Крупномасштабная структура пространства-времени

С.Хокинг, Дж.Эллис КРУПНОМАСШТАБНАЯ СТРУКТУРА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ М.: Мир, 1977, 432 стр.

Книга посвящена новому подходу к теории относительности и ее астрономическим приложениям, основанному на использовании методов современной дифференциальной геометрии. Применение их оказалось исключительно плодотворным при исследовании свойств пространства-времени в особых условиях, а именно проблем сингулярности в космологии, черных дыр и т. п. Авторы рассмотрели роль гравитации, методы дифференциальной геометрии и общую относительность, физический смысл кривизны пространства-времени, точные решения и задачу Коши в общей теории относительности, проблему сингулярности и ее приложения к выяснению природы черных дыр и различных этапов расширения Вселенной. Книга рассчитана на широкие круги физиков, математиков и астрономов, интересующихся проблемами релятивизма, и может служить учебным пособием для студентов. Содержание Предисловие к русскому изданию 5 Предисловие 7 Глава 1. Роль тяготения 9 Глава 2. Дифференциальная геометрия 18 2.1. Многообразия 19 2.2. Векторы и тензоры 23 2.3. Отображение многообразий 31 2.4. Внешнее дифференцирование и производная Ли 34 2.5. Ковариантная производная и тензор кривизны 40 2.6. Метрика 47 2.7. Гиперповерхности 55 2.8. Элемент объема и теорема Гаусса 60 2.9. Расслоенные пространства 62 Глава 3. Общая теория относительности 68 3.1. Пространственно-временное многообразие 68 3.2. Материальные (негравитационные) поля 71 3.3. Лагранжева формулировка 77 3.4. Уравнения поля 84 Глава 4. Физический смысл кривизны 91 4.1. Времениподобные кривые 91 4.2. Изотропные кривые 99 4.3. Энергетические условия 102 4.4. Сопряженные точки 110 4.5. Вариация длины дуги 116 Глава 5. Точные решения 132 5.1. Пространство-время Минковского 133

5.2. Пространство-время де Ситтера 1-го и 2-го рода 5.3. Пространство Робертсона—Уокера 5.4. Пространственно-однородные космологические модели 5.5. Решения Шварцшильда и Райсснера—Нордстрема 5.6. Решение Керра 5.7. Модель Вселенной Гёделя 5.8. Пространство Тауба — НУТ 5.9. Прочие точные решения Глава 6. Причинная структура 6.1. Ориентируемость 6.2. Причинные кривые 6.3. Ахрональные границы 6.4. Условия причинности 6.5. Области Коши 6.6. Глобальная гиперболичность 6.7. Существование геодезических 6.8. Причинная граница пространства-времени 6.9. Асимптотически простые пространства Глава 7. Задача Коши в общей теории относительности 7.1. Характер задачи 7.2. Приведенные уравнения Эйнштейна 7.3. Начальные данные 7.4. Гиперболические уравнения второго порядка 7.5. Существование и единственность решения задачи Коши для уравнений Эйнштейна для пустого пространства 7.6. Максимальное развитие и устойчивость 7.7. Уравнения Эйнштейна при наличии материи Глава 8. Сингулярности пространства-времени 8.1. Определение сингулярностей 8.2. Теоремы о сингулярностях 8.3. Описание сингулярностей 8.4. Характер сингулярностей 8.5. Захваченная неполнота Глава 9. Гравитационный коллапс и черные дыры 9.1. Коллапс звезды 9.2. Черные дыры 9.3. Конечное состояние черной дыры Глава 10. Начальная сингулярность во Вселенной 10.1. Расширение Вселенной 10.2. Природа и проявление сингулярностей Приложение А (Пьер Симон Лаплас) Приложение Б. Сферически-симметричные решения и теорема Биркхофа Обозначения Литература

140 151 160 167 180 187 190 198 200 201 202 207 210 224 229 236 241 245 251 252 253 256 259 270 276 282 285 285 291 307 316 321 333 333 343 359. 387 387 400 406 410 415 419

Предметный указатель

426

Предметный указатель Геодезическая кривая 43 Атлас 20, 70 - - максимальная 125, 126 - локально-конечный 22 Гиперповерхность 55 - ориентированный 35 - времениподобная 56 - полный 20 - изотропная 56 - совместный с данным атласом 20 - пространственноподобная 56 Аффинный параметр 43, 287 ГНБ (граничное НБ) 243—245, 249, - - обобщенный 288, 289 250 Базис 25 ГНП (граничное НП) 243—245, 249, - дуальный 26 250 - координатный 24 Горизонт кажущийся 356, 357—359 - ортонормированный - Коши 178, 198, 320 - псевдоортонормированный 100, 382 - событий 146 Бесконечность будущего (прошлого) - - бесконечности в будущем 185 времениподобная 137, 138, 145 - частиц 144 - - изотропная 137, 145 Граница ахрональная 208 - - пространственноподобная 137, 138 - пространства-времени 244 Бианки тождества 47, 54 Группа изометрии 55, 153, 367 Бранса — Дикке теория 72 - транзитивная 137, 165, 188 Будущее асимптотически Давление 83 предсказуемое 346 - вырожденных нейтронов 339 - сильно предсказуемое 348 - - электронов 337 - захваченное 216, 217 Девиация кривых 92 - причинное 203 - геодезических 101 - хронологическое 203, 241 Диаграмма Пенроуза 138, 139 Вариация кривой 121, 122 Диффеоморфизм 33, 34 - метрики 78 Длина пути вдоль кривой 47, 48 - поля 77 Задача Коши для материальных - связности 79 полей 72, 73 Вектор вариации 121—123 - - для уравнения Эйнштейна 253— - времениподобный 49, 69 258 - изотропный 49, 69 - - устойчивость решения 281, 334 - касательный к С*-кривой 24 Захват 216 - Киллинга 55 Захваченная неполнота 322, 323 - ковариантный 25 Идеальная жидкость 81, 83, 92 - поток 82 - - изоэнтропическая 83, 85 - пространственноподобный 49, 69 Излучение космическое фоновое Вложение 33, 55 387—389 Вращение 95 Изотропный конус 49, 53, 73 - изотропных геодезических 101 Карта локальная 20 Геодезическая 44 Киллинга бивектор 187 - изотропная 99 - вектор 55 - полная 44, 212

- векторное поле 55, 74, 153, 187 Коллапс звезды 333, 334 Компоненты тензора 28 Комплект (начальных данных) 258, 276, 278 Конгруэнция кривых 81 Контур будущего 204 Конформный множитель 53, 74, 76, 77 Координаты изотропные 133 - локальные 20 - нормальные 44, 52 Коперника принцип 151, 152, 167, 168, 387, 389 Космологическая постоянная 86, 109, 154, 159, 402 Край многообразия 20, 246 Кривая времениподобная 81 - интегральная 37 - класса С^k (С^k-кривая) 24 - направленная в будущее 205 - непродолжимая в будущее (прошлое) 205 - непространственноподобная 72 - предельная 205 - с захваченным будущим 216, 217 Кристоффеля соотношения 52 Лагранжиан заряженного скалярного поля 77, 81 - идеальной жидкости 81 - скалярного поля 80 - электромагнитного поля 80 Лифт 65 - горизонтальный 66 Локальная причинность (постулат) 72, 131, 210, 265 Локальное сохранение энергии и импульса (постулат) 74 Метрика 47—55, 68 - индуцированная 56 - конформная 53, 73—77, 89, 90, 200 - лоренцева 49—52, 56, 68, 90, 119, 286 - невырожденная 48

- положительно-определенная 49 - пространственно-временная 68, 84 - статическая 85 - фоновая 253—255, 271—276, 280— 281 Многообразие 19, 69 - геодезически полное 44, 216, 286, 289, 292, 296 - класса С^r (C^r-многообразие) 20 - - - - с краем 20 - накрывающее 228 Многообразие ориентируемое 22, 56, 60, 65 - паракомпактное 22, 44, 49—50 - параллелизуемое 65, 202 - причинно простое 210, 229, 295 - связное 68 - универсальное накрывающее 228 - хаусдорфово 22, 44, 69, 193, 194, 277, 278 Множество ахрональное 207, 225— 227, 232, 297 - будущего 207, 208, 209 - вполне упорядоченное 276 - глобально гиперболическое 229, 230—236 - ловушечное для будущего (прошлого) 297, 299 - нарушающее хронологию 210, 211 - непричинное 208, 227 - причинно простое 210, 229 Модель Вселенной Гёделя 187, 188— 190 - статическая Эйнштейна 137, 156 - стационарная 141 Модель пространства-времени математическая 68 - - - геодезически полная 33, 165 - - - изометричная 68 - - - - локально C^r-непродолжимая 71 - - - - локально C^r-нерасширяемая 71 - - - - C^r-нерасширяемая 71

НБ (неразложимое множество будущего) 241, 242—245 НП (неразложимое множество прошлого) 241, 242—245 Область Коши 135, 150, 166, 224, 232 - - будущего 224 - ловушечная 356 b-Ограниченность 325, 327 Окрестность выпуклая 44 - локальной причинности 217, 219 - нормальная 44 Отображение инъективное 32 - класса С^r (C^r-отображение) 19, 31 - конформное 53, 157 - собственное 33 - сюръективное 32, 62 - тензоров 32, 34 - экспоненциальное 44, 134 Перенос параллельный 213 - Ферми 94 Плоские волны (гравитационные) 199, 229 Поверхность внешняя ловушечная 355 - - - маргинальная 359 - замкнутая ловушечная 11, 174, 292, 297, 334 - Коши 135, 150, 199, 228, 295 - пространствениоподобная 113, 115 - стационарности предельная 185 - транзитивности 151, 152 Погружение 32 Подмногообразие вложенное 33 - погруженное 33 Подпространство вертикальное 66 - горизонтальное 66, 308 Поле линейных элементов 50, 212 - скалярное 80, 109 - - заряженное 81 - электромагнитное 80, 81 - якобиево 110, 125 - - вдоль изотропной геодезической 114 Полнота 289, 308

- геодезическая 286, 289 - метрическая 286, 308 Последовательность сильно сходящаяся 269 - слабо сходящаяся 270 - фундаментальная 286 Произведение внешнее прямое (многообразий) 62, 93 - тензорное 27 Производная внешняя 34, 35, 45 - ковариантная 41, 42 - - вдоль кривой 42 - Ли 37—40, 45 - Ферми 93, 94 Пространство дуальное касательному 25 - евклидово 10 - касательное 25 - компактное 40 - m-полное (метрически полное) 286, 308 - постоянной кривизны 140 - расслоенное 62 - Соболева 259, 260 - Тауба—НУТ 190, 191—198, 229, 322 - типа Бианки I 160 Пространство-время 68 - асимптотически простое 246, 247— 250 - - - пустое 246, 247—250 - - - в слабом смысле 251, 345 - - сильно предсказуемое 348, 353 - геодезически полное 286, 289, 292, 296 - де Ситтера го, рода, 1, 140, 141— 148 - - - го, рода, 2, 148, 149—151, 229 - компактное 189 - Минковского 133, 134—140, 247 - b-ограниченное 325—327 - ориентируемое по времени 201, 202, 212, 246 - b-полное 289, 308, 310, 326

- пространственно-ориентируемое 202 - расслоенное 62, 63 - регулярно предсказуемое 354, 356, 360 - - - статическое 363 - - - стационарное 360, 361, 366, 371 - Робертсона—Уокера 152, 153—159, 390—398 Прошлое асимптотически простое 352 Развитие (начальных данных) 253, 273—277 - максимальное 276—281 Разложение единицы 23, 36 Расхождение 96, 98 - изотропных геодезических 101, 108 - объемное 91, 111 Расслоение 62 - касательное 63 - линейных реперов 64, 194 - ортонормированных базисов 64 - тензорное 64 Расширение многообразия 70, 169, 172, 177, 183, 253, 276—281 C^r-Расширение 70, 171 Решение (уравнений Эйнштейна) 132 - Керра 180 - пространственно-однородное 160 - Райсснера — Нордстрема 175, 176—186, 229 - точное 132 - Шварцшильда 166—174, 167, 363, 412 Свертка тензора 28 Связность 40, 41, 52, 53, 65 - без кручения 45 - класса С^r (C^r-связность) 41 - плоская 47 Сигнатура метрики 48, 49 Сингулярность «голая» 346 - кривизны в параллельно перенесенном базисе 290, 323 - скалярных полиномов кривизны 290

Скалярная кривизна 52 СНБ (СНП) 243, 245 Собственно-разрывное действие группы 193, 194 Тензор 26 - антисимметричный 30 - Вейля 53, 54, 98, 102 - вращения 95 - кручения 45 - метрический 47 - параллельный перенос 43 - поперечного сдвига 96 - расхождения 96 - Римана (кривизны) 46, 47, 52—54, 93, 98, 99 - - на гиперповерхности 59 - Риччи 47, 52, 98 - свертка 28 - симметричный 30 - сложение 27 - умножение на скаляр 27 - фундаментальный второй 113 - - первый 113 - энергии-импульса 78—80, 102—110 - - - идеальной жидкости 83 - - - канонические формы (типы) 102, 103 - - - скалярного поля 80, 81 - - - электромагнитного поля 81 Теорема Биркхофа 413 - Гаусса 62 - Стокса 35 - - обобщенная 36 Теория относительности общая 68, 72, 403 - - специальная 68, 72, 74, 133 Топология 19, 220 - Александрова 219, 220 - лоренцевых метрик 220, 280 - открытая 221 - пространства кривых 230, 231, 238 Точка конечная 205, 209, 226 - предельная 205, 207 - сопряженная поверхности 113, 131

- - точке 111, 112—114, 125, 130 Уравнение Гаусса 59 - Кодацци 59 - Райчаудхури 97, 98, 101, 111 - Якоби (девиации) 93, 110 Уравнения поля (постулат) 90 Уравнения Эйлера — Лагранжа 78 - Эйнштейна 87, 88, 89, 131, 252 - - приведенные 255, 270—276 Условие, выделяющее будущее 215, 216 - времениподобного схождения 108, 319, 398 - изотропного схождения 108, 109, 319, 398 - Липшица 19, 70, 238 - причинности 211, 212—216, 241, 398 - сильной причинности 215, 216— 219, 231—233, 302 - типовое 115, 213, 296, 359 - устойчивой причинности 221 - хронологическое 210, 297

- энергетическое сильное 109, 154, 334, 398 - - слабое 102, 103—105, 334 - энергодоминантности 104, 360 Условия калибровочные 255 - - гармонические 255 Устойчивость решения задачи Коши 281, 334 Форма линейная 25, 56, 57 - каноническая 60 - фундаментальная вторая 58 форма, 1, 30 q-форма 30, 34 Функция на многообразии 23 - - - класса С^r (C^r-функция) 23 Черная дыра 351, 352—359, 368—370 - - вращающаяся 362—370 - - слияние 370—373 Шварцшильда радиус 334 Шварцшильдова длина 393 Эйлера характеристика 61, 65 Эйнштейна оператор 255 Эргосфера 185, 364—366, 369