Анализ и синтез систем автоматического регулирования: Методические указания

Министерство образования Российской Федерации Новокузнецкий филиал- институт Кемеровского государственного университета Кафедра технической кибернетики

Анализ и синтез систем автоматического регулирования

Методические указания к выполнению курсовой работы по курсу «Теория автоматического управления» для студентов специальности 220200 «Автоматизированные системы обработки информации и управления »

Новокузнецк 2004

УДК 669.60.(07) ББК 3-5-05 А 64 Рецензент Доктор технических наук, профессор кафедры математики и информатики С.П. Казаков

А 64 Анализ и синтез систем автоматического регулирования: Метод.указ. /Сост.: Ю.Н. Марченко : НФИ КемГУ.-Новокузнецк, 2004.-12с. Аннотация Представлены методы решения задач анализа и синтеза систем регулирования объектами с существенным запаздыванием. Даны варианты индивидуальных заданий на курсовое проектирование. Предназначена для студентов специальности 220200 «Автоматизированные системы обработки информации и управления». Печатается по решению методического совета Новокузнецкого филиалаинститута Кемеровского государственного университета, протокол № марта 2004 года. УДК 669.60(07) ББК 3-5-05

от

Задание на курсовое проектирование по теме: «Теория автоматического регулирования » Курсовая работа выполняется каждым студентом индивидуально. Выбор конкретных передаточных функций и значений коэффициентов осуществляется по таблице 1 Приложения в соответствии с номером студента по журналу учета посещаемости. В таблице 1 приведены кодированные обозначения схем. Значения конкретных передаточных функций, соответствующих кодированным схемам приведены в таблице 2 Приложения. Коэффициенты передаточных функций определяются по таблице 3 Приложения в соответствии с кодированным вариантом схемы, полученным по таблице 1.

Цель и задачи курсовой работы Целью выполнения работы является закрепление и углубление знаний студентов по курсу «Теория автоматического управления», привитие инженерных навыков решения задач по анализу и синтезу систем автоматического регулирования. В соответствии с заданием студенты должны решить конкретные задачи, связанные с: - выбором структуры системы регулирования, исходя из свойств модели объекта управления; - настройкой регулятора; - исследованием свойств синтезированной САР.

Состав работы и оформление Работа оформляется в виде расчетно - пояснительной записки, включающей следующие разделы. Введение 1 Постановка задачи.

2 Синтез системы регулирования, включая выбор структуры регулятора (по рекомендациям [3], для контура обратной связи и [6] – для синтеза компенсатора контролируемых возмущений). 3 Исследование устойчивости на плоскости относительных коэффициентов. 4 Выбор настроек системы регулирования (по рекомендациям [1,2] для типовых регуляторов; для регуляторов с косвенной оценкой неконтролируемого возмущения коэффициенты модели в регуляторе принимаются равными коэффициентам модели объекта управления). 5 Исследование чувствительности (диапазон изменения коэффициентов объекта ± 50% ).

6 Выводы. Расчетно- пояснительная записка должна быть выполнена на листах бумаги формата А4 (297X210мм). Рисунки, таблицы и блок-схемы алгоритмов оформляются в соответствии с ГОСТ 2.105-95.

Рекомендации по выполнению курсовой работы 1. Формирование задания на курсовой проект выполняется в соответствии с порядковым номером студента в журнале учета посещаемости. Структура модели объекта управления задана в виде, представленном на рисунке 1.

w

u

ϕw ϕu

+ +

y

Рисунок 1 - Структура модели Вид моделей каналов преобразования управляющих и возмущающих воздействий и значения коэффициентов соответствующих каналов определяются

следующим образом – согласно номеру, присвоенному студенту, определяется по таблице 1 кодированный вариант схемы объекта управления, по таблице 2 определяется вид передаточных функций ϕ u , ϕ w , а по таблице 3 - значения коэффициентов. Например, номеру 5 соответствует вариант б-а-1 в таблице. Соответственно по таблице 2 модель канала управления определяется в виде интегрального звена с отсечкой и запаздыванием ϕ u ( s ) =

kи (1 − e − stот )e − sτ 2 , а по таблице 3 коэффициенты: s

k и = 0,2 t от = 2c τ 2 = 12 ; аналогично модель канала возмущения определяется в k ⋅ e − sτ1 виде инерционного звена с запаздыванием ϕ w ( s ) = Ts + 1

с коэффициентами

k = 1,6 T = 3c τ 1 = 10 . В качестве критерия синтеза САР используется длительность переходного процесса. Длительность переходного процесса задается в относительных единицах Tr = Tп.п. τ ( таблица 4). Таблица 4 - Заданная длительность переходного процесса Номер

Длитель

Номер

Длитель

Номер

Длитель

Номер

Длитель

студента

ность

студента

ность

студента

ность

студента

ность

1

3

2

6

3

10

4

4

5

7

3

3

7

8

8

4

9

5

10

12

11

9

12

5

13

2

14

6

15

7

16

10

17

3

18

6

19

15

20

12

21

2

22

4

23

5

24

10

25

7

26

8

27

5

28

2

29

3

30

2

31

2

2. Выбор метода синтеза системы регулирования зависит от динамических свойств модели объекта управления и требуемой длительности переходного процесса. Для звеньев с самовыравниванием, при отношении запаздывания к постоянной времени в канале регулирования не более 3 τ и требуемой длительности переходного процесса больше 4 τ , для выбора типа регулятора можно использовать номограммы ([3], с.188 ), приведенные на рисунке 2. Tr

ε u /m=10%

И 20

T=

To

τ

- относительная посто-

янная времени; Tr =

Tп.п.

τ

15%

18 И 16

-относитель-

ное время регулирования.

14

ε u /m=20% 12 10%

15%

20%

10 П

И

П

П

8 ПИ 6

Рисунок 2 - Номограммы для выбора типа регулятора

ПИД

4 G 2 0 4

8

12

16

20

24

T

Для интегральных звеньев следует использовать ПИ-регулятор. В других случаях следует выбрать регулятор с косвенной оценкой неконтролируемого возмущения (с моделью процесса). 3. Идеальная передаточная компенсатора контролируемого возмущения определяется из соотношения f uw ( s) = ϕ w ( s) ϕ ( s) . В случае если реализация такого u

компенсатора приводит к незатухающим колебаниям управляющего воздействия, следует подобрать подходящее приближение

f uw (s ) ,

например, остановиться на

простых статических моделях. Наиболее эффективным способом исследования САР с запаздыванием является численное моделированием на ЭВМ, для чего необходимо построить дискретный аналог непрерывной САР. 4. Возможны два подхода при построении дискретной САР для моделирования на ЭВМ непрерывной САР, представленной, например, на рисунке 3: -

замена оператора p преобразования Лапласа функциями оператора дис-

кретного преобразования z ; - использование таблиц соответствия (табличный метод) f ( p ) ⇔ f ( z ) . В первом случае реализуется замена 2 1 − z −1 2 1 − z −1 2 , p ≈( p≈ ⋅ ⋅ Δt 1 + z −1 Δt 1 + z −1

)2 ,K

или с использованием более точных формул, например 2 1 − z −1 3 1 − z −2 2 ⋅ p≈ ⋅ , p ≈ ,K Δt 1 + z −1 Δt 1 + 4 z −1 + z − 2

Этот метод позволяет лишь приближенно отображать динамические характеристики непрерывных объектов. Табличный метод включает в себя: - Разложение передаточной функции W ( p ) на элементарные

∑

W i ( p );

i

- Представление элементарных передаточных функций в виде Wi ( p ) =

где

ci , p − ai

a i -корни

c i = [W ( p )( p − a i ) ] p = ai ⋅

знаменателя

передаточной

функции

W ( p) ;

При наличии комплексных корней ai = d i ± γ i в разложение вводят слагаемые вида Eiγ i Di ( p + d i ) и . 2 2 ( p + di ) + γ ( p + di )2 + γ 2

Коэффициенты Di , Ei находят приравниванием сомножителей при соответствующих степенях p в исходном полиноме числителя W ( p ) и полиноме числителя табличного разложения после приведения последнего к общему знаменателю; - По таблицам преобразования Лапласа и Z– преобразования выполняется замена элементарных передаточных функций Wi ( p ) на Wi ( z ) , например, 1 z ⇔ Δt , α i = e − a i Δt . p + ai z −αi

- Приведение выражения

∑W ( z) i

к общему знаменателю; получение дис-

i

кретной передаточной функции W ( z ) = B ( z ) / A( z ) ; - Составление уравнения дискретного объекта Y ( z ) = W ( z ) ⋅ X ( z ) ; A( z ) ⋅ Y ( z ) = B( z ) ⋅ X ( z ) ,

где Y ( z ), X ( z ) - соответственно выходная и входная переменные; - Получение рекуррентного моделирующего выражения цифровой системы m

n

j =0

j =1

y (k ) = ∑ x(k − j ) + ∑ y (k − j ) ,

где m, n - соответственно порядок числителя и знаменателя W (z ). Оба подхода не позволяют получить значения промежуточных переменных в процессе моделирования. Более удобно аппроксимировать не передаточную функцию САР, а отдельные звенья, например, для системы регулирования представленной на рисунке 3 – звенья с передаточными функциями

y

ϕo

ϕτm fэ

+

_ +

ϕm-1

+

*

ϕτo

y

Рисунок 3 - Структура системы регулирования

ϕ τo ( s ), ϕ o ( s ), f э ( s ), ϕ τm ( s ), ϕ m−1 ( s ) , а затем составляется алгоритм моделирования в соответствии с структурой рассматриваемой САР (рисунок 4). 5. При использовании методов цифрового моделирования непрерывных систем для построения областей устойчивости САР следует обратить особенное внимание на критерий определения границы устойчивости. Использование показателя колебательности (затухания), например, может приводить к очень большим ошибкам. Наилучшие результаты получаются при определении устойчивости переходного процесса по условию : ε (i) > δ max , где δ max - достаточно большая величина, например, на порядок превышающая величину выходной переменной. Однако в сомнительных случаях окончательное заключение следует делать непосредственно по виду переходного процесса. Пример 1. Пусть канал управления задан моделью в виде интегрального звена с отсечкой и запаздыванием, канал возмущения – интегральным звеном с запаздыванием. Значения коэффициентов соответственно в канале управления k и = 0,2 t от = 1,2c τ 2 = 2,5 и канале возмущения

Tи = 5,2c τ 3 = 5,2 . Длитель-

ность переходного процесса Tr = 8 . Аппроксимируем модель канала регулирования звеном первого порядка с самовыравниванием и с запаздыванием [7] ku ⋅ tот ⋅ e − s (τ 2 +0.22⋅tот ) ϕ u ( s) = 0.38 ⋅ tот ⋅ s + 1

.

Начало

Начало цикла по i = 1,2,..., N ; Ввод начальных значений, коэффициентов модели и объекта

Расчет выходной переменой y (i ) = y (i − 1) ∗ a1 + u (i − τ o − 1) ∗ a 2 ;

Расчет ошибки регулирования ε (i ) = y * (i ) − y (i − 1);

Расчет приведенного возмущения [ε (i) − ε (i − 1)]⋅ a1m ; u b (i − τ m ) = u(i − τ m ) + a2m Расчет управляющего воздействия u (i ) = f ∗ (i ) ∗ u b (i − τ m ).

Конец цикла по i Конец

Рисунок 4 - Алгоритм моделирования непрерывной САР на ЭВМ

Относительная постоянная времени T =

To

τ

=

0,38 ⋅ t от ≅ 0,16 . По номоτ 2 + 0,22 ⋅ t от

грамме (рисунок 2) заданным условиям удовлетворяет САР с ПИ-регулятором.

Принимаем дискретность Δt = 0,1c (так как при Δt = 1c дискретные аналоги запаздывания будут определятся с большими погрешностями. Например, величина дискретного запаздывания в канале управления будет определена с погрешностью в 25%). Тогда коэффициенты ПИ- k1 = 0,9 ; k 2 = 0,1 . Модель канала регулирования в дискретном виде y (m) = y (m − 1) + 0,2 ⋅ [u (m − lτ ) − u (m − lот − lτ )] ,

t τ где lτ = 2 Δt , lот = от Δt - дискретные аналоги запаздывания и времени отсечки.

Алгоритм моделирования синтезированной системы регулирования может быть представлен в виде: 1. Определение

начальных

значений

переменных:

y (m0 − 1) = 0; u (1) = u (2) = K = u (m0 − 1) = 0; δ = 0,05; u (m0 − 1) = 0; mc = m0 + 5; k1 = 0,9; k 2 = 0,1; k и = 0,2; m0 = lτ + lот + 1

2. Формирование внешнего воздействия y * (m) = 1(mc ) . 3. Расчет выходной величины системы регулирования y (m) = y (m − 1) + k и ⋅ [u (m − lτ ) − u (m − lот − lτ )] .

4. Расчет ошибки регулирования

ε ( m) = y * ( m) − y ( m) . 5. Определение момента окончания переходного процесса по заданному условию

ε (m) ≤ δ . 6. Расчет управляющего воздействия u инт (m) = u инт (m − 1) + ε (m) ⋅ k1 ; u (m) = u инт (m) + ε (m) ⋅ k 2 .

7. Проверка условия окончания расчетов (либо по длине реализации, либо по заданному условию). Если нет – переход к пункту 2 если да – к пункту 8. 8. Вывод результатов моделирования На рисунке 5 приведен график изменения выходной переменной при

Рисунок 5 – Изменение выходной переменной при y * (m) = 1( m0 ) ступенчатом возмущении по задающему входу. Относительная длительность переходного процесса составляет 3,97, которая меньше заданного значения Tr = 8 . Синтез контура регулирования по обратной связи в данном случае можно считать завершенным. Если бы фактическое значение относительной длительности переходного процесса Tr было больше заданного, необходимо выполнить настройку регулятора. При невозможности удовлетворить условию заданной длительности переходного процесса в рамках выбранной СА и после уточнения настроек регулятора следует заменить регулятор, например, на модифицированный регулятор Ресвика. Алгоритм модифицированного регулятора Ресвика для объекта описываемого моделью в виде интегрального звена с отсечкой может быть представлен в следующим образом: 1. расчет приведенного возмущения: u m (m) = u m (m − lот ) + (ε (m) − ε (m − 1)) / k и

u b (m − lτ ) = u (m − lτ ) + u m (m) ,

2. экстраполяция приведенного возмущения:

u э (m) = u э (m − 1) ⋅ a1э + u b (m − lτ ) ⋅ a 2э , a1э = exp(−δt / Tэ ) ; a 2э = 1 − a1э .

В качестве управляющего воздействия принимается экстраполируемое значение u (m) = u э (m) . Для рассматриваемого примера настройки экстраполятора определяются как: a1э = exp(−0,1 /(0,67 ⋅ τ 2 )) = 0,94 ; a 2э = 1 − a1э = 0,06 .

Настройки фильтра экстраполятора выбираются из условия экстраполируемости выделяемой низкочастотной составляющей на интервале времени 2τ . Результаты моделирования САР с модифицированным регулятором Ресвика при единичном y * приведены на рисунке 6.

Рисунок 6 – Изменение выходной переменной в САР с модифицированным регулятором Ресвика Относительная длительность переходного процесса составляет 2.9. Идеальный компенсатор контролируемого возмущения может быть представлен следующим алгоритмом. 1. Расчет изменения выходной переменной под действием изменения контролируемого возмущения:

δ yW (m) = δ yW (m − 1) + (1 / Tи ) ⋅ W (m) . 2. Расчет изменения регулирующего воздействия для компенсации изменения выходной переменной:

δ uW (m) = δ uW (m − lот ) + (δ yW (m) − δ yW (m − 1)) / k и 3. Расчет управляющего воздействия: u ( m) = u э ( m) + δ u W ( m − δ τ )

Значение δ τ принимается равным разнице запаздываний в канале возмущения и канале управления, если запаздыванием в канале возмущения больше чем в канале управления и нулю в противном случае. Реализация «идеального» компенсатора приводит в нашем примере к незатухающим колебаниям выходной переменной. Целесообразно в данном случае использовать И-регулятор. Коэффициент интегрального регулятора можно найти методом перебора. На рисунке 7 приведена динамика выходной переменной при действии единичного контролируемого возмущения W (m) = 1(m0 ) с интегральным регулятором по контролируемым возмущениям.

Рисунок 7 Динамика выходной переменной при W (m) = 1(m0 )

ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица 1 - Кодированные варианты схем

Номер в журнале

Вариант задания

Номер в журнале

Вариант задания

Номер в журнале

Вариант задания

1

а-б-1

11

в-а-2

21

а-а-1

2

б-б-1

12

в-а-1

22

а-г-2

3

а-в-2

13

б-б-2

23

г-а-2

4

а-б-2

14

б-в-1

24

б-г-1

5

б-а-1

15

в-б-1

25

г-б-1

6

б-а-2

16

в-в-2

26

б-г-2

7

а-а-1

17

в-б-2

27

г-б-2

8

а-а-2

18

в-в-1

28

в-г-1

9

а-в-1

19

в-в-2

29

г-в-1

10

в-а-1

20

а-г-1

30

в-г-2

31

г-в-2

Таблица 2 - Типы передаточных функций Код а б

Передаточная функция

ϕ (s) = ϕ (s) =

k e − sτ1 Ts + 1

kи (1 − e − stот )e − sτ 2 s k − sτ 3 e Ts

в

ϕ ( s) =

г

ϕ ( s ) = k ⋅ e − sτ

4

Таблица 3 - Варианты заданий на курсовой проект : Кодированный вариант схемы

Значения коэффициентов

а-а-1

ϕ u k = 0,8 T = 3,2c τ 1 = 11c ϕ w k = 1,3 T = 2,0c τ 1 = 14c

а-а-2

ϕ u k = 1,2 T = 3,5c τ 1 = 8c ϕ w k = 1,5 T = 5,0c τ 1 = 9c

а-б-1

ϕ u k = 1,6 T = 3,0c τ 2 = 10c ϕ w ϕ w kи = 0,2 t от = 2,0c τ 2 = 12c ϕ u

б-а-1

а-б-2

ϕ u k = 2,0 T = 4,0c τ 2 = 6c ϕ w ϕ w k и = 0,5 t от = 3,0c τ 2 = 7c ϕ u

б-а-2

а-в-1

ϕ u k = 2,5 T = 3,0c τ 1 = 12c ϕ w ϕ w Tи = 0,5 τ 3 = 5c ϕ u

в-а-1

а-в-2

ϕ u k = 3,0 T = 2,5c τ 1 = 4c ϕ w ϕ w Tи = 0,5 τ 3 = 8c ϕ u

в-а-2

б-б-1

ϕ u kи = −0,3 t от = 2,0c τ 2 = 4c ϕ w kи = 0,4 t от = 3,0c τ 2 = 6c

б-б-2

ϕ u k и = 0,2 t от = 2,5c τ 2 = 5c ϕ w k и = 0,3 t от = 1,0c τ 2 = 6c

б-в-1

ϕ u k и = 0,15 t от = 1,2c τ 2 = 2,1c ϕ w ϕ w Tи = 12 τ 3 = 1,5c ϕ u

в-б-1

б-в-2

ϕ u kи = 0,1 t от = 3c τ 2 = 4,5c ϕ w ϕ w Tи = 8 τ 3 = 3c ϕ u

в-б-2

в-в-1

ϕ u Tи = 5,2 ϕ w Tи = 8,2

τ 3 = 5,1c τ 3 = 7c

в-в-2

ϕ u Tи = 3,0 ϕ w Tи = 5,0

τ 3 = 8c τ 3 = 10c

Кодированный вариант схемы

Продолжение таблицы 3 Кодированный вариант схемы

Значения коэффициентов Кодированный вариант схемы

а-г-1

ϕ u k = 3,5 T = 4c τ 1 = 15 ϕ w k = −0,8 τ4 = 2

г-а-1

а-г-2

ϕ u k = 1,8 T = 3c τ 1 = 5c ϕ w k = 1,1 τ 4 = 14c

г-а-2

б-г-1

ϕ u kи = −0,43 t от = 2c τ 2 = ϕ w k = 2,3 τ4 =

г-б-1

б-г-2

ϕ u k и = −0,23 t от = 1c τ 2 = ϕ w k = 0,5 τ4 =

г-б-2

в-г-1

ϕ u Tи = 6c ϕ w k = −0,5

τ 3 = 4c ϕ w τ 4 = 10c ϕ u

г-в-1

в-г-2

ϕ u Tи = 7c ϕ w k = 0,18

τ 3 = 4,3c ϕ w τ 4 = 8,1c ϕ u

г-в-2

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Копелович А.П. Краткий справочник по автоматическому регулированию в черной металлургии М.: Металлургиздат, 1963.- 408с.: ил. 2. Круг Е.К., Александриди Т.М., Дилигенский С.Н. Цифровые регуляторы М.: Наука, 1966.- 504с.:ил. 3. Гурецкий Х. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием М.: Машиностроение, 1974,- 328с.:ил. 4. Ротач В.Я. Расчет динамики промышленных автоматических систем регулирования М.: Энергия,1973.- 440с.:ил. 5. Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем.- М.: Энергия.1977.470с.:ил. 6. Острем К.,Виттенмарк Б. Системы управления с ЭВМ.-М.: Мир.1987.480с.:ил. 7. Ищенко А.Д. Статические и динамические свойства агломерационного процесса. -М.: Металлургия.1972.-320с.:ил.

СОСТАВИТЕЛЬ:

Юрий Николаевич Марченко

Анализ и синтез систем автоматического регулирования

Методические указания к выполнению курсовой работы по курсу «Теория автоматического управления» для студентов специальности 220200 «Автоматизированные системы обработки информации и управления »

Редактор Т.И. Головко Изд.лиц. серия ЛР №020464 от 19.06.1997г. Лицензия выдана КемГУ (650043, г.Кемерово,ул.Красная,6) Подписана в печать 30.03.01. Формат бумаги 60X84 1/16. Бумага писчая. Печать на ризографе GR 3750. Усл.печ.л. 0,76. Уч.-изд.л. 0,85. Тираж 100 экз. Заказ Новокузнецкий филиал- институт Кемеровского государственного университета. 654041, г.Новокузнецк, ул. Циолковского, 15а. Издательский центр НФИ КемГУ Цена договорная