れ は Ｖ中の 電 荷 の 減少率

に 等 しい 。

dx dy dzの

で,dx=1, 

と な る.こ

空 間 か ら流 れ る電 流 量 は,

dy=1, 

れ は,こ

dz=1の

単 位 体 積 当 た りで は,

の 単 位 体 積 の 中 の 電 荷 の 減 少 分-∂

図12-3  電 流 密度

ρ/∂tに 等 し い.

と書 け る.す な わ ち,流 れ 出 る電 流 量 は そ の 中 の電 荷 の減 少 率 に 等 し く,電 荷 の 保 存 を表 して い る.積 分 形 は, (12・10)

電 荷 密 度 ρが 導 体 の す べ て の場 所 で 時 間 的 に一 定 に 保 た れ て い る定 常 電 流 で は, div  i=0

(12・11)

と な る.

  多 くの金 属 は 導電 体 で あ り,電 流 に対 し て抵 抗 体 とな る.そ

の抵 抗 率 は,温 度

範 囲 が 大 き くな い と き, ρ=ρ0{1+β(t-t0)}

(12・12)

の 形 に書 け る.ρ0は 基 準 温 度t0〔℃ 〕の とき の抵 抗 率 で,β は温 度 係 数 で あ る.純 粋 な 金 属 の 温 度 係 数 は気 体 の膨 脹 係 数 に近 い 値(1/273)を  合 金 の抵 抗 率 は,一 般 に単 体 の 金 属 よ り大 き いが,特

も って い る. 定 の組 成 比 で極 小 値 を と

る場 合 が あ る.ま た,温 度 係 数 は小 さ くな る.  純 粋 な金 属 の 導 電 率 σ と熱 伝 導 率 χ と の比 は,同 温 度 で は,金 属 の種 類 に よ ら ず一 定 で あ る. (12・13)

こ れ を ヴ ィ ー デ マ ン ・フ ラ ン ツ の 法 則 と い い,比

例 係 数 Ｌ を ロー レ ン ツ 数 と呼

ぶ.

12・3 

電  力

  抵 抗 体 に 電 流 Ｉが 流 れ,両 端 の 電 位 差 が Ｖ で あ る と き,電 流 に よっ て,こ の抵 抗体 にdt秒

間 にIdt・Vの

仕 事 が な さ れ る.単 位 時 間 に な さ れ る仕 事 量 を電 力 と

い う.こ れ を Ｐ で 表 す と, P=IV

(12・14)

と な る.単

位 は1〔W〕=1〔J/s〕

で あ る.ま

た,

(12・15)

を積 算 電 力 量 と呼 ぶ.単 位 は 〔Wh〕が 用 い られ る.   電 力 歩 抵 抗 Ｒ で 消 費 され る場 合 は,ほ

とん どが 熱 エ ネ ル ギ ー に 変 わ る.抵 抗

Ｒ に お け る単 位 時 間 の 発 熱 量 は,

(12・16)

で あ る.こ

の 熱 を ジ ュ ー ル 熱 と い う.

  回 路 網 や広 が りを もっ た 抵 抗 体 の 両 端 か ら電 流 を流 す と,内 部 に 流 れ る定 常 電 流 は,抵 抗 体 中 に発 生 す る ジ ュ ー ル 熱 を最 小 にす る よ う に 分 布 す る(最 小 ジ ュ ー ル 熱 の 原 則).   抵 抗 を組 み合 わ せ た 回 路 網 に電 流 を流 した と き,各 回 路 に発 生 す る ジ ュ ー ル 熱 の和 は,そ の 回路 網 に 出入 す る電 流 が 回 路 網 全 体 の合 成 抵 抗 で 発 生 す る ジ ュ ー ル 熱 に等 しい.  一 定 出 力 の電 源 か ら回 路 網 に電 流 を供 給 す る場 合,回 路 網 の合 成 抵 抗 を電 源 の 内部 抵 抗 に等 しい よ う に と る と き,供 給 電 力 は最 大 に な る.こ れ を電 力 整 合 とい う.

12・4 

キル ヒホ ッフの法則

  導 線 回 路 網 で,任 意 の １つ の分 岐 点 に 出入 す る各 分 岐 路 の 電 流 を,分 岐 点 か ら 流 出 す る方 向 に正 を と る と, (12・17)

これ を キル ヒホ ッ フの 第 １法 則 とい う.   導 線 回路 網 中 に任 意 の 閉 路 を と る と,閉 路 中 の各 導 線 に流 れ る電 流 の 強 さ と, 導線 の抵 抗 の積 の 代 数 和 は,そ

の 閉路 中 に あ る起 電 力 の 代 数 和 に等 しい.

図12-4 

キル ヒホ ッ フの法 則

(12・18)

これ をキ ル ヒホ ッフ の 第 ２法 則 とい う.  第 ２法 則 は,回 路 網 中 に とっ た任 意 の閉 回路 に つ い て,起 電 力 の総 和 が 抵 抗 に よ る電 圧 降 下 の総 和 に 等 し い こ と をい っ て い る.   回 路 網 中 に 多 くの起 電 力 を含 ん で い る と きの 回路 電 流 分 布 は,各 起 電 力 が それ ぞ れ 単 独 に存 在 し て い る と きの 電 流 分 布 の 総 和 に な る.こ れ は,回 路 に お け る重 ね 合 わ せ の 原 理 で あ る.   また,回 路 網 の γ番 目の 枝 路 にVrの

起 電 力 が あ って,そ

ISの 電 流 寄 与 を し て い る とす る と,逆 に Ｓ番 目 の枝 路 にVrが

れ が Ｓ番 目の 枝 路 に あ る と き γ番 目 の

枝 路 にIsの 電 流 寄 与 を す る こ とに な る.こ れ を相 反 定 理 とい う.   回路 網 中 の 任 意 の ２点 間 に 他 の 負 荷 抵 抗 Ｒ を つ な い だ と き,こ れ に流 れ る電 流 Ｉ は,抵 抗 を つ な ぐ前 の ２点 間 の電 位 差V0に

等 し い起 電 力 を もち,回 路 網 中

のす べ て の起 電 力 を短 絡 した と きの ２点 間 の抵 抗 γ0を内 部 抵 抗 に もつ 電 源 に Ｒ をつ な い だ と きの 電 流 (12・19)

に な る.こ

れ を 鳳-テ ブ ナ ン の 定 理 と い う.

12・5  接 触 電 位 差   ２種 類 の異 な る導 体 を接 触 させ る と,そ の 境 界 面 で 電 位 が 不 連 続 に な る.こ れ は接触 す る と,境 界 面 に瞬 間 的 に電 荷 の 流 れ が 生 じ,一 方 を正,他

方 を負 とす る

電 気 的 二 重 層(双 極 子 モ ー メ ン トの 層)が 形 成 さ れ,一 定 の電 位 差 に な って,そ

の

後 の 電 荷 の 流 れ を止 め るか らで あ る.こ れ を接 触 電 位 差 とい う.   多 数 の 導 体 １,２,……,ｉ,ｊ,… …,ｎ が 直 列 に 接 続 さ れ て い る と き,ｉ,ｊ 問 の 接 触 電 位 差 を φijで 表 す と, φ12+φ23+…+φij+…+φ(n-1).n=φ1n

(12・20)

の 関係 が あ る.こ れ をボ ル タの 法 則 とい う.ま た,１ 個 １個 の電 位 を考 え た場 合 は, (12・21)

と書 け る.こ の接 触 電 位 差 は,温 度 が 一 定 な らば ほ ぼ一 定 で あ る.   ボ ル タの 法 則 は,２ 種 類 の金 属 ｉ,ｊ が 直 接 接 触 して い る場 合 に成 立 す る の で あ っ て,こ の 間 に電 解 質 溶 液 が 含 まれ る場 合 は成 立 しな い.こ の 場 合 に は,金 属 と 電 解 質 溶 液 と の 間 に 化 学 反 応 が 生 じ,化 学 的 エ ネ ル ギ ー が 電 気 的 エ ネ ル ギ ー に変 換 され て電 位 差 が生 じ,そ れ 以 上 の化 学 反 応 を阻 止 し て,定 常 状 態 が で き る.こ れ は電 池 の起 電 力 で あ る. ボ ル タ 電 池[Cu:H2SO4:Zn]で

は,

V=φ(Cu,H2SO4)+φ(H2SO4,Zn)+φ(Zn・Cu)

は 約1.1〔V〕 とな る.電 池 の起 電 力 は物 質 の組 み 合 わ せ で 決 ま り,取

(12・22)

り出 せ る 電

気 量 は化 学 反 応 に あ ず か る物 質 の量 で決 ま る.こ れ が フ ァ ラ デ ー の 法 則 で あ る.

12・6

熱 電効 果

  導 体 に温 度 不 均 一 が あ る と,荷 電粒 子 の拡 散 が 起 こ り,起 電 力 が 発 生 す る.こ の よ う に,熱

と電 気 の関 連 で 起 こ る効 果 を熱 電 効 果 とい う・

  ２種 の 異 な る 金 属,ま

た は 半 導 体 ａ,ｂで,図12-5(ａ)の

つ の 接 合 部 を そ れ ぞ れ 異 な る 温 度Th,Tc,〔

よ う な 回 路 を つ く り,２

Ｋ 〕に 保 つ と,こ

の 回 路 に 起 電 力Vab

〔V〕が 生 じ る ・ こ の 現 象 を ゼ ー ベ ッ ク 効 果 と い う. (12・23)

こ こ に,αabを

こ の 熱 電 対 の ゼ ー ベ ッ ク 係 数 と い い,単

位 は 〔V/K〕 に な る.

  図 の よ う な ２つ の 金 属 ａ,ｂ の 接 触 で 接 触 部 の 温 度 が 異 な る と き,ａ の ｂ に 対 す る ゼ ー ベ ッ ク 起 電 力Vabは,温 度 差 ⊿T=Th-Tc に 比 例 し た 形 で 発 生 す る.

ペ ル チ ェ効 果 は,２ つ の金 属 の接 触 点 で生 じ,そ の吸,発 熱量 は流 れ る電 流 に比 例 す る. 図12-5

熱 電効 果

  図(ａ)と同 じ回 路 を一 定 温 度 に保 ち,こ れ に図(ｂ)の よ う に電 流 を流 す と,接 合 部 に お い て ジ ュー ル熱 以 外 の熱 の 発 生,吸 収 が み られ る.こ の 現 象 をペ ル チ エ効 果 とい う.単 位 時 間 当 た りの 吸 収 熱 量,あ

るい は発 熱 量Q〔W〕

は,流 れ る電 流I

〔A〕に比 例 し, (12・24)

と な る.こ

の Ⅱabを ペ ル チ エ 係 数 と い う.単

位 は 〔 Ｖ 〕と な る.

  一 様 な 金 属,ま た は 半 導 体 の一 部 に温 度 差 ⊿Tが 存 在 す る と,流 れ る電 流 に よ っ て,そ の 部 分 に熱 の発 生,ま 収 量,あ

るい は発 熱 量Q〔W〕

た は 吸 収 が 生 じ る現 象 を トム ソ ン効 果 とい う.吸 は,温 度 差 ⊿Tと 流 れ る電 流 に比 例 し, (12・25)

Q=τI⊿T と な る.こ

の τ を トム ソ ン 係 数 と い い,単

位 は 〔V/K〕 で あ る.こ れ ら の 係 数 の 間

に は, Ⅱab=αabT

,

T(dαab/dT)=τa-τb

(12・26)

の ケ ル ビ ンの 関 係 式 が成 立 す る.

12・7 

電東 電 流

  真 空 中,あ

る い は誘 電 体 中 で 電 束 密 度 が 時 間 的 に変 化 す る場 合 は,こ れ も一 種

電 流 とみ なす こ とが で き,周 囲 に磁 場 を誘 起 す る.こ の章 の最 初 の電 流 の項 で 書 い た よ う に,こ れ を電 東 電 流 とい う. i=∂D/∂t

誘 電 体 の 場 合,D=εoE+Pを

(12・27)

考 慮 す る と, (12・28)

  この第 ２項 は,誘 電 体 中 で 分 極 電 荷 の微 小 距 離 の 変 位 の 時 間 的 割 合 を示 し て お り,こ れ を分 極 電 流 とい う.   第 １項 は真 空 中 の電 東 電 流 で あ っ て,電 荷 の 移 動 とい う も の は な い が,こ

の場

合 に も電 流 と同様 な磁 場 誘 起 が 起 こ る た め,電 磁 波 を考 え る場 合 に は大 切 な概 念 とな る.

演 習 問 題[12] 1.式(12・5)と

式(12・8)か ら考 え る と,υ ∝qEと

な り,qEは

電 荷 に働 く力 で あ り,電

荷 の 速 度 が 力 に比 例 し て い る こ と に な る.こ の こ と は,ニ ュ ー トン の 力 の 第 ２法 則 と 矛 盾 す る.こ れ を どの よ う に考 え た ら よ い か.

2.接

触 電 位 差 を計 る 方 法 は あ る か.ま た,我 々 は よ く導 線 を は ん だ付 け して 導 通 を よ

く して い る が,こ

3.熱

の よ う な場 合 に,接

触 電 位 差 を 問 題 に す る こ と は な い か.

電 効 果 の ゼ ー ベ ッ ク効 果,ペ ル チ ェ効 果,ト

ム ソ ン効 果 は,い ず れ も熱 と電 気 的

現 象 と の 間 の 関 係 で あ る.導 体 中 を流 れ る電 流 キ ャ リ ア が,導 体 中 ま た は接 触 部 に あ る温 度 の 不 均 一 部 分 で,ど み よ.

の よ う な エ ネ ル ギ ー 変 化(速 度 変 化)を す る の か を 考 え て

第13章   電 流 と磁 場

  荷 電 粒 子 の流 れ は,そ

の 周 囲 に 磁 場 を つ くる.こ

因 を す べ て 電 流 に よ る もの と考 え る.鉄

こ で は,磁 場 の 生 じ る原

な ど の 強 磁 性 体 を ソ レ ノ イ ド中 に お

くと,鉄

は 磁 化 し,強 力 な 電 磁 石 と な る.こ

の 現 象 も鉄 の 中 に 強 い 電 流 が 流

れ て,そ

れ に よ っ て磁 場 が 強 め られ る とす る.永 久 磁 石 の 場 合 で も,さ

考 え を 進 め る と,そ の 中 に 分 子 的 な 電 流 が 保 存 さ れ て,磁

らに

場 を形成 してい る

と し て し ま う の で あ る.

13・1 

ロ ー レ ン ツカ

電 気 量 ｑ を もっ た 荷 電 粒 子 が 電 場,磁 場 が あ る空 間 内 で,速 度 υで動 い て い る と き,こ れ に働 く電 磁 気 的 な力 は,次 F=q(E+υ

の よ う に表 され る.

×B)

(13・1)

  これ を ロー レ ン ツ カ とい う.第 １項 は電 場 Ｅ に よ る力 で,第 ２項 は磁 場 に よ る 力 で あ る.   この 式 で,ベ

ク トル 積 υ×Bは 電 場 Ｅ と同 じ次 元 を も つ が,Ｂ

を磁 場 を表 す

１つ の 量 と考 え,こ れ を磁 束 密 度 と呼 ぶ.磁 束 密度 Ｂ の磁 場 は,電 場 と同 じ よ う に ベ ク トル場 で あ る. 電 流 Ｉ の流 れ て い る導 線 を磁 束 密 度 Ｂ の磁 場 中 に置 く.電 流 は I=￨qNυ￨

(13・2)

とお け る.ｑ は １個 の荷 電 粒 子 の電 気 量,Ｎ

は そ の 導線 中 単 位 長 当 た り の数,qN

は 単 位 長 当 た りの 電 荷 密 度 で あ っ て,こ れ が υで 動 い て い るわ けで あ る.電 荷 ｑ は,Ｂ

に よっ て ロー レ ンツ カ を受 け,そ の 力 は 導 線 の ⊿S当 た り F=qN⊿s・(υ

×B)=I⊿s×B

(13・3)

  ｚの 正 方 向 を 向 く磁 束 密 度 Ｂ の磁 場 中 で-qの 荷 電 粒 子 が ｘ の 正 の 向 き に υの 速 度 で 動 く(電 流 は ｘ の 負 の 向 きに 流 れ る)と,-qの

荷 電 粒 子 は ｙの正 方 向 の力

を受 け る.  υ と Ｂ と Ｆ との 関係 は,右 ね じの 関 係 にあ る.  Ｉ(電流)の 向 き と Ｂ と Ｆ との関 係 は, フレ ミング左 手 の法 則 の 関係 に あ る. 図13-1ロ

と な る.⊿sは

⊿Sを

υ の 方 向,向

ー レ ン ツカ

き に ベ ク トル 化 し た も の で,I⊿sを

電流素片 と

い う.

この 式 か ら Ｂ の単 位 が 定 ま る.そ の 単 位 は, (13・4)

で あ る.Ｆ

13・2 

の 方 向 は ⊿sと Ｂ とで 作 られ る面 に垂 直 とな る.

ビ オ ・サ バ ー ル の 法 則

  磁 場 の生 じ る原 因 は,電 荷 の 流 れ,す て い る導 線 の 一 部dsを

なわ ち電 流 で あ る.電 流 の強 さ Ｉの 流 れ

と り,そ こ に電 流 素 片Idsを

置 ベ ク トル ｒの と こ ろ に で き るIdsに

考 え よ う.こ のIdsか

よ る磁 束 密 度dBは, (13・5)

の よ う に な る.こ

れ を ビ オ ・サ バ ー ル の 法 則 と い う.

ら位

図13−2  μ0=4π

で,こ

ビ オ ・サ バ ー ル の 法 則

×10-7〔N/A2〕

れ を 真 空 の 透 磁 率 と い う.〔N/A2〕

≡ 〔H/m〕 と な る.

  間 隔 ｄ の距 離 に あ る ２本 の 平 行 な 電 流 線 に ビオ ・サバ ー ル の 法 則 を適 用 す る・ I1に よ るI2の 場 所 で の 磁 束 密 度 は,式(13・5)か

と な り,こ

れ に よ っ て,I2の

ら

単 位 長 当 た り の 導 線 が 受 け る 力 は,式(13・3)に

よ り

(13・6)

と な る.こ

の 式 か ら μ0が 計 算 で き る.

電 流 Ｉの 流 れ て い る半 径 ａの 円形 電 流 に ビオ ・サ バ ー ル の法 則 を 適 用 す る.円 の 中心 軸 上,中

心 か ら ｄ の距 離 に あ る点 Ｐ の 中 心 軸 に沿 っ た 磁 束 密 度 Ｂ は,

(13・7)

  電 流 Ｉが 流 れ て い る無 限 に長 い 円 筒 形 コ イ ル の 中心 に で き る磁 束 密 度 は,こ の 結 果 を利 用 す る と, B=μ0nI

の よ う に求 め られ る.ｎ は コ イ ル の単 位 長 当 た りの巻 数 で あ る.

図13-3  円形 電 流,円 筒 形 コイ ル電 流 によ る磁 束 密度

(13・8)

13・3 

ガ ウス の法則

 磁 束 密 度 Ｂ は,電 場 に お け る Ｅ に相 当 す る も の で あ っ て,電 場 で 電 束 線 を考 えた よ う に,磁 束 線 を考 え る こ とが で き る.電 流 が あ る と,電 流 の まわ りに環 状 の磁 束 線 を もつ 磁 場 が 生 じ る.磁 束 線 は常 に 閉 じた 形 で 存 在 し,電 場 の 正 電 荷, 負 電荷 の よ うな 電 気 力 線 の わ き出 し源,吸

い込 み 源 とい う もの は存 在 しな い.

divB=0

(13・9)

磁 場 中 に 閉 曲 面 Ｓ を と る と, (13・10)

∫sBndS=0 とな る.BnはdS面

に 垂 直 な,そ

の 面 で の 磁 場 Ｂ の 成 分 で あ る.BndSを

面dS

を 通 る 磁 束 と い う.

 閉 曲 面 の上 の 微 小面 積dSを 通 る磁 束dΦ=BndSで,こ れ を 閉曲 面 全体 で積 分 した も の,す な わ ち閉 曲 面 に入 る磁 束 と出 て い く磁 束 とを合 計 した もの は, ∫sdΦ=0 図13-4ガ

ウス の法則

(13・11)

ま た,

(13・12)

で 表 さ れ る.

13・4磁

気 モー メ ン ト

  一 様 な磁 束 密 度 Ｂ の 磁 場 中 に断 面 積 Ｓ,巻 数 Ｎ の コイ ル を 置 き,コ イ ル に電 流 Ｉを流 す と,こ の コ イ ル は, (13・13)

の 偶 力 の モ ー メ ン トを 受 け る.ｎ 向 き に 右 ね じ を 回 し た と き,そ はBnで,S×Bnは,コ

は コ イ ル 断 面 に 垂 直 な 単 位 ベ ク トル で,電 の 進 む 方 向,向

き を も っ て い る.n×Bの

流 の 大 き さ

イ ル の 断 面 を 通 る磁 束 に な っ て い る.

電 流 Ｉ の 流 れ る矩 形abcdが 磁 束 密 度 Ｂ の 磁 場 よ り受 け る 力 は,bc,daの に 打 ち 消 し 合 い,ab,cdの 部 分 が,右 図 の よ う に,NlabBの 力 を受 け る.コ ク は, で あ る.

図13-5  コ イル に流れ る電 流 の磁 場 よ り受 け る力

部分 は互 い イ ル の トル

INSを

コ イ ル の 磁 気 モ ー メ ン ト と い う.ベ

ク トル 的 に 書 く と

m=INS・n

コ イ ル の 巻 数N=1で,Ｓ

(13・14)

が微 小 面 積 の場 合 は,

dm=IdS・n=IdS と な っ て,こ

(13・15)

れ を 素 回 路 の 磁 気 モ ー メ ン ト と い う.

点 Ｐ で の磁 束密 度 は, dB=√(dBγ)2+(dBθ)2 で あ る.

電 流 素 回路 の磁 気 モ ー メ ン トは, dm=IdS・n で,ｎ

は 図 で υ の 方 向,向

き を もつ 単 位 ベ ク トル

で あ る.

図13-6  電 流 素 回路 に よ る磁 場

電 流 素 回 路 に よ る磁 束 密 度 は,ビ オ ・サ バ ー ル の 法 則 か ら,

(13・16)

と な る.こ

の 前 の ほ う の 式 で θ=0,dm=IdS=Iπ(δa)2,γ

と な り,こ

れ は 式(13・7)でa→0に

と っ た 式 と一 致 す る.

→dと

置 き換 え る と,

磁  位 位

13・5磁

磁 場 は電 場 と同 じ よ うに ベ ク トル場 で,場 所 に よっ て 決 ま る磁 位 を 考 え る こ と が で き る.前 節 の 電 流 素 回 路 の磁 束 密 度 の式 か ら, (13・17)

とす る よ う な磁 位 Ｖ を と る こ とが で き る.B/μ0=Hと

い うベ ク トル は,後 で述

べ る よ う に,磁 場 の 強 さ を 表 して お り,静 電 気 の と こ ろで 述 べ た 電 束 密 度 Ｄ に 相 当 した ベ ク トル で あ る.し た が っ て,ε0に 相 当 した係 数 が1/μ0に な っ て い る. 微 小 距 離dSだ

け離 れ た ２点 間 の 磁 位(差)は,そ

こで の磁 場 の 強 さが Ｈ の と き,

両 者 の ス カ ラー 積 Ｈ ・dsで 表 す こ とが で き,一 般 に ２点PQ間

の磁 位(差)は, (13・18)

で 表 現 で き る.

図13-7磁

位,ア

ンペ ア の法則

 電 流 素 回 路IdSに

よ る任 意 の Ｐ 点 に お け る磁 位 は, dSを

Ｐ点 か らみた立 体

角 をdω とす る と,

とな る.こ の磁 位 は,点

Ｐ か ら み て Ｉが 反 時 計 ま わ り を正 とす る.こ の 式 か らわ

か る よ う に,磁 位 の単 位 は 〔 Ａ〕で あ る.   真 空 中 に お け る電 流 Ｉ と磁 束 密 度 Ｂ と の関 係 を表 す 式 の １つ に ア ン ペ ア の 法 則 が あ る.こ の法 則 は,積 分 形 で (13・19)

と書 け る.〓

は電 流 を取 り囲 む 線 積 分 を 表 し て お り,BSは

磁 束 密 度 の 成 分 で あ る.ま た,ΣIjは,積

積 分 路 方 向 に とつ た

分 回 路 中 に存 在 す る電 流 の総 和 で あ る.

ア ンペ アの 法 則 を Ｈ で 表 した 形 に つ い て は,次 節 で述 べ る.

13・6磁

 化

  ソ レ ノイ ドに電 流 を流 し て電 磁 石 を作 る場 合,中

に鉄 心 を入 れ る と,強 い 電磁

石 に な る.こ の に とは,鉄 心 の表 面 に ソ レノ イ ド と同 じ向 きの 電 流 が 発 生 して い る と考 えれ ば よ い.こ の 電 流 を磁 化 電 流 とい い,鉄   中 に入 れ る物 質 に よっ て は,ソ あ り,こ れ を反 磁 性 体,増

は磁 化 す る とい う.

レ ノ イ ドの つ くる磁 場 を逆 に 減 少 さ せ る もの も

加 させ る物 質 を 常磁 性体 とい う.鉄 や ニ ッケ ル は,常

磁 性 体 の 中 で も,非 常 に 強 く増 加 させ る性 質 が あ って,こ ま た,あ

れ を強 磁 性 体 と い う.

る種 の鉄 な どは ソ レ ノ イ ドの 電 流 を切 っ た 後 で 磁 石 とな っ て し ま う.こ

れ を 自発 磁 化 と呼 ん で い る.   磁 性 体 中 に微 小 体 積 を 考 え る と,そ こで は体 積 に比 例 した磁 気 モ ー メ ン トを も っ た状 態 に な って い る.す な わ ち,そ の 微 小 体 積 を と りま い て,電 流 が 存 在 す る の と同様 で あ る.物 質 を構 成 す る分 子,原

子 を 考 え る と,こ れ が微 小 磁 石 とな っ

て い て,そ れ が,外 部 磁 場 の も とで 方 向 を そ ろえ て,マ と考 え られ る.に れ を分 子 磁 気 モ ー メ ン トとい う.

ク ロ的 な微 小 磁 石 とな る

ソ レ ノ イ ド中 に 強 磁{生 体 を 入 れ る と, 強 い 磁化 が 起 こ る。

dvの まわ り を 図 の よ うに 電 流 が 流 れ て い る とす る と,dvに は こ の 電 流 に よ る 磁 気 モ ー メ ン ト を生 じ,こ れ が 微 小 磁 石 と な る。

図13-8磁

微 小 体 積dυ 中 に あ る分 子 磁 気 モ ー メ ン トの ベ ク トル 和 Σmiをdυ

化

で割 った

もの

をそ の場 所 の 磁 化 また は磁 化 ベ ク トル とい う. 磁 性 体 内 で の磁 場 を次 の よ うに考 え る.磁 性 体 を貫 く閉 曲線 ｓと,そ の ま わ り の細 い管 を想 像 し,点 Ｐ にお け る磁 化 Ｍ を分 子 電 流I'に

よ る もの と して 考 え る

と,ｓ に つ い て の ア ン ペ ア の 法 則 は,

で,点

Ｐ で の 磁 気 モ ー メ ン トは,式(13・15)に

よ り,

(単位 体 積 当 た りの 磁 気 モ ー メ ン ト) Ｍ が 点 Ｐ で の磁 化 を表 す に と に な る. ∴  dl'=Mdh=Mdscosθ =MSds

(13・21)

と な る か ら, (13・22)

こ こ で,磁 場 の 強 さ Ｈ を,次 の 式 か ら定 義 す る. B-μ0M=μ0H

(13・23)

 磁 性 体 中 で の磁 束 密 度Ｂ は,そ の点での磁化 を Ｍ とす る と,  B=μ0(M＋H) で,Ｈ は 磁 場 の 強 さ で あ る. 図13-9磁

場 の 強 さ

す る と,式(13・22)は, (13・24)

と な る.Ｈ

の 単 位 は,こ

の 式 か ら 〔A/m〕 で あ る の で, Ｍ の 単 位 も 同 じ く 〔A/m〕

と な る.式(13・19)の

ア ンペ ア の 法 則 と比 較 す る と, (13・25)

の 関 係 が あ る.

13・7磁

性 体

等 方 磁 性 体 で は,

で,Ｍ

と Ｈ とは 同 次 元 量 で あ る. (13・26)

こ の χmを 磁 化 率 と い う.式(13・23)に,こ

の 関 係 を入 れ る と, (13・27)

この μγを磁 性 体 の 比 透 磁 率 と い う. 磁 性 体 内 の磁 場 を知 る に は,次 の ３つ の 式 を使 え ば よ い.

 円 形 断 面 の鉄 心 に単 位 長 さ 当 た り ｎ回 の コ イ ル を巻 い た と きの 中 心 磁 束 密 度 は,式(ａ)を 使 う と,

式(ｂ)を 使 っ て, (13・28)

  ソ レ ノ イ ド中 に 断 面 積 Ｓ,長 I'と し て,式(13・21)か

さ ｌの 鉄 心 を 置 い た と き の Ｂ,  Ｈ は,分

子電 流 を

ら, (13・29)

図13-10 

電磁石

式(ｃ)の 式 を 使 っ て,

(13.30)

B=μ0(nl十M) こ こ で,式(13・26)と

式(ｂ)を

使 う と,

(13・31)

13・8磁

 荷

  永 久 磁 石 で は,そ の磁 極 に ±qmの 磁 荷 を考 え る こ とが で き る.磁 荷qmを

磁束

密 度 Ｂ の磁 場 中 に置 い た と き,こ の磁 荷 に働 く磁 気 的 な 力 は,電 場 の場 合 と同 じ よ う に考 え て, (13・32)

棒磁 石 と ソ レノイ ド磁 気 モー メ ン トを対比 させ る. 図13-11 

磁荷

  この 磁 石 の長 さ をl,断 面 積 を Ｓ とし,磁 化 を Ｍ とす る と,磁 石 の磁 気 モ ー メ ン トは,

(13・33)

と な り,磁

束 密 度 Ｂ の 中 で の 偶 力 の モ ー メ ン ト(ト ル ク)は, (13・34)

磁 化 Ｍ は,表 面磁 荷 密 度 と考 え て よい.

こ の 磁 荷 の 考 え を 式(13・14)の

ソ レ ノ イ ドの 磁 気 モ ー メ ン ト と 対 比 さ せ る と,

(13・35)

ｎ は,単

位 長 さ 当 た り の 巻 数 で あ る.

磁 荷 に よ る ク ー ロ ン の 法 則 は,

(13・36)

γ は,qmとqm'の

  E-H対 qmlHと

距 離 で あ る.

応 で は,L=M(lS)BでB=μ0Hと し てqmを

す る と, ￨  L｜=｜ μ0MlSH 

｜=

考 え る. (13・37)

こ のqmを

磁 荷 と し て 考 え る と,ク

ー ロ ン の 法 則 は,

(13・38)

と な り, (13・39) と な る.

13・9ベ

ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル

div(rot  A)≡0で トル 場A(γ)の

あ る か ら, div B=0の

性 質 を も っ た磁 束 密 度 Ｂ を別 の ベ ク

回 転 で 表 現 す る こ とが で き,次

の よ う に な る. (13・40)

Ａ を Ｂ の ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル と い う. 磁 束 φ のgradΦ

を 考 え る と, rot gradφ

≡0で

あ る か ら, (13・41)

も式(13・40)を

み た す.し

た が っ て,Ｂ

が 与 え られ て も一 義 的 に Ａ を 求 め る こ と

に は な ら な い.   ビ オ ・サ バ ー ル の 法 則 は,こ

の ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル を 使 う と,

が,

(13・42)

の よ う に 書 け る.rotγ

は,位

置 γ で の 演 算 を 示 す.し

た が っ て,電

流 Ｉの つ く る

磁 場 の ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル は, (13・43)

で あ る.

13・10磁

気 回路

閉路 磁 束 管 で 磁 気 回 路 を考 え る こ とが で き る.磁 束 は ち ょ う ど電 流 の強 さ に相 当 す る.

図13-12磁

気 回路

図13-12で,２

点 Ｐ,Ｑ 間 の 磁 位 の 差 (13・44)

を Ｐ,Ｑ 間 の起 磁 力 と い う.磁 束 密 度 を Ｂ,磁 束 管 の 断 面 積 を Ｓ とす る と,磁 束 は Ф=BS

(13・45)

で,

(13・46)

(13・47)

lは,Ｐ,  Ｑ 間 の 軸 に に沿 っ て の 長 さ で, Rmを 式(13・28)を

式(13・46)に

リ ラ ク タ ン ス と い う.

代 入 す る と, (13・48)

Ｎ はPQ間

の巻 数, Ｉ は コ イ ル を 流 れ て い る一 定 電 流 で あ る.

演 習 問 題 ［13］ １.式(13・7),式(13・8)を

２.強

磁 性 体 の種 類 に は,ど

ビ オ ・サ バ ー ル

の 法 則 か ら 導 い て み よ.

ん な も の が あ る の か 調 べ よ.ま

は,磁 化 が 長 い 間 残 る も の を い うが,そ

た,永

久 磁 石 とい う もの

の 機 構 は どの よ う な もの で あ ろ う か.ま

た,

永 久 磁 石 の 種 類 に つ い て も調 べ よ.

３.磁

荷 と い う も の は 存 在 す る か.ガ

ウ ス の 法 則 で はdiv B=0で

ρmと い う もの が 存 在 す れ ば,div  B=ρm/μ

あ る が,単

極磁荷

の 形 に な ろ う.こ の 場 合 に は,ど

のよう

  な 現 象 が 起 こ る か を 考 え て み よ.

４.円

環 状 の 鉄 心 を もつ 電 磁 石 が あ る.環 の 平 均 半 径 α〔m〕,環 の 断 面 積b〔m2〕,磁

極

間 隔c〔m〕 で あ る.環

に巻 い た コ イ ル の 全 巻 数 Ｎ 回,コ

イ ル に 流 れ る電 流 をI〔A〕,

環 の 比 透 磁 率 を μγと す る と,間 隙 の 磁 束 密 度 は い く らか.

図13-13

電磁 誘導 と交 流

第14章

  前 章 で は,磁

場 の 原 因 を電 流 に よ る も の と し た が,磁

場 中 で針金 の ような

導 線 が 動 く と,磁 場 に よ り針 金 中 の 荷 電 粒 子 が 力 を 受 け,針 じ,回 路 が 閉 じ られ て い る場 合 に は電 流 が 生 じ る.こ 電 磁 誘 導 の 発 見 は,我

金 に起 電 力 を生

れ が 電 磁 誘 導 で あ る.

々 に多 くの 電 気 エ ネ ル ギ ー を与 え て くれ る発 電 機 の 発

明 に つ な が り,現 代 の 電 気 文 明 の基 礎 と な っ た.

14・1磁

場 に よ る起 電 力

  電 荷 ｑ の荷 電 粒 子 が磁 束 密 度 Ｂ の磁 場 中 を速 度 υで 動 く と,こ の 荷 電 粒 子 は 磁 場 か ら, (14・1)

の力 を受 け る こ と は前 に述 べ た.す な わ ち,ロ ー レ ン ツカ で あ る.   始 め に,一 定 の 磁 束 密 度 Ｂ の磁 場 中 で 金 属 針 金 を動 か す 場 合 を考 え よ う.金 属 針 金 中 に は 多 くの 自由 に動 け る荷 電粒 子 が 存 在 し,針 金 が磁 場 中 で υの 速 度 で 動 く と,ロ ー レ ン ツカ Ｆ が 働 き,針 金 中 に荷 電 粒 子 の 流 れ が生 じ る.   運 動 は相 対 的 な もの で あ る か ら,針 金 の上 に座 標 原 点 が あ る場 合 に は,針 金 自 体 の運 動 は ０で あ っ て,動

い た とい う こ とに は な らな い.こ の と きで も針 金 に は

荷 電 粒 子 を 動 か す電 場 が 生 じて い る こ と に な り,そ の 電 場 は, (14・2)

で 表 せ る.Eiを

誘 導 電 場 とい う.起 電 力 は針 金 の 長 さ をlと

し て, (14・3)

υ×dlは,単

位 時 間 にdlが

磁 場 を 掃 く面 積 に な る.こ

れ を

  ｚの 正 方 向 を 向 く磁 場 中 で,ｘ 方 向 に 針 金 が あ り,こ の針 金 が ｙの正 方 向 に υ の速 度 で動 く と,針 金 のdl当      υ・B・dl

たり

の起 電 力 が ｘの 正 方 向 にで き る.こ の関 係 は,フ レ ミ ングの 右 手 の法 則 で あ る. (ａ)

図14-1 

(ａ)磁 場 に よ る 起 電 力

(14・4)

で 表 す と, (14・5)

こ こ で,

Φ=∫fιB・dS

(14・6)

は,単 位 時 間 に針 金 が 切 る磁 束 で あ る.  閉 回 路 導 線 が 磁 場 中 を動 く場 合 に は,閉

回路 を横 切 る磁 束 数 Φ が 変 化 した と

き,閉 回路 に生 ず る起 電 力 は, (14・7)

とな る.閉 回 路 で の起 電 力 の 向 きは,右 ね じ を ま わ して,ね じ の進 む 向 き を Ｂ の 向 き と し た と き,右 ね じの 回 る 向 き を正 と約 束 す る.誘 導 起 電 力 は回 路 を 貫 く磁 束 の減 少 す る速 さ に等 しい.起 電 力 に よ っ て 閉 回路 に流 れ る誘 導 電 流 は,閉 回 路 の 中 に磁 場 を作 る が,こ の 電 流 に よ って 生 じる磁 束 は外 部 磁 束 の 変 化 を妨 げ る よ うに生 じ る(レ ン ツの 法 則).

  閉 回路 ｃが磁 場 中 を動 い て回 路 中 を通 る磁 束 数 が変 化 した と き,回 路 に は起 電力 が 生 じ る.で きる起 電 力 の 向 きは,こ の起 電 力 に よ って 回路 を流 れ る電 流 が 回路 を貫 く磁 束 変 化 を少 くさせ る方 向 に生 じる. (ｂ)

図14-1(b)磁

場 に よる起 電 力

  式(14・7)の 関 係 は,導 線 や 閉 回路 が 静 止 し,磁 場 源 が動 く場 合 で も同 じ に な る. す る と,左 辺 に ス トー ク スの 定 理 を使 い,面 積 分 に して, (14・8)

こ の式 は,任 意 の 曲面 Ｓ に つ い て 成 立 し, (14・9)

  これ か ら,導 線 の 有 無 に か か わ らず,Ｂ が 生 じ て い る に とが わ か る.さ ら に,Ｂ

の 時 間 的 変 化 の あ る場 所 で,誘 導 電 場 の変 動 は,空 間 的,時 間 的 ど ち らで も よ

い と考 えれ ば,ｒ を位 置 ベ ク トル, ｔを時 間 と し て,

(14・10)

Ｂ を ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ルrot Aで

置 き 換 え る と,

とな り,誘 導 電 場 を (14・11)

と表 せ る 。 一 般 的 に,空

間 的 な 静 電 場E0=-gradφ(φ:静

電 ポ テ ン シ ャ ル)と 合

わ せ た 形 で は, (14・12)

14・2相

互 誘 導 と 自己 誘 導

電 流 に よ る磁 場 や 電 磁 誘 導 が 生 ず る 回 路 で は,コ イ ル を回 路 素 子 と して 取 り扱 う.   コイ ル の巻 数 が Ｎ で,１ 個 の ル ー プ で 貫 く磁 束 を φ とす る と,コ イ ル を貫 く全 磁 束 は Ф=Nφ

で あ っ て, (14・13)

の 右 辺 の面 積 分 は,１ 個 ル ー プ の囲 む面 積 の Ｎ 倍 に な って い る.

  コ イ ル １を 流 れ る 電 流I1に

よっ て コ

イ ル ２ を 貫 く磁 束 は L21Iと

な り,こ

の

磁 束 が で きた 時 間 dtの

間 に は,コ

イ

ル ２ には-LdL/dtの 起 電 力 が 生 じ る.

図14-2  相 互 誘 導

  コイ ル が ２個 あ っ て,コ イ ル １に 流 れ て い る電 流 Ｉに よ っ て コイ ル ２の場 所 に で き る磁 場 の磁 束 密 度 を (14・14)

と す る と,コ

イ ル ２ を 貫 く磁 束 は, (14・15)

こ れ に,式(13・42)の

の式 を μ0を μ と し て 代 入 す る と, (14・16)

  μ は コ イ ル 内 部 の 透 磁 率 を 表 す.L21は で,相

コ イ ル １,２の 空 間 的 な 配 置 で 定 ま る 量

互 イ ン ダ ク タ ン ス と い う.式(14・16)は,電

流I1,I2に

対 称 で,

L21=L12   式(14・16)は,コ 意 味 し て い る が,コ

(14・17)

イ ル １に 流 れ て い る 電 流 に よ っ て で き る コ イ ル ２ 内 の 磁 束 を イ ル １自 身 を 考 え て,

Ф11=L11I1

と し た と き,L11を

(14・18)

自 己 イ ン ダ ク タ ン ス と い う.

イ ン ダ ク タ ン ス Ｌ の 単 位 は,

〔 Ｈ 〕を ヘ ン リ ー と い う.

14・3  交   流   磁 場 中 で コイ ル を 回転 させ る か あ る い は 回転 磁 場 中 に コ イ ル を置 くと,電 磁 誘 導 に よ っ て,コ イ ル に起 電 力 を生 じ る.こ れ を発 電機 と して用 い る.   磁 場 の磁 束 密度 Ｂ,コ イ ル の 面 積 Ｓ,巻 数 Ｎ,回 転 角 速 度 ω とす る と,コ イ ル を貫 く磁 束 は, Ф=NBS 

sinωt

(14・19)

で,電 磁 誘 導 に よ る起 電 力 は, (14・20) こ こ に,

V0=NBSω

  こ の正 弦 波 の 交 流 電 圧 を も った 起 電 力 に よ り負荷 に 電 流 を流 した と き,や は り 正 弦 波 の 交 流 電 力 とな る.ω

を角 周 波 数,ω=2πfの

ｆ を周 波 数 とい う.

コ イ ル を 貫 く磁 束 は,Ф=NBSsinωtで

あ り,コ

イ ル に 生 じ る 起 電 力 はV=-dФ/dtで

あ

る.

図14-3交

  交 流 電 源 に 対 し て,コ

イ ル(L),コ

流 発電 機

ン デ ン サ(Ｃ),抵

抗(Ｒ)は,回

路 素 子 と して

重 要 で あ る. Ｌ,Ｃ, Ｒ の 直 列 回 路 に 交 流 起 電 力 Ｖ=V0  cos ωtを 加 え た 回 路 を 考 え よ う.

  コ イ ル(Ｌ),コ ン デ ン サ(Ｃ),抵 抗(Ｒ) は 回 路 素 子 の 代 表 的 な も の で あ る.図 は, Ｌ, Ｃ, Ｒ の 直 列 回 路 に 交 流 起 電 力V=V0 cosωtが

図14-4交

加 わ っ た 状 態 を 示 し て い る.

流回路

コ イ ル の 両 端 に 生 ず る起 電 力 は,自 己 イ ン ダ ク タ ン ス Ｌ に 対 し てLdI/ dtで,コ ン デ ン サ の 両 端 の 電 圧 はQ/c,抵 計 がV0 cos ωtと な っ て,キ

抗 Ｒ の 両 端 の 電 圧 はIRで

ル ヒ ホ ッ フ の 法 則 は,次

あ り,こ

の よ う に な る.

の ３者 の 合

(14・21)

こ こ で,

I=dQ/dtで

あ る か ら, (14・22)

あ る い は, (14・23)

  この ２階 線 型 非 同 次 微 分 方 程 式 は,力 学 に お け る強 制 振 動 の 方 程 式 と形 式 的 に は 同 じで,十 分 時 間 が た っ た 後 で は,式(14・23)の 電 流 Ｉ は,こ の方 程 式 の特 別 解 で表 され,次 の よ う に な る. I=I0  cos(ωt-δ)

(14・24)

こ こ で,

(14・25)

で,δ

を位 相 の 遅 れ と い う.ま

た,I0の

分母

(14・26)

を イ ン ピー ダ ンス とい い,ωL=1/ωCを

満 足 す る ω で 最 小 値 Ｒ を と る.

  交 流 は周 期 的 に変 化 す る量 で あ るの で,そ

の平 均 値 とし て は,２ 乗 し た量 の時

間平 均 根 を使 う.

(14・27)

を そ れ ぞ れ 電 圧 と電 流 の 実 効 値 とい う.T=2π/ω は交 流 の周 期 で あ る. V0,I0は 電 圧,電

流 の 最 高 値 で,こ

る.   消 費 さ れ る 電 力 Ｐ は,

れ を 波 高 値 と 呼 ぶ.ま

た,Ｉ, Ｖ を 瞬 時 値 と い う こ とが あ

P=IV

の平均値 =l0 

V0 cos ωt 

の平均値

cos(ωt-δ)

(14・28)

と な る.   式(14・20)の

電 圧 に 対 し て,式(14・24)の

電 力 の 値 に 対 し てCOSδ ン ス の 形 に よ り,δ

の 形 で き い て き て い る.電

は 決 ま る が,

き 流 れ る 電 流 を無 効 電 流 と い う.COSδ 25)でR=0の

14・4 14・

4

電 流 は δ だ け 遅 れ て お り,そ

の遅 れ が

流 が 流 れ る回路 の イ ン ピ ー ダ

の と き は 消 費 電 力 Ｐ は ０ に な る.こ を 力 率 と い う.

の と

に な る の は,式(14・

場 合 で あ る.

磁 場 のエ ネル ギ ー

前 節 の 式(14・21)に

電流

を 掛 け て み る と,

(14・29)

Ｐ は消 費

電力の 瞬

時値で あ る.こ の 中 で,2/1LI2は

コ イル に蓄え られ て い る磁

場 の エ ネ ル ギ ー で ，1/2・Q2/Cは コ ン デ ン サ に 蓄 え ら れ て い る電 場 の エ ネ ル ギ ー を 表 し て い る.

電 場 の 単 位 体 積 の もつ エ ネル ギ ー を,式(11・46)で

の よ う に表 したが,同

じ よ う に,磁 場 の単 位 体 積 が もつ エ ネ ル ギ ー を (14・30)

で表 す ． イ ン ダ ク タ ンス Ｌ の コ イ ル に蓄 え られ て い る磁 場 エ ネ ル ギ ー は, (14・31)

で あ る.

14・5  交 流 のベ ク トル表 示 と複 素 数表 示  交 流 で は,電 流,電 圧 を表 す の に,そ の 最 大 値(波 高 値)以 外 に位 相 を指 定 しな けれ ば な ら な い.ベ

ク トル表 示 や 複 素 数 表 示 は,こ

の点 で 便 利 で あ る.

電 流 を例 に と る と,大 き さが 最 大 値 に等 し く,ｘ 軸 か らの偏 角 が 時 刻t=0の

と

き の位 相 角 に等 しい ベ ク トル で表 す. (14・32)

とす る と,I1+I2は

２ つ の ベ ク トル の 和 で 表 さ れ る.ま

トル が ω の 角 速 度 で 回 る と き,ｘ

た,瞬

時 値 は これ らの ベ ク

軸 へ の 正 斜 影 で 表 せ る.

を加 え る と,

と な る.

図14-5 

交 流 の ベ ク トル 表 示

  交 流 を複 素 数 で 表 す に は,複 素 数 の絶 対 値 が 交 流 の 最 大 値 に等 し く,実 軸 か ら の偏 角 を時 刻t=0の 瞬 時 値I=Im 

と きの位 相 角 に 等 し く とる.

cos(ωt+α)がI=ｘ+jyで

表 さ れ る と き は(ｊ は 虚 数 単 位),

す なわち

で,瞬

(14・33)

時 値 はIejωwの

実 数 部 で 表 せ る.

(14・34)

複 素 交 流 電 圧 を Ｖ,電 流 を Ｉ とす る と,複 素 イ ン ピー ダ ン ス は, (14・35)

(14・36)

Ｒ を 交 流 抵 抗,Ｘ

を リア ク タ ン ス と い う.ま

た, (14・37)

と し た と き,Ｙ

を ア ド ミ タ ン ス, Ｇ を コ ン ダ ク タ ン ス, Ｂ を サ セ プ タ ン ス と い う.

オ ー ミ ッ クな 抵 抗 で は イ ンダクタ ンスでは

(14・38)

コ ンデ ン サ で は

に な る.

  回路 網 に つ い て は,電 圧,電

流 を複 素 数 で 考 え た とき で もキ ル ヒホ ッ フ の 法 則

が 成 立 す る.イ ン ピー ダ ン ス の合 成 は,

(14・39)

で あ る.

14・6 14・

6

共

振

  イ ン ダ ク タ ン ス Ｌ,コ

ン デ ン サ Ｃ,抵 抗 Ｒ の 直 列 回 路 を 考 え る.イ

ン ピー ダ ン

ス は, (14・40) こ こ で,

(14・41)

を 代 入 す る と,

(14・42)

と な り,リ

ア ク タ ン ス Ｘ は ω<ω0で

と な り,イ

ン ピ ー ダ ン ス Ｚ は ω=ω0で

な る.ω0=2πf0と

負,ω>ω0で

正で

最 小 と な り,回

路 に 流 れ る 電 流 は最 大 と

し て,

(14・43)

を 共 振 周 波 数 と い う.ま

(ａ)LCR直

た,ω0=2π/Tと

し て み る と,

列 回路

(ｂ)LCR並

図14-6 

LCRの

共振 回 路

列 回路

(14・44)

は,そ

の と き の 周 期 で あ る.

次 に,L,  C, Rの

並 列 回 路 を 考 え よ う ． ア ド ミ タ ン ス Ｙ は,

(14・45)

で,こ

の関 係 を入 れ る と,

の 式 に ω0=1/√LC

(14・46)

(14・47)

  こ の 場 合 に は,ω=ω0で とな る.こ

Ｚ は 最 大 値Zmax=Rと

れ も共 振 で あ る.ま

な り, Ｒ に 生 じ る 電 圧 も 最 大

た,

(14・48)

を満 足 す る角 周 波 数 で,

(14・49)

と な る.式(14・48)を

満 足 す る ２つ の 角 周 波 数 ω1と ω２の 差 を 共 振 の 幅 と い う.

共 振 の 鋭 さ を 表 す 値 と し て Ｑ 値(Q-value)が

あ る が,定

義 は, (14・50)

で あ る.こ

のL,C,R並

列 の 場 合 の Ｑ 値 を 計 算 す る と, R・

√C/Lと な る.

  並 列 共 振 回 路 に 一 定 電 流 を 流 す と,

(14・51)

の 形 に な り,ω=ω0で が,ω>ω0で

逆 起 電 力 は 最 大 と な り,こ

は Ｖ の 位 相 は 進 み,ω<ω0で

の と き Ｖ と Ｉの位 相 は等 し い

は Ｖ の 位 相 は 遅 れ る.

図14-7  交 流 回路 にお け る共振

演 習 問 題[14] 1.  フ レ ミ ン グ 左 手 の 法 則,右 手 の法 則 を 復 習 し,そ れ とロ ー レ ン ツ 力 との 関 係 を考 え   て み よ.

2.回

路 素 子 と し て,Ｌ,  Ｃ,  Ｒ の ほ か に 何 が あ る か.

3.電

力 を Ｌ や Ｃ に 蓄 え る と き の 理 想 効 率 を考 え て み よ.

電

第15章

磁

波

  定 常 電 流 の ま わ り に生 じ て い る磁 場 は一 定 で あ るが,電

流 が時 間的 に変動

す る 場 合 に は,そ れ と 同 じ周 期 で まわ りの 磁 場 も変 動 す る で あ ろ う.時 間 的 な磁 場 の 変 動 は,同

じ空 間 に電 場 の 変 動 を もた ら し,そ

導 線 中 に 起 電 力 を生 じ さ せ る.空

こ に導 線 が あ れ ば,

間 的 な電 場 と磁 場 の振 動 は,振 動 電 流 を 中

心 と し て 広 が っ て い く.に れ が 電 磁 波 で あ る.電 磁 波 の 発 生 は,最 初,火

花

放 電 で 確 か め られ た.十 分 高 い 電 圧 を与 え られ た ２個 の 電 極 を 近 づ け る と空 気 中 で 火 花 放 電 が 起 こ る.電 極 間 の 空 気 が 絶 縁 破 壊 を起 こ し て,電 る現 象 で あ る.一 度 生 じた 電 流 は,自 も止 ま らず,遂

己誘 導 の た め,両

極 が等 電圧 になっ て

に は 逆 電 圧 とな り,電 流 の 向 き は逆 転 し,こ

れ る と,電 流 は 両 極 間 で振 動 的 に な る.こ

流 が流れ

の振 動 電 流 は,電

れ が 操 り返 え さ 磁 波 の発 生 源 と

な り得 る の で あ る.   マ ク ス ウ ェル は,電 磁 波 の基 本 式 と して ４個 の 式 を 考 え た が,そ 場 の 生 ず る 電 流 源 と し て,伝 れ で,こ

15・1

の 中で磁

導 電 流 以 外 に 変 位 電 流 の 考 え 方 を 導 入 し た.そ

の 章 は 変 位 電 流 の 説 明 か ら入 っ て い く こ と に す る.

変位電流

  閉 曲 面 Ｓ で 囲 まれ た 任 意 の 領 域 を 考 え,そ の 領 域 か ら流 れ る電 流 密 度 をi(r, t)で 表 す と, (15・1)

が 成 立 す る.ρ(r,t)は,こ を通 して,こ

の 領 域 内 の電 荷 密 度 で あ る.単 位 時 間 当 た り,表 面 Ｓ

の領 域 か ら流 れ で る電 気 量 は,こ の 領 域 に お け る電 気 量 の減 少 に 等

しい こ と を表 して い る.こ れ を電 荷 保 存 の法 則 とい う.左 辺 を発 散 の 体 積 積 分 に

直 す と,

この 式 は,任 意 の 領 域 に成 立 す る か ら, (15・2)

これ を電 荷 に お け る連 続 の 方 程 式 とい う(12・9節 参 照). 定 常 電 流 に よっ て で き る磁 場 につ い て は,ア ンペ ア の 法 則 が 成 立 す る.

この微 分 表 示 は, rot H=i

(15・3)

で あ るが,時 間 的 に 変 化 す る電 磁 場 で は,こ

の式 は電 荷 保 存 則 と合 わ な い.な ぜ

な らば, div  i=div

rot H=0

に な っ て し ま う か ら で あ る.

  マ ク ス ウ ェル は,式(15・3)の

電 流 に 定 常 電 流 密 度 以 外 の 変 位 電 流 密 度ipを

入 した. itot=i+iD

(15・4)

と し, (15・5)

と す る と,

で(式(11・11)参

照),

(15・6)

の よ うに変 位 電 流 密 度 を定 め る.こ れ に対 して,ｉ を伝 導 電 流 密 度 とい う.  変 位 電 流 は荷 電 粒 子 の 運 動 を伴 わ な い.誘 電体 で は,

導

(15・7)

で分 醜

流 ∂P/∂tを 含 ん で い る.ま た,荷 電 粒 子 の運動 が な い の で伝 導 電 流 の よ う

に ジ ュー ル熱 は発 生 し な い.全 電 流 は,式(15・5)を 電 磁 場 が 時 間 的 に変 化 す る場 合,変

満 足 し,閉 電 流 とな っ て い る.

位 電 流 と伝 導 電 流 と の比 は,

(15・8)

で,ω は周 期 的 電場 の 振 動 数 を意 味 し,ω が小 さ な低 周 波 交 流 で は変 位 電 流iDを 無 視 して よ い.こ の こ とか ら,

とな る物 質 を,そ れ ぞ れ 導 体,絶 縁 体 と考 え る こ とが で き る.σ →∞ の 物 質 を理 想 導 体 とい う.

15・2

マ ク ス ウ ェル の 方 程 式

2

マ ク ス ウ ェ ル は,伝 と,ア

導 電 流 と 同 じ く,変

位 電 流 も ま た 磁 場 を 作 る と 考 え た.す

る

ン ペ ア の 法 則 は,

微 分 形 は,

}

(15・9)

電磁 誘 導 の 式 は,

微 分形 は,   式(15・9)と

式(15・10)を

在 し て い な い.こ る.電

れ は,真

} 対 比 さ せ る と,式(15・10)で

(15・10)

は 電 流 に 相 当 す る磁 流 は 存

電 荷 に対 応 す る 真 磁 荷 な る も の が 存 在 し な い か ら で あ

束 密 度 の 湧 き 出 し は 真 電 荷 で あ る と い う ガ ウ ス の 式 は,

}

∫sD・dS=∫vρdυ 微 分 形 は,

div  D=ρ

(15・11)

また,磁 束 密度 に は 湧 き出 しが な い の で,

∫B・dS=0 微 分 形 は,   式(15・9)∼

式(15・12)が

と呼 ば れ る.こ 変 え な い.し

電 磁 気 学 の 基 礎 的 な 方 程 式 で,マ

れ ら の 式 は,一

般 的 な 方 程 式 で,慣

か し,こ れ ら の 式 を 構 成 す るE,D,B, 

換 を 受 け る.１

(15・12)

｝

div  B=0

つ の 慣 性 系 で は,こ

ク ス ウ ェル の 方 程 式

性 系 が 変 わ っ て も,そ Hは,慣

の形 を

性 系 が 変 わ る と,変

れ ら の 量 の 定 義 は,

(15・13)

か ら決 ま る.媒 質 の電 磁 気 的物 質 が 等 方 的 で あ れ ば, D=ε0ε

γE

B=μ0μ

で 媒 質 定 数 εγ,μγを 導 入 す る.伝

γH

導 電 流 ｉに つ い て は,オ

i=σE で 媒 質 定 数 σ が 決 ま る.異

(15・14)

ー ムの法則 (15・15)

方 性 媒 質 で は,ε γ,μγ,σは テ ン ソ ル 量 に な る.ま

強 電 場,強

磁 場 で は 非 線 形 に な る.式(15・14),式(15・15)が

質 で は,マ

ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 を 用 い る と,

た,

成 立 す る 等 方 的 な媒

(15・16)

が で る.Ｓ は領 域 Ｖ を囲 む 閉 曲 面 で あ る.  右 辺 第 １項 は,ジ ュー ル 熱 の発 生 を意 味 し,第 ２項 は表 面 Ｓ か ら逃 げ だ す 電 磁 的 エ ネ ル ギー 流 を意 味 して い る.す る と,左 辺 は,単 位 時 間 で の 電磁 場 の エ ネル ギ ー減 小 を意 味 して お り,

(15・17)

を電 磁 場 の エ ネ ル ギ ー 密 度 とす る こ とが で き よ う. ま た,右 辺 第 ２項 の エ ネ ル ギ ー 流 の 密 度 S=E×H をポインテ ィング・ ベ ク トル と 呼 ぶ.単

15・3 15・

3

電

磁

位 は 〔J/㎡ ・s〕で あ る 。

波

  一 様 な 誘 電 媒 質 ε=ε0εγ,μ=μ0μγ中 を ｚ 方 向 に 伝 搬 す る 電 磁 波 を 考 え る.媒 中 に 真 電 荷 は な く,導

電 率 σ=0と

る平 面 電 磁 波 の 方 程 式 を 立 て る.マ div  E=0, 

す る.電

磁 波 Ｅ,Ｂ が(z,t)の

質

み の 関 数 とす

ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 は,

div  B=0

(15・18)

(15・19)

で,

(15・20)

(15・21)

(15・22)

  式(15・21),式(15・22)の

最 後 の 式 で は,変

い こ と と し て,Bz=Ez=0と

す る.式(15・21)と

化 し な い 電 磁 場(静 電 磁 場)は 考 え な 式(15・22)を

組 み 合 わ せ る と,

(15・23)

(15・24)

の ２組 の 式 が 得 ら れ る.こ

れ が 電 磁 場 の 波 動 方 程 式 で あ る.ExとBy, 

が そ れ ぞ れ 組 に な っ て お り,ベ

ク トル Ｅ と Ｂ と は 直 交 し て い る.電

EyとBx 磁 波 の速 さ

υ は =1/√εμ

で 表 さ れ,波

の 形 を 式(15・23)で

は,

）で 表 す と

Ex=f(z-υt

(15・25)

式(15・24)で

は,

で表す と

Ey=g(z-υt)

(15・26)

と な っ て い る.真

空 中 で は,ε

γ=μ

γ=1

で電 磁 波 の速 さ は

C=1/ √ε0μ0

と な る.

  Ｚ の正 方 向 に進 み 平 面 電 磁 波 はExとBy,  とBxの

図 15-1

静 電,静

で,一

方,光

Ey

２組 が 存 在 す る.

電磁波

磁 的 な 実験 か ら,

速 の 測 定 で は, c=299793.0±0.3〔km/s)

で,よ

く一 致 す る.こ

の 結 果 は,光

が 電 磁 波 で あ る こ と を 示 し て い る.フ

ァラデ

ー効 果 ,ケ ル効 果 等 は,光

と電 磁 気 との 相 互 作 用 で あ る と理 解 され る.ま

た,干

渉 の 実 験 か ら,単 色 光 は正 弦 的 関 数 で あ る こ とが わ か る.真 空 中 を伝 わ る単 色 光 と して,平 面 電 磁 波 を と り,次 の よ うに 書 こ う.

(15・27)

(15・28)

  ExとByと -β で

,こ

は 同 位 相,  EyとBxと れ に 対 応 す るByとBxと

は 逆 位 相 で あ る. ExとEyと の 位 相 差 は α-β-π

  電 場 ベ ク トル の み を 考 え て み る と,こ tic polarized  plane  wave)を α-β=nπ

で あ る.

れ は ｚ 方 向 に 進 む 楕 円 偏 光 平 面 波(ellip-

表 す.

  (n:整

で は直 線 偏 光 に な る.Axあ

の位 相 差 は α

数)

る い はAyの

Ax=Ay,α-β=(2n+1)π/2(n:整

(15・29)

い ず れ か が ０で も直 線 偏 光 に な る. 数)

(15・30)

で は円 偏 光 に な る.任 意 の 時 刻 で,

(15・31)

の 平 均 を と る と,

E2=1/2(Ax2+Ay2) 同 様 に,磁

(15・32)

場 ベ ク トル の ほ う も,

B2=1/2

c2(Ax2+Ay2)

(15・33)

ｚ方 向 を 向 く ポ イ ン テ ィ ン グ ・ベ ク トル の ｚ成 分 は,

(15・34)

で,円

偏 光 な ら, (15・35)

Sz=1/C−Ax2   

と一 定 値 に な る が,一 般 的 に は,Szは

振 動 数 の 関 数 で 瞬 時 値 は測 定 で きな い.平

均 値 は, (15・36)

空 間 に分 布 す る電 磁 波 の エ ネル ギ ー 密 度 は,

(15・37)

ｕ の 平 均 値 は, (15・38)

(15・39)

15・4 15・

4

導体 内の電磁波

マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 で,σ

〓0,ρ=0を

考 え る.

(15・40)

を 用 い る と,

(15・41)

ｚ方 向 に進 む と平 面 波 で,電 場 方 向 を ｘ 方 向,磁 場 方 向 を ｙ方 向 に と る と,

(15・42)

Ex, Byと

も 同 形 で, Exの Ex=E0xejωt 

を 波 の 式 と し,E0xが 式(15・42)に

み を 考 え る.単 (ω=2π

色 光 で,

ν)

(15・43)

場 所 に よ っ で 変 化 す る.す

な わ ち, E0x(z)と

し,こ

の式 を

代 入 す る と,

(15・44)

σ/ ωε 《1な

ら絶 縁 体 近 似,σ/ωε 》1な

ら 変 位 電 流 を 考 え な い 導 体 近 似 と な り,１

を 省 略 す る と,

(15・45)

一般 的に

,式(15・44)を

解 く と,

(15・46)

  α は 進 行 に 伴 う減 衰 定 数,β 最 初 の 式 を 式(15・43)のE0xに

は 位 相 定 数 と い う.電 代 入 し て,

場 の 波 の 式 は,式(15・46)の

(15・47) (正 の向 き に進 む)

で 表 さ れ,速

(負 の 向 き に進 む)

度 は,

(15・48)

で 表 さ れ る.

    (15・47)の 因 子e-αzは,こ Ｂ の 振 幅 が1/eに

の 電 磁 波 か媒 質 内 部 へ1/α だ け侵 入 す る と,Ｅ

や

減 衰 す る こ と を示 す.こ れ は,高 周 波 電 流 の場 合 で も可様 で,

表 皮効 果 と い う.変 位 電 流 が 無 視 し得 る式(15.45)の 場 合 で は, (15・49)

とな り,波 長 は2π/βで あ り,一 波 長 だけ 導 体 内部 に入 る と,そ こで 電 磁 波 や電 流 振幅 はe-2π 倍 とな っ て,急 激 に減少 す る. (15・50)

を表 皮 効果 の 深 さ と い う こ とが あ る.

15.5 5

電 磁波 の反射,屈屈 折 屈折

  非 磁 性 の透 明誘 電 体 の境 界 面 で 起 こ る電 磁 波 の反射,屈 が それ ぞ れ ε1,ε2の誘 電 体 がz=0で

折 を考 え る.比 誘 電 率

境 界 を も っ て い る と きの 電 場,磁

場 の境 界

条件 は, E1x=E2x 

，  E1y=E2y

B1x=B2x 

，  

Bly=B2y

}

(15・51)

で電 場 Ｅ,磁 束 密 度 Ｂ の 境 界面 に 平 行 な成 分 は,誘 電 謀 質 １,２の 両 側 で 等 し く, 連 続 し だ値 を とる. 入射 波 をxz平

面 に 取 ろ う,す

る と,入

射 波 の形 は,入 射 角 を φ1と し て,

  入 射 波 は,入

射 面(x-y平

φ1の 角 度 で 入 りx-z面 1:(By, 

面)の

に あ る.こ

法 線 に対 し て の 入 射 波 は,

Ex,  Ey)

の成 分 を もっ た波 と, 2:(Ey, 

Bx,  Bz)

の成 分 を もった 波 とが あ る. 電 場 成 分 はExとEy とが あ る。

(１)

電場 成 分 はEyの み であ る。

(２)

入射 波 の 方向 余 弦 は,

で あ る.

図15-2電

磁 波 の反 射,屈 折

(15.52) と な る.

マ ク ス ウ ェ ル の 式 か ら, ｙ を含 まな い成 分 方 程 式 を書 く と(ｙ に つ い て の

微 係 数=0)

(15.53)

これ ら の 式 か ら,

(A):(Ex,Ez,By) 

(B):(Ey, 

Bx,Bz)

の電 磁 波 が そ れ ぞ れ １組 の電 磁 波 とな っ て い る.入 射 電 磁 波 の電 場 を (15・54)

の よ う に与 え る.こ

の ｘ,ｙ 成 分 は,

(15・55)

  媒 質 ２中 に 屈 折 す る 平 面 波 の 方 向 余 弦 をkx', ky',  kz',そ

の 電 場 成 分 をEx',  Ey',

Ez'と す る と,

(15・56)

  媒 質 １中 に は 反 射 波 が 存 在 し,そ 分 をEx",  Ey", Ez"と

の 方 向 余 弦 とkx", ky",kz"と

し,そ

の電 場 成

す る と,

(15・57)

境 界 条 件 は,z=0で Ex+Ex"=Ex' Ey+Ey"=Ey'

}

(15・58)

が ｔ,ｘ,ｙ の い か な る 値 に 対 し て も 成 立 す る こ と で あ る.式(l5・55)と(15・56), (15・57)を 式(15・58)に Ax+Ax"=Ax, 

代 入 し て,こ

の 条 件 を み た す よ う に す る と,

Ay+Ay"=Ay

(15・59)

ω ＝

ω'=ω"

(15・60)

0=ky'=ky"

(15・61)

ま た,

(15・62)

  式(15・59)を

振 幅 条 件 式 と い う.式(15・60)は,振

化 し な い こ と を表 す.式(15・61)は.屈

折 光,反

動 数 が 屈 折,反

射 に よ っ て変

射 光 が 入 射 光 と 同 一 平 面 上(xz平

面)に あ る こ と を 表 し て い る. 式(15・62)か

ら は, φ1=φ1"

(15・63)

(15・64)

が で る.式(15・63)は

反 射 の 法 則,式(15・64)は

２で の 屈 折 率n1,n2を

次 の よ う に 定 義 す る.

屈 折 の 法 則 を 表 し て い る.媒

質 １,

(15・65)

とす る と,屈

折 の 法 則 は,

(15・66)

  こ の 式 は,n1
ら 成 立 す る が,  n1>n2な

ら φ1の あ る 値

φ0に 対 し

て,

(15・67)

とな り,こ れ 以 上 の φ1に対 して 屈 折 光 は存 在 せ ず,全 反 射 とな る.

演 習 問 題[15] １. フ ァ ラ デ ー 効 果 を調 べ よ.

２.式(15・27)で

表 さ れ る 電 磁 波 の式 で,ExとByの

間 の 位 相 差 は ０に な る こ と を説 明

せ よ.

３.式(15・53)の Bx,Byの

４.光

マ ク ス ウ ェ ル の 式 を 使 い,式(15・55)のEx,  波 の 形 を 書 い て み よ.

速 の 測 定 法 を 調 べ て み よ.

Eyの

式 を 基 礎 に,Ez, 

Bz,

付

付 録 １.国 際 単 位 系(SI)に

  物 理 学 に お い て は,自

録

つ いて

然 法 則 を 数 学 的 記 述 の形 で 表 現 す る た め に,論

物 理 対 象 を量 的 な 形 で 定 め な けれ ば な ら な い.こ

の と き,定

議 さ れ る様 々 な

め られ る物 理 量 の 基 本 的 な

大 き さ ―― 単 位 ―― は,我 々 の 日常 経 験 か らみ て,納 得 で き る 適 当 な 大 き さ で な け れ ば な ら な い.こ

う し て物 理 量 の 単 位 が 定 め ら れ て い くわ け で あ る が,科

よ り微 細 な,あ

学 の 進 展 と と もに,

る い は よ り 巨 大 な 量 的 関 係 が 必 要 に な っ て く る場 合 も 当 然 生 じ る.そ

い う場 合 に は,基

本 的 な 単 位 量 の10χ 倍 の単 位 を 用 い る か,ま

う

た は 全 く新 し い 単 位 量 を

設 定 す る こ と に な る.   物 理 学 と い う も の は,ま とい う もの で は な い.多

ず 物 理 量 が あ っ て,そ

の 後 で,種

々 の物理 量 間 の関係 が決 る

くの 物 理 量 は,互 に 関 連 し合 っ た 形 で 存 在 して お り,１ つ の 物 理

量 か ら他 の 物 理 量 が 引 き 出 さ れ る とい うわ け に は い か な い.い 関 係 を 明 ら か に し て い く こ とが 物 理 学 本 来 の 姿 で あ っ て,そ さ せ る形 で,物   物 理 学(大

ろ い ろ な物 理 量 の相 互 的

の 相 互 関 係 を矛 盾 な く満 足

理 量 の 単 位 が 決 め られ て い くの で あ る. き く言 え ば 科 学)で

単 位 を定 義 す る.次 して 加 え る.大

に,空

は,基 本 量 と し て 付 表 １に 示 す ７個 の 量 を選 び,そ

の

間 の 次 元 に 関 連 す る ２つ の量 を,付 表 ２の よ う に補 助 単 位 と

き さ を 表 す 接 頭 語 と し て は,10χ 倍 を付 表 ３に 示 す よ う な 呼 び 名 で 表 す.

数 多 くの 物 理 量 は,こ

の ７個 の 基 本 量 の組 み 合 わ せ で 表 現 で き,そ

１つ の物 理 量 に １つ の 単 位 名 称 を与 え る.こ れ を組 立 単 位 とい い,付

れ ぞ れ 別 な 呼 び 名 で, 表 ４ に示 す.

付表1SIの

基本 量 とその定義

量 

長  質 量  時 間 

単 位量 の定 義 メ ー トル(m)は,光

が 真 空 中 で1/299792458sの

キ ロ グ ラ ム(㎏)は(重 秒(ｓ)は,133CS原 0)の

量 で も,力

間 に 進 む 距 離 で あ る.

で もな い),国

際 キ ロ グ ラ ム 原 器 の 質 量 に 等 し い.

子 の 基 底 状 態 の ２つ の 超 微 細 準 位(F=4, 

間 の 遷 移 に対 応 す る放 射 の9192631770周

ア ンペ ア(Ａ)は,真 空 中 に1mの

M=0お

よ びF=3, 

M=

期 の継 続 時 間 で あ る.

間 隔で平 行 におか れ た,無 限 に小 さい円形 断面積 を有

電 流  す る,無 限 に長 い ２本 の直線 状導体 のそ れぞれ を流 れ,こ れ らの 導体 の長 さ1mご

とに

2×10-7Nの 力 を及 ぼ し合 う不 変 の電流 で あ る.

温 度  物質量  光 度 

熱力学 的温 度 の単 位 ケル ビン(Ｋ)は,水

の三重 点 の熱力学 温度 の1/273.16で

あ る.温

度間 隔 に も同 じ単位 を使 う. モ ル(mol)は,0.012㎏

の12Cの

中 に存 在 す る原 子 の 数 と等 しい 数 の 構 成 要 素 を 含 む 系

の 物 質 量 で あ る. カ ン デ ラ(Cd)は,周 1/683W・sr-1で

波 数540×1012Hzの

あ る光 源 の,そ

単 色 放 射 を放 出 し,所

定の方 向 の放射 強度 が

の 方 向 に お け る 光 度 で あ る.

付表2  SIの 補助 単位

単位量の補助単位

量 

平面角  立体角 

ラ ジア ン(rad)は,円

の周 上 で,そ の半 径 の長 さに等 しい長 さの弧 を切 り取 る ２本 の半

径 の間 に含 まれ る平面 角で あ る. ス テラ ジア ン(sr)は,球 の中 心 を頂 点 として,そ の球 の半径 を １辺 とす る正 方形 の面 積 と等 しい面 積 をその球 の表 面上 で切 り取 る立体 角 であ る.

付 表3  SI接 頭 語

付表4  SI組 立単 位 SI組 立 単位 ①* 量

 

単位 の名称

SI組 立単 位 ②

記 号 他のSI単 単位 表 位による し方

量  

単位の名称

単位記号

周 波数          ヘ ル ッ     Hz

面積            平 方 メー トル       ㎡

力

体積             立方 メー トル       m3 密度              キロ グラム毎立 方   kg/m3               メ ー トル

ニ ュー トンNJ/m

圧 力,応 力     パ スカ ル   Pa    N/㎡

エネルギー 仕事,熱 量}ジ 仕事 率,電 力

ュール

Ｊ Ｎ・m

ワ ッ トWJ/s

電気 量,電 荷    クー ロン   Ｃ     A.s 電圧,電 位       ボル ト       Ｖ      J/C 静電容 量        ファ ラ ド   Ｆ     C/V 電気 抵抗        オ ーム     Ω      V/A コンダ クタ ンス   ジーメ ンス Ｓ     A/V 磁束           ウェーバ ー Wb    V・s 磁束 密度       テ ス ラ    Ｔ    Wb/㎡ インダ クタ ンス  ヘ ン リー    Ｈ     Wb/A 光束           ル ーメ ン   lm    cd・sr 照度        ル クス     lx    lm/㎡ 放射能          ベ ク レル   Bq 吸収線 量        グ レイ     Gy    J/㎏ 線量 当量      

シーベル ト   Sv    J/㎏

*  ① は,組 立単 位 の うち固 有 の名称 を もつ もの  で ある.

速 度,速 さ        メー トル毎秒       m/s 加 速度           メ ー トル毎秒毎 秒   m/s2 角速度            ラジア ン毎秒       rad/s 力の モー メ ン ト   ニ ュー トンメー ト  N・m               ル 表面張 力         ニ ュー トン毎 メー  N/m                トル 粘 度             パ スカ ル秒        Pa・s 動 粘度           平方 メ ー トル毎 秒  ㎡/s 熱 流 密 度放射 照 度} 

ワ ッ ト毎 平 方 メ ートルw/㎡

熱容量 エ ン トロ ピー}ジ

ユ ー ル 毎 ケ ル ビンJ/K

比熱 質 量 エ ン トロ ピー}ジ

ュール毎 ルビ キ ンJ・ ログラム毎ケ ㎏-1K-1

熱 伝導 率         ワ ッ ト毎 メー トル W・m-1・               毎 ケル ビン        K-1 電 界 の強 さ       ボル ト毎 メー トル  V/m

電束密度 電気変位} 

クーロン毎平方メートルC/㎡

誘 電率          フ ァラ ド毎 メー ト  F/m               ル 電 流密度          ア ンペ ア毎 平方 メ  A/㎡               ー トル 磁 界の 強 さ        ア ンペ ア毎 メー ト   A/m               ル 透磁 率            ヘ ン リー毎 メー ト  H/m               ル 起磁 力,磁 位 差    ア ンペ ァ           Ａ モ ル濃度          モル毎 立方 メー ト mol/m3               ル 輝度           カ ンデ ラ毎平 方 メ  cd/㎡               ー トル 波 数         毎 メ ー トル       m-1

付 録2.簡

単 な数 学 公 式

〈 対 数 ・三 角 関 数 〉

log ab=log 

a+log 

b, 

log  a/b=log 

logan=nloga,logn√a=1/

log 1=0, 

loga  a=1

k=loge 

log10  a=k'loge 

a, 

x=1, 

10=1/k'=2.3027

k'=log10 

1+tan2 

e=1/k=0.43429

x=sec2 

sin(x±y)=sin 

x cos  y±cos 

x sin y

cos(x±y)=cos 

x cos  y〓sin 

x sin y

tan(X±y)=

sin 2x=2sin 

〈級

b

nloga

loge  a=klog10a, 

sin2 x+cos2 

a-log 

tan x±tan 

x 

1+cot2 

x=cosec2 

x

y/

1±tan  x tan  y

x cos  x, 

cos  2x=cos2 

x-sin2 

x, 

tan  2x=

2tan  x

1-tan2x

数 〉

[-1＜x＜1]

[-1＜x≦1]

[-π/2＜x＜π/2]

[-1≦x≦1]

[-1≦x≦1]

〈微

分 〉

〈積

分 〉

付 録 ３.

年

表 付表 ５ 年

表

日本 語名(横 文 字 名):事 柄

年 1543 

コ ペ ル ニ ク ス(Copernicus):『

1576 

チ コ ・ブ ラ ー エ(Tycho 

1609 

ケ プ ラ ー(Kepler):惑

星 の 運 動 に 関 す る 第1,2法

1632 

ガ リ レ オ(Galileo):『

天 文 対 話』 で地 動説

1643 

天 球 の 回転 に つ い て 』 で 地 動 説

Brahe):天

ト リチ ェ リ(Torricelli)ら:大

体 観測 則.第

気 圧 の 実 験 か ら,ト

1650 

パ ス カ ル(Pasca1):パ

1660 

ボ イ ル(Boyle):気

1662 

ス ネ ル(Snell):光

1687 

ニ ュ ー ト ン(Newton):『

1690 

ホ イ ヘ ン ス(Huygens):光

1714 

フ ァ ー レ ンハ イ ト(Fahrenheit):カ

1742 

セ ル シ ウ ス(Celsius):セ

1750 

フ ラ ン ク リ ン(Franklin):避

1765 

ワ ッ ト(Watt):蒸

1772 

キ ャ ヴ ェ ン デ ィ ッ シ ュ(Cavendish):電

1785 

ク ー ロ ン(Coulomb):ク

1787 

シ ャ ル ル(Charles):シ

1799 

ボ ル タ(Volta):電

1801 

ヤ ン グ(Young):光

1811 

ア ボ ガ ド ロ(Avogadro):分

1819 

フ レ ネ ル(Fresnel):光

1820 

エ ー ル ス テ ッ ド(Oersted):電

1824 

カ ル ノ ー(Carnot):『

３法 則 は1619年

リ チ ェ ッ リー の 真 空 を 発 見

ス カル の原 理 体 に 関す るボ イル の 法則 の屈折 の法 則 プ リ ン キ ピ ア 』 で 万 有 引 力,運

動 の ３法 則 を 発 表

の波動 説 氏 温度 目盛

氏 温 度 目盛(水

の 沸 点100℃,凝

固 点0℃

と した)

雷 針 の発 明

気機 関 を改 良 気 力 の 逆 ２乗 則

ー ロ ンの法 則 ャル ル の法則 池 の発 明 の 干 渉,三

原色 の説

子説 の波 動 説 流 の磁 気 作用

火 の 動 力 に つ い て の 考 察 』 で 熱 機 関 に つ い て 述 べ,カ

イ クル を発表 1827 

ブ ラ ウ ン(Brown):ブ

1827 

オ ー ム(Ohm):オ

ラ ウ ン運 動 の 発 見

1830 

ヘ ン リー(Henry):自

1831 

フ ァ ラ デ ー(Faraday):電

磁 誘 導 の 発 見,磁

1842 

ド ッ プ ラ ー(DopPler):ド

ップ ラー効 果

1843 

ジ ュ ー ル(Joule):熱

1850 

ク ラ ウ ジ ュ ス(Clausius):熱

1854 

ケ ル ヴ ィ ン(Kelvin):絶

1859 

キ ル ヒ ホ ッ フ(Kirchhoff):完

1865 

ク ラ ウ ジ ュ ス(Clausius):エ

1869

メ ン デ レ ー エ フ(Mendeleev):元

ーム の 法則 己誘 導現 象 の発 見 力 線 を導入

の 仕 事 当量 の測 定 力 学 第 ２法 則 対 温 度 目盛 全黒 体 の概 念 ン トロ ピ増 大 の 法 則 素 の周 期 律 を発 見

ル ノ ー ・サ

1873 

マ ク ス ウ ェ ル(Maxwell):『

1877 

ボ ル ツ マ ン(Boltzman):熱

電 気 磁 気 論』 で 電磁 波 予 言

1878 

マ イ ケ ル ソ ン(Michelson):光

1883 

マ ツハ(Mach):古

典 力学 批 判

1888 

ヘ ル ツ(Hertz):実

験 室 で 電磁 波 を発 生

1895 

レ ン トゲ ン(Rontgen):X線

1897 

トム ソ ン(Thomson, 

力 学 第 ２法 則 の 統 計 的 扱 い 速 度 の測 定

の発 見 Ｊ.  Ｊ.):陰 極 線 の 粒 子 性 発 見

1903 

ウ ィ ル ソ ン(Wilson):電

1904 

ロ ー レ ン ツ(Lorentz,Ｈ. 

子 の荷 電 の測 定

1905 

ア イ ン シ ュ タ イ ン(Einstein):特

1906 

ネ ル ン ス ト(Nernst):熱

Ａ.)ロ

ー レ ンツの 変換 式 殊 相 対 性 理 論,光

力 学 第 ３法 則

1911 

オ ン ネ ス(Onnes):超

1912 

ブ ラ ッ グ(Bragg):ブ

伝 導 現 象 の発 見

1913 

ボ ー ア(Bohr):原

子 モ デ ・レを提 唱

1923 

ド ・ブ ロ ー イ(de 

Broglie):物

1926 

シ ュ レ ー デ ィ ン ガ ー(Schrbdinger):波

1927 

ハ イ ゼ ン ベ ル ク(Heisenberg):不

ラ ッ グ 反 射(Ｘ

線)

質 波 の概 念 を導入 動 力学 確定性原理

量 子仮 説

演 習 問 題 の 解 答

第 １章

質 点 の運 動

演習 問題[１](P.21)

1.

2.8m/s 3.

4.2π

√ml/ g

5.接

線 と45° の 角 度 を な し,内 向 き で,大

6. 

at=gsinθ, 

第 ２章

き さ は3√2cm/s2

an=gcosθ

仕 事 とエ ネル ギー

演 習問題[２](p.40)

1.36J 2.1/2mυ02

3.K=U=ma2ω2/4(た 4.省

だ し,m,  a,ω は,そ

れ ぞ れ 質 量,振

幅,角 速 度 で あ る)

略

5. 6.省

略

第 ３章 1.剛

質 点 系 お よび 剛体 の 力学

演習 問題[３](p.67)

体 を構 成 す る ｉ番 目 の 微 小 部 分 の 質 量 をmi,そ

原 点 に 関 す る 力 の モ ー メ ン トNiの

和

は,

の 位 置 ベ ク トル をriと

す る と,

こ こ で,質

量 中 心rcは,

で 定 義 さ れ る か ら,上 式 は,

とな り,剛 体 に働 く重 力 は,質 量 中 心 に働 くMgに 2.

合 成 さ れ る.

■

3.

4.M/12(a2+b2) 5.(2m+M)υ02/4mg   

6.  ● 

3aω0/4μg

第 ４章 1 .垂

固 体 の 弾 性                           演習問題[４](p．86)

直 応 力F/πa2接

線 応 力1/2・F/πa2θ

で あ る か ら,最 大 値 は θ=π/4の

1/2・F/πa2

2.9.93×10-6m

3.円

4. 

 

5.

周 に沿 っ た 断 面 で はpr/2t，長 さ方 向 に沿 っ た 断 面 で はpγ/ t ρgl2/2E

と きで

 

第 ５章

１.

 全 圧 力1/2ρglh2,

２.   p0e ３.

４.

流体の運動

演 習問題[5](p.106)

着力 点2/3h

一ρ0eh/p0

  1.6×10-3J

 14m/s

５. 軸 上 で

下 が る.壁 面 で

上 が る.

６.

７.

省略

第 ６章

１.

２.

振 動 と波 動

(ⅰ)

演 習 問題[6](p.139)

(ⅱ)   x=4y3-3y

 弾性 エ ネル ギー

位 置 エ ネル ギー

け減 少 ３.

約25㎝

４.

周期

５.

波長2π/c,周 期2π/b,速 さb/c

６.

(ⅰ) 

85㎝, 

(ⅱ) 

300 Hz

だ け減 少,全

エ ネルギ ー

だ

第 ７章

光

学

演 習 問 題[7](p.171)

１.

n0= 

を 代 入 し て,i=10°

を 得 る.し

２.

省略

３.

凹 レ ン ズ の 後 方6㎝

４.

ニ ュ ー ト ン リ ン グ の 証 明 省 略,R=1

５.

約2㎜

６.

偏 光 板 を45° 傾 け れ ば よ い.

７.

1:3

た が っ て,入

第 ８章

熱 力 学 の 第 １法 則

１.

約 5.7 kJ/mol

２.

約 5.74 kJ/mol

３.

約 1840 m/s

第9∼12章

は省 略 す る.

第13章

電 流 と磁 場

４.

他 は省略

第14∼15章

に 高 さ0.8㎝

は 省 略 す る.

射 角 を 約10°

1,  n1= 

1.47, 

n2= 

1.46

よ り 小 さ く す れ ば よ い.

の倒 立 像 .2m

演 習 問題[8](p.195)

演 習 問 題[13](p.289)

索

運 動 量 保 存 の 法 則(law 

行

あ

of  conservation 

momentum)

of

37,44

300

ア ド ミ ッ タ ン ス(admittance) ア ン ペ ア の 法 則(Ampere's 

281

law)

74

圧 縮 率(compressibility)

72,87

圧 力(pressure) 圧 力 の 単 位(unit 

引

88

of pressure)

エ ネ ル ギ ー(energy)

25

エ ネ ル ギ ー 等 分 配 則(law 

of equipartition 

energy)  エ ネ ル ギ ー 密 度(density 

309

of energy)

183

エ ン タ ル ピ ー(enthalpy) 異 常 光 線(extraordinary 

エ ン ト ロ ピ ー(entropy)

168,169

ray)

11

位 相(phase) 位 相 の 遅 れ(delay 

of phase)

222,224,228

の 増 大 則(principle 

297

entropy)

of 185

of  increase 

of

227

位 相 速 度(phase 

velocity)

138

Ｓ 偏 光(S-polarized 

light)

166

位 相 定 数(phase 

constant)

313

永 久 機 関(perpetual 

mobile)

223

位 置 エ ネ ル ギ ー(potential  位 置 ベ ク ト ル(position  一 軸 結 晶  (uniaxial 

28

energy)

１

vector)

crystal)

169

第 １種 の――(perpetual 

mobile 

of  the

first kind)

223

第 ２種 の―

―(―of 

the second 

kind)

223 ヴ ィ ー デ マ ン・フ ラ ン ツ の 法 則(Wiedemann Franz's 

law)

う な り(beat) 薄 肉 レ ン ズ(thin 

運 動 の 第 ２法 則(second  運 動 の 第 ３法 則(third  運 動 方 程 式(equation 

円 偏 光(circularly 

131

円 板 の 運 動(motion 

26,44

energy) law  of motion) law  of motion) law  of motion) of motion)

polarized 

light)

of disc)

―― の モ ー メ ン ト(moment 

オ ー ム の 法 則(Ohm's 

165,311 62，64

８

応 力(stress)

８

音 速(acoustic 

９

温 度(temperafure)

36 of

71,87 126

velocity)

173

行

か ガ ウ ス の 法 則(Gauss'theorem)

38

263

law)

８

運 動 量(momentum)

momentum)

265

20

force)

151

lens)

運 動 エ ネ ル ギ ー(kinetic  運 動 の 第 １法 則(first 

遠 心 力(centrifugal 

ガ リ レ イ 変 換(Galilei 

246,247,277

transformation)

17

カ ル ノ ー ・サ イ ク ル(Carnot's 

cycle)

キ ル ヒ ホ ッ フ の 第 １法 則(Kirchhoff's 

law)

197,201,205,208,215 の 効 率(Carnot 

208

efficiency)

157

回 折(diffraction) 回 折 ス ペ ク トル(diffraction  回 折 格 子(diffraction 

spectrum)

grating)

外 積(outer  外 力(external 

起 磁 力(magnetomotive 

47

起 電 力(electromotive 

56

気 体 定 数(gas 

42

force)

角 運 動 量(angular 

36,38,44

momentum)

角 運 動 量 保 存 則(law 

of conservation 

角 周 波 数(angular 

frequency)

295

角 振 動 数(angular 

frequency)

11 of

75,267

加 速 度(acceleration)

可 逆 サ イ ク ル(reversible 

of acceleration)

慣 性 の 法 則(1aw 

resistance)

of inertia)

104

layer)

281

substance)

118,301

共 振(resonance) 共 振 周 波 数(resonance  強 制 振 動(forced 

301

frequency)

114,118

vibration)

118

虚 像(virtual 

148,149

image)

16

of curvature)

16

ク ー ロ ン の 法 則(Coulomb's 

245

law)

ク ラ ウ ジ ュ ス の 原 理(Postulate 

55,56 18

ギ ブ ス の 自 由 エ ネ ル ギ ー(Gibbs'free 

キ ャ リ ア(carrier)

10

of curvature)

８

of inertia)

fluid)

３

vector)

condition)

曲 率 中 心(center 

109

慣 性 力(inertialforce) 完 全 流 体(perfect 

境 界 条 件(boundary 

曲 率 半 径(radius 

８

frame  of reference)

慣 性 モ ー メ ン ト(moment 

基 本 ベ ク トル(fundamental 

of Clausius)

213

８

system)

慣 性 抵 抗(inertial 

174

６

129,152,159

慣 性 座 標 系(inertial 

291

force)

５

176

可 逆 的(reversible)

慣 性 系(inertial 

289

202

cycle)

干 渉(interference)

force)

共 鳴(resonance)

superposition)

加 速 度 ベ ク トル(vector 

141

強 磁 性 体(ferromagnetic 

40,45

重 ね 合 わ せ の 原 理(principle 

optics)

constant)

境 界 層(boundary 

of angu

lar momentum)

267

161

24,38

２  nd

law) 幾 何 光 学(geometrical 

of gyration)

product)

266

キ ル ヒ ホ ツ フ の 第 ２ 法 則(Kirchhoff's 

162

回 転 運 動(rotation) 回 転 半 径(radius 

１  st

94,95

energy)

グ ラ デ ィ エ ン ト(gradient)

29

偶 力(couple 

50

of forces)

144

屈 折(refraction) 屈 折 の 法 則(low 

of refraction)

屈 折 率(refractive  群 速 度(group 

系(system)

261

撃 力(impulsive 

142

index)

138,139

velocity)

ケ ル ビ ン の 関 係 式(Kelvin's 

237

146

relation)

270 176

force)

64

結 合 則(associative 

law) 

２

結 晶(crystal) 

85

結 像 式(equation 

of image 

検 光 子(analyser) 

残 留 ひ ず み(residual 

strain) 

ジ ュ ー ル 熱(Joule  165

oscillation) 

減 衰 定 数(attenuation 

９

constant) 

114,115,116 313

heat) 

266

磁 位(magnetic 

potential) 

280

磁 荷(magnetic 

charge) 

286

磁 化(magnetize) 

281

磁 化 ベ ク トル(magnetizing  コ リオ リ の 力(Corioli's 

force) 

コ ン ダ ク タ ン ス(conductance)  コ ン デ ン サ(condenser)  こ ま の 運 動(motion 

20 263,300

光 学(optics) 

65 141

path) 

交 換 則(commutative 

141,143

law) 

格 子 定 数(lattice 

constant) 

光 軸(optical 

axis) 

降 伏 点(yield 

point) 

磁 化 電 流(magnetizing 

２

磁 気 回 路(magnetic 

294 23

仕 事 の 単 位(unit  仕 事 率(power)  自 然 光(natural 

41,47

磁 束(magnetic 

交 流(alternating 

current) 

磁 束 線(1ine 

295

実 像(real 

交 流 抵 抗(a.c. 

resistance) 

光 路 長(optical 

284 277

flux) 

flux  density)  value) 

image) 

277 273 297 148

300

実 体 振 り 子(physical 

generator) 

296

質 点(material 

particle) 

path  length) 

143

質 点 系(system 

of particles) 

41

of mass) 

41

さ サ セ プ タ ン ス(susceptance)  歳 差 運 動(precession)  作 用 線(line 

flux)  of magnetic 

実 効 値(effective 

296

164

substance) 

磁 束 密 度(magnetic 

circuit) 

25

light) 

118

交 流 回 路(a.c. 

交 流 発 電 機(a.c. 

of work) 

25

剛 体(rigid 

vibration) 

288

自 己 誘 導(self-induction) 

168

29

moment)278,279

circuit) 

仕 事(work) 

161

70

284

295

磁 性 体(magnetic 

固 有 振 動(proper 

281

自 己 イ ン ダ ク タ ン ス(self-inductance) 

74,75

勾 配(gradient) 

282

current) 

磁 気 モ ー メ ン ト(magnetic 

剛 性 率(rigidity)  body) 

vector) 

磁 化 率(susceptibility) 

255 of top) 

光 学 距 離(optical 

69

formation) 149,150,152

減 衰 振 動(damped 

tion) 

of action) 

作 用 ・反 作 用 の 法 則(1aw 

質 量 中 心(center 

行

磁 場 の 強 さ(intensity  300

of magnetic 

周 期(period) 

66

周 波 数(frequency) 

49

主 軸(principal 

of action  and  reac

pendulum) 

60 １

field)283 11 295

axis) 

自 由 エ ネ ル ギ ー(free 

146 energy) 

233

自 由 ベ ク トル(free  自 由 度(degree  重 心(center 

vector) 

48

静 圧(static 

52

正 結 晶(positive 

48

静 電 エ ネ ル ギ ー(electrostatic 

of freedom)  of gravity) 

重 力 波(gravitational 

wave) 

瞬 時 値(instantaneous 

value) 

準 静 的 変 化(quasi-static  常 光 線(ordinary 

129

change) 

ray) 

常 磁 性 体(paramagnetic  状 態 変 数(variables 

of state) 

状 態 方 程 式(characteristic  状 態 量(quantity 

equation) 

―) 

length) 

condition)  permeability 

uum) 

振 動(vibration, 

oscillation) 

振 動 の 中 心(center 

of oscillation) 

積 層 欠 陥(stacking 

249 245

capacity) 

85

of contact) 

接 触 電 位 差(contact 

92

potential 

difference)

268

175

接 線 加 速 度(tangential 

175

絶 対 屈 折 率(absolute 

acceleration)  refractive 

絶 対 零 度(absolute  11

全 エ ネ ル ギ ー(total 

10

線 欠 陥(line 

174

energy) 

29 85

275

総 圧(total 

107

相 互 イ ン ダ ク タ ン ス(mutual 

pressure) 

11

振 幅(amplitude) 

11

相 対 屈 折 率(relative 

99 inductance)295

induction) 

24

ス トー ク ス の 法 則(Stokes'1aw)

refractive 

層 流(laminar 

146

速 度(velocity) 

162

速 度 ベ ク トル(velocity 

angle) 

74

塑 性  (plasticity) 

deformation) 

74

塑 性 変 形(plastic 

ゼ ー ベ ッ ク 係 数(Seebeck 

coefficient) 

269

143

tion) 

267 103 ５

ず れ 変 形(shearing 

疎 密 波(wave 

theorem) 

flow) 

ず れ の 角(shearing 

269

index)  of  equivalent

61

相 反 定 理(reciprocity 

effect) 

16

simple  pendulum) 

104

ゼ ー ベ ッ ク 効 果(Seebeck 

294

motion) 

相 等 単 振 り 子 の 長 さ(length 

law) 

143

defect) 

振 動 数(frequency) 

ス ペ ク ト ル(spectrum) 

index) 

of vac

相 対 運 動(relative 

product) 

15,16

zero-point) 

相 互 誘 導(mutual 

ス ネ ル の 法 則(Snell's 

254

fault) 

62

ス カ ラ ー 積(scalar 

255

electricity) 

接 触 角(angle 

175

170 energy) 

energy) 

静 電 容 量(electrostatic 

148,152

初 期 位 相(initial  phase) 

真 空 の 透 磁 率(absolute 

crysta1) 

174

示 強 性 の― ―(intensive――) 

初 期 条 件(initial 

静 電 気(static 

174,178

of state) 

示 量 性 の― ―(extensive―

焦 点 距 離(focal 

potential 

175

281

99

静 電 ポ テ ン シ ャ ル ・エ ネ ル ギ ー(electrostatic

297

168,169 substance) 

pressure) 

vector) 

５ 69

deformation) 

of condensation 

84 and  rarefac 125

張 力(tension) 

行

た

72

調 和 振 動 子(harmonic  た わ み(bending) 

79

対 数 減 衰 率(logarithmic  体 積 弾 性 率(bulk 

decrement) 

楕 円 偏 光(elliptic 

of orthogonal 

axis)   58

polarized 

165 定 圧 比 熱(specific 

plane

wave) 

heat  at constant 

pressure)   182

311

打 撃 の 中 心(center 

of percussion) 

縦 波(longitudinal 

65

wave) 

単 位 ベ ク トル(unit  単 振 動(simple 

125

vector) 

harmonic 

３

motion) 

の 合 成(synthesis 

110

of  simple 

wave)  fatigue) 

弾 性 定 数(elastic 

constant) 

単 振 り 子(simple 

69 78

転 位(dislocation) 

69

電 位(electric 

70

断 熱 仕 事(work 

at adiabatic 

断 面 二 次 モ ー メ ン ト(moment 

defect) 

85

potential) 

電 位 差(potential  電 荷(electric 

charge,  charge) 

力 の 作 用 線(line 

of action  of force) 

of  conservation 

193

電 気 双 極 子(electric  電 気 素 量(quantum 

245 of

susceptibility) 

256

dipole) 

251

of electricity) 

電 気 抵 抗(electric 

39

電 気 力 管(tube 

49

電 気 力 線(electric 

９

249

305

resistance) 

電 気 伝 導 度(electric  of force) 

249

difference) 

電 気 感 受 率(electric 

80

力 の モ ー メ ン ト(moment 

85 249

30

of  inertia  of

area) 

volume)

charge) 

29,109 of――)  process) 

heat  at constant 

電 荷 保 存 の 法 則(law 

72,73

pendulum) 

94 132

  182

124

の 運 動 方 程 式(equation 

261

stream) 

定 積 比 熱(specific 

電 圧(voltage) 

energy) 

弾 性 疲 労(elastic 

current) 

wave) 

点 欠 陥(point 

limit) 

弾 性 波(elastic 

定 常 流(stationary 

108

弾 性(elasticity) 

弾 性 限 界(elastic 

264

定 常 電 流(steady-state 

har

motion) 

弾 性 エ ネ ル ギ ー(elastic 

抵 抗 率(resistivity) 

定 常 波(standing 

11,107

of――s) 

単 振 動 の 方 程 式(equation  monic 

light)

262

light) 

楕 円 偏 光 平 面 波(elliptic 

31

 164,165,311 直 交 軸 の 定 理(theorem 

73,74

current)  polarized 

polarized 

117

modulus) 

対 流 電 流(convection 

直 線 偏 光(linearly 

oscillator) 

conductivity) 

of electric  force)  lines of force) 

電 磁 石(electromagnet) 

245 263 263 248 248 285

力 の 単 位(unit 

of force) 

中 立 層(neutral 

layer) 

79

電 磁 波(electromagnetic 

wave)309,312,314

中 心 力(central 

force) 

39

電 磁 波 の 屈 折(refraction 

of electromagnetic

wave) 

314

電 磁 波 の 反 射(reflection 

induction) 

flux) 

電 束 電 流(displacement  電 束 密 度(dielectric 

current) 

field) 

電 場 の 強 さ(intencity  電 流(electric 

of electric  field) 

density) 

伝 導 電 流(conduction 

current) 

伝 導 電 流 密 度(conduction 

内 積(inner 

247

内 部 エ ネ ル ギ ー(internal 

product) 

内 力(internal 

24 energy) 

177

force) 

42

247

波 の エ ネ ル ギ ー(wave 

energy) 

119

246

波 の 強 さ(wave 

intensity) 

122

261

1/2波

wave 

170

264

二 軸 結 晶(biaxial 

246

current) 

電 流 密 度(current 

291

262,270

flux  density) 

行

な

319

電 磁 誘 導(electromagnetic 

電 場(electric 

74

of  electromagnetic

wave)  電 束(electric 

等 方 性(isotropy) 

長 板(half 

length  plate) 

crysta1) 

169

262

current  density)

ネ ル ン ス ト の 熱 定 理(Nernst 

heat  theorem)

  306 電 力(electric 

power) 

電 力 整 合(power 

matching) 

 232

265

ね じ れ(torsion) 

266

熱 エ ネ ル ギ ー(thermal  熱 源(heat 

トム ソ ン の 原 理(postulate 

of Thomson) 

79,82 energy) 

source) 

213

熱 素 説(theory 

191

of caloric) 

トム ソ ン効 果(Thomson 

effect) 

270

熱 電 効 果(thermoelectric 

トム ソ ン 係 数(Thomson 

coefficient) 

270

熱 平 衡(thermal 

ト リ チ ェ リ の 定 理(Torricelli's 

theorem)

熱 浴(heat    97,98

ト ル ク  (torque)  ト ル ク 方 程 式(torque  動 圧(dynamic 

equation) 

39

pressure) 

等 温 仕 事(isothermal 

99

work,  work 

at constant

temperature)  等 加 速 度 運 動(motion 

of  uniform 

等 電 位 面(equipotential 

253 surface) 

導 電 率(conductivity)  動 粘 性 率(kinematic 

viscosity) 

269

equilibrium) 

175

reservoir) 

191

熱 力 学 第 ０法 則(zeroth 

identity) 

thermodynamics) 

175

熱 力 学 第 １法 則(first 

law 

of 

law 

of  thermody 211,213

熱 力 学 第 ３法 則(thirdlaw 

of

thermodynamics)  粘 性(viscosity) 

264

粘 性 係 数(coefficient 

100

粘 性 抵 抗(viscosity 

thermo 176,177

熱 力 学 第 ２法 則(second 

250

226

law  of

namics) 

acceler ９

導 体(conductor) 

effect) 

dynamics) 

191

ation) 

184

熱 力 学 恒 等 式(thermodynamic 

39

181

232 99 of viscosity)  resistance) 

100 104

粘 性 率(coefficient  粘 性 力(viscous 

of viscosity) force)

粘 度(coefficient 

of viscosity)

100

光 の 反 射(reflection 

100

光 反 射 防 止 膜(antireflection 

100

非 慣 性 系(non-inertial 

law)

薄 膜 の 干 渉(interference  波 高 値(crest 

by  thin film)

value)

破 断 点(breaking 

比 熱(specific 

heat)

184

比 熱 比(ratio 

of specific  heat)

183

154

比 透 磁 率(relative 

permeability)

284

297

比 誘 電 率(relative 

permittivity)

257

70

表 皮 効 果(skin 

length)

120

motion)

119

表 面 張 力(surface 

120

表 面 張 力 波(capillary 

of――)

―― の エ ネ ル ギ ー(energy 

of――)

122,123

equation)

腹(loop) 反 磁 性 体(diamagnetic 

substance)

32

rectum)

31

gravitation)

34

―― の 法則(law  of― ―)

ピ ト ー 管(Pitot 

tube)

ひ ず み(strain) Ｐ 偏 光(P-polarized  光 の 回 折(diffraction  光 の 屈 折(refraction 

34

constant)

ビ オ ・サ バ ー ル の 法 則(Biot-Savart's 

light) of light)

law)274

136 268

law) principle)

141,143 フ ッ ク の 法 則(Hooke's 

69

law)

フ ラ ウ ン ホ ー フ ァ ー の 回 折(Fraunhofer's 

fraction)

dif

157,158

ブ リ ュ ー ス タ ー 角(Brewster's  ブ リ ュ ー ス タ ー の 法 則(Brewster's 

angle) law)

フ レ ネ ル 回 折(Fresnel's 

diffraction)157,158

不 可 逆 変 化(irreversible 

change)

複 屈 折(double 

71,73

refraction)

166 166

176 168

復 元 力(restoring 

force)

108

166

負 結 晶(negative 

crystal)

170

157

節(node)

of light)

of light)

136

analysis)

98,99

物 理 光 学(physical 

144,145,146,150 光 の 速 さ(velocity 

reries)

フ ー リ エ 分 析(Fourier's 

フ ェ ル マ ー の 原 理(Fermat's 

反 射 の 法 則(law 

―― 定 数(gravitation 

フ ー リ エ 級 数(Fourier's 

フ ァ ラ デ ー の 法 則(Faraday's 

145

万 有 引 力(universal 

129

wave)

281 144

半 直 弦(latus 

90

tension)

133

反 射(reflection) of reflection)

314

―― の 深 さ  (skin depth)

122 141

optics)

314

effect)

波 動(wave 

波 動 方 程 式(wave 

susceptibil

257

波 長(wave 

波 動 光 学(wave 

electric 

101

point)

―― の 式(equation 

18

ity)

ハ ー ゲ ン・ポ ア ズ イ ユ の 法 則(Hagen Poisseuille's 

156

film)

system)

比 電 気 感 受 率(relative 

は 行

144,146,148

of light)

141

物 理 振 り子(physical  分 解 能(resolving 

133 optics) penduium) power)

141 60 163

分 極 ベ ク ト ル(polarization  分 極 電 流(polarization 

256

偏 光 子(polarizer)

270

偏 光 板(polarization 

vector) current)

165

plate)

138

分 散(dispersion) 性 の 媒 質(dispersive  分 散 度(degree 

medium)

of dispersion)

分 子 磁 気 モ ー メ ン ト(molecular 

138

ポ ア ッ ソ ン の 式(Poisson's 

163

ポ ア ッ ソ ン比(Poisson's 

magnatic

moment) 分 配 則(law 

165

equation)193,251

ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ー(potential 

energy)

281 ３

of partition)

28 ボ ル タ の 法 則(Volta's 

law)

ボ ル ツ マ ン 定 数(Boltzmann  ベ ク トル(vector)

１

ベ ク ト ル の 和(composition 

of vectors)

ベ ク ト ル ・ポ テ ン シ ャ ル(vector 

ベ ク ト ル の 合 成(addition 

potential)

of vector)

ベ ク ト ル の 方 向(direction 

２

of vector)

ベ ク トル 積(vector 

product)

ベ ク トル 量(vector 

quantity)

268

鳳-テ ブ ナ ン の 定 理(Ho-Thevenin's 

50

268 ４

方 向 余 弦(direction 

cosine)

法 線 加 速 度(normal 

acceleration)

放 物 運 動(projectile 

motion)

10

force)

27

保 存 力(conservative 

ま detection)132

行

132

マ イ ヤ ー の 関 係(Mayer's 

マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式(Maxwell's 

coefficient)

270

ペ ル チ エ 効 果(Peltier 

effect)

269

ベ ル ヌ ー イ の 定 理(Bernoulli's 

theorem)

97

of parallel  axis)56

307 マ ク ス ウ ェ ル の 関 係 式(Maxwell's 

平 面 偏 光(plane 

曲 げ モ ー メ ン ト  (bending 

polar  coordinates) polarized 

light)

80

moment)

無 効 電 流(reactive 

current,  wattless  current)

53

motion)

平 面 極 座 標(planar 

ralation)

56 47

並 進 運 動(translation)

equations)

240 235

free  energy)

186

equation)

ヘルムホル ツの自由エネルギー

平 面 運 動(plane 

15,16

１

ペ ル チ エ 係 数(Peltier 

平 行 軸 の 定 理(theorem 

theorem)

24,38

ヘ テ ロ ダ イ ン 検 波(heterodyne 

(Helmholz's 

185

constant)

２

287

298

12 164

面 積 速 度(areal 

velocity)

33

１

変 位(displacement) 変 位 ベ ク トル(displacement  変 位 電 流(displacement  偏 光(polarized 

73

ratio)

vector) current)

light)

偏 光 角(polarization 

angle)

１

モ ー メ ン ト(moment)

39,252

305

モ ル 比 熱(molar 

164

毛 細 管 現 象(capillarity)

166

heat  capacity)

181 92

力 学 的 相 似(dynamical 

や 行

105

similarity)

37

力 積(impulse) ヤ ン グ の 干 渉 縞(Young's 

interference 

fringe)

力 率(power 

154 ヤ ン グ の 実 験(Young's  ヤ ン グ 率(Young's 

152

experiment)

73

modulus)

256

誘 電 体(dielectric) 誘 電 分 極(dielectric 

polarization)

誘 電 率(permittivity) 誘 導 電 場(induction 

field)

長 板(quarter 

横 波(transverse 

wave 

32

離 心 率  (eccentricity)

理 想 サ イ クル(idealcycle) 理 想 機 関(ideal 

engine)

理 想 気 体(ideal 

gas)

流 管(stream 

202 202 ,174,184

tube)

94

line)

94

256

流 線(stream 

257

流 線 形(streamline 

291

流 体(fluid) 臨 界 制 動(critical 

1/4波

298

factor)

105

shape)

87 117

damping)

length  plate)170

124

wave)

レ イ ノ ズ ル 数(Reynold's 

number)

105

レ ン ズ(lens)

ら

150

行 ――に よ る 結 像(image 

乱 流(turbulent 

103

flow)

lens) 連 続 の 方 程 式(equation 

リア ク タ ン ス(reactance) リサ ジ ュ ー の 図 形(Lissajou's 

figure)

energy  conservation)

by

150 of continuity)

289,300

96,306

114

力 学 的 エ ネル ギ ー の 保 存 則(law  of mechanical 

formation 

29

ロ ー レ ン ツ 数(Lorentz 

number)

265

ロ ー レ ン ツ 力(Lorentz 

force)

273

理工学講座

改訂

物

理

学

1986年

１月20日

 第 １版 １刷 発 行

1991年

３月20日

第 １版 ７刷 発 行

1992年

３月10日   第 ２版 １刷 発 行

2007年

３ 月20日   第 ２版13刷

著 者

発行

発行所

青 野朋 義   阿部 陽 一 尾 林 見郎   加 瀬 邦 夫 木 下   彬 学校法人 東京電機大学

東 京電 機 大 学 出 版 局 代 表 者 加藤康太郎 〒101-8457

東 京 都 千 代 田 区 神 田 錦 町2-2 振 替 口 座    00160-5-71715

電話

印刷 ㈱精興社 製本 渡辺製本㈱ 装丁 高橋壮一

(03)5280-3433(営

業)

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集)

C  Aono  Tomoyoshi Abe 

Yoichi

Obayashi  Kase 

Chikao

Kunio

Kinoshita  Printed 

*本 書 の全部 また は一 部 を無 断 で複 写複 製(コ

Akira 

1986,1992

in Japan

ピー)す る こ とは,著 作

権 法 上 で の例 外 を除 き,禁 じ られ て い ます.小 局 は,著 者 か ら複 写 に 係 る権 利 の管 理 に つ き委託 を取 けて い ま すの で,本 書 か らの 複写 を希 望 され る場 合 は,必 ず小局(03-5280-3422)宛 ご連 絡 くだ さい. *無 断 で 転載 す る こ とを禁 じます. *落 丁 ・乱 丁本 はお取 替 えい た し ます. ISBN 

978-4-501-61260-3 

C3042

物理化学関係Ｃ書 理工学講座

理工学講座

改訂 物理学

改訂

量子物理学入門

物質工学 を学ぶ人のために 青野朋義/木下 彬/尾林見郎 著 青野朋義 監修

A5判298頁

A5判   348頁

理工系大学の一般教 養テキ ス ト 。 内容 を全面的に見 直 し徹 底的に補足修正 を加 えた改訂版。

理 工系大学の基礎課程 で物理 学に引き続 き,量 子物 理学 を学ぶための教科書 として編 集した ものである。 物理定数,数 学的補遺 を付録 としてつけ加 えた。

理工学 講座

理工学講座

量子力学演習

統計力学演習

桂 重俊/井上 真 共著

桂  重俊/井上 真 共著

A5判278頁

A5判302頁

本書は,非 相対論理的量子力学 を扱 った演習 書の形 式によ り,量 子力学の知識 が得 られ る。 特に厳選 し た問題 に詳 しい解説 をっ けた。

本書は,平 衡系の統計力学 を扱 った演習書 の形式 に よ り,統 計力学の知識が得 られ る。 特に厳選 した問 題に詳 しい解説 をつけ てある。

理工学講座

色彩工学

量子力学概論 原 子 ス ペク トル と分子 ス ペ ク トル

大田

篠原 正三 著

A5判   320頁

A5判

物理の立場か ら物質の勉学 をす るにはもちろん,化 学の方面か らの研究に も必要 な量子力学の基礎知識 を解説。

学生 ・技術者 ・研究者 を対象 に,色 彩工学 の基礎 と その発展 をCIE表 色系 を中心にバ ランスよ くまとめ る とともに,産 業界での応用例 も含 めて総合的 に集 大成 した。

物質工学講座

入門

 114頁

登 著

有機化学

高分子合成化学 山下雄也 監修 A5判426頁

佐野隆久 著

高分子化 学は急速 に進歩 し,高 性 能 ・高機 能を追求 した新 素材 が次 々と誕生 した。化 学専攻課程の教科 書 として最新の研究 を盛 り込んで執筆。

A5判296頁

高分子科学教科書

続高分子科学教科書

初 めて科学 を学ぶ 人を対象に,有 機 化学 と有機 化合 物の基礎的事項に重点 をおいて執筆 した。

材 料 ・加 工 ・応 用 編 F.W.ビ

ル メ イ ヤ ーJr著

F.W,ビ

ル メ イ ヤ ーJr著

田島守隆 訳

田島守隆/小川俊夫 共訳

A5判   492頁

A5判278頁

高分子 の物性 と合成の科学 を解説 した。大学 の関連 学科の教科書や技術者の参考 書に最適 である。

プ ラ スチ ック とエ ラ ス トマ ー を材 料 ご とに網 羅 し,重 合 ・製 造 ・応 用 と加 工 技 術 へ の発 展 に つ い て解 説 。

*定 価,図 書 目録 のお問 い合わせ ・ご要望は出版局までお願い致 します,

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