Теория управления. Теория импульсных, дискретных и нелинейных САУ. Учебн. пособ

3 Туманов М.П. Теория импульсных, дискретных и нелинейных САУ: Учебное пособие. – МГИЭМ. М., 2005, 63 с.

Часть 2 курса "ТАУ" Теория импульсных, дискретных и нелинейных САУ. Лекция 1. Квантование непрерывных сигналов. Как правило, в системе автоматического управления имеется квантование сигналов (особенно при цифровых технологиях). Квантование может быть: по уровню сигнала и по времени. Как только в состав САУ включается цифровой вычислитель, т.е. специализированная управляющая ЭВМ, или ЭВМ общего назначения (ПК со специальными цифро-аналоговыми контроллерами ввода/вывода), или микропроцессорное устройство автоматики, немедленно возникают два квантования - по уровню и по времени.

Рис. 1.1

Квантование непрерывного сигнала по времени и по уровню.

В результате квантования мы переходим от непрерывного сигнала к множеству значений в моменты квантования кТ. x(t) ⎯квант ⎯ ⎯→{~ x(kT)} , где T – шаг квантования по времени, x(kt) ≠ ~ x(kT) – есть квантованное по уровню значение. Квантование по времени КПВ и по уровню КПУ сказываются совершенно по-разному. В частности, если в системе имеется только квантование по времени – то она остаётся линейной, т.к. αx(kT) + βY(kT) = {αx(kT)}} + {βY(kT)}}

А квантование по уровню - нелинейная операция, поэтому системы, в которых учитывается эффект квантования по уровню должны рассматриваться как нелинейные. Система с квантованием только по времени – импульсная. Система с квантованием и по времени и по уровню – дискретная. Основные источники появления таких систем:

4 КПВ – следствие неизбежной дискретности работы ЭВМ. КПУ – наличие АЦП/ЦАП.

5 Сейчас в промышленных применениях в основном используются 1416-разрядные квантователи. Значительно реже 8 и 10- разрядные. 1. Квантование по уровню – это преобразование сигнала с помощью АЦП/ЦАП, когда диапазон изменения сигнала делится на ступени в зависимости от разрядности АЦП/ЦАП.

Квантование по уровню в АЦП.

Ступенчатая

линия

Рис. 1.2 описывает преобразование

непрерывной

~

величины х(t) в квантованную по уровню величину X (kT ) . δ =

x max − x min , где n – разрядность кода 2n

Оценим ошибку квантования при 8- и 16-разрядном АЦП/ЦАП: при 8-разрядном кодировании: δ 8 ≈ 0,4 ⋅ 10 −2 ( x max − x min ) при 16-разрядном кодировании: δ 16 ≈ 0,15 ⋅ 10 −4 ( x max − x min ) Важен также вопрос, связанный с представлением полученного кода. Для эффективности использования 16-разрядного кода надо использовать минимум 16-разрядную машину. Для использования 20-разрядного кода надо использовать либо 32разрядную машину, либо считывать за 2 такта 16-разрядные данные. ⇒ Разрядность микропроцессорного контроллера, быстродействие и погрешность преобразования связаны. Необходимо тщательно выбирать платформу реализации контроллера и увязывать её с выбираемыми типами цифровых преобразователей. Видно, что погрешность при 16-разрядном кодировании достаточно низка, по крайней мере, обычно существенно ниже погрешности других элементов системы, например, датчиков. Напрашивается вывод, что погрешностью 16 и более разрядного АЦП/ЦАП можно пренебречь, однако, это не всегда верно! Покажем, что и при достаточно малой погрешности АЦП/ЦАП ошибка может с течением времени накапливаться. Для примера рассмотрим некоторый блок, в котором обрабатывается сигнал с ПФ W(p).

6

Рис.1.4 t

y(t) = ∫ h(t − τ ) u (τ )dτ , 0

h(t) – весовая функция, соответствующая W(p). Пусть в результате АЦ преобразования, а также ошибок арифметики вычисления получаем: y(t) = y 0 (t ) + Δy (t ),

h(t ) = h0 (t ) + Δh( y ), u (t ) = u 0 (t ) + Δu (t ),

где y 0 , h0 , u 0 – истинные значения сигналов, – ошибки квантования по уровню, причем Δh, Δu Δ h (t − τ ) < δ h

не зависят от времени (оценки погрешности); Δ u (t ) < δ u Δy – ошибка вычисления сигнала, тогда t

t

t

t

t

0

0

0

0

0

y (t ) = ∫ (h0 + Δh)(u 0 + Δu )dτ = ∫ h0 u 0 dτ + ∫ h0 Δu dτ + ∫ Δhu 0 dτ + ∫ ΔhΔtdτ ,

Можно пренебречь, так как имеет 2 порядок малости

t

где ∫ h0 u 0 dτ = y 0 (t ) . 0

t

t

0

0

Δy (t ) = ∫ h0 Δu dτ + ∫ Δhu 0 dτ

Чтобы оценить абсолютное значение погрешности можно учесть оценки h0 и u 0 : h0 ≤ M h u0 ≤ M u Δy ≤ δ u M h ⋅ t + δ h M u ⋅ t

Очевидно далее, что в простейшем случае, когда h0=const, ∆u=const, ∆h=const и u0=const, накопленная погрешность может неограниченно возрастать с течением времени. На самом деле, погрешность частично компенсируется, т.к. меняется ее знак. Замечание 1. Повышение разрядности АЦП/ЦАП позволяет добиться требуемой точности, если не происходит недопустимого накопления погрешности. Замечание 2. Заметим, что в замкнутой САУ накопление погрешностей обычно бывает гораздо меньше, так как работает принцип ОС, для которого погрешность квантования - просто помеха.

7

Рис. 1.5 Компенсация погрешности в замкнутой системе. В самом деле, в соответствии с принципом управления по отклонению, с помощью обратной связи происходит уменьшение любых отклонений выходной величины Y от задающего воздействия, вне зависимости от причины их возникновения (в том числе, из-за ошибок квантования по уровню). 2. Квантование по времени возникает в системе из-за того, что ввод и вывод информации в ЭВМ происходит с некоторой периодичностью и не чаще. Пусть T – период квантования по времени. При правильном проектирование САУ (с достаточной разрядностью по АЦП/ЦАП) КПУ чаще всего можно пренебречь, если учесть накопление погрешности, а КПВ необходимо учитывать. Как правило, не удается сделать скорость ввод/вывод информации до такой степени высокой, чтобы полностью пренебречь квантованием по времени. Поэтому важно иметь теорию расчёта САУ с учётом КПВ. Системы, в которых имеется только квантование по времени (КПВ), а квантованием по уровню (КПУ) можно пренебречь, называются импульсными в отличие от дискретных систем. Дискретные системы – нелинейные, их изучение представляет сложную задачу, ее лучше избегать, повышая разрядность квантования. Для импульсных систем имеется удобный математический аппарат.

8 Импульсные системы. Описание процесса квантования по времени. Реальный и идеальный квантователи.

Квантование как умножение на импульсную последовательность

Рис. 1.6 Рассмотрим процесс квантования по времени, как результат умножения k =0 исходной непрерывной функции на ∞ * f (t ) = f (t ) ∑1(t − Tk ) − 1(t − Tk − S )) специальную импульсную последоваk =0 тельность р(t) очень узких импульсов. Фактически мы рассматриваем квантование, как импульсную амплитудную модуляцию - АИМ. Замечание: если просто уменьшать ширину импульса, то в пределе энергия импульсов f *(t) будет уменьшаться, стремясь к 0. Чтобы не потерять энергию импульса дополнительно умножаем результат на 1/s. Обратим внимание на вершину импульса, она должна повторть форму функции, именно тогда такое квантование – линейная операция. При очень узком импульсе вершину можно взять плоской, как показано на рисунке, чем уже иимпульс, тем меньше ошибка при использовании импульсов с плоской вершиной. p(t ) =

∞

∑ (1(t − Tk ) − 1(t − Tk − S ))

9 • Лекция 2. Спектр квантованного сигнала. Вершина импульсов считается плоской, а сами импульсы достаточно узкими, в противном случае учет неплоской вершины импульса приводит к большим сложностям, хотя такой учёт возможен. Вычислим теперь спектр квантованного сигнала, т.е. выясним, что происходит со спектром при квантовании. Для этого вначале разложим p(t) в ряд Фурье: ∞

∑ Ck e

p (t ) =

jkω pt

k = −∞

⋅

1 S

(*)

2π T − ikω S T 1 1− e p − jkω p t C k = ∫ p(t )e dt = T 0 jkω p T

ωp =

Выразив экспоненту по формуле Эйлера и через половинные углы, получаем такую формулу: Ck =

S ⋅ T

sin( kω p S 2

kω p

S kω p S ) 2 ⋅ e− j 2

Подставим последнее выражение в (*) и получим: ∞

S p (t ) = ∑ ⋅ T ⋅ S k = −∞

sin(kω p kω p

(S/T – скважность импульсов р(t)) f * (t ) =

S 2

S S ) 2 ⋅ e − jkω p 2 + jkω pt

∞

∑C

k = −∞

k

f (t )e

jkω p t

⋅

1 S

Теперь можно найти спектр квантованного сигнала. Спектр f * (t ) : F * ( jω ) = Φ ( f * (t )) (преобразование Фурье) Теорема о преобразовании Фурье: Φ ( x(t ) ⋅ e

jkω p t

) = F ( jω − jkω p ) ,

Эта простая теорема называется ещё теоремой о сдвиге изображения в частотной области. Она показывает, что умножение оригинала на мнимую экспоненту приводит к сдвигу

10 преобразования Фурье в комплексной области на этот же самый показатель. В силу этой теоремы можем записать: F * ( jω ) =

∞

∑C

k = −∞

k

F ( jω − jkω p ) ⋅

1 S

(**)

Таким образом, вместо исходного спектра непрерывного сигнала получается спектр квантованного сигнала, состоящий из бесконечного числа компонентов. Рассмотрим характерные случаи. Пусть исходный сигнал f(t) есть гармонический с частотой ω 0 : f (t ) = sin ω 0 t

Линейчатый спектр

Рис. 2.1 Некоторые коэффициенты Ск могут быть обращены в ноль выбором скважности импульсов квантования. S C k = 0; sin(kω p ⋅ ) = 0 2 S kω p ⋅ = π ⋅ n 2

т.е. при некоторых соотношениях между частотой квантования и шириной импульсов квантования соответствующая гармоника может отсутствовать. Этим часто пользуются, если к спектру квантованного сигнала предъявляются дополнительные требования. Пусть теперь исходный сигнал имеет конечную ширину спектра (0 - ωc), или, в терминах обычной частоты: fmax < ωc / 2π . (2.1) Такой спектр должен встречаться чаще всего, и обычно известно, какова ширина спектра полезного сигнала. Однако, реально, спектр всё-таки не бывает жёстко ограниченным. Этому может мешать, например, наличие помех (шумов), в том числе, и от квантования.

11 Ограниченный спектр исходного сигнала

Рис. 2.2 Возможны два случая: 1. ωр > 2ωc частота квантования больше максимальной ширины спектра сигнала.

Бесконечный спектр квантованного сигнала

Исходный спектр Компоненты спектра не перекрываются

Рис. 2.3 Очевидно, что в этом случае отдельные составляющие спектра квантованного сигнала не пересекаются и явно отделены. 2. ωр < 2ωc частота квантования меньше максимальной ширины спектра сигнал.

Компоненты спектра квантованного сигнала перекрываются

Рис. 2.4

12 Очевидно, что в этом случае отдельные составляющие спектра квантованного сигнала пересекаются и не отделены друг от друга. Несмотря на то, что после квантования полезный сигнал рассматривается лишь в полосе частотой (-ωc … ωc ), именно в этой полосе частот появляются дополнительные составляющие, которые к тому же сдвинуты на величину никак не связанную с гармониками исходного сигнала, а зависящую от разности частотой квантования и частоты соответствующей гармоники. Для того чтобы заведомо можно было бы восстановить исходный сигнал из квантованного должно выполняться условие (1), которое называется теоремой Котельникова-Шеннона или импульсной теоремой. Иногда также эта теорема называется теоремой отсчётов. Теорема Котельникова - Шеннона: При выполнении условия (1), что возможно в условиях ограниченного спектра сигнала и достаточно высокой частоты квантования ωр > 2ωc (Т < 1/(2fmax), потери информации не происходит и она может быть полностью восстановлена. То есть из квантованного сигнала можно без потерь восстановить исходный непрерывный сигнал. Эта важнейшая теорема является теоретической основой всей цифровой обработки, хранения и передачи сигналов. Заметим также что невыполнение условия Котельникова (1) ещё не означает, что восстановление исходного сигнала заведомо невозможно! Теорема Котельникова - Шеннона не является необходимым условием. Например, если форма исходного сигнала заранее известна, то он обычно может быть восстановлен и из сложного спектра квантованного сигнала при невыполнении (1). Но это будет уже , скорее, задача обнаружения известного сигнала, а не восстановление абсолютно неизвестного сигнала с конечной шириной спектра. Снова отметим, что практически не бывает сигналов с конечной шириной спектра. Инженерное решение, применяемое в цифровой обработке сигналов, заключается в том, что ещё до квантования сигнала нужно ограничить полосу сигнала необходимой шириной, применяя фильтр предварительной обработки. Следует иметь ввиду, что такая фильтрация гораздо эффективнее фильтрации после квантования.

13

• Лекция 3. Идеальный квантователь. Спектр квантуемого сигнала должен быть ограничен. Идеальным квантователем называется квантователь с бесконечно S →0 . малой шириной импульса квантования: S << T

В этом случае можно обоснованно квантованного импульса и считать, что

пренебречь

шириной

1 ⎧ ⎫ ⎪ f (kT ) ; kT ≤ t ≤ kT + S ⎪ f (t ) = ⎨ S ⎬ ⎪⎩0 ⎪⎭ *

После этого квантованный сигнал можно записать так: ∞

f * (t ) = ∑ f (kT ) ⋅ [1(t − kT ) − 1(t − kT − S )] ⋅ k =0

1 S

Вычислим преобразования Лапласа: ∞

F ( p) = ∑ *

k =0

*

lim F ( p ) S →0

1 − e − pS − kTp 1 ⋅e ⋅ f (kT ) ⋅ p S

Идеальный квантователь ∞

⇒

∞ 1 − 1 + pS + ... −kTp 1 ⋅e ⋅ = ∑ f (kT )e −kTp ∑ f (kT ) ⋅ p S k =0 k =0

Сделав обратное преобразование Лапласа, обнаружим, что: f * (t )

Идеальный квантователь ∞

⇒

∑ f (kT ) ⋅ δ (t − kT )

k =0

Таким образом, действие идеального квантователя сводится к умножению отсчётов квантуемой функции на дельта- функцию δ(t-кТ).

14

Действие идеального квантователя Ширина импульса стремится к 0, амплитуда к ∞

Рис. 3.1

15 δ -функция характерна тем, что площадь под её графиком равна 1. Вместо значения квантуемой функции в момент времени kT образуется бесконечно узкий прямоугольный импульс площадью равной значению этой функции, при этом высота импульса устремляется в бесконечность. Выясним какой вид будет иметь спектр на выходе идеального квантователя. В формуле (**) перейдем к пределу при S → 0 и окажется, что спектр квантованного сигнала равен: F * ( jω ) =

1 ∞ ∑ F ( jω + jnω p ) T n = −∞

(3.1)

Идеальный квантователь создает бесконечное количество одинаковых копий спектра исходного сигнала с амплитудой 1/Т. Эти копии сдвинуты относительно друг друга на частоту квантования ωр = 2π/Т .

Спектр исходного сигнала

Бесконечный спектр идеального квантователя

Рис. 3.2 Понятно, что операция идеального квантования физически не реализуема. Однако, на определенном интервале частот можно приблизиться к идеальному квантованию сколь угодно точно. Восстановление и обработка квантованного сигнала. I способ восстановления полезного сигнала заключается в фильтрации. Применяется фильтр нижних частот с П-образной ⎧1 ⋅ T , ω ≤ ω c ⎫ характеристикой. С помощью такого фильтра W ( jω ) = ⎨ ⎬ просто вырезаем основную компоненту спектра из ⎩0, ω > ω c ⎭ спектра квантованного сигнала. Эта компонента с точностью до множителя 1/Т совпадает с исходным спектром. Однако, никакой реальный фильтр не может иметь такую П-образную частотную характеристику, мгновенно обращаюшуюся в ноль. Известно, с другой стороны, что для звена порядка n наклон ЛАЧХ

16 может составить максимально + − n20дб/дек. Из этих соображений, при использовании реальных фильтров не слишком высоких порядков выбирают ωр >> (2-10) ωс , чтобы соседние компоненты спектра квантованного сигнала отстояли друг от друга на значительное расстояние и было проще их отделить с помощью фильтра. Фильтры, кроме АЧХ, вносят фазовые искажения, поэтому задача построения фильтра является сложной. II способ. Обратим внимание, что при вводе/выводе сигнала в ЦВМ значение сигнала фиксируется на время Т. fˆ(t)

T 2T 3T

4T

5T

АЦП/ЦАП представлены адресами регистров,и в промежутках между чтением/записью данные сохраняютнеизменными. То же происходит и с вычисляемыми данными, хранящимися в рабочих переменных программ. Отметим также, что такая фиксация есть не что иное, как простейший слу-

t

Рис. 3.3 чай экстраполяции (0 порядка). Дадим описание устройства, осуществляющего экстраполяцию нулевого порядка, то есть фиксацию значения сигнала в течение времени Т: ∞ ) f (t ) = ∑ f (kT )[1(t − kT ) − 1(t − (k + 1)T )] k =0

Преобразование Лапласа такого экстраполированного сигнала: ∞ ) 1 − e −Tp F ( p ) = ∑ f (kT )e − kTp , p k =0

Назовем передаточной функцией фиксатора выражение: WФиксатора(р)=(1-e-Tp)/p

(3.2)

Видим, что при использовании фиксатора в качестве модели экстраполятора, помимо того, что это хорошо увязано с вводом/выводом в ЦВМ, получается замечательный результат: ) 1 − e −Tp ∞ F ( p) = • ∑ f (kT )e −kTp = Wфиксатора ( р ) • F * ( p ) p k =0

(3.3)

То есть фиксатор, на самом деле, является обычным динамическим звеном, описываемым передаточной функцией (правда, не дробно-рациональной,) в совокупности с идеальным квантователем.

17 f(t)

f*(t)

f^(t)

wФ (p) Рис. 3.4 Таким образом, при наличии фиксатора процесс квантования с фиксацией можно представить, как наличие идеального квантователя в совокупности с передаточной функцией фиксатора wФ (p). Рассмотрим частотную характеристику фиксатора и убедимся, что его действие практически подобно ФНЧ. Wфикс. ( jω ) =

− jωT

1− e jω

при

1 ω << T

= ⎯⎯⎯→ =

1−

1 j ωT

e jω

1− ≈

1 1 + jω T − 1 T 1 + jωT = = jω jω (1 + jωT ) 1 + jωT

инерционное звено (типичный ФНЧ)

На частотах существенно меньше частот квантования фиксатор ведет себя как фильтр нижних частот (ФНЧ) первого порядка. Любой другой способ восстановления непрерывного сигнала из квантованного также может быть сведен к действию ФНЧ, если рассматривать рабочие частоты ниже частоты квантования. На рисунке видно, что частот|Wфикс(jω)| инерционное звено ные характеристики фиксатора фиксатор и аппроксимирующего его фильтра низких частот в виде инерционного звена при малых ω отличаются незначительно. Однако, при приближении к T частоте ωср= 2π/Т их поведение 0.157•T начинает отличаться принципиально. Частотная характеристика фиксатора ωср=2π/T 4π/T ω Рис. 3.4 объясняет многие, на первый Рабочая область частот взгляд, непонятные свойства спектра квантованного сигнала. Например, почему амплитуда основной полезной частоты в спектре может оказаться меньше, чем амплитуда боковой составляющей. Ниже приведён спектр синуса f=5кГц. при квантовании с fр=8кГц. Рис. 3.5

18

• Лекция 4. Дискретное преобразование Лапласа и Z-преобразование. Эти преобразования позволяют распространить все методы линейных систем на импульсные системы. • Квантованный сигнал, который рассматривается лишь в дискретные моменты времени f(kT), может быть подвергнут дискретному преобразованию Лапласа по следующей формуле: ∞

F * ( p) = ∑ e − pkT ⋅ f (kT )

(4.1)

k =0

Обычно после вычисления получается дробно-рациональная функция переменного ер . *

F (p) =

Q (e p ) P (e p )

• Другим способом преобразования квантованного сигнала является Z-преобразование: F(z) = Z{f(t)} = Z{f(kT)} F (z) =

∞

∑ z − k ⋅ f ( kT ) =

k =0

f ( 0 ) + z −1 ⋅ f (1) + K

(4.2)

Нетрудно видеть, что имеется простая зависимость: z = e pT . Существенным преимуществом Z-преобразования является то, что все выражения являются дробно-рациональными функциями, такими же, как и в обычном преобразовании Лапласа. Дискретное преобразование Лапласа (также, как и Z-преобразование,) обладают всеми свойствами, относящимися к обычному преобразованию Лапласа. Имеется целый ряд теорем, аналогичных теоремам о дифференцировании и интегрировании оригинала обычного преобразования Лапласа. Только в дискретном случае вместо дифференцирования и интегрирования фигурируют сдвиги во времени. Вычисление Z-преобразований Способ 1 (по определению) Пример:

f(kT)=1(t). Это - единичная ступенчатая функция. ∞

F ( z ) = ∑ z −1 ⋅ 1 = k =0

F * ( p) =

Способ 2 (с помощью вычетов)

1 z = −1 z −1 1− z e pT

e pT − 1

19 Если известно преобразование Лапласа F(p) исходной непрерывной функции f(t), то можно вычислить Z - преобразование F(z): f(t)

f(kT) квантование

Z-преобр.

F ( z) =

по корням непрерывн. f ( p)

переход к Z- преобразованию

F(p)

∑

z z−e

pk T

Re s ( F ( p k ))

(4.3)

F(z)

pk – полюса (простые) преобразования Лапласа F(p) непрерывной функции f(t). В случае кратных корней формула несколько усложняется (можно найти в справочниках). Пример:

f(t) = 1(t); F(p) = 1/p.

Вычисляем с помощью (7):

F ( z) =

z ⋅1 z −1

Передаточная функция импульсной системы Пусть на входе импульсной системы имеется импульсный сигнал u(z), на выходе этой системы имеется соответствующий сигнал Y(z). W ( z) =

Y ( z) U ( z)

при нулевых начальных условиях

Возникает стандартная задача вычисления импульсной передаточной функции для импульсной системы, если известен исходный непрерывный прототип. u(t) U*(p) Y(p) Y*(p)

W(p) W(z) Рис. 4.1 Мы рассматриваем входной и выходной сигналы лишь в моменты квантования, а не как непрерывную функцию, поэтому на выходе системы имеется ещё один (фиктивный) квантователь. Сигнал Y(p) имеет сложную форму, совсем не похожую на квантованный сигнал.

20 Основная формула для импульсной передаточной функции основывается на доказанной в предыдущей лекции формуле для спектра идеального квантователя. Замечание: 1 ∞ Y * ( jω ) = Y ( jω + jnω p ) ∑ По формуле (3.1) видно, что T n = −∞ преобразования Лапласа идеального p = jω квантованного сигнала является 1 ∞ * Y ( p) = ∑ Y ( p + jnω p ) периодической функцией с периодом jωp. T

U * ( p) =

1 Y (p)= T *

1 T

Y * ( p) = Y * ( p + jnω p )

n = −∞ ∞

Как следствие, из этого вытекает, что частотные характеристики импульсного сигнала и амплитудно-частотная, фазочастотная являются периодичными с периодом jω .

∑ U ( p + jnω p )

n = −∞

т.к. ∞ периодичн. 1

∞

∑W(p+ jnωp )⋅U*(p+ jnωp ) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→T ∑W(p+ jnωp )⋅U*(p), где

n=−∞

n=−∞

W * (p) =

1 T

∞

∑ W(p + jn ω p )

(4.4)

n = −∞

При z = e pT ⇒ W ( z ) , то есть получаем импульсную передаточную функцию в терминах Z - преобразования, без фиксатора. Заметим, что из формулы (8) видно, что: результат квантования произведения не обязательно равен произведению результатов квантования. Имеются обширные таблицы, в которых для стандартных и непрерывных передаточных функций имеются импульсные передаточные функции. Пример: импульсная передаточная функция для инерционного звена. k , где k – коэффициент усиления, T1 – постоянная T1 p + 1 2π – период квантования. времени, T = W непр ( p) =

ωp

W * (p) =

1 k k = ⋅ ∑ T T1(p + jnω p ) + 1 T1

e pT

−T T e pT − e 1

Так, как:

z = e pT , тогда W(z) =

k ⋅ T1

z z −e

−T T1

=

z k ⋅ без учёта фиксатора. T1 z − a

21 Замечание: попробуем перейти к пределу T → 0 , ожидая перейти к передаточной функции непрерывной системы. k 1 lim W(z) = ⋅ =∞ T1 1 − 1 T →0 (z →1)

Видим, что переход не получился, так как модель квантования не учитывала фиксатор или более сложный экстраполятор. Если учесть наличие фиксатора, заданного передаточной функцией фиксатора 1 − e − pT Wф ( p ) = , то никаких бесконечностей не получится. p k 1 k e pT 1 − e − pT 1 − e − pT lim W * (p) ⋅Wф (p) = lim = ⋅ ⋅ = lim ⋅ ⋅ −T −T p p T → 0 T1 T →0 T → 0 T1 T T e pT − e 1 e pT − e 1 d (1 − e − pT ) p k k k dT • lim = • = −T T1 p p + 1 T1 p + 1 T1 p T → 0 T d pT T1 (e −e 1 ) dT

Низкочастотная область Путем подстановки p = jω получим частотную характеристику * * импульсной системы - АФЧХ: W ( jω) = : | W* ( jω)| ● ej argW ( jω) Заметим, что для частот существенно меньших частоты квантования практически частотная характеристика импульсной системы совпадает с исходной характеристикой импульсной системы с точностью до 1 : T

1 W ( jω ) , T 1 1 1 ∞ т.к. W * ( jω ) ≈ ∑ W ( jω + jnω p ) = W ( jω ) + ∑ W ( jω + jnω p ) , где T n T T n =1

коэффициента

W * ( jω ) ≈

для очень высоких частот квантования ωp >> ω, поэтому дробнорациональная физически реализуемая функция (порядок числителя меньше порядка знаменателя) W(jω+ jωp) → 0 при jωр >> jω. Это рассуждение хорошо соответствует здравому смыслу, подсказывающему, что при достаточно высокой частоте квантования поведение импульсной системы практически не отличается от исходной непрерывной. На этом замечании, кстати, основаны все цифровые методы хранения обработки и воспроизведения звуковой и видеоинформации. Практическая формула для вычисления импульсной передаточной функции для известного непрерывного блока W(р) с фиксатором: W(z) = Z(

W(p) 1 − z -1 z −1 W(p)) = ⋅ Z( ) p z p

Например, для инерционного звена имеем: W(z) = z − 1 ⋅ Z( z

W(p) k (1 − a ) )= . p z−a

22

•

Лекция 5.

Фиктивный квантователь. Вся теория Z-преобразования (как и дискретного преобразования Лапласа) имеет дело со значениями функции только в моменты квантования и не дает никакой информации о промежуточных значениях функции. По этой причине вводится понятие фиктивного квантования. Если некоторые сигналы в системе рассматривать как импульсные, т.е. только в моменты квантования kT, то в ряде случаев удобно в различные части системы добавить фиктивные квантователи, которых нет в реальной системе, но наличие которых позволяет применить технику Z-преобразования. Ниже будет видно, что введение фиктивного квантования позволит корректно использовать импульсную передаточную функцию в сложной системе, состоящей из многих блоков. Пример с использованием Z-преобразования R С u(t)

y (t)

W ( p) =

1 RCp + 1

Рис. 5.1

Интересуясь лишь моментами квантования введем на выходе фиктивный квантователь с фиксатором. R С U(z)

kT Y(z)

Ф Y (z) *

Рис. 5.2 Y^(z)

Импульсная передаточная функция инерционного описывающего эту цепочку с учётом фиксатора: W ( z) =

1 z −1 • Z( )= ( RCp + 1) • p z

−T RC 1− e

z

−T RC −e

звена,

,

Пусть u(t) = 1(t) : U ( p) =

z ; z −1

Y ( z ) = W ( z )U ( z ) = Z (

1 z )= − ( RCp + 1) • p z −1

z z

−T RC −e

Здесь удобно пользоваться таблицами Z- преобразований. Вычислим через обратное Z-преобразование оригинал импульсной функции, значения которой в момент времени kT есть y(kT): kT/RC

y(kT) = Z-1{ Y(z) } = 1(kT) - e-

.

Результат очевиден преобразования.

и

23 иллюстрирует

технику

применения

Z-

Передаточная функция замкнутой системы U(t)

e(t)

Y(t) W(p)

(-)

Рис. 5.3

Yoc(t)

Woc(p)

В непрерывной системе:

W зс ( p) =

W ; 1 + WWоc

We( p) =

1 1 + WWоc

В импульсной системе не всегда можно вычислить передаточную функцию замкнутой системы по подобной формуле. Сама эта возможность связана с наличием и расположением квантователя. Рассмотрим некоторые возможные случаи расположения квантователей в системе. 1) Чисто импульсная система U(t)

e(z)

Y(z) W(z)

(-)

Рис. 5.4

Yoc(z)

W з.с. ( z ) =

Woc(z)

W ( z) ; 1 + W ( z )Woc ( z )

We ( z ) =

1 1 + W ( z )Woc ( z )

2) Система с аналоговым входным сигналом U(t)

e*

e(t)

Y(t)

Y(z)

W(p) (-)

Рис. 5.5

Yoc(t)

Woc(p)

y ( p ) = W ( p )e * e ( p ) = U ( p ) − W0 c ( p ) y ( p )

[

]

y * = [ y ] = W ( p )e * 1442443 *

*

операция квантования

y * = [U ( p)W ( p )] − [W ⋅ W0 c ] y * *

*

Раскрывать скобки нельзя, поэтому из последней формулы y * выразить через Wзс и U(p) нельзя. Результат квантования

24 произведения не обязательно равен произведению результатов квантования. В этом случае не получается формулы для передаточной функции замкнутой системы ! Если, однако, два блока разделены квантователем, то результирующая импульсная передаточная функция равна произведению импульсных ПФ отдельных блоков. Для этого также имеет смысл включать в состав системы фиктивные квантователи. 3) Следящая система Uзад(t)

e(t)

Y(t) W(p)

(-) Yoc(t)

Рис. 5.6

Импульсная система будет иметь точно такой же вид: Uзад(z)

e(z)

Y(z) W(z)

(-) Yoc(z)

Рис. 5.7

y * ( p) *

Uзад ( p )

=

W * ( p) *

1 + W ( p)

;

W з.с. =

W ( z) ; 1 + W ( z)

We =

1 1 + W ( z)

Таким образом, в практически важном случае следящей системы вид импульсной передаточной функции замкнутой системы не отличается от обычного. То же справедливо и для ПФ по ошибке.

25

•

Лекция 6. Устойчивость импульсной САУ. Критерий устойчивости. Устойчивость импульсной системы понимается также как и непрерывной, т.е. малое изменение поведения системы в моменты квантования при малом изменении начальных данных. Разница лишь в рассмотрении только моментов квантования. Аппарат дискретного преобразования Лапласа и Z-преобразования обладает следующей особенностью: так как берутся только моменты квантования, то можно пропустить, что система неустойчивая (принять неустойчивую систему за устойчивую). Если передаточная функция импульсной системы задана посредством дискретного преобразования Лапласа: Q(e pT ) b0e mpT +L+ bm−1e pT + bm Для исследования устойчивости в W * ( p) = = ; P(e pT ) a0e npT +L+ an−1e pT + an этом случае можно применить обычное требование к располоP(e pT ) = 0 жению корней характеристического 14243 характерис тическое уравнения в левой полуплоскости. уравнение Необходимое и достаточное условие устойчивости: Re pi < 0 (отрицательность всех вещественных характеристического уравнения).

корней

Сложности: решение характеристического уравнения, не имеющего вида полинома. Число корней этого уравнения бесконечно. Пример: устойчивость инерционного звена. W(p) = K/(T1p+1) c шагом квантования Т. Вычислим импульсную передаточную функцию W(z) и соответствующую дискретную передаточную функцию. W ( z) =

Kz z−e

P (e e

pT

pT

)=e

=e

pT = − pi = −

pT

−e

−T T1

−T T1

T + 2πjk T1

1 2π +j k T1 T

=0

−T T1

;

Ke pT

W ( p) = e

pT

−e

−T T1

Это характеристическое уравнение имеет бесконечное число корней, отличающихся на чисто мнимую величину. Понятно, однако, что звено устойчиво, поскольку все эти корни имеют отрицательную вещественную часть. Это, конечно, бывает не всегда, поэтому замкнутая устойчивая непрерывная система может стать неустойчивой при квантовании (переходе к импульсной системе).

26 В частности, устойчивость импульсной системы зависит от выбора шага Т квантования по времени. Обычно при чрезмерном увеличении Т устойчивая импульсная система теряет устойчивость. Например, в чисто импульсной системе с инерционным объектом и интегратором в ООС: ( Кимп=(1- e-T/T1)Кнепр ) U(t)

e(z)

-T/T1

К/(z-e

Y(z)

)

(-) Yoc(z)

T/(z-1)

Рис. 6.1 нетрудно получить характеристическое уравнение: P(p)= e-2pT - (1+e-T/T1) e-pT + e-T/T1 + kT = 0: Необходимым и достаточным условием устойчивости корней этого уравнения является следующее: e-T/T1 + kT < 1. Видно, что с увеличением Т условие может быть нарушено. В то же время исходная непрерывная система имеет передаточную функцию: k T1 p + 1 W ( p) kp ; W з.с. ( p) = = = 2 k 1 + W ( p)Woc ( p) T p + p + k 1 1+ (T1 p + 1) p

Ясно, что эта система устойчива всегда при Т1 >0 и К>0. Необходимым и достаточным условием устойчивости в терминах Zпреобразования является следующее вытекающее из формулы z = e pT требование к корням характеристического уравнения P(z)=0: Необходимое и достаточное условие устойчивости: |zi| < 1 (все корни характеристического уравнения P(z)=0 лежат внутри единичного круга на комплексной плоскости Z ). Практическое значение имеют критерии устойчивости, то есть способы проверки факта устойчивости без непосредственного решения характеристического уравнения. Также, как и в случае непрерывных систем, их можно разделить на алгебраические и частотные. • Прежде всего отметим, что вообще классические критерии устойчивости предназначены для проверки факта расположения корней в левой полуплоскости, значит, в принципе не подходят для Z преобразования • Алгебраические критерии устойчивости непосредственно неприменимы, так как характеристическое уравнение в

27 терминах дискретного преобразования Лапласа вообще не полиномиально. Критерий Гурвица, например, неприменим. • Частотные критерии применимы для импульсных систем, если пользоваться дискретным преобразованием Лапласа. При этом, например, эффективно применим критерий Найквиста. Чтобы использовать одновременно известные критерии устойчивости и преимущества Z - преобразования (полиномиальность всех выражений) применим следующий приём из теории функций комплексного переменного: с помощью дробнорациональной функции отобразим внутренность единичного круга в левую полуплоскость. Пользуемся здесь известным свойством такого отображения - сохранять вид дробно-рациональной функции. ω-преобразование – обладает требуемыми свойствами: ω=

2 z −1 ⋅ T z +1

z=

2 + Tω 2 − Tω

В плоскости ω для проверки устойчивости можем пользоваться всеми обычными критериями. Покажем, более того, что при достаточно малых значениях частоты jω в плоскости p мы получаем практически совпадающие с ним значение jω* в плоскости ω, т.е. частотные настоящие характеристики мало отличаются от частотных характеристик в плоскости ω. По крайней мере, они практически не отличаются при условии: ω << ωp . ω

*

2 e = ⋅ T e

ω* ≈ z = e

Im p

ϕ T jϕ

z = e pT

jω

jω T jω T

ϕ 2 = j ⋅ tg 2 +1 T −1

⇒ ω* ≈ω ⇒ j = e

ϕ T

ϕ << 1

} ≈

2 ϕ j T 2

= jω

jω T

Im z j

z=

2 + Tω 2 − Tω

Im ω jω*

jωT

e

1 Re pi<0

Re p

|z i| <1

Re z

Re ωi<0

Заштрихованные области соответствуют устойчивости

Re ω Рис. 6.1

28 Вывод: после ω - преобразования получается частотная характеристика (при подстановки ω = jω * ), с которой можно обращаться как с обычной частотной характеристикой, только помнить, что рассматриваемая частота должна быть достаточно мала. В частности, в инженерной практике после ω преобразования применяются те же методы частотного синтеза для импульсных систем, что и для непрерывных. Ещё раз отметим, что нужно помнить: ω* << ωp Также ω - преобразование можно применять и для использования алгебраических критериев устойчивости. Пример: система 2-го порядка с характеристическим полиномом: Так как использовано zP ( z ) = z 2 + az + b = 0 преобразование, то нужно, чтобы z1, 2 < 1 − требование устойчивости корни этого характеристического уравнения находились внутри единичного круга. Для этого сделаем ω - преобразование: z=

2 + Tω ; 2 − Tω

P( w) = (

2 + Tω 2 2 + Tω ) +a⋅ + b = 0; 2 − Tω 2 − Tω

Подставляем: P (ω ) =

(2 + Tω ) 2 + a (2 + Tω )(2 − Tω ) + b(2 − Tω ) 2 ( 2 − Tω ) 2

Получаем полином:

(

=

Q1 (ω ) =0 P1 (ω )

)

Q1 (ω ) = ω 2 ⋅ T 2 − aT 2 + bT 2 + ω ⋅ (4T − 2bT ) + (4 + 4a + 4b ) = 0

К этому полиному 2го порядка применим критерий Гурвица: коэффициенты полинома должны быть одного знака: ⎧1 − a + b > 0 ⎪ ⎨1 − b > 0 ⎪1 + a + b > 0 ⎩

Решая эти неравенства, видим: -1
Исследование устойчивости завершено. Также можно исследовать устойчивость с помощью частотных критериев Михайлова и Найквиста, если после ω - преобразования построить АФЧХ или ЛАЧХ для "псевдочастоты" при подстановке ω =jω*. Надо лишь учитывать, что корректные результаты получатся при выполнении ограничения ω* << ωp . Для рассмотренного выше примера соответствующий годограф Михайлова будет иметь вид: P(jω*)= -ω*2(T2-aT2+bT2)+ jω*(4T-2bT) +(4+4a+4b)= Re P(ω*)+ jIm P(ω*) Точно так же строятся характеристики ЛАЧХ и ФЧХ:

и

логарифмические L(ω*) и φ(ω*).

частотные

29

• Лекция 7. Точность импульсных систем автоматического управления. Для оценки точности импульсных автоматических систем используются те же методы, что и для непрерывных. Так же рассматривается статическая точность и точность в переходном режиме. Вводятся коэффициенты ошибок и типовые показатели качества. В установившемся режиме используют величину установившейся ошибки при различных типовых воздействиях, наиболее характерных для рассматриваемой системы. Основной метод исследования при этом - предельные теоремы операторного исчисления. В непрерывном случае (непрерывное преобразование Лапласа) имеет место теорема: Здесь x(t) и X(p) - оригинал непрерывной l i m x(t ) = l i m p ⋅ X ( p ); t→∞ p→ 0 функции и её преобразование Лапласа. В случае Z - преобразования эта теорема преобразуется следующим образом (учитывая, что z=epT): z −1 (7.1) l i m x(kT ) = l i m ⋅ X ( z ); k→∞

Z→ 1

z

В замкнутой импульсной системе ошибка е(z), задающее воздействие Uзад(z) и возмущающее воздействие f(z) связаны следующим образом: Uзад(z)

e(z)

f(z)

Y(z)

W(z) (-) Yoc(z)

Рис. 7.1 Woc(z)

e(z) = Wзс(z) Uзад (z) + We(z) f(z); Это выражение содержит две составляющие ошибки, первая из которых обусловлена задающим воздействием, а вторая возмущающим. Установившаяся ошибка импульсной системы может быть вычислена с помощью теоремы о предельном значении: l im

k→∞

e(kT ) =

l im

Z→ 1

(

z −1 z −1 ⋅ Wзс (z) Uзад (z) + ⋅ We(z) f(z) X ( z )); z z

Определим установившуюся ошибку воздействию, положив f(t) = 0. Получим: l im

e(kT ) =

l im

системы

по

задающему

z −1 1 ⋅ Uзад (z); z 1 + W ( z )Woc ( z )

(7.2) Если на вход подается постоянное воздействие, изображение которого Uзад(z) =Uo z /(z -1), то в соответствии с (7.2) установившаяся k→∞

ошибка системы:

Z→ 1

l im

k→∞

e(kT ) = e уст = e∞ =

1 U0 ; 1 + W (1)Woc (1)

30 Для импульсных систем имеется понятие астатизма по задающему и возмущающему воздействиям. Так же, как и для непрерывных систем, эти понятия не обязательно совпадают. Как обычно, порядок астатизма определяется "числом интеграторов" в контуре. Точнее, поскольку для интегратора справедливо: Z (1 / p) =

1 1 z −1 , ⋅ Z( 2 ) = z −1 z p

то имеется следующее определение порядка астатизма: W ( z) =

1 ( z − 1) k

⋅ W1 ( z );

где k - порядок астатизма системы, a W1(z) не

имеет нулей и полюсов, равных единице. То есть в явном виде выделяется к интеграторов и больше их в разомкнутой системе нет. Для того чтобы импульсная система имела нулевую установившуюся ошибку по задающему воздействию, необходимо, чтобы порядок ее астатизма по задающему воздействию превышал степень входного воздействия. Аналогично определяется и астатизм по возмущающему воздействию. Определение коэффициентов ошибок для импульсной системы. Разложив передаточную функцию системы по ошибке для задающего воздействия в степенной ряд по (1 -z -1), получим: We ( z ) =

C C z − 1 1 C2 z − 1 2 z −1 k 1 = C0 + 1 ( ) + ( ) + .... + . k k ( ) + ....; 2 T z z z 1 + W ( z )Woc ( z ) 2!T k!T

Коэффициенты С0, С1,..... называют коэффициентами ошибок. Таким образом, отличий от непрерывного случая практически нет. Коэффициент ошибки Ск показывают величину ошибки в установившимся режиме при подаче на вход сигнала (полинома)степени к. Для исследования точности САУ в динамическом режиме можно пользоваться прямым моделированием на ЦВМ или диаграммами Солодовникова, подобно непрерывному случаю. Синтез корректирующих устройств также принципиально не отличается от непрерывного случая. Удобно использовать ЛАЧХ и ФЧХ для псевдочастоты ω* при синтезе последовательного корректирующего устройства в области частот ω*<< ωp. L(w*)корректора = L(w)желаемая - L(w*)имеющаяся φ(w*)корректора = φ(w)желаемая - φ(w*)имеющаяся Заметим, что в этих формулах получается корректирующее устройство в терминах W(w*). Следовательно, чтобы перейти к переменному Z, надо сделать преобразование: 2 z − 1 корректора W ( z ) корректора = W ( ⋅ ) T z +1

31

• Лекция 8. Описание импульсной системы в пространстве состояний Реализация импульсной передаточной функции. Так же, как имеется переход от передаточной функции или дифференциального уравнения высокого порядка к системе или дифференциальных уравнений первого порядка для непрерывной системы, имеется такая же процедура и для импульсных систем, то есть для разностных уравнений, определённых для функций со значениями в разные моменты времени кТ. имеется импульсная b e mpT + L + bm−1e pT + bm Пусть W (e pT ) = 0 npT передаточная функция либо в терминах a0 e + L + an−1e pT + a n дискретного преобразования Лапласа, либо в терминах Z - преобразования: Импульсные функции на входе и выхоb0 z m + L + bm−1 z + bm W (z ) = де блока, описываемого такой передаa0 z n + L + a n−1 z + a n точной функцией, обозначим u(kT) и и y(kT) соответственно. u( z) =

∞

∑z

k =0

−k

⋅ u (kT );

y( z) =

∞

∑ z −k ⋅ y(kT )

k =0

Заметим, что умножение на z -1 соответствует сдвигу на один момент квантования назад, то есть, к предыдущему по времени значению. z −1 y ( z ) =

∞

∑ z −k −1 ⋅ y(kT )

k =0

Замечание: мы работаем в реальном времени. Поэтому текущее значение выхода системы может быть связано только с прошлыми, а не с будущими значениями функций. Поэтому передаточную функцию W(z) нужно переписать с использованием отрицательных степеней z. Разделим числитель и знаменатель W(z) на: z -n z − n b0 z m + L + bm −1 z + bm b0 z m −n + L + bm −1 z 1− n + bm z − n W ( z) = −n ⋅ = z a 0 z n + L + a n −1 z + a n a 0 + L + a n −1 z 1− n + a n z − n m≤n a0 y (kT ) + a1 y ((k − 1)T ) + a n y ((k − n)T ) = b0 u ((k − n + m)T ) + K + bm u ((k − n)T ) y (kT ) =

1 ⋅ ((−a1 y ((k − 1)T ) + K + bm u ((k − n)T )) ) a0

Это все можно свести к векторно-матричным операциям. Рассмотрим для простоты случай, когда передаточная функция в числителе имеет один коэффициент k.

32 W ( z) =

kz − n a0 + K + a n z −n

a0 y (kT ) + a1 y ((k − 1)T ) + K + a n y ((k − n)T ) = ku ((k − n)T )

(8.1)

⎧ x1 (k ) = y (kT ) ⎪ x (k − 1) = y ((k − 1)T ) = x (k ) ⎪ 1 2 ⎨ ⎪MLLL ⎪⎩ x n (k − 1) = y ((k − 1 − n)T )

Выразим последнюю переменную xn через правую часть (11) и остальные переменные и получим систему уравнений: ⎛ x1 (k ) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ x2 (k ) ⎟ x((k + 1)) = ⎜ ⎟ = Ax(k ) + Bu(k − n); A − квадратная матрица; M ⎜ ⎟ ⎜ x (k ) ⎟ ⎝ n ⎠ y(kT ) = x1 (k )

В − вектор;

Если импульсные системы имеют много входов и много выходов, т.е. описываются не передаточной функцией, а передаточной матрицей (по этой причине мало пригодны частотные характеристики), вычисления особенно выгодно вести такими векторно-матричными методами. Все-таки в подавляющем большинстве случаев имеется потребность в реализации на специализированных вычислителях простейших систем с одним входом и выходом. Поэтому уравнение (8.1) – это основа для написания подобных программ без применения матричных методов. Пример: реализация фильтра нижних частот: W ( p) =

1 Tф p + 1

(8.2)

Это-фильтр первого порядка с крутизной -20дб./дек. Пусть постоянная времени фильтра: Tф = 1мс (частота среза 1 кГц.) Период квантования T = 0,2 мс . Импульсная передаточная функция, записанная с учётом фиксатора, (см. пример из лекции 5) и домножения числителя и знаменателя на z -1 будет иметь вид: T − Формула с использованием Z−1 Tф 1− e z (1 − e −0.2 ) преобразования будет являться W ( z) = = −T 1 − z −1e −0, 2 точной, т.к. в моменты квантования kT T z−e ф она дает истинные значения сигнала. Приведём её к виду (11): y(kT) = 0.8187y((k-1)T)+0.1813u((k-1)T); (8.3) Получилась вычислительная формула, позволяющая вычислить текущее значение выхода через текущее значение входа и одно предыдущее (взятое из памяти) значение выхода.

33 Таким образом, необходимо иметь память на одно значение. Отметим, что (8.3) является точной формулой, так как аппарат z преобразования гарантирует истинные значения функций в моменты квантования. Покажем теперь, что вычислительная схема, которая может быть получена путём простой аппроксимации производной непрерывного сигнала y(t):

•

y (t ) ≈

y (t + dt ) − y (t ) y (t + T ) − y (t ) = dt T

(8.4)

в дифференциальном уравнении, соответствующем передаточной функции непрерывного фильтра (12): •

Tф y (t ) + y (t ) + 1 = u (t ) ≈ Tф

y ((k + 1)T ) − y (kT ) + y (kT ) + 1 , T

является приближением, получающимся из (8.3) при разложении экспонент в ряд с оставлением линейных членов. Получим схему вычисления: y(kT) =(1-Т/Тф)y((k-1)T) + Т/Тфu((k-1)T); В числах: y(kT) =0.8y((k-1)T) + 0.2u((k-1)T); (8.5) Сравним (8.3) и (8.5) и видим, что ошибка в коэффициентах в (8.5) по сравнению с точной формулой (8.3) составляет около 20% и зависит от шага квантования Т, уменьшаясь вместе с ним. Это, впрочем, неудивительно, так как с уменьшением Т повышается и точность формулы (8.4). Использование Z-преобразования и импульсной передаточной функции позволяет повысить точность цифровой реализации по сравнению с численными разностными методами. В заключение приведём вычисление импульсной передаточной функции цифрового ПИД - регулятора, широко использующегося на практике в локальных системах автоматики и управления. Непрерывная (исходная) передаточная функция ПИД - регулятора c учётом фиксатора: Wпид ( p) = К п +

Ки + Кд р ; р

z −1 z −1 1 1 − z −1 Wпид ( z ) = К п + К и T + Кд = К п + К иT + К д z −1 T T 1 − z −1

(8.6)

Обозначим входной сигнал регулятора - е(кТ), выходной сигнал у(кТ), тогда из (8.6) получим: u(kT)=u((k-1)T)+ Кпе(кТ)- Кпе((к-1)Т)- КиТе((к-1)Т)+ (Кд/Т)(е(кТ)- е((к-1)Т)); Перегруппируем члены и получим схему вычислений:

u(k)=u(k-1) + (Кп+ Кд/Т)е(к) - (Кп - КиТ - Кд/Т)е(к-1); (8.7) Окончательно, чтобы программно реализовать цифровой регулятор, необходимо на цифровом контроллере (управляющей ЦВМ) выполнять следующие жёстко привязанные к таймеру операции:

1. 2. 3. 4. 5.

34 ввести через АЦП текущее значение входного сигнала; с использованием данных из памяти вычислить u(k) по (17); вывести через ЦАП вычисленное значение управления u(k); пересохранить переменные: u(k-1)= u(k); e(k-1)= e(k); перейти к пункту 1.

Таким образом, чтобы цифровое устройство реализовывало необходимый алгоритм, заданный передаточной функцией, надо выбрать такой контроллер или, в более общем случае, платформу вычислительных средств и программное обеспечение, позволяющие производить обращение к устройствам ввода-вывода и вычисления в соответствии с алгоритмом и привязкой к жёсткому реальному времени. Следует учитывать, что объекты автоматического управления обычно очень критичны к сбоям управления. Такие обычные вещи,как перегрузка операционной системы, временные "зависания" управляющего компьютера обычно совершенно недопустимы. В подобных случаях приходится применять дублирование (многократное), чтобы не допустить размыкания контура управления. Не следует путать работу в условиях помех с отказами в работе контроллера. Принципиальная разница здесь заключается в том, что алгоритм работы в условиях помех реализуется на работающем контроллере, то есть управление не теряется, а лишь корректируется при появлении того или иного вида помех. При сбоях же контроллера или программного обеспечения возникает совершенно иная ситуация. Кроме того, обычно теряется время на устранение такого сбоя за счёт ухудшения качества регулирования. В настоящее время реальное положение дел таково, что ни операционные системы, ни языки программирования высокого уровня не могут гарантированно обеспечить необходимый уровень надёжности. Во всяком случае, инженер по управлению и автоматике должен чрезвычайно тщательно относиться к выбору аппаратнопрограммной реализации своих проектов. Это же относится и к сетевой компоненте системы автоматики, если таковая имеется. Дело в том, что многие общепринятые сетевые средства не предназначены для работы в реальном времени. Например, ни сеть Ethernet,ни протокол TCP/IP не гарантируют времени доставки пакетов, и если реализовать распределённую САУ с использованием сетевой компоненты на их основе, то можно столкнуться, например, с фактами резкого изменения качества работы регулятора в зависимости от загрузки сети. Что касается распространённых контроллеров на основе РСсовместимой архитектуры, то лишь очень немногие из них обеспечивают требуемое качество и надёжность.

35

Нелинейные системы автоматического управления. • Лекция 9. Метод гармонической линеаризации Общих универсальных методов исследования нелинейных систем не существует - слишком велико разнообразие нелинейностей. Однако, для отдельных видов нелинейных систем разработаны эффективные методы анализа и синтеза. • Метод гармонической линеаризации предназначен для представления нелинейной части системы некоторой эквивалентной передаточной функцией, если сигналы в системе могут рассматриваться, как гармонические. • Этот метод может быть эффективно использован для исследования периодических колебаний в автоматических системах, в том числе, условий отсутствия этих колебаний, как вредных. Характерным для метода гармонической линеаризации является рассмотрение одного единственного нелинейного элемента. НЭ можно разделить на статические и динамические. Динамические НЭ описываются нелинейными дифференциальными уравнениями и являются гораздо более сложными. Статические НЭ описываются функцией F(x). Применение метода гармонической линеаризации для исследования нелинейных колебаний - это наиболее распространённое применение данного метода. В замкнутой САУ, состоящей из линейной части с передаточной функцией W(p) и нелинейного элемента, описывающегося функцией F(x), рассмотрим условия возникновения колебательного незатухающего процесса, его амплитуда, частота, форма и условия возникновения подлежат исследованию. Пусть на входе нелинейного элемента НЭ имеется простое гармоническое колебание и НЭ задан функцией F(x). НЭ ЛЧ зад U = 0 aSin(ωt) F(aSin(ωt)) x(t) F(x) W(p) (*) (-) Пройдя через линейную часть, выходной сигнал поступает по цепи ООС на вход системы, которую будем для простоты считать следя-

36 щей с 0 задающим воздействием. Далее, преобразовавшись в нелинейном элементе, сигнал поступает на вход ЛЧ, контур замкнут. Периодический сигнал aSin(ωt), проходя через нелинейность, остаётся периодическим с тем же периодом и его можно разложить в ряд Фурье по гармоникам с кратной частотой. F(aSin(ωt))=a0 + b1Sin(ωt) + a1Cos(ωt) + b2Sin(2ωt) + a2Cos(2ωt)+…+ (9.1) Коэффициенты Фурье вычисляются по известным формулам, заметим лишь, что коэффициенты aк и bк зависят от амплитуды и частоты a b ω гармонического сигнала aSin(ωt)). В конечном итоге, это сохраняет характер нелинейной зависимости. a0 =

ω 2π

2π ω

ω

2π ω

ω

2π ω

∫ F(aSin(ω t ))dt; a k = π ∫ F(aSin (ω t ))Cos(kω t )dt; b k = π ∫ F(aSin (ω t ))Sin (kω t )dt; 0

0

0

k > 0;

Если дополнительно предположить, что нелинейность симметрична, то есть F(-x)= -F(x), то постоянная составляющая a0=0. Обратимся к частотной характеристике линейной части. Говорят, что справедлива гипотеза фильтра, если выполняется неравенство: |W(jnω*)| << |W(jω*)|, (9.2) здесь имеется ввиду типичная рабочая частота системы ω*. Таким образом, предполагаем, что линейная часть обладает фильтрующим свойством. Поэтому старшие гармоники на выходе НЭ просто не проходят через линейную часть, они в ней подавляются. В этом заключается гармоническая линеаризация - отбрасывание старших гармоник на выходе НЭ, потому что их влияние пренебрежимо мало. При этом учитывается , что в линейной части различные гармоники не взаимодействуют между собой вследствие линейности. Гипотеза фильтра означает, что частотная линейной части достаточно быстро убывает: L(ω) L(nω*) << L(ω*)

характеристика

2ω* ω

*

ω

рабочая частота

Рис. 9.1 Степень выполнения гипотезы фильтра позволяет оценить погрешность самого метода. Обычно считают, что, если вторая и более старшие гармоники составляют Δ% от первой, то и

37 погрешность метода гармонической линеаризации составляет эту же величину Δ%. После отбрасывания старших гармоник от (9.1) остаётся следующее выражение: F(aSin(ωt)) ≈ a q (a,ω)Sin(ωt) + a q'(a,ω)Cos(ωt); q (a,ω) = a1/a и q' (a,ω) = b1/a называются коэффициентами гармонической линеаризации. Эти коэффициенты описывают изменение амплитуды и фазы первой гармоники сигнала при прохождении через нелинейность. Зависимость коэффициентов гармонической линеаризации от амплитуды и частоты возможно только в нелинейной системе, сохраняет отпечаток нелинейности, не уничтожая её, как при простой линеаризации нелинейности. Именно поэтому возможно использовать метод гармонической линеаризации для расчёта существенно нелинейных колебательных процессов. Коэффициенты гармонической линеаризации обобщают обычный коэффициент усиления линейного звена. Покажем, как с их помощью определить АФЧХ, соответствующую НЭ. Рассмотрим прохождение гармонического сигнала через НЭ: F (a sin ω t ) = b1 sin ω t + a1 cos ω t = b1 (a, ω ) sin ω t + a1 (a, ω ) = b1 (a, ω ) sin ω t +

a1 (a, ω )

ω

d sin ω t = dt ω

⎛ q ' ⎞⎟ ⎛ b (a, ω ) a1 (a, ω ) ⎞ p ⎟ ⋅ a sin ω t = ⎜ q + p ⋅ a sin ω t ⋅ p sin ωt = ⎜ 1 + ⎟ ⎜ aω a ω ⎝ a ⎠ ⎠ ⎝

Значит, гармонический сигнал, проходя через НЭ, домножается на некоторое операторное выражение, которое естественным образом называется эквивалентной передаточной функцией НЭ: W НЭ (a, ω , p ) =

b1 a1 q ′(a, ω ) + = q ( a, ω ) + ⋅p a aω ω

(9.3)

Полученная передаточная функция позволяет также определить эквивалентную АФЧХ НЭ: W НЭ (a, ω , jω ) = q(a, ω ) +

q ′(a, ω )

ω

⋅ jω = Re Wнэ (ω ) + j ⋅ ImWнэ (ω ) =

= Wнэ (ω ) • e j⋅argWнэ (ω ) = = q 2 (a, ω ) + (q ′) 2 (a, ω ) • e j⋅argWнэ (ω ) = q 2 (a, ω ) + (q ′) 2 (a, ω ) • e

j⋅arctg

ImWнэ (ω ) ReWнэ (ω )

Как правило, вид нелинейности связан с типичным эффектом в том или ином элементе автоматики. Рассмотрим некоторые типичные статические нелинейности. Метод гармонической линеаризации позволяет эффективно исследовать не только ступенчатые недифференцируемые (следовательно, нелинеаризуемые обычным

38 методом) нелинейности, но и петлеобразные, в частности, гистерезисные. Вначале рассмотрим нелинейности без петель. Полиномиальные нелинейности F(x) P(x) – полином P(-x) = - P(x)

0

x

Рис. 9.2 Пример 1. Кубическая нелинейность.

P(x) = k1х+k2x3

⎧q ′ = 0 ⎪ ⎨ 3 2 ⎪⎩q(a, ω ) = k1 + 4 k 2 a

Наблюдение: q'=0, нет фазового сдвига и q не зависит от частоты. Пример 2. Идеальное реле с зоной нечувствительности. F(x) c ⎧q ′ = 0 ⎪ ⎨ 4c b2 1− 2 ⎪q = π⋅a a ⎩

-b

b -c

x Рис. 9.3

Наблюдение: q'=0, нет фазового сдвига и q не зависит от частоты. Перейдём теперь к нелинейностяи с петлями. Гистерезисные нелинейности. Нелинейная характеристика может иметь петли. Петель в характеристике может быть много. Частным случаем петли является гистерезис. Явление гистерезиса связано «с памятью» нелинейного элемента. «Память» – остаточная деформация, остаточная намагниченность, электретный эффект и т.п.. Пример 3.Реле с гистерезисом. F(x) ⎧ 4c b2 ⎪q = 1− 2 ⎪ π⋅a a ⎨ 4cb ⎪ ′ ⎪q (a ) = − πa 2 ⎩

c -b

b

x

-c

Рис. 9.4 Наблюдение: q'<0 , имеется отрицательный фазовый сдвиг и q и q' не зависят от частоты.

39

• Лекция 10. Выводы: • Во всех рассмотренных случаях коэффициенты гармонической реализации не зависят от частоты. • Коэффициент q' зависит от наличия петель и пропорционален суммарной площади петель с учётом знаков. • Фазовый сдвиг - отрицательный, это определено тем, в каком направлении происходит обход петли гистерезиса, в частности, для обычного гистерезиса - отрицательный. • АФЧХ НЭ может зависеть не только от частоты, но и от амплитуды, на самом деле, во всех рассмотренных примерах от частоты она не зависит. Автоколебания в нелинейной системе В реальной линейной системе В линейной системе всегда : невозможны колебания постоянной общ. общ. частн. x неодн xодн (t ) + x неодн (t ) . . (t ) = 1 . 3 424 3 1424 амплитуды без наличия специальреакция собствен. ного периодического входного движение, на внешнее воздействие инерция воздействия. Собственные движения в линейной системе могут иметь незатухающий вид, если имеется хотя бы один корень характеристического уравнения со строго 0 вещественной частью, так как собственные движения в общее k pk t xоднородног системе имеют в общем случае вид: о (t ) = ∑ ci t e k =1,n

Автоколебания – собственные колебания в нелинейной системе, обладающие свойством устойчивости, т.е. способностью сохранять амплитуду и форму колебаний. Автоколебания в реальных системах могут появляться из-за наличия гистерезиса, люфта, всевозможных зазоров в механических соединениях, наличия реле, логических законов управления и др. Автоколебания в таких нелинейных системах ухудшают качество переходного процесса, не дают ему окончательно затухнуть. В особо точных системах позиционирования автоколебания просто недопустимы. x(t) обычный переходный процесс

автоколебания

t Рис. 10.1

40 Для расчета такого рода колебаний подходит метод гармонической линеаризации, который в данном случае определяет амплитуду и частоту первой гармоники этих колебаний. Используем критерий Найквиста для нахождения условия того, что замкнутая система (*) находится на границе устойчивости, то есть в ней возможны незатухающие и ненарастающие колебания. W(jω*) Wнэ(а*,ω*,jω*) = -1;

(10.1)

Годограф АФЧХ разомкнутой системы проходит через точку (-1; j0). а* – амплитуда возможных автоколебаний, ω* – частота возможных автоколебаний. Рассмотрим (10.1), как систему уравнений для определения а*,ω*. Воспользуемся коэффициентами гармонической линеаризации. W ( jω )(q(a, ω ) + jq ′(a, ω )) = −1 M ( jω ) W ( jω ) = = Q(ω ) + jP (ω ) N ( jω ) (Q + jP )(q + jq ′) = −1

выделим вещественную и мнимую части (10.2) X (a*,ω *) + jY (a*,ω *) = 0 ⎧Q(ω *)q(a*,ω *) − P(ω *)q ′(a*,ω *) = −1 ⎨ ⎩ P(ω *)q(a*,ω *) + Q(ω *)q ′(a*,ω *) = 0

Решением этой системы являются а*,ω* (решений может быть несколько, кроме того, а*,ω* могут вовсе не быть истинными параметрами автоколебаний т.к. эта система (10.2) является лишь необходимым условием наличия автоколебаний). Достаточное условие должно заключать в себе рассмотрение всех гармоник, что практически нереально. Рассмотрим важный частный случай: Система без гистерезиса. Характеристика НЭ не имеет петель, поэтому q' = 0. Из (10.1) или (10.2): W ( jω )q(a, ω ) = −1; M ( jω ))q(a, ω ) = − N ( jω ) (10.3) Обозначим вещественные и мнимые части полиномов числителя и знаменателя передаточной функции ЛЧ соответственно: M(jω)=Xq(ω)+jYq(ω), N(jω)=Xp(ω)+jYp(ω). Тогда последнее равенство (10.3) эквивалентно двум (для вещественной и мнимой частей): Xp(ω) + Xq(ω)q(a) = 0; здесь учтено, что обычно q() не зависит от ω. Yp(ω) + Yq(ω)q(a) = 0; Получим два равенства для вычисления по очереди вначале ω*, а затем а* (следует иметь ввиду, что некоторые выражения равны 0): Xp(ω*) Yq(ω*) = Xq(ω*) Yp(ω*); q(a*) = - Xp(ω*)/ Xq(ω*) = - Yp(ω*)/ Yq(ω*); (10.4) Из (10.4) видно, что в системах без гистерезиса частота автоколебаний ω* определяется только линейной частью. Для

{

41 определения ω* необходимо решать полиномиальные уравнения. Для определения амплитуды автоколебаний а* приходится уже решать нелинейное алгебраическое уравнение с нелинейностью, зависящей от коэффициента гармонической линеаризации q(a). Устойчивость автоколебаний. Можно показать, что для устойчивости автоколебаний, то есть, чтобы их амплитуда, частота и форма были устойчивы к малым возмущениям начальных условий необходимо выполнение условия: ⎛ ∂Y (a, x) ∂X (a, x) ⎞ ⎛ ∂X (a, x) ∂Y (a, x) ⎞ >0 −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ω ⎠ a = a*, ∂ω ⎠ a =a*, ⎝ ∂a ⎝ ∂a ω =ω *

(10.5)

ω =ω *

Условие (10.5), так же, как и условия (10.1, 10.2) является лишь необходимым, то есть позволяет отсеять заведомо неустойчивые автоколебания. Пример 1. Следящая система с релейным регулятором. Ниже приведено исследование типичной электромеханической системы (объект - исполнительный двигатель постоянного тока с примерно одинаковыми постоянными времени и выходной величиной - угол поворота) с релейным регулятором. Убедимся, что в этой системе будут автоколебания. НЭ ЛЧ зад φ =0 e(t) φ(t) 1 c (Tp+1)2p -c (-) Рис. 10.1 Так как гистерезиса нет, воспользуемся (10.4) для определения вначале частоты ω* а затем амплитуды а* автоколебаний. Сам факт наличия этих колебаний (необходимое условие !) связан с существованием решения уравнения (10.4). Нетрудно получить: M(jω)=1; N(jω)= -T2jω3-2Tω2+jω; q(a)= 4c/(πa); q'=0; Вычислим вещественные и мнимые части M(jω) и N(jω): Xp(ω*)= -2Tω*2; Yp(ω)=ω* -Tω*3; Xq(ω*)= 1; Yq(ω*)=0. Подставим в (24): -2Tω*2 • 0 - (ω* -T2ω*3) • 1=0. Отсюда ω*=1/Т, далее вычисляем a* из уравнения q(a*)= 2/T. 4с/(πа*) = 2/Т; а*=2сТ/π . Таким образом, в нашей релейной системе возможны автоколебания с частотой, зависящей только от постоянной времени объекта управления и амплитудой, зависящей от параметров нелинейности. Проверим условия устойчивости (10.5): X(ω) = Xp(ω) + Xq(ω)q(a)= -2Tω2+4с/(πа); Y(ω) = Yp(ω) + Yq(ω)q(a)= ω -T2ω3;

42 − 4c 2π ⎛ ∂Y (a, x) ∂X (a, x) ⎞ ⎛ ∂X (a, x) ∂Y (a, x) ⎞ = (1 − 3T 2ω *2 ) = > 0, −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ∂ω ⎠ a =a*, π (a*) ∂ω ⎠ a =a*, ⎝ ∂a ⎝ ∂a cT 2 ω =ω *

ω =ω *

то есть, необходимое условие устойчивости выполнено. Конкретный вид автоколебаний исследуется другими методами решением соответствующих нелинейных дифференциальных уравнений или моделированием на цифровой модели. При этом исследуются и достаточные условия наличия и устойчивости автоколебаний. Ниже приведён график переходных процессов в системе при φзад= 1 и параметрах системы: Т=0.3с.; С=1. X(t)

Переходные процессы в релейной следящей системе

t

Рис. 10.2 Отчётливо наблюдается устойчивые колебания при различных начальных условиях. Амплитуда этих колебаний около 0.2, период колебаний примерно равен 1.9с., что хорошо совпадает с результатами расчётов. Обращает на себя внимание тот факт, что амплитуда и форма установившегося колебания не зависит от начальных условий и является неотъемлемой частью переходного процесса в такой системе с реле. Выбором параметров (в том числе, самого реле) можно повлиять на амплитуду и период колебаний. В следующем примере попытаемся оценить точность, типичную для метода гармонической линеаризации.

43 Пример 2. Генератор треугольных колебаний. Рассмотрим схему, состоящую из компаратора с гистерезисом (электронный аналог реле с гистерезисом) и интегратора. Покажем, что в такой схеме возникают треугольные колебания на выходе интегратора и вычислим их амплитуду и частоту методом гармонической линеаризации.Ширина петли гистерезиса - b, x(t) -b 1 -1 амплитуда пере-1 b p ключения - 1. Интегратор - c инРис. 10.3 версией знака. Построим вполне очевидный график выходного сигнала х(t), предполагая, что начальное состояние интегратора равно 0 и начальное состояние реле равно (-1). x(t) b первая гармоника 0.81b Понятно, что период колебания Т = 4b, то есть ωточное* ≈ 1.57/b. -0.81b b 2b 3b 4b Амплитуда колебаний a* = b. -b Рис. 10.4 Вычислим ω* и а* методом гармонической линеаризации (10.2). Следует проверить, выполняется ли гипотеза фильтра. Очевидно, что частотная характеристика линейной части имеет слишком пологий вид с наклоном -20дб./дек. = -6дб./окт., поэтому надеяться, что результаты расчёта будут иметь очень высокую точность, не приходится. Тем не менее, продолжим: Q(jω)= 0; P(jω)= 1/ω; Подставим в (22):

q(a ) =

b2 4 4b 1 − 2 ; q' (a) = − 2 ; πa a πa

− ( j / ω *)(

4b b2 4 1− 2 − j ) = −1 πa * a* πa *2

Выделяя вещественную и мнимую части имеем: а* = b; ω*= 4/(πb)≈1.27/b. Сравнивая с точным значением: ω*≈0.81ωточное*. Таким образом, методом гармонической линеаризации совершенно точно определена амплитуда автоколебания, а при определении частоты имеется погрешность порядка 20%. Сравним эту погрешность с погрешностью, полученной при отбрасывании старших гармоник в треугольном колебании. Для этого достаточно в нашем случае сравнить амплитуду 1 гармоники с амплитудой всего колебания. Коэффициент Фурье bк для треугольного колебания имеет величину (см. справ.) bк =2b(Sin(πk/2))2/((πk/2))2. Откуда получаем, что амплитуда первой гармоники b1 ≈ 0.81, что хорошо согласуется с полученной погрешностью вычислений.

44

• Лекция 11. Фазовое пространство и фазовая плоскость нелинейной системы Понятие "фазовое пространство" связано с процедурой перехода от нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка n к системе из n нелинейных дифференциальных уравнений1-го порядка. F (Y ( n ) , K , Y , U ( m ) , K , U ) = 0 , где Y (n ) – n-я производная, F() – нелинейная функция, Y ( n) = ϕ (Y ( n−1) K) – нелинейное дифференциальное уравнение k-го порядка относительно Y. Фазовое пространство нелинейной системы – это многомерное ⎛ x1 ⎞ Y (t ) = x1 (t ) ⎜ ⎟ векторное пространство, точки x ⎜ x2 ⎟ которого имеют координаты: x=⎜ ⎟ ⎧ x&1 (t ) = x2 (t ) M ⎪ x (t ) = x (t ) Фазовое пространство полностью ⎜ ⎟ ⎪ &2 3 ⎜x ⎟ ⎨ ⎝ n⎠ иллюстрирует решение данного K K K K K ⎪ ⎪⎩ x&n (t ) = ϕ ( xn−1 (t ), xn − 2 (t ),K) дифференциального уравнения. Эффективность этого понятия наиболее видна в двухмерном фазовом пространстве. Это хорошо согласуется со следующим, принятым в автоматике рассуждением: "Всякий переходный процесс может в первом приближении быть представлен в виде системы не сложнее 3-го порядка; система 2-го порядка описывает колебательность с затуханием и добавление 3-го порядка (в случае необходимости) усложняет процесс затухания". То есть часто бывает достаточно 2-го порядка. В случае когда фазовое пространство двухмерно, а этот случай часто встречается на практике, использование этого пространства становится очень наглядным и используется в двух видах: – обычное фазовое пространство, – расширеное фазовое пространство, когда добавляют координату t. Обычное фазовое пространство: Если правая часть дифференциального уравнения является дифференцируемой функцией и может быть разложена в ряд Тейлора, исследование фазового портрета (совокупности фазовых траекторий) на фазовой плоскости упрощается. Вид фазового портрета определяется наличием и типом особых точек. &x& = f ( x, x& ) , где f(…,…) – разложение в ряд Тейлора. x(0) = x0 ⎫ ⎬н. у. введём обозначение : x1 = x, и далее : x& (0) = x& 0 ⎭ ⎧ x&1 = x 2 ⎨ ⎩ x& 2 = f ( x1 , x 2 )

н. у. : x1 (0) = x0 ; x 2 (0) = x& 0 .

45 В более общем случае имеется система: ⎧ x&1 = Φ 1 ( x1 , x 2 ) ⎨ ⎩ x& 2 = Φ 2 ( x1 , x 2 )

(11.1)

Особой точкой системы (1) называется точка ее покоя: ⎧ x&1 = 0 ⎨ ⎩ x& 2 = 0

– точка покоя, «особая точка»

(11.2)

Фазовые траектории могут пересекаться только в особых точках. Вне особых точек фазовые траектории устроены просто и через каждую точку проходит единственная фазовая траектория, т.е. в окрестности неособой точки ничего интересного нет - множество практически параллельных траекторий. Чем меньше рассматриваемая окрестность точки, тем больше ход фазовых траекторий похож на расслоение Окрестность неособой точки параллельными линиями. Конечно, при увеличении окрестности выясняется, что все эти линии оказываются не прямыми, а изогнутыми, как множество меридианов на географической карте. Если найдены все особые точки изображения на фазовой плоскости, и для каждой из этих точек определено, как именно в ней пересекаются траектории, после этого фазовые траектории достраиваются почти автоматически. Тип особой точки определяется линеаризацией правой части уравнений в окрестности особой точки. Пусть у нас ( x1* , x 2* ) – особая точка, ⎧⎪Φ 1 ( x1* , x 2* ) = 0 ⎨ ⎪⎩Φ 2 ( x1* , x 2* ) = 0

(11.3)

Линеаризуем уравнение (11.1) в окрестности этой точки: ⎛ ∂Φ 1 ⎜ ⎛ x&1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ∂x1 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎝ x& 2 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎜ ∂Φ 2 ⎜ ∂x ⎝ 1

∂Φ 1 ∂x 2 ∂Φ 2 ∂x 2

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟& * ⎠ x1 = x1*

⎛ x − x1* ⎞ ⎟ + 0(...) ⋅ ⎜⎜ 1 *⎟ ⎝ x2 − x2 ⎠

x& 2 = x2

Перейдя к уравнениям в отклонениях, получаем: x& = Ax

⎧ ∂Φ ⎫ A= ⎨ 1⎬ ⎩ ∂x1 ⎭ x = x*

(11.4)

Т.к. замена базиса лишь поворачивает плоскость и изменяет масштаб вдоль осей, то замена базиса не меняет качественно картину особой точки. Удачным выбором базиса можно легко исследовать тип особой точки. Выберем базис таким образом, чтобы матрица привелась к диагональной форме (не только в двухмерном, но и в общем случае):

46 Заменим базис: x = Tz; x& = Tz& x& = Ax , тогда Tz& = Ax = ATz ; ⎛ λ1 ⎜ ⎜0 −1 T AT = ⎜ M ⎜ ⎜M ⎜0 ⎝

0⎞ ⎟ O K K M ⎟ K λi K M ⎟ ⎟ K K O 0⎟ K K 0 λn ⎟⎠ 0

K K

z& = T −1ATz

В базисе собственных векторов приводим матрицу к диагональному виду.

Если матрица не обладает базисом собственных векторов, то вместо диагональной формы будет форма Жордана; построения несколько усложняются, мы, однако, ограничимся диагональным случаем. Вернёмся теперь к двухмерному случаю. Уравнение в новом базисе получаем такого вида: ⎛λ z& = ⎜⎜ 1 ⎝0

0⎞ ⎟ z , Замечание: собственные векторы матрицы A задают λ 2 ⎟⎠ направление осей z1 … z n .

Метод построения фазовых траекторий Можно построить фазовые траектории двумя способами: 1. Параметрическое задание фазовой траектории; Решаем систему, находим z1(t), z2(t). Из начальной точки строим параметрическую кривую. 2. Нахождение прямой зависимости z2(z1) или, наоборот, z1(z2). Второй способ проще, т.к. порядок системы дифференциальных уравнений уменьшается на единицу, и получающееся уравнение первого порядка можно легко исследовать, часто и решить явно. Применим второй метод к нашей системе из двух уравнений: ⎧ dx1 ⎪⎪ dt = Φ 1 ( x1 , x 2 ) ⎨ ⎪ dx 2 = Φ ( x , x ) 2 1 2 ⎪⎩ dt

(11.5)

Разделим 2-ое уравнение на 1-ое: dx1 Φ1 ( x1 , x 2 ) Это- нелинейное уравнение 1-го (!) порядка. (11.6) = dx 2 Φ 2 ( x1 , x 2 )

Теперь этот способ применим окрестности особой точки: ⎧ z&1 = λ1 z1 ⎨ ⎩ z& 2 = λ2 z 2 dz 2 λ2 dz1 = ⋅ ; z2 λ1 z1

dz 2 λ 2 z 2 = ⋅ dz1 λ1 z1 z 2 = C | z1 |

к

результату

линеаризации

далее решаем, разделяя переменные: λ2 λ1

,

C − произвольная постоянная

Дальнейшее зависит от того, какие значения принимают λ1, λ2.

в

47

• Лекция 12. Прием определения направления стрелок. Если нужно определить направление стрелки в любой точке фазовой плоскости (то есть определить направление движения по фазовой траектории), то берется исходное уравнение и в правую часть подставляется искомая точка. В правой части получаются числа, которые являются производными. Если производная положительна, то соответствующая переменная возрастает со временем, если отрицательна, то убывает. Рассмотим возможные случаи. 1. Если λ1, λ2 - вещественные, то такая особая точка называется узлом. 1.а) λ1, λ2 – вещественные, причем λ1<0, λ2<0 рис. 12.1. Получаем устойчивый узел. Вдоль всех траекторий движение происходит в сторону начала координат. X2

X1

Рис.12.1 Получаем устойчивый узел.

48 1.b) λ1, λ2 – вещественные, причем λ1>0, λ2>0 X2

X1

Рис. 12.2 Получаем неустойчивый узел. Вдоль всех траекторий движение происходит от начала координат. 2.

λ1, λ2 – вещественные, причем λ1>0, λ2<0

X2

X1

Рис. 12.3. Точка называется седлом. Седло всегда неустойчиво.

3. λ1, λ2 –чисто мнимые ⎧⎪ z& 1 = z 2 ⎨ ⎪⎩ z& 2 = − ω

2

49 λ1= jω, λ2= – jω

⋅ z1

Поделим второе уравнение на первое. ω 2 z1 dz 2 =− dz1 z2

Проинтегрируем по частям.

∫ z 2 dz 2 = − ∫ ω

2

z1dz1

Учтём произвольную постоянную, зависящую от начальных условий. ω 2 z12 z 22 =− +C 2 2 z 22

+ ω 2 z12

=R

Это, очевидно, есть семейство эллипсов.

2

X2

X1

Рис. 12.4. Эта точка называется центром. Движение вдоль фазовых траекторий происходит по часовой стрелке.

50 4. λ1, λ2 – комплексно сопряженные корни, λ1 = a + jω, λ2 = a - jω 4.1. a<0. Вещественные части корней отрицательны. X2

X1

Рис. 12.5. Этот фазовый портрет называется устойчивым фокусом. Траектории "сворачиваются" к началу координат. 4.2. a>0. Вещественные части корней положительны.

X2

X1

Рис. 12.6. Этот фазовый портрет называется неустойчивым фокусом. Траектории "разбегаются" от начала координат.

51

• Лекция 13. Пример построения фазового портрета с бесконечным числом особых точек. Реальный маятник без затухания. Приведём в качестве примера построение фазового портрета реального маятника без затухания. Известны уравнения идеального (математического) и реального маятника без затухания. Очевидно, при малых перемещениях: x ≈ Sin(x), и поэтому их решения близки. Но при немалых х отклонения в поведении значительны. - уравнение математического маятника; &x& = − x - уравнение реального маятника. &x& = − sin x Перейдём к фазовой плоскости для реального маятника. ⎧ x&1 = x 2 = Φ 1 ( x1 , x 2 ) ⎨ ⎩ x& 2 = − sin x1 = Φ 2 ( x1 , x 2 ) ⎧⎪ x1* = 0 ⎨ * ⎪⎩ x 2 = 0

уравнение особых точек

Φ 1 ( x1 , x 2 ) = 0

x2 ≡ 0 Φ 2 ( x1 , x 2 ) = 0 sin x1 = 0 x1 = π ⋅ k

Этот фазовый портрет построен на компьютере. Выясним характер особых точек, их здесь, очевидно, бесконечное число.

Рис. 13.1. Фазовый портрет маятника без затухания. Вдоль оси Х1 картинка периодична с периодом 2π.

52 Произведем линеаризацию в окрестности каждой точки (x*11= 0+2πk) и (x*12 = π+2πk). 1) x *1 = x * 2 = 0 : ⎛ ∂Φ1 ⎜ ∂x A=⎜ 1 ⎜ ∂Φ 2 ⎜ ∂x ⎝ 1

∂Φ1 ⎞ ⎟ ∂x 2 ⎟ ∂Φ 2 ⎟ ∂x 2 ⎟⎠

1⎞ ⎛ 0 ⎛ 0 1⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜⎜ = ⎜⎜ * ⎝ − cos x1 0 ⎠ x1* =0 ⎝ − 1 0 ⎠ x1* , x2* =0

x2 =0

λ1= i, λ2= – i , то есть, эта точка - центр. 2) x *1 = π , x * 2 = 0; ⎛ ∂Φ1 ⎜ ∂x A=⎜ 1 ⎜ ∂Φ 2 ⎜ ∂x ⎝ 1

∂Φ1 ⎞ ⎟ ⎛ 0 1⎞ ∂x 2 ⎟ ⎟⎟ = ⎜⎜ ∂Φ 2 ⎟ 1 0 ⎠ ⎝ ∂x 2 ⎟⎠ x1* =π x2* =0

λ1= 1, λ2= – 1 , то есть, эта точка - седло. Очевидно, что далее картина повторяется периодически вдоль оси X1.

Линии переключения на фазовой плоскости Если правая часть дифференциального уравнения не дифференцируемая функция (релейная система), то особые точки могут сливаться в целые линии – линии переключения, и по разные стороны от них нелинейный элемент НЭ системы переключается в разные состояния. НЭ ЛЧ зад φ =0 e(t) φ(t) -b 1 1 -1 b (p+1)p (-) Рис. 13.2

Нелинейная следящая система с гистерезисом.

Обозначим X1(t)= φ(t) и перейдём к системе из двух уравнений в фазовом пространстве: ⎧ x&1 = x 2 ⎨ ⎩ x& 2 = − x 2 − F ( x1 )

53 Основная идея: там, где нелинейный элемент находится в одном из своих устойчивых состояний, дифференциальное уравнение сильно упрощается и его надо решить отдельно в каждой из этих областей и на границе линии переключения. 1) Область N1:

упрощается:

F(x)=+1

⎧x& 1 = x 2 ⎨ ⎩x& 2 = − x 2 − 1 ;

⎧ x1 ≥ b или при условии: ⎪⎨⎧− b ≤ x1 < b ⎪⎨ x < 0 ⎩⎩ 2

система

уравнение фазовых тракторий:

Это уравнение можно явно проинтегрировать: Ниже приведён фазовый портрет системы. Толстой линией показана линия переключения на x 2 − ln(x 2 − 1) = x1 + C; фазовой плоскости. Правее этой линии реле находится в состоянии +1, левее - в состоянии -1. dx 2 − x 2 − 1 ; = dx1 x2

2) Область N2: F(x)=-1 в остальной части плоскости.

Линия переключения

Предельный цикл Область 1 F(x) = 1

Область 2 F(x)= -1

Рис. 13.3. Фазовый портрет следящей системы с гистерезисом. Видим, что на фазовой плоскости имеется устойчивый предельный цикл - колебательный процесс, к которому стягиваются близкие траектории. Этот предельный цикл является предельным колебательным процессом, который устанавливается в системе.

54 • Лекция 14. Чтобы оценить время движения по траектории поступают очень просто. Выбирают начальные условия. Решают уравнение до момента попадания в точку t * на линии переключения. Рассмотрим состояние в момент t * как начальное условие для движения в следующей области. Переходим в другую область. Используя уравнения для этой области, находим t ** - время перехода в следующую область и так далее. Решение по областям и сопряжение граничных условий называется методом припасовывания. Заметим, кстати, что в Примерах 1 и 2 Лекции 10 также имеются устойчивые предельные циклы на фазовой плоскости. Особенно интересен здесь Пример 1, в котором фазовое пространство трехмерно, поэтому предельный цикл будет в трехмерном пространстве, но мы можем рассмотреть его проекцию на фазовую плоскость.

X(t)

t X2 Проекция цикла X1

X3

X2

Истинный предельный цикл

X1

Рис. 14.1 Фазовый портрет системы из Примера 1 Лекции 10 и трёхмерное фазовое пространство этой системы.

55 Наряду с предельными циклами, в нелинейных системах имеются так называемые скользящие режимы, при которых возможно существенно увеличить быстродействие в следящей системе. Uзад= 1

e(t) (-)

c -c

1 p2

X(t)

1 + Kos P

Рис. 14.2 В этой системе имеется дифференциатор в цепи обратной связи. За счёт переключения реле все переходные процессы имеют две стадии: вначале происходит относительно медленное перемещение до момента переключения реле, а затем последнее начинает переключаться с очень большой (теоретически бесконечной) частотой, удерживая при этом переходный процесс на некоторой линии фазовой плоскости. Эта линия называется линией скольжения, так как движение вдоль неё может происходить очень быстро. X(t)

t

X2

Линия скольжения

X1

Рис. 14.3

Скользящий процесс в следящей системе с реле.

Ясно видна линия переключения, являющаяся также и линией скольжения. Она выделена жирно на фазовой плоскости. Кружочком обозначена точка покоя Х1=1; Х2=0.

56 Быстрое движение по линии скольжения обуславливает следующие возможности, возникающие в нелинейных системах: • Возможность получения с использованием релейного регулятора гораздо меньшего времени переходного процесса, чем, например, при использовании стандартного ПИД-регулятора. • Возможность получения практически конечного времени переходного процесса (времени достижения заданного состояния). Всё это хорошо видно на результатах моделирования Рис.14.3. Также видно, что переходный процесс апериодический заканчивается за конечное время.

и

Реализация скользящих режимов в реальных системах встречает некоторые трудности. • Во-первых, скользящий режим всегда является идеализацией. • Во-вторых, при программной реализации релейного элемента часто имеются сложности численного интегрирования дифференциальных уравнений при автоматическом выборе шага. На практике всегда реализуется режим близкий к скользящему, но отличающийся от истинно скользящего конечной частотой преключения. В самом деле, реальный релейный элемент не может переключаться с бесконечной частотой вне зависимости от способа его реализации: аппаратной (реле), электронной (электронная ключевая схема) или программной. Яркий пример скользящего режима на практике - регулятор зарядки аккумулятора в автомобиле, где реле (контроллер) зарядки включает и отключает обмотку возбуждения генератора с достаточно высокой частотой, достигающей сотни Герц. При этом, в силу большой ёмкости аккумулятора, переходные процессы близки к скользящему режиму. Если напряжение уже достигло номинального уровня, реле(контроллер) с большой частотой включает и отключает зарядную цепь так, что колебания вокруг номинала очень малы. Преимущества такого регулирования очевидны: • чрезвычайно высокий КПД при малых потерях энергии в самом регуляторе; • максимально возможная скорость переходных процессов зарядки, так как при зарядке всегда используется вся возможная мощность генератора (реле просто напрямую его подключает к аккумулятору). Эти два свойства вообще являются характерными для релейных систем автоматического управления.

57

• Лекция 15. Функция Ляпунова и ее использование для исследования устойчивости нелинейной системы. Общего эффективного с инженерной точки зрения метода исследования устойчивости произвольной нелинейной системы не существует. Теоретическое решение проблемы устойчивости было дано А.М. Ляпуновым в 1891г. Основную роль эдесь играет возможность построения специальной скалярной функции векторного аргумента, то есть скалярной функции на фазовом пространстве системы. Эта функция называется функцией Ляпунова. Идея Ляпунова очень проста. Рассмотрим двухмерный случай и функцию Ляпунова L( x1 , x 2 ) . Пусть имеется нелинейное уравнение движения в двухмерном фазовом пространстве x& = f ( x, t ) • Движение будет устойчивым, если функция Ляпунова удовлетворяет следующим требованиям: 1. Линии уровня функции Ляпунова замкнуты; 2. Функция Ляпунова неотрицательна; 3. Скалярное произведение градиента функции Ляпунова и вектора скорости в любой точке отрицательно: ( gradL, x& ) = ( gradL, f ( x)) = gradL ⋅ f ⋅ cos α < 0 ; В самом деле, скалярное произведение градиента функции Ляпунова и вектора скорости в любой точке своим знаком показывает тупой или острый угол α. Если L(x1, x2)= 0.5x14+ 5x22- 0.5x1x2 угол α тупой, то вектор скорости направлен внутрь линии уровня, и траектория движения стремится войти внутрь линии уровня и далее двигаться к Угол α- тупой началу координат. X2 Если, наоборот, α X1 острый, то траектоgrad L рия стремится от Линии уровня L начала координат. скорость f Очевидно, что в перРис. 15.1 Функция Ляпунова вом случае система

58 устойчива, а во втором случае - нет. Данное скалярное произведение есть также полная производная функции Ляпунова по времени. d dL dx L( x(t )) = ⋅ = { ( gradL, x& ) = ( gradL, f ( x)) dt dx dt т.к .

(15.1)

x − вектор

Теперь дадим формулировку теоремы Ляпунова. Теорема Ляпунова (эскиз формулировки) Пусть найдется функция L( x) ≥ 0 такая, что ее производная вдоль траектории системы x& = f ( x, t ) отрицательна, т.е. выражение (15.1) отрицательно. Тогда система устойчива. К сожалению, не существует общего метода построения функции Ляпунова для произвольной нелинейной системы. Однако, к настоящему времени функции Ляпунова построены практически для всех наиболее важных классов нелинейных систем, встречающихся на практике. Более того, если построена функция Ляпунова, то через нее удается выразить такие показатели качества переходного процесса как перерегулирование время переходного процесса и т.д. Один из важнейших классов можно построить функцию единственной нелинейности гармонической линеаризации. выбрать в виде:

нелинейных систем, для которых Ляпунова, это случай наличия F(x) в системе, как в методе Тогда функцию Ляпунова можно

x

L( x) = x Qx + q ∫ F (δ )dδ , где q − некоторое положительное число. 123 T

(15.2)

0

функция Ляпунова линейной части

Замечание: в случае линейной системы функцию Ляпунова можно всегда выбрать в виде квадратичной формы. Теорема Лурье об устойчивости Эта теорема основана на использовании предыдущей формулы для широкого класса практически встречающихся систем. Uзад δ(t) u(t) x(t) Линейный . (-)

r Рис. 15.2

объект

u = F(δ)

y(t)

Нелинейная система Лурье

cT

59 C – измеритель (косвенный) состояния x(t) объекта, r – коэффициент местной OОС, F (δ ) – нелинейность. Т

F (0) = 0 δ ⋅ F (δ ) > 0

(I и III квадрант)

(15.3)

⎧ x& = Ax + bu

Объект: ⎨

(15.4)

T ⎩y = C x

Требование: объект устойчив, то есть матрица А устойчива. Метод Лурье заключается в построении функции Ляпунова, причем предварительно делается замена переменных:

(x&, u& ) ⎯замена ⎯⎯→( z&, δ& ) z = Ax + bu

Относительно этой пары уравнений получаем: ⎧ z& = Az + bF (δ ) ⎨& T T ⎩δ = −C x& − rF (δ ) = −C z − rF (δ )

(15.5)

Последняя система уравнений является соединением линейной части и единственной нелинейности, поэтому функцию Ляпунова мы выбираем в форме (15.1): δ

L( z , δ ) = z T Pz + ∫ F (δ )dδ 0

По теореме Ляпунова вычисляем

dL . Путем сложных выкладок dt

получаем следующее неравенство: T

1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ r > ⎜ Pb + C ⎟ G −1 ⎜ Pb + C ⎟ , где G = − AT P + PA 2 ⎠ 2 ⎠ ⎝ ⎝

(15.6)

Решением этого неравенства должна быть положительно определенная симметричная матрица P. Замечание: как ни странно, сюда вообще не вошли параметры нелинейности, поэтому ясно, что Лурье получил очень сильные условия устойчивости для нелинейности любого вида в рамках ограничений. Замечание: Лурье также получил связь показателей качества переходного процесса через матрицу P. Таким образом, мы столкнулись со случаем, когда условия устойчивости не зависят от конкретного вида нелинейности и начальных условий. Устойчивость, не зависящая от начальных условий, называется устойчивостью в целом, не зависящая от конкретного вида нелинейности - абсолютной устойчивостью.

60

• Лекция 16. Абсолютная устойчивость нелинейных П'опова (Popov V.M., Румыния 1958г.).

систем.

Критерий

Подобно теореме Лурье критерий Попова позволяет установить устойчивость нелинейной системы сразу для целого класса нелинейности, лежащих в секторе. Пусть нелинейность F(x) удовлетворяет частному условию: F(x) kx F ( x) 0≤ ≤k F(x) x х (16.1) F (0) = 0 Рис. 16.1 То есть нелинейность не выходит за рамки сектора в 1 и 3 квадрантах, при этом её конкретный вид не имеет значения, например, она может иметь петли или быть сильно ломаной. F(x)

kx F(x) х

Понятно, что требования к виду нелинейности очень слабы, поэтому к данному классу нелинейностей относятся такие нелинейности, которые не поддаются обычным методам линеариза-

Рис. 16.2 ции вследствие недифференцируемости. Класс нелинейностей, умещающихся в секторе, очень широк, например, сюда относится большинство нелинейностей датчиков и приводов. С другой стороны, сюда не попадает, например, обычное реле с гистерезисом. Абсолютная устойчивость – это устойчивость для любой нелинейности внутри заданного сектора. Устойчивость в целом (пространстве) – это устойчивость при любом начальном условии. С другой стороны, устойчивость в целом является развитием вполне интуитивно понятной инженеру идеи: если график нелинейности F(x) зажат границами сектора Кх, то коэффициент усиления нелинейности не "превышает К", и если устойчива линейная система, в которой вместо F(x) стоит Кх, то должна быть устойчива и нелинейная система. Но для проверки устойчивости линейной системы можно использовать обычные критерии устойчивости, например, частотные. Именно частотный подход используется в критерии Попова.

61 Критерий Попова дает критерий абсолютной устойчивости в целом и формулировка его подобна критерию устойчивости Найквиста. Пусть линейная часть задана передаточной функцией W(p), нелинейная часть находится в секторе k. Пусть можно найти такое число q, что выполняется следующее частотное неравенство:

Re [1 + jq ω ] W ( jω ) +

1 >0 k

(16.2)

Тогда система является абсолютно устойчивой в целом и, кроме того: x(t ) → 0 при t → ∞ . Частотное неравенство (16.2) имеет геометрическую интерпретацию подобную критерию Найквиста. Раскроем выражение (16.2): Re{(1 + jqω )(Re W + j ImW )} = Re(Re W + jqω Re W + j ImW − qω ImW ) = Re W − qω ImW 1 То есть (16.2) фактически означает: Re W − qω ImW + > 0 (16.3) k

Если ввести модифицированный годограф: ~ W ( jω ) = Re W ( jω ) + jω ImW ( jω ) , (16.4) то частотное неравенство для модифицированного годографа получает вид: 1 Re W~ ( jω ) + > q Im W~ ( jω ) k

(16.5)

В самом деле, условие (16.5) просто означает, что модифицированный годограф должен находиться правее прямой, проходящей через точку (-1/к ; j0) с угловым коэффициентом q. на комплексной плоскости с координатами (Re W ; ImW ) . С другой стороны, выберем в качестве "нелинейности" границу сектора: F(x)=кx. Такая нелинейность входит в рассматриваемый класс, но при её наличии система линейна, и для неё, как для линейной, можно использовать необходимое и достаточное условие Найквиста. Это в данном случае означает, что обычная АФЧХ линейной части не должна "охватывать" точку -1/к. (т.к. W(jω)• К не должна "охватывать" точку -1.) • Следовательно, необходимым условием, дополнительным к критерию Попова, будет условие, чтобы обычный (немодифицированный) годограф линейной части не пересекал вещественную ось левее точки -1/к. • Отметим, что условие Попова - лишь достаточное, поэтому критерий позволяет отсеять неустойчивые системы.

62 На самом деле, возможны три характерных случая. Рассмотрим пример, в котором нелинейность заключена в секторе с К=1. Тогда для устойчивости прямая в критерии Попова должна проходить через точку -1 с некоторым наклоном наклоном q, и график модифицированного годографа должен быть целиком правее. Модифицированный годограф АФЧХ.

Немодифицированный годограф АФЧХ: W(jω).

Прямая Попова с наклон. q

Рис.16.3 Устойчивость, т.к. выполнены достаточные условия.

Рис.16.4 Неустойчивость, т.к. не выполнены необходимые условия для немодифицированного годографа W(jω). На рис.16.3 возможно провести через точку -1 прямую так, что годограф целиком оказывается справа. На рис.16.4 годограф немоди-фицированной АФЧХ линейной части пересекает вещественную ось левее точки -1/к = -1. На рис.16.5 невозможно провести Модифицированный годограф АФЧХ. прямую через точку -1 так, чтобы годограф оказался целиком правее, но это не значит, что система неустойчива. В этом случае требуется дополнительное исследование другими методами, отличными от критерия Прямая Попова с наклон. q Попова. Рис.16.5 Ничего нельзя утверждать на основе критерия Попова. 1. 2. 3. 4.

Правило применения критерия Попова На комплексной плоскости строим модифицированный годограф. Отмечаем точку -1/к, определяемую сектором нелинейности. Пытаемся провести через эту точку какую-нибудь прямую с наклоном q так, чтобы годограф оказался правее. Система будет абсолютно устойчивой, если это возможно. Учитываем, что критерий Попова – только достаточное условие.

63 Итак, необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости не совпадают. Чтобы сблизить необходимое и достаточное условия приходится накладывать более жесткие ограничения на нелинейность. Двигаясь по этому пути, можно получить много обобщений критерия Попова, в частности, при дополнительных ограничениях на нелинейность можно использовать не модифицированный, а обычный годограф АФЧХ. Если нелинейность удовлетворяет такому дополнительному условию: F ( x1 ) − F ( x2 ) ≤ k то есть, скорость возрастания нелинейности огра0≤ x1 − x2 ничена в каждой точке величиной к , то в этом случае вместо модифицированного годографа можно использовать обычный (критерий Чо-Нареандры). Подобных обобщений проделано великое множество, упомянем лишь одно, по-видимому, важнейшее. Это - так называемый круговой критерий, который позволяет исследовать устойчивость при нелинейностях в более сложном секторе и, кроме того, нестационарных. Имеются также обобщения критерия Попова на случаи других свойств линейной части, например, при наличии интеграторов. В заключение заметим, что метод гармонической линеаризации, понятие абсолютной устойчивости и методы её исследования а также методы исследования фазовой плоскости дают поистине мощнейший инструментарий анализа и синтеза сложных нелинейных систем автоматического управления.

64 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. А.А. Алексеев, Д.Х.Имаев, Н.Н. Кузьмин, В.Б. Яковлев Теория управления. СПбГ:, Издательство "ЛЭТИ" 1999, 434с. 2. Р.Дорф, Р.Бишоп. Современные М:,Юнимедиастайл 2002, 822с.

системы

управления.

ОГЛАВЛЕНИЕ ЛЕКЦИЯ 1. Квантование непрерывного сигнала . . . . . . . . . . . . . . . .3 ЛЕКЦИЯ 2. Спектр квантованного сигнала. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 ЛЕКЦИЯ 3. Идеальный квантователь. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 ЛЕКЦИЯ 4. Дискретное преобразование Лапласа и Z-преобразование. 16 ЛЕКЦИЯ 5. Фиктивный квантователь. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ЛЕКЦИЯ 6. Устойчивость импульсной САУ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ЛЕКЦИЯ 7. Точность импульсных систем автоматического управления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ЛЕКЦИЯ 8. Описание импульсной системы в пространстве состояний. Реализация импульсной передаточной функции.29 ЛЕКЦИЯ 9. Метод гармонической линеаризации. . . . . . . . . . . . . . . .33 ЛЕКЦИЯ 10. Автоколебания в нелинейной системе. . . . . . . . . . . . . .37 ЛЕКЦИЯ 11. Фазовое пространство и фазовая плоскость нелинейной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 ЛЕКЦИЯ 12. Прием определения направления стрелок. . . . . . . . . . 45 ЛЕКЦИЯ 13. Пример построения фазового портрета с бесконечным числом особых точек. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49 ЛЕКЦИЯ 14. (Продолжение темы лекции 13) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52 ЛЕКЦИЯ 15. Функция Ляпунова и ее использование для исследования устойчивости нелинейной системы. . . . . . . . . . . . 55 ЛЕКЦИЯ 16. Абсолютная устойчивость нелинейных систем. . . . . . 58 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62