Конструктивная физика: Монография

Êîíñòðóêòèâíàÿ èçèêà Þ.È.Îæèãîâ

2 Íàïèñàíèå ýòîé êíèãè ïîääåðæàíî ãðàíòîì êîìïüþòåðíîé êîìïàíèè ÍÈÊÑ

#F793/8-05.

3

ß ïîñâÿùàþ ýòó êíèãó ìîèì ó÷èòåëÿì

4

Àííîòàöèÿ Ñíà÷àëà ÿ íàìåðåâàëñÿ íàçâàòü êíèãó "Àëãîðèòìè÷åñêîé èçèêîé". Íî ïîòîì çàìåíèë â íàçâàíèè àëãîðèòìè÷íîñòü íà êîíñòðóêòèâèçì. Äåëî â òîì, ÷òî êîíñòðóêòèâèçì - òå÷åíèå â ìàòåìàòèêå, êîòîðîå ñîäåðæèò àëãîðèòìèêó, íî íå ñâîäèòñÿ ê íåé. Êíèãà ïîñâÿùåíà àíàëèçó ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà êâàíòîâîé ìåõàíèêè, è îáîñíîâàíèþ íåîáõîäèìîñòè è æåëàòåëüíîñòè çàìåíû ýòîãî àïïàðàòà íà êîíñòðóêòèâíóþ ìàòåìàòèêó. Îñíîâíûå ïðèìåðû âçÿòû ìíîé èìåííî èç êâàíòîâîé ìåõàíèêè, íî â äåéñòâèòåëüíîñòè ðå÷ü èäåò î ìàòåìàòè÷åñêîì àïïàðàòå èçèêå â öåëîì. ÿä ïðèíöèïèàëüíûõ ÿâëåíèé êîëëåêòèâíîãî òèïà ëåæèò â òîé îáëàñòè, ãäå íà÷èíàþò ñêàçûâàòüñÿ ýëåìåíòû ðåàëüíîñòè, îòáðàñûâàåìûå ïðè ïîëó÷åíèè ñòàíäàðòíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ àáñòðàêöèé. Ýòî ñâèäåòåëüñòâóþò î ñåðüåçíûõ èçúÿíàõ èñïîëüçóåìîãî â èçèêå ñòàíäàðòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà, îñíîâàííîãî íà ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå, àëãåáðå è êëàññè÷åñêîé ëîãèêå. Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü øèðîêî èçâåñòíûé êâàíòîâûé êîìïüþòåð, ïðîáëåìà ìàñøòàáèðóåìîñòè êîòîðîãî íå ïîääàåòñÿ àíàëèçó òðàäèöèîííûìè ñðåäñòâàìè. Ïðîáëåìà ìàñøòàáèðóåìîñòè êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà ÿâëÿåòñÿ, ïî ñóùåñòâó, íîâîé ðåäàêöèåé ñòàðîãî âîïðîñà îá îïèñàíèè äåêîãåðåíòíîñòè â êâàíòîâîé òåîðèè. Ýòî ïðåïÿòñòâèå î÷åíü ñåðüåçíî, òàê êàê òîëüêî ïðåîäîëåâ åãî ìû ïîëó÷èì âîçìîæíîñòü èçó÷àòü ïî-íàñòîÿùåìó ñëîæíûå ñèñòåìû, ñîñòàâëÿþùèå ïðåäìåò õèìèè è áèîëîãèè. ß óáåæäåí â òîì, ÷òî èìåííî êîíñòðóêòèâèçàöèÿ èçèêè ïîçâîëèò ýòî ñäåëàòü.  ýòîé êíèãå îïèñàí ïóòü, ñëåäóÿ ïî êîòîðîìó, ìû ìîæåì ñäåëàòü èçèêó êîíñòðóêòèâíîé. Íåîáû÷íîñòü çàäà÷è, êîòîðóþ ÿ ñòàâèë ïðè íàïèñàíèè òåêñòà, òðåáóåò áîëåå ðàçâåðíóòûõ îáúÿñíåíèé ïðåäïðèíèìàåìûõ øàãîâ, ÷åì ýòî ïðèíÿòî â èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðå. Ýòó êíèãó íàäî âîñïðèíèìàòü êàê ìàíèåñò, à íå îêîí÷àòåëüíûé îòâåò íà âîïðîñ, êàê âûãëÿäèò êîíñòðóêòèâíàÿ èçèêà. åàëüíîå ïîñòðîåíèå ýòîé íàóêè òðåáóåò áîëüøîãî òðóäà, â òîì ÷èñëå ñåðüåçíîé è óâëåêàòåëüíîé ðàáîòû ïðîãðàììèñòîâ. Òîëüêî ïåðåñòðîéêà ãèãàíòñêîãî çäàíèÿ ñîâðåìåííîé èçèêè íà êîíñòðóêòèâíûé ëàä ñïîñîáíà îòêðûòü íàì äîðîãó ê ïîíèìàíèþ ñëîæíûõ ïðîöåññîâ â òîì ñìûñëå, êîòîðûé âêëàäûâàåòñÿ â ñëîâî "ïîíèìàíèå"â òî÷íûõ íàóêàõ. å÷ü èäåò, ïî-ñóùåñòâó, î íîâîé íàóêå - êâàíòîâîé èçèêå ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì, êîòîðóþ ìîæíî ïîñòðîèòü òîëüêî íà ïóòÿõ êîíñòðóêòèâèçìà. ß íàäåþñü, ÷òî ÷òåíèå ýòîé êíèãè âäîõíîâèò ëþáîçíàòåëüíîãî ÷èòàòåëÿ íà ïðàêòè÷åñêîå ó÷àñòèå â ýòîì èíòåðåñíåéøåì è âàæíîì äåëå.

0.1

Àëãîðèòìû è áóäóùåå èçèêè

Ôèçèêà, áûâøàÿ áåçóñëîâíûì ëèäåðîì â íàóêå 20 âåêà, ñåé÷àñ óñòóïàåò ñâîå âèäèìîå ïîëîæåíèå òàêèì äèñöèïëèíàì, êàê áèîëîãèÿ. Òàêàÿ ïåðåìåíà çàêîíîìåðíà è íå îçíà÷àåò, ÷òî ïðåäìåò íàøåé íàóêè óòðàòèë àêòóàëüíîñòü, èëè øèðîêóþ îáùåñòâåííîñòü ïåðåñòàëî èíòåðåñîâàòü êàê óñòðîåí ìèð. Íàïðîòèâ,

0.1.

ÀË ÎÈÒÌÛ È ÁÓÄÓÙÅÅ ÔÈÇÈÊÈ

5

èìåííî ñåé÷àñ ïðîèñõîäÿò ñàìûå èíòåðåñíûå ïðîöåññû, ñâÿçàííûå ñ íåêîòîðûì ïåðåñìîòðîì îñíîâ. Òàêèå èäåè, âîîáùå ãîâîðÿ, íèêîãäà íå èñ÷åçàëè (ïî êðàéíåé ìåðå, èç ðàçãîâîðîâ), íî èìåííî ñåé÷àñ îíè îáðåëè òó ñòåïåíü çðåëîñòè, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ïðèäàòü èì îðìó ðåàëüíîãî ïîâîðîòà. Ýòîò ïîâîðîò ïîêà íå ïðîèçîøåë. Òåì íå ìåíåå, åãî, â îáùèõ ÷åðòàõ, ìîæíî óæå ïðåäâèäåòü, èñõîäÿ èç èìåþùåéñÿ ñèòóàöèè. Èìåííî ýòî ÿ è ïîïûòàëñÿ ñäåëàòü â äàííîé êíèãå. Ñîâðåìåííóþ ñèòóàöèþ â èçèêå ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê áåçóñëîâíî êðèçèñíóþ, è ðîäîñëîâíàÿ ýòîãî êðèçèñà òî÷íî òà æå, ÷òî è êðèçèñà â ìàòåìàòèêå â ïåðâîé òðåòè 20 âåêà: ýòî êðèçèñ àêñèîìàòè÷åñêîãî ìåòîäà. Ýòî - ïðîáëåìà öåëîñòíîñòè åñòåñòâîçíàíèÿ, è îíà ñâÿçàíà ñ íåáëàãîïîëó÷èåì â ñàìîé ìàòåìàòèêå, êîòîðîå íå áûëî âïîëíå ðàçðåøåíî (ñì. îáñóæäåíèå íèæå). Àêñèîìàòè÷åñêèé ìåòîä, î êîòîðîì ïðèíÿòî äóìàòü êàê î ýòàëîíå íàäåæíîñòè, â äåéñòâèòåëüíîñòè òàêîâûì íå ÿâëÿåòñÿ, è ïðèâëå÷åíèå ýêñïåðèìåíòà äëÿ ðåøåíèÿ âîïðîñîâ ïðèãîäíîñòè òîãî èëè èíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà ñòàíîâèòñÿ íå òîëüêî âïîëíå çàêîííûì, íî è íåèçáåæíûì äåëîì. Ýòî áûëî îñîçíàíî ïîñëå êðàõà ãèëüáåðòîâñêîé ïðîãðàììû, î ÷åì ïîéäåò ðå÷ü íèæå. Äëÿ íàñ î÷åíü âàæåí ðåöåïò, êîòîðûé áûë ïðåäëîæåí äëÿ âûõîäà èç êðèçèñà äëÿ ìàòåìàòèêè, òàê êàê òåîðåòè÷åñêàÿ èçèêà äîëæíà áóäåò ïîéòè èìåííî ýòèì ïóòåì. Ýòîò ðåöåïò, ïðèìåíèòåëüíî ê ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå, áûë ñîðìóëèðîâàí òàê: â îðìàëèçì äîëæíû áûòü ââåäåíû ïðîöåäóðû, è ýòî áóäåò èçâåñòíûì óðåçàíèåì åãî âîçìîæíîñòåé. Òàêîå óðåçàíèå ñòàëî íàçûâàòüñÿ êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòèêîé. Ñåé÷àñ ìû îáëàäàåì áîëåå òî÷íûì íàáîðîì èíñòðóìåíòîâ êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòèêè, è ïîýòîìó ìû ñîðìóëèðóåì òðåáîâàíèå êîíñòðóêòèâèçìà áîëåå îïðåäåëåííî: îðìóëû äîëæíû áûòü çàìåíåíû àëãîðèòìàìè. Ýòî, êîíå÷íî, íå îçíà÷àåò, ÷òî îðìóëû íå íàäî èñïîëüçîâàòü, ïðîñòî ïîä êàæäîé îðìóëîé â äåéñòâèòåëüíîñòè äîëæåí ïîíèìàòüñÿ íåêèé àëãîðèòì åå ïðèìåíåíèÿ.

1

Ïîýòîìó èçè÷åñêèé êîíñòðóêòèâèçì èìååò áîëåå áëàãîïðèÿòíóþ ïî÷âó,

è çäåñü åãî èäåè, íåñîìíåííî, ïîëó÷àò äàëüíåéøåå ðàçâèòèå. Ïî÷åìó êîíñòðóêòèâèçàöèÿ èçèêè íåèçáåæíà ? Ïîòîìó ÷òî ïðîñòûå çàäà÷è ñ îäíîé èëè äâóìÿ ÷àñòèöàìè (äëÿ ñîñòîÿíèé êîòîðûõ äîñòàòî÷íî óíêöèé øìèäòîâñêîãî òèïà, òî åñòü ïî-ñóùåñòâó, îäíî÷àñòè÷íûõ) óæå ðåøåíû, à äëÿ áîëåå ñëîæíûõ çàäà÷ ìåòîäû îðìóë íå ðàáîòàþò. Çäåñü íàäî ïîÿñíèòü, ÷òî ÿ èìåþ â âèäó ïîä ñëîæíûìè çàäà÷àìè. Åñëè ìû ðàññìîòðèì ãàç, ñîñòîÿùèé 25 èç 10 øàðîîáðàçíûõ ÷àñòèö ìàëîãî ðàçìåðà (ðàçìåð èõ íàìíîãî ìåíüøå ðàññòîÿíèé ìåæäó íèìè), è çàäàííîãî ïðîñòîãî çàêîíà ñîóäàðåíèé, òî äëÿ òàêîé ñèñòåìû ìîæíî ñòàâèòü âîïðîñ î òîì, êàêîâà áóäåò ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ ýòèõ ÷àñòèö, ïðèõîäÿùàÿñÿ íà åäèíèöó îáúåìà çàíèìàåìîãî èìè ïðîñòðàíñòâà, êàêîâà áóäåò òåìïåðàòóðà, äàâëåíèå è ò.ä. Ýòî âîïðîñû î ñòàòèñòè÷åñêèõ âåëè÷èíàõ, è èõ âû÷èñëåíèåì çàíèìàåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ èçèêà.  ýòîì ñëó÷àå âíå çîíû 1Â

ñðåäå ÷èñòûõ ìàòåìàòèêîâ êîíñòðóêòèâèçì íå ÿâëÿåòñÿ îáùåïðèíÿòûì, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî îí óæå õîðîøî ðàçðàáîòàí. Äëÿ èçèêîâ îí áîëåå ïðèâû÷åí, òàê êàê íåîáõîäèìîñòü ñîîòíîøåíèÿ îðìóë ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè òðåáóåò íåêîòîðîé àïðèîðíîé ïðîöåäóðíîñòè.

6 âíèìàíèÿ íàõîäÿòñÿ ðåäêèå ñîáûòèÿ, íàïðèìåð, ñìîãóò ëè òàêèå ÷àñòèöû êîãäà ëèáî ïðèíÿòü îðìó ÷åëîâå÷åñêîãî òåëà, è ò.ï. Ìîæíî ïîñòàâèòü çàäà÷ó äðóãîãî òèïà: êàêîâà ñðàâíèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî òðè çàäàííûõ ÷àñòèöû òàêîãî ãàçà îêàæóòñÿ ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ íà îäíîé ïðÿìîé, ïî ñðàâíåíèþ ñ íåêîòîðîé äðóãîé òðîéêîé, ïðè ó÷åòå, ÷òî íà÷àëüíûå ñîñòîÿíèÿ âñåõ ÷àñòèö çàäàíû ñ èçâåñòíîé ïîãðåøíîñòüþ ? Âàðèàíò ýòîé çàäà÷è: ïðèíÿòèå îðìû àìèíîêèñëîòû èëè íóêëåîòèäíîãî çâåíà. Ýòî áóäåò çàäà÷åé êàê ðàç î ðåäêèõ ñîáûòèÿõ, íî äëÿ åå ðåøåíèÿ íàì ñ î÷åâèäíîñòüþ íå õâàòèò íèêàêèõ ðàçóìíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ, òàê êàê ïðèäåòñÿ ïåðåáèðàòü ñîâåðøåííî íåïîäúåìíîå ÷èñëî âàðèàíòîâ: ïîðÿäêà ýêñïîíåíòû îò ÷èñëà 1025 . Ìîæíî áûëî áû îáúÿâèòü òàêîãî ðîäà çàäà÷è ïóñòûì óïðàæíåíèåì, íå èìåþùèì íèêàêîãî îòíîøåíèÿ ê ðåàëüíîñòè, íî ýòî áûëî áû íåïðàâäîé. Âîò âàðèàíò òàêîé íåäîñòóïíî ñëîæíîé çàäà÷è, ðåøåíèå êîòîðîé ïðÿìî çàòðàãèâàåò âñåõ íàñ. Ìîæåì ëè ìû ãàðàíòèðîâàòü, ÷òî â òå÷åíèå æèçíè îäíîãî ïîêîëåíèÿ îðáèòà Çåìëè íå ïðåòåðïèò ñóùåñòâåííûõ èçìåíåíèé, êîòîðûå ñäåëàþò íàøå ñóùåñòâîâàíèå íåâîçìîæíûì? Çàäà÷à 3 òåë â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå íå èìååò àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ, à çàäà÷à áîëüøåãî êîëè÷åñòâà òåë íå èìååò è íàäåæíûõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ - ïî êðàéíåé ìåðå, åñëè ðå÷ü èäåò î äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ïðîìåæóòêàõ âðåìåíè. Äâèæåíèå Çåìëè â ïîëå òÿãîòåíèÿ Ñîëíöà, ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ Ëóíû, Þïèòåðà è Ñàòóðíà îòíîñèòñÿ êàê ðàç ê òàêîìó òèïó. Íåñìîòðÿ íà áåçóñëîâíóþ âàæíîñòü çàäà÷ êîñìîëîãèè, ÿ ñ÷èòàþ (è ýòî ìíåíèå ðàçäåëÿåòñÿ ìíîãèìè), ÷òî ìû èìååì áîëüøå øàíñîâ äîñòè÷ü óñïåõà â òåõ çàäà÷àõ, ãäå ÷åëîâå÷åñêàÿ ïðàêòèêà â áîëüøåé ìåðå ìîæåò ïðèéòè ê íàì íà ïîìîùü. Ïðèìåðîì ÿâëÿþòñÿ çàäà÷è õèìèè è áèîëîãèè. Ýòî íè â êîåì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ äèñêðèìèíàöèåé êîñìîëîãèè. Ïðîñòî ÿ ñ÷èòàþ, ÷òî óñòðîéñòâî áîëüøèõ òåë è èõ ýâîëþöèé ìîæåò îêàçàòüñÿ åùå ñëîæíåå, ÷åì óñòðîéñòâî ìîëåêóë è àòîìîâ, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî òàêàÿ êîñìîëîãè÷åñêàÿ ýâîëþöèÿ ÿâëÿåòñÿ ìàêðîñêîïè÷åñêîé, è ïîòîìó â êîñìîëîãèè âåëèêà ðîëü íàáëþäåíèé, à çàíèìàòüñÿ

2

"äåòàëüíîé"òåîðèåé åùå òðóäíåå, ÷åì ðåøàòü çàäà÷è î ðåäêèõ ÿâëåíèÿõ â ãàçå . Èòàê, ÿâíûé çàïðîñ ïðàêòèêè ñîñòîèò â ðåøåíèè çàäà÷, îòíîñÿùèõñÿ ê ñåðå õèìèè è áèîëîãèè. Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü ñîçäàíèå ìîäåëè æèâîé êëåòêè, îáëàäàþùåé ïðåäñêàçàòåëüíîé ñèëîé. Èçâåñòíî, ÷òî æèâàÿ êëåòêà ìîæåò ðåçêî èçìåíèòü ñâîå ïîâåäåíèå ïîä äåéñòâèåì îäíîãî åäèíñòâåííîãî îòîíà îïðåäåëåííîé ÷àñòîòû, ïîïàâøåãî íà åå ìåìáðàíó, è çàïóñòèâøåãî öåëûé êàñêàä õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé, ïðèâîäÿùèé ê èçìåíåíèþ äâèæåíèÿ êëåòêè. Âñå ýòè ðå2 Âîò ïðèìåð çàäà÷è äëÿ "äåòàëüíîé"òåîðèè â êîñìîëîãèè: âûÿñíèòü, åñòü ëè â äàííîé ãàëàêòèêå ïëàíåòû, ãäå ÷åëîâåê ìîã áû íàõîäèòüñÿ áåç ñêààíäðà ? åøåíèå òàêîé çàäà÷è âûõîäèò çà ïðåäåëû íàøèõ âîçìîæíîñòåé. Ìû ïðîñòî íå çíàåì, êàê íàäî ðàçâèâàòü êîñìîëîãèþ äëÿ èõ ðåøåíèÿ, ïîòîìó ÷òî çäåñü ÷åëîâå÷åñêàÿ ïðàêòèêà íàì íè÷åì ïîìî÷ü íå ìîæåò. Çàòî â çàäà÷àõ õèìèè òàêàÿ ïðàêòèêà èãðàåò ãðîìàäíóþ ðîëü. Íî ìû ìîæåì ðàññ÷èòûâàòü, ÷òî åñëè ìû íàó÷èìñÿ î÷åíü õîðîøî ðåøàòü çàäà÷è õèìèè è áèîëîãèè, òî åñòü óïðàâëÿòüñÿ ñ òåìè ïðîöåññàìè, ñ êîòîðûìè ìû ñòàëêèâàåìñÿ êàæäûé äåíü è ãäå åñòü âîçìîæíîñòü äëÿ ðàçíîîáðàçíûõ ýêñïåðèìåíòîâ - åñëè ìû íàó÷èìñÿ ýòî äåëàòü, òî ýòî ñóùåñòâåííî ïîìîæåò íàì è â çàäà÷àõ êîñìîëîãèè. Ïî êðàéíåé ìåðå, ÿ íå âèæó çäåñü äðóãîãî ïóòè.

0.1.

ÀË ÎÈÒÌÛ È ÁÓÄÓÙÅÅ ÔÈÇÈÊÈ

7

àêöèè äîëæíû ïðåäñêàçûâàòüñÿ ìîäåëüþ, è âñþäó â äàëüíåéøåì ÿ áóäó âåñòè

3

ðå÷ü èìåííî î òàêèõ ìîäåëÿõ.

Ìû âïðàâå îæèäàòü, ÷òî ñîçäàíèå òàêèõ ìîäå-

ëåé âîçìîæíî íà íàøåì ñîâðåìåííîì óðîâíå, òî åñòü ïðàâèëüíûé ó÷åò êâàíòîâîãî õàðàêòåðà âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, ñîñòàâëÿþùèõ ïðîñòåéøóþ æèâóþ êëåòêó äàñò íàì èìåííî òàêóþ ìîäåëü. Äëÿ òàêèõ ìîäåëåé íóæíî óìåòü ïðèìåíÿòü êâàíòîâóþ èçèêó ê ñèñòåìàì, ñîñòîÿùèì èç ìèëëèîíîâ ÷àñòèö. Ïûòàòüñÿ ñòðîèòü ìîäåëè æèâûõ ñóùåñòâ áåç èñïîëüçîâàíèÿ âñåãî àðñåíàëà êâàíòîâîé èçèêè îçíà÷àåò ïóñòóþ òðàòó âðåìåíè. Áåññìûñëåííî òàêæå ñâîäèòü êâàíòîâóþ ïðèðîäó ðåàëüíîñòè ê íåêèì ïîïðàâêàì ê óïðóãèì ñèëàì, êîòîðûå äåéñòâóþò â ìîëåêóëàõ. Êâàíòîâàÿ èçèêà ñîäåðæèò ïðèíöèïèàëüíóþ íåëîêàëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ, ñìûñë êîòîðîé â òîì, ÷òî àíñàìáëü íåëüçÿ ñâåñòè ê åãî ñîñòàâëÿþùèì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðîëü êâàíòîâîé òåîðèè ñîâåðøåííî íå â òàê íàçûâàåìûõ êâàíòîâûõ ýåêòàõ, êîòîðûå èñ÷åçàþò íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ èëè äëÿ áîëüøèõ ñêîðîñòåé. Åå ðîëü - íà÷àëî èçó÷åíèÿ ñëîæíûõ, ïîòåíöèàëüíî - ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ðàçìåðîâ, ñèñòåì íà íàñòîÿùåì óðîâíå ñòðîãîñòè, ïîçâîëÿþùåì ñîçäàâàòü ìîäåëè ïîâåäåíèÿ òàêèõ ñèñòåì ñ ïðåäñêàçàòåëüíîé ñèëîé. Èòàê, ãëàâíàÿ èíòðèãà ñîñòîèò â òîì, ÷òî èçèêà äîëæíà ïðèìåíÿòüñÿ ê ñëîæíûì ïðîöåññàì, â êîòîðûå âîâëå÷åíû ìèëëèîíû ÷àñòèö, ê òåì ÿâëåíèÿì, êîòîðûå ñåé÷àñ ïðèíàäëåæàò îðìàëüíîé ñåðå õèìèè è áèîëîãèè. Íàñòîÿùåå îâëàäåíèå òàêèìè ïðîöåññàìè òðåáóåò ñîçäàíèÿ èõ ìîäåëè ñðåäñòâàìè êâàíòîâîé èçèêè. Íî ñîâðåìåííàÿ êâàíòîâàÿ èçèêà ïîêà ñîâåðøåííî íå ãîòîâà ê òàêîé ðîëè. Åå ïðåäìåòîì èññëåäîâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ ïðîñòûå ñèñòåìû, êàê ïðàâèëî, ñîñòîÿùèå èç îäíîé-äâóõ ÷àñòèö èëè ñâîäÿùèåñÿ ê íèì. Ìåæäó òåì, â êâàíòîâîé ìåõàíèêå îòêðûòû òàêèå ñâîéñòâà ñëîæíûõ ñèñòåì, êîòîðûå íå ìîãóò áûòü íåïîñðåäñòâåííî ñâåäåíû ê èõ ñîñòàâíûì ÷àñòÿì. Âàæíåéøèì èç ýòèõ ñâîéñòâ ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå òàê íàçûâàåìûõ çàïóòàííûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé. Ýòè ïðèíöèïèàëüíî ìíîãî ÷àñòè÷íûå åíîìåíû ëåæàò â îñíîâå õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé, à òàêæå òîãî, ÷òî íàçûâàåòñÿ îáùèì òåðìèíîì ïðîöåññ æèçíè. Íàñòîÿùåå ïîíèìàíèå òàêèõ ïðîöåññîâ ìîæåò áûòü äîñòèãíóòî ñðåäñòâàìè èçèêè, è ÿ ïîïûòàþñü, íàñêîëüêî âîçìîæíî, óáåäèòü â ýòîì ÷èòàòåëÿ. Íî äëÿ ýòîãî èçèêà äîëæíà ïðèîáðåñòè êîíñòðóêòèâíóþ îðìó. Íà èçè÷åñêèé êîíñòðóêòèâèçì ìîæíî âçãÿíóòü î÷åíü ïðèçåìëåííî. Ñëîæèâøàÿñÿ ñèòóàöèÿ ãîâîðèò î òîì, ÷òî ãëàâíûì ýëåìåíòîì èçèêè áóäóò êîìïüþòåðû. Èõ ñëóæåáíóþ ðîëü âî âñåõ îáëàñòÿõ íàóêè, â ïðèíöèïå, íèêòî îñîáåííî è íå îñïàðèâàåò. Ñâîåîáðàçèå ñîñòîèò â òîì, ÷òî èìåííî â èçèêå îíè ñòàíóò èãðàòü íå ñëóæåáíóþ, à îðãàíèçóþùóþ ðîëü. Ïîäîáíàÿ ìûñëü ìîæåò ïîêàçàòüñÿ ñòðàííîé, òàê êàê â óíäàìåíòàëüíîé èçèêå îðãàíèçóùóþ ðîëü âñåãäà èãðàë ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò. ß ïîïûòàþñü îáîñíîâàòü èäåþ î òîì, ÷òî èìåííî ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò èçèêè è äîëæåí èçìåíèòüñÿ ïîä âëèÿíèåì êîìïüþòåðèçàöèè. Òàêóþ èçèêó ìîæíî íàçâàòü àëãîðèòìè÷åñêîé, â çíàê òîãî, ÷òî àëãîðèòìû áóäóò èãðàòü â íåé òó ðîëü, êîòîðóþ òðàäèöèîííî èãðà3à

íå î ïðîñòûõ àíèìàöèÿõ â äóõå äâèæóùèõñÿ êàðòèíîê, îò êîòîðûõ íèêòî íå îæèäàåò ïðåäñêàçàòåëüíîé ñèëû.

8 þò îðìóëû. Îäíàêî áîëåå ïðàâèëüíî íàçûâàòü åå êîíñòðóêòèâíîé èçèêîé, òàê êàê çäåñü êëþ÷åâûì ìîìåíòîì ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèå âåëèêèõ òðàäèöèé êîíñòðóêòèâèçìà, çàëîæåííûõ â ìàòåìàòèêå ïîñëå îñîçíàíèÿ òîãî êðèçèñà îñíîâàíèé, êîòîðûé ÿâèëñÿ ñëåäñòâèåì êðàõà ãèëüáåðòîâñêîé ïðîãðàììû àêñèîìàòèçàöèè åñòåñòâåííûõ íàóê. Òàêîé ïîâîðîò â ñîâðåìåííîé èçèêå ñëîæåí, íî íåèçáåæåí. Îäíà èç ãëàâíûõ ïðè÷èí ìîåé óâåðåííîñòè - â òîì, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò äëÿ ýòîãî äåëà óæå ñóùåñòâóåò: ýòî êîíñòðóêòèâíàÿ ìàòåìàòèêà, âêëþ÷àþùàÿ êîíñòðóêòèâíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç è ýëåìåíòû àëãîðèòìè÷åñêîé àëãåáðû, ïðàêòè÷åñêè çàâåðøåííàÿ (íå ñ÷èòàÿ íåñêîëüêèõ íåðåøåííûõ çàäà÷) òåîðèÿ àëãîðèòìîâ, à òàêæå ðàçâèòàÿ òåõíèêà èíäóñòðèàëüíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ è êîìïüþòåðû ñ äîñòàòî÷íûì áûñòðîäåéñòâèåì. ß ïîïûòàþñü ïîêàçàòü, ÷òî ýòà áàçà ÿâëÿåòñÿ âïîëíå äîáðîòíîé, è èçèêà ìîæåò áûòü ïåðåâåäåíà íà êîíñòðóêòèâíûé ÿçûê áåç îñîáûõ ïðîáëåì. Êîíñòðóêòèâèçàöèÿ èçèêè îïèðàåòñÿ, òàêèì îáðàçîì, íà íàäåæíûé óíäàìåíò, ðàçðàáîòàííûé â äîñòàòî÷íîé ñòåïåíè äëÿ íà÷àëà åãî ðåãóëÿðíîãî ïðèìåíåíèÿ â èçèêå. ß áóäó ãîâîðèòü î êâàíòîâîé òåîðèè, íî ýòî, ðàçóìååòñÿ, íå îçíà÷àåò òîãî, ÷òî ýòî è åñòü âñÿ âîçìîæíàÿ çîíà ïðèëîæåíèÿ êîíñòðóêòèâèçìà; ýòîé çîíîé ÿâëÿåòñÿ âñÿ èçèêà è äàæå áîëåå òîãî. ß íàäåþñü, ÷òî ÷èòàòåëü îòäàåò ñåáå îò÷åò â òîì, ÷òî ïîëíûé ïåðåâîä èçèêè íà êîíñòðóêòèâíûé (à ïî-ñóùåñòâó - íà àëãîðèòìè÷åñêèé) ÿçûê - ýòî çàäà÷à, ïîñèëüíàÿ òîëüêî ìíîãî÷èñëåííîìó îòðÿäó èññëåäîâàòåëåé.  ýòîé êíèãå ÿ ñòàðàþñü óáåäèòü åãî â òîì, ÷òî òàêîé ïåðåâîä îñóùåñòâèì â ðàìêàõ äîñòàòî÷íî ðóòèííîé ðàáîòû, è â òîì, ÷òî îí êðàéíå æåëàòåëåí êàê äëÿ òåõ, êòî ðåøèë ñâÿçàòü ñâîþ æèçíü ñ íàó÷íûìè èññëåäîâàíèÿìè, òàê è äëÿ òåõ, êòî îæèäàåò îò íàóêè ðåàëüíîé îòäà÷è. Âàæíåéøèì äîâîäîì â ïîëüçó êîíñòðóêòèâíîé èçèêè ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îíà äàåò íàì âèçóàëüíóþ êàðòèíó ðåàëüíîñòè áåç óùåðáà äëÿ òî÷íîñòè. Êíèãà ìîæåò ïåðåäàòü ÷èòàòåëþ îùóùåíèå íàãëÿäíîñòè òîëüêî äëÿ ñòàòè÷åñêèõ èçîáðàæåíèé, íî íå äëÿ äèíàìèêè - ýòî çàäà÷à âèäåîèëüìà. Ñèëüíàÿ ñòîðîíà àëãîðèòìèçìà èìåííî â òîì, ÷òî îí äàåò íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå èìåííî äëÿ äèíàìè÷åñêèõ ñöåíàðèåâ ñëîæíûõ ñèñòåì, è ýòî, ïîæàëóé, ÿâëÿåòñÿ ñàìûì óáåäèòåëüíûì äîâîäîì â åãî ïîëüçó. Êíèæíàÿ îðìà, ê ñîæàëåíèþ, íå äàåò àâòîðó òàêîé âîçìîæíîñòè. Ìîÿ öåëü çäåñü áóäåò íåìíîãî èíîé. ß ïðèâåäó îðìàëüíûå äîâîäû â ïîëüçó àëãîðèòìèçìà, ïîêàçàâ åãî ïîëíóþ çàêîííîñòü â ñòðóêòóðå èçèêî - ìàòåìàòè÷åñêèõ äèñöèïëèí. Ýòà çàäà÷à âàæíà, ïîñêîëüêó êîíñòðóêòèâíàÿ ìàòåìàòèêà íå ïðåïîäàåòñÿ ñòóäåíòàì èçè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé è ïîòîìó ñóùåñòâóåò èçâåñòíûå îïàñåíèÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè ÿçûêà àëãîðèòìîâ â òåîðèè. Òàêèå îïàñåíèÿ áåñïî÷âåííû: àëãîðèòìû äàæå áîëåå íàäåæíû, ÷åì îðìóëû. Ìû óâèäèì, ÷òî àëãîðèòìèçàöèÿ èçèêè ñîõðàíÿåò âñþ ïðèâû÷íóþ ñðåäó ðàáîòû òåîðåòèêîâ ïðàêòè÷åñêè áåç èçìåíåíèé. Îäíàêî àëãîðèòìèêà äàåò âîçìîæíîñòü íàâåñòè ïîðÿäîê òàì, ãäå ñåé÷àñ öàðèò èçâåñòíàÿ íåîïðåäåëåííîñòü. Òàêàÿ ðîëü ñâîéñòâåííà èìåííî ìàòåìàòè÷åñêîìó àïïàðàòó, à íå òåõíè÷åñêîìó ñåðâèñó.

0.2.

9

ÏÅÄÈÑËÎÂÈÅ

Îñíîâíûì ïîáóäèòåëüíûì ìîòèâîì äëÿ íàïèñàíèÿ äàííîé êíèãè ÿâèëîñü òî, ÷òî íåäàâíî ïîÿâèëàñü âîçìîæíîñòü ïðÿìîãî ñðàâíåíèÿ òðàäèöèîííîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îðìàëèçìà ñ àëãîðèòìèêîé, è ýòà âîçìîæíîñòü ñâÿçàíà ñ èçâåñòíûì ïðîåêòîì ìàñøòàáèðóåìîãî êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà. Òàêîãî ðîäà âîçìîæíîñòü ïðÿìîãî ñðàâíåíèÿ íèêîãäà ðàíåå íå ïîÿâëÿëàñü. Äëÿ ìåíÿ ýòî ÿâèëîñü òàêæå ñâèäåòåëüñòâîì òîãî, ÷òî äàííàÿ êíèãà áóäåò âîñïðèíèìàòüñÿ ðàöèîíàëüíî, è ÷èòàòåëü ñìîæåò ñàìîñòîÿòåëüíî îöåíèòü çíà÷åíèå ïðèâåäåííûõ ìíîé àðãóìåíòîâ â ïîëüçó àëãîðèòìèêè.

0.2

Ïðåäèñëîâèå

Ñîâðåìåííîå ðàçâèòèå åñòåñòâåííûõ íàóê è òåõíèêè ñòàâèò íàñ ïåðåä íåîáõîäèìîñòüþ ðàñïðîñòðàíåíèÿ òî÷íûõ ìåòîäîâ òåîðåòè÷åñêîé èçèêè íà õèìèþ è áèîëîãèþ. Îïèñàòåëüíûé õàðàêòåð íàøèõ ïðåäñòàâëåíèé îá óñòðîéñòâå è óíêöèîíèðîâàíèè ñëîæíûõ ñèñòåì â Ïðèðîäå íå ïîçâîëÿåò íàì ïðîäâèíóòüñÿ â óïðàâëåíèè èìè â òîé ìåðå, â êàêîé ýòî îæèäàåòñÿ îáùåñòâîì îò íàóêè. Ïðåäëàãàåìûé â ñâÿçè ñ ýòèì ñèíòåç íàóê, èëè ìåæäèñöèïëèíàðíîñòü, ÿâëÿåòñÿ ñîâåðøåííî ïðàâèëüíîé îáùåé èäååé, íî äëÿ ïîëó÷åíèÿ êîíêðåòíûõ ðåçóëüòàòîâ íåîáõîäèìî ðàñïðîñòðàíåíèå òî÷íûõ ìåòîäîâ èçèêè íà ñëîæíûå ñèñòåìû. Ëþáîé äðóãîé ïîäõîä, èãíîðèðóþùèé ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû â òåîðèè, îáðå÷åí íà íåóäà÷ó. îâîðÿ î èçâåñòíîì ïåðåñìîòðå îñíîâ êâàíòîâîé òåîðèè ìû âñåãäà áóäåì èìåòü â âèäó èìåííî ìîäèèêàöèþ ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà, à íå îòêàç îò íåãî. Ìîäèèêàöèÿ, êîòîðóÿ íàì ïðåäñòîèò îñóùåñòâèòü, äîñòàòî÷íî ñåðüåçíà. Îäíà èç öåëåé êíèãè - ïîêàçàòü, ÷òî òàêàÿ ìîäèèêàöèÿ åñòü åäèíñòâåííàÿ ðåàëüíàÿ âîçìîæíîñòü âêëþ÷èòü â ñåðó èçèêè ñëîæíûå ñèñòåìû. Òîëüêî ýòà öåëü áóäåò äëÿ íàñ îïðàâäàíèåì âñåé ðàáîòû. Åñòåñòâåííî çäåñü âîçíèêàåò âîïðîñ ïðååìñòâåííîñòè, à èìåííî ãàðàíòèé òîãî, ÷òî ïëàíèðóåìàÿ ìîäèèêàöèÿ íå îñòàâèò çà áîðòîì íè÷åãî èç óæå äîñòèãíóòîãî íàøåé íàóêîé. Ýòîò âîïðîñ ñàìûé òðóäíûé è íà íåãî íåëüçÿ áûëî áû îòâåòèòü òàê êàê íà íàó÷íóþ ïðîáëåìó ñ òî÷íîé îðìóëèðîâêîé, òàê êàê ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò íåâîçìîæíî ïîñòðîèòü ïîäîáíî îäíîé èç èçè÷åñêèõ òåîðèé.

4

 äåéñòâèòåëüíîñòè, ó íàñ ñîâñåì íåò âûáîðà, òàê êàê âîçìîæíîñòè ïîñòðîåíèÿ íîâîé ìàòåìàòèêè óæå ðåàëèçîâàíû â âèäå êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòèêè. Êðèçèñ, î êîòîðîì ÿ âåäó ðå÷ü, íå íîâ. Ïåðâîå åãî ïðîÿâëåíèå â èñòîðèè êðàõ ïðîãðàììû èëüáåðòà àêñèîìàòèçàöèè åñòåñòâåííûõ íàóê. Êîíñòðóêòèâèçì âîçíèê êàê ïóòü âûõîäà èç ýòîãî êðèçèñà â îáëàñòè îðìàëüíîé ëîãèêè, è äàëüíåéøåå ðàçâèòèå êîíñòðóêòèâíûõ ìåòîäîâ â îáëàñòè èçèêè åñòü òîò ñàìûé íîâûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò, êîòîðûé íåîáõîäèìî ïðèíÿòü. 4 Èñïîëüçóÿ

ñèñòåìå.

àíàëîãèþ èç ïðîãðàììèðîâàíèÿ, ìîæíî óïîäîáèòü ìàòàïïàðàò îïåðàöèîííîé

10

0.2.1 Êîíñòðóêòèâèçì è åãî ðîëü â êâàíòîâîé òåîðèè Èäåÿ âíåäðåíèÿ â êâàíòîâóþ èçèêó êîíñòðóêòèâíûõ ìåòîäîâ òàêæå íå íîâà.  ðàáîòå [32℄ Ä.Íåéìàí è .Áèðêãî ïðåäëîæèëè çàìåíèòü â êâàíòîâîé èçèêå êëàññè÷åñêóþ ëîãèêó êîíñòðóêòèâíîé.

5

Ñåé÷àñ íàì èçâåñòíî ãîðàçäî

áîëüøå, ÷åì â òå âðåìåíà. Âîçíèêëè öåëûå íîâûå îáëàñòè: òåîðèÿ àëãîðèòìîâ, è îñíîâàííûå íà ïîíÿòèè àëãîðèòìà êîíñòðóêòèâíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç è êîíñòðóêòèâíàÿ (èëè àëãîðèòìè÷åñêàÿ) àëãåáðà. Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ãëàâíûì âèäèìûì ïðåïÿòñòâèåì äëÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ òî÷íûõ ìåòîäîâ åñòåñòâîçíàíèÿ íà ñëîæíûå ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ âû÷èñëèòåëüíûå ñëîæíîñòè, êîòîðûå ïðè ýòîì âîçíèêàþò. Ïîýòîìó ðàçâèòèå íàóêè î âû÷èñëåíèÿõ íåèçáåæíî äîëæíî èãðàòü â ýòîì ïðîöåññå óíäàìåíòàëüíóþ ðîëü, è ñàìè âû÷èñëåíèÿ äîëæíû ðàññìàòðèâàòüñÿ íå êàê òåõíè÷åñêèé ñåðâèñ, à êàê íåîòúåìëåìàÿ ñîñòàâíàÿ ÷àñòü íîâîé èçèêè - èçèêè ñëîæíûõ ñèñòåì. Êîíñòðóêòèâèçì äàåò äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìîå òåîðåòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå â òîì ñìûñëå, ÷òî îí îïðåäåëÿåò îáùèé âèä ìàòåìàòè÷åñêèõ èíñòðóìåíòîâ, êîòîðûìè íàäî çàìåíèòü òðàäèöèîííûé ÿçûê îðìóë è êëàññè÷åñêèõ äîêàçàòåëüñòâ. Íî ýòîãî ìàëî äëÿ ïîëó÷åíèÿ òî÷íûõ ÷èñëåííûõ ðåçóëüòàòîâ, ñîñòàâëÿþùèõ öåëü èçèêè. àçóìååòñÿ, â ñëîæíûõ ñèñòåìàõ ìû íå ìîæåì ðàññ÷èòûâàòü íà ÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû, ïîäîáíûå âèäó ñïåêòðà àòîìîâ, íî ìîæíî çàíîâî ïåðåîðìóëèðîâàòü, ÷òî îçíà÷àåò òî÷íîñòü äëÿ òàêèõ ñèñòåì: ýòî ìîæåò áûòü òî÷íîñòü âîñïðîèçâåäåíèÿ ñëîæíûõ ñöåíàðèåâ èõ ýâîëþöèè. Åñëè ìû íàøëè òàêîé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ïðàâäèâûõ äèíàìè÷åñêèõ ñöåíàðèåâ, ìû ñìîæåì ïîëó÷èòü è òî÷íûå çíà÷åíèÿ â ñòàðîì ñìûñëå ñëîâà. Íàäî èìåòü â âèäó, ÷òî â êîíñòðóêòèâèçìå ñîõðàíÿåòñÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ ÷àñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî îðìàëèçìà, êîòîðóþ ìû âñåãäà ìîæåì ïðèâëå÷ü äëÿ ïîëó÷åíèÿ òî÷íûõ ÷èñëåííûõ îöåíîê â òðàäèöèîí-

6

íîì ñìûñëå.

Äëÿ ñëîæíûõ ñèñòåì ïðîáëåìó ïðåäñòàâëÿåò èìåííî ïîëó÷åíèå

âåðíûõ ñöåíàðèåâ ýâîëþöèè; äëÿ ýòîé öåëè è íóæåí êîíñòðóêòèâèçì. Èìåííî òàêîå ïîíèìàíèå òî÷íîñòè áóäåò ó íàñ äëÿ ñëîæíûõ ñèñòåì. Çäåñü ïðîÿâëÿåòñÿ ñâîåîáðàçèå êîíñòðóêòèâíîé èçèêè. Åñëè â òðàäèöèîííîé êâàíòîâîé òåîðèè ìîæíî áûëî ïîëó÷àòü ðåçóëüòàòû íà êîí÷èêå ïåðà, òî åñòü òåîðèÿ óæå íåïîñðåäñòâåííî äàâàëà ïðåäñêàçàíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ, òî â êîíñòðóêòèâèçìå ìåæäó òåîðåòèêîì è ýêñïåðèìåíòîì åñòü î÷åíü ñåðüåçíûé ïîñðåäíèê - êîìïüþòåð. Åãî ðîëü â òðàäèöèîííîé èçèêå - òåõíè÷å5 ß ïîçíàêîìèëñÿ ñ ýòèìè èäåÿìè íà ñåìèíàðå À. .Äðàãàëèíà â 70-õ ãîäàõ, êîòîðûé áûë ïîñâÿùåí âîçìîæíûì ïðèìåíåíèÿì èíòóèöèîíèçìà â êâàíòîâîé òåîðèè, è ñ ýòîãî ìîìåíòà îñîçíàë, ñêîëü îïðåäåëÿþùóþ ðîëü â òåîðèçèêå èãðàåò òî, ÷òî íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèÿìè ìàòåìàòèêè. Ýòà ðîëü òàêîâà, ÷òî áûëî áû ïðàâèëüíåå ãîâîðèòü îá îáùèõ îñíîâàíèÿõ èçèêè è ìàòåìàòèêè. 6 Áûëî áû íàèâíî ñòàâèòü çàäà÷åé ñîñòÿçàòüñÿ ñ ýåêòèâíîñòüþ, íàïðèìåð, àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ äëÿ ýëåêòðîíà â êóëîíîâñêîì ïîëå íåïîäâèæíîãî çàðÿäà, èëè òîìó ïîäîáíûõ ñòàíäàðòíûõ çàäà÷. Âñÿ àíàëèòè÷åñêàÿ òåõíèêà âõîäèò â êîíñòðóêòèâèçì, è ìû ìîæåì åé ïîëüçîâàòüñÿ, ïðàâäà, ñ ñîáëþäåíèåì ïðåäîñòîðîæíîñòåé, î êîòîðûõ ïîéäåò ðå÷ü íèæå. Íàøà çàäà÷à - íå ñîðåâíîâàòüñÿ ñ àíàëèòèêîé, à îáåñïå÷èòü ñòûêîâêó ñ ìíîãî÷àñòè÷íûì ìèðîì, ãäå óæå íåò è íå ìîæåò áûòü íèêàêîé àíàëèòèêè.

0.2.

11

ÏÅÄÈÑËÎÂÈÅ

ñêàÿ; òàì îí ðåàëèçóåò òàê íàçûâàåìûå ìàòåìàòè÷åñêèå, èëè âû÷èñëèòåëüíûå ìåòîäû. Ìû óâèäèì, ÷òî äëÿ ñëîæíûõ ñèñòåì ýòî íå ïîäõîäèò. Êîíñòðóêòèâèçì - ýòî íå ñîâåðøåíñòâîâàíèå âû÷èñëèòåëüíûõ ìåòîäîâ êâàíòîâîé òåîðèè, à åå íî-

7

âàÿ îðìà.

Çäåñü ñîçäàíèå êîìïüþòåðíûõ ïðîãðàìì è ðàáîòà ñ íèìè îò÷àñòè

âõîäèò â ñàìó òåîðèþ, òî÷íî òàê æå, êàê òåõíèêà ðåøåíèÿ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé - â àðñåíàë òðàäèöèîííîãî èçèêà - òåîðåòèêà. Êîíñòðóêòèâíàÿ ìàòåìàòèêà íå äàåò íàì íåïîñðåäñòâåííî êîìïüþòåðíûå ïðîãðàììû, êîòîðûå ìîæíî áûëî áû ðåàëèçîâàòü, ñêàæåì, ñ èñïîëüçîâàíèåì ñóùåñòâóþùèõ ïðèêëàäíûõ ïàêåòîâ. Îíà äàæå íå äàåò íàì ñàìè àëãîðèòìû, êîòîðûå åùå íóæíî ñòðîèòü, èñïîëüçóÿ òàê íàçûâàåìûå êîíñòðóêòèâíûå ýâðèñòèêè. Òðåáóþùååñÿ çäåñü ïðîãðàììèðîâàíèå ÿâëÿåòñÿ, òàêèì îáðàçîì, êîíöåïòóàëüíûì, à íå òåõíè÷åñêèì, òàê êàê óòî÷íÿòüñÿ äîëæíû áóäóò ñàìè àëãîðèòìû. Ïðîäâèæåíèå çäåñü òðåáóåò òàê íàçûâàåìîé èíäóñòðèàëüíîé îðìû ïðîãðàììèðîâàíèÿ, êîòîðàÿ ðàññ÷èòàíà íà ðàáîòó êîëëåêòèâîâ ïðîãðàììèñòîâ íàä îäíèì ïðîåêòîì. Íåîáõîäèìûå äëÿ òàêîé ðàáîòû ïðîãðàììíûå è ìåòîäè÷åñêèå ñðåäñòâà ïîÿâèëèñü ñðàâíèòåëüíî íåäàâíî. Èìåííî ñóùåñòâîâàíèå òàêèõ ñðåäñòâ äàåò ìíå óâåðåííîñòü â òîì, ÷òî ìîæíî ðàçáèòü çàäà÷ó îïèñàíèÿ ñëîæíûõ ñèñòåì íà êîíêðåòíûå òåõíè÷åñêèå çàäàíèÿ, áåç ÷åãî èçè÷åñêèé êîí-

8

ñòðóêòèâèçì áûë áû ïðîñòûìè ðàçãîâîðàìè.

Ìû íå áóäåì çàíèìàòüñÿ çäåñü

âîïðîñàìè, ñâÿçàííûìè ñ ïðîãðàììèðîâàíèåì, à âìåñòî ýòîãî ðàññìîòðèì, êàê ìîãóò âûãëÿäåòü êîíñòðóêòèâíûå ýâðèñòèêè äëÿ ñëîæíûõ êâàíòîâûõ ñèñòåì. Ìû ìîæåì ãîâîðèòü î òðàäèöèîííîé îðìå òåîðèè òîëüêî ïðè îáîñíîâàíèè ýâðèñòèê, - ïðè èõ ïðèìåíåíèè ê ïðîñòûì ñèñòåìàì, ãäå äåéñòâóåò òðàäèöèîííàÿ êâàíòîâàÿ òåîðèÿ, è ãäå òðåáóåòñÿ ïîëíîå ñîîòâåòñòâèå èçâåñòíûì àêòàì. Äëÿ ñëîæíûõ ñèñòåì, ãäå òðàäèöèîííàÿ òåîðèÿ íå ïðèìåíèìà, â íàøåì ðàñïîðÿæåíèè áóäóò òîëüêî àëãîðèòìû, ïîëó÷åííûå íà îñíîâå íàøèõ ýâðèñòèê, à òàêæå âîçìîæíîñòü íåêîòîðîé ðåâèçèè ñàìèõ ýâðèñòèê.

0.2.2 Ìîå âèäåíèå èñòîðèè âîïðîñà Èñõîäíûì ïóíêòîì äëÿ íàïèñàíèÿ êíèãè ÿâèëèñü ìîè ñîáñòâåííûå ðàáîòû â îáëàñòè êâàíòîâîé èíîðìàòèêè è êâàíòîâûõ âû÷èñëåíèé. Èìåííî îíè ïðèâåëè ìåíÿ ê ÿñíîìó ïîíèìàíèþ äåéñòâèòåëüíîé ïðèðîäû ïðîáëåì êâàíòîâîé èíîðìàòèêè êàê îáëàñòè ìíîãî÷àñòè÷íûõ êâàíòîâûõ ÿâëåíèé, òåõ ïîòðÿñàþùèõ âîçìîæíîñòåé, êîòîðûå îòêðûâàåò ïåðåä åñòåñòâîçíàíèåì ðàçâèòèå êîìïüþòå7  òðàäèöèîííîé èçèêå ñóùåñòâóþò ïàêåòû ïðèêëàäíûõ ïðîãðàìì, èñïîëüçîâàíèå êîòîðûõ íåïîñðåäñòâåííî òåîðåòèêàìè íå òðåáóåò ñïåöèàëüíîãî ó÷àñòèÿ ïðîãðàììèñòîâ. Íåîáõîäèìîñòü ïðèâëå÷åíèÿ ñïåöèàëèñòîâ ïî ïðîãðàììèðîâàíèþ ÿâëÿåòñÿ ïðàêòè÷åñêèì êðèòåðèåì, îïðåäåëÿþùèì ãðàíèöó ñ êîíñòðóêòèâèçìîì; çäåñü ó÷àñòèå ïðîãðàììèñòîâ ÿâëÿåòñÿ îáÿçàòåëüíûì, òàê êàê îíî íåñåò êîíöåïòóàëüíóþ íàãðóçêó. 8 Ïðèìåðû òàêèõ ðàçãîâîðîâ ÷èòàòåëü ìîæåò íàéòè â èñòîðèè èçèêè â áîëüøîì êîëè÷åñòâå, è ÿ íå íàìåðåí èõ çäåñü îáñóæäàòü. Ýòî íàäî ÷åòêî îòëè÷àòü îò òåõ ñîâåðøåííî êîíêðåòíûõ áëîê-ñõåì àëãîðèòìîâ, êîòîðûå ÿ â äàëüíåéøåì íàçûâàþ êîíñòðóêòèâíûìè ýâðèñòèêàìè, è êîòîðûå ñëóæàò îñíîâîé äëÿ íóæíîãî íàì ïðîãðàììèðîâàíèÿ.

12 ðîâ, è òîãî, êàêàÿ ìèçåðíàÿ ÷àñòü ýòèõ âîçìîæíîñòåé îñâîåíà ñóùåñòâóþùèìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ìåòîäàìè. Íåïîñðåäñòâåííàÿ ïðè÷èíà äëÿ îáðàùåíèÿ ê êîíñòðóêòèâèçìó ñâÿçàíà ñ ïðîáëåìîé êâàíòîâûõ âû÷èñëåíèé è êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà. Êâàíòîâûé êîìïüþòåð áûë ïðåäëîæåí Ôåéíìàíîì ([15℄), à òàêæå ðÿäîì äðóãèõ àâòîðîâ (ñì., íàïðèìåð, [8℄) êàê íåîáõîäèìûé èíñòðóìåíò ìîäåëèðîâàíèÿ êâàíòîâîé èçèêè ìíîãèõ ÷àñòèö, ïîñêîëüêó íà êëàññè÷åñêîì âû÷èñëèòåëüíîì óñòðîéñòâå íåâîçìîæíî ïðåîäîëåòü âîçíèêàþùèé çäåñü ýêñïîíåíöèàëüíûé âû÷èñëèòåëüíûé áàðüåð, ïðè ðàññìîòðåíèè ñëîæíûõ ñèñòåì ìíîãèõ ÷àñòèö. Ýâîëþöèÿ ìîåãî ïîíèìàíèÿ ýòîé çàäà÷è ïîâòîðÿåò åå èñòîðèþ: îò ïåðâîíà÷àëüíîé èäåè î íåîáõîäèìîñòè êâàíòîâîì êîìïüþòåðà, îðìàëèçàöèè ýòîãî ïîíÿòèÿ, ýéîðèè 80õ, ê áîëåå ãëóáîêîìó âçãëÿäó íà ïðîáëåìó â ñâåòå òðóäíîñòè àïïàðàòíîé ðåàëèçàöèè êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà, è, íàêîíåö - ê íåîáõîäèìîñòè ïåðåñìîòðà îñíîâ êâàíòîâîé òåîðèè â îáëàñòè ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì íà îñíîâå àëãîðèòìè÷åñêîãî ïîäõîäà. Êâàíòîâûå âû÷èñëåíèÿ âîçíèêëè ïåðâîíà÷àëüíî êàê ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ, îñíîâàííàÿ íà òðàäèöèîííîì îðìàëèçìå èëüáåðòà äëÿ êâàíòîâûõ ñèñòåì. Îäíàêî ñàìûì âàæíûì çäåñü îêàçûâàåòñÿ ïðåñëîâóòàÿ ïðîáëåìà äåêîãåðåíòíîñòè, òî åñòü îòêëîíåíèå ýâîëþöèè ðåàëüíûõ êâàíòîâûõ ñèñòåì îò èäåàëüíûõ óíèòàðíûõ îïåðàöèé, íà êîòîðûõ îñíîâàí íå òîëüêî êâàíòîâûé êîìïüþòèíã, íî è âñÿ àíàëèòè÷åñêàÿ ÷àñòü êâàíòîâîé òåîðèè. Ôèçèêà êâàíòîâûõ êîìïüþòåðîâ îêàçàëàñü ãîðàçäî áîëåå óíäàìåíòàëüíûì ïðåäìåòîì, ÷åì ñîáñòâåííî êâàíòîâûå âû÷èñëåíèÿ. Îäíèì èç ïåðâûõ ìîå âíèìàíèå íà ýòî îáðàòèë Ê.À.Âàëèåâ, êîòîðûé âïåðâûå â îññèè ñòàë çàíèìàòüñÿ èçè÷åñêîé ñòîðîíîé, òî åñòü ïðîáëåìàìè ðåàëèçàöèè êâàíòîâûõ ãåéòîâ.

Î èñòîðèè êîíñòðóêòèâèçìà Íàçðåâøèé ñåðüåçíûé ïîâîðîò â ðàçâèòèè êâàíòîâîé òåîðèè â äåéñòâèòåëüíîñòè êàñàåòñÿ âñåãî åñòåñòâîçíàíèÿ è èìååò ãëóáîêèå êîðíè. Îí àêòè÷åñêè ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì ïðîãðàììû èëüáåðòà î çàâîåâàíèè ìàòåìàòèêîé âñåõ åñòåñòâåííûõ íàóê, íà÷èíàÿ ñ èçèêè. Ýòà èäåÿ ëåæèò â îñíîâå åãî çíàìåíèòîé ïðîãðàììû, ñîðìóëèðîâàííîé â íà÷àëå 20 âåêà. èëüáåðòîâñêàÿ ïðîãðàììà ïðåîáðàçîâàíèÿ åñòåñòâîçíàíèÿ ïîòåðïåëà íåóäà÷ó èç-çà òîãî, ÷òî îñíîâûâàëàñü íà àêñèîìàòè÷åñêîì ìåòîäå. åäåëü ïîêàçàë, ÷òî ýòîò ìåòîä íå ãîäèòñÿ äàæå äëÿ îáîñíîâàíèÿ ñàìîé ìàòåìàòèêè, íå ãîâîðÿ óæå î ðàñïðîñòðàíåíèè åå ìåòîäîâ íà èçèêó è õèìèþ. Îäíàêî çíà÷åíèå èäåè èëüáåðòà íå óìåíüøèëîñü îò ýòîé íåóäà÷è. Åãî ïðîãðàììà ïðèâåëà ê óäèâèòåëüíîìó: ïîÿâëåíèþ íîâîé ìàòåìàòèêè, êîòîðóþ ïðèíÿòî íàçûâàòü êîíñòðóêòèâíîé. Èäåÿ êîíñòðóêòèâíîñòè, èñòîðè÷åñêè âîçíèêøàÿ íåìíîãî ðàíüøå òåîðèè àëãîðèòìîâ, ïîÿâèëàñü êàê îòâåò íà íåóäà÷ó ïðîãðàììû àêñèîìàòèçàöèè åñòåñòâîçíàíèÿ, ïðåäëîæåííóþ èëüáåðòîì. Ýòà èäåÿ çàâîåâûâàëà ìåñòî ïîä ñîëíöåì ñíà÷àëà â îæåñòî÷åííûõ ïîëåìèêàõ èëüáåðòà

0.2.

13

ÏÅÄÈÑËÎÂÈÅ

ñ Êðîíåêåðîì, çàòåì â ïîÿâëåíèè èíòóèöèîíèçìà Áðàóýðà, ïîòîì â ïîÿâëåíèè òî÷íîãî ïîíÿòèÿ êîíñòðóêòèâíîé ïðîöåäóðû - àëãîðèòìà, àâòîðàìè êîòîðîãî áûëè Òüþðèíã, Ïîñò è Ìàðêîâ ìëàäøèé. Óæå ïîñëå ýòîãî âîçíèê òàê íàçûâàåìûé êîíñòðóêòèâíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç è êîíñòðóêòèâíàÿ àëãåáðà, ÷òî è çàâåðøèëî ñîçäàíèå óäèâèòåëüíî ñòðîéíîãî è ìîùíîãî çäàíèÿ êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòèêè. Êîíñòðóêòèâèçì ñòàâèò âî ãëàâó óãëà ïðîöåäóðû ïîëó÷åíèÿ íóæíûõ îáúåêòîâ, à íå ëîãè÷åñêîå îáîñíîâàíèå èõ ñóùåñòâîâàíèÿ. Ýòî - çíà÷èòåëüíî áîëåå èçè÷íûé ïîäõîä ê îðìàëüíîìó àïïàðàòó. àññìîòðåíèå ìíîãèõ ðàçäåëîâ èçèêè ñ ïîçèöèé êîíñòðóêòèâèçìà óñòðàíÿåò îðìàëüíûå íåñòûêîâêè è íåñòðîãîñòè, ê êîòîðûì íåèçáåæíî ïðèâîäèò êëàññè÷åñêàÿ ìàòåìàòèêà. Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü òåõíèêà åéíìàíîâñêèõ èíòåãðàëîâ ïî òðàåêòîðèÿì. Ñåé÷àñ ìîæíî ñ óâåðåííîñòüþ ñêàçàòü, ÷òî êîíñòðóêòèâíàÿ ìàòåìàòèêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé, ïîòåíöèàëüíî, áîëåå ñîâðåìåííûé è áîëåå óäîáíûé îðìàëüíûé àïïàðàò èçèêè, ÷åì òðàäèöèîííàÿ (êëàññè÷åñêàÿ) ìàòåìàòèêà. Êîíñòðóêòèâèçì èìååò ñâîþ èñòîðèþ, íà÷àâøóþñÿ åùå äî îðìàëüíîãî îïðåäåëåíèÿ àëãîðèòìîâ Òüþðèíãîì. Ýòà èñòîðèÿ ñâÿçàíà ñ îñíîâîé êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòèêè - êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêîé. Ëîãè÷åñêèé êîíñòðóêòèâèçì ïðèçíàåò òîëüêî òå àêòû, êîòîðûå ìîæíî óñòàíîâèòü îðìàëüíûìè ïðîöåäóðàìè ñ òî÷íî îïðåäåëåííûìè äåòàëÿìè. Íàïðèìåð, â êîíñòðóêòèâèçìå ïðèçíàåòñÿ òîëüêî òàêîå äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ, èç êîòîðîãî ìîæíî èçâëå÷ü ïðîöåäóðó ïîëó÷åíèÿ òðåáóåìîãî îáúåêòà. ×èñòûõ äîêàçàòåëüñòâ ñóùåñòâîâàíèÿ êîíñòðóêòèâèçì íå ïðèçíàåò.  ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå

9

êîíñòðóêòèâèçì ïðîÿâëÿåòñÿ â îðìå èíòóèöèîíèçìà . Äëÿ íàñ áóäåò íåîáõîäèì êîíñòðóêòèâíûé ïîäõîä ê ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó, êîòîðûé êðàòêî èçëàãàåòñÿ â ãëàâå 2. Ñèñòåìà îáðàçîâàíèÿ, â ñèëó íåèçáåæíîé èíåðöèè, îñòàâëÿåò ïîêà êîíñòðóêòèâèçì â ïîëóòåíè, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî èìåííî îí ïðåäîñòàâëÿåò ìàòåìàòè÷åñêèé óíäàìåíò â âèäå, óäîáíîì äëÿ èçèêîâ - òåîðåòèêîâ: îðìàëèçì, ñâîáîäíûé îò "ìàòåìàòè÷åñêîé ëèðèêè"

10

. Ìåæäó òåì åñòü âåñêèå îñíîâàíèÿ ïðåäïî-

ëàãàòü, ÷òî èìåííî ñèñòåìàòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå òàêîãî îðìàëèçìà ñïîñîáíî äàòü íàì òî÷íûå çíàíèÿ î ïðèðîäå ñëîæíûõ ñèñòåì, êîòîðûå ïîêà èçó÷àþòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî ýêñïåðèìåíòàëüíûìè ñðåäñòâàìè. Ìû ïðîñëåäèì òîëüêî òå íåìíîãèå âûâîäû èç êîíñòðóêòèâíîãî ïîäõîäà, êîòîðûå ìîæíî ñäåëàòü "âðó÷íóþ"; äëÿ äàëüíåéøåãî ïðîäâèæåíèÿ íàäî èñïîëüçîâàòü ïðîãðàììèðîâàíèå, è ýòî âûõîäèò çà ðàìêè êíèæíîãî îðìàòà. Ìû óâèäèì, ÷òî êîíñòðóêòèâèçì äàåò âîçìîæíîñòü ñâåñòè áîëüøóþ ÷àñòü èññëåäîâàíèÿ ê íàïèñàíèþ òåõíè÷åñêèõ çàäàíèé äëÿ ïðîãðàììèñòîâ. Çäåñü ìîæíî òîëüêî ïðèâåñòè îáùèå äîâîäû â ïîëüçó òîãî, ÷òî òàêèå òåõíè÷åñêèå çàäàíèÿ äîëæíû ïðèâåñòè íàñ ê öåëè, è ÿ ïîñòàðàþñü äåëàòü ýòî âñåãäà, ãäå òîëüêî âîçìîæíî. 9 Îñíîâîïîëîæíèêàìè èíòóèöèîíèçìà

ÿâÿþòñÿ Áðàóýð (ñì. [10℄) è Êðîíåêåð. Èçâåñòíà îñòðàÿ ïîëåìèêà ïîñëåäíåãî ñ èëüáåðòîì î çàêîííîñòè äîêàçàòåëüñòâ ÷èñòîãî ñóùåñòâîâàíèÿ, ñîñòàâëÿþùèõ ãîðäîñòü àêñèîìàòè÷åñêîãî ïîäõîäà, çàùèùàåìîãî èëüáåðòîì. 10 Ñëîâà Ë.Ä.Ëàíäàó.

14 Íàñòîÿùèé òðèóì êîíñòðóêòèâèçìà - âïåðåäè. Îí ñâÿçàí ñ ïîÿâëåíèåì íîâûõ âîçìîæíîñòåé â ñåðå èíäóñòðèàëüíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, êîòîðûõ íå ñóùåñòâîâàëî åùå äåñÿòü ëåò íàçàä, è êîòîðûå äàþò âîçìîæíîñòü îáúåäèíèòü åñòåñòâåííûå íàóêè. Åñòü öåëûé ðÿä ñâèäåòåëüñòâ â ïîëüçó òîãî, ÷òî òàêîå îáúåäèíåíèå åñòåñòâåííûõ íàóê íà îñíîâå òåõíèêè ïðîãðàììèðîâàíèÿ äîëæíî ïðîèçîéòè äîâîëüíî ñêîðî, è ýòî îáúåäèíåíèå íå áóäåò èìåòü ïðÿìîãî àíàëîãà â ïðîøëîì.

0.2.3 Êðàòêèé îáçîð ñîäåðæàíèÿ ëàâíîé îñîáåííîñòüþ èçè÷åñêîãî êîíñòðóêòèâèçìà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ìû ïðåäúÿâëÿåì ê íåìó òðåáîâàíèÿ óíèâåðñàëüíîñòè è ìàñøòàáèðóåìîñòè. Îí, â èäåàëüíîì ñëó÷àå, äîëæåí îõâàòûâàòü âñå èçâåñòíûå ìàñøòàáû è âèäû âçàèìîäåéñòâèé, èçó÷àåìûå â åñòåñòâîçíàíèè. Ïîýòîìó íà íàøó ïîïûòêó ìîæíî ñìîòðåòü êàê íà ýëåêòðîííóþ ñèñòåìàòèçàöèþ åñòåñòâîçíàíèÿ, êîòîðàÿ îòëè÷àåòñÿ îò ïðîåêòà ýëåêòðîííîãî àðõèâà ñòàòåé òîëüêî òåì, ÷òî ìîæåò â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ (êàê ÿ íàäåþñü) ïîìî÷ü àâòîðàì èõ ïèñàòü. Ìû áóäåì èñõîäèòü èç òðàäèöèîííîé èåðàðõèè åñòåñòâîçíàíèÿ, ñîãëàñíî êîòîðîé â åãî îñíîâå ëåæèò èçèêà ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, àòîìîâ è ìîëåêóë, íà êîòîðîé ñòðîèòñÿ õèìèÿ, áèîõèìèÿ, è, íàêîíåö, áèîëîãèÿ. Èìåííî ñ ýòèì ñâÿçàíî íàçâàíèå êíèãè è òî, ÷òî ïî÷òè âåñü ìàòåðèàë îòíîñèòñÿ ê èçèêå. Íàèáîëüøàÿ óíäàìåíòàëüíîñòü èçèêè íå îçíà÷àåò òîãî, ÷òî äâå äðóãèå åñòåñòâåííûå íàóêè ìåíåå âàæíû äëÿ íàñ. Îáîçíà÷åííàÿ èåðàðõèÿ íîñèò âñåãî ëèøü óïîðÿäî÷èâàþùèé õàðàêòåð è ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî àòîìû ñîñòîÿò èç ÿäåð è ýëåêòðîíîâ, ìîëåêóëû - èç àòîìîâ, ñëîæíûå ñîåäèíåíèÿ - èç ïðîñòûõ ìîëåêóë, æèâûå êëåòêè - èç ïîëèìåðîâ è îãðîìíîãî êîëè÷åñòâà áîëåå ïðîñòûõ ñîåäèíåíèé, è ò.ä. Òàêàÿ îðãàíèçàöèÿ åñòåñòâåííûõ íàóê ñâÿçàíà ñ àòîìèñòè÷åñêîé ãèïîòåçîé, âûñêàçàííîé åùå â àíòè÷íîñòè Äåìîêðèòîì, ñìûñë êîòîðîé ñîñòîèò â òîì, ÷òî âñå âåùåñòâà ñîñòîÿò èç ýëåìåíòàðíûõ îáúåêòîâ, íàçûâàåìûõ àòîìàìè. Ôèçèêà 19 è 20 âåêîâ ïîëíîñòüþ ïîäòâåðäèëà àòîìèñòè÷åñêóþ ãèïîòåçó, ïðåâðàòèâ åå â îñíîâíóþ ïàðàäèãìó íàóêè.  ðàìêàõ ýòîé ïàðàäèãìû óíäàìåíòàëüíîñòü îñíîâíûõ ìèêðîîáúåêòîâ íå îçíà÷àåò, âîîáùå ãîâîðÿ, èõ èçè÷åñêîé íåäåëèìîñòè, à òðàêòóåòñÿ êàê åñòåñòâåííàÿ ãðàíèöà ïðèìåíèìîñòè ðàññìàòðèâàåìûõ èçè÷åñêèõ çàêîíîâ. Ïðè ýòîì ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî óíäàìåíòàëüíûå îáúåêòû ìîãóò èìåòü ñîñòàâíûå ÷àñòè, íî ýòè ÷àñòè ïîä÷èíÿþòñÿ ñîâåðøåííî äðóãèì çàêîíàì. Òàêîå ïîíèìàíèå àòîìèñòè÷åñêîé ãèïîòåçû ÿâëÿåòñÿ î÷åíü ïëîäîòâîðíûì, êàê ìû óâèäèì äàëåå, íàïðèìåð, äëÿ ïîíèìàíèÿ êâàíòîâîé òåîðèè. Àòîìèñòè÷åñêàÿ ãèïîòåçà áóäåò äëÿ íàñ îðèåíòèðîì è îñíîâîé äëÿ ïîñòðîåíèÿ àëãîðèòìîâ, ìîäåëèðóþùèõ ïîâåäåíèå ñëîæíûõ ñèñòåì. Îñíîâíûì ïîíÿòèåì â íàøåì ïîäõîäå áóäåò ïîíÿòèå ÷àñòèöû, òî åñòü òî÷å÷íîãî îáúåêòà, êîòîðûé ïîìèìî êîîðäèíàò, îáëàäàåò åùå è íåêîòîðûìè äîïîëíèòåëüíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè, íàïðèìåð, ìàññîé, ýëåêòðè÷åñêèì çàðÿäîì, ñïèíîì, à òàêæå íàáîðîì åãî ñîñòàâíûõ ÷àñòåé, íàïðèìåð, óêàçàíèåì íà òî, ÷òî àòîì

0.2.

ÏÅÄÈÑËÎÂÈÅ

15

ñîñòîèò èç ÿäðà è ýëåêòðîíîâ è ò.ï. Ìû óâèäèì, ÷òî àòîìèñòè÷åñêèé ïîäõîä â òàêîì âèäå î÷åíü óäîáåí äëÿ îïèñàíèÿ èçè÷åñêèõ ñèñòåì íå çàâèñèìî îò òîãî, òðàêòóþòñÿ îíè êàê êëàññè÷åñêèå èëè êàê êâàíòîâûå. ëàâíûì ñðåäñòâîì ðåàëèçàöèè àëãîðèòìè÷åñêîãî ïîäõîäà áóäåò ñîçäàíèå êîìïüþòåðíîé ïðîãðàììû, ñëóæàùåé äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìîäåëè äèíàìèêè ðàññìàòðèâàåìûõ ñèñòåì. Áåç òàêîé ïðîãðàììû íà îñíîâå àëãîðèòìè÷åñêîãî ïîäõîäà òðóäíî ðàññ÷èòûâàòü íà ïîëó÷åíèå êàêèõ ëèáî ñóùåñòâåííûõ íîâûõ ðåçóëüòàòîâ. Âñå íàøè ðàññìîòðåíèÿ áóäóò íîñèòü òîëüêî õàðàêòåð îáîñíîâàíèÿ ïðèãîäíîñòè îïèñûâàåìûõ íàìè àëãîðèòìè÷åñêèõ ìåòîäîâ. Àëãîðèòìè÷åñêèé ïîäõîä ê èçèêå, òåì ñàìûì, ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê áîëüøîé ïðîåêò, íàöåëåííûé íà ñîçäàíèå èíñòðóìåíòà ðàçðàáîò÷èêà ìîäåëèðóþùèõ ïðîãðàìì. Î÷åíü ñóùåñòâåííî òî, ÷òî ïðåäìåòîì ìîäåëèðîâàíèÿ ìû áóäåì ñ÷èòàòü èñêëþ÷èòåëüíî äèíàìè÷åñêèå ñöåíàðèè ýâîëþöèè ðàññìàòðèâàåìûõ ñèñòåì. Âû÷èñëåíèå ïàðàìåòðîâ ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé, íàïðèìåð, ñîáñòâåííûõ ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé, ýíåðãèé ñâÿçè, ñòàöèîíàðíûõ êîíèãóðàöèé ìîëåêóë è ò.ä., ìû ñ÷èòàåì íå êîíå÷íûì ïðîäóêòîì ìîäåëèðîâàíèÿ, à ëèøü ñðåäñòâîì îòëàäêè ìîäåëåé äèíàìè÷åñêèõ ñöåíàðèåâ, êîòîðûå è áóäóò íàøåé ãëàâíîé öåëüþ. Ýòî äåëàåò ïðèíöèïèàëüíî âàæíûì âèçóàëèçàöèþ ïîëó÷åííûõ ïðè ìîäåëèðîâàíèèè ñöåíàðèåâ. Âèçóàëèçàöèÿ âûòåêàåò èç ñàìîé ïðèðîäû àëãîðèòìè÷åñêîé èçèêè. Äåëî â òîì, ÷òî íå ñóùåñòâóåò íèêàêîãî óíèâåðñàëüíîãî ñïîñîáà óçíàòü èòîã ðàáîòû ïðîèçâîëüíîãî àëãîðèòìà, ïîìèìî åãî çàïóñêà è íàáëþäåíèÿ çà åãî ïîøàãîâîé ðàáîòîé. Òàêèì îáðàçîì, âèçóàëèçàöèÿ ðåçóëüòàòîâ ìîäåëèðîâàíèÿ åñòü åäèíñòâåííûé óíèâåðñàëüíûé ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ àäåêâàòíîñòè àëãîðèòìè÷åñêèõ ìîäåëåé äèíàìèêè. Îäíàêî âèçóàëèçàöèÿ íåîáõîäèìà íå òîëüêî äëÿ ïðîâåðêè êîíå÷íîãî ïðîäóêòà: ìîäåëè. Îíà íåîáõîäèìà è â ïðîìåæóòî÷íûõ ýòàïàõ ïîñòðîåíèÿ ìîäåëè. Íàïðèìåð, âèçóàëèçàöèÿ íåîáõîäèìà äëÿ îïðåäåëåíèÿ òîãî, êàêèå îáúåêòû ñëåäóåò ñ÷èòàòü ÷àñòèöàìè. Âèçóàëèçàöèÿ ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíûì ñðåäñòâîì âçàèìîäåéñòâèÿ ïðîãðàììû ñ ïîëüçîâàòåëåì, è èìåííî îíà îáóñëîâëèâàåò ðàçäåëåíèå ìîäåëè íà äâå ÷àñòè: ïîëüçîâàòåëüñêóþ è àäìèíèñòðàòèâíóþ. Ìû ñ÷èòàåì ïîëüçîâàòåëüñêîé ÷àñòüþ ìîäåëè òå äèíàìè÷åñêèå ñöåíàðèè, êîòîðûå äîñòóïíû äëÿ îáîçðåíèÿ ïîëüçîâàòåëåì. Àäìèíèñòðàòèâíàÿ æå ÷àñòü ñîäåðæèò ðåàëèçàöèþ âû÷èñëèòåëüíûõ àëãîðèòìîâ, ñòðîÿùèõ ýòè ñöåíàðèè. Ïðè òàêîì ðàçäåëåíèè ìîäåëè èçè÷åñêèé ñìûñë ìîæíî ïðèïèñûâàòü òîëüêî ïîëüçîâàòåëüñêîé ÷àñòè. Êîíñòðóêòèâíàÿ èçèêà ýòî òàêàÿ îðìà îðãàíèçàöèè èçè÷åñêèõ çíàíèé, êîòîðàÿ äåëàåò âîçìîæíîé èõ ðàñïðîñòðàíåíèå íà âñå åñòåñòâîçíàíèå. ëàâíàÿ öåëü êíèãè â òîì, ÷òîáû ïîêàçàòü îñóùåñòâèìîñòü ýòîãî ïóòè. Îñíîâíîå âíèìàíèå â êíèãå óäåëÿåòñÿ èìåííî àëãîðèòìè÷åñêîé èçèêå êàê îñíîâå äëÿ äàëüíåéøåãî ïðîäâèæåíèÿ àëãîðèòìè÷åñêîãî ïîäõîäà â õèìèþ è áèîëîãèþ.  ïåðâîé ãëàâå îïèñûâàþòñÿ îáùèå ïðèíöèïû ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñöåíàðèåâ, âêëþ÷àÿ ãåíåòè÷åñêèé ìåòîä. Âî âòîðîé ãëàâå äàåòñÿ êðàòêîå èçëîæåíèå òåîðèè êëàññè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ.  òðåòüåé ãëàâå ìû îïèøåì ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ, îñíîâàííîå íà êëàññè÷åñêîé èçèêå, âàæíåéøèìè èç

16 êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ äâèæåíèå íåñêîëüêèõ ÷àñòèö, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷åðåç ñîçäàâàåìîå èìè ïîëå, è äâèæåíèå ñðåäû, ñîñòîÿùåé èç áîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòèö ñ ðàçëè÷íûìè çàêîíàìè âçàèìîäåéñòâèÿ, ïðèâîäÿùèìè ê óðàâíåíèþ äèóçèè è óðàâíåíèþ êîëåáàíèé.  ÷åòâåðòîé ãëàâå ìû îïèøåì ìîäåëèðîâàíèå ïðîñòûõ êâàíòîâûõ ïðîöåññîâ, äëÿ ÷åãî ïðèâåäåì êðàòêèå ñâåäåíèÿ èç êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Èçëîæåíèå íå ÿâëÿåòñÿ ââåäåíèåì â êâàíòîâóþ òåîðèþ; îíî ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ öåëåé êîíñòðóêòèâèçàöèè.  ÷àñòíîñòè, ìû áóäåì îïóñêàòü àíàëèòè÷åñêèå âûêëàäêè, íî îñòàíîâèìñÿ íà âàæíûõ äëÿ íàñ ïîäõîäàõ, ïðåæäå âñåãî - íà ìåòîäå Ôåéíìàíà èíòåãðàëîâ ïî òðàåêòîðèÿì.  ïÿòîé ãëàâå ðàññêàçûâàåòñÿ î êâàíòîâûõ êîìïüþòåðàõ è êâàíòîâûõ âû÷èñëåíèÿõ. Ìû ïîêàæåì, êàêèå ïåðñïåêòèâû äàåò îðòîäîêñàëüíàÿ êâàíòîâàÿ òåîðèÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññîâ â õèìèè è áèîëîãèè. Îñîáîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ ïîïûòêàì òðàêòîâêè äåêîãåðåíòíîñòè â ðàìêàõ ãèëüáåðòîâà îðìàëèçìà êâàíòîâîé òåîðèè è îáñóæäåíèå ïðèíèöèïèàëüíûõ íåäîñòàòêîâ òàêèõ òðàêòîâîê â ñâåòå ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ðåçóëüòàòîâ â îáëàñòè êâàíòîâîãî êîìïüþòèíãà.  øåñòîé ãëàâå îïèñûâàåòñÿ ñîáñòâåííî àëãîðèòìè÷åñêèé ïîäõîä ê êâàíòîâîé òåîðèè, êîòîðûì ïðåäïîëàãàåòñÿ çàìåíèòü ãèëüáåðòîâ îðìàëèçì êâàíòîâîé ìåõàíèêè â îáëàñòè ìíîãèõ ÷àñòèö. Ýòà ãëàâà ÿâëÿåòñÿ êëþ÷åâîé äëÿ âñåé àëãîðèòìè÷åñêîé èçèêè. Çäåñü ìû óêàæåì ïóòü óðåçàíèÿ îðòîäîêñàëüíîãî (ãèëüáåðòîâà) îðìàëèçìà, êîòîðûé ïîçâîëèò ïîãðóçèòü êâàíòîâóþ òåîðèþ â îáùèé ïðîãðàììíûé êîíòåéíåð ñ äðóãèìè ÷àñòÿìè åñòåñòâîçíàíèÿ, êîòîðûå îðìóëèðóþòñÿ íà ÿçûêå ÷àñòèö, à íå âîëíîâûõ óíêöèé.  ñåäüìîé ãëàâå ìû îïèøåì ñòðóêòóðó ïðîãðàììíîãî êîíòåéíåðà åñòåñòâîçíàíèÿ (ÏÊÅ) è âîïðîñû ñîãëàñîâàíèÿ ÿçûêîâ äëÿ åãî ðàçëè÷íûõ ÷àñòåé. Òàêîé êîíòåéíåð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîãðàììíóþ îáîëî÷êó, ïîñòðîííóþ íà îñíîâå àòîìèñòè÷åñêîé ãèïîòåçû, â êîòîðóþ ìîæíî áûëî áû ïîãðóçèòü îòäåëüíûå ìîäóëè ïî èçèêå è õèìèè òàê, ÷òîáû ìû â èòîãå ïîëó÷èëè âîçìîæíîñòü ñîçäà27 âàòü ðàáîòàþùèå ìîäåëè ñèñòåì, ñîäåðæàùèõ äî 10 àòîìîâ, òî åñòü äî ñèñòåì ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ðàçìåðîâ.

ëàâà 1 Ìîäåëèðîâàíèå äèíàìè÷åñêèõ ñöåíàðèåâ

Ôîðìàò, â êîòîðîì çàäàþòñÿ êðèòåðèè óñïåõà èçè÷åñêîé òåîðèè, îïðåäåëÿåòñÿ èñïîëüçóåìûì òèïîì ìàòåìàòèêè.  òðàäèöèîííîé ìàòåìàòèêå òàêèì îðìàòîì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî. Ñîîòâåòñòâåííî, óñïåøíîé ñ÷èòàåòñÿ òà òåîðèÿ, êîòîðàÿ äàåò ÷èñëåííîå çíà÷åíèå òîé èëè èíîé âåëè÷èíû ñ íàèìåíüøèìè çàòðàòàìè. Íàèáîëåå ïðîñòûì ñïîñîáîì ïîëó÷åíèÿ åäèíñòâåííîãî ÷èñëà ÿâëÿåòñÿ åãî íàõîæäåíèå ñ ïîìîùüþ îðìóëû, èìåííî ïîýòîìó íà ïåðâîì ïëàíå â òðàäèöèîííîé èçèêå ñòîèò àíàëèòè÷åñêàÿ òåõíèêà. àìêè ïðèìåíåíèÿ òàêîé èçèêè ñòðîãî îãðàíè÷åíû òðàäèöèîííûìè äëÿ èçèêîâ çàäà÷àìè. ×åì äîñòîâåðíåå ïîëó÷àåìûé â ýòîé èçèêå ÷èñëåííûé ðåçóëüòàò, òåì áîëåå æåñòêî äåéñòâóþò ýòè îãðàíè÷åíèÿ. Íå ñëåäóåò äàæå ìå÷òàòü î òîì, ÷òîáû ñ ïîìîùüþ ðàçâèòèÿ àíàëèòè÷åñêîé òåõíèêè âêëþ÷èòü â èçèêó äàæå òàêóþ áëèçêóþ ê íåé îáëàñòü, êàê õèìè÷åñêèå âçàèìîäåéñòâèÿ. Äëÿ òàêîé ýêñïàíñèè èçèêè íåîáõîäèìà åå êîíñòðóêòèâèçàöèÿ, òî åñòü ïåðåõîä ê êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòèêå. Çà ýòî ïðèäåòñÿ çàïëàòèòü öåíó, îòêàçàâøèñü îò ÷èñëåííûõ êðèòåðèåâ. Âìåñòî òî÷íîñòè ÷èñëåííûõ îöåíîê ïðèäåòñÿ ïðèíÿòü èíîé êðèòåðèé: äîñòîâåðíîñòü äèíàìè÷åñêèõ ñöåíàðèåâ. Ýòî íå îçíà÷àåò ïîëíûé îòêàç îò ñòàðîãî êðèòåðèÿ. ×èñëåííûå îöåíêè îñòàíóòñÿ, íî áóäóò èãðàòü âñïîìîãàòåëüíóþ ðîëü â îòëàäêå äèíàìè÷åñêîé êàðòèíû.

ëàâíûé êðèòåðèé â êîíñòðóêòèâíîé èçèêå: äàåò ëè íåïîñðåäñòâåííî äàííàÿ òåîðèÿ ïðàâèëüíûé âèäåîèëüì îïèñûâàåìîãî ïðîöåññà. Åñëè ìû îáðàòèìñÿ ê êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå, ìû óâèäèì, ÷òî íà îñíîâå åå îðìóë ìîæíî ñ ïðèìåíåíèåì ïðîñòûõ òåõíè÷åñêèõ ïðèåìîâ ïîñòðîèòü ïðàâäîïîäîáíûé âèäåîèëüì äâèæåíèÿ èñêóññòâåííîãî ñïóòíèêà Çåìëè ïîä óïðàâëåíèåì òÿãè åãî äâèãàòåëåé, è íà ýòîì îñíîâàí óñïåõ êîñìîíàâòèêè. Íî åñëè ìû ïîïðîáóåì, ïðèìåíÿÿ òàêóþ æå ïðîãðàììíóþ òåõíèêó, ïîñòðîèòü ìîäåëü àññîöèàöèè äâóõ àòîìîâ âîäîðîäà â ìîëåêóëó íà îñíîâå êâàíòîâîé èçèêè, ìû ïîòåðïèì íåóäà÷ó. Ýòî è åñòü ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå êðèòåðèÿ äèíàìè÷å17

18

ËÀÂÀ 1.

ÌÎÄÅËÈÎÂÀÍÈÅ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÖÅÍÀÈÅÂ

ñêèõ ñöåíàðèåâ. Âòîðàÿ çàäà÷à çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå ïåðâîé, òàê êàê äëÿ åå ðåøåíèÿ íå äîñòàòî÷íî îðìóë.

1

Ýòà ãëàâà áóäåò ïîñâÿùåíà îáùèì âîïðîñàì

ìîäåëèðîâàíèÿ ñöåíàðèåâ.

1.1

×òî îçíà÷àåò ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ

Ìîäåëèðîâàíèå ñòîëü øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ, ÷òî ñìûñë ýòîãî ñëîâà î÷åíü ðàçìûò. Ìû óòî÷íèì, ÷òî áóäåò ïîíèìàòüñÿ ïîä íèì â äàííîé êíèãå. Ìîäåëèðîâàíèåì ìû áóäåì íàçûâàòü ïîñòðîåíèå àëãîðèòìà, êîòîðûé âûäàåò íàì îáúåêòèâíóþ êàðòèíó ýâîëþöèè ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû â ÷èñëåííîé èëè âèçóàëüíîé îðìå. Ïðè ýòîì îáúåêòèâíîñòü êàðòèíû ïîíèìàåòñÿ â òîì ñìûñëå, ÷òî íàø àëãîðèòì îïèðàåòñÿ íà îãðàíè÷åííîå ÷èñëî ñîâåðøåííî îïðåäåëåííûõ ïðèåìîâ, è îáëàäàåò óíèâåðñàëüíîñòüþ, òî åñòü åãî ìîæíî ïðèìåíÿòü ê øèðîêîìó êðóãó ñèñòåì, òàê ÷òî îí âñÿêèé ðàç áóäåò äàâàòü ïðàâèëüíóþ êàðòèíó ðåàëüíîé ýâîëþöèè.  èäåàëüíîì ñëó÷àå îáëàñòüþ ïðèìåíèìîñòè òàêîãî àëãîðèòìà äîëæíû áûòü âñå ñèñòåìû, èçó÷àåìûå â åñòåñòâåííûõ íàóêàõ. Íàøå ãëóáîêîå óáåæäåíèå â ñóùåñòâîâàíèè òàêîãî àëãîðèòìà è âîçìîæíîñòè åãî ïðàêòè÷åñêîãî ïîñòðîåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñàìîé ñèëüíîé ïîáóäèòåëüíîé ïðè÷èíîé äëÿ íàïèñàíèè ýòîé êíèãè. Ïî÷åìó ýòà âîçìîæíîñòü èìååò òàêîå áîëüøîå çíà÷åíèå ? Äåëî â òîì, ÷òî îíà îçíà÷àåò, ÷òî ìû ìîæåì ïîëíîñòüþ àëãîðèòìèçèðîâàòü åñòåñòâåííûå íàóêè,

2

âûïîëíèâ, òåì ñàìûì, ãëàâíûé ïóíêò â ïðîãðàììå èëüáåðòà . Àëãîðèòìèçàöèÿ ÿâëÿåòñÿ ñàìûì åñòåñòâåííûì îðìàëüíûì èíñòðóìåíòîì äëÿ îáúåäèíåíèÿ åñòåñòâîçíàíèÿ, êîòîðûé ñóùåñòâóåò â íàñòîÿùåå âðåìÿ. Ìû ïîñëåäîâàòåëüíî îïèøåì òîëüêî íà÷àëî ýòîãî ïðîöåññà, îòíîñÿùååñÿ ê êâàíòîâîé èçèêå, òàê, êàê ìû åãî âèäèì â íàñòîÿùèé ìîìåíò. Ïðè ýòîì î÷åíü âàæíûì ïðåäâàðèòåëüíûì ýòàïîì áóäåò èêñàöèÿ òî÷íûõ ïîíÿòèé äëÿ êàæäîé îáëàñòè, äëÿ êîòîðûõ è áóäåò ñòðîèòüñÿ ìîäåëèðóþùèé àëãîðèòì. Òàêàÿ ðàáîòà ïî îðìàëèçàöèè èçèêè åùå íå âïîëíå ïðîäåëàíà. Èìåþùàÿñÿ îðìàëèçàöèÿ ñîîòâåòñòâóåò ñóùåñòâóþùåìó àïïàðàòó àêñèîìàòè÷åñêîãî ïîñòðîåíèÿ òåîðåòè÷åñêîé èçèêè íà îñíîâå àíàëèçà è àëãåáðû, è îíà íå äîñòàòî÷íà äëÿ öåëåé àëãîðèòìèçàöèè. Íóæíàÿ íàì îðìàëèçàöèÿ áóäåò çàêëþ÷àòüñÿ â íåêîòîðîì äîïîëíèòåëüíîì óðåçàíèè îðìàëüíûõ âîçìîæíîñòåé ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà, ÷òî ïîçâîëÿåò ãîâîðèòü î ìîäåðíèçàöèè èëè î çàìåíå ýòîãî àïïàðàòà íà áîëåå ñîâåðøåííûé. 1 Óñïåõ õèìèè ñâÿçàí íå ñ îðìóëàìè, à ñ òåì, ÷òî ó íàñ åñòü âîçìîæíîñòü îãðîìíîãî ÷èñëà ïîâòîðîâ õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé è íàáëþäåíèÿ çà ðåçóëüòàòîì. Åñëè áû îñóùåñòâëåíèå òàêîé àññîöèÿöèè ìîëåêóë áûëî òàêæå ñëîæíî, êàê çàïóñê êîñìè÷åñêîãî êîðàáëÿ, óñïåõè áûëè áû çíà÷èòåëüíî ñêðîìíåå. 2 Âî âðåìåíà ñàìîãî èëüáåðòà èäåÿ àëãîðèòìîâ áûëà â çà÷àòî÷íîì ñîñòîÿíèè, è îí íå èìåë â âèäó ýòîò àïïàðàò, ãîâîðÿ î ìàòåìàòèçàöèè åñòåñòâåííûõ íàóê. Îí ñòàâèë âî ãëàâó óãëà àêñèîìàòè÷åñêèé ìåòîä, ÷òî è ïîñëóæèëî ïðè÷èíîé ïðîâàëà ïîïûòêè òàêîé óçêî ïîíèìàåìîé ìàòåìàòèçàöèè.

1.1.

19

×ÒÎ ÎÇÍÀ×ÀÅÒ ÌÎÄÅËÈÎÂÀÍÈÅ ÏÎÖÅÑÑÎÂ

Ïåðâûì ýòàïîì çäåñü ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå òðàäèöèîííîãî àïïàðàòà â òàê íàçûâàåìîé êóáèòîâîé îðìå. Ýòà îðìà âîçíèêëà â êâàíòîâîé èíîðìàòèêå, íî åå ðîëü óíèâåðñàëüíà. Êóáèòîâàÿ îðìà êâàíòîâîé òåîðèè åñòü âàðèàíò ñòàíäàðòíîãî ãèëüáåðòîâà îðìàëèçìà, ïðèñïîñîáëåííûé äëÿ íóæä êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Êóáèòîâàÿ îðìà íå ýêâèâàëåíòíà êîíñòðóêòèâèçìó. Ïåðåõîä ê êóáèòîâîìó ïðåäñòàâëåíèþ åñòü ëèøü ïåðâûé, ïîäãîòîâèòåëüíûé ýòàï êîíñòðóêòèâèçàöèè êâàíòîâîé òåîðèè. Óðåçàíèå âîçìîæíîñòåé ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà, êîòîðîãî òðåáóåò êîíñòðóêòèâèçì, ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî ïðîèñõîäèò ïðè ïåðåõîäå îò ìàòåìàòèêè îðìóë ê ìàòåìàòèêå êîìïüþòåðíûõ ïðîãðàìì. Âàæíåéøèì óòðà÷åííûì ïîíÿòèåì áóäåò ïîíÿòèå àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè, êîòîðîå ñëóæèò âèäèìîé îñíîâîé ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Âñå îáúåêòû, ðàññìàòðèâåìûå íàìè, áóäóò êîíå÷íûìè.  ÷àñòíîñòè, áóäåò óòðà÷åíî ïîíÿòèå ïðåäåëà ïî Êîøè. Ýòà óòðàòà, â äåéñòâèòåëüíîñòè, íè÷òîæíà ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðåòè÷åñêîé èçèêè. Äåéñòâèòåëüíî, ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç ìîæíî ñîðìóëèðîâàòü â îðìå òàê íàçûâàåìîãî íåñòàíäàðòíîãî àíàëèçà, ïðè êîòîðîì áåñêîíå÷íî áîëüøèå è áåñêîíå÷íî ìàëûå óíêöèè áóäóò ïðîñòî ñïåöèàëüíûìè ÷èñëàìè, äîáàâëÿåìûìè ê îáû÷-

3

íûì ÷èñëàì . Íåñòàíäàðòíûé àíàëèç îáõîäèò òðóäíîñòè ââåäåíèÿ àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè, íî ÿâëÿåòñÿ ïîëíîñòüþ ýêâèâàëåíòíûì ÿçûêîì äëÿ îïèñàíèÿ îáû÷íîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Åñòü è äðóãîé, åùå áîëåå ðàäèêàëüíûé ïîäõîä ê òðàêòîâêå ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, êîòîðûé è ìîæíî íàçâàòü åãî àëãîðèòìè÷åñêèì óðåçàíèåì. Ýòî òàê íàçûâàåìûé êîíñòðóêòèâíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç.  íåì ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî òàêèå óíêöèè, êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü êàê ïðåäåë ãåíåðèðóåìûõ àëãîðèòìàìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé êîíå÷íûõ óíêöèé (ñì. ãëàâó 2).  ìèðå êîíñòðóêòèâíîãî àíàëèçà íåò áåñêîíå÷íîñòåé âîîáùå, è ñóùåñòâóþò òîëüêî íåïðåðûâíûå óíêöèè, ÷òî ðàäèêàëüíî îòëè÷àåò êîíñòðóêòèâíûé ìàòåìàòè÷åñêèé

4

àíàëèç îò îáû÷íîãî, è î÷åíü õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ èçèêîé .  îáîèõ âèäàõ óðåçàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ïîëíîñòüþ ñîõðàíÿåòñÿ åãî âû÷èñëèòåëüíàÿ ÷àñòü, êîòîðàÿ òîëüêî è ïðåäñòàâëÿåò íàñòîÿùóþ öåííîñòü äëÿ èçèêè. Ïîëíîñòüþ ñîõðàíÿåòñÿ èíñòðóìåíòàðèé èíòåãðèðîâàíèÿ è äèåðåíöèðîâàíèÿ, äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è ïðàêòè÷åñêèõ ìåòîäîâ èõ ðåøåíèÿ, âêëþ÷àÿ êàê ÷èñòî àíàëèòè÷åñêóþ ÷àñòü, òàê è ÷èñëåííûå ìåòîäû. Òàêæå ïîëíîñòüþ ñîõðàíÿþòñÿ è àëãåáðàè÷åñêèé àïïàðàò âû÷èñëåíèé, â ÷àñòíîñòè, ñèììåòðèéíûå ñâîéñòâà óðàâíåíèé, ïîçâîëÿþùèå ïðèìåíÿòü àïïàðàò òåîðèè ãðóïï, è ò.ä. Ýòî ïîçâîëÿåò ãîâîðèòü î ïîëíîé ïðååìñòâåííîñòè ïðè ïåðåõîäå îò ñòàíäàðòíîãî àíàëèçà ê àëãîðèòìèêå. Ïðèâûêøèå ê ñâîåìó àïïàðàòó èçèêè - òåîðåòèêè íå èìåþò ïîýòîìó îñíîâàíèé äëÿ îùóùåíèÿ êàêèõ-ëèáî ïðèíöèïèàëüíûõ 3ß

íå áóäó ðàññìàòðèâàòü ýòîò ïóòü, òàê êàê äàëåå îí íå èñïîëüçóåòñÿ. ×èòàòåëü ìîæåò îçíàêîìèòüñÿ ñ íèì ïî êíèãå [51℄. 4 Èçâåñòíî, êàêèå òðóäíîñòè âûçûâàåò íàëè÷èå àêòóàëüíûõ áåñêîíå÷íîñòåé äëÿ èçèêè. Çäåñü è ðàñõîäèìîñòü ðÿäîâ ýëåêòðîäèíàìèêè, è íåâîçìîæíîñòü íîðìèðîâêè óíêöèé òèïà ïëîñêîé âîëíû, è áåñêîíå÷íûå çíà÷åíèÿ ñîáñòâåííîé ýíåðãèè.

20

ËÀÂÀ 1.

ÌÎÄÅËÈÎÂÀÍÈÅ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÖÅÍÀÈÅÂ

íåóäîáñòâ. Âñå àêòè÷åñêîå, ÷òî áûëî ñîçäàíî èõ òðóäàìè, ñîõðàíèòñÿ â àëãîðèòìè÷åñêîé èçèêå. Îäíàêî àëãîðèòìè÷åñêîå óðåçàíèå íå ÿâëÿåòñÿ ïóñòîé îðìàëüíîñòüþ. Îíî óñòðàíÿåò èç èçèêè âîçìîæíîñòü ìàíèïóëèðîâàíèÿ ïðîèçâîëüíî áîëüøèìè èëè ïðîèçâîëüíî ìàëûìè ÷èñëàìè. Íàñêîëüêî çíà÷èìà òàêàÿ âîçìîæíîñòü ? Ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî ýòî ñóæèâàåò êðóãîçîð è îòíèìàåò íåêîòîðûå âàæíûå ïóòè ðàçâèòèÿ. Íî ýòî èëëþçèÿ. Ìàíèïóëÿöèè ñ àêòóàëüíûìè (äîñòèæèìûìè) áåñêîíå÷íîñòÿìè áûëè õîðîøè â ïåðèîä ñòàíîâëåíèÿ àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ â êîíöå 19 âåêà.  íàñòîÿùåå âðåìÿ ýòè ìàíèïóëÿöèè ÿâëÿþòñÿ ïóñòûì, íî è íå âïîëíå áåçâðåäíûì óïðàæíåíèåì. Ìû ïîêàæåì, ÷òî îíè ïðèâîäÿò ê ñóùåñòâîâàíèþ åíîìåíîâ, íå íàáëþäàåìûõ â ýêñïåðèìåíòàõ. Ýòî ÿâëÿåòñÿ ïðèçíàêîì ñåðüåçíîãî èçúÿíà â òðàäèöèîííîì ìàòåìàòè÷åñêîì àïïàðàòå èçèêè. Âòîðûì íåáëàãîïðèÿòíûì ïðèçíàêîì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îíè áëîêèðóþò ðàçâèòèå àëãîðèòìè÷åñêèõ ìåòîäîâ â ìîäåëèðîâàíèè. Ïðåäîñòàâëÿåìûå àíàëèòèêîàëãåáðàè÷åñêèì àïïàðàòîì, íà ïåðâûé âçãëÿä, êðàñèâûå âîçìîæíîñòè, ÿâëÿþòñÿ ñåðüåçíîé èëëþçèåé, èçáàâëåíèå îò êîòîðîé áóäåò âïîëíå áëàãîïðèÿòíûì äëÿ áóäóùåãî òåîðåòè÷åñêîé èçèêè. Íåò íèêàêèõ îñíîâàíèé äëÿ ñîæàëåíèÿ î ÷åì-òî ñåðüåçíîì, áóäòî áû óòðà÷èâàåìûì ïðè ïåðåõîäå ê àëãîðèòìèêå. Èëëþçèè, êîòîðûå ìû ïðè ýòîì óòðàòèì, ïîäîáíû ïðîåêòàì âå÷íîãî äâèãàòåëÿ. Íå ñòîèò òàêæå ñ÷èòàòü, ÷òî àëãîðèòìèêà óñòóïàåò òðàäèöèîííîìó àïïàðàòó â ñòðîãîñòè èëè â ýñòåòèêå. ßâëÿÿñü ÿçûêîì îðìàëüíûõ òåêñòîâ ïðîãðàììíûõ èíñòðóêöèé, àëãîðèòìèêà íå òîëüêî íå ìåíåå ýñòåòè÷íà, íî è äîïóñêàåò ñòîëü æå æåñòêóþ ïðîâåðêó, êàê è ñòàíäàðòíûé ÿçûê îðìóë.  ýòîé ãëàâå ìû íà÷íåì ðàññìàòðèâàòü îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ àëãîðèòìè÷åñêîé èçèêè, ñ îáùèõ ïðèíöèïîâ ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè ñèñòåì, ñîñòîÿùèõ èç íåñêîëüêèõ ÷àñòèö. Ïðîñòåéøèì îáúåêòîì ìîäåëèðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñöåíàðèé, èëè ïðîñòàÿ ìîäåëü äèíàìèêè. Ñöåíàðèåì íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

S¯

¯ : S 1 , S 2 , . . . , St (S)

(1.1)

ñîñòîÿíèé ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñîñòîÿíèå

Sj

ñîîòâåòñòâóåò ìîìåíòó âðåìåíè

tj

òàê ÷òî

tj = tj−1 + ∆t, j = 1, 2, . . . , t.

Ñëåäóÿ ïðèíèìàåìîé íàìè àëãîðèòìè÷åñêîé òðàêòîâêå, ìû áóäåì êîäèðîâàòü ñîñòîÿíèÿ

Sj

â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èç íóëåé è åäèíèö, è ïîä ëþáîé ïðî-

öåäóðîé îïðåäåëåíèÿ

Sj

ïîíèìàòü íåêîòîðûé êëàññè÷åñêèé àëãîðèòì, êîòîðûé

íàõîäèò êîä ýòîãî ñîñòîÿíèÿ. Èíòåðâàë

∆t

ìû âûáåðåì äîñòàòî÷íî ìàëûì äëÿ

òîãî, ÷òîáû ñöåíàðèé 1.1 äàâàë ïîñëå åãî ðàçóìíîé âèçóàëèçàöèè ïðàâèëüíîå ïðåäñòàâëåíèå î ðåàëüíîé ýâîëþöèè äàííîé ñèñòåìû, è áóäåì ñ÷èòàòü èíòåðâàë âðåìåíè èêñèðîâàííûì. Ìû ñêàæåì, ÷òî ñöåíàðèé õîðîøî îïèñûâàåò ðåàëüíîå ïîâåäåíèå ñèñòåìû, åñëè ñîñòîÿíèå ñîñòîÿíèå

Sj−1

Sj

äîñòàòî÷íî ïðîñòî íàéòè, çíàÿ

â ïðåäûäóùèé ìîìåíò âðåìåíè. Ñöåíàðèé õîðîøî îïèñûâàåò

ïîâåäåíèå êëàññè÷åñêîé ñèñòåìû áåç îñîáûõ òî÷åê, à òàêæå, åñëè òðàêòîâàòü

Sj

êàê âîëíîâûå óíêöèè ìîäåëèðóåìîé ñèñòåìû, è ïîâåäåíèå íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ñèñòåìû ïðè åå óíèòàðíîé ýâîëþöèè.

1.1.

21

×ÒÎ ÎÇÍÀ×ÀÅÒ ÌÎÄÅËÈÎÂÀÍÈÅ ÏÎÖÅÑÑÎÂ

 ðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ìû äîëæíû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî åñòü ïåðåõîä îò

Sj−1

ê

Sj

∆t = ∞,

òî

ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç êàíàëîâ ïðîöåññà ðàññåÿíèÿ. Ïî-

ñêîëüêó êàíàëîâ ðàññåÿíèÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæåò áûòü ìíîãî, è êàæäûé èç íèõ èìååò ñâîþ âåðîÿòíîñòü, òî â ðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ñöåíàðèé óæå íå áóäåò õîðîøî îïèñûâàòü ðåàëüíóþ äèíàìèêó.  íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå ïðè íàëè÷èè äåêîãåðåíòíîñòè ìû ñòîëêíåìñÿ ñ àíàëîãè÷íîé òðóäíîñòüþ, òàê êàê âîëíîâàÿ óíêöèÿ ñîñòîÿíèÿ â ñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíè óæå íå áóäåò îïðåäåëåíà ñ äîñòîâåðíîñòüþ, à òîëüêî ñ íåêîòîðûìè âåðîÿòíîñòÿìè, è íàì ïðèäåòñÿ ðàññìàòðèâàòü òàê íàçûâàåìûå ñìåøàííûå ñîñòîÿíèÿ. Îäíàêî è â ñëó÷àå êëàññè÷åñêîé èçèêè ñöåíàðèé íå âñåãäà õîðîøî îïèñûâàåò äèíàìèêó. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå íàëè÷èÿ îñîáûõ òî÷åê â ïîòåíöèàëå ñèëîâîãî ïîëÿ, ñóùåñòâåííîå çíà÷åíèå ìîæåò èìåòü êàê èíòåðâàë è òî÷íîñòü îïðåäåëåíèÿ ñîñòîÿíèÿ

Sj ,

∆t

âðåìåíè, òàê

òî åñòü äëèíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íóëåé

è åäèíèö, êîäèðóþùåé ýòî ñîñòîÿíèå. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå äâèæåíèÿ øàðèêà â ïîëå òÿãîòåíèÿ ïî êðèâîé ïîâåðõíîñòè, èìåþùåé ëîêàëüíûå âåðøèíû, ìû äîëæíû çíàòü åãî ñêîðîñòü, âîîáùå ãîâîðÿ, ñ áåñêîíå÷íîé òî÷íîñòüþ, òàê êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìû íå ñìîæåì îïðåäåëèòü, ïðåîäîëååò ëè îí ýòó âåðøèíó, èëè ñêàòèòñÿ íàçàä. èãîðèñòû îáû÷íî ãîâîðÿò, ÷òî â ýòèõ îñîáûõ ñëó÷àÿõ ðîëü íà÷èíàþò èãðàòü êâàíòîâûå ýåêòû, äàæå êîãäà ðå÷ü èäåò î òåëàõ ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ðàçìåðîâ. È ýòî ïðàâèëüíî, òàê êàê ñêîðîñòü íàøåãî øàðèêà â îñîáîé òî÷êå òðàåêòîðèè äîëæíà îáðàòèòüñÿ â íîëü, è ñëåäîâàòåëüíî, åãî äåéñòâèå íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå

[tj , tj−1 ]

áóäåò ìåíüøå ïîñòîÿííîé Ïëàíêà, ÷òî êàê ðàç è

ïðåäïîëàãàåò â ýòîò ìîìåíò íåîáõîäèìîñòü ïðèìåíåíèÿ ê øàðèêó êâàíòîâîé ìåõàíèêè âìåñòî êëàññè÷åñêîé (ñì. ãëàâó 4). Àíàëîãè÷íûå íåäîñòàòêè ó ïðîñòûõ ìîäåëåé äèíàìèêè åñòü è â ñëó÷àå ñèñòåì, ñîñòîÿùèõ èç î÷åíü áîëüøèõ òåë, íàïðèìåð, ïëàíåòíûõ ñèñòåì. Ïîýòîìó ìû íåìíîãî óñëîæíèì ïðîñòóþ ìîäåëü äèíàìèêè, äîïîëíèâ åå âîçìîæíîñòüþ íåêîòîðîãî âûáîðà ñöåíàðèåâ. Ìîäåëüþ äèíàìèêè ìû íàçîâåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñöåíàðèåâ

(M) : S¯1 , S¯2 , . . . , S¯ω

(1.2)

êîòîðàÿ ñòðîèòñÿ, èñõîäÿ èç îïðåäåëåííûõ ïðàâèë. Ìîäåëü äèíàìèêè äîëæíà äàâàòü ïîëíîå îïèñàíèå èññëåäóåìîé ñèñòåìû. Ìû ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî íà ñëåäóþùåì ïðîñòåéøåì ïðèìåðå (ñì.ðèñóíîê). àññìîòðèì ïðîöåäóðó ðàñïîçíàâàíèÿ îðìû óäàëåííîãî îáúåêòà ñ ïîìîùüþ íàïðàâëåííûõ åäèíè÷íûõ ÷àñòèö, ñïîñîáíûõ îòðàæàòüñÿ îò åãî ïîâåðõíîñòè. Ìû èìååì âîçìîæíîñòü íàïðàâëÿòü ÷àñòèöû íà èññëåäóåìûé îáúåêò, âûáèðàÿ èõ íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ, è äåòåêòèðîâàòü èõ ïîñëå òîãî, êàê îíè îòðàçÿòñÿ îò åãî ïîâåðõíîñòè. Íàøà çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû íàéòè êðèâèçíó C = R1 ýòîé ïîâåðõíîñòè, ãäå R åñòü ðàäèóñ êðèâèçíû. Ìû èìååì:

R h d sin δ sin 2α ≈ sin 2α, u = , h = d sin δ, R ≈ u sin(δ + β) sin (δ + β)

(1.3)

22

ËÀÂÀ 1.

ÌÎÄÅËÈÎÂÀÍÈÅ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÖÅÍÀÈÅÂ

èñ. 1.1: Îïðåäåëåíèå êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè

1.1.

23

×ÒÎ ÎÇÍÀ×ÀÅÒ ÌÎÄÅËÈÎÂÀÍÈÅ ÏÎÖÅÑÑÎÂ

Ñ ýòîé öåëüþ ìû ïóñòèì äâå ÷àñòèöû, êîòîðûå äîñòèãíóò

P,

è, îòðàçèâøèñü,

âåðíóòñÿ ê íàì. åñëè ðàñïîëîæèòü îñè êîîðäèíàò, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå, òî, çíàÿ óãëû

α

è

β,

ìû ìîæåì ïî ïîñëåäíåé èç îðìóë 1.3 íàéòè ðàäèóñ èñêîìîé

êðèâèçíû. Ïðè ýòîì ìû, ðàçóìååòñÿ, ïðåäïîëàãàåì, ÷òî

α

óñòü ìàëûé óãîë.

Òåïåðü îáðàòèì âíèìàíèå íà îäíó ñóùåñòâåííóþ äåòàëü. Åñëè áû íàäî áûëî

P , ìû ìîãëè áû ðàññìîòπy , îðòîãîíàëüíóþ îñè y è ðàçáèòü åå íà êâàäðàòû ñî ñòîðîíîé d. À çàòåì ïóñêàòü ÷àñòèöû èç êàæäîãî óçëà äåëåíèÿ πy è, ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëüçóÿñü îðìóëîé 1.3, âû÷èñëÿòü êðèâèçíó C(X, Y ) ïîâåðõíîñòè P , èñïîëüçóÿ â êà÷åñòâå êîîðäèíàò X, Y íà ýòîé ïîâåðõíîñòè êîîðäèíàòû òî÷êè èñïóñêàíèÿ ÷àñòèöû íà ïëîñêîñòè πy . Òðàåêòîðèþ îòäåëüíîé ÷àñòèöû çäåñü ìîæíî íàçâàòü

âîññòàíîâèòü òàêèì îáðàçîì îðìó âñåé ïîâåðõíîñòè ðåòü ïëîñêîñòü

ñöåíàðèåì, à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïóñêîâ ÷àñòèö, íóæíóþ äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ îðìû

P,

íàçâàòü ìîäåëüþ.

Ýòîò ïðîñòîé ïðèìåð â äåéñòâèòåëüíîñòè î÷åíü ïîêàçàòåëåí, òàê êàê â êà÷åñòâå ÷àñòèö ìîæíî èñïîëüçîâàòü âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ â óïðóãîé ñðåäå, îíîíû â òâåðäîì òåëå èëè îòîíû â âàêóóìå, íàêîíåö, ïðîñòî àòîìû èëè ìîëåêóëû. Áîëåå òîãî, òîëü îòäåëüíîãî ñöåíàðèÿ â òàêîì ýêñïåðèìåíòå ìîæåò èãðàòü èçìåðåíèå íåêîòîðîãî êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿ â îïðåäåëåííîì áàçèñå, çàâèñÿùåì îò íà÷àëüíîé òî÷êè

X, Y . Òîãäà ýòîò ïðîöåññ áóäåò îïèñûâàòü ïðîöåäó-

ðó êâàíòîâîé òîìîãðàèè íåèçâåñòíîãî ñîñòîÿíèÿ. Íàêîíåö, ìîæíî òðàêòîâàòü îòäåëüíûé ñöåíàðèé êàê õèìè÷åñêóþ ðåàêöèþ, ãäå ñîñòîÿíèå ðåàãåíòîâ îïðåäåëÿåòñÿ òî÷êîé

X, Y .

Òîãäà äàííàÿ ñõåìû áóäåò îïèñûâàòü ïîäáîð íåîáõîäèìûõ

ñîñòîÿíèé ðåàãåíòîâ äëÿ ïîëó÷åíèÿ æåëàåìîãî ðåçóëüòàòà. Âàæíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî îòäåëüíûå ñöåíàðèè â ìîäåëè äèíàìèêè

¯ (M)

ðàñ-

ïîëîæåíû ïîñëåäîâàòåëüíî. Ìû ïðîèçâîäèì íàä ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìîé ïîñëåäîâàòåëüíûå ýêñïåðèìåíòû

S¯1 , S¯2 , . . . è íà êàæäîì øàãå íàêàïëèâàåì èíîð-

ìàöèþ îá î÷åðåäíîì ýêñïåðèìåíòå â ïàìÿòè íåêîåãî êîìïüþòåðà. Ïðè ýòîì, âîîáùå ãîâîðÿ, ñîñòîÿíèå ýòîé ïàìÿòè ìîæåò âëèÿòü íà èñõîäíûå óñëîâèÿ äëÿ î÷åðåäíîãî ýêñïåðèìåíòà. Íàïðèìåð, åñëè ìû îáíàðóæèì, ÷òî óãîë

γ ñòàë ñëèøêîì

áîëüøèì äëÿ ïðèìåíåíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðàâåíñòà 1.3, ìû äîëæíû óìåíüøèòü çíà÷åíèå øàãà

d

äëÿ òîãî, ÷òîáû èìåòü âîçìîæíîñòü ïîëüçîâàòüñÿ îðìóëîé

1.3 äëÿ îïðåäåëåíèÿ êðèâèçíû íàøåé ïîâåðõíîñòè. Èç ýòîãî ïðîñòåéøåãî ïðèìåðà ìû ìîæåì âûâåñòè òàêèå òðåáîâàíèÿ ê ñòðóêòóðå ìîäåëè.

• •

Ìîäåëü ñîñòîèò èç ïîñëåäîâàòåëüíûõ ñöåíàðèåâ. åçóëüòàò êàæäîãî ñöåíàðèÿ ñîõðàíÿåòñÿ â ïàìÿòè êîìïüþòåðà è ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ ïðè îïðåäåëåíèè íà÷àëüíûõ óñëîâèé äëÿ íîâîãî ñöåíàðèÿ.

Ýòè äâà óñëîâèÿ ìû áóäåì íàçûâàòü ãåíåòè÷åñêèì ïîäõîäîì ê ìîäåëèðîâàíèþ.îëü ãåíîâ çäåñü, êàê âèäèì, èãðàþò ñöåíàðèè, à ìîäåëü èãðàåò ðîëü ýâîëþöèîííîãî ïðîöåññà.  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå, êîòîðûé ïðåäñòàâëÿåòñÿ, íàïðèìåð, êâàíòîâîé òîìîãðàèåé (ñì. ãëàâó 6), ýâîëþöèÿ ñâîäèòñÿ òîëüêî ê íàêîïëåíèþ

24

ËÀÂÀ 1.

ÌÎÄÅËÈÎÂÀÍÈÅ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÖÅÍÀÈÅÂ

èíîðìàöèè î çàêëþ÷èòåëüíûõ ñîñòîÿíèÿõ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû â íàøèõ ñöåíàðèÿõ â ïàìÿòè óïðàâëÿþùåãî êîìïüþòåðà. Òàê ÷òî ýòà èíîðìàöèÿ èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ïîäâåäåíèÿ èòîãîâ ìîäåëèðîâàíèÿ, íî íå âëèÿåò íà î÷åðåäíîé ýêñïåðèìåíò.  áîëåå ñëîæíûõ ñëó÷àÿõ ýòà èíîðìàöèÿ âëèÿåò è íà ïîñòàíîâêó î÷åðåäíîãî ýêñïåðèìåíòà, òî åñòü íà âûáîð ñëåäóþùåãî ñöåíàðèÿ.

1.2

Âèçóàëèçàöèÿ è ðîëü ïîëüçîâàòåëÿ

Òåïåðü ðàññìîòðèì, êàê ìîæåò îáðàáàòûâàòüñÿ èíîðìàöèÿ î ñöåíàðèÿõ. Ñàìûé îáùèé ñïîñîá ïðåäñòàâëåíèÿ ñöåíàðèÿ

S¯j

ýòî êëàññè÷åñêèé àëãîðèòì, êî-

òîðûé øàã çà øàãîì ãåíåðèðóåò ñîñòîÿíèÿ íàøåé ñèñòåìû, ñîîòâåòñòâóþùèå ýòîìó ñöåíàðèþ. Ñîãëàñíî èçâåñòíîìó ðåçóëüòàòó Òüþðèíãà (ñì. ãëàâó 2), íå ñóùåñòâóåò íèêàêîãî ñïîñîáà óçíàòü ðåçóëüòàò ðàáîòû àëãîðèòìà, êðîìå åãî çàïóñêà è íåïîñðåäñòâåííîãî íàáëþäåíèÿ çà åãî ðàáîòîé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå îáðàáîòêà î÷åðåäíîãî ñöåíàðèÿ íå ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà â âèäå êîìïüþòåðíîé ïðîãðàììû. Îáðàáîòêà ñöåíàðèåâ â îáùåì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ ïðåðîãàòèâîé ÷åëîâåêà, êàê ïîëüçîâàòåëÿ äàííîé ìîäåëè. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó î íåîáõîäèìîñòè âèçóàëèçàöèè ñöåíàðèåâ íàøåé ìîäåëè, äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ èõ â âèäå, äîñòóïíîì ïîëüçîâàòåëþ. Âèçóàëèçàöèÿ ÿâëÿåòñÿ îòäåëüíûì è íåîòúåìëåìûì ýëåìåíòîì àëãîðèòìè÷åñêîãî ïîäõîäà, è ýòî ïðèíöèïèàëüíî îòëè÷àåò åãî îò òðàäèöèîííîé îðìû îðãàíèçàöèè èçèêè, êîòîðàÿ îñíîâàíà íà îðìóëàõ.  ðåøåíèè ëþáîé èçè÷åñêîé çàäà÷è îðìóëû ÿâëÿþòñÿ òîëüêî ÷àñòüþ ðåøåíèÿ. Ïðèíöèïèàëüíóþ ðîëü èãðàåò òî, êàê èìåííî ýòè îðìóëû ïðèìåíÿòü, ÷òî îçíà÷àþò âõîäÿùèå â íèõ çíàêè, ïî÷åìó íàäî ïîëüçîâàòüñÿ äàííîé îðìóëîé, à íå èíûìè, è ò.ä. Âñå ýòî îáû÷íî îãîâàðèâàåòñÿ òåêñòîì. Îáùåïðèçíàíî, ÷òî òàêèå òàêñòû - èíñòðóêöèè íåâîçìîæíî îðìàëèçîâàòü, òàê êàê çäåñü èìååòñÿ òî, ÷òî ïðèíÿòî íàçûâàòü èçè÷åñêîé èíòóèöèåé, èëè ÷åì-òî â ýòîì ðîäå.  êîíñòðóêòèâíîé èçèêå íåîðìàëèçóåìàÿ ÷àñòü èçè÷åñêèõ òåêñòîâ ìîæåò áûòü îîðìëåíà â âèäå ýêñïåðòíîãî ðåøåíèÿ ïîëüçîâàòåëÿ àëãîðèòìè÷åñêîé ìîäåëè, êîòîðîå îñíîâàíî, â êîíå÷íîì ñ÷åòå, íà âîñïðèÿòèè âèçóàëüíîé êàðòèíêè. Âñÿ îñòàëüíàÿ ÷àñòü èçè÷åñêèõ òåêñòîâ ìîæåò áûòü àëãîðèòìèçèðîâàíà. Òî÷íûé ñìûñë ýòèõ ðàñïëûâ÷àòûõ òåçèñîâ áóäåò ðàçúÿñíåí â ãëàâå 2, ãäå ìû ïîçíàêîìèìñÿ ñ âû÷èñëåíèÿìè ñ îðàêóëîì. Òàêèì îáðàçîì, íåàëãîðèòìèçèðóåìàÿ ÷àñòü ðàáîòû èçèêà ìîæåò áûòü, â ïðèíöèïå, ñâåäåíà ê ýêñïåðòíîé îöåíêå âèçóàëüíîãî îáðàçà. Ýòà êàðòèíà ÿâëÿåòñÿ èäåàëüíîé, è ïîòîìó î÷åíü ñõåìàòè÷åñêîé. Îäíàêî èìåííî ýòà èäåàëüíàÿ ñèòóàöèÿ îòðàæàåò òî, ÷òî ìû ïîíèìàåì ïîä êîíñòðóêòèâíîé èçèêîé. Ïðàêòè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò ìåòîäèêó òåîðåòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ, îñíîâàííóþ íà àëãîðèòìè÷åñêîì îðìàëüíîì àïïàðàòå. Íèêàêîãî àíàëîãà òàêîé ìåòîäèêå â îáû÷íîé òåîðåòè÷åñêîé èçèêå íå ñóùåñòâóåò, ïîñêîëüêó ïðèìåíåíèå àíàëèòèêîàëãåáðàè÷åñêîãî àïïàðàòà äëÿ âû÷èñëåíèÿ èçè÷åñêèõ âåëè÷èí è èíòåðïðåòà-

1.2.

25

ÂÈÇÓÀËÈÇÀÖÈß È ÎËÜ ÏÎËÜÇÎÂÀÒÅËß

öèÿ ñàìèõ âåëè÷èí íå ÿâëÿåòñÿ îðìàëèçîâàííîé ïðîöåäóðîé. Ìû áóäåì çàíèìàòüñÿ îðìàëèçàöèåé ýòîé, ïîêà îñòàþùåéñÿ â òåíè, ïðîöåäóðû. Íàøåé èäåàëüíîé öåëüþ çäåñü áóäåò ïîñòðîåíèå àëãîðèòìà ñ ñîâåðøåííûì ïîëüçîâàòåëüñêèì èíòåðåéñîì, äëÿ ðàáîòû êîòîðîãî òðåáóåòñÿ òîëüêî îäíî: ýêñïåðòíàÿ îöåíêà ïîëüçîâàòåëåì òîé êàðòèíêè, êîòîðóþ ñòðîèò àëãîðèòì. Äàëüíåéøèå øàãè ýòîãî àëãîðèòìà çàâèñÿò îò òàêîé îöåíêè. Ôîðìà ýêñïåðòíîé îöåíêè îïðåäåëÿåòñÿ ñàìèì àëãîðèìîì. Îïÿòü òàêè, â èäåàëüíîì ñëó÷àå ýòà îöåíêà ñâîäèòñÿ ê âûáîðó ìåæäó "äà"è "íåò". Îäíàêî èñïîëüçîâàíèå òàêîé îðìû íà ïðàêòèêå íåóäîáíî â òîé æå ñòåïåíè, â êàêîé íåóäîáíî ñòðîèòü àëãîðèòìû â îðìàòå, ñêàæåì, ìàøèí Òüþðèíãà. Äëÿ ðàáîòû òàêîé ìîäåëè íåîáõîäèìî ïîñòîÿííîå ïðèñóòñòâèå ïîëüçîâàòå-

5

ëÿ, êîòîðûé àêòè÷åñêè çàíèìàåòñÿ íàáëþäåíèåì çà åå ïîâåäåíèåì . Ìîäåëü ìîæíî, òàêèì îáðàçîì, ðàçäåëèòü íà äâå ÷àñòè: àäìèíèñòðàòèâíóþ è ïîëüçîâàòåëüñêóþ. Ê ïåðâîé ÷àñòè îòíîñÿòñÿ àëãîðèòìû, ñîçäàþùèå âèçóàëüíûé îáðàç, êî âòîðîé - ñîáñòâåííî ýòîò îáðàç. Ôîðìàëèçóåìàÿ ÷àñòü èçè÷åñêîé èíòóèöèè îòíîñèòñÿ ê àäìíèñòðàòèâíîé ÷àñòè, íåîðìàëèçóåìàÿ - êî âòîðîé. Òàêîå ðàçäåëåíèå, â ñâîþ î÷åðåäü, òðåáóåò äîâîëüíî áîëüøîé, ïî îòíîøåíèþ ê òðàäèöèîííîìó îðìàëèçìó, ñòåïåíè îðìàëèçàöèè èñõîäíûõ ïîíÿòèé, òî åñòü ñâåäåíèÿ èõ ê îáúåêòàì, ñ êîòîðûìè ìîæåò ðàáîòàòü àëãîðèòì. Òàêèå ýëåìåíòàðíûå èäåàëüíûå îáúåêòû, âîîáùå ãîâîðÿ, íå èìåþò íèêàêîãî ñîîòâåòñòâèÿ â ðåàëüíîì ìèðå. Èì íåëüçÿ ïðèïèñàòü íèêàêîãî èçè÷åñêîãî ñìûñëà, è èõ ðîëü ñâîäèòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî ê èõ ðàáîòå â ìîäåëèðóþùåì àëãîðèòìå. Ê àäìèíèñòðàòèâíîé ÷àñòè, òàêèì îáðàçîì, íåëüçÿ ïðèìåíÿòü òî, ÷òî îáû÷íî íàçûâàþò èçè÷åñêèì ñìûñëîì; îíà ÿâëÿåòñÿ òåì, ÷òî íàçûâàþò îðìàëüíûì àïïàðàòîì èçèêè. Ôèçè÷åñêèé æå ñìûñë ìîæíî ïðèïèñûâàòü èñêëþ÷èòåëüíî òîìó, ÷òî âèäèò ïîëüçîâàòåëü ýòîé ìîäåëè. ðàíèöà ìåæäó àäìèíèñòðàòèâíîé è ïîëüçîâàòåëüñêîé ÷àñòÿìè ìîäåëè åñòü, òàêèì îáðàçîì, ãðàíèöà ïðèìåíèìîñòè èçè÷åñêîãî ñìûñëà îáúåêòîâ. Ïðîèëëþñòðèðóåì ðîëü ïîëüçîâàòåëüñêîé è àäìèíèñòðàòèâíîé ÷àñòåé ìîäåëè íà ïðèìåðå ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññà äåòåêòèðîâàíèÿ ïàðû îòîíîâ, íàõîäÿùåéñÿ â çàïóòàííîì êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè (ïîäðîáíåå êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ ðàññìàòðèâàþòñÿ â ãëàâå 4). Ó íàñ èìååòñÿ ïàðà îòîíîâ, ðîäèâøàÿñÿ â íåëèíåéíîì îïòè÷åñêîì êðèñòàëëå ïîñëå åãî îáëó÷åíèÿ ëàçåðîì. Ñ ïîìîùüþ çåðêàë ìîæíî äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû ýòè îòîíû ëåòåëè áû â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû, òàê ÷òî ìû ìîæåì äåòåêòèðîâàòü èõ äâóìÿ äåòåêòîðàìè, ðàçíåñåííûìè íà ðàññòîÿíèå

D,

êîòîðîå ñîñòàâëÿåò íåñêîëüêî êèëîìåòðîâ, òàê ÷òî èñïóñêà-

þùèé îòîíû êðèñòàëë íàõîäèòñÿ òî÷íî ïîñåðåäèíå ìåæäó äåòåêòîðàìè, íà ðàññòîÿíèè

D/2 îò

êàæäîãî èç íèõ. Êàæäûé äåòåêòîð ìîæåò áûòü íàñòðîåí íà

îïðåäåëåííîå íàïðàâëåíèå ïîëÿðèçàöèè îòîíà, òî åñòü îí ñðàáàòûâàåò òîëü5 Ýòî

ïîõîæå íà âàðèàöèè ìíîãîìèðîâîé èíòåðïðåòàöèè êâàíòîâîé òåîðèè (ñì., íàïðèìåð, [29℄). Ïðèíöèïèàëüíîå îòëè÷èå íàøåé ñèòóàöèè â òîì, ÷òî ìû íå îïåðèðóåì ìåòàèçè÷åñêèìè ïîíÿòèÿìè, ñâÿçàííûìè ñ ïðîÿâëåíèåì "ñâîáîäû âîëè".  àëãîðèòìè÷åñêîì ïîäõîäå åñòü ýêñïåðòíûå îöåíêè âèçóàëüíûõ îáðàçîâ, è ýòî ïîíÿòèå âïîëíå êîíñòðóêòèâíî.

26

ËÀÂÀ 1.

ÌÎÄÅËÈÎÂÀÍÈÅ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÖÅÍÀÈÅÂ

êî òîãäà, êîãäà ïîïàâøèé â íåãî îòîí èìååò ýòó ïîëÿðèçàöèþ. Çàïóòàííàÿ ïàðà îòîíîâ îòëè÷àåòñÿ îò îáû÷íîé òåì, ÷òî ïðè ñîâïàäåíèè íàñòðîåê äâóõ äåòåêòîðîâ, íå çàâèñèìî îò òîãî, íà êàêóþ èìåííî ïîëÿðèçàöèþ îíè íàñòðîåíû, îíè îáà ëèáî ñðàáàòûâàþò (ïðè ýòîì ðàçäàåòñÿ ùåë÷îê) ëèáî îáà ìîë÷àò. Ïðè ýòîì êîíêðåòíûé èñõîä: ñðàáîòàþò èëè íåò äåòåêòîðû, ÿâëÿåòñÿ ÷èñòîé ñëó÷àéíîñòüþ, âåðîÿòíîñòü êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî òåì, íà êàêîå íàïðàâëåíèå ïîëÿðèçàöèè íàñòðîåíû äåòåêòîðû. Ìîìåíò èñïóñêàíèÿ ïàðû îòîíîâ òîæå ÿâëÿåòñÿ ÷èñòîé ñëó÷àéíîñòüþ, ðàñïðåäåëåíèå êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì íåîïðåäåëåííîñòè "âðåìÿ - ýíåðãèÿ"(ñì. ãëàâó 4). Òåïåðü ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî ó êàæäîãî èç äåòåêòîðîâ ðàñïîëîæåí íåçàâèñèìûé äàò÷èê ñëó÷àéíûõ ÷èñåë, êîòîðûé âûáèðàåò íàñòðîéêó ïîëÿðèçàöèè ñâîåãî äåòåêòîðà çà âðåìÿ

∆t < D/2c,

ãäå

c

- ñêîðîñòü ñâåòà. Òàêèì îáðàçîì,

äî òî÷êè ðîæäåíèÿ ïàðû îòîíîâ íå ìîæåò äîéòè èíîðìàöèÿ î òîì, íà êàêóþ ïîëÿðèçàöèþ íàñòðîåíû äåòåêòîðû, ïîñêîëüêó ñêîðîñòü ïåðåäà÷è ëþáîé ëîêàëüíî ñîçäàííîé èíîðìàöèè íå ìîæåò ïðåâûøàòü ñêîðîñòü ñâåòà.  ýòèõ óñëîâèÿõ ìû ïðîèçâîäèì ðÿä íåçàâèñèìûõ ýêñïåðèìåíòîâ, ïîñëå ÷åãî âûáèðàåì òå èç íèõ, â êîòîðûõ äåòåêòîðû áûëè îðèåíòèðîâàíû îäèíàêîâî. Òîãäà â êàæäîì èç îòîáðàííûõ ýêñïåðèìåíòîâ îáà äåòåêòîðà âåäóò ñåáÿ ñòðîãî îäèíàêîâî: ëèáî îáà ìîë÷àò, ëèáî â îáîèõ ðàçäàåòñÿ ùåë÷îê. Åñëè æå ìû ïîñìîòðèì íà äðóãèå ýêñïåðèìåíòû, â íèõ äåòåêòîðû áóäóò âåñòè ñåáÿ ñîâåðøåííî ñëó÷àéíûì îáðàçîì. Íå âíèêàÿ ïîêà â ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå ýòîãî ýêñïåðèìåíòà ñ òî÷êè çðåíèÿ êâàíòîâîãî îðìàëèçìà, ïîïðîáóåì ïîíÿòü, êàê åãî ìîæíî áûëî áû ìîäåëèðîâàòü ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðîâ. Ìû õîòèì, ÷òîáû íàøå ìîäåëèðîâàíèå áûëî ïîëíûì, òî åñòü âêëþ÷àëî áû íå òîëüêî äåòåêòîðû è îòîíû, íî è îêðóæàþùóþ ñðåäó ñî âñåìè ðàññòîÿíèÿìè, òî åñòü, íàïðèìåð, ÷òîáû ìîäåëèðîâàíèå ó÷èòûâàëî áû ðåëÿòèâèñòñêîå îãðàíè÷åíèå íà ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ èíîðìàöèè, óïîìÿíóòîå âûøå. Êðîìå òîãî, â íàøåì ðàñïîðÿæåíèè íå äîëæíî áûòü íè÷åãî, êðîìå îáû÷íûõ êîìïüþòåðîâ è ñîåäèíÿþùèõ èõ îáû÷íûõ ïðîâîäîâ, òî åñòü ìû íå ìîæåì èñïîëüçîâàòü ñàìèõ çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé îòîíîâ. Åñëè íàøà êîìïüþòåðíàÿ ìîäåëü âûáèðàåò íåçàâèñèìûå íàïðàâëåíèÿ ïîëÿðèçàöèè îáîèõ äåòåêòîðîâ, ìû äîëæíû îïðåäåëèòü, äîëæíû ëè ñîâïàñòü ùåë÷êè íà äåòåêòîðàõ, èëè íåò. Íî äëÿ ýòîãî íàäî ñðàâíèòü èõ ïîëÿðèçàöèè. Åñëè íàøà ìîäåëü ïîëíîñòüþ ðåàëèñòè÷íà, òî åñòü ìîäåëèðóþùèå êîìïüþòåðû ðàçíåñåíû íà ðàññòîÿíèå

D , êàê è ïîëîæåíî, ìû äîëæíû ïîòðàòèòü âðåìÿ D/2c íà òî, ÷òî-

áû ñðàâíèòü îðèåíòàöèþ äåòåêòîðîâ. Ýòî âðåìÿ áîëüøå âðåìåíè âûáîðà îðèåíòàöèè, ïîýòîìó ìîäåëèðîâàíèå â ðåæèìå ðåàëüíîãî âðåìåíè íåâîçìîæíî. Ýòî îçíà÷àåò ñëåäóþùåå. Ëþáîå ðåàëèñòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå äîëæíî äàâàòü íàì çàðàíåå ïîäãîòîâëåííûé èëüì, êîòîðûé ïðîñòî äåìîíñòðèðóåòñÿ ïîëüçîâàòåëþ, òàê ÷òî ïîëüçîâàòåëü íå èìååò âîçìîæíîñòè âìåøàòüñÿ â ïðîöåññ ïîêàçà, è ÷òî-òî èçìåíèòü ïî õîäó äåëà. Ëþáîå èçìåíåíèå äîëæíî ïðîèñõîäèòü òàê: ìû îðìóëèðóåì íîâûå óñëîâèÿ, çàòåì ìîäåëü ãîòîâèò íàì íîâûé èëüì, êîòîðûé ìû çàòåì ïðîñìàòðèâàåì ñ ñàìîãî íà÷àëà è äî êîíöà.

1.2.

ÂÈÇÓÀËÈÇÀÖÈß È ÎËÜ ÏÎËÜÇÎÂÀÒÅËß

èñ. 1.2: Äåòåêòîðû

27

28

ËÀÂÀ 1.

ÌÎÄÅËÈÎÂÀÍÈÅ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÖÅÍÀÈÅÂ

Òàê ðàáîòàåò ðåàëèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü, ðàçäåëåííàÿ íà ïîëüçîâàòåëüñêóþ è àäìèíèñòðàòèâíóþ ÷àñòü. Ýòà îáùàÿ ñõåìà âñåãäà áóäåò èìåòüñÿ íàìè â âèäó ïðè îïèñàíèè íàøèõ ìîäåëåé. Âèçóàëèçàöèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èíòåðåéñ âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ïîëüçîâàòåëåì ìîäåëè, êîòîðûé ïðèîáðåòàåò ñòàòóñ ýêñïåðòà. Ýòî òðåáóåò áîëåå òùàòåëüíîé ïðîðàáîòêè äåòàëåé âèçóàëèçàöèè ïî ñðàâíåíèþ ñ òðàäèöèîííûì ïîäõîäîì,

6

ãäå ýòè äåòàëè ñîâåðøåííî íå âàæíû . Âèçóàëèçàöèÿ ìîæåò îïèðàòüñÿ òîëüêî íà àòîìèñòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ÷àñòèö â âèäå òî÷å÷íûõ îáúåêòîâ, èëè íàáîðîâ òî÷å÷íûõ îáúåêòîâ. Èìåííî òàê ïðåäñòàâëÿþòñÿ êàê êàññè÷åñêèå, òàê è êâàíòîâûå ÷àñòèöû â ìåòîäå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ (ñì. ãëàâó 6). èëüáåðòîâ îðìàëèçì äëÿ êâàíòîâîé òåîðèè ìíîãèõ ÷àñòèö, îñíîâàííûé íà òåíçîðíûõ ïðîèçâåäåíèÿõ ïðîñòðàíñòâ ñîñòîÿíèé, â ïðèíöèïå íå äîïóñêàåò âèçóàëèçàöèè, òàê êàê îí ñîäåðæèò â ñåáå òàêèå îáúåêòû, êàê ìàñøòàáèðóåìûé êâàíòîâûé êîìïüþòåð (ñì. ãëàâó 7). Âñòóïàÿ íà ïóòü âèçóàëèçàöèè èçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, ìû áåðåì íà ñåáÿ ñåðüåçíîå îáÿçàòåëüñòâî, ñîñòîÿùåå â ñëåäóþùåì. Ìû äîëæíû óêàçàòü òàêîå óðåçàíèå ãèëüáåðòîâà îðìàëèçìà, êîòîðîå áû, âî ïåðâûõ, ïîçâîëèëî áû ïðåäñòàâèòü êâàíòîâûå àíñàìáëè ìíîãèõ ÷àñòèö â âèäå çðèòåëüíûõ îáðàçîâ, âî-âòîðûõ, ïîçâîëèëî

7

áû íàì ïðàêòè÷åñêè àëãîðèòìèçèðîâàòü âñþ äîñòîâåðíóþ èçèêó , îñòàâëÿÿ â íåïðèêîñíîâåííîñòè âñå åå âûâîäû. Óâåðåííîñòü â îñóùåñòâèìîñòè ýòîãî ïëàíà ñâÿçàíà ñ äâóìÿ âåùàìè:

•

- âñå òî, ÷òî íàçûâàåòñÿ èçè÷åñêîé èíòóèöèåé, òàê èëè èíà÷å îñíîâàíî

•

- íè îäèí èç âû÷èñëèòåëüíûõ ïðèåìîâ ñîâðåìåííîé èçèêè íå âûõîäèò çà

íà çðèòåëüíûõ îáðàçàõ,

ðàìêè ýåêòèâíûõ êëàññè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ (ñì. ãëàâó 2).

àññìîòðèì òåïåðü ðàçíûå òèïû èçè÷åñêèõ îáúåêòîâ è ñîîòâåòñòâóþùèå èì ïðèåìû èõ âèçóàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ.

1. Òî÷å÷íûå ÷àñòèöû íåíóëåâîé ìàññû. Èõ âèçóàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå íå ïðåäñòàâëÿåò ïðîáëåì, òàê êàê çäåñü íå âîçíèêàåò èçìåíåíèå ðàçìåðîâ â ñâÿçè ñ ïåðñïåêòèâîé.

2. Êëàññè÷åñêèå ïðîòÿæåííûå ÷àñòèöû ñ íåíóëåâîé ìàññîé. Âèçóàëèçèðóþòñÿ ñ ïîìîùüþ øàáëîíîâ, ñîîòâåòñâóþùèõ òèïàì òàêèõ ÷àñòèö. Òèï äîëæåí ñîäåðæàòü ïîëíóþ èíîðìàöèþ îá îòíîñèòåëüíîì ðàñïîëîæåíèè ñîñòàâíûõ ÷àñòåé òàêèõ ÷àñòèö, è èõ ñâÿçÿõ.

3. Êâàíòîâûå ÷àñòèöû ñ íåíóëåâîé ìàññîé. Äîëæíû ïðåäñòàâëÿòüñÿ â âèäå íàáîðà òî÷å÷íûõ ýêçåìïëÿðîâ äàííîé ÷àñòèöû, ñîåäèíåííûõ ñâÿçÿìè. óñòîòà òî÷åê äîëæíà áûòü ðàâíà ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè îáíàðóæèòü ðåàëüíóþ 6 "Ìû

ìîæåì ïîíÿòü òî, ÷òî íå â ñîñòîÿíèè âîáðàçèòü ýòî âûñêàçûâàíèå Ëüâà Ëàíäàó âûðàæàåò äóõ êîïåíãàãåíñêîé (ñòàíäàðòíîé) êâàíòîâîé òåîðèè. 7 Ïîä äîñòîâåðíîé ìû ïîíèìàåì òó ÷àñòü èçèêè, êîòîðàÿ íàäåæíî ïðîâåðåíà ýêñïåðèìåíòàëüíî.

1.2.

29

ÂÈÇÓÀËÈÇÀÖÈß È ÎËÜ ÏÎËÜÇÎÂÀÒÅËß

÷àñòèöó â äàííîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà (ïðèìåð òàêîãî ïîäõîäà - ðàáîòà [44℄). Ïîäðîáíåå îá ýòîì íàïèñàíî â ãëàâå 5.

4. Ôîòîíû. Äîëæíû áûòü âèçóàëèçèðîâàíû ñ ïîìîùüþ èõ ýêçåìïëÿðîâ, êîòîðûå ñâÿçàíû íèòüþ, íàïðàâëåííîé ïî íàïðàâëåíèþ èìïóëüñà îòîíà. Äëèíà íèòè îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà ñðåäíåìó êâàäðàòè÷åñêîìó ðàçáðîñó ïðè îïðåäåëåíèþ èìïóëüñà îòîíà (÷åì òî÷íåå çàäàí èìïóëüñ, òåì äëèííåå íèòü). Íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ íèòè îïðåäåëÿåòñÿ íàïðàâëåíèåì èìïóëüñà, ýêçåìïëÿðû äâèæóòñÿ âìåñòå ñ íèòüþ, îäíîâðåìåííî êîëåáëÿñü â íàïðàâëåíèè ïîëÿðèçàöèè îòîíà. Ïðè ýòîì ïåðåäà÷à èìïóëüñîâ êîíêðåòíûõ ýêçåìïëÿðîâ âäîëü íèòè ïðîèñõîäèò î÷åíü áûñòðî (ðàñïðîñòðàíåíèå êóëîíîâñêîãî ïîëÿ ìãíîâåííî - ñì. ãëàâó 5), à ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ ïåðåäàþòñÿ ìåäëåííåå, ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà. Ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ïðîäîëüíûé èìïóëüñ îïðåäåëÿåò êóëîíîâñêîå ïîëå, à ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ - âåêòîðíûé ïîòåíöèàë. Òàêàÿ íèòü è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîáñòâåííî ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, ðàçäåëåíèå æå åãî íà îòäåëüíûå îòîíû ñâÿçàíî òîëüêî ñ ñóùåñòâîâàíèåì îòäåëüíûõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö; â êîíå÷íîì ñ÷åòå ðàçáèåíèå íà îòîíû îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî íåîáõîäèìîñòüþ õîðîøåé âèçóàëèçàöèåé ïðîöåññîâ ÊÝÄ, è íå ìîæåò áûòü âûâåäåíî òåîðåòè÷åñêè. Äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà 3.7, èìåÿ â âèäó ÷òî

A,

rot A

åñòü âèõðü ïîëÿ

öåëåñîîáðàçíî ïðåäñòàâëåíèå ëþáîãî ýêçåìïëÿðà îòîíà â âèäå äâóõ çà-

öåïëåííûõ øåñòåðåíîê, ñ âûäåëåíèåì íà÷àëüíûõ òî÷åê íà êàæäîé. Îäíà èç øåñòåðåíîê ñâÿçàíà ñ íàïðÿæåííîñòüþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íèòíîãî ïîëÿ

B;

E,

äðóãàÿ - ìàã-

íà÷àëüíûå òî÷êè ñâÿçûâàþò äàííûé ýêçåìïëÿð ñ äðóãèìè.

Íà ïîäîáíûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ îñíîâàíà ýâðèñòèêà ýëåêòðîäèíàìèêè, èñïîëüçîâàííàÿ Ìàêâåëëîì äëÿ âûâîäà óðàâíåíèé 3.7. Â êîíñòðóêòèâèçìå ýâðèñòèêà èìååò ñîâñåì äðóãîé ñìûñë è äîëæíà ðàññìàòðèâàòüñÿ îòäåëüíî è ñîâåðøåííî àêêóðàòíî; ýòî âûõîäèò çà ðàìêè íàøåãî îáñóæäåíèÿ.

8

Îòìåòèì, ÷òî ðàññìîòðåíèå ÷àñòèö êàê êëàññè÷åñêèõ èëè êàê êâàíòîâûõ ñâÿçàíî ñ óñëîâèÿìè çàäà÷è è îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì ìåæäó âåëè÷èíîé Rt1

äåéñòâèÿ

S[γ] =

′

L(x, xt , t)dt

t0 ýëåìåíòàðíîé òðàåêòîðèè æèàíîì,

x

γ,

ìîäåëèðóåìîé ñèñòåìû âäîëü ðàññìàòðèâàåìîé

è ïîñòîÿííîé Ïëàíêà

h,

ãäå

L

ÿâëÿåòñÿ åå ëàãðàí-

- íàáîðîì êîîðäèíàò. Ïîñêîëüêó ýëåìåíòàðíîñòü òðàåêòîðèè îïðå-

äåëÿåòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî íåîáõîäèìîñòüþ âèçóàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ äàííîãî ïðîöåññà, ìû ìîæåì ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî îòíåñåíèå ÷àñòèö ê êâàíòîâûì èëè ê êëàññè÷åñêèì îïðåäåëÿåòñÿ, â êîíå÷íîì ñ÷åòå, òîëüêî òðåáîâàíèÿìè âèçóàëüíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ äèíàìèêè.

8 Ä. èëüáåðò

ãîâîðèë: "Êîãäà äîì ãîòîâ - ëåñà óáèðàþò."Â êîíñòðóêòèâèçìå ëåñà - ýòî óðàâíåíèÿ 3.7, à äîì - ýâðèñòèêà.

30

ËÀÂÀ 1.

1.3

ÌÎÄÅËÈÎÂÀÍÈÅ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÖÅÍÀÈÅÂ

Ýâîëþöèîííûé ïðèíöèï â ìîäåëèðîâàíèè äèíàìèêè

Îñîáàÿ ðîëü âèçóàëèçàöèè â àëãîðèòìè÷åñêîé èçèêå ñâÿçàíà ñ äðóãîé åå âàæíîé îñîáåííîñòüþ, êîòîðóþ ìû óñëîâíî íàçîâåì ýâîëþöèîííûì ïðèíöèïîì. Îí ñîñòîèò â òîì, ÷òî ìîäåëü äèíàìèêè âñåãäà ñîñòîèò èç ïîñëåäîâàòåëüíûõ ñöåíàðèåâ, òàê ÷òî êàæäûé ñöåíàðèé ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì óòî÷íåíèåì ïðåäûäóùåãî ñöåíàðèÿ. Òàêóþ ñìåíó ñöåíàðèåâ ìîæíî íàçâàòü ýâîëþöèåé. Çäåñü èìååòñÿ î÷åíü âàæíîå îáñòðîÿòåëüñòâî, ñâÿçàííîå ñ ïðîñòðàíñòâîì è âðåìåíåì. Äåëî â òîì, ÷òî êàæäûé ñöåíàðèé

Sj ,

âîîáùå ãîâîðÿ, ñîäåðæèò ñâîå

ñîáñòâåííîå ïðîñòðàíñòâî è âðåìÿ, êîòîðîå ìû áóäåì îáîçíà÷àòü, êàê îáû÷íî:

x, t.

Ýòî ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ îäíîãî èêñèðîâàííîãî ñöåíàðèÿ èìååò èçè÷å-

ñêèé ñìûñë òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ïîëüçîâàòåëü ñìîòðèò èëüì, ïîñâÿùåííûé èìåííî äàííîìó ñöåíàðèþ. Åñëè æå ýòîò ñöåíàðèé ëèøü èñïîëüçóåñòÿ â ýâîëþöèîííîì ïðîöåññå äëÿ ïîäãîòîâêè êàêîãî-ëèáî äðóãîãî, áîëåå ñîâåðøåííîãî ñöåíàðèÿ, òî âðåìÿ

t ñëåäóåò ñ÷èòàòü àäìèíèñòðàòèâíûì è åìó íåëüçÿ ïðè-

ïèñàòü èçè÷åñêîãî ñìûñëà. Ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ îäíîãî ñöåíàðèÿ ìîæíî íà-

9

çâàòü ëîêàëüíûì

â òîì ñìûñëå, ÷òî òî÷êè îòñ÷åòà

Oj

äëÿ ýòîãî ïðîñòðàíñòâà-

âðåìåíè çàäàåòñÿ àäìèíèñòðàòèâíîé ÷àñòüþ ìîäåëè äëÿ èìåííî äàííîãî ñöåíàðèÿ. Ïðè ýòîì ñîñòîÿíèå âñåõ ýëåìåíòîâ ðåàëüíîãî ìèðà, íå îòíîñÿùèõñÿ ê äàííîìó ñöåíàðèþ, ó÷èòûâàåòñÿ òîëüêî ïðè îïðåäåëåíèè

Oj .

Ïåðåõîä îò îäíîãî ñöåíàðèÿ ê ñëåäóþùåìó òàêæå ïðîèñõîäèò âî âðåìåíè, íî ýòî óæå èíîå âðåìÿ. Åãî ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç

τ.

Ýòî âðåìÿ ÿâëÿåò-

ñÿ ãëîáàëüíûì. Îíî ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé õàðàêòåðèñòèêîé íàøå ìîäåëè. Ïðè ðàññìîòðåíèè îäíîãî ñöåíàðèÿ âðåìåíè

τ

íåëüçÿ ïðèïèñàòü íèêàêîãî èçè÷å-

ñêîãî ñìûñëà. Îíî îïðåäåëÿåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñìåíû ñöåíàðèåâ. Îäíàêî åñëè ïîëüçîâàòåëü ñìîòðèò äëèííûé èëüì, êîòîðûé ïîëó÷åí ïîñëåäîâàòåëüíîé ñêëåéêîé ìíîãèõ ñöåíàðèåâ, òî èìåííî âðåìÿ è èìååò èçè÷åñêèé ñìûñë, òîãäà êàê âðåìÿ

t

τ

ÿâëÿåòñÿ ïîëüçîâàòåëüñêèì,

ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííèì, èëè àäìè-

íèñòðàòèâíûì. Ìû îñòàâëÿåì çà ïðåäåëàìè íàøåãî îáñóæäåíèÿ âîïðîñ î òîì, ìîæíî ëè

10

ïðèïèñàòü àäìèíèñòðàòèâíîìó âðåìåíè èçè÷åñêèé ñìûñë â ëþáîì ñëó÷àå.

Âìåñòî ýòîãî áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ äàííîãî âûøå ïðàâèëà äëÿ îïðåäåëåíèÿ òîãî, êàêîå âðåìÿ èìååò èçè÷åñêèé ñìûñë, à êàêîå ÿâëÿåòñÿ àäìèíèñòðàòèâíûì. Ó íåêîòîðûõ òàêîå ñîãëàøåíèå ìîæåò âûçâàòü íåäîóìåíèå: êàêîå ìû èìååì ïðàâî îïðåäåëÿòü, ÷òî èìååò èçè÷åñêèé ñìûñë, à ÷òî - íå èìååò (òåì áîëåå, åñëè ðå÷ü èäåò î òàêîé óíäàìåíòàëüíîé âåëè÷èíå, êàê âðåìÿ)? Íà ýòî ÿ çàìå÷ó ñëåäóþùåå.  äåéñòâèòåëüíîñòè, ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò ÿâëÿåòñÿ íåîòúåìëå9 Íåêîòîðûå

ìû.

10 Ýòîò

àâòîðû (íàïðèìåð, [20℄) íàçûâàþò åãî âíóòðåííèì âðåìåíåì êâàíòîâîé ñèñòå-

âîïðîñ íå ëèøåí ñìûñëà, â îñîáåííîñòè äëÿ ñòûêîâêè êâàíòîâîé ìåõàíèêè ñ ÎÒÎ. Îí îñòàåòñÿ çà ïðåäåëàìè íàøåãî îáñóæäåíèÿ.

1.3.

ÝÂÎËÞÖÈÎÍÍÛÉ ÏÈÍÖÈÏ Â ÌÎÄÅËÈÎÂÀÍÈÈ ÄÈÍÀÌÈÊÈ31

ìîé ÷àñòüþ èçèêè. Åå áåç àïïàðàòà ïðîñòî íå áûâàåò. È îïðåäåëåíèå òîãî, ÷òî èìååò, à ÷òî íå èìååò èçè÷åñêîãî ñìûñëà, ÿâëÿåòñÿ ïðåðîãàòèâîé ýòîãî àïïàðàòà. ×èòàòåëü ìîæåò îáäóìàòü ýòîò òåçèñ, ÷òî áóäåò âàæíî äëÿ äàëüíåéøåãî ïðîäâèæåíèÿ. Åñëè ìû ïîëüçóåìñÿ óñòîÿâøèìñÿ ìàòàïïàðàòîì, òî âñÿ ðàáîòà âåäåòñÿ â åãî ðàìêàõ, êîòîðûõ ìû ïðîñòî íå çàìå÷àåì. Åñëè íàì íóæíî çàìåíèòü ìàòàïïàðàò, ìû äîëæíû ñìèðèòüñÿ ñ òåì, ÷òî ïðèäåòñÿ ñìîòðåòü íà âåùè áîëåå àáñòðàêòíî. Ìû íåìíîãî ïîäðîáíåå êîñíåìñÿ ýòîé òåìû â ðàçäåëå, ïîñâÿùåííîì ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå, êîòîðàÿ è çàíèìàåòñÿ îáñóæäåíèåì òàêèõ âåùåé. Ó ÷èòàòåëÿ íå äîëæíî îñòàâàòüñÿ ïîäîçðåíèé î òîì, ÷òî çäåñü åñòü êàêèå-òî òåìíûå ìåñòà. Âñå, ÷òî íóæíî çíàòü äëÿ âîñïðèÿòèÿ äàëüíåéøåãî - â ðàçäåëåíèè ìîäåëè íà ïîëüçîâàòåëüñêóþ è àäìèíèñòðàòèâíóþ ÷àñòü, è òåõ òåçèñàõ, êîòîðûå ÿ èçëîæèë. Íàäåþñü, ÷òî äàëüíåéøèé ìàòåðèàë âñåëèò â ÷èòàòåëÿ äîïîëíèòåëüíóþ óâåðåííîñòü â ïðàâèëüíîñòè ýòîãî ïóòè. Ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñöåíàðèåâ, ñîñòàâëÿþùàÿ ìîäåëü äèíàìèêè, åñòü ïîñëåäîâàòåëüíûå øàãè ïîäãîòîâêè îêîí÷àòåëüíîãî èëüìà, êîòîðûé äåìîíñòðèðóåòñÿ ïîëüçîâàòåëþ ìîäåëè.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ (ñì. ãëàâó 5) ðÿä ïîñëåäóþùèõ ñöåíàðèåâ ìîæíî ïîëó÷èòü èç íåñêîëüêèõ ïðåäûäóùèõ, åñëè ðàññìàòðèâàòü êàæäûé èç íèõ êàê ïîâòîðåíèå îäíîãî èç ïðåäûäóùèõ ñ áîëüøèì ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûì ðàçðåøåíèåì.  äðóãèõ ñëó÷àÿõ ïîñëåäóþùèå ñöåíàðèè ïîëó÷àþòñÿ èç ïðåäûäóùèõ äîáàâëåíèåì íîâûõ ÷àñòèö, íàïðèìåð, ó÷åò èñïóñêàíèÿ îòîíîâ ïðè ðåàêöèÿõ àññîöèàöèè èëè äèññîöèàöèè ìîëåêóë. Íàêîíåö, âîçìîæíî óòî÷íåíèå ìîäåëè äîáàâëåíèåì íîâûõ âîçìîæíûõ âíóòðåííèõ ñîñòîÿíèé îäíèõ è òåõ æå ÷àñòèö.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ òàêîå óòî÷íåíèå ìîäåëè áóäåò ñîâåðøåííî íå çíà÷èòåëüíûì. Íàïðèìåð, åñëè ìû ó÷òåì ñïèíû àòîìíûõ ÿäåð ïðè õèìè÷åñêèõ ðåàêöèÿõ, ýòî âíåñåò î÷åíü ìàëóþ ïîïðàâêó ê ñöåíàðèÿì áåç èõ ó÷åòà. Îäíàêî ó÷åò ýëåêòðîííûõ ñïèíîâ ìîæåò âíåñòè ãîðàçäî áîëåå ñóùåñòâåííóþ ïîïðàâêó, òàê êàê èìåííî ýëåêòðîííûå ñïèíû îïðåäåëÿþò ñîñòîÿíèÿ ìíîãîýëåêòðîííûõ ñèñòåì, ñîçäàþùèå õèìè÷åñêóþ ñâÿçü.

1.3.1 Çàäà÷à Êîøè Ñòàíäàðòíîé îðìîé îïèñàíèÿ ýâîëþöèè èçè÷åñêèõ ñèñòåì âî âðåìåíè â êëàññè÷åñêîé è â ïðîñòåéøåé (áåç ÊÝÄ) êâàíòîâîé ìåõàíèêå ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à Êîøè. Ýòà çàäà÷à ñîñòîèò â îòûñêàíèè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ

F (¯ x(t), t) = 0

(1.4)

∀¯ r ∈ ∂D¯ x(¯ r , t) = g¯(¯ r , t), ãäå F - çàâèñÿùàÿ îò âðåìåíè íåèçâåñòíàÿ óíêöèÿ âèäà D × ∆ −→ H2 , ãäå D ⊆ H1 , ∆ - îòðåçîê îñè âðåìåíè, H1 , H2 - ãèëüáåðòîâû ïðîñòðàíñòâà, ∂D ãðàíèöà îáëàñòè D , x ¯0 (¯ r), g¯(¯ r , t) - çàäàííûå óíêöèè. ïðè íà÷àëüíîì è ãðàíè÷íîì óñëîâèÿõ âèäà

x¯(0) = x¯0

è

Çàäà÷à Êîøè ñîñòîèò â îòûñêàíèè íåèçâåñòíîé ýâîëþöèè èçè÷åñêîé ñèñòåìû, åñëè çàäàí åå çàêîí

F,

íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû

x¯0

è ðåæèì íà ãðà-

32

ËÀÂÀ 1.

íèöå

g¯(¯ r, t).

ÌÎÄÅËÈÎÂÀÍÈÅ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÖÅÍÀÈÅÂ

Ïðîñòðàíñòâî

H1

ÿâëÿåòñÿ îáîáùåííûì êîíèãóðàöèîííûì ïðî-

ñòðàíñòâîì äàííîé ñèñòåìû. Åãî ñìûñë â òîì, ÷òî îíî îáðàçîâàíî èç âñåõ âîçìîæíûõ êîîðäèíàò ñîñòàâíûõ ÷àñòåé ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû. Îáîáùåííîå êîíèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî îòëè÷àåòñÿ îò îáû÷íîãî òåì, ÷òî â íåì åñòü ′ ′′ íå òîëüêî êîîðäèíàòû îáúåêòîâ, íî è èõ ïðîèçâîäíûå, íàïðèìåð, xt , xtt , ïðîèçâîäíûå ïî êîîðäèíàòàì îò ðåøåíèÿ, è ò.ï. Çàêîí ýâîëþöèè F ïîëó÷àåòñÿ â ñòàíäàðòíîì ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå ïåðåõîäîì ê ïðåäåëó èç íåêîòîðîé ñõåìû êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ

S(δr),

çàâèñÿùåé îò çåðíà ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ

δr , ïðè δr −→ 0. Ïîýòîìó F è g¯, âîîáùå ãîâîðÿ, ñîäåðæèò ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå óíêöèè x ¯ ïî âñåì êîîðäèíàòàì

â îáîáùåííîì êîíèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè.

Ïðèíöèïèàëüíûì ñâîéñòâîì êâàíòîâîé èçèêè ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî óíêöèÿ

x¯1 è x¯2 ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ 3.2, òî äëÿ ëþáûõ (êîìïëåêñíûõ) ÷èñåë λ, µ λ¯ x1 +µ¯ x2 òàêæå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíà ïî

x¯.

F

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè íåêîòîðûå

åãî ðåøåíèåì. Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöèè. Ìû ïðèíèìàåì ýòîò ïðèíöèï êàê óíäàìåíòàëüíîå ïîëîæåíèå, îòíîñÿùååñÿ íå òîëüêî ê êâàíòîâîé òåîðèè, íî è ê ëþáîé ìîäåëè, êîòîðàÿ áóäåò íàìè ðàññìàòðèâàòüñÿ.  äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàçáèðàòü áîëåå îáùèå ìîäåëè (ñì. ãëàâó 6), íî îíè áóäóò ñòðîãî îïèðàòüñÿ íà êâàíòîâóþ òåîðèþ è â ýòîì ñìûñëå ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè áóäåò â ðàâíîé ìåðå ïðèìåíèì è ê íèì. Íà ïðèíöèïå ñóïåðïîçèöèè îñíîâàíà âñÿ àëãåáðà êâàíòîâîé èçèêè, è îí ëåæèò â îñíîâå êâàíòîâûõ èíòåðåðåíöèîííûõ ýåêòîâ. Ìû ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî ýåêòèâíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ àëãåáðàè÷åñêîãî àïïàðàòà â êâàíòîâîé èçèêå îñíîâàíà èìåííî íà ïðèíöèïå ñóïåðïîçèöèè. Ýòî íå ïðîòèâîðå÷èò èñïîëüçîâàíèþ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé, ìû òîëüêî óòâåðæäàåì, ÷òî îñíîâíûå óðàâíåíèÿ âñåãäà ëèíåéíû. Íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ âîçíèêàþò òîãäà, êîãäà àëãåáðàè÷åñêîãî ÿçûêà íà÷èíàåò íå õâàòàòü, è âîçíèêàåò ïîòðåáíîñòü â èñïîëüçîâàíèè áîëåå îáùåãî ïîíÿòèÿ àëãîðèòìà âìåñòî òðàäèöèîííûõ îðìóë.

1.3.2  êàêèõ ñëó÷àÿõ íóæíî ýâîëþöèîííîå ìîäåëèðîâàíèå Ñîçäàíèå ìîäåëè äèíàìè÷åñêîãî ñöåíàðèÿ â ðàìêàõ çàäà÷è Êîøè òðåáóåò íå òîëüêî òî÷íîãî çíàíèÿ çàêîíà ýâîëþöèè

F,

íî è íà÷àëüíûõ óñëîâèé è ãðàíè÷-

íîãî ðåæèìà. Âñå ýòè òðè òèïà äàííûõ äëÿ ñëîæíûõ ñèñòåì íå ìîãóò áûòü òî÷íî îïðåäåëåíû. Ïîýòîìó îðìàò çàäà÷è Êîøè ïðèìåíèì òîëüêî ê îãðàíè÷åííîìó êðóãó ïðîñòûõ ñèñòåì, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ìîäåëüíûìè. Çàäà÷à Êîøè íàçûâàåòñÿ êîððåêòíîé, åñëè ìàëîå èçìåíåíèå èçìåíåíèþ ðåøåíèÿ

x¯

11

F , x¯0

è

g¯

ïðèâîäèò òàêæå ê ìàëîìó

.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå çàäà÷à áóäåò íåêîððåêòíîé. Åñ-

ëè â ïîíÿòèå "ìàëîñòè èçìåíåíèÿ"íå âõîäèò âîçìîæíîñòè õîòü ñêîëüêî íèáóäü ìåíÿòü çàêîí 11 ß

F,

òî êîððåêòíîé çàäà÷åé Êîøè áóäåò òàêàÿ çàäà÷à, ó êîòîðîé

íå êîíêðåòèçèðóþ çäåñü, ÷òî ïîíèìàåòñÿ ïîä ìàëîñòüþ èçìåíåíèÿ.

1.3.

ÝÂÎËÞÖÈÎÍÍÛÉ ÏÈÍÖÈÏ Â ÌÎÄÅËÈÎÂÀÍÈÈ ÄÈÍÀÌÈÊÈ33

âñå ðåøåíèÿ óñòîé÷èâû ïî Ëÿïóíîâó.  ðåàëüíîñòè çàêîí íèêîãäà íå èçâåñòåí ñ àáñîëþòíîé òî÷íîñòüþ, ïîýòîìó ïîíÿòèå êîððåêòíîñòè áîëåå ïðàêòè÷íî. Çàêîí

F

íå ìîæåò áûòü èçâåñòåí ñ àáñîëþòíîé òî÷íîñòüþ, òàê êàê ÿâëÿ-

åòñÿ ðåçóëüòàòîì ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà â ñõåìå êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ (â ÷àñòíîñòè, â ðàçíîñòíîé ñõåìå). Ïðè òàêîì ïåðåõîäå àêòóàëüíûì ñòàíîâèòñÿ ìåõàíèçì äåéñòâèÿ ýòîãî çàêîíà íà ðàññòîÿíèÿõ, íå ìíîãî ïîðÿäêîâ ìåíüøèõ ðàññìàòðèâàåìîãî çåðíà ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ

δr .

Îïûò êâàíòîâîé èçèêè êàê

òàêîâîé ãîâîðèò íàì î íåçàêîííîñòè òàêîãî ðîäà ýêñòðàïîëÿöèé. Òî÷íîñòü îïðåäåëåíèÿ ãðàíè÷íîãî ðåæèìà íèêîãäà íå ìîæåò áûòü àáñîëþòíîé â ñèëó òîãî, ÷òî ñàìè ãðàíèöû ðåàëüíîé ñèñòåìû íå ÿâëÿþòñÿ ÷åòêî îïðåäåëåííûìè, òî åñòü ìû íå ìîæåì òî÷íî îïðåäåëèòü, êàêèå ÷àñòèöû â íåå âõîäÿò, à êàêèå - íåò. Ýòà íåîïðåäåëåííîñòü åùå áîëåå ïîä÷åðêèâàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèåì òàê íàçûâàåìûõ çàïóòàííûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé, êîãäà ñîñòîÿíèå ïàðû ÷àñòèö íå ñâîäÿòñÿ ê íàáîðó ñîñòîÿíèé êàæäîé ÷àñòèöû â îòäåëüíîñòè. Íàêîíåö, íà÷àëüíîå óñëîâèå íå ìîæåò áûòü òî÷íî îïðåäåëåíî ïî ïðè÷èíàì óíäàìåíòàëüíîãî õàðàêòåðà. Äåëî â òîì, ÷òî â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå àäìèíèñòðàòèâíîå è ðåàëüíîå âðåìåíà ÿâëÿþòñÿ ðàçëè÷íûìè ïîíÿòèÿìè, è ïîòîìó íåëüçÿ ñ÷èòàòü

x¯0 (¯ r)

íà-

÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì ñèñòåìû. Ìîæíî áûëî áû íà ýòî âîçðàçèòü â òîì ñìûñëå, ÷òî ýåêòû, î êîòîðûõ çäåñü øëà ðå÷ü, î÷åíü ìàëû, è ïîòîìó íå ñêàçûâàþòñÿ íà ðåçóëüòàòå ìîäåëèðîâàíèÿ. Ïîä÷åðêíó åùå ðàç: ýòî âîçðàæåíèå ñïðàâåäëèâî òîëüêî â îãðàíè÷åííîì ÷èñëå ñëó÷àåâ, êîòîðûå ìû îáúåäèíèëè ïîä îáùèì òåðìèíîì ìîäåëüíûõ ñèñòåì. Ìîäåëüíûå ñèñòåìû ìîãóò ñîñòîÿòü èç î÷åíü áîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòèö, íàïðèìåð, èäåàëüíàÿ êðèñòàëëè÷åñêàÿ ðåøåòêà, ïðîâîäÿùàÿ êîëåáàíèÿ èëè òåïëî. Ïîíÿòèå ìàëîñòè èçìåíåíèÿ â ìîäåëüíîé ñèñòåìå òîæå ìîæåò íîñèòü øèðîêèé ñìûñë. Íàïðèìåð, ìîãóò áûòü èçâåñòíû íåóñòîé÷èâûå òðàåêòîðèè è òèïû íåóñòîé÷èâîñòåé, ãðàíèöû äîïóñòèìûõ èçìåíåíèé

F

(òèïà ìàëîãî êîýèöèåí-

òà ïðè ñòàðøåé ïðîèçâîäíîé), è ò.ï. Ìîäåëüíàÿ ñèñòåìà õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì, ÷òî ýâîëþöèÿ ñòðîèòñÿ â îäèí ïðèåì: êàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ïðè èçâåñòíûõ êðàåâûõ è íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ. Èòàê, àêòè÷åñêè, âñå çàäà÷è, ñ êîòîðûìè ìû âñòðå÷àåìñÿ íà ïðàêòèêå íåêîððåêòíû. Íî íåêîòîðûå èç íèõ ìîãóò áûòü óäîâëåòâîðèòåëüíî îïèñàíû ñ ïîìîùüþ ïðèáëèæåíèÿ ìîäåëüíûìè ñèñòåìàìè. Ìû ìîæåì åùå ðàñøèðèòü ïîíÿòèå ìîäåëüíûõ ñèñòåì, âêëþ÷èâ â íèõ òàêèå, äëÿ êîòîðûõ ìîäåëü ýâîëþöèè ìîæíî ïîñòðîèòü ñ ïîìîùüþ óñðåäíåíèÿ ñöåíàðèåâ ïðè íåêîòîðîì ñëó÷àéíîì ðàçáðîñå íà÷àëüíûõ è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, à òàêæå çàêîíà ýâîëþöèè â çàðàíåå çàäàííûõ ïðåäåëàõ. Òàêèå ìîäåëè, õîòÿ è íå ìîãóò áûòü íåïîñðåäñòâåííî ïîëó÷åíû êàê ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè, ìîæíî ñâåñòè ê çàäà÷å Êîøè ñ ïîìîùüþ ïðîñòîãî óñðåäíåíèÿ. àçâèòèå èäåè óñðåäíåíèÿ ïðèâîäèò ê ðàçëè÷íîãî âèäà ìåòîäàì ñãëàæèâàíèÿ êðèâûõ 12 Ê

12

.

ýòîìó òèïó ìîæíî îòíåñòè, íàïðèìåð, ìåòîä ðåãóëÿðèçàöèè íåêîððåêòíûõ çàäà÷ (ñì. [49℄). åãóëÿðèçàöèÿ ÿâëÿåòñÿ òèïîì ñãëàæèâàíèÿ òðàåêòîðèé ðåàëüíîé íåêîððåêòíîé çàäà÷è. Òàê æå, êàê è íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ, åñòü îòâåò íà íåäîñòàòêè àëãåáðàè÷åñêîãî ìåòîäà òåìè

34

ËÀÂÀ 1.

ÌÎÄÅËÈÎÂÀÍÈÅ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÖÅÍÀÈÅÂ

Ôàêòè÷åñêè òàêèå ìåòîäû óñðåäíåíèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñàìóþ ïðèìèòèâíóþ âåðñèþ ýâîëþöèîííûõ ìåòîäîâ. Ìåòîä óñðåäíåíèÿ ìîæåò ïðèìåíÿòüñÿ ëèøü â òîì ñëó÷àå, êîãäà íàì èçâåñòíû ïîëíîñòüþ ìåõàíèçìû ýâîëþöèè (òî åñòü

F ),

è çàäà÷ó ìîæíî ñâåñòè ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ 3.2 è èññëåäîâàíèþ

íåóñòîé÷èâûõ òðàåêòîðèé. Íî äëÿ ïî íàñòîÿùåìó ñëîæíûõ ñèñòåì âñÿ òðóäíîñòü â òîì, ÷òî ìû íå çíàåì

F.

 ñèëó èçâåñòíîé íåëîêàëüíîñòè êâàíòîâîé

èçèêè è ïðèíöèïèàëüíîãî õàðàêòåðà ðåëÿòèâèçìà â ÊÝÄ (ñì. íèæå) ìû íå èìååì âîçìîæíîñòè ïðèíöèïèàëüíî îòäåëèòü íå òîëüêî çàêîí ýâîëþöèè îò ãðà-

13

íè÷íûõ óñëîâèé, íî è âûäåëèòü íà÷àëüíûå óñëîâèÿ Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðîäâèíóòüñÿ â çíàíèè

F,

.

ìåòîä óñðåäíåíèÿ ñîâåðøåííî

íå ïîäõîäèò. Áîëåå òîãî, îí äàæå óõóäøàåò äåëî. àññìîòðèì ïðîñòîé ïðèìåð äâèæåíèÿ äâóõ òåë, ñâÿçàííûõ ãèáêîé âåðåâêîé. Äîïóñòèì, ÷òî ìû ìîæåì íàáëþäàòü òîëüêî çà îäíèì èç íèõ, òîãäà êàê äðóãîå îñòàåòñÿ äëÿ íàñ ñîâåðøåííî íå âèäèìûì. Ìû íàáëþäàåì íåêîå äâèæåíèå åäèíñòâåííîãî òåëà, ïîõîæåå íà õàîòè÷åñêîå, è ìîæåì ïðèìåíèòü ê ýòîìó äâèæåíèþ ìåòîä óñðåäíåíèÿ, êîòîðûé ïîêàæåò íàì êàê äâèæåòñÿ öåíòð ìàññ ðåàëüíîé ñèñòåìû. Ïîñêîëüêó ìû íå çíàåì î âòîðîì òåëå, ìû âûíóæäåíû áóäåì ñïèñàòü õàîòè÷íîñòü â äâèæåíèè íàáëþäàåìîãî íàìè òåëà íà íåêèé ñëó÷àéíûé àêòîð, èëè äàæå ïðèäàòü ýòîìó àêòîðó óíäàìåíòàëüíûé õàðàêòåð. Íî åñëè ìû ïîñëå ýòîãî ñòàíåì èçó÷àòü èäåéíî íå áîëåå ñëîæíóþ ñèñòåìó èç âåðåâêàìè, èç êîòîðûõ

m

n òåë, ñâÿçàííûõ ïîñëåäîâàòåëüíî ãèáêèìè

äîñòóïíî íàøåìó íàáëþäåíèþ, ìû íå ñìîæåì íåïî-

ñðåäñòâåííî ïðèìåíèòü èçó÷åííóþ ðàíåå ñèñòåìó, ãäå ìîæíî íàáëþäàòü òîëüêî îäíî òåëî, òàê êàê â ñëó÷àå

m

íàáëþäàåìûõ òåë, òàê êàê òåïåðü íàì ïðèäåò-

ñÿ èçó÷àòü êîíêðåòíîå âîçäåéñòâèå âèäèìûõ òåë äðóã íà äðóãà. Äëÿ ïðèäàíèÿ ýòîìó ñëó÷àþ áîëüøåé íàãëÿäíîñòè, ïðåäïîëîæèì, ÷òî âèäèìûå òåëà îáëàäàþò áîëüøîé ìàññîé, à íåâèäèìûå - ìàëîé. Òîãäà âîçäåéñòâèå íåâèäèìûõ â ìåòîäå óñðåäíåíèÿ áóäåò èñòîëêîâàíî êàê ñëó÷àéíûé øóì.  ëþáîì ñëó÷àå, äëÿ îòêðûòèÿ çàêîíà óïðóãîé ñèëû óêà è ïîíèìàíèÿ òîãî, êàê âåäåò ñåáÿ ñèñòåìà èç

n

òåë, íóæíî, ÷òîáû ìû ìîãëè âêëþ÷èòü â íàøó ìîäåëü ÷àñòèöû, êîòîðûå

íåëüçÿ óâèäåòü íåïîñðåäñòâåííî. Òàê æå îáñòîèò äåëî è â êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Íàèâíàÿ ìîäåëü êâàíòîâîé ìåõàíèêè, â êîòîðîé ÷àñòèöû äâèæóòñÿ ïîä äåéñòâèåì ïîòåíöèàëà, ñîçäàâàåìîãî äðóãèìè ÷àñòèöàìè (íî íå èìè ñàìèìè - ñàìîäåéñòâèå ñðàçó ñîçäàåò íåðàçðåøèìûå òðóäíîñòè!), ñîâåðøåííî íå ïðèãîäíà äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñëîæíûõ ñèñòåì, ïîñêîëüêó åå íåëüçÿ âïîëíå ìàñøòàáèðîâàòü. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ðàñ÷åòà ïîëÿ, 2 äåéñòâóþùåãî íà êàæäóþ èç n ÷àñòèö ñî ñòîðîíû äðóãèõ, íàäî ïîðÿäêà O(n ) äåéñòâèé, ÷òî ñëèøêîì ðàñòî÷èòåëüíî äëÿ áîëüøèõ ñèñòåì, ãäå ñëîæíîñòü íå

ñðåäñòâàìè, êîòîðûå åñòü â êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêå. Ïðèìåíåíèå ýòèõ ñðåäñòâ ïîçâîëÿåò ïðèâåñòè íåêîððåêòíûå çàäà÷è ê ïðèñòîéíîìó, ñ àëãåáðàè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, âèäó. Íî îíè â ïðèíöèïå íå ñïîñîáíû îòêðûòü íàì õîòü êàêèå-òî äåéñòâèòåëüíî íîâûå ÿâëåíèÿ. Ìåòîäû òèïà ðåãóëÿðèçàöèè êàê ðàç íàïðàâëåíû íà îòñå÷åíèå ýòèõ íîâûõ ÿâëåíèé îò ðàññìîòðåíèÿ. 13 ß óæå íå ãîâîðþ î ïðàêòè÷åñêè íå ïðåîäîëèìûõ òðóäíîñòÿõ îïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ äàæå â íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå, â îñîáåííîñòè ïðè áîëüøîì ÷èñëå ÷àñòèö â ñèñòåìå.

1.4.

ÅÇÞÌÅ ÌÎÄÅËÈÎÂÀÍÈß ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÖÅÍÀÈÅÂ

äîëæíà ïðåâûøàòü

O(n).

35

Íî åñëè ìû íà÷íåì àíàëèçèðîâàòü ðàññìàòðèâàåìûå

ñèñòåìû áîëåå äåòàëüíî, âêëþ÷àÿ â íèõ îòîíû, ñîçäàþùèå ïîëå, çàïóòàííûå ñîñòîÿíèÿ è ò.ä., ìû óòðàòèì âîçìîæíîñòü ïðèìåíÿòü îðìàò çàäà÷è Êîøè ! Ìû âèäèì, ÷òî çàäà÷à Êîøè íå ïîäõîäèò äëÿ àíàëèçà ñëîæíûõ ñèñòåì, è äëÿ òàêèõ ñèñòåì íåîáõîäèìî ïðèìåíÿòü ìåòîä ýâîëþöèîííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. ßðêèé ïðèìåð îáõîäà óïîìÿíóòîé òðóäíîñòè - ìåòîä óíêöèîíàëà ïëîòíîñòè. Çäåñü ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ïëîòíîñòü ñîçäàþùåé ïîëå ÷àñòèöû îäèíàêîâà âî âñåõ òî÷êàõ åå íîñèòåëÿ, è ðàâíà åå ïëîòíîñòè â òî÷êå ðàñïîëîæåíèÿ ïðîáíîé ÷àñòèöû. Ýòî äåëàåòñÿ äëÿ óïðîùåíèÿ ðàñ÷åòà, íî âåäåò ê áîëüøîé íåòî÷íîñòè â ñëó÷àå áîëüøîé ðàçíèöû â ýëåêòðîííîé ïëîòíîñòè (íàïðèìåð, â àòîìíûõ çàäà÷àõ ìåòîä óíêöèîíàëà ïëîòíîñòè ðàáîòàåò ïëîõî, â çàäà÷àõ, ñâÿçàííûõ ñ çîíàìè ïðîâîäèìîñòè - çíà÷èòåëüíî ëó÷øå). Íî óïðîùåíèå ñ÷åòà - ÷àñòî áîëåå âåñîìîå ïðåèìóùåñòâî, ÷åì òî÷íîñòü, è ïîòîìó ìåòîä óíêöèîíàëà ïëîòíîñòè ÷àñòî ïðèìåíÿåòñÿ â ìîäåëüíûõ çàäà÷àõ ñ ìíîãèìè ÷àñòèöàìè äëÿ ñóïåðêîìïüþòåðîâ. Ýâîëþöèîííîå ìîäåëèðîâàíèå ñ èñïîëüçîâàíèåì ýêñïåðòèçû ïîëüçîâàòåëÿ äàåò íàì áîëåå îáùèé òèï ìîäåëåé. Ýâîëþöèîííûå ìîäåëè â áîëüøåé ìåðå ñîîòâåòñòâóþò òîìó, ÷òî ìû íàçûâàåì êîíñòðóêòèâíîé èçèêîé, òàê êàê òàêèå ìîäåëè äîïóñêàþò àêòè÷åñêè ðàçíûå ìåõàíèçìû äëÿ ðàçíûõ ðàçìåðîâ çåðíà ïðîñòðàíñòâåííîãî è âðåìåííîãî ðàçðåøåíèÿ, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò äóõó êîíñòðóêòèâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ìû óáåäèìñÿ â ýòîì â ñëåäóþùèõ ðàçäåëàõ. Ïîêà æå çàìåòèì òîëüêî, ÷òî ýâîëþöèîííûé ïðèíöèï ïîçâîëÿåò âêëþ÷àòü â ìîäåëü íîâûå ýëåìåíòû, ïðîâåðÿÿ íîâûå ãèïîòåçû, è ò.ä., òî åñòü âàðüèðîâàòü æåñòêèå ðàìêè çàäà÷è Êîøè.

1.4

åçþìå ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñöåíàðèåâ

Ýâîëþöèîííûé ïðèíöèï ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñöåíàðèåâ ïîçâîëÿåò èçó÷àòü ñëîæíûå ñèñòåìû, äëÿ êîòîðûõ íåëüçÿ ïðèìåíÿòü îðìó çàäà÷è Êîøè. Òàêîå ìîäåëèðîâàíèå ÿâíî âêëþ÷àåò âðåìÿ â êà÷åñòâå àäìèíèñòðàòèâíîãî ïàðàìåòðà, ÷òî ïîçâîëÿåò áðàòüñÿ çà ðåøåíèå çàäà÷ íàõîæäåíèÿ ýâîëþöèè òàêèõ ñèñòåì, ñëîæíîñòü êîòîðûõ íå ïîçâîëÿåò ðåøèòü èõ óäîâëåòâîðèòåëüíî ñ ïîìîùüþ ìåòîäîâ óñðåäíåíèÿ. Ýâîëþöèîííûé ìåòîä ïðåäóñìàòðèâàåò íàêîïëåíèå èíîðìàöèè î ñöåíàðèÿõ äëÿ èõ ïîñëåäóþùåãî èñïîëüçîâàíèÿ â ïîñòðîåíèè íîâûõ ñöåíàðèåâ. Òàêîé ïîäõîä õàðàêòåðåí äëÿ êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè: îí áîëåå óíèâåðñàëåí, ïî ñðàâíåíèþ ñ ÿçûêîì ñöåíàðèåâ áåç ýâîëþöèè. Ìîäåëèðîâàíèå äèíàìè÷åñêèõ ñöåíàðèåâ ÿâíî òðåáóåò ïðèñóòñòâèÿ ïîëüçîâàòåëÿ ìîäåëè, êîòîðûé îñóùåñòâëÿåò óíêöèþ ýêñïåðòèçû ïîëó÷àþùèõñÿ ñöåíàðèåâ.

36

ËÀÂÀ 1.

ÌÎÄÅËÈÎÂÀÍÈÅ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÖÅÍÀÈÅÂ

ëàâà 2 Êîíñòðóêòèâíàÿ ìàòåìàòèêà

"ê îðìóëå ïðåäúÿâëÿþò ÷ðåçìåðíûå òðåáîâàíèÿ: ëèøü âíåøíå îíà îñòàåòñÿ íàãëÿäíîé è ââîäèò ïðè ýòîì â çàáëóæäåíèå, çàñòàâëÿÿ ïðåäïîëàãàòü íàëè÷èå òàêèõ çíàíèé, êîòîðûõ â äåéñòâèòåëüíîñòè íå ñóùåñòâóåò." Â.Õþêêåëü Îïèñûâàåìàÿ íàìè êîíñòðóêòèâíàÿ èçèêà îñíîâàíà íà êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòèêå. Ýòî òå÷åíèå â ìàòåìàòèêå õîðîøî èçâåñòíî, íî â ñèëó òðàäèöèé åùå íå òàê øèðîêî ïðåäñòàâëåíî â îáðàçîâàíèè. Äëÿ íàñ áóäåò ïðèíöèïèàëüíî âàæíûì õîòÿ áû áåãëî ïîçíàêîìèòüñÿ ñ îñíîâàìè êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòèêè, òàê êàê îíà ïðåäñòàâëÿåò íåîáõîäèìóþ óíäàìåíòàëüíóþ îñíîâó äëÿ ðàçâèâàåìûõ íàìè êîíñòðóêòèâíûõ ìåòîäîâ â òåîðåòè÷åñêîé èçèêå.

2.0.1 Îáçîð êîíñòðóêòèâèçìà Êîíñòðóêòèâíàÿ ìàòåìàòèêà ñîñòîèò èç: êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, òåîðèè àëãîðèòìîâ, êîíñòðóêòèâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, è êîíñòðóêòèâíîé àëãåáðû. Ïðè èçó÷åíèè êîíñòðóêòèâèçìà íàäî èìåòü â âèäó òî îá-

1

ñòîÿòåëüñòâî, ÷òî èçèêà è ìàòåìàòèêà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îäíó íàóêó.

Óæå

óïîìèíàâøèéñÿ ìíîé êðèçèñ ãèëüáåðòîâñêîé ïðîãðàììû àêñèîìàòèçàöèè ïîñëå òåîðåìû åäåëÿ ÿñíî óêàçàë íà êîíñòðóêòèâèçàöèþ êàê íà åäèíñòâåííûé âûõîä èç ýòîãî òóïèêà. Êîíñòðóêòèâèçàöèÿ îñíîâàíà íà óðåçàíèè îðìàëüíîãî àïïàðàòà òåîðèè äîêàçàòåëüñòâ. Ýòî óðåçàíèå ïîçâîëÿåò èçáåæàòü ðàññìîòðåíèÿ òàêîãî ïîíÿòèÿ, êàê àêòóàëüíàÿ áåñêîíå÷íîñòü, çàìåíèâ åãî ñîâåðøåííî êîíêðåòíûì àëãîðèòìîì, êîòîðûé øàã çà øàãîì âûäàåò çíà÷åíèÿ, ñòðåìÿùèåñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè â ñìûñëå îáû÷íîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Êîíñòðóêòèâèçàöèÿ îçíà÷àåò, ÷òî ìû çàìåíÿåì àáñòðàêòíûå îïåðàöèè ñ áåñêîíå÷íîñòÿìè (íàïðèìåð, ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ óíêöèé â ñìûñëå Êîøè - Âåéåðøòðàññà, îïÿòü 1 Ýòó

áåññïîðíóþ èñòèíó äàëåêî íå âñå ïîíèìàþò â îáîèõ ñòàíàõ. 37

38

ËÀÂÀ 2.

ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

òàêè ñîâåðøåííî êîíêðåòíûìè ìàíèïóëÿöèÿìè ñ àëãîðèòìàìè, âûäàþùèìè èõ ïðèáëèæåíèÿ. Òàêîé ïîâîðîò îçíà÷àåò, ÷òî àïïàðàò äåäóêöèè, áåçðàçäåëüíî ãîñïîäñòâîâàâøèé â êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêå, íåèçáåæíî òåðÿåò ÷àñòü ñâîåãî ïîëîæåíèÿ â ïîëüçó îáðàùåíèÿ ê îïûòó, òî åñòü ê èçè÷åñêîìó ýêñïåðèìåíòó. Ýòî ïðîÿâëÿåòñÿ â òîì, ÷òî ïîâåäåíèå àëãîðèòìà, â îòëè÷èå îò îðìóëû, íåëüçÿ ïðåäñêàçàòü. Ìû ìîæåì â îðìóëå, âûðàæàþùåé çíà÷åíèÿ íåêîòîðîé óíêöèè

f (t),

çàâèñÿùåé îò t, ïîäñòàâèòü

t = +∞, è ïîñìîòðåòü, ÷òî ïîëó÷èòñÿ. Íî ïðîäåëàòü ýòîò òðþê ñ àëãîðèòìîì óæå íå óäàñòñÿ. Äàæå åñëè íåêîòîðûé àëãîðèòì A øàã çà øàãîì âûäàåò ïîñëåäîâàòåëüíûå çíà÷åíèÿ ýòîé ñàìîé óíêöèè f , ìû, âîîáùå ãîâîðÿ, ïðèíöèïèàëüíî íå èìååì âîçìîæíîñòè ýòî äîêàçàòü, èìåÿ òîëüêî òåêñò îðìàëüíûõ êîìàíä ýòîãî àëãîðèòìà. È, ñîîòâåòñòâåííî, ìû íå ìîæåì ïðåäñêàçàòü àñèìïòîòè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ ýòîãî àëãîðèòìà. àáîòó àëãîðèòìà ìîæíî òîëüêî íàáëþäàòü, êàê ýòî äåëàåò ýêñïåðèìåíòàòîð â èçèêå. Îãðàíè÷åíèå ïðîöåäóðû ïðèìåíåíèÿ ìàòåìàòèêè ê ðåàëüíîñòè îðìàëüíûìè äîêàçàòåëüñòâàìè âåäåò â òóïèê ïî î÷åíü ÿñíîé ïðè÷èíå íåâîçìîæíîñòè ïîëíîé âåðèèêàöèè ðåçóëüòàòîâ. Âåðèèêàöèÿ, òî åñòü ïðîâåðêà ìàòåìàòè÷åñêîãî äîêàçàòåëüñòâà, ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ðàçâèòèÿ ñàìîé ìàòåìàòèêè. Îíà âîçìîæíà â ñëó÷àå, êîãäà åå ñëîæíîñòü ñóùåñòâåííî ìåíüøå ñëîæíîñòè ïîñòðîåíèÿ ñàìîãî äîêàçàòåëüñòâà.  ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêå âåðõíÿÿ ãðàíèöà ïî îáúåìó ðóêîïèñíûõ ñòðàíèö äëÿ òàêèõ äîêàçàòåëüñòâ ñîñòàâëÿåò, ïî-âèäèìîìó,

2

íåñêîëüêî ñîòåí ñòðàíèö.

Íî åñòü ïðèìåðû ðàáîò, ïðåâîñõîäÿùèõ äâå òûñÿ÷è

ñòðàíèö. Äëÿ âåðèèêàöèè (è ñàìîãî ïîñòðîåíèÿ) òàêèõ äîêàçàòåëüñòâ íåîáõîäèìî óæå èñïîëüçîâàòü êîìïüþòåðíûå ïðîãðàììû, ÷òî âûçûâàåò ðàñõîæäåíèå

3

âî ìíåíèÿõ â ñðåäå ñàìèõ ìàòåìàòèêîâ.

Áîëåå òîãî, âåðèèêàöèÿ èìååò ñìûñë òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè åå ñïîñîáíû âûïîëíèòü äîñòàòî÷íîå êîëè÷åñòâî ñïåöèàëèñòîâ.

4

Çäåñü, êàê è â ñòàòèñòè÷å-

ñêîé èçèêå (äà è â ñàìîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå), ÷òîáû ãîâîðèòü î íàäåæíîñòè, íàäî áûòü óâåðåííûì â - ïî êðàéíåé ìåðå ïîòåíöèàëüíîé - âîçìîæíîñòè ìíîãîêðàòíîãî âîñïðîèçâåäåíèÿ ýòîé ïðîöåäóðû. Ñëîæíûå äîêàçàòåëüñòâà ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè, ïî-âèäèìîìó, ïîäîøëè ê ãðàíèöàì òàêîé âîçìîæíîñòè. Íî çäåñü åñòü è äðóãîå î÷åíü âàæíîå îáñòîÿòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî êàê òàêîâîå âîçíèêëî â ìàòåìàòèêå êàê ñàìûé âåñêèé àðãóìåíò â íàó÷íûõ äèñêóññèÿõ, è åãî îñîáîå ìåñòî äî ñèõ ïîð ñâÿçàíî èìåííî ñ ýòèì. È çäåñü äèêòóåìûé ïðàêòèêîé âûáîð àêñèîì ÷àñòî áûâàåò âàæíåå ñîáñòâåííî ëîãè÷åñêîé íåïðîòèâîðå÷èâîñòè. Òåîðèÿ ìîæåò áûòü ïðîòèâîðå÷èâîé, íî, íåñìîòðÿ íà ýòî, î÷åíü óñïåøíîé. Âñå äåëî â òîì, êàêóþ äëèíó (ñëîæíîñòü) èìååò äîêàçàòåëüñòâî ïðîòèâîðå÷èÿ. Êîíå÷íî, íèêòî íå çàõî÷åò ïîëüçîâàòüñÿ òåîðèåé, â êîòîðîé óòâåð2 Ýòà

îöåíêà, êîíå÷íî, î÷åíü ãðóáà, îíà çàâèñèò îò êîíêðåòíîé ñèòóàöèè, è ÿ ïðèâîæó íåêîå ñðåäíåå çíà÷åíèå. 3 Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü èçâåñòíàÿ çàäà÷à î ÷åòûðåõ êðàñêàõ. 4 Ïðåäñòàâüòå ñåáå ñèòóàöèþ, êîãäà äîêàçàòåëüñòâî ïîíèìàþò òîëüêî äâîå: ñàì àâòîð è åãî áëèæàéøèé äðóã.

39 æäàåòñÿ, ÷òî

2 × 2 = 3.9999.

Íî åñëè òåîðèÿ îáëàäàåò íåñëîæíûìè àêñèîìàìè,

äàåò ïðîñòîå îáúÿñíåíèå è ïðåäñêàçàíèå ðåçóëüòàòîâ áîëüøîãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ îïûòîâ, à âûâîä ïðîòèâîðå÷èÿ â íåé çàíèìàåò, ñêàæåì, ïÿòü òûñÿ÷ ñòðàíèö æóðíàëüíîãî òåêñòà, òî îíà çàâîþåò ìàñññó ïîñëåäîâàòåëåé, äëÿ êîòîðûõ íå èíòåðåñíû îðìàëüíûå òåêñòû òàêîé äëèíû, íî î÷åíü âàæíû èìåííî ýòè îïûòû. Âñå óñïåøíûå èçè÷åñêèå òåîðèè èìåííî òàêîâû. Íî åñëè ðå÷ü èäåò î ñëîæíûõ ñèñòåìàõ â òîì ñìûñëå, êàêîé ìû äîãîâîðèëèñü â íèõ âêëàäûâàòü, òî âèçóàëüíàÿ äåìîíñòðàöèÿ - ïî ñóùåñòâó - ïðîâåðêà åå àêñèîì èìååò áîëüøóþ ðîëü, ÷åì îðìàëüíûé âûâîä ñëåäñòâèé âîîáùå. Èìåííî ïîýòîìó â åñòåñòâåííûõ íàóêàõ, èçó÷àþùèõ ñëîæíûå ñèñòåìû: õèìèè è áèîëîãèè, íå èñïîëüçóþòñÿ îðìàëüíûå äîêàçàòåëüñòâà. Ìû ìîæåì ñ äîñòàòî÷íîé óâåðåííîñòüþ óòâåðæäàòü, ÷òî äëÿ òàêèõ ñèñòåì èìåííî ñèñòåìà âèçóàëüíîé äåìîíñòðàöèè èõ ïîâåäåíèÿ áóäåò èãðàòü òó ðîëü, êîòîðóþ ñåé÷àñ èãðàåò â èçèêå ìàòåìàòè÷åñêîå äîêàçàòåëüñòâî. È ýòî áóäåò ãèãàíòñêèì øàãîì âïåðåä, ïî ñðàâíåíèþ ñ îïèñàòåëüíûì õàðàêòåðîì ýòèõ íàóê ñåé÷àñ. Êîíñòðóêòèâèçì êàê ðàç è óêàçûâàåò íàì ïóòü ê ïîñòðîåíèþ òàêèõ ñèñòåì âèçóàëüíîé äåìîíñòðàöèè - ñ ñîõðàíåíèåì òîãî óðîâíÿ ñòðîãîñòè, êîòîðûé ïðèíÿò â ìàòåìàòèêå. Ýòî ñëóæèò èñ÷åðïûâàþùèì îáîñíîâàíèåì çàêîííîãî ìåñòà êîíñòðóêòèâèçìà â ñîâðåìåííîé èçèêå, à òàêæå â ñèñòåìå åñòåñòâåííûõ íàóê. Êîíñòðóêòèâíàÿ ìàòåìàòèêà îñíîâàíà íå íà ïîíÿòèè ìíîæåñòâà, êàê îáûêíîâåííàÿ ìàòåìàòèêà, à íà ïîíÿòèè àëãîðèòìà. Îíà ïðèçíàåò çàêîííûì òîëüêî òå êîíñòðóêöèè, êîòîðûå ìîæíî õîòÿ áû â ïðèíöèïå ÿâíî îïèñàòü â âèäå ñïèñêà îïðåäåëåííûõ èíñòðóêöèé äëÿ íåêîåãî âû÷èñëåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, â êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòèêå íåò ïîíÿòèÿ àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè, à åñòü ïîíÿòèå ïîòåíöèàëüíîé îñóùåñòâèìîñòè, êîãäà, íàïðèìåð, ëåíòà ìàøèíû Òüþðèíãà ñ÷èòàåòñÿ áåñêîíå÷íîé â òîì ñìûñëå, ÷òî ìû âñåãäà èìååì âîçìîæíîñòü, â ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè, äîáàâèòü ê ýòîé (êîíå÷íîé) ëåíòå äîïîëíèòåëüíûå ÿ÷åéêè, ïî îäíîé, ñïðàâà. Àëãîðèòìèçàöèÿ èçèêè îïèðàåòñÿ íà ìàòåìàòè÷åñêèé êîíñòðóêòèâèçì â öåëîì, èç êîòîðîãî äëÿ êîíñòðóêòèâíîé èíòåðïðåòàöèè òåîðåòè÷åñêîé èçèêè ñàìûì ñóùåñòâåííûì çâåíîì áóäåò êîíñòðóêòèâíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, îïèñûâåìûé äàëåå. àáî÷èì èíñòðóìåíòîì êîíñòðóêòèâèçìà ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå àëãîðèòìà, ââåäåííîå Òüþðèíãîì, Ïîñòîì è Ìàðêîâûì ìëàäøèì. Îíî ïðèäàëî êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòèêå çàêîí÷åííóþ îðìó, ïðàêòè÷åñêè ãîäíóþ äëÿ âûïîëíåíèÿ òîé ðîëè, êîòîðóþ èãðàåò ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò â èçèêå. ß íå áóäó çäåñü îïèñûâàòü èñòîðèþ ìàòåìàòè÷åñêîãî êîíñòðóêòèâèçìà, ïîëíóþ åãî áîðüáû ñ òðàäèöèîííîé ìàòåìàòèêîé çà ïðàâî íà ñóùåñòâîâàíèå. Óïîìÿíó òîëüêî äèñêóññèþ èëüáåðòà ñ Êðîíåêåðîì, â êîòîðîé ïîñëåäíèé îòñòàèâàë èäåè êîíñòðóêòèâèçìà åùå äî ïîÿâëåíèÿ ñòðîãî îïðåäåëåíèÿ àëãîðèòìà. Ñ òåõ ïîð ìàòåìàòè÷åñêèé êîíñòðóêòèâèçì îáðåë áåññïîðíîå ïðàâî ãðàæäàíñòâà è äàâíî ñòàë ÷àñòüþ ìàòåìàòèêè. Ìû æå ïîçíàêîìèìñÿ ñ íèì, èìåÿ â âèäó ñîâåðøåííî îïðåäåëåííóþ öåëü - êîíñòðóêòèâèçàöèþ èçèêè.  íàñòîÿùåå âðåìÿ â íåé ãîñïîäñòâóåò êëàññè÷åñêàÿ ìàòåìàòèêà, ÷òî ïðèâîäèò ê ìíîãî÷èñëåí-

40

ËÀÂÀ 2.

ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

íûì íåñòûêîâêàì è âûíóæäåííîìó "çàìåòàíèþ ìóñîðà ïîä êîâåð". ëàâíîå â òîì, ÷òî êëàññè÷åñêàÿ ìàòåìàòèêà íå â ñîñòîÿíèè îòêðûòü äîðîãó ê ïîíèìàíèþ ñëîæíûõ ÿâëåíèé. Ìàòåìàòè÷åñêèé êîíñòðóêòèâèçì íå ïðîñòî ñëóæèò çàìåíîé ñòàíäàðòíîìó îðìàëüíîìó àïïàðàòó. Îí ñîäåðæèò â ñåáå íå÷òî ïðèíöèïèàëüíî íîâîå ïî ñðàâíåíèþ ñî ñòàíäàðòíîé ìàòåìàòèêîé, è ýòî ïðîÿâëÿåòñÿ óæå íà óðîâíå êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè. Ýòî íîâîå - óíäàìåíòàëüíàÿ èäåÿ ïëþðàëèçìà, èëè ìíîæåñòâåííîñòè èñòèííîñòíûõ îöåíîê, âûòåêàþùàÿ èç èíòóèöèîíèñòñêîé ëîãèêè. Èäåÿ ëîãè÷åñêîãî ïëþðàëèçìà ñîâåðøåííî ñõîäíà ñ òàê íàçûâàåìîé ìíîãîìèðîâîé èíòåðïðåòàöèåé êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Ýòà ïàðàëëåëü èìååò äàëåêî èäóùèå ñëåäñòâèÿ, ïîêà åùå ñîâåðøåííî íå îñîçíàííûå èçèêàìè. Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî èñòîðè÷åñêè êîíñòðóêòèâíàÿ ìàòåìàòèêà âîçíèêëà êàê îòâåò íà æåñòîêèé êðèçèñ, êîòîðûé áûë âûçâàí êðóøåíèåì çíàìåíèòîé ïðîãðàììû Äàâèäà èëüáåðòà. Ýòîò êðèçèñ íà÷àë îñîçíàâàòüñÿ îäíîâðåìåííî ñ ïîíèìàíèåì èñòèííîé ñóòè òåîðåìû åäåëÿ î äîêàçàòåëüñòâàõ íåïðîòèâîðå÷èâîñòè. Ïîä âîïðîñ àêòè÷åñêè áûëà ïîñòàâëåíà íàäåæíîñòü ìàòåìàòèêè êàê òàêîâîé. Êðîíåêåð è Áðàóýð ïðåäëîæèëè ðàäèêàëüíîå ñðåäñòâî ñïàñåíèÿ: èíòóèöèîíèçì, èëè êîíñòðóêòèâíóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó. Âàæíåéøèì âûâîäîì, êîòîðûé ìû äîëæíû ñäåëàòü èç äàâíèõ äèñêóññèé îñíîâàòåëåé êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòèêè: Êðîíåêåðà, Áðàóýðà, Êëèíè, Òüþðèíãà, Ìàðêîâà ìëàäøåãî è äð. ñ òðàäèöèîíàëèñòàìè, ìîæíî ñîðìóëèðîâàòü ïðîñòî. ëàâíûì àðáèòðîì, âûÿâëÿþùèì íàèáîëåå ïðàâèëüíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò, ìîæåò áûòü òîëüêî íåïîñðåäñòâåííûé îïûò, òî åñòü ðîëü àðáèòðà àêòè÷åñêè ïðèíàäëåæèò èçèêå. Ñîâðåìåííîå ðàçâèòèå êâàíòîâîé òåîðèè âñòóïèëî â îñîáóþ îáëàñòü, êîòîðóþ ìîæíî íàçâàòü çîíîé êîíëèêòà ñ åå ìàòåìàòè÷åñêèì àïïàðàòîì. Îí çàêëþ÷àåòñÿ â íåèçáåæíîñòè âûáîðà: ëèáî äîëæíî áûòü ïåðåñìîòðåíî ïîíÿòèå ýåêòèâíîãî êëàññè÷åñêîãî àëãîðèòìà, ëèáî ìîäèèöèðîâàí îðìàëèçì òåîðåòè÷åñêîé èçèêè. Âûðàæåíèåì ýòîãî êîíëèêòà ÿâëÿåòñÿ ïðîåêò ìàñøòàáèðóåìîãî êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà. Äîêàçàííîå îòñóòñòâèå ïðèíöèïèàëüíîãî çàïðåòà íà åãî ñóùåñòâîâàíèå ([55℄) îçíà÷àåò, ÷òî ëèáî òàêîé êâàíòîâûé êîìïüþòåð äîëæåí áûòü ñîçäàí, ëèáî íåèçáåæíîñòüþ ñòàíåò çàìåíà ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà êâàíòîâîé òåîðèè. Ôóíäàìåíòàëüíîñòü êâàíòîâîé òåîðèè äàåò îñíîâàíèÿ ãîâîðèòü î ïåðåñìîòðå ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà òåîðåòè÷åñêîé èçèêè â öåëîì â òîì ñëó÷àå, åñëè ýêñïåðèìåíòû â îáëàñòè êâàíòîâîãî êîìïüþòèíãà íå äàäóò íàì óáåäèòåëüíûõ ñâèäåòåëüñòâ â ïîëüçó ïåðâîé ãèïîòåçû. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìàòåìàòè÷åñêèé êîíñòðóêòèâèçì, âêëþ÷àþùèé êîíñòðóêòèâíûå âåðñèè ëîãèêè, àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, íåïîëîí.  íåì îòñóòñòâóåò ñàìîå ãëàâíîå çâåíî: êîíñòðóêòèâíàÿ èçèêà. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïåðåñòðîéêà êâàíòîâîé òåîðèè íå âûòåêàåò îäíîçíà÷íî èç òîãî àïïàðàòà êîíñòðóêòèâèçìà, êîòîðûé ìû ñîáèðàåìñÿ èçó÷èòü. Ýòîò àïïàðàò âñåãî ëèøü çàäàåò ñàìûå îáùèå ïîíÿòèÿ äëÿ òðåáóåìîé ïåðåñòðîéêè: àëãîðèòìû, êîíñòðóêòèâíûå óíêöèè, êîíñòðóêòèâíûå àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû.  òî âðåìÿ êàê îò èçè÷å-

2.1.

41

ÀË ÎÈÒÌÛ È ÂÛ×ÈÑËÈÌÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ

ñêîé òåîðèè òðåáóþòñÿ òî÷íûå ÷èñëåííûå ïðåäñêàçàíèÿ. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ èçè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ íàäî ðàçâèòü ïðèêëàäíîé àïïàðàò êîíñòðóêòèâèçìà, òî åñòü ïîñòðîèòü êîíêðåòíûå àëãîðèòìû, ðàáîòà êîòîðûõ è äàñò â èòîãå ÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû. Êàê ÿ óæå óïîìèíàë, ýòî íå ìîæåò áûòü ïðîäåìîíñòðèðîâàíî â êíèãå, â îòëè÷èå îò ñèòóàöèè â ñòàíäàðòíîé èçèêå, ãäå ÷èòàòåëü ìîæåò ïðîâåðèòü âñå âûêëàäêè è ñâåðèòü ðàñ÷åòû ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè. Ïîýòîìó ÿ è íå ñòàâëþ çäåñü ïîäîáíîé çàäà÷è, - ýòî äåëî ñïåöèàëüíûõ ðàáîò. Ìîÿ öåëü - ïîêàçàòü ïîëíóþ ëåãèòèìíîñòü èçè÷åñêîãî êîíñòðóêòèâèçìà, è ðåàëüíîñòü åãî îñóùåñòâëåíèÿ. Èìåííî òàê íàäî òðàêòîâàòü èçëàãàåìûå íèæå ïîäõîäû ê êîíñòðóêòèâèçàöèè, âêëþ÷àÿ òàê íàçûâàåìûå ýâðèñòèêè êîíñòðóêòèâíîé èçèêè.

2.1

Àëãîðèòìû è âû÷èñëèìûå óíêöèè

Ìû äàäèì êðàòêèé îáçîð îñíîâíûõ ïîíÿòèé è ðåçóëüòàòîâ òåîðèè êëàññè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ, íåîáõîäèìûõ äëÿ ïîíèìàíèÿ äàëüíåéøåãî. ëàâíûì èíñòðóìåíòîì êîíñòðóêòèâèçìà ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå àëãîðèòìà. Åãî ãëàâíûé èçè÷åñêèé ñìûñë ñîñòîèò â òîì, ÷òî

Ëþáàÿ ðåàëüíàÿ ýâîëþöèÿ èçè÷åñêîé ñèñòåìû âî âðåìåíè çàäàåòñÿ íåêîòîðûì àëãîðèòìîì. Èìåííî â ðàçâèòèè ýòîãî ãëàâíîãî òåçèñà çàêëþ÷àåòñÿ êîíñòðóêòèâèçàöèÿ èçèêè. Àëãîðèòìû ïðèìåíÿëèñü â ìàòåìàòèêå ñ íåçàïàìÿòíûõ âðåìåí áåç âñÿêîãî îïðåäåëåíèÿ. Òàêîå îïðåäåëåíèå àêòè÷åñêè ïîíàäîáèëîñü ëèøü òîãäà, êîãäà ñòàëî íóæíî äîêàçûâàòü, ÷òî íåêèé àëãîðèòì íå ñóùåñòâóåò. Îäíàêî îðìàëüíîå îïðåäåëåíèå àëãîðèòìà ïîñëå ïîÿâëåíèÿ êîìïüþòåðîâ íàïîëíèëîñü íîâûì ñìûñëîì, òàê êàê âîçíèêëà íåîáõîäèìîñòü èìåòü ÿçûê îïèñàíèÿ àëãîðèòìîâ, íàèáîëåå óäîáíûé äëÿ èõ ïðàêòè÷åñêîãî ñîçäàíèÿ è ðåàëèçàöèè. Òàêàÿ ðàáîòà îáû÷íî äåëàåòñÿ ïðîãðàììèñòàìè, ñîçäàþùèìè ñâîè ïðîãðàììû íà ðàçëè÷íûõ ÿçûêàõ ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Äëÿ íàñ îðìàëüíûå îïèñàíèÿ àëãîðèòìîâ áóäóò âàæíû è ïî äðóãîé ïðè÷èíå. Òàêîå îïèñàíèå ñîäåðæèò î÷åíü âàæíûå äåòàëè, ïîçâîëÿþùèå ïðèäàâàòü èì ÷åðòû óíèâåðñàëüíîñòè, òî åñòü ïðèìåíÿòü îäèí è òîò æå àëãîðèòì èëè åãî ÷àñòü äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ðàçëè÷íûõ ÿâëåíèé.  îïèñàíèè àëãîðèòìîâ ñîäåðæàòñÿ àêòè÷åñêèå óêàçàíèÿ íà ìåõàíèçìû èçè÷åñêèõ çàêîíîâ. Ýòè ìåõàíèçìû, ñîäåðæàùèåñÿ â àäìèíèñòðàòèâíîé ÷àñòè, íå

5

ñîäåðæàòñÿ ÿâíî â èëüìå, è ïîòîìó íå âèäíû ïîëüçîâàòåëþ ìîäåëè.

Îäíàêî

èõ ðîëü î÷åíü âàæíà, òàê êàê èìåííî îíè îïðåäåëÿþò êîíêðåòíûé ñïîñîá ðåàëèçàöèè ðàññìàòðèâàåìûõ íàìè îáùèõ ïîëîæåíèé, è, òàêèì îáðàçîì, êà÷åñòâî ìîäåëåé äèíàìèêè. Èçâåñòíî íåñêîëüêî îðìàëèçàöèé àëãîðèòìîâ, èç êîòîðûõ ìû ðàññìîòðèì òîëüêî äâà: ìàøèíû Òüþðèíãà è êëåòî÷íûå àâòîìàòû.

Ìàøèíû Òüþðèíãà 5 ßâíîå

îïèñàíèå ýòèõ ìåõàíèçìîâ íàçûâàåòñÿ êîíñòðóêòèâíîé ýâðèñòèêîé.

42

ËÀÂÀ 2.

ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

Ìàøèíà Òüþðèíãà ñîñòîèò èç âõîäíîé ëåíòû, ãîëîâêè, èè íàáîðà êîìàíä. Âõîäíàÿ ëåíòà (ìîæíî ñ÷èòàòü åå îãðàíè÷åííîé, íàïðèìåð, ñëåâà, íî ýòî íå îãðàíè÷èâàåò îáùíîñòè) ñîñòîèò èç ÿ÷ååê, â êàæäîé èç êîòîðûõ çàïèñàíà îäíà èç áóêâ ñïåöèàëüíîãî âõîäíîãî àëàâèòà

a0 , a1 , . . . , an , ïåðâàÿ èç êîòîðûõ ñ÷èòà-

åòñÿ ïðîáåëîì. Ëåíòà ïîòåíöèàëüíî áåñêîíå÷íà, òî åñòü ê íåé ìîæíî äîáàâëÿòü, â ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè, ëþáîå êîëè÷åñòâî äîïîëíèòåëüíûõ ÿ÷ååê, â êîòîðûõ ñòîèò çíàê ïðîáåëà. îëîâêà ìîæåò îáîçðåâàòü ðîâíî îäíó ÿ÷åéêó ëåíòû è íàõîäèòüñÿ â îäíîì èç ñîñòîÿíèé ãîëîâêè

q0 , q1 , . . . , qk , ïåðâîå

èç êîòîðûõ ñ÷èòàåòñÿ

íà÷àëüíûì, à ïîñëåäíåå - çàêëþ÷èòåëüíûì. Ñîñòîÿíèåì ìàøèíû Òüþðèíãà íà-

6

çûâàåòñÿ âñå ñîäåðæèìîå åå ëåíòû, à òàêæå ñîñòîÿíèå è ïîëîæåíèå åå ãîëîâêè . Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî òàêèå ñîñòîÿíèÿ, â êîòîðûõ âñÿ ëåíòà íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ìåñòà, çàïîëíåíà îäíèìè ïðîáåëàìè. Ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñîñòîÿíèå ìàøèíû Òüþðèíãà ìîæíî çàêîäèðîâàòü êîíå÷íûì êîðòåæåì èç íóëåé è åäèíèö. Åñëè

x

åñòü ñëîâî âî âõîäíîì àëàâèòå, íå ñîäåðæàùåå ïðîáåëîâ, òî ïîä

íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì ìàøèíû êîòîðîì ñëîâî

x

S0 (x)

ìû áóäåì ïîíèìàòü òàêîå ñîñòîÿíèå, â

çàïèñàíî íà ëåíòå, íà÷èíàÿ ñî âòîðîé ÿ÷åéêè, â ïåðâîé ñòîèò

ïðîáåë, è çà ñëîâîì

x

èäóò îäíè ïðîáåëû, à ãîëîâêà îáîçðåâàåò ïåðâóþ ÿ÷åéêó

ëåíòû è íàõîäèòñÿ âñîñòîÿíèè íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè

qk ,

ìû

q0 . Åñëè âûïîëíåíû âñå ýòè ñâîéñòâà, íî ãîëîâêà îáîçíà÷àåì òàêîå ñîñòîÿíèå Sf in (x) è íàçûâàåì

åãî çàêëþ÷èòåëüíûì. Êîìàíäû äëÿ ìàøèíû Òüþðèíãà - ýòî ñòðîêè âèäà

aj , qi −→ aJ , qI , (R, L, ∅), j, J = 0, 1, 2, . . . , n; i, I = 0, 1, 2, . . . , k , à ïîñëåäíèì ñòîèò R, L, ∅ íàáîðà ñïåöñèìâîëîâ, îçíà÷àþùèõ ïîñëåäîâàòåëüíî:

ãäå

(2.1) îäèí èç ñèìâîëîâ ñäâèã ãîëîâêè íà

ÿ÷åéêó âïðàâî, ñäâèã ãîëîâêè íà ÿ÷åéêó âëåâî è îñòàâëåíèå ãîëîâêè íà ìåñòå.

aJ , ãîëîâêó ïåðåâåqI , è ñäâèíóòü åå â ñîîòâåòñòâèè ñî ñïåöñèìâîëîì. Íàáîð ïðàâèë

Òàêàÿ êîìàíäà îçíà÷àåò: íàïèñàòü â äàííîé ÿ÷åéêå ñèìâîë ñòè â ñîñòîÿíèå

íàçûâàåòñÿ ïðîãðàììîé. Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîãðàììà òîæå âõîäèò â ìàøèíó Òüþðèíãà. Ìû òðåáóåì, ÷òîáû ëþáîå ñî÷åòàíèå íîìåðîâ

j, i,

âõîäÿùèõ

â óêàçàííûå äèàïàçîíû, âñòðå÷àëîñü â îäíîì èç êîìàíä ìàøèíû Òüþðèíãà. Åñëè ïî

j, i

â ïðîãðàììå îäíîçíà÷íî íàõîäèòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîìàíäà, ìû

íàçîâåì òàêóþ ìàøèíó äåòåðìèíèðîâàííîé, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå - íåäåòåðìèíèðîâàííîé. Âû÷èñëåíèå íà ìàøèíå Òüþðèíãà åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîñòîÿíèé âèäà

S 0 , S 1 , . . . , ST ãäå

S0 = S0 (x)

ñðåäè

ST = Sf in (y) äëÿ íåêîòîðûõ ñëîâ x, y â àëàâèòå a1 , a2 , . . . , an , ñîñòîÿíèé ãîëîâêè â S0 , S1 , . . . , ST −1 íåò çàêëþ÷èòåëüíîãî, è êàæäûé ïå-

6 îëîâîê

è

ìîæåò áûòü íåñêîëüêî, ëåíòà ìîæåò áûòü áåñêîíå÷íîé ñ îáîèõ êîíöîâ è ò.ï. - âñå ýòè äåòàëè íå èãðàþò ñóùåñìòâåííîé ðîëè. Ìû óòî÷íÿåì èõ òîëüêî ðàäè îïðåäåëåííîñòè.

2.2.

43

ÒÅÇÈÑ ÒÜÞÈÍ À-×Å×À-ÌÀÊÎÂÀ

ðåõîä

Sj −→ Sj+1

â ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äåëàåòñÿ ïî îäíîé èç êîìàíä ïðî-

ãðàììû äàííîé ìàøèíû Òüðèíãà. Åñëè äëÿ âñåõ òàêèõ ñëîâ ðàâåíñòâî

y = f (x),

ãäå

f

x, y

âûïîëíÿåòñÿ

- íåêîòîðàÿ, âîîáùå ãîâîðÿ íå âñþäó îïðåäåëåííàÿ

ñëîâàðíàÿ óíêöèÿ, ìû ãîâîðèì, ÷òî äàííàÿ ìàøèíà Òüðèíãà âû÷èñëÿåò óíêöèþ

f . Åñëè ÷åðåç T îáîçíà÷èòü äàííóþ ìàøèíó Òüþðèíãà, òî f ìû îáîçíà÷àåì fT . Åñëè ïðè ýòîì f ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé óíêöèåé íåêîòîðîãî

÷åðåç

ìíîæåñòâà ñëîâ, ìû ñêàæåì, ÷òî ìàøèíà Òüþðèíãà âû÷èñëÿåò äàííîå ìíîæåñòâî. Âû÷èñëèòü äàííîå ìíîæåñòâî îçíà÷àåò èìåòü àëãîðèòì, êîòîðûé ïî ëþáîìó ñëîâó îïðåäåëÿåò, ïðèíàäëåæèò îíî äàííîìó ìíîæåñòâó èëè íåò. Ôóíêöèè, êîòîðûå âû÷èñëÿåò êàêàÿ íèáóäü ìàøèíà Òüþðèíãà, íàçûâàþòñÿ âû÷èñëèìûìè. Ìû ñêàæåì, ÷òî ìàøèíà Òüþðèíãà ïåðå÷èñëÿåò íåêîòîðîå ñëîâàðíîå ìíîæåñòâî

A,

åñëè

A

ÿâëÿåòñÿ îáðàçîì ìíîæåñòâà âñåõ ñëîâ ïðè îòîáðàæåíèè

f.

Èíûìè ñëîâàìè, ïåðå÷èñëèìîå ìíîæåñòâî åñòü ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âèäà

f (W1 ), f (W2), . . .

ãäå

W1 , W2 , . . .

åñòü ìíîæåñòâî âñåõ ñëîâ âî

âõîäíîì àëàâèòå áåç ïðîáåëà, ïåðå÷èñëåííîå â ëåêñèêîãðàè÷åñêîì ïîðÿäêå. Ïîíÿòíî, ÷òî ëþáîå âû÷èñëèìîå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ òàêæå è ïåðå÷èñëèìûì. Îáðàòíîå íåâåðíî. àññìîòðèì, íàïðèìåð, ìíîæåñòâî ïàð âèäà (êîä ìàøèíû Òüþðèíãà

T,

ñëîâî

x),

òàêèõ ÷òî

T

ïðèìåíèìà ê

x,

òî åñòü

x ∈ Dom fT .

Ýòî ìíîæåñòâî áóäåò ïåðå÷èñëèìûì, òàê êàê âñå òàêèå ïàðû ìîæíî ïåðå÷èñ-

x ïî øàãàì. Íî âû÷èñëèìûì ýòî ìíîæåñòâî íå áóäåò. Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî îíî âû÷èñëèìî. Áóäåì ÷åðåç [T ] îáîçíà÷àòü êîíå÷íûé äâîè÷íûé êîðòåæ, êîäèðóþùèé ìàøèíó Òüðèíãà T . Ïîñêîëüêó ÷èñëî ëèòü, ïðîñòî ïðèìåíÿÿ

T

ê

êîìàíä â íåé êîíå÷íî, òàêîé êîä âñåãäà ñóùåñòâóåò. Òîãäà ñóùåñòâóåò ìàøèíà T ′ , êîòîðàÿ ïî ïàðå [T ], x îïðåäåëÿåò, ïðèìåíèìà ëè T ê x èëè íåò. Íî òîãäà ìû ìîæåì ïîñòðîèòü òàêóþ ìàøèíó Òüþðèíãà

[T ]

òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

øèíû

T0

T

T0 ,

÷òî îíà ïðèìåíèìà ê ÷èñëó

íå ïðèìåíèìà ê

[T ].

Ïîñòðîåíèå òàêîé ìà-

ÿâëÿåòñÿ ðóòèííîé ïðîöåäóðîé, èñïîëüçóþùåé íàøå ïðåäïîëîæåíèå T ′ . Òåïåðü, ïîñìîòðèì, ïèðìåíèìà ëè T0 ê ñâîåìó

î ñóùåñòâîâàíèè ìàøèíû ñîáñòâåííîìó êîäó

[T0 ]. Èç åå

îïðåäåëåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî ëþáîé âûáîð çäåñü âå-

äåò ê ïðîòèâîðå÷èþ. Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè íåðàçðåøèìîñòü ïðîáëåìû ïðèìåíèìîñòè: íå ñóùåñòâóåò ìàøèíû Òüþðèíãà, îïðåäåëÿþùåé ïðèìåíèìîñòü ëþáîé äðóãîé ìàøèíû ê çàäàííîìó ñëîâó.

2.2

7

Òåçèñ Òüþðèíãà-×åð÷à-Ìàðêîâà

Ìàøèíà Òüþðèíãà ÿâëÿåòñÿ îðìàëèçàöèåé ïîíÿòèÿ àëãîðèòìà. Åñëè íåìíîãî ïîòðåíèðîâàòüñÿ, ìîæíî îáíàðóæèòü, ÷òî ëþáàÿ óíêöèÿ, âû÷èñëèìàÿ â íàèâ7 Ýòîò

ìåòîä íàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüíûì ìåòîäîì Êàíòîðà. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåñóùåñòâîâàíèÿ íåêîòîðîé ìàøèíû Òüþðèíãà, ðàâíî êàê è äëÿ ïîëó÷åíèÿ íèæíèõ îöåíîê â òåîðèè ñëîæíîñòè âû÷èñëåíèé åñòü äâà îñíîâíûõ ìåòîäà: äèàãîíàëüíûé ìåòîä Êàíòîðà, è èñïîëüçîâàíèå ïðèíöèïà Äèðèõëå.

44

ËÀÂÀ 2.

ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

íîì ïîíèìàíèè ýòãî ñëîâà, òî åñòü äëÿ êîòîðîé ñóùåñòâóåò íåêîòîðûé òî÷íûé ðåöåïò, êàê èç çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà ïîëó÷àòü çíà÷åíèå ñàìîé óíêöèè, ÿâëÿåòñÿ âû÷èñëèìîé â ñìûñëå ìàøèí Òüþðèíãà (ñì. [3℄, [3℄, [28℄, [?℄, [52℄). Îäíàêî ïðîãðàììèðîâàíèå íà ìàøèíàõ Òüþðèíãà íå ÿâëÿåòñÿ óäîáíûì ñïîñîáîì ñîçäàíèÿ ïðîãðàìì. Ïðè÷èíà ýòîãî â òîì, ÷òî óñòðîéñòâî ðåàëüíûõ êîìïüþòåðîâ äàëåêî îò àáñòðàêòíîé ñõåìû ñ ëåíòîé è ãîëîâêîé. Ñóùåñòâóåò ìíîãî äðóãèõ ñïîñîáîâ îðìàëèçàöèè ïîíÿòèÿ àëãîðèòìà. àññìîòðèì äâà èç íèõ: íîðìàëüíûå àëãîðèòìû Ìàðêîâà è êëåòî÷íûå àâòîìàòû.

Íîðìàëüíûå àëãîðèòìû Ìàðêîâà Îíè îòëè÷àþòñÿ îò ìàøèí Òüþðèíãà òåì, ÷òî âìåñòî ëåíòû ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîñòî ñëîâî

A

âî âõîäíîì àëàâèòå áåç ïðîáåëîâ. îëîâêè íåò, à êîìàíäû ′ ′ èìåþò âèä ïîäñòàíîâîê x −→ x , ãäå x, x åñòü ñëîâà âî âõîäíîì àëàâèòå áåç

ïðîáåëîâ. Íà øàãå ðàáîòû íîðìàëüíîãî àëãîðèòìà ïðèìåíÿåòñÿ òà èç ïîäñòàíîâîê, äëÿ êîòîðîé ïåðâîå âõîæäåíèå ñëîâà

x

â òåêóùåå ñëîâî

A

ñòîèò ñàìûì

ïåðâûì, è ïîäñòàíîâêà ïðèìåíÿåòñÿ èìåííî ê ñàìîìó ïåðâîìó ñëåâà âõîæäåíèþ

x.

Îïðåäåëåíèå âû÷èñëåíèÿ äàåòñÿ òàê æå êàê è äëÿ ìàøèí Òüþðèíãà,

ïðè óñëîâèè ÷òî ìû âûäåëÿåì êàêóþ òî ñïåöèàëüíóþ áóêâó âî âõîäíîì àëàâèòå, èãðóþùóþ ñèãíàëüíóþ ðîëü äëÿ êîíöà âû÷èñëåíèÿ. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî âû÷èñëèìîñòü â ñìûñëå ìàøèí Òüþðèíãà áóäåò ýêâèâàëåíòíà âû÷èñëèìîñòè â ñìûñëå íîðìàëüíûõ àëãîðèòìîâ Ìàðêîâà, ïîñêîëüêó ïîëîæåíèå ãîëîâêè â ìàøèíå Òüþðèíãà ìîæíî ëåãêî çàêîäèðîâàòü, èñïîëüçóÿ ñïåöèàëüíûå ñèãíàëüíûå áóêâû. àçóìååòñÿ, ïðè ýòîì íàäî ñóçèòü (èëè ðàñøèðèòü) âõîäíîé àëàâèò, òàê ÷òî äëÿ ðàáîòû ñî ñëîâàìè íàäî îáÿçàòåëüíî èìåòü íåêîòîðûå ñïåöèàëüíûå ñèìâîëû, íå âõîäÿùèå â íàáîð çíà÷àùèõ, òî åñòü íå âñòðå÷àþùèõñÿ â ñëîâàõ è

x

y. Êëåòî÷íûå àâòîìàòû Êëåòî÷íûå àâòîìàòû äàþò äðóãóþ îðìàëèçàöèþ àëãîðèòìîâ. Êëåòî÷íûé

àâòîìàò, êàê è ìàøèíà Òüþðèíãà, èìååò ëåíòó â êëåòêàõ êîòîðîé ñòîÿò áóêâû

j ÿ÷åéêè â ëþáîé ìîìåíò t ÿâëÿåòñÿ óíêöèåé îò åå ñîäåðæèîìãî è ñîäåðæèìîãî ñîñåäíèõ ÿ÷ååê â ìîìåíò âðåìåíè t−1: aj (t) = F (aj−1 (t−1), aj (t−1), aj+1 (t−1)). Òàê îïðåäåëÿåò-

âõîäíîãî àëàâèòà. îëîâêè íåò. Ñîäåðæèìîå êàæäîé âðåìåíè

ñÿ ýâîëþöèÿ êëåòî÷íîãî àâòîìàòà. Êîíåö âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ òàê æå êàê è â ñëó÷àå íîðìàëüíûõ àëãîðèòìîâ, ïîÿâëåíèåì ñèãíàëüíîé áóêâû. àñøèðÿÿ âõîäíîé àëàâèò, ìû ìîæåì çàêîäèðîâàòü â ñîñòîÿíèÿõ êëåòî÷íîãî àâòîìàòà ïîëîæåíèå âîîáðàæàåìîé ãîëîâêè ìàøèíû Òüþðèíãà. Ïîýòîìó íà êëåòî÷íîì àâòîìàòå ìîæíî ìîäåëèðîâàòü ðàáîòó ìàøèíû Òüþðèíãà ñ ñîõðàíåíèåì âðåìåíè. Îáðàòíîå ìîäåëèðîâàíèå òàêæå îñóùåñòâëÿåòñÿ, íî ñ êâàäðàòè÷íûì çàìåäëåíèåì: ãîëîâêà ìàøèíû Òüþðèíãà äîëæíà ïðîéòè âñþ äëèíó ëåíòû äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðîäåëàòü âñþ ðàáîòó, ñîâåðøàåìóþ çà îäèí øàã êëåòî÷íîãî àâòîìàòà.  îòëè÷èå îò íîðìàëüíûõ àëãîðèòìîâ, êîòîðûå ìîäåëèðóþòñÿ ìàøèíàìè Òüþðèíãà (è íàîáîðîò) òîëüêî ñ ëèíåéíûì çàìåäëåíèåì, êëåòî÷íûå àâòîìàòû ìîäåëèðóþòñÿ ìàøèíàìè Òüþðèíãà ñ êâàäðàòè÷íûì çàìåäëåíèåì: åñëè

T

- âðåìÿ ðàáîòû êëåòî÷íîãî àâòîìàòà, òî âðåìåíåì ðàáîòû ìîäåëèðóþùåé åãî

2.2.

45

ÒÅÇÈÑ ÒÜÞÈÍ À-×Å×À-ÌÀÊÎÂÀ

ìàøèíû Òüþðèíãà áóäåò

T 2.

Êëåòî÷íûå àâòîìàòû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü íà

ëþáîì äèñêðåòíîì ìíîãîîáðàçèè, â êîòîðîì íàäëåæàùèì îáðàçîì îïðåäåëåíî ïîíÿòèå ñîñåäñòâà êëåòîê.  ëþáîì ñëó÷àå óíêöèÿ, âû÷èñëèìàÿ â îäíîé èç ìîäåëåé àëãîðèòìîâ, áóäåò âû÷èñëèìîé òàêæå è ëþáîé äðóãîé ìîäåëè. Ýòîò àêò âåðåí è äëÿ ëþáûõ äðóãèõ èçâåñòíûõ ìîäåëåé àëãîðèòìîâ: ìàøèí Ïîñòà, àëãîðèòìîâ Êîëìîãîðîâà - Óñïåíñêîãî, êâàíòîâûõ êîìïüþòåðîâ, è ò.ä. Åñëè ñîðìóëèðîâàòü ýòî óòâåðæäåíèå òàêæå è äëÿ âñåõ ìîäåëåé àëãîðèòìîâ, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïîñòðîåíû â áóäóùåì, ïîëó÷èòñÿ ìåòàìàòåìàòè÷åñêèé ïðèíöèï, íàçûâàåìûé òåçèñîì Òüþðèíãà - ×åð÷à-Ìàðêîâà: Ïîíÿòèå àëãîðèòìà è âû÷èñëèìûõ óíêöèé åäèíî, è íå çàâèñèò îò ñïîñîáà îðìàëèçàöèè. Òåì íå ìåíåå, ðàçëè÷íûå ìîäåëè àëãîðèòìîâ èìåþò ñâîè îñîáåííîñòè, êîòîðûå êàñàþòñÿ ñëîæíîñòè âû÷èñëåíèé. Ìû áóäåì â äàëüíåéøåì íàçûâàòü êîíêðåòíóþ îðìàëèçàöèþ àëãîðèòìîâ âû÷èñëèòåëüíîé ìàøèíîé, ïîñêîëüêó íàñ, â êîíå÷íîì ñ÷åòå, áóäåò èíòåðåñîâàòü èçè÷åñêèé àñïåêò ðàáîòû àëãîðèòìîâ. Ïîä ýòèì óãëîì çðåíèÿ ìû è áóäåì ðàññìàòðèâàòü òå àñïåêòû àëãîðèòìîâ, êîòîðûå îðìàëüíî ÿâëÿþòñÿ ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêèìè. Ïóñòü ó íàñ åñòü íåêîòîðîå âõîäíîå ñëîâî ëåíèå â êàêîé-òî ìîäåëè àëãîðèòìîâ. Òîãäà ðàáîòû äàííîãî àëãîðèòìà

M

íàä ñëîâîì

x,

x è S0 (x), S1 , . . . , ST T áóäåì íàçûâàòü

ñëîæíîñòüþ

è îáîçíà÷àòü ÷åðåç

sM (x).

ìû ðàññìîòðèì âñå ñëîâà äëèíû íå ïðåâîñõîäÿùåé

n,

åñòü âû÷èñÅñëè

òî íàèáîëüøàÿ ñëîæ-

íîñòü ðàáîòû íàä òàêèìè ñëîâàìè áóäåò ñ÷èòàòüñÿ ñëîæíîñòüþ äàííîé ìàøèíû:

sM (n) = maxx:

|x|<=n sM (x). Òàêèì îáðàçîì, ñëîæíîñòü äàííîãî àëãîðèòìà

ÿâëÿåòñÿ óíêöèåé íàòóðàëüíîãî àðãóìåíòà - äëèíû âõîäíîãî ñëîâà. Èñõîäÿ

èç ýòîãî, ñëîæíîñòè ìîãóò áûòü ëèíåéíûìè, êâäðàòè÷íûìè, ïîëèíîìèàëüíû-

8

ìè, ýêñïîíåíöèàëüíûìè è ò.ä., à òàêæå è ñ áîëåå òîíêîé ãðàäàöèåé.

Äëÿ ñëî-

âàðíîé óíêöèè åå ñëîæíîñòü âû÷èñëåíèÿ íà äàííîì êëàññå âû÷èñëèòåëüíûõ óñòðîéñòâ åñòü íàèìåíüøàÿ âîçìîæíàÿ ñëîæíîñòü ðàáîòû óñòðîéñòâà èç ýòîãî êëàññà, âû÷èñëÿþùåãî äàííóþ óíêöèþ. Äëÿ êàæäîé óíêöèè

f

íàòóðàëüíî-

ãî àðãóìåíòà, äîñòàòî÷íî áûñòðî ðàñòóùåé, ìîæíî ïîäîáðàòü òàêóþ ñëîâàðíóþ óíêöèþ, ÷òî åå ñëîæíîñòü áóäåò ïðèìåðíî ðàâíà

f.

Îäíàêî êëàññèèêàöèÿ çàäà÷ ïî ñëîæíîñòè èõ ðåøåíèÿ íå ÿâëÿåòñÿ î÷åíü èíîðìàòèâíîé. Êðîìå òîãî, ñàìî îïðåäåëåíèå ñëîæíîñòè ÷åðåç íàèáîëåå áûñòðûé èç àëãîðèòìîâ, ðåøàþùèé äàííóþ çàäà÷ó, ñîâåðøåííî íå êîíñòðóêòèâíî, ïîñêîëüêó òðåáóåò, âîîáùå ãîâîðÿ, ïåðåáîðà âñåõ âîçìîæíûõ àëãîðèòìîâ, è âûáîð èç íèõ îïòèìàëüíîãî. Òîëüêî â íåêîòîðûõ îòäåëüíûõ ñëó÷àÿõ ìîæíî òî÷íî îïðåäåëèòü ñëîæíîñòü òîé èëè èíîé çàäà÷è (ñëîæíîñòü âû÷èñëåíèÿ ìíîæåñòâà åñòü ñëîæíîñòü âû÷èñëåíèÿ åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîé óíêöèè). Íàïðèìåð, çàäà÷à ñðàâíåíèÿ äâóõ ñëîâ èìååò êâàäðàòè÷íóþ ñëîæíîñòü íà îäíîãîëîâî÷íûõ ìàøèíàõ Òüþðèíãà è ëèíåéíóþ - íà äâóõãîëîâî÷íûõ ìàøèíàõ è êëåòî÷íûõ àâòîìàòàõ. Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî ìîäåëèðîâàíèå êëåòî÷íûõ àâòîìàòîâ íåëüçÿ 8 Äëÿ

ëþáîé ðàçóìíîé ãðàäàöèè ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî îíà òî÷íà: åñòü óíêöèè èìåííî ñ òàêîé íèæíåé îöåíêîé ñëîæíîñòè ([24℄).

46

ËÀÂÀ 2.

ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

óñêîðèòü íà ìàøèíûõ Òüþðèíãà ïî ñðàâíåíèþ ñ òðèâèàëüíûì ìåòîäîì, äàþ-

9

ùèì êâàäðàòè÷íîå çàìåäëåíèå . Ìîæíî îïðåäåëèòü îòíîøåíèå íà êëàññå âû÷èñëèìûõ óíêöèé, íàçûâàåìîå ñâåäåíèåì. Ñêàæåì, ÷òî ñëîâàðíîå ìíîæåñòâî ê ìíîæåñòâó

B,

A

åñëè ñóùåñòâóåò ñëîâàðíàÿ óíêöèÿ

ïîëèíîìèàëüíî ñâîäèòñÿ

f

ïîëèíîìèàëüíîé ñëîæ-

x ∈ A ýêâèâàëåíòíî f (x) ∈ B . Òîãäà åñëè ìíîæåñòâî B èìååò F , òî ñëîæíîñòü A íå ïðåâîñõîäèò ïîëèíîìà îò F .  ÷àñòíîñòè, åñëè B ïîëèíîìèàëüíî âû÷èñëèìà, òî òàêèì æå áóäåò è A. íîñòè, òàêàÿ ÷òî

ñëîæíîñòü

Ìîäåëü âû÷èñëåíèé (îðìàëèçàöèÿ àëãîðèòìîâ) íàçûâàåòñÿ äåòåðìèíèðîâàííîé, åñëè âû÷èñëåíèå îïðåäåëåíî îäíîçíà÷íî, ïðè çàäàíèè íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ, è íåäåòåðìèíèðîâàííîé â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Íàïðèìåð, êâàíòîâûå âû÷èñëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ íåäåòåðìèíèðîâàííîé ìîäåëüþ âû÷èñëåíèé. Èçâåñòíî, ÷òî ëþáàÿ äåòåðìèíèðîâàííàÿ ìîäåëü âû÷èñëåíèé ïîëèíîìèàëüíî ñâîäèòñÿ ê ëþáîé äðóãîé.  ÷àñòíîì ñëó÷àå, äëÿ ìàøèí Òüþðèíãà è êëåòî÷íûõ àâòîìàòîâ, ìû ýòîò àêò óñòàíîâèëè âûøå. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî âûäåëèòü ìèíèìàëüíûé ñëîæíîñòíîé êëàññ âû÷èñëèìûõ óíêöèé, íå çàâèñÿùèé îò ìîäåëè àëãîðèòìîâ, à èìåííî êëàññ óíêöèé, ïîëèíîìèàëüíî âû÷èñëèìûõ íà äåòåðìèíèðîâàííûõ ìîäåëÿõ. Îí îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç

P.

Òåïåðü îáðàòèìñÿ ê íåäåòåðìèíèðîâàííûì âû÷èñëåíèÿì. Íåäåòåðìèíèðîâàííûõ âû÷èñëåíèé, íà÷èíàþùèõñÿ ñ îäíîãî è òîãî æå ñîñòîÿíèÿ, ìîæåò áûòü ìíîãî. Ñëîæíîñòüþ íåäåòåðìèíèðîâàííîãî âû÷èñëåíèÿ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî øàãîâ â íàèáîëåå êîðîòêîì âû÷èñëåíèè, íà÷èíàþùåìñÿ ñ äàííîãî ñîñòîÿíèÿ. Ïîíÿòèå âû÷èñëèìîñòè â íåäåòåðìèíèðîâàííûõ ìîäåëÿõ áóäåò òåì æå, ÷òî è â äåòåðìèíèðîâàííûõ: íàáîð âû÷èñëèìûõ óíêöèé è òàì è çäåñü îäèíàêîâ. Íî, åñëè áû ìû çàõîòåëè ìîäåëèðîâàòü íåäåòåðìèíèðîâàííîå âû÷èñëåíèå íà äåòåðìèíèðîâàííîé ìàøèíå, ìû äîëæíû áûëè áû ïîòðàòèòü, âîîáùå ãîâîðÿ, ýêñïîíåíöèàëüíî áîëüøîå âðåìÿ. Ýòî ñïðàâåäëèâî êàê äëÿ íåäåòåðìèíèðîâàííûõ ìàøèí Òüþðèíãà è êëåòî÷íûõ àâòîìàòîâ, òàê è äëÿ êâàíòîâûõ àëãîðèòìîâ. Êëàññ ìíîæåñòâ, âû÷èñëèìûõ íà íåäåòåðìèíèðîâàííûõ ìàøèíàõ Òüþðèíãà çà ïîëèíîìèàëüíîå âðåìÿ, îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç

NP

N P.

Ýêâèâàëåíòíûì îïðåäåëå-

A ïðèíàäëåæèò êëàññó N P , åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ìíîæåñòâî B ïàð ñëîâ, ïðèíàäëåæàùåå êëàññó P , ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî ïîëèíîìà p âåðíî ñëåäóþùåå: äëÿ ëþáîãî ñëîâà x x ∈ A òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò ñëîâî y äëèíû íå ïðåâîñõîäÿùåé p(|x|) (ïîëèíîìà îò äëèíû x), òàê ÷òî (x, y) ∈ B . Äîêàçàòåëüñòâî ýêâèâàëåíòíîñòè íèÿåì êëàññà

ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå. Ìíîæåñòâî ñëîâ

ïðîâîäèòñÿ íåïîñðåäñòâåííî èñõîäÿ èõ îïðåäåëåíèé. Ýòî âòîðîå îïðåäåëåíèå

N P ÿâëÿåòñÿ êëàññîì ïåðåáîðíûõ çàäà÷: ñëîâà x ìíîæåñòâó èç ýòîãî êëàññà äîñòàòî÷-

àêòè÷åñêè ãîâîðèò î òîì, ÷òî êëàññ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðèíàäëåæíîñòè íî ïðîèçâåñòè ïåðåáîð âñåõ 9 åçóëüòàò

y

äîñòàòî÷íî ìàëîé äëèíû. Ïðè òîì êàæäûé øàã

î íèæíåé ãðàíèöå ðàñïîçíàâàíèÿ ðàâåíñòâà ñëîâ íà îäíîãîëîâî÷íîé ìàøèíå Òüþðèíãà ïðèíàäëåæèò Öåéòèíó, îí äîêàçûâàåòñÿ ñâåäåíèåì ê ïðèíöèïó Äèðèõëå ñ ïîìîùüþ ó÷åòà ñîñòîÿíèé ãîëîâêè â ìîìåíò ïåðåñå÷åíèÿ åþ ãðàíèöû ïåðâîíà÷àëüíîãî ðàñïîëîæåíèÿ îáîèõ ñëîâ íà ëåíòå.

2.2.

47

ÒÅÇÈÑ ÒÜÞÈÍ À-×Å×À-ÌÀÊÎÂÀ

ýòîãî ïåðåáîðà ïðîâåðÿåòñÿ î÷åíü áûñòðî, òàê êàê

B

èìååò ïîëèíîìèàëüíóþ

ñëîæíîñòü. Âõîæäåíèå

P ⊆ NP ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèé. Îäíàêî ïðîáëåìà

P = N P (?)

äî ñèõ ïîð íå ðåøåíà.

Íàèëó÷øèé èç èçâåñòíûõ àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ ïåðåáîðíûõ çàäà÷ - ýòî ïðÿìîé ïåðåáîð. Ýòî îáúÿñíÿåò, ïî÷åìó ïåðåáîðíûå çàäà÷è ïðèðàâíèâàþòñÿ ê çàäà÷àì ïîèñêà ïàðîëÿ äëÿ ÷åðíîãî ÿùèêà: ìû íå ìîæåì èñïîëüçîâàòü çíàíèå åãî óñòðîéñòâà äëÿ ïîäáîðà ïàðîëÿ. Ýòî óòâåðæäåíèå ìåòàèçè÷íî, íî ìû ïðèâåäåì äàëåå îäèí àðãóìåíò â åãî ïîëüçó, êîòîðûé íå îïèðàåòñÿ íà îòêðûòûå ïðîáëåìû â ìàòåìàòèêå.

2.2.1 Âû÷èñëåíèÿ ñ îðàêóëîì Íåò íèêàêèõ ñïîñîáîâ ðåøèòü

NP

ïîëíûå ïðîáëåìû áåç ïîìîùè ïðÿìîãî ïåðå-

áîðà. Ïåðåáîðíûé àëãîðèòì, ïåðå÷èñëÿþùèé îäèí çà äðóãèì âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû, ÿâëÿåòñÿ óíäàìåíòàëüíûì àëãîðèòìîì, íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàííûì ñ ýâîëþöèîííûì ìåòîäîì ïîñòðîåíèÿ ìîäåëè äèíàìèêè.  îñíîâå àëãîðèòìèçàöèè èçèêè ëåæèò ïåðåáîð ñöåíàðèåâ ýâîëþöèè, íà êàæäîì øàãå êîòîðîãî îñóùåñòâëÿåòñÿ ýêñïåðòíàÿ îöåíêà äàííîãî ñöåíàðèÿ. Ýòà îöåíêà ïðîèçâîäèòñÿ ïîëüçîâàòåëåì è îíà íåïîñðåäñòâåííî âëèÿåò íà äàëüíåéøåå ïîñòðîåíèå ñöåíàðèåâ.  òåîðèè àëãîðèòìîâ åñòü óäîáíàÿ îðìàëèçàöèÿ ïðîöåññà ìîäåëèðîâàíèÿ ñ ó÷àñòèåì ïîëüçîâàòåëÿ - ýêñïåðòà. Ýòî - ïîíÿòèå îðàêóëà è âû÷èñëåíèé ñ îðàêóëîì. àññìîòðèì íåêîòîðîå ïðîèçâîëüíîå ñëîâàðíîå ìíîæåñòâî

O,

êîòîðîå áó-

äåì íàçûâàòü îðàêóëîì. Ïåðåîïðåäåëèì ââåäåííîå íàìè ïîíÿòèå âû÷èñëèìîé óíêöèè, ÷òîáû ïîëó÷èòü áîëåå îáùåå ïîíÿòèå âû÷èñëèìîñòè îòíîñèòåëüíî äàííîãî îðàêóëà. Äîáàâèì ê âîçìîæíûì ýëåìåíòàðíûì øàãàì â âû÷èñëåíèè (ýòî ó íàñ áûëè ïðèìåíåíèÿ êîìàíä ìàøèíû Òüþðèíãà) åùå ñïåöèàëüíîå äåéñòâèå, íàçûâàåìîå îáðàùåíèåì ê îðàêóëó. Îáðàùåíèå ê îðàêóëó çàêëþ÷àåòñÿ â âîïðîñå: ïðèíàäëåæèò ëè äàííîå ñëîâî

z

ê ìíîæåñòó

O?

Ïîñëå çàäàíèÿ òàêîãî

âîïðîñà âû÷èñëåíèå îòêëàäûâàåòñÿ äî òîãî ìîìåíòà, êàê áóäåò ïîëó÷åí îòâåò. Âðåìÿ îæèäàíèÿ îòâåòà ÿâëÿåòñÿ àäìèíèñòðàòèâíûì âðåìåíåì, òî åñòü ïîëüçîâàòåëü ìîæåò ñ÷èòàòü, ÷òî îòâåò ïîëó÷àåòñÿ ìãíîâåííî. Ïîñëå åãî ïîëó÷åíèÿ âû÷èñëåíèÿ ïðîèñõîäÿò â îáû÷íîì ïîðÿäêå, â ÷àñòíîñòè, îíè ìîãóò ãåíåðèðî′ âàòü íîâîå ñëîâî z , íà êîòîðîì áóäåò çàäàí î÷åðåäíîé âîïðîñ ê îðàêóëó, è ò.ä. Ìîìåíò çàäàíèÿ âîïðîñà ê îðàêóëó òàêæå ãåíåðèðóåòñÿ â õîäå âû÷èñëåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà âõîäíîé ëåíòå âûäåëåíû ñïåöèàëüíûå ðåãèñòðû (ãðóïïû ÿ÷ååê), èç êîòîðûõ ñ÷èòûâàåòñÿ ñëîâî

z

ïðè âûçîâå îðàêó-

ëà, à òàêæå ñïåöèàëüíûé ðåãèñòð äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà ýòîãî âûçîâà. Âñå ÿ÷åéêè â ýòèõ ðåãèñòðàõ ó÷àñòâóþò â ðàáîòå àëãîðèòìà íà îáùèõ îñíîâàíèÿõ, â ÷àñòíîñòè èõ ñîäåðæèìîå ìîæåò èçìåíÿòüñÿ ïîä äåéñòâèåì êîìàíä. Îðàêóë ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âíåøíåå óñòðîéñòâî ïî îòíîøåíèþ ê ðàññìàòðèâàåìîé âû÷èñëèòåëüíîé ìàøèíå.

48

ËÀÂÀ 2.

ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

Ñëîæíîñòü âû÷èñëåíèÿ ñ îðàêóëîì åñòü ÷èñëî îáðàùåíèé ê íåìó â ïðîöåññå âû÷èñëåíèÿ. Òàêîå îïðåäåëåíèå ñëîæíîñòè ïîëó÷àåòñÿ, åñëè îòîæäåñòâëÿòü ñëîæíîñòü ñ àäìèíèñòðàòèâíûì âðåìåíåì ðàáîòû àëãîðèòìà, ïðè óñëîâèè, ÷òî âðåìÿ, ïîòðà÷åííîå íà îáðàáîòêó êàæäîãî çàïðîñà ê îðàêóëó, çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò âðåìÿ âûïîëíåíèÿ ñîáñòâåííûõ êîìàíä âû÷èñëèòåëüíîé ìàøèíû. Èíûìè ñëîâàìè, àêòè÷åñêè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îðàêóë ÿâëÿåòñÿ îáúåêòîì ãîðàçäî áîëåå ñëîæíûì, ÷åì ñàìà âû÷èñëèòåëüíàÿ ìàøèíà. Òàêèì îáðàçîì, ó íàñ ïîÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå âû÷èñëèìîñòè îòíîñèòåëüíî äàííîãî îðàêóëà. Ïåðåõîä ê âû÷èñëåíèÿì îòíîñèòåëüíî îðàêóëà íàçûâàåòñÿ ðåëÿòèâèçàöèåé âû÷èñëåíèé. Ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êëàññû, àíàëîãè÷íûå ââåäåííûì íàìè êëàññàì êóëîì

O.

Òîãäà è

P, N P , íî îïðåäåëåííûå äëÿ âû÷èñëåíèé ñ íåêîòîðûì îðàP = N P(?) ïðîáëåìà îêàæåòñÿ ðåëÿòèâèçîâàííîé îòíîñè-

òåëüíî äàííîãî îðàêóëà. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñóùåñòâóþò îðàêóëû, äëÿ êîòîðûõ ðåëÿòèâèçàöèÿ ýòîé ïðîáëåìû áóäåò ïîëîæèòåëüíî ðåøàåìîé, è ñóùåñòâóþò

äðóãèå îðàêóëû, äëÿ êîòîðûõ òàêàÿ ðåëÿòèâèçàöèÿ äàñò îòðèöàòåëüíî ðåøàåìûé âîïðîñ. Òî åñòü ðåëÿòèâèçàöèÿ ìîæåò ïðåâðàòèòü ðàâåíñòâî êàê â âåðíîå, òàê è â ëîæíîå

10

P = NP

. Ýòîò àêò èìååò áîëüøîå çíà÷åíèå. Îí ãîâî-

ðèò î òîì, ÷òî ëþáîå ëîãè÷åñêîå ðàññóæäåíèå, â êîòîðîì âìåñòî âû÷èñëèìîñòè ìîæíî ïîäñòàâèòü îòíîñèòåëüíóþ âû÷èñëèìîñòü áåç óùåðáà äëÿ ëîãè÷åñêîé ñòðîãîñòè, íå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ ðåøåíèÿ ïðîáëåìû

P = N P(?)

íè â ïîëîæèòåëüíîì, íè â îòðèöàòåëüíîì ñìûñëå. Âñå èçâåñòíûå ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè ëîãè÷åñêèå êîíñòðóêöèè, îïåðèðóþùèå ñ ïîíÿòèåì âû÷èñëèìîñòè

êàê òàêîâûì, äîïóñêàþò òàêóþ ïîäñòàíîâêó. Ïîýòîìó òàêèå êîíñòðóêöèè íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé îòêðûòîé ïðîáëåìû. Åñòü ñâèäåòåëüñòâà â ïîëüçó òîãî, ÷òî óòâåðæäåíèå

P = NP

âîîáùå ÿâëÿåòñÿ íå çàâèñèìûì îò àê-

11

ñèîì àðèìåòèêè (ýòî òîæå íå äîêàçàíî).

.

Êëàññ âñåâîçìîæíûõ îðàêóëîâ èìååò ìîùíîñòü êîíòèíóóìà, â òî âðåìÿ êàê êëàññ âû÷èñëèìûõ (áåç îðàêóëà) ìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ ñ÷åòíûì. Ïîýòîìó ïîäàâëÿþùåå áîëüøèíñòâî îðàêóëîâ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé íåâû÷èñëèìûå ìíîæåñòâà. Ïîýòîìó è âû÷èñëèìîñòü îòíîñèòåëüíî òàêèõ îðàêóëîâ ÿâëÿåòñÿ áîëåå øèðîêèì ïîíÿòèåì, ÷åì ïðîñòàÿ âû÷èñëèìîñòü. Ôèçè÷åñêèé àñïåêò àëãîðèòìîâ ñîäåðæèò ÿâíîå óêàçàíèå íà òî, ÷òî îðàêóë íàäî ðàññìàòðèâàòü êàê óñòðîéñòâî ñòîëü ñëîæíîå, ÷òî ìû îòêàçûâàåìñÿ îò åãî àíàëèçà, è ðàññìàòðèâàåì åãî êàê ÷åðíûé ÿùèê. Ýòî â òî÷íîñòè ñîîòâåòñòâóåò íàøåìó ðàçäåëåíèþ ìîäåëè íà ïîëüçîâàòåëüñêóþ è àäìèíèñòðàòèâíóþ ÷àñòü. Â

êîíñòðóêòèâíîé èçèêå ïîä îðàêóëîì äîëæåí ïîíèìàòüñÿ ïîëüçîâà10 Èçâåñòåí ðåçóëüòàò èëà è Ñîëîâåÿ, ñîãëàñíî êîòîðîìó ïðè âûáîðå îðàêóëà ñëó÷àéíûì îáðàçîì ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 îêàæåòñÿ ÷òî îí äàåò îòðèöàòåëüíóþ ðåëÿòèâèçàöèþ ïðîáëåìû P = N P(?). 11 Ìû âèäèì òðóäíîñòè, ê êîòîðûì ïðèâîäèò àêñèîìàòè÷åñêèé ìåòîä, ïðèìåíÿåìûé â òåîðèè àëãîðèòìîâ. Ýòè òðóäíîñòè ïðîÿâëÿþòñÿ íå òîëüêî â òåîðèè àëãîðèòìîâ íî è âî âñåé ìàòåìàòèêå â öåëîì. Áîëåå ïîäðîáíîå îáñóæäåíèå ÷èòàòåëü ìîæåò íàéòè â ìîíîãðàèÿõ, ïîñâÿùåííûõ ñóäüáå ïðîãðàììû èëüáåðòà â ñâåòå òåîðåì åäåëÿ (íàïðèìåð, â [47℄).

2.3. ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎ ÈÊÀ È ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÒÅÎÈß49

òåëü êîìïüþòåðíîé ìîäåëè. Ïîëüçîâàòåëü ïðèíèìàåò ó÷àñòèå â ïîñòðîåíèè îêîí÷àòåëüíîé ìîäåëè äèíàìèêè âìåñòå ñ âû÷èñëèòåëüíîé ìàøèíîé. Ïðè ýòîì åãî ó÷àñòèå â âèäå ýêñïåðòíûõ îöåíîê ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü êàê âîïðîñû ê îðàêóëó â òåîðèè àëãîðèòìîâ. Ìû âèäèì, ÷òî òåîðèÿ àëãîðèòìîâ äàåò îðìàëüíûé àïïàðàò äëÿ ïîñòðîåíèÿ èçè÷åñêîé ìîäåëè, ðîëü êîòîðîãî (êàê âñÿêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà) ñîñòîèò â óïîðÿäî÷åíèè ðàññìîòðåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ïðè îïèñàíèè ìîäåëèðóþùèõ àëãîðèòìîâ íàäî ñòðåìèòüñÿ ê îðìàëèçàöèè ýêñïåðòíûõ îöåíîê, è òàêàÿ îðìàëèçàöèÿ ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíûì èíñòðóìåíòîì àëãîðèòìèêè. Ôàêòè÷åñêè, îïèñûâàåìûå íàìè â äàëüíåéøåì ïðèåìû áóäóò íàöåëåíû èìåííî íà òàêóþ îðìàëèçàöèþ.

2.3

Êîíñòðóêòèâíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà è êâàíòîâàÿ òåîðèÿ

Ìû ðàññìîòðèì òàê íàçûâàåìóþ êîíñòðóêòèâíóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ëîãèêó, èãðàþùóþ â êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòèêå òó æå ðîëü, ÷òî è îáû÷íàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà èãðàåò â ñòàíäàðòíîé ìàòåìàòèêå. Èñòîðè÷åñêîé îñíîâîé ìàòåìàòè÷åñêîãî êîíñòðóêòèâèçìà ÿâëÿåòñÿ îáëàñòü ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, íàçûâàåìàÿ èíòóèöèîíèçìîì. Ñóòü èíòóèöèîíèçìà ñîñòîèò â òîì, ÷òî â íåì íåò çàêîíà èñêëþ÷åííîãî òðåòüåãî, òî åñòü ëîãè÷åñêàÿ îðìóëà

A

èëè íå

A

íå ÿâëÿåòñÿ â èíòóèöèîíèçìå àêñèîìîé. Äëÿ äîêàçàòåëü-

ñòâà òàêîé îðìóëû íàäî ëèáî äîêàçàòü

A,

ëèáî äîêàçàòü íå

A.

Ìîäåëè èíòó-

èöèîíèñòñêèõ òåîðèé èçâåñòíû êàê ìîäåëè Êðèïêå. Ýòè ìîäåëè óñòðîåíû êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îáû÷íûõ ìîäåëåé, òîëüêî ê òðåõçíà÷íîé ëîãèêîé, ãäå íàðÿäó ñ îáû÷íûìè èñòèíîé è ëîæüþ åñòü åùå è òðåòüå ëîãè÷åñêîå çíà÷åíèå íåèçâåñòíîñòü. Ýòà íåèçâåñòíîñòü ìîæåò áûòü óòî÷íåíà â äàëüíåéøèõ ýëåìåíòàõ äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Ìû âèäèì çäåñü ïðÿìóþ àíàëîãèþ ñ òèïè÷íîé ñèòóàöèåé â êâàíòîâîé ìåõàíèêå, êîãäà ìû íå çíàåì ðåçóëüòàòà èçìåðåíèÿ ñèñòåìû, íàõîäÿùåéñÿ â êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè

12

.

Ìû òàêæå âèäèì â ìîäåëÿõ Êðèïêå ïðÿìóþ àíàëîãèþ ñ äèíàìè÷åñêèìè ìîäåëÿìè, ñîñòîÿùèìè èç ñöåíàðèåâ, è ãåíåòè÷åñêèì ìåòîäîì ïîñòðîåíèÿ òàêèõ ìîäåëåé. ß äóìàþ, ÷òî âîçìîæíî îðìàëüíîå îïðåäåëåíèå äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé ñ èñïîëüçîâàíèåì àïïàðàòà ìîäåëåé èíòóèöèîíèñòñêèõ òåîðèé, ýòî ÿâëÿåòñÿ èíòåðåñíîé òåìîé, îòíîñÿùåéñÿ ê ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå, è ìû íå áóäåì íà íåé îñòàíàâëèâàòüñÿ

13

.

12 Ýòà àíàëîãèÿ ïîáóäèëà îí Íåéìàíà è íåêîòîðûõ äðóãèõ èññëåäîâàòåëåé çàíÿòüñÿ òàêèì ïðåäìåòîì, êàê êâàíòîâàÿ ëîãèêà, ïðèâëåêàÿ äëÿ ýòîé öåëè àïïàðàò èíòóèöèîíèçìà. Ñïðàâåäëèâîñòè ðàäè íàäî çàìåòèòü, ÷òî àêñèîìàòè÷åñêèé ìåòîä, ïîõîðîíèâøèé ïåðâîíà÷àëüíóþ ïðîãðàììó èëüáåðòà, è çäåñü îêàçàëñÿ ïî÷òè áåñïëîäíûì, åñëè íå ñ÷èòàòü îáîñíîâàíèÿ ïðèíöèïèàëüíîé èäåè ïëþðàëèçìà. 13 Íà ýòó òåìó åñòü íåñêîëüêî ðàáîò, êîòîðûå èíòåðåñóþùèéñÿ ÷èòàòåëü ìîæåò íàéòè â [19℄).

50

ËÀÂÀ 2.

ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

2.3.1 Ñòàíäàðòíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà Îñíîâîé ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè ÿâëÿåòñÿ ëîãèêà âûñêàçûâàíèé. Öåíòðàëüíûì ïîíÿòèåì â íåé ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ëîãè÷åñêîé îðìóëû. Îïðåäåëåíèå îðìóëû èíäóêòèâíî è âûãëÿäèò òàê.

Áàçèñ. Âñÿêàÿ áóëåâñêàÿ ïåðåìåííàÿ èç ìíîæåñòâà îðìóëîé.

Øàã. Åñëè

A

è

B

- îðìóëû, òî âûðàæåíèÿ

{α1 , α2 , . . .}

ÿâëÿåòñÿ

(A&B), A or B , not A

òàêæå

ÿâëÿþòñÿ îðìóëàìè. Èñòèííîñòíîå çíà÷åíèå îðìóëû ïðè èêñàöèè âñåõ âõîäÿùèõ â íåå ïåðåìåííûõ îïðåäåëÿåòñÿ ïî èíäóêèè íà îñíîâå ñòàíäàðòíûõ ïðàâèë äëÿ ýëåìåíòàðíûõ áóëåâñêèõ óíêöèé "è "èëè"è "íå". Ñëåäóþùåå áàçèñíîå ïîíÿòèå - ëîãè÷åñêèé âûâîä, íàçûâàåìûé èñ÷èñëåíèåì âûñêàçûâàíèé. Èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé óäîáíåå îðìóëèðîâàòü íå íà ÿçûêå îðìóë, à íà ÿçûêå òàê íàçûâàåìûõ ñåêâåíöèé. Ñåêâåíèöèÿ - ýòî ñòðîêà âèäà

A1 , A2 , . . . , An −→ B1 , B2 , . . . , Bk A1 , A2 , . . . , An - ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îðìóë, íàçûâàåìàÿ àíòåöåäåíòîì, à B1 , B2 , . . . , Bk - ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îðìóë, íàçûâàåìàÿ ñóêöåäåíòîì. Èíòóãäå

èòèâíûé ñìûñë ñåêâåíöèè òàêîé: åñëè èñòèííû âñå îðìóëû àíòåöåäåíòà, òî âûïîëíåíà õîòÿ áû îäíà îðìóëà ñóêöåäåíòà. Òî åñòü îðìóëû â àíòåöåäåíòå îáúåäèíåíû ñâÿçêîé "è à îðìóëû â ñóêöåäåíòå - ñâÿçêîé "èëè". Àêñèîìàìè èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé íàçûâàþòñÿ ñåêâåíöèè âèäà

A −→ A.

Ïðàâèëà âûâîäà

ïîçâîëÿþò ïîëó÷àòü íîâûå ñåêâåíöèè èç óæå äîêàçàííûõ. Îíè òàêîâû:

. . . , A, . . . −→ . . . èëè . . . −→ . . . , A, . . . . . . , . . . −→ not A, . . . è . . . , not A . . . −→ . . . ñîîòâåòñòâåííî,

1) Ïåðåíîñ îðìóëû: îò ñåêâåíöèè ìîæíî ïåðåéòè ê

ãäå ìíîãîòî÷èÿìè âûäåëåíû íå èçìåíÿåìûå íàáîðû.

A1 , A2 , . . . −→ . . . èëè . . . −→ . . . , B1 , B2 ìîæíî ïåðåéòè ê (A1 &A2 ), . . . −→ . . . è . . . −→ . . . , (B1 or B2 ) 2) Ââåäåíèå êîíúþíêöèè èëè äèçúþíêöèè: îò ñåêâåíöèè

ñîîòâåòñòâåííî.

3) Ïåðåìåøèâàíèå: îðìóëû âíóòðè ñóêöåäåíòà (àíòåöåäåíòà) ìîæíî ïîìåíÿòü ïî ïîðÿäêó, ñîêðàùàòü ïîâòîðÿþùèåñÿ îðìóëû à òàêæå ââîäèòü äâîéíèêè îòäåëüíî â ñóêöåäåíòå è â àíòåöåäåíòå. 4) Ñå÷åíèå: èç

¯ A −→ B D,

è

D1 −→ A, E

ìîæíî âûâåñòè

¯ D1 −→ B, E . D,

Èçâåñòíà òåîðåìà îá óñòðàíåíèè ñå÷åíèé â ëîãèêå âûñêàçûâàíèé, ñîãëàñíî êîòîðîé åñëè îðìóëà âûâîäèìà ñ èñïîëüçîâàíèåì ñå÷åíèÿ, òî îíà âûâîäèìà è áåç èñïîëüçîâàíèÿ ñå÷åíèé. Îäíàêî ñå÷åíèÿ èãðàþò ñóùåñòâåííóþ ðîëü â èñ÷èñëåíèè ïðåäèêàòîâ, êîòîðîå ìû ñåé÷àñ êðàòêî ðàññìîòðèì. Ââåäåì â ÿçûê óíêöèîíàëüíûå ñèìâîëû âîëû

g1 , g2 , . . . , gk .

è ïðåäèêàòíûå ñèì-

x1 , x2 , . . . åñòü òåðì. Øàã. Åñëè t1 , t2 , . . . , tm - òåðìû, fi åñòü m ìåñòíûé óíêöèîíàëüíûé ñèìâîë, fi (t1 , t2 , . . . , tm ) åñòü òåðì. Áàçèñ. Âñÿêàÿ ïåðåìåííàÿ

òî

f1 , f2 , . . . , fn

Îïåðåëèì ïîíÿòèå òåðìà (ñëîæíîé óíêöèè) èíäóêöèåé.

2.3. ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎ ÈÊÀ È ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÒÅÎÈß51

Òåïåðü ðàññìîòðèì èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé, â êîòîðîì ðîëü ëîãè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ

αj

(t1 = t2 ) m ìåñòíûé

èãðàþò îðìóëû âèäà

ñïåöèàëüíûé çíàê ðàâåíñòâà, à

g

åñòü

è

g(t1, t2 , . . . , tm )

ãäå

=

åñòü

ïðåäèêàòíûé ñèìâîë.

Ââåäåì â êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíûõ àêñèîì ñåêâåíöèè ñëåäóþùåãî âèäà:

(t1 = t′1 ), . . . , (tm = t′m ) −→ (f (t1 , t2 , . . . , tm ) = (f (t′1 , t′2 , . . . , t′m )), (t1 = t′1 ), . . . , (tm = t′m ), g(t1 , t2 , . . . , tm ) −→ g(t′1 , t′2 , . . . , t′m ), (t1 = t2 ), (t2 = t3 ) −→ (t1 = t3 ),

(t1 = t2 ) −→ (t2 = t1 ).

Íàêîíåö, ââåäåì ñïåöèàëüíûå çíà÷êè

∀, ∃, íàçûâàåìûå êâàíòîðàìè âñåîáù-

íîñòè è ñóùåñòâîâàíèÿ, è îáîáùèì ïîíÿòèå îðìóëû ââåäåíèåì ñëåäóþùèõ âîçìîæíîñòåé â èíäóêòèâíîì øàãå â ïîñòðîåíèè îðìóë. Åñëè ñî ñâîáîäíîé ïåðåìåííîé

x

â êîòîðîé ïåðåìåííàÿ

x,

òî âûðàæåíèå

∃x A(x)

è

∀x A(x)

A(x)

îðìóëà

åñòü îðìóëû,

ñâÿçàíà (íå ñâîáîäíà). Ïðàâèëà ïîäñòàíîâêè òåðìîâ

âìåñòî ñâáîäíûõ ïåðåìåííûõ â îðìóëó îïðåäåëÿþòñÿ åñòåñòâåííûì îáðàçîì.

A(t) îðìóëó A.

Ìû çàïèñûâàåì ÷åðåç ïåðåìåííîé

x

â

ðåçóëüòàò ïîäñòàíîâêè òåðìà

t

âìåñòî ñâîáîäíîé

Òåïåðü ââåäåì äîïîëíèòåëüíûå ïðàâèëà âûâîäà, êàñàþùèåñÿ êâàíòîðîâ. 1) Åñëè t - òåðì, à x - ïåðåìåííàÿ, íèãäå ðàíåå íå âñòðå÷àâøàÿñÿ, òî èç ¯ ¯ ∀x A(x) −→ C¯ , èç D ¯ −→ A(t), C¯ ìîæíî âûâåD, A(t) −→ C¯ ìîæíî âûâåñòè D, ¯ −→ ∃x A(x), C¯ . ñòè D 2) Åñëè ïåðåìåííàÿ x íå âñòðå÷àåòñÿ íèãäå â ñåêâåíöèè, êðîìå îòìå÷åííîãî ¯ A(x) −→ C¯ ìîæíî âûâåñòè D, ¯ ∃x A(x) −→ C¯ , à èç ìåñòà, òî èç îðìóëû D, ¯ ¯ ¯ ¯ D −→ A(x), C ìîæíî âûâåñòè D −→ ∀x A(x), C . Íåìíîãî ïîäóìàâ, ìîæíî ïîíÿòü, ÷òî ââåäåííûå ïðàâèëà âûâîäà â òî÷íîñòè

∀x A(x) è ∃x A(x), åñëè ïîíèìàòü ïåðâûé êàê êîíúþíêöèþ âñåõ âîçìîæíîñòåé: A(x1 )&A(x2 & . . ., à âòîðóþ êàê äèçúþíêöèþ âñåõ âîçìîæíîñòåé: A(x1 ) or A(x2 ) or . . ..

ñîîòâåòñòâóþò åñòåñòâåííîìó ñìûñëó ñèìâîëîâ

Ïîëó÷èâøàÿñÿ ëîãè÷åñêàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ èñ÷èñëåíèåì ïðåäèêàòîâ. Çäåñü òåîðåìà îá óñòðàíåíèè ñå÷åíèé íå èìååò ìåñòà. Íî ñïðàâåäëèâ åå àíàëîã, ñîñòîÿùèé â òîì, ÷òî ëþáóþ âûâîäèìóþ ñåêâåíöèþ ìîæíî âûâåñòè, ïðèìåíÿÿ ñå÷åíèÿ òîëüêî ê îðìóëàì

A

âèäà

(t1 = t2 )

ãäå

t1 , t2

- òåðìû.

Ïðàâèëà âûâîäà äàþò âîçìîæíîñòü ïîëó÷àòü òåîðåìû èç óæå äîêàçàííûõ òåîðåì, åñëè íà÷àòü ñ àêñèîì. Ìû ñêàæåì, ÷òî îðìóëà äèìà ñåêâåíöèÿ

−→ A.

A âûâîäèìà, åñëè âûâî-

Èìååò ìåñòî ïðîñòàÿ òåîðåìà, ãëàñÿùàÿ, ÷òî âûâîäèìû

òå è òîëüêî òå îðìóëû, êîòîðûå èìåþò èñòèííîñòíîå çíà÷åíèå "èñòèíà"ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ âõîäÿùèõ â íèõ ïåðåìåííûõ. Ëåãêî âèäåòü êàê, íàïðèìåð, ìîæíî âûâåñòè îðìóëó

(α1 or not α1 ).

2.3.2 Ïðîáëåìà íåïðîòèâîðå÷èâîñòè ëîãè÷åñêèõ òåîðèé  êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå îñíîâíûì âîïðîñîì òðàäèöèîííî ñ÷èòàåòñÿ âîïðîñ î íåïðîòèâîðå÷èâîñòè ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè. Òåîðèÿ íàçûâàåòñÿ

52

ËÀÂÀ 2.

ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

íåïðîòèâîðå÷èâîé, åñëè ñóùåñòâóþò îðìóëû â åå ñèãíàòóðå, íå ÿâëÿþùèåñÿ òåîðåìàìè.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå òåîðèÿ íàçûâàåòñÿ ïðîòèâîðå÷èâîé. Åñëè â òåîðèè ìîæíî äîêàçàòü äëÿ êàêîé ëèáî îðìóëû îòðèöàíèå

not A,

A

êàê åå ñàìó, òàê è åå

òî òàêàÿ òåîðèÿ áóäåò ïðîòèâîðå÷èâîé, ÷òî äîêàçûâàåòñÿ ïî-

ñëåäîâàòåëüíûì ïðèìåíåíèåì ïðàâèë ïåðåíîñà è ñå÷åíèÿ. Èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò òàêèå òåîðèè, ñèãíàòóðà êîòîðûõ ïîçâîëÿåò çàïèñûâàòü îðìóëû, ñîîòâåòñòâóþùèå óòâåðæäåíèÿì àðèìåòèêè, íàïðèìåð, êîäèðîâàòü ñòðîêè ñèìâîëîâ, óòâåðæäàòü ïðîñòûå àêòû î èõ ñòðóêòóðå, è ò.ä.  ÷àñòíîñòè, ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìûõ íàìè òåîðèÿõ ìîæíî çàïèñûâàòü òàêèå óòâåðæäåíèÿ: "äàííàÿ ñòðîêà ñèìâîëîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òåêñò äîêàçàòåëüñòâà íåêîòîðîé òåîðåìû â äàííîé òåîðèè". Ïîñòðîåíèå, ñêàæåì, â ñàìîé àðèìåòèêå ñî ñëîæåíèåì è óìíîæåíèåì òàêîãî ðîäà îðìóë ÿâëÿåòñÿ õîòÿ è òðóäîåìêîé, íî ñîâåðøåííî ðóòèííîé çàäà÷åé, è ÿ îòñûëàþ ÷èòàòåëÿ ê ëþáîìó äîñòàòî÷íî ïîäðîáíîìó ó÷åáíèêó ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå, â êîòîðûõ ýòî ïðîäåëàíî äåòàëüíî (íàïðèìåð, [47℄). Òîãäà â ñèãíàòóðå äàííîé òåîðèè ìîæíî çàïèñàòü óòâåðæäåíèå òàêîãî âèäà:

"Äàííàÿ òåîðèÿ íåïðîòèâîðå÷èâà" Ýòà îðìóëà èìååò òàêîé âèä:

∃D(proof (D)& f in(D, (2 · 2 = 5)), proof (D) - îðìóëà, óòâåðæäàþùàÿ, ÷òî òåêñò D ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüf in(D, C) îçíà÷àåò, ÷òî òåêñò D êîí÷àåòñÿ ëîãè÷åñêîé îðìóëîé C . Óòâåðæäåíèå î íåïðîòèâîðå÷èâîñòè äàííîé òåîðèè T îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç ConsisT . ãäå

ñòâîì, à

Òåîðåìà åäåëÿ î äîêàçàòåëüñòâàõ íåïðîòèâîðå÷èâîñòè óòâåðæäàåò,

÷òî åñëè â òåîðèè

T

âûâîäèìà îðìóëà

ConsisT , òî ýòà

òåîðèÿ ïðîòèâîðå÷èâà.

Òî åñòü åñëè ñðåäñòâàìè íåêîé ëîãè÷åñêîé òåîðèè ìîæåò áûòü äîêàçàíà íåïðîòèâîðå÷èâîñòü åå ñàìîé, òî â íåé ìîæíî äîêàçàòü âîîáùå âñå ÷òî óãîäíî, òî åñòü òàêàÿ òåîðèÿ íè íà ÷òî íå ãîäèòñÿ. Åñëè ìû õîòèì ââåñòè â òåîðèþ

ConsisT ,

T

óòâåðæäåíèå î åå íåïðîòèâîðå÷èâîñòè

òî ó íàñ ïîëó÷èòñÿ óæå äðóãàÿ òåîðèÿ

óòâåðæäåíèå î íåïðîòèâîðå÷èâîñòè

ConsisT1 ,

T1 ,

è äëÿ íåå áóäåò äðóãîå

è ò.ä. Òî åñòü âîïðîñ î íåïðîòè-

âîðå÷èâîñòè ëîãè÷åñêèõ òåîðèé íå ìîæåò áûòü ðåøåí â ðàìêàõ ýòèõ òåîðèé. Òàêîé àêò ñðàçó äåëàåò àêñèîìàòè÷åñêèé ìåòîä íåíàäåæíûì. Îñîçíàíèå ýòîãî àêòà ïðèâåëî ê êðèçèñó â ìàòåìàòèêå, ïîñëóæèâøåìó òîë÷êîì ê ïîÿâëåíèþ êîíñòðóêòèâèçìà. Ýòî â ïîëíîé ìåðå îòíîñèòñÿ ê èçè÷åñêèì òåîðèÿì, ïîñêîëüêó îíè îïèðàþòñÿ íà ìàòåìàòè÷åñêèé îðìàëèçì. Àêñèîìàòè÷åñêèé ìåòîä ñòðàäàåò íåóñòðàíèìûì èçúÿíîì, è åãî íåëüçÿ ïðèìåíÿòü âíå ñâÿçè ñ òåì, ÷òî íàçûâàåòñÿ çäðàâûì ñìûñëîì, èëè èíòóèöèåé. Åñëè ýòîò ìåòîä íå ïîäêðåïëåí èíòóèöèåé, îí

2.3. ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎ ÈÊÀ È ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÒÅÎÈß53

ìîæåò çàâåñòè íàó÷íûå èññëåäîâàíèÿ â òóïèê. Íî èìåííî â êâàíòîâîé òåîðèè èíòóèöèÿ îñîáåííî ñëàáà. Ìíîãèå óòâåðæäåíèÿ êâàíòîâîé ìåõàíèêè ïðÿìî ïðîòèâîðå÷àò èíòóèöèè, è ïîýòîìó ðîëü îðìàëèçìà çäåñü î÷åíü âåëèêà.  ðàìêàõ êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêè íåâîçìîæíî âûäåëèòü äåéñòâèòåëüíî íåîáõîäèìóþ ÷àñòü îðìàëèçìà, ê ÷åìó ïîñòîÿííî, õîòü è íå âñåãäà îñîçíàííî, ñòðåìÿòñÿ èçèêè. Ïîíÿòèå àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè, ëåæàùåå â îñíîâå ñòàíäàðòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, ñ íåîáõîäèìîñòüþ òðåáóåò èìåííî àêñèîìàòè÷åñêîãî ïîäõîäà, òàê êàê ýòî ïîíÿòèå â ïðèíöèïå íå äîïóñêàåò íèêàêèõ ýåêòèâíûõ ïðîöåäóð. Òîëüêî êîíñòðóêòèâèçì, îñíîâàííûé íà ýåêòèâíûõ ïðîöåäóðàõ, ñâîáîäåí îò ýòîãî íåäîñòàòêà.

2.3.3 Êîíñòðóêòèâíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà Ñòàíäàðòíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà íå âïîëíå ïîäõîäèò äëÿ îñíîâàíèÿ êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòèêè. Äëÿ ýòîé öåëè ñóùåñòâóåò ñïåöèàëüíàÿ, êîíñòðóêòèâíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà, êîòîðóþ åùå íàçûâàþò èíòóèöèîíèçìîì. Èíòóèöèîíèçì íå îïåðèðóåò íåïîñðåäñòâåííî ñ àëãîðèòìàìè, íî îí îðìóëèðóåò ëîãè÷åñêèå ïðàâèëà, ïî êàêèì ìîæíî ðàáîòàòü ñ ëîãè÷åñêèìè îðìóëàìè êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòèêè, è ïîòîìó ìû ïîñâÿòèì åìó íåñêîëüêî ñòðàíèö. àññìîòðèì îäèí èç ãëàâíûõ ýêñïåðèìåíòîâ, ëåæàùèõ â îñíîâå êâàíòîâîé òåîðèè - èíòåðåðåíöèþ îäíîé êâàíòîâîé ÷àñòèöû ïðè ïðîõîæäåíèè ñêâîçü äâå ùåëè â ýêðàíå. Ìû õîðîøî çíàåì, ÷òî èíòåðåðåíöèîííàÿ êàðòèíà äëÿ ýòîãî ýêñïåðèìåíòà íå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ïðîñòûì ñëîæåíèåì êàðòèí ïðè ïðîõîæäåíèè ÷àñòèöû ñêâîçü îäíó è äðóãóþ ùåëè â îòäåëüíîñòè. Ïóñòü ëîãè÷åñêàÿ îðìóëà

A îçíà÷àåò, ÷òî ÷àñòèöà ïðîøëà ÷åðåç ïåðâóþ ùåëü, à îðìóëà B

îçíà÷àåò, ÷òî îíà ïðîøëà ÷åðåç âòîðóþ ùåëü. Òîãäà ïðîõîæäåíèå ÷àñòèöà ÷åðåç äâå ùåëè ìîæíî âûðàçèòü ëîãè÷åñêè ñ ïîìîùüþ îðìóëû

A or B .

Èìåííî â

ýòîì ñîñòîèò òðàêòîâêà ýêñïåðèìåíòà ïî ïðîõîæäåíèþ ÷åðåç ïàðó ùåëåé ñ òî÷êè çðåíèÿ êëàññè÷åñêîé èçèêè, êîòîðàÿ ðàññìàòðèâàåò ÷àñòèöó êàê òî÷å÷íóþ. Èíûìè ñëîâàìè, åñëè ìû äåòåêòèðóåì ÷àñòèöó çà ýêðàíîì, ìû äåëàåì âûâîä, ÷òî îíà ïðîøëà ÷åðåç îäíó èç ùåëåé, òî åñòü èìååò ìåñòî îðìóëà

A or B .

 êâàíòîâîé èçèêå ñèòóàöèÿ íåìíîãî èíàÿ. Ïîÿâëåíèå ÷àñòèöû çà ýêðàíîì íå îçíà÷àåò, ÷òî îíà ïðîøëà ëèáî ÷åðåç ïåðâóþ, ëèáî ÷åðåç âòîðóþ ùåëü, ýòî âîîáùå îñîáîå ñîáûòèå, ñâÿçàííîå ñî ùåëÿìè íåêèì ñïåöèàëüíûì ñïîñîáîì. Çäåñü ïðîõîæäåíèå ÷àñòèöû (êàê òî÷å÷íîé) ÷åðåç îäíó èç ùåëåé òîæå âûðàæàåòñÿ îðìóëîé

A or B ,

íî äëÿ òîãî, ÷òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, ìû äîëæíû óìåòü

îòâåòèòü íà âîïðîñ î òîì, ÷åðåç êàêóþ èìåííî ùåëü ïðîøëà ÷àñòèöà ! Òî åñòü äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îðìóëû

A or B

â êâàíòîâîé èçèêå íàäî äåòåêòèðîâàòü

÷àñòèöó â ìîìåíò ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç ýêðàí, ÷òî íåìèíóåìî ïðèâåäåò ê åå íàáëþäåíèþ ëèáî â ïåðâîé, ëîáî âî âòîðîé ùåëè, è, ðàçóìååòñÿ, èñïîðòèò âñþ èíòåðåðåíöèîííóþ êàðòèíó. Òàê âîò, â êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå âñå îáñòîèò èìåííî òàê,

54

ËÀÂÀ 2.

ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

A or B ìîæíî òîëüêî äâóìÿ ñïîñîäîêàçàòü B . Íèêàêîãî äðóãîãî ñïîñîáà

êàê â êâàíòîâîé òåîðèè. Äîêàçàòü îðìóëó áàìè: ëèáî íàäî äîêàçàòü

A,

ëèáî íàäî

äîêàçàòåëüñòâ äèçúþíêöèè êîíñòðóêòèâèçì íå ïðèçíàåò. Èç ýòîãî, â ÷àñòíîñòè,

A or not A â êîíñòðóêòèâèçìå ìîæíî äîêàçàòü, òîëüêî ëèáî äîêàçàâ A, ëèáî äîêàçàâ not A. Òî åñòü, â êîíñòðóêòèâèçìå íå ñëåäóåò ãëóáîêèé âûâîä: îðìóëà

ñóùåñòâóåò çàêîíà èñêëþ÷åííîãî òðåòüåãî ! Íà ïåðâûé âçãëÿä, ýòî - íåäîñòàòîê êîíñòðóêòèâèçìà. Íî íàäî ïîìíèòü, ÷òî óìåòü ìíîãîå äîêàçûâàòü - íå âñåãäà áëàãî. Ñèëà âûâîäà â êâàíòîâîé ìåõàíèêå ïðÿìî ïðîòèâîðå÷èò ïðèðîäå, êàê â ñëó÷àå ýêñïåðèìåíòà ñ äâóìÿ ùåëÿìè, ãäå ïðèíÿòèå

A or B

èñêëþ÷àåò èíòåðå-

ðåíöèîííóþ êàðòèíó. Òàêèì îáðàçîì, èìåííî êîíñòðóêòèâíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà íàèëó÷øèì îáðàçîì ñîîòâåòñòâóåò êâàíòîâîé èçèêå. Ýòî áûëî îñîçíàíî åùå îí Íåéìàíîì, êîòîðûé ïûòàëñÿ ïîñòðîèòü âñþ êâàíòîâóþ òåîðèþ íà îñíîâå èíòóèöèîíèçìà. Ýòà ïîïûòêà íå èìåëà îñîáîãî óñïåõà, íåñìîòðÿ íà àáñîëþòíî ïðàâèëüíóþ èäåþ, ëåæàùóþ â åå îñíîâå: ïîêàçàòü, ÷òî èíòóèöèîíèçì ÿâëÿåòñÿ èñòèííîé ëîãèêîé êâàíòîâîé òåîðèè. Ïèîíåðñêàÿ ðàáîòà îí Íåéìàíà è .Áèðêãîà [32℄ íå èìåëà áîëüøîãî ïðîäîëæåíèÿ èç-çà ñëîæíîñòè ïðîáëåìû ïåðåâîäà êâàíòîâîé èçèêè íà ðåëüñû êîíñòðóêòèâèçìà, ÷òî òðåáóåò òàêæå çàìåíû ñòàíäàðòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà íà êîíñòðóêòèâíûé. Äåëî íå ìîæåò áûòü ðåøåíî ïðîñòîé çàìåíîé ëîãèêè, ïîñêîëüêó ïàðàëëåëüíî äîëæíà áûòü èçìåíåíà àêòè÷åñêè èíòåðïðåòàöèÿ âñåõ âû÷èñëèòåëüíûõ ïðèåìîâ, ïðàêòèêóåìûõ â òåîðåòè÷åñêîé èçèêå. Ñîðìóëèðóåì òå èçìåíåíèÿ â ÿçûêå èñ÷èñëåíèÿ âûñêàçûâàíèé, êîòîðûå íåîáõîäèìû äëÿ ïåðåõîäà îò êëàññè÷åñêîãî èñ÷èñëåíèÿ ê èíòóèöèîíèñòñêîìó. Ýòî èçìåíåíèå îäíî, è îíî ïðåäåëüíî ïðîñòî. Ëîãè÷åñêèå ñåêâåíöèè òåïåðü áóäóò èìåòü âèä

A1 , A2 , . . . , An −→ (B).

(2.2)

Òî åñòü ñ ñóêöåäåíòå ìîæåò ñòîÿòü íå áîëåå îäíîé îðìóëû. Ýòî ïðîñòåéøåå ñèíòàêñè÷åñêîå óñëîâèå  çàïðåò íà ðàñùåïëåíèå ñóêöåäåíòà, äàåò íàì èíòóèöèîíèñòñêîå èñ÷èñëåíèå âûñêàçûâàíèé âçàìåí êëàññè÷åñêîãî. Âñå îñòàëüíûå ïðàâèëà âûâîäà è àêñèîìû ïîëíîñòüþ ñîõðàíÿþòñÿ.  ýòîì èñ÷èñëåíèè óæå íåëüçÿ âûâåñòè ïðàâèëî èñêëþ÷åííîãî òðåòüåãî, êàê â êëàññè÷åñêîì èñ÷èñëåíèè, èìåííî èç-çà îïðåäåëåíèÿ ñåêâåíöèé âèäà 2.2. Òàêèì îáðàçîì, èíòóèöèîíèñòñêàÿ ëîãèêà âûñêàçûâàíèé èìååò, ïî ñóùåñòâó, òîò æå àðñåíàë ïðàâèë âûâîäà, ÷òî è êëàññè÷åñêàÿ ëîãèêà âûñêàçûâàíèé, è îãðàíè÷åíèå, íàêëàäûâàåìîå èíòóèöèîíèçìîì íà ëîãèêó, íå äîëæíî çàòðàãèâàòü ïðèíöèïèàëüíûõ âåùåé. Ýòà äîãàäêà ïîëíîñòüþ ïîäòâåðæäàåòñÿ òî÷íûìè òåîðåìàìè. À èìåííî, ñóùåñòâóåò òàê íàçûâàåìàÿ èíòåðïðåòàöèÿ êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè â òåðìèíàõ êîíñòðóêòèâíîé, ñîõðàíÿþùàÿ ëîãè÷åñêèé âûâîä. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîé ïåðåâîä îðìóë âèäà

T rans : A −→ [A] ãäå

A

- îðìóëà êëàññè÷åñêîé ëîãèêè,

[A]

- ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé îðìóëà êîí-

ñòðóêòèâíîé ëîãèêè, íàçûâàåìàÿ åå êîíñòðóêòèâíîé èíòåðïðåòàöèåé, òàê ÷òî â

2.3. ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎ ÈÊÀ È ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÒÅÎÈß55

êëàññè÷åñêîé ëîãèêå âûâîäèìà ñêîé ëîãèêå âûâîäèìà

[A].

A

òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â èíòóèöèîíèñò-

Ýòîò ðåçóëüòàò (ñì. [33℄, [26℄) ãîâîðèò î òîì, ÷òî

êëàññè÷åñêàÿ è èíòóèöèîíèñòñêàÿ ëîãèêè ÿâëÿþòñÿ ðàâíî íåïðîòèâîðå÷èâûìè. Åñëè â îäíîé èç íèõ îáíàðóæèëîñü áû ïðîòèâîðå÷èå, òî îíî áûëî áû è â äðóãîé. Òî÷íî òàê æå, êàê è â ñëó÷àå êëàññè÷åñêîé ëîãèêè, ê èíòóèöèîíèçìó ìîæíî äîáàâèòü àêñèîìû àðèìåòèêè èëè òåîðèè ìíîæåñòâ, è ïîëó÷èòü êîíñòðóêòèâíûå âåðñèè ýòèõ ëîãè÷åñêèõ òåîðèé.  êîíñòðóêòèâíîé ëîãèêå ìîæíî äîêàçàòü òåîðåìó, àíàëîãè÷íóþ ïåðâîé òåîðåìå åäåëÿ, íî òîëüêî äëÿ êîíñòðóêòèâíîé ëîãèêè îïðåäåëåíèå ìîäåëåé áóäåò èíûì, ýòî áóäóò ìîäåëè Êðèïêå. Ìîäåëü êîíñòðóêòèâíîé ëîãèêè áóäåò ñîäåðæàòü ïàðàìåòð, êîòîðûé ìîæíî íàçâàòü âðåìåíåì

t.

àçäåëåíèå ëîãè÷åñêèõ îðìóë íà ëîæíûå è èñòèííûå áóäåò çàâèñåòü

îò çíà÷åíèÿ

t.

 êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè îðìóëû áóäóò ïîäðàçäåëÿòüñÿ íà

èñòèííûå, ëîæíûå, è íå îïðåäåëåííûå. Åñëè äëÿ ïåðâûõ äâóõ òèïîâ èñòèííîñòíûå çíà÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ óñòàíîâëåííûìè ê ýòîìó ìîìåíòó âðåìåíè, òî äëÿ íå îïðåäåëåííûõ îðìóë ìû ñ÷èòàåì, ÷òî èõ èñòèííîñòíûå çíà÷åíèÿ â ìîìåíò åùå íå óñòàíîâëåíû.  ñëåäóþùèå ìîìåíòû

t1 > t

t

óæå óñòàíîâëåííûå ðàíåå

èñòèííîñòíûå çíà÷åíèÿ íå ìîãóò ìåíÿòüñÿ, íî äëÿ íå îïðåäåëåííûõ îðìóë ìîãóò áûòü óñòàíîâëåíû íîâûå èñòèííîñòíûå çíà÷åíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâà îðìóë ñ îïðåäåëåííûìè èñòèííîñòíûìè çíà÷åíèÿìè áóäóò óâåëè÷èâàòüñÿ, à ìíîæåñòâà îðìóë ñ íå îïðåäåëåííûìè èñòèííîñòíûìè çíà÷åíèÿìè áóäåò ñîêðàùàòüñÿ. Ìû íå áóäåì çäåñü ïðèâîäèòü òî÷íîãî îïðåäåëåíèÿ èíòóèöèîíèñòñêèõ ìîäåëåé Êðèïêå. Îãðàíè÷èìñÿ òîëüêî ïîâåðõíîñòíûì çàìå÷àíèåì î òîì, ÷òî òàêèå ìîäåëè â áîëüøåé ìåðå ñîîòâåòñòâóþò êâàíòîâîé òåîðèè, ÷åì îáûêíîâåííûå.  êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòèêå ê èñòèííûì âûñêàçûâàíèÿì ïðåäúÿâëÿþòñÿ áîëüøèå òðåáîâàíèÿ, ÷åì â êëàññè÷åñêîé. Ýòî ñâÿçàíî ñ áîëåå æåñòêèìè òðåáîâàíèÿìè ê ëîãè÷åñêîìó âûâîäó, êîòîðûå èìåþòñÿ â êîíñòðóêòèâèçìå. Çäåñü íóæíî ïðåäúÿâèòü ÿâíûå àëãîðèòìû ïîñòðîåíèÿ òðåáóåìûõ îáúåêòîâ, à íå ïðîñòî äîêàçàòü, ÷òî íå ñóùåñòâîâàíèå òàêèõ îáúåêòîâ âåäåò ê ïðîòèâîðå÷èþ, êàê â êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêå.

14

ßñíî âèäíî, ÷òî ýòà îñîáåííîñòü êîíñòðóêòèâèçìà

ïîëíîñòüþ ñîîòâåòñòâóåò ñèòóàöèè â êâàíòîâîé òåîðèè.  êâàíòîâîé ìåõàíèêå ìíîãèå èçè÷åñêèå âåëè÷èíû íå èìåþò îïðåäåëåííûõ çíà÷åíèé, íî ìîãóò ïîëó÷èòü èõ â äàëüíåéøåì, â ðåçóëüòàòå ïðîâåäåííîé íàä ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìîé íàáëþäåíèÿ. Áîëåå òîãî, ãëàâíûå èçè÷åñêèå âåëè÷èíû: çàðÿä è ìàññà ÷àñòèö, ìîãóò èìåòü íåìíîãî ðàçíûå çíà÷åíèÿ â çàâèñèìîñòè îò ñöåíàðèÿ, â êîòîðîì îíè ðàññìàòðèâàþòñÿ, òî åñòü â çàâèñèìîñòè îò ñâîåãî èíäèâèäóàëüíîãî îêðóæåíèÿ (ïåðåíîðìèðîâêà çàðÿäà è ìàññû). Ýòî ïîäòâåðæäàåò ìûñëü î òîì, ÷òî êîíñòðóêòèâèçì âíóòðåííå ïðèñóù êâàíòîâîé òåîðèè. Ïîýòîìó îîðìëåíèå êâàíòîâîé èçèêè â êîíñòðóêòèâíóþ îðìó ÿâëÿåòñÿ ãëóáîêî îáîñíîâàííûì øàãîì. 14 å÷ü

èäåò î òåõ ñàìûõ äîêàçàòåëüñòâàõ ÷èñòîãî ñóùåñòâîâàíèÿ, êîòîðûå òàê ðàçäðàæàþò èçèêîâ, è êîòîðûå ñîñòàâëÿþò ïðåäìåò ãîðäîñòè êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêè. Êîíñòðóêòèâíàÿ ìàòåìàòèêà ñâîáîäíà îò ýòèõ èçëèøåñòâ.

56

ËÀÂÀ 2.

ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

2.3.4 Èäåÿ ïëþðàëèçìà è åå çíà÷åíèå äëÿ èçèêè  êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêå ñîäåðæèòñÿ íå÷òî çíà÷èòåëüíî áîëåå âàæíîå, ÷åì ïðàâèëà äëÿ ëîãè÷åñêèõ ïðîöåäóð. Ýòî - óíäàìåíòàëüíàÿ èäåÿ ëîãè÷åñêîãî ïëþðàëèçìà. ß ñïåöèàëüíî îñòàíîâëþñü íà íåé, ïîñêîëüêó îíà èìååò áîëüøîå çíà÷åíèå äëÿ èçèêè. Êàê èçâåñòíî èç ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàà, âîïðîñ î íåïðîòèâîðå÷èâîñòè ëîãè÷åñêîé òåîðèè íå ìîæåò áûòü ðåøåí â ïðåäåëàõ ñàìîé ýòîé òåîðèè. Ïîýòîìó ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå ïðèîáðåòàåò âîïðîñ îá óñëîâíîé íåïðîòèâîðå÷èâîñòè. Åñëè ìû âåðèì, ÷òî íåêàÿ òåîðèÿ íåïðîòèâîðå÷èâà, òî èç ýòîãî èíîãäà ìîæíî ñäåëàòü ñîâåðøåííî ñòðîãîå çàêëþ÷åíèå î íåïðîòèâîðå÷èâîñòè äðóãîé òåîðèè. Ïîñìîòðèì ñ ýòèõ ïîçèöèé íà êëàññè÷åñêóþ è èíòóèöèîíèñòñêóþ ëîãèêè. Ïîñêîëüêó èíòóèöèîíèñòñêàÿ ëîãèêà ÿâëÿåòñÿ ïî îïðåäåëåíèþ ñóæåíèåì êëàññè÷åñêîé, òî íåïðîòèâîðå÷èâîñòü êëàññè÷åñêîé ëîãèêè ñðàçó ãàðàíòèðóåò íåïðîòèâîðå÷èâîñòü ëîãèêè êîíñòðóêòèâíîé. Âåðíî ëè îáðàòíîå óòâåðæäåíèå ? Îòâåò, êàê ìû çíàåì, óòâåðäèòåëüíûé. Ñóùåñòâóåò ïåðåâîä òåêñòîâ âèäà

˜ D −→ D, òàêîé ÷òî åñëè òåêñò òåêñò

˜ D

D

(2.3)

ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâîì â êëàññè÷åñêîé ëîãèêå, òî

ÿâëÿåòñÿ äîêàçàòåëüñòâîì â ëîãèêå êîíñòðóêòèâíîé. Èç ýòîãî ñëåäó-

åò óñëîâíàÿ íåïðîòèâîðå÷èâîñòü êëàññè÷åñêîé ëîãèêè: îíà íåïðîòèâîðå÷èâà, åñëè íåïðîòèâîðå÷èâ èíòóèöèîíèçì. Èìåííî ýòîò ïóòü îáîñíîâàíèÿ êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêè è èìåëñÿ â âèäó Áðàóýðîì è äðóãèìè ñòîðîííèêàìè èíòóèöèîíèçìà. Êîíñòðóêòèâíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà îáëàäàåò áîëüøåé èíòóèòèâíîé óáåäèòåëüíîñòüþ, ÷åì êëàññè÷åñêàÿ, îòñþäà è ïðîèñõîäèò åå íàçâàíèå. Èíòóèöèîíèçì òðåáóåò îò äîêàçàòåëüñòâà êîíêðåòíûõ ïðîöåäóð ïîñòðîåíèÿ èñêîìîãî îáúåêòà, à íå ïðîñòî êîíñòàòàöèè òîãî, ÷òî òàêîãî îáúåêòà íå ìîæåò íå ñóùåñòâîâàòü.  èíòóèöèîíèçìå íå ïðèçíàåòñÿ ñòàíäàðòíàÿ ñõåìà êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêè: ïðåäïîëîæèì, ÷òî òàêîãî îáúåêòà íåò è ïðèäåì ê ïðîòèâîðå÷èþ... Òî åñòü êîíñòðóêòèâíàÿ ëîãèêà îáëàäàåò áîëüøåé ñòåïåíüþ íàäåæíîñòè êàê ðàç ñ èçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, îñîáåííî â ñâåòå òåîðåìû åäåëÿ î äîêàçàòåëüñòâàõ íåïðîòèâîðå÷èâîñòè. Òàê âîò, óïîìÿíóòàÿ òåîðåìà îçíà÷àåò, ÷òî ýòà âûñîêàÿ ñòåïåíü íàäåæíîñòè êîíñòðóêòèâèçìà ìîæåò áûòü â íåêîòîðîì ñìûñëå ïåðåíåñåíà è íà êëàññè÷åñêóþ ëîãèêó !

15

Íî äëÿ òîãî, ÷òîáû ýòîò ïåðåíîñ îñóùåñòâèòü ðåàëüíî, íóæåí ïåðåâîä òåêñòîâ âèäà 2.3, à îí îïðåäåëåí íåîäíîçíà÷íî. Ýòî ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ïðîÿâëåíèé ìíîæåñòâåííîñòè ëîãè÷åñêèõ îöåíîê, ïðèñóùèõ êîíñòðóêòèâèçìó. Äðóãèì ïðîÿâëåíèåì ýòîé ìíîæåñòâåííîñòè ÿâëÿåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòü èñòèííîñòíûõ çíà÷åíèé îðìóë äî íåêîòîðîãî ìîìåíòà âðåìåíè, êàê â ìîäåëÿõ Êðèïêå. Òàêèì 15 Òåì

íå ìåíåå, â èíòóèöèîíèçìå åñòü òà æå ïðîáëåìà äîêàçàòåëüñòâà íåïðîòèâîðå÷èâîñòè, ÷òî è â êëàññè÷åñêîé ëîãèêå. Òàêèì îáðàçîì, èíòóèöèîíèçì, âîïðåêè íàäåæäàì îí Íåéìàíà, íå ìîæåò ñëóæèòü åäèíñòâåííîé íàäåæíîé îñíîâîé êîíñòðóêòèâíîé èçèêè.

2.3. ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ËÎ ÈÊÀ È ÊÂÀÍÒÎÂÀß ÒÅÎÈß57

îáðàçîì, êîíñòðóêòèâèçì îáëàäàåò âñòðîåííûì ñâîéñòâîì ïëþðàëèçìà èñòèííîñòíûõ îöåíîê: òàêèå îöåíêè â íåì ìîãóò çàâèñåòü îò âðåìåíè è îò ñïîñîáà èíòåðïðåòàöèè â íåì êëàññè÷åñêîé ëîãèêè. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ýòîãî ñâîéñòâà êîíñòðóêòèâíîé ëîãèêè íåâîçìîæíî èçáåæàòü. Åãî íàäî âîñïðèíèìàòü êàê íåèçáåæíóþ ïëàòó çà óäîáñòâà, ïðåäîñòàâëÿåìûå êîíñòðóêòèâèçìîì, à èìåííî, ýåêòèâíîñòü âñåõ ïðîöåäóð íàõîæäåíèÿ îáúåêòîâ è âûòåêàþùóþ èç ýòîé ýåêòèâíîñòè áîëüøóþ óâåðåííîñòü â íàäåæíîñòè ëîãè÷åñêèõ âûâîäîâ, ÷åì

16

â êëàññè÷åñêîé èçèêå.

Ôóíäàìåíòàëüíîå ñâîéñòâî ïëþðàëèçìà êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè èìååò áîëüøîå çíà÷åíèå äëÿ èçèêè. Ïëþðàëèçì óêàçûâàåò íà ñóùåñòâîâàíèå ãðàíèö ïðèìåíèìîñòè èçè÷åñêèõ òåîðèé, è, â îñîáåííîñòè, íà ãðàíèöû ïðèìåíèìîñòè îñíîâíûõ èçè÷åñêèõ êîíöåïöèé. å÷ü èäåò, ïðåæäå âñåãî, î êîíöåïöèè íåîòëè÷èìîñòè, èëè èäåíòè÷íîñòè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, ïîçâîëÿþùåé ïðèìåíÿòü â êâàíòîâîé ìåõàíèêå ìåòîäû ìàòðè÷íîé àëãåáðû. Èäåíòè÷íîñòü ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ñóùåñòâåííûì îáðàçîì èñïîëüçóåòñÿ â îðìàëèçìå ÷èñåë çàïîëíåíèÿ, ÷òî äàåò âîçìîæíîñòü çàïèñûâàòü èçè÷åñêèå îïåðàòîðû â êîìïàêòíîé îðìå. Íàøà ðàáîòà ïî êîíñòðóêòèâèçàöèè èçèêè, ðàçóìååòñÿ, íóæäàåòñÿ â âû÷èñëèòåëüíûõ ïðåìàõ òàêîãî ðîäà. Ïîýòîìó ìû è íå ñîáèðàåìñÿ ðàññòàâàòüñÿ ñ ïðåäñòàâëåíèåì î ýêâèâàëåíòíîñòè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö îäíîãî òèïà. Îäíàêî ñòàòóñ òàêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ â êîíñòðóêòèâíîé èçèêå îãðàíè÷åí óíäàìåíòàëüíûì ñâîéñòâîì ïëþðàëèçìà, òî åñòü îí íèæå, ÷åì óíäàìåíòàëüíûé çàêîí ïðèðîäû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå î ýêâèâàëåíòíîñòè îäíîòèïíûõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö íå ïðèíàäëåæèò íîâîìó îðìàëèçìó, à ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî óäîáíûì ïðåäïîëîæåíèåì äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìîäåëèðóþùèõ àëãîðèòìîâ â èçâåñòíûõ íàì ñëó÷àÿõ. Ýòî ïðåäïîëîæåíèå ñâÿçàíî ñ óäîáñòâîì, è îò íåãî ìîæíî îòêàçàòüñÿ â òîì ñëó÷àå, êîãäà ýòî áóäåò íåîáõîäèìî. Âîçìîæíîñòü îòêàçà îò ïðåäñòàâëåíèÿ î òîæäåñòâåííîñòè ÷àñòèö íå ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ ïðèíöèïèàëüíûì øàãîì â òîì ñëó÷àå, åñëè ìû äåëàåì âûáîð â ïîëüçó êîíñòðóêòèâèçìà. Ïîýòîìó ýòî ïðåäñòàâëåíèå î òîæäåñòâåííîñòè â êîíñòðóêòèâèçìå íåëüçÿ òðàêòîâàòü êàê êîíöåïöèþ

17

.

Ïðåäñòàâëåíèå î èäåíòè÷íîñòè îäíîòèïíûõ ÷àñòèö (íàïðèìåð, ýëåêòðîíîâ) îáóñëîâëåíî òîëüêî òåì, ÷òî îíî ïîçâîëÿåò ëåãêî ñòðîèòü ìîäåëèðóþùèå äèíàìèêó àëãîðèòìû â èçâåñòíûõ íàì ñëó÷àÿõ, òî åñòü â òåõ çàäà÷àõ, ãäå ìû èãíîðèðóåì âîçìîæíîñòü ñëîæíûõ çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé ìíîãèõ ÷àñòèö. Ñ ýòèì îïûòîì ñâÿçàíà òðàäèöèÿ, ïî êîòîðîé ìû ñîõðàíÿåì ïðåäñòàâëåíèå îá èäåíòè÷íîñòè. Äëÿ íàðóøåíèÿ òàêîé òðàäèöèè íåîáõîäèìà ñèòóàöèÿ, ïðè êîòîðîé 16 Ýòà óâåðåííîñòü âñå òàêè íå àáñîëþòíà, èç-çà ñîõðàíåíèÿ ãåäåëåâñêîé êîíñòðóêöèè. Åäèíñòâåííûé îðìàëüíî êîððåêòíûé ïóòü çäåñü - â ðàçäåëåíèè ìîäåëè íà ïîëüçîâàòåëüñêóþ è àäìèíèñòðàòèâíóþ ÷àñòè è ÿâíîå ââåäåíèå ïîëüçîâàòåëÿ â êà÷åñòâå îðàêóëà. 17 Ñâÿçü òèïîâ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ñ íåïðèâîäèìûìè ïðåäñòàâëåíèÿìè ãðóïïû Ïóàíêàðå íå ìîæåò ñëóæèòü îáîñíîâàíèåì òîãî, ÷òî èäåíòè÷íîñòü îäíîòèïíûõ ÷àñòèö åñòü óíäàìåíòàëüíûé çàêîí. Ìîæíî âñåãäà ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ÷àñòèöû âíóòðè îäíîãî òèïà èìåþò èíäèâèäóàëüíîñòè, ñâÿçàííûå ñ ðàçíûì îêðóæåíèåì. Ïîäîáíîå ïðåäïîëîæåíèå â êîíñòðóêòèâíîé èçèêå ÿâëÿåòñÿ âîïðîñîì ýåêòèâíîñòè ìîäåëèðóþùóãî àëãîðèòìà, à íå àêñèîìîé.

58

ËÀÂÀ 2.

ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

âû÷èñëèòåëüíóþ âûãîäó äàâàëî áû ðàçäåëåíèå ÷àñòèö íà áîëåå ìåëêèå ãðóïïû,

18

èëè íàîáîðîò, èõ îáúåäèíåíèå â áîëüøèå.

Âîçìîæíóþ îðìó äëÿ ýòîãî ïðåäî-

ñòàâëÿåò ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ, êîòîðûé îïèñàí â ñëåäóþùåé ãëàâå. Îäíà êâàíòîâàÿ ÷àñòèöà ïðåäñòàâëÿåòñÿ çäåñü êàê àíñàìáëü, ñîñòîÿùèé èç åå ýêçåìïëÿðîâ. Ýòî äàåò â ïðèíöèïå âîçìîæíîñòü íàäåëÿòü ýêçåìïëÿðû èíäèâèäóàëüíûìè ñâîéñòâàìè, òî åñòü ðåàëèçîâûâàòü èìåííî òó ñóáñòðóêòóðíîñòü, êîòîðàÿ èìååòñÿ â âèäó ïðè âîçìîæíîì îòêàçå îò ïðåäñòàâëåíèÿ î èäåíòè÷íîñòè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Îòêàç îò ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ìîæåò äàâàòü î÷åíü ñåðüåçíóþ âûãîäó â ñëó÷àå, êîãäà ðå÷ü èäåò î äèíàìè÷åñêèõ ñöåíàðèÿõ äëÿ ñëîæíûõ ñèñòåì, è ìû åùå âåðíåìñÿ äàëåå ê ýòîé âîçìîæíîñòè. Ïîêà æå êîíñòàòèðóåì, ÷òî èäåíòè÷íîñòü ÷àñòèö ìû ñîõðàíÿåì ðàäè òåõ âèäèìûõ óäîáñòâ, êîòîðûå äàþò íàì èìåþùèåñÿ àëãîðèòìû ìîäåëèðîâàíèÿ.

2.4

Êîíñòðóêòèâíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç

Àëãîðèòìè÷åñêèé ïîäõîä ê èçèêå îáëàäàåò ïîëíîé ïðååìñòâåííîñòüþ ïî îòíîøåíèþ ê òðàäèöèîííîìó. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî àëãîðèòìû çäåñü ïðèìåíÿþòñÿ ê ñòàíäàðòíîìó èíñòðóìåíòàðèþ òåîðèçèêîâ - ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó. Íàì íóæíà òàêàÿ àëãîðèòìèçàöèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, êîòîðàÿ áû ñîõðàíèëà â íåïðèêîñíîâåííîñòè åãî âû÷èñëèòåëüíóþ ÷àñòü - òî, ÷òî òîëüêî è ñóùåñòâåííî äëÿ èçèêè.  ñòàíäàðòíîì ìàòàíàëèçå Êîøè-Âåéåðøòðàññà åñòü åùå àáñòðàêòíàÿ ÷àñòü, ãäå ñóùåñòâóþò òàêèå îáúåêòû, êàê òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå ïðîáëåìû, âîçìîæíîñòü âûáîðà ðàçíîé àêñèîìàòèêè è òîìó ïîäîáíûå âåùè, â èçèêå íå ïðèìåíÿåìûå. Ýòîé ÷àñòüþ ìîæíî, è äàæå íåîáõîäèìî ïîæåðòâîâàòü ïðè àëãîðèòìèçàöèè ìàòàíàëèçà. Òàêîé èíñòðóìåíò óæå ñîçäàí, è îí íàçûâàåòñÿ êîíñòðóêòèâíûì ìàòåìàòè÷åñêèì àíàëèçîì. Äàííûé ðàçäåë ÿâëÿåòñÿ êðàòêèì ââåäåíèåì â ýòó íåîáõîäèìóþ äëÿ íàñ îáëàñòü.

19

2.4.1 Êîíñòðóêòèâíûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà Èçâåñòíî, ÷òî ÷èñëà áûâàþò (â ïîðÿäêå âëîæåííîñòè ìíîæåñòâ): íàòóðàëüíûìè, öåëûìè, ðàöèîíàëüíûìè, àëãåáðàè÷åñêèìè è òðàíñöåíäåíòíûìè. Êîíñòðóêòèâèçì ââîäèò ìåæäó äâóìÿ ïîñëåäíèìè êëàññàìè åùå îäèí êëàññ - êîíñòðóêòèâíûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà. Êðàòêî ãîâîðÿ, êîíñòðóêòèâíîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî - ýòî òàêîå ÷èñëî, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë

r1 , r2 , . . .,

êî-

òîðàÿ ãåíåðèðóåòñÿ íåêîòîðûì àëãîðèòìîì. Ïîíÿòíî, ÷òî âñÿêîå àëãåáðàè÷åñêîå ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ êîíñòðóêòèâíûì, ïîñêîëüêó ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ñ öåëûìè êîýèöèåíòàìè ìîæíî ñêîëü óãîäíî òî÷íî ïðèáëèçèòü ðàöèîíàëüíûìè ÷èñ18 Ïðèìåðîì ïîñëåäíåé ñèòóàöèè ÿâëÿåòñÿ ââåäåíèå ïîíÿòèÿ èçîñïèíà â ÿäåðíîé èçèêå. 19 Èíòåðåñóþùèéñÿ ÷èòàòåëü ìîæåò ïîäðîáíåå ïîçíàêîìèòüñÿ ñ ýòèì ïðåäìåòîì ïî êíèãå

[25℄.

2.4.

59

ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÛÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ

ëàìè, ïðè÷åì êàæäîå ïîñëåäóþùåå ïðèáëèæåíèå ïîëó÷àåòñÿ èç ïðåäûäóùåãî ñîâåðøåííî îïðåäåëåííîé, êîíñòðóêòèâíîé ïðîöåäóðîé. Åñòü è ïðèìåðû òðàíñöåíäåíòíûõ ÷èñåë, êîòîðûå ÿâÿþòñÿ êîíñòðóêòèâíûìè, íàïðèìåð,

e,π ,

à òàêæå

ëþáûå àëãåáðàè÷åñêèå êîìáèíàöèè ýòèõ ÷èñåë, êîíñòàíòà Ýéëåðà, î êîòîðîé âîîáùå íå èçâåñòíî, ÿâëÿåòñÿ ëè îíà ðàöèîíàëüíîé, è ò.ä. Âîîáùå, âñå èñïîëüçóåìûå â âû÷èñëåíèÿõ âåùåñòâåííûå ÷èñëà ÿâëÿþòñÿ êîíñòðóêòèâíûìè, ÷òî ïîçâîëÿåò ãîâîðèòü î òîì, ÷òî ýòîò êëàññ ÷èñåë äîñòàòî÷åí äëÿ ïîñòðîåíèÿ êîíñòðóêòèâíîãî àíàëîãà ìàòàíàëèçà. Òåì íå ìåíåå, ìíîæåñòâî êîíñòðóêòèâíûõ ÷èñåë ñ÷åòíî, òàê ÷òî àáñîëþòíîå áîëüøèíñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë êîíñòðóêòèâíûìè íå ÿâëÿþòñÿ. Òî åñòü êîíñòðóêòèâíûé ìàòàíàëèç ìîæåò ïðèíöèïèàëüíî îòëè÷àòüñÿ îò îáûêíîâåííîãî (è îòëè÷àåòñÿ îò íåãî), ïî êðàéíåé ìåðå, åñëè ìû èñïîëüçóåì äëÿ åãî îïèñàíèÿ òó æå ëîãè÷åñêóþ

20

òåîðèþ

.

Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê è åñòü.

2.4.2 Êîíñòðóêòèâíûå óíêöèè êîíñòðóêòèâíîãî âåùåñòâåííîãî ïåðåìåííîãî Ïîñêîëüêó â îñíîâó êîíñòðóêòèâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ïîëîæåíû àëãîðèòìû, ýòî äîëæíî îòíîñèòüñÿ òàêæå è ê ÷èñëîâûì óíêöèÿì. Ïîñêîëüêó ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïàðû íàòóðàëüíûõ ñî çíàêîì, òî îíè ìîãóò ñëóæèòü îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ óíêöèè, çàäàâàåìîé àëãîðèòìîì. Ïóñòü ó íàñ åñòü óíêöèÿ

f , çàäàâàåìàÿ àëãîðèòìîì, êîòîðàÿ

îòîáðàæàåò ïðîèçâîëüíûå êîíå÷íûå êîðòåæè ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë â ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ýòà óíêöèÿ çàäàâàëà îòîáðàæåíèå êîíñòðóêòèâíûõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë â êîíñòðóêòèâíûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà, íåîáõîäèìî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû äëÿ ëþáîé çàäàâàåìîé àëãîðèòìîì ñõîäÿùåéñÿ (â îáû÷íûõ

x1 , x2 , . . . ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ïîf (x1 ), f (x1 , x2 ), f (x1 , x2 , x3 ), . . . òàêæå áûëà ñõîäÿùåéñÿ. Ïóñòü äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé åñòü x è y ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà ýòè

âåùåñòâåííûõ ÷èñëàõ) ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëåäîâàòåëüíîñòü ïðåäåëû ýòèõ

÷èñëà ÿâëÿþòñÿ êîíñòðóêòèâíûìè âåùåñòâåíûìè ÷èñëàìè, è ìû ñêàæåì, ÷òî àëãîðèòì

f

çàäàåò êîíñòðóêòèâíóþ âåùåñòâåííóþ óíêöèþ, êîòîðóþ ìû áóäåì

îáîçíà÷àòü òîé æå áóêâîé, ÷òî è àëãîðèòì:

f (x) = y .

Ïîíÿòèå êîíñòðóêòèâíîé

20 Èçâåñòíî, ÷òî âñÿêàÿ íåïðîòèâîðå÷èâàÿ òåîðèÿ ñî ñ÷åòíîé ñèãíàòóðîé èìååò íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíóþ ìîäåëü. Ñèãíàòóðà (íàáîð ýëåìåíòàðíûõ ñèìâîëîâ) ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ñ÷åòíà, è ïîòîìó ñ÷åòíàÿ ìîäåëü åñòü è ó ñòàíäàðòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, â îðìàëèçàöèè, íàïðèìåð, Öåðìåëî-Ôðåíêåëÿ. Ñïðàøèâàåòñÿ, à ÷òî æå îçíà÷àåò òîãäà íåñ÷åòíîñòü ìíîæåñòâà âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ? Îíà îçíà÷àåò ïðîñòî îòñóòñòâèå â äàííîé ñ÷åòíîé ìîäåëè óíêöèè, óñòàíàâëèâàþùåé âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó òåì, ÷òî èãðàåò â ìîäåëè ðîëü âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, è íàòóðàëüíûì ðÿäîì.  áîëåå øèðîêîé ìîäåëè òàêàÿ óíêöèÿ åñòü, íî ýòî íå èãðàåò íèêàêîé ðîëè, ïîòîìó ÷òî â äàííîé îíà îòñóòñòâóåò. Ýòîò ïðèìåð, ìåæäó ïðî÷èì, äåìîíñòðèðóåò îäíó îñîáåííîñòü àêñèîìàòè÷åñêîãî ïîäõîäà, êîòîðàÿ áóäåò íåîæèäàííîé ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðîñòîãî èçè÷åñêîãî ñìûñëà: çäåñü åãî áûòü íå ìîæåò.

60

ËÀÂÀ 2.

ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

âåùåñòâåííîé óíêöèè ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì óíêöèè âåùåñòâåííîãî àðãóìåíòà â êîíñòðóêòèíîì ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå. Òàêèì îáðàçîì, óíêöèÿ íîé

x

y = f (x)

êîíñòðóêòèâíîé âåùåñòâåííîé ïåðåìåí-

ÿâëÿåòñÿ êîíñòðóêòèâíîé, åñëè ñóùåñòâóåò àëãîðèòì

áëèæåíèþ

r

äëÿ

x

âûäàåò ïðèáëèæåíèå

T (r)

÷èñëà

y,

T,

êîòîðûé ïî ïðè-

ïðè÷åì åñëè

T (r) −→ y .

r −→ x,

òî

Ñïðàâåäëèâà òåîðåìà (À.À.Ìàðêîâ-ìëàäøèé è .Ñ.Öåéòèí, ñì. [31℄, [50℄),

óòâåðæäàþùàÿ, ÷òî ëþáàÿ êîíñòðóêòèâíàÿ óíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ íåïðå-

ðûâíîé. Ìû íå áóäåì ïðèâîäèòü çäåñü åå ïîëíîãî äîêàçàòåëüñòâà, îãðàíè÷èâøèñü âñåãî ëèøü åãî íàáðîñêîì. Ïîêàæåì, ÷òî óíêöèÿ Õåâèñàéäà:

θ(x) =



0, if 1, if

x <= 0, x>0

íå ÿâëÿåòñÿ êîíñòðóêòèâíîé. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè áû îíà áûëà êîíñòðóêòèâíîé, òî ñóùåñòâîâàëà áû ìàøèíà Òüþðèíãà, êîòîðàÿ âûäàåò ïîñëåäîâàòëüíûå

0 èëè 1 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ê ÷åìó ñõîäèòñÿ èñõîäíàÿ ïîñëåx1 , x2 , . . .: ê íóëþ, èëè ê êàêîìó-ëèáî ïîëîæèòåëüíîìó ÷èñëó. n Âîçüìåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë, ñîâïàäàþùóþ ñ (−1) /n íà øàãå n, åñëè íåêîòîðàÿ ìàøèíà Òüþðèíãà M íå çàêîí÷èëà ñâîþ ðàáîòó íà íåêîòîðîì ñëîâå a. Òàê êàê óíêöèÿ f âûäàåò ñâîè çíà÷åíèÿ òîëüêî ïî êîíå÷íîìó íàáîðó x1 , x2 , . . . , xn , îíà äîëæíà äàâàòü õîðîøèå ïðèáëèæåíèÿ ñâîåãî çíà÷åíèÿ óæå íà

ïðèáëèæåíèÿ

äîâàòåëüíîñòü

êîíå÷íîì øàãå, ÷òî íåâîçìîæíî, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå ìû ðåøèëè áû ïðîáëåìó îñòàíîâêè äëÿ ìàøèíû

M,

êîòîðàÿ â îáùåì ñëó÷àå àëãîðèòìè÷åñêè íåðàçðå-

øèìà. Èíûìè ñëîâàìè, â êîíñòðóêòèâíîì àíàëèçå ñóùåñòâóþò òîëüêî íåïðåðûâíûå óíêöèè

21

. Ýòî ìîæíî ïîÿñíèòü åùå è òàê. Êîíñòðóêòèâíàÿ óíêöèÿ âåùå-

ñòâåííîãî àðãóìåíòà äîëæíà äàâàòü ïðèáëèæåíèÿ ñâîèõ çíà÷åíèé, çíàÿ òîëüêî ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà. Òàêîå òðåáîâàíèå ÿâëÿåòñÿ î÷åíü ïðàêòè÷íûì, òàê êàê, â îòëè÷èå îò ñèòóàöèè â ñòàíäàðòíîì àíàëèçå, çíà÷åíèÿ âñåõ ïåðåìåííûõ, âõîäÿùèõ â îðìóëèðîâêó òîé èëè èíîé êîíêðåòíîé çàäà÷è, èçâåñòíû íàì òîëüêî ñ íåêîòîðîé òî÷íîñòüþ. Ïðè ýòîì ìû äàæå íå çíàåì çàðàíåå, ñ êàêîé èìåííî òî÷íîñòüþ ìû çíà÷åì íóæíûå ïàðàìåòðû, òî åñòü âåëè÷èíà îøèáêè òàêæå ìîæåò áûòü íàì íå èçâåñòíà ! È âñå ðàâíî, êîíñòðóêòèâíàÿ óíêöèÿ äîæíà âûäàâàòü íàì ïðèáëèæåíèÿ ñâîèõ çíà÷åíèé (òî÷íîñòü êîòîðûõ, òàêèì îáðàçîì, áóäåò çàâèñåòü îò òî÷íîñòè èñõîäíûõ äàííûõ). Ýòîò ïóòü îïðåäåëåíèÿ âåùåñòâåííûõ óíêöèé ÿâëÿåòñÿ ãîðàçäî áîëåå èçè÷íûì, ÷åì èõ àêñèîìàòè÷åñêîå ââåäåíèå â ñòàíäàðòíîì àíàëèçå.  êîíñòðóêòèâíîì ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå åñòåñòâåííûì îáðàçîì ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè óíêöèé. Ïðè ýòîì òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, åñòåñòâåííî, äîëæíà ãåíåðèðîâàòüñÿ íåêîòîðûì àëãîðèòìîì. Âñå ñâîéñòâà ïðåäåëîâ èç ñòàíäàðòíîãî àíàëèçà áóäóò ñîõðàíåíû. Äîñëîâíî àíàëîãè÷íî 21 àçóìååòñÿ,

íå âñå íåïðåðûâíûå óíêöèè êîíñòðóêòèâíû. Âîîáùå êîíñòðóêòèâíûõ óíêöèé ñ÷åòíîå ÷èñëî.

2.4.

ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÛÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ

61

ââîäèòñÿ ïîíÿíèå ïðîèçâîäíîé, íåîïðåäåëåííîãî è îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëîâ èìàíà, ïðè ýòîì âñå âû÷èñëèòåëüíûå ñâîéñòâà, â ÷àñòíîñòè ìåòîäû ðåøåíèÿ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, òåîðåìû îá óñòîé÷èâîñòè, è ò.ä. áóäóò ñîõðàíåíû, ñ íåêîòîðûìè âàðèàöèÿìè, ó÷èòûâàþùèìè òåîðåìó Ìîñêîâàêèñà; ýòè âàðèàöèè íè â êîåé ìåðå íå çàòðàãèâàþò àíàëèòè÷åñêèõ âû÷èñëèòåëüíûõ ìåòîäîâ. Ïîíÿòèå êîíñòðóêòèâíîãî ÷èñëà è êîíñòðóêòèâíîé óíêöèè åñòåñòâåííûì îáðàçîì îáîáùàåòñÿ è íà êîìïëåêñíûå ÷èñëà è óíêöèè êîìïëåêíîãî ïåðåìåííîãî. Áóäóò ñîõðàíåíû äèåðåíöèàëüíûå ñâîéñòâà òàêèõ óíêöèé, âêëþ÷àÿ âñå òåîðåìû òåîðèè óíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî, îòíîñÿùèåñÿ ê âû÷åòàì (òåîðåìà Êîøè), òåõíèêà âû÷èñëåíèÿ êîíòóðíûõ èíòåãðàëîâ, òî åñòü îñòàíåòñÿ áåç èçìåíåíèÿ âñå òî, ÷òî âõîäèò â ñòàíäàðòíóþ àíàëèòè÷åñêóþ òåõíèêó, âàæíóþ äëÿ èçèêè. Ïðîèëëþñòðèðóåì âàæíîñòü ïîíÿòèÿ êîíñòðóêòèâíîé óíêöèè íà ïðîñòûõ èçè÷åñêèõ ïðèìåðàõ.

Ïðèìåð 1. Èçâåñòíî, ÷òî ñèíãóëÿðíîñòü êóëîíîâñêîãî ïîëÿ òî÷å÷íîãî çàðÿäà äîñòàâëÿåò ìíîãî òðóäíîñòåé: íàïðèìåð, èç-çà ýòîãî ïîëó÷àåòñÿ áåñêîíå÷íîé ñîáñòâåííàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà, åñëè ñ÷èòàòü åãî ñîñòîÿùèì èç (áîëåå ýëåìåíòàðíûõ ) ñîñòàâíûõ ÷àñòåé. Ìíîãîîáðàçíûå òðóäíîñòè âîçíèêàþò è ïðè ÷èñëåííîì ìîäåëèðîâàíèè äèíàìèêè ïðîáíîãî çàðÿäà (íàïðèìåð, ýëåêòðîíà) â ïîëå êóëîíîâñêèõ öåíòðîâ. Íàïðèìåð, ýòà äèíàìèêà ñòàíîâèòñÿ çàâèñèìîé îò òî÷íîãî íà÷àëüíî ïîëîæåíèÿ çàðÿäà. Ïðè ðàññìîòðåíèè îòäåëüíîãî ïîëÿ, ñîçäàþùåãîñÿ âñåìè çàðÿäàìè, âîçíèêàåò ïðîáëåìà ñàìîäåéñòâèÿ (ñì. [16℄). Åñëè ïîëîæåíèå ëþáîé çàðÿæåííîé ÷àñòèöû ñëåãêà èçìåíèòü (èëè, íàïðèìåð, ïðèçâåñòè åãî èçìåðåíèå ñ íåêîòîðîé îøèáêîé, êîòîðàÿ âñåãäà èìååò ìåñòî), òî ñîáñòâåííîå êóëîíîâñêîå ïîëå ïðèäàñò ÷àñòèöå ãðîìàäíûé èìïóëüñ, êîòîðûé ñâåäåò íà íåò ëþáûå ïîïûòêè ïîñòðîèòü óäîâëåòâîðèòåëüíóþ êàðòèíó äèíàìèêè. Ïðîáëåìó ìîæíî îáîéòè, åñëè ó÷åñòü äåéñòâèå ÿäåðíûõ ñèë ìåæäó ÿäðîì

22

è ýëåêòðîíîì.

 ýòîì ñëó÷àå ïîòåíöèàë ïðèîáðåòåò âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñ.

2 (îòíîñèòåëüíûå ðàçìåðû íå ñîáëþäåíû). Çäåñü ââåðõó ïîêàçàí êóëîíîâñêèé ïîòåíöèàë ïðèòÿæåíèÿ ýëåêòðîíà ê òî÷å÷íîìó ïðîòîíó. Âíèçó - ïîòåíöèàë âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ÿäðîì ñ ó÷åòîì ÿäåðíûõ ñèë. Íà áëèçêîì ðàññòîÿíèè äåéñòâóåò îòòàëêèâàþùèé ïîòåíöèàë ÿäåðíûõ ñèë. Ëîêàëüíûé ìàêñèìóì â öåíòðå óñëîâåí - îí âûðàæàåò òîò àêò, ÷òî ïðè î÷åíü òî÷íîì ïðèöåëèâàíèè ýëåêòðîíà ïðè ñòîëêíîâåíèè ñ ïðîòîíîì îáðàçóåòñÿ íåéòðîí (ñì. ðèñóíîê). Òî÷íîå ïðèöåëèâàíèå ñîîòâåòñòâóåò ïî÷òè êëàññè÷åñêîìó ðàññìîòðåíèþ ýëåêòðîíà. Ýòî ïðîèñõîäèò, êîãäà îí ïðèáëèæàåòñÿ ê ïðîòîíó íà î÷åíü âûñîêîé ñêîðîñòè. Íà ýòîò ïðèìåð ìîæíî âçãëÿíóòü è ïî-äðóãîìó. Êàêàÿ ñèëà ñîçäàåò ïîòåíöèàë âáëèçè ÿäðà ? Åñëè ýòî - ÿäåðíûå ñèëû, òî ýëåêòðîí äîëæåí îòñêàêèâàòü îò ÿäðà, êàê ìÿ÷èê îò ñòåíêè. 22 Ýòî

23

Ýòî íèñêîëüêî íå ìåøàåò âûâîäàì, ñäåëàííûì íà

íå åñòü íàñòîÿùåå ðåøåíèå, îíî ïðèâåäåíî çäåñü òîëüêî äëÿ èëëþñòðàöèè.  ãëàâå 5 ìû ïðèâåäåì áîëåå ïîëíîå ðåøåíèå, îñíîâàííîå íà ìåòîäå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ. 23 Àíàëîãèÿ, êîíå÷íî, íå ó÷èòûâàåò ðàçìåðû: åñëè ýëåêòðîí ïðåäñòàâëÿåòñÿ ìÿ÷îì, òî ÿäðî áóäåò ïîõîæå íà ìàëåíüêóþ ãèðþ, îíà ãîðàçäî ìåíüøå ìÿ÷à, è òÿæåëåå åãî.

62

ËÀÂÀ 2.

ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

èñ. 2.1: Ïîòåíöèàë ýëåêòðîíà â àòîìå âîäîðîäà: êóëîíîâñêèé è ðåàëüíûé

2.4.

63

ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÛÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ

îñíîâå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Îäíàêî òàêèå óäàðû ÿâëÿþòñÿ ñëåäñòâèåì ðàññìîòðåíèÿ ýëåêòðîíà êàê íåêîòîðîé ãèäðîäèíàìè÷åñêîé ñðåäû, êîòîðàÿ ìîæåò ñîçäàâàòü äàâëåíèå íà ÿäðî. Ýòî ìîæåò ïðîÿñíèòü èçâåñòíûé ýåêò áîëüøåé ñòàáèëüíîñòè ÿäðà â íåéòðàëüíîì àòîìå, ÷åì â ïîëîæèòåëüíîì èîíå. Åñëè â òÿæåëîì èçîòîïå, ñòàáèëüíîì â íåéòðàëüíîì àòîìå, ïðîèçâåñòè èîíèçàöèþ, óäàëèâ ÷àñòü ýëåêòðîíîâ, òî íà÷íåòñÿ ðàñïàä ÿäðà ([13℄). Ýòî ãîâîðèò î íàëè÷èè òåñíîé ñâÿçè ýëåêòðîìàãíåòèçìà ñ ÿäåðíîé èçèêîé, êîòîðàÿ íå ó÷èòûâàåòñÿ â ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè. Äàëåå ìû ðàññìîðèì ýòó ñèòóàöèþ ñ òî÷êè çðåíèÿ êîíñòðóêòèâèçìà.

Ïðèìåð 2. àññìîòðèì çàðÿæåííóþ ÷àñòèöó â äâóõúÿìíîì ïîòåíöèàëå. Åå îñíîâíîå ñîñòîÿíèå òàêîâî, ÷òî âåðîÿòíîñòü íàéòè ÷àñòèöó â êàæäîé èç ÿì ïðèìåðíî îäèíàêîâà. Òåïåðü áóäåì ìåäëåííî ïîâûøàòü ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð ìåæäó ÿìàìè. Ïðàêòè÷åñêè ýòî ìîæíî ñäåëàòü, íàïðèìåð, èñïîëüçóÿ ìîëåêóëÿðíûé èîí âîäîðîäà, ñ äâóìÿ ïðîòîíàìè è îäíèì ýëåêòðîíîì. Ïîâûøåíèå áàðüåðà áóäåò ðàâíîñèëüíî óâåëè÷åíèþ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ïðîòîíàìè, êîòîðîå ìîæíî îðãàíèçîâàòü, ðàçãîíÿÿ èîí â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå, è îðãàíèçóÿ åãî ñîóäàðåíèÿ ñ õèìè÷åñêè íåéòðàëüíûìè ìîëåêóëàìè. Ìîæíî ïîñòóïèòü è åùå ïðîùå, ðàññìàòðèâàÿ äâå êâàíòîâûå òî÷êè è îäèí ýëåêòðîí â íèõ. Òîãäà ïîâûøåíèå áàðüåðà äåëàåòñÿ óâåëè÷åíèåì íàïðÿæåíèÿ íà çàòâîðàõ.  êîíöå êîíöîâ ìû ïîëó÷èì äâå ðàçíûå ÿìû, è ïðîáíàÿ ÷àñòèöà (ýëåêòðîí) îêàæåòñÿ â îäíîé èç íèõ. Òàêîé ïðîöåññ â ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè íàçûâàåòñÿ êîëëàïñîì âîëíîâîé óíêöèè, è îí ïðîèñõîäèò ìãíîâåííî.  êîíñòðóêòèâèçìå òàêîå îáúÿñíåíèå íå ïðîõîäèò, òàê êàê îíî íå îïèñûâàåòñÿ êîíñòðóêòèâíîé óíêöèåé, ÷òî îçíà÷àåò íåîáõîäèìîñòü âûõîäà çà ïðåäåëû ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè. Ýòè äâà ïðèìåðà èëëþñòðèðóþ âàæíîñòü ïðèìåíåíèÿ êîíñòðóêòèâíûõ óíêöèé, òàê êàê ðåàëüíàÿ êàðòèíà íå äîëæíà ñîäåðæàòü ñèíãóëÿðíîñòåé. Íî ýòè ïðèìåðû îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà. Ïåðâûé îçíà÷àåò, ÷òî â îäíîì àëãîðèòìå âîçìîæíî àêòè÷åñêîå îáúåäèíåíèå ðàçëè÷íûõ èçè÷åñêèõ çàêîíîâ. Âî âòîðîì ïðèìåðå òðåáîâàíèå êîíñòðóêòèâíîñòè ñðàçó âëå÷åò âûõîä çà ïðåäåëû ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Âàæíåéøåå ïðåèìóùåñòâî êîíñòðóêòèâíîãî àíàëèçà ïåðåä êëàññè÷åñêèì ñîñòîèò â òîì, ÷òî êîíñòðóêòèâíûé àíàëèç ÿâíî òðåáóåò ñòðîèòü ìîäåëè ïðîöåññîâ, ìàñøòàáèðóåìûå ïî çåðíó ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ïðîöåññ, îïèñûâàåìûé óíêöèåé âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé

f (x).

Åñëè áû ýòà óíêöèÿ áûëà îáûêíîâåííîé âåùåñòâåííîé óíêöèåé, òî òî÷íîñòü îïðåäåëåíèÿ

x íèêîèì îáðàçîì íå îçíà÷àëà áû òî÷íîñòü îïðåäåëåíèÿ f (x) - êàê f (x) áûëà íåïðåðûâíîé,

ýòî è ïðîèñõîäèò â ðàçðûâíûõ óíêöèÿõ. Äàæå åñëè áû

íî íå êîíñòðóêòèâíîé, ìû áû íå ìîãëè àëãîðèòìè÷åñêèì îáðàçîì îïðåäåëèòü íóæíóþ òî÷íîñòü çàäàíèÿ åå çíà÷åíèÿ

f (x)

ïðè çàäàííîì ïðèáëèæåíèè

íàêî òàêàÿ âîçìîæíîñòü äàâàòü ïðèáëèæåíèÿ íèþ

x

f (x)

î÷åíü âàæíà. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî çíà÷åíèÿ

òî åñòü èìåþò âèä

nǫ

ïðè öåëûõ

n

x.

Îä-

ïî èìåþùåìóñÿ ïðèáëèæå-

x

íà ñàìîì äåëå çåðíèñòû,

è î÷åíü ìàëîì èêñèðîâàííîì

ǫ,

êîòîðîå

64

ËÀÂÀ 2.

ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

ñòîëü ìàëî, ÷òî íå äîñòóïíî íåïîñðåäñòâåííîìó íàáëþäåíèþ. Êîíñòðóêòèâíûé àíàëèç îáÿçûâàåò íàñ ÿâíî óêàçàòü ìåõàíèçì îáðûâà òî÷íîñòè ïðè ïðèáëèæåíèè

f (x)

ïî ëþáîìó ñêîëü óãîäíî òî÷íîìó ïðèáëèæåíèþ

êàêèì áû ìàëûì íè áûëî çíà÷åíèå çåðíà

f

ǫ

x.

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

íàø àëãîðèòì, çàäàþùèé óíêöèþ

äîëæåí ðàáîòàòü ñ ýòèì çåðíîì. Ìû áóäåì ïðîñòî îáðûâàòü ïðîöåññ ïîñëå-

äîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé çåðíà

ǫ.

f (x) òîãäà, êîãäà ïðèáëèæåíèå x äîñòèãëî

òî÷íîñòè

Ïðåèìóùåñòâî çäåñü çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ìû èçáàâëÿåìñÿ îò íåîá-

õîäèìîñòè ðàññìàòðèâàòü ïàòàëîãè÷åñêèå óíêöèè

f,

ñóùåñòâóþùèå â îáû÷-

íîì àíàëèçå. Ýòî äåëàåò ñîâåðøåííî ñòðîãèìè, íàïðèìåð, ðàñ÷åòû ïî ìåòîäó èíòåãðàëîâ ïî òðàåêòîðèÿì Ôåéíìàíà, ãäå ïðè ìàëûõ ðàññòîÿíèÿõ ïóòè çàìåíÿþòñÿ ïðÿìûìè.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ïðè èñïîëüçîâàíèè îáû÷íîãî àíàëèçà, ïðèõîäèòñÿ ïðèáåãàòü ê ïîñòðîåíèÿì, ëèøåííûì ìàòåìàòè÷åñêîé ñòðîãîñòè

24

,

÷òî ÿâëÿåòñÿ íå âïîëíå êîððåêòíûì, à çíà÷èò, è ðèñêîâàííûì ïðèåìîì (åñëè óæ èñïîëüçîâàòü àïïàðàò, íàäî âûïîëíÿòü ñâÿçàííûå ñ íèì îðìàëüíîñòè).

2.5

Êîíñòðóêòèâíàÿ àëãåáðà äëÿ êâàíòîâîé ìåõàíèêè

Ýòîò ïàðàãðà ïîñâÿùåí àëãåáðàè÷åñêîìó àïïàðàòó êâàíòîâîé òåîðèè. Ñíà÷àëà ìû îïèøåì åãî äëÿ ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè, çàòåì íàïîìíèì áàçîâûå ñâåäåíèÿ èç òåîðèè àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì, è, íàêîíåö, îïðåäåëèì ïîíÿòèå êîíñòðóêòèâèçàöèè àëãåáðàè÷åñêèõ îáúåêòîâ, èñïîëüçóìûõ â êâàíòîâîé òåîðèè. Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü äëÿ òàêèõ îáúåêòîâ îáùèé òåðìèí "àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû ïðèíÿòûé â ìàòåìàòèêå, õîòÿ ðåàëüíî èñïîëüçóþòñÿ, â îñíîâíîì, ãèëüáåðòîâû è åâêëèäîâû ïðîñòðàíñòâà, à òàêæå ãðóïïû îïåðàòîðîâ â íèõ.

2.5.1 Àëãåáðàè÷åñêèé àïïàðàò êâàíòîâîé òåîðèè Àëãåáðàè÷åñêèé àïïàðàò êâàíòîâîé òåîðèè ìîæíî óñëîâíî ðàçäåëèòü íà ñëåäóþùèå áîëüøèå êàòåãîðèè.

•

Àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà èçè÷åñêîãî

•

Àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé ðàññìàòðèâàåìîãî àí-

àíñàìáëÿ.

ñàìáëÿ.

 êâàíòîâîé òåîðèè èñïîëüçóåòñÿ ñàìûé áîãàòûé àëãåáðàè÷åñêèé àïïàðàò; íàïðèìåð, â òåîðèè òÿãîòåíèÿ ïðèìåíÿþò òîëüêî ïåðâûé òèï àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì. Ýòî ñâÿçàíî ñ áàçèñíûì ïðèíöèïîì êâàíòîâîé òåîðèè: ñóïåðïîçèöèåé êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé. Ýòîò ïðèíöèï àêòè÷åñêè äåëàåò îñíîâíîé ìàòðè÷íóþ 24 Â

êíèãå [16℄ ýòî ïðÿìî óêàçûâàåòñÿ.

2.5.

65

ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÀß ÀË ÅÁÀ ÄËß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÈ

òåõíèêó îïèñàíèÿ ýâîëþöèé, òî åñòü ââîäèòñÿ ÿâíîå ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû è ñâÿçàííûå ñ íèì àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû. àññìîòðèì ïåðâûé òèï àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì. Ïóñòü

K

îáîçíà÷àåò êîíè-

ãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî ðàññìàòðèâàåìîé êâàíòîâîé ñèñòåìû. Åñëè îíà ñî3n ñòîèò èç n ÷àñòèö áåç ñïèíà, ýòî áóäåò R , åñëè ó ÷àñòèö åñòü íàïðàâëåíèå ñïèíà 4n âäîëü èëè ïðîòèâ íåêîòîðîé âûäåëåííîé îñè, ýòî áóäåò R , åñëè åñòü åùå âðå4n+1 ìÿ, îáùåå äëÿ âñåõ ÷àñòèö, ýòî áóäåò R , åñëè ó êàæäîé ÷àñòèöû ñâîå âðåìÿ, 5n ýòî áóäåò R , è ò.ä. Òàêîå ïðîñòðàíñòâî âñåãäà ïðåäïîëàãàåòñÿ ëîêàëüíûì, òî åñòü äàííûå êîîðäèíàòû ìîãóò ïðèìåíÿòüñÿ òîëüêî â ìàëîé îêðåñòíîñòè íåêîòîðîé òî÷êè

O,

êîòîðàÿ ñ÷èòàåòñÿ íà÷àëîì îòñ÷åòà. Ýëåìåíòû ïðîñòðàíñòâà

K

|ji. ëîáàëüíî êîíèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî áóäåò ïðåäM ñîîòâåòñòâóþùåé ðàçìåðíîñòè: 3n, 4n, . . .. Ìû íå áóäåì çäåñü îáñóæäàòü ñòðóêòóðó ìíîãîîáðàçèÿ M ; äëÿ îäíîé ÷àñòèöû îíî îïèñûâàåòñÿ ìàòðèöåé ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà gi,j , óäîâëåòâîðÿþùåãî óðàâíåíèþ ÎÒÎ (ñì. êíèãó [12℄). Âîïðîñ ñòðóêòóðû M äëÿ ìíîãèõ ÷àñòèö îòêðûò. Ýòî âîîáîçíà÷àþòñÿ ÷åðåç

ñòàâëÿòü ñîáîé ìíîãîîáðàçèå

ïðîñ î ñîãëàñîâàíèè êâàíòîâîé ìåõàíèêè è ÎÒÎ, è åãî íåðåøåííîñòü íèêàê íå áóäåò ñêàçûâàòüñÿ íà íàøèõ çàäà÷àõ. Ïðåîáðàçîâàíèå ïåðåõîäà ê äðóãèì êîîðäèíàòàì äëÿ êàæäîé èç ÷àñòèö äîëæíî ñîõðàíÿòü çíà÷åíèå äèåðåíöèàëüíîé îðìû

ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 − c2 dt2 ãäå

x, y, z, t

(2.4)

- êîîðäèíàòû ýòîé ÷àñòèöû (ïåðâûå òðè - ïðîñòðàíñòâåííûå è ÷åò-

âåðòàÿ - âðåìåííàÿ),

c - ñêîðîñòü ñâåòà. Òàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ îáðàçóþò ãðóïïó,

íàçûâàåìóþ ãðóïïîé Ïóàíêàðå. Ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ïðîèçâîäíûå àëãåáðàè÷åñêèå êîíñòðóêöèè íàä ýòîé ãðóïïîé, íàïðèìåð, åå ïðåäñòàâëåíèÿ, õàðàêòåðû ïðåäñòàâëåíèé, è ò.ï. Âòîðîé òèï àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì ñâÿçàí ñ ïðîñòðàíñòâîì êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé

H

ðàññìàòðèâàåìîãî èçè÷åñêîãî àíñàìáëÿ. Ïðîñòðàíñòâî

èç ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé âèäà

|Ψi = â êîòîðîé ðàçëè÷íûå ñîñòîÿíèÿ èìåþùèìè åäèíè÷íóþ íîðìó, à

X j∈K

λj |ji,

|ji ñ÷èòàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè λj åñòü êîìïëåêñíûå ÷èñëà.

H

ñîñòîèò

(2.5)

äðóã ê äðóãó è

ëàâíûìè îïåðàòîðàìè â ýòîì ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿþòñÿ äåòåðìèíèñòè÷åñêèå îïåðàòîðû ýâîëþöèè ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû âèäà

S : H −→ H

(2.6)

è ñëó÷àéíûå îïåðàòîðû èçìåðåíèé. àññìîòðèì ñíà÷àëà äåòåðìèíèñòè÷åñêèé îïåðàòîð 2.6. Ýòîò îïåðàòîð ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíûì øàãîì ýâîëþöèè ñèñòåìû â ðåàëüíîì èçè÷åñêîì âðåìåíè. Âðåìÿ t, èãóðèðóþùåå ïðè ýòîì â êà÷åñòâå îäíîé èç êîîðäèíàò êîíèãóðàöè-

66

ËÀÂÀ 2.

îííîãî ïðîñòðàíñòâà

K

ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

íàøåé ñèñòåìû (èëè âðåìåíà, åñëè äëÿ ðàçíûõ ÷àñòèö

25

îíè ðàçëè÷íû) ÿâëÿåòñÿ àäìèíèñòðàòèâíûì âðåìåíåì êâàíòîâîé ñèñòåìû

.

Çàïèñü ýâîëþöèè â âèäå îïåðàòîðà 2.6 ñîäåðæèò ñåðüåçíîå óñëîâèå: ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ìîæíî îäíîâðåìåííî ðàññìàòðèâàòü ýâîëþöèþ íåñêîëüêèõ ñîñòîÿíèé ðàññìàòðèâàåìîãî àíñàìáëÿ, òî åñòü - ïîòåíöèàëüíî - âñå ïðîñòðàíñòâî åãî êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé. Êàê ýòî ñîãëàñóåòñÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì, â êîòîðîì åäèíîâðåìåííî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî îäíî åäèíñòâåííîå ñîñòîÿíèå ðåàëüíîãî àíñàìáëÿ è ýâîëþöèþ âî âðåìåíè èìåííî ýòîãî, à íå èíîãî ñîñòîÿíèÿ ? Ñîãëàñîâàíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè, êîòîðûé óòâåðæäàåò, ÷òî îïåðàòîð

S

âñåãäà ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì. Ýòî íàäî ïîíèìàòü òàê. Ìû

âñåãäà èìååì âîçìîæíîñòü ïîâòîðèòü ýâîëþöèþ äëÿ äðóãèõ âûáðàííûõ ê ïðîñòðàíñòâå

H

êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé íàøåãî àíñàìáëÿ, è óáåäèòüñÿ â ëèíåéíîñòè

íåïîñðåäñòâåííî. Äëÿ ýòîãî íàäî èìåòü âîçìîæíîñòü ãåíåðèðîâàòü âåêòîðû èç ïðîñòðàíñòâà

H

ïðîèçâîëüíî, ÷òî ïðåäïîëàãàåò, â ÷àñòíîñòè, âîçìîæíîñòü ãå-

íåðèðîâàòü îäíî è òî æå ñîñòîÿíèå ñêîëü óãîäíî áîëüøîå ÷èñëî ðàç. Äàëåå, èç óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà âûòåêàåò, ÷òî, ïî êðàéíåé ìåðå, â îáû÷íîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå, îïåðàòîð ïîòîìó

S

S

äîëæåí èìåòü âèä

exp(iH)

äëÿ ýðìèòîâà îïåðàòîðà

äîëæåí áûòü óíèòàðíûì îïåðàòîðîì â

H.

H,

è

Òðåáîâàíèå óíèòàðíîñòè

âñåõ îïåðàòîðîâ ýâîëþöèè ñîõðàíÿåòñÿ è äëÿ êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè. Òàêèì îáðàçîì, îñíîâíûì àëãåáðàè÷åñêèì îáúåêòîì, ñâÿçàííûì ñ ïðîñòðàíñòâîì êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé, ÿâëÿåòñÿ ãðóïïà óíèòàðíûõ îïåðàòîðîâ ìåðíîñòè, ðàâíîé ðàçìåðíîñòè

H,

U(dim(H),

ðàç-

êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýêñïîíåíòó îò

ðàçìåðíîñòè êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà

K.

Ìîæíî ðàññìàòðèâàòü àëãåáðû Ëè äëÿ òàêèõ ãðóïï, îïðåäåëèâ óìíîæåíèå êàê âçÿòèå êîììóòàòîðà ìàòðèö, à ñëîæåíèå - îáû÷íûì îáðàçîì, òåíçîðíûå ïðîèçâåäåíèÿ òàêèõ ãðóïï, êîòîðîå áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ýâîëþöèè íåçàâèñèìûõ àíñàìáëåé, îãðàíè÷åíèÿ íà ïîäïðîñòðàíñòâà, è ò.ä. Íåäåòåðìèíèñòè÷åñêèé ñëó÷àéíûé îïåðàòîð èçìåðåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ðàñïðåäåëåíèå êîòîðîé çàâèñèò îò äàííîãî ñîñòîÿíèÿ |Ψi. Åñëè H = l L Hk åñòü ðàçëîæåíèå H íà îðòîãîíàëüíóþ ñóììó ïîäïðîñòðàíñòâ, òî èçìåðåk=1 íèå îòíîñèòåëüíî äàííîãî ðàçëîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèå, ðàâíîå îïåðàòîðó ïðîåêöèè íà ïîäïðîñòðíàñòâî Ík ñ âåðîÿòíîñòüþ, ðàâíîé êâàäðàòó äëèíû ïðîåêöèè

|Ψi íà ýòî

ïîäïðîñòðàíñòâî. Íèæå

ìû ïîêàæåì, ÷òî ïðè äîâîëüíî åñòåñòâåííîì ñïîñîáå êîíñòðóêòèâèçàöèè (çåðíî àìïëèòóäû) ñëó÷àéíûé îïåðàòîð èçìåðåíèÿ ìîæåò áûòü âêëþ÷åí â ñõåìó, åäèíóþ ñ îïåðàòîðîì âðåìåííîé ýâîëþöèè. Ýòîò ñïîñîá ïðåäïîëàãàåò óñëîâèå çåðíèñòîñòè êîíèãóðàöèîííîãî è ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâ. Çåðíèñòîñòü îçíà÷àåò êîíå÷íîñòü íå òîëüêî âñåõ âîçìîæíûõ ïîëîæåíèé ñèñòåìû, íî è âñåõ çíà÷åíèé àìïëèòóä. Ïîýòîìó ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî îïåðàòîðû òèïà 2.6. 25 Íåêîòîðûå

àâòîðû (íàïðèìåð, [20℄) íàçûâàþò åãî âíóòðåííèì âðåìåíåì êâàíòîâîé ñèñòåìû.  ìíîãî÷àñòè÷íîé ñèñòåìå ïðàâèëüíåå áûëî áû ãîâîðèòü î âíóòðåííèõ âðåìåíàõ; îíè ñîâïàäàþò òîëüêî äëÿ âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö (ñì.íèæå).

2.5.

67

ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÀß ÀË ÅÁÀ ÄËß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÈ

Ôàêòè÷åñêè, åñëè ïðèíÿòü ñïîñîá êîíñòðóêòèâèçàöèè, îñíîâàííûé íà çåðíå àìïëèòóäû, èçìåðåíèå ñâîäèòñÿ ê ðàñøèðåíèþ êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà.

2.5.2 Êëàññè÷åñêèå àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû Íàçîâåì ñèãíàòóðîé ïàðó: (íàáîð ñèìâîëîâ

f¯ äëÿ óíêöèé, è íàáîð ñèìâîëîâ p¯

äëÿ ïðåäèêàòîâ). Â îáà íàáîðà ñèìâîëû âõîäÿò ñ óêàçàíèåì ìåñòíîñòè, íàïðèìåð, äâóõìåñòíûé óíêöèîíàëüíûé ñèìâîë ñèìâîë

+,

èëè îäíîìåñòíûé ïðåäèêàòíûé

> 0.

Ïîä àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìîé â äàííîé ñèãíàòóðå ïîíèìàþò ìíîæåñòâî è äâà íàáîðà

F¯

è

P¯

G

óíêöèé è ïðåäèêàòîâ, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò, â ïîðÿä-

êå ñëåäîâàíèÿ è ìåñòíîñòè, ñèãíàòóðå. Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü ñàìà ãðóïïà

U(dim(H)),

ðàññìîòðåííàÿ â ñèãíàòóðå, ñîñòîÿùåé èç îäíîãî äâóìåñòíîãî

óíêöèîíàëüíîãî ñèìâîëà

·

ãðóïïîâîãî óìíîæåíèÿ, êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò ïî-

ñëåäîâàòåëüíîñòè îïåðàòîðîâ ýâîëþöèè, îòðàæàþùåé õîä ðåàëüíîãî âðåìåíè. Êëàññè÷åñêèå àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû, îñíîâàííûå íà âåùåñòâåííûõ ÷èñëàõ, íàïðèìåð, àëãåáðû íàä ïîëåì

R

èëè

C,

ïîäðàçóìåâàþò èñïîëüçîâàíèå ñòàí-

äàðòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ïî-ñóùåñòâó, àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû äàþò óäîáíûå àëãîðèòìû äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé êâàíòîâîé ìåõàíèêè, ïðåæäå âñåãî - óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà.  ÷àñòíîñòè, ìàòðè÷íîå ïðîèçâåäåíèå òî÷íî âûðàæàåò ÿâëåíèå, íàçûâàåìîå êâàíòîâîé èíòåðåðåíöèåé. àññìîòðèì ìàòðè÷íîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ ìàòðèö

V

U = (uij )

è

V = (vjk ): UV = W = (wik ).

Åñëè

U

è

åñòü îïåðàòîðû ïîñëåäîâàòåëüíûõ øàãîâ âðåìåííîé ýâîëþöèè, òî ýòî ìàò-

ðè÷íîå ïðîèçâåäåíèå åñòü îïåðàòîð ðåçóëüòèðóþùåé ýâîëþöèè. ×òî âûðàæàåò

wik =

P

j uij vjk ? Îíî âûðàæàåò çàêîí èíòåðåðåíöèè ñîãëàñíî êîòîðîìó äëÿ ïîëó÷åíèÿ àìïëèòóäû ïåðåõîäà èç ñîñòîÿíèÿ

ïðàâèëî ìàòðè÷íîãî ïðîèçâåäåíèÿ

i

â ñîñòîÿíèå

k

íàäî ñëîæèòü âêëàäû âñåõ ïóòåé èç

òî÷íûå ñîñòîÿíèÿ

j

i

â

k

÷åðåç âñå ïðîìåæó-

òàê ÷òî äëÿ ëþáîãî ïóòè àìïëèòóäû åãî ïîñëåäîâàòåëüíûõ

÷àñòåé óìíîæàþòñÿ. Ýòîò çàêîí èíòåðåðåíöèè äåæèò â îñíîâå êâàíòîâîé èçèêè. Ìû âèäèì, ÷òî àëãåáðàè÷åñêèé ÿçûê ìàòðè÷íîé àëãåáðû ÿâëÿåòñÿ åãî íàèáîëåå êðàòêèì è òî÷íûì âûðàæåíèåì. Ýòî è îáóñëîâëèâàåò òó âàæíåéøóþ ðîëü, êîòîðóþ àëãåáðà èãðàåò â êâàíòîâîé òåîðèè.

2.5.3 Êîíñòðóêòèâíûå àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû Èìåÿ êîíñòðóêòèâíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç, ìû ìîæåì êîíñòðóêòèâèçèðîâàòü è àëãåáðó. Êàê è â êîíñòðóêòèâíîì ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå, çäåñü àëãîðèòìàìè áóäóò ïîðîæäàòüñÿ îáúåêòû àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì. Ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî êîíñòðóêòèâíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç ÿâëÿåòñÿ ïåðâûì óðîâíåì êîíñòðóêòèâíîé àëãåáðû, òàê êàê òàì ðàññìàòðèâàëàñü ñàìàÿ ïðîñòàÿ â àëãåáðàè÷åñêîì îòíîøåíèèè ñòðóêòóðà - âåùåñòâåííûå ÷èñëà. Ýòî - ëîæíîå âïå÷àòëåíèå. Êîíñòðóêòèâíûé àíàëèç ñîäåðæèò óñëîâèå ïðåäåëüíûõ ïåðåõîäîâ, çàäàâàåìûõ àëãîðèòìîì:

r −→ x, T (r) −→ y = f (x).

Õîòü ýòî îðìàëüíî è ìîæíî

68

ËÀÂÀ 2.

ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

ñâåñòè ê êîíñòðóêâòèíîé àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìå, ýòî íè÷åãî íå äàñò, òàê êàê â àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ãëàâíûì ÿâëÿåòñÿ íå ñõîäèìîñòü, à àëãåáðàè÷åêèå ñâîéñòâà. Òåì íå ìåíåå, åñëè ìû çàõîòèì êîíñòðóêòèâèçèðîâàòü êîíå÷íîìåðíóþ àëãåáðó íàä ïîëåì âåùåñòâåííûõ èëè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, ìû ìîæåì ïðîñòî ïåðåíåñòè âñå îïðåäåëåíèÿ, âñòàâëÿÿ âìåñòî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë êîíñòðóêòèâíûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà. Ïîñêîëüêó âñå èñïîëüçóåìûå â àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåìàõ óíêöèè âûðàæàþòñÿ îðìóëàìè (íàïðèìåð, óíêöèÿ ñëîæåíèÿ), âñå îíè áóäóò àâòîìàòè÷åñêè êîíñòðóêòèâíûìè, è ìû íå âûéäåì çà ïðåäåëû êîíñòðóêòèâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Åäèíñòâåííîå ñâîåîáðàçèå àëãåáðû â òîì, ÷òî â íåé âñòðå÷àþòñÿ íå òîëüêî

áåñêîíå÷íîñòè, îáóñëîâëåííûå âåùåñòâåííûìè ÷èñëàìè, íî è "ñîáñòâåííûå"áåñêîíå÷íîñ âõîäÿùèå â àëãåáðàè÷åñêèå ñèñòåìû. Ýòè áåñêîíå÷íîñòè âîçíèêàþò ïðè ðàññìîòðåíèè áåñêîíå÷íîìåðíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì (íàïðèìåð, ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ èëè ãðóïï) èëè ïðè ïîòåíöèàëüíî áåñêîíå÷íîì óñëîæíåíèè âíóòðåííåé ñòðóêòóðû äàæå è êîíå÷íîìåðíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì (íàïðèìåð, ãðóïï ñî ñëîæíîé ñèñòåìîé ñîîòíîøåíèé). Íàì ïî ñóùåñòâó îñòàëîñü óêàçàòü, êàê êîíñòðóêòèâèçèðîâàòü ýòè ÷èñòî àëãåáðàè÷åñêèå áåñêîíå÷íîñòè. Íàçîâåì ñèñòåìîé îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé äëÿ àëãåáðàè÷åñêîé ñèñòåìû òàêóþ ñèñòåìó

A

ðàâåíñòâ âèäà

F1 (x1 , x2 , . . . , xh ) = F2 (y1 , y2 , . . . , yd )

çàâèñÿùèõ

îò ýëåìåíòîâ ýòîé ñèñòåìû, èç êîòîðûõ ìîæíî âûâåñòè ëîãè÷åñêèì ïóòåì âñå âåðíûå ðàâåíñòâà ìåæäó ýëåìåíòàìè â äàííîé àëãåáðàè÷åñêèé ñèñòåìå. Åñëè èñïîëüçîâàòü àíàëîãèþ ñ êîíñòðóêòèâíûì àíàëèçîì, íàäî áûëî áû ïîòðåáîâàòü ñóùåñòâîâàíèå àëãîðèòìè÷åñêè ðàçðåøèìîé ñèñòåìû îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé äëÿ ëþáîé èñïîëüçóåìîé íàìè àëãåáðàè÷åñêèé ñèñòåìû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå âåðíûå ðàâåíñòâà ìîæíî ïåðå÷èñëèòü íåêîòîðûì àëãîðèòìîì. Åñòü áîëåå ñèëüíûé âàðèàíò êîíñòðóêòèâíîñòè äëÿ àëãåáðû. Îí ïîëó÷èòñÿ, åñëè ìû ïîòðåáóåì òîãî, ÷òîáû ìíîæåñòâî âåðíûõ ðàâåíñòâ áûëî áû àëãîðèòìè÷åñêè ðàçðåøèìûì. Åñëè â ïåðâîì âàðèàíòå ìû àêòè÷åñêè òðåáîâàëè ïåðå÷èñëèìîñòè ìíîæåñòâà âóåðíûõ ðàâåíñòâ, òî âî âòîðîì âàðèàíòå ìû òðåáóåì ðàçðåøèìîñòè ýòîãî ìíîæåñòâà. àçðåøèìîñòü ÿâëÿåòñÿ áîëåå ñèëüíûì òðåáîâàíèåì, ÷åì ïåðå÷èñëèìîñòü. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî êîäîâ ìàøèí Òüþðèíãà, êîòîðûå ïðèìåíèìû (çàêàí÷èâàþò ðàáîòó) ê ñîáñòâåííîìó êîäó, ÿâëÿåòñÿ ïåðå÷èñëèìûì (òî åñòü ãåíåðèðóåòñÿ âïîëíå î÷åâèäíûì àëãîðèòìîì) íî íå ÿâëÿåòñÿ ðàçðåøèìûì èç-çà íåðàçðåøèìîñòè ïðîáëåìû ñàìîïðèìåíèìîñòè. àçëè÷èå ìåæäó ýòèìè äâóìÿ âåðñèÿìè êîíñòðóêòèâíîñòè àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì ñóùåñòâåííû â ñëó÷àå àëãåáðàè÷åñêè ñëîæíûõ îáúåêòîâ (íàïðèìåð, ñïåöèàëüíî îïðåäåëåííûõ ãðóïï).  êâàíòîâîé ìåõàíèêå, ãäå èñïîëüçóþòñÿ, â îñíîâíîì, ãðóïïû òèïà

U(n), SU(n) ñîîòâåòñòâóþùèå àëãåáðû Ëè è èõ ìàòðè÷íûå

ïðåäñòàâëåíèÿ, òàêèå ýêçîòè÷åñêèå îáúåêòû âñòðå÷àþòñÿ î÷åíü ðåäêî è òîëüêî â ñïåöèàëüíî ïîñòðîåííûõ çàäà÷àõ. Ïîýòîìó ÿ íå áóäó óãëóáëÿòüñÿ äàëåå â àíàëèç êîíñòðóêòèâíîé àëãåáðû, êîòîðàÿ ïðåâðàòèëàñü â äîâîëüíî îáøèðíóþ îáëàñòü. Âñå, ÷òî íàì íóæíî çíàòü äëÿ êîíñòðóêòèâèçàöèè êâàíòîâîé èçèêè: âåñü èñïîëüçóåìûé àëãåáðàè÷åñêèé àïïàðàò, âñëåä çà ìàòåìàòè÷åñêèì àíàëè-

2.5.

ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÀß ÀË ÅÁÀ ÄËß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÈ

69

çîì, ïåðåâîäèòñÿ íà êîíñòðóêòèâíûå ðåëüñû.

2.5.4 åçþìå ìàòåìàòè÷åñêîãî êîíñòðóêòèâèçìà Êîíñòðóêòèâíàÿ ìàòåìàòèêà ïîëíîñòüþ ñîõðàíÿåò âû÷èñëèòåëüíóþ ÷àñòü êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêè, òî åñòü âñå ïðèåìû, ñâÿçàííûå ñ äèåðåíöèðîâàíèåì, èíòåãðèðîâàíèåì, ðåøåíèåì äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, àëãåáðàè÷åñêèìè ìåòîäàìè, à òàêæå âîïðîñàìè óñòîé÷èâîñòè, îïòèìèçàöèè è ò.ï. Îòëè÷èå êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòèêè îò îáû÷íîé â òîì, ÷òî â êîíñòðóêòèâèçìå êî âñåì ïðîöåäóðàì ïðåäúÿâëÿåòñÿ ñòàíäàðòíîå òðåáîâàíèå ýåêòèâíîñòè, ÷òî ÿâëÿåòñÿ áîëåå æåñòêèì òðåáîâàíèåì, ïî ñðàâíåíèþ ñ ëîãè÷åñêîé íåïðîòèâîðå÷èâîñòüþ â òðàäèöèîííîé ìàòåìàòèêå. Òðåáîâàíèå ýåêòèâíîñòè íå îçíà÷àåò âñåîáùóþ àëãîðèòìèçèðóåìîñòü. Âû÷èñëåíèÿ ñ îðàêóëîì çàäàþò òîò îðìàò â êîíñòðóêòèâèçìå, êîòîðûé ïîçâîëÿåò ðàáîòàòü ñ ïðîöåññàìè íå àëãîðèòìè÷åñêîé ïðèðîäû, íàïðèìåð, ÿâíî óêàçûâàåò íà îðìó âçàèìîäåéñòâèÿ ÷åëîâåêà ñ ñîçäàâàåìûìè â ðàìêàõ êîíñòðóêòèâíîãî ïîäõîäà àëãîðèòìàìè. Âñå ýòî ñåðüåçíî îòëè÷àåò êîíñòðóêòèâèçì îò òðàäèöèîííîé ìàòåìàòèêè. Êîíñòðóêòèâíàÿ ìàòåìàòèêà âåëèêîëåïíî ïðèñïîñîáëåíà äëÿ âûïîëíåíèÿ ðîëè îðìàëüíîãî àïïàðàòà èçèêè, âêëþ÷àÿ ñàìóþ óíäàìåíòàëüíóþ åå ÷àñòü - êâàíòîâóþ òåîðèþ. Îíà ñïîñîáíà íàâåñòè ïîðÿäîê â ñåðå, ëåæàùåé âíå ïðåäåëîâ êâàíòîâîé òåîðèè, è ÷àñòî ïîðîæäàþùåé áåñïëîäíûå è èçíóðÿþùèå äèñêóññèè èçèêîâ, âûíóæäåííûõ çàìåíÿòü èëîñîèåé äååêòû ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà. Ìîæíî ñ ïîëíûì îñíîâàíèåì óòâåðæäàòü, ÷òî êîíñòðóêòèâèçì ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áîëåå çðåëóþ îðìó ìàòåìàòèêè ïî ñðàâíåíèþ ñ òðàäèöèîííîé êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêîé. Åå ðåãóëÿðíîå ïðèìåíåíèå â òåîðåòè÷åñêîé èçèêå ïðåäñòàâëÿåòñÿ ìíå ñàìîé æåëàòåëüíîé ïåðñïåêòèâîé.

70

ËÀÂÀ 2.

ÊÎÍÑÒÓÊÒÈÂÍÀß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ

ëàâà 3 Ìîäåëè, îñíîâàííûå íà êëàññè÷åñêîé èçèêå

Êëàññè÷åñêàÿ èçèêà ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé äëÿ âñåé èçèêè â öåëîì, ïîñêîëüêó íà íåé îñíîâàíî âñå ÷åëîâå÷åñêîå âîñïðèÿòèå è îáðàçíîå ïðåäñòàâëåíèå î ìèðå. Ìû äîëæíû èñõîäèòü èç êëàññè÷åñêîé èçèêè òàêæå è ïî ïðè÷èíå íåîáõîäèìîñòè ñîõðàíåíèÿ ïðååìñòâåííîñòè â íàóêå. Ýòà ïðååìñòâåííîñòü íå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî äàíüþ òðàäèöèè. Îíà èìååò âïîëíå òî÷íóþ îðìó, íàïðèìåð, ïî îòíîøåíèþ ê êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Êëàññè÷åñêàÿ èçèêà ÿâëÿåòñÿ íåîòúåìëåìîé ñîñòàâíîé ÷àñòüþ êâàíòîâîé ìåõàíèêè, áåç êîòîðîé ïîñëåäíÿÿ ïðîñòî íå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü. Ôóíäàìåíòàëüíîå ïîíÿòèå èçìåðåíèÿ èçè÷åñêèõ âåëè÷èí, ëåæàùåå â îñíîâå êâàíòîâîé òåîðèè, ïðåäïîëàãàåò ëîãè÷åñêè íàëè÷èå îáûêíîâåííîé, êëàññè÷åñêîé èçèêè. Èçëàãàÿ àëãîðèòìè÷åñêèé âçãëÿä íà êëàññè÷åñêóþ èçèêó, ìû äîëæíû ïðè ýòîì ÿñíî ïîíèìàòü, ÷òî êëàññè÷íîñòü â èçèêå íå ñîâïàäàåò ñ ïîíÿòèåì êëàññè÷åñêîãî àëãîðèòìà.  ÷àñòíîñòè, â òåðìèíàõ êëàññè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ ìîæíî èçëàãàòü è êëàññè÷åñêóþ, è êâàíòîâóþ ìåõàíèêó.

3.1

×àñòèöû è ýëåìåíòàðíûå âçàèìîäåéñòâèÿ

ëàâíûì ïîíÿòèåì âñåé èçèêè ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ÷àñòèöû, ïîñêîëüêó èìåííî îíî ïîçâîëÿåò ïðèìåíÿòü ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò ê ðåàëüíîñòè. Êëàññè÷åñêàÿ ÷àñòèöà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé àáñòðàêòíûé îáúåêò, êîòîðûé èìååò òàêèå õàðàêòåðèñòèêè êàê êîîðäèíàòû â àáñòðàêòíîì (êîíèãóðàöèîííîì) ïðîñòðàíñòâå - âðåìåíè, ìàññó, çàðÿä, ñïèí, äèíàìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè òèïà èìïóëüñà è ýíåðãèè, à òàêæå è âîçìîæíûå óêàçàíèÿ íà òî, èç ÷åãî ýòà ÷àñòèöà ñîñòîèò, è íà òî, êàê åå ñîñòàâíûå ÷àñòè ìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè. Ìû âèäèì, ÷òî îïðåäåëåíèå ÷àñòèöû ïîëó÷àåòñÿ äîâîëüíî ðàñïëûâ÷àòûì, è ïðè æåëàíèè ìîæíî ïîäîãíàòü ïîä ýòî îïðåäåëåíèå ëþáîé îáúåêò. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî îïðåäåëåíèå òîãî, ÷òî èìåííî ñ÷èòàòü ÷àñòèöåé, ÿâëÿåòñÿ ïðåðîãàòèâîé ïîëüçîâàòåëÿ ìîäåëè. Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ãëàâíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè êëàññè÷åñêîé ÷àñòèöû ÿâëÿþòñÿ åå êîîðäèíàòû â ïðîñòðàíñòâå-âðåìåíè, çàêîí èõ ýâîëþöèè (ñêîðîñòü) è óêàçà71

72

ËÀÂÀ 3.

ÌÎÄÅËÈ, ÎÑÍÎÂÀÍÍÛÅ ÍÀ ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÅ

íèå íà òèï ýòîé ÷àñòèöû, èç êîòîðîãî ñëåäóþò âñå îñòàëüíûå àòðèáóòû äàííîé ÷àñòèöû. Âàæíåéøèì ïîíÿòèåì ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå î òîæäåñòâåííîñòè ÷àñòèö, âûðàæàþùååñÿ â òîì, ÷òî òîæäåñòâåííûìè ìû íàçûâàåì ÷àñòèöû, èìåþùèå îäèí òèï. Ìû óäåëèì ýòîìó âîïðîñó íåêîòîðîå âíèìàíèå â ãëàâå 6, à ïîêà îòìåòèì ñëåäóþùåå. åàëüíîå ÷èñëî ÷àñòèö â ïðèðîäå ñòîëü âåëèêî, ÷òî íåò íèêàêîé âîçìîæíîñòè ñòðîèòü ìîäåëè, â êîòîðûõ èìåëàñü áû âîçìîæíîñòü àäðåñàöèè ê êàæäîé ÷àñòèöå â îòäåëüíîñòè (íàïðèìåð, åñëè èçèêè è ðàçäåëÿþò ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå íà îòîíû, òî âñåãäà ãîâîðÿò î òîì, ÷òî ÷èñëî îòîíîâ áåñêîíå÷íî âåëèêî). Ýòî âûðàæàåòñÿ â òîì, ÷òî äëÿ èçè÷åñêèõ âåëè÷èí èñïîëüçóþòñÿ âåùåñòâåííûå ÷èñëà äàæå â òîì ñëó÷àå, êîãäà â ïðèíöèïå âîçìîæíî ãîâîðèòü î ñîñòàâíûõ ÷àñòÿõ ýòèõ âåëè÷èí (êàê â ñëó÷àå ñ îòîíàìè).

Ïîëåâîå ïðåäñòàâëåíèå ñèñòåìû ÷àñòèö - ýòî åå îðìàëüíîå êîäèðîâàíèå ñ ïîìîùüþ ÷èñåë, âûðàæàþùèõ ïîëíîå ÷èñëî ÷àñòèö èëè ñóììó íåêîòîðûõ èõ àòðèáóòîâ. Íàïðèìåð, ìû ìîæåì âìåñòî ñèñòåìû ÷àñòèö

S = {s1 , s2 , . . . , sk }

ðàññìîò-

ðåòü èõ ïëîòíîñòü â ðàçíûõ òî÷êàõ, êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ ïî ïðàâèëó

N(¯ r , dx) , dx−→∞ dx3

ρ(¯ r ) = lim ãäå ÷åðåç òî÷êå

r¯.

N

îáîçíà÷àåòñÿ ïîëíîå ÷èñëî ÷àñòèö â êóáå ñ ðåáðîì

dx

ñ öåíòðîì â

S ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ óíêöèρ(¯ r ). àçóìååòñÿ, ýòî áóäåò èìåòü ñìûñë òîëüêî òîãäà, êîãäà ÷èñëî

Òîãäà âìåñòî ïåðå÷èñëåíèÿ ìíîæåñòâà

åé ïëîòíîñòè

÷àñòèö äîñòàòî÷íî âåëèêî. Ê òîìó æå â ëþáîì ñëó÷àå íàì ïðèäåòñÿ îãðàíè÷èòü ìàòåìàòè÷åñêè òî÷íîå ïîíÿòèå ïðåäåëà â ýòîì îïðåäåëåíèè, òàê êàê ÷èñëî ÷àñòèö íèêîãäà è íèãäå íå áûâàåò áåñêîíå÷íûì. Òî åñòü íàì ïðèäåòñÿ ïðèìåíÿòü èäåîëîãèþ êîíñòðóêòèâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà (ñì. ðàçäåë "êîíñòðóêòèâíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç"), ïðèìåíåíèå æå ñòàíäàðòíîãî àíàëèçà îãðàíè÷åíî òîëüêî âîçìîæíîñòüþ ðàññìîòðåòü ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå. Èñïîëüçîâàíèå ïëîòíîñòè, òî åñòü îáùåãî ÷èñëà ÷àñòèö âìåñòî èõ ïåðå÷èñëåíèÿ îáåùàåò ýêñïîíåíöèàëüíóþ âûãîäó ïðè çàïèñè, òàê êàê âìåñòî ÷èñëà õðàíèòü íå÷òî âðîäå

log k

k

íàì ïðèäåòñÿ

èëè íåêîòîðóþ êîìáèíàöèþ òàêèõ ëîãàðèìîâ â

íåêîòîðîé ñòåïåíè.  ëþáîì ñëó÷àå, âûèãðûø îò ïîëåâîãî ïðåäñòàâëåíèÿ áóäåò ïî÷òè ýêñïîíåíöèàëüíûì. Íî ýòîò ýêñïîíåíöèàëüíûé âûèãðûø ñîõðàíèòñÿ òîëüêî òîãäà, êîãäà ìû çàèêñèðîâàëè ðàçìåðíîñòü êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà. Òî åñòü ìû äîëæ3 íû ñ÷èòàòü, ÷òî äèíàìè÷åñêèå ñöåíàðèè ðàçâåðòûâàþòñÿ â R è òîëüêî â íåì ! Åñëè ìû, íà ìèíóòó, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÷àñòèöû, îáðàçóþùèå ïîëå, ñïîñîáíû íà íåêèå èíäèâèäóàëüíûå âçàèìîäåéñòâèÿ, òî åñòü âçàèìîäåéñòâèå íå ñî âñåìè îñòàëüíûìè ÷àñòèöàìè ñðàçó, à òîëüêî ñ íåêîòîðûìè èçáðàííûìè, íàïðèìåð, ñïîñîáíû îáðàçîâûâàòü ïàðû ñ îäíèì èç áëèæàéøèõ ñîñåäåé, - ñèòóàöèÿ ðàäèêàëüíî èçìåíèòñÿ.  ýòîì ñëó÷àå äèíàìè÷åñêèé ñöåíàðèé áóäåò çàâèñåòü âîâñå íå îò ïëîòíîñòè

ρ(¯ r ),

à îò áîëåå òîíêèõ äåòàëåé âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ

3.1.

×ÀÑÒÈÖÛ È ÝËÅÌÅÍÒÀÍÛÅ ÂÇÀÈÌÎÄÅÉÑÒÂÈß

73

÷àñòèö.  ïðåäåëüíîì ñëó÷àå íàì ïðèäåòñÿ èêñèðîâàòü ýòè ïîëîæåíèÿ ñ àáñîëþòíîé òî÷íîñòüþ (íàïðèìåð, óêàçûâàòü íà ïîâåðõíîñòè êðèñòàëëà òî÷íûé íîìåð àòîìà) äëÿ êàæäîé ÷àñòèöû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè, íàïðèìåð, âñåãî N äëÿ êàæäîé ÷àñòèöû, à ÷èñëî ÷àñòèö m, òî âñåãî áóäåò N m ðàç-

ïîëîæåíèé

ëè÷íûõ êîíèãóðàöèé. Äîïóñòèì, ìû ïðèìåíÿåì ê ýòîé ñèòóàöèè òîò æå ïðèåì ïåðåõîäà ê ïîëåâîìó ïðåäñòàâëåíèþ. Òîãäà â ëó÷øåì ñëó÷àå, íàì íàäî áóäåò m = O(m) åñëè ñ÷èòàòü ÷òî N = const à ðàñòåò èìåòü ïàìÿòü ïîðÿäêà log N òîëüêî ÷èñëî ÷àñòèö. Òî åñòü íàì ïðèäåòñÿ àêòè÷åñêè ïåðåéòè ê ðàññìîòðåíèþ èìåííî èíäèâèäóàëüíûõ ÷àñòèö, à íå ïîëÿ ! Âñå ýòè çàìå÷àíèÿ îòíîñèëèñü ê êëàññè÷åñêîìó îïèñàíèþ ÷àñòèö. Ïðè êâàíòîâî ìåõàíè÷åñêîì îïèñàíèè ýåêò ïåðåõîäà îò ïîëÿ ê îòäåëüíûì ÷àñòèöàì áóäåò åùå áîëüøå, è ýòî áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ íèæå. Ïîêà ìû ëèøü îòìåòèì, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì ñëîæíîñòè âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö äðóã ñ äðóãîì ðàçìåðíîñòü çàäà÷è áóäåò ðåçêî âîçðàñòàòü. Êëàññ ÿâëåíèåé, ê êîòîðûì ïðèìåíèìî ïîëåâîå ïðåäñòàâëåíèå, ìîæíî óñëîâíî íàçâàòü ñïëîøíûìè ñðåäàìè. Óñëîâíîñòü ýòîãî íàçâàíèÿ â òîì, ÷òî ê ýòîìó êëàññó ñèñòåì ìû îòíîñèì íå òîëüêî ñðåäû, èçó÷àåìûå â ãèäðî- è àýðî- äèíàìèêå, íî è òâåðäûå òåëà, ýëåêòðîííûé ãàç, ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, è âîîáùå ëþáûå ñèñòåìû, â êîòîðûõ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü èíäèâèäóàëüíûìè îñîáåííîñòÿìè âçàèìîäåéñòâèÿ îòäåëüíûõ ÷àñòèö. ×èñëåííûé êðèòåðèé çäåñü - âîçìîæíîñòü ïîëó÷àòü ïðàâäèâûå ìîäåëè äèíàìè÷åñêèõ ñöåíàðèåâ ñ ïîìîùüþ ïîëåâîãî ïðåä-

1

ñòàâëåíèÿ ñèñòåìû.

 ýòîì ðàçäåëå ìû êðàòêî êîñíåìñÿ ñèñòåì, äîïóñêàþùèõ

ïîëåâîå ðàññìîòðåíèå. Åãî ïðåèìóùåñòâî çàêëþ÷àåòñÿ â âîçìîæíîñòè ïðèìåíåíèÿ àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ ðàñ÷åòà, ñâÿçàííûõ ñ ðåøåíèÿìè äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ìû íå áóäåì âûâîäèòü ýòè óðàâíåíèÿ (èõ âûâîä ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â êíèãå [56℄). àññìîòðèì òîëüêî èçáðàííûå âîïðîñû, èìåþùèå îòíîøåíèå ê äàëüíåéøåìó èçëîæåíèþ. Âñÿ èçèêà ïîñòðîåíà íà òîì, ÷òî òèïîâ ÷àñòèö íåìíîãî, à ñàìèõ ÷àñòèö - î÷åíü ìíîãî. Êîîðäèíàòû ÷àñòèöû êàê ðàç è ÿâëÿþòñÿ àòðèáóòàìè, âûðà-

2

æàþùèìè ïîëîæåíèå äàííîé ÷àñòèöû ñðåäè äðóãèõ ÷àñòèö . Ñîîòâåòñòâåííî, âñå àòðèáóòû ÷àñòèöû ìîæíî ðàçäåëèòü íà àáñîëþòíûå: òèï ýòîé ÷àñòèöû, à òàêæå âñå åãî ïðîèçâîäíûå (ìàññà, çàðÿä, âîçìîæíûå çíà÷åíèå ñïèíà, è ò.ä.) è îòíîñèòåëüíûå: êîîðäèíàòû, èìïóëüñ, à òàêæå êîíêðåòíîå çíà÷åíèå ñïèíà. Ýòî áóäåò òàêæå ñïðàâåäëèâî è äëÿ ÷àñòèö, íå ÿâëÿþùèõñÿ òî÷å÷íûìè, íî òîãäà èõ êîíèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî èìååò áîëüøóþ ðàçìåðíîñòü ÷åì 3. 1 Çäåñü íåò è íå ìîæåò áûòü íèêàêèõ êðèòåðèåâ â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà ÷àñòèö. Èíäèâèäóàëüíûå îñîáåííîñòè âçàèìîäåéñòâèé ìîãóò èìåòü ðàäèêàëüíûå ïîñëåäñòâèÿ äëÿ ñèñòåì ñî ñêîëü óãîäíî áîëüøèì ÷èñëîì ÷àñòèö, è ýòî âûðàæàåòñÿ â îãðàíè÷åííîé ïðèìåíèìîñòè ê òàêèì ñèñòåìàì çàêîíîâ òèïà ãèäðîäèíàìèêè. Íàïðèìåð, çàâèñèìîñòü äèíàìè÷åñêèå ñöåíàðèè ýâîëþöèè çâåçä ÿâëÿþòñÿ â áîëüøåé ìåðå ðåçóëüòàòîì îáîáùåíèÿ àñòðîíîìè÷åñêèõ íàáëþäåíèé, ÷åì ðåçóëüòàòîì ïðÿìîãî ïðèìåíåíèÿ ïîëåâûõ ïðåäñòàâëåíèé, è çàâèñèìîñòü òàêèõ ñöåíàðèåâ îò èíäèâèäóàëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé ÿâëÿåòñÿ îòêðûòûì âîïðîñîì. 2 è, â îñíîâíîì, ñðåäè òåõ, êîòîðûå â íàøó ìîäåëü íå âõîäÿò, à ñîñòàâëÿþò òàê íàçûâàåìóþ ñèñòåìó îòñ÷åòà.

74

ËÀÂÀ 3.

ÌÎÄÅËÈ, ÎÑÍÎÂÀÍÍÛÅ ÍÀ ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÅ

àçäåëåíèå àòðèáóòîâ ÷àñòèö íà àáñîëþòíûå è îòíîñèòåëüíûå óñëîâíî, òàê êàê ìû ìîæåì, ïðè æåëàíèè, îáúÿâèòü êàêèå-ëèáî èç îòíîñèòåëüíûõ àòðèáóòîâ ïðîñòî êîîðäèíàòàìè â ðàñøèðåííîì äîëæíûì îáðàçîì êîíèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå.  ÷àñòíîñòè, ìîæíî ââåñòè â ýòî ïðîñòðàíñòâî òàê íàçûâàåìóþ ñïèíîâóþ êîîðäèíàòó, è îíà áóäåò óêàçûâàòü íàïðàâëåíèå ñïèíà ÷àñòèöû â íåêîòîðîì ñïåöèàëüíîì (ñïèíîâîì) ïîäïðîñòðàíñòâå ðàñøèðåííîãî êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà. Òàêæå ìîæíî ïîñòóïèòü è ñ íåêîòîðûìè àáñîëþòíûìè

3

àòðèáóòàìè, íàïðèìåð, ñ íåêîòîðûìè òèïàìè ÷àñòèö . Ïðè êâàíòîâî ìåõàíè÷åñêîì ðàññìîòðåíèè ÷àñòèö âîçìîæíî òàêæå è îáðàòíîå: ìû ìîæåì ðàçëè÷àòü ÷àñòèöû â çàâèñèìîñòè îò èõ ñîñòîÿíèé è äàæå âðåìåííî âêëþ÷àòü ýòî ðàçëè÷èå â òèï, ãîâîðÿ, íàïðèìåð, îá ýëåêòðîíå â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè è ò.ä. Âîîáùå ÷èñëî òèïîâ ÷àñòèö áóäåò æåñòêî îãðàíè÷åíî, íàïðèìåð, ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü ÿäðà àòîìîâ è ýëåêòðîíû, èëè ìîëåêóëû. Íî èíîãäà ìîæåò áûòü öåëåñîîáðàçíî ðàñøèðèòü ýòè ñòàíäàðòíûå òèïû, äîáàâèâ ê íèì åùå íåêîòîðûå íîâûå, íàïðèìåð, ìîæíî ðàññìîòðåòü â êà÷åñòâå ÷àñòèö êâàíòû êîëåáàòåëüíîãî äâèæåíèÿ êðèñòàëëà (îíîíû) èëè îòîíû, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü òàêèå ýêçîòè÷åñêèå ÷àñòèöû, êàê êóïåðîâñêèå ïàðû, à òàêæå áîëüøèå ñèñòåìû èç ìíîãèõ àòîìîâ, êîòîðûå ïî÷åìó-ëèáî âåäóò ñåáÿ êàê îäíà ÷àñòèöà. Åñëè ÷àñòèöà

P0

ñîñòîèò èç íàáîðà áîëåå ìåëêèõ ÷àñòèö

P01 , P02, . . . , P0k ,

òî

çàðÿä è ìàññà ýòîé ÷àñòèöû ðàâíà ñóììå ñîîòâåòñòâóþùèõ âåëè÷èí äëÿ êàæäîé èç ñîñòàâëÿþùèõ åå ÷àñòåé. Âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ÷àñòèöàìè îïèñûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïîëåé.  ñòàíäàðòíîì ìàòåìàòè÷åñêîì îðìàëèçìå ïîëå ÿâëÿåòñÿ óíäàìåíòàëüíûì îáúåêòîì è çàäàåòñÿ óíêöèåé âèäà

S −→ L, ãäå

L

S

(3.1)

åñòü êîíèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû ÷àñòèö,

åñòü íåêîòîðîå âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî. Ïðè ýòîì

ïðîèçâåäåíèåì

L = L1

N

L2

N

...

N

Lh

L

ìîæåò áûòü òåíçîðíûì

ðàçëè÷íûõ âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ, áà-

çèñíûå ýëåìåíòû êîòîðûõ èìåþò ñâîé ñìûñë äëÿ êàæäîãî

Lj ,

íàïðèìåð, íåêî-

òîðûå ïðîñòðàíñòâà ìîãóò ñîñòîÿòü èç ïåðâè÷íûõ ýëåìåíòîâ, ñêàæåì, îáû÷íûõ âåêòîðîâ èëè êàêèõ-ëèáî âåùåñòâåííûõ èëè êîìïëåêñíûõ óíêöèé, è òîãäà îíè íàçûâàþòñÿ êîíòðàâàðèàíòíûìè, à äðóãèå ïðîñòðàíñòâà èç

Lj

ìîãóò áûòü

ïðîñòðàíñòâàìè ëèíåéíûõ óíêöèîíàëîâ íàä ïåðâè÷íûìè ïðîñòðàíñòâàìè, è òîãäà îíè íàçûâàþòñÿ êîâàðèàíòíûìè. Òàêîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî

L íàçûâà-

þò åùå òåíçîðíûì ïðîñòðàíñòâîì, à ïîëå òîãäà áóäåò òåíçîðíûì. àññìîòðåíèå òåíçîðíûõ ïîëåé óäîáíî, íàïðèìåð, äëÿ îïèñàíèÿ ãðàâèòàöèè. Ñàìûì âàæíûì äëÿ íàñ ìîìåíòîì â ýòîì îïðåäåëåíèè áóäåò òî, ÷òî ïîä ïîëåì âñåãäà ïîäðàçóìåâàþò íåêîå ïðàâèëî, ïî êîòîðîìó êàæäîé òî÷êå êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå âåêòîð èç èêñèðîâàííîãî 3 Ââåäåíèå

èçîòîïè÷åñêîãî ñïèíà ïîçâîëÿåò ãîâîðèòü î ïðîòîíå è íåéòðîíå êàê î ÷àñòèöàõ îäíîãî òèïà, íî èìåþùèõ ðàçíîå çíà÷åíèå èçîñïèíà.

3.2.

75

ÄÈÔÔÅÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÓÀÂÍÅÍÈß

âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Èíûìè ñëîâàìè, êàæäîìó ïîëîæåíèþ (÷àñòèöû) â ïðîñòðàíñòâå ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðûé îáúåêò, ïðè÷åì ðàçíûå òàêèå îáúåêòû ìîæíî ñêëàäûâàòü è óìíîæàòü íà ÷èñëà ñ âûïîëíåíèåì ñòàíäàðòíûõ çàêîíîâ àññîöèàòèâíîñòè è äèñòðèáóòèâíîñòè óìíîæåíèÿ ïî îòíîøåíèþ ê ñëîæåíèþ. Òî åñòü ïîíÿòèå ïîëÿ õîðîøî ïðèñïîñîáëåíî ê òîìó, ÷òîáû ðàññìàòðèâàòü íå ïðîñòî îòäåëüíóþ òðàåêòîðèþ ÷àñòèöû â ïîñëåäîâàòåëüíûå ìîìåíòû âðåìåíè t, íî è äëÿ ðàññìîòðåíèÿ ðàçíûõ âîçìîæíûõ òðàåêòîðèé îäíîé èëè ðàçíûõ ÷àñòèö, à òàêæå äëÿ (îäíîâðåìåííîãî ñ òî÷êè çðåíèÿ ïîëüçîâàòåëÿ, íî íå àäìèíèñòðàòîðà) ðàññìîòðåíèÿ ñîñòîÿíèé îäíîé è òîé æå ÷àñòèöû â ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè. Òàêèì îáðàçîì, ïîëå óæå ïðåäîñòàâëÿåò íåîáõîäèìûå ñðåäñòâà êàê äëÿ ïîñòðîåíèÿ êâàíòîâîé ìåõàíèêè, êîãäà ìû èìååì äåëî ñ ðàçíûìè òðàåêòîðèÿìè îäíîé è òîé æå ÷àñòèöû, òàê è ðåëÿòèâèçìà, ãäå ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè ðàññìàòðèâàþòñÿ åäèíîîáðàçíî (ñì. ðàçäåë 4.3).

3.2

Äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ

Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç âîçíèê èç íåîáõîäèìîñòè ðàññìàòðèâàòü î÷åíü ìàëûå (â ïðåäåëå - áåñêîíå÷íî ìàëûå) îòðåçêè ïðîñòðàíñòâà è âðåìåíè è ïðîâîäèòü âû÷èñëåíèÿ áîëüøèõ âåëè÷èí, èñõîäÿ èç ïðîöåññîâ, ïðîèñõîäÿùèõ â ýòèõ ìàëûõ îáëàñòÿõ. Òåõíèêà òî÷íîãî ðåøåíèÿ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ýåêòèâíûì ïîäõîäîì ïîñòðîåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé áåç ïðèìåíåíèÿ êîìïüþòåðîâ, è ìû ïðîèëëþñòðèðóåì íàøè ñîãëàøåíèÿ î ìîäåëÿõ èìåííî íà ýòîì òðàäèöèîííîì ìàòåðèàëå. Ìû áóäåì çàíèìàòüñÿ ïðîöåññàìè â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, è ïîòîìó ñðàçó áóäåì èñïîëüçîâàòü äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Äèíàìè÷åñêèå ìîäåëè, â îñíîâíîì, îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè âòîðîãî ïîðÿäêà, êîòîðûå íàäëåæàùèì âûáîðîì ïåðåìåííûõ ìîæíî ïðèâåñòè ê ïàðàáîëè÷åñêîìó è ãèïåðáîëè÷åñêîìó âèäàì (ýëëèïòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ èñïîëüçóþòñÿ, â îñíîâíîì, äëÿ îïèñàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé). Ìû èìåííî ýòèìè òèïàìè óðàâíåíèé, à èìåííî - âêðàòöå îáñóäèì ñòàíäàðòíûå ÷èñëåííûå ìåòîäû èõ ðåøåíèÿ. Ìû äëÿ ïðèìåðà ðàññìîòðèì óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè, îòíîñÿùåñÿ ê ïàðàáîëè÷åñêîìó òèïó (ýòà ñõåìà ìîæåò áûòü ïåðåíåñåíà è íà óðàâíåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà). Ó íàñ èìååòñÿ çàäà÷à Êîøè äëÿ ïðÿìîóãîëüíèêà âèäà 2

α ∂∂xu2 u(x0 , t) u(xn , t) u(x, 0)

x0 ≤ x ≤ xm , t0 ≤ t ≤ tn ,

= ∂u , ∂t = ua , = ub , = ux,0,

àçîáúåì íàøó ïðÿìîóãîëüíóþ îáëàñòü íà ïðÿìîóãîëüíèêè òî÷êàìè

xj , ys ,

îá-

∆x, ∆y ïî îáåèì êîîðäèíàòàì è uj,k = u(xk , tj ), j = 1, 2, . . . , m, k = 1, 2, . . . , n çíà÷å-

ðàçóþùèìè ðàâíîìåðíóþ ðåøåòêó â øàãàìè áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç

(3.2)

76

ËÀÂÀ 3.

ÌÎÄÅËÈ, ÎÑÍÎÂÀÍÍÛÅ ÍÀ ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÅ

íèÿ èñêîìîé óíêöèè â óçëàõ ýòîé ðåøåòêè. Ïîä ñëîåì ìû áóäåì ïîíèìàòü ñîâîêóïíîñòü óçëîâ ðåøåòêè, èìåþùèõ îäèíàêîâîå çíà÷åíèå âðåìåíè. Èäåéíî ñàìûì ïðîñòûì ïðîñòûì áóäåò ÿâíûé ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷è 3.2. Îí ñîñòîèò â òîì, ÷òî ìû íàõîäèì çíà÷åíèÿ

uj,k

ñëîé çà ñëîåì, ðåøàÿ î÷åâèäíûå óðàâíåíèÿ

âèäà

1 uj,k+1 − 2uj,k + uj,k−1 = 2 (∆x) α îòíîñèòåëüíî

uj,k+1

ïîñëåäîâàòåëüíî ïðè



uj+1,k − uj,k ∆t



k = 1, 2, . . . , m äëÿ

(3.3) âñåõ

j = 1, 2, . . . , n.

Ýòîò ìåòîä ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì îáîáùåíèåì èçâåñòíîãî ìåòîäà Ýéëåðà ðåøåíèÿ îáûêíîâåííîãî äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ.  òåðìèíàõ ìîäåëè ýòîò ïðÿìîé ìåòîä îçíà÷àåò, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì òîëüêî îäèí ñöåíàðèé ýâîëþöèè ñèñòåìû, îïèñûâàåìîé óíêöèåé

u,

à èìåííî òîò, ÷òî ïîëó÷àåòñÿ ïðèìåíåíèåì

ïðèáëèæåíèÿ çíà÷åíèÿ óíêöèè ñ ïîìîùüþ îïðåäåëåíèÿ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé. Õîðîøî èçâåñòíî óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè ïðÿìîãî ìåòîäà:

∆t ≤

∆x)2 . 2α

(3.4)

Èç ýòîãî óñëîâèÿ âûòåêàåò, ÷òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðàâäîïîäîáíîé êàðòèíû −3 ýâîëþöèè íàì ïðèäåòñÿ ïîòðàòèòü ïîðÿäêà O(δ ) øàãîâ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ âñåãî ïðîöåññà ïðè óñëîâèè èêñàöèè âðåìåíè çåðíî ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ.

tm − t0 ,

åñëè

δ

åñòü âûáðàííîå

Áîëåå ýêîíîìè÷íûì ìåòîäîì ÿâëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìûé îáðàòíûé ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè 3.2. Îí ñîñòîèò â òîì, ÷òî ìû ðåøàåì íå óðàâíåíèÿ 3.5, à

uj+1,k íà îñíîâå ðàâåíñòâ   1 uj+1,k − uj,k (3.5) , = α ∆t

ñîñòàâëÿåì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî

uj+1,k+1 − 2uj+1,k + uj+1,k−1 (∆x)2 äëÿ

ãäå

j = 1, 2, . . . , m,  β 1 0  1β 1 0   0 1 β   0 0 −   0 0 0   0 0 0 0 0 0

k = 1, 2, . . . , n. Ìàòðè÷íàÿ îðìà òàêîé ñèñòåìû èìååò âèä     Ωuj,1 − ua uj+1,1 0 0 0 0    uj+1,2   Ωuj,2 0 0 0       uj+1,3   Ωuj,3 1 0 0 0       = −  − − 0 0  (3.6)     −      − − − 0  −    −    uj+1,n−1   Ωuj,n−1 0 1 β 1 Ωuj,n − ub uj+1,n 0 0 1 β (∆x)2 , Ω = β + 2. α∆t ïîñëåäîâàòåëüíî äëÿ j = 0, 1, . . . , n, β = −2 −

åøàÿ ñèñòåìû 3.6 ÷åíèÿ

uj,k ,

ìû ïîëó÷èì çíà-

êîòîðûå è äàþò ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè 3.2. Ýòîò ìåòîä íàçûâàåòñÿ

3.3.

Î ÌÀÑØÒÀÁÈÓÅÌÎÑÒÈ ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ

77

ïðîãîíêîé, è îí âûãëÿäèò ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî ðàçíîñòíàÿ ñõåìà äëÿ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè áóäåò òîãäà àìåíåíà íà ðàçíîñòíóþ ñõåìó äëÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé. Ìåòîä ïðîãîíêè èìååò òàêóþ æå âû÷èñëèòåëüíóþ ñëîæíîñòü, ÷òî è ïðÿìîé ìåòîä äëÿ îäíîãî øàãà, ïîñêîëüêó ðåøåíèå ñèñòåìû 3.6 òðåáóåò ïîðÿäêà

O(m)

îïåðàöèé ââèäó ïî÷òè äèàãîíàëüíîé îðìû ìàòðèöû ñèñòåìû. Îäíàêî

ïðîãîíêà îáëàäàåò óñòîé÷èâîñòüþ ïðè âûáîðå øàãîâ

∆x, ∆t,

îáåñïå÷èâàþùèõ

òî÷íîñòü àïïðîêñèìàöèè ïðîèçâîäíûõ ðàçíîñòíûìè ñõåìàìè, òî åñòü çäåñü äëÿ óñòîé÷èâîñòè íå òðåáóåòñÿ âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ 3.4. Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü âûáèðàòü øàã ïî âðåìåíè äîñòàòî÷íî áîëüøèì, è ðåçóëüòèðóþùàÿ ñëîæíîñòü îïðåäåëåíèÿ êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû â êîíå÷íûé ìîìåíò âðåìåíè ñèëüíî óïðîñòèòñÿ, ñòàâ ïðîñòî ëèíåéíîé ïî âðåìåíè

tn − t0 ,

÷òî äàåò âîçìîæíîñòü

ãîâîðèòü î âîçìîæíîñòè ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññà â ðåæèìå ðåàëüíîãî âðåìåíè. Òåïåðü ïîñìîòðèì íà ïðîãîíêó ñ òî÷êè çðåíèÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññà, îïèñûâàåìîãî çàäà÷åé Êîøè 3.2. åøåíèå ïîñëåäîâàòåëüíûõ ñèñòåì óðàâíåíèé 3.6 ÿâëÿåòñÿ ñïîñîáîì ïîñòðîåíèÿ äèíàìè÷åñêîãî ñöåíàðèÿ äëÿ íàøåé çàäà÷è. Âïîëíå åñòåñòâåííî, ÷òî ýòîò ñöåíàðèé ñîçäàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî, â ñîîòâåòñòâèè ñ õîäîì ðåàëüíîãî èçè÷åñêîãî âðåìåíè. Îäíàêî ïðîãîíêà ïðèíöèïèàëüíî îòëè÷àåòñÿ îò ïðÿìîãî ìåòîäà òåì, ÷òî îíà èñïîëüçóåò íåÿâíóþ ñõåìó äëÿ óðàâíåíèÿ 3.2. Ýòî çíà÷èò, ÷òî íà êàæäîì îòäåëüíî âçÿòîì øàãå ìû ñóùåñòâåííî èñïîëüçóåì èíîðìàöèþ î ñòðóêòóðå ðåçóëüòàòà ýòîãî øàãà, ïðåæäå ÷åì ñîâåðøèòü ýòîò øàã. Èíûìè ñëîâàìè, íà êàæäîì êîíêðåòíîì øàãå ìû çàáåãàåì âïåðåä, ÷òîáû ïîñìîòðåòü, ÷òî äîëæíî ïîëó÷èòüñÿ â ðåçóëüòàòå, â òî âðåìÿ êàê â ñëó÷àå ïðÿìîãî ìåòîäà ìû ïðîñòî âûïèñûâàåì ðåçóëüòàò âû÷èñëåíèÿ ñëåäóþùåãî ñîñòîÿíèÿ èñõîäÿ èç ïðèáëèæåíèÿ ïðîèçâîäíûõ ðàçíîñòíîé ñõåìîé. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî êîíñòàòèðîâàòü, ÷òî òàêîå çàãëÿäûâàíèå âïåðåä íà îäèí øàã ÿâëÿåòñÿ î÷åíü ýåêòèâíûì ïðèåìîì ïîñòðîåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñöåíàðèåâ äëÿ êëàññè÷åñêèõ ñèñòåì, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ äèåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, à ýòî êàê ðàç è åñòü ñèñòåìû, â êîòîðûõ äåéñòâóþò çàêîíû êëàññè÷åñêîé èçèêè.

3.3

Î ìàñøòàáèðóåìîñòè êëàññè÷åñêèõ ìîäåëåé

Ïîä ìàñøòàáèðîâàíèåì ìîäåëè ìû áóäåì ïîíèìàòü ñïîñîáíîñòü ýòîé ìîäåëè ê ðàñïðîñòðàíåíèþ íà íîâûå îáëàñòè ïðèìåíåíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ èñõîäíîé çàäà÷åé, äëÿ êîòîðîé îíà ñîçäàâàëàñü. Ïðè ýòîì ðàñïðîñòðàíåíèè íå äîëæíî ïðîèñõîäèòü èçìåíåíèå àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ ñöåíàðèåâ ìîäåëè, òî åñòü ìàñøòàáèðîâàíèå îçíà÷àåò âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ äàííîãî àëãîðèòìà äëÿ ðàáîòû ñ áîëüøèì ñïåêòðîì ðàçíûõ ñèñòåì. Ïðåæäå âñåãî ïîä íîâîé îáëàñòüþ ìû ïîíèìàåì íîâóþ ïðîñòðàíñòâåííóþ îáëàñòü, è òîãäà ãîâîðÿò î ïðîñòðàíñòåííîì ìàñøòàáèðîâàíèè ìîäåëè. Âàæíûì ñëó÷àåì ïðîñòðàíñòâåííîãî ìàñøòàáèðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ óâåëè÷åíèå èëè óìåíüøåíèå çåðíà ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ, òî

78

ËÀÂÀ 3.

ÌÎÄÅËÈ, ÎÑÍÎÂÀÍÍÛÅ ÍÀ ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÅ

åñòü ïåðåõîä ê áîëåå ïðîòÿæåííûì â ïðîñòðàíñòâå ñèñòåìàì, èëè ðàññìîòðåíèå äàííîé ñèñòåìû ïðè áîëüøåé äåòàëèçàöèè ïðîöåññîâ. Ôàêòè÷åñêè ïîä ïðîñòðàíñòâåííûì ìàñøòàáèðîâàíèåì ìû ÷àùå âñåãî áóäåì èìåòü â âèäó èìåííî ýòî. Åùå ìîæíî ãîâîðèòü î ìàñøòàáèðîâàíèè ìîäåëè ïî âçàèìîäåéñòâèÿì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äàííûé àëãîðèòì ìîäåëèðîâàíèÿ ãîäèòñÿ äëÿ êàêèõ-ëèáî èíûõ

4

âçàèìîäåéñòâèé, êðîìå òåõ, äëÿ êîòîðûõ îí ïåðâîíà÷àëüíî ïðåäíàçíà÷àëñÿ . Çäåñü, ìû, êîíå÷íî, èìååì â âèäó èäåàëüíûé ñëó÷àé.  äåéñòâèòåëüíîñòè, ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè ìîäåëè íà íîâûå îáëàñòè èëè âêëþ÷åíèè íîâûõ âçàèìîäåéñòâèé âñåãäà òðåáóåò íåêîòîðîãî âèäîèçìåíåíèÿ àëãîðèòìà. Âàæíî, ÷òîáû ýòî èçìåíåíèå áûëî ëîêàëüíûì è íå ïðèâîäèëî ê ïåðåñìîòðó ýâðèñòèêè, òî åñòü èäåè àëãîðèòìà. Òî÷íûõ êðèòåðèåâ ëîêàëüíîñòè èçìåíåíèÿ, ðàçóìååòñÿ, äàòü íåëüçÿ. Íî ýòî è íå äîëæíî ñîñòàâëÿòü îñîáóþ ïðîáëåìó. Ïðè ïåðåíîñå ëþáûõ ìåòîäîâ ñ îäíîé çàäà÷è íà äðóãóþ âñåãäà âîçíèêàåò ïðîáëåìà àäàïòàöèè ìåòîäà ê íîâîé çàäà÷å, ýòî âûðàæàåòñÿ, õîòÿ áû, â íàçíà÷åíèè ïåðåìåííûì â îðìóëå íîâûõ âåëè÷èí, ÷òî è ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîì ëîêàëüíîãî èçìåíåíèÿ. Ìû áóäåì ñ÷èòàòü ëîêàëüíûì ëþáîå èçìåíåíèå, êîòîðîå ìîæíî ñäåëàòü áûñòðî, ÷òî îçíà÷àåò íåèçìåííîñòü îñíîâíûõ ëîãè÷åñêèõ êîíñòðóêöèé ìîäåëè. Âàæíî òî, ÷òî ìàñøòàáèðîâàíèå íå ÿâëÿåòñÿ ñâîéñòâîì îäíîé ìîäåëè. îíî çàâèñèò îò çàäà÷, ê êîòîðûì ýòà ìîäåëü ïðèìåíÿåòñÿ. Òî åñòü ìû èìååì â âèäó, êàêèå âçàèìîäåéñòâèÿ íóæíî îáÿçàòåëüíî ó÷åñòü, à êàêèìè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Íàïðèìåð, â çàäà÷àõ ïî õèìè÷åñêèì ðåàêöèÿì íèêòî íå ó÷èòûâàåò ãðàâèòàöèîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ðåàãåíòîâ. Äðóãîé ïðèìåð ìîãóò äàòü çàäà÷è íåáåñíîé ìåõàíèêè. Êëàññè÷åñêèå ìîäåëè ãðàâèòàöèè, ïðèìåíÿåìûå ê òàêèì çàäà÷àì, äîïóñêàþò âûñîêóþ ñòåïåíü ìàñøòàáèðîâàíèÿ ïðè óâåëè÷åíèè ïðîòÿæåííîñòè 20 ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû äî 10 cm, òàê êàê äâèæåíèå ãàëàêòèê îíè ïðåäñêà30 çûâàþò íåïëîõî; ïðîèñõîäÿùåå íà 10 cm, óæå îïèñûâàåòñÿ òàêèìè ìîäåëÿìè ìåíåå òî÷íî, òàê êàê çäñü ñóùåñòâåííóþ ðîëü íà÷èíàåò èãðàòü ðàñøèðåíèå Âñåëåííîé. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìàñøòàáèðîâàíèå êëàññè÷åñêîé òåîðèè ãðàâèòàöèè (âïðî÷åì, ðàâíûì îáðàçîì è ðåëÿòèâèñòñêîé, êîòîðàÿ èñïîëüçóåòñÿ ïðè ïîëåòàõ íà äàëüíèå ðàññòîÿíèÿ â êîñìîñå äëÿ îïðåäåëåíèÿ íåîáõîäèìûõ ïîïðàâîê ê −10 êëàññè÷åñêîé ìîäåëè) íà ìàñøòàáû ìåíüøå 10 cm íåâîçìîæíî, òàê êàê çäåñü íà÷èíàþò èãðàòü ðîëü êâàíòîâûå ïðîöåññû à åäèíîé òåîðèè ïîëÿ ó íàñ äî ñèõ ïîð íåò. Îäíàêî áûëî áû îøèáêîé ñ÷èòàòü, ÷òî êëàññè÷åñêàÿ èçèêà ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü óäîâëåòâîðèòåëüíûå ìîäåëè âñåõ ÿâëåíèé, ñâÿçàííûõ ñ ãðàâèòàöèåé â ïðîñòðàíñòâåííûõ ìàñøòàáàõ íåáåñíîé ìåõàíèêè. Ñ åå ïîìîùüþ ìîæíî õîðîøî îïèñûâàòü îðáèòû ñïóòíèêîâ è òðàåêòîðèè ïîëåòà êîñìè÷åñêèõ êîðàáëåé. Íî îíà íå ìîæåò ðåøàòü âîïðîñû îá óñòîé÷èâîñòè ñèñòåìû íåñêîëüêèõ òåë. Íàïðèìåð, ñ åå ïîìîùüþ íåâîçìîæíî îòâåòèòü íà âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè ñîëíå÷íîé ñèñòåìû íà ïðîòÿæåíèè äàæå òûñÿ÷è ëåò. Ýòîò âîïðîñ îðìàëüíî óïèðàåòñÿ â âû÷èñëèòåëüíûå ñëîæíîñòè, âîçíèêàþùèå ïðè åãî ðåøåíèè èçâåñòíûìè ÷èñëåí4 Íàïðèìåð,

ìîäåëü ÿäåðíûõ âçàèìîäåéñòâèé ßíãà-Ìèëñà ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì àäàïòàöèè îðìàëèçìà ýëåêòðîäèíàìèêè ê ÿäåðíûì âçàèìîäåéñòâèÿì.

3.3.

Î ÌÀÑØÒÀÁÈÓÅÌÎÑÒÈ ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÈÕ ÌÎÄÅËÅÉ

79

íûìè ìåòîäàìè. Îäíàêî ó íàñ íåò íèêàêèõ ñïîñîáîâ îïðåäåëèòü, ÷òî ïðèíöèïèàëüíî îïðåäåëÿåò ýòó óñòîé÷èâîñòü, ïîýòîìó ñàìîå áëàãîðàçóìíîå, ÷òî çäåñü ìîæíî ñäåëàòü - ýòî ïðèçíàòü, ÷òî ñóùåñòâóþùèõ ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ ýòîãî âîïðîñòà ïðîñòî íåäîñòàòî÷íî. Ìàñøòàáèðîâàíèå ìîäåëè ÿâëÿåòñÿ, òàêèì îáðàçîì, ïðèíöèïèàëüíûì âîïðîñîì, òàê êàê ðå÷ü èäåò î ñîãëàñîâàíèè ÿçûêîâ ðàçíûõ íàóê, èëè ðàçíûõ îáëàñòåé îäíîé íàóêè íà ãðàíèöàõ èõ îáëàñòåé ïðèìåíåíèÿ. Òàêîå ñîãëàñîâàíèå ïðåäñòàâëÿåò çíà÷èòåëüíî áîëüøóþ ïðîáëåìó, ÷åì âîïðîñû âíóòðè îáëàñòåé ïðèìåíèìîñòè ñòàíäàðòíûõ ïðèåìîâ. Ìû ïîÿñíèì ýòî íà ñòàðîì ïðèìåðå, ïðèâåäøåì ê êðèçèñó êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè. Êëàññè÷åñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà îñíîâàíà íà óðàâíåíèÿõ Ìàêñâåëëà äëÿ ïàðû

E, B

ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé:

rot B rot E grad E grad B

= 1c (Et′ + 4πj) = − 1c Bt′ = 4πρ = 0.

(3.7)

Ýòè óðàâíåíèÿ òî÷íî îïèñûâàþò âñå ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèå ÿâëåíèÿ â ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ðàçìåðàõ, ÷òî âêëþ÷àåò â ñåáÿ çàêîíû Êóëîíà, Àìïåðà è Ôàðàäåÿ.

5

Îäíàêî åñëè ìû ðàññìîòðèì çàäà÷ó î äâèæåíèè ýëåêòðîíà â êóëîíîâñêîì ïîëå ÿäðà àòîìà â ðàìêàõ ýòèõ óðàâíåíèé, ïðè åñòåñòâåííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ìû ïðèäåì ê âûâîäó î òîì, ÷òî îí äîëæåí íåïðåðûâíî èçëó÷àòü ýíåðãèþ, ÷òî äåëàåò íåâîçìîæíûì íàáëþäàåìóþ â ïðèðîäå ñòàáèëüíîñòü àòîìîâ. Òàê óñòàíàâëèâàþòñÿ ãðàíèöû ìàñøòàáèðóåìîñòè êëàññè÷åñêèõ ìîäåëåé. Ìû â ïðèíöèïå íå ìîæåì ðàññ÷èòûâàòü íà ïîñòðîåíèå, íàïðèìåð, ìîäåëè õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé íà îñíîâå êëàññè÷åñêîé èçèêè, ïîñêîëüêó îíà íå ìîæåò äàòü ïðàâèëüíîãî îïè-

6

ñàíèÿ äàæå äëÿ ïðîñòåéøèõ îáúåêòîâ õèìèè.

5 Äâà ïîñëåäíèõ âûòåêàþò èç ïåðâûõ äâóõ óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, âûâîä çàêîíà Êóëîíà ïðèâåäåí íèæå ïî êíèãå [14℄. 6 Ìîæíî áûëî áû ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ ðàñ÷åòà îðáèòû ýëåêòðîíà â àòîìå âîîáùå íóæíî ñ ñàìîãî íà÷àëà èñïîëüçîâàòü ýëåêòðîäèíàìèêó ñ ó÷åòîì ðåëÿòèâèçìà è ò.ï. Ýòîò ïóòü íèêòî íå ïðîõîäèë äî êîíöà, ïîñêîëüêó îí ÿâëÿåòñÿ íåâîîáðàçèìî ñëîæíûì. Âîîáùå ñîâðåìåííàÿ èçèêà ïðèíÿëà çíàêîìûé íàì âèä òîëüêî áëàãîäàðÿ òîìó, ÷òî åå ñîçäàòåëè âñÿêèé ðàç âûáèðàëè íàèáîëåå ýåêòèâíûå àëãîðèòìû äëÿ ðåøåíèÿ ëþáîé çàäà÷è. Òî åñòü àëãîðèòìè÷åñêèé êðèòåðèé âñåãäà ëåæàë â îñíîâå èçèêè, õîòÿ åãî ñïåöèàëüíî íèêòî íå îòìå÷àë - ýòî ñòàëî àêòóàëüíî òîëüêî òåïåðü.

80

ËÀÂÀ 3.

ÌÎÄÅËÈ, ÎÑÍÎÂÀÍÍÛÅ ÍÀ ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÅ

ëàâà 4 Êâàíòîâûå ïðîöåññû

Ýòà ãëàâà íå ÿâëÿåòñÿ ââåäåíèåì â êâàíòîâóþ èçèêó. Çäåñü âñåãî ëèøü òî÷íî îïèñûâàåòñÿ òîëüêî åå îðìàëèçì ñ êóáèòîâîé òî÷êè çðåíèÿ, òàê ÷òî ÷èòàòåëü, çíàêîìûé ñ êâàíòîâîé òåîðèåé, ñìîæåò ïåðåïèñàòü ëþáóþ åå ÷àñòü íà ýòîì ÿçûêå. Îáû÷íî â ëèòåðàòóðå ïî èçèêå èñïîëüçóåòñÿ òðàäèöèîííûå îáîçíà÷åíèÿ èç òåîðèè óíêöèé, íàïðèìåð, âîëíîâóþ óíêöèþ çàïèñûâàþò êàê

Ψ(x),

÷òî âûçûâàåò êîëëèçèþ ñî çíà÷åíèåì âîëíîâîé óíêöèè â êîíêðåòíîé òî÷êå

x,

è ïîòîìó äëÿ íåãî èñïîëüçóåòñÿ èíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå

R

Ψ(y)δx (y) dy .

Ýòè òðàäèöèîííûå îáîçíà÷åíèÿ óäîáíû äëÿ ðó÷íûõ âû÷èñëåíèé, ïðè êîòîðûõ ðàçðåøåíèå òàêèõ êîëëèçèé íå ñîçäàåò ïðîáëåìû äëÿ ÷åëîâåêà. Îäíàêî äëÿ êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íåîáõîäèìà áîëüøàÿ ñòåïåíü îðìàëèçàöèè îñíîâíûõ ïîíÿòèé. Áîëåå òîãî, îðìàëèçì äîëæåí áûòü ïðèñïîñîáëåí ê òîìó, ÷òî ìû áóäåì ðàáîòàòü òîëüêî ñ êîíå÷íûìè ÷èñëàìè äàæå åñëè â èñïîëüçóåìûõ íàìè îðìóëàõ ìîæíî ïîäñòàâëÿòü áåñêîíå÷íûå âåëè÷èíû. Îñîáåííî ýòî êàñàåòñÿ êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè, äëÿ êîòîðîé çäåñü ïðåäëàãàåòñÿ îðìàëüíàÿ ñèñòåìà îáîçíà÷åíèé êóáèòîâîãî òèïà.

4.1

Îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ îäíî÷àñòè÷íîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè

ëàâíûé ïîñòóëàò êâàíòîâîé ìåõàíèêè ñîñòîèò â òîì, ÷òî âñÿ äèíàìèêà ëþáîé ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ åå âîëíîâîé óíêöèåé, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîé óíêöèåé îò êîîðäèíàò âñå ÷àñòèö, ñîñòàâëÿþùèõ ýòó ñèñòåìó:

Ψ(t, r1 , r2 , . . . , rn ). Çäåñü

rj

åñòü êîîðäèíàòû ÷àñòèöû

j

(èìåþòñÿ â âèäó íå òîëüêî ïðîñòðàíñòâåí-

íûå êîîðäèíàòû ÷àñòèö, íî è èõ ñïèíîâûå êîîðäèíàòû). Ýòà âîëíîâàÿ óíêöèÿ äîëæíà ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê âåêòîð â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé

n

÷àñòè÷íîé ñèñòåìû. Çíà÷åíèÿ ýòîé óíêöèè íàçûâàþòñÿ àìïëèòóäàìè, ñîîòâåòñòâóþùèìè ïðåáûâàíèþ ÷àñòèöû â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè 81

t

â òàêîì ñî-

82

ËÀÂÀ 4.

ñòîÿíèè, ïðè êîòîðîì äëÿ êàæäîãî

rj .

j = 1, 2, . . . , n

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

÷àñòèöà

j

èìååò êîîðäèíàòû

Òàêàÿ òðàêòîâêà ñîñòîÿíèÿ â âèäå âåêòîðà ñðàçó âåäåò ê íåòðèâèàëüíîìó

ñëåäñòâèþ: ëþáàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñîñòîÿíèé ñíîâà ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì âîçìîæíûì èçè÷åñêèì ñîñòîÿíèåì äàííîé ñèñòåìû. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé îáëàäàåò ñâîéñòâîì ëèíåéíîñòè, è ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëþáîå óðàâíåíèå, êîòîðîìó ïîä÷èíÿåòñÿ âåêòîð

Ψ, äîëæíî áûòü

ëèíåéíûì. Ýòîò ïðèíöèï

íàçûâàåòñÿ ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöèè, è èç íåãî âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå îñîáîãî ïðîöåññà, íàçûâàåìîãî èíòåðåðåíöèåé àìïëèòóä, êîòîðûé íå èìååò ïðÿìîãî àíàëîãà â êëàññè÷åñêîé èçèêå (íå ñ÷èòàÿ âîëíîâóþ èçèêó, ãäå èíòåðåðåíöèÿ ïðîÿâëÿåòñÿ êàê êîëëåêòèâíûé ýåêò, ê ÷åìó ìû âåðíåìñÿ). Èíòåðåðåíöèþ àìïëèòóä ïðîùå âñåãî ïðîäåìîíñòðèðîâàòü, ïðèìåíÿÿ ìàòðèöû. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî ìû âûáðàëè áàçèñ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé, è ïðåäñòàâëÿåì âñÿêèé âåêòîð

Ψ

â âèäå íåêîåãî ñòîëáöà êîîðäèíàò

ýòîãî âåêòîðà â äàííîì áàçèñå. Òîãäà èç ïðèíöèïà ñóïåðïîçèöèè âûòåêàåò, ÷òî ñîñòîÿíèå â ñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíè ÿíèþ â ìîìåíò âðåìåíè

t + δt

ìîæíî íàéòè, ïðèìåíèâ ê ñîñòî-

t íåêèé ëèíåéíûé îïåðàòîð U , íàçûâàåìûé îïåðàòîðîì

óíèòàðíîé ýâîëþöèè (äàëüøå ìû óâèäèì, ÷òî îí äîëæåí áûòü íå òîëüêî ëèíåéíûì, íî è óíèòàðíûì). Ýòîò àêò ìîæíî âûðàçèòü íà ÿçûêå ìàòðè÷íîãî óìíîæåíèÿ òàê:

   

u1,1 u2,1 ... un,1

u1,2 u2,2 ... un,2

Òî åñòü ëþáàÿ àìëèòóäà

... ... ... ...

 u1,n  u2,n     ... un,n

ψj (t + δt)

  ψ1 (t)  ψ2 (t)  =   ... ψn (t)

 ψ1 (t + δt) ψ2 (t + δt)  .  ... ψn (t + δt)

(4.1)

ìîæåò áûòü íàéäåíà ïî îðìóëå

ψj (t + δt) =

n X

ψi (t)uj,i.

(4.2)

i=1

Ôîðìóëà 4.2 îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ àìïëèòóäû â íåêîòîðîé òî÷êå â ñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíè íàäî ïðîñóììèðîâàòü âñå àìïëèòóäû âî âñåõ òî÷êàõ â ïðåäûäóùèé ìîìåíò, ïðåäâàðèòåëüíî óìíîæèâ èõ íà ñîîòâåòñòâóþùèå àìïëèòóäû ïåðåõîäà èç ýòèõ òî÷åê â èñõîäíóþ. Çíà÷èò, äâèæåíèå êâàíòîâîé ÷àñòèöû ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå êàê äâèæåíèå íåêîåé ñðåäû, ãäå àìïëèòóäà â ëþáîé òî÷êå ñêëàäûâàåòñÿ èç âêëàäîâ, êîòîðûå âíîñÿò â ýòó òî÷êó äâèæåíèÿ ýòîé ÷àñòèöû èç âñåõ äðóãèõ òî÷åê. Ïðè ýòîì êàæäûé âêëàä áåðåòñÿ ñ êîìïëåêñíûì âåñîì, ñîîòâåòñòâóþùèì îïèñàííîìó ïåðåõîäó èç òî÷êè â òî÷êó. Ýòî ïðåäñòàâëåíèå êâàíòîâîé ÷àñòèöû â âèäå ñðåäû ïîðîæäàåò àíàëîãèþ êâàíòîâîé èçèêè ñ ãèäðîäèíàìèêîé, êîòîðóþ ìû åùå áóäåì ðàññìàòðèâàòü. À òåïåðü ðàññìîòðèì äâà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïåðåõîäà, êîòîðûå îñóùåñòâëÿ-

U : îò ìîìåíòà t äî ìîìåíòà t+2δt. Ψ(t + 2δt) = U Ψ(t). Âûïèñàâ ïîäðîáíåå, ìû ïîëó÷èì P ψj (t + 2δt) = i,k ψi (t)ui,k uk,j . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êâàíòîâàÿ ÷àñòèöà ìîæåò äâèþòñÿ ñ ïîìîùüþ òîãî æå îïåðàòîðà ýâîëþöèè 2

Òîãäà ó íàñ ïîëó÷èòñÿ:

ãàòüñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, âäîëü ïðîèçâîëüíîé òðàåêòîðèè, à íå òîëüêî ïî ïðÿìîé,

4.1. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎËÎÆÅÍÈß ÎÄÍÎ×ÀÑÒÈ×ÍÎÉ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÈ83

è åå àìïëèòóäà â ëþáîé òî÷êå åñòü ðåçóëüòàò ñóììèðîâàíèÿ àìïëèòóä ïî âñåì ïóòÿì, âåäóùèì èç êàæäîé òî÷êè â äàííóþ. Ïðè ýòîì âêëàä â ñóììó êàæäîãî ïóòè ïîëó÷àåòñÿ óìíîæåíèåì ýëåìåíòîâ ìàòðèöû ýâîëþöèè

U,

ñîîòâåòñòâóþ-

ùèõ âñåì ïîñëåäîâàòåëüíûì ÷àñòÿì ýòîãî ïóòè (ìû ïðåäñòàâëÿåì ïóòü â âèäå ëîìàíîé è ÷àñòè - ýòî åå çâåíüÿ). Òàêèì îáðàçîì, àìïëèòóäà ñ÷èòàåòñÿ êàê ñóììà ïî âñåì ïóòÿì, à âäîëü êàæäîãî ïóòè ýòî - ïðîèçâåäåíèå àìïëèòóä ïåðåõîäîâ ïî âñåì åãî ïîñëåäîâàòåëüíûì ÷àñòÿì. Ýòî ïðàâèëî ñïðàâåäëèâî âåçäå, â òîì ÷èñëå è â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå ãäå ïðîöåññû îïèñûâàþòñÿ äèàãðàììàìè. Îíî â òî÷íîñòè ñîîòâåòñòâóåò îðìóëå äëÿ ïîëíîé âåðîÿòíîñòè ñëîæíîãî ñîáûòèÿ â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ñ òîé ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî â òåîðèè âåðîÿòíîñòè âåëè÷èíû âåùåñòâåííûå è íåîòðèöàòåëüíûå, à ó íàñ çäåñü - êîìïëåêñíûå. Òàêàÿ àíàëîãèÿ íàâîäèò íà ìûñëü î âîçìîæíîñòè ñòàòèñòè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè êâàíòîâîé òåîðèè, à òàêæå íà âîçìîæíîñòü îòêàçà îò êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ïðè åå îïèñàíèè, - ìû òàêæå âåðíåìñÿ ê ýòèì èäåÿì ïîçæå. Êëàññè÷åñêèì âåëè÷èíàì â êâàíòîâîé òåîðèè ñîîòâåòñòâóþò îïåðàòîðû. Âåëè÷èíå êîîðäèíàòû

x

ñîîòâåòñòâóåò îïåðàòîð óìíîæåíèÿ íà ýòó êîîðäèíàòó:

x : f (x) −→ xf (x), âåêòîðó r¯ = (x, y, z) - îïåðàòîð r¯ : f (x, y, z) −→ (xf (x, y, z), yf (x, y, z), zf (x, y, z)), èìïóëüñó px âäîëü êîîðh ∂ äèíàòíîé îñè x - îïåðàòîð èìïóëüñà px = , ïîëíîìó èìïóëüñó p ¯ - îïåðài ∂x p2 ∂ ∂ h ∂ òîð p ¯ = i ( ∂x , ∂y , ∂z ), ýíåðãèè - îïåðàòîð ýíåðãèè 2m + V (x), ãäå V - ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû. Îïåðàòîð ýíåðãèè íàçûâàåòñÿ ãàìèëüòîíèàíîì. Ïðè ýòîì ìû ïðèíèìàåì îáû÷íûå ïðàâèëà ïåðåõîäà ê âåêòîðûì âåëè÷èíàì, íàïðè2 ìåð îïåðàòîð êâàäðàòà ìîäóëÿ êîîðäèíàòû äåéñòâóåò êàê |r| : f (x, y, z) −→ (x2 + y 2 + z 2 )f (x, y, z), îïåðàòîð êâàäðàòà èìïóëüñà - êàê p2 : f −→ −h2 ∆f

(òî åñòü êâàäðàò òðàêòóåòñÿ íàìè êàê ñêàëÿðíûé êâàäðàò), ìîìåíòó èìïóëüñà

r¯ × p¯ -

îïåðàòîð ìîìåíòà, êîîðäèíàòû êîòîðîãî ïîëó÷àþòñÿ ïî ïðàâèëó âçÿòèÿ

âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ èç êîîðäèíàò åãî ñîìíîæèòåëåé - îïåðàòîðîâ, è ò.ä. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îò âîëíîâîé óíêöèè íàçûâàåòñÿ èìïóëüñíûì ïðåäñòàâëåíèåì âîëíîâîé óíêöèè:

Φ(p) =

Z

e−

ipx h

Ψ(x)dx,

(4.3)

R

ãäå îáðàòíûé îïåðàòîð âûãëÿäèò òàê:

1 Φ(x) = 2πh

Z

e

ipx h

Φ(p)dp.

R

Ïîëíûé ïåðåõîä ê èìïóëüñíîìó ïðåäñòàâëåíèþ è îáðàòíî â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå èìååò âèä

Φ(p)

=

R

e−

ip·R h

Ψ(R)d3 R,

R3

Ψ(R) =

1 (2πh)3

R

R3

e

ip·R h

Φ(p)d3 p,

84

ËÀÂÀ 4.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

Ïðè ýòîì åñëè âîëíîâàÿ óíêöèÿ çàâèñèò îò 3 ïåðåìåííûõ, ìîæíî ïåðåõîäèòü ê åå èìïóëüñíîìó ïðåäñòàâëåíèþ ïî êàæäîé èç êîîðäèíàò íåçàâèñèìîî îò äðóãèõ, íàïðèìåð, ìîæíî ðàññìîòðåòü óíêöèþ âèäà Φ(x, py , z), èëè Φ(px , y, pz ), è ò.ä. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî âîëíîâàÿ óíêöèÿ íå ìåíÿåòñÿ ïðè ïåðåõîäå ê åå èìïóëüñíîìó ïðåäñòàâëåíèþ - îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òîò æå ñàìûé âåêòîð â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé. Èìïóëüñíîå ïðåäñòàâëåíèå åñòü ïðîñòî çàïèñü ýòîãî âåêòîðà â äðóãîì áàçèñå, â êîòîðîì áàçèñíûå âåêòîðû ýòî íå äåëüòà óíêöèè, êàê ïðè êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè, à óíêöèè âèäà

exp(ipR). Ìû ìîãëè áû âûáðàòü êàêîé-ëèáî èíîé áàçèñ, íàïðèìåð, ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííûì âåêòîðàì ýðìèòîâà îïåðàòîðà ñóììû R + p èìïóëüñ ïëþñ êîîðäèíàòà, è çàâåñòè ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåäñòàâëåíèå âîëíîâûõ óíêöèé, åñëè ýòî íåîáõîäèìî. Òàêèì îáðàçîì, âñå ìàíèïóëÿöèè, ñâÿçàííûå ñ ïåðåõîäîì ê èìïóëüñíîìó ïðåäñòàâëåíèþ, åñòü ïðîñòàÿ îïåðàöèÿ èçìåíåíèÿ áàçèñà. Èñïîëüçîâàíèå òàêèõ ïåðåõîäîâ åñòü ÷àñòü ñòàíäàðòíîãî îðìàëèçìà, è èç ýòîãî ñëåäóåò âàæíûé äëÿ äàëüíåéøåãî âûâîä: òðóäíîñòè ñ çàïèñüþ òåõ èëè èíûõ âçàèìîäåéñòâèé â ðàçíûõ áàçèñàõ ñâèäåòåëüñòâóþò î ñåðüåçíûõ ïðîáëåìàõ. Âàæíåéøèì ïðàâèëîì êâàíòîâîé ìåõàíèêè ÿâëåòñÿ ïðàâèëî Áîðíà, êîòîðîå ãëàñèò, ÷òî êâàäðàò ìîäóëÿ âîëíîâîé óíêöèè åñòü ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îáíàðóæåíèÿ ÷àñòèöû â òî÷êå

x: p(x) = |Ψ(x)|2

(4.4)

Ýòî ïðàâèëî èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî áàçèñà ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé â òîì ñìûñëå, ÷òî ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îáíàðóæèòü èìïóëüñ ÷àñòèöû ðàâíûì

p

åñòü êâàäðàò ìîäóëÿ èìïóëüñíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ âîëíîâîé óíêöèè. Íàêîíåö, äèíàìèêà âîëíîâîé óíêöèè îïðåäåëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà, èìåþùèì âèä

ih ãäå

H

∂Ψ = HΨ ∂t

(4.5)

åñòü îïåðàòîð ýíåðãèè ÷àñòèöû (èëè ñèñòåìû ÷àñòèö).  ïðîñòåéøåì ñëó-

÷àå ÷àñòèöû â ïîòåíöèàëüíîì ïîëå îïåðàòîð ýíåðãèè âûïèñàí âûøå.  áîëåå ñëîæíûõ ñëó÷àÿõ (íåñêîëüêî ÷àñòèö, íàëè÷èå âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ) îïåðàòîð ýíåðãèè ïîëó÷àåòñÿ èç âûðàæåíèÿ äëÿ êëàññè÷åñêîé ýíåðãèè ñ ïîìîùüþ çàìåíû âñåõ èçè÷åñêèõ âåëè÷èí íà ñîîòâåòñòâóþùèå èì êâàíòîâûå îïåðàòîðû.  ÷àñòíîñòè, èç óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà âûòåêàåò, ÷òî â ñëó÷àå ïîñòîÿíñòâà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè âî âðåìåíè, îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà äàåòñÿ âûðàæåíèåì

  i Ψ(x, t) = exp − Ht Ψ(x, 0) h

(4.6)

Ýêñïîíåíòà îò îïåðàòîðà îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñîîòâåòñòâóþùèé ðÿä, ñîñòàâëåíûé èç îïåðàòîðîâ. Ýòî æå âûðàæåíèå ìîæíî èñïîëüçîâàòü è äëÿ íåïîñòîÿííûõ

4.1. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎËÎÆÅÍÈß ÎÄÍÎ×ÀÑÒÈ×ÍÎÉ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÈ85

ãàìèëüòîíèàíîâ, òîëüêî ýêñïîíåíòó íàäî òîãäà òðàêòîâàòü êàê òàê íàçûâàåìóþ õðîíîëîãè÷åñêóþ ýêñïîíåíòó (ñì. [11℄). Ïî ñóùåñòâó, ìû îïèñàëè âåñü ñòàíäàðòíûé îðìàëèçì êâàíòîâîé òåîðèè. Èç ýòèõ îñíîâíûõ ïîëîæåíèé âûòåêàþò íåêîòîðûå äðóãèå (íàïðèìåð, êàñàþùèåñÿ èçìåðåíèé è âîçìîæíîñòåé âûáîðà áàçèñîâ), êîòîðûå ìû ðàññìîòðèì â êóáèòîâîì îðìàëèçìå.

4.1.1 Êóáèòîâûé îðìàëèçì À ñåé÷àñ çàéìåìñÿ âàæíûì ìîìåíòîì ïåðåõîäà îò âîëíîâîé óíêöèè ê êîíå÷íîìó âåêòîðó. Ýòà ïðîöåäóðà íàçûâàåòñÿ ïåðåõîäîì ê êóáèòîâîìó ïðåäñòàâëåíèþ âîëíîâîé óíêöèè. Ñîáñòâåííî êóáèòû â äàííîì ñëó÷àå èãðàþò äåêîðàòèâíóþ ðîëü, à ñåé÷àñ âàæíà ïðîöåäóðà äèñêðåòèçàöèè âîëíîâîé óíêöèè. Äèñêðåòèçàöèÿ âîëíîâûõ óíêöèé èìååò ãëóáîêèé ñìûñë, òàê êàê îíà ñâÿçàíà ñ íàëè÷èåì âîçìîæíîãî çåðíà â êîíèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå. Åñëè ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî êîíèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî íå ÿâëÿåòñÿ äåëèìûì äî áåñêîíå÷íîñòè, à â íåì ñóùåñòâóåò íàèìåíüøàÿ íåíóëåâàÿ äëèíà

d > 0,

òî ó íàñ ïîëó÷èòñÿ,

÷òî âìåñòî íåïðåðûâíîé âîëíîâîé óíêöèè íàäî ðàññìàòðèâàòü åå äèñêðåòíîå ïðèáëèæåíèå, êîòîðîå íà ñàìîì äåëå áóäåò óæå íå ïðèáëèæåíèåì, à òî÷íûì âûðàæåíèåì, òî åñòü ïðèáëèæåíèåì íàäî áóäåò ñ÷èòàòü êàê ðàç íåïðåðûâíûé âàðèàíò âîëíîâîé óíêöèè. Ñóùåñòâîâàíèå òàêîé äèñêðåòèçàöèè ïðîñòðàíñòâà êîñâåííî âûòåêàåò èç ðàñõîäèìîñòè ðÿäîâ â êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå (ñì. íèæå), à òàêæå èç ñâîéñòâ âîëíîâûõ óíêöèé äàæå îäíîé ÷àñòèöû ïðè óìåíüøåíèè çåðíà ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ (ýòî ìû ðàññìîòðèì â ïàðàãðàå, ïîñâÿùåííîì åéíìàíîâñêèì èíòåãðàëàì ïî òðàåêòîðèÿì). Íî ãëàâíîå, äëÿ ÷åãî íà ñàìîì äåëå íóæíî äèñêðåòíîå ïðåäñòàâëåíèå - ýòî êîíñòðóêòèâèçàöèÿ êâàíòîâîé òåîðèè. Íåîáõîäèìîñòü ðàññìàòðèâàòü è ðàáîòàòü èìåííî ñ ïðèáëèæåíèÿìè êîîðäèíàò ÷àñòèö, à íå ñ èõ âåùåñòâåííûìè "òî÷íûìè"çíà÷åíèÿìè, âåäåò íàñ ê êóáèòîâîìó îðìàëèçìó. Ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ îäíà ÷àñòèöà, êîîðäèíàòû êîòîðîé ïðèíèìàþò çíà÷å-

R (äëÿ îäíîìåðíîé ÷àñòèöû ýòî âåùåñòâåííûå ÷èñëà, íî â äàííîì ñëó÷àå ñòðóêòóðà R íàì íå î÷åíü âàæíà). àçîáúåì R íà êîíå÷íîå ÷èñëî ñåãìåíòîâ D1 , D2 , . . . , Dm è ðàññìîòðèì ïðèáëèæåíèå óíêöèè Ψ ñòóïåí÷àòîé óíêöèåé |Ψi, êîòîðàÿ ïðèíèìàåò íà ñåãìåíòå Dj íåêîòîðîå çíà÷åíèå λj ∈ C . Ïóñòü |ji îáîçíà÷àåò õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ óíêöèþ ñåãìåíòà Dj . Òîãäà ìû ìîæåì çàïèñàòü îðìàëüíîå ðàâåíñòâî íèÿ èç íåêîòîðîãî êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà

|Ψi =

m X j=1

λj |ji

(4.7)

àññìîòðèì ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, ïîðîæäåííîå óíêöèÿìè |i. Åñëè ââåñòè

ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå óíêöèé ïî ñòàíäàðòíîìó ïðàâèëó ó íàñ ïîëó÷èòñÿ, ÷òî

(g, f ) =

R

¯ f(x)g(x)dx ,

|ji îáðàçóþò îðòîãîíàëüíûé áàçèñ ýòîãî ïðîñòðàíñòâà. Åñλj è ïîäáèðàÿ íóæíûå

ëè ìû íîðìèðóåì èõ (ýòî ìîæíî ñäåëàòü, èêñèðîâàâ

86

ËÀÂÀ 4.

Dj ),

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

òî ýòîò áàçèñ áóäåò îòðîíîðìèðîâàííûì. Òîãäà ðàâåíñòâî 4.7 áóäåò ÿâ-

ëÿòüñÿ ðàçëîæåíèåì âåêòîðà èç âåêòîðîâ

|Ψi

|ji. Ïðåäñòàâëåíèå

ïî îðòîíîðìèðîâàííîìó áàçèñó, ñîñòîÿùåìó

âîëíîâîé óíêöèè â âèäå 4.7 ÿâëÿåòñÿ êîððåêò-

íûì, â îòëè÷èå îò äâóñìûñëåííîãî âûðàæåíèÿ âûðàæåíèè ïåðåìåííàÿ åò çàïèñü

Ψ(x)

x

Ψ(x),

ïîñêîëüêó â ïîñëåäíåì

ÿâëÿåòñÿ ñâîáîäíîé, è ïîòîìó íåÿñíî, ÷òî âûðàæà-

- óíêöèþ

Ψ

èëè åå çíà÷åíèå â êîíêðåòíîé òî÷êå

x.

Ïîäîáíûå

òîíêîñòè íå âàæíû â êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêå, òàê êàê ïðè àíàëèòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèÿõ ñâîáîäíóþ ïåðåìåííóþ âñåãäà ìîæíî ñâÿçàòü ëîãè÷åñêèì êâàíòîðîì, íî â êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòèêå îíè âàæíû. Ïðè ïîñòðîåíèè àëãîðèòìà ìû äîëæíû ÷åòêî ðàçëè÷àòü ñàìó óíêöèþ, âêëþ÷àþùóþ âñå ñâîè çíà÷åíèÿ, êàê â 4.7 è åå êîíêðåòíîå çíà÷åíèå â èêñèðîâàííîé òî÷êå. Òåïåðü ìû ìîæåì óñòàíîâèòü ñîîòâåòñòâèå êâàíòîâîãî îðìàëèçìà è ëèíåéíîé àëãåáðû. Áóäåì ÷åðåç

|ai

ïîíèìàòü çàïèñü âåêòîðà

a

â êîíå÷íîìåðíîì

ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé â âèäå ñòîëáöà åãî êîîðäèíàò â âûáðàííîì çàðàíåå áàçèñå. Òîãäà äåéñòâèå ëèíåéíîãî îïåðàòîðà âûðàçèòñÿ êàê ðåçóëüòàò ìàòðè÷íîãî óìíîæåíèÿ ìàòðèöà

A

A|ai,

A

íà äàííûé âåêòîð

â äàííîì áàçèñå. Äîãîâîðèìñÿ òàêæå ñ÷èòàòü, ÷òî

ñòðîêà, ïîëó÷åííàÿ èç

|ai

A ïîíèìàåòñÿ ha| åñòü âåêòîð -

ãäå ïîä

òðàíñïîíèðîâàíåì è êîìïëåêñíûì ñîïðÿæåíèåì ýëå-

ìåíòîâ. Ýòà îïåðàöèÿ - òðàíñïîíèðîâàíèå è êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå - íàçûâàåòñÿ ïðîñòî ñîïðÿæåíèåì, êîãäà ðå÷ü èäåò î ìàòðèöàõ. Áóäåì òàêæå ñëèâàòü äâå ðÿäîì ñòîÿùèå âåðòèêàëüíûå ÷åðòû â îáîçíà÷åíèÿõ. Òîãäà ñêàëÿðíîå ïðî-

a è b çàïèøåòñÿ êàê ha|bi. Çàïèñü ha|A|bi ìîæíî òîëêîâàòü ha|(A|bi), ëèáî êàê (ha|A∗ )|bi. Íî åñëè ìàòðèöà A ñàìîñîïðÿA = A∗ , äâîéñòâåííîñòü èñ÷åçàåò, è ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü

èçâåäåíèå âåêòîðîâ âäîÿêî: ëèáî êàê æåííàÿ, òî åñòü

âûïèñàííîå âûðàæåíèå áåç ñêîáîê. Ñàìîñîïðÿæåííûå ìàòðèöû åùå íàçûâàþò ýðìèòîâûìè. Ìàòðèöû âèäà

exp(iH),

ãäå

H

- ýðìèòîâà, íàçûâàþòñÿ óíèòàð-

íûìè. Ïðèâåäåíèåì ê äèàãîíàëüíîìó âèäó ëåãêî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ìàòðèöà U U −1 = U ∗ , èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, êîãäà

óíèòàðíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìàòðèöà

U

ñîõðàíÿåò âñå ðàññòîÿíèÿ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå.

Ìîæíî îïðåäåëèòü èçìåðåíèå ñîñòîÿíèÿ

|Ψi

â îðòîíîðìèðîâàííîì áàçèñå

|φ1 i, |φ2i, . . . , |φN i êàê ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, ïðèíèìàþùóþ çíà÷åíèÿ |φj i ñ âå|hφj |Ψi|2. Ýòî åñòü ïåðåîðìóëèðîâêà áîðíîâñêîãî ïðàâèëà. Òàêèì

ðîÿòíîñòÿìè

îáðàçîì, èçìåðåíèå çàäàåò ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ êîëëàïñîì

âîëíîâîé óíêöèè: ïðè ýòîì ïðîöåññå ïðîèñõîäèò ïåðåõîä îò ñîñòîÿíèÿ îäíîìó èç ñîñòîÿíèé

|φj i,

ïðè÷åì äëÿ êàæäîãî

j = 1, 2, . . . , N

|Ψi

ê

íàì èçâåñòíà èñ-

êëþ÷èòåëüíî âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà â ýòî ñîñòîÿíèå, è áîëüøå íè÷åãî.  ýòîì è ñîñòîèò ñóòü ñòàíäàðòíîé èëè êîïåíãàãåíñêîé êâàíòîâîé òåîðèè. Îíà ÿâëÿåòñÿ ïîëíîé â òîì ñìûñëå, ÷òî ïîïûòêà åå èçìåíèòü, íàïðèìåð, ââåñòè, ïîìèìî âîëíîâîé óíêöèè

|Ψi

åùå è íåêîòîðûå äðóãèå ïàðàìåòðû, îïðåäåëÿþùèå ñî-

ñòîÿíèå (òàê íàçûâàåìûå ñêðûòûå ïàðàìåòðû) íåèçìåííî ïðèâîäèò ê îòêàçó îò èñïîëüçîâàíèÿ ñòàíäàðòíîãî àïïàðàòà âîîáùå, è ïðè îòñóòñòâèè àëüòåðíàòèâíîãî àïïàðàòà òàêàÿ ïîïûòêà ïðåâðàùàåòñÿ â íè÷òî. Êîïåíãàãåíñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà îáëàäàåò âñåé ãèáêîñòüþ, íåîáõîäèìîé

4.1. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎËÎÆÅÍÈß ÎÄÍÎ×ÀÑÒÈ×ÍÎÉ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÈ87

äëÿ ïîëíîé èçè÷åñêîé òåîðèè îäíîé - äâóõ ÷àñòèö. Íàïðèìåð, ëþáîé èçè÷åñêîé âåëè÷èíå ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ýðìèòîâ îïåðàòîð

A, òàêîé ÷òî êëàññè÷å-

ñêèå çíà÷åíèÿ ýòîé âåëè÷èíû ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè ýòîãî îïåðàòîðà. Èçìåðåíèå ýòîé âåëè÷èíû åñòü èçìåðåíèå ñîñòîÿíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû â áàçèñå ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ îïåðàòîðà

A. Åñëè

ó äâóõ îïåðàòîðîâ îáùèé íà-

áîð ñîáñòâåííûõ óíêöèé (ýòî òî æå ñàìîå, ÷òî èõ êîììóòàòèâíîñòü), òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äàííûå âåëè÷èíû ìîãóò áûòü èçìåðåíû îäíîâðåìåííî. Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü ýíåðãèÿ ÷àñòèöû è ïðîåêöèÿ îïåðàòîðà ìîìåíòà èìïóëüñà íà îäíó èç êîîðäèíàòíûõ îñåé (÷àùå âûáèðàþò

z ).

Åñëè æå îïåðàòîðû íå èìå-

þò îáùåé ñèñòåìû ñîáñòâåííûõ óíêöèé, òî ñîîòâåòñòâóþùèå èì âåëè÷èíû íå ìîãóò áûòü èçìåðåíû îäíîâðåìåííî. Íàïðèìåð, êîîðäèíàòà è èìïóëüñ âäîëü ýòîé æå îñè íå ìîãóò áûòü èçìåðåíû îäíîâðåìåííî. Äåéñòâèòåëüíî, íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî åñëè ìû âûáèðàåì ñåãìåíòû

Dj

êàê ïîñëåäîâàòåëüíûå îòðåçêè

ðàâíîé äëèíû, òî ñ òî÷íîñòüþ äî êîýèöèåíòà ìàòðèöà îïåðàòîðà êîîðäèíàòû

x

áóäåò èìåòü âèä

   

1 0 0 ...

0 2 0 ...

... ... 3 ...

 0 0   ...  ...

(4.8)

â òî âðåìÿ êàê ìàòðèöà îïåðàòîðà èìïóëüñà äëÿ òîé æå êîîðäèíàòíîé îñè èìååò âèä



ãäå

DF T

 DF T  

−h2 12 /2m 0 0 ...

0 −h2 22 /2m 0 ...

... ... −h2 32 /2m ...

 0 0   DF T −1 ...  ...

îáîçíà÷àåò äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå (ñì. Ïðèëîæåíèå -

(4.9)

QF T ).

Äåéñòâèòåëüíî, ïåðâîå óòâåðæäåíèå âûòåêàåò èç îïðåäåëåíèé íåïîñðåäñòâåííî, à äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âòîðîãî çàìåòèì, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïåðåâîäèò äèåðåíöèðîâàíèå â óìíîæåíèå íà ìíèìóþ åäèíèöó è àðãóìåíò ðåçóëüòàòà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Ýòî ñâîéñòâî çäåñü è èñïîëüçîâàíî äëÿ òîãî, ÷òîáû äèàãîíàëèçîâàòü ìàòðèöó, ñîîòâåòñòâóþùóþ îïåðàòîðó èìïóëüñà. Ýòà ìàòðèöà áóäåò äèàãîíàëüíîé â áàçèñå, êîòîðûé ïîëó÷àåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå èç èñõîäíîãî, òàê ÷òî ó îïåðàòîðîâ êîîðäèíàòû è èìïóëüñà äåéñòâèòåüíî íåò îáùèõ

xè py , òî ó òàêèõ îïåðàòîðîâ áóäåò

ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ. àçóìååòñÿ, åñëè ðàññìîòðåòü, íàïðèìåð, êîîðäèíàòó îïåðàòîð èìïóëüñà âäîëü äðóãîé îñè, íàïðèìåð,

îáùàÿ ñèñòåìà ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, è èõ ìîæíî èçìåðèòü îäíîâðåìåííî. Îäíîâðåìåííîå èçìåðåíèå çäåñü òðàêòóåòñÿ êàê èçìåðåíèå îáîèõ âåëè÷èí ñ îäèíàêîâîé òî÷íîñòüþ. Òî åñòü âîçìîæíîñòü ñêîëü óãîäíî òî÷íî çíàòü îäíîâðåìåííî çíà÷åíèÿ è îäíîé è äðóãîé âåëè÷èíû. Åñëè æå îòêàçàòüñÿ îò òðåáîâàíèÿ àáñîëþòíîé òî÷íîñòè, òî, êîíå÷íî, èçìåðèòü ìîæíî ëþáûå äâå âåëè÷èíû. Ïðè ýòîì, åñëè îäíà èç íèõ ïðèíÿëà îïðåäåëåííîå çíà÷åíèå (òî åñòü íàø âåêòîð ñîñòîÿíèÿ ñîâïàë ñ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ñîîòâåòñòâóþùåãî ýòîé âåëè÷èíå îïåðàòîðà), òî äðóãàÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, áóäåò èìåòü íåêîòîðîå âåðîÿòíîñòíîå ðàñïðå-

88

ËÀÂÀ 4.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

äåëåíèå çíà÷åíèé â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëîì Áîðíà. àññìîòðèì, äëÿ ïðèìåðà, äâóìåðíîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, â êîòîðîì èçìåðÿåòñÿ êîîðäèíàòà, à çàòåì èìïóëüñ ÷àñòèöû. ß çàêëþ÷àþ íàçâàíèå èçè÷åñêèõ âåëè÷èí â êàâû÷êè äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ðàññìàòðèâàþòñÿ íå íàñòîÿùàÿ êîîðäèíàòà èëè èìïóëüñ, à èõ ñàìûå ãðóáûå ïðèáëèæåíèÿ, âûòåêàþùèå èç òîãî, ÷òî ÷àñòèöà ìîæåò çàíèìàòü òîëüêî äâà ïðîñòðàíñòâåííûõ ïîëîæåíèÿ, à íå êîíòèíóàëüíûé íàáîð, êàê â ñòàíäàðòíûõ êóðñàõ ïî èçèêå. Ïîñêîëüêó ïðè èçìåðåíèè "êîîðäèíàòû"ìû ïîïàäàåì â îäíî èç äâóõ ñîñòîÿíèé

|1i, |2i, à ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå

â äâóìåðíîì ñëó÷àå èìååò ìàòðèöó Àäàìàðà (ñ òî÷íîñòüþ äî àçîâîãî ñäâèãà



√ √  1/√2 1/ √ 2 1/ 2 −1/ 2

òî âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü êàæäûé èç âîçìîæíûõ çíà÷åíèé "èìïóëüñà"1 èëè áóäåò ðàâåí

1/2.

2,

Îòìåòèì, ÷òî òàê íàçûâàåìàÿ èçè÷åñêàÿ èíòóèöèÿ âðÿä ëè

ìîæåò äàòü íàì ïîíèìàíèå òîãî, ÷òî äîëæåí îçíà÷àòü "èìïóëüñ ÷àñòèöû"ïðè óñëîâèè, ÷òî ýòà ÷àñòèöà ñïîñîáíà çàíèìàòü òîëüêî äâà ïðîñòðàíñòâåííûõ ïîëîæåíèÿ:

|0i

èëè

|1i.

Íî ìû, êàê âèäèì, ìîæåì ïðèïèñàòü ïîíÿòèþ èìïóëüñà

÷àñòèöû ñîâåðøåííî îïðåäåëåííîå ïîíèìàíèå, ïóñòü è íå ñâîäÿùååñÿ ê îäíîìó ÷èñëó, íî òåì íå ìåíåå ñòðîãîå è êîððåêòíîå â òîì ñìûñëå, ÷òî ñ ýòèì ïîíèìàíèåì ìîæíî ðàáîòàòü äàëüøå. Ìû ñäåëàëè ýòî, îïèðàÿñü íà êóáèòîâûé îðìà-

1

ëèçì, òî åñòü íà ñïåöèàëüíûé ìàòåìàòè÷åñêèé ïðèåì.

Êóáèòîâûé îðìàëèçì,

êàê ìû âèäèì, áîëåå íàäåæåí, ÷åì ñòàíäàðòíûé îðìàëèçì âîëíîâûõ óíêöèé. Îí îáëàäàåò áîëüøèìè âûðàçèòåëüíûìè âîçìîæíîñòÿìè, òàê êàê ïîçâîëÿåò òðàêòîâàòü îïåðàòîðû êàê êîíêðåòíûå ýðìèòîâû ìàòðèöû, è òàêèì îáðàçîì, ÿâíî èñïîëüçîâàòü àëãåáðàè÷åñêèå ïðèåìû. Êóáèòîâàÿ òåõíèêà áîëåå òðåáîâàòåëüíà, ÷åì òðàäèöèîííàÿ àíàëèòè÷åñêàÿ, òàê êàê îíà ÿâíî ñîäåðæèò íåêîå çåðíî ðàçðåøåíèÿ êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà. Ëþáîé èçúÿí îðìàëèçìà, êîòîðûé ìîæíî ëåãêî ñêðûòü, èñïîëüçóÿ àíàëèòè÷åêóþ òåõíèêó, ñòàíîâèòñÿ ÿâíûì ïðè èñïîëüçîâàíèè òåõíèêè êóáèòîâ, â ÷åì ìû óáåäèìñÿ äàëåå íà ïðèìåðå êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè. Êðîìå òîãî, ïðåäïîëîæåíèå î íàëè÷èè çåðíà ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ ãîðàçäî áëèæå ê ðåàëüíîñòè, ÷åì ïðåäïîëîæåíèå î áåñêîíå÷íîé äåëèìîñòè ïðîñòðàíñòâà. Ââèäó ýòîãî, ÿ áóäó â äàëüíåéøåì ñòàðàòüñÿ ïðèìåíÿòü èìåííî êóáèòîâóþ çàïèñü êâàíòîâûõ îáúåêòîâ, íå îãîâàðèâàÿ ýòîãî ñïåöèàëüíî. àññìîòðåííàÿ íàìè ñèòóàöèÿ âîîáùå òèïè÷íà â òîì ñìûñëå, ÷òî ñàìûì êîðîòêèì ïóòåì ê ÷èñëåííîìó ðåçóëüòàòó ÿâëÿåòñÿ ïðîñòàÿ ìàíèïóëÿöèÿ ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îáúåêòîì; âñå òî, ÷òî ïîíèìàþò ïîä èçè÷åñêîé èíòóèöèåé, îáÿçàòåëüíî äîëæíî ñâîäèòüñÿ ê òàêîé ìàíèïóëÿöèè. Ñàìîñòîÿòåëüíîå ñóùåñòâîâàíèå íåêîé èçè÷åñêîé èíòóèöèè, íå îîðìëåííîé êàê òàêàÿ ìàíèïóëÿöèÿ, åñòü âåðíûé ïðèçíàê îòñòàëîñòè èñïîëüçóåìîé ìàòåìàòèêè. 1ß

ïðåäëàãàÿ ÷èòàòåëþ ðàññìîòðåòü âîçìîæíîñòè ïðèìåíåíèÿ äëÿ òàêîé çàäà÷è ýâðèñòèêó ñòàíäàðòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà (òî åñòü òîãî, ÷òî ïðèíÿòî ïîíèìàòü ïîä èçè÷åñêîé èíòóèöèåé), êîãäà ñêîðîñòü ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ïðåäåë ∆s/∆t, è ò.ä.

4.2.

89

ÔÅÉÍÌÀÍÎÂÑÊÈÅ ÈÍÒÅ ÀËÛ ÏÎ ÏÓÒßÌ

àññìîòðèì âîçìîæíîñòè êóáèòîâîé òåõíèêè íà ïðîñòîì ïðèìåðå ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòè Áîðà - åéçåíáåðãà, êîòîðîå ìîæíî ñîðìóëèðîâàòü â äâóõ îðìàõ, àíàëèòè÷åñêîé è àëãåáðàè÷åñêîé:

δxδp = 2h, [x, p] = h. ãäå ïîä êîììóòàòîðîì äâóõ îïåðàòîðîâ ïîíèìàåòñÿ

(4.10)

[a, b] = ab − ba.

Àíàëèòè-

÷åñêîå ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé ìîæíî óñòàíîâèòü, íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëîâ ïî ïóòÿì (ñì. íèæå). Àëãåáðàè÷åñêîå ìîæíî âûâåñòè íåïîñðåäñòâåííûì äèåðåíöèðîâàíèåì, åñëè èñïîëüçîâàòü àíàëèòè÷åñêîå ïðåäñòàâëåh íèå îïåðàòîðîâ êàê p = grad è x êàê óìíîæåíèå íà x. àññìîòðèì òåïåðü i êóáèòîâûé îðìàëèçì, â êîòîðîì ìû ïðåäñòàâëÿåì ìàòðèöó îïåðàòîðà p êàê −ih F x F −1 , ãäå ÷åðåç F ìû îáîçíà÷àåì äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, à ÷åðåç

x

è

p,

êàê îáû÷íî, ìàòðèöû ñîîòâåòñòâóþùèõ îïåðàòîðîâ. Òîãäà äëÿ

êîììóòàòîðà êîîðäèíàòû è èìïóëüñà ó íàñ ïîëó÷èòñÿ âûðàæåíèå

[x, p] = −ihxF xF −1 + ihF xF −1 .

(4.11)

Èç îïðåäåëåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò ðàâåíñòâî F −1 xF = −p. Ó÷èòûâàÿ åãî è óìíîæàÿ åãî ñëåâà 4.11 íà F −1 è ñïðàâà íà F , −1 ïîëó÷àåì F [x, p]F = [x, p], îòêóäà âûòåêàåò, ÷òî [x, p] = cI , äëÿ íåêîòîðîé êîíñòðàíòû

c,

êîòîðàÿ äîëæíà áûòü ïðîïîðöèîíàëüíà

h.

Èòàê êîïåíãàãåíñêàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà îáëàäàåò ïîëíûì àðñåíàëîì äëÿ ðàññìîòðåíèÿ îäíîé èëè äâóõ ÷àñòèö, òàê êàê äâå ÷àñòèöû ìîæíî ñâåñòè ê îäíîé, âûáèðàÿ â êà÷åñòâå íà÷àëà ñèñòåìû êîîðäèíàò èõ îáùèé öåíòð ìàññ. Îäíàêî â áîëåå ñëîæíûõ çàäà÷àõ îíà íå ïðèìåíèìà. Òðóäíîñòè íà÷èíàþòñÿ óæå â îðìàëüíî îäíî÷àñòè÷íûõ çàäà÷àõ, íî ñîäåðæàùèõ èçìåðåíèÿ, ñì. Ïðèìåð 2 èç 2.4.2. Ôèçè÷åñêè èçìåðåíèå îçíà÷àåò âçàèìîäåéòñâèå ðàññìàòðèâàåìîé ÷àñòèöû ñ îêðóæåíèåì, ñîñòîÿùèì èç î÷åíü áîëøîãî ÷èñëà ÷àñòèö, è ïîòîìó ïðîÿâëÿþùåãî êëàññè÷åñêèå ñâîéñòâà. Òî åñòü àêòè÷åñêè, çàäà÷à îá èçìåðåíèè íå ÿâëÿåòñÿ óæå îäíî÷àñòè÷íîé çàäà÷åé. Ýòî ïðîÿâëÿåòñÿ â âèäå òàê íàçûâàåìîé äåêîãåðåíòíîñòè, òî åñòü ðàñïàäå êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿ ïðè êîíòàêòå åãî ñ îêðóæàþùèìè ÷àñòèöàìè, íå âõîäÿùèìè â ðàññìàòðèâàåìûé àíñàìáëü.

4.2

Ôåéíìàíîâñêèå èíòåãðàëû ïî ïóòÿì

Çàìå÷àòåëüíûì ïðèíöèïîì êâàíòîâîé èçèêè ÿâëÿåòñÿ ïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ, ñîãëàñíî êîòîðîìó êàæäîé èçè÷åñêîé âåëè÷èíå êëàññè÷åñêîé èçèêå ñîîòâåòñòâóåò â êâàíòîâîé òåîðèè íåêîòîðûé ýðìèòîâ îïåðàòîð, äåéñòâóþùèé â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé ÷àñòèöû, ïðè÷åì ýòî ñîîòâåòñòâèå òàêîâî, ÷òî äëÿ áîëüøèõ äåéñòâèé êâàíòîâàÿ äèíàìèêà ïîëíîñòüþ ïåðåõîäèò â äèíàìèêó êëàññè÷åñêóþ. Áåç êëàññè÷åñêîé èçèêè íå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü êâàíòîâàÿ - â ñàìîì ñèëüíîì

90

ËÀÂÀ 4.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

ñìûñëå ýòîãî ñëîâà. Íå ñóùåñòâóåò "÷èñòî"êâàíòîâîé òåîðèè - îíà ïî íåîáõîäèîìñòè äîëæíà ñîäåðæàòü â ñåáå êëàññè÷åñêóþ èçèêó, õîòÿ áû ïîòîìó, ÷òî ïðîöåäóðà èçìåðåíèÿ íåâîçìîæíà áåç èçìåðèòåëüíîãî óñòðîéñòâà, ïîä÷èíÿþùåãîñÿ êëàññè÷åñêèì çàêîíàì. Ýòà íåâîçìîæíîñòü îòäåëèòü êâàíòîâóþ òåîðèþ îò êëàññè÷åñêîé èìååò è äðóãîé ñìûñë, îòíîñÿùèéñÿ ê îáëàñòè ýâðèñòèêè. Ýâðèñòèêà â ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè (à òàêæå â îáûêíîâåííîé èçèêå) åñòü íå îðìàëèçîâàííàÿ ñèñòåìà ïîíÿòèé è ñîãëàøåíèé, îïðåäåëÿþùàÿ, êàê èìåííî ìû äîëæíû ïðèìåíÿòü çàêîíû è îðìóëû, ÷òîáû ïîëó÷èòü ðåçóëüòàòû, èìåþùèå èçè÷åñêèé

2

ñìûñë . Êëàññè÷åñêàÿ ýâðèñòèêà ñòîèò çà âñåìè äîñòèæåíèÿìè êâàíòîâîé òåîðèè, âêëþ÷àÿ êâàíòîâóþ ýëåêòðîäèíàìèêó. Ýòà ýâðèñòèêà îñíîâàíà íà ïîíÿòèè òî÷å÷íîé ÷àñòèöû. Ñàìûé ïðîñòîé âèä ñèñòåì - ýòî òàêèå, êîòîðûå ëèáî ñîñòîÿò èç îäíîé ÷àñòèöû, ëèáî ñâîäÿòñÿ ê îäíîé ÷àñòèöå â òîì ñìûñëå, ÷òî íàñ âïîëíå óñòðàèâàåò ïðèáëèæåíèå èõ äèíàìèêè, ïîëó÷àþùååñÿ ñ ïîìîùüþ ïðîñòîé êîìáèíàöèè îäíî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì. Ïðèìåðîì ÿâëÿåòñÿ îäíà ÷àñòèöà â ïîòåíöèàëå. åàëüíûé ïîòåíöèàë

3

ÿâëÿåòñÿ ñóììîé âêëàäîâ îò êâàíòîâ ýòîãî ïîòåíöèàëà - îòîíîâ.

Êîãäà ìû ãîâîðèì î ÷àñòèöå â ïîòåíöèàëå - ýòî ïðèáëèæåíèå, îñíîâàííîå íà òîì, ÷òî a) îòîíîâ î÷åíü ìíîãî, è á) èñòî÷íèê íå ìåíÿåòñÿ â ðåçóëüòàòå èçëó÷åíèÿ îäíîãî îòîíà. Âòîðîé ïðèìåð äîñòàâëÿåò äâå âçàèìîäåéñòâóþùèå ÷àñòèöû ñ êîîðäèíàòàìè

r1

è

ââåñòè íîâûå êîîðäèíàòû

r2 . Åñëè ìû ñíîâà èãíîðèðóåì êâàíòû ïîëÿ, ìîæíî R = (r1 + r2 )/2, r = r1 − r2 è òîãäà íàøà ñèñòåìà

ñâåäåòñÿ ê ñèñòåìå äâóõ íåçàâèñèìûõ ÷àñòèö, òî åñòü ê ïðîñòîé êîìáèíàöèè îäíî÷àñòè÷íûõ. Äëÿ òðåõ ÷àñòèö òàêîé òðþê óæå íå ïðîéäåò, ïîýòîìó ñëó÷àé òðåõ

÷àñòèö ÿâëÿåòñÿ ñâîåãî ðîäà îñåëêîì äëÿ ïðîâåðêè âñÿêèõ ãèïîòåç â êâàíòîâîé èíîðìàòèêå.  ýòîì ïàðàãðàå ìû ðàññìàòðèâàåì ñèñòåìû, ñâîäèìûå ê îäíî÷àñòè÷íûì. Äëÿ òàêèõ ñèñòåì â êâàíòîâîì ñëó÷àå ñïðàâåäëèâà êëàññè÷åñêàÿ ýâðèñòèêà, ïîçâîëÿþùàÿ ïåðåîðìóëèðîâàòü âñå âûâîäû êâàíòîâîé èçèêè íà ÿçûêå, áëèçêîì ê êëàññè÷åñêîìó (äàëåå ìû íàçûâàåì òàêîé ÿçûê êâàçèêëàññè÷åñêèì). Îíà ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü òàêèå îáîðîòû êàê "òðàåêòîðèÿ "ïðè äâèæåíèè ÷àñòèöû ïî äàííîé òðàåêòîðèè "âêëàäû îò ðàçíûõ òðàåêòîðèé è ò.ï., íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî â îðìàëèçìå âîëíîâûõ óíêöèé íåò íèêàêèõ òðàåêòîðèé è íèêàêèõ âêëàäîâ. Ýòà ìîãó÷àÿ ýâðèñòèêà ñòîèò çà âñåìè äîñòèæåíèÿìè êâàíòîâîé òåîðèè, äîñòèãíóòûìè ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè. Áîëåå òîãî, ïðè ïëàíèðóåìîé íàìè êîíñòðóêòèâèçàöèè èçèêè íàì ïðèäåòñÿ â ëþáîì ñëó÷àå çàíèìàòüñÿ ýòîé ýâ2 Óìåñòíà àíàëîãèÿ ñ þðèäè÷åñêîé ñèñòåìîé, â êîòîðîé íàðÿäó ñ çàêîíàìè èìåþòñÿ åùå è ïðîöåäóðû ïðèìåíåíèÿ ýòèõ çàêîíîâ. Ýòà ñèòóàöèÿ íå çàâèñèò îò ëîêàëèçàöèè. Ýòî ìîãóò áûòü ïîäçàêîííûå àêòû, èëè ïðåöåäåíòû, èëè ÷òî-ëèáî åùå. Âàæíî òî, ÷òî ýòîé "äîáàâêè"ê çàêîíàì íå èçáåæàòü: áåç íåå çàêîíû ðàáîòàòü íå áóäóò. 3 Ìû âñåãäà âåäåì ðå÷ü î ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîòåíöèàëå. Òåì íå ìåíåå âñå ñêàçàííîå î êâàíòîâàíèè áåçóñëîâíî ñïðàâåäëèâî è äëÿ âñåõ äðóãèõ ïîòåíöèàëîâ, âêëþ÷àÿ ÿäåðíûé è ãðàâèòàöèîííûé. Äëÿ ïîñëåäíåãî âîïðîñ ëèøü â òîì, ÷òîáû ïðàâèëüíî "ðàçáèòü"íàáëþäàåìîå ïîëå íà êâàíòû.

4.2.

ÔÅÉÍÌÀÍÎÂÑÊÈÅ ÈÍÒÅ ÀËÛ ÏÎ ÏÓÒßÌ

91

ðèñòèêîé, ïîñêîëüêó íèêàêîé äðóãîé ó íàñ ïðîñòî íåò. Ïåðâûé øàã íà ýòîì ïóòè ñäåëàë .Ôåéíìàí, ñîðìóëèðîâàâøèé êâàíòîâóþ ìåõàíèêó íà ÿçûêå òàê íàçûâàåìûõ èíòåãðàëîâ ïî òðàåêòîðèÿì. Èäåÿ ýòîãî ÿçûêà î÷åíü ïðîñòà. àññìîòðèì äâèæåíèå êâàíòîâîé ÷àñòèöû èç òî÷êè 1 â òî÷êó 2. Ýòî äâèæåíèå ìîæåò îñóùåñòâëÿòüñÿ ðàçíûìè ñïîñîáàìè, òî åñòü ïî ðàçíûì òðàåêòîðèÿì. Äîïóñòèì, ó íàñ åñòü íåêèé àëãîðèòì, ïîçâîëÿþùèé äëÿ äàííîé òðàåêòîðèè ÷èñåë

A1 , A2 , . . . , Ah

γ

îïðåäåëÿòü èõ ðåçóëüòàò

÷èñëîì. Òîãäà ÷åì áîëüøå ìîäóëü

A(γ), à äëÿ ðàçíûõ òàêèõ K(A1 , A2 , . . . , Ah ), ÿâëÿþùèéñÿ

îïðåäåëÿòü ÷èñëî

|K|

òåì âåðîÿòíåå, ÷òî êâàíòîâàÿ ÷àñòèöà,

ïåðâîíà÷àëüíî íàõîäèâøàÿñÿ â òî÷êå 1, ïåðåìåñòèòñÿ èìåííî â òî÷êó 2, à íå â êàêóþ-ëèáî äðóãóþ. Ýòà èäåÿ íå ñîäåðæèò íèêàêèõ ÷èñåë, à òîëüêî îöåíêè, íî îíà óêàçûâàåò íåêóþ àëãîðèòìè÷åñêóþ ñõåìó, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò äàòü î÷åíü ãðóáûé îòâåò íà âîïðîñ: êóäà ïîïàäåò ÷àñòèöà, íàõîäèâøàÿñÿ â òî÷êå 1 ? Èç ýòîé ñõåìû ìû ìîæåò ñäåëàòü ïðèíöèïèàëüíûé âûâîä î òîì, ÷òî êâàíòîâàÿ ÷àñòèöà äîëæíà ðàññìàòðèâàòüñÿ íå êàê îäíà òî÷êà, ïóòåøåñòâóþùàÿ ïî ïðîñòðàíñòâó, à êàê íàáîð òî÷åê, ó êàæäîé èç êîòîðîãî èìååòñÿ ñâîÿ ñîáñòâåííàÿ òðàåêòîðèÿ. Ýòè òî÷êè ñîâåðøåííî ðàâíîïðàâíû ñ òî÷êè çðåíèÿ òîãî, ÷òî êàæäàÿ èç íèõ ðàâíûì îáðàçîì ïðåäñòàâëÿåò èñõîäíóþ êâàíòîâóþ ÷àñòèöó, ÷òî äàåò íàì ïðàâî íàçûâàòü èõ ýêçåìïëÿðàìè äàííîé ÷àñòèöû. Ìîæíî áûëî áû óïîäîáèòü êâàíòîâóþ ÷àñòèöó öåëîé ãàëàêòèêå, çâåçäû êîòîðîé è ÿâëÿþòñÿ åå ýêçåìïëÿðàìè. Íî ïðîâåäåíèå òàêîé àíàëîãèè òðåáóåò íåêîòîðûõ óñèëèé ïðè îïèñàíèè âçàèìîäåéñòâèé. Äëÿ ìåòîäà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ ýòà àíàëîãèÿ áóäåò âèäíà èç ãëàâû 5. Òàêàÿ ñèòóàöèÿ âëèÿåò íà ñìåøàííîå ðàññìîòðåíèå ñèñòåì íåñêîëüêèõ ÷àñòèö ïî ìåòîäó Áîðíà-Îïïåíãåéìåðà.  ýòîì ìåòîäå ÿäðà àòîìîâ, êàê òÿæåëûå ÷àñòèöû, ðàññìàòðèâàþòñÿ â ðàìêàõ êëàññè÷åñêîé èçèêè, à ýëåêòðîíû - êàê êâàíòîâûå îáúåêòû. Ââèäó âûøåñêàçàííîãî ÿ áóäó íàçûâàòü òàêîé àíñàìáëü ýêçåìïëÿðîâ êâàíòîâîé ÷àñòèöû ðîåì, äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü åãî íåîáû÷íûé õàðàêòåð, ïðè êîòîðîì ëþáîé èç ýêçåìïëÿðîâ ÿâëÿåòñÿ ïîëíîïðàâíûì ïðåäñòàâèòåëåì âñåãî ðîÿ. Çäåñü ñðàçó æå âîçíèêàþò âîïðîñ: ÷òî çàñòàâëÿåò ýêçåìïëÿðû äåðæàòüñÿ âìåñòå, èëè ÷òî ïðîèçîéäåò, åñëè êàêîé-ëèáî ýêçåìïëÿð óäàëèòñÿ ñëèøêîì äàëåêî îò îñíîâíîé ÷àñòè ðîÿ ? Îòâåò íà òàêîé âîïðîñ òðåáóåò îò íàñ ïðèçíàíèå ýêçåìïëÿðîâ íåóíè÷òîæèìûìè è ÿâíîãî ìåõàíèçìà âîçâðàòà â ðîé ñëèøêîì óäàëèâøèõñû ýêçåìïëÿðîâ, ÷òî áóäåò îáñóæäàòüñÿ â ãëàâå 5. Áûëî áû ëîãè÷íî ðàññìàòðèâàòü êàæäûé ýêçåìïëÿð êàê íåóíè÷òîæèìûé, òî åñòü ïðèïèñûâàòü êàæäîìó ýêçåìïëÿðó ÷àñòèöû åå ñîáñòâåííóþ èñòîðèþ. Ìû âåðíåìñÿ ê ýòîìó òåçèñó ïîçæå. À ïîêà áóäåì ñ÷èòàòü ýêçåìïëÿðû ëèøü

Ψ, è çàíîâî ïåðåîïðåäåëÿòü ýòè ýêçåìïëÿðû ÷åðåç êîðîòêèé ïðîìåæóòîê âðåìåíè δt, èñõîäÿ èç âîëíîâîé óíêöèè Ψ(t). Òàêîé ðîé ìû íàçûâàåì âîëíîâûì â çíàê òîãî, ÷òî

âñïîìîãàòåëüíûì èíñòðóìåíòîì äëÿ îïèñàíèÿ âîëíîâîé óíêöèè

ó åãî ýêçåìïëÿðîâ áóäåò èñòîðèÿ, òîëüêî îãðàíè÷åííàÿ äëèòåëüíîñòüþ âðåìåíè

δt.

Íàøà ñõåìà òîãäà áóäåò âûãëÿäåòü êàê èòåðàöèÿ òðåõ îñíîâíûõ øàãîâ:

92

ËÀÂÀ 4.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

•

ðàñ÷åò âîëíîâîé óíêöèè íà îñíîâå ñîñòîÿíèÿ âñåõ ýêçåìïëÿðîâ âîëíîâîãî

•

íîâîå îïðåäåëåíèå ýêçåìïëÿðîâ âîëíîâîãî ðîÿ,

•

ñâîáîäíûé ïîëåò ýêçåìïëÿðîâ è èçìåíåíèå èõ àìïëèòóä

ðîÿ,

×åìó â òî÷íîñòè ðàâíà âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà

1 −→ 2

? Ýòîò âîïðîñ òåñ-

íî ñâÿçàí ñ òåì, êàê âçàèìîäåéñòâóþò äðóã ñ äðóãîì ýêçåìïëÿðû ðîÿ. Îòâåò íà íåãî èçâåñòåí: âåðîÿòíîñòü ðàâíà êâàäðàòó ìîäóëÿ âåëè÷èíû

K,

è â äàëü-

íåéøåì ìû óñòàíîâèì, ïî÷åìó ýòî äîëæíî áûòü èìåííî òàê. Ïîñêîëüêó ìû íå ñâÿçàíû çäåñü íåîáõîäèìîñòüþ ðàññìàòðèâàòü èñòîðèþ êàæäîãî ýêçåìïëÿðà è ñ÷èòàòü ýêçåìïëÿðû íåóíè÷òîæèìûìè, ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êàæäûé ýêçåìïëÿð ÿâëÿåòñÿ íîñèòåëåì íåêîåãî ñïåöèàëüíîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà, êîòîðîå ñâÿçàíî ñ ýòèì ýêçåìïëÿðîì, è íàçûâàåòñÿ åãî àìïëèòóäîé. Äëÿ óòî÷íåíèÿ äåòàëåé ýòîé ñõåìû íàäî îïðåäåëèòü, ÷òî îçíà÷àþò âûðàæåíèÿ è

A(γ).

K(A1 , A2 , . . . , Ah )

Ïåðâîå âûðàæåíèå ìû îïðåäåëèì ïðîñòî êàê ñóììó

K(A1 , A2 , . . . , Ah ) =

h X

Aj

j=1

Âòîðîå îïðåäåëèì êàê

A(γ) = A - íåêàÿ êîíñòàíòà,

ãäå

à

i 1 exp( S[γ]) A h

S[γ] åñòü äåéñòâèå âäîëü òðàåêòîðèè γ , îïðåäåëÿåìîå

êàê

S[γ] =

Zt2

L(xt , x, t)dt

t1

ãäå ëàãðàíæèàí ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû åñòü òè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè. Òàêèì îáðàçîì, óíêöèÿ

K

L = Ekin − Epot

ðàçíîñòü êèíå-

ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíî çíà÷íîé è åå ìîæíî âûðà-

çèòü ñëåäóþùåé îðìóëîé:

1 K(2, 1) = A ãäå èíòåãðèðîâàíèå ïî

Dγ

i exp( S[γ])Dγ h T (2,1)

Z

(4.12)

îçíà÷àåò ñóììèðîâàíèå ïî ìíîæåñòâó âñåõ òðàåêòî-

T (2, 1), âåäóùèõ îò òî÷êè 1 ê òî÷êå 2. Òîãäà âîëíîâàÿ óíêöèÿ â ìîìåíò âðåìåíè t2 ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç âîëíîâóþ óíêöèþ â ìîìåíò âðåìåíè t1 ïî îðìóëå Z ðèé

K(x2 , t2 ; x1 , t1 )Ψ(x1 , t1 )dx1

Ψ(x2 , t2 ) =

(4.13)

x1

äëÿ ëþáûõ íàòû

x2 , t2 .

t1 , t2 , x2 .

Çäåñü òî÷êà 1 èìååò êîîðäèíàòû

x1 , t1 ,

òî÷êà 2 - êîîðäè-

Ôîðìóëà 4.13 âûðàæàåò òîò àêò, ÷òî âîëíîâàÿ óíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ

4.2.

93

ÔÅÉÍÌÀÍÎÂÑÊÈÅ ÈÍÒÅ ÀËÛ ÏÎ ÏÓÒßÌ

òîé âåëè÷èíîé, êâàäðàò êîòîðîé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåðîÿòíîñòü îáíàðóæåíèÿ ÷àñòèöû â äàííîé òî÷êå, è ýòà âåëè÷èíà â ñëó÷àå, åñëè ÷àñòèöà ïåðâîíà÷àëüíî íàõîäèëàñü â òî÷êå 1, â òî÷íîñòè ðàâíà âåëè÷èíå

K

(â ýòîì ñëó÷àå ìû ïðîñòî

ïîëó÷àåì ñïðàâà äåéñòâèå äåëüòà-óíêöèè íà âîëíîâóþ óíêöèþ, ÷òî íåïîñðåäñòâåííî äàåò òðåáóåìîå). Ôîðìóëà 4.12 îðìàëèçóåò ïðàâèëî âû÷èñëåíèÿ âåëè÷èíû

K,

äàííîå íàìè âûøå.

åçþìèðóÿ âñå âûøåñêàçàííîå, ìû ìîæåì îïðåäåëèòü âñå òðè ïóíêòà øàãà ýâîëþöèè âîëíîâîãî ðîÿ. Âû÷èñëåíèå âîëíîâîé óíêöèè â äàííîé òî÷êå åñòü ñóììèðîâàíèå àìïëèòóä âñåõ ýêçåìïëÿðîâ ðîÿ, ïîïàâøèõ â íåêîòîðûé êóá â öåíòðîì â äàííîé òî÷êå. Ïåðåîïðåäåëåíèå ýêçåìïëÿðîâ âîëíîâîãî ðîÿ ñâîäèòñÿ ê òîìó, ÷òîáû ðàçáèòü çíà÷åíèå âîëíîâîé óíêöèè â äàííîì êóáèêå íà ìíîãî îäèíàêîâûõ ÷àñòåé, òî åñòü ïðåäñòàâèòü â âèäå è ñîçäàòü

n íîâûõ ýêçåìïëÿðîâ, ïðè ýòîì

nα,

ãäå íàòóðàëüíîå

n

âåëèêî,

ïðèïèñàâ êàæäîìó èç ýòèõ ýêçåìïëÿ-

ðîâ ñëó÷àéíóþ ñêîðîñòü èç ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ â íåêîòîðîì áîëüøîì êóáå. Íàêîíåö, ñâîáîäíûé ïîëåò ýêçåìïÿðîâ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî çàêîíó àëè− i∆S h , ãäå ∆S ëåÿ, ïðè÷åì àìïëèòóäû êàæäîãî ïðè ýòîì ïîëåòå óìíîæàåòñÿ íà e åñòü äåéñòâèå ýòîãî ýêçåìïëÿðà âäîëü ïðÿìîëèíåéíîé òðàåêòîðèè ïðè èêñèðî-

δt åãî ïîëåòà. Èç ñîîáðàæåíèé óïðîùåíèÿ âû÷èñëåíèé ìîæíî α äëÿ âñåõ òî÷åê îäèíàêîâî, à n = n(x) ïðîïîðöèîíàëüíî |Ψ(x)| â òî÷êå x.

âàííîì âðåìåíè ñ÷èòàòü, ÷òî äàííîé

Óáåäèìñÿ, ÷òî îðìàëèçì èíòåãðàëîâ ïî ïóòÿì ýêâèâàëåíòåí ñòàíäàðòíîìó. Äëÿ ýòîãî, ñëåäóÿ [16℄, íàéäåì çíà÷åíèå âîëíîâîé óíêöèè, îïðåäåëåííîé ñîãëàñíî 4.13, â ñëåäóþùèé ïî âðåìåíè ìîìåíò. Íàì íàäî êàê-òî ÿâíî ïðåäñòà-

K . Ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ìàëûõ çíà÷åíèé ïðîìåæóòêà âðåìåíè ǫ ñóùåñòâóåò òîëüêî îäèí ïóòü âèäà 1 −→ 2, òàê ÷òî èíòåãðàöèÿ â 4.12 ñâîäèòñÿ âèòü ÿäðî

òîëüêî ê îäíîìó ñëàãàåìîìó. Ýòîò ïðèåì íóæäàåòñÿ â îáîñíîâàíèÿõ ñ òî÷êè

çðåíèÿ ñòàíäàðòíîé ìàòåìàòèêè, â êîíñòðóêòèâíîé æå îí ñîâåðøåííî çàêîíåí, òàê êàê åñëè ìû îãðàíè÷èì çåðíî ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ íåêîòîðûì ïðåäåëîì, âñå ïóòè ñòàíóò ëîìàíûìè ñ êîíå÷íûìè çâåíüÿìè, ÿâëÿþùèìèñÿ îòðåçêàìè ïðÿìûõ, è ìû ïîëó÷èì òî, ÷òî ìû õîòèì. Àíàëîãè÷íî, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî äåéñòâèå ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ

ǫ

íà ëàãðàíæèàí, âçÿòûé â íåêîé ïðîìåæó-

òî÷íîé òî÷êå. Òîãäà ìû èìååì

1 Ψ(x, t + ǫ) = A

Z

iǫ x − y x + y exp( L( , ))Ψ(y, t)dy h ǫ 2

(4.14)

R

L = mx2t /2 − V (x, t) è y = x + δ , ÷òî äàåò Z imδ 2 iǫ 1 exp( ) exp(− V (x + δ/2, t))Ψ(x + δ, t)dδ Ψ(x, t + ǫ) = A 2hǫ h

Ïîäñòàâèâ ñþäà

(4.15)

R

Ìû âèäèì, ÷òî íàèáîëüøèé âêëàä ïîëó÷àåòñÿ ïðè åñëè ìû áóäåì ðàñêëàäûâàòü

Ψ

ïî ñòåïåíÿì

ǫ,

δ

ïîðÿäêà

p

ǫh/m.

Òî åñòü

îñòàâëÿÿ ÷ëåíû òîëüêî ïåðâîãî

94

ËÀÂÀ 4.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

ïîðÿäêà, òî ìû äîëæíû ñîõðàíÿòü ÷ëåíû âòîðîãî ïîðÿäêà ïî

δ.

Òîãäà ñ óêà-

çàííîé òî÷íîñòüþ ïîëó÷àåì

∂Ψ Ψ(x, t) + ǫ = ∂t

Z

iǫ ∂Ψ δ 2 ∂ 2 Ψ 1 imδ2 /2hǫ e [1 − V (x, t)][Ψ(x, t) + δ + ]dδ, A h ∂x 2 ∂x2

(4.16)

R

îòêóäà â íàøåì ïðèáëèæåíèè, ó÷èòûâàÿ èçâåñòíîå ðàâåíñòâî

Z

imδ2 /2hǫ

e

dδ =

R



èìååì

A=



2πihǫ m

2πihǫ m

1/2

1/2

.

(4.17)

(4.18)

Òåïåðü, ïðèìåíÿÿ èçâåñòíûé èíòåãðàë

Z

1 imδ2 /2hǫ 2 ihǫ e δ = A m

(4.19)

R

ìû ïîëó÷àåì

Ψ+ǫ

∂Ψ iǫ hǫ ∂ 2 Ψ = ψ− VΨ− ∂t h 2im ∂x2

(4.20)

îòêóäà íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà. Ìåòîä èíòåãðàëîâ ïî ïóòÿì, òàêèì îáðàçîì, ÿâëÿåòñÿ âåðñèåé ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Åãî ïðàêòè÷åñêîå ïðèìåíåíèå ïðåäïîëàãàåò äîñòàòî÷íî âèðòóîçíûå âû÷èñëåíèÿ ñ èíòåãðàëàìè è àëãåáðîé, íî îí è äàåò íåêèé íîâûé âçãëÿä íà êâàíòîâóþ òåîðèþ ïî ñðàâíåíèþ ñ óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà. Íàïðèìåð, ìîæíî ðàññ÷èòàòü ÿäðî äëÿ ÷àòñèöû â ðàçëè÷íûõ ïîëÿõ (ñì. [16℄), äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû îíî áóäåò èìåòü âèä

K(x, t, 0, 0) =



2πiht m

−1/2

eimx

2 /2ht

(4.21)

èç ÷åãî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î äâèæåíèè (ýêçåìïëÿðîâ) ÷àñòèöû, íàõîäÿùèõñÿ â òî÷êå ñ êîîðäèíàòîé

x

ñî ñêîðîñòüþ

v = x/t,

÷òî â òî÷íîñòè ñîîòâåòñòâóåò

êëàññè÷åñêîé êàðòèíå ðàçëåòà ýêçåìïëÿðîâ ïðè "âçðûâå"ïåðâîíà÷àëüíî íàõîäèâøåéñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò ÷àñòèöû. Ñ ïîìîùüþ òðàåêòîðíîãî ìåòîäà ìîæíî òàêæå ïîëó÷èòü ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòè êîîðäèíàòà - èìïóëüñ, åñëè ðàññìîòðåòü ïðîõîæäåíèå ÷àñòèöû ÷åðåç óçêóþ ùåëü øèðèíîé

2b.

Íåñêîëüêî ãðîìîçäêèå âû÷èñëåíèÿ ÿäðà äëÿ ïðîøåä-

øåé ÷åðåç ùåëü ÷àñòèöû (ñì. [16℄, ñòð. 63-64) ïîêàçûâàþò, ÷òî ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç ùåëü íîñèòåëü âîëíîâîé óíêöèè ÷àñòèöû ïîëó÷àåò óøèðåíèå

ht/mb,

÷òî îçíà÷àåò ïðèîáðåòåíèå ýòîé ÷àñòèöåé äîïîëíèòåëüíîé íåîïðåäåëåííîñòè â

4.2.

95

ÔÅÉÍÌÀÍÎÂÑÊÈÅ ÈÍÒÅ ÀËÛ ÏÎ ÏÓÒßÌ

èìïóëüñå, ÷èñëåííî ðàâíîé

h/b, îòêóäà ìû ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå

íåîïðåäåëåí-

íîñòè Áîðà- åéçåíáåðãà:

δpδx = 2h.

(4.22)

Èòàê, â îðìàëèçìå èíòåãðàëîâ ïî ïóòÿì ïîíÿòèå ýêçåìïëÿðà èãðàåò âòîðè÷íóþ ðîëü, ïîñêîëüêó ýêçåìëÿð ðåàëüíîé êâàíòîâîé ÷àñòèöû ñîõðàíÿåò ñîáñòâåííóþ èñòîðèþ òîëüêî â òå÷åíèå ïðîìåæóòêà âðåìåíè

δt. ëàâíóþ ðîëü çäåñü

èãðàåò âîëíîâàÿ óíêöèÿ, êîòîðàÿ àêòè÷åñêè è îïðåäåëÿåò, ñêîëüêî è êàêèõ ýêçåìïëÿðîâ äîëæíî áûòü ñîçäàíî â êàæäîì êóáèêå ïðîñòðàíñòâà. Òåì íå ìåíåå, èìåííî ñâîáîäíîå äâèæåíèå ýêçåìïëÿðîâ ÿâëÿåòñÿ òåì øàãîì ýâîëþöèè, êîòîðûé ñîçäàåò óíèòàðóþ êâàíòîâóþ äèíàìèêó. Âòîðè÷íîñòü ïîíÿòèÿ ýêçåìïëÿðà âîëíîâîãî ðîÿ âèäíà èç òîãî, ÷òî ïëîòíîñòü ýêçåìïëÿðîâ òàêîãî ðîÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ìîäóëþ âîëíîâîé óíêöèè, à íå åå êâàäðàòó. Òî åñòü ïëîòíîñòü ýêçåìïëÿðîâ â âîëíîâîé ðîå íå åñòü ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îáíàðóæèòü â äàííîé òî÷êå ðåàëüíóþ ÷àñòèöó. Èìåííî ñ ýòè ñâÿçàíà êðàòêîâðåìåííîñòü èñòîðèè êàæäîãî ýêçåìïëÿðà ðîÿ, òî åñòü îòñóòñòâèå ó ýêçåìïëÿðîâ äèíàìè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê; ìàññà ýêçåìïëÿðà (â ýòîì ïîäõîäå ðàâíàÿ ìàññå ðåàëüíîé ÷àñòèöû) âõîäèò òîëüêî â ýâîëþöèþ åãî àìïëèòóäû - ÷åðåç äåéñòâèå. Íåñìîòðÿ íà ýåìåðíîñòü ýêçåìïëÿðîâ âîëíîâîãî ðîÿ, èõ ïðèìåíåíèå ñðàçó ìíîãîå äàåò.  ÷àñòíîñòè, ìû ìîæåì ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëîâ ïî òðàåêòîðèÿì ñîðìóëèðîâàòü êðèòåðèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ, êàêîé ìåõàíèêîé íàäî ïîëüçîâàòüñÿ äëÿ äàííîé ÷àñòèöû - êâàíòîâîé èëè êëàññè÷åñêîé. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ïåðåõîä îò òî÷êè 1 ê òî÷êå 2 ïî äâóì òðàåêòîðèÿì:

γcl

- òðàåêòîðèè, ÿâëÿþùåéñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ êëàññè÷åñêîé ìàõàíèêè

äëÿ äàííîé ÷àñòèöû, è

γnoncl

- íåêîòîðîé äðóãîé òðàåêòîðèè. Íå îãðàíè÷èâàÿ

îáùíîñòü, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ýêçåìïëÿðû ñîõðàíÿþò ñâîþ èñòîðèþ ïðè ïóòåøåñòâèè îò òî÷êè 1 ê òî÷êå 2, òî åñòü ýòè òî÷êè äîñòàòî÷íî áëèçêè äðóã ê äðóãó. Ñðàâíèì äâà âêëàäà â âîëíîâóþ óíêöèþ: 1) âêëàä îò àìïëèòóä ýêçåìïëÿðîâ, äâèãàâøèõñÿ ïî ïóòÿì, áëèçêèì ê ïóòÿì, áëèçêèì ê

Scl

γcl ,

è âêëàä ýêçåìïëÿðîâ, äâèãàâøèõñÿ ïî

γnoncl . Îáîçíà÷èì èõ ÷åðåç Kcl

è

Knoncl

ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü

åñòü äåéñòâèå ÷àñòèöû âäîëü êëàññè÷åñêîé òðàåêòîðèè åå äâèæåíèÿ. Ïðåä-

ïîëîæèì, ÷òî

|Scl | ≫ h.

(4.23)

Ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî èçìåíåíèå äåéñòâèÿ ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ðàâíî ñàìîìó äåéñòâèþ, åñëè òðàåêòîðèÿ èìååò äîñòàòî÷íî îáùóþ îðìó. Ïîñêîëüêó δS[γ] êëàññè÷åñêàÿ òðàåêòðèÿ γcl ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ = 0 (ïðèíöèï δγ íàèìåíüøåãî äåéñòâèÿ), òî èçìåíåíèå àçû íà âñåõ òðàåêòîðèÿõ, áëèçêèõ ê

γcl

áóäåò íåáîëüøèì. Èçìåíåíèå æå àçû íà òðàåêòîðèÿõ, áëèçêèõ ê

γnoncl

áó-

äåò áîëüøèì, â ñèëó íåðàâåíñòâà 4.23, òàê êàê çäåñü íå âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî δS[γ] = 0. Ýòî çíà÷èò, ÷òî âêëàä Kcl ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå áóäåò íàìíîãî δγ ïðåâûøàòü âêëàä Knoncl , èç-çà òîãî, ÷òî â ïåðâîì âêëàäå ñêëàäûâàòüñÿ áóäóò âåëè÷èíû ñ ïðèìåðíî ðàâíûìè àçàìè, òîãäà êàê âî âòîðîì - ñ ðàçíûìè. Ìû ïîëó÷àåì, ÷òî âñÿ àìïëèòóäà ñîñðåäîòî÷åíà âäîëü êëàññè÷åñêîãî ïóòè ÷àñòèöû,

96

ËÀÂÀ 4.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

òî åñòü îíà âåäåò ñåáÿ êàê êëàññè÷åñêàÿ ÷àñòèöà. Åñëè æå 4.23 íå âûïîëíÿåòñÿ, ñèòóàöèÿ èçìåíèòñÿ, è âêëàä

Knoncl

ñìîæåò êîíêóðèðîâàòü ñ

Kcl ,

òî åñòü

ðåàëüíàÿ ÷àñòèöà óæå íå áóäåò äâèãàòüñÿ òîëüêî ïî êëàññè÷åñêîé òðàåêòîðèè, è áóäåò ïðîÿâëÿòü êâàíòîâûå ñâîéñòâà (íàïðèìåð, èíòåðåðèðîâàòü ïðè ïðîõîäå ÷åðåç ùåëè è ò.ï.) Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî íåðàâåíñòâî 4.23 ÿâëÿåòñÿ êðèòåðèåì ïðèìåíèìîñòè êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè. Îòìåòèì, ÷òî ìàëîñòü äåéñòâèÿ ìîæåò äîñòèãàòüñÿ çà ñ÷åò ìàëîãî âåñà ÷àñòèöû, ìàëîé ñêîðîñòè èëè ìàëîãî âðåìåíè. Äàæå ìàññèâíûå ÷àñòèöû, äâèãàþùèåñÿ ìåäëåííî èëè ðàññìîòðåííûå â òå÷åíèå î÷åíü êîðîòêîãî âðåìåíè, ïðîÿâëÿþò êâàíòîâûå ñâîéñòâà. Ïðè ïðàêòè÷åñêîì îïèñàíèè ïðîìåæóòîê âðåìåíè

δt

âûáèðàåòñÿ ñ òåì

ðàñ÷åòîì, ÷òîáû ïîëó÷èëàñü ñîäåðæàòåëüíàÿ îáùàÿ êàðòèíà (à íå òîëüêî êàðòèíà äèíàìèêè èçîëèðîâàííîé ÷àñòèöû). Ïîýòîìó, íàïðèìåð, ýëåêòðîíû, êàê ïðàâèëî, íå çàäàþòñÿ â âèäå òî÷å÷íûé îáúåêòîâ, à â âèäå âîëíîâîé óíêöèè, òîãäà êàê ÿäðà ðàññìàòðèâàþòñÿ êëàññè÷åñêè. Ýòî îïèñàíèå íàçûâàþò ìîäåëüþ Áîðíà - Îïïåíãåéìåðà. Îíî óäîáíî äëÿ òàêèõ çàäà÷, êàê àòîìíàÿ èçèêà, ãäå ïðåäìåòîì ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿíèå ìíîãèõ ýëåêòðîíîâ, èëè ìîëåêóëÿðíàÿ äèíàìèêà, ãäå èññëåäóþòñÿ ðàñòÿæåíèÿ è âðàùåíèÿ ìîëåêóë. Îäíàêî ýòî ïðåäñòàâëåíèå ñîâåðøåííî íå ïðèñïîñîáëåíî, íàïðèìåð, ê îïèñàíèþ õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé, ãäå ïðèíöèïèàëüíóþ ðîëü èãðàåò êàê ðàç êâàíòîâûé õàðàêòåð äâèæåíèÿ ÿäåð. Âîîáùå, â òå÷åíèå îäíîé è òîé æå ðåàêöèè êàê ïðàâèëî, âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü êàê êëàññè÷åñêîãî, òàê è êâàíòîâîãî ðàññìîòðåíèÿ ðåàãåíòîâ, è ìîäåëü Áîðíà-Îïïåíãåéìåðà ïðèíèìàåòñÿ, â îñíîâíîì, èç-çà åå ïðîñòîòû, îñíîâàííîé íà áîëüøîé (2000 ðàç) ðàçíèöå ìàññ ýëåêòðîíà è ñàìîãî ëåãêîãî àòîìíîãî ÿäðà - ïðîòîíà. Èíòåãðàëû ïî ïóòÿì ÿâëÿþòñÿ âàæíûì ïðèåìîì, ïîêàçûâàþùèì íåîáõîäèìîñòü ýâðèñòèêè ðîÿ ýêçåìïëÿðîâ, ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü è ðàçâèâàòü ýòó ýâðèñòèêó äàëüøå.

4.3

Ôîðìàëèçì ìíîãî÷àñòè÷íîé íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé òåîðèè

Öåëüþ êâàíòîâîé òåîðèè ÿâëÿåòñÿ, â êîíå÷íîì ñ÷åòå, îáúÿñíåíèå íàáëþäàåìîé äèíàìèêè ñëîæíûõ ñèñòåì, âîîáùå ãîâîðÿ, èìåþùèõ ìàêðîñêîïè÷åñêèå ðàçìåðû. Ïóòü ê ýòîìó ëåæèò ÷åðåç òåîðèþ àòîìîâ è ìîëåêóë, ïîñêîëüêó èõ ïîâåäåíèå äîëæíî èìåòü áîëåå ïðîñòîå îáúÿñíåíèå. Íàäî ïðÿìî ñêàçàòü, ÷òî ìû àêòè÷åñêè åùå íå èìååì òåîðèè ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì, â êîòîðîé âïîëíå áûëè áû ó÷òåíû êâàíòîâûå ýåêòû, è ïðåæäå âñåãî - çàïóòàííîñòü êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ìíîãèõ ÷àñòèö, êîòîðûå íàäåæíî äåòåêòèðóþòñÿ â ìíîãî÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòàõ, êàê äëÿ îòîíîâ, òàê è äëÿ ìàññèâíûõ ÷àñòèö òèïà äîñòàòî÷íî ñëîæíûõ ìîëåêóë. Ñîçäàíèå ýòîé òåîðèè åñòü öåëü êîíñòðóêòèâèçàöèè èçèêè. Êâàíòîâûé îðìàëèçì äëÿ ìíîãèõ ÷àñòèö îñíîâàí íà ïðîñòîì àëãåáðàè÷åñêîì ðàññóæäåíèè, êîòîðîå ñîñòîèò â òîì, ÷òî åñëè äëÿ îïèñàíèÿ îäíî÷àñòèöíîé

4.3. ÔÎÌÀËÈÇÌ ÌÍÎ Î×ÀÑÒÈ×ÍÎÉ ÍÅÅËßÒÈÂÈÑÒÑÊÎÉ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ

ñèñòåìû ìû ïðèìåíÿåì âîëíîâóþ óíêöèþ îò îäíîãî àðãóìåíòà - êîîðäèíàòû ÷àñòèöû è âðåìåíè, òî äëÿ îïèñàíèÿ ñèñòåìû âîëíîâóþ óíêöèþ îò

n

n

÷àñòèö ìû äîëæíû ïðèìåíÿòü

ïåðåìåííûõ - êîîðäèíàò ýòèõ ÷àñòèö è (îáùåãî äëÿ

âñåõ) âðåìåíè:

Ψ(x1 , x2 , . . . , xn , t).

(4.24)

Îáùíîñòü âðåìåíè ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì íåðåëÿòèâèñòñêîãî ïîäõîäà ïðè êîòîðîì åñòü àáñîëþòíîå âðåìÿ, íàëè÷èå êîòîðîãî äàåò âîçìîæíîñòü ðàññìàòðèâàòü ýâîëþöèþ ñèñòåìû, ïîäñòàâëÿÿ â âîëíîâóþ óíêöèþ ïîñëåäîâàòåëüíûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà âðåìåíè

t = t0 , t1 , t2 , . . ..

Ïðè ýòîì ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî êîîðäèíàòà

xj , ÿâëÿþùàÿñÿ ïðîñòî êîíêðåò-

íîé òî÷êîé êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà (íàïðèìåð, äëÿ ÷àñòèöû â òðåõ3 ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå áåç ñïèíà xj ∈ R ), â êîòîðîé íàõîäèòñÿ ÷àñòèöà j . Òàêèì

îáðàçîì, ìû ïîäðàçóìåâàåì óæå ñàìîé ýòîé çàïèñüþ âîëíîâîé óíêöèè âîçìîæíîñòü ðàçëè÷åíèÿ ÷àñòèö, íàïðèìåð, ïî èõ ðàçìåùåíèþ â ïðîñòðàíñòâå. Àëãåáðàè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå 4.24 ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû

n

÷àñòèö êîìïàêòíî

è êðàñèâî äëÿ åãî îðìàëüíîé çàïèñè. Ñ åãî ïîìîùüþ ìîæíî î÷åíü ïðîñòî äîêàçûâàòü ðàçíûå õîðîøèå è êðàñèâûå ñâîéñòâà îïåðàòîðîâ, è âûòåêàþùèå èç

4

íèõ ñâîéñòâà ðåøåíèé óðàâíåíèé, êîòîðûì óäîâëåòâîðÿåò òàêàÿ óíêöèÿ . Íî àëãåáðàè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå 4.24 òàêæå è òàèò â ñåáå ñåðåçíåéøèé íåäîñòàòîê. Ýòîò äååêò èìååò ðàçíûå ïðîÿâëåíèÿ, íàïðèìåð, îí íå ïîçâîëÿåò âåñòè âû÷èñëåíèÿ òàêèõ óíêöèé äëÿ õîòü ñêîëüêî-íèáóäü çíà÷èòåëüíûõ ñèñòåì, íàïðèìåð, èç 10 ÷àñòèö. Ýòîò ñëîæíîñòíîé áàðüåð ïðèíöèïèàëåí è ìû åùå âåðíåìñÿ ê åãî îáñóæäåíèþ. Íî åùå áîëåå ÿâíûé äååêò àëãåáðàè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñîñòîÿíèÿ 4.24 çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíî íå äàåò íàì âîçìîæíîñòè ïðèìåíÿòü â êâàíòîâîé èçèêå åñòåñòâåííóþ ýâðèñòèêó, î êîòîðîé ÿ ãîâîðèë â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàå, è áåç êîòîðîé ìû íå ñìîæåì ïðîíèêíóòü â ìíîãî÷àñòè÷íûé êâàíòîâûé ìèð. Ýâðèñòèêà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ îðìóëå 4.24 ìîæåò ñîñòîÿòü òîëüêî â òîì, ÷òî îòäåëüíûå ýêçåìïëÿðû ðîåâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷àñòèöàì

1, 2, . . . , n îáúåäèíÿþò-

ñÿ â êîðòåæ, è âîëíîâàÿ óíêöèÿ êàê ðàç è îïðåäåëÿåò ðàñïðåäåëåíèå òàêèõ êîðòåæåé. Íàçíà÷åíèå ýâðèñòèêè ñîñòîèò â íàõîæäåíèè èäåé äëÿ ïîñòðîåíèè ýåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ ìîäåëèðîâàíèÿ.  äàííîì ñëó÷àå åå íàçíà÷åíèå â òîì, ÷òîáû äîñòèãíóòü ðàäèêàëüíîãî ìåòîäà ýêîíîìèè âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ, íóæíûõ äëÿ ðàáîòû ñ îáúåêòàìè òèïà 4.24. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû äîëæíû êàêèì-òî îáðàçîì ìîòèâèðîâàòü, ïî÷åìó òîò èëè èíîé ýêçåìïëÿð âêëþ÷àåòñÿ â ýòîò, à íå èíîé êîðòåæ. Òàêàÿ ýâðèñòèêà íå ìîæåò áûòü ñâåäåíà ê îäíî÷àñòè÷íîìó ñëó÷àþ, èçó÷åííîìó íàìè âûøå. Ýòó ýâðèñòèêó ÿ áóäó íàçûâàòü ìíîãî÷àñòè÷íîé. Îíà äîëæíà ïîìî÷ü ïðîÿñíèòü ïðîèñõîäÿùåå â ñëîæíûõ ñèñòåìàõ, â 4 Íàïðèìåð,

åñëè óíêöèÿ 4.24 îáëàäàåò ïðè t = 0 ñâîéñòâîì àíòèñèììåòðè÷íîñòè èëè ñèììåòðè÷íîñòè ïî êîîðäèíàòàì ÷àñòèö, è ÿâëÿåòñÿ, ê òîìó æå, ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, òî è â ëþáîé äðóãîé ìîìåíò âðåìåíè t > 0 îíà òàêæå áóäåò óäîâëåòâîðÿòü òåì æå ñàìûì óñëîâèÿì ñèììåòðè÷íîñòè èëè àíòèñèììåòðè÷íîñòè.

98

ËÀÂÀ 4.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

òîì ÷èñëå è âîçìîæíîñòè ñóùåñòâîâàíèÿ óíäàìåíòàëüíûõ åíîìåíîâ, ñâÿçàííûõ ñ òàêèìè ñèñòåìàìè, êîòîðûå ïîêà ñêðûòû îò íàñ. Ýòîé ýâðèñòèêè â ïîëíîì îáúåìå ó íàñ ïîêà íåò, íî åñòü åå îòäåëüíûå ýëåìåíòû, êîòîðûìè ìû áóäåì çàíèìàòüñÿ â ñëåäóþùåé ãëàâå. Ñòàíäàðòíàÿ æå êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïðåäëàãàåò íàì â ìíîãî÷àñòè÷íîì ñëó÷àå ïîëàãàòüñÿ òîëüêî íà ñòàíäàðòíûé îðìàëèçì îáúåêòîâ òèïà 4.24, êîòîðûé ìû ñåé÷àñ è èçó÷èì. Ïðè ýòîì íàì íàäî èìåòü â âèäó, ÷òî ââèäó îòñóòñòâèÿ â ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè êàêîé áû òî íè áûëî ìíîãî÷àñòè÷íîé ýâðèñòèêè âîîáùå, ñòàíäàðòíûé îðìàëèçì ñòàíîâèòñÿ ãîðàçäî áîëåå øàòêèì îñíîâàíèåì, ïî ñðàâíåíèþ ñ îäíî ÷àñòè÷íûì ñëó÷àåì, ðàçîáðàííûì íàìè âûøå. Ïîýòîìó íå ñëåäóåò äóìàòü, ÷òî ìíîãî÷àñòè÷íàÿ êâàíòîâàÿ òåîðèÿ äàåò îòâåòû íà âîçíèêàþùèå âîïðîñû õîòÿ áû â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè òàê æå íàäåæíî, êàê ýòî áûëî â ñëó÷àå îäíîé ÷àñòèöû. Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ óäîâëåòâîðèòåëüíî îáúÿñíÿåò ïîâåäåíèå îäíîé ÷àñòèöû èëè íåáîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòèö ïðè óñëîâèè, ÷òî âíåøíèå óñëîâèÿ òàêîé ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ ñòàáèëüíûìè è ïðîñòûìè. Ýòè ìåòîäû íåìíîãèõ ÷àñòèö áûëè ðàçðàáîòàíû â ïåðâîé ïîëîâèíå 20 âåêà è âñå ìíîãî÷àñòè÷íûå ñèñòåìû, êîòîðûå ðàññìàòðèâàëèñü ñ òåõ ïîð ñ òî÷êè çðåíèÿ êâàíòîâîé òåîðèè, èçó÷àëèñü èñêëþ÷èòåëüíî ñ ïðèìåíåíèåì, ïî ñóùåñòâó, îäíî÷àñòè÷íûõ ïðèåìîâ. Ïðè ýòîì îòäåëüíûå ÷àñòèöû, âõîäÿùèå â ãèãàíòñêèå àíñàìáëè (íàïðèìåð, ãàç èç îòäåëüíûõ àòîìîâ èëè êðèñòàëëè÷åñêàÿ ðåøåòêà) ðàññìàòðèâàëèñü êàê èçîëèðîâàííûå ÷àñòèöû, íàõîäÿùèåñÿ ïîä äåéñòâèåì îáùåãî ïîòåíöèàëà, ñîçäàâàåìîãî âñåìè äðóãèìè ÷àñòèöàìè. Ýòî, îäíàêî, ÿâëÿåòñÿ íå êâàíòîâûì, à ïîëóêëàññè÷åñêèì ïóòåì. Òèïè÷íûì ïðèìåðîì òàêîãî ïîäõîäà ÿâëÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ êâàíòîâàÿ òåîðèÿ, èñïîëüçóþùàÿ ïîíÿòèå êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé îòäåëüíûõ àòîìîâ ïðè âû÷èñëåíèè òåðìîäèíàìè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ãàçà. Äðóãèì ïðèìåðîì ñëóæèò êâàíòîâàÿ òåîðèÿ òâåðäûõ òåë. Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ æèäêîñòåé òîæå ñóùåñòâóåò, íî â íåé íåñêîëüêî áîëüøå îòêðûòûõ ïðîáëåì. Åùå ìåíåå äåòàëüíî ðàçðàáîòàííîé ÿâëÿåòñÿ êâàíòîâàÿ òåîðèÿ àçîâûõ ïåðåõîäîâ èëè õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé. Òàêèì æå îáðàçîì êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà ðàáîòàåò â îáëàñòè ìîëåêóëÿðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Íàïðèìåð, ïðè èçó÷åíèè êîíîðìàöèè ïîëèïåïòèäîâ îíà ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîíñòàíò ñâÿçè ìåæäó îòäåëüíûìè àìèíîêèñëîòíûìè çâåíüÿìè, à äàëüøå ïðèìåíÿþòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî êëàññè÷åñêèå ìåòîäû. Íàêîíåö, äëÿ ñëîæíûõ ñèñòåì âðîäå áèîìîëåêóë èëè äëÿ äèíàìè÷åñêèõ çàäà÷ òèïà õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé êâàíòîâàÿ òåîðèÿ âîîáùå íå ïðèìåíÿåòñÿ, åñëè íå ñ÷èòàòü ðàñ÷åòà ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé è òðèâèàëüíûõ óòâåðæäåíèé î òîì, ÷òî â äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññàõ îíà ðàáîòàåò, à êàê, ìû ïîêà òî÷íî íå çíàåì, ïîòîìó ÷òî âñå óïèðàåòñÿ â ýëåêòðîäèíàìèêó, à ýòî ñðàçó âûçûâàåò áîëüøèå âû÷èñëèòåëüíûå òðóäíîñòè. èëüáåðòîâñêèé îðìàëèçì ìíîãî÷àñòè÷íîé êâàíòîâîé òåîðèè àêòè÷åñêè ÿâëÿåòñÿ ðàçâåðíóòîé ïðîãðàììîé èññëåäîâàíèÿ ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì, êîòîðóþ ìû çäåñü è ñîáèðàåìñÿ îáñóäèòü áîëåå äåòàëüíî, ÷åì ýòî äåëàåòñÿ â ñòàíäàðòíûõ êóðñàõ ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå.  ÷àñòíîñòè, ìû îáñóäèì ïðîáëåìó êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ, àêòè÷åñêè, ñåðäöåâèíîé ýòîé ïðî-

4.4.

99

ÓÍÈÒÀÍÀß ÄÈÍÀÌÈÊÀ È ÈÇÌÅÅÍÈß

ãðàììû. Ìû òàêæå ðàññìîòðèì èíòåðïðåòàöèè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ â ýòîé îáëàñòè, è óíäàìåíòàëüíîå ÿâëåíèå äåêîãåðåíòíîñòè è åãî ìîäåëü â ñòàíäàðòíîì îðìàëèçìå.  çàêëþ÷åíèå ìû ðåçþìèðóåì òå ïðàêòè÷åñêèå ðåöåïòû, êîòîðûå äàåò ýòîò ïóòü äëÿ ðàçðàáîòêè òåîðèè ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì.

4.4

Óíèòàðíàÿ äèíàìèêà è èçìåðåíèÿ

Ñàìîé óíäàìåíòàëüíîé îñîáåííîñòüþ êâàíòîâîé òåîðèè ÿâëÿåòñÿ äâîéñòâåííîå îïèñàíèå äèíàìèêè ëþáîãî îáúåêòà, êîòîðàÿ ïîäðàçäåëÿåòñÿ íà äâà ñîâåðøåííî îñîáûõ òèïà: óíèòàðíàÿ äèíàìèêà è èçìåðåíèÿ. Ýòà îñîáåííîñòü íàñòîëüêî óíäàìåíòàëüíà, ÷òî, ïî âèäèìîìó, äîëæíà áûòü â òîé èëè èíîé îðìå ñîõðàíåíà äëÿ ëþáîãî íîâîãî ïîäõîäà ê êâàíòîâîé òåîðèè, è äàæå äëÿ ëþáîé äðóãîé òåîðèè, êîòîðàÿ ìîæåò êîãäà-ëèáî â áóäóùåì ïðèéòè ê íåé íà ñìåíó. Ýòî â ïîëíîé ìåðå îòíîñèòñÿ è ê àëãîðèòìèêå, ãäå ìîäåëü ðàçäåëåíà íà ïîëüçîâàòåëüñêóþ è àäìèíèñòðàòèâíóþ ÷àñòè. àññìîòðèì ýòè äâà âèäà äèíàìèêè îòäåëüíî.

Óíèòàðíàÿ äèíàìèêà. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî âîçìîæíûå ñîñòîÿíèÿ âîé ñèñòåìû îáðàçóþò íåêîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé èçìåíåíèå ëþáîãî ñîñòîÿíèÿ âî âðåìåíè ïðè ïåðåõîäå îò ìîìåíòà

t1

|Ψi H,

t0

êâàíòîòàê ÷òî

ê ìîìåíòó

çàäàåòñÿ óíèòàðíûì îïåðàòîðîì

Ut0 ,t1 : H −→ H

(4.25)

Ìîæíî åùå äåòàëèçèðîâàòü ýòî óòâåðæäåíèå, ñêàçàâ, ÷òî ýòîò îïåðàòîð èìååò U = exp(− hi H(t1 − t0 )), ãäå H íàçûâàåòñÿ ãàìèëüòîíèàíîì äàííîé ñèñòåìû,

âèä

è ðàâåí îïåðàòîðó åå ïîëíîé ýíåðãèè (çàâèñÿùåé îò ñàìîé ýòîé ñèñòåìû è îò

âíåøíèõ ïîòåíöèàëîâ), ÷òî ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî ïåðåîðìóëèðîâêîé òîãî îáñòîÿòåëüñòâà, ÷òî ýâîëþöèÿ êîíêðåòíîãî ñîñòîÿíèÿ

|Ψ(t)i îïðåäåëÿåòñÿ

óðàâíåíèåì

Øðåäèíãåðà. Ïðèíöèïèàëüíûì â ýòîé àêñèîìå êâàíòîâîé òåîðèè ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî åñëè áû ìû âçÿëè âìåñòî

H

|Ψi

ëþáîå äðóãîå ñîñòîÿíèå

è ïîñòàâèëè áû åãî â òå æå ñàìûå óñëîâèÿ, ÷òî è

ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ òîãî æå ñàìîãî îïåðàòîðà

|Ψi,

|Ψ1 i

â ïðîñòðàíñòâå

òî ìû áû ïîëó÷èëè

Ut0 ,t1 .

Êàê ýòî óòâåðæäåíèå ìîæíî ïðîâåðèòü ? Äëÿ ýòîãî åñòü åäèíñòâåííûé ïóòü: íàäî áðàòü âñåâîçìîæíûå ñîñòîÿíèÿ

|Ψi â êà÷åñòâå íà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé è ïîä-

âåðãàòü èõ äåéñòâèþ òåõ æå ñàìûõ ïîòåíöèàëîâ, ÷òîáû ïîñìîòðåòü íà ðåçóëüòàò

èõ ýâîëþöèè. Ïîñëå ýòîãî íàäî êàêèì òî îáðàçîì ñðàâíèòü ðåçóëüòàòû èõ ýâîëþöèé, òî åñòü ñîñòîÿíèÿ âèäà ýòà àêñèîìà âåðíà.

Ut0 ,t1 |Ψi,

÷òîáû ñäåëàòü âûâîä î òîì, íàñêîëüêî

Íî äëÿ ýòîãî ñîâåðøåííî íåîáõîäèìî ñðàâíèâàòü ìåæäó ñîáîé êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ. Îêàçûâàåòñÿ ýòîãî íåëüçÿ ñäåëàòü òîëüêî ñ ïîìîùüþ óíèòàðíîé ýâîëþöèè. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèì ñîâåðøåííî äðóãîé âèä ýâîëþöèè êâàíòîâûõ ñèñòåì, íàçûâàåìûé èçìåðåíèåì. Òàêèì îáðàçîì, äàæå ñàìî îïðåäåëåíèå óíèòàðíîñòè ýâîëþöèè ðîâíûì ñ÷åòîì íè÷åãî íå îçíà÷àåò äî òåõ ïîð, ïîêà ìû

100

ËÀÂÀ 4.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

íå ïðèìåíèëè ê íàøåé ñèñòåìå èçìåðåíèå. Ýòîò ïðèíöèïèàëüíûé àêò ãîâîðèò î òîì, ÷òî íå ñóùåñòâóåò ÷èñòî êâàíòîâîé ìåõàíèêè, êîòîðàÿ áû

íå îïèðàëàñü áû íà êëàññè÷åñêóþ ìåõàíèêó, îïèñûâàþùóþ ïðîöåññ èçìåðåíèÿ. Èçìåðåíèÿ. Çàèêñèðóåì íåêîòîðûé áàçèñ

H,

{|ψ1 i, . . . , |ψn i

â ïðîñòðàíñòâå

î êîòîðîì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îí îðòîíîðìèðîâàí. Òîãäà èçìåðåíèåì â ýòîì

áàçèñå íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ |ψj i ñ âåðîÿòíî2 ñòÿìè |hψj |Ψi| . Ýòà àêñèîìà êâàíòîâîé ìåõàíèêè èçâåñòíà ïîä íàçâàíèåì ïðà-

âèëà Áîðíà âû÷èñëåíèÿ êâàíòîâûõ âåðîÿòíîñòåé. Íåò íèêàêîãî èíîãî ñïîñîáà

èçâëå÷ü èíîðìàöèþ î êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè, êðîìå êàê ïîäâåðãíóòü åãî ïðîöåäóðå èçìåðåíèÿ. Åäèíñòâåííûé âûáîð ïðè ýòîì çàêëþ÷àåòñÿ â âûáîðå áàçèñà

¯|ψj i - îí çàâèñèò îò ýêñïåðèìåíòàëüíîé

óñòàíîâêè, íà êîòîðîé ïðîâîäèòñÿ èçìå-

ðåíèå. ×àùå âñåãî âûáèðàþò èçìåðåíèå êàêèõ-ëèáî äîïîëíèòåëüíûõ âåëè÷èí, íàïðèìåð, êîîðäèíàòû (è òîãäà ãîâîðÿò î êîîðäèíàòíîì áàçèñå â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé), ëèáî èìïóëüñà (è òîãäà ãîâîðÿò îá èìïóëüñíîì áàçèñå â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé). Èçìåðèòü æå îäíîâðåìåííî è êîîðäèíàòó è èìïóëüñ íåâîçìîæíî, òàê êàê íå ñóùåñòâóåò îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà, îáúåäèíÿþùåãî âåêòîðû èç äâóõ ðàçëè÷íûõ îðòîíîðìèðîâàííûõ áàçèñîâ îäíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ôèçè÷åñêè èçìåðåíèå îçíà÷àåò êîíòàêò èçó÷àåìîé ñèñòåìû ñ íåêîòîðûì êëàññè÷åñêèì îáúåêòîì, ñîñòîÿùèì èç ìíîæåñòâà ÷àñòèö. òàê ÷òî óíèòàðíûé õàðàêòåð êâàíòîâîé äèíàìèêè ïðè òàêîì ïðîöåññå ñîâåðøåííî òåðÿåòñÿ è îò íåãî îñòàþòñÿ òîëüêî âåðîÿòíîñòè. Íèêàêîãî äðóãîãî ìåòîäà èçâëå÷åíèÿ èíîðìàöèè èç êâàíòîâîé ñèñòåìû êðîìå èçìåðåíèÿ íå ñóùåñòâóåò â ïðèíöèïå. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëüçîâàòüñÿ êâàíòîâîé òåîðèåé àáñîëþòíî íåîáõîäèìà êëàññè÷åñêàÿ èçèêà. Íåò íèêàêîãî ñïîñîáà îáîéòè ýòî óíäàìåíòàëüíîå îáñòîÿòåëüñòâî. Èç ýòèõ äâóõ ïîñòóëàòîâ êâàíòîâîé òåîðèè ìîæíî ñäåëàòü î÷åíü ñåðüåçíîå çàêëþ÷åíèå. Óòâåðæäåíèå îá óíèòàðíîñòè êâàíòîâîé ýâîëþöèè êàñàåòñÿ íå îäíîé îòäåëüíî âçÿòîé ýâîëþöèè, à îãðîìíîãî ÷èñëà îäíîòèïíûõ ýêñïåðèìåíòîâ, ïðè êîòîðûõ òîëüêî ïîñëå ñòàòèñòè÷åñêîé îáðàáîòêè èõ ðåçóëüòàòîâ áóäóò âèäíû òàêèå ñâîéñòâà êàê ëèíåéíîñòü, ñîõðàíåíèå íîðì âåêòîðîâ è ò.ä. Ïðè ýòîì äëÿ îáðàáîòêè äàæå åäèíè÷íîãî ýêñïåðèìåíòà (îäíîé ýâîëþöèè) íåîáõîäèìî ïðèâëåêàòü ïðèíöèïèàëüíî ìíîãî÷àñòè÷íûå ñèñòåìû, ê êîòîðûì ìû óæå íå ñìîæåì ïðèìåíÿòü êâàíòîâîé ìåõàíèêè, à áóäåì âûíåæäåíû ïîëüçîâàòüñÿ ìåõàíèêîé êëàññè÷åñêîé, ÷òîáû îïðåäåëèòü, êàêîé æå èñõîä èçìåðåíèÿ â äåéñòâèòåëüíîñòè ïðîèçîøåë:

|ψj1 i

èëè

|ψj2 i.

Åñëè ìû ïî êàêèì-ëèáî ïðè÷èíàì íå

ìîæåì îáåñïå÷èòü èäåíòè÷íîñòè óñëîâèé ýêñïåðèìåíòîâ (âêëþ÷àÿ ñîâïàäàþùóþ íàñòðîéêó àïïàðàòóðû äëÿ ðàçíûõ ýêñïåðèìåíòîâ, è âîîáùå âîçìîæíîñòü ïîëüçîâàòüñÿ ìàêðîñêîïè÷åñêèìè ïðèáîðàìè äëÿ èçìåðåíèÿ), óòâåðæäåíèÿ î êâàíòîâîì õàðàêòåðå ýâîëþöèè òåðÿþò âñÿêèé ñìûñë. Òàêèì îáðàçîì, êâàíòîâàÿ òåîðèÿ äëÿ ñàìîãî ñâîåãî ñóùåñòâîâàíèÿ òðåáóåò íàëè÷èÿ ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì è âîçìîæíîñòè íåïîñðåäñòâåííî âîâëåêàòü èõ â ýêñïåðèìåíò. Ïðè ýòîì ìû äîëæíû èìåòü ìíîãî ÷àñòèö (ìàêðîñêîïè÷å-

4.5.

101

ÌÍÎ ÎÌÈÎÂÀß ÊÀÒÈÍÀ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ

ñêèé ïðèáîð) îäíîâðåìåííî äëÿ èçìåðåíèÿ ñîñòîíèÿ, à òàêæå ìíîãî ÷àñòèö äëÿ âûáîðà èõ â êà÷åñòâå èçìåðÿåìîé êâàíòîâîé ñèñòåìû, ÷üå ñîñòîÿíèå

|Ψi

ìû

èçó÷àåì. Ñêîëüêî âðåìåíè çàéìåò ïðîöåäóðà èçìåðåíèÿ ? Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ÷àñòèöû îäíîãî òèïà èäåíòè÷íû, ìîæíî ïðîèçâåñòè îäíîâðåìåííî î÷åíü ìíîãî ýêñïåðèìåíòîâ (êàê ýòî è äåëàåòñÿ â ñòàòèñòè÷åñêîé êâàíòîâîé òåîðèè). Ìîæíî íàïðÿìóþ ïðîâåðèòü àêñèîìó î èäåíòè÷íîñòè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, èìåþùèõ îäèíàêîâûé òèï. Äëÿ ýòîãî íàäî ïðîèçâåñòè ìíîæåñòâî ïîñëåäîâàòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ íàä îäíîé è òîé æå ÷àñòèöåé. Ñîâðåìåííûå ïðèáîðû, òàêèå êàê ñêàíèðóþùèé òóííåëüíûé ìèêðîñêîï, ïîçâîëÿþò àäðåñîâàòüñÿ íåïîñðåäñòâåííî ê èíäèâèäóàëüíûì àòîìàì, ïîýòîìó äëÿ ïîñòàíîâêè òàêîãî ðîäà ýêñïåðèìåíòîâ íåò ïðèíöèïèàëüíûõ òðóäíîñòåé, êðîìå âðåìåíè.

4.5

Ìíîãîìèðîâàÿ êàðòèíà êâàíòîâîé òåîðèè

èëüáåðòîâ îðìàëèçì ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà êâàíòîâîé òåîðèè. Ïåðâûì ñëåäñòâèåì ýòîãî îðìàëèçìà ÿâëÿåòñÿ ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè, òî åñòü âîçìîæíîñòü ñîâåðøàòü ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè ñîñòîÿíèé. Âòîðûì âàæíåéøèì ñëåäñòâèåì ýòîãî îðìàëèçìà ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ðàññìîòðåíèÿ ìíîãî÷àñòè÷íûõ àíñàìáëåé, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ìíîãîìèðîâîé êàðòèíîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè (òåðìèí Ýâåðåòòà). Ìíîãîìèðîâàÿ êàðòèíà êâàíòîâîé ìåõàíèêè

5

ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ó âñåé Âñåëåííîé åñòü íåêîòîðàÿ âîëíîâàÿ

óíêöèÿ

|Ψglobal i.

(4.26)

Ýòà óíêöèÿ çàâèñèò îò êîîðäèíàò âñåõ ÷àñòèö âî Âñåëåííîé è â òî÷íîñòè îïðåäåëÿåò åå ñîñòîÿíèå.  äàëüíåéøåì, ïðè èçó÷åíèè îðìàëèçìà ÊÝÄ, ìû ïîéìåì, ÷òî

|Ψglobal i äîëæíà òàêæå çàâèñåòü è îò âðåìåí, êîòîðûå, âîîáùå ãîâî-

ðÿ, ìîãóò áûòü ðàçëè÷íûìè äëÿ âñåõ ÷àñòèö. Îäíàêî, åñëè ÷àñòèöû âçàèìîäåé-

ñòâóþò ìåæäó ñîáîé, òî âðåìÿ ó íèõ äîëæíî áûòü îäíî è òî æå. Ìû ïîêàæåì ýòî íèæå, à ïîêà ïðèìåì áåç äîêàçàòåëüñòâà. Òîãäà ìû ìîæåì íàïèñàòü äëÿ âîëíîâîé óíêöèè Âñåëåííîé ïðåäñòàâëåíèå âèäà

|Ψglobal i = ãäå ÷åðåç èíäåêñ

X −

¯ − , t− i λ− | R

(4.27)

îáîçíà÷åí òàê íàçûâàåìûé ìèð, òî åñòü ìàêñèìàëüíûé

íàáîð ÷àñòèö, êîòîðûå ëèáî âçàèìîäåéñòâîâàëè êîãäà-ëèáî â ïðîøëîì, ëèáî áóäóò âçàèìîäåéñòâîâàòü êîãäà-ëèáî â áóäóùåì. Èíäåêñ ìèðà ÷åíèÿ èç íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà 5 Åå

T.

−

ïðèíèìàåò çíà-

Ïðè ýòîì ó ðàçíûõ ìèðîâ ðàçíîå çíà÷åíèå

÷àñòî íàçûâàþò ìíîãîìèðîâîé èíòåðïðåòàöèåé, õîòÿ ýòî íå ñîâñåì òî÷íûé òåðìèí. Ìíîãîìèðîâàÿ êàðòèíà ÿâëÿåòñÿ íåîòúåìëåìûì ñâîéñòâîì ãèëüáåðòîâà îðìàëèçìà, è ïîòîìó íå ìîæåò çàâèñåòü íè îò êàêîé èíòåðïðåòàöèè.

102

ËÀÂÀ 4.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

âðåìåíè t− , è ïîòîìó ìèðû "íå ïåðåñåêàþòñÿ". Ïîýòîìó çàïèñü âîëíîâîé óíê-

öèè Âñåëåííîé â âèäå 4.27 íîñèò äåêîðàòèâíûé õàðàêòåð.  ñòàíäàðòíîì îðìàëèçìå, îñíîâàííîì à êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêå, ìèðû íå ìîãóò ïåðåõîäèòü äðóã â äðóãà è âîîáùå êàê-ëèáî âçàèìîäåéñòâîâàòü äðóã ñ äðóãîì, èìåííî ïîòîìó, ÷òî ó íèõ ðàçíîå âðåìÿ t− , è, ñëåäîâàòåëüíî, íå ïåðåñåêàþùèåñÿ áàçèñíûå ñîñòîÿíèÿ. Èñòîðèÿ êàæäîãî ìèðà - ýòî ðåçóëüòàò ãðóïïèðîâêè â 4.27 ñëàãàå-

ìûõ ñ îäèíàêîâûì çíà÷åíèåì âðåìåíè ïàðàìåòðó

T.

t−

t− .

Ïðåïîëîæèì, ÷òî ìû ïðèïèñûâàì

èçè÷åñêèé ñìûñë âðåìåíè. Òîãäà âàæíà ñòðóêòóðà ìíîæåñòâà

Åñëè ýòî - ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî, òî ìû ïîëó÷àåì äåòåðìèíè-

ñòè÷åñêóþ êàðòèíó, ïðè êîòîðîé â êàæäûé ìîìåíò èìååòñÿ âîëíîâàÿ óíêöèÿ Âñåëåííîé, è ñëåäóþùåå ñîñòîÿíèå åå ïðåäîïðåäåëåíî ïîëíîñòüþ. Òàêàÿ êàðòèíà ëèøàåò íàñ âñÿêîé âîçìîæíîñòè âëèÿòü íà ñîáûòèÿ, è ïîòîìó íàõîäèòñÿ çà ïðåäåëàìè ëþáîé ðàçóìíîé ÷åëîâå÷åñêîé äåÿòåëüíîñòè. Òàêèì îáðàçîì, íàì íàäî ñ÷èòàòü, ÷òî

T

- ìíîæåñòâî ñ íåïîëíîé óïîðÿäî÷åííîñòüþ. Ñàìîå åñòå-

ñòâåííîå - ýòî ìíîæåñòâî ñ äðåâîâèäíîé ñòðóêòóðîé. Èìåííî òàê ñ÷èòàåòñÿ â ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè. Òîãäà â íåêîòîðûå ìîìåíòû âîçìîæíà "ðàçâèëêà"â ýâîëþöèè Âñåëåííîé, òàê ÷òî îäèí èç "ìèðîâ"ýâîëþöèîíèðóåò ïî îäíîìó ïóòè, à äðóãîé - ïî äðóãîìó. Ïîñêîëüêó óíèòàðíàÿ ýâîëþöèÿ äåòåðìèíèñòè÷íà íà óðîâíå âîëíîâûõ óíêöèé, ìû äîëæíû ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî ðàçâèëêà ñâÿçàíà òîëüêî ñ ðàçíûìè âîçìîæíûìè ðåçóëüòàòàìè èçìåðåíèÿ îäíîãî è òîãî æå ñîñòîÿíèÿ. Åñëè âî Âñåëåííîé íåñêîëüêî íàáëþäàòåëåé, òî êàæäûé èç íèõ, êîíå÷íî, íå ìîæåò îïðåäåëèòü, åãî ëè ñîáñòâåííîå ïîâåäåíèå (èíèöèàöèÿ èçìåðåíèÿ) áûëî ïðè÷èíîé äàííîé ðàçâèëêè, èëè ïîâåäåíèå êàêîãî-ëèáî äðóãîãî íàáëþäàòåëÿ, è áîëåå òîãî, îí íå ìîæåò äåòåêòèðîâàòü íàëè÷èå äðóãèõ íàáëþäàòåëåé äî òîãî ìîìåíòà, êàê îíè îáìåíÿþòñÿ èíîðìàöèåé íàïðÿìóþ. Òî åñòü, ìû èìååì âîçìîæíîñòü îïðåäåëèòü, ÷òî ðàçâèëêà èìåëà ìåñòî ñ áîëüøîé âåðîÿòíîñòüþ, ñîáèðàÿ ñòàòèñòèêó ìíîãèõ ñîñòîÿíèé è âûÿâèâ, ÷òî äèíàìèêà ïî âðåìåíè íå ÿâëÿåòñÿ óíèòàðíîé. Íà ñàìîì äåëå, ðàçâèëêè ïðîèñõîäÿò ïîñòîÿííî, ñîñòàâëÿÿ òî ÿâëåíèå, êîòîðîå íàçûâàåòñÿ äåêîãåðåíòíîñòüþ.  ðåçóëüòàòå èçìåðåíèÿ ìîæåò ïðîèçîéòè ïðåâðàùåíèå âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ Âñåëåííîé â ðàçëè÷íûå íîâûå âåêòîðà ñîñòîíèÿ - â êàæäûé ñî ñâîåé âåðîÿòíîñòüþ. Ýòè íîâûå ñîñòîÿíèÿ è áóäóò ðàçëè÷íûìè ìèðàìè. Ïîñêîëüêó èçìåðåíèå ñèñòåìû ïîäðàçóìåâàåò êîíòàêò ýòîé ñèñòåìû ñ êàêîé-òî áîëüøåé ñèñòåìîé, íàçûâàåìîé èçìåðèòåëüíûì óñòðîéñòâîì, òî â êàíîíè÷åñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå ìû ïðèõîäèì ê íåîáõîäèìîñòè ââåñòè â ðàññìîòðåíèå íå÷òî áîëüøåå, ÷åì Âñåëåííàÿ. Íàïðèìåð, ýòî ìîæåò áûòü íåêàÿ íåâåùåñòâåííàÿ ñóùíîñòü, âðîäå Ñîçíàíèÿ, è òîìó ïîäîáíîãî. Åñëè ñ÷èòàòü ýòó ñóùíîñòü òîæå âåùåñòâåííîé, òî íàì ïðèøëîñü áû ðàñøèðèòü Âñåëåííóþ, âêëþ÷èâ â íåå ýòó ñóùíîñòü, è âñå ïîâòîðèëîñü áû ñíîâà. Òî åñòü íàäî ñ÷èòàòü, ÷òî èçìåðèòåëü íîñèò íå âåùåñòâåííûé õàðàêòåð, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îí íàõîäèòñÿ çà ïðåäåëàìè íàó÷íîãî ïîçíàíèÿ, è ìû íèêîãäà íå ñìîæåì ðàñïðîñòðàíèòü íà îêðóæàþùèé íàñ ìèð íàó÷íîå çíàíèå. Ìîæíî áûëî áû âîçðàçèòü, ÷òî Âñåëåííàÿ áåñêîíå÷íà è ìû âñåãäà ìîæåì ïðåäñòàâèòü ñåáå, ÷òî åñòü íåêàÿ ÷àñòü, íàõîäÿùàÿñÿ çà ïðåäåëàìè

4.6.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÉ ÊÎÌÏÜÞÒÅ

103

íàøåãî âîñïðèÿòèÿ, è ò.ä. Ýòîò õîä íå âåäåò íè ê êàêèì îðìàëüíûì ïðîòèâî-

6

ðå÷èÿì, íî ñîäåðæèò áîãàòûå âîçìîæíîñòè äëÿ ñîìíèòåëüíûõ ìàíèïóëÿöèé.

Åäèíñòâåííûé ðàçóìíûé âûõîä èç ýòîãî ïîëîæåíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû óñëîâèòüñÿ î ãëàâíîì:

•

äåêîãåðåíòíîñòü åñòü ñâîéñòâî ñàìîé ñèñòåìû, à íå åå êîíòàêòà ñ îêðóæåíèåì,

•

ýâîëþöèÿ âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ â êàæäîì ìèðå äîëæíà îïèñûâàòüñÿ â òî÷-

•

ðàçëè÷íûå ìèðû ñóùåñòâóþò òîëüêî â àäìèíèñòðàòèâíîé ÷àñòè ìîäåëè,

íûõ òåðìèíàõ, òî åñòü áåç ïðèâëå÷åíèÿ íåâåùåñòâåííûõ ñóùíîñòåé,

è ñëóæàò èñêëþ÷èòåëüíî öåëÿì îòëàäêè îñíîâíîãî ñöåíàðèÿ, êîòîðûé ìû è íàáëþäàåì â ýêñïåðèìåíòå.

Ñëó÷àéíûå àêòîðû, íàáëþäàåìûå íàìè, ÿâëÿþòñÿ ñëåäñòâèåì ðàáîòû àäìèíèñòðàòèâíîé ÷àñòè ìîäåëè, è íå ÿâëÿþòñÿ äîñòóïíûìè äëÿ ïîëüçîâàòåëåé â ñèëó êîíñòðóêöèè ýòîé ìîäåëè.  êîíå÷íîì ñ÷åòå ñëó÷àéíîñòè äîëæíû àêòîðèçîâûâàòüñÿ, òàê ÷òîáû îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò îò íèõ íå çàâèñåë. Ïðèíÿâ ýòè ïîëîæåíèÿ, ìû ìîæåì ïðîäâèãàòüñÿ äàëüøå, ïî ïóòè èçè÷åñêîãî êîíñòðóêòèâèçìà.

4.6

Êâàíòîâûé êîìïüþòåð

 ýòîì ïàðàãðàå ìû îïèøåì óíäàìåíòàëüíóþ ïðèáîð, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîãî ïðÿìî âûòåêàåò ðàññìîòðåíèÿ ìíîãî÷àñòè÷íîãî ãèëüáåðòîâà îðìàëèçìà â ðàìêàõ êëàññè÷÷åñêîé ìàòåìàòèêè, è êîòîðûé, â ñëó÷àå åñëè òàêîå ðàññìîòðåíèå àäåêâàòíî îïèñûâàåò ðåàëüíûå êâàíòîâûå ñèñòåìû, ïîçâîëÿåò ðåøàòü ðÿä âû÷èñëèòåëüíûõ çàäà÷ ïðèíöèïèàëüíî áûñòðåå êëàññè÷åñêîãî êîìïüþòåðà. Ýòî óñòðîéñòâî íàçûâàåòñÿ êâàíòîâûì êîìïüþòåðîì. Îãðàíè÷åííûé êâàíòîâûé

7

êîìïüþòåð (íà íåñêîëüêèõ êóáèòàõ) óæå ïîñòðîåí íà ðàçëè÷íîé òåõíîëîãèè . ëàâíûé âîïðîñ, ñâÿçàííûé ñ ÊÊ ñîñòîèò â òîì, íàñêîëüêî ÊÊ ìîæíî ìàñøòàáèðîâàòü ïî ïàìÿòè ?

Âîïðîñ î èçèêå êâàíòîâûõ êîìïüþòåðîâ íåèçáåæíî ïðèâîäèò íàñ ê íåîáõîäèìîñòè èçó÷åíèÿ ìíîãî÷àñòè÷íûõ êâàíòîâûõ ÿâëåíèé, è, ñëåäîâàòåëüíî, ê êîíñòðóêòèâèçàöèè êâàíòîâîé òåîðèè.  ýòîé ãëàâå äàíî êðàòêîå îïèñàíèå îáùåé ñõåìû êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà è êâàíòîâûõ âû÷èñëåíèé. Ââèäó âàæíîñòè òåîðèè êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà äëÿ íàøåé öåëè ÿ äàþ â Ïðèëîæåíèè áîëåå ðàçâåðíóòîå îïèñàíèå êâàíòîâûõ âû÷èñëåíèé ñ òî÷êè çðåíèÿ èõ îðìàëüíîé ñòîðîíû. Îèçè÷åñêèõ àñïåêòàõ êâàíòîâûõ êîìïüþòåðàõ ìîæíî ïðî÷åñòü â [55℄. 6 Âðîäå

ïàðàäîêñà ñàìîóáèéöû, ó êîòîðîãî âñåãäà äîëæíà ñëó÷èòüñÿ îñå÷êà, òàê êàê îí æèâåò òîëüêî â òîì ìèðå, ãäå îíà ïðîèçîøëà, â äðóãèõ åãî ïðîñòî íåò, è ò.ä. 7 ßäåðíî-ìàãíèòíûé ðåçîíàíñ, äæîçåñîíîâñêèå ïåðåõîäû è èîíû â ëîâóøêå.

104

ËÀÂÀ 4.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

4.6.1 Èäåÿ êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà Äàäèì ñíà÷àëà îáùóþ èäåþ êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî íàì íóæíî íàéòè íåêîå íåèçâåñòíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî

|lt i. àññìîòðèì ãèëüáåðòîâî |0i, |1i, . . . , |N − 1i,, òàê

ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé êâàíòîâîé ñèñòåìû ñ áàçèñîì ÷òî lt ñîäåðæèòñÿ ñðåäè ÷èñåë âèäà

0, 1, . . . , N − 1.

Ïðèãîòîâèì êâàíòîâîå ñîñòîÿíèå

N −1 1 X ˜ √ |ji, |0i = N j=0

(4.28)

â êîòîðîì âñå àìïëèòóäû îäèíàêîâû. Âåðîÿòíîñòü íàéòè íåèçâåñòíîå ÷èñëî, èçìåðÿÿ

|˜0i,

ðàâíà

1/N

÷òî ýêâèâàëåíòíî ïðÿìîìó ïåðåáîðó.

Òåïåðü äîïóñòèì, ÷òî èñõîäÿ èç òîé èíîðìàöèè, êîòîðàÿ ó íàñ åñòü î íåèçâåñòíîì ÷èñëå

lt ,

êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿ íàøåé ñèñòåìû

Ut |Ψ(0)i.

Ut , |Ψ(t)i =

ìû ìîæåì ïîñòðîèòü íåêîòîðóþ óíèòàðíóþ ýâîëþöèþ

|Ψ(t)i,

ãäå

|Ψ(0)i = |˜0i

òàê ÷òî

Íàïðèìåð, ýòî ìîæåò áûòü ýâîëþöèÿ ïîä äåéñòâèåì ïîñòîÿííîãî ãà-

ìèëüòîíèàíà

H = const,

è òîãäà

Ut = exp(−iHt/h),

èëè ãàìèëüòîíèàí áó-

äåò çàâèñåòü îò âðåìåíè è òîãäà äàííóþ ýêñïîíåíòó íàäî ïîíèìàòü â ñìûñëå õðîíîëîãè÷åñêîé ýêñïîíåíòû. Âûáîð ãàìèëüòîíèàíà - åñòü âîïðîñ óïðàâëåíèÿ êâàíòîâûì êîìïüþòåðîì, è îí îñóùåñòâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêîé ñèñòåìîé, íàïðèìåð, ëàçåðíûìè èìïóëüñàìè, èëè íàïðÿæåíèåì íà ýëåêòðîäàõ. Òîãäà ýâîëþöèÿ êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèèÿ íàøåé ñèñòåìû äàåò íàì â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ñîñòîÿíèå

|Ψ(t)i = ãäå êîìïëåêñíûå ÷èñëà

λj (t)

N −1 X

λj (t)|ji,

j=0

çàâèñÿò îò âðåìåíè

t.

Åñëè ìû ïîäâåðãíåì ýòî 2 ñîñòîÿíèå èçìåðåíèþ, ìû ïîëó÷èì èñêîìîå íàìè ÷èñëî lt ñ âåðîÿòíîñòüþ |λlt | ñîãëàñíî ïðàâèëó Áîðíà.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû âûáðàëè ýâîëþöèþ íàøåé ñèñòåìû òàêèì îáðàçîì, |λlt |2 ïðèíèìàåò çíà÷åíèå, áëèçêîå ê 1, çà âðåìÿ Tqua ( ì. ðèñóíîê).

÷òî óíêöèÿ Ïóñòü

Tclass

åñòü âðåìÿ íàõîæäåíèÿ íåèçâåñòíîãî ÷èñëà lt íà êëàññè÷åñêîì êîì-

ïüþòåðå. Åñëè

Tqua < Tclass ,

ìû ãîâîðèì, ÷òî èìååò ìåñòî êâàíòîâîå óñêîðåíèå

äàííîãî êëàññè÷åñêîãî àëãîðèòìà ïîèñêà lt . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ìû ñîçäàäèì óñòðîéñòâî, ðåàëèçóþùåå äàííóþ ýâîëþöèþ, è ïðîèçâåäåì èçìåðåíèå ñîñòîÿíèÿ íàøåé ñèñòåìûû â ìîìåíò âðåìåíè ñ áîëüøîé âåðîÿòíîñòüþ çà âðåìÿ

lt

Tqua ,

ìû ïîëó÷èì èñêîìûé ðåçóëüòàò lt

Tqua , òî åñòü

áûñòðåå, ÷åì åñëè áû ìû èñêàëè

íà êëàññè÷åñêîì êîìïüþòåðå. Ñïîñîá çàäàíèÿ ýâîëþöèè

Ut íàçûâàåòñÿ óïðàâëåíèåì êâàíòîâûì êîìïüþòå-

ðîì. Óïðàâëåíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì óñòðîéñòâîì, êîòîðîå äåéñòâóåò, âîîáùå ãîâîðÿ, íå çàâèñèìî îò êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿ.  êîíöå ýâîëþöèè, êîòîðàÿ åùå íàçûâàåòñÿ âû÷èñëåíèåì íà êâàíòîâîì êîìïüþòåðå, ïðîèñõîäèò èçìåðåíèå çàêëþ÷èòåëüíîãî êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿ, ÷òî è äàåò íàì îòâåò ñ íåêîòîðîé âåðîÿòíîñòüþ, êîòîðàÿ äîëæíà áûòü äëèçêà ê 1. Î÷åâèäíî, ÷òî âñÿêèé

4.6.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÉ ÊÎÌÏÜÞÒÅ

èñ. 4.1: Êâàíòîâîå âû÷èñëåíèå

105

106

ËÀÂÀ 4.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

êëàññè÷åñêèé àëãîðèòì ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê êâàíòîâûé. Òî åñòü âû÷èñëèìûå íà êëàññè÷åñêîì êîìïüþòåðå óíêöèè áóäóò âû÷èñëèìû è íà êâàíòîâîì êîìïüþòåðå. Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè óíêöèÿ âû÷èñëèìà íà êâàíòîâîì êîìïüþòåðå, òî îíà áóäåò âû÷èñëèìîé è íà êëàññè÷åñêîì. Äåéñòâèòåëüíî, ìû, â ïðèíöèïå, ìîæåì ìîäåëèðîâàòü ëþáîå êâàíòîâîå âû÷èñëåíèå êëàññè÷åñêè, åñëè ó íàñ åñòü çàêîí

Ut :

íàëè÷èå òàêîãî çàêîíà îçíà÷àåò âîçìîæíîñòü âûïèñàòü

óíèòàðíóþ ìàòðèöó, ñîîòâåòñòâóþùóþ ýòîìó îïåðàòîðó, à, çíà÷èò, è âîññòàíîâèòü âñå ñîñòîÿíèÿ âèäà

|Ψ(t)i.8

Òàêèì îáàçîì, çàïàñ âû÷èñëèìûõ óíêöèé äëÿ

êëàññè÷åñêîãî è êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà áóäåò îäíèì è òåì æå. Ïðåèìóùåñòâî êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà ñîñòîèò òîëüêî â òîì, ÷òî îí ïîçâîëÿåò âû÷èñëÿòü íåêîòîðûå î÷åíü âàæíûå óíêöèè ïðèöèïèàëüíî áûñòðåå, ÷åì ëþáîé êëàññè÷åñêèé, åñëè òîëüêî ïðèíÿòü ñïðàâåäëèâîñòü êâàíòîâîé òåîðèè â åå ñòàíäàðòíîé îðìå â îáëàñòè ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì, ÷òî ìû è áóäåì äåëàòü â ýòîé ãëàâå. Äëÿ îäíîé òîé æå çàäà÷è, êîòîðàÿ ñîñòîèò â âû÷èñëåíèè íåêîòîðîãî íàáîðà ÷èñåë lt , ñóùåñòâóåò, ââîáùå ãîâîðÿ, ìíîãî êâàíòîâûõ àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ, òàê æå êàê è êëàññè÷åñêèõ. Ìû ñêàæåì, ÷òî äàííàÿ çàäà÷à äîïóñêàåò êâàíòîâîå óñêîðåíèå, åñëè ñóùåñòâóåò êâàíòîâûé àëãîðèòì, ðåøàþùèé åå áûñòðåå, ÷åì ëþáîé êëàññè÷åñêèé. Îêàçûâàåòñÿ, ÷èñëî çàäà÷, äëÿ êîòîðûõ âîçìîæíî êâàíòîâîå óñêîðåíèå, î÷åíü ìàëî (ñì. [37℄, [38℄). Òåì íå ìåíåå, â ÷èñëî ýòèõ çàäà÷ âõîäÿò î÷åíü âàæíûå çàäà÷è ïåðåáîðíîãî òèïà: ïðÿìîé ïåðåáîð è çàäà÷à àêòîðèçàöèè öåëûõ ÷èñåë. Äëÿ èõ ðàññìîòðåíèÿ íàì íóæíà áîëåå äåòàëüíàÿ ìîäåëü êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà.

4.6.2 Àáñòðàêòíàÿ ìîäåëü êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà Òåïåðü ìû îïèøåì àáñòðàêòíóþ ìîäåëü êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà, êîòîðàÿ ìîæåò óæå èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ ïîäñ÷åòà åãî ñëîæíîñòè, òî åñòü âðåìåíè

Tqua .

Ýòà ìîäåëü ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé: êëàññè÷åñêîé è êâàíòîâîé. Êëàññè÷åñêàÿ ÷àñòü ñîñòîèò èç ðåãèñòðîâ, â êîòîðûõ óêàçàíû íîìåðà ýëåìåíòàðíûõ óíèòðàíûõ îïåðàöèé èç íåêîòîðîãî ñïèñêà

U1 , U2 , . . .

ïðîñòûõ 1-2 èëè 3 êóáèòíûõ

óíèòàðíûõ îïåðàòîðîâ, è óêàçàòåëåé, òî åñòü ñòðåëîê, êîòîðûå óêàçûâàþò, ê êàêèì êóáèòàì íàäëåæèò ïðèìåíèòü äàííûé îïåðàòîð. Êðîìå ýòîãî, êëàññè÷åñêàÿ ÷àñòü ñîäåðèò äâà îñîáûõ ðåãèñòðà: ðåãèñòð êîíöà âû÷èñëåíèÿ è ðåãèñòð âîïðîñà ê îðàêóëó. Êâàíòîâàÿ ÷àñòü êîìïüþòåðà - ýòî ëåíòà, â ÿ÷åéêàõ êîòîðîé ñòîÿò êóáèòû. Ïîòåíöèàëüíî ëåíòà íå îãðàíè÷åíà â òîì ñìûñëå, ÷òî ê íåé ïðè íåîáõîäèìîñòè ìîæíî âñåãäà äîáàâëÿòü íîâûå êóáèòû, èíèöèàëèçèðîâàííûå ñîñòîÿíèåì |0i. n Åñëè ëåíòà ñîäåðæèò n êóáèò, òî åå êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ çàïîëíÿþò 2 ìåðíîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé. Îáùèé âèä ñîñòîÿíèÿ êâàíòîâîé ÷àñòè 8 Òàêîå

ìîäåëèðîâàíèå - ãèïîòåòè÷åñêîå, òàê êàê íåîáõîäèìàÿ êëàññè÷åñêàÿ ïàìÿòü áóäåò ðàñòè êàê ýêñïîíåíòà. Ìû ðàññóæäàåì çäåñü ñ òî÷êè çðåíèÿ êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêè, ãäå íà ñëîæíîñòü âíèìàíèÿ íå îáðàùàþò.

4.6.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÉ ÊÎÌÏÜÞÒÅ

èñ. 4.2: Àáñòðàêòíàÿ ìîäåëü êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà

107

108

ËÀÂÀ 4.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

êîìïüþòåðà òàêîâ:

|Ψi = ãäå

N = 2n ,

λj

à êîýèöèåíòû

N −1 X j=0

λj |ji

(4.29)

åñòü êîìïëåêñíûå ÷èñëà, íàçûâàåìûå àìïëè-

òóäàìè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîñòîÿíèé

|ji.

Òàêèì îáðàçîì, ìû âñåãäà ìîæåì ñ÷è-

àòü, ÷òî ýâîëþöèÿ ñîñòîÿíèÿ êâàíòîâîé ëåíòû ïðîèñõîäèò â êîíå÷íîìåðíîì

N

ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé, ðàçìåðíîñòü êîòîðîãî êóáèòîâ

n

íàì íåäîñòóïíà, õîòÿ ÷èñëî

åñòü âïîëíå äîñòóïíàÿ âåëè÷èíà. Ìû âèäèì, ÷òî 4.29 ñîâïàäàåò ñ

òåì, ÷òî ìû ìû íàçâàëè êóáèòîâûì ïðåäñòàâëåíèåì âîëíîâîé óíêöèè. Ïîýòîìó êâàíòîâûé êîìïüþòåð âûðàæàåò ñòàíäàðòíóþ îðìó ìíîãî÷àñòè÷íîãî ãèëüáåðòîâà îðìàëèçìà. Êâàíòîâûé àëãîðèòì - ýòî êëàññè÷åñêèé àëãîðèòì, çàäàþùèé èçìåíåíèå âî âðåìåíè ñîñòîÿíèÿ êëàññè÷åñêîé ÷àñòè êîìïüþòåðà. Âû÷èñëåíèå íà êâàíòîâîì êîìïüþòåðå - ýòî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óíèòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé íàä ñîñòîÿíèåì êâàíòîâîé ÷àñòè, êîòîðàÿ çàäàåòñÿ ñîñòîÿíèåì êëàññè÷åñêîé ÷àñòè êîìïüþ-

j

òåðà. Òî åñòü íà êàæäîì øàãå

íàä ñîñòîÿíèåì

íèå âèäà

U

O

V

ãäå äàííûå ýëåìåíòàðíûå îïåðàòîðû

O

W

O

|Ψj i

âûïîëíÿåòñÿ ïðåîáðàçîâà-

...

(4.30)

U, V, W . . . êîäû êîòîðûõ ñòîÿò â ðåãèñòðàõ

êëàññè÷åñêîé ÷àñòè âûïîëíÿþòñÿ íàä òåìè êóáèòàìè, íà êîòîðûå óêàçûâàþò ñòðåëêè, âûõîäÿùèå èç ñîîòâåòñòâóþùåãî ðåãèñòðà. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñòî êëàññè÷åñêèé çàêîí èçìåíåíèÿ óïðàâëÿþùåé êëàññè÷åñêîé ÷àñòè êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà èíäóöèðóåò êâàíòîâóþ óíèòàðíóþ ýâîëþöèþ åãî êâàíòîâîé ÷àñòè âèäà

|Ψ(t)i =

N −1 X

λj (t)|ji

j=0

òî åñòü ñâîäèòñÿ ê èçìåíåíèþ âî âðåìåíè àìïëèòóä áàçèñíûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé. Ìû äàëè îïðåäåëåíèå âû÷èñëåíèÿ áåç îðàêóëà, èëè àáñîëþòíîãî êâàíòîâîãî âû÷èñëåíèÿ. Ïî àíàëîãèè ñ êëàññè÷åñêèì ñëó÷àåì, ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèå êâàíòîâîãî âû÷èñëåíèÿ ñ îðàêóëîì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì çàäàí íåêîòîðûé óíèòàðíûé îïåðàòîð

U : H1 −→ H2 ,

ãäå

H1

-

m

è

k

êóáèòíîå ãèëüáåðòîâî ïðî-

ñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé. Çàâåäåì íà ëåíòå îïðåäåëåííîå ìåñòî: íàáîð êóáèò (ðåãèñòð) èç

m

êóáèò, è ñïåöèàëüíûé ðåãèñòð â êëàññè÷åñêîé ÷àñòè, íàçûâàåìûé

0, âûâîïðîñà ñîäåðæèò 1,

ðåãèñòðîì âîïðîñà (query). Óñëîâèìñÿ ÷òî åñëè ðåãèñòð âîïðîñà ñîäåðæèò ÷èñëåíèÿ ïðîèñõîäÿò â îáû÷íîì ïîðÿäêå. Åñëè æå ðåãèñòð

ìû âìåñòî îáû÷íîãî óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, èíäóöèðóåìîãî êëàññè÷åñêîé ÷àñòüþ êîìïüþòåðà, ñîâåðøàåì îáðàùåíèå ê îðàêóëó, êîòîðîå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, áàçèñíîå ñîñòîÿíèå ëåííîìó íàìè

m

|ji

ïåðåâîäèòñÿ â

I

N

U,

ãäå

U

ïðèìåíÿåòñÿ ê âûäå-

êóáèòíîìó ðåãèñòðó, à èäåíòè÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå - êî âñåì

4.7.

109

ÎËÜ ÇÀÏÓÒÀÍÍÎÑÒÈ

ïðî÷èì. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ðàñïðîñòðàíåíèåì ïîíÿòèÿ âû÷èñëåíèÿ ñ îðàêóëîì íà êâàíòîâûé ñëó÷àé. Êîíêðåòèçèðóåì ïîíÿòèå êâàíòîâîãî îðàêóëà íà ñëó÷àé îáû÷íîé óíêöèè âèäà

f : {0, 1}m −→ {0, 1}k Çàâåäåì íà êâàíòîâîé ëåíòå

m

è

k

êóáèòíûå ðåãèñòðû, íàçâàâ ïåðâûé ðåãèò-

ñðîì âîïðîñà, à âòîðîé - ðåãèñòðîì îòâåòà. Ïóñòü

a

è

b

- êîðòåæè èç íóëåé

è åäèíèö, ñîäåðæàùèåñÿ â ýòèõ ðåãèñòðàõ. Ââåäåì óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå, îïðåäåëåííîå òàêèì åãî äåéñòâèåì íà áàçèñíûõ âåêòîðàõ:

Quf |a, bi −→ |a, b ãäå

L

M

f (a)i

(4.31)

îçíà÷àåò ïîáèòîâîå ñëîæåíèå ïî ìîäóëþ 2. Òàêîé îïåðàòîð ÿâëÿåòñÿ ïðî-

ñòî ïåðåñòàíîâêîé áàçèñíûõ âåêòîðîâ, è ïîòîìó îí ëèíåéíî ïðîäîëæàåòñÿ äî óíèòàðíîãî îïåðàòîðà âî âñåì ïðîñòðàíñòâå êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé. Îí èíâîëþ2 òèâåí, òî åñòü Quf = I . Â Ïðèëîæåíèè îïèñàíî, êàê ñ ïîìîùüþ ýòîãî ïðèåìà ïîñòðîèòü áûñòðûé êâàíòîâûé àëãîðèòì ïåðåáîðà.

4.7

îëü çàïóòàííîñòè

Êàê ìû çíàåì, çàïóòàííîå ñîñòîÿíèå äâóõ êâàíòîâûõ ñèñòåì ñòîÿíèå, êîòîðîå íåâîçìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå

|ΨS1 i

N

S1

|ΨS2 i.

è

S2 ,

ýòî ñî-

Ýòî â òî÷íîñòè

ñîîòâåòñòâóåò, â îáû÷íîé àíàëèòè÷åñêîé çàïèñè íåâîçìîæíîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ âîëíîâîé óíêöèè âñåé ñèñòåìû â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ âîëíîâûõ óíêöèé åå ÷àñòåé

S1

è

S2 .

Ìîæíî ââåñòè ìåðó òàêîé çàïóòàííîñòè ðàçëè÷íûìè ïóòÿìè.

ρS1 . H = tr(ρS1 ln ρS1 ),

Íàïðèìåð, ñ èñïîëüçîâàíèåì îòíîñèòåëüíîé ìàòðèöû ïëîòíîñòè

Îïðåäå-

ëèì ìåðó çàïóòàííîñòè êàê êâàíòîâóþ ýíòðîïèþ

êîòîðàÿ

ðàâíà òîìó æå âûðàæåíèþ, âçÿòîìó äëÿ

S2 .

Òàêàÿ ìåðà çàïóòàííîñòè ÷àñòî

ïðèìåíÿåòñÿ â òåîðèè êâàíòîâîé èíîðìàöèè. Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî êâàíòîâàÿ ýâîëþöèÿ ëþáîé ñèñòåìû, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êàê ýâîëþöèÿ íåçàïóòàííîãî ñîñòîÿíèÿ (òî åñòü òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ îäíî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé) ìîæåò áûòü ìîäåëèðîâàíà íà êëàññè÷åñêîì êîìïüþòåðå â ðåæèìå ðåàëüíîãî âðåìåíè, òî åñòü ñ ñëîæíîñòüþ, ðàâíîé èçè÷åñêîìó âðåìåíè. Èç ýòîãî âûòåêàåò, ÷òî ðåàëèçàöèÿ áûñòðûõ êâàíòîâûõ àëãîðèòìîâ íà íåçàïóòàííûõ ñîñòîÿíèÿõ íåâîçìîæíà, òî åñòü êâàíòîâûé êîìïüþòåð ïîñòðîåí êàê ðàç íà çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèÿõ, è áåç íèõ îí ñâåëñÿ áû ïðîñòî ê ñîáñòâåííîé êëàññè÷åñêîé ÷àñòè. Íî áûëî áû îøèáî÷íî îòîæäåñòâèòü ìíîæåñòâî âñåõ çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé ñ ñîñòîÿíèÿìè, èìåþùèìè ìàêñèìàëüíóþ ýíòðîïèþ çàïóòàííîñòè

H.

Âîçìîæ-

íîñòü ïîëó÷åíèÿ ìíîãî÷àñòè÷íûõ çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé äàæå ñ ìàêñèìàëüíîé ñòåïåíüþ çàïóòàííîñòè ñîâñåì íå îçíà÷àåò, ÷òî ìû ñîçäàëè êâàíòîâûé êîìïüþòåð.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì äâà êëàññà çàïóòàííûõ êâàíòîâûõ ñîñòî-

110

ËÀÂÀ 4.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

ÿíèé, êîòîðûå ðåàëüíî äåòåêòèðóþòñÿ â ýêñïåðèìåíòàõ íà èîíàõ â ëîâóøêå Ïàóëÿ. Ýòî

GHZ

è

W

ñîñòîÿíèÿ, èìåþùèå âèä

GHZ : λ1 |11 . . . 1i + λ2 |22 . . . 2i + . . . + λk |kk . . . ki, W : λ1 |100 . . . 0i + λ2 |010 . . . 0i + . . . + λk |00 . . . 1i.

(4.32)

Ìû âèäèì, ÷òî äëÿ õðàíåíèÿ òàêèõ ñîñòîÿíèé â ïàìÿòè êîìïüþòåðà äîñòàòî÷íî âûäåëèòü ïîðÿäêà

n

ÿ÷ååê ïàìÿòè, ãäå

n

- ÷èñëî êóáèòîâ. Ýòî îçíà÷àåò,

÷òî ëþáûå âû÷èñëåíèÿ ñ òàêèìè ñîñòîÿíèÿìè ìîæíî âîñïðîèçâîäèòü íà êëàññè÷åñêèõ êîìïüþòåðàõ, è èìåÿ òîëüêî òàêèå êâàíòâîûå ñîñòîÿíèÿ íåâîçìîæíî ðåàëèçîâàòü áûñòðûå êâàíòîâûå àëãîðèòìû (ñì. [2℄).  äåéñòâèòåëüíîñòè, ñîñòîÿíèÿ òèïà

GHZ

è

W ìîæíî ñâåñòè ê îäíî÷àñòè÷GHZ . Åãî àíàëîãîì äëÿ n = 2

íûì ñîñòîÿíèÿì. àññìîòðèì ñíà÷àëà ñîñòîÿíèå

ÿâëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìîå øìèäòîâñêîå ñîñòîÿíèå äâóõ ÷àñòèö, òî åñòü ñîñòîÿíèå äâóõ ÷àñòèö âèäà

X j

ãäå

{|ψj1 }

è

{|ψj2 }

λj |ψj1 i

O

|ψj2 i

(4.33)

åñòü îðòîíîðìèðîâàííûå áàçèñû â ïðîñòðàíñòâàõ ñîñòîÿíèé

ïåðâîé è âòîðîé ÷àñòèö ñîîòâåòñòâåííî. Ñîñòîÿíèå 4.33 õàðàêòåðèçóåòñÿ ëàìè, ãäå

N

N

÷èñ-

åñòü ðàçìåðíîñòü ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ ñîñòîÿíèé îäíîé ÷à-

ñòèöû. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ õðàíåíèÿ òàêîãî äâóõ÷àñòèöíîãî ñîñòîÿíèÿ íåîáõîäèì òîò æå îáúåì ïàìÿòè, ÷òî è äëÿ õðàíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ îäíîé ÷àñòèöû. Ñîñòîÿíèå

GHZ

åñòü îðìà øìèäòîâñêîãî ñîñòîÿíèÿ äëÿ íåñêîëüêèõ ÷à-

ñòèö. Òàêîå ñîñòîÿíèå îçíà÷àåò ñëåäóþùåå. Ó íàñ ðåàëüíî èìååòñÿ òîëüêî îäíà ÷àñòèöà, íî îíà ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ ÷àñòåé, âåäóùèõ ñåáÿ ïðîñòî êàê îäíî öåëîå. àññìîòðèì

0

è

1

GHZ

ñîñòîÿíèå ïðè

k = 2: |Ψi = |00i + |11i. Áóäåì

òðàêòîâàòü

êàê ïîëîæåíèÿ îäíîé ÷àñòèöû â äâóõ ðàçëè÷íûõ èêñèðîâàííûõ òî÷êàõ.

Òîãäà èçìåðåíèå â ñòàíäàðòíîì áàçèñå îäíîé èç ÷àñòèö ïîâëå÷åò íàõîæäåíèå îáåèõ ÷àñòèö â îäíîé è òîé æå òî÷êå. Åñëè æå ìû çàõîòèì èçìåðèòü èìïóëüñ ÷àñòèöû, íàì ïðèäåòñÿ ïðèìåíèòü ê ñîîòâåòñòâóþùåìó êóáèòó ïðåîáðàçîâàíèå êâàíòîâîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, ÷òî â ñëó÷àå îäíîãî êóáèòà åñòü ñ òî÷íîñòüþ äî óñëîâíîãî ïîâîðîòà àçû, îïåðàòîð Àäàìàðà. Ïðèìåíèâ ê îáîèì êóáèòàì òàêîé îïåðàòîð ìû ïåðåéäåì â áàçèñ, â êîòîðîì çíà÷åíèÿìè êóáèòîâ áóäóò èìïóëüñû ñîîòâåòñòâóþùåé ÷àñòèöû. Ïðîñòîé ïîäñ÷åò ïîêàçûâàåò, ÷òî ðåçóëüòàò áóäåò òîò æå:

|00i + |11i.

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî è èìïóëüñ ó îáåèõ ÷àñòèö áóäåò

îäíèì è òåì æå ïðè èçìåðåíèè åãî ó ëþáîé èç íèõ. Ýòî è îáúÿñíÿåò òî, ÷òî òàêîå ñîñòîÿíèå åñòü ñîñòîÿíèå ïî-ñóùåñòâó, îäíîé ÷àñòèöû. Äëÿ äåòåêòèðîâàíèÿ òàêîãî ñîñòîÿíèÿ äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü èíòåðåðåíöèîííûå ñâîéñòâà îáúåêòà, ñîñòîÿùåãî èç íåñêîëüêèõ ÷àñòåé, íàïðèìåð, èíòåðåðåíöèþ ìîëåêóëû âîäîðîäà íà äâóõ ùåëÿõ. Íàëè÷èå èíòåðåðåíöèîííîé êàðòèíû è áóäåò îçíà÷àòü çàïóòàííîñòü

GHZ

òèïà. Òàêèì îáðàçîì, äàííûé òèï çàïóòàííîñòè ÿâëÿåòñÿ

äîñòàòî÷íî øèðîêî ðàñïðîñòðàíåííûì. Áîëåå èíòåðåñíî äåòåêòèðîâàíèå òàêîãî òèïà çàïóòàííîñòè íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ. Äëÿ èîíîâ â ëîâóøêàõ Ïàóëÿ

4.8. ÔÎÌÀËÈÇÌ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÝËÅÊÒÎÄÈÍÀÌÈÊÈ Â ÊÓÁÈÒÎÂÎÉ ÔÎÌÅ111

îíî ñîñòàâëÿåò íåñêîëüêî ìèëëèìåòðîâ, äëÿ îòîíîâ - äî íåñêîëüêèõ êèëîìåòðîâ. Íå çàâèñèìî îò ÷èñëà òî÷åê êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà (ëèøü áû îíî áûëî áîëüøå 2) ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ: 1) Âñÿêîå êâàíòîâîå ñîñòîÿíèå äâóõ ÷àñòèö ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå øìèäòîâñêîãî ðàçëîæåíèÿ. 2) Ñóùåñòâóþò ñîñòîÿíèÿ òðåõ ÷àñòèö, êîòîðûå íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå øìèäòîâñêîãî ðàçëîæåíèÿ. Ïðîñòåéøèé ïðèìåð, äëÿ ñëó÷àÿ 3 êóáèòîâ, äàåò ñîñòîÿíèå

|001i,

÷òî è ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøèì ïðèìåðîì ñîñòîÿíèÿ òèïà

Òåïåðü îáðàòèìñÿ ê îáùåìó âèäó ñîñòîÿíèÿ

æåò áûòü ñâåäåíî ê

GHZ

W

W.

|100i + |010i +

òèïà. Ýòî ñîñòîÿíèå íå ìî-

ñîñòîÿíèþ íèêàêèìè ëîêàëüíûìè îïåðàöèÿìè (òî

åñòü ñ ïîìîùüþ óíèòàðíûõ îïåðàòîðîâ íàä îòäåëüíûìè ÷àñòèöàìè, èëè ñ ïîìîùüþ ëîêàëüíûõ çàïóòàâàíèé è èçìåðåíèé - òàê íàçûâàåìûõ LOCC -îïåðàöèé). Îäíàêî åãî ìîæíî òðàêòîâàòü êàê îäíî÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå, åñëè ðàññìàòðèâàòü êàæäûé êóáèò êàê ýëåìåíò êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà. Íàïîìíèì, ÷òî ïðè êóáèòîâîì ïðåäñòàâëåíèè âîëíîâîé óíêöèè ìû äîãîâàðèâàëèñü êîäèðîâàòü êóáèòàìè òî÷êè êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà â òîì ñìûñëå, ÷òî êàæäûé ñëåäóþùèé êóáèò áûë óòî÷íåíèåì â äâà ðàçà ïîëîæåíèÿ òî÷êè êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà. À òåïåðü ìû âðåìåííî ïðèìåì èíîå ñîãëàøåíèå: êàæäûé êóáèò áóäåì îòîæäåñòâëÿòü èìåííî ñ òî÷êîé êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà, âçÿòîé ñ ïðåäåëüíîé âîçìîæíîé òî÷íîñòüþ. Ýòî ñîãëàøåíèå áóäåò ñîâåðøåííî èíûì. Íî òîãäà, ñêàæåì, áàçèñíîå ñîñòîÿíèå íàõîæäåíèå ÷àñòèöû â òî÷êå

1

|100i

áóäåò îçíà÷àòü

(à òî÷êè 2 è 3 ñâîáîäíû), ñîñòîÿíèå

|010i

îçíà-

÷àåò íàõîæäåíèå ÷àñòèöû â òî÷êå 2 (à òî÷êè 1 è 3 ñâîáîäíû), è ò.ä. Òîãäà

GHZ òèïà âèäà 4.32 áóäåò k P λj |ji. âèäà

ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû

ñîîòâåòñòâîâàòü âîëíîâîé óíêöèè îäíîé

j=1

4.8

Ôîðìàëèçì êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè â êóáèòîâîé îðìå

Òåïåðü ìû ãîòîâû îïèñàòü îðìàëèçì êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè (ÊÝÄ). Ïðè÷èíà, ïî êîòîðîé ýòî îïèñàíèå îòëîæåíî, ÷èñòî òåõíè÷åñêàÿ. Ìû íàìåðåâàåìñÿ îïèñàòü îðìàëèçì ìíîãî÷àñòè÷íîé êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè, à äëÿ ýòîé öåëè ñòàíäàðòíàÿ îðìà ïðåäñòàâëåíèÿ âîëíîâûõ óíêöèé â âèäå

Ψ(r1 , r2 , . . .)

ìàëî ïîäõîäèò. Ïðè÷èíà ýòîãî ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ÊÝÄ óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü ãëàâíûé îïåðàòîð - ýìèññèþ (àáñîðáöèþ ) îòîíà çàðÿæåííîé ÷àñòèöåé â èìïóëüñíî-ýíåðãåòè÷åñêîì áàçèñå ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé, òîãäà êàê äëÿ íàñ áóäåò ñóùåñòâåíåí âèä òàêîãî îïåðàòîðà â ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîì áàçèñå, à ïåðåõîä ìåæäó áàçèñàìè ãîðàçäî óäîáíåå ïðåäñòàâëÿòü â êóáèòîâîé îðìå. Êðîìå òîãî, íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü ïðîèçâîëüíûå âåêòîðû ñîñòîÿíèé ìíîãî-

112

ËÀÂÀ 4.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

÷àñòè÷íûõ ñèñòåì, êîòîðûå ìîãóò áûòü, íàïðèìåð, çàïóòàííûìè, òàê ÷òî ýòè ñîñòîÿíèÿ óäîáíî èçó÷àòü èìåííî â êóáèòîâîé îðìå. È íàêîíåö, ãëàâíûé îïåðàòîð ÊÝÄ óäîáíåå âñåãî ïðåäñòàâëÿòü ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîíÿòèÿ àíöèëëû, êîòîðîå ïðèøëî èç êâàíòîâîãî êîìïüþòèíãà. Ïîýòîìó êóáèòîâàÿ îðìà äëÿ ÊÝÄ - íàèëó÷øàÿ. Åå äîñòîèíñòâî è â òîì, ÷òî äååêò ñòàíäàðòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà, ïðèìåíÿåìîãî â ÊÝÄ, ñòàíîâèòñÿ ñîâåðøåííî î÷åâèäíûì. ÊÝÄ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ êâàíòîâîé òåîðèè ê ýëåêòðîäèíàìèêå, òî åñòü ê âçàèìîäåéñòâèÿì çàðÿæåííûõ ÷àñòèö è ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, îïèñûâàåìîãî óðàâíåíèÿìè Ìàêñâåëëà. Åñòåñòâåííûì ïóòåì äëÿ ýòîãî, áûëî áû, íà ïåðâûé âçãëÿä, îîðìëåíèå áàçîâûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû

n ÷àñòèö è

k îòîíîâ â âèäå |x1 , x2 , . . . , xn , f1 , f2 , . . . , fk i, ãäå xj è fi åñòü êîîðäèíàòû ÷àñòèj è îòîíà i ñîîòâåòñòâåííî. Íî òàêîé ïóòü òðóäåí äëÿ ÊÝÄ èç-çà îñîáåííî-

öû

ñòåé îòîíîâ. Ýòî ÷àñòèöû, äâèæóùèåñÿ âñåãäà ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà, è èìåþùèå íóëåâóþ ìàññó. Òàêèì îáðàçîì, ñ îòîíîì íåëüçÿ ñâÿçàòü íèêàêîé ñèñòåìû îòñ÷åòà, èáî ñèñòåìà îòñ÷åòà ïðåäïîëàãàåò íàëè÷èå íåíóëåâîé ìàññû, ïîêîÿùåéñÿ îòíîñèòåëüíî öåíòðà îòñ÷åòà. Áîëåå òîãî, îòîíû ïðîÿâëÿþòñÿ òîëüêî âî âçàèìîäåéñòâèÿõ ñ çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè è íå âçàèìîäåéñòâóþò äðóã ñ äðóãîì, òî åñòü äëÿ íèõ íåëüçÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, íàïèñàòü íèêàêîãî àíàëîãà óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñ íåêèì ïîòåíöèàëîì. Ïîòåíöèàë ñàì ñîçäàåòñÿ îòîíàìè. È íàêîíåö: îòîíû ïîÿâëÿþòñÿ è èñ÷åçàþò íå òîëüêî ïðè âçàèìîäåéñòâèè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö ñ ïîëåì. Ýòî ìîæåò ïðîèñõîäèòü òàêæå â âàêóóìå, ãäå îòîí ìîæåò ïîðîäèòü ýëåêòðîí-ïîçèòðîííóþ ïàðó. Ïîýòîìó â ÊÝÄ íå ïðèìåíÿåòñÿ ïîëíîãî îðìàëèçìà ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ è íåëüçÿ ãîâîðèòü î åå çàêîí÷åííîñòè êàê èçè÷åñêîé òåîðèè, â òîì ñìñëå, â êàêîì çàêîí÷åííîé ÿâëÿåòñÿ îáûêíîâåííàÿ êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà. ÊÝÄ ñîñòîèò èç îïèñàíèÿ óíäàìåíòàëüíûõ ïðîöåññîâ âçàèìîäåéñòâèÿ îäíîé èëè äâóõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö ñ îòîíàìè è âû÷èñëåíèÿ àìïëèòóä ýòèõ ðåàêöèé ðàññåÿíèÿ, ïðàâèë, ïî êîòîðûì èç ýòèõ àìïëèòóä ïîëó÷àþòñÿ êëàññè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà Òåì íå ìåíåå â ýòîì ðàçäåëå ìû ïîïûòàåìñÿ îïèñàòü îðìàëèçì êóáèòîâîãî òèïà äëÿ êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè (ÊÝÄ), â åãî ïîëíîì âèäå. Îí èìååò äâà ïðèíöèïèàëüíûõ îòëè÷èÿ îò ðàññìîòðåííîãî ñëó÷àÿ îáû÷íîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Âî ïåðâûõ, â ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé ÊÝÄ áóäåò ÿâíî âõîäèòü âðåìÿ, âî âòîðûõ, ýòî âðåìÿ áóäåò ñâîå äëÿ êàæäîé ÷àñòèöû, è â òðåòüèõ, ÷èñëî ÷àñòèö â ñèñòåìå íå áóäåò ïîñòîÿííûì. Ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ íàáîð ìåíòîâ âðåìåíè

t äëÿ

X

ïðîñòðàíñòâåííûõ ñîñòîÿíèé

x

è íàáîð

T

ìî-

îäíîé òî÷å÷íîé ÷àñòèöû. Ýòè âåëè÷èíû áóäóò ïðèíàäëå-

æàòü ïîëüçîâàòåëüñêîé ÷àñòè ìîäåëè, òî åñòü áóäóò îïèñûâàòü èëüì, äåéñòâèå êîòîðîãî ðàçâîðà÷èâàåòñÿ íà äàííîì ìíîæåñòâå òî÷åê â ïðîñòðàíñòâå äëÿ äàííîãî ïîëüçîâàòåëÿ è êàäðû êîòîðîãî çàíóìåðîâàíû äàííûì íàáîðîì ìîìåíòîâ âðåìåíè. èëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé îäíîé òî÷å÷íîé ÷àñòèöû áóäåò ïîðîæäåíî áàçèñíûìè ñîñòîÿíèÿìè âèäà

|x, ti, ãäå x ∈ X , t ∈ T . Îáùèé âèä ñîñòîÿíèÿ

4.8. ÔÎÌÀËÈÇÌ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÝËÅÊÒÎÄÈÍÀÌÈÊÈ Â ÊÓÁÈÒÎÂÎÉ ÔÎÌÅ113

áóäåò òàêèì:

|Ψi =

X

x∈X , t∈T

λx,t |x, ti

(4.34)

Òàêèì îáðàçîì, ñîñòîÿíèå ñèñòåìû íå ìîæåò çàâèñåòü îò (ïîëüçîâàòåëüñêîãî) âðåìåíè: âðåìÿ âõîäèò â áàçèñ ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé. Òåì íå ìåíåå, ñîñòîÿíèå ñèñòåìû çàâèñèò îò àäìèíèñòðàòèâíîãî âðåìåíè

τ,

òî åñòü ìû ìîæåì ðàññìîò-

ðåòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîñòîÿíèé âèäà

Ψ(τ1 )i, Ψ(τ2 )i, . . . ãäå êàæäûé ïåðåõîä

Ψ(τj )i −→ Ψ(τj+1 )i

(4.35)

áóäåò íàçûâàòüñÿ ðåàêöèåé ðàññåÿíèÿ.

Ïîëüçîâàòåëü, èçó÷àþùèé ïðîöåññû ÊÝÄ, áóäåò ñìîòðåòü èëüì, ïîñâÿùåííûé îäíîé åäèíñòâåííîé ðåàêöèè, âíóòðè êîòîðîé åãî ïîëüçîâàòåëüñêèì âðåìåíåì áóäåò

t,

ðåàëüíî ìåíÿþùååñÿ íå â áåñêîíå÷íûõ ïðåäåëàõ, êàê â îáû÷íîì àíà-

ëèòè÷åñêîì îðìàëèçìå, à â êîíå÷íûõ ïðåäåëàõ, õîòÿ è ñòîëü áîëüøèõ, êàê ýòî íóæíî ïîëüçîâàòåëþ. Îäíàêî äðóãîé ïîëüçîâàòåëü, èçó÷àþùèé, ñêàæåì, õèìèþ, è êîòîðîìó ÊÝÄ íóæíà òîëüêî äëÿ îáîñíîâàíèÿ ïðîèñõîäÿùèõ àññîöèàöèé èëè äèññîöèàöèé ìîëåêóë, áóäåò ñìîòðåòü óæå äðóãîé èëüì, êîòîðûé èìååò âèä 4.34, è äëÿ íåãî ïîëüçîâàòåëüñêèì âðåìåíåì áóäåò óæå

τ . Ýòè øêàëû

ðàçëè÷àþòñÿ ïîðÿäêîì åäèíèö. àññìîòðèì òåïåðü ñèñòåìó èç íåñêîëüêèõ ÷àñòèö, çàíóìåðóåì èõ íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè:

1, 2, . . . , n,

è óñëîâèìñÿ, ÷òî àòðèáóòû ÷àñòèöû ñ íîìåðîì j áój . Äëÿ ñîêðàùåíèÿ áóäåì òàêæå èñïîëüçîâàòü çàïèñü P λa fa äëÿ ëþáîãî ñåìåéñòâà îáúåêòîâ a.

äóò èìåòü âåðõíèé èíäåêñ

P

λ− fa

âìåñòî

a Ïðîñòðàíñòâî êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû èç

n

÷àñòèö ñîñòîèò èç îð-

ìàëüíûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé ñ êîìïëåêñíûìè êîýèöèåíòàìè âèäà

|Ψi =

X

λ− |x1 , t1 , ǫ¯1 , x2 , t2 , ¯ǫ2 , . . . , xn , tn , ǫ¯n i

(4.36)

Îòìåòèì îòëè÷èå ÊÝÄ îò îáû÷íîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè, ïðîÿâëÿþùååñÿ â òîì, ÷òî â ñîñòîÿíèÿõ ÊÝÄ ïðèñóòñòâóþò ñëàãàåìûå òèïà

|x1 , t1 , x2 , t2 i

òî åñòü

ìû ìîæåì ãîâîðèòü îá îäíîâðåìåííîì ðàññìîòðåíèè ðàçíûõ ÷àñòèö â ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè. Ôàêòè÷åñêè, ñîñòîÿíèå 4.36 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñöåíàðèé, ïîñêîëüêó çäåñü ñîäåðæèòñÿ èíîðìàöèÿ î ñîñòîÿíèÿõ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåì âî âñåõ âîçìîæíûõ ìîìåíòàõ âðåìåíè. Íàïîìíèì, ÷òî â ÊÝÄ

p = (¯ p, E)

åñòü îáîáùåííûé èìïóëüñ çàðÿæåííîé

÷àñòèöû, àìïëèòóäà îòîíîâ åñòü 4-âåêòîð ǫµ , òàêîé ÷òî

K

- 4-âåêòîð èìïóëüñà îòîíà âèäà

(¯ p, ω).

Aµ = ǫµ exp(−iKx), ãäå

Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå 4-âåêòîðîâ

îïðåäåëÿåòñÿ êàê

aµ bµ = a4 b4 − a1 b1 − a2 b2 − a3 b3 , òî åñòü ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ èíäåêñàì ïðîèñõîäèò ìîë÷àëèâîå ñóììèðîâàíèå. Ìîæíî ñ÷èòàòü (ñì. [16℄) ÷òî äëÿ äåòåêòèðóåìîãî äåòåêòîðîì (ñâîáîäíîãî ) îòîíà

ǫ4 = 0.

114

ËÀÂÀ 4.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

ëàâíîé îïåðàöèåé, îïðåäåëÿþùåé ýâîëþöèþ ñîñòîÿíèÿ 4.36 ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîð ýëåìåíòàðíîãî ðàññåÿíèÿ, îïèñûâàþùèé äâà ïðîöåññà: ðîæäåíèå çàðÿæåííîé ÷àñòèöåé íîâîãî îòîíà è ïîãëîùåíèå åé èìåâøåãîñÿ îòîíà. Ýòè ïðîöåññû çàäàþòñÿ â ÊÝÄ ñëåäóþùèìè äâóìÿ óñëîâèÿìè: 1) îíè ïðîèñõîäÿò òîëüêî ïðè ñîõðàíåíèè ýíåðãèè

E¯1

è èìïóëüñîâ

p¯1

ñèñòå-

ìû, è 2) àìïëèòóäà ïåðâîãî ïðîïîðöèîíàëüíà

ǫ

åñòü âåêòîð ïîëÿðèçàöèè îòîíà,

p1 , p2

λE¯1 ,E¯2 ,¯p1 ,¯p2 = i e (p1 + p + 2, ǫ),

ãäå

èìïóëüñû çàðÿæåííîé ÷àñòèöû äî

è ïîñëå ðåàêöèè, à àìïëèòóäà îáðàòíîãî ïðîöåññà ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîé ê àìïëèòóäå ïðÿìîãî. Ïðè ýòîì ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ýíåðãèÿ è èìïóëüñ ñîõðàíÿþòñÿ äëÿ êàæäîãî èç ðîæäåíèé îòîíîâ èç ÷àñòèö èëè èõ ïîãëîùåíèé ÷àñòèöàìè, òàê ÷òî åñëè

E¯1 , p¯1

¯ q¯ - ýíåðãèè è èìïóëüñû E¯2 , p¯2 ,E, ¯1 = E¯ + E¯2 , p¯1 = q¯ + p¯2 . ðåàêöèè, òî E

- ýíåðãèè è èìïóëüñû ÷àñòèö äî ðåàêöèè, à ÷àñòèö è îòîíîâ ñîîòâåòñòâåííî ïîñëå

Äëÿ ïåðåâîäà ýòèõ óñëîâèé íà ÿçûê êóáèòîâîãî îðìàëèçìà ìû äîëæíû ââåñòè îäíî ñîãëàøåíèå î çàïèñè íåñóùåñòâóþùèõ îòîíîâ: îíè äîëæíû èìåòü íóëåâóþ ýíåðãèþ è èìïóëüñ, ïîëÿðèçàöèÿ æå èõ ìîæåò áûòü ïðîèçâîëüíîé. Èòàê, ìû ââîäèì â áàçèñíûå ýëåìåíòû íàøåãî ïðîñòðàíñòâà âñå îòîíû: êàê ðåàëüíî ñóùåñòâóþùèå, òàê è åùå íå ðîæäåííûå â õîäå ðåàêöèè, ïîëàãàÿ ÷òî ýíåðãèÿ è èìïóëüñ ïîñëåäíèõ ðàâíû íóëþ. åàêöèÿ ðàññåÿíèÿ äîëæíà èìåòü âèä óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, ìàòðèöó êîòîðîãî ìû áóäåì, ñëåäóÿ òðàäèöèè ÊÝÄ, îáîçíà÷àòü ÷åðåç

S.

Ïîñêîëüêó ðàññåÿíèå çàäàåòñÿ â òåðìèíàõ ýíåðãèé è

èìïóëüñîâ, à íå êîîðäèíàò è âðåìåí, ìû ïåðåéäåì â áàçèñ èìïóëüñîâ è ýíåðãèé è

S - ìàòðèöó â òàêîì áàçèñå. Ïåðåõîä îò (¯ x, t¯) - ïðåäñòàâëåíèÿ ìàòðèöû ¯ ê (¯ p, E) - ïðåäñòàâëåíèþ çàäàåòñÿ ïðÿìûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè Ôóðüå ïî êàæäîé èç êîîðäèíàò x ¯ è îáðàòíûì - ïî êàæäîìó èç âðåìåí t¯. Îïåðàòîð S , êàê è âñÿêèé óíèòàðíûé îïåðàòîð ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå S = exp(iH) äëÿ íåêîòîðîãî ýðìèòîâà îïåðàòîðà H . Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðàññåÿíèå ïðîèñõîäèò íà êîðîòêîì îòðåçêå èçè÷åñêîãî âðåìåíè t: [t0 , t0 + ∆t], òàê ÷òî âñå âðåìåíà tj ëåæàò â ýòîì îòðåçêå. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû ìîæåì çàïèøåì

èñïîëüçîâàòü ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî

S = exp(iH) ≈ 1 + iH. Ìû îïèøåì ìàòðèöó

¯ - ïðåäñòàâëåíèè ìàòðèöà H H . Â (¯ p, E)

áóäåò èìåòü ñëåäó-

þùèé âèä.  ñòîëáöå, êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò ñîñòîÿíèþ ñ çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè ñ èìïóëüñàìè

p¯1

è ýíåðãèÿìè

E¯1 ,

íà ìåñòå, ñîîòâåòñòâóþùåì ñîñòîÿíèþ

p¯2 è ýíåðãèè E¯2 , à ñîîò¯ âåòñâóþùèå èì îòîíû èìåþò èìïóëüñû q ¯ è ýíåðãèè E ïðè óñëîâèè p¯1 = p¯2 + q¯, ¯ ¯ ¯ E1 = E2 + E , ñòîèò ÷èñëî λE¯1 ,E¯2 ,¯p1 ,¯p2 , ýëåìåíòû ìàòðèöû H , ñòîÿùèå íà ìåñòàõ, çàðÿæåííûõ ÷àñòèö ïðè êîòîðîì îíè èìåþò èìïóëüñû

ñèììåòðè÷íûõ îïèñàííûì îòíîñèòåëüíî ãëàâíîé äèàãîíàëè, ðàâíû ðåçóëüòàòàì êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ îïèñàííûì âûøå ýëåìåíòàì, à íà âñåõ ïðî÷èõ ìåñòàõ ñòîÿò íóëè.

4.8. ÔÎÌÀËÈÇÌ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÝËÅÊÒÎÄÈÍÀÌÈÊÈ Â ÊÓÁÈÒÎÂÎÉ ÔÎÌÅ115

àññìîòðèì ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ îïåðàòîðà

H

ê ñîñòîÿíèþ îäíîé çàðÿ-

æåííîé ÷àñòèöû. Ïóñòü åå íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå èìååò âèä

|Ψi =

X −

λ_ |x1 , t1 i

(4.37)

Òåïåðü ïåðåéäåì ê èìïóëüñíî-ýíåðãåòè÷å êîìó áàçèñó, è äîáàâèì àíöèëëó, èíè-

|¯0i: X

öèàëèçèðîâàííóþ ñîñòîÿíèåì

|Ψi −→

−,=

¯ ¯ ¯ λ_ ei(¯x1 p1 −t1 E1 |p¯1 , E¯1 i|¯0i

(4.38)

Ýòà àíöèëëà èçîáðàæàåò åùå íå âîçíèêøèé îòîí, àññîöèèðîâàííûé ñ äàííîé çàðÿæåííîé ÷àñòèöåé; ýòîò îòîí áóäåò ýìèòèðîâàí åþ íà ñëåäóþùåì øàãå. Òåïåðü ñîâåðøèì îïåðàòîð ýìèññèè îòîíà. Ýòî äàñò ñîñòîÿíèå:

¯

X

˜ 1 +E ˜2 =E¯1 −,=,˜,˜ p1 +˜ p2 =p¯1 ,E

¯ ¯

˜2 i λ− µ ˜ ei(¯x1 p¯1 −t1 E1 ) |˜ p1 , E˜1 , p˜2 , E

(4.39)

òåïåðü íàì íàäî ñíîâà âåðíóòüñÿ ê ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîìó áàçèñó:

¯

X

˜ 1 +E ˜2 =E¯1 ,X1 ,X2 ,T1 ,T2 −,=,˜,˜ p1 +˜ p2 =p¯1 ,E

¯ ¯

˜

˜

µ ˜ ei(¯x1 p¯1 −t1 E1 ) ei(X1 p˜1 +X2 p˜2 −T1 E1 −T2 E2 ) |X1 , X2 , T1 , T2 i (4.40)

˜2 = E¯1 − E˜1 , à çàòåì íàéäåì êîýèöèåíò ïðè Ïîäñòàâèì ñþäà p ˜2 = p¯1 − p˜1 , E èêñèðîâàííîì áàçèñíîì ñîñòîÿíèè |X1 , X2 , T1 , T2 i. Îí áóäåò ðàâåí X ¯ ¯ ˜ ¯ λ− µ ˜ ei(p1 (¯x1 −X2 ))+i(˜p1 (X2 −X1 ))+i(E1 (t1 −T2 )+E1 (T2 −T1 )) . (4.41) −,=,˜

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êîýèöèåíòû ïðè áàçèñíûõ ñîñòîÿíèÿõ, ó êîòîðûõ

ñèëüíî îòëè÷àåòñÿ îò

X1 ,

èëè

X1

îò

X2 ,

èëè

t¯1

îò

T2 ,

èëè

T2

îò

T1 ,

x¯1

áëèçêè ê

íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä: ïðè ýìèññèè îòîíà ïîëó÷àåòñÿ ñîñòîÿíèå, ó êîòîðîãî âî âñåõ ñëàãàåìûõ âðåìÿ îòîíà è çàðÿæåííîé ÷àñòèöû îäíî è òî æå. àññìîòðèì áàçèñíîå ñîñòîÿíèå â êîîðäèíàòíî-âðåìåííîì áàçèñå

|x, ti,

äî-

áàâèì ê íåìó àíöèëëó, èíèöèàëèçèðîâàííóþ íóëÿìè, è ïðèìåíèì ê ýòîìó ñîñòîÿíèþ íàø îïåðàòîð

H,

à çàòåì âåðíåìñÿ îïÿòü ê êîîðäèíàòíî-âðåìåííîìó

áàçèñó:

P eipx−iEt|p, Ei −→ eipx−iEt(p1 + p) · ǫ|p1 , E1 , q, Eq , ǫi −→ p,E p,E,p1 +q=p,E1 +Eq =E P eipx−iEt(p1 + p) · ǫe−ip1 x1 −iqxq +iE1 t1 +iEq tq |x, xq , t1 , tq , ǫi = p,E,p1+q=p,E1 +Eq =E,x1 ,xq ,t1 ,tq P eipx−iEt(p1 + p)·

|x, ti =

P

p,E,p1+q=p,E1 +Eq =E,x,∆x1,t1 ,∆t −ip1 x1 −iq(x1 +∆x)+iE1 t1 +iEq (t1 +∆t)

·ǫe =

P

|x1 , x1 + ∆x, t1 , t1 + ip(x−x1 )−iq∆x e (p1 + p)·

p,E,p1 +q=p,E1 +Eq =E,x,∆x1,t1 ,∆t ·ǫeiE(t1 −t)+iEq ∆t |x1 , x1 + ∆x, t1 , t1

∆t, ǫi =

+ ∆t, ǫi (4.42)

116

ËÀÂÀ 4.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

Òåïåðü ìû óáåæäàåìñÿ íåïîñðåäñòâåííî, ÷òî êîýèöèåíòû ïðè òàêèõ áàçèñ-

x 6= x1 , t 6= t1 , ∆t 6= 0, ∆x 6= 0, áëèçêè ê íóëþ äëÿ ëþáîãî âåêòîðà ïîëÿðèçàöèè ǫ ∈ R4 . Ýòî âûíûõ ñîñòîÿíèÿõ, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ îäíî èç íåðàâåíñòâ

òåêàåò èç òîãî, ÷òî òàêèå êîýèöèåíòû ðàâíû ëèíåéíûì êîìáèíàöèÿì äåëüòà óíêöèé Äèðàêà

δx−x1 , δt−t1 , δ∆t , δ∆x

è èõ ïðîèçâîäíûõ. Áëèçîñòü ê íóëþ âìå-

ñòî òî÷íîãî ðàâåíñòâà âîçíèêàåò èç-çà äèñêðåòèçàöèè çàäà÷è ïðè ïåðåõîäå ê êóáèòîâîìó ïðåäñòàâëåíèþ. Èç ýòîãî ìîæíî ñäåëàòü ãëàâíûé âûâîä: óíäàìåíòàëüíûå âçàèìîäåéñòâèÿ ÊÝÄ íîñÿò ëîêàëüíûé õàðàêòåð â òîì ñìûñëå, ÷òî ïðîèñõîäÿò òîëüêî â òîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè, â êîòîðîé íàõîäèòñÿ èñõîäíàÿ çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà. Ýòîò âûâîä íå ÿâëÿåòñÿ òðèâèàëüíûì, ïîñêîëüêó â ñòàíäàðòíîì îðìàëèçìå âîëíîâûõ óíêöèé ñóùåñòâóþò óíèòàðíûå îïåðàòîðû, äëÿ êîòîðûõ â êîíå÷íîé ñóììå ñîäåðæàëèñü áû ñëàãàåìûå ñ

∆x

îòëè÷íî îò

0

x 6= x1

èëè

t 6= t1 ,

èëè îäíî èç

∆t,

è òîãäà âçàèìîäåéñòâèå íå áûëî áû ëîêàëüíûì. Ëîêàëüíîñòü

âçàèìîäåéñòâèÿ çíà÷èò, ÷òî â åãî ðåçóëüòàòå ìû èìååì òîëüêî òàêîå ñîñòîÿíèå, ïðè êîòîðîì ïîëîæåíèå èñõîäíîé çàðÿæåííîé ÷àñòèöû íå ìåíÿåòñÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâîíà÷àëüíûì:

x = x1 , t = t1

è îòîí "íàõîäèòñÿ"â òîé æå

òî÷êå. Åñëè áû ðàâåíñòâà íóëþ áûëè ñòðîãèå, ìû áû âîîáùå ïîëó÷èëè, ÷òî îïåðàòîð

H

ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì. Çäåñü ìîæíî, êîíå÷íî, ïîñòóëèðîâàòü,

÷òî óíäàìåíòàëüíûå âçàèìîäåéñòâèÿ ÊÝÄ íóæíî âñåãäà çàïèñûâàòü òîëüêî â èìïóëüñíî-ýíåðãåòè÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèè, è òîãäà ìû ñìîæåì íàïèñàòü çàêîí îáðàçîâàíèÿ ìàòðèöû

H

è ðàáîòàòü ñ íåþ, îïåðèðóÿ ðåàëüíî íå ñ íåé ñàìîé,

à ñ ýòèì çàêîíîì. Ýòî ñîãëàøåíèå áóäåò äîïóñòèìûì è â ðàìêàõ êîíñòðóêòèâíîé èçèêè - íî - òîëüêî äëÿ îäíîé çàðÿæåííîé ÷àñòèöû, âçàèìîäåéñòâóþùåé ñ ñîçäàííûì åþ ïîëåì. Ýòîò ñëó÷àé è ðàññìàòðèâàåòñÿ â ÊÝÄ (ñì. [14℄). Çäåñü ìîæíî èçáåæàòü ðàñõîäèìîñòè ðÿäîâ, ââîäÿ ïåðåíîðìèðîâêè çàðÿäîâ è ìàññ â çàâèñèìîñòè îò îêðóæåíèÿ, è òîãäà ìîæíî äîñ÷èòûâàòü ìàëî÷àñòè÷íûå çàäà÷è äî êîíöà, ïîëó÷àÿ, íàïðèìåð, çíà÷åíèå ìàãíèòíîãî ìîìíåòà ýëåêòðîíà èëè ïîïðàâêó ê ýíåðãèè ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé â àòîìàõ, âîçíèêàþùóþ èç-çà êîíå÷íîé ñêîðîñòè âåêòîðíûõ îòîíîâ. Îäíàêî ñèòóàöèÿ ïðèíöèïèàëüíî ìåíÿåòñÿ, åñëè ìû õîòèì ðàçâèâàòü ÊÝÄ â ìíîãî÷àñòè÷íîé îáëàñòè. Çäåñü âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ðàáîòàòü ñ ñîñòîÿíèÿìè, â êîòîðûõ ó êàæäîé ÷àñòèöû ñâîå âðåìÿ:

|x1 , x2 , . . . ; t1 , t2 , . . .i.

Íî ýòî

ÿâëÿåòñÿ ïðåîäîëèìûì ïðåïÿòñòâèåì. Íàñòîÿùàÿ ïðîáëåìà âîçíèêàåò èç-çà òîãî, ÷òî çàïèñü îïåðàòîðà

H

â ÊÝÄ îêàçûâàåòñÿ çàâèñèìîé îò âûáðàííîé âå-

ëè÷èíû ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîãî ðàçðåøåíèÿ. Ìû âèäåëè, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå îïåðàòîðà

H

â êóáèòîâîé îðìå íå ïðîñòî îïðåäåëÿåò åãî òî÷íîñòü, êàê

ýòî èìååò ìåñòî äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, à àêòè÷åñêè çàäàåò åãî äåéñòâèå ïðè âûáîðå ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîãî áàçèñà â êîíèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå. Ýòî äåëàåò âîïðîñ î âûáîðå áàçèñà ïðåäñòàâëåíèÿ ïðèíöèïèàëüíûì äëÿ âû÷èñëåíèé, ÷òî çàêðûâàåò íàì âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü êóáèòîâîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ ÊÝÄ, à âìåñòå ñ íèì - è âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ êîìïüþòåðîâ

4.8. ÔÎÌÀËÈÇÌ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÝËÅÊÒÎÄÈÍÀÌÈÊÈ Â ÊÓÁÈÒÎÂÎÉ ÔÎÌÅ117

9

ïðè ðàñ÷åòàõ êâàíòîâûõ ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì . Ïîëîæåíèå íå ñïàñàåò è ãèïîòåòè÷åñêèé ìàñøòàáèðóåìûé êâàíòîâûé êîìïüþòåð, òàê êàê ëþáîå åãî ïðèìåíåíèå ê ìîäåëèðîâàíèþ êâàíòîâîé èçèêè íà÷èíàåòñÿ ñ âûáîðà äèñêðåòèçàöèè, òî åñòü ïðåäïîëàãàåò êóáèòîâîå ïðåäñòàâëåíèå âîëíîâûõ óíêöèé.

4.8.1 åçþìå ñòàíäàðòíîãî îðìàëèçìà ÊÝÄ Êâàíòîâàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà ÿâëÿåòñÿ ÿäðîì âñåé êâàíòîâîé òåîðèè. Èìåííî îíà äàåò âîçìîæíîñòü ïðèõîäèòü ê ÷èñëåííûì ðåçóëüòàòàì, ÷òî ñîñòàâëÿåò êðèòåðèé óñïåõà äëÿ ëþáîé èçè÷åñêîé òåîðèè. Ìû, îäíàêî, ðàññìàòðèâàåì íå èçè÷åñêóþ òåîðèþ öåëèêîì, à åå ìàòåìàòè÷åñêèé îðìàëèçì, íà ïðåäìåò òåõ âîçìîæíîñòåé, êîòîðûå îí äàåò. À èìåííî, íàñ èíòåðåñóåò âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ ýòîãî îðìàëèçìà ê àíàëèçó äèíàìèêè ñëîæíûõ, òî åñòü ìíîãî ÷àñòè÷íûõ ñèñòåì. Èçó÷åíèå òàêèõ ñèñòåì â ëþáîì ñëó÷àå ïðåäïîëàãàåò ïðèìåíåíèå âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí, äëÿ ÷åãî íåîáõîäèìî ïðåäñòàâëåíèå ÊÝÄ â êóáèòîâîé îðìå. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ýòî ñîâåðøåííî íå çàâèñèò îò òîãî, êàêóþ ñòåïåíü ìàñøòàáèðîâàíèÿ èìååò êâàíòîâûé êîìïüþòåð: â ëþáîì ñëó÷àå êóáèòîâîå ïðåäñòàâëåíèå, òî åñòü äèñêðåòèçàöèÿ íåîáõîäèìà. Îäíàêî îðìàëèçì âîëíîâûõ óíêöèé â ÊÝÄ, êàê ìû âèäåëè, íå äîïóñêàåò êóáèòîâîé ðåàëèçàöèè â ïîëíîì îáúåìå, òàê êàê îñíîâíîé îïåðàòîð - ýìèññèÿàáñîðáöèÿ îòîíà çàðÿæåííîé ÷àñòèöåé, ìîæåò áûòü ðàññìîòðåí íåçàâèñèìûì îò øàãà äèñêðåòèçàöèè îáðàçîì òîëüêî â èìïóëüñíî-ýíåðãåòè÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèè. Åñëè æå ïåðåéòè ê ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîìó áàçèñó â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé, ìû ñðàçó ïîëó÷èì çàâèñèìîñòü îñíîâíîãî îïåðàòîðà îò íàøåãî êóáèòîâîãî ïðåäñòàâëåíèÿ, òî åñòü ïî ñóùåñòâó - îò âûáðàííîé âåëè÷èíû ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîãî ðàçðåøåíèÿ. Ýòî è ÿâëÿåòñÿ ãëàâíîé ïðîáëåìîé îðìàëèçìà ÊÝÄ. Åùå îäíà îñîáåííîñòü îðìàëèçìà ÊÝÄ ñîñòîèò â òîì, ÷òî àìïëèòóäû ïðîöåññîâ, ñîäåðæàùèõ áîëüøå îäíîãî îòîíà, íàïðèìåð, èçîáðàæåííîãî íà äèàãðàììå, íåëüçÿ ïîñ÷èòàòü â ðàìêàõ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà - òàì ïîëó÷àåòñÿ ðàñõîäÿùèéñÿ ðÿä. Èíûìè ñëîâàìè, çíà÷åíèå ýòîé àìïëèòóäû (ýòî îäèí èç ýëåìåíòîâ ìàòðèöû îñíîâíîãî ïðîöåññà) çàâèñèò îò âåëè÷èíû çåðíà ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî íåîáõîäèìîñòü äîñ÷èòûâàòü äî ÷èñëà âåäåò ê èçîáðåòåíèþ ÷àñòíûõ ïðèåìîâ ÊÝÄ, âðîäå ñïåöèàëüíî ïîäîáðàííûõ ìåòîäîâ ñóììèðîâàíèÿ äèàãðàìì, à òàêæå èçìåíåíèþ çàðÿäà è ìàññû ÷àñòèöû â çàâèñèìîñòè îò åå îêðóæåíèÿ, íàçûâàåìîé ïåðåíîðìèðîâêîé. Ýòè ïðèåìû, ðàçóìååòñÿ, íåëüçÿ ñ÷èòàòü ÷àñòüþ ìàòåìàòè÷åñêîãî îðìàëèçìà ÊÝÄ, î êîòîðîì ìû âåäåì ðå÷ü.  îðìàëèçìå êâàíòîâîé òåîðèè ýòè ïðèåìû íå èìåþò íèêàêîãî ñåðüåçíîãî ñòàòóñà. Òåì íå ìåíåå èìåííî â ìåòîäå ïåðåíîðìèðîâîê è â ïðèíöèïàõ ñóììèðîâàíèÿ äèàãðàìì Ôåéíìàíà çàêëþ÷åíà ãëàâíàÿ öåííîñòü ÊÝÄ, 9 Èñïîëüçîâàíèå

êîìïüþòåðà èìååò ñìûñë òîëüêî òîãäà, êîãäà ñ åãî ïîìîùüþ ìîæíî ïðîñëåäèòü âåñü îáúåì ðó÷íîãî ñ÷åòà. Åñëè âîïðîñ î âûáîðå áàçèñà íà÷èíàåò çàâèñåòü îò ïîëüçîâàòåëÿ â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè, òî êîìïüþòåðèçàöèÿ ñòàíîâèòñÿ ìàëîðåàëüíîé.

118

ËÀÂÀ 4.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

èáî ýòè ïðèåìû òîëüêî è ïîçâîëÿþò íàõîäèòü ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ èçè÷åñêèõ

10

âåëè÷èí ñ ïîðàæàþùåé âîîáðàæåíèå òî÷íîñòüþ !

Âñå îñòàëüíîå ÿâëÿåòñÿ ðó-

òèííûì ñ÷åòîì, äëÿ êîòîðîãî ìîæíî ïðèìåíÿòü ñòàíäàðòíûå êîìïüþòåðíûå ïðîãðàììû. Òàêîå ïîëîæåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðèçíàêîì ñåðüåçíîãî èçúÿíà ìàòåìàòè÷åñêîãî îðìàëèçìà ÊÝÄ, è âñåé êâàíòîâîé òåîðèè. Îòñóòñòâèå öåëüíîãî îðìàëüíîãî àïïàðàòà äëÿ íàèáîëåå ýåêòèâíîé èç èçè÷åñêèõ òåîðèé

11

ÿâëÿåòñÿ âåðíûì

ïðèçíàêîì ïðîáåëîâ â íàøèõ çíàíèÿõ î ìèêðîìèðå. È åñëè ýòè ïðîáåëû ìîæíî, â êàêîé-òî ñòåïåíè îáîéòè äëÿ ïðîñòûõ çàäà÷ (íàïðèìåð, ïîñ÷èòàâ ëýìáîâñêèé ñäâèã óðîâíåé ýíåðãèè äëÿ àòîìîâ), òî äëÿ áîëåå ñëîæíûõ çàäà÷, íàïðèìåð, äëÿ çàäà÷ îïèñàíèÿ õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé, ýòè ïðîáåëû îêàçûâàþòñÿ àòàëüíûìè. Èòàê, ìû ìîæåì ñäåëàòü ãëàâíûé âûâîä:

Ïðîáëåìà ìàñøòàáèðîâàíèÿ ÊÝÄ ëåæèò â îáëàñòè åå ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà, è åå ðåøåíèå âîçìîæíî òîëüêî íà ïóòÿõ ìîäèèêàöèè ýòîãî àïïàðàòà.  äàëüíåéøåì ìû óâèäèì, ÷òî êîíñòðóêòèâíàÿ ìàòåìàòèêà ïðåäîñòàâëÿåò íàì èìåííî òîò îðìàëüíûé àïïàðàò, êîòîðûé íåîáõîäèì äëÿ ýòîãî.

4.8.2 Ìîäåëèðîâàíèå êâàíòîâûõ ñèñòåì Òåïåðü îáðàòèìñÿ ê çàäà÷å êâàíòîâîãî ìîäåëèðîâàíèÿ èçè÷åñêèõ ñèñòåì. Ýòî êàê ðàç è åñòü òà çàäà÷à, êîòîðóþ èìåë â âèäó .Ôåéíìàí, âûäâèãàÿ èäåþ êâàí-

12

òîâîãî êîìïüþòåðà.

Ñîñòîÿíèå ìíîãî÷àñòè÷íîé ñèñòåìû ìîæåò áûòü îïèñàíî

íàáîðîì ÷èñåë, âûðàæàþùèõ çíà÷åíèå èçè÷åñêèõ âåëè÷èí, òàêèõ êàê ìàññû, êîîðäèíàòû, ñêîðîñòè, âðåìÿ è ò.ä. Ýòè ÷èñëà (â îòëè÷èå îò àìïëèòóä) âåùåñòâåííûå. Áîëåå òîãî, ïðè íàäëåæàùåì îãðàíè÷åíèè îáëàñòè ðàññìîòðåíèÿ è ðàçðåøèìîñòè èçìåðÿþùåãî ïðèáîðà ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âñå îíè ïðåäñòàâëÿl þòñÿ â âèäå n , ãäå n ðàçóìíîé âåëè÷èíû ÷èñëî. Òîãäà áàçèñíîå ñîñòîÿíèå ðàñ2 ñìàòðèâàåìîé ìíîãî÷àñòè÷íîé ñèñòåìû ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê áàçèñíûé æå âåêòîð â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé êâàíòîâîé ïàìÿòè èç

n êóáèò. Ñîîòâåòñòâåííî,

ëèíåéíîé êîìáèíàöèè áàçèñíûõ ñîñòîÿíèé èçó÷àåìîé ñèñòåìû áóäåò îòâå÷àòü ñîñòîÿíèå êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà ñ òî÷íî òàêèìè æå àìïëèòóäàìè. Êóáèòû íàøåãî êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà äëÿ ìîäåëèðóåìîé ñèñòåìû íîñÿò âèðòóàëüíûé õàðàêòåð, ò.å. ìû íå ìîæåì ïðèïèñàòü èì íèêàêîãî åñòåñòâåííîãî èçè÷åñêîãî ñìûñëà. Îäíàêî â íàøåì êâàíòîâîì êîìïüþòåðå, êîòîðûé áóäåò ìîäåëèðîâàòü èçó÷àåìóþ ñèñòåìó, ýòî ðåàëüíûå, "èçè÷åñêèå"êóáèòû. Òàêîé ïîäõîä ê îïèñàíèþ èçè÷åñêèõ ñèñòåì ìîæíî íàçâàòü "êóáèòîâûì". Ìû óâèäèì, ÷òî òàêîé ïîäõîä ê îïèñàíèþ èçèêè ïðèíöèïèàëüíî áîëåå ýåêòèâåí, ÷åì òðàäèöèîí10 Ïðèìåðîì

ìîæåò ñëóæèòü íàõîæäåíèå ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ýëåêòðîíà. îáðàçöó ÊÝÄ ñòðîèòñÿ òåîðèÿ ÿäåðíûõ ñèë è äåëàþòñÿ ïîïûòêè ïîñòðîèòü êâàíòîâóþ òåîðèþ ãðàâèòàöèè. 12 Âûøå ìû óæå âèäåëè óíèâåðñàëüíîñòü ñîñòîÿíèé êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà â ìíîãî÷àñòè÷íîé îáëàñòè. 11 Ïî

4.8. ÔÎÌÀËÈÇÌ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÝËÅÊÒÎÄÈÍÀÌÈÊÈ Â ÊÓÁÈÒÎÂÎÉ ÔÎÌÅ119

íûé "áèòîâûé"ïîäõîä, èñïîëüçóåìûé ïðè ÷èñëåííîì ìîäåëèðîâàíèè ìíîãî÷àñòè÷íûõ ïðîöåññîâ íà êëàññè÷åñêèõ êîìïüþòåðàõ. Äëÿ ýòîãî ïîïðîáóåì ðåøèòü íà êâàíòîâîì êîìïüþòåðå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà. Çäåñü ñíîâà êëþ÷åâóþ ðîëü áóäåò èãðàòü áûñòðîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, íî èñïîëüçîâàòüñÿ áóäåò íåìíîãî èíîå åãî ñâîéñòâî, ÷åì ðàíüøå. Ýòî ñâîéñòâî ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïåðåâîäèò îïåðàöèþ äèåðåíöèðîâàíèÿ â îïåðàöèþ óìíîæåíèÿ íà íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ ñ ìíèìûì êîýèöèåíòîì. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ïðèìåíèòü åãî ê âîëíîâîé óíêöèè, ïîëó÷èòñÿ, ÷òî îïåðàòîð äâîéíîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ, âõîäÿùèé â àìèëüòîíèàí, ïðåâðàòèòñÿ äëÿ Ôóðüå-îáðàçà âîëíîâîé óíêöèè â îïåðàòîð óìíîæåíèÿ íà êâàäðàò íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé ýòîãî Ôóðüå-îáðàçà ñ íåêèì êîýèöèåíòîì, à ýòà ïåðåìåííàÿ åñòü íå ÷òî èíîå êàê èìïóëüñ. Ýòà èäåÿ, õîðîøî èçâåñòíàÿ èçèêàì, âðó÷íóþ ðåøàþùèì âîëíîâîå óðàâíåíèå, âåëèêîëåïíî ðàáîòàåò è äëÿ êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà. Íàäî ëèøü óáåäèòüñÿ, ÷òî êâàíòîâîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îáëàäàåò àíàëîãè÷íûì ñâîéñòâîì, ñâÿçàííûì ñ îïåðàöèåé äèåðåíöèðîâàíèÿ (äëÿ íàøåãî êâàíòîâîãî ñèìóëÿòîðà ðîëü äèåðåíöèðîâàíèÿ áóäåò èãðàòü ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîíå÷íàÿ ðàçíîñòü). Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî QFT ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåíèåì îïåðàòîðà íàñòîÿùåãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïðè ïåðåõîäå ê êóáèòîâîìó ïðåäñòàâëåíèþ âîëíîâîé óíêöèè. Âîçìîæíîñòü ðåàëèçàöèè íà êâàíòîâîì êîìïüþòåðå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïîêàçàíà â Ïðèëîæåíèè. Íàøåé öåëüþ áóäåò ïîëó÷åíèå ñîñòîÿíèÿ íàøåãî êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà, ñîîòâåòñòâóþùåãî ñîñòîÿíèþ èçó÷àåìîé ñèñòåìû â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè

t.

Íàì íóæíî ñ ïîìîùüþ ðàáî÷èõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðèáëèçèòü äåéñòâèå îïåðàp2 e−iHt/h íà âîëíîâóþ óíêöèþ ψ0 , ãäå H = Hp + Hq , Hp = 2m , h ∂ Hq = V (q), p = i ∂q è ïîòåíöèàë V (q) åñòü âåùåñòâåííàÿ óíêöèÿ. Äëÿ ïðîñòîòû âîçüìåì âðåìÿ t ðàâíûì åäèíèöå. åàëèçîâàòü íà êâàíòîâîì êîìïüþòåðå iH äåéñòâèå Hq ïðîñòî. Ïîñêîëüêó ìàòðèöà ýòîãî îïåðàòîðà (à çíà÷èò è e q ) äèàòîðà ýâîëþöèè

ãîíàëüíà, äëÿ ýòîãî íàäî âñåãî ëèøü èçìåíèòü àçû â çàâèñèìîñòè îò âèäà áàçèñíûõ ñîñòîÿíèé, - à ýòî äåëàåòñÿ ïðèìåðíî òàê æå, êàê èíâåðñèÿ íóëåâîãî ñîñòîÿíèÿ â àëãîðèòìå ðîâåðà. Îäíàêî ñî âòîðûì ñëàãàåìûì àìèëüòîíèàíà ýòî íå ïðîéäåò. Òðóäíîñòü çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îïåðàòîð

Hp

íå áóäåò äèàãî-

íàëüíûì â âûáðàííîì íàìè "êîîðäèíàòíîì"áàçèñå. Îäíàêî ìû óæå çíàåì, êàê ñâåñòè äåëî ê ïðîñòîìó äèàãîíàëüíîìó ñëó÷àþ: íàäî ïåðåéòè ê èìïóëüñíîìó áàçèñó, èíûìè ñëîâàìè, ñîâåðøèòü ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå - à ýòî ó íàñ î÷åíü õîðîøî ïîëó÷àåòñÿ. Äëÿ ýòîãî âûáåðåì ìàëåíüêèé èíòåðâàë âðåìåíè

∆t

ïðåä-

ñòàâèì ïðèáëèæåííî íàø ýâîëþöèîííûé îïåðàòîð ÷åðåç îðìóëó Òðîòòåðà:

e−iH ≈ (e−iHq ∆t e−iHp ∆t )1/∆t .

(4.43)

 ñïðàâåäëèâîñòè ýòîé îðìóëû ëåãêî óáåäèòüñÿ, ðàñêëàäûâàÿ ýêñïîíåíòó â

Hq èìååò äèàãîíàëüíûé âèä. R +∞ −ipq Ïðèìåíÿÿ êâàíòîâîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå: QFT : f −→ e f (q) dq è åãî −∞ ñâîéñòâî ïåðåâîäèòü äèåðåíöèðîâàíèå ∂/∂ q â óìíîæåíèå íà ip, ìû ìîæåì 2 −iHp ïðåäñòàâèòü äåéñòâèå èìïóëüñíîé ÷àñòè îïåðàòîðà êàê e = FT−1 e−ip ∆t/2m FT, ðÿä. Ìû âûáðàëè "êîîðäèíàòíûé"áàçèñ, òàê ÷òî

120

ËÀÂÀ 4.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

ãäå ñðåäíèé îïåðàòîð èìååò äèàãîíàëüíûé âèä. Òåïåðü ïîñëåäîâàòåëüíûå ïðè2 ìåíåíèÿ QFT è àçîâîãî ñäâèãà íà −p /2m ïðè ðåàëèçàöèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

(4.43) äàþò òðåáóåìîå ïðèáëèæåíèå.

Ïðèìåíåííîå â äàííîì ìåòîäå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî êàæäîé èç êîîðäèíàò îòäåëüíî, è åñëè ó íàñ íåñêîëüêî ÷àñòèö - òî ïî êàæäîé èç êîîðäèíàò êàæäîé ÷àñòèöû îòäåëüíî. Íåêîòîðóþ ñîâåðøåííî òåõíè÷åñêóþ ïðîáëåìó ïðåäñòàâëÿåò ðåàëèçàöèÿ íà êâàíòîâîì êîìïüþòåðå óíèòàðíîãî −iHq îïåðàòîðà e , ñîîòâåòñòâóþùåãî ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè. Åñëè ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïðîñòî ðàâíà

p,

òî ðåàëèçàöèÿ òàêîãî äèàãîíàëüíîãî îïåðàòîðà

ìîæåò áûòü ñäåëàíà, åñëè ìû ïðîñòî ñîâåðøàåì ïîñëåäîâàòåëüíûå ïîâîðîòû iφ àçû âèäà |0i −→ |0i, |1i −→ e |1i, â çàâèñèìîñòè îò ìåñòà î÷åðåäíîãî êó-

áèòà â ðåãèñòðå, ñîäåðæàùåì çíà÷åíèå êîîðäèíàòû.  ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî âèäà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè, ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî åå ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä Òåéëîðà ñ êîýèöèåíòàìè, êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùü äîñòàòî÷íî áûñòðîãî àëãîðèòìà. Íàïðèìåð, åñëè ýòîò ïîòåíöèàë ïîëó÷àåòñÿ êàê ñóììà êóëîíîâñêèõ ïîòåíöèàëîâ îò

n

ðàçíûõ ÷àñòèö, òî òàêîé àëãîðèòì áóäåò èìåòü

ñëîæíîñòü ëèíåéíóþ â çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà

n ïðè óñëîâèè, ÷òî êîîðäèíàòû ÷à-

ñòèö òàêæå âûäàþòñÿ íåêîòîðûì èêñèðîâàííûì àëãîðèòìîì (êîòîðûé ìîæíî −ihHq ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðàññìàòðèâàòü êàê îðàêóë). Òîãäà îïåðàòîð e ñõåìû êâàíòîâûõ âåíòèëåé (quantum gate array) ðàçìåðà, ëèíåéíî çàâèñÿùåãî îò

n.

Ñëîæíîñòü äàííîãî ìåòîäà â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè t ðåàëüíîé èçè÷å2 ñêîé ñèñòåìû áóäåò O(t ). Ýòî íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî òî÷íîñòü îðìóëû Òðîòòåðà èìååò âòîðîé ïîðÿäîê, ïîñêîëüêó îíà âûòåêàåò èç òåéëîðîâñêîãî ðàçëîæåíèÿ ýêñïîíåíòû äî ïåðâîãî ÷ëåíà. Ìîæíî ïîíèçèòü ñëîæíîñòü äî 1+ǫ çíåà÷åíèÿ O(t ) äëÿ ëþáîãî ǫ > 0, åñëè âìåñòî îðìóëû Òðîòòåðà èñïîëüçîâàòü òåéëîðîâñêîå ðàçëîæåíèå áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ (ñì. [39℄). Çàìåòèì òàêæå, ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ìîæíî ïðîèçâîäèòü ìîäåëèðîâàíèå óíèòàðíîé êâàíòîâîé äèíàìèêè ñèñòåìû äâèæóùèõñÿ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö â íåðåëÿðèâèñòñêîì ïðèáëèæåíèè, ñ ó÷åòîì ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ âåêòîðíûì ïîòåíöèàëîì A. Äëÿ ýòîãî íàäî çàìåíèòü îïåðàòîð èìïóëüñà p ëþáîé ÷àe ñòèöû íà p − A, ãäå e åå çàðÿä, c - ñêîðîñòü ñâåòà. Ïðîñëåäèâ âûøåèçëîæåííûå c ðàññóæäåíèÿ, ìû óâèäèì, ÷òî ýòî íèêàê íå îòðàçèòñÿ íà êîíå÷íîì ðåçóëüòàòå. Îòìåòèì, ÷òî ýòî íå ÿâëÿåòñÿ ðàññìîòðåíèåì êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè, à ëèøü íåðåëÿòèâèñòñêèì ïðèáëèæåíèåì, äëÿ êîòîðîãî ìîæíî ó÷åñòü ýåêòû ïîëÿ, ââîäÿ óêàçàííóþ ïîïðàâêó â ãèìèëüòîíèàí. Òî åñòü çäåñü ìû ñ÷èòàåì ïîëå êëàññè÷åñêèì, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ îçíà÷àåò, ÷òî åãî ìîæíî âêëþ÷èòü â ãàìèëüòîíèàí â âèäå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè èëè äîáàâêè ê íåé, èëè â âèäå óêàçàííîé äîáàâêè ê èìïóëüñó. Âîîáùå ãîâîðÿ, â ñèñòåìå ìíîãèõ ÷àñòèö ïîëå òàêæå ÿâëÿåòñÿ êâàíòîâûì, òî åñòü ðàñïàäàåòñÿ íà îòîíû, è ìîæíî áûëî áû ãîâîðèòü îá èñòîðèè êàæäîãî èç îòîíîâ. Äîêàçàòåëüñòâî âîçìîæíîñòè ðàññìîòðåíèÿ ïîëÿ ìíîãèõ ÷àñòèö êàê êëàññè÷åñêîãî ÿâëÿåòñÿ âàæíåéøèì äîñòèæåíèåì ìíîãî÷àñòè÷íîãî ãèëüáåðòîâà îðìàëèçìà; ìû ïðèâåäåì åãî çäåñü ïî

4.8. ÔÎÌÀËÈÇÌ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÝËÅÊÒÎÄÈÍÀÌÈÊÈ Â ÊÓÁÈÒÎÂÎÉ ÔÎÌÅ121

êíèãå [14℄. Èòàê, ïðåäïîëîæèì, ÷òî îäèí ýëåêòðîí èñïóñêàåò îòîí è ýòîò îòîí ïîãëîùàåòñÿ äðóãèì ýëåêòðîíîì (âìåñòî ýëåêòðîíîâ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü àòîìû, èëè àòîìíûå èîíû). Ïðè èñïóñêàíèè îòîíà èñïóñòèâøèé åãî ýëåêòðîí èñïûòûâàåò îòäà÷ó (íàïðèìåð, ó íåãî ìîæåò ïîìåíÿòüñÿ ñïèí). Ýòî çíà÷èò, ÷òî ñèñòåìà, ñîçäàþùàÿ ïîëå (ïåðâûé ýëåêòðîí) ìåíÿåòñÿ è èñïóñêàíèå ñëåäóþùåãî îòîíà áóäåò óæå â äðóãèõ óñëîâèÿõ. Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ïîëå - êâàíòîâîå, ðàçíûå îòîíû ìîæíî ðàçëè÷èòü, òàê êàê ñîñòîÿíèå ïåðâîãî ýëåêòðîíà ó íèõ áóäåò ðàçíûì. Òîãäà ìû äîëæíû ñêëàäûâàòü âåðîÿòíîñòè èñïóñêàíèÿ ïåðâîãî îòîíà, âòîðîãî, è ò.ä., äëÿ ïîëó÷åíèÿ âåðîÿòíîñòè èñïóñêàíèÿ íåñêîëüêèõ 2 îòîíîâ. Ñóììàðíàÿ âåðîÿòíîñòü áóäåò ðàâíà n|α| ãäå α åñòü àìïëèòóäà èñïóñêàíèÿ îäíîãî îòîíà (ïóñòü, äëÿ ïðîñòîòû îíà áóäåò äëÿ âñåõ ñëó÷àåâ îäíà è òà æå), öèàëå

A

n

÷èñëî îòîíîâ. Ìû òîãäà íå ñìîæåì ãîâîðèòü î âåêòîðíîì ïîòåí-

ïîëÿ. Ïîëå áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé îòäåëüíûå îòîíû. Èõ ìîæíî

ðàçëè÷èòü, èçìåðÿÿ ñîñòîÿíèå ïåðâîãî ýëåêòðîíà, êîòîðûé èõ èñïóñòèë. Òåïåðü ðàññìîòðèì äðóãóþ ñèòóàöèþ. Ïóñòü ó íàñ åñòü íå îäèí åäèíñòâåííûé ýëåêòðîí èëè àòîì, à öåëûé êóñîê ìàòåðèàëà. Òîãäà ïðè èçëó÷åíèè îòîíà îäíèì èç àòîìîâ ïîëó÷åííàÿ èì îòäà÷à áóäåò ïåðåðàñïðåäåëÿòüñÿ íà âåñü ýòîò êóñîê, è ìû íå ñìîæåì îïðåäåëèòü, êàêîé èç àòîìîâ èçìåíèë ñâîå ñîñòîÿíèå ! Òî åñòü â ýòîì ñëó÷àå ìû äîëæíû óæå ñêëàäûâàòü íå âåðîÿòíîñòè, à àìïëèòóäû, ïîñêîëüêó âåñü êóñîê âåäåò ñåáÿ êàê åäèíîå öåëîå (ñì. íèæå, â ÷àñòè, ïîñâÿùåííîé ñåòÿì ýêçåìïëÿðîâ). Ïðè ñëîæåíèè àìïëèòóä èõ àçû áóäóò áëèçêèìè, èç-çà òîãî, ÷òî ìû íå ìîæåì âûäåëèòü àòîì, èçëó÷èâøèé îòîí (ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ðåãèñòðèðóåòñÿ îïðåäåëåííûé îòîí ñ çàäàííûì èìïóëüñîì è ïîëÿðèçàöèåé). Ïðè òàêîì ñëîæåíèè ìû ïîëó÷èì àì2 2 ïëèòóäó nα, è ñëåäîâàòåëüíî, âåðîÿòíîñòü n |α| ÷òî â n ðàç ïðåâîñõîäèò âå-

ðîÿòíîñòü èñïóñêàíèÿ îòîíà â ñëó÷àå ðàçëè÷èìûõ èñïóñêàíèé. Åñëè îòîíû íåëüçÿ ðàçëè÷èòü, ýòî è äàåò îñíîâàíèÿ ãîâîðèòü î âåêòîðíîì ïîòåíöèàëå, êîòîðûé ïîëó÷àåòñÿ êàê ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ âîëíîâûõ óíêöèé îòäåëüíûõ îòîíîâ. Ñëîæåíèè èìåííî âîëíîâûõ óíêöèé, òî åñòü àìïëèòóä, à íå

âåðîÿòíîñòåé, êàê â ïåðâîì ñëó÷àå. Ïîëå, îáëàäàþùåå ïîòåíöèàëîì, íàçûâàåòñÿ êëàññè÷åñêèì ïîëåì. Ìû âèäèì, ÷òî ïîëó áóäåò êëàññè÷åñêèì, åñëè åãî ñîçäàåò ìíîæåñòâî ÷àñòèö, íàõîäÿùèõñÿ â çàïóòàííîì ñîñòîÿíèè (êóñîê ìàòåðèàëà). Òî åñòü êëàññè÷åñêîå ïîëÿ ñîçäàåòñÿ èñïóñêàíèåì îòîíîâ áîëüøèì àíñàìáëåì ÷àñòèö, íàõîäÿùèõñÿ â çàïóòàííîì êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè. Èìåííî ýòà çàïóòàííîñòü ÷àñòèö âíóòðè èñòî÷íèêà ïîëÿ è ñëóæèò ïðè÷èíîé òîãî, ÷òî îòäà÷à îò âûëåòåâøåãî îòîíà ïåðåðàñïðåäåëÿåòñÿ ìåæäó àòîìàìè èñòî÷íèêà. Ýòî ïîçâîëÿåò àêòîðèçîâàòü ñîñòîÿíèå èñòî÷íèêà è ñîñòîÿíèå îòîíîâ, êîãäà îáùàÿ âîëíîâàÿ óíêöèÿ ñèñòåìû "èñòî÷íèê+îòîíû"áóäåò èìåòü âèä N 1 2 n |Ψsource i (|ψphoton i + |ψphoton i + . . . + |ψphoton i). Òîãäà ìîæíî ãîâîðèòü î âåêòîð1 2 n íîì ïîòåíöèàëå ïîëÿ, êîòîðûé ðàâåí A = |ψphoton i + |ψphoton i + . . . + |ψphoton i. Åñëè æå ó íàñ åñòü òîëüêî îäíà îòäåëüíàÿ çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà, íàïðèìåð,

ýëåêòðîí, ìû íå ìîæåì ïðîñòî ãîâîðèòü î ñîçäàâàåìîì èì êëàññè÷åñêîì ïîòåí-

122

ËÀÂÀ 4.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

öèàëå. Äëÿ îòäåëüíî ýëåêòðîíà íàäî, âîîáùå ãîâîðÿ, ïîëüçîâàòüñÿ êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêîé, òî åñòü ðàññìàòðèâàòü èñïóñêàíèå îòäåëüíûõ îòîíîâ, çàïóòàííûå ñîñòîÿíèÿ ýòèõ îòîíîâ è ýëåêòðîíà (èëè àòîìà), è òîëüêî ÷åðåç ýòî ðàññìîòðåíèå ïåðåõîäèòü ê ïîëþ; ýòî ñäåëàíî íèæå, â ãëàâå 5. Íàïðèìåð, ïðè ðàññìîòðåíèè ýëåêòðîíà â êâàíòîâîé òî÷êå ýòîò ýëåêòðîí áóäåò íàõîäèòüñÿ â çàïóòàííîì ñîñòîÿíèè ñ ÷àñòèöàìè, îáðàçóþùèìè òî÷êó, áëàãîäàðÿ ÷åìó è âîçíèêíåò òî ïåðåðàñïðåäåëåíèå îòäà÷è îò èñïóùåííîãî èì îòîíà, êîòîðîå îáåñïå÷èâàåò êëàññè÷íîñòü ïîëÿ, ñîçäàííîãî ýëåêòðîíîì. Ïîýòîìó ïðè ðàññìîòðåíèè êâàíòîâûõ âû÷èñëåíèé íà îòäåëüíûõ ÷àñòèöàõ (íàïðèìåð, íà îòäåëüíûõ ýëåêòðîíàõ) íàäî îáÿçàòåëüíî çàáîòèòüñÿ î òîì, ÷òîáû èñïóñêàíèå îòîíîâ óäîâëåòâîðÿëî áû óñëîâèþ êëàññè÷íîñòè ïîëÿ, êîòîðîå ìû îïèñàëè òîëüêî ÷òî. Áåç ýòîãî íåëüçÿ ñ÷èòàòü, ÷òî ó ïîëÿ åñòü ïîòåíöèàë.  ïðàêòè÷åñêîì ñìûñëå, äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ êâíàòîâûõ ñèñòåì, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû äîëæíû ðàññìàòðèâàòü êàê êâàíòîâûå âñå âõîäÿùèå â ìîäåëü ÷àñòèöû. àñøèðåíèå ñèñòåìû òîæå äîëæíî ïðîèñõîäèòü ïðèñîåäèíåíèåì ÷àñòèö ïî îäíîé. Åñëè æå ìû ââåäåì ãðíè÷íûå (âíåøíèå) óñëîâèÿ, íàïðèìåð, â âèäå íåêîåãî âíåøíåãî ïîòåíöèàëà, ìû äîëæíû ãàðàíòèðîâàòü, ÷òî îí ñîçäàåòñÿ îãðîìíûì ÷èñëîì ÷àñòèö, òàê ÷òî âûïîëíåíî óñëîâèå êëàññè÷íîñòè ïîëÿ. Ñðàâíèì êâàíòîâûé ìåòîä ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ñ òðàäèöèîííûì ìåòîäîì êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé. Ïðè îïèñàííîì ìåòîäå ó íàñ ïîëó÷àåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíûé âûèãðûø ïî ïàìÿòè, ïîñêîëüêó äëÿ ðàçíîñòíîãî ìåòîäà íóæíî õðàíèòü â ïàìÿòè âñþ âîëíîâóþ óíêöèþ, à êâàíòîâàÿ ïàìÿòü ïîçâîëÿåò îáîéòèñü òîëüêî ëîãàðèìè÷åñêèì ÷èñëîì êóáèò. Âûèãðûø ïî âðåìåíè áóäåò ïðèìåðíî òàêèì æå. Áîëåå ïîäðîáíûé àíàëèç (ñì. [39℄) ïîêàçûâàåò, ÷òî ýâîëþt ìîæíî êâàíòîâî ìîäåëèðîâàòü çà âðåìÿ ïîðÿäêà t2 .

öèþ íà îòðåçêå âðåìåíè

Âàæíî òî, ÷òî ñ ðîñòîì ÷èñëà ÷àñòèö â èññëåäóåìîé ñèñòåìå (q ìîæåò ñ àíàëîãè÷íûì óñïåõîì èçîáðàæàòü è íàáîð ìíîãèõ êîîðäèíàò) ïðè èêñèðîâàííîé òî÷íîñòè ìîäåëèðîâàíèÿ ÷èñëî íåîáõîäèìûõ êóáèò ñèìóëÿòîðà ðàñòåò ëèíåéíî. Òàêèì îáðàçîì, âîçìîæíî ýåêòèâíîå ìîäåëèðîâàíèå ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì íà êâàíòîâîì êîìïüþòåðå ðàçóìíîãî ðàçìåðà. Èíòåðåñíî, ÷òî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ìîæíî íå ïðîñòî ìîäåëèðîâàòü ïîâåäåíèå èññëåäóåìîé ìíîãî÷àñòè÷íîé ñèñòåìû, íî è ïðåäñêàçûâàòü åå ñîñòîÿíèå. Èíà÷å ãîâîðÿ, ìîäåëèðîâàòü ñ îïåðåæåíèåì, êîãäà äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñîñòîÿíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî ñèñòåìå â ìîìåíò t íà ñèìóëÿòîðå òðåáóåòñÿ ìåíüøåå âðåìÿ t′ < t. Òàêàÿ âîçìîæíîñòü îòêðûâàåòñÿ â ñëó÷àå, åñëè ó àìèëüòîíèàíà èññëåäóåìîé ñèñòåìû ðåäêèé ñïåêòð, òî åñòü ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû ãðóïïèðóþòñÿ âîêðóã íåáîëüøîãî (ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçìåðíîñòüþ çàäà÷è) ÷èñëà õàðàêòåðíûõ ÷àñòîò. Ñîîòâåòñòâóþùèé ìåòîä îïèñàí â ðàáîòå [40℄.

4.8.3 Àíñàìáëè èäåíòè÷íûõ åðìèîíîâ è áîçîíîâ Åäèíñòâåííûé ñëó÷àé, êîãäà äëÿ ñèñòåìû ìíîãèõ òåë âîçìîæíî ÷òî-òî êîíêðåòíîå ïðåäñêàçàòü ñ ïîìîùüþ âîëíîâîé óíêöèè - ýòî àíñàìáëè èäåíòè÷íûõ

4.8. ÔÎÌÀËÈÇÌ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÝËÅÊÒÎÄÈÍÀÌÈÊÈ Â ÊÓÁÈÒÎÂÎÉ ÔÎÌÅ123

÷àñòèö: åðìèîíîâ èëè áîçîíîâ. àññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé äâóõ îäèíàêîâûõ ÷àñòèö. Òîãäà èõ ñîâìåñòíîå ñîñòîÿíèå äîëæíî îïèñûâàòüñÿ âîëíîâîé óíêöèåé îò äâóõ ïåðåìåííûõ:

r1

è

r2 ,

êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ êîîðäèíàòàìè ïåðâîé è âòîðîé

÷àñòèö ñîîòâåòñòâåííî. Ïîñêîëüêó ýòè ÷àñòèöû èäåíòè÷íû, è èõ íåëüçÿ ðàçëè÷èòü, òî âîëíîâàÿ óíêöèÿ ïðè ïåðåìåíå

r1

íà

r2

è íàîáîðîò äîëæíà ïðîÿâëÿòü

ñèììåòðèéíûå ñâîéñòâà. Ïîñêîëüêó äëÿ åðìèîíîâ ñïðàâäåëèâ ïðèíöèï çàïðåòà Ïàóëè, ïðèíÿòî ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ åðìèîíîâ âîëíîâàÿ óíêöèÿ äîëæíà áûòü àíòèñèììåòðè÷íîé:

Ψf er (r1 , r2 ) = −Ψf er (r2 , r1 ), à äëÿ áîçîíîâ, ãäå íèêàêèõ çàïðåòîâ íåò, îíà äîëæíà áûòü ñèììåòðè÷íîé:

Ψbos (r1 , r2 ) = −Ψbos (r2 , r1 ). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êàæäàÿ èç ýòèõ ÷àñòèö, âçÿòàÿ â îòäåëüíîñòè, ìîæåò íàõîäèòüñÿ â îäíîì èç äâóõ ñîñòîÿíèé:

ψ1 (r)

èëè

ψ2 (r),

òàê ÷òî îíè âçàèìíî

îðòîãîíàëüíû. Êàêèå ñèììåòðè÷íûå è àíòèñèììåòðè÷íûå êîìáèíàöèè ìîæíî ñîñòàâèòü èç ýòèõ äâóõ óíêöèé? Òàêèõ êîìáèíàöèé äâå. Âî-ïåðâûõ, ìîæíî ñîñòàâèòü äåòåðìèíàíò è ïåðìàíåíò ìàòðèöû, ïîñòðîåííîé íà ýòèõ óíêöèÿõ è êîîðäèíàòàõ îáåèõ ÷àñòèö:

Ψf er = ψ1 (r1 )ψ2 (r2 ) − ψ1 (r2 )ψ2 (r1 ), Ψbos = ψ1 (r1 )ψ2 (r2 ) + ψ1 (r2 )ψ2 (r1 ). Âî-âòîðûõ, ìîæíî ðàññìîòðåòü òàêèå êîìáèíàöèè:

Φf er = ψ1 (r1 )ψ2 (r1 ) − ψ1 (r2 )ψ2 (r2 ), Φbos = ψ1 (r1 )ψ2 (r1 ) + ψ1 (r2 )ψ2 (r2 ). Ïåðâûé ñïîñîá ëó÷øå âòîðîãî òåì, ÷òî òàì ìû ïîëó÷àåì îðìóëû, ìàñøòàáèðóåìûå íà ñëó÷àé ìíîãèõ ïåðåìåííûõ. Ýòî ìîæíî î÷åíü ïðîñòî îáúÿñíèòü ñ ïîìîùüþ êóáèòîâîãî ïðåäñòàâëåíèÿ. Ìû ïðåäñòàâèì îäíî÷àñòè÷íûå ñîñòîÿíèÿ ψ1 è ψ2 â êóáèòîâîé îðìå êàê P 1 P 2 λj |ji, ψ2 = λj |ji. Òîãäà äåòåðìèíàíòíîå ïðåäñòàâëåíèå äâóõ÷àñòè÷j j N

ψ1 =

|Ψi = |ψ1 i |ψ2 i − |ψ1 i, òàêP êàê ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè äâóõ÷àñòè÷íîé óíêöèè ó íàñ ïîN (λ1j1 λ2j2 −λ2j1 λ1j2 )|jj11 i |jj22 i ÷òî â òî÷íîñòè îòâå÷àåò òîìó ñîîòëó÷èòñÿ |Ψi =

íîãî ñîñòîÿíèÿ èìååò ïðîñòóþ îðìó ïðåäñòàâëåíèÿ êàê

|ψ2 i

N

j1 ,j2

âåòñòâèþ ìåæäó óíêöèîíàëüíîé è êóáèòîâîé çàïèñüþ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé,

êîòîðîå ìû îïðåäåëèëè ðàíåå. Ýòî ðàññìîòðåíèå ïîëíîñòüþ îáîáùàåòñÿ è íà ñëó÷àé

n èäåíòè÷íûõ åðìèîíîâ, êîãäà ìû áóäåì èìåòü äåòåðìèíàíò ìàòðèöû.

Àíàëîãè÷íî ìîæíî ðàññìîòðåòü è ñëó÷àé áîçîíîâ, êîòîðûé îòëè÷àåòñÿ òîëüêî òåì, ÷òî òàì áóäóò ïåðìàíåíòû âìåñòî äåòåðìèíàíòîâ. Äëÿ âòîðîé îðìû îáðàçîâàíèÿ äâóõ÷àñòè÷íîé âîëíîâîé óíêöèè òàêîãî ñîîòâåòñòâèÿ ïîäîáðàòü íåëüçÿ.

124

ËÀÂÀ 4.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

àçóìååòñÿ, íå ëþáóþ àíòèñèììåòðè÷íóþ óíêöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå äåòåðìèíàíòà. Íî åå âñåãäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðÿäà, ñîñòàâëåííîãî èç òàêèõ äåòåðìèíàíòîâ. Äåòåðìèíàíòû îïèñàííîãî âèäà ìîæíî ðàññìàòðèâàòü, òàêèì îáðàçîì, êàê áàçèñ íåêîòîðîãî ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà, êîòîðîå íàçûâàþò ïðîñòðàíñòâîì Ôîêà ÷èñåë çàïîëíåíèÿ. Ïîäðîáíåå îá ýòîì íàïèñàíî â Ïðèëîæåíèè. Ìîãëî áû ïîêàçàòüñÿ, ÷òî ñâîéñòâî àíòèñèììåòðèè âîëíîâîé óíêöèè ÿâëÿåòñÿ íàñòîÿùåé ìíîãî÷àñòè÷íîé çàïóòàííîñòüþ. Ôîðìàëüíî ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê, ïîñêîëüêó

Ψ

äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ çàïóòàííûì êâàíòîâûì ñîñòîÿíèåì.

Îäíàêî ýòà çàïóòàííîñòü íîñèò îñîáûé õàðàêòåð, è ìû ïîÿñíèì ýòî íà ïðîñòîì

|ji ÿâëÿþòñÿ ñòóïåí÷àòûN[xj , xj+1 ] êîíèãóN äâà ñîñòîÿíèÿ =|ψ1 i |ψ2 i, |ψ2 i |ψ1 i,

ðàññóæäåíèè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî áàçèñíûå ñîñòîÿíèÿ

ìè óíêöèÿìè ñ íîñèòåëÿìè, ñîñðåäîòî÷åííûìè íà îòðåçêàõ ðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà. àññìîòðèì

êîòîðûå îáðàçóþò äåòåðìèíàíò. Ìû ìîæåì ñëåãêà èçìåíèòü çíà÷åíèå êîìïëåêñíûõ óíêöèé

ψ1 (r1 ), ψ2 (r2 )

òàê, ÷òîáû èõ íîñèòåëè ñòàëè áû íåïåðåñåêàþùè-

ìèñÿ ìíîæåñòâàìè. Òîãäà äåòåðìèíàíòíîå ïðåäñòàâëåíèå

Ψ

ñâåäåòñÿ ïðîñòî ê

îäíîìó åäèíñòâåííîìó ñëàãàåìîìó, è áóäåò ïðåäñòàâëÿòü íåçàïóòàííîå ñîñòîÿíèå. Òàêèì îáðàçîì, çàïóòàííîñòü, îáóñëîâëåííàÿ àíòèñèììåòðè÷íîñòüþ âîëíîâîé óíêöèè, ÿâëÿåòñÿ âûðîæäåííîé. Îíà ìîæåò áûòü çàìåíåíà òðåáîâàíèåì î òîì, ÷òî íîñèòåëè âîëíîâûõ óíêöèé íå äîëæíû ïåðåñåêàòüñÿ. Ýòî òðåáîâàíèå âûðàæàåò ïðèíöèï çàïðåòà Ïàóëè.

4.8.4 Ñïèíîâûå è ïðîñòðàíñòâåííûå êîîðäèíàòû ëàâíàÿ îñîáåííîñòü ãèëüáåðòîâà îðìàëèçìà â îáëàñòè ìíîãèõ ÷àñòèö ñîñòîèò â ýêñïîíåíöèàëüíîì ðîñòå ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé. Ýòî ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé ïðîåêòà êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òàêàÿ îñîáåííîñòü äåëàåò ãèëüáåðòîâ îðìàëèçì íå óäîáíûì äëÿ èññëåäîâàíèÿ ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì. Ýòî ïðîÿâëÿåòñÿ â òîì, ÷òî íå óäàåòñÿ ïîñòðîèòü õîðîøåé ìîäåëè äåêîãåðåíòíîñòè, òî åñòü ðàñïàäà ñëîæíûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé. Íî åñòü è äðóãèå îñîáåííîñòè ãèëüáåðòîâà îðìàëèçìà, êîòîðûå ïðîÿâëÿþòñÿ äëÿ çàäà÷ ñ ìíîãèìè òåëàìè. Ýòî îñîáåííîñòè ïåðåõîäà îò îáû÷íîãî ïðåäñòàâëåíèÿ âîëíîâûõ óíêöèé ê èõ êóáèòîâîìó ïðåäñòàâëåíèþ, è îíè ïðîÿâëÿþòñÿ ïðè âûáîðå ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé êàê òàêîâîãî. Ìû óæå âñòðå÷àëèñü ñ íèìè ïðè ðàññìîòðåíèè çàïóòàííîñòè â ïðîñòðàíñòâå ÷èñåë çàïîëíåíèÿ â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàå. Çäåñü ìû ðàññìîòðèì äðóãîé ïðèìåð òîãî æå òèïà. Ýòîò ïðèìåð îòíîñèòñÿ ê ðàçäåëåíèþ êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà íà ñïèíîâûå è ïðîñòðàíñòâåííûå ïåðåìåííûå. Ñîãëàñíî òðàäèöèîííîìó îðìàëèçìó, êîíèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî îäíîé ÷àñòèöû ðàçäåëåíî íà äâå íåïåðåñåêàþùèåñÿ ÷àñòè: êîîðäèíàòíóþ è ñïèíîâóþ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñîñòîÿíèå àíñàìáëÿ ÷àñòèö ñî ñïèíàìè èìååò âèä

|Ψi =

X jc ,js

λjc ,js |jc i

O

|js i

(4.44)

4.8. ÔÎÌÀËÈÇÌ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÝËÅÊÒÎÄÈÍÀÌÈÊÈ Â ÊÓÁÈÒÎÂÎÉ ÔÎÌÅ125

ãäå

|jc i

è

|js i

êîîðäèíàòíûå è ñïèíîâûå áàçèñíûå âåêòîðû. Äîïóñòèì, ÷òî â nonent íà÷àëüíûé ìîìåíò ñïèíû è êîîðäèíàòû áûëè íå çàïóòàííûìè: |Ψiini = N s c c s |Ψiini |Ψiini , ãäå |Ψiini , |Ψiini - êîîðäèíàòíàÿ è ñïèíîâàÿ âîëíîâûå óíêöèè. Òîãäà ïðèìåíåíèå îïåðàòîðà, äåéñòâóþùåãî òîëüêî íà êîîðäèíàòû ÷àñòèö,

îñòàâèò ñïèíîâîå ñîñòîÿíèå áåç èçìåíåíèÿ.

Òåïåðü ðàññìîòðèì òàêóþ ïðàêòè÷åñêóþ çàäà÷ó. Ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ íàìàãíè÷åííûé êóñîê ìåòàëëà, è ìû äåðæèì åãî â íåïîäâèæíîñòè îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà. Íà÷íåì ïîâîðà÷èâàòü åãî òàê ÷òî îí ïðèìåò äðóãîå ïîëîæåíèå. Òîãäà íàïðàâëåíèå ìàãíèòíîãî ïîëÿ, êîòîðîå ñîçäàåòñÿ ýòèì êóñêîì, èçìåíèòñÿ ñîîòâåòñòâåííî íîâîìó ïîëîæåíèþ êóñêà. Ïîïðîáóåì ïðîàíàëèçèðîâàòü ýòîò ïðîñòåéøèé îïûò ñ òî÷êè çðåíèÿ ãèëüáåðòîâà îðìàëèçìà. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòîò îðìàëèçì íåîãðàíè÷åííî ìàñøòàáèðóåòñÿ, òî åñòü ÷òî åãî ìîæíî ïðèìåíÿòü äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ÷àñòèö òàê, ÷òî âñå êëàññè÷åñêèå ïðåäåëû áóäóò ñîõðàíÿòüñÿ. Áóäåì ó÷èòûâàòü òîëüêî êîîðäèíàòû âñåõ ÿäåð è ýëåêòðîíîâ, ñîñòàâëÿþùèõ êóñîê, à òàêæå ýëåêòðîííûå ñïèíû (ÿäåðíûõ ó÷èòûâàòü íå áóäåì). Òîãäà íàïðàâëåíèå êëàññè÷åñêîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñîñòîÿíèåì ñïèíîâîé âîëíîâîé óíêöèè âñåõ ýëåêòðîíîâ.  íàìàãíè÷åííîì ìàòåðèàëå â î÷åíü ãðóáîì ïðèáëèæåíèè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ñïèíîâàÿ è êîîðäèíàòíàÿ ÷àñòè âîëíîâîé óíêöèè íå çàïóòàíû, òî åñòü ó íàñ nonent åñòü êâàíòîâîå ñîñòîÿíèå âèäà |Ψiini â êîòîðîì ñïèíîâàÿ âîëíîâàÿ óíêöèÿ s |Ψiini îïðåäåëÿåò íàïðàâëåíèå êëàññè÷åñêîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ, êîòîðîå ñîçäàåòñÿ ýòèì êóñêîì.

Åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü, ÷òî ìåõàíè÷åñêèé ïîâîðîò êóñêà çàòðàãèâàåò òîëüêî ïðîñòðàíñòâåííûå êîîðäèíàòû âñåõ ÿäåð, è ïîòîìó èõ ñïèí îñòàåòñÿ íåèçìåííûì. Òàêèì îáðàçîì, åñëè êâàíòîâûé îðìàëèçì íåîãðàíè÷åííî ìàñøòàáèðóåòñÿ, òî ìàãíèòíîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå êóñêîì ìåòàëëà, äîëæíî ñîõðàíÿòüñÿ ïðè ïîâîðîòå, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò îïûòó. Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî òàêîé îðìàëèçì íå ìîæåò íåîãðàíè÷åííî ìàñøòàáèðîâàòüñÿ. Åñëè áû ìû ðàññìàòðèâàëè íå êóñîê ìåòàëëà, à îäèí åäèíñòâåííûé ýëåêòðîí, òî åãî ñïèí ñîõðàíÿëñÿ áû ïðè åãî äâèæåíèè âíóòðè àòîìà. Äëÿ îäíîãî ýëåêòðîíà ñïðàâäåëèâî ðàçäåëåíèå ïðîñòðàíñòâåííûõ è ñïèíîâûõ êîîðäèíàò. Íî äëÿ áîëüøèõ àíñàìáëåé ýòî óæå íå òàê. Ìíîãî÷àñòè÷íûé ãèëüáåðòîâ îðìàëèçì íå ìîæåò, òàêèì îáðàçîì, ìàñøòàáèðîâàòüñÿ íà ñëó÷àé áîëüøèõ êóñêîâ ìàòåðèàëà.

13

Äàëåå ìû ðàññìîòðèì ýòîò ïðèìåð ñ ïîçèöèé êîíñòðóêòèâèçìà.

13 Ýòà ñèòóàöèÿ ñîâåðøåííî ñòàíäàðòíàÿ. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ãèëüáåðòîâ îðìàëèçì çäåñü ïðîñòî íå ïðèìåíèì. Íàñ íå ìîæåò óñòðîèòü òàêîé îòâåò, òàê êàê ìû çàíèìàåìñÿ íå ñòàíäàðòíîé èçèêîé, à ðàñïðîñòðàíåíèåì êâàíòîâîé òåîðèè íà ñëîæíûå ñèñòåìû. Íàø ãëàâíûé èíñòðóìåíò - êîìïüþòåð. Ïðîãðàììà äîëæíà ïðàâèëüíî îáðàáàòûâàòü âñå èñêëþ÷åíèÿ. Òàì, ãäå ïðèìåíåíèå ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè ñ íåèçáåæíîñòüþ îïèðàåòñÿ íà òðàäèöèþ è èíòóèöèþ, ó íàñ äîëæåí ðàáîòàòü àëãîðèòì. Ïîýòîìó ìû îáÿçàíû ÿâíî óêàçûâàòü êàê èìåííî äåéñòâîâàòü äëÿ âñåõ ñëó÷àåâ ñðàçó, à íå òîëüêî äëÿ óçêîãî êðóãà òðàäèöèîííûõ çàäà÷.

126

4.9

ËÀÂÀ 4.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

Ïðîáëåìà äåêîãåðåíòíîñòè èëè ïî÷åìó íåîáõîäèì ïåðåñìîòð îñíîâàíèé êâàíòîâîé òåîðèè ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì

Âåðíåìñÿ ê ïðèíöèïèàëüíîìó âîïðîñó î àäåêâàòíîñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà êâàíòîâîé òåîðèè. Èç ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàà ìû âèäèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðèíöèïèàëüíàÿ ðàçíèöà ìåæäó äâóìÿ òèïàìè ýâîëþöèè êâàíòîâîé ñèñòåìû: óíèòàðíîé äèíàìèêîé è èçìåðåíèÿìè. Ïðè ýòîì ïðîöåäóðà èçìåðåíèÿ íå èìååò îïèñàíèÿ â ñòàíäàðòíîì êâàíòîâîì îðìàëèçìå, êðîìå ïîñòóëàòà èçìåðåíèÿ Áîðíà, ñîäåðæàùåãî ïðàâèëà ïîäñ÷åòà âåðîÿòíîñòåé. Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì îòíîñèòüñÿ ê èçìåðåíèþ äâîÿêî: ìû ìîæåì òðàêòîâàòü åãî êàê ñâîåãî ðîäà ñèëó òðåíèÿ, êîòîðàÿ äåéñòâóåò íà ðàññìàòðèâàåìóþ êâàíòîâóþ ñèñòåìó ñî ñòîðîíû îêðóæàþùåé ñðåäû, èëè, íàïðîòèâ, ñ÷èòàòü, ÷òî âûïîëíåíèå èçìåðåíèé åñòü ñâîéñòâî ñàìîé êâàíòîâîé ñèñòåìû.  ïåðâîì ñëó÷àå ìû èìååì âîçìîæíîñòü óñòðàíèòü èçìåðåíèÿ âîîáùå, èëè ïðîèçâîäèòü èõ èñêëþ÷èòåëüíî ïî ñâîåìó óñìîòðåíèþ, òàê êàê ñèëó òðåíèÿ ìîæíî, â ïðèíöèïå, óñòðàíèòü, íàïðèìåð, ïîìåùàÿ ðàññìàòðèâàåìîå óñòðîéñòâî â ãëóáîêèé âàêóóì. Âî âòîðîì ñëó÷àå ìû äîëæíû îòêàçàòüñÿ îò ñòàíäàðòíîãî îðìàëèçìà êâàíòîâîé òåîðèè, êàê îò íåàäåêâàòíîãî, ïîñêîëüêó îí íå îïèñûâàåò íåêîòîðîãî óíäàìåíòàëüíîãî ñâîéñòâà êâàíòîâûõ ñèñòåì. Ýêñïåðèìåíòû, ïðîâîäèìûå íàä êâàíòîâûìè ñèñòåìàìè, â íàäåæäå ïîñòðîèòü ìàñøòàáèðóåìûé êâàíòîâûé êîìïüþòåð, ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî äåêîãåðåíòíîñòü âðÿä ëè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñèëó òðåíèÿ. Ñâèäåòåëüñòâîì ýòîãî ÿâëÿþòñÿ çàïóòàííûå êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ, ïîëó÷åííûå â ýêñïåðèìåíòàõ íàä èîíàìè â ëîâóøêå Ïàóëÿ.  òàêèõ ýêñïåðèìåíòàõ íå óäàåòñÿ ïîëó÷èòü ìàñøòàáèðóåìîãî êâàíòîâîãî ïðîöåññîðà, íî óäàåòñÿ ãåíåðèðîâàòü ñèëüíî çàïóòàííûå êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ òèïà W è GHZ. Ýòî êàê ðàç òå ñîñòîÿíèÿ, êîòîðûå èìåþò õîðîøåå àëãîðèòìè÷åñêîå îïèñàíèå â ðàìêàõ ìåòîäà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ (ñì. ãëàâó 5). Ïðîáëåìà äåêîãåðåíòíîñòè åñòü ïðîáëåìà ïðèìåíèìîñòè êâàíòîâîé òåîðèè ê ìíîãî÷àñòè÷íûì ñèñòåìàì, òàê êàê äåêîãåðåíòíîñòü åñòü óíäàìåíòàëüíîå ñâîéñòâî òàêèõ ñèñòåì.  êâàíòîâîé òåîðèè íå ñóùåñòâóåò íèêàêîãî êðèòåðèÿ äëÿ îòëè÷èÿ ìåæäó âíåøíèì ïîòåíöèàëîì, âõîäÿùèì â ãàìèëüòîíèàí ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû, è òàê íàçûâàåìûì âðåäíûì âîçäåéñòâèåì íà ñèñòåìó ñî ñòîðîíû îêðóæåíèÿ, âûçûâàþùèì äåêîãåðåíòíîñòü. Îáëàñòü ïðèìåíèìîñòè êâàíòîâîé òåîðèè, òàêèì îáðàçîì, ñòðîãî îãðàíè÷åíà çàäà÷àìè, êîòîðûå ñâîäÿòñÿ ê îäíî÷àñòè÷íûì. Ïðèìåðîì ÿâëÿþòñÿ çàäà÷è êâàíòîâîé õèìèè, òàêèå êàê íàõîæäåíèå ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíà â ïîëå íåñêîëüêèõ êóëîíîâñêèõ öåíòðîâ (ñì. [34℄). Çàäà÷è, ãäå ìíîãî÷àñòè÷íîå ïîâåäåíèå ñóùåñòâåííî, êàê, íàïðèìåð, õèìè÷åñêèå ðåàêöèè, ëåæàò çà ïðåäåëàìè

14

ïðèìåíèìîñòè êâàíòîâîé ìåõàíèêè. 14 Ïîïûòêè

Íàäî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ýòî îãðàíè÷åíèå

ñîçäàíèÿ ïîëóýìïèðè÷åñêèõ ìåòîäîâ òèïà Ëàíäàó-Çèíåðà íèêàê íå ìåíÿþò ýòî-

4.9. ÏÎÁËÅÌÀ ÄÅÊÎ ÅÅÍÒÍÎÑÒÈ ÈËÈ ÏÎ×ÅÌÓ ÍÅÎÁÕÎÄÈÌ ÏÅÅÑÌÎÒ ÎÑÍÎ

ïðèíöèïèàëüíî, è íå ìîæåò áûòü èñïðàâëåíî äîáàâëåíèåì ê êâàíòîâîé òåîðèè íåêèõ íîâûõ ðàçäåëîâ. Ïðåïÿòñòâèåì ê ðàñïðîñòðàíåíèþ ýòîé òåîðèè íà ìíîãî÷àñòè÷íûå çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ íå åå ìíèìàÿ íåçàêîí÷åííîñòü  îíà â äåéñòâèòåëüíîñòè çàêîí÷åíà. ëàâíûì, è ïî-ñóùåñòâó, åäèíñòâåííûì ïðåïÿòñòâèåì ÿâëÿåòñÿ åå ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò. Ïðèìåíåíèå ñòàíäàðòíîãî àíàëèçà ÿâëÿåòñÿ êîíñòðóêòèâíûì òîëüêî â åãî âû÷èñëèòåëüíîé ÷àñòè, òî åñòü êîãäà ìû ïîëüçóåìñÿ òåõíèêîé èíòåãðèðîâàíèÿ è äèåðåíöèðîâàíèÿ, è ðåøàåì äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Îäíàêî ñîäåðæàùàÿñÿ â ñòàíäàðòíîì àíàëèçå èäåîëîãèÿ àêòóàëüíîé áåñêîíå÷íîñòè, è âûòåêàþùàÿ èç ýòîé èäåè ïðàêòèêà íåîãðàíè÷åííûõ ýêñòðàïîëÿöèé îðìóë íåàäåêâàòíà ðåàëüíîé ïðèðîäå.  ýòîì è ñîñòîèò íåóñòðàíèìûé äååêò ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Äåêîãåðåíòíîñòü â äåéñòâèòåëüíîñòè íå ÿâëÿåòñÿ ÷åì-òî âðîäå òðåíèÿ. Îíà åñòü ïðîÿâëåíèå íåòî÷íîñòè îïèñàíèÿ ðåàëüíûõ êâàíòîâûõ ñèñòåì ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îðìàëèçìà. Òàê íàçûâàåìàÿ êîíòð èíòóèòèâíîñòü êâàíòîâîé ìåõàíèêè ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ýòîé íåàäåêâàòíîñòè îðìàëèçìà. Òî, ÷òî ñ ïîìîùüþ òàêîãî íåñîâåðøåííîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà óäàåòñÿ íåïëîõî îïèñûâàòü ïðîñòûå ñèñòåìû, òàêèå, êàê ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíà â àòîìå âîäîðîäà, íàäî ñ÷èòàòü ðåäêîé óäà÷åé. Íåñîìíåííûé óñïåõ êâàíòîâîé òåîðèè â îïèñàíèè òàêèõ ïðîñòûõ ñèñòåì ñâÿçàí ñ ìîùüþ àíàëèòè÷åñêîé òåõíèêè, íî íèêîèì îáðàçîì íå ÿâëÿåòñÿ çàñëóãîé èäåîëîãèè ñòàíäàðòíîãî àíàëèçà ñ åãî àêòóàëüíûìè áåñêîíå÷íîñòÿìè. Êàê òîëüêî ìû ïåðåõîäèì ê ÷óòü áîëåå ñëîæíûì ñèñòåìàì, âèäèìàÿ ïðîñòîòà êâàíòîâîé òåîðèè ïðåâðàùàåòñÿ â íåïðåîäîëèìîå ïðåïÿòñòâèå ê ïðîâåäåíèþ õîòü êàêèõ-ëèáî âû÷èñëåíèé. Ïðèìåðîì ÿâëÿåòñÿ òà æå çàäà÷à ñ àòîìîì âîäîðîäà, íî ïðè ó÷åòå êâàíòîâîãî õàðàêòåðà ñâîáîäíîãî äâèæåíèÿ êàê ÿäðà, òàê è ýëåêòðîíîâ, òî åñòü ïðè ðàññìîòðåíèè ýòîãî îáúåêòà â òåðìèíàõ ïîëíîé âîëíîâîé óíêöèè âèäà

|Ψ(r1 , r2 )i, ãäå r1

è

r2

- åñòü êîîðäèíàòû ÿäðà è ýëåêòðîíà. Òàêîå ðàññìîòðåíèå ñîäåðæèò â ñåáå âîçìîæíîñòè ðàñïëûâàíèÿ êâàíòîâîãî ïàêåòà ñàìîãî àòîìà, êàê åäèíîãî öåëîãî, è âû÷èñëèòåëüíûå òðóäíîñòè, âîçíèêàþùèå íà ýòîì ïóòè ïðè ïîïûòêå äîâåñòè ðåçóëüòàò äî ÷èñëà, "ñîâïàäàþùåãî ñ ýêñïåðèìåíòîì äî

n-ãî

çíàêà"ñâîäÿò íà

íåò âñþ êðàñîòó è ìîãóùåñòâî êâàíòîâîé òåîðèè. àññìîòðèì ñëåäóþùóþ ìîäåëüíóþ çàäà÷ó, â êîòîðîé ÷èñëåííûé îòâåò íå ìîæåò áûòü ïîëó÷åí ñ ïîìîùüþ êâàíòîâîé òåîðèè íè ñ êàêèì ïðèáëèæåíèåì. Ýòî çàäà÷à î äèññîöèàöèè ìîëåêóëÿðíîãî èîíà âîäîðîäà. Îí ñîñòîèò èç äâóõ ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûõ ïðîòîíîâ è îäíîãî ýëåêòðîíà, íàõîäÿùåãîñÿ â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè â ïîëå äâóõ êóëîíîâñêèõ öåíòðîâ. Åñëè íèìè, îñíîâíîå ñîñòîÿíèå áóäåò çàâèñåòü îò

r.

r

åñòü ðàññòîÿíèå ìåæäó

Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû

äâóõ ïðîòîíîâ, åñëè ýëåêòðîí ñ÷èòàòü ñâÿçûâàþùåé èõ ñèëîé, èìååò âèä, ïîêàçàííûé íà ðèñóíêå. Ýòî çíà÷èò, ÷òî îñíîâíîå ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíà ÿâëÿåòñÿ ñâÿçûâàþùèì äëÿ ëþáîãî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ïðîòîíàìè. Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû ïðèäàëè ïðîòîíàì íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü, äîñòàòî÷íóþ äëÿ âûëåòà ñè-

ãî ïîëîæåíèÿ.

128

ËÀÂÀ 4.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

èñ. 4.3: Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ äâóõ ïðîòîíîâ â

H2+ .

ñòåìû èç ïîòåíöèàëüíîé ÿìû. Çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû îïðåäåëèòü, â êàêîé ìîìåíò ýëåêòðîí ïåðåéäåò èç îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ â ïîëå äâóõ ïðîòîíîâ â êàêîå-ëèáî ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå â îêðåñòíîñòè îäíîãî èç íèõ. àçóìååòñÿ, çäåñü åñòü ðàçíûå êàíàëû: ýëåêòðîí ìîæåò ïåðåéòè â ñîñòîÿíèå íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà, ïðîòîíû òîæå êâàíòîâûå è ò.ä. Íî ìû ìîæåì êîíêðåòèçèðîâàòü ýòó ìîäåëüíóþ çàäà÷ó, ïðåäïîëîæèâ, íàïðèìåð, ÷òî îí ïåðåõîäèò òîëüêî â îñíîâíîå ñîñòîÿíèå îòíîñèòåëüíî îäíîãî èç ïðîòîíîâ. Ýòà çàäà÷à åñòü çàäà÷à î ðàñïàäå îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ â äâóõ ïîòåíöèàëüíûõ ÿìàõ, è îíà â ïðèíöèïå íå ìîæåò áûòü ðåøåíà ñðåäñòâàìè êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Ïðè÷èíà ýòîãî íå â òîì, ÷òî ðåàëüíàÿ ñèòóàöèÿ òðåáóåò êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè (â ÊÝÄ ýòà òðóäíîñòü ìíîãîêðàòíî âîçðàñòåò). Ïðè÷èíà â òîì, ÷òî çäåñü ìû èìååì äåëî ñ êîëëàïñîì âîëíîâîé óíêöèè, òî åñòü ïðîöåäóðîé èçìåðåíèÿ. Ýòà ïðîöåäóðà ëåæèò âíå êâàíòîâîé èçèêè, è ñ ýòèì íè÷åãî íåëüçÿ ïîäåëàòü. Îñíîâà êîïåíãàãåíñêîé êâàíòîâîé òåîðèè - âîëíîâàÿ óíêöèÿ ìíîãèõ ÷àñòèö

Ψ(r1 , r2 , . . . , rn ).

Ýòîò îáúåêò â îðìàëüíîì ïëàíå íåîáû÷àéíî æåñòêèé.

Îí ïðÿìî ïðåäóñìàòðèâàåò èñïîëüçîâàíèå ðèìàíîâñêîé ñõåìû èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, òî åñòü îáðàáîòêè âñåãî êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà äëÿ

n

÷àñòèö, ÷òî çàâåäîìî íåïðèåìëåìî â òåîðèè ñëîæíûõ ñèñòåì. Ñâÿçü

âîëíîâîé óíêöèè ñ ðåàëüíîñòüþ äàåò òîëüêî áîðíîâñêîå ïðàâèëî âû÷èñëå-

4.9. ÏÎÁËÅÌÀ ÄÅÊÎ ÅÅÍÒÍÎÑÒÈ ÈËÈ ÏÎ×ÅÌÓ ÍÅÎÁÕÎÄÈÌ ÏÅÅÑÌÎÒ ÎÑÍÎ

èñ. 4.4: Äèññîöèàöèÿ ìîëåêóëÿðíîãî èîíà âîäîðîäà

130

ËÀÂÀ 4.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

íèÿ âåðîÿòíîñòåé, êîòîðîå â ìíîãî÷àñòè÷íîì ñëó÷àå íå ìîæåò áûòü ïðîâåðåíî íåïîñðåäñòâåííî, òàê êàê àìïëèòóäà îêàçûâàåòñÿ ðàçìàçàííîé ïî íåèìîâåðíî îãðîìíîìó ÷èñëó ñîñòîÿíèé. Ìû îêàçûâàåìñÿ ïåðåä íåîáõîäèìîñòüþ êîíöåíòðàöèè àìïëèòóäû íà òàê íàçûâàåìûõ ñóùåñòâåííûõ ñîñòîÿíèÿõ, èãíîðèðóÿ âñå îñòàëüíûå - òîëüêî òàê ïîëó÷àþòñÿ âñå íåìíîãî÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû, êàñàþùèåñÿ ìíîãèõ ÷àñòèö â êâàíòîâîé èçèêå (íàïðèìåð, ðàññóæäåíèå Ôåéíìàíà î êëàññè÷íîñòè ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî îáðàçöîì ìàòåðèàëà).  îáùåì ñëó÷àå ïðèíöèï êîíöåíòðàöèè àìïëèòóäû äàåòñÿ êâàíòîâûì êîìïüþòèíãîì, êîòîðûé òàêæå îêàçûâàåòñÿ çàëîæíèêîì óíäàìåíòàëüíîãî ñâîéñòâà äåêîãåðåíòíîñòè. Âîëíîâàÿ óíêöèÿ êîïåíãàãåíñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè îêàçûâàåòñÿ îáúåêòîì, âåðèèêàöèÿ êîòîðîãî ñîìíèòåëüíà. Ó íàñ íåò íè îäíîãî íàäåæíîãî ìåòîäà ïðîâåðêè ñóùåñòâîâàíèÿ âîëíîâîé óíêöèè ìíîãèõ ÷àñòèö. Íà òàêîì ñîìíèòåëüíîì îáúåêòå íåëüçÿ ñòðîèòü íîâóþ êâàíòîâóþ èçèêó ìíîãèõ ÷àñòèö. Îò íåãî çäåñü íàäî èçáàâëÿòüñÿ. Åñëè áû âñå îãðàíè÷èâàëîñü òðóäíîñòüþ â ïîëó÷åíèè òî÷íûõ îöåíîê, äåëî áûëî áû íå òàê êðèòè÷íî. Íî îðìàëèçì êâàíòîâîé òåîðèè òàêîâ, ÷òî ãëàâíûå ñöåíàðèè, îïðåäåëÿþùèå ïîâåäåíèå ñëîæíûõ ñèñòåì, êàê, íàïðèìåð, ìîäåëè õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé, ïîëíîñòüþ çàâèñÿò êàê ðàç îò òî÷íîñòè îöåíîê. Ìû, òàêèì îáðàçîì, îêàçûâàåìñÿ â òóïèêå: äëÿ îïèñàíèÿ ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì, âêëþ÷àÿ ïðèñóùóþ èì äåêîãåðåíòíîñòü, íåîáõîäèìî ñòðîèòü ìàñøòàáèðóåìûé êâàíòîâûé êîìïüþòåð, à åãî ïîñòðîéêà, â ñâîþ î÷åðåäü, íàòàëêèâàåòñÿ íà äåêîãåðåíòíîñòü, êàê îñíîâíîå ïðåïÿòñòâèå. Ýòî åùå îäèí äîâîä â ïîëüçó ïåðåñìîòðà êâàíòîâîé òåîðèè íà îñíîâå êîíñòðóêòèâèçìà. Ñóùíîñòü òàêîé çàìåíû â òîì, ÷òî âìåñòî ñòàíäàðòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü êîíñòðóêòèâíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Èìåííî êîíñòðóêòèâíûå óíêöèè ïðåäñòàâëÿþò àäåêâàòíîå îïèñàíèå èçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåìàõ, ïîñêîëüêó îíè ÿâíî òðåáóþò ïðåäúÿâëåíèÿ òåõíèêè êîíêðåòíûõ ðàñ÷åòîâ, ÷òî èãíîðèðóåòñÿ â ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé èçèêå. Òàêàÿ ïåðåñòðîéêà êâàíòîâîé òåîðèè ïðåäñòàâëÿåò òðóäíóþ, íî íåîáõîäèìóþ çàäà÷ó. Åå íåèçáåæíîñòü ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî íåâîçìîæíî èíûì ïóòåì îáåñïå÷èòü òî÷íûé àíàëèç ñëîæíûõ ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñöåíàðèåâ ñ âûäåëåíèåì ðîëè îòäåëüíûõ ÷àñòèö. Äàëüíåéøåå èçëîæåíèå áóäåò ïîñâÿùåíî òîìó, êàê òàêàÿ ïåðåñòðîéêà ìîãëà áû âûãëÿäåòü.

4.10.

ÅÇÞÌÅ ÑÒÀÍÄÀÒÍÎÉ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÈ

4.10

131

åçþìå ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè ß ãîòîâ áèòüñÿ îá çàêëàä, ÷òî ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè áóäåò ñòîÿòü â

âåêàõ. .Ôåéíìàí

 çàêëþ÷åíèå ìû äîëæíû ðàññìîòðåòü âîïðîñ î òîì, ÷òî áóäåò ñîõðàíåíî â êâàíòîâîé òåîðèè ïðè íåèçáåæíîé ðåâèçèè åå ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà. Êðàòêèé îòâåò çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî äîëæíû áûòü ñîõðàíåíû âñå åå ðåçóëüòàòû, ïîäòâåðæäåííûå â ýêñïåðèìåíòàõ. Ýòî îòíîñèòñÿ ê îäíî ÷àñòè÷íûì çàäà÷àì, ðåøåíèå êîòîðûõ îïèðàåòñÿ, â ñóùíîñòè, íà ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè, òî åñòü íà ìåõàíèçì èíòåðåðåíöèè àìïëèòóä. Ýòî íå îçíà÷àåò, ÷òî ìû äîëæíû îáÿçàòåëüíî èñïîëüçîâàòü äëÿ âû÷èñëåíèé èìåííî òó òåõíèêó ðåøåíèé äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé èëè ñóììèðîâàíèÿ äèàãðàìì, êîòîðàÿ âõîäèò â âû÷èñëèòåëüíûé àðñåíàë êâàíòîâîé òåîðèè. Íàïðîòèâ, òàì, ãäå ýòà òåõíèêà âûçûâàåò íåäîïóñòèìûé ïåðåðàñõîä âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ, îíà äîëæíà áûòü çàìåíåíà áîëåå ýêîíîìè÷íûì ïðèåìîì. Ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü îïèñûâàåìûé â ñëåäóþùåé ãëàâå ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ, çàìåíÿþùèé ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, à òàêæå ãåíåòè÷åñêèé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ êâàíòîâûõ ñöåíàðèåâ äëÿ çàäà÷ ðàññåÿíèÿ. Ïðè ýòîì â ëþáîì ñëó÷àå ïðèìåíåíèå íîâûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ïðèåìîâ äîëæíî äàâàòü òå æå àñèìïòîòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû, ÷òî è ïðèìåíåíèå ñòàíäàðòíûõ ìåòîäîâ âî âñåõ òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ñòàíäàðòíûå ìåòîäû ïðèìåíèìû è äàþò êîíêðåòíûå ðåçóëüòàòû. Ïðèìåðîì òàêîé ñèòóàöèè ÿâëÿþòñÿ ñòàöèîíàðíûå ñîñòîÿíèÿ íåñêîëüêèõ ýëåêòðîíîâ ñ ó÷åòîì ñïèíîâ â ïîëå íåñêîëüêèõ êóëîíîâñêèõ öåíòðîâ. Ïðîòèâîïîëîæíûì ïðèìåðîì, êîãäà ñòàíäàðòíûå ìåòîäû íå äàþò êîíêðåòíîãî ðåçóëüòàòà, ÿâëÿåòñÿ êâàíòîâûé êîìïüþòèíã. Êîíñòðóêòèâíàÿ èçèêà íå îáÿçàíà ìîäåëèðîâàòü ðàáîòó ìàñøòàáèðóåìîãî êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà áåç äåêîãåðåíòíîñòè, òàê êàê ýòî íå â ñîñòîÿíèè ñäåëàòü ñòàíäàðòíàÿ êâàíòîâàÿ òåîðèÿ. Ïðîåêò êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà ÿâëÿåòñÿ èìåííî ïðîåêòîì êâàíòîâîé èçèêè, ðåàëèçóåìîñòü êîòîðîãî íå ïîäòâåðæäåíà ýêñïåðèìåíòàìè, è ïîòîìó êîíñòðóêòèâíàÿ èçèêà íå äàñò íàì ðåøåíèå ïðîáëåìû àêòîðèçàöèè ïî àëãîðèòìó Øîðà. Íî êîíñòðóêòèâíàÿ èçèêà äîëæíà äàòü îòâåò íà âîïðîñ î òîì, ÷òî áóäåò, åñëè ìû âñå-òàêè ïîïûòàåìñÿ ðåàëèçîâàòü ïðàêòè÷åñêè êâàíòîâûé êîìïüþòåð, ñêàæåì, íà èîíàõ â ëîâóøêå Ïàóëÿ. Ïðè ýòîé ðåàëèçàöèè ìû ÿâíî óâèäèì, êàê èìåííî âëèÿíèå äåêîãåðåíòíîñòè ïîãóáèò êâàíòîâîå âû÷èñëåíèå, òàê êàê äåêîãåðåíòíîñòü ÿâëÿåòñÿ âñòðîåííûì ñâîéñòâîì ìîäåëèðóþùèõ àëãîðèòìîâ, èñïîëüçóåìûõ â êîíñòðóêòèâíîé èçèêå. Íàêîíåö, ñîõðàíåííûì äîëæåí áûòü òàê íàçûâàåìûé ìíîãî ÷àñòè÷íûé ãèëüáåðòîâ îðìàëèçì ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè, ïðè êîòîðîì ñòðîãî ðàçäåëÿþòñÿ êâàíòîâûå ìèðû, ñîñòîÿùèå èç íàáîðîâ ýêçåìïëÿðîâ ðåàëüíûõ êâàíòîâûõ ÷àñòèö, ñîñòàâëÿþùèõ ðàññìàòðèâàåìóþ ñèñòåìó (ñì. ñëåäóþùóþ ãëàâó). Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ãèëüáåðòîâ îðìàëèçì ÿâëÿåòñÿ ïîëíîñòüþ êîí-

132

ËÀÂÀ 4.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

ñòðóêòèâíîé ìåòîäîëîãèåé äëÿ ðàññìîòðåíèÿ ñèñòåì ìíîãèõ ÷àñòèö, ïðèìåíåíèå êîòîðîé ñîâåðøåííî íå çàâèñèò îò òîãî, êàêèì àíàëèçîì ìû ïîëüçóåìñÿ: òðàäèöèîííûì èëè êîíñòðóêòèâíûì. Ýòà ìåòîäîëîãèÿ íåðàçðûâíî ñâÿçàíà ñ ïðèìåíåíèåì òåõ âû÷èñëèòåëüíûõ ïðèåìîâ òèïà äèåðåíöèðîâàíèÿ è èíòåãðèðîâàíèÿ, î êîòîðûõ ãîâîðèëîñü âûøå, è êîòîðûå ïðîñòî íå áóäóò ðàáîòàòü áåç ãèëüáåðòîâà îðìàëèçìà. Òàêèì îáðàçîì, ïîëíîñòüþ ñîõðàíÿåòñÿ òà èíòðèãà êâàíòîâîé òåîðèè, êîòîðàÿ ñâÿçàíà ñ åå ìíîãî ìèðîâîé èíòåðïðåòàöèåé è âîçìîæíîñòè âëèÿíèÿ ýòèõ ìèðîâ äðóã íà äðóãà. Îäíàêî ýòà èíòðèãà ðàçðåøàåòñÿ, îò÷àñòè, îïèñûâàåìûì íèæå ãåíåòè÷åñêèì ìåòîäîì ïîñòðîåíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñöåíàðèåâ, è, îò÷àñòè, ïðèñóòñòâèåì â íàøèõ ìîäåëÿõ ïîëüçîâàòåëÿ, íàäåëåííîãî ïðàâàìè ýêñïåðòà. Ýòî ðåøåíèå, â îòëè÷èå îò íåêîòîðûõ äðóãèõ ïîäõîäîâ, âïîëíå êîíñòðóêòèâíî. Îäíàêî îíî íå ïðîòèâîðå÷èò âëèÿíèþ íà ýêñïåðèìåíò âîëåâîãî óñèëèÿ ýêñïåðèìåíòàòîðà; ïðîñòî òàêîãî ðîäà óñèëèÿ âñåãäà äîëæíû òðàêòîâàòüñÿ ÷åðåç âêëþ÷åíèå â ðàññìàòðèâàåìóþ ñèñòåìó ÷àñòèö, ñâÿçàííûõ ñ ñàìèì ýêñïåðèìåíòàòîðîì. Ïîòåíöèàëüíàÿ îñóùåñòâèìîñòü òàêîãî âêëþ÷åíèÿ âñåãäà îáåñïå÷èâàåòñÿ óíäàìåíòàëüíûì ïðèíöèïîì êîíñòðóêòèâíîé èçèêè, òðåáóþùèì íå áîëåå ÷åì ëèíåéíîãî ðîñòà âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ. Ñîõðàíåíèå ãèëüáåðòîâà îðìàëèçìà, îïÿòü òàêè íå îçíà÷àåò èñïîëüçîâàíèÿ ïðè ìîäåëèðîâàíèè âîëíîâîé óíêöèè äëÿ

n

÷àñòèö âèäà

|Ψ(r1 , r2 , . . . , rn )i. Èñïîëüçîâàíèå òàêîé óíêöèè, êàê ìû óæå âèäåëè, âûçûâàåò íåïðèåìëåìûé ðîñò âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ ïðè ìîäåëèðîâàíèè. Ïîýòîìó âìåñòî òàêèõ îáúåêòîâ äîëæíû áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ áîëåå ïðàêòè÷íûå ìåòîäû, íàïðèìåð òàêèå, êàê ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ ìíîãèõ ÷àñòèö, ñâÿçàííûé ñ èõ ãðóïïèðîâêîé â êîðòåæè (ñì. ñëåäóþùóþ ãëàâó) è èñïîëüçîâàíèåì ëåáåãîâñêîé ñõåìû èíòåãðàöèè âìåñòî ðèìàíîâñêîé. åçþìèðóÿ ñòàíäàðòíóþ êâàíòîâóþ òåîðèþ, ìû ñêàæåì, ÷òî îí äîëæíà áûòü ñîõðàíåíà âñÿ, çà èñêëþ÷åíèåì òîé åå ÷àñòè, êîòîðàÿ íåîòäåëèìà îò àáñòðàêöèè ïîòåíöèàëüíîé îñóùåñòâèìîñòè, è íå ìîæåò áûòü êîíñòðóêòèâèçèðîâàíà. Ìíå èçâåñòíî òîëüêî îäíî òàêîå ïîñòðîåíèå â êâàíòîâîé òåîðèè: ìàñøòàáèðóåìûé êâàíòîâûé êîìïüþòåð. Ýòîò ïðîåêò íå ìîæåò áûòü ïåðåíåñåí â êîíñòðóêòèâíóþ èçèêó è äîëæåí áûòü ïðèíåñåí â æåðòâó ïëàíèðóåìîìó ïðåîáðàçîâàíèþ òåîðèè. Ïîä÷åðêèâàþ, ÷òî ðå÷ü èäåò èìåííî î íåîãðàíè÷åííî ìàñøòàáèðóåìîì êâàíòîâîì êîìïüþòåðå. Îãðàíè÷åííûå åãî âàðèàíòû óæå ðàáîòàþò â ðåàëüíîñòè, è åñòü íàäåæäû íà ïîëó÷åíèå ðåàëüíîé îòäà÷è îò òàêèõ êâàíòîâûõ ïðîöåññîðîâ ïðè ìîäåëèðîâàíèè, ïðåæäå âñåãî, èçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ (íà ýòó òåìó ñì. ðàáîòû [53℄,[54℄, [55℄). Áîëåå òîãî, ýêñïåðèìåíòû â îáëàñòè êâàíòîâîãî êîìïüþòèíãà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé íåîáõîäèìûé ýêñïåðèìåíòàëüíûé óíäàìåíò îáíîâëåííîé êâàíòîâîé èçèêè, òàê êàê îíè ñïîñîáíû ïðîÿñíèòü ïðèíöèïèàëüíûé äëÿ íàñ âîïðîñ î âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñàõ, òðåáóåìûõ äëÿ

4.10.

ÅÇÞÌÅ ÑÒÀÍÄÀÒÍÎÉ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÌÅÕÀÍÈÊÈ

133

ìîäåëèðîâàíèÿ ñëîæíûõ ñèñòåì èç ìíîãèõ ÷àñòèö. Ìû êîñíåìñÿ ýòîãî âîïðîñà â ãëàâå 5.

134

ËÀÂÀ 4.

ÊÂÀÍÒÎÂÛÅ ÏÎÖÅÑÑÛ

ëàâà 5 Àëãîðèòìè÷åñêàÿ ìîäèèêàöèÿ êâàíòîâîé òåîðèè

Ìû âèäåëè, ÷òî êîíñòðóêòèâíàÿ ìàòåìàòèêà â áîëüøåé ìåðå àïåëëèðóåò ê îïûòó äëÿ ïðîâåðêè ñâîèõ àêñèîì, ÷åì ìàòåìàòèêà êëàññè÷åñêàÿ. Ïîòîìó îíà è â áîëüøåé ìåðå çàâèñèò îò èçè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòîâ. Ýòî ïðîÿâëÿåòñÿ, íàïðèìåð, â òîì, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêèé êîíñòðóêòèâèçì ñîäåðæèò êîíöåïöèþ ìíîæåñòâåííîñòè, èëè ïëþðàëèçìà. Èñòèííîñòíûå îöåíêè â êîíñòðóêòèâèçìå ìåíåå äåòåðìèíèðîâàíû, ÷åì â êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêå - â ýòîì ìû èìåëè âîçìîæíîñòü óáåäèòüñÿ íà ïðèìåðå ìîäåëåé Êðèïêå. Êëàññè÷åñêàÿ ìàòåìàòèêà ñîäåðæèò êîíöåïöèþ àáñîëþòíîé èñòèíû; åñëè ìû âûáèðàåì àêñèîìàòè÷åñêóþ òåîðèþ è êîíêðåòíóþ ìîäåëü, òî åñòü àëãåáðàè÷åñêóþ ñèñòåìó, òî äëÿ ëþáîé îðìóëû ýòîé òåîðèè îíà áóäåò ëèáî èñòèííîé, ëèáî ëîæíîé.  êîíñòðóêòèâèçìå ýòî íå òàê. Õîòÿ êîíñòðóêòèâíàÿ ìàòåìàòèêà è äàåò ñèñòåìó ëîãè÷åñêîãî âûâîäà, ñòîëü æå íàäåæíóþ, êàê è êëàññè÷åñêàÿ, íî ýòà ñèñòåìà ñîäåðæèò áîëüøå îãðàíè÷åíèé, ÷åì ñèñòåìà êëàññè÷åñêîãî âûâîäà. Îãðàíè÷åíèÿ êîíñòðóêòèâèçìà âûòåêàþò èç åãî ïðîöåäóðíîãî õàðàêòåðà, è ïðèíÿòèå ýòèõ îãðàíè÷åíèé ñ íåîáõîäèìîñòüþ çàñòàâëÿåò íàñ îòêàçàòüñÿ îò òîãî ïîíèìàíèÿ "àáñîëþòíîé èñòèíû êîòîðîå ñóùåñòâóåò â êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêå, è êîòîðîå âûðàæàåòñÿ òåîðåìîé åäåëÿ î ïîëíîòå èñ÷èñëåíèÿ ïðåäèêàòîâ. Ïîïûòêà ïîñòðîèòü àíàëîã òåîðåìû åäåëÿ äëÿ êîíñòðóêòèâíîé ëîãèêè ïðèâîäèò ê ìîäåëÿì Êðèïêå, òî åñòü ê òîìó ïëþðàëèçìó èñòèííîñòíûõ îöåíîê, êîòîðûå è ÿâëÿþòñÿ ðîäîâîé ìåòêîé êîíñòðóêòèâèçìà.  ïðèìåíåíèè ê èçèêå ýòî îçíà÷àåò î÷åíü âàæíóþ âåùü. Êîíñòðóêòèâíàÿ ìàòåìàòèêà ïðîñòî íå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü áåç èçè÷åñêîé ÷àñòè. Ïðèâëå÷åíèå èçè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòîâ â êîíñòðóêòèâèçìå íåîáõîäèìî äëÿ ñîõðàíåíèÿ åãî öåëîñòíîñòè. Åñëè êëàññè÷åñêàÿ ìàòåìàòèêà ìîæåò ñóùåñòâîâàòü â òàê íàçûâàåìîì "÷èñòîì"âèäå, òî åñòü â âèäå, ñâîáîäíîì òî êàêèõ áû òî íè áûëî (â òîì ÷èñëå è èçè÷åñêèõ) ïðèëîæåíèé, òî äëÿ êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòèêè ýòî íåâîçìîæíî. Îíà ñîçäàíà, ïî-ñóùåñòâó, òîëüêî äëÿ îäíîé öåëè: ñëóæèòü èçèêå â êà÷åñòâå îðìàëüíîãî àïïàðàòà òåîðèè. Ïîýòîìó àëãîðèòìè÷åñêàÿ âåðñèÿ 135

136 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ èçè÷åñêèõ òåîðèé, è ïðåæäå âñåãî, ñàìîé ïðîäâèíóòîé èç íèõ - êâàíòîâîé ìåõàíèêè - ÿâëÿåòñÿ íåîòúåìëåìîé ñîñòàâíîé ÷àñòüþ êîíñòðóêòèâèçìà. Êîíñòðóêòèâèçàöèÿ êâàíòîâîé òåîðèè òðåáóåò ñîâåðøåííî êîíêðåòíîé ýâðèñòèêè äëÿ ïîñòðîåíèÿ àëãîðèòìîâ ìîäåëèðîâàíèÿ.  ýòîé ãëàâå ïðåäëàãàåòñÿ òàêàÿ ýâðèñòèêà, îñíîâàííàÿ íà ïîíÿòèè òî÷å÷íîé ÷àñòèöû: ýâðèñòèêà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ. Ýòîò ïîäõîä, ñòðîãî ãîâîðÿ, íå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííî âîçìîæíûì ïðè êîíñòðóêòèâèçàöèè êâàíòîâîé èçèêè.

1

Äîñòîèíñòâî ýâðèñòèêè

òî÷å÷íûõ ÷àñòèö â òîì, ÷òî îíà íàãëÿäíà è ïîòîìó ïðèìåíÿåòñÿ âî âñåõ äðóãèõ ÷àñòÿõ åñòåñòâîçíàíèÿ.  èçèêå ìèêðîìèðà ðåàëüíûå ÷àñòèöû âåäóò ñåáÿ íå òàê, êàê âåëè áû ñåáÿ òî÷å÷íûå ÷àñòèöû â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå, è ïîýòîìó øèðîêî ðàñïðîñòðàíèëîñü îøèáî÷íîå ìíåíèå î òîì, ÷òî ýâðèñòèêà ÷àñòèö äîëæíà áûòü çàìåíåíà âîëíîâûìè óíêöèÿìè è îïåðàòîðàìè.

2

 äåéñòâèòåëüíîñòè,

åñëè ìû õîòèì äâèãàòüñÿ âïåðåä, íàì ñîâåðøåííî íåîáõîäèìî èìåòü ýâðèñòèêó êâàíòîâîé èçèêè íà ÿçûêå ÷àñòèö, à íå âîëíîâûõ óíêöèé, ïîòîìó ÷òî ñ âîëíîâûìè óíêöèÿìè íåëüçÿ ðàáîòàòü â ìíîãî ÷àñòè÷íîé îáëàñòè. Êëþ÷åâûì ìîìåíòîì ýâðèñòèêè ÷àñòèö ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå î ðåàëüíîé ÷àñòèöå êàê îá àíñàìáëå òî÷å÷íûõ ÷àñòèö - åå ýêçåìïëÿðîâ.  ýòîì ñîñòîèò èäåÿ ìåòîäà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ. Ìû ïîêàæåì, êàê ñ ïîìîùüþ ýòîãî ìåòîäà ìîæíî âîñïðîèçâîäèòü âûâîäû, ñäåëàííûå â ñòàíäàðòíîì êâàíòîâîì îðìàëèçìå. Çàìå÷ó, ÷òî è çäåñü îïèñûâàåìûé íèæå ïîäõîä íå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííî âîçìîæíûì. Íàïðèìåð, åñëè ìû ñîõðàíèì êîìïëåêñíûå ÷èñëà â îñíîâå îðìàëèçìà, ìîæíî áûëî áû îáëåã÷èòü íàøó çàäà÷ó, âîñïîëüçîâàâøèñü åéíìàíîâñêîé òåõíèêîé èíòåãðàëîâ ïî òðàåêòîðèÿì. Ýòîò ïóòü àêòè÷åñêè óæå îïèñàí íàìè âûøå. Îí â òî÷íîñòè ñîîòâåòñòâóåò ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè. Åãî íåäîñòàòîê â òîì, ÷òî ó ÷àñòèö òàì íåò èñòîðèè, è ïîòîìó ýâðèñòèêà îêàçûâàåòñÿ îñëàáëåííîé: âîçíèêàþò òðóäíîñòè ïðè åå ïðèìåíåíèè ê ìíîãî÷àñòè÷íûì ñèñòåìàì. Íàëè÷èå ó òî÷å÷íîé ÷àñòèöû åå èñòîðèè - ýëåìåíò ýâðèñòèêè,

3

âàæíûé äëÿ ìàñøòàáèðîâàíèÿ. . ëàâíûé äîâîä çäåñü â òîì, ÷òî êîíñòðóêòèâèçàöèÿ êâàíòîâîé òåîðèè ìîæåò äàòü íàì ÷òî-òî íîâîå òîëüêî åñëè îíà áóäåò ðàäèêàëüíîé. Êëþ÷åâûì äëÿ êîíñòðóêòèâèçàöèè èçèêè ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ î àëãîðèòìè÷åñêîé îðìóëèðîâêå êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Ìû ïðèíèìàåì áåç îáñóæäåíèé, ÷òî ïðàâèëüíîå îïèñàíèå ýëåìåíòàðíûõ ðåàêöèé ìåæäó

n ÷àñòèöàìè

äîñòàòî÷-

íî äëÿ ïîñòðîåíèÿ àêòóàëüíûõ ìîäåëåé ïðîöåññîâ ëþáîé ñòåïåíè ñëîæíîñòè, âêëþ÷àÿ îïèñàíèå ïðîñòåéøèõ îðì æèçíè, íàïðèìåð, âèðóñîâ èëè áàêòåðèé. À èìåííî, äîñòàòî÷íî ïðîñòàÿ ïðîöóåäóðà îáîáùåíèÿ ïðîöåññîâ ðàññåÿíèÿ ìíîãèõ ÷àñòèö äàñò íàì êàðòèíó ïîâåäåíèÿ î÷åíü ñëîæíûõ îáúåêòîâ. 1 Íàïðèìåð, ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñåáå, ÷òî êòî-ëèáî áóäåò ñòðîèòü ìîäåëèðóþùèå àëãîðèòìû íà îñíîâå, ñêàæåì, âîëíîâûõ óíêöèé. 2 Âìåñòî áåññìûñëåííîé ïîëåìèêè ñî ñòîðîííèêàìè ýòîé òî÷êè çðåíèÿ ÿ ìîãó ïðåäëîæèòü èì îïèñàòü íà ÿçûêå âîëíîâûõ óíêöèé ïðîöåññ ðåïëèêàöèè ÄÍÊ. 3 Ýòî òàêæå ñâÿçàíî ñ äîïóñêàåìîé êîíñòðóêòèâíûì îðìàëèçìîì âîçìîæíîñòüþ ñóùåñòâîâàíèÿ ãåíåòè÷åñêîé ïàìÿòè ó ÷àñòèö, ÷òî îáñóæäàåòñÿ íèæå.

5.1.

Î ÔÈÇÈ×ÅÑÊÎÌ ÑÌÛÑËÅ ÀË ÅÁÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÎÏÅÀÖÈÉ

137

Êàê ìû óáåäèëèñü â ïðåäûäóùåé ãëàâå, ãèëüáåðòîâ îðìàëèçì êâàíòîâîé òåîðèè íåëüçÿ ìîäåëèðîâàòü â ðàìêàõ ýåêòèâíûõ êëàññè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ. Òåì íå ìåíåå âïå÷àòëÿþùèå óñïåõè ïðèìåíåíèÿ êîìïüþòåðîâ â êâàíòîâîé èçèêå ñâèäåòåëüñòâóåò î áåçóñëîâíîé ïåðñïåêòèâíîñòè ìîäåëèðîâàíèÿ ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ. Ýòî ñâÿçàíî ñ ÿâëåíèåì äåêîãåðåíòíîñòè, òî åñòü ïðîèçâîëüíîé ïîð÷è ñëîæíûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé, ÷òî äåëàåò èõ áîëåå ïðîñòûìè, è, òåì ñàìûì, îáëåã÷àåò êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå. Òåì íå ìåíåå, äåêîãåðåíòíîñòü, êàê ìû âèäåëè âûøå, íå âõîäèò â "áèáëèþ"ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè, è ðàññìàòðèâàåòñÿ èññëåäîâàòåëÿìè êàê ñâîåãî ðîäà òðåíèå, òî åñòü ïîñòîðîííèé àêòîð, èñêàæàþùèé èäåàëüíóþ êàðòèíó. Íàø âçãëÿä íà äåêîãåðåíòíîñòü ïðèíöèïèàëüíî èíîé. Îòêëîíåíèå îò óíèòàðíîñòè êâàíòîâîé ýâîëþöèè ñ òî÷êè çðåíèÿ àëãîðèòìèçìà ïðîèñõîäèò èççà òîãî, ÷òî êëàññè÷åñêîé ïàìÿòè ïðîñòî íå õâàòàåò äëÿ ðàçìåùåíèÿ ñëîæíûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé. Ýòî ìîæåò âûãëÿäåòü íåïðèâû÷íî, íî íàäî ïîíèìàòü, ÷òî ìû ïðèäàåì àëãîðèòìàì ñòàòóñ ýëåìåíòà íîâîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà êâàíòîâîé òåîðèè, à îïèñàíèå ëþáîãî èçè÷åñêîãî ÿâëåíèÿ, äàííîå àïïàðàòîì, ÿâëÿåòñÿ èñ÷åðïûâàþùèì, è íå òðåáóåò ïîèñêà åùå áîëåå óíäàìåíòàëüíûõ "ìåõàíèçìîâ". Ïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ, ñîðìóëèðîâàííûé Áîðîì äëÿ ñîîòíîøåíèÿ êâàíòîâîé è êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè, áóäåò èìåòü ñâîé ñîâåðøåííî îïðåäåëåííûé ñìûñë è äëÿ íîâîé ñèòóàöèè, äëÿ ñîîòâåòñòâèÿ ìåæäó ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé ìåõàíèêîé è àëãîðèòìè÷åñêîé êâàíòîâîé òåîðèåé. Ýòîò ïðèíöèï ñîîâåòñòâèÿ, ïåðåîðìóëèðîâàííûé äëÿ íàøåãî ñëó÷àÿ, ïðèìåò òàêîé âèä. Ïðè àëãîðèòìè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè ðåñóðñû âû÷èñëèòåëüíîé ìàøèíû äîëæíû ðàñïðåäåëÿòüñÿ òàê, ÷òîáû îáåñïå÷èòü íàèëó÷øåå ïðèáëèæåíèå ê ñòàíäàðòíîìó îðìàëèçìó ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ. Èç ýòîãî âûòåêàåò, ÷òî ïðè ïîòåíöèàëüíî íåîãðàíè÷åííûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñàõ àëãîðèòìè÷åñêîå îïèñàíèå ïðåâðàùàåòñÿ â ñòàíäàðòíûé îðìàëèçì ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ. Ýòîò ïðèíöèï ñîîòâåòñòâèÿ äëÿ àëãîðèòìèêè ñîäåðæèò îäíó îñîáåííîñòü: íåïîíÿòíî, êàêîå ïðèáëèæåíèå ê ñòàíäàðòíîìó îðìàëèçìó ÿâëÿåòñÿ íàèëó÷øèì. Âîïðîñ î êà÷åñòâå ïðèáëèæåíèÿ àêòè÷åñêè ðåøàåòñÿ ïîëüçîâàòåëåì ìîäåëè ñ ïîìîùüþ ýêñïåðòíîé îöåíêè. Ìû ïîêàæåì, ÷òî ýòà îöåíêà â äîñòàòî÷íî øèðîêîì êëàññå çàäà÷ ìîæåò áûòü â áîëüøîé ñòåïåíè îðìàëèçîâàíà, òî åñòü ñâåäåíà ê âûáîðó ìåæäó îòâåòàìè "äà"è "íåò". Ýòî áóäåò ïðåèìóùåñòâîì àëãîðèòìèêè ïåðåä ñòàíäàðòíûì ïîäõîäîì, ãäå äåêîãåðåíòíîñòü âîîáùå íå èìååò ïåðâîïðèíöèïíîé ìîäåëè, òàê êàê ñòàòóñ íàáëþäàòåëÿ òàì íåîïðåäåëåí.

5.1

Î èçè÷åñêîì ñìûñëå àëãåáðàè÷åñêèõ îïåðàöèé

Êîíñòðóêòèâèçàöèÿ êâàíòîâîé òåîðèè ïðåäóñìàòðèâàåò ïåðåõîä îò ìàòåìàòè÷åñêîãî êîíñòðóêòèâèçìà ê ïðàêòè÷åñêîé ðàáîòå ïî ïðåîáðàçîâàíèþ êâàíòîâîé

138 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ òåîðèè. Ìû ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèáëèæàåìñÿ ê ýòîé öåëè, íî äîëæíû ïîñâÿòèòü åùå íåêîòîðîå âíèìàíèå îáùèì âîïðîñàì, áåç êîòîðûõ ýåêòèâíàÿ ïðàêòè÷åñêàÿ ðàáîòà íåâîçìîæíà. Ìû óæå âèäåëè ïîðî÷íîñòü ñòàíäàðòíîãî îðìàëèçìà, îñíîâàííîãî íà àíàëèçå, è ó íàñ åñòü àëüòåðíàòèâà: êîíñòðóêòèâíûé àíàëèç, îñíîâàííûé íà àëãîðèòìàõ è ïðèáëèæåíèÿõ. Íî ýòîãî ìàëî. Íóæíà åùå ýâðèñòèêà ïîñòðîåíèÿ àëãîðèòìîâ, áåç êîòîðîé îïðåäåëåíèå ìàøèí Òüþðèíãà èëè îáùèå òåîðåìû áóäóò áåñïîëåçíûìè èãðóøêàìè. Ó íàñ åùå íåò ýòîé ýâðèñòèêè, è ìû ìîæåì ïîñòðîèòü åå, òîëüêî ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå óæå ñóùåñòâóþùóþ ýâðèñòèêó ñòàíäàðòíîé àëãåáðû. Èòàê, íàì ïðåäñòîèò áîëåå âíèìàòåëüíî ïðîàíàëèçèðîâàòü ñìûñë àëãåáðàè÷åñêèõ îïåðàöèé, ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðèíÿòûì â ñòàíäàðòíîé èçèêå. Òîò ýâðèñòè÷åñêèé àíàëèç, êîòîðûé ìû ïðîâåäåì â ýòîì ðàçäåëå, ïîìîæåò íàì ïîçæå ïîíÿòü ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ. ×èòàòåëü äîëæåí áûòü óæå ãîòîâ ê òîìó, ÷òî àëãåáðàè÷åñêàÿ òåõíèêà áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò òîé, êîòîðàÿ íàì íóæíà, ïîòîìó ÷òî íàøà çàäà÷à íå â òîì, ÷òîáû îïèñàòü ýòó òåõíèêó, à â òîì, ÷òîáû åå èçìåíèòü â íóæíóþ íàì ñòîðîíó.  ÷åì ñîñòîèò ïðèðîäà ÷èñëà? Ýòî êîëè÷åñòâî îäíîòèïíûõ îáúåêòîâ, íàçûâàåìûõ ýêçåìïëÿðàìè, â íåêîòîðîì ìíîæåñòâå

M.

Ïðåäñòàâèì ñåáå ÷åëîâå-

êà, íå çíàêîìîãî ñ àðèìåòèêîé, íî êîòîðîìó íóæíî íàó÷èòüñÿ îïåðèðîâàòü ñ òàêèìè êîëè÷åñòâàìè. Åñëè îáúåäèíèòü äâà ìíîæåñòâà, òî ó íàñ ïîëó÷èòñÿ ñóììà ÷èñåë âõîäÿùèõ â íèõ ýêçåìïëÿðîâ. Ñêëàäûâàòü êîëè÷åñòâà ìîæíî ïî ðàçíîìó. Íàïðèìåð, ìîæíî ïåðåêëàäûâàòü èç ìåøêà â ìåøîê ýêçåìïëÿðû ïî îäíîìó. À ìîæíî ïðîñòî çàñûïàòü èõ ñðàçó. Ïîêà ýòî íå èãðàåò îñîáîé ðîëè. Íî âû÷èòàíèå âñòðåòèòñÿ ñ îïðåäåëåííîé òðóäíîñòüþ: íàì ìîæåò íå õâàòèòü ýêçåìïëÿðîâ. Çäåñü ìîæíî ïîñòóïèòü òàê: çàâåñòè íåêèé çàïàñ òàêèõ ýêçåìïëÿðîâ, è äîáàâëÿòü èõ â òî ìíîæåñòâî, ãäå èõ íå õâàòàåò, ñïåöèàëüíî çàïîìèíàÿ, êóäà è ñêîëüêî ýêçåìïëÿðîâ äîáàâëåíî. Íî òóò ñðàçó æå âîçíèêàåò ñåðüåçíûé âîïðîñ î òîì, êàê ìû áóäåì çàïèñûâàòü êîëè÷åñòâà. Êîãäà ó íàñ íå áûëî âû÷èòàíèÿ, âñå áûëî ïðîñòî, ìû õðàíèëè ýêçåìïëÿðû, íàïðèìåð, â ìåøêàõ, è ïî ìåðå íåîáõîäèìîñòè èõ îòòóäà èçâëåêàëè. Òåïåðü ìû äîëæíû êîäèðîâàòü êîëè÷åñòâà. Ñàìîå ïðîñòîå çäåñü: ñòàâèòü â ðÿä ïàëî÷êè:

|

îáîçíà÷àåò îäèí ýêçåìïëÿð,

||

- Äâà ýêçåìïëÿðà,

|||

òðè, è ò.ä.

Åñëè íàäî çàêîäèðîâàòü äâåíàäöàòü ýêçåìïëÿðîâ, ìû äîëæíû ðàññìàòðèâàòü èãóðó

||||||||||||.

Òóò ìîæíî äîãàäàòüñÿ, ÷òî ýòî òðóäîåìêèé ïóòü. Ìîæíî ïî-

ñòóïèòü ïðîùå: äîãîâîðèòüñÿ ïðåäñòàâëÿòü êîëè÷åñòâî ýêçåìïëÿðîâ, ñêàæåì, äåñÿòü, êàê íåêèé íîâûé ýêçåìïëÿð, à çàòåì ïðåäñòàâèòü ýòî ÷èñëî êàê äåñÿòü ïëþñ äâà. Òîãäà ïðè çàïèñè ýòî áóäåò êîðî÷å:

I||,

ãäå

I

îáîçíà÷àåò ýòîò ñàìûé

íîâûé ýêçåìïëÿð. Ïðîäîëæàÿ óñîâåðøåíñòâîâàíèÿ â òîì æå äóõå, ìû áûñòðî ïðèäåì ê àðèìåòè÷åñêîé çàïèñè êîëè÷åñòâ, òî åñòü ê ÷èñëàì. Êàê ëåãêî ïîíÿòü, âûèãðûø îò òàêîãî ïåðåõîäà áóäåò ýêñïîíåíöèàëüíûé, êàê ïî ïàìÿòè, òàê è ïî âðåìåíè. Òåïåðü äëÿ ñëîæåíèÿ íàì íå íàäî ïåðåáèðàòü âñå ýëåìåíòû â ìåøêàõ. Äîñòàòî÷íî ïðèìåíèòü ïðàâèëî ñëîæåíèÿ ÷èñåë â àðèìåòè÷åñêîé çàïèñè. Êàê íàì ïðåäñòàâèòü îïåðàöèþ óìíîæåíèÿ? Ìîæíî îïðåäåëèòü åå òàê, êàê

5.1.

Î ÔÈÇÈ×ÅÑÊÎÌ ÑÌÛÑËÅ ÀË ÅÁÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÎÏÅÀÖÈÉ

139

ýòî äåëàåòñÿ â òåîðèè àëãîðèòìîâ, òî åñòü ñ ïîìîùüþ ïðèìèòèâíîé ðåêóðñèè. Ñíà÷àëà ïîÿñíèì ÷òî ýòî òàêîå íà ïðèìåðå ñëîæåíèÿ. Áàçèñîì áóäåò

a + 0 = a.

a + (x + 1) = (a + x) + 1. Ýëåìåíòàðíàÿ îïåðàa + x íà äàííîì øàãå óæå îïðåäåëèòü a + (x + 1) ñ ïîìîùüþ äàííîé îðìóëû.

Øàã ðåêóðñèè î÷åíü ïðîñò:

öèÿ ðåêóðñèè åñòü ïðèáàâëåíèå åäèíèöû. Òàê êàê îïðåäåëåíî, ìû ìîæåì

Àíàëîãè÷íî, óæå èìåÿ ñëîæåíèå, ìû ìîæåì îïðåäåëèòü è óìíîæåíèå. åêóðñèÿ äëÿ íåãî âûãëÿäèò òàê. Áàçèñ.

a0 = 0.

Øàã.

a(x + 1) = ax + a.

Êàê âè-

äèì, âñå î÷åíü ïðîñòî! Åñëè îñâîèòü ïðèåì óìíîæåíèÿ â ñòîëáèê ÷èñåë â àðè2 ìåòè÷åñêîé çàïèñè, óìíîæåíèå ïîòðåáóåò ïîðÿäêà O(n ) îïåðàöèé íà ìàøèíå Òüðèíãà, ãäå

N

n

åñòü äëèíà çàïèñè ÷èñåë. Åñëè æå âñïîìíèòü, ÷òî êîëè÷åñòâî n ýêçåìïëÿðîâ ñâÿçàíî ñ äëèíîé àðèìåòè÷åñêîé çàïèñè ÷èñëà êàê N = 10 ,

ìû ïîëó÷èì, ÷òî îïåðàöèè íàä êîëè÷åñòâàìè â àðèìåòè÷åñêîé çàïèñè äàþò ýêñïîíåíöèàëüíûé âûèãðûø ïî ñðàâíåíèþ ñ ìàíèïóëÿöèÿìè ñ ìåøêàìè. Îäíàêî íè÷åãî áåñïëàòíîãî íå áûâàåò. Çà òàêóþ áûñòðîòó ïðèäåòñÿ êîå-÷åì çàïëàòèòü. Çäåñü ìû ïëàòèì èíäèâèäóàëüíîñòüþ ýêçåìïëÿðîâ. Åñëè â ìåøêå íàõîäÿòñÿ îäèíàêîâûå ìîíåòû, ýòîò ñïîñîá ïîäõîäèò. Åñëè òàì ëåæàò, ñêàæåì, êàðòîåëèíû, êîòîðûå íåìíîãî ðàçëè÷àþòñÿ, àðèìåòè÷åñêèé ñïîñîá òàêæå íåïëîõ, ïîòîìó ÷òî ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî âñå êàðòîåëèíû ïðèìåðíî îäèíàêîâû. Íî ðàçíèöà ñòàíîâèòñÿ ïðèíöèïèàëüíîé, íàïðèìåð, åñëè ìû èìååì äåëî ñ æèâûìè ñóùåñòâàìè, êàæäîå èç êîòîðûõ îáëàäàåò ñâîåé èíäèâèäóàëüíîñòüþ. Ýòî è îïðåäåëÿåò òó ãðàíèöó, ãäå àëãåáðàè÷åñêèå ïðèåìû íå ìîãóò áûòü ýåêòèâíûìè. Òåì íå ìåíåå, óíäàìåíòàëüíîñòü èçè÷åñêèõ çàêîíîâ îçíà÷àåò, ÷òî îíè â ðàâíîé ìåðå îòíîñÿòñÿ è ê æèâîìó ìèðó. Äëÿ íàñ ýòî îñîáåííî àêòóàëüíî, ïîñêîëüêó íàøà öåëü - ìîäåëèðîâàíèå ñëîæíûõ ñèñòåì. Ïîýòîìó ìû îáÿçàíû ïðîñëåäèòü, êàêèì îáðàçîì ìîæíî ïðîèçâîäèòü àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè ñ òàêèìè äåëèêàòíûìè îáúåêòàìè, êîòîðûå íå äîëæíû ïðè ýòîì òåðÿòü ñâîåé èíäèâèäóàëüíîñòè. àçóìååòñÿ, ýòî ïîòðåáóåò îò íàñ òàêæå ñîîòâåòñòâóþùåé ïëàòû. Èòàê, ìû óæå âèäåëè, ÷òî ñëîæåíèå ýêçåìïëÿðîâ â ìåøêàõ íå ïðåäñòàâëÿåò îñîáûõ ïðîáëåì. Êàê áûòü ñ óìíîæåíèåì? Ìîæíî äåéñòâîâàòü â ñîîòâåòñòâèè ñ ðåêóðñèâíûì îïðåäåëåíèåì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû èçâëåêàåì ïî î÷åðåäè êàæäûé ýêçåìïëÿð èç ïåðâîãî ìåøêà, è ïðîèçâîäèì äëÿ íåãî òàêóþ ïðîöåäóðó: ïî î÷åðåäè èçâëåêàÿ ýêçåìïëÿðû èç âòîðîãî ìåøêà, çàâîäèì äëÿ êàæäîãî èç íèõ îäèí íîâûé ýêçåìïëÿð, êîòîðûé áåðåì èç ðåçåðâà, è â ðåçóëüòàòå ñêëàäûâàåì âñå ïîëó÷èâøèåñÿ êîëè÷åñòâà. Òàê ìû ìîæåì ñîõðàíèòü èíäèâèäóàëüíóþ ïàìÿòü î êàæäîì èç ýêçåìïëÿðîâ, ïåðåäàâàÿ åå íà êàæäîì øàãå îò óæå èìåâøèõñÿ ýêçåìïëÿðîâ ê íîâûì. Îäíàêî, íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ñòðîèòåëüñòâî åãèïåòñêèõ ïèðàìèä áóäåò áîëåå ïðîäóêòèâíûì ïóòåì ÷åì ýòîò. Èòàê, ðåêóðñèâíûå ìåòîäû, ïî êîòîðûì â ñòàíäàðòíîé ìàòåìàòèêå îïðåäåëÿþòñÿ àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè, ñëîæàò èñêëþ÷èòåëüíî äëÿ öåëåé îïðåäåëåíèÿ, íî íå ìîãóò ïðèìåíÿòüñÿ äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé. Ìû ïîäîøëè ê ìîìåíòó, êîãäà íàì íàäî ÷åì-òî æåðòâîâàòü. Åñëè ðàíüøå ó íàñ áûëî ïîëíîå ñîîòâåòñòâèå êîëè÷åñòâ è ÷èñåë, òî òåïåðü ïðèäåòñÿ íàðóøèòü

140 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ ñòðîãîñòü ýòîãî ñîîòâåòñòâèÿ.  äàëüíåéøåì ýòîò ìîìåíò áóäåò èìåòü èìåòü è äðóãèå ïðîÿâëåíèÿ, íî ìû çàèêñèðóåì ýòî èìåííî íà ïðèìåðå óìíîæåíèÿ, êàê îñíîâíîé àëãåáðàè÷åñêîé îïåðàöèè, áåç êîòîðîé íåâîçìîæíî ìîäåëèðîâàíèå èçèêè. Êàê íàì ïîñòóïèòü äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ óìíîæåíèÿ? Ìîæíî óñëîâèòüñÿ î òîì, ÷òî êîëè÷åñòâî, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ ïðè óìíîæåíèè äâóõ ðåàëüíûõ êîëè÷åñòâ, íå ÿâëÿåòñÿ ðåàëüíûì, à ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óêàçàíèå íà íåêèé âèðòóàëüíûé ïðîöåññ. Ïóñòü íàì íàäî ïåðåìíîæèòü êîëè÷åñòâà ýëåìåíòîâ â ìíîæåñòâàõ

A è B . Ïðåäñòàâèì øàã ýòîãî âèðòóàëüíîãî ïðîöåññà, êàê îáðàçîâàíèå ïàð ýëåìåíòîâ âèäà a, b, ãäå a ∈ A, b ∈ B . Âñåãî òàêèõ ñïîñîáîâ êîìáèíàöèé áóäåò êàê ðàç |A| |B|. Íî ìû íå áóäåì ÿâíî ïåðåáèðàòü èõ âñå, î îãðàíè÷èìñÿ òîëüêî âçÿòèåì îäíîãî ïðåäñòàâèòåëÿ èç ýòîãî ìíîæåñòâà. Ïîêà îñòàâèì â ñòîðîíå ñïîñîá

âûáîðà ýòîãî ïðåäñòàâèòåëÿ, íàì âàæíî, ÷òîáû îí áûë òîëüêî îäèí, òàê êàê ýòî äàñò íàì ãèãàíòñêóþ ýêîíîìèþ ïî ñðàâíåíèþ ñ ìåòîäîì åãèïåòñêèõ ïèðàìèä. Èòàê, çàèêñèðóåì íåêîòîðûé ñïîñîá ñïàðèâàíèÿ ýêçåìïëÿðîâ â äâóõ ìíîæåñòâàõ è îáðàçóåì ñîîòâåòñòâóþùèå ïàðû

a, b.

Ýòè ìû ïðîèçâåëè óìíîæåíèå

êîëè÷åñòâ. Ïîéäåì äàëüøå, è ïîñìîòðèì, êàê ìîæíî áûëî áû ââåñòè ïîíÿòèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Çäåñü íàì ïðèäåòñÿ çàïëàòèòü åùå áîëüøå, ÷åì â ñëó÷àå óìíîæåíèÿ, òàê êàê îïåðàöèè íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè ñëîæíåå, ÷åì ïðîñòîå óìíîæåíèå. Ñàìûé ïðîñòîé ñïîñîá çäåñü ñîñòîèò â ïðèâëå÷åíèè ïðîñòûõ èçè÷åñêèõ ïîíÿòèé. Ôàçà êîìïëåêñíîãî ÷èñëà ñâÿçàíà ñ èìïóëüñîì ÷àñòèöû ïðîñòûì ïðàâèëîì: âîëíîâàÿ óíêöèÿ îäíîìåðíîé ÷àñòèöû ñ èìïóëüñîì

p

exp (ipx/h). óíêöèè φ ñâÿçàíà ñ

èìååò âèä

Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì çàïèñàòü, ÷òî àçà âîëíîâîé èìïóëüñîì ñîîòíîøåíèåì

dφ p = . dx h Òàêèì îáðàçîì, èçè÷åñêèé ñìûñë àçû ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñêîðîñòü åå èçìåíåíèÿ â íåêîòîðîì íàïðàâëåíèè ïðîïîðöèîíàëüíà ïðîåêöèè èìïóëüñà ÷àñòèöû íà äàííîå íàïðàâëåíèå. Èòàê, ñìûñë èìååò íå àáñîëþòíàÿ àçà, à òîëüêî îòíîñèòåëüíàÿ, è ýòà àçà ìåíÿåòñÿ ñ òîé ñêîðîñòüþ, ñ êàêîé ÷àñòèöà äâèæåòñÿ â äàííîì íàïðàâëåíèè. Òàêèì îáðàçîì, íàäî êàê-òî îïðåäåëÿòü ïðîñòðàíñòâåííîå ïîëîæåíèå ýêçåìïëÿðîâ. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü òîëüêî ñ òî÷íîñòüþ äî îáùåãî ñäâèãà, òî åñòü ìîæíî îïðåäåëèòü òîëüêî îòíîñèòåëüíîå ïðîñòðàíñòâåííîå ïîëîæåíèå. Ó÷èòûâàÿ òî, ÷òî ñêîðîñòü ýêçåìïëÿðîâ ïðîïîðöèîíàëüíà èçìååíèþ àçû, ìû ìîæåì ïîñòóïèòü òàê. Èçìåíèòü àçó íà ïðîòèâîïîëîæíóþ, ÷òî äàñò èçìåíåíèå ñêîðîñòè íà ïðîòèâîïîëîæíóþ, à çàòåì ðàññìîòðåòü ñòîëêíîâåíèå ýêçåìïëÿðîâ â âîîáðàæàåìîì ïðîñòðàíñòâå. Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî òàêàÿ ïðîöåäóðà ïîçâîëèò îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå ýêçåìïëÿðîâ, òî èõ ïëîòíîñòü íàäî îïðåäåëÿòü êàê

f¯ f ,

ãäå

f

åñòü êîìïëåêñíîå ÷èñëî, êîòîðîå ñîïîñòàâëåíî îäíî-

ìó ýêçåìïëÿðó, ÷åðòà îçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè iφ ìû ñîïîñòàâèì êàæäîìó ýêçåìïëÿðó j íåêîå ÷èñëî f = p e j ñ îäèíàêîâûì ìîäóëåì

p

è èíäèâèäóàëüíîé àçîé

φj ,

òî èçìåíåíèå ñêîðîñòè ìîæíî âûçâàòü

5.2.

ÊÂÀÍÒÛ ÀÌÏËÈÒÓÄÛ È ÏÀÂÈËÎ ÁÎÍÀ

141

âçÿòèåì êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííîãî ÷èñëà. Òàêèì îáðàçîì, îðãàíèçàöèÿ ñòîëêíîâåíèé ýåçåìïëÿðîâ âûçûâàåòñÿ èçìåíåíèåì ñêîðîñòè íà ïðîòèâîïîëîæíóþ è îáúåäèíåíèåì ýêçåìïëÿðîâ â ïàðû. Ýòà ïðîöåäóðà ìîæåò äàòü íàì ãðóáîå îïðåäåëåíèå ïîëîæåíèÿ ýêçåìïëÿðîâ. Íî òîãäà ïëîòíîñòü ýêçåìïëÿðîâ íàäî áóäåò îïðåäåëÿòü óæå íå êàê èõ ÷èñëî, à ñ ïîìîùüþ äîâîëüíî ñâîåîáðàçíîé îïåðàöèè, âûðàæàåìîé ïðîèçâåäåíèåì ÷èñåë:

f¯ f .

Åñòü è äðóãîé ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòåé ýêçåìïëÿðîâ. Ìîæíî ðàññìîòðåòü òó òî÷êó âîîáðàæàåìîãî ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîé ýêçåìïëÿð îêàæåòñÿ ÷åðåç íåêèé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, è ïðåäïîëîæèòü, ÷òî òàì óæå åñòü íåêîòîðûé ýêçåìïëÿð. Òîãäà çàäàíèå ñêîðîñòè îçíà÷àåò ñíîâà èêñàöèþ íåêèõ ïàð ýêçåìïëÿðîâ

a1 , a2 .

Èòàê, ìû ïðèøëè ê òàêîìó âûâîäó. Óìíîæåíèå êîëè÷åñòâ âîçíèêàåò â ñâÿçè ñ íàëè÷èåì ó ýêçåìïëÿðîâ ñêîðîñòè. Óìíîæåíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê îáðàçîâàíèå ïàð ýêçåìïëÿðîâ. Óìíîæåíèå òàê æå îïðåäåëÿåò îòíîñèòåëüíîå ïðîñòðàíñòâåííîå ðàñïîëîæåíèå ýêçåìïëÿðîâ. Ýòè âûâîäû ïîêà î÷åíü íåîïðåäåëåííûå, è îíè áóäóò óòî÷íÿòüñÿ íàìè äàëåå. Íî èìåííî îíè ëåæàò â îñíîâå íóæíîé íàì ýâðèñòèêè êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ.

5.2

Êâàíòû àìïëèòóäû è ïðàâèëî Áîðíà

Ìíîãèå óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè, îïèñûâàþùèå äèíàìèêó êëàññè÷åñêèõ ñèñòåì (òåïëîïðîâîäíîñòè, êîëåáàíèé, äèóçèè) ïîÿâëÿþòñÿ â ðåçóëüòàòå ïåðåõîäà ê ïðåäåëó â çàäà÷àõ î äèíàìèêå îãðîìíîãî êîëè÷åñòâà ìàëûõ òåë, èëè êâàíòîâ âåùåñòâà. Ñîîòâåòñòâåííî, ñåðà ïðèìåíåíèÿ òàêèõ óðàâíåíèé îãðàíè÷åíà êîíå÷íîñòüþ ðàçìåðîâ ýòèõ ìàëûõ òåë. Ñàìè ýòè óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ðåçóëüòàòîì äåéñòâèÿ áîëåå óíäàìåíòàëüíûõ çàêîíîâ, èëè ìåõàíèçìîâ âçàèìîäåéñòâèÿ ìàëûõ òåë (íàïðèìåð, äëÿ óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé ýòî çàêîí óêà).  ÊÝÄ òàêîé ìåõàíèçì îïèñûâàåòñÿ äèàãðàììàìè Ôåéíìàíà äëÿ óíäàìåíòàëüíûõ ïðîöåññîâ ([14℄). Äèàãðàììû óíäàìåíòàëüíûõ ïðîöåññîâ ïîìîãàþò àëãîðèòìèçàöèè ÊÝÄ, íî íå ÿâëÿþòñÿ îêîí÷àòåëüíîé îðìîé àëãîðèòìèçàöèè, òàê êàê äîïóñêàþò îïåðàöèè ñ áåñêîíå÷íî ìàëûìè êîëè÷åñòâàìè. Àëãîðèòìèçàöèÿ îçíà÷àåò ïîëíûé ïåðåõîä íà îïåðàöèè òîëüêî ñ êîíå÷íûìè

4

ìíîæåñòâàìè . Ôîðìó àëãîðèòìèçàöèè äàåò îïèñûâàåìûé íèæå ìåòîä êîëëåê4 Çàáëóæäåíèå íåêîòîðûõ â òîì, ÷òî ýòî îãðàíè÷èò âîçìîæíîñòè òåîðèè, øèðîêî ðàñïðîñòðàíåíî, è èìååò òó æå ïðèðîäó, ÷òî è áîÿçíü àëãîðèòìîâ. Íèêòî íå ìîæåò îïåðèðîâàòü ñ áåñêîíå÷íûìè âåëè÷èíàìè, ðàâíî êàê è íå àëãîðèòìèçèðóåìûìè ïðîöåäóðàìè. Âîïðîñ òîëüêî â òîì, ÷òî êàêèå-òî ýëåìåíòû àëãîðèòìîâ ìîãóò áûòü íàì ïðîñòî íå äîñòóïíû (êàê àäìèíèñòðàòèâíàÿ ÷àñòü â êâàíòîâîé ìîäåëè). ×òî êàñàåòñÿ âíóòðåííåé êðàñîòû  ó àëãîðèòìîâ îíà íå ìåíüøå, ÷åì ó èõ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ: îðìóë. Íî ó àëãîðèòìîâ åñòü îäíî ïðèíöèïèàëüíîå äîñòîèíñòâî  âîçìîæíîñòü âèçóàëèçàöèè. Ìàòåìàòèêà, â ïðèíöèïå íå äîïóñêàþùàÿ âèçóàëèçàöèþ, ìîæåò îïèðàòüñÿ òîëüêî íà äåäóêöèîííûé ïîäõîä, à ýòî  øàòêîå îñíîâàíèå (èç-çà òåîðåìû åäåëÿ î íåïîëíîòå). Áåçîãëÿäíîå èñïîëüçîâàíèå òàêîé ìàòåìàòèêè ïîäîáíî õîæäåíèþ ïî òîíêîìó ëüäó.

142 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ òèâíîãî ïîâåäåíèÿ. Ñåé÷àñ ìû ðàññìîòðèì îäèí àñïåêò ýòîãî ìåòîäà  êâàíòîâàíèå àìïëèòóä. Äàäèì îáúÿñíåíèå ïðàâèëà Áîðíà, èñõîäÿ èç êîíöåïöèè êâàíòà àìïëèòóäû

5

(ñì. [36℄) . àññìîòðåíèå êâàíòîâîé ýâîëþöèè ñ òî÷êè çðåíèÿ ìíîãî÷àñòè÷íîãî ãèëüáåðòîâà îðìàëèçìà äàåò ñîñòîÿíèÿ âèäà

|Ψi =

X j

λj |ej i,

(5.1)

ãäå ñóììèðîâàíèå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ áàçèñíûõ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû

|ej i.

Àëãîðèòìè÷åñêèé ïîäõîä ïðåäïîëàãàåò óñå-

÷åíèå ýòîãî ðÿäà äî êîíå÷íîé ñóììû, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ åñëè ìû îòáðîñèì âñå

λj , ïî ìîäóëþ ìåíüøèìè íåêîòîðîãî çàðàíåå èç2 çíà÷åíèÿ ǫ. Òàêàÿ ñóììà äîëæíà ñîäåðæàòü íå áîëåå 1/ǫ

ñëàãàåìûå ñ êîýèöèåíòàìè âåñòíîãî ïîðîãîâîãî ñëàãàåìûõ. Ïóñòü

N

ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî

- ÷èñëî áàçèñíûõ ñîñòîÿíèé äëÿ îäíîé ÷àñòèöû. Òîãäà ìû √1 . Òàêèì îáðàçîì, ñîñòîÿíèå áóäåò èìåòü âèä N

ǫ=

|Ψi =

N X j=1

λj |ej i,

(5.2)

ãäå íåêîòîðûå ñëàãàåìûå ìîãóò áûòü íóëåâûìè. Íàçîâåì ðåäóêöèåé óíè÷òîæåíèå â çàïèñè ñîñòîÿíèÿ âñåõ ñëàãàåìûõ, àìïëèòóäû êîòîðûõ ïî ìîäóëþ ìåíüøå

ǫ. Ýòó

êîíñòàíòó áóäåì íàçûâàòü êâàíòîì

àìïëèòóäû. Ïî óìîë÷àíèþ, ìû áóäåì ïðîèçâîäèòü ðåäóêöèþ ëþáîãî ñîñòîÿíèÿ, êîòîðîå áóäåò ïîëó÷àòüñÿ â íàøåé ìîäåëè ïî îïèñûâàåìûì íèæå ïðàâèëàì. Áóäåì íàçûâàòü òàêèå ñîñòîÿíèÿ äîïóñòèìûìè. Ñåé÷àñ ìû ïðîäåìîíñòðèðóåì, êàê ïðîöåäóðà ðåäóêöèè, çàêëþ÷àþùàÿñÿ â îòáðàñûâàíèè ìàëûõ àìïëèòóä, ïðèâîäèò ê áîðíîâñêèìó ïðàâèëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ êâàíòîâîé âåðîÿòíîñòè. Íàøà öåëü - â òîì, ÷òîáû ñâåñòè âû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòè ïîëó÷åíèÿ îïðåäåëåííîãî áàçèñíîãî ñîñòîÿíèÿ êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿ

Ψ

A

ïðè èçìåðåíèè

ê ïðèìåíåíèþ êëàññè÷åñêîãî ïðàâèëà

p(A) =

Nsuc Ntot

Nsuc - ÷èñëî áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ (òî åñòü òåõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, ïðè êîòîðûõ ðåàëèçóåòñÿ ñîáûòèå A), Ntot - îáùåå ÷èñëî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ. Íàì

ãäå

íóæíî îïðåäåëèòü ìíîæåñòâî âñåõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ è óñòàíîâèòü ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ýëåìåíòàðíûìè èñõîäàìè è áàçèñíûìè ñîñòîÿíèÿìè èçìåðÿåìîé ñèñòåìû. Íàçîâåì ýëåìåíòàðíûìè èñõîäàìè òå ñîñòîÿíèÿ ðàñøèðåííîé ñèñòåìû (èçìåðÿåìàÿ ñèñòåìà + èçìåðèòåëüíûé ïðèáîð), àìïëèòóäà êîòîðûõ â äàííîì 5 Ñõîæèå

ðàññóæäåíèÿ ïðèâåäåíû â ðàáîòå [58℄, íî ó íàñ áîðíîâñêîå ïðàâèëî ïîëó÷àåòñÿ èç îáùåé àëãîðèòìè÷åñêîé êîíöåïöèè áåç äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèé.

5.2.

143

ÊÂÀÍÒÛ ÀÌÏËÈÒÓÄÛ È ÏÀÂÈËÎ ÁÎÍÀ

êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè ðàâíà ïî ìîäóëþ êâàíòó àìïëèòóäû

ǫ.

Ìíîæåñòâî ýëå-

ìåíòàðíûõ èñõîäîâ áóäåò, òàêèì îáðàçîì, çàâèñåòü îò êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿ ðàñøèðåííîé ñèñòåìû. Åñëè îáîçíà÷àòü ÷åðåç ðåç

|Φj i

|Ψj i

áàçèñíûå ñîñòîÿíèÿ èçìåðÿåìîé ñèñòåìû, à ÷å-

áàçèñíûå ñîñòîÿíèÿ èçìåðèòåëüíîãî ïðèáîðà (êîòîðûé ìîæåò áûòü,

íàïðèìåð, ãëàçîì íàáëþäàòåëÿ), ìû ïîëó÷èì ïðè êîíòàêòå ýòèõ äâóõ îáúåêòîâ ñîñòîÿíèå âèäà

X j

λj |Ψj i

O

|Φj i

(5.3)

Òåïåðü, ïîñêîëüêó èçìåðèòåëüíûé ïðèáîð î÷åíü ìàññèâåí ïî ñðàâíåíèþ ñ èçìåðÿåìûì îáúåêòîì, ïðè ïîïûòêå îïèñàòü åãî êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ ìû âûíóæäóíû áóäåì ðàçáèòü ñîñòîÿíèÿ èç (5.3) íà ñóììó lj áàçèñíûõ ñîñòîÿíèé (íàäî ó÷åñòü, íàïðèìåð, ñîñòîÿíèÿ âñåõ âõîäÿùèõ â èçìåðèòåëüíûé ïðèáîð ÿäåð, ýëåêòðîíîâ è ò.ä.). Òî åñòü äàæå åñëè ïðè ñàìîì êîíòàêòå ó íàñ è èìåëîñü ñîñòî-

|Φj i, â ðåçóëüòàòå ýâîëþöèè âìåñòî íåãî î÷åíü áûñòðî âîçíèêíåò ñîñòîÿíèå lj P ′ âèäà |Φj i = µj,k |φj,k i, ãäå ñî âðåìåíåì lj áóäóò î÷åíü áûñòðî âîçðàñòàòü äî òåõ k=1 ïîð, ïîêà àìïëèòóäû ïî ìîäóëþ íå äîñòèãíóò âåëè÷èíû êâàíòà àìïëèòóäû ǫ, ïîñëå ÷åãî ïðîèçîéäåò èõ îáíóëåíèå. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå ìîäóëè àìïëèòóä µj,k ÿíèå

ñëåäóåò ñ÷èòàòü ïðèìåðíî îäèíàêîâûìè. Åñëè ìû ïîäñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ |Φ′j i âìåñòî |Φj i â âûðàæåíèå (5.3), òî àìïëèòóäû ñîñòîÿíèé φj,k áóäóò ðàâíû λj √ â ñèëó óíèòàðíîñòè êâàíòîâîé ýâîëþöèè. lj Ìû îáÿçàíû ïðîèçâîäèòü ïðîöåäóðó ðåäóêöèè, êîòîðàÿ çàêëþ÷àåòñÿ ïðîñòî â îòáðàñûâàíèè ñîñòîÿíèé

φj,k

ñ ìàëîé ïî ìîäóëþ àìïëèòóäîé. Ïîñêîëüêó

ïðîìåæóòîê âðåìåíè, â òå÷åíèå êîòîðîãî ïðîèñõîäèò îïèñàííîå ðàçáèåíèå íà îãðîìíîå ÷èñëî ñëàãàåìûõ - íè÷òîæíî ìàëî, òî ïðè âû÷èñëåíèÿõ ýòî áóäåò àêòè÷åñêè îçíà÷àòü, ÷òî ìû ðàçáèâàåì êàæäîå ñëàãàåìîå â (5.3) íà lj íîâûõ ñëàãàåìûõ òàê, ÷òîáû âñå ïîëó÷èâøèåñÿ àìïëèòóäû áûëè áëèçêè ê êâàíòó àìïëèòóäû è ïðèáëèçèòåëüíî îäèíàêîâû, òàê êàê èìåííî ýòî äåëàåò âñå ñîñòîÿíèÿ ðàâíîïðàâíûìè ïåðåä ïðîâåäåíèåì ðåäóêöèè è äàåò âîçìîæíîñòü ïðèìåíèòü êëàññè÷åñêóþ óðíîâóþ ñõåìó. Íî òîãäà êîëè÷åñòâî lj ñëàãàåìûõ ñ ïåðâûì ñîìíîæèòåëåì |Ψj i, ÷òî åñòü ÷èñëî áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ, áóäåò ïðîïîðöèî2 íàëüíî |λj | , è åñëè ïðè ðåäóêöèè âûæèâåò òîëüêî îäíî ñëàãàåìîå, ìû ïîëó÷èì â òî÷íîñòè ïðàâèëî Áîðíà äëÿ êâàíòîâîé âåðîÿòíîñòè.

Òàêèì îáðàçîì, âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî çàâèñèò îò âûáîðà âîëíîâîé óíêöèè

|Ψi.

Ìû ðàññìàòðèâàåì àêòè÷åñêè óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè ïîëó÷èòü

ïðè èçìåðåíèè òîò èëè èíîé èñõîä ïðè óñëîâèè, ÷òî ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè

|Ψi.

Ïðèâåäåííîå îáúÿñíåíèå áîðíîâñêîãî ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ êâàíòîâîé âåðîÿòíîñòè îïèðàåòñÿ òîëüêî íà íàøå îïðåäåëåíèå ðåäóêöèè àëãîðèòìè÷åñêîãî îïèñàíèÿ êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿ êàê îòáðàñûâàíèå ìàëûõ àìïëèòóä. Òàêàÿ ðå-

144 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ äóêöèÿ âûïîëíÿåòñÿ è íà êàæäîì øàãå ìîäåëèðîâàíèÿ óíèòàðíîé ýâîëþöèè ïðîñòî ïîòîìó, ÷òî áåç ýòîé ïðîöåäóðû ìîäåëèðîâàíèå âîîáùå áóäåò íåâîçìîæíûì.  íàøåì ïîäõîäå ñïåöèèêà èçìåðåíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ óíèòàðíîé ýâîëþöèåé òîëüêî êîëè÷åñòâåííàÿ: ýòî òîò ìîìåíò, êîãäà íàøà ñèñòåìà âñòóïàåò â êîíòàêò ñ ìàññèâíûì îáúåêòîì, êîòîðûé ìîæíî íàçâàòü îêðóæåíèåì, ÷òî äàåò ðàçáèâêó ñëàãàåìûõ â (5.3) íà áîëüøîå ÷èñëî íîâûõ ñëàãàåìûõ. Êðîìå ýòîãî åñòåñòâåííîãî ïðåäïîëîæåíèÿ ì û èñïîëüçîâàëè òîëüêî íîðìèðîâêó âîëíîâîé óíêöèè, ñîõðàíåíèå êîòîðîãî âûòåêàåò èç óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Òàêèì îáðàçîì, ïðè íàøåì îáúÿñíåíèè áîðíîâñêîãî ïðàâèëà ìû íå ïîëüçîâàëèñü íè÷åì, ÷òî âûõîäèëî áû çà ðàìêè îáû÷íûõ ïðåäïîëîæåíèé êâàíòîâîé ìåõàíèêè, çà èñêëþ÷åíèåì òîëüêî íàøåãî îïðåäåëåíèÿ ðåäóêöèè êàê îòáðàñûâàíèÿ ñëèøêîì ìàëûõ àìïëèòóä. Çàìåòèì, ÷òî èìåííî òàêàÿ ïðîöåäóðà ðåäóêöèè ïðåâðàùàåò íàáîð åéíìàíîâñêèõ òðàåêòîðèé â êëàññè÷ñêóþ òðàåêòîðèþ äâèæåíèÿ â ñëó÷àå ìàññèâíîãî òåëà (ñì. [16℄). Äåêîãåðåíòíîñòü ìû òðàêòóåì êàê îðìèðîâàíèå çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé âèäà (5.3) ñ îêðóæåíèåì, òî åñòü íå ïðîâîäèì íèêàêîãî ðàçëè÷èÿ ìåæäó íèì è èçìåðåíèåì ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû. Òàêèì îáðàçîì, çàêîí Áîðíà äëÿ êâàíòîâîé âåðîÿòíîñòè è íåîáðàòèìàÿ ïîð÷à êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿ ïðè äåêîãåðåíòíîñòè ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì çåðíèñòîñòè àìïëèòóä. Íàêîíåö, çàìåòèì, ÷òî ïðè âûâîäå áîðíîâñêîãî ïðàâèëà ìû èñïîëüçîâàëè òîëüêî çàïóòàííîñòü ñîñòîÿíèé âèäà (5.3), êîòîðàÿ îòíîñèòñÿ ê øìèäòîâñêîìó òèïó, òî åñòü ÿâëÿåòñÿ î÷åâèäíûì îáîáùåíèåì çàïóòàííîñòè ÝÏ òèïà. Òî, ÷òî âàæíåéøàÿ àêñèîìà, ñâÿçûâàþùàÿ êâàíòîâóþ ìåõàíèêó ñ îáû÷íîé  ïðàâèëî Áîðíà, èìååò òàêóþ ïðîñòóþ òðàêòîâêó â òåðìèíàõ êâàíòîâ àìïëèòóä, íå ñëó÷àéíî. Íèæå ìû ðàññìîòðèì êîíêðåòèçàöèþ ìåòîäà êâàíòîâ àìïëèòóä: ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ, êîòîðûé ìîæåò ïîçâîëèòü ïîñòðîèòü äèíàìè÷åñêóþ êàðòèíó ìíîãî÷àñòè÷íûõ êâàíòîâûõ ýâîëþöèé íà ïðàêòèêå.

5.3

Àáñîëþòíàÿ ìîäåëü äåêîãåðåíòíîñòè

Àëãîðèòìè÷åñêèé ïîäõîä ïðåäëàãàåò ñëåäóþùóþ ìîäåëü äåêîãåðåíòíîñòè:

Äåêîãåðåíòíîñòü åñòü îòêëîíåíèå ðåàëüíîé ýâîëþöèè êâàíòîâîé ñèñòåìû èç

n

÷àñòèö îò ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, îáóñëîâëåí-

íîå íåõâàòêîé êëàññè÷åñêîé ïàìÿòè äëÿ çàïèñè âîçíèêàþùèõ â òàêîì ðåøåíèè ñîñòîÿíèé â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H äëÿ

n

÷àñòèö.

Òàêèì îáðàçîì, äåêîãåðåíòíîñòü êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé íå ÿâëÿåòñÿ ÷åì-òî òèïà òðåíèÿ, êàê â ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè. Äåêîãåðåíòíîñòü - ýòî ñâîéñòâî, ïðèñóùåå êâàíòîâîé äèíàìèêå èçíà÷àëüíî. Îíî ÿâëÿåòñÿ ìåðîé îòêëîíåíèÿ ýòîé äèíàìèêè îò óíèòàðíîé ýâîëþöèè, âûðàæàþùååñÿ ñàìèì àëãîðèòìè÷åñêèì îðìàëèçìîì: òðåáîâàíèåì, íàëè÷èÿ ýåêòèâíîãî êëàññè÷åñêîãî àëãîðèòìà, îïðåäåëÿþùåãî ýâîëþöèþ êâàíòîâîé ñèñòåìû. Ýòà àëãîðèòìè÷åñêàÿ ìîäåëü äåêîãåðåíòíîñòè ñëèøêîì îáùà, ÷òîáû ìû ìîãëè ïðèìåíèòü åå õîòü ê ñêîëü íèáóäü êîíêðåòíîé ñèòóàöèè. Ìû óòî÷íèì ýòó

5.3.

145

ÀÁÑÎËÞÒÍÀß ÌÎÄÅËÜ ÄÅÊÎ ÅÅÍÒÍÎÑÒÈ

ìîäåëü, âçÿâ çà îñíîâó êîíñòðóêòèâíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç.  íåì ëþáàÿ óíêöèÿ

f (x)

ÿâëÿåòñÿ êîíñòðóêòèâíîé óíêöèåé êîíñòðóêòèâíîé âåùåñòâåí-

íîé ïåðåìåííîé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî, ãîâîðÿ î óíêöèè, ìû ïîäðàçóìåâàåì, ÷òî ïî ëþáîìó ïðèáëèæåíèþ àðãóìåíòà, çíàÿ òîëüêî ýòî ïðèáëèæåíèå, ìû ìîæåì ýåêòèâíî ïîñòðîèòü ïðèáëèæåíèå çíà÷åíèÿ óíêöèè íà ýòîì àðãóìåíòå. Åñëè íàì äàäóò áîëåå òî÷íîå ïðèáëèæåíèå àðãóìåíòà, ìû äîëæíû äàòü áîëåå òî÷íîå ïðèáëèæåíèå óíêöèè, è ò.ä. Íî íà êàæäîì øàãå ìû çíàåì òîëüêî äàííîå ïðèáëèæåíèå àðãóìåíòà

x,

è áîëüøå íè÷åãî. Åñëè áû ìû îáîðâàëè ýòîò

ïðîöåññ ïîñòîÿííîãî óòî÷íåíèÿ çíà÷åíèé íà íåêîòîðîì øàãå, ìû äîëæíû áûëè áû ïðèçíàòü, ÷òî çíà÷åíèå óíêöèè

f (x),

âû÷èñëåííîå íà ýòîì øàãå, è ÿâëÿ-

åòñÿ àáñîëþòíî òî÷íûì çíà÷åíèåì óíêöèè. Ýòî íàâîäèò íà ìûñëü î òîì, ÷òî âñå ïðîöåäóðû ïîñòðîåíèÿ óíêöèé è äîëæíû â äåéñòâèòåëüíîñòè îáðûâàòüñÿ, òîëüêî ìû íå çíàåì íà êàêîì èìåííî øàãå. Ïîíÿòèå êîíñòðóêòèâíîé óíêöèè è îòðàæàåò ìåðó íàøåãî íåçíàíèÿ äåéñòâèòåëüíûõ ìåõàíèçìîâ ýòîãî îáðûâà è òîãî ìîìåíòà, êîãäà îí ïðîèçîéäåò. Íî åñëè îí ïðîèñõîäèò, òî ñàìîå ïðîñòîå ïðåäïîëîæåíèå ñîñòîèò â òîì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå âåëè÷èíû

x

è

f (x)

â

äåéñòâèòåëüíîñòè ÿâëÿþòñÿ çåðíèñòûìè, òî åñòü ïðèíèìàþò îäíî èç çíà÷åíèé

ǫ, 2ǫ, 3ǫ, . . . ,

äëÿ î÷åíü ìàëîé âåëè÷èíû

ǫ,

òî åñòü êâàíòóþòñÿ.

 ïðåäûäóùåì ïàðàãðàå ìû âèäåëè, ÷òî ïðîñòîå äîïóùåíèå êâàíòîâàíèÿ àìïëèòóäû ñðàçó äàåò íàì ïðàâèëî Áîðíà äëÿ êâàíòîâîé âåðîÿòíîñòè. Ýòî íàáëþäåíèå ïîçâîëÿåò âûäâèíóòü ñëåäóþùóþ, áîëåå äåòàëüíóþ ìîäåëü äåêîãåðåíòíîñòè:

Äåêîãåðåíòíîñòü íàñòóïàåò â ðåçóëüòàòå íàëè÷èÿ ìèíèìàëüíîãî íåíóëåâîãî çíà÷åíèÿ ìîäóëÿ àìïëèòóäû

ε

ëþáûõ êâàíòîâûõ ñîñòî-

ÿíèé. Òàêóþ ìîäåëü äåêîãåðåíòíîñòè ìû áóäåì íàçûâàòü àáñîëþòíîé. Ñìûñë òàêîãî íàçâàíèÿ ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ôèçè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü àìïëèòóäû åñòü

√ 1/ r¯,

ãäå

r¯ åñòü

ðàçìåðíîñòü ðàññìàòðèâàåìîãî êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíR ñòâà, òàê êàê ïðàâèëî íîðìèðîâêè |Ψ|2 dr = 1 äîëæíî äàâàòü áåçðàçìåðíóþ

âåëè÷èíó âåðîÿòíîñòè. Îäíàêî ãîâîðèòü î ðàçìåðíîñòè èìååò ñìûñë òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ó íàñ åñòü âîçìîæíîñòü íåîãðàíè÷åííîãî íàðàùèâàíèÿ èëè äåëåíèÿ äàííîé âåëè÷èíû, òî åñòü îíà ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíî íå îãðàíè÷åííîé, âî âñÿêîì ñëó÷àå, íå îãðàíè÷åííîé â òîé îáëàñòè. êîòîðàÿ çàòðàãèâàåòñÿ ðàññìàòðèâàåìûì ÿâëåíèåì. Íàïðèìåð, èçè÷åñêàÿ ðàçìåðíîñòü äëèíû èìååò ñìûñë åñëè ìû ðàññìàòðèâàåì äâèæåíèå ÷àñòèöû ïî êëàññè÷åñêîé òðàåêòîðèè è ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî ëþáîé îòðåçîê â ïðîñòðàíñòâå ìîæíî, åñëè ýòî íåîáõîäèìî, ðàçäåëèòü íà íåñêîëüêî ÷àñòåé. Èìåííî ýòà ïîòåíöèàëüíàÿ íåîãðàíè÷åííîñòü ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü ðàçëè÷íûå ñèñòåìû åäèíèö, ÷òî è äåëàåò ïîíÿòèå ðàçìåðíîñòè èçè÷åñêè îñìûñëåííûì. Õîòÿ, ðàçóìååòñÿ, è äëèíà â ïðîñòðàíñòâå íå ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ àáñîëþòíî äåëèìîé, ïðîñòî ýëåìåíòàðíàÿ äëèíà ñòîëü ìàëà, ÷òî ïðè ðàññìîòðåíèè îäíîé êâàíòîâîé ÷àñòèöû èëè íåñêîëüêèõ êëàññè÷åñêèõ íàëè÷èå ýòîé ýëåìåíòàðíîé äëèíû íèêàê íå ñêàçûâàåòñÿ íà íàøèõ ìîäåëÿõ, è ïîòîìó ìû ìîæåì ïîëüçîâàòüñÿ ïðåäïîëîæåíèåì î òîì, ÷òî äëèíà

146 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ â ïðîñòðàíñòâå íåîãðàíè÷åííî äåëèìà. Åñëè ìû ðàññìàòðèâàåì îäíó êâàíòîâóþ ÷àñòèöó, òî àìïëèòóäó ìîæíî ñ÷èòàòü íåïðåðûâíîé, è, ñîîòâåòñòâåííî, îíà èìååò ðàçìåðíîñòü. Îäíàêî ïðè íàðàùèâàíèè ÷èñëà ÷àñòèö ñèòóàöèÿ ðåçêî ìåíÿåòñÿ. Ïîñêîëüêó îáùåå ÷èñëî âñåõ âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé òàêîé ñèñòåìû ðàñòåò êàê ýêñïîíåíòà îò ÷èñëà âõîäÿùèõ â íåå ÷àñòèö, ìû î÷åíü áûñòðî äîñòèãíåì òàêîé ñèòóàöèè, ÷òî íà îäíî áàçèñíîå ñîñòîÿíèå áóäåò ïðèõîäèòüñÿ àìïëèòóäà ìåíüøàÿ ÷åì

ε. Â

ýòîì ñëó÷àå íàì

ïðèäåòñÿ âûáèðàòü òî áàçèñíîå ñîñòîÿíèå, êîòîðîå äåéñòâèòåëüíî âñòðå÷àåòñÿ â ñóïåðïîçèöèè, è èãíîðèðîâàòü îñòàëüíûå. Íèæå ìû äàäèì îáùåå îïèñàíèå òàêîé ïðîöåäóðû ñåëåêöèè ñîñòîÿíèé. Òàêèì îáðàçîì, â ñèòóàöèè êîãäà âåëè÷èíà àìïëèòóäû ïðèáëèæàåòñÿ ê êðèòè÷åñêîìó çíà÷åíèþ

ε, çà êîòîðûì ñëåäóåò

òîëüêî íîëü, è êîòîðîå íåëüçÿ íèêàê ðàçäåëèòü, ìû âûíóæäåíû ïðèçíàòü, ÷òî ïðèïèñûâàíèå àìïëèòóäå èçè÷åñêîé ðàçìåðíîñòè òåðÿåò ñìûñë, òàê êàê â òàêîé ñèòóàöèè ìû äîëæíû èçìåðÿòü àìïëèòóäó â êîëè÷åñòâå êâàíòîâ âåëè÷èíû

ε,

òî åñòü â áåçðàçìåðíûõ âåëè÷èíàõ. Çàìåòèì, ÷òî â ýòîé ñèòóàöèè ïîòåðÿåò ñìûñë òàêæå è ïðåäñòàâëåíèå âîëíî-

âîé óíêöèè â ðàçíûõ áàçèñàõ, íàïðèìåð, â ïðîñòðàíñòâåííîì èëè èìïóëüñíîì. Ïåðåõîäû ìåæäó ýòèìè áàçèñàìè, êîòîðûå îïèñûâàåò ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, äàþò âåðíûé îòâåò òîëüêî â ñëó÷àå íåïðåðûâíîãî ìíîæåñòâà çíà÷åíèé àìïëèòóäû. Òàêèì îáðàçîì, â òîé îáëàñòè, ãäå àìïëèòóäû ñòàíîâÿòñÿ ñðàâíèìûìè ñ

ε,

ìû òåðÿåì âîçìîæíîñòü ïðèìåíÿòü ïðåäñòàâëåíèÿ ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé

òåîðèè ! Ýòî è åñòü ñëåäñòâèå àáñîëþòíîé ìîäåëè äåêîãåðåíòíîñòè. Àáñîëþòíàÿ ìîäåëü äåêîãåðåíòíîñòè áóäåò åñòåñòâåííîé, åñëè èñïîëüçîâàòü êîíñòðóêòèâíûé ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç âìåñòî îáûêíîâåííîãî. Äåéñòâèòåëüíî, êîíñòðóêòèâíàÿ óíêöèÿ

f (x)

êîíñòðóêòèâíîé âåùåñòâåííîé ïåðåìåííîé

x

îçíà÷àåò, ÷òî ìû äîëæíû ïî ïðèáëèæåíèþ àðãóìåíòà óìåòü óêàçûâàòü ïðèáëèæåíèå çíà÷åíèÿ óíêöèè. Èíûìè ñëîâàìè, ìû äîëæíû áûòü âñåãäà ãîòîâû ê òîìó, ÷òî çíà÷åíèå àðãóìåíòà ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå

f (x)

x

áóäåò çàäàíî î÷åíü òî÷íûì, è òîãäà íàøå

òàêæå äîëæíî ïîëó÷àòüñÿ î÷åíü òî÷íûì ! Ýòî

ïîäðàçóìåâàåò, ÷òî äëÿ êîíñòðóêòèâíîé àíàëèòè÷åñêîé òåõíèêè ïðèåìëåìûì ÿâëÿåòñÿ ëþáîå çíà÷åíèå êâàíòà àìïëèòóäû çíà÷åíèÿ

x,

ε. Êàê òîëüêî ìû åãî äîñòèãëè äëÿ f (x). Â ñëåäó-

ìîäåëèðóþùèé àëãîðèòì äàåò íàì òî÷íîå çíà÷åíèå

þùåì ïàðàãðàå ìû ïîêàæåì, ÷òî ýòî èìååò î÷åíü ÿñíóþ èíòåðïðåòàöèþ, äëÿ ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòè åéçåíáåðãà. Êàê òîëüêî ìû äîñòèãàåì àáñîëþòíîé òî÷íîñòè â îïðåäåëåíèè ïîëîæåíèÿ ÷àñòèöû, ìû ïîëó÷àåì ìàêñèìàëüíóþ íåîïðåäåëåííîñòü îòíîñèòåëüíî åå èìïóëüñà: îí ìîæåò ïðèíÿòü çíà÷åíèÿ â äèàïàçîíå îò íóëÿ äî ìàêñèìàëüíîãî äîïóñòèìîãî çíà÷åíèÿ, êîòîðîå âñåãäà ñóùåñòâóåò â àëãîðèòìèêå. Åñòåñòâåííî, âîçíèêàåò âîïðîñ î äåéñòâèòåëüíîì çíà÷åíèè

ε

â ïðèðîäå. Íà-

øè àëãîðèòìû íå äàþò íàì íåïîñðåäñòâåííî íèêàêîé èíîðìàöèè îòíîñèòåëüíî ýòîãî çíà÷åíèÿ. Òàêàÿ îöåíêà ÿâëÿåòñÿ ïðåðîãàòèâîé ïîëüçîâàòåëÿ ìîäåëè. Àáñîëþòíàÿ ìîäåëü áîëåå êîíêðåòíà ïî ñðàâíåíèþ ñ îáùåé àëãîðèòìè÷åñêîé, âûòåêàþùåé èç íàøåãî ïîäõîäà êàê òàêîâîãî, è îíà ïîçâîëÿåò êîå-÷òî

5.4.

147

ÌÅÒÎÄ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß

ñ÷èòàòü. Íî îíà ñ íåîáõîäèìîñòüþ çàñòàâëÿåò íàñ èñïîëüçîâàòü ñòàíäàðòíûå àëãîðèòìû, âûòåêàþùèå èç ìàòðè÷íîé àëãåáðû. Ìû íèêîãäà íå ñòàëè áû èñïîëüçîâàòü ýòè àëãîðèòìû, åñëè áû ðå÷ü øëà î ìîäåëèðîâàíèè êëàññè÷åñêîé äèíàìèêè. À ïîñêîëüêó ìû óñëîâèëèñü ñ÷èòàòü äåêîãåðåíòíîñòü âñòðîåííûì ñâîéñòâîì íàøåãî îðìàëèçìà, íàøè àëãîðèòìû äîëæíû áûòü ñòîëü æå ýåêòèâíûìè íà êëàññè÷åñêèõ ñèñòåìàõ, êàê è ìåòîäû êëàññè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, òàê êàê êëàññè÷åñêèå òðàåêòîðèè îáúåêòîâ - ýòî è åñòü ðåçóëüòàò ïîëíîé äåêîãåðåíòíîñòè êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé, âîçíèêàþùèõ íà ìàëûõ îòðåçêàõ âðåìåíè (ñì. [16℄). Çíà÷èò, ìû äîëæíû ñòðîèòü àëãîðèòìû, íå îïèðàÿñü èñêëþ÷èòåëüíî íà ìàòðè÷íóþ àëãåáðó, íî èñïîëüçóÿ áîëåå êëàññè÷åñêèå ïðåäñòàâëåíèÿ. Òàêîå íåñêîëüêî òóìàííîå ðàññóæäåíèå áóäåò óòî÷íåíî â ñëåäóþùåì ïàðàãðàå.

5.4

Ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ

Ñòàíäàðòíûé ìåòîä êâàíòîâîé òåîðèè, çàêëþ÷àþùèéñÿ â ïðåäñòàâëåíèè ñîñòîÿíèÿ

n

÷àñòèö â âèäå âîëíîâîé óíêöèè

|Ψ(¯ r1 , r¯1 , . . . , r¯n )i

íåèçáåæíî âåäåò ê

ýêñïîíåíöèàëüíûì çàòðàòàì âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ. Ïîýòîìó äëÿ êîíñòðóêòèâèçàöèè êâàíòîâîé òåîðèè ìíîèõ ÷àñòèö íàì íåîáõîäèì èíîé ïîäõîä ê îïèñàíèþ ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé. Ïðåäëàãàåìûé çäåñü ïîäõîä íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ, òàê êàê îí îñíîâàí íà òîì, ÷òî îäíà ðåàëüíàÿ êâàíòîâàÿ ÷àñòèöà ïðåäñòàâëÿåòñÿ àíñàìáëåì êëàññè÷åñêèõ ÷àñòèö, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ àêòè÷åñêè åå ýêçåìïëÿðàìè. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîíÿòü ìåñòî ýòîãî ìåòîäà â èçè÷åñêîì êîíñòðóêòèâèçìå, íàì íàäî ñíà÷àëà ñäåëàòü íåñêîëüêî ââîäíûõ çàìå÷àíèé.

5.4.1 ×òî òàêîå êîíñòðóêòèâèçì íà äåëå Ìû åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî íåèçáåæíîñòü êîíñòðóêòèâèçàöèè êâàíòîâîé òåîðèè âîçíèêàåò èç íåîáõîäèìîñòè åå ïðèìåíåíèÿ ê ìíîãî÷àñòè÷íûì ñèñòåìàì. å÷ü, ïî ñóùåñòâó, èäåò î íîâîé îáëàñòè: ìíîãî÷àñòè÷íîé êâàíòîâîé òåîðèè, êîòîðîé åùå íåò. Íî åå ñîçäàíèå âîçìîæíî òîëüêî íà ïóòè ìîäèèêàöèè ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà êâàíòîâîé ìåõàíèêè, à èìåííî - íà ïóòè êîíñòðóêòèâèçàöèè ýòîãî àïïàðàòà. Êîíñòðóêòèâèçàöèÿ èçèêè ïðàêòè÷åñêè îçíà÷àåò ìîäèèêàöèþ åå ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà ñ ïðèìåíåíèåì ïîíÿòèÿ àëãîðèòìà. Íåñìîòðÿ íà áåçóñëîâíóþ ñïðàâåäëèâîñòü ïðèíöèïà ñîîòâåòñòâèÿ, òî åñòü ñîõðàíåíèå â êîíñòðóêòèâèçìå âñåãî äîñòèãíóòîãî â êâàíòîâîé òåîðèè, åå êîíñòðóêòèâíàÿ îðìà áóäåò ñåðüåçíî îòëè÷àòüñÿ îò òðàäèöèîííîé. Ýòî îòëè÷èå ëåæèò ïðåæäå âñåãî â íàáîðå óíäàìåíòàëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ èíñòðóìåíòîâ. Ìåñòî, êîòîðîå ðàíåå çàíèìàëîñü îðìóëàìè, áóäåò â êîíñòðóêòèâèçìå çàíÿòî àëãîðèòìàìè. Ýòîò òåçèñ íóæäàåòñÿ â íåêîòîðîì îñìûñëåíèè, òàê êàê îí ðàçèòåëüíî îòëè÷àåòñÿ îò îáùåïðèíÿòîãî â ñòàíäàðòíîé èçèêå ïîíèìàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà.

148 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ Êðîìå òîãî, íåâåðíîå òîëêîâàíèå ýòîãî òåçèñà ìîæåò âåðíóòü íàñ ê ïðîéäåííûì äèñêóññèÿì îòíîñèòåëüíî ñêðûòûõ ïàðàìåòðîâ êâàíòîâîé òåîðèè, ïðèðîäû îòîíîâ è òîìó ïîäîáíûõ âåùåé. Îòâåò, óæå äàííûé íà ïîäîáíûå âîïðîñû â ïåðâûõ ãëàâàõ, íà ñàìîì äåëå òðàäèöèîíåí: îí ñâîäèòñÿ ê èñïîëüçîâàíèþ îðìàëüíîãî àïïàðàòà òåîðèè àëãîðèòìîâ. Èìåííî èç òàêîãî ïîäõîäà âûòåêàåò ðàçäåëåíèå ìîäåëè íà ïîëüçîâàòåëüñêóþ è àäìèíèñòðàòèâíóþ ÷àñòè è îòîæäåñòâëåíèå ïîëüçîâàòåëÿ ìîäåëè ñ îðàêóëîì. ×òî ïðàêòè÷åñêè îçíà÷àåò êîíñòðóêòèâíàÿ ìîäèèêàöèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà ? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ íåëüçÿ íàéòè â ðàííèõ ðàáîòàõ, ïîñâÿùåííûõ ëîãèêå êâàíòîâîé òåîðèè; îí òðåáóåò âñåãî àðñåíàëà êîíñòðóêòèâèçìà, è - ïðåæäå âñåãî - åãî ïðàêòè÷åñêîé ÷àñòè, çàêëþ÷àþùåéñÿ â ïîñòðîåíèè êîìïüþòåðíûõ ïðîãðàìì.  íàñòîÿùåå âðåìÿ êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå èçè÷åñêèõ çàäà÷ óñòðîåíî òàê: äàíû îðìóëû, íàïðèìåð, äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, íàäî ïîñòðîèòü åãî ðåøåíèÿ. Òî åñòü ïðèäóìàòü êàê åãî ïðèáëèæàòü, çàòåì çàïðîãðàììèðîâàòü ýòî ðåøåíèå, è ïðîïóñòèòü ïðîãðàììû ÷åðåç êîìïüþòåð. Íî ìû óæå âèäåëè, ÷òî îäíîé îðìóëîé íåëüçÿ îïèñàòü êâàíòîâîé äèíàìèêè. Çíà÷èò, íàäî èñïîëüçîâàòü ðàçíûå îðìóëû: íàïðèìåð, îäíó äëÿ êëàññè÷åñêîãî äâèæåíèÿ, äðóãóþ - äëÿ êâàíòîâîãî, èëè: îäíó - äëÿ îäíîé ÷àñòèöû, äðóãóþ - äëÿ ìíîãèõ ÷àñòèö, è âîñïðîèçâîäèòü òóæå ñõåìó. Ýòî è åñòü êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå â ñòàíäàðòíîì îðìàëèçìå. Êîíå÷íî, ïðè ðàñ÷åòå îêàæåòñÿ, íàïðèìåð, ÷òî ñóùåñòâóåò ãðàíèöà òî÷íîñòè ðàñ÷åòîâ, îïðåäåëÿåìàÿ íåêèì çåðíîì

ǫ.

Íî

íèêàêèõ ñëåäñòâèé, êðîìå ïîìåõè â âû÷èñëåíèè, òàêîå çåðíî äàòü íå ìîæåò. Ñ ïîìîùüþ òàêîé ñõåìû ìîæíî óòî÷íÿòü ðåøåíèÿ óæå ðåøåííûõ çàäà÷. Íî íà ýòî ïóòè íåò íè ìàëåéøåé íàäåæäû ñîçäàòü êâàíòîâóþ òåîðèþ ìíîãèõ ÷àñòèö, â òîì ïîíèìàíèè, êîòîðîå ìû âêëàäûâàåì â ýòî ïîíÿòèå. Ñòàíäàðòíàÿ ñõåìà îáÿçûâàåò íàñ èñïîëüçîâàòü êâàíòîâûé êîìïüþòåð äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè áîëåå ÷åì 2 ÷àñòèö, íå äàâàÿ ïðè ýòîì, êàê ìû âèäåëè, íèêàêîãî ðåöåïòà åãî ïðèìåíåíèÿ ê çàäà÷å èçìåðåíèÿ êâàíòîâûõ àíñàìáëåé. Èíûìè ñëîâàìè, îïèñàííàÿ òîëüêî ÷òî ñòàíäàðòíàÿ ñõåìà êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ

6

êâàíòîâîé èçèêè ìíîãèõ ÷àñòèö ÿâëÿåòñÿ òóïèêîâîé. . ×òî ïðåäëàãàåò íàì êîíñòðóêòèâèçì ? Îí ïðåäëàãàåò ñõåìó ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé, òî÷íîñòü êîòîðûõ íàì çàðàíåå íå èçâåñòíà ! Ýòî çíà÷èò, ÷òî âñÿ äèíàìèêà íåñêîëüêèõ ÷àñòèö äîëæíà áûòü îïèñàíà ïîëíîñòüþ ñ äàííûì çåðíîì ðàçðåøåíèÿ òàê, êàê åñëè áû ýòî çåðíî è áûëî ïîñëåäíåé ñòàäèåé íàøåãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Òî åñòü ìîäåëü äîëæíà áûòü ïðàâäîïîäîáíîé íà êàæäîì ñâîåì ýòàïå è íå ññûëàòüñÿ íà âåñü ïðîöåññ öåëèêîì, òàê êàê ó íàñ çäåñü íåò 6 Èç ýòîãî, ðàçóìååòñÿ, íå ñëåäóåò íåâîçìîæíîñòü ïîëó÷åíèÿ ïîëåçíûõ ðåçóëüòàòîâ íà ñòàíäàðòíîì ïóòè, íàïðèìåð, íàõîæäåíèå ìîëåêóëÿðíûõ ñïåêòðîâ. Ïðîñòî ñòàíäàðòíàÿ ñõåìà íå ãîäèòñÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ñëîæíûõ çàäà÷, è ïîòîìó ñ åå ïîìîùüþ íåëüçÿ ðàññ÷èòûâàòü íà îáíàðóæåíèå èëè ïðåäñêàçàíèå ïðèíöèïèàëüíî íîâûõ ýåêòîâ â ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåìàõ. Íå ñëåäóåò òàêæå ñ÷èòàòü ñòàíäàðòíûå âû÷èñëèòåëüíûå ïðèåìû áåñïîëåçíûìè â êîíñòðóêòèâèçìå. Ïðîñòî èõ ðîëü ñ íåîáõîäèìîñòüþ äîëæíà áûòü ñåðâèñíîé, è ñëóæèòü äëÿ îòëàäêè ïðîãðàìì - íå áîëåå òîãî.

5.4.

149

ÌÅÒÎÄ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß

àêòóàëüíûõ áåñêîíå÷íîñòåé. Äëÿ ïåðåõîäà îò îäíîãî çåðíà ê äðóãîìó, ìåíüøåìó, íóæíà ýâðèñòèêà, òî åñòü èäåîëîãèÿ àëãîðèòìà. Ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ áóäåò îñíîâàí íà êëàññè÷åñêîé ýâðèñòèêå, òî åñòü ïîñòðîåí íà ïîíÿòèè ÷àñòèöû. Ïåðåõîä ê ìåíüøåìó çåðíó ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ òîãäà áóäåò îçíà÷àòü äîáàâëåíèå íîâîé (èêòèâíîé) ÷àñòèöû, ÿâëÿþùåéñÿ, ïî ñóòè, ýêçåìïëÿðîì ðåàëüíîé; òî åñòü ðåàëüíàÿ ÷àñòèöà äîëæíà ïðåäñòàâëÿòüñÿ êàê ìíîæåñòâî (ðîé) èêòèâíûõ. Ýòî è åñòü îñíîâà ýâðèñòèêè êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ. îåâàÿ ýâðèñòèêà ñõîäíà ñ èäåîëîãèåé åéíìàíîâñêèõ èíòåãðàëîâ ïî ïóòÿì. Íî îíà ëåæèò äàëüøå îò âîëíîâîé óíêöèè. Èíòåãðàëû ïî ïóòÿì åñòü èíñòðóìåíò âû÷èñëåíèÿ

Ψ, è îíè ñòðîÿòñÿ

ñ ðàñ÷åòîì íà ïðåäåëüíûé ïåðåõîä ê

"òî÷íîé"âîëíîâîé óíêöèè, ñâîéñòâåííûé êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêå. Ïðè ýòîì êëàññè÷åñêàÿ ìåõàíèêà ïîÿâëÿåòñÿ â ïðåäåëå

h −→ ∞.

îåâàÿ ýâðèñòèêà æå

íå îïèðàåòñÿ íà ïðåäåëüíûé ïåðåõîä. Ìû ïðèáåãíåì ê íåìó òîëüêî äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîêàçàòü åå ñîîòâåòñòâèå óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà â òîì ñëó÷àå, êîãäà âû÷èñëèòåëüíûå ðåñóðñû íå îãðàíè÷åíû, òî åñòü äëÿ îáîñíîâàíèÿ ïðèíöèïà ñîîòâåòñòâèÿ, êîòîðûé äîëæåí îñòàâàòüñÿ íåçûáëåìûì ïðè ïåðåõîäå ê êîíñòðóêòèâèçìó. Íî â ñâîåé òåõíèêå ðîåâîé ïîäõîä íå íóæäàåòñÿ íè â êàêîì ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå.  ÷àñòíîñòè, êëàññè÷åñêàÿ ìåõàíèêà ñîäåðæèòñÿ â íåì - êîãäà âåñü ðîé ñîñòîèò èç îäíîé åäèíñòâåííîé ÷àñòèöû, ýòî è åñòü êëàññè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. Ýòî íàëàãàåò íà íàñ îáÿçàííîñòü îáúÿñíÿòü èçëó÷åíèå îòîíîâ íà óðîâíå ìàëûõ ðîåâ, òî åñòü èìåòü êîíêðåòíûé ìåõàíèçì êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè â òåðìèíàõ îòäåëüíûõ ýêçåìïëÿðîâ ðåàëüíîé çàðÿæåííîé ÷àñòèöû è åå âçàèìîäåéñòâèÿ ñ äðóãèìè ýêçåìïëÿðàìè òîé æå ðåàëüíîé ÷àñòèöû. Òàêàÿ ïîñòàíîâêà áûëà áû íå îïðàâäàíà â êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêå, òàê êàê îíà ïðÿìî ïðîòèâîðå÷èò èäåîëîãèè àëãåáðàè÷åñêèõ îðìóë âîîáùå. Èñïîëüçîâàíèå îðìóë óæå ïðåäïîëàãàåò ïðîèñøåäøåå ñóììèðîâàíèå "âêëàäîâ"âèðòóàëüíûõ ïðîöåññîâ (êàê â èíòåãðàëàõ ïî ïóòÿì). Êîíñòðóêòèâèçì æå òðåáóåò ÿâíîãî ðàññìîòðåíèÿ ýòèõ ïðîöåññîâ, â âèäå èñòîðèé îòäåëüíûõ ýêçåìïëÿðîâ ðåàëüíûõ ÷àñòèö. Òàêîé ïîäõîä íå ïîçâîëÿåò âûïèñûâàòü àëãåáðàè÷åñêèå îðìóëû (íèæå ìû óáåäèìñÿ â ýòîì íà ïðèìåðå ïðèáëèæåíèÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà äëÿ îäíîé ÷àñòèöû), äëÿ ýòîãî àêòè÷åñêè, íà êàæäîì øàãå ïðèáëèæåíèÿ íàäî çàíîâî ñòðîèòü ðîé. Íî çàòî ýòî ïîçâîëÿåò ñòðîèòü ìîäåëèðóþùèå àëãîðèòìû, íå îïèðàÿñü íà îðìóëû, òî åñòü íå èñïîëüçóÿ àáñòðàêöèþ ïîòåíöèàëüíîé îñóùåñòâèìîñòè. Öåíà, êîòîðóþ ìû ïëàòèì, ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî ìû ïîëó÷àåì âçàìåí: âîçìîæíîñòü ðàññìàòðèâàòü ñëîæíûå ñèñòåìû. Íåìíîãî âäàâàÿñü â îáùèå òåìû, ìû ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî ðàçíàÿ ðîëü îðìóë è àëãîðèòìîâ ñâÿçàíà ñ ðàçíîé îðìîé âîñïðèÿòèÿ ÷åëîâåêîì ýòèõ òèïîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà. Åñëè îðìóëû ïðåäñòàâëÿþò äîâîëüíî óçêóþ ïîëîñó âîñïðèÿòèÿ è îáðàáîòêè èíðìàöèè, ñâÿçàííóþ ñ ëåâîïîëóøàðíûì ìûøëåíèåì, òî àëãîðèìòû çàäåéñòâóþò ëè÷íîñòü ïîëüçîâàòåëÿ áîëåå øèðîêî, òàê êàê èñïîëüçóþò åùå è åãî îáðàçíîå ìûøëåíèå. Î òàêèõ âåùàõ íå ïðèíÿòî ãîâîðèòü â ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðå; îíè îòíîñÿòñÿ, ñêîðåå, ê áèîëîãèè, ÷åì ê èçèêå

150 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ èëè ìàòåìàòèêå. Êîíñòðóêòèâèçì äàåò íàì, â ïðèíöèïå, âîçìîæíîñòü îáñóæäàòü òàêèå âåùè, òàê êàê çäåñü ÷åëîâåê, òî åñòü ïîëüçîâàòåëü ìîäåëè, èìååò ñîâåðøåííî êîíêðåòíîå ìåñòî â îðìàëèçìå: ýòî ìåñòî îðàêóëà â âû÷èñëåíèÿõ.  äàëüíåéøåì ìû áóäåì èëëþñòðèðîâàòü ðàçíèöó ìåæäó êîíñòðóêòèâíûì è ñòàíäàðòíûì ïîäõîäàìè äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ íàìè ïðèìåðîâ. àññìîòðèì, ÷òî îçíà÷àåò ïåðåõîä îò ïðîñòðàíñòâåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ âîëíîâîé óíêöèè ê åå èìïóëüñíîìó ïðåäñòàâëåíèþ ñ òî÷êè çðåíèÿ ðîåâîãî ïîäõîäà. îé ñîñòîèò èç îòäåëüíûõ ÷àñòèö, êàæäàÿ èç êîòîðûõ îáëàäàåò êîîðäèíàòàìè è èìïóëüñîì.  òî æå âðåìÿ âîëíîâàÿ óíêöèÿ

Ψ(x)

îïðåäåëÿåò ðàñ-

ïðåäåëåíèå ðåàëüíîé ÷àñòèöû òîëüêî ïî êîîðäèíàòàì: ïëîòíîñòü ýòîãî ðàñïðå2 äåëåíèÿ åñòü |Ψ(x)| . Èíîðìàöèÿ æå î ñêîðîñòè ðåàëüíîé ÷àñòèöû çàêëþ÷åíà iφ íå òîëüêî â ìîäóëå âîëíîâîé óíêöèè, íî è â åå àçå φ(x), ãäå Ψ = |Ψ|e . Äëÿ

òîãî, ÷òîáû âèäåòü ðàñïðåäåëåíèå èìïóëüñà ðåàëüíîé ÷àñòèöû, íàäî ïåðåéòè ê äðóãîìó áàçèñó â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé íàøåé ÷àñòèöû, òî åñòü çàïèñàòü òó æå ñàìóþ âîëíîâóþ óíêöèþ â èìïóëüñíîì áàçèñå. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà ýòî îçíà÷àåò ïðèìåíåíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå:

˜ |Ψ(p) =

Z

Ψ(x)e−ixp/h dx.

(5.4)

R

Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îçíà÷àåò, ÷òî ìû ðàñêëàäûâàåì íàø âîëíîâîé âåêòîð Ψ ïî áàçèñàì ïëîñêèõ âîëí eipx . À ïëîñêàÿ âîëíà ñ òî÷êè çðåíèÿ ðîÿ åñòü íàáîð ÷àñòèö ñ îäèíàêîâîé ïëîòíîñòüþ, äâèæóùèõñÿ ñ îäèíàêîâûì èìïóëüñîì

p.

Âûäåëåíèå òàêîãî íàáîðà â ðîå ÿâëÿåòñÿ äåëîì ïðîáëåìàòè÷íûì, òàê êàê ó íàñ åñòü êîíå÷íûé íàáîð ýêçåìïëÿðîâ, è âñå èìïóëüñû àêòè÷åñêè äîëæíû áûòü ïðåäñòàâëåíû. Åñëè ìû äëÿ èêñèðîâàííîãî ðîâ, èìåþùèõ èìïóëüñ

p,

p

âûäåëèì ìíîæåñòâî ýêçåìïëÿ-

ó íàñ ïîëó÷èòñÿ äîâîëüíî ðåäêèé íàáîð. ×òîáû ýòîò

íàáîð áûë ïðåäñòàâèòåëüíûì, íàäî, ÷òîáû îáùåå ÷èñëî ýêçåìïëÿðîâ áûëî áû î÷åíü áîëüøèì. Íî òîãäà ëèøàåòñÿ ñìûñëà ðîåâîå ïðåäñòàâëåíèå âîîáùå, òàê êàê ïðåäñòàâëåíèå êâàäðàòà âîëíîâîé óíêöèè â âèäå ÷èñëà ðåàëüíî õðàíèìûõ â ïàìÿòè êîìïüþòåðà ýêçåìïëÿðîâ âåäåò ê ýêñïîíåíöèàëüíîìó ïåðåðàñõîäó ïàìÿòè: èìåííî òàêîâà âûãîäà îò õðàíåíèÿ ÷èñëà â àðèìåòè÷åñêîé çàïèñè âìåñòî íàáîðà åäèíèö, ñóììà êîòîðûõ ðàâíû ýòîìó ÷èñëó. Òî åñòü, åñëè ìû çàõîòèì ñ ïîìîùüþ ðîÿ äëÿ îäíîé êâàíòîâîé ÷àñòèöû âû÷èñëÿòü åå èìïóëüñíîå ïðåäñòàâëåíèå ñ òî÷íîñòüþ àíàëèòè÷åñêîãî ìåòîäà, íàñ æäåò ïî÷òè ñòîïðîöåíòíàÿ íåóäà÷à ! Çà÷åì æå òîãäà íóæåí ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ ? Îí íóæåí òîëüêî äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ñëîæíûõ ïðîöåññîâ ñ ìíîãèìè ÷àñòèöàìè. Çàòðàòíîñòü è íåïðèãîäíîñòü ðîåâîãî ìåòîäà äëÿ îäíîé ÷àñòèöû åñòü íåîáõîäèìàÿ ïëàòà çà âîçìîæíîñòü ìîäåëèðîâàòü ìíîãî÷àñòè÷íûå çàäà÷è, ÷òî è ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé íàñòîÿùåé öåëüþ ýòîãî ìåòîäà. Áûëî áû íàèâíî äóìàòü, ÷òî ìû ìîæåì îâëàäåòü òåîðèåé ìíîãî÷àñòè÷íîãî ìèðà òåìè æå ñðåäñòâàìè, êîòîðûå õîðîøè äëÿ îäíîé èëè äâóõ ÷àñòèö. Òàê æå íàèâíî ñ÷èòàòü, ÷òî ìîæíî ñäåëàòü ýòî, íå æåðòâóÿ íèêàêèìè óäîáñòâàìè èç óæå äîñòèãíóòîãî íàìè "óðîâíÿ êîìîðòà"â

5.4.

151

ÌÅÒÎÄ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß

ìàòåìàòè÷åñêîì îðìàëèçìå. Ýòî, ðàçóìååòñÿ, öåëèêîì îòíîñèòñÿ è ê êóáèòîâîìó îðìàëèçìó êâàíòîâîé èíîðìàòèêè, ïðåäñòàâëÿþùåìó ñîáîé ïðîñòî äèñêðåòíóþ âåðñèþ ãèëüáåðòîâà îðìàëèçìà äëÿ ìíîãèõ òåë. Êîíñòðóêòèâè-

çàöèÿ íå ñâîäèòñÿ ê äèñêðåòíîé (èëè êóáèòîâîé) âåðñèè ñòàíäàðòíîãî ãèëüáåðòîâà îðìàëèçìà ! Ìû âèäåëè (â Ïðèëîæåíèè ýòî ïðîèëëþñòðèðîâàíî ñî âñåé ïîëíîòîé), ÷òî ýòîò îðìàëèçì ïðåêðàñíî ðàáîòàåò â íåðåëÿòèâèñòñêîì ñëó÷àå.  ðåëÿòèâèñòñêîì æå ñëó÷àå ìû ñðàçó ñòàëêèâàåìñÿ ñ äååêòîì ýòîãî îðìàëèçìà, êîãäà ïûòàåìñÿ ïåðåéòè îò èìïóëüñíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ê êîîðäèíàòíîìó äëÿ çàïèñè óíäàìåíòàëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé ýëåêòðîäèíàìèêè. Î÷åíü ïîêàçàòåëüíî, ÷òî ýòà òðóäíîñòü ñðàçó æå âîçíèêàåò ïðè ðàññìîòðåíèè òðåõ ÷àñòèö âìåñòî äâóõ (èçëó÷åíèå äâóõ îòîíîâ ýëåêòðîíîì).  ëþáîì ñëó÷àå êàê òîëüêî ìû äîáàâëÿåì â ðàññìàòðèâàåìóþ ñèñòåìó íîâûå ÷àñòèöû (äàæå ïðè âîçìîæíîñòè ðàññìîòðåòü ñèòóàöèþ íà êëàññè÷åñêîì ñóïåðêîìïüþòåðå), òàê ïðåèìóùåñòâà ñòàíäàðòíîãî îðìàëèçìà èñ÷åçàþò, ïîäîáíî ìèðàæó â ïóñòûíå. ß äóìàþ, ÷òî ýòî íå åñòü ïðîñòàÿ ñëó÷àéíîñòü, è çà òàêîé ñèòóàöèåé â äåéñòâèòåëüíîñòè, ñêðûâàåòñÿ î÷åíü ñåðüåçíàÿ è íîâàÿ èçèêà. Ìû èäåì ê íåé, áåðÿ çà îñíîâó êîíñòðóêòèâèçì, ÷òî îçíà÷àåò àëãîðèòìèçèðóåìîñòü âñåõ îñíîâíûõ ïðîöåäóð, çà èñêëþ÷åíèåì ýêñïåðòíîé îöåíêè ïîëüçîâàòåëÿ. Òàêàÿ ðîëü àëãîðèòìà ïîðîæäàåò áîëåå æåñòêèå òðåáîâàíèÿ ê ýâðèñòèêå, êàê îáùåé ñõåìå íàïèñàíèÿ òàêîãî àëãîðèòìà. È çäåñü ìû âûíóæäåíû ïîéòè íà ïîëíûé ðàçðûâ ñî ñòàíäàðòíûì ïîäõîäîì, òàê êàê ãëàâíûì äëÿ íàñ òåïåðü áóäåò æåñòêàÿ ýêîíîìèÿ âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ âìåñòî ëàêîíè÷íîñòè ÿçûêà îðìóë, êàê â ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå. îåâîé ìåòîä êàê ðàç è äàåò íàì íàêîé ñòåðæåíü - ýâðèñòèêó, íà êîòîðîé ìîæíî îïèðàòüñÿ ïðè ïðîäâèæåíèè ê ìîäåëÿì êâàíòîâîãî ìèðà ñëîæíûõ ñèñòåì.

5.4.2 Ïîñòàíîâêà çàäà÷è Âû÷èñëèòåëüíûå òðóäíîñòè âîçíèêàþò â ñòàíäàðòíîé òåîðèè óæå äëÿ ñëó÷àÿ îäíîé ÷àñòèöû ïðè èñïîëüçîâàíèè ìàòðè÷íîãî ìåòîäà. Ïóñòü åå êîíèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî ðàçáèòî íà

N

ýëåìåíòîâ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðîñòðàíñòâî

êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé èìååò ðàçìåðíîñòü

N . Êàê òîëüêî

ìû ïðèìåíÿåì äëÿ âû-

÷èñëåíèé ìàòðè÷íóþ àëãåáðó â ëþáîé îðìå, ìû çàñòàâëÿåì êîìïüþòåð îáðàáàòûâàòü âñå òðàåêòîðèè ýâîëþöèè ñèñòåìû, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç âñå

N

áàçèñíûõ

ñîñòîÿíèé.  ïðîñòåéøåì ñëó÷àå ýòî âûðàæàåòñÿ â âû÷èñëåíèè ïðîèçâåäåíèÿ óíèòàðíûõ ìàòðèö âðåìåííîé ýâîëþöèè. Ñðåäíåå çíà÷åíèå ìîäóëÿ ìàòðè÷íîãî ýëåìåíòà óíèòàðíîé ìàòðèöû ñîñòàâëÿåò

√ 1/ N .

Åñëè áû âñÿ èíòåðåðåíöèÿ,

âîçíèêàþùàÿ â ðåçóëüòàòå ýâîëþöèè ñèñòåìû, áûëà áû êîíñòðóêòèâíîé, ìû ïîëó÷èëè áû íà âûõîäå ìàòðèöó, ýëåìåíòû êîòîðîé áûëè áû ïðèìåðíî ðàâíû

√ √ N 1/( N N) = 1,

â òî âðåìÿ êàê îíè äîëæíû ñîñòàâëÿòü òîæå

√ 1/ N .

Ýòî

îçíà÷àåò, ÷òî îñíîâíàÿ ÷àñòü èíòåðåðåíöèè ÿâëÿåòñÿ äåñòðóêòèâíîé, è áîëüøàÿ äîëÿ âû÷èñëèòåëüíîãî ðåñóðñà òðàòèòñÿ òîëüêî íà òî, ÷òîáû âûÿñíèòü, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êå êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà ÷àñòèöû íåò.

152 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ Òàêèì îáðàçîì, âû÷èñëèòåëüíûå ìåòîäû êâàíòîâîé ìåõàíèêè, îñíîâàííûå íà ìàòðè÷íîé àëãåáðå, èçíà÷àëüíî ïðåäïîëàãàþò áîëüøóþ íåïðîèçâîäèòåëüíóþ òðàòó âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ. Òàêèå ìåòîäû àêòè÷åñêè ðåàëèçóþò ðèìàíîâñêóþ ñõåìó èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, ïðè êîòîðîé çà îñíîâó áåðåòñÿ ðàçáèåíèå êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà íà êîíå÷íûå ýëåìåíòû. Êîëëåêòèâíîå ïîâåäåíèå ïðåäñòàâëÿåò àëüòåðíàòèâíûé ïîäõîä, ñîîòâåòñòâóþùèé ëåáåãîâñêîé ñõåìå èíòåãðèðîâàíèÿ. Çà îñíîâó ìû âîçüìåì ïðåäñòàâèòåëåé ðàññìàòðèâàåìîé êâàíòîâîé ÷àñòèöû, êîòîðûå ìû áóäåì íàçûâàòü åå ýêçåìïëÿðàìè. Ýòèõ ýêçåìïëÿðîâ äîëæíî áûòü íå ìíîãî, è èõ äèíàìèêà äîëæíà ñëóæèòü õîðîøèì ïðèáëèæåíèåì êâàíòîâîé äèíàìèêè. Íàøà ãëàâíàÿ öåëü: èçáåæàòü îãðîìíûõ íåïðîèçâîäèòåëüíûõ ðàñõîäîâ âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ, õàðàêòåðíûõ äëÿ ìàòðè÷íîé àëãåáðû. àçâèâ òàêóþ òåõíèêó äëÿ îäíîé êâàíòîâîé ÷àñòèöû ìû ìîæåì íàäåÿòüñÿ íà òî, ÷òî òàêèå ìåòîäû ìîæíî óñïåøíî ïðèìåíÿòü è äëÿ áîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòèö. Ýòîò ìåòîä ïðåäñòàâëåíèÿ êâàíòîâîé ÷àñòèöû ÷åðåç åå ýêçåìïëÿðû ìû íàçûâàåì ìåòîäîì êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ. Òàêîé ìåòîä ðåàëèçóåò òðåáîâàíèå æåñòêîé ýêîíîìèè âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ áàçèñíûì òðåáîâàíèåì àëãîðèòìè÷åñêîãî ïîäõîäà. Òðåáîâàíèå ìàêñèìàëüíî æåñòêîé ýêîíîìèè âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ íå ÿâëÿåòñÿ ýñòåòè÷åñêèì. Ýòî òðåáîâàíèå ïîçâîëÿåò ñòðîèòü òàêèå ìîäåëè, â êîòîðûõ äåêîãåðåíòíîñòü ÿâëÿåòñÿ âñòðîåííûì ñâîéñòâîì ìîäåëè, à íå ïîñòóëèðóåòñÿ, êàê â êîïåíãàãåíñêîé èíòåðïðåòàöèè êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Âûøå ìû ïîêàçàëè, êàê òàêîå òðåáîâàíèå äàåò íàì êëàññè÷åñêóþ óðíîâóþ ñõåìó äëÿ áîðíîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè èñõîäîâ èçìåðåíèé êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé. Ñíà÷àëà ìû äàäèì èíòåðïðåòàöèþ êâàíòîâîé äèíàìèêè îäíîé ÷àñòèöû ñ ïîìîùüþ ìåòîäà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ, à çàòåì ïåðåéäåì ê ñëó÷àþ íåñêîëüêèõ ÷àñòèö. ëàâíîé öåíîé, êîòîðóþ íàì ïðèäåòñÿ çàïëàòèòü çà ýêîíîìíîå ðàñõîäîâàíèå âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ áóäåò íåîáõîäèìîñòü ñòðîèòü àëãîðèòìû íà îñíîâå ìåõàíèçìîâ âçàèìîäåéñòâèÿ ýêçåìïëÿðîâ ÷àñòèöû, à íå íà îñíîâå äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Òàêèõ óðàâíåíèé äëÿ ìåòîäà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ ïîñòðîèòü íå óäàåòñÿ. Îäíàêî ýòà ñèòóàöèÿ èìååò è ïîëîæèòåëüíûå ñòîðîíû, ïîìèìî ýêîíîìè÷íîñòè ðàñ÷åòîâ. Ìîäåëü äèíàìèêè êâàíòîâîé ÷àñòèöû ñòàíîâèòñÿ ãîðàçäî áëèæå ê êëàññè÷åñêîé, ÷åì ïðè ñòàíäàðòíîì ïîäõîäå, è ñîçäàåòñÿ âîçìîæíîñòü áîëåå íàãëÿäíîãî åå ïðåäñòàâëåíèÿ. Ïðåäëàãàåìûé ïîäõîä ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì îáîáùåíèåì äèóçèîííîãî ìåòîäà Ìîíòå Êàðëî íà îáùèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Òîò àêò, ÷òî ìåòîä ÄÌÊ ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè ìåòîäàìè äàåò çíà÷åíèå ýíåðãèé ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé, íàèáîëåå áëèçêèå ê ýêñïåðèìåíòàëüíûì, âíóøàåò íàì îïòèìèçì â ïðàêòè÷åñêîì èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ â áîëåå ñëîæíûõ çàäà÷àõ. Ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ â ñëó÷àå îäíîé åäèíñòâåííîé êâàíòîâîé ÷àñòèöû íå îáëàäàåò òàêîé òî÷íîñòüþ, êàê àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Åãî äîñòîèíñòâî â äðóãîì. Îí ýêîíîìèò âû÷èñëèòåëüíûå ðåñóðñû,

5.4.

ÌÅÒÎÄ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß

153

äàâàÿ âîçìîæíîñòü, òåì ñàìûì, ñòðîèòü ìàñøòàáèðóåìûå ìîäåëè ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì.  òàêèõ ñëîæíûõ ñèñòåìàõ ïðè ýâîëþöèè âêëàä êàæäîé ÷àñòèöû íîñèò óíèêàëüíûé õàðàêòåð. Ýâîëþöèÿ îäíîé åäèíñòâåííîé ÷àñòèöû â áîëüøîì àíñàìáëå íå ìîæåò áûòü ïîâòîðåíà. Äàæå ïðè ïîïûòêàõ âîñïðîèçâåñòè âñþ ýâîëþöèþ áîëüøîé ñèñòåìû, â ïîëîæåíèè îòäåëüíûõ ñîñòàâëÿþùèõ åå ÷àñòèö äëÿ ðàçíûõ ïîïûòîê áóäåò ðàçíèöà. Òî åñòü ýâîëþöèÿ îòäåëüíîé ÷àñòèöû â áîëüøîì àíñàìáëå âñåãäà óíèêàëüíà.  òî âðåìÿ êàê âîëíîâàÿ óíêöèÿ åñòü ðåçóëüòàò îãðîìíîãî ÷èñëà ïîâòîðåíèé îäíîãî è òîãî æå ýêñïåðèìåíòà, ñ îäèíàêîâûìè óñëîâèÿìè. Ïîýòîìó èñïîëüçîâàíèå âîëíîâûõ óíêöèé îòäåëüíûõ ÷àñòèö ïðè ðàññìîòðåíèè áîëüøîãî àíñàìáëÿ îïðàâäàíî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ìû íàìåðåííî îãðóáëÿåì ïîâåäåíèå òàêîãî àíñàìáëÿ, óñðåäíÿÿ åãî ïî ðàçíûì ñòåïåíÿì ñâîáîäû îòäåëüíûõ ÷àñòèö. Ýòî - ïóòü ñòàòèñòè÷åñêîé èçèêè. È ýòîò ïóòü óñðåäíåíèÿ áîëüøîãî àíñàìáëÿ ñîâåðøåííî íå ïðèãîäåí äëÿ àíàëèçà ïî íàñòîÿùåìó ñëîæíûõ ñèñòåì, òàêèõ êàê æèâûå îðãàíèçìû. Æèâîé îðãàíèçì áåññìûñëåííî èçó÷àòü ìåòîäàìè ñòàòèñòè÷åñêîé èçèêè, òàê êàê ýòîò óñðåäíÿþùè ïîäõîä çàâåäîìî èãíîðèðóåò îñîáûå èçè÷åñêèå ìåõàíèçìû, íîñÿùèå óíäàìåíòàëüíûé õàðàêòåð è îïðåäåëÿþùèå òî, ÷òî ìû ïîíèìàåì ïîä ñëîâàìè æèâîå ñóùåñòâî. Ïðèíöèïèàëüíî òî, ÷òî ýòè ìåõàíèçìû íîñÿò óíäàìåíòàëüíûé õàðàêòåð, à èìåííî, îíè ñâÿçàíû ñ çàïóòàííîñòüþ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé íåñêîëüêèõ ÷àñòèö. Çàïóòàííîñòü íå ñâîäèòñÿ ê âçàèìîäåéñòâèþ, íàïðèìåð, ê îáìåíó îòîíàìè. Çàïóòàííîñòü - ýòî óíäàìåíòàëüíûé åíîìåí, êîòîðûé ïðîÿâëÿåòñÿ â îñîáîé ñâÿçè ìåæäó ÷àñòèöàìè, è èìåííî ýòà ñâÿçü äàåò íàì âîçìîæíîñòü ñòðîèòü ìàñøòàáèðóåìûå ìîäåëè êîíñòðóêòèâíîé èçèêè. Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè çàïóòàííûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé íóæåí ñïåöèàëüíûé âû÷èñëèòåëüíûé ðåñóðñ, êîòîðûé ìîæíî ïîëó÷èòü òîëüêî åñëè ñýêîíîìèòü íà îòäåëüíî âçÿòûõ ÷àñòèöàõ. Èìåííî òàêóþ ýêîíîìèþ äàåò íàì ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ. Ïî÷åìó ïðè ìîäåëèðîâàíèè ñëîæíûõ ñèñòåì íàì íå íóæíî ãíàòüñÿ çà òî÷íîñòüþ âîñïðîèçâîäñòâà âîëíîâûõ óíêöèé îòäåëüíûõ ÷àñòèö ? Ïîòîìó, ÷òî âîëíîâàÿ óíêöèÿ - åñòü ðåçóëüòàò ñòàòèñòè÷åñêîé îáðàáîòêè îäíîòèïíûõ ýêñïåðèìåíòîâ, êîòîðûõ â ýâîëþöèè ñëîæíûõ ñèñòåì ïðîñòî íåò. Åñëè ìû ãîâîðèì î êîîðäèíàòíîì è èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè âîëíîâîé óíêöèè, î ìàòðè÷íîé àëãåáðå è ò.ä., ìû èìååì â âèäó òîëüêî ñâîéñòâà ãèãàíòñêèõ âèðòóàëüíûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ àíñàìáëåé, ñîñòîÿùèõ èç îäíîé ÷àñòèöû, âçÿòîé ïîñëåäîâàòåëüíî â ìîìåíòû âðåìåíè

t0 , t0 + ∆t, t0 + 2∆t, . . .

â îäíîì è òîì æå íà÷àëüíîì ñîñòî-

ÿíèè. Áîëåå òîãî, âñå ðåàëüíûå ýêñïåðèìåíòû ñîäåðæàò åùå è óñðåäíåíèå ïî ðàçëè÷íûì ðåàëüíûì ÷àñòèöàì, òàê êàê åñëè ìû, íàïðèìåð, èçìåðÿåì ïîëîæåíèå ýëåêòðîíà, òî ïîñëå òàêîãî èçìåðåíèÿ îí ïðèîáðåòàåò, âîîáùå ãîâîðÿ, îãðîìíóþ ñêîðîñòü, êîòîðàÿ áóäåò òåì áîëüøå, ÷åì òî÷íåå ìû ïîìåðÿëè åãî ïîëîæåíèå. È ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ñëåäóþùåãî îïûòà ìû óæå âîçüìåì äðóãîé ýëåêòðîí, è ò.ä. Ìû åùå âåðíåìñÿ ê îáñóæäåíèþ ýòîãî âîïðîñà. Íî äàæå åñëè áû ýëåêòðîí áûë âñåãî îäèí, ìíîãîêðàòíûå åãî èçìåðåíèÿ èìåþò ëèøü ïðèáëèçèòåëüíîå îòíîøåíèå ê ìíîãîýëåêòðîííîé ñèñòåìå, è åå ïîâåäåíèþ. Òî åñòü

154 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ èõ ìîæíî ïðèìåíÿòü òîëüêî òîãäà, êîãäà çàïóòàííîñòü èãðàåò ìàëóþ ðîëü, íàïðèìåð, ïðè èçó÷åíèè äèíàìèêè èäåàëüíîãî ãàçà. Åñëè æå ðîëü çàïóòàííîñòè âåëèêà, òî ïðè ìîäåëèðîâàíèè íàäî ðàñïðåäåëÿòü ðåñóðñ êîìïüþòåðà èìåííî òàê, ÷òîáû îòðàæàòü åå äèíàìèêó. Åñëè ìû áóäåì ðàñõîäîâàòü âû÷èñëèòåëüíûé ðåñóðñ íà òî÷íîå âîñïðîèçâîäåíèå âîëíîâûõ óíêöèé îòäåëüíûõ ÷àñòèö, ìû íå ñìîæåì èçó÷àòü ñëîæíûå ñèñòåìû ! Òåì áîëåå ýòî èçó÷åíèå ñòàíåò íåâîçìîæíûì, åñëè ìû íà÷íåì âîñïðîèçâîäèòü âîëíîâûå óíêöèè íåñêîëüêèõ ÷àñòèö.  ýòîì ñëó÷àå êîìïüþòåð áóäåò çàíÿò îáðàáîòêîé ýêñòðåìàëüíîé ìàññû áåññìûñëåííûõ êîìáèíàöèé ñîñòîÿíèé îòäåëüíûõ ÷àñòèö, ÷òî ìîæíî óïîäîáèòü èçâåñòíîìó ïðèìåðó î ïîïûòêå âîñïðîèçâåñòè ëèòåðàòóðíóþ ïîýìó ñ ïîìîùüþ ìàðòûøåê, õàîòè÷åñêè óäàðÿþùèõ ïî êëàâèàòóðå. Ìîæíî áûëî áû ïîïûòàòüñÿ çàùèòèòü âîëíîâûå óíêöèè îòäåëüíûõ ÷àñòèö, âîçíàìåðèâøèñü ñòðîèòü èç íèõ íåçàïóòàííûå ñîñòîÿíèÿ, èëè ñîñòîÿíèÿ, áëèçêèå ê íåçàïóòàííûì (íàïðèìåð, øìèäòîâñêèå ñîñòîÿíèÿ äëÿ ïàð ÷àñòèö). Ýòî áóäåò íåãëóïûì ïóòåì, íî òîëüêî äëÿ 3-5 ÷àñòèö. Åñëè èãíîðèðîâàòü ñîñòîÿíèÿ 3 ÷àñòèö, íå ñâîäèìûå ê øìèäòîâñêèì (òàêèå ñóùåñòâóþò óæå äëÿ 3 êóáèòîâ), ìîæíî ïîëó÷èòü íåêîå ñîîòâåòñòâèå ñ ýêñïåðèìåíòàìè, íàïðèìåð, ïî ïîòåíöèàëó õèìè÷åñêîé ñâÿçè â ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèÿõ (òàêèå ðàñ÷åòû êâàíòîâûå õèìèêè äåëàþò äëÿ äåñÿòêîâ ÷àñòèö). Íî äàæå äëÿ 3-5 ÷àñòèö ýòîò ïóòü íå äàñò ìîäåëè êâàíòîâîé äèíàìèêè, òî åñòü, íàïðèìåð, ðåàêöèè àññîöèàöèè ìîëåêóë. Òåì áîëåå òàêîé ýêëåêòè÷åñêèé ïóòü íå ïðèãîäåí äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ñëîæíûõ ñèñòåì, äëÿ êîòîðûõ ïîâåäåíèèå îïðåäåëÿåòñÿ íå ñòîëüêî òî÷íîñòüþ îïðåäåëåíèÿ ïîòåíöèàëîâ, ñêîëüêî ïðàâèëüíûì îïèñàíèåì çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé. Äëÿ ìàñøòàáèðîâàèÿ íàøåé ìîäåëè íåîáõîäèìà áîëåå öåëüíàÿ ýâðèñòèêà. Îïèñàíèå êëàññè÷åñêèõ è êâàíòîâûõ ýâîëþöèé, à òàêæå èçìåðåíèé, äîëæíî áûòü åäèíûì. Âîëíîâàÿ óíêöèÿ ïðåêðàñíî ñïðàâëÿåòñÿ ñî ñòàòèñòèêîé, íî ýòî - îäíî÷àñòè÷íàÿ ñòàòèñòèêà, è îíà íå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ñëîæíûå ñèñòåìû. Èìåííî ïîýòîìó íàì ïðèäåòñÿ îòêàçàòüñÿ îò îïèñàíèÿ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ñ ïîìîùüþ âîëíîâûõ óíêöèé, è çàìåíèòü èõ ðîåâûì ïðåäñòàâëåíèåì ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Ìû óâèäèì, ÷òî òàêîå ïðåäñòàâëåíèå õîðîøî äðóæèò ñî ñòàíäàðòíûì ïîäõîäîì äëÿ ñëó÷àÿ íåîãðàíè÷åííûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ. ×òî æå êàñàåòñÿ ñëîæíûõ ñèñòåì, ãäå ñòàíäàðòíûé ïîäõîä âîîáùå íåïðèìåíèì, ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ äàåò íàì òó íèòü Àðèàäíû, êîòîðàÿ äîëæíà ïðèâåñòè íàñ ê öåëè.

5.4.3 Ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî Äëÿ ïîèñêà îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ (ñîáñòâåííîãî ñîñòîÿíèÿ ñ íàèìåíüøåé ýíåðãèåé) èñïîëüçóåòñÿ âåðîÿòíîñòíûé ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî, êîòîðûé ìîæíî íàçâàòü ìåòîäîì ñòàòè÷åñêîé äèóçèè.  ýòîì ìåòîäå êâàíòîâàÿ ÷àñòèöà ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ðîÿ åå ýêçåìïëÿðîâ, òàê ÷òî ïëîòíîñòü ðîÿ áóäåò ðàâíà ìîäóëþ âîëíîâîé óíêöèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ:

ρ = |Ψ0 |.

Ýòî ãîâîðèò îá îãðàíè÷åííî-

5.4.

155

ÌÅÒÎÄ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß

ñòè äàííîãî ìåòîäà, òàê êàê åãî íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü êàê âåðîÿòíîñòíóþ ìîäåëü êâàíòîâîé äèíàìèêè, â êîòîðîé ïëîòíîñòü ðîÿ äîëæíà ñîâïàäàòü ñ êâàäðàòîì ìîäóëÿ âîëíîâîé óíêöèè. ëóáèííàÿ ïðè÷èíà ýòîãî ðàñõîæäåíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî ÿâëÿåòñÿ ñòàòè÷åñêèì, òî åñòü îí íå ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè. Äèíàìèêà òðåáóåò îïèñàíèÿ âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé, à íå òîëüêî îñíîâíîãî. Òåì íå ìåíåå ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî î÷åíü ïðîñò â èñïîëüçîâàíèè, è åãî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê õîðîøóþ ñòàðòîâóþ ïëîùàäêó äëÿ ïîñòðîåíèÿ íàñòîÿùåé äèíàìè÷åñêîé ìîäåëè. àññìîòðèì ñëåäóþùèé ïðîöåññ ýâîëþöèè ðîÿ âî âðåìåíè. Ïóñòü äëÿ êàæäîãî ýêçåìïëÿðà ñ íåêîòîðîé ìàëîé âåðîÿòíîñòüþ

p

ïðîèçâîäèòñÿ åãî ñäâèã íà

∆x âäîëü îäíîé èç êîîðäèíàòíûõ îñåé â ïîëîæèòåëüíîì èëè îòðèöàòåëüíîì íàïðàâëåíèè ñ ðàâíîé âåðîÿòíîñòüþ p. Ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 − 6p ýêçåìïëÿð ñòîèò íà ìåñòå. Ïóñòü íàì çàäàíà íåêîòîðàÿ ñêàëÿðíàÿ óíêöèÿ V íà êîíèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå. Ââåäåì òàêæå ñëåäóþùåå ïðàâèëî ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ ýêçåìïëÿðîâ. Ïóñòü äëÿ êàæäîãî ýêçåìïëÿðà ñ âåðîÿòíîñòüþ, ïðîïîðöèîíàëüíîé

V,

ïðîèñõîäèò ñëåäóþ! ùèé ïðîöåññ. Åñëè

V < 0,

òî äàííûé ýêçåìïëÿð

ïîðîæäàåò íîâûé ýêçåìïëÿð, ðàñïîëîæåííûé â òîé æå òî÷êå, åñëè

V > 0,

òî

äàííûé ýêçåìïëÿð óíè÷òîæàåò íåêîòîðûé äðóãîé ýêçåìïëÿð, ðàñïîëîæåííûé íà ðàññòîÿíèè, ìåíüøåì

∆x. Ýòîò ïðîöåññ ìû áóäåì íàçûâàòü ñòàòè÷åñêîé äè-

óçèåé. Ó ýêçåìïëÿðîâ â òàêîì ïðîöåññå àêòè÷åñêè íåò ñêîðîñòåé, à ó÷àñòâóþò òîëüêî èõ êîîðäèíàòû. Òåïåðü ñäåëàåì â óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà

ih

h2 ∂Ψ =− ∆Ψ + V Ψ ∂t 2m

îðìàëüíóþ çàìåíó ïåðåìåííûõ âèäà óðàâíåíèÿ äèóçèè:

h

t = −iτ . Òîãäà ýòî óðàâíåíèå ïðèìåò âèä

h2 ∂Ψ = ∆Ψ − V Ψ ∂t 2m

êîòîðîå êàê ðàç îïèñûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì äèóçèîííûì ïðîöåññîì. Åñëè ìû óïîðÿäî÷èì óðîâíè ýíåðãèè â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ýíåðãèè

En ,

òî ýâîëþöèÿ âî âðåìåíè âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ, ðàçëîæåííîãî ïî ñîá-

ñòâåííûì âåêòîðàì

φn

áóäåò âûãëÿäåòü òàê:

Ψ=

X

i

λn e− h En t φn .

n

Òîãäà è ðàçëîæåíèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ äèóçèè áóäåò èìåòü âèä

Ψ(t) =

X

1

λn e− h En t φn .

n

Ìû âèäèì, ÷òî ïðè

t −→ ∞

äèóçèîííûé ïðîöåññ áóäåò ñõîäèòüñÿ ê îñíîâ-

íîìó ñîñòîÿíèþ, òàê êàê îñòàëüíûå áóäóò ïîäàâëåíû áûñòðî óáûâàþùèìè ýêñïîíåíòàìè. Èçâåñòíî, ÷òî îñíîâíîå ñîñòîÿíèå íå ñîäåðæèò íèêàêèõ ðàçíîñòåé

156 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ àç, òî åñòü ïðîñòî ñîâïàäàåò ñî ñâîèì ìîäóëåì. Ïîýòîìó äëÿ åãî íàõîæäåíèÿ íàäî çàäàòü ïðîèçâîëüíîå íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè ðîÿ, è çàïóñòèòü ïðîöåññ ñòàöèîíàðíîé äèóçèè. Îí ñòàáèëèçèðóåòñÿ íà ðàñïðåäåëåíèè, ïðîïîðöèîíàëüíîì îñíîâíîìó ñîñòîÿíèþ. àçóìååòñÿ, ïðè ýòîì íàäî ñëåäèòü çà òåì, ÷òîáû îáùåå ÷èñëî ýêçåìïëÿðîâ â ðîå íå âûõîäèëî çà íåêî! òîðûå ïðåäåëû. Ýòîãî ìîæíî ëåãêî äîáèòüñÿ, äîáàâëÿÿ èëè óáàâëÿÿ ýêçåìïëÿðû ðàâíîìåðíî â ñîîòâåòñòâèè ñ óæå èìåþùåéñÿ ïëîòíîñòüþ. Ìåòîä ÄÌÊ íåïîñðåäñòâåííî îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àåé ýêçåìïëÿðîì áóäåò êîðòåæ èç öèîííîå ïðîñòðàíñòâî áóäåò

n

n

÷àñòèö. Ïðè ýòîì

ýêçåìïëÿðîâ êàæäîé èç ÷àñòèö, à êîíèãóðà-

R3n .

Ïîä÷åðêíåì åùå ðàç, ÷òî îïèñàííûé ìåòîä ñòàöèîíàðíîé äèóçèè ïðåäíàçíà÷åí èñêëþ÷èòåëüíî äëÿ ïîèñêà îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ, òî åñòü äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ äèíàìè÷åñêîé êàðòèíû íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ìåòîä äèíàìè÷åñêîé äèóçèè, êîòîðûé ìû îïèøåì äàëåå.

5.4.4 Èçâåñòíûå ïóòè ïðèáëèæåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà êâàçè êëàññè÷åñêèìè àíñàìáëÿìè Ñâåñòè óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ê ðàçíîãî ðîäà êâàçè êëàññè÷åñêèì àíñàìáëÿì ïûòàëèñü äàâíî. Ïðåäëàãàåìûé â äàííîé ðàáîòå ìåòîä äèíàìè÷åñêîãî äèóçèîííîãî ðîÿ îòëè÷àåòñÿ îò ïðåäûäóùèõ ïîïûòîê â òîì, ÷òî ìû ñòàâèì öåëüþ íå ïîëó÷åíèå äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, à îïèñàíèå ìåõàíèçìà âçàèìîäåéñòâèÿ, ïðèâîäÿùåãî ê êâàíòîâîé äèíàìèêå íàèáîëåå ýêîíîìè÷íûì ñïîñîáîì ñ òî÷êè çðåíèÿ ìîäåëèðîâàíèÿ òàêîé äèíàìèêè íà êëàññè÷åñêîì êîìïüþòåðå. Ìû ïðèâåäåì çäåñü äâà èçâåñòíûõ ïðèåìà, ñõîæèõ ñ íàøèì ïîäõîäîì: ìåòîä Áîìà è äèóçèîííûé ìåòîä Ìîíòå Êàðëî. Íà÷íåì ñ ìåòîäà Áîìà, êîòîðûé èñïîëüçóåò ïîíÿòèå ïñåâäî ïîòåíöèàëà. Áóäåì îòîæäåñòâëÿòü êâàäðàò ìîäóëÿ âîëíîâîé óíêöèè ñ ïëîòíîñòüþ àíñàìáëÿ âîîáðàæàåìûõ ÷àñòèö, à åå àçó φ - ñ êëàññè÷åñêèì äåéñòâèåì. Òîãäà ìû èìååì: Ψ = ρ1/2 eiφ/h , è 1/m grad φ(¯ r ) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïëîòíîñòü ïîòîêà âîîáðàæàåìûõ ÷àñòèö. Òîãäà óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà áóäåò ýêâèâàëåíòíî ñèñòåìå òàêèõ óðàâíåíèé:

7

∂φ + ∂t

∂ρ + div ∂t 1 (grad 2m

(ρ/m grad φ) = 0, φ)2 + V + V1 = 0,

h2 (∆ρ/ρ + (grad ρ)2 /ρ2 ) çàâèñèò îò ïëîòm íîñòè ñàìèõ ÷àñòèö, ïðè÷åì ñ ñèíãóëÿðíîñòüþ â íóëå. Ýòè óðàâíåíèÿ ñîâïàäàþò

ãäå êâàíòîâûé ïñåâäî ïîòåíöèàë

V1 =

ñ óðàâíåíèÿìè äèíàìèêè ïîòîêà êëàññè÷åñêèõ ÷àñòèö, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî

V1

èìååò èçè÷åñêèé ñìûñë íåêîåãî ïîòåíöèàëà. Áîìîâñêèé ïîäõîä ñîäåðæèò 7 Ýòè

óðàâíåíèÿ âûâåäåíû Ìàäåëóíãîì. Áîì ïîëîæèë èõ â îñíîâó ñâîå èíòåðïðåòàöèè êâàíòîâîé òåîðèè - è ýòî ìîæíî, íàðÿäó ñ åéíìàíîâñêèìè èíòåãðàëàìè ïî ïóòÿì, ñ÷èòàòü ïðîîáðàçîì ïðåäëàãàåìîãî íàìè ìåòîäà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ.

5.4.

ÌÅÒÎÄ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß

157

îäèí ñåðüåçíûé íåäîñòàòîê. Íåÿñåí ìåõàíèçì ïîïàðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó âîîáðàæàåìûìè ÷àñòèöàìè, êîòîðûé ìîæåò äàòü òàêîé ïñåâäî ïîòåíöèàë. Êðîìå òîãî, îñîáåííîñòü â íóëå îçíà÷àåò, ÷òî â çîíàõ ñ ìàëîé ïëîòíîñòüþ íà âîîáðàæàåìûå ÷àñòèöû äåéñòâóåò íåêàÿ îãðîìíàÿ ñèëà ñ íåïðåäñêàçóåìûì íàïðàâëåíèåì, ÷òî íå äàåò âîçìîæíîñòè ïðèìåíèòü ýòè óðàâíåíèÿ ê ïðàêòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâàíèþ êâàíòîâîé äèíàìèêè.

8

ëóáèííàÿ ïðè÷èíà ýòîãî çàòðóäíåíèÿ

ñîñòîèò â òîì, ÷òî íàñòîÿùàÿ âîëíîâàÿ óíêöèÿ èìååò ñòàòèñòè÷åñêóþ ïðèðîäó. Åå ýêñïåðèìåíòàëüíîå îïðåäåëåíèå âñåãäà òðåáóåò áîëüøîãî êîëè÷åñòâà ïîâòîðíûõ èñïûòàíèé, òàê ÷òî ëèíåéíîñòü ïðîÿâëÿåòñÿ òîëüêî äëÿ ïðåäåëüíîãî ðåçóëüòàòà ýòèõ èñïûòàíèé ïðè èõ ÷èñëå, ñòðåìÿùåìñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Ïîýòîìó îòêàç îò ïðîñòîãî îïèñàíèÿ ëèíåéíîñòè íå ïðåäñòàâëÿåò äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ áîëüøîãî íåäîñòàòêà. Îäíàêî äëÿ ýåêòèâíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, êàê ìû óâèäèì íèæå, íàäî áóäåò îòêàçàòüñÿ íå òîëüêî îò ýòîãî. Íàì áóäåò íóæåí ïðîñòîé ìåõàíèçì âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö â äèíàìè÷åñêîì äèóçèîííîì ðîå. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ îáðåòåíèÿ òàêîãî ìåõàíèçìà ïðèäåòñÿ îòêàçàòüñÿ è îò ñðàâíèòåëüíî êðàñèâîé ñèñòåìû äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ïîäîáíîé âûïèñàííîé âûøå. Ìû ñìîæåì âûïèñàòü ñèñòåìó óðàâíåíèÿ òîëüêî äëÿ èêñèðîâàííîãî ðàçðåøåíèÿ ïî ïðîñòðàíñòâó ! Òàêîâà öåíà, êîòîðóþ íàäî çàïëàòèòü çà ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ýåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ. àññìîòðèì òåïåðü âêðàòöå äèóçèîííûé ìåòîä Ìîíòå Êàðëî (ÄÌÊ). ÄÌÊ èñïîëüçóåò àíñàìáëü òî÷å÷íûõ ÷àñòèö, íå îáëàäàþùèõ ñêîðîñòÿìè. Çàêîí ïåðåìåùåíèÿ ýòèõ ÷àñòèö î÷åíü ïðîñò. Ëþáàÿ ÷àñòèöà ñ íåêîòîðîé ìàëîé âåðîÿòíîñòüþ

p

ñäâèãàåòñÿ íà

dx

â ëþáîå èç 6 âîçìîæíûõ íàïðàâëåíèé âäîëü

êîîðäèíàòíûõ îñåé (ðàâíîâåðîÿòíî) èëè ñòîèò íà ìåñòå ñ âåðîÿòíîñòüþ

1 − 6p.

Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñ îáðàòíûì çíàêîì èãðàåò ðîëü èíòåíñèâíîñòè ðîæäåíèÿ (óíè÷òîæåíèÿ) ÷àñòèö â äàííîé òî÷êå. Ïðèñóòñòâèå ïðîñòîãî ìåõàíèçìà ïåðåìåùåíèÿ ÷àñòèö åñòü ñèëüíàÿ ñòîðîíà ìåòîäà ÄÌÊ. Íî ó ÷àñòèö â àíñàìáëå ÄÌÊ íåò èñòîðèè. Òàêîé àíñàìáëü õàðàêòåðèçóåòñÿ òîëüêî åãî óíêöèåé ïëîòíîñòè

ρ(x).

×àñòèöû àíñàìáëåé ÄÌÊ íå èìåþò ñêîðîñòåé, è òàêèå àíñàìáëè

ïðåäíàçíà÷åíû òîëüêî äëÿ ðàñ÷åòà îðìû è ýíåðãèé ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé, äëÿ êîòîðûõ îíè äàþò íàèáîëåå òî÷íûå ðåçóëüòàòû èç âñåõ âû÷èñëèòåëüíûõ ìåòîäîâ. À èìåííî, ýâîëþöèÿ àíñàìáëÿ ÄÌÊ ñòàáèëèçèðóåòñÿ íà ïëîòíîñòè

ρ(x)

ðàâíîé ìîäóëþ âîëíîâîé óíêöèè îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé

8 Ä.È.Áëîõèíöåâ â [9℄ óêàçûâàë êàê íà ãëàâíûé íåäîñòàòîê òàêîãî ïóòè íåâîçìîæíîñòü ïðîñòîé èíòåðïðåòàöèè ëèíåéíûõ ñâîéñòâ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà â òåðìèíàõ ãèäðîäèíàìèêè. Ìíå ïðåäñòàâëÿåòñÿ, ÷òî ýòî íå ÿâëÿåòñÿ íåäîñòàòêîì. Ïðîòèâîðå÷èå ìåæäó ñòîõàñòè÷åñêîé ïðèðîäîé âîëíîâîé óíêöèè è ëèíåéíûìè ñâîéñòâàìè óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà íåâîçìîæíî ïðåîäîëåòü íè ïðè êàêîé àíñàìáëåâîé èíòåðïðåòàöèè âîëíîâîé óíêöèè, íî äëÿ ïîñòðîåíèÿ ýêîíîìè÷íûõ ìåõàíèçìîâ ìîäåëèðîâàíèÿ ýòî è íå òðåáóåòñÿ. Ëþáîé ìåòîä ìàòðè÷íîé àëãåáðû ñòðàäàåò âðîæäåííîé íåýåêòèâíîñòüþ ðàñõîäîâàíèÿ âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ; â çàäà÷àõ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ êâàíòîâîé äèíàìèêè, îñîáåííî â ñëó÷àå ìíîãèõ ÷àñòèö, â ëþáîì ñëó÷àå íàäî âûáèðàòü ìåæäó êàêîé-ëèáî ðàçíîâèäíîñòüþ àíñàìáëåâîãî ïîäõîäà è êâàíòîâûì êîìïüþòåðîì. Ïîýòîìó æåðòâà àëãåáðàè÷åñêîé êðàñîòîé áûëà áû çäåñü âïîëíå îïðàâäàíà.

158 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ ñèñòåìû. Åñëè âñå æå ïðèïèñàòü ÷àñòèöàì ñêîðîñòè, òî ó íàñ âûéäåò, ÷òî ýòè ñêîðîñòè ìåíÿþòñÿ õàîòè÷åñêè, êàê ïðè áðîóíîâñêîì äâèæåíèè. Ïðè ýòîì ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ÷àñòèö â ëþáîì êóáèêå áóäåò ïðèìåðíî íóëåâàÿ. Îòìåòèì, ÷òî àíñàìáëü ÄÌÊ áëèæå âñåãî ê íàøåìó ìåòîäó. Îí äàåò ñàìûé ýêîíîìè÷íûé ìåòîä ïîäñ÷åòà îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ. Íî, êîíå÷íî, ñ åãî ïîìîùüþ íåëüçÿ ìîäåëèðîâàòü êâàíòîâóþ äèíàìèêó, òàê êàê îäíîé ñêàëÿðíîé óíêöèè

ρ(x)

äëÿ ýòîãî ïðîñòî íå äîñòàòî÷íî. Êîñâåííûì ñâèäåòåëüñòâîì íåâîçìîæíî-

ñòè òàêîãî îáîáùåíèÿ ÄÌÊ ÿâëÿåòñÿ è òî, ÷òî ïëîòíîñòü ÷àñòèö â íåì íàäî ñðàâíèâàòü ñ ìîäóëåì âîëíîâîé óíêöèè à íå åå êâàäðàòîì, òî åñòü â ðàìêàõ ÄÌÊ íåò âîçìîæíîñòè äîáèòüñÿ åäèíîãî îïèñàíèÿ äèíàìèêè â êëàññè÷åñêîì è êâàíòîâîì ñëó÷àÿõ. Åñòü ó ÄÌÊ è åùå áîëåå ñåðüåçíûé íåäîñòàòîê. îæäåíèå è èñ÷åçíîâåíèå ÷àñòèö íå äàåò âîçìîæíîñòè ïðîñëåäèòü èõ èíäèâèäóàëüíóþ èñòîðèþ. Ýòîò íåäîñòàòîê íå ñêàçûâàåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî íà ñëîæíîñòè ðàñ÷åòà îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ, íî îí ïðèíöèïèàëåí äëÿ îïèñàíèÿ äèíàìèêè, ïîñêîëüêó äèíàìèêà êàê ðàç è ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòèðóþùèì îïèñàíèåì èñòîðèè ÷àñòèöû. Íàêîíåö, ìîæíî èñõîäèòü èç íåêîòîðîãî êëàññè÷åñêîãî ìåõàíèçìà âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö, ïóñòü îí çàäàåòñÿ êëàññè÷åñêèì ãàìèëüòîíèàíîì íîñòü ÷àñòèö

ρ äëÿ àíñàìáëåé

H(r, p). Ïëîò-

ñ êëàññè÷åñêèì ãàìèëüòîíèàíîì âçàèìîäåéñòâèÿ

áóäåò çàâèñåòü êàê îò êîîðäèíàòû

r,

òàê è îò èìïóëüñà

p

è áóäåò ïîä÷èíÿòüñÿ

óðàâíåíèþ Ëèóâèëëÿ

dρ = −{ρ, H}. dt Ïîâåäåíèå, çàäàâàåìîå ýòèì óðàâíåíèåì, íå ìîæåò ìîäåëèðîâàòü êâàíòîâóþ ýâîëþöèþ ñ ïðèåìëåìîé òî÷íîñòüþ, ïîñêîëüêó îíî íå äàåò ïðèíöèïèàëüíûõ êâàíòîâûõ ÿâëåíèé, êàê íàïðèìåð, ðàáèåâñêèå îñöèëëÿöèè èëè êâàíòîâûå ñïåêòðû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ñèìóëÿöèè êâàíòîâîé äèíàìèêè ìû äîëæíû äîïóñòèòü íåêîòîðûå ýëåìåíòû â ïîâåäåíèè ýêçåìïëÿðîâ, íå âûòåêàþùèå èç êëàññè÷åñêîé èçèêè. Êàêîâà èçè÷åñêàÿ ïðèðîäà ýòîãî ïîâåäåíèÿ ? Ìû íå çíàåì îòâåò íà ýòîò âîïðîñ.  ðàáîòå [23℄ ïðåäëîæåíî ñ÷èòàòü òàêîå ïîâåäåíèå ðåçóëüòàòîì äåéñòâèÿ òàê íàçûâàåìûõ ïðåêâàíòîâûõ ïîëåé. Äëÿ ïðåäëàãàåìîãî íàìè äèíàìè÷åñêîãî äèóçèîííîãî ðîÿ ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî åãî ýêçåìïëÿðû îáìåíèâàþòñÿ âèðòóàëüíûìè îòîíàìè, è â ðåçóëüòàòå ýòîãî ïðîèñõîäèò îáìåí èìïóëüñàìè, âõîäÿùèé â îïðåäåëåíèå äèíàìè÷åñêîãî äèóçèîííîãî ðîÿ. Ýòî íèêàê íå ïðîÿñíÿåò ïðîèñõîäÿùåãî, è ïîòîìó ìû îñòàâëÿåì âîïðîñ î ïðèðîäå ýòîãî îáìåíà áåç îòâåòà. Òàêîå óìîë÷àíèå íèêàê íå ïîìåøàåò íàì ñòðîèòü íàøè àëãîðèòìû, è ìû ìîæåì âåðíóòüñÿ ê ýòîìó âîïðîñó, êîãäà âîçíèêíåò íåîáõîäèìîñòü. Åùå îäèí èçâåñòíûé àíàëîã äèíàìè÷åñêîãî äèóçèîííîãî ðîÿ ýòî ìîäåëü Êàëüäåðà Ëåãåòòà äëÿ ÷àñòè÷íîé äåêîãåðåíöèè êâàíòîâîé ÷àñòèöû, â êîòîðîé ýòà ÷àñòèöà ðàññìàòðèâàåòñÿ âî âçàèìîäåéñòâèè ñ âàííîé, ñîñòîÿùåé èç ãàðìîíè÷åñêèõ îñöèëëÿòîðîâ. Òàêîå âçàèìîäåéñòâèå ïðèäàåò êâàíòîâîé ÷àñòèöå íåêîòîðóþ ñëó÷àéíóþ ñêîðîñòü. Îäíàêî òàêàÿ ìîäåëü óæå èñõîäèò èç ñòàíäàðòíîãî êâàíòîâîãî îðìàëèçìà, â òî âðåìÿ êàê ââîäèìûé íàìè äèíàìè÷åñêèé äèó-

5.4.

159

ÌÅÒÎÄ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß

çèîííûé ðîé ïðåäíàçíà÷åí äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ âìåñòî ýòîãî îðìàëèçìà.

5.4.5 Äèíàìè÷åñêèé äèóçèîííûé ðîé Çäåñü ìû îïèøåì ãëàâíûé èíñòðóìåíò êâàíòîâîãî ìîäåëèðîâàíèÿ: äèíàìè÷åñêèé äèóçèîííûé ðîé. Ýòîò îáúåêò ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì äâóõ õîðîøî èçâåñòíûõ îáúåêòîâ: àíñàìáëÿ êëàññè÷åñêèõ ÷àñòèö, èñïîëüçóåìîãî â äèóçèîííîì ìåòîäå Ìîíòå Êàðëî (ÄÌÊ), è àíñàìáëÿ ÷àñòèö ñ êëàññè÷åñêèì ãàìèëüòîíèàíîì âçàèìîäåéñòâèÿ

H(r, p).

Ïî÷åìó äèíàìè÷åñêèé äèóçèîííûé ðîé ëó÷øå íåïîñðåäñòâåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà òåì èëè èíûì ñïîñîáîì ? Ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà àêòè÷åñêè èñïîëüçóåòñÿ ðèìàíîâñêàÿ ñõåìà èíòåãðèðîâàíèÿ. Ìû äîëæíû ïðîèçâîäèòü âû÷èñëåíèå âîëíîâîé óíêöèè âî âñåì êîíèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå, íåçàâèñèìî îò ñòåïåíè êîíñòðóêòèâíîñòè èíòåðåðåíöèè. Ïðè ýòîì íà áîëüøåé ÷àñòè ïðîñòðàíñòâà, ãäå èíòåðåðåíöèÿ äåñòðóêòèâíà è âîëíîâàÿ óíêöèÿ àêòè÷åñêè ðàâíà íóëþ, ìû áóäåì âûíóæäåíû ðàñõîäîâàòü âû÷èñëèòåëüíûé ðåñóðñ òîëüêî íà òî, ÷òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì. Äèíàìè÷åñêèé äèóçèîííûé ðîé, â ïðîòèâîïîëîæíîñòü ýòîìó, ðåàëèçóåò áîëåå îáùóþ, ëåáåãîâñêóþ ñõåìó èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïðè òàêîé ñõåìå äèóíäèðóþùèå ÷àñòèöû áóäóò êîíöåíòðèðîâàòüñÿ â îáëàñòÿõ êîíñòðóêòèâíîé èíòåðåðåíöèè â ðåçóëüòàòå äèóçèîííîé äèíàìèêè, è ìû èçáåæèì ãðîìàäíûõ íåïðîèçâîäèòåëüíûõ ðàñõîäîâ âû÷èñëèòåëüíîãî ðåñóðñà.  ýòîì ñîñòîèò óíäàìåíòàëüíîå ïðåèìóùåñòâî äèóçèîííîé äèíàìèêè. Êàê ìû óâèäèì äàëåå, ïëàòîé çà òàêîå ïðåèìóùåñòâî áóäåò íåîäíîðîäíîñòü èíòåíñèâíîñòè äèóçèè ïî ýëåìåíòó äëèíû. Ýòà èíòåíñèâíîñòü áóäåò çàâèñåòü îò âûáðàííîãî çàðàíåå çåðíà ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ

δx,

â ïðîòèâîïîëîæíîñòü îáûêíîâåííîé äèóçèè, ãäå òàêîé

çàâèñèìîñòè íåò. Ïåðåéäåì ê îïðåäåëåíèÿì. Ìû áóäåì íàçûâàòü ðîåì êîíå÷íîå ìíîæåñòâî

n s ∈ S

ñîñòîÿùåå èç êîòîðûõ

S

øòóê îäíîòèïíûõ êëàññè÷åñêèõ òî÷å÷íûõ ÷àñòèö, êàæäàÿ èç x(s), p(s) ∈ R3 .

îáëàäàåò ñâîèìè êîîðäèíàòàìè è èìïóëüñîì

 ìåòîäå êëàññè÷åñêîãî ïîâåäåíèÿ îäíà êâàíòîâàÿ ÷àñòèöà ìàññû

M

Q ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ðîÿ S , êàæäàÿ ÷àñòèöà êîòîðîãî s ∈ S m = M/n è çàðÿä q = Q/n. Ýëåìåíòû òàêîãî ðîÿ íàçûâàþòñÿ â

èìååò ìàññó

è çàðÿäà

ýòîì ñëó÷àå

ýêçåìïëÿðàìè äàííîé êâàíòîâîé ÷àñòèöû. Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ÷èñëî ýëåìåíòîâ

n

ðîÿ íàñòîëüêî âåëèêî, ÷òî åãî ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê ïðèáëè-

æåíèå íåïðåðûâíîé ñðåäû, òî åñòü åñëè äëÿ íàøèõ öåëåé ïîíàäîáèòñÿ ïåðåéòè êî âñå áîëåå è áîëåå ìåëêîìó äåëåíèþ ïðîñòðàíñòâà íà ìàëåíüêèå êóáèêè, òî íà êàæäîì øàãå â êàæäûé êóáèê ïîïàäóò êàêèå-òî ýêçåìïëÿðû. Ïðè ýòîì ìû óâèäèì, ÷òî äèñïåðñèÿ ñêîðîñòåé ýêçåìïëÿðîâ áóäåò ðàñòè ñ óìåíüøåíèåì çåðíà ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçáèåíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû áóäåì èìåòü îòäåëüíûé ðîé äëÿ âñÿêîãî âûáðàííîãî çíà÷åíèÿ ïðîñòðàíñòâåííîãî çåðíà. Ìåòîäû âûäåëåíèÿ ÷àñòèö çàâèñÿò îò êîíêðåòíîé çàäà÷è, òàê ÷òî ÷àñòèöû íå îáÿçàòåëüíî ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè â ñìûñëå, ïðèíÿòîì â òåîðèçèêå.

160 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ Îïðåäåëåíèå òîãî, ÷òî ñ÷èòàòü ÷àñòèöåé ïðåäïîëàãàåò îïðåäåëåíèå õàðàêòåðíîé äëèíû

∆X

∆T , òàê ÷òî ðàçìåð ÷àñòèöû íàìíîãî ìåíüøå ∆X , òî åñòü òî÷å÷íîé, à èíòåðâàë âðåìåíè ∆T íå ìåíüøå âðåìåíè ïðî-

è âðåìåíè

åå ìîæíî ñ÷èòàòü

òåêàíèÿ èíòåðåñóþùèõ íàñ ïðîöåññîâ. Áóäåì òàêæå ñ÷èòàòü, ÷òî õàðàêòåðíûå ñðåäíèå ñêîðîñòè ðàññìàòðèâàåìûõ ïåðåìåùåíèé íàìíîãî ìåíüøå íåêîòîðîé

c.

Íàïðèìåð, ìû ìîæåì −8 ðàññìàòðèâàòü àòîì êàê òî÷å÷íóþ ÷àñòèöó ïðè ïðè ïðîöåññàõ ñ ∆X > 10 m −10 è ∆T > 10 s. Åñëè æå ìû óìåíüøèì çíà÷åíèÿ õàðàêòåðíûõ äëèí è âðåìåí, ïðåäåëüíîé ñêîðîñòè ïåðåìåùåíèÿ ìàòåðèàëüíûõ òåë

òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðàâèëüíîé (ñîîòâåòñòâóþùåé ýêñïåðèìåíòàì) êàðòèíû äèíàìèêè ìû äîëæíû áóäåì ðàññìàòðèâàòü äðóãîé íàáîð "ýëåìåíòàðíûõ"÷àñòèö, íàïðèìåð, ðàññìàòðèâàòü îòäåëüíî ÿäðî è ýëåêòðîíû âíóòðè àòîìà. Çàèêñèðîâàâ

∆X

è

∆T ,

ìû äëÿ ïîëó÷åíèÿ äèíàìè÷åñêîé êàðòèíû äîëæíû îïðåäåëèòü

áîëåå ìåëêèå ïðîìåæóòêè

δx, δt,

êîòîðûå áóäóò ïðåäñòàâëÿòü ýëåìåíòàðíûå

øàãè áóäóùåãî âèäåîèëüìà, è êîòîðûå òåì íå ìåíåå äîëæíû áûòü ãîðàçäî áîëüøå õàðàêòåðíûõ äëèí è âðåìåí

˜ ˜ ∆X, ∆T

äëÿ ïðîöåññîâ, áîëåå óíäàìåí-

òàëüíûõ, ÷åì ðàññìàòðèâàåìûé (ðàçðûâ ìåæäó òàêèìè çíà÷åíèÿìè ñîñòàâëÿåò −20 îêîëî 10 , ÷òî âñåãäà ïîçâîëèò íàì ïðîâåñòè òàêîå ðàçäåëåíèå). Òàêæå â îäíîì ïðîöåññå ñ çàäàííîé ýíåðãèåé äëèíû è âðåìåíà çàâèñÿò îò ìàññ ÷àñòèö. àçäåëåíèå ÷àñòèö ïî ìàññàì äàåò âîçìîæíîñòü ðàññìàòðèâàòü äëÿ áîëüøèíñòâà ïðîöåññîâ ýëåêòðîäèíàìèêè òîëüêî èäåíòè÷íûå ýëåêòðîíû, òàê êàê õà-

1800 è áîëåå ðàç ìåíüøå. Òî åñòü ∆X , ∆T ðàçìåðîì óñëîâíîãî ýêðàíà

ðàêòåðíûå ðàññòîÿíèÿ ïðîáåãà ÿäåð áóäóò â ìû ìîæåì ñ÷èòàòü âûáðàííûå çíà÷åíèÿ è äëèòåëüíîñòüþ èëüìà, à

δx, δt

- ðàçðåøèìîñòüþ ýêðàíà è âðåìåíåì ýêñ-

ïîíèðîâàíèÿ îäíîãî êàäðà â íàøåì âèäåîèëüìå. Ìû âûáåðåì

δx

è

δt

ìàê-

ñèìàëüíî áîëüøèìè òàê, ÷òîáû íàø èëüì áûë èíîðìàòèâåí. Ïîñëå òàêîãî âûáîðà ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì, êàêèå ÷àñòèöû íàäî ðàññìàòðèâàòü êàê êâàíòîâûå, à êàêèå - êàê êëàññè÷åñêèå, äëÿ ÷åãî íàäî ñðàâíèòü õàðàêòåðíûå 2 âåëè÷èíû èõ äåéñòâèÿ a = M(∆X) /∆T ñ ïîñòîÿííîé Ïëàíêà h. Åñëè a < h ÷àñòèöó íàäî ðàññìàòðèâàòü êàê êâàíòîâóþ, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå - êàê êëàññè÷åñêóþ. Äàëåå ìû óâèäèì, ÷òî â ìåòîäå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ ïåðåõîä îò îäíîãî òèïà ðàññìîòðåíèÿ ê äðóãîìó îçíà÷àåò ïðîñòî èçìåíåíèå ðàçìåðîâ ðîÿ, òî åñòü íå ñâÿçàí ñ ââåäåíèåì äâóõ ðàçíûõ òèïîâ äèíàìèêè.  ñèëó îòìå÷åííîãî çàïàñà è âûáîðà ðàçðåøåíèÿ, ìû òîãäà ñìîæåì ïðè ïîäãîòîâêå èëüìà åùå óìåíüøèòü çíà÷åíèÿ

δx è δt äëÿ îðìèðîâàíèÿ ïðàâèëüíîãî èçîáðàæåíèÿ,

íàïðèìåð, ðàçäðîáèâ äîïîëíèòåëüíî ýòè èíòåðâàëû ñ öåëüþ îáîñíîâàòü êà÷åñòâî ïðèáëèæåíèÿ ê ðåøåíèÿì óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî 3 ïðîñòðàíñòâî R ðàçáèòî íà îäèíàêîâûå êóáèêè ñî ñòîðîíîé δx, à âðåìÿ - íà îäèíàêîâûå èíòåðâàëû äëèíû

δt.

Ââåäåì íåêîòîðóþ âåëè÷èíó ñêîðîñòè

c, êîòîðóþ

áóäåì ñ÷èòàòü ïðåäåëüíîé

ñêîðîñòüþ ïåðåìåùåíèÿ ýêçåìïëÿðîâ ðîÿ. Èíòåðâàëû ðàññòîÿíèé è âðåìåíè áó-

δx ≫ cδt. Ýòî ãàðàíòèðóåò, ÷òî íà êàæäîì øàãå ýâîëþöèè çíà÷åíèÿ âåëè÷èí, ïîëó÷åííûõ óñðåäíåíèåì ïî êóáèêàì ñ ðåáðîì δx áóäóò ìàëî äåì âûáèðàòü òàê, ÷òî

ìåíÿòüñÿ, ÷òî íåîáõîäèìî íàì äëÿ ïîëó÷åíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîãî ïðèáëèæåíèÿ.

5.4.

161

ÌÅÒÎÄ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß

Ïëîòíîñòüþ ðîÿ â òî÷êå

x

îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì

ρ(r, t) =

N(r, t) , (δx)3

(5.5)

N(r, t) îáîçíà÷àåò ÷èñëî ýêçåìïëÿðîâ, ïîïàâøèõ â ìîìåíò t â îäèí êóáèê r . Äëÿ ñðàâíåíèÿ ñ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà íàäî áûëî áû óñòðåìèòü â ýòîì îïðåäåëåíèè δx −→ 0, ÷òî ïðåäïîëàãàëî áû, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì íå îäèí ðîé, à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðîåâ ñ ïëîòíîñòÿìè ρn ñ âîçðàñòàþùèì n. Ìû íå áóäåì ýòîãî äåëàòü, ÷òîáû íå çàãðîìîæäàòü èçëîæåíèå, à áóäåì ãäå

ñ òî÷êîé

ñ÷èòàòü, ÷òî âñÿêèé ðàç, êàê òîëüêî âîçíèêíåò íåîáõîäèìîñòü, ìû ñìîæåì ðàçáèòü íàøå äåëåíèå ïðîñòðàíñòâà íà êóáèêè òàê, ÷òîáû δx óìåíüøèëîñü áû â 2 äîïóñòèìûõ ïðåäåëàõ. Ìû áóäåì ïèñàòü ρ(x) = |Ψ(x)| , ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

ρn (x) −→ |Ψ(x)|2 (n −→ ∞),

(5.6)

ãäå ñõîäèìîñòü áóäåò ðàâíîìåðíîé, íå îãîâàðèâàÿ ýòîãî ñïåöèàëüíî. Òàêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðîåâ, ðåàëèçóþùèõ ïðèáëèæåíèå ê ïëîòíîñòè âîëíîâîé óíêöèè, ÿâëÿþùåéñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, ìû áóäåì íàçûâàòü äîïóñòèìûì ïðèáëèæåíèåì êâàíòîâîé ýâîëþöèè. Íàøåé ãëàâíîé çàäà÷åé áóäåò îïðåäåëåíèå ïîâåäåíèÿ ýêçåìïëÿðîâ ðîÿ, êîòîðîå äàâàëî áû äîïóñòèìîå ïðèáëèæåíèå ê êâàíòîâîé ýâîëþöèè. Îñíîâíûå òðåáîâàíèÿ äëÿ ñèìóëÿöèè êâàíòîâîé äèíàìèêè ÷åðåç êîëëåêòèâíîå ïîâåäåíèå ñëåäóþùèå.

•

Êâàíòîâàÿ äèíàìèêà ñèìóëèðóåòñÿ ÷åðåç äèíàìèêó ðîÿ ýêçåìïëÿðîâ, òàê ÷òî â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè

t

êâàíòîâàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà ïëîòíîñòè

ðîÿ

|Ψ(x, t)|2 = ρ(x, t) â êàæäîé òî÷êå

•

x

ïðîñòðàíñòâà, ñ òî÷íîñòüþ ïîðÿäêà

(5.7)

δx.

Êàæäûé ýêçåìïëÿð ðîÿ èìååò ñîáñòâåííóþ èñòîðèþ, òî åñòü îí ñîõðàíÿåò ñâîé èíäèâèäóàëüíûé íîìåð â òå÷åíèå âñåãî ïðîöåññà ìîäåëèðîâàíèÿ âî âñåõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ. Òèïû ýêçåìïëÿðîâ â òî÷íîñòè ñîîòâåòñòâóþò òèïàì ðåàëüíûõ èçè÷åñêèõ ÷àñòèö.

•

Ïîâåäåíèå êàæäîãî ýêçåìïëÿðà ïîëíîñòüþ îïðåäåëåíî åãî ñîáñòâåííûì ñîñòîÿíèåì, ñîñòîÿíèåì âñåõ ýêçåìïëÿðîâ â åãî áëèæàéøåì îêðóæåíèè, è íåêèì äàò÷èêîì ñëó÷àéíûõ ÷èñåë.

îé, óäîâëåòâîðÿþùèé ýòèì óñëîâèÿì, íàçûâàåòñÿ êâàíòîâûì ðîåì äëÿ îäíîé êâàíòîâîé ÷àñòèöû. Ìû îïðåäåëèì ïîâåäåíèå ýêçåìïëÿðîâ ðîÿ òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ïåðå÷èñëåííûå óñëîâèÿ. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ

Ψ(x, t)

óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ìîæíî ïåðåäâèãàòü åãî ýêçåìïëÿðû òîëüêî ëîêàëüíî,

162 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ òî åñòü íà ìàëîå ðàññòîÿíèå, äëÿ îáåñïå÷åíèÿ â ëþáîé ìîìåíò ðàâåíñòâà (5.7). Òàêîå ïåðåäâèæåíèå àïðèîðè áóäåò, êîíå÷íî, íååñòåñòâåííûì â äèíàìè÷åñêîì ñìûñëå, íî ìû ïîêàæåì, ÷òî ýòîãî ðåçóëüòàòà ìîæíî äîáèòüñÿ, ââîäÿ òàê íàçûâàåìûé äèíàìè÷åñêèé äèóçèîííûé ìåõàíèçì äâèæåíèÿ ýêçåìïëÿðîâ. Çàìåòèì, ÷òî âòîðîå ïðàâèëî îçíà÷àåò, ÷òî ìû îòêàçûâàåìñÿ îò èñïîëüçîâàíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë è îäíîâðåìåííî õîòèì âêëþ÷èòü â íàøó ìîäåëü ÊÝÄ. Ïîñëåäíåå òðåáîâàíèå îçíà÷àåò ëîêàëüíîñòü âñåõ âçàèìîäåéñòâèé. Ïîâåäåíèå ýêçåìïëÿðà åñòü ïðàâèëî, îïðåäåëÿþùåå èçìåíåíèå åãî âíóòðåííåãî ñîñòîÿíèÿ (èìïóëüñà, ìîìåíòà èìïóëüñà è òèïà) è ïðîñòðàíñòâåííîãî ïîëîæåíèÿ (ïðîñòðàíñòâåííûé ñäâèã). Ââèäó âûøåñêàçàííîãî ïîâåäåíèå íå ìîæåò îïðåäåëÿòüñÿ êëàññè÷åñêîé èçèêîé. Ìû îïðåäåëèì êâàçèêëàññè÷åñêîå ïîâåäåíèå ýêçåìïëÿðîâ, íàçûâàåìîå äèíàìè÷åñêèì äèóçèîííûì ìåõàíèçìîì. îé, îáëàäàþùèé òàêîé ýâîëþöèåé, áóäåò óäîâëåòâîðÿòü äàííûì ïðàâèëàì. Óñëîâèìñÿ, ÷òî ëþáîé ýêçåìïëÿð â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ìîæåò ëèáî ñòîÿòü íà ìåñòå, ëèáî ïåðåäâèãàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ îñåé

c

âäîëü îäíîé èç êîîðäèíàòíûõ

OX, OY, OZ .

åàêöèåé îáìåíà íàçîâåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëåäóþùèõ äåéñòâèé: âûáîð ïàðû ýêçåìïëÿðîâ

α, β ,

ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè íå áîëüøå

êîòîðûõ ïðîòèâîïîëîæíû:

v(α) = −v(β)

∆x,

ñêîðîñòè

è ëèáî îäíîâðåìåííàÿ çàìåíà èõ ñêî-

ðîñòåé íà íóëåâûå (åñëè îíè íåíóëåâûå), ëèáî ïðèäàíèå èì âçàèìíî ïðîòèâîïîëîæíûõ ñêîðîñòåé, ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ðàâíûì

c

è íàïðàâëåííûì âäîëü

îäíîé èç êîîðäèíàòíûõ îñåé. Î÷åâèäíî, ÷òî îáìåí íå ìåíÿåò íè ñóìàðíîãî èìïóëüñà ðîÿ, íè ñóììàðíîãî ìîìåíòà èìïóëüñà, ïðè óñëîâèè äîñòàòî÷íîé ìàëîñòè ÷åðåç

N(r)

è

Ns (r)

∆x.

Áóäåì îáîçíà÷àòü

ìíîæåñòâî âñåõ ýêçåìïëÿðîâ â êóáèêå ñ òî÷êîé

r

è ìíî-

æåñòâî ýêçåìïëÿðîâ èç ýòîãî êóáèêà, îáëàäàþùåå íóëåâûìè ñêîðîñòÿìè, ÷åðåç Nx+ (r), Ny+ (r), Nz+ (r) îáîçíà÷àåì ìíîæåñòâà ýêçåìïëÿðîâ èç êóáèêà r , äâèæóùèõñÿ âäîëü ñîîòâåòñòâóþùèõ îñåé â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè, è ÷åðåç àíàëîãè÷íûå ñèìâîëû ñî çíàêîì

−

- â îòðèöàòåëüíîì. ×åðåç

|g|

îáîçíà÷àåì ÷èñëî

g . Äîãîâîðèìñÿ òàêæå îáîçíà÷àòü ÷èñëî ýëåìåíòîâ ìíîN íà n. Íàçîâåì r - ñòàöèîíàðíûì âñÿêîå ïîäìíîæåñòâî SP⊆ n(r), ñîñòîÿùåå èç ýêçåìïëÿðîâ ñ íåíóëåâûìè ñêîðîñòÿìè, äëÿ êîòîðîãî α∈S v(α) = 0 è S ìàêñèìàëüíî ïî âêëþ÷åíèþ ñ ýòèìè ñâîéñòâàìè. ×èñëî |S| ýëåìåíòîâ r - ñòàöèîíàðíîãî ìíîæåñòâà (íå çàâèñÿùåå îò åãî âûáîðà), îáîçíà÷èì ÷åðåç s(r). Ïóñòü d > 0 âûáðàííàÿ êîíñòàíòà, òàê ÷òî êîýèöèåíò äèóçèè áóäåò ïðîïîðöèîíàëåí d, V (r)- ñêàýëåìåíòîâ â ìíîæåñòâå

æåñòâà òåì æå ñèìâîëîì, ÷òî è åãî, íî ñ çàìåíîé çàãëàâíîé

ëÿðíîå ïîëå, ïðîïîðöèîíàëüíîå âíåøíåé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñ ïîñòîÿííûì êîýèöèåíòîì ïðîïîðöèîíàëüíîñòè,

grad V (r) = (Vx (r), Vy (r), Vz (r)).

Óñëîâèìñÿ òàêæå ðàññìàòðèâàòü òîëüêî íåðåëÿòèâèñòñêèå ðîè, òî åñòü òàêèå, äëÿ êîòîðûõ

ns (r)/n(r)

áëèçêî ê

1

äëÿ âñåõ

r.

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îñíîâíàÿ

äîëÿ ýêçåìïëÿðîâ â êàæäîì êóáèêå èìååò íóëåâóþ ñêîðîñòü. Ýòî òðåáîâàíèå íå ñîâìåñòèìî ñ ïîòî÷å÷íûì àñèìïòîòè÷åñêèì ïðèáëèæåíèåì 5.6 òî÷íûõ âîë-

5.4.

163

ÌÅÒÎÄ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß

íîâûõ óíêöèé ñ ïîìîùüþ ðîåâ äëÿ âíåøíèõ ïîòåíöèàëîâ êóëîíîâñêîãî òèïà

1/r

èç-çà òîãî, ÷òî ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ýêçåìïëÿðîâ â îêðåñòíîñòè íóëÿ äîëæ-

íà ñòðåìèòüñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé ñõîäèìîñòè 5.6 ìû äîëæíû áûëè áû ïðèíÿòü, ÷òî ñêîðîñòü áîëüøîé äëÿ î÷åðåäíîãî ðîÿ ñ íîìåðîì

n.

c

ìîæíî âûáðàòü ñêîëü óãîäíî

 ðåàëüíîñòè

c

íå ìîæåò ïðåâîñõî-

äèòü ñêîðîñòü ñâåòà, ÷òî óñòàíàâëèâàåò åñòåñòâåííûé ïðåäåë òî÷íîñòè ðîåâîãî ïðèáëèæåíèÿ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà. Íàçîâåì äèíàìè÷åñêèì äèóçèîííûì ìåõàíèçìîì ýâîëþöèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëåäóþùèõ äåéñòâèé íàä ðîåì:

•

1) Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ îáìåíîâ ñ ðàâíîìåðíûì ðàñïðåäåëåíèåì, ïðèâîäÿùèõ ê ðàñïðåäåëåíèþ ñêîðîñòåé ñî ñâîéñòâîì äëÿ âñÿêîé òî÷êè

r.

Åñëè

n(r)

s(r)/ns (r) = d

ìàëî, ýòî ðàâåíñòâî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ

ñ âîçìîæíî áîëüøåé òî÷íîñòüþ (ñì. ñîãëàøåíèå î òî÷íîñòè âûøå). Íàèáîëüøàÿ âîçìîæíàÿ òî÷íîñòü áóäåò äîñòèãíóòà, åñëè ìû áóäåì ñîâåðøàòü îáìåíû ïðîñòî ñëó÷àéíûì îáðàçîì.

•

2) Ïðèäàíèå ñêîðîñòåé íåêîòîðûì ýëåìåíòàì èç

Ns (r),

âûáðàííûì ñëó-

÷àéíî èç ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííîé ñîâîêóïíîñòè, òàê ÷òî çíàêè âíîâü îáðåòåííûõ ñêîðîñòåé âäîëü êàæäîé êîîðäèíàòíîé îñè îäèíàêîâû è åñëè

vu (r) åñòü ñóììàðíàÿ ñêîðîñòü ïðèäàííàÿ ýêçåìïëÿðàì èç r - êóáèêà âäîëü îñè u, u = x, y, z , òî äëÿ âñåõ òàêèõ u ðàâåíñòâî vu (r)m = −Vu (r)∆t âû-

ïîëíÿåòñÿ ñ ìàêñèìàëüíîé âîçìîæíîé òî÷íîñòüþ. Íàèáîëüøàÿ âîçìîæíàÿ òî÷íîñòü áóäåò äîñòèãíóòà, åñëè ìû áóäåì ïðèäàâàòü ñêîðîñòè ñëó÷àéíûì îáðàçîì ñ ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòè, ïðîïîðöèîíàëüíîé

Vu (r)∆t

ñ ó÷åòîì

çíàêà.

•

3) Èçìåíåíèå êîîðäèíàò

•

4) Ïåðåñ÷åò

r(α)

íîì ðàâíîìåðíîãî äâèæåíèÿ:

V (r)

êàæäîãî ýêçåìïëÿðà â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêî-

rnew (α) = r(α) + v(α)∆t.

â ñîîòâåòñòâèè ñ íîâûì ïîëîæåíèåì ÷àñòèö.

Ìû íå êîíêðåòèçèðóåì ìåòîä ïåðåñ÷åòà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè. Ýòî ìîæåò áûòü ñäåëàíî ïî îðìóëå äëÿ êóëîíîâñêîãî çàêîíà èëè ñ ïîìîùüþ äèóçèîííîãî ìåõàíèçìà, ïðåäëîæåííîãî â [36℄. îé ñ äèíàìè÷åñêèì äèóçèîííûì ìåõàíèçìîì ýâîëþöèè íàçîâåì äèóçèîííûì ðîåì (ÄÄ). Çàìåòèì, ÷òî òàêîé ðîé íå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå àíñàìáëÿ òî÷å÷íûõ ÷àñòèö ñ êëàññè÷åñêèì âçàèìîäåéñòâèåì. Ïóíêò 1) ãîâîðèò î äâóõ âåùàõ:

•

ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè äèóçèîííîãî ðîÿ äåéñòâóåò ñëó÷àéíàÿ ñèëà îòòàëêèâàíèÿ èëè ïðèòÿæåíèÿ, íå ìåíÿþùàÿ ñóììàðíîãî èìïóëüñà ðîÿ (ñð. [16℄), è

•

ïðîèñõîäèò óñðåäíåíèå ñêîðîñòåé ýêçåìïëÿðîâ ñ òî÷íîñòüþ, îïðåäåëÿåìîé

d

(÷åì ìåíüøå

d

òåì áîëåå ñòðîãîå óñðåäíåíèå.

164 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ Ââåäåì ñëåäóþùåå ïðèíöèïèàëüíîå òðåáîâàíèå: îáìåí èìïóëüñàìè ìåæ-

äó ýêçåìïëÿðàìè äîëæåí áûòü ãîðàçäî èíòåíñèâíåå, ÷åì îáìåí ñàìèìè ýêçåìïëÿðàìè ìåæäó ðàçíûìè îáëàñòÿìè ïðîñòðàíñòâà. Ýòî îçíà÷àåò ñëåäóþùåå. Èçìåíåíèå èìïóëüñà ìàëåíüêîãî êóáèêà äîëæíî ïðîèñõîäèòü ïðåèìóùåñòâåííî çà ñ÷åò îáìåíà èìïóëüñàìè, íî íå çà ñ÷åò ðàçëè÷íûõ ñðåäíèõ ñêîðîñòåé ýêçåìïëÿðîâ íà åãî ãðàíèöàõ. Ýòî òðåáîâàíèå ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì äëÿ íàøèõ öåëåé. Îíî âûðàæàåòñÿ â òîì, ÷òî èíòåíñèâíîñòü îáìåíà èìïóëüñàìè (èíòåíñèâíîñòü äèóçèè) áóäåò áûñòðî ðàñòè ñ óìåíüøåíèåì çåðíà −3 ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ δx: êàê (δx) . Äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè

ρ(r, t)

t

åñëè

∆x

äîñòàòî÷íî ìàëî, òî ïëîòíîñòü ðîÿ

r íå áóäåò çàâèñåòü îò îðèåíòàöèè êîîðäèíàòíûõ îñåé. δ1 òàêîâî ÷òî cδt ≪ δ1 x ≪ δx, v(r) îáîçíà÷àåò ñðåäíþþ ñêîðîñòü ýêçåìïëÿðîâ â òî÷êå r , ïîñ÷èòàííóþ óñðåäíåíèåì ïî ýêçåìïëÿðàì ñ êîîðäèíàòàìè r1 : kr − r1 k < δ1 x. Òîãäà ÷èñëî ýêçåìïëÿðîâ, ïîïàâøèõ çà åäèíè÷íîå âðåìÿ èç îêðåñòíîñòè òî÷êè r1 â îêðåñòíîñòü áëèçêîé ê íåé òî÷êè r2 áóäåò ïðîïîðöèîíàëüíî ñêàëÿðíîìó ïðîèçâåäåíèþ v(r1 )(r2 − r1 )/kr2 − r1 k2 , äëÿ ëþáîé òî÷êè

Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü

êîòîðîå íå çàâèñèò îò ýòîé îðèåíòàöèè.

Ñðàâíèì îïðåäåëåííûé íàìè äèíàìè÷åñêèé äèóçèîííûé ðîé ñ àíñàìáëåì, èñïîëüçóåìûì â äèóçèîííîì ìåòîäå Ìîíòå Êàðëî (áóäåì íàçûâàòü ýòîò àíñàìáëü ñòàöèîíàðíûì äèóçèîííûì ðîåì). Ñîñòîÿíèå äèíàìè÷åñêîãî äèóçèîííîãî ðîÿ îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì êîîðäèíàò è ñêîðîñòåé âñåõ åãî ýêçåìïëÿðîâ, òîãäà êàê ñîñòîÿíèå ñòàöèîíàðíîãî ðîÿ îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî åãî ïëîòíîñòüþ, èáî ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü åãî ýêçåìïëÿðîâ ðàâíà íóëþ. Äåéñòâèòåëüíî, øàã ýâîëþöèè ñòàöèîíàðíîãî ðîÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî äëÿ âñÿêîãî åãî ýêçåìïëÿðà ëèáî ñ ðàâíîé âåðîÿòíîñòüþ âûáèðàåòñÿ îäèí èç âîçìîæíûõ ñäâèãîâ: ââåðõ, âíèç, âïðàâî èëè âëåâî; ëèáî æå îí îñòàåòñÿ íà ìåñòå. Ýòîò âûáîð íèêàê íå çàâèñèò îò ïåðâîíà÷àëüíîé ñêîðîñòè ýòîãî ýêçåìïëÿðà, òî åñòü èìïóëüñ çäåñü íå ñîõðàíÿåòñÿ, è ñóììàðíûé èìïóëüñ â ëþáîì êóáèêå îêàæåòñÿ ðàâíûì íóëþ. Òàêàÿ ìîäåëü ñîîòâåòñòâóåò ðàñïðîñòðàíåíèþ ìîëåêóë êàêîãî-ëèáî âåùåñòâà â ñðåäå èç äðóãîãî âåùåñòâà, íàïðèìåð, êðàñêè â âîäå. Åñëè ìû îáðàùàåì âíèìàíèå òîëüêî íà ìîëåêóëû êðàñêè, òî èõ èìïóëüñ íå áóäåò ñîõðàíÿòüñÿ: îí ïåðåäàåòñÿ ìîëåêóëàì âîäû. Ñòàöèîíàðíóþ ìîäåëü äèóçèè ìîæíî ïîýòîìó íàçâàòü åùå ìîäåëüþ ñ òðåíèåì.  ïðîòèâîïîëîæíîñòü ñòàöèîíàðíîìó ðîþ, äèíàìè÷åñêèé äèóçèîííûé ðîé ýâîëþöèîíèðóåò ñ ñîõðàíåíèåì èìïóëüñà ïðè êàæäîì âçàèìîäåéñòâèè ïàðû ýêçåìïëÿðîâ â îïåðàöèè îáìåíà. Ïîýòîìó ñîñòîÿíèå äèíàìè÷åñêîãî ðîÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ íå òîëüêî ïëîòíîñòüþ åãî ýêçåìïëÿðîâ, íî åùå è ñóììàðíûì èìïóëüñîì èõ â êàæäîì êóáèêå ïðîñòðàíñòâà. Òî åñòü ñîñòîÿíèå äèíàìè÷åñêîãî ðîÿ îïèñûâàåòñÿ ïàðîé óíêöèé

(ρ(¯ r , t), p¯(¯ r , t)).

Íî ñàìûì âàæíûì ïðåèìóùåñòâîì ÄÄ ïî ñðàâíåíèþ ñ èçâåñòíûìè àíñàìáëåâûìè ìåòîäàìè ÿâÿåòñÿ òî, ÷òî êàæäàÿ ÷àñòèöà ðîÿ èìååò ñîáñòâåííóþ èñòîðèþ. Ýòî îïðàâäûâàåò íàèìåíîâàíèå ýòèõ ÷àñòèö ýêçåìëÿðàìè èñõîäíîé êâàíòîâîé ÷àñòèöû. ÄÄ äàåò âîçìîæíîñòü åäèíîîáðàçíîãî ðàññìîòðåíèÿ ÷à-

5.4.

165

ÌÅÒÎÄ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß

ñòèöû: êàê ñ êëàññè÷åñêîé, òàê è ñ êâàíòîâîé òî÷êè çðåíèÿ. Äëÿ ïåðåõîäà îò êëàññè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ê êâàíòîâîìó è íàîáîðîò íàäî âñåãî ëèøü ðàçìíîæèòü (èëè, ñîîòâåòñòâåííî, îáúåäèíèòü) ýêçåìïëÿðû ðîÿ; ïðè ýòîì â ðîå, ñîîòâåòñòâóþùåì êëàññè÷åñêîé ÷àñòèöå, áóäåò âñåãî îäèí ýêçåìïëÿð: îíà ñàìà. Ìîæíî òàêæå ðåãóëèðîâàòü âûäåëåíèå êîìïüþòåðíîé ïàìÿòè ïðè ìîäåëèðîâàíèè, ó÷èòûâàÿ ÷òî òî÷íîñòü êâàíòîâîãî îïèñàíèÿ áóäåò ðàñòè ñ ðîñòîì ÷èñëà ýêçåìïëÿðîâ ðîÿ.

5.4.6 Äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ äèíàìè÷åñêîãî äèóçèîííîãî ðîÿ Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðèãîäíîñòè äèóçèîííîé äèíàìèêè äëÿ ïðèáëèæåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà íàì ïðèäåòñÿ ïåðåéòè ê äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì íà óíêöèè âåùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ. Òðóäíîñòü çäåñü ñîñòîèò â òîì, ÷òî òàêèå óðàâíåíèÿ áóäóò çàâèñåòü îò ýëåìåíòàðíûé äëèíû

δx.

Íàïðèìåð, èí−3 òåíñèâíîñòü äèóçèîííîãî ïðîöåññà áóäåò ïðîïîðöèîíàëüíà (δx) . Ýòî íå

ïîçâîëÿåò óñòðåìëÿòü

δx

ê íóëþ, êàê ýòî äåëàåòñÿ â ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëè-

çå, êîãäà îí ïðèìåíÿåòñÿ ê îïèñàíèþ ïðîöåññîâ êëàññè÷åñêîé èçèêè. Ñòàòóñ óðàâíåíèé, êîòîðûå ìû áóäåì ïèñàòü, îïðåäåëÿåòñÿ âûáðàííûì çàðàíåå çíà÷å-

δx çåðíà ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ. Åãî íàäî âûáðàòü òàê, ρ = |Ψ|2 âîëíîâîé óíêöèè ïëîòíîñòüþ äèó3 çèîííîãî ðîÿ ñ òî÷íîñòüþ (δx) óñòðàèâàëî áû íàñ äëÿ èçó÷àåìîãî ïðîöåññà. Òîëüêî ïîñëå èêñàöèè δx ìû ñìîæåì ðàññìîòðåòü äèíàìè÷åñêèéé äèóçè-

íèåì

÷òîáû ïðèáëèæåíèå ïëîòíîñòè

îííûé ðîé ñîîòâåòñòâóþùåé èíòåíñèâíîñòè, è ïðèáëèæàþùèå åãî äèíàìèêó äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, êîòîðûå îêàæóòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà. Èòàê, ñîñòîÿíèå äèíàìè÷åñêîãî äèóçèîííîãî ðîÿ îïèñûâàåòñÿ ïàðîé óíêöèé

ρ(t, r¯), p¯(t, r¯), ãäå

ρ

(5.8)

ñêàëÿðíàÿ óíêöèÿ åñòü ïëîòíîñòü ýêçåìïëÿðîâ, à

p¯

âåêòîðíàÿ óíê-

öèÿ åñòü ñóììàðíûé èìïóëüñ ýêçåìïëÿðîâ â äàííîé òî÷êå, îïðåäåëÿåìàÿ êàê lim P (r, dx)/(dx)3, ãäå P - ñóììàðíûé èìïóëüñ ýêçåìïëÿðîâ, ïîïàâøèõ â êódx−→0 áèê âîêðóã r ñ ðåáðîì dx. Çäåñü ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî dx ìîæíî ñäåëàòü ãîðàçäî ìåíüøå âûáðàííîãî çåðíà

δx,

îïðåäåëÿþùåãî êîýèöèåíòû óðàâíåíèé íà

ρ

è

p¯. Çàâèñèìîñòü óðàâíåíèé îò çåðíà

δx áóäåò

ïðîÿâëÿòüñÿ òàê. Ñóììàðíûé èì-

áóäåò ìåäëåííî ìåíÿòüñÿ ïðè èçìåíåíèè r ¯ íà âåëè÷èíû, áîëüøèå ∂ p¯ δx. Íî åãî ïðîèçâîäíàÿ ∂t áóäåò î÷åíü áîëüøîé: ïîðÿäêà 1/(δx)3 , è áóäåò òàê æå áûñòðî ìåíÿòüñÿ. Òî åñòü ãðàèê óíêöèè p ¯(t, r¯) áóäåò äîñòàòî÷íî ãëàäïóëüñ

p¯(t, r¯)

êèì, åñëè íà íåãî ñìîòðåòü ñ áîëüøèì çåðíîì íèå, óìåíüøèâ çåðíî

δx,

δx,

íî åñëè óâåëè÷èòü ðàçðåøå-

ìû óâèäèì, ÷òî îí ïîõîæ íà ïèëó ñ îñòðûìè çóáüÿìè.

Îñòðîòà ýòèõ çóáöîâ áóäåò òåì áîëüøå, ÷åì áîëüøå ðàçðåøåíèå

1/δx,

è áóäåò

166 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ îãðàíè÷åíà òîëüêî ïðåäåëüíîé ñêîðîñòüþ ïåðåìåùåíèÿ ýêçåìïëÿðîâ

c

çà åäè-

íèöó âðåìåíè (ñðàâíèòü ñ [16℄). Ýòî âàæíîå äëÿ äàëüíåéøåãî óñëîâèå ìû áóäåì íàçûâàòü íåðåëÿòèâèñòñêèì ïðèáëèæåíèåì, è çàïèøåì åãî êàê

v ≪ c.

 ñèëó îòìå÷åííîé âûøå èçîòðîïíîñòè äèóçèîííîãî ïðîöåññà èçìåíåíèå

ρ(r, t) ñî âðåìåíèåì è åãî âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ íàõîäÿòñÿ S(r) ñåðû ðàäèóñà δx ïî îðìóëàì R ∂ρ(r,t) 3 = 4π(δx) p¯(r, t)¯ n(¯ r1 )ds(r1), 3 ∂t S(r) R ∂ p¯(r,t) (5.9) ∂ 2 ρ(r,t) 3 = 4π(δx) n ¯ (¯ r1 )ds(r1 ). 3 ∂t2 ∂t

ïëîòíîñòè ýêçåìïëÿðîâ

÷åðåç èíòåãðèðîâàíèå ïî ïîâåðõíîñòè

S(r)

Ýòè îðìóëû âûòåêàþò íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ ïëîòíîñòè ðîÿ è ñïðàâåäëèâû äëÿ ëþáîãî ìåõàíèçìà èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè åãî ýêçåìïëÿðîâ. ∂ p¯ Âûâåäåì çàêîí a ¯ èçìåíåíèÿ ñóììàðíîãî èìïóëüñà ðîÿ â ìàëîì øàðå ñ ∂t öåíòðîì â òî÷êå r ¯, ïðîèñõîäÿùåãî ïðè äâèæåíèè ýêçåïëÿðîâ âäîëü âåêòîðà íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè ýòîãî øàðà

a ¯

åäèíè÷íîé äëèíû. Âêëàä â èçìåíåíèå

ñóììàðíîãî èìïóëüñà ìàëîãî øàðà âíîñÿò ñëåäóþùèå òðè âåëè÷èíû:

• • •

Ïðîíèêíîâåíèå ÷åðåç ìàëûé ýëåìåíò ïëîùàäè ñåðû ýêçåìïëÿðîâ, ïîëó÷èâøèõ ñêîðîñòü â ðåçóëüòàòå îáìåíîâ (äèóçèÿ). Èìïóëüñ ýêçåìïëÿðîâ, ðèîáðåòåííûé â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ âíåøíåãî ïîòåíöèàëà

V.

Èìïóëüñ ýêçåìïëÿðîâ, ñîõðàíèâøèõ óæå èìåâøóþñÿ ðàíåå ñêîðîñòü, òî åñòü äâèæóùèõñÿ ïî èíåðöèè.

Èç îïðåäåëåíèÿ ïðîöåññà äèóçèè âûòåêàåò, ÷òî ýòè âêëàäû ðàâíû, ñîîòâåòd¯ p ¯, −κρ( grad V ) · a¯ è g d¯ , ãäå I, κ, g åñòü èíòåíñèâíîñòè ñòâåííî, −I( grad ρ) · a a ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîöåññîâ. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ïðîõîæäåíèå ýêçåìïëÿðîâ ÷åðåç òðè òî÷êè, ðàñïîëîæåííûå âäîëü îñè

x½

è ïóñòü

a1 , a2 , a3

- ÷èñëà ýêçåìïëÿðîâ â íèõ,

p1 , p2 , p3

- ñóììàðíûå èìïóëüñû ýêçåìïëÿðîâ â íèõ. Òîãäà ïåðâûé âêëàä áóäåò ïðîïîðöèîíàëåí

a1 − a3 ,

à òðåòèé áóäåò ïðîïîðöèîíàëåí

p1 − p3 .

Âûáîðîì ñèñòåìû åäèíèö ìû ìîæåì äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû

g = 1.

Çàâèñè-

ìîñòü êîýèöèåíòîâ îò çåðíà ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ, êîòîðàÿ íåîáõîäèìà äëÿ ïðèáëèæåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, âûðàæàåòñÿ òàêèì îáðàçîì:

h h2 , κ= . I= 2 3 2m (δx) mδx

(5.10)

Çäåñü ìû èñïîëüçóåì ïðåäïîëîæåíèå îáûñòðîé ïåðåäà÷å èìïóëüñà âíóòðè ðîÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðåìåùåíèåì ñàìèõ ýêçåìïëÿðîâ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âêëàä ïîñëåäíåãî ÷ëåíà î÷åíü ìàë ïî ñðàâíåíèþ ñ âêëàäîì ïåðâûõ äâóõ ïðè ìàëûõ

δx, I

è ìû ìîæåì åãî îòáðîñèòü. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî èíòåíñèâíîñòü äèóçèè

5.4.

ÌÅÒÎÄ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß

167

(δx)3 òî åñòü áåðÿ äîñòàòî÷íî ìàëîå (δx)3 , ìû ìîæåì äîáèòüñÿ òîãî, ÷òî δx g d¯ p/d¯ a áûëî áû ãîðàçäî ìåíüøå I¯ a · grad ρ òî åñòü òðåòüèì âêëàäîì ïðîïîðöèîíàëüíà

ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ïîëó÷èòñÿ ñëåäóþùàÿ ïðèáëèæåííàÿ îðìóëà

∂ p¯ ≈ −I grad ρ − κρ grad V. ∂t

(5.11)

Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå íà ïëîòíîñòü äèóçèîííîãî ðîÿ:

∂ 2 ρ(r) = ∂t2

Z

(−I grad ρ − κρ grad V )¯ n(r ′ ) dS(r ′),

(5.12)

S(r) ãäå êîýèöèåíòû

I, κ

âû÷èñëÿþòñÿ ïî îðìóëàì 5.10.

Ìû äîêàæåì, ÷òî êâàíòîâûé ðîé óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó 5.12, ÷òî è áóäåò îçíà÷àòü ïðèáëèæåíèå êâàíòîâîé äèíàìèêè ýâîëþöèåé ðîÿ. Ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ ïîçâîëÿåò äàòü ïðîñòîé àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ýíåðãèè, èìïóëüñà, è ìîìåíòà èìïóëüñà êâàíòîâîé ÷àñòèöû, ïðåäñòàâëåííîé â âèäå ðîÿ ýêçåìïëÿðîâ. Ïðè ýòîì, ñîãëàñíî ïðàâèëàì êâàíòîâîé òåîðèè, äëÿ íàõîæäåíèÿ çíà÷åíèÿ ëþáîé âåëè÷èíû íàäî ïðîèçâåñòè óñðåäíåíèå ïî äâîéñòâåííîé âåëè÷èíå. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èìïóëüñà íàì íàäî çàèêñèðîâàòü íåêîòîðîå çíà÷åíèå èíòåðâàëà âðåìåíè

∆t

è ïðîèçâåñòè óñðåäíåíèå èìïóëüñîâ

ýêçåìïëÿðîâ ïî âñåì âåëè÷èíàì èõ ïðîáåãà. Òàêîé ðåöåïò äàñò â íàøèõ îáîçíà÷åíèÿõ âåêòîð

(

X r

cm

nx (r)+ − nx (r)− ny (r)+ − ny (r)− nz (r)+ − nz (r)− , cm , cm ) n(r) n(r) n(r)

(5.13)

ðàâíûé ñóììàðíîìó èìïóëüñó âñåõ ýêçåìïëÿðîâ â ðîå, âû÷èñëåííîìó óñðåäíåíèåì ïî ïðîáåãó çà èêñèðîâàííûé èíòåðâàë âðåìåíè. Àíàëîãè÷íûé ïîäñ÷åò ìîìåíòà èìïóëüñà äàñò ñðåäíèé ìîìåíò èìïóëüñà ýëåìåíòîâ ðîÿ, ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè - ñðåäíþþ ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ. Ïðè ïîäñ÷åòå ñðåäíåé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè íàäî çàèêñèðîâàòü ïðîáåã è ïðîèçâåñòè óñðåäíåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ïî âñåì ìîìåíòàì âðåìåíè

δx t.

Ýòî çíà÷èò, ÷òî ìû äîëæíû ñóììèðîâàòü òîëüêî ýíåðãèè òåõ ýêçåìïëÿðîâ, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ â äâèæåíèè â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè, òî åñòü äëÿ ëþáîãî êóáèêà ïðè ñêîðîñòè áóäåò

v = cnx /n

âäîëü îñè

x

ñðåäíåå ÷èñëî òàêèõ ýêçåìïëÿðîâ

nv/c, òî åñòü èõ äîëÿ â îáùåì ÷èñëå ýêçåìïëÿðîâ áóäåò nx /n. Ïðè ýòîì ìû

ïîëüçóåìñÿ íåðåëÿòèâèñòñêèì ïðåäïîëîæåíèåì î òîì, ÷òî îáùàÿ äîëÿ äâèæóùèõñÿ ýêçåìïëÿðîâ ìàëà. Îáùàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ, ïîñ÷èòàííàÿ ñîãëàñíî ýòîìó ïðàâèëó áóäåò

mc2 nx nx /n + mc2 ny ny /n + mc2 nz nz /n 2 ÷òî ñîâïàäàåò ñ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé, ïîñ÷èòàííîé ïî îðìóëå Mvmean /2 = 2 2 2 ((cnx /n) + (cny /n) + (cnz /n) )nm/2. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà, ìîìåíòà

168 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ èìïóëüñà è ýíåðãèè ðîÿ òîãäà ñëåäóþò èç êëàññè÷åñêèõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ è íåðåëÿòèâèñòñêîãî ïðåäïîëîæåíèÿ.  ñëåäóþùåì ïàðàãðàå ìû äîêàæåì, ÷òî äèíàìèêà äèóçèîííîãî ðîÿ ìîæåò õîðîøî ïðèáëèæàòü êâàíòîâóþ. Òîãäà, ïîëüçóÿñü òåîðåìàìè Ýðåíåñòà è çàêîíàìè ñîõðàíåíèÿ äëÿ êâàíòîâîé äèíàìèêè, ìû ïîëó÷èì, ÷òî óêàçàííûé âûøå ñïîñîá ïîäñ÷åòà ýòèõ âåëè÷èí A äàåò R ∗ Ψ (r)AΨ(r)dr . èõ êâàíòîâûå ñðåäíèå çíà÷åíèÿ, íàéäåííûå ïî îðìóëå hAi =

5.4.7 Î äèóçèîçíîì ðîå ñ íåîäíîðîäíîé èíòåíñèâíîñòüþ

Êîýèöèåíò ïðè îïåðàòîðå Ëàïëàñà â óðàâíåíèè äèóçèè íàçûâàåòñÿ èíòåíñèâíîñòüþ äèóçèè. Èíòåíñèâíîñòü îïðåäåëÿåò ÷èñëî ýêçåìïëÿðîâ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç åäèíè÷íóþ ïëîùàäü â åäèíè÷íîå âðåìÿ. Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ êâàíòîâîé äèíàìèêè íàì ïîíàäîáèòñÿ äèóçèîííûé ïðîöåññ ñ íåîäíîðîäíîé èíòåíñèâíîñòüþ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èíòåíñèâíîñòü ïðîöåññà äèóçèè áóäåò çàâèñåòü îò âûáðàííîãî çåðíà ðàçðåøåíèÿ ïðîñòðàíñòâà

δx.

àññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé, êîãäà âíåøíèé ïîòåíöèàë ïîñòîÿíåí

0.

grad V =

Äèóçèîííûé ïðîöåññ ñ íåîäíîðîäíîé èíòåíñèâíîñòüþ ìîæíî îáåñïå÷èòü

ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíîãî ìåõàíèçìà, êîòîðûé ìîæíî íàçâàòü íèòÿìè. Ïðîèëëþñòðèðóåì åãî íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå ýêçåìïëÿðû äâèæóòñÿ íå âî âñåì ïðîñòðàíñòâå, à âäîëü íåêîòîðîé çàìêíóòîé òðàåêòîðèè (íèòè), îïðåäåëÿåìîé èçîìîðíûì âëîæåíèåì îêðóæíîñòè â ïðîñòðàí1 3 ñòâî: γ : S −→ R . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîöåññ îáìåíà ñêîðîñòÿìè ïðîèñõîäèò

òîëüêî âäîëü ýòîé òðàåêòîðèè, òàê ÷òî ýêçåìïëÿðû â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè

îñòàþòñÿ íà íåé, òîëüêî èõ ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü ìåíÿåòñÿ. Ýòî ýêâèâàëåíòíî íàëîæåíèþ íà òàêèå ýêçåìïëÿðû ãîëîíîìíîé ñâÿçè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êàê ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü, òàê è ñêîðîñòü ýêçåìïëÿðîâ ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ïî÷òè îäèíàêîâû â ëþáîé òî÷êå òðàåêòîðèè. àññìîòðèì êóáèê, ñîäåðæàùèé îäíó èç òî÷åê òàêîé òðàåêòîðèè. Ïîòîê ýêçåìïëÿðîâ ÷åðåç åãî ãðàíèöó íå áóäåò çàâèñåòü îò ðàçìåðà åãî ðåáðà

δx,

òàê êàê òðàåêòîðèÿ îäíà. Òàêèì îáðàçîì, ýòà

ðàçíîâèäíîñòü äèóçèîííîãî ïðîöåññà èìååò èíòåíñèâíîñòü, ïðîïîðöèîíàëü3 íóþ 1/(δx) , ïîñêîëüêó êîëè÷åñòâî ÷àñòèö, ïðîíèêàþùèõ çà åäèíèöó âðåìåíè â êóá ñî ñòîðîíîé

δx,

íå âëèÿåò îò

δx,

à ïëîòíîñòü ïîëó÷àåòñÿ äåëåíèåì êîëè-

÷åñòâà ÷àñòèö íà îáúåì. Ýòîò ïðèìåð íå î÷åíü õîðîø, òàê êàê ìíîãèå îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà îêàçûâàþòñÿ âîîáùå ëèøåííûìè ÷àñòèö. àññìîòðèì äðóãîé ïðèìåð. Ïóñòü ïðîñòðàíñòâî ðàçáèòî íà êóáèêè, êîòîðûå ñãðóïïèðîâàíû ïî ÿðóñàì

1, 2, . . .. j , è èõ

j + 1 ñîñòîÿò

èç 8 êóáèêîâ ÿðóñà

Äëÿ âñÿêîãî

j

Äëÿ âñÿêîãî

j = 1, 2, . . .

êóáèêè ÿðóñà

ñòîðîíà, ñîîòâåòñòâåííî, âäâîå áîëüøå.

îáìåí ýêçåìïëÿðàìè ìåæäó ñîñåäíèìè êóáèêàìè ÿðóñà

ùèìè â îäèí êóáèê ÿðóñà êîòîðîãî íå çàâèñèò îò

j.

j + 1,

j,

âõîäÿ-

ïðîèñõîäèò òîëüêî ïî óçêîìó êàíàëó, øèðèíà

Òàêèì îáðàçîì, êîëè÷åñòâî ýêçåìïëÿðîâ, ïåðåìåùà-

þùèõñÿ ìåæäó êóáèêàìè ëþáîãî èêñèðîâàííîãî ÿðóñà, íå áóäåò çàâèñåòü îò íîìåðà ýòîãî ÿðóñà. Ýòî ìîæíî îáåñïå÷èòü íàäëåæàùèì ïîäáîðîì ïàð äëÿ îïå-

5.4.

ÌÅÒÎÄ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß

169

ðàöèè îáìåíà èìïóëüñàìè. Òàêîé ìåõàíèçì äàñò íàì òðåáóåìóþ èíòåíñèâíîñòü 3 äèóçèè, ïðîïîðöèîíàëüíóþ 1/(δx) , ââèäó îïðåäåëåíèÿ ïëîòíîñòè (5.26). Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé íåïîñòîÿííîãî âíåøíåãî ïîòåíöèàëà. Íà êàæäîì øàãå ýâîëþöèè äëÿ ýêçåìïëÿðîâ, ïîëó÷èâøèõ èëè ïîòåðÿâøèõ ñêîðîñòü â ðåçóëüòàòå îáìåíà, ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ïðàâèëî, ñîðìóëèðîâàííîå âûøå, 3 îáåñïå÷èâàþùåå äèóçèþ ïðîïîðöèîíàëüíóþ 1/(δx) . Ýêçåìïëÿðû, ïîëó÷èâøèå ñêîðîñòü îò âíåøíåãî ïîòåíöèàëà, áóäóò äâèãàòüñÿ, êàê îáû÷íî, òî åñòü íå çàâèñèìî îò ÿðóñîâ. Òîãäà ìû ïîëó÷èì â òî÷íîñòè îðìóëó (5.10). Ýòà îðãàíèçàöèÿ ïðîñòðàíñòâà ïîêàçûâàåò, êàê â ïðèíöèïå ìîæíî áûëî áû äîáèòüñÿ íóæíîé íàì íåîäíîðîäíîé èíòåíñèâíîñòè â îäíîì ðîå. Îäíàêî îïèñàííûé ìåòîä ïðåäñòàâëÿåò ïðîáëåìû äëÿ ïðîãðàììèðîâàíèÿ, òàê êàê íóæíî áóäåò ñëåäèòü çà ïîëîæåíèåì ðàçíûõ ÷àñòåé ðîÿ, ÷òî îçíà÷àåò îòêàç îò îäíîðîäíîñòè ïðîñòðàíñòâà, èëè ïåðåõîä ê ðàêòàëüíîìó ïðîñòðàíñòâó ñ äðîáíîé ðàçìåðíîñòüþ, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ, åñëè ñäåëàòü ñåòêó ïåðåìåííîé. Ïîýòîìó ïðåäëàãàåìûé âû÷èñëèòåëüíûé ðåöåïò ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû çàèêñèðîâàòü ñ ñàìîãî íà÷àëà çåðíî

δx

ëèíåéíîãî ðàçðåøåíèÿ òàê, ÷òîáû íàñ

óñòðîèëî ñîîòâåòñòâóþùåå ïðèáëèæåíèå âîëíîâîé óíêöèè, è ðàññìàòðèâàòü äèíàìè÷åñêèé äèóçèîííûé ðîé ñ èíòåíñèâíîñòüþ, âû÷èñëåííîé ïî îðìóëå 5.10. Åñëè æå íàñ íå óñòðîèò ïîëó÷èâøàÿñÿ äèíàìè÷åñêàÿ êàðòèíêà, íóæíî áóäåò âûáðàòü íîâîé çíà÷åíèå

δx

è ïîâòîðèòü çàíîâî âñþ ðàáîòó.

5.4.8 Ýêâèâàëåíòíîñòü êâàíòîâîãî è äèóçèîííîãî ðîåâ Öåëü ýòîãî ïàðàãðàà äîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äèóçèîííûõ ðîåâ ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìûì ïðèáëèæåíèåì êâàíòîâîé ýâîëþöèè. Âûøå ìû îïðåäåëèëè êâàíòîâûé ðîé êàê óäîâëåòâîðÿþùèé óðàâíåíèþ 5.7 è ýâîëþöèÿ êîòîðîãî ñâîäèòñÿ ê ëîêàëüíûì ïåðåìåùåíèÿì ýêçåìïëÿðîâ. Ñíà÷àëà ìû äîêàæåì, ÷òî êâàíòîâûé ðîé ñóùåñòâóåò, òî åñòü ñîáëþäåíèå 5.7 äåéñòâèòåëüíî ìîæíî äîáèòüñÿ, ïåðåìåùàÿ ýêçåìïëÿðû ëîêàëüíî. Çàòåì ìû äîêàæåì, ÷òî ìåõàíèçì ïåðåìåùåíèÿ ýêçåìïëÿðîâ êâàíòîâîãî ðîÿ ñîâïàäàåò ñ äèóçèîííûì, èç ÷åãî è áóäåò ñëåäîâàòü îñíîâíîé ðåçóëüòàò. Èòàê, çàéìåìñÿ êâàíòîâûì ðîåì. Ìû èñõîäèì èç óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà

ih

∂Ψ(r, t) h2 =− ∆Ψ(r, t) + Vpot (r, t)Ψ(r, t), ∂t 2M

(5.14)

êîòîðîå ìîæíî ïåðåïèñàòü êàê

h Ψrt (r) = − 2M ∆Ψit (r) + Vpot Ψi (r), h V h Ψit (r) = 2M ∆Ψrt (r) − pot Ψr (r) h äëÿ âåùåñòâåííîé è ìíèìîé ÷àñòåé

(5.15)

Ψr , Ψi âîëíîâîé óíêöèè Ψ. Íàñ èíòåðåñóåò

òîëüêî ýâîëþöèÿ ïëîòíîñòè êâàíòîâîãî ðîÿ, òî åñòü óíêöèÿ

ρ(r, t) = (Ψr (r, t))2 + (Ψi (r, t))2 .

170 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ Ìû çàèêñèðóåì çíà÷åíèå

δx

è ïðèìåíèì äëÿ àïïðîêñèìàöèè âòîðûõ ïðî-

èçâîäíûõ ðàçíîñòíóþ ñõåìó âèäà

Ψ(x + δx) + Ψ(x − δx) − 2Ψ(x) ∂ 2 Ψ(x) ≈ 2 ∂x (δx)2 äëÿ êàæäîãî ìîìåíòà âðåìåíè, ñ÷èòàÿ âîëíîâóþ óíêöèþ óäîâëåòâîðÿþùåé âñåì óñëîâèÿì òî÷íîñòè òàêîé àïïðîêñèìàöèè. Ïîñêîëüêó ïðèáàâëåíèå ê ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè

Vpot

ëþáîé êîíñòàíòû íå âëèÿåò íà êâàíòîâóþ ýâîëþöèþ

ïëîòíîñòè êâàíòîâîãî ðîÿ, ìû ìîæåì ðàññìîòðåòü âìåñòî Vpot äðóãîé ïîòåíöè3h2 , ÷òî ïðèâåäåò ê èñ÷åçíîâåíèþ ñëàãàåìîãî àë âèäà V = Vpot + α, ãäå α = − m(δx)2 2Ψ(x) â ðàçíîñòíûõ ñõåìàõ äëÿ âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ ïî x, y, z (èç-çà ÷åãî âîçíèêàåò êîýèöèåíò

3) ïîñëå èõ ïîäñòàíîâêè â óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà. Ââåäåì

äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè êîýèöèåíò

γ=

1 h . 2M (δx)2

Ïîñêîëüêó ìû ïîêà íå çíàåì ìåõàíèçìà ïåðåìåùåíèÿ ýêçåìïëÿðîâ â êâàíòîâîì ðîå, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû ïðîñòî ëèáî èçûìàåì íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî ýêçåìïëÿðîâ èç êàæäîé êëåòêè, ëèáî ïîìåùàåì èõ òóäà èç íåêîòîðîãî çàïàñà. àçîáúåì ýâîëþöèþ êâàíòîâîãî ðîÿ âî âðåìåíè íà ñòîëü ìàëûå ó÷àñòêè äëèíû

δt,

÷òî íà êàæäîì èç íèõ ýêçåìïëÿðû ïåðåìåùàþòñÿ òîëüêî â ïðåäåëàõ äâóõ

ñîñåäíèõ êëåòîê. Åñëè ìû äîêàæåì, ÷òî ýâîëþöèÿ êâàíòîâîãî ðîÿ íà òàêîì ó÷àñòêå îáåñïå÷èâàåòñÿ äèóçèîííûì ìåõàíèçìîì, ýòî áóäåò ñïðàâåäëèâî è äëÿ âñåé ýâîëþöèè, òàê ÷òî íàøå ïðåäïîëîæåíèå îá îáìåíå ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè êëåòêàìè íå îãðàíè÷èâàåò îáùíîñòè. Áóäåì òàêæå ñ÷èòàòü, ÷òî ýòè êëåòêè îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà ñäâèãîì íà

δx

x, ÷òî òàêæå íå ÷åðåç x è x1 = x + δx. Ψ(x − δx) â ðàçíîñòíîé

âäîëü îñè

îãðàíè÷èò îáùíîñòè. Îáîçíà÷èì öåíòðû ýòèõ êëåòîê Òîãäà ïðè íàøåì ïðåäïîëîæåíèè îá îáìåíå ñëàãàåìîå

ñõåìå òîæå èñ÷åçàåò è íà ðàññìàòðèâàåìîì ìàëîì ó÷àñòêå âðåìåíè ýâîëþöèÿ êâàíòîâîãî ðîÿ áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ñëåäóþùåé ñèñòåìîé óðàâíåíèé:

Ψrt (x) = −γΨi (x1 ) + V (x)Ψi (x), Ψit (x) = γΨr (x1 ) − V (x)Ψr (x), è àíàëîãè÷íîé ñèñòåìîé óðàâíåíèé ïîëó÷åííîé çàìåíîé

(5.16)

x

íà

x1

è íàîáîðîò.

Ýòà ñèñòåìà ïîëó÷àåòñÿ â òîì ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ÷àñòèöû äâèæóòñÿ îò

x

ê

x1 . Ïðè äâèæåíèè ÷àñòèö îò x1 ê x ïîëó÷èòñÿ àíàëîãè÷íàÿ ñèñòåìà, ñ çàìåíîé x íà x1 è íàîáîðîò. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ìû ìîæåì âûáðàòü ïðîìåæóòêè âðåìåíè dt ñòîëü ìàëûìè, ÷òî íà êàæäîì èç íèõ ðåàëèçóåòñÿ ëèøü îäíî èç ýòèõ äâóõ âîçìîæíûõ íàïðàâëåíèé äâèæåíèÿ. Ïîýòîìó íàì äîñòàòî÷íî, â ñèëó ïîëíîé ñèììåòðèè, ðàññìîòðåòü òîëüêî ñëó÷àé äâèæåíèÿ ýêçåìïëÿðîâ îò

x

ê

x1 ;

âòîðîé ñëó÷àé ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷åí. Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà áóäåò, òàêèì îáðàçîì, âûðàæàòü ðåçóëüòàò îáùåãî ïðîöåññà ýâîëþöèè, ñîñòîÿùåãî èç ýòèõ äâóõ

5.4.

171

ÌÅÒÎÄ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß

òèïîâ ñëó÷àåâ, ãäå

x

è

x1

ìîãóò ðàñïîëàãàòüñÿ 6 ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè âäîëü

3 êîîðäèíàòíûõ îñåé. Òåïåðü ïîä ó÷àñòêîì âðåìåíè

dt

ìû ïîíèìàåì èìåííî

òàêîé ìàëûé ïðîìåæóòîê, â òå÷åíèå êîòîðîãî îáìåí èäåò òîëüêî îò

x

ê

x1 .

Òîãäà äëÿ òàêîãî ó÷àñòêà ìû áóäåì èìåòü

∂ρ(x) ∂t

= 2Ψi (x)(γΨr (x1 ) − V (x)Ψr (x)) +2Ψr (x)(−γΨi (x1 ) − V (x)Ψi (x)) = 1) . = 2γ(Ψi (x)Ψr (x1 ) − Ψr (x)Ψi (x1 )) = − ∂ρ(x ∂t

(5.17)

Èç ýòîãî âûòåêàåò, ÷òî óáûëü ýêçåìïëÿðîâ â îäíîé êëåòêå ðàâíà ïðèáûëè èõ â äðóãîé, òî åñòü ýâîëþöèÿ êâàíòîâîãî ðîÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ëîêàëüíîñòè. Òåïåðü äëÿ ñðàâíåíèÿ ýòîé ýâîëþöèè ñ äèóçèîííîé ìû íàéäåì âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ êâàíòîâîé ïëîòíîñòè ïî âðåìåíè:

∂ 2 ρ(x) ∂t2

= 2γ[(γΨr (x1 ) − V (x)Ψr (x))Ψr (x1 ) + Ψi (x)(−γΨi (x) + V (x1 )Ψi (x1 ))− (−γΨi (x1 ) + V (x)Ψi (x))Ψi (x1 ) − Ψr (x)(γΨr (x) − V (x1 )Ψr (x1 ))] = 2γ 2 (Ψr (x1 ))2 − 2γV (x)Ψr (x)Ψr (x1 ) − 2γ 2 (Ψi (x))2 + 2γV (x1 )Ψi (x)Ψi (x1 ) + 2γ 2 (Ψi (x1 ))2 − 2γV (x)Ψi (x)Ψi (x1 )− 2γ 2 (Ψr (x))2 + 2γV (x1 )Ψr (x)Ψr (x1 ) = 2γ 2 ((Ψr (x1 ))2 + (Ψi (x1 ))2 − ((Ψr (x))2 + (Ψi (x))2 ))+ 2γ[(V (x1 ) − V (x))((Ψr (x))2 + (Ψi (x))2 ) + o(δx)],

(5.18)

ãäå

r

r

i

i

r

2

i

2

o(δx) = (Ψ (x)Ψ (x1 ) + Ψ (x)Ψ (x1 ) − ((Ψ (x)) + (Ψ (x)) ))(V (x1 ) − V (x)).

Òåïåðü ñðàâíèì ýòî ñ âûðàæåíèåì äëÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé ïëîòíîñòè äèóçèîííîãî ðîÿ, âûâåäåííîé â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàå, ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî â íàøåì ñëó÷àå îáìåí èäåò òîëüêî ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè êóáèêàìè âäîëü îñè

x. Ñðàâ-

íèâàÿ ñ 5.12 ñ ó÷åòîì 5.10, ìû çàêëþ÷àåì, ÷òî âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïëîòíîñòè êâàíòîâîãî ðîÿ àñèìïòîòè÷åñêè ïðèáëèæàåòñÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé äèóçèîííîãî ðîÿ. Åñëè ìû âûáåðåì â êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ äèóçèîííîãî ðîÿ ñîñòîÿíèå, â êîòîðîì åãî ïëîòíîñòü èìååò ãàóññîâ âèä, ñîâïàäàþùèé ñ ïëîòíîñòüþ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà, òî ïðè ñîîòâåòñòâóþ2 2 2 ùåì çíà÷åíèè ýíåðãèè V = a(x + y + z ) ìû áóäåì èìåòü ∂ρ/∂t = 0 â íà÷àëüíûé ìîìåíò âî âñåõ òî÷êàõ ïðîñòàíñòâà. Ïî äîêàçàííîìó, âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ó ïëîòíîñòè êâàíòîâîãî ðîÿ è ó äèóçèîííîãî ïðèáëèæåííî ñîâïàäàþò, ïîýòîìó äèóçèîííûé ðîé áóäåò õîðîøèì ïðèáëèæåíèåì êâàíòîâîé ïëîòíîñòè è íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå

∆T .

Âêëþ÷àÿ ìåäëåííî êàêîé-ëèáî ïîòåíöèàë, ìû

áóäåì èìåòü òàêæå ïðèáëèæåíèå ëþáîé êâàíòîâîé ýâîëþöèè â ïðåäåëå ðîåâ ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè

n.

îé, ïðèáëèæàþùèé êâàíòîâóþ äèíàìèêó îäíîé ÷àñòèöû, çàâèñèò îò âûáî-

δx. íèè δt

ðà

Ïîñëå âûáîðà çíà÷åíèÿ

δx

ìû ïîëó÷èì ïðè íåîãðàíè÷åííîì óìåíüøå-

ïðèáëèæåíèå òî÷íîé âîëíîâîé óíêöèè ñ ïîãðåøíîñòüþ îêîëî

δx.

Ïðè

ýòîì èíòåíñèâíîñòü äèóçèè áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ âûáðàííûì çíà÷åíèåì δx, h3 à èìåííî áóäåò ðàâíà . Òî åñòü åñëè ìû çàõîòèì óìåíüøèòü øàã ïðîm3 c(δx)3 ñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ, íàäî áóäåò äîïóñòèòü áîëüøóþ äîëþ äâèæóùèõñÿ

172 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ ýêçåìïëÿðîâ â åäèíèöå îáúåìà. Ýòî îòâå÷àåò ñîîòíîøåíèþ íåîïðåäåëåííîñòè ðàññòîÿíèå - èìïóëüñ: ðàçáðîñ ñêîðîñòåé ýêçåìïëÿðîâ áóäåò ðàñòè ñ óìåíüøåíèåì çåðíà

δx.

 ëþáîì ñëó÷àå, äëÿ ïîëó÷åíèÿ äèíàìè÷åñêîé êàðòèíêè íàäî

δx.

ïðåäâàðèòåëüíî çàèêñèðîâàòü çåðíî ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ Åñëè çíà÷åíèå

n îáùåãî ÷èñëà ýêçåìïëÿðîâ îãðàíè÷åíî, ìû ïîëó÷èì ìîäåëü

êâàíòîâîé äèíàìèêè ñ äåêîãåðåíòíîñòüþ âñòðîåííîãî òèïà. Òàêàÿ ìîäåëü ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíà íà ìíîãî÷àñòè÷íûé ñëó÷àé, òàê ÷òî îíà áóäåò ñëóæèòü ïðèáëèæåíèåì êâàíòîâîé äèíàìèêè â ñòàíäàðòíîì ãèëüáåðòîâîì îðìàëèçìå (ñì. ([41℄). Ïðèãîäíîñòü òàêîé ñõåìû äëÿ ïîëó÷åíèÿ ÷èñëåííûõ ìîäåëåé âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî îíà äàåò ïðàâèëî Áîðíà äëÿ êâàíòîâîé âåðîÿòíîñòè, êîòîðîå îêàçûâàåòñÿ, òàêèì îáðàçîì, âñòðîåííûì â àëãîðèòìè÷åñêèé îðìàëèçì, â îòëè÷èå îò êîïåíãàãåíñêîãî îðìàëèçìà, â êîòîðîì ýòî ïðàâèëî ïîñòóëèðóåòñÿ.

5.4.9 Âîññòàíîâëåíèå âîëíîâîé óíêöèè ïî äèíàìè÷åñêîìó äèóçèîííîìó ðîþ Ìû ðåøèëè çàäà÷ó ïðèáëèæåíèÿ äèíàìèêè ïëîòíîñòè êâàíòîâîé ÷àñòèöû ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíîãî äèóçèîííîãî ïðîöåññà ñ íåîäíîðîäíîé èíòåíñèâíîñòüþ. Äèíàìè÷åñêèé äèóçèîííûé ðîé, ñîñòîÿíèå êîòîðîãî îïèñûâàåòñÿ ïàðîé 5.8. Òàêàÿ ïàðà íå èñïîëüçóåò ïîíÿòèÿ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà, êîòîðîå ïîðîæäàåò çíàìåíèòóþ êâàíòîâóþ èíòåðåðåíöèþ, è íå äàåò êðàñèâûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé øðåäèíãåðîâñêîãî òèïà äëÿ

ρ

è

p¯.

Áîëåå òîãî, ìåõàíèçì äèíàìè÷å-

ñêîé äèóçèè, ââåäåííûé íàìè äëÿ èìèòàöèè êâàíòîâîé ýâîëþöèè, ðàäèêàëüíî îòëè÷àåòñÿ îò êëàññè÷åñêèõ ïðîöåññîâ (íàïðèìåð, òåïëîïåðåäà÷è èëè êîëåáàíèé) òåì, ÷òî åãî èíòåíñèâíîñòü çàâèñèò îò âûáðàííîãî çåðíà ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ. Ìû ïîøëè íà ýòî ðàäè ãëàâíîãî: ýêîíîìèè âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ, òðåáóåìûõ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ êâàíòîâîé äèíàìèêè. Òåïåðü, äëÿ çàâåðøåíèÿ êàðòèíû, íàì íàäî ðåøèòü îáðàòíóþ çàäà÷ó: ïîêàçàòü, êàê âîññòàíàâëèâàåòñÿ îáû÷íàÿ êîìïëåêñíàÿ âîëíîâàÿ óíêöèÿ

Ψ

ïî çà-

äàííîìó ñîñòîÿíèþ äèóçèîííîãî ðîÿ 5.8. Äëÿ ýòîãî îáðàòèìñÿ ê ðàâåíñòâó 5.17, è ïîäñòàâèì â íåãî âûðàæåíèå äëÿ âîëíîâîé óíêöèè ÷åðåç ïëîòíîñòü:

Ψ(r) =

p

ρ(r) exp(iφ(r)).

Çàäà÷à ñîñòîèò â âû÷èñëåíèè àçû

φ(r)

âîëíîâîé

óíêöèè. Çàìåòèì, ÷òî, ïîñêîëüêó èçè÷åñêèé ñìûñë èìååò òîëüêî îòíîñèòåëüíàÿ àçà ìåæäó ðàçëè÷íûìè òî÷êàìè, ìû ìîæåì çàèêñèðîâàòü íåêîòîðóþ òî÷êó áëèçêî ê

r,

r

è ðàññìàòðèâàòü àçó äðóãîé òî÷êè

r1

îòíîñèòåëüíî

r.

Åñëè

r1

óðàâíåíèå 5.17 äàåò íàì

p¯(¯ r − r¯1 ) φ(r) − φ(r1 ) = arcsin k(δx)2 p ρ(r)ρ(r1 )

÷òî ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåé îðìóëå äëÿ îïðåäåëåíèÿ îòíîñèòåëüíîé àçû:

φ(r1 ) =

Z γ

k(δx)2 v¯ d¯ γ

(5.19)

5.4.

173

ÌÅÒÎÄ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß

ãäå êîíòóð êîíòóðà

γ

γ

èäåò îò

r

ê

r1 . Ýòî

îïðåäåëåíèå ÿâíûì îáðàçîì çàâèñèò îò âûáîðà

è ïîòîìó íàì íàäî äîêàçàòü åãî êîððåêòíîñòü, òî åñòü íåçàâèñè-

ìîñòü îò âûáîðà êîíòóðà öåëîãî êðàòíîãî

2π ,

γ.

Ïîñêîëüêó àçà îïðåäåëåíà òîëüêî ñ òî÷íîñòüþ äî

ðàçëè÷íûå âûáîðû êîíòóðà ìîãóò ïðèâåñòè, ñàìîå áîëü-

øåå, ê èçìåíåíèþ àçû íà òàêîå ÷èñëî, ÷òî èìååò ìåñòî â ñëó÷àå, íàïðèìåð, âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíà â àòîìå âîäîðîäà ñ íåíóëåâûì ìîìåíòîì (íàïðèìåð,

3d).

Ìû ïîêàæåì, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå ñêîðîñòè

v¯ ðîÿ

ïî çàìêíóòî-

ìó êîíòóðó ñîõðàíÿåò ñâîå çíà÷åíèå ñî âðåìåíåì òåì òî÷íåå, ÷åì ìåíüøå çåðíî ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ

δx. Èç ýòîãî áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî åñëè â íà÷àëü-

íûé ìîìåíò âðåìåíè îïðåäåëåíèå (5.19) áûëî êîððåêòíûì, òî îíî ñîõðàíèò ñâîþ êîððåêòíîñòü è äëÿ ñëåäóþùèõ ìîìåíòîâ âðåìåíè. Èòàê, ðàññìîòðèì ïðîèçâîäíóþ èíòåãðàëà îò ñêîðîñòè ðîÿ ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó

γc . Ïðèìåíÿÿ îðìóëó (5.12) è ó÷èòûâàÿ ∂ p¯/∂t = ρ ∂¯ v /∂t, ìû ïîëó÷èì Z Z grad ρ ∂ (5.20) (δx)2 v¯ dγ = − I(δx)2 + κ(δx)2 grad V. ∂t ρ γc

γc

Ïåðâîå ñëàãàåìîå äàñò ïðè èíòåãðàöèè ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó íîëü, òàê êàê ýòî

grad ln ρ,

íîëü äàñò è âòîðîå ïî àíàëîãè÷íûì ñîîáðàæåíèÿì.

Èòàê, òåïåðü äîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî îïðåäåëåíèå (5.19) êîððåêòíî â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè, ÷òî ïðîèçâîäèòñÿ íåïîñðåäñòâåííî äëÿ ëþáîé çàäà÷è.  ñëó÷àå, åñëè âîëíîâóþ óíêöèþ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü èç îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ â êóëîíîâñêîì ïîëå, ãäå

v¯ = 0, êîððåêòíîñòü ñëåäóåò 2πk íå áóäåò. Åñëè äëÿ

èç äîêàçàííîãî, òàê êàê çäåñü íèêàêîãî ñäâèãà àçû íà

ïîëó÷åíèÿ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å íàì íàäî ñòàðòîâàòü ñ íåêîãî âîçáóæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ ñ íàáåãîì àçû, íàäî ïðåäâàðèòåëüíî ïðîâåðèòü êîððåêòíîñòü äëÿ ýòîãî ñîñòîÿíèÿ. Òåïåðü, íà îñíîâå ñäåëàííûõ âû÷èñëåíèé, ìû ìîæåì íàïèñàòü îðìóëû, ñâÿçûâàþùèå ïàðàìåòðû ðîÿ ñ âîëíîâîé óíêöèåé:

p |Ψ(r)| = R ρ(r); φ(r) = k(dx)2 v¯ · dγ, γ: r0 −→r −2

(5.21)

v¯ = a(dx) grad φ(r),

Ïîëüçóÿñü ýòèìè îðìóëàìè, ìîæíî ïðåéòè îò âîëíîâîé óíêöèè ê ðîþ, è îáðàòíî ñ ëþáîé òðåáóåìîé òî÷íîñòüþ. Åäèíñòâåííûì ñâîåîáðàçèåì îïèñàíèÿ êâàíòîâîé äèíàìèêè â òåðìèíàõ äèóçèîííîãî ðîÿ, òàêèì îáðàçîì, áóäåò ñóùåñòâåííàÿ çàâèñèìîñòü ïàðàìåòðîâ ðîÿ (èíòåíñèâíîñòè) îò âûáðàííîãî çåðíà ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ

dx.

5.4.10 Ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ äëÿ ìíîãèõ ÷àñòèö Îáîáùèì ïðèâåäåííûé ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ íà ñëó÷àé ñèñòåìû íåñêîëüêèõ êâàíòîâûõ ÷àñòèö.

174 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ Ìû, òàêèì îáðàçîì, ðàññìîòðèì òåïåðü ïðîáëåìó ìíîãî÷àñòè÷íîé êâàíòîâîé äèíàìèêè âî âñåé ïîëíîòå. ëàâíûì îðèåíòèðîì äëÿ íàñ áóäåò ìíîãî÷àñòè÷íûé ãèëüáåðòîâ îðìàëèçì. Ìû áóäåì ïðèìåíÿòü åãî íå â àëãåáðàè÷åñêîé, à â êîíñòðóêòèâíîé îðìå, äëÿ ÷åãî áóäåò ââåäåíî âàæíåéøåå ïîíÿòèå ñâÿçåé ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè. Ìû áóäåì ãðóïïèðîâàòü ýêçåìïëÿðû ðàçëè÷íûõ ðåàëüíûõ ÷àñòèö â êîðòåæè, òàê ÷òî êàæäûé êîðòåæ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíó âåðñèþ äèíàìèêè ìíîãèõ ÷àñòèö. Ýòà îðìàëüíàÿ ìîäåëü î÷åíü óäîáíà äëÿ îïèñàíèÿ ñëîæíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñöåíàðèåâ, â ÷åì ìû óáåäèìñÿ â ñëåäóþùåì ïàðàãðàå.

n êâàíòîâûõ ÷àñòèö, êîòîðûå ìû áóäåì íóìåðîâàòü íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè: 1, 2, . . . , n. Ìû ïðèìåì, ÷òî ãëàâíûé àêò ýâîëþöèè Ïóòñü íàì äàíî ìíîæåñòâî

ÿâëÿåòñÿ ðåàêöèåé ðàññåÿíèÿ, êîãäà ýòè ÷àñòèöû îäíîâðåìåííî íàëåòàþò äðóã íà äðóãà è ìîãóò àññîöèèðîâàòüñÿ â ñòàáèëüíûå ñèñòåìû, íàçûâàåìûå ìîëåêóëàìè, à òàêæå ðàñïàäàòüñÿ íà ñîñòàâíûå ÷àñòè. Ïåðâîíà÷àëüíûå ÷àñòèöû ìîãóò ñîñòîÿòü èç íåêèõ áîëåå ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, è â õîäå ðåàêöèè ýòè áîëåå ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû ìîãóò ïåðåãðóïïèðîâàòüñÿ. îðìèðóÿ ïðîäóêòû ðåàêöèè, ñîñòîÿùèå èç òåõ æå ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, íî â èíîé êíèãóðàöèè. Áóäåì äåëèòü âñþ ýâîëþöèþ íà òàêèå àêòû ðàññåÿíèÿ

S1 −→ S2 −→ . . . −→ Sk

(5.22)

òàê ÷òî ãëàâíîå (èçè÷åñêîå) âðåìÿ âûðàæàåòñÿ íèæíèì èíäåêñîì ñîñòîÿíèÿ

Sj

íàøåé ñèñòåìû, à âíóòðåííåå âðåìÿ âíóòðè êàæäîãî àêòà ðàññåÿíèÿ ïðåíå-

áðåæèîì ìàëî ñ òî÷êè çðåíèÿ èçè÷åñêîãî âðåìåíè, è áóäåò èìåòü èçè÷åñêèé ñìûñë òîëüêî âíóòðè ñàìîãî àêòà ðàññåÿíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êàæäûé àêò ðàññåÿíèÿ ñòîëü êîðîòîê, ÷òî ÷àñòèöû íå óñïåâàþò èçìåíèòü ñâîèõ ïîëîæåíèé, íî ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ïðè ýòîì àêòå ìåíÿåòñÿ:

Sj

ïåðåõîäèò â

SJ+1 .

Èçìåíåíèå

ïðîèñõîäèò íå çà ñ÷åò äèíàìèêè ñàìèõ ÷àñòèö, à çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ èõ êîëëåêòèâíîãî ñîñòîÿíèÿ, êîòîðûå ìû è îïèøåì â äàííîì ðàçäåëå, îïèðàÿñü íà ãèëüáåðòîâ îðìàëèçì. Ïðîñòûì ïðèìåðîì òàêîé ðåàêöèè ÿâëÿåòñÿ ðàññåÿíèå ïðîòîíà íà àòîìå âîäîðîäà. Çäåñü äâèæóùèéñÿ ïðîòîí (ïðîòîí íîìåð 1) íàëåòàåò íà ñòîÿùèé àòîì âîäîðîäà, êîòîðûé, â ñâîþ î÷åðåäü, ñîñòîèò èç ýëåêòðîíà è ïðîòîíà íîìåð 2. Âîçìîæíûå ïðîäóêòû ýòîé ðåàêöèè òàêîâû:

•

a) îòäåëüíûé ïðîòîí íîìåð 1 è àòîì âîäîðîäà (íè÷åãî íå ïðîèçîøëî),

•

b) îòäåëüíûé ïðîòîí íîìåð 2 è àòîì âîäîðîäà, îáðàçîâàííûé ïðîòîíîì

•

) ìîëåêóëÿðíûé èîí âîäîðîäà,

•

d) äâà îòäåëüíûõ ïðîòîíà è ýëåêòðîí.

íîìåð 1 è ýëåêòðîíîì,

ëàâíûé èíòåðåñ äëÿ íàñ ñåé÷àñ ïðåäñòàâëÿþò ñëó÷àè ðåêîìáèíàöèè ñîñòàâëÿþùèõ (b) è àññîöèàöèÿ â ìîëåêóëó ( ).

5.4.

175

ÌÅÒÎÄ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß

Ìû ïðèíèìàåì, ÷òî íàáëþäàåìàÿ õèìè÷åñêàÿ äèíàìèêà íå çàâèñèò îò ñóáúÿäåðíûõ ñîñòîÿíèé, òî åñòü õèìèÿ îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ýëåêòðîíàìè è ÿäðàìè àòîìîâ. Ýòî, â ïðèíöèïå, ïîä âîïðîñîì äëÿ î÷åíü ñëîæíûõ îáúåêòîâ, íî, ïîõîæå, âåðíî äàæå äëÿ íèõ, åñëè ìû ðàññìàòðèâàåì íå ñëèøêîì äëèííûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè (áîëåå îáùàÿ ñòðóêòóðà îáñóæäàåòñÿ â ïîñëåäíåé ãëàâå). Ìû òàêæå áåç îáñóæäåíèé ïðèíèìàåì, ÷òî íàøå ìîäåëèðîâàíèå äîëæíî îñíîâûâàòüñÿ íà êâàíòîâîé ìåõàíèêå, è åäèíñòâåííîé ñóùåñòâåííî íå êîíâåíöèàëüíîé ïðîöåäóðîé áóäåò ìîäåëü äåêîãåðåíòíîñòè. Ñàìàÿ ïðàâèëüíàÿ ìîäåëü äåêîãåðåíòíîñòè, êîòîðóþ ìû íàçâàëè àáñîëþòíîé, ãëàñèò, ÷òî äåêîãåðåíòíîñòü ÿâëÿåòñÿ ðåäóêöèåé êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿ

|Ψi =

X j

λj |ji

(5.23)

â òîò ìîìåíò, êîãäà ïàìÿòü ìîäåëèðóþùåãî êîìïüþòåðà íå ñìîæåò âìåñòèòü ïîëíóþ çàïèñü ýòîãî ñîñòîÿíèÿ. Êàê áûëî íàìè ïîêàçàíî âûøå, òàêàÿ ìîäåëü äàåò íàì ïðàâèëî Áîðíà äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé èñõîäîì èçìåðåíèÿ êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, è ýòî äîêàçûâàåò êîððåêòíîñòü äàííîé ìîäåëè. Íî òàêàÿ îðìà àáñîëþòíîé ìîäåëè äåêîãåðåíòíîñòè åùå íå ìîæåò ñëóæèòü ÿäðîì ìîäåëèðóþùåãî àëãîðèòìà, òàê êàê ó íàñ ïîêà íåò íèêàêîãî ñïîñîáà ìîäåëèðîâàíèÿ óíèòàðíîé êâàíòîâîé äèíàìèêè äëÿ ìíîãèõ ÷àñòèö, êðîìå âû÷èñëåíèé â ðàìêàõ ìàòðè÷íîé àëãåáðû, à ýòîò ñïîñîá, êàê ìû âèäåëè, ñëèøêîì ðåñóðñîåìêèé. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàáîòîñïîñîáíîé ñõåìû ìîäåëèðóþùåãî àëãîðèòìà ìû äîëæíû ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèìåíÿòü ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ, ïðè êîòîðîì àëãîðèòìè÷åñêàÿ ðåäóêöèÿ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ÿâëÿåòñÿ âñòðîåííûì ñâîé-

1, 2, . . . , n, ãäå S1 , S2 , . . . , Sn åñòü ðîè ýêçåìïëÿðîâ, ñîîòâåòñòâóþùèå èõ ñîñòîÿíèÿì |Ψ1i, |Ψ2 i, . . . , |Ψn i.

ñòâîì. Ìû ðàññìîòðèì ðîåâûå ïðåäñòàâëåíèÿ íàøèõ

n

÷àñòèö

Åñëè ðàññìîòðåòü àíñàìáëü, ñîñòîÿùèé èç âñåõ ýòèõ ýêçåìïëÿðîâ, îí áóäåò ïðåäñòàâëÿòü íåçàïóòàííîå ñîñòîÿíèå âèäà

ïðåäñòàâëåíèÿ çàïóòàííîãî ñîñòîÿíèÿ âèäà

Φi =

X

j1 ,j2 ,...,jn

|Ψ1 i

N

|Ψ2 i

N

...

λj1 ,j2 ,...,jn |j1 , j2 , . . . , jn i

N

|Ψn i.

Íî äëÿ

(5.24)

íàì íóæíî ââåñòè íîâûé ñóùåñòâåííûé ýëåìåíò â ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ. Ýòî  ñâÿçè ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè ðàçíûõ ðîåâ. Áàçèñíîå ñîñòîÿíèå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê êîîðäèíàòû ÷àñòèöû

i

ji

â ñîîòâåòñòâóþùåì êîíèãó-

ðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå. Ïðåäñòàâëåíèå âîëíîâîé óíêöèè â âèäå 5.24 îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóþò ñâÿçè, ñîåäèíÿþùèå òî÷êè

j1 , j2 , . . . , jn

â îäèí êîðòåæ.

Îòíîñèòåëüíîå êîëè÷åñòâî ñâÿçåé òàêîãî âèäà (èõ îáùåå ÷èñëî, äåëåííîå íà 2 îáùåå ÷èñëî âñåõ ñâÿçåé) åñòü |λj1 ,j2 ,...,jn | .

 ìåòîäå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ ìû ïðèìåì, ÷òî ñâÿçè ñîåäèíÿþò íå ïðî-

ñòðàíñòâåííûå òî÷êè, à ýêçåìïëÿðû ðàçëè÷íûõ ðåàëüíûõ ÷àñòèö. Ýòè ñâÿçè

176 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ ìîæíî çàïèñàòü êàê êîðòåæè

s¯ = (s1 , s2 , . . . , sn )

(5.25)

j = 1, 2, . . . , n sj ∈ Sj . Âîëíîâàÿ óíêöèÿ |Φi òîãäà ïðåäñòà⯠êîðòåæåé s¯ òàê ÷òî äëÿ ëþáîãî j = 1, 2, . . . , sj ∈ Sj ìíîæåñòâî S

ãäå äëÿ ëþáîãî ëÿåòñÿ êàê

ñóùåñòâóåò ðîâíî îäèí êîðòåæ âèäà 5.25. Êàæäûé êîðòåæ èãðàåò ðîëü òàê íàçûâàåìîãî ìèðà ïðè ìíîãî ìèðîâîé èíòåðïðåòàöèè êâàíòîâîé òåîðèè. ðàññìàòðèâàåì ýòîò êîðòåæ 5.25 êàê ïðîáíîå ïðåäñòàâëåíèå ñèñòåìû

9

Ìû

n ÷àñòèö è

ñ÷èòàåì, ÷òî âñå âçàèìîäåéñòâèÿ èäóò âíóòðè îäíîãî êîðòåæà, òîãäà êàê ñîñòîÿíèå ðåàëüíîé ñèñòåìû ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå èíòåðåðåíöèè àìïëèòóä, ñîîòâåòñòâóþùèõ âñåì êîðòåæàì, îêàçàâøèìñÿ â äàííîé ïðîñòðàíñòâåííîé êëåòêå, èëè äðóãîãî ïðîöåññà, çàìåíÿþùåãî èíòåðåðåíöèþ àìïëèòóä.  ñëó÷àå îäíîé ÷àñòèöû ìû âèäåëè, ÷òî òàêèì ïðîöåññîì ìîæåò áûòü îáìåí èìïóëüñàìè â äèíàìè÷åñêîì ðîå. Ìû óâèäèì, ÷òî ýòîò ïðîöåññ íåïîñðåäñòâåííî îáîáùàåòñÿ è íà ñëó÷àé

n

÷àñòèö. Ìû íàçîâåì

Ïëîòíîñòü ðîÿ

S¯

S¯

ðîåâûì ïðåäñòàâëåíèåì ñèñòåìû

Nr1 ,r2 ,...,rn , dx−→∞ (dx)3n

ρS¯ (r1 , r2 , . . . , rn ) = lim ãäå

n

÷àñòèö.

îïðåäåëÿåòñÿ êàê

dx

,

(5.26)

Nr1 ,r2 ,...,rn , dx åñòü îáùåå ÷èñëî êîðòåæåé, îêàçàâøèõñÿ â 3n ìåðíîì êóáå ñî dx è öåíòðîì r1 , r2 , . . . , rn . Åñëè âîëíîâàÿ óíêöèÿ |Φi ÿâëÿåòñÿ òåíçîðíûì ïðîèçâåäåíèåì îäíî ÷à-

ñòîðîíîé

ñòè÷íûõ âîëíîâûõ óíêöèé:

Φi =

n O i=1

|φi i

òî ñîîòâåòñòâóþùèå ñâÿçè ìîæíî ïîëó÷èòü ïóòåì ñëó÷àéíîãî âûáîðà ýêçåìïëÿðîâ èç ðàâíîìåðíîãî âåðîÿòíîñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ

1, 2, . . . , n,

s j ∈ Sj

j = s1 , s2 , . . . , sn .

äëÿ êàæäîãî

êîòîðûå òàêèì îáðàçîì è ñîðìèðóþò êàæäûé êîðòåæ

Ñ òàêèì âûáîðîì êîðòåæåé ìû ïîëó÷èì, ÷òî ïëîòíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî ðîÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Áîðíà, êîòîðîå ìîæíî äëÿ ðîåâ çàïèñàòü â âèäå

X r¯∈D

D ⊂ R3n , Nr¯,S¯

|h¯ r|Φi|2 =

Nr¯,S¯ N

(5.27)

D . Íî ¯ äëÿ çàïóòàííîãî ñîñòîÿíèÿ |Φi òàêîé âûáîð êîðòåæåé äëÿ íàáîðà ðîåâ S íå äàñò ãäå

åñòü îáùåå ÷èñëî êîðòåæåé, îêàçàâøèõñÿ â îáëàñòè

íàì óñëîâèÿ 5.27. Ìû òàêèì îáðàçîì äîëæíû âçÿòü 5.27 çà îïðåäåëåíèå âûáîðà êîðòåæåé â

S¯. Íî äëÿ îïðåäåëåíèÿ

ðîÿ ìû äîëæíû òàêæå îïðåäåëèòü ñêîðîñòè

âñåõ ýêçåìïëÿðîâ, à èìåííî, ìî äîëæíû îáîáùèòü ðàâåíñòâî 5.21 íà ñëó÷àé

n

ðåàëüíûõ êâàíòîâûõ ÷àñòèö. 9 Ñòðîãî

ãîâîðÿ, äëÿ ýòîãî íàäî ñ÷èòàòü âðåìåíà t ÷àñòüþ êîðòåæà.  íåðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè ïîëàãàåòñÿ ðàññìàòðèâàòü åäèíîå âðåìÿ t.

5.4.

177

ÌÅÒÎÄ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß

Ψ(r1 , r2 , . . . , rn ) åñòü âîëíîâàÿ óíêöèÿ ñèñòåìû n ÷àñòèö, Ψ = |Ψ|exp(iφ(r1 , r2 , . . . , rn )) - åå ýéëåðîâñêîå ðàçëîæåíèå. Ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç gradj φ(r1 , r2 , . . . , rn ) ãðàäèåíò Ψ, âçÿòûé ïî êîîðäèíàòàì ÷àñòèöû j , ãäå j ∈ {1, 2, . . . , n} åñòü êñèðîâàííûé íîìåð. Îáîáùåíèå îðìóë 5.21 íà n ÷àñòèö Ïóñòü

èìååò âèä

p |Ψ(¯ r)| = R ρ(¯ r ); φ(r) = k(dx)2 v¯ · dγ,

(5.28)

γ ¯ : r¯0 −→¯ r −2 ¯

v¯ = a(dx) grad φ(¯ r),

¯ îáîçíà÷àåò (grad , grad , . . . , grad ), è γ¯ åñòü r¯ îáîçíà÷àåò r1 , r2 , . . . , rn , grad 1 2 n ïóòü â 3n ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Ïðàâèëà 5.28 äîñòàòî÷íî äëÿ îïðåäåëåíèÿ ðîÿ ãäå

ïî äàííîé âîëíîâîé óíêöèè, åñëè ìû ñîãëàñèìñÿ îáúåäèíÿòü ýêçåìïëÿðû â êîðòåæè íåçàâèñèìî îò èõ ñêîðîñòåé. Ìèêðîñêîïè÷åñêèé ìåõàíèçì äèíàìèêè ðîÿ ïðèíèìàåò òîãäà ñëåäóþùóþ îðìó. Îáìåí èìïóëüñîâ ìåæäó äâóìÿ êîðòåæàìè ýêçåìïëÿðîâ:

s¯ = (s1 , s2 , . . . , sj , . . . , sn )

è

s¯' = (s'1 , s'2 , . . . , s'j , . . . , s'n ) sj è s'j ïðè óñëîâèè, ÷òî

åñòü îáìåí èìïóëüñàìè ìåæäó äâóìÿ ýêçåìïëÿðàìè

s¯

è

s¯'

ïðèíàäëåæàò îäíîìó ïðîñòðàíñòâåííîìó êóáèêó â êîíèãóðàöèîííîì 3n ïðîñòðàíñòâå R äëÿ n ÷àñòèö. Ïðè ýòîì j âûáèðàåòñÿ ïðîèçâîëüíî èç ðàâíî-

ìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ñ ýòèì îïðåäåëåíèåì ðàññóæäåíèÿ, ïðèâåäåííûå âûøå äëÿ îäíîé êâàíòîâîé ÷àñòèöû, ïîâòîðÿþòñÿ äîñëîâíî è ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ýòîò ìèêðîñêîïè÷åñêèé ìåõàíèçì îáìåíà èìïóëüñàìè äëÿ âàåò ïðèáëèæåíèå

n

n

÷àñòèö îáåñïå÷è3n ÷àñòè÷íîé ûâíòîâîé äèíàìèêè ñ òî÷íîñòüþ ïîðÿäêà dx

äëÿ îïðåäåëåíèÿ âîëíîâîé óíêöèè ïðè èêñèðîâàííîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè. Îïèñàííûé ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ äàåò íàì áàçó äëÿ ýêîíîìè÷íîãî ìîäåëèðîâàíèÿ êâàíòîâîé ýâîëþöèè.

5.4.11 Ïðîáëåìà ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìè÷åñêîé äèóçèè  îïèñàííîì ìåòîäå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ âëèÿíèå âíåøíåãî ïîòåíöèàëà äîñòàòî÷íî ïðîçðà÷íî äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ, íî ìîäåëü äèóçèè íå ñòîëü ÿñíà. Åå îïèñàíèå, äàííîå â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàå, òàêîâî, ÷òî ïðè ïðàêòè÷åñêîé ðåàëèçàöèè òàêîé ìîäåëè âîçíèêíåò ïðîáëåìà âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ, òàê êàê îáìåí èìïóëüñàìè ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè îäíîé êâàíòîâîé ÷àñòèöû ïðîèçâîäèòñÿ ïî ïðèíöèïó èõ ïðîñòðàíñòâåííîé áëèçîñòè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû äîëæíû ïåðåáèðàòü âñå ïàðû ýêçåìïëÿðîâ, äëÿ ðåøåíèÿ âîïðîñà î âîçìîæíîñòè òàêîãî îáìåíà, èëè, àëüòåðíàòèâíî, õðàíèòü â ïàìÿòè ñîäåðæèìîå âñåõ ÿ÷ååê ïðîñòðàíñòâà.  ëþáîì ñëó÷àå âàæíåéøåé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ íàõîæäåíèå áîëåå ïðèåìëåìîãî ïî çàòðàòàì âàðèàíòà ðåàëèçàöèè ìåòîäà äèíàìè÷åñêîé äèóçèè. Çäåñü ìû ïðèâåäåì îäèí èç ïðèåìîâ, êîòîðûå ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ ýòîé öåëè. Ýòîò ïðèåì îñíîâàí íà ïðåäñòàâëåíèè ðîÿ ýêçåìïëÿðîâ â âèäå âåêòîðà âèäà

s1 (t), s2 (t), . . . , sl (t)

(5.29)

178 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ ãäå çàâèñèìîñòü êàæäîãî ýêçåìïëÿðà îò âðåìåíè:

sj (t)

îçíà÷àåò çàâèñèìîñòü

îò âðåìåíè åãî êîîðäèíàò.  ýòîì ñëó÷àå îáìåí èìïóëüñàìè â äèíàìè÷åñêîì ðîå äîëæåí âûãëÿäåòü êàê îáìåí èìïóëüñàìè ìåæäó ñîñåäíèìè ýêçåìïëÿðàìè:

sj , sj+1 .

 äèíàìè÷åñêîì ðîå ïðè äîêàçàòåëüñòâå êà÷åñòâåííîñòè ïðèáëèæåíèÿ

èì êâàíòîâîé äèíàìèêè ìû èñïîëüçîâàëè ìîäåëü îáìåíà èìïóëüñàìè, êîòîðàÿ ñîñòîèò â îäíîâðåìåííîì îáðåòåíèè ïðåäåëüíûõ ïðîòèâîïîëîæíûõ ñêîðîñòåé âäîëü îäíîé èç êîîðäèíàòíûõ îñåé îáîèìè ýêçåìïëÿðàìè èëè, íàîáîðîò, îäíîâðåìåííîé ïîòåðå òàêèõ ñêîðîñòåé. Äëÿ çàäà÷è ïðàêòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ýòîò ïðèåì ìàëî ïðèãîäåí. Åñëè ìû íàäåëÿåì êàæäûé ýêçåìïëÿð

vj ,

sj

ñêîðîñòüþ

ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû óæå õðàíèì â ïàìÿòè ýòó ñêîðîñòü. È òîãäà âûãîä-

íåå ñòàíîâèòñÿ ïðèïèñûâàòü åé äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ, ÷åì ñ÷èòàòü, ÷òî îíà ïðèíèìàåò òîëüêî äâà çíà÷åíèÿ:

c

è

ìàëüíàÿ ñêîðîñòü.

−c

âäîëü îäíîé èç îñåé, ãäå

c

åñòü ìàêñè-

Ìîæíî ââåñòè îáìåí ñêîðîñòÿìè ÷åðåç óñðåäíåíèå ñêîðîñòè ïî ñîñåäíèì ýêçåìïÿðàì â âåêòîðå 5.29. Òîãäà ìû áóäåì èìåòü

vj (t + δt) = αj vj−1 (t) + βj vj (t) + γj vj+1 (t) äëÿ íåêîòîðûõ ÷èñåë

αj , βj , γj . Åñëè ìû ðàññìàòðèâàåì

(5.30)

çàäà÷ó áåç èñïóñêàíèÿ

îòîíîâ, íàì íàäî ïîòðåáîâàòü ñîõðàíåíèå èìïóëüñà, ÷òî îçíà÷àåò

γ j = 1,

αj + βj +

è âû÷èñëÿòü ýíåðãèþ òàê, êàê ïîêàçàíî âûøå. Çàäà÷ó îäíîé ÷àñòèöû ñ

èñïóñêàíèåì îòîíîâ ìû ðàññìîòðèì íèæå. Åñëè ìû ñ÷èòàåì âñå ýêçåìïëÿðû ðàâíîïðàâíûìè, íàäî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû âîçíèêàåò òðóäíîñòü ñ

j=1

è

j = l.

αj , βj , γj

j . Çäåñü j ïðèíèìàåò l + 1 ñ 1. Òàêîé

íå çàâèñåëè îò

Ñàìîå ïðîñòîå - ñ÷èòàòü ÷òî

çíà÷åíèÿ èç êîëüöà âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ l, òî åñòü îòîæäåñòâëÿòü

ñïîñîá áîëåå ïðèãîäåí äëÿ ñîñòîÿíèé, áëèçêèõ ê ñòàöèîíàðíûì. Äëÿ îïèñàíèÿ ïðîèçâîëüíûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé, çàâèñÿùèõ îò âðåìåíè, ìîæíî ñ÷èòàòü ÷òî

α1 = γl = 0, v0 è vl+1 .

÷òî ïîçâîëèò èçáåæàòü èñïîëüçîâàíèÿ íåñóùåñòâóþùèõ çíà÷åíèé

Ýòîò ñïîñîá ìîäåëèðîâàíèÿ ðîÿ áîëåå ýêîíîìè÷åí, ÷åì ìîäåëü ñ îáìåíîì èìïóëüñàìè ìåæäó ïðîèçâîëüíûìè áëèçêèìè ýêçåìïëÿðàìè. Äåëî â òîì, ÷òî çäåñü ìû èçáåãàåì ñêàíèðîâàíèÿ âñåãî êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà, ÷òî áûëî áû íåèçáåæíûì â ñëó÷àå èñïîëüçîâàíèÿ òîëüêî ïîíÿòèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé áëèçîñòè. îåâîé ìåòîä, ïðèìåíÿåìûé äëÿ ðåøåíèÿ äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, äîëæåí ñðàâíèâàòüñÿ ñ êëàññè÷åñêèìè ìåòîäàìè ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ: àíàëèòè÷åñêèì è ÷èñëåííûìè. Ýòè ìåòîäû â ëþáîì ñëó÷àå ðåøåíèÿ äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ àêòè÷åñêè ÿâëÿþòñÿ ñõåìàìè èíòåãðèðîâàíèÿ. Êëàññè÷åñêèå ìåòîäû (âêëþ÷àÿ êîíå÷íî-ðàçíîñòíûå ñõåìû) ðåàëèçóþò ðèìàíîâñêóþ ñõåìó èíòåðãðèðîâàíèÿ. èìàíîâñêàÿ ñõåìà îñíîâàíà íà ðàçäåëåíèè êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà íà ìàëûå ñåãìåíòû è ïðåäñòàâëåíèè ðåøåíèÿ â âèäå ñóììû ïî òàêèì ñåãìåíòàì âèäà

X

j∈JK

∆xf (xj ).

(5.31)

5.4.

ÌÅÒÎÄ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß

179

èñ. 5.1: Ïåðåçàðÿäêà ïðè ðàññåÿíèè ïðîòîíà íà àòîìå âîäîðîäà. èñóíîê èç ñòàòüè [35℄.

180 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ èìàíîâñêàÿ ñõåìà 5.31 îáëàäàåò ðÿäîì íåäîñòàòêîâ. Ñàìûé ãëàâíûé èç ýòèõ íåäîñòàòêîâ - îãðîìíûå íåïðîèçâîäèòåëüíûå çàòðàòû âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ, çàëîæåííûå â ýòó ñõåìó ñ ñàìîãî íà÷àëà. Îíè çàêëþ÷àþòñÿ â ñóììèðîâàíèè ïî ðàçáèåíèþ

JK

êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà

K . Ñ òàêèì ñóììèðîâàíèåì

ìîæíî ìèðèòüñÿ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ñàìî êîíèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî èìååò íå ñëèøêîì áîëüøóþ ðàçìåðíîñòü, íàïðèìåð, êàê â ñëó÷àå îäíîé ðåàëüíîé ÷àñòèöû. Ïðè ðîñòå ÷èñëà ÷àñòèö íåéíî:

O(n),

n

ðàçìåðíîñòü

dim(K)

ðàñòåò ëè-

JK ïðè ñîõðàíåíèè òî÷íîñòè ïðåäñòàâëåíèÿ exp(n) ÷òî äåëàåò ðèìàíîñêóþ ñõåìó ñîâåðøåí-

à ðàçìåð ðàçáèåíèÿ

êàæäîé ÷àñòèöû ðàñòåò êàê

íî íå ìàñøòàáèðóåìîé, òî åñòü íåïðèãîäíîé. Ýòîò óíäàìåíòàëüíûé äååêò ðèìàíîâñêîé ñõåìû èìååò èçâåñòíûå ñëåäñòâèÿ. Íàïðèìåð, îíà íåóñòîé÷èâà â ñëó÷àå ñèëüíî ðàçðûâíûõ óíêöèé, òàê ÷òî ìíîãèå óíêöèè, êîòîðûå åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü èíòåãðèðóåìûìè, íå ìîãóò èíòåãðèðîâàòüñÿ ïî ðèìàíîâñêîé

10

ñõåìå.

Åäèíñòâåííûé ïëþñ ðèìàíîâñêîé ñõåìû â òîì, ÷òî îíà äîïóñêàåò àíà-

ëèòè÷åñêèå ðàñ÷åòû - îïÿòü òàêè äëÿ íåáîëüøèõ ðàçìåðíîñòåé

K.

Ïðåäëàãàåìûé íàìè ðîåâîé ìåòîä ðåàëèçóåò àëüòåðíàòèâíóþ ñõåìó èíòåðãèðîâàíèÿ - ëåáåãîâñêóþ. Îíà ñîñòîèò î òîì, ÷òî ìû, âìåñòî äåëåíèÿ êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà, çàâîäèì ðîé ýêçåìïëÿðîâ, êîòîðûå ïðîñòî ðàçáðàñûâàåì íàóãàä ïî ýòîìó ïðîñòðàíñòâó. Ïîñëå ÷åãî ìû äåëèì íà ó÷àñòêè íå êîíèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî, à ïðîñòðàíñòâî çíà÷åíèé ñàìîé óíêöèè, è ñîñòàâëÿåì ñóììó âèäà

X i

ãäå

Gi

|Gi |fi

- ÷èñëî ýêçåìïëÿðîâ çíà÷åíèÿ óíêöèè

(5.32)

f

íà êîòîðûõ ïîïàëè â

ðàçäåëåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå õàðàêòåðíîìó çíà÷åíèþ

fi .

i-e

ïîä-

Ýòà ñõåìà íå ñòîëü

ïðèãîäíà äëÿ àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ. Íî îíà îáëàäàåò ãëàâíûì ïðåèìóùåñòâîì: îíà ïðåäåëüíî ýêîíîìè÷íà â àëãîðèòìè÷åñêîì ñìûñëå. Çäåñü ñóììèðîâàíèå ñîâåðøåííî íå çàâèñèò îò ñëîæíîñòè êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà, òî åñòü îò ÷èñëà ðåàëüíûõ ÷àñòèö. Âñå êîëëåêòèâíûå ýåêòû ñîäåðæàòñÿ â ñàìèõ ýêçåìïëÿðàõ, êîòîðûå öåëèêîì â íàøåì ðàñïîðÿæåíèè. Ýêîíîìè÷íîñòü òàêîé ñõåìû äåëàåò åå ÷óâñòâèòåëüíîé ê äèíàìè÷åñêîìó âîçäåéñòâèþ èçëó÷àåìûõ îòîíîâ. àññìîòðèì ñ ïîìîùüþ ðîåâîãî ìåòîäà çàäà÷ó î ïàäåíèè ýëåêòðîíà íà ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííîå ÿäðî. Ìû âèäèì, ÷òî ðîåâîå ïðåäñòàâëåíèå ýëåêòðîíà ïî ñðàâíåíèþ ñ åãî êëàññè÷åñêèì ïðåäñòàâëåíèåì êàê òî÷å÷íîé ÷àñòèöû ïðèâîäèò ê äâóì îñîáåííîñòÿì:

•

áûñòðûé ðîñò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè ïðè ïðèáëèæåíèè ê ÿäðó îäíîãî êîíöà âåêòîðà 5.29,

10 Ïðîñòåéøèé ïðèìåð: óíêöèÿ, ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèå íîëü â ðàöèîíàëüíûõ òî÷êàõ è åäèíèöà â èððàöèîíàëüíûõ. Èìåííî òàêîãî ðîäà óíêöèè àêòè÷åñêè âîçíèêàþò â êâàíòîâîé ìåõàíèêå ïðè ðàññìîòðåíèè, íàïðèìåð, èíòåãðàëîâ ïî òðàåêòîðèÿì. Òàì ïðè âû÷èñëåíèè ñêîðîñòè êâàíòîâîé ÷àñòèöû, ñîñðåäîòî÷åííîé â ìàëîì ó÷àñòêå ïðîñòðàíñòâà, ìû íåèçáåæíî áóäåì ïîëó÷àòü íåîãðàíè÷åííûé ðàçáðîñ çíà÷åíèé. Òî åñòü ãðàèê ñêîðîñòåé ïðè áîëüøîì óâåëè÷åíèè áóäåò âñå áîëüøå íàïîìèíàòü ïèëó ñ îñòðûìè çóáöàìè, ÷åì ãëàäêóþ êðèâóþ.

5.4.

•

181

ÌÅÒÎÄ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß

áûñòðàÿ ñòàáèëèçàöèÿ äâèæåíèÿ ýëåêòðîíà íà êðóãîâîé îðáèòå ïðè äîáàâëåíèè ê äàëüíåìó êîíöó íåêîòîðîãî èìïóëüñà.

Ïåðâûé ýåêò îáúÿñíÿåòñÿ áûñòðûì ðîñòîì êóëîíîâñêîãî ïîòåíöèàëà ïðè ïðèáëèæåíèè ê ÿäðó. Âòîðîé ýåêò ñâÿçàí ñ òåì, ÷òî â ðåçóëüòàòå îáìåíà èìïóëüñàìè âäîëü âåêòîðà 5.29 ïðîèñõîäèò ïåðåðàñïðåäåëåíèå ýêçåìïëÿðîâ íà áîëåå ñòàáèëüíûå îðáèòû, ñîîòâåòñòâóþùèå èõ ñêîðîñòÿì, ïîëó÷åííûì ïðè âðàùåíèè â êóëîíîâñêîì ïîëå.  òåðìèíàõ ðîåâ ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü íàëè÷èå ó îòîíà ïîëÿðèçàöèè, îðòîãîíàëüíîé èìïóëüñó öåëèêîì ñâÿçàíà ñ õàðàêòåðîì äâèæåíèåì çàðÿæåííîãî ýëåêòðîíà â âèäå ðîÿ â êóëîíîâñêîì ïîëå ÿäðà, à èìåííî ñî ñòàáèëèçàöèåé êðóãîâûõ îðáèò äëÿ ýêçåìïëÿðîâ ýòîãî ðîÿ. Òàêàÿ ñõåìà ñàìà ïî ñåáå íå äàåò òî÷íûõ âûðàæåíèé äëÿ âîëíîâûõ óíêöèé ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé, òî åñòü óñòóïàåò ñòàíäàðòíîìó ïóòè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, ïîñëå êîòîðîãî òàêèå ñîñòîÿíèÿ ïîëó÷àþòñÿ àâòîìàòè÷åñêè. Äîñòîèíñòâî ðîåâîãî ìåòîäà â äðóãîì: îí äàåò ýåêòèâíîå îïèñàíèå äèíàìè÷åñêîé êàðòèíû, êîòîðîå ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíî è íà ñëó÷àé ìíîãèõ ÷àñòèö, òî åñòü â îáëàñòü, ãäå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà áóäåò íå ïðèìåíèìî. Çäåñü ìû âïåðâûå ñòîëêíóëèñü ñ íåîáõîäèìîñòüþ ó÷åòà èñïóñêàåìîãî îòîíà äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðàâèëüíîé äèíàìè÷åñêîé êàðòèíû. Ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèå ýåêòû ïîÿâëÿþòñÿ â êîíñòðóêòèâèçìå êàê íåîáõîäèìûé ýëåìåíò ðèñîâàíèÿ ïðàâèëüíûõ äèíàìè÷åñêèõ êàðòèíîê.

11

Åñëè áû ó íàñ íå áûëî êâàíòîâîé ýëåê-

òðîäèíàìèêè, ìîæíî áûëî áû ïûòàòüñÿ âîñïðîèçâåñòè åå ñ ïîìîùüþ òàêîãî ðîäà àëãîðèòìè÷åñêîãî "ðèñîâàíèÿ". Ê ñ÷àñòüþ, ýòîò ýòàï óæå ïðîéäåí

12

, è ïîòî-

ìó ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü äîñòèæåíèÿ ýëåêòðîäèíàìèêè, ñîñòîÿùèå â òî÷íûõ îðìóëàõ äëÿ àìïëèòóä èñïóñêàíèÿ îòîíîâ (ñì. íèæå). Òàêîå èñïîëüçîâàíèå ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè (ÑÊÒ) â êà÷åñòâå îòëàä÷èêà ìîäåëèðóþùèõ ïðîãðàìì õàðàêòåðíî äëÿ êîíñòðóêòèâíîé èçèêè. Îíî ïðèìåíÿåòñÿ â ñåðå ïðèìåíèìîñòè ÑÊÒ, òî åñòü â çàäà÷àõ, ñâîäÿùèõñÿ ê îäíî÷àñòè÷íûì.  ñëîæíûõ çàäà÷àõ ñ äèíàìèêîé ìíîãèõ ÷àñòèö ÑÊÒ óæå íå ñìîæåò íè÷åì íàì ïîìî÷ü, è òîãäà êîíñòðóêòèâíûå ìåòîäû "ðèñîâàíèÿ"áóäóò íàøåé åäèíñòâåííîé îïîðîé äî òîãî ìîìåíòà, êàê ìû ñìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ýâðèñòèêîé äðóãèõ íàóê, íàïðèìåð, áèîëîãèè.

11 Ñòðîãî ãîâîðÿ, ïîÿâëåíèå òàêèõ ìåòîäîâ ðèñîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ðåàêöèåé ìîäåëèðóþùåãî àëãîðèòìà íà ýêñïåðòíîå çàêëþ÷åíèå ïîëüçîâàòåëÿ, êîòîðîå îîðìëÿåòñÿ â âèäå îðàêóëà â åäèíîì àëãîðèòìå. Ìû îáñóäèì íèæå âîçìîæíîñòè ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ òàêîãî ðîäà îðàêóëîâ â âû÷èñëèòåëüíûõ óñòðîéñòâàõ. 12 Íå áåç èñïîëüçîâàíèÿ ïðèåìîâ "ðèñîâàíèÿ". Ñàì Ìàêñâåëë ïðèìåíÿë øåñòåðåíêè êàê íàãëÿäíûé îáðàç äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ îòîíîâ ïðè âûâîäå ãëàâíûõ óðàâíåíèé ýëåêòðîäèíàìèêè.  êîíñòðóêòèâèçìå ìû ñ íåèçáåæíîñòüþ äîëæíû äåëàòü íå÷òî ïðîòèâîïîëîæíîå.

182 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ

5.5

Ñåëåêöèÿ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ïðè ìîäåëèðîâàíèè ìíîãî÷àñòè÷íîé äèíàìèêè

Òîãäà ìîæíî ñîðìóëèðîâàòü ïðèíöèï êâàíòîâîé ñóïåðïîçèöèè ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé â îðìå ãåíåòè÷åñêîãî àëãîðèòìà ïîñòðîåíèÿ ìíîãî÷àñòè÷íîãî ñöåíàðèÿ. Ìû íàçûâàåì ýòîò àëãîðèòì ïðîöåäóðîé ñåëåêöèè êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé. Ïðåäëàãàåìûé â ýòîì ðàçäåëå àëãîðèòì î÷åíü ïðîñò è îáëàäàåò ïî÷òè óíèâåðñàëüíîé ïðèìåíèìîñòüþ; íàïðèìåð, ñ åãî ïîìîùüþ ìîæíî îïèñûâàòü ðàçíîîáðàçíûå õèìè÷åñêèå ðåàêöèè è àçîâûå ïåðåõîäû.

5.5.1 àññåÿíèå ïðîòîíà íà àòîìå âîäîðîäà àññìîòðèì ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ äëÿ íåñêîëüêèõ ÷àñòèö íà îäíîì ïðîñòîì ïðèìåðå. Ýòî áóäåò ðàññåÿíèå ïðîòîíà íà àòîìå âîäîðîäà. Íà íåïîäâèæíûé â âûáðàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò àòîì âîäîðîäà, ñîñòîÿùèé èç ïðîòîíà è ýëåêòðîíà, íàëåòàåò ñ íåêîòîðîãî áîëüøîãî ðàññòîÿíèÿ äðóãîé ïðîòîí. Îñíîâíûìè êàíàëàìè òàêîãî ðàññåÿíèÿ áóäóò ñëåäóþùèå: ðàñïàä ñèñòåìû (îáðàçîâàíèå 2 îòäåëüíûõ ïðîòîíà è îòäåëüíîãî îò íèõ ýëåêòðîíà), ñîõðàíåíèå âèäà ïðîäóêòîâ (íà âûõîäå îäèí ïðîòîí è îòäåëüíûé îò íåãî àòîì âîäîðîäà), è îðìèðîâàíèå ìîëåêóëÿðíîãî èîíà âîäîðîäà èç 2 ïðîòîíîâ è ñâÿçûâàþùåãî èõ ýëåêòðîíà. àññìîòðèì ñíà÷àëà êàíàë îáðàçîâàíèÿ ìîëåêóëÿðíîãî èîíà âîäîðîäà. Ìû ñäåëàåì ñëåäóþùèå óïðîùàþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ (îò êîòîðûõ ìû ïîòîì èçáàâèìñÿ): 1) Ïðîòîíû, àòîì âîäîðîäà è ìîëåêóëÿðíûé èîí âîäîðîäà ñ÷èòàåì êëàññè÷åñêèìè ÷àñòèöàìè, êîòîðûå õàðàêòåðèçóþòñÿ òîëüêî ñâîèìè êîîðäèíàòàìè è èìïóëüñîì. 2)  òå÷åíèå âñåé ðåàêöèè ýëåêòðîí íàõîäèòñÿ â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè â ïîëå äâóõ ïðîòîíîâ. 3) Ïðîèñõîäèò íåóïðóãîå ðàññåÿíèå, â êîòîðîì êàêèì-òî îáðàçîì òåðÿåòñÿ ýíåðãèÿ (ýòî íåîáõîäèìî äëÿ òîãî, ÷òîáû àññîöèàöèÿ äâóõ ïðîòîíîâ âîîáùå ïðîèçîøëà). Òàêàÿ ãðóáàÿ ìîäåëü ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü óäîâëåòâîðèòåëüíûé âèäåîèëüì ðåàêöèè àññîöèàöèè ìîëåêóëÿðíîãî èîíà âîäîðîäà. Âìåñòî ýòîé ãðóáîé ñõåìû ìîæíî èñïîëüçîâàòü áîëåå ðàèíèðîâàííûå ðàññìîòðåíèÿ, ó÷èòûâàþùèå ïåðåõîäû ìåæäó îñíîâíûìè ñîñòîÿíèÿìè ýëåêòðîíà ó êàæäîãî îòäåëüíîãî ïðîòîíà (ñõåìà Ëàíäàó-Çèíåðà), íî ýòî ïîêà äëÿ íàñ íå ñóùåñòâåííî. ëàâíîå - ïðîòîíû ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê êëàññè÷åñêèå òî÷å÷íûå ÷àñòèöû, êîòîðûå â õîäå ðåàêöèè ñöåïëÿþòñÿ â îäíó íîâóþ ÷àñòèöó. Ïðè òàêîé ïîñòàíîâêå íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ñîñòåìû áóäåò ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿòü åå êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå. Òåïåðü äåòàëèçèðóåì äàííóþ ñõåìó, ââåäÿ â ðàññìîòðåíèå çàïóòàííûå ñîñòîÿíèÿ GHZ òèïà. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ïóñòü ýòî áóäóò W - è GHZ - ñîñòîÿíèÿ.

5.5. ÑÅËÅÊÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÛÕ ÑÎÑÒÎßÍÈÉ ÏÈ ÌÎÄÅËÈÎÂÀÍÈÈ ÌÍÎ Î×ÀÑÒÈ×

Ýòè ñîñòîÿíèÿ èìåþò âèä 4.32. Ìû ìîæåì â êà÷åñòâå ìåðû çàïóòàííîñòè ñîñòîÿíèÿ

Ψ

S = S1 ∪ S2 , S1 ∩ S2 = ∅ âûáðàòü îí = T r(ρS2 ln ρS2 ) = T r(ρS1 ln ρS1 ) äëÿ ÷àñòè÷ñèñòåìû S , ñîñòîÿùåé èç ìíîãèõ ÷àñòåé, ìû

ñèñòåìû èç äâóõ ÷àñòåé

íåéìàíîâñêóþ ýíòðîïèþ íîé ìàòðèöû ïëîòíîñòè

EΨ,S1 ,S2 ρS2 . Äëÿ

îïðåäåëèì ìåðó çàïóòàííîñòè êàê

EΨ = minS1 ,S2 :

S=S1 ∪S2 , S1 ∩S2 =∅ EΨ,S1 ,S2 .

Èçâåñòíû è äðóãèå ìåðû çàïóòàííîñòè, íàïðèìåð, îïèñàííàÿ â [1℄, íî äëÿ íàøèõ öåëåé ýòî íå ñóùåñòâåííî. Äàííûå ñîñòîÿíèÿ èìåþò ìàêñèìàëüíóþ ìåðó çàïóòàííîñòè â íåêîòîðîé èõ îêðåñòíîñòè â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ïîýòîìó ïðàêòè÷åñêîå ïîëó÷åíèÿ òàêèõ ñîñòîÿíèé î÷åíü âàæíî äëÿ âûÿñíåíèÿ ïåðñïåêòèâ êâàíòîâîãî êîìïüþòèíãà è êâàíòîâîé îáðàáîòêè èíîðìàöèè â öåëîì. Òàêèå ñîñòîÿíèÿ óæå ïîëó÷åíû â ýêñïåðèìåíòàõ íà èîíàõ â ëîâóøêàõ Ïàóëÿ. Èç àëãîðèòìà ìîäåëèðîâàíèÿ, êîòîðûé ìû ñîáèðàåìñÿ èçëîæèòü, âûòåêàåò ìåòîä ñåëåêöèè òàêèõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ïðè ìîäåëèðîâàíèè ïðîöåññà àññîöèàöèè ìîëåêóë. Ìû îïðåäåëèì ïðîöåññ ñåëåêöèè êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé â ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòàõ. Ìû ñòàðòóåì ñ ïîëóêëàññè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ïðîöåññà ðàññåÿíèÿ îäíîé àáñòðàêòíîé ÷àñòèöû, íàçûâàåìîé äàëåå ïóëåé íà äðóãîé, íàçûâàåìîé ìèøåíüþ. Áóäåì çàïèñûâàòü ïàðàìåòðû ýòèõ ÷àñòèö èìåííî â òàêîì ïîðÿäêå. Îäíà îòäåëüíàÿ ÷àñòèöà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà êëàññè÷åñêè êàê òî÷êà â ïðîñòðàíñòâå, îáëàäàþùàÿ íàäîðîì àòðèáóòîâ (ìàññà, çàðÿä, ñïèí è ò.ä.). Ýòî ïðåäñòàâëåíèå ìû íàçâàëè ýêçåìïëÿðîì äàííîé êâàíòîâîé ÷àñòèöû. Êàæäûé ýêçåïëÿð èìååò ñâîþ ñîáñòâåííóþ òðàåêòîðèþ êàê êëàññè÷åñêàÿ ÷àñòèöà. Åñëè ìû ðàññìàòðèâàåì ÷àñòèöó êàê êâàíòîâóþ, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû åå ïðåäñòàâëÿåì êàê àíñàìáëü (ðîé) åå êëàññè÷åñêèõ ýêçåìïëÿðîâ. Ïëîòíîñòü ýêçåìïëÿðîâ çàäàåòñÿ îðìóëîé

N(¯ x, δx) . δx−→∞ δx3

ρ(¯ x) = lim

Îñíîâíîå ñâîéñòâî ïëîòíîñòè ðîÿ, ñâÿçûâàþùåå åãî ñ êâàíòîâîé ìåõàíèêîé ýòî ïðàâèëî Áîðíà äëÿ êâàíòîâîé âåðîÿòíîñòè:

|Ψ(¯ x)|2 = ρ(¯ x).  ïðèíöèïå, ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ìîæíî âûáðàòü â êà÷åñòâå îïðåäåëåíèÿ ðîåâîãî ïðåäñòàâëåíèÿ âîëíîâîé óíêöèè. Ìû ìîæåì ïîëüçîâàòüñÿ êàê ìåòîäîì êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ, èçëîæåííûì âûøå, òàê è åíìàíîâñêèìè èíòåãðàëàìè ïî òðàåêòîðèÿì.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå ñðåäè àòðèáóòîâ ýêçåìïëÿðîâ áóäåò è èõ êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà. Óäîáíî ñ÷èòàòü ÷òî ìîäóëè âñåõ àìïëèòóä îäèíàêîâû, è àìïëèòóäû ðàçëè÷àþòñÿ òîëüêî àçîé. Òîãäà êàæäûé ýêçåìïëÿð äâèæåòñÿ âäîëü ñâîåé òðàåêòîðèè è íàêàïëèâàåò àìïëèòóäó

λ â çàâèñèìîñòè îò

184 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ äåéñòâèÿ äàííîãî ýêçåìïëÿðà â ñîîòâåòñòâèè ñ îðìóëîé

−

λ(t1 ) = e

iS(γ,t0 ,t1 ) h

, S(γ, t0 , t1 ) =

Zt1

(Ekin − Epot )dt,

t0

âîëíîâàÿ óíêöèÿ ïîëó÷àåòñÿ ñóììèðîâàíèåì àìïëèòóä âñåõ ýêçåìïëÿðîâ, ïîïàâøèõ â êóáèê, òàê êàê áûëî èçëîæåíî âûøå. Àëüòåðíàòèâíî, ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü îïèñàííûé íàìè âûøå ìåõàíèçì äèóçèè â ðîå ýêçåìïëÿðîâ. Ýòîò ìåõàíèçì âêëþ÷àåò îáìåí èìïóëüñàìè ìåæäó áëèçêèìè ýêçåìïëÿðàìè, êîòîðûå èíà÷å ïðîñòî ñîõðàíÿþò èìåþùóþñÿ ó íèõ ñêîðîñòü. Ìåõàíèçì äèóçèîííîé äèíàìèêè îáåñïå÷èâàåò ïðèåìëåìîå ïðèáëèæåíèå äèàíìèêè, çàäàâàåìîé óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà ïîñëå èêñàöèè ïîäõîäÿùåãî çåðíà ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ. Íàêîíåö, ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü äðóãîé àëãîðèòì äëÿ îïðåäåëåíèÿ èíäèâèäóàëüíûõ òðàåêòîðèé, íàïðèìåð, ïîëóêëàññè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå îòäåëüíûõ ÷àñòèö â âèäå âîëíîâûõ ïàêåòîâ ãàóññîâñêîé îðìû (ñì. [16℄). Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ìåòîä îïðåäåëåíèÿ èíäèâèäóàëüíûõ òðàåêòîðèé îòäåëüíûõ ýêçåìïëÿðîâ ðåàëüíûõ ÷àñòèö êàê-òî âûáðàí. Òåïåðü ìû ðàññìîòðèì îáúåäèíåííîå ñîñòîÿíèå äâóõ ðåàëüíûõ ÷àñòèö: ïóëè è ìèøåíè â ðàìêàõ ìíîãî÷àñòè÷íîãî êâàíòîâîãî ãèëüáåðòîâà îðìàëèçìà. Ýòî ñîñòîÿíèå èìååò ñëåäóþùèé âèä:

X j,l

ãäå

λj,l |¯ xj , x¯l i

|¯ xj i è |¯ xl i åñòü êîîðäèíàòû ïóëè è ìèøåíè ñîîòâåòñòâåííî.

Ïàðà

|¯ xj , x¯l i åñòü

áàçèñíîå ñîñòîÿíèå îáúåäèíåííîé ñèñòåìû. Óíèòàðíàÿ ýâîëþöèÿ òàêîé ñèñòåìû, çàäàâàåìàÿ óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà, ñîäåðæèò äâà îïåðàòîðà, äåéñòâóþùèõ ïîñëåäîâàòåëüíî â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè: îïðåàòîð êèíåòè÷åñêîé ýíåðN h2 h2 ãèè (− ∆ ) (− 2m ∆tar ), ãäå îïåðàòîðû Ëàïëàñà ∆ äåéñòâóþò íåçàâèñèìî íà 2m bul êàæäóþ êîîðäèíàòó êàæäîé èç äâóõ ÷àñòèö, è îïåðàòîð ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè

V (¯ xbul , x ¯tar )

êîòîðûé äåéñòâóåò íà îáå ÷àñòèöû îäíîâðåìåííî.

Äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ êâàíòîâîé ýâîëþöèè ìåòîäîì êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äåéñòâèå îïåðàòîðà êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè äîëæíî îáåñïå÷èâàòüñÿ âíóòðåííèì ïðîöåññîì â ðîå ýêçåìïëÿðîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ïóëå è ìèøåíè ñîîòâåòñòâåííî, â òî âðåìÿ êàê äåéñòâèå îïåðàòîðà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè äîëæíî îáåñïå÷èâàòüñÿ âçàèìîäåéñòâèåì òîëüêî âíóòðè îòäåëüíîé âûáðàííîé ïàðû ýêçåìïëÿðîâ ïóòè è ìèøåíè. Ìû ïðèìåì, ÷òî âûáðàííàÿ ìîäåëü ýâîëþöèè â îòäåëüíîì ðîå ýêçåìïëÿðîâ òàêîâà, ÷òî ìû ìîæåì ïðîñëåäèòü òðàåêòîðèþ êàæäîãî ýêçåìïëÿðà (åéíìàíîâñêèå èíòåãðàëû ïî òðàåêòîðèÿì íå âïîëíå óäîâëåòâîðÿþò ýòîìó óñëîâèþ, íî èõ ìîæíî ìîäèèöèðîâàòü ñ ïîìîùüþ äîâîëüíî èñêóññòâåííûõ óõèùðåíèé äëÿ ýòîãî). Äàëåå ìû ìîæåì âûáðàòü îäèí ýêçåìïëÿð èç îäíîãî ðîÿ, äðóãîé

5.5. ÑÅËÅÊÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÛÕ ÑÎÑÒÎßÍÈÉ ÏÈ ÌÎÄÅËÈÎÂÀÍÈÈ ÌÍÎ Î×ÀÑÒÈ×

- èç äðóãîãî ðîÿ, è ðàññìàòðèâàòü âçàèìîäåéñòâèå òîëüêî ìåæäó ýòèìè äâóìÿ ýêçåìïëÿðàìè, à òàêæå âçàèìîäåéñòâèå êàæäîãî èç âûáðàííûõ ýêçåìïëÿðîâ ñ äðóãèìè ýêçåìïëÿðàìè ñâîåãî ðîÿ. Çàòåì íàäî âûáðàòü ñâîåãî ïàðòíåðà äëÿ êàæäîãî ýêçåìïëÿðà ìèøåíè (òàêèì îáðàçîì âñå ýêçåìïëÿðû äâóõ ðîåâ áóäóò ðàçáèòû íà ïàðû), è ñîáðàòü ñòàòèñòèêó. Òî åñòü, âñå âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó äâóìÿ ðåàëüíûìè êâàíòîâûìè ÷àñòèöàìè ñâîäèòñÿ ê âçàèìîäåéñòâèþ âíóòðè ðîåâ è âçàèìîäåéñòâèþ âíóòðè èçáðàííûõ ïàð èç ðàçíûõ ðîåâ. Åñëè ó íàñ èìååòñÿ íåçàïóòàííîå ñîñòîÿíèå âèäà

|ψ1 i

N

|ψ2 i

òî ïàðû íàäëåæèò âûáèðàòü ïðîèçâîëüíî; ïðè çàïóòàííûõ ñîñòîÿ-

íèÿõ ýòî, âîîáùå ãîâîðÿ, íå òàê. Åñëè L åñòü îáùåå ÷èñëî ýêçåìïëÿðîâ â êàæäîì L2 âîçìîæíûõ ïàð äâóõ ýêçåìïëÿðîâ. Äëÿ n ðåàëüíûõ êâàíòî-

ðîå, ó íàñ åñòü

âûõ ÷àñòèö ìû áóäåì èìåòü êîðòåæè âèäà

a1 , a2 , . . . , an

èõ ýêçåìïëÿðîâ âìåñòî

ïàð, êàê â ñëó÷àå äâóõ ÷àñòèö. Ïðè ðîñòå ðåàëüíûõ ÷àñòèö ÷èñëî âñåõ êîðòån æåé ðàñòåò êàê L ÷òî îòðàæàåò ãëàâíóþ âû÷èñëèòåëüíóþ ïðîáëåìó êâàíòîâîé òåîðèè ìíîãèõ òåë. Òàêèì îáðàçîì, ïåðåä êîìïüþòåðíûì ìîäåëèðîâàíèåì ìíîãî÷àñòè÷íîé êâàíòîâîé äèíàìèêè âñòàåò ñëåäóþùàÿ ïðîáëåìà: êàê âûáðàòü "ñóùåñòâåííûå"êîðòåæè

a1 , a2 , . . . , an ýêçåìïëÿðîâ, êîòîðûå ñîáèðàþò îñíîâíóþ ÷àñòü àìïëèòóäû. Ïóñòü B îáîçíà÷àåò ìíîæåñòâî âñåõ êîðòåæåé a1 , a2 , . . . , an . Ïðîáëåìà ñåëåêöèè, òàêèì

îáðàçîì, ñîñòîèò â íàõîæäåíèè ìàëîãî (íå ýêñïîíåíöèàëüíî áîëüøîãî) ïîäìíîR æåñòâà B ⊂ B , òàêîãî ÷òî |Ψ(¯ x)|2 d¯ x > 1 − ǫ äëÿ âûáðàííîé âåðîÿòíîñòè B îøèáêè ǫ. Ìû íàçûâàåì çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ òàêîãî ïîäìíîæåñòâà B ïðîáëåìîé ñåëåêöèè ñîñòîÿíèé. Åñëè çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü

B

ñîñòîèò èç çàïóòàííûõ ñîñòîÿ-

Z , ïðîáëåìó ñåëåêöèè ìîæíî íàçâàòü ïðîáëåìîé ñåëåêöèè Z . Åñëè äëÿ íåêîòîðîãî êëàññà ìíîãî÷àñòè÷íûõ êâàíòîâûõ ýâîëþöèé äëÿ èõ ñîñòîÿíèé Z ìíîæåñòâî B ìîæíî ïîñòðîèòü íåêîòîîðûì ýåêòèâíûì àëãîðèòìîì, ìû ñêàæåì, ÷òî äëÿ êëàññà Z ïðîáëåìà ñåëåêöèè ðåøàåòñÿ íèé íåêîòîðîãî òèïà ñîñòîÿíèé òèïà

êîíñòðóêòèâíî. Çäåñü ìû ïðèíèìàåì, ÷òî ìíîæåñòâî íà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé äëÿ ýâîëþöèé èç

Z

óñòðîåíî ïðîñòî (òî åñòü ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ñ ïîìîùüþ ý-

åêòèâíîãî - ïîëèíîìèàëüíîãî ïî âðåìåíè - êëàññè÷åñêîãî àëãîðèòìà). Çàìåòèì, ÷òî ïðîáëåìà ñåëåêöèè ñîñòîÿíèé íå îáÿçàòåëüíî èìååò ðåøåíèå äëÿ ëþáîé ðàçóìíîé êâàíòîâîé ýâîëþöèè â ïîëíîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. Íàïðèìåð, îíà çàâåäîìî íåðàçðåøèìà äëÿ áûñòðûõ êâàíòîâûõ àëãîðèòìîâ, êîòîðûå õàðàêòåðèçóþòñÿ êàê ðàç òåì, ÷òî àìïëèòóäà ðàñïðåäåëÿåòñÿ áîëåå èëè ìåíåå ðàâíîìåðíî ïî ýêñïîíåíöèàëüíî áîëüøîìó ÷èñëó áàçèñíûõ ñîñòîÿíèé. Áûñòðûå êâàíòîâûå àëãîðèòìû - íå åäèíñòâåííûé ïðèìåð. Äëÿ îïåðàòîðà ÓîëN n , ãäå H åñòü ìàòðèöà Àäàìàðà, èìååò ìåñòî ðàñïðåäåëåíèå øà - Àäàìàðà H

àìïëèòóäû èìåííî òàêîãî òèïà, õîòÿò ýòîò îïåðàòîð è íå ÿâëÿåòñÿ çàïóòûâàþùèì.

Òåì íå ìåíåå, ìû èìååì îñíîâàíèÿ îæèäàòü, ÷òî äëÿ íåêîòîðûõ î÷åíü âàæíûõ òèïîâ êâàíòîâîé ýâîëþöèè ïðîáëåìà ñåëåêöèè ñîñòîÿíèé ðåøàåòñÿ êîíñòðóêòèâíî. Îäèí èç ïðèìåðîâ - ýâîëþöèè êëàññà êâàíòîâûõ ñèñòåì ñ ëàãðàí-

186 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ æèàíîì êâàäðàòè÷íîé îðìû

L=a ¯x¯2 +¯b¯ xx¯t +¯ cx¯2t îò êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ (íà-

ïðèìåð, ñèñòåìà ãàðìîíè÷åñêèõ îñöèëëÿòîðîâ).  êíèãå [16℄ äîêàçàíî, ÷òî äëÿ òàêèõ ñèñòåì âñå òðàåêòîðèè, äàþùèå çíà÷èìûé âêëàä â àìïëèòóäó, ÿâëÿþòñÿ êëàññè÷åñêèìè, ÷òî íåìåäëåííî äàåò íàì ýåêòèâíûé ìåòîä ñåëåêöèè ñîñòîÿíèé, ïîñêîëüêó ìû äîëæíû òîëüêî ïðîñëåäèòü çà ñîñòîÿíèÿìè â òðàåêòîðèÿõ, ãåíåðèðóåìûõ ïðîñòûì àëãîðèòìîì, îïèñûâàþùèì êëàññè÷åñêîå äâèæåíèå. Ïðîáëåìà ñåëåêöèè ñîñòîÿíèé àêòóàëüíà òàêæå äëÿ êâàíòîâîãî êîìïüþòèíãà. Åå ðåøåíèå óñòàíàâëèâàåò ñâîåîáðàçíóþ âåðõíþþ ãðàíèöó äëÿ ñëîæíîñòè êâàíòîâûõ ýâîëþöèé, êîòîðûå ìîæíî ýåêòèâíî ìîäåëèðîâàòü íà êëàññè÷åñêîì êîìïüþòåðå. Ýâîëþöèè, ëåæàùèå âíå ýòîé îáëàñòè òðåáóþò ïðèìåíåíèÿ êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà.

13

Îïèøåì àëãîðèòì ïðèìåíèòåëüíî ê íàøåé ïðîñòîé ñèñòåìå, ñîñòîÿùåé èç ïóëè è ìèøåíè. Íà ñàìîì äåëå òàêîå îãðàíè÷åíèå íå ñóùåñòâåííî, è äàííûé àëãîðèòì î÷åíü ïðîñòî ïåðåíîñèòñÿ íà ñèñòåìû èç ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ÷àñòèö. Ìû ñòàðòóåì ñ íåêîòîðîãî ïîäìíîæåñòâà

a B0

ïîëó÷åíî ñëó÷àéíûì âûáîðîì ïàðòíåðà ãî ýêçåìïëÿðà ïóëè

b.

Ýòî ìíîæåñòâî

B0 ⊂ B

êîòîðîå ìîæåò áûòü

- ýêçåìïëÿðà ìèøåíè äëÿ êàæäîïðåäñòàâëÿåò íåçàïóòàííîå ñîñòî-

ÿíèå, êîòîðîå ó íàñ èìååòñÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè. Ìû èìååì

{(a1 , b1 ), (a2 , b2 ), . . . , (an , bn )}.

àññìîòðèì îïåðàòîð ýâîëþöèè, äåéñòâóþùèé íà

B0

B0 =

åñòåñòâåííûì îáðàçîì:

˜0 = {(˜ B0 −→ B1 = B a1 , ˜b1 ), (˜ a2 , ˜b2 ), . . . , (˜ an , ˜bn )}.

B1 â íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî ãðóïï: Γ1 , Γ2 , . . . , òàê ÷òî äëÿ ëþáîãî j = 1, 2, . . . , s kaj − a ˜j k + kbj − ˜bj k < ǫ0 è kv(aj ) − v(˜ aj )k + ˜ kv(bj ) − v(bj )k < ǫ1 äëÿ íåêîòîðîãî ìàëîãî ǫ0 , ǫ1 > 0, ãäå v(a) îáîçíà÷àåò ñêîðîñòü ýêçåìïëÿðà a. Äðóãèìè ñëîâàìè, ìû îáúåäèíÿåì â îäíó ãðóïïó ïàðû ýêÒåïåðü ìû ñãðóïïèðóåì âñå ïàðû èç

çåìïëÿðîâ, èìåþùèå áëèçêîå ïðîñòðàíñòâåííîå ïîëîæåíèå è áëèçêèå ñêîðîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ ïàð. Çàòåì èç ãðóïï ãðóïï:

Γj 1 , Γj 2 , . . . , Γj m

Γj m

ìû âûáåðåì íåñêîëüêî

òàê ÷òî â êàæäîé èç íèõ ñîäåðæèòñÿ áîëåå

òîâ, òîãäà êàê â ëþáîé èç îñòàëüíûõ ãðóïï ñîäåðæèòñÿ ìåíåå äëÿ íåêîòîðîãî

n0 < n.

Íàçîâåì ïàðû èç èçáðàííûõ

m

n0

n0

ýëåìåí-

ýëåìåíòîâ,

ãðóïï èçáðàííûìè ïà-

ðàìè. Ìû âûáðîñèì íå èçáðàííûå ïàðû èç ðàññìîòðåíèÿ. Îáùåå ÷èñëî ïàð

aj , bj

ìíîæåñòâå

B0 .

âñåõ

n

â

Ýòîò ýòàï ñåëåêöèè íàçîâåì âûáðàêîâêîé.

Äëÿ òîãî, ÷òîáû âîññòàíîâèòü îáùåå ÷èñëî ïàð, ìû äîáàâèì

(˜ a, ˜b)

n ˜

òåïåðü óìåíüøèëîñü ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâîíà÷àëüíûì ÷èñëîì ïàð

n− n ˜ íîâûõ ïàð

ê ÷èñëó èçáðàííûõ ïàð. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü ýåêòèâíî; êàíîíè÷åñêèé

ñïîñîá ñäåëàòü ýòî íàçûâàåòñÿ ïåðåêðåñòíûì îáìåíîì (êðîññ-îâåð). Ïåðåêðåñòíûé îáìåí îçíà÷àåò, ÷òî ìû ãåíåðèðóåì íîâûå ïàðû èç äâóõ èìåþùèõñÿ ïóòåì 13 Âïëîòü äî íàøåãî âðåìåíè, êâàíòîâûå áûñòðûå àëãîðèòìû ïðåäñòàâëÿëè ñîáîé äîâîëüíî èñêóññòâåííûå êîíñòðóêöèè. åøàÿ ïðîáëåìó ñåëåêöèè, ìû ìîæåì ïûòàòüñÿ íàéòè áîëåå íàãëÿäíûå ïðèìåðû áûñòðûõ êâàíòîâûõ ýâîëþöèé, êîòîðûå ñàìè ïî ñåáå ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû â êà÷åñòâå êâàíòîâûõ ïîäïðîãðàìì ïðè ìîäåëèðîâàíèè êâàíòîâûõ ñèñòåì. Òàêèå êâàíòîâûå ïîäïðîãðàììû äîëæíû èñêàòüñÿ ñðåäè ýâîëþöèé, êîòîðûå íå äîïóñêàþò êîíñòðóêòèâíóþ ñåëåêöèþ ñîñòîÿíèé.

5.5. ÑÅËÅÊÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÛÕ ÑÎÑÒÎßÍÈÉ ÏÈ ÌÎÄÅËÈÎÂÀÍÈÈ ÌÍÎ Î×ÀÑÒÈ×

a ˜2 , ˜b1 è ˜ ˜ ˜ a ˜1 , b2 èç ïàð a ˜1 , b1 è a ˜2 , b2 . Ïðè ýòîì ïåðâîíà÷àëüíûå (ðîäèòåëüñêèå ) ïàðû âûáèîáìåíà ýêçåìïëÿðàìè ñîîòâåòñòâóþùèõ ðîåâ. Òî åñòü ìû îáðàçóåì ïàðû

ðàþòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì èç ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Òàêàÿ ãåíåðàöèÿ íîâûõ ïàð ïðîèñõîäèò äî òåõ ïîð, ïîêà ìû íå äîñòèãíåì ïåðâîíà÷àëüíîãî ÷èñëà ïàð

n ñ òî÷íîñòüþ, áûòü ìîæåò, äî îäíîé ïàðû. Ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ãåíåðà-

öèé íîâûõ ñîñòîÿíèé íàçûâàåòñÿ ðåïëèêàöèåé. Íîâûé íàáîð ïàð òåïåðü áóäåò îòðàæàòü ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé îáíàðóæåíèÿ ðåàëüíîé ïàðû ÷àñòèö áîëåå ýåêòèâíî, ÷åì èñõîäíûé, òàê êàê ìû ïðîèçâåëè áîëüøåå ñîñðåäîòî÷åíèå àìïëèòóäû íà òåõ ñîñòîÿíèÿõ, âåðîÿòíîñòü êîòîðûõ áûëà áîëüøå. Èòàê, øàã ñåëåêöèè ñîñòîèò èç äâóõ ýòàïîâ: âûáðàêîâêà è ðåïëèêàöèÿ. Ïîòîì ìû ïîâòîðÿåì ýòó ïðîöåäóðó ñåëåêöèè ìíîãîêðàòíî è íàõîäèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

B0 , B1 , . . . ìíîæåñòâ, ñîñòîÿùèõ èç ïàð ýêçåìïëÿðîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ íàøèì äâóì ðåàëüíûì ÷àñòèöàì: ïóëå è ìèøåíè. Íà êîíöå ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ âðåìåííûìè ðàìêàìè ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîöåññà, ìû èìååì ðåçóëüòèðóþùåå ìíîæåñòâî ïàð ýêçåìïëÿðîâ, êîòîðîå è äàåò íàì ïðèáëèæåíèå êîíå÷íîãî êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿ. Ïðèâåäåì ãëàâíûé äîâîä â ïîëüçó òîãî, ÷òî îïèñàííàÿ ïðîöåäóðà êâàíòîâîé ñåëåêöèè ñîñòîÿíèé ñîãëàñóåòñÿ ñî ñòàíäàðòíûì êâàíòîâî ìåõàíè÷åñêèì îïèñàíèåì ýâîëþöèè äâóõ ÷àñòèö. Äëÿ ýòîãî ìû ïîêàæåì, ÷òî èçáðàííûå ïàðû íà êàæäîì ýòàïå íåñóò ïðåâàëèðóþùóþ ÷àñòü êâàíòîâîé âåðîÿòíîñòè äëÿ íàøåé äâóõ÷àñòè÷íîé ñèñòåìû ïî ñðàâíåíèþ ñ ïàðàìè, îòáðîøåííûìè íà ýòàïå âûáðàêîâêè. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ èçáðàííûõ

k ïàð àìïëèòóäû. êîòîðûå îíè íåñóò â ñìûñ-

ëå åíìàíîâñêèõ èíòåãðàëîâ ïî òðàåêòîðèÿì áëèçêè ïî àçå è ðàâíû ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå. Áëèçîñòü ïî àçå âûòåêàåò èç íàøåãî ïðàâèëà ãðóïïèðîâêè ïî ïðîñòðàíñòâåííîé áëèçîñòè è îðìóë 5.28. Áëèçêèå ïî ïðîñòðàíñòâåííîìó ïîëîæåíèþ ýêçåìïëÿðû áóäóò òàêæå áëèçêè è ïî ñêîðîñòè, òàê êàê îáìåí ñêîðîñòÿìè èäåò î÷åíü áûñòðî.  ðîå âñÿ èíòåðåðåíöèÿ - êîíñòðóêòèâíàÿ, â îòëè÷èå îò âû÷èñëåíèÿ âîëíîâîé óíêöèè ïî îäíîìó èç àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ, íàïðèìåð, êàê èíòåãðàë ïî ïóòÿì. Ïîýòîìó ðåçóëüòèðóþùàÿ âåðîÿòÿíîñòü îáíàðóæèòü ïàðó (ïóëÿ, ìèøåíü) â ñîîòâåòñòâóþùåé ïðîñòðàíñòâåííîé ïîçèöèè áóäåò ïðèìåðíî

k X k 1 |= , | n n j=1 áëàãîäàðÿ ïî÷òè êîíñòðóêòèâíîé èíòåðåðåíöèè àìïëèòóä, òîãäà êàê äëÿ òîãî æå ÷èñëà ïàð, íå ÿâëÿþùèõñÿ áëèçêèìè ïî ïîëîæåíèþ è èìïóëüñàì ýòà âåðîÿòíîñòü áóäåò îêîëî

|

k X αk j=1

n

|≈

√

k , n

188 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ

k äëÿ áîëüøèõ k . Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî àçû, àññîn öèèðîâàííûå ñ ýêçåìïëÿðàìè ðàñïðåäåëåíû ñëó÷àéíî äëÿ ïàð èç ðàçíûõ ãðóïï. ÷òî ãîðàçäî ìåíüøå ÷åì

Òî åñòü ïðîöåññ ñåëåêöèè äàåò õîðîøåå ïðèáëèæåíèå ê ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé ýâîëþöèè, åñëè ÷èñëî ýêçåìïëÿðîâ âåëèêî. Ïðàêòè÷åñêè, ÷èñëî âñåõ ýêçåìïëÿðîâ êàæäîãî èç ðîåâ äîëæíî áûòü äîñòàòî÷íî âåëèêî, ÷òîáû ðàñïîçíàòü âàæíûå îñîáåííîñòè êâàíòîâîãî ïîâåäåíèÿ ðåàëüíîé ñèñòåìû, âûòåêàþùåãî èç âñåõ åéíìàíîâñêèõ òðàåêòîðèé, äàþùèõ çàìåòíûé âêëàä â êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå. Íàïðèìåð, äëÿ ýêñïåðèìåíòà ñ ïðîõîæäåíèåì îáúåäèíåííîé ÷àñòèöû (ïóëÿ+ ìèøåíü) ÷åðåç äâå ùåëè ÷èñëî ýêçåìïëÿðîâ äîëæíî áûòü äîñòàòî÷íî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñòàíäàðòíîé èíòåðåðåíöèîííîé êàðòèíêè, è ò.ä. ëàâíîå ïðåèìóùåñòâî àëãîðèòìà ñåëåêöèè â òîì, ÷òî çäåñü íàì íóæíî òîëüêî ïåðâîíà÷àëüíîå ÷èñëî ýêçåìïëÿðîâ â êàæäîì ðîå, êîòîðîå çàâèñèò îò ÷èñëà ÷àñòèö ëèíåéíî, â òî âðåìÿ êàê åñëè áû ìû îïèñûâàëè êâàíòîâóþ ýâîëþöèþ ñîãëàñíî ñòàíäàðòíîìó ãèëüáåðòîâó îðìàëèçìó, íàì áû ïîíàäîáèëîñü ïàìÿòü, çàâèñÿùàÿ îò ÷èñëà ðåàëüíûõ ÷àñòèö ýêñïîíåíöèàëüíî. Öåíà òàêîé ýêîíîìèè â òîì, ÷òî áûñòðûå êâàíòîâûå àëãîðèòìû ëåæàò âíå ýòîãî ñïîñîáà ñèìóëÿöèè, åñëè ìû èñïîëüçóåì êëàññè÷åñêèå âû÷èñëèòåëüíûå ìàøèíû. Çà ïðåäåëàìè íàøåãî ñïîñîáà ìîäåëèðîâàíèÿ îêàçûâàþòñÿ òàêæå êâàíòîâûå ïðîöåññû. ðàñïðåäåëÿþùèå àìïëèòóäó ïî î÷åíü áîëüøîìó ÷èñëó ñîñòîÿíèé áåç åå çàìåòíîé êîíöåíòðàöèè. Êâàíòîâûå çàïóòàííûå ñîñòîÿíèÿ, ïîëó÷àåìûå â ýêñïåðèìåíòàõ òèïà GHZ è W óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì ïðèìåíèìîñòè ïðîöåäóðû ñåëåêöèè. Ïîýòîìó ïðàêòè÷åñêàÿ ñåëåêöèÿ ýòèõ ñîñòîÿíèé â ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòàõ äîëæíà áûòü íàøåé ïåðâîé öåëüþ.

5.5.2 Ýåêòèâíûé àëãîðèòì ñåëåêöèè ñîñòîÿíèé äëÿ n ÷àñòèö Ìû ïîêàæåì, êàê ïðîáëåìà ñåëåêöèè ñîñòîÿíèé ìîæåò áûòü êîíñòðóêòèâíî ðåøåíà äëÿ øèðîêîãî êëàññà êâàíòîâûõ ýâîëþöèé ñèñòåì èç ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ÷àñòèö. Ýòîò êëàññ àêòè÷åñêè îïðåäåëÿåòñÿ òåì, ÷òî ïðè åãî ìîäåëèðîâàíèè âû÷èñëèòåëüíûé ðåñóðñ êëàññè÷åñêîãî êîìïüþòåðà ðàñõîäóåòñÿ íàèáîëåå ýêîíîìè÷íûì îáðàçîì, ñîîòâåòñòâóþùèì àáñîëþòíîé ìîäåëè äåêîãåðåíòíîñòè. Ìû îáîáùèì ïðèâåäåííóþ âûøå êîíñòðóêöèþ íà ñëó÷àé

n

ðåàëüíûõ êâàíòî-

âûõ ÷àñòèö, è ïîêàæåì, êàêèì îáðàçîì â íåé ñî÷åòàþòñÿ îïèñàíèå óíèòàðíîé äèíàìèêè è äåêîãåðåíòíîñòü. Ïðè ñòàíäàðòíîì îïèñàíèè äèíàìèêè âîëíîâîé óíêöèåé ñåðüåçíîé ïðîáëåìîé ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå âèäà ïåðâîíà÷àëüíîé âîëíîâîé óíêöèè, ïîñêîëüêó îò ýòîãî ñóùåñòâåííî çàâèñèò âèä ïîëó÷àåìîãî ðåøåíèÿ.  íàøåì ñëó÷àå ìû äîëæíû ïîçàáîòèòüñÿ î òîì, ÷òîáû âûáîð ïåðâîíà÷àëüíûõ êîðòåæåé 5.28 îáåñïå÷èë áû íàèëó÷øåå ïðèáëèæåíèå âîëíîâîé óíêöèè ïåðâîíà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ. Îäíàêî ïðè ýâîëþöèè âî âðåìåíè íàøà ìîäåëü ìîæåò ñóùåñòâåííî ðàçîéòèñü ñ òî÷íûì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà èëè ñ òî÷íûì ðåøåíè-

5.5. ÑÅËÅÊÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÛÕ ÑÎÑÒÎßÍÈÉ ÏÈ ÌÎÄÅËÈÎÂÀÍÈÈ ÌÍÎ Î×ÀÑÒÈ×

åì óíèòàðíîé çàäà÷è ðàññåÿíèÿ èç-çà òîãî, ÷òî â íàøåé ìîäåëè àâòîìàòè÷åñêè ó÷èòûâàåòñÿ äåêîãåðåíòíîñòü. Ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî îäèí ýêçåìïëÿð èëè îäèí êîðòåæ (â ìíîãî÷àñòè÷íîì ñëó÷àå) ÿâëÿåòñÿ íîñèòåòåì çåðíà àìïëèòóäû â îïèñàííîì âûøå ñìûñëå, òàê ÷òî ìû àâòîìàòè÷åñêè áóäåì ñïîëüçîâàòü àáñîëþòíóþ ìîäåëü äåêîãåðåíòíîñòè. Âûáîð êîðòåæåé, òàêèì îáðàçîì, ÿâëÿåòñÿ ãëàâíîé çàäà÷åé ïðè îïðåäåëåíèè äèíàìèêè ìíîãî÷àñòè÷íîãî ðîÿ. ×èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû ïî ìîäåëèðîâàíèþ ãîâîðÿò î òîì, ÷òî âûáîð êîðòåæåé âðÿä ëè ìîæíî îîðìèòü â âèäå îäíîé ïðîñòîé ïðîöåäóðû. ß ïðåäëàãàþ äëÿ ýòîé öåëè ïðîñòîé ãåíåòè÷åñêèé àëãîðèòì äëÿ íàõîæäåíèÿ êîðòåæåé, êîòîðûé èñïîëüçóåò ïîñëåäîâàòåëüíûé ïîâòîð äèíàìè÷åñêèõ ñöåíàðèåâ, â êîòîðûõ âûáîð íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ äëÿ êàæäîãî ñöåíàðèÿ áóäåò èñïîëüçîâàòü ðåçóëüòàò ïðåäûäóùåãî ñöåíàðèÿ. Ìû áóäåì îïèñûâàòü ãåíåòè÷åñêîå çàïóòûâàíèå íà ïðèìåðå ðàññåÿíèÿ

n

êâàíòîâûõ ÷àñòèö. Ñòàðòóåì ñ íåçàïóòàííîãî ñîñòîÿíèÿ ýòèõ ÷àñòèö, â êîòîðîì ÷àñòèöà

j

èìååò âîëíîâóþ óíêöèþ

Ψj , èëè, â ðîåâîì ïðåäñòàâëåíèè, ðîé Sj .  n ÷àñòè÷íîãî ðîÿ S¯ini òàê,

ïåðâîì ñöåíàðèè ìû îïðåäåëèì íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå

s¯ âûðàíû ñëó÷àéíî äëÿ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ýêçåìïëÿðîâ âíóòðè êàæäîãî îäíî ÷àñòè÷íîãî ðîÿ. Ïîñëå íåêîòîðîãî ìàëîãî âðåìåíè ∆t ýâî¯f in . Åñëè ó íàñ åñòü äîñòàòî÷íî ëþöèè ðîÿ ìû íàõîäèì åãî êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå S áîëüøîå ïåðâîíà÷àëüíîå ÷èñëî N ýêçåìïëÿðîâ â ðîÿõ Sj , ìû, ïîâòîðèâ ðàññóæ¯f in , äåíèÿ, ïðèâåäåííûå âûøå, ïîëó÷èì ïðèáëèæåíèå âîëíîâîé óíêöèè ÷åðåç S ÷òî êîðòåæè

ãäå êîíå÷íîå êîëè÷åñòâî âñåõ ýêçåìïëÿðîâ ñëóæèò àêòîðîì äåêîãåðåíòíîñòè. Ïðîáëåìà â òîì, ÷òîáû èñïîëüçîâàòü ñòðîãî îãðàíè÷åííîå ÷èñëî

N

ýêçåìïëÿ-

ðîâ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ðåàëüíîé äèíàìèêè ñ ïðèåìëåìîé òî÷íîñòüþ. Çäåñü ïîä ïðèåìëåìîé òî÷íîñòüþ ìû ïîíèìàåì ïðàâèëüíîå îïðåäåëåíèå ïðîäóêòîâ ðåàêöèè: äëÿ õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé ýòî áóäåò ñïèñîê âîçìîæíûõ åå ïðîäóêòîâ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ýòèì ïðîäóêòàì âåðîÿòíîñòÿìè èõ âûõîäà, çàâèñÿùèìè îò íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèö. Ñ ýòèì îãðàíè÷åíèåì ïî

N

ìû àêòè÷åñêè íàãðóæàåì ýêçåìïëÿðû äâó-

ìÿ ðîëÿìè: âî ïåðâûõ - ñèìóëÿöèÿ êâàíòîâîé óíèòàðíîé äèíàìèêè âîëíîâîé óíêöèè, è âî âòîðûõ - (àáñîëþòíàÿ) ìîäåëü äåêîãåðåíòíîñòè, âûòåêàþùàÿ èç íàëè÷èÿ çåðíà àìïëèòóäû. Çàìåòèì, ÷òî ýòè äâå ðîëè íå âïîëíå ñîãëàñóþòñÿ äðóã ñ äðóãîì. Ïðèáëèæåíèå âîëíîâîé óíêöèè òðåáóåò ìàëîãî ðàññòîÿíèÿ

kΨShoedinger − Ψswarm k, òîãäà êàê äåêîãåðåíòíîñòü

âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî íàëè÷èå

çåðíà âåäåò ê îáíóëèâàíèþ âñåõ ñëàãàåìûõ â ñóïåðïîçèöèè, ó êîòîðûõ àìïëèòóäû ïî ìîäóëþ ìåíüøå

ǫ,

÷òî ìîæåò äàòü áîëüøîå ðàñõîæäåíèå ñ äèíàìèêîé

âîëíîâîé óíêöèè ïðè åå óíèòàðíîé ýâîëþöèè â ñëó÷àå áîëüøîé äèñïåðñèè ðàñïðåäåëåíèÿ àìïëèòóä. Ýòî íåèçáåæíî ñëó÷àåòñÿ ïðè áîëüøîì ÷èñëå

n ðåàëü-

íûõ ÷àñòèö çà èñêëþ÷åíèåì îñîáûõ ñëó÷àåâ, ïðè êîòîðûõ àìïëèòóäà êàêèì òî îáðàçîì êîíöåíòðèðóåòñÿ íà ìàëîì ÷èñëå ñëàãàåìûõ ñóïåðïîçèöèè.  ýòèõ èñêëþ÷èòåëüíûõ ñëó÷àÿõ ìû áóäåì íàáëþäàòü ïðîÿâëåíèÿ êâàíòîâûõ ýåêòîâ â êóñêàõ âåùåñòâà ìåçîñêîïè÷åñêèõ ðàçìåðîâ. Ïîäîáíûå ýåêòû ìû îáñóäèì íèæå; èõ îïèñàíèå áûëî áû îäíîé èç âåðîÿòíûõ îáëàñòåé íàèáîëåå ïðîñòîãî

190 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ ïðèìåíåíèÿ íàøåãî ïîäõîäà. Èòàê, ìû äîëæíû âûáðàòü êîðòåæè

s¯ òàê,

÷òîáû ðàñïðåäåëåíèå ýêçåìïëÿ-

ðîâ â íèõ ïðåäñòàâëÿëî áû íàèáîëåå òî÷íûé âèä óíèòàðíîé äèíàìèêè. Ïðè ýòîì ìû óòâåðæäàåì, ÷òî âîçíèêàþùàÿ ïðè ýòîì àáñîëþòíàÿ äåêîãåðåíòíîñòü áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü òîìó. ÷òî íàáëþäàåòñÿ â ðåàëüíûõ ýêñïåðèìåíòàõ. Ýòî äîëæíî áûòüî âåðíûì äëÿ ýëåìåíòàðíûõ ðàññåÿíèé â òå÷åíèå ìàëîãî ïðîìå6n æóòêà âðåìåíè ∆t. Íàçîâåì R äâîéíûì êîíèãóðàöèîííûì ïðîñòðàíñòâîì

n

äëÿ

ÿàñòèö. Åãî ñìûñë â òîì, ÷òî ìû íàìåðåâàåìñÿ ðàññìàòðèâàòü ïàðó ñî-

s¯ini â íà÷àëüíîì ðîå ìû s¯f in , êîòîðûé ïîëó÷àåòñÿ èç

ñòîÿíèé: íà÷àëüíîå è êîíå÷íîå. Äëÿ ëþáîãî êîðòåæà ïðåäïîëàãàåì, ÷òî îäíîçíà÷íî îïðåäåëåí êîðòåæ

s¯ini

â õîäå ýâîëþöèè äàííîãî ðîÿ.

n ÷à(¯ sini , s¯f in )

Âûáåðåì ðàçáèåíèå äâîéíîãî êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà äëÿ ñòèö íà êëåòêè â âèäå êóáèêîâ, è ñãðóïïèðóåì ðåçóëüòèðóþùèå ïàðû êîðòåæåé â ãðóïïû

G1 , G2 , . . . , Gk

òàê, ÷òî êàæäàÿ ãðóïïà ñîñòîèò èç âñåõ ïàð,

ïîïàâøèõ â îäèí è òîò æå êóáèê ýòîãî ðàçáèåíèÿ. Çàíóìåðóåì ýòè ãðóïïû òàê, ÷òîáû êîëè÷åñòâà ïàð â ýòèõ ãðóïïàõ íå âîçðàñòàëî:

N1 ≥ N2 ≥ . . . ≥ Nk .

Âûáåðåì ïåðâûå

k1 < k

ãðóïï è íàçîâåì âõîäÿùèå â

íèõ ïàðû ïðàâèëüíûìè, âñå ïðî÷èå ïàðû îáúÿâèì íåïðàâèëüíûìè. Òåïåðü ìû ìîæåì íàéòè íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå äëÿ ñëåäóþùåãî ñöåíàðèÿ ðàññåÿíèÿ. Ìû èñêëþ÷àåì íåïðàâèëüíûå ïàðû èç

S¯,

è ïåðåãðóïèðîâûâàåì âõîäèâøèå â íèõ

ýêçåìïëÿðû ÷àñòèö ïî-äðóãîìó, â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëàìè äëÿ ãåíåòè÷åñêèõ àëãîðèòìîâ. Çäåñü áûëî áû óìåñòíûì ïðèìåíåíèå òàêèõ ãåíåòè÷åñêèõ ìåòîäîâ êàê êðîññ-îâåð, ïðè êîòîðûõ áûâøèå ÷ëåíû íåïðàâèëüíûõ êîðòåæåé ïåðåãðóïïèðîûâàþòñÿ òàê, ÷òîáû ìàêñèìàëüíî ïîõîäèòü íà ïðàâèëüíûå êîðòåæè. ß íå áóäó áîëåå ïîäðîáíî îñòàíàâëèâàòüñÿ çäåñü íà ýòîé òåìå. Ïðåäïîëîèì, ÷òî ìû êàêèì-òî îáðàçîì ïåðåãðóïïèðîâàëè âñå íåïðàâèëüíûå êîðòåæè òàê, ÷òî ýòà íîâàÿ ãðóïïèðîâêà äàëà íàì íîâûå êîðòåæè, êîòîðûå áëèæå ê ïðàâèëüíûì, ÷åì áûëè òå, ÷òî ìû ðàíåå îáúÿâèëè íåïðàâèëüíûìè. Äëÿ òàê îïðåäåëåííîãî íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ

S¯2

âòîðîé âåðñèè ñöåíàðèÿ ìû çàïóñòèì ñíîâà ïðîöåññ

äèíàìè÷åñêîé äèóçèè, è ò.ä.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïàð

ãäå âñÿêàÿ ïàðà

j (S¯ini , S¯fj in )

1 2 (S¯ini , S¯f1in ), (S¯ini , S¯f2in ), . . .

(5.33)

ïðåäñòàâëÿåò ðåçóëüòàò ðåïåòèöèè ñ íîìåðîì

j.

Òàêèì îáðàçîì, ïðîöåññ ïåðåõîäà îò îäíîé ïàðû ê ñëåäóþùåé ñîñòîèò èç òðåõ øàãîâ:

•

äèíàìè÷åñêàÿ äèóçèÿ ðîÿ, îñíîâàííàÿ íà îáìåíå èìïóëüñàìè,

•

îòáîð ïðàâèëüíûõ ïàð, è

•

ðåïëèêàöèÿ ïðàâèëüíûõ ïàð èç îòáðàêîâàííûõ ýëåìåíòîâ ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû òèïà ïåðåêðåñòíîãî îáìåíà.

5.5. ÑÅËÅÊÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÛÕ ÑÎÑÒÎßÍÈÉ ÏÈ ÌÎÄÅËÈÎÂÀÍÈÈ ÌÍÎ Î×ÀÑÒÈ×

Îáìåí èìïóëüñàìè ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè, ïðèíàäëåæàùèìè ïðîñòðàíñòâåííî áëèçêèì, íî ðàçëè÷íûì êîðòåæàì, âõîäÿùàÿ â îïåðàòîð äèíàìè÷åñêîé äèóçèè, ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì àíàëîãîì ìóòàöèé â ýâîëþöèîííîì ïðîãðàììèðîâàíèè.  òåðìèíàõ ìíîãîìèðîâîé èíòåðïðåòàöèè êâàíòîâîé òåîðèè êîðòåæ ÿâëÿåòñÿ "ìèðîì è îáìåí èìïóëüñàìè ìåæäó äâóìÿ ýêçåìïëÿðàìè èç ðàçíûõ êîðòåæåé ïðåäñòàâëÿåò âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó ðàçëè÷íûìè "ìèðàìè". Öåïü 5.33 äîëæíà îáðûâàòüñÿ òîãäà, êîãäà ÷èñëî ýëåìåíòîâ â âûáðàííûõ ãðóïïàõ ñòàáèëèçèðóåòñÿ. Îïèñàííûé ìåòîä îòáîðà ñîñòîÿíèé ñîîòâåòñòâóåò ñòàíäàðòíîé óíèòàðíîé äèíàìèêå äëÿ ìíîãèõ ÷àñòèö. Îáðàòèìñÿ ê ïðåäñòàâëåíèþ ýòîé äèíàìèêè â âèäå åéíìàíîâñêèõ èíòåãðàëîâ ïî òðàåêòîðèÿì (see [16℄), ãäå âîëíîâàÿ óíêöèÿ

Ψ

â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè

t

Ψ(t, r¯) =

îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì ðàâåíñòâîì:

Z

K(t, r¯, t1 , r¯1 )Ψ(t1 , r¯1 )d¯ r1 ,

(5.34)

R3n ãäå

K

åñòü ÿäðî íàøåé ñèñòåìû, êîòîðîå (ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ) ìîæíî

ïðåäñòàâëÿòü êàê àìïëèòóäó, êîòîðàÿ ïåðåíîñèòñÿ îäíèì êîðòåæåì, åñëè ìû ïðèìåì, ÷òî êîðòåæè ïåðåíîñÿò êîìïëåêñíûå ÷èñëà - àìïëèòóäû âìåñòî ñâîèõ

K , ïåðåíîñèìûå êîíå÷íîé ïîçèöèè r ¯1 è r¯

ñêîðîñòåé, êàê â ìåòîäå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ. Àìïëèòóäû êîðòåæàìè, çàâèñÿò, òàêèì îáðàçîì, îò íà÷àëüíîé è

êîðòåæåé, è ïîòîìó äîëæíû áûòü áëèçêè äëÿ êîðòåæåé ñ áëèçêèìè íà÷àëüíûìè è êîíå÷íûìè ïðîñòðàíñòâåííûìè ïîëîæåíèÿìè. Ýòî ñïðàâåäëèâî, åñëè

kr − r1 k ìàëî è íåò áîëüøîãî ðàçíîîáðàçèÿ òðàåêòîðèé, âåäóùèõ èç òî÷êè 1: (t1 , r¯1 ) â òî÷êó 2: (t, r¯). Ìû îöåíèì âêëàä â âåðîÿòíîñòü |Ψ(t, r¯)|2 äâóõ ìíîæåñòâ êîðòåæåé ñ l ýëåìåíòàìè â êàæäîì: ïåðâîå ìíîæåñòâî ïóñòü ñîäåðæèòñÿ â îäíîé ãðóïïå Gj , à êîðòåæè èç âòîðîãî ìíîæåñòâà ïóñòü èìåþò òîëüêî áëèçêèå êîíå÷íûå ïîëîæåíèÿ, íî äàëåêèå íà÷àëüíûå, è ïóñòü, äëÿ îïåðäåëåííîñòè, ýòè

íà÷àëüíûå ïîëîæåíèÿ áóäóò âûáðàíû ñëó÷àéíûì îáðàçîì èç ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Âêëàäû ýòèõ äâóõ ìíîæåñòâ â âåðîÿòíîñòü áóäóò ïðèáëèçèòåëüíî òàêèìè

d1 = | ãäå àçû

φs

l X s=1

2

2

2

α| = k |α| , d2 = |

l X s=1

αeiφs ≈ k|α|2

ðàñïðåäåëåíû ðàâíîìåðíî. Ïîñëåäíåå ïðèáëèæåííî ðàâåíñòâî âû-

òåêàåò èç òîãî àêòà, ÷òî ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå àç

φs

äàåò ñðåäíåå îò-

êëîíåíèå ñóììû îò íóëÿ ïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ðàâíîå êâàäðàòíîìó êîðíþ èç ÷èñëà ñëàãàåìûõ. Ñëåäîâàòåëüíî, âêëàä ïåðâîãî ìíîæåñòâà áóäåò ñóùåñòâåííî ïðåîáëàäàòü. Âîçâðàùàñü ê ýêçåìïëÿðàì èç ìåòîäà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ, ìû çàìå÷àåì, ÷òî èíîðìàöèþ, ïåðåíîñèìóþ êîìïëåêñíûìè àìïëèòóäàìè çäåñü ïåðåäàþò ñêîðîñòè ýêçåìïëÿðîâ, è âêëàä ìåíüøèõ ãðóïï

Gj

äëÿ

j > k1

â

âåðîÿòíîñòü áóäåò ãîðàçäî ìåíüøèì, ÷åì âêëàä ïðàâèëüíûõ êîðòåæåé, âçÿòûõ â òîì æå ÷èñëå. Ýòî è îïðàâäûâàåò ââåäåííóþ íàìè ïðîöåäóðó îòáîðà.

192 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ Ïðîèëëþñòðèðóåì òåïåðü äåéñòâèå äàííîãî àëãîðèòìà îòáîðà ñîñòîÿíèé íà íàøåì ïðèìåðå àññîöèàöèè ïðîòîíîâ â ìîëåêóëó âîäîðîäà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà÷àëüíîå ïðîñòðàíñòâåííîå ðàñïîëîæåíèå ïåðâîãî ïðîòîíà è àòîìà âîäîðîäà äîñòàòî÷íî áëèçêè äëÿ îðìèðîâàíèÿ ìîëåêóëÿðíîãî èîíà. Äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ýëåêòðîí íå êàê îòäåëüíóþ ÷àñòèöó, à êàê íåêèé àêòîð, ïîðîæäàþùèé ïîòåíöèàë ïðèòÿæåíèÿ ìåæäó äâóìÿ ïðîòîíàìè, êîòîðûå áåç ýòîãî àêòîðà ïðîñòî îòòàëêèâàëèñü áû äðóã îò äðóãà â ñèëó êóëîíîâñêîãî ïîëÿ. Íå âêëþ÷åíèå ýëåêòðîíà â ðàññìîòðåíèÿ êàê ÷àñòèöû ñîâåðøåííî íå ïðèíöèïèàëüíî, è äåëàåòñÿ òîëüêî äëÿ ïðîñòîòû èëëþñòðàöèè. Åñëè ïåðâûé âûáîð ïàð (ýêçåìïëÿð ïåðâîãî ïðîòîíà, ýêçåìïëÿð âòîðîãî ïðîòîíà) ñäåëàí òàê, ÷òî âî ìíîãèõ ñîðìèðîâàííûõ ïàðàõ ïðîòîíû îòñòîÿò äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèå, ñèëüíî îòëè÷àþùååñÿ îò äèñòàíöèè

r0

ìåæäó ïðîòîíàìè â ñòàáèëüíîì ñîñòî-

ÿíèè ìîëåêóëÿðíîãî èîíà, òî ïðîòîíû â òàêèõ ïàðàõ ðàçëåòÿòñÿ íà áîëüøîå ðàññòîÿíèå äðóã îò äðóãà, ïðè÷åì òàê, ÷òî ýòè ïàðû îêàæóòñÿ â ðàçíûõ ãðóïïàõ ïîñëå íàøåé ïðîöåäóðû ãðóïïèðîâêè. Ïîñëå íåñêîëüêèõ èòåðàöèé íàøåãî ïðîöåññà âûáîðà ñöåíàðèåâ ýòî ïðèâåäåò ê ðîñòó ÷èñëà ïàð, â êîòîðûõ ìåæïðîòîííîå ðàññòîÿíèå áëèçêî ê

r0 ,

è ìû â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ïðåèìóùåñòâåííîå

êîëè÷åñòâî ïàð, êîòîðûå è îðìèðóþò ìîëåêóëÿðíûé èîí âîäîðîäà.

 òîì ñëó÷àå, êîãäà íà÷àëüíûå ïîëîæåíèÿ ïåðâîãî ïðîòîíà è àòîìà âîäîðîäà äàëåêè, ýòà ñõåìà äîëæíà áûòü ðàñøèðåíà. Çäåñü ìû äîëæíû ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå òàêæå è îòîíû, ðîæäàåìûå ýòîé ñèñòåìîé, êîòîðûå ïðè âûëåòå óìåíüøàþò åå ýíåðãèþ, äåëàÿ âîçìîæíîé àññîöèàöèþ â ìîëåêóëó. Ôîòîíû áåç îñîáûõ ïðîáëåì âêëþ÷àþòñÿ â ñîðìóëèðîâàííóþ ñõåìó îòáîðà êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé, íî äëÿ èõ ðàññìîòðåíèÿ íàäî íåìíîãî ðàñøèðèòü íàø îðìàëèçì, äîáàâèâ â áàçèñíûå ñîñòîÿíèÿ âðåìÿ. Ýòî ñäåëàíî â ñëåäóþùåì ïàðàãðàå. Çäåñü æå îòìåòèì, ÷òî äëÿ ãðóáîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññà àññîöèàöèè òî÷íûé ó÷åò âûëåòàþùèõ îòîíîâ íå ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì. Ìû ìîæåì çàìåíèòü èõ íåêîòîðûì ðîäîì òðåíèÿ, à òàêæå ðàçáèòü âðåìåííîé èíòåðâàë

∆t

íà ìåíü-

øèå ñåãìåíòû òàê, ÷òîáû íà ïîñëåäíåì èç íèõ ïðîñòðàíñòâåííûå ïîëîæåíèÿ ðåàãåíòîâ áûëè óæå äîñòàòî÷íî áëèçêè äëÿ ïðèìåíåíèÿ îïèñàííîé ïðîöåäóðû îòáîðà. Ýòî, ðàçóìååòñÿ, äàñò òîëüêî î÷åíü ãðóáóþ êàðòèíó ïðîöåññà àññîöèàöèè. Åå áîëåå òî÷íîå ðàññìîòðåíèå òðåáóåò ïðÿìîãî âêëþ÷åíèÿ â äàííóþ ìîäåëü îòîíîâ.

Îïèñàííàÿ íàìè ìîäåëü ñèìóëÿöèè õèìè÷åñêîé ðåàêöèè àññîöèàöèè êàñàåòñÿ áàçèñíûõ ïîíÿòèé êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Îíà èñïîëüçóåò ìíîãîìèðîâóþ êàðòèíó êâàíòîâîé èçèêè Ýâåðåòòà. Êàæäûé êîðòåæ, ñîñòîÿùèé èç ýêçåìïëÿðîâ ðåàëüíûõ ÷àñòèö, ïðåäñòàâëÿåò îòäåëüíûé êâàíòîâûé ìèð. Îòäåëüíûå ìèðû âçàèìîäåéñòâóþò äðóã ñ äðóãîì, òàê ÷òî ïðîöåññ îòáîðà èãðàåò ðîëü àðáèòðà â ýòîì âçàèìîäåéñòâèè. Ñàìî æå âçàèìîäåéñòâèå ÷åðåç ìåõàíèçì äèíàìè÷åñêîé äèóçèè ïðåñòàâëÿåò ñîáîé òî÷íóþ îðìó ïðåêâàíòîâûõ ïîëåé (ñì. [23℄), ïîðîæäàþùèõ âèäèìóþ êâàíòîâóþ äèíàìèêó.

5.5. ÑÅËÅÊÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÛÕ ÑÎÑÒÎßÍÈÉ ÏÈ ÌÎÄÅËÈÎÂÀÍÈÈ ÌÍÎ Î×ÀÑÒÈ×

èñ. 5.2: Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ýêçåìïëÿðîâ ïàð ïðîòîíîâ â çàâèñèìîñòè îò ìåæúÿäåðíîãî ðàññòîÿíèÿ ïðè àññîöèàöèè ìîëåêóëÿðíîãî èîíà. èñóíîê èç ðàáîòû [4℄.

194 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ

5.6

Èäåíòè÷íîñòü ýëåêòðîíîâ ñ òî÷êè çðåíèÿ êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ

Ïîñêîëüêó ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ñ ïîìîùüþ ìåòîäà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ âîçìîæíî çàìåíèòü òðàäèöèîííûé àëãåáðàè÷åñêèé àïïàðàò êâàíòîâîé òåîðèè, íàì íàäî èíòåðïðåòèðîâàòü èäåíòè÷íîñòü êâàíòîâûõ ÷àñòèö îäíîãî òèïà. Îíà ïðîÿâëÿåòñÿ â ñèììåòðèè èëè àíòèñèììåòðèè âîëíîâîé óíêöèè êîëëåêòèâà òàêèõ ÷àñòèö. Ýòè ñèììåòðèéíûå ñâîéñòâà âîëíîâîé óíêöèè äîëæíû áûòü

n ýëåêòðîíîâ ñ n = 2. Ïðåäïîëîæèì,

èíòåðïðåòèðîâàíû â òåðìèíàõ ðîåâ. Ìû ðàññìîòðèì ñèñòåìó èç îäèíàêîâûìè ñïèíîâûìè ñîñòîÿíèÿìè. Íà÷íåì ñî ñëó÷àÿ

÷òî ýëåêòðîíû èìåþò îäèíàêîâîå ñîñòîÿíèå ñïèíà, òî åñòü âîëíîâàÿ óíêöèÿ òàêîé ñèñòåìû â ñòàíäàðòíîì îðìàëèçìå

Ψ(r1 , r2 )

ãäå

r1 , r2

- êîîðäèíàòû

ïåðâîãî è âòîðîãî ýëåêòðîíîâ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ñâîéñòâó àíòèñèììåòðè÷íîñòè

Ψ(r1 , r2 ) = −Ψ(r2 , r1 ).  ñëó÷àå n ÷àñòèö, êîîðäèíàòû êîòîðûõ r¯ = (r1 , r2 , . . . , rn ) ýòî óñëîâèå çàïèñûâàåòñÿ êàê

ìû îáî-

çíà÷àåì ÷åðåç

Ψ(¯ r) = (−1)σ(π) Ψ(π¯ r) ãäå

σ(π)

îáîçíà÷àåò ÷åòíîñòü ïåðåñòàíîâêè

π.

Åñëè ïîä êîîðäèíàòàìè ÷àñòè-

öû ïîíèìàòü íàáîð ïðîñòðàíñòâåííûõ è ñïèíîâûõ êîîðäèíàò ýòîé ÷àñòèöû, òî àíòèñèììåòðè÷íîñòü íàäî ïîíèìàòü ïî ïîëíîìó íàáîðó êîîðäèíàò. Ïðîñòåéøèé ñïîñîá ãåíåðàöèè àíòèñèììåòðè÷íûõ óíêöèé ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ðàññìàòðèâàòü äåòåðìèíàíòû ñëåäóþùåãî âèäà



 1 D(f1 , f2 , . . . , fn ; r1 , r2 , . . . , rn ) = √ det   n! ãäå âîëíîâûå óíêöèè

fj

f1 (r1 ) f1 (r2 ) . . . f2 (r1 ) f2 (r2 ) . . . ... fn (r1 ) fn (r2 ) . . .

 f1 (rn ) f2 (rn )    fn (rn )

(5.35)

îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó. Ëþáàÿ àíòè-

ñèììåòðè÷íàÿ âîëíîâàÿ óíêöèÿ

n

ïåðåìåííûõ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â

âèäå ðÿäà

Ψ=

l X

λj Dj (f¯j ; r¯)

(5.36)

j

òàêèõ äåòåðìèíàíòîâ ïðè ðàçíûõ âûáîðàõ ñèñòåìû îäíî÷àñòè÷íûõ óíêöèé

f¯j .

Òðåáîâàíèå àíòèñèììåòðè÷íîñòè âîëíîâîé óíêöèè ïî ïîëíîìó íàáîðó êîîðäèíàò (âêëþ÷àÿ ñïèíîâûå) ÿâëÿåòñÿ îòðàæåíèåì ïðèíöèïà çàïðåòà Ïàóëè. Åñëè ïîòðåáîâàòü àíòèñèììåòðè÷íîñòè â ìîìåíò âðåìåíè

t = 0,

òî ðåøåíèå

óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, ñîîòâåòñòâóþùåãî ýòîìó íà÷àëüíîìó óñëîâèþ, áóäåò àíòèñèììåòðè÷íûì è äëÿ ëþáîãî ñëåäóþùåãî ìîìåíòà âðåìåíè, ÷òî âûòåêàåò )|Ψ(0)i. |Ψ(t)i = exp(− iHt h  ñòàíäàðòíîì îðìàëèçìå êâàíòîâîé òåîðèè àíòèñèììåòðè÷íîñòü âîëíî-

èç îáùåé îðìóëû äëÿ ýòîãî ðåøåíèÿ

âûõ óíêöèé äëÿ ñèñòåìû èäåíòè÷íûõ åðìèîíîâ ïðîñòî ïîñòóëèðóåòñÿ.

5.6. ÈÄÅÍÒÈ×ÍÎÑÒÜ ÝËÅÊÒÎÍÎÂ Ñ ÒÎ×ÊÈ ÇÅÍÈß ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍ

Ìû ïîêàæåì, êàê åðìèîííûå âîëíîâûå óíêöèè ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü â îðìàëèçìå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ. Ñíà÷àëà ñäåëàåì îäíî çàìå÷àíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íîñèòåëè îäíî÷àñòè÷íûõ âîëíîâûõ óíêöèé íå ïåðåñåêàþòñÿ. Òîãäà ðîåâîå ïðåäñòàâëåíèå âîëíîâîé óíêöèè

n

ýëåêòðîíîâ áóäåò ýêâèâàëåíòíî

ïðåäñòàâëåíèþ ýòîé óíêöèè â âèäå îäíîãî äåòåðìèíàíòà 5.35. Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî ìû âû÷èñëÿåì ýíåðãèþ ñèñòåìû ñ äàííîé âîëíîâîé óíêöèåé ïî îðìóëå

EΨ =

Z

Ψ∗ (¯ r)HΨ(¯ r)d¯ r.

(5.37)

R

r¯ = (r1 , r2 , . . . , rn ) ñóùåñòâóåò íå áîëåå îäíîãî íàáîðà èíäåêñîâ j1 , j2 , . . . , jn , òàêîãî ÷òî fj1 (r1 )fj2 (r2 ) . . . fjn (rn ) 6= 0, ïîñêîëüêó â ïðîòèâíîì ñëó÷àå íîñèòåëè ýòèõ âîëíîâûõ óíêöèé îêàçàëèñü Òîãäà äëÿ ëþáîãî êîðòåæà çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ

áû ïåðåñåêàþùèìèñÿ. Äàëåå, çíàê âîëíîâîé óíêöèè ïðè âû÷èñëåíèè ýíåðãèè ïî îðìóëå 5.37 íå èãðàåò íèêàêîé ðîëè, òàê êàê îí ïðîñòî ñîêðàùàåòñÿ. Ïîýòîìó âû÷èñëåíèå ïî îðìóëå 5.37 â ñëó÷àå íåïåðåñåêàþùèõñÿ íîñèòåëåé ìîæåò áûòü ïðîäåëàíî òàê, ÷òî êàæäàÿ ÷àñòèöà ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñâîèì ðîåì ýêçåìïëÿðîâ. Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî óñëîâèå íåïåðåñå÷åíèÿ íîñèòåëåé îäíî÷àñòè÷íûõ âîëíîâûõ óíêöèé âñåãäà ìîæåò áûòü óäîâëåòâîðåíî íàäëåæàùèì âûáîðîì çåðíà ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü íîñèòåëè îäíî÷àñòè÷íûõ s âîëíîâûõ óíêöèé fj ïåðåñåêàþòñÿ. Òîãäà ìû ðàçîáüåì êàæäûé èç êóáèêîâ c äåëåíèÿ êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà äëÿ îäíîé ÷àñòèöû íà ñòåé (åñëè

n åñòü

n ìåíüøèõ ÷à-

ñòåïåíü âîñüìåðêè, ýòî áóäóò êóáèêè, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ýòî

ìîæåò áûòü, íàïðèìåð, íåñêîëüêî êóáèêîâ è îäèí ìíîãîãðàííèê, ñîñòàâëåííûé s s s èç êóáèêîâ), êîòîðûå îáîçíà÷èì ÷åðåç c1 , c2 , . . . , cn . Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè s ìû ìîæåì ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû íîñèòåëü óíêöèè fj â êóáèêå c ñîäåðæàëñÿ áû s â cj äëÿ êàæäîãî j = 1, 2, . . . , n.  ðîåâûõ òåðìèíàõ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå ýês çåìïëÿðû ðîÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî ÷àñòèöå j , ïîïàâøèå â êóáèê c , ñîäåðæàëèñü s áû â cj . Åñëè ýòî óñëîâèå íå âûïîëíåíî, ìû âñåãäà ìîæåì ñäâèíóòü ýêçåìïëÿðû êàæäîé ÷àñòèöû íà íåêîòîðîå ðàññòîÿíèå, ìåíüøåå ðåáðà ïåðâîíà÷àëüíûõ êóáèêîâ, òàê ÷òîáû ýòî óñëîâèå âûïîëíèëîñü. Òàêîé ñäâèã íå âûçîâåò íèêàêîãî èçìåíåíèÿ âîëíîâîé óíêöèè, ïðè óñëîâèè ÷òî ìû ñ÷èòàåì çåðíî ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ ðàâíûì ðåáðó

∆x

êóáèêîâ ïåðâîíà÷àëüíîãî ðàçáèåíèÿ.

Ïîñëå òàêîãî ìàëîãî ñäâèãà ïîëîæåíèé ýêçåìïëÿðîâ ìû äîáúåìñÿ òîãî, ÷òîáû íîñèòåëè íàøèõ îäíî÷àñòè÷íûõ âîëíîâûõ óíêöèé íå ïåðåñåêàëèñü. Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèå íå ïåðåñå÷åíèÿ íîñèòåëåé àâòîìàòè÷åñêè âûïîëíÿåòñÿ, åñëè ìû ðàññìàòðèâàåì ðîè ðåàëüíûõ îäíîòèïíûõ ÷àñòèö, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ïî çàêîíó Êóëîíà. Äåéñòâèòåëüíî, êóëîíîâñêèé ïîòåíöèàë áóäåò îòòàëêèâàþùèì è ñêîëü óãîäíî áîëüøèì â òî÷êå ðàñïîëîæåíèÿ êàæäîãî ýêçåìïëÿðà. Ïîýòîìó ñèòóàöèÿ, êîãäà äâà ýêçåìïëÿðà îäíîãî êîðòåæà íàõîäÿòñÿ â îäíîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà, ÿâëÿåòñÿ ïðàêòè÷åñêè íå âåðîÿòíîé. Òàêèì îáðàçîì, ðàññìîòðåíèå îäíîãî äåòåðìèíàíòà

D(f¯; r¯)

ýêâèâàëåíòíî

196 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ ðàññìîòðåíèþ íàøåé ñèñòåìû îäíîòèïíûõ êâàíòîâûõ ÷àñòèö â òåðìèíàõ êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ ïðè îòñóòñòâèè çàïóòàííîñòè.  ýòîì ñëó÷àå, êàê ìû âèäåëè âûøå, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ïðîñòî íàáîð êîðòåæåé, â êîòîðûõ ýêçåìïÿðû èç ðàçíûõ ðîåâ îáúåäèíÿþòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì. Îäíàêî ïðè âçàèìîäåéñòâèè ñîñòîÿíèå áûñòðî ñòàíîâèòñÿ çàïóòàííûì. Ïðè ýòîì âîëíîâàÿ óíêöèÿ ñèñòåìû

n

îäíîòèïíûõ ÷àñòèö äîëæíà èìåòü âèä 5.36.  ðîåâûõ òåðìèíàõ ýòî îçíà÷à-

åò ñëåäóþùåå. Åñëè

L

- ÷èñëî âñåõ ýêçåìïëÿðîâ â ðîå, ñîîòâåòñòâóþùåì îäíîé 1 2 l ÷àñòèöå j , ìû ðàçîáúåì ýòî êîëè÷åñòâî íà l ìíîæåñòâ Sj , Sj , . . . , Sj , òàê ÷òî èõ 2 îáùèå ÷èñëà ýëåìåíòîâ íàõîäÿòñÿ â òàêîì æå ñîîòíîøåíèè, êàê è ÷èñëà |λj | èç ðàâåíñòâà 5.36. Òåïåðü ñîñòàâèì êîðòåæè òàêèì îáðàçîì, ÷òî îíè áóäóò äåëèòü-

Ïðè ýòîì êîðòåæ òèïà k áóäåò ñîñòàâëåí èç ýêçåìïëÿðîâ, S1k , S2k , . . . , Snk , ïðè÷åì ýòè ýêçåìïëÿðû èç ìíîæåñòâ Sjk áóäóò âûáèðàòüñÿ ñëó÷àéíî. Ýòî â òî÷íîñòè ñîîòâåòñòâóåò ïðàâèëó îðìèðî-

ñÿ íà òèïû

1, 2, . . . , l.

ïîïàâøèõ â ìíîæåñòâà

âàíèÿ êîðòåæåé äëÿ îäíîãî äåòåðìèíàíòà, ïðèâåäåííîìó âûøå. Ìû âèäèì, ÷òî â ìåòîäå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ íåò íåîáõîäèìîñòè ñïåöèàëüíî ñëåäèòü çà âûïîëíåíèåì ïðèíöèïà çàïðåòà Ïàóëè. Îí âûïîëíåí äëÿ ëþáûõ îäíîòèïíûõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö â ñèëó îïðåäåëåíèÿ äèíàìè÷åñêîé äèóçèè. Ïðè ýòîì ïîñòðîåíèå êîðòåæåé ïî äåòåðìèíàíòíîé çàïèñè ïðîèñõîäèò ïî ïðîñòîìó ïðàâèëó, êîòîðîå îáîáùàåò ñëó÷àé îäíî äåòåðìèíàíòíîãî ñîñòîÿíèÿ 5.35. Ñîñòîÿíèÿ, âûðàæàþùèåñÿ îäíèì äåòåðìèíàíòîì âèäà 5.35, ñ÷èòàþòñÿ íå çàïóòàííûìè â îêîâñêîì ïðîñòðàíñòâå ÷èñåë çàïîëíåíèÿ. Ïðè îïðåäåëåííîì íàìè ñîîòâåòñòâèè ìåòîäà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ è ãèëüáåðòîâà îðìàëèçìà, ñîñòÿíèÿ, ñîîòâåòñâóþùèå 5.35 â ðîåâîì ïðåäñòàâëåíèè, òàêæå áóäóò íå çàïóòàííûìè. Òî åñòü íå çàïóòàííûå ñîñòîÿíèÿ â ãèëüáåðòîâîì è îêîâñêîì îðìàëèçìå ïåðåõîäÿò â îäèí è òîò æå êëàññ ñîñòîÿíèé â îðìàëèçìå ìåòîäà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, â ìåòîäå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ ÷àñòèöû âñåãäà ïðåäñòàâëÿþòñÿ ñâîèìè ðîÿìè ýêçåìïëÿðîâ, êîòîðûå îáúåäèíåíû â êîðòåæè, ñîîòâåòñòâóþùèå êâàíòîâûì "ìèðàì". Ïîýòîìó èäåíòè÷íîñòü îäíîòèïíûõ ÷àñòèö çäåñü ÿâëÿåòñÿ âîïðîñîì ñîãëàøåíèÿ ðàäè óäîáñòâà õðàíåíèÿ â ïàìÿòè áîëüøèõ ìàññèâîâ òàêèõ ÷àñòèö, è íå áîëåå òîãî. Èäåíòè÷íîñòü îäíîòèïíûõ ÷àñòèö, òàêèì îáðàçîì, íå ÿâëÿåòñÿ áàçèñíûì ïðèíöèïîì êîíñòðóêòèâíîãî âàðèàíòà êâàíòîâîé òåîðèè. Ýòî îçíà÷àåò âîçìîæíîñòü ðàññìîòðåíèÿ íåêîòîðûõ ÷àñòèö, ïðèíàäëåæàùèõ îäíîìó òèïó, ðàçëè÷íûì îáðàçîì. Ìû âåðíåìñÿ ê îáñóæäåíèþ äàííîãî âîïðîñà â ñëåäóþùåé ãëàâå.

5.7

Ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ äëÿ êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè

Óíèâåðñàëüíîñòü îðìàëèçìà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ òðåáóåò ïåðåîðìóëèðîâêè êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè íà åãî ÿçûêå. Ýòîãî ïîêà íå ñäåëàíî. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ýòî ñäåëàòü, íàäî òî÷íî îïðåäåëèòü, êàêèì èìåííî îáðàçîì íàäî

5.7. ÌÅÒÎÄ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß ÄËß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÝËÅÊÒÎÄÈÍÀÌÈÊÈ

ïðåäñòàâëÿòü óíäàìåíòàëüíûé ïðîöåññ ÊÝÄ. Ýòîìó ïîñâÿùåí äàííûé ïàðàãðà.  íåì ìû ïðèâåäåì äîâîäû â ïîëüçó òîãî, ÷òî òðåáóåìûé ïåðåâîä ÊÝÄ âîçìîæåí ñ ïîëíûì ñîõðàíåíèåì èçëîæåííîé âûøå ñõåìû êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ äëÿ ìíîãèõ êâàíòîâûõ ÷àñòèö. Ïåðåâîä ÊÝÄ íà ÿçûê êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ äîëæåí ñîõðàíÿòü ãëàâíûå èíòóèòèâíûå ïðåäñòàâëåíèÿ î åå ïðîöåññàõ è èíòåðïðåòèðîâàòü èçâåñòíûå îñîáåííîñòè ÊÝÄ: - ïðåäñòàâëåíèå î îòîíàõ êàê î ÷àñòèöàõ, äâèæóùèõñÿ ñ ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòüþ, - ðàññìîòðåíèå îòîíîâ â èìïóëüñíî - ýíåðãåòè÷åñêîì áàçèñå ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé, - ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé îñíîâíîãî ýëåêòðîäèíàìè÷åñêîãî ïðîöåññà: âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû ñ îòîíîì, äàþùåãî óðàâíåíèå Äèðàêà äëÿ ÷àñòèöû â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå.

5.7.1 îåâîå ïðåäñòàâëåíèå äëÿ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå îåâîå ïðåäñòàâëåíèå çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, äàííîå â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàå, ïîëíîñòüþ ñîõðàíÿåòñÿ. Ôîòîíû äîëæíû ïðåäñòàâëÿòüñÿ â âèäå ñïåöèàëüíîãî ìíîæåñòâà

S = {∫1 , ∫2 , . . . , ∫l }

ýêçåìïëÿðîâ îòîíà. Òàêèì îáðàçîì, îòîíû íå

äîëæíû âûäåëÿòüñÿ ïðè ïðåäñòàâëåíèè ñèñòåìû ÷àñòèö êàê îòäåëüíûå ÷àñòèöû, à âõîäÿò â îïèñàíèå ñèñòåìû òîëüêî â êà÷åñòâå ýêçåìïëÿðîâ. Òàêèå îòîíû íàçûâàþòñÿ âèðòóàëüíûìè, è îáðàçóþò îáúåêò, íàçûâàåìûé â ÊÝÄ ýëåêòðîìàã-

∫j ǫ¯j .

íèòíûì ïîëåì. Êàæäûé ýêçåìïëÿð îòîíà âåêòîð èìïóëüñà

p¯j ,

è âåêòîð ïîëÿðèçàöèè

èìååò êîîðäèíàòû

r¯j ,

âðåìÿ

tj ,

Ïîä ðåàëüíûì îòîíîì ìû áóäåì ïîíèìàòü íå ÷àñòü ñèãíàòóðû ñèñòåìû, à íàáîð êîðòåæåé ýêçåìïëÿðîâ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, ïðåäñòàâëÿþùèé êâàíòîâîå ñîñòîÿíèå òèïà W, îòîáðàííîå ïî ïðàâèëàì, ñïåöèàëüíî îðìóëèðóåìûì äëÿ äàííîé áîëüøîé ñèñòåìû. Ýòè ïðàâèëà äîëæíû îðìàëèçîâûâàòü ïîíÿòèå "ùåë÷êà îòîäåòåêòîðà"è íå ÿâëÿþòñÿ, òàêèì îáðàçîì, óíèâåðñàëüíûìè äëÿ âñåõ ñèñòåì. Òî åñòü ïîíÿòèå ðåàëüíîãî îòîíà - íå óíèâåðñàëüíîå, â îòëè÷èå îò ïîíÿòèÿ ýêçåìïëÿðà, à çàâèñèò îò êîíêðåòíîé ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû, ÷àñòíûå îñîáåííîñòè êîòîðîé è îïðåäåëÿþò, êàêèå èìåííî áóäóò â íåé ðåàëüíûå îòîíû. Òàêèì îáðàçîì, â ñèãíàòóðó ðîåâîé âåðñèè ÊÝÄ âõîäèò ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, ðàçäåëåííîå íà ýêçåìïëÿðû îòîíîâ. Èìåííî ýòî ïîëå è ýêçåìïëÿðû îòîíîâ ÿâëÿþòñÿ, òàêèì îáðàçîì, óíäàìåíòàëüíûìè îáúåêòàìè, à ðåàëüíûå îòîíû òàêèìè îáúåêòàìè íå ÿâëÿþòñÿ. åàëüíûå, òî åñòü, äåòåêòèðóåìûå êàê îòäåëüíûå ÷àñòèöû, îòîíû, îïðåäåëÿþòìñÿ ðàçáèåíèåì ïîëÿ íà êâàíòû, êîòîðîå, â ññâîþ î÷åðåäü, çàâèñèò îò ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû, âêëþ÷àÿ äåòåêòîð. Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî âåðîÿòíîñòü îáíàðóæåíèÿ êîíêðåòíîãî îòîíà â íåêîòîðîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà - âðåìåíè íå èìååò íèêàêîãî ñìûñëà. Ñìûñë èìååò òîëüêî âîïðîñ î òîì, ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ ïðîèçîéäåò ñîáûòèå, êîòîðîå õà-

198 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ ðàêòåðèçóåòñÿ ïðèìåíèòåëüíî ê äàííîé ñèñòåìå çàðÿæåííûõ ÷àñòèö è ïîëÿ êàê "ùåë÷îê îòî äåòåêòîðà". Ýòî ñîáûòèå íå âêëþ÷àåò íåïîñðåäñòâåííî ýêçåìïëÿðû îòîíîâ. Îíî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîÿâëåíèå ñîñòîÿíèÿ W- òèïà çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, êîòîðîå â äàííîé ñèñòåìå èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê "ùåë÷îê òî åñòü âûçûâàþùåå êîëåáàíèå âîçäóõà, êîòîðîîå ìîæåò óñëûøàòü ÷åëîâåê, åñëè ìû âêëþ÷èëè áû â ìîäåëü è êîëåáëþùèåñÿ ìîëåêóëû âîçäóõà, è åãî ñàìîãî. Îïðåäåëåíèå îáùèõ êðèòåðèåâ òîãî, ÷òî íàäî ñ÷èòàòü "ùåë÷êîì"ÿâëÿåòñÿ èíòåðåñíûì âîïðîñîì, êîòîðûé íóæäàåòñÿ â îñîáîì èññëåäîâàíèè. Ýòî âîçìîæíî òîëüêî ïîñëå àêòè÷åñêîé ðåàëèçàöèè îïèñûâàåìûõ â ýòîé êíèãå ìîäåëåé. Ïîêà ìû òîëüêî êîíñòàòèðóåì, ÷òî íàëè÷èå "ùåë÷êà"ñóùåñòâåííûì îáðàçîì çàâèñèò îò âûáðàííîé ñèñòåìû. Ïîýòîìó îòîíû, äåòåêòèðóåìûå íåêîòîðûì òèïîì óñòðîéñòâ, íå îáÿçàíû ñîâïàäàòü ñ îòîíàìè, äåòåêòèðóåìûìè äðóãèì òèïîì óñòðîéñòâ. Îäíàêî ýêçåìïëÿðû îòîíîâ ïðîÿâëÿþò ñåáÿ íå òîëüêî â âèäå ùåë÷êîâ îòîäåòåêòîðà, íî è íåïîñðåäñòâåííî âëèÿÿ íà äèíàìèêó çàðÿæåííûõ ÷àñòèö ÷åðåç óíäàìåíòàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå, ðîåâîå îïèñàíèå êîòîðîãî äàåòñÿ íèæå. Ýòî âëèÿíèå äàåò óðàâíåíèå Äèðàêà äëÿ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû â ýëåêòðîìàãíèòíîì ïîëå, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ àíñàìáëåì ýêçåìïëÿðîâ îòîíîâ, à â êëàññè÷åñêîì ïðåäåëå  óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà è âûòåêàþùèå èç íèõ çàêîíû êëàññè÷åñêîé ýëåêòðîäèíàìèêè. Êîðòåæè â ðîåâîì ïðåäñòàâëåíèè ÊÝÄ äîëæíû èìåòü âèä:

s1j1 , s2j2 , . . . , snjn , ∫k1 , ∫k2 , . . . , ∫kd , ãäå

(5.38)

sm jm - jm -é ýêçåìïëÿð çàðÿæåííîé ÷àñòèöû m, ∫kd - d-é ýêçåìïëÿð îòîíà. Òî

åñòü ýêçåìïëÿðû ÷àñòèö â êîðòåæàõ ñîõðàíÿþò ñâîþ ïðèíàäëåæíîñòü ê îïðåäåëåííîé ÷àñòèöå, ýêçåìïëÿðû îòîíà - íåò. Èíäèâèäóàëüíîñòü ýêçåìïëÿðîâ âñåõ òèïîâ ñîõðàíÿåòñÿ. Ñîõðàíåíèå èíäèâèäóàëüíîñòè ýêçåìïëÿðîâ ïîçâîëÿåò,

â ïðèíöèïå, ïðè íåîáõîäèìîñòè ââåñòè ïîíÿòèå îòîíà êàê ñïåöèàëüíîé êâàíòîâîé ÷àñòèöû â ñèãíàòóðó ðîåâîãî îïèñàíèÿ ÊÝÄ. Îäíàêî íà ýòîì ïóòè ñðàçó æå âñòðåòèòñÿ ñåðüåçíàÿ òðóäíîñòü, ïîñêîëüêó îòîí ïåðåìåùàåòñÿ ñ ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòüþ ïåðåìåùåíèÿ ýêçåìïëÿðîâ ðîÿ. Ïîýòîìó äëÿ îòîíà, åñëè ìû åãî ðàññìîòðèì êàê êâàíòîâóþ ÷àñòèöó, áóäåò íåâîçìîæíî îïèñàòü èíòåðåðåíöèîííóþ êàðòèíó ñ ïîìîùüþ äèóçèîííîãî ìåõàíèçìà, êàê ýòî äåëàåòñÿ äëÿ ÷àñòèöû ñ íåíóëåâîé ìàññîé

14

. Èíòåðåðåíöèÿ îòîíîâ ìîæåò áûòü îïèñà-

14 Åñëè, êîíå÷íî, íå ââîäèòü ïîíÿòèå ýèðà. Ìû ìîãëè áû ýòî ñäåëàòü, ñ÷èòàÿ, ÷òî âàííà ýêçåìïëÿðîâ ýèðà çàâèñèò îò ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû çàðÿæåííûõ ÷àñòèö. Íàïðèìåð, ìû ìîãëè áû ñ÷èòàòü, ÷òî ýòà âàííà â äåéñòâèòåëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ íèòÿìè, ñâÿçûâàþùèìè äàííûå ÷àñòèöû.  ðàìêàõ àëãîðèòìè÷åñêîãî ïîäõîäà ýòî íå âûçûâàåò íèêàêèõ ïðîáëåì, ïîñêîëüêó òàêîé ýèð íå èìååò íèêàêîãî èçè÷åñêîãî ñìûñëà, íàïðèìåð, îí íå áóäåò âûçûâàòü òîðìîæåíèå ñâåòà â ñèëó òîãî ÷òî âðåìÿ, ïîòðà÷åííîå íà îáìåí èìïóëüñàìè ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè îòîíîâ è ýêçåìïëÿðàìè ýèðà ÿâëÿåòñÿ àäìèíèñòðàòèâíûì, à íå èçè÷åñêèì. Âñå ýòî áóäåò çàêîííûì òîëüêî ïðè îäíîì óñëîâèè: òàêîé ïðèåì äîëæåí äàòü ýåêòèâíûé ìîäåëèðóþùèé àëãîðèòì. Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå îòîíîâ, íàïðèìåð, äàåò ìîäåëü èíòåðåðåíöèè ñâåòà íà ùåëÿõ, òàê æå, êàê è äëÿ ìàññèâíîé ÷àñòèöû.

5.7. ÌÅÒÎÄ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß ÄËß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÝËÅÊÒÎÄÈÍÀÌÈÊÈ

íà òîëüêî ÷åðåç èõ âçàèìîäåéñòâèå ñ çàðÿæåííûìè ÷àñòèöàìè, è íèêàê èíà÷å. Òî åñòü îòîí íåëüçÿ ïðåäñòàâëÿòü êàê êâàíòîâóþ ÷àñòèöó; îí âîçíèêàåò òîëüêî ïðè äåòåêòèðîâàíèè êàê ñïåöèàëüíîå êîëåáàíèå çàðÿæåííûõ ÷àñòèö. Òåì íå ìåíåå, ýêçåìïëÿðû îòîíà ÿâëÿþòñÿ óíäàìåíòàëüíûìè îáúåêòàìè, êîòîðûå íåïîñðåäñòâåííî âëèÿþò íà äèíàìèêó ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû, è ó÷àñòâóþò â ïðîöåññå îòáîðà ìíîãî÷àñòè÷íûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé. Ýòî â òî÷íîñòè ñîîòâåòñòâóåò òîìó ñïîñîáó ïðåäñòàâëåíèÿ îáîáùåííûõ W- ñîñòîÿíèé, êîòîðûé îïèñàí âûøå.  ìåòîäå îòáîðà êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé íàäî âíåñòè îäíî ñóùåñòâåííîå äîáàâëåíèå, êîòîðîå êàñàåòñÿ ýêçåìïëÿðîâ îòîíîâ. Ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äâà ýêçåìïëÿðà îòîíîâ

∫1 è ∫2 , áëèçêè, åñëè èõ èìïóëüñû è ýíåðãèè áëèçêè. Òî åñòü

ýòî ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî îòîíû ðàññìàòðèâàþòñÿ â èìïóëüñíî-ýíåðãåòè÷åñêîì áàçèñå.  îñòàëüíîì âñÿ ñõåìà îòáîðà êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ìíîãèõ ÷àñòèö è ïîëÿ, îñíîâàííàÿ íà ãðóïïèðîâêå êîðòåæåé âèäà 5.38, ïîëíîñòüþ ñîõðàíÿåòñÿ. Òàêîå äîïîëíåíèå íàøåé ñõåìû äëÿ ñëó÷àÿ ÊÝÄ íåëüçÿ ñ÷èòàòü ñóùåñòâåííûì. Ïîñêîëüêó ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ýêçåìïëÿðîâ îòîíîâ îãðîìíà ïî ñðàâíåíèþ ñî ñðåäíåé ñêîðîñòüþ ïåðåìåùåíèÿ ýêçåìïëÿðîâ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, òî åñëè èñïîëüçîâàòü íàøó ñòàðóþ ñõåìó, îñíîâàííóþ íà áëèçîñòè â êîîðäèíàòíîâðåìåííîì ñìûñëå, òî äëÿ îòîíîâ íàäî áûëî áû âûáèðàòü êóáèêè ïðîñòðàíñòâà, çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäÿùèå òå, ÷òî ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ ðàçáèåíèÿ êîíèãóðàöèîííûõ ïðîñòðàíñòâ äëÿ ÷àñòèö ñ ìàññîé. Ó÷èòûâàÿ òî, ÷òî ìàññèâíûå ÷àñòèöû ïî÷òè íå ñìåùàþòñÿ çà âðåìÿ

∆t

â òå÷åíèå êîòîðîãî ïðîèñõîäèò ýëå-

ìåíòàðíûé àêò ðàññåÿíèÿ, òî åñòü ñìåùàþòñÿ òîëüêî ýêçåìïëÿðû îòîíîâ, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî òàêîé ìåòîä ãðóïïèðîâêè ñîîòâåòñòâóåò èìåííî ãðóïïèðîâêå ïî çíà÷åíèÿì èìïóëüñîâ.

5.7.2 îåâîå îïèñàíèå óíäàìåíòàëüíûõ ïðîöåññîâ ÊÝÄ àññìîòðèì òåïåðü ðîåâîå îïèñàíèå ãëàâíîãî ïðîöåññà ÊÝÄ: ðîæäåíèå  ïîãëîùåíèå îòîíà çàðÿæåííîé ÷àñòèöåé áåç ñïèíà. Àìïëèòóäà òàêîãî ïðîöåññà, ñîãëàñíî [14℄ ðàâíà

λ=

√

4πie(p1 + p2 ) · ǫ ãäå e - çàðÿä ÷àñòèöû, p1 , p2 - èìïóëüñ ǫ - âåêòîð ïîëÿðèçàöèè îòîíà.

åå äî è ïîñëå ðîæäåíèÿ (ïîãëîùåíèÿ) îòîíà,

Ýòîò ïðîöåññ ïðîèñõîäèò òîëüêî ïðè óñëîâèè ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè-èìïóëüñà:

p1 = p2 + q

ãäå

q

åñòü èìïóëüñ îòîíà. Ìû ïðèìåì, ÷òî îñü âðåìåíè íàïðàâëåíà

òàê êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå ïðè ðîæäåíèè îòîíà, è â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè ïðè åãî ïîãëîùåíèè. Ýòî ýêâèâàëåíòíî òîìó, ÷òî ïðè ðîæäåíèè ìû èìååì

p1 = p2 + q ,

à ïðè ïîãëîùåíèè

p1 = p2 − q .

Ïðè ðîåâîì îïèñàíèè ýòî ïðàâèëî âû÷èñëåíèÿ àìïëèòóä íàäî òðàêòîâàòü òàê. Âñÿêèé ýêçåìïëÿð çàðÿæåííîé ÷àñòèöû ïîðîæäàåò ýêçåìïëÿð îòîíà ïðè ñîáëþäåíèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè  èìïóëüñà è ñ ïîëÿðèçàöèåé, íàïðàâ2 ëåííîé âäîëü âåêòîðà p1 + p2 ñ âåðîÿòíîñòüþ |λ| .

àññìîòðèì íåìíîãî áîëåå ñëîæíûé ïðîöåññ âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ äâèæó-

ùèõñÿ çàðÿäîâ ñ ïîìîùüþ îáìåíà âèðòóàëüíûì îòîíîì. Îäíà çàðÿæåííàÿ

200 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ

èñ. 5.3: îæäåíèå (ïîãëîùåíèå) îòîíà çàðÿæåííîé ÷àñòèöåé

5.7. ÌÅÒÎÄ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß ÄËß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÝËÅÊÒÎÄÈÍÀÌÈÊÈ

èñ. 5.4: Âçàèìîäåéñòâèå ÷åðåç îáìåí îòîíîì

÷àñòèöà èñïóñêàåò âèðòóàëüíûé îòîí, êîòîðûé çàòåì ïîãëîùàåòñÿ äðóãîé ÷àñòèöåé. Àìïëèòóäà òàêîãî ïðîöåññà ðàâíà

√ 3 +p4 ) λ2 = (e 4π)2 (p1 +p2q)(p 2

è îí ïðîèñõîäèò

òîëüêî ïðè ñîáëþäåíèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè-èìïóëüñà. Ýòî ïðîèñõîäèò èç-çà òîãî, ÷òî àìïëèòóäû â ÷àñòÿõ äèàãðàììû äîëæíû ïåðåìíîæàòüñÿ, à àì2 ïëèòóäà ñâîáîäíîãî äâèæåíèÿ îòîíà ðàâíà 1/q .  ðîåâîì ïðåäñòàâëåíèè ýòîò ïðîöåññ îçíà÷àåò áóêâàëüíî òî, ÷òî äâà ýêçåìïëÿðà çàðÿæåííûõ ÷àñòèö îáìåíèâàþòñÿ ýêçåìïëÿðîì îòîíà è âåðîÿòíîñòü 2 òàêîãî ñîáûòèÿ ðàâíà |λ2 | . Çàìåòèì, ÷òî ìû äîëæíû ó÷èòûâàòü íå òîëüêî ïîïå-

ðå÷íûå îòîíà, ó êîòîðûõ ïîëÿðèçàöèÿ

ǫ

ïåðïåíäèêóëÿðíà âåêòîðó èìïóëüñà,

íî è ïðîäîëüíûå îòîíû, ó êîòîðûõ ïîëÿðèçàöèÿ åìó ïàðàëëåëüíà (ýòî òî æå ñàìîå, ÷òî âêëàä âðåìåííûõ îòîíîâ, ó êîòîðûõ ïîëÿðèçàöèÿ ïàðàëëåëüíà îñè âðåìåíè, ïîñêîëüêó äëÿ îòîíà êîîðäèíàòà, íàïðàâëåííàÿ âäîëü åãî âåêòîðà èìïóëüñà ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû

c

åñòü âðåìÿ). Âêëàä îòîíîâ âòîðîãî òè-

ïà äàñò êóëîíîâñêîå ïîëå ñ ìãíîâåííûì âçàèìîäåéñòâèåì, à âêëàä ïîïåðå÷íûõ îòîíîâ  çàïàçäûâàþùèé ïîòåíöèàë. Åñëè êóëîíîâñêîå ïîëå äëÿ íàøèõ ýê-

202 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ çåìïëÿðîâ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö ó÷èòûâàåòñÿ êàê ïîòåíöèàë

1/r ,

òî ìû äîëæíû

ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ýêçåìïëÿðû ïîïåðå÷íûõ îòîíîâ ñ âûïèñàííûìè âåðîÿòíîñòÿìè óíäàìåíòàëüíûõ ïðîöåññîâ. Åñëè ýêçåìïëÿðîâ îòîíîâ äîñòàòî÷íî ìíîãî, òàêàÿ ìîäåëü äîëæíà äàâàòü íàì óðàâíåíèå Äèðàêà, òî åñòü â êëàññè÷åñêîì ïðåäåëå  óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà. Òåïåðü ïîäðîáíåå ðàññìîòðèì âîïðîñ î òîì, êàê ïðîèñõîäèò îáúåäèíåíèå ýêçåìïëÿðîâ ÷àñòèö è îòîíîâ â êîðòåæè ðîåâîãî îðìàëèçìà. Òàêèå êîðòåæè äîëæíû òåïåðü èìåòü âèä 5.38. Âûøå ìû âèäåëè, ÷òî â ñèñòåìå êîîðäèíàò òèïà ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ óñëîâèåì óíäàìåíòàëüíî âçàèìîäåéñòâèÿ ÿâëÿåòñÿ íàõîæäåíèå âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö â îäíîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà  âðåìåíè, òî åñòü ó íèõ äîëæíû ñîâïàñòü ïðîñòðàíñòâåííî  âðåìåííûå êîîðäèíàòû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî àäìèíèñòðàòèâíîå âðåìÿ ó äàííûõ ÷àñòèö áóäåò îäèíàêîâî â õîäå âñåé ðåàêöèè ðàññåÿíèÿ, òîãäà êàê êîîðäèíàòû äîëæíû èçìåíÿòüñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ èõ ñêîðîñòÿìè. Èíûìè ñëîâàìè, ìû ìîæåì ñîðìóëèðîâàòü òðåáîâàíèå ê êîðòåæàì ðîåâîãî îðìàëèçìà ÊÝÄ:

 êîðòåæàõ ðîåâîãî îðìàëèçìà ÊÝÄ èíäèâèäóàëüíûå âðåìåíà âñåõ ýêçåìïëÿðîâ äîëæíû îòëè÷àòüñÿ íå áîëåå ÷åì íà âðåìÿ

∆x/c,

ãäå

∆x

∆t =

åñòü ðàññòîÿíèå ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè â ïðîñòðàíñòâå.

Òàêèì îáðàçîì, ïàðàìåòð èíäèâèäóàëüíîãî âðåìåíè â ýêçåìïëÿðàõ 1 sj1 , s2j2 , . . . , snjn , ∫k1 , ∫k2 , . . . , ∫kd äîëæåí áûòü îäèíàêîâûì. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âçàèìîäåéñòâóþùèå ÷àñòèöû ñóùåñòâóþò òîëüêî â îäíîì âðåìåíè; åñëè èíäèâèäóàëüíîå âðåìÿ ó ýêçåìïëÿðîâ ðàçëè÷íî, îíè íå ñìîãóò âçàèìîäåéñòâîâàòü âîîáùå. Òî åñòü êîðòåæè ÊÝÄ èìåþò âèä

C¯1 (t1 ), C¯2 (t2 ), . . ., òàê

÷òî êàæäîìó èç íèõ

ñîîòâåòñòâóåò ñâîå çíà÷åíèå àäìèíèñòðàòèâíîãî ïàðàìåòðà âðåìåíè. Îñòàëîñü ïîêàçàòü, êàê âûáèðàþòñÿ èìïóëüñû

p1 , p2

â òîì ñëó÷àå, êîãäà ýê-

çåìïëÿðû ëèáî ñòîÿò íà ìåñòå, ëèáî èìåþò ìàêñèìàëüíóþ âîçìîæíóþ ñêîðîñòü. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî óñðåäíÿòü èõ èìïóëüñ ïî âðåìåíè, òî åñòü ñîõðàíÿòü èñòîðèþ êàæäîãî ýêçåìïëÿðà ïî âñåì çíà÷åíèÿì àäìèíèñòðàòèâíîãî âðåìåíè:

t1 , t2 , . . .. Åñòåñòâåííî,

ýêçåìïëÿð, âçÿòûé â äðóãîé ìîìåíò âðåìåíè, îðìàëüíî

óæå íå ÿâëÿåòñÿ òåì æå. Ïîýòîìó ìû äîëæíû ââåñòè èíäèâèäóàëüíûå ìåòêè äëÿ êàæäîãî ýêçåìïëÿðà òàê, ÷òîáû ïðè ñîâïàäåíèè ìåòîê ó ðàçíûõ ýêçåìïëÿðîâ îíè ñ÷èòàëèñü áû îäíèì è òåì æå ýêçåìïëÿðîì, íî âçÿòûì â ðàçíûå ìîìåíòû àäìèíèñòðàòèâíîãî âðåìåíè. Åñëè ýòî  ýêçåìïëÿðû îòîíà, òî èõ êîîðäèíàòû äîëæíû ñîîòâåòñòâîâàòü åãî äâèæåíèþ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà âäîëü îñè åãî èìïóëüñà, åñëè ýòî  ýêçåìïëÿðû çàðÿæåííîé ÷àñòèöû, äîëæíî áûòü àíàëîãè÷íîå ñîîòâåòñòâèå. Òåïåðü íàäî íàëîæèòü íà êîðòåæè ÊÝÄ ïîñëåäíåå åñòåñòâåííîå óñëîâèå: ñîõðàíåíèå èíäèâèäóàëüíîñòè ñàìèõ êîðòåæåé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè ó äâóõ êîðòåæåé

C¯1

è

C¯2

åñòü ýêçåìïëÿðû ñ îäíîé èíäèâèäóàëüíîé ìåòêîé, òî âñå èõ 1 ýêçåìïëÿðû èìåþò ïîïàðíî ñîâïàäàþùèå ìåòêè, òî åñòü ìåòêè s1 â îáîèõ êîð2 òåæàõ äîëæíû ñîâïàäàòü, ìåòêè s2 â îáîèõ êîðòåæàõ äîëæíû ñîâïàäàòü, è ò.ä. Òî åñòü òàêèå êîðòåæè ÿâëÿþòñÿ ïðîñòî îäíèì è òåì æå êîðòåæåì ýêçåìïëÿðîâ, íî âçÿòûì â ðàçíûå âðåìåíà àäìèíèñòðàòèâíîãî âðåìåíè.

5.7. ÌÅÒÎÄ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß ÄËß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÝËÅÊÒÎÄÈÍÀÌÈÊÈ

Òàêèì îáðàçîì, â ðåçóëüòàòå âñåãî ìû èìååì òàêóþ êàðòèíó. Êîðòåæè ÊÝÄ ìîæíî ñãðóïïèðîâàòü íà ãðóïïû âèäà

C¯1 (t1 ), C¯2 (t1 ), . . . , C¯1 (t2 ), C¯2 (t2 ), . . . , ..., C¯1 (tl ), C¯2 (tl ), . . . , ãäå

Cj

C¯d (t1 ), C¯d (t2 ), ..., C¯d (tl ),

(5.39)

åñòü êîðòåæ ñ ïîñòîÿííûìè ÷ëåíàìè, âçÿòûé â ðàçíûå ìîìåíòû âðåìåíè

è ýëåìåíòû ðàçíûõ êîðòåæåé

Cj

íå ïåðåñåêàþòñÿ (èìåþò ðàçíûå èíäèâèäóàëü-

íûå ìåòêè). Òåïåðü ìû ìîæåì óñðåäíÿòü èìïóëüñ ïî âðåìåíè äëÿ êàæäîãî ýêçåìïëÿðà, è âûðàæåíèå äëÿ âåðîÿòíîñòåé óíäàìåíòàëüíûõ ïðîöåññîâ ïðèîáðåòàåò ñìûñë. Îòìåòèì, ÷òî â òå÷åíèå âñåãî àäìèíèñòðàòèâíîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè, íà êîòîðîì ïðîèñõîäèò ðàññìàòðèâàåìàÿ ðåàêöèÿ, íàäî âûáðàòü òîëüêî îäèí ìîìåíò èñïóñêàíèÿ èëè ïîãëîùåíèÿ îòîíà. Ìû ìîæåì òàêæå ðàññìîòðåòü ïðîöåññû âûñøèõ ïîðÿäêîâ, êîãäà îäíîâðåìåííî èñïóñêàåòñÿ èëè ïîãëîùàåòñÿ äâà, òðè èëè áîëåå ýêçåìïëÿðîâ îòîíîâ. Ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè òàêæå ïîëó÷àþòñÿ èç àìïëèòóä ýòèõ ïðîöåññîâ.

5.7.3 Ïðîöåäóðà îòáîðà êâàíòîâûõ ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé ñ ó÷åòîì îòîíîâ Òåïåðü ìû ìîæåì ñîðìóëèðîâàòü ïðîöåäóðó îòáîðà ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñîñòîÿíèé ñ ó÷åòîì îòîíîâ. îé ÊÝÄ èìååò ó íàñ âèä 5.39. Áóäåì ãðóïïèðîâàòü êîðòåæè ýòîãî ðîÿ â ãðóïïû

G1 , G1 , . . . , Gz .

Ïðè ýòîì â îäíó ãðóïïó ïîïàäóò òå

è òîëüêî òå êîðòåæè, êîòîðûå âîøëè â îäíó êëåòêó ðàñøèðåííîãî êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà, âêëþ÷àþùåãî â ñåáÿ ñîñòîÿíèÿ âñåõ ðàññìàòðèâàåìûõ ÷àñòèö è îòîíîâ.  êîíèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå äîëæíî òàêæå áûòü èçìåðåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ïîëÿðèçàöèè îòîíîâ. Åñëè ìû õîòèì ó÷åñòü òàêæå è ñïèíû çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, êîíèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî äîëæíî ñîäåðæàòü òàêæå èçìåðåíèÿ äëÿ âñåõ ó÷àñòâóþùèõ ñïèíîâ. Òåïåðü ìû ìîæåì ïðèìåíèòü îïèñàííóþ âûøå ïðîöåäóðó îòáîðà ìíîãî÷àñòè÷íûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ñ ó÷åòîì ÊÝÄ. Àäìèíèñòðàòèâíîå âðåìÿ ïðè ýòîì áóäåò âåñòè ñåáÿ êàê ïðîñòðàíñòâåííàÿ êîîðäèíàòà. åçþìèðóÿ âñå âûøåñêàçàííîå, øàã ýâîëþöèè ñîñòîÿíèé çàðÿæåííûõ ÷àñòèö è ïîëÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ìû ñîâåðøàåì ïðåîáðàçîâàíèå íàøåãî ðîÿ, ñîîòâåòñòâóþùåå óíèòàðíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ, îòâå÷àþùåìó äàííîìó óíäàìåíòàëüíîìó âçàèìîäåéñòâèþ, êàê óêàçàíî âûøå, à çàòåì ïðèìåíÿåì ïðîöåäóðó îòáîðà. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü

Q1 −→ Q2 −→ . . . −→ Qk

(5.40)

òàêèõ øàãîâ ÿâëÿåòñÿ ìîäåëüþ ýâîëþöèè ñèñòåìû çàðÿæåííûõ ÷àñòèö è ïîëÿ â ìåòîäå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ äëÿ ÷àñòèö áåç ñïèíîâ.

204 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ Â ñëó÷àå ÷àñòèö ñî ñïèíîì èõ âîëíîâàÿ óíêöèÿ áóäåò çàâèñåòü òàêæå îò ñïèíà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû äîëæíûí äîáàâèòü ê êîíèãóðàöèîííîìó ïðîñòðàíñòâó ñïèíîâîå èçìåðåíèå, è ïåðåîðìóëèðîâàòü íàø ðåöåïò äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ äîñëîâíî.

5.7.4 Îïèñàíèå õèìè÷åñêîé àññîöèàöèè ñ íåÿâíûì ó÷åòîì îòîíîâ Èçâåñòíî ìíîæåñòâî ðåàêöèé, äëÿ êîòîðûõ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ÿâëÿåòñÿ ëàçåðíîå èçëó÷åíèå èëè âèäèìûé ñâåò.  ýòèõ ñëó÷àÿõ åñòåñòâåííî âêëþ÷àòü îòîíû â îïèñàíèå òàêèõ ðåàêöèé. Îäíàêî ìíîãèå ðåàêöèè èäóò áåç âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ îòîíîâ. Ôîðìàëèçì, íóæíûé äëÿ îïèñàíèÿ õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé, ïðîèñõîäÿùèõ áåç ó÷àñòèÿ âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ îòîíîâ, íà äîëæåí ñîäåðæàòü ýêçåìïëÿðîâ îòîíîâ. Ïðè ñòàíäàðòíîì îïèñàíèè â ðàìêàõ êâàíòîâîé õèìèè ïîäîáíûå ðåàêöèè èäóò ëèáî ïðè óñëîâèè óìåíüøåíèÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ðåàãåíòîâ, ëèáî ïðè íàëè÷èè âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ òåïëà, òî åñòü ïîä äåéñòâèåì êèíåòè÷åñêèõ ñîóäàðåíèé. Ìû ðàññìîòðèì, êàê ìîæíî áûëî áû îáëåã÷èòü ââåäåííûé íàìè îðìàëèçì êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ äëÿ ñëó÷àÿ ðåàêöèé, èäóùèõ áåç âíåøíåãî èñòî÷íèêà îòîíîâ. Çäåñü ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü óñå÷åííóþ âåðñèþ ðîÿ ÊÝÄ, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ èç ïîëíîãî ðîÿ âèäà 5.39 èñêëþ÷åíèåì èç êîðòåæåé âñåõ ýêçåìïëÿðîâ îòîíîâ. Íàçîâåì òàêîé ðîé óñå÷åííûì ðîåì ÊÝÄ. Îí îòëè÷àåòñÿ îò îáûêíîâåííîãî ðîÿ äëÿ àíñàìáëÿ ÷àñòèö òîëüêî òåì, ÷òî â àòðèáóòû âñåõ ýêçåìïëÿðîâ âõîäèì âðåìÿ, è êîðòåæè ñãðóïïèðîâàíû ïî ïðèíöèïó ñîõðàíåíèÿ èñòîðèè êàæäîãî êîðòåæà, êàê ýòî óêàçàíî âûøå. Ïîñìîòðèì, ÷òî ïðîèçîéäåò, åñëè ìû ïðèìåíèì ê òàêîìó ðîþ ïðîöåäóðó îòáîðà êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé, ñîðìóëèðîâàííóþ â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàå. Äîïóñòèì, ìû ðàññìàòðèâàåì àññîöèàöèþ äâóõ ïðîòîíîâ â ìîëåêóëÿðíûé èîí âîäîðîäà, êàê è âûøå, è ïóñòü

r0

åñòü ðàäèóñ ñòàöèîíàðíîãî ñîñòîÿíèÿ

ïðîòîíîâ â òàêîì èîíå.  îäíó êëåòêó îáúåäèíÿþòñÿ êîðòåæè ñ áëèçêèìè çíà÷åíèÿìè êàê êîîðäèíàò, òàê è âðåìåíè, ïîñêîëüêó òåïåðü, â îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ ïðîñòîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè áåç îòîíîâ, ó íàñ â àòðèáóòàõ ýêçåìïëÿðîâ ïðèñóòñòâóåò âðåìÿ

t.

Òåïåðü â îäíîé êëåòêå êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà ó

íàñ îêàæóòñÿ êîðòåæè ñ ðàçíûì âðåìåíåì

t.

Ýòî îçíà÷àåò áîëåå òîíêîå ðàçëè-

÷èå êîðòåæåé, ÷åì â ðàññìîòðåííîì ðàíåå ñëó÷àå, êîãäà âðåìåíè íå áûëî, òî åñòü êîðòåæè ðàçëè÷àëèñü èñêëþ÷èòåëüíî ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïîëîæåíèÿì ýêçåìïëÿðîâ. Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî êîðòåæè èç äâóõ ýêçåìïëÿðîâ

s1 , s2

äâóõ

ïðîòîíîâ èìåþò òàêèå êîîðäèíàòû ýêçåìïëÿðîâ, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè ñèëüíî îòëè÷àåòñÿ îò

r0 ,

è îíè èìåþò ðàçíîå çíà÷åíèå âðåìåíè. Íà-

çîâåì òàêèå êîðòåæè íåêàíîíè÷åñêèìè, à äðóãèå, ó êîòîðûõ ðàññòîÿíèå ìåæäó

r0 , íàçîâåì êàíîíè÷åñêèìè. Òîãäà â òå÷åíèå ìàëîãî ïðî∆t, íà êîòîðîì ðàññìàòðèâàåòñÿ ïåðåðàñïðåäåëåíèå êîðòåæåé

ýêçåìïëÿðàìè áëèçêî ê ìåæóòêà âðåìåíè

5.7. ÌÅÒÎÄ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß ÄËß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÝËÅÊÒÎÄÈÍÀÌÈÊÈ

èñ. 5.5: àçíîå ðàñõîæäåíèå ýêçåìïëÿðîâ âî âðåìåíè

206 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ â ðåçóëüòàòå îòáîðà, äâà ýêçåìïëÿðà âèäà

(c11 , s21 ), (c12 , c22 ) ñ ðàçíûì âðåìåíåì

t(c1 ) 6= t(c2 )

(5.41)

ñèëüíî ðàçîéäóòñÿ ïî ïðîñòðàíñòâó  ãîðàçäî

ñèëüíåå ÷åì òàêèå ïàðû êîðòåæåé, ó êîòîðûõ ðàññòîÿíèå ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè áëèçêî ê

r0 .

Ýòî ïðîèçîéäåò â ñèëó òîãî, ÷òî

r0

åñòü ðàññòîÿíèå, îáåñïå÷èâà-

þùåå ïîëîæåíèå óñòîé÷èâîñòè ìîëåêóëå. Òàêèì îáðàçîì, â ïðîöåäóðå îòáîðà íåêàíîíè÷åñêèå êîðòåæè ïîäâåðãíóòñÿ ðàñîðìèðîâàíèþ ñ áîëüøåé âåðîÿòíîñòüþ, ÷åì êàíîíè÷åñêèå. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò ïîëíîìó âàðèàíòó îòáîðà ñ ó÷àñòèåì ýêçåìïëÿðîâ îòîíîâ. Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäñòàâèì äâèæåíèå êîðòåæà âî âðåìåíè êàê äâèæåíèå ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà. Äëÿ íåêàíîíè÷åñêèõ êîðòåæåé àìïëèòóäà êîëåáàíèé, è, ñëåäîâàòåëüíî, óñêîðåíèå ïðîòîíîâ, áóäåò áîëüøå, ÷åì äëÿ êàíîíè÷åñêèõ. Ïîñêîëüêó âåðîÿòíîñòü èñïóñêàíèÿ îòîíà áóäåò áîëüøå ñ ðîñòîì óñêîðåíèÿ ïðîòîíîâ, ìû ïîëó÷èì, ÷òî âåðîÿòíîñòü èñïóñêàíèÿ ýêçåìïëÿðà îòîíà áóäåò áîëüøå äëÿ íåêàíîíè÷åñêèõ êîðòåæåé. Ïîñêîëüêó èñïóñêàíèå ýêçåìïëÿðà îòîíà ñðàçó äîáàâëÿåò çàïîëíåííîå íîâîå èçìåðåíèå â êîíèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî (íå èñïóùåííûé ýêçåìïëÿð îòîíà, ïî îïðåäåëåíèþ, èìååò òå æå êîîðäèíàòû, ÷òî è ñîîòâåòñòâóþùèé ýêçåìïëÿð ÷àñòèöû), ãðóïïû, ñîäåðæàùèå íåêàíîíè÷åñêèå êîðòåæè îêàæóòñÿ ìåíüøå ïî ÷èñëó ýëåìåíòîâ, ÷åì ãðóïïû, ñîäåðæàùèå êàíîíè÷åñêèå êîðòåæè. Ýòî è ïðèâåäåò ê âîçðàñòàíèþ äîëè êîðòåæåé, ñîîòâåòñòâóþùèõ ìîëåêóëå. Çàìåòèì, ÷òî îïèñàííûé ïóòü îáðàçîâàíèÿ ìîëåêóëû ïðè ìîäåëèðîâàíèè ñ ÿâíûì ó÷åòîì âðåìåíè  ãðóáåå, ÷åì ïîëíàÿ ìîäåëü ñ ÿâíûì ó÷åòîì îòîíîâ. Íàïðèìåð, çäåñü ìû ñîâåðøåííî íå ó÷èòûâàåì ïîëÿðèçàöèþ èñïóùåííûõ îòîíîâ, è ýåêòû, êîòîðûå ìîãóò ïðè ýòîì âîçíèêíóòü. Íî òàêàÿ óðåçàííàÿ ìîäåëü ãîðàçäî ïðîùå â ðàáîòå, òàê êàê íàì çäåñü íå íàäî ÿâíî ïðîèçâîäèòü îïåðàöèþ èñïóñêàíèÿ îòîíà, êàê â ïîëíîé âåðñèè. Òî åñòü óðåçàííàÿ âåðñèÿ îïåðèðóåò òîëüêî ñ ýêçåìïëÿðàìè õèìè÷åñêèõ îáúåêòîâ  àòîìíûõ ÿäåð (è, âîçìîæíî, ýëåêòðîíîâ, åñëè ïî ïðèâåäåííîìó îáðàçöó ðàññìîòðåòü ðåàêöèþ ïåðåíîñà ýëåêòðîíà ñ àòîìà íà àòîì).

5.7.5 Î ìàñøòàáèðóåìîñòè ÊÝÄ Âîïðîñ î ìàñøòàáèðóåìîñòè ÊÝÄ îòíîñèòñÿ ê ÷èñëó íàèáîëåå èíòåðåñíûõ âîïðîñîâ êâàíòîâîé òåîðèè. Âû÷èñëèòåëüíûå ñëîæíîñòè, ñâÿçàííûå ñ ñóììèðîâàíèåì åéíìàíîâñêèõ äèàãðàìì, äëèòåëüíîå âðåìÿ îòîäâèãàëè ýòîò âîïðîñ íà âòîðîé ïëàí è íàäî ñêàçàòü, ÷òî â íàñòîÿùèé ìîìåíò îí ïðàêòè÷åñêè íå èçó÷åí. Äàæå ñõåìà ïðèìåíåíèÿ ãèïîòåòè÷åñêîãî êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà äëÿ àíàëèçà ýòîé ïðîáëåìû íå ðàçðàáîòàíà, â îòëè÷èå îò àíàëîãè÷íîé ñõåìû äëÿ îáûêíîâåííîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè (ñì. ãëàâó 5). Òåì íå ìåíåå ïðîáëåìà ìàñøòàáèðóåìîñòè ÊÝÄ ïðèíöèïèàëüíà. Åå ðåøåíèå íåîáõîäèìî äëÿ ñîãëàñîâàíèÿ êâàíòîâîé òåîðèè ñ ÎÒÎ. Èçâåñòíî, ÷òî ïðèìåíåíèå îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè â êîñìîëîãèè òðåáóåò åå ïðîäâèæåíèÿ â

5.8.

ÑÂßÇÈ ÌÅÆÄÓ ÝÊÇÅÌÏËßÀÌÈ

207

îáëàñòü äåéñòâèÿ êâàíòîâûõ ñèñòåì. Ýòî îòíîñèòñÿ, íàïðèìåð, ê ìàññèâíûì îáúåêòàì, òèïà ÷åðíûõ äûð. Çäåñü ìû íåïîñðåäñòâåííî ñòàëêèâàåìñÿ ñ íåîáõîäèìîñòüþ ïðèìåíÿòü ìåòîäû êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè ê î÷åíü áîëüøèì îáúåêòàì, òî åñòü, ñ ïðîáëåìîé ìàñøòàáèðîâàíèÿ ÊÝÄ. Ýòî òåì áîëåå âàæíî ââèäó òîãî, ÷òî òåîðèÿ ÿäåðíûõ âçàèìîäåéñòâèé ñòðîèòñÿ ïî îáðàçöó ÊÝÄ. Ñõåìà ñîãëàñîâàíèÿ ÊÝÄ è ÎÒÎ, åñëè îíà áóäåò ñîçäàíà, íîñèëà áû óíèâåðñàëüíûé õàðàêòåð äëÿ êîñìîëîãèè. Ïðåäëîæåííàÿ â ýòîé ãëàâå ñõåìà ìîæåò ïîìî÷ü â ðåøåíèè ýòîé ñåðüåçíîé îòêðûòîé ïðîáëåìû. Ñ ïîìîùüþ îðìàëèçìà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ ìû ìîæåì áîëüøå óçíàòü î òîé ðîëè, êîòîðóþ èãðàþò óíäàìåíòàëüíûå âçàèìîäåéñòâèÿ â ñèñòåìàõ ñ î÷åíü áîëüøèì ÷èñëîì ÷àñòèö. Øèðîêî èçâåñòíî, ÷òî ýòà ðîëü âåëèêà, íàïðèìåð, â ìàññèâíûõ òåëàõ, èëè â âûñîêîýíåðãåòè÷åñêèõ ïðîöåññàõ âðîäå êîñìè÷åñêèõ âçðûâîâ, ãäå ïåðåíîðìèðîâêà ìàññû ïðèîáðåòàåò áîëüøîå çíà÷åíèå. Ìîæíî ïîàíòàçèðîâàòü, íàïðèìåð, î ïðèìåíåíèè ïðåäëîæåííîãî ìåòîäà ïðè îïðåäåëåíèè ïîíÿòèÿ èçè÷åñêîãî âðåìåíè â ñèñòåìå èç î÷åíü áîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòèö. Ìû âèäåëè, ÷òî ïðîöåäóðà ñèìóëÿöèè ýëåìåíòàðíîãî àêòà ðàññåÿíèÿ ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû îòáîðà òðåáóåò íåêîòîðîãî âðåìåíè, êîòîðîå, âîîáùå ãîâîðÿ, ÿâëÿåòñÿ àäìèíèñòðàòèâíûì âðåìåíåì íàøåé ìîäåëè. Åñëè æå ìû ðàññìàòðèâàåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü àêòîâ ðàññåÿíèÿ âèäà 5.40, òî ÷èñëî òàêèõ àêòîâ áóäåò ðåàëüíûì èçè÷åñêèì âðåìåíåì. Ìîæíî áûëî áû ïîïûòàòüñÿ îöåíèòü äîëþ àäìèíèñòðàòèâíîãî âðåìåíè ïðè ìîäåëèðîâàíèè äîñòàòî÷íî äëèòåëüíîãî ïðîöåññà. Àäìèíèñòðàòèâíîå âðåìÿ àêòè÷åñêè íóæíî èñêëþ÷èòü èç èçè÷åñêîé äëèòåëüíîñòè ïðîöåññà. Äëÿ ðàçíûõ ïðîöåññîâ äîëÿ àäìèíèñòðàòèâíîãî âðåìåíè, âîîáùå ãîâîðÿ, ÿâëÿåòñÿ ðàçëè÷íîé. Òî åñòü âåëè÷èíà èíòåðâàëà èçìåíåíèÿ

∆t

àäìèíèñòðàòèâíîãî âðåìåíè ðàçëè÷íà äëÿ ðàçíîãî òèïà äâèæåíèé

ó÷àñòâóþùèõ â íåì ÷àñòèö. Íàïðèìåð, îíà äîëæíà áûòü îòíîñèòåëüíî áîëüøå äëÿ äâèæåíèé ñ áîëüøèìè ñêîðîñòÿìè è óñêîðåíèÿìè. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî â î÷åíü áîëüøîì àíñàìáëå ëîêàëüíîå àäìèíèñòðàòèâíîå âðåìÿ äëÿ íåêîòîðîé ÷àñòèöû óâåëè÷èëîñü. Ïðàâäîïîäîáíî äîïóñòèòü, ÷òî ýòî äîëæíî ïðèâåñòè ê óìåíüøåíèþ èçè÷åñêîãî âðåìåíè äëÿ äàííîé ÷àñòèöû ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè. Åñëè òàêîå ÿâëåíèå ïðîèñõîäèò ñ íåêîòîðîé ìàëîé âåðîÿòíîñòüþ ñî âñåìè ÷àñòèöàìè â áîëüøîì àíñàìáëå, ýòî ñ íåîáõîäèìîñòüþ ïðèâåäåò ê óìåíüøåíèþ ðåàëüíîãî èçè÷åñêîãî âðåìåíè äëÿ âñåãî áîëüøîãî àíñàìáëÿ. àçóìååòñÿ, ýòî  ÷èñòàÿ ñïåêóëÿöèÿ.

5.8

Ñâÿçè ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè

Ìû ÿñíî âèäåëè, ÷òî ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ äàåò íàì íåêîòîðûå íîâûå âîçìîæíîñòè äëÿ èññëåäîâàíèé áîëüøèõ ñèñòåì ïî ñðàâíåíèþ ñ òðàäèöèîííûì ïîäõîäîì, îñíîâàííûì íà âîëíîâûõ óíêöèÿõ. Äëÿ ïðîäâèæåíèÿ ìåòîäà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ íàì áóäåò íåîáõîäèìî ñîðìóëèðîâàòü ýâðèñòèêó, êîòî-

208 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ ðàÿ ïîçâîëèò ïðèìåíÿòü ýòîò ìåòîä ê ñëîæíûì çàäà÷àì, ÷òî áóäåò ñäåëàíî â ñëåäóþùåì ïàðàãðàå. À ñåé÷àñ ìû îïðåäåëèì î÷åíü âàæíîå ïîíÿòèå äëÿ òàêîé ýâðèñòèêè: ñâÿçè ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè. Ìû óæå âñòðå÷àëèñü ñ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ñâÿçåé - ýòî êîðòåæè, ñîñòîÿùèå èç ýêçåìïëÿðîâ ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Êîðòåæè ïðèìåíÿëèñü íàìè äëÿ îïèñàíèÿ äèíàìèêè â ðàìêàõ ãèëüáåðòîâà îðìàëèçìà, íî îíè íå îáëàäàëè ïîëíîé ìàñøòàáèðîâàííîñòüþ, òàê êàê, âî-ïåðâûõ, ðàññìàòðèâàåìûå ðåàëüíûå ÷àñòèöû ìîãóò îêàçàòüñÿ è íåýëåìåíòàðíûìè, à âî-âòîðûõ, âñå ðåàëüíûå ÷àñòèöû ìîãóò îêàçàòüñÿ ÷àñòüþ íåêîòîðîé áîëüøîé ÷àñòèöû, êîòîðàÿ òîæå äîëæíà ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê êâàíòîâàÿ. àññìîòðèì ñíîâà àòîì âîäîðîäà, ñîñòîÿùèé èç òÿæåëîãî ïðîòîíà è ëåãêîãî ýëåêòðîíà. Ýòîò àòîì âåäåò ñåáÿ êàê åäèíàÿ ÷àñòèöà, ó êîòîðîé òîæå åñòü ñâîé ðîé è ñâîè ýêçåìïëÿðû. Íàïðèìåð, àòîì ìîæåò èíòåðåðèðîâàòü ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç äâå ùåëè. Êàê â òàêîì ñëó÷àå ñâÿçàíû ýêçåìïëÿðû ðîÿ ýëåêòðîíà, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò ðàçíûì ýêçåìïëÿðàì ñàìîãî àòîìà ? Êîðòåæíàÿ òåõíèêà òðåáóåò îò íàñ, ÷òîáû ýëåêòðîí áûë ñêðûò â òîì ñëó÷àå, êîãäà ìû ðàññìàòðèâàåì àòîì êàê åäèíîå öåëîå. Ýòî ðàáîòàåò òîëüêî åñëè âíóòðåííåå ñîñòîÿíèå àòîìà (ñîñòîÿíèå ýëåêòðîíà â íåì) íå çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ ñàìîãî àòîìà â ïðîñòðàíñòâå ! Íî òàêàÿ çàâèñèìîñòü ìîæåò èìåòü ìåñòî, íàïðèìåð, åñëè ìû ïîñâåòèì íà àòîì ëàçåðîì, èëè åñëè àòîì â êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè ïðèáëèçèòñÿ ê äðóãîìó àòîìó, è íàäî áóäåò ðàññìàòðèâàòü ðåàêöèþ àññîöèàöèè ìåæäó íèìè, êîòîðàÿ òðåáóåò èçìåíåíèÿ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíîâ.  ýòîì ñëó÷àå òåõíèêà êîðòåæåé ðàáîòàåò ïëîõî è ìû äîëæíû åå îáîáùèòü, ââåäÿ ïîíÿòèå ñâÿçåé. Ïîíÿòèå ñâÿçåé áóäåò ïîëíîñòüþ ñâîáîäíûì îò òàêèõ íåäîñòàòêîâ, è ñ åãî ïîìîùüþ ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ îáðåòåò ïîëíóþ ìàñøòàáèðóåìîñòü.

5.8.1 Ñâÿçè äëÿ îäíîé ðåàëüíîé ÷àñòèöû  ìåòîäå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ ðåàëüíàÿ ÷àñòèöà ïðåäñòàâëÿåòñÿ ðîåì

(s1 , s2 , . . . , sL )

s¯ =

åå ýêçåìïëÿðîâ. Âûøå ìû âèäåëè, ÷òî èíòåíñèâíîñòü äèóçè-

îííîãî îáìåíà äëÿ òàêîãî ðîÿ, íåîáõîäèìàÿ äëÿ ïðèáëèæåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ −3 ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, ïðîïîðöèîíàëüíà δx . Òàêîé èíòåíñèâíîñòè ìîæíî äîáèòüñÿ, åñëè ðàñïîëîæèòü ýêçåìïëÿðû âäîëü íåêîòîðîé êðèâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

s1 , s2 , . . . , sL

èñõîäèë òîëüêî ìåæäó ñîñåäíèìè ýêçåìïëÿðàìè: çíà÷åíèÿ

δx

γ

â

è ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû îáìåí èìïóëüñàìè ïðî-

sj

è

sj+1.

Òîãäà ïðè âûáîðå

ìû ïîëó÷èì, ÷òî èçìåíåíèå ïëîòíîñòè ðîÿ â ðåçóëüòàòå ïåðåõîäà

îäíîãî ýêçåìïëÿðà âäîëü ýòîé êðèâîé

γ

áóäåò îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà âåëè-

÷èíå ýëåìåíòà îáúåìà. Ìû áóäåì íàçûâàòü êðèâóþ

γ

íèòüþ. Ýòó íèòü, ñîîòâåò-

ñòâóþùóþ îäíîé ðåàëüíîé ÷àñòèöå, ìîæíî óñëîâíî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå â âèäå âåðåâêè ïðåíåáðåæèìî ìàëîãî âåñà, êîòîðàÿ ìîæåò áûòü ñâåðíóòà â êëóáîê, íî íå çàïóòàíà. Ýêçåìïëÿðû ýòîé ÷àñòèöû ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå êàê áóñèíêè, íàíèçàííûå íà âåðåâêó íà ïðèìåðíî ðàâíûõ ðàññòîÿíèÿõ äðóã îò äðóãà. Åñëè âåðåâêà ìîæåò ñâîðà÷èâàòüñÿ â êëóáîê, ýòî ïîçâîëÿåò ñäåëàòü ïëîòíîñòü ðåàëüíîé ÷àñòèöû ñêîëü óãîäíî áîëüøîé â ìàëîì îáúåìå ïðîñòðàíñòâà.

5.8.

209

ÑÂßÇÈ ÌÅÆÄÓ ÝÊÇÅÌÏËßÀÌÈ

Ìû ìîæåì ââåñòè óñðåäíåíèå èìïóëüñà ïî äëèíå íèòè, ðàññìîòðåâ ñðåäíèé èìïóëüñ íà ñåãìåíòå âèäà

sj , sj+1 , . . . , sj+l

ïðè íåêîòîðîì l, èëè íåêîòîðîå áîëåå

ñëîæíîå ïðàâèëî, íàçûâàåìîå îáìåíîì èìïóëüñîâ âèäà ( ). Ñàìà íèòü îêàçûâàåò åäèíñòâåííîå âîçäåéñòâèå íà äèíàìèêó ýêçåìïëÿðîâ: îáìåí èìïóëüñàìè äîëæåí áûòü óñòðîåí òàê, ÷òîáû ýêçåìïëÿðû íå ñèëüíî îòêëîíÿëèñü îò íèòè. Ýòîãî ìîæíî äîñòèãíóòü, ïîòðåáîâàâ, ÷òîáû ïîëó÷àåìûå èìïóëüñû, óñðåäíåííûå ïî äëèíå íèòè, áûëè íàïðàâëåíû âäîëü âåêòîðà, êàñàòåëüíîãî ê

γ

â ñîîò-

âåòñòâóþùåé òî÷êå. Ýòî àêòè÷åñêè ââîäèò íåêîòîðîå îãðàíè÷åíèå íà ïîÿâëåíèå ïàð ñ ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûìè ñêîðîñòÿìè â ìåòîäå äèíàìè÷åñêîé äèóçèè. Èìåííî â ýòîì ñîñòîèò âîçäåéñòâèå íèòè íà äèíàìèêó ðîÿ.  ýòîì ñëó÷àå íèòü íà÷èíàåò âåñòè ñåáÿ êàê âåðåâêà, êîòîðàÿ ìîæåò êàê ñâîðà÷èâàòüñÿ â êëóáîê, òàê è ðàçâîðà÷èâàòüñÿ èç êëóáêà, âûòÿãèâàÿñü âäîëü íàïðàâëåíèÿ ñðåäíåãî èìïóëüñà. Òàêîå ïðåäñòàâëåíèå ìîæåò áûòü î÷åíü ïðîäóêòèâíûì, åñëè ìû áóäåì ìîäåëèðîâàòü, íàïðèìåð, ðàñïàä îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà â ïîëå äâóõ îäèíàêîâûõ ïðîòîíîâ, åñëè ïðîòîíû ðàçëåòàþòñÿ â ðàçíûå ñòîðîíû: íèòü ïðè ýòîì ñ áîëüøîé âåðîÿòíîñòüþ îêàçûâàåòñÿ çàêðó÷åííîé âîçëå îäíîãî èç ïðîòîíîâ, è ïîëíîñòüþ ïîêèäàåò äðóãîé. Áîëåå òî÷íîå ïðåäñòàâëåíèå ýòîãî ïðîöåññà òðåáóåò ââåäåíèÿ ýìèññèè ýêçåìïëÿðîâ îòîíîâ, ÷òî áóäåò ñäåëàíî íèæå. Òåì íå ìåíåå ïðåäñòàâëåíèå ðîÿ â âèäå îäíîé íåèçìåííîé íèòè íå âñåãäà ïðîäóêòèâíî. àññìîòðèì, ê ïðèìåðó, îäèí èç îñíîâíûõ ýêñïåðèìåíîâ ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå: èíòåðåðåíöèÿ ÷àñòèöû ïðè ïðîõîäå ÷åðåç äâå ùåëè. Åñëè ýòà ÷àñòèöà ïðåäñòàâëåíà îäíîé íèòüþ è ýòà íèòü òîëüêî ìåíÿåò ñâîå ïîëîæåíèå â ïðîñòðàíñòâå, ìû íå ñìîæåì ïîëó÷èòü èíòåðåðåíöèîííûé ñãóñòîê â ñåðåäèíå ìåæäó ùåëÿìè. Ýòîò ñãóñòîê ìîæíî ïîëó÷èòü òîëüêî åñëè ìû äîïóñòèì, ÷òî íèòü, ïðåäñòàâëÿþùàÿ îäíó êâàíòîâóþ ÷àñòèöó, ìîæåò ðàçðûâàòüñÿ íà íåñêîëüêî ÷àñòåé è ïîòîì ñðàçó æå ñîåäèíÿòüñÿ ïî-äðóãîìó. Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì íèòü, íàëåòàþùóþ íà ýêðàí ñ äâóìÿ ùåëÿìè (ñì. ðèñóíîê). Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñãóñòêà ìåæäó ýòèìè ùåëÿìè çà ýêðàíîì íåîáõîäèìî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî íèòü ðàçðûâàåòñÿ â äâóõ òî÷êàõ òàê, ÷òî åå ñðåäíÿÿ ÷àñòü îêàçûâàåòñÿ èçîëèðîâàííîé, è çàòåì ñðàçó ñîåäèíÿåòñÿ òàê, ÷òî ýòà ñðåäíÿÿ ÷àñòü ïðèñîåäèíÿåòñÿ ê äâóì ñâîáîäíûì êîíöàì, à åå áûâøèå êðàÿ ñîåäèíÿþòñÿ ìåæäó ñîáîé òàê, ÷òî îáðàçóåòñÿ êîëüöî. Òîãäà îáìåí èìïóëüñàìè ìåæäó ñîñåäíèìè ýêçåìïëÿðàìè âäîëü íèòè äàñò íóæíóþ èíòåðåðåíöèîííóþ êàðòèíó.

15

Ýòî ðàññóæäåíèå ñ íèòüþ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ ýâðèñòèêè ìåòîäà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ, êîòîðîé ìû áóäåì åùå çàíèìàòüñÿ. Òàêàÿ ýâðèñòèêà íóæíà äëÿ ïîñòðîåíèÿ âîçìîæíî áîëåå áûñòðûõ àëãîðèòìîâ ìîäåëèðîâàíèÿ êâàíòîâîé äèíàìèêè. Ëþáîå ïðåäñòàâëåíèå ðîÿ â êîìïüþòåðå ÿâëÿåòñÿ ðàçíîâèäíîñòüþ âåêòîðà, ñîñòîÿùåãî èç ýêçåìïëÿðîâ ýòîãî ðîÿ. Ïîýòîìó ïåðåñòðîéêà íèòè, îïèñàííàÿ âûøå, î÷åíü ëåãêî ïðîãðàììèðóåòñÿ. Ýòèì íèòü îòëè÷àåòñÿ îò ìåòîäà ñêàíèðîâàíèÿ òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà, êîòîðîå áû ìû âûíóæäåíû áûëè ïðîäåëûâàòü 15 Äëÿ

ñðàâíåíèÿ ïðèâåäåí ðåçóëüòàò ìîäåëèðîâàíèÿ èíòåðåðåíöèè íà 2 ùåëÿõ ìåòîäîì ñîáñòâåííûõ óíêöèé.

210 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ

èñ. 5.6: Èíòåðåðåíöèÿ ÷àñòèöû íà äâóõ ùåëÿõ. Ìåòîä âîëíîâûõ óíêöèé. (Âèçóàëèçàöèÿ È.À.Ñåìåíèõèíà, ðèñóíîê ñ ñàéòà http://qi/ s/msu/su )

5.8.

ÑÂßÇÈ ÌÅÆÄÓ ÝÊÇÅÌÏËßÀÌÈ

211

èñ. 5.7: Èíòåðåðåíöèÿ ÷àñòèöû íà äâóõ ùåëÿõ. Ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ

212 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà ìàòðè÷íîé àëãåáðû (òî åñòü óæå îáñóæäåííîé íàìè ðàíåå ðèìàíîâñîé ñõåìû èíòåãðèðîâàíèÿ).

5.8.2 Ñâÿçè äëÿ íåñêîëüêèõ ÷àñòèö. Óïîðÿäî÷åííîñòü êâàíòîâûõ "ìèðîâ" Òåïåðü ìû ïîñìîòðèì, êàêèå èçìåíåíèÿ íàäî ñäåëàòü â íàøåé ñõåìå, åñëè ÷àñòèö íå îäíà, à íåñêîëüêî. Ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ

n ðåàëüíûõ

÷àñòèö, êîòîðûå ìû

íóìåðóåì ÷èñëàìè: 1, 2, . . . , n, è êàæäóþ j -é ÷àñòèöó ìû ïðåäñòàâëÿåì â âèäå j j j ðîÿ s1 , s2 , . . . , sl . Åñëè ìû îòîæäåñòâèì êàæäóþ èç ðåàëüíûõ ÷àñòèö j ñ îäíèì j èç åå ýêçåìïëÿðîâ sk , òî ó íàñ ïîëó÷èòñÿ êîðòåæ s ¯ âèäà s1k , s2k , . . . , snk . Òàêîé êîðòåæ

s¯ ìû

1

j

íàçûâàåì êâàíòîâûì "ìèðîì". Âûáîð ÷èñåë

kj

n

2

äëÿ

j = 1, 2, . . . , n

ÿâëÿåòñÿ îòäåëüíûì âîïðîñîì; îí î÷åíü âàæåí ïîñêîëüêó ÷èñëî òàêèõ âûáîðîâ áóäåò ðàñòè ýêñïîíåíöèàëüíî ñ ðîñòîì

n,

òàê ÷òî ýòîò âûáîð äîëæåí áûòü ñ ñà-

ìîãî íà÷àëà æåñòêî îãðàíè÷åí. Ñàìîå ïðîñòîå (íî íå åäèíñòâåííî âîçìîæíîå)

d2 , d3 , . . . , dn , òàêèå k1 = 1, 2, . . . , l kq = k1 + dq . Ýòî

îãðàíè÷åíèå - ýòî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëè ÷èñëà ÷òî äëÿ ëþáîãî

q = 2, 3, . . . , n

è äëÿ ëþáîãî

îçíà÷àåò, ÷òî âñåâîçìîæíûå ìèðû ïîëó÷àþòñÿ òîëüêî âûáîðîì î÷åðåäíûõ ýêçåìïëÿðîâ äðóã çà äðóãîì (ñì. ðèñóíîê). Ýòî ïðàâèëî ìû íàçîâåì ïîðÿäêîì ñâÿçè. Îäíàêî òàêàÿ ñõåìà åùå íå ÿâëÿåòñÿ ñàìîé îáùåé, òàê êàê ìû æåñòêî çàèêñèðîâàëè ñàìè ðåàëüíûå ÷àñòèöû, ýêçåìïëÿðû êîòîðûõ ó÷àñòâóþò â ñîáñòâåííûõ ñâÿçÿõ. Òàêàÿ ñõåìà íå ìîæåò äàòü íàì äèíàìèêè ñâÿçåé, íåîáõîäèìîé äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ òîãî, ÷òî â ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå ïðèíÿòî íàçûâàòü ïðîöåññîì èçìåðåíèÿ: ïîñëåäîâàòåëüíîå îáðàçîâàíèå íîâûõ ñâÿçåé è îäíîâðåìåííûé ðàçðûâ ñòàðûõ. Ïðè òàêîì ïðîöåññå íåèçáåæíà ñèòóàöèÿ, ãäå ðàçíûå ýêçåìïëÿðû îäíîé è òîé æå ðåàëüíîé ÷àñòèöû îáðàçóþò ñâÿçè ñ ýêçåìïëÿðàìè ðàçëè÷íûõ äðóãèõ ðåàëüíûõ ÷àñòèö. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê áîëåå îáùåìó îïðåäåëåíèþ îðãàíèçàöèè ìíîãî÷àñòè÷íîãî ðîÿ â âèäå ñåòè.

Ñâÿçüþ ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè

s

è

s′

áóäåì íàçûâàòü íåêèé îáúåêò, êîòî-

ðûé ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ýòèì äâóì ýêçåìïëÿðàì â ìîäåëè. Áóäåì íàçûâàòü

S åñòü ìíîæåñòâî âñåõ ýêSc ⊂ S × S . Ñâÿçü, êîòîðàÿ

òàêóþ ñâÿçü ñâÿçûâàþùåé ýòè äâà ýêçåìïëÿðà. Åñëè çåìïëÿðîâ, ïîä ñâÿçüþ íåêîå ïîäìíîæåñòâî âèäà

ñâÿçûâàåò äâà ýêçåìïëÿðà îäíîé ðåàëüíîé ÷àñòèöû, ìà íàçîâåì íèòüþ, èëè íåñîáñòâåííîé ñâÿçüþ. Äðóãèå ñâÿçè íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè.

Îïðåäåëåíèå 1 Ñåòüþ íàçûâàåòñÿ ãðà

N,

âåðøèíû êîòîðîãî ïîìå÷åíû

ðàçíûìè ýêçåìïëÿðàìè ðåàëüíûõ ÷àñòèö ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû, à ðåáðà ñâÿçÿìè. Ïðè ýòîì òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ìàêñèìàëüíûé ñâÿçíûé ïîäãðà

G ⊆ N,

âñå ðåáðà êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ íèòÿìè, îõâàòûâàë âñå ýêçåìïëÿðû îäíîé ðåàëü-

íîé ÷àñòèöû. Òàêîé ïîäãðà ìû áóäåì âïðåäü íàçûâàòü ðîåì äëÿ ýòîé ÷àñòèöû. Ïóòåì ïî ñîáñòâåííûì ñâÿçÿì íàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåðøèí

v1 , v2 , . . . vk

ãðàà

N , â êîòîðîì äëÿ ëþáîãî j = 1, 2, . . . , k−1 vj

è

vj+1 ñîåäèíåíû

5.9.

ÝÂÈÑÒÈÊÀ ÌÅÒÎÄÀ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß

213

ñîáñòâåííîé ñâÿçüþ.

Îïðåäåëåíèå 2 Êâàíòîâûì ìèðîì ñåòè ãðà

M ⊆ N,

N

íàçûâàåòñÿ ìàêñèìàëüíûé ïîä-

òàêîé ÷òî îí íå ñîäåðæèò äâóõ âåðøèí, ñîåäèíåííûõ íèòüþ, è

v ëþáîé â M.

äëÿ ëþáîé åãî âåðøèíû ïîëíîñòüþ ñîäåðæèòñÿ

ïóòü ïî ñîáñòâåííûì ñâÿçÿì, ñîäåðæàùèé

v,

Ïðèìåð ñåòè ïîêàçàí íà ðèñóíêå. Äèíàìèêà ñåòè îïðåäåëÿåòñÿ ïðàâèëàìè ïåðåñòðîåíèÿ. Îäíî èç òàêèõ ïðàâèë çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïåðåñòðîåíèå íàñòóïàåò â ñëó÷àå, êîãäà ðàññòîÿíèå ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè, ñîåäèíåííûìè ñâÿçüþ (ñîáñòâåííîé èëè íèòüþ), ïðåâçîéäåò íåêîòîðûé êðèòè÷åñêèé ïðåäåë Ïðè ýòîì

∆bound

∆bound .

çàâèñèò îò òèïîâ ýêçåìïëÿðîâ, à òàêæå îò òèïà ñâÿçè. Ïðàâè-

ëî ïåðåñòðîåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: 1) Åñëè äàííàÿ ñâÿçü ÿâëÿåòñÿ íèòüþ, è ïðè åå ëèêâèäàöèè íàðóøàåòñÿ ñâÿçíîñòü ðîÿ äëÿ êàêîé-òî èç ÷àñòèö, òî ìåíüøàÿ (ïî ÷èñëó ýêçåìïëÿðîâ) êîìïîíåíòà ðîÿ îáúÿâëÿåòñÿ îòîííûì ðîåì, ïðè÷åì ñêîðîñòè ýêçåìïëÿðîâ ýòèõ êîìïîíåíò ïåðåðàñïðåäåëÿþòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî ðàçðóøåííàÿ ñâÿçíîñòü ýòîãî ðîÿ âîññòàíàâëèâàåòñÿ. 2) Åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ýêçåìïëÿðàìè ðàçíûõ ðåàëüíûõ ÷àñòèö ñòàíîâèòñÿ ìåíüøå íåêîòîðîãî ïðåäåëà

dbound ,

òî îáðàçóåòñÿ íîâàÿ ñîáñòâåííàÿ

ñâÿçü ìåæäó ýòèìè ýêçåìïëÿðàìè, ïðè óñëîâèè ñîáëþäåíèÿ ñîðìóëèðîâàííîãî âûøå ïîðÿäêà ñâÿçè. Äâà òàêèõ ïðàâèëà ìîãóò ñëóæèòü îñíîâîé ìåòîäà ðèñîâàíèÿ âèçóàëüíîé êàðòèíêè äèíàìèêè â òîì ñëó÷àå, åñëè

dbound ≪ Dbound .

Ýòî óñëîâèå îçíà÷àåò

êîíñåðâàòèçì ñîáñòâåííûõ ñâÿçåé: ðàçðûâ îáðàçîâàâøåéñÿ ñâÿçè òðåáóåò âûïîëíåíèÿ íåêîòîðîé ðàáîòû, êîòîðàÿ äîëæíà áûòü ÷èñëåííî ðàâíà ýíåðãèè èñïóùåííîãî â ýòîì ïðîöåññå îòîíà ñîãëàñíî ïðàâèëó 1). Ìû ìîæåì ïðåäñòàâëÿòü ñîáñòâåííûå ñâÿçè êàê ñîñòîÿùèå èç êëåÿ, êîòîðûé ïðèêðåïëÿåòñÿ ê îáúåêòó íà î÷åíü ìàëîì ðàññòîÿíèè, íî ñïîñîáåí ñèëüíî ðàñòÿãèâàòüñÿ äî äîñòèæåíèÿ òî÷êè ðàçðûâà. Íèòè æå ñëåäóåò ïðåäñòàâëÿòü êàê ñâåðíóòûå êóñêè î÷åíü ïðî÷íîé âåðåâêè, êîíöû êîòîðîé çàêðåïëåíû êëååì, òàê ÷òî ïðè íàòÿæåíèè ýòîé âåðåâêè îíà î÷åíü áûñòðî ïåðåðàñïðåäåëÿåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ åå ïîëîæåíèåì, íî íå ðâåòñÿ. àçóìååòñÿ, òàêîå îïèñàíèå íå ÿâëÿåòñÿ îðìàëüíûì, è äîëæíî óòî÷íÿòüñÿ ïðè ðàññìîòðåíèè êîíêðåòíûõ ýâîëþöèé. Òåì íå ìåíåå, ýòà àíàëîãèÿ ìîæåò ñëóæèòü äåòàëüþ ýâðèñòèêè, îñíîâàííîé íà ìåòîäå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ äëÿ ìíîãèõ òåë.

5.9

Ýâðèñòèêà ìåòîäà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ

Öåëü êîíñòðóêòèâèçàöèè êâàíòîâîé òåîðèè - ïîñòðîåíèå äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì. Àðãóìåíòû, ïðèâåäåííûå â ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ, à òàêæå îïûò ïðàêòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïîçâîëÿåò óòâåðæäàòü, ÷òî

Äèíàìè÷åñêèå ìîäåëè íåâîçìîæíî ïîñòðîèòü òîëüêî íà çàêîíàõ êâàíòîâîé òåîðèè. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìû ñïåöèàëüíûå ïðàâèëà ïî-

214 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ

ñòðîåíèÿ àëãîðèòìîâ. Ìû íàçîâåì ýòè ïðàâèëà ýâðèñòèêàìè. Ìåòîä êîíñòðóêòèâèçàöèè ÷åðåç êîëëåêòèâíîå ïîâåäåíèå äàåò íàì òàêóþ ýâðèñòèêó, êîòîðóþ ìû çäåñü è îïèøåì. Ìîæíî ëè äîñòè÷ü íàøåé öåëè, ïðèìåíÿÿ îäíó èäåþ äëÿ êëàññè÷åñêèõ äâèæåíèé, à äðóãóþ - äëÿ êâàíòîâûõ ? Òàêîé ñïîñîá ïðåäïîëàãàåò íàëè÷èå íåêîåãî òî÷íîãî áàðüåðà ìåæäó äâóìÿ ìåòîäàìè, íàïðèìåð, ïî äåéñòâèþ: åñëè îíî ìåíüøå

h, ïðèìåíÿåì óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà, åñëè áîëüøå - ìåòîä êëàññè÷åñêîé

äèíàìèêè. Èìåííî òàê ïðîèñõîäèò ìîäåëèðîâàíèå ìîëåêóëÿðíîé äèíàìèêè íà îñíîâå ñòàíäàðòíûõ ïðèêëàäíûõ ïàêåòîâ : îäèí ïàêåò äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, äðóãîé - äëÿ êëàññè÷åñêîé ìîëåêóëÿðíîé äèíàìèêè. Èç ãëàâû 5 ìû çíàåì, ÷òî òàêîé ñïîñîá íå ñîãëàñóåòñÿ ñ êîíñòðóêòèâíûì ìàòåìàòè÷åñêèì àíàëèçîì, òàê êàê ïðåäïîëàãàåò òî÷íîå çíàíèå äåéñòâèÿ ÷àñòèöû, ìåæäó òåì êàê äåéñòâèå îïðåäåëÿåòñÿ â ìîäåëè ñ îïðåäåëåííîé òî÷íîñòüþ. Èç ýòîãî ìû ìîæåì ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî äëÿ êîíñòðóêòèâèçàöèè êâàíòîâîé òåîðèè íåîáõîäèì åäèíûé ìåòîä ïðåäñòàâëåíèÿ äèíàìèêè íà óðîâíå òîé òî÷íîñòè, êîòîðàÿ äîñòóïíà â ìîäåëè â äàííûé ìîìåíò. Íàïðèìåð, äëÿ êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ òðåáóåòñÿ ñîâåðøåííî äåòåðìèíèñòè÷åñêèé àëãîðèòì îïðåäåëåíèÿ äèíàìèêè êàæäîãî ýêçåìïëÿðà ëþáîé ðåàëüíîé ÷àñòèöû, ñîñòîÿíèå êîòîðîé çàäàíî â ìîäåëè ñ êîíå÷íîé òî÷íîñòüþ. Áëîê - ñõåìà ýòîãî àëãîðèòìà íàçûâàåòñÿ ýâðèñòèêîé ìîäåëè, è â ýòîì ïàðà-

16

ãðàå ìû äàäèì îïèñàíèå òàêîé ýâðèñòèêè

. Íàøà ýâðèñòèêà îñíîâûâàåòñÿ íà

ìåòîäå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ, è ìû â îáùèõ ÷åðòàõ îïèøåì, ÷òî ìû íàäååìñÿ ñ åå ïîìîùüþ äîñòè÷ü. àçóìååòñÿ, ÿ íå óòâåðæäàþ, ÷òî òàêàÿ ýâðèñòèêà ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííî âîçìîæíîé. Êòî-òî ìîæåò ñîçäàòü äðóãóþ ýâðèñòèêó äëÿ êîíñòðóêòèâèçàöèè êâàíòîâîé èçèêè, è ýòî ñîâåðøåííî çàêîííàÿ ñèòóàöèÿ â ñâåòå ïðèíöèïèàëüíîãî ïëþðàëèçìà êâàíòîâîé òåîðèè. Íî íàäî ïîìíèòü ñëåäóþùåå: ñðàâíåíèå äâóõ ýâðèñòèê ìîæåò îñóùåñòâëÿòüñÿ òîëüêî ÷åðåç ñðàâíåíèå òåõ ñöåíàðèåâ, êîòîðûå äàþò ìîäåëèðóþùèå ïðîãðàììû, ïîñòðîåííûå íà èõ îñíîâå, è íèêàê èíà÷å. Òî åñòü áåññìûñëåííî îáñóæäàòü òîò èëè èíîé îòäåëüíûé ýëåìåíò ýòèõ ýâðèñòèê îòäåëüíî, íàïðèìåð, ïûòàòüñÿ ïðèäàòü íåêèé "èçè÷åñêèé ñìûñë"ñâÿçÿì, ïðèïèñûâàòü èì òàêèå õàðàêòåðèñòèêè êàê ìàññó, è ò.ä. Äèíàìè÷åñêàÿ ýâðèñòèêà - ýòî êîíå÷íûé íàáîð ýëåìåíòîâ äëÿ ïîñòðîåíèÿ àëãîðèòìîâ ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè.  ïðåäûäóùåì ïàðàãðàå ìû àêòè÷åñêè èñïîëüçîâàëè ýâðèñòèêó îòáîðà, òî åñòü øàã ìîäåëè ïî îñè ðåàëüíîãî âðåìåíè åñòü ðåçóëüòàò îòáîðà ïî ìíîæåñòâó øàãîâ â àäìèíèñòðàòèâíîì âðåìåíè, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ ñðàâíåíèåì ÷èñëà ýëåìåíòîâ â ãðóïïàõ

Gj . Ýâðèñòèêà îòáîðà îáùåïðèíÿòà â êâàíòîâîé òåî-

ðèè, è àêòè÷åñêè îïèñàíà â êàíîíè÷åñêèõ ðóêîâîäñòâàõ ïî êâàíòîâîé òåîðèè. Åå îðìàëüíûì âûðàæåíèåì ÿâëÿåòñÿ ìåòîä èíòåãðàëîâ ïî òðàåêòîðèÿì. Ïî16 Ýòîò

òåðìèí ïîíèìàåòñÿ íàìè áîëåå òî÷íî, ÷åì îáû÷íî, â òîì ñìûñëå, ÷òî îò ýâðèñòèêè ìû òðåáóåì îïðåäåëåííîñòè. Ñòàòóñ ýòîãî ïîíÿòèÿ â êîíñòðóêòèâèçìå âûøå, ÷åì îáû÷íî, ÷òî ñâÿçàíî ñ îñîáîé ðîëüþ àëãîðèòìîâ.

5.9.

ÝÂÈÑÒÈÊÀ ÌÅÒÎÄÀ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß

215

ñóùåñòâó, ýâðèñòèêà îòáîðà - åäèíñòâåííî âîçìîæíàÿ â ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè. Îíà õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ âåðîÿòíîñòíûì äóõîì ýòîé íàóêè è ìîæåò óñïåøíî ðàáîòàòü, íàïðèìåð, äëÿ îïèñàíèÿ õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé ñ äâóìÿ - òðåìÿ àòîìàìè. Íî ýòî äîñòîèíñòâî áëèçîñòè ê ñòàíäàðòíîìó ÿçûêó èìååò è îáîðîòíóþ ñòîðîíó, òàê êàê ïåðåíîñèò íà ýâðèñòèêó îòáîðà ãëàâíûé èçúÿí ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè - åå íåïðåîäîëèìûé ñëîæíîñòíîé áàðüåð. Êîãäà ÷èñëî ÷àñòèö ðàñòåò, äëÿ ýåêòèâíîãî îòáîðà òðåáóåòñÿ ýêñïîíåíöèàëüíî áîëüøîå ÷èñëî ýêçåìïëÿðîâ êàæäîé ðåàëüíîé ÷àñòèöû è ìû ñíîâà îêàçûâàåìñÿ îòáðîøåííûìè ê èñõîäíîìó ïóíêòó - ïîäõîä, îñíîâàííûé òîëüêî íà îòáîðå íå áóäåò ìàñøòàáèðîâàòüñÿ íà áîëüøèå ñèñòåìû. Äëÿ õîðîøåé ðàáîòû îòáîðà íà áîëüøèõ êâàíòîâûõ àíñàìáëÿõ íåîáõîäèìî ëèêâèäèðîâàòü ïîòåðè âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ â ìåòîäå îòáîðà. Òî åñòü íàäî ñóùåñòâåííî îãðàíè÷èòü îòáîð êîðòåæåé, òàê êàê èìåííî çäåñü êðîåòñÿ ãëàâíûé êàíàë óòå÷êè âðåìåíè ìîäåëèðîâàíèÿ. Ìû âèäåëè, ÷òî ñîõðàíåíèå èíäèâèäóàëüíîñòè ýêçåìïëÿðîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îñíîâíîé ñïîñîá ýêîíîìèè â ñëó÷àå óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà äëÿ îäíîé ÷àñòèöû, ãäå òàêàÿ èíäèâèäóàëüíîñòü ïîìîãëà íàì óéòè îò íåïðîèçâîäèòåëüíîãî ìåòîäà ìàòðè÷íîé àëãåáðû. Èìåííî ýòà èäåÿ èíäèâèäóàëüíîñòè ýêçåìïëÿðîâ ïîìîæåò íàì è â îáùåì ñëó÷àå - äëÿ ìíîãî÷àñòè÷íîé êâàíòîâîé ýâðèñòèêè. Ìû äîëæíû çàäàòü ñîâåðøåííî êîíêðåòíûå ïðàâèëà äëÿ êàæäîãî ýêçåìïëÿðà, îïèñûâàþùèå åãî ïîøàãîâûå ñîñòîÿíèÿ â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè. Ïðè îòáîðå ýòîãî íåò: ýêçåìïëÿðû, ïîïàâøèå â êîðòåæè ìàëûõ ïî ÷èñëåííîñòè ãðóïï, äîëæíû ïåðåðàñïðåäåëÿòüñÿ ïî íîâûì ãðóïïàì. Ïðè òàêîì ïåðåîðìèðîâàíèè êîðòåæåé íåò íèêàêîé ãàðàíòèè, ÷òî âíîâü ñîðìèðîâàííûå êîðòåæè òàêæå íå ïîïàäóò â ãðóïïû ñ ìàëûì ÷èñëîì ýêçåìïëÿðîâ, è ýòà ñèòóàöèÿ çàêðåïèòñÿ â äàëüíåéøåì. Òî åñòü ìåòîä îòáîðà äîïóñêàåò íàëè÷èå "íåïåðñïåêòèâíûõ"ýêçåìïëÿðîâ, êîòîðûå âñåãäà áóäóò îêàçûâàòüñÿ â êîðòåæàõ, ïîäëåæàùèõ âûáðàêîâêå. Òàêèå "íåïðåñïåêòèâíûå "ýêçåìïëÿðû äîëæíû áûòü çàìåíåíû íà íîâûå ýêçåìïëÿðû, ñîñòîÿíèÿ êîòîðûõ áëèçêè ê "ïåðñïåêòèâíûì"ýêçåìïëÿðàì, ïîïàâøèì ðàíåå â êîðòåæè, ïðèíàäëåæàùèå ãðóïïàì ñ áîëüøîé ÷èñëåííîñòüþ. Ïðè òàêîé ïðîöåäóðå çàìåíû "íåïåðñïåêòèâíûõ "ýêçåìïëÿðîâ ïîëíîñòüþ òåðÿåòñÿ âñÿêàÿ èíîðìàöèÿ î èõ ïðîøëîé èñòîðèè, â òî âðåìÿ êàê ýòà èíîðìàöèÿ ìîæåò îêàçàòüñÿ î÷åíü ïîëåçíîé äëÿ âñåãî ðîÿ. Ñîõðàíåíèå ýòîé èíîðìàöèè - ãëàâíàÿ öåëü ïðåäëàãàåìîé ýâðèñòèêè. Ìû ÿâíî óêàæåì íà ìåõàíèçì âîçâðàòà â ðîé "íåïåðñïåêòèâíûõ"ýêçåìïëÿðîâ ó÷àñòâóþùèõ ÷àñòèö, è ýòîò ìåõàíèçì áóäåò ñâÿçàí ñ èçëó÷åíèåì ýêçåìïëÿðîâ îòîíîâ ïðè óñêîðåíèè ýêçåìïëÿðîâ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö. Çàìåíà "íåïåðñïåêòèâíûõ"ýêçåìïëÿðîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãðóïïèðîâêó ðîÿ, íàõîäÿùåãîñÿ ñ ñîñòîÿíèè, áëèçêîì ê ðàçðûâó íà íåñêîëüêî êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè. Èäåÿ ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Áóäåì ïðåäñòàâëÿòü ðîé ýêçåìïëÿðîâ ýëåêòðîíà â âèäå óïðóãîé íèòè, íà êîòîðóþ íàíèçàíû ýòè ýêçåìïëÿðû.  òîò ìîìåíò, êîãäà íèòü ÷ðåçìåðíî ðàñòÿãèâàåòñÿ (÷òî ñîîòâåòñòâóåò áîëüøîìó ðàññòîÿíèþ ìåæäó ñîñåäíèìè ýêçåìïëÿðàìè), äîëæåí

216 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ ïðîèñõîäèòü åå ðàçðûâ.  ýòîì ñëó÷àå ýêçåìïëÿðû îòîíîâ, èçëó÷åííûå áëèçêèìè ê òî÷êå ðàçðûâà ýêçåìïëÿðàìè ÷àñòèöû äîëæíû ñâîåé îòäà÷åé ñãëàäèòü íàïðÿæåíèå â îêðåñòíîñòè òî÷êè íàïðÿæåíèÿ íèòè. Òî÷êè íàïðÿæåíèÿ òîãäà ìîãóò âîçíèêíóòü â äðóãèõ ìåñòàõ, ãäå òîæå áóäóò èçëó÷åíû ýêçåìïëÿðû îòîíîâ è ò.ä. Òàêèì îáðàçîì, ýìèññèÿ ýêçåìïÿðîâ îòîíîâ áóäåò ìåõàíèçìîì, îáåñïå÷èâàþùèì öåëîñòü ðîÿ è, ñîîòâåòñòâåííî ïåðåðàñïðåäåëåíèå "íåïåðñïåêòèâíûõ"ýêçåìïëÿðîâ. Ýòîò ìåõàíèçì çàðàáîòàåò ïðè îäíîì äîïîëíèòåëüíîì óñëîâèè, êîòîðîå ìû åùå íå ðàññìàòðèâàëè. Ýêçåìïëÿðû îòîíîâ íå äîëæíû âõîäèòü â êîðòåæè. Òî åñòü ðàññìàòðèâàåìûå íàìè çäåñü ýêçåìïëÿðû îòîíîâ äîëæíû áûòü îáùèìè äëÿ âñåõ êâàíòîâûõ "ìèðîâ". Ýòî îòíîñèòñÿ ê òàê íàçûâàåìûì ðåàëüíûì îòîíàì, òî åñòü îòîíàì, ðàññìàòðèâàåìûì êàê ñâîáîäíûå ÷àñòèöû. Ýêçåìïëÿðû ðåàëüíûõ îòîíîâ áóäóò, òàêèì îáðàçîì, îáúåêòîì, îáåñïå÷èâàþùèì íàáëþäàåìóþ äèíàìèêó ìíîãî÷àñòè÷íîãî ðîÿ. Èõ ýìèññèÿ áóäåò äàâàòü íåîáõîäèìîå ñãëàæèâàíèå òðàåêòîðèè è îðìû òàêîãî ðîÿ. Òàêàÿ îáùíîñòü ýêçåìïëÿðîâ ðåàëüíûõ îòîíîâ äëÿ ðàçíûõ "ìèðîâ"îçíà÷àåò ñóùåñòâåííóþ êîððåêöèþ ïî ñðàâíåíèþ ñ ýâðèñòèêîé îòáîðà, ÷òî íåèçáåæíî.  êîíñòðóêòèâíîé ýâðèñòèêå, ãäå â ðåçóëüòàòå îòáîðà "íåïåðñïåêòèâíûå"ýêçåìïëÿðû íå èñ÷åçàþò, à èìåþò ÿâíóþ ïðîãðàììó âîçâðàòà â ðîé, âñå "ìèðû"ÿâëÿþòñÿ îäèíàêîâî ðåàëüíûìè. Êîíòð èíòóèòèâíûå ýëåìåíòû êâàíòîâîé ìåõàíèêè ïðè ýòîì ïîëíîñòüþ ïåðåõîäÿò â îáëàñòü ìàëûõ èçìåíåíèé íà÷àëüíûõ êîîðäèíàò è ñêîðîñòåé ýêçåìïëÿðîâ è â ñîñòîÿíèÿ ðåàëüíûõ, òî åñòü íåïîãëîùåííûõ îòîíîâ. Òàêèì îáðàçîì, ìû èçáåãàåì ïðîöåäóðû ãðóïïèðîâêè êîðòåæåé â ãðóïïû, è äèíàìèêà ðîÿ îïðåäåëÿåòñÿ òðåìÿ ýëåìåíòàìè:

•

Íèòè, ñâÿçûâàþùèå ðàçíûå ýêçåìïëÿðû îäíîé ýëåìåíòàðííûé ÷àñòèöû.

•

Ñîáñòâåííûå ñâÿçè, ñâÿçûâàþùèå ýëåìåíòû êîðòåæåé ýêçåìïëÿðîâ ðàç-

•

Îáìåí èìïóëüñàìè âíóòðè îäíîãî êîðòåæà è ýìèññèÿ ýêçåìïëÿðîâ ðåàëü-

íûõ ÷àñòèö.

íûõ îòîíîâ.

Ìû âèäèì, ÷òî ýêçåìïëÿðû ðåàëüíûõ îòîíîâ íå âõîäÿò â êîíêðåòíûå êîðòåæè, íî íè÷òî íå ìåøàåò èì õðàíèòü ïàìÿòü î èçëó÷èâøåì èõ ýêçåìïëÿðå çàðÿæåííûé ÷àñòèöû. Òàê êàê òåïåðü âñå ýêçåìïëÿðû èìåþò òî÷íî îïðåäåëåííóþ èñòîðèþ, ìû ìîæåì âêëþ÷èòü ýêçåìïëÿðû ðåàëüíûõ îòîíîâ âî âñå êîðòåæè ñðàçó. Ñòàíåò âîçìîæíîé òàêàÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà èçëó÷åííûé ýêçåìïëÿðîì îäíîãî êîðòåæà ðåàëüíûé îòîí ïîãëîùàåòñÿ ýêçåìïëÿðîì, âõîäÿùèì â äðóãîé êîðòåæ. Íàïðèìåð, îäèí ýêçåìïëÿð ýëåêòðîíà ìîæåò èñïóñòèòü ýêçåìïëÿð îòîíà, êîòîðûé çàòåì áóäåò ïîãëîùåí äðóãèì ýêçåìïëÿðîì òîãî æå ýëåêòðîíà. Ýòî ñàìîâëèÿíèå ÷àñòèöû õîðîøî èçâåñòíî â ÊÝÄ, òàê êàê ïðèâîäèò ê ïåðåíîðìèðîâêå çàðÿäà è ìàññû. Ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî îáìåí èìïóëüñàìè ìåæäó ñîñåäíèìè ýêçåìïëÿðàìè îäíîé ÷àñòèöû, ñâÿçàííûìè íèòüþ, ÿâëÿåòñÿ èìåííî

5.9.

217

ÝÂÈÑÒÈÊÀ ÌÅÒÎÄÀ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß

òàêèì îáìåíîì ýêçåìïëÿðîì âèðòóàëüíîãî îòîíà. Ìîãóò áûòü è îáìåíû ýêçåìïëÿðîì âèðòóàëüíîãî îòîíà ÷åðåç íåñêîëüêî ýêçåìïëÿðîâ íà îäíîé íèòè. Ýêçåìïëÿð âèðòóàëüíîãî (ïîãëîùåííîãî) îòîíà ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè ðàçíûõ ÷àñòèö, îáúåäèíåííûõ â îäèí êîðòåæ. Íî îí íå ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ ìåæäó ðàçëè÷íûìè êîðòåæàìè ! Åñëè ýêçåìïëÿð îòîíà, èñïóùåííûé êàêèì-òî ýêçåìïëÿðîì ÷àñòèöû åòñÿ ýêçåìïëÿðîì ÷àñòèöû ñîâïàäàåò ñ ñòèöû, ëèáî

p2 , K1

p2 , âõîäÿùåé

p1

â íåêîòîðîì êîðòåæå

â êîðòåæ

K1

K2 , ýòî îçíà÷àåò,

ïîãëîùà-

÷òî ëèáî

p1

òî åñòü ýòî ýêçåìïëÿðû, ñâÿçàííûå íèòüþ îäíîé ðåàëüíîé ÷à-

K2 , òî åñòü ýòî ýêçåïëÿðû, ñâÿçàííûå íèòüþ îäíîãî K1 è K2 ñîäåðæàò òîëüêî ýêçåìïëÿðû íåïåðåñåêàþ-

ñîâïàäàåò ñ

êîðòåæà, ëèáî êîðòåæè

ùèõñÿ ìíîæåñòâ ðåàëüíûõ êâàíòîâûõ ÷àñòèö, è ïðè òàêîì îáìåíå íàñòóïàåò îáúåäèíåíèå

K1

è

K2

â îäèí åäèíûé êîðòåæ

K.

Ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî ýêçåìïëÿðû ðåàëüíûõ îòîíîâ ÿâëÿþòñÿ íîñèòåëÿìè ñâÿçåé, êîòîðûìè îêàçûâàþòñÿ ñâÿçàííûìè ðàçíûå êîðòåæè, òî åñòü ðàçíûå êâàíòîâûå "ìèðû". Ùåë÷îê äåòåêòîðà îòîíîâ , ñèãíàëèçèðóþùèé î åãî ñðàáàòûâàíèè, íå îáÿçàòåëüíî ïðîèñõîäèò ïðè ïîãëîùåíèè êàêîãî-òî ýêçåïëÿðà ðåàëüíîãî îòîíà ýêçåìïëÿðîì ÷àñòèöû, âõîäÿùåé â îäèí èç îãðîìíîãî ÷èñëà êîðòåæåé, íàõîäÿùèõñÿ âíóòðè îòîäåòåêòîðà. Ñîáûòèå, ñîñòàâëÿþùåå ùåë÷îê, ÿâëÿåòñÿ êîëåáàíèåì ýêçåìïëÿðîâ ðåàëüíûõ àòîìîâ â îòîäåòåêòîðå, è îíî íàñòóïàåò, ñ áîëüøîé âåðîÿòíîñòüþ, ïðè àáñîðáöèè ìíîãèõ ýêçåìïëÿðîâ îòîíà. Îäíàêî åñëè ùåë÷îê è íå ïðîèçîøåë, ìîæíî ãîâîðèòü î âîçìîæíîñòè îáúåäèíåíèÿ â êîðòåæ ýêçåìïëÿðîâ ÷àñòèö, èñïóñòèâøèõ ýòîò ýêçåìïëÿð îòîíà, è òåõ ýêçåìïëÿðîâ ÷àñòèö îòîäåòåêòîðà, ñðåäè êîòîðûõ íàõîäèòñÿ ïîãëîòèâøèé åãî ýêçåìïëÿð. Èíûìè ñëîâàìè, îáðàçîâàíèå íèòè ìåæäó îáúåêòîì ýìèññèè è äåòåêòîðîì íå îáÿçàòåëüíî ñîïðîâîæäàåòñÿ ùåë÷êîì äåòåêòîðà. Òàêàÿ íèòü, òåì íå ìåíåå, ÿâëÿåòñÿ âïîëíå ðåàëüíûì îáúåêòîì àäìèíèñòðàòèâíîé ÷àñòè ìîäåëè, êîòîðûé â ñîñòîÿíèè âëèÿòü, íàïðèìåð, íà äåòåêòèðîâàíèå ñëåäóþùèõ ýêçåìïëÿðîâ îòîíîâ. Ñîðìóëèðîâàííàÿ âûøå ïðîöåäóðà ýìèññèè ýêçåìïëÿðà îòîíà ïðè íàïðÿæåíèè íèòè ðîÿ ýëåêòðîíà ãîäèòñÿ òîëüêî äëÿ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà. Åñëè ýêçåìïëÿðû ýëåêòðîíà îáúåäèíåíû â êîðòåæè ñ ýêçåìïëÿðàìè äðóãèõ ÷àñòèö, âñå â ïðèíöèïå ñîõðàíÿåòñÿ, íî íàäî îáîáùèòü ïîíÿòèå "íàïðÿæåíèå íèòè åãî ðîëü äîëæíî èãðàòü "íàïðÿæåíèå ñåòè â êîòîðóþ ïîìèìî íèòåé, ñâÿçûâàþùèõ ýêçåìïëÿðû ýëåêòðîíà âõîäÿò òàêæå è ñîáñòâåííûå ñâÿçè, ñâÿçûâàþùèå ýêçåìïëÿðû â êîðòåæàõ. Ýòè êîðòåæíûå ñâÿçè ÿâëÿþòñÿ çíà÷èòåëüíî áîëåå ñëàáûìè, ÷åì íèòè, ñâÿçûâàþùèå ýêçåìïëÿðû îäíîé ÷àñòèöû (ýêçåìïëÿðíûå íèòè). Êðèòè÷åñêîå íàïðÿæåíèå êîðòåæíîé ñâÿçè, âûçûâàþùåå åå ðàçðûâ (ðàñïàä êîðòåæà) íà íåñêîëüêî ïîðÿäêîâ ìåíüøå, ÷åì äëÿ ýêçåìïëÿðíîé íèòè. Ýòî îáåñïå÷èâàåò ñòàáèëüíîñòü ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö â ýëåêòðîäèíàìèêå. Òåïåðü ìû ãîòîâû ê òîìó, ÷òîáû ñîðìóëèðîâàòü ýâðèñòèêó ìåòîäà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ, ïðèãîäíóþ äëÿ ñîçäàíèÿ àëãîðèòìîâ ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìèêè. Îíà äîëæíà îáëàäàòü ïîëíûì ìàñøòàáèðîâàíèåì â ñëåäóþùåì ñìûñëå. Ñîäåðæàùèõñÿ â íåé ýëåìåíòîâ áóäåò äîñòàòî÷íî äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé ëþ-

218 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ

èñ. 5.8: Ïàäåíèå ýëåêòðîíà íà ïðîòîí. Ýëåêòðîí ïðåäñòàâëåí êðàñíîé íèòüþ. Ïóíêòèðîì ïîêàçàíî, êàê äâèãàëàñü áû íèòü, åñëè áû íå áûëî ýìèññèè îòîíà. Íà øàãå 1) ýìèññèÿ òîðìîçèò ýëåêòðîí, íà øàãå 3) - óñêîðÿåò, íå äàâàÿ óïàñòü íà ïðîòîí. Âåêòîð ïîëÿðèçàöèè ýêçåìïëÿðà îòîíà ïàðàëëåëåí êàñàòåëüíîé ê íèòè â òîé òî÷êå, â êîòîðîé â ðåçóëüòàòå åãî ýìèññèè ìåíÿåòñÿ òðàåêòîðèÿ íèòè

5.9.

219

ÝÂÈÑÒÈÊÀ ÌÅÒÎÄÀ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î ÏÎÂÅÄÅÍÈß

áîé ñëîæíîñòè: êàê äîáàâëåíèå íîâûõ ÷àñòèö â ñèñòåìó, òàê è ñòðóêòóðèðîâàíèå ÷àñòèö, ñ÷èòàâøèõñÿ ýëåìåíòàðíûìè, áóäóò èìåòü òî÷íûå îïèñàíèÿ â òåðìèíàõ äàííîé ýâðèñòèêè. Ýòèõ ýëåìåíòîâ òðè:

•

óïðóãèå ñòîëêíîâåíèÿ ÷àñòèö,

•

ïðàâèëà ïðåâðàùåíèé è

•

êîíñåðâàòèçì ñâÿçåé

Óïðóãîñòü ñòîëêíîâåíèé, òî åñòü ñîõðàíåíèå ýíåðãèè è èìïóëüñà âûðàæàåò ãëàâíûé çàêîí êëàññè÷åñêîé èçèêå íà óðîâíå ìàëîãî ÷èñëà ÷àñòèö, âêëþ÷àÿ óíäàìåíòàëüíûå âçàèìîäåéñòâèÿ êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè íà óðîâíå îòäåëüíûõ ýêçåìïëÿðîâ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö è îòîíîâ. Ïðàâèëà ïðåâðàùåíèé ãîâîðèò î òîì, ÷òî äîëæíî ïîëó÷èòüñÿ â ðåçóëüòàòå ñòîëêíîâåíèé, íàïðèìåð, îòîíà ñ çàðÿæåííîé ÷àñòèöåé. Êîíñåðâàòèçì ñâÿçåé ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíûì ìîìåíòîì ýâðèñòèêè. Îí îçíà÷àåò, ÷òî ñâÿçü ñîõðàíÿåòñÿ â òî÷íîñòè äî òåõ ïîð, ïîêà ðàññòîÿíèå ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè íå ïðåâûñèò íåêîòîðîãî ïîðîãà Ïîñëå ïðåâûøåíèÿ ïîðîãà

δ0

δ0 ,

çàâèñÿùåãî îò òèïà ÷àñòèöû.

ïðîèñõîäèò ïðåâðàùåíèå, îïèñàííîå â ïóíêòå 2.

Ñîñòîÿíèå ðîÿ ïîñëå ïðåâðàùåíèÿ äîëæíî âîññòàíàâëèâàòü èìåâøèåñÿ ñâÿçè. Äàëüíåéøàÿ ýâîëþöèÿ ìîæåò îïÿòü ïðèâåñòè ê ïðåâûøåíèþ ïîðîãà

δ0 ,

è îïè-

ñàííûé ñþæåò ïîâòîðèòñÿ ñíîâà, è ò.ä. àññìîòðèì ïðîöåññ àññîöèàöèè ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà ñ ïðîòîíîì â ðàìêàõ îïèñàííîé ýâðèñòèêè. Ìû íå áóäåì ðàçëè÷àòü ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé êàê â äèñêðåòíîì, òàê è â íåïðåðûâíîì ñïåêòðå, à áóäåì çàíèìàòüñÿ òîëüêî ïðîáëåìîé àññîöèàöèè - îáðàçóåòñÿ àòîì âîäîðîäà, èëè ýëåêòðîí ïðîëåòèò ìèìî. Ñîîòâåòñòâåííî, ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî èçëó÷àåòñÿ òîëüêî îäèí îòîí.  ðåàëüíîñòè èçëó÷àåòñÿ íåñêîëüêî îòîíîâ, è ýëåêòðîí îêàçûâàåòñÿ àññîöèèðîâàííûì â ðàçëè÷íûõ ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèÿõ â îêðåñòíîñòè ïðîòîíà. Âñå ýòè äåòàëè îïðåäåëÿþòñÿ íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì ýëåêòðîíà è ïðîòîíà, êîòîðûõ ìû íå ìîæåì çíàòü äàæå â ïðèíöèïå, ñ ìû äîëæíû çàìåíÿòü ýòî íåçíàíèå ãåíåðàöèåé ñëó÷àéíîñòåé. Íî ñåé÷àñ ìû îïèøåì èìåííî ýâðèñòèêó, êîòîðóþ ìîæíî äåòàëèçèðîâàòü, â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî èçëó÷àåòñÿ ðîâíî îäèí îòîí è àññîöèàöèÿ ïðîèñõîäèò âñåãäà â îäíî ñòàöèîíàðíîå ñîñòîÿíèå. Ïóñòü ñâÿçè ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè ýëåêòðîíà îïðåäåëÿþòñÿ èõ ñîñåäñòâîì â âåêòîðå

s¯.

Ìíîæåñòâî òàêèõ ñâÿçåé ãåîìåòðè÷åñêè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íèòü, íà

êîòîðûþ íàíèçàíû ýêçåìïëÿðû ýëåêòðîíà. Êàæäûé ýêçåìïëÿð ýëåêòðîíà îáúåäèíåí â êîðòåæ ñ íåêèì ýêçåìïëÿðîì ïðîòîíà, ñîãëàñíî óïîðÿäî÷åíèþ âåêòîðà ðîÿ. Øàã ýâîëþöèè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òðè äåéñòâèÿ:

•

îáìåí èìïóëüñàìè ìåæäó ñîñåäíèìè ýêçåìïëÿðàìè,

•

èçìåíåíèå èìïóëüñà êàæäîãî ýêçåìïëÿðà ïîä äåéñòâèåì êóëîíîâñêîãî ïîëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî åìó ýêçåìïëÿðà ïðîòîíà,

220 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ

•

ñâîáîäíîå äâèæåíèå âñåõ ýêçåìïëÿðîâ.

Ïðè äâèæåíèè òàêîé íèòè â êóëîíîâñêîì ïîëå ïðîòîíà òîò åå êîíåö, êîòîðûé ðàñïëîæåí áëèæå ê ïðîòîíó, áóäåò ïåðåìåùàòüñÿ ñ áîëüøåé ñêîðîñòüþ. Ýòà ñêîðîñòü, ïðè îáìåíå èìïóëüñàìè ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè ýëåêòðîíà, áûñòðî ïåðåéäåò ê ïðîòèâîïîëîæíîìó êîíöó, êîòîðûé íàõîäèòñÿ äàëüøå îò ïðîòîíà. Ïðèáàâêà ê ñêîðîñòè, ïîëó÷åííàÿ äàëüíèì êîíöîì íèòè ýëåêòðîíà, ïðèäàñò íàõîäÿùèìñÿ â íåé ýêçåìïëÿðàì ñêîðîñòü, äîñòàòî÷íóþ äëÿ ïðîëåòà ìèìî ïðîòîíà ïðè óñëîâèè, ÷òî ñðåäíÿÿ ÷àñòü íèòè íå áóäåò ìåíÿòü íàïðàâëåíèå èõ äâèæåíèÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, îáìåí ñêîðîñòÿìè âäîëü ýëåêòðîííîé íèòè âûçîâåò òîðìîæåíèå òåõ ýêçåìïëÿðîâ, êîòîðûå áëèæå ê ïðîòîíó. Ýòî èçìåíèò íàïðàâëåíèå èõ òðàåêòîðèè, ïðèáëèçèâ åå ê ïðîòîíó, èç-çà ÷åãî èõ ñêîðîñòü â ðåçóëüòàòå âîçðàñòåò. Ìû âèäèì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå íèòü ýêçåìïëÿðîâ ýëåêòðîíà ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé ñ îòðèöàòåëüíîé îáðàòíîé ñâÿçüþ, òî åñòü äèñáàëàíñ ñêîðîñòåé áóäåò íàðàñòàòü, ÷òî ïðèâåäåò ê ïðåâûøåíèþ ïîðîãà ðàññòîÿíèÿ

δ0

ìåæäó åå

ýêçåìïëÿðàìè. Â ýòîò ìîìåíò âîçíèêàþò äâå âîçìîæíîñòè:

•

÷àñòü ýêçåìïëÿðîâ ýëåêòðîíà, ðàñïîëîæåííàÿ äàëüøå îò ïðîòîíà, äîëæíà áûòü îáúÿâëåíà ýêçåìïëÿðàìè îòîíà, èçëó÷åííîãî äàííûì ýëåêòðîíîì, èëè

•

÷àñòü ýêçåìïëÿðîâ ýëåêòðîíà, ðàñïîëîæåííàÿ áëèæå ê ïðîòîíó, äîëæíà áûòü îáúÿâëåíà ýêçåìïëÿðàìè îòîíà, èçëó÷åííîãî äàííûì ýëåêòðîíîì.

 ïåðâîì ñëó÷àå áëèæíÿÿ ê ïðîòîíó ÷àñòü íèòè äîëæíà îêàçàòüñÿ íà ñòàöèîíàðíîé îðáèòå è ó íàñ ïîëó÷èòñÿ àññîöèàöèÿ â àòîì âîäîðîäà. Âî âòîðîì ñëó÷àå îòîí áóäåò èçëó÷åí â ñòîðîíó ïðîòîíà è ýëåêòðîí óëåòèò îò ïðîòîíà. Èçëó÷åííûé îòîí ñ÷èòàåòñÿ ðåàëüíûì, åñëè åãî ýêçåìïëÿðû èçëó÷åíû âñåìè ýêçåìïëÿðàìè ýëåêòðîíà. Òàêèì îáðàçîì, â îáîèõ ñëó÷àÿõ áóäåò èçëó÷åí îòîí, è âñÿ ðàçíèöà ìåæäó íèìè â òîì, êàêîé ó íåãî áóäåò èìïóëüñ. Òî åñòü íàøà ýâðèñòèêà äîëæíà îïèñûâàòü ìåòîä ïîëó÷åíèÿ èìïóëüñà îòîíà ïî íà÷àëüíîìó ñîñòîÿíèþ ýëåêòðîíà è ïðîòîíà. Ñíîâà îãðóáëÿÿ ñèòóàöèþ, ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî èìïóëüñ èçëó÷åííîãî îòîíà íàïðàâëåí ëèáî îò ýëåêòðîíà ê ïðîòîíó, ëèáî â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè, è èìååò îäíó è òó æå àáñîëþòíóþ âåëè÷èíó.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå àññîöèàöèÿ àòîìà ïðîèñõîäèò, âî âòîðîì - ýëåêòðîí è ïðîòîí ðàçëåòàþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, ìîäåëü äîëæíà âûáðàòü ïðåîáëàäàþùèé òèï êîðòåæåé:

, sphoton • selectron , sproton 2 assoc 1

èëè

• selectron , sproton , sphoton 1 2 dissoc Òàêîé âûáîð â áîëüøåé ñòåïåíè îáóñëîâëåí âûáîðîì ïåðâîíà÷àëüíîãî êîðòåæà, ÷åì äëÿ ñèòóàöèè, ãäå îòîíà íå áûëî âîîáùå. Äåéñòâèòåëüíî, ó íàñ âñåãäà åñòü íåêîòîðûé äîïóñê â çíà÷åíèÿõ êîîðäèíàò ýêçåìïëÿðîâ âñåõ ÷àñòèö è èõ

5.10.

ÈÇÌÅÍÅÍÈÅ ÑÅÒÈ ÂÎ ÂÅÌÅÍÈ

221

ñêîðîñòåé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òî÷íîñòü îïðåäåëåíèÿ êîîðäèíàòû è ñêîðîñòè êàæäîãî ýêçåìïëÿðà åñòü

δ.

âåëè÷èí äî öåëûõ êðàòíûõ

Ýòî çíà÷èò, ÷òî ìû ïðîèçâîäèì îêðóãëåíèå âñåõ

δ.

Ïóñòü ýêçåìïëÿðû îòîíà, îïðåäåëÿþùèå ïðîphoton sphoton assoc èëè sdissoc - ðàçëè÷àþòñÿ íå áîëåå ÷åì íà δ . Âûáîð ïåðâîãî êîðòåæà îçíà÷àåò âûáîð òàêîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ îäíîãî

èçîéäåò ëè àññîöèàöèÿ, èëè íåò -

èç ýêçåìïëÿðîâ îòîíà. Êîíèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî â ñëó÷àå îäíèõ ïðî2·3 ýëåìåíòîâ, ãäå L - ÷èñëî äåëåíèé íà òîíà è ýëåêòðîíà áóäåò ñîäåðæàòü L 3·3 îäíîé îñè ðàçìåðíîñòè.  ñëó÷àå æå ïðèñóòñòâèÿ îòîíà ó íàñ áóäåò L ýëåìåíòîâ. Åñëè ìû ðàññìîòðèì ñèòóàöèþ ñ ïîãëîùåíèåì è ïåðåèçëó÷åíèåì ýòîãî îòîíà, ðàçìåðíîñòü âîçðàñòåò íàñòîëüêî, ÷òî ñòàíåò âîçìîæíûì ðàññìàòðèâàòü äàæå ñ î÷åíü ãðóáîé òî÷íîñòüþ òîëüêî ìàëîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ êîðòåæà. Èíûìè ñëîâàìè, ïðèáàâëÿÿ ê íàøåé ñèñòåìå íåñêîëüêî äîïîëíèòåëüíûõ ÷àñòèö è ñîîòâåòñòâåííî óäëèíÿÿ êîðòåæè, ìû ïîëó÷àåì âîçìîæíîñòü ìåíÿÿ çíà÷åíèÿ êîîîðäèíàò îòîííûõ ýêçåìïëÿðîâ â ïðåäåëàõ òî÷íîñòè, ïîëó÷èòü òîò æå ðåçóëüòàò, ÷òî è ïðè îòáîðå çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé ïî ìåòîäó èç ýâðèñòèêè îòáîðà.

5.10

Èçìåíåíèå ñåòè âî âðåìåíè

Èòàê, ìîäåëü ìíîãî÷àñòè÷íîé ñèñòåìû, îñíîâàííàÿ íà ìåòîäå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñåòü, ñîñòîÿùóþ èç ýêçåìïëÿðîâ ðåàëüíûõ ÷àñòèö, è ñâÿçåé ìåæäó íèìè. Ìû áóäåì ïðåäñòàâëÿòü òàêóþ ñåòü â âèäå ãðàà, âåðøèíàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ýêçåìïëÿðû, à ðåáðàìè - ñâÿçè. Òå ñâÿçè, êîòîðûå ñîåäèíÿþò ðàçíûå ýêçåìïëÿðû îäíîé è òîé æå ðåàëüíîé ÷àñòèöû, ìû íàçâàëè íèòÿìè, à ñâÿçè ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè ðàçíûõ ðåàëüíûõ ÷àñòèö - ñîáñòâåííûìè ñâÿçÿìè. Åñëè ìû ðàññìîòðèì ïîäãðà, âñå âåðøèíû êîòîðîãî ñâÿçàíû íèòÿìè, âåðøèíû ýòîãî ïîäãðàà ÿâëÿþòñÿ ðîåì, ñîîòâåòñòâóþùèì îäíîé ðåàëüíîé ÷àñòèöå. Åñëè ðàññìîòðåòü ïîäãðà, âñå âåðøèíû êîòîðîãî ñâÿçàíû ñîáñòâåííûìè ñâÿçÿìè, òàêîé ïîäãðà ÿâëÿåòñÿ êâàíòîâûì "ìèðîì". Ôèêñàöèÿ ïîíÿòèÿ ðåàëüíîé ÷àñòèöû îçíà÷àåò âûáîð òèïà âçàèìîäåéñòâèÿ, êîòîðîå ìû ñîáèðàåìñÿ ðàññìàòðèâàòü. Íàïðèìåð, åñëè ìû âûáèðàåì ýëåêòðîíû è àòîìíûå ÿäðà, òî ìû ñîáèðàåìñÿ ðàññìàòðèâàòü ýëåêòðîìàãíèòíûå âçàèìîäåéñòâèÿ. Ýâîëþöèÿ ñåòè âî âðåìåíè ïðîèñõîäèò ïî øàãàì, è ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå öåïî÷êè

S

ñîñòîÿíèé ýòîé ñåòè, íàçûâàåìîé ñöåíàðèåì:

S : N1 −→ N2 −→ . . . −→ Nl Äèíàìè÷åñêàÿ ìîäåëü ýâîëþöèè

{S1 , S2 , . . . Sh }.

Ìîäåëü

D

D

ÿâëÿåòñÿ íàáîðîì òàêèõ ñöåíàðèåâ:

(5.42)

D =

ÿâëÿåòñÿ ïðåäìåòîì ýâðèñòèêè ñåëåêöèè. Ýòî çíà-

÷èò, ÷òî ìû ìîæåì ïðèìåíÿòü ê ðàçíûì ñöåíàðèÿì ìåòîäû ãðóïïèðîâîê, ìóòàöèé, âûáðàêîâêè, - òî åñòü ãåíåòè÷åñêèõ âû÷èñëèòåëüíûõ ìåòîäîâ. Øàãè âèäà

Nj −→ Nj+1

ìû áóäåì ïîäðàçäåëÿòü íà äâà òèïà: ïðîñòàÿ ýâîëþöèÿ, è ïåðå-

ñòðîéêà.  ïåðâîì ñëó÷àå íàáîð ðåàëüíûõ ÷àñòèö íå ìåíÿåòñÿ. Ýòî îçíà÷àåò,

222 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ

èñ. 5.9: Ñåòü äëÿ àòîìà âîäîðîäà. Ñâÿçè ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè ýëåêòðîíà è ïðîòîíà

5.10.

223

ÈÇÌÅÍÅÍÈÅ ÑÅÒÈ ÂÎ ÂÅÌÅÍÈ

÷òî ñåòü ýâîëþöèîíèðóåò ïî îïèñàííûì â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàå ïðàâèëàì: ïðîèñõîäèò ñâîáîäíûé ïîëåò âñåõ ÷àñòèö, èñïóñêàíèå èëè ïîãëîùåíèå ýêçåìïëÿðîâ îòîíîâ. Ïðè ýòîì íèòè ïåðåõîäÿò ñàìè â ñåáÿ, òî åñòü ÷àñòèöû íå ìîãóò ïðåâðàùàòüñÿ äðóã â äðóãà (èñïóñêàíèå èëè ïîãëîùåíèå îòîíà íå â ñ÷åò). Ïðè ýâîëþöèè ìåíÿþòñÿ òîëüêî ñîáñòâåííûå ñâÿçè, ÷òî îçíà÷àåò ðàñïàä çàïóòàííûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé è îáðàçîâàíèå íîâûõ çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé. Ïåðåñòðîéêà îçíà÷àåò èçìåíåíèå ðåàëüíûõ ÷àñòèö: íàïðèìåð, ñëèÿíèå äâóõ ïðîòîíîâ ñ îáðàçîâàíèåì ÿäðà ãåëèÿ è îòîíà. Ïðè ïåðåñòðîéêå ìåíÿþòñÿ íèòè. Íàïðèìåð, ñëèÿíèå äâóõ ïðîòîíîâ îçíà÷àåò, ÷òî âìåñòî äâóõ íèòåé ïîëó÷àåòñÿ îäíà íî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ÿäðó ãåëèÿ. Äëÿ ïåðåñòðîéêè ñóùåñòâóåò òî÷íûé êîëè÷åñòâåííûé êðèòåðèé, íàïðèìåð, ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îíà ïðîèñõîäèò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè ýêçåìïëÿðàìè â îäíîé íèòè ïðåâûñèò íåêîòîðûé ïîðîã

∆rebuild .

Êàçàëîñü áû, óñòàíîâëåíèå òî÷íîãî ïîðîãà

ïðîòèâîðå÷èò ïðèíöèïó êîíñòðóêòèâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Íî ýòî ìíèìîå ïðîòèâîðå÷èå. åàëüíàÿ ýâîëþöèÿ ïîëó÷àåòñÿ ïîñëå ãåíåòè÷åñêîé ïðîöåäóðû îòáîðà íàä ñöåíàðèÿìè, âõîäÿùèìè â îäíó ìîäåëü.  òàêèõ ñöåíàðèÿõ íà÷àëüíûå ïàðàìåòðû (ñîñòîÿíèÿ ÷àñòèö â íà÷àëüíûé ìîìåíò) ðàñïðåäåëåíû ñëó÷àéíî, è ïîòîìó òî÷íîñòü âûáîðà

∆rebuild íèâåëèðóåòñÿ ýòèì óñðåäíåíèåì. Òî

åñòü, ìû âñåãäà ìîæåì, óòî÷íÿÿ ðåçóëüòèðóþùèé ñöåíàðèé, âçÿòü ìåíüøåå çåðíî ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ, âûáðàòü íîâûå ðîè, êàê ýòî óêàçàíî âûøå, è ðàññìîòðåòü íîâóþ ìîäåëü äèíàìèêè ñ íîâûìè, áîëåå òî÷íûìè ñöåíàðèÿìè. Òî åñòü âñåãäà ìîæíî âûáðàòü áîëüøóþ òî÷íîñòü ïðèáëèæåíèÿ ðåàëüíîãî ñöåíàðèÿ, ÷òî è òðåáóåòñÿ â êîíñòðóêòèâèçìå. Ïðè îïðåäåëåííûõ ïàðàìåòðàõ ìû áóäåì èìåòü íàñòóïëåíèå óñëîâèé äëÿ ïåðåñòðîéêè ñ áîëüøîé âåðîÿòíîñòüþ. Ýòî äîëæíî ïðîèñõîäèòü ïðè áîëüøèõ óñêîðåíèÿõ. Ïîêàæåì, êàê íàøà ýâðèñòèêà äëÿ èçìåíåíèÿ ñåòè âûãëÿäèò ïðè ïðîñòåéøåì ðàñïàäå êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿ, âûçâàííîì äåêîãåðåíòíîñòüþ. Ìû ðàññìîòðèì, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ýëåêòðîí, íàõîäÿùèéñÿ â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè â ïîëå äâóõ êóëîíîâñêèõ öåíòðîâ (íàïðèìåð, ìîëåêóëÿðíûé èîí âîäîðîäà), ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè óâåëè÷èâàåòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè. Áóäåì ïðåäñòàâëÿòü íèòü, ñîîòâåòñòâóþùóþ ýëåêòðîíó, â âèäå êîëüöà. Ýòî ñîâåðøåííî áåçðàçëè÷íî â ñìûñëå ñîîòâåòñòâèÿ óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà, íî óäîáíî òîãäà, êîãäà ðå÷ü èäåò î ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèÿõ. Óäîáíî òàêæå ñ÷èòàòü, ÷òî îáìåí èìïóëüñàìè ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè ðîÿ ïðîèñõîäèò ñ ïîìîùüþ ýêçåìïëÿðîâ îòîíà, êîòîðûé èçëó÷àåòñÿ îäíèì ýêçåìïëÿðîì çàðÿæåííîé ÷àñòèöû è òóò æå ïîãëîùàåòñÿ ñîñåäíèì åå ýêçåìïëÿðîì â íèòè. Òîãäà ó íàñ ïîëó÷èòñÿ, ÷òî åñëè èçëó÷àþùèé ýêçåìïëÿð ÿâëÿåòñÿ êðàéíèì â íèòè, òî ïîÿâèâøèéñÿ ýêçåìïëÿð îòîíà ïðîñòî âûëåòèò çà åå ïðåäåëû. Ïóñòü îòîí îáðàçóåòñÿ ïðè ïðåâûøåíèè ïîðîãà

d

äëÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ñîñåäíèìè ýêçåìïëÿðàìè â ðîå. Òîãäà ýâîëþöèÿ ñåòè,

âêëþ÷àþùåé ýêçåìïëÿðû ýëåêòðîíà è îòîíà, áóäåò âûãëÿäåòü òàê. àññòîÿíèå ìåæäó ýêçåìïëðÿðàìè ïî ìåðå ðàñõîæäåíèÿ êóëîíîâñêèõ öåíòðîâ áóäåò óâåëè÷èâàòüñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà â íåêîòîðîé òî÷êå íèòè îíî íå ïðåâçîéäåò

d,

è òîãäà

áóäåò èçëó÷åí ýêçåìïëÿð îòîíà, ÷òî ýêâèâàëåíòíî ðàçðûâó íèòè. Ïîñëå ðàç-

224 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ

èñ. 5.10: Äèíàìèêà ñåòè â ðåàêöèè ýëåêòðîíà

H2 + O −→ H2 O .

Ïîêàçàíà íèòü îäíîãî

5.10.

225

ÈÇÌÅÍÅÍÈÅ ÑÅÒÈ ÂÎ ÂÅÌÅÍÈ

ðûâà ìû ìîæåì ïðåäïîëîæèòü, ÷òî íèòü êàêîå-òî âðåìÿ ñîõðàíÿåò ðàññòîÿíèÿ ìåíüøå

d ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè òàê ÷òî íîâîãî èçëó÷åíèÿ îòîíà íå ïðîèñõîäèò.

Òîãäà äâèæåíèå íèòè îïðåäåëÿåòñÿ îòäà÷åé îò èñïóùåííîãî ýêçåìïëÿðà îòîíà è íèòü ñîñêî÷èò ñ òîãî êóëîíîâñêîãî öåíòðà, â îêðåñòíîñòè êîòîðîãî ïðîèçîøåë åå ðàçðûâ. Ïîñêîëüêó íà÷àëî íèòè ïåðâîíà÷àëüíî îïðåäåëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíî, ó íàñ ïîëó÷èòñÿ, ÷òî âåðîÿòíîñòü ðîÿ ýëåêòðîíà îêàçàòüñÿ îêîëî êàæäîãî èç êóëîíîâñêèõ öåíòðîâ áóäåò ïðîïîðöèîíàëüíà ÷èñëó ýêçåìïëÿðîâ, êîòîðûå íàõîäèëèñü â îêðåñòíîñòè ýòîãî öåíòðà ñ ñàìîãî íà÷àëà. Íàïîìíèì, ÷òî ÷èñëî ýêçåìïëÿðîâ â åäèíèöå îáúåìà ÿâëÿåòñÿ ïëîòíîñòüþ ðîÿ, è îíà äîëæíà ïðè2 áëèæåííî ñîâïàäàòü ñ |Ψ| . Ýòî è äàåò íàì ñîãëàñîâàíèå ñ ïðàâèëîì Áîðíà

äëÿ âû÷èñëåíèÿ êâàíòîâûõ âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà â îäíî èç îñíîâíûõ ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé: îêîëî ïåðâîãî èëè îêîëî âòîðîãî êóëîíîâñêîãî öåíòðà ïðè ðàñïàäå îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ â ïîëå äâóõ êóëîíîâñêèõ öåíòðîâ. àññìîòðèì ïðîöåññ àññîöèàöèè àòîìà âîäîðîäà è ïðîòîíà â ìîëåêóëÿðíûé èîí âîäîðîäà. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ìîäåëü Áîðíà-Îïïåíãåéìåðà, òî åñòü áóäåì

ñ÷èòàòü ïðîòîíû êëàññè÷åñêèìè ÷àñòèöàìè, à êâàíòîâûé ýëåêòðîí, íàõîäÿùèéñÿ â îñíîâíîì ñîñòîÿíèè â ïîëå äâóõ êóëîíîâñêèõ öåíòðîâ - êàê èñòî÷íèê ïðèòÿãèâàþùåãî ïîòåíûèàëà ìåæäó íèìè. ðàèê ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè äâóõ ïðîòîíîâ ñ ó÷åòîì ïðèòÿæåíèÿ èõ ýëåêòðîíîì è êóëîíîâñêîãî îòòàëêèâàíèÿ âûãëÿäèò òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 4.3. Åñëè ðàññìîòðåòü ïðîñòî äâèæåíèå ÿäåð â äàííîì ïîòåíöèàëå, àññîöèàöèè íå ïðîèçîéäåò íèêîãäà, â ñèëó çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Ñàìàÿ ïðîñòàÿ ìîäåëü àññîöèàöèè çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ïîòåíöèàë äåéñòâóåò òîëüêî åñëè äâà ïðîòîíà íàõîäÿòñÿ â òàê íàçûâàåìîì ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè. Ñâÿçàííîå ñîñòîÿíèå äâóõ ïðîòîíîâ âîçíèêàåò èç íåñâÿçàííîãî, åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðîòîíàìè ñòàíîâèòñÿ ìåíüøå íåêîòîðîé ãðàíèöû

d,

à ïåðåõîäèò ñíîâà â íåñâÿçàííîå, êîãäà ýòî ðàññòîÿíèå

ñòàíîâèòñÿ áîëüøå íåêîòîðîãî áîëüøåãî ÷èñëà

D > d.

 ýòîì ñëó÷àå ó íàñ

áóäåò ïðîèñõîäèòü àññîöèàöèÿ äâóõ ïðîòîíîâ â ìîëåêóëÿðíûé èîí. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ñåòè ýòî âûãëÿäèò òàê. Ñíà÷àëà ýëåêòðîííàÿ íèòü áûëà íàâèòà êëóáêîì âîêðóã îäíîãî èç ïðîòîíîâ. Ñáëèæåíèå äâóõ ïðîòîíîâ âûçûâàåò ïðûæîê ýëåêòðîííîé íèòè, êîòîðàÿ áóäåò äâèãàòüñÿ â îêðåñòíîñòè ýòèõ äâóõ ïðîòîíîâ îäíîâðåìåííî. Òàêîé ïðûæîê ïðîèñõîäèò ïðè ïðåîäîëåíèè áàðüåðà

d.

Íèòü ïðîäîëæàåò îõâàòûâàòü ñîáîé îáà ïðîòîíà, åñëè ðàññòîÿíèå

íèìè ìåíüøå

D,

R

ìåæäó

è ñîñêàêèâàåò íà îäèí èç ïðîòîíîâ òîëüêî ïîñëå òîãî, êàê

ðàññòîÿíèå ïðåâçîéäåò ýòîò ïîðîã:

R > D . Òàêîé ñöåíàðèé âûãëÿäèò äîñòàòî÷íî 17

ïðàâäîïîäîáíî äëÿ òîãî, ÷òîáû ñëóæèòü â êà÷åñòâå ýëåìåíòà ýâðèñòèêè.

17 Ýòà

ïðîñòåéøàÿ õèìè÷åñêàÿ ðåàêöèÿ - ïåðåõîä ýëåêòðîíà, íåêîòîðûìè õèìèêàìè àññîöèèðóåòñÿ ñ ìåòàíèåì ãàðïóíà. Âèçóàëüíàÿ ìîäåëü ýòîé ðåàêöèè ïîäòâåðæäàåò òàêóþ àíàëîãèþ. Âîçìîæíî, áîëåå ïðàâèëüíîå ñðàâíåíèå áûëî áû ñ ìåòàíèåì àðêàíà, òàê êàê çäåñü ñèòóàöèÿ áóäåò áîëåå ðàâíîïðàâíîé.

226 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ

5.10.1 Óêàçàòåëè Äëÿ îïèñàíèÿ äèíàìèêè ñåòè âî âðåìåíè ïîëåçíûì èíñòðóìåíòîì ìîæåò áûòü ÿâíîå âûäåëåíèå äëÿ âñÿêîãî ýêçåìïëÿðà ðåàëüíîé ÷àñòèöû äðóãèõ ýêçåìïëÿðîâ, ñ êîòîðûìè îí ñâÿçàí ñâÿçÿìè. Òîãäà äèíàìèêà ñåòè ìîæåò áûòü îïèñàíà êàê èçìåíåíèå ýòèõ óêàçàòåëåé. Ìû íå áóäåì äàâàòü îáùåãî àëãîðèòìà äëÿ òàêîé ñìåíû, à âìåñòî ýòîãî ðàññìîòðèì îäèí ïðèìåð, â êîòîðîì äèíàìèêà óêàçàòåëåé ïîìîãàåò ïîñòðîèòü êà÷åñòâåííóþ äèíàìè÷åñêóþ êàðòèíó. Ýòîò ïðèìåð - çàâèñèìîñòü ñòàáèëüíîñòè àòîìíîãî ÿäðà îò ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîííîé îáîëî÷êè. Òàêàÿ çàâèñèìîñòü íåîæèäàííà ñ òî÷êè çðåíèÿ ÊÝÄ, ïîñêîëüêó ýíåðãèè ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîíîâ ñ ÿäðîì íà ìíîãî ïîðÿäêîâ íèæå ýíåðãèè âíóòðèÿäåðíûõ âçàèìîäåéñòâèé íóêëîíîâ. Ýêñïåðèìåíò çàêëþ÷àåòñÿ â íàêà÷êå ÿäðà íåéòðîíàìè, ïðè êîòîðîì îíî ïåðåõîäèò â ïîãðàíè÷íîå ñîñòîÿíèå, êîòîðîå ñòàáèëüíî òîëüêî ïðè çàïîëíåííûõ ýëåêòðîííûõ îáîëî÷êàõ. Ïðè èîíèçàöèè òàêîãî àòîìà íåìåäëåííî íà÷èíàåòñÿ ðàñïàä ÿäðà, òî åñòü âûëåò èç íåãî íåéòðîíîâ. Ýòî ÿñíî ãîâîðèò î íàëè÷èè ñâÿçè ìåæäó ýëåêòðîíàìè è ïðîòîíàìè, êîòîðàÿ âëèÿåò òàêæå è íà ìåæíóêëîííûå âçàèìîäåéñòâèÿ. Îòìåòèì, ÷òî âðÿä ëè ìîæíî íàäåÿòüñÿ îáúÿñíèòü äàííûé ïðîöåññ "ãèäðîäèíàìè÷åñêèì"äàâëåíèåì ýëåêòðîíîâ íà ÿäðî, êîòîðîå óìåíüøàåòñÿ ïðè èîíèçàöèè, äåëàÿ ÿäðî íåñòàáèëüíûì ïîäîáíî òîìó, êàê óäàëåíèå àòìîñåðû ïðèâîäèò ê èñïàðåíèþ âîäîåìîâ ïëàíåòû. Äåëî â òîì, ÷òî ðàçìåðû ýëåêòðîíà ñóùåñòâåííî áîëüøå ÷åì ó ÿäðà (åãî ìàãíèòíûé ìîìåíò çíà÷èòåëüíî áîëüøå, ïðè ìåíüøåé ìàññå). Ïîýòîìó "ãèäðîäèíàìè÷åñêèé"ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ìàäåëè äàííîãî ïðîöåññà âñòðå÷àåòñÿ ñ ñåðüåçíûìè çàòðóäíåíèÿìè. Ìû ðàññìîòðèì ïîäõîä ê ìîäåëèðîâàíèþ ýòîãî ïðîöåññà â òåðìèíàõ ñåòè. Ïóñòü çàðÿä ÿäðà ðàâåí

k

è â íåì

q

íåéòðîíîâ. Ïðè ýòîì êâàíòîâûì ìèðîì

ìîäåëè áóäåò êîðòåæ ýêçåìïÿðîâ âñåõ íóêëîíîâ è ýëåêòðîíîâ, âõîäÿùèõ â àòîì:

sp1,i1 , sp2,i2 , . . . , spk,ik , sn1,j1 , sn2,j2 , . . . , snq,jk , se1,l1 , se2,l2 , . . . , sek′,lk′ .

(5.43)

Çäåñü âåðõíèé èíäåêñ îáîçíà÷àåò âèä ýêçåìïëÿðà (ïðîòîí, íåéòðîí èëè ýëåê′ ′ òðîí), â íåéòðàëüíîì ñîñòîÿíèè àòîìà k = k , â èîíèçèðîâàííîì k < k . Ââåäåì äîïîëíèòåëüíîå ïðåäïîëîæåíèå, ñîãëàñíî êîòîðîìó óêàçàòåëè ýêçåìïëÿðîâ òàêîãî êîðòåæà óñòðîåíû òàê, ÷òî ýêçåìïëÿð ëþáîé ðåàëüíîé ÷àñòèöû óêàçûâàåò íà ýêçåìïëÿð íåáîëüøîãî ÷èñëà äðóãèõ ÷àñòèö (2-3), êîòîðûå îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè íåçàâèñèìî îò âûáîðà ýòîãî ýêçåìïëÿðà (òî åñòü ñîáñòâåííûå ñâÿçè íåêîòîðûì îáðàçîì ðåãëàìåíòèðîâàíû). Äëÿ íåéòðàëüíîãî àòîìà óêàçàòåëè äîëæíû îñòàâàòüñÿ â ñòàáèëüíîì ñîñòîÿíèè, òàê êàê çäåñü íè÷åãî íå ïðîèñõîäèò. Èîíèçàöèÿ (îòúåì ýëåêòðîíîâ) ïðèâîäèò ê íåèçáåæíîìó èçìåíåíèþ óêàçàòåëåé, òàê ÷òî â èîíèçèðîâàííîì àòîìå óæå íåëüçÿ óòâåðæäàòü, ÷òî îíè îñòàíóòñÿ íåèçìåííûìè. Âîçíèêøèé äåèöèò ýëåêòðîíîâ äîëæåí ïðèâåñòè ê òîìó, ÷òî âîçíèêíåò êîíêóðåíöèÿ çà íèõ ñî ñòîðîíû ïðîòîíîâ, ÷òî ïðèâåäåò ê ïîñòîÿííîé ñìåíå óêàçàòåëåé. Íåèçáåæíîñòü ïîñòîÿííîé ñìåíû óêàçàòåëåé âûòåêàåò èç ìîäåëè äèíàìè÷åñêîé äèóçèè, òàê êàê îòñóòñòâèå ýëåêòðîíà

5.10.

ÈÇÌÅÍÅÍÈÅ ÑÅÒÈ ÂÎ ÂÅÌÅÍÈ

227

(äûðêà) äîëæíà âåñòè ñåáÿ ïîäîáíî ýëåêòðîíó, òî åñòü ïðîÿâëÿòü êâàíòîâûå ñâîéñòâà, â ÷àñòíîñòè, åå "ðîé"äîëæåí ðàñïëûâàòüñÿ ñî âðåìåíåì. Äëÿ ñâÿçåé ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè ìîæíî ââåñòè íåêîòîðîå ïîäîáèå óïðóãèõ ñèë, êîòîðûå äîëæíû êâàíòîâàòüñÿ òàê, ÷òî ñâÿçü ðàçðûâàåòñÿ ïðè ïðåâûøåíèè íåêîòîðîìãî ïîðîãà íàãðóçêè, êîòîðûé ìîæíî íàçâàòü ïðî÷íîñòüþ äàííîé ñâÿçè. Òîãäà îòñóòñòâèå ðåàëüíîãî ýëåêòðîíà äîëæíî, â ñèëó îïèñàííîãî ìåõàíèçìà, ïðèâîäèòü ê íåáîëüøîìó ðîñòó íàïðÿæåíèÿ ñâÿçåé âíóòðè êîðòåæà 5.43. Åñëè ïðî÷íîñòü ñâÿçè ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè ïðîòîíîâ è íåéòðîíîâ íèæå òàêîé íàãðóçêè, ýòî ïðèâåäåò ê åå ðàçðûâó. Ýòà ìîäåëü ÷èñòî ýâðèñòè÷åñêàÿ, è îíà íå ìîæåò äàòü íèêàêèõ ÷èñëåííûõ ðåçóëüòàòîâ äî òåõ ïîð, ïîêà ìû íå îïðåäåëèëè ÷èñëåííûå ïàðàìåòðû, ñîîòâåòñòâóþùèå ñâÿçÿì. Òåì íå ìåíåå, òàêîå îïèñàíèå äàííîãî ïðîöåññà, ïî-âèäèìîìó, ïîçâîëÿåò ñòðîèòü åãî âèçóàëüíóþ êàðòèíêó, â îòëè÷èå îò äðóãèõ âàðèàíòîâ îáúÿñíåíèÿ, à ýòî ÿâëÿåòñÿ àðãóìåíòîì â ïîëüçó ìåòîäà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ. Íàäî îòìåòèòü, ÷òî ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ íå îãðàíè÷åí ÊÝÄ, ïîñêîëüêó äèíåìèêà ñåòè â äàííîì ñëó÷àå îïðåäåëÿåòñÿ òàêæå è ÿäåðíûìè ñèëàìè. Èòàê, ìû â îáùèõ ÷åðòàõ ïîêàçàëè, êàê äîëæíû âûãëÿäåòü â ìåòîäå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ - íà ÿçûêå ñåòè, ðàñïàä îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ýëåêòðîíà â ìîëåêóëÿðíîì èîíå âîäîðîäà, ñ èñïóñêàíèåì îòîíà, à òàêæå ïîãëîùåíèå ñâîáîäíîãî ýëåêòðîíà êóëîíîâñêèì ïîëåì ïðîòîíà. Äàííóþ ýâðèñòèêó ìîæíî ïðèìåíÿòü è â áîëåå ñëîæíûõ ñëó÷àÿõ, è ýòî òðåáóåò ïðèìåíåíèÿ êîìïüþòåðîâ. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ýòà êàðòèíà âûõîäèò çà ïðåäåëû ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè.  êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêå ìîæíî ðàññìîòðåòü äàííóþ è àíàëîãè÷íûå åé ïðîñòûå çàäà÷è â òåðìèíàõ âîëíîâûõ óíêöèé. Ýòî ñòàíäàðòíîå ðàññìîòðåíèå íå ìîæåò áûòü ìàñøòàáèðîâàíî íà ñëó÷àé íåñêîëüêèõ ÷àñòèö (äàæå 3) ïî óíäàìåíòàëüíûì ïðè÷èíàì. Ïðåäëîæåííûé íàìè ïóòü ñâîáîäåí îò ýòîãî èçúÿíà. Ýòîò êîíñòðóêòèâíûé ïóòü ñîäåðæèò òàêèå ïîíÿòèÿ, êàê ýêçåìïëÿðû è íèòü, êîòîðûõ íåò â ñòàíäàðòíîì îðìàëèçìå, è êîòîðûå ïîçâîëÿþò ïðîèçâåñòè êîíñòðóêòèâíîå "èçîáðàæåíèå"ïðîöåññîâ òàêîãî ðîäà, êîòîðîå áû îáëàäàëî ñâîéñòâîì ìàñøòàáèðóåìîñòè: àíàëîãè÷íî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü è áîëåå ñëîæíûå ñèñòåìû.

5.10.2 àçäåëåíèå ïðîñòðàíñòâåííûõ è ñïèíîâûõ ïåðåìåííûõ àññìîòðèì ñ òî÷êè çðåíèÿ êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ ïðèìåð ñ ìåõàíè÷åñêèì ïåðåìåùåíèåì ìàãíèòà, ãäå åãî ìàãíèòíîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå ñîñòîÿíèåì ýëåêòðîííûõ ñïèíîâ, ïåðåìåùàåòñÿ âñëåä çà ñàìèì ìàãíèòîì. Ñòàíäàðòíûé ãèëüáåðòîâ îðìàëèçì íå ïîçâîëÿë ðàññìàòðèâàòü ýòó çàäà÷ó åäèíûì îáðàçîì ñ ñîñòîÿíèÿìè îòäåëüíûõ ýëåêòðîíîâ, ïîñêîëüêó ïåðåìåùåíèå íå äåéñòâîâàëî íà ñïèíîâûå ïåðåìåííûå. Ýòî - ñåðüåçíàÿ ïðîáëåìà ñòàíäàðòíîãî îðìàëèçìà. Åäèíñòâåííûì ñïîñîáîì äåéñòâèÿ íà ñïèíîâûå ïåðåìåííûå ÿâëÿåòñÿ ñïèíîð-

228 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ áèòàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå, êîòîðîå î÷åíü ìàëî, è ñ åãî ïîìîùüþ íåëüçÿ îáúÿñíèòü ýåêò ïîâîðîòà ìàãíèòíîãî ïîëÿ âñëåä çà ìåõàíè÷åñêèì ïåðåìåùåíèåì ìàãíèòà.

 ìåòîäå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ êóñîê ìåòàëëà ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñåòè. Êàæäûé êâàíòîâûé ìèð ýòîé ñåòè îõâàòûâàåò âñå ýêçåìïëÿðû ÷àñòèö, 1 2 n ó÷àñòâóþùèõ â äàííîì ïðîöåññå. Ïóñòü ýòîò ìèð èìååò âèä si , si , . . . , sin ãäå 1 2 n ÷èñëî âñåõ ÷àñòèö. Òàêîé ìèð ó÷àñòâóåò â äèíàìè÷åñêîé äèóçèè ñî âñåìè äðóãèìè ìèðàìè, îáìåíèâàÿñü ñ íèìè èìïóëüñàìè òàê, êàê ýòî áûëî îïðåäåëåíî âûøå. Ïóñòü ÷èñëî âñåõ ÷àñòèö

n

ìàëî. Òîãäà öåíòð ìàññ äàííîãî ìèðà

ñìåùàåòñÿ íà ðàññòîÿíèÿ òàêîãî æå ïîðÿäêà Åñëè æå

n

δx,

÷òî è îòäåëüíûå ýêçåìïëÿðû.

âåëèêî, ýòî ñìåùåíèå áóäåò ãîðàçäî ìåíüøå.

Îðáèòàëüíûé ìîìåíò îäíîãî ýëåêòðîíà ÿâëÿåòñÿ íàñòîÿùèì ìîìåíòîì èìïóëüñà ðîÿ ýêçåìïëÿðîâ, ïðåäñòàâëÿþùèõ äàííûé ýëåêòðîí. Ñïèí ýëåêòðîíà òàêæå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ìîìåíò èìïóëüñà, íî òîëüêî åñëè ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýëåêòðîí ñîñòîèò èç íåñêîëüêèõ ÷àñòåé, òàê ÷òî ó êàæäîé èõ íèõ åñòü ñâîé ñîáñòâåííûé ðîé íåêîòîðîãî ðàçìåðà

δs x ≪ δx.  ýòîì ñëó÷àå íå ñóùåñòâó-

åò îòäåëüíûõ ñïèíîâîãî è êîîðäèíàòíîãî ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé. Êîíèãóðàöèîííîå ïðîñòðàíñòâî åäèíî, è ñïèí àâòîìàòè÷åñêè îêàçûâàåòñÿ ñâÿçàííûì ñ ïðîñòðàíñòâåííûìè êîîðäèíàòàìè. Ïóñòü â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå ìàëî ÷àñòèö, íàïðèìåð, ýòî àòîì â âàêóóìå. Òîãäà íå ñóùåñòâóåò äëèííûõ ñîáñòâåííûõ ñâÿçåé, ñîåäèíÿþùèõ åãî ñ ýêçåìïëÿðàìè ÷àñòèö, âõîäÿùèõ â ñèñòåìó îòñ÷åòà. Ñïèí îñòàåòñÿ íåèçìåííûì. Åñëè æå òàêèå ñâÿçè åñòü, êàê â öåëîì êóñêå ìåòàëëà, ó íàñ ïîëó÷èòñÿ ñâÿçü ñïèíà ñ ìåõàíè÷åñêèì ïåðåìåùåíèåì. Òàêèì îáðàçîì, çäåñü íå áóäåò îòäåëüíîãî êîîðäèíàòíîãî è ñïèíîâîãî êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà.

àçóìååòñÿ, ïðèâåäåííîå ðàññóæäåíèå î ÷àñòÿõ ýëåêòðîíà äîëæíî ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê óñëîâíîå îïèñàíèå ýëåìåíòîâ àäìèíèñòðàòèâíîé ÷àñòè íàøåé ìîäåëè, òî åñòü ïðèìåíåíèå òàêîãî ìåòîäà íå îçíà÷àåò âîçìîæíîñòè "ðàçäåëåíèÿ"ýëåêòðîíà íà ðåàëüíûå ÷àñòè. Ýòî îáåñïå÷èâàåòñÿ íàøèì ñîãëàøåíèåì î íèòÿõ, ñâÿçûâàþùèõ ýêçåìïëÿðû îäíîãî ðîÿ, à èìåííî, î òîì, ÷òî îíè èìåþò î÷åíü áîëüøóþ ïðî÷íîñòü.

Ìàñøòàáèðóåìûì ðàññìîòðåíèåì ÿâëÿåòñÿ èìåííî ïðåäñòàâëåíèå áîëüøîãî àíñàìáëÿ â âèäå ñåòè ýêçåìïëÿðîâ. Òîëüêî òàêîå ïðåäñòàâëåíèå äàåò íàì ñîãëàñèå ñ ïðèíöèïîì àëèëåÿ îòíîñèòåëüíîñòè äâèæåíèÿ. Äâèæåíèå êîîðäèíàòíûõ îñåé äîëæíî îïèñûâàòüñÿ â òåõ æå òåðìèíàõ, ÷òî è äâèæåíèå ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû. Ýòî òðåáóåò åäèíîîáðàçíîãî ïîäõîäà ê áîëüøèì è ìàëûì àíñàìáëÿì, ÷òî ó íàñ è ïîëó÷èòñÿ â ìåòîäå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ. Ñòàíäàðòíûé æå êâàíòîâûé îðìàëèçì ðàññìàòðèâàåò áîëüøîé àíñàìáëü (ñèñòåìó îòñ÷åòà) è ìàëûé (êâàíòîâóþ ñèñòåìó) êàê äâå ïðèíöèïèàëüíî ðàçíûå ñèñòåìû.

5.10.

229

ÈÇÌÅÍÅÍÈÅ ÑÅÒÈ ÂÎ ÂÅÌÅÍÈ

5.10.3 Êîíñòðóêòèâíàÿ òðàêòîâêà ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé Ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé

∆x∆p = h, ∆t∆E = h

òèïà êîîðäèíàòà - èì-

ïóëüñ è âðåìÿ - ýíåðãèÿ âõîäÿò â îñíîâàíèÿ ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè. Ìû äîëæíû äàòü èì êîíñòðóêòèâíóþ òðàêòîâêó. Äëÿ ïåðâîãî ñîîòíîøåíèÿ êîíñòðóêòèâíàÿ òðàêòîâêà âûòåêàåò èç äîêàçàííîãî ñîîòâåòñòâèÿ äèíàìè÷åñêîãî äèóçèîííîãî ðîÿ óðàâíåíèþ Øðåäèíãåðà. Îíà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî äëÿ òî÷íîãî îïðåäåëåíèÿ èìïóëüñà ýêçåìïëÿðîâ ðîÿ íàäî ñîáðàòü ýòè ýêçåìïëÿðû ñ áîëüøîé (ïî ñîîòâåòñòâóþùåé êîîðäèíàòå) ïðîñòðàíñòâåííîé îáëàñòè. àññìîòðèì âòîðîå ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé ýíåðãèè - âðåìåíè. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî äëÿ òî÷íîãî îïðåäåëåíèÿ ýíåðãèè ðîÿ íåîáõîäèìî áîëüøîå âðåìÿ, è ýòî áóäåò ïðàâèëüíî. Îäíàêî âðåìÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îñîáóþ âåëè÷èíó.  êîíñòðóêòèâèçìå ýòà âåëè÷èíà åñòü ÷èñëî øàãîâ ìîäåëèðóþùåãî àëãîðèòìà. Ìû âèäåëè, ÷òî âðåìÿ â êîíñòðóêòèâèçìå áûâàåò äâóõ òèïîâ: èçè÷åñêîå è àäìèíèñòðàòèâíîå. Ïåðâîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷èñëî êàäðîâ âèäåîèëüìà äëÿ ïîëüçîâàòåëÿ. Âòîðîå åñòü âíóòðåííåå âðåìÿ, êîòîðîå òðàòèò àëãîðèòì íà ñîçäàíèå èëüìà. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî äëèòåëüíîñòü èëüìà ñîñòàâëÿåò êàæäîì øàãå ìû ìîæåì ñîâåðøèòü îøèáêó

ǫ

T.

Íà

â îïðåäåëåíèè ñöåíàðèÿ. Òîãäà

ñóììàðíàÿ îøèáêà áóäåò ñîñòàâëÿòü ìàêñèìóì

Tǫ

òàê êàê â ñèëó ëèíåéíîñòè

êâàíòîâîé òåîðèè îøèáêè â ñàìîì õóäøåì ñëó÷àå äîëæíû ñêëàäûâàòüñÿ. Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïîëó÷èòü ïðàâäèâûé ñöåíàðèé äëÿ ëåíèÿ ñöåíàðèÿ äëÿ îäíîãî øàãà äîëæíà ñîñòàâëÿòü

T øàãîâ, òî÷íîñòü îïðåäå1/T . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ

ïîñòðîåíèÿ ïðàâäèâîãî âèäåîèëüìà áîëüøîé äëèòåëüíîñòè ìû äîëæíû òðàòèòü íà îáðàáîòêó êàæäîãî êàäðà áîëüøîå âðåìÿ. Îáðàáîòêà êàäðà îçíà÷àåò, ÷òî ìû îïðåäåëÿåì, ÷òî â íåì ïðîèñõîäèò, òî åñòü êàêèå ÷àñòèöû è êóäà ïåðåìåùàþòñÿ. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ òàêîãî äåòàëüíîãî ñöåíàðèÿ íåîáõîäèìî î÷åíü òî÷íîå ðàñïðåäåëåíèå ñîáûòèé âî âðåìåíè. Ýòî - àäìèíèñòðàòèâíîå âðåìÿ, êîòîðîå àëãîðèòì òðàòèò íà ïîäãîòîâêó êàäðà, òî åñòü ïîëüçîâàòåëü íå âèäèò âñåé ýòîé ðàáîòû. À òåïåðü ïîñìîòðèì, ÷òî ïðîèçîéäåò, åñëè ïîëüçîâàòåëü çàõî÷åò óçíàòü, êàêèå ýíåðãèè ïðè ýòîì èìåþò ó÷àñòâóþùèå ÷àñòèöû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîëüçîâàòåëÿ èíòåðåñóåò èçè÷åñêèé ïðîöåññ, ïðîèñõîäÿùèé â îäíîì êàäðå èëüìà, êîòîðûé îí ñîçåðöàåò. Íî òîãäà àäìèíèñòðàòèâíîå âðåìÿ íàøåé ìîäåëè ïðåâðàùàåòñÿ â ðåàëüíîå èçè÷åñêîå âðåìÿ. Åñëè ó íàñ áûëà î÷åíü òî÷íàÿ äåòàëèçàöèÿ ñîáûòèé âî âðåìåíè, òî èç ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé ýíåðãèÿ - âðåìÿ ñëåäóåò, ÷òî ýíåðãèÿ áóäåò íåîïðåäåëåííîé. Ìû ïîëó÷àåì î÷åíü ñåðüåçíûé âûâîä. Åñëè ìû õîòèì âèäåòü ñîäåðæàòåëüíûé èëüì áîëüøîé äëèòåëüíîñòè, ìû äîëæíû îòêàçàòüñÿ îò çíàíèÿ òî÷íûõ ýíåðãèé ÷àñòèö, ó÷àñòâóþùèõ â äàííîì ïðîöåññå. ×åì áîëåå ñîäåðæàòåëüíûé èëüì ìû âèäèì, òåì ìåíüøå ìû çíàåì î ýíåðãèÿõ, è íàîáîðîò. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó âûâîäó. ëàâíûì äëÿ íàñ ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå âèäåîèëüìà. Ïîýòîìó âû÷èñëåíèå ýíåðãèé äîëæíî íîñèòü

230 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ òîëüêî âñïîìîãàòåëüíûé õàðàêòåð, è ñëóæèòü äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðàâèëüíîãî ñöåíàðèÿ äëÿ êàæäîãî êàäðà âèäåîèëüìà. Íàïðèìåð, ñîáëþäåíèå çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè â ðåàêöèÿõ ÊÝÄ îáåñïå÷èâàåòñÿ èçëó÷åíèåì èëè ïîãëîùåíèåì îòîíîâ. Ýòè îòîíû, ñ ñâîþ î÷åðåäü, ìîãóò íàì ïîòðåáîâàòüñÿ òîëüêî â ñâÿçè ñ òåì, ÷òî îíè îïÿòü ãäå-òî èçëó÷àþòñÿ èëè ïîãëîùàþòñÿ. Ñâÿçè ìåæäó èõ ýêçåìïëÿðàìè ñîçäàþò ñâîéñòâà ñåòè, êëàññè÷åñêîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, è ò.ä., òî åñòü âëèÿþò íà î÷åðåäíûå äèíàìè÷åñêèå ñöåíàðèè. Òàêèì îáðàçîì, ðîëü çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ñîñòîèò òîëüêî â òîì, êàêóþ îíè îêàçûâàþò ïîìîùü â ñîçäàíèè äèíàìè÷åñêèõ ñöåíàðèåâ äëÿ êîìïüþòåðíîé ðåàëèçàöèè. Ïðè ýòîì èñòîðèÿ êîíêðåòíûõ ÷àñòèö, ó÷àñòâóþùèõ â ýòèõ ñöåíàðèÿõ, ÷àñòî áûâàåò íàì áåçðàçëè÷íà. Íàïðèìåð, ïðè àññîöèàöèè ìîëåêóë íàì íóæíî òîëüêî çíàòü, ÷òî èçëèøåê ýíåðãèè óíîñèòñÿ ýêçåìïëÿðàìè îòîíîâ, íî èõ äàëüíåéøàÿ ñóäüáà íàñ íå èíòåðåñóåò. Òåì íå ìåíåå, åñëè âäðóã âîçíèêíåò íåîáõîäèìîñòü â ó÷åòå ýòèõ ÷àñòèö äëÿ áîëåå ñëîæíîãî ñöåíàðèÿ, ìû âñåãäà ìîæåì ñ ëåãêîñòüþ âêëþ÷èòü èõ â ðàññìîòðåíèå.

5.11

Îñîáåííîñòè îïèñàíèÿ ÊÝÄ ñ ïîìîùüþ ñåòè

5.11.1 Ñâÿçü îòîíîâ ñ çàïóòàííîñòüþ Âñå, ñêàçàííîå ïðî ìîäåëèðîâàíèå ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîíÿòèÿ ñåòè, îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì è äëÿ òîãî ñëó÷àÿ, êîãäà îäíèì èç òèïîâ ðàññìàòðèâàåìûõ ðåàëüíûõ ÷àñòèö ÿâëÿþòñÿ îòîíû. Íî îòîíû îòëè÷àþòñÿ îò ÷àñòèö ñ íåíóëåâîé ìàññîé òåì, ÷òî èìåííî îíè ïåðåíîñÿò ýëåêòðîìàãíèòíîå âçàèìîäåéñòâèå, òî åñòü ñîçäàþò òîò ïîòåíöèàë

V

êîòîðûé èãóðèðóåò â óðàâíåíèè Øðåäèíãåðà

â îáû÷íîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Ïðàâèëüíîå ñåòåâîå îïèñàíèå îòîíîâ äîëæíî îñíîâûâàòüñÿ íà ñëåäóþùåì ðàññóæäåíèè, êîòîðîå ìû âîñïðîèçâîäèì çäåñü ïî êíèãå [14℄. àññìîòðèì äâå äâèæóùèåñÿ çàðÿæåííûå ÷àñòèöû áåç ñïèíîâ (óñëîâíî ìîæíî ñ÷èòàòü èõ äâóìÿ ýëåêòðîíàìè áåç ó÷åòà ñïèíîâ), è îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâóþa b ùèå èì òîêè j = e v ÷åðåç j è j (e - çàðÿä, v - ñêîðîñòü), êîìïîíåíòû êîòîðûõ îáîçíà÷àåì ñ ïîìîùüþ íèæíèõ èíäåêñîâ. Èõ ýëåêòðîìàãíèòíîå âçàèìîäåéñòâèå ñîñòîèò â òîì, ÷òî îíè îáìåíèâàþòñÿ îòîíàìè ñ àìïëèòóäîé, êîòîðàÿ íàõîäèò3 ñÿ ïî åíìàíîâñêîìó ïðàâèëó. Ìû èñïîëüçóåì çäåñü íå âåêòîðû â R , à âåêòîðû 4 â R , äëÿ êîòîðûõ (ïñåâäî)ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îïðåäåëÿåòñÿ êàê

a · b = −a1 b1 − a2 b2 − a3 b3 + a4 b4 .

(5.44)

Áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ òåì, ÷òî ïîëåò îòîíà âíîñèò âêëàä â àìïëèòóäó, ðàâíûé 1/q 2 ãäå q - åãî èìïóëüñ. Òàêîå ñîãëàøåíèå íè îò êóäà íå âûòåêàåò; îíî áåðåòñÿ òîëüêî äëÿ òîãî, ÷òîáû ó íàñ ïîëó÷èëîñü óðàâíåíèå Äèðàêà, òî åñòü â êîíå÷íîì ñ÷åòå - óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà. Ïðè ýòîì â [14℄ èñïîëüçóåòñÿ ýâðèñòèêà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ, êîòîðàÿ íå îðìóëèðóåòñÿ òàì ÿâíî, íàïðèìåð,

5.11.

ÎÑÎÁÅÍÍÎÑÒÈ ÎÏÈÑÀÍÈß ÊÝÄ Ñ ÏÎÌÎÙÜÞ ÑÅÒÈ

231

èñïîëüçóåòñÿ àíàëîãèÿ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû ñ èñòî÷íèêîì ðåàëüíûõ ÷àñòèö, ðàçëåòàþùèõñÿ âî âñå ñòîðîíû. Íî èç òàêèõ ïðåäïîñûëîê âûòåêàåò çàêîí Êóëîíà, è îïðåäåëåíèå ðåëÿòèâèñòñêèõ ïîïðàâîê ê ýòîìó çàêîíó. Èòàê, èñïîëüçóåì åéíìàíîâñêîå ïðàâèëî äëÿ íàõîæäåíèÿ àïëèòóäû ïðîöåññà èñïóñêàíèÿ - ïîãëîùåíèÿ îòîíà. Ïîëó÷àåì, ÷òî åñëè íàøè ÷àñòèöû îáìåíèâàþòñÿ îäíèì îòîíîì ñ èìïóëüñîì q è ïîëÿðèçàöèåé ǫ, òî âêëàä ýòîãî 1 b a îáìåíà â àìïëèòóäó áóäåò jµ (q)ǫµ 2 jµ (q)ǫµ ãäå ìîë÷àëèâîå ñóììèðîâàíèå ïî µ q ïðîèñõîäèò ñ èñïîëüçîâàíèåì çíàêîâ, êàê â 5.44. Ïóñòü èìïóëüñ îòîíà íàïðàâëåí ïî òðåòüåé êîîðäèíàòíîé îñè (÷åòâåðòàÿ, êàê îáû÷íî - âðåìÿ). Òîãäà ìû ïîëó÷èì, ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ÷åòâåðòàÿ êîîðäèíàòà â

q

åñòü çàðÿä, âûðàæåíèå

äëÿ àìïëèòóäû â âèäå

∆λ = ãäå

Q

ω2

1 (j a j b − j3a j3b − j2a j2b − j1a j1b ), − Q2 4 4

(5.45)

åñòü òðåõìåðíûé èìïóëüñ îòîíà. Ïåðâûå äâà ÷ëåíà äàäóò íàì êóëîíîâ-

ñêîå ïîëå, à âòîðûå äâà - âêëàä ïîïåðå÷íûõ îòîíîâ. Èñïîëüçóÿ ñîõðàíåíèå òîêà

qµ jµ (q) = 0,

ïîëó÷àåì

ωj4 = Qj3 ,

÷òî äàåò íàì îáùåå âûðàæåíèå äëÿ

àìïëèòóäû âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ çàðÿäîâ

X j4a j4b ∆λ = − 2 − (ω 2 − Q2 ). Q 2 2

(5.46)

ω ≈Q

Çàìåòèì, ÷òî çäåñü ìû èìååì ïðàâî ïðîâîäèòü ñóììèðîâàíèå èìåííî ïîòîìó, ÷òî ìû íå â ñîñòîÿíèè ðàçëè÷èòü âêëàäû â ïðîöåññ îò ðàçíûõ îòîíîâ: îòîíû èñ÷åçàþò â íåì ! Åñëè ìû òåïåðü ïåðåéäåì â ïðîñòðàíñòâåííî - âðåìåííûå êîîðäèíàòû â ãèëüáåðòîâñêîì ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé ñ ïîìîùüþ

j4 (Q, ω) =

Z

ρ(x, t) exp(−i(Qx − ωt))d3xdt,

è íàéäåì âêëàä â àìïëèòóäó îò ïåðâîãî ñëàãàåìîãî â 5.46. Èíòåãðèðîâàíèå ïî

dω

äàñò

2πδ(ta − tb ),

òî åñòü âçàèìîäåéñòâèå, îáóñëîâëåííîå ïåðâûì âêëàäîì, 4π 3 äîëæíî áûòü ìãíîâåííûì. Èíòåãðèðîâàíèå æå ïî d Q äàñò − . Òî åñòü ó |xa −xb | íàñ ïîëó÷àåòñÿ ìãíîâåííîå êóëîíîâñêîå âçàèìîäåéñòâèå. Òàê æå ìîæíî íàéòè âêëàä ïîïåðå÷íûõ îòîíîâ, ïðîèñõîäÿùèé èç ïîñëåäíåãî ñëàãàåìîãî â 5.46, ÷òî äàñò çàïàçäûâàþùåå âçàèìîäåéñòâèå, òî åñòü ðàñïðîñòðàíÿþùååñÿ ñî ñâåòîâîé ñêîðîñòüþ äåéñòâèå ïîïåðå÷íûõ îòîíîâ. Èç íåãî âûòåêàåò çàêîí Àìïåðà âçàèìîäåéñòâèÿ òîêîâ, åñëè ðàññìàòðèâàåìûå çàðÿäû áóäóò äâèãàòüñÿ íå â âàêóóìå, à â ïðîâîäíèêå, è èñïûòûâàòü ñòîëêíîâåíèÿ ñ åãî ÷àñòèöàìè. Òàêîå ðàññóæäåíèå, íåêîððåêòíîå ñî ñòàíäàðòíîé àíàëèòè÷åñêîé òî÷êè çðå2 2 2 íèÿ, ìîæíî ñäåëàòü êîððåêòíûì â êîíñòðóêòèâèçìå, ñ÷èòàÿ, ÷òî Q è ω − Q

îòäåëåíû îò íóëÿ íåêîòîðûì ïîðîãîì

ǫ > 0.

Ýòî äàñò óòî÷íåíèå äèíàìèêè

232 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ íèòåé, ñâÿçûâàþùèõ ýêçåìïëÿðû îòîíà. Ìû äîëæíû óñòàíîâèòü, ÷òî ïåðåäà÷à èìïóëüñà âäîëü òàêîé íèòè ïðîèñõîäèò ïðàêòè÷åñêè ìãíîâåííî, õîòÿ ñàìè ýêçåìïëÿðû äâèãàþòñÿ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà. Ïåðåäà÷à æå èìïóëüñà ïåðïåíäèêóëÿðíî îòîííîé íèòè ïðîèñõîäèò ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà, òî åñòü íå ìãíîâåííî. Ìû òàêæå äîëæíû ïðèçíàòü, ÷òî êóëîíîâñêîå âçàèìîäåéñòâèå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ âäîëü îòîííûõ íèòåé, à òî, ÷òî íàçûâàåòñÿ îáìåíîì ïîïåðå÷íûìè îòîíàìè - ïåðïåíäèêóëÿðíî. Åñëè îòîííóþ íèòü ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñåáå â âèäå ñòðóíû, íàòÿíóòîé ìåæäó äâóìÿ ýêçåìïëÿðàìè çàðÿæåííûõ ÷àñòèö, òî ïîïåðå÷íûé îòîí, äëÿ êîòîðîãî

ω ≈ |Q|

íàäî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå êàê ïîïåðå÷íóþ âîëíó,

ðàñïðîñòðàíÿþùàÿñÿ âäîëü ýòîé ñòðóíû. Èíîðìàöèþ íåëüçÿ ïåðåäàâàòü, èñïîëüçóÿ ïðîäîëüíûå îòîíû, òàê êàê ýòè îòîíû ñîçäàþò ïðîñòî íàòÿæåíèå íèòè, íî íå åå êîëåáàíèÿ (îíè âñåãäà ïîïåðå÷íû). Èíîðìàöèÿ ïåðåäàåòñÿ òîëüêî êîëåáàíèÿìè, òî åñòü ïîïåðå÷íûìè, èè ðåàëüíûìè îòîíàìè, ó êîòîðûõ âåêòîðà ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëÿ 3 âìåñòå ñ èìïóëüñîì îáðàçóþò îðòîãîíàëüíûé áàçèñ â R .  ñâåòå òàêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ îòîíîâ ìû ìîæåì, ñòðîãî, ãîâîðÿ, âîîáùå íå ñ÷èòàòü èõ ðåàëüíûìè ÷àñòèöàìè, åñëè ýòî íå äèêòóåòñÿ òåõíè÷åñêîé íåîáõîäèìîñòüþ ìîäåëè (íàïðèìåð, óäîáñòâîì åå ïðîãðàììíîé ðåàëèçàöèè). Èõ ñóùåñòâîâàíèå êàê èçîëèðîâàííûõ ÷àñòèö ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü ñåáå ïðîñòî êàê ñâîéñòâà ñâÿçåé ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè äâóõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö. Íàïðèìåð, îáðûâ íèòè, ñîîòâåòñòâóþùåé ýëåêòðîíó, ïðè åãî ïàäåíèè íà ïðîòîí, ïðåäñòàâëÿåìûé â òåðìèíàõ äèíàìèêè ýòîé íèòè (ñàìîå ïðîñòîå - îáðûâ ïðè ïðåâûøåíèè ïîðîãà

δx ðàññòîÿíèÿ ìåæäó

ñîñåäíèìè ýêçåìïëÿðàìè), è åñòü êðèòåðèé èñïóñêàíèÿ îòîíà, ïîðîæäàþùåãî ñîîòâåòñòâóþùóþ îòäà÷ó íà ýêçåìïëÿðû ýëåêòðîíà è ñâÿçàííûå ñ íèìè ýêçåìïëÿðû ïðîòîíà.  òàêèõ òåðìèíàõ ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü ðàçëè÷èå ìåæäó ïîëåì è îòäåëüíûìè îòîíàìè. àññóæäåíèå, ïðèâåäåííîå âûøå, ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîëå ïîëó÷àåòñÿ, êîãäà åãî èñòî÷íèê ñîñòàâëÿåò çàïóòàííîå ñîñòîÿíèå ìíîãèõ ÷àñòèö; â òåðìèíàõ êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ èõ ýêçåìïëÿðû äîëæíû áûòü ñâÿçàíû ñâÿçÿìè. Ìû âèäåëè, ÷òî ýòî ñâÿçè, ïî êîòîðûì ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ìãíîâåííîå êóëîíîâñêîå âçàèìîäåéñòâèå, ÷òî îçíà÷àåò, ÷òî âî âñåõ ýêçåìïëÿðàõ, ó÷àñòâóþùèõ â íèõ - îäèíàêîâîå âðåìÿ. Åñëè æå ó íàñ åñòü èñòî÷íèêè îòäåëüíûõ îòîíîâ (íàïðèìåð, ìèëëèîí ëàçåðîâ), òàêèõ ñâÿçåé ìåæäó èñòî÷íèêàìè îòîíîâ íåò, è, çíà÷èò, âðåìÿ ó âñåõ ýòèõ èñòî÷íèêîâ ðàçëè÷íîå. Òîãäà ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíûì, ïî÷åìó ïîëå äîëæíî äåéñòâîâàòü ãîðàçäî ñèëüíåå, ÷åì îòäåëüíûå îòîíû. Áóäåì â êà÷åñòâå àòðèáóòîâ ýêçåìïëÿðîâ ó÷èòûâàòü âðåìÿ, à íå òîëüêî êîîðäèíàòû â ïðîñòðàíñòâå. Òîãäà â ñëó÷àå ïîëÿ ó íàñ åñòü áîëüøèå êîìïîíåíòû ñâÿçíîñòè ñåòè ïî ñîáñòâåííûì ñâÿçÿì, ïîñêîëüêó âðåìÿ îäèíàêîâî, à â ñëó÷àå îòäåëüíûõ îòîíîâ òàêèõ êîìïîíåíò ñâÿçíîñòè íåò, òàê êàê âðåìÿ ó èñòî÷íèêîâ ðàçíîå (ñì. ðèñóíîê) ! Åñëè ðàññìàòðèâàòü ñåòè êàê ðåàëüíûå ìåõàíè÷åñêèå, ýòî ïðèâåäåò êàê ðàç ê òîìó, ÷òî â ñëó÷àå îòäåëüíûõ â ñëó÷àå ïîëÿ èç

n

n îòîíîâ èõ äåéñòâèå

áóäåò â

n ðàç ìåíüøå, ÷åì

îòîíîâ, êàê ýòî è ïðåäñêàçûâàåò êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà (ñì.

5.11.

233

ÎÑÎÁÅÍÍÎÑÒÈ ÎÏÈÑÀÍÈß ÊÝÄ Ñ ÏÎÌÎÙÜÞ ÑÅÒÈ

ïðèâåäåííîå âûøå ðàññóæäåíèå èç êíèãè [14℄). Êîíå÷íî, ýòè ðàññóæäåíèÿ íåâîçìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ íåïîñðåäñòâåííîãî ïîëó÷åíèÿ ÷èñëåííûõ îöåíîê. Èõ öåëü - ïîêàçàòü ïðèãîäíîñòü ÿçûêà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ àëãîðèòìîâ, ñîãëàñîâàííûõ ñî ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé èçèêîé. Íî ýòà ìîäåëü íå ìîæåò äàòü íàì çàêîíà Àìïåðà âçàèìîäåéñòâèÿ òîêîâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äâà íàøèõ ýëåêòðîíà äâèæóòñÿ ïàðàëëåëüíî äðóã äðóãó ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ. Òîãäà ìåæäó íèìè äîëæíà äåéñòâîâàòü òîëüêî êóëîíîâñêàÿ ñèëà. Äåéñòâèòåëüíî, îáìåí ïîïåðå÷íûìè îòîíàìè áóäåò íåâîçìîæåí ïî ïðè÷èíå òîãî, ÷òî îíè íå áóäóò èñïóñêàòüñÿ ïðè ðàâíîìåðíîì è ïðÿìîëèíåéíîì äâèæåíèè. Åñëè ìû ïåðåéäåì ê ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì â èõ öåíòðå ìàññ, îíè áóäóò ïîêîèòüñÿ â íåé, è åäèíñòâåííîé ñèëîé, äåéñòâóþùåé ìåæäó íèìè, áóäåò êóëîíîâñêàÿ, ïðîèñòåêàþùàÿ èç îáìåíà ïðîäîëüíûìè îòîíàìè.  êàêîì ñëó÷àå áóäåò ïðîèñõîäèòü îáìåí ïîïåðå÷íûìè îòîíàìè ? Ýòî áóäåò èìåòü ìåñòî òîëüêî òîãäà, êîãäà ýëåêòðîíû äâèæóòñÿ ñ óñêîðåíèåì. Òàêîå óñêîðåíèå, â ñâîþ î÷åðåäü, ìîæåò áûòü âûçâàíî òîëüêî îäíîé ïðè÷èíîé â ðàìêàõ ÊÝÄ: èõ âçàèìîäåéñòâèåì ñ íåêèìè ïîñòîðîííèìè ïðîäîëüíûìè îòîíàìè, òî åñòü êàêèì-òî êóëîíîâñêèì ïîëåì. Íàïðèìåð, åñëè îäèí èç ýëåêòðîíîâ áóäåò ïðèòÿãèâàòüñÿ ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííûì àòîìíûì ÿäðîì, è, èñïûòàâ óñêîðåíèå, èñïóñòèò ïîïåðå÷íûé îòîí ñîãëàñíî åéíìàíîâñêîìó ïðàâèëó. À òåïåðü ðàññìîòðèì äðóãóþ ñèòóàöèþ: ýëåêòðîí, äâèæóùèéñÿ â ïðîâîäíèêå ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííîãî ê íåìó íàïðÿæåíèÿ. Òàêîé ýëåêòðîí áóäåò èñïûòûâàòü ïîñòîÿííûå ñîóäàðåíèÿ ñ àòîìàìè ðåøåòêè, ãäå êàæäîå ñîóäàðåíèå îçíà÷àåò äåéñòâèå îòòàëêèâàþùåãî ïîòåíöèàëà ñî ñòîðîíû äðóãèõ ýëåêòðîíîâ, êîòîðûå îêðóæàþò ÿäðà àòîìîâ ýòîé ðåøåòêè. Ñîóäàðåíèÿ áóäóò ïðîèñõîäèòü äàæå åñëè ñêîðîñòü ýëåêòðîíà ðàâíà íóëþ ïðîñòî çà ñ÷åò ðàñïëûâàíèÿ åãî âîëíîâîé óíêöèè (ñì. ÿäðî 4.21). Ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü ýòî êàê äâèæåíèå ýëåêòðîíà â ïîëîé òðóáêå, ïðè êîòîðîì îí ñòàëêèâàåòñÿ ñ åå ñòåíêàìè. Ñòåíêà îáðàçîâàíà ñåòüþ ýêçåìïëÿðîâ ñîñòàâëÿþùèõ åå ÿäåð è ýëåêòðîíîâ, òî åñòü, ñ òî÷êè çðåíèÿ ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè, îíà íàõîäèòñÿ â çàïóòàííîì êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè òèïà

GHZ .

Ïîýòîìó èçëó÷àåìûå ïðè ýòèõ ñòîëêíîâåíèÿõ ýêçåìïëÿ-

ðû îòîíîâ áóäóò ñâÿçàíû îäíîé îáùåé íèòüþ. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò òîìó, ÷òî íåâîçìîæíî îïðåäåëèòü, êàêîå ñòîëêíîâåíèå ýëåêòðîíà ïîðîäèëî äàííûé îòîí (ñì. ìîäåëèðîâàíèå êâàíòîâûõ ñèñòåì).  ýòîì ñëó÷àå, êàê ìû âèäåëè, àìïëèòóäà èñïóñêàíèÿ îòîíà áóäåò ðàâíà ñóììå âîëíîâûõ óíêöèé îòîíîâ

P

φj ,

j

÷òî è áóäåò äàâàòü íàì âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî ïðîâîäíèêîì.  òåðìèíàõ ñåòè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èç-çà íàëè÷èÿ íèòè, ñâÿçûâàþùåé ýêçåìïëÿðû ÿäåð è ýëåêòðîíîâ ïðîâîäíèêà, âñå ýêçåìïëÿðû îòîíîâ òàêæå áóäóò ñâÿçàíû îäíîé íèòüþ, è èìåííî ýòî äàåò íàì âîçìîæíîñòü ñêëàäûâàòü èìåííî àìïëèòóäû, à íå âåðîÿòíîñòè; åñëè áû ìû ñêëàäûâàëè âåðîÿòíîñòè, ïîëó÷àåìîå ïîëå íàäî áûëî áû ðàçäåëèòü íà ÷èñëî âñåõ îòîíîâ, ÷òî óìåíüøèëî áû åãî âî ìíîãî ðàç.

234 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ

èñ. 5.11: Ïîëå è îòäåëüíûå îòîíû

5.11.

ÎÑÎÁÅÍÍÎÑÒÈ ÎÏÈÑÀÍÈß ÊÝÄ Ñ ÏÎÌÎÙÜÞ ÑÅÒÈ

235

Èòàê, ñåòåâîå îïèñàíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ñóùåñòâåííî îïðåäåëÿåòñÿ íàëè÷èåì íèòè, ñâÿçûâàþùåé ýêçåìïëÿðû èçëó÷åííûõ îòîíîâ: ýòà íèòü íå ìîæåò îáðàçîâàòüñÿ ñàìà ïî ñåáå, îíà ìîæåò òîëüêî íàñëåäîâàòüñÿ îò òîé íèòè, êîòîðàÿ ñâÿçûâàëà ýêçåìïëÿðû àíñàìáëÿ, èçëó÷èâøåãî ýòè îòîíû. Áîëåå òîãî, ñàìî ðàçäåëåíèå ýòîé åäèíîé íèòè íà îòäåëüíûå îòîíû äîâîëüíî óñëîâíî, òàê êàê íåïîñðåäñòâåííîìó äåòåêòèðîâàíèþ ïîäëåæèò òîëüêî ìåõàíè÷åñêîå êîëåáàíèå, âûçûâàåìîå êîíòàêòîì ñ ýòîé íèòüþ â áîëüøîì àíñàìáëå. Åñëè áû âìåñòî ïðîâîäíèêà ñ òîêîì ìû âçÿëè î÷åíü ìíîãî ëàçåðîâ, òî íàì íå óäàëîñü áû ñîçäàòü òàêîãî æå ïîëÿ, ïîñêîëüêó â ýòî ñëó÷àå ìû ïîëó÷èëè áû åäèíè÷íûå îòîíû, à íå öåëüíóþ íèòü, è ïîëå áûëî áû, ñîîòâåòñòâåííî, ãîðàçäî ñëàáåå.

5.11.2 Ôîòîííûå íèòè Òåïåðü ðàññìîòðèì òå ñëåäñòâèÿ, êîòîðûå äàåò íàì ïîíÿòèå íèòè, ñâÿçûâàþùåé ýêçåìïëÿðû îòîíà, è êàê îíè ïîìîãàþò èçáàâèòüñÿ îò íåêîòîðûõ òðóäíîñòåé â ÊÝÄ, âîçíèêàþùèõ âñëåäñòâèå ïðèìåíåíèÿ êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêè. Îäíà èç òðóäíîñòåé ñîñòîèò â íåâîçìîæíîñòè êîððåêòíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ïîëÿ â âèäå ïîòîêà òî÷å÷íûõ ÷àñòèö. Ôîðìàëüíî åå ìîæíî ñ ëåãêîñòüþ îáîéòè, íå ðàññìàòðèâàÿ ýòè òî÷å÷íûå ÷àñòèöû âîîáùå, êàê ïî òðàäèöèè è äåëàåòñÿ. Òåì íå ìåíåå, òàêîå ïðåäñòàâëåíèå ïîëÿ êàê ïîòîêà òî÷å÷íûõ ÷àñòèö ñëóæèò åäèíñòâåííûì èñòî÷íèêîì ýâðèñòèêè äëÿ ÊÝÄ, à â ìíîãî÷àñòè÷íûõ çàäà÷àõ ðîëü ýâðèñòèêè òàêîâà, ÷òî òðàäèöèîííûé ïðèåì â ýòîì ñëó÷àå ñîçäàåò ñåðüåçíûå ïðåïÿòñòâèÿ. Ñóòü òðóäíîñòè â ñëåäóþùåì.  ïðåäûäóùåì ïàðàãðàå ìû âèäåëè, ÷òî êóëîíîâñêîå (ñêàëÿðíîå) ïîëå äîëæíî ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ìãíîâåííî, ÷òî ñ î÷åâèäíîñòüþ äåëàëî áû âîçìîæíûìè ìãíîâåííûå äàëüíèå êîììóíèêàöèè. Èìåííî ýòî äåëàåò íåâîçìîæíûì òî÷å÷íîå ïðåäñòàâëåíèå ïîëÿ. Ïðè èñïîëüçîâàíèè îòîííûõ íèòåé ïîäîáíàÿ òðóäíîñòü íå âîçíèêàåò. Èìïóëüñ âäîëü íèòè, ïåðåäàþùèé êóëîíîâñêîå ïîëå (ýòî íàçûâàåòñÿ â ÊÝÄ ïðîäîëüíûìè îòîíàìè), äåéñòâèòåëüíî, ìîæåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ñêîëü óãîäíî áûñòðî. Îäíàêî åãî íåâîçìîæíî èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå íîñèòåëÿ ïîëüçîâàòåëüñêîé èíîðìàöèè, òàê êàê îíà ìîæåò ïåðåäàâàòüñÿ òîëüêî ïðè ïåðåìåùåíèè ñàìîé íèòè. Ñàìà æå íèòü ïåðåìåùàåòñÿ â ðåçóëüòàòå ïîïåðå÷íûõ ïåðåìåùåíèé åå ýêçåìïëÿðîâ (÷òî ñîîòâåòñòâóåò ïîïåðå÷íûì îòîíàì). Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïîïåðå÷íàÿ âîëíà âäîëü íèòè îçíà÷àåò ðàçìàòûâàíèå íîâîé íèòè, íàïðàâëåíèå êîòîðîé ïðèìåðíî ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ñòàðîé, è òàêîå ðàçìàòûâàíèå ïðîèñõîäèò ñî ñêîðîñòüþ ïåðåìåùåíèÿ ýêçåìïëÿðîâ îòîíà, òî åñòü ñî ñâåòîâîé. Ïîýòîìó, åñëè â íåêîòîðîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà ïðîèñõîäèò ðàñïàä íåéòðàëüíîãî òåëà íà äâå ïðîòèâîïîëîæíî çàðÿæåííûå ÷àñòèöû, êîòîðûå ñ áîëüøîé ñêîðîñòüþ ðàçëåòàþòñÿ, òî â óäàëåííîé íà ðàññòîÿíèå

s òî÷êå ýåêò s/c, à íå

îò èçìåíåíèÿ êóëîíîâñêîãî ïîëÿ áóäåò äîòñóïåí òîëüêî ÷åðåç âðåìÿ ìãíîâåííî, êàê áûëî áû ïðè îòñóòñòâèè íèòåé.

Âòîðàÿ òðóäíîñòü ñâÿçàíà ñ ðàñõîäèìîñòüþ ðÿäà äëÿ àìïëèòóäû ïîêàçàííîãî íà ðèñóíêå ïðîöåññà ñ èçëó÷åíèåì äâóõ îòîíîâ. àññìîòðèì ýòó ñèòóàöèþ â

236 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ èñ. 5.12: àçðåøåííûå è çàïðåùåííûå äèàãðàììû â ìåòîäå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ

òåðìèíàõ íèòåé ýêçåìïëÿðîâ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû, èñïóñêàþùåé îòîíû. Òîãäà èñïóñêàíèå îòîíà è ïîãëîùåíèå òîãî æå ñàìîãî îòîíà ÷àñòèöåé íàäî òðàêòîâàòü êàê ïåðåäà÷ó èìïóëüñà âäîëü íèòè. Ïðè ýòîì íèêàêîãî ðåàëüíîãî îòîíà íå ñóùåñòâóåò, à â ïåðåäà÷å òîëüêî çàäåéñòâóåòñÿ ó÷àñòîê íèòè ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè ýêçåìïëÿðàìè ÷àñòèöû. åàëüíûé æå îòîí, êîòîðûé ìîæíî äåòåêòèðîâàòü, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íèòü ñâîèõ ýêçåìïëÿðîâ, îòäåëèâøóþñÿ îò íèòè ÷àñòèöû. Òàêèì îáðàçîì, äèàãðàììà, ïðèâîäÿùàÿ ê ðàñõîäèìîñòè â ÊÝÄ áóäåò â ÿçûêå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ çàïðåùåííîé. Ìåæäó èñïóñêàíèåì è ïîãëîùåíèåì îòîíà òîé æå ÷àñòèöåé íå ìîæåò ïðîèñõîäèòü íèêàêèõ äðóãèõ ñîáûòèé, ñâÿçàííûõ ñ èçëó÷åíèåì èëè ïîãëîùåíèåì îòîíîâ.

5.12

×òî ìû íàäååìñÿ äîñòè÷ü ñ ïîìîùüþ ýâðèñòèêè êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ

Ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ïîèñêà ñîâåðøåííî êîíêðåòíîãî òèïà ýåêòîâ â ñëîæíûõ ñèñòåìàõ, êîòîðûå ìîæíî óñëîâíî íàçâàòü ýåêòàìè ãëîáàëüíîé ñèíõðîíèçàöèè. àññìîòðèì äâà àòîìà, êàæäûé èç êîòîðûõ îáëàäàåò âàëåíòíûì ýëåêòðîíîì, è ñïîñîáåí îáðàçîâàòü õèìè÷åñêóþ ñâÿçü.

5.12. ×ÒÎ ÌÛ ÍÀÄÅÅÌÑß ÄÎÑÒÈ×Ü Ñ ÏÎÌÎÙÜÞ ÝÂÈÑÒÈÊÈ ÊÎËËÅÊÒÈÂÍÎ Î Ï

Äîïóñòèì, ÷òî ýòè àòîìû âêëþ÷åíû â íåêóþ áîëüøóþ ìîëåêóëó ïîëîæåíèå èêñèðîâàíî. àññìîòðèì äðóãóþ ìîëåêóëó

B,

A,

òàê ÷òî èõ

â êîòîðîé òîæå åñòü

äâà àòîìà ñ àíàëîãè÷íûìè ñâîéñòâàìè, è ðàñïîëîæåííûå íà òîì æå ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà. Ïóñòü ýòè äâå ìîëåêóëû ïîìåùåíû â ðàñòâîð è èñïûòûâàþò èíòåíñèâíûå óäàðû ñî âñåõ ñòîðîí. Ìîëåêóëû òèïà

AèB

ìîãóò îáðàçîâàòü àñ-

ñîöèàöèþ, åñëè îáå ïàðû àòîìîâ àññîöèèðóþò ñ ïîìîùè ïàðû ñâîèõ âàëåíòíûõ ýëåêòðîíîâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðèòÿãèâàþùèé ïîòåíöèàë êâàäðàòè÷íîãî âèäà, êîòîðûé ñîçäàåò âàëåíòíóþ ñâÿçü ìåæäó äâóìÿ àòîìàìè, ìû ïðåäñòàâèëè â âèäå ïñåâäîïîòåíöèàëà. Ýòî - âñåãî ëèøü ãèïîòåòè÷åñêàÿ ìîäåëü, êîòîðóþ ìû èñïîëüçóåì äëÿ èëëþñòðàöèè èäåè. Ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî èñòèííûé ïîòåíöèàë - ïåðåìåííûé, è ñîñòîèò èç ÷åðåäóþùèõñÿ âî âðåìåíè íóëåâîãî ïîòåíöèàëà è êâàäðàòè÷íîãî - ïðèòÿãèâàþùåãî. Ñðàâíèì äâå ñèòóàöèè: 1) Îáå ïàðû àòîìîâ, êîòîðûå äîëæíû àññîöèèðîâàòü, èìåþò íåñèíõðîíèçèðîâàííîå ÷åðåäîâàíèå ïîòåíöèàëîâ. 2) Îáå ïàðû àññîöèèðóþùèõ àòîìîâ èìåþò ñèíõðîíèçèðîâàííîå ÷åðåäîâàíèå ïîòåíöèàëîâ (íàïðèìåð, ïðèòÿãèâàþùèé ñåãìåíò ïîÿâëÿåòñÿ îäíîâðåìåííî äëÿ îáåèõ ïàð). Òîãäà ýòè äâà ñëó÷àÿ ìîæíî ðåàëüíî ðàçëè÷èòü â ýêñïåðèìåíòå. Ïðè íåñèíõðîíèçèðîâàííûõ ïîòåíöèàëàõ âîçìîæíû âíåøíèå óäàðû ïî ìîëåêóëàì â òî âðåìÿ, êîãäà îäíà èç ïàð àòîìîâ ïðèòÿãèâàåòñÿ, à äðóãàÿ - íåò, ÷òî ìîæåò ïðèâåñòè ê îáðàòíîìó àññîöèàöèè ýåêòó, òàê êàê ó íàñ âîçíèêàåò ïàðà ìîëåêóë, çàêðåïëåííàÿ ðîâíî â îäíîé òî÷êå. Ïðè ñèíõðîíèçèðîâàííûõ ïîòåíöèàëàõ òî÷åê çàêðåïëåíèÿ âñåãäà äâå, è äèíàìèêà ìîëåêóë

A è B áóäåò èíàÿ, ÷òî è ìîæíî

îáíàðóæèòü. Ìû ïðèâåëè èñêóññòâåííûé ïðèìåð, èëëþñòðèðóþùèé, ÷òî òàêîå ãëîáàëüíàÿ ñèíõðîíèçàöèÿ.  ìåòîäå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ òàêàÿ ñèíõðîíèçàöèÿ äîñòèãàåòñÿ íàëè÷èåì ñâÿçè ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè âàëåíòíûõ ýëåêòðîíîâ, òî åñòü èìååò êîíêðåòíîå îïèñàíèå. Òàêèå ýåêòû ìû ìîæåì ðàññ÷èòûâàòü îáíàðóæèòü ê ïîìîùüþ ïðåäëàãàåìîé ýâðèñòèêè. Ïîä÷åðêíåì åùå ðàç: ðå÷ü èäåò î äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëÿõ ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì, êîòîðûå ïðåäñòàâëåíû èñêëþ÷èòåëüíî â îðìå âèäåîèëüìà. àññìîòðèì íåñêîëüêî èíîé ïðèìåð, ñâÿçàííûé ñ äåòåêòèðîâàíèåì çàïóòàíA21 , A22 , . . . îáîçíà÷àòü âñåâîçìîæíûå îáëàñòè â êîíèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå äâóõ î-

íûõ ÝÏ- ïàð îòîíîâ (òàê íàçûâàåìûå áèîòîíû). Áóäåì ÷åðåç

òîíîâ, äëÿ êîòîðûõ ìû ìîæåì äåòåêòèðîâàòü ïîïàäàíèå ïàðû îòîíîâ â íèõ (âåðõíèé èíäåêñ

1

ñîîòâåòñòâóåò àíàëîãè÷íûì îáëàñòÿì â êîíèãóðàöèîííîì

ïðîñòðàíñòâå îäíîãî îòîíà).  ìîäåëè äåòåêòèðîâàíèÿ îòîíà ìû ìîæåì ïðèìåíÿòü íåìíîãî èíûå ïàðàìåòðû â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ÿâëÿåòñÿ ëè äàííûé îòîí îäèíî÷íûì, èëè ó íåãî åñòü ïàðà, íàõîäÿùàÿñÿ ñ íèì â ÝÏ ñîñòîÿíèè. Ïðè èêñàöèè îòîíà îäíèì äåòåêòîðîì ìû íå ñìîæåì îïðåäåëèòü ýòè ïàðàìåòðû, òàê êàê îíè íå âëèÿþò íà ñòàòèñòèêó îäíîãî îòîíà. Íî òàêàÿ ñèòóàöèÿ ìîæåò ïîâëèÿòü íà ñòàòèñòèêó áèîòîíîâ, âûðàæàþùóþñÿ â íåêîòîðîì îòêëîíåíèè ýìïèðè÷åñêèõ âåðîÿòíîñòåé

P (Aj )

îò ïðåäñêàçàíèÿ êâàíòîâîé òåîðèè,

238 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ íàáëþäàþùèõñÿ â ýêñïåðèìåíòàõ (ñì. [22℄). Òî åñòü èçèêà áèîòîíà ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò èçèêè îäèíî÷íûõ îòîíîâ, è ýòî ïðîÿâëÿåòñÿ òîëüêî â âåðîÿò2 1 íîñòÿõ P (Aj ), íî íå P (Aj ). Ýòî - òàêæå ïðèìåð ãëîáàëüíîé ñèíõðîíèçàöèè. ëîáàëüíàÿ ñèíõðîíèçàöèÿ, èëè êâàíòîâàÿ íåëîêàëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ øèðîêî ðàñïðîñòðàíåííûì ÿâëåíèåì, îäíèì èç åå ïðîÿâëåíèé ÿâëÿåòñÿ ìãíîâåííîå äåéñòâèå êóëîíîâñêîãî ïîëÿ.  ëþáîé îðìå êîíñòðóêòèâèçìà äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ òàêîé ãëîáàëüíîé ñèíõðîíèçàöèè äîëæåí áûòü àäìèíèñòðàòèâíûé ýëåìåíò.  ìåòîäå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ ýòó ðîëü èãðàþò ñâÿçè ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè ðåàëüíûõ ÷àñòèö. Òàêèå àäìèíèñòðàòèâíûå ýëåìåíòû íåäîñòóïíû ïîëüçîâàòåëþ, è ïîòîìó íå ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ ïåðåäà÷è ïîëüçîâàòåëüñêîé èíîðìàöèè. Ñâèäåòåëüñòâîì èõ ðåàëüíîñòè ìîæåò áûòü òîëüêî îäíî: íåîáõîäèìîñòü ââåäåíèÿ òàêèõ ýëåìåíòîâ äëÿ ñîçäàíèÿ äèíàìè÷åñêîé ìîäåëè.

5.13

×åðíûé õîä â êâàíòîâîé èíîðìàòèêå

Çàäà÷è ïðèìåíåíèÿ êâàíòîâîé òåîðèè ê ìíîãî÷àñòè÷íûì ñèñòåìàì ñîñòàâëÿþò ãëàâíóþ çàäà÷ó êâàíòîâîé èíîðìàòèêè.  ðàìêàõ ñòàíäàðòíîãî ïîäõîäà ê êâàíòîâîé òåîðèè îñíîâíûì ñîäåðæàíèåì ýòîé äèñöèïëèíû ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå è àíàëèç êâàíòîâûõ êîìïüþòåðîâ, à òàêæå êâàíòîâàÿ êðèïòîãðàèÿ. Êîíñòðóêòèâèçì ïðèâíîñèò âîçìîæíîñòü íåêîòîðûõ íîâûõ ïîâîðîòîâ â òðàäèöèîííûå çàäà÷è ýòîé äèñöèïëèíû, êîòîðûå ìû çäåñü îáñóäèì. Ýòè íîâûå âàðèàíòû ïîñòàíîâîê çàäà÷ âûòåêàþò íå èç êîíñòðóêòèâèçìà êàê òàêîâîãî, à, ñêîðåå, èç åãî äóõà. Êîíñòðóêòèâèçàöèÿ èçèêè îñóùåñòâëÿåòñÿ ñîâñåì íå ðàäè ðåøåíèÿ ïðîáëåì ïåðåáîðà, åå öåëü - ìîäåëèðîâàíèå ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì. Òåì íå ìåíåå, óñïåõ êîíñòðóêòèâèçìà íå ìîæåò íå ñêàçàòüñÿ íà òåõ òðàäèöèîííûõ çàäà÷àõ êâàíòîâîé èíîðìàòèêè, äëÿ êîòîðûõ óæå íàéäåíû áîëåå ýåêòèâíûå, ïî ñðàâíåíèþ ñ êëàññè÷åñêèìè, ðåøåíèÿ. å÷ü ïîéäåò î áûñòðûõ êâàíòîâûõ àëãîðèòìàõ è î êâàíòîâîé êðèïòîãðàèè. Êîíñòðóêòèâèçì ââîäèò íîâûå îãðàíè÷åíèÿ íà âû÷èñëèòåëüíûå âîçìîæíîñòè êâàíòîâûõ ñèñòåì, àêòè÷åñêè ïîä÷èíÿÿ èõ íåêîìó êëàññè÷åñêîìó ñóïåðêîìïüþòåðó. Íî ìû òàêæå ïîëó÷àåì íåêèé íîâûé îáúåêò - ñâÿçè ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè ÷àñòèö.

18

Ýòîò íîâûé îáúåêò íå ïðèíàäëåæèò ñòàíäàðòíîìó îð-

ìàëèçìó, òàê æå êàê è ñàìè ýêçåìïëÿðû. Íî ïðèñóòñòâèå òàêèõ îáúåêòîâ â êîíñòðóêòèâíîì îðìàëèçìå äàåò íàì îñíîâàíèÿ ãîâîðèòü î èõ îáúåêòèâíîñòè, è ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ìîæåò îòêðûòü íîâûå âîçìîæíîñòè â ðåøåíèè òðàäèöèîííûõ çàäà÷ êâàíòîâîé èíîðìàòèêè: áûñòðûå êâàíòîâûå âû÷èñëåíèÿ è çàùèùåííûå êâàíòîâûå êàíàëû ñâÿçè. Ìû ïîïûòàåìñÿ îáñóäèòü ýòè âîçìîæíîñòè â î÷åíü îáùåé îðìå, ïðèçíàâàÿ, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå îá èõ íàëè÷èè åñòü âñåãî ëèøü ñïåêóëÿöèÿ, öåëèêîì îñíîâàííàÿ òîëüêî íà ìåòîäå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ, êîòîðûé âûáðàí íàìè â êà÷åñòâå îñíîâû êâàíòîâîé ýâðèñòèêè. 18 å÷ü

èäåò î ìåòîäå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ.  äðóãîé îðìå êîíñòðóêòèâèçìà ýòîò îáúåêò ìîæåò èìåòü èíîé âèä, íî îí íåîáõîäèì â ëþáîì ñëó÷àå.

5.13.

×ÅÍÛÉ ÕÎÄ Â ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÈÍÔÎÌÀÒÈÊÅ

239

Ýòîò íîâûé âçãëÿä íà çàäà÷è êâàíòîâîé èíîðìàòèêè âåðíåå áûëî áû íàçâàòü ÷åðíûì õîäîì, òàê êàê îí ïðåäóñìàòðèâàåò íå ðåøåíèå ýòèõ çàäà÷ â èõ ïåðâîíà÷àëüíûõ îðìóëèðîâêàõ, à îáõîä ýòèõ îðìóëèðîâîê. Îáùåïðèíÿòûå îðìóëèðîâêè çàäà÷ êâàíòîâîé èíîðìàòèêè ïîëíîñòüþ îñíîâûâàþòñÿ íà ñòàíäàðòíîì ïîíèìàíèè êâàíòîâîé òåîðèè, è ïîòîìó ïðè èçìåíåíèè åå ìàòåìàòè÷åñêèõ îñíîâ òàêèå îðìóëèðîâêè óæå íåëüçÿ áóäåò ñ÷èòàòü àáñîëþòíî êîððåêòíûìè. Ìû îáñóäèì ýòî íà ïðèìåðå òðåõ çàäà÷: êâàíòîâîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è ïåðåáîðà, ïîèñêà ñïåêòðà îïåðàòîðà, è êâàíòîâîãî êðèïòîãðàè÷åñêîãî ïðîòîêîëà.

5.13.1 Êîíñòðóêòèâíàÿ òðàêòîâêà çàäà÷è ïåðåáîðà Ìû ïîïûòàåìñÿ ïðîñëåäèòü, êàêîå âëèÿíèå ìîæåò îêàçàòü êîíñòðóêòèâèçàöèÿ êâàíòîâîé òåîðèè íà âîçìîæíûå ïîäõîäû ê äâóì óíäàìåíòàëüíûì âû÷èñëèòåëüíûì çàäà÷àì: çàäà÷å ïåðåáîðà è çàäà÷å ïîèñêà ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò îïåðàòîðà.  ñòàíäàðòíîì îðìàëèçìå äëÿ ýòèõ çàäà÷ èçâåñòíû áûñòðûå êâàíòîâûå àëãîðèòìû ðîâåðà è Øîðà, êîòîðûå áûëè íàìè ðàññìîòðåíû â ïðåäûäóùåé ãëàâå. Íà÷íåì ñ çàäà÷è ïåðåáîðà. Çàäà÷à ïåðåáîðà çàêëþ÷àåòñÿ â íàõîæäåíèè ðåøåíèé óðàâíåíèÿ

f (x) = 1 ãäå

f : {0, 1}n −→ {0, 1}

(5.47)

- åñòü áóëåâñêàÿ óíêöèÿ. Çäåñü, êàê ìû çíàåì,

åñòü äâå âîçìîæíîñòè îòíîñèòåëüíî óíêöèè

f:

îíà ìîæåò áûòü ëèáî çàäàíà

â âèäå ñõåìû èç óíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ, òî åñòü ìû áóäåì èìåòü ïîëíóþ èíîðìàöèþ î åå êîíñòðóêöèè, ëèáî

f

çàäàíà â âèäå ÷åðíîãî ÿùèêà, è òîãäà ó

íàñ íåò íèêàêîé èíîðìàöèè î ñòðóêòóðå óñòðîéñòâà, ðåàëèçóþùåãî óíêöèþ

f , è ìû ìîæåì òîëüêî èñïîëüçîâàòü åãî âñëåïóþ, òî åñòü êàê îðàêóë. àíåå ìû àêòè÷åñêè íå ðàçëè÷àëè ýòè äâà ñëó÷àÿ, è íàøèì àðãóìåíòîì áûëî òî, ÷òî (â êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêå) íåâîçìîæíî èñïîëüçîâàòü çíàíèå âíóòðåííåé ñòðóêòóðû óñòðîéñòâà, ðåàëèçóþùåãî óíêöèþ

f

äëÿ ïîèñêà ðåøåíèé óðàâíåíèÿ

5.47.  êîíñòðóêòèâèçìå íàì ïðèäåòñÿ ïåðåñìîòðåòü ýòîò òåçèñ è ðàññìîòðåòü äâà ñëó÷àÿ çàäàíèÿ óíêöèè

f

ðàçäåëüíî. ß íàïîìèíàþ, ÷òî âûøåóïîìÿíóòûé

àðãóìåíò íå íîñèë õàðàêòåðà ñòðîãîé òåîðåìû, à áûë ÷åì-òî âðîäå îïûòíîãî àêòà, òî åñòü îñíîâûâàëñÿ íà ïðàêòèêå, íàðàáîòàííîé â êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêå, õîòÿ è îòíîñÿùåéñÿ ê àëãîðèòìàì. Òåïåðü, ðàññìàòðèâàÿ ñèòóàöèþ ñ êîíñòðóêòèâíûõ ïîçèöèé, ìû ïî-íîâîìó ñîðìóëèðóåì óñëîâèå çàäà÷è ïåðåáîðà â òîì ñëó÷àå, êîãäà

f

çàäàíà â âèäå ñõåìû èç óíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ.

Ýòà ñèòóàöèÿ íå âïîëíå îáû÷íàÿ è íóæäàåòñÿ â áîëåå äåòàëüíîì îáñóæäåíèè. å÷ü èäåò íå îá àâòîìàòè÷åñêîì ïðèìåíåíèèè êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòèêè, à î èíòåðïðåòàöèè èçè÷åñêîé ñòðóêòóðû êîíêðåòíîãî àëãîðèòìà, çàäàþùåãî

f

ñ ïîçèöèé êîíñòðóêòèâíîé èçèêè. Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî êâàíòîâàÿ

èçèêà óæå êîíñòðóêòèâèçèðîâàíà, è ïûòàåìñÿ ïîíÿòü, ÷òî ýòî îçíà÷àåò äëÿ ðåøåíèÿ ïåðåáîðíîé çàäà÷è ìåòîäàìè êîíñòðóêòèâíîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè.

240 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî çàäà÷à ïåðåáîðà ñ òî÷êè çðåíèÿ êîíñòðóêòèâíîé èçèêè ìîæåò äîïóñêàòü åùå áîëåå áûñòðîå ðåøåíèå, ÷åì äàåò àëãîðèòì ðîâåðà äëÿ ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè. Ýòî ðåøåíèå, â ïðèíöèïå, ìîæåò äàæå èìåòü ñëîæíîñòü

O(n), ÷òî ñîñòàâëÿåò ëîãàðèì îò êëàññè÷åñêîé

ñëîæíîñòè ðåøåíèÿ

çàäà÷è ïåðåáîðà. Òàêîå óñêîðåíèå ìîæåò áûòü äîñòèãíóòî òîëüêî ñ ïîìîùüþ àêòè÷åñêîãî ïåðåñìîòðà îðìàëüíîãî óñëîâèÿ çàäà÷è ïåðåáîðà. Ýòî äåéñòâèòåëüíî ðåçóëüòàò ïåðåñìîòðà îðìàëüíîé ïîñòàíîâêè çàäà÷è ïåðåáîðà, à èìåííî êîíñòðóêòèâíîå ïîíèìàíèå òîãî, ÷òî îçíà÷àåò íàëè÷èå ñõåìû èç óíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ, ðåàëèçóþùåé óíêöèþ

f.

ß ïîä÷åðêèâàþ, ÷òî ðå÷ü çäåñü èäåò íå î òâåðäî óñòàíîâëåííîì àêòå, ÷òî ïåðåáîðíóþ çàäà÷ó ìîæíî ðåøèòü çà âðåìÿ

O(n),

à î ãèïîòåçå. Ýòà ãèïîòåçà

íå îòíîñèòñÿ ê êëàññè÷åñêîé òåîðèè àëãîðèòìîâ, ãäå ýòîò âîïðîñ ýêâèâàëåíòåí óíäàìåíòàëüíîé ïðîáëåìå

P = N P?,

à ê ïîíèìàíèþ äåéñòâèÿ óñòðîé-

ñòâà ñ ïîçèöèé êîíñòðóêòèâíîé êâàíòîâîé èçèêè. èïîòåçà ñîñòîèò â òîì, ÷òî

ëþáîå èçè÷åñêîå óñòðîéñòâî

Yf ,

ðåàëèçóþùåå óíêöèþ

f,

äîëæíî

ñîäåðæàòü èíîðìàöèþ î òåõ ìíîæåñòâàõ àðãóìåíòîâ, íà êîòîðûõ ýòà óíêöèÿ ïðèíèìàåò ëþáîå èç ñâîèõ çíà÷åíèé.  ÷àñòíîñòè, â ñõåìå óíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ, çàäàþùåé

f,

îáÿçàíà ñîäåðæàòüñÿ èíîðìàöèÿ î

ðåøåíèÿõ óðàâíåíèÿ 5.47. Ýòà èíîðìàöèÿ äîëæíà èìåòü ñîâåðøåííî èçè÷åñêóþ îðìó, è âîïðîñ ñîñòîèò òîëüêî â òîì, êàêèì îáðàçîì åå èçâëå÷ü. Ïðè ýòîì òàêàÿ èíîðìàöèÿ ñòàíîâèòñÿ ðåàëüíî äîñòóïíîé òîëüêî â òîò ìîìåíò,

Yf

êîãäà ìû çàïóñêàåì

íà êàêîì-ëèáî êîíêðåòíîì çíà÷åíèè àðãóìåíòà

x.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ëîãè÷åñêàÿ ÷àñòü êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà ñîñòîèò èç ÷àñòèö, òàê ÷òî ðîëü

n

j -ãî êóáèòà èãðàåò ñîñòîÿíèå, â êîòîðîì ìîæåò íàõîäèòüñÿ j -é ÷àñòèöû. Ìû óñëîâíî îáîçíà÷èì ýòè ñîñòîÿíèÿ ÷åðåç

ëþáîé èç ýêçåìïëÿðîâ

|0i

è

|1i.

Òîãäà êâàíòîâûå âû÷èñëåíèÿ ïîñòðîåíû èìåííî íà ýòèõ ñîñòîÿíèÿõ,

òàê ÷òî ìû ìîæåì ïðèìåíèòü ê ýòîé ñèòóàöèè êîíñòðóêòèâíûé îðìàëèçì. Òîãäà ìû äîëæíû ðàññìîòðåòü ñåòêó, â êîòîðóþ âõîäÿò íèòè, îáúåäèíÿþùèå ýêçåìïëÿðû ÷àñòèö

1, 2, . . . , n

â êîðòåæè âèäà

s1 , s2 , . . . , sn .

(5.48)

Ïîñêîëüêó ó íàñ íåò íèêàêèõ äðóãèõ îáúåêòîâ, ïåðåíîñÿùèõ èíîðìàöèþ, è ìû ñ÷èòàåì, ÷òî âñÿ èíîðìàöèÿ ìàòåðèàëüíà, òî íàäî ïðèçíàòü, ÷òî åñëè

ðåøåíèé óðàâíåíèÿ 5.47 ìàëî, òî íåêîòîðûé êîðòåæ âèäà 5.48 ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîìó ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ 5.47. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îòâåò íà èíòåðåñóþùèé íàñ âîïðîñ óæå èìååòñÿ â ñåòêå, ñîîòâåòñòâóþùåé ñîñòîÿíèþ íàøèõ

n

÷àñòèö ïîñëå îäíîêðàòíîãî çàïóñêà

f.

Ýòó ïàðàäîêñàëüíóþ ñèòóàöèþ ìîæíî ïîÿñíèòü è íà ïðèìåðå ñòàíäàðòíûõ

G = −I˜0 Ijtar . Êâàíòîâûé NP −1 ñîñòîÿíèþ |˜ 0i = √1N |ji.

êâàíòîâûõ âû÷èñëåíèé. àññìîòðèì îïåðàòîð ðîâåðà àëãîðèòì áûñòðîãî ïåðåáîðà åñòü ïðèìåíåíèå

Gtq ê

j=0

Åñëè ìû íåìíîãî èçìåíèì

|˜0i,

îáíóëèâ êîýèöèåíò ïðè öåëåâîì ñîñòîÿíèè

5.13.

jtar ,

241

×ÅÍÛÉ ÕÎÄ Â ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÈÍÔÎÌÀÒÈÊÅ

òî åñòü áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî

|˜0i =

q

1 N −1

P

j6=jtar

|ji,

òî ïðè ýòîì íåìíîãî èç-

ìåíèòñÿ è îïåðàòîð ðîâåðà, òîãäà è òî è äðóãîå èçìåíåíèå ïðè áîëüøèõ

N

áóäåò ñîâåðøåííî íå çàìåòíî, òî åñòü ìû íå ñìîæåì îáíàðóæèòü ýòè èçìåíåíèÿ t ñ ïîìîùüþ ëîêàëüíûõ èçìåðåíèé. Îäíàêî òåïåðü ïðèìåíåíèå îïåðàòîðà G q íè÷åãî íàì íå äàñò ! Àëãîðèòì óæå íå áóäåò ðàáîòàòü. Òî åñòü, äëÿ òîãî, ÷òîáû

jtar , â ðåçóëüòàòå äåéñòâèÿ ãðîâåðîâñêîãî àëãîðèòìà, êîýèöèåíò ïðè |jtar i â |˜ 0i äîëæåí áûòü íåíóëåâûì. N Ïîëó÷èòü |˜ 0i î÷åíü ïðîñòî. Íàäî ïðèìåíèòü H n ê |0i. Ïðåäñòàâèì ñåáå,

ïîëó÷èëîñü

÷òî ñóùåñòâóåò çåðíî àìïëèòóäû, òàê ÷òî íà ñàìîì äåëå â òîì ñîñòîÿíèè, êîòîðîå ìû ïðèíèìàåì çà ñîñòîÿíèé

|˜0i

|ji. Íè ïðÿìîå

íåò íå ïðîñòî

|jtar i,

íî è ëüâèíîé äîëè âîçìîæíûõ

èçìåðåíèå, íè ìåòîä êâàíòîâîé òîìîãðàèè íå ïîçâî-

ëèò íàì îáíàðóæèòü òàêîãî íåñîîòâåòñòâèÿ. Äëÿ îáíàðóæåíèÿ ïîäëîãà íàäî íå ïðîñòî èìåòü ýêñïîíåíöèàëüíî áîëüøîé çàïàñ âðåìåíè. Íàäî àáñîëþòíî òî÷íî N H n |0i, îäèíàêîâû. Íàëè-

çíàòü, ÷òî âñå ñîñòîÿíèÿ, êîòîðûå ìû ñ÷èòàåì çà

÷èå çåðíà àìïëèòóäû ñðàçó ñäåëàåò ýòè ñîñòîÿíèÿ ðàçëè÷íûìè ïðè êàæäîé

ãåíåðàöèè, è ìû íå ñìîæåì ýòîãî îáíàðóæèòü ! Åñòü òîëüêî îäèí ñïîñîá ðåøèòü âîïðîñ î êà÷åñòâå

|˜0i

- çàïóñòèòü àëãîðèòì ðîâåðà. Áåçóïðå÷íàÿ ðàáîòà

áûñòðîãî êâàíòîâîãî àëãîðèòìà - åäèíñòâåííûé ñïîñîá âåðèèêàöèè êâàíòîâîé òåîðèè â ìíîãî÷àñòè÷íîé îáëàñòè. Íèêàêèå îáõîäíûå ïóòè íå ìîãóò çàìåíèòü áûñòðîãî êâàíòîâîãî àëãîðèòìà. Íî åñëè çàïóñê GSA íå äàåò îäíîçíà÷íîãî îòâåòà, òî êîíñòðóêòèâíàÿ ìîäèèêàöèÿ êâàíòîâîé òåîðèè äåëàåòñÿ íåèçáåæíîé. Ýòî âëå÷åò è ñîîòâåòñòâóþùèé ïåðåñìîòð çàäà÷ êâàíòîâîé èíîðìàòèêè. Ìîæíî áûëî áû òðàêòîâàòü çàäà÷ó ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ 5.47 òàê. Ïóñòü ó íàñ åñòü òàáëèöà âèäà

l, f (l), l = 0, 1, 2, . . . , 2n − 1 çàäàþùàÿ óíêöèþ

x=l

f . Òîãäà

ïðèìåíåíèå óíêöèè

(5.49)

f

ê çàäàííîìó çíà÷åíèþ

îçíà÷àëî áû ïðîñòî, ÷òî ìû âûáèðàåì êîíêðåòíóþ ñòðîêó â òàáëèöå 5.49.

Íî ýòî íå ñîîòâåòñòâóåò êîíñòðóêòèâíîé îðìå êâàíòîâîé òåîðèè, ïîñêîëüêó òàáëèöà 5.49 èìååò ýêñïîíåíöèàëüíûé îáúåì. Ìû äîëæíû ñ÷èòàòü, ÷òî â òàáëèöó 5.49 âõîäÿò íå âñå ñòðîêè âèäà "ðåäêèì"çíà÷åíèÿì óíêöèè íåíèÿ 5.47, è óíêöèè

f,

1

l, f (l),

à òîëüêî òå, ÷òî ñîîòâåòñòâóþò

f ; â ÷àñòíîñòè, åñëè íàñ èíòåðåñóåò ðåøåíèå óðàâ-

íå ÿâëÿåòñÿ ïðåîáëàäàþùèì çíà÷åíèåì ñðåäè äðóãèõ çíà÷åíèé

òî èìåííî ñòðîêà ñ

f (l) = 1

äîëæíà âõîäèòü â òàáëèöó 5.49 ïîñëå

ïîïûòêè ïîëó÷èòü õîäÿ áû îäíî èç çíà÷åíèé óíêöèè

f.

Ýòà ïîñòàíîâêà ðà-

äèêàëüíî ðàñõîäèòñÿ ñ òðàäèöèîííîé, òàê êàê ó íàñ ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî èñêîìîå

19

íàìè ðåøåíèå çàäà÷è óæå ñîäåðæèòñÿ â åå ïîñòàíîâêå,

è íàì íàäî òîëüêî

èçâëå÷ü åãî èç íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, èëè èç ñîñòîÿíèÿ, áëèçêîãî ê íà÷àëüíîìó (ïîëó÷åííîãî ïîñëå îäíîêðàòíîãî îáðàùåíèÿ ê óíêöèè

f

íà ëþáîì

åå àðãóìåíòå). Íî èìåííî òàêàÿ ïåðåîðìóëèðîâêà æäåò òðàäèöèîííûå çàäà÷è êâàíòîâîé èíîðìàòèêè ïðè êîíñòðóêòèâèçàöèè ñàìîé êâàíòîâîé òåîðèè ! 19 Òàê

æå, êàê |jtar i óæå ñîäåðæèòñÿ â |˜0i è â T˜0 .

242 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ Â êîíñòðóêòèâíîé êâàíòîâîé èçèêå ïî-ñóùåñòâó, îñòàíåòñÿ òîëüêî îäíà çàäà÷à: ïîñòðîåíèå âñå áîëåå äåòàëüíûõ ìîäåëåé ñëîæíûõ ïðîöåññîâ. Âñå îñòàëüíûå çàäà÷è áóäóò ïîëíîñòüþ ïîä÷èíåíû åé.

Åñëè íàì íóæíî áóäåò (äëÿ ÷åãî-òî) ðåøèòü óðàâíåíèå 5.47, â êîíñòðóêòèâèçìå íàì ïðèäåòñÿ àíàëèçèðîâàòü íå ñòîëüêî óíêöèþ

f,

ñêîëüêî ýòî "÷òî-òî". Ýòà íåîæèäàííàÿ ñèòóàöèÿ ìîæåò áûòü ïðîèëëþñòðèðîâàíà è íà òðàäèöèîííîì ïðèìåðå ñ êîøêîé Øðåäèíãåðà, êîòîðàÿ ñèäèò â çàìêíóòîì ÿùèêå, òàê ÷òî åå æèçíü èëè ñìåðòü çàâèñèò îò ïîãëîùåíèÿ èëè íåïîãëîùåíèÿ îäíîãî åäèíñòâåííîãî îòîíà, êîòîðûé ìîæåò áûòü çàäåòåêòèðîâàí íåêèì äåòåêòîðîì, êîòîðûé, â ñâîþ î÷åðåäü, çàïóñêàåò ñëîæíóþ öåïî÷êó õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé, ïåðåõîäÿùèõ â ìåõàíè÷åñêîå äâèæåíèå, ïðèâîäÿùåå ê ãèáåëè æèâîòíîãî.  ðåçóëüòàòå æèçíü è ñìåðòü êîøêè îêàçûâàåòñÿ â çàïóòàííîì ÝÏ ñîñòîÿíèè ñ ñîñòîÿíèåì îòîíà. Ñòàíäàðòíîå îïèñàíèå ýòîé ñèòóàöèè âåäåò ê òîìó, ÷òî êîøêà, â ïðèíöèïå, ìîæåò áûòü ïåðåâåäåíà èç "ìåðòâîãî"ñîñòîÿíèÿ â "æèâîå"è îáðàòíî, è ê òîìó ïîäîáíîé àõèíåå.  êîíñòðóêòèâèçìå ýòà ñèòóàöèÿ èìååò ñîâåðøåííî ðóòèííóþ îðìó. Ñîñòîÿíèå êîøêè è âñå ýòîé ñëîæíîé ñèñòåìû, íà êîòîðóþ (ÿêîáû) âëèÿåò îäèí åäèíñòâåííûé îòîí, îïèñûâàåòñÿ ñåòêîé ýêçåìïëÿðîâ ÷àñòèö, â íåå âõîäÿùèõ, òàê ÷òî âîïðîñ ñòàíîâèòñÿ ïðèìåðíî òàêèì æå, êàê åñëè áû íèêàêèõ îòîíîâ íå áûëî áû âîîáùå, è âñå ðåøàåòñÿ, ïî-âèäèìîìó, çàäîëãî äî òîãî, êàê íà÷íóòñÿ äâèæåíèÿ ìåõàíè÷åñêèõ ÷àñòåé. Òî åñòü ñàì îðãàíèçì êîøêè, ïî âñåé âåðîÿò-

20

íîñòè, âîîáùå íå áóäåò èìåòü íèêàêîãî ñïîñîáà ïîâëèÿòü íà ïðîèñõîäÿùåå

è

ýêñïåðèìåíò, òàêèì îáðàçîì, ëèøàåòñÿ âñÿêîãî íàó÷íîãî ñìûñëà, à âìåñòå ñ íèì è ýòè÷åñêîãî ïðèêðûòèÿ. Âñå ïðàêòè÷åñêèå çàäà÷è, ïðèâîäÿùèå ê ðåøåíèþ óðàâíåíèé òèïà 5.47, èìåþò ÷èñòî èçè÷åñêóþ îðìóëèðîâêó, êîòîðàÿ ñâîäèòñÿ ê ìîäåëèðîâàíèþ íåêîåãî ðåàëüíîãî ïðîöåññà, êîòîðîå è äîëæíî îñóùåñòâëÿòüñÿ ìåòîäàìè êîíñòðóêòèâíîé èçèêè, ïîñëå ÷åãî, åñëè äåëî äîéäåò äî íåêîåãî àíàëîãà óðàâíåíèÿ 5.47, ìû âìåñòî ýòîãî óðàâíåíèÿ áóäåì èìåòü òàêîå óðàâíåíèå ñ ðÿäîì îãðàíè÷åíèé, ïëþñ ìàññó äðóãèõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé íà óíêöèþ

f , âðîäå òåõ, êîòîðûå

âõîäÿò â çàäà÷ó ñòðóêòóðíîãî ïîèñêà (ñì. Ïðèëîæåíèå).  ëþáîì ñëó÷àå ó íàñ áóäåò â ðàñïîðÿæåíèè êîðòåæ âèäà 5.48, äàþùèé íóæíîå íàì ðåøåíèå, ïðàâäà, íàõîäÿùèéñÿ ñðåäè äðóãèõ ïîäîáíûõ êîðòåæåé.  ýòîì ñëó÷àå ìû ìîãëè áû, ïî êðàéíåé ìåðå, â ïðèíöèïå, ðàññ÷èòûâàòü íà íàõîæäåíèå èñêîìîãî íàìè êîðòåæà 5.48 ìåòîäîì ïðÿìîãî ïåðåáîðà, òàê êàê ÷èñëî âñåõ òàêèõ êîðòåæåé ïðè íàøèõ òðåáîâàíèÿõ ê ìîäåëÿì, íå äîëæíî ïðåâûøàòü ÷èñëà ýêçåìïëÿðîâ îäíîé åäèíñòâåííîé êâàíòîâîé ÷àñòèöû. Èíûìè ñëîâàìè, íàëîæåííûå íàìè íà ìîäå20 èíàÿ

ñèòóàöèÿ, â ïðèíöèïå, íå èñêëþ÷àåìàÿ ïîëíîñòüþ, áûëà áû, òåì íå ìåíåå, ñåíñàöèîííûì åíîìåíîì, è äåìîíñòðàöèåé íåêèõ ñâåðõúåñòåñòâåííûõ ñïîñîáíîñòåé, êîòîðûå íóæíî áûëî áû òùàòåëüíî èçó÷àòü. Òî åñòü ýòî îçíà÷àëî áû íàëè÷èå íåêîòîðûõ î÷åíü äëèííûõ ñâÿçåé, ñîåäèíÿþùèõ ýêçåìïëÿðû ÷àñòèö â îðãàíèçìå êîøêè ñ ýêçåìïëÿðàìè ÷àñòèö, âõîäÿùèõ â ëàçåð, èçëó÷àþùèé îòîí.

5.13.

243

×ÅÍÛÉ ÕÎÄ Â ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÈÍÔÎÌÀÒÈÊÅ

ëè òðåáîâàíèÿ, ïðè èõ âûïîëíåíèè, äîëæíû äàâàòü ðåøåíèÿ âîçíèêàþùèõ íà ïðàêòèêå ïåðåáîðíûõ çàäà÷ çà ëèíåéíîå âðåìÿ

O(n). Çäåñü ñëîæíîñòü ñ÷èòàåòñÿ

äëÿ êëåòî÷íî-àâòîìàòíîé ìîäåëè âû÷èñëåíèé, â êîòîðîé ìîæíî ìîäåëèðîâàòü ñåòè ýêçåìïëÿðîâ ÷àñòèö; â äðóãèõ ìîäåëÿõ ñëîæíîñòü áóäåò ïîëèíîìèàëüíîé. Èòàê, ðå÷ü íå èäåò îá óñêîðåíèè ðåøåíèÿ ïåðåáîðíûõ çàäà÷ íà êâàíòîâîì êîìïüþòåðå. Òàêîå óñêîðåíèå ïðîòèâîðå÷èëî áû èçâåñòíûì ðåçóëüòàòàì ðàáîò [5℄, [6℄, [37℄, [38℄, [57℄, è äðóãèì. å÷ü èäåò ñîâñåì î äðóãîé âîçìîæíîñòè: îðìóëèðîâêè ïåðåáîðíûõ çàäà÷, âîçíèêàþùèõ ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ïðàêòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, ìîãóò áûòü òàêèì îáðàçîì óòî÷íåíû â êîíñòðóêòèâíîé êâàíòîâîé òåîðèè, ÷òî îíè áóäóò äîïóñêàòü î÷åíü áûñòðîå ðåøåíèå - ãîðàçäî áîëåå áûñòðîå. ÷åì ðåøåíèå èõ â ñòàíäàðòíûõ îðìóëèðîâêàõ íà êâàíòîâîì êîìïüþòåðå.

5.13.2 Îá èñïîëüçîâàíèå îãðàíè÷åííûõ êâàíòîâûõ ïðîöåññîðîâ â ñóïåðêîìïüþòåðàõ Êîíñòðóêòèâèçì óñòàíàâëèâàåò íîâûé ïðåäåë ìàñøòàáèðîâàíèþ êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà, êîòîðûé âûòåêàåò èç àáñîëþòíîé ìîäåëè äåêîãåðåíòíîñòè. Íî ýòî íå òîëüêî íå óìåíüøàåò âàæíîñòü ýêñïåðèìåíòîâ ïî êâàíòîâûì ïðîöåññîðàì, íî è óâåëè÷èâàåò èõ öåííîñòü. Î òåîðåòè÷åñêîì çíà÷åíèè òàêèõ ýêñïåðèìåíòîâ óæå ñêàçàíî âûøå. Çäåñü ìû ðàçáåðåì çíà÷åíèå èõ äëÿ ïåðñïåêòèâ ðàçâèòèÿ âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè. ëàâíàÿ çàäà÷à êâàíòîâîãî êîìïüþòèíãà - ìîäåëèðîâàíèå äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ìèêðîìèðà - îñòàåòñÿ â îêóñå âíèìàíèÿ ïðè ñîçäàíèè ñîâðåìåííûõ ñóïåðêîìïüþòåðîâ. Ó íàñ íåò ñåé÷àñ ïîëíîìàñøòàáíîãî êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà, áîëåå òîãî - åãî ïåðñïåêòèâû, êàê ìû âèäåëè, ñâÿçàíû ñ íûíåøíèì âèäåíèåì êîíñòðóêòèâèçìà âçàèìíî èñêëþ÷àþùèì ñïîñîáîì. Ýòî îäíîçíà÷íî óêàçûâàåò íà íåîáõîäèìîñòü èñïîëüçîâàíèÿ êîìïüþòåðîâ êëàññè÷åñêîãî òèïà, è ïðèñïîñîáëåíèå êâàíòîâîé òåðèè ìíîãèõ ÷àñòèö èìåííî ê òàêîìó òèïó êîìïüþòåðîâ. Îäíàêî ïåðñïåêòèâíûì ïóòåì ìíå ïðåäñòàâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå â òàêèõ êîìïüþòåðàõ îãðàíè÷åííûõ êâàíòîâûõ ïðîöåññîðîâ. Ìîæíî áûëî áû ïîïûòàòüñÿ èñïîëüçîâàòü â âû÷èñëåíèÿõ ïîäêëþ÷àåìûå óñòðîéñòâà, íå îñíîâàííûå íà êðåìíèåâîé òåõíîëîãèè, íàïðèìåð, áåëêîâûå ñòðóêòóðû, äëÿ èõ èñïîëüçîâàíèÿ â íåêîòîðûõ èñêëþ÷èòåëüíûõ ìîìåíòàõ âû÷èñëåíèé, êàñàþùèõñÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ñõîäíûõ ñòðóêòóð. Áîëüøàÿ ñêîðîñòü ñðàáàòûâàíèÿ âû÷èñëèòåëüíûõ óñòðîéñòâ íà áåëêîâîé îñíîâå, è èõ áëèçîñòü ê ìîäåëèðóåìûì îáúåêòàì äàåò íàäåæäó íà èñïîëüçîâàíèå çàïðîñîâ ê òàêèì ñòðóêòóðàì â âèäå âñòàâîê â âû÷èñëèòåëüíûé ïðîöåññ, â òî âðåìÿ êàê îíè íå ìîãóò ñëóæèòü ïîëíîé çàìåíîé êðåìíèåâûì òåõíîëîãèÿì èç-çà èõ î÷åíü áûñòðîãî èçíîñà.

21

Âîçìîæíî òàêæå

èñïîëüçîâàíèå îïòè÷åñêèõ åíîìåíîâ, íàïðèìåð, çàïóòàííûõ ïàð îòîíîâ.  21 Áåëêîâûé

ïðîöåññîð ñïîñîáåí ñîâåðøèòü âñåãî ëèøü íåñêîëüêî îïåðàöèé ïåðåä ðàçðóøåíèåì; òàêàÿ íåíàäåæíîñòü îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî â æèâîé òêàíè áåëêè ïîñòîÿííî âîçîáíîâëÿþòñÿ ìîëåêóëàìè ÍÊ, ÷åãî, åñòåñòâåííî íåò ïðè èõ èñïîëüçîâàíèè â âû÷èñëåíèÿõ.

244 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ ëþáîì ñëó÷àå ìîæíî îæèäàòü êàêîãî-ëèáî ýåêòà îò ïîäîáíûõ ïðèåìîâ òîëüêî ïðè ìîäåëèðîâàíèè ïðîöåññîâ, àíàëîãè÷íûõ ïðîèñõîäÿùèì â òàêèõ "âñòàâî÷íûõ"ñèñòåìàõ; äëÿ ñòàíäàðòíûõ çàäà÷ íàïîäîáèå çàäà÷ ëèíåéíîé àëãåáðû òàêèå ïðèåìû ïî÷òè íàâåðíÿêà áóäóò òîëüêî çàìåäëÿòü âû÷èñëåíèÿ.  ñîâðåìåííîé ýëåêòðîíèêå êðåìíèåâûå òåõíîëîãèè ÿâëÿþòñÿ àáñîëþòíî ãîñïîäñòâóþùèìè. Ýòè òåõíîëîãèè ðåàëèçóþò êëàññè÷åñêóþ ìîäåëü âû÷èñëåíèé, è êðóã ðåøàåìûõ íà òàêèõ êîìïüþòåðàõ çàäà÷ îãðàíè÷åí ñ íàñòîÿùåå âðåìÿ óæå äîñòàòî÷íî õîðîøî î÷åð÷åííûì ãîðèçîíòîì ñòàíäàðòíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ çàäà÷, òàêèõ êàê ðåøåíèå êîíå÷íî-ðàçíîñòíûõ ñõåì, áûñòðîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, ïåðåáîðíûå çàäà÷è, è íåêîòîðûå äðóãèå. Çàäà÷à ìîäåëèðîâàíèÿ èçèêè ñëîæíûõ ñèñòåì ñòîèò îñîáíÿêîì â ýòîì ðÿäó ïî òîé ïðè÷èíå, ÷òî äëÿ íåå íåò îáùåïðèíÿòûõ àëãîðèòìîâ. Ýòà çàäà÷à íà ñàìîì äåëå ïðåäñòàâëÿåò áîëüøîå íàïðàâëåíèå, êîòîðîå ñåé÷àñ â îñíîâíîì ñêðûòî îò íàñ. ß îòìå÷ó òîëüêî îäèí èç ìíîãî÷èñëåííûõ âîçìîæíûõ ïðèåìîâ ïðèìåíåíèÿ àëüòåðíàòèâíûõ òåõíîëîãèé â ñîçäàíèè âû÷èñëèòåëüíûõ ìîäåëåé ñëîæíûõ êâàíòîâûõ ñèñòåì. Ýòîò ïðèåì ñâÿçàí ñ ãåíåðàöèåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë äëÿ ñëîæíûõ ñèñòåì.  ñòàíäàðòíûõ ìîäåëÿõ äëÿ ýòîé öåëè èñïîëüçóþòñÿ ïðîãðàììíûå ãåíåðàòîðû ïñåâäîñëó÷àéíûõ ÷èñåë.  ýòîì ñëó÷àå ìû ïîëíîñòüþ òåðÿåì ñâÿçü ýòèõ ÷èñåë ñ ìîäåëèðóåìûì îáúåêòîì. Ñîãëàñíî ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè, ñëó÷àéíîñòü íà óðîâíå îòäåëüíûõ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö íîñèò óíäàìåíòàëüíûé õàðàêòåð, òî åñòü íå ìîæåò áûòü ïðåäñêàçàíà òî÷íåå, ÷åì îá ýòîì ãîâîðèò ïðàâèëî Áîðíà. Òåì íå ìåíåå â ñëîæíûõ ñèñòåìàõ, ãäå, êàê ìû óæå âèäåëè, ïîíÿòèå âîëíîâîé óíêöèè ìíîãèõ ÷àñòèö íå ïðèìåíèìî, ïðàâèëî Áîðíà äîëæíî ïåðåõîäèòü â êëàññè÷åñêóþ óðíîâóþ ñõåìó äëÿ âûáîðà èç îãðàíè÷åííîãî ÷èñëà âàðèàíòîâ. Çäåñü ìû âûõîäèì çà ïðåäåëû ïðèìåíèìîñòè êâàíòîâîé òåîðèè, è ïîòîìó ïðåäñêàçàíèå ñëó÷àéíîñòè íå ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ íåâîçìîæíûì. Ýòî ïðîÿâëÿåòñÿ íå â îòêëîíåíèè îò ïðàâèëà Áîðíà, à â òîì, ÷òî ìåõàíèçì åãî ðåàëèçàöèè ìîæåò áûòü, â ñëó÷àå ìíîãèõ òåë, îò÷àñòè äîñòóïåí. Êâàíòîâûå âåðîÿòíîñòè ïðè òàêîì óñëîæíåíèè ñèñòåìû ìîãóò ïåðåõîäèòü (è êàê ïðàâèëî ïåðåõîäÿò) â âûáîð ñ âåðîÿòíîñòüþ, áëèçêîé ê åäèíèöå ! Òåì íå ìåíåå, òî÷íûé ðàñ÷åò ýòèõ âåðîÿòíîñòåé ìîæåò áûòü î÷åíü ñëîæíûì, åñëè ìû ïîïûòàåìñÿ ïåðåâåñòè èõ íà öèðîâîé ÿçûê â ñòàíäàðòíîé âû÷èñëèòåëüíîé ñèñòåìå. Èìåííî ýòó ÷àñòü ìîäåëèðóþùèõ àëãîðèòìîâ ìîæíî ïûòàòüñÿ óïðîñòèòü, èñïîëüçóÿ àïïàðàòíûé ïóòü. Ïðàêòè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè ñòîõàñòè÷åñêèõ ìåòîäîâ äëÿ ñèñòåì ðàçíûõ óðîâíåé ñëîæíîñòè ìîæíî èñïîëüçîâàòü íå ïðîãðàììíûå ãåíåðàòîðû ñëó÷àéíûõ ÷èñåë, à ðåàëüíûå èçìåðåíèÿ ïîäîáíûõ ñèñòåì. Ïðè òàêîé ãåíåðàöèè ïñåâäîñëó÷àéíîñòè ìû èìååì øàíñ ïîëó÷èòü íå âïîëíå íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû äëÿ ðàçíûõ óðîâíåé ñëîæíîñòè èñïîëüçóåìûõ ñèñòåì, òàê ÷òî çàâèñèìîñòü áóäåò íîñèòü äîñòàòî÷íî ãëóáîêèé õàðàêòåð. Åñëè òàêèå ãëóáîêèå çàâèñèìîñòè èãðàþò ðîëü â ìîäåëèðóåìîé äèíàìèêå, ìû ñìîæåì äîñòè÷ü áîëüøåãî ñ ïîìîùüþ òàêèõ ìîäåëåé, ÷åì ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíûõ ìîäåëåé ñ ïîëíîé îöèðîâêîé.  ñèëó ïðîñòîòû òàêàÿ èäåÿ, êîíå÷íî, íå ÿâëÿåòñÿ íîâîé.

5.13.

×ÅÍÛÉ ÕÎÄ Â ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÈÍÔÎÌÀÒÈÊÅ

245

Îò åå ðåàëèçàöèè ìîæíî îæèäàòü ÷åãî-òî òîëüêî ïðè îòëàäêå êîíêðåòíîé áîëüøîé ìîäåëè, òèïà òåõ, êîòîðûå ìû çäåñü ðàññìàòðèâàåì.  ñòàíäàðòíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ çàäà÷àõ òàêàÿ èçè÷åñêàÿ ãåíåðàöèÿ ñëó÷àéíîñòè ìîæåò áûòü ïîëåçíà òîëüêî íà óðîâíå îäíîé ÷àñòèöû (íàïðèìåð, èçìåðåíèå ïîëÿðèçàöèè îòîíà) òîëüêî òåì, ÷òî êà÷åñòâî ïîëó÷àåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ ÷èñåë áóäåò âûøå, ÷åì â ñëó÷àå ïðîãðàììíîé ãåíåðàöèè. Êîíñòðóêòèâèçì â ëþáîì ñëó÷àå îòêðûâàåò ïåðåä ñóïåðêîìïüþòåðàìè ñ êâàíòîâûìè ýëåìåíòàìè ñîâåðøåííî íîâûå ïóòè, è ýòè ïóòè äàëåêî íå îãðàíè÷èâàþòñÿ ïîèñêîì ìàêñèìàëüíî áîëüøîãî ïðîöåññîðà, ðåàëèçóþùåãî èçâåñòíûå êâàíòîâûå àëãîðèòìû.

22

Ìû âèäèì, ÷òî êîíñòðóêòèâèçàöèÿ êâàíòîâîé èçèêè âíóøàåò îïòèìèçì òåì, êòî çàíÿò ðåøåíèåì çàäà÷, òðåáóþùèõ ïðèìåíåíèÿ êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà. Ïîñêîëüêó àêòè÷åñêè, ê ýòîìó îòðÿäó ìîæíî (óñëîâíî) ïðè÷èñëèòü áîëüøèíñòâî òåõ, êòî çàíèìàåòñÿ òåìè èëè èíûìè àñïåêòàìè êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà, ìû ìîæåì çàêëþ÷èòü, ÷òî ïðîãíîç êîíñòðóêòèâèçìà áëàãîïðèÿòåí äëÿ ÊÊ-ñîîáùåñòâà. Ýòî íàäî ïîíèìàòü â òîì ñìûñëå, ÷òî ñîîáùåñòâî êâàíòîâîãî êîìïüþòèíãà ìîæåò ðàññ÷èòûâàòü íà ñóùåñòâåííîå ïîâûøåíèå êîíå÷íîé ïðàêòè÷åñêîé ýåêòèâíîñòè (ïðèëîæåíèå ê êîíêðåòíûì çàäà÷àì) ñâîåé äåÿòåëüíîñòè â ðåçóëüòàòå óñïåøíîé êîíñòðóêòèâèçàöèè êâàíòîâîé òåîðèè.

5.13.3 Âëèÿíèå èçè÷åñêîãî êîíñòðóêòèâèçìà íà êâàíòîâóþ êðèïòîãðàèþ Óäèâèòåëüíûì àêòîì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî âëèÿíèå êîíñòðóêòèâèçìà íà êâàíòîâóþ êðèïòîãðàèþ ìîæåò îêàçàòüñÿ, â íåêîòîðîì ñìûñëå, ïðîòèâîïîëîæíûì åãî âëèÿíèþ íà êâàíòîâûé êîìïüþòèíã !

23

Âîçìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé

áîëüøèõ ñèñòåì ìîæåò äàòü è ñîâåðøåííî íîâûå âîçìîæíîñòè àòàê íà èíîðìàöèþ, êîòîðóþ ïåðåäàåò êâàíòîâûé êàíàë ñâÿçè. Êîíñòðóêòèâèçì êâàíòîâîé òåîðèè ñêîðåå óñèëèâàåò ñòîðîíó êðèïòîãðàè÷åñêîãî íàïàäåíèÿ, ÷åì çàùèòû, ïðè÷åì íîâûìè îáúåêòàìè ýòîãî íàïàäåíèÿ ìîæåò ñòàòü íå ñòîëüêî êàíàë ñâÿçè (íî è îí òîæå), ñêîëüêî ñàìè îáùàþùèåñÿ ñóáúåêòû (Àëèñà è Áîá). Îò Åâû, âîîðóæåííîé ìîäåëÿìè ñëîæíûõ ïðîöåññîâ ñ ïðåäñêàçàòåëüíîé ñèëîé, áóäåò òðóäíî çàùèòèòüñÿ âî âñåõ óçëàõ êðèïòîãðàè÷åñêîé ñèñòåìû, íà÷èíàÿ îò (ñàìûõ óÿçâèìûõ äëÿ òàêîé àòàêè) ñàìèõ ó÷àñòíèêîâ ýòîé ñèñòåìû, Àëèñû è Áîáà, è êîí÷àÿ ñîáñòâåííî êàíàëîì, íàïðèìåð, îïòè÷åñêèì âîëîêíîì. Ýòà óäèâèòåëüíàÿ îñîáåííîñòü êâàíòîâîãî êîíñòðóêòèâèçìà èìååò îáùèé õàðàêòåð è íå çàâèñèò îò äåòàëåé êðèïòîãðàè÷åñêèõ ñèñòåì, íàïðèìåð, îò êâàíòîâûõ ïðîòîêîëîâ. Âîçìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ íàñòîÿùèõ ìîäåëåé ñëîæíûõ 22 îíêà

çà ðåêîðäàìè â ýòîé îáëàñòè ïðèíîñèò ïîëüçó òîëüêî ïðè òùàòåëüíîì àíàëèçå ðàáîòû ñàìîãî ïðîöåññîðà; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷àåì âàðèàíò îïèñûâàåìîãî â ýòîì ïàðàãðàå îáõîäà ñòàíäàðòíîé ïîñòàíîâêè çàäà÷, êîòîðûé íå îðìóëèðóåòñÿ ÿâíî. 23 ×òî âûçûâàåò ìîå ãëóáîêîå óäîâëåòâîðåíèå, òàê êàê â ýòîé èãðå ìîè ñèìïàòèè âñåãäà áûëè íà ñòîðîíå Åâû.

246 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ ïðîöåññîâ âñåãäà èãðàåò â ïîëüçó îòêðûòèÿ èíîðìàöèè è ïðîòèâ åå çàùèòû. Íî ýòî âîâñå íå îçíà÷àåò, ÷òî êðèïòîãðàèÿ ïîòåðÿåò ñâîþ âàæíîñòü - íàïðîòèâ - åå ðîëü òîëüêî âîçðàñòåò. Ïðè÷èíà ýòîãî íå òîëüêî â îáîñòðåíèè ïðîòèâîáîðñòâà Àëèñû è Áîáà ñ Åâîé, åñëè ïîñëåäíÿÿ ïîëó÷èò áîëåå ìîùíîå âîîðóæåíèå. ëàâíàÿ ïðè÷èíà - â âîçðàñòàíèè ðîëè èíîðìàöèè è èíîðìàöèîííîãî îáìåíà êàê òàêîâîãî. Åñëè â ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé èçèêå çîíà ïðîíèêíîâåíèÿ èíîðìàöèîííûõ ñèñòåì îðãàíè÷åíà ñòàíäàðòíûì îðìàëèçìîì, è ìû, íàïðèìåð, íå ìîæåì íè÷åãî ñêàçàòü î ðåçóëüòàòàõ èçìåðåíèÿ, òî â êîíñòðóêòèâèçìå ñèòóàöèÿ íåìíîãî ìåíÿåòñÿ. À èìåííî, êîíñòðóêòèâèçì äàåò ïðèíöèïèàëüíûå èíñòðóìåíòû äëÿ òàêîãî ðîäà ïðåäñêàçàíèé. Èõ íåëüçÿ èñïîëüçîâàòü â òðàäèöèîííûõ óñòðîéñòâàõ, ïîñòðîåííûõ íà ñòàòèñòè÷åñêîì ñãëàæèâàíèè åíîìåíîâ, ê êîòîðûì ìîãóò îòíîñèòüñÿ ýòè èíñòðóìåíòû. Íî ñàìî èõ íàëè÷èå äàåò ïðèíöèïèàëüíóþ âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ òàêèõ åíîìåíîâ, ïðîÿâëÿþùèõñÿ â ñëîæíûõ ñèñòåìàõ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â êîíñòðóêòèâèçìå ñâÿçü èíîðìàöèè ñ ðåàëüíûìè ïðîöåññàìè îïðåäåëåííî áîëåå ãëóáîêà, è ýòî ñðàçó ïîâûøàåò åå öåííîñòü. Íåñîìíåííî, ÷òî â ïðàêòè÷åñêîì ïëàíå îñòðèå êðèïòîãðàè÷åñêîãî íàïàäåíèÿ áóäåò ñîñðåäîòî÷åíî, â ïåðâóþ î÷åðåäü, èìåííî íà ó÷àñòíèêàõ ñâÿçè, è òîëüêî âî âòîðóþ - íà ñîáñòâåííî êðèïòîãðàè÷åñêîì êàíàëå è óñòðîéñòâàõ èíòåðåéñà (îòîäåòåêòîð è ëàçåð). Ìû ðàññìîòðèì ïðîñòîé âàðèàíò òàêîãî íàïàäåíèÿ, ïðè êîòîðîì Åâà èìååò ïðàâäîïîäîáíóþ ìîäåëü ñåòêè ýêçåìïëÿðîâ ýëåêòðîíîâ äåòåêòîðà, îïòè÷åñêîãî âîëîêíà è ëàçåðà, êîòîðûå ó÷àñòâóþò â ïåðåäà÷å îòîíà ïðè êâàíòîâîé êðèïòîãðàèè. àññìîòðèì, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ïðîòîêîë BB84. Çäåñü Àëèñà ñ Áîáîì äîëæíû ëèáî ãåíåðèðîâàòü ñåêðåòíûé êëþ÷

1, 2, . . . , l,

k1 , k2 , . . . , kl

Áîáó, ãäå

kj = 0, 1; j =

êîòîðûé íå áóäåò çíàòü íèêòî äðóãîé êðîìå íèõ, ëèáî çàäåòåêòèðî-

âàòü ïðèñóòñòâèå ïîäñëóøèâàòåëÿ â êàíàëå ñâÿçè. Ïîäñëóøèâàòåëü òðàäèöèîííî íàçûâàåòñÿ Åâîé. Ïðîòîêîë ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Àëèñà íà êàæäîì øàãå

j

âûáèðàåò îäèí èç áàçèñîâ:

B1 : B2 : è åñëè âûáðàí áàçèñ òî ñîñòîÿíèå

|k˜j i.

B1,

|0i, |1i, |˜0i = √12 (|0i + |1i), |˜1i = òî ïîñûëàåò ñîñòîÿíèå

√1 (|0i 2

|kj i,

(5.50)

− |1i)

à åñëè âûáðàí áàçèñ

B2

-

Ïîñëå ïîëó÷åíèÿ Áîáîì âñåõ êóáèòîâ Áîá èçìåðÿåò ñâîè êó-

áèòû â ïðîèçâîëüíûõ áàçèñàõ.  ïðèìåðíî ïîëîâèíå ñëó÷àåâ âûáðàííûé Áîáîì áàçèñ ñîâïàäåò ñ òåì, ÷òî âûáðàëà äëÿ ýòîãî

j

Àëèñà. Ïîñëå ýòîãî Àëèñà è Áîá

îòêðûâàþò äðóã äðóãó (ïî îòêðûòîìó êàíàëó) ñâîé âûáîð áàçèñà äëÿ êàæäîãî èç êóáèòîâ, è Àëèñà ñîîáùàåò Áîáó çíà÷åíèÿ

kj

äëÿ íåáîëüøîãî ÷èñëà

j,

êîòî-

ðûå âûáèðàþòñÿ Àëèñîé íàóãàä. Áîá ñâåðÿåò ýòè çíà÷åíèÿ ñ ïîëó÷åííûìè èì ïðè èçìåðåíèÿõ çíà÷åíèÿìè

kj

èç ÷èñëà òåõ èçáðàííûõ Àëèñîé çíà÷åíèé

j , äëÿ

êîòîðûõ ó íèõ ñîâïàëè áàçèñû. Ïîëíîå ñîîòâåòñòâèå çíà÷åíèé Àëèñû è Áîáà äëÿ òàêèõ

kj

ãîâîðèò îá îòñóòñòâèè Åâû â êàíàëå ñâÿçè. Ïîñëå ýòîãî Áîá ìî-

æåò ïîëüçîâàòüñÿ òåìè çíà÷åíèÿìè

kj ,

äëÿ êîòîðûõ åãî áàçèñ ñîâïàë ñ áàçèñîì

5.13.

247

×ÅÍÛÉ ÕÎÄ Â ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÈÍÔÎÌÀÒÈÊÅ

Àëèñû - ýòî è áóäåò ñåêðåòíûé êëþ÷, êîòîðûé çíàþò Àëèñà è Áîá, è êîòîðûé íåäîñòóïåí Åâå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî Åâà àòàêóåò êàíàë ñâÿçè, ïåðåõâàòûâàÿ îòîíû, ëåòÿùèå îò Àëèñû ê Áîáó. Äëÿ òîãî, ÷òîáû èçâëå÷ü ñîäåðæàùóþñÿ â íèõ èíîðìàöèþ, Åâà äîëæíà èçìåðèòü ñîñòîÿíèå îòîíà. Ïîñêîëüêó áàçèñû 5.50 Åâå èçâåñòíû (êàê è âñÿ èíîðìàöèÿ î ïðîòîêîëå½ çà èñêëþ÷åíèåì òîëüêî ñàìèõ ÷èñåë

kj ),

îíà áóäåò èçìåðÿòü ñîñòîÿíèÿ îòîíîâ â îäíîì èç ýòèõ áàçèñîâ. Òàê êàê îíà íå çíàåò âûáîð áàçèñà Àëèñîé, îíà áóäåò âûáèðàòü áàçèñ ïðîèçâîëüíî (äðóãîãî ñïîñîáà ó í åå íåò) è â ïðèìåðíî ïîëîâèíå òåõ çíà÷åíèé

j , â êîòîðûõ ýòîò âûáîð

ñîâïàäåò ó Àëèñû è Áîáà, ó Åâû áóäåò âûáðàí èíîé áàçèñ. Ïîñëå èçìåðåíèÿ Åâîé ñîñòîÿíèÿ îíî íåèçáåæíî èñïîðòèòñÿ, è Àëèñà ñ Áîáîì ñðàçó îïðåäåëÿò ïðèñóòñòâèå Åâû â êàíàëå ñâÿçè, òàê ÷òî èõ öåëü áóäåò äîñòèãíóòà. Ñåêðåòíîñòü êðèïòîãðàè÷åñêîãî ïðîòîêîëà áàçèðóåòñÿ àêòè÷åñêè íà îäíîì òåçèñå, ëåæàùåì â îñíîâå ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè. Ýòî - íåâîçìîæíîñòü ïðåäñêàçàíèÿ âîçìîæíîãî ðåçóëüòàòà èçìåðåíèÿ êâàíòîâîãî ñîñòîÿíèÿ ñ áîëüøåé äîñòîâåðíîñòüþ, ÷åì äàåò áîðíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé. Äëÿ äâóõ èñõîäîâ

|0i

è

|1i

ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèÿ â íàøåì ñëó÷àå áîðíîâñêîå

ðàñïðåäåëåíèå äàñò ðàâíîâåðîÿòíûå èñõîäû: êàæäûé ñ âåðîÿòíîñòüþ

1/2.

Ýòî ïîëîæåíèå ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè ïîëíîñòüþ ñîõðàíÿåò ñâîþ ñèëó â êîíñòðóêòèâèçìå ïî ïðèíöèïó ñîîòâåòñòâèÿ, íî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ó îòîíà äåéñòâèòåëüíî äâà ñîñòîÿíèÿ

|1i

|0i

è

|1i.

Îäíàêî ñîñòîÿíèÿ

ÿâëÿþòñÿ èäåàëèçàöèåé. Â äåéñòâèòåëüíîñòè íåò íèêàêèõ

|0i

è

|1i,

|0i

è

à åñòü

ñîñòîÿíèÿ îòîíà, âûïóùåííîãî èç ëàçåðà Àëèñîé, ïðîõîäÿùåãî ïî îïòîâîëîêíó (èëè â ïðîñòðàíñòâå), è äåòåêòèðóåìîãî â äåòåêòîðå Áîáà. Òàêîå ñîñòîÿíèå èìååò âèä

|ψi =

X x,t

λx,t |x, ti

(5.51)

òîëüêî â ñëó÷àå, åñëè îòîí íå âçàèìîäåéñòâóåò íè ñ ÷åì. Òî åñòü ïðè (íåèçáåæíîì) âçàèìîäåéñòâèè ó íàñ èìååòñÿ ñîñòîÿíèå îòîíà + âñåõ ÷àñòèö, ñ êîòîðûìè îí âçàèìîäåéñòâóåò âèäà

|Ψi =

X x ¯,t¯

λx¯,t¯|¯ x, t¯i

(5.52)

è òîãäà èçó÷åíèå ýòîãî ñîñòîÿíèÿ ìåòîäàìè ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì â ñèëó èçó÷åííîãî íàìè åíîìåíà êâàíòîâîãî êîìïüþòèíãà. Êàê ýòà òðóäíîñòü îáõîäèòñÿ â êâàíòîâîé êðèïòîãðàèè ? Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ðàçáðîñ âðåìåí íåáîëüøîé, è êîðòåæ âðåìåí

t¯ àêòè÷åñêè

ÿâëÿ-

åòñÿ ñêàëÿðíûì ïàðàìåòðîì t. Ïîñëå ýòîãî ìîæíî ïåðåéòè ê íåðåëÿòèâèñòñêèì îáîçíà÷åíèÿì, ãäå âîëíîâàÿ óíêöèÿ ïðîñòî èìååò âèä

|Ψ(t)i,

ïîñëå ÷åãî àá-

ñòðàãèðîâàòüñÿ îò åå ïðîñòðàíñòâåííîé ÷àñòè, òî åñòü ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïîëÿðèçàöèÿ îòîíà íå çàâèñèò îò êîîðäèíàòû

x.

Íàêîíåö, ìîæíî ïðèíÿòü ìîäåëü

ñòàíäàðòíîãî èçìåðåíèÿ, êîòîðîå òðàêòóåòñÿ òîãäà êàê ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ íåäîñòóïíûì íàì èñòî÷íèêîì ñëó÷àéíîñòè. Òåïåðü áóäåò ðàáîòàòü îðìàëüíûé

248 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ àïïàðàò êâàíòîâîé êðèïòîãðàèè, âêëþ÷àþùèé òåîðåìû î ñåêðåòíîñòè êâàíòîâûõ ïðîòîêîëîâ, è ò.ä. Èòàê, ñåêðåòíîñòü êâàíòîâîé êðèïòîãðàèè îñíîâàíà íà ïîëíîì ãîñïîäñòâå ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè â ìíîãî÷àñòè÷íîì ìèðå. àçóìååòñÿ, îïîðà íà êâàíòîâóþ òåîðèþ äåëàåò êâàíòîâóþ êðèïòîãðàèþ ïðèíöèïèàëüíî áîëåå íàäåæíîé, ÷åì åå êëàññè÷åñêèé àíàëîã. Òåì íå ìåíåå, óñïåõ êîíñòðóêòèâèçìà ñïîñîáåí ïîâëèÿòü è íà ýòó íàäåæíîñòü. ×òî áóäåò åñëè ïðèìåíèòü ê êðèïòîãðàè÷åñêîé ñõåìå êîíñòðóêòèâíûé ïîäõîä ? Äëÿ ýòîãî íàì íóæíî ïðåäñòàâèòü èçìåðåíèå êàê ïðîöåññ, â êîòîðûé âîâëåêàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî âñå íîâûå è íîâûå ÷àñòèöû, òàê ÷òî âñå ñîñòîÿíèå îòîíîâ, ýëåêòðîíîâ è ÿäåð íàäî îïèñûâàòü ñåòêîé ýêçåìïëÿðîâ ýòèõ ÷àñòèö. Ïðèìåì îïèñàííûé âûøå òèï ìîäåëåé ýâîëþöèè ñ âûáðàííûìè âûøå êðèòåðèÿìè ïðåâðàùåíèÿ äëÿ íèòåé è ýêçåìïëÿðîâ. Òîãäà ó íàñ ïîëó÷èòñÿ, ÷òî âñå ïîâåäåíèå ñèñòåìû "ëàçåð + îïòîâîëîêíî + äåòåêòîð"

24

çàâèñèò òîëüêî îò èñ-

õîäíûõ ïàðàìåòðîâ, êîòîðûå ìîæíî âàðüèðîâàòü; íî ïðè èõ èêñàöèè ìû ñìîæåì òî÷íî ñêàçàòü, êàêîå ñîñòîÿíèå ïîëó÷èòñÿ ïðè èçìåðåíèè. Âñÿ óðíîâàÿ ñõåìà äëÿ êâàíòîâîé âåðîÿòíîñòè áóäåò ó íàñ â ðóêàõ, çà èñêëþ÷åíèåì åå ïàðàìåòðîâ, êîòîðûå ìû íå çíàåì. Òàêîå ïðåäïîëîæåíèå ÿâëÿåòñÿ, â íàñòîÿùåå âðåìÿ, ãèïîòåçîé, òàê êàê â ýòîé ñèñòåìå î÷åíü ìíîãî ÷àñòèö; íî ìû ìîæåì óïðîñòèòü ñèñòåìó, êàê ýòî îáû÷íî äåëàåòñÿ. Íàäî òîëüêî ñîõðàíèòü ãëàâíîå: äåòåðìèíèñòè÷åñêóþ çàâèñèìîñòü ðåçóëüòàòà èçìåðåíèÿ îò íà÷àëüíûõ ïàðàìåòðîâ. Èçìåðåíèå â êîíñòðóêòèâèçìå áóäåò, êàê ìû çíàåì, îáû÷íîé ýâîëþöèåé, êîòîðàÿ îòëè÷àåòñÿ îò óíèòàðíîé òîëüêî òåì, ÷òî â ñåòü âîâëåêàåòñÿ î÷åíü ìíîãî ðåàëüíûõ ÷àñòèö, çà ñ÷åò ÷åãî è ïðîèñõîäèò èñ÷åðïàíèå çàïàñà ýêçåìïëÿðîâ, âûçûâàþùåå ïåðåñòðîåíèå ñåòè ñ èñïóñêàíèåì ýêçåìïëÿðîâ îòîíîâ. Òàêèì îáðàçîì, íåèçâåñòíîñòü èñõîäà èçìåðåíèÿ ñâåäåòñÿ â êîíñòðóêòèâèçìå ê íåèçâåñòíîñòè íà÷àëüíûõ ïàðàìåòðîâ ñåòè. Åñëè ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî òàêèå ïàðàìåòðû ìîæíî îïðåäåëèòü, çíàÿ äåòàëüíî ñòðóêòóðó âñåõ óñòðîéñòâ, âõîäÿùèõ â êðèïòîñèñòåìó íà àòîìíîì óðîâíå, ìû ñìîæåì äîñòàòî÷íî ïðàâäîïîäîáíî âûáèðàòü çíà÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ íàì ïàðàìåòðîâ. Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû äåëàåì îäíó çà äðóãîé ïîïûòêè âçëîìàòü îäíó è òó æå êðèïòîñèñòåìó. Òàê êàê ìû íå çíàåì íåèçâåñòíûõ íàì ïàðàìåòðîâ ñåòè ýêçåìïëÿðîâ, ìû áóäåì òåðïåòü íåóäà÷ó çà íåóäà÷åé. Íî åñëè ìû çíàåì î êîíñòðóêòèâíûõ ìîäåëÿõ äîñòàòî÷íî ìíîãî (ñåé÷àñ ýòî íå òàê), ìîæíî íàäåÿòüñÿ íà ïîëó÷åíèå íåêîåãî àëãîðèòìà óòî÷íåíèÿ âûáîðà íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ, à çíà÷èò è íàõîæäåíèÿ ðåçóëüòàòà èçìåðåíèé ñ áîëüøåé äîñòîâåðíîñòüþ, ÷åì ïðîñòàÿ ãåíåðàöèÿ ñëó÷àéíîñòè â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàñïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòè â ñòàíäàðòíîé êâàí24 Ìîæíî âêëþ÷èòü â ðàññìàòðèâàåìóþ ñèñòåìó åùå è ñàìèõ Àëèñó è Áîáà. Òàêîé ïîâîðîò âûâîäèò íàñ çà ðàìêè êâàíòîâîé êðèïòîãðàèè, íî â íåì íåò íè÷åãî íåâîçìîæíîãî ïðè íàëè÷èè ìàñøòàáèðóåìîé ìîäåëè. Ýòîò âàðèàíò, íåñîìíåííî, ðàññìàòðèâàåòñÿ ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ïðè ñîõðàíåíèè ñåêðåòîâ, òàê êàê èìåííî ëþäè ÿâëÿþòñÿ ñàìûì íåíàäåæíûì çâåíîì ñèñòåì èíîðìàöèîííîé áåçîïàñíîñòè. Êîíñòðóêòèâíûå ìîäåëè è çäåñü îêàæóòñÿ ïîëåçíûìè.

5.14. ÅÇÞÌÅ ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÎÉ ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈÈ ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ249

òîâîé òåîðèè. Ëþáàÿ âîçìîæíîñòü óçíàòü ÷òî-òî î èñõîäå èçìåðåíèÿ, ïîìèìî ñòàíäàðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè îçíà÷àåò íàðóøåíèå ñåêðåòíîñòè êðèïòîãðàè÷åñêîé ëèíèè. Ýòî è åñòü íîâûå âîçìîæíîñòè, êîòîðûå êîíñòðóêòèâèçì îòêðûâàåò äëÿ Åâû. àçóìååòñÿ, ýòè âîçìîæíîñòè ñòàíóò ÷åì-òî, çàñëóæèâàþùèì ïðàêòè÷åñêîãî âíèìàíèÿ òîëüêî òîãäà, êîãäà ó íàñ áóäåò ðàáîòîñïîñîáíàÿ êîíñòðóêòèâíàÿ ìîäåëü âçàèìîäåéñòâèÿ îòîíîâ ñ àòîìàìè. Èòàê, êîíñòðóêòèâèçì ìîæåò äàòü íàïàäàþùåé ñòîðîíå íîâûå âîçìîæíîñòè, è áóäåò ñòèìóëèðóþùèì äëÿ òåõ, êòî çàíèìàåòñÿ êðèïòîãðàè÷åñêîé çàùèòîé, êîòîðàÿ áóäåò ïîñòàâëåíà ïåðåä íåîáõîäèìîñòüþ èñêàòü íîâûå ïóòè îòðàæåíèÿ òàêèõ àòàê. Íî íàäî ÿñíî ïîíèìàòü, ÷òî ýòî áóäåò ñèòóàöèåé íà âûñîêîì óðîâíå ðàçâèòèÿ êðèïòîãðàèè - â åå êâàíòîâîé îðìå. Åñëè âûáèðàòü ìåæäó êëàññè÷åñêèìè ìåòîäàìè çàùèòû èíîðìàöèè è êâàíòîâûìè, íàïðèìåð, ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè êëþ÷à, êâàíòîâûå ìåòîäû èìåþò áåçóñëîâíûé ïðèîðèòåò ïåðåä êëàññè÷åñêèìè, òàê êàê êëàññè÷åñêàÿ êðèïòîãðàèÿ äàæå ãèïîòåòè÷åñêè íå ñìîæåò ïðîòèâîñòîÿòü òåì ñðåäñòâàì íàïàäåíèÿ, êîòîðûå ìû çäåñü ðàññìàòðèâàåì.

5.14

åçþìå àëãîðèòìè÷åñêîé ìîäèèêàöèè êâàíòîâîé òåîðèè

ß ïðèâåäó çäåñü ðåçþìå ìåòîäà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ, êîòîðûé ïðåäñòàâëÿåòñÿ íàèáîëåå ïðàâèëüíûì îðìàëèçìîì äëÿ êîíñòðóêòèâíîé êâàíòîâîé òåîðèè. Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî àëãîðèòìè÷åñêèé ïîäõîä ê èçèêå äîëæåí áûòü îñíîâàí èìåííî íà ýòîì îðìàëèçìå. Òåì íå ìåíåå, òàêîå ïðåäïîëîæåíèå íå îçíà÷àåò îòîæäåñòâëåíèå ìåòîäà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ ñ àëãîðèòìèçìîì êàê òàêîâûì. Èñïîëüçîâàíèå ìåòîäîâ ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè (íàïðèìåð, ìåòîäîâ ðàñ÷åòà ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé) ìîæåò òàêæå áûòü î÷åíü æåëàòåëüíûì â öåëîì ðÿäå ñëó÷àåâ, íàïðèìåð, â òåîðèè õèìè÷åñêèõ ðåàêöèé. Ïî÷åìó îðìàëèçì êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ áîëåå óäîáåí, ÷åì ñòàíäàðòíûé îðìàëèçì âîëíîâûõ óíêöèé ? Âîëíîâàÿ óíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî íàáëþäàåìîé âåëè÷èíîé. Îíà âîçíèêàåò íå â õîäå îäíîãî ýêñïåðèìåíòà, à ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì ñòàòèñòè÷åñêîé îáðàáîòêè áîëüøîãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿåòñÿ ëîãè÷íûì, ÷òî ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ íå îïèðàåòñÿ íà ïîíÿòèå âîëíîâîé óíêöèè, à èñïîëüçóåò âìåñòî ýòîãî ïîíÿòèå ðîÿ ýêçåìïëÿðîâ. Íàáîð ñòàòèñòèêè, íåîáõîäèìûé äëÿ îïðåäåëåíèÿ âîëíîâîé óíêöèè â ëþáîì ýêñïåðèìåíòå, ñîîòâåòñòâóåò çäåñü óìåíüøåíèþ çåðíà ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ. Èíòåðåñíî, ÷òî íàáîð ñòàòèñòèêè â ìåòîäå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ ïðîèçâîäèòñÿ ïî çàâèñèìûì äðóã îò äðóãà ýêñïåðèìåíòàì; óñëîâèå êàæäîãî ñëåäóþùåãî ýêñïåðèìåíòà îïðåäåëÿåòñÿ ïî èòîãàì ïðåäûäóùåãî. Ýòî ïðîÿâëÿåòñÿ â ìåòîäå îòáîðà ñîñòîÿíèé ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì. Êðîìå òîãî, â ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè óñðåäíåíèå ïðîâîäèòñÿ ïî ýêñ-

250 ËÀÂÀ 5. ÀË ÎÈÒÌÈ×ÅÑÊÀß ÌÎÄÈÔÈÊÀÖÈß ÊÂÀÍÒÎÂÎÉ ÒÅÎÈÈ ïåðèìåíòàì, â êàæäîì èç êîòîðûõ âûáèðàåòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, íîâàÿ ñèñòåìà, íàõîäÿùàÿñÿ â òîì æå êâàíòîâîì ñîñòîÿíèè. Ïðè ýòîì ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî ïðè èíîì âûáîðå ñèñòåìû ñ òåì æå ñîñòîÿíèè ìû ïîëó÷èì ïðè óñðåäíåíèè òîò æå ñàìûé ðåçóëüòàò. Èìåííî ýòî ëåæèò â îñíîâå ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè. Çäåñü ó íàñ åñòü ãèïîòåòè÷åñêàÿ âîçìîæíîñòü ïðîèçâåñòè íåîãðàíè÷åííîå êîëè÷åñòâî ýêñïåðèìåíòîâ, è òîëüêî ïîñëå ýòîãî ìîæíî ïîäâåñòè èòîã. Òî åñòü, âîîáùå ãîâîðÿ, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî èòîã ïîäâîäèòñÿ òîëüêî ïîñëå íåîãðàíè÷åííîãî ÷èñëà ýêñïåðèìåíòîâ. àçóìååòñÿ, ýòî ñîâåðøåííî íå ñîãëàñóåòñÿ ñ ïðèíöèïàìè êîíñòðóêòèâèçìà, â ÷àñòíîñòè, îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè ÷åðåç ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èòîãîâ ýêñïåðèìåíòîâ íåïðèåìëåìî â êîíñòðóêòèâíîì àíàëèçå.  îðìàëèçìå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ ìû íå îïåðèðóåì ñ âîëíîâîé óíêöèåé, à èìååì äåëî íåïîñðåäñòâåííî ñ äèíàìè÷åñêèìè ñöåíàðèÿìè, èñõîäû êîòîðûõ è ðåãèñòðèðóþòñÿ â ýêñïåðèìåíòàõ. Ýòî ïîëíîñòüþ ñîãëàñóåòñÿ ñ êîíñòðóêòèâíûì àíàëèçå. Ïî ëþáîìó ïðèáëèæåíèþ íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ âîëíîâîé óíêöèè

|Ψ(0)i

ñ ïîìîùüþ ðîÿ

S(0)

ìû ýåêòèâíî íàõîäèì ñîîòâåòñòâó-

þùåå ïðèáëèæåíèå ðåçóëüòèðóþùåé âîëíîâîé óíêöèè ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû

|Ψ(T )i

ñ ïîìîùüþ ðîÿ

S(T ).

Ýòî â ïîëíîé ìåðå îòíîñèòñÿ è ê çàäà÷àì

ðàññåÿíèÿ ñ ó÷àñòèåì îòîíîâ, òî åñòü ê ðîåâîé îðìóëèðîâêå êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè. Òàêèì îáðàçîì, ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ âïîëíå ñîãëàñóåòñÿ ñ êîíñòðóêòèâíûì ìàòåìàòè÷åñêèì àíàëèçîì. Ïîýòîìó ýòîò ìåòîä ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âîçìîæíóþ êîíñòðóêòèâíóþ âåðñèþ êâàíòîâîé òåîðèè ìíîãèõ ÷àñòèö. Ýâðèñòèêà êîíñòðóêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ, âêëþ÷àþùàÿ ïîíÿòèå ñâÿçåé ìåæäó ýêçåìïëÿðàìè è ñåòè êàê îðìû îïèñàíèÿ ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì, î÷åíü åñòåñòâåííà. Ïîëüçóÿñü åé, ìîæíî íàäåÿòüñÿ íà ïîëó÷åíèå ïðàâäèâûõ äèíàìè÷åñêèõ ñöåíàðèåâ äëÿ ìíîãèõ ÷àñòèö, â òîé îáëàñòè, ãäå ìåòîä âîëíîâûõ óíêöèé íå ìîæåò ðàáîòàòü â ïðèíöèïå. Îòëàäêà äåòàëåé ýâðèñòèêè êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ íà îñíîâå ñðàâíåíèÿ ñî ñòàöèîíàðíîé êâàíòîâîé ìåõàíèêîé ïðåäñòàâëÿåòñÿ ìíå âïîëíå ïðåîäîëèìîé òðóäíîñòüþ.

ëàâà 6 Ïðîãðàììíûé êîíòåéíåð åñòåñòâîçíàíèÿ

ëàâíîå ïðåèìóùåñòâî ìåòîäà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ â êîíñòðóêòèâíîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå ñîñòîèò â åãî ïîòåíöèàëüíîé ìàñøòàáèðóåìîñòè íà î÷åíü áîëüøèå ñèñòåìû. Ýòî ïîçâîëÿåò ãîâîðèòü î âîçìîæíîñòè ñîçäàíèÿ áîëåå óíèâåðñàëüíîé ïðîãðàììû, ïðåäíàçíà÷åííîé äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ òàêèõ ñèñòåì, êîòîðûå èçó÷àþòñÿ íå â êâàíòîâîé òåîðèè, à â õèìèè è äàæå áèîëîãèè. Òàêóþ ãèïîòåòè÷åñêóþ ïðîãðàììó ìû áóäåì íàçûâàòü ïðîãðàììíûì êîíòåéíåðîì åñòåñòâîçíàíèÿ (ÏÊÅ). Ýòîò ïðîåêò, â îòëè÷èå îò êîíñòðóêòèâèçàöèè èçèêè, ïîêà ñòîèò íåñêîëüêî äàëüøå îò ïðàêòè÷åñêîé ðåàëèçàöèè, ïîñêîëüêó îí çàòðàãèâàåò ñðàçó íåñêîëüêî äðóãèõ äèñöèïëèí. È, õîòÿ âñå ìû âåðèì â áåññïîðíîå ãëàâåíñòâî çàêîíîâ èçèêè, â ýòèõ äèñöèïëèíàõ òîæå åñòü ñâîÿ èäåîëîãèÿ, ñ êîòîðîé íåëüçÿ íå ñ÷èòàòüñÿ. Ââèäó ýòîãî, äàííóþ ãëàâó ñëåäóåò ñ÷èòàòü íå òîëüêî ÷èñòî íàó÷íîé, íî è íàó÷íî-àíòàñòè÷åñêîé. Òåì íå ìåíåå, ÏÊÅ âàæåí ïîòîìó, ÷òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ àëãîðèòìîâ êîíñòðóêòèâíîé èçèêè êðèòè÷åñêè íåîáõîäèìà ýâðèñòèêà, ëåæàùàÿ â èõ îñíîâå, è ýòà ýâðèñòèêà äîëæíà áûòü îäèíàêîâà äëÿ ðàçíûõ îáëàñòåé åñòåñòâîçíàíèÿ. Çäåñü ìû îáñóäèì ïåðñïåêòèâó ñîçäàíèÿ ÏÊÅ è íåêîòîðûå èç ïðàêòè÷åñêèõ ïðèåìîâ, êîòîðûå ìîãóò áûòü äëÿ ýòîãî ïðèìåíåíû.

6.1

Àêòóàëüíîñòü ÏÊÅ

àçâèòèå âñåõ åñòåñòâåííûõ äèñöèïëèí ñîïðîâîæäàåòñÿ ïîñòîÿííûì ïîÿâëåíèåì íîâûõ ðàçäåëîâ óíäàìåíòàëüíûõ çíàíèé. Ýòî âåäåò ê ãåîìåòðè÷åñêîìó ðîñòó íàó÷íîé èíîðìàöèè, ÷òî ìîæíî î÷åíü ëåãêî ïîíÿòü, àíàëèçèðóÿ îáúåì ñòàòåé â ýëåêòðîííûõ àðõèâàõ è èõ äèíàìèêó. Òàêîé êîëè÷åñòâåííûé ðîñò ñ íåîáõîäèìîñòüþ ñîïðîâîæäàåòñÿ ïàäåíèåì êà÷åñòâà íàó÷íûõ ïóáëèêàöèé, ïîñêîëüêó èõ ïðîñòî íåêîìó äîëæíûì îáðàçîì ÷èòàòü, à, çíà÷èò, îòñóòñòâóåò íåîáõîäèìàÿ äëÿ ïðîãðåññà îáðàòíàÿ ñâÿçü. Äðóãèì ïðîÿâëåíèåì ýòîãî ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííî âîçðàñòàþùàÿ ñòåïåíü ñïåöèàëèçàöèè îáëàñòåé åñòåñòâîçíàíèÿ, 251

252

ËÀÂÀ 6.

ÏÎ ÀÌÌÍÛÉ ÊÎÍÒÅÉÍÅ ÅÑÒÅÑÒÂÎÇÍÀÍÈß

äåëàþùàÿ òèïè÷íîé òàêóþ ñèòóàöèþ, ïðè êîòîðîé ñïåöèàëèñòû â îäíîé îáëàñòè íå ïîíèìàþò ñïåöèàëèñòîâ â äðóãîé, äàæå åñëè ýòè îáëàñòè îáúåêòèâíî áëèçêè, èëè èçó÷àþò îäíî è òî æå íî ñ ðàçíûõ ñòîðîí. Íàäî îñîáåííî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ýòà ñèòóàöèÿ îáúåêòèâíà. Åå íåëüçÿ èçìåíèòü, ïûòàÿñü óñòàíîâèòü íåêèå èëüòðû èëè ïîâûñèòü òðåáîâàòåëüíîñòü ê îòáîðó ïóáëèêóåìîãî ìàòåðèàëà. Ìîåé öåëüþ çäåñü íå ÿâëÿåòñÿ àíàëèç ýòîé ïðîáëåìû, îòìå÷ó ëèøü, ÷òî îíà î÷åíü ãëóáîêà è áåç åå, õîòÿ áû ÷àñòè÷íîãî, ðåøåíèÿ îæèäàòü äàëüíåéøèõ ðåçóëüòàòîâ îò åñòåñòâîçíàíèÿ áåññìûñëåííî. Äëÿ íàñ áóäåò âàæíî òîëüêî òî, ÷òî äëÿ òàêîãî ðåøåíèÿ äîëæíî áûòü çàòðîíóòî ñàìî ñîäåðæàíèå åñòåñòâåííûõ íàóê. Íèêàêèå âíåøíèå àäìèíèñòðàòèâíûå ìåðû íå ñïîñîáíû ðåøèòü îáîçíà÷åííóþ ñåðüåçíóþ ïðîáëåìó, ïîñêîëüêó íàïðàâëåíèå ðàçâèòèÿ, â òîì ÷èñëå è õàðàêòåð âîçìîæíûõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ïðîðûâîâ äèêòóåòñÿ ñàìèì ñîäåðæàíèåì äàííîé îáëàñòè çíàíèÿ. Ìíå ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûì îðìèðîâàíèå íà îñíîâå óíäàìåíòàëüíîãî çíàíèÿ èíòåãðèðîâàííûõ ïðîãðàììíûõ ðåøåíèé, ïðèãîäíûõ êàê äëÿ òåõíè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé, òàê è äëÿ ðàçâèòèÿ ñàìîãî çíàíèÿ. Äëÿ ñèñòåì ëþáîãî óðîâíÿ ñëîæíîñòè èìåþòñÿ ñîâåðøåííî îñîáûå äèíàìè÷åñêèå ñöåíàðèè, íå ñâîäÿùèåñÿ íåïîñðåäñòâåííî ê ñöåíàðèÿì äëÿ íèçøèõ óðîâíåé. Áóäåì èçìåðÿòü ñëîæíîñòü ñèñòåìû â êîëè÷åñòâå ÷àñòèö, èç êîòîðûõ ñèñòåìà ñîñòîèò. Åñòü îïðåäåëåííûå ñöåíàðèè äëÿ îäíîé ÷àñòèöû. Íî åñëè ðàññìîòðåòü äâå ÷àñòèöû, ìû ïîëó÷èì ñîâåðøåííî íîâûå ýåêòû, íå ñâîäÿùèåñÿ ïðîñòî ê îäíî÷àñòè÷íûì ýåêòàì, íàïèìåð, ñóùåñòâîâàíèå çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé. Åñëè ðàññìîòðåòü 3 ÷àñòèöû, òî ìû ïîëó÷èì ñíîâà íîâûå ýåêòû, íå ñâîäèìûå ê äâóõ÷àñòè÷íûì. Íàïðèìåð, ëþáîå çàïóòàííîå ñîñòîÿíèå äâóõ÷àñòè÷íîé ñèñòåìû èìååò, êàê èçâåñòíî, øìèäòîâñêèé òèï, à äëÿ òðåõ ÷àñòèö ýòî óæå íåâåðíî. Åñëè ðàññìîòðåòü 10 ÷àñòèö, ìû ñíîâà îáíàðóæèì ïðèíöèïèàëüíî íîâûå ýåêòû, ýòî æå ïðîèçîéäåò, åñëè ðàññìîòðåòü çàòåì 100 ÷àñòèö, 1000 è ò.ä. Ïîïûòêà ïîíÿòü, êàê óñòðîåíà ñëîæíàÿ ñèñòåìà, íå ðàññìàòðèâàÿ ïðåäâàðèòåëüíî ïðîñòûå ñèñòåìû,

1

ÿâëÿåòñÿ áåçðàññóäñòâîì . Íàïðîòèâ, ëþáîé ðåàëüíûé ïðîãðåññ, äàæå äëÿ î÷åíü ñëîæíûõ ñèñòåì, êàê æèâûå îðãàíèçìû, ñâÿçàí ñ ðàññìîòðåíèåì áîëåå ïðîñòûõ

2

÷àñòåé, èç êîòîðûõ ñîñòîÿò èññëåäóåìûå ñèñòåìû . Íî ìîæíî ëè ïîñëåäîâàòåëüíî ïðîâåñòè ýòó èäåþ ïîëíîé èåðàðõèè ñèñòåì, íà÷èíàÿ ñ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö äî ñëîæíåéøèõ ñèñòåì ? Ìû ñåé÷àñ àáñòðàãèðóåìñÿ îò òåõíè÷åñêèõ òðóäíîñòåé, íåèçáåæíûõ ïðè ïîïûòêàõ ðåàëèçîâàòü ýòó èäåþ ïðàêòè÷åñêè. Âîïðîñ êàñàåòñÿ ïðèíöèïèàëüíîé îñóùåñòâèìîñòè òàêîãî ïóòè. Ýòî ÿâëÿåòñÿ çàâåäîìî íåâîçìîæíûì ïðè òðàäèöèîííîì âçàèìîäåéñòâèè åñòåñòâåííûõ äèñöèïëèí, â ñèëó òîãî, ÷òî èõ òðàäèöèîííîå ðàçäåëåíèå êàê ðàç è ñâÿçàíî ñ ïðèíöèïèàëüíûì ðàçãðàíè÷åíèåì èõ ñåð. ß äóìàþ, ÷òî ñîâðåìåí1 Íàïðèìåð,

íåâîçìîæíî ïîñòðîèòü ìîäåëü äàæå ñàìîãî ïðîñòîãî æèâîãî ñóùåñòâà, íå ïðèâëåêàÿ äëÿ ýòîãî âñþ èçâåñòíóþ èçèêó, åñëè ìû, êîíå÷íî, èìååì â âèäó èìåííî ìîäåëü, à íå 3D àíèìàöèþ, - àíèìàöèÿ ìîæåò èìåòü òîëüêî ðåêëàìíóþ, íî íå íàó÷íóþ öåííîñòü. 2 Îòêðûòèå áàêòåðèé, ñïèðàëè ÄÍÊ, è ò.ä. - ñïèñîê ïðèìåðîâ ÷èòàòåëü ìîæåò ïðîäîëæèòü ñàì

6.2. ×ÒÎ ÒÀÊÎÅ ÌÅÒÎÄÛ ÑÆÀÒÈß ÄÀÍÍÛÕ È ÏÎ×ÅÌÓ ÎÍÈ ÍÅ ÄÀÞÒ ÓÄÎÂËÅÒÂÎ

íûå ïðîãðàììíûå ìåòîäû äàþò íàì âîçìîæíîñòü ïðåîäîëåòü ýòî ïðåïÿòñòâèå. Èìåííî íà ýòî è íàöåëåí ïðîåêò ÏÊÅ, ðàññìîòðåííûé â äàííîé ãëàâå.

6.2

×òî òàêîå ìåòîäû ñæàòèÿ äàííûõ è ïî÷åìó îíè íå äàþò óäîâëåòâîðèòåëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è

Ïîñêîëüêó ìû ñòàêëèâàåìñÿ ñ çàäà÷åé æåñòêîé ýêîíîìèè ïàìÿòè, ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñóùåñòâóþùèå ìåòîäû ñæàòèÿ äàííûõ, â íàäåæäå èçâëå÷ü èç íèõ ïîëüçó äëÿ íàøåé çàäà÷è. Òî åñòü, ÷òî áóäåò, åñëè ìû ïðîñòî îöèðóåì âñå èçâåñòíûå íàó÷íûå ïðèåìû, è ïîïûòàåìñÿ èõ èñïîëüçîâàòü â òàêîì âèäå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì íàäî êîìïàêòíî çàïèñàòü íåêîòîðîå ñëîâî Ââåäåì äîïîëíèòåëüíûé àëàâèò

ak+1 , ak+2 , . . . , al

L

â àëàâèòå

{a1 , a2 , . . . , ak .

è áóäåì çàïèñûâàòü çàìåíû

ïåðåìåííûõ ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòèõ äîïîëíèòåëüíûõ áóêâ. Ïóñòü íà íóëåâîì øàãå (áàçèñ) ó íàñ èìååòñÿ òîëüêî èñõîäíîå ñëîâî áóäåò èìåòüñÿ ñëîâî âèäà

ag = ad am .

Lj

Íà øàãå

j

Øàã íàøåãî ïðîöåññà áóäåò ñîñòîÿòü â òîì, ÷òî â ñëîâå

ïðîèçâîäèì çàìåíó âñåõ âõîæäåíèé ñëîâà âèäà

ag = ad am

L = L0 .

ó íàñ

â ðàñøèðåííîì àëàâèòå è ñèñòåìà ðàâåíñòâ â ñëîâàõ

ad am

íà

ag

Lj

ìû

è ââîäèì ðàâåíñòâî

â íàøó ñèñòåìó. Äîãîâîðèìñÿ äåëàòü ýòó îïåðàöèþ â òîì è òîëüêî

â òîì ñëó÷àå, åñëè â ðåçóëüòàòå ïðîèñõîäèò óìåíüøåíèå îáùåé äëèíû ñëîâà è ðàâåíñòâ. Èñïîëüçóÿ ýòîò ïðèåì, ìîæíî ëåãêî çàêîäèðîâàòü íåêîòîðûå ðåãóëÿðíûå ãðàììàòèêè, íàïðèìåð, ðåçóëüòàòû çàìåí âèäà

a −→ ab, b −→ ba.

Ñóùåñòâó-

þùèå ïðîãðàììû ñæàòèÿ àéëîâ èñïîëüçóþò îïèñàííóþ ñõåìó. Òåì íå ìåíåå ñæàòîå òàêèì îáðàçîì ñëîâî ñòàíîâèòñÿ íåóíêöèîíàëüíûì. Äåéñòâèòåëüíî, äàííûé ìåòîä ñæàòèÿ èãíîðèðóåò òîò àêò, ÷òî áóêâû

ad

è

am

ïðè âûïèñàííîé

çàìåíå ìîãóò ïðèíàäëåæàòü âõîæäåíèÿì â ñëîâî, èìåþùèì ðàçëè÷íóþ óíêöèîíàëüíîñòü. Òàêèì îáðàçîì, ïðè äàííîì òèïå ñæàòèÿ íåâîçìîæíî áóäåò ýåêòèâíî ðàáîòàòü ñî ñæàòûì ñëîâîì, ÷òî íàì íå ïîäõîäèò, òàê êàê â íàøåì ñëó÷àå êàê ðàç óíêöèîíàëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ îñíîâíîé öåëüþ.

6.3

Î ÿçûêå ÏÊÅ

Íàøåé áëèæàéøåé çàäà÷åé áóäåò ñîçäàíèå îáùåãî îðìàòà äëÿ îïèñàíèÿ áîëüøèõ ñèñòåì ñ ïîìîùüþ ìàëîé ïàìÿòè, ïðèãîäíîãî äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ èõ äèíàìèêè. Êàê óæå óïîìèíàëîñü, ìàñøòàáèðîâàíèå íàøèõ ìîäåëåé òðåáóåò, ÷òîáû òðåáóåìàÿ äëÿ çàïèñè ñèñòåìû èç

n

÷àñòèö ïàìÿòü ðîñëà êàê

log(n).

Ýòî òðå-

áîâàíèå ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì, òàê êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìîäåëèðîâàíèå áîëüøèõ ñèñòåì ïîòðåáóåò òàêèõ æå çàòðàò, êàê è ñàìî èõ ñîçäàíèå, ÷òî äåëàåò ñàì ïðîöåññ ìîäåëèðîâàíèÿ áåññìûñëåííûì.

254

ËÀÂÀ 6.

ÏÎ ÀÌÌÍÛÉ ÊÎÍÒÅÉÍÅ ÅÑÒÅÑÒÂÎÇÍÀÍÈß

Óñëîâèå ëîãàðèìè÷åñêîãî ðîñòà ïàìÿòè ÿâëÿåòñÿ ãîðàçäî áîëåå æåñòêèì, ÷åì äàæå òðåáîâàíèå ëèíåéíîãî ðîñòà ïàìÿòè, íàëîæåííîå íàìè ðàíåå. Òàêèì îáðàçîì, ìû äîëæíû ìîäåëèðîâàòü â îãðàíè÷åííîì îáúåìå ïàìÿòè ïîâåäåíèå ýêñïîíåíöèàëüíî áîëüøèõ ñèñòåì, ÷òî òðåáóåò ñïåöèàëüíîé èäåîëîãèè. Çà îñíîâó ÏÊÅ ìû âûáåðåì ïðîñòðàíñòâåííóþ êëàññèèêàöèþ ñèñòåì è ïðîöåññîâ. Ýòà êëàññèèêàöèÿ íå àáñîëþòíà: íàïðèìåð, ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé â êâàíòîâîé ìåõàíèêå ãîâîðèò î òîì, ÷òî ñòðåìëåíèå ê î÷åíü ìàëûì ðàññòîÿíèÿì ïðè òî÷íîé ëîêàëèçàöèè îáúåêòà ïðèâîäèò ê ñòîëü æå áîëüøîìó ðàçáðîñó â åãî èìïóëüñå, è ñîîòâåòñòâåííî, ê áîëüøîìó ðàññòîÿíèþ, íà êîòîðîå äàííûé îáúåêò óäàëèòñÿ â ñëåäóþùèé ìîìåíò âðåìåíè. Òåì íå ìåíåå ýòà òðóäíîñòü âñå òàêè óñòóïàåò îãðîìíîìó ïðåèìóùåñòâó, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå ïîñëåäîâàòåëüíîãî äåëåíèÿ ïðîñòðàíñòâà, ïðèâîäÿùåãî ê ýêñïîíåíöèàëüíîé ýêîíîìèè ïàìÿòè. Ïîýòîìó êâàíòîâûå åíîìåíû íàäî ðàññìàòðèâàòü êàê íåêèå èñêëþ÷åíèÿ. Ìû óâèäèì, êàê ìîæíî áûëî áû áîðîòüñÿ ñ òàêèìè èñêëþ÷åíèÿìè äëÿ òîãî, ÷òîáû ñîõðàíèòü çàÿâëåííóþ íàìè ëîãàðèìè÷åñêóþ ñëîæíîñòü ìîäåëè. Ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòè íå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì èñêëþ÷åíèåì, êîòîðîå íàäî áóäåò ñïåöèàëüíî îáðàáàòûâàòü â ñèñòåìå óïðàâëåíèÿ ÏÊÅ. Âòîðûì âàæíûì èñêëþ÷åíèåì ÿâëÿåòñÿ çàïóòàííûå êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ, êîòîðûå ñïîñîáíû âëèÿòü íà ïðîöåññû ìàêðîñêîïè÷åñêèõ ìàñøòàáîâ. Ýòè èñêëþ÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ òåì ñàìûì, ðàäè ÷åãî ãîðîäèòñÿ âåñü îãîðîä (èíà÷å ìîæíî áûëî áû îáîéòèñü òðàäèöèîííîé èçèêîé è ìåõàíèêîé, íàïðèìåð,

3

óðàâíåíèÿìè, îïèñûâàþùèìè ïðîöåññû â ìåõàíèêå ñïëîøíûõ ñðåä ). Îíè ëåæàò â îñíîâå òåõ ñëîæíûõ ïðîöåññîâ, êîòîðûå ìû ñîáèðàåìñÿ îïèñûâàòü, è äëÿ òî÷íîãî îïèñàíèÿ êîòîðûõ òðåáóåòñÿ êîíñòðóêòèâíàÿ èçèêà. Âñÿ ðàññìàòðèâàåìàÿ íàìè ñëîæíàÿ ñèñòåìà äîëæíà áûòü ðàçäåëåíà íà ÿðóñû, òàê ÷òî âíóòðè êàæäîãî èç íèõ ñîñòàâíûå ÷àñòè äàííîãî óðîâíÿ äîëæíû îïèñûâàòüñÿ ñ ïîìîùüþ êîíå÷íîãî àâòîìàòà. Ýòî ðàçäåëåíèå íåîáÿçàòåëüíî ñâÿçàíî ñ ïðîñòðàíñòâåííîé âëîæåííîñòüþ ÷àñòåé, íî åãî óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü èìåííî êàê ïðîñòðàíñòâåííóþ âëîæåííîñòü. Èòàê, ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå äåëåíèå ïðîñòðàíñòâà íà ïîñëåäîâàòåëüíî âëîæåííûå êóáû. Âûáåðåì çåðíî ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàçðåøåíèÿ

δr .

δr ,

è ðàçîáúåì ïðîñòðàíñòâî íà êóáû ñî ñòîðîíîé

Áóäåì íàçûâàòü ýòî ðàçáèåíèåì íóëåâîãî óðîâíÿ. Òåïåðü îáúåäèíèì ñîñåä-

íèå êóáû â áîëüøèå êóáû ñî ñòîðîíîé

2δr .

Âíóòðè îäíîãî òàêîãî êóáà áóäåò

8 êóáîâ íóëåâîãî óðîâíÿ. Íàçîâåì ýòî ðàçáèåíèåì ïåðâîãî óðîâíÿ, è ò.ä. Ìû ìîæåì ñîïîñòàâèòü âñÿêîé òî÷êå òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà åå êîîðäèíàòû ñëåäóþùèì îáðàçîì. Âîçüìåì ñàìûé ìàëåíüêèé èç êóáîâ ñ íà÷àëüíîé âåðøèíîé â íåêîé èêñèðîâàííîé òî÷êå O, íàçûâàåìîé íàìè íà÷àëîì êîîðäèíàò, êîòîðûé ñîäåðæèò äàííóþ òî÷êó. Âíóòðè ýòîãî êóáà íàéäåì êóá íà åäèíèöó íèçøåãî óðîâíÿ, êîòîðûé ñîäåðæèò äàííóþ òî÷êó. Ïîëîæåíèå ýòîãî êóáà âíóòðè ïåðâîãî ìîæíî âûðàçèòü òðîéêîé áèò, êîòîðóþ ìû îáîçíà÷èì ÷åðåç

E1 .

Ýòà

òðîéêà àêòè÷åñêè ÿâëÿåòñÿ î÷åíü ãðóáûìè êîîðäèíàòàìè íàøåé òî÷êè âíóò3 Çäåñü

íàäî îòìåòèòü, ÷òî íå âñå òàêèå ïðîöåññû ìîæíî îïèñàòü èçâåñòíûìè óðàâíåíèÿìè, íàïðèìåð, òóðáóëåíòíîñòü

6.3.

255

Î ßÇÛÊÅ ÏÊÅ

ðè ïåðâîãî êóáà. Ïðîäîëæàÿ ïðîöåññ äåëåíèÿ êóáîâ, ïîëó÷èì òðîéêó ÷òî øåñòåðêà áèòîâ

E1 E2

E2 ,

òàê

áóäåò äàâàòü ïðèáëèæåíèå èñõîäíîé òî÷êè ñ â äâà ðà-

çà áîëüøåé òî÷íîñòüþ, è òàê äàëåå, ïîêà íå äîéäåì äî ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîé òî÷íîñòè

δr , ïîëó÷èâ â èòîãå ïîëíûå êîîðäèíàòû íàøåé òî÷êè âèäà E1 E2 . . . Ek .

Ìîæíî áûëî áû äåëèòü ðåáðî êóáà íå íà 2, à íà áîëüøåå ÷èñëî ÷àñòåé, íî ýòî ïðèíöèïèàëüíî íè÷åãî íå ìåíÿåò.  ëþáîì ñëó÷àå

k = log|r|, ãäå |r| åñòü ðàññòî-

ÿíèå íàøåé òî÷êè îò íà÷àëà êîîðäèíàò. Ââåäåííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò ÿâëÿåòñÿ

àêòè÷åñêè êóáèòîâûì êîíèãóðàöèîííûì ïðîñòðàíñòâîì äëÿ òî÷åê ñ òî÷íîñòüþ

δr , êîòîðîå ìû óæå ðàññìàòðèâàëè ïðè ìîäåëèðîâàíèè êâàíòîâûõ ñèñòåì.

Ñåé÷àñ ìû ïîñìîòðèì íà íåãî ïîä íåñêîëüêî èíûì óãëîì çðåíèÿ.

E1 E2 . . . Ek íà íåñêîëüêî ó÷àñòêîâ: E1 . . . Ej1 Ei1 +1 . . . Ej2 . . . òàê ÷òî êàæäûé ó÷àñòîê Ejl +1 . . . Ejl+1 ìîæíî àññîöèèðîâàòü ñ íåêîòîðîé åñòåñòâåííîé äèñöèïëèíîé. Íàïðèìåð, óðîâíè ñ 1 ïî 30 ìîæíî àññîöèèðîâàòü ñ ÿäåðíîé èçèêîé, óðîâíè ñ 30 ïî 60 - ñ àòîìíîé èçèêîé, 60 ïî 80 - ñ õèÌîæíî ðàçáèòü êîðòåæ

ìèåé, è ò.ä. àçóìååòñÿ, òàêîå äåëåíèå áóäåò ïðèáëèçèòåëüíûì, òàê êàê çäåñü åñòü ïåðåêðûâàþùèåñÿ çîíû. Íî ýòî äåëåíèå õîðîøî òåì, ÷òî îíî àáñîëþòíî, òî åñòü ñîâåðøåííî íå çàâèñèò îò èçáðàííîé ñèñòåìû åäèíèö; áîëåå òîãî, åãî çàâèñèìîñòü îò äåëåíèÿ ðåáðà êóáà ïðè ïåðåõîäå ê íèçøåìó ÿðóñó - òîëüêî â ëèíåéíîì ìíîæèòåëå. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî ó íàñ åñòü îãðîìíîå ìíîæåñòâî òî÷å÷íûõ îáúåêòîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ èìååò ñâîè êîîðäèíàòû â ïðîñòðàíñòâå, è íåêîòîðûé òèï èç êîíå÷íîãî íàáîðà òèïîâ. Òîãäà êàæäîìó òàêîìó îáúåêòó ìû ìîæåì ïðèïèñàòü åãî êîîðäèíàòû âûøåîïèñàííûì ïóòåì. Ìîæíî àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïðèïèñàòü è ñêîðîñòè, èìåÿ â âèäó, ÷òî ñêîðîñòè òàêæå áóäóò óáûâàòü ñ âîçðàñòàíèåì óðîâíÿ, â ÿäåðíîé èçèêå îíè ñàìûå áîëüøèå, â àòîìíîé ìåíüøå, â õèìèè - åùå ìåíüøå è ò.ä. Òàêèå îáúåêòû áóäóò ïðåäñòàâëÿòü íàèìåíüøèå èçâåñòíûå ÷àñòèöû ìàòåðèè. Âûáîðîì

δr

ìîæíî äîáèòüñÿ, ÷òîáû êîîðäèíàòû

ðàçíûõ îáúåêòîâ áûëè ðàçëè÷íûìè. Òàêèì îáðàçîì, âñÿ ñëîæíàÿ ñèñòåìà áó-

¯ åå îáúåêòîâ. Ýòèõ îáúåêòîâ äåò îöèðîâàíà â âèäå ìíîæåñòâà êîîðäèíàò E 40 ìîæåò áûòü, íàïðèìåð, 10 â ðàññìàòðèâàåìîé íàìè ñèñòåìå, íî ýòî ïîòðåáóåò âñåãî ëèøü ïðèìåðíî

120

óðîâíåé, òî åñòü

k = 120.

Èñïîëüçóÿ ëîãàðèìè÷å-

ñêóþ äëèíó çàïèñè êîîðäèíàò ëþáîãî îáúåêòà, ìû ìîæåì äîâîëüíî ýêîíîìíûì ñïîñîáîì, èñïîëüçóÿ òîëüêî îñíîâíûå àðèìåòè÷åñêèå îïåðàöèè, çàêîäèðîâàòü òàêèå ïðîöåññû, êàê ðàñïðîñòðàíåíèå âîëí, òåïëà, äèóçèîííûé ïðîöåññ, è ò.ä. Äëÿ ýòîãî íóæíî ðàññìîòðåòü êîíå÷íî-ðàçíîñòíóþ ñõåìó, ïðåäñòàâëÿþùóþ ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå, è ïåðåâåñòè ýòó ñõåìó â êóáèòîâóþ îðìó, ÷òî íå ïðåäñòàâëÿåò îñîáûõ çàòðóäíåíèé äëÿ îïèñàííûõ êëàññè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. Òàêèì îáðàçîì ìîæíî, â ïðèíöèïå, ïîãðóçèòü â ÏÊÅ òó îáëàñòü, êîòîðóþ ìîæíî óñëîâíî íàçâàòü ìåõàíèêîé ñïëîøíûõ ñðåä (èìåííî ïîãðóçèòü, íî ýòî ïîêà íå äàñò ïðèíöèïèàëüíî íîâûõ ïóòåé èññëåäîâàíèÿ). Ïðè ýòîì íàì áóäåò äîñòàòî÷íî òîé îðãàíèçàöèè ÿðóñîâ íåêîòîðîãî óðîâíÿ, êîòîðóþ ïðåäîñòàâëÿåò íàì ÿçûê êîíå÷íûõ àâòîìàòîâ. Òî åñòü ëþáîå óâåëè÷åíèå ñëîæíîñòè çäåñü äàæå ïðè ðîñòå ÷èñëà ýëåìåíòîâ ðàçáèåíèÿ êóáèêà ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê óâåëè÷å-

256

ËÀÂÀ 6.

ÏÎ ÀÌÌÍÛÉ ÊÎÍÒÅÉÍÅ ÅÑÒÅÑÒÂÎÇÍÀÍÈß

íèå ñòåïåíè äëÿ âõîæäåíèÿ ñëîâà â ðåãóëÿðíóþ ãðàììàòèêó. àññìîòðèì, êàê ñ ïîìîùüþ ðåãóëÿðíûõ ãðàììàòèê ïîëó÷àòü èçîáðàæåíèå ÿäðà äëÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû 4.21. àññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíûå ðàçáèåíèÿ ïðîñòðàíñòâà íà êóáèêè, îïèñàííîå âûøå. Íàì íàäî ïîëó÷èòü âñå áîëåå è áîëåå 2 eimx /2ht â òåðìèíàõ íàøåé èåðàðõèè êóáèêîâ, òî 2 2 åñòü ïðèáëèæåíèÿ óíêöèé cos(mx /2ht) è sin(mx /2ht). Ýòî ìîæíî ñäåëàòü,

òî÷íûå ïðèáëèæåíèÿ óíêöèè

èìåÿ àëãîðèòì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé äëÿ òàêèõ óíêöèé, îñíîâàííûé, íàïðèìåð, íà èõ ðàçëîæåíèè â ñòåïåííûå ðÿäû. Íà êàæäîì óðîâíå j ó íàñ ¯ j ), SIN(E¯ j ) ãäå E¯ j åñòü ïðèáëèæåíèå áóäåò ïîëó÷àòüñÿ íåêèå óíêöèè COS(E óðîâíÿ

j

êîîðäèíàòû àðãóìåíòà. Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü ëþáîé

ïðîöåññ, îïèñûâàåìûé äèåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè. Áóäåì íàçûâàòü òàêîå ïðåäñòàâëåíèå ïðîöåññîâ ìåõàíèêè ñïëîøíûõ ñðåä êóáèòîâûì ïðåäñòàâëåíèåì, òàê êàê ìû îòîæäåñòâèëè êóáèòû ñ ðàçðÿäàìè êîîðäèíàò

¯ E

â êîíèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå. Çäåñü âîçíèêàåò îòìå÷åííàÿ âû-

øå òðóäíîñòü èç-çà ñîîòíîøåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòåé, âåäóùàÿ ê íåëîêàëüíîñòè. àññìîòðèì ÿäðî ñâîáîäíîé ÷àñòèöû 4.21. Ýòî ÿäðî ÿâëÿåòñÿ âîëíîâîé óíêöèåé ñâîáîäíîé ÷àñòèöû â ìîìåíò âðåìåíè â íà÷àëüíûé ìîìåíò

0

t

ïðè óñëîâèè, ÷òî åå ñîñòîÿíèå

â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè åñòü äåëüòà óíêöèÿ,

ñîñðåäîòî÷åííàÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò. Ìû âèäèì, ÷òî ÷åì ìåíüøå ðåå ïðîèñõîäÿò îñöèëëÿöèè ïðè èêñèðîâàííîì çíà÷åíèè

x.

t,

òåì áûñò-

Òàêèì îáðàçîì,

ìû èìååì ïðîöåññ, êîòîðûé íåâîçìîæíî ìîäåëèðîâàòü â ðåàëüíîì âðåìåíè â ñìûñëå ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé îò ãðóáîãî ê áîëåå òî÷íîìó, êàê, íàïðèìåð, àññîöèàöèþ ìîëåêóë, ðàññìîòðåííàÿ âûøå. Çäåñü ÷åì ìåíüøå âðåìÿ

t,

òåì áîëåå òî÷íîå ïðèáëèæåíèå íà âñåì ïðîñòðàíñòâå ìû äîëæíû âçÿòü, ÷òîáû ïîëó÷èòü ïðàâèëüíóþ êàðòèíó. Ïðèìåíåíèå ìåòîäà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ ïîçâîëèò òîëüêî îãðàíè÷èòü ñêîðîñòü ðàçëåòà ýêçåìïÿðîâ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû, íî íå ëèêâèäèðóåò ñàìó òðóäíîñòü, êîòîðàÿ çàêëþ÷àåòñÿ èìåííî â òîì, ÷òî íàèáîëåå òî÷íîå ïðèáëèæåíèå ìû äîëæíû áðàòü èìåííî íà âñåì ïðîñòðàíñòâå, è â îñîáåííîñòè, â îòäàëåííûõ îò íà÷àëà êîîðäèíàò îáëàñòÿõ, ïðè î÷åíü ìàëûõ

t.

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû íå ìîæåì èñïîëüçîâàòü ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ

ïðèáëèæåíèé â ðåàëüíîì èçè÷åñêîì âðåìåíè, è äîëæíû èñïîëüçîâàòü ìîäåëü äèíàìè÷åñêèõ ñöåíàðèåâ è îòáîðà ýòèõ ñöåíàðèåâ, ÷òî áûëî îïèñàíî âûøå. Ïðè îòáîðå ñöåíàðèåâ ìû îáÿçàíû äåëàòü ïðîõîä ïî êóáèòîâîé êîîðäèíàòå ÷àñòèöû

E¯

â ïðåäåëàõ, îïðåäåëåííûõ ðàññìàòðèâàåìûì âçàèìîäåéñòâèåì, íàïðèìåð,

äëÿ àòîìíîé èçèêè ýòî

30 ≤ j ≤ 60,

è ïîòîì ñðàâíèâàÿ ñöåíàðèè, ïðîèçâî-

äèòü îòáîð, óòî÷íÿþùèé íóæíûå íàì çíà÷åíèÿ (íàïðèìåð, ïîâåäåíèå âîëíîâîé óíêöèè â óäàëåííûõ òî÷êàõ, êàê äëÿ ðàçëåòà ñâîáîäíîé ÷àñòèöû. Êàê ìû óñëîâèëèñü âûøå, âðåìÿ, ïîòðà÷åííîå íà îáðàáîòêó îòáîðà ñöåíàðèåâ, ÿâëÿåòñÿ àäìèíèñòðàòèâíûì, à íå ðåàëüíûì âðåìåíåì, è èìåííî â ÏÊÅ ýòî ïðîÿâëÿåòñÿ â ïîëíîé ìåðå. Ñëåäóþùàÿ òðóäíîñòü ñâÿçàíà ñ ñóùåñòâîâàíèåì çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé è âûÿâëåíèåì èõ ïðèíöèïèàëüíîé ðîëè â ýâîëþöèè ìàêðîñêîïè÷åñêèõ òåë. Îíà îáõîäèòñÿ â ïðèíöèïå òî÷íî òàê æå, êàê è ïåðâàÿ. Íàëè÷èå çàïóòàííûõ ñîñòîÿ-

6.3.

Î ßÇÛÊÅ ÏÊÅ

257

íèé âûðàæàåòñÿ â ìåòîäå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ â îðìå ñåòè, ñâÿçûâàþùåé ýêçåìïëÿðû ðåàëüíûõ ÷àñòèö. ýòè ýêçåìïëÿðû, ñâÿçàííûå íèòÿìè è ñâÿçÿìè, ìîãóò íàõîäèòüñÿ íà ñîâåðøåííî ðàçíûõ óðîâíÿõ êóáèòîâîé èåðàðõèè, è äëÿ ðåàëèçàöèè ñåòè íàì ïðèäåòñÿ â ëþáîì ñëó÷àå ïóòåøåñòâîâàòü ïî ðàçíûì óðîâíÿì êóáèòîâîé èåðàðõèè äëÿ îáðàáîòêè ñåòè. Âðåìÿ, ïîòðà÷åííîå íà òàêèå ïóòåøåñòâèÿ, òàêæå íå ìîæåò áûòü îòíåñåíî ê ðåàëüíîìó èçè÷åñêîìó âðåìåíè, è ñ÷èòàåòñÿ íàìè àäìèíèñòðàòèâíûì. Êóáèòîâûå ïðîñòðàíñòâåííûå êîîðäèíàòû íå ÿâëÿþòñÿ åäèíñòâåííîé îðìîé õðàíåíèÿ ìàññèâà ÷àñòèö, ñîñòàâëÿþùèõ ñëîæíóþ ñèñòåìó. Ìîæíî ïðèìåíÿòü òîò æå ïðèíöèï íå ê ïðîñòðàíñòâåííîé âëîæåííîñòè êóáîâ, à ê ñàìèì ÷àñòèöàì, ñïîñîáíûì îáúåäèíÿòüñÿ â áîëüøèå ÷àñòèöû - ïî èåðàðõè÷åñêîìó ïðèíöèïó. Ýòîò ñïîñîá îòëè÷àåòñÿ îò ïðîñòðàíñòâåííîé èåðàðõèè òàê æå, êàê ëåáåãîâñêàÿ ñõåìà èíòåãðèðîâàíèÿ îò ðèìàíîâñêîé, ÷òî àíàëîãè÷íî ñèòóàöèè ñ îïèñàíèåì ìíîãî÷àñòè÷íûõ àíñàìáëåé ïðè ïîìîùè ñåòè (ñì. âûøå). àññìîòðèì ïðîñòîé ïðèìåð ñèñòåìû èç 10000 îäèíàêîâûõ àòîìîâ åððîìàãíåòèêà, îáúåäèíåííûõ â íåïðàâèëüíóþ êðèñòàëëè÷åñêóþ ðåøåòêó, ñîñòîÿùóþ èç 100 êëàñòåðîâ, ïî 100 àòîìîâ â êàæäîì, è ïîäâåðãàþùóþñÿ äåéñòâèþ ñèëüíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïåðâîíà÷àëüíàÿ îðèåíòàöèÿ ñïèíîâ ýòèõ àòîìîâ, îáóñëîâëåííàÿ ïåðèìóùåñòâåííîé îðèåíòàöèåé ñïèíîâ ýëåêòðîíîâ èç íåïîëíîñòüþ çàïîëíåííûõ îðáèòàëåé, íàì íåèçâåñòíà. Åñëè ìû èçó÷àåì ïðîöåññ óñòàíîâëåíèÿ îðèåíòàöèè ñïèíîâ àòîìîâ ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííîãî ïîëÿ, ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïåðâîíà÷àëüíûå îðèåíòàöèè ñïèíîâ âíóòðè êàæäîãî êëàñòåðà ñîâïàäàþò. Åñëè ýòî íà ñàìîì äåëå íå òàê, ìû ìîæåì ïðîèçâîëüíî ïîìåíÿâ èõ îðèåíòàöèþ, ïðîâåñòè ìîäåëèðîâàíèå çàíîâî, óáåäèâøèñü, ÷òî ýòî íå âëèÿåò íà îòâåò. Àíàëîãè÷íî, ïðè èññëåäîâàíèè ñëîæíîé áèîõèìè÷åñêîé ðåàêöèè ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî âñå âõîäÿùèå â åå ðåàãåíòû àòîìû âîäîðîäà íàõîäÿòñÿ â îäèíàêîâûõ ñîñòîÿíèÿõ, êðîìå ìàëîãî ÷èñëà àòîìîâ, îáìåíèâàþùèõñÿ ýëåêòðîíîì ñ ñîñåäÿìè. Òî÷íî òàê æå, èññëåäóÿ ãàç, ñîñòîÿùèé èç ìîëåêóë àììèàêà

C3 N

ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî âñå ýòè ìîëåêóëû íàõîäÿòñÿ â àáñîëþòíî îäèíàêîâûõ ñîñòîÿíèÿõ, êðîìå, áûòü ìîæåò, î÷åíü ìàëîãî ÷èñëà íåïîñðåäñòâåííî ñòàëêèâàþùèõñÿ äðóã ñ äðóãîì â äàííûé ìîìåíò. Òî÷íî òàê æå ìîæíî îòîæäåñòâëÿòü îðìû ñëîæíûõ ìîëåêóë, ïðåäñòàâëÿþùèõ îí ïðè èçó÷åíèè íåêîé ðåàêöèè, çà èñêëþ÷åíèåì åäèíè÷íûõ ñëó÷àåâ è ò.ä. Òàêîå îòîæäåñòâëåíèå ïîçâîëÿåò ýêîíîìèòü ïàìÿòü êîìïüþòåðà, íî îíî íå ñïîñîáíî äàòü ëîãàðèìè÷åñêîé ñëîæíîñòè, ê êîòîðîé ìû ñòðåìèìñÿ ! Åñëè íà êàæäîì óðîâíå ìû îñòàâëÿåì õîòÿ áû äâóì îäíîòèïíûì ÷àñòèöàì èìåòü ðàçëè÷íûå ñîñòîÿíèÿ, íàì íå èçáåæàòü α ðàñõîäîâ ïàìÿòè êàê n , ãäå n - ÷èñëî ðåàëüíûõ ÷àñòèö â ìîäåëèðóåìîé ñèñòåìå. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ëîãàðèìè÷åñêîé ñëîæíîñòè ïî ïàìÿòè íàì ïðèäåòñÿ ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ îñíîâíîãî ÷èñëà óðîâíåé èåðàðõèè ñîñòîÿíèå ÷àñòèö íå èãðàåò ðîëè âîîáùå, à èãðàåò ðîëü òîëüêî èõ òèï. Ïðåäåëüíûé ñëó÷àé ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñîñòîÿíèå âîîáùå íå èãðàåò ðîëè, òî åñòü ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî âñå îäíîòèïíûå ÷àñòèöû íàõîäÿòñÿ â îäèíàêîâîì ñîñòîÿíèè. Òîãäà âñÿ ðàçíèöà ìåæäó íèìè áóäåò çàêëþ÷àòüñÿ â ïðîñòðàíñòâåííîì ðàñïîëîæåíèè ýêçåìïëÿðîâ ñî-

258

ËÀÂÀ 6.

ÏÎ ÀÌÌÍÛÉ ÊÎÍÒÅÉÍÅ ÅÑÒÅÑÒÂÎÇÍÀÍÈß

ñòàâëÿþùèõ èõ ÷àñòèö íóëåâîãî óðîâíÿ, (â ÊÝÄ ýòî ýëåêòðîíû è ÿäðà àòîìîâ è îòîíû) â ìîìåíò èõ íåïîñðåäñòâåííîé àññîöèàöèè (èëè èçëó÷åíèÿ îòîíà). Ïîñêîëüêó èñõîä òàêîãî ñòîëêíîâåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ãåíåðàòîðîì ñëó÷àéíîãî ÷èñëà (åñëè ìû íå ïðèíèìàåì êàêîé-ëèáî êðèòåðèé òèïà

d

è

D

äëÿ àññîöèàöèè

â ìîëåêóëó - íî ýòîò êðèòåðèé òîæå, â êîíå÷íîì ñ÷åòå, òðåáóåò ãåíåðàöèè ñëó÷àéíîñòè, íî íà áîëåå íèçêîì óðîâíå èåðàðõèè), âñå ðàçíîîáðàçèå, êîòîðîå ìû òîãäà äîïóñêàåì â ñèñòåìó ñîñòîèò èç

•

à) ðàëè÷íûå òèïû ÷àñòèö,

•

á) ðàçëè÷íûå ïðîñòðàíñòâåííûå ïîëîæåíèÿ,

•

â) âîçìîæíîñòü èíäèâèäóàëüíîñòè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö.

Ñàìûì îïàñíûì òèïîì ðàçíîîáðàçèÿ, èñêëþ÷àþùèì èñïîëüçîâàíèå ëîãàðèìè÷åñêîé ïàìÿòè, ÿâëÿåòñÿ ïóíêò á). Ìû ìîæåì ïðåäïîëîæèòü, ÷òî âñå ïðîñòðàíñòâåííûå ïîëîæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ïðîñòî õàîòè÷åñêèìè, òî åñòü íàëè÷èå â íèõ ñëó÷àéíîãî ïîðÿäêà (íàïðèìåð, ñëó÷àéíî âîçíèêøåé ïåðèîäè÷íîñòè) íå âëèÿåò íà îòâåò. Ýòîò òåçèñ ìîæíî ïðîâåðèòü ñëó÷àéíûì èçìåíåíèåì íà÷àëüíûõ óñëîâèé çàäà÷è - âñå ñöåíàðèè äîëæíû ñîõðàíèòüñÿ. Íàïðèìåð, ñáîðêà ìîëåêóëû íóêëåèíîâîé êèñëîòû íå çàâèñèò îò òî÷íîãî íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ åå áóäóùèõ íóêëåîòèäîâ - îíè íàõîäÿòñÿ â õàîòè÷åñêîì ñîñòîÿíèè. Èìåííî õàîòè÷åñêîå äâèæåíèå è îáåñïå÷èâàåò ñáîðêó ýòîãî ïîëèìåðà, òî åñòü çäåñü ïîðÿäîê âîçíèêàåò èç õàîñà. Åñëè ýòî - îáùàÿ çàêîíîìåðíîñòü (åñòü îñíîâàíèÿ ïîëàãàòü ÷òî ýòî òàê), òî ó íàñ îñòàåòñÿ äâà èñòî÷íèêà ðàçíîîáðàçèÿ ñöåíàðèåâ: à) è â). àçíîîáðàçèå òèïîâ ÷àñòèö, ïî-âèäèìîìó, âïîëíå ïðåäñêàçóåìî, òî åñòü ìû ìîæåì âûäåëèòü èõ ÿâíî äëÿ êàæäîãî óðîâíÿ (çäåñü åñòü åùå òåìíîå ìåñòî, ñâÿçàííîå ñ äèíàìèêîé - íàïðèìåð, íåêîòîðûå èîíû ìîãóò áûòü íå ñòàáèëüíûìè â ðàñòâîðå, èëè ñòàáèëüíîñòü ìîæåò çàâèñåòü îò ÷àñòîòû ïàäàþùèõ íà íèõ îòîíîâ è ò.ä.). Äàæå åñëè ýòî íå òàê, ìû ìîæåì ñïóñòèòüñÿ íà óðîâåíü íèæå, è ðàññìàòðèâàòü "ñîìíèòåëüíûå"÷àñòèöû êàê àíñàìáëè èç ÷àñòèö áîëåå íèçêîãî óðîâíÿ.  ýòîì ñëó÷àå âñå ðàçíîîáðàçèå ñâîäèòñÿ ê ðàçíîîáðàçèþ èíäèâèäóàëüíîñòè ÷àñòèö íóëåâîãî óðîâíÿ. Ìû ìîæåì ïîëó÷èòü ëîãàðèìè÷åñêóþ ïî ïàìÿòè ìîäåëü òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè íàì óäàñòñÿ ñâåñòè âñå ðàçíîîáðàçèå ñöåíàðèåâ ê ïðîÿâëåíèþ ðàçíîîáðàçèÿ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö íóëåâîãî óðîâíÿ, òî åñòü èñòèííî ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ñîãëàñíî íàøèì ïðåäñòàâëåíèÿì. Òîëüêî òàêèå ìîäåëè áóäóò ñàìûìè ýåêòèâíûìè. Íî èõ èñïîëüçîâàíèå áóäåò è ñàìûì ðèñêîâàííûì, ïîñêîëüêó îíî îñíîâàíî íà ïðåäïîëîæåíèÿõ î âîçìîæíîñòè èãíîðèðîâàíèÿ ðàçíîîáðàçèé à) è á). Êîãäà öåëåñîîáðàçíî ñòðåìèòüñÿ ê ïîñòðîåíèþ òàêèõ ìîäåëåé ? Ýòî îïðàâäàíî òîëüêî åñëè ïðåäìåò èññëåäîâàíèé íàìíîãî ïðåâîñõîäèò èñïîëüçóåìóþ âû÷èñëèòåëüíóþ ñèñòåìó. Íàïðèìåð, åñëè ðå÷ü èäåò î ìîäåëèðîâàíèè çâåçäû. Ìîäåëè ëîãàðèìè÷åñêîé ïàìÿòè ñõîäíû ñ ìîäåëÿìè äèíàìèêè ñïëîøíûõ ñðåä, êîòîðûå îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, íå çàâèñè-

6.3.

259

Î ßÇÛÊÅ ÏÊÅ

ìî îò íàëè÷èÿ íå óñòîé÷èâûõ ðåøåíèé. Íåóñòîé÷èâîñòü ðåøåíèÿ ïî íà÷àëüíûì óñëîâèÿì ÿâëÿåòñÿ ïðèçíàêîì ïîäõîäà ê ïðåäåëüíîìó óðîâíþ èåðàðõèè äëÿ òàêîãî óñëîâèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îðìà ðåøåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ íå íà÷àëüíûì óñëîâèåì êàê òàêîâûì, à íèçøèìè ýòàæàìè èåðàðõèè, òî åñòü ñöåíàðèåì äëÿ ñîñòàâíûõ ÷àñòåé ÷àñòèö (êàê äëÿ òÿæåëîãî êàìíÿ, ñòîÿùåãî íà îäíîé òî÷êå åãî òðàåêòîðèÿ îïðåäåëÿåòñÿ íå óðàâíåíèåì äèíàìèêè äëÿ ýòîãî êàìíÿ, à ìîëåêóëÿðíûì ïðîöåññîì â òî÷êå îïîðû). Íàõîæäåíèå òàêèõ òî÷åê óæå ïðåäñòàâëÿåò îãðîìíóþ öåííîñòü, íàïðèìåð, â àâèàñòðîåíèè, ãäå îíè îïðåäåëÿþò ãðàíèöû äîïóñòèìûõ óãëîâ ïîâîðîòà ðóëåé. Åùå áîëåå èíòåðåñíàÿ òåìà - óïðàâëåíèå ñèñòåìîé â òàêîé òî÷êå, ÷òî òðåáóåò ñîãëàñîâàíèÿ ðàçíûõ óðîâíåé èåðàðõèè.

4

àçóìååòñÿ, ìîäåëü íå áóäåò ðàáîòàòü, åñëè ïîä òèïîì ÷àñòèöû ìû ïîíèìàåì òîëüêî åå ñîñòàâ, íàïðèìåð, åñëè ýëåìåíòàìè ÿâëÿþòñÿ ýëåêòðîíû è ÿäðà, êîòîðûå ðàçëè÷àþòñÿ òîëüêî ïî èõ âåñó è çàðÿäó. Ìû äîëæíû ðàçëè÷àòü, íàïðèìåð, â êàêîì ñîñòîÿíèè,

1s

èëè

2p

íàõîäèòñÿ ýëåêòðîí â àòîìå âîäîðîäà, è

ò.ï., òî åñòü íàäî îáúÿâëÿòü òàêèå ñîñòîÿíèÿ ðàçíûìè òèïàìè ÷àñòèö. Ýòî õîðîøî äëÿ ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé, íî íå ïîäõîäèò äëÿ äèíàìèêè, íàïðèìåð, äëÿ ïåðåíîñà ýëåêòðîíà óæå íàäî áóäåò ðàçëè÷àòü ìíîãî âîçáóæäåííûõ ñîñòîÿíèé, îñîáåííî åñëè íàì íóæíû ñòàäèè ýòîãî ïðîöåññà, îò êîòîðûõ ìîæåò çàâèñåòü îáùèé ñöåíàðèé, è ò.ä. Çíà÷èò, íåîáõîäèì äðóãîé ÿçûê, â êîòîðîì â òèïå ÷àñòèöû óæå ñîäåðæàëàñü áû èíîðìàöèÿ î âîçìîæíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñöåíàðèÿõ ñ åå ó÷àñòèåì. Èìåííî òàêîé ÿçûê ïðåäîñòàâëÿåò ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ, ïðè êîòîðîì ñèñòåìà ÷àñòèö ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñåòè èõ ýêçåìïëÿðîâ, ñâÿçàííûõ ñâÿçÿìè è íèòÿìè.  òåðìèíàõ ñåòè ìû ìîæåì õðàíèòü èíîðìàöèþ îá îãðàíè÷åííîì ÷èñëå ïðîñòðàíñòâåííûõ êîíèãóðàöèé ðàãìåíòîâ ñåòè (íàïðèìåð, åå ñâÿçíûõ êóñêîâ), íàçûâàÿ êàæäóþ òàêóþ êîíèãóðàöèþ îòäåëüíîé ÷àñòèöåé. åçþìèðóåì îñíîâíûå ïîëîæåíèÿ î ÏÊÅ. Îí äîëæåí áûòü èåðàðõè÷åñêîé ñòðóêòóðîé, â êîòîðîé íà êàæäîì ýòàæå ðàñïîëîæåíû ñèñòåìû ÷àñòèö îäíîãî òèïà ñëîæíîñòè, êîòîðûå ðàññìàòðèâàþòñÿ íàìè êàê ýëåìåíòàðíûå ñîñòàâíûå åäèíèöû äëÿ ýëåìåíòà, ñòîÿùåãî íåïîñðåäñòâåííî íàä íèìè íà ñëåäóþùåì ýòàæå. ×àñòèöåé óðîâíÿ

j

íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ÷àñòèö óðîâíÿ

j−1

ñ óêàçàíèåì

äëÿ êàæäîé åå òî÷íûõ êîîðäèíàò â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ, êîòîðûé ñ÷èòàåòñÿ êîîðäèíàòîé äàííîé ÷àñòèöû óðîâíÿ öà

α

j.

 ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ëþáàÿ ÷àñòè-

íóëåâîãî óðîâíÿ, âõîäÿùàÿ â ðàññìàòðèâàåìóþ ñèñòåìó, áóäåò èìåòü åå

êîîðäèíàòó

¯ . E(α)

Ïðè ýòîì ìû ïîòðåáóåì, ÷òîáû ñóùåñòâîâàë òîëüêî çàðàíåå

îïðåäåëåííûé è èêñèðîâàííûé íàáîð áîãî óðîâíÿ óðîâíÿ

j,

j,

íå âõîäÿùåãî â

¯j

¯j

÷èñåë

j1 , j2 , . . . , jl ,

òàêîé ÷òî äëÿ ëþ-

ìîæíî õðàíèòü â ïàìÿòè ðîâíî îäíó ÷àñòèöó

è ñ÷èòàòü, ÷òî âñå äðóãèå ÷àñòèöû óðîâíÿ

j

îïðåäåëåíû ïðèçâîëüíî,

ïðè÷åì îò èõ îïðåäåëåíèÿ íå çàâèñèò äèíàìè÷åñêèé ñöåíàðèé. Óñëîâèìñÿ òàêæå ñ÷èòàòü, ÷òî è äëÿ óðîâíåé, âõîäÿùèõ â

¯j ,

÷èñëî ðàçíûõ ÷àñòèö îãðàíè÷åíî

íåêîòîðîé àáñîëþòíîé êîíñòàíòîé. Òîãäà ìîäåëè áóäóò èìåòü ëîãàðèìè÷å4 Ýòî

íåìíîãî íàïîìèíàåò çàäà÷ó, êîòîðóþ ðåøàåò ìîøåííèê â àçàðòíîé èãðå: èñïîëüçîâàíèå áîëåå òîíêèõ ìåõàíèçìîâ äëÿ ãåíåðàöèè íóæíîãî èñõîäà.

260

ËÀÂÀ 6.

ÏÎ ÀÌÌÍÛÉ ÊÎÍÒÅÉÍÅ ÅÑÒÅÑÒÂÎÇÍÀÍÈß

ñêóþ ñëîæíîñòü ïî ïàìÿòè â çàâèñèìîñòè îò îáúåìà âñåõ ÷àñòèö. Âñå ñèñòåìû, îïèñûâàåìûå äèåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè (êàê ñïëîøíûå ñðåäû) ÿâëÿþòñÿ ìîäåëÿìè ñ ëîãàðèìè÷åñêîé ïàìÿòüþ. Ýòî âûòåêàåò èç òîãî, ÷òî ïàìÿòü êîìïüþòåðà ðàñõîäóåòñÿ íå íà õðàíåíèå êàæäîé ÷àñòèöû â îòäåëüíîñòè, íî íà õðàíåíèå îáùåãî ÷èñëà ÷àñòèö. ÏÊÅ åñòü îáîáùåíèå òàêîãî ðîäà ìîäåëåé íà ñëîæíûå ñèñòåìû. Çäåñü ìû ïûòàåìñÿ äîñòè÷ü òîãî æå ýåêòà ïðàâäèâûõ ñöåíàðèåâ, êàê è äëÿ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, íî äëÿ òåõ ñëó÷àåâ, êîãäà óðàâíåíèÿ íå ïðèìåíèìû. Ýòè ñëó÷àè ñâÿçàíû ñ îáðàçîâàíèåì è ðàñïàäîì çàïóòàííûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé, òî åñòü ñ ïðåâðàùåíèÿìè òèïà õèìè÷åñêèõ.

6.4

Çà÷åì íóæåí ÏÊÅ

ÏÊÅ ïðåäíàçíà÷åí äëÿ îáúåäèíåíèÿ ìåòîäîâ åñòåñòâåííûõ íàóê è ïîëó÷åíèÿ â ðåçóëüòàòå ýòîãî îáúåäèíåíèÿ ñîâåðøåííî íîâûõ âîçìîæíîñòåé ðàçâèòèÿ. Ìîæíî îæèäàòü ñåðüåçíîãî ýåêòà â ðåçóëüòàòå ïîñëåäîâàòåëüíîãî ïðèìåíåíèÿ èçâåñòíîé ÷àñòè êâàíòîâîé ìåõàíèêè (ÊÝÄ è çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé íà íåñêîëüêèõ ÷àñòèöàõ) ê îáúåêòàì, èçó÷àåìûì â õèìèè è áèîëîãèè; ýòà âîçìîæíîñòü èñïîëüçóåòñÿ äîñòàòî÷íî øèðîêî, â îñîáåííîñòè, ñ ïðèìåíåíèåì ñîâðåìåííîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Íî åñòü è äðóãàÿ âîçìîæíîñòü: ñîâåðøåíñòâîâàíèå ìíîãî÷àñòè÷íîé ýâðèñòèêè äëÿ ñàìîé êâàíòîâîé òåîðèè â ìíîãî÷àñòè÷íîé îáëàñòè, ñ ïîìîùüþ àíàëîãèé èç õèìèè è áèîëîãèè. Ìû óæå îáñóæäàëè îãðàíè÷åííîñòü êâàíòîâîé ýâðèñòèêè â îáëàñòè ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì è òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî çà àñàäîì ñòàíäàðòíîãî îðìàëèçìà ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ ìîãóò ñêðûâàòüñÿ íåèçâåñòíûå åíîìåíû. Ïîäîáíûå åíîìåíû ìîãóò èìåòü îðìó êîëëåêòèâíûõ ýåêòîâ óíäàìåíòàëüíîé ïðèðîäû, íà êîòîðûå ìû ìîæåì íàäåÿòüñÿ íàòîëêíóòüñÿ ïðè ïîñòðîåíèè ÏÊÅ. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî òðåáóåò îò íàñ èíîãî îòíîøåíèÿ ê êîìïüþòåðíîìó ìîäåëèðîâàíèþ, êîòîðîå òåïåðü áóäåò èìåòü ãîðàçäî áîëåå âûñîêèé ñòàòóñ, ÷åì ýòî åñòü ñåé÷àñ, êîãäà îíî èãðàåò ðîëü ñåðâèñíîé òåõíè÷åñêîé ñëóæáû ïî óòî÷íåíèþ äåòàëåé èëè èíæåíåðíûõ êîíñòðóêöèé. Åñëè òðàäèöèîííîå ïîíèìàíèå ñëîâà "óíäàìåíòàëüíûé"ñâîäèëîñü ê "íàèáîëåå ìåëêèé èç ýëåìåíòîâ ìèðîçäàíèÿ òî òåïåðü ïîíÿòèå óíäàìåíòàëüíîñòè áóäåò øèðå. Ïîâåäåíèå öåëîé ñèñòåìû íå ñâîäèòñÿ ê ïîâåäåíèþ åå ñîñòàâíûõ ÷àñòåé - èñòèíà, äàâíî èçâåñòíàÿ áèîëîãàì, áûëà ïî íîâîìó îñìûñëåíà â êâàíòîâîé òåîðèè ñ îòêðûòèåì ÿâëåíèÿ çàïóòàííîñòè ñîñòîÿíèé. Ìû âåðèì, ÷òî ðàçâèòèå ÏÊÅ ïîìîæåò íàì îòêðûòü íîâûå ãëóáèíû â îáëàñòè êîëëåêòèâíûõ ýåêòîâ. ÏÊÅ -îñîáàÿ ïðîãðàììà. Åå íàñòðîéêà òðåáóåò ñîãëàñîâàíèÿ ìîäóëåé, îòâå÷àþùèõ çà ðàçëè÷íûå óðîâíè ðàçáèåíèÿ èñõîäíîé ñëîæíîé ñèñòåìû

D0 , D1 , D2 , . . . , Dv , òàê ÷òî ñèñòåìû êàæäîãî ñëåäóþùåãî óðîâíÿ

Dj+1

Dv : (6.1)

ïîëó÷àþòñÿ îáúåäèíåíèåì

6.4.

261

ÇÀ×ÅÌ ÍÓÆÅÍ ÏÊÅ

íåêîòîðûõ ñèñòåì óðîâíÿ

Dj .

Ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïðîöåññ ñáîðêè ñèñòåì,

â ñîîòâåòñòâèè ñ óïîðÿäî÷åíèåì 6.1, ÿâëÿåòñÿ ìîäåëüþ èçè÷åñêîãî ïðîöåññà îáðàçîâàíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû. Âðåìåííî ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû èãíîðèðóåì ñóùåñòâîâàíèå çàïóòàííûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé. Åñëè ìû óñòàíîâèì, â ñîîòâåòñòâèè ñ òðàäèöèÿìè, òî÷íûå ïàðàìåòðû ïðîöåññîâ, îïðåäåëÿþùèõ ýâîëþöèþ ñèñòåì óðîâíÿ

D0 ,

òî, ïîñêîëüêó çàïóòàííîñòè ó íàñ âðåìåííî íåò, ìû

ïîëó÷èì òî÷íûå ïàðàìåòðû äëÿ

D1

è âñåõ äðóãèõ óðîâíåé, âïëîòü äî

Dv .

Âñå

äåëî òîãäà ñâåäåòñÿ ê îïðåäåëåíèþ íà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé äëÿ âñåõ ó÷àñòâóþùèõ â ñèñòåìàõ óðîâíÿ

D0

ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Åñëè ìû õîòèì ñäåëàòü ýòîò

âûáîð äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü èçâåñòíîå èç ýêñïåðèìåíòà ïîâåäåíèå ñèñòåìû

Dv ,

íàì íàäî áóäåò ïåðåáðàòü âñå âîçìîæíûå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ âñåõ

ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, âõîäÿùèõ â ñèñòåìû óðîâíÿ

D0 ,

÷òî ïðàêòè÷åñêè íåâîç-

ìîæíî ñäåëàòü, åñëè òàêèõ ÷àñòèö áîëüøå 3. Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî óòî÷íåíèå íà÷àëüíûõ óñëîâèé äëÿ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö íèçøåãî óðîâíÿ íàäî äåëàòü, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ïðîèñõîäÿùåå íà óðîâíÿõ, îòñòîÿùèõ ïðèìåðíî íà 3 åäèíèöû. Òàêàÿ ñèòóàöèÿ èìååò ìåñòî â ñèñòåìàõ, èçó÷àåìûõ, íàïðèìåð, â òåîðèè êîëåáàíèé, â ñïëîøíûõ ñðåäàõ, àýðî è ãèäðîäèíàìèêå, è âîîáùå âåçäå, ãäå äëÿ îïèñàíèÿ î÷åíü áîëüøîãî ÷èñëà ÷àñòèö äîñòàòî÷íî âñåãî äâóõ-òðåõ óðîâíåé. Äëÿ áîëåå ñëîæíûõ ñèñòåì íàì íåîáõîäèìà âñÿ èåðàðõèÿ ñèñòåì 6.1, è òàêîå ïðîñòîå ðàññóæäåíèå óæå íå ïðîéäåò. ëàâíîé ïðè÷èíîé ýòîãî ÿâëÿþòñÿ çàïóòàííûå êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ, êîòîðûå ìû áóäåì òåïåðü ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå. Òîãäà ó îòäåëüíûõ ÷àñòèö âîîáùå íå áóäåò ñàìîñòîÿòåëüíûõ ñîñòîÿíèé, à ñîñòîÿíèÿ áóäóò òîëüêî ó àíñàìáëåé ÷àñòèö. Ïðè ýòîì åñëè òàêèå àíñàìáëè íå âõîäÿò íè â êàêèå îòäåëüíûå ñèñòåìû óðîâíåé, ìåíüøèõ

Dv ,

óñòàíîâëåíèå íà-

÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé äëÿ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö íèçøåãî óðîâíÿ âîîáùå íå áóäåò èìåòü íèêàêîé ðîëè, òàê êàê ýòèõ ñîñòîÿíèé ïðîñòî íå áóäåò. Ôàêòè÷åñêè, õàðàêòåðèñòèêè òàêèõ ÷àñòèö áóäóò îïðåäåëÿòüñÿ òåì, ÷òî ïðîèñõîäèò íà âûñøèõ óðîâíÿõ, âïëîòü äî

Dv .

Òàêîå ðàññìîòðåíèå îçíà÷àåò íåèçáåæíîå èñïîëüçîâà-

íèå ìíîãî÷àñòè÷íîãî ãèëüáåðòîâà îðìàëèçìà, ÷òî â êîíñòðóêòèâíîé èçèêå íåèçáåæíî ïðèâîäèò ê âîçìîæíîñòè ââåäåíèÿ èíäèâèäóàëüíîñòè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö â çàâèñèìîñòè îò òîãî, â êàêèõ çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèÿõ îíè ó÷àñòâóþò. Ýòî î÷åâèäíî äëÿ ðîåâîãî ïîäõîäà. Äëÿ ëþáîãî äðóãîãî ïîäõîäà ê êîíñòðóêòèâèçàöèè êâàíòîâîé ìåõàíèêè ýòî ñëåäóåò èç îáùèõ ñîîáðàæåíèé, êîòîðûå ÿ ïîïûòàþñü ñîðìóëèðîâàòü. Íå ñóùåñòâóåò íèêàêèõ ïàðàìåòðîâ, êðîìå ââåäåíèÿ èíäèâèäóàëüíîñòè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, êîòîðûå ìîæíî áûëî áû èñïîëüçîâàòü äëÿ ñîãëàñîâàíèÿ ðàçíûõ óðîâíåé. Åñëè ðàññìàòðèâàòü ýëåìåíòàðíûå ÷àñòèöû êàê ñîâåðøåííî îäèíàêîâûå ïðîñòåéøèå "êèðïè÷èêè èç êîòîðûõ ìîæíî ïîñòðîèòü àäåêâàòíóþ ìîäåëü ñèñòåìû ëþáîé ñëîæíîñòè, íàì íåèçáåæíî ïðèäåòñÿ ïðèáåãíóòü ê ïðÿìîìó ïåðåáîðó âñåõ âîçìîæíûõ íà÷àëüíûõ êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû, ÷òî íåëüçÿ ðàññìàòðèâàòü êàê ðåàëüíûé ïóòü. Èíûìè ñëîâàìè, îáùåïðèíÿòûé ïóòü ðàññìîòðåíèÿ ýâîëþöèé ïî ìåòîäó Êîøè: óðàâíåíèå ïëþñ íà÷àëüíîå óñëîâèå, ÿâëÿåòñÿ äëÿ ñëîæíûõ ñèñòåì íåðåàëüíûì. Ìû ìîæåì ðàñ-

262

ËÀÂÀ 6.

ÏÎ ÀÌÌÍÛÉ ÊÎÍÒÅÉÍÅ ÅÑÒÅÑÒÂÎÇÍÀÍÈß

ñ÷èòûâàòü íà óñïåõ òîëüêî â ñëó÷àå ðàññìîòðåíèÿ ñöåíàðèåâ ïî ìåòîäó ãåíåòè÷åñêîãî îòáîðà. Êðàéíèé ñëó÷àé òàêîãî îòáîðà ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ñ÷èòàòü âñå ðàññìàòðèâàåìûå ÷àñòèöû, â òîì ÷èñëå è ýëåìåíòàðíûå, íîñèòåëÿìè ãåíåòè÷åñêîé èíîðìàöèè. Òàêàÿ èíîðìàöèÿ äîëæíà ñîîòâåòñòâîâàòü ñîñòîÿíèþ âñåé ñèñòåìû, à íå òîëüêî ñîñòîÿíèþ äàííîé ÷àñòèöû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â êàæäîé ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöå äîëæíà áûòü òà èëè èíàÿ èíîðìàöèÿ î åå ìåñòå â îáùåé ñèñòåìå. àññìîòðèì ïîä ýòèì óãëîì çðåíèÿ ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ.  ýòîì ìåòîäå ìîäåëü ñëîæíîé ñèñòåìû èç

n

ðåàëüíûõ êâàíòîâûõ ÷àñòèö ñîñòîèò èç

öåëîãî íàáîðà ñöåíàðèåâ âèäà

C¯1 , C¯2 , . . . , C¯M ãäå âñÿêèé ñöåíàðèé

C¯j

(6.2)

Cj (t0 ), Cj (t1 ), . . . , Cj (tk ), à êàæäîå Cj (ti ) ïðåä1 2 L âèäà cj (ti ), cj (ti ), . . . , cj (ti ), ML åñòü ÷èñëî ýê-

èìååò âèä

ñòàâëÿåò ñîáîé íàáîð êîðòåæåé

çåìïëÿðîâ â êàæäîì ðîå äëÿ ëþáîé ðåàëüíîé ÷àñòèöû, ó÷àñòâóþùåé â íàøåé ñèñòåìå. Íàáîð ñöåíàðèåâ 6.2 ÿâëÿåòñÿ îáúåêòîì ïðîöåäóðû îòáîðà, îïèñàííîé íàìè â ïðåäûäóùåé ãëàâå. s Êàæäûé êîðòåæ cj (ti ) ñîñòîèò èç n ýêçåìïëÿðîâ - ïî îäíîìó èç êàæäîãî s 1 2 n èíäèâèäóàëüíîãî ðîÿ: cj (ti ) = [cj,s (ti ), cj,s (ti ), . . . , cj,s (ti )]. Ìû çíàåì, ÷òî êîðòåæè íà îäíîì øàãå ïðîöåññà îòáîðà äîëæíû "÷óâñòâîâàòü"ïðèñóòñòâèå äðóã äðóãà, òî åñòü âçàèìîäåéñòâîâàòü, îáìåíèâàÿñü èìïóëüñàìè íà óðîâíå ïàðû êîíêðåòíûõ ýêçåìïëÿðîâ. Ïðè òàêîì âçàèìîäåéñòâèè ðîëü èãðàåò íå òîëüêî ïàðà ýêçåìïëÿðîâ, íåïîñðåäñòâåííî âîâëå÷åííàÿ â îáìåí èìïóëüñàìè, íî è âñå ýêçåìïëÿðû, âõîäÿùèå ñ íèìè â äâà êîðòåæà, ïîñêîëüêó ýòè êîðòåæè äîëæíû áûòü áëèçêè â åñòåñòâåííîé ìåòðèêå.

6.5

Ó÷åò ñëó÷àéíîãî àêòîðà â ÏÊÅ

Ïðè ëþáîé êîíêðåòèçàöèè ìåòîäà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ (âåðñèÿ äèóçèè è ò.ä.) ó íàñ åñòü ñëó÷àéíûé ïàðàìåòð, îïðåäåëÿþùèé ïîâåäåíèå êàæäîãî ýêçåìïëÿðà èç íàøèõ êîðòåæåé â ëþáîé ìîìåíò àäìèíèñòðàòèâíîãî âðåìåíè. Ýòîò ñëó÷àéíûé ïàðàìåòð, â êîíå÷íîì ñ÷åòå, âëèÿåò íà ðåçóëüòàò îòáîðà, òî åñòü îïðåäåëÿåò ðåçóëüòèðóþùèé ñöåíàðèé, ïîëó÷åííûé ïðèìåíåíèåì íàøåé ìîäåëè. Ïîñêîëüêó ìû óñëîâèëèñü, ÷òî âñå ðàññìàòðèâàåìûå íàìè ìîäåëè òðåáóþò íå áîëåå ÷åì ëèíåéíîãî (à äëÿ ñëîæíûõ ñèñòåì - íå áîëåå ÷åì ëîãàðèìè÷åñêîãî) âðåìåíè â çàìèñèìîñòè îò ðàçìåðà ñèñòåìû, ìû ìîæåì ïðîèçâîäèòü ñòàòèñòè÷åñêèå ýêñïåðèìåíòû ñ ýòèìè ìîäåëÿìè.  ÷àñòíîñòè, ìû ìîæåì ïîâòîðÿòü ìîäåëèðîâàíèå íåñêîëüêî ðàç, èñïîëüçóÿ ðàçëè÷íûå äàò÷èêè ñëó÷àéíûõ ÷èñåë.  ðåçóëüòàòå òàêîé ðàáîòû ìû ñìîæåì ïîíÿòü, íàñêîëüêî âåëèêà çàâèñèìîñòü ðåçóëüòèðóþùåãî ñöåíàðèÿ, âûäàâàåìîãî ìîäåëüþ, îò äàò÷èêà ñëó÷àéíûõ ÷èñåë. Çàäà÷à ïðè ýòîì çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû äîáèòüñÿ ìèíèìàëüíîé âîçìîæíîé çàâèñèìîñòè ðåçóëüòàòà ìîäåëèðîâàíèÿ îò ãåíåðàòîðà ñëó÷àéíîñòè.

6.5.

Ó×ÅÒ ÑËÓ×ÀÉÍÎ Î ÔÀÊÒÎÀ  ÏÊÅ

èñ. 6.1: Êîðòåæè ýêçåìïëÿðîâ

263

264

ËÀÂÀ 6.

ÏÎ ÀÌÌÍÛÉ ÊÎÍÒÅÉÍÅ ÅÑÒÅÑÒÂÎÇÍÀÍÈß

Ìèíèìèçàöèÿ ñëó÷àéíîãî àêòîðà ñîîòâåòñòâóåò îáùåïðèíÿòîé ëîãèêå, ñîãëàñíî êîòîðîé èäåàëüíàÿ ìîäåëü äîëæíà áûòü äåòåðìèíèñòè÷íà. Íî â ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè ñëó÷àéíîñòü ÿâëÿåòñÿ âñòðîåííûì àêòîðîì, èìåþùèì àáñîëþòíûé ñìûñë. È ìû âûíóæäåíû ââîäèòü ñëó÷àéíûé àêòîð ðàäè ñîõðàíåíèÿ åäèíñòâà åñòåñòâîçíàíèÿ â îñíîâó ÏÊÅ. Äåòåðìèíèñòè÷íîñòü â êâàíòîâîé òåîðèè òðàêòóåòñÿ êàê äåòåðìèíèñòè÷íîñòü óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà, èëè Äèðàêà, êîòîðûå âêëþ÷àþò â ñåáÿ âîëíîâûå óíêöèè ðàññìàòðèâàåìûõ ñèñòåì. Ýòè óíêöèè ÿâëÿþòñÿ ðåçóëüòàòîì ñòàòèñòè÷åñêîé îáðàáîòêè ìíîæåñòâà îäíîòèïíûõ ýêñïåðèìåíòîâ, íî åñëè ìû èñïîëüçóåì âîëíîâûå óíêöèè êàê àêòóàëüíûå îáúåêòû, íàøà ìîäåëü áóäåò äåòåðìèíèñòè÷íà â òîì ñìûñëå, ÷òî ñëó÷àéíûé àêòîð óñòðàíÿåòñÿ èç íåå ïîëíîñòüþ. Ýòî íàäî òðàêòîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñëè ìû èíòåðåñóåìñÿ íå òåì, ÷òî ïðîèçîéäåò â äàííîì êîíêðåòíîì ýêñïåðèìåíòå, à òåì, ÷òî ïîëó÷èòñÿ â ðåçóëüòàòå óñðåäíåíèÿ ïî îãðîìíîìó êîëè÷åñòâó îäíîòèïíûõ ýêñïåðèìåíòîâ, ïðîâåäåííûõ ñ ðàçëè÷íûìè è íå çàâèñèìûìè äðóã îò äðóãà äàò÷èêàìè ñëó÷àéíîñòåé, òî íàøà ìîäåëü áóäåò äàâàòü ñîâåðøåííî îïðåäåëåííûé ðåçóëüòàò. Èìåííî â ýòîì ñìûñëå ñëó÷àéíûé àêòîð ïîëíîñòüþ óñòðàíÿåòñÿ èç ìîäåëåé ïðîñòûõ ñèñòåì. Òî æå ñàìîå ñïðàâåäëèâî è äëÿ òàêèõ ïðîöåññîâ, êàê ñòàíäàðòíûå ðåàêöèè ðàññåÿíèÿ äâóõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö ñî ñïèíîì, èëè ïðîñòûå õèìè÷åñêèå ïðîöåññû, òàêèõ êàê ðàçîáðàííûé â ïðåäóäóùåì ïàðàãðàå ïðîöåññ àññîöèàöèè äâóõ ïðîòîíîâ â ìîëåêóëó âîäîðîäà. Äëÿ âñåõ ïðîöåññîâ òàêîãî ðîäà åñòü ñìûñë ãîâîðèòü îá óñðåäíåíèè ïî áîëüøîìó ÷èñëó ïîâòîðîâ ýêñïåðèìåíòà, è ñëó÷àéíûé àêòîð äîëæåí óñòðàíÿòüñÿ. Ôàêòè÷åñêè, óñòðàíåíèå ñëó÷àéíîãî àêòîðà èç ìîäåëåé ïðîñòûõ ïðîöåññîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èíóþ îðìó îáùåèçâåñòíîãî çàïðåòà íà ñóùåñòâîâàíèå ñêðûòûõ ïàðàìåòíîâ â êâàíòîâîé òåîðèè, êîòîðûé àêòèâíî îáñóæäàëñÿ åùå â 60 õ ãîäàõ äâàäöàòîãî âåêà Áåëëîì, Áîìîì è äðóãèìè. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ýòîò çàïðåò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óâåðåííîñòü â òîì, ÷òî âîëíîâîé óíêöèè äîñòàòî÷íî äëÿ îïèñàíèÿ ñâîéñòâ ëþáîé äîñòàòî÷íî ïðîñòîé ñèñòåìû. Çàïðåò ñóùåñòâîâàíèÿ ñêðûòûõ ïàðàìåòðîâ ïðåäñòàâëÿåò, òàêèì îáðàçîì, îäèí èç êðàåóãîëüíûõ êàìíåé ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé èçèêè, è äîëæåí áåçîãîâîðî÷íî ïðèíèìàòüñÿ â ïàêåòå ñ ñàìîé êâàíòîâîé òåîðèåé â ïðåäåëàõ åå ñåðû ïðèìåíèìîñòè. ÏÊÅ, êîòîðûé ìû çäåñü îáñóæäàåì, äîëæåí âìåùàòü â ñåáÿ íå òîëüêî êâàíòîâóþ òåîðèþ, íî (ïîòåíöèàëüíî) âñå åñòåñòâîçíàíèå. Òî åñòü â êîíòåéíåðå äîëæíû áûòü ñðåäñòâà ðàáîòû ñ ÿâëåíèÿìè, âûõîäÿùèìè çà ïðåäåëû ïðèìåíèìîñòè êâàíòîâîé èçèêè, äàæå â åå êîíñòðóêòèâíîì âàðèàíòå. äå ëåæàò ãðàíèöû ïðèìåíèìîñòè êâàíòîâîé òåîðèè ? Ïåðâûì îãðàíè÷åíèåì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî ÷àñòèö â ñèñòåìå, è ñ íèì ñâÿçàíà ïðîáëåìà êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà, îáñóæäàâøàÿñÿ íàìè âûøå. Âòîðîå îãðàíè÷åíèå ñóùåñòâóåò ïî ðåàëüíîìó èçè÷åñêîìó âðåìåíè. Ìû óæå îáñóæäàëè, ÷òî êâàíòîâûå ýåêòû ïðîÿâëÿþòñÿ ïðè âåëè÷èíå Rt1

äåéñòâèÿ

L(xt , x, t)dt

∆S =

t0

ñðàâíèìîé ñ ïîñòîÿííîé Ïëàíêà

h,

÷òî ïîäðà-

6.5.

265

Ó×ÅÒ ÑËÓ×ÀÉÍÎ Î ÔÀÊÒÎÀ  ÏÊÅ

çóìåâàåò ìàëûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè. Ýòî, ðàçóìååòñÿ, íå ìåøàåò ïðèìåíèòü êâàíòîâóþ ìåõàíèêó è ïðè áîëüøèõ âðåìåíàõ, òîëüêî â ýòîì ñëó÷àå îíà äàñò òðàåêòîðèþ, áëèçêóþ ê êëàññè÷åñêîé. Îäíàêî ïðè ïîñòðîåíèè ìîäåëè äèíàìèêè ñèñòåì ñ áîëüøèì ÷èñëîì ÷àñòèö íåëüçÿ áðàòü î÷åíü ìàëûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè ïî ñëåäóþùåé ïðè÷èíå. Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà îïåðèðóåò ñ âîëíîâîé óíêöèåé, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ îáúåêòîì ñòàòèñòè÷åñêîé ïðèðîäû. Ïîýòîìó åå ïðèìåíåíèå äàñò âåðíûé ðåçóëüòàò òîëüêî äëÿ áîëüøîãî ÷èñëà îäíîòèïíûõ ñöå-

5

íàðèåâ . Ñ ðîñòîì ÷èñëà ÷àñòèö â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå ýòî áîëüøîå ÷èñëî ñöåíàðèåâ äëÿ íàáîðà ñòàòèñòèêè áóäåò ðàñòè êàê ýêñïîíåíòà îò ÷èñëà ÷àñòèö. Îäíàêî ñìûñë ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé òîëüêî â òîì, ÷òî ýòî äåëî çàêàí÷èâàåòñÿ â îáîçðèìîå âðåìÿ. Ïîòîìó â ñëîæíûõ ñëó÷àÿõ ìû âûíóæäåíû îïåðèðîâàòü ñîâñåì íå ñ äîñòîâåðíîé ñòàòèñòè÷åñêîé âûáîðêîé, à, àêòè÷åñêè, â åäèíè÷íûìè ñîáûòèÿìè, êîòîðûå è äàþò íàáëþäàåìûé äèíàìè÷åñêèé ñöåíàðèé äëÿ ñëîæíîé ñèñòåìû. Òî åñòü ðîëü ñëó÷àéíîãî àêòîðà, êîòîðûé óñïåøíî èëüòðóåòñÿ äëÿ ïðîñòûõ ñöåíàðèåâ (íàïðèìåð, äëÿ ðàññåÿíèÿ îäíîé ÷àñòèöû íà äðóãîé) â ñëîæíûõ ñèñòåìàõ äðàìàòè÷åñêè âîçðàñòàåò. Ìû âèäèì, ÷òî ó ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè åñòü î÷åíü ñåðüåçíîå îãðàíè÷åíèå ïî âðåìåíè: ðàññìàòðèâàåìûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè äîëæåí

áûòü äîñòàòî÷åí äëÿ ïðîÿâëåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîãî õàðàêòåðà âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ïðîöåññîâ â ñëîæíîé ñèñòåìå, è ýòî, ñ ó÷åòîì çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé, äåëàåò ïðÿìîå ïðèìåíåíèå êâàíòîâîé òåîðèè ê ñëîæíûì ñèñòåìàì íåâîçìîæíûì. Äîëæíû ëè ìû íà ýòîì îòêàçàòüñÿ îò êâàíòîâîé èçèêè ïðè èçó÷åíèè òàêèõ îáúåêòîâ, êàê ñëîæíàÿ õèìèÿ èëè áèîëîãèÿ ? àçóìååòñÿ, íåò. Áîëåå òîãî, ÿ ãëóáîêî óáåæäåí, ÷òî ïîäîáíàÿ ïðàêòèêà ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé, íå îñíî-

âàííûõ ïî ñâîåé ñóòè íà êâàíòîâîé òåîðèè, ÿâëÿåòñÿ â êîðíå îøèáî÷íîé, è íå ñïîñîáíîé äàòü ñèñòåìàòè÷åñêîãî ïðîäâèæåíèÿ, äàæå íåñìîòðÿ íà îòäåëüíûå èíòåðåñíûå íàõîäêè. Ñàìûì öåííûì â êâàíòîâîé òåîðèè (íàðÿäó ñ ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöèè) ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷àñòè÷íûé ãèëüáåðòîâ îðìàëèçì òåíçîðíûõ ïðîñòðàíñòâ, îïèñûâàþùèé ñîñòîÿíèÿ ìíîãî÷àñòè÷íûõ ñèñòåì. Èìåííî êîíñòðóêòèâíîå óðåçàíèå ýòîãî îðìàëèçìà, êîòîðîå îáñóæäàëîñü íàìè â ïðåäûäóùåé ãëàâå, äàåò êëþ÷ ê ïîñòðîåíèþ ÏÊÅ.  ñâÿçÿõ, îðìèðóþùèõ êîðòåæè ýêçåìïëÿðîâ äëÿ ìîäåëè ñöåíàðèåâ, êðîåòñÿ óíäàìåíòàëüíàÿ èçè÷åñêàÿ ñóùíîñòü, êîòîðóþ ìû â íàñòîÿùèé ìîìåíò ïðîñòî íå îñîçíàåì â äîëæíîé ìåðå, ïîñêîëüêó åå ïðîÿâëåíèÿ ñòàíîâÿòñÿ ñóùåñòâåííûìè òîëüêî íà óðîâíå ñëîæíûõ ñèñòåì. Ñëó÷àéíûé àêòîð ÿâëÿåòñÿ âñòðîåííûì â ñòàíäàðòíóþ êâàíòîâóþ òåîðèþ â ñèëó ñòàòèñòè÷åñêîé ïðèðîäû ñàìîé âîëíîâîé óíêöèè

Ψ,

ïðè êîòîðîé êâàä-

ðàò åå ìîäóëÿ òðàêòóåòñÿ êàê ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè îáíàðóæåíèÿ ÷àñòèöû â äàííîé òî÷êå êîíèãóðàöèîííîãî ïðîñòðàíñòâà. Êîíñòðóêòèâèçàöèÿ äèíàìèêè îäíîé ÷àñòèöû ïðèäàåò ñëó÷àéíîìó àêòîðó îðìó òàê íàçûâàåìûõ "ëóê5 Èçìåðåíèå

áîðêè.

ñïåêòðîâ íå ÿâÿåòñÿ èñêëþ÷åíèåì, òàê êàê òàêæå òðåáóåò ñòàòèñòè÷åñêîé âû-

266

ËÀÂÀ 6.

ÏÎ ÀÌÌÍÛÉ ÊÎÍÒÅÉÍÅ ÅÑÒÅÑÒÂÎÇÍÀÍÈß

òóàöèé ïðåêâàíòîâûõ ïîëåé"([23℄), åñëè ïîä ïðåêâàíòîâûìè ïîëÿìè ïîíèìàòü ïðè÷èíó, çàñòàâëÿþùóþ ÷àñòèöó âåñòè ñåáÿ êàê ðîé. Òàêàÿ êîíñòðóêòèâèçàöèÿ äàåò íåìíîãî, ïîñêîëüêó ïðèðîäà ñëó÷àéíîñòè îñòàåòñÿ îò íàñ ñêðûòîé.  äåéñòâèòåëüíîñòè, èñòèííàÿ ïðèðîäà ýòîé ñëó÷àéíîñòè ìîæåò áûòü íàñòîëüêî ãëóáîêîé, ÷òî ó íàñ íåò øàíñîâ ïîíÿòü åå âïîëíå, íî ýòî è íå òðåáóåòñÿ äåëàòü. Åñëè ìû íàáëþäàåì çà îòîäåòåêòîðîì è æäåì ùåë÷êà îò ïîïàâøåãî â íåãî îòîíà, â ïîâñåäíåâíîé æèçíè ðîëü èãðàåò ïëîòíîñòü òàêèõ ùåë÷êîâ, à íå êîíêðåòíûé ìîìåíò èõ íàñòóïëåíèÿ. Åñëè æå êðèòè÷åñêè âàæåí èìåííî ìîìåíò ùåë÷êà (òàê ìîæåò áûòü, íàïðèìåð, â íàøåì îðãàíèçìå), òî â ïðîöåññ îêàçûâàþòñÿ ñóùåñòâåííî âîâëå÷åííîé âñÿ ñèñòåìà ýìèññèè è äåòåêòèðîâàíèÿ äàííîãî îòîíà, è çàäà÷à ïðèîáðåòàåò ñîâåðøåííî èíîé ñìûñë ïî ñðàâíåíèþ ñ îæèäàíèåì ó îòîäåòåêòîðà. Åñëè ìû îáðàòèìñÿ ê ïîíÿòèþ çåðíà àìïëèòóäû è ïðèìåíèì ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ, òî ìû ïðîäâèíåìñÿ íåìíîãî äàëüøå ïî ïóòè ïîíèìàíèÿ ñëó÷àéíîãî àêòîðà â êâàíòîâîé ìåõàíèêå: îí îêàçûâàåòñÿ ñâÿçàííûì ñ îáðàçîâàíèåì äëèííûõ êîðòåæåé ýêçåìïëÿðîâ ó÷àñòâóþùèõ ÷àñòèö. Ñóäüáà ñëîæíîãî êîðòåæà ìîæåò çàâèñåòü îò ïîâåäåíèÿ îäíîãî åãî êîíêðåòíîãî ÷ëåíà, òî åñòü (ïîòåíöèàëüíî !) îò èíäèâèäóàëüíîñòè êîíêðåòíîãî ýêçåìïëÿðà. Àíàëèçèðîâàòü ýòî ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè íåâîçìîæíî: ïëîòíîñòü 2 âåðîÿòíîñòè |Ψ(r1 , r2 , . . . , rn )| ýêñïîíåíöèàëüíî ìàëà, òî åñòü, ñ òî÷êè çðåíèÿ êîíñòðóêòèâèçìà òàê ìàëà, ÷òî ïðîñòî íå ñóùåñòâóåò: äëÿ òàêîãî êîëëåêòèâà

äåéñòâóåò èíîé àëãîðèòì ! Çäåñü çäåñü ëåæèò ãðàíèöà ïðèìåíèìîñòè ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé òåîðèè: ýòà ãðàíèöà ëåæèò â îáëàñòè ñèñòåì ÷àñòèö, ÷èñëî êîòîðûõ áîëüøå ïðèìåðíî 5 (äëÿ áîëüøåãî ÷èñëà ÷àñòèö ïðÿìîé ìåòîä âîëíîâûõ óíêöèé íå áóäåò ïðèìåíèì äàæå íà ñóïåðêîìïüþòåðàõ). Íî èç êâàíòîâîãî êîìïüþòèíãà ìû çíàåì, ÷òî ìàëîñòü ÷èñåë íå ÿâëÿåòñÿ ïðåïÿòñòâèåì äëÿ íàëè÷èÿ íàáëþäàåìûõ ýåêòîâ - è ýòî ÿâëÿåòñÿ õîðîøèì íàïóòñòâèåì äëÿ ðàçâèòèÿ ÏÊÅ îò òðàäèöèîííîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè.

6.6

Î èíäèâèäóàëüíîñòè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö

Âîçíèêàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ: ìîæíî ëè íà èìåþùåìñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíîì îáîðóäîâàíèè îáíàðóæèòü ýåêòû, õîòÿ áû êîñâåííî ïîäòâåðæäàþùèå ïëîäîòâîðíîñòü òîãî ïóòè, êîòîðûé ìû íàçâàëè êîíñòðóêòèâèçìîì â èçèêå, è êîòîðûé ïðèâîäèò ê èäåå ÏÊÅ ?

6

Îäíà èç òàêèõ âîçìîæíîñòåé - îáíàðóæåíèå

èíäèâèäóàëüíîñòè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ïðîâåäåíèå ñåðèè ïîâòîðÿþùèõñÿ ýêñïåðèìåíòîâ íàä îäíîé è òîé æå ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöåé, íàïðèìåð, íàä îäíèì è òåì æå ïðîòîíîì, ýëåêòðîíîì èëè àòîìîì.  ñòàíäàðò6 Îòðèöàòåëüíûå

ðåçóëüòàòû, âðîäå àáñîëþòíîé ìîäåëè äåêîãåðåíòíîñòè, íå îòíîñÿòñÿ ê èõ ÷èñëó. àâíûì îáðàçîì ðå÷ü íå èäåò î ïîñòðîåíèè ýåêòèâíûõ êîìïüþòåðíûõ ìîäåëÿõ. Ìû èìååì â âèäó èìåííî íîâûå ýåêòû, êîòîðûå (ïðåäïîëîæèòåëüíî ?) ìîãëè áû äîïîëíèòåëüíî ïîääåðæàòü èäåþ ÏÊÅ â ñðåäå èçèêîâ.

6.6.

267

Î ÈÍÄÈÂÈÄÓÀËÜÍÎÑÒÈ ÝËÅÌÅÍÒÀÍÛÕ ×ÀÑÒÈÖ

íîé êâàíòîâîé òåîðèè ó ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö íåò íèêàêîé èíäèâèäóàëüíîñòè, è ïîòîìó íåò íèêàêîé ðàçíèöû, ïðîèçâîäèì ëè ìû îïûòû íàä îäíèì àòîìîì, èëè íàä ðàçíûìè. Âîçìîæíîñòè ýêñïåðèìåíòà íàä èíäèâèäóàëüíûìè êâàíòîâûìè îáúåêòàìè (íàïðèìåð, îáðàùåíèå ê îäíîìó êîíêðåòíîìó àòîìó) ïîÿâèëèñü ñðàâíèòåëüíî íåäàâíî, ñ ñîçäàíèåì òóííåëüíûõ ìèêðîñêîïîâ. Ìîæíî ñðàâíèòü ñòàòèñòèêè, ñîáðàííûå äëÿ ðàçëè÷íûõ èíäèâèäóàëüíûõ àòîìîâ, â ïîïûòêå îáíàðóæèòü íå÷òî, ìîãóùåå áûòü îõàðàêòåðèçîâàííûì êàê èíäèâèäóàëüíàÿ ïàìÿòü. Ââåäåíèå èíäèâèäóàëüíîñòåé äëÿ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö ìîæåò îêàçàòüñÿ ïðîäóêòèâíûì äëÿ ïîñòðîåíèÿ êîìïüþòåðíûõ ìîäåëåé, íî ìîæíî ïîïûòàòüñÿ îáíàðóæèòü òàêóþ èíäèâèäóàëüíîñòü íåïîñðåäñòâåííî, ïîñêîëüêó ñîâðåìåííûå ïðèáîðû ïîçâîëÿþò ñäåëàòü ýòî. Íàäî èìåòü â âèäó, ÷òî ïðîÿâëåíèå òàêîé èíäèâèäóàëüíîñòè ìîæåò áûòü î÷åíü ðåäêèì, è çäåñü ñ î÷åâèäíîñòüþ âîçíèêàåò ïðîáëåìà íàäåæíîñòè ñòàòèñòè÷åñêèõ âûâîäîâ. åäêèå îòêëîíåíèÿ îò õàðàêòåðíûõ ñòàòèñòèê, êîòîðûå íàâåðíÿêà ìîæíî îáíàðóæèòü, âïîëíå ìîãóò óêëàäûâàòüñÿ â ïðåäïîëîæåíèå î èäåíòè÷íîñòè àòîìîâ, åñëè ïðèìåíèòü ê òàêèì 2 ñòàòèñòèêàì, íàïðèìåð, êðèòåðèé Ïèðñîíà X . Ïîýòîìó áîëåå ïðîäóêòèâíûì ïóòåì ìîæåò áûòü ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ íàä ÷óòü áîëåå ñëîæíûìè ñèñòåìàìè, íàïðèìåð, ìîëåêóëàìè, ñ ïîñòðîåíèåì ìîäåëè òèïà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ, êîòîðàÿ áû îáúÿñíèëà ðåçóëüòàòû ñ èñïîëüçîâàíèåì èíäèâèäóàëüíîñòè àòîìîâ.

6.6.1 Êðèòåðèé ñîãëàñèÿ Ïèðñîíà Äàäèì êîðîòêîå íàïîìèíàíèå î ãëàâíîì ìåòîäå ñòàòèñòè÷åñêîé îáðàáîòêè ðåçóëüòàòîâ ìíîãîêðàòíûõ ýêñïåðèìåíòîâ - êðèòåðèè ñîãëàñèè Ïèðñîíà. Ýòîò 2 êðèòåðèé íàçûâàþò åùå êðèòåðèåì X .  äåéñòâèòåëüíîñòè, ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ âêëþ÷àåò â ñåáÿ íå ïðîñòî âîçìîæíîñòè èíäèâèäóàëüíîñòè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, à âîçìîæíîñòü 2 èíäèâèäóàëüíîñòè èõ ýêçåìïëÿðîâ. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñóììà íà

n,

n

ãäå

êâàäðàòîâ íåçàâèñèìûõ ñòàíäàðòíûõ íîðìàëüíûõ âåëè÷èí, äåëåííàÿ

r =n−1

ñ÷èòàåòñÿ ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû:

ξ12 + ξ22 + . . . + ξn2 . n

X2 =

àñïðåäåëåíèå ýòîé âåëè÷èíû õîðîøî èçâåñòíî. Ïóñòü ó íàñ åñòü âûáîðêà

η0 . Ìû õîòèì η ñ èçâåñòíîé

x¯

èç çíà÷åíèé íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû

îïðåäåëèòü, ñîâïàäàåò ëè âåëè÷èíà ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ

pη (x).

η0

ñî ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé

èïîòåçà î ñîâïàäåíèè

íàçûâàåòñÿ ãèïîòåçîé ñîãëàñèÿ. Çàìåòèì, ÷òî î âåëè÷èíå ãî, êðîìå âûáîðêè åå çíà÷åíèé

x¯.

η0

η0

ñ

η

ìû íå çíàåì íè÷å-

Ìû õîòèì âûÿñíèòü, íàñêîëüêî ýòà âûáîðêà

ñîãëàñóåòñÿ ñ èçâåñòíûì ðàñïðåäåëåíèåì äëÿ ýòàëîííîé âåëè÷èíû

η.

Êðèòåðèé Ïèðñîíà äàåò âîçìîæíîñòü ïðîâåðÿòü ãèïîòåçó ñîãëàñèÿ. Ýòîò êðèòåðèé èìååò ìíîãî÷èñëåííûå ïðèìåíåíèÿ â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ. Îí äàåò âîçìîæíîñòü íå ïðîñòî ïðîâåðÿòü ïðåäïîëîæåíèå î çíà÷åíèè òîé èëè èíîé âåëè÷èíû (äëÿ ýòîãî åñòü áîëåå ïðîñòûå êðèòåðèè, êàê äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû,

268

ËÀÂÀ 6.

ÏÎ ÀÌÌÍÛÉ ÊÎÍÒÅÉÍÅ ÅÑÒÅÑÒÂÎÇÍÀÍÈß

íàèáîëüøåå ïðàâäîïîäîáèå è ò.ï.), íî î âèäå óíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè, òî åñòü ïðîâåðÿòü çàêîíû íà ñîãëàñèå ñ ýêñïåðèìåíòîì. Äëÿ ïðèìåíåíèÿ êðèòåðèÿ Ïèðñîíà íàäî ïðîäåëàòü ñëåäóþùåå. Ñíà÷àëà

x íà r èíòåðâàëîâ è íóìåðóåì èõ áóêâîé k . Çàòåì äëÿ êàæäîãî èç èíòåðâàëîâ ∆k âû÷èñëÿåì âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ R çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû η â äàííûé èíòåðâàë: pk = p (x)dx. Òåïåðü ðàçáèâàåì ∆k η ýëåìåíòû âûáîðêè íà ãðóïïû, òàê ÷òî ãðóïïà k ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ, ïîïàâøèõ â èíòåðâàë k , è ïóñòü gk p˜k = G åñòü îòíîñèòåëüíîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ âûáîðêè, ïîïàâøèõ â èíòåðâàë k . Çàòåì, íàäî çàäàòüñÿ óðîâíåì çíà÷èìîñòè α > 0, è íàéòè ïî íåìó ïîðîãîâîå çíà÷åíèå tr,α äëÿ X 2 ðàñïðåäåëåíèÿ. Íàêîíåö, íàäî ñîñòàâèòü êîíòðîëüíóþ ñóììó ðàçáèâàåì âîçìîæíóþ îáëàñòü çíà÷åíèé

Sx¯,α,∆¯ =

r X (pk − p˜k )2 k=1

Ïîñëå ýòîãî ñðàâíèì êîíòðîëüíóþ ñóììó

npk qk S

.

ñ óðîâíåì

tr,α .

Åñëè îíà îêàæåòñÿ

ìåíüøå óðîâíÿ, êèïîòåçà î ñîãëàñèè ïðèíèìàåòñÿ, åñëè ìåíüøå - îòâåðãàåòñÿ. Êàê ìîæíî ïðèìåíèòü êðèòåðèé Ïèðñîíà ê íàøåé ïðîáëåìå ðàñïîçíàâàíèÿ èíäèâèäóàëüíîñòè àòîìîâ ? Äîïóñòèì, ìû èññëåäóåì çàâèñèìîñòü âåðîÿòíîñòè íàõîæäåíèÿ àòîìà â âîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè â çàâèñèìîñòè îò äëèòåëüíîñòè

t

ëàçåðíîãî èìïóëüñà, ïîäàííîãî íà ýòîò àòîì. Òàêàÿ çàâèñèìîñòü âûðàæàåòñÿ |η|2 îðìóëîé âèäà P = (1−cos 2ω), ãäå η = Fmn /h, Fmn åñòü ìàòðè÷íûé ýëåìåíò 2ω 2 âîçáóæäåíèÿ, ñîçäàâàåìîãî ëàçåðîì, ω - åãî ÷àñòîòà (ñì. [27℄, ñòð. 176). Çíà÷åR ∗ íèå Fmn = Ψm (r)F Ψn (r)dr àêòè÷åñêè çàâèñèò îò ñòàöèîíàðíûõ âîëíîâûõ óíêöèé, ïðè òî÷íîì âû÷èñëåíèè êîòîðûõ íàäî ïðèìåíÿòü ýëåêòðîäèíàìè÷åñêóþ ðåàêöèþ ðàññåÿíèÿ îòîíà íà àòîìå. Ïðàâèëà ýëåêòðîäèíàìèêè ñîäåðæàò

ïåðåíîðìèðîâêè çàðÿäà è ìàññû, êîòîðûå, âîîáùå ãîâîðÿ, çàâèñÿò îò ñðåäû, â êîòîðîé àòîì íàõîäèòñÿ, â ÷àñòíîñòè, îò ñîñòîÿíèÿ îòîíîâ, êîòîðûå ìû òî÷íî íå çíàåì. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ðàçíûå àòîìû íàõîäÿòñÿ â íåñêîëüêî ðàçëè÷àþùèõñÿ óñëîâèÿõ, òî è ïåðåíîðìèðîâêè äëÿ íèõ áóäóò íåìíîãî ðàçëè÷àòüñÿ, è ýòî ìîæåò ñëóæèòü èñòî÷íèêîì òîãî, ÷òî ìû íàçûâàåì èíäèâèäóàëüíîñòüþ àòîìîâ. Òàêîãî ðîäà èíäèâèäóàëüíîñòü ïðîÿâëÿåòñÿ â òîì, ÷òî çíà÷åíèÿ

p

äëÿ

ðàçíûõ àòîìîâ áóäóò íåìíîãî îòëè÷àòüñÿ, è ýòî ìîæíî ïûòàòüñÿ çàèêñèðîâàòü ñ ïîìîùüþ ìåòîäà Ïèðñîíà åñëè ïðîâîäèòü âûáîðêó ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèÿ âåðîÿòíîñòè (àêòè÷åñêè - âðåìåíè ïðåáûâàíèÿ â âîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè) äëÿ îäíîãî êîíêðåòíîãî àòîìà.  ïîäàâëÿþùåì áîëüøèíñòâå ýêñïåðèìåíòîâ ïî êâàíòîâîé èçèêå çà èíäèâèäóàëüíîñòüþ âûáîðêè íå ñëåäèëè, äàæå áîëåå òîãî - ýêñïåðèìåíòû, êàê ïðàâèëî, ïðåäïîëàãàëè ñîâîêóïíûé îòêëèê îò îãðîìíûõ àíñàìáëåé àòîìîâ, ÷òî çàâåäîìî íèâåëèðóåò èíäèâèäóàëüíîñòü. Âîçìîæíîñòü îáðàùàòüñÿ íåïîñðåäñòâåííî ê îäíîìó è òîìó æå àòîìó ìíîãîêðàòíî ïîÿâèëàñü ñðàâíèòåëüíî íåäàâíî - ñ èçîáðåòåíèåì òóííåëüíûõ ìèêðîñêîïîâ. Áûëî áû èí-

6.6.

Î ÈÍÄÈÂÈÄÓÀËÜÍÎÑÒÈ ÝËÅÌÅÍÒÀÍÛÕ ×ÀÑÒÈÖ

269

òåðåñíî èñïîëüçîâàòü ýòó âîçìîæíîñòü äëÿ ñáîðà èíäèâèäóàëüíûõ ñòàòèñòèê â òîì äóõå, êàê ýòî îïèñàíî âûøå. Ïðèíöèïèàëüíîå âîçðàæåíèå ìîãëî áû âûãëÿäåòü òàê. Îáñóæäàâøèåñÿ íàìè ïåðåíîðìèðîâêè ÷ðåçâû÷àéíî ìàëû, è ïîòîìó íàõîäÿòñÿ çàâåäîìî çà ïðåäåëàìè òî÷íîñòè ïîñòàíîâêè èñõîäíîãî ýêñïåðèìåíòà î âåðîÿòíîñòè íàõîæäåíèÿ â âîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè. Òàêîå âîçðàæåíèå âåðíî òîëüêî ïðè óñëîâèè, ÷òî ìû èãíîðèðóåì çàïóòàííîñòü êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé. Îäíàêî òàêèå ñîñòîÿíèÿ èìåþò ìåñòî ïðè îäíîâðåìåííîì ðàññìîòðåíèè ýëåêòðîíîâ àòîìà, åãî ÿäðà, è âñåõ îòîíîâ â êà÷åñòâå ýëåìåíòîâ åäèíîé ñèñòåìû ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Ìû âèäåëè, ÷òî òàêîãî ðîäà çàïóòàííûå ñîñòîÿíèÿ âîçíèêàþò ïðè óíäàìåíòàëüíûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ ÊÝÄ, òî åñòü îò íèõ íåâîçìîæíî èçáàâèòüñÿ ñ ïîìîùüþ ëîêàëüíûõ ïðèåìîâ òèïà ïåðåíîðìèðîâîê, èëè èçìåíåíèÿ áàçèñà. Íàëè÷èå çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé ñïîñîáíî ñóùåñòâåííî èçìåíèòü êàðòèíó ñòàíäàðòíûõ ïðèáëèæåíèé. Ýòî âîçìîæíî â ñèëó åíîìåíà êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà, êîòîðûé ïîäðîáíî îïèñàí â ïðèëîæåíèè. Ñóòü åíîìåíà â òîì, ÷òî ñóùåñòâóþò óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ î÷åíü ìàëûå àìïëèòóäû ðåäêèõ ñîáûòèé ñêëàäûâàþòñÿ êîíñòðóêòèâíî, ïîðîæäàÿ ðåàëüíî íàáëþäàåìûå èñõîäû, êîòîðûõ áû íå áûëî, åñëè áû íå ñóùåñòâîâàíèå çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé. Ñòàíäàðòíûå ìåòîäû ïðèáëèæåíèé, ñîãëàñíî êîòîðûì ìû îòáðàñûâàåì äèàãðàììû âûñøèõ ïîðÿäêîâ è ò.ï. îáùåèçâåñòíûå ïðèåìû îñíîâàíû èìåííî íà èãíîðèðîâàíèè çàïóòàííîñòè. Èäåîëîãèÿ êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà ãîâîðèò î òîì, ÷òî ïîäîáíûå ÊÊ- åíîìåíû ðåäêè, íî ñîâåðøåííî äîñòîâåðíû. Åñëè ïåðåâîäèòü ýòî íà ÿçûê ðåàëüíûõ ñèñòåì, ìû äîëæíû çàêëþ÷èòü, ÷òî âîçìîæíû ðåäêèå ñîáûòèÿ, ïðè êîòîðûõ êàðòèíà ñòàíäàðòíûõ ïðèáëèæåíèé íå ñðàáàòûâàåò, è ýòî ìîæíî çàèêñèðîâàòü â âèäå èíäèâèäóàëüíîñòè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, èëè èíäèâèäóàëüíîñòè àòîìîâ. àçóìååòñÿ, ïðåäëîæåííûé ïóòü íå ãàðàíòèðóåò íèêàêîãî îïðåäåëåííîãî óñïåõà. Ñòàòèñòè÷åñêèå êðèòåðèè äëÿ ïðîñòûõ ýêñïåðèìåíòîâ íå ÿâëÿþòñÿ èñ÷åðïûâàþùèìè. àññìîòðèì òàêîé îòâëå÷åííûé ïðèìåð. Åñòü êîìàíäà îáåçüÿí, êîòîðûå ïå÷àòàþò òåêñòû íà ïèøóùèõ ìàøèíêàõ, è èõ ðóêîâîäèòåëü, êîòîðûé ñàì ëèøåí ïîýòè÷åñêîãî äàðà, íî ñïîñîáåí îòëè÷èòü ïîýçèþ îò àáðàêàäàáðû. Òàêàÿ êîìàíäà èíòåíñèâíî ðàáîòàåò, è âûäàåò ñâîþ ïðîäóêöèþ ýêñïåðòó, çàäà÷à êîòîðîãî - îïðåäåëèòü, êòî àâòîð ïðîäóêöèè: Ïóøêèí, íàïèñàâøèé ìàëîèçâåñòíîå ÷åòâåðîñòèøèå, èëè êîìàíäà ìàðòûøåê. Ýòî òà ñèòóàöèÿ, â êîòîðîé ýêñïåðò ìîæåò îøèáèòüñÿ. Åñëè èíäèâèäóàëüíîñòü àòîìîâ - äåéñòâèòåëüíî î÷åíü ðåäêèé åíîìåí, ìû ìîæåì îêàçàòüñÿ â ïîëîæåíèè òàêîãî ýêñïåðòà. Ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû, òàêèì îáðàçîì, íå ìîãóò íàì äàòü èñ÷åðïûâàþùèé îòâåò íà âîïðîñ î èíäèâèäóàëüíîñòè àòîìîâ. Åñòü åùå îäèí ïîäõîä ê ïðîáëåìå èíäèâèäóàëüíîñòè, ñâÿçàííûé ñ èñïîëüçîâàíèåì âðåìåíè. Ìîæíî èññëåäîâàòü ïðîöåññû, ïðåäïîëàãàÿ ÷òî åñòü íàêîïëåíèå èíîðìàöèè îá èñòîðèè îòäåëüíîãî àòîìà. Òàêèå ýêñïåðèìåíòû íà ìîëåêóëàõ ([30℄) ïîêàçûâàþò íàëè÷èå òàê íàçûâàåìîé ìîëåêóëÿðíîé ïàìÿòè, òî åñòü ïàìÿòè î ðåàêöèÿõ, â êîòîðûõ äàííàÿ ìîëåêóëà ïðèíèìàëà ó÷àñòèå. Ìîëåêóëÿðíàÿ ïàìÿòü ìîæåò áûòü ñâÿçàíà ñ íàëè÷èåì äîëãîæèâóùèõ êâàíòîâûõ

270

ËÀÂÀ 6.

ÏÎ ÀÌÌÍÛÉ ÊÎÍÒÅÉÍÅ ÅÑÒÅÑÒÂÎÇÍÀÍÈß

ñîñòîÿíèé (íàïðèìåð, ñîñòîÿíèé ÿäåðíûõ ñïèíîâ, êîòîðûå ìîãóò ñîõðàíÿòüñÿ ÷àñàìè), à íå ñ èíäèâèäóàëüíîñòüþ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, è íàäî îòëè÷àòü ýòè äâà ïîíÿòèÿ.

6.6.2 Èíäèâèäóàëüíîñòü ýêçåìïëÿðîâ ÷àñòèö Ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ èìååò äåëî ñ ýêçåìïëÿðàìè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, êîòîðûå è ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íîñèòåëåé èíäèâèäóàëüíîñòè â òîì ñìûñëå, â êîòîðîì, íàïðèìåð, ïðèñóòñòâóþùèå â êàæäîé êëåòêå ãåíû æèâîãî ñóùåñòâà ñîäåðæàò èíîðìàöèþ î âñåé åãî èíäèâèäóàëüíîñòè. Íàäåëåíèå ýêçåìïëÿðîâ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö èíäèâèäóàëüíûìè ñâîéñòâàìè ÿâëÿåòñÿ, íà ìîé âçãëÿä, ñàìûì ïðàâèëüíûì øàãîì â ìåòîäå êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ, ïðè åãî ïðèìåíåíèèè ê ñëîæíûì ñèñòåìàì.

7

àññìîòðèì, êàê ýòî ìîãëî áû âûãëÿäåòü â ÏÊÅ. Äëÿ ýòîãî ïðåäïîëîæèì, ÷òî êàæäûé ýêçåìïëÿð îäíîé è òîé æå ðåàëüíîé ÷àñòèöû ñîäåðæèò èíîðìàöèþ î âèäå äèíàìè÷åñêîãî ñöåíàðèÿ åå ýâîëþöèè âî âðåìåíè. Ïîñêîëüêó ñóáúåêòîì íàøåé ìîäåëè, ñîñòîÿùåé èç ñöåíàðèåâ, ÿâëÿþòñÿ íå ýêçåìïëÿðû ðåàëüíûõ ÷àñòèö, à ñîñòîÿùèå èç íèõ êîðòåæè, íàäî ñ÷èòàòü, ÷òî èíîðìàöèÿ î äèíàìè÷åñêîì ñöåíàðèè ÿâëÿåòñÿ àòðèáóòîì êîðòåæà ýêçåìïëÿðîâ. Êàæäûé êîðòåæ, òàêèì îáðàçîì, ìîæíî óïîäîáèòü ìîëåêóëå ÄÍÊ, íåñóùåé èíîðìàöèþ î ïðîåêòå âñåãî îðãàíèçìà. Òî åñòü êîðòåæ â áèîëîãè÷åñêîé òåðìèíîëîãèè ÿâëÿåòñÿ ãåíîìîì. Êàæäûé ýêçåìïëÿð â êîðòåæå ïîäîáåí êîíêðåòíîìó ãåíó, êîòîðûé îòâå÷àåò çà ïîâåäåíèå ñîîòâåòñòâóþùåé ðåàëüíîé ÷àñòèöû. Ìîæíî çàèíäåêñèðîâàòü òàêîå ïîâåäåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ãåíó

a,

÷åðåç

Sa .

Â

Sa

áóäóò,

òàêèì îáðàçîì, ñîäåðæàòüñÿ âñå ïàðàìåòðû, ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþùèå êîíêðåòíûå ðàññåÿíèÿ, â êîòîðûõ ïðèíèìàåò ó÷àñòèå ýêçåìïëÿð

a.

Äèíàìè÷åñêèé ñöåíàðèé ñîñòîèò èç ïîñëåäîâàòåëüíûõ àêòîâ ýëåìåíòàðíûõ ðàññåÿíèé, â êàæäîì èç êîòîðûõ ó÷àñòâóåò ëèøü ìàëîå ÷èñëî (2-3) ðåàëüíûõ ÷àñòèöû. Òàêèì îáðàçîì, íà êàæäîì øàãå ñöåíàðèÿ â ñîäåðæàòåëüíîì âçàèìîäåéñòâèè ïðèíèìàåò ó÷àñòèå òîëüêî íåñêîëüêî ýêçåìïëÿðîâ îäíîãî è òîãî æå êîðòåæà. Ýòî æå îòíîñèòñÿ è ê äèóçèîííîìó ìåõàíèçìó îáìåíà èìïóëüñàìè, òîëüêî çäåñü â ýëåìåíòàðíîì øàãå ñöåíàðèÿ ó÷àñòâóþò ýêçåìïëÿðû, âõîäÿùèå â ðàçíûå, íî ïðîñòðàíñòâåííî áëèçêèå êîðòåæè (èìååòñÿ â âèäó, êàê âñåãäà, áëèçîñòü â êîíèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå äëÿ íåñêîëüêèõ ÷àñòèö). Îïðåäåëèòü êîíêðåòíûé ãåí, îòâåòñòâåííûé çà òîò èëè èíîé ïîâîðîò â ñöåíàðèè ýâîëþöèè, ìîæíî òîëüêî ñðàâíèâàÿ ýòó ýâîëþöèþ ñ äðóãèìè âîçìîæíîñòÿìè, ïðè ïðîöåäóðå îòáîðà êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé. Òàêèå ýêçåìïëÿðû ìîæíî íàçâàòü êðèòè÷åñêèìè. Íà ðèñóíêå ñõåìàòè÷åñêè èçîáðàæåíû êðèòè÷åñêèå ýêçåìïëÿðû, ïðèñóòñòâèå êîòîðûé â êîðòåæå îïðåäåëÿåò ñîîòâåòñòâóþùé ýòîìó êîðòåæó ñöåíàðèé ýâîëþöèè ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû. 7 Ïîõîæèé

ïðèåì àêòè÷åñêè èñïîëüçîâàë äå Áðîéëü, ïðåäñòàâëÿÿ êâàíòîâóþ ÷àñòèöó êàê òî÷êó, ðàñïîëîæåííóþ íà âîëíå.

6.6.

Î ÈÍÄÈÂÈÄÓÀËÜÍÎÑÒÈ ÝËÅÌÅÍÒÀÍÛÕ ×ÀÑÒÈÖ

èñ. 6.2: Êðèòè÷åñêèå ýêçåìïëÿðû ìîäåëè

271

272

ËÀÂÀ 6.

ÏÎ ÀÌÌÍÛÉ ÊÎÍÒÅÉÍÅ ÅÑÒÅÑÒÂÎÇÍÀÍÈß

Íàçíà÷åíèå êðèòè÷åñêèõ ýêçåìïëÿðîâ ÿâëÿåòñÿ, êîíå÷íî, âîïðîñîì óäîáñòâà ìîäåëèðîâàíèÿ, è ñîñòàâëÿåò ïðåäìåò òðóäà ïðîãðàììèñòà, ñîçäàþùåãî èíñòðóìåíò ìîäåëèðîâàíèÿ (â çàâèñèìîñòè îò èíòåðåéñà ÏÊÅ, ýòà óíêöèÿ ìîæåò áûòü âîçëîæåíà è íà ïîëüçîâàòåëÿ ìîäåëè). Òåì íå ìåíåå, ýòî íàçíà÷åíèå äàëåêî íå ÿâÿåòñÿ ÷èñòûì ïðîèçâîëîì; áîëåå òîãî, íàçíà÷åíèå êðèòè÷åñêèõ ýêçåìïëÿðîâ ÿâëåòñÿ, ïî âèäèìîìó, ñåðüåçíûì âîïðîñîì, êîòîðûé êàñàåòñÿ ïðèãîäíîñòè äàííîé ìîäåëè âîîáùå. Íàïðèìåð, åñëè ìû ðàññìàòðèâàåì ñèñòåìó ñ ïî÷òè êëàññè÷åñêèì ïîâåäåíèåì, êðèòè÷åñêèì áóäåò ýêçåìïëÿð ðåàëüíîé êâàíòîâîé ÷àñòèöû, êîòîðûé âåäåò ñåáÿ òàê, êàê âåëà áû ñåáÿ êëàññè÷åñêàÿ ÷àñòèöà. Êàæäûé ãåí-ýêçåìïëÿð ïðåäñòàâëÿåò îïðåäåëåííîå ïîâåäåíèå ðåàëüíîé ÷àñòèöû, è â óñëîâèÿõ æåñòêîé ýêîíîìèè êëàññè÷åñêîé ïàìÿòè ìîäåëèðóþùåãî êîìïüþòåðà, ëþáîé ãåí áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîäåðæàòåëüíûé òèï ïîâåäåíèÿ, âëèÿþùèé íà âåñü ñöåíàðèé. Èíûìè ñëîâàìè, áîëüøèíñòâî ãåíîâ äîëæíî áûòü êðèòè÷åñêèìè â òîò èëè èíîé ìîìåíò àäìèíèñòðàòèâíîãî âðåìåíè. Èñïîëüçóÿ áèîëîãè÷åñóþ àíàëîãèþ, ìû ìîæåì ïðåäïîëîæèòü, ÷òî íàèáîëåå ïðàâèëüíûì ñïîñîáîì çàäàíèÿ ñöåíàðèÿ áóäåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âûáîðà êîíêðåòíûõ ãåíîâ, àêòèâíûõ â ïîñëåäîâàòåëüíûå ìîìåíòû âðåìåíè

t0 , t1 , . . ..

Ïðîöåññ îáìåíà ýêçåìïëÿðàìè ïðè îòáîðå êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ñîîòâåòñòâóåò áèîëîãè÷åñêîìó ïðîöåññó îáìåíà ãåíåòè÷åñêèì ìàòåðèàëîì, íåîáõîäèìîìó ïðè ýâîëþèè æèâûõ ñóùåñòâ. Ìû èìååì çäåñü àíàëîãèþ ñ áèîëîãè÷åñêèìè ïðîöåññàìè, êîòîðàÿ îòìå÷àëàñü â ìíîæåñòâå ðàáîò. ÏÊÅ äîëæåí ïîçâîëèòü íàì èñïîëüçîâàòü ïîäîáíóþ àíàëîãèþ â ïðàêòè÷åñêèõ öåëÿõ - äëÿ ñîâåðøåíñòâîâàíèÿ ìîäåëåé ïðîöåññîâ ðàçíûõ óðîâíåé, âïëîòü äî óðîâíÿ óíäàìåíòàëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé. Íåò ñîìíåíèé, ÷òî èìåííî òàêàÿ øèðîòà îõâàòà íåîáõîäèìà äëÿ ðåàëèñòè÷íîñòè ìîäåëè áèîëîãè÷åñêèõ îáúåêòîâ. Íà ñëåäóþùåì ðèñóíêå ïðåäñòàâëåíà ìîäåëü ñëîæíîé ýâîëþöèè, ñîñòîÿùàÿ èç ìíîãèõ ýëåìåíòàðíûõ àêòîâ ðàññåÿíèé. àññìîòðèì ïðîñòîé ïðèìåð òîãî, êàêîãî ðîäà èíäèâèäóàëüíîñòü ýêçåìïëÿðîâ ÷àñòèö ìû ìîãëè áû ðàññìàòðèâàòü. Ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ íàáîð àáñòðàêòíûõ àòîìîâ íåêîòîðûõ òèïîâ

A, B, C, . . .,

è ìû èíòåðåñóåìñÿ âîçìîæíîñòüþ èõ

àññîöèàöèè â ìîëåêóëó, èìåþùóþ îðìó öåïî÷êè:

C1 − C2 − C3 − . . . − Ck − Ck+1 − . . . ãäå òèï êàæäîãî àòîìà òèïà

Cj

çàðàíåå îïðåäåëåí. Â ñèëó òîãî, ÷òî àòîìû, ñêàæåì,

A ìîãóò çàíèìàòü ðàçëè÷íûå ïîëîæåíèÿ â ýòîé öåïî÷êå, òàê ÷òî èõ ñîñåäÿ-

ìè îêàæóòñÿ àòîìû ðàçíûõ òèïîâ, ìû ìîæåì, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ðàññìîòðåòü ñèòóàöèþ, ïðè êîòîðîé òèïû àòîìîâ áóäóò ðàñïðåäåëåíû òàê:

B − A−C −...−D − A− E − ...

(6.3)

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàâíîâåñíîå ïîëîæåíèå àòîìîâ â äàííîé öåïî÷êå, îïðåäåëåííîå êîâàëåíòíûìè ýëåêòðîííûìè ñâÿçÿìè ìåæäó ñîñåäíèìè àòîìàìè, òàêîâî, ÷òî äèñòàíöèÿ

B − A ðàâíà rB−A

à äèñòàíöèÿ

D − A ðàâíà rD−A .

Ìîæíî òàêæå

6.6.

Î ÈÍÄÈÂÈÄÓÀËÜÍÎÑÒÈ ÝËÅÌÅÍÒÀÍÛÕ ×ÀÑÒÈÖ

273

èñ. 6.3: Ýâîëþöèÿ, çàäàííàÿ âûáîðîì êðèòè÷åñêèõ ãåíîâ. îëóáûì öâåòîì èçîáðàæåíî èçìåíåíèå êîðòåæà ïðè ñåëåêöèè.

274

ËÀÂÀ 6.

ÏÎ ÀÌÌÍÛÉ ÊÎÍÒÅÉÍÅ ÅÑÒÅÑÒÂÎÇÍÀÍÈß

ïðåäïîëîæèòü, ÷òî åñëè ìû ðàññìîòðèì êëàññè÷åñêèé ïîòåíöèàë äëÿ ïåðâîãî è âòîðîãî âõîæäåíèÿ àòîìîâ òèïà

Aâ

6.3, êâàäðàòè÷íûå ïîòåíöèàëüíûå ÿìû áó-

äóò îòëè÷àòüñÿ íå òîëüêî ïî êîîðäèíàòå öåíòðà

rB−A 6= rD−A , íî è ïî êðóòèçíå.

Áóäåì èãíîðèðîâàòü âëèÿíèå ïðàâîãî ñîñåäà. Òîãäà ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà îòáîðà êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ìû áóäåì âûíóæäåíû ïðåäïîëàãàòü ó äâóõ àòîìîâ òèïà

A

ðàçíûå ñâîéñòâà, ïîñêîëüêó îíè áóäóò àññîöèèðîâàòüñÿ ñ ñîñåäíèì

àòîìîì íà ðàçëè÷íûõ ðàññòîÿíèÿõ. Ìû ìîæåì åùå óñëîæíèòü íàø ïðèìåð, åñëè âìåñòî

B

è

D

ðàññìàòðèâàòü

íå àòîìû, à ìîëåêóëû, èìåþùèå ñëîæíóþ ñòðóêòóðó. Òîãäà ïðè îòáîðå áóäåò èãðàòü ðîëü, â êàêîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà íàõîäèòñÿ ýêçåìïëÿð àòîìà

A ïðè

îä-

íîé è òîé æå ïîçèöèè åãî ñîñåäà ñëåâà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàçíûå ýêçåìïëÿðû îäíîãî è òîãî æå àòîìà òèïà

A

áóäóò ïðåèìóùåñòâåííî àññîöèèðîâàòü â êîðòå-

æè íà ðàçíûõ ðàññòîÿíèÿõ îò ñîñåäà ñëåâà. Òî åñòü èíäèâèäóàëüíîñòè íàäî, â äåéñòâèòåëüíîñòè, ïðèïèñûâàòü, â ïåðâóþ î÷åðåäü, íå ðåàëüíûì àòîìàì, à èõ ýêçåìïëÿðàì. Èíäèâèäóàëüíîñòü ðåàëüíûõ àòîìîâ ïðîÿâëÿåòñÿ òîëüêî ÷åðåç èíäèâèäóàëüíîñòü èõ ýêçåìïëÿðîâ. Ýòà ñèòóàöèÿ ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íà îáûêíîâåííîé ãåíåòèêå, ãäå (ìû ïðåäåëüíî óïðîùàåì ñèòóàöèþ !) íàñëåäóþòñÿ ãåíû, èìåþùèå îïðåäåëåííóþ àâòîíîìèþ, à ãåíîì ñîñòîèò èç èõ íàáîðà. Àâòîíîìèÿ ýêçåìïëÿðîâ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö î÷åíü óäîáíà äëÿ ðîåâîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ÊÝÄ. Ýìèññèÿ ýêçåìïëÿðà îòîíà îïðåäåëåííûì ýêçåìïëÿðîì çàðÿæåííîé ÷àñòèöû çàâèñèò îò èíäèâèäóàëüíîñòè ýòîãî ýêçåìïëÿðà. Ìîæíî, íàïðèìåð, ñ÷èòàòü, ÷òî ó êàæäîãî ýêçåìïëÿðà çàðÿæåííîé ÷àñòèöû åñòü îïðåäåëåííûé çàïàñ âèðòóàëüíûõ ýêçåìïëÿðîâ îòîíîâ, êîòîðûå ýòîò ýêçåìïëÿð ìîæåò ýìèòèðîâàòü äî òåõ ïîð, ïîêà ýòîò çàïàñ íå èññÿêíåò; ïîïîëíÿåòñÿ çàïàñ âèðòóàëüíûõ îòîíîâ ïðè àáñîðáöèè ýêçåìïëÿðà îòîíà. Ïîíÿòèå îá èíäèâèäóàëüíîñòè ýêçåìïëÿðîâ ÷àñòèö ìîæåò îêàçàòüñÿ ïëîäîòâîðíûì èìåííî â ÊÝÄ. Ïðè÷èíà ýòîãî ñîñòîèò â òîì, ÷òî ÊÝÄ íå ÿâëÿåòñÿ çàêîí÷åííîé òåîðèåé. Òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî íåò óíèâåðñàëüíîãî ñïîñîáà ïðåîäîëåíèÿ ðàñõîäèìîñòè ðÿäîâ äëÿ àìïëèòóäû, ìîæåò ãîâîðèòü î ïëîäîòâîðíîñòè ïðèïèñûâàíèÿ èíäèâèäóàëüíîñòè ýêçåìïëÿðàì çàðÿæåííûõ ÷àñòèö è îòîíîâ. Ýòà èíäèâèäóàëüíîñòü, â ÷àñòíîñòè, ìîæåò îïðåäåëÿòü ïåðåíîðìèðîâêó çàðÿäà è ìàññû ÷àñòèöû, ïîñêîëüêó òàêèå ïåðåíîðìèðîâêè çàâèñÿò îò îêðóæåíèÿ äàííîé ÷àñòèöû. Èíäèâèäóàëüíîñòü ýêçåìïëÿðîâ îòêðûâàåò íàì íîâûå âîçìîæíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ ÏÊÅ, ïðè êîòîðûõ áóäåò äîïóñòèìî ñ÷èòàòü, ÷òî íàáëþäàåìûå ýâîëþöèè ÿâëÿþòñÿ ïðåäïðîãðàììèðîâàííûìè. Ýòà ñèòóàöèÿ òàèò ñåðüåçíóþ îïàñíîñòü. Òàêîå ïðåäïîëîæåíèå ïðè åãî íåîãðàíè÷åííîì èñïîëüçîâàíèè äåëàåò ÏÊÅ ïîëíîñòüþ èíäèâèäóàëèçèðîâàííûì, à ýòî îçíà÷àåò ïîòåðþ îáúåêòèâíîñòè. Ê ñ÷àñòüþ, ïðîòèâ òàêîé îïàñíîñòè åñòü ïðîòèâîÿäèå, è îíî - â ñàìîé îñíîâå êîíñòðóêòèâèçìà. ß èìåþ â âèäó çàëîæåííóþ â íåì èäåþ ïëþðàëèçìà. Êàæäûé ïîëüçîâàòåëü âîëåí íàäåëÿòü îáúåêòû ÏÊÅ ëþáûìè ñâîéñòâàìè èíäèâèäóàëüíîñòè, êîòîðûå äîïóñêàþòñÿ åãî ñèãíàòóðîé, â ÷àñòíîñòè, èíäèâèäóàëüíîñòüþ ýêçåïëÿðîâ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. Ýòà âîçìîæíîñòü ïðèíöèïèàëüíî âàæíà äëÿ áóäóùåãî ðàçâèòèÿ âñåõ åñòåñòâåííûõ íàóê, è - ïðåæäå âñåãî - èçèêè. Íî ìû

6.7.

275

ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ

äîëæíû ïîìíèòü è î íåèçáåæíîì îòáîðå, êîòîðûé êàñàåòñÿ íå òîëüêî îïèñàííûõ íàìè ñöåíàðèåâ êâàíòîâûõ ýâîëþöèé, íî è ëþáûõ äðóãèõ ñöåíàðèåâ, ðåàëèçóåìûõ ñ èñïîëüçîâàíèåì ÏÊÅ. Ïîýòîìó íå ñëåäóåò îïàñàòüñÿ ïîòåðåé íàóêîé åå îáúåêòèâíîñòè. îðàçäî âàæíåå íàëè÷èå â ÏÊÅ ñîâåðøåííî íîâûõ âîçìîæíîñòåé, ïî ñðàâíåíèþ ñ èìåþùèìèñÿ ìîäåëèðóþùèìè ïðîãðàììàìè. Ýòè âîçìîæíîñòè ñòîÿò òîãî, ÷òîáû çàíÿòüñÿ ýòèì ïðîåêòîì, íå âçèðàÿ íà áîëüøóþ íåîïðåäåëåííîñòü.

6.7

Çàêëþ÷åíèå

Ìû ïîçíàêîìèëèñü ñ ðÿäîì èäåé, îáúåäèíåííûõ ïîä îáùèì íàçâàíèåì êîíñòðóêòèâíîé èçèêè. Ýòè èäåè íå ñîñòàâëÿþò îòäåëüíîé äèñöèïëèíû, òî÷íî òàê æå, êàê è êîíñòðóêòèâíàÿ ìàòåìàòèêà íå ÿâëÿåòñÿ êàêîé-òî îòäåëüíîé íàóêîé. Êîíñòðóêòèâèçì - ýòî íàïðàâëåíèå, êîòîðîå ïîÿâèëîñü â ìàòåìàòèêå, à òî÷íåå, â åå îñíîâàíèÿõ, è â ñâîåì ðàçâèòèè ïåðåõîäèò íà èçèêó. Ýòîò ïðîöåññ íåèçáåæåí è áëàãîòâîðåí. ß áóäó ðàä, åñëè ýòà êíèãà ïîìîæåò ÷èòàòåëþ ñîñòàâèòü áîëåå îïðåäåëåííîå îòíîøåíèå ê êîíñòðóêòèâèçìó, è, òåì áîëåå, åñëè âûçîâåò æåëàíèå çàíÿòüñÿ ðàçâèòèåì ýòîãî íàïðàâëåíèÿ íåïîñðåäñòâåííî. Ïîçâîëþ ñåáå ïåðå÷èñëèòü òå çàäà÷è, ðåøåíèå êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿåòñÿ ìíå âïîëíå äîñòóïíûì â ðàìêàõ êîíñòðóêòèâíîé èçèêè óæå ñåé÷àñ. Ïåðâàÿ èç ýòèõ çàäà÷ - ñîçäàíèå ýåêòèâíîé ýâðèñòèêè äëÿ òðàäèöèîííîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè, êîòîðàÿ ïîçâîëèëè áû ïîëíîñòüþ ïåðåâåñòè åå íà êîíñòðóêòèâíûé ÿçûê. Îñíîâîé äëÿ òàêîé ýâðèñòèêè ìîæåò ñëóæèòü ïðåäëîæåííûé çäåñü ìåòîä êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ, íî ìîæíî ïðåäïîëîæèòü è ñóùåñòâîâàíèå èíûõ ïóòåé. Êðèòåðèåì óñïåõà çäåñü ìîæíî ñ÷èòàòü, íàïðèìåð, ïðàâäèâîå îïèñàíèå ñòàöèîíàðíûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîíà â àòîìå âîäîðîäà. Âòîðàÿ çàäà÷à, ñâÿçàííàÿ ñ ïåðâîé - ñîçäàíèå ýåêòèâíîé ýâðèñòèêè äëÿ êâàíòîâîé ýëåêòðîäèíàìèêè, êîòîðàÿ íå îïèðàëàñü áû íà íåêîððåêòíûå ïðèåìû òèïà àñèìïòîòè÷åñêèõ ðÿäîâ, è äàâàëà áû ïðè ïðèìåíåíèè ê ñòîëêíîâåíèþ àòîìîâ ïðîñòîé êðèòåðèé îáðàçîâàíèÿ õèìè÷åñêîé ñâÿçè è åå ðàçðûâà.  êà÷åñòâå ïðîìåæóòî÷íûõ çàäà÷ ìîæíî ñîðìóëèðîâàòü: ñîçäàíèå êóáèòîâîãî îðìàëèçìà ÊÝÄ, åäèíîãî ñ êóáèòîâûì îðìàëèçìîì îáû÷íîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Ìû âèäåëè, ÷òî åñòåñòâåííûé ìåòîä çäåñü íå ïðîõîäèò, è ñ ýòèì áûëà ñâÿçàíà ýâðèñòèêà êîëëåêòèâíîãî ïîâåäåíèÿ, êîòîðàÿ ïðåäëîæåíà â ãëàâå 5. Âîçìîæíî, åñòü íåêèå íåèçâåñòíûå ýëåìåíòû, êîòîîðûå ïîçâîëÿò âñå-òàêè ñîçäàòü êóáèòîâûé îðìàëèçì ÊÝÄ; òîãäà ýâðèñòèêà ñåòåé ìîæåò áûòü ñèëüíî óïðîùåíà, è åå ïðîãðàììíàÿ ðåàëèçàöèÿ êîíêðåòèçèðîâàíà. Ýòè íåèçâåñòíûå ýëåìåíòû ìîãóò áûòü ñâÿçàíû ñ áîëåå êîíêðåòíûì îïèñàíèåì îòîíîâ, ÷åì òî, ÷òî ìû èñïîëüçîâàëè. Òðåòüÿ çàäà÷à - ñîçäàíèå ïðîîáðàçà ÏÊÅ äëÿ îïèñàíèÿ ñèñòåìû

1012

àòîìîâ

îäíîãî - äâóõ òèïîâ ñ ïðîáíûì ïðàâèëîì îáðàçîâàíèÿ ñåòè. Òàêóþ ïðîãðàììó ìîæíî áûëî áû ñðàâíèòü ñ èìåþùèìèñÿ ñèìóëÿòîðàìè ìíîãèõ ÷àñòèö áåç

276

ËÀÂÀ 6.

ÏÎ ÀÌÌÍÛÉ ÊÎÍÒÅÉÍÅ ÅÑÒÅÑÒÂÎÇÍÀÍÈß

çàïóòàííîñòè. åøåíèå âñåõ ýòèõ çàäà÷ âçàèìîñâÿçàíî. ß ïîä÷åðêíó, ÷òî â ëþáîì ñëó÷àå ðåøåíèå êàæäîé èç ýòèõ çàäà÷ ïðåäóñìàòðèâàåò ñóùåñòâåííûé âûõîä çà ðàìêè ñòàíäàðòíîãî îðìàëèçìà êâàíòîâîé òåîðèè. Êðèòåðèåì óñïåõà çäåñü ÿâèëàñü áû ýâðèñòèêà, äàþùàÿ ýåêòèâíûå àëãîðèòìû â ñòàíäàðòíûõ ñëó÷àÿõ (ýëåêòðîííûå ñîñòîÿíèÿ â àòîìàõ, äèíàìèêà îäèíî÷íîé ÷àñòèöû è ò.ä.). åøåíèå ýòèõ çàäà÷ îçíà÷àëî áû ñåðüåçíûé øàã íà ïóòè êîíñòðóêòèâèçàöèè êâàíòîâîé òåîðèè, è, ñîîòâåòñòâåííî, ñïîñîáñòâîâàëî áû ñîçäàíèþ èíñòðóìåíòîâ, íåîáõîäèìûõ äëÿ ðåàëüíîãî ïðîãðåññà â äàëüíåéøåì. È íàêîíåö, ÿ ïîä÷åðêíó åùå ðàç âàæíîñòü íîâîé äëÿ èçèêè îñîáåííîñòè êîíñòðóêòèâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà - ñóùåñòâîâàíèå ïëþðàëèçìà ëîãè÷åñêèõ îöåíîê. Èäÿ ïî ïóòè êîíñòðóêòèâèçàöèè èçèêè, ìû äîëæíû áóäåì ïðèâûêíóòü ê òàêîìó ïëþðàëèçìó. Îí çàëîæåí â ñàìîé ïðèðîäå êîíñòðóêòèâíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè è åãî íåëüçÿ áóäåò èçáåæàòü. Ìíîæåñòâåííîñòü áóäåò èìåòü ðàçíîîáðàçíûå ïðîÿâëåíèÿ, íå îòíîñÿùèåñÿ íàïðÿìóþ ê ëîãè÷åñêèì àñïåêòàì. Íàïðèìåð, õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ýòà îñîáåííîñòü âîçíèêàåò âåçäå, ãäå ïðèìåíÿþòñÿ àëãîðèòìû è ïðîãðàììèðîâàíèå, âïëîòü äî ðàçëè÷íûõ ïðîãðàììíûõ ðåàëèçàöèé îäíîé è òîé æå êîíñòðóêòèâíîé ýâðèñòèêè.  ìèðå êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêè, ãäå ãëàâíûé èíñòðóìåíò - îðìóëû, òàêîé ìíîæåñòâåííîñòè íåò. Ìû íèêîãäà íå ïîêèíóëè áû óþòíûé è îäíîçíà÷íûé ìèð îðìóë, åñëè áû îí áûë ýåêòèâåí äëÿ íàøåãî âûæèâàíèÿ, íî àêòû ãîâîðÿò, ÷òî åãî ýåêòèâíîñòü óæå ïî÷òè èñ÷åðïàíà. Íàì ïðèäåòñÿ âñòóïèòü â ìèð êîíñòðóêòèâèçìà, íà äîðîãó ñ ìíîæåñòâîì ðàçâèëîê, ãäå ïðèäåòñÿ ÿâíî îáðàùàòüñÿ ê ýêñïåðòèçå, îñíîâàííîé íà âèçóàëüíûõ îáðàçàõ, è òîìó ïîäîáíûì âåùàì, êîòîðûå òðàäèöèÿ êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêè âûâîäèëà çà ðàìêè èçè÷åñêèõ òåîðèé. Óâû, âñå ýòî - íåèçáåæíàÿ ïëàòà çà íóæíóþ íàì ýåêòèâíîñòü. Âñòóïàÿ íà ýòîò ïóòü, ìû äîëæíû íàäåÿòüñÿ, ÷òî îò ðàçìûâàíèÿ ñàìîãî ïðåäìåòà íàøåé íàóêè ñïàñàåò çàêîííîñòü, êîòîðîé îáëàäàåò â íàóêå êîíñòðóêòèâèçì, è êîòîðàÿ çàâîåâàíà íàøèìè ïðåäøåñòâåííèêàìè. Ýòà çàêîííîñòü äàåò íàì ÿñíîå ïîíèìàíèå òîãî, ÷òî òàêîå àëãîðèòì, è êàê èìåííî ÷åëîâå÷åñêèå îöåíêè è ïðîèçâîë ñâÿçàíû ñ òî÷íûì âûïîëíåíèåì êîìàíä êîìïüþòåðîì. Ýòî ïîíèìàíèå çàêîííîñòè åùå íèêîãî íå ïîäâîäèëî, è ó íàñ íåò îñíîâàíèé ñîìíåâàòüñÿ, ÷òî êîíñòðóêòèâèçì áóäåò òàê æå âåðíî ñëóæèòü íàì â èçèêå, êàê ñëóæèë â íåé êëàññè÷åñêèé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò. Èìåííî íà ýòîì ïóòè ìû ñìîæåì äîéòè äî òîé ãðàíèöû, êîòîðàÿ îòäåëÿåò íàø ïðåäìåò îò ìèðà îáúåêòîâ, êîòîðûå ïðèíÿòî íàçûâàòü æèâûìè.

Ëèòåðàòóðà

[1℄ V.Akulin

et

al,

Des ription

of

quantum

entanglement

with

nilpotent

polynimials: extensive hara terization of entanglement and anoni al forms, Pro eedings of SPIE, 2006, vol. 6264, pp. 02-1 - 02-11. [2℄ V.Akulin et al, Quantum omputers and omputing, 2006, vol. 6 N1, pp. 107125. [3℄ V. Aho, J. E. Hop roft, and J. D. Ullman. The Design and Analysis of. Computer Algorithms. Addison-Wesley, 1974. [4℄ K.Arakelov, Y.Ozhigov, Asso iation of two-atom mole ules. Simulation via Quantum

state

sele tion,

a

epted

for

publi ation on

Vestnik

of

MGU,

Computational mathemati s and yberneti s, issue 2009. [5℄ C.H. Bennett, E. Bernstein, G. Brassard and U.V. Vazirani, "Strengths and weaknesses of quantum omputing"SIAM J. on Computing, Vol. 26, No. 5, pp. 15101523, 1997. [6℄ M. Boyer, M., G. Brassard, P. Hyer, and A. Tapp, "Tight bounds on quantum sear hing Pro . 4th Workshop on Physi s and Computation, pp. 3643, 1996. [7℄ Bravyi S.B., Kitaev A.Yu. Fermioni Quantum Computation, Ann. Phys. 2002.- v.298, N.1. - p.210-226 [8℄ P.Benio, Quantum me hani al hamiltonian models of Turing ma hines, J. Stat. Phys. 29, 1982, 515-546. [9℄ D.V.Blohintsev, Prin ipal topi s of quantum theory, 1977, Mos ow, Nauka (Phys-math. lit.). [10℄ L. E. J. Brouer. Intuitionism and formalism. Amer. Math. So . Bull., 20:8196, 1913. [11℄ Í.Áîãîëþáîâ,

Á.Øèðêîâ,

Ââåäåíèå

â

òåîðèþ

êâàíòîâàííûõ

ïîëåé,

Ì.,Íàóêà, 1974. [12℄ Ï.Äèðàê, Ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè, Ì., Ìèð, 1982. 277

278

ËÈÒÅÀÒÓÀ

[13℄ Â.Ì.Äóáîâèê, ÷àñòíîå ñîîáùåíèå [14℄ R.Feynman, The theory of fundamental pro esses, Caltex, W.A.Benjamin, In ., NY, 1961. [15℄ R.Feynman, Simulating physi s with omputers, J. Theoret. hys., 1982, 21, pp. 467-488. [16℄ R.Feynman, D.Hibbs, Quantum me hani s and path integrals, 1984, Mos ow, Nauka (Phys-math. lit.). [17℄ L.Grover,

A

fast

quantum

me hani al

algorithm

for

database

sear h,

Pro eedings, 28th Annual ACM Symposium on the Theory of Computing (STOC), May 1996, pages 212-219. Pro eedings, Melville, NY, 2006, vol. 810, ele troni version: xxx.lanl.gov, quant-ph/0610052. [18℄ Durr,

C.,

Hoyer,

P.,

A

Quantum

Algorithm

for

nding

the

Minimum,

Pro .Roy.So .Lond. A455 (1999) 2165-2172 [19℄ J.A. Wheeler and W.H. Zurek, Quantum Theory and Measurement, Prin eton UP, 1983 [20℄ P.Kurakin, G.Malinetskii, H.Bloom, Dialogue model of quantum dynami s, Pro

edings of SPIE, vol. 6264, 2005, Quantum Informati s - 2005 (ed. Y.Ozhigov) [21℄ D.E.Knuth, The art of omputer programming, Addison-Wesley, 1997 [22℄ G. Adenier, A. Yu. Khrennikov. Is the Fair Sampling Assumption supported by EPR Experiments?, J. Phys. B 40 No 1 (2007) 131-141 [23℄ A.Khrennikov,

Prequantum

Representation,

Classi al

Hamilton-S hr?dinger

Statisti al Equation,

Field and

Theory:

Complex

Interpretation

of

Stationary States, Foundations of Physi s letters, vol. 19, N4, pp. 299-319 [24℄ Ï. Âèòàíüè, Ì. Ëè, Êîëìîãîðîâñêàÿ ñëîæíîñòü: äâàäöàòü ëåò ñïóñòÿ, ÓÌÍ, 1988, 43:6(264), 129166 [25℄ Á. À. Êóøíåð. Ëåêöèè ïî êîíñòðóêòèâíîìó ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçó.  Ì.: Íàóêà, 1973. [26℄ Kleene, S. C. and Vesley, R. E., 1965, The Foundations of Intuitionisti Mathemati s, Espe ially in Relation to Re ursive Fun tions, North-Holland, Amsterdam. [27℄ Ë.Ä.Ëàíäàó, Å.Ì.Ëèøèö, Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà. Íåðåëÿòèâèñòñêàÿ òåîðèÿ, Ìîñêâà, Íàóêà, 1974.

279

ËÈÒÅÀÒÓÀ

[28℄ À.Í.Ìàëüöåâ, Àëãîðèòìû è ðåêóðñèâíûå óíêöèè, Ì., Íàóêà, 1986. [29℄ Ìåíñêèé Ì. Á. Êîíöåïöèÿ ñîçíàíèÿ â êîíòåêñòå êâàíòîâîé ìåõàíèêè, ÓÔÍ 175 413 (2005) [30℄ V. Zarnitsyna , J.Huang , F.Zhang , Y.Chien , D.Le kband , C.Zhu , Memory in re eptor ligand-mediated ell adhesion, Pro Natl A ad S i U S A. 2007 Nov 8. [31℄ A.A.Markov, About the ontinuity of onstru tive fun tions, Uspehi Mat. Nauk (rus), 1954, 9, N 3 (61), pp. 226-229. [32℄ G. Birkho, J. von Neumann, The Logi of Quantum Me hani s, ¾Annals of Mathemati s¿, 37 (1936), p. 823843. [33℄ Íîâèêîâ Ï. Ñ. Êîíñòðóêòèâíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà ñ òî÷êè çðåíèÿ êëàññè÷åñêîé. Ì.: Íàóêà. 1977 [34℄ Íîâîñàäîâ Á.Ê. Ìåòîäû ðåøåíèÿ óðàâíåíèé êâàíòîâîé õèìèè: Îñíîâû òåîðèè ìîëåêóëÿðíûõ îðáèòàëåé. Íàóêà, Ìîñêâà, 1988, 184 ñ. [35℄ Yu.I.Ozhigov, Conferen e

A.Yu.Ozhigov,

Pro eedings,

vol.

Algorithmi 962

ontainer

(Quantum

Theory,

for

physi s,

AIP

Re onsideration

of

Foundations) pp. 168-174 [36℄ Y.Ozhigov, Amplitude quanta in multi parti le system simulation, Russian Mi roele troni s, 2006, vol. 35, 1, 53-65. [37℄ Y.Ozhigov,

Lower

bounds

of

a

quantum

sear h

for

an

extreme

point,

Pro .Roy.So .Lond. A455 (1999) 2165-2172 [38℄ Y.I.Ozhigov.Quantum Computers Speed Up Classi al with Probability Zero, Chaos Solitons Fra tals 10 (1999) 1707-1714 [39℄ Þ.È.Îæèãîâ, Êâàíòîâûå âû÷èñëåíèÿ, ó÷åáíîå ïîñîáèå, Èçä-âî ÂÌÊ Ì Ó, 2003. [40℄ Y.Ozhigov, How behavior of systems with sparse spe trum an be predi ted on a quantum omputer, Pis'ma v JETP, vol. 76, 11, pp. 799-804. [41℄ Y.Ozhigov, Dynami al diusion as the approximation of one quantum parti le dynami s, lanl e-print, quant-ph/0702237 [42℄ Y.Ozhigov, Quantum re ognition of eigenvalues, stru ture of devi es and thermodynami properties. ZhETF, 2003, vol. 123, iss. 2, pp. 384-398. [43℄ Y.I.Ozhigov, Easy ontrol on fermioni quantum omputations, NATO S ien e Series, 2005, vol. 189, pp. 27-32.

280

ËÈÒÅÀÒÓÀ

[44℄ A.Ozhigov, K.Arakelov, Y.Ozhigov, Prin iples of the numeri al simulation of many body quantum dynami s, Quantum omputers and omputing, 2006, vol. 6 N1, pp. 137-148. [45℄ Y.Ozhigov,

L.Fedi hkin,

Quantum

Computer

with

Fixed

Intera tion

is

Universal, JETP Lett. 77, 328-330 (2003) [46℄ P.Shor, Polynomial-Time Algorithms for Prime Fa torization and Dis rete Logarithms on a Quantum Computer, SIAM J.S i.Statist.Comput. 26 (1997) 1484-1512 [47℄ J. Sheneld, Mathemati al Logi , Nauka, Mos ow (1975). [48℄ J.L. Andrade E Silva, J. Loshak, Fields, Parti les, Quanta. Mos ow, S ien e, 1972. [49℄ À.Í.Òèõîíîâ, Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷, 1986, Ì.Íàóêà. [50℄ G.S.Tseitin, Algorithmi operators in the onstru tive metri spa es, Doklady A ademii Nauk USSR (rus), 1959, 128, N 1, pp.49-52. [51℄ Óñïåíñêèé Â.À., ×òî òàêîå íåñòàíäàðòíûé àíàëèç? Ì.Íàóêà, 1987. [52℄ Óñïåíñêèé Â.À. Ëåêöèè î âû÷èñëèìûõ óíêöèÿõ, Ìîñêâà, Íàóêà, 1960 [53℄ Âàëèåâ

Ê.À.,

Êâàíòîâûå

êîìïüþòåðû:

ñìåíà

ïàðàäèãìû

âû÷èñëåíèé,

Âåñòí. Ì Ó,ñåð.15:Âû÷.ìàò.è êèáåðí. 2005, N.2. òð .3-16. [54℄ Âàëèåâ Ê.À., Êâàíòîâûå êîìïüþòåðû è êâàíòîâûå âû÷èñëåíèÿ, ÓÔÍ, 175 1 (2005), ñòð. 3-39 [55℄ Âàëèåâ Ê.À., Êîêèí À.À. Êâàíòîâûå êîìïüþòåðû: íàäåæäû è ðåàëüíîñòü, Ìîñêâà-Èæåâñê, ÕÄ, 2000. [56℄ Âëàäèìèðîâ Â.Ñ. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè. Ì.: Íàóêà, 1981. [57℄ C. Zalka: Grover's quantum sear hing algorithm is optimal. Phys. Rev. A 60 (1999) 27462751. [58℄ W.Zurek, Probabilities from entanglement, Born's rule from invarian e, Phys. Rev. A 71, 052105 (2005)

Ïðèëîæåíèå Òåîðèÿ êâàíòîâûõ âû÷èñëåíèé

.1.

ÔÎÌÀËÜÍÎÅ ÎÏÅÄÅËÅÍÈÅ ÊÂÀÍÒÎÂÛÕ ÀË ÎÈÒÌÎÂ

.1

281

Ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå êâàíòîâûõ àëãîðèòìîâ

 ýòîì ïàðàãðàå ïðèâîäèòñÿ áîëåå îðìàëüíûé âàðèàíò îïèñàíèÿ êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà. Ìû áóäåì îïðåäåëÿòü êâàíòîâûé êîìïüþòåð ñ îðàêóëîì äëÿ íåêîòîðîé ñëîâàðíîé óíêöèè, ñîõðàíÿþùåé äëèíó âõîäíîãî ñëîâà. Îòìåòèì, ÷òî äîñëîâíî àíàëîãè÷íîå îïðåäåëåíèå ìîæíî áûëî áû ñîðìóëèðîâàòü è äëÿ îðàêóëà îáûêíîâåííîé áóëåâñêîé óíêöèè. Îïèøåì ïîñëåäîâàòåëüíî îáå ÷àñòè êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà.

Êâàíòîâàÿ ÷àñòü Îíà ñîñòîèò èç äâóõ ïîòåíöèàëüíî áåñêîíå÷íûõ ëåíò: ðàáî÷åé è âîïðîñíîé, êîíå÷íîãî ñïèñêà

U

óíèòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, î êîòîðûõ ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî

èõ ìîæíî ëåãêî ðåàëèçîâàòü íà ñòàíäàðòíûõ èçè÷åñêèõ óñòðîéñòâàõ, è áåñ∞ S êîíå÷íûé íàáîð F = Fn óíèòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, íàçûâàåìûõ îðàêóëîì n=1 ∗ ∗ äëÿ ñîõðàíÿþùåé äëèíó óíêöèè f : {0, 1} −→{0, 1} , ãäå âñÿêîå Fn äåéñòâó2n 2n åò íà 2 ìåðíîì èëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå, ïîðîæäåííîì âåêòîðàìè {0, 1} ñëåäóþùèì îáðàçîì:

Fn |¯ a, ¯bi = |¯ a, f (¯ a) ãäå

L

M

¯bi,

a ¯, ¯b ∈ {0, 1}n ,

îáîçíà÷àåò ïîêîìïîíåíòíîå ñëîæåíèå ïî ìîäóëþ 2.

ß÷åéêè ëåíò áóäåì íàçûâàòü êóáèòàìè. Êàæäûé êóáèò ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ {z0 0 + z1 1 | z1 , z2 ∈ C, |z0 |2 + |z1 |2 = 1}. 2 Çäåñü 0 è 1 åñòü áàçèñíûå ñîñòîÿíèÿ êóáèòà, îáðàçóþùèå áàçèñ C . èç êîìïëåêñíîé îêðóæíîñòè ðàäèóñà 1:

 òå÷åíèå âñåãî âðåìåíè âû÷èñëåíèé îáå ëåíòû îãðàíè÷åíû êàæäàÿ äâóìÿ ìàðêåðàìè, çàíèìàþùèìè ïîñòîÿííûå ïîçèöèè, òàê ÷òî íà ðàáî÷åé (âîïðîñ-

v1 , v2 , · · · , vτ (vτ +1 , vτ +2 , · · · , vτ +2n ) äîñòóïíû â âûτ = τ (n) íà âõîäå äëèíû n. Ïîëîæèì Q = {v1 , v2 , · · · , vτ +2n }. Áàçèñíîå ñîñòîÿíèå êâàíòîâîé ÷àñòè åñòü óíêöèÿ âèäà e : Q−→{0, 1}. Òàêîå ñîñòîÿíèå ìîæíî çàêîäèðîâàòü êàê |e(v1 ), e(v2 ), · · · , e(vτ +2n )i è åñòåñòâåííî îòîæäåñòâèòü ñ ñîîòâåòñòâóþùèì ñëîâîì â àëàâèòå {0, 1}. Ïóñòü K = 2τ +2n ; e0 , e1 , · · · , eK−1 åñòü âñå áàçèñíûå ñîñòîÿíèÿ, âçÿòûå â íåêîòîðîì èêñèðîâàííîì ïîðÿäêå, H åñòü K ìåðíîå èëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñ îðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñîì e0 , e1 , · · · , eK−1 . H ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê òåíçîðíîå íîé) ëåíòå òîëüêî êóáèòû

÷èñëåíèè ñ âðåìåííîé ñëîæíîñòüþ

ïðîèçâåäåíèå

H1

N

H2

N

···

N

Hτ +2n äâóìåðíûõ ïðîñòðàíñòâ, ãäå Hi ïîðîæäåíî âñåâîçìîæíûìè çíà÷åíèÿìè vi , i = 1, 2, · · · , τ + 2n. Ñîñòîÿíèå (÷èñòîå) êâàíòîâîé ÷àñòè åñòü òàêîé ýëåìåíò x ∈ H, ÷òî kxk = 1.

282

ËÈÒÅÀÒÓÀ

Ýâîëþöèÿ ðàññìàòðèâàåìîé êâàíòîâîé ÷àñòè âî âðåìåíè îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ òèïàìè óíèòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé íàä åå ñîñòîÿíèÿìè: ðàáî÷èìè è âîïðîñíûìè. Ïóñòü ïàðà

2n}, U ∈ U

G, U

âûáðàíà ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì, òàê ÷òî G ⊂ {1, 2, · · · , τ + 2card(G) ìåðíîì èëüáåðòîâîì ïðî-

ñóòü óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå â

ñòðàíñòâå.

àáî÷åå ïðåîáðàçîâàíèå êàê

U

WG,U

N

Hi â ðàññìàòðèâàåìîì i∈GN Hi . íà

íà

îïåðàòîð

i∈G /

Âîïðîñíîå ïðåîáðàçîâàíèå êàê

Fn

íà

τN +2n

i=τ +1

Hi

Íàáëþäåíèå

Quf

íà

H

èìååò îðìó

áàçèñå,

H

E

E

N

U ′,

N

Fn′ ,

ãäå

U′

äåéñòâóåò

äåéñòâóåò êàê òîæäåñòâåííûé

èìååò îðìó

E

ãäå

Fn′

äåéñòâóåò

τ N

Hi . i=1 íàä êâàíòîâîé ÷àñòüþ. Åñëè êâàíòîâàÿ ÷àñòü íàõîäèòñÿ â ñîñòîè

E

äåéñòâóåò êàê òîæäåñòâåííîå íà

K−1 P

λi ei , íàáëþäåíèåì íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ïðèíèìàþùàÿ i=0 2 çíà÷åíèå ei ñ âåðîÿòíîñòüþ |λi | .

ÿíèè

χ=

íà

Êëàññè÷åñêàÿ ÷àñòü

Êëàññè÷åñêàÿ ÷àñòü êîìïüþòåðà òàêæå ñîñòîèò èç äâóõ ëåíò: ðàáî÷åé è âîïðîñíîé, ÿ÷åéêè êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ âî âçàèìíî - îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè êóáèòàìè êâàíòîâûõ ëåíò êîìïüþòåðà è èìåþò îãðàíè÷èâàþùèå ìàðêåðû íà ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîçèöèÿõ. Êàæäàÿ ÿ÷åéêà êëàññè÷åñêèõ ëåíò ñîäåðæèò áóêâó èç íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî àëàâèòà

ω.

Ýâîëþöèÿ êëàññè÷åñêîé ÷àñòè îïðåäåëÿåòñÿ êëàññè÷å-

ñêîé ìàøèíîé Òüþðèíãà

M

ñ íåñêîëüêèìè ãîëîâêàìè íà îáåèõ ëåíòàõ è ìíîæåñòâîì îáúåäèíåííûõ ñî-

{qb , qw , qq , qo , · · · }. ñîñòîÿíèå ãîëîâîê äëÿ ñîñòîÿíèÿ C Ïóñòü D áóäåò ìíîæåñòâîì âñåõ ñòîÿíèé ãîëîâîê:

Ìû îáîçíà÷àåì ÷åðåç

h(C)

îáúåäèíåííîå

êëàññè÷åñêîé ÷àñòè. ñîñòîÿíèé êëàññè÷åñêîé ÷àñòè.

Ïðàâèëî ñîîòâåòñòâèÿ ìåæäó êâàíòîâîé è êëàññè÷åñêîé ÷àñòÿìè èìååò âèä

R : D−→2{1,2,··· ,τ +2n} ×U , ãäå ∀C ∈ D R(C) = hG, Ui, U äåéñòâóåò íà 2card(G) ìåðíîì èëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå òàê ÷òî U çàâèñèò òîëüêî îò h(C), è ýëåìåíòû G ñóòü â òî÷íîñòè íîìåðà ÿ÷ååê â êëàññè÷åñêîé ÷àñòè, ñîäåðæàùèõ ñïåöèàëüíóþ áóêâó a0 ∈ ω . Ñîñòîÿíèå êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà åñòü ïàðà S = hQ(S), C(S)i ãäå Q(S) è C(S) - ñîñòîÿíèÿ êâàíòîâîé è êëàññè÷åñêîé ÷àñòåé ñîîòâåòñòâåííî. Âû÷èñëåíèå íà êâàíòîâîì êîìïüþòåðå. Âû÷èñëåíèåì ìû íàçîâåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðåîáðàçîâàíèé ñëåäóþùåãî âèäà:

ãäå äëÿ âñÿêîãî

S0 −→S1 −→ · · · −→Sτ ,

(4)

i = 0, 1, · · · , τ − 1 C(Si )−→C(Si+1 )

åñòü ïåðåõîä, îïðåäåëåííûé

ìàøèíîé Òüþðèíãà M, ïðè÷åì âûïîëíåíû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: åñëè

h(C(Si )) = qw

òî

Q(Si+1 ) = WR(C(Si )) (Q(Si )),

.2.

ÏÎ×ÅÌÓ ÊÊ ÄÅËÀÅÒ ÏÅÅÁÎ ÂÀÈÀÍÒΠÍÅÎÁÛÊÍÎÂÅÍÍÎ ÁÛÑÒÎ283

h(C(Si )) = qq òî Q(Si+1 ) = Quf (Q(Si )), åñëè h(C(Si )) = qb òî i = 0, Q(S0 ) = e0 , C(S0 ) ñóòü èêñèðîâàííîå íà÷àëüíîå n ñîñòîÿíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå âõîäíîìó ñëîâó a ∈ {0, 1} , åñëè h(C(Si )) = qo òî i = τ , âî âñåõ äðóãèõ ñëó÷àÿõ Q(Si+1 ) = Q(Si ). Ìû ñêàæåì, ÷òî ýòîò êâàíòîâûé êîìïüþòåð (QC) âû÷èñëÿåò óíêöèþ F (a) ñ âåðîÿòíîñòüþ p ≥ 2/3, åñëè äëÿ âû÷èñëåíèÿ (1.1) íà âñÿêîì âõîäíîì ñëîâå a íàáëþäåíèå Sτ ñ ïîñëåäóþùåé çàðàíåå èêñèðîâàííîé ðóòèííîé ïðîöåäóðîé îáðàáîòêè ðåçóëüòàòà äàåò F (a) ñ âåðîÿòíîñòüþ p. Çàìåòèì, ÷òî ïðè p < 1 âñåãäà ìîæíî äîñòè÷ü ëþáîãî áîëüøåãî çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòè p0 > p åñëè âûïîëíèòü åñëè

ïîâòîðíûå âû÷èñëåíèÿ ñ òåì æå âõîäíûì ñëîâîì è çàòåì âçÿòü â êà÷åñòâå îêîí÷àòåëüíîãî îòâåòà òîò ðåçóëüòàò, êîòîðûé âñòðå÷àåòñÿ ÷àùå âñåõ äðóãèõ. Ýòî ïðèâåäåò òîëüêî ê ëèíåéíîìó çàìåäëåíèþ âû÷èñëåíèé ïî ñðàâíåíèþ ñî ñòàðûì óðîâíåì âåðîÿòíîñòè

p.

Îïèñàííûå âû÷èñëåíèÿ íàçûâàþòñÿ âû÷èñëåíèÿìè ñ

îãðàíè÷åííîé âåðîÿòíîñòüþ îøèáêè.  ñëó÷àå

p = 1

ìû áóäåì èìåòü òî÷íûå

âû÷èñëåíèÿ. Åñëè â âû÷èñëåíèè èñïîëüçóåòñÿ îðàêóë, òî â êà÷åñòâå îñíîâíîé ìåðû ñëîæíîñòè âû÷èñëåíèÿ (1.1) ìû áóäåì áðàòü íå

τ , à ÷èñëî âîïðîñíûõ ïðåîáðàçîâàíèé

â äàííîì âû÷èñëåíèè. Òàêèì îáðàçîì, ñòàíîâèòñÿ íåïðèíöèïèàëüíûì âûáîð ìàøèíû Òüþðèíãà â êà÷åñòâå ìîäåëè ýâîëþöèè êëàññè÷åñêîé ÷àñòè. Âìåñòî íåå ìîæíî âûáðàòü ëþáóþ äðóãóþ ìîäåëü êëàññè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé: êëåòî÷íûé àâòîìàò, íîðìàëüíûé àëãîðèòì è ò. ï., ñëîæíîñòü âû÷èñëåíèé îò ýòîãî íå èçìåíèòñÿ.

.2

Ïî÷åìó ÊÊ äåëàåò ïåðåáîð âàðèàíòîâ íåîáûêíîâåííî áûñòðî

 ýòîì ïàðàãðàå ìû ðàññìàòðèâàåì çíàìåíèòûé êâàíòîâûé àëãîðèòì äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ

f (x) = 1,

ïðèäóìàííûé Ë. ðîâåðîì (ñì. [17℄).

Ýòîò àëãîðèòì íàõîäèò ðåøåíèå çà âðåìÿ ïîðÿäêà êâàäðàòíîãî êîðíÿ èç êëàññè÷åñêîãî âðåìåíè, ò.å. äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ íóæíî îðàêóëó ñîîòâåòñòâóþùåìó

f.

√ O( N)

îáðàùåíèé ê

Ýòîò àëãîðèòì èìååò îãðîìíîå ÷èñëî ïîòåíöè-

àëüíûõ ïðèëîæåíèé â âû÷èñëèòåëüíûõ çàäà÷àõ, ïîñêîëüêó ê ýòîé çàäà÷å ñâîäÿòñÿ âñå çàäà÷è íà ïðÿìîé ïåðåáîð âàðèàíòîâ. Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì íàäî íàéòè êàêóþ-ëèáî ñòðîêó, îáëàäàþùóþ íåêîòîðûì ëåãêî ïðîâåðÿåìûì ñâîéñòâîì

P.

Íåñìîòðÿ íà ëåãêîñòü ïðîâåðêè ýòîãî ñâîéñòâà äëÿ äàííîé

êîíêðåòíîé ñòðîêè, íàéòè ñòðîêó ñ ýòèì ñâîéñòâîì î÷åíü äàæå íå ïðîñòî. Äëÿ ýòîãî íàäî ïåðåáðàòü äîâîëüíî áîëüøîå ÷èñëî âñÿêèõ äðóãèõ ñòðîê, ïîñëåäîâàòåëüíî ïðîâåðÿÿ êàæäóþ. Ìîæíî äîêàçàòü (ìû íå áóäåì ýòèì óòðóæäàòü ÷èòàòåëÿ), ÷òî ïðè ðàçóìíîì óòî÷íåíèè îðìóëèðîâîê èíîé, êðîìå ïåðåáîðà, óíèâåðñàëüíûé ìåòîä ïîèñêà, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâîçìîæåí. Òàêîå ñâîéñòâî ìîæíî îîðìèòü â âèäå áóëåâñêîé óíêöèè

f

P

òàê ÷òî ýòîìó ñâîéñòâó áóäóò

284

ËÈÒÅÀÒÓÀ

óäîâëåòâîðÿòü â òî÷íîñòè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ çàäàíî â âèäå àëãîðèòìà, òî ìîæíî è

f

f (x) = 1.

Áîëåå òîãî, åñëè

P

ïðåäñòàâèòü â âèäå ñõåìû èç óíêöèî-

íàëüíûõ ýëåìåíòîâ, à çíà÷èò è ñîñòàâèòü ñõåìó èç êâàíòîâûõ óíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ, ðåàëèçóþùóþ êâàíòîâûé îðàêóë, ñîîòâåòñòâóþùèé

f.

Äëÿ ïîñòðî-

åíèÿ èñêîìîãî àëãîðèòìà GSA (Grover sear h algorithm) íàì ïîíàäîáèòñÿ äâå âàæíûõ ïîäïðîãðàììû.

.3

Àëãîðèòì ðîâåðà

àññìîòðèì çàäà÷ó ïîèñêà ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ

f (x) = 1

(5)

f : {0, 1}n −→ {0, 1}. Ïóñòü, äëÿ ïðîñòîòû, ýòî ðåøåíèå åäèíñòâåííî, îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç xt . àññìîòðèì ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî êâàín òîâûõ ñîñòîÿíèé n êóáèòîâ, ïîðîæäåííîå áàçèñîì èç ýëåìåíòîâ |ji, j ∈ {0, 1} , n òî åñòü j = 0, 1, . . . , N − 1, N = 2 . Äîáàâèì ê íåìó îäèí êóáèò, íàçûâàåìûé äëÿ óíêöèè

àíöèëëîé (âñïîìîãàòåëüíûì ðåãèñòðîì), êîòîðûé èíèöèàëèçèðîâàí ñîñòîÿíèåì |0i−|1i √ âèäà |φ = . Òîãäà ìû èìååì: 2

N N Quf |xt iN |φi = −|xN |φi, ti Quf |ji |φi = |ji |φi, j 6= xt

(6)

Çàìåòèì, ÷òî çäåñü ñîñòîÿíèå àíöèëëû íå èçìåíèëîñü, îíà êàê áûëà â íà÷àëå, òàê è îñòàëàñü ïîñëå îïåðàöèè òåíçîðíûì ñîìíîæèòåëåì îáùåãî ñîñòîÿíèÿ. Îïðåäåëèì òåïåðü äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðà

|ai íàøåãî ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàí-

ñòâà îïåðàöèþ îòðàæåíèÿ âñåãî ïðîñòðàíñòâà âäîëü ýòîãî âåêòîðà, äåéñòâóþùóþ òàê:

Ia |bi =



|bi, −|ai,

Òîãäà ìû ìîæåì íàïèñàòü ðàâåíñòâî ñòâèÿ

Quf

íà âåêòîðà âèäà

|ai

N

if ha|bi = 0, if a = b.

Quf = Ixt ,

èìåÿ â âèäó îãðàíè÷åíèå äåé-

|φi.

Ìîæíî òàêæå, èñïîëüçóÿ àíöèëëó, ñîñòîÿùóþ èç îòðàæåíèå âäîëü âåêòîðà åäèíè÷íîé äëèíû

(7)

n+1

êóáèòà, ðåàëèçîâàòü

|0i.

.3.1 Ïðåîáðàçîâàíèå Óîëøà -Àäàìàðà àññìîòðèì îäèí èç âàæíûõ è ïîëåçíûõ ïðèìåðîâ óíèòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé - ïðåîáðàçîâàíèå Óîëøà - Àäàìàðà. Åãî îäíîêóáèòîâû1 âàðèàíò âûãëÿäèò òàê:

W =

√1 2 √1 2

√1 2 − √12

!

.

.3.

285

ÀË ÎÈÒÌ ÎÂÅÀ

n

êóáèòîâûé âàðèàíò îïðåäåëÿåòñÿ êàê íåçàâèñèìîå äåéñòâèå W íà êàæäîì èç N n êóáèòîâ: W . Èç îïðåäåëåíèÿ ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ âèäíî, ÷òî àìïëèòóäà ïå-

ðåõîäà áàçèñíîãî ñîñòîÿíèÿ â ëþáîå äðóãîå îäèíàêîâà, à çíàê ìåíÿåòñÿ ñòîëüêî

ðàç, ñêîëüêî åäèíèö ñòîÿò íà îäèíàêîâûõ ìåñòàõ â îáîèõ ýòèõ ñîñòîÿíèÿõ. Ìû (i·j) ìîæåì íàïèñàòü îáùóþ îðìóëó äëÿ ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ êàê wi,j = (−1) , ãäå â ïîêàçàòåëå ñòîèò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå áèíàðíûõ çàïèñåé ÷èñåë i è j . n−1 n−1 P P Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè ÷èñëà i è j èìåþò âèä is 2s è js 2s ñîîòâåòñòâåííî, s=0 s=0 n−1 P òî i · j = is js . Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî (W n )−1 = W n . s=0 Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå çàìå÷àòåëüíî òåì, ÷òî îíî íå ïðèâîäèò ê çàïóòûâàíèþ êóáèòîâ. Åñëè ïåðâîíà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå êóáèòîâ áûëî íåçàïóòàííûì, òàêîâûì n æå áóäåò è ðåçóëüòàò ïðåîáðàçîâàíèÿ W . Åñëè ìû ïðèìåíèì ýòî ïðåîáðàçîâàíèå ê

n

êóáèòàì, íàõîäÿùèìñÿ â íóëåâîì ñîñòîÿíèè, ìû ïîëó÷èì ñîñòîÿíèå

âèäà

N −1 1 X |ei i. φ0 = √ N i=0

(8)

Ýòî ñîñòîÿíèå çàìå÷àòåëüíî òåì, ÷òî âñå àìïëèòóäû â íåì îäèíàêîâû.  ñèëó ñêàçàííîãî â ëàâå 2 ýòî ïîñëåäíåå ñâîéñòâî îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ñîñòîÿíèå, iφ íå èìååò íèêàêîãî èçè÷åñêîãî ñìûñëà, è ìû òàê êàê àçîâûé ìíîæèòåëü e ìîæåì òåïåðü óòâåðæäàòü, ÷òî ýòî - åäèíñòâåííîå ñîñòîÿíèå ñ äàííûì ñâîéñòâîì.

.3.2 Îïåðàöèÿ èíâåðñèè è åå ðåàëèçàöèÿ íà êâàíòîâîì êîìïüþòåðå Óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå èíâåðñèè âäîëü ñîñòîÿíèÿ

a îïðåäåëÿåòñÿ ïî îðìó-

ëå 7. Òàêîå îïðåäåëåíèå îðìàëüíî ÿâëÿåòñÿ íåïîëíûì, íî â ñèëó ëèíåéíîñòè óíèòàðíûõ îïåðàöèé îíî îïðåäåëåíî äàííûì ðàâåíñòâîì îäíîçíà÷íî. Ïðåäñòàâèâ ñèòóàöèþ ãåîìåòðè÷åñêè, ìû ïîéìåì, ÷òî ýòî ïðåîáðàçîâàíèå åñòü çåðêàëüíîå îòðàæåíèå âñåãî ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé îòíîñèòåëüíî ïîäïðîñòðàíñòâà, îðòîãîíàëüíîãî âåêòîðó

a

(ðèñóíîê 3). Êàê ðåàëèçîâàòü òàêóþ îïåðàöèþ íà

êâàíòîâîì êîìïüþòåðå? àññìîòðèì ñíà÷àëà òîò ñëó÷àé, êîãäà âåêòîð òû ïîëîæèì

a = 0

a

íàì èçâåñòåí. Äëÿ ïðîñòî-

(ñëó÷àè äðóãèõ áàçèñíûõ ñîñòîÿíèé îòëè÷àþòñÿ îò ýòîãî

íå ñóùåñòâåííî). Ñàìàÿ ïðîñòàÿ èäåÿ - óñòðîèòü íàø àëãîðèòì òàê, ÷òîáû îí ïðîñìîòðåë ïîñëåäîâàòåëüíî âñå ðàçðÿäû

a

íà ïðåäìåò ïîèñêà åäèíèö, è åñëè

íàøåë õîòü îäíó, òî íè÷åãî íå äåëàåò, à åñëè íå íàøåë íè îäíîé, ò.å.

a = 0,

òî èçìåíÿåò çíàê ñîñòîÿíèÿ. Ïîñëåäîâàòåëüíûé ïðîñìîòð óñòðîèòü î÷åíü ïðîñòî, êîãäà êîìïüþòåð ó íàñ êëàññè÷åñêèé.  êâàíòîâîì ñëó÷àå åñòü íåáîëüøàÿ òðóäíîñòü, ïîñêîëüêó åäèíèö ìîæåò áûòü íåñêîëüêî, è çíà÷èò ïðè ïðîõîäå ÷åðåç âñå ÷èñëî

a

ìû äîëæíû êàê-òî ýòî èêñèðîâàòü, ÷òîáû ó íàñ ïîëó÷èëàñü

286

ËÈÒÅÀÒÓÀ

ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òîëüêî óíèòàðíûõ îïåðàöèé. Íàìåòèì òàêîé ïëàí. Óñòðîèì ñïåöèàëüíûé äîïîëíèòåëüíûé êóáèò, íàçûâàåìûé ñèãíàëèòü î òîì, ÷òî âñòðåòèëàñü åäèíèöà â ÷èñëå

a.

res,

êîòîðûé áóäåò íàì

Êðîìå òîãî, äëÿ ñîáëþäå-

íèÿ óíèòàðíîñòè çàâåäåì äëÿ êàæäîãî çíà÷àùåãî êóáèòà åãî äâîéíèê. Âñå ýòè äîïîëíèòåëüíûå êóáèòû ïåðâîíà÷àëüíî áóäóò íàõîäèòüñÿ â ñîñòîÿíèè õîäîâ áóäåò äâà: íà ïåðâîì ìû âûÿñíèì, ñîâïàäàåò ëè

a

0.

Ïðî-

ñ íóëåâîé ñòðîêîé, à

íà âòîðîì, äâèãàÿñü â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè è ñîâåðøàÿ îáðàòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, âîññòàíîâèì ñîäåðæèìîå âñåõ äîïîëíèòåëüíûõ êóáèòîâ, ò.e. ñäåëàåì èõ ñíîâà íóëåâûìè. Ýòà ïîñëåäíÿÿ îïåðàöèÿ íåîáõîäèìà äëÿ òîãî, ÷òîáû äåëàòü ýòó ïðîöåäóðó íåîäíîêðàòíî. Òàêàÿ "î÷èñòêà ìóñîðíîé êîðçèíû"èìååò â êâàíòîâîì êîìïüþòèíãå è èíîé ñìûñë, àíàëîãîâ êîòîðîìó íåò â êëàññè÷åñêîì ñëó÷àå. Äåëî â òîì, ÷òî äîïîëíèòåëüíûå êóáèòû íàõîäÿòñÿ ñî çíà÷àùèìè â çàïóòàííîì ñîñòîÿíèè, à ýòî çíà÷èò, ÷òî, íàïðèìåð, èõ íàáëþäåíèå ìîæåò ñàìûì íåïðèÿòíûì îáðàçîì îòðàçèòüñÿ íà êóáèòàõ çíà÷àùèõ, èíà÷å ãîâîðÿ, èñïîðòèòü íåîáõîäèìóþ íàì èíîðìàöèþ. Èòàê, ìû áóäåì íà êàæäîì øàãå ïðîõîäà äåëàòü ñïåöèàëüíóþ èêñèðîâàííóþ îïåðàöèþ

V

íàä òðåìÿ êóáèòàìè: îñíîâíûì, åãî äâîéíèêîì, è res. Íà ýòè

êóáèòû áóäóò óêàçûâàòü ñïåöèàëüíûå óêàçàòåëè. Ïîñëå ÷åãî ñäâèãàåì óêàçàòåëè îñíîâíîãî êóáèòà è åãî äâîéíèêà ñäâèãàþòñÿ íà îäèí øàã âïðàâî è âñå ïîâòîðÿåòñÿ (ñì. ðèñóíîê 4). Ïîñëå ïåðâîãî ïðîõîäà ñîäåðæèìîå res áóäåò ñèãíàëèçèðîâàòü î òîì, âñòðåòèëàñü ëè íàì õîòÿ áû ðàç åäèíèöà, èëè íåò. Ïîñëå ýòîãî ñëåäóåò óñëîâíàÿ ñìåíà çíàêà, è íàêîíåö - âñå â îáðàòíîì ïîðÿäêå äëÿ ÷èñòêè ìóñîðà. Äåëî çà òåì, ÷òîáû îïðåäåëèòü îïåðàöèþ

V.

Îíà äîëæíà èç-

ìåíÿòü ñîäåðæèìîå res, åñëè ïåðâûé ðàç âñòðåòèëà åäèíèöó, è ïðè ýòîì áûòü óíèòàðíîé. Çäåñü íàì íå îáîéòèñü áåç êóáèòîâ- äâîéíèêîâ. Íåìíîãî ðàçìûøëåíèé - è áóäåò âèäíî, ÷òî

V

äîëæíà äåéñòâîâàòü ïðèìåðíî òàê:

0 1 0 1

0 0 0 0

0 0 1 1

−→ −→ −→ −→

0 1 0 1

0 0 0 1

0 1 1 1

Íà âñåõ îñòàëüíûõ ñîñòîÿíèÿõ äåéñòâèå ýòîé îïåðàöèè äîîïðåäåëÿåòñÿ òàê, ÷òîáû îíà áûëà âçàèìíî-îäíîçíà÷íîé. Òàêèì îáðàçîì, îïåðàöèÿ èíâåðñèè îòíîñèòåëüíî íóëåâîãî ñîñòîÿíèÿ âûðàçèòñÿ òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ðàáî÷èõ ïðåîáðàçîâàíèé:

Vn Vn−1 . . . V1 Sign V1−1 V2−1 . . . Vn−1 , Vj îáîçíà÷àåò îïåðàöèþ V |0i, |1i ìàòðèöó âèäà ãäå

ñîâåðøåííóþ â ìîìåíò



−1 0

0 1



j,

à

Sign

èìååò â áàçèñå

.

¯0 ê ñîñòîÿíèþ  ðåçóëüòàòå ìû áóäåì èìåòü ïåðåõîä îò ñîñòîÿíèÿ âèäà ψ N ′ ¯0, ãäå ïåðâûé ñîìíîæèòåëü îòëè÷àåòñÿ îò âòîðîãî òîëüêî çíàêîì ïðè |e0 i. ψ N

.3.

287

ÀË ÎÈÒÌ ÎÂÅÀ

Òåïåðü íàì íè÷åãî íå ñîñòàâëÿåò ïîñòðîèòü èíâåðñèþ îòíîñèòåëüíî ñîñòîÿ-

φ0 , îïðåäåëåííîãî ðàâåíñòâîì (8). Èñïîëüçóÿ èçâåñòíîå îïðåäåëåíèå Óîëøàn n Àäàìàðà, ìû ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî: Iφ0 = W I¯ 0 W . Ñëåäîâàòåëüíî, è ýòó èííèÿ

âåðñèþ ëåãêî ìîæíî ðåàëèçîâàòü íà êâàíòîâîì êîìïüþòåðå. Ìîæíî ñäåëàòü è áîëåå îáùåå óòâåðæäåíèå, êîòîðîå ëåãêî ïðîâåðèòü íåïîñðåäñòâåííî. Ïóñòü âåêòîðà

|¯ ai

è

|¯bi

|¯ ai = U|¯bi. Òîãäà èíâåðñèè îòíîñèòåëüIa¯ = UI¯b U −1 . Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì

ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì

íî íèõ áóäóò ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì

ñîâåðøàòü èíâåðñèè îòíîñèòåëüíî ëþáûõ âåêòîðîâ, åñëè èçâåñòíî, êàê ýòè âåêòîðà ïîëó÷àþòñÿ èç íóëåâîãî. Íàïðèìåð, ìîæíî ñëó÷àéíûì îáðàçîì âûáèðàòü ïðåîáðàçîâàíèå

U,

è òîãäà ìû áóäåì â ñîñòîÿíèè ñîâåðøèòü èíâåðñèþ âäîëü

ñëó÷àéíî âûáðàííîãî âåêòîðà. Îòìåòèì, ÷òî ïîêà âñå âåêòîðà ñîñòîÿíèé, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ ñîâåðøàëèñü èíâåðñèè, áûëè íàì èçâåñòíû â òîì ñìûñëå, ÷òî ìû ðàñïîëàãàëè ñïîñîáîì ïîëó÷èòü ýòè ñîñòîÿíèÿ íàøåé êâàíòîâîé ïàìÿòè. À ìîæíî ëè ñîâåðøèòü èíâåðñèþ îòíîñèòåëüíî òîãî âåêòîðà, êîòîðûé íàì íå èçâåñòåí? Êëàññè÷åñêèé êîìïüþòåð ñäåëàòü èíâåðñèþ ñìîã áû òîëüêî, ïðåäâàðèòåëüíî íàéäÿ ýòîò âåêòîð. Äëÿ êâàíòîâîãî íàõîäèòü ñàì âåêòîð íåò íóæäû - äîñòàòî÷íî çíàòü, ÷òî îí ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ðàñïîðÿæåíèè îðàêóë äëÿ

f.

f (x) = 1,

è èìåòü â

Ìû ñíà÷àëà îïèøåì íå ñàìûé õîðîøèé ñïîñîá

ñäåëàòü ýòî. Äëÿ ïðîñòîòû ìû ñíà÷àëà îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì, êîãäà ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

f (x) = 1

ðîâíî îäíî. Îáîçíà÷èì ýòî ðåøåíèå (è ñîîòâåòñòâóþùåå

åìó áàçèñíîå ñîñòîÿíèå) ÷åðåç ãðàììû, ðåàëèçóþùåé

Itar .

tar . Íàøåé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå

ïîäïðî-

Ïðèìåíèì êâàíòîâûé îðàêóë, ñîîòâåòñòâóþùèé

f,

è èìåþùèé âèä (4.31). Ïîñëå ýòîãî èçìåíèì çíàê â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ñîâïàäàåò

b

ñ åäèíèöåé èëè íåò, à çàòåì ñíîâà ïðèìåíèì îðàêóë. Íåòðóäíî âèäåòü,

÷òî ïîñëåäíåå äåéñòâèå î÷èñòèò ñîäåðæèìîå

b,

òàê ÷òî çíàê èçìåíèòñÿ èìåííî

òàê êàê íàäî.  ÷åì íåäîñòàòîê ýòîãî ìåòîäà? Äåëî â òîì, ÷òî îðàêóë çäåñü ïðèìåíÿåòñÿ äâàæäû. Ìîæíî ëè äîáèòüñÿ òîãî æå ýåêòà, ïðèìåíèâ åãî òîëüêî îäèí ðàç? Îêàçûâàåòñÿ, ìîæíî. Äîïîëíèòåëüíûé êóáèò, èëè êàê åãî íàçûâàþò, àíöèëëó, ìîæíî èíèöèàëèçèðîâàòü â ëþáîì ñîñòîÿíèè, à íå òîëüêî â íóëåâîì. Âàæíî, ÷òîáû ýòî ñîñòîÿíèå âîññòàíàâëèâàëîñü ïîñëå îïåðàöèé. Èíèöèàëèçèðóåì b, â ñîñòîÿíèè ψ0 = √12 (|0i + |1i). Òîãäà ïîñëå îïåðàöèè Quf âèäà (4.31) ìû ïîëó÷èì, ÷òî ê àíöèëëå ïðèáàâëÿåòñÿ 1 òîãäà è òîëüêî

êóáèò, ñîîòâåòñòâóþùèé

òîãäà, êîãäà

a ñîâïàäàåò ñ èñêîìûì êîðíåì óðàâíåíèÿ. Íî èç âèäà àíöèëëû ñëå-

äóåò, ÷òî ïðè ýòîì êàê ðàç áóäåò èçìåíÿòüñÿ åå çíàê, ïîñêîëüêó íîëü è åäèíèöà ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè. Òàêîé ñïîñîá òðåáóåò òîëüêî îäíîãî ïðèìåíåíèÿ îðàêóëà, è ïîòîìó ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì. Èòàê, ìû ïîçíàêîìèëèñü ñ ïåðâûì ÷óäîì êâàíòîâîé èíîðìàòèêè - âîçìîæíîñòüþ èíâåðòèðîâàòü ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé îòíîñèòåëüíî âåêòîðà, êîòîðûé íàì íåèçâåñòåí!

288

ËÈÒÅÀÒÓÀ

.3.3 GSA Òåïåðü ìû óæå ãîòîâû ê òîìó, ÷òîáû îïèñàòü ìåòîä áûñòðîãî êâàíòîâîãî ïåðåáîðà. Ýòîò ìåòîä óäèâèòåëüíî ïðîñò: îí ñîñòîèò â ïîñëåäîâàòåëüíîì ïðèìåíåh √ i π N 8 ðàç. Ïîëó÷èâøååñÿ íèè ïðåîáðàçîâàíèÿ G = −Iφ0 Itar ê âåêòîðó φ0 t0 = 4

ïðè ýòîì ñîñòîÿíèå ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàåò ñ èñêîìûì ýòîì, ðàññìîòðèì, êàê îïåðàòîð

G

tar .

×òîáû óáåäèòüñÿ â

äåéñòâóåò íà ïðîèçâîëüíûé âåêòîð. Ïðîùå

âñåãî çàäåéñòâîâàòü ãåîìåòðè÷åñêîå âîîáðàæåíèå. Âî ïåðâûõ, íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå

φ0

G

ïðåîáðàçóåò ïëîñêîñòü, ïîðîæäåííóþ âåêòîðàìè

|tari

è

â ýòó æå ïëîñêîñòü (ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî îáå èíâåðñèè íå âûâåäóò íàñ çà

ïðåäåëû ýòîé ïëîñêîñòè). Âî-âòîðûõ, îäíà èíâåðñèÿ ìåíÿåò îðèåíòàöèþ, çíà÷èò, äâå èíâåðñèè åå ñîõðàíÿþò. Òàêèì îáðàçîì,

G

åñòü îðòîãîíàëüíîå ïðåîá-

ðàçîâàíèå ïëîñêîñòè (óíèòàðíîå, è áåç êîìïëåêñíûõ êîýèöèåíòîâ). Ñëåäî-

G

âàòåëüíî,

åñòü íå ÷òî èíîå, êàê ïîâîðîò ýòîé ïëîñêîñòè. àññìîòðåâ ðèñóíîê

G ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîâîðîò íà îñòðûé óãîë α, ˜ |tari. Ìû èìååì √ φ è âåêòîðîì 0, îðòîãîíàëüíûì 3/2 α ≈ sin α = |htar|φi| = 1/ N , ñ òî÷íîñòüþ äî 1/N . Çíà÷èò, åñëè ìû ïðèìåíèì G t0 ðàç, ñ òî÷íîñòüþ äî 1/N ðåçóëüòàò ñîâïàäåò ñ èñêîìûì âåêòîðîì tar .

5, ìû ïðèäåì ê âûâîäó, ÷òî

êîòîðûé îáðàçîâàí âåêòîðîì

Ïîñëå ýòîãî óçíàòü èñêîìîå ñîñòîÿíèå ìîæíî áóäåò, ïðîñòî èçìåðèâ ñîñòîÿíèå êâàíòîâîé ÷àñòè êîìïüþòåðà.

.3.4 Êàê èñêàòü ðåøåíèÿ, åñëè èõ ìíîãî? Äî ñèõ ïîð ìû çàíèìàëèñü ñëó÷àåì åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ íàøåãî óðàâíåíèÿ

f (x) = 1.

×òî èçìåíèòñÿ, åñëè ðåøåíèé íåñêîëüêî? Âî-ïåðâûõ, ìîæíî çàìå-

òèòü, ÷òî åñëè ðåøåíèé î÷åíü ìíîãî, íàïðèìåð èõ ÷èñëî ñðàâíèìî ñ ÷èñëîì âñåâîçìîæíûõ çíà÷åíèé

x,

òî ïðèìåíåíèå êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà äëÿ ïîèñêà

ëþáîãî èç ýòèõ ðåøåíèé ëèøåíî âñÿêîãî ñìûñëà, òàê êàê ìîæíî ïðîñòî âûáðàòü

x

íàóãàä. Èòàê, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðåøåíèé íå î÷åíü ìíîãî, íàïðèìåð, ìîæíî

ñ÷èòàòü, ÷òî èõ ÷èñëî

√ O( N ).

Çàìåòèì, ÷òî îðìàëüíî ìû ìîæåì ïðèìåíèòü GSA è äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ. Îáå èíâåðñèè, âõîäÿùèå â åãî ñîñòàâ, ìîæíî îðìàëüíî âûïîëíèòü è â ñëó÷àå ìíîãèõ ðåøåíèé. Îäíàêî òåïåðü ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë èíâåðñèè

Itar

áóäåò óæå

Lf îáîçíà÷àåò ïîäïðîñòðàíñòâî, ïîðîæäåííîå âñåìè ðåf (x) = 1. Òîãäà Itar , êîòîðîå ïðîèçâîäèòñÿ òî÷íî òàê æå , êàê è â ñëó-

íåñêîëüêî èíîé. Ïóñòü øåíèÿìè

÷àå åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ, áóäåò çåðêàëüíûì îòðàæåíèåì âñåãî ïðîñòðàíñòâà îòíîñèòåëüíî ïîäïðîñòðàíñòâà, îðòîãîíàëüíîãî ê

Lf .

Äåéñòâèòåëüíî, êàæäîå

ðåøåíèå áóäåò ìåíÿòü çíàê, çíà÷èò è êàæäàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ðåøåíèé áóäåò ìåíÿòü çíàê, à âåêòîð, ïåðïåíäèêóëÿðíûé êî âñåì ðåøåíèÿì, îñòàíåòñÿ áåç èçìåíåíèé. Ñäåëàåì åùå îäíî ïîó÷èòåëüíîå íàáëþäåíèå. Êàê íàì èçâåñòíî, èíâåðñèþ íà êâàíòîâîì êîìïüþòåðå ìîæíî ñîâåðøàòü íå òîëüêî îòíîñèòåëüíî ñîñòîÿíèÿ 8 Çíàê

ìèíóñ â îïðåäåëåíèè G âçÿò òîëüêî äëÿ êðàñîòû.

289

.3.

ÀË ÎÈÒÌ ÎÂÅÀ

φ0 ,

íî è îòíîñèòåëüíî ëþáîãî ñîñòîÿíèÿ

φ˜0 ,

êîòîðîå ìû ìîæåì ïîëó÷èòü äëÿ

êâàíòîâîé ÷àñòè êîìïüþòåðà. àññìîòðèì ïðîåêöèþ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ íà ïîäïðîñòðàíñòâî

Lf ,

è ïóñòü òåïåðü

tar

φ˜0

îáîçíà÷àåò íîâîå öåëåâîå ñîñòîÿíèå,

íàïðàâëåííîå âäîëü ýòîé ïðîåêöèè (îíî îòëè÷àåòñÿ îò ñàìîé ïðîåêöèè òîëüêî òåì, ÷òî èìååò åäèíè÷íóþ äëèíó). Òîãäà ìû ñíîâà, êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, ïîëó÷àåì, ÷òî ïëîñêîñòü, îáðàçîâàííàÿ âåêòîðàìè

tar

è

φ˜0

ïåðåõîäèò â ñåáÿ æå

ïðè ïðèìåíåíèè ðîâåðîâñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.  íàøåì ãåîìåòðè÷åñêîì ðàññóæäåíèè íè÷åãî íå èçìåíèòñÿ, åñëè ìû ïðîñòî çàìåíèì

φ0

íà

φ˜0 .

Åäèíñòâåí-

íîå, ÷òî ïðèäåòñÿ íàì òåïåðü ïîäïðàâèòü, ýòî âðåìÿ t0 . àññóæäàÿ ïî àíàëîãèè

hñ

ïðåäûäóùèì ñëó÷àåì, ìû áûñòðî ïîéìåì, ÷òî òåïåðü âðåìÿ äîëæíî áûòü i

π . 4|htar|φ˜0 i|

Îòñþäà ñëåäóåò èíòåðåñíûé âûâîä. Â ñõåìå ðîâåðà ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü

èíâåðñèþ îòíîñèòåëüíî ëþáîãî íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ

φ0 ,

äàæå âûáðàííîãî íà-

óãàä! Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ñëó÷àéíîì âûáîðå ýòîãî ñîñòîÿíèÿ ìîäóëü ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ

|htar|φ˜0i|

áóäåò èìåòü ïîðÿäîê

√ 1/ N .

Êâàäðàò ýòîãî ÷èñëà åñòü

tar ïðè èçìåðåíèè ñîñòîÿíèÿ φ˜0 â êàêîì ëèáî áàçèñå, ñîäåðæàùåì íàø âåêòîð tar . Èç ñîîáðàæåíèé ñèììåòðèè, ïðè ñëó÷àé˜0 ýòà âåðîÿòíîñòü äîëæíà áûòü îäèíàêîâà íîì âûáîðå íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ φ äëÿ âñåõ âåêòîðîâ ýòîãî áàçèñà, è çíà÷èò, äîëæíà ðàâíÿòüñÿ 1/N . Èç ýòîãî, âåðîÿòíîñòü ïîëó÷åíèÿ ñîñòîÿíèÿ

ñòðîãî ãîâîðÿ åùå íå ñëåäóåò, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïîëó÷åíèÿ êâàäðàòà èç ýòîé âåëè÷èíû áóäåò ðàâíà

√ 1/ N

9

. Îäíàêî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ñðåäíåå çíà÷åíèå

ñàìîãî ìîäóëÿ áóäåò èìåòü òîò æå ïîðÿäîê âåëè÷èíû, à èìåííî ñòüþ äî óìíîæåíèÿ íà êîíñòàíòó, íå çàâèñÿùóþ îò

√ 1/ N

ñ òî÷íî-

N . Òàê ÷òî ìû ìîæåì ñìåëî

ïðèìåíÿòü ðîâåðîâñêóþ ñõåìó äëÿ áûñòðîãî ïîëó÷åíèÿ ñîñòîÿíèé, åñëè ó íàñ åñòü â ðàñïîðÿæåíèè êàêîé-ëèáî àïïàðàò, îñóùåñòâëÿþùèé èíâåðñèþ îòíîñèòåëüíî ýòîãî ñîñòîÿíèÿ. Ïðè ýòîì íà÷àëüíûé âåêòîð è ñîîòâåòñòâóþùåå åìó ïðåîáðàçîâàíèå èíâåðñèè ìîæíî âûáèðàòü ïðîèçâîëüíî, ñëó÷àéíûì îáðàçîì. Îäíàêî îñòàåòñÿ íåÿñíûì, êîãäà æå âñå-òàêè ïðîèçâîäèòü êîíå÷íîå èçìåðåíèå? Äëÿ ýòîãî êîíå÷íî íàäî çíàòü

|htar|φ˜0i|.

Èíà÷å ìû îêàæåìñÿ â ïîëîæåíèè

ïàññàæèðà íà êîëüöåâîé æåëåçíîé äîðîãå, êîòîðûé íå çíàåò òî÷íî, ãäå åìó âûõîäèòü èç ïîåçäà. Åñëè ìû òî÷íî çíàåì êîëè÷åñòâî

l

âñåõ ðåøåíèé, íåìíîãî

ïîäóìàâ, ìû ìîæåì ñîîáðàçèòü, ÷òî ýòîò ìîäóëü ðàâåí

p l/N .

À ÷òî äåëàòü,

åñëè ÷èñëî ðåøåíèé íåèçâåñòíî, èëè åñëè ìû ïðîñòî õîòèì ïî ñõåìå ðîâåðà ïîëó÷èòü èñêîìîå ñîñòîÿíèå

tar ,

èñïîëüçóÿ ñîîòâåòñòâóþùóþ èíâåðñèþ? Çäåñü

ìû âñòðå÷àåìñÿ ñ òåì ñëó÷àåì, êîãäà óäîáíî ïðèìåíèòü ïðîìåæóòî÷íûå èçìåðåíèÿ.

9 àçíèöà

ìåæäó ñðåäíèì êâàäðàòà âåëè÷èíû è êâàäðàòîì ñðåäíåãî åå çíà÷åíèÿ ðàâíà äèñïåðñèè ýòîé âåëè÷èíû.

290

ËÈÒÅÀÒÓÀ

.3.5 Êîãäà áûâàåò óäîáíî ÷àñòî èçìåðÿòü

Èòàê, ïóñòü ìû íå çíàåì îáùåãî ÷èñëà ðåøåíèé. Åñëè ìû îñòàíîâèì íàø ïðîöåññ ïðèìåíåíèÿ ðîâåðîâñêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò, ìåíüøèé

√ C N , ãäå C

äîñòàòî÷íî áîëüøîå ÷èñëî, ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ ìû ïîëó÷èì

ïðè èçìåðåíèè èñêîìîå íàìè ñîñòîÿíèå? Íåìíîãî óãëóáèâøèñü â ñîçåðöàíèå ðèñóíêà 5, ìû äîëæíû ñîîáðàçèòü, ÷òî ýòà âåðîÿòíîñòü íå äîëæíà áûòü íàìíîãî ìåíüøå 1/2, ïîñêîëüêó íàø òåêóùèé âåêòîð ñîñòîÿíèÿ è âåêòîðà

tar

−tar ñ π/4. Òàê

è

ïðèìåðíî ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè îáðàçóþò óãëû áîëüøèå è ìåíüøèå

÷òî åñëè ìû íå ãîíèìñÿ çà ìàêñèìàëüíî áûñòðûì ìåòîäîì ïîëó÷åíèÿ öåëåâîãî ñîñòîÿíèÿ, ìû ìîæåì ïðîñòî çàïóñòèòü ïðîöåññ GSA è ïðèìåðíî çà

√ O( N)

øàãîâ ïîëó÷èòü îòâåò ñ âûñîêîé âåðîÿòíîñòüþ, èñïîëüçóÿ ïîâòîðíûå ïîïûòêè. Íî ïðè ýòîì ìû íàâåðíÿêà óïóñòèì âîçìîæíîñòü áûñòðîãî ïîëó÷åíèÿ îòâåòà

√

òîãäà, êîãäà â äåéñòâèòåëüíîñüòè ðåøåíèé ìíîãî. Íàïðèìåð, ïðè l = O( N) 1/4 óïóùåííàÿ âûãîäà ñîñòàâèò O(N ). Çäåñü íàì íà ïîìîùü ïðèäåò î÷åíü ïðîñòàÿ èäåÿ: ñêàíèðîâàòü îáëàñòü âðåìåíè - äî

√ C N

âêëþ÷èòåëüíî, âñÿêèé ðàç

âûáèðàÿ èíòåðâàë âðåìåíè, íàïðèìåð, â äâà ðàçà áîëüøèé, ÷åì íà ïðåäûäóùåì øàãå. Ïðè ýòîì íà êàæäîì øàãå áóäåì äîïîëíèòåëüíî ïðèìåíÿòü èçìåðåíèå â ïðîèçâîëüíî âûáðàííûé ìîìåíò èç òåêóùåãî èíòåðâàëà. Òîãäà ìû, ðàçóìååòñÿ, íå óïóñòèì âûãîäó â òîì ñëó÷àå, åñëè ðåøåíèé ìíîãî - îòâåò áóäåò ïîëó÷åí çà

p O( N/L)

øàãîâ, êàê è äîëæíî. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî âðåìÿ, ïîòðà÷åí-

íîå ïî÷òè âïóñòóþ íà èçìåðåíèÿ ïðè ìàëûõ âðåìåííûõ èíòåðâàëàõ äî òîãî, êàê òåêóùèé èíòåðâàë áóäåò äîñòàòî÷íî âåëèê, áóäåò ïðèìåðíî òàêîå æå, êàê è â äîñòàòî÷íî áîëüøîì èíòåðâàëå, âåäü ñóììà ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ïðèìåðíî ñîâïàäàåò ñ åå íàèáîëüøèì ÷ëåíîì.

Èòàê, ìû ïîçíàêîìèëèñü ñî âòîðûì ÷óäîì êâàíòîâîé èíîðìàòèêè - ñ âîçìîæíîñòüþ ñäåëàòü ïåðåáîð âàðèàíòîâ, íå ïåðåáèðàÿ èõ âñå! Ýòà óäèâèòåëüíàÿ âîçìîæíîñòü öåëèêîì îïèðàåòñÿ íà óíäàìåíòàëüíûå ñâîéñòâà êâàíòîâûõ îáúåêòîâ - èíòåðåðåíöèþ àìïëèòóä è ñóùåñòâîâàíèå çàïóòàííûõ ñîñòîÿíèé. Ìîæíî ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî âñÿêîå êâàíòîâîå âû÷èñëåíèå, íå èñïîëüçóþùåå çàïóòàííîñòè, ò.å. îïåðèðóþùåå ñ íåçàâèñèìûìè êóáèòàìè, ìîæåò áûòü ëåãêî ðåàëèçîâàíî è íà êëàññè÷åñêîì êîìïüþòåðå.  íà÷àëå è â êîíöå âû÷èñëåíèÿ ïî ñõåìå GSA ìû èìååì íåçàïóòàííûå ñîñòîÿíèÿ, òàêèå êàê

tar

èëè

φ0 .

Îäíàêî â

ñåðåäèíå ýòîé ïðîöåäóðû èòåðàöèé çàïóòàííîñòü ðàñòåò, äîðàñòàåò äî íåêîòîðîãî ïðåäåëà, à çàòåì íà÷èíàåò ïàäàòü äî íóëÿ. Èòàê, çàïóòàííîñòü â êâàíòîâîé èíîðìàòèêå ÿâëÿåòñÿ ñâîåîáðàçíûì è àáñîëþòíî íåîáõîäèìûì ðåñóðñîì, òàêèì æå, êàê ñîëíå÷íûé ñâåò äëÿ âñåõ æèâûõ ñóùåñòâ. Ôèçè÷åñêàÿ ïðèðîäà ýòîãî ðåñóðñà ïîêà äî êîíöà íå ïîíÿòíà, è åå èññëåäîâàíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èíòåðåñíåéøóþ îòêðûòóþ ïðîáëåìó åñòåñòâîçíàíèÿ.

.4.

291

ÊÂÀÍÒÎÂÎÅ ÏÅÎÁÀÇÎÂÀÍÈÅ ÔÓÜÅ

.4

Êâàíòîâîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå

.4.1 ×òî îáùåãî ìåæäó öâåòîâûì çðåíèåì è àêòîðèçàöèåé öåëûõ ÷èñåë? Êàæäûé ÷èòàòåëü íàâåðíÿêà çíàåò, ÷òî ðàçíèöà â öâåòå ïðåäìåòîâ ñâÿçàíà ñ ðàçëè÷íîé äëèíîé âîëí (èëè ñ ðàçëè÷íîé ÷àñòîòîé) îòðàæåííîãî èìè ñâåòà. Ìû íå áóäåì çäåñü çàíèìàòüñÿ îïèñàíèåì î÷åíü ñëîæíîãî (è äî êîíöà íå ïîíÿòíîãî) ïðîöåññà ðàçëè÷åíèÿ ÷àñòîò îòîíîâ â çðèòåëüíîì àíàëèçàòîðå ÷åëîâåêà, à âìåñòî ýòîãî äàäèì î÷åíü ñõåìàòè÷íóþ îðìóëèðîâêó ýòîé çàäà÷è è åå ðåøåíèå ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî ó íàñ åñòü ñïîñîá ãåíåðàöèè êàêîãî-ëèáî ãàðìîíè÷åñêîe2iπ wx , ïðè÷åì åãî ÷àñòîòà ω íàì íå èçâåñòíà. Çàäà÷à ñîñòîèò

ãî êîëåáàíèÿ âèäà

â òîì, ÷òîáû îïðåäåëèòü ýòó ÷àñòîòó.  ýòîé ïîñòàíîâêå, êîíå÷íî, ìîæíî ñ÷èòàòü ÷òî

ω ∈ [0, 1). Ýòà

çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ î÷åíü îáùåé è ìû áóäåì â êàæäîì ñëó-

÷àå åå êîíêðåòèçèðîâàòü òàê, ÷òî ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè îêàæóòñÿ: ïîèñê ñîáñòâåííûõ ÷èñåë îïåðàòîðîâ, ðàñïîçíàâàíèå ñòðóêòóð, è äàæå àêòîðèçàöèÿ öåëûõ ÷èñåë!  ñàìîé îáùåé îðìóëèðîâêå îíà ìîæåò áûòü ðåøåíà îäíèì ìîùíûì ïðèåìîì, èçîáðåòåííûì â íà÷àëå XIX âåêà Ôóðüå - ñïåöèàëüíûì èíòåãðàëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì, äåéñòâóþùèì íà óíêöèè. Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå è îáðàòíîå ê íåìó èìååò âèä:

F f = φ(λ) =

√1 2π

F −1 φ = f (x) =

√1 2π

R

D R

e−iλx f (x) dx, (9)

eiλx φ(λ) dλ.

D

Ïóñòü íà âõîä ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîäàåòñÿ íàøå ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå 2iπ wx e . Çäåñü èìååòñÿ ìàëåíüêîå çàòðóäíåíèå, ñâÿçàííîå ñ òåì, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèå îïðåäåëåíî íà âñåé ÷èñëîâîé îñè

D = R,

è ýòî òðåáóåò, åñëè ðàññóæäàòü

ñòðîãî, ïðèâëå÷åíèÿ îáîáùåííûõ óíêöèé. ×òîáû ýòîãî èçáåæàòü, ïðåäñòàâèì ñåáå ÷òî

D

ýòî ïðîñòî áîëüøîé èíòåðâàë ïðÿìîé, íàïðèìåð

áîëüøîå ÷èñëî. Òîãäà ìû ïîëó÷èì:

1 F f = φ(λ) = √ 2π

Z

−B, B , ãäå B

ei(2πω−λ)x f (x) dx.

D

Òåïåðü ìû ìîæåì óâèäåòü, ÷òî åñëè àðãóìåíò ðåçóëüòèðóþùåé óíêöèè çîê ê

2πω ,

î÷åíü

λ áëè-

òî èíòåãðàë î÷åíü âåëèê, ïîòîìó ÷òî ïîäûíòåãðàëüíàÿ óíêöèÿ

áëèçêà ê åäèíèöå, à â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ýòîò èíòåãðàë íåáîëüøîé, òàê êàê ðàçíûå ÷àñòè èíòåðâàëà áóäóò âû÷èòàòüñÿ, èëè, êàê ãîâîðÿò èçèêè, äåñòðóêòèâíî èíòåðåðèðîâàòü. Òàê ÷òî ðåçóëüòèðóþùàÿ óíêöèÿ áóäåò èìåòü áîëüøîé ïèê â òî÷êå

λ = 2πω .

Òåïåðü ïðåäñòàâèì, ÷òî ìû êàêèì-òî îáðàçîì ñìîãëè âûïîë-

íèòü ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå íà êâàíòîâîì êîìïüþòåðå. Òîãäà â âûõîäíîì ñîñòîÿíèè âñÿ ìàññà àìïëèòóäû áóäåò ñîñðåäîòî÷åíà âîêðóã ÷èñëà

2πω

è èçìåðåíèå

292

ËÈÒÅÀÒÓÀ

âûõîäíîãî ñîñòîÿíèÿ ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ äàñò íàì çíà÷åíèå íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà

ω.

 ýòîì è ñîñòîèò âòîðàÿ èäåÿ ïðèìåíåíèÿ êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà.

Íóæíî ëèøü äîäóìàòüñÿ, êàê ðåàëèçîâàòü íà íåì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå.

.4.2 Êâàíòîâîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå è åãî îñíîâíîå ñâîéñòâî Ïîïûòàåìñÿ ñíà÷àëà çàïèñàòü êâàíòîâûé âàðèàíò ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.  ñèëó ëèíåéíîñòè åãî äåéñòâèå äîñòàòî÷íî îïðåäåëèòü íà áàçèñíûõ ýëåìåíòàõ. Èìåííî áàçèñíûå âåêòîðà äîëæíû èãðàòü ðîëü óíêöèé

f

è

φ

â îïðåäåëåíèè.

àññìîòðèì ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå êâàíòîâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.

N −1 1 X − 2πi ab QFT : |ai −→ √ e N |bi, N b=0

−1

QFT

N −1 1 X 2πi ab : |ai −→ √ e N |bi. N b=0

(10)

Ýòî îïðåäåëåíèå ïîñòðîåíî ïî àíàëîãèè ñ îáû÷íûì. Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ (ìû ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ ýòî ïðîäåëàòü) ÷òî ýòî ïðåîáðàçîâàíèå îòîáðàæàåò áàçèñíûå âåêòîðû âî âçàèìíî îðòîãîíàëüíûå âåêòîðû åäèíè÷íîé äëèíû, èç ÷åãî ñëåäóåò åãî óíèòàðíîñòü. Äàëåå, òàêæå íåïîñðåäñòâåííî ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòè îðìóëû äåéñòâèòåëüíî çàäàþò âçàèìíî îáðàòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Òåïåðü ìû ìîæåì ïðîäåìîíñòðèðîâàòü, êàêèì îáðàçîì ýòî ïðåîáðàçîâàíèå ìîæåò âûÿâëÿòü ñêðûòûå ïåðèîäû. Ñíà÷àëà íàì ïîíàäîáèòñÿ ââåñòè îäíî íîâîå ïîíÿòèå, èãðàþùåå âàæíóþ ðîëü â êâàíòîâîì êîìïüþòèíãå. Ýòî - óñëîâíîå ïðèìåíåíèå îïåðàòîðà. Èäåÿ ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â íàøåì ðàñïîðÿæåíèè íàõîäèòñÿ íåêîòîðûé óíèòàðíûé îïåðàòîð

U.

Ìû ìîæåì

äëÿ íàãëÿäíîñòè ñ÷èòàòü, ÷òî îí çàäàí íàì â âèäå ñîîòâåòñòâóþùåé ñõåìû èç óíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ, õîòÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, ýòî è íåîáÿçàòåëüíî. Äàëåå, ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ íåêèé âñïîìîãàòåëüíûé êâàíòîâûé ðåãèñòð, ñîñòîÿùèé èç íåñêîëüêèõ êóáèò, êîòîðûé ìû îáúÿâèì óïðàâëÿþùèì. Öåëü ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïðèìåíèòü îïåðàòîð

U

ïîñëåäîâàòåëüíî ñòîëüêî ðàç, êàêîå ÷èñëî ñîäåðæèòñÿ

â óïðàâëÿþùåì ðåãèñòðå. Çàïèøåì ýòî îðìàëüíî â âèäå òàêîãî îïðåäåëåíèÿ:

Ucond |x, αi −→



|U x, αi, |x, αi

if if

α = 1, α = 0.

Ìû íå áóäåì îáñóæäàòü çäåñü âîïðîñû ðåàëèçàöèè äàííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Çàìåòèì òîëüêî, ÷òî åñëè îïåðàòîð

U

çàäàí íàì â âèäå ñõåìû èç êâàíòîâûõ

óíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ, ìîæíî ëåãêî ïîñòðîèòü ñõåìó òàêîãî æå òèïà, ðåàëèçóþùóþ

Ucond .

Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ñäåëàòü óñëîâíûì êàæäûé îïåðàòîð,

âõîäÿùèé â äàííóþ ñõåìó. Ïðåäîñòàâëÿåì ïîäðîáíîñòè ÷èòàòåëþ. àññìîòðèì òåïåðü âàæíóþ çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû îïåðàòîðà

U.

Ýòà ÷àñòîòà áóäåò ïîÿâëÿòüñÿ ïðè èçìåðåíèè íåêîòîðîãî ñïåöèàëü-

íîãî ðåãèñòðà èç

n

êóáèò, îáîçíà÷àåìîãî ÷åðåç

α,

â êîòîðîì áóäóò õðàíèòüñÿ

ïîñëåäîâàòåëüíûå áèíàðíûå çíàêè ýòîé ÷àñòîòû, ðàçóìååòñÿ, ñ îãðàíè÷åííîé

.4.

293

ÊÂÀÍÒÎÂÎÅ ÏÅÎÁÀÇÎÂÀÍÈÅ ÔÓÜÅ

òî÷íîñòüþ. Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî èñòèííàÿ ÷àñòîòà ìîæåò áûòü çàïèñàíà â ýòîì ðåãèñòðå ñ àáñîëþòíîé òî÷íîñòüþ, ýòî íå î÷åíü ñóùåñòâåííî ïðè îïèñàíèè îáùåé ñõåìû ðàññóæäåíèé. Òåõ ÷èòàòåëåé, êîòîðûå çàèíòåðåñóþòñÿ îáùèì ñëó÷àåì, ìû îòñûëàåì ê ñòàòüå [℄. Òàêèì îáðàçîì, íàø êîìïüþòåð áóäåò ðàáîòàòü ñ äâóìÿ ðåãèñòðàìè: ðåãèñòð äëÿ àðãóìåíòà îïåðàòîðà

U,

è ðåãèñòð

äëÿ çíà÷åíèÿ åãî ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû.  êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ âûáå-

|ξ, ¯0i, ãäå ξ =

P

xk ψk , ãäå ψk åñòü ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ íàøåãî îïåðàòîðà k U , ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûì ÷àñòîòàì wk .

ðåì

Öåíòðàëüíûì ïðèåìîì äëÿ ïðîÿâëåíèÿ ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò áóäåò îïåðàòîð, êîòîðûé äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ îïåðàòîðà ÷èñëåííîãî óìíîæåíèÿ áûë ïðèäóìàí Øîðîì, è áûë îáîáùåí íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíûõ îïåðàòîðîâ Àáðàìñîì è Ëëîéäîì. Åãî îïðåäåëåíèå òàêîâî:

QFT2 Ucond QF T2 .

(11)

Çäåñü ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïðèìåíÿåòñÿ êî âòîðîìó ðåãèñòðó. Ïîñ÷èòàåì, ÷òî ïîëó÷èòñÿ â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ ýòîé ïðîöåäóðû ê íàøåìó íà÷àëüíîìó ñîñòîÿíèþ. Ïåðâûé îïåðàòîð ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå äàñò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäå−1 P NP 1 xk |ψk , αi. Îïåðàòîð óñëîâíîãî ëåíèå àìïëèòóä âî âòîðîì ðåãèñòðå: = √ N k α=0 ïðèìåíåíèÿ U , ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ψk - ñîáñòâåííûå âåêòîðû U äàñò Ucond |ψk , αi = |U α ψk , αi = e2iπwk α |ψk , αi, çíà÷èò, âñå ñîñòîÿíèå ïîñëå ïðèìåíåíèÿ óñëîâíîãî P P 2iπw 1 k α |ψ , αi. Íàêîíåö ïîñëåäíåå ïðèìåíåíèå îïåðàòîðà ïðåâðàòèòñÿ â √ e k N k α Ôóðüå äàñò ñîñòîÿíèå:

N −1 1 X X X 2iπα(wk − c ) N |ψ , ci. e k N c α=0

(12)

k

wk , òî ïîêàçàòåëü ýêñïîíåíòû α ñóììà îäíèõ åäèíèö â êîëè÷åñòâå N øòóê, òî åñòü êîýèöèåíò ïðè ñîñòîÿíèè ñ òàêèì c áóäåò ðàâåí xk . Èç ýòîãî, â ñèëó íîðìèðîâêè - ñóììà ìîäóëåé â êâàäðàòå âñåõ xk åñòü 1 - ñëåäóåò, ÷òî ïðè áàçèñíûõ âåêòîðàõ ñ äðóãèìè c àìïëèòóäà ðàâíà íóëþ. Îäíàêî â ýòîì NP −1 e2iπαβ = 0 ïðè β 6= 0. Äåéñòâèòåëüíî, ìîæíî óáåäèòüñÿ è íåïîñðåäñòâåííî: Åñëè

c

åñòü êàê ðàç ñïèñîê áèíàðíûõ çíàêîâ

íîëü, è ó íàñ ïîëó÷èòñÿ ïðè ñóììèðîâàíèè ïî

α=0 Ýòî åñòü ñóììà ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñî çíàìåíàòåëåì íå ðàâíûì 1 äëÿ

êîòîðîé ïîñëåäíèé ÷ëåí ðàâåí ïåðâîìó. Èòàê, ðåçóëüòàòîì íàøåé ïðîöåäóðû áóäåò ñîñòîÿíèå

X k

ãäå ïîä

wk

|ψk , wk i,

ïîäðàçóìåâàåòñÿ åãî áèíàðíàÿ çàïèñü. Òåì ñàìûì åñëè ìû íàáëþ-

äàåì ýòî ðåçóëüòèðóþùåå ñîñòîÿíèå â áàçèñå, ñîñòîÿùåì èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ îïåðàòîðà

U,

òî ìû ïîëó÷èì â êà÷åñòâå "ïðèëîæåíèÿ"ê ïîëó÷åííîìó

294

ËÈÒÅÀÒÓÀ

ñîáñòâåííîìó ñîñòîÿíèþ áèíàðíóþ çàïèñü ñîîòâåòñòâóþùåé ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû.  ÷àñòíîñòè, åñëè èñõîäíîå ñîñòîÿíèå

ξ

ñàìî áûëî ñîáñòâåííûì, ìû ïðîñòî

ïîëó÷èì åãî ÷àñòîòó.

.4.3 åàëèçàöèÿ QFT íà êâàíòîâîì êîìïüþòåðå Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðèìåíÿòü èçëîæåííûé ìåòîä ïîèñêà ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò, íàì íóæíî ìàëîå - ïîñòðîèòü êâàíòîâûé àëãîðèòì äëÿ êâàíòîâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, ÷åì ìû ñåé÷àñ è çàéìåìñÿ. Äîãîâîðèìñÿ ïðåäñòàâëÿòü öåëîå ÷èñëî âèäà a = a0 + a0 2 + . . . + al−1 2l−1 áàçèñíûì ñîñòîÿíèåì |a0 a1 . . . al−1 i è ðàñïîëàãàòü

âñå

aj

ñâåðõó âíèç. Òàêîå æå ñîãëàøåíèå ïðèìåì è äëÿ âûõîäà, òîëüêî áèíàðíûå l−1 áóäåì ïèñàòü â îáðàòíîì ïîðÿäêå - ñíèçó çíàêè bj ÷èñëà b = b0 +b0 2+. . .+bl−1 2

a0

r

a1

r

a2

r

a3

r

a4

i r

i

r

r

i

r

r

i

r

r

r

r

r

èñóíîê 6. Êâàíòîâàÿ ñõåìà äëÿ

r

r

r

r

r

r

i

b4

b3

b2

b1

b0

QFT−1 .

ââåðõ. Îêðóæíîñòè çäåñü îáîçíà÷àþò ïðåîáðàçîâàíèå

W 1 , äâóõêóáèòîâûå îïåðàöèè

èìåþò âèä:



 Uk,j =  

1 0 0 0

0 1 0 0

 0 0  0 0  , k > j.  1 0 iπ/2k−j 0 e

(13)

×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, ìû ðàññìîòðèì àìïëèòóäó ïåðåõîäà îò áàçèñíîãî ñîñòîÿíèÿ

a

ê áàçèñíîìó ñîñòîÿíèþ

b.

Ýòî ïîíÿòèå çàêîííî, òàê íàçûâàåò-

ñÿ ñîîòâåòñòâóþùèé ýëåìåíò ìàòðèöû ðàññìàòðèâàåìîãî îïåðàòîðà. Çäåñü íàì

.4.

295

ÊÂÀÍÒÎÂÎÅ ÏÅÎÁÀÇÎÂÀÍÈÅ ÔÓÜÅ

ïðèäåòñÿ íàáðàòüñÿ òåðïåíèÿ - ïîäñ÷åò èäåéíî ïðîñòîé, íî òðåáóåò íåêîòîðîãî çàíóäñòâà. Ñíà÷àëà çàìåòèì, ÷òî ìîäóëè âñåõ òàêèõ àìïëèòóä îäèíàêîâû è, òàê l/2 æå êàê â îáðàòíîì ïðåîáðàçîâàíèè Ôóðüå, ðàâíû 1/2 , òàê ÷òî ñëåäèòü íàäî iφ òîëüêî çà àçîâûì ñäâèãîì, ò.å. çà àðãóìåíòîì φ êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû e . Ìû áóäåì ó÷èòûâàòü ýòîò íàáåã àçû, ñóììèðóÿ âêëàäû îò ïðåîáðàçîâàíèé Óîëøà ñ âêëàäàìè îò äâóõêóáèòíûõ àçîâûõ ñäâèãîâ. Ââåäåì äëÿ óïðîùåíèÿ ′ ñ÷åòà òàêîå ñîêðàùåííîå îáîçíà÷åíèå: bj = bl−1−j , j = 0, 1, . . . , l −1 - ýòî ïîíàäî-

áèòñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû â íóæíûé ìîìåíò ó÷åñòü îáðàòíûé ïîðÿäîê ðàñïîëîæåíèÿ áèíàðíûõ ðàçðÿäîâ â

a

è

b.

Ïðåäñòàâèì ñåáå, êàê ìåíÿþòñÿ ñîñòîÿíèÿ ïðè

ïðîäâèæåíèè ñëåâà íàïðàâî ïî ïðîâîäàì íàøåé ñõåìû. Ñîáñòâåííî ïåðåõîä îò ê

a

b ïðîèñõîäèò òîëüêî ïðè ñîâåðøåíèè îïåðàöèè Àäàìàðà, äâóõêóáèòíûå îïåðà-

öèè äèàãîíàëüíû è áàçèñíûå ñîñòîÿíèÿ íå ìåíÿþò, äîáàâëÿÿ òîëüêî ñëàãàåìûå ′ ê àçå. Âêëàä îò îïåðàöèè Àäàìàðà áóäåò òàêèì: πaj bj . Ýòî ÷èñëî íå ðàâíî íóëþ òîëüêî åñëè îáà j -õ ðàçðÿäà íàøèõ âõîäíûõ è âûõîäíûõ ÷èñëå ðàâíû 1, ÷òî â òî÷íîñòè ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåíèþ ïðåîáðàçîâàíèÿ Àäàìàðà. Âêëàä îò ′ k−j äâóõêóáèòîâîé îïåðàöèè ïðè j < k áóäåò πaj bk /2 , ïîòîìó ÷òî ñîñòîÿíèå a ìåíÿåòñÿ íà

b òîëüêî ïðè ïðîõîæäåíèè

óñòðîéñòâà Àäàìàðà, à êàê âèäíî èç ðè-

ñóíêà 6, òàêàÿ äâóõêóáèòîâàÿ îïåðàöèÿ ñîâåðøàåòñÿ â ìîìåíò, êîãäà j -é êóáèò ′ åùå â ñîñòîÿíèè aj , à k -é - óæå â ñîñòîÿíèè bk . Ñóììèðóÿ âñå ýòè ñëàãàåìûå àçîâîãî ñäâèãà, è ó÷èòûâàÿ, ÷òî öåëîå êðàòíîå π ìîæíî âîîáùå â ðàñ÷åò íå ïðèíèìàòü, ïîëó÷àåì âîò ÷òî:

π

P

l>k>j≥0

2π

P

aj b′k 2k−j

+π

aj bk 2j+k 2l

P

l>j≥0

aj b′j =

=

l>j+k≥0 P aj bk 2j+k = 2π 2l l>j,k≥0 P P 2π aj 2j bk 2j 2l l>j≥0 l>k≥0

(14)

=

2π . 2l

Ýòî êàê ðàç òî, ÷òî òðåáóåòñÿâ îïðåäåëåíèè îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Åñëè íàì ïîíàäîáèòñÿ ñîâåðøèòü ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå, äîñòàòî÷íî îáðàòèòü ïîðÿäîê óíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ â ðàññìàòðèâàåìîé ñõåìå è ïîñòàâèòü çíàê ìèíóñ ïåðåä àçîâûì ñäâèãîì â îïðåäåëåíèè äâóõêóáèòíûõ îïåðàöèé. À òåïåðü ïîñìîòðèì íà òî, ÷òî ìû òîëüêî ÷òî ñîâåðøèëè. Ïîñòðîåííàÿ íàìè l2 óíêöèîíàëü-

ñõåìà, ðåàëèçóþùàÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, ñîäåðæèò ïîðÿäêà

íûõ ýëåìåíòîâ. Çàìåòèì, ÷òî åñëè ìû íå áóäåì ãíàòüñÿ çà òî÷íîñòüþ ýòîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, òî ìîæíî áóäåò îòáðîñèòü âñå äâóõêóáèòíûå îïåðàöèè, â êîòîðûõ ó÷àñòâóþò ñëèøêîì äàëåêèå äðóã îò äðóãà êóáèòû. Äåéñòâèòåëüíî, çíàìåíàk−j òåëü â π/2 äëÿ íèõ äåëàåò âñþ äðîáü ïðåíåáðåæèìî ìàëîé, ýêñïîíåíòà áóäåò ïî÷òè åäèíèöåé, ò.å. òàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïî÷òè åäèíè÷íû è èõ ìîæíî îòáðîñèòü. Ñõåìà òîãäà çíà÷èòåëüíî óïðîñòèòñÿ - åå ðàçìåð âîîáùå áóäåò ëèíåéíûì - ïîðÿäêà òî÷íîñòè.

C l,

ãäå êîíñòàíòà

C

áóäåò, êîíå÷íî, çàâèñåòü îò âûáðàííîé íàìè

296

ËÈÒÅÀÒÓÀ

Ïîñìîòðèì íà ýòî ñ äðóãîé ñòîðîíû. Ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå èìååò ðàçìåð

N × N,

ò.å. íåäîñòóïíà íàì äëÿ íåïîñðåäñòâåííîãî ìàíèïóëèðîâàíèÿ.

Ïàìÿòè êëàññè÷åñêîãî êîìïüþòåðà íå õâàòèò äàæå äëÿ òîãî, ÷òîáû çàïèñàòü íè÷òîæíóþ ÷àñòü ýòîé ìàòðèöû, íå ãîâîðÿ óæå î òîì, ÷òîáû ñ íåé ÷òî-òî äåëàòü. Ìû æå òîëüêî ÷òî ïîñòðîèëè ñõåìó êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà äîñòóïíîãî (è äàæå î÷åíü ìàëåíüêîãî) ðàçìåðà, êîòîðûé äåëàåò ýòó êîëîññàëüíóþ ðàáîòó - îïåðèðóåò ñ ìàòðèöåé ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. À ýòî çíà÷èò, ÷òî ýòîò íåáîëüøîé âû÷èñëèòåëü âïîëíå ìîæåò ñïðàâèòüñÿ è ñ òàêèì çàäàíèåì, êàê îïðåäåëåíèå ñîáñòâåííûõ ÷èñåë îïåðàòîðîâ, ðàñïîçíàâàíèå ìîëåêóëÿðíûõ ñòðóêòóð è èõ ñïåêòðîâ è äåëàòü âñå çàäà÷è, êîòîðûå íà ýòîì îñíîâàíû - à ýòî îãðîìíûé êëàññ çàäà÷! Ýòî - òðåòüå ÷óäî êâàíòîâîé èíîðìàòèêè.

.5

Ôàêòîðèçàöèÿ, îïòèìèçàöèÿ, ìîäåëèðîâàíèå è ðàñïîçíàâàíèå

.5.1 Ôàêòîðèçàöèÿ öåëûõ ÷èñåë Îáùèé ìåòîä íàõîæäåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé, êîòîðûé ìû èçëîæèëè â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, áûë ïåðâîíà÷àëüíî èçîáðåòåí Øîðîì äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ, ïîÿâëÿþùåãîñÿ â çàäà÷å àêòîðèçàöèè öåëûõ ÷èñåë. Ôàêòîðèçàöèÿ, èëè ðàçëîæåíèå öåëîãî ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè, ÿâëÿåòñÿ èçâåñòíåéøåé âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷åé. Èçâåñòíûå êëàññè÷åñêèå àëãîðèòìû åå ðåøåíèÿ òðåáóþò ïîðÿäêà 1/3 ea n øàãîâ (àëãîðèòì Ëåíãñòðû). Òàêèì îáðàçîì, ýòà çàäà÷à îòíîñèòñÿ ê êàòåãîðèè òðóäíî ðåøàåìûõ. Çäåñü ìû èçëîæèì êâàíòîâûé àëãîðèòì äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è àêòîðèçàöèè, èçîáðåòåííûé Ïåòåðîì Øîðîì. Ýòîò àëãîðèòì èñòîðè÷åñêè áûë ïåðâûì áûñòðûì êâàíòîâûì àëãîðèòìîì, ðåøàþùèì çàäà÷ó îãðîìíîé ïðàêòè÷åñêîé âàæíîñòè. Äåëî â òîì, ÷òî íà àêòîðèçàöèè öåëûõ ÷èñåë îñíîâàí êðèïòîãðàè÷åñêèé ïðîòîêîë RSA, êîòîðûé èñïîëüçóåòñÿ â îãðîìíîì êîëè÷åñòâå êîììåð÷åñêèõ ïðèëîæåíèé, íàïðèìåð â ñèñòåìå çàùèòû ïîïóëÿðíîé îïåðàöèîííîé ñèñòåìû Windows. Ïðè ýòîì ñàì àêò òîãî, ÷òî çàäà÷à àêòîðèçàöèè ñ÷èòàåòñÿ òðóäíîðàçðåøèìîé, îáåñïå÷èâàåò íàäåæíîñòü çàùèòû äàííûõ â ýòîì ïðîòîêîëå.  êðèïòîãðàè÷åñêîé çàùèòå Windows ïðåäóñìîòðåí âûñøèé óðîâåíü çàùèòû, òàêîé, ÷òî äëÿ åãî ïðåîäîëåíèÿ íóæíî àêòîðèçîâàòü ÷èñëà ñ 200 äåñÿòè÷íûìè çíàêàìè. Ýòà çàäà÷à àáñîëþòíî íå ïîñèëüíà äàæå äëÿ ñîâðåìåííûõ ñóïåðêîìïüþòåðîâ. Êâàíòîâûé êîìïüþòåð âñåãî ñ 1000 êóáèò ìåíåå ÷åì 1 ö ÷àñòîòû ñïîñîáåí ñïðàâèòüñÿ ñ òàêîé çàäà÷åé çà íåñêîëüêî ìèíóò. Òàêèì îáðàçîì, ïðàêòè÷åñêîå ñîçäàíèå òàêîãî ðîäà ìàøèí îçíà÷àëî áû êîíåö ñîâðåìåííîé êðèïòîãðàèè. Îäíàêî ó àëãîðèòìà Øîðà åñòü è áîëüøîå ÷èñòî òåîðåòè÷åñêîå çíà÷åíèå. Íà ýòîì ïðèìåðå ìîæíî ïðîèëëþñòðèðîâàòü âàæíîñòü òîãî êîíòåêñòà, â êîòîðîì ïðèìåíÿåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, à èìåííî âñïîìîãàòåëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Äåëî â òîì, ÷òî îñíîâíîå âðåìÿ â ýòîì àëãîðèòìå çàòðà÷èâàåòñÿ íå íà

.5. ÔÀÊÒÎÈÇÀÖÈß, ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß, ÌÎÄÅËÈÎÂÀÍÈÅ È ÀÑÏÎÇÍÀÂÀÍÈÅ297

ñëîæíîå ñ êëàññè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, à íà óìíîæåíèå öåëûõ ÷èñåë! Èòàê, çàéìåìñÿ çàäà÷åé àêòîðèçàöèè. Ïóñòü íàì íàäî íàéòè íåèçâåñòíîå íåòðèâèàëüíîå ðàçëîæåíèå

q = q1 q2

èçâåñòíîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà

q

íà

ìíîæèòåëè. Ýòà çàäà÷à ìîæåò áûòü ñâåäåíà ê çàäà÷å îòûñêàíèÿ íàèìåíüøåãî ìóëüòèïëèêàòèâíîãî ïåðèîäà r ïðîèçâîëüíîãî öåëîãî ÷èñëà y ïî ìîäóëþ q : y r ≡ 1 (mod q). Êðàòêî ãîâîðÿ ýòî ñâåäåíèå òàêîâî. Ïóñòü ó íàñ åñòü ìåòîä

íàõîæäåíèÿ

r.

Áóäåì âûáèðàòü

y

ñëó÷àéíî, è íàõîäèòü

r

þùå ìàëîé âåðîÿòíîñòüþ îêàæåòñÿ, ÷òî r r/2 r/2

y − 1 = (y

− 1)(y

ñÿ äåëèòåëåì êðàòíîãî

r.

Òîãäà ñ íå èñ÷åçà-

÷åòíî.  ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷àåòñÿ

+ 1) ≡ 1 (mod q), òîãäà îäèí èç ìíîæèòåëåé ÿâëÿåòq ÷èñëà è ìû ïîëó÷àåì ñ íåèñ÷åçàþùåé âåðîÿòíîñòüþ

q . Òàêèì îáðàçîì, íàì äîñòàòî÷íî íàó÷èòüñÿ áûñòðî íàõîäèòü r ïðè çàäàííûõ q è y . Çäåñü ìîæíî óñìîòðåòü àíàëîãèþ ñ íàõîæäåíèåì íåèçâåñòíîãî ïåðèîäà, òîëüêî â êà÷åñòâå îïåðàòîðà U áóäåò âûñòóïàòü îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî y . n−1 Ìû ïîäáåðåì n òàê, ÷òîáû 2 ≤ q < 2n è áóäåì ðàáîòàòü ñ êâàíòîâîé ïàìÿòüþ èç n êóáèò. àññìîòðèì òàêîé îïåðàòîð U : U|xi −→ |yx (mod q)i, ãäå yx åñòü ïðîñòî ÷èñëîâîå óìíîæåíèå. ×òîáû ñäåëàòü òàê, ÷òî îí äåéñòâóåò íà àêòîðèçàöèþ ñàìîãî

âñåõ íàøèõ áàçèñíûõ âåêòîðàõ, ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòî ðàâåíñòâî îïðåäåëÿåò n îïåðàòîð òîëüêî íà ÷èñëàõ, ìåíáøèõ q , à íà âñåõ îñòàëüíûõ: q, q + 1, . . . , 2 − 1

ïóñòü îí äåéñòâóåò êàê òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð. Èìååòñÿ åùå îäíî íåáîëüøîå çàòðóäíåíèå: òàêîé îïåðàòîð ìîæåò áûòü íå óíèòàðíûì. Åñëè

y

è

q

èìåþò

îáùèå äåëèòåëè, íåêîòîðûå ýëåìåíòû áóäóò "ñêëåèâàòüñÿ". Äëÿ èñêëþ÷åíèÿ òàêîé íåïðèÿòíîñòè áóäåì ñ÷èòàòü ÷òî îíè âçàèìíî ïðîñòûå:

y

(y, q) = 1. Ïîñêîëüêó

âûáèðàåòñÿ ñëó÷àéíî, òî ñ íåèñ÷åçàþùåé âåðîÿòíîñòüþ èìåííî òàê è îêàæåò-

ñÿ. Òåïåðü âñå â ïîðÿäêå. Ìû ìîæåì ïðèìåíèòü ê íàøåìó îïåðàòîðó ìîùíóþ òåõíèêó êâàíòîâîãî êîìïüþòèíãà, ðàçâèòóþ íàìè. Ñîáñòâåííûå âåêòîðà U èìår−1 P 1 þò âèä √ exp(−2πikj/r)|y j (mod q)i è ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå çíà÷år j=0

íèÿ áóäóò

exp(2πij/r).

Åñëè ìû ïðèìåíèì ïðîöåäóðó ïðîÿâëåíèÿ ñîáñòâåííûõ

÷àñòîò èç ïðåäûäóùåé ÷àñòè, òî ïîñëå èçìåðåíèÿ ïîëó÷èì ÷èñëî

j/r 10 .

Çíàÿ

ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ äâîè÷íîå ïðèáëèæåíèå äðîáè, ëåãêî íàéòè åå çíàìåíàòåëü, åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî äðîáü íåñîêðàòèìà. Ôîðìàëüíûé àëãîðèòì äëÿ òàêîãî ïîèñêà îñíîâàí íà ìåòîäå íåïðåðûâíûõ äðîáåé è ìîæåò áûòü íàéäåí, íàïðèìåð, â [21℄. À ýòà äðîáü äåéñòâèòåëüíî áóäåò íåñîêðàòèìà ñ íåèñ÷åçàþùåé âåðîÿòíîñòüþ, ïîñêîëüêó âñåâîçìîæíûå

j

çäåñü ïîÿâëÿþòñÿ ðàâíîâåðîÿòíî â

òîì ñëó÷àå, åñëè ìû ïîçàáîòèìñÿ î òîì, ÷òîáû íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå

ξ

äëÿ ïðî-

öåäóðû ïðîÿâëåíèÿ (ñì. ïðåäûäóùèé ïàðàãðà) âûáèðàëîñü áû ïðîèçâîëüíî. Òîãäà ìû, ïîâòîðÿÿ îïèñàííóþ ïðîöåäóðó ìíîãîêðàòíî, áóäåì äîñòàòî÷íî ÷àñòî ïîëó÷àòü çíà÷åíèÿ ñàìî 10 Â

r.

j,

âçàèìíî ïðîñòûå ñ

r,

è òàêèì îáðàçîì ñìîæåì íàéòè

Ýòî è åñòü àëãîðèòì Øîðà.

äåéñòâèòåëüíîñòè ìû ïîëó÷èì ïðèáëèæåíèå ýòîãî ÷èñëà ñ òî÷íîñòüþ äî O(1/N ) ñ âûñîêîé âåðîÿòíîñòüþ. Äåòàëè äîêàçàòåëüñòâà ìîæíî íàéòè â ñòàòüå [46℄

298

ËÈÒÅÀÒÓÀ

Òåïåðü íàñòóïèë ñàìûé èíòåðåñíûé ìîìåíò - ìû áóäåì ïîäñ÷èòûâàòü, íàñêîëüêî æå ýòîò àëãîðèòì õîðîø. ×òî êàñàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, çäåñü âñå ïîíÿòíî - îíî äåëàåòñÿ î÷åíü áûñòðî, âîîáùå ãîâîðÿ çà âðåìÿ, ëèíåéíîå îòíîñèòåëüíî äëèíû çàïèñè ÷èñëà

q,

êîòîðîå íàì íàäî àêòîðèçîâàòü. Íî èìååòñÿ

äðóãàÿ î÷åíü ðóòèííàÿ îïåðàöèÿ, êîòîðàÿ ãðîçèò ñâåñòè íà íåò âñå ïðåèìóùåñòâî êâàíòîâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Ýòî îïåðàöèà óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî α

U

y,

êîòîðàÿ âõîäèò â îïåðàòîð óñëîâíîãî ïðèìåíåíèÿ

íàì íàäî óìíîæàòü íà

y α

ðàç, à ýòî ïîðÿäêà

q

Ucond .

Äëÿ ïîëó÷åíèÿ

äåéñòâèé. Ýòà òðóäíîñòü

â îáùåì ñëó÷àå ïðèìåíåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå â êâàíòîâîì êîìïüþòèíãå íîñèò ïðèíöèïèàëüíûé õàðàêòåð. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî îïåðàòîðà

U

åå íåëüçÿ

óñòðàíèòü. Îäíàêî â ñëó÷àå àêòîðèçàöèè íàì àíòàñòè÷åñêè âåçåò - ìîæíî 2 îñóùåñòâèòü óñëîâíîå ïðèìåíåíèå çà âðåìÿ ïîðÿäêà log q . ×òîáû óìíîæèòü íà α α ÷èñëî y ìû áóäåì ïîëó÷àòü ñàìî ÷èñëî y ïîñëåäîâàòåëüíûì âîçâåäåíèåì â 2 4 êâàäðàò, íà÷èíàÿ ñ y : y, y , y , . . .. àçóìååòñÿ, íà êàæäîì øàãå ìû áóäåì áðàòü îñòàòîê ïðè äåëåíèè íà q . Òàê ìîæíî äîâåñòè äåëî äî áëèæàéøåé ê y ñòåïåíè l l äâîéêè: 2 1 . Çàòåì âîçüìåì ÷àñòíîå q/2 1 è ïîñòóïèì ñ íèì òàê æå, è ò.ä. Òîãäà ìû äîáåðåìñÿ äî

y

çà âðåìÿ ïîðÿäêà ëîãàðèìà îò

q,

òî åñòü çà ÷èñëî øàãîâ, 2 ïîðÿäêà äëèíû çàïèñè ÷èñëà q . Íà êàæäîì øàãå íàäî ïîòðàòèòü log q äåéñòâèé äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ ÷èñåë ìåòîäîì "ñòîëáèêà è â èòîãå ìû ïîëó÷èì 3 ðåàëèçàöèþ îïåðàòîðà óñëîâíîãî ïðèìåíåíèÿ U çà âðåìÿ O(log q). Ýòî è áóäåò ñëîæíîñòüþ àëãîðèòìà Øîðà. Ìû âèäèì, ÷òî íàèáîëåå òðóäîåìêîé ÷àñòüþ ýòîãî àëãîðèòìà ÿâëÿåòñÿ ðóòèííàÿ îïåðàöèÿ, âõîäÿùàÿ â ïðîöåññ ïîäãîòîâêè âõîäíîãî ñîñòîÿíèÿ äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå - ïîñëåäîâàòåëüíîå óìíîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.

.5.2 åøåíèå çàäà÷ äèñêðåòíîé îïòèìèçàöèè Ïðîäîëæèì ðàññìîòðåíèå ïðèìåðîâ òàêèõ çàäà÷, äëÿ êîòîðûõ áûñòðûå êâàíòîâûå àëãîðèòìû ïîëó÷àþòñÿ íåêîòîðîé óäà÷íîé ìîäèèêàöèåé èëè êîìáèíàöèåé îñíîâíûõ êâàíòîâûõ òðþêîâ - GSA è QFT. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì åñòåñòâåííîå îáîáùåíèå ïåðåáîðíîé çàäà÷è - ïîèñê òî÷êè ýêñòðåìóìà öåëî÷èñëåííîé óíên n öèè. Ïóñòü óíêöèÿ f : {0, 1} −→ {0, 1} çàäàíà ñâîèì îðàêóëîì (èëè ñõåìîé èç óíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ). Åå ìû áóäåì, êàê âñåãäà, òðàêòîâàòü êàê öå-

ëî÷èñëåííóþ óíêöèþ. Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû íàéòè åå òî÷êó ìàêñèìóìà (èëè ìèíèìóìà). Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå òàêîé î÷åíü îáùåé îðìóëèðîâêè çàäà÷è äèñêðåòíîé îïòèìèçàöèè ìû íå ìîæåì ïðèìåíèòü êàêîé ëèáî ïðèåì, ñóùåñòâåííî óïðîùàþùèé ïåðåáîð, íàïðèìåð, ñèìïëåêñ ìåòîä èëè äèåðåíöèðîâàíèå. Òàêèì îáðàçîì, êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è òðåáóåò ïîðÿäêà N = 2n äåéñòâèé. àññìîòðèì èäåþ êâàíòîâîãî ìåòîäà åå ðåøåíèÿ, îñíîâàííîãî íà ïðèìåíèè GSA. Áóäåì íàõîäèòü òî÷êó ìàêñèìóìà ñ ïîìîùüþ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé. À èìåííî, ðàñïîëîæèì âñå àðãóìåíòû â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ çíà÷åíèÿ óíêöèè

f

íà íèõ:

f (x0 ) ≤ f (x1 ) ≤ . . . ≤ f (xN −1 .

Íà êàæäîì

j -ì

øàãå âõîäíûì

.5. ÔÀÊÒÎÈÇÀÖÈß, ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß, ÌÎÄÅËÈÎÂÀÍÈÅ È ÀÑÏÎÇÍÀÂÀÍÈÅ299

çíà÷åíèåì áóäåò íåêîòîðîå

xjk .

Ïðèìåíèì G-BBHT ñ îðàêóëîì, ïðèíèìàþùèì

çíà÷åíèå 1 â òî÷íîñòè íà òåõ àðãóìåíòàõ xj , äëÿ êîòîðûõ f (xjk ) < f (xj ), ò.å. íà xj ′ , j ′ > jk . Ïîñëå î÷åðåäíûõ íàáëþäåíèé è ïðîâåðîê ïðàâèëüíîñòè ìû ïîëó÷èì ñëåäóþùåå çíà÷åíèå

xjk+1

è ò.ä. äî òåõ ïîð, ïîêà íå äîáåðåìñÿ äî

xN −1 .

Äåòàëü-

íûé àíàëèç (ñì. íàïðèìåð, [18℄) ïîêàçûâàåò, ÷òî ñëîæíîñòü òàêîãî àëãîðèòìà èìååò ïîðÿäîê

√

N,

òî åñòü äàåò òàêîå æå óñêîðåíèå, êàê è GSA.

.5.3 àñïîçíàâàíèå ñòðóêòóð è óíêöèé Ñïèñîê çàäà÷, â êîòîðûõ ïðèìåíåíèå êâàíòîâûõ âû÷èñëåíèé äàåò ïðèíöèïèàëüíûé âûèãðûø, ñëèøêîì âåëèê äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðèâîäèòü åãî â ýòîé íåáîëüøîé êíèæêå. Ìû çàâåðøàåì ýòó òåìó ðàññìîòðåíèåì çàäà÷ ðàñïîçíàâàíèÿ óñòðîéñòâ, êîòîðûå ìîæíî êðàòêî ñîðìóëèðîâàòü êàê ïðÿìóþ è îáðàòíóþ çàäà÷è: 1) ïî çàäàííîé ñõåìå óñòðîéñòâà îïðåäåëèòü åãî óíêöèè, 2) ïî çàäàííûì óíêöèÿì âîññòàíîâèòü ñõåìó óñòðîéñòâà. Çàäà÷è òàêîãî òèïà ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ â èíæåíåðíîé ïðàêòèêå. Ìû èñïîëüçóåì ïîíÿòèå ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò äëÿ óòî÷íåíèÿ ýòèõ îðìóëèðîâîê. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî óñòðîéñòâîì áóäåò ñõåìà èç êâàíòîâûõ ýëåìåíòîâ, à óíêöèåé ýòîãî óñòðîéñòâà áóäåì íàçûâàòü óíèòàðíûé îïåðàòîð, êîòîðûé îíà ãåíåðèðóåò. Òîãäà óíêöèÿ áóäåò ïîëíîñòüþ çàäàíà, åñëè ìû çàäàäèì ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû, è äëÿ êàæäîé ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû óêàæåì ñîîòâåòñòâóþùåå åé ïîäïðîñòðàíñòâî ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ. Ñíà÷àëà ìû ñóçèì çàäà÷ó è áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû, èãíîðèðóÿ ñîáñòâåííûå âåêòîðû. Çäåñü ïîëó÷àþòñÿ òàêèå âîïðîñû: à) Ïî äàííîé ñõåìå, ãåíåðèðóþùåé îïåðàòîð

U,

è ÷èñëó

ëèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè îíî ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé îïåðàòîðà

U.

w ∈ [0, 1)

îïðåäå-

á) Ïî äàííîìó íàáîðó ÷èñåë è ñõåìå îïðåäåëèòü, âõîäèò ëè ñïåêòð (íàáîð ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò) îïåðàòîðà, ãåíåðèðóåìîãî ýòîé ñõåìîé â äàííûé íàáîð. â) Ïî äàííîìó íàáîðó ÷àñòîò ïîñòðîèòü ñõåìó, ãåíåðèðóþùóþ ñîîòâåòñòâóþùèé îïåðàòîð. Äðóãîãî òèïà çàäà÷à ïîëó÷èòñÿ, åñëè èñïîëüçîâàòü èçè÷åñêóþ óíêöèîíàëüíîñòü ïðèáîðà ñ íåèçâåñòíîé ñõåìîé: ã) Èìåÿ îðàêóë äëÿ îïåðàòîðà

U

èëè

Ucond

íàéòè ãåíåðèðóþùóþ åãî êâàí-

òîâóþ ñõåìó. Ýòè çàäà÷è ðàñïîëîæåíû â ïîðÿäêå íàðàñòàþùåé òðóäíîñòè. àññìîòðèì âêðàòöå îáùóþ ñõåìó ðåøåíèÿ ïåðâîé èç íèõ. Îáîçíà÷èì ïîñòðîåííûé ðàíåå îïåðàòîð, âûÿâëÿþùèé ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû, ÷åðåç

Rev.

Àíàëîãè÷íûì ñïîñî-

P

xk |ψk i, k ìû ìîæåì îáðàòèòü çíàê ïðè òîì ψk , êîòîðûé ñîîòâåòñòâóåò çàäàííîé ÷àñòîòå áîì ìû ìîæåì ïîñòðîèòü îáðàòíûé îïåðàòîð. Òåïåðü, èìåÿ ñîñòîÿíèå

w . Äåëàåòñÿ ýòî òàê: ñíà÷àëà ñ ïîìîùüþ Rev ìû ïðîÿâëÿåì çíà÷åíèå ÷àñòîòû ωk - îíà ïîÿâëÿåòñÿ â äîïîëíèòåëüíîì ðåãèñòðå, çàòåì ìåíÿåì çíàê ïðè óñëîâèè w = ωk - ýòî äåëàåòñÿ òàê æå, êàê è èíâåðñèÿ îòíîñèòåëüíî íóëÿ â GSA, à çàòåì −1 ñ ïîìîùüþ Rev î÷èùàåòñÿ äîïîëíèòåëüíûé ðåãèñòð. Òåïåðü, èìåÿ èíâåðñèþ

300

ËÈÒÅÀÒÓÀ

îòíîñèòåëüíî ïîäïðîñòðàíñòâà ñîáñòâåííîé ÷àñòîòû

w,

ìû ìîæåì ïðèìåíèòü

ñõåìó GSA è ïîëó÷èòü âåêòîð èç ýòîãî ïîäïðîñòðàíñòâà, ïîñëå ÷åãî, îïÿòü òà-

Rev,

êè ñ ïîìîùüþ

ïðîâåðèòü, äåéñòâèòåëüíî ëè ýòîò âåêòîð - ñîáñòâåííûé

ñ ñîáñòâåííîé ÷àñòîòîé

w.

Åñëè

w

- ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà, âñå óïîìÿíóòûå èí-

âåðñèè áóäóò íåòðèâèàëüíûìè, åñëè æå ýòî - íå ñîáñòâåííàÿ ÷àñòîòà, èíâåðñèè áóäóò òîæäåñòâåííûìè, è ìû â ðåçóëüòàòå âìåñòî âðàùåíèÿ òåêóùåãî âåêòîðà ïî ìåòîäó GSA ïîëó÷èì ïðîñòî îòñóòñòâèå âñÿêîãî äâèæåíèÿ - èñõîäíûé âåêòîð àëãîðèòìà áóäåò è ðåçóëüòèðóþùèì. Ïðè ýòîì áóäóò ïîÿâëÿòüñÿ íåòî÷íîñòè èç-çà íåçíàíèÿ íàìè ìîìåíòà îêîí÷àíèÿ ïðîöåññà GSA. Ñ íèìè ìîæíî

11

óñïåøíî áîðîòüñÿ, èñïîëüçóÿ ïàðàëëåëüíûå âû÷èñëåíèÿ

Ïåðåéäåì êî âòîðîé çàäà÷å. Çäåñü íàì ïðèäåòñÿ óñòðàèâàòü äâà âëîæåííûõ GSA- ïðîöåññà, äåéñòâóþùèõ íà äâóõ ðàçíûõ ðåãèñòðàõ. Âíåøíèé (îñíîâíîé) GSA - ïðîöåññ äåéñòâóåò íà ðåãèñòðå äëÿ ÷àñòîò, åãî öåëü - íàéòè ÷àñòîòó, âõîäÿùóþ â çàäàííûé ñïèñîê è íå ÿâëÿþùóþñÿ ñîáñòâåííîé. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìà èíâåðñèÿ îòíîñèòåëüíî òàêèõ "íåõîðîøèõ"÷àñòîò. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ýòîé èíâåðñèè èñïîëüçóåòñÿ àëãîðèòì èç ïðåäûäóùåãî ïóíêòà, ñîäåðæàùèé âíóòðåííèé GSA - ïðîöåññ, äåéñòâóþùèé ïðè èêñèðîâàííîì ñîäåðæèìîì ðåãèñòðà ÷àñòîò íà ðåãèñòðå äëÿ àðãóìåíòà

U.

Íàêîíåö, äëÿ ðåøåíèÿ òðåòüåãî òèïà çàäà÷ ïðèäåòñÿ èñïîëüçîâàòü GSA ïðîöåññû òðîéíîé âëîæåííîñòè. Äëÿ îñíîâíîãî âíåøíåãî ïðîöåññà ìû çàâåäåì íîâûé ðåãèñòð, â êîòîðîì áóäóò õðàíèòüñÿ äâîè÷íûå êîäû âîçìîæíûõ ñõåì. àññìîòðåííûé â ïðåäûäóùåì ïóíêòå àëãîðèòì âîéäåò âî âíóòðåííèé ïðîöåññ, çàäà÷åé êîòîðîãî áóäåò èíâåðñèÿ âäîëü êîäà òåõ ñàìûõ ñõåì, êîòîðûå ãåíåðèðóþò îïåðàòîðû ñ ïîäõîäÿùèì ñïåêòðîì. Ýòà èíâåðñèÿ èñïîëüçóåòñÿ âî âíåøíåì GSA - ïðîöåññå, ïîëó÷àþùåì êîä èñêîìîé ñõåìû.  ðàññìîòðåííûõ çàäà÷àõ èñïîëüçîâàëèñü ïî-ñóùåñòâó òîëüêî êîäû ñõåì. Çàäà÷à òèïà ã) èìååò ñóùåñòâåííîå îòëè÷èå. Çäåñü íàì ïîòðåáóåòñÿ îðàêóë äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ

Ucond .

Ìû íå áóäåì çäåñü îáñóæäàòü âîïðîñ î âîçìîæíîñòè èñ-

ïîëüçîâàíèÿ ñàìîãî îïåðàòîðà

U.

Äëÿ ïîäáîðà ñõåìû, ñîîòâåòñòâóþùåé äàííî-

ìó îðàêóëó, îïÿòü èñïîëüçóåòñÿ GSA - ïðîöåññû òðîéíîé âëîæåííîñòè. Ñìûñë ðåãèñòðîâ áóäåò òàêèì æå, êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå.

.6

Îáîáùåíèÿ àëãîðèòìà ðîâåðà

àññìîòðèì áîëåå îáùóþ îðìóëèðîâêó çàäà÷è êâàíòîâîãî ïîèñêà, ïðè êîòîðîé ó íàñ áóäóò

m òèïîâ

ñîñòîÿíèé: ìíîæåñòâî

N1

îñíîâíûõ ñîñòîÿíèé, êîòîðûå íå

áóäóò âîîáùå ïîäâåðãàòüñÿ èçìåíåíèÿì ïðè èíâåðñèè, ìíîæåñòâî

1,

è

m−2

âñåõ

êîòîðûå áóäóò 11 Ïîäðîáíîñòè

öåëåâûõ

f (x) = ïðî÷èõ òèïîâ ñîñòîÿíèé ÷èñëîì ñîîòâåòñòâåííî: N3 , N4 , . . . , Nm ïîâîðà÷èâàòüñÿ íà íà m − 2 ðàçëè÷íûõ óãëîâ: d1 , d2 , . . . , dm−2

ñîñòîÿíèé, êîòîðûå âðàùàþòñÿ íà

π,

N2

è ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ

ìîæíî íàéòè â ñòàòüå [42℄.

.6.

301

ÎÁÎÁÙÅÍÈß ÀË ÎÈÒÌÀ ÎÂÅÀ

j òàê ÷òî Ns = {xs ; j = 1, 2, . . . , ls }, s = 1, 2, . . . , m. Òîãäà öåëåâûå ñîñòîÿíèÿ áóäóò x12 , x22 , . . . , xl22 , è ÷èñëî m P ls = N åñòü ðàçìåðíîñòü îñíîâíîãî èëüáåðòîâà âñåõ áàçèñíûõ âåêòîðîâ s=1 ñîîòâåòñòâåííî. Çàíóìåðóåì ýëåìåíòû èç ìíîæåñòâà

ïðîñòðàíñòâà

H.

Ns

Îáîçíà÷èì ýòîò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ

H

÷åðåç

¯. N

Íàøå ïðåäïîëîæåíèå î óãëàõ ïîâîðîòîâ ìîæíî ïåðåîðìóëèðîâàòü êàê îãðà-

U êîòîðîå áóäåò èñïîëüçîâàItar . Ïóñòü U áóäåò óíèòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèåì s íà H ñ ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè xj s = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , ls , è ñîáñòâåí2 1 íûìè çíà÷åíèÿìè âñåõ xj , ðàâíûìè −1, à äëÿ âñåõ xj - ðàâíûìè 1, à äëÿ âñåõ s i(dk −π) idk xj (s ≥ 3) ðàâíûìè e , dk ∈ [0, 2π). Ïóñòü vk = e . Îïðåäåëèì k êàê òàêîé èíäåêñ, ïðè êîòîðîì dk ìàêñèìàëåí. Ïóñòü d = dk . q íè÷åíèå, íàëîæåííîå íà óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå íî â îïðåäåëåíèè GSA âìåñòî

l2 . Ïîëîæèì N

γ =

Îïðåäåëèì

γ −→ 0 (n −→ ∞)

ïîñêîëüêó èíà÷å ïðîáëåìà

ìîæåò áûòü òðèâèàëüíî ðåøåíà íà êëàññè÷åñêîì êîìïüþòåðå òè ïðèìåíåíèå P 1 |xi. êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà íå èìååò ñìûñëà. Òåïåðü îïðåäåëèì ej = √ lj x∈Nj

e2

áóäåò ñóïåðïîçèöèåé âñåõ öåëåâûõ ñîñòîÿíèé ñ P ðàâíûìè àìïëèòóäàìè. Îïðåäåëèì ˜ |xi. Ýòî ñîñòîÿíèå áóäåò íà0 êàê √1N ¯ x∈N ÷àëüíûì äëÿ íàøåãî àëãîðèòìà. Îáîçíà÷èì ÷åðåç H0 ïîäïðîñòðàíñòâî, ïîðîæÒàêèì îáðàçîì, íàïðèìåð

äåííîå âñåìè âåêòîðàìè

m

ýòîì

ej .

Ýâîëþöèÿ âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ áóäåò âðàùåíèåì â

ìåðíîì ïîäïðîñòðàíñòâå. Èç íàøåãî îïðåäåëåíèÿ ýòîãî ïîäïðîñòðàí-

ñòâà íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò, ÷òî íà÷àëüíûé âåêòîð ïîäïðîñòðàíñòâó. Ñ äðóãîé ñòîðîíû äåéñòâèå ñîâïàäàòü ñ îãðàíè÷åíèåì ïðåîáðàçîâàíèÿ

Ie2

˜0

ïðèíàäëåæèò ýòîìó

Itar , îãðàíè÷åííîå íà H0 .

íà

H0

áóäåò

Íàø îñíîâíîé ðåçóëüòàò áóäåò òàêèì.

Òåîðåìà 1

t=

h q i π 4

l2 N

q √ l2 Ïóñòü l1 /N −→ 1, (N − l1 − l2 )/d Nl2 −→ 0, = o(d) è N

, òîãäà èòåðèðîâàííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ I0˜ U , ïðèìåíåííûå ê

ñ ïîñëåäóþùèì íàáëþäåíèåì, äàñò íàì ñîñòîÿíèå ñòüþ îøèáêè (

˜0 t ðàç,

e2 ñ èñ÷åçàþùåé âåðîÿòíî-

n −→ ∞ ).

Ìû áóäåì ðàáîòàòü ñ ïîäïðîñòðàíñòâîì

H0

îñíîâíîãî ïðîñòðàíñòâà.

I˜0

è

U

ñîõðàíÿåò ýòî ïîäïðîñòðàíñòâî. Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùàÿ. Ìû ïîäñ÷èòàåì ñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû

G = −I˜0 U

è ñðàâíèì

èõ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè è çíà÷åíèÿìè ìàòðèöû ñòàí-

I˜0 Itar . Îêàæåòñÿ, ÷òî äâóìåðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî 0, à òàêæå ñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîáïîðîæäåííîå ñîñòîÿíèÿìè e2 è ˜

äàðòíîãî GSA - îïåðàòîðà of

H0

ñòâåííûå çíà÷åíèÿ

G

áóäóò ñîâïàäàòü ñ àíàëîãè÷íûìè âåëè÷èíàìè äëÿ GSA ñ

âûñîêîé òî÷íîñòüþ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîâåäåíèå èòåðàöèé

G

áóäåò òàêèì æå,

÷òî è GSA. Èíûìè ñëîâàìè, ýâîëþöèÿ âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ, ïîðîæäàåìàÿ íàøèì àëãîðèòìîì, ìîæåò áûòü ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ îïèñàíî ýâîëþöèåé â äâóìåðíîì ïîäïðîñòðàíñòâå, ïîðîæäåííîì âåêòîðàìè

e1

è

e2 .

302

ËÈÒÅÀÒÓÀ

.6.1 Âû÷èñëåíèå ìàòðèö Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå Îñòàâøàÿñÿ ÷àñòü ýòîãî ïàðàãðàà ïîñâÿùåíà, â îñíîâíîì, äîêàçàòåëüñòâó Òåî-

qe1 , e2 , . . . , em ïîäïðîñòðàílj = X , h˜0|ej i = = Yj−2 , j = 3, 4, . . . , n, N

ðåìû 1. Ìû áóäåì âû÷èñëÿòü âñå ìàòðèöû â áàçèñå

q

l2 H0 . Îïðåäåëèì h˜0|e2 i = N xj = 2Xj .  ýòîì ïàðàãðàå ìû áóäåì âûïîëíÿòü âñå âû÷èñëåíèÿ ñ òî÷íîñòüþ m P lj /N . Îáîñíîâàíèå çàêîííîñòè òàêîãî ïîäõîäà áóäåò äàíî â ñëåäóþùåì äî ñòâà

j=2

ïàðàãðàå.

Ïîëîæèì

√

P

lj /N = ǫ.

Ìû èìååì:

j≥2

q √ l1 ˜0 = ( 1 − ǫ, X, Y1 , . . . , Ym−2 )T , = N

1 − ǫ = 1 − 2ǫ + o(ǫ). Òîãäà ˜0 ≈ ˜0app = (1, X, Y1 , . . . , Ym−2 )T

O(ǫ), ãäå ðàññòîÿíèå ìåæäó âåêòîðàìè îöåíèâàåòñÿ â èëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H0 . Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèé ñëåäóåò, ÷òî H0 ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì, èíâàðèàíòíûì îòíîñèòåëüíî îïåðàòîðîâ U è I˜ 0 .  m ìåðíîì ïîäïðîñòðàíñòâå H0 ìàòðèöà îïåðàòîðà U áóäåò èìåòü òàêîé âèä.   1 0 0 ... 0   0 −1 0 . . . 0   .  0 −v1 . . . 0 U = 0   ... ... ... ... ...  0 0 . . . 0 −vm−2 ñ òî÷íîñòüþ äî

I˜0 â ýòîì ïîäïðîñòðàíñòâå, ìû ïðåäñòàâèì ýòîò îïå−1 ðàòîð â âèäå I˜ Ie1 V , ãäå ìàòðèöà V òàêîâà, ÷òî V ˜0app = e1 . 0 ≈ I˜ 0app = V −1 Ie1 V ˜0app = −V −1 e1 = −˜0app . Íåïîñðåäñòâåííî Ýòî ïðîèñõîäèò ïîòîìó, ÷òî V ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ìàòðèöà V è åå îáðàòíàÿ èìåþò âèä   1 X Y1 Y2 . . . Ym−2  −X 1 0 0 ... 0     0 1 0 ... 0  V =  −Y1 ,  ... ... ... ... ... ...  −Ym−2 0 0 0 . . . 1   1 −X −Y1 −Y2 . . . −Ym−2   X 1 0 0 ... 0   −1 .  0 1 0 ... 0 V =  Y1   ... ... ... ... ... ...  Ym−2 0 0 0 ... 1 ×òîáû íàéòè ìàòðèöó äëÿ

Ìû äàëåå èìååì:

Ie1



−1 0  0 1 =  0 0 ... ...

 ... 0 ... 0   ... 0  ... ...

.6.

303

ÎÁÎÁÙÅÍÈß ÀË ÎÈÒÌÀ ÎÂÅÀ

È òåïåðü íåïîñðåäñòâåííîå óìíîæåíèå ìàòðèö äàåò

I˜0app



  = V −1 Ie1 V =    

  G = −I˜0app U =   

−1 −x −y1 −y2 −x 1 0 0 −y1 0 1 0 ... ... ... ... −ym−2 0 0 0

1 −x −y1 v1 −y2 v2 x 1 0 0 y1 0 v1 0 ... ... ... ... ym−2 0 0 0

. . . −ym−2 ... 0 ... 0 ... ... ... 1



  ,  

. . . −ym−2 vm−2 ... 0 ... 0 ... ... ... vm−2



  .  

Òî÷íîñòü ïðèáëèæåíèÿ Òåïåðü ìû ïîêàæåì, ÷òî äëÿ öåëåé ïðèáëèæåíèÿ GSA íàøà òî÷íîñòü äî

ǫ äîñòà-

òî÷íà. Ìû áóäåì ðàáîòàòü ñ îáû÷íîé ìàòðè÷íîé íîðìîé çàäàííîé ðàâåíñòâîì

kAk = max kA¯ xk. k¯ xk=1

G = −I˜0app U ê òî÷íîé ìàòðèöå −I˜0 U êîòîðàÿ áóäåò îáîçíà÷àòüñÿ ÷åðåç Gexact åñòü kG−Gexact k = kUkkI˜ 0 −I˜ 0app k = kI˜ 0 −I˜ 0app k = ˜ ˜ k0 − 0app k = O(ǫ). Ñëåäîâàòåëüíî, G åñòü ïðèáëèæåíèå of Gexact ñ òî÷íîñòüþ äî ǫ, è ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü åå êàê G = Gexact + ∆, ãäå k∆k = O(ǫ). Ïóñòü P lj q j≥2 N t = åñòü ïîðÿäîê ÷èñëà èòåðàöèé â GSA. Îöåíèì ÷èñëî ν = t∆ = √ . l2 N l2 P Åñëè l2 = O( ), ìû ìîæåì îïóñòèòü l2 è èñïîëüçóÿ óñëîâèå Òåîðåìû, ïîëó÷èòü j≥3 q P l2 ν = o(1).  ïðîòèâíîì ñëó÷àå = o(l2 ) è ν áóäåò ïîðÿäêà N ÷òî ñíîâà o(1). Òî÷íîñòü íàøåãî ïðèáëèæåíèÿ

j≥3

t t t Çíà÷èò, âî âñåõ ñëó÷àÿõ ν = o(1). Òîãäà ìû èìååì: G = (Gexact + ∆) = Gexact + t−1 t O(t∆Gexact ) = Gexact + o(1). Ýòî çíà÷èò, ÷òî äëÿ èññëåäîâíèÿ ïîâåäåíèÿ Gtexact áóäåò äîñòàòî÷íî èñïîëüçîâàòü ïðèáëèæåíãèå G ê Gexact , ÷òî è îáîñíîâûâàåò íàøè âû÷èñëåíèÿ.

.6.2 Íàõîæäåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé G, íàì ñëåäóåò ñíà÷àëà ïîñ÷èòàòü õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí pm−2 (λ) = |G − λI|, ãäå I - èäåíòè÷íàÿ ìàòðèöà. Çàòåì, ðåøàÿ ðåêêóðåíòíî óðàâíåíèå pm−2 (λ) = 0, ìû íàéäåì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ. ×òîáû íàéòè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ

304

ËÈÒÅÀÒÓÀ

Ìû èìååì

1 − λ −x −y1 v1 x 1−λ 0 0 v1 − λ pm−2 (λ) = y1 ... ... ... ym−2 0 0 x 1−λ 0 y1 0 v − λ 1 m+1 0 0 (−1) ym−2 vm−2 y2 ... . . . . .. ym−2 0 0

. . . −ym−2 vm−2 ... 0 = ... 0 ... ... . . . vm−2 − λ 0 0 0 + (vm−2 − λ)pm−3 (λ) = . . . 0

−y2 v2 0 0 ... 0 ... ... ... ... ...

2 ym−2 vm−2 (1 − λ)(v1 − λ) . . . (vm−3 − λ) + (vm−2 − λ)pm−3 (λ).

÷òî äàåò ñëåäóþùåå ðåêêóðåíòíîå ñîîòíîøåíèå

2 pm−2 (λ) = (vm−2 − λ)pm−3 (λ) + ym−2 vm−2 (1 − λ)(v1 − λ) . . . (vm−3 − λ).

(15)

Èñïîëüçóÿ áàçèñ ðåêóðñèè:

−p1 (λ) = (λ − 1 + ix)(λ − 1 − ix)(v1 − λ) + v1 y12 (1 − λ)

ìû ìîæåì âûâåñòè èç

îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ (1) ñ ïîìîùüþ íåïîñðåäñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé îáùóþ îðìóëó äëÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà:

pm−2 (λ) = (λ − 1 + ix)(λ − 1 − ix)(v1 − λ)(v2 − λ) . . . (vm−2 − λ)+ v1 y12(1 − λ)(v2 − λ) . . . (vm−2 − λ)+ v2 y22(1 − λ)(v1 − λ)(v3 − λ) . . . (vm−2 − λ)+ 2 . . . + vm−2 ym−2 (1 − λ)(v1 − λ) . . . (vm−3 − λ).

(16)

p0 (λ) = (λ − 1 + ix)(λ − 1 − ix)(v1 − pm−2 (λ) = p0 + δ , ãäå

Îáîçíà÷èì ïåðâîå ñëàãàåìîå â (2) ÷åðåç

λ)(v2 − λ) . . . (vm−2 − λ),

òàê ÷òî

δ = v1 y12 (1 − λ)(v2 − λ) . . . (vm−2 − λ)+ v2 y22 (1 − λ)(v1 − λ)(v3 − λ) . . . (vm−2 − λ)+ 2 . . . + vm−2 ym−2 (1 − λ)(v1 − λ) . . . (vm−3 − λ). pm−2 è p0 (λ) îòëè÷àåòñÿ òîëüêî ñäâèãîì íà δ . Êîðíè p0 (λ) áóäóò λ1 = 1 − ix, λ2 = 1 + ix, λ3 = v1 , . . . , λm = vm−2 . Îáîçíà÷èì êîðíè pm−2 ˜1, λ ˜2, . . . , λ ˜m. ÷åðåç λ ˜ j , èñïîëüçóÿ îöåíêó δ â Òåïåðü íàì íóæíî îöåíèòü ðàçëè÷èå ìåæäó λj è λ îêðåñòíîñòè äâóõ êîðíåé: λ1,2 êîòîðûå èãðàþò ãëàâíóþ ðîëü â äèíàìèêå ðàñÝòî îçíà÷àåò, ÷òî

ñìàòðèâàåìîãî àëãîðèòìà. Çàìåòèì, ÷òî ïîëèíîì öèåíòîì

|λ1 − λ2 | = o(|vj − λ1 |).

Ñ äðóãîé ñòîðîíû

|λ1 − λ2 | ≫ δ 2 .

Íàø

p ìîæíî ïðèáëèçèòü êâàäðàòè÷íûì ïîëèíîìîì q ñî ñòàðøèì êîýèA = λ−v = Ω(d) â îêðåñòíîñòè λ1 èëè λ2 ðàäèóñà |λ1 −λ2 |. Ïðîèçâîäíàÿ

.6.

305

ÎÁÎÁÙÅÍÈß ÀË ÎÈÒÌÀ ÎÂÅÀ

q ýòîãî êâàäðàòè÷íîãî ïîëèíîìà â ýòîé îêðåñòíîñòè åñòü q = γ(v1 −λ) · · · (vn−2 − ˜ 1 | + |λ2 − λ ˜ 2 |. Òîãäà λ). Îáîçíà÷èì ðàçíèöó ìåæäó êîðíÿìè ÷åðåç σ = |λ1 − λ m−2 P vj yj2 (1−λ) σ = O(δ/q ′) = . Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâà vj − λ = O(dj ), 1 − λ = O(γ), γ(vj −λ) j=1 P lj 1 ) ÷òî åñòü o(γ), ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ Òåîðåìû ìû çàêëþ÷àåì, ÷òî σ = O( d N j≥3 √ P ˜ 1,2 = 1 + −ix + o(γ), λ ˜ 3 = v + o(γ). lj = o(d Nl2 ). Ñëåäîâàòåëüíî, λ j≥3

.6.3 Íàõîæäåíèå ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ

Ñíà÷àëà çàéìåìñÿ ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè äëÿ äâóõ ïåðâûõ êîðíåé:

˜ 1,2 = λ

1 + −ix + o(γ). 1). λ = 1 − ix + o(γ). Ïóñòü ñîáñòâåííûé âåêòîð åñòü ñòîëáåö âèäà a ¯ = T (a, b, w1 , . . . , wm−2 ) . Ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, îïðåäåëÿþùàÿ a ¯ èìååò ò௠êóþ îðìó: (G − λE)¯ a = 0 è ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå      o(γ) a ix −x −y1 v1 . . . −ym−2 vm−2     x b  ix 0 ... 0   o(γ)        y1 w1  0 v1 − 1 + ix . . . 0  =  o(γ)  .        ... ... ...  ... ... ... ... o(γ) wm−2 ym−2 0 0 . . . vm−2 − 1 + ix Ïåðåïèñûâàÿ ýòî â âèäå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, íàõîäèì

     

ixa xa y1 a ...

    

−xb +ixb

−y1 v1 w1

−...

−ym−2 vm−2 wm−2

...

+(v1 − 1 + ix)w1 ...

...

... +(vm−2 − 1 + ix)wm−2

ym−2 a

= o(γ) = o(γ) = o(γ) ... = o(γ)

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñîáñòâåííûé âåêòîð èìååò îãðàíè÷åííóþ íîðìó, ÷òî îçíà÷àyj a åò, ÷òî âñå åãî êîìïîíåíòû îãðàíè÷åíû. åøàÿ ñèñòåìó, íàõîäèì wj = . vj −1+ix Ïðèìåíÿåì óñëîâèå Òåîðåìû:

q

l2 N

= o(d)

o(1) a = i, b = −1. λ = 1 + ix + o(γ). Ñîîòâåòñòâóþùåå äî o(1), âñå wj = o(1).

íîñòüþ äî 2). ñòüþ

o(γ),

è ñ òî÷-

a = i, b = 1

ñ òî÷íî-

a = 0, b = 0

ñ òî÷íî-

âû÷èñëåíèåäàåò

3). Äëÿ âñåõ äðóãèõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìû èìååì ñòüþ äî

wj = o(1),

è çàêëþ÷àåì, ÷òî

ïîñêîëüêó ñîîòâåòñòâóþùèå âåêòîðà äîëæíû áûòü îðòîãîíàëüíû

ïîäïðîñòðàíñòâó, ïîðîæäåííîìó

e1 , e2 .

Èòàê, ìû èìååì ñëåäóþùóþ ñèòóàöèþ:

n −→ ∞, òî ñîáñòâåííûå âåêòîðû, ïðèíàäëåæàùèå ïîðîæäåííîìó e1 , e2 îòëè÷àþòñÿ íà o(γ) îò ñîîòâåòñòâóþùèõ åñëè

ïîäïðîñòðàíñòâó, ñîáñòâåííûõ çíà-

÷åíèé ñòàíäàðòíîãî GSA, è ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå âåêòîðû îòëè÷àþòñÿ

306 íà

ËÈÒÅÀÒÓÀ

o(1) îò

ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ñòàíäàðòíîãî GSA. Ýòî çíà-

÷èò, ÷òî åñëè ÷èñëî

t

èòåðàöèé áóäåò ïîðÿäêà

1/γ

- êàê è â GSA, òî ðàçíèöà

ìåæäó ðåçóëüòèðóþùèìè ñîñòîÿíèÿìè GSA è èòåðèðîâàííîãî ïðèìåíåíèÿ áóäåò ïîðÿäêà

.7

o(1).

G

Òåîðåìà 1 äîêàçàíà.

åàëèñòè÷åñêèå ìîäåëè êâàíòîâûõ êîìïüþòåðîâ

Çäåñü ìû èçó÷èì åðìèîííûå âû÷èñëåíèÿ â îðìàëèçìå ÷èñåë çàïîëíåíèÿ, ïðåäëîæåííûå â ñòàòüå [7℄. Ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ âûïîëíåíèÿ ïðîèçâîëüíîãî êâàíòîâîãî âû÷èñëåíèÿ ñ äîïóùåíèåì òîëüêî íåçíà÷èòåëüíîãî çàìåäëåíèÿ äîñòàòî÷íî óïðàâëÿòü òîëüêî òóííåëèðîâàíèåì. Ïðè ýòîì âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó êóáèòàìè äèàãîíàëüíîãî òèïà áóäåò îñòàâàòüñÿ íåïðåðûâíûì è íåóïðàâëÿåìûì. Îáîñíîâàíèå ýòîãî ïîäõîäà äàíî ñ ïîìîùüþ ðåäóêöèè ê ñòàíäàðòíîé ìîäåëè êâàíòîâûõ âû÷èñëåíèé â èëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñ èñïîëüçîâàíèåì ðåçóëüòàòîâ ñòàòüè quant-ph/0202030 îá îäíîêóáèòíîì óïðàâëåíèè.

.7.1 Îá èñïîëüçîâàíèè òîæäåñòâåííîñòè åðìèîíîâ Êâàíòîâûé êîìïüþòåð ÿâëÿåòñÿ áåñïðåöåäåíòíûì ýêçàìåíîì äëÿ ñîâðåìåííîé èçèêè, ïîñêîëüêó îí òðåáóåò òàêîãî óðîâíÿ êîíòðîëÿ íàä îáúåêòàìè íàíîðàçìåðîâ, êîòîðûé íèêîãäà íå äîñòèãàëñÿ èñêóññòâåííûì ïóòåì.  òî âðåìÿ êàê ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ êâàíòîâîãî êîìïüþòèíãà õîðîøî ðàçâèòà, åãî èçè÷åñêàÿ ðåàëèçàöèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñåðüåçíûé âûçîâ íàøåìó ïîíèìàíèþ Ïðèðîäû. Âîò ïî÷åìó î÷åíü âàæíî èñêàòü ïðîñòåéøèå âîçìîæíûå ñïîñîáû òàêîé ðåàëèçàöèè, òàê ÷òîáû îíè áàçèðîâàëèñü òîëüêî íà îñíîâíûõ ïðèíöèïàõ êâàíòîâîé ìåõàíèêè è ñîäåðæàëè áû ìèíèìóì âñåâîçìîæíûõ òåõíîëîãè÷åñêèõ òðóäíîñòåé. Äâà òðåáîâàíèÿ ìîæíî ñîðìóëèðîâàòü äëÿ òàêèõ ñõåì: àäåêâàòíîå îïèñàíèå ñîñòîÿíèé, îðìèðóþùèõ âû÷èñëèòåëüíîå èëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, è ðåàëè÷òè÷åñêèé ìåòîä óïðàâëåíèÿ âû÷èñëåíèÿìè. Îáû÷íî âû÷èñëèòåëüíûé ýëåìåíò - êóáèò ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê íåêàÿ õàðàêòåðèñòèêà ïîäîáíàÿ ñïèíó, çàðÿäó èëè ïîëîæåíèþ íåêîòîðîé ýëåìåíòàðíîé ÷àñòèöû. Ýòîò ïîäõîä õîðîøî ðàáîòàåò äëÿ èçîëèðîâàííîãî êóáèòà. Äëÿ ñèñòåìû èç íåñêîëüêèõ êóáèòîâ ýòîò ïîäõîä âñòðå÷àåò ñåðüåçíûå òðóäíîñòè. Ýòè òðóäíîñòè ïðîèñõîäÿò èç óíäàìåíòàëüíîãî èçè÷åñêîãî ïðèíöèïà íåðàçëè÷èìîñòè (èëè òîæäåñòâåííîñòè) ÷àñòèö îäíîãî âèäà. ×òîáû óïðàâëÿòü âû÷èñëåíèåì, ìû äîëæíû èìåòü âîçìîæíîñòü îáðàùåíèÿ ê îòäåëüíîìó êóáèòó, òîãäà êàê ðàçëè÷íûå ÷àñòèöû â ïðèíöèïå ÿâëÿþòñÿ íåðàçëè÷èìûìè. Êîíå÷íî, ìû ìîæåì ðàçëè÷èòü ÷àñòèöû, ðàçìåùàÿ èõ íà äîñòàòî÷íî áîëüøîì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà, îäíàêî â ýòîì ñëó÷àå íàì áóäåò î÷åíü çàòðóäíèòåëüíî äåðæàòü èõ â çàïóòàííîì ñîñòîÿíèè, ÷òî ñîâåðøåííî íåîáõîäèìî äëÿ ïðîèçâîäñòâà êâàíòîâûõ âû÷èñëåíèé. Îäíî èç ðåøåíèé ýòîé äèëåììû

.7.

ÅÀËÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÎÄÅËÈ ÊÂÀÍÒÎÂÛÕ ÊÎÌÏÜÞÒÅÎÂ

307

ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû èñïîëüçîâàòü Ôîêîâñêîå ïðîñòðàíñòâî ÷èñåë çàïîëíåíèÿ äëÿ îïèñàíèÿ êâàíòîâûõ âû÷èñëåíèé. Çäåñü èñïîëüçóåòñÿ åñòåñòâåííàÿ èäåíòèèêàöèÿ êóáèòîâ ñ ýíåðãåòè÷åñêèìè óðîâíÿìè â Ôîêîâñêîì ïðîñòðàíñòâå, òàê ÷òî åäèíèöà òðàêòóåòñÿ êàê çàíÿòûé óðîâåíü, à íóëü - êàê ñâîáîäíûé. Òàêîé ïîäõîä äàåò óíèâåðñàëüíûå êâàíòîâûå âû÷èñëåíèÿ çà äîâîëüíî äîðîãóþ öåíó: òðåáóåòñÿ óïðàâëÿòü íå òîëüêî âíåøíèì ïîëåì è òóííåëèðîâàíèåì, íî òàêæå è ïîñðîÿííûì äèàãîíàëüíûì âçàèìîäåéñòâèåì ìåæäó êóáèòàìè, à òàêæå åùå è êîíòàêòîì ñî ñâåðõïðîâîäíèêîì, òî åñòü óïðàâëåíèå êîýèöèåíòàìè + + ∗ (24) è óïðàâëåíèå äîïîëíèòåëüíûì ñëàãàåìûì δak aj + δ ak aj .

α, β, γ

â

 íàñòîÿùåé ðàáîòå ìû óâèäèì, êàê óìåíüøèòü ýòó öåíó, èñïîëüçóÿ èäåþ î íåïðåâûâíîì è íåêîíòðîëèðóåìîì âçàèìîäåéñòâèè. Äëÿ ýòîãî íàì ïîíàäîáèòñÿ äâå âåùè: ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî èñõîäíûé àìèëüòîíèàí âçàèìîäåéñòâèÿ äëÿ âû÷èñëèòåëüíîé ñèñòåìû ñîñòîèò òîëüêî èç äèàãîíèëüíûõ è òóííåëüíûõ ÷ëåíîâ, à òàêæå ìîäèèöèðîâàííîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè â ïðîñòðàíñòâå ÷èñåë çàïîëíåíèÿ è âû÷èñëèòåëüíûì èëüáåðòîâûì ïðîñòðàíñòâîì. Òîãäà äëÿ êîíòðîëÿ íàä êâàíòîâûìè âû÷èñëåíèÿìè íàì ïîíàäîáèòñÿ òîëüêî óïðàâëÿòü âíåøíèì ïîëåì è òóííåëèðîâàíèåì. Òàêîé òèï êîíòðîëÿ â ïðèíöèïå îñóùåñòâèì ïîñðåäñòâîì ëàçåðîâ. Îñíîâíàÿ ñõåìà äàíà íèæå. Îíà áàçèðóåòñÿ íà èäåå î íåïðåðûâíîì íåóïðàâëÿåìîì âçàèìîäåéñòâèè, ïðåäëîæåííîé â ðàáîòàõ [45℄, [43℄ è àäàïòèðîâàííîé ê ÿçûêó Ôîêîâñêîãî ïðîñòðàíñòâà ÷èñåë çàïîëíåíèÿ.

.7.2 Îäíîêóáèòîâîå óïðàâëåíèå â êâàíòîâûõ âû÷èñëåíèÿõ Îñíîâíàÿ òðóäíîñòü â ïðàêòè÷åñêîé ðåàëèçàöèè êâàíòîâûõ âû÷èñëåíèé çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî òåõíè÷åñêè î÷åíü ñëîæíî âûïîëíèòü äâóõêóáèòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, èãðàþùèå ïðèíöèïèàëüíóþ ðîëü â òàêèõ âû÷èñëåíèÿõ. Äëÿ òîãî, ÷òîáû âûïîëíèòü òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå, ìû äîëæíû óïðàâëÿòü ñòåïåíüþ çàïóòàííîñòè ÷àñòèö, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïåðåêðûòèåì ïðîñòðàíñòâåííûõ ÷àñòåé èõ âîëíîâûõ óíêöèé. Îäíàêî, äëÿ ïðîèçâîäñòâà âû÷èñëåíèé òðåáóåòñÿ òàêæå è ÷åòêîå ðàçëè÷åíèå ÷àñòèö, ÷òî âîçìîæíî ëèøü åñëè ïåðåêðûòèå âîëíîâûõ óíêöèé äîñòàòî÷íî ìàëî. Òàêèì îáðàçîì, íàëèöî ïðîòèâîðå÷èâîñòü òðåáîâàíèé ê èçè÷åñêîé ðåàëèçàöèè êâàíòîâûõ âû÷èñëåíèé. Ìû âèäèì, ÷òî äâóõêóáèòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîâåðøàòü âî âñÿêîì ñëó÷àå çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå, ÷åì îäíîêóáèòíûå. Çäåñü óìåñòíî ïðåäëîæèòü òàêîé ïîäõîä. Ïîñêîëüêó âçàèìîäåéñòâèå ÷àñòèö ñ èçìåíåíèåì ñòåïåíè çàïóòàííîñòè âûòåêàåò èç âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ è ïîäòâåðæäàåòñÿ â ýêñïåðèìåíòàõ, òî äâóõêóáèòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîèñõîäÿò â õîäå åñòåñòâåííîé âðåìåííîé ýâîëþöèè êâàíòîâîé ñèñòåìû. Óïðàâëÿòü æå òàêîé ñèñòåìîé ìîæíî ïðè ïîìîùè òîëüêî îäíîêóáèòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, êîòîðûå ãîðàçäî ïðîùå êîíòðîëèðîâàòü. Èòàê, ìû áóäåì ïðîèçâîäèòü âû÷èñëåíèÿ, âîçäåéñòâóÿ íà ñèñòåìó òîëüêî îäíîêóáèòîâûìè èìïóëüñàìè, à äâóõêóáèòîâûå ïðåîáðàçîâàíèÿ áóäóò ñîâåðøàòüñÿ â îíîâîì ðåæèìå, è ìû èìè óïðàâëÿòü íå áóäåì.  ýòîì ñóòü ïðåäëàãàåìîé ìîäåëè âû÷èñëåíèé ñ îäíî-

308

ËÈÒÅÀÒÓÀ

êóáèòíûì óïðàâëåíèåì. Òàêàÿ ìîäåëü ÿâëÿåòñÿ ãîðàçäî áîëåå ðåàëèñòè÷åñêîé, ÷åì àáñòðàêòíàÿ ñõåìà êâàíòîâîãî êîìïüþòåðà, ïðåäïîëàãàþùàÿ óïðàâëåíèå äâóõêóáèòíûì âçàèìîäåéñòâèåì. Îòëîæèì ïîêà âîïðîñ î âîçìîæíîñòÿõ òàêîãî ïîäõîäà, è ïðîäåìîíñòðèðóåì, êàê ìîæíî â ðàìêàõ ïðåäëàãàåìîé ìîäåëè ðåøèòü êîíêðåòíóþ çàäà÷ó - ìîäåëèðîâàòü ïîâåäåíèå ìíîãî÷àñòè÷íîé ñèñòåìû ñ êâàäðàòè÷íûì âçàèìîäåéñòâèåì ñ äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé. Îñíîâíàÿ òðóäíîñòü ïðåäëàãàåìîé ìîäåëè ñ îäíîêóáèòîâûì óïðàâëåíèåì ñîñòîèò â òîì ÷òî äâóõêóáèòíîå âçàèìîäåéñòâèå ïðîèñõîäèò íåêîíòðîëèðóåìûì îáðàçîì, â ÷àñòíîñòè è ñ ïîñòîðîííèìè êóáèòàìè, ÷òî ñåðüåçíî èñêàæàåò ñõåìû êâàíòîâûõ àëãîðèòìîâ. Äëÿ ïðîèçâîäñòâà âû÷èñëåíèé â òàêîé ìîäåëè íàì íóæíî ñîçäàòü ìåòîäû êîððåêöèè "íåæåëàòåëüíûõ"ïðåîáðàçîâàíèé ñ ïîìîùüþ îäíîêóáèòíûõ èìïóëüñîâ. Äëÿ äåìîíñòðàöèè âîçìîæíîñòåé òàêîãî ïîäõîäà ìû ñíà÷àëà ïîêàæåì, êàê îñóùåñòâèòü êâàíòîâîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå â ðàìêàõ òàêîé ìîäåëè. Íàøèì îñíîâíûì ïðåäïîëîæåíèåì áóäåò òî, ÷òî ìàòðèöà àìèëüòîíèàíà äâóõêóáèòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ èìååò äèàãîíàëüíóþ îðìó. Îäíàêî ñíà÷àëà äëÿ óäîáñòâà ìû íàëîæèì òàêæå íåêîòîðûå îãðàíè÷åíèÿ íà ñêîðîñòü óáûâàíèÿ ýòîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ðàññòîÿíèåì. À èìåííî, áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïîòåíöèàë âçàèìîäåéñòâèÿ ïàäàåò ñ ðàññòîÿíèåì êàê ïîòåíöèàë Þêàâû. Çàòåì ðàçâèòûé ìåòîä ìû ñìîæåì ïðèìåíèòü è äëÿ áîëåå øèðîêîãî êëàññà äèàãîíàëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé. Áîëåå òîãî, ìîæíî áóäåò îáîáùèòü ýòîò ïîäõîä è íà òîò ñëó÷àé, êîãäà ðàçíûå ïàðû êóáèòîâ âçàèìîäåéñòâóþò ïî-ðàçíîìó. Íàêîíåö, äàííûé ïîäõîä áóäåò ïðèìåíåí ê ðåøåíèþ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ äëÿ ñèñòåìû èç íåñêîëüêèõ ÷àñòèö ïîòåíöèàëîì êâàäðàòè÷íîãî òèïà.

åàëèçàöèÿ êâàíòîâîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå íà îäíîêóáèòîâîì óïðàâëåíèè

Êâàíòîâîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå - ýòî êëþ÷åâàÿ ïîäïðîãðàììà â êâàíòîâîì êîìïüþòèíãå. Îíà èñïîëüçóåòñÿ â áîëüøîì ÷èñëå äðóãèõ àëãîðèòìîâ. Ïðîñòåéøàÿ ñõåìà êâàíòîâûõ óíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ, ðåàëèçóþùàÿ ýòî ïðåîáðàçîâàíèå, äàíà íà ðèñóíêå 6. Îíà áûëà èñïîëüçîâàíà Øîðîì äëÿ áûñòðîé êâàíòîâîé àêòîðèçàöèè (ñì. [46℄). Äîãîâîðèìñÿ ïðåäñòàâëÿòü öåëîå ÷èñëî âèäà a = a0 + a0 2 + . . . + al−1 2l−1 áàçèñíûì ñîñòîÿíèåì |a0 a1 . . . al−1 i = |ai . Ýòè

ñîñòîÿíèÿ îðìèðóþò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ äëÿ âõîäíûõ ñîñòîÿíèé êâàíòîâîé ñõåìû óíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ. àñïîëàãàåì èõ ñâåðõó âíèç. Òàêîå æå ñîãëàøåíèå ïðèìåì è äëÿ âûõîäíûõ ñîñòîÿíèé ñõåìû, òîëüêî äâîè÷íûå bj l−1 çíàêè ÷èñëà b = b0 + b0 2 + . . . + bl−1 2 áóäåì ðàñïîëàãàòü â ïðîòèâîïîëîæíîì

ïîðÿäêå.

−1 2 in O(l ) øàãîâ, Ýòà ñõåìà âûïîëíÿåò îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå çà QF T 2 òîãäà êàê åãî ìàòðèöà N = l - ìåðíà. Îäíàêî â ýòîé ñõåìå òðåáóåòñÿ äâóõêóáèòîâîå óïðàâëåíèå - îíà íåïîñðåäñòâåííî íå ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà â ðàìêàõ íàøåé ìîäåëè. Ìû ïîêàæåì, êàê ýòî ìîæíî ñäåëàòü. Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü

.7.

309

ÅÀËÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÎÄÅËÈ ÊÂÀÍÒÎÂÛÕ ÊÎÌÏÜÞÒÅÎÂ

âçàèìîäåéñòâèÿ, èìåþùèå âèä



 A) H =  

0 0 0 0

0 0 0 0 −br

0 0 0 0

 0 0   , ρ > 0, 0  ρ



 B) H =  

 ρ1 0 0 0 0 ρ2 0 0  , 0 0 ρ3 0  0 0 0 ρ4

(17)

ρ = ρ0 e r ; b = const; r åñòü ðàññòîÿíèå ìåæäó êóáèòàìè-÷àñòèöàìè è ρ1 + ρ4 6= ρ2 + ρ3 . àñïîëîæèì l êóáèòîâ íà îäíîé ëèíèè ñ ðàâíûìè èíòåðâàëàìè. Ïóñòü âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó j ì è k ì êóáèòàìè èìååò àìèòîíèàí Hj,k ãäå âñå

âèäà (17). Ýòîò òèï àìèëüòîíèàíîâ âîçíèêàåò, íàïðèìåð, â ìîäåëè Èçèíãà äëÿ ÷àñòèö ñî ñïèíîì 1/2. Òðåáóåìîå óìåíüøåíèå âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ðàññòîÿíèåì ìîæíî äîñòèãíóòü, ïîìåùàÿ êóáèòû â ïîäõîäÿùóþ ïîòåíöèàëüíóþ ÿìó. Âûáðàâ ïîäõîäÿùóþ åäèíèöó äëèíû, ìû ìîæåì äîáèòüñÿ

b = 1.

Ñíà÷àëà áóäåì

èçó÷àòü ñëó÷àé âçàèìîäåéñòâèÿ âèäà (17, A) à çàòåì ðàñïðîñòðàíèì ðåçóëüòàòû íà ñëó÷àé (17, B).

åàëèçàöèÿ QFT ñ òî÷íîñòüþ äî àçîâîãî ñäâèãà Íàïîìíèì, ÷òî QFT è åãî îáðàòíîå èìåþò âèä:

N −1 1 X − 2πi ab QF T : |ai −→ √ e N |bi, N b=0

QF T

−1

N −1 1 X 2πi ab : |ai −→ √ e N |bi. N b=0

(18)

Òîãäà îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå ìîæíî âûïîëíèòü ñ ïîìîùüþ òàêîé ñõåìû.

310

ËÈÒÅÀÒÓÀ

a0

i

a1

j

a4

b2

i

a3

k

b3

i

a2

b4

b1

i

b0

i

èñóíîê 2. Ïðÿìîóãîëüíèêè îáîçíà÷àþò íåïðåðûâíîå âçàèìîäåéñòâèå êðóæêè - îïåðàöèè Àäàìàðà

ãäå

˜ = H

˜ j,k , à êàæäîå èç H ˜ j,k H

P

l>j>k≥0

˜

U = e−iH , èìååò âèä (17 , A) ñ ρ0 = π , r = j −k . Åñëè

Çäåñü ïðÿìîóãîëüíèêè îáîçíà÷àþò óíèòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ âèäà

ìû âûáåðåì åäèíèöó âðåìåíè òàê, ÷òîáû ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà, óìíîæåííàÿ íà

ρ0

ðàâíÿëàñü

π

è åäèíèöó äëèíû òàê, ÷òîáû

r = j − k,

òî

U

áóäåò â òî÷íîñòè

ïðåîáðàçîâàíèåì âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ, èíäóöèðóåìûì ðàññìàòðèâàåìûì àìèëüòîíèàíîì â åäèíè÷íîå âðåìÿ. Çäåñü ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî âðåìÿ ïðîèçâîäñòâà îäíîêóáèòíûõ îïåðàöèé ïðåíåáðåæèìî ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ åäèíèöåé, òàê ÷òî âçàèìîäåéñòâèå ïàð êóáèò íå ìîæåò ñèëüíî èçìåíèòü àçó çà ýòî âðåìÿ. Ýòà ñõåìà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç ïðåäûäóùåé âñòàâêîé íåäîñòàþùèõ ýëåìåíòîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ âçàèìîäåéñòâèþ, ïðîèñõîäÿùåìó â ðåàëüíûõ ñèñòåìàõ ñ òàêèì àìèëüòîíèàíîì. ×òîáû äîêàçàòü, ÷òî ýòà ñõåìà äåéñòâèòåëüíî âûïîëíÿåò QF T −1 , ìû ïðèìåíèì ìåòîä ïîäñ÷åòà àìïëèòóä, ïðåäëîæåííûé â ñòàòüå Øîðà [46℄. Åñëè äàíî áàçèñíîå âõîäíîå ñîñòîÿíèå

|ai,

ìû ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâóþ-

ùåå âûõîäíîå ñîñòîÿíèå. Ýòî âûõîäíîå ñîñòîÿíèå áóäåò ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé

|bi√ñ íåêîòîðûìè àìïëèòóäàìè. Âñå ìîäóëè ýòèõ àìïëèòóä 1/ L è íàì äîñòàòî÷íî òîëüêî ñëåäèòü çà èõ àçàìè. Äëÿ ′ ïðîñòîòû ââåäåì îáîçíà÷åíèå aj = al−1−j , j = 0, 1, . . . , l − 1.  ïðîöåññå ïðèìåíåíèÿ íàøåé ñõåìû çíà÷åíèÿ êóáèòîâ ñ íîìåðàìè j è k ≤ j ïðîõîäÿò ÷åðåç áàçèñíûõ ñîñòîÿíèé

îäèíàêîâû è ðàâíû

ýëåìåíòû èç ðèñóíêà 2 ñëåâà íàïðàâî. Ñëåäóÿ ýòîìó íàïðàâëåíèþ ìû âûäåëèì ′ ′ ñëåäóþùèå 4 òèïà âçàèìîäåéñòâèé: âçàèìîäåéñòâèå aj ñ ñîáîé è ak ñ ñîáîé â ′ ′ ′ îïåðàöèè Àäàìàðà, çàèìîäåéñòâèå aj ñ ak (j > k ), âçàèìîäåéñòâèå aj ñ bk äëÿ

.7.

ÅÀËÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÎÄÅËÈ ÊÂÀÍÒÎÂÛÕ ÊÎÌÏÜÞÒÅÎÂ

311

j > k , è âçàèìîäåéñòâèå bj ñ bk (j > k ). Âðåìÿ ýòèõ âçàèìîäåéñòâèé áóäåò òàêèì: íîëü, k , j −k è l−1−j ñîîòâåòñòâåííî. Ñêëàäûâàÿ âêëàäû ýòèõ âçàèìîäåéñòâèé

â àçó, ìû ïîëó÷èì ðåçóëüòèðóþùóþ àçó âèäà

X a′j bk (j − k) X X bj bk (l − j − 1) a′j ak k ′ + π + π a b + π . π j j 2j−k (j − k) 2j−k (j − k) 2j−k (j − k) l>j>k≥0 l>j≥0 l>j>k≥0 l>j>k≥0 X

(19)

Îáîçíà÷àÿ ïåðâîå è ïîñëåäíåå ñëàãàåìûå ÷åðåç

AèB

ñîîòâåòñòâåííî. Èõ âêëàä

ñîîòâåòñòâóåò äåéñòâèþ äèàãîíàëüíûõ àìèëüòîíèàíîâ íà

|ai

è

|bi

ñîîòâåò-

ñòâåííî. Ïîêà îñòàâèì ýòè âêëàäû. Çàéìåìñÿ ñóììîé âòîðîãî è òðåòüåãî ÷ëåíà ýòîé ñóììû. Ïîñëå çàìåíû

π

P

l−1>k+j≥0

aj bk 2j+k 2l−1

+π

P

j

íà

l−1−j

ýòà ÷àñòü ïðèîáðåòåò âèä

al−1−j bk = 2π

P

l>k+j≥0

l−1≥j≥0

aj bk 2j+k 2l

= 2πS + 2π

P

l>k,j≥0

2πS + 2π ab 2l

aj bk 2j+k 2l

(20)

S . Ïåðâîå ñëàãàåìîå çäåñü àçû íå ìåíÿåò è ìû ïîëó÷àåì òî÷íîñòüþ äî âêëàäà A è B .

äëÿ íåêîòîðîãî öåëîãî òî, ÷òî òðåáîâàëîñü ñ

Êîððåêöèÿ ñäâèãà àçû

A è B â àçó, ìû ïðèìåíèì îäèí òðþê. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì òîëüêî ñëàãàåìîå A. Îíî ñîñòîèò èç ′ ′ ÷ëåíîâ âèäà Aj,k = cj,k aj ak , ãäå cj,k çàâèñèò òîëüêî îò j è k , íî íå îò a. Îáúÿâèì j é è k é êóáèòû âûäåëåííûìè. Ìû áóäåì ïðèìåíÿòü îäíîêóáèòíîå ïðåîáðàçîÄëÿ òîãî, ÷òîáû ó÷åñòü âêëàä äèàãîíàëüíûõ ñëàãàåìûõ

âàíèå NOT íåñêîëüêî ðàç êî âñåì êóáèòàì, êðîìå âûäåëåííûõ, ñ öåëüþ ïîäàâèòü âñå âçàèìîäåéñòâèÿ, êðîìå âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó âûäåëåííûìè êóáèòà-

p, q, q > p. dp,q ∆t a′p a′q â àçó,

ìè. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ïàðó íåâûäåëåííûõ êóáèòîâ ñ íîìåðàìè Èõ íåïðåðûâíîå âçàèìîäåéñòâèå çà âðåìÿ

∆t äàåò

ñëàãàåìîå

ãäå âåùåñòâåííîå ÷èñëî dp,q çàâèñèò òîëüêî îò òîãî, êàê áûñòðî âçàèìîäåéñòâèå ′ ′ ïàäàåò ñ ðàññòîÿíèåì, íî íå îò ap , aq . Íàïðèìåð, äëÿ óáûâàíèÿ òèïà Þêàâû ìû −|q−p| áóäåì èìåòü dp,q = e /|q − p|. Òåïåðü èíâåðòèðóåì îäèí èç ýòèõ äâóõ êó-

áèòîâ, íåâàæíî êàêîé, äîïóñòèì, q th ñ ïîìîùüþ îïåðàöèè NOT. Åãî ñîñòîÿíèå ′ áóäåò 1 − aq . Òåïåðü âòîðîé ïåðèîä äëèòåëüíîñòüþ ∆t íåïðåðûâíîãî âçàèìîäåé′ ′ ñòâèÿ äàñò ñëàãàåìîå dp,q ∆t ap (1 − aq ) â àçó. Íàêîíåö, âîññòàíîâèì ñîäåðæèìîå q ãî êóáèòà âòîðûì ïðèìåíåíèåì NOT. åçóëüòèðóþùèé àçîâûé ñäâèã â ′ ýòèõ ÷åòûðåõ äåéñòâèÿõ ñîñòàâèò dp,q ∆t ap è îí çàâèñèò òîëüêî îò ñîäåðæèìîãî pãî êóáèòà. Òåïåðü ìû ìîæåì êîìïåíñèðîâàòü ýòîò àçîâûé ñäâèã ñ ïîìîùüþ

òîëüêî îäíîãî îäíîêóáèòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Åñëè ðàññìîòðåòü ïàðó êóáèòîâ ñ íîìåðàìè

p, q

ãäå îäèí, ñêàæåì

pé

âûäåëåí, à äðóãîé - íåò, òîãäà ìû ìîæåì

ñêîìïåíñèðîâàòü èõ âçàèìîäåéñòâèå, èñïîëüçóÿ òîëüêî îäíîêóáèòíûå îïåðàöèè - äâà NOT-à äëÿ

q ãî

è íåêîòîðûé àçîâûé ñäâèã äëÿ

pãî.

Òåïåðü íàì íàäî òàê

ìîäèèöèðîâàòü ýòîò ìåòîä, ÷òîáû ñêîìïåíñèðîâàòü âñå âëèÿíèÿ íåâûäåëåííûõ êóáèòîâ îäíîâðåìåííî. Äëÿ ýòîãî ìû áóäåì âûïîëíÿòü îïåðàöèè NOT íàä êàæäûì òàêèì êóáèòîì ñ äîñòàòî÷íî ìàëûìè èíòåðâàëàìè òàê ÷òî âêëàäû â

=

312

ËÈÒÅÀÒÓÀ

àçó íåâûäåííûõ êóáèòîâ áóäóò äðóã äðóãà ñîêðàùàòü. Åñòü äâà ñïîñîáà ñäåëàòü ýòî: èñïîëüçîâàòü ñëó÷àéíûé ïðîöåññ äëÿ ãåíåðàöèè ìîìåíòîâ äëÿ îäíîêóáèòíûõ îïåðàöèé, èëè îñóùåñòâëÿòü èõ ïåðèîäè÷åñêè ñ ðàçíûìè ïåðèîäàìè äëÿ ðàçíûõ êóáèòîâ. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ïåðâûé ïîäõîä.

Ìåòîä ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ

p ðàññìîòðèì Ïóàññîíîâñêèé 0 < tp1 < tp2 < . . . < tpmp < 1 ñ íåêîòîðîé èêñèðîâàííîé ïëîòíîñòüþ λ ≫ 1. Ïóñòü âñå Ap íåçàâèñèìû. Òåïåðü p âûïîëíèì îïåðàöèè NOT íàä êàæäûì êóáèòîì ñ íîìåðîì p â ìîìåíòû tm ïîñëåäîâàòåëüíî.  ìîìåíò 1 âûïîëíÿåì NOT íàä pì êóáèòîì åñëèì è òîëüêî åñëè mp íå÷åòíî. Òàêèì îáðàçîì, ïîñëå ýòîé ïðîöåäóðû êàæäûé êóáèò âîññòàÄëÿ êàæäîãî íåâûäåëåííîãî êóáèòà ñ íîìåðîì

ïðîöåññ

Ap ,

ãåíåðèðóþùèé ìîìåíòû âðåìåíè

íîâèò ñâîå èñõîäíîå çíà÷åíèå. Ïîñ÷èòàåì àçîâûé ñäâèã, ïîðîæäàåìûé ýòîé ïðîöåäóðîé. Âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó âûäåëåííûìè êóáèòàìè îñòàþòñÿ íåçàòðîíóòûìè. Çàèêñèðóåì íåêîòîðûé íåâûäåëåííûé êóáèò è ïîñ÷èòàåì åãî âêëàä â àçó. Îí ñîñòîèò èç äâóõ ñëàãàåìûõ: ïåðâîå ïðîèñõîäèò èç-çà âçàèìîäåéñòâèÿ ñ âûäåëåííûìè, à âòîðîå - èç-çà âçàèìîäåéñòâèÿ ñ íåâûäåëåííûìè êóáèòàìè. Ïîñ÷èòàåì èõ ïîñëåäîâàòåëüíî. 1. Ââèäó áîëüøîé ïëîòíîñòè

λ

ñèìîñòè ìîìåíòîâ âðåìåíè ñîâåðøåíèÿ NOT- îïåðàöèé íàä

pì

Ïóàññîíîâñêîãî ′ ïðîöåññà Ap îêîëî ïîëîâèíû âðåìåíè pé êóáèò áóäåò íàõîäèòüñÿ â ñîñòîÿíèè ap , ′ à îñòàâøóþñÿ ïîëîâèíó - â ñîñòîÿíèè 1 − ap . Åãî âçàèìîäåéñòâèå ñ âûäåëåííûì 1 1 1 ′ ′ ′ ′ ′ êóáèòîì, ñêàæåì, ñ j ì, äàñò âêëàä dp,j ap aj + dp,j (1 − ap )aj òî åñòü dp,j aj . 2. 2 2 2 àññìîòðèì ðàçëè÷íûå íåâûäåëåííûå êóáèòû ñ íîìåðàìè q 6= p. Ââèäó íåçàâè-

qì

êóáèòàìè ′ ′ è áîëüøîé ïëîòíîñòè λ, ýòè êóáèòû áóäóò â êàæäîì èç ñîñòîÿíèé (ap , aq ), ′ ′ ′ ′ ′ ′ (ap , 1 − aq ), (1 − ap , aq ), (1 − ap , 1 − aq ) ïðèáëèçèòåëüíî ÷åòâåðòü âñåãî âðåìåíè 1 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ åçóëüòèðóþùèé âêëàä áóäåò dp,q [ap aq + ap (1 − aq ) + (1 − ap )aq + (1 − ap )(1 − aq )] 4 = 41 dp,q . Îáùèé àçîâûé ñäâèã, ïðîèñõîäÿùèé èç-çè ïðèñóòñâèÿ íåâûäåëåííûõ êóáèòîâ, íàõîäèòñÿ òåïåðü ñóììèðîâàíèåì çíà÷åíèé èç ïóíêòîâ 1 è 2 äëÿ âñåõ

p∈ / {j, k}.

è

Ýòî áóäåò

X 1 X 1 [ dp,j a′j + dp,k a′k ] + 2 4 p∈{j,k} /

p∈{j,k} /

X

dp,q .

p,q ∈{j,k} /

Ýòîò ñäâèã ìîæåò áûòü ñêîìïåíñèðîâàí òîëüêî îäíîêóáèòíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ïîñêîëüêó ïåðâûå äâà ñëàãàåìûõ çàâèñÿò òîëüêî îò çíà÷åíèé êóáèòîâ, à äðóãèå âîîáùå êîíñòàíòû. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè ñõåìó ñ íåïðåðûâíûì äâóõêóáèòíûì âçàèìîäåéñòâèåì, è îäíîêóáèòíûìè îïåðàöèÿìè, âûïîëíÿþùóþ ′ ′ àçîâûé ñäâèã íà dj,k aj ak . Åñëè âçÿòü âðåìåííîé ïðîìåæóòîê ∆t âìåñòî åäèíè′ ′ öû âðåìåíè â ýòîé ïðîöåäóðå, ìû ïîëó÷èì àçîâûé ñäâèã íà ∆t dj,k aj ak . Åñëè ′ ′ ìû õîòèì ïîëó÷èòü ñäâèã íà −∆t dj,k aj ak , ìû ñíà÷àëà äîëæíû ïðèìåíèòü NOT êóáèòó, çàòåì ïðåäûäóùóþ ïðîöåäóðó, çàòåì îïÿòü NOT ê j ìó êóáèòó è ′ íàêîíåö ïðèáàâèòü −∆t dj,k ak îäíîêóáèòíîé îïåðàöèåé. Èòàê, ìû ìîæåì ñäå′ ′ ëàòü ëþáîé äîáàâîê ê àçå âèäà c · aj ak äëÿ âåùåñòâåííîãî c íåçàâèñèìî îò åãî ê

j ìó

.7.

ÅÀËÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÎÄÅËÈ ÊÂÀÍÒÎÂÛÕ ÊÎÌÏÜÞÒÅÎÂ

313

çíàêà. Ïîäõîäÿùàÿ êîìáèíàöèÿ ýòèõ ñõåì äàñò àçîâûé ñäâèã

X

cj,k a′j a′k

(21)

j,k

QF T −1 â ïðîöåäóðå èç ïðåäûäóùåãî ïóíêòà, ìû êîìïåíñèðóåì ñëàãàåìûå A è B â àçå è ïîëó÷èì ñõå−1 ìó, ðåàëèçóþùóþ QF T . Îøèáêè, âîçíèêàþùèå â ýòîé ñõåìå, ïðîèñõîäÿò èç

äëÿ ëþáîãî

cj,k .

àçìåùàÿ ýòè îïåðàöèè ïåðåä è ïîñëå

âîçìîæíîé íåêà÷åñòâåííîñòè Ïóàññîíîâñêèõ ïðîöåññîâ, ãåíåðèðóþùèõ ìîìåíòû ñîâåðøåíèÿ îïåðàöèé NOT, à òàêæå èç âçàèìîäåéñòâèÿ, ïðîèñõîäÿùåãî â òå÷åíèè ýòèõ îïåðàöèé. Îíè ìîãóò áûòü ìèíèìèçèðîâàíû ñ óâåëè÷åíèåì ïëîòíîñòè

λ è óìåíüøåíèåì âðåìåíè NOT îïåðàöèé ïî ñðàâíåíèþ ñ îáû÷íûì âðåìåíåì dj,k . Îöåíèì çà-

äâóõêóáèòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, îïðåäåëÿåìûõ âçàèìîäåéñòâèåì

ìåäëåíèå, âûçâàííîå âñòàâêàìè NOT-îâ â áîëüøîé ïëîòíîñòüþ ïî ñðàâíåíèþ ñ àáñòðàêòíîé ðåàëèçàöèåé êâàíòîâûõ àëãîðèòìîâ íà ñõåìàõ èç óíêöèîíàëüíûõ ýëåìåíòàõ. Ýòî íàäî òàê. Çàèêñèðóåì åäèíèöó âðåìåíè òàê, ÷òî ïðèìåíåíèå îäíîé îïåðàöèè â ñõåìå òðåáóåò åäèíè÷íîãî âðåìåíè. Ïóñòü âðåìÿ ðàçäåëåíî íà ðàâíûå êîðîòêèå èíòåðâàëû äëèíû

åäèíèö, NOT-û ìîæíî âûïîëíÿòü òîëü-

p = 1/λ, ãäå λ åñòü ïëîòíîñòü ïðîöåññà. Ïóñòü âðåìÿ âû÷èñëåíèÿ ðàâíî T , è M = T /δt. Îøèáêî â ìîìåíòû âèäà

kδt

δt

äëÿ âñÿêîãî öåëîãî

k

ñ âåðîÿòíîñòüþ

êà â ñäâèãå àçû ïðîèñòåêàþùàÿ èç íåêà÷åñòâåííîñòè ýòîé ìîäåëè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà, áóäåò

δt D

ãäå

D

åñòü äèñïåðñèÿ ñóììû ñëó÷àéíûõ âåîè÷èí, ïðèíè-

√ p√è 1 − p ÷òî åñòü O( M ). Çíà÷èò, ðåçóëüòèðóþùàÿ îøèáêà áóäåò ïîðÿäêà T / M è äîëæíà áûòü ïðåíåáðåæèìî log2 N ìàëîé. Äëÿ QFT ìû èìååì T = O(log N) è ìû ïîëó÷àåì ÷òî M = O( ) áóäåò ǫ äîñòàòî÷íî äëÿ èñ÷åçàþùå ìàëîé ǫ. Èòàê, âèäíî, ÷òî ìåòîä ñëó÷àéíûõ ïðîöåñìàþùèõ çíà÷åíèÿ 1 è 0 ñ âåðîÿòíîñòÿìè

ñîâ äàåò íåìíîãî áîëåå êâàäðàòè÷íîãî çàìåäëåíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñî ñòàíäàðòíîé ìîäåëüþ, ÷òî âïîëíå äîïóñòèìî â ñëó÷àå òàêèõ áûñòðûõ àëãîðèòìîâ, êàê QFT. Òåïåðü ìû äîêàæåì óíèâåðñàëüíîñòü ïðåäëîæåííîé ìîäåëè êâàíòîâûõ âû÷èñëåíèé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó êóáèòàìè çàâèñèò òîëüêî îò èõ ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàñïîëîæåíèÿ, êîòîðîå ìû áóäåì ñ÷èòàòü èêñèðîâàííûì. Åäèíñòâåííîå óñëîâèå, íàëàãàåìîå íàìè íà âçàèìîäåéñòâèå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíî äîëæíî áûòü äèàãîíàëüíûì. Òàêèì îáðàçîì åñëè

j

è

k

îáîçíà-

÷àþò íîìåðà äâóõ êóáèòîâ, òî àìèëüòîíèàí èõ âçàèìîäåéñòâèÿ èìååò îäèí èç âèäîâ



 A) Hj,k =  

 0 0 E1j,k 0 0 E2j,k 0 0  , j,k 0  0 0 E3 0 0 0 E4j,k



 B) Hj,k =  

0 0 0 0

0 0 0 0

 0 0 0 0   , Ej,k > 0. 0 0  0 Ej,k (22)

Ñíà÷àëà çàìåòèì, ÷òî âñÿêîå âçàèìîäåéñòâèå îáùåãî âèäà (17, A) ìîæåò áûòü ñâåäåíî ê âèäó (17, B) ïðèáàâëåíèåì ïîäõîäÿùèõ îäíîêóáèòíûõ àìèëüòîíèà-

314 íîâ

ËÈÒÅÀÒÓÀ

′ Hj,k ,

ìàòðèöû êîòîðûõ èìåþò âèäû

   

a 0 0 0

0 a 0 0

0 0 b 0

 0 0  , 0  b

   

α 0 0 0

0 β 0 0

0 0 α 0

 0 0  . 0  β

Ýòà äîáàâêà ïðèâîäèò àìèëüòîíèàí âèäà (22, A) ê (22, B) è ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíà áûñòðûìè îäíîêóáèòíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè, ïîñêîëüêó âñå äèàãîíàëüíûå ìàòðèöû êîììóòèðóþò. Çàìåòèì, ÷òî ðàçíûå ïàðû êóáèòîâ ìîãóò âçàèìîäåéñòâîâàòü ïî ðàçíîìó, ìîãóò áûòü ðàñïîëîæåíû íà ðàçëè÷íûõ ðàññòîÿíèÿõ, íå îáÿçàòåëüíî íà ïðÿìîé è ò.ï. ×òîáû äîêàçàòü óíèâåðñàëüíîñòü âû÷èñëèòåëüíîé ìîäåëè ñ íåïðåðûâíûì âçàèìîäåéñòâèåì, ìû äîëæíû ïîêàçàòü, êàê âûïîëíèòü ïðîèçâîëüíóþ äâóõêóáèòîâóþ îïåðàöèþ. Ïóñòü äàíà óíèðàòíàÿ îïåðàöèÿ, èíäóöèðîâàííàÿ àìèëüòîíèàíîì (22, B) â òå÷åíèå åäèíè÷íîãî âðåìåíè:

Uj,k = exp(−iHj,k )

(Ïîñòîÿííóþ Ïëàíêà ìû, êàê âñåãäà, ñ÷èòàåì ðàâíîé

1). Ïîêàæåì êàê âûïîëíèòü ýòó îïåðàöèþ íàä äâóìÿ êóáèòàìè:

j ì è k ì, ñîõðà-

íÿÿ âñå äðóãèå íåòðîíóòûìè. Èìåííî ýòî ïîñëåäíåå óñëîâèå òðóäíî îáåñïå÷èòü â ñëó÷àå íåïðåðûâíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Åñëè ìû ñìîæåì ýòî ñäåëàòü, òî ìû áóäåì â ñîñòîÿíèè ðåàëèçîâàòü ëþáóþ äâóõêóþèòíóþ îïåðàöèþ íàä ëþáîé ïàðîé êóáèòîâ. Òîãäà äëÿ äàëüíåãî âçàèìîäåéñòâèÿ ìû áóäåì èìåòü, ñàìîå áîëüøåå, ëèíåéíîå çàìåäëåíèå ïî ñðàâíåíèþ ñî ñòàíäàðòíîé ìîäåëüþ êâàíòîâûõ âû÷èñëåíèé, à äëÿ êîðîòêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ íàì íóæíî áóäåò âûïîëíÿòü îïåðàöèè SWAP, ÷òîáû ñâåñòè òðåáóåìóþ ïàðó êóáèòîâ âìåñòå, è òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èì êî âðåìåíè âû÷èñëåíèÿ ìíîæèòåëü, ïðîïîðöèîíàëüíûé ðàçìåðó ïàìÿòè. Äëÿ îñóùåñòâëåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ

Uj,k

íàäî ïðèìåíèòü îïèñàííûé

â ïðåäûäóùåì ïóíêòå ìåòîä ïðåîáðàçîâàíèé NOT íàä íåâûäåëåííûìè êóáèàìè â ìîìåíòû âðåìåíè, êîòîðûå ãåíåðèðóþòñÿ íåçàâèñèìûìè Ïóàññîíîâñêèìè ñëó÷àéíûìè ïðîöåññàìè áîëüøîé ïëîòíîñòè. Îäíàêî òåïåðü âûãîäà îò òàêîãî ìåòîäà áóäåò íå ñòîëü î÷åâèäíà, êàê â ñëó÷àå QFT, ïîñêîëüêó, íàïðèìåð, êâàíòîâûé ïåðåáîð òðåáóåò âñå òàêè íå ëîãàðèìè÷åñêîãî âðåìåíè à êâàäðàòíîãî êîðíÿ èç âðåìåíè êëàññè÷åñêîãî âû÷èñëåíèÿ. Äëÿ òàêèõ ñëó÷àåâ ìîæíî ïðèìåíèòü ñëåäóþùóþ ìîäèèêàöèþ íàøåãî ïðèåìà.

Ìåòîä ïåðèîäè÷åñêèõ NOTîâ Ìû áóäåì ñîâåðøàòü ïðåîáðàçîâàíèÿ NOTs íà êàæäîì èç ìåíòû âðåìåíè âèäà

jkδt

äëÿ öåëûõ

k,

ãäå

δt åñòü

jõ

êóáèòîâ â ìî-

ñíîâà ìàëûé âðåìåííîé ïðî-

ìåæóòîê. Òîãäà ìû ìîæåì ïîâòîðèòü êîíñòðóêöèþ, îïèñàííóþ âûøå è èçáàâèòüñÿ îò íåæåëàòåëüíûõ àçîâûõ ñäâèãîâ ñ ïîìîùüþ íàäëåæàùåãî âûáîðà δt. Ýòîò ìåòîä äàñò çàìåäëåíèå â âèäå ñîìíîæèòåëÿ ïîðÿäêà n2 ïî ñðàâíåíèþ ñî ñëîæíîñòüþ àáñòðàêòíîé ìîäåëè êâàíòîâûõ óíêöèîíàëüíûõ ñõåì. Òåïåðü îñòàëîñü ïîêàçàòü, êàê ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèé

Uj,k

ìîæíî ñîâåðøèòü ëþáîå

äâóõêóáèòîâîå ïðåîáðàçîâàíèå. Íàïðèìåð, ïðîäåìîíñòðèðóåì, êàê ðåàëèçóåòñÿ îïåðàöèÿ CNOT íàä äàííîé ïàðîé êóáèòîâ. Ïóñòü

j, k

èêñèðîâàíû, è áóäåì

.7.

ÅÀËÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÎÄÅËÈ ÊÂÀÍÒÎÂÛÕ ÊÎÌÏÜÞÒÅÎÂ

315

∆E ∈ / Q ( ∆E íå π π ðàöèîíàëüíî), òî (òàê êàê èçè÷åñêèå ïàðàìåòðû íàøåé ñèñòåìû, âëèÿþùèå íà

îïóñêàòü èíäåêñû. Îáîçíà÷èì

∆E = E1 − E2 − E3 + E4 .

Åñëè

àçû, íàïðèìåð, ïåðèîäû öèêëîâ, ìîãóò áûòü íåìíîãî èçìåíåíû, ÷òîáû èçáåæàòü ðàöèîíàëüíîñòè ýòîãî ïàðàìåòðà, ìû ìîæåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî îí èððàöèîíàëåí áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè) ìû ìîæåì îñóùåñòâèòü îïåðàöèþ CNOT



 1  0 CNOT =   0 0

0 1 0 0

0 0 0 1

 0  0  1 0

íàä âûáðàííîé ïàðîé áëèçëåæàùèõ êóáèòîâ, èñïîëüçóÿ òîëüêî îäíîêóáèòîâûå ïðåîáðàçîâàíèÿ è èêñèðîâàííóþ äâóõêóáèòîâóþ äèàãîíàëüíóþ îïåðàöèþ E    exp (iE1 ) 0 0 0    0 exp (iE2 ) 0 0  ñëåäóþùèì îáðàçîì. E =     0 0 exp (iE3 ) 0 0 0 0 exp (iE4 ) I. Îáîçíà÷èì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðîòàöèé àçû ïåðâîãî êóáèòà ÷åðåç



  exp (−iE1 ) 0 A= âòîðîãî êóáèòà ÷åðåç B = 0 exp (−iE2 ) ,   1 0 0 0  0 1 0 N 0   è îïåðàöèþ E ÷åðåç U U = E (A B) =   0 0 1 0 0 0 0 exp (i∆E) . ∆E II. Èñïîëüçóÿ èððàöèîíàëüíîñòü ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ∀ε > 0∃m ∈ N∃n ∈ π N : |∆En−π(2m+ 1)| < ε, ò.å. ïðè ëþáîé âûáðàííîé òî÷íîñòè ε ñóùåñòâóåò  n =  1 0 0 0 0 1 0 0    n(ε) òàêîé ÷òî U n ïðèáëèæàåò ïðåîáðàçîâàíèå Π Π =  0 0 1 0  ñ çà0N0 0 −1 N H)Π(I H) = CNOT, äàííîé òî÷íîñòüþ. III. Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå (I  ãäå 1 1 I åñòü òîæäåñòâåííàÿ ìàòðèöà è H - îïåðàöèÿ Àäàìàðà H = √12 ìû 1N−1 N N âèäèì, ÷òî CNOT ïîëó÷àåòñÿ êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (I H) (E (A B))n (I H) 1 0 0 exp (i (E1 − E3 ))



îäíîêóáèòíûõ ðîòàöèé è îïåðàöèè E.

.7.3 Ôîðìàëèçì ÷èñåë çàïîëíåíèÿ àññìîòðèì ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç

n

îäèíàêîâûõ ÷àñòèö. Ñíà÷àëà ñäåëàåì íå

âïîëíå èçè÷íîå ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî ìîæåì èõ íàäåæíî ðàçëè÷àòü. Òîãäà ñîñòîÿíèå ýòîé ñèñòåìû ïðèíàäëåæèò èëüáåðòîâó ïðîñòðàíñòâó ñ áàçèñîì

ψ(r1 , r2 , . . . , rn ) = ψj1 (r1 )ψj2 (r2 ) . . . ψjn (rn ) ãäå {ψj } ñóòü íåêîòîðûé áàçèñ äëÿ ñîñòîÿíèé îäíîé ÷àñòèöû, js ïðèíàäëåæèò íåêîìó èêñèðîâàííîìó ìíîæåñòâó

316

ËÈÒÅÀÒÓÀ

èíäåêñîâ

1, 2, . . . , J ,

òàê ÷òî

rj

âêëþ÷àåò êàê ïðîñòðàíñòâåííûå, òàê è òàê íà-

çûâàåìûå ñïèíîâûå êîîðäèíàòû

12

Âûáîð áàçèñà ïðîñòî îçíà÷àåò, ÷òî ñèñòåìà

ïîñëå èçìåðåíèÿ ìîæåò áûòü íàéäåíà òîëüêî â êàêîì-ëèáî èç áàçèñíûõ ñîñòîÿíèé. Îäíàêî â ðåàëüíîé ñèñòåìå èç èäåíòè÷íûõ ÷àñòèö îíè íå ìîãóò áûòü ðàçëè÷åíû. Ñëåäîâàòåëüíî, âñÿêîå áàçèñíîå ñîñòîÿíèå äîëæíî ñîäåðæàòü âñå ñëàãàåìûå âèäà

ψj1 (r1 )ψj2 (r2 )) . . . ψjn (rn )

ñ íåêîòîðûìè êîýèöèåíòàìè. Òåïåðü

íàì ïîíàäîáèòñÿ íåêàÿ èíîðìàöèÿ î ïðèðîäå ðàññìàòðèâàåìûõ ÷àñòèö. Îíè ìîãóò áûòü ëèáî åðìèîíàìè (êàê ýëåêòðîíû èëè ïðîòîíû), ëèáî áîçîíàìè (êàê îòîíû). àçíèöà ìåæäó ýòèìè òèïàìè ÷àñòèö ñîñòîèò â òîì, ÷òî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ñïèíà åðìèîíîâ - ïîëóöåëîå (1/2, 3/2 è ò.ä.) à ó áîçîíîâ öåëîå (0,1,2, è ò.ä.). Äëÿ íàñ æå ñóùåñòâåííî òî, ÷òî âîëíîâàÿ óíêöèÿ ñèñòåìû åðìèîíîâ äîëæíà ìåíÿòü ñâîé çíàê ïðè ïåðåñòàíîâêå ëþáûõ äâóõ ÷àñòèö, à ó ñèñòåìû áîçîíîâ - ñîõðàíÿòü åãî. Òîãäà î÷åíü åñòåñòâåííî áûëî áû äëÿ ñèñòåìû

n

åðìèîíîâ ïðåäñòàâëÿòü áàçèñíîå ñîñòîÿíèå â âèäå äåòåðìèíàíòà âèäà

1 √ Ψ= N!

ψj1 (r1 ) ψj1 (r2 ) . . . ψj1 (rn ) . . . . .. .. .. .. , ψjn (r1 ) ψjn (r2 ) . . . ψjn (rn )

(23)

à äëÿ ñèñòåìû áîçîíîâ - â âèäå ïåðìàíåíòà ìàòðèöû àíàëîãè÷íîãî âèäà

13

. Òà-

êîå ñîñòîÿíèå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñèòóàöèþ, ïðè êîòîðîé òîëüêî ñîñòîÿíèÿ

ψk

ψjs for s = 1, 2, . . . , n k ∈ {1, 2, . . . , J}, íå

for

çàíÿòû ÷àñòèöàìè èç íàøåé ñèñòåìû, à îñòàëüíûå èìåþùèå âèäà

js

- ñâîáîäíû. Åñëè

ψ

ñ èíäåêñàìè

îáîçíà÷àåò ñîáñòâåííûé âåêòîð îäíî÷àñòè÷íîãî àìèëüòîíèàíà, ìû ãîâîðèì î çàíÿòûõ èëè ñâîáîäíûõ ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíÿõ, íî, âîîáùå ãîâîðÿ,

ψk

ìîãóò

îáðàçîâûâàòü ïðîèçâîëüíûé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé îäíîé ÷àñòèöû. Ñîñòîÿíèå âèäà (23) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî êàêñèìâîë

|¯ nΨ i = |n1 , n2 , . . . , nJ i

ãäå

nk

åñòü åäèíèöà åñëè

k ûé

ýíåðãåòè÷åñêèé óðîâåíü

çàíÿò, è íóëü, åñëè ýòîò óðîâåíü ñâîáîäåí. Ýòî - åñòåñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå ñîñòîÿíèÿ åðìèîíîâñêîãî àíñàìáëÿ â òåðìèíàõ ÷èñåë çàïîëíåíèÿ. Òàêèå âåêòîðû

n ¯

ñîñòàâëÿþò áàçèñ Ôîêîâñêîãî ïðîñòðàíñòâà è îáùàÿ îðìà ñîñòîÿíèÿ

P

λn¯ |¯ ni ñ àìïëèòóäàìè λ. n ¯ Îïåðàòîð óíè÷òîæåíèÿ aj ÷àñòèöû â ñîñòîÿíèè j ãî óðîâíÿ è åãî ñîïðÿæåí+ σ íûé îïåðàòîð aj (ñîçäàíèå) îïðåäåëÿþòñÿ êàê aj |n1 , . . . , nJ i = δ1,nj (−1) j |n1 , . . . , nj−1 , n

íàøåé ñèñòåìû áóäåò èìåòü âèä

1, nj+1, . . . , nJ i

íûìè

σj = n1 + . . . + nj . Îíè îáëàäàþò èçâåñòíûìè êîììóòàöèîí+ + + + + + ñîîòíîøåíèÿìè: aj ak + ak aj = δj,k , aj ak + ak aj = aj ak + ak aj = 0. ãäå

12 Ñïèí ýòî âíóòðåííèé ìîìåíò êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ÷àñòèöû, êîòîðûé èìååò ðåëÿòèâèñòñêóþ ïðèðîäó è ìîæåò ïðèíèìàòü ðàçíûå çíà÷åíèÿ â çàâèñèìîñòè îò òèïà ðàññìàòðèâàåìûõ ÷àñòèö. Íàïðèìåð, äëÿ ýëåêòðîíîâ ïðîåêöèÿ ñïèíà íà âûáðàííóþ îñü ïîñëå èçìåðåíèÿ ïðèíèìàåò òîëüêî äâà âîçìîæíûõ çíà÷åíèÿ. 13 Ïåðìàíåíò ìàòðèöû îòëè÷àåòñÿ îò åå äåòåðìèíàíòà òîëüêî òåì, ÷òî ïðè åãî âû÷èñëåíèè íåò íèêàêèõ âû÷èòàíèé - îäíè ñëîæåíèÿ, òàê ÷òî îí íå ìåíÿåò âåëè÷èíû ïðè ïåðåñòàíîâêå ñòðîê èëè ñòîëáöîâ ìàòðèöû.

.7.

317

ÅÀËÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÎÄÅËÈ ÊÂÀÍÒÎÂÛÕ ÊÎÌÏÜÞÒÅÎÂ

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñÿêîå âçàèìîäåéñòâèå â Ïðèðîäå çàòðàãèâàåò íå áîëåå äâóõ ÷àñòèö. Òîãäà âñÿêîå âçàèìîäåéñòâèå â ìíîãî÷àñòè÷íîì àíñàìáëå ìîæåò áûòü ðàçëîæåíî â ñóììó îäíî - è äâóõ - ÷àñòè÷íûõ âçàèìîäåéñòâèé âèäà ′ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ïîòåíöèàëàìè V1 (r) è V2 (r, r ). Êàæäûé

H = Hone + Htwo

èç íèõìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí îïåðàòîðàìè ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ â âèäå P P + Hk,l a+ Hk,l,m,na+ k al , Htwo = l ak am an ãäå k,l k,l,m,n

Hone =

R Hk,l = hψk | Hone |ψl i = ψk∗ (r)V1 (r)ψ R l (r)dr, Hk,l,m,n = hψl , ψk |Htwo | ψm ψn i = ψk∗ (r)ψl∗ (r ′)V2 (r, r ′)ψm (r)ψn (r ′ )drdr ′.

Çíà÷èò, åñëè äàíû ïîòåíöèàëû âñåõ âçàèìîäåéñòâèé è âñå áàçèñíûå ñîñòîÿíèÿ

ψi ,

òî ìû ìîæåì â ïðèíöèïå íàéòè èõ ïðåäñòàâëåíèå â òåðìèíàõ îïåðàòîðîâ

ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ, òî åñòü íà ÿçûêå ÷èñåë çàïîëíåíèÿ. P i P i,j àññìîòðèì àíñàìáëü ñ àìèëüòîíèàíîì âèäà H = i Hext.f. + i,j (Hdiag. + i,j Htun. ), ãäå àìèëüîíèàíû âíåøíèõ ïîëåé, äèàãîíàëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ è òóííåëèðîâàíèÿïðåäñòàâëÿþòñÿ â òåðìèíàõ îïåðàòîðîâ ðîæäåíèÿ è óíèòîæåíèÿ êàê

i Hext.f. = αi a+ αi ∈ R, i ai , i,j + + Hdiag. = βi,j ai ai aj aj , βi,j ∈ R, i,j ∗ + Htun. = γi,j a+ i aj + γi,j aj ai .

(24)

Çàìåòèì ÷òî îñóùåñòâèòü óïðàâëåíèå äèàãîíàëüíûì àìèëüòîíèàíîì áûëî áû íåïðîñòî, ïîñêîëüêó òàêîå âçàèìîäåéñòâèå äîëæíî áûëî áû çàòðàãèâàòü äâå ïðîèçâîëüíûå ÷àñòèöû ðàññìàòðèâàåìîãî àíñàìáëÿ, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ íåðàçëè÷èìûìè ïî ïðèíöèïó èäåíòè÷íîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ëîãè÷íî ñ÷èòàòü, ÷òî òàêîå âçàèìîäåéñòâèå ïîñòîÿííî, è íå ïîäâëàñòíî íàøåìó êîíòðîëþ, â òî âðåìÿ êàê ìû ìîæåì ýåêòèâíî óïðàâëÿòü òóííåëüíûì âçàèìîäåéñòâèåì. Ïðè òàêîé îðìå óïðàâëåíèÿ âîçìîæíî ðåàëèçîâàòü ëþáîå êâàíòîâîå âû÷èñëåíèå. Ýòîò òèï êîíòðîëÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ áîëåå ðåàëèñòè÷íûì, òàê êàê òóííåëèðîâàíèåì ìîæíî â ïðèíöèïå óïðàâëÿòü ñ ïîìîùüþ ëàçåðíûõ èìïóëüñîâ.

.7.4 Âû÷èñëåíèÿ, óïðàâëÿåìûå â ïîìîùüþ òóííåëèðîâàíèÿ Äëÿ òîãî, ÷òîáû äîêàçàòü óíèâåðñàëüíîñòü ïðåäëàãàåìîé óïðîùåííîé ñõåìû óïðàâëåíèÿ åðìèîííûìè âû÷èñëåíèÿìè, ìû äîëæíû ñäåëàòü îäíîòåõíè÷åñîå ïðèãîòîâëåíèå, à èìåííî, óñòàíîâèòü íåñêîëüêî èíîå ñîîòíîøåíèå ìåæäó èëüáåðòîâñêèì ïðîñòðàíñòâîì êóáèòîì è Ôîêîâñêèì ïðîñòðàíñòâîì ÷èñåë çàïîëíåíèÿ, ÷åì òî åñòåñòâåííîå ñîîòâåòñòâèå, î êîòîðîì ãîâîðèëîñü âûøå. Çàèêñèðóåì íåêîòîðîå ðàçáèåíèå âñåõ ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé íà äâå ðàâíûå ÷àñòè è âûáåðåì íåêîòîðîå âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ýòèìè ÷àñòÿìè. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü óðîâíÿ Ôåðìè

ǫF

è óñëîâèòüñÿ, ÷òî îí ñîîòâåòñòâóåò

k ìó

ké

óðîâåíü âíèç îò

óðîâíþ ââåðõ îò

ǫF .

318

ËÈÒÅÀÒÓÀ

óðîâåíü âíèçîò ãðàíèöû Ôåðìè ÷åðåç îáû÷íóþ áóêâó, à j é ′ óðîâåíü ââåðõ îò ýòîé ãðàíèöû ÷åðåç áóêâó ñî øòðèõîì j . Íàçîâåì ïåðâûé óðî-

Ìû îáîçíà÷èì âåíü

jì

jì N âåðõíèì óðîâíåì. Ôîêîâñêîå N N F = F1 F2 . . . Fk ãäå êàæäûé

íèæíèì óðîâíåì, à âòîðîé óðîâåíü -

F

ïðîñòðàíñòâî

Fj

jé

ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê

ñîîòâåòñòâóåò

jé Fj

ïàðå ñîîòâåòñâóþùèõ ýíåðãåòè÷åñêèõ ðîâíåé. àññìîòðèì

Fj , êîòîðîå ïîðîæäåíî äâóìÿ ñëåäóþùèìè âåêòîðàìè. ′ Ïåðâûé áóäåò òàêèì: "j é óðîâåíü çàíÿò, à j é ñâîáîäåí âòîðîé æå áóäåò òà′ êèì: "j é óîâåíü çàíÿò, à j é ñâîáîäåí". Îáîçíà÷àåì èõ ÷åðåç |1ij è |0ij ñîîòN N N âåòñòâåííî. Ìû áóäåì ðàáîòàòü ñ ïîäïðîñòðàíñòâîì F = F1 F2 . . . Fk â Ôîêîâñêîì ïðîñòðàíñòâå F . Îïðåäåëèì óíêöèþ θ , êîòîðàÿ îòîáðàæàåò íàøå èëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî H â F ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåãî îïðåäåëåíèÿ äåéñòâèÿ N N N íà áàçèñíûõ ñîñòîÿíèÿõ: θ(|ξ1 , ξ2 . . . ξn i) = |ξ1 i1 |ξ2 i2 . . . |ξn in ãäå âñå ξj åñòü íóëè è åäèíèöû. Òîãäà θ óñòàíàâëèâàåò íåñòàíäàðòíîå ñîîâåòñòâèå ìåæäó ïîäïðîñòðàíñòâî

â

èëüáåðòîâñêèì è Ôîêîâñêèì ïðîñòðàíñòâàìè (ñì. ðèñóíîê 1).

Îäíîêóáèòîâîå ñîñòîÿíèå â èëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñîîòâåòñòâóåò äâóõêóáèòîâîìó ñîñòîÿíèþ â îáû÷íîì îòîæäåñòâëåíèè ñ êóáèòàìè (îäèí óðîâåíü îäèí êóáèò). Ìû óâèäèì, ÷òî òàêîå îòîæäåñòâëåíèå ëó÷øå ñîîòâåòñòâóåò íàøèì öåëÿì, ÷åì åñòåñòâåííîå. Èòàê, òåïåðü âñå ãîòîâî äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ óíèòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé â èëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå â òåðìèíàõ îïåðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ â ïðîñòðàíñòâå ÷èñåë çàïîëíåíèÿ. àññìîòðèì ýðìèòîâ îïåðàòîð äâóìåðíîì èëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé îäíîãî êóáèòà âèä

H0 + H1 ,

ãäå

H0 = ξ∈H



d1 0 0 d2 |0i2



, H1 =



0 d d¯ 0



|1i2

|010i

e

u

u e

θ(ξ) 0

ǫF

1

3

èñóíîê 1.

Îí èìååò

e

1′

2

â

.

3′ 2′

H.

H

u u

e

e u

Ñîîòâåòñòâèå ìåæäó Ôîêîâñêèì è èëüáåðòîâûì ïðîñòðàíñòâàìè

.7.

ÅÀËÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÎÄÅËÈ ÊÂÀÍÒÎÂÛÕ ÊÎÌÏÜÞÒÅÎÂ

319

˜ 0 = d1 a+ ak + d2 a+′ ak′ è Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî äëÿ îïåðàòîðîâ H k k ¯ +′ ak (âíåøíåãî ïîëÿ è òóííåëèðîâàíèÿ) âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà ˜ 1 = da+ ak′ + da H k k ˜ i θ = θHi äëÿ i = 0, 1. Èñïîëüçóÿ ëèíåéíîñòü θ, ìû íàõîäèì (H ˜0 + H ˜ 1 )θ = θH . H Òåïåðü ðàññìîòðèì îäíîêóáèòîâîå óíèòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå U â èëüáåðòîâîì −iH ïðîñòðàíñòâå. Îíî èìååò îðìó e äëÿ àìèëüòîíèàíà H (ìû âûáðàëè ïîäõîäÿùóþ åäèíèöó âðåìåíè äëÿ òîãî, ÷òîáû èçáàâèòüñÿ îò ïîñòîÿííîé Ïëàíêà −1 s −1 s è âðåìåíè). Â ñèëó ëèíåéíîñòè θ è ðàâåíñòâà θ H θ = (θ Hθ) äëÿ íàòóðàëüíûõ

U

s

ìû íàõîäèì, ÷òî äëÿ âñêîãî îäíîêóáèòíîãî óíèòàðíîãî îïåðàòîðà

ìîæíî ýåêòèâíî íàéòè ñîîòâåòñòâóþùèé àìèëüòîíèàí â Ôîêîâñêîì ïðî-

ñòðàíñòâå, ñîäåðæàùèé òîëüêî âíåøíåå ïîëå è òóííåëèðîâàíèå, êîòîðûé äåëàåò äèàãðàììó A èç ðèñóíêà 2 çàìêíóòîé.

Çàéìåìñÿ äâóõêóáèòíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè â èëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. Ïîñêîëüêó âñå äèàãîíàëüíûå ìàòðèöû êîììóòèðóþò, äëÿ âñåõ äèàãîíàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé â ïðîñòðàíñòâå

Fk

N

Fj

ìû ìîæåì ýåêòèâíî íàéòè ñîîò-

âåòñòâóþùèé äèàãîíàëüíûé îïåðàòîð â èëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå, êîòîðûé äåëàåò äèàãðàììó B èç ðèñóíêà 2 çàìêíóòîé.

Òåïåðü âñå ãîòîâî äëÿ ïåðåíîñà ïðèåìà èç ðàáîòû [45℄ ñ îäíîêóáèòíûì óïðàâëåíèåì íà Ôîêîâñêîå ïðîñòðàíñòâî. Êîìáèíàöèÿ äèàãðàìì èç ðèñóíêîâ 2 äàñò äèàãðàììó èç ðèñóíêà 3.

F˜

ext. eld + tunneling

6

6

θ H

- F˜

θ

one-qubit on

H

-H

F˜

F˜

diagonal

6

6

θ H

A

- F˜

θ

H

diagonal

-H

B

èñóíîê 2. Ñîîòâåòñâèå îïåðàòîðîâ â Ôîêîâñêîì è èëüáåðòîâîì ïîäïðîñòðàíñòâàõ.

N Fk . F˜ = Fj

320

ËÈÒÅÀÒÓÀ

F

F

diag

-

6

f+t

-

F

. . .

F

diag

-

F

6

-

H

diag

6

-

H

-

. . .

one qubit

diag

H

èñóíîê 3. Ñîîòâåòñòâèå âû÷èñëåíèé â Ôîêîâñêîì è èëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâàõ

Ïóñòü äèàãîíàëüíàÿ ÷àñòü àìèëüòîíèàíà âçàèìîäåéñòâèÿ â Ôîêîâñêîì ïðîñòðàíñòâå èêñèðîâàíà è äåéñòâóåò íåïðåðûâíî â íåóïðàâëÿåìîì ðåæèìå. Òîãäà ìû ìîæåì ïîäûñêàòü ñîîòâåòñòâóþùåå äèàãîíàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå â èëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå, äåëàÿ çàìêíóòûìè âñå "äèàãîíàëüíûå"÷àñòè äèàãðàììû èç ðèñóíêà 3.  ñèëó ðåçóëüòàòà [45℄ ìû ìîæåì âûáðàòü îäíîêóáèòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ðåàëèçóþùèå óïðàâëåíèå ïðîèçâîëüíûì êâàíòîâûì àëãîðèòìîì â èëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå, â âèäå íèæíåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïðåîáðàçîâàíèé â äèàãðàììå. Íàêîíåö, ìû ìîæåì íàéòè óïðàâëåíèå âèäà eld + tunneling íàä ñîñòîÿíèÿìè Ôîêîâñêîãî ïðîñòðàíñòâà, äåëàþùèå çàìêíóòîé âñþ äèàãðàììó. Çàìåòèì, ÷òî âñå îïåðàòîðû ðîæäåíèé è óíè÷òîæåíèé, ðàññìàòðèâàåìûå â σ öåëîì Ôîêîâñêîì ïðîñòðàíñòâå íåëîêàëüíû áëàãîäàðÿ ìíîæèòåëþ (−1) j , êîòîðûé çàâèñèò îò çàäàííîãî ñîñòîÿíèÿ.

+ a+ j aj ak ak è âíåøíåãî ïîëÿ òàêèå ìíîæèòåëè + îïåðàòîð aj aj ′ â ïðîñòðàíñòâå F ïðèíîñèò ìíî-

Äëÿ äèàãîíàëüíîãî îïåðàòîðà êîìïåíñèðóþòñÿ. Òóííåëüíûé

σ′

(−1)

æèòåëü

ãäå

′

σ =

′ −1 jP

s+j

|¯ ni ∈ F ,

ns = j ′ − j

êîòîðûé íå çàâèñèò îò äàííîãî ñîñòîÿíèÿ

ïîñêîëüêóäëÿ òàêîãî ñîñòîÿíèÿ ðîâíî ïîëîâèíà óðîâíåé ìåæäó

j

è

j′

çàíÿòû åðìèîíàìè. Òàê êàê çíàê ìîæåò áûòü âûíåñåí èç âñåõ ñîñòîÿíèé è ïðîèãíîðèðîâàí. Òàê ìû ïîëó÷èì óíèâåðñàëüíûé êâàíòîâûé êîìïüþòåð íà ñîñòîÿíèÿõ â ïðîñòðàíñòâå ÷èñåë çàïîëíåíèÿ, óïðàâëÿåìûé òîëüêî âíåøíèì ïîëåì è òóííåëèðîâàíèåì.

.8.

.8

ÊÎÅÊÖÈß ÎØÈÁÎÊ Â ÊÂÀÍÒÎÂÛÕ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈßÕ

321

Êîððåêöèÿ îøèáîê â êâàíòîâûõ âû÷èñëåíèÿõ

Ñâîåîáðàçèå êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé ïðîÿâëÿåòñÿ â òîì, ÷òî îíè î÷åíü ÷óâñòâèòåëüíû ê âíåøíèì âîçäåéñòâèÿì. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ èõ ñâåðõìàëûìè ðàçìåðàìè. Íàïðèìåð, íåâîçìîæíî ïîëíîñòüþ èçîëèðîâàòü ãðóïïó àòîìîâ â êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå îò òåïëîâîãî âîçäåéñòâèÿ ñî ñòîðîíû äðóãèõ àòîìîâ. Ìû âèäåëè, ÷òî åñòü äâà ïðèíöèïèàëüíî ðàçíûõ òèïà òàêèõ âîçäåéñòâèé: âíåøíèå ïîëÿ, âêëþ÷àåìûå â óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà, è èçìåðåíèÿ ñèñòåìû. Ïðè ýòîì åñëè âîçäåéñòâèå âíåøíåãî ïîëÿ âûçûâàåò óíèòàðíîå, òî åñòü îáðàòèìîå âîçìóùåíèå ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, òî èçìåðåíèå âñåãäà ïðèâîäèò ê íåîáðàòèìîìó èçìåíåíèþ ýòîãî ñîñòîÿíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, â ðàìêàõ îðìàëèçìà ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ íåâîçìîæíî åäèíûì îáðàçîì ýåêòèâíî îïèñûâàòü äâà ýòèõ òèïà âíåøíèõ âîçäåéñòâèé íà èçó÷àåìóþ ñèñòåìó

14

. Òàêèì îáðàçîì, îøèáêè â êâàíòîâûõ ñî-

ñòîÿíèÿõ áûâàþò äâóõ òèïîâ: îáðàòèìûå, êîòîðûå ìîãóò ïðîèñõîäèòü è â êëàññè÷åñêèõ ñîñòîÿíèÿõ, è íåîáðàòèìûå, ñïåöèè÷åñêè êâàíòîâûå. Îäíàêî, òàêàÿ êëàññèèêàöèÿ îøèáîê íå òî÷íî îòðàæàåò ñóòü äåëà. àññìîòðèì, äëÿ ïðèìåðà 1 1 ñîñòîÿíèå √ |000 . . . 0i + √ |111 . . . 1i. Îøèáêà â ïåðâîì êóáèòå ìîæåò èìåòü, íà2 2 ïðèìåð, îðìó: |0i −→ |1i, |1i −→ |0i èëè |0i −→ |0i, |1i −→ |0i. Ïåðâàÿ áóäåò óíèòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèåì, à âòîðàÿ - íåò. Íàøå ñîñòîÿíèå òîãäà ïðèîáðåòåò 1 1 1 1 ′ ′ îðìó ξ = √ |100 . . . 0i + √ |011 . . . 1i èëè ξ = √ |000 . . . 0i + √ |011 . . . 1i ñîîò2 2 2 2 âåòñòâåííî. Âèäíî, ÷òî àêòè÷åñêè ïåðâîíà÷àëüíîå è "èñïîð÷åííîå"ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû î÷åíü áëèçêè ïî âèäó, è îáå îøèáêè ëåãêî ñêîððåêòèðîâàòü óíèòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèåì (âî âòîðîì ñëó÷àå íóæíî, êîíå÷íî, èñïîëüçîâàòü êóáèòû, íå çàòðîíóòûå âíåøíèì âîçäåéñòâèåì). Ýòî ïðîèñõîäèò èç-çà òîãî, ÷òî îáå ýòè îøèáêè ïî ñóùåñòâó çàòðàãèâàþò ñîäåðæèìîå òîëüêî îäíîãî êóáèòà. àññìîòðèì òåïåðü èçìåðåíèå îäíîãî, ñêàæåì, ïåðâîãî êóáèòà. Ïóñòü ñèñòåìà íàõîäè-

λ|0, 0, 0i + µ|1, 1, 1i. Òîãäà â ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì îäíî èç |0, 0, 0i èëè |1, 1, 1i, ïîòåðÿâ òàêèì îáðàçîì âñþ èíîðìàöèþ î ïåð-

ëàñü â ñîñòîÿíèè ñîñòîÿíèé

âîíà÷àëüíûõ àìïëèòóäàõ. Ìû âèäèì, ÷òî åñëè êóáèòû íàõîäÿòñÿ â çàïóòàííîì

ñîñòîÿíèè, òî èçìåðåíèå îäíîãî èç íèõ íåèçáåæíî ïîðîæäàåò îøèáêó âî âñåõ äðóãèõ ! Òàêèì îáðàçîì, áîëåå ïðàâèëüíûì áûëî áû êëàññèèöèðîâàòü âñå âîçìîæíûå îøèáêè íà ëîêàëüíûå, ò.å. çàòðàãèâàþùèå ñîäåðæèìîå òîëüêî îäíîãî êóáèòà, è ãëîáàëüíûå, çàòðàãèâàþùèå íåîãðàíè÷åííîå ÷èñëî êóáèòîâ. Ïðè ýòîì â ñëó÷àå çàïóòàííîãî ñîñòîÿíèÿ ëîêàëüíûå âîçäåéñòâèÿ (èçìåðåíèå) ñïîñîáíû ïðèâåñòè, êàê ìû òîëüêî ÷òî âèäåëè, ê ãëîáàëüíûì îøèáêàì.  õîäå âû÷èñëåíèé åñòåñòâåííî áóäóò âîçíèêàòü îáà ýòè òèïà îøèáîê, è íàì ïðèäåòñÿ êàê òî ñ íèìè áîðîòüñÿ. ßñíî, ÷òî êîððåêòèðîâàòü ëîêàëüíûå îøèáêè äîëæíî áûòü 14 Ìîæíî êîíå÷íî îïèñàòü ýòè âîçäåéñòâèÿ îðìàëüíî åäèíîîáðàçíûì îáðàçîì, íàïðèìåð â âèäå òàê íàçûâàåìûõ ñóïåðîïåðàòîðîâ - óíèòàðíûõ îïåðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ â ðàñøèðåííîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. Íî îò òàêîãî îïèñàíèÿ áóäåò íå ìíîãî ïîëüçû, ïîòîìó ÷òî â íåì íå áóäåò äàæå òîé îãðàíè÷åííîé äåòåðìèíèñòè÷íîñòè, êîòîðûé ïðèñóòñòâóåò â ñòàíäàðòíîì êâàíòîâîì îðìàëèçìå, êàê âîçìîæíîñòü â ïðèíöèïå òî÷íî âû÷èñëèòü âîëíîâóþ óíêöèþ èçó÷àåìîé ñèñòåìû â ëþáîå çàäàííîå âðåìÿ.

322

ËÈÒÅÀÒÓÀ

íàìíîãî ïðîùå, ÷åì ãëîáàëüíûå. Ìîæíî òàêæå ïðåäïîëîæèòü, ÷òî äëÿ êîððåêöèè ãëîáàëüíûõ îøèáîê, âîçíèêàþùèõ ïðè ëîêàëüíûõ âîçäåéñòâèÿõ íà ñèñòåìó, íåîáõîäèìî áóäåò èñïîëüçîâàòü ÷èñòî êâàíòîâûé ïðèåì, ïîñêîëüêó ýòîò òèï íå âñòðå÷àåòñÿ â ìèðå êëàññè÷åñêèõ ñèñòåì. È, åñëè òàêîé ïðèåì ñóùåñòâóåò, åãî ïðèäåòñÿ èñïîëüçîâàòü ìíîãîêðàòíî â õîäå âû÷èñëåíèé, ïîñêîëüêó êîìïüþòåð âñåãäà èñïûòûâàåò âîçäåéñòâèå âíåøíåé ñðåäû, ïðèâîäÿùåå ê âîçíèêíîâåíèþ òàêèõ îøèáîê. Òàêèì îáðàçîì, ïðîãðàììà êîððåêöèè îøèáîê â êâàíòîâîì êîìïüþòåðå äîëæíà çàïóñêàòüñÿ â îíîâîì ðåæèìå è ïîñòîÿííî êîðåêòèðîâàòü âñå âîçíèêàþùèå îøèáêè. Åñòåñòâåííî, âîçäåéñòâèå âíåøíåé ñðåäû äîëæíî áûòü ëîêàëüíûì è åãî èíòåíñèâíîñòü äîëæíà äîñòàòî÷íî íèçêîé, äëÿ òîãî ÷òîáû íàøà ïðîãðàììà êîððåêöèè óñïåëà èñïðàâèòü âñå îøèáêè. Îêàçûâàåòñÿ, òàêîé ìåòîä êîððåêöèè êâàíòîâûõ îøèáîê ñóùåñòâóåò.  ýòîì ðàçäåëå ìû ïðèâåäåì óïðîùåííóþ ñõåìó òàêîãî ìåòîäà. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ïðèíöèï êîððåêöèè êëàññè÷åñêèõ îøèáîê. Ýòîò ïðèíöèï ïî ñóùåñòâó îäèí - èçáûòî÷íîå êîäèðîâàíèå. Ñîñòîÿíèå îäíîãî áèòà êîäè-

m

ðóåòñÿ

 Òåïåðü m−1

áèòàìè, â êîòîðûõ ìû ïðîñòî äóáëèðóåì ñîäåðæèìîå èñõîäíîãî áèòà.

åñëè â ðåçóëüòàòå îøèáîê ïîìåíÿëîñü íà ïðîòèâîïîëîæíîå ñîäåðæèìîå

êîäèðóþùèõ áèòîâ, ìû ìîæåì ëåãêî âîññòàíîâèòü èñõîäíîå çíà÷åíèå,

2 åñëè âîçüìåì òî çíà÷åíèå â êîäèðóþùèõ áèòàõ, êîòîðîå ïðèíèìàåòñÿ áîëüøèíñòâîì. Ïîñìîòðèì, ìîæíî ëè ïðèìåíèòü ýòîò ïðèåì äëÿ êîððåêöèè êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé. Äëÿ ýòîãî, âî ïåðâûõ, íóæíî óìåòü "ðàçìíîæàòü"êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ òàê æå ëåãêî, êàê ìû ìîæåì êîïèðîâàòü ñîñòîÿíèå êëàññè÷åñêîãî áèòà. Çäåñü íàñ îæèäàåò ïåðâàÿ ëîâóøêà. Îêàçûâàåòñÿ, íå ñóùåñòâóåò èçè÷åñêîãî ïðîöåññà, êîïèðóþùåãî êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ ! Ýòîò àêò èçâåñòåí ïîä ãðîìêèì íàçâàíèåì no loning theorem, îäíàêî îí î÷åíü ïðîñòîé, è ìû åãî ñåé÷àñ óñòàíîâèì. Äåéñòâèòåëüíî, ìû õîðîøî çíàåì, ÷òî âñå èçè÷åñêèå ïðîöåññû îïèñûâàþòñÿ èëè óíèòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè, èëè íîñÿò âåðîÿòíîñòíûé õàðàêòåð. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò èçè÷åñêèé ïðîöåññ

W , êîòîðûé êëîíèðóåò

êâàíòîâûå ñîñòîÿíèÿ. ×òîáû îò íåãî áûëà õîòü êàêàÿ-òî ïîëüçà, îí äîëæåí äåéñòâîâàòü íà âñå ñîñòîÿíèÿ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå, òî åñòü èìåòü âèä

N H −→ H H , òàêîé ÷òî W (|Ψ, 0i = λ|Ψ, Ψi äëÿ ëþáîãî êîíñòàíòà C çàâèñèò îò Ψ. Ýòà óíêöèÿ íå äîëæíà áûòü âåðîÿòíîñòíîé òàê êàê ìû ðàññìàòðèâàåì ÷èñòûå ñîñòîÿíèÿ. Çíà÷èò W äîëæåí áûòü óíèòàðíûì îïåðàòîðîì. Íî òîãäà ó íàñ â ñèëó ëèíåéíîñòè W ïîëó÷èëîñü áû λ|Ψ, Ψi+µ|Ψ1, Ψ1 i = W |Ψ, 0i+W |Ψ1, 0i = W |Ψ+Ψ1 , 0i = ν|Ψ+Ψ1 , Ψ+Ψ1 i = ν(|Ψ, Ψi + |Ψ1 , Ψ1 i + |Ψ, Ψ1 i + |Ψ1 , Ψi), äëÿ ëþáîé ïàðû ñîñòîÿíèé, ÷òî, ðàçóìåW : H ñîñòîÿíèÿ |Ψi ãäå óíêöèè

N

åòñÿ íåâåðíî. Èòàê, êëîíèðîâàíèå êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé íåâîçìîæíî.

Íî òîãäà, áûòü ìîæåò, ìû ìîãëè áû èñïîëüçîâàòü åñòåñòâåííîå "ïñåâäîêëîíèðîâàíèå"ñ ïîìîùüþ CNOT è àíöèëëû:

CNOT (λ|0i + µ|1i)

N

0i = λ|0, 0i +

µ|1, 1i ? Ïðè ýòîì, êîíå÷íî, ìû íå áóäåì Nèìåòü â ðåçóëüòàòå êëîíèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ èñõîäíîãî êóáèòà: (λ|0i+µ|1i) (λ|0i+µ|1i) (óáåäèòåñü â ýòîì ñàìè èñïîëüçóÿ äèñòðèáóòèâíîñòü òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ). Îäíàêî â êàêîì-òî ñìûñ-

ëå íàø èñõîäíûé êóáèò îêàæåòñÿ çàêîäèðîâàííûì â äâà íîâûõ. Äàëåå, ìîæíî

.8.

ÊÎÅÊÖÈß ÎØÈÁÎÊ Â ÊÂÀÍÒÎÂÛÕ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈßÕ

323

ïîâòîðèòü ýòó ïðîöåäóðó ñî ñëåäóþùèì âñïîìîãàòåëüíûì êóáèòîì, ïîëó÷èâ ñîñòîÿíèå

λ|0, 0, 0i + µ|1, 1, 1i.

Òàêàÿ ïðîöåäóðà â ñëó÷àå êëàññè÷åñêîãî ñîñòîÿ-

íèÿ êóáèòà: 0 èëè 1 - äåéñòâèòåëüíî ïðèâîäèò ê êëîíèðîâàíèþ. Îäíàêî ïîëüçû îò ýòîé êîäèðîâêè â ñëó÷àå ãëîáàëüíûõ îøèáîê áóäåò íåìíîãî, êàê ñëåäóåò èç ðàññìîòðåííîãî âûøå ñëó÷àÿ èçìåðåíèÿ îäíîãî êóáèòà. Ýòîò ïðèìåð òàêæå èëëþñòðèðóåò çàïðåò íà êëîíèðîâàíèå êâàíòîâûõ ñîñòîÿíèé, òàê êàê ïðè ïîïûòêå "êëîíèðîâàòü"òàêîå ñîñòîÿíèå íîâûå "êîïèè"îêàæóòñÿ â çàïóòàííîì ñîñòîÿíèè ñ "îðèãèíàëàìè"è íàáëþäåíèå "îðèãèíàëîâ"íåèçáåæíî ðàçðóøèò "êîïèè". Äëÿ êîððåêöèè òàêîãî âîçäåéñòâèÿ íàäî ïðèìåíÿòü íåìíîãî áîëåå ñëîæíûé ïðèåì, êîòîðûé ìû çäåñü îïèøåì äàëåå äëÿ ïðîñòåéøåé ñèòóàöèè. Ôàêòè÷åñêè äâà âûäåëåííûõ òèïà îøèáîê - ëîêàëüíûå è íàáëþäåíèÿ åäèíè÷íûõ êóáèòîâ, èñ÷åðïûâàþò âñå âîçìîæíûå òèïû îøèáîê âîîáùå. àññìîòðèì, íàïðèìåð, íàðóøåíèå àçû

|0i −→ |0i, |1i −→ −|1i

â ïåðâîì êóáèòå.

Òîãäà ïðåîáðàçîâàíèå Àäàìàðà ïðèâåäåò ê òîìó æå ñàìîìó, ÷òî è èíâåðñèÿ ñîäåðæèìîãî ýòîãî êóáèòà. Åñëè ìû ñêîððåêòèðîâàëè îøèáêó â ñîäåðæèìîì ýòîãî êóáèòà, òî ñëåäóþùåå ïðèìåíåíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ Àäàìàðà âîññòàíîâèò íàì ïðåæíåå ñîñòîÿíèå. àññìîòðèì òåïåðü òàêîå âîçäåéñòâèå îêðóæåíèÿ, êîòîðîå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå è

U

äåéñòâóåò íà

α

U: α

N

ξ −→ χ

ãäå

α

- ñîñòîÿíèå îêðóæåíèÿ,

è íà ïåðâûé êóáèò â íàøåé ñèñòåìå. Íà ïåðâûé âçãëÿä ýòîò

òèï îøèáîê áîëåå îáùèé. Îäíàêî åãî ìîæíî ñâåñòè ê êîìáèíàöèè èçìåðåíèÿ îäíîãî êóáèòà è ëîêàëüíîé îøèáêè. àññìîòðèì åùå ðàç ñõåìó êîððåêöèè ëîêàëüíûõ îøèáîê. Ìû çàêîäèðóåì íàøå êâàíòîâîå ñîñòîÿíèå ñ èñïîëüçîâàíèåì íåêîòîðîãî ÷èñëà àíöèëë, è óñòðîèì ñïåöèàëüíóþ àíöèëëó, èãðàþùóþ ðîëü "ìóñîðíîãî ÿùèêà". Ïîñëå òîãî, êàê ïðîèçîøëà îøèáêà, ìû ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíûõ óíèòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïåðåìåùàåì ñîäåðæèìîå çàòðîíóòûõ îøèáêîé êóáèòîâ â ýòîò "ìóñîðíûé ÿùèê òàê ÷òî ïåðâîíà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå èñïîð÷åííûõ êóáèòîâ âîññòàíàâëèâàåòñÿ, è òîëüêî "ìóñîðíûé ÿùèê"õðàíèò èíîðìàöèþ î òîì, êàêàÿ îøèáêà ïðîèçîøëà. Ýòà ñõåìà áóäåò ðàáîòàòü è â ñëó÷àå ãëîáàëüíûõ îøèáîê. Ïóñòü èíòåíñèâíîñòü ëîêàëüíûõ âîçäåéñòâèé îêðóæåíèÿ íà íàøó êâàíòîâóþ ñèñòåìó îãðàíè÷åíà. Ìû ïåðåâåäåì èñõîäíîå ñîñòîÿíèå â ñîîòâåòñòâóþùåå åìó çàêîäèðîâàííîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû ñ àíöèëëàìè è ìîæåì èñïîëüçîâàòü ïðîöåäóðó êîððåêöèè ñíîâà è ñíîâà ÷åðåç êîðîòêèé èíòåðâàë âðåìåíè

∆

òàê ÷òî âåðîÿòíîñòü òî-

ãî, ÷òî â òå÷åíèå ýòîãî âðåìåíè îêðóæåíèå áóäåò âîçäåéñòâîâàòü áîëåå ÷åì íà îäèí êóáèò, áóäåò èñ÷åçàþùå ìàëîé. Òàê, âàðüèðóÿ

∆,

ìû ìîæåì ñêîëü óãîäíî

äîëãî ïîääåðæèâàòü íàøó ñèñòåìó â ïåðâîíà÷àëüíî çàêîäèðîâàííîì ñîñòîÿíèè. Êîíå÷íî, ïðîöåäóðà êîððåêöèè äîëæíà çàâèñåòü îò ìåòîäà êîäèðîâêè, è ìû ñíà÷àëà îïèøåì ýòîò ìåòîä â ïðèìåíåíèè ê ñîñòîÿíèþ îäíîãî êóáèòà

ξ.

Â

ñëó÷àå íåñêîëüêèõ êóáèòîâ ìû ìîæåì ïðîñòî çàêîäèðîâàòü êàæäûé êóáèò ïî îòäåëüíîñòè è âûïîëíèòü íàøó ïðîöåäóðó êîððåêöèè íàä âñåìè êîäèðóþùèìè àíñàìáëÿìè îäíîâðåìåííî è íåçàâèñèìî. Íàøà ïðîöåäóðà êîððåêöèè âîññòàíîâèò çàêîäèðîâàííîå ñîñòîÿíèå è ñîõðàíèò çàïóòàííîñòü, òàê ÷òî åå îäíîâðåìåííîå âûïîëíåíèå äëÿ âñåõ êîäèðóþùèõ àíñàìáëåé ñîõðàíèò çàêîäèðîâàííûé âèä

324

ËÈÒÅÀÒÓÀ

ïåðâîíà÷àëüíîãî àíñàìáëÿ. Èòàê, ñêîíöåíòðèðóåìñÿ íà ìåòîäå êîäèðîâêè ñîñòîÿíèÿ îäíîãî êóáèòà

α|0i + β|1i.

ξ=

Ýòîò êóáèò áóäåò êîäèðîâàòüñÿ òðåìÿ êóáèòàìè òàê, ÷òî åñëè îäèí

èç íèõ áóäåò èçìåðåí (ìû íå çíàåì êàêîé), òî íàøà ïðîöåäóðà, ïðîâåäåííàÿ íàä ðåçóëüòàòîì èçìåðåíèÿ, âîññòàíîâèò èñõîäíîå çàêîäèðîâàííîå ñîñòîÿíèå. Êîäèðîâàíèå áóäåò ëèíåéíîé îïåðàöèåé, òàê ÷òî äîñòàòî÷íî îïðåäåëèòü åãî äëÿ áàçèñíûõ ñîñòîÿíèé

˜0 = ˜1 =

|0i

è

|1i.

1 √ (|000i + |100i + |010i + |001i + |110i + |101i + |011i + |111i) 2 2 1 √ (|000i − |100i − |010i − |001i + |110i + |101i + |011i − |111i). 2 2

Òàêèì îáðàçîì, êîä ñîñòîÿíèÿ

α˜0 + β ˜1.

Èõ êîäû áóäóò, ñîîòâåòñòâåííî, òàêîâû:

ξ

áóäåò òðåõêóáèòíûì ñîñòîÿíèåì âèäà

(25)

ξ˜ =

Òåïåðü ïîñìîòðèì, ÷òî ïðîèçîéäåò, åñëè ìû ïîíàáëþäàåì îäèí èç

êóáèòîâ. Ó íàñ åñòü òðè êóáèòà, äâà ñîñòîÿíèÿ, êîäèðóþùèõ áàçèñíûå îäíîêóáèòíûå ñîñòîÿíèÿ:

˜0 and ˜1 è äâà ðàçëè÷íûõ

ðåçóëüòàòà íàáëþäåíèÿ:

0 èëè 1. Òî

åñòü, ñóùåñòâóåò 12 ðàçëè÷íûõ ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèÿ íàøèõ äâóõ êîäèðóþùèõ ñîñòîÿíèé, åñëè ïðîèçîøëî èçìåðåíèå îäíîãî êóáèòà, ïëþñ 2 íåèçìåíåííûõ áàçèñíûõ ñîñòîÿíèÿ, åñëè âîîáùå íå ïðîèçîøëî íèêàêèõ èçìåðåíèé. Îáîçíà÷èì ijk , i = 0, 1, j = ∅, 1, 2, 3, k = ∅, 0, 1 ÷òî îçíà÷àåò "ñîñòîÿíèå, ðåçóëüòàòû ÷åðåç ˜ ïîëó÷åííîå ïðè èçìåðåíèè j -ãî êóáèòà ñîñòîÿíèÿ ˜ i, åñëè k - ðåçóëüòàò ýòîãî èçìåðåíèÿ". Åñëè èçìåðåíèé âîîáùå íå áûëî, òî j = k = ∅ è ˜ ijk = ˜i. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ ïðîèñõåäøåãî èçìåðåíèÿ ðåçóëüòèðóþùåå ñîñòîÿíèå áóäåò èìåòü âèä:

˜010 = 1 (|000i + |010i + |001i + |011i, 2 ˜011 = 1 (|100i + |110i + |101i + |111i, 2 ˜020 = 1 (|000i + |100i + |001i + |101i, 2 ˜021 = 1 (|010i + |110i + |011i + |111i, 2 ˜030 = 1 (|000i + |010i + |100i + |110i, 2 ˜031 = 1 (|001i + |011i + |001i + |101i, 2 ˜110 = 1 (|000i − |010i − |001i + |011i, 2 ˜111 = 1 (−|100i + |110i + |101i − |111i, 2 ˜120 = 1 (|000i − |100i − |001i + |101i, 2 ˜121 = 1 (−|010i + |110i + |011i − |111i, 2 ˜130 = 1 (|000i − |010i − |100i + |110i, 2 ˜131 = 1 (−|001i + |011i − |001i + |101i 2

(26)

Îïðåäåëèì òåïåðü äåéñòâèå êîððåêòèðóþùåãî îïåðàòîðà íà äàííûõ âåêòîðàõ êàê

Urest : ˜ijk

O

¯0 −→ ˜i

O

˜0jk .

(27)

Óáåäèìñÿ, ÷òî òàê îïðåäåëåííûé êîððåêòèðóþùèé îïåðàòîð ñîõðàíÿåò âñå óãëû j ìåæäó âåêòîðàìè ik . Îáîçíà÷èì ïîäïðîñòðàíñòâà, ïîðîæäåííîå âñåìè âåêòîðàj j 0k è ˜1k ÷åðåç O è I ñîîòâåòñòâåííî. Ìû èìååì: ˜0⊥˜1, O⊥I , âñå äðóãèå ìè âèäîâ ˜ π ˜10 |1˜20 i = h1˜10 |1˜21 i = 1 è òî æå ñàìîå èìååò ìåñòî óãëû áóäóò ðàâíû , ïîñêîëüêó h1 3 2

.8.

ÊÎÅÊÖÈß ÎØÈÁÎÊ Â ÊÂÀÍÒÎÂÛÕ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈßÕ

äëÿ áàçèñà ïîäïðîñòðàíñòâà ÷èò, îïðåàòîð

O.

325

Ìû âèäèì, ÷òî âñå óãëû ñîõðàíÿþòñÿ. Çíà-

Urest

ìîæåò áûòü ïðîäîëæåí äî óíèòàðíîãî îïåðàòîðà íà âñåì N 8 8 ïðîñòðàíñòâå øåñòè êóáèòîâ C C , êîòîðûé ìû áóäåì îáîçíà÷àòü òîé æå

áóêâîé. Îòìåòèì, ÷òî åãî äåéñòâèå áûëî íàìè îïðåäåëåíî ëèøü äëÿ ñîñòîÿíèé

ñ íóëåâûìè àíöèëëàìè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû äîëæíû ïîñëå êàæäîãî ïðèìå-

íåíèÿ ýòîãî îïåðàòîðà

Urest

ïîçàáîòèòüñÿ î âîññòàíîâëåíèè íóëåâîãî ñîñòîÿíèÿ

àíöèëë, íåîáõîäèìîãî äëÿ ïðàâèëüíîãî äåéñòâèÿ ñëåäóþùåãî êîðåêòèðóþùåãî îïåðàòîðà. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, èçìåðÿÿ àíöèëëû è çàòåì ïîìåùàÿ â íèõ íóëü (÷òî íå ÿâëÿåòñÿ óíèòàðíûì îïåðàòîðîì. Îáîçíà÷èì ýòó ïðîöåäóðó ÷åðåç

Arest .

Òîãäà ïîëíûé öèêë "äåêîãåðåíöèÿ - âîññòàíîâëåíèå"ïðèíèìàåò îðìó

α˜0 + β ˜1

observation

−→

U

rest (α˜0 + β ˜1) α˜0jk + β ˜1jk −→

O

rest ˜0jk A−→ α˜0 + β ˜1,

(28)

ãäå ìû îïóñêàåì íóëåâûå àíöèëëû â çàïèñè òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî íàøå óíèòàðíîå êîððåêòèðóþùåå ïðåîáðàçîâàíèå íèêàê íå çàâèñèò îò òîãî, êàêàÿ ïðîèçîøëà îøèáêà - åãî ðîëü ñîñòîèò òîëüêî â òîì, ÷òîáû ïåðåìåñòèòü îøèáêó, åñëè òàêîâàÿ èìååòñÿ âîîáùå, â "ìóñîðíóþ êîðçèíó îáðàçîâàííóþ àíöèëëàìè, è î÷èñòèòü òåì ñàìûì èñõîäíîå çàêîäèðîâàííîå ñîñòîÿíèå, êîòîðîå íèêàê íå èçìåíèòñÿ ïðè èçìåðåíèè è îáíîâëåíèè àíöèëë, ïîñêîëüêó îíî âûäåëÿåòñÿ â âèäå òåíçîðíîãî ñîìíîæèòåëÿ. Ïóñòü

δrest îáîçíà÷àåò âðåìÿ, òðåáóåìîå

∆

- èíòåðâàë, ñ êîòîðûì ìû ñîâåð-

äëÿ ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îïåðàòîðîâ, à

øàåì îïåðàöèè êîððåêöèè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èíòåíñèâíîñòü âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ íå ñëèøêîì âåëèêà, òàê ÷òî âåðîÿòíîñòü èçìåðåíèÿ áîëåå îäíîãî êóáèòà èç íàøèõ òðåõ çà âðåìÿ

∆

ïðåíåáðåæèìî ìàëà ïî ñðàâíåíèþ ñ âåðîÿòíîñòüþ

èçìåðåíèÿ ðîâíî îäíîãî, à àíöèëëû ìû ïîñòîÿííûì èçìåðåíèåì âîîáùå ïîääåðæèâàåì â íóëåâîì ñîñòîÿíèè âñåãäà êðîìå ïðîìåæóòêîâ âåðîÿòíîñòü îøèáêè â ëþáîì êóáèòå çà âðåìÿ

δrest

δres . Êðîìå òîãî,

ïóñòü

òàêæå ïðåíåáðåæèìî ìàëà.

Òîãäà îïèñàííàÿ èòåðàöèÿ îïåðàòîðà êîððåêöèè ñ áîëüøîé âåðîÿòíîñòüþ áóäåò ïîääåðæèâàòü íàøå çàêîäèðîâàííîå ñîñòîÿíèå îäíîãî êóáèòà íåñìîòðÿ íà äåêîãåðåíòíîñòü. Äëÿ ñîõðàíåíèÿ ìíîãîêóáèòíûõ ñîñòîÿíèé äîñòàòî÷íî ïðèìåíÿòü ýòó çàêîäèðîâàòü âñå êóáèòû ïî îòäåëüíîñòè è ïðèìåíÿòü îïèñàííóþ ïðîöåäóðó êîððåêöèè ê êàæäîìó êîäèðóþùåìó øåñòèêóáèòíîìó àíñàìáëþ ïî îòäåëüíîñòè.

.8.1 Íåîáõîäèìîñòü èçìåðåíèé â õîäå êîððåêöèè êâàíòîâûõ îøèáîê Ìû ïîëó÷èëè ýëåìåíòàðíóþ ïðîöåäóðó êîððåêöèè êâàíòîâûõ îøèáîê, ñîñòîÿùóþ èç ïðèìåíèÿ îäíîãî óíèòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ è ñëåäóþùèõ çà íèì èçìåðåíèÿ àíöèëë è ïåðåâîäå èõ â íóëåâîå ñîñòîÿíèå. Âòîðàÿ ÷àñòü ýòîé ïîâòîðÿþùåéñÿ ïðîöåäóðû ÿâíî íå óíèòàðíà. Êîíå÷íî, ìû ìîæåì ïðåäñòàâëÿòü ñåáå, ÷òî "èñïîð÷åííûå"àíöèëëû âñÿêèé ðàç ïðîñòî âûáðàñûâàþòñÿ, è âìåñòî íèõ ìû èñïîëüçóåì íîâûå. Ìîæíî ëè êîððåêòèðîâàòü îøèáêè ñ ïîìîùüþ òîëüêî îäíèõ óíèòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, ò.å. íå ïðèáåãàÿ ê èçìåðåíèÿì è çàìåíàì

326

ËÈÒÅÀÒÓÀ

ñîäåðæèìîãî àíöèëë? Ïðåäïîëîæèì, ÿòî ýòî âîçìîæíî, è ïóñòü

U

áóäåò ñî-

îòâåòñòâóþùèì óíèòàðíûì êîððåêòèðóþùèì îïåðàòîðîì, çàìåíÿþùèì ñîáîé âñþ öåïî÷êó

Arest .

Òîãäà îí äîëæåí âûïîëíÿòü ñâîþ óíêöèþ ñ ïðîèçâîëü-

íûìè àíöèëëàìè, òàê êàê òåïåðü àíöèëëû òîæå ïîäâåðæåíû äåêîãåðåíòíîñòè. Îáîçíà÷èì ðåãèñòðû, ñîäåðæàùèå âñå êîäèðóþùèå êóáèòû è âñå àíöèëëû ÷åðåç

a

Nb

íûìè

U ai

è

b

ñîîòâåòñòâåííî. Äëÿ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ âèäà

è ðåçóëüòàòîâ

b=a

N

bi

a1

èëè

a2

íàáëþäåíèé ñ ëþáûìè

äëÿ íåêîòîðûõ ñîñòîÿíèé

ðåíöèè. åçóëüòàòû

a1

è

a2

bi ,

b

a

N

ñ ïðîèçâîëü-

ìû äîëæíû èìåòü

çàòðîíóòûõ ïðîöåññîì äåêîãå-

èçìåðåíèÿ îðòîãîíàëüíû, ïîñêîëüêó

áûòü îðòîãîíàëüíûìè â ñèëó óíèòàðíîñòè

b

b1

è

b2

äîëæíû

U.

Ïóñòü ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà 1 2 k àíöèëë åñòü k . Âûáåðåì íåêîòîðûé îðòîãîíàëüíûé áàçèñ b , b , . . . b â ïðîñòðàíN j N j ñòâå àíöèëë è ïóñòü U ai b = a bi äëÿ êàêèõ òî ñîñòîÿíèé bji àíöèëë. j j Ïîäïðîñòðàíñòâà, ïîðîæäåííûå âåêòîðàìè b1 è b2 äîëæíû áûòü îðòîãîíàëüj j′ íûìè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âñÿêàÿ ïàðà bi , bi äîëæíà áûòü îðòîãîíàëüíà äëÿ i = 1, 2; j, j ′ = 1, 2, . . . k, j 6= j ′ , ïîñêîëüêó U óíèòàðíî. Ìû ïîëó÷àåì 2k îðòîj ãîíàëüíûõ íåíóëåâûõ âåêòîðîâ bi â k ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå, ÷òî è äàåò èñêîìîå ïðîòèâîðå÷èå. Èòàê, ÷èñòî óíèòàðíàÿ êîððåêöèÿ êâàíòîâûõ îøèáîê íåâîçìîæíà. Çíà÷èò, äàííàÿ íàìè ýëåìåíòàðíàÿ ñõåìà êâàíòîâîé êîððåêöèè íå ìîæåò áûòü ðàäèêàëüíî óïðîùåíà.  ëþáîì ñëó÷àå êîððåêòèðóþùàÿ ïðîöåäóðà äîëæíà ñîäåðæàòü íåîáðàòèìûå ýëåìåíòû, òàêèå êàê èçìåðåíèÿ èëè ïðèòîê íîâûõ íàäëåæàùå èíèöèàëèçèðîâàííûõ àíöèëë.