Основы конструирования и надежности электронных средств: Методические указания к выполнению лабораторных работ

Министерство образования Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Северо – Западный государственный заочный технический университет Кафедра технологии и дизайна радиоэлектронной техники

ОСНОВЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ И НАДЕЖНОСТИ ЭЛЕКТРОННЫХ СРЕДСТВ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ

Факультет радиоэлектроники

Направление подготовки и специальность дипломированного специалиста: 654300 – проектирование и технология электронных средств 200800 – проектирование и технология радиоэлектронных средств Направление подготовки бакалавра 551100 – проектирование и технология электронных средств.

Санкт – Петербург 2003

9

Утверждено редакционно-издательским советом университета УД К 621.396.6.001.66-192 Основы конструирования и надежности электронных средств: Методические указания к выполнению лабораторных работ. – СПб: СЗТУ, 2003. – 43с. Перечень и содержание лабораторных работ соответствуют рабочей программе дисциплины “Основы конструирования и надёжности электронных средств”, отвечающей требованиям государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования по направлению подготовки дипломированного специалиста 654300 (специальность 200800 – «Проектирование и технология радиоэлектронных средств») и направлению подготовки бакалавра 551100. Методические указания включают рекомендации к выполнению лабораторных работ по экспериментальному исследованию конструкций электронных и радиоэлектронных средств (планирование и обработка результатов экспериментов). Указания содержат формулировку целей работ, основные теоретические положения к каждой из работ, порядок их выполнения и содержание отчетов. Рассмотрено на заседании кафедры технологии и дизайна радиоэлектронной техники 10 апреля 2003г., одобрено методической комиссией факультета радиоэлектроники 19 июня 2003 г. Рецензенты: кафедра технологии и дизайна радиоэлектронной техники СЗТУ (зав. каф. В.Н. Воронцов, д-р техн. наук, доц.); С.Д. Ханин – д-р физ.-мат. наук, проф., зав. кафедрой физической электроники РГПУ им. А.И. Герцена. Составитель В.В. Винников, канд. техн. наук, доц.

© Северо – Западный государственный заочный технический университет, 2003

10

ПРЕДИСЛОВИЕ Данные методические указания содержат описания, основные теоретические положения и порядок выполнения лабораторных работ по курсу “Основы конструирования и надежности ЭС”. Лабораторные работы направлены на изучение экспериментальных методов исследования конструкций ЭС: оценки условия отклонений значений выходных параметров изделия в зависимости от изменений значений параметров элементов, входящих в него, а также статистического планируемого эксперимента. В лаборатории принят бригадный метод выполнения работ, причем в каждую бригаду должно входить не более двух – трех человек. К очередной работе студенты допускаются только после положительной оценки преподавателем их готовности к выполнению работы (знания содержания работы, основных теоретических положений, порядка проведения исследования и правил работы на оборудовании). Перед выполнением лабораторных работ студенты получают инструктаж по технике безопасности и расписываются в журнале. Первое подключение установок производится только после разрешения преподавателя. В процессе выполнения работы каждый студент должен вести записи, черновик которых подписывается преподавателем, а затем оформляется в виде индивидуального отчета. Каждый отчет должен иметь выводы по работе. Перед зачетом по лабораторным работам студент должен сдать оформленный отчет на проверку и только после исправления ошибок сдавать зачет.

11

РАБОТА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ МЕТОДОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОТКЛОНЕНИЙ ЗНАЧЕНИЙ ВЫХОДНЫХ ПАРАМЕТРОВ РЭС 1. Цель работы Исследование экспериментальных методов определения отклонений значений выходных параметров РЭС; изучение особенностей использования предельных и вероятностных методик. 2. Основные теоретические положения 2.1.Уравнения погрешностей Методы инженерного расчета принципиальных электрических схем радиоизделий основаны на предположении, что параметры пассивных элементов (резисторов, конденсаторов и т. д.) и источников питания соответствуют их номинальным значениям, а параметры активных элементов (электронных ламп и транзисторов) строго соответствуют значениям, определенным для данной рабочей точки по справочным характеристикам. Однако в реальной конструкции параметры источников питания, пассивных и активных элементов всегда отличаются от их номинальных значений, а вследствие этого и величины выходных параметров реальной конструкции будут отличаться от расчетных. Причинами отклонений параметров пассивных и активных элементов реальной конструкции радиоизделия от их номинальных значений являются: неточность изготовления элементов (производственная погрешность), влияние температуры, влажности и других внешних воздействий (температурная погрешность, погрешность от влажности и т. д.), старение элементов (погрешность старения). Отклонение параметров источников питания от их номинальных значений вызываются теми же причинами, но применительно к схемным элементам самого источника питания. Расчет погрешностей выходных параметров радиоизделий любой сложности сводится к расчету погрешностей выходных параметров отдельных электронных цепей или отдельных частей конструкции с учетом их взаимного влияния.

12

Математической базой для расчета погрешностей выходных параметров электронной цепи, воплощенной в реальную конструкцию, являются уравнения погрешностей электронной цепи. Выходной параметр идеальной электронной цепи можно рассматривать как функцию следующих переменных: параметров пассивных и активных элементов схемы и параметров источников питания. Таким образом,

номинальное значение функции выходного параметра примет вид

y0 =f(x10,... ,xi0, ... ,xn0),

(1)

где х10,..., xi0, ... ,xn0 — номинальные значения параметров пассивных и активных элементов принципиальной схемы и источников питания, а также элементов конструкции. (Выходным параметром электронной цепи в зависимости от ее функционального назначения может быть коэффициент усиления, амплитуда импульса, амплитуда выходного напряжения или тока и т. д.). Выходной параметр электронной цепи, воплощенной в реальную конструкцию, вследствие погрешностей параметров активных и пассивных элементов и источников питания в большинстве случаев отличается от номинального и имеет вид

y = yо ± ∆y= =f(x10 ± ∆ x10 ,... , xi0 ± ∆ xi0 ,... , xn0 ±∆ xn0),

(2)

где ∆y — значение отклонения выходного параметра от его номинального значения; ∆x1 , ∆xi , ∆xn — значения отклонений параметров пассивных и активных элементов и источников питания от номинальных значений. Примечание. Так как отклонение значений параметров активных и пассивных элементов и источников питания является причиной отклонений выходного параметра электронной цепи, то они носят название - первичных погрешностей. n ⎡дf (x10, K, xi0, K, xn0 ) ⎤ ∆ y = ∑⎢ ⎥ ×∆xi = ∑Ai ×∆ xi ; дxi i =1 ⎣ i =1 ⎦

(3)

⎤ ∆ xi xi0 ∆ y n ⎡дf (x10, K, xi0, K, xn0) = ∑⎢ × ⎥× . y0 i=1 ⎢⎣ дxi f (x10, K, xi0, K, xn0) ⎥⎦ xi0

(4)

n

13

Выражения (3) и (4), устанавливающие взаимосвязь погрешности выходного параметра с первичными погрешностями, называются уравнениями погрешностей. Коэффициенты уравнений, определяющие

степень влияния первичных погрешностей на отклонение значений выходного параметра называются коэффициентами влияния (абсолютных и относительных погрешностей соответственно):

⎡ дf ( x10 , K , x i 0 , K , x n ) ⎤ Ai = ⎢ ⎥; дx i ⎦ ⎣

(5)

⎤ ⎡ дf ( x10 , K , x i 0 , K , x n 0 ) xi 0 Bi = ⎢ × ⎥, K K ( , , , , дx f x x x i 10 i0 n0 ⎦ ⎣

(6)

где Аi — коэффициент влияния абсолютной погрешности; Вi — коэффициент влияния относительной погрешности. При принятых обозначениях уравнения погрешностей (3) и (4) будут выглядеть следующим образом: ∆y =

n

∑

i =1

∆y = y

Ai × ∆ x i ;

n

∑B i =1

i

×

∆xi . xi0

(7 )

Численные значения коэффициентов влияния Ai и Bi могут быть определены либо расчетно-аналитическим методом—по формулам (5) и (6), либо (если не удается составить аналитическое выражение выходного параметра как функции всех переменных электронной цепи) одним из экспериментальных методов: методом малых приращений, методом преобразованных цепей, методом статистического планирования эксперимента в сочетании с регрессионным анализом результатов опытов и другими.

14

2.2. Экспериментальные методы определения погрешностей выходных параметров РЭC Помимо аналитических методов определения погрешностей выходных параметров РЭC, существуют методы экспериментального определения этих погрешностей. Суть экспериментальных методов заключается в том, что погрешность выходного параметра радиоизделия определяется по результатам двух серий опытов. В первой серии многократно измеряется значение выходного параметра уо (т. е. значение выходного параметра при номинальных значениях параметров элементов устройства, когда первичные погрешности равны нулю). Во второй серии многократно измеряются значения выходного параметра при различных комбинациях первичных погрешностей. Количественные характеристики погрешности выходного параметра определяются путем специальной обработки результатов обеих серий опытов. В зависимости от типа комбинаций первичных погрешностей, при которых измеряется выходной параметр во второй серии опытов, различают два метода экспериментального определения погрешности выходного параметра: экстремальный и статистический. При экстремальном методе во второй серии опытов выходной параметр измеряется всего лишь при двух комбинациях первичных погрешностей: при верхних предельных (в поле их допуска) значениях первичных погрешностей и при нижних предельных (в поле их допуска) значениях первичных погрешностей. Другими словами, во второй серии опытов выходной параметр измеряется для двух состояний электронной цепи. В первом состоянии параметры всех элементов имеют значения, соответствующие максимально допустимым положительным отклонениям (верхним предельным) от номинальных значений, во втором — максимально допустимым отрицательным отклонениям (нижним предельным) от номинальных значений. Итогом использования экстремального метода являются численные значения предельного верхнего уiB и предельного нижнего уiн значений выходного параметра электронной цепи при экстремальных значениях первичных погрешностей. По результатам

15

экстремального эксперимента можно определить предельные отклонения выходного параметра от номинального значения:

yв = yо+ ∆yв;

yн = y0 -∆ yн;

∆yв = yв – y0;

∆yн = y0 — yн; ∆yí y = 1− í . y0 y0

∆yB yB = − 1; y y0

(8) (9 )

Характеристики поля допуска на отклонения значений выходного параметра по результатам экстремальных испытаний определяются следующим образом:

δ (∆y ) = E (∆y ) =

1 ( yв − yн ); 2

⎛ ∆y ⎞ 1 ⎟⎟ = ( yв − yн ); ⎝ y ⎠ 2 y0

δ ⎜⎜

⎛ ∆y ⎞ 1 ( y â + y í ) − 1, E ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎝ y ⎠ 2 y0

1 ( yâ + yí ) − y0 ; 2

(10)

(11)

где δ (∆y) и δ (∆y/у) - величины половины поля допуска абсолютной и относительной погрешностей выходного параметра; Е(∆у) и Е(∆у/у) координаты середины поля допуска абсолютной и относительной погрешностей выходного параметра. Достоинством экстремального метода является его оперативность оценок. Недостатком, и очень существенным, являются особенности использования полученных результатов для определения допуска на выходной параметр. Это связано с тем, что вероятность появления используемых при экстремальном методе комбинаций первичных погрешностей в реальном устройстве ничтожно мала. При статистическом методе во второй серии опытов выходной параметр измеряется несколько раз (п раз) при различных комбинациях первичных погрешностей. Для каждой комбинации значения первичных

16

погрешностей назначаются в соответствии с числовыми значениями случайной величины, закон распределения которой совпадает с законом распределения первичных погрешностей в пределах их поля допуска. В результате проведения статистических испытаний получается п значений выходного параметра, измеренных при различных комбинациях первичных погрешностей у1,…,уi,…,yп. Для каждого из этих значений рассчитывается величина отклонения от номинального значения ∆yi=yi-уо. Полученные п значений погрешностей подвергаются статистической обработке - находится их математическое ожидание М(∆у) и среднее квадратическое отклонение σ(∆у)= D(∆у), где D(∆у)- дисперсия случайной величины ∆у. Расчет М(∆у ) и σ(∆у) проводится по формулам математической статистики:

1 n M (∆y ) = ∑ ∆y i ; n i =1

σ (∆y ) = =

(12 )

1 ⎧ n 2 2⎫ ⎨ ∑ ( ∆ y ) − n[ M ( ∆ y )] ⎬ = n − 1 ⎩ i =1 ⎭

2 1 ⎧⎪ n 1⎡ n ⎤ ⎫⎪ 2 ⎨∑ ( ∆y i ) − ⎢∑ ∆y i ⎥ ⎬ . n − 1 ⎪⎩ i =1 n ⎣ i =1 ⎦ ⎪⎭

17

(13 )

Во многих случаях для исследователя больший интерес представляют математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение относительной погрешности выходного параметра, которые можно рассчитать следующим образом: ⎛ ∆y ⎞ 1 ⎛ ∆y ⎞ 1 σ ⎜⎜ ⎟⎟ = σ ( ∆ y ). (14 ) ⎟ = M ( y ); M ⎜⎜ ∆ ⎟ y y ⎝ ⎠ 0 y0 ⎝ y ⎠ Многочисленные экспериментальные исследования узлов и блоков РЭС показали, что погрешности выходных параметров РЭС являются случайными величинами, подчиненными нормальному закону распределения. Допуск на выходной параметр, разброс которого подчиняется нормальному закону распределения, назначается, как правило, следующим образом: E ( ∆y ) = M ( ∆y );

δ (∆y) = 3σ (∆y);

δ ⎜⎜

⎛ ∆y ⎞ ⎛ ∆y ⎞ ⎟⎟ = 3σ ⎜⎜ ⎟⎟; ⎝ y⎠ ⎝ y⎠

(15)

⎛ ∆y ⎞ ⎛ ∆y ⎞ E⎜⎜ ⎟⎟ = M ⎜⎜ ⎟⎟. ⎝ y ⎠ ⎝ y ⎠

(16)

Достоинством статистического метода является возможность определения количественных характеристик закона распределения погрешности выходного параметра с высокой степенью точности (повышающейся при увеличении числа п), а следовательно, и возможность рационально обоснованного назначения допусков на выходной параметр электронной цепи. Недостатком является большое число измерений. Для определения погрешности выходного параметра радиоустройства статистическим методом необходимо: 1) знать законы распределения первичных погрешностей радиоустройства; 2) иметь возможность получать численные значения случайной величины, подчиняющейся этому закону распределения; 3) уметь вычислить величины первичных погрешностей по полученным случайным числам. В настоящее время имеется три основных способа получения массивов случайных чисел: с помощью таблиц случайных чисел; с помощью генераторов случайных чисел; с помощью специальных формул, которые позволяют рассчитать так называемые псевдослучайные числа. В данной лабораторной работе применен комбинированный способ получения случайных чисел, позволяющий найти случайные числа, 18

распределенные по известному закону. На первом этапе с помощью таблиц случайных чисел (приложение, табл. П.1) получаются стандартные случайные числа γi. Примечание. Стандартными случайными числами называются случайные числа, распределенные по закону равной вероятности в интервале от 0 до 1.

Затем полученные стандартные случайные числа преобразуются в случайные числа с необходимым законом распределения zi. Правило преобразования F(zi) = γi, (17) где F(zi) —интегральная функция распределения случайной величины, числовые значения которой необходимо определить. В настоящей лабораторной работе исследуется типовое электронное Zi ⎛ t2 ⎞ 1 F (zi ) = exp⎜⎜ − ⎟⎟ dt = γ i . (18) ∫ 2π − ∞ ⎝ 2 ⎠ устройство РЭС, первичные погрешности которого распределены по нормальному закону. Следовательно, необходимо от стандартных случайных чисел перейти к случайным числам, распределенным по нормальному закону, т. е. решить относительно Zi следующее уравнение

⎛ t2 ⎞ 1 ⎟⎟ dt = γ i . F (zi ) = exp ⎜⎜ − (18 ) 2 2π −∫∞ ⎝ ⎠ Это уравнение решается графически. На рис. 1 показаны графические построения, необходимые для определения случайной величины, ограниченной пределами ±3σ(zi). Zi

19

-3 -2,5

2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0 0,5 1,0

1,5 2,0 2,5

Рис. 1. Графическое определение величины Zi

20

3 Zi

В исследуемом типовом электронном устройстве первичные погрешности распределены по нормальному закону и центр их группирования совпадает с номинальным значением параметра. Следовательно, числовые значения первичных погрешностей, необходимые для проведения статистического эксперимента, можно определить следующим образом:

∆ y i = σ (∆x i ) × Z i ; ⎛∆xi ⎞ 1 ⎛∆xi ⎞ ⎟⎟ = δ⎜⎜ ⎟⎟. ⎝ xi0 ⎠ 3 ⎝ xi0 ⎠

σ⎜⎜

⎛ ∆xi ∆yi = σ ⎜⎜ yi0 ⎝ xi0

(19)

⎞ ⎟⎟ × Z i ; ⎠

где σ(∆xi) и σ(∆xi/хi0)—средние квадратические отклонения абсолютной и относительной первичных погрешностей. Для исследуемого электронного устройства значения σ(∆xi) и σ(∆xi/хi0) связаны с величиной половины поля допуска на соответствующие погрешности следующими соотношениями:

⎛ ∆ xi ⎝ xi 0

1 3

σ ( ∆xi ) = δ (∆xi );

σ ⎜⎜

21

⎞ 1 ⎛ ∆ xi ⎟⎟ = δ ⎜⎜ ⎠ 3 ⎝ xi 0

⎞ ⎟⎟. ⎠

(20)

3. Порядок выполнения работы 3.1. Определение погрешностей выходных параметров экстремальным методом 3.1.1. Рассчитать экстремальные (максимальное и минимальное) значения суммарных сопротивлений резисторов (R2+RР1) и (R5+RР2) при допуске на разброс их относительных отклонений равном ±10%. Результаты расчетов свести в таблицу по форме 1. Форма 1 Условия экстремального эксперимента

1

2

Экстремальный режим Номинальный режим

Единицы измерения

№ п/п

Параметры состояния

3

1 (R2+RР1)

кОм

2 (R5+RР2)

кОм

4

3 U2

В

4 ∆U2

В

5 Τ

мс

6 ∆τ

мс

0

7 (∆U2/U2)

-

0

8 (∆τ/τ)

-

0

0

22

Максимальное отклонение

Минимальное отклонение

5

6

3.1.2. В соответствии с функциональной схемой произвести необходимые электрические соединения. Включить источник питания, установить напряжение 10 В. Включить осциллограф тумблером “СЕТЬ” на передней панели прибора. 3.1.3. Установить номинальные значения сопротивлений R2+RР1 и R5+RР2 и измерить амплитуду импульса Uвых ном и длительность импульса τном с помощью осциллографа. Результаты измерений занести в таблицу по форме 1. 3.1.4. Установить максимальные значения сопротивлений R2+RР1 и P5+RР2 и измерить Uвыхтах и τтах. Результаты измерений занести в таблицу по форме 1. 3.1.5. Установить минимальные значения сопротивлений R2+RР1 и R5+RР2 и измерить Uвыхmin и τmin. Результаты измерений занести в таблицу по форме 1. 3.1.6. Рассчитать абсолютные и относительные погрешности выходных параметров и количественные характеристики поля допуска на относительные погрешности выходных параметров в соответствии с вышеизложенной методикой. Результаты расчетов свести в таблицы по форме 1 и по форме 2. Форма 2 Количественные характеристики закона распределения погрешностей выходного параметра и поля допуска на них Исследования предельными методами E(∆U/U)

δ((∆U/U)

E(∆τ/τ)

δ (∆τ/τ)

Исследования вероятностными методами E(∆U/U) M(∆U/U) δ(∆U/U) D(∆U/U) E(∆τ/τ) M(∆τ/τ) δ(∆τ/τ) D(∆τ/τ)

23

3.2. Определение погрешностей выходных параметров статистическим методом 3.2.1. Выбрать 20 значений стандартных случайных чисел с помощью таблиц стандартных случайных чисел. Результаты занести в таблицу по форме 3. 3.2.2. Согласно изложенной выше методике получить 20 значений случайных чисел, распределенных по нормальному закону. Полученные числа занести в таблицу по форме 3. 3.2.3 Используя выражения (19) и (20) и первые десять случайных чисел zi, рассчитать десять значений суммарной погрешности резисторов R2+RР1. Используя выражения (19) и (20) и следующие десять случайных чисел zi, рассчитать десять значений суммарной погрешности резисторов R5+RР2. При расчете учесть, что допуск на разброс относительных погрешностей резисторов R2+RР1 и R5+RР2 равен ±10%. Результаты расчетов свести в таблицу по форме 3. Форма 3

№п/п

Результаты расчета первичных погрешностей

1 1 2 3 . . . . . . . . 20

Значения случайных чисел γi zi

Первичные погрешности

2

4

3

∆(R2+RР1)= =σ ∆(R2+RР1) х zi, кОм

24

∆(R5+RР2)= =σ∆(R5+RР2) х zi, кОм 5

3.2.4. Измерить значения выходных параметров τ и Uвых для десяти пар погрешностей R2+RР1 и R5+RР2. Пары погрешностей выбирать следующим образом: первая — одиннадцатая, вторая—двенадцатая и т. д. Результаты измерений занести в таблицу по форме 4. 3.2.5. По вышеизложенной методике рассчитать значения ∆τ и ∆Uвых и занести их в таблицу по форме 4. 3.2.6. Рассчитать количественные характеристики погрешностей выходных параметров по формулам (12), (13) и (14). Результаты расчетов свести в таблицу по форме 4. 3.2.7. Рассчитать значения допусков и относительные погрешности выходных параметров по формулам (15) и (16). Результаты расчетов свести в таблицу по форме 2. Форма 4 Результаты статистических испытаний

№ Сочетание п/п погрешнос тей в паре 1 2 1 2 3 . . . 10

U 2, В

∆U2, В

∆U2/U2

τ, мс

∆τ , мс

∆τ/τ

3

4

5

6

7

8

4. Содержание отчета 4.1. Цель лабораторной работы, основные задачи исследования 4.2. Принципиальная электрическая схема объекта исследования. 4.3. Результаты экспериментальных исследований и расчетов в виде таблиц по формам 2 . . . 4. 4.4. Выводы о возможностях, достоинствах и недостатках экстремального и статистического методов испытаний, подтвержденные результатами экспериментальных исследований. Литература: [1], с. 161 . . . 165; [2], с. 7 . .12.

25

РАБОТА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДОВ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА 1. Цель работы Изучение основных положений методов статистического планирования эксперимента, построение и исследование планов проведения эксперимента. 2. Основные теоретические положения 2.1. Постановка задачи. Выходной параметр радиоэлектронного устройства представляет собой функцию многих переменных: параметров деталей и элементов конструкции, напряжения источников питания и т.д., т.е.

у =f(х1, ...,хi...,хn),

(1)

где у — выходной параметр радиоэлектронного устройства: хi —значение параметра i-ого элемента структуры. Как правило, конкретный вид этой функции не известен, и поэтому решение некоторых задач анализа и синтеза при конструировании радиоэлектронной аппаратуры затруднено. Метод статистического планирования эксперимента (СПЭ) в сочетании с регрессионным анализом результатов эксперимента позволяет получить математическую модель выходного параметра радиоэлектронного устройства в виде отрезка степенного ряда Тейлора, ограниченного членами первого, второго и реже третьего порядков k

k

k

i =1

i ,u i
i =1

Y = B 0 + ∑ Bi X i + ∑ Biu X i X u + ∑ Bii X i , 2

( 2)

где Y—оценка генерального значения выходного параметра; Вi, Вii, Вiu — эмпирические коэффициенты, являющиеся оценками соответствующих генеральных коэффициентов. Уравнение (2) называется уравнением регрессии, а коэффициенты Вi, Вii, Вiu, входящие в его члены, называются коэффициентами регрессии.

26

2.2. Основные определения Первичные параметры элементов x1, ..., хk в теории СПЭ называются факторами, образующими k-мерное факторное пространство. Выходной параметр «у» радиоэлектронного устройства называется функцией отклика. Уравнение регрессии (2) может быть использовано для аппроксимации функции отклика в ограниченной области. Поэтому необходимо выбрать начальные значения факторов xi и отклонения от начальных значений факторов ∆хi.. В радиоэлектронных устройствах, выходной параметр которых описывается зависимостью (1), практически важно знать, как ведет себя схема в окрестностях номинальных расчетных значений параметров радиоэлементов хi0. Поэтому наиболее эффективным способом расположения экспериментальных точек является их равномерное рассредоточение около номинальных. Последнее особенно очевидно, когда у исследователя отсутствуют априорные сведения о поведении функции в обозреваемой факторной области. Выбор интервалов варьирования ∆хi зависит от условий работы устройства. Можно, например, использовать сетку допусков на параметры радиоэлементов. При проведении экспериментов фактор может принимать следующие значения:

хi= хi0+ ∆хi или хi= хi0 - ∆хi.

x iH =

∆x i xi − xi0 = = ±1, xi − xi0 ∆x i

(3)

В дальнейшем удобнее использовать значения факторов не в натуральном масштабе, а их нормированные значения, которые находятся по формуле где xi — текущее значение i-го фактора (значение i-го фактора на верхнем или нижнем уровне); хi0— номинальное значение i-го фактора; ∆xi — интервал варьирования i-го фактора. 27

Учитывая условие нормирования факторов, уравнение регрессии (2) можно переписать в следующем виде k

k

k

i =1

i ,u i
i =1

y = b0 + ∑bi xi + ∑biu xi xu + ∑bii xi ,

bi =

2

Bi B = i , xi − xi0 ∆x i

(4)

( 5)

где у - оценка генерального значения выходного параметра; хi нормированное значение i-го фактора; b0, bi, bii , biu — коэффициенты регрессии, используемые в уравнении регрессии с нормированными факторами где Bi — i-й коэффициент регрессии, который используется в уравнении регрессии с факторами в натуральных единицах; ∆х, — интервал варьирования i -го фактора.

Условия, порядок проведения и результаты эксперимента записываются в таблицу, которая называется матрицей планирования эксперимента или просто планом. 2.3. Полный факторный эксперимент Полным факторным экспериментом называется эксперимент, включающий все возможные сочетания уровней факторов. Предположим, функция отклика у зависит от двух факторов х1 и х2, каждый из которых может принимать нормированные значения, равные +1 (верхнее значение) и -1 (нижнее значение). Матрица планирования полного факторного эксперимента ПФЭ для двух факторов представлена табл. 1.

28

Таблица 1

Матрица планирования ПФЭ 22 № опыта х0 1 2 3 4

+ + + +

План Взаимодействия Результаты эксперимента наблюдений у х2 х 2х 2 х1 + + + у1 — + — у2 + — — у3 — — + у4

Знаки в матрице планирования ,,+” или ,,—” подразумевают значения нормированного фактора, равные +1 или —1 соответственно, причем для простоты записи символ ,,1” опущен. Собственно план проведения эксперимента включает два столбца значений х1 и х2. Можно видеть, что четыре опыта (четыре строки матрицы планирования) исчерпывают все возможные сочетания уровней двух факторов, т.е. количество опытов в ПФЭ N=2k , (6) где k – число факторов. Для краткости планы ПФЭ, заданные таблицей, обозначают 2k . В матрицу планирования введена фиктивная переменная фактор х0 , которая необходима для вычисления коэффициента регрессии b0. При аппроксимации функции отклика неполным полиномом второго порядка необходимо рассчитать коэффициент регрессии b12. Для расчета этого коэффициента регрессии в матрицу планирования вводится столбец взаимодействия х1 х2 причем знаки для взаимодействия получаются простым перемножением х1 и х2 в соответствующей строке. В графу «результаты наблюдений» заносят значения выходного параметра, которые получаются при сочетании значений факторов i-й строки в процессе проведения эксперимента. Результаты наблюдений используются для расчета коэффициентов регрессии. Для построения плана типа 23 (полный факторный эксперимент при трех факторах) необходимо дважды повторить планирование типа 22 таким образом, чтобы для первой половины опытов переменная х3 была на нижнем уровне, а для второй – на верхнем. Этим будут исчерпаны все возможные комбинации значений факторов. Матрица планирования ПФЭ 23 представлена табл.2. 29

Таблица 2 Матрица планирования ПФЭ 23

№ 1 2 3 4 5 6 7 8

х0 + + + + + + + +

х1 + — + — + — + —

х2 + + — — + + — —

х3 + + + + — — — —

х 1х 2 + — — + + — — +

х1х3 + — + — — + — +

х2х3 + + — — — — + +

у у1 у2 у3 у4 у5 у6 у7 у8

В принципе, при априорном планировании эксперимента несложно построить планы ПФЭ для любого количества факторов. Так, для четырех факторов план ПФЭ может быть построен путем повторения плана 23 при значениях x4, равных +1 и - 1. Число опытов для ПФЭ 24 уже равно 16. Однако для большого количества факторов в случае ПФЭ появляется избыток степеней свободы fR=N—н., где fR — число степеней свободы; N— количество опытов при проведении ПФЭ; н - число искомых коэффициентов регрессии. В радиоэлектронных устройствах, как показывает опыт, взаимодействия тройного и более высокого порядков можно не учитывать. Это связано с самокомпенсацией на выходе устройства эффектов от того или иного соотношения между тремя и более первичными факторами в силу комбинаторного характера их взаимосвязей. Более того, в ряде случаев можно полагать незначимыми и ряд парных взаимодействий (по физическим соображениям или когда отклонения параметров схемных элементов от номинала малы). В то же время уже план 24 позволяет выделить шесть двойных, четыре тройных и одно неполного четвертого порядка взаимодействий. Если исследователь уверен в линейной модели схемы, то при k=5 ему необходимо определить н=k+1 коэффициентов регрессии. Тогда число степеней свободы составит fR =N— н =32 - 6=26. Учитывая неравенство N>н, ту же линейную модель можно найти при 7—8 опытах вместо 32.

30

2.4. Дробный факторный эксперимент Сокращение экспериментальных затрат достигается применением дробных реплик от ПФЭ, т. е. применением дробного факторного эксперимента ДФЭ. Рассмотрим принцип построения матрицы планирования ДФЭ. В табл.3 представлена матрица планирования ПФЭ 22. Используя эту таблицу, можно построить матрицу планирования ДФЭ для трех факторов. Для этого будем считать взаимодействие x1xг третьим фактором и матрица планирования, соответствующая этому случаю, представлена в табл. 4. Нетрудно заметить, что в приведенной табл. 3 нормированный фактор x3 принимает такие же значения, как и взаимодействие x1x2, фактор x1 - как взаимодействие x2x3, фактор x2 — как взаимодействие x1x3. Таблица 3 Матрица планирования ДФЭ 23-1 №

xо

x1

x2

xз=x1x2

x2x3

x1x3

y

1 2

+ +

+ —

+ +

+ —

+ —

+ +

y1 y2

3 4

+ +

+ —

— —

— +

+ —

— —

y3 y4

Таким образом, как видно из табл. 3, полученные в результате ДФЭ коэффициенты регрессии для линейных эффектов оказались смешанными с коэффициентами регрессии эффектов парных взаимодействий (в матрице знаки фактора x1 совпадают со знаками взаимодействия х2xз, фактора x2 - с x1xз, а фактора хз - с х1х2), что символически записывается следующим образом:

b1 → β 1 + β

23 ;

b 2 → β 2 + β 13 ;

(7)

b 3 → β 3 + β 12 , где βi, βiu - действительные оценки коэффициентов регрессии; bi — приближенные значения коэффициентов регрессии, полученные в результате проведения эксперимента и называемые оценками. Очень часто влияние взаимодействий на функцию отклика гораздо меньше линейных эффектов. В этом случае можно считать, что 31

β 23= β13= β12= 0. Тогда

b 1→ β 1; b 2 .→ β 2; b 3 → β 3. Поставив четыре опыта для оценки влияния трех факторов, мы воспользовались половиной ПФЭ 23, который имел бы число опытов N=8. Такой уменьшенный в два раза эксперимент называется полурепликой. Если бы мы приравняли х3 к — х1х2, то получили бы вторую половину матрицы планирования 23. В этом случае оценки коэффициентов регрессии при линейных членах и парных взаимодействиях также были бы смешаны: b 1 → β 1 − β 23 ; (8) b 2 → β 2 − β 13 ; b 3 → β 3 − β 12и. есть полный факторный Объединение этих двух полуреплик

эксперимент 23, который дает раздельные оценки для линейных эффектов и эффектов взаимодействий. Правило получения матриц планирования дробных реплик на основе матрицы планирования ПФЭ для k – 1 факторов можно сформулировать следующим образом: новому фактору присваивается столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Для обозначения дробных реплик, в которых е линейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, пользуются записью 2k—e. Так, рассмотренная нами полуреплика от ПФЭ 23 запишется как 23—1, а четвертьреплика от 25 – в виде 25—2 и т. д. 2.5. Определяющий контраст. Генерирующее соотношение

При построении полуреплики 23—1 существует всего две возможности приравнять х3 к х1х2 или к—х1х2 (см. табл. 4). Как видно из табл. 4, для построчного произведения трех столбцов матрицы 1 выполняется соотношение х1х2х3=1, а для матрицы 2—х1х2х3= —1.

32

Таблица 4

Матрица планирования полуреплик 23-1 № 1 2 3 4

х1 + — + —

х3= х1х2 х2 + + — —

х3 + — — +

№ 1 2 3 4

х1х2х3 + + + +

х3= - х1х2 х1 х2 х3 + + — — + + + — + — — —

х1х2х3 — — — —

Символическое обозначение произведений столбцов, равное +1 или —1, называется определяющим контрастом ОК. Контраст помогает определять смешанные эффекты, или систему смешивания. Для того чтобы определить, какие эффекты смешаны с данным, нужно умножить обе части ОК на данный эффект. Так, если ОК 1=x1x2xз, то для х1 имеем х1=x12x2x3, а так как хi2=1, то x1=x2x3. Аналогично х2=х1x3; х3=х1x2. Это значит, что коэффициенты линейного уравнения будут оценками: b 1 → β 1 + β 23 ; b 2 → β 2 + β 13 ; b 3 → β 3 + β 12 . Соотношение, показывающее, с каким из эффектов смешан данный эффект, называется генерирующим соотношением ГС. Например, для полуреплики 1 (табл. 4) ГС имеет вид x3=x1x2, для полуреплики 2 (табл. 4) ГС будет –х3=х1x2. 2.6. Разрешающая способность дробных реплик. Реплики высокой дробности При выборе полуреплики 24-1 возможны уже восемь вариантов: 5. x4= х1x3 ; 6. x4= -х1x3 ; 7. x4=х1x2x3 ;

1. х4= х1x2 ; 2. х3= -х1x2; 3. х4= х2x3 ; 33

4. х4= -х2x3;

8. х3= -х1x2x3.

Разрешающая способность полуреплик, построенных в соответствии с приведенными ГС, различна. Разрешающая способность будет максимальной, если линейные эффекты смешаны с эффектами взаимодействия наиболее высокого порядка, поскольку чем выше порядок взаимодействия, тем меньше его значимость и ошибка при определении соответствующих коэффициентов регрессии. Для определения разрешающей способности ДФЭ необходимо написать систему смешивания, воспользовавшись ОК или ГС. Определим разрешающую способность первого и седьмого вариантов дробных полуреплик 24—1', для чего сначала по ГС найдем ОК: 1. x42=x1 x2 x4 ;

1=x1 x2 x4;

7. x42=x1 x2 x3x4;

1=x1 x2 x3x4.

Затем, домножая левую и правую части ОК на соответствующий эффект, получим систему смешивания: 1. b 1 → β 1 + β 24 ;

7. b 1 → β 1 + β

234

;

b 2 → β 2 + β 14 ;

b 2 → β 2 + β 134 ;

b 3 → β 3 + β 1234 ;

b 3 → β 3 + β 124 ; b 4 → β 4 + β 123 .

b 4 → β 4 + β 12 ;

Kак видим, при выборе ГС седьмого варианта все линейные эффекты оказались смешанными с тройными взаимодействиями, а в первом случае — в основном с двойными. Таким образом, при построении главных полуреплик в ОК следует включать наибольшее возможное число факторов, т. е. произведение должно состоять из всех независимых факторов. Полуреплика, имеющая максимальную разрешающую способность, называется главной полурепликой. Среди полуреплик 25—1 главными будут полуреплики, имеющие ОК: 1= x1х2x3х4х5 и - 1= х1х2хзх4х5 . 34

Помимо полуреплик, на практике широко применяются ДФЭ более высокой дробности -1/4 реплики, 1/8 реплики и т. д. Рассмотрим 1/4 реплики 25—2. Здесь возможно очень большое число вариантов, в частности, если приравнивать x4 к парному, а х5 к тройному взаимодействию, возможны 12 различных вариантов: 1. x4 = x1x2 ; 2. x4 = x1x2 ; 3. x4 = -x1x2;

x5 = x1x2x3 ; x5 = - x1x2x3; x5 = x1x2x3 ;

4. x4=-x1x2 ; 5. x4=x1x3 ; 6. x4=x1x3 ; ..........

x5= -x1x2x3 x5=x1x2x3 x5=-x1x2x3 .........

; ; ; .

Допустим, выбран пятый вариант

x4=x1x3;

x5=x1x2x3.

Тогда определяющим контрастом являются 1=x1x3х4 и 1=x1x2x3х5. Если перемножить эти определяющие контрасты, то получится третье соотношение 1 = x2x4x5. Чтобы полностью охарактеризовать разрешающую способность реплики, необходимо записать так называемый обобщающий определяющий контраст ООК 1= х1х3х4= х2х4х5= х1х2х3х5. В этом случае система смешивания определяется умножением ООК последовательно на х1, x2, xз и т. д. Аналогичным образом находятся ООК и система смешивания для реплик более высокой дробности. В заключение покажем, как строится матрица планирования ДФЭ на примере главной полуреплики 24—1. 1. Запишем ГС для одного из факторов 35

х4= х1х2х3. 2. Строим матрицу планирования ПФЭ типа 23 для трех факторов x1, x2, xз, исключая фактор х4 который варьируется в соответствии с ГС. 3. Добавляем к построенной матрице ПФЭ 23 столбец (см. табл. 5) х4, значения которого варьируются в соответствии с ГС. Эффективность применения дробных реплик возрастает с ростом количества факторов. Так, при наличии 15 факторов для постановки ПФЭ 215 потребовалось бы проделать 32 768 опытов, применение же дробной реплики 215—11 позволяет снизить число опытов в 2048 раз, доведя его до 16. Таблица 5 Матрица планирования ДФЭ 24—1 № 1 2 3 4 5 6 7 8

x1 + — + — + — + —

x2 + + — — + + — —

x3 + + + + — — — —

x4 + — — + — + + —

Таким образом, использование ДФЭ вместо ПФЭ позволяет существенно сократить число опытов, причем выигрыш в числе опытов тем больше, чем выше дробность реплики. Однако не следует забывать, что при линейных эффектах коэффициенты регрессии при ДФЭ оказываются смешанными с коэффициентами регрессии при взаимодействиях. Причем система смешивания усложняется, точность определения коэффициентов регрессии падает при повышении дробности реплики. Следовательно, ДФЭ позволяет существенно сократить число опытов, но при этом снижается точность определения коэффициентов регрессии, а значит и искомой функции отклика.

36

2.7. Рандомизация порядка проведения опытов Чтобы уменьшить влияние ошибок, вызванных внешними условиями (изменение температуры, изменение питающих напряжений и т. д.), рекомендуется случайная последовательность проведения опытов, запланированных матрицей. Опыты необходимо рандомизировать во времени. Термин рандомизация опытов означает придание порядку проведения опытов случайного характера. При рандомизации опытов их следует выполнять не в последовательности номеров строк матрицы планирования, а в случайной последовательности, получаемой с использованием любых датчиков или таблиц случайных чисел (приложение, табл. П.1).

Таблица 6

3

Рандомизированная матрица ПФЭ 2 Номер опыта по Номер по порядку таблице случайных чисел

x1

x2

x3

ФУНКЦИЯ

отклика

13 3 9 8 2 16 7

4 15 5 10 12 1 6

1 2 3 4 5 6 7

+ — + — + — +

+ + — — + + —

+ + + + — — —

y11 y21 y31 y41 y 51 y 61 y 71

y 12 У22 y 32 y 42 y 52 y 62 y 72

14

11

8

—

—

—

y 81

y 82

С помощью таблицы случайных чисел рандомизация производится следующим образом: рассмотрим матрицу планирования 23 (табл. 6). Для повышения точности экспериментальных исследований опыты проводятся несколько раз (проводится два параллельных опыта каждой строки матрицы планирования). Суммарное число опытов равно 16. При рандомизации в этом случае из таблицы случайных чисел следует выбрать числа от 1 до 16 и записать их в сводную матрицу планирования. Выбор чисел осуществляется перебором элементов вектора-столбца или векторастроки таблицы случайных чисел, причем повторяющиеся числа необходимо отбрасывать. 37

Фрагмент таблицы случайных чисел приведен в приложении (табл.П.1). 3. Порядок выполнения работы 3.1. Построить матрицу планирования для полуреплики 25—1. 3.1.1. Выбрать ГС для полуреплики с наибольшей разрешающей способностью. 3.1.2. Записать ОК. 3.1.3. Определить систему смешивания для линейных эффектов и всех взаимодействий. 3.1.4. Построить матрицу планирования.

3.1.5. Рандомизировать порядок проведения опытов при двух параллельных опытах. 3.2. Построить матрицу планирования 25—2. 3.2.1. Выбрать ГС, обосновать выбор. 3.2.2. Записать ОК. 3.2.3. Записать ООК. 3.2.4. Определить систему смешивания для линейных эффектов и всех взаимодействий. 3.2.5. Построить матрицу планирования. 4. Содержание отчета 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6.

Цель работы. Матрица планирования 25—1. ГС, ОК. и система смешивания для матрицы 25—1. Матрица планирования 25—2. ГС, ОК, ООК и система смешивания для матрицы 25—2. Выводы по работе.

Литература: [1], с. 199... 234; [2], с. 72 . . . 85;[3], с. 181…192.

38

РАБОТА 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ВЛИЯНИЯ ОТКЛОНЕНИЙ ЗНАЧЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ РЭC МЕТОДОМ СТАТИСТИЧЕСКОГО ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА 1. Цель работы Изучение методики статистической обработки результатов планируемых экспериментов; определение коэффициентов влияния погрешностей элементов электронного устройства РЭC по результатам планируемых экспериментов. 2. Основные теоретические положения В лабораторной работе “Исследование методов статистического планирования эксперимента” были приведены основные положения для составления плана эксперимента. После составления плана эксперимента выполняется непосредственно сам эксперимент. Следующий этап обработка результатов эксперимента и получение математической модели выходного параметра радиоэлектронного устройства, вычисление коэффициентов влияния. 2.1 Дисперсия опыта При проведении активного эксперимента во избежание промахов (грубых ошибок) и для повышения точности каждая экспериментальная ситуация реализуется два раза, т. е. проводятся два параллельных опыта. Так как случайные возмущения (температура, напряжение источников питания и т. д.) во время проведения эксперимента чрезвычайно малы, то разброс показаний при повторных наблюдениях отсутствует. Это говорит о том, что в ошибке опыта доминирует погрешность измерительного прибора. Поэтому можно считать, что ошибка единичного измерения в i-м опыте будет

Si

2

N 1 2 = ( y ij − y i ) , ∑ N − 1 j =1

(1)

где Si - ошибка единичного измерения в i-м опыте ; N – числа серий опытов ; yij – значение выходной величины по i - ой строке матрицы планирования j=1,m ; y i - среднее значение выходной переменной, 39

полученное из параллельных опытов по i – ой строке матрицы планирования; m – число опытов (m=2n) Тогда дисперсия опыта

Dэкс=Si2=(Si)2.

2.3.

(2)

2.2. Дисперсия воспроизводимости Для проверки адекватности уравнения регрессии необходимо знать величину ошибок всех опытов в матрице планирования, характеризуемую дисперсией воспроизводимости. Дисперсия воспроизводимости вычисляется по формуле

D воспр

1 = S {y } = m 2

m

∑

Si2 ,

(3)

i =1

где Si2—дисперсия опыта (строчная дисперсия); m - число строк матрицы планирования. 2.3.Определение коэффициентов регрессии Регрессионный анализ дает следующую формулу для вычисления коэффициентов регрессии в случае ортогональных планов, которые и используются при статистическом планировании эксперимента bj =

1 m

m

∑x i =1

ji

yi ,

(4)

где xji — нормированный фактор j-го линейного эффекта или взаимодействия в i-м опыте; i—номер опыта строки матрицы планирования; уi—значение функции отклика в опыте i-й строки; m—число опытов строк в матрице планирования. 2.4. Проверка значимости коэффициентов регрессии После расчета коэффициентов регрессии необходимо произвести проверку их значимости. Если коэффициент регрессии значим, то влияние линейного эффекта или взаимодействия при данном коэффициенте на функцию отклика существенно и это слагаемое необходимо оставить в 40

уравнении регрессии. В противном случае, т. е. когда коэффициент не значим, линейный эффект или взаимодействие можно не учитывать. Проверка значимости каждого коэффициента регрессии производится независимо и осуществляется с помощью t -критерия Стьюдента. Величина расчетного t-критерия Стьюдента определяется по формулам

bj

t расч j =

S{b j }

,

(5)

где tрасчj — расчетное значение критерия Стьюдента для j-го коэффициента регрессии; bj — проверяемый коэффициент регрессии; S{bj) — квадратичная ошибка коэффициента регрессии

1

S{ b j } =

m

S 2 {y},

(6)

где S{bj} — дисперсия воспроизводимости; m — число строк матрицы планирования. Если tтаблtрасч, в дальнейшем соответствующий член в полиноме не рассматривается. 2.5. Проверка адекватности модели После вычисления коэффициентов регрессии необходимо проверить адекватность созданной модели, т. е. проверить, насколько точно соответствует значение функции отклика, рассчитанное с помощью модели, значениям функции отклика, полученным в эксперименте. Неадекватность модели может быть вызвана, во-первых, неправильным выбором исходной модели и, во-вторых, неправильным выбором интервалов варьирования факторов.

Для проверки адекватности дисперсию адекватности

Dад = S ад {y} = 2

^

модели

41

1

ϕ ад

необходимо

^ ∑ ( yi − y i ) 2 , m

i =1

вычислить

(7 )

где yi — значение функции отклика, вычисляемое по полученной модели для комбинации факторов i-й строки матрицы планирования; yi — экспериментальное значение функции отклика i-й строки матрицы планирования; φад—число степеней свободы, φад = m— (c+1), (8) где т—число строк в матрице планирования; c—количество коэффициентов регрессии, входящих в уравнение, т. е. количество только значимых коэффициентов. Проверка адекватности модели производится с помощью F-критерия Фишера. Расчетное значение F-критерия Фишера вычисляется по формуле

Fрасч = Sад2/S2{y},

(9)

где Sад2 — дисперсия адекватности; S2{y}— дисперсия воспроизводимости. Если Fрасч
∆xj = xj — xj0,

(11) где xj —текущее значение j-го фактора: xj0—номинальное значение j-го фактора. Уравнение регрессии примет вид: k k bj b ju y = b0 + ∑ ⋅ ∆42x j + ∑ ⋅ ∆ x j ∆ xu , (12 ) ∆ ∆ ⋅ ∆ x x x j =1 j
где bо, bj, bju—коэффициенты регрессии; ∆xj—интервал варьирования j-го фактора. Необходимо заметить, что в уравнение регрессии входят члены, которые содержат только значимые коэффициенты регрессии. Среднее (номинальное) значение выходного параметра получим из (12), считая, что все ∆xj = 0. Тогда y0=b0. Обозначим bj bju Aju = ; ⋅ ∆xj ∆xj∆xu Тогда уравнение для абсолютной погрешности Aj =

k

k

j =1

j
(13)

∆y = y − y0 = ∑Aj ∆x j + ∑Aju∆x j ∆xu ,

(14)

где Aj, Aju — коэффициенты влияния абсолютной погрешности; ∆хj — значения абсолютных погрешностей первичных элементов. Разделим уравнение абсолютной погрешности на уо ∆y = y0

Обозначим Bj =

bj ∆x j

k

Aj

∑b j =1

⋅

xj b0

0

k

A ju

j
b0

∆x j + ∑

B ju =

;

(15)

∆x j ∆xu . b ju

⋅

∆x j ⋅∆xu

x j ⋅ xu b0

⋅

(16)

Тогда уравнение для относительной погрешности примет вид ∆y y0

=

∆x

k

∑

j =1

B

j

x

j j

+

∆x

k

∑

j < u

B

ju

x

j

⋅

j

∆x u xu

,

(17)

где Вj, Вjи — коэффициенты влияния относительной погрешности; ∆xj /xj; ∆xu /xu — значения относительных погрешностей первичных элементов. 3. Порядок выполнения работы В работе собственно эксперимент сводится к установке 5 тумблеров В1…В5 в положения, соответствующие строке матрицы планирования, и измерению входного и выходного напряжений. Эта операция выполняется mp раз, где m – число строк в матрице планирования, p – число повторных опытов в каждой строке. В работе необходимо производить два повторных опыта (р=2). 43

Рабочей матрицей планирования эксперимента является матрица, построенная в предыдущей теоретической работе «Методы статистического планирования эксперимента». 3.1. Рабочую матрицу планирования внести в сводную матрицу планирования по форме 5. 3.2. Включить генератор приборы и прогреть их в течение 10 мин. 3.3. Подать на вход усилителя сигнал частотой 1000 Гц. Напряжение на входе усилителя должно быть указано преподавателем. 3.4. Провести опыты в соответствии с условиями матрицы планирования, внося в таблицу значения коэффициента усиления. 3.5. По формулам (1) и (2) вычислить дисперсии опытов при k=0,5. 3.6. По формуле (4) рассчитать 16 коэффициентов регрессии. 3.7. По формулам (5) и (6) рассчитать значения t - критерия Стьюдента для каждого из 16 коэффициентов регрессии. 3.8. Провести проверку значимости коэффициентов регрессии по методике, изложенной выше (tтабл=2,12). 3.9. Записать уравнение регрессии, подставляя численные значения значимых коэффициентов регрессии. ^ 3.10. Вычислить значения функции отклика уi, для каждой строки матрицы планирования, подставляя в полученное уравнение регрессии значения факторов соответствующей строки. 3.11. По формуле (7) вычислить дисперсию адекватности. 3.12. По формуле (9) вычислить расчетное значение F - критерия Фишера. 3.13. Провести проверку адекватности модели выходного параметра. Сделать вывод об адекватности модели. 3.14. По формулам (13) вычислить коэффициенты влияния абсолютной погрешности и записать уравнение абсолютной погрешности выходного параметра. 3.15. По формуле (17) вычислить коэффициенты влияния относительной погрешности и записать уравнение относительной погрешности выходного параметра.

44

Форма 5

4. Содержание отчета 4.1. Цель работы. 4.2. Принципиальная схема исследуемого изделия. 4.3. Сводная матрица планирования по форме 5. 4.4. Уравнение регрессии. 4.5. Числовые значения коэффициентов влияния абсолютной и относительной погрешности. 4.6. Уравнения абсолютной и относительной погрешности коэффициента усиления. 4.7. Выводы о проведенной работе по определению и анализу оценок коэффициентов влияния. Литература: [1], с. 170... 234; [2], с. 48 ...55, 63, 64, 72. ..85. 45

^ уi

_ уi у2j

у1j

Uвых 2j

Uвых1j

Uвх 2j

Uвх 1j

Si2

уj

Uвых j

Uвх j х 4х 5

х 3х 5

х 3х 4

х 2х 5

х 2х 4

х 2х 3

х 1х 5

х 1х 4

х 1х 3

х 1х 2

х5

х4

х3

х2

х0 х1

№ п/п

Номера по табл. случ. чисел

Сводная матрица планирования ДФЭ 25-1

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Яншин А, А. Теоретические основы конструирования, технологии и надежности ЭВА: Учеб. пособие для вузов.—М.: Радио и связь, 1983. 2. Львович Я. Е„ Фролов В. Н. Теоретические основы конструирования, технологии и надежности РЭА: Учеб. пособие для вузов.—М.: Радио и связь, 1986. 3. Кофанов Ю.Н. Теоретические основы конструирования, технологии и надежности радиоэлектронных средств: Учебник для вузов.- М.: Радио и связь, 1991.

46

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица П.1 Фрагмент таблицы случайных чисел 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16

1

56 66 25 38 64 70 26 27 67 77 40 04 34 34 63 98

2

88 40 52 03 29 65 69 34 34 50 21 74 00 97 23 51

3

87 63 88 23 62 51 07 69 59 02 89 49 14 98 53 67

4

32 25 21 23 15 08 82 34 57 35 22 03 33 48 84 37

5

44 61 88 23 18 01 59 47 64 04 99 59 96 20 30 76

6

94 44 08 67 79 41 62 15 60 11 88 83 24 82 25 56

7

13 24 40 09 65 46 39 61 12 90 62 41 11 59 85 01

8

78 27 84 05 99 85 75 67 80 80 57 05 71 70 21 31

9

42 39 30 02 34 99 46 65 45 15 19 74 35 17 44 02

10 04 52 43 96 38 13 83 80 72 34 20 55 19 49 59 07 11 82 85 77 30 16 32 46 46 30 84 20 68 72 98 94 11 12 38 48 86 88 24 55 46 60 06 90 08 83 98 42 49 34 13 91 19 05 68 22 58 04 63 21 16 23 38 25 43 32 20 14 54 81 87 21 31 40 46 17 65 63 99 71 14 12 64 89 15 65 43 75 12 91 20 36 25 57 32 07 85 06 64 75 27 16 29 03 98 39 71 87 32 14 99 42 10 25 37 30 10 84 17 48 09 36 95 36 20 82 53 32 98 92 68 50 77 17 56 18 23 97 10 96 57 74 07 95 26 44 93 08 43 30 41 04 19 43 97 55 45 98 35 35 69 45 96 80 40 29 39 96 33 20 40 05 08 50 79 58 19 86 26 28 99 24 09 79 24 65 21 45 76 09 35 49 76 23 21 87 90 87 45 33 32 57 09 22 66 97 10 69 02 25 36 43 71 76 00 67 56 12 69 88 23 15 62 38 72 98 03 76 09 30 75 77 80 24 04 80 23 24 54 09 32 12 49 89 33 46 10 45 06 31 33 12 32 11

47

Таблица П.2

f2 3

1 10,1

Значения F-критерия Фишера (доверительная вероятность 0,95) f1 2 4 6 8 12 9,6 9,1 8,9 8,8 8,7

4

7,7

6,9

6,4

6,2

6,0

5,9

8,5

5

6,6

5,8

5,2

5,0

4,8

4,7

4,5

6

6,0

5,1

4,5

4,3

4,1

4,0

3,8

7

5,6

4,7

4,1

3,9

3,7

3,6

3,4

8

5,3

4,5

3,8

3,7

3,4

3,3

3,1

9

5,1

4,3

3,6

3,4

3,2

3,1

2,9

10

5,0

4,1

3,5

3,2

3,1

2,9

2,7

12

4,8

3,9

3,3

3,0

2,9

2,7

2,5

14

4,6

3,7

3,1

2,9

2,7

2,5

2,3

16

4,5

3,6

3,0

2,7

2,6

2,4

2,2

18

4,4

3,6

2,9

2,7

2,5

2,3

2,1

20

4,4

3,5

2,9

2,6

2,4

2,3

2,1

25

4,3

3,4

2,8

2,5

2,4

2,2

2,0

30

4,2

3,3

2,7

2,4

2,3

2,1

1,9

35

4,1

3,3

2,6

2,4

2,2

2,0

1,8

40

4,1

3,2

2,6

2,3

2,2

2,0

1,8

50

4,0

3,2

2,6

2,3

2,1

1,9

1,7

48

24 8,6

Таблица П.3 Значение t-критерия Стьюдента (доверительная вероятность 0,95) Число степеней свободы

Значение tкритерия

Число степеней свободы

Значение t-критерия

Число степеней свободы

Значение tкритерия

1

12,71

9

2,26

17

2,11

2

4,30

10

2,23

18

2,10

3

3,18

11

2,20

19

2,09

4

2,78

12

2,18

21

2,08

5

2,57

13

2,16

23

2,07

6

2,45

14

2,14

25

2,06

7

2,36

15

2,13

27

2,05

8

2,31

16

2,12

40

2,02

49