Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Методические указания и контрольные задания

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Оренбургский государственный университет” Кафедра алгебры и геометрии

В.В. ЛИПИЛИНА

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Рекомендовано

к

изданию

редакционно-издательским

советом

государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования “Оренбургский государственный университет”

Оренбург 2004

ББК 22.143+22.151.5 я 73 Л 61 УДК 512.81+514.12(075.8)

Рецензент кандидат физико-математических наук Отрыванкина Татьяна Михайловна

Липилина В.В. Л61 Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Методические указания и контрольные задания. – Оренбург: ГОУ ОГУ, 2004. – 33с.

Рассматривается методика решения некоторых задач линейной алгебры и аналитической геометрии. Методические указания рассчитаны на студентов заочного отделения инженерно-технических специальностей.

ББК 22.143+22.151.5 я 73 ©Липилина В.В., 2004 © ГОУ ОГУ, 2004

2

Введение В соответствии с российским государственным стандартом высшего образования курс математики для инженерно-технических специальностей университета делится на три основных раздела: 1) линейная алгебра и аналитическая геометрия. 2) математический анализ. 3) теория вероятностей и элементы математической статистики. Специальные курсы читаются в соответствии с учебным планом конкретной специальности. В соответствии с вышеуказанным делением на разделы студентызаочники изучают базовый курс математики в течение четырех семестров. В каждую сессию студенты должны сдать и защитить контрольные работы по соответствующему разделу и получить аттестацию в соответствии с планом (зачет или экзамен).

3

1 Содержание раздела “Линейная алгебра и аналитическая геометрия” Комплексные числа и многочлены. Определители и их свойства. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Правило Крамера. Метод Гаусса-Жордана. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица и ее нахождение.

Матричная

запись

СЛАУ.

Теорема

Кронекера-Капелли.

Однородные системы. Собственные векторы матрицы и их нахождение. Подобие матриц. Симметрические и ортогональные матрицы. Декартова система координат на плоскости в пространстве. Координатный метод. Векторы и действия над ними. Условия коллинеарности, ортогональности и компланарности. Вычисление площадей и объемов. Прямая на плоскости и в пространстве, плоскость в пространстве. Геометрический смысл линейных неравенств и системы линейных неравенств. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Нелинейные неравенства. Преобразование системы координат. Полярная система координат. Понятие о поверхностях второго порядка. Пространство R n . Матрицы перехода. Линейные пространства, базис, размерность. Линейные операторы. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Диагонализация. Теория квадратичных форм, критерий положительной определенности квадратичной формы. Приложения. Приближенные методы. Принцип сжатых отображений. Итерационные методы. Метод наименьших квадратов. Замечание: Для некоторых инженерно-технических специальностей в содержание раздела добавляются основные понятия дифференциальной геометрии и топологии. Эти вопросы помещены автором в учебное пособие по специальным курсам математики.

4

2 Рекомендуемая литература 1

Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1971.

2

Беклемишев Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М.: Наука, 1987.

3

Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1984.

4

Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. М.: Наука, 1980.

5

Гусак А.А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Справочное пособие к решению задач. М.: Наука, 1985.

6

Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М.: Наука, 1984.

3 Контрольные работы Контрольные работы составляются из

традиционных контрольных

заданий, приведенных в данном пособии. Распределение контрольных заданий по контрольным работам и сроки предоставления контрольных работ доводит до сведения лектор потока, кафедра алгебры и геометрии или учебная часть факультета. Студент выполняет свой вариант, который сообщает ему преподаватель. Контрольные работы выполняются в тетрадях или на сшитых листах формата А4. Титульный лист оформляется в соответствии с СТП 101-00. Обязательно указывается условие задачи, затем приводится подробное решение и ответ. Нумерация задач должна совпадать с их нумерацией в учебном задании.

5

Ответ приводится в конце решения и содержит все требуемые в задании результаты. Контрольные работы сдаются точно в срок, и их защита проводится в течение сессии. Данному

методическому

указанию

сопутствует

учебное

пособие,

содержащее достаточно полную теоретическую справку по разделу “Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии”. 3.1 Задачи для контрольной работы Задача 1 По четырем заданным точкам построить пирамиду и средствами векторной алгебры найти: объем пирамиды Α 1 Α 2 Α 3 Α 4 ; длину ребра Α 2 Α 3 ; площадь грани Α 1 Α 2 Α 3 ; угол между ребрами Α 1 Α 2 и Α 1 Α 4 . Координаты вершин пирамиды даны в таблице 1.

Задача 2 Средствами аналитической геометрии: 1) записать уравнение прямой, проходящей через точку Α 1 параллельно прямой Α 2 Α 3 ; 2) записать уравнение плоскости, проходящей: а) через прямую Α 2 Α 3 и точку Α 1 ; б) через точку Α 1 перпендикулярно прямой Α 2 Α 3 ; в) через три точки Α 1 , Α 2 , Α 3 ; 3) найти угол между прямыми

Α1Α 2

4) найти угол между плоскостями

иΑ 3Α 4 ;

Α1Α 2 Α 3

5) определить расстояние от точки Α 1 : а) до плоскости Α Α Α ; 2

б) до прямой 6

Α2Α3 .

3

4

и

Α 2Α3Α 4

;

Координаты точек даны в таблице 1. Таблица 1 Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Α1

(1,1,1) (0 ,5 , 0 ) (0 , 0 , 6 ) (2 , − 5 ,3 ) (6 , 0 , 4 ) (3, 2 , 4 ) (6 ,3,5 ) (5 , − 2 , − 1) (4 , 2 ,5 ) (4 , 2 , − 5 ) (4 , 4 ,10 ) (4 , 6 ,5 ) (3,5 , 4 ) (10 , 6 , 6 ) (1,8 , 2 ) (6 , 6 ,5 ) (7 , 2 , 2 ) (8 , 6 , 4 ) (7 , 7 ,3 ) (− 2 ,1, 2 ) (3, 2 , 7 ) (1,3, 2 ) (3,1, − 2 ) (− 2 ,1, 0 ) (2 , 2 ,5 ) (1, − 1, 6 ) (6 ,1,5 ) (1, − 2 ,1)

Α2

(− 1, 2 , 4 ) (2 ,3, − 4 ) (4 , 0 , − 4 ) (3, 2 , − 5 ) (0 , 6 , 4 ) (2 , 4 ,3 ) (5 , − 4 ,3 ) (4 , 0 , 0 ) (3, 0 , 4 ) (3, 0 , 4 ) (7 ,10 , 2 ) (6 ,9 , 4 ) (8 , 7 , 4 ) (− 2 ,8 , 4 ) (5 , 2 , 6 ) (4 ,9 ,5 ) (5 , 7 , 7 ) (10 ,5 ,5 ) (6 ,5 ,8 ) (4 , 0 , 0 ) (1,3, 2 ) (3, 2 , 7 ) (1, − 2 ,1) (2 , 2 ,5 ) (− 2 ,1, 0 ) (4 ,5 , − 2 ) (− 1,3, 0 ) (3,1, − 2 )

Α3

(2 , 0 , 6 ) (0 , 0 . − 6 ) (1,3, − 1) (5 , − 3, − 2 ) (4 . 6 , 0 ) (4 ,3, − 2 ) (3 . 5 , 6 ) (2 ,5 ,1) (0 , 0 ,3 ) (0 , 2 ,3 ) (2 ,8 , 4 ) (2 ,10 ,10 ) (5 ,10 , 4 ) (6 ,8 ,9 ) (5 , 7 , 4 ) (4 , 6 ,11 ) (5 ,3,1) (5 , 6 ,8 ) (3,5 ,8 ) (3, 2 , 7 ) (− 2 ,1, 2 ) (4 , 0 , 0 ) (2 , 2 ,5 ) (3,1, 2 ) (1, − 2 ,1) (− 1,3, 0 ) (4 ,5 , − 2 ) (2 , 2 ,5 )

Α4

(− 2 ,5 , − 1) (− 3,1, − 1) (4 , − 1, − 3 ) (− 5 ,3, 2 ) (0 , − 6 , 4 ) (− 2 , − 4 , − 3 ) (− 6 , − 1, 2 ) (1, 2 ,5 ) (5 , − 2 , − 4 ) (5 , − 2 , − 4 ) (9 , 6 ,9 ) (7 ,5 ,9 ) (4 , 7 ,8 ) (7 ,10 ,3 ) (4 ,10 ,9 ) (6 ,9 ,3 ) (2 ,3, 7 ) (8 ,10 , 7 ) (8 , 4 ,1) (1,3, 2 ) (4 , 0 , 0 ) (− 2 ,1, 2 ) (− 2 ,1, 0 ) (1, − 2 ,1) (3,1, 2 ) (1, − 1,5 ) (1, − 1, 6 ) (− 2 ,1, 0 ) 7

(4 , 0 , 0 ) (− 5 , 6 , − 1)

29 30

(− 2 ,1, 2 ) (6 , − 5 , 2 )

(3, 2 , 7 ) (0 , 0 , 2 )

(1,3, 2 ) (6 ,5 ,1) Задача 3

Решить систему линейных уравнений AX=B методом последовательного исключения неизвестных, выяснив предварительно вопрос о ее совместности с помощью теоремы Кронекера-Капелли. В случае неопределенности системы найти ее общее, базисное и любое частное решения. X = ( x1 , x2 ,....xn )

Т

 1 −1   2 1 3.1 А =  4 − 3  0  −1 − 2 4 

1 3 1 2 2

2  0    5 8   − 2 В = 3    1  4 5  7   

4 0 1   2     3 1 1   5 В=  3.2 А =   0 −4 2 −1      2  1 −1 2     

2 1 4   1  6 5 −3     4 5 − 6  0 1 −1 − 3 В=  3.3 А =   −4 −1 0 1 5 −1 0       5 5 −2   7 0 4 −3 

− 4   3 3.4 А =  9  5  −1 

8   2 3 7 11      3.5 A = 1 2 4 7  B =  4   20   5 0 10 5     

 −1   2 3.6 A =  − 1   5  2 

1 − 1 2 4      4 0 4 9  3.7 A =  В=  3 1 2 5    1 3 − 2 − 3     

2  1 3.9 A =  3  5 

3 4   3    2 6  5 В=   5 10 8     11 8 14   

 3  2 3.11 А =  4  10 

8

6  17  11   − 1

2 1 2 5

1 4  3    3 6  6 = В  1 0 1     14  5 14   

3.8

7 5  − 2    −1 2   3 8 1  В = − 7    15 6  −9  1  6 7   0 1 1 3 1

3 −5   − 3    −1 7   9  8 −8 В =  0    0 16   24   0  −1 − 2   

 0  3 − 7 4 −1 2      A= 5 1 −2 0 3  B =  4  −1 2 1 5 − 4  2    

 0  2 3.10 А =  −2   1 

1 −1 3 −4 0 1 2 −1

 2 0 1  3.12 А =  3 − 2 − 1  −1 2 2 

2  − 1    6  0 В= 0 3     − 1 3    3 2 1

5  − 3    3 B =  0  −3  2   

3  4 3.13 А =  1  6 

1 4 5 2 1 −2 3 3 2 −1 1 3

−1 4 1 −1

  6      9 = В   5      6   

 1 0 −3 −4   − 13      1 1   1 3  9 3.15 А =  В= 2 5 1 2  16       − 5 10  11  2 3      2  3 3.17 А =  −1   1 

2 −1 3 2

1 1  − 8    2 6  − 8 = В  −1  1 −2     − 5 0 − 1   

 −1 4 3  3.19 А =  − 2 7 5  −1 2 1 

2  0    1 3 B =  − 2   − 10  8 0   

0

−3 2 1 4   18       2 3 1 1  6 3.21 А =  В = −8  2 0 3 −1       4 1 −1 2  5     1 2  1 −1 3.23 А =  3 0  1 0   1   −1 3.25 А =  0   2  1 

3 0 7 0

2

3

0

4

2 6 4 5 −1 5

3 2 1 4   2     1 3 1 5   0 3.14 А =  В= 2 1 3 2 4      4 7 5 12   4     1  2 3.16 А =  1  5 

1 3 1  3    1 4 3  4 В= 2 5 0 5     13  4 13 6   

3  −1 3  −3 5 2 3.18 А =  −3 1 −5  −5 7 1  2  1 3.20 А =  3  8 

1 4 2 5

3 0  2    2 1  − 2 В= 0 2 6     2 7 12   

 2 2  −1 0 3.22 А =  2 1   1 1 

9 − 19 − 1   5    3 − 5 1 − 2 В =  5 −1 0 − 2      4 − 3 4 − 2   

1  11     1  7 В=   29 3     5 1   

1  1 3.24 А =  3  1 

0  1    1  −5  В = − 2 2    1  4 − 4  0  

 1 −1 5  −1 − 3 2 3.26 А =  3 5 1   7 9 7 

 2 1 −1 3   −8      1 −1 4 − 3   − 4 3.27 А =  В= 3 2 0 1 − 14       −1 3 1− 4   5    

2 5  6    3 4  4 В= 0 7 4     16  4 17   

2 6 3 0    −1 0 1   2 В=   2 0 7 3     4 0 0 1    7  5    4  − 2 В=   9 −1     23  5   

 2 1 11 2   5      1 0 4 −1   0 3.28 А =  В=   11 4 5 5 20      2 −1 5 − 6  − 5    

9

 0  2 −1 − 3 − 2 4      3.29 А =  4 − 2 2 1 7  В = 12  12   2 −1 1 8 2     

8 7  3.30 А =  3 2 2 3 

Задача 4 Выполните действия над матрицами.  3 4 1  1 5 3 4  1 3        1 2 4 1  4.1  2 1 5  ×  2 − 1 0 1 +  5 0  ×   6 4 1   2 0 1 3  1 − 4   0 1 3 1       

 1   2  2 1 0 1 3   × 5 4.2  3 0 1 2 4  −1   2 

3 4  0 1 1 0 3    1 4 1    ×  3 2 1 1 − 4  +   2 1 3   0 2   2 1 5 1 3 

1 3 4  1 − 3 4 1   5 2   2 7 1 3        4.3  5 1 4  ×  2 1 0 2  + 1 − 6  ×  0 1 2 11   3 1 4 3 1 5 7   2 0      

7 1 − 3 4 5     0 4.4  0 1 − 2 3  ×  1 1 1 2   5   1  2  3 4.5  6  7 

2  1 1 1  1 2     1  3 2 2 1 0 + − ×     3      5 − 4 0   2 3  4 

4 5 1 3    1 3 5 4    1 − 4   2 1 4 5  3 1   × × 4 −1 0 2  +  7 1  5 0  1 0 6 4     6 0 3 7    5 3   4 1  

3 2 1   2 5 4 3  3 1   1 0 3 1        4.6  4 1 6  ×  2 − 1 0 2  +  6 2  ×  2 1 6 2    6 4 2   3 0 4 1  1 − 4       

10

5  10     1 4 В =  6 − 2 2 − 3    4

2  1 1 2 0 4 3    × 5 4.7   2 1 3 2 0  2  1 

5   2 4 − 2 3  2  ×  4.8  6 3 5 2 6 4 

4.9

3 4  0 1 0 3 1   2 1 4    ×  3 2 1  1 − 1 +   3 2 3   − 1 2   2 5 3 2 3 

3 8  3 1 2  4 0  6 0 5   ×  4 6 3  −   7 2 4 2 7    2 3 5    2 1

3 1 4   2 3 4   3 2        8 − 1 4    5 2 1 ×  4 2 1 −  1 6  ×  1 6 7 −    6 1 2  1 0 4   7 2       

 − 4 1 2 5 −1 3 4   4 2         1 2 4 3  4.10  5 0 7  ×  2 0 1 6  −  1 2  ×  2 4 6 7   6 2 4  4 − 3 2 3   3 − 6       

2 1

4.11 

3 1 − 5    3 1 1  2 0 1   1 4 3 0  2 3 4    × 5 2 − 1 +   ×  4 0 2   1 0 2  − 4 3 1 − 2  3 5 − 1  2 3 − 4   1 3 2   

 3   1 4 −1 2  1  ×  4.12   3 − 1 5 3  − 7  4 

2 1   1 2 3  4 0  1 0 4    ×  3 4 2  −   1 3  2 − 3 5     − 2 5 0 1 2 

1 2  0 1 2 4   − 1 2  0 1   2 1 − 3 1    −  − 1 2 − 1 − 1 ×  4.13  4 1  ×   3 − 1  0 2 − 1 3  2 1 3 0   3 − 4  6 1    

− 1 − 2  5 4 0 1  − 1 0 

 5 1 0   3 2 1   − 1 0 2 3   − 1 2 1  4 1 6    ×    2 5 3 + × − 4.14        − 2 1 5 − 4   0 − 2 1  2 − 1 0   0 1 2     1 4 −1   

11

4.15

 −1 2 3    0 1   0 1 2  5 −1 3 −1   1 −1 1 2 − 1 0 4     ×   × − 2 3 4 −    2 1 3 2 1  1 − 1 1   0 2 1 2   2 3   −1 2   1 4 −1   

 3  4 0 2  − 5 2     1  1 2 − 1  ×  1 − 2 −  4.16   −1 −1 0 2   3 1     2 − 2 1 3    − 4   2 4.17  1   0 

2  1 0  3 

1 −1    2 4  4 0  ×  6 − 1  0 5    − 1 3  1 − 1

3  2 − 2 3    3 − 1 0 2 4   1  0 1 − 1 2 3   − 1 1 0     × × 3 2 1 1 4 +     − 1  1 2 3 − 5 4   1 2 1      − 1 − 2 0 1 5    0 0 4 1  

− 2  3 4 1 2    3  4.18  − 1 1 0 2  ×   − 2 0 1 − 4  − 1   2  

 5 − 1   1   0 4 − 2 1 3   − 2 3  5  −  9 7 − 5 0 2 ×  0 1     1    − 2 1 3 − 1 2   − 1 1  4   3 4  

 3 −1   5 1 − 4    −1 2 3 − 4     2 4  − 2 6 5 1   2 −3 1  × − 2 0 1 1 −  4.19   ×  1 0 3 − 2  − 0 1 2  5 0      0 1 2 3       − 4 5 1  1 3  − 2   6 5 − 3 2 1  1   4.20  0 1 − 1 − 3 4  ×  0 −1 1 1 5 −1 −1    2 

1  − 5 3  1 −1 2 0     0 4 +  3 0 1 1  ×   1 6   − 1 4 0 1   − 3 − 1

 1 −1  2 − 4  2 − 1 1 0 4 − 2  1 1  ×  4.21  − 0 1 1 2 3 5  0 3  0 − 2  1 0 

12

1  7 − 1  8 

0  3  5   5  1 3 − 5 0  − 2 − × 4   0 1 2 − 1   1  −1 1   5

1 − 1  1 4 3 0  2 1

 7 −1 2     −1 2 3   0 2 4 1 − 1    3 2 1 − 4.22 1 5 − 3 0 4  ×  0 1 1 −    2 − 1 1 1 3   − 2 0 2         3   1 4.23  −5   2 

 5 − 1  − 2 6 5 1     − 4 1  ×  1 0 3 2 −    0 2  

3 −5 −3 3   −1 0      4 1   − 1 − 3 0 − 4  × −1 1  −   ×  4 2  2 5 4 3  −    2 − 5        1 − 2  1 −1 

 2  3 −1 2   −1 3     0  − 1 0 − 2  × − 2 1 4.24   +  1 1 −3     1    5 4 − 2   1 4  −1   

 0  2 1 − 3 4    1  4.25  − 1 0 − 2 5  ×   4 6 1−2  3  − 3  

− 4 1  1 2

4.26 

 3 −5  − 4 3 4.27  1 4   0 −1 

3 3

− 1 5 4   − 3 0    1 −1 2   1 −1 × 3 4 0  2 3    1 2 − 3   − 1 4 

1 − 5   4 −5   5 3 − 1  2 6   −  1 − 2  ×   0 5  4 − 1 2     −6 1 1 4  

 2  −1 2 − 5  × 2 4 0   − 5  3 

− 1   4 0   4 6 2 3 1 4 6 −      ×  1  −   − 7 0 − 3 2  − 4 − 1   0   1 0   1 

4 1  0   − 2 5     1 − 1  4 − 3  2   ×  1 −7− × 3  − 1 0   0 2     3 − 1   1    3 5

 −1 0 2    3 − 1 3 1 4   2 3 − 1  7 1       2 − 1 3  4.28  − 1 0 1 3 5  ×  0 4 1  +  − 1 4  ×   4 6 2 2 − 1  1 2 0   5 2   4 0 1      − 3 −1 1   

13

 6 −1 4   7 −1     1 2     1 − 5  − 1 2   2 3 − 2   ×  0 1 −  × 4.29  3 0 − 3  − 2 0   − 3 1        4 2 7   −1 0  1 3       1 0 3 − 5 1 3 4   3 2        1 3 4 5  4.30  − 2 1 1 ×  1 0 − 1 0  +  0 5  ×   7 − 4 0   3 1 4 − 2   − 1 2  − 1 − 2 1 0      

Задача 5 Решите систему линейных уравнений (таблица 2) а11 х1 + а12 х2 + а13 х3 = в1 ,  а21 х1 + а22 х2 + а23 х3 = в2 , а х + а х + а х = в 32 2 33 3 3  31 1

с помощью обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы выполнить двумя способами: с помощью алгебраических дополнений и путем элементарных преобразований. Таблица 2 Коэффициенты системы линейных уравнений Номер варианта а11 а12 а13 а 21 а 22 а23 а31 а32 а 33 в1 в2 в3 1 3 -1 1 2 -5 -3 1 1 -1 4 -17 0 2 1 1 1 2 -1 -6 3 -2 0 2 -1 8 3 2 -1 -3 3 4 -5 0 2 7 3 -8 17 4 1 1 1 2 -1 1 1 -1 2 6 3 5 5 2 1 -3 1 2 1 3 -1 2 7 4 -1 6 1 1 1 2 3 -4 3 2 2 2 -4 7 7 3 -1 0 -2 1 1 2 -1 4 5 0 15 8 2 -1 1 1 -3 -5 3 1 -7 8 6 -4 9 4 3 -9 2 3 -5 1 8 -7 9 7 12 10 3 2 1 2 3 1 2 1 3 0 2 2 11 1 -2 3 2 3 -4 3 -2 -5 -7 17 5 12 4 -3 2 2 5 -3 5 6 -2 -7 12 16 13 1 1 2 2 -1 2 4 1 4 8 6 18 14 2 -1 -1 3 4 -2 3 -2 4 0 -5 -5 15 3 4 2 2 -1 -3 1 5 1 24 2 26 16 1 1 -1 8 3 -6 -4 -1 3 -2 3 -3 17 1 -4 -2 3 1 1 -3 5 6 1 -9 11 18 7 -5 1 4 1 -1 2 3 4 0 7 -3 19 1 2 4 5 1 2 3 -1 1 6 12 1 20 3 4 1 -1 1 0 -2 0 1 -1 3 5 21 -1 2 1 7 -10 -5 4 -7 -6 0 -2 -8 22 1 -1 -3 2 -1 -2 -1 3 2 10 9 -5 14

23 24 25 26 27 28 29 30

-1 1 1 2 3 4 -1 3

3 -1 1 1 7 3 2 2

5 3 2 -2 6 1 4 1

2 2 -1 1 4 2 -3 2

-3 -5 2 -3 2 1 2 1

-7 1 1 0 1 3 1 6

2 -1 4 0 2 3 4 4

-3 4 -3 3 3 2 6 0

-5 -1 2 -1 7 4 3 2

-9 -2 1 -9 2 1 9 -2

12 -2 -4 20 -4 5 1 9

10 3 9 -22 9 7 16 6

15

r r r

Задача 6

r r r

r

Даны две системы векторов: а1 , а2 , а3 и b1 , b2 , b3 . Определить, какая из этих систем образует базис; разложить вектор m по этому базису (таблица 3). Таблица 3 Номер варианта

r а1

r а2

r а3

r b1

r b2

r b3

r m

1

(3, 4, 1)

(2, -1, 0)

(-2, 3, 1)

(2, 3, 1)

(-1, 1, 2)

(3, 7, 4)

(4, 7, 1)

2

(5, -1, 4)

(1, 2, 3)

(4, -2, 1)

(1, -1, 2)

(2, 1, 1)

(4, -1, 5)

(1, 4, 3)

3

(2, 0, -1)

(3, -5, 4)

(0, 0, 2)

(1, 1, 1)

(-2, 3, 0)

(-3, 7, 1)

(3, -5, 6)

4

(-1, 1, 3)

(1, 3, 1)

(2, -1, -1)

(-3, 1, -1)

(1, -1, 1)

(-1, -1, 1)

(-3, 5, 8)

5

(-5, 7, 4)

(1, 3, 1)

(2, -1, -1)

(5, 2, 3)

(1, 0, 5)

(2, 1, -1)

(0, 8, 3)

6

(1, 0, 1)

(-1, 1, 2)

(3, 5, 1)

(2, -1, 3)

(1, 1, -4)

(4, 1, -5)

(2, 1, -2)

7

(2, 1, 3)

(-1, 0, 1)

(0, 1, -1)

(2, -2, 1)

(-1, 0, 1)

(-1, -2, 4)

(5, 3, 10)

8

(1, -2, 1)

(3, 4, -1)

(2, 6, 2)

(2, 2, 3)

(1, 2, 3, )

(1, 1, 1)

(3, 0, -2)

9

(4, -2, 3)

(1, -3, 1)

(-3, -1, -2)

(1, 1, 1)

(0, 1, 1)

(0, 0, 1)

(5, 6, -3)

10

(4, 2, 3)

(1, -3, 1)

(-2, 0, 2)

(4, -1, 3)

(1, 1, -2)

(7, 2, -3)

(3, 2, -1)

11

(3, 2, -2)

(3, -2, -1)

(1, 1, -1)

(1, -1, 5)

(2, 3, -4)

(1, 2, 1)

(3, -5, -1)

12

(2, 2, 1)

(1, -3, 1)

(-1, 0, 1)

(-2, 1, -3)

(2, 4, 8)

(-2, 6, 2)

(-3, -5, 1)

13

(3, 0, 5)

(1, -2, 1)

(6, -6, 8)

(1, 0, 0)

(1, 1, 0)

(1, 2, 1)

(3, -5, 1)

14

(2, 3, 1)

(-1, -3, 4)

(0, -3, 9)

(1, 2, 0)

(0, -3, 0)

(2, 1, 1)

(5, -6, 3)

15

(3, -3, 3)

(1, -3, 2)

(5, -9, 7)

(4, 1, -2)

(2, -3, 0)

(3, 1, -2)

(7, -1, -3)

16

Координаты векторов

Продолжение таблицы 3 Номер

Координаты векторов

варианта

r а1

r а2

r а3

r b1

r b2

r b3

r m

16

(2, 1, -1)

(2, -3, 0)

(1, 1, -1)

(3, -2, -1)

(1, 1, 5)

(1, -4, 9)

(6, -5, 3)

17

(3, 3, 1)

(2, -2, 1)

(2, 1, 1)

(-2, 3, 4)

(-1, -1, -2)

(0, 5, 8)

(1, 0, 5)

18

(1, -1, 7)

(2, 3, -1)

(3, 7, -9)

(2, 1, 4)

(1, -3, 8)

(5, 0, 3)

(0, -3, 1)

19

(0, 3, 0)

(1, -4, 2)

(2, 3, 2)

(1, -2, 3)

(4, -4, 3)

(6, -8, 9)

(-3, 5, 1)

20

(-1, 4, 2)

(0, -5, 0)

(2, 3, 2)

(1, -1, 8)

(2, -1, 5)

(3, -2, -2)

(-2, 3, 4)

21

(3, 2, -2)

(1, 0, 1)

(4, -1, 3)

(1, -3, 4)

(1, -2, -3)

(-1, 4, -11)

(13, 3, 2)

22

(4, 1, 5)

(1, 3, 4)

(-2, 2, 1)

(-2, 1, -2)

(1, -3, 5)

(0, -5, 8)

(5, -5, -1)

23

(5, 1, 2)

(0, -3, 1)

(3, 8, 4)

(2, 3, -8)

(1, 2, 3)

(4, 7, -2)

(2, -10, -1)

24

(3, 3, -8)

(1, 2, -5)

(1, -1, 2)

(2, 1, 0)

(2, -4, 3)

(-1, 2, 0)

(6, 0, 5)

25

(3, 5, 8)

(-2, 2, 1)

(-1, 1, 10)

(2, 0, -1)

(3, -5, 4)

(2, 0, 2)

(3, 1, 0)

26

(3, -1, 0)

(3, -2, 1)

(5, -2, 1)

(4, 1, 3)

(-1, 3, -1)

(2, 7, 1)

(11, -5, 2)

27

(9, 3, -4)

(2, -1, 3)

(7, 4, 1)

(1, -2, 7)

(3, 1, -4)

(5, -3, 10)

(28, 16, 12)

28

(5, -5, 8)

(1, -5, 7)

(4, 0, 1)

(2, 7, 8)

(1, -3, -5)

(4, 1, -2)

(-6, -10, 12)

29

(5, 6, 5)

(3, -5, 2)

(2, -1, 3)

(3, 1, -6)

(1, -3, 2)

(5, -5, -2)

(6, -3, 9)

30

(7, 3, -1)

(-1, 3, 2)

(6, 0, 3)

(1, 1, 4)

(-2, 3, 1)

(0, 5, 9)

(-4, -12, -10)

17

Задача 7 Найти наибольшее и наименьшее значения целевой функции f ( x, y ) на множестве (многоугольнике) решений системы линейных неравенств. Построить область, на которую матрицей А отображается многоугольник допустимых решений. Рассмотрим пример представления исходных данных сформулированной задачи для нулевого варианта f ( x, y ) = − x + 2 y

− x + 2 y ≤ 6, 2 x + 3 y ≤ 16,   x − y ≤ 3,  x ≥ 0,   y ≥ 0.

 5 3  (1) A =   3 5

в виде числовой кодированной строки (числа вносятся в (1) последовательно по строкам): (-1, 2), (-1, 2, ≤ 6; 2, 3, ≤ 16; 1, -1, ≤ 3; 1, 0, ≥ 0; 0, 1, ≥ 0), (5, 3, 3, 5). Составьте для своего варианта из таблицы 4 целевую функцию, систему неравенств, матрицу А и решите задачу. Таблица 4 Номер Целевая Система неравенств Матрица А варианта функция 1 (2, 3) (-1, 2, ≤ 4; 5, 2, ≤ 10; 4, -3, ≤ 2; 7, 4, ≥ 28) (5, -4, -4, 5)

18

2

(-1, 3)

(2, 1, ≤ 6; 3, -2, ≤ 6; -1, 1, ≤ 1; 1, 1, ≥ 1)

(1, 2, 2, 1)

3

(2, -1)

(2, -1, ≤ 4; 3, 2, ≤ 7; 1, -1, ≥ -3; 3, 1, ≥ -3)

(3, 5, 5, 3)

4

(2, 1)

(3, -5, ≥ -15; 4, -1, ≥ 4; 3, 1, ≥ 64 3, -2, ≤ 8)

(7, -1, -1, 7)

5

(-1, 4)

(1, 3, ≤ -2; 5, 1, ≤ 5; 1, -1, ≤ 8; -1, -1, ≤ 4; 1, -1, ≥ 0)

(11, -10, -10, 4)

6

(1, -4)

(1, -3, ≤ -2; 1, 1, ≤ 5; 1, 0, ≤ 2; 0, 1, ≤ 4; 1, 0, ≥ 0)

(4, 12, 12, 11)

7

(3, -2)

(2, 1, ≥ 2; 1, 3, ≥ 3; -1, 1, ≤ 1; 3, -1 ≤ 6; 1, 1, ≤ 5)

(3, 1, 1, 3)

8

(1, -2)

(1, -1, ≥ -4; 9, 8, ≤ 72; 2, -3, ≤ 6; 1, 0, ≥ -2)

(5, 2, 2, 5)

9

(-1, 3)

(1, -2, ≥ -2; 4, -3, ≤ 12; 7, 6, ≤ 42; 2, 1, ≥ 0)

(0, 3, 3, 8)

Продолжение таблицы 4 Номер Целевая Система неравенств варианта функция 10 (5, -1) (9, 4, ≤ 36; -3, 4, ≥ -6; 6, 7, ≤ 42; -1, -1, ≤ 4; 0, 1, ≤ 5)

Матрица А (0, 1, 1, 0)

11

(1, 5)

(1, -1, ≥ -3; 1, -1 ≤ 0; 6, -5 ≤ 30; 1, 0, ≤ 4; 1, 0, ≥ 0)

(0, 2, 2, 3)

12

(-1, -1)

(-3, 4, ≤ 12; 2, 1, ≤ 16; 1, -1, ≤ 4; 1, 1, ≥ 1; 0, 1, ≤ 5)

(25, -2, -2, 25)

13

(1, 1)

(-1, 1, ≤ 3; -5, 2, ≥ 10; 7, 5, ≤ 35; 2, 1, ≥ -2)

(5, 6, 6, 0)

14

(-1, -2)

(-2,3, ≤ 6; 2, 3, ≤ 12; -2, -1, ≤ 2; -4, 3, ≥ -12)

(4, -12, -12, -11)

15

(3, -7)

(-1, 2, ≤ 4; 5, -2, ≤ 10; 1, 1, ≥ -3; 0, 1, ≤ 3)

(7, 12, 12, 0)

16

(3, -4)

(2, -3, ≤ 12; 5, -3 ≥ 15; 1, 0, ≥ 4; 0, 1, ≤ 4)

(1, 3, 3, 1)

17

(5, 1)

(2, -1, ≥ -4; 2, -5, ≤ 10; 1, 0, ≤ 7)

(3, -1, -1, 3)

18

(-1, 2)

(1, 1, ≥ -2; 3, 2, ≤ 12; -3, 4 ≥ -12; 1, 0, ≤ 3; 0, 1, ≤ 3)

(5, 2, 2, 2)

19

(-1, -2)

(2, 3, ≥ -6; -3, 1, ≤ 3; 1, -5, ≤ 5; 1, 3, ≤ 2)

(6, -2, -2, 3)

20

(-1, 2)

(2, 1, ≥ 2; -1, 3, ≥ 0; 1, 1, ≤ 7; 3, -1, ≤ 6)

(23, 36, 36, 2)

21

(1, -3)

(1, -1, ≥ -3; 8, 5, ≤ 40; 2, 4, ≥ -8; 2, 1, ≥ 0)

(29, 12, 12, 71)

22

(2, 2)

(3, -4 ≤ 0; 8, 7, ≤ 56; 4, 3, ≥ 6; 3, -2 ≥ -12)

(9, -2, -2, 6)

23

(3, -1)

(5, 3, ≤ 15; -3 2, ≤ 6; 1, -1, ≤ 5; 1, 1, ≥ -1)

(3, -2, -2, 0)

24

(2, 1)

(2, 1, ≤ 4; 2, 3, ≥ 6; 2, -5, ≤ 0; 1, 0, ≥ 0)

(5, 2, 2, 8)

25

(4, -1)

(13, 10, ≤ 65; 3, -1, ≥ 0; 1, -2, ≥ -4; 1, 0, ≤ 4; 0, 1, ≥ 0)

(2, 3/2, 3/2, 4)

26

(2, 6)

(2, -1 ≥ 0; 15, 7, ≤ 105; 4, -7, ≤ 14; 0, 1, ≤ 6)

(2, 2, 2, 5)

27

(2, 2)

(2, 1, ≥ 2; 1, 3, ≥ 3; 3, -1, ≥ 0; 3, -1, ≤ 6; 1, 1, ≤ 5)

(2, 3, 3, -6)

28

(-1, 1)

(1, -1, ≥ -4; 2, -3, ≤ 6; 2, -1, ≥ 0; 3, 5, ≤ 15; 1, 0, ≥ -2)

(1, -3, -3, 1)

29

(4, -1)

(2, 1, ≤ 8; 1, 1, ≥ 1; -4, -5, ≤ 20; 0, 1, ≤ 4)

(3, 6, 6, 3)

30

(1, -4)

(1, -1, ≥ -3; 2, -1, ≤ 2; 1, 2, ≥ -2; 1, 0, ≤ -3; 0, 1, ≤ 7)

(13, 3, 3, 5) 19

Задача 8 Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка Ax + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 и построить эту кривую (таблица 5). Коэффициенты уравнения кривой Номер варианта А В С D E F 1 5 -8 5 -36 36 126 2 1 4 1 6 6 -18 3 3 10 3 -12 -12 7 4 7 -2 7 -48 -48 144 5 11 -20 -4 -20 -8 -148 6 7 -2 7 -28 4 -20 7 3 2 3 14 -6 15 8 5 4 2 20 20 14 9 8 6 0 -12 -2 11 10 0 2 0 4 2 3 11 0 4 3 16 12 -36 12 25 -4 25 54 -54 -567 13 5 12 0 22 12 -19 14 4 -24 11 20 10 -124 15 7 24 0 38 24 175 16 1 6 1 6 2 -3 17 3 -2 3 4 4 -4 18 1 -1 1 2 -4 0 19 1 -8 7 6 -6 -9 20 23 72 2 0 0 -25 21 29 144 71 -40 30 -50 22 9 -4 6 6 -8 2 23 3 -4 0 16 12 -36 24 5 4 8 -32 -56 80 25 4 4 1 -30 10 75 26 2 4 5 -6 -8 -1 27 1 -6 1 -4 -4 12 28 3 12 3 6 -6 3 29 0 6 8 -12 -26 11 30 8 -4 5 -16 40 44 2

20

4 Методические указания к выполнению расчетного задания Для выполнения и защиты контрольной работы необходимо владение следующими основными теоретическими вопросами курса «Линейная алгебра и аналитическая геометрия»: 1. Определения и свойства скалярного, векторного и смешанного произведения векторов. 2. Определение линейного векторного пространства. 3. Признаки линейной зависимости системы векторов. 4. Определение евклидова линейного пространства. Основные метрические понятия. 5. Матрицы и действия над ними. 6. Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы. 7. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений. 8. Линейные преобразования Произведение линейных преобразований. 9. Преобразование ортонормированного базиса в ортонормированный. Ортогональные матрицы. 10. Преобразование декартовых координат на плоскости и в пространстве. 11. Собственные векторы и собственные значения матрицы. 12. Приведение квадратичных форм к каноническому виду. 13. Прямая линия и плоскость. Задача 1 Средствами векторной алгебры найти: объем пирамиды с вершинами А1 , А2 , А3 , А4 ; длину ребра А2 А3 ; площадь грани А1 , А2 , А3 ; угол между ребрами А1 А2 и А1 А4 . Даны координаты вершин пирамиды А1 (5, 1, − 4), А2 (1, 2, − 1), А3 (3, 3, − 4), А4 (2, 2, 2) . Решение. Построим схематически данную пирамиду (рисунок 1). z А4 А2

y

x А3 А1

Рисунок 1 1. Рассмотрим векторы А1 А2 , А1 А3 и А1 А4 . Зная координаты точек Аi (i = 1, 2, 3, 4) , вычислим координаты этих векторов: А1 А2 = ( x 2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1 ) = ( −4, 1, 3); 21

А1 А3 = ( x 3 − x1 , y 3 − y1 , z 3 − z1 ) = ( −2, 2, 0); А1 А4 = ( x 4 − x1 , y 4 − y1 , z 4 − z1 ) = ( −3, 1, 6).

Объем пирамиды равен модулю одной шестой доли смешанного произведения векторов А1 А2 , А1 А3 , А1 А4 : −4 1 3 1 1 V = − 2 2 0 = ⋅ (−24) = 4 . 6 6 −3 1 6

2. Найдем длину ребра А2 А3 : А2 А3 = ( x 3 − x 2 ) 2 + ( y 3 − y 2 ) 2 + ( z 3 − z 2 ) 2 = 4 + 1 + 9 = 14

3. Вычислить площадь грани А1 , А2 , А3 . Площадь ∆А1 А2 А3 равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах А1 А2 и А1 А3 . Площадь параллелограмма, построенного на векторах А1 А2 и А1 А3 , совпадает с модулем векторного произведения А1 А2 × А1 А3 , а поэтому площадь ∆А1 А2 А3 . r r r i j k r r r 1 S ∆А1 А2 А3 = А 1 А2 × А 1 А3 = 1 / 2 − 4 1 3 = 1 / 2 6i − 6 j − 6k = 3 3 2 −2 2 0

4. Найдем угол между ребрами А1 А2 и А1 А4 . Угол ϕ между векторами А1 А2 и А1 А4 вычислим по формуле: cosϕ =

А1А2 × А1А4 А1А2 × А1А4

=

(−4) ⋅ (−2) +1⋅ 2 + 3⋅ 0 (−4)2 +12 + 32 ⋅ (−2)2 + 222 + 02

=

10 ≈ 0,69 4 13

По таблицам ϕ ≈ 46o20' . Литература /1/, /гл. I, парагр. 3/. Задача 2

Средствами аналитической геометрии: 1)записать уравнения прямой, проходящей через точку Α 1 параллельно прямой Α 2 Α 3 ; 2) записать уравнение плоскости, проходящей: а) через прямую Α 2 Α 3 и точку Α 1 ; б) через точку Α 1 перпендикулярно прямой Α 2 Α 3 ; в) через три точки Α 1 , Α 2 , Α 3 ; 3) найти угол между прямыми Α 1 Α 2 и Α 2 Α 4 ; 4) найти угол между плоскостями Α 1 Α 2 Α 3 и 5) определить расстояние от точки Α 1 : а) до плоскости Α 2 Α 3 Α 4 ; б) до прямой Α 2 Α 3 . 22

Α 2Α3Α 4

;

Координаты точек А1 (5, 1, − 4), А2 (1, 2, − 1), А3 (3, 3, − 4), А4 (2, 2, 2) Решение. 1. Запишем канонические уравнения прямой, проходящей через заданную r точку А1 (1, 1,1) параллельно вектору S = ( m, n, p ) , называемому направляющим: x −1 m

y −1

=

=

n

z −1

(1)

p

Так как, прямые (1) и Α 2 Α 3 должны быть параллельны, то в качестве направляющего для прямой (1) может быть выбран вектор А 2 А 3 = (2-(-1);

0-2, 6-4) = (3,-2,2).

Уравнение прямой (1) примет вид x −1

=

y −1

=

z −1

. 3 −2 2 2. а) Записать уравнение плоскости, проходящей через точку Α 1 и прямую Α 2 Α 3 . Так как точки Α 1 , Α 2 и Α 3 принадлежат искомой плоскости, то можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки

(x1 , y1 , z1 ), (x 2 , y 2 , z 2 ), (x3 , y3 , z 3 ) : x − x1

y − y1

z − z1

x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 = 0

(2)

x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

Подставляя в уравнение (2) координаты точек Α 1 , Α 2 , Α 3 получим: x −1 −1 −1 2 −1

y −1

z −1

x −1

y −1

2 −1 4 −1 = 0 ⇒ − 2 1 0 −1 6 −1

1 −1

z −1

3 = 0 ⇒ (x − 1)(5 + 3) − ( y − 1)(− 10 − 3) + (z − 1)(2 − 1) = 0 ⇒ 5

8 x + 13 y + z − 22 = 0

б) Записать уравнение плоскости, проходящей через точку Α 1 и перпендикулярно прямой Α 2 Α 3 . Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку r (x1 , y1 , z1 ) перпендикулярно вектору N = ( A, B, C ), называемому нормальным, имеет вид: A(x − x1 ) + B( y − y1 ) + C (z − z1 ) = 0. (4) r Направляющий вектор прямой S = (3,−2,2) . Если прямая перпендикулярна плоскости, то направляющийr вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны. Поэтому вектор S = (3,−2,2) можно взять в качестве нормального вектора плоскости, и уравнение (4) для искомой плоскости запишется в виде: 3(x − 1) + (−2)( y − 1) + 2(z − 1) = 0 ⇒ 3x − 2 y + 2 z − 3 = 0. (5) 23

в) Записать уравнение плоскости, проходящей через три точки Α 1 , Α 2 , Α 3 . Подставим координаты точек в уравнение (2): x−2 y −0

z −6

x−2

y z −6

− 2 = 0 ⇒ (x − 2)(− 14 + 10) − y(21 − 8) + (z − 6)(− 15 + 8) = 0 ⇒

−1 − 2 2 − 0 4 − 6 = 0 ⇒ − 3

2

− 2 − 2 5 − 0 −1 − 6

5 −7

−4

4x − 13y − 7 z + 34 = 0.

Найти угол между прямыми Α 1 Α 4 и Α 2 Α 4 . Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. r Направляющий вектор прямой Α 1 Α 2 → S 12 = (− 2 ,1,3 ), направляющий вектор r прямой Α 1 Α 4 → S 14 = (− 3 , 4 , − 2 ) :

 r ∧r  cos ϕ = cos S , S  =  12 14   

(− 2 ) ⋅ (− 3 ) + 1 ⋅ 4 + 3 ⋅ (− 2 ) (− 2) + 1 + 3 ⋅ (− 3) + 4 + (− 2) 2

2

ϕ = arccos

2

2

=

2

2

4 14 ⋅ 29

;

4

1 ≈ arccos = 78 o 20' . 5 406

4. Найти угол между плоскостями Α 1 , Α 2 , Α 3 и Α 2 , Α 3 , Α 4 .Угол между плоскостями можно определить как угол между их нормальными векторами. Из уравнения плоскости Α 1 , Α 2 , Α 3 (3) следует, что ее нормальный вектор r Α 2 , Α 3 , Α 4 (6) определяем ее N 123 = (8, 13, 1). Из уравнения плоскости r нормальный вектор N 234 = (4, − 13, − 7) :

 r ∧r  cosα = cos N , N  =  123 234   

( )

8 ⋅ 4 + 13 ⋅ (−13) + 1 ⋅ − 7 2

2

2

2

2

( )

8 + 13 + 1 ⋅ 4 + (−13) + − 7

=

2

− 130 234 ⋅ 234

= −0,56;

α = arccos(−0,56) ≈ 90 o + 56 o = 146 o . 5. Определить расстояние от точки Α 1 :

а) до плоскости Α 2 Α 3 Α 4 . Расстояние

от

точки

с

координатами

(x1 , y1 , z1 )

до

плоскости

Ax + By + Cz + D = 0 ищем по формуле d=

Подставляя

24

A2 + B 2 + C 2

(7)

точки А1 (1, 1, 1 ) и нормального r N = (4, − 13, − 7) в формулу (7), получим

координаты

плоскости Α 2 Α 3 Α 4

Ax1 + By1 + Cz1 + D

вектора

d=

б) до прямой

4 ⋅1 + (−13) ⋅1 + (−7) ⋅1 + 34 4 2 + (−13) 2 + (−7) 2

=

18 234

≈ 1,18.

Α2Α3 .

Расстояние от точки Α 1 до прямой

Α2Α3

от точки Α 1 до точки пересечения прямой через точку Α 1 перпендикулярно прямой Найдем точку пересечения прямой

можно определить как расстояние Α2Α3

Α2Α3 , Α2Α3

с плоскостью, проходящей

т.е. с плоскостью (5).

с плоскостью (5).

Запишем параметрические уравнения прямой  x = −3t − 1;   y = −2t + 2;  z = 2t + 4. 

(8)

Определим параметр t, соответствующий точке пересечения прямой и плоскости, из совместного решения уравнений (5) и (8): 3(-1+3t)-2(-2t+2)+2(2t+4)-3=0 ⇒ 17 t = 2 ⇒ t = 2 / 17 . Координаты точки пересечения М плоскости (5) и прямой (8): 2 11 −1 = − ; 17 17 2 30 y = −2 ⋅ + 2 = ; 17 17 2 72 z = 2⋅ + 4 = . 17 17 x = 3⋅

Искомое расстояние d от точки Α 1 до прямой

Α 2 Α 3 определяем

по

формуле d = A1 M = ( x − x1 ) 2 + ( y − y1 ) 2 + ( z − z1 ) 2 = (1 +

3230 72 30 11 2 ≈ 3,3. ) + (1 − ) 2 + (1 − ) 2 = 17 17 17 17

Литература /1/, /гл. II, § 2 п.п.1,2,6/; /§ 3, п.п.1,2,3,7/. Задача 3

Решить систему линейных уравнений АХ=В методом последовательного исключения неизвестных, выяснив предварительно вопрос о ее совместности с помощью теоремы Кронекера - Капелли. В случае неопределенности системы найти ее общее, базисное и любое частное решения:  x1    1   1 1 − 2 − 1 1  x2      А =  3 − 1 1 4 3 , X =  x 3 , B =  4 .   0 1 5 − 9 − 8 1   x4         x5  25

Решение. Прежде всего решим вопрос о совместности системы. Для этой цели с помощью элементарных преобразований вычислим ранги матрицы А и расширенной матрицы А , полученной присоединением к А столбца свободных членов В. Выпишем расширенную матрицу 1 1 − 2 − 1 1 1    А = 3 − 1 1 4 3 4 → 1 5 − 9 − 8 1 0   

Умножим первую строку на (-3) и сложим ее со второй, затем умножим первую же строку на (-1) и сложим ее с третьей: 1 1 1 − 2 − 1 1   → 0 − 4 7 7 0 1  → 0 4 − 7 − 7 0 −1   

Теперь прибавим к элементам третьей строки соответствующие элементы второй: 1 1 − 2 − 1 1  → 0 − 4 7 7 0 0 0 0 0 0 

1  1 → 0 

Расширенная матрица системы А свелась к матрице трапецеидального вида, на главной диагонали которой стоят два отличных от нуля элемента (1 и 4). Значит, rang А =2. Аналогично можно показать, что rang А =2. Так как rang А = rang А , то по теореме Кронекера – Капелли система совместна, а так как число неизвестных больше числа уравнений, система является неопределенной. Решаем систему, составленную из двух первых уравнений, причем неизвестные х3 , х4 , х5 считаем свободными. Разделим второе уравнение на (-4): −1 1 1  1 1 − 2  → →   0 1 − 7 / 4 − 7 / 4 0 − 1/ 4

Исключим второе неизвестное из первого уравнения, умножим второе уравнение на (-1) и сложим его с первым: 3/ 4 0 1 0 − 1 / 4 →  0 1 − 7 / 4 − 7 / 4 0

5/ 4  . − 1 / 4 

В результате получим систему 1 3 5   х1 − 4 х3 + 4 х4 + х5 = 4  х − 7 х − 7 х = − 1 .  2 4 3 4 4 4 Выражая базисные переменные х1 , х 2 через свободные, запишем общее

решение системы: 5 1 3  х х х 4 − х5 = + − 1 3  4 4 4  х = − 1 + 7 х + 7 х . 3 4  2 4 4 4 26

Придавая свободным переменным произвольные значения, получаем множество частных решений. Так, решениями нашей системы будут, например, векторы (2,5,3,0,0), (3,5,2,1,-2), (0,-1/4,-1,1,1/4) и др. Частное решение, в котором все свободные переменные равны нулю, называют базисным решением. Литература /4/, /гл. I, парагр. 7,11/. Задача 4

Выполните действия над матрицами:  0 − 1    1 −1    1 2 − 1 3 4   1 − 2  1 − 2 1 4      0 − 2      − 2 − 1 0 1 2 ×  − 2 0  +  − 2 1 0 1  ×  . 1 3 −  0 4 1 − 4 1   1 1   0 2 3 − 1     2 − 1     − 2 1   

Решение. Устанавливаем возможность выполнения указанных действий. Первая матрица имеет порядок 3 × 5 , вторая 5 × 2 . Умножение возможно, поскольку число столбцов первой матрицы равно числу строк второй; в результате умножения получается матрица порядка 3 × 2 . У второго произведения первая матрица имеет порядок 3 × 4 , вторая 4 × 2 , умножение возможно, итоговая матрица будет иметь порядок 3 × 2 . Сложение первого произведения со вторым также возможно, ибо оба произведения есть матрица 3× 2 . Следовательно:  0 − 1    1 2 − 1 3 4   1 − 2   1)  − 2 − 1 0 1 2  ×  − 2 0  =    0 4 1 − 4 1  1 1   − 2 1  [1 ⋅ (−1) + 2 ⋅ ( −2) + ( −1) ⋅ 0 + 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 1]  [1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−2) + 3 ⋅ 1 + 4 ⋅ ( −2)]  =  [(−2) ⋅ 0 + ( −1) ⋅ 1 + 0 ⋅ (−2) + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ ( −2)] [ −2 ⋅ (−1) + ( −1) ⋅ ( −2) + 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1]  [0 ⋅ 0 + 4 ⋅ 1 + 1 ⋅ ( −2) + ( −4) ⋅ 1 + 1 ⋅ (−2)] [0 ⋅ (−1) + 4 ⋅ ( −2) + 1 ⋅ 0 + (−4) ⋅ 1 + 1 ⋅ 1]  2 −1   7 ; = − 4  − 4 − 11  

  =  

 1 −1    8 2  1 −2 1 4     0 − 2   2)  − 2 1 0 1  ×  =  0 − 1;  −1 3   0   − 5 6  2 3 − 1     2 − 1

27

2   8 2  −1+ 8 2 + 2  7 4   −1         3)  − 4 7  +  0 − 1 =  − 4 + 0 7 − 1  =  − 4 6 .  − 4 − 11  − 5 6   − 4 − 5 − 11 + 6   − 9 − 5         

Литература /4/, /гл. III, парагр. 3/. Задача 5

Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы выполнить двумя способами: с помощью алгебраических дополнений и путем элементарных преобразований:  х1 + 2 х 2 + 3 х 3 = 8;  − 4 х1 + х 2 + 2 х 3 = 15; − х − 2 х + 5 х = 24. 2 3  1

Решение. В матричной форме систему линейных уравнений можно записать в виде АХ=В, где А - матрица коэффициентов системы; Х – матрицастолбец неизвестных; В – матрица-столбец свободных членов. Умножим слева обе части равенства АХ=В на А −1 ( А −1 существует, если det A=D не равен нулю), получим: А −1 АХ = А −1 В ⇒ ЕХ = А −1 В ⇒ Х = А −1 В, где Е- единичная матрица ( А −1 А = Е ). Вычислим определитель матрицы D: 1

2 3

9 0 −1

D= − 4

1 2 = −4 1 − 1 −2 5 −9 0

9 −1 2 = 1 • (−1) 2 + 2 = 72. −9 9 9

D не равно нулю, следовательно, А −1 существует. Первый способ нахождения обратной матрицы: A11 A21 .... An1

А −1 =

1 A12 A22 .... An 2 , где Aij det A ................. A1n A2 n .... Ann

алгебраические дополнения элементов a ij данной матрицы.

Найдем алгебраические дополнения для элементов данной матрицы: 1 2 =9; −2 5 2 3 A21 = (−1) 2 +1 = −16 ; −2 5 2 3 A31 = (−1) 3+1 = 1; 1 2

A11 = (−1)1+1

A12 = (−1)1+ 2 A22 = (−1) 2 + 2 A32 = (−1) 3+ 2

−4 2 = 18 ; −1 5 1 3 =8; −1 5 1 3 = 14 ; −4 2

−4 1 =9; −1− 2 1 2 A23 = (−1) 2+ 3 = 0; −1− 2 1 2 A33 = (−1) 3+ 3 =9. −4 1

A13 = (−1)1+ 3

Обратная матрица имеет вид: 1  1 / 8 − 2 / 9 1 / 72   9 − 16     1 8 − 14  = 1 / 4 1 / 9 − 7 / 36 . А −1 = 18 72  0 9  1 / 8 0 1 / 8   9

Выполняем проверку: 28

3 1/ 8 − 2 / 9 1/ 72  1/ 8 +1/ 2 + 3 / 8 − 2 / 9 + 2 / 9 1/ 72− 7 / 18+ 3 / 8  1 0 0        2  ×1/ 4 1/ 9 − 7 / 36 =  −1/ 2 +1/ 4 +1/ 4 8 / 9 +1/ 9 −1/ 18− 7 / 36+1/ 4  = 0 1 0. 5  1/ 8 0 1/ 8  −1/ 8 −1/ 2 + 5 / 8 2 / 9 − 2 / 9 −1/ 72+ 7 / 18+ 5 / 8 0 0 1 Находим решение системы Х = А −1 В : 1/8 - 2/9 1/72   8  1− 30/ 9 +1/ 3   − 2         X = 1/4 1/9 - 7/36  ×15 =  2 + 5/ 3 − 42/ 9 =  −1 , x1 = −2; x2 = −1; x3 = 4. 1/8 0 1/8   24 1 + 0 + 3   4           1 2  − 4 1  −1 − 2 

Второй способ основан на элементарных преобразованиях вспомогательной матрицы, которая получается путем приписывания к данной матрице единичной матрицы того же порядка. Схематически этот процесс записывается ( А / Е ) ⇒ (Е / А −1 ).

 1 2 3  − 4 1 2  −1 − 2 5  1 2 0  0 9 0 0 0 1 

1 0 0  1   0 1 0  →0 0 0 1 0 5/ 8 0 −3/ 8

1 0 0 0 1 2 3    4 1 0 → 0 →0 9 1 1/ 8 0 1/ 8 0 8 1 0 1 0 0 1  1 0 0 1/ 8 − 2/ 9 1/ 72    9/ 4 1 − 7/ 36 →0 1 0 1/ 4 1/ 9 − 7/ 36. 1/ 8  1/ 8 0 1/ 8  0 0 1 1/ 8 0 2 3 1 0 9 14 4 1

Таким образом: 1 / 8 − 2 / 9  А = 1 / 4 1/ 9 1 / 8 0  −1

1 / 72   − 7 / 36 . 1 / 8 

Литература /1/, /гл. V, § 6. п. 3/, /3/, /гл, I, п. 1.4/.

Задача 6

Даны

две

системы

векторов

r r r а1 = (4,−5,1), а2 = (1,−1,3), а3 = (1,−2,−2)

и

r r r b1 = (−2,3,5), b2 = (−1,3,−4), b3 = (−5,9,6). Определить, какая из этих систем образует

r

базис; разложить вектор m = (3,−2,7) по этому базису. Решение. Используем признак линейной независимости для векторов с числовыми координатами. Вычисляем определитель: 4 1 1 4 1 D1 = − 5 − 1 − 2 = 3 1 1 3 −2 9 5

1 3 1 0 = 1 ⋅ (−1)1+3 = 6 ≠ 0. 9 5 0

D1 ≠ 0 , следовательно, система векторов линейно независима и образует базис. Вычисляем определитель для второй системы:

29

− 2 −1 − 5 − 2 −1 − 5 −3 −6 D1 = 3 3 9 = − 3 0 − 6 = ( −1) ⋅ (−1)1+ 2 = 0. 13 26 5 −4 6 13 0 26

Система линейно зависима. r r r r Проведем разложение m = (3,−2,7) вектора по базису а1 , а2 , а3 . Запишем разложение

вектора

r r r r m = λ1a1 + λ2 a2 + λ3 a3

в

координатной

форме:

(3,−2,7) = λ1 (4,−5,1) + λ2 (1,−1,3) + λ3 (1,−2,−2).

Получаем систему линейных уравнений:

 4λ1+λ2 +λ3 =3;  −5λ1−λ2 −2λ3 =−2;  λ + 3 λ − 2 λ =7.  1 2 3 Систему можно решать любым методом. Решим методом последовательного исключения неизвестных: 3   4 1 1 3   3 1 0 4  3 1 0 4  0 1 0 1/ 2           − 2  →  − 1 0 − 1 1  →  1 0 1 − 1  → 1 0 1 − 1  →  0 0 1 − 13 / 6 . 7   − 11 0 − 5 − 2   − 6 0 0 − 7  1 0 0 7 / 6  1 0 0 7 / 6  λ1 = 7 / 6, λ 2 = 1 / 2, λ 3 = −13 / 6. r r r r Итак, вектор m в базисе a1 , a 2 , a 3 имеет координаты (7/6,1/2,-13/6), а

 4 1 1   − 5 −1 − 2  1 3 −2 

разложение вектора т по базису имеет вид: r 7 r 1 r 13 r m = а1 + а 2 − а 3 . 6 2 6

Литература /4/, /гл. I, § 8/, /гл. I, п. 1.6/. Задача 7

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области, соответствующей множеству решений системы линейных неравенств для нулевого варианта. Построить область, на которую матрицей отображается многоугольник допустимых решений. Решение. − x + 2 y ≤ 6; 2x + 3 y ≤ 16;  x − y ≤ 3; x ≥ 0;   y ≥ 0.

30

(1) (2) (3) (4) (5)

1. Строим прямую − x + 2 y = 6; x = 0 ⇒ y = 3, y = 0 ⇒ x = −6. Неравенству (1) удовлетворяют координаты точек полуплоскости, содержащей начало координат, так как 0+20< 6 – верное числовое неравенство. 16 , y = 0 ⇒ x = 8. Область решений 3 второго неравенства – полуплоскость, содержащая начало координат 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 < 16

2. Строим прямую 2 x + 3 y = 16; x = 0 ⇒ y =

- верное числовое неравенство. 3. Строим прямую x-y=3. Область решений третьего неравенства – полуплоскость, содержащая начало координат. 4. x=0 – ось ординат. Неравенство (4) определяет правую полуплоскость. 5. y=0 – ось абсцисс. Неравенство (5) определяет верхнюю полуплоскость. y (4) (1) B (3) A C (5) 0

D

x

(2) Рисунок 2 Множеству решений системы линейных неравенств соответствует выпуклый многоугольник ОАВСД (рисунок 2). Найдем координаты вершин многоугольника: О(0,0), А(0,3), Д(3,0); ( В) (C )

− x + 2 y = 6 ⇒ x = 2, y = 4 ⇒ B (2,4);  2 x + 3 y = 16 2 x + 3 y = 16 ⇒ x = 5, y = 2 ⇒ C (5,2).  x − y = 3

Поскольку наибольшее и наименьшее значения линейной функции в выпуклом многоугольнике достигаются в его вершинах, найдем значение функции в вершинах многоугольника ОАВСД: f (0,0)= − 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 = 0, f (0,3)= − 1⋅ 0 + 2 ⋅ 3 = 6, f (2,4)= − 1⋅ 2 + 2 ⋅ 4 = 6, f (5,2)= − 1⋅ 5 + 2 ⋅ 2 = −1, f (3,0)= − 1⋅ 3 + 2 ⋅ 0 = −3. Функция достигает наименьшего значения в точке Д, а наибольшего – в двух точках А и В, т.е. на [А, В].  5 3

 Построить область, на которую отображается матрицей А =   3 5 полученный многоугольник решений с вершинами, заданными радиус-векторами: r r r r r а1 = (0,0), а 2 = (0,3), а 3 = (2,4), а 4 (5,2), а 5 (3,0).

Составляем характеристическое уравнение матрицы А:

31

5−λ 3 = 0; (5 − λ ) 2 − 9 = 0; λ1 = 2; λ 2 = 8. 3 5−λ

Принимая λ1 = 2, получаем для определения соответствующего собственного вектора уравнения 3t1 + 3t 2 = 0, ⇒ t1 = −t 2 ;  3t1 + 3t 2 = 0 r r r полагая t 2 = −α , находим t1 = α и r1 = α (i − j ). r Нормируем вектор r1 : r r j r i . e1 = − 2 2 Полагая λ 2 = 8, получаем для определения второго собственного вектора r r − 3η 1 + 3η 2 = 0, r ⇒ η 1 = η 2 = β , r2 = β (i + j ). систему уравнений  3η 1 − 3η 2 = 0 r r j r r i Нормируем вектор r2 : e 2 = . + 2 2 y'

r а3′

r а 2′ y

r а4

r а3 r а2

r а4′

x

r а5 r а5′

x'

r Рисунок 3 а5′ r r Векторы e1 и e 2 ортогональны и определяют направление новых осей r

координат, OX ′ и OY ′ . Найдем проекции вектора а1 в системе координат X ′OY ′ ; r

r

r

умножив проекции а1 на λ1 = 2 и λ 2 = 8, получим образ вектора а1 - вектор а1′ . r

r

r

r

Аналогично находим образы векторов а 2 , а 3 , а 4 , а 5 . Получаем многоугольник r

r

r

r

r

с вершинами определяемыми векторами а1′ , а 2′ , а 3′ , а 4′ , а 5′ . (рисунок 3). Полученный многоугольник является областью, на которую отображается матрицей А многоугольник решений. Литература /1/, /2/. Задача 8

Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка 5 x 2 + 6 xy + 5 y 2 − 16 x − 16 y − 16 = 0 и построить эту кривую. 32

Решение. 1. Запишем матрицу квадратичной формы 5 x 2 + 6 xy + 5 y 2 : 5 А =  3

3  5 

2. Составляем характеристическое уравнение матрицы А: det( A − λE ) =

5−λ 3 = 0. 3 5−λ

3. Решаем характеристическое уравнение и находим собственные значения матрицы А: (5 − λ ) 2 − 9 = 0 ⇒ λ1 = 2, λ 2 = 8.

4. Составляем систему для определения координат собственных векторов:

(5 − λ ) x + 3 y = 0, ( A − λE ) X = 0 ⇔  3x + (5 − λ ) y = 0. r ro 3 x + 3 y = 0, 1 1 λ1 = 2 ⇒  ⇒ f 1 = (1,−1) ⇒ f 1 = ( ;− ). 2 2 3 x + 3 y = 0, r ro − 3x + 3 y = 0, 1 1 λ2 = 8 ⇒  ⇒ f 2 = (1,1) ⇒ f 2 = ( ; ). 2 2 3x − 3 y = 0 r r r r Векторы f 1 o и f 2 o ортогональны ( f 1 o ⋅ f 2 o = 0) и определяют направление новых

осей координат OX ′ и OY ′ . 5. Проверяем ориентацию системы координат при переходе к новому базису. Для этого вычисляем определитель ∆ , столбцами которого являются координаты r r единичных собственных векторов матрицы А − f 1 o и f 2 o . Если ∆ =1, то ориентация сохранилась, если ∆ = -1, то ориентацию осей следует изменить (достаточно поменять местами и сменить соответственно нумерацию у характеристических чисел и собственных векторов): ∆= −

6. В базисе

1

1

2

2

1

1 2 ro r o ( f1 , f 2 )

ro r o = 1 - ориентация новой системы ( f 1 , f 2 ) сохранилась.

2

имеем

K ( x ′, y ′) = 2 x ′ 2 + 8 y ′ 2 -

канонический вид

квадратичной формы ( λ1 λ 2 > 0, F = 0 ⇒ данная кривая является эллипсом). r

r

7. Имея координаты новых базисных векторов f 1 o , f 2 o , запишем матрицу Т преобразования старого базиса в новый. Ее строками являются координаты базисных векторов:

33

   Т=    

1 2

−

1 2

1   2  . 1   2 

Преобразуем с помощью матрицы Т линейную форму данного уравнения по r r r r схеме l ( x, y ) = s ⋅ r ⇒ l ( x, y ) = s ′ ⋅ r , r

r

r

где l ( x, y ) = − 16 x − 16 y, s = (−16,−16), r = ( x, y ), r ′ = ( x ′, y ′) :   r r  s ′ = Ts =    

Таким образом, l ( x ′, y ′) = −

32 2

1 2

−

1 2

1    0  2   − 16     =  32 . ⋅   − 16   − 1    2   2 

y ′.

В новой системе координат вместо исходного уравнения получаем 2x′ 2 + 8 y ′ 2 −

32 2

y ′ − 16 = 0.

8. Избавимся от линейного слагаемого путем выделения полного квадрата: 2 x ′ 2 + (8 y ′ 2 −

32 2

y ′ + 16) − 16 − 16 = 0 ⇒ 2 x ′ 2 + 8( y ′ − 2 ) 2 − 32 = 0.

Введем обозначения: x ′ = x ′′, y ′ − 2 = y ′′. Тогда имеем 2 x ′′ 2 + 8 y ′′ 2 = 32. Итак, в системе координат ( x ′′, y ′′ ) уравнение кривой принимает канонический вид x ′′ 2 y ′′ 2 + = 1. 16 4 и O ′′Y ′′ параллельны осям координат O ′X ′ и O ′Y ′

Оси координат O ′′X ′′ соответственно, а начало «передвинуто» в точку x ′ = 0, y ′ = 2.

8. Используя полученные в процесс преобразования кривой данные, выполняем построение кривой (рисунок 4).

34

Рисунок 4

Список использованных источников 1 Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.

М.: Наука, 1971. – 329 с. 2 Беклемишев Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по

аналитической геометрии и линейной алгебре. М.: Наука, 1987. – 320 с. 3 Бугров

Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и

аналитической геометрии. М.: Наука, 1984.- 256с. 4 Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. М.: Наука,

1980. – 392 с. 5 Гусак А.А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Справочное

пособие к решению задач. М.: Наука, 1985. – 288 с. 6 Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах.

М.: Наука, 1984. 7 Канатников А.Н, Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. М.: Изд-во

МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002. – 388 с. 8 Кострикин А.И. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Физико-

математическая литература, 2001. – 272 с. 9 Кострикин А.И. Введение в алгебру. Линейная алгебра. М.: Физико-

математическая литература, 2001. – 368 с. 10 Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. М.: Факториал, 1995. – 454 с.

35