Математический анализ. Криволинейные интегралы: Методические указания к самостоятельной работе студентов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Тюменский государственный нефтегазовый университет»

ИНСТИТУТ НЕФТИ И ГАЗА Кафедра «Моделирование и управление процессами нефтегазодобычи»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе студентов по теме «Криволинейные интегралы» дисциплины «Математический анализ» для студентов специальности 073000 – Прикладная математика очной формы обучения

Тюмень 2004 г. 3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Тюменский государственный нефтегазовый университет»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе студентов по теме «Криволинейные интегралы» дисциплины «Математический анализ» для студентов специальности 073000 – Прикладная математика очной формы обучения

Председатель РИС

Проректор _____________________

___________(Перевощиков С.И.)

«____»___________________ 2004 г. Рассмотрено на заседании кафедры «Моделирования и управления процессами нефтегазодобычи» Протокол №_____ от ______ 2004 г.

___________(Уманец М.Л.)

Подпись _____________________ (зав. кафедрой)

___________(Мартынюк О.А.) Рассмотрено на заседании методической комиссии Института нефти и газа Протокол №_____ от ______ 2004 г. Подпись _____________________ (председатель методкомиссии)

Тюмень 2004 г. 4

Утверждено редакционно-издательским советом Тюменского государственного нефтегазового университета

Составители:

Уманец М.Л., ст. преподаватель Мартынюк О.А., ассистент

© Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

5

«Тюменский государственный нефтегазовый университет» 2004 г.

6

Методические указания к самостоятельной работе студентов по теме «Криволинейные интегралы» дисциплины «Математический анализ» для студентов специальности 073000 – Прикладная математика очной формы обучения

Составители:

Уманец М.Л., ст. преподаватель Мартынюк О.А., ассистент

Подписано к печати Заказ № Формат 60/90 1/16 Отпечатано на RISO GR 3750

Бум. писч.№1 Уч.изд.л. Усл.печ.л. Тираж экз.

Издательство «Нефтегазовый университет» Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тюменский государственный нефтегазовый университет» 625000, г. Тюмень, ул. Володарского, 38 Отдел оперативной полиграфии издательства «Нефтегазовый университет» 625000, г. Тюмень, ул. Володарского, 38

7

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ Перед выполнением расчетных заданий по разделу «Криволинейные интегралы» рекомендуется повторить следующие вопросы. 1. Определение криволинейного интеграла по длине дуги (криволинейный интеграл первого рода) и его свойства. 2. Вычисление криволинейного интеграла первого рода в различных системах координат. 3. Приложение криволинейного интеграла первого рода к задачам геометрии и механики. 4. Определение криволинейного интеграла по координатам (криволинейный интеграл второго рода) и его свойства. 5. Вычисление криволинейного интеграла второго рода в различных системах координат. 6. Формула Грина. 7. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. 8. Приложение криволинейного интеграла второго рода к задачам механики.

3

1. Криволинейный интеграл первого рода.

∫

Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги) имеет вид f ( x, y )dL , где dL – дифференциал дуги. Используя уравнение линии (К)

K

криволинейный интеграл первого рода сводится к вычислению определенного интеграла. 1) Если кривая (К) задана уравнением y = g ( x ), a ≤ x ≤ b , то b

∫ f (x, y )dL = ∫ f (x, g (x ))

AB

1 + g& ( x ) dx 2

(1)

a

⎧ x = x(t ) , 2) Если кривая (К) задана в параметрической форме: ⎨ ⎩ y = y (t ) где t1 ≤ t ≤ t 2 , то f2

∫ f (x, y )dL = ∫ f (x(t ), y(t ))

K

x& 2 + y& 2 dt

(2)

f1

Аналогично определяется и вычисляется криволинейный интеграл I рода от функции трех переменных f ( x, y, z ) по пространственной кривой. Если пространственная кривая задана уравнениями x = x(t ) , y = y (t ) , z = z (t ) (t1 ≤ t ≤ t 2 ) , то t2

∫ f (x, y, z )dL = ∫ f (x(t ), y(t ), z (t ))

K

x& 2 (t ) + y& 2 (t ) + z& 2 (t )dt

t1

3) В случае, когда кривая (К) задана полярным уравнением ρ = ρ (ϕ ), ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ 2 , то вспомнив, что x = ρ cos ϕ , y = ρ sin ϕ и dL = ρ 2 + ρ& 2 dϕ , получим: ϕ2

∫ f (x, y )dL = ∫ f (ρ cos ϕ , ρ sin ϕ )

АВ

ϕ1

ρ 2 + ρ& 2 dϕ

4

(3)

Если f ( x, y ) > 0 то криволинейный интеграл I рода

∫ f (x, y )dL

K

представляет массу кривой (К), имеющей переменную линейную плотность γ = γ ( x, y ) , m = ∫ γ ( x, y )dL . AB

Если f ( x, y ) ≥ 0 то криволинейный интеграл I рода

∫ f (x, y )dL

чис-

K

ленно равен площади части цилиндрической поверхности, у которой направляющая (К) лежит в плоскости хОу, а образующие перпендикулярны ей, эта цилиндрическая поверхность ограничена сверху поверхностью z = f ( x, y ) , а снизу плоскостью хОу. Основные свойства криволинейного интеграла первого рода. 1. Криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути интегрирования: ∫ f (x, y )dL = ∫ f (x, y )dL . AB

2.

BA

∫ ( f1 (x, y ) ± f 2 (x, y ))dL = ∫ f1 (x, y )dL ± ∫ f 2 (x, y )dL .

К

K

K

3. ∫ cf ( x, y )dL = c ∫ f ( x, y )dL , где c = const . K

K

4. Если контур интегрирования (К) разбит на две части К1 и К2, то

∫ f (x, y )dL = ∫ f (x, y )dL + ∫ f (x, y )dL .

K

K1

K2

Пример №1. Вычислить ∫ ( x − y )dL , где (К) – отрезок прямой от А(0, 0) до В(3, 4). K

Решение. Найдем уравнение прямой (АВ). Она проходит через начало коорди4 4 нат (Рис. 1). Ее уравнение y = kx, k = tgα = , y = x – путь интегри3 3 рования задан по формуле (1). 2

4 5 ⎛4⎞ Находим y& = , тогда dL = 1 + ⎜ ⎟ dx = dx . 3 3 ⎝ 3⎠ 3

53 5 x2 ⎛4 ⎞ 5 ∫ ( y − x )dL = ∫ ⎜⎝ 3 x − x ⎟⎠ ⋅ 3 dx = 9 ∫ x dx = 9 ⋅ 2 0 0 K

5

3

= 0

5 2

у 4

В

α

А 0

Ответ:

3 Рис. 1

х

5 ( ) x y dL . − = ∫ 2

K

Пример №2. Вычислить ∫ ( x + y )dL , где (К)контур треугольника с вершинами А K

(1, 0), В (0, 1), О (0,0), (Рис. 2). у В

О

А

х

Рис. 2 Решение. Контур интегрирования (К) разбит на три части ОА, АВ, ВО, тогда криволинейный интеграл по данному контуру будет равен: J = ∫ ( x + y )dL = ∫ ( x + y )dL + ∫ ( x + y )dL + ∫ ( x + y )dL . K

OA

AB

BO

Уравнение (ОА): у = 0 ⇒ y& = 0, 0 ≤ x ≤ 1 Уравнение (АВ): y = 1 − x ⇒ y& = −1, 0 ≤ x ≤ 1 Уравнение (ВО) x = 0 ⇒ x& = 0, 0 ≤ y ≤ 1 1

1

0

0

1

J = ∫ ( x + 0 ) 1 + 0 dx + ∫ ( x + 1 − x ) 1 + (− 1) dx + ∫ (0 + y ) 1 + 0 dy = 1

1

1

0

0

0

= ∫ x dx + 2 ⋅ ∫ dx + ∫ y dy = Ответ:

∫ (x + y )dL =

2

0

2 1

x 2

1

+ 2⋅x0 +

0

2 + 1.

K

6

2 1

y 2

0

=

1 1 + 2 + = 2 + 1. 2 2

2. Криволинейный интеграл второго рода

Криволинейный интеграл второго рода (по координатам) есть работа, совершаемая переменной силой F = P( x, y )i + Q( x, y ) j на криволинейном пути (К). Криволинейный интеграл второго рода имеет вид ∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy , AB

где P( x, y ) и Q( x, y ) непрерывные в точках дуги (АВ) гладкой кривой (К). Используя уравнение лини интегрирования (К) он сводится к определенному интегралу. 1) Если кривая (К) задана уравнением y = g ( x ) dy = g ′( x )dx a ≤ x ≤ b , то b

∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy = ∫ (P(x, g (x )) + Q(x, g (x ))g ′(x ))dx .

K

(4)

a

⎧ x = x(t ) 2) Если кривая (К) задана в параметрическом виде: ⎨ ⎩ y = y (t ) t1 ≤ t ≤ t 2 , то t2

∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy = ∫ (P(x(t ), y(t ))x′ + Q(x(t ), y(t )) y ′)dt .

K

(5)

t1

Основные свойства криволинейного интеграла второго рода. 1. Криволинейный интеграл II рода меняет свой знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования:

∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy = − ∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy .

ВА

AB

2.

∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy = ∫ P(x, y )dx + ∫ Q(x, y )dy .

ВА

BA

BA

Остальные свойства аналогичны свойствам интеграла I рода. Пример №3. Найти работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки x2 М к N. F = xy i + ( x − y ) j L: + y 2 = 1 M (2, 0 ) N (− 2, 0 ) (Рис. 3). 4

7

Решение.

⎧ x = 2 cos t , Запишем уравнение эллипса в параметрической форме: ⎨ ⎩ y = sin t где 0 ≤ t ≤ π . у 1

M 2

N -2

х

Рис. 3 Работа вычисляется по формуле: А = ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy . K

У нас P( x, y ) = xy, Q( x, y ) = x − y , откуда A = ∫ xy dx + ( x − y )dy . K

Изменения х и у вдоль линии интегрирования заданы. Найдем dx и dy: dx = −2 sin t dt , dy = cos t dt . Подставим х, у, dx и dy под знак интеграла. π

A = ∫ xy dx + ( x − y )dy = ∫ (2 cos t ⋅ sin t ⋅ (− 2 sin t ) + (2 cos t − sin t ) ⋅ cos t )dt = 0

K

π

(

π

)

π

= ∫ − 4 sin t ⋅ cos t + 2 cos t − sin t ⋅ cos t dt = −4 ∫ sin t d (sin t ) + ∫ (1 + cos 2t )dt − 2

2

0

0

2

0

π

π

π π ⎡sin π = 0, sin 2π = 0⎤ 4 1 ⎛ 1 ⎞ − ∫ sin t d (sin t ) = − sin 3 t + ⎜ t + sin 2t ⎟ − sin 2 t = ⎢ ⎥= 0 0 sin 0 0 = 3 2 2 ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ 0 0 =π

Ответ: A = π . 3. Формула Грина.

Если (С) – граница области (D) и функции P( x, y ) и Q( x, y ) вместе ∂Q ∂P со своими частными производными и непрерывны в замкнутой ∂x ∂y области (D) (включая границу (С), то справедлива формула Грина:

8

⎛ ∂Q ∂P ⎞ ( ) ( ) P x , y dx Q x , y dy + = ∫ ∫∫ ⎜⎜⎝ ∂x − ∂y ⎟⎟⎠dxdy . С D

(6)

Причем обход контура (С) выбирается так, что область (D) остается слева (положительное направление) (Рис. 4). y D

C x

Рис. 4

Проверить формулу Грина это значит: 1) Перейти к двойному интегралу по области (D). 2) Вычислить двойной интеграл по области (D). 3) Вычислить непосредственно криволинейный интеграл по контуру (С). 4) Сравнить результаты. Они должны быть одинаковы. Пример №4.

Вычислить интеграл

dx dy − двумя способами: непосредственно и y x L

∫

по формуле Грина. L – контур многоугольника ABCA : А(1; − 1), В (2; 1), С (2; 2 ) (Рис. 5). Решение.

1 1 , Q ( x, y ) = − . y x ∂P ∂Q 1 1 . =− 2, = Находим ∂y ∂x x 2 y

Здесь P( x, y ) =

⎛ 1 1 ⎞ dx dy ⎜ − = + ∫ y x ∫∫ ⎜ x 2 y 2 ⎟⎟dxdy , ⎠ ABCA D ⎝ где область (D) – треугольник АВС. Таким образом, J =

9

у С

2 1

D А

В 1

2

х

Рис. 5 Запишем уравнение сторон треугольника АВС. (СА): у = х (АВ): у = 1 , (ВС): х = 2 , Вычислим двойной интеграл по данной области (D): x

2

2 2 ⎛ 1 ⎛ y 1⎞ 1 ⎞ 1 ⎞ 1⎞ 1 ⎛ ⎛ J = ∫ dx ∫ ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟dy = ∫ ⎜⎜ 2 − ⎟⎟ dx = ∫ ⎜1 − 2 ⎟dx = ⎜ x + ⎟ = y ⎠1 x⎠1 2 y ⎠ x ⎠ ⎝ 1 1⎝ x 1⎝ x 1⎝ 2

x

Вычислим теперь непосредственно криволинейный интеграл по контуру треугольника АВС, состоящему из звеньев: АВ, ВС, СА. J=

⎛ dx dy ⎞ ⎛ dx dy ⎞ ⎛ dx dy ⎞ − ⎟⎟ + ∫ ⎜⎜ − ⎟⎟ + ∫ ⎜⎜ − ⎟⎟ y x ⎠ BC ⎝ y x ⎠ CA ⎝ y x ⎠ AB

∫ ⎜⎜⎝

Уравнение (АВ): y = 1 ⇒ dy = 0, 1 ≤ x ≤ 2 Уравнение (ВС): x = 2 ⇒ dx = 0, 1 ≤ y ≤ 2 Уравнение (СА): y = x ⇒ dy = dx, 2 ≥ y ≥ 1 Таким образом, 2 2 dy 1 ⎛ dx dx ⎞ 1 2 1 2 J = ∫ dx + ∫ − + ∫ ⎜ − ⎟ = x 1 − y 1 = x⎠ 2 2⎝ x 2 2 1 1 Результаты одинаковы. Ответ: J =

1 . 2

Пример №5. 2 Вычислить интеграл ∫ 2 x 2 + y 2 dx + ( x + y ) dy двумя способами:

(

)

L

непосредственно и по формуле Грина. L – контур многоугольника ABCA : А(1; 1), В (2; 2 ), С (1; 3) (Рис. 6). 10

Решение. 2 В нашем примере P( x, y ) = 2 x 2 + y 2 , Q( x, y ) = ( x + y ) , тогда ∂P ∂Q = 4 y, = 2( x + y ) . ∂y ∂x

(

Получаем, что J =

)

2 2 2 ∫ 2(x + y )dx + (x + y ) = ∫∫ (2(x − y ))dxdy ,

ABCA

D

где область (D) – треугольник АВС. у С

3

D 1

В

А 1

2

х

Рис. 6

Запишем уравнение сторон треугольника АВС. (АВ): у = x , (ВС): y = 4 − x , (СА): x = 1 Вычислим двойной интеграл по данной области (D): 2

4− x

1

x

J = 2 ⋅ ∫ dx

∫

4− x

2 ⎛ y2 ⎞ (x − y )dy = 2 ⋅ ∫ ⎜⎜ xy − ⎟⎟ dx = 4 ⋅ ∫ 4 x − x 2 − 4 dx = 2 ⎠x 1⎝ 1 2

(

)

2

1 4 ⎛ ⎞ = 4 ⋅ ⎜ 2x 2 − x3 − 4x ⎟ = − 3 3 ⎝ ⎠1 Вычислим теперь непосредственно криволинейный интеграл по контуру треугольника АВС, состоящему из звеньев: АВ, ВС, СА. J=

∫ 2 ⋅ (x

AB

(

2

)

+ y 2 dx + ( x + y ) dy +

)

2

∫ 2 ⋅ (x

2

)

+ y 2 dx + ( x + y ) dy +

BC

+ ∫ 2 ⋅ x 2 + y 2 dx + ( x + y ) dy 2

CA

Уравнение (АВ): y = x ⇒ dy = dx, 1 ≤ x ≤ 2 Уравнение (ВС): y = 4 − x ⇒ dy = −dx, 2 ≥ x ≥ 1 Уравнение (СА): x = 1 ⇒ dx = 0, 3 ≥ y ≥ 1 Таким образом,

11

2

2

1

(

)

1

J = ∫ 8 x dx + ∫ 4 x − 16 x + 16 dx + ∫ (1 + y ) dy = 2

1

2

2

2

3

3 1

(1 + y ) 8 ⎛4 ⎞ = x 3 + ⎜ x 3 − 8 x 2 + 16 x ⎟ + 3 1 ⎝3 3 ⎠2 Результаты одинаковы. 1

2

3

=

56 4 56 4 − − =− 3 3 3 3

4 Ответ: J = − . 3 4. Нахождение функции по ее полному дифференциалу

Если функции P( x, y ) и Q( x, y ) в области (D), ограниченной кривой ∂P ∂Q (К), связаны соотношением , то выражение P( x, y )dx + Q( x, y )dy – = ∂y ∂x полный дифференциал некоторой функции U ( x, y ) , dU = P( x, y )dx + Q( x, y )dy . Все функции, имеющие один и тот же дифференциал P( x, y )dx + Q( x, y )dy , отличаются друг от друга постоянными слагаемыми. Поэтому любая такая функция U ( x, y ) задается формулой: U ( x, y ) =

( x, y )

∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy + C .

( x0 , y0 )

где С – произвольное число. В качестве начальной точки (х0, у0) можно взять любую точку из области (D). Удобно брать в качестве (х0, у0) точку с «круглыми» координатами. Например (0, 0) если она находится в области (D). Так как путь движения от (х0, у0) до (х, у) не влияет на величину интеграла, удобно вести интегрирование по ломаной линии, звенья которой лежат на координатных осях или им параллельным. Пример №6. Доказать, что данное выражение является полным дифференциалом функции U ( x, y ) , найти первообразную. Сделать проверку.

(e

x+ y

)

(

)

+ cos( x − y ) dx + e x + y − cos( x − y ) + 2 dy

Решение. Имеем P = e x + y + cos( x − y ) , Q = e x + y − cos( x − y ) + 2 .

12

∂P ∂Q ≡ = e x + y + sin ( x − y ) , то есть данное выражение являет∂y ∂x ся полным дифференциалом функции U ( x, y ) : Тогда

(

)

(

)

dU = e x + y + cos( x − y ) dx + e x + y − cos( x − y ) + 2 dy .

За начальную точку возьмем О(0, 0), контуром (К) является ломаная OАВ (Рис. 7). у В(х, у)

О

А(х, 0)

х

Рис. 7

∫ (e

U ( x, y ) = +

∫ (e

x+ y

)

OA x+ y

(

)

+ cos( x − y ) dx + e x + y − cos( x − y ) + 2 dy +

)

(

)

+ cos( x − y ) dx + e x + y − cos( x − y ) + 2 dy + C

AB

Уравнение (ОА): y = 0 ⇒ dy = 0, 0 ≤ x ≤ x Уравнение (АВ): x = const ⇒ dx = 0, 0 ≤ y ≤ y Получаем: x

(

y

)

(

)

U ( x, y ) = ∫ e + cos x dx + ∫ e x + y − cos( x − y ) + 2 dy + C = x

0

= ex

x 0

0

x

+ sin x 0 + e x + y

y 0

+ sin ( x − y ) 0 + 2 y 0 + C = e x + y + sin ( x − y ) + 2 y + C y

y

Очевидно, что функцию U ( x, y ) интегрируя по контуру ОАВ можно найти по формуле: x

y

U ( x, y ) = ∫ P( x, y 0 )dx + ∫ Q( x, y )dy + C . x0

(7)

y0

Нашли функцию U ( x, y ) – сделаем проверку. Нужно найти ∂U ∂U ∂U . Если = P ( x, y ) и = Q( x, y ) , задача решена верно. ∂x ∂y ∂y Проверка. ∂U = e x + y + cos( x − y ) = P( x, y ) ; ∂x

13

∂U и ∂x

∂U = e x + y − cos( x − y ) + 2 = Q( x, y ) . ∂y Следовательно, задача решена верно. Ответ: U ( x, y ) = e x + y + sin ( x − y ) + 2 y + C . ЗАДАНИЕ

1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода. 2. Найти работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки М к N. 3. Вычислить интеграл двумя способами: непосредственно и по формуле Грина. L – контур многоугольника АВСА или АВСDА. 4. Доказать, что данное выражение является полным дифференциалом функции U ( x, y ) , найти первообразную. Сделать проверку.

14

Вариант 1

1.

∫ (x + y )dL

L – контур треугольника с вершинами

L

A(0, 0 ), B(1, 0 ), C (0, 1)

2.

F = xy 2 i − y j

3.

∫x

2

ydx + xy 2 dy

M (0; 1),

y = ex ,

L:

ABCA :

А(2; − 2 ),

N (1; е )

В (0; 0 ), С (0; − 2 )

L

4.

(x

2

− y2

) (xdx − ydy ) 2

Вариант 2

L

⎧ x = a(cos t + t sin t ) ⎛ π⎞ L: ⎨ ⎜0 ≤ t ≤ ⎟ 2⎠ ⎩ y = a(sin t − t cos t ) ⎝

2.

F = ( x 2 − y 2 )i + ( y 2 − 2 x ) j

L:

3.

∫ xdx + (2 x − 3 y )dy L ABCDA : А(4; − 2 ),

1.

4.

∫

x 2 + y 2 dL

y 2 = 2 x,

В (1; − 2 ), С (− 1; − 4 ),

M (0; 0 ),

N (2; 2 )

D (4; − 4 )

⎛1 2 2 ⎞ ⎛1 3 ⎞ ⎜ x y − 4 ⎟dx + ⎜ x y + 5 ⎟dy ⎝2 ⎠ ⎝3 ⎠

Вариант 3

1.

4 ⎛ 4 ⎞ 3 ⎜ x + y 3 ⎟dL ∫⎜ ⎟ L⎝ ⎠

2.

F = (x + y ) i + x 2 + y 2 j

3.

∫ ( y − x )dx + (x + y )

2

⎧ x = 2 cos 3 t L: ⎨ 3 ⎩ y = 2 sin t

(

)

2

dy

(0 ≤ y ≤ 2π )

⎧ x = 2 cos t , M (2; 0), N (0; 2 ) L: ⎨ ⎩ y = 2 sin t ABCA :

А(0; − 3),

L

15

В (− 3; 0 ), С (− 3; − 3)

4.

(x

2

)

+ y 2 ( xdx + ydy )

Вариант 4 3 2 ∫ x y dL L

⎧ x = a cos t L: ⎨ ⎩ y = a sin t

2.

F = ( x 2 + y 2 )i + y 2 j

L:

3.

∫ (2 x + 3 y )

dx + ydy

ABCDA :

А(− 1; 0 ),

1.

2

L

4.

(x

2

y = x,

M (0; 0 ),

В (− 1; 4 ), С (− 4; 4 ),

N (4; 2 )

D (− 4; 2 )

)

⎛ 1 ⎞ y 3 − 5 dx + ⎜⎜ x 3 y 2 − 2 ⎟⎟dy y ⎠ ⎝

Вариант 5

1.

∫ xydL

L – замкнутый контур, ограниченный линиями

L

x = 0,

2.

F = xi + xy j L :

3.

∫ xdx + (x − y )dy

y = 0,

x = 4,

⎛ π ⎞ y = cos x, M ⎜ − ; 0 ⎟, ⎝ 2 ⎠ ABCA :

А(0; − 4 ),

y=2 N (0; 1)

В (4; − 4 ), С (4; 0 )

L

4.

− ydx + xdy x2 + y2

Вариант

1.

∫ xdL L

6

L – отрезок прямой от точки А до В A(0, 0 ), B(1, 2 ) 16

(

)

2.

F = ( x 2 − y )i + x 2 + y j L :

3.

∫ xdx + (2 x − 3 y )

2

y = x 2 − 4,

M (0; − 4 ),

ABCDA : А(1; 0 ),

dy

N (2; 0 )

В (4; 2 ), С (4; 4 ),

D (1; 4 )

L

4.

y ⎛ x e −

⎜ ⎝

y 1 ⎞ dx + dy ⎟ 2 x ⎠ x

Вариант 7

L

⎧ x = a(t − t sin t ) L: ⎨ ⎩ y = a(1 − t cos t )

2.

F = ( x − y )i + j

L : x 2 + y 2 = 4,

3.

∫ xydx − ydy

ABCA :

1.

∫y

2

dL

(0 ≤ t ≤ 2π )

( y ≥ 0),

А(2; 3),

M (2; 0 ),

N (− 2; 0 )

В (− 2; 3), С (2; − 3)

L

4.

− ydx + xdy (x − y )2

Вариант 8

1.

∫ xdL

L – дуга линии y = x 2 от точки А до В

L

A(2, 4), B(1, 1)

2.

F = − xi + xy j

3.

∫ (x

2

)

L:

(

(x ≥ 0, y ≥ 0),

)

− xy dx + xy + y 2 dy

L

ABCDA :

4.

y2 x + = 1, 9 2

А(0; − 2 ),

В (0; − 5), С (6; − 5),

ydx − xdy (x + y )2

17

D (3; − 2 )

M (1; 0 ),

N (0; 3)

Вариант 9

1.

∫ (x − 2 y )dL

L – отрезок прямой от точки А до В

L

A(1, 1), B(5, 3)

2.

F = − yi + x j

3.

∫ (3x + 2 y )dx − ydy

M (0; 0),

y = x3,

L:

ABCA :

N (2; 8)

А(2; − 3),

В (− 2; 3), С (− 2; − 3)

L

4.

(e

x+ y

)

(

)

+ cos( x − y ) dx + e x + y − cos( x − y ) + 2 dy

Вариант 10

1.

2 ⎞ ⎛ 2 ⎜ x 3 + y 3 ⎟dL ∫⎜ ⎟ L⎝ ⎠

2.

F = ( xy − x )i + x 2 j

3.

∫ 2 xydx − ydy

L – дуга

L: ABCDA :

y = 2 x, А(3; 2 ),

2 x3

+

2 y3

=

M (0; 0 ),

2 a3,

x ≥ 0, y ≥ 0

N (1; 2 )

В (6; 5), С (0; 5),

D (0; 2 )

L

4.

(x

4

)

− y dx + (3 − x )dy

Вариант 11

1.

∫ L

1 dL y−x

L – отрезок прямой от точки А до В A(0, − 1), B(2, 0 ) y = 2 x 2 , M (0; 0 ),

2.

F = ( xy − y 2 )i + x j

L:

3.

∫ xdx + (3x − 2 y )dy

ABCA :

А(2; 3),

В (− 2; − 3), С (2; − 3)

L

4.

1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ ⎜ sin y + y sin x + ⎟dx + ⎜ x cos y − cos x + ⎟dy x⎠ y⎠ ⎝ ⎝ 18

N (1; 2 )

Вариант 12

1.

∫

x 2 + y 2 dL

L : x2 + y2 = 4

L

2.

F = xy i

3.

∫x

2

L:

ydx + xy 2 dy

y = sin x, M (π , 0 ), А(0; − 2 ),

ABCA :

N (0, 0 )

В (0; 0 ), С (− 1; 0 )

L

4.

(x

2

− y2

) (xdx − ydy ) 3

Вариант 13

1.

∫ xy

2

L – контур параллелограмма с вершинами

dL

L

A(0, 1), B(3, 0), C (3, 2), D(0, 2)

2.

F = y2 i − x2 j

L:

3.

∫ 2 xydx − ydy

ABCA :

x 2 + y 2 = 16, А(0; − 3),

( y ≥ 0),

M (0; 4 ),

N (− 4; 0 )

В (− 5; 2 ), С (− 5; − 3)

L

4.

(2 xy − y

2

)

(

)

+ 5 dx + x 2 − 2 xy dy

Вариант 14

L

⎧ x = a(t − t sin t ) L: ⎨ ⎩ y = a(1 − t cos t )

2.

F = x 2 y i − xy 2 j

L:

3.

∫ xydx − ydy

1.

∫

2 xy dL

(x ≥ 0, y ≥ 0),

x 2 + y 2 = 4,

ABCDA : А(− 4; 0 ),

M (2; 0 ),

В (− 2; 2 ), С (− 2; 5),

L

4.

(0 ≤ t ≤ 2π )

⎛ x ⎞ ⎛1 ⎞ ⎜ + 2 ⎟dx + ⎜⎜ − 2 − 3⎟⎟dy ⎝y ⎠ ⎝ y ⎠

19

N (0; 2 )

D (− 4; 5)

Вариант 15

1.

∫ (z −

)

x 2 + y 2 dL

L – первый виток винтовой линии

L

x = a cos t ,

)(

(

)

2.

F = x2 + y2 i + 2 j

3.

∫ (x + 4 y )dx + (4 xy + y

L: 2

)dy

y = a sin t ,

y 2 + x 2 = 9, ABCA :

z = bt

( y ≥ 0),

А(0; 0 ),

M (3; 0 ),

N (− 3; 0 )

В (3; 0 ), С (0; 6 )

L

4.

(x

)

+ y dx + ( x − y )dy

3

Вариант 16

∫ (2 x − y )dL

L – отрезок прямой от точки А до В A(2, 2 ), B(1, 3)

2.

F = yi − x j

L : 4 x 2 + y 2 = 1,

3.

∫ 2 xdx − xydy

ABCA :

1.

L

( y ≥ 0),

А(4; 0 ),

⎛1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ M ⎜ ; 0 ⎟, N ⎜ − ; 0 ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

В (2; − 2 ), С (4; − 2 )

L

4.

(3x

2

)

(

)

+ 2 y dx + 2 x − 3 y 2 dy

Вариант 17

1 ∫ x − y dL L

L – отрезок прямой от точки А до В

2.

F = xy i + 2 y j

L:

3.

∫ (x

1.

2

)

A(2, 1), B(− 3, 4)

− y 2 dx + ( x + y )dy

y 2 + x 2 = 1, ABCA :

(x ≥ 0, y ≥ 0),

А(3; 0 ),

L

20

M (1; 0 ),

В (3; 3), С (0; 3)

N (0; 1)

4.

2 xdx + ydy 2x2 + y2

Вариант 18

1.

∫ (x

2

2

2

⎧ x = a cos t ⎪ L : ⎨ y = a sin t ⎪⎩ z = bt

)

+ y + z dL

L

2.

F = yi − x j

3.

∫ (x

2

L : x 2 + y 2 = 4,

)

(

)

+ y 2 dx + x 2 − y 2 dy

(0 ≤ t ≤ 2π )

( y ≥ 0),

ABCDA : А(4; 2 ),

M (2; 0 ),

N (0; 2 )

В (4; 3), С (2; 3),

D (2; 0 )

L

4.

2dx − 3dy 2x − 3y

Вариант 19

1.

∫ ( y − x )dL

L – контур треугольника с вершинами

L

A(0, 1), B(2, 0 ) C (0, 2 )

2.

F = y i − x j L : x 2 + y 2 = 1,

( y ≥ 0),

M (1; 0 ),

N (− 1; 0 )

3.

∫ (x

2

ABCA :

А(3; 0 ),

В (3; 3), С (0; 3)

(x

+ xy 2 − 4 dx + x 2 ydy

)

+ y 2 dx + ( x + y ) dy 2

L

4.

2

)

Вариант 20

1.

1 ∫ x − y dL L

L – отрезок прямой y =

A(0, − 2), B(4, 0)

21

x − 2 от точки А до В 2

2.

F = xi + ( x − y ) j

3.

∫ 2(x

2

y2 x + = 1, 9

L:

)

M (1; 0 ),

N (0; 3)

+ y 2 dx + ( x + y ) dy 2

L

ABCDA : А(− 2; − 5),

4.

(x ≥ 0, y ≥ 0),

2

В (− 2; − 2 ), С (− 4; − 4 ),

D(− 4; − 5)

(10 x + y )dx + (x − 10)dy

Вариант 21

1.

∫ (3x

2

⎧ x = a cos t L: ⎨ ⎩ y = a sin t

)

− y 2 dL

L

(

)

2.

F = (2 xy − y )i + x 2 + x j L : x 2 + y 2 = 9,

3.

∫ (x

2

)

(

)

+ y 2 dx + x 2 − y 2 dy

ABCA :

( y ≥ 0),

А(0; 0 ),

M (3; 0),

В (3; 0 ), С (3; 3)

L

4.

x y⎛

⎞ x 1 e ⎜⎜ dx − 2 dy ⎟⎟ y ⎝y ⎠

Вариант 22

1.

∫(

)

x + y dL

L:

2 x3

+

2 y3

=

2 a3,

x ≥ 0, y ≥ 0

L

2.

F = ( x + y )i − y j

3.

∫ ( y − x )dx + (2 x − 3 y )dy L ABCDA : А(− 1; − 4 ), В (− 2; − 2 ),

4.

L:

y = x2 ,

M (− 1; 1),

N (1; 1)

С (− 4; − 2 ),

(2 y + 2 x )dx + (2 x − 7 )dy

22

N (− 3; 0 )

D (− 4; − 4 )

Вариант 23

1.

⎧ x = a ⋅ cht ⎛ π⎞ L: ⎨ ⎜0 ≤ t ≤ ⎟ 3⎠ ⎩ y = a ⋅ sht ⎝

∫ xydL L

2.

F = x3i − y3 j

L:

3.

∫ 2 xdx − xydy

ABCA :

(x ≥ 0, y ≥ 0),

x 2 + y 2 = 4, А(2; 3),

M (2; 0 ),

N (0; 2 )

В (− 2; 3), С (− 2; − 3)

L

4.

(x − y )2 dx − (x − y )2 dy

Вариант 24

1.

∫ L

x2 dL y

x3 L – дуга линии y = от точки А до В 16 2

2.

⎛1 ⎞ A(0, 0 ), B⎜ , 0 ⎟ ⎝4 ⎠ F = ( x + y )i + 2 x j L : x 2 + y 2 = 4, ( y ≥ 0 ), M (2; 0 ),

3.

∫ (x

2

)

− y 2 dx + ( x + y )dy

L

ABCDA : А(0; 2 ),

4.

N (− 2; 0 )

В (0; 5), С (− 6; 5),

D (− 3; 2 )

ydx − xdy x2 + y2

Вариант 25

1.

∫5

x2 + y2

L : x2 + y2 = a2

dL

L

(

)

2.

F = x2 + 2 y i + y2 j

3.

∫ (x − y )dx + ydy

L: 2−

ABCA :

x2 = y, 8

А(− 4; 0 ),

L

23

M (− 4; 0 ),

N (4; 0 )

В (0; 4 ), С (− 4; 4 )

4.

(

)

⎛ 3 4 1 ⎞ 4 3 ⎜ x y − 2 ⎟dx + x y − 1 dy x ⎠ ⎝

Вариант 26

⎧ x = 2 cos t ⎪ L : ⎨ y = 2 sin t ⎪⎩ z = t

1.

1 ∫ x 2 + y 2 + z 2 dL L

2.

F = (x + y ) i − x 2 + y 2 j

3.

∫ xydx − ( y − x )dy

(

2

)

L: ABCA :

y = 1 − x, А(0; 0 ),

(0 ≤ t ≤ 2π ) M (1; 0 ),

N (0; 1)

В (3; 0 ), С (3; 4 )

L

4.

(3x

2

)

(

)

+ 4 y 2 dx + 8 xy + e y dy

Вариант 27

1.

∫ (x

2

⎧ x = a(cos t + t sin t ) L: ⎨ ⎩ y = a(sin t − t cos t )

)

+ y 2 dL

L

2.

F = x2 j

3.

∫ (x + y )

L: 2

(

x 2 + y 2 = 9,

(0 ≤ t ≤ 2π )

(x ≥ 0, y ≥ 0),

M (3; 0 ),

N (0; 3)

ABCA :

А(0; 0),

В (0; 1), С (1; 0 )

)

dx − x 2 + y 2 dy

L

4.

y⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ ⎜ 2 x − 1 − 2 ⎟dx − ⎜ 2 y − ⎟dy x⎠ x ⎠ ⎝ ⎝

Вариант 2/8

1.

∫ L

y2 dL x

L – дуга линии y 2 = ⎛ 25 ⎞ A(0, 0 ), B⎜ 4, ⎟ ⎝ 4⎠

24

9 3 x от точки А до В 25

2.

F = xi + y j

3.

∫ (x

2

)

(

M (1; 0 ),

y = 3 − 3x,

L:

)

+ y 2 dx + x 2 + y 2 dy

ABCA :

N (0; 3)

А(0; 1),

В (3; 1), С (3; 6 )

L

4.

⎛ 1 3y2 ⎞ 2y ⎜⎜ 2 + 4 ⎟⎟dx − 3 dy x ⎠ x ⎝x

Вариант 29

1.

∫ (x + y )dL

L – контур треугольника с вершинами

L

2.

3.

О (0, 0 ),

(

A(1, 0 ), B(0, 1)

)

F = y 2 − y i + (2 xy + x ) j L : x 2 + y 2 = 4, ( x ≥ 0, y ≥ 0 ), M (2; 0 ),

∫ (x

2

)

+ y 2 dx − 4 xydy

N (− 2; 0)

ABCDA : А(− 1; 0 ),

В (2; 0 ), С (2; 1),

D (0; 1)

L

4.

(x − y )dx + (x + y )dy x2 + y2

Вариант 30

∫ zdL

⎧ x = t cos t ⎪ L : ⎨ y = t sin t ⎪⎩ z = t

2.

F = xi + ( x − y ) j

L : x 2 + y 2 = 9,

3.

2 ∫ (x − y )dx + 2 xydy

1.

L

(0 ≤ t ≤ 2π ) (x ≥ 0,

ABCA : A(0, 0 ), B(1, 1), C (0, 1)

L

4.

(

y ≥ 0 ), M (3, 0 ),

)

xy 2 dx + y x 2 + y 2 dy

25

N (0, 3)

Список литературы

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.. Высшая математика в упражнениях и задачах. М., «Оникс 21 век», 2002. 2. Демидович Б.П.. Задачи и упражнения по математическому анализу. М.: Наука, 1989. 3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1975. 4. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука, 1987. 5. Щипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1996. 6. Щипачев В.С. Задачи по высшей математике. М.: Высшая школа, 1997.

26