Высшая математика: Методические рекомендации и контрольные задания

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Заочные подготовительные курсы

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и контрольные задания

Волгоград 2000

Составитель Л.В. Пономарева Рецензент канд. физ.-мат. наук Л.Ю. Богачкова Печатается по решению ученого совета экономического факультета (протокол № 3 от 20.12.99) Высшая математика: Методические рекомендации и контрольные задания / Сост. Л.В. Пономарева. — Волгоград: Издательство Волгоградского государственного университета, 2000. — 16 с.

Настоящие методические указания и задания соответствуют программе по высшей математике для поступающих в высшие учебные заведения для обучения по сокращенной (ускоренной) профессиональной образовательной программе. Они предназначены для помощи слушателям заочных подготовительных курсов в их подготовке к вступительным экзаменам.

© Издательство Волгоградского государственного университета, 2000

2

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ При выполнении и оформлении контрольных работ следует руководствоваться следующими указаниями: 1. Необходимо изучить теоретический материал, систематизируя полученные знания по разделам. 2. При подготовке следует придерживаться «Программы по высшей математике для поступающих по ускоренной программе». Экзамен проводится в строгом соответствии с этой официальной программой. 3. При изучении и повторении теоретического материала могут быть использованы следующие учебники и пособия по высшей математике: Тарасов Н.П. Курс высшей математики для техникумов. М., Наука, 1975. Курош. А.Г. Курс высшей алгебры. М., 1986. Солодовников. А.С. Введение в линейную алгебру и линейное программирование. М., 1988. Кудрявцев В.А., Демидович. Б.П. Краткий курс высшей математики. М., 1989. 4. Контрольные работы необходимо выполнять самостоятельно, т. к. несамостоятельно выполненная работа не дает возможности проверить степень Вашей подготовленности по данным темам. 5. Представленные контрольные работы необходимо правильно и грамотно оформить. Решения примеров и задач должны быть подробными, с записью окончательного результата. Рисунки и графики выполнять аккуратно и четко. 6. В течение всего периода Вы должны выполнить 5 контрольных работ. Работы можно выполнять в произвольной последовательности, а высылать по мере их выполнения. Проверенные контрольные работы с рецензией преподавателя возвращаются.

3

Контрольная работа № 1 Введение в анализ 1. Найти пределы. 1) 2) 3) 4) 5) 6)

2 x 2 + 5x − 3 ; x→−3 x+3 x2 −1 lim 2 ; x →0 2 x − x − 1 x 4 − 3x + 2 lim 5 ; x→1 x − 4 x + 3 1 + 2x − 3 lim ; x →4 x −2 1 − cos x lim ; x →0 x2 3x 2 − 5 x lim ; x→0 sin 3 x lim

7)

lim

4

x→16

8) lim

x −2

; x −4 x2 −1

; 2x 2 − x − 1 sin x − sin π 9) lim ; x→π x −π x →∞

10) lim x

1 1− x

x →1

; x2

⎛ x2 +1 ⎞ ⎟ ; 11) lim ⎜ 2 x →∞ ⎜ x − 2 ⎟ ⎝ ⎠ ln x − ln 5 12) lim . x →∞ x −5

2. Найти область определения функций. 1) y = 3x − x 3 ; 2) y = lg(1 − 2 cos x ) ; 3x − 2 3) y = log 0, 7 ; x +6 4) y =

5) y =

x ; x (x − 2 )

6) y = − x .

x 2 −1 5 x −1 ;

3. Найти функцию, обратную к данной, и ее область существования. 1) y = 2 x + 3; 1− x 2) y = . 1+ x

4. Определить, какие из данных функций являются четными, а какие нечетными. 1) y = 3 x − x 3 ;

5) y = x 3 + 1;

2) y = 3 (1 − x )2 + 3 (1 + x )2 ; 1− x 3) y = ln ; 1+ x 4) y = − x ;

6) y = sin 4 x + x 2 + 1; 7) y = 3 x 2 ; x −3 8) y = . x +1

5. С помощью преобразования графиков построить графики функций. 1) y = x 2 − 5 x + 4; log x −1

2) y = 2 2 ln x 3) y = ; x 4) y = lg x ;

5) y = 2

;

x

− 2;

6) y = 2 + 1 − x ; 7) y = 1 − e − x ; 8) y = 3 + 2 cos 3x .

4

Контрольная работа № 2 Дифференциальное исчисление 1. Найти производную функций. 1) 2) 3) 4)

y y y y

= x + x +3 x; = cos 2 x − 2 sin x ; = e x (1 + ctg x2 ); = ln (ln (ln x ));

5) y = ln

(

6) y = arccos

1 x

;

7) y = e arctg (1− 2 x );

8) y = (tgx − ctgx ) ; 9) y = lg 2 51− 2 x ; 10) y = x x , (x > 0 ). 2

(

)

x + x +1 ;

2. Найти производную указанного порядка. 1) y = x 1 + x 2 , y ′′; 2

2) y = e − x , y ′′′; 3) y = x (ln x ), y ′′;

)

4) y = e x cos x , y (4 ) ; 5) y = sin 2 x ln x , y (6 ).

3. Найти производную n-го порядка. 1) y = xe 3 x ; 4x + 7 2) y = ; 2x + 3 3) y = lg(x + 4 );

4) y = x ; 5) y = 7 5x .

4. Определить промежутки монотонности функций. 2) y = xe − x .

1) y = x 2 − 4 x − 1;

5. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных промежутках. 1) y = x 2 +

2) y = 2 x − x , [0; 4].

16 − 16, [1; 4]; x

6. Найти, под каким углом кривая y = lg x пересекает ось Ox. 7. Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой в точке xo . 1) y = x 2 + 8 x − 32, x o = 4;

2) y =

cos x , x o = 0. 1− x

8. Провести полное исследование функций и построить их графики. 8 ; 4 − x2 ⎛x +6⎞ 2) y = ln ⎜ ⎟ − 1; ⎝ x ⎠

1) y =

3) y = x 3 + 3x 2 − 5x + 6; 4) y = x 1 − x ;

e2 − x ; 2−x 6) y = (x − 2 ) e3− x . 5) y =

5

Контрольная работа № 3 Интегральное исчисление 1. Найти интегралы. 2

x2 9) ∫ dx ; 1− x dx 10) ∫ 2 ; 3x + 7 11) ∫ xe x dx ;

⎛1− x ⎞ 1) ∫ ⎜ ⎟ dx ; ⎝ x ⎠ x +1 dx ; 2) ∫ x 3) ∫ 3 1 − 3x dx ;

12) ∫ x cos xdx ;

x2 ∫ 1 + x 2 dx ; x dx ; 5) ∫ 2 1+ x2 4)

(

6)

13) ∫ sin x sin 5xdx ; 14) ∫ ctgxdx ;

)

∫ xe

−x 2

dx ;

ex ∫ 2 + ex dx ; 8) ∫ sin 2 xdx ; 7)

15)

∫

16)

∫x

e x dx 1 − e2x dx

;

1 − ln 2 x

.

2. Применяя формулу Ньютона — Лейбница, найти следующие определенные интегралы и нарисовать соответствующие криволинейные площади. 8

1)

∫

e

3

x dx ;

∫

6)

∫ 3x

7)

∫

−1 3

2)

dx

∫1+ x

2

;

dx ; x 1

5)

1

4

3

2

3)

∫ 1 − x dx ; 0

dx ;

dx 4 − x2

.

π

4)

∫ sin xdx ; 0

3. Вычислить интегралы. π

2π

1) 2)

∫ x sin 2 xdx ;

2

0

∫ sin

1

π

5)

3

x dx ;

3

x cos 2 xdx ;

0

−x ∫ (x − 1)e dx ;

2

6)

0

∫ sin 0

e

ln x 3) ∫ dx ; x 1

3

7)

∫ (1 − 2 x + 3x )dx ; 2

−1 2

1

x 2 dx 4) ∫ ; 3 0 1+ x

8)

6

2x 2 + 1 ∫1 x dx .

4. Найти площади фигур, ограниченных следующими линиями. 1) 2) 3) 4)

y = x 3; y = 2x ; y 2 = 4 x ; x = 4; x = 9; 4 x 2 − 9 y + 18 = 0; 2 x 2 − 9 y + 36 = 0; 4 x 2 − 8x − y + 5 = 0; 2 x − y + 1 = 0.

Функции нескольких переменных 1. Найти частные производные первого и второго порядка от следующих функций. 1) u = x 4 + y 4 − 4 x 2 y 2 ; x 2) u = xy + ; y x 3) u = ; x2 + y2 4) u = x sin (x + y ); 5) u = x y .

2. Найти дифференциал первого порядка от следующих функций. 1) u =

x ; y

2) u = x 2 + y 2 ; 3) u = e xy ; 4) u = xy + yz + xz.

3. Найти производные первого порядка от следующих сложных функций.

(

)

1) u = f x 2 + y 2 + z 2 ;

⎛ x⎞ 2) u = f ⎜⎜ x ; ⎟⎟; ⎝ y⎠ 3) u = f (x ; xy ; xyz ).

7

Контрольная работа № 4 Линейная алгебра 1. Систему линейных уравнений исследовать методом Гаусса. Найти решение в случае, если система совместна. ⎧2 x + 3 y + 5z = 10, ⎪ 1) ⎨3x + 7 y + 4 z = 3, ⎪ x + 2 y + 2 z = 3. ⎩ ⎧ 2 x − y + 3 z = 4, ⎪ 2) ⎨3 x − 2 y + 2 z = 3, ⎪ 5 x − 4 y = 2. ⎩ ⎧2 x1 + 2 x 2 − x3 = 4, ⎪ 3) ⎨ 3 x1 + x 2 − 3 x3 = 7, ⎪ x + x − 2 x = 3. 2 3 ⎩ 1

⎧ x1 + x 2 + 3 x3 − 2 x 4 + 3 x5 ⎪ 2 x + 2 x + 4 x − x + 3x ⎪ 1 2 3 4 5 4) ⎨ ⎪ 3 x1 + 3 x 2 + 5 x3 − 2 x 4 + 3 x5 ⎪⎩2 x1 + 2 x 2 + 8 x3 − 3 x 4 + 9 x5

= 1, = 2, = 1, = 2.

2. Исследовать на совместность систему линейных уравнений, в случае существования решения найти общее решение и выписать два частных решения, указать базисные и свободные переменные. ⎧ x1 + 4 x 2 − 3 x3 + 6 x 4 = 0, ⎪ 1) ⎨ 2 x1 + 5 x 2 + x3 − 2 x 4 = 0, ⎪ x + 7 x − 10 x + 20 x = 0. 2 3 4 ⎩ 1

⎧ x1 + 5 x 2 + 4 x3 − 2 x 4 = −3, ⎪ 2) ⎨− x1 − x 2 + 2 x3 − 2 x 4 = −3, ⎪2 x − 2 x + 4 x + 3 x = 16. 2 3 4 ⎩ 1

3. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей А (матрицы А и В называются перестановочными, если АВ = ВА). ⎛ 2 1⎞ ⎟⎟. 1) А = ⎜⎜ ⎝ 3 5⎠

⎛ 3 1 0⎞ ⎜ ⎟ 2) A = ⎜ 0 3 1 ⎟. ⎜ 0 0 3⎟ ⎝ ⎠

4. Найти произведение АВ и ВА, если они существуют. ⎛−1 1 1 ⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1) А = ⎜ 1 0 1 ⎟, В = ⎜ 2 ⎟; ⎜ 0 1 − 1⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛0 ⎜ ⎛2 4 8 6⎞ ⎜2 ⎟⎟, В = ⎜ 2) А = ⎜⎜ 0 ⎝5 1 3 2 ⎠ ⎜ ⎜1 ⎝

8

3⎞ ⎟ 7⎟ . 0⎟ ⎟ 4 ⎟⎠

5. Пользуясь свойствами определителя, вычислить определители. 4 −3 5

a+b a c

1) 3 − 2 8 ; 1 −7 5

3)

a+c b c. a

1 a

1 5 0

2) 0 2 1 ; 1 0 0

6. Вычислить определители путем приведения их к треугольному виду. 1 2 1) 0 6 2 1 2) 3 2

1 1 3 3 2 2 2 1

1 2 4 3 1 2 2 1

1 1 ; 0 1 3 1 ; 3 2

3 2 3) 2 2 1 1 4) 1 1

2 3 2 2 1 2 1 1

2 2 3 2 1 1 3 1

... ... ... ... ... ... ... ...

2 2 ; 2 3 1 1 . 1 n

7. В случае существования найти обратные матрицы для следующих матриц. ⎛1 1) ⎜⎜ ⎝4 ⎛2 ⎜ 2) ⎜ 3 ⎜1 ⎝

2⎞ ⎟; 3 ⎟⎠

2 ⎞ ⎛1 2 ⎜ ⎟ 3) ⎜ 2 1 − 2 ⎟. ⎜2 − 2 1 ⎟ ⎝ ⎠

7 3⎞ ⎟ 9 4 ⎟; 5 3 ⎟⎠

8. Определить ранг матрицы. ⎛1 ⎜ ⎜4 1) ⎜ 7 ⎜ ⎜10 ⎝ ⎛3 ⎜ 2) ⎜ 1 ⎜4 ⎝

⎛2 − 3 3 5⎞ ⎜ ⎟ 3) ⎜ 4 − 3 1 3 ⎟. ⎜ 3 − 2 3 4⎟ ⎝ ⎠

2 3⎞ ⎟ 5 6⎟ ; 8 9⎟ ⎟ 11 12 ⎟⎠ 0 2⎞ ⎟ − 1 3 ⎟; − 1 5 ⎟⎠

9. Решить матричные уравнения. ⎛ − 2 1⎞ ⎛3 4⎞ ⎛ 2 ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ Х ⎜⎜ 5) ⎜⎜ ⎝ 3 4 ⎠ ⎝5 6 ⎠ ⎝ − 3 ⎛ 2 3 1⎞ ⎛1 − 3 ⎜ ⎟ ⎜ 6) ⎜ 4 − 1 1⎟ Х = ⎜ 5 − 1 ⎜ 5 1 1⎟ ⎜ 1 −1 ⎝ ⎠ ⎝

⎛3 5⎞ ⎛1 4⎞ ⎟⎟; ⎟⎟ Х = ⎜⎜ 1) ⎜⎜ ⎝5 9⎠ ⎝2 3⎠ ⎛3 − 2⎞ ⎛ −1 2⎞ ⎟⎟; ⎟⎟ = ⎜⎜ 2) Х ⎜⎜ ⎝5 − 4 ⎠ ⎝ − 5 6 ⎠ ⎛ 1 − 3⎞ ⎛ 3 2 ⎞ ⎟⎟; ⎟⎟ = ⎜⎜ 3) Х ⎜⎜ ⎝2 − 6⎠ ⎝1 4⎠ ⎛1 1⎞ ⎛4 6⎞ ⎟⎟; ⎟⎟ Х = ⎜⎜ 4) ⎜⎜ ⎝1 1⎠ ⎝ 6 9⎠

9

0⎞ ⎟; 2 ⎟⎠ 2⎞ ⎟ 5 ⎟. 3 ⎟⎠

10. Решить систему линейных уравнений методом Крамера и с помощью обратной матрицы. ⎧ x1 + 2 x 2 − 3 x3 − x 4 ⎪2 x − x + 2 x − x ⎪ 1 2 3 4 3) ⎨ ⎪ 4 x1 + 3 x 2 − x3 − x 4 ⎪⎩ x1 + 2 x 2 + x3 + x 4

⎧3 x + 8 x 2 = 1, 1) ⎨ 1 ⎩7 x1 + 11x 2 = 3. ⎧2 x1 + x 2 − x3 = −4, ⎪ 2) ⎨− x1 − 2 x 2 + 2 x3 = 14, ⎪ 4 x + 2 x + x = 7. 2 3 ⎩ 1

= −8, = 2, = 3, = 12.

Контрольная работа № 5 Линейное программирование 1. Используя геометрическую интерпретацию, найти: 1) Максимальное значение функции F = 2 x1 + 3 x 2 при условии: ⎧2 x 1 + x 2 ≤ 10, ⎪ ⎪− 2 x 1 + 3x 2 ≤ 6, ⎨ ⎪2 x 1 + 4 x 2 ≥ 8, ⎪⎩x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.

2) Максимальное и минимальное значения функции F = x1 + x 2 при условии: ⎧2 x 1 + 4 x 2 ≤ 16, ⎪ ⎪− 4 x 1 + 2 x 2 ≤ 8, ⎨ ⎪x 1 + 3x 2 ≥ 9, ⎪⎩x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0. 3) Максимальное значение функции F = 3 x1 + 4 x 2 при условии: ⎧2 x1 + x 2 ≤ 16, ⎪ x + x ≤ 10, ⎪ 1 2 ⎨ ⎪0 ≤ x 2 ≤ 6, ⎪⎩0 ≤ x1 ≤ 7. 4) Минимальное значение функции F = 2 x1 − x 2 при условии: ⎧2 x 1 − x 2 ≤ 12, ⎪ ⎪x 1 + x 2 ≤ 6, ⎨ ⎪x 1 + 3x 2 ≥ 1, ⎪⎩x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.

2. Найти все базисные решения системы уравнений. ⎧− 2 x1 + 3 x 2 + x3 = 9, ⎪ 2) ⎨ x1 + x 2 + x 4 = 8, ⎪ 3 x − 2 x + x = 9. 1 2 5 ⎩

⎧ 2 x 1 − x 3 − x 4 = 4, 1) ⎨ ⎩x 2 + 3x 3 + 2 x 4 = 3;

10

3. Привести задачу линейного программирования к каноническому виду. Максимизировать целевую функцию F = − x1 + 2 x 2 + x3 + 3x 4 − x5 на множестве планов системы: ⎧ x1 + 2 x 2 + 3 x3 + x 4 − x5 = 6, ⎪ ⎨ 2 x 2 + 4 x3 − 4 x 4 + 2 x5 = 6, ⎪ x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 5. ⎩

4. Сколько целочисленных неотрицательных решений имеет система? ⎧ x1 + x 2 = 9, ⎪ x + x = 9, ⎪ 3 4 ⎨ ⎪ x1 + x3 = 9, ⎪⎩ x 2 + x 4 = 9.

5. Следующие задачи линейного программирования решить симплексным методом: 1) Минимизировать функцию F = − x1 + 3x 2 + 2 x3 на множестве планов: ⎧ x1 + x2 + 2 x3 ≥ −5, ⎪ ⎨2 x1 − 3 x2 + x3 ≤ 3, ⎪2 x − 5 x + 6 x ≤ 5. 2 3 ⎩ 1 2) Максимизировать функцию F = 5 x1 + 2 x 2 − x3 на множестве планов: ⎧2 x1 + x 2 + x3 ≤ 5, ⎪ ⎨3 x1 + 2 x 2 + x3 = 6, ⎪5 x + 3 x + 4 x ≥ 1. 2 3 ⎩ 1 3) Максимизировать функцию F = 5 x1 + 3x 2 + 4 x3 − x 4 : ⎧x 1 + 3x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 = 3, ⎪ ⎨2 x 1 + 2 x 2 + x 3 + x 4 = 3, ⎪x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0. 2 3 . ⎩ 1

11

ПРОГРАММА ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ для выпускников средних специальных учебных заведений, поступающих в ВолГУ для обучения по сокращенной (ускоренной) профессиональной образовательной программе

I. Введение в анализ 1. Функции. Понятие функции. Основные свойства функции: четность и нечетность, монотонность, периодичность. Сложная функция. Обратная функция. Основные элементарные функции: линейная, степенная, показательная, логарифмическая; тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции. Преобразование графиков. 2. Пределы и непрерывность. Предел числовой последовательности. Предел функции в бесконечности и в точке. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Основные теоремы о пределах. Признаки существования пределов. Два замечательных предела. Непрерывность функции.

II. Дифференциальное исчисление 1. Производная. Определение производной. Геометрический смысл производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функций. Производные основных элементарных функций. Производные высших порядков. 2. Приложения производной к исследованию функций. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя. Возрастание и убывание функций. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Выпуклость функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функций и построения графиков. 3. Дифференциал функции. Понятие дифференциала функции. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

III. Интегральное исчисление 1. Неопределенный интеграл. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций. Метод замены переменной. Метод интегрирования по частям. Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических функций.

12

2. Определенный интеграл. Понятие и свойства определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница. Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле. Несобственные интегралы.

IV. Функции нескольких переменных Основные понятия. Предел и непрерывность. Частные производные. Дифференциал. Производная сложной функции нескольких переменных. Экстремум функции нескольких переменных.

V. Основы линейной алгебры 1. Определители и матрицы. Основные сведения о матрицах. Операции над матрицами. Определители квадратных матриц. Свойства определителей матрицы. Ранг матрицы. 2. Системы линейных уравнений. Система n-линейных уравнений с nпеременными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера. Метод Гаусса. Система m-линейных уравнений с n-переменными. Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.

VI. Линейное программирование Геометрическое решение задач линейного программирования. Симплексный метод.

13

КОНКУРСНЫЕ ЗАДАЧИ (предлагались в Волгоградском государственном университете в 1999 году на письменном экзамене по высшей математике для выпускников средних специальных учебных заведений, поступающих на экономические специальности) Вариант 1 1. Найти пределы: a) lim

x 3 − 3x − 2

x + x 2 − 8x sin 7 x b) lim ; x→0 sin 5 x x→∞ 1 −

2+ x⎞ c) lim ⎛⎜ ⎟ x →∞ ⎝ x ⎠

; 3

x +8

.

⎛ ⎛ x2 ⎞⎞ ⎜ ′ 2. Найти производную y x функции y = ln arccos⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎟. ⎜ ⎟ ⎝ x +1⎠⎠ ⎝ x2 − x +1 . 3. Исследовать функцию и построить ее график: y = x −1

4. Найти интегралы: b)

xdx ; a) ∫ 5 + 3x 2

c)

∫ (2 + 3x )e ∫ (x − 1) x 1

x

3

dx ;

2

0

x dx .

5. Найдите максимум функции F = x1 − x 2 при ограничениях: ⎧− 2 x 1 + 3x 2 ≤ 9, ⎪ ⎪x 1 − x 2 ≤ 2, ⎨ ⎪x 1 + x 2 ≤ 8, ⎪⎩x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.

Вариант 2 1. Найти пределы: a) lim

8 − 6 x 2 − 3x

x3 + 1 − x b) lim (xctg 8x ); x→∞

;

x

5+ x⎞ c) lim ⎛⎜ ⎟ . x →∞ ⎝ x − 5 ⎠

x →0

⎛ 2x3 ⎞ ⎟. 6 ⎟ x + 1 ⎝ ⎠

2. Найти производную y ′x функции y = arcsin⎜⎜

3. Исследовать функцию и построить ее график: y = x +

14

27 x3

.

4. Найти интегралы: 1 + ln x ∫ x dx ; b) ∫ (4 x − 3)e2 x dx ;

a)

c)

∫ (x + 1) 1

23

0

x dx .

5. Найдите максимум функции F = 2 x1 + 2 x2 при ограничениях: ⎧3x 1 − 2 x 2 ≥ −6, ⎪ ⎨ 3x 1 + x 2 ≥ 2, ⎪ x 1 ≤ 3. ⎩

Содержание Методические рекомендации............................................................................. 3 Контрольная работа № 1..................................................................................... 4 Контрольная работа № 2..................................................................................... 5 Контрольная работа № 3..................................................................................... 6 Контрольная работа № 4..................................................................................... 8 Контрольная работа № 5................................................................................... 10 Программа по высшей математике ................................................................. 12 Конкурсные задачи............................................................................................ 14

15

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Методические рекомендации и контрольные задания Составитель Пономарева Лариса Владимировна

Главный редактор А.В. Шестакова Редактор О.В. Изотова Технический редактор Н.Г. Романова ЛР № 020406 от 12.02.97 Подписано в печать 12.01 2000 г. Формат 60x84/16. Бумага типографская № 1. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 0,9. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 50 экз. Заказ . Издательство Волгоградского государственного университета. 400062, Волгоград, ул. 2-я Продольная, 30.

16