Математика: Программа и контрольные работы для студентов заочного отделения биолого-почвенного факультета

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Федеральное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

В. Е. Ковальчук, Л. В. Рунов МАТЕМАТИКА программа и контрольные работы для студентов заочного отделения биолого-почвенного факультета

Ростов-на-Дону 2007 г.

В. Е. Ковальчук, Л. В. Рунов Математика. Программа и контрольные работы для студентов заочного отделения биолого-почвенного факультета.

Печатается по постановлению кафедры теории функций и функционального анализа факультета математики, механики и компьютерных наук РГУ. Протокол № 4 от 18 декабря 2006 г. Ответственный за выпуск – доктор физико-математических наук, профессор Кондаков В. П.

В работе содержатся рабочая программа курса “Математика” для студентов заочного отделения биолого-почвенного факультета и варианты контрольных работ. Приведены также методические рекомендации по выполнению контрольных работ.

2

Рабочая программа На изучение курса отводится 200 часов. Из них: лекций – 18 часов, практических занятий – 14 часов, остальное (168 часов) – самостоятельная работа. Курс изучается в течение года. Первый семестр заканчивается зачётом, второй – экзаменом. В каждом семестре студенты должны выполнить по одной контрольной работе. 1-й семестр 1. Системы координат на прямой, плоскости и в пространстве. 2. Векторы в пространствах 2 и 3 . Линейные операции над векторами. Проекции вектора на координатные оси. Длина вектора. Направляющие косинусы. Скалярное произведение векторов и его свойства. Условие ортогональности векторов. 3. Определители второго, третьего и n-го порядков. Свойства определителей. Алгебраические дополнения и миноры. Вычисление определителя путём разложения. 4. Уравнения прямой на плоскости в различных формах. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой. 5. Кривые второго порядка на плоскости: общее уравнение кривой второго порядка, канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы, параболы. 6. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. 7. Системы линейных уравнений. Методы Крамера и Гаусса их решения. 8. Матрицы и операции над ними. 9. Функции. Области определения и изменения функции. Способы задания функций. Композиция функций. Обратная функция. 10. Основные элементарные функции, их свойства и графики. 11. Предел числовой последовательности. Предел функции в точке. Бесконечно малые и бесконечно большие величины, их свойства. Основные теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. 12. Непрерывные функции и их свойства. 13. Производная функции в точке. Геометрический смысл производной. Правила дифференцирования. Таблица производных. Производные высших порядков. 14. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала. Применение дифференциала в приближённых вычислениях. 15. Применение производной к исследованию функций: теоремы о монотонности функций; экстремум функции, необходимые и достаточные условия экстремума; выпуклость функций, точки перегиба. 16. Неопределённый интеграл и его основные свойства. Таблица неопределённых интегралов. Основные методы интегрирования. 17. Определённый интеграл и его основные свойства. Формула Ньютона Лейбница. 3

18. Геометрические приложения определённого интеграла. Основная литература. 1. Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. 2. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. Дополнительная литература. 3. Гильдерман Ю. И. Лекции по высшей математике для биологов. 4. Гроссман С., Тернер Дж. Математика для биологов. 5. Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу. 6. Рунов Л. В. Методические указания по высшей математике для студентов ОЗО биофака, части 1, 2, 3, 6, 7. 2 семестр 1. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Свойства непрерывных функций. 2. Частные производные первого порядка и полный дифференциал первого порядка функции нескольких переменных. Частные производные высших порядков. 3. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума. 4. Дифференциальные уравнения: определение, классификация, условия разрешимости. Некоторые типы уравнений первого порядка. Линейные однородные уравнения второго порядка. 5. Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения и сочетания. 6. Предмет теории вероятностей. События и их классификация. Классическое и статистическое определение вероятности. Свойства вероятности. 7. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формулы полной вероятности и Байеса. 8. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Биномиальное распределение вероятностей. 9. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Теорема Пуассона. 10. Дискретные случайные величины. Ряд и многоугольник распределения. Числовые характеристики. 11. Непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотность вероятности. Числовые характеристики. 12. Нормальный закон распределения. Основная литература. 1. Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. 2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. 3. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. 4

Дополнительная литература. 4. Гильдерман Ю. И. Лекции по высшей математике для биологов. 5. Гроссман С., Тернер Дж. Математика для биологов. 6. Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу. 7. Рунов Л. В. Методические указания по высшей математике для студентов ОЗО биофака, части 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 8. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. 9. Ивашов-Мусатов О. С. Начала теории вероятностей. Пособие для студентов биологических факультетов университетов. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ Студенты выполняют вариант контрольной работы, совпадающий с последней цифрой номера его студенческого билета. При этом, если предпоследняя цифра его студенческого билета нечётная (1, 3, 5, 7, 9), то вариант берётся из группы «А», если четная (2, 4, 6, 8, 0), то вариант берётся из группы «Б». Например, если номер студенческого билета заканчивается цифрами 272, то берётся 2-й вариант из группы «А», а если цифрами 120, то берётся нулевой вариант из группы «Б». Выполняются контрольные работы в обычной ученической тетради размером в 12 – 18 листов. На титульном листе студент приводит все данные о себе, включая номер студенческого билета. На первой странице пишется номер выполняемого варианта контрольной работы. Затем, желательно по порядку, переписывается условие задачи, приводится её подробное решение (выписываются формулы, использующиеся при решении, приводятся преобразования и вычисления) и выписывается ответ. Обязательно решение всех задач контрольной работы. Если какая-либо из задач при проверке не зачтена, то исправление ошибок производится в этой же тетради. При недостатке места можно вклеить или просто вложить в тетрадь дополнительные листы. Контрольная работа №1 (зимняя сессия) I. Даны координаты A, B, C вершин треугольника. Найти длины и уравнения сторон, углы и площадь треугольника, а также уравнение медианы, проведённой к стороне AB.

1 2

A (1;2) (-2;1)

Группа А B (9;8) (5;2)

C (5;0) (-1;-1) 5

A (2;0) (-2;-3)

Группа Б B (10;6) (-1;4)

C (6;-2) (-4;-2)

3 4 5 6 7 8 9 0

(2;1) (-4;1) (-2;-1) (3;-1) (2;-1) (2;3) (-1;3) (-3;1)

(10;7) (3;0) (4;7) (4;6) (8;7) (1;10) (7;9) (-2;8)

(6;9) (-3;3) (-4;3) (1;0) (10;3) (4;4) (3;1) (-5;2)

(-1;-2) (-3;-1) (1;3) (3;2) (-3;2) (1;-2) (1;-3) (-1;-3)

II. Решить линейную систему методом Крамера. Группа А ⎧2 x − 3 y + 4 z = 3 , ⎪ 1 1 ⎨3x + 4 y − 2 z = 5 , ⎪ x − 2 y − z = −2 . ⎩

2

⎧4 x − 3 y + 2z = 3, ⎪ ⎨2x − 4 y − 3z = −5, ⎪ x + 2y − z = 2 ⎩

3

⎧2x + y − z = 0, ⎪ ⎨3x − 4 y − 2z = 5, ⎪4 x − 2 y + 3z = 9. ⎩

4

⎧3x − 2 y + 2z = 1, ⎪ ⎨2x + 3 y − 6z = 2, ⎪4 x − y + 2z = 4 . ⎩

5

⎧2x − y + 4z = 4 , ⎪ ⎨6x − 3 y − 2z = −2, ⎪2x − 2 y + 3z = 1. ⎩

6

7

8

⎧3x − 2 y + 6z = 10, ⎪ ⎨2x + 3 y + 2z = 9, ⎪ x + 4 y + 2z = 8. ⎩ ⎧2x − 3 y − z = 0, ⎪ ⎨3x + y − 2z = 5, ⎪ x − 2 y + 3z = 3. ⎩ ⎧3x − 2 y + z = 3, ⎪ ⎨2x − y − 3z = −5, ⎪ x + 3 y − 2z = 0. ⎩

(3;6) (-1;0) (5;11) (5;3) (-2;0) (-1;2) (2;-1) (7;1)

Группа Б ⎧4 x + 3 y − 2z = 5, ⎪ ⎨3x − 2 y − 4z = −3, ⎪2x − y + z = 2. ⎩

2

⎧3x + 4 y − 2z = 9, ⎪ ⎨ x − 2 y − z = 0, ⎪2x − 3 y + 4z = −5. ⎩

3

⎧2x + 4 y − 3z = −5, ⎪ ⎨3x − 2 y + 4z = 9, ⎪ x − y − 2z = 0. ⎩

4

⎧3x + 2 y − 6z = 2, ⎪ ⎨2x − 3 y − 2z = −1, ⎪ x − 4 y − 2z = −4 . ⎩

5

⎧3x + 2 y + 2z = 9, ⎪ ⎨2x − 3 y − 6z = −10, ⎪4 x + y + 2z = 8. ⎩

6

7

8

6

(7;4) (-4;6) (9;9) (2;9) (4;3) (7;6) (8;-4) (5;5)

⎧2x + y + 4z = 8, ⎪ ⎨6x + 3 y − 2z = 10, ⎪2x + 2 y + 3z = 9. ⎩ ⎧ x + 3 y − 2z = 5, ⎪ ⎨3x − 2 y + z = 0, ⎪2x − y − 3z = −3. ⎩ ⎧ x − 2 y + 3z = 1, ⎪ ⎨2x + 2 y − z = 7, ⎪3x − 3 y + 2z = 2. ⎩

9

⎧2x + 2 y − z = 7, ⎪ ⎨2x − y − 3z = −1, ⎪3x − 3 y − 2z = −2. ⎩

0

⎧ x − 4 y + 3z = −3, ⎪ ⎨3x + y − 2z = 4 , ⎪4 x − 3 y − z = 1. ⎩

9

⎧2x − 3 y + 3z = 2, ⎪ ⎨ x − 2 y − 2z = −7, ⎪3x − 2 y + z = 1 . ⎩

0

⎧ x + 3 y − 2z = 4 , ⎪ ⎨4 x − y − 3z = 3, ⎪3x − 4 y + z = −1. ⎩

III. Решить линейную систему методом Гаусса. Группа А 1

2

⎧2x − 3 y + z − 4t = −4 , ⎪ ⎨3x + y + 2z − 3t = 3, ⎪ x + 4 y + z + t = 7. ⎩ ⎧2x − 3 y + 5z = 8, ⎪3x + y − 4z = 0, ⎪ ⎨ ⎪ x − 2 y + 3z = 4 , ⎪⎩4 x − 4 y + z = 2.

3

⎧ x + 3 y − 3z + 2t = 3, ⎪ ⎨3x − 2 y + 4z − t = 4 , ⎪4 x + y + z + t = 7. ⎩

4

⎧ x + 3 y − 4 z = 0, ⎪2x − y − 3z = −4 , ⎪ ⎨ ⎪4 x − 4 y − z = −2, ⎪⎩3x − 2 y − 5z = −8.

5

6

1

2

⎧ x + y + z + 4t = 7, ⎪ ⎨2x − 3 y + 3z + t = 3, ⎪ x − 4 y + 2z − 3t = −4 . ⎩ ⎧3x − 2 y + z = 4 , ⎪ x − 4 y + 4z = 2 , ⎪ ⎨ ⎪4 x − y − 3z = 0, ⎪⎩5x − 3 y + 2z = 8.

7

⎧ x + 2 y − 3z + 3t = 3, ⎪ ⎨4 x + y + z + t = 7, ⎪3x − y + 4 z − 2t = 4 . ⎩

8

⎧4 x − y − 4 z = −2, ⎪3x − 5 y − 2z = −8, ⎪ ⎨ ⎪ x − 4 y + 3z = 0, ⎪⎩2x − 3 y − z = −4 .

⎧ x − 2 y + 3z − 4t = 10, ⎪ ⎨2x + y − 4z + 3t = −3, ⎪3x − y − z − t = 6. ⎩ ⎧3x + 2 y − 4z = −1, ⎪2x − 5 y − z = 1, ⎪ ⎨ ⎪ x + 4 y − 3z = 3, ⎪⎩4 x − 3 y − 5z = −1.

3

⎧ x + 2 y − 4z + 3t = 6, ⎪ ⎨2x − y − 3z + 4t = −2, ⎪ x − 3 y + z + t = 1. ⎩

4

⎧2x − 3 y + z = 1, ⎪3x + y − 4z = −4 , ⎪ ⎨ ⎪ x − 2 y + 3z = 5, ⎪⎩4 x + y − 2z = 3.

5

6

7

Группа Б

⎧ x + y − 3z + t = −6, ⎪ ⎨3x − 2 y + z − 4t = 8, ⎪4 x − y − 2z − 3t = 3. ⎩ ⎧3x − 2 y − z = −1, ⎪ x + 3 y − 4 z = −4 , ⎪ ⎨ ⎪2x − y − 3z = −5, ⎪⎩ x + 4 y − 2z = 3.

7

⎧4 x + 2 y − 3z − t = 5, ⎪ ⎨3x + y − 4 z + 2t = 7, ⎪ x + y + z − 3t = −4 . ⎩

8

⎧ x − 2 y + 4 z = 3, ⎪3x − y − 2z = −1, ⎪ ⎨ ⎪ x − 4 y + 3z = −4 , ⎪⎩2x − 3 y − z = −5.

9

⎧4 x − y + 3z − 2t = 4 , ⎪ ⎨3x − 2 y − z − 3t = −3, ⎪ x + y + 4 z + t = 7. ⎩

0

⎧4 x − y − 3z = 0, ⎪3x + 2 y − 4 z = 1, ⎪ ⎨ ⎪2x − 3 y + 3 y = 2, ⎪⎩5x + 4 y − 6z = 3.

9

⎧2x − y + 4 z − 3t = 1, ⎪ ⎨ x + 2 y + 3z − 4t = 4 , ⎪ x − 3 y + z + t = − 2. ⎩

0

⎧3x − 4 y + 5z = 1, ⎪2x + 3 y − 4 z = −1, ⎪ ⎨ ⎪5x − 2 y + z = −1, ⎪⎩4 x + y − 3z = 3.

IV. Вычислить следующие пределы. Группа А 3 x −6 x2 − x − 6 2x +1 ⎞ ⎛ lim 2 lim ⎜ 1 ⎟ x →3 x − 5 x + 6 x →∞ ⎝ 2 x − 2 ⎠ ⎛ 3x − 4 ⎞ lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 3 x + 7 ⎠

4 x +9

2

x2 + 7x − 8 lim 2 x →1 x − 6 x + 5

⎛ 4x + 3 ⎞ lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 4 x − 5 ⎠

2 x −2

3

x 2 − 5 x − 14 lim x →−2 x 2 + 8 x + 12

4

x 2 − 5x + 4 lim 2 x → 4 x + 2 x − 24

⎛ 5x − 6 ⎞ lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 5 x + 8 ⎠

5

x 2 − 12 x + 35 lim 2 x →5 x − 6 x + 5

⎛ 6x + 1 ⎞ lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 6 x − 5 ⎠

⎛ 2x − 9 ⎞ lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 2 x + 3 ⎠

5x+4

6

x 2 + 5x + 6 lim 2 x →−3 x − 4 x − 21

⎛ 3x + 1 ⎞ lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 3 x − 4 ⎠

6 x −5

7

x2 + 9x + 8 lim x →−1 x 2 − 3 x − 4

8

x 2 − 7 x + 10 lim 2 x → 2 x + 4 x − 12

⎛ 4x − 2 ⎞ lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 4 x + 7 ⎠

9

x 2 + 9 x + 20 lim 2 x →−4 x + 2 x − 8

⎛ 5x + 6 ⎞ lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 5 x − 8 ⎠

0

x2 + 6x + 5 lim x →−5 x 2 − 2 x − 35

⎛ 6x − 2 ⎞ lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 6 x + 9 ⎠

Группа Б x2 − 7 x − 8 lim x →−1 x 2 + 5 x + 4

⎛ 2x + 5 ⎞ lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 2 x − 7 ⎠

1

8

x +7

7 x −3

9 x +1

8 x −3

sin 5 x − sin 5 x →1 x −1

lim

sin x + sin 5 x →−5 x+5 lim

sin x − sin 3 x →3 x−3

lim

sin x + sin 4 x →−4 x+4 lim

sin 2 x − sin 10 x →5 x −5

lim

sin 3x + sin 9 x →−3 x+3 lim

sin 2 x − sin 4 x →2 x−2

lim

sin 2 x + sin 2 x →−1 x +1 lim

sin 2 x − sin 8 x →4 x−4

lim

x −8

sin 4 x + sin 8 x →−2 x+2

6 x −4

sin 4 x + sin 12 x →−3 x+3

lim

lim

sin 3x − sin 6 x →2 x−2

7 x +2

2

x 2 + 5 x − 14 lim 2 x →2 x − 6 x + 8

⎛ 3x − 4 ⎞ lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 3 x + 6 ⎠

3

x 2 − 3x − 18 lim x →−3 x 2 + 8 x + 15

⎛ 4x + 3 ⎞ lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 4 x − 9 ⎠

4

x2 + 6x + 5 lim x →−5 x 2 + 2 x − 15

⎛ 5x − 8 ⎞ lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 5 x + 2 ⎠

5

x 2 + x − 12 lim 2 x →−4 x + 10 x + 24

⎛ 6x + 1 ⎞ lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 6 x − 5 ⎠

6

x2 − 7 x + 6 lim 2 x →1 x + 6 x − 7

⎛ 2x − 4 ⎞ lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 2 x + 7 ⎠ ⎛ 3x + 8 ⎞ lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 3 x − 6 ⎠

8 x −1

7

x 2 − 6 x − 16 lim x →−2 x 2 + 7 x + 10

⎛ 4x − 3 ⎞ lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 4 x + 9 ⎠

2 x −9

8

x2 − 4 x + 3 lim 2 x → 3 x + x − 12

⎛ 5x + 2 ⎞ lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 5 x − 3 ⎠

4 x −8

9

x 2 + 3x − 28 lim 2 x → 4 x − 7 x + 12

0

x 2 − 13x + 40 lim 2 x →5 x − 2 x − 15

⎛ 6x − 1 ⎞ lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 6 x + 5 ⎠

lim

sin 3x + sin 12 x →−4 x+4

2 x −3

lim

sin 2 x − sin 6 x →3 x−3

9 x −5

lim

sin 2 x + sin 10 x →−5 x +5

4 x −7

lim

sin x − sin 4 x →4 x−4

5x +6

lim

sin 4 x + sin 4 x →−1 x +1 lim

sin x − sin 5 x →5 x −5

lim

sin x + sin 2 x →−2 x+2 lim

sin 3x − sin 3 x →1 x −1

x+4

lim

V. Найти производные следующих функций. Группа А. x cos 2 x − 2 sin 2 x y = arctg tg x 2 + ln ctg x y = 1 x3 sin 2 x − cos 2 x arcsin x + x arccos x y = tg e y= 2 ln x cos 3x + 3x sin 3x y = ctg arcsin ( ln x ) − 3 x = y 3 e x

(

)

)

(

(

4 5 6

(

(

y = ln arcsin e 2 x + 2

x tg x − x 3 ctg x y= cos 2 x x 2 ln 3x + x cos 2 x y= sin 3 x x 3 ln 2 x − x arcsin 2 x y= tg x

)

))

(

y = arcsin arccos x 2 − 1 − x 4

(

y = arctg tg 2 x + cos 2 x

9

)

)

7 8

(

y = tg sin 2 ( ctg x − x )

e2 x ln x 2 + x 2 e − x y= arcctg 3x y=

(

y = cos e x

x 3 sin x + x cos x arcsin 2 x

0

1 2 3 4 5 6 7 8

(

(

(

y = ctg ecos

0

2

x − sin 2 x

))

)

y = arcctg ctg x 3 − ln tg x

)

)

(

y = tg arc co s ( ln 4 x ) − 4 x

(

(

y = ln arccos e3 x − 2 x 2

x ctg x + x 3 tg x y= sin 2 x x ln 2 x − x 2 sin 2 x y= cos 3 x x 2 ln 3x + x arccos 2 x y= ctg x

)

))

(

y = arccos arcsin x 2 + 1 − x 4

(

y = arcctg ctg 2 x − sin 2 x

(

y = ctg cos 3 ( tg 2 x − 2 x )

e −2 x ln x 2 − x 2 e x y= arctg 2 x

(

y = sin e x −ln

x 5 cos x − x 3 sin x

( ) 2

2

9

)

y = sin ln cos x + earccos x

Группа Б 3 x sin 2 x + 2 cos 2 x y= x4 arccos x 2 − x 2 arcsin x y= ln 2 x sin 4 x − 4 x cos 4 x y= 2 ex

arccos x

− tg 2 x

y = arcctg ln tg 2 x + ctg 2 x

e x sin 2 x − e x cos 2 x y= arccos x x 2 tg 3x − x 3ctg 2 x y= arctg x 2

y=

− ln x

( (

2

9

2

)

e − x cos 2 x + e − x sin 2 x y= arcsin 2 x x 3ctg 2 x − x 2tg 3x y= arcctg x 2

2

x

+ ctg 3 x

)

)

( (

))

(

)

y = arctg ln ctg 2 x − tg 2 x

y = cos ln sin x − earcsin x

10

)

)

VI. Провести полное исследование и построить график функции. Группа А Группа Б x3 x3 y= 2 y= 2 1 1 x +1 x +4 2 x −1 4x2 − 1 y= 3 y= 2 2 x x3 3 3 y = 3 1 − x3 y = 3 8 − x3

x2 − 4 y= 2 x +1 x y= 2 4x −1

4 5 6

4

y = 3 x3 + 8 y=

7

x x+4

7

y=

x 4x + 1

8

y = x x2 + 4

9

y = 3 x 3 + 3x

9

y = 3 3x − x 3

0

y = ( x − 3) x 2 + 1

0

y = ( x + 3) x 2 + 4

∫(x

3

∫ x sin 2 xdx

∫

4

∫ xarctg xdx

2

+ 1 ln 2 xdx

∫ ( x + 1) e

∫ ( 2x

3

−2 x

)

dx

+ x 2 ln xdx

xdx

∫ ∫x

6

y = 3 x3 + 1

y = x x2 + 1

)

5

5 6

8

VII. Вычислить интегралы. Группа А xdx ∫ 1 cos 2 x

2

x2 − 1 y= 2 x +3 x y= 2 x −4

dx

4 − x2

23

2 + x 3 dx xdx

(

4 + x2

)

xdx ∫ 9 + x4 e x dx ∫ e2 x + 4 xdx ∫ 3 − x2 11

2

∫ x 2 + 6 x − 16 dx

∫

x2 + 4x + 5 dx ∫ x2 − 4 x + 8

dx ∫ x 2 − 6 x + 10 dx

∫

4x − x2 dx ∫ x2 − 6x

7

∫ arcctg 2 xdx

8

∫ ( x + 3) cos 2 xdx

9

∫ ln ( 3x + 1) dx

0

∫ ( 3x + 2 ) e

1

Группа Б xdx ∫ sin 2 x

2

∫(x

3

2x

dx

)

3

∫ x cos 3xdx

4

∫ xarcctg xdx

5 6

∫(x

2

−x

dx

)

+ 3x ln 2 xdx

7

∫ arctg 3xdx

8

∫ ( 2 x + 1) sin 3xdx

9

∫ ln ( 2 x + 3) dx

0

∫ ( 2 x + 3) e

3x

6

dx

x cos xdx x 3dx

∫

1 − x4 x 2 dx ∫ 4 − x3 sin xdx

∫ 3 cos 2 x xdx

∫

+ x ln xdx

∫ ( 2 x + 1) e

∫ sin

∫x

∫

x2 − 4 x dx ∫ x2 + 4x + 3 dx

∫ x 2 − 6 x + 18 ∫

4 + x 4 dx

2

−2

)

∫

2

xdx ∫ 4 − x4 e 2 x dx ∫ e4 x − 1 xdx ∫ 4 + x2 5 ∫ cos x sin xdx

∫

dx 3 − 2 x − x2 dx

xdx

(x

dx

∫ x2 + 6x + 5

1 + x2

34

∫

x 2 dx

3 + x3 x 4 dx ∫ x5 + 5 cos xdx

∫ 4 sin3 x

dx x2 − 4 x + 8 dx ∫ x2 − 4x

dx ∫ x 2 + 6 x + 13 dx

∫

4x − x2 − 3 dx ∫ x2 − 6x + 8 dx

∫

x2 + 4x + 3 dx ∫ x2 + 4x + 5 dx

∫ x 2 − 6 x + 34 ∫

dx 8 − 2 x − x2

VIII. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми. Сделать чертёж. Группа А Группа Б 1 1 y = x 2 − 4 x + 3, y = x − 1 y = x 2 − 4 x + 3, y = 3 − x 2 2 y 2 = 2 x, x 2 = 2 y y 2 = 3x, x 2 = 3 y 12

3

y = ( x + 1) , y = 1 − x 2 2

3

y = ( x + 2) , y = 4 − x2

4

y = x 2 + 2 x, y = 4 + 4 x − x 2

4

y = x 2 − 2 x, y = 4 − 4 x − x 2

5

y = x 2 + x − 2, y = 2 x

5

y = x 2 − x − 2, y = −2 x

6

y = x 2 + 6 x + 8, y = x + 4

6

y = x 2 + 6 x + 8, x + y = −2

7

y 2 = 8 x, x 2 = y

7

y 2 = 4 x, 2x 2 = y

8

y = x 2 − 2 x, y = 4 − x 2

8

y = − x 2 − 2 x, y = x 2 − 4

9

y = x 2 + 4 x + 3, y = 7 + 2 x − x 2

9

y = x 2 − 6 x + 8, y = 8 − x 2

0

y = x 2 − x − 2, y = 2 x − 2

0

y = x 2 + 5 x + 4, y = 2 x + 4

2

IX. Вычислить длину кривой. Сделать чертёж. (Если пределы изменения аргумента не указаны, то требуется найти длину всей кривой, если указаны, то длину соответствующей части.) Группа А Группа Б 3 3 1 1 x = 2 cos t , y = 2 sin t x = 2 cos 3 t , y = 2 sin 3 t 2 2 r = 3 (1 + cos ϕ ) r = 4 (1 + cos ϕ ) 3 3 x = 2t − t 2 , y = 8 t 3 ( 0 ≤ t ≤ 2 ) x = t − 1 t2 , y = 4 t3 (0 ≤ t ≤ 2) 3

4 5 6 7 8

9 0

2

r = 4 sin ϕ x = 3 ( t − sin t ) , y = 3 (1 − cos t )

4 5

3

r = 2 cos ϕ x = 2 ( t − sin t ) , y = 2 (1 − cos t )

r = 2 (1 − cos ϕ )

6

r = 2 (1 − sin ϕ )

( 0 ≤ t ≤ 1) r = 3e2ϕ ( 0 ≤ ϕ ≤ π ) x = 4 ( t − sin t ) , y = 4 (1 + cos t ) r = 3 (1 − sin ϕ )

7

x = 2 t − t , y = 83 4 t 3 ( 0 ≤ t ≤ 1)

x = t − 12 t , y =

4 4 3 t 3

8 9 0

r = 2e3ϕ ( 0 ≤ ϕ ≤ π 2 )

x = 3 ( t − sin t ) , y = 3 (1 + cos t ) r = 3 (1 + sin ϕ )

Контрольная работа №2 (летняя сессия) I. Найти все частные производные 1-го порядка данной функции. Группа А Группа Б 2 y x −y xy u = xy arccos ( x + y ) + u e = − 1 1 x x + y2 2

x2 + y2 u = cos ( xy + x − y ) − x+ y

2

13

u = xarctg

(

y + 8 x 3 + xy 2 x

)

3 4 5

x3 + y3 u = tg x − y − y y u = x arccos ( xy ) − x+ y x− y u = arctg − 4 x3 y5 x+ y

(

2

2

(

)

)

6

u = x ln x 2 + y 2 +

7

u = ( x + y ) sin x + y

(

(

2

4 5

3x − 2 y 8y + 5 2

)

6

x2 − y + x− y

7

)

8

u = x 2 + y 2 ctg y + x 2 y 2 ctg x

9

u = y arcsin ( x − y ) +

0

3

2 y + x2 y

x2 + y3 u = ( x − y ) arctg ( x + y ) + xy

u = ex

(

2

+ y2

+

xy x− y

)

u = cos x 2 + xy + y 2 +

x+ y x− y

x2 + 2 y u = tg ( xy ) + 2x − y2 u = ( x − y ) arcsin ( xy ) −

y x2 + y2

x3 u = ( x + y ) arctg ( x − y ) − x+ y

8

u = ( x + y ) ln ( xy ) −

x − y2 x2 + y

9

u = ( x − y ) sin ( xy ) −

x3 − y3 x

0

u=

tg x − ( x − y ) ctg y x+ y

II. Найти экстремумы функции. 1

Группа А u = x 3 + 8 y 3 − 6 xy + 1

1

Группа Б u = 8 x 3 + y 3 − 6 xy + 3

2

u = 2 x 3 + 2 y 3 + 6 xy − 3

2

u = 2 x 3 − 2 y 3 − 6 xy − 1

3

u = 8 x 3 + y 3 − 12 xy + 2

3

u = x 3 + 8 y 3 − 12 xy − 4

4

u = 3x 3 − 3 y 3 − 9 xy + 5

4

u = 3x 3 + 3 y 3 + 9 xy − 2

5

u = x3 − x2 y + 4 y − 6

5

u = xy 2 − y 3 − 4 x + 2

6

u = 8 x 3 − y 3 + 6 xy − 2

6

u = x 3 − 8 y 3 − 6 xy + 4

7

u = x 3 + 3x 2 + y 2 + 2 y − 4

7

u = y3 + x2 + 3 y2 + 2 x + 5

8

u = x 3 − 8 y 3 − 12 xy − 1

8

u = 8 x 3 − y 3 − 12 xy − 3

9

u = xy 2 + y 3 − 4 x + 3

9

u = x3 + x2 y − 4 y + 1

0

u = y3 − x2 − 3 y2 − 2 x + 4

0

u = x 3 − 3x 2 − y 2 − 2 y − 5

14

III. Решить следующие дифференциальные уравнения. Найти сначала общее решение, а затем частное, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

1 2 3 4

5

6

7

x + xy + ( y + xy ) y ′ = 0 , y (0) = 0 ( 2 xy + y ) y ′ = y + 1 , y (4) = 0

(

)

x + xy 2 = y + x 2 y y ′ ,

(y

y ( 0) = 1 3

(x

)

+ y y ′ = xy 2 ,

)

+ 1 y ′ = xy , y (0) = 3

x + xy = ( y − xy ) y ′ , y (0) = 1

( 2 x + xy ) = ( 2 y + xy ) y ′ , y (1) = −1

(1 + x ) y′ = 1 + y 2

8

2

,

y (2) = 2

9

xyy ′ = x 4 + x 2 , y (0) = 2

0

( x + 1) y ′ = 2 xy − x , y (0) = 2

(1 − x ) y′ = 1 − y 2

1

y (0) = 2

2

y ′′ + 2 y ′ + 5 y = x 2

y ′ + y cos x = sin 2 x , y (π 2 ) = 0

y ′′ − 3 y ′ + 2 y = e x

y ′ − 4 xy = −4 x 3 , y ( 0 ) = −0,5 2x − 5 y = 5, x2 y (2) = 4 y y′ − = ( x + 1) e x , x +1 y (0) = 1 y y ′ + = sin x x y (π ) = 1 π y ′ − y ctg x = 2 x sin x , y (π 2 ) = 0

y′ −

y (2) = 2 2

Группа А y y ′ − = x 2 , y (1) = 0 x

,

y′ −

y ln x = −2 , x x y (1) = 1

2x 2 x2 y′ + y= , 1 + x2 1 + x2 y (0) = 2 3 y ′ − y sin x = sin x , y (π 2 ) = 1 Группа Б x+4 y′ + 2 y = e−4 x , x y (4) = 2 e 15

y ′′ + 6 y ′ + 9 y = − x y ′′ + 5 y ′ = sin 2 x

y ′′ + 16 y = e2 x

y ′′ − y ′ + 2 y = sin x

y ′′ + 3 y ′ − 4 y = 2 + x y ′′ − 4 y ′ + 4 y = cos 2 x

y ′′ + 4 y ′ = e x

y ′′ + 9 y = x 2 − 2 x

y ′′ + 3 y ′ − 4 y = e − x

2 3 4 5

6

7 8

(y

4

)

+ y 2 y ′ = xy , y (0) = 2

x − xy = ( y + xy ) y ′ , y (1) = 0 ( x + 1) y ′ = 2 xy + x , y (0) = 0

( 2 xy − y ) y ′ = y + 1 , y (1) = 1

(

)

x − xy 2 = y − x 2 y y ′ , y (0) = 2

2 x − xy = ( 2 y + xy ) y ′ , y ( 0) = 1

(

)

x + xy 2 = y 2 + xy 2 y ′ , y (0) = 0

9

x 2 yy ′ = 1 + y 2 , y (1) = 1

0

xyy ′ = 1 + x 2 , y (1) = 2

y ′ + y sin x = ecos x , y (π 2 ) = π 2 y′ +

y = x 2 , y (1) = 1 2x

y ′ + y tg x = cos 2 x , y (π 4 ) = 0,5 2x y′ − y = 1 + x2 , 2 1+ x y (1) = 3 y y′ − = x2 + 2 x , x+2 y ( −1) = 1,5 y ′ − y cos x = e sin x , y (0) = 2 y y ′ − = x sin x , x y (π 2 ) = 1 y ′ + 2 xy = 4 x, y ( 0) = 0 y′ +

y x +1 x e , = x x y (1) = e

y ′′ + 5 y ′ = sin x y ′′ − 4 y ′ + 4 y = e2 x y ′′ + 16 y = x 2 + 1 y ′′ + 4 y ′ = sin 2 x

y ′′ + 2 y ′ + 5 y = cos x

y ′′ + 9 y = 3x − 2 y ′′ − 3 y ′ + 2 y = x 2

y ′′ − y ′ + 2 y = cos 2 x y ′′ + 6 y ′ + 9 y = e x

IV. Группа А. 1. В урне находится 6 белых и 8 чёрных шаров. Наудачу извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что эти шары одного цвета. 2. В ящике находятся 8 качественных и 7 бракованных деталей. Наудачу берут 3 детали. Найти вероятность того, что 2 детали качественные и 1 бракованная. 3. Студент выучил 18 вопросов программы из 25. Найти вероятность того, что он ответит на два вопроса из трёх заданных. 4. В урне находится 4 белых и 12 чёрных шаров. Наудачу извлекают 2 шара. Найти вероятность того, что эти шары одного цвета. 5. В ящике находятся 7 качественных и 9 бракованных деталей. Наудачу берут 3 детали. Найти вероятность того, что 1 деталь качественная и 2 бракованные. 6. Студент выучил 16 вопросов программы из 25. Найти вероятность того, что он ответит только на один вопрос из трёх заданных. 16

7. В урне находится 8 белых и 6 чёрных шаров. Наудачу извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что эти шары одного цвета. 8. В ящике находятся 6 качественных и 9 бракованных деталей. Наудачу берут 3 детали. Найти вероятность того, что 2 детали качественные и 1 бракованная. 9. Студент выучил 20 вопросов программы из 25. Найти вероятность того, что он ответит на два вопроса из трёх заданных. 0. В урне находится 6 белых и чёрных 8 шаров. Наудачу извлекают 2 шара. Найти вероятность того, что эти шары одного цвета. Группа Б. 1. В ящике находятся 5 качественных и 11 бракованных деталей. Наудачу берут 3 детали. Найти вероятность того, что 1 деталь качественная и 2 бракованные. 2. Студент выучил 18 вопросов программы из 25. Найти вероятность того, что он ответит только на один вопрос из трёх заданных. 3. В урне находится 5 белых и 10 чёрных шаров. Наудачу извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что эти шары одного цвета. 4. В ящике находятся 5 качественных и 10 бракованных деталей. Наудачу берут 3 детали. Найти вероятность того, что 2 детали качественные и 1 бракованная. 5. Студент выучил 16 вопросов программы из 25. Найти вероятность того, что он ответит на два вопроса из трёх заданных. 6. В урне находится 7 белых и 11чёрных шаров. Наудачу извлекают 2 шара. Найти вероятность того, что эти шары одного цвета. 7. В ящике находятся 8 качественных и 8 бракованных деталей. Наудачу берут 3 детали. Найти вероятность того, что 1 деталь качественная и 2 бракованные. 8. Студент выучил 20 вопросов программы из 25. Найти вероятность того, что он ответит только на один вопрос из трёх заданных. 9. В урне находится 8 белых и 12 чёрных шаров. Наудачу извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что эти шары одного цвета. 0. В ящике находятся 9 качественных и 6 бракованных деталей. Наудачу берут 3 детали. Найти вероятность того, что 2 детали качественные и 1 бракованная. V. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается вероятностью p. Посеяно n семян. Найти вероятность того, что будет: a) m всходов; б) не менее m всходов, а также наивероятнейшее число всходов. Группа А Группа Б № № p n m p n m 1 0,5 9 3 1 0,9 7 5 2 0,6 8 4 2 0,8 6 4 3 0,7 7 5 3 0,7 9 3 4 0,8 6 3 4 0,6 8 6 5 0,9 9 4 5 0,5 7 5 6 0,5 8 5 6 0,9 6 4 17

7 8 9 0

0,6 0,7 0,8 0,9

7 6 9 8

3 4 5 6

7 8 9 0

0,8 0,7 0,6 0,5

9 8 7 6

7 6 5 4

VI. Вероятность аллергической реакции у больного на данное лекарство равна p. Лекарство было рекомендовано n больным. Определить вероятность того, что у m больных обнаружится аллергическая реакция. Группа А Группа Б № № n m p n m p 1 100 0 0.05 1 100 5 0.03 2 250 3 0.03 2 250 0 0.01 3 150 7 0.04 3 150 3 0.06 4 300 4 0.01 4 300 6 0.02 5 200 9 0.02 5 200 7 0.04 6 100 2 0.04 6 100 8 0.05 7 250 5 0.02 7 250 4 0.03 8 150 1 0.05 8 150 2 0.04 9 300 8 0.03 9 300 9 0.01 0 200 6 0.01 0 200 1 0.02 VII. Вероятность приживления прививаемой почки равна p. ность того, что при проведении n прививок получится m саженцев. Группа А Группа Б № № n m p n m 1 40 30 0.80 1 80 75 2 55 50 0.70 2 45 35 3 80 70 0.60 3 60 50 4 50 45 0.75 4 75 65 5 70 60 0.65 5 40 35 6 85 65 0.70 6 65 45 7 45 40 0.75 7 85 75 8 65 55 0.60 8 55 40 9 75 60 0.80 9 70 55 0 60 55 0.65 0 50 30

Найти вероят-

p 0.60 0.75 0.65 0.70 0.80 0.80 0.70 0.60 0.75 0.65

VIII. Принимая вероятность вызревания кукурузного стебля с тремя початками равной p, найти вероятность того, что из n стеблей, растущих на опытном участке, число вызревших будет находиться в пределах от m1 до m2. Группа А Группа Б № m1 m1 m2 № m2 n p n p 1 800 400 500 0,55 1 650 400 500 0,7 18

2 3 4 5 6 7 8 9 0

850 600 400 550 650 750 450 700 500

500 500 300 350 550 450 300 300 350

550 550 350 450 620 500 400 400 450

0,6 0,9 0,85 0,7 0.95 0,65 0,8 0,5 0,75

2 3 4 5 6 7 8 9 0

400 500 750 550 800 450 700 850 600

300 200 450 450 400 250 500 650 500

350 280 500 510 500 300 600 700 580

0,85 0,5 0,65 0,9 0,55 0,6 0,75 0,8 0,95

Образцы выполнения контрольных работ Ниже приведены образцы решения всех типов задач, предлагающихся в контрольных работах. Наши пояснения, сопровождающие решения, призваны объяснить студенту ситуацию, обосновать выбираемый способ решения и т. д. Приводить эти рассуждения дословно в своих решениях вовсе не требуется. Контрольная работа №1 I. Даны координаты A, B, C вершин треугольника. Найти длины и уравнения сторон, углы и площадь треугольника, а также уравнение медианы, проведённой к стороне AB. A(2; −2), B(9; −3), C(3; 0).

Решение. Сделаем рисунок. y

C

O

x

A

D

B Точка D – середина стороны AB, поэтому CD – медиана. Длины сторон найдём по формуле расстояния между двумя точками: d=

AB =

( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 .

( 9 − 2 ) 2 + ( −3 − ( − 2 ) )

2

= 49 + 1 = 50 = 5 2 ; 19

AC =

( 3 − 2 )2 + ( 0 + 2 )2

= 1+ 4 = 5 ;

BC = ( 3 − 9 ) + ( 0 + 3) = 36 + 9 = 45 = 3 5 . Уравнения сторон найдём, используя уравнение прямой, проходящей через x − x1 y − y1 . = две данные точки: x2 − x1 y2 − y1 x − 2 y − ( −2 ) x − 2 y + 2 = AB: = ; ; x − 2 = −7 ( y + 2 ) ; x + 7 y + 12 = 0 . 7 −1 9 − 2 −3 − ( − 2 ) x−2 y+2 x−2 y+2 AC: ; ; 2x − 4 = y + 2 ; 2x − y − 6 = 0 . = = 1 2 3− 2 0 + 2 x−9 y +3 x−9 y +3 BC: ; ; x − 9 = −2 y − 6 ; x + 2 y − 3 = 0 . = = 3 − 9 0 + 3 −6 3 Для нахождения углов треугольника следует, вообще говоря, использовать одну из формул для нахождения угла между двумя прямыми, но в данном примере можно поступить проще, если заметить, что треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C, поскольку 2

2

2

2

2

AB = AC + BC .

Поэтому ∠C = 90o . cos A =

AC 5 1 1 = = , поэтому ∠A = arccos ; AB 5 2 10 10

BC 3 5 3 3 = = , следовательно ∠B = arccos . AB 5 2 10 10 Так как треугольник ABC прямоугольный, то его площадь равна половине произведения катетов, т. е., SABC = 12 AC ⋅ BC = 12 5 ⋅ 3 5 = 7,5 . Чтобы написать уравнение медианы CD, найдём координаты точки D, зная, что она является серединой стороны AB. Тогда x + xB 2 + 9 y + y B −2 − 3 = = −2,5 . xD = A = = 5,5 , yD = A 2 2 2 2 Теперь уравнение медианы CD находится без труда: x−3 y −0 x−3 y ; x − 3 = − y ; x + y = 3. ; = = 5,5 − 3 −2,5 − 0 2,5 −2,5 cos B =

II. Решить линейную систему методом Крамера. ⎧3x + 6 y − 2z = 10, ⎪ ⎨ x + 2 y + 4z = 8 , ⎪2x + 2 y + 3z = 9. ⎩

Решение. Прежде всего, составим и вычислим определитель системы. 20

3 6 −2 ∆=1

0 0 − 14

2 4 =1 2

4 = −14 ⋅

1 2 2 2

= −14 ⋅ ( 2 − 4 ) = 28 .

2 2 3 2 2 3 (Сначала из первой строки вычли вторую, умноженную на 3, а затем разложили определитель по первой строке.) Поскольку определитель системы отличен от нуля, то система может быть решена методом Крамера. Составляем и вычисляем остальные определители. 10 6 − 2 −14 0 − 14 1 1 ∆x = 8 2 4= 8 2 4 = 2 ⋅ ( −14 ) ⋅ = 2 ⋅ ( −14 ) ⋅ ( −2 ) = 56 . 1 −1 9 2 3 1 0 −1 (Определитель ∆ x получен из определителя системы ∆ заменой первого столбца на столбец свободных членов. При его вычислении сначала вторую строку умножили на 3 и вычли из первой, потом вторую строку вычли из третьей, а затем разложили определитель по второму столбцу, вынеся попутно общий множитель −14 из первой строки.) 3 10 − 2 0 − 14 − 14 1 1 ∆y = 1 8 4 =1 8 4 = ( −1) ⋅ 14 ⋅ = −14 ⋅ ( −2 ) = 28 . 7 5 2 9 3 0 −7 −5 3 6 10 ∆z = 1 2

0 0 − 14

8 =1 2

4 = ( −14 ) ⋅

1 2 2 2

= −14 ⋅ ( −2 ) = 28 .

2 2 9 2 2 9 Вычислив определители, по формулам Крамера находим решение системы. ∆ y 28 ∆ 56 ∆ 28 x= x = = 2; y = = = 1; z = z = = 1. ∆ 28 ∆ 28 ∆ 28 Подстановкой в систему убеждаемся, что решение найдено правильно. Ответ: (2; 1; 1). III. Решить линейную систему методом Гаусса. ⎧ x − 3 y + 4 z = 3, ⎪4 x − 5 y − 3z = −1, ⎪ ⎨ ⎪3x − 4 y + 2z = −1, ⎪⎩2x − y − 5z = 1.

Решение. Составим расширенную матрицу системы и преобразуем её.

21

⎛1 ⎜4 ⎜ ⎜3 ⎜ ⎝2

− 3 4 M 3⎞ − 5 − 3M − 1⎟ ⎟ −4 2M −1⎟ ⎟ −1 − 5 M 1 ⎠

4M 3 ⎞ ⎛1 − 3 ⎜0 7 − 19 M − 13 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 5 − 10 M − 10 ⎟ ⎜ ⎟ 5 − 13 M − 5 ⎠ ⎝0

⎛1 − 3 4M 3 ⎞ ⎜0 2 − 9M − 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 1 − 2M − 2⎟ ⎜ ⎟ 0 − 3M 5 ⎠ ⎝0

⎛1 − 3 4M 3 ⎞ ⎜0 0 − 5M 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 1 − 2M − 2⎟ ⎜ ⎟ 0 − 3M 5 ⎠ ⎝0

⎛1 − 3 4M 3 ⎞ ⎛1 − 3 4M 3 ⎞ ⎜0 1 − 2M − 2 ⎟ ⎜0 1 − 2M − 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 − 5M 1 ⎟ ⎜ 0 0 − 5M 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 M 22 ⎠ ⎝ 0 0 0M 1 ⎠ ⎝0 При первом преобразовании первая строка была умножена последовательно на 4, 3 и 2 и вычтена соответственно из второй, третьей и четвёртой строк. При втором преобразовании третья строка была вычтена из второй и четвёртой строк, а потом поделена на 5. При третьем преобразовании третья строка умножена на 2 и вычтена из второй. При четвёртом преобразовании вторая строка умножена на −3 и прибавлена к четвёртой, умноженной на 5, после чего вторая и третья строки поменены местами. При последнем преобразовании четвёртая строка поделена на 22. Четвёртая строка последней матрицы соответствует уравнению 0 ⋅ x + 0 ⋅ y + 0 ⋅ z = 1, которому никакие значения неизвестных удовлетворять не могут. Вывод: решений нет. IV. Вычислить следующие пределы. x2 − x − 2 1) lim 2 . x →2 x + x − 6 Решение. При подстановке в выражение вместо x предельного значения 2 и числитель и знаменатель обращаются в ноль, т. е., получается неопределённость вида 00 . Для её раскрытия находим корни квадратных трёхчленов, стоящих в числителе и знаменателе. Для числителя это будут 2 и −1, для знаменателя − 2 и −3. Найдя корни, раскладываем числитель и знаменатель на множители, производим сокращение, убирая тем самым неопределённость, и переходим к пределу. Итак, ( x − 2 )( x + 1) x2 − x − 2 x +1 3 = lim = lim = . lim 2 x →2 x + x − 6 x → 2 ( x − 2 )( x + 3) x →2 x + 3 5 3 x −8

⎛ 4x + 5 ⎞ . 2) lim ⎜ ⎟ x →∞ ⎝ 4 x − 6 ⎠ Решение. Нетрудно убедиться (вынеся x за скобку), что основание степени стремится к 1, а показатель степени стремится к . Следовательно, выражение 22

под знаком предела есть неопределённость вида 1∞ , а такие неопределённости раскрываются с помощью второго замечательного предела. Поэтому 3 x −8 3 x −8 3 x −8 ⎛ 4x + 5 ⎞ ⎛ 4x + 5 ⎞ ⎛ 4x + 5 − 4x + 6 ⎞ = lim ⎜ 1 + − 1⎟ = lim ⎜ 1 + = lim ⎜ ⎟ ⎟ x →∞ ⎝ 4 x − 6 ⎠ x →∞ ⎝ x →∞ ⎝ 4x − 6 ⎠ 4x − 6 ⎠ 11 ⎞ ⎛ = lim ⎜ 1 + ⎟ x →∞ ⎝ 4x − 6 ⎠

3 x −8

=

11 ⋅( 3 x −8 ) x →∞ 4 x − 6 e lim

3 x −8 x →∞ 4 x − 6

11⋅ lim

=e

11⋅ lim

=e

3 x (1−8 x )

x →∞ 4 x

(1− 6 x )

11⋅

=e

3 4

=

33 e4 .

sin x + sin 5 . x →−5 x +5 Решение. Анализ показывает наличие неопределённости вида 00 . Для её раскрытия в данном случае следует использовать первый замечательный предел. Преобразуем в числителе сумму синусов в произведение и вычислим предел. x +5 x −5 x+5 x −5 2 sin cos 2 cos sin x + sin 5 2 2 = lim 2 2 = lim = lim x →−5 x →− 5 x →− 5 x +5 x+5 x+5 x −5 = lim cos = cos 5. x →−5 2 x+5 был заменён эквивалентной величиной, заВ процессе преобразований sin 2 тем произведено сокращение, в результате которого неопределённость ушла и стало возможным вычислить предел. 3) lim

V. Найти производные следующих функций. 3

x 4 cos 2 x − 2 3 x sin 2 x . 1) y = arctg x 2 Решение. Сначала перепишем корни в виде степеней с дробными показателями, а потом проведём дифференцирование, применяя в подходящих случаях соответствующие формулы (производная частного, разности, произведения, сложной функции и т. д.) ⎛ x 4 3 cos 2 x − 2 x1 3 sin 2 x ⎞′ y′ = ⎜ ⎟ = 2 arctg x ⎝ ⎠ ′ ′ x 4 3 cos 2 x − 2 x1 3 sin 2 x ⋅ arctg x 2 − x 4 3 cos 2 x − 2 x1 3 sin 2 x ⋅ arctg x 2 = = 2 2 arctg x

(

)

(

(

23

)

)(

)

⎛ 43 ′ ′⎞ 13 2 ⎜ x cos 2 x − 2 x sin 2 x ⎟ ⋅ arctg x ⎠ =⎝ − 2 2 arctg x

(

)

(

(

(x

43

−

( )

−

=

) sin 2 x ) ⋅

( )

1+ x

13

= 13

⎞

( sin 2 x )′ ⎞⎟ ⎟ ⋅ arctg x 2 ⎠⎠

( arctg x )

2 2

(x

43

) 1 +2 xx

cos 2 x − 2 x1 3 sin 2 x ⋅

( arctg x ) ( − sin 2 x ) ⋅ 2 − 2 (

2 2

arctg x

− =

⋅ x2

2 2

( arctg x ) ( cos 2 x )′ − 2 ⎛⎜ ( x )′ sin 2 x + x ⎝

x1 3 cos 2 x + x 4 3

4 3

( )′

1

2 2

⎛ 43 ′ cos 2 x + x 4 3 ⎜ x =⎝

4 3

cos 2 x − 2 x1 3

)

2x ⋅ x

13

1 3 2

4

=

x − 2 3 sin 2 x + x1 3 cos 2 x ⋅ 2

(1 + x )( arctg x )

2 2

4

arctg x 2 −

=

(1 + x )( arctg x )

2 2

4

(

2

)

2 x 3 x ( x cos 2 x − 2 sin 2 x )

(1 + x )( arctg x )

2 2

4

+ 2 sin 2 x + 8 x cos 2 x 3

2

3 x arctg x

2

−

−

=

arctg x 2 −

(

2 x 3 x ( x cos 2 x − 2 sin 2 x )

x − 2 3 4 x cos 2 x − 6 x 2 sin 2 x − 2 sin 2 x − 12 x cos 2 x

(6x =−

)−

( x cos 2 x − 2 sin 2 x ) =

x1 3 cos 2 x − 2 x 4 3 sin 2 x − 23 x − 2 3 sin 2 x − 4 x1 3 cos 2 x

1 3

−

)−

=

2 x 3 x ( x cos 2 x − 2 sin 2 x )

(1 + x )( arctg x ) 4

2 2

.

)

2) y = ctg cos 3 ( tg 2 x − 2 x ) . Решение. Применяя правило дифференцирования сложной функции, имеем: 24

y′ = − =−

1

(

sin 2 cos 3 ( tg 2 x − 2 x ) 1

(

sin 2 cos 3 ( tg 2 x − 2 x )

=−

)

(

(

)

⋅ 3 cos 2 ( tg 2 x − 2 x ) ⋅ ( cos ( tg 2 x − 2 x ) )′ =

3 cos 2 ( tg 2 x − 2 x ) sin cos ( tg 2 x − 2 x ) 2

)

′ ⋅ cos 3 ( tg 2 x − 2 x ) =

3

)

⋅ ( − sin ( tg 2 x − 2 x ) ) ⋅ ( tg 2 x − 2 x )′ =

3 cos 2 ( tg 2 x − x ) sin ( tg 2 x − x ) ⎛ 1 ⎞ 2 2 = ⋅ ⋅ − ⎜ ⎟= 2 sin 2 cos 3 ( tg 2 x − x ) ⎝ cos 2 x ⎠

(

)

6 cos 2 ( tg 2 x − 2 x ) sin ( tg 2 x − 2 x ) 1 − cos 2 2 x = ⋅ = cos 2 2 x sin 2 cos 3 ( tg 2 x − 2 x )

(

)

6 cos 2 ( tg 2 x − 2 x ) sin ( tg 2 x − 2 x ) sin 2 2 x = ⋅ = cos 2 2 x sin 2 cos 3 ( tg 2 x − 2 x )

(

=

)

6 cos 2 ( tg 2 x − 2 x ) sin ( tg 2 x − 2 x ) tg 2 2 x

(

sin 2 cos 3 ( tg 2 x − 2 x )

)

.

VI. Провести полное исследование и построить график функции. x2 − 4 . y= x3 Решение. Выполнение данного задания предполагает проведение следующих действий: 1) нахождение области определения функции; 2) установление свойств чётности (нечётности) и периодичности функции или же отсутствия таковых; 3) нахождение точек пересечения с осями координат; 4) нахождение промежутков монотонности функции и точек экстремума; 5) нахождение промежутков выпуклости (вогнутости) функции и точек перегиба; 6) исследование поведения функции при приближении к границам области определения, в частности, нахождение асимптот. Затем, на основании вышеперечисленных исследований, рисуется эскиз графика функции. 1) Поскольку деление на нуль невозможно, то x не может равняться нулю, поэтому область определения данной функции D ( y ) = ( −∞; 0 ) U ( 0; + ∞ ) . 25

2) Чтобы установить, является ли исследуемая функция чётной или нечётной, заменим x на x. ( − x )2 − 4 x 2 − 4 x 2 − 4 y (−x) = = = − 3 = − y ( x) . 3 3 x x − x − ( ) Этим установлено,что функция нечётная. Исследуемая функция, очевидно, не является периодической. 3) Чтобы найти точки пересечения с осями координат, следует положить поочерёдно x и y равными нулю. Но в нашем случае x = 0 не входит в область определения, поэтому график не пересекает ось Oy. Если же положить y = 0 , то имеем: x2 − 4 = 0 ; x 2 − 4 = 0 ; x 2 = 4 ; x = ±2 . 3 x Следовательно, точки пересечения с осью Ox суть ( −2; 0 ) и ( 2; 0 ) . Перед следующими двумя пунктами исследования найдём предварительно первую и вторую производные исследуемой функции. ′ ′ x2 − 4 ⋅ x3 − x2 − 4 ⋅ x3 2 x ⋅ x 3 − x 2 − 4 ⋅ 3x 2 y′ = = = 6 3 2 x x

(

)

( ( ) x (2x = 2

(x y ′′ = −

2

( (x ) 2x (−x =

)( )

2

− 3x 2 + 12 x

)

6

(

)=−x

)( )

′ ′ − 12 ⋅ x 4 − x 2 − 12 ⋅ x 4 4 2

3

2

+ 2 x 2 − 24 x

8

=−

2

)

− 12 . x4

(

)

2 x ⋅ x 4 − x 2 − 12 ⋅ 4 x 3

) = 2(x

x8 2

− 24

x

5

=

).

4) Приравняв первую производную к нулю, найдём стационарные точки. y ′ = 0 ; x 2 − 12 = 0 ; x 2 = 12 ; x = ± 12 = ±2 3 . Следовательно, стационарные точки x1 = −2 3 ≈ −3,5 , x2 = 2 3 ≈ 3,5 . Возрастание функции может смениться убыванием (и наоборот) только при переходе через стационарную точку или точку разрыва (каковой является в нашем случае x = 0 ), поэтому имеем четыре промежутка монотонности. Установив знак производной в каждом из них, узнаем, как именно ведёт себя функция, и заодно определим, являются ли стационарные точки точками экстремума. Результаты всех производимых действий сведём в следующую таблицу. 26

x y′ y

( −∞; x1 )

x1

( x1; 0 )

0

( 0; x2 )

x2



0 min



не сущ. не сущ.



0 max

( x2 ;

+ ∞) 

Знак производной в каждом интервале можно найти, взяв конкретную точку в этом интервале или же с помощью оценки. Например, в интервале ( x1; 0 ) рас2 −1) − 12 ( положена точка −1. Так как y ′ ( −1) = − = 11 > 0 , то во всём этом интер4 ( −1) вале производная имеет знак +. Ещё пример. В интервале ( x2 ; + ∞ ) , очевидно,

x > x2 , следовательно, x 2 > 12 . Видим, что числитель и знаменатель дроби, представляющей производную, положительны, а перед ней стоит знак минус, поэтому в данном интервале производная отрицательна. Напоследок найдём значения функции в точках экстремума. 2 3 ) − 4 12 − 4 ( 1 y(x ) = = = ≈ 0 ,2 . 8 ⋅ 3 3 3 3 (2 3) 2

2

3

Ввиду нечётности функции y ( x1 ) ≈ −0,2 .

5) Приравняем к нулю вторую производную и найдём точки, в которых возможна смена направления выпуклости. y ′′ = 0 ; x 2 − 24 = 0 ; x 2 = 24 ; x = ± 24 = ±2 6 . Итак, x3 = −2 6 ≈ −4,9 и x4 = 2 6 ≈ 4,9 − возможные точки перегиба. Как и в предыдущем пункте, результаты проводимых исследований сведём в таблицу. x y ′′ y

( −∞; x3 )

x3

( x3 ; 0 )

0

( 0; x4 )

x4



0 пер.



не сущ. не сущ.

−

0 пер.

( x4 ;

+ ∞) +

Исследование показало, что точки x3 и x4 являются точками перегиба. Найдём значения функции в этих точках.

y ( x4 ) =

(

2 6

)

2

−4

(2 6 )

3

=

24 − 4 20 5 = = ≈ 0,2 ; 8 ⋅ 6 6 48 6 12 6

y ( x3 ) = − y ( x4 ) ≈ −0,2 . 6) Нужно исследовать поведение функции при стремлении x к нулю слева и справа, а также при стремлении x к бесконечности. 27

x2 − 4 x2 − 4 = +∞ ; lim = −∞ . x →−0 x →+0 x3 x3 В первом случае x стремится к нулю слева, т. е., отрицателен, поэтому числитель стремится к −4, а знаменатель стремится к нулю, будучи отрицательным, поэтому дробь положительна (вблизи нуля) и стремится к +∞. Во втором случае рассуждения аналогичны. Этим показано, что прямая x = 0 служит вертикальной асимптотой графика функции. 1 ⎞ ⎛ 1 x 2 ⎜1 − 2 ⎟ 1− 2 2 x −4 x x = 0 , что означаб) Теперь находим: lim = lim ⎝ 3 ⎠ = lim 3 x →∞ x →∞ x →∞ x x x ет, что ось Ox является горизонтальной асимптотой. а) Имеем: lim

На этом исследование закончено, осталось нарисовать график. Для начала отложим точки, найденные в процессе исследования, затем проведём черзэти точки линию, учитывая установленные свойства графика. Поскольку ось Ox – асимптота, график при движении x от −∞ идёт от оси Ox вниз y

x3

x1

−2

2

O

x2

x4

x

выпуклостью вверх до точки x3 . В точке x3 изменяется направление выпуклости и график выпуклостью вниз и по прежнему убывая идёт до точки минимума x1 . Далее график выпуклостью вниз и возрастая пересекает ось Ox в точке 2 и уходит в +∞ при приближении x к нулю. Для положительных x можно провести аналогичное построение, ано можно, пользуясь нечетностьью функции, повернуть на 180° вокруг начала координат уже построенную часть графика. VII. Вычислить интегралы. 28

1)

∫(x

3

)

+ 4 ln (3 x)dx .

Применим метод интегрирования по частям. Возьмём u = ln (3 x) , dv = x 3 + 4 dx .

(

)

Тогда 1 dx x4 3 du = ⋅ 3 ⋅ dx = , v = ∫ dv = ∫ x + 4 dx = + 4x 4 x 3x (в формуле интегрирования по частям нам нужна одна функция v, поэтому постоянную C можно не писать, иначе, можно брать C 0). По формуле интегрирования по частям ⎛ x4 ⎞ ⎛ x4 ⎞ dx ⎛ x3 ⎞ 3 ∫ x + 4 ln 3xdx = ln 3x ⋅ ⎜⎝ 4 + 4 x ⎟⎠ − ∫ ⎜⎝ 4 + 4 x ⎟⎠ ⋅ x = ∫ ⎜⎝ 4 + 4 ⎟⎠ dx = ⎛ x4 ⎞ ⎛ x3 ⎞ ⎛ x4 ⎞ x4 = ln 3 x ⋅ ⎜ + 4 x ⎟ − ∫ ⎜ + 4 ⎟ dx = ln 3 x ⋅ ⎜ + 4 x ⎟ − − 4x + C . 4 4 4 4 4 ⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Итак, ⎛ x4 ⎞ x4 3 ∫ x + 4 ln 3xdx = ln 3x ⋅ ⎜⎝ 4 + 4 x ⎟⎠ − 16 − 4 x + C .

(

(

)

)

(

)

x 2 dx 2) ∫ . 16 + x 6 Используем метод подстановки. Положим x 3 = u . Тогда 3x 2 dx = du , и x 2 dx 1 3x 2 dx 1 du 1 1 u 1 x3 ∫ 16 + x 6 = 3 ∫ 16 + x 6 = 3 ∫ 16 + u 2 = 3 ⋅ 4 arctg 4 + C = 12 arctg 4 + C . dx 3) ∫ . 2 x + 6x − 7 Преобразуем квадратный трёхчлен, выделив в нём полный квадрат.

x 2 + 6 x − 7 = x 2 + 6 x + 9 − 9 − 7 = ( x + 3) − 16 . 2

Тогда

∫

dx 2

x + 6x − 7

=∫

dx

( x + 3)

2

− 16

= ln x + 3 +

( x + 3)2 − 16

= ln x + 3 + x 2 + 6 x − 7 + C .

29

+C =

VIII. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми. Сделать чертёж. y = x2 + x − 2 , y + 2 x + 2 = 0 . Решение. Сначала сделаем чертёж. Первое уравнение есть уравнение параболы, пересекающей ось Ox в точках x1 = −2 и x2 = 1 , а ось Oy в точке y = −2 . Второе уравнение – это уравнение прямой, пересекающей ось Ox в точке x = −1 и ось Oy в точке y = −2 . Этих данных достаточно, чтобы построить указанные кривые. y

−3

−1

−2

O x

−2

Построив кривые, видим, что они ограничивают заштрихованную фигуру, а решив систему, построенную из их уравнений, находим границы изменения x (от −3 до 0). Остаётся подставить все данные в форрмулу и вычислить площадь. b

S = ∫ ⎡⎣ y2 ( x ) − y1 ( x )⎤⎦ dx = a

0

=

∫(

−3

0

∫ ⎡⎣( −2 x − 2 ) − ( x

2

−3

0

)

+ x − 2 ⎤ dx = ⎦

⎛ x3 ( −3 ) ( −3) 27 27 x2 ⎞ 1 − x 2 − 3x dx = − ⎜ + 3 ⋅ ⎟ = + 3⋅ = − = 27 ⋅ = 4,5 . 2 ⎠ 3 2 2 3 6 ⎝ 3 −3

)

3

2

IX. Вычислить длину кривой. Сделать чертёж. r = 6 sin ϕ . Решение. Нужно найти длину всей кривой, а для этого следует найти область определения функции,задающей эту кривую. Так как r по геометрическому смыслу неотрицательно, то таким же должен быть и sinϕ, следовательно, 30

ϕ ∈ [0, π ] . Применяя формулу длины дуги, если кривая задана в полярной системе координат, имеем: β

π

l = ∫ r + r ′ dϕ = ∫ 2

α

2

( 6 sin ϕ )

2

0

π

(

)

+ ( 6 cos ϕ ) dϕ = ∫ 36 sin 2 ϕ + cos 2 ϕ dϕ = 2

0

π

π

= ∫ 6dϕ = 6ϕ 0 = 6π . 0

Теперь нарисуем кривую. Эта кривая представляет из себя окружность, для которой отрезок [0, 6] оси Oy является диаметром. Это следует из того, что треугольник OMA – прямоугольный (угол, опирающийся на диаметр, − прямой). y A(6) M r

ϕ x

O

⎛π ⎞ Поэтому r = OM = OA ⋅ cos O = 6 ⋅ cos ⎜ − ϕ ⎟ = 6 sin ϕ . ⎝2 ⎠ Контрольная работа №2 I. Найти все частные производные 1-го порядка данной функции. xy u = sin − xarctg ( x − y ) . x+ y Решение. Частные производные ищутся по тем же правилам, что и обыкновенные производные. Следует лишь помнить, что при дифференцировании по переменной x переменная y считается постоянной и наоборот. Поэтому ' ⎞ ∂u xy ⎛ xy ⎞ ⎛ 1 ' = cos ⋅⎜ − 1 ⋅ arctg x − y + x ⋅ ⋅ x − y ⎜ ⎟= ( ) ( ) 2 x⎟ ∂x x + y ⎝ x + y ⎠⎟ x ⎜ 1+ (x − y) ⎝ ⎠ 31

= cos

xy y ⋅ ( x + y ) − xy ⋅ 1 x arctg x y ⋅ − − − ⋅1 = ( ) 2 2 x+ y 1+ ( x − y) (x + y) = cos

xy y2 x ⋅ − arctg x − y − ; ( ) 2 x + y ( x + y )2 1+ ( x − y) '

xy ⎛ xy ⎞ 1 ∂u ' = cos ⋅⎜ − ⋅ ⋅ − = x x y ( ) 2 y ∂y x + y ⎝ x + y ⎠⎟ y 1+ ( x − y)

= cos

xy x ⋅ ( x + y ) − xy ⋅ 1 x xy x2 x cos ⋅ + . 1 ⋅ − ⋅ − = ( ) 2 2 2 2 x y + x+ y 1+ ( x − y) ( x + y) ( x + y) 1+ ( x − y)

II. Найти экстремумы функции u = x 3 + y 3 − 3xy − 5 . Решение. Сначала используем необходимые условия экстремума: в точке экстремума частные производные первого порядка (если они существуют) равны нулю. Найдём поэтому частные производные первого порядка, а заодно и второго (они понадобятся позже). ∂u ∂u = 3x 2 − 3 y , = 3 y 2 − 3x ; ∂y ∂x ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = −3 , 2 = 6 y . = 6x , ∂x∂y ∂y ∂x 2 Приравняв к нулю частные производные первого порядка, составим и решим систему уравнений. 2 ⎧⎪3x 2 − 3 y = 0 ⎧⎪ x 2 = y ⎪⎧ y = x 2 ⎧⎪ y = x ; ⎨ 4 ; ⎨ ; ⎨ 2 . ⎨ 2 3 x x − 1 = 0 ⎪⎩3 y − 3x = 0 ⎪⎩ y = x ⎪⎩ x = x ⎪⎩ Отсюда: либо x = 0 , y = 02 = 0 ; либо x 3 − 1 = 0 , x 3 = 1 , x = 1 , y = 12 = 1 . Таким образом, получили две точки возможного экстремума: O(0: 0) и A(1; 1). Теперь в каждой из точек проверим выполнение достаточных условий экстремума. 1) В точке O имеем: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u A = 2 ( 0; 0 ) = 0 ; B = ( 0; 0 ) = −3 ; C = 2 ( 0; 0 ) = 0 . ∂x∂y ∂x ∂y

(

)

Так как AC − B 2 = 0 ⋅ 0 − ( −3) = −9 < 0 , то в точке O экстремума нет. 2) В точке A ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u A = 2 (1; 1) = 6 ; B = (1; 1) = −3 ; C = 2 (1; 1) = 6 . ∂x∂y ∂x ∂y 2

32

Так как AC − B 2 = 6 ⋅ 6 − ( −3) = 27 > 0 , то в точке A экстремум есть, а поскольку A = 6 > 0 , то A – точка локального минимума. Осталось найти значение функции в точке A. u (1; 1) = 13 + 13 − 3 ⋅ 1 ⋅ 1 − 5 = −6 . Ответ: функция имеет локальный минимум в точке A(1; 1), причём umin = −6 . 2

III. Решить следующие дифференциальные уравнения. Найти сначала общее решение, а затем частное, удовлетворяющее заданным начальным условиям. 1) ( x + 2 xy ) y ′ = y + 2 xy , y (1) = 2 . Решение. Это – уравнение с разделяющимися переменными, поэтому разложим левую и правую части на множители и разделим переменные. ⎛1 ⎞ dy 1+ 2 y 1+ 2x ⎛1 ⎞ x (1 + 2 y ) = y (1 + 2 x ) , dy = dx , ⎜ + 2 ⎟ dy = ⎜ + 2 ⎟ dx . y x dx ⎝x ⎠ ⎝y ⎠ Теперь проинтегрируем обе части. ⎛1 ⎞ dy dx ⎛1 ⎞ , + 2 dy = + 2 dx + 2 dy = ⎜ ⎟ ∫ ⎜⎝ y ⎟⎠ ∫ ⎝ x ⎠ ∫ y ∫ ∫ x + 2∫ dx , ln y + 2 y = ln x + 2 x + ln C . Выразить явно y через x из полученного уравнения не удастся, но немного упростить можно. y y 2 x− y 2 x− y ln y − ln x = ln C + 2 x − 2 y , ln = ln Ce ( ) , = Ce ( ) . x x Снимем модуль, позволив C быть отрицательным, и умножим на x . Тогда 2 x− y общее решение заданного уравнения примет вид: y = Cxe ( ) , x ≠ 0 . Чтобы найти частное решение, используем начальное условие. Подставим в общее решение x = 1 и y = 2 . Тогда получим: 2 = Ce −2 или C = 2e2 . Подставив полученное значение C в общее решение, получим искомое частное решение: 2 1+ x − y ) y = 2 xe ( , x > 0. 2) y ′ − y cos 2 x = cos 2 x , y (π 2 ) = 1 . Решение. Это – линейное неоднородное уравнение первого порядка. Будем искать решение в виде произведения двух функций: y = uv . Тогда y ′ = u′v + uv ′ и, подставляя в уравнение, получаем: u′v + uv′ − uv cos 2 x = cos 2 x . (1) Подберём функцию v так, чтобы v′ − v cos 2 x = 0 . Так как это – уравнение с разделяющимися переменными, то 33

1

sin 2 x dv dv dv 1 = v cos 2 x , = cos 2 x dx , ∫ = ∫ cos 2 x dx , ln v = sin 2 x , v = e 2 . 2 dx v v (Поскольку нам нужно найти какую-нибудь одну функцию v, то считаем её положительной и в процессе решения произвольную постоянную C опускаем.) Подставив найденную функцию v в уравнение (1), найдем функцию u: 1 sin 2 x u ′e 2

= cos 2 x , u′ =

1 − sin 2 x cos 2 x e 2 ,

u=∫

1 − sin 2 x cos 2 x e 2 dx .

1 Полагая sin 2 x = t , при этом 2 cos 2 xdx = dt или cos 2 xdx = dt , получим: 2 1 1 1 − t − t 1 − t 1 u = ∫ e 2 dt = ⋅ ( −2 ) e 2 + C = C − e 2 . 2 2 1 − sin 2 x −e 2 .

Совершив обратную замену, имеем: u = C Поэтому 1 1 1 sin 2 x ⎛ − sin 2 x ⎞ sin 2 x 2 2 − 1. y = uv = e ⎜⎜ C − e ⎟⎟ = Ce 2 ⎝ ⎠ 1 sin 2 x Ce 2

−1. Итак, общее решение заданного уравнения y = Чтобы найти частное решение, подставим в общее решение x=π /2, y =1. 1=

1 π sin 2 2 2 Ce

=

1 sin π Ce 2

= Ce0 = C .

Итак, C = 1 и частное решение имеет вид: y =

1 sin 2 x e2

− 1.

3) y ′′ − 6 y ′ + 9 y = x + sin 3x . Решение. Данное уравнение – линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Сначала найдём общее решение однородного уравнения y ′′ − 6 y ′ + 9 y = 0 , для чего составим и решим характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение в данном случае имеет вид: k 2 − 6k + 9 = 0 или ( k − 3) = 0 . Оно имеет два одинаковых корня k1 = k2 = 3 , поэтому частные решения однородного уравне2

ния будут следующими: y1 = e3 x , y2 = xe3 x . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид: yo = C1e3 x + C2 xe3 x . Теперь найдём частное решение неоднородного уравнения. Будем искать его в виде: yч = yч1 + yч 2 , где yч1 удовлетворяет неоднородному уравнению с правой частью x, а yч 2 − с правой частью sin 3x . По теории, yч1 следует искать в виде: yч1 = ax + b . Тогда yч′1 = a , yч′′1 = 0 и подстановка в уравнение даёт: −6a + 9 ( ax + b ) = x , откуда: 9a = 1 и 9b − 6a = 0 . 34

1 2 1 2 , b = . Следовательно, yч1 = x + . 9 27 9 27 По теории, yч 2 следует искать в виде: yч 2 = a sin 3x + b cos 3x . Тогда yч′ 2 = 3a cos 3x − 3b sin 3x , yч′′2 = −9a sin 3x − 9b cos 3x . Подставляя в уравнение, получаем: −9a sin 3x − 9b cos 3x − 6 ( 3a cos 3x − 3b sin 3x ) + 9 ( a sin 3x + b cos 3x ) = sin 3x . Приравнивая коэффициенты при sin 3x и cos 3x в левой и правой частях, 1 1 получим: 18b = 1 , 18a = 0 . Следовательно, a = 0 , b = , и yч 2 = cos 3x . 18 18 Поскольку общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, 1 1 2 то y = ( C1 + C2 x ) e3 x + cos 3x + x + . 18 9 27 Решив эти уравнения, получим: a =

IV. В урне находится 10 белых и 6 чёрных шаров. Наудачу извлекают 2 шара. Найти вероятность того, что эти шары одного цвета. Решение. Пусть A – событие, заключающееся в том, что оба вынутых шара одного цвета. Введём в рассмотрение ещё следующие события: A1 – из урны извлечены два белых шара; A2 – из урны извлечены два чёрных шара. Тогда A = A1 + A 2 , и так как события A1 и A2, очевидно, несовместны, то P ( A ) = P ( A1 ) + P ( A 2 ) . Найдём вероятности событий А1 и А2. Поскольку элементарные исходы опыта (извлечение из урны двух шаров), очевидно, попарно несовместны, равновозможны и образуют полную группу событий, то можно применить классическое определение вероятности. Так как всего шаров – 15, а выбирается два, то 16 ⋅ 15 2 общее число элементарных исходов n = C16 = = 120 . Число исходов, благо1⋅ 2 10 ⋅ 9 приятствующих событию А1, n1 = C82 = = 45 , а число исходов, благоприятст1⋅ 2 6⋅5 = 15 . Поэтому вующих событию А2, n2 = C62 = 1⋅ 2 45 15 60 1 + = = . P ( A ) = P ( A1 ) + P ( A 2 ) = 120 120 120 2

V. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается вероятностью p. Посеяно n семян. Найти вероятность того, что будет: a) m всходов; б) не менее m всходов, а также наивероятнейшее число всходов. p = 0,4; n = 10; m = 3 . 35

Решение. Эта задача решается с помощью формулы Бернулли (схема повторных независимых испытаний). 10 ⋅ 9 ⋅ 8 3 7 3 7 3 ⋅ ( 0 , 4 ) ⋅ ( 0 ,6 ) = ⋅ ( 0,4 ) ⋅ ( 0,6 ) ≈ 0,215 ≈ 0,21 . а) P10 ( 3) = C10 1⋅ 2 ⋅ 3 б) P10 ( m ≤ 3) = P10 ( 0 ) + P10 (1) + P10 ( 2 ) + P10 ( 3) . Найдём отдельно каждую из вероятностей. 0 P10 ( 0 ) = C10 ⋅ ( 0,4 ) ⋅ ( 0,6 ) ≈ 1 ⋅ 1 ⋅ 0,006 = 0,006 ; 0

10

1 P10 (1) = C10 ⋅ ( 0,4 ) ⋅ ( 0,6 ) ≈ 10 ⋅ 0,4 ⋅ 0,010 = 0,040 ; 10 ⋅ 9 2 8 2 P10 ( 2 ) = C10 ⋅ ( 0 , 4 ) ⋅ ( 0 ,6 ) ≈ ⋅ 0,16 ⋅ 0,017 ≈ 0,121 . 1⋅ 2 Теперь сложим все найденные вероятности. P10 ( m ≤ 3) ≈ 0,006 + 0,040 + 0,121 + 0 ,215 = 0,382 ≈ 0,38 . в) Наивероятнейшее число всходов mн удовлетворяет неравенствам np − p ≤ mн ≤ np + q . Находим: np − p = 10 ⋅ 0,4 − 0,4 = 3,6 ; np + q = 10 ⋅ 0,4 + 0,6 = 4 ,6 . Поскольку mн − целое число, то mн = 4 . 1

9

VI. Вероятность аллергической реакции у больного на данное лекарство равна p. Лекарство было рекомендовано n больным. Определить вероятность того, что у m больных обнаружится аллергическая реакция. p = 0,03; n = 200; m = 3 . Решение. Здесь мы снова имеем дело с последовательностью независимых испытаний, но, поскольку число испытаний n велико, вычисление вероятности по формуле Бернулли затруднительно, поэтому следует выбрать одну из приближённых формул. Для этого вычислим произведение n на p. Имеем: n⋅p = 6. Поскольку произведение n⋅p невелико, то выбираем приближённую формулу a m −a e , где а = n⋅p. В нашем случае а = 6, поэтому Пуассона: Pn ( m ) = m! 63 −6 P200 ( 3) ≈ e ≈ 0,089 . 3! (Значение вероятности найдено по таблицам распределения Пуассона. Если нет возможности воспользоваться таблицами, можно посчитать вероятность на калькуляторе, приняв е ≈ 2,718.)

VII. Вероятность приживления прививаемой почки равна p. Найти вероятность того, что при проведении n прививок получится m саженцев. 36

n = 60, m = 45, p = 0,6.

Решение. Здесь снова – повторные независимые испытания, но на сей раз произведение n⋅p = 36 велико, поэтому следует использовать локальную теорему Муавра-Лапласа, согласно которой 1 m − np ϕ ( x ) , где x = , q = 1− p . Pn ( m ) ≈ npq npq Последовательно находим: q = 1 − p = 1 − 0,6 = 0,4 ; npq = 60 ⋅ 0,6 ⋅ 0,4 = 14 ,4 ; 45 − 36 npq ≈ 3,79 ; x ≈ ≈ 2 ,37 ; ϕ ( 2 ,37 ) = 0,0241 (находим по таблицам). 3,79 0,0241 ≈ 0,006 . Таким образом, P60 ( 45) ≈ 3,79

VIII. Принимая вероятность вызревания кукурузного стебля с тремя початками равной p, найти вероятность того, что из n стеблей, растущих на опытном участке, число вызревших будет находиться в пределах от m1 до m2. n = 1200, m1 = 900, m2 = 1000, p = 0,8. Решение. И здесь мы наблюдаем повторные независимые испытания, и поскольку n велико и прозведение n⋅p тоже большое, для подсчёта требуемой вероятности можно использовать интегральную теорему Муавра-Лапласа. По интегральной теореме Муавра-Лапласа Pn ( m1 ≤ m ≤ m2 ) = Φ ( x2 ) − Φ ( x1 ) , m − np m − np где x1 = 1 , x2 = 2 , а Φ ( x ) − функция Лапласа. npq npq Произведём вычисления: np = 1200 ⋅ 0,8 = 960 , npq = 1200 ⋅ 0,8 ⋅ 0,2 = 13,856 , 900 − 960 1000 − 960 x1 = = −4 ,33 , x2 = = 2 ,89 . 13,856 13,856 Используя таблицы функции Лапласа, находим: Pn ( m1 ≤ m ≤ m2 ) = Φ ( 2 ,89 ) − Φ ( −4 ,33) = Φ ( 2 ,89 ) + Φ ( 4 ,33) = = 0,4981 + 0,5 = 0,9981 .

37