Адаптивные системы управления: Программа и методические указания к выполнению контрольной работы

Лабораторная работа № 1 ИССЛЕДОВАНИЕ БЕСПОИСКОВОЙ САМОНАСТРАИВАЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЫ (БСС) С ИНВЕРСНОЙ ЭТАЛОННОЙ МОДЕЛЬЮ В ОБРАТНОЙ СВЯЗИ Цель работы: 1. Моделирование БСС с помощью пакета “Simulink”. 2. Определение динамических параметров системы. 3. Оценивание работоспособности БСС при наличии помех. 1. Краткое математическое описание БСС Известны различные способы использования эталонных моделей в БСС. Рассмотрим некоторые структуры таких систем с эталонной моделью, которые теоретически могут обеспечить требуемое качество управления нестационарными объектами [4, с. 38–42]: – системы с инверсной моделью в обратной связи (рис. 1); – системы с эталонной моделью, включенной параллельно основ% ному контуру (рис. 2); – системы с эталонной моделью в прямой цепи регулятора (рис. 3); – системы с эталонной моделью, включенной параллельно неко% торым функционально необходимым элементам основного контура управления (рис. 4). O ao (t)

O au o (t) W(S)

O ao

KW(S)

O au o KkWk(S)

Wk(S)

Wi (S)

Рис. 1

Рис. 2

O ao (S)

O au o (S) Wi

KW(S) Wk(S)

Рис. 3

1

Wi (S) Kk

Wk(S)

W3

W0(S)

O ao (S)

O au o (S) K1

K2

Рис.4

Все указанные БСС характеризуются двухтемповыми движения% ми, причем при соответствующем выборе параметров управляющей части с изменением переменных параметров объекта у них изменя% ются характеристики “быстрых” порционных движений. Исследование таких систем производится прямым модифициро% ванным методом “замороженных коэффициентов” [4, с. 13–20]. Рассмотрим исследуемую БСС (рис. 1). Предположим, что передаточная функция прямой (разомкнутой) цепи системы имеет вид (1) K W (s) = KW1 (s) W2 (s) W3 (s) W0, где W1(s), W2(s), W3(s) – передаточные функции функционально не% обходимых элементов; W0(s) = W0(s, t) – “замороженная” передаточ% ная функция объекта с переменными параметрами; Wм (s) – инверс% ная модель. Тогда передаточная функция замкнутой системы – с моделью: Xвых/ Xвх = K W (s) / (1 + K W (s) Wм (s). (2) Из выражения (2) следует, что при K ® ¥ Xвых/ Xвх @ 1/Wм (s), (3) т.е. влияние объекта с переменными параметрами на показатели ка% чества управления исключается. При проектировании БСС модель выбирается так, чтобы показа% тели качества систем управления удовлетворяли заданным требова% ниям. Но при K ® ¥ мы вступаем в противоречие с устойчивостью анали% зируемой системы. Устойчивость системы оценивается знаменателем передаточной функции замкнутой системы (2): 1 + KW(s) Wм(s). Поэтому, в реальных условиях значение K выбирается конечным из условий удовлетворения заданным требованиям качества. Перепишем выражение (2), домножив и разделив на Wм(s) 2

Xвых/ Xвх = KW(s) Wм (s) / (1 + K W(s)Wм (s)) Wм (s). (4) Условно систему управления можно представить в виде последо% вательно соединенной следящей системы с передаточной функцией W с (s) = K W (s)Wм (s) /(1 + KW(s)Wм (s)) инверсной модели 1/ Wм (s). Объект с переменными параметрами входит в Wc (s). Выберем коэффициент передачи K из условия, что минимальное быстродействие следящей системы будет хотя бы на порядок выше быстродействия инверсной модели 1/Wм(s). Предположим, что в выражении (1) W1(s) = K1; W2 (s) = 1; W 3 (s) = A3 / B3(s); W0(s, t) = K0(t) b0(t) / B0(s, t) , тогда в выражении для Wc(s) знаменатель функции запишется в виде: 1 + [K1А3KK(t)b0(t) / B3(s)B0(s, t)] W м (s) = (5) = [B3(s)B0(S) + K1KK0(t)b0(t)] Wм(s) / B3(s)B0(s, t). Очевидно, что в (5) полином B3(s)B0(s,t) имеет степень n – поря% док уравнения объекта. Технически задача синтеза системы решается проще: 1. Выберем модель, описанную полиномом первой или второй сте% пени, так чтобы инверсная модель, в основном, удовлетворяла тре% бованиям качества; 2. Введем дополнительные корректирующие устройства, охваты% вающие функционально необходимые элементы регулятора, для обес% печения устойчивости Wc(s). Из указанных соображений структура системы будет представле% на в виде, показанном на рис. 5. Xau o

Xao K7Wi (S)

W3(S)

K2

W0(S,t)

1/Wi (S)

Wk2(S) Wk3(S) Рис. 5

На рис. 5 приняты следующие обозначения: Wk2 (s) = Ak2 (s)/ Bk2 (s); Wk3 (s) = Ak3 (s)/ Bk3(s); Wм(s) = C1S + 1. 3

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид Х вых/ Хвх = Wм(s) K1K W3(s) W0(s, t) /[1 + Wм(s)K1K· ·W3(s)W0(s,t) + KWk2(s) + KW3(s)Wk3(s)] ·1/Wм(s). (6) Из (6) следует, что устойчивость системы (6) можно исследовать с помощью знаменателя передаточной функции замкнутой системы, приравняв его нулю 1 + Wм (s)K1KW3(s)W0(s,t) + KWk2 (s) + KWk3(s)W3(s) = 0. (7) Выбором корректирующих устройств можно обеспечить низкую чувствительность системы к переменным параметрам объекта. Это реализуется за счет расширения полосы пропускания частот, но это приводит к уменьшению помехозащищенности САУ. 2. Порядок выполнения работы Структурная схема системы с инверсной моделью представлена на рис. 6. Kk1S Tk1S+1 Xao

K1

K2 (T1S+1)(T2S+1)

K(t) T1S+1

Xau o

T3S+1 Tk1S+1 Рис. 6

Исходные данные для моделирования, не указанные на структур% ной схеме, имеют следующие значения: K1 = 2000; K2 = 1; Kk1 = 0,0012; Т1 = 0,2; T2 = 0,005; Tk1 = 0,0001; Т3 = 0,1. Варианты значений K(t) приведены в табл.1. Таблица 1

4

Вариант

K(t)

1

0,5

2

1,0

3

3,0

4 5 6

6,0 8,0 10,0

Показатели качества управления приведены в табл.2. Таблица 2 Вариант

tр, с

r, %

dстат

1 2 3 4 5 6

0,280 0,285 0,290 0,292 0,295 0,300

4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0

0 0 0 0 0 0

В соответствии с указанным преподавателем вариантом построим структурную схему системы, приведенную на рис. 6. Используя пакет прикладных программ «Simulink» наберем по% лученную структурную схему на ПЭВМ. В передаточных функциях “Transfer Fсп” в числитель и знамена% тель вводим параметры, соответствующие исходным данным для моделирования. “Возмущение” f1(t) задаем в виде скачка “Step”, регулируемый курс самолета DY регистрируется с помощью графопостроителя – “Scope”. Постоянные коэффициенты передачи устанавливаются с помощью блоков “Gain”. Соединение блоков (звеньев), входящих в систему управления, осуществляется в соответствии со структурной схемой по рассмот% ренным ранее рекомендациям. После соединения блоков на рабочем поле ПЭВМ получается ис% ходная модель. Перед моделированием необходимо установить параметры моде% лирования. Для этого обратимся к меню Simulation и выберем пункт Parameters. На экране появится диалоговое окно следующего вида (рис. 7), которое позволяет изменить начальное время моделирова% ния (Start time), конечное время моделирования (Stop time), выбрать алгоритм моделирования с переменным шагом (Variable%step) или с постоянным шагом (Fixed%step), метод моделирования. Если выбран постоянный шаг интегрирования, то следует задать его величину или записать команду auto для автоматического выбора шага програм% мой. При выборе переменного шага интегрирования нужно задать абсолютную (Absolute) и относительную (Relative) погрешность. За% дание параметров моделирования является этапом решения задачи, зависит от типа системы управления, обсуждается в специальных курсах, а также в учебном пособии [3]. 5

Рис.7

Подробное описание всех настроек диалогового окна Parameters можно получить, нажав клавишу Help. Для выполнения моделирования можно выбрать пункт Start из меню Simulation или нажать кнопку 4. Для вывода на экран графиков переходных процессов необходимо 2 раза щелкнуть по блоку Графопостроитель. В результате появля% ется окно (рис. 8), содержащее ступенчатое возмущение и реакцию на него системы управления. Если переходных процессов на экране нет, то следует нажать кноп% ку автомасштабирования (изображен бинокль). Для получения ко% пии процессов на бумаге следует нажать кнопку с изображением прин% тера. Для изменения свойств графика можно нажать кнопку Properties (слева от кнопки принтера) и воспользоваться появившим% ся диалоговым окном. Для увеличения любого фрагмента графика до размеров окна мож% но выделить фрагмент нажатием левой кнопки мыши и передвиже% нием ее по экрану. В результате интересующий нас фрагмент должен быть обведен прямоугольником. После отпускания кнопки фрагмент увеличивается. Вернуться к исходному размеру можно воспользовав% 6

Рис.8

шись кнопкой автомасштабирования. Дополнительную информацию по программе Simulink можно получить из электронного учебника (на русском языке), из рассмотрения демонстрационных схем, обра% титься к которым можно из блока Demo библиотеки блоков и из боль% шого набора схем, доступ к которым осуществляется из блока Blocksets & Toolboxes библиотеки блоков. С помощью полученного переходного процесса определим: – tр – время регулирования, с; – r – перерегулирование, %; – dстат – величина статической ошибки. Полученные значения не должны превышать параметры для со% ответствующего варианта (табл. 2). 3. Оценка работоспособности системы при наличии помех Пусть на входе системы действует помеха. Необходимо оценить работоспособность системы при ее наличии с учетом нелинейности в виде “насыщения” в приводе. Пусть Xвых(t) = Xвх max (t) + Xвх.пом (t), (8) где Xвх max (t) – полезный сигнал; Xвх.пом (t)= X пом 1 max · sin w п t – помеха. 7

Значения Xпом 1,2 max и w п заданы в табл. 3. Таблица 3 Вариант

Xпом.1 max

wп, рад

Xпом2 max

1 2 3 4 5 6

0,050 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

2000 1900 1800 1700 1600 1500

1500 1600 1700 1800 1900 2000

Приближенно на вход привода эта помеха будет поступать с коэф% фициентом передачи K1 = Xпр / Xвх = 2000. Тогда [Xпр] @ K1 · Xпом1 max. (9) Пусть с датчика, измеряющего выходную координату объекта, поступает помеха, как и на входе системы: Xвых.пом (t) = Xпом2 max · sin w п t . (10) Тогда отношение Xпр / Xвых.пом @ K1 (T3S +1) / (Tk1 S +1) , (11) а (12) [Xпр] max @ K1 ·Xпом2 max . Если привод входит в насыщение при [Xпр ] < [Xпр]max , то рас% сматриваемая система будет практически неработоспособна. 4. Содержание отчета по лабораторной работе Отчет должен содержать: – уравнения адаптивной системы с инверсной моделью; – исходные данные для моделирования; – структурную схему системы; – исходную модель системы; – графики переходных процессов; – расчеты по оценке работоспособности системы; – выводы по работе.

8

Лабораторная работа №2 ИССЛЕДОВАНИЕ МОДАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА ПРИ НАЛИЧИИ ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ О ВЕКТОРЕ СОСТОЯНИЯ В АДАПТИВНОЙ СИСТЕМЕ Цель работы: 1. Построение модального регулятора. 2. Модели% рование системы с помощью пакета «Simulink». 3. Определение ди% намических параметров системы. 1. Краткое описание процедуры синтеза модального регулятора Рассмотрим продольное движение летательного аппарата вокруг центра масс, характеризующееся углом атаки a, угловой скоростью w z и углом тангажа q . Движение ЛА описывается следующими уравнениями : a = –a11 a –a13 w z – b11 dB , q = –a 23 w z , w z = –a31 a –a32 q –a33 w z –b31 dB ,

(13)

где 1 В – отклонение соответствующего руля ЛА. В итоге полная система уравнения для продольного движения ЛА примет вид Х 1 t 2 3 AX 1 t 2 4 BU 1 t 2,

Y 1 t 2 3 CX 1 t 2,

(14)

где A2

1a11 0 0 0 1a31 1a32

1a13 1a23 1a33

; B1

b11 0 b31

;

X 1 t 2 3 4, 5, 6Z . T

В силу того что мы имеем полную информацию о векторе состояния

С 1 1 , 1 , 1. Для построения модального регулятора необходимо установить, управляема ли система? 9

Матрица управляемости будет выглядеть N 1 B, AB, A 2B .

(15)

Используются исходные данные (табл. 4), оставляется матрица N и определяется ее ранг. Если ранг N равен порядку уравнения (n = 3), то, следовательно, система управляема. Выяснив, что система управляема, можно приступить к созданию модального регулятора. Среди известных принципов построения си% стем управления наибольшее распространение получил принцип уп% равления по отклонению, т. е. принцип обратной связи. Для построения регулятора будем исходить из того, что имеется полная информация о векторе состояния системы, т. е.

CT 1

1 1 . 1

Таким образом, для построения регулятора необходимо опреде% лить матрицу коэффициентов обратной связи K. Из матрицы А определим характеристический полином регулятора 5 рег 1 р 2 : 6 3 рЕ 7 А 4.

Для этого воспользуемся первым уравнением системы (14) X 1 AX 2 BU,

или

1 pE 3 A 2 X 4 BU.

(16)

Откуда X 3 1 pE 4 A

2 11 BU.

(17)

С учетом (13) из уравнения (16) следует, что 6

1 р 2 7 3 рЕ 5 А 4 7

1 р 5 а11 2 0 5а31

0 р50 5а32

5а13 5а23 . 1 р 5 а33 2

(18)

Откуда 3 1 р 2 4 р3 5 b1 p2 5 b2 p 5 b3,

10

(19)

где b 1 3 4 1 a11 5 a33 2 ; b2 1 a11a33 2 a13a31 2 a32a33; b3 1 a11a33a23. С помощью (19) находятся корни характеристического полино% ма р1, р2, р3 , по знаку перед вещественной частью которых судят об устойчивости системы. Используя матрицы А и В, составим канонизирующую матрицу Р1 . С этой целью вычислим следующие определители: 41 1 р 2 5

b11 0 b31

a12 p 1 3 a22 2 3a32

3a13 3a23 1 p 3 a33 2

5 c1 p2 6 c2 p 6c3,

(20)

где с1 3 b11 ; c2 3 b3 4 a33; c3 3 b11 1 4a32 2; 42 1 p 2 5

1 p 3 a11 2 0 3a31

3a13 3a23 5 c4 p 6 c5, 1 p 3 a33 2

(21)

0 b11 1 p 3 0 2 0 5 c4 p2 6 c5 p. 3a32 b32

(22)

c3 c2 c5 c4 0 c5

(23)

b11 0 b31

где c4 1 b31; c5 1 ...; 43 1 р 2 5

1 р 3 a11 2 0 3a31

Тогда p1 1

c1 0 . c4

Найдем обратную матрицу Р111 : Р1Р111 1 Е.

(24)

X 1 P1 X, P111P1 X 1 P111 AP1 X 2 P111BU,

(25)

Известно, что

X 1 P111 AP1 X 2 P111BU,

X 1 A X 2 BU. 11

Тогда можно определить каноническую форму для матриц А и В:

А 1 Р111 АР1,

(26)

В 1 Р111В.

(27)

Далее определяем матрицу коэффициентов обратной связи: KТ : 3 1 K1, K2, K3 2,

(28)

K1 : 1 2 3 3 4 3, K2 : 1 2 2 3 4 2,

(29)

где

K3 1 21 3 41,

где 11,2,3 –коэффициент желаемого характеристического многочле% на; 11,2,3 –коэффициент характеристического многочлена из выраже% ния (19). Вычислив KР1–1 , получим выражение для вектора управления в исходном базисе системы

U 1 KP111XT .

(30)

2. Порядок выполнения работы Модель системы без обратной связи приведена на рис. 9, а с обрат% ной связью на рис. 10. Исходные данные для моделирования, в зави% симости от варианта, приведены в табл. 4. Таблица 4 № варианта

12

–а11

–а31

–а32

–а13

–а23

–а33

b11

b31

1

0,54

0,8

2

0,56

0,9

0,010

1,0

1,10

0,10

0,10

0,5

0,011

0,9

1,11

0,20

0,21

1,0

3

0,58

4 5 6 7 8 9 10

0,60 0,6 2 0,64 0,66 0,6 8 0,70 0,72

1,0

0,012

0,8

1,12

0,30

0,30

1,5

1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

0,013 0,014 0,015 0,016 0,017 0,018 0,019

1,1 1,0 1,15 1,05 1,2 1,1 1,25

1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19

0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70

0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70

2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

13

Step

А31

А32

А33

В 31

1 11

1

.

11

Integrator

1 S

А21

А23

А22

В 21

1 11

1

11

Рис. 9

Integrator1

1

S

А13

А12

А11

В 11

1 1 11

1

Integrator2

1 S

14

Step

1

1

А31

А32

А33

В 31

1 1 11

К3

11 1 1

1 S Integrator

А21

А23

А22

В 21

1 S

11

Рис. 10

1

1

1

1

Integrator1

1 1 11

А13

А12

А11

В 11

1 S

11 К1

Integrator2

1 1 11

Х3

Х2

Х1

В соответствии с указанным преподавателем вариантом построим две модели, приведенные на рис.9 и рис.10. Используя пакет прикладных программ «Simulink» , наберем по% лученные модели на ПЭВМ. Процедура работы с пакетом приведена на с. 4 – 8 данных методи% ческих указаний. На экране монитора получаем три графика переходных процессов компонент вектора состояния X1 , X2 , X3 без обратной связи и три графика с обратной связью. 3. Содержание отчета по лабораторной работе Отчет должен содержать : – уравнения модального регулятора; – исходные данные для моделирования; – исходные модели системы; – графики переходных процессов; – выводы по работе. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Катков М. С. Непрерывные системы адаптивного управления с идентификаторами. М.: Мир книги, 1992. 385 с. 2. Справочник по теории автоматического управления/ Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987. 711 с. 3. Бесекерский В. А. , Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1967. 767 с. 4. Соколов Н. И., Рутковский В. Ю., Судзиловский Н. Б. Адаптив% ные системы автоматического управления летательными аппарата% ми. М.: Машиностроение, 1978. 207 с.

15

Оглавление Лабораторная работа № 1. Исследование беспоисковой самонастраивающейся системы (БСС) с инверсной эталонной моделью в обратной связи ....................... 1 Лабораторная работа №2. Исследование модального регулятора при наличии полной информации о векторе состояния в адаптивной системе ............................................ 9 Библиографический список ................................................ 15

16