Математический анализ. (Интегралы, зависящие от параметра. Двойные интегралы. Криволинейные интегралы. ) Учебн. пособ

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

А.П. Аксёнов

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Учебное пособие

Санкт-Петербург 2000

УДК 517.38, 517.3821 Аксёнов А.П. Математический анализ. (Интегралы, зависящие от параметра. Двойные интегралы. Криволинейные интегралы.) Учебное пособие. СПб.: Изд-во «НЕСТОР», 2000, 145 с. Пособие соответствует государственному стандарту дисциплины «Математический анализ» направления бакалаврской подготовки 510200 «Прикладная математика и информатика». Содержит изложение теоретического материала в соответствии с действующей программой по темам: «Интегралы, зависящие от параметра, собственные и несобственные», «Двойной интеграл», «Криволинейные интегралы первого и второго рода», «Вычисление площадей кривых поверхностей, заданных как явными, так и параметрическими уравнениями», «Эйлеровы интегралы (Бета-функция и Гамма-функция)». Разобрано большое количество примеров и задач (общим числом 47). Предназначено для студентов физико-механического факультета специальностей 010200, 010300, 071100, 210300, а также для преподавателей, ведущих практические занятия. Ил. 79. Библ. 4 назв. Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского государственного технического университета.

Глава 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра §1. Определение интегралов, зависящих от параметров

a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d .

Пусть функция f ( x , y ) определена в прямоугольнике ( P ) =  b

Пусть при каждом закрепленном y из [c, d ] существует

∫ f ( x, y ) dx . Ясно, что a

каждому значению y из [c, d ] будет отвечать свое, вполне определенное знаb

чение этого интеграла. Следовательно,

∫ f ( x, y ) dx

представляет собой функ-

a

цию переменной (параметра) y , определенную в промежутке [c, d ] . Введем обозначение b

I ( y ) = ∫ f ( x , y ) dx , y ∈[c, d ] .

(1)

a

Наша задача будет состоять в том, чтобы, зная свойства функции f ( x , y ) , получить информацию о свойствах функции I ( y ) . Эти свойства, как будет показано ниже, имеют многообразные применения, в особенности при вычислении интегралов. Допустим еще, что при каждом закрепленном x из промежутка [a , b] сущеd

ствует

∫ f ( x, y ) dy . Тогда этот интеграл будет представлять собой функцию c

переменной (параметра) x , определенную в промежутке [a , b] . Обозначим ее

~

через I ( x ) , так что d

~ I ( x ) = ∫ f ( x , y ) dy , x ∈[a, b] .

~ (1)

c

§2. О допустимости предельного перехода по параметру под знаком интеграла Теорема. Пусть функция f ( x , y ) ∈ C( P ) и пусть y0 – любое из [c, d ] . Тогда b

lim

y → y0

∫ a

b

b

  f ( x , y ) dx = ∫  lim f ( x , y ) dx = ∫ f ( x , y0 ) dx .  y → y0  a

(1)

a

3

b

Отметим, что

∫ f ( x, y ) dx

существует для каждого значения y из [c, d ] ,

a

так как f ( x , y ) ∈ C([a, b]) при любом закрепленном y ∈[c, d ] . В частности, b

существует

∫ f ( x, y0 ) dx . a

Возьмем ε > 0 – любое. Выберем и закрепим любое y0 ∈[c, d ] .

По условию f ( x , y ) ∈ C( P ) , поэтому f ( x , y ) равномерно непрерывна в

( P ) (см. теорему Кантора) и, следовательно, взятому ε > 0 отвечает δ > 0 , зависящее только от ε, такое, что для любых двух точек ( x ′, y ′ ) , ( x ′′, y ′′ ) из ( P ) , | x ′′ − x ′ | < δ , | y ′′ − y ′| < δ , оказывается для которых ε f ( x ′′, y ′′ ) − f ( x ′, y ′ ) < . b−a Положим y ′ = y0 , y ′′ = y , где y – любое, но такое, что | y − y0 | < δ , y ∈[c, d ] , x ′ = x ′′ = x , где x – любое из [a, b] (| x ′′ − x ′ | = 0 < δ ). Тогда ε f ( x , y ) − f ( x , y0 ) < для любого x ∈[a, b], если | y − y0 | < δ , y ∈[c, d ] . b−a

Имеем:

b

b

b

∫ f ( x, y ) dx − ∫ f ( x, y0 ) dx = ∫ [ f ( x, y ) − f ( x, y0 )] dx a

b

∫

⇒

a

a

⇒

a

b

b

a

a

f ( x , y ) dx − ∫ f ( x , y0 ) dx ≤ ∫ f ( x , y ) − f ( x , y0 ) dx <

ε (b − a ) = ε . b−a

Итак, любому ε > 0 отвечает δ > 0 такое, что как только | y − y0 | < δ , b

y ∈[c, d ] , так сейчас же

b

∫ f ( x, y ) dx − ∫ f ( x, y0 ) dx a

b

что

< ε . Последнее означает,

a

b

∫ f ( x, y0 ) dx = ylim ∫ f ( x, y ) dx . →y 0

a

a

Совершенно аналогично доказывается утверждение: если f ( x , y ) ∈ C( P ) и если x0 – любое из [a, b] , то d

lim

x → x0

4

∫ c

d

d

c

c

  f ( x , y ) dy = ∫  lim f ( x , y ) dy = ∫ f ( x0 , y ) dy .  x → x0 

§3. О непрерывности интеграла как функции параметра b

Теорема. Пусть f ( x , y ) ∈ C( P ) и I ( y ) =

y0 ∈[c, d ] и закрепим. В §2 было доказано, что

Возьмем любое

lim

y ∈[c, d ] . Тогда

a

I ( y ) = C([c, d ]) .

y → y0

∫ f ( x, y ) dx ,

b

b

a

a

∫ f ( x, y ) dx = ∫ f ( x, y0 ) dx , то есть lim I ( y ) = I ( y0 ) .

y → y0

Последнее же означает, что функция I ( y ) непрерывна в точке y0 . Так как y0 –

любое из [c, d ] , то заключаем, что I ( y ) ∈ C([c, d ]) .

Замечание 1. Условие f ( x , y ) ∈ C( P ) является достаточным для непрерывности I ( y ) на [c, d ] , но оно не необходимо. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим

0 ≤ x ≤ 1, . y − 5 ≤ ≤ 5 . 

Пример. Пусть f ( x , y ) = sgn ( x − y ) в ( P ) =  y 5

I

y=x 1

x

5 −5

y

I = I ( y)

−5 Рис. 1.2

Рис. 1.1

Видим, что f ( x , y ) терпит разрыв в точках, принадлежащих прямой x = y (рис. 1.1). 1

∫

Пусть I ( y ) = sgn ( x − y ) dx . Имеем: 0 1

∫

1) если −5 ≤ y < 0 , то I ( y ) = 1 ⋅ dx = 1 . 0

5

y

∫

1

∫

2) если 0 ≤ y ≤ 1 , то I ( y ) = ( −1) ⋅ dx + 1 ⋅ dx = 1 − 2 y . 0 1

y

∫

3) если 1 < y ≤ 5 , то I ( y ) = ( −1) ⋅ dx = −1 . 0

Таким образом,

 1, I ( y ) =  1 − 2 y,  −1,

y ∈[−5, 0 ), y ∈[0, 1], y ∈(1, 5]

⇒

I ( y ) ∈ C([−5, 5]) (см.

рис. 1.2). Замечание 2. Совершенно аналогично доказывается теорема: Пусть d

~ ~ f ( x , y ) ∈ C( P ) и пусть I ( x ) = ∫ f ( x , y ) dy , x ∈[a, b]. Тогда I ( x ) ∈ C([a , b]) . c

Следствие. Если

f ( x , y ) ∈ C( P ) , то одновременно

~ I ( x ) ∈ C([a , b]) и, следовательно, существуют одновременно d db   ∫ I ( y ) dy = ∫  ∫ f ( x, y ) dx dy , c c a

I ( y ) ∈ C([c, d ]) ,

bd  ~  ∫ I ( x ) dx = ∫  ∫ f ( x, y ) dy dx . a a c db b d     f ( x , y ) dx  dy ,  f ( x , y ) dy  dx называются повторными интегра∫  ∫ ∫  ∫     c a a c лами от функции f ( x , y ) в ( P ) . b

§4. О дифференцировании по параметру под знаком интеграла Теорема. Пусть функция f ( x , y ) непрерывна в ( P ) и имеет там непрерывb

ную частную производную f y′ ( x , y ) . Пусть I ( y ) =

∫ f ( x, y ) dx ,

y ∈[c, d ] . То-

a

гда: 1) функция I ( y ) имеет в промежутке [c, d ] производную I ′( y ) ; b

2) I ′( y ) =

∫ a

b ′ b f y′ ( x , y ) dx , то есть  ∫ f ( x , y ) dx  = ∫ f y′ ( x , y ) dx , y ∈[c, d ] ; a y a

3) I ′( y ) ∈ C([c, d ]) . 6

–

Возьмем любую точку y0 ∈[c, d ] и закрепим. Дадим y0 приращение ∆y любое, но такое, что ∆y ≠ 0 и точка y0 + ∆ y ∈[c, d ] . Тогда b

b

a

a b

I ( y0 ) = ∫ f ( x , y0 ) dx , I ( y0 + ∆ y ) = ∫ f ( x , y0 + ∆ y ) dx , I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 ) f ( x , y0 + ∆ y ) − f ( x , y0 ) dx . =∫ ∆y ∆y

(1)

a

По теореме Лагранжа f ( x , y0 + ∆ y ) − f ( x , y0 ) = f y′ ( x , y0 + θ∆ y ) ∆ y ( 0 < θ < 1). Следовательно,

b

I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 ) = ∫ f y′ ( x , y0 + θ∆ y ) dx . ∆y

(2)

a

По условию, f y′ ( x , y ) ∈ C( P ) . Перейдем в (2) к пределу при ∆y → 0 . Приняв во внимание теорему о допустимости предельного перехода под знаком интеграла, получим: b

b

I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 ) lim = ∫ lim f y′ ( x , y0 + θ∆ y ) dx = ∫ f y′ ( x , y0 ) dx ∆y ∆ y→0 ∆ y →0 a

a

b

⇒ I ′( y0 ) существует, причем I ′( y0 ) =

∫ f y′ ( x, y0 ) dx . Так как

y0 – любое из

a

[c, d ] , то заключаем, что I ′( y ) существует для любого y из [c, d ] , причем b

b

a

a

I ′( y ) = ∫ f y′ ( x , y ) dx , y ∈[c, d ] . У нас f y′ ( x , y ) ∈ C( P ) , а I ′( y ) = ∫ f y′ ( x , y ) dx . А тогда по теореме о непрерывности интеграла как функции параметра заключаем, что I ′( y ) ∈ C([c, d ]) . §5. Об интегрировании по параметру под знаком интеграла b

Теорема. Пусть функция bd

  f ( x , y ) dy  dx , т. е. I ( y ) dy = ∫ ∫  ∫   c a c d

y ∈[c, d ] . Тогда

f ( x , y ) ∈ C( P ) . Пусть

I ( y ) = ∫ f ( x , y ) dx , a

db

bd       dx . f ( x , y ) dx dy f ( x , y ) dy = ∫  ∫ ∫  ∫    c a ac

Докажем более общее равенство 7

b t

   dx , для любого t ∈[c, d ] . I ( y ) dy = f ( x , y ) dy (1) ∫ ∫  ∫   c a c Займемся сначала левой частью равенства (1). Так как f ( x , y ) ∈ C( P ) , то t

I ( y ) ∈ C([c, d ]) (см. теорему §3). Следовательно,

t

∫ I ( y ) dy

– интеграл с пере-

c

менным верхним пределом от непрерывной функции. А тогда по теореме Барроу

′ b t   I ( y ) dy  = I ( t ) = f ( x , t ) dx , t ∈[c, d ] . ∫ ∫  t c a

(2)

Займемся теперь правой частью равенства (1). Положим t

∫ f ( x, y ) dy = ϕ ( x, t ) .

(3)

c

Здесь в интеграле слева x выступает в роли параметра. Ясно, что функция

a ≤ x ≤ b, ϕ ( x , t ) определена в прямоугольнике ( P ) =  c ≤ t ≤ d . Покажем, что ϕ( x , t ) ∈ C( P ) . Для этого выберем и закрепим любую точку ( x , t ) ∈( P ) . Затем возьмем ∆ x и ∆ t – любые, но такие, что точка ( x + ∆ x , t + ∆ t ) ∈( P ) . Будем иметь t +∆ t

ϕ ( x + ∆ x, t + ∆ t ) − ϕ ( x, t ) =

∫ f ( x + ∆ x, y ) dy − ∫ f ( x, y ) dy = c

t

= ∫ [ f ( x + ∆ x , y ) − f ( x , y )] dy + c

t

t +∆ t

c

∫ f ( x + ∆ x, y ) dy .

(4)

t

Пусть ρ = ( ∆ x )2 + ( ∆ t )2 . Отметим, что ( ρ → 0 ) ⇔ (одновременно ∆ x , ∆ t → 0 ). Возьмем ε > 0 – любое. В силу непрерывности функции f ( x , y ) в ( P ) , f ( x + ∆ x , y ) − f ( x , y ) → 0 ⇒ взятому ε > 0 отвечает δ > 0 такое, ρ→ 0 ( ∆ x →0 )

что f ( x + ∆ x , y ) − f ( x , y ) < t

ε , если ρ < δ . Тогда d −c

ε f ( x + ∆ x , y ) − f ( x , y ) dy < (t − c ) ≤ ε , [ ] ∫ d −c c

8

t

если ρ < δ . Последнее означает, что lim

ρ→ 0

∫ [ f ( x + ∆ x, y ) − f ( x, y )] dy = 0 . Так c

как f ( x , y ) ∈ C( P ) , то f ( x , y ) – ограниченная в ( P ) , т. е. существует число t +∆ t

M > 0 такое, что f ( x , y ) ≤ M в ( P ) . А тогда

∫ f ( x + ∆ x, y ) dy ≤ M ⋅ ∆ t

⇒

t

t +∆ t

0 . Теперь из (4) следует ∫ f ( x + ∆ x, y ) dy → ρ→ 0 t

( ∆ t →0 )

ϕ ( x + ∆ x, t + ∆ t ) − ϕ ( x, t ) → 0 . ρ→ 0

Последнее означает, что функция ϕ ( x , t ) непрерывна в точке ( x , t ) . У нас точка

( x , t ) – любая из ( P ) . Поэтому ϕ( x , t ) ∈ C( P ) . Из (3) находим: ϕ ′t ( x , t ) = f ( x , t ) . (5) По условию, f ( x , y ) ∈ C( P ) . Следовательно, ϕ ′t ( x , t ) ∈ C( P ) . Принимая во внимание (3), правую часть равенства (1) можно записать в виде b t

b  (6) ∫  ∫ f ( x, y ) dy dx = ∫ ϕ ( x, t ) dx . a c a В интеграле, стоящем в правой части (6), t выступает в роли параметра. Выше было показано, что функция ϕ ( x , t ) непрерывна в ( P ) и имеет там непрерывную частную производную ϕ ′t ( x , t ) . Но тогда по теореме о дифференцировании

по параметру под знаком интеграла

′ b ( 5) b b   ϕ ( x , t ) dx  = ϕ ′t ( x , t ) dx = f ( x , t ) dx , t ∈[c, d ] . ∫ ∫ ∫  a t a a

(7)

Видим, что левая и правая части равенства (1) имеют в промежутке [c, d ] совпадающие производные (см. (2) и (7)). Следовательно, они различаются в этом промежутке лишь на постоянную величину, т. е. для любого t ∈[c, d ] b t b       dx + const . f ( x , y ) dx dy f ( x , y ) dy (8) = ∫  ∫ ∫  ∫    c a ac Положим в (8) t = c . Получим 0 = 0 + const ⇒ const = 0 . Значит, будем иметь вместо (8) для любого t ∈[c, d ] t b b t       dx . = f ( x , y ) dx dy f ( x , y ) dy (9) ∫  ∫ ∫  ∫    c a ac t

9

Положив в (9) t = d , получим db

bd       dx , f ( x , y ) dx dy f ( x , y ) dy = ∫  ∫ ∫  ∫    c a ac

(10)

а это и требовалось установить. §6. Случаи, когда и пределы интеграла зависят от параметра

y

x = α( y )

d

Пусть функция f ( x , y ) определена в

x = β( y )

(D ) y0 c

x β( y0 )

α( y0 )

области ( D ) , ограниченной линиями: y = c , y = d ( c < d ), x = α( y ) , x = β( y ) , где α( y ) и β( y ) – функции, непрерывные на промежутке [c, d ] и такие, что α( y ) ≤ β ( y ) , y ∈[c, d ] . Пусть при каждом закрепленном y из β( y )

[c, d ] существует

Рис. 1.3

∫ f ( x, y ) dx . Ясно, что

α( y )

каждому значению y из [c, d ] будет отвечать свое, вполне определенное значение этого интеграла. Следовательно, β( y )

∫ f ( x, y ) dx представляет собой функцию переменной (параметра)

y , опреде-

α( y )

ленную в промежутке [c, d ] . Станем обозначать β( y )

I( y) =

∫ f ( x, y ) dx,

y ∈[c, d ] .

(1)

α( y )

Теорема (о непрерывности интеграла как функции параметра). Пусть β( y )

функция

f ( x , y ) ∈ C( D ) , и пусть I ( y ) =

I ( y ) ∈ C([c, d ]) . Выберем и закрепим л ю б о е y0 ∈[c, d ] . 1. Пусть α( y0 ) < β ( y0 ) .

∫ f ( x, y ) dx ,

y ∈[c, d ] . Тогда

α( y )

α ( y0 ) + β ( y 0 ) . Ясно, что α( y0 ) < γ < β ( y0 ) ⇒ 2 α( y0 ) − γ < 0 , β ( y0 ) − γ > 0 . Функции α ( y ) − γ и β ( y ) − γ – непрерывные на Положим

10

γ=

промежутке [c, d ] . Следовательно, по теореме о стабильности знака существует δ1 > 0 такое, что как только y − y0 < δ1 и y ∈[c, d ] , так сейчас же:

α( y ) − γ < 0 , β ( y ) − γ > 0 , т. е. α( y ) < γ < β ( y ) . Возьмем y из промежутка [c, d ] любое, но такое, чтобы было y − y0 < δ1 , и положим p = max{α( y ), α( y0 )} ; q = min{β ( y0 ), β( y )} . Ясно, что p < q . Имеем:

I ( y0 ) =

β( y0 )

p

q

β ( y0 )

α ( y0 )

α ( y0 )

p

q

I( y) =

∫ f ( x, y0 ) dx = ∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx , β( y )

p

q

β( y )

α( y )

α( y )

p

q

∫ f ( x, y ) dx = ∫ f ( x, y ) dx + ∫ f ( x, y ) dx + ∫ f ( x, y ) dx .

В этих соотношениях из четырех подчеркнутых интегралов два обязательно равны нулю (так как обязательно: либо p = α( y0 ) , либо p = α( y ) , и либо q = β( y0 ) , либо q = β( y ) ). Возьмем ε > 0 – любое, сколь угодно малое. Так как α( y ) и β( y ) непрерывны в точке y0 , то взятому ε > 0 отвечает δ 2 > 0 такое, что как только

y − y0 < δ 2 и y ∈[c, d ] , так сейчас же α( y ) − α( y0 ) < ε , β ( y ) − β ( y0 ) < ε . Отметим, что если брать на промежутке [c, d ] значения y , удовлетворяющие условию: y − y0 < min{δ1, δ 2 } , то справедливы приведенные выше выражения для I ( y0 ) и I ( y ) . Для таких y будем иметь: q

I ( y ) − I ( y0 ) = ∫ [ f ( x , y ) − f ( x , y0 )] dx + p

+

p

β( y )

p

β ( y0 )

α( y )

q

α ( y0 )

q

∫ f ( x, y ) dx + ∫ f ( x, y ) dx − ∫ f ( x, y0 ) dx − ∫ f ( x, y0 ) dx . p

Рассмотрим, например,

∫ f ( x, y0 ) dx .

По условию f ( x , y ) ∈ C( D )

⇒

α ( y0 )

f ( x , y ) ограниченная в ( D ) , т. е. существует число M > 0 такое, что f ( x , y ) ≤ M всюду в ( D ) . Так как y ∈[c, d ] и y − y0 < min{δ1, δ 2 } , то p

p − α( y0 ) < ε . Следовательно,

∫ f ( x, y0 ) dx ≤ M ⋅ p − α( y0 ) < M ⋅ ε .

α ( y0 )

Такая же оценка верна и для каждого из трех оставшихся подчеркнутых ин11

тегралов. Поэтому q

I ( y ) − I ( y0 ) < ∫ f ( x , y ) − f ( x , y0 ) dx + 2 M ⋅ ε . p

Так как ( D ) – ограниченное замкнутое множество и f ( x , y ) ∈ C( D ) , то

f ( x , y ) равномерно непрерывная в ( D ) . А тогда взятому ε > 0 отвечает δ 3 > 0 , зависящее только от ε , такое, что для любых двух точек ( x ′, y ′ ) , y ′′ − y ′ < δ 3 , будет ( x ′′, y ′′ ) из ( D ) , для которых x ′′ − x ′ < δ 3 , f ( x ′′, y ′′ ) − f ( x ′, y ′ ) < ε . Положим δ = min{δ1, δ 2 , δ 3} , y ′ = y0 , y ′′ = y , где y ∈[c, d ] и удовлетворяет условию y − y0 < δ ; x ′ = x ′′ = x , где x – любое из [ p, q] . Тогда f ( x , y ) − f ( x , y0 ) < ε для всех x ∈[ p, q] . Следовательно, для y , удовлетворяющих условиям y − y0 < δ и y ∈[c, d ] , будет: q

∫

p

f ( x , y ) − f ( x , y0 ) dx < ε ⋅ ( q − p ) , и потому I ( y ) − I ( y0 ) < ε ( q − p + 2 M ) . У нас функции α( y ), β ( y ) ∈ C([c, d ]) ⇒ α( y ) и β( y ) – ограниченные в

[c, d ] ⇒ существует число K > 0 такое, что α( y ) ≤ K , β( y ) ≤ K для всех y ∈[c, d ] . А тогда q − p ≤ q + p ≤ 2 K . Значит, I ( y ) − I ( y0 ) < 2ε ⋅ ( K + M ) . (2) Отметим, что число 2ε ⋅ ( K + M ) сколь угодно мало вместе с ε . Так как для достижения неравенства (2) понадобилось лишь, чтобы было y − y0 < δ , y ∈[c, d ] , то заключаем, что функция I ( y ) непрерывна в точке y0 . 2. Пусть α( y0 ) = β ( y0 ) . В этом случае I ( y0 ) =

β( y0 )

∫ f ( x, y0 ) dx = 0 ;

α ( y0 )

Имеем

β( y )

I( y) =

∫ f ( x, y ) dx

α( y )

I ( y ) ≤ M ⋅ [β ( y ) − α( y )] . lim [β ( y ) − α( y )] = β ( y0 ) − α( y0 ) = 0 . А

y → y0

⇒ (3)

тогда

из

(3)

lim I ( y ) = 0 [ = I ( y0 )] . Видим, что и в этом случае установлена непрерыв-

y → y0

ность I ( y ) в точке y0 .

У нас y0 – любое из [c, d ] . Следовательно, I ( y ) ∈ C([c, d ]) . Теорема (о дифференцировании по параметру). Пусть функция f ( x , y )

непрерывна в ( D ) и имеет там непрерывную частную производную f y′ ( x , y ) . 12

Пусть функции α( y ), β ( y ) определены в промежутке [c, d ] и имеют там проβ( y)

изводные α ′( y ), β′( y ) . Пусть I ( y ) =

∫ f ( x, y ) dx ,

y ∈[c, d ] . Тогда для любо-

α( y )

го y ∈[c, d ] существует I ′( y ) , причем β( y )

I ′( y ) =

∫ f y′ ( x, y ) dx + f (β ( y ), y ) ⋅ β′( y ) − f (α( y ), y ) ⋅ α ′( y ) .

(4)

α( y )

Выберем и закрепим любое y0 ∈[c, d ] . I. Пусть α( y0 ) < β ( y0 ) . При доказательстве предыдущей теоремы было отмечено, что в этом случае существует окрестность: uδ1 ( y0 ) такая, что для лю-

бого y ∈ uδ1 ( y0 ) будет: α( y ) < γ < β ( y ) . Дадим y0 приращение ∆y – любое,

но такое, что ∆y ≠ 0 и y0 + ∆ y ∈ uδ1 ( y0 ) . Будем иметь, следовательно,

α ( y0 + ∆ y ) < γ < β ( y0 + ∆ y ) . Положим p = max{α( y0 ), α( y0 + ∆ y )} ; q = min{β ( y0 ), β ( y0 + ∆ y )} . Могут реализоваться следующие случаи: 1) p = α( y0 ) , q = β( y0 ) ; 2) p = α( y0 ) , q = β( y0 + ∆ y ) ; 3) p = α( y0 + ∆ y ) , q = β( y0 ) ; 4) p = α( y0 + ∆ y ) , q = β( y0 + ∆ y ) . 1. Рассмотрим случай, когда p = α( y0 ) , q = β( y0 ) . Имеем в этом случае β( y0 + ∆ y )

β ( y0 )

I ( y0 ) =

∫ f ( x, y0 ) dx,

I ( y0 + ∆ y ) =

α ( y0 ) α ( y0 )

β ( y0 )

α ( y0 + ∆ y )

α ( y0 )

=

α ( y0 + ∆ y ) β( y0 + ∆ y )

∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx + ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx + ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx .

А тогда

β( y0 )

I ( y0 + ∆ y ) − I ( y 0 ) =

β ( y0 )

=

∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx =

β ( y0 + ∆ y )

α ( y0 + ∆ y )

β ( y0 )

α ( y0 )

∫ [ f ( x, y0 + ∆ y ) − f ( x, y0 )] dx + ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx − ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx .

α ( y0 )

По теореме Лагранжа f ( x , y0 + ∆ y ) − f ( x , y0 ) = f y′ ( x , y0 + θ∆ y ) ⋅ ∆ y . По частному случаю теоремы о среднем для определенного интеграла β ( y0 + ∆ y )

∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx = f (c1, y0 + ∆ y ) ⋅ [β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 )] ,

β ( y0 )

13

где c1 ∈[β ( y0 ), β ( y0 + ∆y )] ⇒ c1 → β( y0 ) , если ∆y → 0 ; α ( y0 + ∆ y )

∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx = f ( c2 , y0 + ∆ y ) ⋅ [α( y0 + ∆ y ) − α( y0 )] ,

α ( y0 )

где c2 ∈[α( y0 ), α( y0 + ∆y )] ⇒ c2 → α( y0 ) , если ∆y → 0 . Следовательно,

J ( y0 + ∆ y ) − J ( y0 ) = ∆y

β ( y0 )

∫ f y′ ( x, y0 + θ∆ y ) dx +

α ( y0 )

α ( y0 + ∆ y ) − α ( y0 ) β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 ) − f ( c2 , y0 + ∆ y ) ⋅ . ∆y ∆y Переходя к пределу при ∆y → 0 , получаем: + f ( c1, y0 + ∆ y ) ⋅

I ′( y 0 ) =

β ( y0 )

∫ f y′ ( x, y0 ) dx + f (β ( y0 ), y0 ) ⋅ β′( y0 ) − f (α( y0 ), y0 ) ⋅ α ′( y0 ) .

(5)

α ( y0 )

2. Рассмотрим случай, когда p = α( y0 ) , q = β( y0 + ∆ y ) . В этом случае β ( y0 + ∆ y )

β ( y0 )

I ( y0 ) =

∫ f ( x, y0 ) dx = ∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx ;

α ( y0 ) β ( y0 + ∆ y )

I ( y0 + ∆ y ) =

β ( y0 )

α ( y0 ) α ( y0 )

β ( y0 + ∆ y ) β ( y0 + ∆ y )

∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx = ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx + ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx ;

α ( y0 + ∆ y )

α ( y0 + ∆ y ) β ( y0 + ∆ y )

I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 ) =

α ( y0 )

∫ [ f ( x, y0 + ∆ y ) − f ( x, y0 )] dx +

α ( y0 ) β( y0 + ∆ y )

α ( y0 + ∆ y )

β( y0 + ∆ y )

β ( y0 )

α ( y0 )

α ( y0 )

+

∫ f ( x, y0 ) dx − ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx =

∫ f y′ ( x, y0 + θ∆ y ) ⋅ ∆ y ⋅ dx +

+ f ( c1, y0 ) ⋅ [β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 )] − f ( c2 , y0 + ∆ y ) ⋅ [α( y0 + ∆ y ) − α( y0 )] I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 ) = ⇒ ∆y

β ( y0 + ∆ y )

∫ f y′ ( x, y0 + θ∆ y ) dx +

α ( y0 )

β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 ) α ( y0 + ∆ y ) − α ( y0 ) − f ( c2 , y0 + ∆ y ) ⋅ ∆y ∆y Переходя в этом соотношении к пределу при ∆y → 0 , находим + f ( c1, y0 ) ⋅

14

I ′( y 0 ) =

β ( y0 )

∫ f y′ ( x, y0 ) dx + f (β ( y0 ), y0 ) ⋅ β′( y0 ) − f (α( y0 ), y0 ) ⋅ α ′( y0 ) .

(5)

α ( y0 )

3. Рассмотрим случай, когда p = α( y0 + ∆ y ) , q = β( y0 ) . В этом случае α ( y0 + ∆ y )

β ( y0 )

I ( y0 ) =

∫ f ( x, y0 ) dx = ∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx ;

α ( y0 ) β ( y0 + ∆ y )

α ( y0 ) β( y0 )

α ( y0 + ∆ y ) β ( y0 + ∆ y )

∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx = ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx + ∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx ;

I ( y0 + ∆ y ) =

α ( y0 + ∆ y )

I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 ) =

α ( y0 + ∆ y ) β ( y0 )

β ( y0 )

∫ [ f ( x, y0 + ∆ y ) − f ( x, y0 )] dx +

α ( y0 + ∆ y ) α( y0 + ∆ y )

β( y 0 + ∆ y )

+

β ( y0 )

∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx − ∫ f ( x, y0 ) dx =

β( y 0 )

α( y0 )

β( y 0 )

∫ f y′ ( x, y0 + θ∆ y ) ⋅ ∆ y ⋅ dx +

α( y0 + ∆ y )

+ f ( c1, y0 + ∆ y ) ⋅ [β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 )] − f ( c2 , y0 ) ⋅ [α( y0 + ∆ y ) − α( y0 )] I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 ) = ⇒ ∆y

β ( y0 )

∫ f y′ ( x, y0 + θ∆ y ) dx +

α ( y0 + ∆ y )

α ( y0 + ∆ y ) − α ( y0 ) β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 ) − f ( c2 , y0 ) ⋅ ∆y ∆y Переходя здесь к пределу при ∆y → 0 , получим + f ( c1, y0 + ∆ y ) ⋅

I ′( y 0 ) =

β ( y0 )

∫ f y′ ( x, y0 ) dx + f (β ( y0 ), y0 ) ⋅ β′( y0 ) − f (α( y0 ), y0 ) ⋅ α ′( y0 ) .

(5)

α ( y0 )

4. Рассмотрим случай, когда p = α( y0 + ∆ y ) , q = β( y0 + ∆ y ) . В этом случае β ( y0 )

α ( y0 + ∆ y )

β ( y0 + ∆ y )

β ( y0 )

α ( y0 )

α ( y0 )

α ( y0 + ∆ y )

β ( y0 + ∆ y )

I ( y0 ) =

∫ f ( x, y0 ) dx = ∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx + ∫ f ( x, y0 ) dx ; β ( y0 + ∆ y )

I ( y0 + ∆ y ) =

∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx ;

α ( y0 + ∆ y ) β ( y0 + ∆ y )

I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 ) =

∫ [ f ( x, y0 + ∆ y ) − f ( x, y0 )] dx +

α ( y0 + ∆ y )

15

β( y 0 + ∆ y )

+

α( y0 + ∆ y )

β( y 0 + ∆ y )

α( y0 )

α( y0 + ∆ y )

∫ f ( x, y0 ) dx − ∫ f ( x, y0 ) dx =

β( y 0 )

∫ f y′ ( x, y0 + θ∆ y ) ⋅ ∆ y ⋅ dx +

+ f ( c1, y0 ) ⋅ [β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 )] − f ( c2 , y0 ) ⋅ [α( y0 + ∆ y ) − α( y0 )] I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 ) = ⇒ ∆y

β ( y0 + ∆ y )

∫ f y′ ( x, y0 + θ∆ y ) dx +

α ( y0 + ∆ y )

β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 ) α ( y 0 + ∆ y ) − α ( y0 ) − f ( c2 , y0 ) ⋅ ∆y ∆y Переходя в этом соотношении к пределу при ∆y → 0 , находим + f ( c1, y0 ) ⋅

I ′( y 0 ) =

β ( y0 )

∫ f y′ ( x, y0 ) dx + f (β ( y0 ), y0 ) ⋅ β′( y0 ) − f (α( y0 ), y0 ) ⋅ α ′( y0 ) .

(5)

α ( y0 )

II. Пусть α( y0 ) = β ( y0 ) . В этом случае I ( y0 ) =

β ( y0 )

∫ f ( x, y0 ) dx = 0

(как интеграл, у которого совпа-

α ( y0 )

дают

нижний

I ( y0 + ∆ y ) =

β ( y0 + ∆ y )

и

верхний

пределы

интегрирования);

∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx . А тогда

α ( y0 + ∆ y )

I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 ) =

β ( y0 + ∆ y )

∫ f ( x, y0 + ∆ y ) dx =

α ( y0 + ∆ y )

= f ( c, y0 + ∆ y ) ⋅ [β ( y0 + ∆ y ) − α( y0 + ∆ y )] .

Здесь α( y0 + ∆ y ) ≤ c ≤ β ( y0 + ∆ y ) ⇒ c → α( y0 ) [ = β ( y0 )] . Имеем ∆ y →0

I ( y0 + ∆ y ) − I ( y0 ) = ∆y (β ( y0 + ∆ y ) − β ( y0 )) − (α( y0 + ∆ y ) − α( y0 )) . = f ( c, y 0 + ∆ y ) ⋅ ∆y Переходя здесь к пределу при ∆y → 0 , находим: I ′( y0 ) = f (β( y0 ), y0 ) ⋅ [β′( y0 ) − α ′( y0 )] = f (α( y0 ), y0 ) ⋅ [β′( y0 ) − α ′( y0 )] , ибо α( y0 ) = β ( y0 ) . Последняя формула может быть записана также в виде I ′( y0 ) = f (β ( y0 ), y0 ) ⋅ β′( y0 ) − f (α( y0 ), y0 ) ⋅ α ′( y0 ) . (6) Легко видеть, что формула (6) является частным случаем формулы (5) (она получается из (5), если положить в (5) β ( y0 ) = α( y0 ) ). 16

Так как у нас y0 – любое, принадлежащее [c, d ] , то приходим к выводу, что I ′( y ) существует для любого y ∈[c, d ] и что β( y )

∫ f y′ ( x, y ) dx + f (β ( y ), y ) ⋅ β′( y ) − f (α( y ), y ) ⋅ α ′( y ) .

I ′( y ) =

α( y )

§7. Примеры к главе 1 1

1. Дано: I ( y ) =

∫

x 2 + y 2 dx . Найти lim I ( y ) . y →0

−1

Так как подынтегральная функция f ( x , y ) = x 2 + y 2 непрерывна на всей плоскости Oxy , то она непрерывна, в частности, в прямоугольнике

−1 ≤ x ≤ 1, (P ) =  где d > 0 – любое конечное число. По теореме §2 заключа− d ≤ y ≤ d , ем, что допустим предельный переход по параметру под знаком интеграла, когда y → 0 . Имеем 1

lim

y →0

∫

−1 0

2

2

x + y dx =

1

∫ lim y →0

2. Дано: I ( y ) =

∫

y

1

2

x + y dx =

−1 1

= ∫ − x dx + ∫ x dx = − −1 1+ y

2

0

2 0

x 2

−1

∫ x dx =

−1

+

2 1

x 2

=

0

1 1 + = 1. 2 2

dx . Найти lim I ( y ) . y →0 1 + x2 + y2

Здесь подынтегральная функция f ( x , y ) =

1 2

. Она непрерывна

1 + x + y2 на всей плоскости Oxy . Функции α( y ) = y , β( y ) = 1 + y непрерывны для всех y ∈( − ∞,+ ∞ ) . Следовательно, в частности, f ( x , y ) непрерывна в области  y ≤ x ≤ 1 + y, (D ) =  где d > 0 – любое конечное число, а функции − ≤ ≤ d y d ,  α( y ), β( y ) непрерывны на промежутке [−d , d ] . Видим, что выполнены условия теоремы о непрерывности интеграла как функции параметра (см. §6). По этой теореме I ( y ) ∈ C([− d , d ]) , а значит, I ( y ) непрерывна в точке y = 0 . Следовательно, lim I ( y ) = I ( 0 ) , т. е. y →0

17

1+ y

lim

y →0

∫

y

1

dx dx π 1 x = = = arctg . 0 4 1 + x 2 + y 2 ∫0 1 + x 2

1

xb − xa 3. Вычислить ∫ dx ( a > 0 , b > 0 ), применяя интегрирование по паln x 0

раметру под знаком интеграла. Отметим прежде всего, что данный интеграл – несобственный, Подынтегральная функция имеет две особые точки. Это – точки x = 0 и x = 1. Имеем:

xb − xa = 0 ⇒ подынтегральная функция в правой полуокрестноx →+0 ln x сти точки x = 0 – ограниченная. xb − xa bx b−1 − ax a −1 = lim = lim ( bx b − ax a ) = b − a – опреде2) lim 1x x →1− 0 ln x x →1− 0 x →1− 0 1) lim

ленное число. ⇒ подынтегральная функция в левой полуокрестности точки x = 1 – ограниченная. Положим

b a  x − x , x ∈( 0, 1);  ln x ~ f ( x ) =  0, x = 0;   b − a, x = 1.  ~ ~ Ясно, что f ( x ) ∈ C([0, 1]) ⇒ f ( x ) ∈ R([0, 1]) , а значит, данный интеграл 1

xb − xa ∫ ln x dx сходится. 0

b

∫

Введем в рассмотрение интеграл I ( x ) = x y dy ( a > 0 , b > 0 ), x ∈[0, 1] . a

Этот интеграл представляет собой функцию параметра x , определенную в промежутке [0, 1]. Здесь f ( x , y ) = x y определена и непрерывна в прямоугольнике

a ≤ y ≤ b, (P ) =  А тогда по теореме об интегрировании по параметру под зна0 ≤ x ≤ 1. ком интеграла (см. §5) имеем: b1   y     ∫ I ( x ) dx = ∫  ∫ x dy dx = ∫  ∫ x dx dy . a 0 0 0 a 1

18

1b

y

b

xy Так как I ( x ) = ∫ x y dy = ln x a

y =b

= y =a

xb − xa , то предыдущее равенство примет ln x

вид: b1  xb − xa y   dx = x dx ∫ ln x ∫  ∫  dy ⇒ 1

a 0 b

0

1

b

x =1

0

a

x =0

 x y +1  xb − xa ∫ ln x dx = ∫  y + 1

dy = ∫ a

y

4. Вычислить I ′( y ) , если I ( y ) =

dy y =b b +1 = ln ( y + 1) y = a = ln . y +1 a +1

2 2

− yx ∫ e dx . y

2

f ( x , y ) = e − yx , α( y ) = y , β( y ) = y 2 ; α( y ) ≤ β ( y ) , если y ∈( − ∞, 0] U [1, + ∞ ) ; α( y ) ≥ β ( y ) , если y ∈[0, 1] . Пусть d1 > 0 – любое конечное число; d 2 > 1 – любое конечное число. Введем в рассмотрение области 1 ≤ y ≤ d2 , − d1 ≤ y ≤ 0, 0 ≤ y ≤ 1, D D ( ) ( ) = = ( D1 ) =    2 2 3 2 2 y x y y x y ; ; ≤ ≤ ≤ ≤ y ≤ x ≤ y .   В каждой из этих трех областей f ( x , y ) непрерывна и имеет непрерывную Здесь

2

f y′ ( x , y ) = − x 2e − yx . В каждом из промежутков: [−d1, 0] ; [0, 1]; [1, d2 ] существуют α ′( y ), β′( y ) , причем α ′( y ) = 1, β ′( y ) = 2 y . По теореме о дифференцировании по параметру (см. §6) заключаем, что для любого y ∈([− d1, 0] U [1, d2 ]) I ′( y ) существует и y2

2

5

3

I ′( y ) = − ∫ x 2e − yx dx + e − y ⋅ 2 y − e − y . y

~

Пусть теперь y – любое из промежутка [0, 1]. Имеем I ( y ) = − I ( y ) , где y

2 ~ I ( y ) = ∫ e − yx dx . По теореме о дифференцировании по параметру (см. §6) для

y2

y

2 3 5 ~ ~ любого y ∈[0, 1] I ′( y ) существует и I ′( y ) = − ∫ x 2e − yx dx + e − y − e − y ⋅ 2 y .

y2

Следовательно,

для

любого

y ∈[0, 1]

существует

I ′( y ) ,

причем

19

~ I ′( y ) = − I ′( y ) , т. е. I ′( y ) =

y

2

5

3

2 − yx −y −y ∫ x e dx + e ⋅ 2 y − e ⇒

y2 y2

2

5

3

⇒ I ′( y ) = − x 2e − yx dx + e − y ⋅ 2 y − e − y , y ∈[0, 1] .

∫

y

Глава 2. Двойные интегралы §1. Область и ее диаметр Предварительно напомним некоторые сведения, относящиеся к понятию кривой на плоскости. 1. Если ϕ( t ) и ψ( t ) – две функции, определенные и непрерывные на промежутке [a , b] , то множество точек плоскости

{(ϕ (t ), ψ( t ))} , t ∈[a, b], называ-

ется непрерывной кривой. 2. Если ϕ ( a ) = ϕ ( b ) и ψ ( a ) = ψ ( b ) , то непрерывная кривая называется замкнутой. 3. Замкнутая кривая называется самонепересекающейся, если две точки кривой (ϕ ( u ), ψ ( u )) и (ϕ ( v ), ψ ( v )) при u < v могут совпасть лишь тогда, когда u = a, v = b. 4. Замкнутая самонепересекающаяся кривая ( K ) делит плоскость на два связных множества ( D ) и ( G ) . (Любые две точки каждого их этих множеств можно соединить непрерывной кривой, не пересекающей ( K ) . Если же одна из этих точек принадлежит ( D ) , а другая – принадлежит ( G ) , то всякая соединяющая их непрерывная кривая пересекает ( K ) .) Точки, лежащие на ( K ) , не входят ни в ( D ) , ни в ( G ) . Одно из множеств ( D ) , ( G ) является ограниченным, а другое – нет. То из этих двух множеств, которое является ограниченным, будем называть областью, ограниченной контуром ( K ) . (У нас на рис. 2.1 ( D ) – область, ограниченная контуром ( K ) .) Если к точками области ( D ) присоединить точки контура ( K ) , то полученное множество будем называть замкну-

20

той областью, ограниченной контуром ( K ) , и обозначать через ( D ) . Отметим, что замкнутая область ( D ) есть ограниченное замкнутое множество. Определение. Пусть ( D ) – замкнутая область, ограниченная контуром ( K ) . Пусть M и N – любые две точки, лежащие на ( K ) . Пусть ρ( M , N ) – расстояние между точками M и N . Число d = sup {ρ ( M , N )} называется диа-

(K )

(G ) ( D)

Рис. 2.1. К определению понятия области

M ∈( K ) N ∈( K )

метром ( D ) . Теорема. На контуре ( K ) существуют две точки M 0 и N 0 такие, что ρ( M 0 , N 0 ) = d .

Возьмем на контуре ( K ) точки M и N . Пусть M = (ϕ ( u ), ψ ( u)) ,

N = (ϕ ( v ), ψ ( v )) . Тогда ρ ( M , N ) = [ϕ ( v ) − ϕ ( u)] + [ ψ ( v ) − ψ ( u)] . Видим, что ρ( M , N ) есть функция аргументов u, v , определенная в квадрате a ≤ u ≤ b, (P ) =  и, очевидно, непрерывная в ( P ) . По второй теореме Вейерa ≤ v ≤ b, штрасса существует точка ( u0 , v0 ) ∈( P ) , в которой эта функция принимает свое наибольшее значение. Остается только положить M 0 = (ϕ ( u0 ), ψ ( u0 )) , N 0 = (ϕ ( v0 ), ψ ( v0 )) . (K) ( L) В главе 3 (см. §1) учебного по2

2

собия [4] дано определение площади области ( D ) , установлено необходимое и достаточное условие квадрируемости этой области. Там же введено понятие простой кривой и доказана теорема о простой Рис. 2.2. К обобщенной теореме кривой. Следствием этой теоремы о простой кривой явилось утверждение, что область ( D ) , ограниченная простым контуром, квадрируема. Отметим здесь, что теорема о простой кривой допускает обобщение, а именно: Обобщенная теорема о простой кривой. Пусть ( L ) – простая кривая, расположенная в области ( D ) , ограниченной простым контуром ( K ) . Разделим ( D ) произвольной сетью простых кривых на части ( Dk ) , k = 1, 2, K , n . Пусть 21

Q – сумма площадей тех частичных областей ( Dk ) , которые имеют с ( L ) хотя бы одну общую точку. Тогда, если λ – наибольший из диаметров частичных областей ( Dk ) , то lim Q = 0 . λ→0

§2. Определение двойного интеграла Пусть функция f ( x , y ) задана в области ( D ) , ограниченной простым контуром ( K ) . Проделаем следующие операции. 1. Дробим ( D ) произвольной сетью простых кривых на n частичных областей ( D1 ), ( D2 ), K , ( Dn ) . Пусть площади этих частичных областей есть соответственно F1, F2 , K , Fn , а диаметры – d1, d2 , K , d n . Положим

λ = max {d k } ( λ – ранг дробления). k =1, n

2. В каждой частичной области ( Dk ) берем произвольную точку ( x k , y k ) и находим в ней значения функции f , т. е. находим f ( x k , yk ) . 3. Умножаем найденное значение функции на площадь соответствующей частичной области: f ( x k , y k ) ⋅ Fk , k = 1, 2, K , n . 4. Складываем все такие произведения. Получаем сумму: n

σ = ∑ f ( x k , y k ) ⋅ Fk . k =1

Сумму σ будем называть интегральной суммой Римана. Отметим, что σ зависит, вообще говоря, как от способа разбиения ( D ) на части ( Dk ) , так и от выбора точек ( x k , y k ) в ( Dk ) . 5. Измельчаем дробление так, чтобы λ → 0 , и ищем lim σ . Если существуλ →0

ет конечный предел I = lim σ и этот предел не зависит ни от способа дроблеλ→0

ния ( D ) на части ( Dk ) , k = 1, n , ни от выбора точек ( x k , y k ) в ( Dk ) , то его называют двойным интегралом от функции f ( x , y ) по области ( D ) и обозначают символом

∫∫ f ( x, y ) dF

или

(D )

∫∫ f ( x, y ) dxdy .

(D )

Таким образом,

σ ∫∫ f ( x, y ) dF = λlim →0

(D )

22

n    f ( x , y ) dF = lim f ( x k , y k ) Fk  . ∑   ∫∫ λ→0 k =1  (D )

(1)

Замечание. Соотношение I = lim σ означает: любому числу ε > 0 отвечает λ→0

число δ > 0 такое, что для любого способа дробления ( D ) на части ( Dk ) , у ко-

торого ранг дробления λ < δ , будет: σ − I < ε , как бы ни были при этом выбраны точки ( x k , y k ) в ( Dk ) . Если у функции f ( x , y ) , определенной в ( D ) , существует

∫∫ f ( x, y ) dF ,

(D )

то будем говорить, что f ( x , y ) интегрируема в ( D ) и писать f ( x , y ) ∈ R( D ) ( f ( x , y ) принадлежит классу R в области ( D ) ). Установим теперь необходимое условие интегрируемости функции f ( x , y ) в области ( D ) . Теорема (об ограниченности функции f ( x , y ) , интегрируемой в ( D ) . Если функция f ( x , y ) ∈ R( D ) , то f ( x , y ) – ограниченная в области ( D ) . По условию f ( x , y ) ∈ R( D ) . Пусть I =

∫∫ f ( x, y ) dxdy . Но тогда любому

(D )

ε > 0 отвечает δ > 0 такое, что для любого способа дробления ( D ) на части ( Dk ) , у которого λ < δ , независимо от способа выбора точек ( x k , y k ) в ( Dk ) , ~ будет σ − I < ε . В частности, числу ε = 1 ( > 0) будет отвечать δ > 0 такое, что ~ для любого способа разбиения ( D ) на части ( Dk ) , у которого λ < δ , независимо от способа выбора точек ( x k , y k ) в ( Dk ) , будет σ − I < 1 . ~ Возьмем любой способ разбиения ( D ) на части ( Dk ) , у которого λ < δ , и закрепим его. (Тогда Fk , k = 1, n , будут определенными числами.) Для такого способа разбиения ( D ) на части ( Dk ) , независимо от способа выбора точек n

( x k , y k ) в ( Dk ) будем иметь

∑ f ( xk , yk )⋅ Fk − I < 1. k =1

Теперь выберем и закрепим точки ( x2 , y2 ) , ( x3 , y3 ) , K , ( x n , y n ) соответственно в областях ( D2 ), ( D3 ), K , ( Dn ) (тогда f ( x2 , y2 ) , f ( x3 , y3 ) , K , f ( x n , yn ) будут определенными числами). Точку ( x1, y1 ) оставим свободной в

( D1 ) (т. е. точка ( x1, y1 ) может занимать любое положение в области ( D1 ) ). Будем иметь при любом положении точки ( x1, y1 ) в ( D1 ) : n

f ( x1, y1 ) ⋅ F1 + ∑ f ( x k , y k ) ⋅ Fk − I < 1. k =2

23

Положим I −

n

∑ f ( xk , yk ) ⋅ Fk = C

( C – определенное число, не зависящее от

k =2

выбора точки ( x1, y1 ) ). Предыдущее неравенство запишется теперь так:

f ( x1, y1 ) ⋅ F1 − C < 1 , точка ( x1, y1 ) ∈( D1 ) .

Имеем:

f ( x1, y1 ) ⋅ F1 = ( f ( x1, y1 ) ⋅ F1 − C ) + C ⇒ ⇒ f ( x1, y1 ) ⋅ F1 ≤ f ( x1, y1 ) ⋅ F1 − C + C ⇒ 1+ C ⇒ f ( x1, y1 ) ⋅ F1 < 1 + C ⇒ f ( x1, y1 ) < . F1

Так как последнее неравенство верно для любого положения точки ( x1, y1 ) в

( D1 ) , то заключаем, что функция f ( x , y ) – ограниченная в ( D1 ) . Совершенно аналогично устанавливается ограниченность функции f ( x , y ) в областях ( D2 ), ( D3 ), K , ( Dn ) . Положим

M1 = sup{ f ( x , y ) } , M 2 = sup { f ( x , y ) } , K , M n = sup { f ( x , y ) } . ( D1 )

( Dn )

( D2 )

Пусть M = max{ M1, M 2 , K , M n } . Тогда f ( x , y ) ≤ M для любой точки ( x , y ) из ( D ) . А это и означает, что f ( x , y ) – ограниченная в ( D ) . Замечание. Доказанная теорема необратима, т. е. не всякая функция f ( x , y ) , заданная в ( D ) и ограниченная там, оказывается интегрируемой в

( D ) . Следовательно, ограниченность функции f ( x , y ) в области ( D ) является лишь необходимым условием интегрируемости этой функции в ( D ) . §3. Признаки интегрируемости функций Пусть ограниченная функция f ( x , y ) задана в области ( D ) , ограниченной простым контуром. На вопрос, существует или не существует

∫∫ f ( x, y ) dxdy , ответить, поль-

(D )

зуясь непосредственным определением двойного интеграла, удается сравнительно легко лишь в отдельных частных случаях. В связи с этим оказывается важным установление признаков интегрируемости функции f ( x , y ) в области

( D ) . Но признаки интегрируемости f ( x , y ) в ( D ) содержат понятия верхней и нижней сумм Дарбу. Поэтому необходимо ввести эти понятия.

24

Итак, пусть f ( x , y ) – ограниченная функция, определенная в области ( D ) . Разложим ( D ) произвольной сетью простых кривых на части ( Dk ) , k = 1, n , и

положим M k = sup { f ( x , y )} ; mk = inf { f ( x , y )} . Отметим, что числа mk и ( Dk )

( Dk )

M k , k = 1, n , существуют, ибо множество

{ f ( x, y )} ,

ченное и сверху, и снизу. Составим суммы s =

n

( x , y ) ∈( Dk ) – ограни-

∑ mk Fk k =1

и S=

n

∑ M k Fk . Эти k =1

суммы называют соответственно нижней и верхней суммами Дарбу, отвечающими данному способу разбиения области ( D ) на части ( Dk ) . Отметим, что для закрепленного способа разбиения ( D ) на части ( Dk ) суммы s и S – определенные числа. Если же способ разбиения изменить, то изменятся, вообще говоря, и числа s и S . Отметим далее, что интегральные суммы Римана σ даже для закрепленного способа дробления ( D ) на части ( Dk ) принимают, вообще говоря, бесконечное множество значений (за счет различного выбора точек ( x k , y k ) в ( Dk ) . Суммы Дарбу обладают следующими свойствами. 1. Пусть s и S – нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие закрепленному способу дробления области ( D ) . Пусть {σ} – множество интегральных сумм Римана, отвечающих этому же способу дробления области ( D ) . Тогда для любой интегральной суммы Римана σ из {σ} будет: s ≤ σ ≤ S . 2. Пусть s и S – нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие закрепленному способу дробления области ( D ) . Пусть {σ} – множество интегральных сумм Римана, отвечающих этому же способу дробления области ( D ) . Тогда s = inf {σ} , S = sup{σ} . 3. Пусть s и S – нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие какомунибудь способу дробления области ( D ) . Добавим теперь еще одну простую кривую дробления (все прежние кривые дробления сохраняются). В результате у нас получится некоторый новый способ дробления области ( D ) . Пусть ~ s и

~ S – нижняя и верхняя суммы Дарбу, отвечающие этому новому способу дроб~ s ≥ s , т. е. что от ления области ( D ) . Справедливо утверждение, что S ≤ S , ~

добавления новых кривых дробления верхняя сумма Дарбу не увеличивается, а нижняя сумма Дарбу не уменьшается. 4. Выше было отмечено, что для закрепленного способа дробления области ( D ) нижняя и верхняя суммы Дарбу s и S суть определенные числа. Если же способ дробления области ( D ) изменить, то изменятся, вообще говоря, и числа 25

s и S . Следовательно, как s , так и S принимают, вообще говоря, бесконечное множество значений. Пусть {s} – множество значений, принимаемых нижней суммой Дарбу, {S } – множество значений, принимаемых верхней суммой Дарбу. Справедливо утверждение: Всякая нижняя сумма Дарбу не больше любой верхней суммы Дарбу, т. е. для всякой s из {s} и для любой S из {S } оказывается s≤S. Видим, что перечисленные здесь свойства сумм Дарбу являются дословным повторением аналогичных свойств сумм Дарбу, установленных для функций f ( x ) , заданных на промежутке [a, b] (см. главу 1, §2 учебного пособия [4]) Следует отметить, что и доказательства этих свойств совершенно аналогичны прежним. Приступим теперь к установлению признаков интегрируемости. Теорема 1 (основной признак интегрируемости). Пусть функция f ( x , y ) – ограниченная, заданная в области ( D ) . Для того, чтобы f ( x , y ) ∈ R( D ) , необходимо и достаточно, чтобы было lim ( S − s ) = 0 (разности S − s составляλ→0

ются каждый раз из чисел s и S , отвечающих одному и тому же способу дробления области ( D ) ). Необходимость. Дано:

f ( x , y ) ∈ R( D ) , I =

∫∫ f ( x, y ) dF .

Доказать:

(D )

lim ( S − s ) = 0 .

λ→0

Возьмем ε > 0 – любое. По условию f ( x , y ) ∈ R( D ) ⇒ взятому ε > 0 отвечает δ > 0 такое, что для любого разбиения ( D ) на части ( Dk ) , у которого

λ < δ , для каждой σ из множества {σ} , отвечающих этому способу разбиения, ε будет σ − I < . Выберем и закрепим какой-нибудь способ разбиения ( D ) на 3 ε части ( Dk ) , у которого λ < δ . Будем иметь σ − I < , для любой σ из {σ} 3 (здесь {σ} – множество интегральных сумм Римана, отвечающих нашему закрепленному способу разбиения ( D ) ), или, что то же самое, ε ε I − < σ < I + , σ ∈{σ} . (1) 3 3 ε ε 1) Из соотношения (1) имеем, в частности, σ < I + , σ ∈{σ} ⇒ I + – 3 3 верхняя граница {σ} . Мы знаем, что S = sup{σ} . Поэтому 26

S≤I+

ε 3

(2)

( S – верхняя сумма Дарбу, отвечающая нашему закрепленному способу разбиения ( D ) ). 2) Из соотношения (1) имеем также σ > I −

ε ε , σ ∈{σ} ⇒ I − – нижняя 3 3

граница {σ} . Мы знаем, что s = inf {σ} . Поэтому

s≥ I−

ε 3

(3)

( s – нижняя сумма Дарбу, отвечающая нашему закрепленному способу разбиения ( D ) ). Из соотношений (2) и (3) следует, что

2 0 ≤ S − s ≤ ε. 3 Тогда 0 ≤ S − s < ε ⇒ S − s < ε . Последнее неравенство получено нами лишь в предположении, что λ < δ . Следовательно, lim ( S − s) = 0 . λ→ 0

Достаточность. Дано: lim ( S − s) = 0 . Доказать: f ( x , y ) ∈ R( D ) . λ→ 0

По условию, lim ( S − s ) = 0 . Это означает, что любому ε > 0 отвечает δ > 0 λ→ 0

такое, что для любого разбиения ( D ) на части ( Dk ) , у которого λ < δ , оказывается S − s < ε , или S − s < ε (так как S − s ≥ 0 ). Рассмотрим множества {s}

и {S } . Выберем и закрепим любую S и {S } . Обозначим ее через S0 . По свойству 4) сумм Дарбу, имеем s ≤ S0 , s ∈{s} . Это означает, что {s} ограничено

сверху. Но тогда, как мы знаем, существует sup{s} . Пусть A = sup{s} ( A – оп-

ределенное число). Ясно, что s ≤ A , s ∈{s} . Ясно далее, что A ≤ S0 (так как A

– точная верхняя граница {s} , а S0 – просто верхняя граница этого множества).

У нас S0 – любая из {S } . Следовательно, A ≤ S , S ∈{S } . Таким образом, получили s≤ A≤ S . (4) Отметим, что в соотношении (4) s и S могут отвечать как различным, так и одному и тому же способу разбиения ( D ) на части ( Dk ) . Возьмем любой способ разбиения ( D ) на части ( Dk ) . Пусть {σ} – множество интегральных сумм Римана, отвечающих этому способу разбиения ( D ) , а s и S – нижняя и верхняя суммы Дарбу. Одновременно будут иметь место соотношения s ≤ σ ≤ S , σ ∈{σ}; s ≤ A ≤ S . 27

Тогда −( S − s ) ≤ σ − A ≤ ( S − s ) , σ ∈{σ} или σ − A ≤ ( S − s ) , σ ∈{σ} . Если брать любой способ разбиения ( D ) на части, у которого λ < δ , то будет S − s < ε , а значит, σ − A < ε, σ ∈{σ} . Последнее означает, что A = lim σ ⇒ f ( x , y ) ∈ R( D ) . λ→0

Замечание. Имеем n

n

n

n

k =1

k =1

k =1

k =1

S − s = ∑ M k Fk − ∑ mk Fk = ∑ ( M k − mk ) Fk = ∑ ω k Fk . Здесь ω k = M k − mk – колебание функции f ( x , y ) в ( Dk ) . Теперь основной признак интегрируемости может быть сформулирован так. Пусть функция f ( x , y ) – ограниченная, заданная в области ( D ) . Для того, чтобы f ( x , y ) ∈ R( D ) , необходимо и достаточно, чтобы любому ε > 0 отвечало δ > 0 такое, что для любого способа разбиения ( D ) на части ( Dk ) , у которого λ < δ , было бы n

∑ ω k Fk < ε . k =1

Теорема 2. Если f ( x , y ) ∈ C( D ) , то f ( x , y ) ∈ R( D ) (т. е. если функция

f ( x , y ) определена и непрерывна в ( D ) , то

∫∫ f ( x, y ) dxdy существует).

(D )

Возьмем ε > 0 – любое. По условию f ( x , y ) ∈ C( D ) . Так как ( D ) – ограниченное замкнутое множество, то по теореме Кантора f ( x , y ) равномерно непрерывна в ( D ) . Следовательно, взятому ε > 0 отвечает δ > 0 такое, что для

ε одноF временно для всех k = 1, n (см. следствие из теоремы Кантора; здесь F – площадь области ( D ) ). Возьмем любой способ разбиения ( D ) на части ( Dk ) ( k = 1, n ), у которого λ < δ . Будем иметь для такого способа разбиения ( D ) любого разбиения ( D ) на части ( Dk ) , у которого λ < δ , будет ω k <

n

n

n

k =1

k =1

k =1

∑ ω k Fk < ∑ Fε ⋅ Fk = Fε ∑ Fk = Fε ⋅ F = ε . n

Неравенство

∑ ω k Fk < ε k =1

получено нами лишь в предположении, что λ < δ .

Последнее означает, что f ( x , y ) ∈ R( D ) . 28

Теорема 3. Пусть ограниченная функция f ( x , y ) задана в области ( D ) и непрерывна там всюду, за исключением множества точек, лежащих на конечном числе простых кривых. Тогда f ( x , y ) ∈ R( D ) . Пусть для определенности (K ) у функции f ( x , y ) в ( D ) имеется лишь одна линия разрыва ( L ) . Возьмем ε > 0 – любое. По тео( D* ) реме о простой кривой линию ( L ) можно заключить внутрь ( L) многоугольной области ( D* ) , ( K* ) площадь которой меньше ε . Контур ( K* ) области ( D* ) есть замкнутая ломаная, звенья Рис. 2.3. К доказательству теоремы 3 которой параллельны координатным осям. ( L ) и ( K* ) не пересекаются.

y

x

Пусть ( D ) \ ( D* ) – область, остающаяся после удаления ( D* ) из ( D ) .

(Контур ( K* ) причисляем к области ( D ) \ ( D* ) ). Ясно, что f ( x , y ) – непрерывна в ( D ) \ ( D* ) .

Так как ( D ) \ ( D* ) – ограниченное замкнутое множество, то f ( x , y ) равно-

мерно непрерывна в ( D ) \ ( D* ) . Следовательно, взятому ε > 0 отвечает число

δ1 > 0 такое, что для любых двух точек ( x ′, y ′ ) ; ( x ′′, y ′′ ) из ( D ) \ ( D* ) , для которых ρ (( x ′, y ′ ); ( x ′′, y ′′ )) < δ будет f ( x ′′, y ′′ ) − f ( x ′, y ′ ) < ε . Контур ( K* ) есть простая кривая. По обобщенной теореме о простой кривой, взятому ε > 0 отвечает δ 2 > 0 такое, что для любого способа дробления, у которого λ < δ 2 , сумма площадей тех частичных областей, которые задевают ( K* ) , будет меньше ε . Положим δ = min{δ1, δ 2 } . Разобьем область ( D ) произвольной сетью простых кривых на части ( Dk ) , k = 1, n , так, чтобы оказалось λ < δ и составим разность сумм Дарбу S − s =

n

∑ ω k ⋅ Fk . k =1

Из областей ( D1 ) , ( D2 ) , K , ( Dn ) образуем три группы.

В группу I отнесем те из ( Dk ) , k = 1, n , которые лежат в ( D ) \ ( D* ) и не задевают контура ( K* ) .

29

В группу II отнесем те из ( Dk ) , k = 1, n , которые лежат в ( D* ) и не задевают контура ( K* ) . В группу III отнесем те ( Dk ) , которые задевают контур ( K* ) . n

Тогда и сумма

∑I

∑ ω k Fk

разобьется на три суммы

k =1

будет ω k < ε и поэтому

∑I, ∑II, ∑III . В сумме

∑I ω k Fk < ε ⋅ F . В суммах ∑II

и

∑III

будет

ω k ≤ Ω , где Ω – колебание функции f ( x , y ) в ( D ) (число Ω существует, ибо f ( x , y ) – ограниченная в ( D ) ). Так как суммы площадей областей ( Dk ) , попавших в группу II и в группу III меньше ε , то будем иметь: ∑II ω k Fk ≤ Ω ⋅ ∑II Fk < Ω ⋅ ε ,

∑III ω k Fk ≤ Ω ⋅ ∑III Fk < Ω ⋅ ε .

А тогда n

S − s = ∑ ω k Fk < ε( F + 2Ω )

(5)

k =1

(число ε( F + 2Ω ) сколь угодно мало вместе с ε ). Так как для достижения неравенства (5) нам потребовалось лишь чтобы было λ < δ , то заключаем, что lim ( S − s ) = 0 , а это означает, что f ( x , y ) ∈ R( D ) . λ→ 0

§4 Свойства двойных интегралов 1°.

∫∫ dF = F ( F

– площадь области ( D ) ).

(D )

В самом деле, здесь f ( x , y ) ≡ 1 всюду в ( D ) . Поэтому, взяв любое разбиение области ( D ) на части ( Dk ) , k = 1, n , и выбрав произвольно точки

( x k , y k ) в ( Dk ) , будем иметь f ( x1, y1 ) = 1 ; f ( x2 , y2 ) = 1 , f ( x3 , y3 ) = 1 , K , f ( x n , y n ) = 1 . Следовательно, n

n

n

σ = ∑ f ( x k , yk ) ⋅ Fk = ∑1 ⋅ Fk = ∑ Fk = F ⇒ k =1

k =1

k =1

lim σ = F .

λ→0

2°. Если f ( x , y ) ∈ R( D ) и α – произвольное число, то α f ( x , y ) ∈ R( D ) , причем

∫∫ α f ( x, y ) dF = α ⋅ ∫∫ f ( x, y ) dF .

(D )

30

(D )

Возьмем произвольное разбиение сетью простых кривых области ( D ) на части ( Dk ) и составим интегральную сумму Римана для функции α f ( x , y ) . Будем иметь n

n

k =1

k =1

σ( α f ) = ∑ α f ( x k , yk ) Fk = α ∑ f ( x k , yk ) Fk = α ⋅ σ( F ) . По условию, f ( x , y ) ∈ R( D ) ⇒

∫∫ f ( x, y ) dF .

Но

тогда

(D )

lim σ ( f ) существует, конечный и равный

λ→0

lim σ( α f ) = α lim σ( f ) = α ∫∫ f ( x , y ) dF ,

λ→0

λ→0

lim σ( α f ) существует, конечный ⇒

λ→0

т. е.

(D )

∫∫ α f ( x, y ) dF существует, причем

(D )

∫∫ α f ( x, y ) dF = α ∫∫ f ( x, y ) dF .

(D )

(D )

3°. Если f ( x , y ) ∈ R( D ) и g( x , y ) ∈ R( D ) , то причем

( f ( x, y ) ± g( x, y )) ∈ R( D ) ,

∫∫ ( f ( x, y ) ± g( x, y )) dF = ∫∫ f ( x, y ) dF ± ∫∫ g( x, y ) dF .

(D )

(D )

(D )

Берем произвольное разбиение сетью простых кривых области ( D ) на части ( Dk ) и составляем интегральную сумму Римана для функции f ( x , y ) ± g( x , y ) . Будем иметь n

n

n

k =1

k =1

k =1

σ( f ± g ) = ∑ ( f ( x k , y k ) ± g( xk , yk )) Fk = ∑ f ( xk , yk ) Fk ± ∑ g( xk , yk ) Fk = = σ( f ) ± σ( g ) . По условию f ( x , y ) ∈ R( D ) и g( x , y ) ∈ R( D ) ⇒ существуют конечные lim σ( f ) и lim σ( g ) . Но тогда существует конечный lim σ( f ± g ) , причем λ→0

λ→0

λ→0

lim σ( f ± g ) = lim σ( f ) ± lim σ( g ) ⇒

λ→0

причем

λ→0

λ→0

∫∫ ( f ( x, y ) ± g( x, y )) dF

существует,

(D )

∫∫ ( f ( x, y ) ± g( x, y )) dF = ∫∫ f ( x, y ) dF ± ∫∫ g( x, y ) dF .

(D )

(D )

(D )

4°. Пусть f ( x , y ) ∈ R( D ) . Если изменить значения функции f ( x , y ) вдоль какой-нибудь простой кривой ( L ) (с тем лишь условием, чтобы и измененная

31

функция оставалась ограниченной), то вновь полученная функция также интегрируема в ( D ) и ее двойной интеграл по области ( D ) равен

∫∫ f ( x, y ) dF .

(D )

Если составить интегральные суммы Римана для измененной и исходной функций, то они могут разниться лишь теми слагаемыми, которые относятся к областям ( Dk ) , задевающим кривую ( L ) . Но, по обобщенной теореме о простой кривой, общая площадь этих областей стремится к нулю при λ → 0 , откуда уже легко заключить, что обе интегральные суммы стремятся к общему пределу, т. е. к I =

∫∫ f ( x, y ) dF .

(D )

Таким образом, существование и величина двойного интеграла не зависят от значений, принимаемых подынтегральной функцией вдоль конечного числа простых кривых. 5°. Если область ( D ) , в которой задана функция f ( x , y ) , разложена простой кривой ( L ) на две области ( D1 ) и ( D2 ) , то из интегрируемости функции

f ( x , y ) во всей области ( D ) следует ее интегрируемость в областях ( D1 ) и ( D2 ) , и обратно – из интегрируемости функции f ( x , y ) в обеих областях ( D1 ) и ( D2 ) вытекает ее интегрируемость в области ( D ) . При этом

∫∫ f ( x, y ) dF = ∫∫ f ( x, y ) dF + ∫∫ f ( x, y ) dF .

(D )

( D1 )

(1)

( D2 )

Разложим области ( D1 ) и ( D2 ) произвольными сетями простых кривых на части; тем самым и ( D ) разложится на части ( D1 ), ( D2 ), K , ( Dn ) . Если

значком k ′ отметить частичные области, содержащиеся в ( D1 ) , а значком k ′′ – частичные области, содержащиеся в ( D2 ) , то n

∑ ω k Fk = ∑ ω k ′ Fk ′ + ∑ ω k ′′ Fk ′′ . k =1

1) Пусть функция f ( x , y ) ∈ R( D ) . Но тогда lim

λ→0

тельно, и подавно lim

λ→0

n

∑ ω k Fk = 0 , а, следоваk =1

∑ ω k ′ Fk ′ = 0 и λlim ∑ ω k ′′ Fk ′′ = 0 . Последнее означает, →0

что f ( x , y ) ∈ R( D1 ) и f ( x , y ) ∈ R( D2 ) .

2) Пусть теперь дано, что функция f ( x , y ) ∈ R( D1 ) и f ( x , y ) ∈ R( D2 ) . Но

тогда

lim ∑ ω k ′ Fk ′ = 0

λ→0

и

lim ∑ ω k ′′ Fk ′′ = 0 ,

λ→0

lim ∑ ω k Fk = 0 ⇒ f ( x , y ) ∈ R( D ) .

λ→0

32

а,

следовательно,

и

n

Однако нужно помнить, что

∑ ω k Fk

построена не для произвольного раз-

k =1

биения области ( D ) на части: ведь мы исходим из разложения порознь областей ( D1 ) и ( D2 ) . Чтобы от произвольного разложения области ( D ) перейти к разложению рассмотренного частного вида, нужно присоединить к линиям деления кривую ( L ) . Тогда соответствующие суммы будут разниться лишь слагаемыми, отвечающими тем частичным областям, которые задевают кривую ( L ) . Но по обобщенной теореме о простой кривой общая площадь этих областей стремится к нулю при λ → 0 и, следовательно, соответствующие суммы будут разниться на бесконечно малую величину. Значит, условие интегрируемости функции f ( x , y ) в ( D ) будет выполнено. Доказываемая формула (1) получается из равенства: n

∑ f ( xk , yk ) Fk = ∑ f ( xk ′ , yk ′ ) Fk ′ + ∑ f ( xk ′′ , yk ′′ ) Fk ′′ k =1

переходом в нем к пределу при λ → 0 . 6°. Пусть f ( x , y ) ∈ R( D ) и g( x , y ) ∈ R( D ) , и пусть всюду в ( D ) выполняется неравенство f ( x , y ) ≤ g( x , y ) . Тогда

∫∫ f ( x, y ) dF ≤ ∫∫ g( x, y ) dF .

(D )

(D )

Произвольной сетью простых кривых разобьем ( D ) на части ( Dk ) . В каждой частичной области ( Dk ) берем произвольную точку ( x k , y k ) . Ясно, что

f ( x k , y k ) ≤ g ( x k , yk ) , k = 1, n . Умножим обе части этого неравенства на Fk ( Fk > 0 ). Получим f ( x k , y k ) Fk ≤ g( x k , yk ) Fk . Просуммируем полученные неk от 1 до n. Будем иметь равенства по значку n

n

k =1

k =1

∑ f ( xk , yk ) Fk ≤ ∑ g( xk , yk ) Fk . Переходя здесь к пределу при λ → 0 , получим

∫∫ f ( x, y ) dF ≤ ∫∫ g( x, y ) dF .

(D )

(D )

7°. Пусть f ( x , y ) ∈ R( D ) и пусть всюду в ( D ) : m ≤ f ( x , y ) ≤ M . Тогда

m⋅ F ≤

∫∫ f ( x, y ) dF ≤ M ⋅ F .

(D )

Это следует из свойств 6°, 2°, 1°.

33

8°. Теорема о среднем значении. Пусть f ( x , y ) ∈ R( D ) и пусть всюду в

( D ) : m ≤ f ( x , y ) ≤ M . Тогда: существует число µ, удовлетворяющее условию

∫∫ f ( x, y ) dF = µ ⋅ F .

m ≤ µ ≤ M , такое, что будет

(D )

Выше (см. 7°) установлено, что в этом случае выполняется неравенство

mF ≤

∫∫ f ( x, y ) dF ≤ MF .

Разделим все части этого неравенства на F

(D )

( F > 0 ): m ≤

1 F

∫∫ f ( x, y ) dF ≤ M . Обозначим

(D )

m ≤ µ ≤ M ). Тогда

1 F

∫∫ f ( x, y ) dF = µ

(ясно, что

(D )

∫∫ f ( x, y ) dF = µ ⋅ F , а это и требовалось установить.

(D )

9°. Частный случай теоремы о среднем значении. Если функция f ( x , y ) ∈ C( D ) , то в ( D ) обязательно найдется хотя бы одна точка ( ξ, η) такая, что будет:

∫∫ f ( x, y ) dF = f ( ξ, η) ⋅ F .

(D )

По условию f ( x , y ) ∈ C( D ) ⇒ по теореме Вейерштрасса f ( x , y ) достигает в ( D ) своего наименьшего m и наибольшего M значений. Так как f ( x , y ) ∈ C( D ) , то f ( x , y ) ∈ R( D ) . Тогда по теореме о среднем значении

∫∫ f ( x, y ) dF = µ ⋅ F , где m ≤ µ ≤ M . Значения m и

M функция f ( x , y ) при-

(D )

нимает в ( D ) . Если же m < µ < M , то по теореме о промежуточном значении для функции f ( x , y ) ∈ C( D ) заключаем: в области ( D ) обязательно найдется хотя бы одна точка ( ξ, η) такая, что будет f ( ξ, η) = µ , а значит, и в этом случае

∫∫ f ( x, y ) dF = f ( ξ, η) ⋅ F .

(D )

10°. Если функция f ( x , y ) ∈ R( D ) , то и функция f ( x , y ) ∈ R( D ) , причем

∫∫ f ( x, y ) dF ≤ ∫∫

(D )

f ( x , y ) dF .

(D )

По условию f ( x , y ) ∈ R( D ) ⇒

f ( x , y ) – ограниченная в ( D ) , т. е. существует число L > 0 такое, что f ( x , y ) ≤ L в ( D ) . Последнее означает, что 34

функция

f ( x, y )

– ограниченная в ( D ) . Следовательно, существуют

~ ~ = inf { f ( x , y ) } , M m = inf { f ( x , y )} , M = sup{ f ( x , y )} , m = sup{ f ( x , y ) } , а (D )

(D )

(D )

(D )

~ ~ ~ ( Ω – колебание функции значит, существуют Ω = M − m и Ω = M − m ~ ~ f ( x , y ) в ( D ) , а Ω – колебание f ( x , y ) в ( D ) ). Легко понять, что Ω ≤ Ω . Возьмем произвольное разбиение области ( D ) сетью простых кривых на ~ – колебание части ( Dk ) , k = 1, n . Пусть ω k – колебание f ( x , y ) в ( Dk ) , а ω k ~ ~ f ( x , y ) в ( Dk ) . Имеем 0 ≤ ω k ≤ ω k , k = 1, n ⇒ 0 ≤ ω k Fk ≤ ω k Fk , k = 1, n . Следовательно, n

n

~ F ≤ ω F . 0 ≤ ∑ω ∑ k k k k k =1

Так как f ( x , y ) ∈ R( D ) , то lim

λ→0

(2)

k =1

n

∑ ω k Fk = 0 . Тогда из (2) заключаем, что k =1

n

~ F = 0 . Последнее означает, что f ( x , y ) ∈ R( D ) . Имеем, далее, lim ∑ ω k k

λ→0

k =1

n

n

k =1

k =1

∑ f ( xk , yk ) Fk ≤ ∑ f ( xk , yk ) Fk , т. е. σ( f ) ≤ σ(| f |) . Переходя в последнем неравенстве к пределу при λ → 0 , получим

∫∫ f ( x, y ) dF ≤ ∫∫

(D )

f ( x , y ) dF .

(D )

35

§5. Вычисление двойного интеграла в случае прямоугольной области Пусть

ограниченная

функция

f ( x, y )

задана

в

прямоугольнике

a ≤ x ≤ b, (P ) =  c ≤ y ≤ d .

1) Пусть при каждом закрепленном y из [c, d ] функция f ( x , y ) интегрируема на [a , b] , т. е. при каждом закрепленном y из [c, d ] существует b

b

∫ f ( x, y ) dx . Следовательно, ∫ f ( x, y ) dx a

мента

y,

представляет собой функцию аргу-

a

заданную

на

промежутке

[c, d ] .

Станем

обозначать

b

∫ f ( x, y ) dx = ϕ ( y ) ,

y ∈[c, d ] .

Допустим

теперь,

что

эта

функция

a

db

d b  ϕ( y ) ∈ R([c, d ]) . Тогда ∫ ϕ ( y ) dy = ∫  ∫ f ( x , y ) dx  dy = ∫ dy ∫ f ( x , y ) dx назы c ca c a вается повторным интегралом от функции f ( x , y ) в ( P ) . 2) Допустим еще, что при каждом закрепленном x из [a, b] существует d

d

∫ f ( x, y ) dy . Ясно, что каждому

x из [a, b] будет отвечать свое, вполне опре-

c

d

деленное значение интеграла

d

∫ f ( x, y ) dy . Следовательно, ∫ f ( x, y ) dy c

пред-

c

ставляет собой функцию аргумента x , определенную на промежутке [a, b] . d

Станем обозначать

∫ f ( x, y ) dy = ψ( x ) ,

x ∈[a, b]. Допустим, что эта функция

c

b d  ψ ( x ) ∈ R([a, b]) . Тогда ∫ ψ ( x ) dx = ∫  ∫ f ( x , y ) dy  dx = ∫ dx ∫ f ( x , y ) dy назы a ac a c вается еще одним повторным интегралом от функции f ( x , y ) в ( P ) . b

36

bd

Теорема 1. Если у ограниченной функции f ( x , y ) , заданной в прямоугольнике

(P ),

существуют

одновременно

Iдв. =

∫∫ f ( x, y ) dxdy

и

(P) d

b

c

a

Iповт. = ∫ dy ∫ f ( x , y ) dx , то они равны, т. е. Iдв. = Iповт ..

y

( Pik )

d y k +1 yk

c

x xi xi+1

a

b

Рис. 2.4. К вычислению двойного интеграла в случае прямоугольной области

Разобьем ( P ) отрезками прямых x = xi ( i = 0, 1, 2, K , n , x0 = a , x n = b ), y = y k ( k = 0, 1, 2, K , m , y0 = c , y m = d ), на частичные прямоугольники

 xi ≤ x ≤ xi +1, ( Pik ) =  Пусть  y k ≤ y ≤ yk +1. M ik = sup{ f ( x , y )} . Значит, если точка ( x , y ) ∈( Pik ) , то

( Pik ) ,

где

mik = inf { f ( x , y )} , ( Pik )

( Pik )

mik ≤ f ( x , y ) ≤ M ik . (1) Возьмем любое y из [ y k , y k +1 ] и закрепим его. Сделав это, проинтегрируем неравенство (1) по x от xi до xi +1 . Получим

mik ( xi +1 − xi ) ≤

xi +1

∫ f ( x, y ) dx ≤ Mik ( xi+1 − xi ) .

(2)

xi xi +1

Интеграл

∫ f ( x, y ) dx существует, так как существует по условию Iповт ., а это

xi

значит, что при любом закрепленном y из [c, d ] f ( x , y ) ∈ R([a, b]) ; тем более

f ( x , y ) ∈ R([ xi , xi +1 ]) . Просуммируем неравенства (2) по значку i от 0 до n −1

37

(во всех этих неравенствах считаем y одним и тем же, взятым из [ y k , y k +1 ] ). Будем иметь b

n −1

n −1

∑ mik ( xi+1 − xi ) ≤ ∫ f ( x, y ) dx ≤ ∑ Mik ( xi+1 − xi ) . i=0

(3)

i=0

a

Проинтегрируем неравенство (3) по y от y k до y k +1 . Получим n−1

yk +1

i =0

yk

∑ mik( xi+1 − xi )( yk +1 − yk ) ≤ ∫

b

n−1

a

i =0

dy ∫ f ( x, y ) dx ≤ ∑ Mik ( xi+1 − xi )( yk +1 − yk ) . (4)

Просуммируем неравенства (4) по значку k от 0 до m −1 . Будем иметь m−1n −1

d

b

k =0 i=0

c

a

y k +1 − y k ) ≤ ∫ dy ∫ f ( x , y ) dx ≤ ∑ ∑ mik (1xi444 +1 − xi )( 2444 3

= Fik 144444244444 3

m−1n −1

=s

≤ ∑ ∑ M ik ( xi +1 − xi )( yk +1 − yk ) ⇔ s ≤ Iповт . ≤ S . 144424443 k =0 i=0 = Fik 144444244444 3 Так

как

s ≤ Iдв. ≤ S ,

=S

−( S − s ) ≤ Iповт . − Iдв. ≤ ( S − s ) ,

то

т. е.

Iповт . − Iдв. ≤ S − s . По условию, Iдв. существует ⇒ lim ( S − s ) = 0 . Следовательно, Iповт . − Iдв. = 0 ⇒ Iдв. = Iповт ..

λ→0

Замечание. Совершенно аналогично устанавливается: Если у ограниченной функции f ( x , y ) , заданной в прямоугольнике ( P ) , существуют одновременно Iдв. =

∫∫

(P)

~ Iдв. = Iповт ..

ϕ( y ) ∈ C([c, d ]) .

d

a

c

f ( x , y ) определена и непрерывна в

Теорема 2. Пусть функция

a ≤ x ≤ b, (P ) =  c ≤ y ≤ d .

b

~ f ( x , y ) dxdy и Iповт . = ∫ dx ∫ f ( x , y ) dy , то

b

Пусть

ϕ( y ) = ∫ f ( x , y ) dx ,

y ∈[c, d ] . Тогда функция

a

Эта теорема была доказана ранее. См. главу 1, §3. О непрерывности интеграла как функции параметра. Замечание. Совершенно аналогично устанавливается справедливость утверждения: 38

d

Пусть f ( x , y ) ∈ C( P ) и пусть ψ( x ) =

∫ f ( x, y ) dy ,

x ∈[a, b]. Тогда функ-

c

ция ψ( x ) ∈ C([a, b]) .

Следствие. Если функция f ( x , y ) определена и непрерывна в ( P ) , то суd

b

b

d

c

a

a

c

~ ществуют Iповт . = ∫ dy ∫ f ( x , y ) dx и Iповт . = ∫ dx ∫ f ( x , y ) dy . b

Действительно,

в

этом

ϕ( y ) = ∫ f ( x , y ) dx ∈ C([c, d ]) ,

случае

а

a

d

ψ( x ) = ∫ f ( x , y ) dy ∈ C([a, b]) .

Следовательно,

ϕ( y ) ∈ R([c, d ]) ;

c

d

b

c

a

~ ψ( x ) ∈ R([a, b]) , т. е. ∫ ϕ ( y ) dy = Iповт . и ∫ ψ( x ) dx = Iповт . существуют. Ранее (см. §3, теорема 2) было доказано, что если f ( x , y ) ∈ C( P ) , то

f ( x , y ) ∈ R( P ) , т. е. существует Iдв. =

∫∫ f ( x, y ) dxdy .

(P)

Таким образом, приходим к выводу: если f ( x , y ) ∈ C( P ) , то существуют

~

одновременно Iдв. , Iповт ., Iповт .. А тогда по теореме 1 настоящего параграфа, получаем, что Iдв. = Iповт ., т. е. d

b

∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx .

~ и Iдв. = Iповт ., т. е.

(P )

c

a

b

d

∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy .

(P )

Пример 1. Вычислить I =

a

(5)

(6)

c

3 ≤ x ≤ 4, dxdy , где ( ) P =  ∫∫ ( x + y )2 1 ≤ y ≤ 2. (P ) 2

4

dxdy dx = ∫ dy ∫ По формуле (5) имеем ∫∫ . Находим сначала 2 2 (x + y) (x + y) (P ) 1 3 внутренний интеграл: 39

4

x =4

dx 1 1 1 ∫ ( x + y )2 = − x + y x = 3 = y + 3 − y + 4 . 3 А тогда 2

y =2

dxdy 5 4 25  1 − 1  dy = ln y + 3 = = ln − ln = ln . ∫∫ ( x + y )2 ∫  y + 3 y + 4 y + 4 y =1 6 5 24 (P ) 1 Пример 2. Вычислить I =

0 ≤ x ≤ 1, y dxdy , где ( ) P =  ∫∫ (1 + x 2 + y 2 )3 2 0 ≤ y ≤ 1. (P)

Здесь для вычисления I удобнее воспользоваться формулой (6), т. е. взять внешнее интегрирование по x , а внутреннее – по y . Будем иметь: 1

1

y dy . Находим внутренний интеграл: 2 2 32 + x + y ( 1 ) 0

I = ∫ dx ∫ 0

1

y dy 1 = − ∫ (1 + x 2 + y 2 )3 2 1 + x2 + y2 0 А тогда

y =1

1

=

2

x +1

y =0

−

1 2

x +2

.

x =1

1

 1 x + x2 +1 1  1+ 2 2+ 2 I =∫ − . = ln + ln 2 = ln  dx = ln 2 2 2 1 3 1 3 + +   x x 1 2 2 x + x + + + 0 x =0 Замечание. Если вычислять I по формуле (5), то квадратуры окажутся более сложными. В самом деле, будем иметь: I =

1

1

0

0

dx

∫ y dy ∫ (1 + x 2 + y 2 )3 2 . Нахо-

дим внутренний интеграл: x =1

1

dx

1

∫ (1 + x 2 + y 2 )3 2 = 1 + y 2 ⋅ 0

x 1 + x2 + y2

= x =0

1 1 ⋅ . 2 2 1+ y 2+ y

А тогда 1

2 + y2 −1

y =1

1 1 3 −1 1 2 −1 = = ln − ln = ln 2 2 2 2 2 2 + + 3 1 2 1 2 + y + 1 y =0 0 (1 + y ) 2 + y y dy

I=∫

1 = ln 2

40

( (

)( 3 + 1)( 3 −1

) = 1 ln ( 2 − 1) 2

2 +1

)(

3 −1

2

2

)

2 +1

2

= ln

2+ 2 . 1+ 3

§6. Вычисление двойного интеграла в случае криволинейной области Пусть ограниченная функция f ( x , y ) задана в области ( D ) , ограy ниченной линиями: y = c , y = d d ( c < d ) и x = α( y ) ; x = β( y ) , где α( y ) , β( y ) – функции, непрерывные на промежутке [c, d ] и такие, что α( y ) ≤ β ( y ) , y ∈[c, d ] . c Определение. Пусть при каждом x = α( y ) закрепленном y из [c, d ] существует β( y)

∫

β( y)

f ( x , y ) dx . Тогда

α( y )

∫

(D ) x =β( y ) x

Рис. 2.5. К определению повторного интеграла от функции f ( x , y )

f ( x , y ) dx

α( y )

в области ( D )

представляет собой функцию аргумента y , определенную на промеβ( y )

= ϕ( y) , ∫ f ( x, y ) dx обозн .

жутке [c, d ] , т. е.

y ∈[c, d ] . Если эта функция ϕ( y )

α( y )

оказывается d

интегрируемой

[c, d ] ,

промежутке

то

β( y )

d

∫ ϕ ( y ) dy = ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx c

на

называется повторным интегралом от функции

α( y )

c

f ( x , y ) в области ( D ) . Теорема 1. Если у ограниченной функции f ( x , y ) , заданной в области ( D ) , существуют

одновременно

оба

интеграла:

Iдв. =

∫∫ f ( x, y ) dxdy

и

(D )

d

β( y )

c

α( y )

Iповт. = ∫ dy

∫ f ( x, y ) dx , то они равны, т. е. Iдв. = Iповт. .

По условию α( y ) и β( y ) – функции, непрерывные на [c, d ] . Значит, они – ограниченные на [c, d ] . Следовательно, найдутся числа a и b такие, что будет: a < α( y ) ≤ β ( y ) < b , y ∈[c, d ] . Построим прямоугольник

a ≤ x ≤ b, (P ) =  Ясно, что ( D ) ⊂ ( P ) . Введем в рассмотрение вспомогатель≤ ≤ . c y d  ную функцию g( x , y ) , определив ее в прямоугольнике ( P ) следующим образом: 41

y d

x =α( y )

 f ( x , y ) в ( D ), g( x, y ) =  0 в ( P ) \ ( D ). Покажем, что у функции g( x , y ) в ( P ) сущест-

x =β( y )

(D )

вуют

y c

оба

интеграла

* Iдв. =

∫∫ g( x, y ) dF

и

(P)

x

a

b

* Iповт.

Рис. 2.6. К доказательству теоремы 1

d

b

c

a

= ∫ dy ∫ g ( x , y ) dx .

g( x , y ) ∈ R( D ) , ибо в (D ) g( x, y ) ≡ f ( x, y ) . Кроме того, g( x , y ) ∈ R(( P ) \ ( D )) , ибо g( x , y ) = 0 всюду в ( P ) \ ( D ) , за исключением, быть может, множества точек, лежащих на двух простых кривых: x = α( y ) и x = β( y ) , y = [c, d ] (мы знаем, что существование и величина двойного инте1) Действительно,

грала не зависят от значений, принимаемых подынтегральной функций вдоль конечного числа простых кривых). Значит, g( x , y ) ∈ R( P ) , т. е. * Iдв. =

∫∫ g( x, y ) dF существует. Имеем, далее,

(P)

* Iдв. =

∫∫ g( x, y ) dF = ∫∫ g( x, y ) dF + ∫∫ g( x, y ) dF =

(P )

(D )

( P )\( D )

1442443 =0

=

∫∫ f ( x, y ) dF + 0 = Iдв. .

(D )

Итак,

* Iдв.

существует, и * Iдв. = Iдв. .

(1)

* 2) Покажем теперь, что у функции g( x , y ) в ( P ) существует Iповт .. Для

этого возьмем любое y из [c, d ] и закрепим его. Имеем

[a, b] = [ a , α( y )] U [α( y ), β( y )] U [β( y ), b] . Функция g( x , y ) интегрируема по x на каждом из этих трех промежутков, ибо на [α( y ), β( y )] она совпадает с f ( x , y ) , а на остальных двух – g( x , y ) = 0 всюду за исключением, быть может, двух точек. Имеем, далее, b

α( y )

β( y )

b

β( y )

a

1a 4 4244 3

α( y )

β( y )

α( y )

∫ g( x, y ) dx = ∫ g( x, y ) dx + ∫ g( x, y ) dx + ∫ g( x, y ) dx = ∫ f ( x, y ) dx . =0

42

14 4244 3 =0

По условию, правая часть последнего равенства интегрируема на промежутке [c, d ] (по условию, Iповт . существует). Значит, интегрируема на промежутке

[c, d ] и левая часть этого равенства, т. е. существует Таким образом, показано, что

* Iповт . существует * Iповт . = Iповт ..

* Iповт .=

d

b

c

a

∫ dy ∫ g( x, y ) dx .

и что (2)

Так как у ограниченной функции g( x , y ) , заданной в прямоугольнике ( P ) , су* * и Iповт ществуют оба интеграла Iдв. ., то по теореме 1 предыдущего параграфа

заключаем, что * * Iдв. = Iповт ..

(3)

* * = Iдв. , Iповт У нас Iдв. . = Iповт .. Следовательно, Iдв. = Iповт. . β( y )

Теорема 2. Пусть функция f ( x , y ) ∈ C( D ) , и пусть ϕ ( y ) =

∫ f ( x, y ) dx ,

α( y )

y ∈[c, d ] . Тогда ϕ( y ) ∈ C([c, d ]) .

Эта теорема была доказана ранее (см. гл. 1, §6, теорема о непрерывности интеграла как функции параметра). Следствие. Если функция f ( x , y ) ∈ C( D ) , то существует d

d

β( y )

c

c

α( y )

Iповт. = ∫ ϕ ( y ) dy = ∫ dy

∫ f ( x, y ) dx .

Ранее (см. §3, теорема 2) было доказано, что если f ( x , y ) ∈ C( D ) , то

f ( x , y ) ∈ R( D ) , т. е. существует Iдв. =

∫∫ f ( x, y ) dxdy . Таким образом, прихо-

(D )

дим к заключению: если f ( x , y ) ∈ C( D ) , то существуют одновременно Iдв. и

Iповт. . А тогда по теореме 1 настоящего параграфа приходим к выводу, что Iдв. = Iповт. , т. е. d

β( y )

∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx .

(D )

c

(4)

α( y )

Замечание 1. Если область ( D ) представляет собой криволинейную трапе-

~

~ ( x ) , y = β ( x ) , x ∈[a, b] и пряцию другого типа и ограничена кривыми y = α ~ ~( x ) и β ( x ) предполагаются непрерывмыми x = a , x = b , a < b (функции α 43

~ ~( x ) ≤ β ными на промежутке [a, b] и такими, что α ( x ) , x ∈[a, b]), то вместо формулы (4) придем к формуле ~ β( x )

b

∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ dx ~ ∫ f ( x, y ) dy .

(D )

(5)

α( x )

a

Разумеется, что при этом предполагается, что f ( x , y ) ∈ C( D ) , а, следователь-

~

b

~ β( x )

a

α( x )

∫∫ f ( x, y ) dxdy и Iповт . = ∫ dx ~ ∫ f ( x, y ) dy существуют.

но, Iдв. =

(D )

y

~ y = β( x )

d

y

~ y = β( x )

(D )

(D )

~( x ) y =α

x

a

c a

b

(D1)

γ

b

Замечание 2. Если контур области ( D ) пересекается лишь в двух точках как параллелями оси абсцисс, так и параллелями оси ординат (как, например, в случае, изображенном на рис. 2.8), то справедливы обе формулы (4) и (5). При этом, конечно, предполагается, что f ( x , y ) ∈ C( D ) . Функ-

(D3)

(D2)

x

Рис. 2.8. К замечанию 2

Рис. 2.7. К замечанию 1

y

~( x ) y =α

x

~ ~ ( x ), β α ( x ) ∈ C([a, b]) . α( y ), β ( y ) ∈ C([c, d ]) .

ции

Функции

Замечание 3. В случае более сложного контура область ( D ) обычно разлагается на конечное число частей рассмотренного типа (например, на рис. 2.9 область ( D ) рассекается прямой x = γ на три такие части: ( D1 ), ( D2 ), ( D3 ) ). Тогда и искомый двойной интеграл представляется суммой двойных интегралов, распространенных в отдельности на эти части: f ( x , y ) dF = f ( x , y ) dF + f ( x , y ) dF + f ( x , y ) dF . Рис. 2.9. К замечанию 3

∫∫

(D )

44

∫∫

( D1 )

∫∫

( D2 )

∫∫

( D3 )

§7. Примеры к главе 2 1. Вычислить I =

∫∫ ( x

2

+ y ) dxdy , где ( D ) – область, ограниченная двумя

(D ) 2

параболами: y = x 2 и y = x . Полезно сделать чертеж (хотя бы грубо), чтобы получить общее представление об области. Решая совместно уравнения парабол, находим точки их пересе1 чения: ( 0, 0) и (1, 1) . x = y2 Если внешнее интегрирование производить по y , то промежутком изменения y будет [0, 1]. Взяв про- y (D) извольное значение y из промежутка [0, 1], видим по

y

2

рисунку, что x изменяется от x = y до x = x= y

1

∫

дем иметь, следовательно, I = dy 0

y . Бу-

∫ (x

x= y

2

x

y = x2

O

1

Рис. 2.10. К примеру 1

+ y ) dx .

2

Вычисляем внутренний интеграл: x= y

x= y

 x3  1 32 4 32 1 6 32 1 6 3 3 ∫ (2x + y ) dx =  3 + yx 2 = 3 y + y − 3 y − y = 3 y − 3 y − y . x= y 2

x= y

Вычисляем теперь внешний интеграл: 1

4

∫  3 y 0

2. Вычислить I =

32

1 33 − y 6 − y 3  dy = .  3 140

x2 ∫∫ y 2 dxdy , где ( D ) – об(D )

y 2

ласть, ограниченная прямыми x = 2 , y = x и гиперболой xy = 1 . Наносим все эти три линии на рисунок 1 (рис. 2.11). Совместным решением уравнений легко получить, что прямая x = 2 пересекает 12 прямую y = x в точке ( 2, 2) , а гиперболу xy = 1

1 – в точке  2,  ; прямая же y = x и гипербола 

2

O

xy = 1 (в пределах первого квадранта, где и лежит рассматриваемая область) пересекаются в точке (1, 1) .

y=x

x=2

(D ) xy = 1 1

x 2

Рис. 2.11. К примеру 2

45

Если внешнее интегрирование производить по x , то промежуток изменения x будет [1, 2]. Взяв произвольное значение x из этого промежутка, видим по рисунку, что y изменяется от y = y=x

y=x

2

x2 I = ∫ dx ∫ dy . 2 y y =1 x 1

Но

1 до y = x . Будем иметь, следовательно, x

x2 x2 dy = − ∫ y2 y y =1 x

y=x

1 y= x

= x3 − x ,

так

что

2

9 I = ∫ ( x 3 − x ) dx = . 4 1

В то время как в примере 1 вычисление двойного интеграла по обеим формулам (4) или (5) представлялось одинаково простым, в примере 2 дело обстоит иначе: вычисление по формуле (4) здесь было бы сложнее. Тем не менее мы выполним его, ибо поучительно дать себе отчет в причине указанного обстоятельства. Прямая, параллельная оси Ox , пересекает контур области ( D ) в двух точках, так что формула (4) применима. Но кривая, ограничивающая нашу область слева, состоит из двух частей: куска гиперболы и куска прямой, которые определяются различными уравнениями. Иными словами, функция x = α( y ) зада-

1 ется различными формулами в различных частях промежутка  , 2 изменения  2



y . Именно,  1 , если y ∈  1 , 1,   2  α( y ) =  y  y , если y ∈[1, 2]. 1 Поэтому интегрирование по y следует разбить на два промежутка:  , 1 и  2 

[1, 2]. Следовательно, будем иметь: 1

x =2

2

x =2

x2 x2 I = ∫ dy ∫ dx + dy ∫ ∫ y 2 dx . 2 y x =1 y x= y 12 1 Так как x =2

x2 x3 ∫ y 2 dx = 3 y 2 x =1 y то

46

x =2 x=

1 y

8 1 = 2 − 5, 3y 3y

x =2

x2 x3 ∫ y 2 dx = 3 y 2 x= y

x =2

= x= y

y 8 − , 3y2 3

1

2  8  8 y 1  17 5 9 I = ∫  2 − 5  dy + ∫  2 −  dy = + = . 3 12 6 4 3y   3y  3y 12 1

С подобными обстоятельствами приходится считаться: из двух возможных путей вычисления двойного интеграла, естественно, выбирают более простой. 3. Вычислить I =

∫∫

4 x 2 − y 2 dxdy , где ( D ) –

y

(D )

область, ограниченная прямыми y = 0 , x = 1, y = x . 1 Если внешнее интегрирование производить по x , то промежуток изменения x будет [0, 1]. Взяв произвольное значение x из промежутка [0, 1], видим по рисунку, что y изменяется от y = 0 до y = x . Будем y=x

1

∫

иметь, следовательно, I = dx

∫

4 x 2 − y 2 dy . Вы-

x =1 (D)

O

x 1

y=0

Рис. 2.12. К примеру 3

y =0

0

y=x

числяем внутренний интеграл: y=x

∫

y =0

y=x

y y  3 π 2 4 x − y dy =  4 x 2 − y 2 + 2 x 2 arcsin  = + x . 2 x  y = 0  2 3  2 2

2

Вычисляем теперь внешний интеграл: 1

 3 π 2 1  3 π + . I = ∫ +  x dx =  3  2 3   2 3 0

В примере 3 вычисление I можно было вести и по формуле (4), т. е. производить внешнее интегрирование по y . Но в этом случае мы натолкнемся н а б о л е е т р у д н ы е к в а д р а т у р ы . Чтобы убедиться в этом, станем вычислять I 1

∫

по формуле (4). Имеем: I = dy 0

x =1

∫

4 x 2 − y 2 dx . Вычисляем внутренний инте-

x= y

грал: x =1

∫

x= y

(

)

x =1

 y2 1 2 2 2 2 4 x − y dx =  x 4 x − y − ln 2 x + 4 x 2 − y 2  = 2 2  x= y

(

)

 y2 y2 1 2 2 2 =  4− y − ln 2 + 4 − y − y 3 + ln 2 y + 3 y  . 2 2 2 

(

)

А тогда

47

(

)

1  ln 2 + 3 2 y 2 y 1  2 2 I = ∫  4 − y − 3y + y + ln  dy . 2  2 2 2 + 4 − y2  0  1

∫

 3

π

+  x 2 dx , Сопоставляя это выражения для I с ранее полученным: I =   2 3 0

видим, что вычисление I по формуле (5) предпочтительнее. Подобное обстоятельство следует учитывать при выборе формулы для вычисления двойного интеграла. Для приобретения навыков в расстановке пределов интегрирования в случае криволинейной области полезны следующие упражнения. Задача 1. Переменить порядок интегy рирования в повторном интеграле 8 y = 2− x

2

I= x = 2 y +1 x = −2 y + 1 −6

2

(D ) −2

−1

2

x

Рис. 2.13. К задаче 1

∫ dx ∫ f ( x, y ) dy .

−6

y=

x2 −1 4

Область интегрирования ( D ) определяется совместными неравенствами:

x2 −6 ≤ x ≤ 2 , − 1 ≤ y ≤ 2 − x . Изобразим 4 эту область ( D ) на рисунке. Из рис. 2.13

видим, что если брать внешнее интегрирование по y , то область ( D ) следует разбить на две области ( D1 ) и ( D2 ) лини-

y = 0 . Тогда: ( D1 ) будет определяться неравенствами: −1 ≤ y ≤ 0 , −2 y + 1 ≤ x ≤ 2 y + 1 , а ( D2 ) – неравенствами 0 ≤ y ≤ 8,

ей

−2 y + 1 ≤ x ≤ 2 − y . Будем иметь, следовательно, 0

x = 2 y +1

8

x = 2− y

−1

x =−2 y +1

0

x =−2 y +1

I = ∫ dy

∫ f ( x, y ) dx + ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx .

Задача 2. Переменить порядок интегрирования в повторном интеграле 1

y =1− x 2

−1

y =− 1− x 2

I = ∫ dx

∫ f ( x, y ) dy .

Область интегрирования ( D ) определяется совместными неравенствами

−1 ≤ x ≤ 1, − 1 − x 2 ≤ y ≤ 1 − x 2 .

48

y 1

x = − 1− y −1

x = 1− y 1

(D )

x

x = 1− y 2

x = − 1− y 2

−1 Рис. 2.14. К задаче 2

Изобразим область ( D ) на рисунке. Из рис. 2.14 видим, что если внешнее интегрирование производить по y , то область ( D ) следует разбить линией y = 0 на две области ( D1 ) и ( D2 ) . Область ( D1 ) определяется неравенствами:

−1 ≤ y ≤ 0 , − 1 − y 2 ≤ x ≤ 1 − y 2 , а область ( D2 ) – неравенствами 0 ≤ y ≤ 1 , − 1 − y ≤ x ≤ 1 − y . Следовательно, будем иметь 0

x = 1− y 2

1

x = 1− y

−1

x =− 1− y 2

0

x =− 1− y

I = ∫ dy

∫ f ( x, y ) dx + ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx .

Задача 3. Переменить порядок интегрирования в повторном интеграле

I=

2a

y = 2 ax

0

y = 2ax − x 2

∫ dx

∫ f ( x, y ) dy ( a > 0 ).

Область интегрирования ( D ) определяется совместными неравенствами:

2ax − x 2 ≤ y ≤ 2ax . Изобразим область ( D ) на рисунке. Из рис. 2.15 видим, что если внешнее интегрирование производить по y , то область ( D ) следует разбить линией: y = a на три области: ( D1 ) , ( D2 ) , ( D3 ) . Область ( D1 ) определяется неравенствами:

0 ≤ x ≤ 2a ;

0 ≤ y ≤ a,

y2 ≤ x ≤ a − a2 − y2 ; 2a

область ( D2 ) – неравенствами:

0 ≤ y ≤ a , a + a 2 − y 2 ≤ x ≤ 2a ; область ( D3 ) – неравенствами

a ≤ y ≤ 2a ,

y2 ≤ x ≤ 2a . 2a 49

y 2a

y2 x= 2a

x = 2a

a

x = a + a 2− y 2

x = a − a 2− y 2

x a

2a

Рис. 2.15. К задаче 3

Следовательно, будем иметь: a

I = ∫ dy 0

x =a − a2 − y 2

a

x = 2a

2a

0

x =a + a2 − y 2

a

∫ f ( x, y ) dx + ∫ dy

x=

y2 2a

Задача 4. Вычислить I =

x = 2a

∫ f ( x, y ) dx + ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx . x=

y2 2a

0 ≤ x ≤ π, cos( x + y ) dxdy , где ( D ) =  ∫∫ 0 ≤ y ≤ π. (D )

y

y = 3π − x 2

π

(D4)

π 2 (D2) y= π −x 2 (D1)

(D3) x π 2

π

3π 2

2π

Рис. 2.16. К задаче 4

Отметим прежде всего, что cos( x + y ) ≥ 0 в областях:

3π π π π − x ≤ y ≤ π  . ( D1 ) = 0 ≤ x ≤ ; 0 ≤ y ≤ − x  и ( D4 ) =  ≤ x ≤ π; 2 2 2 2    cos( x + y ) ≤ 0 в областях: 50

3π π π π − x  . ( D2 ) = 0 ≤ x ≤ ; − x ≤ y ≤ π  и ( D3 ) =  ≤ x ≤ π; 0 ≤ y ≤ 2 2 2 2    Имеем поэтому

I=

∫∫ cos( x + y ) dxdy = ∫∫ cos( x + y ) dxdy − ∫∫ cos( x + y ) dxdy −

(D )

( D1 )

−

( D2 )

∫∫ cos( x + y ) dxdy + ∫∫ cos( x + y ) dxdy =

( D3 ) π2 y = π 2− x

=

∫

dx

π

∫

dx

π2 π2

=

∫ sin ( x +

∫ cos( x + y ) dy − ∫

y =0 y = 3π 2 − x

0

−

( D4 ) π2

∫ sin ( x +

π2

y =0

π2

∫ sin ( x +

−

y=π y ) 3π dx y= −x 2

+ ∫ (1 + sin x ) dx + π2

2

x − y +2=0 ⇔

y = 3π 2 − x

y =π y ) π dx y= −x 2

π

−

∫ sin ( x +

π2

π2 π2

0

0

π2

π

π2

0

π2

∫ (1 − sin x ) dx = 2 ∫ dx + 2 ∫ dx = π + π = 2π . ∫∫ sgn( x

(D) 2

y

−

2

x2

( 2) ( 2) 2

{

{

{

}

− y 2 + 2) dxdy , где ( D ) = x 2 + y 2 ≤ 4 .

2

= 1 . Вет-

ви этой гиперболы являются линиями разрыва подынтегральной функции. Так как подынтегральная функция – ограниченная в ( D ) и непрерывная там всюду, за исключением точек, лежа- −2 щих на двух простых кривых, то двойной интеграл I существует. Пусть

( D1 ) = −1 ≤ x ≤ 1;

3π −x y ) y = 02 dx + y=

∫ (1 − sin x ) dx + ∫ (1 + sin x ) dx +

=

π

Задача 5. Вычислить I = 2

∫ cos( x + y ) dy =

dx

π2

0

π

y = π 2− x y=π

π

0

+

∫ cos( x + y ) dy −

dx

0

∫ cos( x + y ) dy + ∫

π y= −x y ) y = 02 dx

π

y =π

}

x2 + 2 ≤ y ≤ 4 − x2 ,

y

2 x −1

1

2

− 2 Рис. 2.17. К задаче 5

}

( D3 ) = −1 ≤ x ≤ 1; − 4 − x 2 ≤ y ≤ − x 2 + 2 , 51

{

}

( D2 ) = −2 ≤ x ≤ −1; − 4 − x 2 ≤ y ≤ 4 − x 2 U

{

} 4 − x }.

U −1 ≤ x ≤ 1; − x 2 + 2 ≤ y ≤ x 2 + 2 U

{

U 1 ≤ x ≤ 2; − 4 − x 2 ≤ y ≤

2

Имеем в ( D1 ) U ( D3 ) : x 2 − y 2 + 2 < 0 , а в ( D2 ) : x 2 − y 2 + 2 > 0 . Мы знаем, что существование и величина двойного интеграла не зависят от значений, принимаемых подынтегральной функцией вдоль конечного числа простых кривых. Поэтому

I=

∫∫ dxdy − ∫∫ dxdy − ∫∫ dxdy = FD

( D2 )

( D1 )

( D3 )

2

− FD1 − FD3 ,

где FD , FD , FD – площади областей ( D1 ) , ( D2 ) , ( D3 ) . Так как F( D ) = 4π , 1

2

3

F( D3 ) = F( D1 ) , то F( D2 ) = 4π − 2 F( D1 ) и, следовательно, I = 4π − 4 F( D1 ) . Так как область ( D1 ) симметрична относительно оси Oy , то 1

F( D1 ) = 2∫ dx 0

y = 4− x 2

∫ dy = 2∫ ( 2

y = x +2

1

)

4 − x 2 − x 2 + 2 dx =

0

(

)

x =1

2 4 x x x 2 = = 2 4 − x 2 + arcsin − x + 2 − ln x + x 2 + 2   x = 0  2 2 2 2 2  2π  3 π 2 3 + 2 ln = 2 + − − ln 1 + 3 + ln 2  = . 1+ 3  3  2 3 2

(

)

А тогда

I = 4π −

(

)

8π 2 4π − 8 ln = + 4 ln 2 + 3 . 3 1+ 3 3

Задача 6. Вычислить I =

∫∫

(D )

{

По определению функции E , имеем: если 0 ≤ y − x 2 < 1 , т. е. если x 2 ≤ y < 1 + x 2 , то E( y − x 2 ) = 0 ; если 1 ≤ y − x 2 < 2 , т. е. если 1 + x 2 ≤ y < 2 + x 2 , то E( y − x 2 ) = 1 ; если 2 ≤ y − x 2 < 3 , т. е. если 2 + x 2 ≤ y < 3 + x 2 , то E( y − x 2 ) = 2 ; если 3 ≤ y − x 2 < 4 , т. е. если 3 + x 2 ≤ y < 4 + x 2 , то E( y − x 2 ) = 3 .

52

}

E( y − x 2 ) dxdy , где ( D ) = x 2 ≤ y ≤ 4 .

Следовательно, E( y − x 2 ) = 0 в ( D1 ) ; 2

y

2

E( y − x ) = 1 в ( D2 ) ; E( y − x ) = 2 в

4 (D4) 3 (D3) 2 (D2) 1 (D1)

2

( D3 ) ; E( y − x ) = 3 в ( D4 ) . Видим, что

x = y −3

подынтегральная функция терпит разрыв x = y −2 на конечном числе простых кривых, лежащих в области ( D ) . В остальных точx = y −1 ках области ( D ) она непрерывная. Так x= y как подынтегральная функция еще и ограниченная в ( D ) , то двойной интеграл x −2 −1 I существует. Принимая во внимание, 1 2 32 что существование и величина двойного Рис. 2.18. К задаче 6 интеграла не зависят от значений, принимаемых подынтегральной функцией вдоль конечного числа простых кривых, можем написать, что:

I=

∫∫ 0 ⋅ dxdy + ∫∫ 1⋅ dxdy + ∫∫

( D1 )

( D2 )

2 dxdy +

( D3 )

∫∫

3 dxdy ⇒

( D4 )

⇒ I = FD + 2 ⋅ FD + 3 ⋅ FD , где FD , FD , FD – площади областей ( D2 ) , 2

3

4

2

3

4

( D3 ) , ( D4 ) соответственно. Так как области ( D2 ) , ( D3 ) , ( D4 ) симметричны относительно оси Oy , то: 4

FD4 = 2∫ dy 4

FD3 = 2∫ dy 2

x = y −3

4

∫ dx = 2∫

3 x =0 x = y −2

∫ dx − FD

4

x =0

3 4

= 2∫

2

2 y − 3 dy = 2 ⋅ ( y − 3)3 2 3

y =4 y =3

4 = ; 3

4 2 y − 2 dy − = 2 ⋅ ( y − 2)3 2 3 3

(

y =4 y =2

−

4 = 3

)

4 4 4 = ⋅ 2 2 − = 2 2 −1 ; 3 3 3

4

x = y −1

1

x =0

FD2 = 2∫ dy

4

∫ dx − ( FD3 + FD4 ) = 2∫ y − 1 dy −

2 = 2 ⋅ ( y − 1)3 2 3

y =4 y =1

1

−

8 2 = 3

8 2 8 2 =4 3− . 3 3

А тогда

 4 4 4 8 2 + 2 ⋅ 2 2 −1 + 3 ⋅ = 4 3 − 3 2 + 4 . I = 4 3 −  3 3 3 3  

(

)

(

)

53

Глава 3. Криволинейные интегралы §1. Криволинейные интегралы первого рода 1°. Прежде чем дать определение криволинейного интеграла первого рода, рассмотрим следующую задачу. Имеется спрямляемая пространственная кривая ( l ) длины s . Пусть на ( l ) непрерывным образом распределена масса с плотностью ρ( x , y , z ) . (Средней плотностью дуги мы называем отношение ее массы к ее длине. Плотность ρ( x , y , z ) кривой ( l ) в точке ( x , y , z ) есть предел средней плотности бесконечно малой дуги, стягивающейся в упомянутую точку). Требуется найти массу m кривой ( l ) . Разбиваем кривую ( l ) точками z B= An A0 = A , A1 , A2 , K , An−1 , An = B An−1 произвольным образом на n частичных дуг Ak Ak +1 ( k = 0, 1, 2, K , n − 1) с длиAk +1 нами s0 , s1, s2 , K , sn −1 . Полагаем A= A0 Ak λ = max {sk } . Предполагаем частичy A1 A2 k = 0, n −1 ные дуги Ak Ak +1 столь малыми, что на Ak Ak +1 плотность распределения x массы ρ вдоль этой дуги можно приРис. 3.1. К задаче по определению массы ближенно считать постоянной, равной кривой ρ( xk , y k , z k ) , где точка ( x k , yk , z k ) – любая, принадлежащая Ak Ak +1 . Тогда масса ∆ mk частичной дуги Ak Ak +1 привой ( l ) будет приближенно выражаться формулой ∆ mk = ρ( x k , y k , z k ) ⋅ sk . Масса m всей кривой ( l ) будет выражаться приближенно суммой

(

(

m ≈ ρ ( x0 , y0 , z0 ) ⋅ s0 + ρ ( x1, y1, z1 ) ⋅ s1 + K + ρ ( x n −1, y n −1, z n −1 ) ⋅ sn −1 = n −1

= ∑ ρ( xk , y k , z k ) ⋅ sk . k =0

Интуитивно ясно, что чем мельче частичные дуги Ak Ak +1 , тем меньше ошибка, которую мы делаем, считая частичную дугу Ak Ak +1 однородной. Поэтому за массу m кривой ( l ) естественно принять: n −1

m = lim ∑ ρ ( xk , y k , z k ) ⋅ sk . λ→0

54

k =0

2°. Дадим теперь определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть в пространстве расположена спрямляемая кривая ( l ) , имеющая концы в точках A и B , и пусть во всех точках кривой ( l ) определена функция f ( x , y , z ) . Проделаем следующие операции. 1. Разобьем кривую ( l ) точками A0 = A , A1 , A2 , K , An−1 , An = B , следующими друг за другом вдоль кривой ( l ) в направлении от A к B , на частичные дуги Ak Ak +1 . Пусть sk – длина Ak Ak +1 ( k = 0, 1, K , n − 1). Положим

(

λ = max {sk } ( λ – ранг дробления). k = 0, n −1

(

(

2. На каждой дуге Ak Ak +1 берем произвольную точку ( x k , y k , z k ) и вычисляем в ней значение функции f , т. е. находим f ( x k , y k , z k ) . 3. Умножаем найденное значение функции на длину соответствующей частичной дуги: f ( x k , y k , z k ) ⋅ sk , k = 0, 1, K , n − 1. 4. Складываем все такие произведения. Получаем сумму

σ=

n −1

∑ f ( xk , yk , zk ) ⋅ sk .

k =0

Отметим, что значение суммы σ зависит, вообще говоря, как от способа разAk Ak +1 , k = 0, n − 1 , так и от выбора точки биения кривой ( l ) на части ( x k , yk , z k ) на Ak Ak +1 . 5. Измельчаем дробление так, чтобы λ → 0 , и ищем lim σ . Если существу-

(

(

λ →0

ет конечный предел I = lim σ и этот предел не зависит ни от способа разбиеλ→0

(

ния кривой ( l ) на части Ak Ak +1 , k = 0, n − 1 , ни от способа выбора точек ( x k , yk , z k ) на Ak Ak +1 , то его называют криволинейным интегралом первого рода от функции f ( x , y , z ) по кривой ( l ) и обозначают символом

(

∫ f ( x, y, z ) ds .

(1)

( AB Если, в частности, кривая ( l ) лежит в плоскости Oxy , то функция f от координаты z не зависит, и вместо (1) появляется интеграл (2) ∫ f ( x, y ) ds . ( AB

Замечание 1. Из самого определения криволинейного интеграла первого рода вытекает следующее свойство:

∫ f ( x, y, z ) ds = ∫ f ( x, y, z ) ds ,

( AB

( BA

55

т. е. направление, которое может быть придано пути интегрирования, никакой роли не играет. В самом деле, ведь длина sk дуги Ak Ak +1 не зависит от того, какая из точек Ak и Ak +1 принята за начало и какая – за конец дуги. Замечание 2. Принимая во внимание определение криволинейного интеграла первого рода, можно заключить, что в задаче пункта 1° масса m кривой ( l )

(

определяется по формуле: m =

∫ ρ ( x, y, z ) ds .

( AB

3°. Теорема (о существовании и вычислении криволинейного интеграла первого рода по плоской кривой). 1. Пусть кривая

( AB задана уравнениями:  xy == ϕψ((tt),), t ∈[ p, q], где ϕ и ψ 

– функции, заданные на промежутке [ p, q] и имеющие там непрерывные производные ϕ ′( t ) , ψ ′( t ) . Пусть (ϕ ( p ), ψ ( p )) = A , (ϕ ( q ), ψ ( q )) = B . Пусть точки

(ϕ ( t ), ψ ( t ))

(

следуют друг за другом на AB именно в том порядке, в каком соответствующие значения t следуют друг за другом на [ p, q] . (Считаем AB незамкнутой и не имеющей кратных точек.) 2. Пусть функция f ( x , y ) задана на AB и непрерывна там. Тогда I =

(

(

∫ f ( x, y ) ds существует и выражается обыкновенным определен-

( AB

ным интегралом по формуле: q

2 2 ∫ f ( x, y ) ds = ∫ f (ϕ ( t ), ψ( t )) ⋅ (ϕ′( t )) + (ψ ′( t )) dt

( AB

( p < q) .

(3)

p

(подчеркнем, что нижний предел определенного интеграла (3) должен быть меньше верхнего). Заметим сначала, что интеграл, стоящий в правой части (3), существует, ибо подынтегральная функция в нем непрерывна на промежутке [ p, q] . Напомним, что в условиях теоремы кривая AB спрямляема и ее длина s q

равна: s =

(

2 2 ϕ ( t ) + ψ ( t ) dt ′ ′ ( ) ( ) ∫

( p < q ). Составим сумму Римана σ для кри-

p

волинейного интеграла

∫ f ( x, y ) ds . Для этого надо разбить ( AB точками Ak

( AB на дуги Ak Ak +1 ( k = 0, n − 1 ). Такое разбиение можно осуществить, если раз[ p, q ] произвольным образом точками бить промежуток t0 = p < t1 < t2 < K < t n = q и положить Ak = (ϕ ( t k ), ψ ( t k )) , k = 0, n . Тогда 56

sk =

t k +1

2 2 ϕ ( t ) + ψ ( t ) dt , ′ ′ ( ) ( ) ∫

tk

k = 0, n − 1 .

(4)

(

Затем на каждой частичной дуге Ak Ak +1 нужно взять произвольную точку M k ( x k , y k ) . Это можно сделать так: на каждом частичном промежутке [t k , tk +1 ] взять произвольную точку θ k и положить xk = ϕ (θ k ) , y k = ψ ( θ k ) . Будем иметь тогда:

σ=

n −1

n −1

tk +1

k =0

k =0

tk

∑ f ( xk , yk ) sk = ∑ f (ϕ (θ k ), ψ(θ k )) ⋅ ∫ (ϕ′( t ))2 + (ψ ′( t ))2 dt .

По теореме о среднем для определенного интеграла (4)

sk =

t k +1

2 2 2 2 ϕ ( t ) + ψ ( t ) dt = ϕ ( τ ) + ψ ( τ ) ⋅ ( tk +1 − tk ) , ′ ′ ′ ′ ( ) ( ) ( ) ( ) k k ∫

tk

где τ k ∈[t k , t k +1 ] . Поэтому

σ=

n −1

2 2 ∑ f (ϕ (θk ), ψ (θ k )) ⋅ (ϕ′( τ k )) + ( ψ ′( τ k )) ⋅ ∆ tk .

k =0

Полученное выражение для σ сходно с суммой Римана для определенного интеграла, стоящего в правой части (3), но таковой не является, так как θ k и τ k , вообще говоря, различны. Составим сумму

σ* =

n −1

2 2 ∑ f (ϕ ( τ k ), ψ( τ k )) ⋅ (ϕ′( τ k )) + (ψ ′( τ k )) ⋅ ∆ tk .

k =0

Это уже настоящая сумма Римана для определенного интеграла, стоящего в правой части (3), т. е. для интеграла q

I* = ∫ f (ϕ ( t ), ψ ( t )) ⋅

(ϕ ′( t ))2 + ( ψ ′( t ))2 dt .

p

Было отмечено, что I* существует. Следовательно, σ* → I* при λ * → 0

( λ * = max {∆ t k } ). Заметим, что ( λ → 0 ) ⇔ ( λ * → 0 ) . Рассмотрим очевидk = 0, n −1

ное равенство

σ = σ* + ( σ − σ* ) .

(5) Из (5) видно, что теорема будет доказана, если показать, что lim ( σ − σ* ) = 0 . λ* →0

57

Имеем

σ − σ* =

n −1

∑ [ f (ϕ (θ k ), ψ(θk )) − f (ϕ ( τ k ), ψ( τ k ))] ⋅ sk .

k =0

Возьмем ε > 0 – любое, сколь угодно малое. Функция f (ϕ ( t ), ψ ( t )) ∈ C([ p, q]) , как суперпозиция непрерывных функций. Значит, она и равномерно непрерывна на промежутке [ p, q] ⇒ взятому ε > 0 отвечает δ > 0 такое, что для любых двух точек t ′ и t ′′ из [ p, q] , для которых t ′′ − t ′ < δ , будет

f (ϕ ( t ′′ ), ψ ( t ′′ )) − f (ϕ ( t ′ ), ψ ( t ′ )) < ε . Возьмем любое разбиение промежутка [ p, q] на части [t k , t k +1 ] , у которого ранг дробления λ * < δ . Так как θ k и τ k ∈[t k , t k +1 ] , то θ k − τ k ≤ t k +1 − t k ≤ λ * < δ . Следовательно, для любого k = 0, n − 1 будем иметь:

f (ϕ ( θ k ), ψ (θ k )) − f (ϕ ( τ k ), ψ ( τ k )) < ε . Поэтому, считая дробление промежутка [ p, q] таким, что λ * < δ , получим n −1

σ − σ* < ∑ ε ⋅ sk = ε ⋅ s (здесь s – длина k =0

( AB ). Так как для достижения нера-

венства σ − σ* < ε ⋅ s потребовалось лишь, чтобы было λ * < δ , то заключаем,

что lim ( σ − σ* ) = 0 , а значит, и lim ( σ − σ* ) = 0 . λ→0

λ* →0

Частные случаи. I. Пусть кривая AB дана явным уравнением: y = ϕ ( x ) , x ∈[a, b], a < b . Тогда: 1) если функция ϕ ( x ) имеет на промежутке [a, b] непрерывную производную ϕ ′( x ) и

(

2) если функция f ( x , y ) непрерывна на

∫

(

b

(AB, то ∫ f ( x, y ) ds существует, и ( AB

f ( x , y ) ds = ∫ f ( x , ϕ ( x )) 1 + (ϕ ′( x )) dx .

( AB

2

a

AB задана уравнением в полярных координатах: r = r ( ϕ ) , II. Пусть ϕ ∈[α, β] , α < β . Тогда: 1) если функция r( ϕ ) имеет на промежутке [α, β] непрерывную производную r ′( ϕ ) и 2) если функция f ( x , y ) непрерывна на

(AB, то ∫ f ( x, y ) ds существует, и ( AB

58

β

∫ f ( x, y ) ds = ∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ)

r 2 + ( rϕ′ )2 dϕ .

α

( AB

Замечание. Совершенно аналогично доказывается теорема о существовании и вычислении криволинейного интеграла первого рода по пространственной кривой. Теорема. 1. Пусть пространственная кривая AB задана уравнениями:

(

 x = ϕ ( t ),   y = ψ ( t ), t ∈[ p, q] и p < q  z = ω ( t ), 

(

(считаем AB незамкнутой и не имеющей кратных точек). 2. Пусть функции ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t ) имеют на промежутке [ p, q] непрерывные производные ϕ ′( t ), ψ ′( t ), ω ′( t ) .

(ϕ ( p ), ψ ( p ), ω ( p )) = A , (ϕ ( q ), ψ ( q ), ω ( q )) = B и точки (ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t )) следуют друг за другом на ( AB именно в том порядке, в ка3. Пусть

ком соответствующие значения t следуют друг за другом на [ p, q] . Тогда, если функция f ( x , y , z ) непрерывна на

( AB , то

I=

∫ f ( x, y, z ) ds

( AB

существует и выражается через обыкновенный определенный интеграл по формуле: q

2 2 2 ∫ f ( x, y, z ) ds = ∫ f (ϕ ( t ), ψ( t ), ω ( t )) ⋅ (ϕ′(t )) + (ψ ′( t )) + (ω ′(t )) dt

( AB

( p < q) .

p

Примеры. 1. Вычислить I =

∫ (x

43

+y

43

y

) ds , где ( l ) – дуга

a

(l )

астроиды x 2 3 + y 2 3 = a 2 3 . Вычисление I удобнее производить, взяв уравнение астроиды ( l ) в параметрической форме:

 x = a cos3 t , (l ) =  t ∈[0, 2π ] . 3  y = a sin t , Имеем xt′ = −3a cos2 t sin t ; yt′ = 3a sin 2 t cos t ;

x −a

a −a

Рис. 3.2. К примеру 1

ds = ( xt′ )2 + ( yt′ )2 = 9a 2 sin 2 t cos2 t ⋅ dt = 3a sin t cos t dt . Поэтому 59

2π

I=

∫a

43

(cos4 t + sin 4 t ) ⋅ 3a sin t cos t dt =

0

π π 2 5 5 = 3a (cos sin t + sin cos t ) dt − ∫ (cos5 sin t + sin 5 cos t ) dt + ∫ 0 π2  3π 2 2π  5 5 5 5 + ∫ (cos sin t + sin cos t ) dt − ∫ (cos sin t + sin cos t ) dt  ⇒  3π 2 π  π2 1  6 6 π ⇒ I = a 7 3 ( − cos6 t + sin 6 t ) + (cos t − sin t) +  2 π2 0 73 6 6 3π 2 6 6 2π  a 2 + 2 + 2 + 2] = 4a 7 3 . +( − cos t + sin t ) + (cos t − sin t ) = [  2 π 3π 2  y ϕ= π ϕ = 3π 4 2. Вычислить I = ∫ y ds , где ( l ) – дуга 4 7 3

−a ϕ=−

a 3π 4

x

ϕ=−π 4

(l ) 2 2

лемнискаты ( x 2 + y ) = a 2 ( x 2 − y 2 ) . Перейдем к полярным координатам:

 x = r cos ϕ, Тогда уравнение лемнискаты по sin . y r = ϕ  r = a cos 2ϕ . Имеем лучим в виде:

Рис. 3.3. К примеру 2

a2 r + ( rϕ′ ) = ; cos 2ϕ

sin 2ϕ rϕ′ = − a ; cos 2ϕ

2

2

a dϕ ; cos 2ϕ

ds = r 2 + ( rϕ′ )2 dϕ =

y = a cos 2ϕ ⋅ sin ϕ , y ds = a 2 sin ϕ dϕ . Поэтому − 3π 4 0 π π 4  I = a ∫ sin ϕ dϕ + ∫ sin ϕ dϕ − ∫ sin ϕ dϕ − ∫ sin ϕ dϕ  = 0  3π 4 −π −π 4   2

[

π4

π

− 3π 4

= a 2 − cos ϕ 0 − cos ϕ 3π 4 + cos ϕ − π 3. Вычислить I =

]

(

)

∫ ( x + y ) ds , где ( l ) – контур треугольника с вершинами в

(l )

точках O( 0, 0) , A(1, 0) , B( 0, 1) .

60

0

+ cos ϕ − π 4 = a 2 ⋅ 4 − 2 2 .

( l ) = ( l1 ) U ( l2 ) U ( l3 ) ;

I = ∫ ( x + y ) ds = (l )

y B( 0,1)

∫ ( x + y ) ds + ∫ ( x + y ) ds + ∫ ( x + y ) ds .

( l1 )

( l2 )

( l3 )

1) ( l1 ) = OA : y = 0 , x ∈[0, 1] ⇒

ds = 1 + ( y x′ )2 dx = dx ; 1

I1 =

∫ ( x + y ) ds = ∫ ( x + 0) dx =

( l1 )

( l2 )

( l3 )

0

2 1

x 2

0

O

1 = . 2

x ( l1 ) A(1,0 )

Рис. 3.4. К примеру 3

2) ( l2 ) = AB : y = 1 − x , x ∈[0, 1] ⇒ ds = 1 + ( y x′ )2 dx = 2 dx ;

I2 =

1

1

0

0

1

∫ ( x + y ) ds = ∫ ( x + 1 − x ) 2 dx = ∫ 2 dx = 2 x = 2 .

( l2 )

0

3) ( l3 ) = OB : x = 0 ; y ∈[0, 1] ⇒ ds = 1 + ( x ′y )2 dy = dy ; 1

1

0

0

y2 I3 = ∫ ( x + y ) ds = ∫ ( 0 + y ) dy = 2 ( l3 )

1 = . 2

Значит,

I = I1 + I2 + I3 = 4. Вычислить I =

1 1 + 2 + = 1+ 2 . 2 2

∫ z ds , где ( l ) – коническая винтовая линия:

(l )

 x = t cos t ,   y = t sin t , t ∈[0, t0 ] . z = t,  Имеем: xt′ = cos t − t sin t ; yt′ = sin t + t cos t ; zt′ = 1; ds = ( xt′ )2 + ( yt′ )2 + ( zt′ )2 dt = 2 + t 2 dt . Тогда t0

1 I = ∫ z ds = ∫ t 2 + t dt = ( 2 + t 2 )3 2 3 (l )

2

0

t0 0

=

(

)

1 ( 2 + t0 )3 2 − 23 2 . 2

x 2 + y 2 + z 2 = a2 , 5. Вычислить I = ∫ x ds , где ( l ) – окружность:   x + y + z = 0. (l ) 2

61

Плоскость x + y + z = 0 проходит через начало координат и пересекается со сферой x 2 + y 2 + z 2 = a 2 по окружности радиуса a . Таким образом, ( l ) – окружность радиуса a ⇒ длина ( l ) равна 2πa . Легко понять, что

∫x

(l )

2

ds =

∫y

(l )

2

ds =

∫z

2

ds . А тогда I =

(l )

∫x

2

ds =

(l )

1 ( x 2 + y 2 + z 2 ) ds . Заметим, ∫ 3 (l )

что на ( l ) , т. е. на окружности радиуса a с центром в точке O , подынтегральная функция равна a 2 . Следовательно, I =

a2 1 2 a ds = 3∫ 3 (l )

∫ ds . Но ∫ ds

(l )

равен

(l )

2πa 3 значению длины окружности ( l ) , т. е. 2πa . Поэтому I = . 3 §2. Криволинейные интегралы второго рода

B= An

1°. Определение. Пусть в пространстве дана непрерывAn−1 ная кривая AB . Пусть на AB задана функция f ( x , y , z ) . Выберем на AB Ak +1 какое-нибудь направление Ak ( x k , y k , z k ) (одно из двух возможных), например, от точки A к точке B . A= A0 A1 A2 y Проделаем следующие операции. O 1. Разбиваем AB точкаx ми A0 = A , A1 , A2 , K , An −1 , Рис. 3.5. К определению криволинейного An = B на n частичных дуг интеграла второго рода Ak Ak +1 , k = 0, 1, 2, K , n − 1. Точки Ak ( x k , y k , z k ) следуют друг за другом вдоль AB в направлении от

z

(

(

(

(

(

точки A к точке B . Пусть d k – диаметр и пусть λ = max {d k } .

(

( Ak Ak +1 ( dk =

sup

{ρ ( M , N )} ),

M ∈( Ak Ak +1 , N ∈( Ak Ak +1

k = 0, n −1

(

2. На каждой Ak Ak +1 берем произвольную точку ( x k , yk , z k ) и вычисляем в ней значение данной функции f ( x k , y k , z k ) . Соединим концы каждой частичной дуги хордой и придадим этим хордам направления соответствующих дуг. Получим направленную ломаную. Звенья этой ломаной есть векторы 62

→

→

 →

∆ l0 , ∆ l1, K , ∆ ln −1 . Спроектируем эти векторы на ось Ox . Получим числа  →

→

∆ x0 , ∆ x1, K , ∆ x n −1 ( ∆ xk = x k +1 − x k = пр Ox Ak Ak +1 = пр Ox ∆ lk ). Эти числа

могут быть положительными, отрицательными и равными нулю. 3. Каждое вычисленное значение функции f ( x k , y k , z k ) → умножаем на проекцию соответствующего звена ломаной на ∆lk ось Ox . Получим f ( x k , y k , z k ) ⋅ ∆ x k , k = 0, 1, 2, K , n − 1. 4. Складываем все такие произведения. Получаем сумму

Ak +1

n −1

σ = ∑ f ( x k , y k , z k ) ⋅ ∆ x k ( σ – интегральная сумма). k =0

(

(

5. Измельчаем дробление AB на части Ak Ak +1 так, чтобы λ → 0 , и ищем lim σ . Если существует конечный λ →0

I = lim σ и этот предел не зависит ни от способа разбиения λ→0

Ak Рис. 3.6. К определению криволинейного интеграла второго рода

( AB на части ( Ak Ak +1 , ни от выбора точки ( xk , yk , zk ) на ( Ak Ak +1 , то этот

предел называется криволинейным интегралом второго рода от функции

f ( x , y , z ) по кривой

( AB (по x ) и обозначается ∫ f ( x, y, z ) dx . ( AB

Замечания. 1. Криволинейный интеграл второго рода меняет знак при перемене направления линии, по которой производится интегрирование, т. е.

∫ f ( x, y, z ) dx = − ∫ f ( x, y, z ) dx .

( AB

( BA → ломаной ∆ lk

Это ясно, ибо проекции звеньев на ось Ox существенно зависят от направления Ak Ak +1 и меняют знак с изменением этого направления на обратное.

(

→

2. Если звенья ∆ lk направленной ломаной проектировать на ось Oy , то получим криволинейный интеграл второго рода от функции f ( x , y , z ) по AB (по y ):

(

n −1

∑ f ( xk , yk , zk ) ∆ yk . ∫ f ( x, y, z ) dy = λlim →0

( AB → ∆ lk

k =0

3. Если звенья направленной ломаной проектировать на ось Oz , то получим криволинейный интеграл второго рода от функции f ( x , y , z ) по AB (по z ):

(

63

n −1

∑ f ( xk , yk , zk ) ∆ zk . ∫ f ( x, y, z ) dz = λlim →0 k =0 ( AB 4. Если на кривой ( AB определены три функции P( x , y , z ) , Q( x , y , z ) , R( x , y , z ) и если существуют интегралы ∫ P( x , y , z ) dx , ∫ Q( x , y , z ) dy , ( AB

( AB

∫ R( x, y, z ) dz , то их сумму называют криволинейным интегралом второго ро-

( AB

да («общего вида») и полагают

∫ P( x, y, z ) dx + Q( x, y, z ) dy + R( x, y, z ) dz =

=

( AB

∫ P( x, y, z ) dx + ∫ Q( x, y, z ) dy + ∫ R( x, y, z ) dz .

( AB

( AB

( AB

Здесь также изменение направления интегрирования меняет знак интеграла. 2°. Существование и вычисление криволинейного интеграла второго рода. Теорема.

 x = ϕ ( t ),  1. Пусть кривая ( AB задана параметрическими уравнениями  y = ψ ( t ),  z = ω ( t ),  где ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t ) – функции, заданные и непрерывные на промежутке [a, b] . Кроме того, у функции ϕ( t ) на [a, b] существует непрерывная производная ϕ ′( t ) . Пусть (ϕ ( a ), ψ ( a ), ω ( a )) = A , (ϕ ( b), ψ ( b), ω ( b)) = B , причем A ≠ B , т. е. кривая ( AB – незамкнутая. Пусть точки (ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t )) следуют друг за другом на ( AB именно в том порядке, в каком соответствующие значения t следуют друг за другом на [a, b] . 2. Пусть функция f ( x , y , z ) , заданная на ( AB , непрерывна там. Тогда I =

∫ f ( x, y, z ) dx

существует и выражается обыкновенным опреде-

( AB

ленным интегралом по формуле b

∫ f ( x, y, z ) dx = ∫ f (ϕ ( t ), ψ( t ), ω ( t )) ⋅ ϕ′( t ) dt .

( AB

64

a

(1)

Замечания. b

1. Интеграл I* =

∫ f (ϕ ( t ), ψ (t ), ω (t )) ⋅ ϕ′( t ) dt

существует, ибо подынте-

a

гральная функция в нем непрерывна на [a, b] . 2. Нижний предел в I* должен отвечать началу пути интегрирования в I , а верхний предел – концу пути интегрирования. Составим интегральную сумму σ для I . Для этого надо разбить AB точками Ak ( x k , y k , z k ) на частичные дуги Ak Ak +1 , k = 0, 1, 2, K , n − 1 ( A0 = A , An = B ). Такое разбиение можно осуществить, если разбить промежуток [a, b] произвольным образом точками t0 = a < t1 < t2 < K < t n = b и положить Ak (ϕ ( t k ), ψ ( t k ), ω ( t k )) , k = 0, 1, 2, K , n . Затем на каждой дуге Ak Ak +1 надо взять произвольную точку ( x k , y k , z k ) . Это можно сделать так: на каждом частичном промежутке [t k , t k +1 ] взять произвольную точку θ k и положить xk = ϕ (θ k ) , y k = ψ ( θ k ) , z k = ω (θ k ) . Тогда получим

(

(

(

σ=

n −1

n −1

k =0

k =0

∑ f ( xk , yk , zk )( xk +1 − xk ) = ∑ f (ϕ (θ k ), ψ(θk ), ω (θ k ))(ϕ ( tk +1 ) − ϕ (tk )) .

По формуле Лагранжа ϕ ( t k +1 ) − ϕ ( t k ) = ϕ ′( τ k )( t k +1 − t k ) , где τ k ∈[t k , t k +1 ] . Поэтому σ =

n −1

∑ f (ϕ (θk ), ψ(θ k ), ω (θ k )) ⋅ ϕ′( τ k )∆ tk . Видим, что эта сумма по-

k =0

хожа на интегральную сумму Римана для определенного интеграла I* , но таковой не является, ибо, вообще говоря, θ k ≠ τ k . Составим сумму σ* =

n −1

∑ f (ϕ ( τ k ), ψ( τ k ), ω ( τ k )) ⋅ ϕ′( τ k )∆ tk .

Это уже на-

k =0

стоящая интегральная сумма Римана для I* . Было отмечено выше, что интеграл I* существует, и потому σ* → I* при λ* → 0 ( λ* = max {∆ tk } ). Отметим, k = 0, n −1

что λ → 0 , если λ * → 0 . Рассмотрим очевидное равенство

σ = σ* + ( σ − σ* ) .

(2)

Из (2) видим, что теорема будет доказана, если показать, что lim ( σ − σ* ) = 0 . λ* →0 ( λ→0 )

65

Имеем

σ − σ* =

n −1

∑ [ f (ϕ (θ k ), ψ(θ k ), ω (θk )) − f (ϕ ( τ k ), ψ ( τ k ), ω ( τ k ))] ⋅ ϕ ′( τ k )∆ tk .

k =0

По условию ϕ ′( t ) ∈ C([a, b]) ⇒ ϕ ′( t ) – ограниченная в [a, b] , т. е. существует число M > 0 такое, что ϕ ′( t ) ≤ M для всех t ∈[a, b]. Поэтому n −1

σ − σ* ≤ M ⋅ ∑ f (ϕ ( θ k ), ψ (θ k ), ω (θ k )) − f (ϕ ( τ k ), ψ ( τ k ), ω ( τ k )) ⋅ ∆ t k . k =0

Функция f (ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t )) ∈ C([a, b]) как суперпозиция непрерывных функ-

ций ⇒ f (ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t )) – равномерно непрерывная в [a, b] . Значит, всякому ε > 0 (сколь угодно малому) отвечает δ > 0 такое, что для любых двух точек t ′ и t ′′ из [a, b] , для которых t ′′ − t ′ < δ , будет

f (ϕ ( t ′′ ), ψ ( t ′′ ), ω ( t ′′ )) − f (ϕ ( t ′ ), ψ ( t ′ ), ω ( t ′ )) < ε . Возьмем дробление промежутка [a, b] на части [t k , t k +1 ] любым, но таким, чтоλ* < δ . У нас θ k и τ k ∈[t k , t k +1 ] . Следовательно, бы было θ k − τ k ≤ t k +1 − t k ≤ λ* < δ , для любого k = 0, 1, 2, K , n − 1. А тогда для любого k = 0, 1, 2, K , n − 1 будем иметь f (ϕ ( θ k ), ψ (θ k ), ω (θ k )) − f (ϕ ( τ k ), ψ ( τ k ), ω ( τ k )) < ε . Следовательно, σ − σ* < M

n −1

∑ ε ⋅ ∆ tk

⇒

k =0

σ − σ* < ε ⋅ M ⋅ ( b − a ) . (3) Отметим, что число ε ⋅ M ( b − a ) сколь угодно мало вместе с ε . Так как для достижения неравенства (3) потребовалось лишь, чтобы было λ * < δ , то заключаем, что lim ( σ − σ* ) = 0 , а значит, lim ( σ − σ* ) = 0 . λ→0

λ* →0

y

(

B

A O

a

x b

Рис. 3.7. К частному случаю I

Частные случаи. I. 1) Пусть кривая AB плоская, заданная явным уравнением y = ϕ( x ) , где функция ϕ( x ) , определенная и непрерывная на промежутке [a, b] , причем a – абсцисса точки A , а b – абсцисса точки B . 2) Пусть функция f ( x , y ) определена и непрерывна на кривой AB . Тогда

(

∫ f ( x, y ) dx существует, и

( AB

66

b

y

f ( x , y ) dx = ∫ f ( x , ϕ ( x )) dx .

∫ ( AB ( AB

B

a

II. Пусть – прямолинейный отрезок, расположенный в плоскости Oxy и перпендикулярный к оси

∫ f ( x, y ) dx существует для любой функции ( AB определенной на ( AB , причем

Ox . Тогда f ( x, y ) ,

∫ f ( x, y ) dx = 0 .

( AB

A

x O Рис. 3.8. К частному случаю II

3°. Механический смысл криволинейного интеz грала второго рода. r B Механический смысл криволинейного интеF(xk , yk , zk ) грала второго рода вытекает из решения следующей задачи. Ak +1 Задача. Материальная точка перемещается A по кривой AB из точки A в точку B под дейy Ak ствиемrпеременной по величине и направлению r силы F ( x , y , z ) . Требуется найти работу F на криволинейном пути AB . x Разбиваем путь AB на столь малые части Рис. 3.9. К решению задачи Ak Ak +1 , чтобы каждую такую часть можно

(

( (

(

r

было считать приближенно прямолинейной, а силу F ( x , y , z ) , в пределах этой части, считать r приближенно постоянной по величине и направлению. Тогда работа силы F ( x , y , z ) на элементарном участке Ak Ak +1 приближенно будет

(

r → равна: F ( xk , y k , z k ) ⋅ ∆ lk . Но r r r r F ( xk , y k , z k ) = Fx ( x k , y k , z k ) ⋅ i + Fy ( x k , yk , z k ) ⋅ j + Fz ( x k , yk , z k ) ⋅ k , r r r → ∆ lk = ∆ x k ⋅ i + ∆ y k ⋅ j + ∆ z k ⋅ k .

Поэтому

r → F ( xk , y k , z k ) ⋅ ∆ lk = Fx ( xk , y k , z k )∆ xk + Fy ( x k , y k , z k )∆ yk + Fz ( x k , y k , z k )∆ z k . r Следовательно, работа силы F на всем пути ( AB приближенно будет равна: n −1

∑ ( Fx ( xk , yk , zk )∆ xk + Fy ( xk , yk , zk )∆ yk + Fz ( xk , yk , zk )∆ zk ) .

(4)

k =0

Предел суммы (4) при λ → 0 будет давать точное значение работы силы r F ( x , y , z ) на пути AB . А этим пределом является

(

67

∫ Fx ( x, y, z ) dx + Fy ( x, y, z ) dy + Fz ( x, y, z ) dz .

( AB

Таким образом, всякий криволинейный интеграл второго рода:

∫ P( x, y, z ) dx + Q( x, y, z ) dy + R( x, y, z ) dz

( AB

можно истолковать как работу, которую производит сила с проекциями P, Q, R на оси Ox , Oy , Oz соответственно, по перемещению материальной точки по пути AB из точки A в точку B . Примеры на вычисление криволинейных интегралов второго рода. 1. Вычислить I = ( x + y ) dx + 2 z dy + xy dz , где AB – линия, заданная

(

(

∫ ( AB

x = t,  уравнениями  y = t 2 , причем точка A соответствует значению параметра z = 3 − t, 

t = 1, а точка B – значению параметра t = 2 . 2

2

2

I = ∫ ( t + t ) dt + ∫ 2(3 − t ) ⋅ 2t dt + ∫ t 3 ⋅ ( − dt ) = 2

1

1

2. Вычислить I =

∫ (x

2

1

2

2

35 . 4

2

+ y ) dx + ( x − y ) dy , где ( l ) – кривая, заданная

(l )

y 1 x 1

2

Рис. 3.10. К примеру 2

y = 2 − x , x ∈[1, 2] . I = I1 + I2 , где I1 =

∫ (x

2

уравнением: y = 1 − 1 − x , x ∈[0, 2] . Интегрирование вдоль ( l ) ведется в направлении, соответствующем возрастанию параметра. Имеем: y = 1 − (1 − x ) ⇒ y = x , x ∈[0, 1] ; y = 1 + (1 − x ) ⇒ y = 2 − x , x ∈[1, 2] ; ( l ) = ( l1 ) U ( l2 ) , где ( l1 ) : y = x , x ∈[0, 1] , ( l2 ) :

+ y 2 ) dx + ( x 2 − y 2 ) dy , I2 =

( l1 )

На ( l1 ) : y = x , dy = dx , x ∈[0, 1] . Поэтому 1

∫ (x

2

+ y 2 ) dx + ( x 2 − y 2 ) dy .

( l2 )

1

2 2 I1 = ∫ ( x + x ) dx + 0 ⋅ dx = x 3 = . 3 0 3 0

2

2

На ( l2 ) : y = 2 − x , x ∈[1, 2] ; dy = − dx . Поэтому 68

2

I2 = ∫ 1

[

2

]

2

2 2 x + ( 2 − x ) − x + ( 2 − x ) dx = 2∫ ( 2 − x ) dx = − ( 2 − x )3 = . 3 3 1 2

2

2

Следовательно, I =

4 . 3

3. Вычислить

I=

2

2

1

( x + y ) dx − ( x − y ) dy , ∫ 2 2 x y + (l )

где

(l )

–

окружность

x 2 + y 2 = a 2 , пробегаемая против хода стрелки часов. Перейдем к параметрическому заданию кривой ( l ) . Положим  x = a cos t , t ∈[0, 2π ], ⇒ dx = − a sin t dt ,  y = a sin t , dy = a cos t dt.  2π

2π

− a 2 (cos t + sin t )sin t − a 2 (cos t − sin t )cos t I= ∫ dt = − ∫ dt = −2π . 2 a 0 0 y 4. Вычислить I = ∫ arctg dy − dx , где OmA – отрезок параболы y = x 2 , x OmAnO

OnA – отрезок прямой y = x . I = I1 + I2 , где I1 =

( OmA :

2

∫

( OmA

, I2 =

∫

( AnO

.

y = x , x ∈[0, 1] , dy = 2 x dx . Поэтому

 u = arctg x , du = dx  I1 = ∫ arctg x ⋅ 2 x dx − dx =  1 + x2  = 2 x dx = dv , v = x 2  0   1

1 1 1 2  2  1 x π  − 1 = − ∫ dx + ∫ dx − 1 = 2 ⋅ π − 2 . =  x arctg x − ∫ dx 4 4 0 1 + x 2  1 + x2  0 0 0 y ( AnO : y = x , x изменяется от 1 до 0; dy = dx . По-

1 y=x

A

этому

0

0

π π I2 = ∫ (arctg1 − 1) dx = ∫  − 1 dx = 1 − . y = x2 4  4 m 1 1 x Значит, O 1 π π π Рис. 3.11. К примеру 4 I = 2  − 1 + 1 −  = − 1 .  4   4 4

n

69

∫(y

5. Вычислить I =

2

− z 2 ) dx + ( z 2 − x 2 ) dy + ( x 2 − y 2 ) dz , где ( l ) – кон-

(l )

тур, ограничивающий часть сферы x 2 + y 2 + z 2 = 1 , x ≥ 0 , y ≥ 0 , z ≥ 0 , пробегаемый так, что внешняя сторона этой поверхности осz тается слева. ( l2 )

1

( l3 )

I = I1 + I2 + I3 , где I1 =

∫

; I2 =

( l1 )

1 ( l1 )

1

x

∫

( l2 )

; I3 =

∫

.

( l3 )

( l1 ) : x 2 + y 2 = 1 (1-я четверть),

y

( l2 ) : y 2 + z 2 = 1 (1-я четверть), ( l3 ) : z 2 + x 2 = 1 (1-я четверть). Контур ( l1 ) расположен в плоскости Oxy . Следовательно, на ( l1 ) : z = 0 ; dz = 0 . Поэтому

Рис. 3.12. К примеру 5 0

x =0

1

  y3  x3  2 2 2 2 I1 = ∫ y dx − x dy = ∫ (1 − x ) dx − ∫ (1 − y ) dy =  x −  − y−  3 3   x =1 (l ) 1 0 1

y =1

= y =0

1 1 4 = −1 −  − 1 −  = − .  3  3 3 Контур ( l2 ) расположен в плоскости Oyz . Следовательно, на ( l2 ) : x = 0 , dx = 0 . I2 =

0

1

4 2 z dy − y dz = ( 1 − y ) dy − ( 1 − z ) dz = − . ∫ ∫ ∫ 3 2

2

( l2 )

2

1

0

Контур ( l3 ) расположен в плоскости Oxz . Следовательно, на ( l3 ) : y = 0 , dy = 0 .

I3 =

∫x

( l3 )

2

0

2

1

4 3

Таким образом, получаем I = − ⋅ 3 = −4 .

70

1

4 dz − z dx = ∫ (1 − z ) dz − ∫ (1 − x 2 ) dx = − . 3 2

0

§3. Криволинейные интегралы второго рода по замкнутым плоским кривым. Формула Грина 1°. Станем рассматривать криволинейные интегралы второго рода вида

∫ P( x, y ) dx + Q( x, y ) dy ,

(1)

(K )

где ( K ) – замкнутый самонепересекающийся контур, расположенный в плоскости Oxy . Если на контуре ( K ) выбрать какое-нибудь направление интегрирования, то оказывается безразличным, какую точку на ( K ) взять за начало (а значит, и конец) пути интегрирования. В самом деле, пусть A и B – любые две различные точки на ( K ) . Имеем:

∫ Pdx + Qdy =

∫ Pdx + Qdy +

∫ Pdx + Qdy =

( B II A ( AA ( AI B = ∫ Pdx + Qdy + ∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy . ( B II A ( AI B ( BB

z

O

y II B

x

A I

(K )

Рис. 3.13. К определению положительного обхода контура ( K )

Замечание. Особенность обсуждаемого случая заключается в том, что указание начальной и (совпадающей с ней) конечной точки на этот раз не определяет направления интегрирования на ( K ) . Конечно, можно было бы в каждом случае указывать особо, какое именно направление имеется в виду. Но обычно поступают иначе, а именно: из двух возможных направлений одно принимается за положительное, другое – за отрицательное. Условимся за положительное направление обхода контура ( K ) принимать такое направление, когда наблюдатель (у которого направление от ног к голове совпадает с направлением оси Oz ), обходящий контур ( K ) в этом направлении, оставляет ближайшую к нему часть области, ограниченной ( K ) , слева от себя. Это соглашение относится к случаю правой системы координат. В дальнейшем интеграл (1), взятый по ( K ) в положительном направлении, будем обозначать символом:

∫ P( x, y ) dx + Q( x, y ) dy .

(K )

71

2°. Формула Грина. I. Пусть ( D ) – область, ограниченная y y = ψ( x ) B′ замкнутым контуром ( K ) . Пусть ( K ) состоит из отрезков прямых: x = a , x = b A′ ( a < b ) и из кривых, заданных уравненияy = ϕ( x ) , x ∈[a, b]; y = ψ (x), ми: x ∈[a, b]. Предполагается, что ϕ( x ) и B A ψ( x ) непрерывны на [a, b] и такие, что y = ϕ( x ) x ϕ ( x ) < ψ ( x ) , x ∈[a, b]. Такую область a O b ( D ) будем называть областью типа I. Рис. 3.14. К выводу формулы Грина Пусть в ( D ) задана непрерывная функция

( D)

P( x , y ) , имеющая в ( D ) непрерывную частную производную двойной интеграл

I=

∂P . Рассмотрим ∂y

∂P

∫∫ ∂y dxdy .

(D )

Мы знаем, что этот двойной интеграл выражается через повторный интеграл следующим образом: b

y =ψ( x )

a

y =ϕ ( x )

I = ∫ dx

∫

∂P dy ⇒ ∂y

b

[

y=ψ( x )

]

I = ∫ P( x , y ) y = ϕ( x ) dx = a

b

b

b

a

a

a

= ∫ [ P( x , ψ ( x )) − P( x , ϕ ( x ))] dx = ∫ P( x , ψ ( x )) dx − ∫ P( x , ϕ ( x )) dx . Но b

∫ P( x, ψ( x )) dx = ∫ P( x, y ) dx = − ∫ P( x, y ) dx , a ( A′ B ′ ( B′A′ b

Поэтому

∫ P( x, ϕ ( x )) dx = ∫ P( x, y ) dx . a ( AB I = − ∫ P( x , y ) dx − ∫ P( x , y ) dx . Так как ∫ P( x, y ) dx = 0 ( B ′ A′ ( AB ( BB′

∫ P( x, y ) dx = 0 , то можем написать

( A′ A

I=−

∫ P dx − ∫ P dx − ∫ P dx − ∫ P dx = − ∫ P( x, y ) dx . ( AB ( BB′ ( B′A′ ( A′A (K )

Таким образом, получили 72

и

∂P ∫∫ ∂y dxdy = −

(D )

∫ P( x, y ) dx .

(2)

(K )

Замечание. Формула (2) установлена для области типа I, но она верна и тогда, когда область ( D ) прямыми, параллельными оси Oy , может быть разложена на конечное число областей типа I (рис. 3.15). В самом деле, для каждой области типа I, на которые разложена область ( D ) , пишем формулу (2), а затем складываем соответствующие части полученных соотношений. Так как криволинейные интегралы по вспомогательным прямым линиям равны нулю, то получим формулу (2), в которой ( D ) – вся область, а ( K ) – контур всей этой области.

y

y

(D3)

d

(D1)

A′

B′

x =α( y )

(D2 ) x

(D) A

c

x =β( y )

B

x

Рис. 3.16. К выводу формулы Грина

Рис. 3.15. К выводу формулы Грина

II. Пусть ( D ) – область, ограниченная замкнутым контуром ( K ) , и пусть теперь ( K ) состоит из отрезков прямых y = c , y = d ( c < d и из кривых, заданных уравнениями: x = α( y ) , x = β ( y ) , где α( y ) и β ( y ) – функции, непрерывные на [c, d ] и такие, что α( y ) < β ( y ) , y ∈[c, d ] (рис. 3.16). Такую область ( D ) будем называть областью типа II. Пусть в ( D ) задана непрерывная функция Q( x , y ) , имеющая в ( D ) непрерывную частную производную

∂Q . Рассмотрим двойной интеграл ∂x ∂Q dxdy . I = ∫∫ ∂x (D )

Мы знаем, что этот интеграл выражается через повторный интеграл следующим образом: d

x =β ( y )

c

x =α ( y ) d

I = ∫ dy

∫

∂Q dx ⇒ ∂x

d

[

x =β( y )

]

I = ∫ Q( x , y ) x =α ( y ) dy = c

d

= ∫ Q(β ( y ), y ) dy − ∫ Q(α( y ), y ) dy . c

c

73

Но d

∫ Q(β ( y ), y ) dy = ∫ Q( x, y ) dy ; c ( BB′

d

Поэтому

∫ Q(α( y ), y ) dy = ∫ Q( x, y ) dy = − ∫ Q( x, y ) dy . c ( AA′ ( A′A I = ∫ Q( x , y ) dy + ∫ Q( x , y ) dy . Так как ∫ Q( x, y ) dy = 0 ( BB′ ( A′ A ( AB

и

∫ Q( x, y ) dy = 0 , то можем написать

( B′A′

∫ Q( x, y ) dy + ∫ Q( x, y ) dy + ∫ Q( x, y ) dy + ∫ Q( x, y ) dy = ∫ Q( x, y ) dy . ( AB ( BB′ ( B′A′ ( A′A (K)

I=

Таким образом, получили:

∂Q ∫∫ ∂x dxdy =

(D )

∫ Q( x, y ) dy .

(3)

(K )

Замечание. Формула (3) верна и тогда, когда область ( D ) прямыми, параллельными оси Ox , разлагается на конечное число областей типа II. Это устанавливается совершенно аналогично тому, как это сделано в предыдущем замечании. Пусть область ( D ) такая, что она прямыми линиями, параллельными оси Oy , разлагается на конечное число областей типа I, а прямыми, параллельными оси Ox – на конечное число областей типа II. Пусть в ( D ) заданы функции

P( x , y ) , Q( x , y ) , непрерывные там вместе с частными производными

∂P и ∂y

∂Q . Тогда верны одновременно формулы (2) и (3). Вычитая из формулы (3) ∂x соответствующие части формулы (2), получим

 ∂Q

∂P 

∫ P( x, y ) dx + Q( x, y ) dy = ∫∫  ∂x − ∂y  dxdy .

(K )

(4)

(D )

(4) – формула Грина. Она преобразует криволинейный интеграл второго рода по замкнутому самонепересекающемуся контуру в двойной интеграл по области, ограниченной этим контуром. Определение 1. 1. Область, ограниченная одним замкнутым самонепересекающимся контуром, называется односвязной.

74

2. Область, ограниченная замкнутым самонепересекающимся контуром ( K1 ) и ( n − 1) замкнутыми самонепересекающимися контурами ( K 2 ) , ( K3 ) , K , ( K n ) , лежащими внутри ( K1 ) и вне друг друга, называется n -связной. Теорема. Формула Грина

 ∂Q

∂P 

∫ P( x, y ) dx + Q( x, y ) dy = ∫∫  ∂x − ∂y  dxdy

(K )

(5)

(D )

верна и для многосвязной области, если под контуром ( K ) понимать объединение всех контуров ( K1 ) , ( K 2 ) , K , ( K n ) , ограничивающих область ( D ) , причем направление интегрирования такое, что наблюдатель, обходящий контур ( K ) в этом направлении, оставляет ближайшую к нему часть области, ограниченной ( K ) , слева от себя (система координат предполагается правой).

( K 3)

(K 2 )

(K )

(K1)

Односвязная область

Трехсвязная область

y ( K 3)

(K 2 ) A2

B2

A1

B3

B1

A3 (K1) x

Рис. 3.17. К выводу формулы Грина для многосвязных областей

Рассмотрим для простоты трехсвязную область ( D ) . Возьмем на ( K1 ) точки A1 и B1 ; на ( K 2 ) – точки A2 и B2 ; на ( K3 ) – точки A3 и B3 . Проведем линии: A1A2 ; B2 A3 ; B3 B1 . Тогда область ( D ) разобьется на две односвязные области. Написав формулу Грина для каждой из этих двух односвязных областей и сложив результаты, мы получим формулу (5). (По каждой вспомогательной кривой: A1A2 , B2 A3 , B3 B1 интегрирование ведется дважды в двух противоположных направлениях. Следовательно, криволинейные интегралы по вспомогательным кривым взаимно уничтожаются.)

(

(

(

(

(

(

75

§4. Вопрос о независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования Пусть ( D ) – область, ограниченная одним замкнутым самонепересекающимся контуром ( K ) (значит, ( D ) – односвязная область). Пусть в ( D ) заданы две непрерывные функции P( x , y ) и Q( x , y ) . Будем говорить, что функции P( x , y ) и y Q( x , y ) образуют в ( D ) пару типа « α », если ( K) криволинейный интеграл второго рода

(D)

A

∫ P dx + Q dy , ( AB ( AB , целиком

B

взятый по незамкнутому пути

лежащему в ( D ) , не зависит от формы пути (а зависит только от концов пути). Рис. 3.18. К определению Будем говорить, что функции P( x , y ) и интеграла, не зависящего от Q( x , y ) образуют в ( D ) пару типа « β », если для формы пути л ю б о г о замкнутого самонепересекающегося контура ( C ) , целиком лежащего в ( D ) , оказывается: y

x

( K)

( D) I

∫ P dx + Q dy = 0 .

(C)

C

B

Лемма 1. Если функции P( x , y ) и Q( x , y ) обII x разуют в области ( D ) пару типа « α », то они образуют в ( D ) также и пару типа « β ». Рис. 3.19. К доказательству Пусть P( x , y ) и Q( x , y ) – пара типа « α » в леммы 1 ( D ) . Возьмем в ( D ) любой замкнутый самонепересекающийся контур ( C ) . Выберем и закрепим на ( C ) любые две точки A и B . Эти точки разобьют ( C ) на две дуги: A I B и A II B . Имеем:

A

(

(

∫ P dx + Q dy = ∫ P dx + Q dy + ∫ P dx + Q dy = ( A II B

C

=

(BI A

∫ P dx + Q dy − ∫ P dx + Q dy .

( A II B

( AI B

У нас P и Q – пара типа « α » в ( D ) . Поэтому

∫ P dx + Q dy = ∫ P dx + Q dy .

( A II B

76

( AI B

(1)

y

А тогда из (1) следует, что

( K)

∫ P dx + Q dy = 0 . Так

C

как ( C ) – любой замкнутый самонепересекаюB I щийся контур, лежащий в ( D ) , то последнее ознаA чает, что P( x , y ) и Q( x , y ) – пара типа « β » в II x ( D) . Лемма 2. Если функции P( x , y ) и Q( x , y ) обРис. 3.20а. К доказательству леммы 2 разуют в области ( D ) пару типа « β », то они образуют в ( D ) также и пару типа « α ». Пусть P( x , y ) и Q( x , y ) – пара типа « β » в ( D ) . Возьмем в ( D ) любые две точки A и B и соединим их двумя различными линиями: A I B и A II B , целиком лежащими в ( D ) . Лемма 2 будет доказана, если показать, что

(D)

(

(

∫ P dx + Q dy = ∫ P dx + Q dy .

( AI B

(2)

( A II B

Установим соотношение (2) в следующих двух простых случаях. 1) Линии A I B и A II B не имеют других общих точек, кроме точек A и B (см. рис. 3.20а). В этом случае наши линии образуют замкнутый самонепересекающийся контур. Так как функции P и Q – пара типа « β » в ( D ) , то

(

(

∫ P dx + Q dy = 0

y

⇒

( A II B I A

⇒

∫ P dx + Q dy + ∫ P dx + Q dy = 0

⇒

∫ P dx + Q dy − ∫ P dx + Q dy = 0

⇒

( A II B

⇒

( A II B

⇒

(D) A

(BI A

( AI B

II I

B III

x

Рис. 3.20б. К доказательству леммы 2

∫ P dx + Q dy = ∫ P dx + Q dy .

( A II B

(K)

( AI B

Видим, что соотношение (2) в этом случае установлено. 2) Линии A I B и A II B кроме точек A и B имеют еще и другие общие точки, но существует линия A III B , которая пересекается с ними только в точках A и B (см. рис. 3.20б). Тогда, по доказанному в случае 1), имеем:

(

(

(

∫ P dx + Q dy = ∫ P dx + Q dy,

( AI B

а значит, и

( A III B

∫ P dx + Q dy = ∫ P dx + Q dy ,

( A II B

( A III B

∫ P dx + Q dy = ∫ P dx + Q dy .

( AI B

( A II B

Видим, что соотношение (2) установлено и в этом случае. 77

3) В более сложных случаях утверждение леммы 2 B принимаем без доказательства. Рис. 3.20в – пример как I раз того случая, который не подходит ни к 1), ни к 2). A Следствие. Свойство пар функций иметь в области II ( D ) тип « α » равносильно свойству иметь тип « β ». Теорема. Пусть в о д н о с в я з н о й о б л а с т и ( D ) задаРис. 3.20в. К лемме 2 ны функции P( x , y ) и Q( x , y ) . Пусть P( x , y ) , Q( x , y )

∂P ∂Q и . ∂x ∂y Тогда для того, чтобы функции P( x , y ) и Q( x , y ) были парой типа « β » (а значит, и парой типа « α ») в ( D ) , необходимо и достаточно, чтобы всюду в ( D ) ∂P ∂Q . = было: ∂y ∂x Необходимость. Дано: P( x , y ) и Q( x , y ) – пара типа « β » в ( D ) . Требу∂P ∂Q ется доказать, что всюду в ( D ) . = ∂y ∂x Рассуждаем от противного. Допустим, что соy (K) ∂P ∂Q выполняется не всюду в отношение = ∂y ∂x (D) M0 ( D ) . Но тогда в ( D ) имеется точка M 0 ( x0 , y0 ) (γδ)  ∂Q − ∂P  ≠ 0 . Пусть для опреде x такая, что   ∂x ∂y  ( • ) M непрерывны в ( D ) и имеют там непрерывные частные производные

Рис. 3.21. К доказательству теоремы

0

∂Q ∂P   ∂Q − ∂P  −  > 0 . Так как    ∂x ∂y   ∂x ∂y  ( • ) M

ленности 

0

– функция непрерывная в ( D ) , то по теореме о стабильности знака существует

∂Q ∂P − > 0 в uδ ( M 0 ) ( uδ ( M 0 ) – ∂x ∂y замкнутый круг радиуса δ с центром в точке M 0 ; ( γ δ ) – контур этого круга).  ∂Q − ∂P  ∈ C u ( M ) , то эта разность достигает в u ( M ) своего Так как   (δ 0) δ 0  ∂x ∂y  наименьшего m значения. Ясно, что m > 0 . uδ ( M 0 ) такая, что uδ ( M 0 ) ⊂ ( D ) и что

По формуле Грина имеем

∫ P dx + Q dy =

(γ δ)

78

∫∫

( uδ ( M 0 ))

 ∂Q − ∂P  dxdy ≥ m ⋅    ∂x ∂y 

∫∫ dxdy = m ⋅ πδ

( uδ ( M 0 ))

2

> 0,

а это невозможно, ибо P( x , y ) и Q( x , y ) – пара типа « β » в ( D ) . Таким образом, предположение, что соотношение

∂P ∂Q = выполняется не всюду в ( D ) , ∂y ∂x

приводит к противоречию.

∂P ∂Q = всюду в ( D ) . Требуется доказать, что ∂y ∂x функции P( x , y ) и Q( x , y ) образуют в ( D ) пару типа « β ». Возьмем л ю б о й замкнутый самонепересекающийся контур ( C ) , целиком лежащий в ( D ) . Пусть ( ∆ ) – область, ограниченная контуром ( C ) . По формуле Достаточность. Дано:

Грина имеем

 ∂Q

∂P 

∫ P dx + Q dy = ∫∫  ∂x − ∂y  dxdy = 0 ( ∆ ) 14243 =0 в ( ∆ )

C

∫ P dx + Q dy = 0

⇒

⇒

⇒ функции P( x , y ) и Q( x , y ) – пара типа « β » в ( D ) .

C

y (K)

y

(∆) (C )

(K1)

(C ) (K2)

(D) x

x

Рис. 3.22. К доказательству теоремы

Рис. 3.23. К замечанию

Замечание. Важно подчеркнуть, что доказанное утверждение верно при условии, что область ( D ) – о д н о с в я з н а я . Действительно, если бы область ( D ) была, например, двухсвязной с внешним контуром ( K1 ) и внутренним контуром ( K 2 ) (см. рис. 3.23), то для контура ( C ) , охватывающего контур ( K 2 ) , мы имели бы:

∫ P dx + Q dy +

( C ), обл. слева

∫ P dx + Q dy =

( K 2 ), обл. слева

 ∂Q − ∂P  dxdy = 0, ∫∫  ∂x ∂y 

(∆)

∂Q ∂P − = 0 всюду в ( D ) , а значит, и в ( ∆ ) ( ( ∆ ) – область, ограниченная ∂x ∂y контурами ( C ) и ( K 2 ) ). Значит, ибо

∫ P dx + Q dy + ∫ P dx + Q dy = 0

(C)

( K2 )

⇒

∫ P dx + Q dy − ∫ P dx + Q dy = 0

(C)

⇒

( K2 )

79

⇒

∫ P dx + Q dy = ∫ P dx + Q dy

(C)

( ≠ 0 , вообще говоря).

( K2 )

Значит, P( x , y ) и Q( x , y ) не есть пара типа « β » в ( D ) .

y x , Q( x , y ) = − 2 . Эти функции опре2 x +y x + y2 делены и непрерывны на плоскости Oxy всюду, за исключением точки O( 0, 0) . Пример. Пусть P( x , y ) =

2

x2 − y2 ∂Q x2 − y2 ∂Q ∂P ∂P Имеем = = 2 ; = 2 ⇒ всюду на плоско2 2 2 2 ∂x ∂y ∂y ( x + y ) ∂x ( x + y ) сти Oxy , кроме точки O( 0, 0) . Значит, для любого замкнутого самонепересекающегося контура ( C ) , не охватывающего начала координат, будет: y dx − x dy P dx + Q dy = ∫ ∫ x2 + y2 = 0 , (C) (C) так как P( x , y ) и Q( x , y ) – пара типа « β » в области ( D ) , ограниченной контуром ( K ) (см. рис. 3.24).

y

y

( K) (D)

x

O

(C ) x

(C )

(K2)

R (K1)

Рис. 3.24. К примеру

Рис. 3.25. К примеру

Пусть ( C ) – окружность радиуса R с центром в точке O( 0, 0) . Вычислим

I=

y dx − x dy ∫ x 2 + y 2 . Параметрическими уравнениями ( C ) будут: (C)

 x = R cos t , t ∈[0, 2π ] .  y = R sin t ,  А тогда

2π

2π

− R2 sin 2 t − R2 cos2 t I= ∫ dt = − ∫ dt = −2π ( ≠ 0) . 2 R 0 0 P( x , y ) и Q( x , y ) в области ( D1 ) , ограниченной контуром ( K1 ) , не есть пара типа « β », ибо нарушена непрерывность в точке O( 0, 0) , расположенной внутри контура ( K1 ) . Если же выключить точку O( 0, 0) , окружив ее контуром 80

( K 2 ) (см. рис. 3.25), то условие непрерывности в области ( D2 ) , ограниченной контурами ( K1 ) и ( K 2 ) , будет иметь место, но нарушится односвязность. Дополнение.

Пусть

∫ P( x, y ) dx + Q( x, y ) dy ( AB

выполнены

все

условия

теоремы,

по любому незамкнутому пути

а

значит,

( AB , целиком ле-

жащему в ( D ) , не зависит от формы пути, а зависит только от концов пути. Пусть функция u ( x , y ) определена в ( D ) и такая, что

P( x , y ) dx + Q( x , y ) dy = du ( x , y ) (т. е. выражение P dx + Q dy является полным дифференциалом функции u ( x , y ) ). Тогда

∫ P( x, y ) dx + Q( x, y ) dy = u ( x B , y B ) − u ( x A , y A ) ( AB

(здесь x A , y A – координаты точки A , а x B , y B – координаты точки B ). По условию P( x , y ) dx + Q( x , y ) dy = du ( x , y ) . Это значит, что

P( x , y ) =

∂u ( x , y ) ∂u ( x , y ) ; Q( x , y ) = . ∂y ∂x

Следовательно,

I=

∫ P( x, y ) dx + Q( x, y ) dy =

( AB

∫ ( AB

∂u ( x , y ) ∂u ( x , y ) dx + dy . ∂x ∂y

Для вычисления интеграла I введем параметрические уравнения

 x = ϕ ( t ),

( AB . Пусть

они такие:  t ∈[ p, q] , причем значению t = p отвечает точка A , а  y = ψ ( t ), значению t = q отвечает точка B . Будем иметь тогда q

 ∂u ( ϕ ( t ), ψ ( t )) ∂u (ϕ ( t ), ψ ( t )) I = ∫ ⋅ ϕ ′( t ) + ⋅ ψ ′( t ) dt . x y ∂ ∂   p  Заметив это, рассмотрим функцию f ( t ) = u (ϕ ( t ), ψ ( t )) . По правилу дифференцирования сложной функции, имеем

∂u (ϕ ( t ), ψ ( t )) ∂u ( ϕ ( t ), ψ ( t )) ⋅ ϕ ′( t ) + ⋅ ψ ′( t ) . ∂x ∂y Следовательно, предыдущее выражение для I принимает вид f ′( t ) =

q

I = ∫ f ′( t ) dt = f ( q ) − f ( p ) . p

81

Но f ( q ) = u (ϕ ( q ), ψ ( q )) = u ( x B , y B ) ; f ( p ) = u (ϕ ( p ), ψ ( p )) = u ( x A , y A ) (у нас

ϕ( p ) = x A , ψ ( p ) = y A , ϕ( q ) = x B , ψ( q ) = y B ). Поэтому I = u ( xB , yB ) − u ( x A , y A ) . Таким образом, для вычисления интеграла

∫ P dx + Q dy ( AB

нужно найти

функцию u ( x , y ) , первообразную для дифференциала P dx + Q dy и составить разность значений этой первообразной в конце и в начале пути интегрирования. Ясно, что это – аналог формулы Ньютона – Лейбница. Примеры к §4. 1. Вычислить I =

∫ ( x − y )( dx − dy ) , где ( AB – любая кривая, соединяю( AB

щая точки A(1, − 1) и B(1, 1) .

В этом случае P( x , y ) = x − y ; Q( x , y ) = y − x ⇒

∂P ∂Q = = −1 на всей ∂y ∂x

плоскости. Следовательно, в любой односвязной области, расположенной в плоскости Oxy , подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции u ( x , y ) . Так как

(

)

1 ( x − y )( dx − dy ) = ( x − y ) ⋅ d ( x − y ) = d ( x − y )2 , 2 1 то такой функцией u ( x , y ) будет: u ( x , y ) = ( x − y )2 . Поэтому 2 ( x − y )2 I= 2 2. Вычислить I =

∫ (x ( AB

4

(1, 1)

(1, −1)

22 = 0− = −2 . 2

+ 4 xy 3 ) dx + ( 6 x 2 y 2 − 5 y 4 ) dy , где

( AB

– любая

кривая, соединяющая точки A( −2, − 1) и B(3, 0) .

∂P ∂Q = = 12 xy 2 ∂y ∂x на всей плоскости Oxy . Следовательно, I не за-

Здесь P( x , y ) = x 4 + 4 xy 3 ; Q( x , y ) = 6 x 2 y 2 − 5 y 4

y

⇒

висит от формы пути интегрирования, соединяю-

B x щего точки A и B . А раз так, то возьмем, напри3 мер, в качестве пути ( AB ломаную AC U CB C A −1 (см. рис. 3.26). Тогда Рис. 3.26. К примеру 2 I= ∫ = ∫ + ∫ ( = I1 + I2 ) .

−2

Имеем: 82

( AB ( AC ( CB

( AC = −2y≤=x−≤1 3 

⇒ dy = 0 .

Поэтому 3

3

 x5  I1 = ∫ = ∫ ( x − 4 x ) dx + 0 =  − 2 x 2  = 45 .  5  −2 ( AC −2

Имеем:

4

( CB = −1x≤ =y3≤ 0 

⇒ dx = 0 .

Поэтому

I2 =

∫ ( CB

0

= ∫ (54 y 2 − 5 y 4 ) dy = (18 y 3 − y 5 ) −1

0 −1

= 17 .

Следовательно, I = 45 + 17 = 62 .

 y2 y y y y  3. Вычислить I = ∫ 1 − 2 cos  dx +  sin + cos  dy , где ( AB – x  x x x ( AB  x любая кривая, соединяющая точки A(1, π ) и B( 2, π ) и не пересекающая ось Oy . Здесь y 2 A B y y y y y π P( x , y ) = 1 − 2 cos ; Q( x , y ) = sin + cos ; x x x x x 2y y y2 y ∂P ∂Q = = − 2 cos + 3 sin , x ≠ 0 . x x x ∂y ∂x x ∂P ∂Q x Видим, что P( x , y ) , Q( x , y ) , , определены и не∂y ∂x 1 2 прерывны на всей плоскости Oxy , кроме точек, лежащих Рис. 3.27. ∂P ∂Q К примеру 3 на оси Oy , и что для x ≠ 0 . Следовательно, I = ∂y ∂x не зависит от формы пути ( AB . Требуется только, чтобы ( AB не пересекала ось Oy . А раз так, то возьмем, например, в качестве ( AB прямолинейный отрезок, соединяющий точки A и B (см. рис. 3.27). Так как ( AB = 1 ≤y x=≤π2, ⇒ dy = 0 ,  то будем иметь 2

x =2  π2 π π   = 1+ π . I = ∫ 1 − 2 cos  dx + 0 =  x + π sin   x x  x =1  x 1

83

§5. Площадь плоской фигуры в криволинейных координатах 1°. Вычисление площади плоской фигуры при помощи криволинейного интеграла второго рода. Пусть ( K ) – простой, замкнутый самонепересекающийся контур, ограничивающий область ( D ) . 1) Пусть область ( D ) такая, что прямыми, параллельными оси Oy , она может быть разложена на конечное число областей типа I. Рассмотрим криволи-

нейный интеграл

∫ y dx (это – частный случай интеграла ∫ P dx + Q dy , когда

(K )

P≡ y, а

(K )

∫ y dx

Q ≡ 0 ). Преобразуя

по

формуле

Грина,

получим

(K )

∫ y dx = − ∫∫ dxdy = − FD

(K )

⇒

(D )

FD = −

∫ y dx .

(1)

(K)

2) Пусть теперь область ( D ) такая, что прямыми, параллельными оси Ox , ее можно разложить на конечное число областей типа II. Рассмотрим криволинейный интеграл

∫ x dy

(это – частный случай интеграла

(K )

P ≡ 0,

Q ≡ x ).

Преобразуя

∫ P dx + Q dy , когда

(K )

∫ x dy

по

формуле

Грина,

получим:

(K )

∫ x dy = ∫∫ dxdy = FD

(K )

⇒

(D )

FD =

∫ x dy .

(2)

(K )

3) Пусть, наконец, область ( D ) такая, что прямыми, параллельными оси Oy , она может быть разложена на конечное число областей типа I, а прямыми, параллельными оси Ox , – на конечное число областей типа II. Тогда будут верны одновременно формулы (1) и (2). Сложив соответствующие части этих формул, получим

2 FD =

∫ x dy − y dx

(K )

84

⇒ FD =

1 2

∫ x dy − y dx .

(K)

(3)

2°. Формула для площади плоской фигуры в криволинейных координатах. Пусть в плоскостях Oxy и Oξη расположены области ( D ) и ( ∆ ) с простыми контурами ( K D ) и ( K ∆ ) . Если дано правило, которое каждой точке ( ξ, η)

из ( ∆ ) сопоставляет о д н у и т о л ь к о о д н у точку ( x , y ) из ( D ) , причем каждая точка ( x , y ) из ( D ) оказывается сопоставленной о д н о й и т о л ь к о о д н о й точке из ( ∆ ) , то говорят, что между точками областей ( D ) и ( ∆ ) установлено взаимно-однозначное соответствие.

y

η (∆)

( D) (K D ) O

(K ∆ )

x

ξ

O

а) б) Рис. 3.28. К выводу формулы для площади в криволинейных координатах

Если ( ξ, η) и ( x , y ) есть взаимно-соответствующие точки, то

 x = x ( ξ, η),   y = y ( ξ, η).

(4)

Уравнения (4) есть уравнения преобразования ( ∆ ) в ( D ) . В силу взаимной однозначности соответствия между точками областей ( D ) и ( ∆ ) , система (4) однозначно разрешима относительно ξ и η . Поэтому

ξ = ξ( x , y ), (5)  ( x , y ). η = η  Впредь функции x( ξ, η) , y( ξ, η) будем считать непрерывными в ( ∆ ) , а функции ξ( x , y ) , η( x , y ) – непрерывными в ( D ) . Покажем, что тогда непрерывные кривые, лежащие, например, в ( ∆ ) , преобразуются в непрерывные кривые, лежащие в ( D ) . В самом деле, пусть ( λ ) – непрерывная кривая, лежащая в ( ∆ ) , и пусть ее ξ = α( t ), где α( t ) , β( t ) – функции, опрепараметрические уравнения такие:  η = β ( t ), деленные и непрерывные в промежутке [ p, q] . Тогда точки, соответствующие точкам кривой ( λ ) , имеют координаты: 85

 x = x (α( t ), β ( t )),   y = y (α( t ), β ( t )).

(6)

Так как правые части в уравнениях (6) есть функции непрерывные в промежутке [ p, q] , как суперпозиции непрерывных функций, то заключаем, что непрерывная кривая ( λ ) преобразуется в непрерывную же кривую ( l ) , лежащую в области ( D ) . Задача. Зная область ( ∆ ) и формулы преобразования области ( ∆ ) в область

x = x ( ξ, η), ( D ) :  найти площадь FD области ( D ) .  y = y ( ξ, η), Решать эту задачу будем при следующих предположениях. 1) Обе области ( ∆ ) и ( D ) прямыми, параллельными координатным осям, разлагаются на конечное число областей как типа I, так и типа II. 2) Контуру ( K ∆ ) соответствует контур ( K D ) , причем положительному обходу ( K ∆ ) соответствует определенный (положительный или отрицательный) обход ( K D ) . 3) Функции x( ξ, η) и y( ξ, η) имеют в ( ∆ ) непрерывные частные производ-

ные первого порядка xξ′ , x η′ , yξ′ , y η′ , а одна из этих функций имеет в ( ∆ ) непрерывные смешанные производные второго порядка. Пусть, например, в ( ∆ ) существуют и непрерывны yξη ′′ и y ηξ ′′ (⇒ y ηξ ′′ = yξη ′′ в ( ∆ ) ). 4) Определитель J ( ξ, η) =

xξ′ x η′ всюду в ( ∆ ) сохраняет знак ( J ( ξ, η) – yξ′ y η′

определитель Якоби, или якобиан). Решение. Мы знаем, что FD =

∫ x dy . Выразим этот криволинейный инте-

( KD )

грал через обыкновенный определенный интеграл. Пусть параметрические ξ = α( t ), уравнения контура ( K ∆ ) такие:  t ∈[ p, q] , где α( t ) , β( t ) – функции, η = β ( t ), определенные на [ p, q] и имеющие там непрерывные производные α ′( t ) , β′( t ) . Тогда параметрические уравнения контура ( K D ) будут такими:

 x = x (α( t ), β ( t )), t ∈[ p, q] .  α ( ), β ( ) , = y y t t ( )  Пусть для определенности изменению t от p до q соответствует положительный обход контура ( K D ) . Тогда 86

q

[

]

FD = ∫ x (α( t ), β ( t )) ⋅ yξ′ (α( t ), β ( t )) ⋅ α ′( t ) + yη′ (α( t ), β ( t )) ⋅ β′( t ) dt . p

(7)

Рассмотрим теперь следующий криволинейный интеграл второго рода по контуру ( K ∆ ) :

I=

∫ x(ξ, η) ⋅ [ yξ′ (ξ, η) dξ + yη′ (ξ, η) dη] .

(8)

( K∆ )

Чтобы выразить I обыкновенным определенным интегралом, нужно использовать параметрические уравнения контура ( K ∆ ) . Сделав это, мы придем в точности к интегралу, стоящему в правой части (7), если только положительный обход контура ( K D ) соответствует положительному обходу контура ( K ∆ ) . Если же положительный обход контура ( K D ) соответствует отрицательному обходу контура ( K ∆ ) , то мы получим интеграл стоящий в правой части (7), взятый со знаком «минус». Таким образом, FD = ± I . (9) Преобразуем интеграл I (см. (8)) по формуле Грина

∫ P( ξ, η) dξ + Q(ξ, η) dη =

( K∆ )

 ∂Q − ∂P  dξdη . ∫∫  ∂ξ ∂η

(∆)

У нас в I : P = x ( ξ, η) ⋅ yξ′ ( ξ, η) , Q = x ( ξ, η) ⋅ y η′ ( ξ, η) . Значит,

∂Q = xξ′ ⋅ y η′ + x ⋅ y ηξ ′′ ∂ξ ∂P = x η′ ⋅ yξ′ + x ⋅ yξη ′′ ∂η

⇒

∂Q ∂P − = xξ′ ⋅ y η′ − x η′ ⋅ yξ′ = J ( ξ, η) . ∂ξ ∂η

Поэтому

I=

∫∫ ( xξ′ ⋅ yη′ − xη′ ⋅ yξ′ ) dξdη = ∫∫ J (ξ, η) dξdη .

(∆)

(∆)

А, следовательно,

FD = ± ∫∫ J ( ξ, η) dξdη . (∆)

У нас по условию J ( ξ, η) всюду в ( ∆ ) сохраняет знак. Поэтому, принимая во внимание, что FD > 0 , можем написать

FD =

∫∫ J ( ξ, η) dξdη .

(10)

(∆)

Из рассуждений, проведенных выше, следует, что J ( ξ, η) > 0 тогда, когда положительный обход контура ( K D ) соответствует положительному обходу 87

контура ( K ∆ ) и что J ( ξ, η) < 0 тогда, когда положительный обход контура ( K D ) соответствует отрицательному обходу контура ( K ∆ ) . К двойному интегралу, стоящему в правой части (10), применим частный случай теоремы о среднем. Получим. FD = J ( ξ, η ) ⋅ F∆ , где ( ξ, η ) ∈( ∆ ) . (11) Из (11) находим

FD = J ( ξ, η ) . Станем сжимать область ( ∆ ) по всем направF∆

лениям в некоторую точку ( ξ, η) (тогда ( ξ, η ) → ( ξ, η) ). В силу непрерывности отображения область ( D ) будет при этом сжиматься в точку ( x , y ) , которая соответствует точке ( ξ, η) . Следовательно,

FD . F∆ →0 F∆

J ( ξ, η) = lim

Таким образом, модуль якобиана есть коэффициент искажения площадей при переходе из плоскости Oξη в плоскость Oxy . Замечание. Формула (10) остается верной и в том случае, когда взаимнооднозначное соответствие между точками областей ( D ) и ( ∆ ) нарушается на множестве точек, лежащих на конечном числе простых кривых. При этом предполагается, что якобиан J ( ξ, η) остается ограниченным всюду в ( ∆ ) . §6. Замена переменных в двойном интеграле

Пусть между точками областей ( D ) и ( ∆ ) установлено взаимно-

 x = x ( ξ, η),

однозначное соответствие посредством формул  Считаем, что вы y = y ( ξ, η). полняются все условия, указанные при выводе формулы для площади плоской фигуры в криволинейных координатах. Пусть в области ( D ) задана непрерывная функция f ( x , y ) . Мы знаем, что тогда существует двойной интеграл I =

∫∫ f ( x, y ) dxdy . Требуется выразить

I

(D )

через некоторый двойной интеграл по области ( ∆ ) . Составим интегральную сумму Римана для двойного интеграла I . Для этого произвольной сетью простых кривых нужно разбить область ( D ) на части ( D1 ) , ( D2 ) , K , ( Dn ) ; в каждой части ( Dk ) взять произвольную точку n

( x k , y k ) , и тогда σ = ∑ f ( x k , yk ) ⋅ FDk . k =1

88

Заметим, что, проводя в ( D ) сеть простых кривых, мы, в силу однозначности отображения, будем проводить также сеть простых кривых в области ( ∆ ) , так что ( ∆ ) разобьется на части ( ∆1 ) , ( ∆ 2 ) , K , ( ∆ n ) . По формуле для площади плоской фигуры в криволинейных координатах, имеем

FDk =

∫∫ J ( ξ, η) dξdη .

(∆k )

Применяя к двойному интегралу, стоящему в правой части, частный случай теоремы о среднем, получим FD = J ( ξ k , ηk ) ⋅ F∆ , где точка ( ξ k , ηk ) ∈( ∆ k ) . k

k

А тогда n

σ = ∑ f ( x k , y k ) ⋅ J ( ξ k , ηk ) ⋅ F∆ . k

k =1

Было отмечено, что у нас двойной интеграл I существует. Следовательно, lim σ = I п р и л ю б о м в ы б о р е т о ч е к ( x k , y k ) в ( Dk ) . В частности, в качеλ→0

стве точек ( x k , y k ) можно взять точки, соответствующие точкам ( ξ k , ηk ) , т. е. положить xk = x ( ξ k , ηk ) , y k = y ( ξ k , ηk ) . При таком выборе точек ( x k , y k ) будем иметь: n

(

)

σ = ∑ f x ( ξ k , ηk ), y ( ξ k , ηk ) ⋅ J ( ξ k , ηk ) ⋅ F∆ . k =1

k

Сумма, стоящая здесь в правой части, есть сумма Римана для двойного интеграла

I* =

∫∫ f ( x( ξ, η), y( ξ, η)) ⋅ J (ξ, η) dξdη ,

(∆)

причем I* существует, ибо подынтегральная функция в нем есть функция непрерывная в ( ∆ ) . Отметим, что, измельчая дробление в ( D ) , мы тем самым будем измельчать дробление и в ( ∆ ) , ибо функции, осуществляющие взаимно-однозначное отображение областей ( D ) и ( ∆ ) друг на друга, есть непрерывные функции. Но тогда σ → I* при λ → 0 . А так как σ → I при λ → 0 , то получаем I = I* , т. е.

∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫∫ f ( x( ξ, η), y( ξ, η)) ⋅ J (ξ, η) dξdη .

(D )

(1)

(∆)

x = r cos ϕ, Частный случай. Пусть  Тогда   y = r sin ϕ.

89

∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫∫ f ( r cos ϕ, r sin ϕ ) r drdϕ . (∆)

(D )

Замечание. Формула (1) остается верной и тогда, когда взаимнооднозначное соответствие между точками областей ( D ) и ( ∆ ) нарушается на множестве точек, лежащих на конечном числе простых кривых. При этом предполагается, что якобиан J ( ξ, η) остается ограниченным всюду в ( ∆ ) . §7. Примеры к главе 3 +∞

Пример 1 (интеграл Эйлера). Вычислить I =

2

−x e ∫ dx (попутно будет до0

казана сходимость этого несобственного интеграла). Введем в рассмотрение функцию

y

f ( x, y ) = e− x

2

− y2

и области ( D1 ) , ( D2 ) , ( D3 ) , где:

( D1 ) – четверть круга: x 2 + y 2 ≤ R2 , лежащая в первой четверти;

x

0 ≤ x ≤ R, ( D2 ) – квадрат:  0 ≤ y ≤ R; ( D3 ) – четверть круга: x 2 + y 2 ≤ 2 R2 , лежащая в

RR 2 Рис. 3.29. К вычислению интеграла Эйлера

что f ( x , y ) > 0 следует: −x ∫∫ e

2

первой четверти. Ясно, что ( D1 ) ⊂ ( D2 ) ⊂ ( D3 ) . Отсюда и из того,

− y2

dxdy ≤

( D1 )

1442443 = I1

−x ∫∫ e

2

− y2

dxdy ≤

( D2 )

1442443 = I2

−x ∫∫ e

2

− y2

dxdy .

(2)

( D3 )

1442443 = I3

Выразим двойной интеграл I2 через повторный.

I2 =

∫∫ e

( D2 )

−x2 − y2

R

R

0

0

dxdy = ∫ dx ∫ e

−x2 − y2

R

dy = ∫ e 0

−x2

R

2

dx ∫ e− y dy = 0

2

 R − y2   R − x2   R − x2  =  ∫ e dy   ∫ e dx  =  ∫ e dx  .  0  0  0 Вычисление двойных интегралов I1, I3 будем производить, переходя к полярным координатам. Будем иметь

90

∫∫ e

I1 =

−x − y

( D1 ) R −r2

π = ∫e 2 0

I3 =

∫∫ e

− x2 − y2

2

2

dxdy =

∫∫ e

−r

2

π2

r drdϕ =

( ∆1 )

0

R

2 π π 2 r dr = ∫ e − r dr 2 = − e − r 4 4

0

π2

dxdy =

( D3 )

∫

R 2

∫

dϕ

0

e

−r2

0

∫

R

2

dϕ ∫ e− r r dr =

r= R r =0

0

=

π 2 r dr = − e− r 4

(

)

2 π 1 − e− R ; 4

r = 2R

=

r =0

(

)

2 π 1 − e −2 R . 4

Теперь неравенство (2) может быть записано в виде

(

π 1 − e− R 4

2

)

2

(

 R − x2  2 π ≤  ∫ e dx  ≤ 1 − e −2 R 4 0 

)⇒

R

⇒

2 2 2 π π 1 − e − R ≤ ∫ e − x dx ≤ 1 − e −2 R . 2 2

0

В этом неравенстве перейдем к пределу при R → + ∞ . Так как 2 π π , 1 − e− R → 2 R→+∞ 2

2 π π , 1 − e −2 R → 2 R→+∞ 2

то по теореме о сжатой переменной заключаем, что R

lim

R→+∞ +∞

Итак, получили +∞

вательно,

∫e 0

− x2

2

−x ∫ e dx = 0

π . 2

π dx = . Легко показать, что 2

0

π , а следо2

2

−x ∫ e dx =

−∞

2

−x ∫ e dx = π .

−∞

Пример 2. В интеграле I =

∫∫ f ( x, y ) dxdy

перей-

(D )

ти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования, если ( D ) – круг x 2 + y 2 ≤ ax ( a > 0 ). 2

2

a a x 2 + y 2 ≤ ax ⇔  x −  + y 2 ≤ ⇒ (D ) –  2 4 a a круг радиуса с центром в точке  , 0 . Положим 2  2

y

r = a cos ϕ ϕ a 2

x a

Рис. 3.30. К примеру 2

91

 x = r cos ϕ, Окружность x 2 + y 2 = ax в полярных координатах задается урав y = r sin ϕ.  π π нением r 2 = ar cosϕ ⇒ r = a cosϕ , ϕ ∈ − ,  . Якобиан J ( r , ϕ ) = r .  2 2  Если внешнее интегрирование производить по ϕ , то промежутком изменеπ π ния ϕ , будет − ,  . Взяв произвольное значение ϕ из промежутка  2 2  − π , π  , видим по рисунку 3.30, что r изменяется от r = 0 до r = a cosϕ . Бу 2 2  дем иметь, следовательно,

π2

I= y a ϕ = 3π 4

∫

r = a cos ϕ

dϕ

−π 2

r= a sin ϕ

∫ f ( r cos ϕ, r sin ϕ ) r dr .

r =0

Пример

ϕ= π 4 sin ϕ r =a cos2ϕ

I=

3.

∫∫ f ( x, y ) dxdy

В

интеграле

перейти к поляр-

(D )

ным координатам и расставить пределы интегрирования, если ( D ) – параболи-

− a ≤ x ≤ a, ческий сегмент  x 2 Рис. 3.31. К примеру 3  a ≤ y ≤ a. В полярных координатах отрезок прямой y = a , − a ≤ x ≤ a , определяется

−a

a

x

x2 π 3π  a  , ϕ∈ , , а кусок параболы y = , x ∈[− a, a ] , – уравнением: r = sin ϕ a  4 4  sin ϕ 0, π  U  3π , π  . Будем производить внешнее уравнением: r = a , ϕ ∈  4   4  cos2 ϕ π интегрирование по ϕ . Взяв произвольное значение ϕ из промежутка 0,  ,  4  sin ϕ видим по рисунку 3.31, что r изменяется от r = 0 до r = a . Взяв произcos2 ϕ π 3π вольное значение ϕ из промежутка  ,  , видим, что r изменяется от r = 0  4 4  3π a до r = . Взяв произвольное значение ϕ из промежутка  , π  , видим,  4  sin ϕ sin ϕ что r изменяется от r = 0 до r = a . Будем, следовательно, иметь cos2 ϕ 92

π 4

I = ∫ dϕ 0

r =a

sin ϕ cos2 ϕ

3π 4

r=

a sin ϕ

∫ f ( r cos ϕ, r sin ϕ ) r dr + ∫ dϕ ∫ f ( r cos ϕ, r sin ϕ ) r dr + π 4

r =0

π

+ ∫ dϕ 3π 4

r =a

sin ϕ cos 2 ϕ

r =0

∫ f ( r cos ϕ, r sin ϕ ) r dr .

r =0 1

1

∫ ∫

Пример 4. В интеграле I = dx f ( x , y ) dy перейти к полярным координа0

0

там и расставить пределы интегрирования в том и другом порядке.

y

2

1 r = 1  ϕ = arcsin  sin ϕ  r

C

B

ϕ= π 4 1 r = 1  ϕ = arccos  cos ϕ  r

x

A

O

1

2

Рис. 3.32. К примеру 4

(D ) определяется соотношениями x = r cos ϕ, 0 ≤ x ≤ 1, ( D ) =  При замене  J (r, ϕ ) = r .  0 ≤ y ≤ 1.  y = r sin ϕ, y = 0,  ϕ = 0, Отрезок OA =  0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ r ≤ 1.    ϕ = π , x = 0,  Отрезок OB =  ⇒  2 0 ≤ y ≤ 1 0 ≤ r ≤ 1. r = 1 , ϕ = arccos 1 ,  x = 1, cos ϕ  Отрезок AC =  ⇒  ⇔  r π 0 ≤ y ≤ 1  1 ≤ r ≤ 2. 0 ≤ ϕ ≤  4 Область

интегрирования

93

r = 1 , ϕ = arcsin 1 ,  y = 1,  sin ϕ Отрезок BC =  ⇒  ⇔  r π π 0 ≤ x ≤ 1  1 ≤ r ≤ 2.  ≤ϕ≤ 2 4 I. Если внешнее интегрирование производить по ϕ , то будем иметь π 4

1 cos ϕ

π 2

r =0

π 4

r=

I = ∫ dϕ

r=

1 sin ϕ

∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ ) r dr + ∫ dϕ ∫ f ( r cos ϕ, r sin ϕ ) r dr .

0

r =0

II. Будем производить теперь внешнее интегрирование по r . Взяв произвольное значение r из промежутка [0, 1], видим по рис. 3.32, что ϕ изменяется

[

]

π . Взяв произвольное значение r из промежутка 1, 2 , ви2 1 1 дим, что ϕ изменяется от ϕ = arccos до ϕ = arcsin . Будем иметь, следоваr r

от ϕ = 0 до ϕ =

тельно,

π 2

1

ϕ=

0

ϕ =0

I = ∫ dr

2

ϕ = arcsin

1 r

∫ f ( r cos ϕ, r sin ϕ ) r dϕ + ∫ dr ∫ f ( r cos ϕ, r sin ϕ ) r dϕ . 1

y

ϕ = arccos

1 r

1

∫

Пример 5. В интеграле I = dx

2 B

1 C

0

y= x2

∫ f ( x, y ) dy

y =0

перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования в том и другом порядке. Область интегрирования ( D ) определяет-

 0 ≤ x ≤ 1, x ся соотношениями ( D ) =  2 Делаем 0 ≤ y ≤ x .  O 2 x = r cos ϕ, Рис. 3.33. К примеру 5 замену   y = r sin ϕ ⇒ J ( r , ϕ ) = r .  y = 0,  ϕ = 0, Отрезок OA =  0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ r ≤ 1.   r = 1 , ϕ = arccos 1 ,  = 1 , x  cos ϕ ⇒  ⇔  Отрезок AB =  r π 0 ≤ y ≤ 1  0 ≤ ϕ ≤  1 ≤ r ≤ 2.  4 A 1

94

r = sin ϕ ,  1 + 4r 2 − 1 2  y=x ,  ( OCB = 0 ≤ x ≤ 1 ⇒  cos ϕ ⇔ ϕ = arcsin 2r ,    0≤ϕ≤ π 0 ≤ r ≤ 2.  4 sin ϕ 0, π  ; , ϕ ∈ ( y = x 2 ⇒ r sin ϕ = r 2 cos2 ϕ ⇒ r =  4  cos2 ϕ 2

имеем также

−1 ± 1 + 4r 2 r sin ϕ = r (1 − sin ϕ ) ⇒ r sin ϕ + sin ϕ − r = 0 ⇒ sin ϕ = ⇒ 2r π так как sin ϕ ≥ 0 для ϕ ∈ 0,  ,  4  2

2

2

1 + 4r 2 − 1 1 + 4r 2 − 1 sin ϕ = ⇒ ϕ = arcsin , r ∈ 0, 2 . 2r 2r ϕ( r ) в точке r = 0 понимается в предельном смысле, ϕ( 0) = 0 . I. Будем производить внешнее интегрирование по ϕ . Взяв произвольное π значение ϕ из промежутка 0,  видим по рис. 3.33, что r изменяется от  4  sin ϕ 1 r= до r = . Поэтому будем иметь 2 cosϕ cos ϕ

[

π 4

r=

0

r=

I = ∫ dϕ

]

1 cos ϕ

∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ ) r dr .

sin ϕ cos 2ϕ

II. Станем производить теперь внешнее интегрирование по r . Взяв произвольное значение r из промежутка [0, 1], видим по рис. 3.33, что ϕ изменяется

1 + 4r 2 − 1 . Взяв произвольное значение r из проме2r 1 жутка 1, 2 , видим по рис. 3.33, что ϕ изменяется от ϕ = arccos до r 1 + 4r 2 − 1 ϕ = arcsin . Следовательно, будем иметь 2r от ϕ = 0 до ϕ = arcsin

[

1

I = ∫ dr 0

]

ϕ = arcsin

1+ 4r 2 −1 2r

2

∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ ) r dϕ + ∫ dr

ϕ=0

1

ϕ = arcsin

1+ 4r 2 −1 2r

∫ f ( r cos ϕ, r sin ϕ ) r dϕ . ϕ = arccos

1 r

95

Пример 6. Переменить порядок интегрирования в интеграле r = a sin 2ϕ

π2

I= y

π 1 r ϕ = − arcsin 2 2 2 a π ϕ= 4

∫ f (ϕ, r ) dr .

dϕ

r =0

0

2

Область интегрирования ( D ) определяет-

 0 ≤ ϕ ≤ π , 2 Из ся соотношениями: ( D ) =  0 ≤ r ≤ a sin 2ϕ . соотношения r = a sin 2ϕ ⇒ r 2 = a 2 sin 2ϕ

2

ϕ = 1 arcsin r 2 2 a x a

O

∫

sin 2ϕ =

⇒

r2 a2

⇒

2ϕ = arcsin

r2 a2

⇒

1 r2 ϕ = arcsin 2 , r ∈[0, a ] . Требуется произве2 a сти внешнее интегрирование по r . Возьмем произвольное значение r из промежутка [0, a ] . Из рис. 3.34 виРис. 3.34. К примеру 6

дим, что ϕ будет изменяться при этом r от значения ϕ = ния ϕ =

π 1 r2 − arcsin 2 . Следовательно, будем иметь 2 2 a a

I = ∫ dr 0

1 r2 arcsin 2 до значе2 a

π 1 r2 ϕ = − arcsin 2 2 2 a

∫ f ( ϕ , r ) dϕ .

1 r2 ϕ = arcsin 2 2 a

Пример 7. В двойном интеграле

∫∫ f ( x, y ) dxdy , где ( D ) – область, огра-

(D )

ниченная линиями:

x + y = a ( a > 0 ), x = 0 , y > 0 , сделать замену пере-

 x = u cos4 v , менных по формулам:  4  y = u sin v. При такой замене: x+ y= a 1) линия

(a > 0 )

перейдет

в

линию

u ⋅ cos2 v + u ⋅ sin 2 v = a ⇒ u = a ⇒ u = a (рис. 3.35, 3.36);  u sin 4 v = 0, y = 0, v = 0,  перейдет в линию  ⇒  2) линия   4 0 < u ≤ a; 0 < x ≤ a 0 < u cos v ≤ a 96

 v = π ,  u cos4 v = 0, ⇒  2  4 0 < u sin v ≤ a 0 < u ≤ a;  u cos4 v = 0, 4) точка O( 0, 0) перейдет в линию  ⇒ u = 0. 4  u sin v = 0 y v x = 0, 3) линия  0 < y ≤ a перейдет в линию 

a π2 (∆) x

(D )

u

a

O

Рис. 3.35. К примеру 7

J ( u, v ) =

a

O

Рис. 3.36. К примеру 7

4 3 xu′ x v′ = cos4 v −4u cos3 v sin v = 4u sin 3 v cos3 v . yu′ y v′ sin v 4u sin v cos v

Следовательно, a

v=π 2

0

v =0

I = 4∫ u du

∫ f ( u cos

4

v , u sin 4 v )sin 3 v cos3 v dv .

Пример 8. Произведя соответствующую замену переменных, свести двойной интеграл I =

∫∫ f ( x ⋅ y ) dxdy , где ( D ) – область, ограниченная линиями:

(D )

xy = 1 , xy = 2 , y = x , y = 4 x ( x > 0 , y > 0 ), к однократному. y v 4

4

y = 4x

3

(D )

2 1 1

2

3 y=x xy = 2 xy=1 x

Рис. 3.37. К примеру 8

(∆)

2 1 1

2

u

Рис. 3.38. К примеру 8

97

Делаем замену переменных:

 u  xy = u,  x = v , ⇒  ( u > 0 , v > 0 , ибо x > 0 , y > 0 ). y = v  x  y = uv При такой замене: 1) линия xy = 1 перейдет в линию u = 1 ; 2) линия xy = 2 перейдет в линию u = 2 ; 3) линия y = x перейдет в линию v = 1 ; 4) линия y = 4 x перейдет в линию v = 4 .

1 1 u − 32 x′ x′ 2v 1 = J ( u, v ) = u v = 2 uv . yu′ y v′ 2v 1 v 1 u 2 u 2 v Будем иметь, следовательно, 2

v =4

1

v =1

1 I = ∫ du 2

∫

dv 1 f ( u) = v 2

u= 2

∫ f ( u)[ln v ]

u=1

v =4 du = v =1

2

ln 2 ⋅ ∫ f ( u ) du . 1

Пример 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией ( x − y )2 + x 2 = a 2 ( a > 0 ).

v

x − y = u, Делаем замену переменных    x=v

⇒

 x = v , При такой замене линия ( x − y )2 + x 2 = a 2  (∆) u  y = v − u. a ( a > 0 ) переёдет в линию u2 + v 2 = a 2 . Это – окружность радиуса a с центром в точке ( 0, 0) . x′ x′ 0 1 = 1. J ( u, v ) = u v = −1 1 yu′ yv′ Рис. 3.39. К примеру 9 Искомая площадь F фигуры, ограниченной линией ( x − y )2 + x 2 = a 2 ( a > 0 ) будет равна

F=

∫∫ dxdy = ∫∫ J (u, v ) dudv = ∫∫ dudv = πa

(D )

(∆)

2

(кв. ед.).

(∆)

Пример 10. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ( x 2 + y 2 )2 = 2a 2 ( x 2 − y 2 ); x 2 + y 2 ≥ a 2 .

98

ϕ = 5π 6

y

ϕ= π 6

r =a

r =a 2cos 2ϕ x

a

a 2 ϕ=− π 6

ϕ = − 5π 6

Рис. 3.40. К примеру 10

x = r cos ϕ, Переходим к полярным координатам  В полярной системе  координат

линия

 y = r sin ϕ. 2 ( x 2 + y 2 ) = 2a 2 ( x 2 − y 2 ) будет

иметь

уравнение:

r = a 2 cos 2ϕ (это – лемниската), а линия x 2 + y 2 = a 2 – уравнение r = a (это – окружность). Найдем точки пересечения этих линий. Для этого нужно решить систему:

r = a 2 cos 2ϕ , ⇒  r = a 

2 cos 2ϕ = 1 ⇒ cos 2ϕ =

π 1 5π ⇒ ϕ=± ; ϕ=± . 2 6 6

Принимая во внимание симметричность фигуры, станем вычислять площадь ее части, расположенной в первой четверти. Взяв произвольное значение ϕ из

π промежутка 0,  , видим из рис. 3.40, что r при этом ϕ изменяется от значе

6 

ния r = a до значения r = a 2 cos 2ϕ . Будем иметь, следовательно, π 6

r = a 2 cos 2ϕ

0

r =a

1 F = ∫ dϕ 4 ⇒ F=

π 6 2 r = a 2 cos 2ϕ

r ∫ r dr = ∫ 2 0

r =a

π 6

1 a2  3 π 2 2 dϕ = ∫ ( 2a cos 2ϕ − a ) dϕ =  − 2 2  2 6  0

3 3−π 2 ⋅ a (кв. ед.). 3

Пример 11. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y 2 = 2 px ;

y 2 = 2qx ; x 2 = 2ry ; x 2 = 2sy ( 0 < p < q ; 0 < r < s ).

99

v 2s

y

x 2 = 2 sy

x 2 = 2ry

(∆)

2

y = 2qx (D )

2r

y 2 = 2 px x

u

O

O 2p Рис. 3.41. К примеру 11

2q

Рис. 3.42. К примеру 11

Делаем замену переменных

 y2  x = u,  x = u1 3 ⋅ v 2 3 , ⇒   2 x  y = u2 3 ⋅ v1 3.  =v  y При такой замене: 1) ветвь параболы y 2 = 2 px перейдет в прямую линию u = 2 p ; 2) ветвь параболы y 2 = 2qx перейдет в прямую линию u = 2q ; 3) ветвь параболы x 2 = 2ry перейдет в прямую линию v = 2r ; 4) ветвь параболы x 2 = 2 sy перейдет в прямую линию v = 2 s .

1 −2 3 2 3 u v J ( u, v ) = 3 2 −1 3 1 3 u v 3

2 1 3 −1 3 u v 1 3 =− ⇒ 1 2 3 −2 3 3 u v 3

1 J ( u, v ) = . 3

Поэтому

F=

∫∫ dxdy =

(D )

∫∫

(∆)

1 J ( u, v ) dudv = 3

2q

∫

2p

2s

4 du ∫ dv = ( q − p )( s − r ) . 3 2r

Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: 2 x 3

2

2

2

y 3 y 3 x 3 ( l1 ):   +   = 1; ( l2 ):   +   = 4 ;  a  a  b  b x y x y ( l3 ): = ; ( l4 ): 8 = ( x > 0, y > 0) . a b a b 100

y 8b

( l4 )

( l3 ) arctg 2 π4

(D ) ( l1 ) a

b

(∆)

v

( l2 )

u 1

x

8

8a Рис. 3.44. К примеру 12

Рис. 3.43. К примеру 12

 x = au cos3 v , Делаем замену переменных  При такой замене: 3  y = bu sin v. 1) линия ( l1 ) перейдет в линию u2 3 = 1 ⇒ u = 1 ; 2) линия ( l2 ) перейдет в линию u2 3 = 4 ⇒ u = 8 ;

π ; 4 4) линия ( l4 ) перейдет в линию tg3 v = 8 ⇒ v = arctg 2 . 3 2 x′ x′ J ( u, v ) = u v = a cos3 v −3au cos2 v sin v = 3abu sin 2 v cos2 v . yu′ y v′ b sin v 3bu sin v cos v

3) линия ( l3 ) перейдет в линию tg3 v = 1 ⇒ v =

Имеем, следовательно,

F=

∫∫ dxdy = ∫∫ 3abu sin

v = arctg 2

2

2

v cos v dudv = 3ab

(∆)

(D )

3 ⋅ 63 = ab 2 189 = ab 8

v = arctg 2

∫

v=π 4

v =π 4

2

sin v cos v dv

v=π 4 v = arctg 2

v = arctg 2

∫ sin

∫

2

2

v cos2 v dv =

189 1 ab ⋅ 2 4

∫ sin

u=8

∫ u du =

u=1

2

2 v dv =

v=π 4

1 − cos 4v 189  π 1 v = arctg 2 dv = ab  arctg 2 −  − sin 4 v v = π 4  = 2 16 4 4  

189  1 ab (arctg 2 − arctg1) − sin ( 4 arctg 2 ) .   16 4 1 24 Так как arctg 2 − arctg1 = arctg , sin ( 4 arctg 2 ) = − , то 3 25 189  1 6 F= ab arctg +  (кв. ед.). 16  3 25 =

101

Глава 4. Вычисление площадей кривых поверхностей §1. Некоторые сведения из геометрии 1.°Касательная прямая и нормальная плоскость к пространственной кривой. Определение. Касательной в точке N к пространственной кривой ( l ) называется предельное положение секущей, проходящей через точку N и какуюнибудь точку M этой кривой, когда точка M по кривой стремится к совпадению с точкой N . Пусть кривая ( l ) задана параметрическими уравнениями

 x = ϕ ( t ),  y = ψ ( t ), t ∈[ p, q] .  z = ω ( t ),

(1)

Предполагаем, что функции ϕ( t ) , ψ( t ) , ω ( t ) имеют в [ p, q] непрерывные производные M ϕ ′ ( t ) , ψ ′( t ) , ω ′ ( t ) . (l ) Пусть точка N ( x0 , y0 , z0 ) соответствует N t0 , а точка значению параметра M ( x0 + ∆ x , y0 + ∆ y , z0 + ∆ z ) – значению паy раметра t0 + ∆ t , так что: x0 = ϕ ( t0 ) , y0 = ψ( t0 ) , z0 = ω ( t0 ) ; x0 + ∆ x = ϕ ( t0 + ∆ t ) , x y0 + ∆ y = ψ( t0 + ∆ t ) , z0 + ∆ z = ω ( t0 + ∆ t ) . Рис. 4.1. К определению касательной к пространственной Составляем уравнение секущей NM как уравнение прямой, проходящей через две точкривой ки:

z

(T )

x − x0 y − y0 z − z0 = = ( x0 + ∆ x ) − x0 ( y0 + ∆ y ) − y0 ( z0 + ∆ z ) − z 0

( x , y , z – текущие координаты), или

x − x0 y − y0 z − z0 = . = ϕ ( t0 + ∆ t ) − ϕ ( t0 ) ψ ( t0 + ∆ t ) − ψ ( t0 ) ω ( t0 + ∆ t ) − ω ( t0 ) Разделив знаменатели этих отношений на ∆ t и переходя к пределу при ∆ t → 0 , получим уравнение касательной к ( l ) в точке N . x − x0 y − y0 z − z 0 = . (2) = ϕ ′( t 0 ) ψ ′( t 0 ) ω ′ ( t 0 ) r Из (2) видим, что вектор τ (ϕ ′( t0 ), ψ ′( t0 ), ω ′( t0 )) направлен по касательной к кривой ( l ) в точке N . 102

Замечание. Уравнения (2) теряют смысл, если ϕ ′( t0 ) = ψ ′( t0 ) = ω ′( t0 ) = 0 . В этом случае точка N называется особой. Если же хотя бы один из знаменателей в соотношении (2) не равен нулю, то точка N называется обыкновенной. В дальнейшем мы будем рассматривать только обыкновенные точки. Определение. Нормальной плоскостью к кривой ( l ) в точке N называется плоскость, проходящая через точку N п е р п е н д и к у л я р н о касательной к ( l ) в точке ( N ) . Найдем уравнение нормальной плоскости. Для этого берем уравнение связки плоскостей с центром в точке N ( x0 , y0 , z0 ) : A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C( z − z0 ) = 0 . (3) По определению, нормальная плоскость перпендикулярна касательной к ( l ) в

точке N . Поэтому

A B C = = ( = k ) , k – обозначение общей веϕ ′ ( t 0 ) ψ ′( t 0 ) ω ′( t 0 )

личины этих отношений. А тогда

A = k ⋅ ϕ ′( t0 ), B = k ⋅ ψ ′( t0 ), C = k ⋅ ω ′( t0 ) . Подставив эти выражения для A , B и C в (3), получим уравнение нормальной плоскости к ( l ) в точке N : ϕ ′ ( t 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) + ψ ′ ( t 0 ) ⋅ ( y − y 0 ) + ω ′( t 0 ) ⋅ ( z − z 0 ) = 0 . (4) z

z N

N (l )

y x

Рис. 4.2. К определению нормальной плоскости к пространственной кривой

(l )

(l )

(s) y

x

Рис. 4.3. К определению касательной плоскости и нормали к поверхности

2°. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Определение. Пусть дана поверхность ( s ) и пусть точка N ( x0 , y0 , z0 ) ∈( s ) . Рассмотрим всевозможные кривые, лежащие на ( s ) и проходящие через точку N . Проведем к этим кривым в точке N касательные прямые. Если геометрическим место этих касательных прямых оказывается плоскость, то она называется касательной плоскостью к поверхности ( s ) в точке N , а перпендикуляр к этой плоскости в точке N называется нормалью к поверхности ( s ) в точке N . Пусть данная поверхность ( s ) имеет уравнение F ( x, y, z ) = 0 . (5) 103

Предполагаем, что функция F ( x , y , z ) непрерывна и имеет непрерывные частные производные Fx′, Fy′ , Fz′ в некоторой пространственной области. Точки поверхности ( s ) , в которых одновременно Fx′( x , y , z ) = 0 , Fy′ ( x , y , z ) = 0 ,

Fz′( x , y , z ) = 0 , называются особыми точками. Остальные точки поверхности ( s ) называются обыкновенными. Пусть точка N ( x0 , y0 , z0 ) – обыкновенная точка поверхности ( s ) . Рассмотрим одну из кривых ( l ) , лежащую на ( s ) и проходящую через точку N ( x0 , y0 , z0 ) . Пусть параметрические уравнения этой кривой ( l ) такие:  x = ϕ ( t ),  y = ψ ( t ), t ∈[ p, q] ,  z = ω ( t ), где функции ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t ) определены и имеют непрерывные производные ϕ ′( t ), ψ ′( t ), ω ′( t ) в промежутке [ p, q] . Пусть точка N ( x0 , y0 , z0 ) соответствует значению параметра t0 . Уравнение касательной к ( l ) в точке N ( x0 , y0 , z0 ) будет таким: x − x0 y − y0 z − z 0 . (6) = = ϕ ′( t 0 ) ψ ′( t 0 ) ω ′ ( t 0 ) Мы докажем, что у данной поверхности ( s ) в точке N существует касательная плоскость, если покажем, что касательная прямая к л ю б о й к р и в о й ( l ) , проходящей через точку N , перпендикулярна к некоторой определенной прямой. Так как вся кривая ( l ) лежит на поверхности ( s ) , то при всех t ∈[ p, q] будет

F (ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t )) = 0 . (7) Значит, (7) есть тождество относительно t . Продифференцируем это тождество по t . Получим Fx′(ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t )) ⋅ ϕ ′( t ) + Fy′ (ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t )) ⋅ ψ ′( t ) + + Fz′(ϕ ( t ), ψ ( t ), ω ( t )) ⋅ ω ′( t ) = 0 Положим в этом соотношении t = t0 . Получим Fx′( x0 , y0 , z0 ) ⋅ ϕ ′( t0 ) + Fy′ ( x0 , y0 , z0 ) ⋅ ψ ′( t0 ) + Fz′( x0 , y0 , z0 ) ⋅ ω ′( t0 ) = 0 . (8)

Равенство (8) представляет собой условие перпендикулярности двух прямых, а именно, прямой (6) (т. е. касательной к ( l ) в точке N ) и прямой, имеющей уравнение

x − x0 y − y0 z − z0 = . (9) = Fx′( x0 , y0 , z0 ) Fy′ ( x0 , y0 , z0 ) Fz′( x0 , y0 , z0 ) Ясно, что прямая (9) не зависит от выбора кривой ( l ) . Она зависит только от поверхности ( s ) и от положения точки N на ( s ) . Значит, касательная прямая к 104

л ю б о й к р и в о й ( l ) , лежащей на ( s ) и проходящей через точку N ( x0 , y0 , z0 ) перпендикулярна к одной и той же прямой (9). Следовательно, у поверхности ( s ) в точке N существует касательная плоскость. Нетрудно понять, что прямая (9) является нормалью к поверхности ( s ) в точке N . Выведем теперь уравнение касательной плоскости к ( s ) в точке N . Для этого возьмем уравнение связки плоскостей с центром в точке N : A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C( z − z0 ) = 0 . (10) Так как касательная плоскость к ( s ) в точке N перпендикулярна нормали (9), то

~ A B C = = (= k ) , Fx′( x0 , y0 , z0 ) Fy′ ( x0 , y0 , z0 ) Fz′( x0 , y0 , z0 )

~ k – обозначение общей величины этих отношений. А тогда ~ ~ ~ A = k ⋅ Fx′( x0 , y0 , z0 ), B = k ⋅ Fy′ ( x0 , y0 , z0 ), C = k ⋅ Fz′( x0 , y0 , z0 ) . Подставив эти выражения для A , B и C в (10), получим уравнение касательной плоскости к поверхности ( s ) в точке N : Fx′( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + Fy′ ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz′( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0 . (11) Частный случай. Пусть поверхность ( s ) задана явным уравнением: z = f ( x, y ) , (12) где f ( x , y ) – непрерывная вместе со своими частными производными p ( x , y ) = f x′( x , y ) и q( x , y ) = f y′ ( x , y ) . Отметим, что у такой поверхности все точки обыкновенные. В самом деле, запишем уравнение (12) в виде: f ( x , y ) − z = 0 . Это есть уравнение вида (5), где F ( x , y , z ) = f ( x , y ) − z . Поэтому Fx′( x , y , z ) = f x′( x , y ) , Fy′ ( x , y , z ) = f y′ ( x , y ) , Fz′ = −1 ( ≠ 0 ) . Уравнение касательной плоскости в точке N ( x0 , y0 , z0 ) к поверхности, заданной уравнением (12), будет таким: z − z0 = f x′( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y′ ( x0 , y0 )( y − y0 ) . (13) Уравнение нормали в точке N ( x0 , y0 , z0 ) к поверхности, заданной уравнением (12):

x − x0 y − y0 z − z0 = = . f x′( x0 , y0 ) f y′ ( x0 , y0 ) −1

(14)

Если α, β, γ – углы, которые нормаль к поверхности ( s ) образует с осями координат, то

105

cos α =

f x′ 2

± 1 + ( f x′ ) + ( f y′ ) cos γ =

2

, cos β =

f y′ 2

± 1 + ( f x′ ) + ( f y′ )

−1 2

± 1 + ( f x′ ) + ( f y′ )

2

2

,

.

(15)

Выбор знака перед радикалом означает выбор определенного направления на нормали. Если нам нужно, например, то направление, которое составляет с осью Oz острый угол, то должно быть cos γ > 0 и, следовательно, в формулах (15) перед радикалом нужно взять знак минус. Замечание. Пусть кривая ( l ) задана пересечением двух поверхностей, т. е.

F ( x , y , z ) = 0, Касательную прямую к этой кривой в точке системой  

Φ ( x , y , z ) = 0. N ( x0 , y0 , z0 ) можно получить как пересечение касательных плоскостей, проведенных к данным поверхностям в точке N . Следовательно, уравнение этой касательной прямой будет таким:

 Fx′( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + Fy′ ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Fz′( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0, (16)  Φ′x ( x0 , y0 , z0 )( x − x0 ) + Φ′y ( x0 , y0 , z0 )( y − y0 ) + Φ′z ( x0 , y0 , z0 )( z − z0 ) = 0. §2. Существование площади кривой поверхности и ее вычисление 1°. Рассмотрим поверхность ( s ) , з а д а н н у ю я в н ы м у р а в н е н и е м z = f ( x, y ) , (1) где f ( x , y ) определена, непрерывна и Mk z имеет непрерывные частные производные ( s) f x′( x , y ) , f y′ ( x , y ) в области ( D ) , распо-

ложенной в плоскости Oxy и ограниченной простым контуром. Разобьем ( D ) произвольной сетью y простых кривых на части ( D1 ) , ( D2 ) , K , ( Dn ) с площадями F1, F2 , K , Fn . Рассмотрим цилиндрические поверхности, образующие которых параллельны оси x (Dk ) Oz , а направляющими служат простые (D ) кривые, разбивающие на части ( D ) . Эти Рис. 4.4. К вычислению площади кривой поверхности цилиндрические поверхности переносят дробящую сеть с ( D ) на ( s ) . Поэтому поверхность ( s ) разобьется на части ( s1 ) , ( s2 ) , K , ( sn ) . На каждой части ( sk ) 106

берем произвольную точку M k ( xk , y k , z k ) и проводим в этих точках плоскости, касательные к поверхности ( s ) . Продолжим упомянутые выше цилиндрические поверхности до пересечения с построенными касательными плоскостями. Тогда на этих плоскостях вырежутся плоские области ( ~ s1 ) , ( ~ s2 ) , K , ( ~ sn ) . Пусть площади их будут: T1, T2 , K , Tn соответственно. Обозначим через λ ранг дробления области ( D ) . Покажем, что существует конечный предел n

s = lim ∑ Tk , не зависящий ни от выбора дробящей сети, ни от выбора точек λ→0

k =1

M k на ( sk ) . Этот предел и принимается за площадь s поверхности ( s ) . Заметим, что области ( Dk ) являются проекциями ( ~ sk ) на плоскость Oxy . Значит, площади их связаны так: Fk = Tk ⋅ cos ψ k , где ψ k – угол между плоскостью Oxy и плоскостью, касательной к поверхности ( s ) в точке M k . Но угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям. Поэтому ψ k = γ k , где γ k – угол между осью Oz и нормалью к поверхности ( s ) в точке M k . А тогда

cos ψ k = cos γ k =

1

(

)

1 + ( f x′( xk , yk )) + f y′ ( xk , yk ) 2

2

(заметим, что нам нужен положительный косинус). И, следовательно,

Tk =

(

n

⇒

)

2 Fk 2 = 1 + ( f x′( xk , y k )) + f y′ ( x k , y k ) ⋅ Fk ⇒ cos ψ k n

(

)

2

∑ Tk = ∑ 1 + ( f x′( xk , yk )) + f y′ ( xk , yk ) ⋅ Fk . k =1

2

k =1

(2)

Видим, что сумма (2) есть интегральная сумма Римана для двойного интеграла по области ( D ) от непрерывной в ( D ) функции

(

)

2

1 + ( f x′( x , y )) + f y′ ( x , y ) . 2

Значит, у суммы (2) существует при λ → 0 конечный предел, не зависящий ни от выбора дробящей сети области ( D ) , ни от выбора точек M k на ( sk ) , а это и требовалось доказать. Попутно установлено, что

s=

∫∫

(

)

2

1 + ( f x′( x , y )) + f y′ ( x , y ) dxdy . 2

(3)

(D )

Замечание. Формулу (3) для площади s кривой поверхности можно записать в виде:

s=

dxdy

∫∫ cos γ ,

(4)

(D )

107

где γ – острый угол между нормалью к поверхности ( s ) и осью Oz . Если на нормали к ( s ) направление не выбрано нужным образом, то вместо (4) следует писать

s=

dxdy

∫∫ cos γ .

(5)

(D )

2°. Случай, когда поверхность задана параметрическими уравнениями. Рассмотрим теперь поверхность ( s ) , заданную параметрическими уравнениями

 x = x ( u, v ),  y = y ( u, v ),  z = z ( u, v ),

(6)

где x ( u, v ) , y ( u, v ) , z ( u, v ) есть функции, заданные в области ( ∆ ) плоскости Ouv , непрерывные там и имеющие непрерывные частные производные xu′ , xv′ , yu′ , y v′ , zu′ , z v′ . Составим матрицу

 xu′ yu′ zu′     x v′ y v′ z v′  и рассмотрим следующие определители, составленные из элементов этой матрицы:

A=

yu′ zu′ z′ x′ x′ y′ , B= u u, C= u u . y v′ z v′ z v′ x v′ x v′ y v′

Предположим, что один из этих трех определителей, например, C , всюду в ( ∆ ) отличен от нуля. ( C ≠ 0 всюду в ( ∆ ) ). Возьмем первые два уравнения из системы (6). При условии, что C ≠ 0 в

x = x ( u, v ), ( ∆ ) , система  однозначно разрешима относительно u и v , т. е.  y = y ( u, v ) u = u ( x , y ), причем функции u ( x , y ) , v ( x , y ) будут определены, непрерывны v = v ( x , y ),  и иметь непрерывные частные производные ux′ ( x , y ) , u′y ( x , y ) , v x′ ( x , y ) ,

v ′y ( x , y ) в некоторой области ( D ) плоскости Oxy (см. теорию функций, заданных неявно). Подставив выражения для u и v через x и y в соотношение z = z ( u, v ) из (6), получим z = z ( u ( x , y ), v ( x , y )) , т. е. z = f ( x , y ) . Отметим, что функция f ( x , y ) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные f x′( x , y ) , f y′ ( x , y ) в области ( D ) . Видим, таким образом, что поверхность ( s ) , заданная параметрическими уравнениями (6), пред108

ставляет собой поверхность как раз такого типа, который был рассмотрен выше в 1°. Было показано, что у такой поверхности есть площадь s , причем

s=

dxdy

∫∫ cos γ

(см. (5)). В двойном интеграле, выражающем площадь поверхно-

(D )

сти ( s ) , сделаем замену переменных, взяв в качестве новых переменных параметры

s=

∫∫

(∆)

 x = x ( u, v ), ( u, v ) ∈( ∆ ) .  y = y ( u, v ),  J ( u, v ) x′ x′ dudv . У нас J ( u, v ) = u v = C . Поэтому yu′ y v′ cos γ u

и

v,

т. е.

s=

положив

∫∫

(∆)

Получим

C dudv . cos γ

(7) z γ nr ( s ) В двойном интеграле (7) следует выразить cos γ через переменные u и v . Для этого (l2 ) на поверхности ( s ) выберем и закрепим N (l1) произвольную точку N ( x0 , y0 , z0 ) , соответствующую точке ( u0 , v0 ) ∈( ∆ ) . Провеr дем в этой точке нормаль n к поверхности y ( s ) . Пусть α, β, γ – углы, которые норr маль n образует с осями Ox , Oy и Oz со- x ответственно. Проведем на поверхности ( s ) Рис. 4.5. К вычислению площади через точку N кривую ( l1 ) : кривой поверхности, заданной

 x = x ( u, v0 ), ( l1 ) =  y = y ( u, v0 ),  z = z ( u, v0 )

параметрическими уравнениями

r

(это – линия, ибо параметр один). Вектор τ1( xu′ ( u0 , v0 ), yu′ ( u0 , v0 ), zu′ ( u0 , v0 )) направлен по касательной к ( l1 ) в точке N . Так как линия ( l1 ) лежит на поr r верхности ( s ) и проходит через точку N , то τ1 ⊥ n . Поэтому xu′ ( u0 , v0 )cos α + yu′ ( u0 , v0 )cos β + zu′ ( u0 , v0 )cos γ = 0 ⇒ ⇒ xu′ ( u0 , v0 )cos α + yu′ ( u0 , v0 )cos β = − zu′ ( u0 , v0 )cos γ . (8) Затем на поверхности ( s ) через точку N ( x0 , y0 , z0 ) проводим кривую

109

 x = x ( u0 , v ), ( l2 ) =  y = y ( u0 , v ),  z = z ( u0 , v ). r Вектор τ 2 ( xv′ ( u0 , v0 ), yv′ ( u0 , v0 ), z v′ ( u0 , v0 )) направлен по касательной к ( l2 ) в точке N . Так как ( l2 ) лежит на поверхности ( s ) и проходит через точку N , то r r τ 2 ⊥ n . Поэтому xv′ ( u0 , v0 )cos α + y v′ ( u0 , v0 )cos β + z v′ ( u0 , v0 )cos γ = 0 ⇒ ⇒ x v′ ( u0 , v0 )cos α + y v′ ( u0 , v0 )cos β = − z v′ ( u0 , v0 )cos γ . (9) Из системы

 xu′ ( u0 , v0 )cos α + yu′ ( u0 , v0 )cos β = − zu′ ( u0 , v0 )cos γ ,   xv′ ( u0 , v0 )cos α + yv′ ( u0 , v0 )cos β = − z v′ ( u0 , v0 )cos γ найдем cosα и cosβ : − zu′ ( u0 , v0 )cos γ yu′ ( u0 , v0 ) z′ y′ − cos γ ⋅ u u − z v′ ( u0 , v0 )cos γ y v′ ( u0 , v0 ) z v′ y v′ A cos α = = = cos γ ; C C xu′ ( u0 , v0 ) yu′ ( u0 , v0 ) x v′ ( u0 , v0 ) y v′ ( u0 , v0 ) xu′ ( u0 , v0 ) − zu′ ( u0 , v0 )cos γ x′ z′ − cos γ ⋅ u u x ′ ( u , v ) − z v′ ( u0 , v0 )cos γ x v′ z v′ B = cos β = v 0 0 = cos γ . C C xu′ ( u0 , v0 ) yu′ ( u0 , v0 ) x v′ ( u0 , v0 ) y v′ ( u0 , v0 ) C cos γ = cos γ . Известно, Можем написать также, что C cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1. А тогда C A2 + B 2 + C 2 2 . ⋅ cos γ = 1 ⇒ cos γ = 2 2 2 2 C A +B +C Подставляя это выражение для cos γ в (7), находим:

s=

∫∫

A2 + B2 + C 2 dudv .

что

(10)

(∆)

Замечание 1. Из формулы (10) для площади s поверхности видим, что на окончательном результате не отразилось, что отличен от нуля именно определитель C , а не A или B . Точно такое же выражение для s мы получили бы, предполагая, что в ( ∆ ) отличен от нуля либо определитель A , либо определитель B . Поэтому формула (10) верна и тогда, когда область ( ∆ ) разлагается на конечное число частей, в каждой из которых отличен от нуля хотя бы один из трех определителей: A, B, C . 110

Замечание 2. Положим

( xu′ )2 + ( yu′ )2 + ( zu′ )2 = E , ( x v′ )2 + ( y v′ )2 + ( z v′ )2 = G , xu′ xv′ + yu′ y v′ + zu′ z v′ = F ( E , G , F – это так называемые коэффициенты Гаусса). Легко проверить, что

A2 + B2 + C 2 = EG − F 2 . Поэтому s=

∫∫

EG − F 2 dudv .

(11)

(∆)

§3. Примеры к главе 4 Пример 1. Найти площадь s поверхности тела, ограниченного поверхностями: x 2 + z 2 = a 2 , y 2 + z 2 = a 2 .

y

z

y=x (D) O

a

a x

x

y

y=x Рис. 4.6. К примеру 1

Рис. 4.7. К примеру 2

На рис. 4.6 изображена часть интересующей нас поверхности, расположенная в первом октанте. Эта часть поверхности состоит из двух одинаковых по площади кусков. Один из этих кусков определяется уравнением

z = a 2 − x 2 и проектируется на плоскость Oxy в треугольник 0 ≤ x ≤ a, ( D ) =  Площадь ~ s этого куска поверхности можно определить по 0 ≤ y ≤ x. −x формуле: ~ s = ∫∫ 1 + ( z x′ )2 + ( z ′y )2 dxdy . Имеем: z x′ = , z ′y = 0 . Сле2 2 a −x (D ) довательно,

1 + ( z x′ )2 + ( z ′y )2 = 1 + А тогда

x2 a2 = . a2 − x2 a2 − x2 111

a

y=x

dx

~s = a ∫

2

a −x

0

a

∫ dy = a ∫

2

y =0

0

x dx 2

a −x

2

= −a a 2 − x 2

x =a x =0

= a2 .

1 s составляет лишь часть площади s , то находим Так как ~ 16

s = 16a 2 (кв. ед.). Пример 2. Найти площадь s части поверхности x 2 + y 2 = 2az , заключенной внутри цилиндра ( x 2 + y 2 )2 = 2a 2 xy (рис. 4.7).

x2 + y2 Поверхность z = – параболоид вращения. Ось Oz является осью 2a

симметрии

параболоида вращения. Цилиндрическая поверхность ( x + y ) = 2a xy – симметрична относительно плоскости y = x . Она пересекается с плоскостью Oxy по кривой, уравнение которой в полярных координа2

этого

2 2

2

тах имеет вид: r 2 = a 2 sin 2ϕ . Одна четвертая часть куска поверхности, вырезаемая цилиндром из параболоида вращения, проектируется на плоскость Oxy в область ( D ) , ограниченную линиями: ϕ =

π π и r = a sin 2ϕ , ϕ ∈ 0,  .  4  4

Имеем

y a2 + x2 + y2 x 2 2 z x′ = ; z ′y = ; ⇒ 1 + ( z x′ ) + ( z ′y ) = ⇒ a a a2 a2 + x2 + y2 1 + ( z x′ ) + ( z ′y ) = . a 2

Следовательно,

s=

4 a

2

∫∫

a 2 + x 2 + y 2 dxdy .

(D )

Перейдем в двойном интеграле к полярным координатам. Будем иметь

4 S= a

r = a sin 2ϕ

π4

∫

dϕ

r =0

0

4 = a2 3

∫

π4

∫( 0

4 a 2 + r 2 r dr = 3a

π4

∫

( a 2 + r 2 )3 2

0 π  4

r =0

dϕ =

4 π (1 + sin 2ϕ )3 2 − 1 dϕ = a 2  ∫ (sin ϕ + cos ϕ )3 dϕ −  = 3  4  0 

)

π4  4 2  π π 3  = a 2 2 ∫ sin  ϕ +  dϕ −  =  3  4 4   0

112

r = a sin 2ϕ

π4 4 2  π   π  π   2    = a 2 2 ∫  cos ϕ + − 1 d cos ϕ + − =   3  4  4 4    0

4 2 1 1  π a2  = a  2 2 − +  −  = ( 20 − 3π ) . (кв. ед.). 3   6 2 2 4 9 Пример 3. Найти площадь s части сферы, ограниченной двумя параллелями и двумя меридианами. Пусть ρ, ϕ, θ – сферические координаты точек пространства. Декартовы и сферические координаты точки пространства связаны соотношениями

z

θ2

 x = ρ cos ϕ cos θ,  y = ρ sin ϕ cos θ,  z = ρ sin θ.

ϕ1

Координаты любой точки сферы радиуса R будут такими:

 x = R cos ϕ cos θ,  y = R sin ϕ cos θ,  z = R sin θ.

θ1

y

ϕ2

x

Последние уравнения можно Рис. 4.8. К примеру 3 рассматривать как параметрические уравнения интересующего нас куска сферы, если ϕ ∈[ϕ1, ϕ 2 ] ; θ ∈[θ1, θ 2 ] . Имеем:

0   xϕ′ yϕ′ zϕ′   − R sin ϕ cos θ R cos ϕ cos θ  =  − R cos ϕ sin θ − R sin ϕ sin θ R cos θ .   xθ′ yθ′ zθ′ 

E = ( xϕ′ )2 + ( yϕ′ )2 + ( zϕ′ )2 = R2 cos2 θ, G = ( xθ′ )2 + ( yθ′ )2 + ( zθ′ )2 = R2 , EG − F 2 = R2 cos θ .

F = xϕ′ xθ′ + yϕ′ yθ′ + zϕ′ zθ′ = 0 ⇒ Следовательно,

s=

∫∫ R

2

cos θ dϕdθ = R

ϕ1 ≤ϕ ≤ ϕ 2 θ1 ≤θ≤θ 2 = R2 ( ϕ 2 − ϕ1 )(sin θ2

2

ϕ2

θ2

ϕ1

θ1

∫ dϕ ∫ cos θ dθ =

− sin θ1 ) (кв. ед.).

113

Пример 4. Найти площадь части поверхности тора

 x = ( b + a cos θ )cos ϕ,  y = ( b + a cos θ )sin ϕ, ( 0 < a ≤ b ) ,  z = a sin θ ограниченной двумя меридианами ϕ = ϕ1 , ϕ = ϕ 2 ( ϕ1 < ϕ 2 ) и двумя параллелями θ = θ1 , θ = θ 2 ( θ1 < θ2 ). Чему равна поверхность всего тора? y

x

C

O

a b

Рис. 4.9. К примеру 4

Найдем коэффициенты Гаусса данной поверхности. Имеем:

0   xϕ′ yϕ′ zϕ′   −( b + a cos θ )sin ϕ ( b + a cos θ )cos ϕ .  =  − a sin θ cos ϕ  − a sin θ sin ϕ a cos θ  xθ′ yθ′ zθ′  E = ( xϕ′ )2 + ( yϕ′ )2 + ( zϕ′ )2 = ( b + a cos θ )2 , G = ( xθ′ )2 + ( yθ′ )2 + ( zθ′ )2 = a 2 , EG − F 2 = a ( b + a cos θ ) .

F = xϕ′ xθ′ + yϕ′ yθ′ + zϕ′ zθ′ = 0 ⇒ s=

∫∫

ϕ2

θ2

ϕ1

θ1

EG − F 2 dϕdθ = a ∫ dϕ ∫ ( b + a cos θ ) dθ =

ϕ1 ≤ϕ ≤ ϕ 2 θ1 ≤θ≤θ 2

θ =θ

= a( ϕ 2 − ϕ1 ) ⋅ ( bθ + a sin θ ) θ =θ2 = 1

= a( ϕ 2 − ϕ1 ) ⋅ [b ( θ2 − θ1 ) + a (sin θ2 − sin θ1 )] (кв. ед.). Чтобы найти площадь поверхности всего тора, нужно в полученное выражение для s подставить значения: ϕ1 = 0 , ϕ 2 = 2π , θ1 = 0 , θ 2 = 2π . Получим

sполн . = 2πa ⋅ 2πb = 4π 2ab (кв. ед.)

114

Глава 5. Несобственные интегралы, зависящие от параметра §1. Определение равномерной сходимости несобственных интегралов

a ≤ x < +∞, Пусть при каждом c ≤ y ≤ d . 

Пусть функция f ( x , y ) задана в области 

+∞

закрепленном y из [c, d ] несобственный интеграл

сходится. То-

a

+∞

гда

∫ f ( x, y ) dx

∫ f ( x, y ) dx

будет представлять собою функцию переменной (параметра)

a

y , определенную в промежутке [c, d ] (в дальнейшем будем обозначать эту функцию через I ( y ) , y ∈[c, d ] ). +∞

Утверждение, что несобственный интеграл

∫ f ( x, y ) dx

сходится при каж-

a

дом y из [c, d ] , означает следующее: при каждом закрепленном y из [c, d ] A

+∞

a

a

∫ f ( x, y ) dx → ∫ f ( x, y ) dx . A→+∞ Следовательно, +∞

0, ∫ f ( x, y ) dx − ∫ f ( x, y ) dx → A→+∞ a

+∞

A

a

или

0. ∫ f ( x, y ) dx → A→+∞ A

А это означает, что для каждого y из [c, d ] по любому ε > 0 можно указать +∞

число M > 0 такое, что как только A > M , так сейчас же

∫ f ( x, y ) dx < ε . A

Важно заметить, что число M > 0 выбирается по ε > 0 , и для каждого y из [c, d ] оно будет, вообще говоря, своим, то есть M зависит и от ε, и от y : M = M ( ε, y ) . Если же для любого ε > 0 можно указать число M > 0 , зависящее только от ε (то есть о д н о и т о ж е д л я в с е х y и з [c, d ] ), такое, что как только +∞

A > M , так сейчас же

∫ f ( x, y ) dx < ε сразу для всех

y из [c, d ] , то несобст-

A

115

+∞

венный интеграл

∫ f ( x, y ) dx

называется равномерно сходящимся относи-

a

тельно параметра y на [c, d ] . Совершенно аналогично вводится понятие равномерной сходимости несобственных интегралов второго рода. Например, пусть функция f ( x , y ) опреде-

a ≤ x < b, ( a, b, c, d – конечные числа). . c ≤ y ≤ d 

лена в области 

b

Пусть при каждом y из [c, d ] несобственный интеграл

∫ f ( x, y ) dx сходитa

b

ся. Ясно, что тогда

∫ f ( x, y ) dx будет представлять собой функцию переменной a

(параметра) y , определенную в промежутке [c, d ] . b

Утверждение, что несобственный интеграл

∫ f ( x, y ) dx

сходится при каж-

a

дом y из [c, d ] , означает следующее. При каждом закрепленном y из [c, d ] β

b

∫ f ( x, y ) dx β→ ∫ f ( x, y ) dx →b−0 a

β

b

⇔

a

0 ∫ f ( x, y ) dx − ∫ f ( x, y ) dx β→ → b− 0 a

a

b

b

⇔

0 ∫ f ( x, y ) dx β→ →b−0

⇔

⇔

β

0 ∫ f ( x, y ) dx → γ →+0

b− γ

(здесь положено β = b − γ ⇒ γ = b − β ). А это означает, что для каждого y из [c, d ] по любому ε > 0 можно указать число δ > 0 такое, что как только b

0 < γ < δ , так сейчас же

∫ f ( x, y ) dx < ε .

b− γ

И здесь важно отметить, что число δ > 0 выбирается по ε > 0 , и для каждого y из [c, d ] оно будет, вообще говоря, своим, то есть δ зависит и от ε, и от y : δ = δ ( ε, y ) . Если же для любого ε > 0 можно указать число δ > 0 , зависящее только от ε (то есть одно и то же для всех y из [c, d ] ), такое, что как только 0 < γ < δ , b

так сейчас же

∫ f ( x, y ) dx < ε

b− γ

116

сразу для всех y из [c, d ] , то несобственный

b

интеграл

∫ f ( x, y ) dx

называется равномерно сходящимся относительно па-

a

раметра y на [c, d ] . §2. О непрерывности интеграла как функции параметра Теорема. Пусть

a ≤ x < +∞, c ≤ y ≤ d ;

1) функция f ( x , y ) непрерывна в области  +∞

2)

∫ f ( x, y ) dx = I ( y ) сходится равномерно относительно

y на [c, d ] .

a

Тогда функция I ( y ) непрерывна на [c, d ] . Возьмем любое y0 из [c, d ] и закрепим его. Возьмем любое ε > 0 . +∞

По условию

∫ f ( x, y ) dx

сходится равномерно относительно y на [c, d ] ,

a

поэтому взятому ε > 0 отвечает число M > 0 , зависящее только от ε, такое, что при всяком A, удовлетворяющем условию A > M , сразу для всех y ∈[c, d ] будет +∞

∫

A

ε f ( x , y ) dx < . 3

(1)

Выберем и закрепим какое-нибудь A, удовлетворяющее условию A > M . A

Положив ΨA ( y ) =

∫ f ( x, y ) dx , неравенство (1) сразу для всех

y ∈[c, d ] можно

a

записать в виде: +∞

ε I ( y ) − ΨA ( y ) < . 3

(2)

A

+∞

a

A

[I ( y ) − ΨA ( y ) = ∫ f ( x, y ) dx − ∫ f ( x, y ) dx = ∫ f ( x, y ) dx ]. a

Но ΨA ( y ) – собственный интеграл, зависящий от параметра y . По теореме о непрерывности собственных интегралов, зависящих от параметра, заключаем, что ΨA ( y ) ∈ C([c, d ]) , а значит, по теореме Кантора, ΨA ( y ) будет равномерно непрерывной на [c, d ] . Следовательно, взятому ε > 0 отвечает δ > 0 , зависящее только от ε, такое, 117

что для любых двух точек y ′ и y ′′ из [c, d ] , для которых y ′′ − y ′ < δ , будет

ε ΨA ( y ′′ ) − ΨA ( y ′ ) < . 3

Для разности значений функции I ( y ) в точках y ′ и y ′′ имеем:

I ( y ′′ ) − I ( y ′ ) = [ I ( y ′′ ) − ΨA ( y ′′ )] + [ ΨA ( y ′′ ) − ΨA ( y ′ )] + [ ΨA ( y ′ ) − I ( y ′ )] ⇒ ⇒ I ( y ′′ ) − I ( y ′ ) ≤ I ( y ′′ ) − ΨA ( y ′′ ) + ΨA ( y ′′ ) − ΨA ( y ′ ) + ε ε ε + ΨA ( y ′ ) − I ( y ′ ) < + + = ε . 3 3 3 В частности, полагая y ′ = y0 , y ′′ = y , где y ∈[c, d ] – любое, но такое, что y − y0 < δ , будем иметь I ( y ) − I ( y0 ) < ε . Последнее означает, что функция I ( y ) непрерывна в точке y0 . Так как у нас точка y0 – любая из [c, d ] , то заключаем, что I ( y ) ∈ C([c, d ]) . §3. Об интегрировании по параметру под знаком интеграла Теорема. Пусть

a ≤ x < +∞, c ≤ y ≤ d ;

1) функция f ( x , y ) непрерывна в области  +∞

2)

∫ f ( x, y ) dx сходится равномерно относительно

y на [c, d ] .

a

Тогда справедливо равенство d  +∞

∫  ∫ c

a

+∞  d   f ( x , y ) dx  dy = ∫  ∫ f ( x , y ) dy  dx ,   a c

(1)

причем несобственный интеграл, стоящий в правой части (1), сходится. +∞

Возьмем любое ε > 0 . По условию

∫ f ( x, y ) dx

сходится равномерно от-

a

носительно y на [c, d ] , поэтому взятому ε > 0 отвечает число M > 0 , зависящее только от ε, такое, что при всяком A, удовлетворяющем условию A > M , сразу для всех y ∈[c, d ] будет справедливо неравенство: +∞

ε

∫ f ( x, y ) dx < d − c . A

Выберем и закрепим какое-нибудь A, удовлетворяющее условию A > M .

118

A

Полагая, как и раньше, ΨA ( y ) =

∫ f ( x, y ) dx , предыдущее неравенство сразу a

для всех y ∈[c, d ] можно записать в виде

ε . d −c ΨA ( y ) ∈ C([c, d ]) ,

I ( y ) − ΨA ( y ) <

I ( y ) ∈ C([c, d ]) и ΨA ( y ) ∈ R([c, d ]) . Поскольку имеет место равенство

Так

как

d

d

d

c

c

c

то

I ( y ) ∈ R([c, d ]) ,

∫ I ( y ) dy − ∫ ΨA ( y ) dy = ∫ [ I ( y ) − ΨA ( y )] dy , то d

d

d

c

c

c

∫ I ( y ) dy − ∫ ΨA ( y ) dy ≤ ∫ I ( y ) − ΨA ( y ) dy <

ε ⋅ (d − c) = ε . d −c

Таким образом, получили: при любом A, удовлетворяющем условию A > M , d

оказывается

d

∫ I ( y ) dy − ∫ ΨA ( y ) dy c

< ε . Последнее означает, что

c

d

d

∫ I ( y ) dy = Alim ∫ ΨA ( y ) dy →∞ c

(2)

c

A

(именно так, ибо первый интеграл от A не зависит). Но ΨA ( y ) =

∫ f ( x, y ) dx – a

собственный интеграл, зависящий от параметра y . По теореме об интегрировании по параметру под знаком собственного интеграла можем написать dA

A d       dx . Ψ ( y ) dy = f ( x , y ) dx dy f ( x , y ) dy = ∫ A ∫  ∫ ∫  ∫    c c a ac d

Теперь соотношение (2) может быть записано в виде A d

   dx . I ( y ) dy = lim f ( x , y ) dy ∫ ∫∫  A→∞   c a c d

Нами установлено существование написанного здесь предела. Но тогда мы должны обозначать этот предел так: +∞  d

∫ a

  ∫ f ( x , y ) dy  dx .   c 

Таким образом, мы доказали сходимость несобственного интеграла, стояще119

го в правой части (1), и справедливость равенства (1). §4. О дифференцировании по параметру под знаком интеграла Теорема. Пусть

a ≤ x < +∞, непрерывна там и c y d , ≤ ≤  имеет непрерывную частную производную f y′ ( x , y ) ; 1) функция f ( x , y ) определена в области  +∞

2) I ( y ) =

∫ f ( x, y ) dx сходится при каждом

y из [c, d ] ;

a +∞

3) Ψ( y ) =

∫ f y′ ( x, y ) dx сходится равномерно относительно

y на [c, d ] .

a

Тогда: 1) I ′( y ) существует при каждом y из [c, d ] ;

 +∞  ′ +∞ 2) I ′( y ) = Ψ( y ) , то есть  ∫ f ( x , y ) dx  = ∫ f y′ ( x , y ) dx ; a y a

3) I ′( y ) ∈ C([c, d ]) .

a ≤ x < +∞, Так как f y′ ( x , y ) непрерывна в области  и c ≤ y ≤ d

+∞

∫ f y′ ( x, y ) dx схоa

дится равномерно относительно y на [c, d ] , то Ψ( y ) ∈ C([c, d ]) (см. теорему §2) и

d

z

c

c

∫ Ψ( y ) dy существует. В частности, существует ∫ Ψ( y ) dy для любого z ,

удовлетворяющего условию c ≤ z ≤ d . По теореме §3 имеем z

z  +∞

c

c

∫ Ψ( y ) dy = ∫  ∫ z

Но

∫

a

+∞  z     f y′ ( x , y ) dx  dy = ∫  ∫ f y′ ( x , y ) dy  dx .   a c

y=z

f y′ ( x , y ) dy = f ( x , y ) y = c = f ( x , z ) − f ( x , c ) . Поэтому

c

z

+∞

+∞

c

a 4243 1 a 4243 1

∫ Ψ( y ) dy = ∫ f ( x, z ) dx − ∫ f ( x, c ) dx = I ( z ) − I ( c ) , =I(z)

откуда 120

= I(c)

z

I ( z ) = ∫ Ψ( y ) dy + I ( c ) .

(1)

c

В правой части последнего равенства мы имеем интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции. Следовательно, у правой части равенства (1) производная по z существует и равна Ψ( z ) (см. теорему Барроу). Но тогда существует производная по z и y левой части равенства (1), причем I ′( z ) = Ψ ( z ) . (2) Равенство (2) установлено для любого z ∈[c, d ]. Оно может быть записано и так: I ′( y ) = Ψ( y ) , y ∈[c, d ] . Таким образом, доказано, что 1) I ′( y ) существует при каждом y из [c, d ] ; 2) I ′( y ) = Ψ( y ) , y ∈[c, d ] ; 3) I ′( y ) ∈ C([c, d ]) , ибо Ψ( y ) ∈ C([c, d ]) .

§5. Признак равномерной сходимости несобственных интегралов Теорема. Пусть

a ≤ x < +∞, и непрерывна там; c y d ≤ ≤  2) функция ϕ( x ) определена и непрерывна в [a, + ∞ ) ; 3) f ( x , y ) ≤ ϕ ( x ) при всех значениях y из [c, d ] и x ∈[a, + ∞ ) . 1) функция f ( x , y ) определена в области 

+∞

Тогда, если несобственный интеграл

сходится, то несобственный

a

+∞

интеграл I ( y ) =

∫ ϕ ( x ) dx

∫ f ( x, y ) dx сходится равномерно относительно

y на [c, d ] .

a

+∞

Сходимость

(и

∫ f ( x, y ) dx при каждом

притом

абсолютная)

несобственного

интеграла

y из [c, d ] следует из признака сравнения.

a

Возьмем любое A, удовлетворяющее условию A > a , и закрепим его. Затем возьмем любое B, удовлетворяющее условию B > A . Имеем при всех значениях y из [c, d ] : B

B

A

A

∫ f ( x, y ) dx ≤ ∫

B

f ( x , y ) dx ≤ ∫ ϕ ( x ) dx . A

Отсюда в пределе при B → +∞ при всех значениях y из [c, d ] получаем 121

+∞

+∞

∫ f ( x, y ) dx ≤ ∫ ϕ ( x ) dx . A

(1)

A

+∞

По условию,

∫ ϕ ( x ) dx сходится, поэтому a

A  +∞ 0 ⇔ ∫ ϕ ( x ) dx → ∫ ϕ ( x ) dx ⇔  ∫ ϕ ( x ) dx − ∫ ϕ ( x ) dx  → A→+∞ A→+∞  a a a a +∞

A

+∞

0. ∫ ϕ ( x ) dx → A→+∞ A

Последнее означает, что всякому ε > 0 отвечает число M > 0 такое, что как +∞

только A > M , так сейчас же

∫ ϕ ( x ) dx < ε . Отметим, что здесь M зависит A

+∞

только от ε. В силу (1), при A > M и подавно будет

∫ f ( x, y ) dx < ε сразу для A

+∞

всех y из [c, d ] . А это означает, что

∫ f ( x, y ) dx сходится равномерно относиa

тельно y на [c, d ] . Замечание. Для несобственных интегралов второго рода, зависящих от параметра, имеют место теоремы, совершенно аналогичные теоремам §2–§5. §6. Примеры к главе 5 Рассмотрим несколько примеров применения доказанных теорем к вычислению интегралов. Пример 1. Рассмотрим интеграл +∞

I( y) =

∫e

−x

⋅ sin xy dx .

(1)

0

Имеем: +∞

∫e 0

x =+∞

−x

y e− x ⋅ sin xy dx = − ⋅ (sin xy + y cos xy ) = . 2 1 + y2 1 + y x =0

(2)

Используя равенство (2), найдем величины некоторых других интегралов. 1. Отметим, что интеграл I ( y ) сходится равномерно относительно y на 122

любом промежутке [c, d ] . В самом деле, имеем: e − x ⋅ sin xy ≤ e − x для любого +∞

y ∈[c, d ] и для всех x ∈[0, + ∞ ) ; интеграл

−x −x ∫ e dx = −e

0

x =+∞ x =0

= 1, т.е. схо-

дится, тогда по теореме §5 I ( y ) сходится равномерно относительно y на промежутке [c, d ] . Отметим еще, что функция f ( x , y ) = e − x sin xy непрерывна в области

0 ≤ x < +∞, Тогда по теореме §2 имеем:  ≤ ≤ c y d .  I ( y ) ∈ C([c, d ]) ⇒ I ( y ) ∈ R([c, d ]) ⇒ I ( y ) ∈ R ([0, z ]) . (здесь положено c = 0 , d = z , где z – любое конечное). По теореме §3 +∞  z z  +∞   − x −x    ∫  ∫ e sin xy dx dy = ∫  ∫ e sin xy dy dx . 0 0 0 0 Следовательно, интегрируя обе части равенства (2) по y от 0 до z , будем иметь +∞  z

∫  ∫ e 0

z

Но

∫e

−x

sin xy dy = − e

−x

0

z  ydy . sin xy dy  dx = ∫ 2 1 y +  0

−x

0

cos xy x

y=z

= e− x

y =0

(3)

1 − cos xz (это равенство установлено x

для x ≠ 0 ; оно верно и при x = 0 , если в этой точке понимать его в предельном смысле: z

lim ∫ e

x→0

−x

0

z

sin xy dy = ∫ lim ( e − x sin xy ) dy = 0 ; 0

x →0

1 − cos xz 2 xz = lim e − x sin 2 = 0 ). 2 x x x→0 x →0 Тогда (3) для любого конечного z примет вид: lim e − x +∞

∫e

− x 1 − cos xz

x

0

2. Имеем:

0 ≤ x < +∞,  c ≤ y ≤ d .

1 dx = ln (1 + z 2 ) ,. 2

f y′ ( x , y ) = ( e − x sin xy )′y = xe − x cos xy +∞

+∞

∫ f y′ ( x, y ) dx = ∫ xe 0

−x

непрерывна в области

cos xy dx сходится равномерно относи-

0

123

тельно y на [c, d ] . В самом деле, xe − x cos xy ≤ xe − x для любого y ∈[c, d ] и +∞

−x −x ∫ xe dx = −( x + 1) e

x ∈[0, + ∞ ) ; +∞

0

∫ xe

−x

x =+∞ x =0

= 1,

т.е.

сходится.

Поэтому

cos xy dx сходится равномерно относительно y на промежутке [c, d ] .

0

Тогда по теореме §4

′ +∞ +∞  +∞ − x  − x  ∫ e sin xy dx  = ∫ ( e sin xy )′y dx = ∫ xe − x cos xy dx .    0 y 0 0

Дифференцируя по y обе части равенства (2), получим для любого конечного y +∞

∫ xe

−x

0

1 − y2 cos xy dx = . (1 + y 2 )2

Пример 2. Рассмотрим интеграл +∞

dx ∫ x 2 + y 2 , y ∈[c, d ], 0 где [c, d ] – любой, но такой, что 1 ≤ c < d . I( y) =

Имеем:

+∞

∫

0

(4)

x =+∞

dx 1 x π = = arctg , y ∈[c, d ] . 2 2 y y 2 y x +y x =0

(5)

И здесь, используя равенство (5), найдем величины еще некоторых интегралов. 1. Отметим, что интеграл I ( y ) сходится равномерно относительно y на

1 1 , ≤ x2 + y2 x2 + 1

промежутке [c, d ] . Действительно, имеем: +∞

x ∈[0, + ∞ ) ;

∫ 0

dx = arctg x x2 +1

x =+∞ x =0

=

y ∈[c, d ] и

π , т.е. сходится. Следовательно, I ( y ) 2

сходится равномерно относительно y на [c, d ] . Отметим еще, что функция

0 ≤ x < +∞, Тогда  c y d . ≤ ≤  124

f ( x, y ) =

1 непрерывна в области x + y2 2

I ( y ) ∈ C([c, d ]) ⇒ I ( y ) ∈ R([c, d ]) ⇒ I ( y ) ∈ R ([1, z ]) (здесь положено c = 1, d = z , где z – любое конечное, z > 1). По теореме об интегрировании по параметру под знаком интеграла (см. §3) z  +∞

+∞  z  dy  dx    dy = ∫  ∫ x 2 + y 2  ∫  ∫ x 2 + y 2  dx . 1 0 0 1 Следовательно, интегрируя обе части равенства (5) по y от 1 до z , будем

иметь +∞  z

z  dy ∫  dx = ∫ π dy . 2 2  x +y  2y 1  1

∫ 0

(6)

1 z y=z arctg x − arctg x dy y 1 Но ∫ 2 = arctg = (это равенство установлено для 2 x x x x +y y =1 1 x ≠ 0 ; оно верно и при x = 0 , если в этой точке понимать его в предельном z

смысле: z

z z z  dy dy 1  1 1 lim ∫ 2 = ∫  lim 2 = 1− z ,  dy = ∫ 2 = − 2 2 y1 x→0 x + y y  x →0 x + y  1 1 1 ( z − 1) x ( z − 1) x z 1 arctg 2 arctg x − arctg x 2 x z + + z = 1 − 1 ). x lim = lim = lim x x x z x→0 x →0 x→0 Тогда (6) для любого конечного z ≥ 1 примет вид +∞ arctg z − arctg 1 x x dx = π ln z . x 2

∫ 0

2. Имеем:

 1 ′ 2y f y′ ( x , y ) =  2 = −  ( x 2 + y 2 )2  x + y2  y

0 ≤ x < +∞, (1 ≤ c < d ).  c ≤ y ≤ d

+∞

непрерывна в области

+∞

−2 y ∫ ∫ ( x 2 + y 2 )2 dx сходится равномерно 0 0 относительно y на [c, d ] . В самом деле, для y ∈[c, d ] и x ∈[0, + ∞ )

−2 y 2d ≤ 2 ,а 2 2 2 (x + y ) ( x + 1)2

f y′ ( x , y ) dx =

+∞

2d

∫ ( x 2 + 1)2 dx сходится. Тогда по теореме о диффе0

ренцировании по параметру под знаком интеграла (см. §4)

125

′ +∞ ′ +∞  +∞ dx   1  −2 y ∫  = ∫ dx = dx .  ∫ 2 2 2 2 2  x2 + y2  +  x + y  x y ( )  0 y 0 y 0 Дифференцируя по y обе части равенства (5), получим +∞

−2 ∫ 0

откуда

+∞

∫ 0

y dx π =− 2, 2 2 2 (x + y ) 2y

dx π = , y ∈[c, d ] . 2 4 y3 ( x2 + y2 )

(7)

Аналогично обосновывается возможность дифференцирования по параметру под знаком интеграла левой части (7). Тогда, дифференцируя по y обе части равенства (7), находим +∞

∫ 0

−4 y 3π 1 dx = − ⋅ 4 , y ∈[c, d ] ⇒ 2 2 3 4 y (x + y )

+∞

dx

3π 1

∫ ( x 2 + y 2 )3 = 16 ⋅ y 5 ,

y ∈[c, d ] .

0

Пример 3. С помощью дифференцирования по параметру вычислить π2

I( y) =

∫ 0

ln

1 + y cos x dx ⋅ , | y| < 1 . 1 − y cos x cos x

(8)

Возьмем любую точку y0 ∈( −1, 1) . Всегда можно указать число γ 0 > 0 такое, что будет [−1 + γ 0 , 1 − γ 0 ] ⊂ ( −1, 1) и точка y0 ∈( −1 + γ 0 , 1 − γ 0 ) .

−1 −1+γ 0

0

y0

1−γ0 1

y

 1 + y cos x  ⋅ 1 = 2 y конечен, то функция   1 − y cos x  cos x

Так как lim ln  π x→ −0 2

~ f ( x , y ), x ∈[0, π 2 ), y ∈[−1 + γ 0 , 1 − γ 0 ], f ( x , y ) =  x = π 2 , y ∈[−1 + γ 0 , 1 − γ 0 ]  2 y, 0 ≤ x ≤ π 2 , 1 + y cos x  1 , непрерывна в области  где f ( x , y ) = ln  ⋅  1 − y cos x  cos x  −1 + γ 0 ≤ y ≤ 1 − γ 0 , причем

π2

I( y) =

∫ 0

~ f ( x , y ) dx .

Последнее выражение для I ( y ) – собственный интеграл, зависящий от пара126

метра y .

~

Имеем: f y′ ( x , y ) =

2 непрерывна в области 1 − y 2 cos2 x

0 ≤ x ≤ π 2 ,   −1 + γ 0 ≤ y ≤ 1 − γ 0 .

По теореме о дифференцировании по параметру под знаком интеграла, находим π2

I ′( y ) =

∫

0

+∞

=

∫

0

 tg x = t ⇒ x = arctg t ,  2 dx = dt 1 = 2 2 2 dx x = = ; cos   1 − y cos x 2 2  1+ t 1+ t 

2 dt 2 t arctg = ⋅ (1 − y 2 ) + t 2 1 − y2 1 − y2 y ∈[−1 + γ 0 , 1 − γ 0 ] .

В частности, существует I ′( y0 ) , причем I ′( y0 ) = любая из ( −1, 1) . Следовательно, I ′( y ) =

π

I( y) = ∫

1− y

2

π 1− y

2

t =+∞

= t =0

π 1−

y02

π 1− y

2

,

. У нас точка y0 –

, y ∈( −1, 1) . Тогда

dy = π ⋅ arcsin y + C , y ∈( −1, 1) .

(9)

Здесь C – постоянная интегрирования. Из (8) видим, что I( 0) = 0 . Положив теперь в обеих частях равенства (9) y = 0 , получим 0 = 0 + C , откуда C = 0 . Таким образом, окончательно получаем I ( y ) = π ⋅ arcsin y , y ∈( −1, 1) . (10) Пример 4. С помощью дифференцирования по параметру вычислить интеграл +∞

2

I ( y ) = ∫ e − αx ⋅ cos xy dx , α > 0 .

(11)

0

Имеем:

0 ≤ x < +∞, где [c, d ] – c ≤ y ≤ d , 

2

1) f ( x , y ) = e −αx ⋅ cos xy непрерывна в области 

любой промежуток, и имеет там непрерывную частную производную 2

f y′ ( x , y ) = − xe − αx ⋅ sin xy . +∞

2) Интеграл I ( y ) =

2

− αx ∫ e ⋅ cos xy dx ( α > 0 ) сходится (и даже равномерно 0

относительно y на промежутке [c, d ] ). 127

+∞

3) Интеграл

∫

0

+∞

2

f y′ ( x , y ) dx = − ∫ xe − αx ⋅ sin xy dx сходится равномерно отно-

сительно y на промежутке [c, d ] .

0

2

2

В самом деле, f y′ ( x , y ) = − xe − αx ⋅ sin xy ≤ xe − αx для любого y ∈[c, d ] и для всех x ∈[0, + ∞ ) , а интеграл +∞

∫ xe

− αx 2

0

1 dx = − 2α

+∞

∫e

− αx 2

0

1 − αx 2 d ( −αx ) = − e 2α 2

x =+∞ x =0

=

1 , 2α

т.е. сходится. По теореме о дифференцировании по параметру под знаком интеграла +∞

I ′( y ) = − ∫ xe 0

− αx 2

⇒  u = sin xy ⋅ sin xy dx =  2  dv = − xe − αx dx ⇒  +∞

du = y cos xy dx , 1 − αx 2  = v= e  2α 

x =+∞ y y 1 − αx 2 − αx 2 = e ⋅ sin xy − e ⋅ cos xy dx = − I( y). ∫ 2α 2α 2α x =0 0 44 144424443 1 42444 3 =0

=I( y)

Итак, получили уравнение

I ′( y ) = −

y ⋅ I( y) , 2α

(12)

которое является обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Интегрируя его, находим

I( y) = C ⋅ e где С – постоянная интегрирования. Из (11) видим, что

I ( 0) =

+∞

y2 4α ,

−

(13)

2

− αx ∫ e dx .

(14)

0

Если в (14) сделать замену t = α ⋅ x , то получим

1 I ( 0) = α

+∞

2

−t ∫ e dt . 0

В главе 3 (см. §7) было получено

+∞ 0

I( 0) = 128

2

−t ∫ e dt =

π . Следовательно, 2

1 π . Положив теперь в обеих частях равенства (13) y = 0 , получим 2 α

C=

1 π . Таким образом, окончательно будем иметь 2 α I( y) =

1 π ⋅e 2 α

−

y2 4α .

(15)

Глава 6. Эйлеровы интегралы §1. Интеграл Эйлера первого рода (Бета-функция) Так называется интеграл вида 1

Β( a , b) = ∫ x a −1 ⋅ (1 − x )b−1 dx .

(1)

0

Этот интеграл собственный, если одновременно a ≥ 1 , b ≥ 1 . Если же хотя бы одно из этих неравенств нарушается, то интеграл (1) – несобственный. Покажем, что интеграл (1) сходится, если одновременно a > 0 и b > 0 . Видим, что подынтегральная функция в (1) имеет, вообще говоря, две особые точки: x = 0 и x = 1. Поэтому представляем (1) в виде: 12

Β( a , b ) =

∫x

a −1

⋅ (1 − x )

b−1

1

dx +

∫x

a −1

⋅ (1 − x )b−1 dx = I1 + I2 .

0 44 2 1 42444 3 11 4442444 3 = I1

= I2

12

Рассмотрим интеграл I1 =

∫x

a −1

⋅ (1 − x )b−1 dx . Он – несобственный при

0

a < 1 . Особая точка x = 0 . Запишем подынтегральную функцию в виде b−1 1 a −1 b−1 (1 − x ) f ( x ) = x ⋅ (1 − x ) = и введем функцию g ( x ) = 1−α . Так как 1− α x x f (x) lim = lim(1 − x )b−1 = 1 при любом b (конечный, ≠ 0 ), то интегралы x→0 g( x ) x →0 12

∫ f ( x ) dx

0 12

12

и

∫ g( x ) dx

сходятся

или

расходятся

одновременно.

Но

0

12

dx ∫ x1−α сходится лишь тогда, когда 1 − a < 1, то есть когда a > 0 . 0 0 Следовательно, I1 сходится при любом b и лишь при a > 0 .

∫ g( x ) dx =

129

1

Рассмотрим I2 =

b

∫x

a −1

⋅ (1 − x )b−1 dx . Он – не-

12

собственный при b < 1. Особая точка x = 1. Подынтегральная функция a

f ( x ) = x a −1 ⋅ (1 − x )b−1 =

g~ ( x ) =

Положим Рис. 6.1. К определению

Бета-функции

x a −1 . 1− b (1 − x )

1 . 1− b (1 − x )

Имеем

f (x) lim ~ = lim x a −1 = 1 при любом a (конечный, x →1 g ( x ) x →1 1

≠ 0 ). Значит,

∫ f ( x ) dx

12 1

1

1

и

dx

∫ g~( x ) dx = ∫ (1 − x )1−b

расходятся одновременно. Но

12

∫ g~( x ) dx сходятся или

12

сходится лишь тогда,

12

когда 1 − b < 1 , то есть когда b > 0 . Следовательно, I2 сходится при любом a и лишь при b > 0 . Вывод: Β( a, b ) сходится, если одновременно a > 0 и b > 0 . Значит,

0 < a < + ∞, – область определения функции Β( a, b ) (рис. 6.1).  0 < < + ∞ b  Установим некоторые свойства Бета-функции Β( a, b ) . 1. Положим в (1) x = 1 − t . Тогда 1

Β ( a , b) = ∫ t b−1(1 − t )a −1 dt = Β ( b, a ) . 0

Видим, что Бета-функция – симметричная функция. 2. Пусть b > 1. Применяя формулу интегрирования по частям, находим 1

Β( a , b) = ∫ x

a −1

(1 − x )

0

b −1

1

dx = ∫ (1 − x ) 0

1

1

b −1

 xa  d  =  a

xa b −1 α = (1 − x )b −1 + x (1 − x )b − 2 dx . ∫ a a 0 0 144244 3 a

Так как x = x 130

a −1

−x

a −1

=0

(1 − x ) , то будем иметь

(2)

1

1

b − 1 a −1 b − 1 a −1 Β ( a, b) = x (1 − x )b − 2 dx − x (1 − x )b −1 dx = ∫ ∫ a a 0 0 44 144 42444 3 1 42444 3 = Β ( a , b −1)

= откуда

= Β( a ,b )

b −1 b −1 Β ( a, b − 1) − Β ( a, b) , a a Β ( a, b) =

b −1 Β ( a, b − 1) . a + b −1

(3)

a −1 Β ( a − 1, b) . a + b −1

(4)

Так как функция Β( a, b ) – симметричная, то при a > 1 будет справедлива формула

Β ( a, b) =

Формулы (3) и (4) можно применять для «уменьшения» аргументов, чтобы сделать их, например, меньше единицы. Если b = n , где n – натуральное, >1, то, применяя формулу (3) повторно, получим:

Β ( a, n ) =

n −1 n −1 n−2 Β ( a, n − 1) = ⋅ Β ( a, n − 2) = K = a + n −1 a + n −1 a + n − 2 n −1 n−2 n−3 1 ⋅ = ⋅ ⋅K⋅ Β( a, 1) . a + n −1 a + n − 2 a + n − 3 a +1

1

xa Но Β( a , 1) = ∫ x a −1dx = a 0

1

= 0

Β ( a , n ) = Β ( n, a ) =

1 . Поэтому a

1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ K ⋅ ( n − 2) ⋅ ( n − 1) . a ( a + 1)( a + 2 ) K ( a + n − 2)( a + n − 1)

Если еще и a = m , где m – натуральное, то будем иметь

( n − 1)! ( m − 1)!( n − 1)! = . m ( m + 1)( m + 2 ) K ( m + n − 2)( m + n − 1) ( m + n − 1)! 3. Получим для функции Β( a, b ) другое аналитическое выражение. Для этоy x 1 (⇒ y = ). Тогда 1 − x = , го в (1) сделаем замену, положив x = 1+ y 1− x 1+ y dy dx = и, следовательно, (1 + y )2 Β( m, n ) =

+∞

+∞

y α −1 dy y a −1 1 Β ( a, b) = ∫ ⋅ ⋅ = ∫ dy . (5) b−1 a +b α −1 2 1 1 1 1 ( y ) ( y ) ( y ) ( y ) + + + + 0 0 4. Отметим без доказательства, что если b = 1 − a и если еще 0 < a < 1 (а значит, и 0 < b < 1), то 131

Β( a , 1− a ) =

π sin πa

(6)

Соотношение (6) будет установлено позже (в теории функций комплексного переменного). §2. Интеграл Эйлера второго рода (Гамма-функция) Так называется интеграл вида

+∞

Γ( a ) =

∫x

a −1

⋅ e − x dx .

(1)

0

Покажем, что интеграл (1) сходится при a > 0 . Для этого представим его в виде +∞

∫x

a −1

0

−x

1

⋅ e dx = ∫ x

a −1 − x

+∞

e dx +

∫x

a −1 − x

e dx .

0 4243 1 1 4243 1 = I2

= I1

1

Рассмотрим I1 = x a −1e − x dx . Отметим, что I1 – собственный интеграл, ес-

∫

0

ли a ≥ 1 , и несобственный, если a < 1 (особая точка x = 0 ). Подынтегральная функция

f (x) = x

a −1 − x

e

e− x = 1− a . x

f (x) lim = lim e − x = 1 (конечный, ≠ 0 ). Значит, x→0 g( x ) x→0 1

ся или расходятся одновременно. Но когда 1 − a < 1, то есть когда a > 0 . +∞

Рассмотрим I2 =

∫x

g( x ) =

Положим 1

1

x1− a

.

1

∫ f ( x ) dx и ∫ g( x ) dx 0 1

сходят-

0

dx

∫ g( x ) dx = ∫ x1−α 0

Имеем

сходится лишь тогда,

0

a −1 − x

e dx .

1

x a +1 Так как при любом a lim = 0 , то существует число k > 1 такое, что x →+∞ e x x a +1 как только x ≥ k , так сейчас же будет, например, x < 1 . Но тогда при x ≥ k e x a −1 1 будет < 2 при любом a . Известно, что ex x 132

+∞

∫ k

dx сходится. Значит, и x2

+∞

∫x

a −1 − x

e dx сходится при любом a . Следовательно, сходится при любом a и

k

несобственный интеграл I2 . Общий вывод: интеграл (1) сходится, если a > 0 , и расходится, если a ≤ 0 . Областью определения функции Γ( a ) является промежуток ( 0, + ∞ ) . Установим некоторые свойства функции Γ( a ) . 1. Γ( a ) > 0 , a ∈( 0, +∞ ) . Это следует из выражения (1) для Γ( a ) . 2. Рассмотрим произведение a Γ( a ) . Имеем: +∞

a Γ( a ) = a ∫ x

+∞

a −1 − x

e dx = a

0

∫

0

 xa  e d  .  a −x

Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

 xa a Γ ( a ) = a e − x ⋅ a  1 424 3

+∞ 0

=0

откуда

 a −x  x e dx ∫  , 0 1 424 3

1 + a

+∞

= Γ ( a +1)

Γ ( a + 1) = a ⋅ Γ ( a ) .

(2) Равенство (2) выражает так называемое основное свойство Гамма-функции. Пользуясь (2), получим при натуральном n и положительном a ( 0 < a < 1 )

Γ ( n + a ) = ( n + a − 1) Γ ( n + a − 1) = ( n + a − 1)( n + a − 2 ) Γ ( n + a − 2) = K = = ( n + a − 1)( n + a − 2 )( n + a − 3) ⋅ K ⋅ a Γ ( a ) . (3) Таким образом, значение Гамма-функции от аргумента n + a , большего единицы, можно выразить через значение Гамма-функции от аргумента a ,

меньшего единицы. Поэтому таблица значений Гамма-функции обычно дается лишь для значений аргумента между нулем и единицей. В частности, если в формуле (3) взять a = 1 и принять во внимание, что +∞

Γ(1) =

−x −x ∫ e dx = −e 0

+∞ 0

= 1 , то получим

Γ( n + 1) = n ( n − 1)( n − 2 ) K 2 ⋅1 = n !.

Таким образом, на Гамма-функцию можно смотреть как на обобщение понятия факториала натурального числа: Гамма-функция является продолжением функции a!, определенной только для целых положительных a = 1, 2, 3, K , на всю полуось a > 0 вещественных чисел. 3. Покажем, что между Бета-функцией и Гамма-функцией существует следующая связь: 133

Β ( a, b) =

Γ( a ) ⋅ Γ( b) . Γ ( a + b)

+∞

∫x

Для этого рассмотрим Γ( a + b ) =

(4)

a + b−1 − x

e dx . Сделаем в интеграле заме-

0

ну переменной, положив x = (1 + u ) z , где u – произвольное положительное число. Получим Γ( a + b ) = (1 + u )

a +b

Γ( a + b ) = (1 + u)a + b

+∞

∫z

0 +∞

∫z

a + b−1 − (1+ u ) z

e

a + b−1 − (1+ u ) z

e

dz , откуда

dz .

0

Умножим обе части последнего равенства на ua−1 и проинтегрируем по u от 0 до +∞ : +∞

Γ( a + b ) ∫

0

+∞

Но

∫

0

ua −1 du = (1 + u )a + b

+∞  +∞

∫ 0

  ∫ z b ( uz )a −1 e − z e − uz dz  du .    0 

ua −1 du = Β ( a, b) (см. §1, формула (5)). Следовательно, предыдущее a +b (1 + u )

соотношение может быть записано в виде

Γ( a + b) ⋅ Β ( a, b) =

+∞  +∞

∫

0

  ∫ z b ( uz )a −1 e − z e − uz dz  du .    0 

В повторном интеграле, стоящем в правой части, переменим порядок интегрирования. Здесь следует отметить, что мы (при определенных условиях) установили право переставлять два интеграла, из которых лишь один распространен на бесконечный промежуток. Оправдывать такую перестановку в случае, когда оба интеграла берутся по бесконечному промежутку, значительно сложнее. Обоснование возможности перемены порядка интегрирования в нашем повторном интеграле интересующийся может найти в книге Л.Д. Кудрявцева «Курс математического анализа», т. 2, 1981. Поменяв порядок интегрирования, получаем +∞

 +∞  Γ ( a + b ) ⋅ Β ( a, b) = ∫ z e  ∫ ( uz )a −1 e− uz z du dz .  0  0 Во внутреннем интеграле делаем замену uz = v :

134

b−1 − z 

+∞

Γ( a + b) ⋅ Β ( a, b) = ∫ z

+∞  +∞ a −1 − v  b −1 − z   ∫ ( v ) e dv  dz = ∫ z e Γ ( a ) dz = Γ ( a ) ⋅ Γ ( b) ,  0  0

b −1 − z 

e

0

откуда

Γ( a ) ⋅ Γ( b) . Γ ( a + b) Γ ( a ) ⋅ Γ (1 − a ) В частности, Β ( a , 1 − a ) = = Γ ( a ) ⋅ Γ (1 − a ) . Если 0 < a < 1 , то отΓ (1) Β ( a, b) =

сюда получаем:

Γ ( a ) ⋅ Γ (1 − a ) =

π . sin πa

(5)

Формула (5) носит название формулы дополнения.

1 Пусть a = 1 2 . Из формулы (5) находим Γ 2   =  2

π = π и, следоваsin ( π 2)

тельно,

1 Γ   = π .  2

(6)

Пользуясь соотношениями (3) и (6), получаем для любого n ∈ N

1 1 3 5 1 1 Γ  n +  =  n −   n −   n −  K Γ   =  2  2  2  2 2  2 ( 2 n − 1)( 2n − 3)( 2n − 5)K3 ⋅ 1 ( 2n − 1)!! = ⋅ π = ⋅ π. n n 2 2 4. Функция Γ( a ) непрерывна на промежутке ( 0, + ∞ ) . Возьмем любую точку a0 > 0 . Всегда можно указать промежуток [c, d ] ( 0 < c < d < +∞ ) такой, что будет: c < a0 < d . Представим Γ( a ) в виде: +∞

Γ( a ) =

∫x

1

a −1 − x

e dx = ∫ x

0

a −1 − x

+∞

e dx +

∫x

a −1 − x

e dx = I1( a ) + I2 ( a ) .

0 4243 1 1 4243 1 = I1 ( a )

= I2 ( a )

1

Рассмотрим I1( a ) = x a −1e − x dx . Имеем:

∫ 0

0 < x ≤ 1, c ≤ a ≤ d ;

1) f ( x , a ) = x a −1e − x непрерывна в области  1

2)

1

∫ f ( x, a ) dx = ∫ x 0

a −1 − x

e dx сходится равномерно относительно a на про-

0

135

межутке [c, d ] . В самом деле, для 0 < x ≤ 1 : x a ≤ x c ⇒ умножив обе части этого неравенст-

e− x ( > 0) , получим: x a −1e − x ≤ x c −1e − x (для 0 < x ≤ 1 и для c ≤ a ≤ d ). Но ва на x 1

интеграл

∫x

c −1 − x

e dx сходится, если c > 0 . А тогда по признаку равномерной

0

сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра, интеграл 1

I1( a ) = ∫ x a −1e − x dx сходится равномерно относительно a на [c, d ] . Следова0

тельно, функция I1( a ) непрерывна на [c, d ] ⇒ I1( a ) непрерывна в точке a0 . +∞

∫x

Рассмотрим I2 ( a ) =

a −1 − x

e dx .

1

Имеем:

1 ≤ x < +∞, c ≤ a ≤ d ;

1) f ( x , a ) = x a −1e − x непрерывна в области  +∞

2)

+∞

∫ f ( x, a ) dx = ∫ x 1

промежутке [c, d ] .

a −1 − x

e dx сходится равномерно относительно a на

1

В самом деле, для 1 ≤ x < + ∞ : x a ≤ x d ⇒ x a −1e − x ≤ x d −1e − x . Так как ин+∞

теграл

∫x

+∞

d −1 − x

e dx сходится для любого конечного d , то I2 ( a ) =

1

∫x

a −1 − x

e dx

1

сходится равномерно относительно a на [c, d ] . Следовательно, функция I2 ( a ) непрерывна на [c, d ] , в частности, I2 ( a ) непрерывна в точке a0 . Так как I1( a ) и I2 ( a ) непрерывны в точке a0 , то Γ( a ) = I1( a ) + I2 ( a ) непрерывна в точке a0 . У нас a0 – любая на промежутке ( 0, + ∞ ) . Значит, Γ( a ) непрерывна на промежутке ( 0, + ∞ ) . 5. Γ( a ) ~ 1 a при a → +0 . В самом деле, запишем соотношение (2) в виде

Γ ( a + 1) =

Γ(a ) 1a

и перейдем к пределу при a → +0 . В силу непрерывности Гамма-функции в

Γ( a ) = 1, а это ознаa →+0 1 a

интервале ( 0, +∞ ) lim Γ ( a + 1) = Γ (1) = 1. Значит, и lim a →+0

136

1 при a → +0 , то есть при приближении a к +0 Γ( a ) ведет a себя как эквивалентная ей бесконечно большая положительная величина 1 a . 6. Функция Γ( a ) имеет в интервале ( 0, +∞ ) производные всех порядков, чает, что Γ( a ) ~

причем

Γ

(n)

+∞

∫x

(a ) =

a −1 − x

e (ln x )n dx .

(7)

0

Установим существование первой производной функции Γ( a ) и равенство +∞

∫x

Γ ′( a ) =

a −1 − x

e

ln x dx .

(8)

0

Возьмем любую точку a 0 > 0 . Всегда можно указать промежуток [c, d ] ( 0 < c < d < +∞ ) такой, что будет c < a 0 < d . Имеем: 1) f ( x , a ) = x a −1e − x

0 < x < +∞,  c ≤ a ≤ d .

+∞

+∞

2)

∫ f ( x, a ) dx = ∫ x 0

и

f a′( x , a ) = x a −1e − x ln x

a −1 − x

e dx сходится в промежутке [c, d ] .

0 +∞

3) Покажем, что

+∞

∫ f a′( x, a ) dx = ∫ x 0

носительно a на промежутке [c, d ] . Имеем +∞

1

∫ f a′( x, a ) dx = ∫ x 0

Рассмотрим

a −1 − x

∫x

a −1 − x

e

e

ln x dx сходится равномерно от-

0

a −1 − x

e

+∞

ln x dx +

0

1

непрерывны в области

∫x

a −1 − x

e

ln x dx .

1

ln x dx .

0

Так как 0 < x ≤ 1 , c ≤ a ≤ d , то x a −1e − x ≤ x c −1e − x (см. пункт 4) 1 −x 1 −x x a −4 e24 ln3x ≥ 1 x c −4 e24 ln3x , ибо ln x ≤ 0 для x ∈( 0, 1] . А тогда 1 ≤0

≤0 a −1 − x

x Так как e

−x

e

⇒

c −1 − x ln x ≤ x c −1e − x ln x = − e 4ln 1x4 42 4 3x .

< 1 для x ∈( 0, 1] , то x

a −1 − x

e

ln x ≤ − x

c −1

≥0

ln x . Имеем: 137

1

−∫ x 0

c −1

 u = ln x ⇒ du = dx  1 x =1 1 1 dx c x  = − x ln x ln x dx =  + ∫ 1− c . 1 c  c c −1 x3 =0 c 0 x dv = x dx ⇒ v = x 1 4 4 2 44  c  =0 1

Мы знаем, что

dx

∫ x1−c

сходится, если 1 − c < 1, т. е. если c > 0 . Следовательно,

0

по признаку равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от 1

параметра, заключаем, что интеграл носительно a на промежутке [c, d ] .

∫x

a −1 − x

e

ln x dx сходится равномерно от-

0

+∞

a −1 − x x ∫ e ln x dx .

Рассмотрим теперь

1

Для

1≤ x < +∞,

c≤a≤d

имеем:

x a −1e − x ≤ x d −1e − x

x a −1e − x ln x ≤ x d −1e − x ln x , ибо ln x ≥ 0 для x ∈[1, + ∞ ) . ln x ln x x d −1e − x ln x = x d e− x . Так как lim = 0 , то существует точка x x →+∞ x ln x такая, что для x≥~ x: < 1 и, следовательно, для x x

d −1 − x

e

d −x

ln x < x e

+∞

. Так как

+∞

сходится интеграл

∫~ x

∫~ x

e

Имеем:

~ x ( > 1) x≥~ x:

d −x

e dx сходится при любом конечном d , то

x

d −1 − x

⇒

+∞

ln x dx , а значит, сходится

∫x

d −1 − x

e

ln x dx . А то-

1

x

гда по признаку равномерной сходимости несобственных интегралов, завися+∞

щих от параметра, заключаем, что

∫x

a −1 − x

e

ln x dx сходится равномерно отно-

1

сительно a на промежутке [c, d ] . Таким образом, окончательно приходим к +∞

выводу, что интеграл

∫x 0

a −1 − x

e

ln x dx сходится равномерно относительно a

на промежутке [c, d ] . Значит, Γ′( a ) существует для любого a ∈[c, d ] , в частности, существует Γ′( a 0 ) . Так как точка a 0 – любая ( a 0 > 0 ), то заключаем: Γ′( a ) существует 138

+∞

для a ∈( 0, +∞ ) , причем Γ ′( a ) =

∫x

a −1 − x

e

ln x dx . Формула (8) доказана.

0

Доказательство равенства (7) проводится с помощью аналогичных оценок по индукции. Теперь мы в состоянии составить себе представление о характере поведения Гамма-функции в интервале ( 0 ; +∞ ) . +∞

Имеем

Γ ′′( a ) =

∫x

a −1 − x

e (ln x )2 dx .

Ясно,

что

0

Γ ′′( a ) > 0 и поэтому Γ ′( a ) строго возрастает в ( 0 ; +∞ ) . Так как Γ (1) = Γ ( 2) = 1 , то по теореме Ролля в интервале (1, 2) лежит точка c такая, что Γ ′( c ) = 0 . Следовательно, Γ ′( a ) < 0 при 0 < a < c и Γ ′( a ) > 0 при c < a < +∞ . Значит, сама функция Γ( a ) строго убывает в интервале ( 0, c ) и строго возрастает в интервале ( c, +∞ ) . При этом lim Γ ( a ) = +∞ и lim Γ ( a ) = lim Γ ( n ) = +∞ . В точке a →+0

a →+∞

n→+∞

a = c функция Γ( a ) достигает своего наименьшего значения. Можно показать, что c ≈ 1462 . ; Γ( c ) ≈ 0.886 .

y 5 4

y = Γ(a)

3 2 1

a 1 2

3 4

5

Рис. 6.2. График функции y = Γ( a ) при a > 0

График Гамма-функции представлен на рис. 6.2. Замечание 1. Пользуясь основным свойством (2) Гамма-функции и опираясь на определение (1) этой функции при п о л о ж и т е л ь н ы х значениях аргумента a , можно о п р е д е л и т ь Гамма-функцию и для о т р и ц а т е л ь н ы х значений аргумента. В самом деле, запишем формулу (2) в виде

Γ( a ) =

Γ ( a +1) . a

(9)

Из (9) видим, что зная значение Гамма-функции при каком-нибудь значении аргумента, можно вычислить ее значение при аргументе, уменьшенном на единицу. Для этого нужно прежнее значение функции разделить на уменьшенное значение аргумента. Если взять a , удовлетворяющее неравенствам −1 < a < 0 , то в правой части (9) Γ( a +1) будет функцией от положительного аргумента, значение которой определено формулой (1), а в левой части (9) Γ( a ) будет функцией от отрицательного аргумента. За значение Γ( a ) при a из промежутка ( −1, 0 ) п р и н и м а е м значение

Γ( a +1) в соответствии с формулой (9). Так, например, a

139

1 1 Γ  − + 1 Γ    2   2 1 Γ  −  = = = −2 π .  2 1 1 − − 2 2 Если теперь взять a , удовлетворяющее неравенствам −2 < a < −1, то правая часть формулы (9) будет содержать значения Гамма-функции при аргументах из промежутка ( −1, 0 ) , уже определенные нами выше. Это дает возможность по формуле (9) определить значения Γ( a ) при −2 < a < −1. В силу этого определения будем иметь, например:

1 3 Γ  − + 1 Γ  −   2   2  −2 π 4 3 π. Γ  −  = = = =  2 3 3 3 3 − − − 2 2 2

Определив теперь значения Гамма-функции в промежутке ( −2, − 1) , мы, пользуясь формулой (9), сможем определить ее значения в промежутке ( −3, − 2) , и т. д. Так мы можем определить значения Гамма-функции при любых отрицательных не целых значениях аргумента a . Выше было отмечено, что Γ ( +0) = lim Γ ( a ) = +∞ . Из формулы (9) нахоa →+0

дим, что

Γ ( a + 1) = −∞ . a a →−0

Γ ( −0 ) = lim

y

5 4 3

−5

−4

y = Γ(a)

2 1 −3 −2 −1 0 −1

a 1 2

3 4

5

−2 −3

Рис. 6.3. График функции y = Γ( a )

Пользуясь этой же формулой (9), находим, что 140

Γ ( a + 1) Γ ( +0) = −∞ , = −1 a a →−1+ 0 Γ ( a + 1) Γ ( −0 ) = +∞ , Γ ( −1 − 0) = lim = −1 a a →−1− 0 Γ ( a + 1) Γ ( −1 + 0 ) = +∞ , Γ ( −2 + 0) = lim = −2 a a →−2+ 0 Γ ( a + 1) Γ ( −1 − 0) = −∞ Γ ( −2 − 0) = lim = −2 a a →−2− 0 Γ ( −1 + 0) = lim

и т. д. Обычно это выражают словами так: Гамма-функция при нуле и при целых отрицательных значениях аргумента обращается в бесконечность (см. рис. 6.3). Замечание 2. Введенная в этом параграфе неэлементарная функция Γ( a ) играет в математике важную роль. Для функции Γ( a ) составлены подробные таблицы, и при вычислениях она может использоваться наравне с простейшими элементарными функциями – показательной, тригонометрическими и т. д. Оказывается, что определенные интегралы различных типов могут быть выражены через Гамма-функцию. В частности, к таким интегралам нередко приводят задачи, связанные с вычислением площадей и объемов. Даже если функция имеет первообразную, являющуюся элементарной функцией, интеграл от этой функции зачастую целесообразно вычислять, используя Гамма-функцию. §3. Примеры к главе 6 1

Пример 1. Вычислить I = x a −1(1 − x c )b−1 dx ( a > 0 , b > 0 , c > 0 ).

∫ 0

c

Положим x = t ⇒ cx

I=

1 a −1 1− c t c t c (1 − t )b−1 dt

1 c∫ 0

1 dx = dt ⇒ dx = t c

c−1

=

1 a 1 c −1 t (1 − t )b−1 dt

c∫

0

1− c c dt .

Тогда

a Γ   ⋅ Γ ( b) 1 a 1  c = Β  , b = ⋅ . c c  c a   Γ  + b c 

Важно подчеркнуть, что здесь a, b, c – любые вещественные положительные числа, а значит, вообще говоря, неопределенный интеграл

∫x

a −1

(1 − x c )b−1 dx является неэлементарной функцией. Известно, что даже в

случае, когда a, b, c – рациональные числа, этот неопределенный интеграл является элементарной функцией лишь тогда, когда по крайней мере одно из чисел b ,

a a , + b – целое. c c 141

π2

∫ sin

Пример 2. Вычислить I =

a −1

x ⋅ cosb−1 x dx ( a > 0 , b > 0 ).

0

Запишем этот интеграл в виде

1 I= 2 1 = 2

π2

π2

∫ sin

a −2

x ⋅ cosb− 2 x ⋅ 2 sin x cos x dx =

0

∫ (sin

2

x

)

a −2 2

(

2

⋅ cos x

)

b− 2 2

⋅ 2 sin x cos x dx .

0

2

Положим sin x = t ⇒ 2sin x cos x dx = dt . Тогда

I=

1 a −1 t2 ⋅

1 2∫

(1 − t )

b −1 2 dt

0

a b Γ   ⋅ Γ      2 2 1 a b 1 = Β  ,  = . 2  2 2 2 a + b    Γ  2 

В частности, при b = 1 будем иметь

1 a a Γ   ⋅ Γ   Γ    2 1  2   2 π = ⋅ I = ∫ sin a −1 x dx = . 2 2 1 + 1 a + a       Γ Γ 0  2   2  Важно подчеркнуть, что и в этом примере a, b – любые вещественные поπ2

ложительные числа, а значит, неопределенный интеграл

∫ sin

a −1

x ⋅ cosb−1 x dx

является, вообще говоря, неэлементарной функцией. +∞

Пример 3. Вычислить I = π

Положим x = t ⇒ x =

dx

∫ 1+ xπ .

0 1 π t

1

1 −1 и dx = t π dt . Следовательно, π

1 I= π +∞

Мы знаем, что Β( a , b ) =

∫ 0

+∞ 1 π −1

∫ 0

t dt . 1+ t

t a −1 dt . Значит, в нашем примере (1 + t )a + b

 1 − 1 = a − 1,  π 1 = a + b, 142

1 1 и b = 1 − . Имеем, таким образом, π π 1 1 1 1 π 1 I = Β  , 1 −  = ⋅ = π π π π sin 1 1 sin  π ⋅   π π , если 0 < a < 1 ). (так как Β( a , 1− a ) = sin πa откуда a =

+∞

Пример 4. Вычислить I = 3

Положим x = t ⇒ x =

x ln x

∫ 1 + x 3 dx .

0 1 t3,

2

1 1 − dx = t 3 dt и ln x = ln t . Тогда 3 3

I= Введем

в

рассмотрение

1 9

+∞ −

∫ 0

t

1 3 ln t

1+ t

dt .

Β( a , 1 − a ) =

0

t

∫ 1 + t dt

( 0 < a < 1 ).

Имеем

0

+∞ a −1

∫

+∞ a −1

t π . Продифференцируем обе части последнего равенства по a . dt = 1+ t sin πa

Получим

+∞ a −1

∫

0

t

2 ⋅ ln t cos πa dt = − π 2 ⋅ 2 , откуда при a = находим 1+ t 3 sin πa +∞ −

∫

t

0

Тогда I =

1 2 2 2 2 ⋅ π = π . 9 3 27

1 3 ⋅ ln t

1+ t

2π 3 = 2 π2 . dt = − π ⋅ 2π 3 sin 2 3 2

cos

Литература 1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2. – М.: Физматгиз, 1959. 2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 3. – М.–Л.: Физматгиз, 1960. 3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т. 2. – М.: Высшая школа, 1981. 4. Аксёнов А.П. Математический анализ (Определенный интеграл. Несобственные интегралы. Приложения определенного интеграла). – СПб.: Нестор, 1999. 143

ОГЛАВЛЕНИЕ ГЛАВА 1. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.............3 §1. Определение интегралов, зависящих от параметра ...............................................3 §2. О допустимости предельного перехода по параметру под знаком интеграла....................................................................................................................3 §3. О непрерывности интеграла как функции параметра............................................5 §4. О дифференцировании по параметру под знаком интеграла................................6 §5. Об интегрировании по параметру под знаком интеграла .....................................7 §6. Случаи, когда и пределы интеграла зависят от параметра .................................10 §7. Примеры к главе 1 ...................................................................................................17 ГЛАВА 2. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ................................................................................20 §1. Область и ее диаметр...............................................................................................20 §2. Определение двойного интеграла..........................................................................22 §3. Признаки интегрируемости функций....................................................................24 §4. Свойства двойных интегралов ...............................................................................30 §5. Вычисление двойного интеграла в случае прямоугольной области ..................36 §6. Вычисление двойного интеграла в случае криволинейной области..................41 §7. Примеры к главе 2 ...................................................................................................45 ГЛАВА 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ................................................................54 §1. Криволинейные интегралы первого рода .............................................................54 §2. Криволинейные интегралы второго рода..............................................................62 §3. Криволинейные интегралы второго рода по замкнутым плоским кривым. Формула Грина........................................................................................................70 §4. Вопрос о независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования .......................................................................................................75 §5. Площадь плоской фигуры в криволинейных координатах.................................83 §6. Замена переменных в двойном интеграле.............................................................88 §7. Примеры к главе 3 ...................................................................................................90 ГЛАВА 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ....................102 §1. Некоторые сведения из геометрии ......................................................................102 §2. Существование площади кривой поверхности и ее вычисление .....................106 §3. Примеры к главе 4 .................................................................................................111 ГЛАВА 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА ...115 §1. Определение равномерной сходимости несобственных интегралов ...............115 §2. О непрерывности интеграла как функции параметра........................................117 §3. Об интегрировании по параметру под знаком интеграла .................................118 §4. О дифференцировании по параметру под знаком интеграла............................120 §5. Признак равномерной сходимости несобственных интегралов .......................121 §6. Примеры к главе 5 .................................................................................................122 ГЛАВА 6. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ ............................................................................129 §1. Интеграл Эйлера первого рода (Бета-функция) .................................................129 §2. Интеграл Эйлера второго рода (Гамма-функция) ..............................................132 §3. Примеры к главе 6 .................................................................................................141 Литература ..........................................................................................................................143 144

Аксёнов Анатолий Петрович

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (Интегралы, зависящие от параметра. Двойные интегралы. Криволинейные интегралы) Учебное пособие

Лицензия ЛР № 065394 от 08.09.97 Подписано в печать . .00. Формат 60×84 1/16. Объем п.л. Тираж . Заказ № . Отпечатано в издательстве «НЕСТОР» 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29