Почти-нормированные пространства функций. Лагранжева асимптотика. Приложения к обыкновенным дифференциальным уравнениям

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 1 (2003). С. 121–129 УДК 517.51+517.926

ПОЧТИ-НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ. ЛАГРАНЖЕВА АСИМПТОТИКА. ПРИЛОЖЕНИЯ К ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ c 2003 г.

Л. Д. КУДРЯВЦЕВ

АННОТАЦИЯ. В работе вводится понятие почти-нормированного пространства. Доказывается, что пространство достаточно гладких функций, асимптотически приближающихся к полиномам (степени не выше данной) при стремлении аргумента к бесконечности, является почти-нормированным пространством. Показано, что такое пространство является полным метрическим пространством относительно метрики, порожденной соответствующей почти-нормой. Определяется пространство функций, сильно асимптотически приближающихся к полиномам, и доказывается, что оно вложено в пространство функций, асимптотически приближающихся к полиномам. Полученные результаты дают новый подход к изучению краевых задач с асимптотическими начальными данными в сингулярной точке обыкновенного дифференциального уравнения.

СОДЕРЖАНИЕ

1. 2. 3. 4.

Полиномиальная асимптотика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Почти-нормированные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Сильная полиномиальная асимптотика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Некоторые замечания о приложениях полиномиальной асимптотики к обыкновенным дифференциальным уравнениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Общий случай L-асимптотики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.

ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ

121 122 123 125 126 129

АСИМПТОТИКА

Рассмотрим функции, определенные на полупрямой [t0 , +∞) и асимптотически приближающиеся к полиномам при стремлении аргумента к бесконечности. Определение 1. Функция x(t) : [t0 , +∞) → R, t0 ∈ R, имеющая производные до порядка m включительно, называется асимптотически приближающейся к полиному pm, x = pm, x (t) =

m X

ak, x tk

k=0

при t → +∞, если lim

t→+∞


x(j) (t) − p(j) m, x (t) = 0,

j = 0, 1, . . . , m.

(1)

В этом случае будем писать x(t) ∼ pm, x (t),

t → +∞.

Данная работа была выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследование (проект № 02– 01–00312) и программы «Ведущие научные школы Российской федерации» (проект № 00–15–96047). c

2003 МАИ

121

122

Л. Д. КУДРЯВЦЕВ

m Пространство P Am m = P Am [t0 , +∞) всех функций, m раз непрерывно дифференцируемых на полупрямой [t0 , +∞) и асимптотически приближающихся к полиномам степени не выше m при t → +∞, является полным нормированным пространством с нормой

kxkP Am = kx − pm, x kC m + |ax |. m Cm

(2)

C m [t

Здесь = 0 , +∞) — пространство функций, имеющих m производных, непрерывных и ограниченных на полупрямой [t0 , +∞), с равномерной нормой; ax = (a0, x , a1, x , . . . , am, x ) (см. [1]). Пространство P Am m не всегда удобно при изучении вопросов, связанных с асимптотическим приближением функций к полиномам, поскольку формула (2) включает в себя не только саму функцию x(t), но и полином, к которому функция асимптотически приближается. Особенно интересным оказывается множество функций из пространства P Am m , имеющих локально интегрируемые обобщенные (в смысле [3]) производные порядка m + 1. Это связано с критерием полиномиального асимптотического поведения функций (см. [5]). Чтобы сформулировать этот критерий, введем следующее обозначение: +∞ +∞ +∞ Z Z Z x(tk ) dtk . Jk (x)(t) = dt1 dt2 . . . t

t1

(3)

tk−1

Теорема 1 (критерий полиномиальной асимптотики). Функция x(t), имеющая локально интегрируемы обобщенные производные порядка m + 1 на полупрямой [t0 , +∞), асимптотически приближается к полиному степени не выше m при t → +∞ тогда и только тогда, когда сходится интеграл
Jm+1 x(m+1) (t0 ). Если к тому же x(t) ∼ pm, x (t), то для коэффициентов полинома pm, x имеют место формулы ! m−k X (k + i)!
1 ak, x = x(k) (t) − ak+i, x ti + (−1)m−k Jm−k+1 x(m+1) (t) , k! i! (4) i=1

k = 0, 1, . . . , m (следовательно, правые части этих неравенств не зависят от значений аргумента t > t0 ). Кроме того, для разностей между производными порядков k = 0, 1, . . . , m функции x(t) и полиномами pm, x (t) справедливы формулы
x(k) (t) − p(k) (t) = (−1)m−k+1 Jm−k+1 x(m+1) (t). (5) Данный критерий и формула (5) означают, что как существование полинома, к которому данная функция асимптотически приближается, так и характер асимптотики полностью определяются свойствами (m + 1)-й производной функции. Производные меньших порядков, так же как и производные порядка выше m + 1, не оказывают влияния на полиномиальную асимптотику. Таким образом, естественно изучать линейное подпространство P Am+1 = P Am+1 m m [t0 , +∞) проm странства P Am , состоящее из функций с локально суммируемыми производными порядка m + 1. Это пространство незамкнуто относительно нормы (2) в пространстве P Am m . Нам не удалось ввести норму в пространстве P Am+1 таким образом, чтобы это пространство стало полным нормированm ным пространством. Однако оказалось возможным определить почти-норму в пространстве P Am+1 m так, что это пространство превратилось в полное метрическое пространство относительно данной почти-нормы. 2.

ПОЧТИ-НОРМИРОВАННЫЕ

ПРОСТРАНСТВА

Введем понятие почти-нормы. Определение 2. Функционал k · k на линейном пространстве X называется почти-нормой, если он удовлетворяет следующим условиям: 10 . kxk > 0, kxk = 0 ⇐⇒ x = 0, x ∈ X; 20 . k − xk = kxk ∀x ∈ X; 30 . kx + yk 6 kxk + kyk ∀x ∈ X, ∀y ∈ X.

ПОЧТИ-НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ

123

Таким образом, вместо свойства нормы kλxk = |λ| kxk, λ ∈ R, предполагаем, что оно выполняется только для λ = −1. Линейное пространство с почти-нормой является метрическим пространством: метрика в нем задается по формуле ρ(x, y) = kx − yk. Эта метрика называется метрикой, порожденной заданной почти-нормой. Для локально суммируемой на полупрямой [t0 , +∞) функции x(t) будем писать (n) kxk1

tZ 0 +n

|x(t)| dt.

= kxkL1 [t0 , t0 +n) = t0

Лемма 1. Функционал + kxkP Am+1 = kxkP Am m m

∞ (n) X 1 kx(m+1) k1 2n 1 + kx(m+1) k(n)

n=1

есть почти-норма на пространстве

(6)

1

P Am+1 m .

Теорема 2. Пространство P Am+1 есть полное метрическое пространство относительно m метрики, порожденной почти-нормой (6). Отметим, что функции x(t), составляющие пространство P Am+1 m , определяются
только одним (m+1) условием: для них сходится (вообще говоря, не абсолютно) интеграл Jm+1 x (t0 ). Для интегралов, сходящихся, но не абсолютно, нет нетривиальных теорем типа: «предел последовательности интегралов равен интегралу от предела последовательности подынтегральных функций». Именно поэтому полнота пространства P Am+1 представляет достаточный интерес. m ∗ Две почти-нормы k · k и k · k на линейном пространстве X называются эквивалентными, если существуют две константы C1 > 0 и C2 > 0, такие, что для всех x ∈ X выполняются неравенства C1 kxk 6 kxk∗ 6 C2 kxk. Используя формулы (4) и (5), мы можем найти почти-норму, эквивалентную почти-норме (6), которая определяется только в терминах самой функции x(t) и ее производных. Теорема 3. В пространстве P Am+1 почти-норма (6) эквивалентна почти-норме m ∗

kxk =

m X

(k)

|x

k=0

(t0 )| +

m+1 X

(m+1)

kJk (x

∞ (n) X 1 kx(m+1) k1 )kC + , 2n 1 + kx(m+1) k(n) n=1

k=1

(7)

1

x ∈ P Am+1 m , где C = C[t0 , +∞) — пространство всех непрерывных и ограниченных на полупрямой [t0 , +∞) функций с равномерной нормой. В случае m = 0, когда функции имеют конечные пределы при t → +∞, теорема 3 может быть несколько усилена. Теорема 4. В пространстве P A10 почти-норма kxk∗∗ = kxkC +

∞ (n) X 1 kx0 k1 2n 1 + kx0 k(n)

n=1

1

эквивалентна почти-норме (6) (с m = 0). 3.

СИЛЬНАЯ

ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ АСИМПТОТИКА

Определение полиномиального асимптотического приближения имеет один существенный недостаток. Его нельзя непосредственно обобщить на некоторые другие функции, не являющиеся алгебраическими полиномами, например, на функции x = Cet , x = Ce−t (где C 6= 0 — произвольная константа). Поэтому мы дадим другое определение полиномиальной асимптотики, которое не обладает указанным недостатком.

124

Л. Д. КУДРЯВЦЕВ

Любую функцию x(t), дифференцируемую m раз на некотором интервале (конечном или бесконечном), можно единственным образом представить в виде m X x(t) = ak, x (t)tk , k=0

где коэффициенты ak, x (t) ведут себя как константы при дифференцировании функции x(t) m раз, т. е. m X (j) x (t) = k(k − 1) . . . (k − j + 1)ak, x (t)tk−j , j = 0, 1, . . . , m. (8) k=j

Такое представление функции называется ее полиномиальным L-представлением (или, более подробно, полиномиальным лагранжевым представлением). Определение 3. Функция x(t), дифференцируемая m раз на полуоси [t0 , +∞), называется m P L-асимптотически приближающейся к полиному px (t) = ak, x tk при t → +∞, если выполняются k=0

равенства lim ak, x (t) = ak, x ,

t→+∞

k = 0, 1, . . . , m.

(9)

m Пусть LP Am m = LP Am [t0 , +∞) — линейное пространство функций, m раз непрерывно дифференцируемых на полуоси и L-асимптотически приближающихся к полиномам степени не выше m при t → +∞. Пусть ax = ax (t) — вектор-функция, такая, что ее координаты являются коэффициентами полиномиального L-представления функции x(t), т. е.
ax = a0, x (t), a1, x (t), . . . , am, x (t) ,

и пусть Cm+1 = Cm+1 [t0 , +∞) — пространство (m + 1)-мерных вектор-функций, непрерывных и ограниченных на полуоси [t0 , +∞), с равномерной нормой. Функционал kxkLP Am = kax kCm+1 , x ∈ LP Am (10) m, m m является нормой на пространстве LP Am , и это пространство полно (см. [1]). Теорема 5 (критерий полиномиальной лагранжевой асимптотики). Функция x(t), имеющая локально интегрируемую на полупрямой [t0 , +∞) производную порядка m + 1, L-асимптотически приближается к полиному степени не выше m при t → +∞ тогда и только тогда, когда сходится интеграл +∞ Z tm x(m+1) (t) dt. (11) t0

Данная теорема доказана в [1]. m Пусть LP Am+1 = LP Am+1 m m [t0 , +∞) — линейное подпространство пространства LP Am , состоящее из функций, имеющих локально интегрируемые обобщенные производные порядка
m + 1. Можно доказать (см. [5]), что если интеграл (11) сходится, то интеграл Jm+1 x(m+1) (t0 ) также сходится. Обратное, вообще говоря, неверно. Отсюда следует строгое включение LP Am+1 ⊂ P Am+1 m m .

(12)

С первого взгляда определение лагранжевой асиптотики выглядит несколько искусственно. Однако строгое включение (12) показывает, что лагранжева полиномиальная асимптотика дает больше информации о функциях, нежели обычная полиномиальная асимптотика. Это до некоторой степени оправдывает введение понятия лагранжевой асимптотики. Кроме того, понятие полиномиальной лагранжевой асимптотики можно обобщить на случай асимптотического приближения к другим функциям (не полиномам). Вследствие строгого включения (12) естественно говорить, что полиномиальная лагранжева асимптотика является сильной полиномиальной асимптотикой. Очевидно, пространство LP Am+1 незамкнуто относительно нормы (10) и, следовательно, неполm но. Однако можно найти такую почти-норму в этом пространстве, что оно станет полным.

ПОЧТИ-НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ

125

∞ (n) X 1 kx(m+1) k1 + 2n 1 + kx(m+1) k(n)

(13)

Лемма 2. Функционал kxkLP Am+1 = kxkLP Am m m

n=1

1

является почти-нормой на пространстве LP Am+1 m . Теорема 6. Пространство LP Am+1 есть полное метрическое пространство относительно m метрики, порожденной почти-нормой (13). Строгое включение (12) можно усилить. Дадим следующее определение. Будем говорить, что почти-нормированное пространство X вложено в почти-нормированное пространство Y , если X есть подмножество в Y : X ⊂ Y , и существует константа C > 0, такая, что для каждой точки x ∈ X выполняется неравенство kxkY 6 CkxkX . В этом случае будем писать X b Y. Теорема 7. Имеет место вложение LP Am+1 b P Am+1 m m . Эта теорема является еще одним оправданием для введения понятия лагранжевой асимптотики. Все сформулированные определения и результаты об асимптотическом приближении скалярных функций к полиномам обобщаются на вектор-функции x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)). Это позволяет применять векторные аналоги сформулированных выше результатов при изучении асимптотического приближения к полиномам при t → +∞ решений нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. 4.

НЕКОТОРЫЕ

ЗАМЕЧАНИЯ О ПРИЛОЖЕНИЯХ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ АСИМПТОТИКИ

К ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

Пусть x0 = f (t, x), f = (f1 , . . . , fn ), x = (x1 , . . . , xn ) (14) есть нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь f — непрерывная функция. Решение системы (14) при асимптотическом начальном условии lim (x(t) − p(t)) = 0,

t→+∞

(15)

где p(t) — данный вектор-полином, эквивалентно решению интегрального уравнения +∞ Z

x(t) = p(t) −


f (u, x(u)) − p0 (u) du.

(16)

t

Выполнение условия (15) эквивалентно сходимости интеграла в правой части (16). Пусть A есть интегральный оператор вида +∞ Z

(Ax)(t) = p(t) −


f (u, x(u)) − p0 (u) du,

t

отображающий полное метрическое пространство P Am+1 в себя и являющийся сжимающим. Тогда m уравнение Ax = x имеет единственное решение в пространстве P Am+1 и это решение асимптоm тически приближается к вектор-полиному p(t) при t → +∞, поскольку вектор-полином p(t) определяется условием (15) единственным образом. Следовательно, если функция x(t) принадлежит пространству P Am+1 m , то из условия (15) вытекают все условия (1). Задачи с начальными асимптотическими данными при t → +∞ изучаются прежде всего для так называемых асимптотически линейных дифференциальных уравнений (14).

126

Л. Д. КУДРЯВЦЕВ

Уравнение (14) называется асимптотически линейным, если существует ограниченная на любом отрезке [t0 , η], t0 < η < +∞, и интегрируемая на полуоси [t0 , +∞) функция ϕ(t), такая, что для функции f (t, x) и для всех x, y ∈ Rn выполняется неравенство |f (t, y) − f (t, x)| 6 ϕ(t)|y − x|. Это условие гарантирует, в частности, возможность продолжения любого решения уравнения Lx = f на весь интервал [a, b) (конечный или бесконечный). Изучение в пространствах P Am+1 уравнений, имеющих решения, асимптотически приближаюm щиеся к полиномам, полностью соответствует одному из основных принципов теории дифференциальных уравнений: каждое дифференциальное уравнение само определяет пространство своих решений. Например, нет смысла искать решение уравнения x0 = x в каком-либо пространстве Соболева функций, определенных на всей вещественной оси (кроме решения x = 0). Разумеется, задача нахождения пространства, соответствующего данному дифференциальному уравнению, обычно оказывается весьма сложной. Почти-нормированные пространства функций, сильно асимптотически приближающиеся к полиномам, имеют приложения в теории дифференциальных уравнений, аналогичные уже упоминавшимся приложениям пространств функций, просто асимптотически приближающихся к полиномам. Вопросы существования, единственности и устойчивости (относительно некоторых норм) решений при начальных полиномиальных асимптотических условиях рассматривались в [1, 4]. 5.

ОБЩИЙ

СЛУЧАЙ

L-АСИМПТОТИКИ

Рассмотрим теперь задачу, когда нелинейное возмущение f (t, x) (являющееся, однако, асимптотически линейным в том или ином смысле) однородного уравнения Lx = 0 не влияет на L-асимптотику решений в окрестности сингулярной точки уравнения. Конечная точка t = b называется сингулярной точкой уравнения Lx = f, если существует решение, определенное на интервале [a, b) и не продолжаемое на отрезок [a, b]. Точка b = +∞ также называется сингулярной. Пусть a ∈ R, b ∈ R, −∞ < a 6 t < b 6 +∞, а e1 , . . . , en

(17)

является базисом в пространстве Rn , xi — координаты вектора x в этом базисе, т. е. x = xi ei . Здесь и далее мы используем тензорное обозначение для суммирования по совпадающему индексу от 1 до n. Рассмотрим функции x = x(t) : [a, b) → Rn , f = f (t, x) : [a, b) × Rn → Rn и линейный дифференциальный оператор d + A(t), L= dt где A(t) при любом t ∈ [a, b) есть линейный однородный оператор A(t) : Rn → Rn , непрерывно зависящий от t. Пусть v1 , . . . , vn (18) является некоторым базисом в ядре ker L оператора L, т. е. фундаментальной системой решений однородного уравнения Lx = 0. (19) Если vij — коэффициенты вектора vi в базисе (17), т. е. vi = vij ej ,

(20)

V = (vij )

(21)

то положим

ПОЧТИ-НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ

127

(i — номер строки, j — номер столбца), т. е. V является матрицей фундаментальной системы решений (18). Однородный линейный оператор, определяемый матрицей (21), также будем обозначать через V . Произвольная функция x(t) может быть единственным образом записана в виде x(t) = xjv (t)vj (t),

(22)

называемом (L, v)-представлением функции x(t) или, что то же самое, лагранжевым представлением функции x(t) относительно фундаментальной системы решений (18). Определение 4. Функция x(t) называется L-асимптотически (лагранжево асимптотически) приближающейся к решению v(t) = cj vj (t) (23) однородного уравнения (19) при t → b, если lim xjv (t) = cj , t→b

j = 1, 2, . . . , n.

(24)

Непрерывно дифференцируемая функция x(t) L-асимптотически приближается к некоторой функции v ∈ ker L при t → b тогда и только тогда, когда сходится интеграл Zb

V −1 (t)(Lx)(t) dt.

a −1

Здесь V есть оператор, обратный к оператору V (см. [2]). Таким образом, получаем следующий результат. Теорема 8. Пусть функция f (t, x) и оператор A(t) непрерывны. Тогда решение x(t) уравнения (Lx)(t) = f (t, x(t)), a 6 t < b, (25) L-асимптотически приближается к некоторому решению v однородного уравнения Lx = 0 при t → b тогда и только тогда, когда сходится интеграл Zb

V −1 (t)f (t, x(t)) dt.

(26)

a

Теперь рассмотрим задачу в случае, когда каждое решение неоднородного уравнения (25) L-асимптотически приближается к некоторому решению однородного уравнения Lx = 0 при t → b, т. е. когда пространство решений однородного уравнения (19) является аттрактором для решений уравнения (25) при t → b. Точка t = b, для которой функция f (t, x) и оператор A(t) не определены, является сингулярной точкой уравнения (25). Из теоремы 8 непосредственно следует, что если функция f (t, x) и оператор A(t) непрерывны, а интеграл (26) сходится на некотором множестве X функций x = x(t), a 6 t < b, то каждое решение уравнения (25), принадлежащее множеству X, L-асимптотически приближается к некоторому решению однородного уравнения (19) при t → b. При условии непрерывности функции f (t, x) и оператора A(t) все решения уравнения (25) непрерывно дифференцируемы. Таким образом, мы получаем следующий результат. Теорема 9. Если функция f (t, x) и оператор A(t) непрерывны, a 6 t < b, x ∈ Rn , а интеграл (26) сходится для любой непрерывно дифференцируемой функции x(t), то все решения уравнения Lx = f (t, x), определенные на интервале [a, b), L-асимптотически приближаются к некоторому решению однородного уравнения Lx = 0 при t → b.

128

Л. Д. КУДРЯВЦЕВ

Используя данный выше общий критерий L-асимптотического приближения и выбирая некоторое множество X (также указанное выше), мы можем получить определенные условия L-асимптотического приближения решений уравнения Lx = f (t, x) к решениям уравнения Lx = 0. Пусть, например, CB[a, b) есть множество всех непрерывных и ограниченных на интервале [a, b) функций с равномерной нормой, и пусть X = CB ∗ [a, b) есть его подпространство, состоящее из всех функций x(t) ∈ CB[a, b), имеющих конечные пределы при t → b. Тогда имеет место следующее утверждение. Теорема 10. Предположим, что функция f (t, x) и оператор A(t) непрерывны, t ∈ [a, b), x ∈ Rn . Пусть функция ϕ(t) измерима и ограничена на каждом отрезке [a, η], a < η < b; |V −1 f (t, V y) − V −1 f (t, V x)| 6 ϕ(t)|y − x|, t ∈ [a, b),

x, y ∈ Rn ;

(27)

Zb ϕ(t) dt < +∞ a

и интеграл Zb

V −1 f (t, V x(t)) dt

a

сходится для каждой функции x(t) ∈ CB ∗ [a, b). Тогда любое решение уравнения (25) асимптотически приближается к решению однородного уравнения Lx = 0. В данном случае условие (27) — это своего рода L-асимптотически линейное ограничение на функцию f . Основным препятствием на пути применения теории почти-нормированных пространств функций с данной асимптотикой является отсутствие достаточно общих условий на правую часть дифференциального уравнения x0 = f (t, x), гарантирующих возможность продолжить решение уравнения вплоть до сингулярной точки. Вообще говоря, неизвестно, в каком случае можно продолжить решение (которое существует в некоторой окрестности точки) вплоть до сингулярной точки; в частности, продолжить решение на бесконечный интервал. Другими словами, в общем случае неизвестно, будет ли некоторый процесс, описываемый дифференциальным уравнением, проистекать неограниченно долго или в некоторый момент наступит катастрофа и процесс прервется. Только достаточно полная теория катастроф для дифференциальных уравнений сможет объяснить данную ситуацию. Однако в настоящее время такая теория развита недостаточно. Например, каждое решение уравнения x0 = x2 может быть продолжено до бесконечности в некотором направлении, тогда как ни одно решение уравнения x0 = x2 + 1 не может быть продолжено до бесконечности ни в одном из направлений. Мне неизвестны теоремы, из которых следовал бы этот факт. Задача о продолжении решений обыкновенного дифференциального уравнения была сформулирована Пенлеве еще в XIX столетии. Я думаю, она остается одной из актуальных и важных проблем в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, которая до сих пор не решена. Один очень крупный и известный математик сказал мне, что, по его мнению, эта задача вряд ли будет решена в XXI веке. Однако я более оптимистичен в этом смысле и надеюсь, что задача будет все-таки решена. Если бы я узнал о данной проблеме лет 40 назад, мне кажется, что я бы трудился только над ней. Это очень интересно и важно! Одной из целей данной работы было привлечь внимание к описанной задаче, являющейся одной из фундаментальных и формулируемой крайне просто: продолжить решение вплоть до ближайшей сингулярной точки на вещественной оси.

ПОЧТИ-НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ

129

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Кудрявцев Л. Д. Полиномиальная стабилизация и ее приложения в теории обыкновенных дифференциальных уравнений// Дифф. ур-я. — 1993. — 29, № 9. — С. 1496–1503 2. Кудрявцев Л. Д. Асимптотика решений дифференциальных уравнений вблизи сингулярных точек// Тр. мат. инст. Стеклова. — 2001. — 232. — С. 194–217 3. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Наука, 1977 4. Хохлов А. Ю. Об устойчивости решений стабилизирующих задач// Дифф. ур-я. — 1995. — 31, № 10. — С. 1687–1690 5. Kudryavtsev L. D. Criterion of polynomial increase of function and its derivative// Anal. Math. — 1992. — 18, № 3. — С. 223–236

Лев Дмитриевич Кудрявцев Математический институт им. В. А. Стеклова РАН E-mail: [email protected]