Оптимизация решений в металлургии и литейном производстве: Методические указания к выполнению лабораторных работ

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Северо-Западный заочный политехнический институт Кафедра металлургии и литейного производства

Оптимизация решений в металлургии и литейном производстве Методические указания к выполнению лабораторных работ

Факультет технологии веществ и материалов Специальность 110400 - Литейное производство чёрных и цветных металлов

Санкт - Петербург, 1999

2 Утверждено редакционно - издательским отделом института УДК 681.3.06 Оптимизация решений в металлургии и литейном производстве. Методические указания к выполнению лабораторных работ. - СПб.: СЗПИ, 1999. Лабораторный практикум ориентирован на решение задач одноимённой дисциплины с помощью современных персональных компьютеров в среде электронных таблиц. Рассмотрено на заседании кафедры металлургии и литейного производства 14 января 1999 г.(протокол № 5), одобрено методической комиссией факультета технологии веществ и материалов 14.05.1999 (протокол № 11). Рецензенты: кафедра металлургии и литейного производства СЗПИ (зав. кафедрой А.А.Яценко, канд. техн. наук, доц.); В.Г.Фёдоров, канд. техн. наук, доц. кафедры "Машины и технология литейного производства", СПб институт машиностроения. Составители: В.В.Дембовский, канд. техн. наук, проф., Ю.Н.Зинин, канд. техн. наук, доц., В.Т.Сенченко, канд. техн. наук, доц.

© В.В.Дембовский, Ю.Н.Зинин, В.Т.Сенченко, 1999

3

Общие указания Лабораторные работы выполняются с использованием IBM-совместимых компьютеров моделей АТ / 486 или Pentium, оснащённых табличным процессором (электронными таблицами) Excel одной из версий: 5.0, 7.0 или 97. Эти программные продукты фирмы Microsoft имеют общую концептуальную базу и различаются лишь отдельными средствами сервиса. Все они предназначены для выполнения любых расчетов в наглядной - табличной форме. Вместе с тем, рассматриваемые электронные таблицы снабжены достаточно мощным встроенным математическим аппаратом, а также - высокоуровневыми средствами графического отображения результатов счёта. Одна из ветвей встроенного математического аппарата Excel позволяет решать оптимизационные задачи методами математического программирования, куда входят линейное, нелинейное, целочисленное и стохастическое программирование. Общая методика работы в среде Excel изложена в [ 1 ], с. 30...54. По результатам выполнения лабораторного практикума студент оформляет отчёт. Отчёт пишется в ученической тетради или на стандартных листах бумаги размером 278x203 мм (А4) с соблюдением полей по ГОСТ 2.105-79. В отчёт включают цель каждой из задач практикума, основные теоретические положения, исходные данные, порядок выполнения работы, полученные результаты и их распечатки, а также выводы, следующие из анализа этих результатов. На титульном листе необходимо указать наименование института, кафедры, предмета, привести фамилию и инициалы исполнителя, его шифр, дату. Отчёт должен быть подписан исполнителем и представлен руководителю при сдаче зачёта по курсу. В процессе выполнения работ на персональных компьютерах следует строго соблюдать правила электробезопасности.

ЛИТЕРАТУРА 1. Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0. СПб.: BHV, 1997. 2. Белай Г.Е., Дембовский В.В., Соценко О.В. Организация металлургического эксперимента. - М. : Металлургия, 1993. 3. Оптимизация решений в металлургии и литейном производстве/ Рабочая программа, задания на контрольную работу, методические указания к выполнению контрольной работы / Сост.: В.В.Дембовский и др. - СПб. : СЗПИ, 1999.

4

РАБОТА №1 Компьютерный анализ экспертных оценок при выявлении оптимального варианта технологии производства отливки 1. Цель работы. Определение достоверности среднего значения экспертных оценок средствами Excel. 2. Основные теоретические положения. Обычно экспертные оценки распределяются по нормальному закону Гаусса. Это даёт возможность при обработке экспертных оценок применить следующую методику: а) Вычислить средний результат M, б) Найти дисперсию экспертных оценок D, в) Рассчитать экспериментальное значение критерия Стьюдента tР, г) Задаться значением доверительной вероятности ß рассматриваемой экспертизы. д) Из таблиц Приложения 2 [ 2 ], с. 226 взять теоретическое (табличное) значение критерия Стьюдента tT для принятой в п. г) доверительной вероятности и числа степеней свободы 2( n - 1). е) Сравнить tp и tT . При условии tP ≥ tT экспертные оценки следует признать достаточно согласованными. В противном случае в практических условиях следует провести дополнительную (разъяснительную) работу с экспертами и повторить экспертизу. 3. Порядок выполнения работы а) Получают от руководителя исходные данные в виде одномерного массива значений экспертных оценок Ai; i=1, n и рекомендации по выбору доверительной вероятности . В качестве исходных данных могут быть приняты данные задачи №1 контрольной работы по настоящему курсу [ 3 ] с целью проверки правильности расчётов, выполненных ранее безмашинным способом.

5 б) Включают персональный компьютер и по окончании процесса загрузки операционной системы Windows 95 (98) загружают имеющуюся версию Excel. Если компьютер оснащён операционной системой MS DOS версии не ниже 6.0, то перед доступом к Excel следует загрузить Windows 3.x. в) Вводят исходные данные по следующей схеме (табл. 1): - В строку 1 порядковый номер работы, а ниже – фамилию, инициалы исполнителя, его шифр и дату. - В столбец B, начиная со строки 2, экспертные оценки с A1 по An включительно. При этом номер n последнего элемента массива исходных данных определяет номер последней строки N = n + 1 части таблицы, занятой исходными данными. - В строку под номером N =n+2 столбца A вводят символ M, а в ту же строку столбца B – функцию вычисления среднего M по массиву исходных данных из состава встроенных функций. Для этого нужно установить курсорную рамку в строку N =n+2 cтолбца B, на стандартной панели инструментов в верхней части экрана Excel отыскать кнопку fx (" Вставка функции "), сделать на ней один щелчок левой клавишей [ 1Л ] манипулятора типа "мышь" и в высветившемся на экране окне "Мастер функций – шаг 1 из 2" выбрать слева категорию "статистические", а справа - "срзнач", сделать [ 1Л ] на кнопке [OK], затем в высветившемся следующем окне "Мастер функций - шаг 2 из 2" указать диапазон чисел, из которого вычисляется среднее, например, B2: B11, и ещё раз [ 1Л ] на [OK]. В выделенной курсорной рамкой ячейке появится искомое среднее значение массива экспертных оценок. К сказанному следует добавить следующее. Символ " : " является стандартным при обозначении диапазона данных. Однако при вводе информации средствами клавиатуры вместо " : " можно использовать " . ", что удобнее, так как занимает лишь одну руку пользователя и поэтому оказывается более оперативным в работе. В дальнейшем Excel автоматически преобразует символ "." в стандартный символ ":". г) Строкой ниже в столбец A вводят символ D, а в ту же строку столбца B - встроенную функцию вычисления дисперсии действиями, в основном аналогичными описанным в п. в) с тем лишь отличием, что эта функция условно называется "дисп". д) В строку под номером N =n+4 записывают символ вычисления квадратного корня из дисперсии словесно как "КОРЕНЬ(D)", а в столбец. B той же строки вводят встроенную функцию по признакам "математические" и "корень". Для завершения операции нужно указать имя ячейки, где хранится операнд, то есть В(n+3).

6 е) В строку под номером N =n+5 столбца А вписывают символ расчётного значения критерия Стьюдента tP , а в той же строке столбца В средствами клавиатуры набирают формулу вида =В(n+2)/B(n+4), где в соответствующих ячейках таблицы записаны конкретные числа, определяемые в зависимости от n для вычисления tP = M/КОРЕНЬ(D). По общему правилу Excel, символ " = " является опознавательным знаком формулы. ж) В следующей ниже строке столбца А пишут "Вывод", а в столбец В в той же строке (под номером n + 6) записывают логическую формулу следующего вида =ЕСЛИ(В(n+5) > tT ; "Д"; "Н"), где (n+5) - номер строки таблицы, в которой записано расчётное значение критерия Стьюдента, а под символом tT подразумевается определённое число, являющееся табличным значением критерия Стьюдента при принятой доверительной вероятности. Смысл последней формулы заключается в том, что если условие tр > tT выполняется, то в ячейке, где записана эта формула, компьютер выведет символ Д (суждение экспертов достоверно), иначе Н (- недостоверно), причём оценка достоверности либо недостоверности относится к среднему значению М экспертного заключения. В табл.1 представлен пример заполнения электронной таблицы исходными данными при n = 10 и записи последующих операций. В этом примере в ячейки диапазона В12:В16 заносятся упомянутые выше формулы. При вводе каждая формула отображается в строке формул, находящейся в верхней части экрана, где её удобно редактировать.Ввод каждой формулы завершать нажатием на клавишу [Enter]. После этого формула автоматически замещается числом, получающимся при счёте по этой формуле. Вместе с тем, любое число как результат счёта позволяет увидеть формулу, по которой это число было рассчитано. Для этого достаточно установить курсорную рамку на контролируемое число. В ответ в строке формул появится соответствующая формула. При заполнении таблицы данными рекомендуется обратить внимание на то, что в русской версии Excel резделителем между целой и дробной частями числа является не десятичная точка, а обычная запятая. Перед получением распечатки следует внимательно просмотреть таблицу на экране монитора и при необходимости её отредактировать. Например, можно изменять ширину столбцов. Для этого нужно поместить указатель "мыши"

7 на границу столбца в заголовке таблицы. Нажав на левую клавишу и не отпуская её, передвинуть границу в новое положение. Таблица 1 A 1

B

C

D

E

F

Работа №1; студент.......................; шифр.................; дата................

2

А1

3

А2

4

А3

5

А4

6

А5

7

А6

8

А7

9

А8

10

А9

11

А10

12

M

13

D

14

Корень(D)

15

tp

16

Вывод

Вставка или удаление строк и столбцов могут быть осуществлены, соответственно, вводом последовательности команд ВСТАВКА | СТРОКИ (СТОЛБЦА) и ПРАВКА | УДАЛИТЬ | СТРОКУ (СТОЛБЕЦ) Здесь вертикальная черта обозначает переход из меню в подменю, из подменю более высокого уровня в подменю более низкого (следующего по порядку) уровня и т. д.

8 Замену числа или формулы в ячейке таблицы следует производить установкой курсорной рамки на эту ячейку, удалением ошибочно введенной информации путём нажатия на клавишу [Delete] и набором нового значения данных или изменённой формулы средствами клавиатуры. Приведённую к окончательной форме таблицу следует сохранить на дискете с помощью команд ФАЙЛ | СОХРАНИТЬ КАК ... после чего ввести полное имя сохраняемого файла, например, A:\tabl1 Для вывода таблицы на печать требуется подготовить и включить принтер, а затем ввести полную последовательность команд ФАЙЛ | ПАРАМЕТРЫ СТРАНИЦЫ | ОРИЕНТАЦИЯ (книжная или альбомная) | ЛИСТ | ; СЕТКА и ; ЗАГОЛОВКИ СТРОК и СТОЛБЦОВ | ПЕЧАТЬ [ OK ] | ПЕЧАТЬ [ OK ]. В таком варианте таблица будет выведена на печать с сеткой и координатным бордюром в виде заголовков столбцов и номеров строк, что улучшает зрительное восприятие полученного документа. Быстрый вывод на печать путём нажатия [1Л ] на кнопку с изображением принтера, находящуюся на панели инструментов, приводит к аналогичным результатам только при условии, если названные установки режима печати сохранились от предыдущего сеанса работы на компьютере. Столь подробное изложение приёмов работы в среде электронных таблиц Excel существенно поможет в процессе решения других задач настоящего лабораторного практикума и далеко за его пределами, включая инженерную и научную работу. 4. Структура и содержание отчёта ( см. в разделе Общие указания, с.3 ). Литература: [ 1 ], с. 238 ...241.

РАБОТА №2 Задача непрерывного линейного программирования. 1. Цель работы.

9 Освоение методики использования табличного процессора Excel для решения оптимизационных задач в непрерывной постановке. 2. Основные теоретические положения. Общая постановка задачи линейного программирования предусматривает задание линейной целевой функции n

Z = ∑ C j X j → max(min,const ) j =1

и системы линейных ограничений вида m

∑a

ij

X j ⊗ bi

i =1

где

Xj

- переменные задачи, оптимальные значения которых обеспечивают

достижение заданного предела целевой функции Z; j = 1, n;

∀Xj ≥ 0;

aij , bi, Cj - постоянные коэффициенты, i = 1, m;

⊗

- общий символ отношения, в условиях конкретной задачи принимающий вид " ≥ ", " = " или " ≤ ". Встроенный математический аппарат Excel позволяет решить рассматриваемую задачу без специального программирования, оставляя за условным термином "линейное программирование" лишь смысл алгоритмизации процесса решения, а главным оказывается формулирование задачи на экране монитора. 3. Порядок выполнения работы. а) Получают исходные данные от руководителя. Примером таких данных могут быть условия следующей задачи Z = 110X1 + 120X2 +30X3 +40 X4 + 340X5 Æ min при 4,00X1 + 3,50X2 + 3,00X3 + 0,30X4 ≥ 32000 3,00X1 + 2,40X2 + 1,50X3 + 0,40X4 + 20X5 ≤ 28000 3,00X1 + 2,40X2 + 1,50X3 + 0,40X4 + 20X5 ≥ 26000

10 = 8000 0,85X1 + 0,80X2 + 0,75X3 + 1,50X4 X2 + X3 + X4 + X5 = 10000 X1 + Для решения задачи на листе бумаги, расчерченном в виде будущей таблицы Excel записывают исходные данные по схеме табл. 2.

Таблица 2 A 1

B

C

D

E

F

H

I

J

Задача №2; студент.....................; шифр.......................; дата..........

2

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Переменные :

4 5

X1

X2

X3

X4

X5

6

НачУсл

1

1

1

1

1

7

ГрУсл

0

0

0

0

0

8

G

ЛевЧ Знак

ПрЧ

ЦФ 640

Ограничения:

9

>=

32000

10

<=

28000

11

>=

26000

12

=

8000

13

=

10000

б) Включают персональный компьютер и загружают Excel. в) Вводят исходные данные, соответственно заготовке табл. 2 при обозначениях X1 = X1; X2=X2 и т.д. При этом использованные аббревиатуры имеют следующий смысл:

11 НачУсл - начальные условия (единичные значения переменных X1: X5), от которых начинается итерационный процесс поиска оптимального решения; ГрУсл - граничные условия ( нулевые значения переменных, являющиеся в дальнейшем выражением неотрицательности переменных X1 : X5); ЛевЧ - левая часть ограничений; ПрЧ - правая част ограничений; ЦФ - целевая функция. В ячейку J6 и в диапазон ячеек G9 : G13 заносят формулы выражений целевой функции и левых частей ограничений, соответственно: Ячейка

Формула

J6

=110*B6+120*C6+30*D6+40*E6+340*F6

G9

=4*B6+3,5*C6+3*D6+0,3*E6

G10

=3*B6+2,4*C6+1,5*D6+0,4*E6+20*F6

G11

=3*B6+2,4*C6+1,5*D6+0,4*E6+20*F6

G12

=0,85*B6+0,8*C6+0,75*D6+1,5*E6

G13

=B6+C6+D6+E6+F6

Следует заметить, что числа, появляющиеся в ячейках на месте вводимых формул, являются начальными значениями целевой функции и ограничений при Х1=1; Х2=1; Х3=1; Х4=1; Х5=1. в) Из главного меню вводят последовательность команд СЕРВИС | ПОИСК РЕШЕНИЯ и в открывшемся окне поиска решения указывают: "УСТАНОВИТЬ ЦЕЛЕВУЮ ЯЧЕЙКУ" J6 "РАВНОЙ" ~ "МИНИМАЛЬНОМУ ЗНАЧЕНИЮ" "ИЗМЕНЯЯ ЯЧЕЙКИ" В6 : F6 "ОГРАНИЧЕНИЯ" | "ДОБАВИТЬ" и на белом прямоугольном поле в левом нижнем углу окна последовательно добавляют ограничения : G9 >= 32000 G10 <= 28000 G11 >= 26000 G12 = 8000 G13 = 10000

12 Условие неотрицательности всех переменных ( ∀Xj ≥ 0 ) может быть введено одним из следующих двух способов: - Первый из них реализуют продолжением ввода ограничений B6 > = 0, C6 > = 0, D6 > = 0, E6 > = 0, F6 > = 0 в дополнение к использованному выше приёму. - Второй способ менее трудоёмок и заключается в том, что необходимо выполнить щелчок [ 1Л ] мышью на кнопке [ ПАРАМЕТРЫ ] в окне "ПОИСК РЕШЕНИЯ" и в открывшемся следующем окне установить флаг ; перед надписью "неотрицательные значения". Левые части ограничений следует вводить в окне "ССЫЛКА НА ЯЧЕЙКУ". Знак ограничений - в среднем окне при выборе из набора имеющихся путём щелчка левой клавишей мыши [ 1Л ] на селекторной кнопке с изображением направленного вниз треугольника. Правые части - в окне " ОГРАНИЧЕНИЯ". Необходимо отметить, что компьютер обрабатывает только те данные, которые введены через окно "Поиск решения", а данные рабочего листа таблицы служат только для наглядности их представления. г) В окне "Поиск решения" производят один щелчок [ 1Л ] на кнопке [ Выполнить ] и наблюдают за последующими сообщениями на экране. В случае отсутствия ошибок ввода появится сообщение " Получено оптимальное решение. Все ограничения и условия оптимальности выполнены" с предложением его сохранить. При действии [ 1Л ] на символе ~ [ Сохранить найденное решение] последует замена исходных данных B6 : F6 рабочего листа таблицы данными найденного оптимального решения, в ячейке J6 появится соответствующее значение целевой функции, а в блоке G9 : I13 результаты проверки выполнения заданных ограничений. Сохранённую таблицу можно записать на дискету и вывести на печать действиями, аналогичными описанным в Работе №1. 4. Структура и содержание отчёта ( см. в разделе "Общие указания, с.3). Литература: [ 1 ], с. 87...97, 112...121.

13

Работа №3 Задача целочисленного линейного программирования 1. Цель работы. Освоение методики использования табличного процессора Excel для решения оптимизационных задач в целочисленной (дискретной) постановке. 2. Основные теоретические положения. Общая постановка задачи целочисленного программирования отличается от предыдущей тем, что на искомые оптимальные значения переменных Х1 : Х5 накладываются дополнительное условие их целочисленности. 3. Порядок выполнения работы. Условие целочисленности переменных, в дополнение к вводу исходных данных (которые целесообразно взять в том же виде, что и в задаче №2), записывают теми же средствами Excel, реализуемыми через команды СЕРВИС | ПОИСК РЕШЕНИЯ , но при записи ограничений дополнительное условие целочисленности должно приобрести вид B6 = цел; C6 = цел; D6 = цел; E6 = цел; F6 = цел В остальном, методика исползования персонального компьютера и табличного процессора Excel аналогична рассмотренной выше. Рекомендуется обратить внимание на то обстоятельство, что полученное целочисленное решение может существенно отличаться от результата решения непрерывной задачи при округлении её итоговых чисел. 4. Структура и содержание отчёта ( см. в разделе Общие указания, с.3). Литература: [ 1 ], с. 150 ... 163.

14

Работа №4 Оптимизация технико - экономических показателей плана производства отливок 1. Цель работы: Развитие навыков применения табличного процессора Excel к решению оптимизационной задачи в усложнённой ситуации литейного производства. 2. Основные теоретические положения. Выполнение данной работы требует сочетания подходов, принятых в работах №№ 2 и 3, соответственно для непрерывной и целочисленной постановки общей задачи оптимизации. 3. Порядок выполнения работы. a) Получают от руководителя исходные данные, например, следующие. Пусть литейное предприятие способно выпускать отливки четырёх возможных видов, обозначенных как отл1,отл2, отл3 и отл4 при наличии ограничений трёх видов: трудовых, сырьевых и финансовых (табл. 3). Эти ресурсы, за исключением трудовых - в пределах имеющегося штата основных производственных рабочих ( 160 чел.), выражены в условных единицах: сырьё ≤ 140, финансы ≤ 168. Известна прибыль от реализации отливки каждого вида, а именно: Вид отливки

Прибыль, условных единииц

Отл1

60

Отл2

70

Отл3

120

Отл4

130

Найти оптимальный план выпуска отливок, обеспечивающий максимальную в условиях задачи прибыль предприятия.

15 b) Заполняют таблицу исходнаыми данными, причём в качестве начальных значений плана ( диапазон B4: E4) выпуска каждого вида отливок принимают их единичные значения. От этих значений в дальнейшем осуществляется поиск оптимального решения (табл. 3). Таблица 3 A B C D E F G H 1 Задача №4. Студент …………….; шифр …….........; дата …………. ПЕРЕМЕННЫЕ : 2 3 Наим. отл1 отл2 отл3 отл4 вид ЦФ 4 Нач. знач. 1 1 1 1 5 Нижн.гр. 0 0 0 0 6 Прибыль max 7 Прибыль. 60 70 120 130 1760 макс ОГРАНИЧЕНИЯ : 8 9 Вид Лев.часть Знак Пр.часть 10 Трудовые 10 8 12 11 160 <= 160 11 Сырьё 6 5 4 3 48 <= 140 12 Финансы 4 6 10 13 164 <= 168 Прибыль от реализации отливки каждого вида вносят в диапазон B7:E7. В ячейку F7 записывают формулу целевой функции - размера прибыли от реализации отливок: = B4*B7+C4*C7+D4*D7+E4*E7 Вместо этой формулы можно ввести более компактную функцию из набора стандартных = СУММПРОИЗВ(B4*E4;B7*E7) выражающую произведение векторов B4:E4 и B7:E7 как сумму почленных произведений их элементов. В ячейки F10:F12 левых частей рассматриваемых ограничений следует записать: Ячейка

Функция

F10

=СУММПРОИЗВ(B4:E4;B10:E10)

F11

=СУММПРОИЗВ(B4:E4;B11:E11)

16 F12

=СУММПРОИЗВ(B4:E4;B12:E12)

Таблицу рекомендуется сохранить на дискете. Далее командой СЕРВИС ПОИСК РЕШЕНИЯ вызывают окно поиска решения, в которое вводят: - имя ячейки целевой функции (F7), которой следует придать максимальное значение за счёт изменения содержимого ячеек B4:E4 по правилам, рассмотренным в работе №2; - ограничения и требования целочисленности решения по правилам, описанным в работе №3; - в окне ПАРАМЕТРЫ указывают: ; - линейная модель; ; - неотрицательные значения; оценка ~ линейная; разности ~ прямые; метод поиска ~ Ньютона. Остальные параметры - по умолчанию. Из окна ПОИСК РЕШЕНИЯ действием [ 1Л ] на [ВЫПОЛНИТЬ] запускают задачу на выполнение, после чего прочитывают найденный оптимальный план выпуска отливок в ячейках B4:E4, значение достигаемой при этом прибыли - в ячейке F7, а ниже - результат выполненной компьютером проверки решения. Можно усовершенствовать оформление работы, представив условия задачи на рабочем листе 1 Excel ( по форме табл.3), а затем - скопировать эти условия на рабочий лист 2 и получить нна нём искомый результат. Для копирования нужно выделить блок условий курсором или нажатием [ 1Л ] на кнопку, расположенную в левом верхнем углу рабочего листа 1, скопировать содержимое в буфер обмена с помощью кнопок на панели инструментов ( см. всплывающие подсказки), перейти на рабочий лист 2 с помощью указателей в нижней части экрана и вставить из буфера обмена его содержимое. Тогда запуск задачи на выполнение осуществляют из листа 2 и на нём получают результат решения. Оба рабочих листа содержатся в одном и том же файле, откуда они могут быть выведены на печать. 4. Структура и содержание отчёта ( см. в разделе "Общие указания", с.3).

17 Литература: [ 1 ], с. 156 ... 159.

ПРИЛОЖЕНИЕ При наличии резерва времени работы в компьютерном классе Института, а также при возможности доступа к компьютерам на работе или в домашних условиях, студентам рекомендуется, следуя описанной выше методике, решить задачи из [ 1 ] на оптимальное распределение ресурсов в непрерывном (с. 91...93) и целочисленном (с.156...157) вариантах при линейной постановке, задачу нелинейного программирования (с. 183...189), задачи оптимального проектирования (по оптимизации параметров изделия, с.362...368; оптимизации параметров технологического процесса, с. 369...374 и оптимизации структуры объектов, с. 375...379).

СОДЕРЖАНИЕ Тема

С.

Общие указания

3

Литература

3

Работа №1. Компьютерный анализ экспертных оценок при выявлении оптимального варианта технологии производства отливки

4

Работа №2. Задача непрерывного линейного программирования

9

Работа №3. Задача целочисленного линейного программирова-

13

Работа №4. Оптимизация технико - экономических показателей плана производства отливок

14

ния

Приложение

17

18

ЛР №

от

Редактор __________________________________________________________ Подписано в печать . Формат 60x84 1/16. Б.кн.-журн. П.л. Б.л. РТП РИО СЗПИ. Заказ Тираж ____________________________________________________________ Редакционно-издательский отдел Северо-Западный заочный политехнический институт 191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, д. 5