Моделирование пульсирующего процесса

Алгебра и логика, 42, N 6 (2003), 641—654

УДК 517.11:518.5

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПУЛЬСИРУЮЩЕГО ПРОЦЕССА Е. В. ГАЙЛИТ

В этой статье продолжаются начатые в [1, 2] исследования по машино-оракульному моделированию арифметики второго порядка. Описанный в указанных работах пульсирующий процесс моделируется с помощью оракулов так называемых автономных иерархий, в результате чего строится обобщенно конструктивная модель для фрагмента арифметики второго порядка [1]. Предполагается знакомство читателя с понятием вычислимости с частичными оракулами, все необходимые сведения содержатся в [3]. § 1. В качестве оракулов рассматриваются частичные числовые функции; если оракул не дает ответа, говорят, что машина застревает [3]. F вычислимость числовых функций и F -разрешимость числовых множеств определяются обычным образом; F -перечислимые множества — это области определения F -вычислимых функций. Напомним некоторые понятия и обозначения. Через B∗ (F ) обозначается множество геделевских номеров всех машин, вычисляющих с оракулом F всюду определенные функции (F -кодов этих функций), через T (F ) — множество F -кодов F -вычислимых деревьев с обрывом цепей. Для z ∈ T (F ) высоту соответствующего дерева обозначим |z|F (или просто |z|), супремум |z| — через |T (F )|.

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2003

642

Е. В. Гайлит Назовем F регулярным оракулом, если существует F -вычислимая

процедура, выделяющая элемент из каждого непустого F -перечислимого множества (равномерно по его F -коду). Машину, осуществляющую данную процедуру (или код этой машины), назовем регулятором оракула F . Нас интересуют регулярные оракулы с F -перечислимым множеством T (F ). Известно, что с такими оракулами вычислим функционал E (джамп): E(β) =

  0,  1

если ∃t (β(t) = 0), в противном случае.

Вычислимость здесь понимается в том смысле, что значения E(β) F вычислимы для всех тотальных F -вычислимых β равномерно по их B∗ (F )кодам (аналогично определяется вычислимость любого функционала типа 2). Нам понадобится также функционал E1 (гипер-джамп):   0, если ∀η ∃t (β(η(t)) = 0), E1 (β) =  1 в противном случае, где η(t) = hη(0), . . . , η(t − 1)i. Если оракул F вычисляет E1 , то обрыв всех F -вычислимых цепей в некотором F -вычислимом дереве влечет обрыв всех цепей. Обозначим через Hβ,G (где β — тотальная функция, а G — функционал типа 2) оракул, который (при некотором естественном кодировании задаваемых ему вопросов) представляет минимальную частичную функцию такую, что β и G вычислимы с этим оракулом. Следуя [3], назовем Hβ,G клиниевским оракулом, релятивизованным к β, G. Определим функционал

E2 (β) =

  0,  1

если β(0) принадлежит графику оракула Hβ,E1 , в противном случае.

Основным инструментом будет итерированная клиниевская вычислимость относительно функционалов G типа 2 (см. [4]), где в качестве G будут использоваться функционалы E1 и E2 . Соответствующие оракулы

643

Моделирование пульсирующего процесса

τ , τ 6 |ν|, где ν — ординальбудем обозначать, как правило, через Hν,G

ная нумерация (вообще говоря, многозначная), |ν| — ее длина, ν ↾ τ — начальный отрезок ν длины τ . Каждый такой оракул вычисляет функционал G (в том же смысле, что и клиниевский), т. е. является обобщением τ клиниевского оракула, отличие состоит в том, что Hν,G умеет разрешать σ (σ < τ ) равномерно предыдущие номерные множества Nνσ и графики Hν,G

по ν-номерам σ. Используя прием из [5] (см. также [4]), можно добиться, чтобы все оракулы стали регулярными. В дальнейшем это будет подразумеваться. Для сокращения записи итерированные клиниевские оракулы, релятивизованные к E1 , обозначаем Hντ , а оракулы, релятивизованные к E2 , — через Fντ . |ν|

Оракул Hν,G назовем замыкающим. Ординал τ 6 |ν| называется S ∗ σ τ ) = точкой насыщения ν относительно G, если B∗ (Hν,G B (Hν,G ). σ<τ

Точки насыщения естественно классифицируются по их рангам (степеням предельности). Нумерация ν эффективна относительно G, если, какой бы τ ни была нумерация ν1 , каждый оракул Hν,G вычислим с оракулом Hντ1 ,G

равномерно по подходящему списку числовых параметров, описывающих эти оракулы, а также окрестность точки τ в обеих нумерациях [6]. Частными случаями эффективных нумераций являются автономные нумерации относительно G. Всякая такая нумерация задается генератором, т. е. парой [w, n], где n > 0, а w — машина такая, что для каждого τ +n очередного τ его ν-номер вычисляется посредством w с оракулом Hν↾τ,G ,

который определяется следующим образом. Предполагается, что числа от 0 до n − 1 не присутствуют в нумерации ν и на шаге τ используются в τ +n качестве ”временных“ номеров для продолжения ν ↾ τ на n шагов; Hν↾τ,G

является замыкающим оракулом такой продолженной нумерации. Эффективность нумераций, построенных указанным способом, доказана в [6]. Наряду с автономными нумерациями нам понадобятся суперавтономные [7], отличие которых состоит в том, что иногда для порождения ν-номера τ разрешается пользоваться бесконечной экстраполяцией, т. е. нумерацию ν ↾ τ приходится продолжать на какое-то бесконечное число шагов, при этом ”временные“ номера порождаются, в свою очередь, авто-

644

Е. В. Гайлит

номной процедурой. При соблюдении определенных условий в результате получается эффективная нумерация. Когда при построении генератора для автономной или суперавтономной нумерации речь идет о порождении ν-номеров точек ненасыщения S ∗ σ τ )\ τ , можно использовать некоторые z ∈ B∗ (Hν,G B (Hτ,G ) (например, σ<τ

таким номером может быть 3z ). Этот прием является незначительной модификацией процедуры Φ0 из [4], поэтому так и будем его обозначать. § 2.

В [2] был описан пульсирующий процесс, порождающий оракульную модель арифметики второго порядка. Будучи относительно эффективным (близко к тому уровню эффективности, который подразумевается в дескриптивной теории множеств), этот процесс в целом не носит характера обобщенно вычислимой процедуры, т. е. строго говоря не представляет собой единую рекурсивную иерархию. Он порождает лишь трансфинитную последовательность таких иерархий, при этом сама трансфинитная индукция осуществляется в рамках абстрактной теории множеств. Поэтому наша ближайшая задача заключается в моделировании пульсирующего процесса (или его начальных отрезков) посредством оракулов из какойлибо эффективной иерархии. Приведем здесь конспективное описание этого процесса. Оно не будет направлено на разъяснение замысла означенного процесса или его адекватности замыслу. Нас интересует сам алгоритм, т. е. как именно протекает этот процесс, какие объекты в нем задействованы и какой вычислительной силой должны обладать оракулы, чтобы их можно было использовать для вышеупомянутого моделирования. Все, что касается подробностей самого замысла и его реализации, содержится в [2]. Пульсирующий процесс описывается как идущий по всем трансфинитным числам, но на самом деле он стабилизируется на некотором шаге. Процесс состоит в построении пар (νσ , Mσ ), где νσ — многозначная нумерация, Mσ — возможный кандидат в номерное множество для ординала |νσ | в нумерации νσ+1 . При определенных обстоятельствах (но не всегда) Mσ может действительно стать этим номерным множеством. Каждое номер-

645

Моделирование пульсирующего процесса

ное множество Nντσ в νσ состоит из четверок вида {i; r; a; s}, где i ∈ ω, r — геделевский номер некоторого Hντσ -разрешимого предиката. Компонента a есть элемент некоторого вспомогательного множества Sνi,τ σ ,r ; компонента s также носит вспомогательный характер: ее присутствие обеспечивает τ разрешимость данного множества Sνi,τ σ ,r относительно Nνσ . Аналогичные

условия выполняются для Mσ . Для удобства упомянутые множества Sνi,τ σ ,r иногда называют S-множествами, а если имеется в виду конкретное i, то S i -множествами. Коротко говоря, Sνi,τ σ ,r есть область истинности предикатной формы вида ∃α1 ∀α2 . . . Qαi+1 Q′ tR(a, α1 (t), α2 (t), . . .),

(∗)

где QQ′ — это ∀ ∃ или ∃ ∀ (в зависимости от четности i), R — предикат, для которого r является Hντσ -кодом, а каждый функциональный квантор (кроме последнего) ограничен некоторым запасом тотальных функций, обоκ (τ )

значаемых здесь через Mνσj

(j — порядковый номер данного квантора). κ (τ )

Верхний индекс κj (τ ) указывает, что имеются в виду Hνσj

-вычислимые

функции. При этом κ1 (τ ) = τ , κj (τ ) = ϕνi−j+1 ϕνi−j+2 . . . ϕi−1 σ σ νσ (τ ), 1 < j 6 i, где ϕ1νσ . . . ϕiνσ — вспомогательные функции, выбранные с таким расчетом, чтобы Sνi,τ σ ,r расширялись при возрастании τ (в пределах нумерации νσ ). Такая монотонность обеспечивается тем, что ϕiνσ (η) задает момент η ∗ стабилизации всякого ”растущего“ множества Sνi,τ σ ,r (r ∈ B (Hνσ )), где τ

меняется в пределах длины νσ . Данная стабилизация носит, вообще говоря, временный характер и может нарушиться при осуществлении очередного шага пульсирующего процесса. А именно, в растущие S-множества, задействованные к моменту σ, могут войти новые элементы. Такое событие называется пульсацией. Будем говорить, что имела место пульсация i-го рода, если пульсировали какие-то S i -множества (можно показать, что такое i определено однозначно). Среди этих пульсировавших множеств выделяются самые ранние (по месту их упоминания в номерных четверках нумерации νσ ). Строится множество нарушающих пар (r, a), где r — нижние индексы выделенных S-множеств и a — всевозможные элементы, добавившиеся при пульсации к соответствующим множествам. Более де-

646

Е. В. Гайлит

тальное определение приведено в [2] и здесь не понадобится. Если пульсации не было, то переход от νσ к νσ+1 состоит в удлинении νσ на один шаг с использованием множества Mσ . Множество Mσ+1 строится естественным образом из четверок вышеописанного вида с помощью процедуры Φ0 . В противном случае в качестве νσ+1 берется максимальный начальный кусок νσ , не затронутый (в очевидном смысле) пульсацией, а соответствующее множество Mσ+1 является расширением номерного мно|ν

|

жества Nνσσ+1 за счет четверок, в которых задействованы нарушающие пары. На предельном шаге построение несколько сложнее. Сначала строится вспомогательная нумерация ν˙ σ , составленная из номерных множеств Nνξσ′ , σ ′ < σ, которые к моменту σ стабилизировались (может быть временно). Момент этой стабилизации обозначим σ(ξ). Длину нумерации ν˙ σ обозначим ξσ∗ , и для этого ординала возможны два случая. Заметим, что все нумерации, построенные к моменту σ, естественно представлять как некую трансфинитную матрицу с ”неровно обрезанным“ правым краем, строчками которой являются эти нумерации. Тогда ξσ∗ задает самый первый столбец этой матрицы, в котором существуют разрывы, т. е. некоторые строки имеют длину, не превосходящую ξσ∗ . Если начиная с некоторого σ ∗ < σ длины всех строк не меньше, чем ξσ∗ , получаем случай 1, иначе — случай 2 (σ ∗ не определено). Переход от ν˙ σ к νσ аналогичен переходу от νσ к νσ+1 в непредельном случае. При отсутствии пульсации очередное множество Mσ тоже строится при помощи автономной процедуры Φ0 . Разделение предельного и непредельного случаев не обязательно (см. [2]); при переходе от σ к σ + 1 можно просто положить ν˙ σ = νσ . (Здесь это делается исключительно ради удобства конспективного описания.) Тогда все определения и обозначения, введенные для предельного случая, будут относиться к любому σ. Из данного описания можно понять, что все объекты, возникающие на очередном шаге пульсирующего процесса, строятся достаточно эффективно из объектов, построенных ранее. К некоторым деталям удобнее вер-

Моделирование пульсирующего процесса

647

нуться в § 3. Как показано в [2], описанный процесс оборвется на некотором предельном шаге τ0 , когда |ντ0 | впервые окажется точкой насыщения ранга ω. Тогда все S-множества будут равномерно разрешимы с замыкающим оракулом нумерации ντ0 . § 3. Выясним возможности моделирования описанного пульсирующего процесса или его начальных отрезков с каким-нибудь оракулом F — регулярным, F -перечисляющим T (F ) и вычисляющим E2 . Будем считать, что даны три машины, его характеризующие, а именно: 1) перечисляющая машина для T (F ); 2) регулятор оракула F ; 3) машина, которая вычисляет E2 . Располагая третьей машиной, можно построить машины, вычисляющие E и E1 . Пусть τF = |T (F )|; промоделируем пульсирующий процесс вплоть до τF . Убедимся, что семейство пар νσ , Mσ (σ < τF ) будет F -вычислимо, т. е. покажем, что диаграммы нумераций νσ и множества Mσ F -разрешимы равномерно по T (F )-кодам σ. Воспользуемся леммой Роджерса [8, § 16.4, с. 509], и по произвольному T (F )-коду z ординала σ < τF и индуктивному параметру e построим одновременно две машины qσ1 , qσ2 , F -разрешающие диаграмму νσ и множество Mσ . Возьмем z ∈ T (F ), |z| = σ. Так как z — некоторое дерево, то построим машину, которая разрешает множество A T (F )-кодов его отростков. Далее, можно построить (равномерно по z, e) машину, которая разрешает множество {e(z ′ ) : z ′ ∈ A}, где e(z ′ ) — пара машин qσ1 ′ и qσ2 ′ , причем (по индукции) qσ1 ′ F -разрешает диаграмму νσ′ , а qσ2 ′ — множество Mσ′ , σ ′ = |z ′ |. Тем самым построена разрешающая машина для упомянутой в § 2 трансфинитной матрицы, возникшей к моменту σ. В дальнейшем достаточно рассмотреть случай, когда σ — предельный ординал. Теперь обратимся к нумерации ν˙ σ . Прежде всего необходимо найти T (F )-код ординала ξσ∗ . Воспользуемся индукционным предположением и

648

Е. В. Гайлит

определением ξσ∗ . Для произвольного σ ′ < σ найдем T (F )-код ординала |νσ′ | следующим образом. Если z ′ ∈ A является T (F )-кодом σ ′ , то соответствующая машина qσ1 ′ является кодом F -разрешимого вполне упорядочения с порядковым типом σ ′ (т. е. является некоторым кодом |νσ′ |) и располагая машиной, вычисляющей E, можно по любому y ∈ T (F ) эффективно построить машину, которая останавливается, если y есть T (F )-код ординала |νσ′ | (заданного посредством qσ1 ′ ), и застревает в противном случае. Таким образом, множество всех T (F )-кодов |νσ′ | будет F -перечислимым и перечисляющая машина строится эффективно по z, e. Применяя к ней регулятор оракула F , находим искомый T (F )-код |νσ′ |. Тем самым установлено, что длины всех нумераций νσ′ (σ ′ < σ) вычисляются равномерно по T (F )-кодам σ ′ , принадлежащим F -разрешимому множеству A. Снова с помощью машины, вычисляющей E, исходя из определения ξσ∗ , проверяется условие ξ < ξσ∗ для любого ξ < τF равномерно по T (F )-коду ξ. Значит, можно построить такую машину, которая с аргументом u ∈ T (F ) дает в качестве результата нуль, если ξ < ξσ∗ , и единицу в противном случае (где ξ = |u|). Остается найти T (F )-код наименьшего такого ординала, для которого построенная машина дает единицу (это и будет ξσ∗ ). Ввиду регулярности оракула F , нахождение этого кода легко осуществляется с помощью машины, вычисляющей джамп. Значит, код ξσ∗ тоже находится эффективно по z, e. Аналогичным образом равномерно по T (F )-кодам ξ, попавшим в множество A, можно найти T (F )-коды σ(ξ), а также выяснить, какой из случаев 1, 2 имеет место для ξσ∗ , и в случае 1 найти T (F )-код σ ∗ . Все эти вспомогательные процедуры (т. е. их F -коды) легко извлекаются из F -разрешающей процедуры для вышеупомянутой матрицы и в конечном итоге задаются эффективно по z, e. Стало быть, теперь можно построить машину, которая F -разрешает диаграмму ν˙ σ (для σ < τF ). Напомним, что навешенные на нумерацию ν˙ σ оракулы релятивизованы к E1 . Из [4] и F -вычислимости E2 следует, что графики этих оракулов можно F -разрешить равномерно по ν˙ σ -номерам их верхних индексов. Установим равномерную F -разрешимость всех S-множеств, задей-

Моделирование пульсирующего процесса

649

ствованных в пульсирующем процессе до момента σ. В форме (∗) последний функциональный квантор можно ограничить тем же запасом тотальных функций, которым в этой форме ограничивался предпоследний квантор (поскольку соответствующий оракул вычисляет E1 ). Поэтому разрешение соответствующего S-множества сводится к перебору множеств виκ (τ )

да B∗ (Hν˙ σj

), а эта задача легко решается с привлечением машины, F -

вычисляющей E, если мы располагаем ν˙ σ -номерами κj (τ ). Поэтому для разрешения какого-либо S i -множества надо найти F -коды вспомогательных функций ϕjν˙ σ , j = 1, . . . , i. Они легко находятся, если уже есть ма′

шины, разрешающие S i -множества для i′ < i. (Разрешение S 1 -множеств осуществляется тривиальным образом.) Можно, стало быть, построить программу, распознающую наличие (или отсутствие) пульсации, определяющую ее род, а также разрешающую множество нарушающих пар (если была пульсация). После чего очевидным образом строится машина, которая F -разрешает диаграмму νσ и множество Mσ . Таким образом, пульсирующую иерархию до момента τF можно воспроизвести с оракулом F . Напомним, что четверки, являющиеся νσ -номерами, включают коды предикатов разрешимых с навешенными на нумерацию νσ оракулами. Диаграммы всех этих нумераций F -разрешимы. Поэтому в описание пульсирующего процесса можно с помощью леммы Роджерса ввести дополнительное устройство, чтобы вместо прежних r фигурировали F -коды тех же самых предикатов (дабы устранить нежелательные повторения). Эта усовершенствованная процедура и будет впредь называться моделированием пульсирующего процесса. Обозначения и терминология, применяемые в его первоначальном описании (νσ , ν˙ σ , S-множества, нарушающие пары и т. д.), сохранятся и используются далее в этом новом смысле. § 4. Наша цель — построить автономную (относительно E2 ) нумерацию µ, основываясь на описанном в § 3 способе моделирования пульсирующего процесса с использованием оракулов Fµτ вместо F . Это требуется для ора-

650

Е. В. Гайлит

кульного моделирования, правда, не всей арифметики второго порядка, а только фрагмента, описанного в [1]. На это раз речь идет о моделировании с помощью автономной вычислимости (вместо пульсирующей), т. е. о достижении лучшего уровня эффективности. При построении требуемого автономного генератора воспользуемся упомянутым ранее способом обозначения для точек ненасыщения (при помощи Φ0 -процедуры), тогда задачу можно сформулировать следующим образом. Пусть построена нумерация µ ↾ τ , где τ — точка насыщения µ относительно E2 . Требуется найти обозначение для τ , т. е. указать равномерную процедуру для построения таких обозначений. Напомним (см. [4]), что в этом случае |T (Fµτ )| = τ , поэтому с очередным оракулом Fµτ можно промоделировать наш пульсирующий процесс вплоть до момента τ . Искомый автономный генератор будем строить применительно к предвосхищению, равному единице. Присвоим τ временный номер нуль и опишем, как выτ +1 числить µ-номер τ с помощью оракула Fµ↾τ : тем самым будет определена

нумерация µ. τ +1 Решающим моментом является очевидная Fµ↾τ -разрешимость диа-

граммы ν˙ τ . Если она установлена, то далее можно с этим же оракулом распознать наличие (или отсутствие) пульсации, разрешить множество нарушающих пар и т. д. Таким образом, моделирование пульсирующего процесτ +1 са может быть продолжено вплоть до |T (Fµ↾τ )| = τ ′ . Поскольку модели-

руется уже модифицированный пульсирующий процесс, в котором необходимые геделевские номера соотнесены с µ-оракулами, то при возрастании τ нарушающие пары не будут повторяться. Поэтому выбрав какую-нибудь из этих пар (r, a), минимальную в любом подходящем смысле, можно исS ∗ σ пользовать ее для построения µ-номера τ при условии, что r ∈ B (Hν˙ τ ) σ<τ

(т. е. r уже является постоянным кодом соответствующего предиката); например, этим номером может быть 2hr,ai . Если такой нарушающей пары

нет (в частности, если пульсация не произошла), то построение µ закончено. Заметим, что по построению µ — однозначная нумерация. Если бы это случилось в момент, когда пульсирующий процесс дове|µ|

ден до первой точки насыщения, то замыкающий оракул Fµ давал бы ту

Моделирование пульсирующего процесса

651

самую модель, которая построена в [1]. Однако из приведенного описания не видно, что процесс не может оборваться раньше. Нам предстоит теперь исследовать, моделью какого именно фрагмента арифметики второго порядка является множество тотальных функций, вычислимых с замыкаю∗

щим оракулом Fµτ построенной нумерации µ (τ ∗ = |µ|). На этот вопрос отвечает ТЕОРЕМА. Совокупность тотальных функций, вычислимых с ∗

каким-либо оракулом Hντ˙ τ ∗ (τ < |ν˙ τ ∗ |) совпадает с совокупностью Fµτ вычислимых функций. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Построим вспомогательную нумерацию µ1 длины τ ∗ , суперавтономную относительно E1 (как известно, все такие нумерации эффективны [6]). При обозначении точек ненасыщения µ1 снова воспользуемся процедурой Φ0 , чтобы эти точки имели номера вида 3z . Для обозначения ζ-ой точки насыщения возьмем 2µ

−1 (ζ)

; для нахождения это-

го номера понадобится бесконечная экстраполяция. Когда все µ-номера израсходованы, построение µ1 заканчивается. Для любого δ < |µ| обозначим через ζδ точку насыщения нумерации µ1 с порядковым номером δ. Если взять любое такое δ, то с помощью леммы Роджерса [8, § 16.4, с. 509] диаграмму нумерации µ1 ↾ ζδ и график ее замыкающего оракула Hµζδ1 можно разрешить c оракулом Fµτ

∗

равномерно по µ-номеру δ. Таким образом, каждый ординал ζδ является ∗

Fµτ -вычислимым, значит, sup{ζδ : δ < |µ|} = θ 6 τ ∗ ; при этом очевидно, что |µ1 | > τ ∗ . Докажем, что τ ∗ является точкой насыщения нумерации µ1 (относительно E1 ) и, следовательно, |µ1 | = θ = τ ∗ . Предположим противное. Тогда в силу [4, 5] можно построить маS Hµζδ1 разрешает диаграмму µ1 ↾ θ, а значит, шину, которая с оракулом δ<τ ∗

можно также построить машину z0 , которая с тем же оракулом разрешает

диаграмму µ. В силу равномерной Fµτ -разрешимости всех Hµζδ1 и регулярности S ∗ Hµζδ1 можно моделирооракула Fµτ работу машины z0 с оракулом ∗

δ<τ ∗

вать с помощью оракула ∗ Fµτ -вычислимость

∗ Fµτ .

Отсюда и в силу выбора z0 получаем

ординала τ и приходим к противоречию. Следовательно, θ ∗

652

Е. В. Гайлит

есть точка насыщения µ1 и θ = τ ∗ . Докажем, что нумерация µ1 суперавтономна. Необходимо для любого ζδ указать единообразный способ, позволяющий вычислить его номер за счет подходящей экстраполяции µ1 ↾ ζδ . Обозначим ζδ временным номером нуль, при помощи Φ0 -процедуры порождаем дальнейшие вспомогательные номера вплоть до следующей точки насыщения ζδ′ . Точке ζδ′ присвоим временный номер один и снова, используя процедуру Φ0 , порожζ ′′

даем временные номера до следующей точки насыщения ζδ′′ . Оракул Hµδ1 ↾ζδ используется как вспомогательный для вычисления µ1 -номера ζδ , или, что то же самое, µ-номера δ. Предполагая по индукции, что µ1 ↾ ζδ суперавтономна, легко понять, что ее продолжение до ζδ′′ тоже суперавтономно (и, следовательно, эффективно относительно E1 ). Теперь надо построить ζ ′′

машину, которая с оракулом Hµδ1 ↾ζδ вычисляет оракул Fµδ+1 . Тривиальным образом строится машина p1 , которая с любым из ораζ′

ζ ′′

кулов Hµδ1 ↾ζδ и Hµδ1 ↾ζδ разрешает диаграмму µ1 ↾ ζδ . В силу этого и поскольку все необходимые µ-номера были использованы в нумерации µ1 ↾ ζδ , можно построить разрешающую машину для диаграммы µ ↾ δ. Заметим (см. [4]), что в точках насыщения продолженной (до ζδ′′ ) нумерации µ1 ↾ ζδ все оракулы, находящиеся в точках насыщения этой нумерации, имеют один и тот же регулятор (по определению процедуры Φ0 ). Так как ζδ′ и ζδ′′ являются точками насыщения продолженной нумерации µ1 ↾ ζδ , можно построить машину p2 , которая с любым из этих двух оракулов вычисляет E2 . Из [4] следует, что оракул Fµδ (Fµδ+1 ) вычислим с ζ′

ζ ′′

оракулом Hµδ1 ↾ζδ (Hµδ1 ↾ζδ ), причем вычисляющая машина строится независимо от δ, поскольку это верно для p1 и p2 . Располагая этой машиной и ζ ′′

E2 -генератором нумерации µ, можно Hµδ1 ↾ζδ -вычислить искомый µ1 -номер ∗

ζδ . Тем самым µ1 суперавтономна. В силу уже установленной ранее Fµτ разрешимости графиков Hµζδ1 (δ < τ ∗ ), все Hµτ 1 -вычислимые тотальные ∗

∗

функции Fµτ -вычислимы. С другой стороны, при доказательстве суперавтономности µ1 было установлено, что все оракулы Fµδ (δ < τ ∗ ) вычислимы с соответствующими ζ ′′

оракулами Hµδ1 ↾ζδ , а поскольку τ ∗ — предельная точка насыщения нумера-

653

Моделирование пульсирующего процесса ∗

ции µ1 , то графики всех этих оракулов Hµτ 1 -разрешимы и, следовательно, ∗

∗

все Fµτ -вычислимые тотальные функции Hµτ 1 -вычислимы. Если рассмотреть произвольную нумерацию ντ , τ < τ ∗ (из пульсирующего процесса), то для всякого ξ < |ντ ∗ | оракул Hµξ 1 вычислим с оракулом Hνξτ (поскольку суперавтономные нумерации эффективны [6]). Значит, ∗

каждая Fµτ -вычислимая тотальная функция вычислима с одним из оракулов Hνξ˙ τ ∗ . Обратное непосредственно вытекает из Fµτ -моделируемости ∗

пульсирующего процесса до τ ∗ , установленного в § 3. Теорема доказана. Осталось выяснить, какой фрагмент арифметики второго порядка выполняется на совокупности функций, вычислимых с оракулами Hνξ˙ τ ∗ , ξ < |ν˙ τ ∗ |. Согласно алгоритму Тарского–Куратовского (см. [8, § 16.1, с. 483]) и ввиду отсутствия пульсации в момент τ ∗ , каждое Sν1,η ˙ τ ∗ ,r -множество совпадает с областью истинности формулы языка арифметики второго порядка, у которой не более двух функциональных кванторов, а функциональные параметры берутся из занимающей нас совокупности. И, наоборот, каждую двукванторную формулу с такими параметрами можно представить в виде подходящего S 1 -множества. При этом в форме (∗) при i = 1 (и с ν˙ τ ∗ вместо ν) второй функциональный квантор, как было отмечено ранее, можно ограничить тем же запасом тотальных функций, что и первый (т. к. E1 Hνη˙ τ ∗ -вычислимо). В силу доказанной теоремы все эти множеτ ства Sν1,η ˙ τ ∗ ,r будут Fµ -разрешимы, но неравномерно, поскольку ν˙ τ ∗ не яв∗

∗

ляется Fµτ -вычислимой нумерацией. Таким образом, построенная модель конструктивна, однако выполнимость схемы свертывания (ограниченной формулами с двумя функциональными кванторами) имеет место неравномерно (по кодам этих формул). Есть основание предполагать, что этот недостаток неустраним и аналогичную (т. е. автономную) модель для всей арифметики второго порядка построить невозможно. ЛИТЕРАТУРА 1. Н. В. Белякин, Пульсирующие иерархии, Сиб. матем. ж., 35, N 3 (1994), 520—526.

654

Е. В. Гайлит 2. Е. В. Гайлит, Арифметика второго порядка и пульсирующие иерархии, Сиб. матем. ж., 43, N 1 (2002), 33—40. 3. В. А. Ганов, Н. В. Белякин, Общая теория вычислений с оракулами, Новосибирск, Ин-т матем. СО АН СССР, 1989. 4. Н. В. Белякин, Итерированная клиниевская вычислимость, Сиб. матем. ж., 30, N 6 (1989), 27—32. 5. Е. Г. Никифорова, Об одном способе регуляризации итерированной клиниевской вычислимости, М., 1988, деп. в ВИНИТИ, N 2696-B 88. 6. Н. В. Белякин, Эффективные иерархии, Алгебра и логика, 29, N 4 (1990), 385—397. 7. А. Н. Гамова, Суперавтономные нумерации и проектируемые ординалы, Алгебра и логика, 30, N 1 (1991), 28—47. 8. X. Роджерс, Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость, Москва, Мир, 1972.

Адрес автора: ГАЙЛИТ Евгения Валерьевна, РОССИЯ, 630090, г. Новосибирск, ул. Пирогова, д. 16, кв. 104. e-mail: [email protected]

Поступило 22 января 2002 г.