Функции с ограниченным изменением и интеграл Стилтьеса: Методическое пособие

Ф а куль т ет пр и кла д ной м а т ем а ти ки и м е ха ни ки К аф е д р а д и ф ф ер е нци а ль ны х ур а в нени й

Ф ункци и с огр а ни че нны м и з м е нени ем и и нт егр а лСт и лть е са .

М е тод и ческое пособи е д ля ст уд ент ов 2 кур са д нев ного отд еле ни я ф а куль те та ПМ М .

Соста в и те ли : А . А . Ла р и н, И . П. Полов и нки н

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

ВВЕДЕНИ Е. В д а нном м ет од и че ском пособи и и з ла га ю тся основ ны е св ойств а ф ункци й с огр а ни че нны м и з м е не ни е м и и нте гр а ла Ст и лт ь е са. М ет од и ческое пособи е сост ои т и зд в ух па р а гр а ф ов , р а з би т ы х на пункт ы . В пер в ом па р а гр а ф е пр и в од и т ся опр е д е ле ни е ф ункци и с огр а ни че нны м и з м е не ни е м и р а ссм а тр и в а ю т ся св ойств а та ки х ф ункци й. Уста на в ли в ае т ся кр и т ер и й д ля ф ункци й с огр а ни че нны м и з м е не ни ем , пр и в од и т ся пр и м ер не пр ер ы в ной ф ункци и , и м ею ще й не огр а ни че нное и з м е нени е . Вт ор ой па р а гр а ф полность ю посв яще н и зуче ни ю св ойств и нт е гр а ла Ст и лт ь е са .

1. Ф ункци и с огр а ни че нны м и з м е нени ем и некот ор ы е и х св ойств а . 1.1. Опр е д еле ни е ф ункци и с огр а ни че нны м и з м е не ни ем . Пуст ь ф ункци я f(x) опр ед еле на в некот ор ом коне чном пр ом ежут ке [a; b], a < b. Ра з обь ем отр езок [a; b] пр ои з в оль ны м обр а зом на ча ст и т очка м и д еле ни я a = x 0 < x1 < x 2 ... < x i < x i +1 < ... < x n = b

и соста в и м сум м у в и д а n −1

V = ∑ f ( xi +1 ) − f ( xi ) .

(1.1.1)

i =0

Если м ноже ств о в сех сум м V в и д а (1.1.1) огр а ни че но св ер ху, т о гов ор ят, что ф ункци я f ( x) в пр ом е жут ке [a; b] и м е ет огр а ни че нное и з м ене ни е (и ли огр а ни че нную в ар и а ци ю ). Пр и э т ом т очную в ер хню ю гр а нь м ноже ст в а э т и х сум м на з ы в аю т полны м и з м е не ни ем (и ли полной в а р и а ци е й) ф ункци и в ука з а нном пр ом ежут ке и обознача ю т си м в олом

b

V f ( x) . Т а ки м

обр а зом ,

a

b

V f ( x) = sup{V } . a

Э т о понят и е пр и м е няю т и в случа е ф ункци и не огр а ни че нного и з м е не ни я. Т огд а по опр е д еле ни ю пола га ю т, чт о полное и з м е не ни е р а в но +∞ . Очев и д но, что в обои х случа ях м ожно та к в ы бр а ть после д ов а т ель ност ь р а з би е ни й τ n отр езка [a; b] , что чи слов а я после д ов а т ель ность {Vn } соотв е тст в ую щи х э т и м р а з би е ни ям сум м в и д а (1.1.1) буд е т и м е ть пр ед елом

b

V f ( x) . a

И ногд а ст а в и т ся в опр ос об огр а ни че нност и и з м е не ни я ф ункци и f(x) в бесконечном пр ом ежут ке. Ра ссм отр и м , на пр и м е р , пр ом е жут ок в и д а [a; ∞) (в д а ль не йш ем и з ложе ни и м ы буд ем огр а ни чи в а ть ся р а ссм отр е ни ем и м е нно та кого бе сконечного пр ом ежутка ). Г ов ор ят, чт о ф ункци я f(x) и м е е т огр а ни че нное и з м е не ни е в пр ом е жут ке [a; ∞ ) , если она яв ляет ся ф ункци е й с огр а ни че нны м и з м е не ни ем на лю бом от р ез-

2

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

A

ке в и д а [a; A], a < A, и полны е и з м е нени я V f ( x) огр а ни че ны в сов окупност и . Пр и a

э т ом пола га ю т

∞

A

V f ( x) = sup{V f ( x)}. A> a

a

a

Пр и м ер ф ункци и с огр а ни че нны м и з м е не ни ем . Пуст ь на от р е з ке [a; b] з а д а на м онот онна я ф ункци я f(x). Т огд а д ля лю бого р а з би е ни я{xi}i=n отр езка [a; b] и м е ем i=0

n −1

V = ∑ f ( xi +1 ) − f ( xi ) = i =0

n−1

∑ ( f (x i=0

i +1

) − f ( xi )) = f (b) − f ( a) .

Поэ т ом у f(x) и м е е т огр а ни ченное и з м ене ни е на от р езке [a; b] и b

V f ( x) =

f (b) − f (a ) .

a

Пр и м ер ф ункци и , и м е ю ще й не огр а ни че нное и з м е нени е . Пуст ь на отр ез ке [0; 1] з а д а на ф ункци я f(x) в и д а π   x cos , 0 < x ≤ 1, f ( x) =  2x 0, x = 0.

Ф и кси р уе м пр ои з в оль ное n ∈ N и в ы бер ем в ка че ств е точек д еле ни я отр езка

[0;1] точки

0<

1 1 1 1 < < ... < < < 1. 2n 2n − 1 3 2

Посколь ку f(

1 1 1 ) = (−1)k , f( ) = 0, 1 ≤ k ≤ n, 2k 2k 2k − 1

то V = Vn = 1 +

1 1 + .. + . 2 n

1

Т а к ка к lim Vn = ∞ , то V f ( x) = +∞ . n→∞ 0

1.2.К лассы ф ункци й с огр а ни че нны м и з м е не ни ем . 1. Если ф ункци я f(x), з а д а нна я на отр ез ке [a; b], та ков а , чт о э т от отр ез ок м ожет бы ть р а з ложе н на коне чное чи сло ча сте й [ak ; ak +1 ](k = 0,1,...m − 1; a0 = a , am = b) , в ка жд ой и зкот ор ы х f(x) м онот онна , т о ф ункци я f(x) и м ее т огр а ни че нное и з м е не ни е на [a; b]. Дока з а те ль ств о. Ра з би в пр ои з в оль ны м обр а з ом пр ом ежут ок [a; b] на ча ст и , соста в и м сум м у V . Т а к ка к от пр и соед и не ни я ка жд ой нов ой т очки д еле ни я сум м а V м ожет т оль ко ув ели чи т ь ся (д окажи т е са м ост оят ель но), то, пр и сое д и ни в к т очка м д елени я в се т очки ak , о кот ор ы х упом и на лось в ы ш е , получи м сум м у V ≥ V . Если в ы д е ли ть и зсум м ы V т е сла га ем ы е, кот ор ы е от носятся к пр ом ежут ку [ak ; ak +1 ] , то сум м а э т и х сла га ем ы х буд е т р а в на f (ak +1 ) − f (ak ) (см . пр и м е р в ы ш е). 3

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

m −1

Поэ т ом уV = ∑ f (ak +1 ) − f (ak ) . Т а к ка к пр ои з в оль на я сум м а V не пр ев осход и т э т оk =0

го чи сла , т о оно и буд ет полны м и з м е не ни ем ф ункци и . 2. Пуст ь ф ункци я f(x) уд ов ле тв ор яе т на отр ез ке [a; b] услов и ю Ли пш и ца , т. е. суще ств уе т пост оянна я L >0 та ка я, чт о д ля лю бы х т оче к x, y и зотр езка [a; b] в ы полняе т ся нер ав е нств о f ( y ) − f ( x) ≤ L y − x . Т огд а ф ункци я f(x) и м е е т огр а ни ченную в а р и аци ю и спр ав е д ли в о нер а в е нство b

V f ( x ) ≤ L (b − a ) . a

Дока з а те ль ств о. Дока зат е ль ст в о э т ого ут в е р жд е ни я сле д уе т и зне р а в е нст в а n −1

n −1

i =0

i =0

V = ∑ f ( xi +1 ) − f ( xi ) ≤ L∑ ( xi +1 − xi ) = L(b − a ).

3. Пуст ь ф ункци я f(x) и м е е т огр а ни че нную пр ои з в од ную на отр е з ке [a; b], т . е . пуст ь f ' ( x) ≤ L д ля лю бого x ∈ [ a; b] , L = const. Т огд а f(x) и м е е т огр а ни че нную в а р и а ци ю на пр ом ежут ке [a; b]. Дока з а те ль ств о.Доста т очно пока з а т ь , чт о ф ункци я f(x) уд ов ле тв ор яет услов и ю Ли пш и ца . Пуст ь x и y – пр ои з в оль ны е т очки от р е з ка [a; b]. По те ор ем е Ла гр а нжа и м е ем : f ( y ) − f ( x ) = f '( x + θ ( y − x ))( y − x ),θ ∈ (0;1) Поэ т ом у f ( y ) − f ( x) ≤ L y − x , т. е. f(x) уд ов ле тв ор яе т услов и ю Ли пш и ца . 4. Пуст ь ф ункци я f(x) в коне чном пр ом ежут ке [a; b] (в бе сконе чном пр ом е жут ке [a; ∞ )) пр е д ста в и м а в в и д е и нт е гр ала с пер ем е нны м в ер хни м пр ед елом x

f ( x ) = C + ∫ ϕ (t ) dt , a

гд е ϕ(t) а бсолю т но и нте гр и р уе м а в р а ссм а т р и в а ем ом пр ом ежут ке. Т огд а f ( x) и м е ет в э т ом пр ом ежут ке огр а ни че нное и з м е не ни е, пр и э т ом b

b

V f ( x) ≤ ∫ ϕ (t ) dt a

a

∞

   V f ( x) ≤ ∫ ϕ (t ) dt . a a   ∞

Дока з а те ль ств о. Ра ссм от р и м сна ча ла конечны й пр ом ежуток [a; b] . Для лю бого е го р а з би е ни я и м е ем : n−1

n−1 xi +1

n−1 xi +1

b

i=0

i =0 xi

i =0 xi

a

V = ∑ f (xi+1 ) − f (xi ) = ∑ ∫ ϕ(t)dt ≤ ∑ ∫ ϕ(t) dt = ∫ ϕ(t) dt. Отсю д а сле д уе т, чт о ф ункци я f ( x) и м е ет огр а ни че нное и з м е не ни е и чт о b

b

a

a

V f ( x) ≤ ∫ ϕ (t ) dt . 4

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Ра ссм отр и м те пер ь случа й бе сконе чного пр ом ежут ка [a; ∞) . По уже д ока з а нном у д ля лю бого чи сла А > а ф ункци я f ( x) и м е е т огр а ни че нное и з м ене ни е на отр ез ке [a; A] и в ы полняе тся нер ав е нств о A

A

∞

a

a

a

V f ( x) ≤ ∫ ϕ (t ) dt ≤ ∫ ϕ (t ) dt . Отсю д а сле д уе т, чт о f ( x) и м е ет огр а ни че нную в а р и а ци ю на [a; ∞) и в ы полняе тся нер а в е нств о ∞

∞

a

a

V f ( x) ≤ ∫ ϕ (t ) dt . 1.3. Св ойств а ф ункци й с огр а ни че нны м и з м е не ни ем . Б уд ем счи та т ь , чт о ф ункци и , р а ссм а тр и в а ем ы е ни же, опр ед елены на конечном пр ом е жут ке [a; b] . 1. Всяка я ф ункци я с огр а ни че нны м и з м е не ни ем огр а ни че на . Дока з а те ль ств о. Ф и кси р уе м пр ои з в оль ное чи сло x ∈ ( a; b] . Т огд а b

V = f (x) − f (a) + f (b) − f (x) ≤V f (x), a

откуд а сле д уе т, чт о b

f (x) = f (x) − f (a) + f (a) ≤ f (x) − f (a) + f (a) ≤ f (a) +V f (x). a

В си лу пр ои з в оль ност и x от сю д а сле д уе т, чт о f ( x) огр а ни че на . 2. Сум м а , р аз ность и пр ои з в е д е ни е д в ух ф ункци й f ( x) и g ( x) с огр а ни че нны м из м ене ни ем та кже яв ляю т ся ф ункци ям и с огр а ни че нны м и з м е не ни е м . i =n Дока з а те ль ств о. Пуст ь h( x) = f ( x) ± g ( x) и пуст ь { xi }i =0 - пр ои з в оль ное р а з би е ни е от р е з ка [a; b] . Для лю бого и нд екса i и м е е м : h( xi +1 ) − h( xi ) = ( f ( xi +1 ) ± g ( xi +1 )) − ( f ( xi ) ± g ( xi )) = ( f ( xi +1 ) − f ( xi )) ± ( g ( xi +1 ) − g ( xi )) ≤ ≤ f ( xi +1 ) − f ( xi ) + g ( xi +1 ) − g ( xi ) .

Поэ т ом у n −1

∑ h( x i =0

i +1

n −1

n −1

b

b

i =0

i =0

a

a

) − h( xi ) ≤ ∑ f ( xi +1 ) − f ( xi ) + ∑ g ( xi +1 ) − g ( xi ) ≤ V f ( x) + V g ( x).

ке [a; b] и Отсю д а сле д уе т, чт о h( x) и м е ет огр а ни че нную в а р и а ци ю на от р е з b

b

b

a

a

a

V h( x ) ≤ V f ( x ) + V g ( x )

5

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Пуст ь те пер ь h( x) = f ( x ) g ( x ) и пуст ь { xi }i= 0 - пр ои з в оль ное р а з би е ни е пр ом ежут ка [a; b] . Пуст ь , д а ле е, чи сла K и L та ков ы , что д ля лю бого x ∈ [a; b] в ы полняю т ся не р а в е нст в а f ( x) ≤ K , g ( x) ≤ L (см . св ойств о 1). Для лю бого и нд е кса i и м е ем : i=n

h( xi +1 ) − h( xi ) = f ( xi +1 ) g ( xi +1 ) − f ( xi ) g ( xi ) = = f ( xi +1 ) g ( xi +1 ) − f ( xi +1 ) g ( xi ) + f ( xi +1 ) g ( xi ) − f ( xi ) g ( xi ) = = f ( xi +1 ) ( g ( xi +1 ) − g ( xi ) ) + g ( xi )( f ( xi +1 ) − f ( xi )) ≤ ≤ K g ( xi +1 ) − g ( xi ) + L f ( xi +1 ) − f ( xi ) .

Поэ т ом у n −1

∑ h( x i =0

i +1

n−1

n −1

b

b

i=0

i=0

a

a

) − h( xi ) ≤ K ∑ g ( xi +1 ) − g ( xi ) + L∑ f ( xi +1 ) − f ( xi ) ≤ K ⋅V g ( x) + L ⋅V f ( x).

Отсю д а сле д уе т, чт о h( x) и м е ет огр а ни че нную в а р и а ци ю и чт о b

b

b

a

a

a

V h( x) ≤ KV g ( x) + LV f ( x). 3. Если f ( x) и g ( x) е сть ф ункци и с огр а ни че нны м и з м е не ни ем и , кр ом е т ого, g ( x) ≥ δ > 0 д ля лю бого x ∈ [a; b] , то и ча ст ное

f ( x) ест ь ф ункци я с огр а ни g ( x)

че нны м и з м е не ни е м . Дока з а те ль ств о. Дост а точно пока з а ть , чт о ф ункци я h( x) = 1/ g ( x) ест ь ф ункци я с огр а ни че нны м и з м е не ни е м . Пуст ь { xi }ii== 0n - пр ои з в оль ное р а з би е ни е отр ез ка [a; b] . Для лю бого и нд екса i в ер но нер ав е нств о h( xi +1 ) − h( xi ) =

g ( xi +1 ) − g ( xi ) g ( xi +1 ) − g ( xi ) 1 1 , − = ≤ g ( xi +1 ) g ( xi ) g ( xi +1 ) g ( xi ) δ2

поэ т ом у n −1

∑ h( x i =0

i +1

) − h( xi ) ≤

1 δ2

n −1

∑ g(x

i +1

i=0

) − g ( xi ) ≤

1 b g ( x). δ 2 Va

Отсю д а сле д уе т, чт о ф ункци я h( x) и м ее т огр а ни че нное и з м е не ни е. 4. Пуст ь ф ункци я f ( x) опр ед еле на на отр езке [a; b] и c ∈ (a; b) . Если f ( x) и м е е т огр а ни че нное и з м ене ни е на от р езке [a; b] , то она и м е ет огр а ни че нное и з м е не ни е и в кажд ом и зпр ом ежут ков [a; c] и [c; b] , и обр а т но. Пр и э т ом b

c

b

a

a

c

V f ( x) = V f ( x) + V f ( x) . 6

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Дока з а те ль ств о. Пуст ь f ( x) и м е ет огр а ни че нное и з м е не ни е на отр езке [a; b] . Разобь ем отр ез ки [a; c] и [c; b] на част и т очка м и д е ле ни я a = y0 < y1 < ... < ym = c и c = z0 < z1 < ... < zn = b, соотв ет ств е нно. Пр и э т ом т очки д еле ни я y0 , y1 ,..., ym , z1 ,..., zn обр азую т не кот ор ое р а з би е ни е отр ез ка [a; b] . Для ка жд ого и зпр ом е жут ков [a; c] и [c; b] соста в и м сум м ы : V1 = ∑ f ( yk +1 ) − f ( yk ) , k

V2 = ∑ f ( zl +1 ) − f ( zl ) . l

Т огд а соотв ет ств ую ща я сум м а д ля от р е з ка [a; b] буд е т V = V1 + V2 . Т а ки м обр а з ом , b

V1 + V2 ≤ V f ( x)

(1.3.1)

a

Поэ т ом у b

Vi ≤ V f ( x), i = 1, 2. a

Отсю д а след ует , что f ( x) и м е ет огр а ни че нную в ар и а ци ю на ка жд ом и зот р е з би ени й отр ез ков [a; c] и ков [a; c] и [c; b] . Вы би р ая т е пер ь после д ов а т ель ност и р а з ом , чт обы д ля чи слов ы х после д ов а т ель ност е й V1n и V2n сум м в и [c; b] та ки м обр а з д а (1.1.1) в ы полняли сь услов и я c

b

a

c

V1n → V f ( x), V2n → V f ( x), n → ∞ ,

и знер а в е нств а (1.3.1) получи м , чт о c

b

b

a

c

a

V f ( x) + V f ( x) ≤ V f ( x).

(1.3.2)

Пуст ь те пер ь f ( x) и м е е т огр а ни че нное и з м е нени е на ка жд ом и зотр ез ков [a; c] и [c; b] . Рассм от р и м пр ои з в оль ное р а з би е ни е { xi } отр ез ка [a; b] , и пуст ь V сум м а в и д а (1.1.1) д ля э т ого р а з би е ни я. Если т очка c сов па д а ет с од ной и зт оче к x p , т о, и споль з уя пр ежни е обозна че ни я, получа е м c

b

a

c

V = V1 + V2 ≤ V f ( x ) + V f ( x).

Если же т очка c не в ход и т в соста в точе к д еле ни я, т о м ы е е д ополни т ель но в в ед ем . Пуст ь V ' - сум м а , отв еча ю ща я э т ом у нов ом у р а з би е ни ю . Т огд а V ' ≥ V . Вт ех же обоз на че ни ях и м е ем c

b

a

c

V ≤ V ' = V1 + V2 ≤ V f ( x) + V f ( x).

И т а к, в лю бом случа е в ер но нер а в е нст в о c

b

a

c

V ≤ V f ( x) + V f ( x).

(1.3.3)

И з(1.3.3) сле д уе т, чт о ф ункци я f ( x) и м е ет огр а ни че нное и з м е не ни е на [a; b] и в ер но нер а в е нств о 7

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

b

c

b

a

a

c

V f ( x) ≤ V f ( x) +V f ( x).

(1.3.4)

И з(1.3.2) и (1.3.4) сле д уе т, чт о b

c

b

a

a

c

V f ( x) = V f ( x) +V f ( x). 5. Если на отр е з ке [a; b] ф ункци я f ( x) и м е е т огр а ни че нное и з м е нени е, то пр и x

x ∈ [a; b] полное и з м е не ни е g ( x) = V f (t ) ( g (a) = 0 ) буд ет в оз р а ст а ю ще й (и огр а ни a

ченной) ф ункци е й от x . Дока з а те ль ств о. Для лю бы х д в ух т очек x ' и x '' та ки х, чт о a ≤ x ' < x '' ≤ b , в ер но соотнош е ни е x''

x'

x''

a

a

x'

V f (t ) = V f (t ) + V f (t ) , и зкот ор ого след ует , что x''

g ( x '') − g ( x ') = V f (t ) ≥ 0. . x'

З а м еча ни е. Изсв ойств а 5 сле д уе т, чт о в случа е бесконечного пр ом ежутка [a; ∞ ) полное и з м е не ни е

∞

V f ( x)

э кв и в а ле нт ны м обр а зом м ожно опр е д ели ть соот-

a

нош е ни ем ∞

V f ( x) = a

A

lim V f ( x)

A→+∞

a

С пом ощь ю э т ого соот нош е ни я д ока з а нны е в э том пункте св ойств а обобща ю т ся и на случа й бесконечного пр ом ежутка . 1.4. К р и т ер и й д ля ф ункци й с огр а ни ченны м и з м е не ни ем . Пуст ь f ( x) опр е д еле на в коне чном и ли бесконечном пр ом ежут ке X ( X = [a; b] и ли X = [a; ∞) ). Т е ор е м а . Для т ого, чт обы ф ункци я f ( x) и м е ла в пр ом ежут ке X огр а ни че нное из м ене ни е, не обход и м о и д оста т очно, чт обы д ля нее в э том пр ом е жут ке суще ств ов ала в оз р а ста ю ща я и огр а ни че нна я ф ункци я F ( x) , та ка я, что в лю бой ча ст и [ x '; x ''] ( x ' < x '') пр ом е жут ка X пр и р а ще ни е ф ункци и f ( x) по м од улю не пр ев осход и т соотв ет ств ую ще го пр и р а ще ни я ф ункци и F ( x) : f ( x '') − f ( x ') ≤ F ( x '') − F ( x ').

Дока з а те ль ств о т е ор ем ы . Не обход и м ость . Пуст ь f ( x) и м е ет в пр ом ежутке X огр а ни ченное и з м ене ни е. Положи м x

F ( x) = V f (t ). a

р а ста ю ща я и огр а ни че нна я ф ункци я. К р ом е т ого, Т огд а F ( x) - в оз

8

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

x ''

f ( x '') − f ( x ') ≤ V f (t ) = F ( x '') − F ( x ') , x'

т а к чт о F ( x) - ф ункци я с тр ебуем ы м и св ойст в а м и . Дост а т очност ь . Пуст ь суще ств уе т ф ункци я F ( x) с ука з а нны м и св ойст в а м и . i =n Пуст ь сна ча ла X = [a; b] , и пуст ь { xi }i =0 - пр ои з в оль ное р а з би е ни е пр ом е жут ка [a; b] . И м е ем : n −1

n −1

i =0

i =0

V = ∑ f ( xi +1 ) − f ( xi ) ≤ ∑ ( F ( xi +1 ) − F ( xi ) ) = F (b) − F (a).

(1.4.1)

И з(1.4.1) след уе т, чт о f ( x) и м е ет огр а ни че нное и з м е не ни е на [a; b] . Пуст ь т е пер ь X = [a; ∞). Ф и кси р уем пр ои з в оль ное чи сло A > a . Т огд а , по уже д ока з а нном у, д ля лю бого р а зби е ни я отр ез ка [a; A] и м е ем V ≤ F ( A) − F (a ) . Поэ т ом у A

V f ( x) ≤ F ( A) − F (a) ≤ lim F (t ) − F (a ) . a

t →+∞

В си лу пр ои з в оль ност и A > a от сю д а сле д уе т , чт о f ( x) и м е е т огр а ни че нное и зм е не ни е на [a; ∞) . Т еор ем а д ока з а на . З а м еча ни е. Ф ункци ю F ( x) , уд ов ле тв ор яю щую услов и ям т е ор е м ы , на з ы в ают м а жор а нт ой д ля f ( x) . Пр и в е д ем те пе р ь е ще од ну ф ор м у кр и т е р и я. Т е ор е м а . Для т ого чт обы ф ункци я f ( x) и м ела в пр ом ежут ке X огр а ни че нное из м ене ни е, не обход и м о и д оста т очно, чт обы она в э т ом пр ом ежут ке м огла бы ть пр е д ста в ле на в в и д е р а з ност и д в ух в оз р а ста ю щи х и огр а ни че нны х ф ункци й: f ( x) = g ( x) − h( x) .

Дока з а те ль ств о т е ор ем ы . Не обход и м ость . Пуст ь f ( x) и м е ет в X огр а ни че нное и з м е нени е. Т огд а д ля f ( x) суще ств уе т в оз р а ста ю ща я и огр а ни че нна я м а жор а нта F ( x) . Положи м g ( x) = F ( x), h( x) = F ( x) − f ( x) . Т огд а f ( x) = g ( x) − h( x) . Т а к ка к ф ункци я f ( x) огр а ни чена , т о и h( x) огр а ни че на . Убе д и м ся, чт о h( x) в оз р а ста ю ща я ф ункци я. Пуст ь x '' > x ', x ', x '' ∈ X . Т огд а h( x '') − h( x ') = F ( x '') − f ( x '') − ( F ( x ') − f ( x ')) = F ( x '') − F ( x ') − ( f ( x '') − f ( x ')) ≥ ≥ F ( x '') − F ( x ') − f ( x '') − f ( x ') ≥ 0.

Т а к что h( x) - в оз р а ста ю ща я ф ункци я. Дост а т очност ь . Пуст ь f ( x) пр ед ста в и м а в пр ом ежут ке X в в и д е р а ста ю щи е и огр а ни че нны е ф ункци и . Пока f ( x) = g ( x) − h( x) , гд е g ( x) и h( x) - в оз жем , чт о F ( x) = g ( x) + h( x) есть м а жор а нта д ля f ( x) . Я сно, чт о F ( x) ест ь в озра ст а ю ща я и огр а ни че нна я ф ункци я. К р ом е т ого, е сли x ' < x '', x ', x '' ∈ X , то f ( x '') − f ( x ') = ( g ( x '') − h( x '')) − ( g ( x ') − h( x ')) = ( g ( x '') − g ( x ')) − (h ( x '') − h( x ')) ≤ ≤ g ( x '') − g ( x ') + h( x '') − h( x ') = g ( x '') − g ( x ') + h( x '') − h( x ') = F ( x '') − F ( x '), 9

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

т о е ст ь f ( x '') − f ( x ') ≤ F ( x '') − F ( x ').

Поэ т ом у ф ункци я F ( x) ест ь м а жор а нта д ля f ( x) . В си лу пр е д ы д ущей т е ор ем ы м е не ни е в X . Т еор ем а д ока з а на . f ( x) и м ее т огр а ни че нное и з З а м еча ни е. Ф ункци и g ( x) и h( x) и зпр е д ст ав ле ни я ф ункци и f ( x) с огр а ни ченны м и з м е не ни е м м ожно счи та ть ст р ого в оз р а ста ю щи м и . Де йств и т ель но, е сли э т о не т а к, то м ожно положи т ь g1 ( x) = g ( x) + arctgx, h1 ( x) = h( x) + arctgx,

пр и э т ом g1 ( x) − h1 ( x) = f ( x) .

2. И нт е гр а лСт и лть е са . 2.1. Опр е д еле ни е и нт е гр а ла Сти лт ь е са . И нт е гр а лСт и лт ь е са яв ляе т ся не поср е д ств енны м обобще ни е м опр ед еле нного и нте гр а ла Ри м а на . Опр е д е ляет ся он сле д ую щи м обр а зом . Пуст ь на от р е з ке [a; b] з а д а ны д в е огр а ни че нны е ф ункци и f ( x) и g ( x) . Ра з обь ем отр езок [a; b] на ча сти т очкам и д еле ни я a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b и положи м ке d = max ∆xi , гд е ∆xk = xk +1 − xk , k = 0,1,..., n − 1 . Вы бер ем на ка жд ом от р е з i

[ xi , xI +1 ], i = 0,1,..., n − 1 , пр ои з в оль ны м обр азом т очку ξi и соста в и м сум м у n −1

σ = ∑ f (ξ i )∆g ( xi ),

(2.1.1)

i=0

гд е ∆g ( xi ) = g ( xi+1 ) − g ( xi ), i = 0,1,..., n − 1 Сум м а (2.1.1) носи т на з в а ни е и нт егр а ль ной сум м ы Ст и лть е са . ы в а ет ся пр е д елом сум м σ пр и d → 0 , если д ля лю бого ε > 0 суЧ и сло I на з ще ств уе т чи сло δ > 0 та кое, чт о д ля лю бого р а з би е ни я отр езка [a; b] с д и а м етр ом d < δ пр и лю бом в ы бор е пр ом е жут очны х т очек ξi ∈ [ xi ; xi +1 ] в ы полняет ся не р а в енств о σ − I < ε . ы в а е тся и нт еК онечны й пр е д елсум м σ пр и d → 0 , если он суще ств ует , на з гр а лом Ст и лт ь е са ф ункци и f ( x) по ф ункци и g ( x) и обоз на ча е т ся си м в олом b

∫ f ( x)dg ( x) a

Т аки м обр азом , 10

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

(2.1.2).

n −1

b

∫ f ( x)dg ( x) = lim ∑ f (ξ )∆g ( x ) . d →0

a

i=0

i

i

Если и нте гр а л(2.1.2) суще ств ует , т о гов ор ят, чт о ф ункци я f ( x) на отр ез ке [a; b] и нт е гр и р уе м а по ф ункци и g ( x) .

Очев и д но, и нте гр а лРи м а на ест ь ча ст ны й случа й и нте гр а ла Ст и лт ь еса : он отв еча е т случа ю ф ункци и g ( x) = x . 2.2. Общи е услов и я суще ств ов а ни я и нт е гр ала Ст и лт ь е са . Уст а нов и м общи е услов и я суще ств ов а ни я и нте гр а ла Ст и лт ь е са в пр е д положе ни и , чт о ф ункци я g ( x) в оз р а ста е т на от р ез ке [a; b] . Вэ т ом случа е в се ∆g ( xi ) ≥ 0 , и м ожно пов т ор и ть конст р укци ю постр ое ни я обы чного и нт е гр а ла Ри м а на . Пуст ь mi = inf f ( x), M i = sup f ( x), i = 0,1,..., n − 1 . [ x ;x ] i

i +1

[ xi ; xi + 1 ]

Вв е д ем в р а ссм отр е ни е сум м ы Да р бу-Ст и лть е са n −1

s = ∑ mi ∆g ( xi ), i=0

n −1

S = ∑ M i ∆g ( xi ). i =0

Сум м ы s и S на з ы в а ю т , соот в ет ств е нно, ни жней и в е р хне й сум м ам и Да р буСт и лть е са . Очев и д но, чт о д ля лю бого р а з би е ни я s ≤σ ≤ S , пр и че м s и S яв ляю тся т очны м и гр а ням и д ля ст и лть есов ы х сум м σ . Ле гко д оказ ы в а ет ся, чт о сум м ы Да р бу-Ст и лт ь е са обла д а ю т след ую щи м и св ойств а м и . 1. Пр и и з м ель чени и р а зби е ни я ни жняя сум м а Да р бу-Ст и лть е са м ожет ли ш ь в оз р а ст и , а в ер хняя сум м а – ли ш ь ум е нь ш и ть ся. 2. К а жд а я ни жняя сум м а Да р бу-Ст и лть е са не пр ев осход и т пр ои з в оль ной в ер хне й сум м ы , хотя бы и отв е ча ю ще й д р угом у р а з би е ни ю пр ом ежут ка . Если в в ест и ни жни й и в е р хни й и нт е гр а лы Да р бу-Ст и лт ь еса I* = sup{s}, I * = inf{S} ,

т о получи м , чт о s ≤ I* ≤ I * ≤ S .

С пом ощь ю сум м Да р бу-Ст и лт ь е са в р а ссм а тр и в а ем ом случа е ле гко уст а на в ли в а е т ся сле д ую щи й кр и т е р и й суще ств ов а ни я и нт е гр а ла Ст и лть е са . Т е ор е м а . Для суще ств ов а ни я и нт е гр а ла Ст и лт ь е са не обход и м о и д оста т очно, чт обы в ы полнялось услов и е lim(S − s) = 0, d →0

и ли 11

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

n −1

lim ∑ϖ i ∆g ( xi ) = 0 , d →0

i =0

гд е ϖ i ест ь колеба ни е ф ункци и f ( x) на отр ез ке [ xi , xI +1 ] . Дока з а те ль ств о т еор ем ы пр ов од и т ся по т ой же схем е , чт о и в случа е и нт е гр а ла Ри м а на . 2.3.Случа и суще ств ов а ни я и нт е гр а ла Ст и лт ь е са . В э т ом пункт е буд ут уст а нов ле ны в а жны е па р ны е кла ссы ф ункци й f ( x) и g ( x) , д ля кот ор ы х и нте гр а лСт и лт ь е са суще ств уе т .

1. Если ф ункци я f ( x) непр ер ы в на , а ф ункци я g ( x) и м е е т огр а ни че нное и з м ене ни е, т о и нт е гр а лСт и лт ь е са

b

∫ f ( x)dg ( x)

суще ств ует .

a

р а ста ю ща я Дока з а т ель ств о. Пр е д положи м сна ча ла , что g ( x) - ст р ого в оз ф ункци я. Ф и кси р уе м пр ои з в оль ное ε > 0 . Т а к ка к f ( x) р а в ном е р но не пр ер ы в на на отр езке [a; b] , то на йд е т ся δ > 0 та кое, чт о коле ба ни е ф ункци и f ( x) на лю бом отр ез ке с д ли ной, м ень ш ей, чем δ , буд е т м е нь ш е, чем ε ( g (b) − g (a )) . Пуст ь те пер ь {xi }ii== n0 - пр ои з в оль ное р а з би е ни е отр ез ка [a; b] с д и а м е тр ом d < δ . Т огд а ε

n −1

n −1

∑ϖ ∆g ( x ) < g (b) − g (a) ∑ ( g ( x i =0

i

i

i +1

i=0

) − g ( xi )) = ε ,

т а к чт о услов и е n −1

lim ∑ϖ i ∆g ( xi ) = 0 d →0

i =0

в ы полне но. Ра ссм отр и м те пер ь общи й случа й. Пуст ь ф ункци я g ( x) и м ее т огр а ни че нное из м ене ни е на от р е з ке [a; b] . Пр ед ст а в и м е е в в и д е g ( x) = g1 ( x) − g2 ( x), гд е g1 ( x) и g 2 ( x) - стр ого в оз р а ста ю щи е огр а ни че нны е ф ункци и . Пусть {xi }ii ==0n - пр ои з в оль ное р аз би е ни е отр ез ка [a; b] . З а пи ш ем сум м у σ в в и д е n −1

n −1

n −1

i =0

i=0

i =0

σ = ∑ f (ξi )∆g ( xi ) = ∑ f (ξi )∆g1 ( xi ) −∑ f (ξi )∆g2 ( xi ) = σ 1 − σ 2 .

Т а к ка к пр и d → 0 сум м ы σ 1 и σ 2 стр ем ятся к коне чны м пр ед елам , т о суще ств ует коне чны й пр е д ели сум м ы σ . 2. Если ф ункци я f ( x) и нт е гр и р уе м а на от р езке [a; b] по Ри м а ну, а g ( x) уд ов летв ор яе т услов и ю Ли пш и ца , т ак чт о g ( x2 ) − g ( x1 ) ≤ L( x2 − x1 ), L = const , a ≤ x1 < x2 ≤ b,

т о и нт егр а л b

∫ f ( x)dg ( x) a

суще ств уе т. Дока з а те ль ств о. Пр ед положи м сна ча ла , чт о g ( x) в оз р а ста ет на пр ом е жут ке i =n [a; b] . Т огд а д ля лю бого р аз би е ни я {xi }i =0 отр ез ка [a; b] и м е ем 12

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

n −1

n −1

∑ϖ ∆g ( x ) ≤ ∑ϖ L∆x i

i =0

i

i=0

i

i

n−1

= L∑ϖ i ∆xi . i=0

Т а к ка к f ( x) и нт е гр и р уем а по Ри м а ну на отр ез ке [a; b] , т о в ы полняе т ся условие n −1

lim ∑ϖ i ∆xi = 0, d →0

i=0

а поэ т ом у и n −1

lim ∑ϖ i ∆g ( xi ) = 0. d →0

i=0

В общем случа е пр ед ста в и м g ( x) в в и д е р а з ност и g ( x) = Lx − ( Lx − g ( x)) = g1 ( x) − g 2 ( x).

Ф ункци я g1 ( x) = Lx уд ов летв ор яет услов и ю Ли пш и ца и яв ляе тся в оз р а ста ю ще й. Т о же в ер но и д ля ф ункци и g 2 ( x) = Lx − g ( x), посколь ку пр и a ≤ x1 < x2 ≤ b g 2 ( x2 ) − g 2 ( x1 ) = Lx2 − g ( x2 ) − ( Lx1 − g ( x1 )) = L( x2 − x1 ) − ( g ( x2 ) − g ( x1 )) ≥ ≥ L( x2 − x1 ) − g ( x2 ) − g ( x1 ) ≥ 0

и g 2 ( x2 ) − g 2 ( x1 ) = L( x2 − x1 ) − ( g ( x2 ) − g ( x1 )) ≤ L( x2 − x1 ) + g ( x2 ) − g ( x1 ) ≤ 2 L( x2 − x1 ).

Дока з а те ль ств о з а в ер ш а е тся та к же, ка к и в пункт е 1. ке [a; b] , а ф ункци я 3. Пуст ь ф ункци я f ( x) и нт е гр и р уе м а по Ри м а ну на отр ез x

g ( x) пр е д ста в и м а в в и д е g ( x) = c + ∫ ϕ (t )dt , гд е ф ункци я ϕ (t ) та кже и нте гр и р уе м а a

b

по Ри м а ну на от р е з ке [a; b] . Т огд а и нте гр а л ∫ f ( x)dg ( x) суще ст в уе т. a

Дока з а т ель ств о. Доста т очно пока з а ть , чт о g ( x) - ли пш и це в а ф ункци я. Посколь ку ф ункци я ϕ (t ) и нт егр и р уе м а на отр ез ке [a; b], то она огр а ни че на на э т ом отр ез ке . Пуст ь пост оянна я L > 0 та ков а , что д ля лю бого t ∈ [a; b] в ер но не р а в е нств о ϕ (t ) ≤ L. Т огд а пр и a ≤ x1 < x2 ≤ b и м е ем g ( x2 ) − g ( x1 ) =

x2

x2

x1

x1

∫ ϕ (t )dt ≤

∫ ϕ (t ) dt ≤ L( x

2

− x1 ),

т . е . g ( x) - ли пш и це в а ф ункци я. З а м еча ни е. Пуст ь ф ункци я g ( x) не пр ер ы в на на отр езке [a; b] и и м ее т в сю д у на нем , з а и склю че ни ем , бы ть м оже т, коне чного чи сла т очек, пр ои з в од ную g '( x), кот ор а я и нт егр и р уе м а по Ри м а ну на отр ез ке [a; b] (в точка х, гд е пр ои з в од на я не суще ств уе т, ф ункци я g '( x) д оопр ед еляе тся пр ои з в оль ны м обр а з ом ). Т огд а x

спр а в ед ли в а ф ор м ула g ( x) = g (a) + ∫ g '(t )dt. Поэ том у, если ф ункци я f ( x) a

13

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

b

и нте гр и р уе м а по Ри м а ну на от р езке [a; b] , то и нт е гр а л ∫ f ( x)dg ( x) суще ств уе т. a

2.4.Св ойств а и нт е гр ала Ст и лть е са . И зопр е д еле ни я и нт е гр а ла Ст и лт ь еса непоср е д ств е нно в ы т ека ю т след ую щи е е го св ойств а . b

1. ∫ dg ( x) = g (b) − g (a); a b

b

b

2. ∫ ( f1 ( x) ± f2 ( x))dg ( x) = ∫ f1 ( x)dg ( x) ± ∫ f 2 ( x)dg ( x); a b

3.

a

∫ f ( x)d ( g ( x) ± g 1

2

a b

a

b

b

a

a

( x)) = ∫ f ( x)dg1 ( x) ± ∫ f ( x)dg 2 ( x); b

4. ∫ kf ( x)d (lg ( x)) = kl ∫ f ( x)dg ( x), k , l = const. a

a

Пр и э т ом в случа ях 2, 3, 4 и зсуще ст в ов а ни я и нт е гр а лов в пр а в ой ча ст и в ы т е ка е т суще ств ов а ни е и нт е гр а ла в лев ой ча ст и . b

5. Пуст ь суще ств уе т и нт е гр а л ∫ f ( x)dg ( x) и пусть c - пр ои з в оль на я т очка a

и нте р в а ла (a; b). Т огд а суще ств уе т кажд ы й и зи нт е гр а лов c

∫ f ( x)dg ( x), a

b

∫ f ( x)dg ( x) c

и в е р но р а в е нств о b

∫ a

c

b

a

c

f ( x)dg ( x) = ∫ f ( x)dg ( x) + ∫ f ( x)dg ( x).

Дока з а те ль ств о э т ого ут в ер жд ени я м ожно на йт и в [1, стр . 95]. З а м еча ни е. М ожно пока з ат ь , чт о и зсуще ств ов а ни я обои х и нт е гр а лов c

b

a b

c

∫ f ( x)dg ( x), ∫ f ( x)dg ( x)

в ообще гов ор я, не в ы т ека ет суще ств ов а ни е и нте гр а ла

∫ f ( x)dg ( x) . Соотв е т ств ую щи й пр и м ер

ле гко м ожет бы т ь постр ое н (см ., на пр и м е р ,

a

[1, стр . 97]). 6. Для и нт егр а лов Ст и лт ь е са и м ее т м е ст о ф ор м ула b

∫ f ( x)dg ( x) = a

b

f ( x) g ( x) |ba − ∫ g ( x)df ( x), a

в пр ед положе ни и , чт о суще ств уе т од и н и зэ т и х и нт е гр а лов ; д р угой и нте гр а лт огд а та кже суще ст в уе т. Пр и в е д е нна я ф ор м ула носи т на з в а ни е ф ор м улы и нт егр и р ов а ни я по ча ст ям . Дока з а те ль ств о. Пуст ь суще ст в уе т, на пр и м ер , и нт е гр а л

14

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

b

∫ g ( x)df ( x). a

Пуст ь {xi }ii== n0 - пр ои з в оль ное р а з би ени е от р е з ка [a; b] . Вы бер ем на ка жд ом се гм е нт е [ xi ; xi +1 ] (i = 0,1,..., n − 1) пр ои з в оль ны м обр а з ом т очку ξi , та к чт о a = x0 ≤ ξ 0 ≤ x1 ≤ ... ≤ xi −1 ≤ ξ i −1 ≤ xi ≤ ξ i ≤ xi +1 ≤ ... ≤ xn −1 ≤ ξ n−1 ≤ xn = b.

Сум м у Ст и лть еса д ля и нт е гр а ла

b

∫ f ( x)dg ( x) a

n −1

σ = ∑ f (ξ i )( g ( xi +1 ) − g ( xi )) i =0

м ожно пр ед ста в и ть в в и д е n −1

n −1

n

n −1

i =0

i =1

i =0

σ = ∑ f (ξ i ) g ( xi +1 ) = ∑ f (ξ i ) g ( xi ) = ∑ f (ξ i −1 ) g ( xi ) −∑ f (ξ i ) g ( xi ) = f (ξ n −1 ) g (b) + i =0

n −1

n −1

i =1

i =1

+ ∑ f (ξ i −1 ) g ( xi ) − ∑ f (ξ i ) g ( xi ) − f (ξ 0 ) g (a) = n −1   = −  g (a) f (ξ 0 ) + ∑ g ( xi )( f (ξ i ) − f (ξ i −1 )) − g (b) f (ξ n −1 )  .   i =1

(2.4.1)

Если в ф ор м уле (2.4.1) пр и ба в и ть и от нять спр ав а в ы р а же ни е f ( x) g ( x) |ba = f (b) g (b) − f (a ) g (a ),

т о сум м а σ з а пи ш е т ся в в и д е n −1   σ = f ( x) g ( x) |ba −  g (a)( f (ξ 0 ) − f (a)) + ∑ g ( xi )( f (ξ i ) − f (ξi −1 )) + g (b)( f (b) − f (ξ n −1 ))  .   i =1

Вы р а же ни е в ф и гур ны х скобка х пр е д ста в ляе т собой ст и лть е сов у сум м у д ля и нт е гр а ла b

∫ g ( x)df ( x), a

кот ор ы й, по пр е д положе ни ю , суще ств уе т. Э та сум м а отв еча е т р а з би е ни ю пр ом е жут ка [a; b] т очка м и д еле ни я a ≤ ξ0 ≤ ξ1 ≤ ... ≤ ξi −1 ≤ ξi ≤ ... ≤ ξ n−1 ≤ b,

е сли в ка чест в е в ы бр а нны х на пр ом е жут ка х [ξi−1 ;ξi ](i = 1,..., n − 1) т очек в з ять xi , а на пр ом е жут ка х [a;ξ0 ] и [ξn −1 ; b] , соот в ет ств е нно, a и b . Если положи ть d = max( xi +1 − x1 ), то т е пер ь д ли ны в сех ча ст и чны х пр ом е жут ков не буд ут пр е в осход и ть 2d . Пр и d → 0 сум м а в ф и гур ны х скобка х ст р е м и т ся к b

∫ g ( x)df ( x), a

поэ т ом у суще ств уе т коне чны й пр ед ели д ля сум м σ , то е ст ь и нт е гр а л b

∫ f ( x)dg ( x), a

и спр а в е д ли в а тр ебуе м а я ф ор м ула . З а м еча ни е. Изд ока з а нного утв ер жд е ни я сле д уе т, чт о е сли ф ункци я g ( x) в пр ом е жут ке [a; b] и нте гр и р уе м а по ф ункци и f ( x) , то и ф ункци я f ( x) и нт е гр и р уе м а по ф ункци и g ( x) . 15

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

7. Т е ор ем а о ср ед нем . Пуст ь на отр езке [a; b] ф ункци я f ( x) огр а ни че на : m ≤ f ( x) ≤ M ,

р а ста ет. Если суще ст в уе т и нт е гр а лСти лт ь е са I от f ( x) по g ( x) , то а g ( x) в оз и м е ет м е ст о ф ор м ула b

I = ∫ f ( x)dg ( x) = µ ( g (b) − g (a)),

(2.4.2)

a

гд е m ≤ µ ≤ M . Дока з а те ль ств о. Очев и д но, чт о д ля лю бой ст и лт ь е сов ой сум м ы σ в ы полняе тся не р а в е нст в о m( g (b) − g (a)) ≤ σ ≤ M ( g (b) − g (a)).

Пер еход я в э том нер а в е нст в е к пр ед елу, получи м , чт о m( g (b) − g (a)) ≤ I ≤ M ( g (b) − g (a )).

(2.4.3)

Если g (b) = g (a), т о и з(2.4.3) сле д уе т, чт о I = 0, и пот ом у р а в енств о (2.4.2) в ер но с пр ои з в оль ны м µ ∈ R. Пуст ь т епер ь g (b) > g (a), т огд а и з(2.4.3) сле д уе т, чт о m ≤ I ( g (b) − g (a)) ≤ M .

Пола га я µ = I ( g (b) − g (a)), получи м тр е буе м ое соот нош е ни е (2.4.2). 8. Оце нка и нт е гр а ла Ст и лт ь е са . Пуст ь ф ункци я f ( x) не пр е р ы в на , а ф ункци я g ( x) и м е ет огр а ни ченное и з мене ни е на от р е з ке [a; b] . Вэ т ом случа е спр а в ед ли в а оце нка b

∫ f ( x)dg ( x) ≤ MV ,

(2.4.4)

a

гд е b

M = max f ( x) , V = V g ( x). a ≤ x ≤b

a

Дока з а те ль ств о. Действ и т ель но, д ля лю бой сум м ы Сти лт ь е са и м е е т м е ст о нер а в е нств о σ =

∑ f (ξ )∆g ( x ) ≤ ∑ i

i

i

i

f (ξ i ) ⋅ ∆g ( xi ) ≤ M ∑ g ( xi +1 ) − g ( xi ) ≤ MV , i

и зкот ор ого, и споль зуя пр ед ель ны й пе р е ход , получа ем оце нку (2.4.4). 2.5. Вы чи сле ни е и нт е гр а лов Ст и лт ь еса. Спр а в е д ли в о след ую ще е ут в е р жд е ни е. Т е ор е м а . Пуст ь ф ункци я f ( x) и нте гр и р уе м а по Ри м а ну на от р ез ке [a; b] , а ф ункци я g ( x) и м е ет в и д x

g ( x) = C + ∫ ϕ (t )dt , a

16

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

гд е ф ункци я ϕ (t ) та кже и нт е гр и р уе м а по Ри м а ну на [a; b] . Т огд а спр а в ед ли в а ф ор м ула b

∫ a

b

f ( x)dg ( x) = ∫ f ( x)ϕ ( x)dx.

(2.5.1)

a

Дока з а те ль ств о. З ам е т и м , чт о оба в ы пи са нны х и нт е гр а ла суще ств ую т. Дока жем и х р а в е нств о. З а пи ш ем пр ои з в оль ную сум м у Сти лт ь еса σ в в и д е n −1

n −1

xi +1

n −1 xi +1

i =0

i=0

xi

i =0 xi

σ = ∑ f (ξ i )( g ( xi +1 ) − g ( xi )) = ∑ f (ξ i ) ⋅

∫ ϕ ( x)dx = ∑ ∫

f (ξ i )ϕ ( x) dx.

Пр е д ста в и м т епер ь и нт е гр а лв пр а в ой ча ст и ф ор м улы (2.5.1) сле д ую щи м обр а з ом : b

n −1 xi +1

a

i =0 xi

∫ f ( x)ϕ ( x)dx = ∑ ∫

f ( x)ϕ ( x)dx.

Т огд а b

n −1 xi +1

a

i =0 xi

σ − ∫ f ( x)ϕ ( x) dx = ∑

∫ ( f (ξ ) − f ( x))ϕ ( x)dx. i

Пуст ь L - та ка я пост оянна я, что ϕ ( x) ≤ L д ля в сех x и зпр ом ежут ка [a; b] , и пуст ь ωi - коле ба ни е ф ункци и f ( x) на отр езке [ xi ; xi +1 ]. Т огд а д ля в се х x и зотр езка [ xi ; xi +1 ] в ы полняет ся нер а в е нств о f (ξ i ) − f ( x) ≤ ω i , i = 0,..., n − 1.

Поэ т ом у спр а в е д ли в о нер а в е нств о b

n −1 xi +1

a

i =0 xi

σ − ∫ f ( x)ϕ ( x)dx ≤ ∑

∫

n−1

xi +1

n −1

i=0

xi

i =0

f (ξ i ) − f ( x) ϕ ( x) dx ≤ ∑ ω i L

∫ dx = L∑ ω ∆x . i

i

Посколь ку ф ункци я f ( x) и нте гр и р уем а по Ри м а ну на от р езке [a; b] , то пр и d → 0 и м е ем : n −1

∑ ω ∆x i =0

i

i

→ 0.

Поэ т ом у b

lim σ = ∫ f ( x)ϕ ( x) dx, d →0

a

и р а в е нств о (2.5.1) д ока з а но. Т е ор е м а д ока з а на . След ст в и е. Пуст ь ф ункци я f ( x) и нт е гр и р уе м а по Ри м а ну на отр езке [a; b] . Пр е д положи м , д а лее , чт о ф ункци я g ( x) не пр е р ы в на на отр ез ке [a; b] и и м е е т в сю д у в нем , з а и склю чени е м , бы т ь м ожет , коне чного чи сла т очек, пр ои з в од ную g '( x) , кот ор а я и нт егр и р уе м а по Ри м а ну на [a; b] (в те х т очка х, гд е пр ои з в од на я не суще ств уе т, ф ункци я g '( x ) д оопр е д еляет ся пр ои з в оль ны м обр азом ). Т огд а b

b

a

a

∫ f ( x) dg ( x) = ∫ f ( x) g '( x)dx. 17

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Дока з а те ль ств о. Действ и т ель но, в р а ссм а тр и в а ем ом случа е спр а в ед ли в о р а в е нст в о x

g ( x) = g (a) + ∫ g '(t )dt , a

и

ϕ (t ) = g '(t ).

Ра ссм отр и м те пер ь случа й в ы чи сле ни я и нт егр а ла , когд а ф ункци я g ( x) р а з р ы в на . Вв е д ем в р а ссм отр е ни е ф ункци ю  0, е сли x ≤ 0, h( x) =  1, е сли x > 0.

ы в а ю т ф ункци ей Х е в и са йд а). Г р а ф и к э той ф ункци и и з обр а же н (ф ункци ю h( x) на з на р и с. 1. у

1 х Ри с. 1 Ф ункци я h( x) не пр ер ы в на в сю д у, кр ом е т очки x = 0 . Вточке x = 0 она не пр е р ы в на слев а и р аз р ы в на спр а в а ; пр и э т ом ска чок спр а в а h(0 + 0) − h(0) р а в ен 1. Ра ссм отр и м те пер ь ф ункци и h( x − c) иh(c − x), c ∈ R. 1. Вт очке с ф ункци я h( x − c) не пр ер ы в на слев а , спр а в а – ска чок, пр и чем h(c + 0 − c) − h(0) = 1. Во в сех ост аль ны х т очка х чи слов ой оси h( x − c) не пр ер ы в на . Ее гр а ф и к и зобр а же н на р и с. 2. у

1 с Ри с. 2

2. Вт очке с ф ункци я h(c − x) не пр ер ы в на спр а в а , слев а – скачок, р а в ны й - 1. Во в сех ост аль ны х т очка х чи слов ой оси h(c − x) непр ер ы в на . Ее гр а ф и к и з обр а жен на р и с. 3. 18

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

у

1 х с Ри с. 3 Пуст ь ф ункци я f ( x) з а д а на на отр ез ке [a; b] и не пр ер ы в на в точке c ∈ [ a; b]. Если c = b , то h( x − b) = 0 пр и x ≤ b , поэ т ом у f ( x) и нт е гр и р уе м а по h( x − b) и b

∫ f ( x)dh( x − b) = 0. a

Пуст ь те пер ь a ≤ c < b. Пока жем , чт о и нт егр а л b

∫ f ( x)dh( x − c) a

суще ств уе т, и в ы чи сли м е го. i =n Ра ссм отр и м пр ои з в оль ное р а з би е ни е { xi }i = 0 от р ез ка [a; b] , и пуст ь ξi ∈ [ xi ; xi +1 ], i = 0, ..., n − 1. Пуст ь , д алее , k та ков о, чт о xk ≤ c < xk +1 (см . р и с. 4).

у y = h( x − c) a

xk

с ξk

xk +1

b

х

Ри с.4 Т огд а n −1

σ = ∑ f (ξ i )( h( xi +1 − c) − h( xi − c)) = f (ξ k )(h( xk +1 − c) − h( xk − c)) = f (ξ k ) ⋅1 = f (ξ k ). i =0

Пуст ь d → 0 , тогд а по не пр ер ы в ност и ф ункци и f ( x) в точке c f (ξ k ) → f (c). Поэ т ом у lim σ = f (c ). d →0

Т а ки м обр а зом , ф ункци я f ( x) и нте гр и р уе м а по h( x − c) и b

∫ f ( x)dh( x − c) = a

Ра ссм отр и м те пер ь и нт егр а л 19

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

f (c).

b

∫ f ( x)dh(c − x). a

Если c = a, т о h(a − x) = 0 пр и x ≥ a. От сю д а сле д уе т, чт о f ( x) и нт егр и р уем а по h(a − x) и b

∫ f ( x )dh(a − x) = 0. a

Пуст ь те пер ь a < c ≤ b. Ра ссм отр и м пр ои з в оль ное р аз би е ни е { xi }i = 0 отр ез ка [a; b] , и пуст ь ξi ∈ [ xi ; xi +1 ], i = 0, ..., n − 1. Пуст ь , д а ле е, k та ков о, чт о xk < c ≤ xk +1 (см . р и с. 5). i =n

у y = h( x − c)

ξk .

a

xk

х с

xk +1

b

Ри с. 5 Т огд а n −1

σ = ∑ f (ξ i )(h(c − xi +1 ) − h(c − xi )) = f (ξ k ) ⋅ (−1) = − f (ξ k ). i =0

В си лу не пр ер ы в ност и f ( x) в точке c получа е м , что если d → 0 , то σ → − f (c). Поэ т ом у f ( x) и нт е гр и р уе м а по h(c − x) и b

∫ f ( x)dh(c − x) = − f (c). a

Дока жем те пер ь след ую ще е ут в ер жд е ни е. Т е ор е м а . Пуст ь ф ункци я f ( x) не пр е р ы в на на от р езке [a; b] , а ф ункци я g ( x) в сю д у на э т ом отр ез ке, з а и склю че ни ем , бы т ь м ожет , конечного чи сла т оче к, и м е ет пр ои з в од ную g '( x ) , кот ор а я и нте гр и р уем а по Ри м а ну на [a; b] . Пр е д положи м , чт о ф ункци я g ( x) в конечном чи сле т оче к a = c0 < c1 < ... < cm = b

м оже т и м е ть р а з р ы в ы пер в ого р од а . Т огд а ф ункци я f ( x) и нт е гр и р уем а по g ( x) и спр а в ед ли в а ф ор м ула

20

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

b

b

∫ f ( x )dg ( x) = ∫ f ( x) g '( x)dx + f ( a)( g (a + 0) − g ( a)) + a

a

m −1

(2.5.2)

+ ∑ f (ck )( g (ck + 0) − g (ck − 0)) + f (b)( g (b) − g (b − 0)). k =1

Дока з а те ль ств о. Вв ед ем спе ци а ль ны е обоз на че ни я д ля ска чков ф ункци и g ( x) спр а в а и слев а : α k+ = g (ck + 0) − g (ck ), k = 0, ..., m − 1, α k− = g (ck ) − g (ck − 0), k = 1, ..., m.

Для k = 1, ..., m − 1 и м е ем α k+ + α k− = g (ck + 0) − g (ck − 0).

Ра ссм отр и м в спом ога т ель ную ф ункци ю m −1

m

k =0

k =1

g1 ( x ) = ∑ α k+ h( x − ck ) − ∑ α k− h(ck − x),

и пуст ь g 2 ( x) = g ( x) − g1 ( x), та к чт о g ( x) = g1 ( x) + g 2 ( x). Пока жем , чт о ф ункци я g 2 ( x) не пр е р ы в на на отр ез ке [a; b]. Я сно, чт о g 2 ( x) не пр ер ы в на д ля x , отли чны х от в сех ck , посколь ку д ля та ки х x не пр ер ы в ны обе ф ункци и g ( x) и g1 ( x) . Пока жем , что ф ункци я g 2 ( x) не пр ер ы в на и в точка х ck , k = 0, ..., m. Ф и кси р уе м пр ои з в оль ную т очку c p , p < m . Пока жем , чт о g 2 ( x) не пр ер ы в на в не й спр а в а . Все сла га ем ы е сум м ы g1 ( x) , кр ом е, бы т ь м ожет, чле на α +p h( x − c p ), не пр е р ы в ны в т очке c p спр а в а . Поэ т ом у д оста т очно пока з а т ь , чт о в т очке c p не пр ер ы в на спр а в а ф ункци я ϕ ( x) = g ( x) − α +p h( x − c p ).

Пр и x = c p она пр и ни м а е т з на че ни е g (c p ). Да лее , lim ( g ( x) − α p+ h( x − c p )) = g (c p + 0) − α p+ = g (c p + 0) − ( g (c p + 0) − g (c p )) = g (c p ).

x →c p + 0

Т а к что ф ункци я ϕ ( x), а потом у и g 2 ( x) , в точке c p не пр е р ы в на спр а в а . А на логи чно пока з ы в а е тся, чт о ф ункци я g 2 ( x) непр ер ы в на слев а в лю бой т очке c p , p > 0. И та к, g 2 ( x) не пр ер ы в на на отр ез ке [a; b] .

21

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Да ле е, в лю бой т очке x , в кот ор ой g ( x) и м е ет пр ои з в од ную , ф ункци я g 2 ( x) т а кже и м е е т пр ои з в од ную , та к ка к g1 ( x) пост оянна в некот ор ой окр е ст ност и т очки x ; пр и э том g 2' ( x) = g '( x).

По уже д ока з а нном у и м е ем b

∫ a

b

b

a

a

f ( x)dg 2 ( x) = ∫ f ( x) g 2' ( x)dx = ∫ f ( x) g '( x)dx.

(2.5.3)

Да ле е, m −1

b

b

∫ f ( x)dg ( x) = ∑ α ∫ f ( x)dh( x − c 1

+ k

k =0

a

m −1

m

k

a

m

b

k =1

a

) − ∑ α k− ∫ f ( x) dh(ck − x) =

= ∑ α f (ck ) − ∑ α ( − f (ck )) = f (a)( g (a + 0) − g (a)) + k =0

+ k

k =1

− k

(2.5.4)

m −1

+ ∑ f (ck )( g (ck + 0) − g (ck − 0)) + f (b)( g (b) − g (b − 0)). k =1

И нте гр а лв лев ой ча ст и ф ор м улы (2.5.4) суще ств уе т, посколь ку суще ств ую т в се и нте гр а лы в и д а b

∫ f ( x )dh( x − c

b

k

),

a

∫ f ( x)dh(c

k

− x).

a

(см . п. 2.4). Да лее, посколь ку f ( x) и нт е гр и р уем а и по g1 ( x) , и по g 2 ( x) , то f ( x) и нте гр и р уе м а и по g1 ( x ) + g2 ( x) = g ( x). Склад ы в а я р а в е нств а (2.5.3) и (2.5.4), получи м соот нош е ни е (2.5.2). Т е ор е м а д ока з а на . Пр и в е д ем пр и м е р ы в ы чи сле ни я и нт е гр а ла Сти лт ь е са . Пр и м ер 1. Вы чи сли ть и нт е гр а лСт и лть е са 3

∫ xdg ( x),

−1

 0, е сли x = −1,  г д е g ( x) =  1, е сли − 1 < x < 2,  −1, е сли 2 ≤ x ≤ 3. 

Ре ш е ни е. Ф ункци я g ( x) и м е е т ска чок 1 пр и x = −1 и ска чок –2 пр и x = 2 ; в ост а ль ны х т очка х g '( x) = 0 . Поэ т ом у 3

∫ xdg ( x) = (−1) ⋅1 + 2 ⋅ (−2) = −5.

−1

22

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Пр и м ер 2. Вы чи сли ть и нт е гр а л 2

∫ xdg ( x),

−2

 x + 2, е сли − 2 ≤ x ≤ −1,  г д е g ( x) =  2, е сли − 1 < x < 0,  x 2 3, е сли 0 x 2. ≤ ≤  +

Ре ш е ни е. Ф ункци я g(x) и м е ет ска чки , р а в ны е 1, пр и x=-1 и x=0. Пр ои з в од на я 1, е сли − 2 ≤ x < −1,  g '( x) = 0, е сли − 1 < x < 0,  2 x, е сли 0 x 2. < ≤ 

Поэ т ом у 2

∫

−2

xdg ( x) =

−1

2

5 2 ∫−2 xdx + 2∫0 x dx + (−1) ⋅1 + 0 ⋅1 = 2 6 .

23

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

ЛИ Т ЕРА Т УРА 1. Ф и хт е нголь ц Г . М . К ур с д и ф ф ер е нци аль ного и и нт е гр а ль ного и счи слени я. – М ., 1970. – Т . 3. – 656 с. 2. См и р нов В. И . К ур с в ы сш е й м а т ем а т и ки . – М ., 1959. – Т . 5. – 655 с. 3. Руд и н У. Основ ы м ат ем а т и че ского а на ли з а . – М ., 1976. – 319 с. 4. В. И. Соболе в . Ле кци и по д ополни т ель ны м глав а м м а те м ат и че ского а на ли з а . – М ., 1968. – 288 с. 5. А р хи пов Г . И ., Са д ов ни чи й В. А ., Ч уба р и ков В. Н. Лекци и по м а т ем а т и че ском у а на ли зу. – М ., 1999. – 695 с.

Соста в и т ели : Ре д а ктор :

Ла р и н А ле кса нд р А лекса нд р ов и ч Полов и нки н И гор ь Пе тр ов и ч. Б уни на Т . Д.

24

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com