Збірник задач з аналітичної геометрії

ŒÆ­Æ±²¥°±²¢® ®±¢Æ²¨ Æ ­ ³ª¨ “ª° È­¨ ‹¼¢Æ¢±¼ª¨© ­ ¶Æ®­ «¼­¨© ³­Æ¢¥°±¨²¥² Ƭ¥­Æ Å¢ ­  ”° ­ª 

’. ­ µ, .®ª «®, ž.Ź³ª, •.’°³¹ ª

‡¡Æ°­¨ª § ¤ · §  ­ «Æ²¨·­®È £¥®¬¥²°ÆÈ

‹¼¢Æ¢ | 2003

‡¡Æ°­¨ª § ¤ · §  ­ «Æ²¨·­®È £¥®¬¥²°ÆÈ. | ‹¼¢Æ¢: ‚¨¤ ¢­¨·¨© ¶¥­²° ‹“ Ƭ¥­Æ Å¢ ­  ”° ­ª , 2003. | 105.  ­ µ ’., ®ª «® ., Ź³ª ž., ’°³¹ ª •.

‡¡Æ°­¨ª § ¤ · §  ­ «Æ²¨·­®È £¥®¬¥²°ÆÈ ±ª« ¤ Ä²¼±¿ § 9 °®§¤Æ«Æ¢ Æ 42 ¯ ° £° ´Æ¢.   ¯®· ²ª³ ª®¦­®£® ¯ ° £° ´  ­ ¢¥¤¥­® ¤¥¿ªÆ ®§­ ·¥­­¿ ²  § ¤ ·Æ, ¿ªÆ ¬ ¾²¼ ²¥®°¥²¨·­¥ §­ ·¥­­¿. „«¿ ±²³¤¥­²Æ¢ ¬¥µ ­Æª®-¬ ²¥¬ ²¨·­®£® ´ ª³«¼²¥²³ ‹¼¢Æ¢±¼ª®£® ­ ¶Æ®­ «¼­®£® ³­Æ¢¥°±¨²¥²³, ¿ªÆ ¢¨¢· ¾²¼ ª³°± "€­ «Æ²¨·­  £¥®¬¥²°Æ¿",   ² ª®¦ ¡³¤¥ ª®°¨±­¨¬ ±²³¤¥­² ¬, ¿ªÆ ¢¨¢· ¾²¼ ª³°± "€«£¥¡°  ©  ­ «Æ²¨·­  £¥®¬¥²°Æ¿".

¥ª®¬¥­¤®¢ ­® ¤® ¤°³ª³ ª ´¥¤°®¾  «£¥¡°¨ Æ ²®¯®«®£ÆÈ DZ°®²®ª®«

 9 ¢Æ¤ 15.04.2002

¤-° ´Æ§.-¬ ². ­ ³ª, ¯°®´., .Œ. ’ ¶Æ© (‹¼¢Æ¢,  ¶Æ®­ «¼­¨© ³­Æ¢¥°±¨²¥² "‹¼¢Æ¢±¼ª  ¯®«Æ²¥µ­Æª "); ¤-° ´Æ§.-¬ ². ­ ³ª, ¯°®´., Œ.‚. ‡ ¡®«®¶¼ª¨© (‹¼¢Æ¢±¼ª¨© ­ ¶Æ®­ «¼­¨© ³­Æ¢¥°±¨²¥² Ƭ¥­Æ Å¢ ­  ”° ­ª )

¥¶¥­§¥­²¨:

c

 ­ µ ’., ®ª «® ., Ź³ª ž., ’°³¹ ª •., 2003.

®§¤Æ« I ‚¥ª²®°­   «£¥¡° . Š®®°¤¨­ ²¨ ¢¥ª²®°Æ¢ Æ ²®·®ª x

1.

DZ®­¿²²¿ ¢¥ª²®° . ‹Æ­Æ©­Æ ®¯¥° ¶ÆÈ ­ ¤ ¢¥ª²®° ¬¨

¥µ © § ¤ ­® ²®·ª¨ A(4; 3; 5); B( 3; 2; 1); C (2; 3; 0). ‡­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ȵ ¯°®¥ª¶Æ© ­  ª®®°¤¨­ ²­Æ ¯«®¹¨­¨ ²  ®±Æ. ‡­ ©²¨ ±¨¬¥²°¨·­Æ ²®·ª¨ ¤® § ¤ ­¨µ ±²®±®¢­® ¯®· ²ª³ ª®®°¤¨­ ². 1.2. „®¢¥±²¨, ¹® ¯ ° «¥«¼­¨¬ ¯¥°¥­¥±¥­­¿¬ ¬¥¤Æ ­ ²°¨ª³²­¨ª  ¬®¦­  ±ª« ±²¨ Æ­¸¨© ²°¨ª³²­¨ª. 1.3. ‡ ¬¥¤Æ ­ ²°¨ª³²­¨ª  ABC ±ª« ¤¥­® ²°¨ª³²­¨ª A1 B1 C1 ,   § ¬¥¤Æ ­ ²°¨ª³²­¨ª  A1B1C1 | ²°¨ª³²­¨ª A2B2C2. „®¢¥±²¨, ¹® ²°¨ª³²­¨ª A2 B2 C2 ¯®¤Æ¡­¨© ¤® ²°¨ª³²­¨ª  ABC § ª®¥´Æ¶ÆÄ­²®¬ ¯®¤Æ¡­®±²Æ 3=4. 1.4. ‘²®°®­¨ ²°¨ª³²­¨ª  T ¯ ° «¥«¼­Æ ¬¥¤Æ ­ ¬ ²°¨ª³²­¨ª  T1 . „®¢¥±²¨, ¹® ¬¥¤Æ ­¨ ²°¨ª³²­¨ª  T ¯ ° «¥«¼­Æ ±²®°®­ ¬ ²°¨ª³²­¨ª  T1. 1.5. ŧ ²®·ª¨ ¢±¥°¥¤¨­Æ ®¯³ª«®£® ¬­®£®ª³²­¨ª  ¢¨¯³¹¥­® ¯°®¬¥­Æ ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­Æ ±²®°®­ ¬ ¬­®£®ª³²­¨ª  Æ ­  ª®¦­®¬³ ¯°®¬¥­Æ ¢Æ¤±² ¢«¥­® ¢¥ª²®°, ¤®¢¦¨­  ¿ª®£® ¤®°Æ¢­¾Ä ¤®¢¦¨­Æ ¢Æ¤¯®¢Æ¤­®È ±²®°®­¨. „®¢¥±²¨, ¹® ±³¬  ¶¨µ ¢¥ª²®°Æ¢ ¤®°Æ¢­¾Ä ­³«¾. 1.6. ŧ ²®·ª¨ ¢±¥°¥¤¨­Æ ®¯³ª«®£® ¬­®£®£° ­­¨ª  ¢¨¯³¹¥­® ¯°®¬¥­Æ ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­Æ £° ­¿¬ Æ ­  ª®¦­®¬³ ¯°®¬¥­Æ ¢Æ¤±² ¢«¥­® ¢¥ª²®°, ¤®¢¦¨­  ¿ª®£® ¤®°Æ¢­¾Ä ¯«®¹Æ ¢Æ¤¯®¢Æ¤­®È £° ­Æ. „®¢¥±²¨, ¹® ±³¬  ¶¨µ ¢¥ª²®°Æ¢ ¤®°Æ¢­¾Ä ­³«¾. 1.1.

3

4

Ž‡„Å‹ I.

‚…Š’Ž€ €‹ƒ…€

‘³¬  ·®²¨°¼®µ ®¤¨­¨·­¨µ ¢¥ª²®°Æ¢ ¤®°Æ¢­¾Ä ­³«¾. „®¢¥±²¨, ¹® ¶Æ ¢¥ª²®°¨ ¬®¦­  °®§¡¨²¨ ­  ¯ °¨ ¢§ Ä¬­® ¯°®²¨«¥¦­¨µ ¢¥ª²®°Æ¢. 1.8. ¥µ © M , N | ±¥°¥¤¨­¨ ¢Æ¤°Æ§ªÆ¢ AB Æ AC ,   P | ±¥°¥¤¨­  ¢Æ¤°Æ§ª  ~ + OB ~ + MN . „®¢¥±²¨, ¹® ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­®È ²®·ª¨ O ¯° ¢¨«¼­  °Æ¢­Æ±²¼ 2OA ~ ~ OC = 4OP . 1.9. ¥µ © A; B; C; D; E | ¤®¢Æ«¼­Æ ²®·ª¨. ‡­ ©²¨ Æ ®¯¨± ²¨ ³±Æ ²®·ª¨ ~ + OB ~ + OC ~ = OD ~ + OE ~ . O ¤«¿ ¿ª¨µ ¢¨ª®­³Ä²¼±¿ °Æ¢­Æ±²¼ OA 1.7.

x

2.

„¥ª °²®¢Æ ª®®°¤¨­ ²¨ ­  ¯«®¹¨­Æ ²  ¢ ¯°®±²®°Æ

“ ¯ ° «¥«®£° ¬Æ ABCD ²®·ª  K | ±¥°¥¤¨­  ¢Æ¤°Æ§ª  BC Æ ²®·ª  !i O | ²®·ª  ¯¥°¥²¨­³ ¤Æ £®­ «¥©. DZ°¨©¬ ¾·¨ §  ¡ §®¢Æ ¢¥ª²®°¨ AB ! ! ! ! AD, §­ ©²¨ ¢ ¶Æ© ¡ §Æ ª®®°¤¨­ ²¨ ¢¥ª²®°Æ¢ BD , CO, KD. 2.2. “ ²°¨ª³²­¨ª³ ABC ²®·ª  M | ±¥°¥¤¨­  ¢Æ¤°Æ§ª  AB!Æ ²®·ª  !, O | ²®·ª  ¯¥°¥²¨­³ ¬¥¤Æ ­. DZ°¨©¬ ¾·¨ §  ¡ §®¢Æ ¢¥ª²®°¨ AB i AC !, AO !, MO !. §­ ©²¨ ¢ ¶Æ© ¡ §Æ ª®®°¤¨­ ²¨ ¢¥ª²®°Æ¢ AM 2.3. “ ²° ¯¥¶ÆÈ ABCD ¤®¢¦¨­¨ ®±­®¢ BC i AD ¢Æ¤­®±¿²¼±¿ ¿ª 2 : 3. ! i BD !, §­ ©²¨ ¢ ¶Æ© ¡ §Æ ª®®°¤¨­ ²¨ DZ°¨©¬ ¾·¨!§  ! ¡ §®¢Æ!¢¥ª²®°¨ AC ! ¢¥ª²®°Æ¢ AB, BC , CD, DA. 2.4. ’®·ª¨ E i F Ä ±¥°¥¤¨­ ¬¨ ±²®°Æ­ AB i CD ·®²¨°¨ª³²­¨ª  ABCD . ! = 1 (BC ! + AD !). „®¢¥±²¨, ¹® EF 2 2.5. ‡ ¤ ­® ¯° ¢¨«¼­¨© ¸¥±²¨ª³²­¨ª ABCDEF . DZ°¨©¬ ¾·¨ §  ¡ §®¢Æ ! i AF !, §­ ©²¨ ¢ ¶Æ© ¡ §Æ ª®®°¤¨­ ²¨ ¢¥ª²®°Æ¢ BC !, BD !, CD !, ¢¥ª²®°¨ AB ! ! ! ! DE , CE , EF , CF . 2.6. “ ²¥²° ¥¤°  OABC ²®·ª¨ K; L; M; N; P; Q | ±¥°¥¤¨­¨ °¥¡¥° OA, OB , OC , AB , AC , BC ¢Æ¤¯®¢Æ¤­®, S | ²®·ª  ¯¥°¥²¨­³ ¬¥¤Æ ­ ²°¨ª³²!, OB ! i OC !, §­ ©²¨ ¢ ¶Æ© ­¨ª  ABC . DZ°¨©¬ ¾·¨ §  ¡ §®¢Æ ¢¥ª²®°¨ OA 2.1.

¡ §Æ ª®®°¤¨­ ²¨: ! ! ! 1) ¢¥ª²®°Æ¢ AB , BC , AC!; ! ! ! ! 2) ¢¥ª²®°Æ¢ KL P Q, NC , MP i KQ; !,, KS !. 3) ¢¥ª²®°Æ¢ OS 2.7.

‡ ¤ ­® ²°¨ ²®·ª¨ O; A; B, ¿ªÆ ­¥ «¥¦ ²¼ ­  ®¤­Æ© ¯°¿¬Æ©. DZ°¨©-

x

2. „…Š€’Ž‚Å ŠŽŽ„ˆ€’ˆ € DZ‹Ž™ˆÅ ’€ ‚ DZŽ‘’ŽÅ

5

! Æ OB !, §­ ©²¨: ¬ ¾·¨ §  ¡ §®¢Æ ¢¥ª²®°¨ OA ! 1) ª®®°¤¨­ ²¨ ¢¥ª²®°  OM , ¿ª¹® ²®·ª  M «¥¦¨²¼ ­  ¢Æ¤°Æ§ª³ AB Æ jAM j : jBM j = m : n; !, ¿ª¹® ²®·ª  N «¥¦¨²¼ ­  ¯°¿¬Æ© AB 2) ª®®°¤¨­ ²¨ ¢¥ª²®°  ON ¯®§  ¢Æ¤°Æ§ª®¬ AB Æ jAN j : jBN j = m : n. 2.8. “ ²°¨ª³²­¨ª³ ABC ¯°®¢¥¤¥­® ¡Æ±¥ª²°¨±³ AD . ‡­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ! ¢ ¡ §Æ, ³²¢®°¥­Æ© ¢¥ª²®° ¬¨ AB ! i AC !. ¢¥ª²®°  AD 2.9. ‡ ¤ ­® ¯° ¢¨«¼­¨© ¸¥±²¨ª³²­¨ª ABCDEF . DZ°¨©¬ ¾·¨ §  ¯®! i AE !, §­ ©²¨ · ²®ª ª®®®°¤¨­ ² ¢¥°¸¨­³ A,   §  ¡ §®¢Æ ¢¥ª²®°¨ AC ª®®°¤¨­ ²¨ ¢¥°¸¨­ ¸¥±²¨ª³²­¨ª  Æ ©®£® ¶¥­²° . 2.10. “ ²° ¯¥¶ÆÈ ABCD ¢Æ¤­®¸¥­­¿ ¤®¢¦¨­ ®±­®¢ AD i BC ¤®°Æ¢­¾Ä 4.!DZ°¨©¬ ¾·¨ §  ¯®· ²®ª ª®®®°¤¨­ ² ¢¥°¸¨­³ A,   §  ¡ §®¢Æ ¢¥ª²®°¨ ! AD i AB , §­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ¢¥°¸¨­ ²° ¯¥¶ÆÈ, ²®·ª¨ M ¯¥°¥²¨­³ ÈÈ ¤Æ £®­ «¥© Æ ²®·ª¨ S ¯¥°¥²¨­³ ¯°®¤®¢¦¥­­¿ ¡Æ·­¨µ ±²®°Æ­. 2.11. ’°¨ ²®·ª¨ A(20; 15); B ( 16; 0); C ( 8; 6) ­¥ «¥¦ ²¼ ­  ®¤­Æ© ¯°¿¬Æ© Æ Ä ¯®±«Æ¤®¢­¨¬¨ ¢¥°¸¨­ ¬¨ ¯ ° «¥«®£° ¬ . ‡­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ·¥²¢¥°²®È ¢¥°¸¨­¨ D ¶¼®£® ¯ ° «¥«®£° ¬ . 2.12. „®¢¥±²¨ ² ª¥: ¿ª¹® ¤Æ £®­ «Æ ·®²¨°¨ª³²­¨ª  ¢ ²®·¶Æ ¯¥°¥²¨­³ ¤Æ«¿²¼±¿ ­ ¢¯Æ«, ²® ¶¥© ·®²¨°¨ª³²­¨ª | ¯ ° «¥«®£° ¬. ! = ~a, OB ! = ~b. ‡­ ©²¨ 2.13. ‡ ²®·ª¨ O ¢¨µ®¤¨²¼ ¤¢  ¢¥ª²®°¨ OA ! ¿ª¨©-­¥¡³¤¼ ¢¥ª²®° OM , ¿ª¨© «¥¦¨²¼ ­  ¡Æ±¥ª²°¨±Æ ª³²  AOB. ! ! 2.14.   ±²®°®­Æ AD ¯ ° «¥«®£° ¬  ABCD ¢Æ¤ª« ¤¥­® ¢Æ¤°Æ§®ª AK = ! ! 1 ! 1 ! AD,   ­  ¤Æ £®­ «Æ AC | ¢Æ¤°Æ§®ª AL = 6 AC . „®¢¥±²¨, ¹® ¢¥ª²®°¨ 5 ! ! ! ª®«Æ­¥ °­Æ. ‡­ ©²¨ ¢Æ¤­®¸¥­­¿ jKL KL i LB !jj . jLB 2.15. „®¢¥±²¨, ¹® ·®²¨°¨ ¢Æ¤°Æ§ª¨, ¿ªÆ §'Ĥ­³¾²¼ ¢¥°¸¨­¨ ²¥²° ¥¤°  § ²®·ª ¬¨ ¯¥°¥²¨­³ ¬¥¤Æ ­ ¯°®²¨«¥¦­¨µ £° ­¥©, ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿ ¢ ®¤­Æ© ²®·¶Æ Æ ¤Æ«¿²¼±¿ ¢ ¶Æ© ²®·¶Æ ³ ¢Æ¤­®¸¥­­Æ 3:1. 2.16.   ¯«®¹¨­Æ § ¤ ­® ¯°¿¬®ª³²­¨© ²°¨ª³²­¨ª ABC § ª ²¥² ¬¨ AB = 3 i AC = 4. ! DZ®· ²ª®¬ ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² Ä ²®·ª  A, ¡ §®¢Æ !. ‡­ ©²¨: ¢¥ª²®°¨ | ¢¥ª²®°¨ AB i BC 1) ª®®°¤¨­ ²¨ ¢¥ª²®°  ¢¨±®²¨, ®¯³¹¥­®È § ¢¥°¸¨­¨ A ­  ±²®°®­³ BC ; 2) ª®®°¤¨­ ²¨ ¢¥ª²®°  ¡Æ±¥ª²°¨±¨ ª³²  A; 3) ª®®°¤¨­ ²¨ ¢¥ª²®°  ¬¥¤Æ ­¨, ¯°®¢¥¤¥­®È § ¢¥°¸¨­¨ A;

6

Ž‡„Å‹ I.

‚…Š’Ž€ €‹ƒ…€

4) ª®®°¤¨­ ²¨ ¶¥­²°Æ¢ ¢¯¨± ­®£® © ®¯¨± ­®£® ªÆ«. 2.17.   ¯«®¹¨­Æ § ¤ ­® ¯ ° «¥«®£° ¬ ABCD § ±²®°®­ ¬¨ AB = 3, AD = 5 i \BAD = 60o . DZ®· ²ª®¬ ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² Ä ²®·ª  A, ¡ §®¢Æ ! i AD !. ‡­ ©²¨: ¢¥ª²®°¨ | ¢¥ª²®°¨ AB 1) ª®®°¤¨­ ²¨ ¢¥°¸¨­ ¯ ° «¥«®£° ¬  ¢ ¶Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ²; ! ! 2) ª®®°¤¨­ ²¨ ¢¥ª²®°Æ¢ BH i DK ¢¨±®² ¯ ° «¥«®£° ¬ . x

3.

‘ª «¿°­¨© ¤®¡³²®ª ¢¥ª²®°Æ¢

Ÿª¹® ª®¦­Æ© ¢¯®°¿¤ª®¢ ­Æ© ¯ °Æ ¢¥ª²®°Æ¢ (~a;~b) ±² ¢¨²¼±¿ ³ ¢Æ¤¯®¢Æ¤­Æ±²¼ ·¨±«®, ²® ª ¦¥¬®, ¹® § ¤ ­® ±ª «¿°­³ ´³­ª¶Æ¾ ¢Æ¤ ¤¢®µ ¢¥ª²®°­¨µ  °£³¬¥­²Æ¢. ‘ª «¿°­  ´³­ª¶Æ¿ ' ¢Æ¤ ¤¢®µ ¢¥ª²®°­¨µ  °£³¬¥­²Æ¢ ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ¡Æ«Æ­Æ©­®¾, ¿ª¹® ¢¨ª®­³¾²¼±¿ ² ªÆ ³¬®¢¨: 1) 8~a;~b;~c '(~a + ~b;~c) = '(~a;~c) + '(~b;~c) Æ '(~a;~b + ~c) = '(~a;~b) + '(~a;~c); 2) 8~a;~b; 8 2 R '(~a;~b) = '(~a; ~b) = '(~a;~b). Æ«Æ­Æ©­  ´³­ª¶Æ¿ '(~a;~b) ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ¬¥²°¨·­®¾, ¿ª¹® ¯° ¢¨«¼­Æ ² ªÆ ³¬®¢¨: 1) 8~a;~b '(~a;~b) = '(~b;~a) (³¬®¢  ±¨¬¥²°¨·­®±²Æ); 2) ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­®£® ®¤¨­¨·­®£® ¢¥ª²®°  ~a '(~a;~a) = 1. “ ¯°®±²®°Æ Ʊ­³Ä Ĥ¨­  ¬¥²°¨·­  ´³­ª¶Æ¿ g(~x; ~y). ‡­ ·¥­­¿ ¶ÆÄÈ ¬¥²°¨·­®È ´³­ª¶ÆÈ ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ±ª «¿°­¨¬ ¤®¡³²ª®¬ ¢¥ª²®°Æ¢ ~x; ~y. Ÿª¹® ~e1 ; ~e2; ~e3 | ¤¥¿ª  ¡ §  ¯°®±²®°³, ²® ±ª «¿°­¨© ¤®¡³²®ª ¢¥ª²®°Æ¢ ~x; ~y ¬®¦­  ¯®¤ ²¨ ³ ² ª®¬³ ¬ ²°¨·­®¬³ ¢¨£«¿¤Æ: 0

T

g (~x; ~y) = ~x U~y = (x1 ; x2; x3) @

u11 u12 u13 u21 u22 u23 u31 u32 u33

10 A@

y1 y2 y3

1

A;

¤¥ xi; yi; i 2 f1; 2; 3g ª®®°¤¨­ ²¨ ¢¥ª²®°Æ¢ ~x; ~y, U P= [uij ] | ¬ ²°¨¶¿ P ¬¥²°¨·­®È ´³­ª¶ÆÈ g ¢ ¡ §Æ ~e1; ~e2; ~e3. (’®¡²®, ~x = xi~ei; ~y = yi~ei Æ uij = g (~ei; ~ej )). 0 3.1. ŸªÆ § § ¤ ­¨µ ´³­ª¶Æ© Ä ¡Æ«Æ­Æ©­¨¬¨, ±¨¬¥²°¨·­¨¬¨, ¬¥²°¨·­¨¬¨? 1) '(~a;~b) = j~aj + j~bj; 2) '(~a;~b) = j~ajj~bj cos(~ac;~b);

x

3. ‘Š€‹Ÿˆ‰ „Ž“’ŽŠ ‚…Š’ŽÅ‚

7

3) '(~a;~b) = j~aj + 5; 4) '(~a;~b) = 2j~ajj~bj. 0 3.2. ¥µ © (1 ; 2 ; 3 ) Æ ( 1 ; 2 ; 3) ª®®°¤¨­ ²¨ ¢¥ª²®°Æ¢ ~ a Æ ~b ¢ ¤¥¿ªÆ© ¡ §Æ ~e1; ~e2; ~e3. ŸªÆ § § ¤ ­¨µ ´³­ª¶Æ© ¡Æ«Æ­Æ©­Æ, ±¨¬¥²°¨·­Æ, ¬¥²°¨·­Æ? 1) '(~a;~b) = 1 1 + 2 2 + 3 3; 2) '(~a;~b) = 1 2 2 1; 3) '(~a;~b) = 1 + 1; 4) '(~a;~b) = 1 1 +22 2 +33 3 + 1 2 + 2 1. 0 3.3. „®¢¥±²¨ ² ª¥: ¿ª¹® '(~ a; ~b) | ¬¥²°¨·­  ´³­ª¶Æ¿ ²  ¢¥ª²®°¨ ~a; ~b ¢§ Ä¬­® ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­Æ, ²® '(~a;~b) = 0: 0 3.4. ¥µ © g (~ x; ~y) ¬¥²°¨·­  ´³­ª¶Æ¿,   ~i; ~j; ~k | ®°²®­®°¬®¢ ­  ¡ §  ¯°®±²®°³. „®¢¥±²¨ ² ª¥: ¿ª¹® ¢¥ª²®°¨ ~a;~b ¢ ¡ §Æ ~i; ~j; ~k ¬ ¾²¼ ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® ª®®°¤¨­ ²¨ (1; 2; 3) Æ ( 1; 2; 3), ²® g(~a;~b) = 1 1 + 2 2 + 3 3: 0 3.5. „®¢¥±²¨, ¹® ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­¨µ ¢¥ª²®°Æ¢ ~ a; ~b;~c Æ ¤®¢Æ«¼­®£® ·¨±«   ®¤¥°¦³Ä¬®: 1) ~a
~b = ~b
~a; 2) (~a)
~b = (~a
~b); 3) ~a
(~b) = ~a
~b; 4) ~a
(~b + ~c) = ~a~b + ~a~c; 5) ~a
~a = j~aj2. 0 3.6. „®¢¥±²¨, ¹® ±ª «¿°­¨© ¤®¡³²®ª ¢¥ª²®°Æ¢ ~ a; ~b ¤®°Æ¢­¾Ä ¤®¡³²ª³ ȵ­Æµ ¤®¢¦¨­ ­  ª®±¨­³± ª³²  ¬Æ¦ ­¨¬¨. 3.7. ‡­ ©²¨ ±ª «¿°­¨© ¤®¡³²®ª ¢¥ª²®°Æ¢ ~ a i ~b, ¿ª¹®: o 1) j~aj = 3, j~bj = 1, \(~a;~b) = 45 ; 2) j~aj = 6, j~bj = 7, \(~a;~b) = 120o; 3) j~aj = 4, j~bj = 2, \(~a;~b) = 90o; 4) j~aj = 5, j~bj = 1, ~a i ~b ±¯Æ¢­ ¯°¿¬«¥­Æ; 5) j~aj = 2, j~bj = 3, ~a i ~b ¯°®²¨«¥¦­® ­ ¯°¿¬«¥­Æ. p ~ ~2 3.8. Ž¡·¨±«¨²¨ ¢¨° § j~ aj2 3(~a; b) + 5jbj , ¿ª¹®: 1) j~aj = 2, j~bj = 1, \(~a;~b) = 30o; 2) j~aj = 3, j~bj = 2, \(~a;~b) = 150o. 3.9. ‡­ ©²¨ ±ª «¿°­¨© ¤®¡³²®ª ¢¥ª²®°Æ¢ ~ a i ~b, ¿ªÆ § ¤ ­Æ ¢ ¯°¿¬®ª³²­Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ²: 1) ~a(4; 1), ~b( 1; 7); 2) ~a(2; 1), ~b(1; 3); 3) ~a(1; 2), ~b( 4; 2). 3.10. ‡ ¤ ­® ²°¨ ¢¥ª²®°¨ ~ a; ~b;~c ² ªÆ, ¹® j~aj = j~bj = j~cj = 1, ~a + ~b + ~c = 0. Ž¡·¨±«¨²¨ (~a;~b) + (~b;~c) + (~c;~a). 3.11. ‡ ¤ ­® ²°¨ ¯®±«Æ¤®¢­Æ ¢¥°¸¨­¨ ¯ ° «¥«®£° ¬  A( 3; 2; 0), ! B (3; 3; 1), C (5; 0; 2). ‚¨§­ ·¨²¨ ª³²¨ (³ £° ¤³± µ) ¬Æ¦ ¢¥ª²®° ¬¨ AC

8

Ž‡„Å‹ I.

‚…Š’Ž€ €‹ƒ…€

!, ¿ª¹® D | ·¥²¢¥°²  ¢¥°¸¨­  ¯ ° «¥«®£° ¬ . i BD 3.12. ‡ ¢¥°¸¨­¨ ¯°¿¬®ª³²­¨ª  §Æ ±²®°®­ ¬¨ 4 Æ 6 ¯°®¢¥¤¥­® ¤¢Æ ¯°¿¬Æ,p ¹® ¯®¤Æ«¨«¨ ¯°®²¨«¥¦­Æ ±²®°®­¨ ¯°¿¬®ª³²­¨ª  ­ ¢¯Æ«. Ž¡·¨±«¨²¨ 5 10 cos ', ¤¥ ' | ª³² ¬Æ¦ ¶¨¬¨ ¯°¿¬¨¬¨. 3.13. Ž¡·¨±«¨²¨ ¯«®¹³ ²°¨ª³²­¨ª , ¯®¡³¤®¢ ­®£® ­  ¢¥ª²®° µ ~ a i ~c, ¹® Æ ¢¨µ®¤¿²¼ § ®¤­ÆÄÈ ²®·ª¨, ¿ª¹® ª³² ¬Æ¦ ­¨¬¨ ¤®°Æ¢­¾Ä 45 Æ ±ª «¿°­¨© ¤®¡³²®ª ~a
~c = 2. 3.14. Ž¡·¨±«¨²¨ ¯«®¹³ ¯ ° «¥«®£° ¬ , ¯®¡³¤®¢ ­®£® ­  ¢¥ª²®° µ ~ a i ~c, ¹® ¢¨µ®¤¿²¼ § ®¤­ÆÄÈ ²®·ª¨, ¿ª¹® ª³² ¬Æ¦ ­¨¬¨ ¤®°Æ¢­¾Ä 45Æ Æ ±ª «¿°­¨© ¤®¡³²®ª ~a
~c = 18. 3.15. Ž¡·¨±«¨²¨ ¯«®¹³ ²°¨ª³²­¨ª , ¯®¡³¤®¢ ­®£® ­  ¢¥ª²®° µ ~ a i ~c, ¹® Æ ¢¨µ®¤¿²¼ § ®¤­ÆÄÈp²®·ª¨, ¿ª¹® ª³² ¬Æ¦ ­¨¬¨ ¤®°Æ¢­¾Ä 30 Æ ±ª «¿°­¨© ¤®¡³²®ª ~a
~c = 4 3. 3.16. ‚¥ª²®°¨ ~ a i ~c ³²¢®°¾¾²¼ ª³² 120Æ i j~aj = 9, j~cj = 5. Ž¡·¨±«¨²¨ 2 j~a ~cj . 3.17. ‚¥ª²®°¨ ~ a i ~c ³²¢®°¾¾²¼ ª³² 60Æ i j~aj = 9, j~cj = 1. Ž¡·¨±«¨²¨ 2 j~a ~cj . 3.18. Ž¤¨­¨·­Æ ¢¥ª²®°¨ ~ a i ~c ³²¢®°¾¾²¼ ª³² 120Æ. Ž¡·¨±«¨²¨ (³ £° ¤³± µ) ª³² ¬Æ¦ ¢¥ª²®° ¬¨ 2~a + 4~c i ~a ~c. 3.19. Ÿª¨© ª³² (³ £° ¤³± µ) ³²¢®°¾¾²¼ ®¤¨­¨·­Æ ¢¥ª²®°¨ ~ a i ~c, ¿ª¹® ¢¥ª²®°¨ ~a + 2~c i 5~a 4~c ¢§ Ä¬­® ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­Æ? 3.20. ‚¥ª²®°¨ ~ a i ~c ³²¢®°¾¾²¼ ª³² 120Æ i j~aj = 2, j~cj = 5. DZ°¨ ¿ª®¬³ §­ ·¥­­Æ ¯ ° ¬¥²°  m ¢¥ª²®°¨ m~a + 17~c i 3~a ~c ¡³¤³²¼ ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­¨¬¨? 3.21. Ž¡·¨±«¨²¨ (³ £° ¤³± µ) ª³² ¬Æ¦ ¢¥ª²®° ¬¨ 3~ a + 2~c i ~a + 5~c, ¿ª¹® ®¤¨­¨·­Æ ¢¥ª²®°¨ ~a i ~c ¢§ Ä¬­® ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­Æ. 3.22. Ž¤¨­¨·­Æ ¢¥ª²®°¨ ~ a i ~c ³²¢®°¾¾²¼ ª³² 60Æ . Ž¡·¨±«¨²¨ ±³¬³ ª¢ ¤° ²Æ¢ ¤®¢¦¨­ ¤Æ £®­ «¥© ¯ ° «¥«®£° ¬ , ¯®¡³¤®¢ ­®£® ­  ¢¥ª²®° µ 2~a+~c i ~a 2~c, ¹® ¢¨µ®¤¿²¼ § ®¤­ÆÄÈ ²®·ª¨. 3.23. Ž¡·¨±«¨²¨ ª¢ ¤° ² ¤®¢¦¨­¨ ¢¥ª²®°  ~ a, ¿ª¹® ¢Æ¤®¬®, ¹® ²°¥²¿ ª®®°¤¨­ ²  ~a ¤®°Æ¢­¾Ä 2,   ± ¬ ¢¥ª²®° ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­¨© ¤® ¢¥ª²®°Æ¢ ~b(4; 1; 5) i ~c(2; 1; 4). 3.24. „®¢¦¨­¨ ¡ §®¢¨µ ¢¥ª²®°Æ¢ ~ e1 ; ~e2  ´Æ­­®È ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² ¢Æ¤-

x

3. ‘Š€‹Ÿˆ‰ „Ž“’ŽŠ ‚…Š’ŽÅ‚

9

¯®¢Æ¤­® ¤®°Æ¢­¾¾²¼ 4 Æ 2,   ª³² ¬Æ¦ ­¨¬¨ ¤®°Æ¢­¾Ä 120Æ. ‘²®±®¢­® ¶ÆÄÈ ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² § ¤ ­® ¢¥°¸¨­¨ ²°¨ª³²­¨ª  A( 2; 2), B( 2; 1), C ( 1; 0). ‡­ ©²¨: 1) ¤®¢¦¨­¨ ±²®°Æ­ Æ ª³²¨ ²°¨ª³²­¨ª ; 2) ¤®¢¦¨­³ ¢¨±®²¨, ®¯³¹¥­®È § ¢¥°¸¨­¨ A ­  ±²®°®­³ BC ; 3) ¤®¢¦¨­³ ¡Æ±¥ª²°¨±¨ ª³²  A; 4) ° ¤Æ³±¨ ®¯¨± ­®£® ²  ¢¯¨± ­®£® ªÆ«. 3.25. ‚Ƥ®¬® ¤®¢¦¨­¨ ¡ §®¢¨µ ¢¥ª²®°Æ¢ j~ e1 j = 2, j~e2 j = 3 Æ ª³² ¬Æ¦ ­¨¬¨  ! = 3 , §­ ©²¨ ¤®¢¦¨­³ ¢¥ª²®°  ( 4; 6). 3.26. „®¢¦¨­¨ ¡ §®¢¨µ ¢¥ª²®°Æ¢  ´Æ­­®È ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² j~ e1 j = 4,  j~e2j = 2, ª³² ¬Æ¦ ­¨¬¨ ! = 3 . ‘²®±®¢­® ¶ÆÄÈ ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² § ¤ ­® ¢¥°¸¨­¨ ²°¨ª³²­¨ª  A(1; 3), B(1; 0), C (2; 1). ‚¨§­ ·¨²¨ ¤®¢¦¨­¨ ±²®°Æ­ AB i AC ¶¼®£® ²°¨ª³²­¨ª  Æ ª³² A ¬Æ¦ ­¨¬¨. 3.27. „®¢¦¨­¨ ¡ §®¢¨µ ¢¥ª²®°Æ¢  ´Æ­­®È ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² j~ e1 j = 2, p 5 j~e2j = 3, ª³² ¬Æ¦ ­¨¬¨ ! = 3 . ‘²®±®¢­® ¶ÆÄÈ ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² § ¤ ­® ¤¢  ¢¥ª²®°¨ ~a = (1; 2), ~b = (2; 2). ‡­ ©²¨ ª³² ¢Æ¤ ¯¥°¸®£® ¢¥ª²®°  ¤® ¤°³£®£®. 3.28. ‘²®±®¢­®  ´Æ­­®È ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² § ¤ ­® ²°¨ª³²­¨ª ABC § ¢¥°¸¨­ ¬¨ p ¢ ²®·ª µ A(1; 1), pB(5; 3), C (3; 5), ¤®¢¦¨­¨ ±²®°Æ­ ¿ª®£® jABj = 52, jAC j = 4, jBC j = 28. Ž¡·¨±«¨²¨ ¤®¢¦¨­¨ ¡ §®¢¨µ ¢¥ª²®°Æ¢ ¶ÆÄÈ ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² Æ ª³² ¬Æ¦ ­¨¬¨. 3.29. ‘²®±®¢­®  ´Æ­­®È ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² § ¤ ­® ¯°¿¬®ª³²­¨© ²°¨ª³²­¨ª ABC § ¢¥°¸¨­ ¬¨ ¢ ²®·ª µ A(1; 0), B(0; 1), C (3; 2), ¯°¿¬¨¬ ª³²®¬ ¯°¨ ¢¥°¸¨­Æ C Æ ª ²¥² ¬¨ jAC j = 2, jBC j = 3. Ž¡·¨±«¨²¨ ¤®¢¦¨­¨ ¡ §®¢¨µ ¢¥ª²®°Æ¢ ¶ÆÄÈ  ´Æ­­®È ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² Æ ª³² ¬Æ¦ ­¨¬¨. 3.30. ‘²®±®¢­®  ´Æ­­®È ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² § ¤ ­® ¯°¿¬®ª³²­¨© ²°¨ª³²­¨ª ABC § ¢¥°¸¨­ ¬¨ ¢ ²®·ª µ A(1; 0), B(0; 1), C (3; 2), ¯°¿¬¨¬ ª³²®¬ ¯°¨ ¢¥°¸¨­Æ C Æ ª ²¥² ¬¨ jAC j = 2, jBC j = 3. Ž¡·¨±«¨²¨ ¤®¢¦¨­¨ ±²®°Æ­ A0B0 i A0C 0 ²°¨ª³²­¨ª  A0B0C 0 Æ ª³² A0 ¬Æ¦ ­¨¬¨, ¿ª¹® ¢¥°¸¨­¨ ²°¨ª³²­¨ª  ¬ ¾²¼ ª®®°¤¨­ ²¨ A0 = (1; 1), B0 = (2; 2), C 0 = (2; 4) ¢ ²Æ© ± ¬Æ©  ´Æ­­Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ². p 3.31. „®¢¦¨­¨ ¢¥ª²®°Æ¢ ¡ §¨ e ~1 ; e~2; e~3 ¤®°Æ¢­¾¾²¼ ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® 3; 2; 4,   ª³²¨ ¬Æ¦ ­¨¬¨ \(e~1e~2) = \(e~2e~3) = 45Æ, \(e~1e~3) = 60Æ. Ž¡·¨±«¨²¨ ¤®¢¦¨­¨ ±²®°Æ­ Æ ª³² ¯ ° «¥«®£° ¬ , ¯®¡³¤®¢ ­®£® ­  ¢¥ª²®° µ, ¿ªÆ ¬ ¾²¼ ¢ ¶Æ© ¡ §Æ ª®®°¤¨­ ²¨ (1; 3; 0) i ( 1; 2; 1).

10

Ž‡„Å‹ I.

‚…Š’Ž€ €‹ƒ…€

„®¢¦¨­¨ ¡ §®¢¨µ ¢¥ª²®°Æ¢ e~1; e~2; e~3 ¤®°Æ¢­¾¾²¼ ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® 1; 1; 2, ª³²¨ ¬Æ¦ ­¨¬¨ \(e~1e~2) = 90Æ, \(e~1e~3) = \(e~2e~3) = 60Æ. Ž¡·¨±«¨²¨ ¯«®¹³ ¯ ° «¥«®£° ¬ , ¯®¡³¤®¢ ­®£® ­  ¢¥ª²®° µ ~a( 1; 0; 2) i ~b(2; 1; 1). 3.33. ‡ ®¤­ÆÄÈ ²®·ª¨ ¢Æ¤ª« ¤¥­® ¢¥ª²®°¨ ~ a,~b,~c. Š®®°¤¨­ ²¨ ~a =(0; -3; 4), ~b = (4; 1; -8). ‚¥ª²®° ~c ¬ Ä ¤®¢¦¨­³ 1 Æ ¤Æ«¨²¼ ­ ¢¯Æ« ª³² ¬Æ¦ ~a Æ ~b. Ž¡·¨±«¨²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ¢¥ª²®°  ~c. 3.34. ‡­ ©²¨ ¢¥ª²®°, ¿ª¨© Ä ®°²®£®­ «¼­®¾ ¯°®¥ª¶Æľ ¢¥ª²®°  (-14; 2; 5) ­  ¯°¿¬³ § ­ ¯°¿¬­¨¬ ¢¥ª²®°®¬ (2; 2; 1). 3.35. ‡­ ©²¨ ¢¥ª²®°, ¿ª¨© Ä ®°²®£®­ «¼­®¾ ¯°®¥ª¶Æľ ¢¥ª²®°  (1; 1; 2) ­  ¯°¿¬³ § ­ ¯°¿¬­¨¬ ¢¥ª²®°®¬ (2; 2; 4). 3.36. ‡­ ©²¨ ¢¥ª²®°, ¿ª¨© Ä ®°²®£®­ «¼­®¾ ¯°®¥ª¶Æľ ¢¥ª²®°  (8; 4; 1) ­  ¯«®¹¨­³, ¿ª  ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­  ¤® ¢¥ª²®°  (2; 2; 1). 3.37. ‡­ ©²¨ ¢¥ª²®°, ¿ª¨© Ä ®°²®£®­ «¼­®¾ ¯°®¥ª¶Æľ ¢¥ª²®°  (7; 3; 1) ­  ¯«®¹¨­³, ¿ª  ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­  ¤® ¢¥ª²®°  (1; 1; 2). 3.38. ‡ ¤ ­® ²°¨ ¢¥ª²®°¨ ~ a = (8; 4; 1), ~b = (2; 2; 1), ~c = (1; 1; 9). ‡­ ©²¨ ¢¥ª²®°, ¿ª¨© Ä ®°²®£®­ «¼­®¾ ¯°®¥ª¶Æľ ¢¥ª²®°  ~c ­  ¯«®¹¨­³, ¿ª  ¢¨§­ ·¥­  ¢¥ª²®° ¬¨ ~a Æ ~b. 3.39.   ¯«®¹¨­Æ § ´Æª±®¢ ­® ¤¥¿ª³ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ² O e ~1 e~2 Æ ¤¢  ¢¥ª²®°¨ ~a(1; 2) i ~b(3; 1) § ª®®°¤¨­ ² ¬¨ ¢ ¶Æ© ±¨±²¥¬Æ. ‚Ƥ®¬®, ¹® j~aj = 1, j~bj = 2, ~a
~b = 4. Ž¡·¨±«¨²¨ ¤®¢¦¨­¨ ¡ §®¢¨µ ¢¥ª²®°Æ¢ Æ ª³² ¬Æ¦ ­¨¬¨. 3.40. „®¢¥±²¨ ² ª¥: ¿ª¹® ¤Æ £®­ «Æ ·®²¨°¨ª³²­¨ª  ABCD ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­Æ, ²® ¤Æ £®­ «Æ ¤®¢Æ«¼­®£® ·®²¨°¨ª³²­¨ª  § ²¨¬¨ ± ¬¨¬¨ ±²®°®­ ¬¨ ²¥¦ ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­Æ. 3.41. ¥µ © A; B; C; D | ¤®¢Æ«¼­Æ ²®·ª¨ ¯«®¹¨­¨. „®¢¥±²¨, ¹® ~ ~ ~ ~ ~ ~ (AB; CD) + (BC; AD) + (CA; BD) = 0. 3.42. ‚¨ª®°¨±²®¢³¾·¨ ¯®¯¥°¥¤­¾ ¢¯° ¢³, ¤®¢¥±²¨, ¹® ¢¨±®²¨ ²°¨ª³²­¨ª  ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿ ¢ ®¤­Æ© ²®·¶Æ. 3.43. ¥µ © O | ¶¥­²° ®¯¨± ­®£® ª®«  ­ ¢ª®«® ²°¨ª³²­¨ª  ABC ,   ~ = OA ~ = OB ~ + OC ~ . „®¢¥±²¨, ¹® ²®·ª  H ¬ Ä ² ª³ ¢« ±²¨¢Æ±²¼, ¹® OH H | ²®·ª  ¯¥°¥²¨­³ ¢¨±®² ²°¨ª³²­¨ª . 3.44. „®¢¥±²¨, ¹® ¢ ®¯³ª«®¬³ ¬­®£®ª³²­¨ª³ ±³¬  ¢Æ¤±² ­¥© ¢Æ¤ ²®·ª¨ ¢±¥°¥¤¨­Æ ¬­®£®ª³²­¨ª  ¤® ©®£® ±®°Æ­ ­¥ § «¥¦¨²¼ ¢Æ¤ ¢¨¡®°³ ¶ÆÄÈ ²®·ª¨ ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ ±³¬  ¢¥ª²®°Æ¢ ®¤¨­¨·­¨µ §®¢­Æ¸­Æµ ­®°¬ «¥© ¤® 3.32.

x

4. ‚…Š’Žˆ‰ Å ‡ŒÅ˜€ˆ‰ „Ž“’ŽŠ ‚…Š’ŽÅ‚

11

±²®°Æ­ ¬­®£®ª³²­¨ª  ¤®°Æ¢­¾Ä ­³«¾. 3.45. „®¢¥±²¨, ¹® ¢ ®¯³ª«®¬³ ¬­®£®£° ­­¨ª³ ±³¬  ¢Æ¤±² ­¥© ¢Æ¤ ²®·ª¨ ¢±¥°¥¤¨­Æ ¬­®£®£° ­­¨ª  ¤® £° ­¥© ­¥ § «¥¦¨²¼ ¢Æ¤ ¢¨¡®°³ ¶ÆÄÈ ²®·ª¨ ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ ±³¬  ¢¥ª²®°Æ¢ ®¤¨­¨·­¨µ §®¢­Æ¸­Æµ ­®°¬ «¥© ¤® £° ­¥© ¬­®£®£° ­­¨ª  ¤®°Æ¢­¾Ä ­³«¾. 3.46. —¥°¥§ ¢¥ª²®°¨ ~ a, ~b, ~c (~a + ~b + ~c = ~0) ±²®°Æ­ ²°¨ª³²­¨ª  ¢¨° §¨²¨ ¢¥ª²®°¨, ¹® «¥¦ ²¼ ­  ¡Æ±¥ª²°¨± µ, ¢¨±®² µ Æ ¬¥¤Æ ­ µ ²°¨ª³²­¨ª . ~ = ~b, AC ~ = ~c, AD ~ = d~ °¥¡¥° ²¥²° ¥¤°  ABCD 3.47. —¥°¥§ ¢¥ª²®°¨ AB ¢¨° §¨²¨ Æ­¸Æ °¥¡°  ¶¼®£® ²¥²° ¥¤° , ¬¥¤Æ ­³ DM £° ­Æ BCD Æ ¢¥ª²®° AQ, ¤¥ Q | ²®·ª  ¯¥°¥²¨­³ ¬¥¤Æ ­ £° ­Æ BCD. 3.48. Ž¯¨± ²¨ ¬­®¦¨­³ °®§¢'¿§ªÆ¢ °Æ¢­¿­­¿ (~ a; ~x) = c, ¤¥ ~a; ~x { ¢¥ª²®°¨ ­  ¯«®¹¨­Æ (¢ ¯°®±²®°Æ). x

4.

‚¥ª²®°­¨© Æ §¬Æ¸ ­¨© ¤®¡³²®ª ¢¥ª²®°Æ¢

‚¥ª²®°­¨¬ ¤®¡³²ª®¬ ¢¥ª²®°  ~a ­  ¢¥ª²®° ~b ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ² ª¨© ¢¥ª²®° ~p = [~a; ~b] (Æ­ª®«¨ ¢¥ª²®°­¨© ¤®¡³²®ª ¯®§­ · ¾²¼ ~p = ~a  ~b), ¿ª¨© ¢¨§­ · Ä²¼±¿ ² ª¨¬¨ ³¬®¢ ¬¨: 1) ¬®¤³«¼ ¢¥ª²®°  j~pj = j~ajj~bj cos ~ac;~b; 2) ¢¥ª²®° ~p ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­¨© ¿ª ¤® ¢¥ª²®°  ~a, ² ª Æ ¤® ¢¥ª²®°  ~b; 3) ¿ª¹® ¢¥ª²®°¨ ~a Æ ~b ­¥ ª®«Æ­¥ °­Æ, ²® ¢¥ª²®° p~ ­ ¯°¿¬«¥­¨© ² ª, ¹® ²°Æ©ª  ¢¯®°¿¤ª®¢ ­¨µ ¢¥ª²®°Æ¢ ~a;~b; ~p ¬ Ä ¯° ¢³ ®°ÆÄ­² ¶Æ¾. ‡¬Æ¸ ­¨¬ ¤®¡³²ª®¬ (~a;~b;~c) ²°¼®µ ­¥ª®¬¯« ­ °­¨µ ¢¥ª²®°Æ¢ ~a;~b;~c ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ·¨±«®,  ¡±®«¾²­  ¢¥«¨·¨­  ¿ª®£® ¤®°Æ¢­¾Ä ®¡'Ĭ³ ¯ ° «¥¯Æ¯¥¤ , °¥¡° ¬¨ ¿ª®£® Ä ¢¥ª²®°¨, ¢Æ¤ª« ¤¥­Æ ¢Æ¤ ®¤­ÆÄÈ ²®·ª¨; ¶¥ ·¨±«® ¤®¤ ²­¥, ¿ª¹® ¢¯®°¿¤ª®¢ ­  ²°Æ©ª  ~a;~b;~c ¬ Ä ¯° ¢³ ®°ÆÄ­² ¶Æ¾, Æ ¢Æ¤'Ĭ­¥, ¿ª¹® ~a;~b;~c ¬ Ä «Æ¢³ ®°ÆÄ­² ¶Æ¾. Ÿª¹® ¢¥ª²®°¨ ~a;~b;~c ª®¬¯« ­ °­Æ, ²® (~a;~b;~c) = 0. 0 4.1. „®¢¥±²¨, ¹® ¤«¿ ¡³¤¼-¿ª¨µ ²°¼®µ ¢¥ª²®°Æ¢ ~ a; ~b;~c ¢¨ª®­³Ä²¼±¿ ±¯Æ¢¢Æ¤­®¸¥­­¿ (~a;~b;~c) = [~a;~b]~c = [~c;~a]~b = [~b;~c]~a: 4.2.

0

„®¢¥±²¨ ² ª¥: ¿ª¹® ¢ ¯°¿¬®ª³²­Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ², ¡ §  ¿ª®È

12

Ž‡„Å‹ I.

‚…Š’Ž€ €‹ƒ…€

¬ Ä ¯° ¢³ ®°ÆÄ­² ¶Æ¾, ¢¥ª²®°¨ ~a Æ ~b ¬ ¾²¼ ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® ª®®°¤¨­ ²¨ (1; 2; 3) Æ ( 1; 2; 3), ²® ¢¥ª²®°­¨© ¤®¡³²®ª [~a;~b] ¬ Ä ª®®°¤¨­ ²¨ 





1 3 ; 3 1 ; 1 2 2 3 3 1 1 2

 :

„®¢¥±²¨, ¹® ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­¨µ ¢¥ª²®°Æ¢ ~a;~b;~c Æ ¤®¢Æ«¼­®£® ·¨±«   ¢¨ª®­³¾²¼±¿ ² ªÆ ¢« ±²¨¢®±²Æ: 1) [~a;~b] = [~b;~a]; 2) [~a;~b] = [~a; ~b] = [~a;~b]; 3) [~a;~b + ~c] = [~a;~b] + [~a;~c]; [~a + ~b;~c] = [~a;~c] + [~b;~c]. 0 4.4. „®¢¥±²¨ ² ª¥: ¿ª¹® ¢¥ª²®°¨ ~ a; ~b;~c ³ ¤¥¿ªÆ© ¡ §Æ ~e1 ; ~e2; ~e3 ¬ ¾²¼ ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® ª®®°¤¨­ ²¨ (1; 2; 3), ( 1; 2; 3) ( 1; 2; 3), ²® 0

4.3.





1 2 3 ~ (~a; b;~c) = 1 2 3 (~e1; ~e2; ~e3):

1 2 3

„®¢¥±²¨, ¹® ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­®È ²°Æ©ª¨ ¢¥ª²®°Æ¢ ~a;~b;~c ¯° ¢¨«¼­Æ ² ªÆ °Æ¢­®±²Æ: 1) (~a;~b;~c) = (~b;~c;~a) = (~c;~a;~b); 2) (~a;~b;~c) = (~a;~c;~b); 3) (~a;~b;~c) = (~b;~a;~c); 4) (~a;~b;~c) = (~c;~b;~a). 4.6. ‚¨§­ ·¨²¨ Æ ¯®¡³¤³¢ ²¨ ¢¥ª²®° p ~ = [~a; ~b];   ² ª®¦ §­ ©²¨ ¯«®¹³ ¯ ° «¥«®£° ¬  ¯®¡³¤®¢ ­®£® ­  ¢¥ª²®° µ ~a;~b, ¿ª¹®: 1) ~a = 3~i; ~b = 2~k; 2) ~a = ~i + ~j ; ~b = ~i ~j; 3) ~a = 2~i + 3~j; ~b = 3~j + 9~k. 4.7. ®§ª°¨²¨ ¤³¦ª¨ Æ ±¯°®±²¨²¨ ¢¨° §: 1) [~i; ~j + ~k] [~j;~i + ~k] + [~k;~i + ~j + ~k]; 2) [~a + ~b + ~c;~c] + [~a + ~b + ~c;~b] + [~b ~c;~a]; 3) [2~a + ~b;~c ~a] + [~b + ~c;~a + ~b]; 4) (2~i; [~j; ~k]) + (2~j; [~i; ~k]) + (4~k; [~i; ~j]). 4.8. „®¢¥±²¨, ¹® [~ a ~b;~a + ~b] = 2[~a; ~b], §'¿±³¢ ²¨ £¥®¬¥²°¨·­¥ §­ ·¥­­¿ ¶ÆÄÈ ²®²®¦­®±²Æ. 4.9. „®¢¥±²¨, ¹® ®¡'Ĭ ¯ ° «¥¯Æ¯¥¤ , ¿ª¨© ¯®¡³¤®¢ ­® ­  ¤Æ £®­ «¿µ £° ­¥© § ¤ ­®£® ¯ ° «¥¯Æ¯¥¤ , ¤®°Æ¢­¾Ä ¯®¤¢®Ä­®¬³ ®¡'Ĭ³ § ¤ ­®£® ¯ ° «¥¯Æ¯¥¤ . 0

4.5.

x

4. ‚…Š’Žˆ‰ Å ‡ŒÅ˜€ˆ‰ „Ž“’ŽŠ ‚…Š’ŽÅ‚

13

¥µ © ~a;~b;~c ®¤¨­¨·­Æ ¢¥ª²®°¨ Æ (~ac;~b) = (~c\ ; [~a; ~b]) = . „®¢¥±²¨, ¹® 1 ~ ²®¤Æ ([~a; b];~c) = 2 sin 2. 4.11. Ž¡·¨±«¨²¨ ®¡'Ĭ ¯ ° «¥¯Æ¯¥¤  OABCO1 A1 B1 C1 , ¢ ¿ª®¬³ § ¤ ­® ²°¨ ¢¥°¸¨­¨ ­¨¦­¼®È ®±­®¢¨ O(0; 0; 0); A(2; 3; 0) Æ C (3; 2; 0) Æ ¢¥°¸¨­  ¢¥°µ­¼®È ®±­®¢¨ B1(3; 0; 4). 4.12. ‡ ¤ ­® ¤¢  ¢¥ª²®°¨ ~ a; ~b ² ªÆ, ¹® jaj = 2; jbj = 5 Æ ~ac ; ~b = 30Æ . Ž¡·¨±«¨²¨: 1) j[~a + ~b;~a ~b]j; 2) j[~a;~a + ~b]j; 3) j[ ~a+2~b ;~b ~a2 ]j. 4.13. „®¢¥±²¨, ¹® [~ a; ~b]2 = ~a2~b2 (~a; ~b)2 : ! 4.14. Ž¡·¨±«¨²¨ ®¡'Ĭ ¯ ° «¥¯Æ¯¥¤ , ¿ª¹® ¢Æ¤®¬Æ ¤®¢¦¨­¨ jOAj = a; ! ! jOBj = b; jOCj = c ²°¼®µ ©®£® °¥¡¥°, ¿ªÆ ¢¨µ®¤¿²¼ § ®¤­ÆÄÈ § ©®£® ¢¥°¸¨­ O, Æ ª³²¨ \BOC = ; \COA = ; \AOB = ¬Æ¦ ­¨¬¨. 4.15. ’°¨ ¢¥ª²®°¨ ~ a; ~b;~c ¯®¢'¿§ ­Æ ±¯Æ¢¢Æ¤­®¸¥­­¿¬¨ ~a = [~b;~c]; ~b = [~c;~a]; ~c = [~a; ~b]. ‡­ ©²¨ ¤®¢¦¨­¨ ¶¨µ ¢¥ª²®°Æ¢ Æ ª³²¨ ¬Æ¦ ­¨¬¨. 4.16. „®¢¥±²¨ ² ª¥: ¿ª¹® ²°¨ ¢¥ª²®°¨ ~ a; ~b;~c ­¥ª®«Æ­¥ °­Æ, ²® § °Æ¢­®±²Æ [~a;~b] = [~b;~c] = [~c;~a] ¢¨¯«¨¢ Ä ±¯Æ¢¢Æ¤­®¸¥­­¿ ~a + ~b + ~c = 0 Æ ­ ¢¯ ª¨. 4.17. „®¢¥±²¨ ² ª¥: ¿ª¹® [~ a; ~b] + [~b;~c] + [~c;~a] = 0; ²® ¢¥ª²®°¨ ~a; ~b;~c ª®¬¯« ­ °­Æ. 4.18. „®¢¥±²¨ ² ª¥: ¿ª¹® ²°¨ ¢¥ª²®°¨ [~ a; ~b]; [~b;~c]; [~c;~a] ª®¬¯« ­ °­Æ, ²® ¢®­¨ ª®«Æ­¥ °­Æ. 4.19. ‡ ¤ ­® ¤¢  ¢¥ª²®°¨ ~ a = (0; 1; 1) Æ ~b = (1; 1; 0): ‡­ ©¤Æ²¼ ¢¥ª²®° ~c ®¤¨­¨·­®È ¤®¢¦¨­¨, ¿ª¨© ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­¨© ¤® ¢¥ª²®°  ~a, ³²¢®°¾Ä § ¢¥ª²®°®¬ ~b ª³² 4 Æ ­ ¯°¿¬«¥­¨© ² ª, ¹® ¢¯®°¿¤ª®¢ ­  ²°Æ©ª  ¢¥ª²®°Æ¢ ~a; ~b;~c ¬ Ä ¤®¤ ²­³ ®°Æ¥­² ¶Æ¾. 4.20. ‡ ¤ ­® ¤¢  ¢¥ª²®°¨ ~ a = (1; 1; 1) Æ ~b = (1; 0; 0): ‡­ ©¤Æ²¼ ¢¥ª²®° ~c ®¤¨­¨·­®È ¤®¢¦¨­¨, ¿ª¨© ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­¨© ¤® ¢¥ª²®°  ~a, ³²¢®°¾Ä § ¢¥ª²®°®¬ ~b ª³² 3 Æ ­ ¯°¿¬«¥­¨© ² ª, ¹® ¢¯®°¿¤ª®¢ ­  ²°Æ©ª  ¢¥ª²®°Æ¢ ~a; ~b;~c ¬ Ä ¤®¤ ²­³ ®°Æ¥­² ¶Æ¾. 4.21. Ž¡·¨±«¨²¨¯«®¹³ ²°¨ª³²­¨ª , ¢¥°¸¨­ ¬¨¿ª®£® Ä ²®·ª¨ A(-1; 0; -1); B (0; 2; 3); C (4; 4; 1). 4.10.

14

Ž‡„Å‹ I.

‚…Š’Ž€ €‹ƒ…€

Ž¡·¨±«¨²¨ ¯«®¹³ ¯ ° «¥¯Æ¯¥¤  ABCDA0B0 C 0D0, ¿ª¹® ¢Æ¤®¬® ©®£® ¢¥°¸¨­³ A(1; 2; 3) Æ ªÆ­¶Æ °¥¡¥°, ¹® § ­¥È ¢¨µ®¤¿²¼ B(9; 6; 4), D(3; 0; 4), A0 (5; 2; 6): 4.23. „®¢¦¨­¨ ¡ §®¢¨µ ¢¥ª²®°Æ¢  ´Æ­­®È ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® p ¤®°Æ¢­¾¾²¼: je~1j = 2, je~2j = 3, ª³² ¬Æ¦ ­¨¬¨ \(e~1e~2) = 56 . 1) ±²®±®¢­® ¶ÆÄÈ ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² § ¤ ­® ¢¥ª²®°¨ ~a = (1; 2), ~b = (2; 2). ‡­ ©²¨ ª³² ¬Æ¦ ¶¨¬¨ ¢¥ª²®° ¬¨; 2) §­ ©²¨ ¯«®¹³ ²°¨ª³²­¨ª  ABC , ¤¥ A(1; 1), B(2; 2) i C (1; 2) ³ § ¤ ­Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ²; 4.24. „®¢¦¨­¨ ¡ §®¢¨µ ¢¥ª²®°Æ¢ je ~1 j = je~2j = 1,   ª³² ¬Æ¦ ­¨¬¨ ¤®°Æ¢­¾Ä  . ‡­ ©²¨: 3 1) ¤®¢¦¨­³ ¢¥ª²®°  ~a(5; 7); 2) ¯«®¹³ ®°ÆÄ­²®¢ ­®£® ¯ ° «¥«®£° ¬ , ¯®¡³¤®¢ ­®£® ­  ¢¯®°¿¤ª®¢ ­Æ© ¯ °Æ ¢¥ª²®°Æ¢ ~a(1; 4), ~b(5; 3). 4.25. ‡ ¤ ­® ¡ §®¢Æ ¢¥ª²®°¨  ´Æ­­®È ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² je ~1j = 4, je~2j = 2 Æ ª³² ¬Æ¦ ­¨¬¨ 3 . ‘²®±®¢­® ¶ÆÄÈ ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² § ¤ ­® ¢¥°¸¨­¨ ¯ ° «¥«®£° ¬  ABCD: A(1; 1), B(2; 1), D(3; 3). Ž¡·¨±«¨²¨: 1) ¤®¢¦¨­¨ ¤Æ £®­ «¥© ¶¼®£® ¯ ° «¥«®£° ¬ ; 2) ¤®¢¦¨­³ ¢¨±®²¨, ®¯³¹¥­®È § ¢¥°¸¨­¨ A ­  ±²®°®­³ BC ; 3) ¯«®¹³ ¯ ° «¥«®£° ¬ . 4.26. „®¢¥±²¨ ²®²®¦­®±²Æ: ~ ( ~ a ;~ c ) ( ~ a ; d ) 1) ([~a;~b]; [~c; d~]) = (~b;~c) (~b; d~) ; 4.22.

2) [[~a;~b]; [~c; d~]] = ~c(~a;~b; d~) d~(~a;~b;~c) = ~b(~a;~c; d~) ~a(~b;~c; d~); ~ c;~a)~b + (d;~ ~ a; ~b) ~c; 3) (~a;~b;~c)d~ = (d;~ ~b;~c) ~a + (d;~ x;~a) (~x; ~b) (~x;~c) (~ 4) (~a;~b;~c)(~x; ~y; ~z) = (~y;~a) (~y;~b) (~y;~c) ; (~ z ;~a) (~z; ~b) (~z;~c) (~a;~a) (~a; ~b) (~a;~c) 5) (~a;~b;~c)2 = (~b;~a) (~b;~b) (~b;~c) . (~ c;~a) (~c; ~b) (~c;~c) 4.27. ’°¨ ¡Æ£³­¨ A; B; C § ¯®±²Æ©­¨¬¨ ¸¢¨¤ª®±²¿¬¨ ¡Æ¦ ²¼ ¯ ° «¥«¼­¨¬¨ ¤®°Æ¦ª ¬¨. ‚ ¯®· ²ª®¢¨© ¬®¬¥­² · ±³ ¯«®¹  ²°¨ª³²­¨ª  ABC ¤®°Æ¢­¾¢ «  2, ·¥°¥§ 5 ±¥ª³­¤ | 3. Ÿª®¾ ¬®¦¥ ¡³²¨ ¯«®¹  ²°¨ª³²­¨ª  ABC ¹¥ ·¥°¥§ 5±?

x

5. Ž‡‚'Ÿ‡“‚€Ÿ …ƒ…ŽŒ…’ˆ—ˆ• ‡€„€— . . .

15

’°¼®¬  ¯°¿¬®«Æ­Æ©­¨¬¨ ¤®°®£ ¬¨ § ¯®±²Æ©­®¾ ¸¢¨¤ªÆ±²¾ °³µ ¾²¼±¿ ²°¨  ¢²®¬®¡Æ«Æ. ‚ ¯®· ²ª®¢¨© ¬®¬¥­² · ±³ ¢®­¨ ­¥ ¯¥°¥¡³¢ «¨ ­  ®¤­Æ© ¯°¿¬Æ©. „®¢¥±²¨, ¹®  ¢²®¬®¡Æ«Æ ¬®¦³²¼ ¡³²¨ ­  ®¤­Æ© ¯°¿¬Æ© ­¥ ¡Æ«¼¸¥ 2 ° §Æ¢. 4.29. „®¢¥±²¨, ¹® ­¥¬®¦«¨¢® ­¥¯¥°¥°¢­¨¬ ¯®¢®²®°®¬ ¢¥ª²®°Æ¢ ¯¥°¥²¢®°¨²¨ ¯° ¢³ ²°Æ©ª³ ¢¥ª²®°Æ¢ ¢ «Æ¢³, ­¥ ¯¥°¥µ®¤¿·¨ ·¥°¥§ ¯®«®¦¥­­¿ ª®¬¯« ­ °­®±²Æ. 4.30. Ž¯¨± ²¨ ¬­®¦¨­³ °®§¢'¿§ªÆ¢ °Æ¢­¿­­¿ [~ a; ~x] = ~c, ¤¥ ~a;~c | ´Æª±®¢ ­Æ ¢¥ª²®°¨ ¢ ¯°®±²®°Æ. —¨ § ¢¦¤¨ ² ª¥ °Æ¢­¿­­¿ ¬ Ä °®§¢'¿§®ª?

4.28.

x

5.

®§¢'¿§³¢ ­­¿ ­¥£¥®¬¥²°¨·­¨µ § ¤ · §  ¤®¯®¬®£®¾ £¥®¬¥²°¨·­¨µ ¬¥²®¤Æ¢

p p ®§¢'¿§ ²¨ °Æ¢­¿­­¿ px + y + px y + 2 x2 + 1 = 6(x + 1): p p p 5.2. „®¢¥±²¨, ¹® (a + c)2 + b2 + (a c)2 + b2  2 a2 + b2. 5.3. „®¢¥±²¨, ¹® ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­¨µ x; y; z j sin x sin y sin z + cos x cos y cos zj  1: 5.1.

„®¢¥±²¨, ¹® ¬¥¤Æ ­¨ (¢¨±®²¨, ¡Æ±¥ª²°¨±¨) ²°¨ª³²­¨ª  ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿ ¢ ®¤­Æ© ²®·¶Æ. 5.4.

®§¤Æ« II DZ°¿¬  «Æ­Æ¿ ­  ¯«®¹¨­Æ x

6.

Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬®È ­  ¯«®¹¨­Æ

 ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬®È, ¹® ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ A(1; 5) Æ ¬ Ä ­ ¯°¿¬­¨© ¢¥ª²®° ~p = (4; 7). 6.2.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬®È, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª¨ M (1; 2) i N (7; 8). 6.3.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬®È, ¹® ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ A( 3; 4) Æ ¯ ° «¥«¼­  ¤® ¯°¿¬®È 1) x 2y + 5 = 0; 2) x 2 1 = y+2 ; 3 3) x = 2; 4) y(= 1; 5) x = 3 + t y = 4 7: 6.4. ‡ ¤ ­® ²°¨ª³²­¨ª ABC , ª®®°¤¨­ ²¨ ¢¥°¸¨­ ¿ª®£® A(-2; 3), B (4; 1), C (6; 5).  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¬¥¤Æ ­¨ ¶¼®£® ²°¨ª³²­¨ª , ¿ª  ¯°®¢¥¤¥­  § ¢¥°¸¨­¨ A. 6.5. ‡ ¤ ­® ²°¨ª³²­¨ª ABC , ª®®°¤¨­ ²¨ ¢¥°¸¨­ ¿ª®£® A(4; 4), B (-6; -1), C ( 2; 4).  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¡Æ±¥ª²°¨±¨ ¢­³²°Æ¸­¼®£® ª³²  ²°¨ª³²­¨ª  ¯°¨ ¢¥°¸¨­Æ C . ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ . 6.6. —¥°¥§ ²®·ª³ (2; 1) ¯°®¢¥±²¨ ¯°¿¬³ ² ª, ¹®¡ ¢Æ¤°Æ§®ª ¶ÆÄÈ ¯°¿¬®È, ¿ª¨© ¢Æ¤²¨­ Ä²¼±¿ ®±¿¬¨ ª®®°¤¨­ ², ¤Æ«¨¢±¿ ¢ ¶Æ© ²®·¶Æ ­ ¢¯Æ«. 6.7. Ž¡·¨±«¨²¨ ¯«®¹³ ²°¨ª³²­¨ª , ±²®°®­ ¬¨ ¿ª®£® Ä ®±Æ ª®®°¤¨­ ² Æ ¢Æ¤°Æ§®ª ¯°¿¬®È x + 2y 6 = 0. 6.8. „¢Æ ¬¥¤Æ ­¨ ²°¨ª³²­¨ª  «¥¦ ²¼ ­  ¯°¿¬¨µ x + y = 3 i 2x +3y = 1;   6.1.

16

x

7. Œ…’ˆ—Å ‡€„€—Å DZŽ DZŸŒ“ € DZ‹Ž™ˆÅ

17

²®·ª  A(1; 1) Ä ¢¥°¸¨­®¾ ²°¨ª³²­¨ª .  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ±²®°Æ­ ²°¨ª³²­¨ª . 6.9. ‡ ¤ ­® ¤¢Æ ¢¥°¸¨­¨ ²°¨ª³²­¨ª  (3; 1) i (1; 4) Æ ²®·ª  ¯¥°¥²¨­³ ©®£® ¬¥¤Æ ­ (0; 2). ‡­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ²°¥²¼®È ¢¥°¸¨­¨ ²°¨ª³²­¨ª  Æ ­ ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ©®£® ±²®°Æ­. 6.10. DZ°¨ ¿ª¨µ §­ ·¥­­¿µ ¯ ° ¬¥²°  a ¯°¿¬Æ ax 4y = 6 i x ay = 3 1) ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿; 2) ¯ ° «¥«¼­Æ; 3) §¡Æ£ ¾²¼±¿? 6.11.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬¨µ, °Æ¢­®¢Æ¤¤ «¥­¨µ ¢Æ¤ ²°¼®µ ²®·®ª A(3; -1), B (9; 1), C ( 5; 5). 6.12. ’®·ª  M (3; 2) Ä ¶¥­²°®¬ ¯ ° «¥«®£° ¬ ,   ©®£® ±²®°®­¨ «¥¦ ²¼ ­  ¯°¿¬¨µ, ­  ª®¦­Æ© § ¿ª¨µ °®§² ¸®¢ ­® ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® ²®·ª¨ P (2; 1), Q(4; -1), R( 2; 0), S (1; 5). ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬¨µ. (’®·ª  M (3; 2) Ä ¶¥­²°®¬ ¯ ° «¥«®£° ¬ . ’®·ª¨ P (2; 1), Q(4; 1), R( 2; 0), S (1; 5) «¥¦ ²¼ ­  ²¨µ ± ¬¨µ ¯°¿¬¨µ, ¹® © ¢Æ¤¯®¢Æ¤­Æ ±²®°®­¨ ¯ ° «¥«®£° ¬ . ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ±²®°Æ­ ¯ ° «¥«®£° ¬ .) 6.13.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬®È, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ A( 3; 4) Æ ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­  ¤® ¯°¿¬®È 1) x 2y + 5 = 0; 2) x 2 1 = y+2 ; 3 3) x = 2; 4) y(= 1; 5) x = 3 + t ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ . y = 4 7t: 6.14. ’®·ª  A(3; 2) Ä ¢¥°¸¨­®¾ ª¢ ¤° ² ,   ²®·ª  M (1; 1) | ²®·ª®¾ ¯¥°¥²¨­³ ¤Æ £®­ «¥©.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ±²®°Æ­ ª¢ ¤° ² . ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ . 6.15.   ¯°¿¬Æ© 5x y 4 = 0 §­ ©²¨ ²®·ª³, ¿ª  °Æ¢­®¢Æ¤¤ «¥­  ¢Æ¤ ²®·®ª A(1; 0) i B( 2; 1). ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ . x

7.

Œ¥²°¨·­Æ § ¤ ·Æ ¯°® ¯°¿¬³ ­  ¯«®¹¨­Æ

‡­ ©²¨ ¢Æ¤±² ­¼ ¢Æ¤ ²®·ª¨¨ A(1; 2) ¤® ¯°¿¬®È 1) 2x 3y + 5 = 0;

7.1.

18

Ž‡„Å‹ II.

2) 3) 4) 5)

DZŸŒ€ ‹ÅÅŸ € DZ‹Ž™ˆÅ

4 = 3y; x = 1+t y = 5 + 7 t; x = 7; y = 10. 7.2. ‚Ƥ¸³ª ²¨ ¢Æ¤±² ­¼ ¬Æ¦ ¯ ° «¥«¼­¨¬¨ ¯°¿¬¨¬¨ Ax + By + C1 = 0 i Ax + By + C2 = 0. ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ . 7.3. ‡­ ©²¨ ¬­®¦¨­³ ²®·®ª ¯«®¹¨­¨, ¢Æ¤­®¸¥­­¿ ¢Æ¤±² ­¥© ¢Æ¤ ¿ª¨µ ¤® § ¤ ­¨µ ¤¢®µ ¯°¿¬¨µ A1x + B1y + C1 = 0 Æ A2x + B2y + C2 = 0 Ä ±² «®¾ ¢¥«¨·¨­®¾ K > 0. 7.4. ‡ ¤ ­® ²®·ª³ A(1; 2) Æ ¯°¿¬³ 3x y + 9 = 0. ‡­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ 1) ¯°®¥ª¶ÆÈ ²®·ª¨ A ­  § ¤ ­³ ¯°¿¬³; 2) ²®·ª¨ B ±¨¬¥²°¨·­®È ²®·¶Æ A ±²®±®¢­® § ¤ ­®È ¯°¿¬®È. 7.5.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬®È, ¿ª  ±¨¬¥²°¨·­  ¯°¿¬Æ© 3x y+5 = 0 ±²®±®¢­® ¯°¿¬®È x + y = 1. 7.6. ‡ ¤ ­® °Æ¢­¿­­¿ ±²®°Æ­ ²°¨ª³²­¨ª  x + 2y + 1 = 0, 2x y 2 = 0, 2x + y + 2 = 0. ‘ª« ±²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¢¨±®²¨, ®¯³¹¥­®È ­  ²°¥²¾ ±²®°®­³. 7.7. ’®·ª  H ( 3; 2) Ä ²®·ª®¾ ¯¥°¥²¨­³ ¢¨±®² ²°¨ª³²­¨ª , ¤¢Æ ±²®°®­¨ ¿ª®£® «¥¦ ²¼ ­  ¯°¿¬¨µ y = 2x, y = x + 3. ‘ª« ±²¨ °Æ¢­¿­­¿ ²°¥²¼®È ±²®°®­¨. 7.8. ‡ ¤ ­® ª®®°¤¨­ ²¨ ¤¢®µ ¢¥°¸¨­ ²°¨ª³²­¨ª  A( 1; 3), B (2; 5) Æ ²®·ª¨ ¯¥°¥²¨­³ ©®£® ¢¨±®² H (1; 4). ‡­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ²°¥²¼®È ¢¥°¸¨­¨ ²°¨ª³²­¨ª  Æ ±ª« ±²¨ °Æ¢­¿­­¿ ©®£® ±²®°Æ­. 7.9. ’®·ª  A(1; 2) Ä ±¥°¥¤¨­®¾ ®¤­ÆÄÈ § ®±­®¢ ¯°¿¬®ª³²­®È ²° ¯¥¶ÆÈ,   ²®·ª  B(3; 1) | ±¥°¥¤¨­  ±¥°¥¤­¼®È «Æ­ÆÈ. Æ·­  ±²®°®­  ¯¥°¯¥­¤¨ª³= y 4 2 . ‘ª« ±²¨ °Æ¢­¿­­¿ °¥¸²¨ «¿°­  ¤® ®±­®¢ Æ «¥¦¨²¼ ­  ¯°¿¬Æ© x+1 3 ±²®°Æ­ ²° ¯¥¶ÆÈ. 7.10. ’®·ª¨ K (1; 3) i L( 1; 1) Ä ±¥°¥¤¨­ ¬¨ ®±­®¢ °Æ¢­®¡Æ·­®È ²° ¯¥¶ÆÈ,   ²®·ª¨ P (3; 0) i Q( 3; 5) «¥¦ ²¼ ­  ÈÈ ¡Æ·­¨µ ±²®°®­ µ. ‘ª« ±²¨ °Æ¢­¿­­¿ ±²®°Æ­ ²° ¯¥¶ÆÈ. 7.11. ‡­ ©²¨ ª³² ¬Æ¦ ¯°¿¬¨¬¨: 1) 2x + y 1 = 0 i y x = 2; 2) x = 4 i 2x y 1 = 0; 3) x 3 2 = y 41 i x 4 1 = y+2 ; 3 (x

x

7. Œ…’ˆ—Å ‡€„€—Å DZŽ DZŸŒ“ € DZ‹Ž™ˆÅ

19

4) x 1 1 = y 2 3 i x 24 = y4 5) x = 3t; y = 1 + 2t i x = 1 2t; y = 5 + t. 7.12. ‘ª« ±²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬¨µ, ¿ªÆ ¯°®µ®¤¿²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ A(3; 1) Æ ³²¢®°¾¾²¼ § ¯°¿¬®¾ 3x = y + 2 ª³² 45Æ. 7.13. ’®·ª  A(2; 0) Ä ¢¥°¸¨­®¾ ¯° ¢¨«¼­®£® ²°¨ª³²­¨ª ,   ¯°®²¨«¥¦­  ¤® ­¥È ±²®°®­  «¥¦¨²¼ ­  ¯°¿¬Æ© x + y 1 = 0. ‘ª« ±²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¤¢®µ Æ­¸¨µ ±²®°Æ­. 7.14. Ž±­®¢  °Æ¢­®¡¥¤°¥­®£® ²°¨ª³²­¨ª  «¥¦¨²¼ ­  ¯°¿¬Æ© x + 2y = 2,   ®¤­  § ¡Æ·­¨µ ±²®°Æ­ | ­  ¯°¿¬Æ© y +2x = 1. ‘ª« ±²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¤°³£®È ¡Æ·­®È ±²®°®­¨ ²°¨ª³²­¨ª , ¿ª¹® ¢Æ¤®¬®, ¹® ¢Æ¤±² ­¼ ¢Æ¤ ­¥È ¤® ²®·ª¨ ¯¥°¥²¨­³ § ¤ ­¨µ ¯°¿¬¨µ ¤®°Æ¢­¾Ä p15 . 7.15. ‘ª« ±²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¡Æ±¥ª²°¨±¨ ²®£® ª³²  ¬Æ¦ ¯°¿¬¨¬¨ x 7y = 1 i x + y = 7, ¢ ±¥°¥¤¨­Æ ¿ª®£® «¥¦¨²¼ ²®·ª  A(1; 1). 7.16. ‘ª« ±²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¡Æ±¥ª²°¨±¨ £®±²°®£® ª³²  ¬Æ¦ ¯°¿¬¨¬¨ x 7y = 1 i x + y = 7. 7.17. ‘ª« ±²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¡Æ±¥ª²°¨± ¢­³²°Æ¸­Æµ ª³²Æ¢ ²°¨ª³²­¨ª , ±²®°®­¨ ¿ª®£® «¥¦ ²¼ ­  ¯°¿¬¨µ 3y = 4x, 4y = 3x, 5x + 12y = 10. 7.18. ’®·ª¨ A(20; 15), B ( 16; 0), C ( 8; 6) Ä ¢¥°¸¨­ ¬¨ ²°¨ª³²­¨ª . ‡­ ©²¨ ¤®¢¦¨­¨ ° ¤Æ³±Æ¢ Æ ª®®°¤¨­ ²¨ ¶¥­²°Æ¢ ¢¯¨± ­®£® © ®¯¨± ­®£® ªÆ«. 7.19. ‡ ¤ ­® ª®®°¤¨­ ²¨ ¤¢®µ ¢¥°¸¨­ ²°¨ª³²­¨ª  A(2; 1), B (1; 5) Æ ²®·ª¨ ¯¥°¥²¨­³ ©®£® ¡Æ±¥ª²°¨± L(3; 0). ‘ª« ±²¨ °Æ¢­¿­­¿ ±²®°Æ­ ²°¨ª³²­¨ª . 7.20. ’®·ª¨ A(1; 2), B ( 3; 0) | ¢¥°¸¨­¨ °Æ¢­®¡¥¤°¥­®£® ²°¨ª³²­¨ª  ABC , ª³²¨ A i B ¯°¨ ®±­®¢Æ ¤®°Æ¢­¾¾²¼ arccos( p15 ). ‡­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ¢¥°¸¨­¨ C , ¿ª¹® ¢Æ¤®¬®, ¹® ¢®­  «¥¦¨²¼ § ²®£® ± ¬®£® ¡®ª³ ¢Æ¤ AB, ¹® Æ ²®·ª  M (2; 3). 7.21. ‘²®°®­  AB ²°¨ª³²­¨ª  ABC § ¤ ­  °Æ¢­¿­­¿¬ x y + 1 = 0, ±²®°®­  BC | °Æ¢­¿­­¿¬ 2x 3y + 5 = 0, ±²®°®­  AC | °Æ¢­¿­­¿¬ 3x 4y + 2 = 0. ‘ª« ±²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬®È, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ C Æ ²®·ª  ¯¥°¥²¨­³ ¶ÆÄÈ ¯°¿¬®È § ±²®°®­®¾ AB «¥¦¨²¼ ­  ¢Æ¤±² ­Æ 15 ¢Æ¤ c²®°®­¨ AC . 7.22. ‡­ ©²¨ ° ¤Æ³± Æ ª®®°¤¨­ ²¨ ¶¥­²°  ª®« , ¿ª¥ ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ A( 1; 3) Æ ¤®²¨ª Ä²¼±¿ ¤® ¯°¿¬¨µ 7x + y = 0 i x y + 8 = 0.

20

Ž‡„Å‹ II.

DZŸŒ€ ‹ÅÅŸ € DZ‹Ž™ˆÅ

ƒÆ¯®²¥­³§  ¯°¿¬®ª³²­®£® ²°¨ª³²­¨ª  «¥¦¨²¼ ­  ¯°¿¬Æ© 2x + y 2 = 0,   ²®·ª  C (3; 1) Ä ¢¥°¸¨­®¾ ¯°¿¬®£® ª³² . DZ«®¹  ²°¨ª³²­¨ª  ¤®°Æ¢­¾Ä 94 . ‘ª« ±²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬¨µ, ­  ¿ª¨µ «¥¦ ²¼ ª ²¥²¨ ²°¨ª³²­¨ª . 7.24. ‡ ¤ ­® °Æ¢­¿­­¿ ±²®°®­¨ ²°¨ª³²­¨ª  x + 7y 6 = 0 Æ °Æ¢­¿­­¿ ¡Æ±¥ª²°¨± x + y 2 = 0 i x 3y 6 = 0, ¿ªÆ ¢¨µ®¤¿²¼ § ªÆ­¶Æ¢ ¶ÆÄÈ ±²®°®­¨. ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¤¢®µ Æ­¸¨µ ±²®°Æ­ ¶¼®£® ²°¨ª³²­¨ª . 7.25. ‡ ¤ ­® °Æ¢­¿­­¿ ±²®°Æ­ ²°¨ª³²­¨ª  3x + y 3 = 0, 3x + 4y = 0 Æ °Æ¢­¿­­¿ x y + 5 = 0 ¡Æ±¥ª²°¨±¨ ®¤­®£® § ¢­³²°Æ¸­Æµ ª³²Æ¢ ¶¼®£® ²°¨ª³²­¨ª .  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ²°¥²¼®È ±²®°®­¨. 7.26. ‡­ ©²¨ ª®±¨­³± ²®£® ª³²  ¬Æ¦ ¯°¿¬¨¬¨ x +5y = 0 i 10x +2y +1 = 0, ¢ ¿ª®¬³ «¥¦¨²¼ ²®·ª  (1; 1). 7.27. “ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² O e ~1 e~2 , ¤¥ je~1j = 1, je~2 j = 2, \(e~1 e~2 ) = 3 , § ¤ ­® ¯°¿¬³ x + y + 1 = 0 Æ ²®·ª³ A(1; 1). ‡­ ©²¨: 1) °Æ¢­¿­­¿ ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿° , ®¯³¹¥­®£® § ²®·ª¨ A ­  § ¤ ­³ ¯°¿¬³; 2) ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ A0, ¿ª  ±¨¬¥²°¨·­  ²®·¶Æ A ±²®±®¢­® § ¤ ­®È ¯°¿¬®È; 3) ¢Æ¤±² ­¼ ¢Æ¤ ²®·ª¨ A ¤® § ¤ ­®È ¯°¿¬®È. 7.28. “ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² O e ~1 e~2 , ¤¥ je~1j = 2, je~2 j = 3, \(e~1 e~2 ) = 3 , ¢Æ¤®¬Æ ¢¥°¸¨­¨ ²°¨ª³²­¨ª  A(1; 1), B(2; 1), C (3; 0). ‡­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ¶¥­²°Æ¢ ¢¯¨± ­®£® © ®¯¨± ­®£® ªÆ«. 7.29. “ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² O e ~1 e~2 , ¤¥ je~1j = 4, je~2 j = 2, \(e~1 e~2 ) = 3 , § ¤ ­® ¢¥°¸¨­¨ ²°¨ª³²­¨ª  A(1; 3), B(1; 0), C (2; 1).  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ 1) ¡Æ±¥ª²°¨±¨ ª³²  ¶¼®£® ²°¨ª³²­¨ª ; 2) ¢¨±®²¨, ®¯³¹¥­®È § ¢¥°¸¨­¨ B ­  ±²®°®­³ AC . 7.30.   ¯«®¹¨­Æ § ¤ ­® ¯°¿¬®ª³²­¨© ²°¨ª³²­¨ª ABC § ª ²¥² ¬¨ jABj = 3 i jAC j = 4. ‡­ ©²¨: 1) °Æ¢­¿­­¿ ¡Æ±¥ª²°¨± ¢­³²°Æ¸­Æµ ª³²Æ¢ ¶¼®£® ²°¨ª³²­¨ª ; 2) °Æ¢­¿­­¿ ¢¨±®² ¶¼®£® ²°¨ª³²­¨ª ; 3) ª®®°¤¨­ ²¨ ¶¥­²°Æ¢ ¢¯¨± ­®£® © ®¯¨± ­®£® ªÆ«. 7.23.

®§¤Æ« III DZ¥°¥²¢®°¥­­¿ ª®®°¤¨­ ²

¥µ © ³ ¯°®±²®°Æ § ¤ ­® ¤¢Æ ¡ §¨ ~e1; ~e2; ~e3 Æ e~10; e~20; e~30. ’®¤Æ ¢¥ª²®°¨ ¤°³£®È ¡ §¨ ¢¨° ¦ ¾²¼±¿ ·¥°¥§ ¢¥ª²®°¨ ¯¥°¸®È ¡ §¨ 8 0 > e1 + a21~e2 + a31~e3 <e~1 = a11~ 0 e~2 = a11~e1 + a21~e2 + a31~e3 : > : 0 e~3 = a11~e1 + a21~e2 + a31~e3 “ ¬ ²°¨·­®¬³ ¢¨£«¿¤Æ ¶¥ ¬®¦­  § ¯¨± ²¨ ² ª: 0

(e~10e~20e~30) = (~e1~e2~e3) @ 0

a11 a12 a13 Œ ²°¨¶¿ A = @ a21 a22 a23 a31 a32 a33 ¡ §¨ ~e1; ~e2; ~e3 ¤® Æ e~10; e~20; e~30.

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33

1

A:

1 A

­ §¨¢ Ä²¼±¿ ¬ ²°¨¶¥¾ ¯¥°¥µ®¤³ ¢Æ¤

‚¢ ¦ ²¨¬¥¬®, ¹® ¤¢Æ ¡ §¨ ~e1; ~e2; ~e3 Æ e~10; e~20; e~30 ¬ ¾²¼ ®¤­ ª®¢³ ®°ÆÄ­² ¶Æ¾, ¿ª¹® det A > 0: ‚Ƥ­®¸¥­­¿ ®¤­ ª®¢®È ®°ÆÄ­²®¢ ­®±²Æ ­  ¬­®¦¨­Æ ¢±Æµ ¡ § ¯°®±²®°³ Ä ¢Æ¤­®¸¥­­¿¬ ¥ª¢Æ¢ «¥­²­®±²Æ, ¿ª¥ °®§¡¨¢ Ä ¬­®¦¨­³ ¡ § ¯°®±²®°³ ­  ¤¢  ª« ±¨. Ž¤¨­ § ª« ±Æ¢ ­ §¨¢ ²¨¬¥¬® "¯° ¢¨¬", ¤°³£¨© | "«Æ¢¨¬". 0 1. „®¢¥±²¨, ¹® ¢Æ¤­®¸¥­­¿ ®¤­ ª®¢®È ®°ÆÄ­²®¢ ­®±²Æ ­  ¬­®¦¨­Æ ¡ § ¯°®±²®°³ Ä ¢Æ¤­®¸¥­­¿¬ ¥ª¢Æ¢ «¥­²­®±²Æ. 0 2. „®¢¥±²¨, ¹® ¯°¨ ¶¨ª«Æ·­Æ© ¯¥°¥±² ­®¢¶Æ ¢¥ª²®°Æ¢ ¡ §¨ ÈÈ ®°ÆÄ­² ¶Æ¿ ­¥ §¬Æ­¾Ä²¼±¿. 0 3. ¥µ © ~ a; ~b;~c1 Æ ~a; ~b;~c2 | ¤¢Æ ¡ §¨ ¯°®±²®°³, ¢±Æ ¢¥ª²®°¨ ¿ª¨µ ¢Æ¤ª« ¤¥­® ¢Æ¤ ®¤­ÆÄÈ ²®·ª¨ O. „®¢¥±²¨ ² ª¥: ¿ª¹® ªÆ­¶Æ ¢¥ª²®°Æ¢ ~c1 Æ ~c2

21

22

Ž‡„Å‹ III.

DZ……’‚Ž…Ÿ ŠŽŽ„ˆ€’

°®§² ¸®¢ ­® ¯® ®¤­³ ±²®°®­³ ¢Æ¤ ¯«®¹¨­¨ O~a~b; ²® ¡ §¨ ~a;~b;~c1 Æ ~a;~b;~c2 ¬ ¾²¼ ®¤­ ª®¢³ ®°ÆÄ­² ¶Æ¾, ¿ª¹® ªÆ­¶Æ ¢¥ª²®°Æ¢ ~c1 Æ ~c2 °®§² ¸®¢ ­Æ ¯® °Æ§­Æ ±²®°®­¨ ¢Æ¤ ¯«®¹¨­¨ O~a~b; ²® ¡ §¨ ~a;~b;~c1 Æ ~a;~b;~c2 ¬ ¾²¼ °Æ§­³ ®°ÆÄ­² ¶Æ¾. x

8.

Œ ²°¨¶¿ ¯¥°¥µ®¤³ ¢Æ¤ ®¤­ÆÄÈ ¡ §¨ ¤® Æ­¸®È

“ ¯°®±²®°Æ § ¤ ­® ¤¢Æ ¡ §¨ ~e1; ~e2; ~e3 Æ e~10; e~20; e~30. ‚¥ª²®°¨ ¤°³£®È ¡ §¨ ¬ ¾²¼ ³ ¯¥°¸Æ© ¡ §Æ ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® ª®®°¤¨­ ²¨ (1; 1; 2); (2; 1; 1); (1; 2; 1). ‡­ ©²¨ ¬ ²°¨¶¾ ¯¥°¥µ®¤³ ¢Æ¤ ¡ §¨ ~e1; ~e2; ~e3 ¤® ¡ §¨ e~10; e~20; e~30 Æ ¢¨§­ ·¨²¨, ·¨ ¶Æ ¡ §¨ ¬ ¾²¼ ®¤­ ª®¢³ ®°ÆÄ­² ¶Æ¾. 0 8.2.   ¯«®¹¨­Æ § ¤ ­® ¯°¿¬®ª³²­¨© ²°¨ª³²­¨ª ABC § ª ²¥² ¬¨ ! BC ! ¤® ¡ AB = 3; AC = 4: ‡­ ©²¨ ¬ ²°¨¶¾ ¯¥°¥µ®¤³ ¢Æ¤ ¡ §¨ AB; ! ! §¨ AC; AB Æ ¢¨§­ ·¨²¨, ·¨ ¶Æ ¡ §¨ ®¤­ ª®¢® ®°ÆÄ­²®¢ ­Æ. 0

8.1.

0 B 0 C 0D0. ‡­ ©²¨ ¬ ²°¨¶¾ “ ¯°®±²®°Æ § ¤ ­® ¯ ° «¥¯Æ¯¥¤ ABCDA ! ! ! ! 0 0 ¯¥°¥µ®¤³ ¢Æ¤ ¡ §¨ AB; AC; AA ¤® ¡ §¨ D D; D0A!0; D0B!0 Æ ¢¨§­ ·¨²¨, ·¨ ¶Æ ¡ §¨ ®¤­ ª®¢® ®°ÆÄ­²®¢ ­Æ. 0 8.4. ¥µ © ~ a; ~b;~c | ²°¨ ­¥ª®¬¯« ­ °­Æ ¢¥ª²®°¨. ‡­ ©²¨ ¬ ²°¨¶Æ ¯¥°¥µ®¤³ ¬Æ¦ ² ª¨¬¨ ¡ § ¬¨. ‡'¿±³¢ ²¨, ¿ªÆ § ¶¨µ ¯ ° ¬ ¾²¼ ®¤­ ª®¢³ ®°ÆÄ­² ¶Æ¾, ¿ªÆ ¯°®²¨«¥¦­³: 1) ~a;~b;~c Æ ~b;~a;~c; 2) ~a;~b;~c Æ ~c;~a;~b; 3) ~a;~b;~c Æ ~a;~c;~b; 4) ~a;~b;~c Æ ~b;~c;~a; 5) ~a;~b;~c Æ ~c;~b;~a. 8.5.   ¯«®¹¨­Æ § ¤ ­® ¤¢Æ ¡ §¨ e ~1 ; e~2 i e~1 0; e~2 0. ‚¥ª²®°¨ ¤°³£®È ¡ §¨ ¬ ¾²¼ ³ ¯¥°¸Æ© ¡ §Æ ª®®°¤¨­ ²¨ ( 1; 3) i (2; 7) ¢Æ¤¯®¢Æ¤­®. ‡­ ©²¨: 1) ¬ ²°¨¶¾ ¯¥°¥µ®¤³ ¢Æ¤ ¯¥°¸®È ¡ §¨ ¤® ¤°³£®È; 2) ª®®°¤¨­ ²¨ ¢¥ª²®°  ¢ ¯¥°¸Æ© ¡ §Æ, ¿ª¹® § ¤ ­® ©®£® ª®®°¤¨­ ²¨ (1; 2) ³ ¤°³£Æ© ¡ §Æ; 3) ª®®°¤¨­ ²¨ ¢¥ª²®°  ¢ ¤°³£Æ© ¡ §Æ, ¿ª¹® § ¤ ­® ©®£® ª®®°¤¨­ ²¨ (7; 5) ³ ¯¥°¸Æ© ¡ §Æ; 4) ª®®°¤¨­ ²¨ ¢¥ª²®°Æ¢ e~1; e~2 ³ ¤°³£Æ© ¡ §Æ. 8.6. “ ¯°®±²®°Æ § ¤ ­® ¤¢Æ ¡ §¨ e ~1 ; e~2; e~3 i e~1 0 ; e~20 ; e~30. ‚¥ª²®°¨ ¤°³£®È ¡ §¨ ¬ ¾²¼ ³ ¯¥°¸Æ© ¡ §Æ ª®®°¤¨­ ²¨ (1; 1; 1), ( 1; 2; 3), (1; 3; 6) ¢Æ¤¯®¢Æ¤­®. ‡­ ©²¨: 1) ª®®°¤¨­ ²¨ ¢¥ª²®°  ¢ ¯¥°¸Æ© ¡ §Æ, ¿ª¹® § ¤ ­® ©®£® ª®®°¤¨­ ²¨ 0

8.3.

x

9. ”ŽŒ“‹ˆ DZ……•Ž„“ . . .

23

(0; 4; 3) ¢ ¤°³£Æ© ¡ §Æ; 2) ª®®°¤¨­ ²¨ ¢¥ª²®°  ¢ ¤°³£Æ© ¡ §Æ, ¿ª¹® § ¤ ­® ©®£® ª®®°¤¨­ ²¨ (9; 1; 2) ³ ¯¥°¸Æ© ¡ §Æ; 3) ª®®°¤¨­ ²¨ ¢¥ª²®°Æ¢ e~1; e~2; e~3 ³ ¤°³£Æ© ¡ §Æ. 8.7.   ¯«®¹¨­Æ § ¤ ­® ¤¢Æ ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² O e ~1 e~2 i O0e~1 0 e~2 0 . DZ®· ²®ª ¤°³£®È ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² ¬ Ä ¢ ¯¥°¸Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ²¨ (1; 3),   ¡ §®¢Æ ¢¥ª²®°¨ ¤°³£®È ±¨±²¥¬¨ ¬ ¾²¼ ³ ¯¥°¸Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ²¨ (2; 3) i (1; 1) ¢Æ¤¯®¢Æ¤­®: 1) ­ ¯¨± ²¨ ´®°¬³«¨ ¯¥°¥µ®¤³ ¢Æ¤ ±¨±²¥¬¨ O0e~10e~20 ¤® Oe~1e~2; 2) ­ ¯¨± ²¨ ´®°¬³«¨ ¯¥°¥µ®¤³ ¢Æ¤ ±¨±²¥¬¨ Oe~1e~2 ¤® O0e~10e~20; 3) §­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ ¢ ¯¥°¸Æ© ±¨±²¥¬Æ, ¿ª¹® § ¤ ­® ÈÈ ª®®°¤¨­ ²¨ (1; 4) ¢ ¤°³£Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ²; 4) §­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ ¢ ¤°³£Æ© ±¨±²¥¬Æ, ¿ª¹® § ¤ ­® ÈÈ ª®®°¤¨­ ²¨ ( 1; 1) ¢ ¯¥°¸Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ². x

9.

”®°¬³«¨ ¯¥°¥µ®¤³ ¢Æ¤ ®¤­ÆÄÈ  ´Æ­­®È ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² ¤® Æ­¸®È

“ ¯°®±²®°Æ § ¤ ­® ¤¢Æ ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² Oe~1e~2e~3 i O0e~10e~20e~30. DZ®· ²®ª ¤°³£®È ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² ¬ Ä ¢ ¯¥°¸Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ²¨ (1; 1; 2),   ¡ §®¢Æ ¢¥ª²®°¨ ¤°³£®È ±¨±²¥¬¨ ¬ ¾²¼ ³ ¯¥°¸Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ²¨ (3; 2; 1), (5; 1; 3) i (3; 1; 2) ¢Æ¤¯®¢Æ¤­®: 1) ­ ¯¨± ²¨ ´®°¬³«¨ ¯¥°¥µ®¤³ ¢Æ¤ ±¨±²¥¬¨ O0e~10e~20e~30 ¤® Oe~1e~2e~3; 2) ­ ¯¨± ²¨ ´®°¬³«¨ ¯¥°¥µ®¤³ ¢Æ¤ ±¨±²¥¬¨ Oe~1e~2e~3 ¤® O0e~10e~20e~30; 3) §­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ ¢ ¯¥°¸Æ© ±¨±²¥¬Æ, ¿ª¹® § ¤ ­® ÈÈ ª®®°¤¨­ ²¨ (1; 2; 3) ¢ ¤°³£Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ²; 4) §­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ ¢ ¤°³£Æ© ±¨±²¥¬Æ, ¿ª¹® § ¤ ­® ÈÈ ª®®°¤¨­ ²¨ (2; 3; 4) ¢ ¯¥°¸Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ². 9.2. Š®®°¤¨­ ²¨ x; y ª®¦­®È ²®·ª¨ ¯«®¹¨­¨ ¢ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² O e ~1 e~2 0 0 0 0 0 ¢¨° ¦ ¾²¼±¿ ·¥°¥§ ª®®°¤¨­ ²¨ x ; y ¶ÆÄÈ ¦ ²®·ª¨ ¢ ±¨±²¥¬Æ O e~1 e~2 ´®°¬³« ¬¨ x = 2x0 y0 + 5, y = 3x0 + y0 + 2: 1) ¢¨° §¨²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ x0; y0 ·¥°¥§ ª®®°¤¨­ ²¨ x; y; 2) §­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ¯®· ²ª³ O Æ ¡ §®¢¨µ ¢¥ª²®°Æ¢ e~1; e~2 ¯¥°¸®È ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² ³ ¤°³£Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ²; 3) §­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ¯®· ²ª³ O0 Æ ¡ §®¢¨µ ¢¥ª²®°Æ¢ e~10; e~20 ¤°³£®È 9.1.

24

Ž‡„Å‹ III.

DZ……’‚Ž…Ÿ ŠŽŽ„ˆ€’

±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² ³ ¯¥°¸Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ². 9.3. Š®®°¤¨­ ²¨ x; y; z ª®¦­®È ²®·ª¨ ¯°®±²®°³ ¢ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² Oe~1 e~2 e~3 ¢¨° ¦ ¾²¼±¿ ·¥°¥§ ª®®°¤¨­ ²¨ x0 ; y 0; z 0 ¶ÆÄÈ ¦ ²®·ª¨ ¢ ±¨±²¥¬Æ O0 e~10 e~2 0 e~3 0 ´®°¬³« ¬¨ x = x0 + y 0 + z 0 1, y = x0 + z 0 +3, z = x0 y 0 2: 1) ¢¨° §¨²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ x0; y0; z0 ·¥°¥§ ª®®°¤¨­ ²¨ x; y; z; 2) §­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ¯®· ²ª³ O Æ ¡ §®¢¨µ ¢¥ª²®°Æ¢ e~1; e~2; e~3 ¯¥°¸®È ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² ³ ¤°³£Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ²; 3) §­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ¯®· ²ª³ O0 Æ ¡ §®¢¨µ ¢¥ª²®°Æ¢ e~10; e~20; e~30 ¤°³£®È ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² ³ ¯¥°¸Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ². 9.4.   ¯«®¹¨­Æ § ¤ ­® ¯°¿¬®ª³²­¨© ²°¨ª³²­¨ª ABC § ª ²¥² ¬¨ ! ¢¨±®²  ¶¼®£® ²°¨ª³²­¨ª ; BL ! i CK !| AB = 3 i AC = 4 Æ ­¥µ © AH ¬¥¤Æ ­¨. ‡­ ©²¨ ¯¥°¥µ®¤³ ¬Æ¦ ² ª¨¬¨ ±¨±²¥¬ ¬¨ ª®®°¤¨­ ²: ! BC ! ´®°¬³«¨ ! AC !; 1) A; AB; i B; AB; ! BC ! i B; BK; ! AC !; 2) A; AH; ! BK ! i C; CL; ! BC !. 3) A; AB; 9.5. “ ¯ ° «¥«®£° ¬Æ ABCD ²®·ª  E «¥¦¨²¼ ­  ¤Æ £®­ «Æ BD ² ª, ¹® jBE j : jED! j = 1!: 2. ‡­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ ¯«®¹¨­¨ ¢ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² A; AB; AD, ¿ª¹® ¢Æ¤®¬Æ ÈÈ ª®®°¤¨­ ²¨ x0 ; y 0 ¢ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² ! !. E; EC; ED 9.6. “ ¯ ° «¥«®£° ¬Æ ABCD ²®·ª  E «¥¦¨²¼ ­  ±²®°®­Æ BC ,   ²®·ª  F | ­  ±²®°®­Æ AB ² ª, ¹® jBE j : jBC j = 1 : 4, jBF j : jAF j =!2 : 5. ‡­ ©²¨ ! CD ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ ¯«®¹¨­¨ ¢ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² C; CE; , ¿ª¹® ¢Æ¤®¬Æ ! ! 0 0 ÈÈ ª®®°¤¨­ ²¨ x ; y ¢ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² E; EF; ED. 9.7. “ ²°¨ª³²­¨ª³ ABC ²®·ª  D «¥¦¨²¼ ­  ±²®°®­Æ BC ,   ²®·ª  E | ­  ¯°®¤®¢¦¥­­Æ ±²®°®­¨ AC §  ²®·ª³ C ² ª, ¹® jBDj : jDC j = 1 : 2, jAC j : jCE ! j = 3!: 1. ‡­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ ¯«®¹¨­¨ ¢ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² A;! AB; AC , ¿ª¹® ¢Æ¤®¬Æ ÈÈ ª®®°¤¨­ ²¨ x0 ; y 0 ¢ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² ! D; DA; DE. 9.8. “ ²°¨ª³²­¨ª³ ABC ²®·ª  D «¥¦¨²¼ ­  ±²®°®­Æ AC ,   ²®·ª  E | ­  ¢Æ¤°Æ§ª³ BD ² ª, ¹® jADj : jAC j = 1 : 3, jBE j : jED =!2 : 3. ‡­ ©²¨ ! jAD ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ ¯«®¹¨­¨ ¢ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² A; AB; , ¿ª¹® ¢Æ¤®¬Æ ! ! 0 0 ÈÈ ª®®°¤¨­ ²¨ x ; y ¢ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² C; CB; CE. 9.9. ‡ ¤ ­® ¯° ¢¨«¼­¨© ¸¥±²¨ª³²­¨ª ABCDEF . ‡­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ! AF !, ¿ª¹® ¢Æ¤®¬Æ ÈÈ ª®®°¤¨²®·ª¨ ¯«®¹¨­¨ ¢ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ²!A; ! AB; ­ ²¨ x0; y0 ¢ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² C; CB; CE.

x

10. DZ……’‚Ž…Ÿ DZŸŒŽŠ“’ˆ• ŠŽŽ„ˆ€’ . . .

25

“ ²° ¯¥¶ÆÈ ABCD ¤Æ £®­ «Æ ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿ ¢ ²®·¶Æ E ,   ¤®¢¦¨­¨ ®±­®¢ BC i AD ¢Æ¤­®±¿²¼±¿ ¿ª :!3. ‡­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ ¯«®¹¨! 2AD ­¨ ¢ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ²!A; ! AB; , ¿ª¹® ¢Æ¤®¬Æ ÈÈ ª®®°¤¨­ ²¨ x0; y0 ¢ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² E; EA; EB. 9.11. ‚ ®±­®¢Æ ¯°¨§¬¨ ABCDA1 B1 C1 D1 «¥¦¨²¼ °®¬¡ § £®±²°¨¬ ª³²®¬ A, ¿ª¨© ¤®°Æ¢­¾Ä 60Æ. ’®·ª  K «¥¦¨²¼ ­  ¯°®¤®¢¦¥­­Æ °¥¡°  AB §  ²®·ª®¾ B ² ª, ¹® ª³² ADK ¯°¿¬¨©. ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ ! AD; !‚Ƥ¸³ª ²¨ ¯°®±²®°³ ¢ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² A; AB; AA!1, ¿ª¹® ¢Æ¤®¬Æ ÈÈ ª®®°¤¨! KD; ! KC!1. ­ ²¨ x0; y0; z0 ¢ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² K; KA; 9.12. “ ²°¨ª³²­Æ© ¯°¨§¬Æ ABCA1 B1 C1 ²®·ª  M | ²®·ª  ¯¥°¥²¨­³ ¬¥¤Æ ­ £° ­Æ A1!B1 C!1. ‡­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ ¯°®±²®°³ ¢ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² A; AB; AC; AB!1 , ¿ª¹® ¢Æ¤®¬Æ ÈÈ ª®®°¤¨­ ²¨ x0; y 0; z 0 ¢ ±¨±²¥¬Æ !. ª®®°¤¨­ ² A1; A1! B; A1! C; A1M 9.13. “ ²¥²° ¥¤°Æ ABCD ²®·ª  M | ²®·ª  ¯¥°¥²¨­³ ¬¥¤Æ ­ £° ­Æ BCD ‚Ƥ¸³ª ²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ ¯°®±²®°³ ¢ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² !. AC; ! AD !, ¿ª¹® A; AB; ¢Æ¤®¬Æ ÈÈ ª®®°¤¨­ ²¨ x0; y0; z0 ¢ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨! ! ! ­ ² M; MB; MC; MA. 9.14. “ ¯° ¢¨«¼­Æ© ¸¥±²¨ª³²­Æ© ¯Æ° ¬Æ¤Æ SABCDEF § ¢¥°¸¨­®¾ S ²®·ª  M Ä ¶¥­²°®¬!®±­®¢¨. ‡­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ ¯°®±²®°³ ¢ ±¨±²¥¬Æ ! ! ª®®°¤¨­ ² A; AB; AF ; AS , ¿ª¹® ¢Æ¤®¬Æ ÈÈ ª®®°¤¨­ ²¨ x0; y 0; z 0 ¢ ±¨±²¥¬Æ ! ! SM !. ª®®°¤¨­ ² S; SC; SD; 9.15. ‡ ¤ ­® ¯ ° «¥«¥¯Æ¯¥¤ ABCDA1 B1 C1 D1 . ‡­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·! AB!1; AA!1, ¿ª¹® ¢Æ¤®¬Æ ÈÈ ª®®°ª¨ ¯°®±²®°³ ¢ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² A; AC; ¤¨­ ²¨ x0; y0; z0 ¢ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² D1; D1! D; D1C!1; D1! B. 9.10.

  ¯«®¹¨­Æ ¢ ¤¥¿ªÆ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² § ¤ ­® ²°¨ ²®·ª¨ A(2; 3), B (1; 4), C ( 1; 2) Æ ¯°¿¬  x 5y + 7 = 0.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¶ÆÄÈ ¯°¿¬®È ! AC !. ¢ ­®¢Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² AAB; 9.16.

x

10.

DZ¥°¥²¢®°¥­­¿ ¯°¿¬®ª³²­¨µ ª®®°¤¨­ ² ­  ¯«®¹¨­Æ Æ ¢ ¯°®±²®°Æ

  ¯«®¹¨­Æ § ¤ ­® ¤¢Æ ¯°¿¬®ª³²­Æ ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² Oij i O0i0j 0. DZ®· ²®ª ¤°³£®È ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² ¬ Ä ¢ ¯¥°¸Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ²¨ x0 ; y0,   ¢¥ª²®°¨ i0 ; j 0 ®¤¥°¦³¾²¼±¿ § ¢¥ª²®°Æ¢ i; j ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® ¯®¢®°®²®¬ 10.1.

0

26

Ž‡„Å‹ III.

DZ……’‚Ž…Ÿ ŠŽŽ„ˆ€’

­  ²®© ± ¬¨© ª³² ' ¢ ­ ¯°¿¬Æ ­ ©ª®°®²¸®£® ¯®¢®°®²³ ¢Æ¤ i ¤® j . ‡­ ©²¨: 1) ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ ¢ ¯¥°¸Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ², ¿ª¹® ¢Æ¤®¬Æ ÈÈ ª®®°¤¨­ ²¨ x0; y0 ¢ ¤°³£Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ²; 2) ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ ¢ ¤°³£Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ², ¿ª¹® ¢Æ¤®¬Æ ÈÈ ª®®°¤¨­ ²¨ x; y ¢ ¯¥°¸Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ²; 3) ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ O ¢ ¤°³£Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ². 0 10.2. „®¢¥±²¨ ² ª¥: ¿ª¹® ¬ ²°¨¶¿ A Ä ¬ ²°¨¶¥¾ ¯¥°¥µ®¤³ ¢Æ¤ ®¤­ÆÄÈ ®°²®­®°¬®¢ ­®È ¡ §¨ ¤® Æ­¸®È, ²® 1) A | ®°²®£®­ «¼­  ¬ ²°¨¶¿, ²®¡²® AT = A 1; 2) det A = 1. 10.3. ‡­ ©¤Æ²¼ ´®°¬³«¨ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ ¯°¿¬®ª³²­¨µ ª®®°¤¨­ ², ¿ª¹® ®¡¨¤¢Æ ±¨±²¥¬¨ ¬ ¾²¼ ±¯Æ«¼­¨© ¯®· ²®ª,   ª®±¨­³±¨ ª³²Æ¢ ¬Æ¦ ®±¿¬¨ ª®®°¤¨­ ² § ¤ ¾²¼±¿ ² ¡«¨¶¥¾ Ox Oy Oz

Ox0 Oy 0 Oz 0 11 15 2 15 2 3

2 15 14 15 1 3

2 3 1 3 2 3

¥µ © ³ ¯°¿¬®ª³²­Æ© ¤¥ª °²®¢Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² Oxy § ¤ ­® ¤¢Æ ¯°¿¬Æ x y + 1 = 0 i x + y + 1 = 0. ‡  ¯®· ²®ª ­®¢®È ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² ¢Æ§¼¬¥¬® ²®·ª³ ¯¥°¥²¨­³ ¶¨µ ¯°¿¬¨µ O0,   §  ¡ §®¢Æ ¢¥ª²®°¨ ®¤¨­¨·­Æ ­ ¯°¿¬­Æ ¢¥ª²®°¨ ¶¨µ ¯°¿¬¨µ. ‡­ ©²¨ ´®°¬³«¨ ¯¥°¥µ®¤³ ¢Æ¤ ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² Oxy ¤® ±¨±²¥¬¨ O0x0y0. 10.4.

®§¤Æ« IV DZ«®¹¨­  Æ ¯°¿¬  ¢ ¯°®±²®°Æ x

11.

DZ ° ¬¥²°¨·­¥ ²  § £ «¼­¥ °Æ¢­¿­­¿ ¯«®¹¨­¨

 ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯«®¹¨­¨, ¿ª  § ¤ Ä²¼±¿ ²®·ª®¾ M0 Æ ¢¥ª²®° ¬¨ ~p i ~q, ¿ª¹®: 1) M0(1; 2; 3), ~p(5; 4; 1), ~q(0; 1; 2); 2) M0(5; 4; 1), ~p(3; 2; 1), ~q(2; 2; 1). 11.2.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯«®¹¨­¨, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ¤¢Æ § ¤ ­Æ ²®·ª¨ A i B Æ ¬Æ±²¨²¼ ¢¥ª²®° ~p, ¿ª¹®: 1) A(1; 2; 3), B(5; 4; 6), ~p(1; 1; 1); 2) A(2; 1; 3), B(3; 7; 8), ~p(2; 1; 1). 11.3.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯«®¹¨­¨, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²°¨ § ¤ ­Æ ²®·ª¨ (¿ª¹® ¶Æ ²®·ª¨ ¢¨§­ · ¾²¼ ¯«®¹¨­³): 1) A(2; 1; 3), B( 1; 2; 5), C (3; 0; 1); 2) A(1; 1; 3), B(2; 3; 4), C ( 1; 1; 2); 3) A(3; 0; 0), B(0; 1; 0), C (0; 0; 4); 4) A(1; 1; 2), B(2; 2; 4), C ( 1; 1; 2). 11.4. ¥µ © Ax + By + Cz + D = 0 § £ «¼­¥ °Æ¢­¿­­¿ ¯«®¹¨­¨. „®¢¥±²¨, ¹® ¢¥ª²®° p~(; ; ) ­ «¥¦¨²¼ ¶Æ© ¯«®¹¨­Æ ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ A + B + C = 0. 11.5. ¥µ © Ax + By + Cz + D = 0 § £ «¼­¥ °Æ¢­¿­­¿ ¯«®¹¨­¨. „®¢¥±²¨, ¹® ¢¥ª²®°¨ ~p( B; A; 0), ~q( C; 0; A) i ~r(0; C; B) ­ «¥¦ ²¼ ¶Æ© ¯«®¹¨­Æ. DZ®ª § ²¨, ¹® ¯°¨­ ©¬­Æ ¤¢  § ­¨µ ­¥ª®«Æ­¥ °­Æ. 11.6.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯«®¹¨­¨, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ A(1; 1; 2) Æ ¯ ° «¥«¼­  ¯«®¹¨­Æ: 1) x 3y + 2z + 1 = 0; 11.1.

27

28

Ž‡„Å‹ IV.

2) 3) 4) 5) 11.7.

DZ‹Ž™ˆ€ Å DZŸŒ€ ‚ DZŽ‘’ŽÅ

x = 5; y = 4; z = 3; x = 4 u + v; y = 2 + u + 2v; z = 1 + 7u + 3v .

‚Ƥ®¬® ¯ ° ¬¥²°¨·­¥ °Æ¢­¿­­¿ ¯«®¹¨­¨ 8 > <x

= 1 + u v; y = 2 + u + 2v; > : z = 1 u + 2v: ‡ ¯¨± ²¨ § £ «¼­¥ °Æ¢­¿­­¿ ¶ÆÄÈ ¯«®¹¨­¨. 11.8. ‚Ƥ®¬® § £ «¼­¥ °Æ¢­¿­­¿ ¯«®¹¨­¨ 2x 3y + z + 1 = 0. ‘ª« ±²¨ ÈÈ ¯ ° ¬¥²°¨·­¥ °Æ¢­¿­­¿. 11.9. DZ°¨ ¿ª¨µ §­ ·¥­­¿µ ¯ ° ¬¥²°  a ¯«®¹¨­¨ x + ay + z 1=0i 3 ax + 9y + a9 z + 3 = 0 1) ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿; 2) ¯ ° «¥«¼­Æ; 3) §¡Æ£ ¾²¼±¿? x

12.

Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬®È ¢ ¯°®±²®°Æ

 ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬®È, ¿ª  § ¤ Ä²¼±¿ ²®·ª®¾ A Æ ­ ¯°¿¬­¨¬ ¢¥ª²®°®¬ p~, ¿ª¹®: 1) A(1; 0; 2), p~(0; 1; 3); 2) A(1; 2; 3), p~(5; 10; 6); 12.2.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬®È, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ¤¢Æ § ¤ ­Æ ²®·ª¨: 1) A(1; 3; 1), B(4; 2; 1); 2) A(3; 2; 5), B(4; 1; 5). 12.3. „®¢¥±²¨, ¹® ­ ¯°¿¬­¨© ¢¥ª²®° ~ a ¯°¿¬®È, ¿ª³ § ¤ ­® ³ ¢¨£«¿¤Æ ¯¥°¥²¨­³ ¤¢®µ ¯«®¹¨­ A1x + B1 y + C1z + D1 = 0, A2x + B2y + C2z + D2 = 0 ¬®¦­  §­ ©²¨ §  ¯° ¢¨«®¬ "¢¥ª²®°­®£® ¤®¡³²ª³" 12.1.













B1 C1 e~ + C1 A1 e~ + A1 B1 e~ ~a = B C2 1 C2 A2 2 A2 B2 3 2

­¥ ²Æ«¼ª¨ ¢ ¯°¿¬®ª³²­Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ²,   © ³ ¤®¢Æ«¼­Æ©  ´Æ­­Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ².

x

13. Ž‡’€˜“‚€Ÿ DZŸŒˆ• Å DZ‹Ž™ˆ ‚ DZŽ‘’ŽÅ

29

8 > <x

= 2 + 3t; 12.4. ‡ ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬®È ³ ¢¨£«¿¤Æ ¯¥°¥²¨­³ ¤¢®µ y = 3 t; > : z = 1+t ¯«®¹¨­, °Æ¢­¿­­¿ ¿ª¨µ § ¯¨± ­® ¢ § £ «¼­Æ© ´®°¬Æ. 12.5. ‘ª« ±²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬®È, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ A(1; 3; 1) Æ Ä ¯ ° «¥«¼­  ¯°¿¬Æ©: 1) x + y z + 2 = 0; 2x + 3y + z = 0; 2) x+1 = y 4 2 = z21+2 ; 3 3) x = 2; y = 3. x = y = 5. ‡­ ©²¨ ­ ¯°¿¬­¨© ¢¥ª²®° 12.6. “ ¯°®±²®°Æ § ¤ ­® ¯°¿¬³ 2 3 ¶ÆÄÈ ¯°¿¬®È. x

13.

®§² ¸³¢ ­­¿ ¯°¿¬¨µ Æ ¯«®¹¨­ ¢ ¯°®±²®°Æ

¥µ © ¯°¿¬  l § ¤ Ä²¼±¿ ²®·ª®¾ M0(x0; y0; z0) Æ ­ ¯°¿¬­¨¬ ¢¥ª²®°®¬ p~(; ; ),   ¯«®¹¨­   °Æ¢­¿­­¿¬ Ax + By + Cz + D = 0. „®¢¥±²¨, ¹®: 1) l   () A + B + C = 0 ^ Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0; 2) l k  () A + B + C = 0 ^ Ax0 + By0 + Cz0 + D 6= 0; 3) ¯°¿¬  l ¯¥°¥²¨­ Ä ¯«®¹¨­³  ¢ ®¤­Æ© ²®·¶Æ , A + B + C 6= 0. x x1 = y y1 = z z1 i x x2 = y y2 = z z2 0 13.2. „®¢¥±²¨, ¹® ¤¢Æ ¯°¿¬Æ 1 1

1 2 2

2 «¥¦ ²¼ ¢ ®¤­Æ© ¯«®¹¨­Æ ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ 13.1.

0





x1 x2 y1 y2 z1 z2 1 1

1 = 0: 2 2

2

¥µ © ¤¢Æ ¯°¿¬Æ l1; l2 § ¤ ¾²¼±¿ ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® ²®·ª ¬¨ M1(x1; y1; z1), M2 (x2; y2; z2) Æ ­ ¯°¿¬­¨¬¨ ¢¥ª²®° ¬¨ p~1 (1; 1; 1) Æ p~2(2 ; 2; 2). „®13.3.

0

¢¥±²¨, ¹®: 1) l1; l2 | ¬¨¬®¡Æ¦­Æ () (M1M!2; p~1! ; p~2) 6= 0: 2) l1; l2 | ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿ () ! (M1M2; p~1; p~2) = 0 ^ p~1 , p~2. 3) l1 k l2 () p~1 k p~2 ^ M1M2 , p~1:! 4) l1 §¡Æ£ Ä²¼±¿ § l2 () p~1 k p~2 k M1M2 0 13.4. ¥µ © § ¤ ­® ¤¢Æ ¯«®¹¨­¨ 1 Æ 2 ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® § £ «¼­¨¬¨ °Æ¢­¿­-

30

Ž‡„Å‹ IV.

DZ‹Ž™ˆ€ Å DZŸŒ€ ‚ DZŽ‘’ŽÅ

­¿¬¨ A1x + B1y + C1z + D1 = 0 Æ A2x + B2y + C2z + D2 = 0. „®¢¥±²¨, ¹®:  A1 B1 C1 1) 1 ¯¥°¥²¨­ Ä²¼±¿ § 2 () rang A B C = 2; 

A1 B1 C1 A2 B2 C2





2

A1 A2 B1 B2

2

B1 2) 1 k 2 , rang = 1 ^ rang B2  C1 1 3) DZ«®¹¨­¨ 1 Æ 2 §¡Æ£ ¾²¼±¿ () rang A A2 C2 13.5. DZ¥°¥¢Æ°¨²¨, ·¨ «¥¦¨²¼ § ¤ ­  ¯°¿¬  ¢ ¯«®¹¨­Æ x

2



C1 D1 = 2; C2 D2  D1 = 1: D2 3y + z + 1 = 0,

¯ ° «¥«¼­  ¤® ¯«®¹¨­¨, ·¨ ¯¥°¥²¨­ Ä ÈÈ ¢ ®¤­Æ© ²®·¶Æ (¿ª¹® ¯¥°¥²¨­ Ä ¯«®¹¨­³ ¢ ®¤­Æ© ²®·¶Æ, ²® §­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ ¯¥°¥²¨­³). DZ°¿¬  § ¤ ­  °Æ¢­¿­­¿¬: 1) x 5 1 = y 4 1 = z 7 1 ; 2) x = 2 + 3t; y = 7 + t; z = 1 + t; 3) x y + 2z = 0; x + y 3z + 2 = 0; 4) 3x 2y 1 = 0; 7y 3z 4 = 0; 5) x = 2; y = 5 + t; z = 4 + 3t. x=y =z 2 13.6. DZ°¨ ¿ª¨µ §­ ·¥­­¿µ ¯ ° ¬¥²°  a ¯°¿¬  1 a 1 1) ¯¥°¥²¨­ Ä ¯«®¹¨­³ 3a2x + ay + z 4a = 0; 2) ¯ ° «¥«¼­  ¤® § ¤ ­®È ¯«®¹¨­¨; 3) «¥¦¨²¼ ³ § ¤ ­Æ© ¯«®¹¨­Æ? x 1 = y 1 = z (a 2)2 i x = 13.7. DZ°¨ ¿ª¨µ §­ ·¥­­¿µ ¯ ° ¬¥²°  a ¯°¿¬Æ a 1 a 1 y = z 1) ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿; 2) ¯ ° «¥«¼­Æ; 3) §¡Æ£ ¾²¼±¿; 4) ¬¨¬®¡Æ¦­Æ? a 1 13.8. ‡ ¤ ­® ¤¢Æ ¯°¿¬Æ. ‡'¿±³¢ ²¨, ·¨ ¢®­¨ ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿, ¬¨¬®¡Æ¦­Æ, ¯ ° «¥«¼­Æ, §¡Æ£ ¾²¼±¿. Ÿª¹® ¯°¿¬Æ ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿ ·¨ ¯ ° «¥«¼­Æ, ±ª« ±²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯«®¹¨­¨, ¢ ¿ªÆ© ¢®­¨ «¥¦ ²¼. Ÿª¹® ¯°¿¬Æ ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿, §­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ ȵ­¼®£® ¯¥°¥²¨­³. DZ°¿¬Æ § ¤ ­® °Æ¢­¿­­¿¬¨: ( ( x + z 1 = 0; 1) i x 2y + 3 = 0; 3x + y z + 13 = 0; y + 2z 8 = 0; 8 ( > <x = 3 + t; 2) >y = 1 + 2t; i x + y z = 0; 2x y + 2z = 0; : z = 4;

x

13. Ž‡’€˜“‚€Ÿ DZŸŒˆ• Å DZ‹Ž™ˆ ‚ DZŽ‘’ŽÅ

8 > <x

8

31

> = 2 + 4t; <x = 7 6t; 3) >y = 6t; i >y = 2 + 9t; : : z = 1 8t; z = 12t; 8 ( > <x = 9t; 4) >y = 5t; i 2x 3y 3z 9 = 0; x 2y + z + 3 = 0; : z = 3 + t; 8 8 > > <x = 1 + 2t; <x = 6 + 3t; 5) >y = 7 + t; i >y = 1 2t; : : z = 3 + 4t; z = 2 + t: 13.9.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯«®¹¨­¨, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ A(1; 3; 0) ( ( x + y + z + 3 = 0; x + y = 1; Æ ¯ ° «¥«¼­  ¤® ¯°¿¬¨µ i 2x y + 5z + 1 = 0; 5x + y z + 2 = 0: 13.10.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬®È, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ A(3; -1; -4), ¯¥°¥²¨­ Ä ¢Æ±¼ Oy Æ Ä ¯ ° «¥«¼­®¾ ¤® ¯«®¹¨­¨ y + 2z = 0. 13.11.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬®È, ¿ª  «¥¦¨²¼ ¢ ¯«®¹¨­Æ y + 2z = 0 Æ 8 8 > > <x = 1 t; <x = 2 t; ¯¥°¥²¨­ Ä ¯°¿¬Æ >y = t; i y = 4 + 2t; > : : z = 4t: z = 1: x 1 = 13.12.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯«®¹¨­¨, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ¯°¿¬³ 3 y+2 = z 1 Æ ¯ ° «¥«¼­  ¤® ¯°¿¬®È x = y 1 = z+1 . 4 2 5 4 3 13.13.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯«®¹¨­¨, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ A( 1; 1;82) Æ ¯°¿¬³, § ¤ ­³ °Æ¢­¿­­¿¬: > <x = 1 + 5t; 1) >y = 1 + t; : z = 2t; 2) x + 5y 7z + 1 = 0; 3x y + 2z + 3 = 0. 13.14. DZ°¿¬  ¯°®¥ª²³Ä²¼±¿ ­  ¯«®¹¨­³ Oyz ¯ ° «¥«¼­® ¤® ®±Æ Ox.  ¯¨± ²¨ 8 °Æ¢­¿­­¿ ¯°®¥ª¶ÆÈ, ¿ª¹® ¯°¿¬  § ¤ ­  °Æ¢­¿­­¿¬: > <x = 1 + 2t; 1) >y = 3t; : z = 1 t; 2) x + y + z 1 = 0; x + 2y 3z + 2 = 0.

32

Ž‡„Å‹ IV.

DZ‹Ž™ˆ€ Å DZŸŒ€ ‚ DZŽ‘’ŽÅ

DZ°¿¬  ¯°®¥ª²³Ä²¼±¿ ­  ¯«®¹¨­³ x +2y 3z +2 = 0 ¯ ° «¥«¼­® ¤® ¢¥ª²®°  ~l = (2; 1; 1).  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯°®¥ª¶ÆÈ, ¿ª¹® ¯°¿¬  § ¤ ­  °Æ¢­¿­­¿¬: 8 > <x = 1 + 2t; 1) >y = 5t; : z = 6 t; 2) x + y + z 1 = 0; y 3z + 4 = 0. 13.16. ’°¨ £° ­Æ ¯ ° «¥«¥¯Æ¯¥¤  «¥¦ ²¼ ¢ ¯«®¹¨­ µ x + 3z + 18 = 0, 2x 4y + 5z 21 = 0, 6x + y + z 30 = 0,   ®¤­  § ©®£® ¢¥°¸¨­ ¬ Ä ª®®°¤¨­ ²¨ A( 1; 3; 1).  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ °¥¸²¨ £° ­¥© ¯ ° «¥«¥¯Æ¯¥¤  Æ ©®£® ¤Æ £®­ «Æ, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ A. 13.17. ’®·ª¨ A(1; 0; 3) i B ( 1; 2; 1) Ä ¢¥°¸¨­ ¬¨ ²¥²° ¥¤°  ABCD , ²®·ª  K ( 1; 5; 2) Ä ±¥°¥¤¨­®¾ °¥¡°  BC ,   ²®·ª  M (0; 1; 4) | ²®·ª®¾ ¯¥°¥²¨­³ ¬¥¤Æ ­ £° ­Æ BCD.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯«®¹¨­, ¢ ¿ª¨µ «¥¦ ²¼ £° ­Æ ²¥²° ¥¤° . 13.18.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬®È, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ O (0; 0; 0) Æ ¯¥°¥²¨­ Ä ¤¢Æ § ¤ ­Æ ¯°¿¬Æ: ( ( x y + z + 2 = 0; y z + 1 = 0; 1) i x 2y + 3z 8 = 0; x + y 2z + 4 = 0; 8 8 > > <x = 1 + 2t; <x = 4t; 2) >y = 2 + 3t; i >y = 5 5t; : : z= t z = 3 + 2t: 13.19.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬®È, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ A( 1; 1;( 1) Æ ¯¥°¥²¨­ Ä ¤¢Æ § ¤ ­Æ ¯°¿¬Æ: ( x y + z + 2 = 0; y z = 0; 1) i x 2y + 3z 8 = 0; x + y 2z + 4 = 0; y 2 y +5 z x z 3 x 1 2) 2 = 3 = 1 i 4 = 5 = 2 . x+3 = 13.20.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬®È, ¿ª  ¯¥°¥²¨­ Ä ¤¢Æ § ¤ ­Æ ¯°¿¬Æ 2 y 5 = z i x 10 = y+7 = z Æ ¯ ° «¥«¼­  ¯°¿¬Æ© x+2 = y 1 = z 3 . 3 1 5 4 1 8 7 1 x 1 = 13.21.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯«®¹¨­, ¿ªÆ ¯°®µ®¤¿²¼ ·¥°¥§ ¯°¿¬³ 3 y 1 = z+2 , °Æ¢­®¢Æ¤¤ «¥­Æ ¢Æ¤ ²®·®ª A(1; 2; 5) i B (3; 0; 1). 5 4 13.22.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯«®¹¨­, ¿ªÆ ¯°®µ®¤¿²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ A(1; 0; 4), °Æ¢­®¢Æ¤¤ «¥­Æ ¢Æ¤ ²°¼®µ ²®·®ª B(2; 1; 6), C ( 2; 3; 2) i D(8; 1; 0). 13.15.

x

13. Ž‡’€˜“‚€Ÿ DZŸŒˆ• Å DZ‹Ž™ˆ ‚ DZŽ‘’ŽÅ

33

 ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯«®¹¨­, °Æ¢­®¢Æ¤¤ «¥­¨µ ¢Æ¤ ·®²¨°¼®µ ²®·®ª A(1; 1; 3), B (3; 3; 5), C (1; 7; 3) i D(5; 1; 5). x 2 = y 1 = z § ²®·ª¨ (1; 2; 1) 13.24.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯°®¥ª¶ÆÈ ¯°¿¬®È 3 2 1 ­  ¯«®¹¨­³ y 2z + 4 = 0. 13.25.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬®È, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ A(1; 1; 2) Æ ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­  ¤® ¯«®¹¨­¨: 1) x 3y + 2z + 1 = 0; 2) x = 5; 3) y = 4; 4) z = 3; 5) x = 4 u + v; y = 2 + u + 2v; z = 1 + 7u + 3v. ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ . 13.26.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯«®¹¨­¨, ¿ª  ¯°®µ®¤¿²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ A(2; 1; 1) Æ ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­  ¤® ¤¢®µ ¯«®¹¨­ x y +5z +1 = 0 i 2x+y = 3. ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ . 13.27.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯«®¹¨­¨, ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­®È ¤® ¯«®¹¨­¨ x + 3y z + 2 = 0, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ¯°¿¬³ 1) (x 2 1 = y 3 1 = z 4 1 ; 2) 2x y + z = 0; ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ . x + 2y + z 3 = 0: 13.28. “ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² O e ~1 e~2 e~3 , ¤¥ je~1 j = 1, je~2j = 1, je~3 j = 2, o \(e~1e~2 ) = 90 , \(e~1 e~3) = \(e~2e~3 ) = 60o § ¤ ­® ¯«®¹¨­³ x + y + z + 1 = 0 Æ ²®·ª³ A(1; 1; 1). ‡­ ©²¨: 1) °Æ¢­¿­­¿ ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿° , ®¯³¹¥­®£® § ²®·ª¨ A ­  § ¤ ­³ ¯«®¹¨­³; 2) ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ A0, ¿ª  ±¨¬¥²°¨·­  ²®·¶Æ A ±²®±®¢­® § ¤ ­®È ¯«®¹¨­¨; 3) ¢Æ¤±² ­¼ ¢Æ¤ ²®·ª¨ A ¤® § ¤ ­®È ¯«®¹¨­¨. p 13.29. „®¢¦¨­¨ ¡ §®¢¨µ ¢¥ª²®°Æ¢ e ~1; e~2 ; e~3 ¤®°Æ¢­¾¾²¼ ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® 3; 2;4,   ª³²¨ ¬Æ¦ ­¨¬¨ \(e~1e~2) = \(e~2e~3) = 45o, \(e~1e~3) = 60o. “ ¶Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² § ¤ ­® ²®·ª³ A(1; 2; 3). ‡­ ©²¨: 1) °Æ¢­¿­­¿ ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿° , ®¯³¹¥­®£® § ²®·ª¨ A ­  ¯°¿¬³ x 1 = y = z; 1 2 2 ( 2) ¢Æ¤±² ­¼ ¢Æ¤ ²®·ª¨ A ¤® ¯°¿¬®È x + y = 0 ; z+y =5 0 3) ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ A , ¿ª  ±¨¬¥²°¨·­  ²®·¶Æ A ±²®±®¢­® ¯°¿¬®È fx = 1 + 2t; y = 2 + 3t; z = t; 4) °Æ¢­¿­­¿ ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿° , ®¯³¹¥­®£® § ²®·ª¨ A ­  ¯«®¹¨­³ x + y + z + 1 = 0; 13.23.

34

Ž‡„Å‹ IV.

DZ‹Ž™ˆ€ Å DZŸŒ€ ‚ DZŽ‘’ŽÅ

5) ¢Æ¤±² ­¼ ¢Æ¤ ²®·ª¨ A ¤® ¯«®¹¨­¨ x + 2y + z + 1 = 0; 6) ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ A0, ¿ª  ±¨¬¥²°¨·­  ²®·¶Æ A ±²®±®¢­® ¯«®¹¨­¨ x + 3y + z + 1 = 0; 8 8 > x = 5 + t > < <x = 6 + t 7) ±¯Æ«¼­¨© ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿° ¯°¿¬¨µ >y = 3 t Æ >y = 1 + 2t ; : : z = 13 + t z = 10 t y 1 y 3 z 10 x +4 x 6 8) ¢Æ¤±² ­¼ ¬Æ¦ ¯°¿¬¨¬¨ 1 = 2 = 1 i 7 = 2 = z 3 4 . 13.30. „®¢¦¨­¨ ¡ §®¢¨µ ¢¥ª²®°Æ¢ ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² O e ~1 e~2 e~3 ¤®°Æ¢­¾p ¾²¼ ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® 1; 2; 2,   ª³²¨ ¬Æ¦ ­¨¬¨ ¤®°Æ¢­¾¾²¼ \(e~1e~2) = 120o, \(e~1e~3 ) = 45o , \(e~2e~3 ) = 135o . ‡ ¤ ­® ¯ ° «¥«¥¯Æ¯¥¤ ABCDA0 B 0 C 0D0 § ¢¥°¸¨­®¾ A(1; 2; 3) Æ ªÆ­¶¿¬¨ °¥¡¥°, § ¿ª®È ¢®­¨ ¢¨µ®¤¿²¼ B(9; 6; 4), D(3; 0; 4), A0(5; 2; 6). ‡­ ©²¨: 1) ®¡'Ĭ ¯ ° «¥«¥¯Æ¯¥¤ ; 2) °Æ¢­¿­­¿ ¢¨±®²¨, ®¯³¹¥­®È § ¢¥°¸¨­¨ A0 ­  ®±­®¢³ ABCD; 3) ¢Æ¤±² ­¼ ¢Æ¤ ²®·ª¨ A ¤® ¯°¿¬®È A0B; 4) °Æ¢­¿­­¿ ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿° , ®¯³¹¥­®£® § ²®·ª¨ A ­  ¯°¿¬³ A0B. 13.31. “ ¯°®±²®°Æ § ¤ ­® ·®²¨°¨ ²®·ª¨ A(1; 2; 1), B ( 1; 3; 0), C (2; 5; 3), D( 2; 3; 4) Æ ¯«®¹¨­  2x + y 3z +2 = 0.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¶ÆÄÈ ¯«®¹¨­¨ ! AC; ! AD !. ¢ ­®¢Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² AAB; 13.32. DZ«®¹¨­¨ x 2y + 3z 6 = 0, 2x + y z = 0, 4x + z 5 = 0 Ä ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® ¯«®¹¨­ ¬¨ O0y0z0, O0z0x0, O0x0y0 ­®¢®È ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ², ²®·ª  A(2; 0; 1) ¬ Ä ¢ ­®¢Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ²¨ (1; 1; 1). ‡­ ©²¨: 1) ´®°¬³«¨ ¯¥°¥µ®¤³ ¢Æ¤ ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² O0x0y0z0 ¤® ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² Oxyz; = z 12 ¢ ­®¢Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ². 2) °Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬®È x 1 1 = y+1 4 13.33. ’°¨ ¯«®¹¨­¨ § ¤ ­® ¢ ¯°¿¬®ª³²­Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² °Æ¢­¿­­¿¬¨ x + 2y 2z + 3 = 0, 2x + y + 2z = 0, 2x 2y z + 3 = 0 (¯¥°¥¢Æ°¨²¨, ¹® ¢®­¨ ¯®¯ °­® ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­Æ), ¿ªÆ Ä ¯«®¹¨­ ¬¨ O0y0z0, O0z0x0, O0 x0y 0 ­®¢®È ¯°¿¬®ª³²­®È ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ²,   ²®·ª  A( 1; 0; 0) ¬ Ä ¢ ­®¢Æ© ±¨±²¥¬Æ ¤®¤ ²­Æ ª®®°¤¨­ ²¨. ‡­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ ¢ ¢¨µÆ¤­Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ², ¿ª¹® ¢Æ¤®¬® ÈÈ ª®®°¤¨­ ²¨ x0; y0; z0 ³ ­®¢Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ².  ¯¨± ²¨ ¢ ­®¢Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² °Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬¨µ, ¿ª¹® ¢Æ¤®¬Æ ȵ­Æ °Æ¢­¿­­¿ ¢ ±² °Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² x 2 1 = y 1 1 = z 1 3 i x = y = z: Ž¡·¨±«¨²¨ ¢ ®¡®µ ±¨±²¥¬ µ ª®®°¤¨­ ² ª³² Æ ¢Æ¤±² ­¼ ¬Æ¦ ¶¨¬¨ ¯°¿¬¨¬¨.

x x

14. Œ…’ˆ—Å ‡€„€—Å € DZŸŒ“ Å DZ‹Ž™ˆ“

14.

35

Œ¥²°¨·­Æ § ¤ ·Æ ­  ¯°¿¬³ Æ ¯«®¹¨­³ ¢ ¯°®±²®°Æ

14.1.

0

¥µ © ³ ¤¥¿ªÆ© ¯°¿¬®ª³²­Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² § ¤ ­® ²®·ª³

M (x0; y0 ; z0) Æ ¯«®¹¨­³  : Ax + By + Cz + D = 0: „®¢¥±²¨, ¹® ¢Æ¤±² ­¼ ¢Æ¤ 0 +Cz0 +D j ²®·ª¨ M ¤® ¯«®¹¨­¨  ¬®¦­  ®¡·¨±«¨²¨ §  ´®°¬³«®¾ jAxp0+ABy . 2 +B 2 +C 2

’®·ª  A «¥¦¨²¼ ­  ¯°¿¬Æ© x 2 3 = 3y = z 11 Æ °Æ¢­®¢Æ¤¤ «¥­  ¢Æ¤ ²®·®ª B(3; 0; 2) Æ C ( 1; 1; 5). ‡­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ A. ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ . 14.3. ‡­ ©²¨ ¢Æ¤±² ­¼ ¢Æ¤ ²®·ª¨ A(3; 1; 1) ¤® ¯«®¹¨­¨: 1) x y 5z + 2 = 0; 2) x 2y + 2z + 2 = 0; 3) z = 0. ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ . 14.4. ‡­ ©²¨ ¢Æ¤±² ­¼ ¬Æ¦ ¯«®¹¨­ ¬¨: 1) 6x 3y + 2z + 5 = 0 Æ 6x 3y + 2z 9 = 0; 2) 2x + 2y z + 3 = 0 Æ 2x + 2y z + 18 = 0; 3) 2x + 2y z + 3 = 0 Æ x + 2y + z + 3 = 0. ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ . x 1 = y 3 = z+4 Æ °Æ¢­®¢Æ¤¤ «¥­  ¢Æ¤ 14.5. ’®·ª  A «¥¦¨²¼ ­  ¯°¿¬Æ© 1 3 5 ²®·ª¨ B(0; 1; 1) Æ ¯«®¹¨­¨ 2x y + 2z + 1 = 0: ‡­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ A. ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ . 14.6. ‡­ ©²¨ ª³² ¬Æ¦ ¯«®¹¨­ ¬¨: 1) x + 4y z + 1 = 0 Æ x + y z 1 = 0; 2) x + 2y z = 1 Æ x y = 3; 3) x + 2y z 1 = 0 Æ 3x 5y 7z = 0. ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ . 14.7. ‡­ ©²¨ ª³² ¬Æ¦ ¯°¿¬¨¬¨: ( ( 1) 2x = y z + 1 = 0; Æ x + 3y z + 2 = 0; x + 3y + z + 2 = 0 x + y + z 1 = 0; 8 > <x = 1 3t; y 2 x 1 z +3 2) 2 = 3 = 1 Æ >y = 4t; ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿: z = 10 + 6t: ¬®ª³²­ . 14.8. ‡­ ©²¨ ª³² ¬Æ¦ ¯«®¹¨­®¾ 4x + 4y 7z + 1 = 0 Æ ¯°¿¬®¾: 14.2.

36

Ž‡„Å‹ IV.

1)

DZ‹Ž™ˆ€ Å DZŸŒ€ ‚ DZŽ‘’ŽÅ

(

x + y + z + 1 = 0; 2x + y + 3z + 2 = 0;

= z6 ; 2) x 3 1 = y+2 2 3) x = 2 + 4t; y = 1 + 4t; z = 3 7t. ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ . x 1 = y = z+1 . ‚Ƥ±² ­¼ ¢Æ¤ ²®·ª¨ A 14.9. ’®·ª  A «¥¦¨²¼ ­  ¯°¿¬Æ© 2 3 1 p ¤® ¯«®¹¨­¨ x + y + z + 3 = 0 ¤®°Æ¢­¾Ä 3. ‡­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ A. ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ . p 14.10. „®¢¦¨­¨ ¡ §®¢¨µ ¢¥ª²®°Æ¢ e ~1; e~2 ; e~3 ¤®°Æ¢­¾¾²¼ ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® 3; 2;4,   ª³²¨ ¬Æ¦ ­¨¬¨ \(e~1e~2) = \(e~2e~3) = 45Æ, \(e~1e~3) = 60Æ. “ ¶Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² § ¤ ­® ²®·ª³ A(1; 2; 3). ‡­ ©²¨: ( 1) ¢Æ¤±² ­¼ ¢Æ¤ ²®·ª¨ A ¤® ¯°¿¬®È x + y = 0 ; z+y =5 2) ¢Æ¤±² ­¼ ¢Æ¤ ²®·ª¨ A ¤® ¯«®¹¨­¨ x + 2y + z + 1 = 0; 3) ¢Æ¤±² ­¼ ¬Æ¦ ¯°¿¬¨¬¨ x 1 6 = y 2 1 = z 10 i x+47 = y 2 3 = z 3 4 . 1 4) ¢Æ¤±² ­¼ ¬Æ¦ ¯«®¹¨­ ¬¨ 2x + y + z + 5 = 0 Æ 2x + y + z + 7 = 0; 5) ª³² ¬Æ¦ ¯«®¹¨­ ¬¨( x + y + 1 = 0 (Æ x y + 1 = 0; 6) ª³² ¬Æ¦ ¯°¿¬¨¬¨ x = 1; Æ x = 1; y = 1; z = 1: 14.11. „®¢¥±²¨, ¹® ¤¢Æ ¯°¿¬Æ ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¡Æ±¥ª²°¨± £®±²°®£® ²  ²³¯®£® ª³²Æ¢ ¬Æ¦ ­¨¬¨. DZ°¿¬Æ § ¤ ­® ² ª¨¬¨ °Æ¢­¿­­¿¬¨ ¢ 8 ¯°¿¬®ª³²­Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ²: 8 > x = 4 4 t; > < <x = 3 + t; 1) >y = 1 + 4t; i >y = 1 + 2t; : : z = 5 + 7t; z = 4 + 2t; 8 8 > > <x = 4 + t; <x = 3 3t; 2) >y = 1 t; i >y = 8 + 3t; : : z = 5 + 4t; z = 1; 8 8 > > <x = 1 + 2t; <x = 1 + t; 3) >y = 2 + 3t; i >y = 3 + t; : : z = 11 6t; z = 7 t: 14.12. „®¢¥±²¨, ¹® ²®·ª¨ M1 (x1 ; y1 ; z1 ) i M2 (x2 ; y2 ; z2 ) «¥¦ ²¼ ¯® °Æ§­Æ

x

14. Œ…’ˆ—Å ‡€„€—Å € DZŸŒ“ Å DZ‹Ž™ˆ“

37

±²®°®­¨ ±²®±®¢­® ¯«®¹¨­¨ Ax + By + Cz + D = 0 ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ (Ax1 + By1 + Cz2 + D)(Ax2 + By2 + Cz2 + D) < 0: ‡ ¤ ­® ¤¢Æ ¯°¿¬Æ l1 i l2.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ȵ­¼®£® ±¯Æ«¼­®£® ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°  (²®¡²® ¯°¿¬®È, ¹® ¯¥°¥²¨­ Ä l1 i l2 ¯Æ¤ ¯°¿¬¨¬ ª³²®¬). ‡­ ©²¨ ²®·ª¨ ¯¥°¥²¨­³ ±¯Æ«¼­®£® ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°  § ¯°¿¬¨¬¨ l1 i l2. Ž¡·¨±«¨²¨ 8 ¢Æ¤±² ­¼ ¬Æ¦ l1 i8l2. DZ°¿¬Æ § ¤ ­® °Æ¢­¿­­¿¬¨: > > <x = 5 + t; <x = 6 + t; 1) >y = 3 t; i >y = 1 + 2t; : : z = 13 + t; z = 10 t; ( ( 2) 2x + 7y 13 = 0; i x + y 8 = 0; 3y 2z 1 = 0 2x + y z = 0; y 1 y x 6 z 10 x +4 3) 1 = 2 = 1 i 7 = 2 3 = z 3 4 : ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ . 14.14.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬®È, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ A(1; 3; 2), ¯ ° «¥«¼­  ¤® ¯«®¹¨­¨ Oxy ( Æ ³²¢®°¾Ä 1) ª³² 45Æ § ¯°¿¬®¾ x = y; z = 0;   2) ª³² arcsin p110 § ¯«®¹¨­®¾ x y = 1. ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ . 14.15.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯«®¹¨­¨, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ A( 1;2;1) ( y ¯ ° «¥«¼­® ¤® ¯°¿¬®È x2 = 3 = z Æ ³²¢®°¾Ä ª³² 60Æ § ¯°¿¬®¾ x = y; z = 0: ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ . 14.16. ’®·ª¨ A( 1; 3; 1), B (5; 3; 8), C ( 1; 3; 5), D (2; 1; 4) Ä ¢¥°¸¨­ ¬¨ ²¥²° ¥¤° . ‡­ ©²¨: 1) ¤®¢¦¨­³ ¢¨±®²¨ ²¥²° ¥¤° , ¿ª  ®¯³¹¥­  § ¢¥°¸¨­¨ D ­  £° ­¼ ABC ; 2) ¤®¢¦¨­³ ¢¨±®²¨ ®±­®¢¨ ABC , ¿ª  ®¯³¹¥­  § ¢¥°¸¨­¨ C ­  ±²®°®­³ AB; 3) ¢Æ¤±² ­¼ ¬Æ¦ °¥¡° ¬¨ AD i BC ; 4) ª³² ¬Æ¦ °¥¡° ¬¨ AD i BC ; 5) ª³² ¬Æ¦ °¥¡°®¬ AD i £° ­­¾ ABC . 14.17. „®¢¦¨­  °¥¡°  ª³¡  ABCDA1 B1 C1 D1 ¤®°Æ¢­¾Ä 1. ‡­ ©²¨ 14.13.

38

Ž‡„Å‹ IV.

DZ‹Ž™ˆ€ Å DZŸŒ€ ‚ DZŽ‘’ŽÅ

1) ¢Æ¤±² ­¼ ¢Æ¤ ¢¥°¸¨­¨ A ¤® ¯«®¹¨­¨ B1CD1; 2) ¢Æ¤±² ­¼ ¬Æ¦ ¤Æ £®­ ««¾ ª³¡  AC1 Æ ¬¨¬®¡Æ¦­®¾ § ­¥¾ ¤Æ £®­ ««¾ £° ­Æ ª³¡  CD1; 3) ¢Æ¤­®¸¥­­¿, ¢ ¿ª®¬³ ²®·ª¨ ¯¥°¥²¨­³ ±¯Æ«¼­®£® ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°  ¤® ¯°¿¬¨µ AC1 i CD1 § ¶¨¬¨ ¯°¿¬¨¬¨ ¤Æ«¿²¼ ¢Æ¤°Æ§ª¨ AC1 i CD1. 14.18.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¡Æ±¥ª²®°Æ «¼­®È ¯«®¹¨­¨ ²®£® ¤¢®£° ­­®£® ª³²  ¬Æ¦ ¯«®¹¨­ ¬¨ x z 5 = 0 i 3x + 5y + 4z = 0, ¢±¥°¥¤¨­Æ ¿ª®£® «¥¦¨²¼ ²®·ª  A(1; 1; 1). ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ . 14.19. ‚¥°¸¨­ ¬¨ ²¥²° ¥¤°  Ä ²®·ª¨ A(1; 2; 3), B ( 2; 8; 9), C (5; 0; 7), D(3; 4; 2). ‡­ ©²¨ ° ¤Æ³±¨ ²  ª®®°¤¨­ ²¨ ¶¥­²°Æ¢ ¢¯¨± ­®È © ®¯¨± ­®È ±´¥°. ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ . 14.20. ‚¥°¸¨­ ¬¨ ²°¨ª³²­¨ª  Ä ²®·ª¨ A(1; 2; 3), B (1; 5; 1), C (5; 3; 5). ‡­ ©²¨ ° ¤Æ³±¨ ²  ª®®°¤¨­ ²¨ ¶¥­²°Æ¢ ¢¯¨± ­®£® © ®¯¨± ­®£® ªÆ«. ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ .

®§¤Æ« V …«Æ¯±. ƒÆ¯¥°¡®« . DZ ° ¡®«  x

15.

…«Æ¯±

…«Æ¯±®¬ ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ¬­®¦¨­  ²®·®ª ¯«®¹¨­¨, ±³¬  ¢Æ¤±² ­¥© ¢Æ¤ ª®¦­®È § ¿ª¨µ ¤® ¤¢®µ ´Æª±®¢ ­¨µ ²®·®ª, ¿ªÆ ­ §¨¢ ¾²¼±¿ ´®ª³± ¬¨, Ä ¢¥«¨·¨­®¾ ±² «®¾ 2a, ¿ª  ¡Æ«¼¸  §  ¢Æ¤±² ­¼ 2c ¬Æ¦ ´®ª³± ¬¨. —¨±«® a ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ¢¥«¨ª®¾ ¯Æ¢¢Æ±±¾ ¥«Æ¯± , ·¨±«® b, ¤¥ b2 = a2 c2, ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ¬ «®¾ ¯Æ¢¢Æ±±¾ ¥«Æ¯± . ‚Ƥ°Æ§®ª A1A2, ª° ©­Æ¬¨ ²®·ª ¬¨ ¿ª®£® Ä ¢¥°¸¨­¨ A1 Æ A2 ¥«Æ¯± , ¿ªÆ °®§² ¸®¢ ­Æ ­  ®±Æ ±¨¬¥²°ÆÈ, ¹® ¬Æ±²¨²¼ ´®ª³±¨ (  ² ª®¦ ¤®¢¦¨­  2a ¶¼®£® ¢Æ¤°Æ§ª ), ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ¢¥«¨ª®¾ ¢Æ±±¾ ¥«Æ¯± ,   ¢Æ¤°Æ§®ª B1B2, ª° ©­Æ ²®·ª¨ ¿ª®£® °®§² ¸®¢ ­Æ ­  ¯¥°¥²¨­Æ ¥«Æ¯±  § ¯°¿¬®¾, ¿ª  ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­  ¢¥«¨ªÆ© ®±Æ Æ ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ±¥°¥¤¨­³ ¢Æ¤°Æ§ª  F1F2, ¤¥ F1 ; F2 | ´®ª³±¨ ¥«Æ¯± , ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ¬ «®¾ ¢Æ±±¾ ¥«Æ¯± . ‚Ƥ­®¸¥­­¿ ¯®«®¢¨­¨ ¢Æ¤±² ­Æ ¬Æ¦ ´®ª³± ¬¨ ¥«Æ¯±  (´®ª «¼­  ¢Æ¤±² ­¼) ¤® ¢¥«¨ª®È ¯Æ¢®±Æ ¥«Æ¯±  ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ¥ª±¶¥­²°¨±¨²¥²®¬ ¥«Æ¯±  Æ ¯®§­ · Ä²¼±¿ ¡³ª¢®¾ e: e = ac : „¢Æ ¯°¿¬Æ, ¿ªÆ ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­Æ ¤® ®±Æ ¥«Æ¯± , ­  ¿ªÆ© °®§² ¸®¢ ­® ©®£® ´®ª³±¨, ¿ªÆ «¥¦ ²¼ ­  ¢Æ¤±² ­Æ ae ¢Æ¤ ¬ «®È ®±Æ ¥«Æ¯± , ­ §¨¢ ¾²¼±¿ ¤¨°¥ª²°¨± ¬¨ ¥«Æ¯± . 0 15.1. ‡ ´Æª±³Ä¬® ­  ¯«®¹¨­Æ ¯°¿¬®ª³²­³ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ², ¯®· ²ª®¬ ¿ª®È Ä ±¥°¥¤¨­  ¢Æ¤°Æ§ª  F1F2, ¢Æ±¼ Ox ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ´®ª³±¨ F1 ; F2.2 „®¢¥±²¨, ¹® ¢ ¶Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² ¥«Æ¯± ¬ Ä °Æ¢­¿­­¿ x2 + y = 1: (Š ­®­Æ·­¥ °Æ¢­¿­­¿ ¥«Æ¯± .) a2 b2 0 15.2. „®¢¥±²¨ ² ª¥: ¤«¿ ²®£® ¹®¡ ²®·ª  ­ «¥¦ «  ¥«Æ¯±³ ­¥®¡µÆ¤­® Æ ¤®±² ²­¼®, ¹®¡ ¢Æ¤­®¸¥­­¿ ¢Æ¤±² ­¥© ¢Æ¤ ¶ÆÄÈ ²®·ª¨ ¤® ´®ª³±  ¥«Æ¯±  ²  ¤® ¢Æ¤¯®¢Æ¤­®È ¤¨°¥ª²°¨±¨ ¤®°Æ¢­¾¢ «® ¥ª±¶¥­²°¨±¨²¥²³ ¥«Æ¯± .

39

40

Ž‡„Å‹ V.

…‹ÅDZ‘. ƒÅDZ…Ž‹€. DZ€€Ž‹€

‡­ ©²¨ ¤®¢¦¨­¨ ¯Æ¢®±¥©, ¥ª±¶¥­²°¨±¨²¥², ª®®°¤¨­ ²¨ ´®ª³±Æ¢ Æ ­ ¯¨± ²¨2 °Æ¢­¿­­¿ ¤¨°¥ª²°¨± ¥«Æ¯± : 1) xa2 + yb22 = 1; a > b > 0; 2) xa22 + yb22 = 1; b > a > 0; 3) 9x2 + 25y2 = 225; 4) 4x2 + y2 = 1. x2 + y2 = 1, ¿ª  ¯¥°15.4. Ž¡·¨±«¨²¨ ¤®¢¦¨­³ ´®ª «¼­®È µ®°¤¨ ¥«Æ¯±  9 4 ¯¥­¤¨ª³«¿°­  ¤® ¢¥«¨ª®È ®±Æ. 15.5. “ ª ­®­Æ·­Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² ¥«Æ¯± ¬ Ä ª ­®­Æ·­¥ °Æ¢­¿­­¿.  ¯¨± ²¨ ¶¥ °Æ¢­¿­­¿, ¿ª¹®: 1) ¢Æ¤±² ­¼ ¬Æ¦ ¢¥°¸¨­ ¬¨, ¿ªÆ «¥¦ ²¼ ­  ¢¥«¨ªÆ© ®±Æ ¤®°Æ¢­¾Ä 16,   ¢Æ¤±² ­¼ ¬Æ¦ ´®ª³± ¬¨ ¤®°Æ¢­¾Ä 10; 2) µ®°¤ , ¿ª  §'Ĥ­³Ä ¤¢Æ ¢¥°¸¨­¨ ¥«Æ¯± , ¬ Ä ¤®¢¦¨­³ 5 Æ ­ µ¨«¥­  ¤® ÈÈ ¢¥«¨ª®È ®±Æ ¯Æ¤ ª³²®¬ arcsin 35 ; p p 3) ´®ª³± ¬¨ ¥«Æ¯±  Ä ²®·ª¨ (1; 0), ²®·ª  ( 3; 23 ) ­ «¥¦¨²¼ ¥«Æ¯±³; 4) ´®ª³± ¬¨ ¥«Æ¯±  Ä ²®·ª¨ (2; 0), ¤¨°¥ª²°¨± ¬¨ Ä ¯°¿¬Æ x = 18; 5) ¢Æ¤±² ­¼ ¢Æ¤ ¤¨°¥ª²°¨±¨ ¤® ­ ©¡«¨¦·®È ¢¥°¸¨­¨ ¤®°Æ¢­¾Ä 4,   ¤® ¢¥°¸¨­¨, ¿ª  «¥¦¨²¼ ­  ®±Æ Oy ¤®°Æ¢­¾Ä 8; 6) ²°¨ª³²­¨ª § ¢¥°¸¨­ ¬¨ ³ ´®ª³± µ Æ ¢ ªÆ­¶Æ ¬ «®È ®±Æ °Æ¢­®±²®°®­­Æ©, ¤Æ ¬¥²° ª®« , ¿ª¥ ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ¶¥­° Æ ¤¢Æ ¢¥°¸¨­¨ ¥«Æ¯± , ¤®°Æ¢­¾Ä 7; 7) ¤¨°¥ª²°¨± ¬¨ ¥«Æ¯±  Ä ¯°¿¬Æ x = 4, ·®²¨°¨ª³²­¨ª § ¢¥°¸¨­ ¬¨ ³ ´®ª³± µ Æ ¢ ªÆ­¶¿µ ¬ «®È ®±Æ Ä ª¢ ¤° ²®¬. x2 15.6.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ±²®°Æ­ ª¢ ¤° ² , ¿ª¨© ¢¯¨± ­¨© ¢ ¥«Æ¯± 2 + a y2 = 1; (a > b > 0). b2 15.7.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¥«Æ¯± , ¿ª¹®: 1) ²®·ª¨ F1(5; 1) i F2( 1; 1) Ä ´®ª³± ¬¨, ¯°¿¬  x = 313 ®¤­  § ¤¨°¥ª²°¨±; 2) ²®·ª  F ( 6; 2) Ä ®¤­¨¬ Ƨ ´®ª³±Æ¢, ²®·ª  A(2; 2) | ªÆ­¥¶¼ ¢¥«¨ª®È ®±Æ, ¥ª±¶¥­²°¨±¨²¥² ¤®°Æ¢­¾Ä 32 ; 3) ®±Æ ¥«Æ¯±  ¯ ° «¥«¼­Æ ®±¿¬ ª®®°¤¨­ ², ²®·ª¨ A(4; 0) i B(0; 4) ­ «¥p ¦ ²¼ ¥«Æ¯±³, ²®·ª  B Ä ­  ¢Æ¤±² ­Æ 3 2 ¢Æ¤ ®¤­®£® § ´®ª³±Æ¢ Æ ­  ¢Æ¤±² ­Æ 6 ¢Æ¤ ¢Æ¤¯®¢Æ¤­®È ¤¨°¥ª²°¨±¨. 15.8. ’®·ª  O Ä ¶¥­²°®¬ ¥«Æ¯± , ©®£® ¢¥«¨ª  Æ ¬ «  ¯Æ¢®±Æ ¤®°Æ¢­¾¾²¼ ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® a Æ b, ²®·ª¨ A i B | ² ªÆ ²®·ª¨ ¥«Æ¯± , ¹® ¯°¿¬Æ OA i OB 15.3.

x

16. ƒÅDZ…Ž‹€

41

¢§ Ä¬®¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­Æ. „®¢¥±²¨, ¹® ¢¥«¨·¨­  jOA1 j2 + jOB1 j2 ±² «  ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­¨µ ¯ ° ²®·®ª A i B. ‡­ ©²¨ ­ ©¡Æ«¼¸¥ Æ ­ ©¬¥­¸¥ §­ ·¥­­¿ ¤®¢¦¨­¨ ¢Æ¤°Æ§ª  AB. x2 + y2 = 1 ¯°®¢¥¤¥­® ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿° ¤® ©®£® 15.9. —¥°¥§ ´®ª³± ¥«Æ¯±  25 15 ¢¥«¨ª®È ¯Æ¢®±Æ. ‡­ ©¤Æ²¼ ¢Æ¤±² ­¼ ¢Æ¤ ²®·®ª ¯¥°¥²¨­³ ¶¼®£® ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°  § ¥«Æ¯±®¬ ¤® ´®ª³±Æ¢. 15.10. ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¥«Æ¯± , ´®ª³±¨ ¿ª®£® °®§² ¸®¢ ­Æ ­  ®±Æ  ¡±¶¨±, ±¨¬¥²°¨·­® ±²®±®¢­® ¯®· ²ª³ p ª®®°¤¨­ ², ¿ª¹® § ¤ ­®: 1) ²®·ª³ ¥«Æ¯±  M ( 2 5; 2) Æ ¬ «³ ¯Æ¢¢Æ±¼ b = 3; 2) ²®·ª³ ¥«Æ¯±  M (2; 2)pÆ ¢¥«¨ª³ ¯Æ¢¢Æ±¼ a = 4; p 3) Æ M (2 2 ; 3); 3) ²®·ª¨ ¥«Æ¯±  M1(4 ; 2 p 4) ²®·ª³ ¥«Æ¯±  M ( 15; 1) Æ ¢Æ¤±² ­¼ ¬Æ¦ ´®ª³± ¬¨ 2c = 8; 5) ²®·ª³ ¥«Æ¯±  M (2; 35 ) Æ ¥ª±¶¥­²°¨±¨²¥²  = 23 ; 6) ²®·ª³ ¥«Æ¯±  M (8p; 12) Æ ¢Æ¤±² ­¼ r1 = 20 ¢Æ¤ ­¥È ¤® «Æ¢®£® ´®ª³± ; 7) ²®·ª³ ¥«Æ¯±  M ( 5; 2) Æ ¢Æ¤±² ­¼ ¬Æ¦ ¤¨°¥ª²°¨± ¬¨ ¤®°Æ¢­¾Ä 10; 15.11.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¥«Æ¯± , ¤«¿ ¿ª®£® ¯°¿¬Æ 3x + 4y + 1 = 0 Æ 4x 3y +1 = 0 ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® ¢¥«¨ª  Æ ¬ «  ®±Æ, ·¨±«  10 Æ 5 | ¢¥«¨ª  Æ ¬ «  ¯Æ¢®±Æ. 15.12.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¥«Æ¯± , ¤«¿ ¿ª®£® ¯°¿¬Æ x + 2y 1 = 0 Æ 2x y + 1 = 0 ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® ¢¥«¨ª  Æ ¬ «  ®±Æ, ¢¥«¨ª  ¯Æ¢¢Æ±¼ ¿ª®£® ¤®°Æ¢­¾Ä 7,   ´®ª «¼­  ¢Æ¤±² ­¼ ¤®°Æ¢­¾Ä 10. 15.13.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¥«Æ¯± , ¤«¿ ¿ª®£® ¯°¿¬Æ 3x 4y + 1 = 0 Æ 4x + 3y = 0 | ¢¥«¨ª  Æ ¬ «  ®±Æ, ´®ª «¼­  ¢Æ¤±² ­¼ ¿ª®£® ¤®°Æ¢­¾Ä 20,   ¥ª±¶¥­²°¨±¨²¥² ¤®°Æ¢­¾Ä 21 . x

16.

ƒÆ¯¥°¡®« 

ƒÆ¯¥°¡®«®¾ ­ §¨¢ Ä²¼±¿ £¥®¬¥²°¨·­¥ ¬Æ±¶¥ ²®·®ª ¯«®¹¨­¨, ¤«¿ ¿ª¨µ  ¡±®«¾²­  ¢¥«¨·¨­  °Æ§­¨¶Æ ¢Æ¤±² ­¥©, ¢Æ¤ ª®¦­®È § ¿ª¨µ ¤® ¤¢®µ ´Æª±®¢ ­¨µ ²®·®ª F1 Æ F2 ¶ÆÄÈ ¯«®¹¨­¨, ¿ªÆ ­ §¨¢ ¾²¼±¿ ´®ª³± ¬¨, Ä ¢¥«¨·¨­®¾ ±² «®¾ 2a, ¿ª  ¬¥­¸  §  ¢Æ¤±² ­¼ 2c ¬Æ¦ ´®ª³± ¬¨. —¨±«® a ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ¤Æ©±­®¾ ¯Æ¢¢Æ±±¾ £Æ¯¥°¡®«¨, ·¨±«® b, ¤¥ b2 = c2 a2, ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ³¿¢­®¾ ¯Æ¢¢Æ±±¾ £Æ¯¥°¡®«¨. ‚Ʊ¼ ±¨¬¥²°ÆÈ £Æ¯¥°¡®«¨, ¹® ¬Æ±²¨²¼ ´®ª³±¨ ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ¤Æ©±­®¾ ¢Æ±±¾ £Æ¯¥°¡®«¨. ‚®­  ¯¥°¥²¨­ Ä £Æ¯¥°¡®«³ ¢ ¤¢®µ

42

Ž‡„Å‹ V.

…‹ÅDZ‘. ƒÅDZ…Ž‹€. DZ€€Ž‹€

²®·ª µ, ¿ªÆ ­ §¨¢ ¾²¼±¿ ¢¥°¸¨­ ¬¨ £Æ¯¥°¡®«¨. DZ°¿¬ , ¿ª  ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­  ¤® ¤Æ©±­®È ®±Æ £Æ¯¥°¡®«¨ Æ ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ±¥°¥¤¨­³ ¢Æ¤°Æ§ª  F1F2, ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ³¿¢­®¾ ¢Æ±±¾ £Æ¯¥°¡®«¨. ‚Ƥ­®¸¥­­¿ ¯®«®¢¨­¨ ¢Æ¤±² ­Æ ¬Æ¦ ´®ª³± ¬¨ £Æ¯¥°¡®«¨ ¤® ¤Æ©±­®È ¯Æ¢®±Æ £Æ¯¥°¡®«¨ ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ¥ª±¶¥­²°¨±¨²¥²®¬ £Æ¯¥°¡®«¨ Æ ¯®§­ · Ä²¼±¿ ¡³ª¢®¾ e: e = ac : „¢Æ ¯°¿¬Æ, ¿ªÆ ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­Æ ¤Æ©±­Æ© ®±Æ £Æ¯¥°¡®«¨ Æ «¥¦ ²¼ ­  ¢Æ¤±² ­Æ ae ¢Æ¤ ÈÈ ¶¥­²° , ­ §¨¢ ¾²¼±¿ ¤¨°¥ª²°¨± ¬¨ £Æ¯¥°¡®«¨. 0 16.1. ‡ ´Æª±³Ä¬® ­  ¯«®¹¨­Æ ¯°¿¬®ª³²­³ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ², ¯®· ²ª®¬ ¿ª®È Ä ±¥°¥¤¨­  ¢Æ¤°Æ§ª  F1F2, ¢Æ±¼ Ox ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ´®ª³±¨ F1 ; F2. „®¢¥±²¨, ¹® ¢ ¶Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² £Æ¯¥°¡®«  ¬ Ä °Æ¢­¿­­¿ x2 y2 = 1: (Š ­®­Æ·­¥ °Æ¢­¿­­¿ £Æ¯¥°¡®«¨). a2 b2 0 16.2. „®¢¥±²¨ ² ª¥: ¤«¿ ²®£® ¹®¡ ²®·ª  ­ «¥¦ «  £Æ¯¥°¡®«Æ ­¥®¡µÆ¤­® Æ ¤®±² ²­¼®, ¹®¡ ¢Æ¤­®¸¥­­¿ ¢Æ¤±² ­¥© ¢Æ¤ ¶ÆÄÈ ²®·ª¨ ¤® ´®ª³±  £Æ¯¥°¡®«¨ ²  ¤® ¢Æ¤¯®¢Æ¤­®È ¤¨°¥ª²°¨±¨ ¤®°Æ¢­¾¢ «® ¥ª±¶¥­²°¨±¨²¥²³ £Æ¯¥°¡®«¨. y2 = 1 ¬ ¾²¼ °Æ¢­¿­­¿ x2 0 16.3. „®¢¥±²¨, ¹®  ±¨¬¯²®²¨ £Æ¯¥°¡®«¨ a2 b2 y =  ab x. 16.4. ‡­ ©²¨ ¤®¢¦¨­¨ ¯Æ¢®±¥©, ¥ª±¶¥­²°¨±¨²¥², ª®®°¤¨­ ²¨ ´®ª³±Æ¢ Æ ­ ¯¨± ²¨2 °Æ¢­¿­­¿ ¤¨°¥ª²°¨± Æ  ±¨¬¯²®² £Æ¯¥°¡®«¨: 2 y x 1) a2 b2 = 1; 2) xa22 yb22 = 1; 3) x162 y92 = 1; 4) y2 x2 = 1; 5) xy = 1; 6) xy = 2. y2 = 1, ¿ª  x2 16.5. Ž¡·¨±«¨²¨ ¤®¢¦¨­³ ´®ª «¼­®È µ®°¤¨ £Æ¯¥°¡®«¨ 4 49 ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­  ¤® ¤Æ©±­®È ®±Æ. 16.6. “ § ¤ ­Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² £Æ¯¥°¡®«  ¬ Ä ª ­®­Æ·­¥ °Æ¢­¿­­¿.  ¯¨± ²¨ ¶¥ °Æ¢­¿­­¿, ¿ª¹®: 1) ¢Æ¤±² ­¼ ¬Æ¦ ¢¥°¸¨­ ¬¨ ¤®°Æ¢­¾Ä 10, ¢Æ¤±² ­¼ ¬Æ¦ ´®ª³± ¬¨ ¤®°Æ¢­¾Ä 12; 2) ¤®¢¦¨­  ¤Æ©±­®È ®±Æ ¤®°Æ¢­¾Ä 1,   ²®·ª  (1q; 3) ­ «¥¦¨²¼ £Æ¯¥°¡®«Æ; 3) ¤¨°¥ª²°¨± ¬¨ £Æ¯¥°¡®«¨ Ä ¯°¿¬Æ x =  56 , ²®·ª  ( 9; 4) ­ «¥-

x

16. ƒÅDZ…Ž‹€

43

¦¨²¼ £Æ¯¥°¡®«Æ; 4) ¤®¢¦¨­  ³¿¢­®È ¯Æ¢®±Æ ¤®°Æ¢­¾Ä 1, ¢¥°¸¨­  £Æ¯¥°¡®«¨ ¤Æ«¨²¼ ¢Æ¤±² ­¼ ¬Æ¦ ´®ª³± ¬¨ ³ ¢Æ¤­®¸¥­­Æ 4 : 1; 5) ¥ª±¶¥­²°¨±¨²¥² £Æ¯¥°¡®«¨ ¤®°Æ¢­¾Ä 57 , ¢Æ¤±² ­¼ ¢Æ¤ ¢¥°¸¨­¨ ¤® ­ ©¡«¨¦·®£® ´®ª³± p ¤®°Æ¢­¾Ä 2; 6) ²®·ª  p(7; 2 3) ­ «¥¦¨²¼ £Æ¯¥°¡®«Æ Æ ¢Æ¤¤ «¥­  ¢Æ¤ «Æ¢®£® ´®ª³±  ­  ¢Æ¤±² ­¼ 4 7; 7) ª³² ¬Æ¦  ±¨¬¯²®² ¬¨, ¿ª¨© ¬Æ±²¨²¼ ´®ª³±, ¤®°Æ¢­¾Äp60Æ, ¢Æ¤±² ­¼ ¢Æ¤ ¤¨°¥ª²°¨±¨ ¤® ­ ©¡«¨¦·®È ¢¥°¸¨­¨ ¤®°Æ¢­¾Ä 23 (2 3); 8) ²®·ª  ( 54 ; 32 ) ­ «¥¦¨²¼ £Æ¯¥°¡®«Æ,  ±¨¬¯²®² ¬¨ Ä ¯°¿¬Æ y = 2x; 9) ²®·ª  ( 1; 3) ­ «¥¦¨²¼ £Æ¯¥°¡®«Æ,  ±¨¬¯²®² ¬¨ Ä ¯°¿¬Æ y = 2x. 16.7. ‘ª« ±²¨ ª ­®­Æ·­¥ °Æ¢­¿­­¿ £Æ¯¥°¡®«¨, ¿ª¥ ¬Æ±²¨²¼ ²®·ª³ ( 1; 3) Æ ¬ Ä  ±¨¬¯²®²¨ y = 2x. 16.8. Ž¡·¨±«¨²¨ ¥ª±¶¥­²°¨±¨²¥² £Æ¯¥°¡®«¨, ¿ª¹® 1) ÈÈ ¯Æ¢®±Æ °Æ¢­Æ (°Æ¢­®±²®°®­­¿ £Æ¯¥°¡®« ); 2) ª³² ¬Æ¦  ±¨¬¯²®² ¬¨, ¿ª¨© ¬Æ±²¨²¼ ´®ª³± ¤®°Æ¢­¾Ä 120Æ; 3)  ±¨¬¯²®² ¬¨ Ä ¯°¿¬Æ y = 3x. 16.9. Ž¡·¨±«¨²¨ ¥ª±¶¥­²°¨±¨²¥² £Æ¯¥°¡®«¨, ¿ª  ¢ § ¤ ­Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² ¬ Ä ª ­®­Æ·­¥ °Æ¢­¿­­¿, ¿ª¹®: 1) ¢Æ¤±² ­Æ ¢Æ¤ ²®·ª¨ M (5; 4), ¹® ­ «¥¦¨²¼ ¶Æ© £Æ¯¥°¡®«Æ, ¤® ¤¨°¥ª²°¨± ¢Æ¤­®±¿²¼±¿ ¿ª 2 : 1; 2) ±³¬  ¢Æ¤±² ­¥© ¢Æ¤ ²®·ª¨ N ( 5; 4) ¤®  ±¨¬¯²®² £Æ¯¥°¡®«¨ ¤®°Æ¢­¾Ä 203 . 16.10. ‘ª« ±²¨ °Æ¢­¿­­¿ £Æ¯¥°¡®«¨, ¿ª¹®: 1) ²®·ª¨ F1(3; 2) i F2(5; 2) Ä ´®ª³± ¬¨, ¯°¿¬  x = 27 | ®¤­Æľ § ¤¨°¥ª²°¨±; 2) ²®·ª  F (1; 3) | ®¤¨­ § ´®ª³±Æ¢, ²®·ª  A( 4; 3) | ¢¥°¸¨­ , ¥ª±¶¥­²°¨±¨²¥² ¤®°Æ¢­¾Ä 32 ; 3) ²®·ª  F (0; 0) Ä ®¤­¨¬ § ´®ª³±Æ¢, ¯°¿¬Æ x  y + 2 = 0 |  ±¨¬¯²®² ¬¨. 16.11. „®¢¥±²¨, ¹® ¢¥°¸¨­¨ £Æ¯¥°¡®«¨ Æ ·®²¨°¨ ²®·ª¨ ¯¥°¥²¨­³ ÈÈ ¤¨°¥ª²°¨± §  ±¨¬¯²®² ¬¨ ­ «¥¦ ²¼ ®¤­®¬³ ª®«³. ‚¨° §¨²¨ ° ¤Æ³± ¶¼®£® ª®«  ·¥°¥§ ¤®¢¦¨­³ ¤Æ©±­®È ¯Æ¢®±Æ. 16.12. ‘ª« ±²¨ °Æ¢­¿­­¿ £Æ¯¥°¡®«¨, ´®ª³±¨ ¿ª®È «¥¦ ²¼ ³ ¢¥°¸¨­ µ x2 + y2 = 1, ¤¨°¥ª²°¨±¨ ¯°®µ®¤¿²¼ ·¥°¥§ ´®ª³±¨ ¶¼®£® ¥«Æ¯± . ¥«Æ¯±  100 64

44

Ž‡„Å‹ V.

…‹ÅDZ‘. ƒÅDZ…Ž‹€. DZ€€Ž‹€

‡­ ©²¨ ¥ª±¶¥­²°¨±¨²¥² £Æ¯¥°¡®«¨, ¿ª¹® ¢Æ¤°Æ§®ª ¬Æ¦ ÈÈ ¢¥°¸¨­ ¬¨ ¢¨¤­® § ´®ª³±Æ¢ ±¯°¿¦¥­®È £Æ¯¥°¡®«¨ ¯Æ¤ ª³²®¬ 60Æ. 16.14. „®¢¥±²¨, ¹® ¯«®¹  ¯ ° «¥«®£° ¬ , ®¡¬¥¦¥­®£®  ±¨¬¯²®² ¬¨ £Æ¯¥°¡®«¨ xa22 yb22 = 1 Æ ¯°¿¬¨¬¨, ¿ªÆ ¯°®¢¥¤¥­® ·¥°¥§ ¡³¤¼-¿ª³ ²®·ª³ £Æ¯¥°¡®«¨ ¯ ° «¥«¼­® ¤® ÈÈ  ±¨¬¯²®², Ä ¢¥«¨·¨­®¾ ±² «®¾ Æ ¤®°Æ¢­¾Ä ab2 . 16.13.

x

17.

DZ ° ¡®« 

DZ ° ¡®«®¾ ­ §¨¢ Ä²¼±¿ £¥®¬¥²°¨·­¥ ¬Æ±¶¥ ²®·®ª ¯«®¹¨­¨, ¤«¿ ¿ª¨µ ¢Æ¤±² ­¼ ¢Æ¤ ¤¥¿ª®È ´Æª±®¢ ­®È ²®·ª¨ F (´®ª³±  ¯ ° ¡®«¨) ¤®°Æ¢­¾Ä ¢Æ¤±² ­Æ ¤® ¤¥¿ª®È ´Æª±®¢ ­®È ¯°¿¬®È, ¿ª  ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ¤¨°¥ª²°¨±®¾ ¯ ° ¡®«¨. 0 17.1. ‡ ´Æª±³Ä¬® ­  ¯«®¹¨­Æ ¯°¿¬®ª³²­³ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ², ¯®· ²ª®¬ ¿ª®È Ä ±¥°¥¤¨­  ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿° , ¿ª¨© ®¯³¹¥­® § ²®·ª¨ F | ´®ª³±  ¯ ° ¡®«¨ ­  ÈÈ ¤¨°¥ª²°¨±³; ¢Æ±¼ Ox | ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­  ¤® ¤¨°¥ª²°¨±¨, ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ´®ª³± F ²  ­ ¯°¿¬«¥­  ¢Æ¤ ¤¨°¥ª²°¨±¨ ¯ ° ¡®«¨ ¤® ÈÈ ´®ª³± . „®¢¥±²¨, ¹® ¢ ¶Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² ¯ ° ¡®«  ¬ Ä ª ­®­Æ·­¥ °Æ¢­¿­­¿ y2 = 2px; ¤¥ p | ¢Æ¤±² ­¼ ¢Æ¤ ´®ª³±  ¤® ¤¨°¥ª²°¨±¨ ¯ ° ¡®«¨. 17.2. ‡­ ©²¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ´®ª³±  Æ ­ ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¤¨°¥ª²°¨± ¯ ° ¡®«¨: 1) y2 = 2px; p > 0; 2) y2 = px;p p > 0; 3) y2 = 6x; 4) y2 = 3x; 5) y = x2; 6) y = 3x2. x 2 17.3. Ž¡·¨±«¨²¨ ¤®¢¦¨­³ ´®ª «¼­®È µ®°¤¨ ¯ ° ¡®«¨ y = , ¿ª  ¯¥°¯¥5 ­¤¨ª³«¿°­  ¤® ®±Æ ¯ ° ¡®«¨. 17.4. “ § ¤ ­Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² ¯ ° ¡®«  ¬ Ä ª ­®­Æ·­¥ °Æ¢­¿­­¿.  ¯¨± ²¨ ¶¥ °Æ¢­¿­­¿, ¿ª¹®: 1) ²®·ª  (5; 5) ­ «¥¦¨²¼ ¯ ° ¡®«Æ; 2) ¢Æ¤±² ­¼ ¢Æ¤ ´®ª³±  ¤® ¤¨°¥ª²°¨±¨ ¤®°Æ¢­¾Ä 12; 3) ¤®¢¦¨­  µ®°¤¨, ¹® ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ´®ª³± ¯Æ¤ ª³²®¬ 45Æ ¤® ®±Æ ¯ ° ¡®«¨, ¤®°Æ¢­¾Ä 18. 2 17.5.   ¯ ° ¡®«Æ y = 10x §­ ©²¨ ² ª³ ²®·ª³ M , ¹®: 1) ¯°¿¬ , ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ M Æ ´®ª³± ¯ ° ¡®«¨ ³²¢®°¾Ä § ¢Æ±±¾ Ox ª³² 60Æ;

x

18. „ˆ…Š’ŽÅ€‹œÅ ‚‹€‘’ˆ‚Ž‘’Å …‹ÅDZ‘€, . . .

45

2) ¯«®¹  ²°¨ª³²­¨ª  § ¢¥°¸¨­ ¬¨ ¢ ²®·¶Æ M , ´®ª³±Æ ¯ ° ¡®«¨ Æ ²®·¶Æ ¯¥°¥²¨­³ ¤¨°¥ª²°¨±¨ ¯ ° ¡®«¨ § ÈÈ ¢Æ±±¾ ¤®°Æ¢­¾Ä 5; 3) ¢Æ¤±² ­¼ ¢Æ¤ ²®·ª¨ M ¤® ¢¥°¸¨­¨ ¯ ° ¡®«¨ ¤®°Æ¢­¾Ä ¢Æ¤±² ­Æ ¢Æ¤ ²®·ª¨ M ¤® ´®ª³± ; 4) ¢Æ¤±² ­Æ ¢Æ¤ ²®·ª¨ M ¤® ¢¥°¸¨­¨ ¯ ° ¡®«¨ ¤® ´®ª³±  ¢Æ¤­®±¿²¼±¿ ¿ª 8 : 7. 17.6. ‘ª« ±²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯ ° ¡®«¨ § ¯ ° ¬¥²°®¬ p, ¢¥°¸¨­  ¿ª®È ¬ Ä ª®®°¤¨­ ²¨ (a; b), ­ ¯°¿¬ ®±Æ §¡Æ£ Ä²¼±¿: 1) § ¤®¤ ²­¨¬ ­ ¯°¿¬®¬ ®±Æ Ox; 2) § ¢Æ¤'Ĭ­¨¬ ­ ¯°¿¬®¬ ®±Æ Ox; 3) § ¤®¤ ²­¨¬ ­ ¯°¿¬®¬ ®±Æ Oy; 4) § ¢Æ¤'Ĭ­¨¬ ­ ¯°¿¬®¬ ®±Æ Oy. 17.7. ‘ª« ±²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯ ° ¡®«¨, ¿ª¹®: 1) ²®·ª  F (7; 0) | ´®ª³±, ¯°¿¬  x = 1 | ¤¨°¥ª²°¨± ; 2) ²®·ª  F (7; 0) | ´®ª³±, ¯°¿¬  x = 8 | ¤¨°¥ª²°¨± ; 3) ²®·ª  F (0; 1) | ´®ª³±, ¯ ° ¡®«  ±¨¬¥²°¨·­  ±²®±®¢­® ®±Æ Oy Æ ¤®²¨ª Ä²¼±¿ ®±Æ Ox; 4) ¢Æ±¼ ¯ ° ¡®«¨ ¯ ° «¥«¼­  ¤® ®±Æ Oy, ´®ª³± «¥¦¨²¼ ­  ®±Æ Ox, ¯ ° ¡®«  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ¯®· ²®ª ª®®°¤¨­ ² Æ ¢Æ¤²¨­ Ä ­  ®±Æ Ox ¢Æ¤°Æ§®ª ¤®¢¦¨­¨ 6. 2 17.8.   ¯ ° ¡®«Æ y = 16x §­ ©²¨ ²®·ª¨, ´®ª «¼­¨© ° ¤Æ³± ¿ª¨µ ¤®°Æ¢­¾Ä 13. 17.9. ‡­ ©²¨ ° ¤Æ³± ­ ©¡Æ«¼¸®£® ª®« , ¿ª¥ «¥¦¨²¼ ³ ±¥°¥¤¨­Æ ¯ ° ¡®«¨ y 2 = 2px Æ ¤®²¨ª Ä²¼±¿ ¤® ¶ÆÄÈ ¯ ° ¡®«¨ ¢ ÈÈ ¢¥°¸¨­Æ. x

18.

„¨°¥ª²®°Æ «¼­Æ ¢« ±²¨¢®±²Æ ¥«Æ¯± , £Æ¯¥°¡®«¨ Æ ¯ ° ¡®«¨

¥µ © ­  ¯«®¹¨­Æ § ¤ ­® ¤®¢Æ«¼­³ ¯°¿¬³ l Æ ²®·ª³ F , ¿ª  ­¥ «¥¦¨²¼ ­  ­Æ©. „®¢¥±²¨, ¹® ¬­®¦¨­  ¢±Æµ ²®·®ª, ¢Æ¤­®¸¥­­¿ ¢Æ¤±² ­¥© ¢Æ¤ ª®¦­®È § ¿ª¨µ ¤® ²®·ª¨ F Æ ¤® ¯°¿¬®È l ¤®°Æ¢­¾Ä ´Æª±®¢ ­®¬³ ·¨±«³ e, Ä 8 > ¿ª¹® e > 1; < ¥«Æ¯±®¬, £Æ¯¥°¡®«®¾, ¿ª¹® e < 1; > : ¯ ° ¡®«®¾, ¿ª¹® e = 1: 18.1.

0

46

Ž‡„Å‹ V.

…‹ÅDZ‘. ƒÅDZ…Ž‹€. DZ€€Ž‹€

‡ ¤ ­  ²®·ª  F Æ ¯°¿¬  l | ®¤­®±²®°®­Æ© ´®ª³± Æ ¤¨°¥ª²°¨±  «Æ­ÆÈ. DZ®ª § ²¨, ¹® ¤«¿ ¥«Æ¯±  Æ £Æ¯¥°¡®«¨ ¯Æ¢®±Æ ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® ¤®°Æ¢­¾¾²¼: a = me me je2 1j ; b = pje2 1j ; ¤¥ m | ¢Æ¤±² ­¼ ¢Æ¤ ²®·ª¨ F ¤® ¯°¿¬®È l. 18.2.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­­¿ ¬­®¦¨­¨ ²®·®ª, ¢Æ¤­®¸¥­­¿ ¢Æ¤±² ­¥© ¢Æ¤ ª®¦­®È § ¿ª¨µ ¤® ²®·ª¨ F (4; 0) Æ ¤® ¯°¿¬®È x = 10 ¤®°Æ¢­¾Ä 1=2. 18.3.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­­¿ ¬­®¦¨­¨ ²®·®ª, ¢Æ¤­®¸¥­­¿ ¢Æ¤±² ­¥© ¢Æ¤ ª®¦­®È § ¿ª¨µ ¤® ²®·ª¨ F (4; 0) Æ ¤® ¯°¿¬®È x = 2 ¤®°Æ¢­¾Ä 2. 18.4.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­­¿ ¬­®¦¨­¨ ²®·®ª, ¢Æ¤­®¸¥­­¿ ¢Æ¤±² ­¥© ¢Æ¤ ª®¦­®È § ¿ª¨µ ¤® ²®·ª¨ F (4; 0) Æ ¤® ¯°¿¬®È x = 1 ¤®°Æ¢­¾Ä 1. 18.5.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­­¿ ¬­®¦¨­¨ ²®·®ª, ¢Æ¤­®¸¥­­¿ ¢Æ¤±² ­¥© ¢Æ¤ ª®¦­®È § ¿ª¨µ ¤® ²®·ª¨ F (3; 3) Æ ¤® ¯°¿¬®È x + y = 0 ¤®°Æ¢­¾Ä 1) e = 12 ; 2) e = 2; 3) e = 1. 18.6.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­­¿ ¬­®¦¨­¨ ²®·®ª, ¢Æ¤­®¸¥­­¿ ¢Æ¤±² ­¥© ¢Æ¤ p ; 0) Æ ¤® ¯°¿¬®È x = p ¤®°Æ¢­¾Ä e. ª®¦­®È § ¿ª¨µ ¤® ²®·ª¨ F ( e+1 e(e+1) 18.7. —¥°¥§ ´®ª³± ¯ ° ¡®«¨ ¯°®¢®¤¿²¼ ³±¿ªÆ ¬®¦«¨¢Æ µ®°¤¨.   ª®¦­Æ© § ­¨µ ¢Æ¤ ´®ª³±  ¢ ­ ¯°¿¬Æ ¤® ¤ «¼¸®£® § ªÆ­¶Æ¢ µ®°¤¨ ¢Æ¤ª« ¤ ¾²¼ ¢Æ¤°Æ§®ª, ¤®¢¦¨­  ¿ª®£® ¤®°Æ¢­¾Ä °Æ§­¨¶Æ ¤®¢¦¨­ ¢Æ¤°Æ§ªÆ¢, ­  ¿ªÆ ´®ª³± ¤Æ«¨²¼ µ®°¤³. ‡­ ©²¨ £¥®¬¥²°¨·­¥ ¬Æ±¶¥ ªÆ­¶Æ¢ ¶¨µ ¢Æ¤°Æ§ªÆ¢. 18.8. „®¢¥±²¨, ¹® ±³¬  ®¡¥°­¥­¨µ ¢¥«¨·¨­ ¢Æ¤°Æ§ªÆ¢, ­  ¿ªÆ ´®ª³± «Æ­ÆÈ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³ ¤Æ«¨²¼ µ®°¤³, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ­¼®£®, Ä ¢¥«¨·¨­®¾ ±² «®¾. x

19.

Æ¢­¿­­¿ ¥«Æ¯± , ¯ ° ¡®«¨ Æ £Æ¯¥°¡®«¨ ¢ ¯®«¿°­Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ²

¥µ © L | ¥«Æ¯±, £Æ¯¥°¡®«   ¡® ¯ ° ¡®« . ‚ ª ­®­Æ·­Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² ´®ª³±¨ ¶¨µ «Æ­Æ© «¥¦ ²¼ ­  ®±Æ Ox, ¿ª  ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ´®ª «¼­®¾ ¢Æ±±¾ ¢Æ¤¯®¢Æ¤­®È «Æ­ÆÈ. DZ°®¢¥¤¥¬® ·¥°¥§ ¿ª¨©-­¥¡³¤¼ ´®ª³± F «Æ­ÆÈ L ¯°¿¬³, ¿ª  ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­  ¤® ÈÈ ´®ª «¼­®È ®±Æ. –¿ ¯°¿¬  ¯¥°¥²­¥ «Æ­Æ¾ ¢ ¤¢®µ ²®·ª µ M Æ M 0. „®¢¦¨­³ ®¤¥°¦ ­®È µ®°¤¨ MM 0 ¯®§­ ·¨¬® ·¥°¥§ 2p. DZ®«®¢¨­  ¤®¢¦¨­¨ ¶ÆÄÈ µ®°¤¨ ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ´®ª «¼­¨¬ ¯ ° ¬¥²°®¬ «Æ­ÆÈ L. „®¢¥±²¨, ¹® ¤«¿ ¯ ° ¡®«¨ ´®ª «¼­¨© ¯ ° ¬¥²° §¡Æ£ Ä²¼±¿ § 2 b ÈÈ ¯ ° ¬¥²°®¬,   ¤«¿ ¥«Æ¯±  Æ £Æ¯¥°¡®«¨ p = a : 0

19.1.

x

19. Å‚ŸŸ ‹ÅÅ‰ ‚ DZŽ‹ŸÅ‰ ‘ˆ‘’…ŒÅ ŠŽŽ„ˆ€’

47

„®¢¥±²¨ ² ª¥: ¿ª¹® ¢§¿²¨ ´®ª³± ¥«Æ¯± , £Æ¯¥°¡®«¨, ¯ ° ¡®«¨ §  ¯®«¾±,   ´®ª «¼­³ ¢Æ±¼ §  ¯®«¿°­³ ¢Æ±¼, ¿ª  ­ ¯°¿¬«¥­  ¢ ¡Æª, ¯°®²¨«¥¦­¨© ¢Æ¤ ­ ©¡«¨¦·®È ¢¥°¸¨­¨, ²® °Æ¢­¿­­¿ ¥«Æ¯± , ¯ ° ¡®«¨ © ®¤­ÆÄÈ § £Æ«®ª £Æ¯¥°¡®«¨ ¢ ¯®«¿°­¨µ ª®®°¤¨­ ² µ ¬ Ä ¢¨£«¿¤:  = 1 epcos ' ; ¤¥ e | ¥ª±¶¥­²°¨±¨²¥²,   p | ´®ª «¼­¨© ¯ ° ¬¥²°. 19.3.  ¯¨± ²¨ ª ­®­Æ·­Æ °Æ¢­¿­­¿ «Æ­Æ© ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³: 1)  = 5 49cos ' ; 2)  = 4 59cos ' ; 3 3)  = 1 cos '; 1 4)  = sin2 '2 . 19.4.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¢ ¯®«¿°­¨µ ª®®°¤¨­ ² µ ² ª¨µ «Æ­Æ©: 1) x92 + y42 = 1; 2) x252 y362 = 1; 3) x362 + y252 = 1; 4) x2 + 2y2 = 16; 5) y2 = 4x; 6) x2 + y2 = 25: 19.5. ‡­ ©²¨ ¯Æ¢®±Æ © ¥ª±¶¥­²°¨±¨²¥² ² ª¨µ «Æ­Æ©: 1)  = 1 21cos ' ; 3 2)  = 2 cos '; 5 3)  = 1 cos ' ; 4)  = 1 32cos' ; 1 5)  = 3 cos '. 19.2.

0

®§¤Æ« VI ‡ £ «¼­  ²¥®°Æ¿ «Æ­Æ© ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³

€«£¥¡°¨·­®¾ «Æ­Æľ ­  ¯«®¹¨­Æ ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ¬­®¦¨­  ¢±Æµ ²®·®ª ¯«®¹¨­¨, ª®®°¤¨­ ²¨ (x; y) ¿ª¨µ ³ ¤¥¿ªÆ©  ´Æ­­Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² § ¤®¢®«¼­¿¾²¼ °Æ¢­¿­­¿ F (x; y) = 0, ¤¥ F (x; y) ¯®«Æ­®¬ ¢Æ¤ §¬Æ­­¨µ x; y. ‘²¥¯Æ­¼ ¯®«Æ­®¬  F (x; y) (¬ ª±¨¬ «¼­¨© ±²¥¯Æ­¼ k +l ¬®­®¬Æ¢ aklxk yl, ¿ªÆ ¢µ®¤¿²¼ ³ F (x; y)) ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ¯®°¿¤ª®¬ «Æ­ÆÈ. DZ®°¿¤®ª «Æ­ÆÈ ­¥ §¬Æ­¾Ä²¼±¿ ¯°¨ § ¬Æ­Æ ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ². ‡ £ «¼­¥ °Æ¢­¿­­¿ «Æ­ÆÈ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³ ¬ Ä ² ª¨© ¢¨£«¿¤: a11 x2 + 2a12xy + a22y 2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0: (1) „«¿ ¤¥¿ª®È «Æ­ÆÈ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³ Ʊ­³Ä ¯°¿¬®ª³²­  ±¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ², ¿ª  ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ª ­®­Æ·­®¾, ¢ ¿ªÆ© °Æ¢­¿­­¿ «Æ­ÆÈ ¬ Ä ª ­®­Æ·­¨© ¢¨£«¿¤: 1) xa22 + yb22 = 1 | ¥«Æ¯±; 2) xa22 + yb22 = 1 | ³¿¢­¨© ¥«Æ¯±; 3) xa22 + yb22 = 0 | ¯ °  ³¿¢­¨µ ¯°¿¬¨µ, ¿ªÆ ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿; 4) xa22 yb22 = 1 | £Æ¯¥°¡®« ; 5) xa22 yb22 = 0 | ¯ °  ¯°¿¬¨µ, ¹® ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿; 6) y2 = 2px | ¯ ° ¡®« ; 7) x2 = a2; a 6= 0 | ¯ °  ¯ ° «¥«¼­¨µ ¯°¿¬¨µ; 8) x2 = a2 ; a 6= 0 | ¯ °  ³¿¢­¨µ ¯ ° «¥«¼­¨µ ¯°¿¬¨µ; 9) x2 = 0 | ¯ °  ¯°¿¬¨µ, ¹® §¡Æ£ ¾²¼±¿. ‡¢¥¤¥­­¿ § £ «¼­®£® °Æ¢­¿­­¿ «Æ­ÆÈ (1) ¤® ª ­®­Æ·­®£® ¢¨£«¿¤³ ¢Æ¤¡³¢ Ä²¼±¿ §  ¤¥ªÆ«¼ª  ª°®ªÆ¢. 1. Ÿª¹® ¢¨µÆ¤­  ±¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ­¥ ¯°¿¬®ª³²­ , ²® ¯¥°¥©¤¥¬® ¤® ¿ª®È-­¥¡³¤¼ ¯°¿¬®ª³²­®È ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ².

48

Ž‡„Å‹ VI.

‡€ƒ€‹œ€ ’…ŽÅŸ ‹ÅÅ‰ „“ƒŽƒŽ DZŽŸ„Š“

49

2. Ÿª¹® ¢ °Æ¢­¿­­Æ (1) ª®¥´Æ¶ÆÄ­² a12 6= 0, ²® ¯¥°¥©¤¥¬® ¤® ² ª®È ¯°¿¬®ª³²­®È ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ², ¢ ¿ªÆ© ª®¥´Æ¶ÆÄ­² ¯¥°¥²¢®°¥­®£® °Æ¢­¿­­¿ (1) ¡Æ«¿ ¤®¡³²ª³ x0y0 ¤®°Æ¢­¾¢ ¢ ­³«¾. „«¿ ¶¼®£® ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ² ²°¥¡  ¯®¢¥°­³²¨ ­ ¢ª®«® ¯®· ²ª³ ª®®°¤¨­ ² ­  ª³² ' ( x = x0 cos ' y 0 sin ' () y = x0 sin ' + y 0 cos ': ‡­ ·¥­­¿ ' §­ µ®¤¨¬® § °Æ¢­¿­­¿ tg 2' = 2a12  ¡® a tg2 ' + (a a ) tg ' a = 0: 12 22 11 12 a11 a22 „ «Æ ¢¨§­ · Ä¬® sin '; cos '; ¯Æ¤±² ¢«¿Ä¬® ³ ´®°¬³«³ (), §­ µ®¤¨¬®

§ ¬Æ­³ ª®®°¤¨­ ². 3. Ÿª¹® ¢ °Æ¢­¿­­Æ (1) ¢¦¥ ­¥ ¬ Ä ·«¥­  § ¤®¡³²ª®¬ §¬Æ­­¨µ (²®¡²® a12 = 0), ²® ¤® ª ­®­Æ·­®£® ¢¨£«¿¤³ ¢®­® §¢®¤¨²¼±¿ ¯ ° «¥«¼­¨¬ ¯¥°¥­¥±¥­­¿¬ ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ². Å­¸¨© ±¯®±Æ¡ §¢¥¤¥­­¿ ¤® ª ­®­Æ·­®£® ¢¨£«¿¤³ ¢Æ¤¡³¢ Ä²¼±¿ §  ¤®¯®¬®£®¾ ®°²®£®­ «¼­¨µ Æ­¢ °Æ ­²Æ¢ ¯®«Æ­®¬  F (x; y). 0 1. ¥µ © ¯®«Æ­®¬ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³ F (x; y ) = a11x2 + 2a12xy + a22 y 2 + 2a13x + 2a23y + a33 § «¥¦¨²¼ ¢Æ¤ ª®®°¤¨­ ² x; y ²®·ª¨ ¢ ¯°¿¬®ª³²­Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ². Ÿª¹® ¯¥°¥©²¨ ¤® Æ­¸®È ¯°¿¬®ª³²­®È ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² O0x0y0, ²® F (x; y ) = F 0 (x0; y 0) = a011 x02 + 2a012 x0y 0 + a022 y 02 + 2a013 x0 + 2a023y 0 + a033: „®¢¥±²¨, ¹® ¢¨ª®­³¾²¼±¿ °Æ¢­®±²Æ: 1) a011 + a022 = a11 + a22;

a011 a012 a013 0 a0 a11 a12 a 11 12 2) a0 a0 = a a ; 3) a021 a022 a023 21 22 21 22 a0 a032 a033 31







=

’®¡²®, ¢¥«¨·¨­¨ I1 = a11 + a22; I2 = aa11 aa12 , I3 = 21 22 Ä ®°²®£®­ «¼­¨¬¨ Æ­¢ °Æ ­² ¬¨ ¯®«Æ­®¬  F (x; y). 2.

0

a11 a21 a31 a11 a21 a 31

¥µ © «Æ­Æ¾ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³ § ¤ ­® °Æ¢­¿­­¿¬ a11 x2 + 2a12xy + a22y 2 + 2a13x + 2a23y + a33 = 0:

a12 a22 a32 a12 a22 a32



a13 a23 . a33 a13 a23 a33

50

Ž‡„Å‹ VI.

‡€ƒ€‹œ€ ’…ŽÅŸ ‹ÅÅ‰ „“ƒŽƒŽ DZŽŸ„Š“

„®¢¥±²¨, ¹® ª®°¥­Æ µ ° ª²¥°¨±²¨·­®£® °Æ¢­¿­­¿ 2 I1  + I2 = 0 ¤Æ©±­Æ, Æ ®¤­®· ±­® ­¥ ¤®°Æ¢­¾¾²¼ ­³«¾. 0 2 2 3. „®¢¥±²¨, ¹® «Æ­Æ¿ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³ a11 x + 2a12 xy + a22 y + 2a13 x + 2a23y + a33 = 0 ³ ¤¥¿ªÆ© ¯°¿¬®ª³²­Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² O0x0y0 ¬ Ä °Æ¢­¿­­¿ a011x2 + 2a012xy + a022y2 + 2a013x + 2a023y + a033 = 0; ²® a011 Æ a012 Ä ª®°¥­¿¬¨ °Æ¢­¿­­¿ 2 I1 + I2 = 0 (¿ª¥ ­ §¨¢ Ä²¼±¿ µ ° ª²¥°¨±²¨·­¨¬ °Æ¢­¿­­¿¬ ¶ÆÄÈ «Æ­ÆÈ). 0 4. „®¢¥±²¨, ¹® ¯®°¿¤®ª  «£¥¡°¨·­®È «Æ­ÆÈ ­¥ §¬Æ­¾Ä²¼±¿ ¯°¨ § ¬Æ­Æ ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ². 0 5. „®¢¥±²¨, ¹® ¤«¿ ¡³¤¼-¿ª®È «Æ­ÆÈ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³ Ʊ­³Ä ¯°¿¬®ª³²­  ±¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ², ¢ ¿ªÆ© °Æ¢­¿­­¿ (1) ¬ Ä ®¤¨­ § ²°¼®µ §¢¥¤¥­¨µ ²¨¯Æ¢: (I) Ax2 + By2 + C = 0; ¤¥ A 6= 0 Æ B 6= 0. (II) Ax2 + By = 0; ¤¥ A 6= 0 Æ B 6= 0. (III) Ax2 + B = 0; ¤¥ A 6= 0. x

20.

‚¨§­ ·¥­­¿ ²¨¯³ ²  °®§² ¸³¢ ­­¿ «Æ­ÆÈ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³ §  ÈÈ § £ «¼­¨¬ °Æ¢­¿­­¿¬

‡  ¤®¯®¬®£®¾ ¯¥°¥­¥±¥­­¿ ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² ¢¨§­ ·¨²¨, ¿ª  «Æ­Æ¿ § ¤ Ä²¼±¿ ª®¦­¨¬ ­ ±²³¯­¨¬ °Æ¢­¿­­¿¬, §­ ©¤Æ²¼ ÈÈ °®§² ¸³¢ ­­¿ ±²®±®¢­® § ¤ ­®È ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ²: 1) 9x2 + 16y2 54x + 64y + 1 = 0; 2) 4x2 y2 16x 6y + 3 = 0; 3) 3y2 12x 6y + 11 = 0; 4) 25x2 + 9y2 100x + 54y 44 = 0; 5) 4x2 y2 16x + 6y + 23 = 0; 6) 3x2 + 12x + 16y 12 = 0; 7) 9x2 4y2 + 36x 16y + 20 = 0; 8) x2 + x 6 = 0: 20.2. ‚¨§­ ·¨²¨ ²¨¯ «Æ­ÆÈ, ­ ¯¨± ²¨ ÈÈ ª ­®­Æ·­¥ °Æ¢­¿­­¿, §­ ©²¨ ª ­®­Æ·­³ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ²: 20.1.

x

20. ‚ˆ‡€—…Ÿ ’ˆDZ“ ‹ÅÅÇ „“ƒŽƒŽ DZŽŸ„Š“ . . .

51

1) 5x2 + 4xy + 8y2 32x 56y + 80 = 0; 2) 5x2 + 12xy 22x 12y 19 = 0; 3) x2 4xy + 4y2 + 4x 3y 7 = 0; 4) x2 5xy + 4y2 + x + 2y 2 = 0; 5) 4x2 12xy + 9y2 2x + 3y 2 = 0; 6) 9x2 4xy + 6y2 + 16x 8y 2 = 0; 7) 8x2 + 6xy 26x 12y + 11 = 0; 8) x2 2xy + y2 10x 6y + 25 = 0; 9) 2x2 5xy 12y2 x + 26y 10 = 0; 10) 4x2 4xy + y2 6x + 3y 4 = 0; 11) 2x2 + 4xy + 5y2 6x 8y 1 = 0; 12) x2 12xy 4y2 + 12x + 8y + 5 = 0; 13) 9x2 + 24xy + 16y2 230x + 110y 475 = 0; 14) 3x2 + xy 2y2 5x + 5y 2 = 0; 15) 4x2 12xy + 9y2 20x + 30y + 16 = 0; 16) 52 + 6xy + 5y2 6x 10y 3 = 0; 17) 12x2 + 5xy 12x 22y 19 = 0; 18) 4x2 4xy + y2 3x + 4y 7 = 0; 19) 4x2 + 16xy + 15y2 8x 22y 5 = 0; 20) 4x2 + 4xy + y2 + 16x + 8y + 15 = 0: 2 2 20.3. ‹Æ­Æ¿ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³ ¢¨§­ · Ä²¼±¿ °Æ¢­¿­­¿¬ x +2xy + y = 1: ‚¨§­ ·¨²¨ ²¨¯ «Æ­ÆÈ ¯°¨ §¬Æ­Æ ¯ ° ¬¥²°   ¢Æ¤ 1 ¤® +1 Æ §­ ©²¨ ÈÈ °®§² ¸³¢ ­­¿ ±²®±®¢­® § ¤ ­®È ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ². 20.4. ¥ ¯¥°¥²¢®°¾¾·¨ ª®®°¤¨­ ²¨, ¢¨§­ ·¨²¨, ·¨ ª®¦­¥ ­ ±²³¯­¥ °Æ¢­¿­­¿ § ¤ Ä ¥«Æ¯±, §­ ©²¨ ¤®¢¦¨­¨ ©®£® ¯Æ¢®±¥©: 1) 41x2 + 24xy + 9y2 + 24x + 18y 36 = 0; 2) 8x2 + 4xy + 5y2 + 16x + 4y 28 = 0; 3) 13x2 + 18xy + 37y2 26x 18y + 3 = 0; 4) 13x2 + 10xy + 13y2 + 46x + 62y + 13 = 0: 20.5. ¥ ¯¥°¥²¢®°¾¾·¨ ª®®°¤¨­ ²¨, ¢¨§­ ·¨²¨, ·¨ ª®¦­¥ ­ ±²³¯­¥ °Æ¢­¿­­¿ § ¤ Ä Ĥ¨­³ ²®·ª³ (¢¨°®¤¦¥­¨© ¥«Æ¯±), §­ ©²¨ ÈÈ ª®®°¤¨­ ²¨: 1) 5x2 6xy + 2y2 2x + 2 = 0; 2) x2 + 2xy + 2y2 + 6y + 9 = 0; 3) 5x2 + 4xy + y2 6x 2y + 2 = 0; 4) x2 6xy + 10y2 + 10x 32y + 26 = 0: 20.6. ‚¨¿¢¨²¨, ¹® ª®¦­¥ § °Æ¢­¿­¼ ¢¨§­ · Ä ª®«®, §­ ©²¨ ©®£® ¶¥­²° C

52

Ž‡„Å‹ VI.

‡€ƒ€‹œ€ ’…ŽÅŸ ‹ÅÅ‰ „“ƒŽƒŽ DZŽŸ„Š“

²  ° ¤Æ³± R: 1) x2 + y2 4x + 6y 3 = 0; 2) x2 + y2 8x = 0; 3) x2 + y2 + 4y = 0; 4) 2x2 + 2y2 12x + y + 3 = 0; 5) 7x2 + 7y2 2x 7y 1 = 0; 6) 4x2 + 4y2 + 4x + 4y + 4 = 0. 20.7. ¥ ¯¥°¥²¢®°¾¾·¨ ª®®°¤¨­ ²¨, ¢¨§­ ·¨²¨, ·¨ ª®¦­¥ ­ ±²³¯­¥ °Æ¢­¿­­¿ § ¤ Ä £Æ¯¥°¡®«³, §­ ©²¨ ¤®¢¦¨­¨ ÈÈ ¯Æ¢®±¥©: 1) 4x2 + 24xy + 11y2 + 64x + 42y + 51 = 0; 2) 12x2 + 26xy + 12y2 52x 48y + 73 = 0; 3) 3x2 + 4xy 12x + 16 = 0; 4) x2 6xy 7y2 + 10x 30y + 23 = 0: 20.8. ¥ ¯¥°¥²¢®°¾¾·¨ ª®®°¤¨­ ²¨, ¢¨§­ ·¨²¨, ·¨ ª®¦­¥ ­ ±²³¯­¥ °Æ¢­¿­­¿ § ¤ Ä ¯ °³ ¯°¿¬¨µ, ¿ªÆ ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿ (¢¨°®¤¦¥­  £Æ¯¥°¡®« ), §­ ©²¨ ȵ­Æ °Æ¢­¿­­¿: 1) 3x2 + 4xy + y2 2x 1 = 0; 2) x2 6xy + 8y2 4y 4 = 0; 3) x2 4xy + 3y2 = 0; 4) x2 + 4xy + 3y2 6x 12y + 0 = 0: 20.9. ¥ ¯¥°¥²¢®°¾¾·¨ ª®®°¤¨­ ²¨, ¢¨§­ ·¨²¨, ·¨ ª®¦­¥ ­ ±²³¯­¥ °Æ¢­¿­­¿ § ¤ Ä ¯ ° ¡®«³, §­ ©²¨ ¯ ° ¬¥²° ¯ ° ¡®«¨: 1) 9x2 + 24xy + 16y2 120 + 90y = 0; 2) 9x2 24xy + 16y2 + 54x 178y + 181 = 0; 3) x2 2xy + y2 + 6x 14y + 29 = 0; 4) 9x2 6xy + y2 50x + 50y 275 = 0: 20.10. ¥ ¯¥°¥²¢®°¾¾·¨ ª®®°¤¨­ ²¨, ¢¨§­ ·¨²¨, ·¨ ª®¦­¥ ­ ±²³¯­¥ °Æ¢­¿­­¿ § ¤ Ä ¯ °³ ¯ ° «¥«¼­¨µ ¯°¿¬¨µ, §­ ©²¨ ȵ­Æ °Æ¢­¿­­¿: 1) 4x2 + 4xy + y2 12x 6y + 5 = 0; 2) 4x2 12xy + 9y2 + 20x 30y 11 = 0; 3) 25x2 10xy + y2 + 10x 2y 15 = 0; 4) x2 6xy + 9y2 + 4x 12y + 4 = 0: 20.11. ¥ ¯¥°¥²¢®°¾¾·¨ ª®®°¤¨­ ²¨, ¢¨§­ ·¨²¨, ¿ªÆ £¥®¬¥²°¨·­Æ ®¡° §¨ § ¤ ¾²¼ ² ª¨¬¨ °Æ¢­¿­­¿¬¨: 1) 8x2 12xy + 17y2 + 16x 12y + 3 = 0; 2) 17x2 18xy 7y2 + 34x 18y + 7 = 0;

x

21. „Ž’ˆ—Å ‹ÅÅ‰ „“ƒŽƒŽ DZŽŸ„Š“

53

3) 2x2 + 3xy 2y2 + 5x + 10y = 0; 4) 6x2 6xy + 9y2 4x + 18y + 14 = 0; 5) 5x2 2xy + 5y2 4x + 20y + 20 = 0: 20.12.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿, ¢¨§­ ·¨²¨ ²¨¯ «Æ­ÆÈ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ 5 ²®·®ª: 1) ( 1; 1); (1; 0); (0; 1); 3; 2); (2; 3); 2) (1; 1); (1; 0)(0; 1); (3; 2); (2; 3); 3) ( 1; 0); (1; 0); (0; 1); (3; 2); (2; 3); 4) ( 3; 0); (1; 0); (0; 1); (3; 2); (2; 3). 20.13. ‡­ ©²¨ ´®ª³±¨ ²  ¤¨°¥ª²°¨±¨, ¿ªÆ Ȭ ¢Æ¤¯®¢Æ¤ ¾²¼ ¤«¿ «Æ­Æ© ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³: 1) 6xy 8y2 + 12x 26y 11 = 0; 2) x2 + 4xy + 4y2 + 8x + 6y + 2 = 0: 2 20.14. „®¢¥±²¨, ¹® «Æ­Æ¿ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³ 3x 2xy + y2 + 6x 9 = 0 | ¥«Æ¯±. ‡ ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¥«Æ¯± , ¯Æ¢®±Æ ¿ª®£® ¬ ¾²¼ ²®© ± ¬¨© ­ ¯°¿¬ Æ ³ ¤¢  ° §¨ ¡Æ«¼¸Æ. 20.15. “ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² O~ e1~e2 ; ¤¥ j~e1 j = 2; j~e2 j = 3 Æ \(~e1; ~e2) = 2 «Æ­ÆÈ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³ § ¤ ­Æ ² ª¨¬¨ °Æ¢­¿­­¿¬¨: 1) x2 + y2 = 4; 2) x2 y2 = 1; 3) xy = 1; 4) y = x2. ‚¨§­ ·¨²¨ ²¨¯ «Æ­ÆÈ, ­ ¯¨± ²¨ ÈÈ ª ­®­Æ·­¥ °Æ¢­¿­­¿, §­ ©²¨ ª ­®­Æ·­³ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ². 20.16. “ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² O~ e1~e2 ; ¤¥ j~e1 j = 3; j~e2 j = 4 Æ \(~e1; ~e2) = 4 «Æ­ÆÈ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³ § ¤ ­Æ ² ª¨¬¨ °Æ¢­¿­­¿¬¨: 1) x2 + y2 = 4; 2) x2 y2 = 1; 3) xy = 1; 4) y = x2. ‚¨§­ ·¨²¨ ²¨¯ «Æ­ÆÈ, ­ ¯¨± ²¨ ÈÈ ª ­®­Æ·­¥ °Æ¢­¿­­¿, §­ ©²¨ ª ­®­Æ·­³ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ². x

21.

21.1. x2 a2

± 

„®²¨·­Æ «Æ­Æ© ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³

„®¢¥±²¨, ¹® ¢ ª ­®­Æ·­Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² Oxy ¤®²¨·­  ¤® ¥«Æ¯2 y + b2 = 1 ¢ ²®·¶Æ M (x0; y0) ¬ Ä ¢¨£«¿¤ xa02x + yb02y = 1.

54

Ž‡„Å‹ VI.

‡€ƒ€‹œ€ ’…ŽÅŸ ‹ÅÅ‰ „“ƒŽƒŽ DZŽŸ„Š“

„®¢¥±²¨, ¹® ¢ ª ­®­Æ·­Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² Oxy ¤®²¨·­  ¤® £Æ2 2 y x ¯¥°¡®«¨ a2 b2 = 1 ¢ ²®·¶Æ M (x0; y0) ¬ Ä ¢¨£«¿¤ xa02x yb02y = 1. 21.3. „®¢¥±²¨, ¹® ¢ ª ­®­Æ·­Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² Oxy ¤®²¨·­  ¤® ¯ ° ¡®«¨ y2 = 2px ¢ ²®·¶Æ M (x0; y0) ¬ Ä ¢¨£«¿¤ y0y = p(x + x0). 21.4. „®¢¥±²¨ ² ª¥: ¿ª¹® ¯°¿¬  Ax + By + C = 0 ¤®²¨·­  ¤® ¥«Æ¯±  x2 + y2 = 1, ²® A2 a2 + B 2 b2 = C 2: a2 b2 21.5. „®¢¥±²¨ ² ª¥: ¿ª¹® ¯°¿¬  Ax + By + C = 0 ¤®²¨·­®  ¤® £Æ¯¥°¡®«¨ x2 y2 = 1, ²® A2 a2 B 2 b2 = C 2: a2 b2 21.6. „®¢¥±²¨ ² ª¥: ¿ª¹® ¯°¿¬  Ax + By + C = 0   ¤®²¨·­  ¤® ¯ ° ¡®«¨ y 2 = 2px, ²® B 2 p = 2AC: 21.7. „®¢¥±²¨, ¹® ­®°¬ «¼ ¤® ¥«Æ¯±  Ä ¡Æ±¥ª²°¨±®¾ ª³²  ¬Æ¦ ´®ª «¼­¨¬¨ ° ¤Æ³± ¬¨ ¢Æ¤¯®¢Æ¤­®È ²®·ª¨ ¥«Æ¯± . 21.8. „®¢¥±²¨, ¹® ¤®²¨·­  ¤® £Æ¯¥°¡®«¨ Ä ¡Æ±¥ª²°¨±®¾ ª³²  ¬Æ¦ ´®ª «¼­¨¬¨ ° ¤Æ³± ¬¨ ²®·ª¨ ¤®²¨ª³. 2 2 21.9. DZ°¨ ¿ª®¬³ §­ ·¥­­Æ ¯ ° ¬¥²°   ª°¨¢  2x {3xy + y {7x + y +4 = 0 ¢Æ¤²¨­ Ä ­  ®±Æ ®°¤¨­ ² µ®°¤³ ¤®¢¦¨­®¾ 3? DZ°¨ ¿ª®¬³ §­ ·¥­­Æ  § ¤ ­  ª°¨¢  ¤®²¨ª Ä²¼±¿ ¤® ®±Æ ®°¤¨­ ²? 2 21.10. “ ²®·ª µ ¯¥°¥²¨­³ ª°¨¢®È x 2y2 5x + 4y + 6 = 0 § ®±¿¬¨ ª®®°¤¨­ ² ¯°®¢¥±²¨ ¤®²¨·­Æ ¤® ¶ÆÄÈ ª°¨¢®È. 2 2 21.11. ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¤®²¨·­¨µ ¤® ª°¨¢®È 3x +2xy +2y +3x 4y = 0 ¢ ÈÈ ²®·ª µ,  ¡±¶¨±¨ ¿ª¨µ ¤®°Æ¢­¾¾²¼ 2. 2 21.12. —¥°¥§ ¯®· ²®ª ª®®°¤¨­ ² ¯°®¢¥±²¨ ¤®²¨·­Æ ¤® ª°¨¢®È 3x +7xy + 2 5y + 4x + 5y + 1 = 0. 2 21.13. —¥°¥§ ²®·ª³ (3; 4) ¯°®¢¥±²¨ ¤®²¨·­Æ ¤® ª°¨¢®È 2x 4xy + y2 2x + 6y 3 = 0. 21.14. —¥°¥§ ²®·ª³ ( 2; 1) ¯°®¢¥±²¨ ¤®²¨·­Æ ¤® ª°¨¢¨µ: 1) 3x2 +2xy +2y2 +3x 4y = 0; 2) 2x2 xy y2 15x 3y +18 = 0. x2 y2 21.15. ‡ ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¤®²¨·­¨µ ¤® ¥«Æ¯±  32 + 18 = 1; ¹® ¯°®µ®¤¿²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ (12; 3). y2 = 1; ¹® ¯°®µ®2 21.16. ‡ ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¤®²¨·­¨µ ¤® £Æ¯¥°¡®«¨ x 4 ¤¿²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ (1; 4). 2 21.17. ‡ ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¤®²¨·­¨µ ¤® ¯ ° ¡®«¨ y = 4x; ¹® ¯°®µ®¤¿²¼ 21.2.

x

22. –…’, „Å€Œ…’ˆ, €‘ˆŒDZ’Ž’ˆ ‹ÅÅ‰ . . .

55

·¥°¥§ ²®·ª³ ( 1; 83 ). 21.18. ‡ ¤ ­® °Æ¢­¿­­¿ ¤®²¨·­®È x 3y + 9 = 0 ¤® ¯ ° ¡®«¨ y2 = 2px: ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯ ° ¡®«¨. 2 21.19. ‡­ ©²¨ ­ ©¬¥­¸³ ¢Æ¤±² ­¼ ¯ ° ¡®«¨ y = 64x ¢Æ¤ ¯°¿¬®È 4x + 3y + 46 = 0: x2 + y2 = 1; ¹® ¯ ° «¥«¼­Æ 21.20. ‡ ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¤®²¨·­¨µ ¤® ¥«Æ¯±  16 9 ¤® ¯°¿¬®È x + y 1 = 0: 21.21. ‡ ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯ ° ¡®«¨, ¹® ¤®²¨ª Ä²¼±¿ ¤® ®±¥© Ox Æ Oy ¢ ²®·ª µ (3; 0); (0; 2): 21.22. ‡­ ©²¨ ¬­®¦¨­³ ¯°¿¬¨µ ª³²Æ¢, ±²®°®­¨ ¿ª¨µ ¤®²¨ª ¾²¼±¿ ¤® ¯ ° ¡®«¨ y2 = 2px. 21.23. ‡­ ©²¨ ¬­®¦¨­³ ¯°¿¬¨µ ª³²Æ¢, ±²®°®­¨ ¿ª¨µ ¤®²¨ª ¾²¼±¿ ¤® ¥«Æ¯±  xa22 + yb22 = 1: 21.24. ‡­ ©²¨ ¬­®¦¨­³ ¯°¿¬¨µ ª³²Æ¢, ±²®°®­¨ ¿ª¨µ ¤®²¨ª ¾²¼±¿ ¤® £Æ¯¥°¡®«¨ xa22 yb22 = 1. ŸªÆ ³¬®¢¨ ¬ ¾²¼ § ¤®¢®«¼­¿²¨ a Æ b, ¹®¡ ² ª  ¬­®¦¨­  Ʊ­³¢ « ? x

22.

–¥­²°, ¤Æ ¬¥²°¨,  ±¨¬¯²®²¨ «Æ­Æ© ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³

Cª ¦¥¬®, ¹® ¢¥ª²®° ~p(; ) ¬ Ä  ±¨¬¯²®²¨·­¨© ­ ¯°¿¬ ±²®±®¢­® «Æ­ÆÈ F (x; y) = 0, ¿ª¹® ©®£® ª®®°¤¨­ ²¨ § ¤®¢®«¼­¿¾²¼ °Æ¢­¿­­¿ a112 + 2a12 + a22 = 0: „®¢¥±²¨, ¹® ¯°¿¬  l, ­ ¯°¿¬­¨© ¢¥ª²®° ¿ª®È ¬ Ä  ±¨¬¯²®²¨·­¨© ­ ¯°¿¬, ­¥ ¯¥°¥²¨­ Ä «Æ­ÆÈ ¢§ £ «Æ,  ¡® ¯¥°¥²¨­ Ä ¢ ®¤­Æ© ²®·¶Æ,  ¡® ¯®¢­Æ±²¾ ­ «¥¦¨²¼ «Æ­ÆÈ. 0 2 2 2. DZ°¿¬  l ­ §¨¢ Ä²¼±¿  ±¨¬¯²®²®¾ «Æ­ÆÈ a11 x +2a12 xy + a22 y +2a13 x + 2a23y + a33 = 0; ¿ª¹® ¢®­  ­¥ ¯¥°¥²¨­ Ä § ¤ ­®È «Æ­ÆÈ,  ¡® ¯®¢­Æ±²¾ È© ­ «¥¦¨²¼. „®¢¥±²¨ ² ª¥: ¿ª¹® ~p(; ) | ¢¥ª²®°  ±¨¬¯²®²¨·­®£® ­ ¯°¿¬³ ±²®±®¢­® «Æ­ÆÈ (1), ²® ¤«¿ ²®£® ¹®¡ ²®·ª  M (x; y) «¥¦ «  ­   ±¨¬¯²®²Æ § 1.

0

56

Ž‡„Å‹ VI.

‡€ƒ€‹œ€ ’…ŽÅŸ ‹ÅÅ‰ „“ƒŽƒŽ DZŽŸ„Š“

­ ¯°¿¬­¨¬ ¢¥ª²®°®¬ ~p ­¥®¡µÆ¤­® Æ ¤®±² ²­¼®, ¹®¡ ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ M § ¤®¢®«¼­¿«¨ °Æ¢­¿­­¿ (a11 + a12 )x + (a21 + a22 ) + a13 + a23 : „®¢¥±²¨, ¹® «Æ­ÆÈ ¥«Æ¯²¨·­®£® ²¨¯³ (I2 > 0) Æ ¯ ° ¡®«  ­¥ ¬ ¾²¼  ±¨¬¯²®² (µ®·  ¯ ° ¡®«  ¬ Ä ®¤¨­  ±¨¬¯²®²¨·­¨© ­ ¯°¿¬). 0 4. „®¢¥±²¨, ¹® «Æ­ÆÈ £Æ¯¥°¡®«Æ·­®£® ²¨¯³ (I2 < 0) ¬ ¾²¼ ¤¢Æ  ±¨¬¯²®²¨, ¿ªÆ ¢Æ¤¯®¢Æ¤ ¾²¼ ¤¢®¬ °Æ§­¨¬  ±¨¬¯²®²¨·­¨¬ ­ ¯°¿¬ ¬. 0 5. ‹Æ­ÆÈ ¯ ° ¡®«Æ·­®£® ²¨¯³ (I2 = 0), ¿ªÆ ¢Æ¤¬Æ­­Æ ¢Æ¤ ¯ ° ¡®«¨, ¬ ¾²¼ ¯³·®ª ¯ ° «¥«¼­¨µ  ±¨¬¯²®². 0 6. „®¢¥±²¨, ¹® ¬­®¦¨­  ±¥°¥¤¨­ ¢±Æµ µ®°¤ «Æ­ÆÈ (1), ¿ªÆ ¯ ° «¥«¼­Æ ¤® ¢¥ª²®°  ~p(; ) ­¥ ±¨¬¯²®²¨·­®£® ­ ¯°¿¬³, Ä ¯°¿¬®¾, ¿ª  § ¤ Ä²¼±¿ °Æ¢­¿­­¿¬ (a11 + a12 )x + (a21 + a22 )y + a13 + a23 = 0: –¿ ¯°¿¬  ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ¤Æ ¬¥²°®¬ «Æ­ÆÈ, ¿ª¨© ±¯°¿¦¥­¨© ¤® ­ ¯°¿¬³ ~p Æ ¯®§­ · Ä²¼±¿ d~p. 0 7. „®¢¥±²¨ ² ª¥: ¿ª¹® ¤Æ ¬¥²° d~ p ­¥ ¬ Ä  ±¨¬¯²®²¨·­®£® ­ ¯°¿¬³ Æ Ä ¬­®¦¨­®¾ ±¥°¥¤¨­ µ®°¤, ¯ ° «¥«¼­¨µ ¤Æ¬¥²°³ d~q, ²® d~q | ¬­®¦¨­  ±¥°¥¤¨­ µ®°¤ ¯ ° «¥«¼­¨µ ¤Æ ¬¥²°³ d~p. ’ ªÆ ¤Æ ¬¥²°¨ ­ §¨¢ ¾²¼±¿ ±¯°¿¦¥­¨¬¨. 0 8. „®¢¥±²¨ ² ª¥: ¿ª¹® d~ p Æ d~q ±¯°¿¦¥­Æ ¤Æ ¬¥²°¨, ²® ª®®°¤¨­ ²¨ ¢¥ª²®°Æ¢ p~(1; 1) Æ ~q(2; 2) § ¤®¢®«¼­¿¾²¼ ³¬®¢³ 1 (a112 + a12 2) + 1 (a212 + a22 2) = 0: ‚¥ª²®°¨, ª®®°¤¨­ ²¨ ¿ª¨µ § ¤®¢®«¼­¿¾²¼ ¶¾ ³¬®¢³, ­ §¨¢ ¾²¼±¿ ±¯°¿¦¥­¨¬¨. 0 9. „Æ ¬¥²° «Æ­ÆÈ ­ §¨¢ Ä²¼±¿ £®«®¢­¨¬, ¿ª¹® ¢Æ­ ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­¨© ¤® ±¯°¿¦¥­¨µ § ­¨¬ µ®°¤. „®¢¥±²¨ ² ª¥: ¤«¿ ²®£® ¹®¡ ¤Æ ¬¥²° ¡³¢ £®«®¢­¨¬ ­¥®¡µÆ¤­® Æ ¤®±² ²­¼®, ¹®¡ ª®®°¤¨­ ²¨ ©®£® ­ ¯°¿¬­®£® ¢¥ª²®°  ~p(; ) § ¤®¢®«¼­¿«¨ ±¨±²¥¬³ °Æ¢­¿­¼ 0

3.

(

(a11 ) + a21 = 0 ¤¥  | ª®°¥­Æ °Æ¢­¿­­¿ a11  a12 =0: a12 a22  a12 + (a22 ) = 0;

x

22. –…’, „Å€Œ…’ˆ, €‘ˆŒDZ’Ž’ˆ ‹ÅÅ‰ . . .

57

„®¢¥±²¨ ² ª¥: ¤«¿ ²®£® ¹®¡ ²®·ª  C (x0; y0) ¡³«  ¶¥­²°®¬ «Æ­ÆÈ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³ (1) ­¥®¡µÆ¤­® Æ ¤®±² ²­¼®, ¹®¡ ÈÈ ª®®°¤¨­ ²¨ § ¤®¢®«¼­¿«¨ ±¨±²¥¬³ °Æ¢­¿­¼ ( a11x + a12 y + a13 = 0 a12x + a22 y + a23 = 0: 10.

0

DZ®¡³¤³¢ ²¨ ¥«Æ¯± x2 + 4y2 = 16, ¤Æ ¬¥²° y = x=2 Æ ±¯°¿¦¥­¨© ¤® ­¼®£® ¤Æ ¬¥²°. ‡­ ©²¨ ¤®¢¦¨­¨ ¶¨µ ¤Æ ¬¥²°Æ¢. 2 22.2. DZ®¡³¤³¢ ²¨ £Æ¯¥°¡®«³ x 4y2 = 4, ¤Æ ¬¥²° y = x Æ ±¯°¿¦¥­¨© ¤® ­¼®£® ¤Æ ¬¥²°. ‡­ ©²¨ ª³² ¬Æ¦ ¶¨¬¨ ¤Æ ¬¥²° ¬¨. x2 y 2 22.3. ‡­ ©²¨ ±¯°¿¦¥­Æ ¤Æ ¬¥²°¨ ¥«Æ¯±  2 + 2 = 1 ®¤­ ª®¢®È ¤®¢¦¨­¨. a b —®¬³ ¤®°Æ¢­¾Ä ȵ ¤®¢¦¨­ ? 2 22.4. ‡­ ©²¨ ¬­®¦¨­³ ²®·®ª, ¿ªÆ Ä ±¥°¥¤¨­ ¬¨ µ®°¤ £Æ¯¥°¡®«¨ x 2y 2 = 1, ¹® ¯ ° «¥«¼­Æ ¯°¿¬Æ© 2x y = 0. 22.5. ‡­ ©²¨ ¶¥­²°¨ ² ª¨µ ª°¨¢¨µ: 1) x2 2xy + 2y2 4x 6y + 3 = 0; 2) 3x2 2xy + 3y2 + 4x + 4y 4 = 0; 3) 2x2 3xy y2 + 3x + 2y = 0; 4) x2 2xy + y2 4x 6y + 3 = 0; 5) x2 + 2xy + 2y2 + 2x + 2y 4 = 0; 6) 2x2 4xy + 5y2 8x + 6 = 0; 7) x2 2xy 3y2 4x 6y + 3 = 0; 8) x2 + 6xy + 9y2 + 4x + 12y 5 = 0; 9) 9x2 6xy + y2 + 2x 7 = 0; 10) x2 4xy + 4y2 + 10x 20y + 25 = 0: 2 2 22.6. DZ°¨ ¿ª¨µ §­ ·¥­­¿µ ¯ ° ¬¥²°Æ¢ a Æ b °Æ¢­¿­­¿ x +6xy + ay +3x + by 4 = 0 Ä: ¶¥­²° «¼­®¾ ª°¨¢®¾; ª°¨¢®¾ ¯ ° ¡®«Æ·­®£® ²¨¯³; ª°¨¢®¾ § «Æ­Æľ ¶¥­²°Æ¢? 22.7. ‡­ ©²¨  ±¨¬¯²®²¨ ² ª¨µ £Æ¯¥°¡®«: 1) 3x2 + 7xy + 4y2 + 5x + 2y 6 = 0; 2) 2x2 + 6xy 12x 18y + 5 = 0: y2 x2 22.8. ‡ ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¤Æ ¬¥²°  ¥«Æ¯±  16 + 12 = 1; ¿ª¨© ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ±¥°¥¤¨­³ µ®°¤¨, ¹® ¢Æ¤²¨­ Ä²¼±¿ ¥«Æ¯±®¬ ­  ¯°¿¬Æ© 3x +2y 6 = 0. 2 2 22.9.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¤Æ ¬¥²°  ª®«  x + y + 4x 6y 17 = 0, ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­®£® ¤® ¯°¿¬®È 5x + 2y 13 = 0. 22.1.

58

Ž‡„Å‹ VI.

‡€ƒ€‹œ€ ’…ŽÅŸ ‹ÅÅ‰ „“ƒŽƒŽ DZŽŸ„Š“

‡­ ©²¨ ª³² ¬Æ¦ ° ¤Æ³± ¬¨ ª®«  x2 + y2 +4x 6y = 0, ¯°®¢¥¤¥­¨¬¨ ·¥°¥§ ²®·ª¨ ¯¥°¥²¨­³ ©®£® § ¢Æ±±¾ Oy. 2 2 22.11. ‡­ ©²¨ ª³²  ¬Æ¦ ° ¤Æ³± ¬¨ ª®«  x + y 4x + 6y 5 = 0, ¯°®¢¥¤¥­¨¬¨ ·¥°¥§ ²®·ª¨ ¯¥°¥²¨­³ ©®£® § ¢Æ±±¾ Ox. 22.12. ‚¨§­ ·¨²¨, ¯°¨ ¿ª¨µ §­ ·¥­­¿µ ª³²®¢®£® ª®¥´Æ¶ÆÄ­²  k ¯°¿¬  y = kx 1) ¯¥°¥²¨­ Ä ª®«® x2 + y2 10x + 6 = 0; 2) ¤®²¨ª Ä²¼±¿ ¤® ¶¼®£® ª®« ; 3) ­¥ ¬ Ä ±¯Æ«¼­¨µ ²®·®ª § ª®«®¬. x2 y2 22.13. ‡ ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¤¢®µ ±¯°¿¦¥­¨µ ¤Æ ¬¥²°Æ¢ £Æ¯¥°¡®«¨ 16 { 12 = 1; ®¤¨­ § ¿ª¨µ ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ (2; 1): 22.14.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ £Æ¯¥°¡®«¨, ¿ª  ¬ Ä  ±¨¬¯²®² ¬¨ ¯°¿¬Æ x = 1, 2x y + 1 = 0 Æ ¤®²¨ª Ä²¼±¿ ¤® ¯°¿¬®È 4x + y + 5 = 0. 22.15.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ £Æ¯¥°¡®«¨, ¿ª  ¤®²¨ª Ä²¼±¿ ¤® ®±Æ Ox ¢ ²®·¶Æ A(3; 0), ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ B (1; 1) Æ ¢Æ±¼ Oy Ä ÈÈ  ±¨¬¯²®²®¾. x 22.16.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ £Æ¯¥°¡®«¨, ¿ª¹® ¢Æ¤®¬® ÈÈ  ±¨¬¯²®²¨ y =  2 Æ °Æ¢­¿­­¿ ®¤­ÆÄÈ § ÈÈ ¤®²¨·­¨µ 5x 6y 8 = 0. 22.17.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ £Æ¯¥°¡®«¨, ¿ª¹® ¢Æ¤®¬  ÈÈ ¢Æ±¼ 2x y + 2 = 0,  ±¨¬¯²®²  y = 0 Æ ²®·ª  A(1; 1), ·¥°¥§ ¿ª³ ¢®­  ¯°®µ®¤¨²¼. x2 + y2 = 1; ¿ª  ¢ ²®·¶Æ (2; 1) ¤Æ22.18. ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ µ®°¤¨ ¥«Æ¯±  25 16 «¨²¼±¿ ­ ¢¯Æ«. 2 2 22.19. ‡ ¤ ­® «Æ­Æ¾ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³ 5x +4xy +8y 32x 56y +80 = 0: ‡­ ©²¨ ±¯°¿¦¥­Æ ¤Æ ¬¥²°¨ ¶ÆÄÈ «Æ­ÆÈ, ¿ª¹® ®¤¨­ § ­¨µ ¯ ° «¥«¼­¨© ¤® ®±Æ ®°¤¨­ ². 2 22.20. ‡ ¤ ­® ¤¢Æ «Æ­ÆÈ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³ 3x + 6xy y 2 18x 10y = 0; 2 2 9x + 6xy + y 18x 10y = 0: ‡­ ©²¨ ±¯Æ«¼­¨© ¤Æ ¬¥²° ¶¨µ ¤¢®µ «Æ­Æ© Æ ­ ¯°¿¬ ²¨µ µ®°¤ ª®¦­®È § ¤ ­¨µ ¤¢®µ «Æ­Æ©, ¿ª¨¬ ±¯°¿¦¥­¨© ¸³ª ­¨© ¤Æ ¬¥²°. 22.21. ‡­ ©²¨ ¤Æ ¬¥²°¨, ¹® ±¯°¿¦¥­Æ ®¤­®· ±­® ±²®±®¢­® ¤¢®µ «Æ­Æ© x2 + 2xy y 2 = 1; x2 10xy + 4y 2 = 1: 2 2 22.22. ‚ ¥«Æ¯± x +4y = 25 ¢¯¨± ­® ¯ ° «¥«®£° ¬, ®¤­Æľ § ±²®°Æ­ ¿ª®£® Ä ¯°¿¬  x + 2y 7 = 0: ‡­ ©²¨ Æ­¸Æ ±²®°®­¨ ¯ ° «¥«®£° ¬ . 2 22.23.  ¢ª®«® «Æ­ÆÈ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³ 2x 4xy + y2 2x + 6y 3 = 0 22.10.

x

23. ŒŽ†ˆ€ ’Ž—ŽŠ DZ‹Ž™ˆˆ . . .

59

®¯¨± ­® ¯ ° «¥«®£° ¬, ®¤­  § ¢¥°¸¨­ ¿ª®£® Ä ¢ ²®·¶Æ A(3; 4). ‡­ ©²¨ °¥¸²³ ©®£® ¢¥°¸¨­. 22.24. ‡ ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¥«Æ¯± , ¿ª¹® ¢Æ¤®¬® ©®£® ¶¥­²° C (2; 1) ²  ªÆ­¶Æ ¤¢®µ ±¯°¿¦¥­¨µ ¤Æ ¬¥²°Æ¢ A(5; 1); B(0; 3): 22.25. ‡ ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯ ° ¡®«¨, ¹® ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ (0; 1) Æ ¬ Ä ¯°¿¬³ x 2y = 0 ±¢®È¬ ¤Æ ¬¥²°®¬,   ¯°¿¬  x + y = 0 ¤®²¨·­  ¢ ²®·¶Æ ¯¥°¥²¨­³ ¶¼®£® ¤Æ ¬¥²°  § ¯ ° ¡®«®¾. 22.26. ‡ ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯ ° ¡®«¨, ¿ª¹® ÈÈ ¤Æ ¬¥²°¨ ¯ ° «¥«¼­Æ ¤® ¯°¿¬®È x + y = 0 Æ ¢®­  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª¨ (0; 0); (0; 1): 22.27. ‡ ¤ ­® ²°¨ª³²­¨ª ABC : A(4; 2); B (8; 2); C (4; 5). ‡ ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯ ° ¡®«¨, ¹® ®¯¨± ­  ­ ¢ª®«® ¶¼®£® ²°¨ª³²­¨ª  ² ª, ¹®¡ ¬¥¤Æ ­  AD ¡³«  ÈÈ ¤Æ ¬¥²°®¬. 22.28.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯ ° ¡®«¨, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ (0; 1), ¤®²¨ª Ä²¼±¿ ¤® ¯°¿¬®È x + y = 0 ¢ ²®·¶Æ ¯¥°¥²¨­³ ¶ÆÄÈ ¯ ° ¡®«¨ § ÈÈ ¤Æ ¬¥²°®¬ x 2y = 0. x

23.

Œ­®¦¨­  ²®·®ª ¯«®¹¨­¨, ¯°¨ ¢¨¢·¥­Æ ¿ª®È ¢¨ª®°¨±²®¢³¾²¼ °Æ¢­¿­­¿ ª°¨¢¨µ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³

‡®¡° §¨²¨ ¬­®¦¨­³ ²®·®ª, ¿ªÆ ¢ ¯°¿¬®ª³²­Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² § ¤ ¾²¼±¿ ­¥°Æ¢­®±²¿¬¨: 1) x2 + (y + 2)2 = 4; 2) (x + 21 )2 + (y 23 )2 > 25; 3) x2 + y2 + 3x < 0; y < 0; 4) 21  x2 2 + y2 2x + 2y  7; 5) x16 + y9  1; 6) x162 + y92 > 1; 7) 1  x92 + y2  9; 8) p 4x2 4x + 9y2 + 6py + 1 < 0; 9) p(x 1)2 + y2 + p(x + 1)2 + y2 < 6; 10) x2 +2 (y 1)2 + x2 + (y + 1)2 > 4; 11) x162 y9  1;

23.1.

60

Ž‡„Å‹ VI.

‡€ƒ€‹œ€ ’…ŽÅŸ ‹ÅÅ‰ „“ƒŽƒŽ DZŽŸ„Š“

12) x42 y92  1; 13) y92 x42  1; y2 < 1; 14) x42 36 15) jp3x2 9y2j > 1; p 16) (x 2)2 + y2 + (x + 2)2 + y2 < 6; 17) y2  4x; 18) y2 > 6x; 19) x  y2  3x; 20) 2x x2 < y2 < 2x: 23.2. ŸªÆ «Æ­ÆÈ ­  ¯«®¹¨­Æ § ¤ ¾²¼±¿ ² ª¨¬¨ ¯ ° ¬¥²°¨·­¨¬¨ °Æ¢­¿­­¿¬¨: 1) x = 3 cos t; y = 3 sin t; 0  t  ; 2) x = 1 + 2 cos t; y = 2 + 2 sin t; 0  t  ; 3) x = cos t; y = sin t; 0  t  ? 23.3. „®¢¥±²¨, ¹® ¯ ° ¬¥²°¨·­Æ °Æ¢­¿­­¿ x = x0 + a cos t; y = y0 + b sin t (a > 0; b > 0) § ¤ ¾²¼ ¥«Æ¯± § ¶¥­²°®¬ ³ ²®·¶Æ (x0; y0) Æ § ¯Æ¢®±¿¬¨ a ²  b. 23.4. „®¢¥±²¨, ¹® ¯ ° ¬¥²°¨·­Æ °Æ¢­¿­­¿ x = x0 + a ch t; y = y0 + b sh t ¤¥ a > 0; b > 0 § ¤ ¾²¼ ®¤­³ ¢Æ±¼ £Æ¯¥°¡®«¨ § ¶¥­²°®¬ ³ ²®·¶Æ (x0; y0) Æ ¯Æ¢®±¿¬¨ a Æ b. Ÿª ²°¥¡  §¬Æ­¨²¨ ¶¥ °Æ¢­¿­­¿, ¹®¡ § ¤ ²¨ ®¡¨¤¢Æ £Æ«ª¨ £Æ¯¥°¡®«¨? 23.5.   ¯«®¹¨­Æ § ´Æª±®¢ ­® ²®·ª¨ A Æ B . ‡­ ©²¨ ¬­®¦¨­³ ²®·®ª M ² ª¨µ, ¹® ª³² ¯°¨ ¢¥°¸¨­Æ A ¢ ²°¨ª³²­¨ª³ ABM ¢¤¢Æ·Æ ¡Æ«¼¸¨© §  ª³² ¯°¨ ¢¥°¸¨­Æ M . 23.6. ‚Ƥ°Æ§®ª ¯®±²Æ©­®È ¤®¢¦¨­¨ ±¢®È¬ ªÆ­¶¥¬ ª®¢§ Ä²¼±¿ ¯® ¤¢®µ ¢§ Ä¬­® ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­¨µ ¯°¿¬¨µ.   ¢Æ¤°Æ§ª³  ¡® ­  ©®£® ¯°®¤®¢¦¥­­Æ ¢§¿«¨ ²®·ª³ M ; §­ ©²¨ ²° ¥ª²®°Æ¾, ¿ª³ ®¯¨±³Ä ²®·ª  M . 23.7. ‡­ ©²¨ ¬­®¦¨­³ G | ¶¥­²° ¢±Æµ ªÆ«, ¿ªÆ ¤®²¨ª ¾²¼±¿ ¤® ª®«  § ° ¤Æ³±®¬ r Æ ¯°®µ®¤¿²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ A, ¿ª  «¥¦¨²¼ ¢ ±¥°¥¤¨­Æ ¶¼®£® ª®« . 23.8. —¥°¥§ ¢¥°¸¨­³ ¯ ° ¡®«¨ ¯°®¢¥¤¥­® ³±Æ«¿ªÆ ¬®¦«¨¢Æ µ®°¤¨. ‘ª« ±²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¬­®¦¨­¨ ±¥°¥¤¨­ ¶¨µ µ®°¤. 2 2 23.9. ‡ ¤ ­® ¥«Æ¯± x + 4y = 16: ‡ ©®£® ¢¥°¸¨­¨ A(4; 0) ¯°®¢¥¤¥­® ³±Æ«¿ªÆ ¬®¦«¨¢Æ µ®°¤¨.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¬­®¦¨­¨ ±¥°¥¤¨­ ¶¨µ µ®°¤. 23.10. ‚¨§­ ·¨²¨ ²° ¥ª²®°Æ¾ ²®·ª¨ M (x; y ), ¿ª  °³µ Ä²¼±¿ ² ª, ¹® °Æ§-

x

23. ŒŽ†ˆ€ ’Ž—ŽŠ DZ‹Ž™ˆˆ . . .

61

­¨¶¿ ª¢ ¤° ²Æ¢ ¢Æ¤±² ­¥© ¢Æ¤ ­¥È ¤® ¡Æ±¥ª²°¨± ª®®°¤¨­ ²­¨µ ª³²Æ¢ | ¢¥«¨·¨­  ±² «  Æ ¤®°Æ¢­¾Ä 8. 23.11.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¬­®¦¨­¨ ¶¥­²°Æ¢ ªÆ«, ¿ªÆ ¯°®µ®¤¿²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ A(3; 4) Æ ¤®²¨ª ¾²¼±¿ ¤® ®±Æ Ox. 23.12.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¬­®¦¨­¨ ²®·®ª, ¿ªÆ Ä ±¥°¥¤¨­ ¬¨ ´®ª «¼­¨µ ° ¤Æ³±Æ¢, ¯°®¢¥¤¥­¨µ § ¯° ¢®£® ´®ª³±  ¤® ¢±Æµ ²®·®ª £Æ¯¥°¡®«¨ x92 y162 = 1: 2 2 2 2 2 2 23.13. ‡ ¤ ­Æ ª®«  x + y = b Æ x + y = a (b < a). „®¢Æ«¼­¨© ¯°®¬Æ­¼, ¿ª¨© ¢¨µ®¤¨²¼ § ²®·ª¨ O, ¯¥°¥²¨­ Ä ȵ ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® ³ ²®·ª µ B Æ A. ‡ ¶¨µ ²®·®ª ¯°®¢¥¤¥­® ¯°¿¬Æ, ¿ªÆ ¯ ° «¥«¼­Æ ¤® ®±¥© ª®®°¤¨­ ². ‚¨§­ ·¨²¨ ¬­®¦¨­³ (­ ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿) ²®·®ª M , ¿ªÆ Ä ²®·ª ¬¨ ¯¥°¥²¨­³ ¯®¡³¤®¢ ­¨µ ¯°¿¬¨µ. 23.14. ‚¨§­ ·¨²¨ ²° Äª²®°Æ¾ ²®·ª¨ M , ¿ª , °³µ ¾·¨±¼, § «¨¸ Ä²¼±¿ ¢¤¢Æ·Æ ¡«¨¦·¥ ¤® ²®·ª¨ F ( 8; 0), ­Æ¦ ¤® ¯°¿¬®È x = 9. 23.15. ‚¨§­ ·¨²¨ ²° Äª²®°Æ¾ ²®·ª¨ M , ¿ª  °³µ Ä²¼±¿ ² ª, ¹® § «¨¸ Ä²¼±¿ ¢¤¢Æ·Æ ¤ «¼¸¥ ¢Æ¤ ²®·ª¨ F ( 8; 0), ­Æ¦ ¢Æ¤ ¯°¿¬®È x = 2. 23.16. ‡ ¤ ­® ²®·ª¨ A( a; 0) Æ B (2a; 0). ’®·ª  M °³µ Ä²¼±¿ ² ª, ¹® ª³² MAB § «¨¸ Ä²¼±¿ ¢²°¨·Æ ¬¥­¸¨¬ ¢Æ¤ §®¢­Æ¸­¼®£® ª³²  AMC ²°¨ª³²­¨ª  AMB. ‚¨§­ ·¨²¨ ²° Äª²®°Æ¾ °³µ³ ²®·ª¨ M . 23.17. ‚¨§­ ·¨²¨ ¬­®¦¨­³ ²®·®ª, ¿ªÆ Ä ¶¥­²° ¬¨ ªÆ«, ¹® ¤®²¨ª ¾²¼±¿ ª®«  x2 + y2 = 2ax Æ ®±Æ Oy. 23.18. ‡ ¤ ­® ²®·ª¨ A(0; a) Æ B (a; a). ‚Ƥ°Æ§ª¨ OA ²  AB ¯®¤Æ«¥­® ­  n °Æ¢­¨µ · ±²¨­ ²®·ª ¬¨ A1; A2; : : : ; An 1 Æ B1 ; B2 ; : : : ; Bn 1 : ¥µ © Mk | ²®·ª  ¯¥°¥²¨­³ ¯°®¬¥­¿ OBk § ¯°¿¬®¾ Ak Mk k Ox. DZ®ª § ²¨, ¹® ²®·ª¨ Mk «¥¦ ²¼ ­  ¯ ° ¡®«Æ y2 = ax: DZ®¡³¤³¢ ²¨ ¶¨¬ ±¯®±®¡®¬ ¯ ° ¡®«¨: y2 = 4x; y2 = 5x; y2 = 3x: 2 23.19. ‡ ¢¥°¸¨­¨ ¯ ° ¡®«¨ y = 2px ¯°®¢¥¤¥­® ³±Æ«¿ªÆ ¬®¦«¨¢Æ µ®°¤¨.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ £¥®¬¥²°¨·­®£® ¬Æ±¶¿ ±¥°¥¤¨­ ¶¨µ µ®°¤. 23.20. ‚¨§­ ·¨²¨ ²° Äª²®°Æ¾ °³µ³ ª ¬¥­¿, ª¨­³²®£® ¯Æ¤ ª³²®¬ ' ¤® £®°¨§®­²³ § ¯®· ²ª®¢®¾ ¸¢¨¤ªÆ±²¾ v0. ‚¨§­ ·¨²¨ ¤ «¼­Æ±²¼ ¯®«¼®²³ ª ¬¥­¿ ²  ­ ©¢¨¹³ ²®·ª³ ²° Äª²®°ÆÈ. (Ž¯®°®¬ ¯®¢Æ²°¿ §­¥µ²³¢ ²¨).

62 x

Ž‡„Å‹ VI.

24.

‡€ƒ€‹œ€ ’…ŽÅŸ ‹ÅÅ‰ „“ƒŽƒŽ DZŽŸ„Š“

‡ ¤ ·Æ ­  ±ª« ¤ ­­¿ °Æ¢­¿­¼ «Æ­Æ© ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³

„®¢¥±²¨, ¹® ¢±Æ «Æ­ÆÈ, °Æ¢­¿­­­¿ ¿ª¨µ ¢Æ¤°Æ§­¿¾²¼±¿ «¨¸¥ ¢Æ«¼­¨¬ ·«¥­®¬, ¬ ¾²¼ ±¯Æ«¼­Æ  ±¨¬¯²®²¨. 24.2. „®¢¥±²¨ ² ª¥: ¿ª¹® ¤¢Æ «Æ­ÆÈ ¬ ¾²¼ ±¯Æ«¼­Æ  ±¨¬¯²®²¨, ²® ¢±Æ ·«¥­¨ ȵ­Æµ °Æ¢­¿­¼, ®ª°Æ¬ ¢Æ«¼­¨µ ·«¥­Æ¢, ¬ ¾²¼ ¯°®¯®°¶Æ©­Æ ª®¥´Æ¶ÆÄ­²¨. 24.3.  ¯¨± ²¨ ±¯Æ«¼­¥ °Æ¢­¿­­¿ «Æ­Æ© ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³, ¤«¿ ¿ª¨µ ¯°¿¬Æ A1 x + B1 y + C1 = 0 Æ A2 x + B2 y + C2 = 0 |  ±¨¬¯²®²¨. 24.4.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ £Æ¯¥°¡®«¨, ¿ª  ¬ Ä  ±¨¬¯²®² ¬¨ ¯°¿¬Æ x 1 = 0; 2x y + 1 = 0 Æ ¤®²¨ª Ä²¼±¿ ¯°¿¬®È 4x + y + 5 = 0. 24.5.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ £Æ¯¥°¡®«¨, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ (1; 1), ¿ª¹® ¢Æ¤®¬Æ ÈÈ ¢Æ±¼ 2x y + 2 = 0 Æ  ±¨¬¯²®²  y = 0. 24.6.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ £Æ¯¥°¡®«¨, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ (5; 0), Æ ¬ Ä  ±¨¬¯²®² ¬¨ ¯°¿¬Æ x + y + 1 = 0 Æ x 2y + 1 = 0. 24.7.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ £Æ¯¥°¡®«¨, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ A(2; 0) Æ ÈÈ ´®ª³±¨ Ä ¢ ²®·ª µ F1(2; 3), F2(1; 0). 24.8.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯ ° ¡®«¨, ¿ª¹® ¢Æ¤®¬Æ ÈÈ ´®ª³± F ( 1; 2) Æ ¤¨°¥ª²°¨±  x y + 8 = 0. 24.9.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¥«Æ¯±  § ¶¥­²°®¬ ³ ²®·¶Æ C (2; 1), ¿ª¹® ²®·ª¨ A(5; 1) Æ B (0; 3) Ä ªÆ­¶¿¬¨ ¤¢®µ ©®£® ±¯°¿¦¥­¨µ ¤Æ ¬¥²°Æ¢. 24.10.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¥«Æ¯± , ¿ª¹® ¶¥­²° ©®£® °®§¬Æ¹¥­¨© ³ ²®·¶Æ C (2; 1) Æ ¯°¿¬Æ y 2 = 0, x y = 0 ¤®²¨ª ¾²¼±¿ ¤® ­¼®£® ¢ ªÆ­¶¿µ ¤¢®µ ±¯°¿¦¥­¨µ ¤Æ ¬¥²°Æ¢. 24.11.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ £Æ¯¥°¡®«¨, ¤«¿ ¿ª®È ²®·ª  F ( 2; 2) Ä ´®ª³±®¬,   ¯°¿¬Æ 2x y + 1 = 0, x + 2y 7 = 0 |  ±¨¬¯²®²¨. 24.12.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯ ° ¡®«¨, ¿ª¹® ¢Æ¤®¬Æ ÈÈ ¤¨°¥ª²°¨±  x{y = {1 Æ ´®ª³± F (1; 2). 24.13.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯ ° ¡®«¨, ¢¥°¸¨­  ¿ª®È Ä ¢ ¯®· ²ª³ ª®®°¤¨­ ²,   ´®ª³± ³ ²®·¶Æ F (1; 1). 24.14.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯ ° ¡®«¨, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²°¨ ²®·ª¨ O(0; 0), A(4; 0), B (0; 2) §  ³¬®¢¨, ¹® ²®·ª¨ A Æ B | ±¨¬¥²°¨·­Æ ±²®24.1.

x

24. ‡€„€—Å € ‘Š‹€„€Ÿ Å‚Ÿœ ‹ÅÅ‰ . . .

63

±®¢­® ®±Æ ¯ ° ¡®«¨. 24.15.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ «Æ­ÆÈ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³, ®±¿¬¨ ¿ª®È Ä ¯°¿¬Æ x + y +1 = 0 Æ x y +1 = 0 Æ ¿ªÆ ¯°®µ®¤¿²¼ ·¥°¥§ ²®·ª¨ M1 ( 2; 1), M2 (0; 2). 24.16.  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯ ° ¡®«¨, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª¨ O (0; 0), A(0; 1) Æ ¯°¿¬  x + y + 1 = 0 Ä ÈÈ ¢Æ±±¾. 24.17. ’°¨ ¢¥°¸¨­¨ ¯ ° «¥«®£° ¬  °®§² ¸®¢ ­Æ ¢ ²®·ª µ O (0; 0), A(4; 0), B (2; 2) (A Æ B | ¯°®²¨«¥¦­Æ ¢¥°¸¨­¨).  ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¥«Æ¯± , ¿ª¨© ¢¯¨± ­¨© ³ ¶¥© ¯ ° «¥«®£° ¬ Æ ¤®²¨ª Ä²¼±¿ ¤® ±²®°Æ­ ¢ ȵ­Æµ ±¥°¥¤¨­ µ. 24.18. ‘ª« ±²¨ °Æ¢­¿­­¿ ª®« : 1) ¶¥­²°®¬ ª®«  Ä ²®·ª  C (6; 8) Æ ª®«® ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ¯®· ²®ª ª®®°¤¨­ ²; 2) ¶¥­²°®¬ ª®«  Ä ²®·ª  C (1; 1),   ¯°¿¬  5x 12y +9 = 0 Ä ¤®²¨·­®¾ ¤® ª®« ; 3) ª®«® ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª¨ A(3; 1) Æ B( 1; 3),   ¶¥­²° «¥¦¨²¼ ­  ¯°¿¬Æ© 3x y 2 = 0; 4) ª®«® ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²°¨ ²®·ª¨ M1( 1; 5), M2( 2; 2), M3(5; 5); 5) ª®«® ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ M (1; 2) Æ ¤®²¨ª Ä²¼±¿ ¤® ª®®°¤¨­ ²­¨µ ®±¥©. 24.19. ‘ª« ±²¨ °Æ¢­¿­­¿ ª®« , ¿ª¹® 1) ¶¥­²°®¬ ª®«  Ä ²®·ª  C (6; 8) Æ ª®«® ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ (1; 1); 2) ²®·ª¨ A(2; 4) Æ B( 1; 6) Ä ªÆ­¶¿¬¨ ®¤­®£® § ¤Æ ¬¥²°Æ¢ ª®« ; 3) ¶¥­²°®¬ ª®«  Ä ²®·ª  C ( 2; 3),   ¯°¿¬  x + y + 4 = 0 Ä ¤®²¨·­®¾; 4) ª®«® ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª¨ A(3; 1) Æ B( 1; 3),   ¶¥­²° «¥¦¨²¼ ­  ¯°¿¬Æ© 2x y 1 = 0; 5) ª®«® ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²°¨ ²®·ª¨ M1(3; 4), M2(4; 5), M3( 3; 4); 6) ª®«® ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ M (2; 3) Æ ¤®²¨ª Ä²¼±¿ ¤® ¯°¿¬¨µ x y + 1 = 0, 2x + y 1 = 0. 24.20. ‘ª« ±²¨ °Æ¢­¿­­¿ ª®« , ¹® ¤®²¨ª Ä²¼±¿ ¤® ¤¢®µ ¯ ° «¥«¼­¨µ ¯°¿¬¨µ 2x + y 5 = 0 Æ 2x + y + 15 = 0, ¤® ®¤­ÆÄÈ § ­¨µ ³ ²®·¶Æ A(2; 1). 24.21. ‘ª« ±²¨ °Æ¢­¿­­¿ ª®« , ¹® ¤®²¨ª Ä²¼±¿ ¤® ®±Æ Ox ³ ¯®· ²ª³ ª®®°¤¨­ ² Æ ¯¥°¥²¨­ Ä ¢Æ±¼ Oy ³ ²®·¶Æ M (0; 8). 24.22. ‘ª« ±²¨ °Æ¢­¿­­¿ ª®« , ¹® ¤®²¨ª Ä²¼±¿ ¤® ®±Æ Oy ³ ¯®· ²ª³ ª®®°¤¨­ ² Æ ¯¥°¥²¨­ Ä ¢Æ±¼ Ox ¢ ²®·¶Æ M (4; 0).

®§¤Æ« VII ‡ £ «¼­  ²¥®°Æ¿ ¯®¢¥°µ®­¼ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³ x

25.

‘´¥° 

‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ±´¥°¨ ¢ ª®¦­®¬³ § ² ª¨µ ¢¨¯ ¤ªÆ¢: ±´¥°  ¬ Ä ¶¥­²° C (5; 3; 7) Æ ° ¤Æ³± R = 2; ±´¥°  § ¶¥­²°®¬ C (4; 4; 2) ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ O(0; 0; 0); c´¥°  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ A(2; 1; 3) Æ ¬ Ä ¶¥­²° C (3; 2; 1); ²®·ª¨ A(2; 3; 5) Æ B(4; 1; 3) Ä ªÆ­¶¿¬¨ ®¤­®£® § ¤Æ ¬¥²°Æ¢ ±´¥°¨; c´¥°  ¬ Ä ¶¥­²° C (3; 5; 2) Æ ¤®²¨ª Ä²¼±¿ ¤® ¯«®¹¨­¨ 2x y 3z + 11 = 0; 6) c´¥°  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²°¨ ²®·ª¨ M1(3; 1; 3); M2( 2; 4; 1) Æ M3 ( 5; 0; 0), ÈÈ ¶¥­²° «¥¦¨²¼ ­  ¯«®¹¨­Æ 2x + y z + 3 = 0; 7) c´¥°  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ·®²¨°¨ ²®·ª¨ M1(1; 2; 1); M2 ( 5; 10; 1); M3 (4; 1; 11); M4( 8; 2; 2): 25.2. ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ±´¥°¨ ° ¤Æ³±  R, ¿ª  ¤®²¨ª Ä²¼±¿: 1) ²°¼®µ ª®®°¤¨­ ²­¨µ ¯«®¹¨­; 2) ²°¼®µ ª®®°¤¨­ ²­¨µ ®±¥©. 2 2 2 25.3. ‡­ ©²¨ ¶¥­²° Æ ° ¤Æ³± ª®«  x + y + z 12x + 4y 6z + 24 = 0; 2x + 2y + z + 1 = 0: x 13 = y+1 = 25.4. ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯«®¹¨­, ¿ªÆ ¯°®µ®¤¿²¼ ·¥°¥§ ¯°¿¬³ 1 1 z Æ ¤®²¨ª ¾²¼±¿ ¤® ±´¥°¨ x2 + y 2 + z 2 2x 4y 6z 67 = 0: 4 2 2 2 25.5. ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ±´¥°¨, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ª®«® x + y + z + 2x 4y + 4z 40 = 0; 2x + 2y z + 4 = 0 Æ ·¥°¥§ ¯®· ²®ª ª®®°¤¨­ ². 2 2 25.6. ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ±´¥°¨, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ª®«® x + y = 1; z = 0 Æ ¤®²¨ª Ä²¼±¿ ¤® ¯«®¹¨­¨ x + y + z 5 = 0: 25.1.

1) 2) 3) 4) 5)

64

x

26. –ˆ‹Å„ˆ ’€ ŠŽ“‘ˆ „“ƒŽƒŽ DZŽŸ„Š“

65

‡'¿±³¢ ²¨, ¿ª °®§² ¸®¢ ­  ²®·ª  A(2; 1; 3) ±²®±®¢­® ª®¦­®È § ² ª¨µ ±´¥° | ³ ±¥°¥¤¨­Æ, §®¢­Æ ·¨ ­  ¯®¢¥°µ­Æ: 1) (x 3)2 + (y + 1)2 + (z 1)2 = 4; 2) (x + 14)2 + (y 11)2 + (z + 12)2 = 625; 3) (x 6)2 + (y 1)2 + (z 2)2 = 25; 4) x2 + y2 + z2 4x + 6y 8z + 22 = 0; 5) x2 + y2 + z2 x + 3y 2z 3 = 0: 25.8. Ž¡·¨±«¨²¨ ­ ©ª®°®²¸³ ¢Æ¤±² ­¼ ¢Æ¤ ²®·ª¨ A ¤® § ¤ ­®È ±´¥°¨ ¢ ² ª¨µ ¢¨¯ ¤ª µ: 1) A( 2; 6; 3); x2 + y2 + z2 = 4; 2) A(9; 4; 3); x2 + y2 + z2 + 14x 16y 24z + 241 = 0; 3) A(1; 1; 3); x2 + y2 + z2 6x + 4y 10z 62 = 0: 25.9. ‚¨§­ ·¨²¨, ¿ª °®§² ¸®¢ ­  ¯°¿¬  ±²®±®¢­® ±´¥°¨: ¯¥°¥²¨­ Ä, ¤®²¨ª Ä²¼±¿ ·¨ ¯°®µ®¤¨²¼ ¯®§  ­¥¾; ¯°¿¬³ ²  ±´¥°³ § ¤ ­® ² ª¨¬¨ °Æ¢­¿­­¿¬¨: 1) x = 2t +2; y = 3t 27 ; z = t 2; x2 + y2 + z2 + x 4y 3z + 21 = 0; 25.7.

2)

= y2 = z+25 ; x2 + y 2 + z 2 4x 6y + 2z 67 = 0; 2 3) 2x y + 2z 12 = 0; x2 + y 2 + z 2 2x + 2y + 4z 43 = 0: 2x 4y z + 6 = 0;

x

26.

x

(3

5

–¨«Æ­¤°¨ ²  ª®­³±¨ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³

‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ª°³£«®£® ¶¨«Æ­¤° , ¹® ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ (1; 2; 1) Æ ¯°¿¬  x1 = y 2 1 = z+32 | ©®£® ¢Æ±¼. 26.2. ‚Ƥ¸³ª ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¶¨«Æ­¤° , ²¢Æ°­Æ ¿ª®£® ¤®²¨ª ¾²¼±¿ ¤® ±´¥°¨ x2 + y 2 + z 2 = 1 Æ ³²¢®°¾¾²¼ °Æ¢­Æ ª³²¨ § ®±¿¬¨ ª®®°¤¨­ ². 2 2 26.3. ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¶¨«Æ­¤° , ­ ¯°¿¬­®¾ ¿ª®£® Ä ª®«® x + y = 1; z = 0, ²¢Æ°­Æ ³²¢®°¾¾²¼ °Æ¢­Æ ª³²¨ § ®±¿¬¨ ª®®°¤¨­ ². 26.4. ‚Ƥ¸³ª ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯®¢¥°µ­Æ ª°³£«®£® ª®­³± , ¢¥°¸¨­  ¿ª®£® Ä ¢ ²®·¶Æ (1; 2; 3), ­ ¯°¿¬­¨© ¢¥ª²®° ®±Æ (2; 2; 1), ²¢Æ°­Æ § ¢Æ±±¾ ³²¢®°¾¾²¼ ª³² 6 . 26.5. ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ª°³£«®£® ª®­³± , ¿ª¨© ¤®²¨ª Ä²¼±¿ ¤® ¯«®¹¨­ Oxz Æ Oyz §  ¯°¿¬¨¬¨ Ox Æ Oy . 26.1.

66

Ž‡„Å‹ VII.

’…ŽÅŸ DZŽ‚…•Žœ „“ƒŽƒŽ DZŽŸ„Š“

‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯®¢¥°µ­Æ ª°³£«®£® ª®­³± , ¤«¿ ¿ª®£® ¢¨ª®­³¾²¼±¿ ² ªÆ ³¬®¢¨: ¢±Æ ²°¨ ®±Æ ª®®°¤¨­ ² | ²¢Æ°­Æ ª®­³± , ¢Æ±¼ ª®­³±  ¯°®µ®¤¨²¼ ³ ¯¥°¸®¬³ ²  ±¼®¬®¬³ ®ª² ­²Æ. 26.7. ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ª®­³±  § ¢¥°¸¨­®¾ ¢ ¯®· ²ª³ ª®®°¤¨­ ² Æ ­ ¯°¿¬­®¾, ¹® § ¤ Ä²¼±¿ °Æ¢­¿­­¿¬¨ x2 2z + 1 = 0; y z + 1 = 0: x 2 = y+1 = z+1 | ¢Æ±¼ ª°³£®¢®£® ª®­³± . ‡­ ©²¨ °Æ¢26.8. DZ°¿¬  2 2 1 ­¿­­¿ ¶¼®£® ª®­³± , ¿ª¹® ¢Æ¤®¬®, ¹® ²®·ª  A(1; 1; 52 ) «¥¦¨²¼ ­  ©®£® ¯®¢¥°µ­Æ. 26.9. ‚Ƥ¸³ª ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¶¨«Æ­¤° , ²¢Æ°­Æ ¿ª®£® ¯ ° «¥«¼­Æ ¤® ¢¥ª²®°  ~l = (2; 3; 4), ­ ¯°¿¬­  § ¤ Ä²¼±¿ °Æ¢­¿­­¿¬¨ x2 + y 2 = 9; z = 1: 2 26.10. ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¶¨«Æ­¤° , ­ ¯°¿¬­  ¿ª®£® x y 2 =z; x + y + z =0, ²¢Æ°­Æ ®°²®£®­ «¼­Æ ¤® ¯«®¹¨­¨ ­ ¯°¿¬­®È. 26.6.

x

27.

27.1.

…«Æ¯±®È¤¨, £Æ¯¥°¡®«®È¤¨, ¯ ° ¡®«®È¤¨

‡'¿±³¢ ²¨, ·¨ ¯¥°¥²¨­ Ä ¯«®¹¨­  2x + 2y + z 3 = 0 ¥«Æ¯±®È¤

x2 + y 2 + z42 = 1.

DZ® ¿ªÆ© «Æ­ÆÈ ¯«®¹¨­  x + y z + 3 = 0 ¯¥°¥²¨­ Ä ¤¢®¯®«¨© £Æ¯¥°¡®«®È¤ x2 + y2 z2 = 4? x2 + 27.3. ‚¨§­ ·¨²¨ ²¨¯ Æ °®§² ¸³¢ ­­¿ «Æ­ÆÈ ¯¥°¥²¨­³ £Æ¯¥°¡®«®È¤  9 y2 z2 = 1 Æ ¯«®¹¨­¨ x = 9. 8 2 27.4. ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯«®¹¨­¨, ¹® ¯ ° «¥«¼­  ¤® ¯«®¹¨­¨ Oyz Æ ¯¥°¥²¨­ Ä ®¤­®¯®«¨© £Æ¯¥°¡®«®È¤ x92 + y42 z2 = 1 §  £Æ¯¥°¡®«®¾, ¤Æ©±­  ¯Æ¢¢Æ±¼ ¿ª®È ¤®°Æ¢­¾Ä 1. x2 y2 = 2z 27.5. DZ® ¿ªÆ© «Æ­ÆÈ ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿ £Æ¯¥°¡®«Æ·­¨© ¯ ° ¡®«®È¤ 9 4 Æ ¯«®¹¨­  2x + 3y 6 = 0? 27.6. ‡ ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¥«Æ¯±®È¤  § ¢¥°¸¨­ ¬¨ (0; 0; 6) Æ (0; 0; 2), ¿ª¹® ¢Æ¤®¬®, ¹® ¯«®¹¨­  Oxy ¯¥°¥²¨­ Ä ©®£® ¯® ª®«³ ° ¤Æ³±  3. 27.7. ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¤¢®¯®«®£® £Æ¯¥°¡®«®È¤  § ¢¥°¸¨­ ¬¨ (0; 0; 6), ¿ª¹® ¢Æ¤®¬®, ¹® ¯«®¹¨­¨ Oxz Æ Oyz | ¯«®¹¨­¨ ©®£® ±¨¬¥²°ÆÈ Æ ¯¥°¥²¨­ ¾²¼ ©®£® §  £Æ¯¥°¡®« ¬¨,  ±¨¬¯²®²¨ ¿ª¨µ ³²¢®°¾¾²¼ § ¢Æ±±¾ Oz ª³²¨, ¿ªÆ ¤®°Æ¢­¾¾²¼ ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® 6 Æ 3 . 27.2.

x

28. ‚ˆ‡€—…Ÿ ’ˆDZ“ DZŽ‚…•Å „“ƒŽƒŽ DZŽŸ„Š“ . . .

67

‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¥«Æ¯±®È¤ , ®±Æ ¿ª®£® §¡Æ£ ¾²¼±¿ § ®±¿¬¨ ª®®°¤¨­ ², ¿ª¹® ¢Æ¤®¬®, ¹® ¢Æ­ ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ª®«® x2 + y2 + z2 = 9; z = x Æ ²®·ª³ (3; 1; 1). 27.9. ‡ ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ®¤­®¯®«®£® £Æ¯¥°¡®«®È¤  § °Æ¢­¨¬¨ ¯Æ¢®±¿¬¨, ¿ª¨© ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ¯°¿¬Æ y = x; z = 0 Æ ·¥°¥§ ²®·ª³ (1; 2; 3), ¤«¿ ¿ª®£® ¢Æ±¼ Oz Ä ¢Æ±±¾ ±¨¬¥²°ÆÈ. 27.10. ‡ ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ £Æ¯¥°¡®«Æ·­®£® ¯ ° ¡®«®È¤ , ¿ª¨© ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ¯°¿¬Æ y = x; z = 0 Æ ·¥°¥§ ²®·ª³ (1; 2; 3), ¤«¿ ¿ª®£® ¢Æ±¼ Oz Ä ¢Æ±±¾ ±¨¬¥²°ÆÈ. 27.8.

x

28.

‚¨§­ ·¥­­¿ ²¨¯³ Æ °®§² ¸³¢ ­­¿ ¯®¢¥°µ­Æ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³ §  ÈÈ § £ «¼­¨¬ °Æ¢­¿­­¿¬. ‡ ±²®±³¢ ­­¿ Æ­¢ °Æ ­²Æ¢

‚¨§­ ·¨²¨ ²¨¯ ¯®¢¥°µ­Æ ²  ÈÈ °®§² ¸³¢ ­­¿ ±²®±®¢­® ¯®· ²ª®¢®È ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ² §  ¤®¯®¬®£®¾ ¯°¥²¢®°¥­­¿ «Æ¢®È · ±²¨­¨ °Æ¢­¿­­¿: 1) x2 + 2xy + y2 z2 + 2z 1 = 0; 2) 32 + 3y2 + 3z2 6x + 4y 1 = 0; 3) 3x2 + 3y2 6x + 4y 1 = 0; 4) 3x2 + 3y2 3z2 6x + 4y + 4z 3 = 0; 5) 4x2 + y2 4xy 36 = 0: 28.2. ‚¨§­ ·¨²¨ ²¨¯ Æ °®§² ¸³¢ ­­¿ ¯®¢¥°µ­Æ §  ¤®¯®¬®£®¾ ¯ ° «¥«¼­®£® ¯¥°¥­¥±¥­­¿ ±¨±²¥¬¨ ª®®°¤¨­ ²: 1) x2 + 4y2 + 9z2 6x + 8y 36z = 0; 2) 4x2 y2 z2 + 32x 121z + 44 = 0; 3) 3x2 y2 + 3z2 18x + 10 + 12z + 14 = 0; 4) 6y2 + 6z2 + 5x + 6y + 30z 11 = 0: 28.3. ‚¨ª®­³¾·¨ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ ª®®°¤¨­ ², ¢¨§­ ·¨²¨ ²¨¯ Æ °®§² ¸³¢ ­­¿ ¯®¢¥°µ­Æ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³: 1) x2 + 4y2 + 5z2 + 4xy + 4z = 0; 2) x2 + 2x + 3y + 4z + 5 = 0; 3) z = x2 + 2 + y2 + 1: 28.4. ‚¨§­ ·¨²¨ ²¨¯ ¯®¢¥°µ­Æ §  ¤®¯®¬®£®¾ §¢¥¤¥­­¿ «Æ¢®È · ±²¨­¨ ÈÈ °Æ¢­¿­­¿ ¤® ±³¬¨ ª¢ ¤° ²Æ¢: 28.1.

68

Ž‡„Å‹ VII.

’…ŽÅŸ DZŽ‚…•Žœ „“ƒŽƒŽ DZŽŸ„Š“

1) 4x2 + 6y2 + 4z2 + 4xz 8y 4z + 3 = 0; 2) x2 + 5y2 + z2 + 2xy + 6xz + 2yz 2x + 6y 10z = 0; 3) x2 + y2 3z2 2xy 6xz 6yz + 2x + 2y + 4z = 0; 4) x2 2y2 + z2 + 4xy 8xz 4yz 14x 4y + 14z + 16 = 0; 5) 2x2 + y2 + 2z2 2xy 2yz + x 4y 3z + 2 = 0; 6) x2 2y2 + z2 + 4xy 10xz + 4yz + x + y z = 0; 7) 2x2 + y2 + 2z2 2xy 2yz + 4x 2y = 0; 8) x2 y2 + z2 + 4xy 10xz + 4yz + 2x + 4y 10z 1 = 0; 9) x2 + y2 + 4z2 + 2xy + 4xz + 4yz 6z + 1 = 0; 10) 4xy + 2x + 4y 6z 3 = 0; 11) xy + xz + yz + 2x + 2y 2z = 0. 28.5. „®¢¥±²¨, ¹® ² ªÆ °Æ¢­¿­­¿ ¢¨§­ · ¾²¼ ¯®¢¥°µ­Æ, ¿ªÆ °®§¯ ¤ ¾²¼±¿ ­  ¯ °³ ¯«®¹¨­, §­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¶¨µ ¯«®¹¨­: 1) y2 + 2xy + 4xz + 2yz 4x 2y = 0; 2) x2 + 4y2 + 9z2 4xy + 6xz 12yz x + 2y 3z 6 = 0; 3) 3x2 4y2 + 3z2 + 4xy + 10xz 4yz + 6x 20y 14z 24 = 0; 4) 4x2 + 9y2 + z2 12xy 6yz + 4zx + 4x 6y + 2z 5 = 0. x

29.

„®²¨·­  ¯«®¹¨­ . DZ°¿¬®«Æ­Æ©­Æ ²¢Æ°­Æ

y 2 + z 2 = 1; ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¤®²¨·­®È ¯«®¹¨­¨ ¤® ¥«Æ¯±®È¤  x322 + 18 5 ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ (12; 3; 1) Æ ¯ ° «¥«¼­  ¤® ®±Æ Oz. x 2 = 29.2. ‚Ƥ¸³ª ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯«®¹¨­¨, ¹® ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ¯°¿¬³ 2 y 3 = z 2 Æ ¤®²¨ª Ä²¼±¿ ¤® ¥«Æ¯±®È¤  x2 + y2 + z2 = 1: 1 0 16 12 4 x 15 = y = 29.3. ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯«®¹¨­¨, ¹® ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ¯°¿¬³ 0 2 z 11 Æ ¤®²¨ª Ä²¼±¿ £Æ¯¥°¡®«Æ·­®£® ¯ ° ¡®«®È¤  x2 y2 = 2z: 1 9 4 2 2 2 29.4. ‚Ƥ¸³ª ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¤®²¨·­®È ¯«®¹¨­¨ ¤® ¯®¢¥°µ­Æ 2x +5y +2z 2xy +6yz 4x y 2z = 0; ¹® ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ¯°¿¬³ 4x 5y = 0; z 1 = 0: 2 2 2 29.5. ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¤®²¨·­®È ¯«®¹¨­¨ ¤® ¯®¢¥°µ­Æ 4x + 6y + 4z + 4xz 8y 4z + 3 = 0; ¿ª  ¯ ° «¥«¼­  ¤® ¯«®¹¨­¨ x + 2y + 2 = 0: y2 = 2z Æ ¯«®¹¨­³ x2 29.6. ¥µ © § ¤ ­® £Æ¯¥°¡®«Æ·­¨© ¯ ° ¡®«®È¤ 2 8 2x + 3y z = 0: ‡ ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¯«®¹¨­¨, ¿ª  ¯ ° «¥«¼­  ¤® § ¤ ­®È Æ ¯¥°¥²¨­ Ä ¯ ° ¡®«®È¤ ¯® ¯ °Æ ¯°¿¬¨µ. ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¶¨µ ¯°¿¬¨µ.

29.1.

x

30. –…’. „Å€Œ…’€‹œÅ DZ‹Ž™ˆˆ

69

‡­ ©²¨ ²®·ª³ ¯¥°¥²¨­³ ¯°¿¬®«Æ­Æ©­¨µ ²¢Æ°­¨µ ®¤­®¯®«®£® £Æ¯¥°¡®«®È¤  x2 +y2 z2 = 1; §  ¿ª¨¬¨ ©®£® ¯¥°¥²¨­ Ä ¯«®¹¨­ , ¹® ¯ ° «¥«¼­  ¯«®¹¨­Æ x + y z = 0. ‚¨§­ ·¨²¨ ª³² ¬Æ¦ ¶¨¬¨ ²¢Æ°­¨¬¨. 29.8. ‡­ ©²¨ ²®·ª³ ¯¥°¥²¨­³ ¯°¿¬®«Æ­Æ©­¨µ ²¢Æ°­¨µ £Æ¯¥°¡®«Æ·­®£® ¯ ° ¡®«®È¤  x2 y2 = 2z; ¯® ¿ª¨µ ©®£® ¯¥°¥²¨­ Ä ¯«®¹¨­ , ¹® ¯ ° «¥«¼­  ¤® ¯«®¹¨­¨ x y + z + 1 = 0. ‚¨§­ ·¨²¨ ª³² ¬Æ¦ ¶¨¬¨ ²¢Æ°­¨¬¨. 29.9. ‚Ƥ¸³ª ²¨ ª³² ' ¬Æ¦ ¯°¿¬®«Æ­Æ©­¨¬¨ ²¢Æ°­¨¬¨ ®¤­®¯®«®£® £Æ¯¥°¡®«®È¤  x2 + y2 z42 = 1; ¿ªÆ ¯°®µ®¤¿²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ (1; 4; 8), °®§£«¿­³¢¸¨ ­  ¶¨µ ²¢Æ°­¨µ ¯°®¬¥­Æ, ¹® ­ ¯°¿¬«¥­Æ ¢Æ¤ ¶ÆÄÈ ²®·ª¨ ¤® £®°«®¢®£® ¥«Æ¯± . x2 + y2 z2 = 1: —¥°¥§ ©®£® 29.10. ¥µ © § ¤ ­® ®¤­®¯®«¨© £Æ¯¥°¡®«®È¤ 4 9 16 ²¢Æ°­³ x 0 2 = y3 = z4 Æ ²®·ª³ (0; 3; 0) ¯°®¢¥¤¥­® ¯«®¹¨­³. ‡­ ©²¨ ¤°³£³ ¯°¿¬³ «Æ­ÆÈ ¯¥°¥²¨­³ ¶ÆÄÈ ¯«®¹¨­¨ § £Æ¯¥°¡®«®È¤®¬. 2 2 2 29.11. ‡­ ©²¨ ¯°¿¬®«Æ­Æ©­Æ ²¢Æ°­Æ ¯®¢¥°µ­Æ x + y + z + 2xy 2xz yz + 4x + 3y 5z + 4 = 0; ¿ªÆ ¯°®µ®¤¿²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ ( 1; 1; 1). x2 y2 = 2z: —¥°¥§ ©®£® 29.12. ¥µ © § ¤ ­® £Æ¯¥°¡®«Æ·­¨© ¯ ° ¡®«®È¤ 16 9 ²¢Æ°­³ x4 = y3 = 0z Æ ²®·ª³ (1; 1; 1) ¯°®¢¥¤¥­® ¯«®¹¨­³. ‡­ ©²¨ ¤°³£³ ¯°¿¬³ «Æ­ÆÈ ¯¥°¥²¨­³ ¶ÆÄÈ ¯«®¹¨­¨ § ¯ ° ¡®«®È¤®¬. 29.7.

x

30.

–¥­²°. „Æ ¬¥²° «¼­Æ ¯«®¹¨­¨

¥µ © § ¤ ­® ®¤­®¯®«¨© £Æ¯¥°¡®«®È¤ x42 + y92 z162 = 1; ¯«®¹¨­³ 6x + 4y 3z 12 = 0: ‡­ ©²¨ ­ ¯°¿¬ µ®°¤, ¿ª¨¬ ±¯°¿¦¥­  ¤Æ ¬¥²° «¼­  ¯«®¹¨­ , ¹® Ä ¯ ° «¥«¼­®¾ ¤® § ¤ ­®È. 30.2. ‡ ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¤Æ ¬¥²° «¼­®È ¯«®¹¨­¨ £Æ¯¥°¡®«Æ·­®£® ¯ ° ¡®«®È¤  x62 y92 = 2z; ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ¯°¿¬³ x = y; z = 1: ‡­ ©²¨ ­ ¯°¿¬ ²¨µ µ®°¤, ¹® ±¯°¿¦¥­Æ ¤® ¸³ª ­®È ¯«®¹¨­¨. x2 + y2 = 2z Æ ¤¢Æ ²®·ª¨ 30.3. ¥µ © § ¤ ­® ¥«Æ¯²¨·­¨© ¯ ° ¡®«®È¤ 8 18 (3; 0; 5) Æ (0; 4; 7). ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¤Æ ¬¥²° «¼­®È ¯«®¹¨­¨ ¯ ° ¡®«®È¤ , ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ § ¤ ­Æ ²®·ª¨. ‚¨§­ ·¨²¨ ­ ¯°¿¬ ±¯°¿¦¥­¨µ È© µ®°¤. 30.1.

70 x

Ž‡„Å‹ VII.

31.

’…ŽÅŸ DZŽ‚…•Žœ „“ƒŽƒŽ DZŽŸ„Š“

DZ«®±ªÆ ¯¥°¥²¨­¨ ¯®¢¥°µ®­¼ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³

DZ® «Æ­Æ¿µ ¿ª®£® ²¨¯³ ¬®¦¥ ¯¥°¥²¨­ ²¨ ¯«®¹¨­  ª®¦­³ § ² ª¨µ ¯®¢¥°µ®­¼: 1) ¥«Æ¯±®È¤; 2) ¤¢®¯®«¨© £Æ¯¥°¡®«®È¤; 3) ®¤­®¯®«¨© £Æ¯¥°¡®«®È¤; 4) ª®­³±; 5) ¥«Æ¯²¨·­¨© ¯ ° ¡®«®È¤; 6) £Æ¯¥°¡®«Æ·­¨© ¯ ° ¡®«®È¤. 2 2 31.2. ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ «Æ­ÆÈ ¯¥°¥²¨­³ ®¤­®¯®«®£® £Æ¯¥°¡®«®È¤  x + y 2 z = 1 Æ ¯«®¹¨­¨ 3x = 4y 5z = 0. 31.3. “ ª®¦­®¬³ § ² ª¨µ ¢¨¯ ¤ªÆ¢ ¢¨§­ ·¨²¨ ²¨¯ «Æ­ÆÈ ¯¥°¥²¨­³ ¯®¢¥°µ­Æ § ¯«®¹¨­®¾: 1) x2 + y22 z2 = 0; x z + 1 p= 0; 2) x92 + y4 + z12 = 1; x + z + 4 3 5 = 0; 3) x2 + 2y2 + z2 + 4xy 2xz 4yz + 2x 6z = 0; x z = 0: 31.4. ‡­ ©²¨ ²¨¯ Æ ª ­®­Æ·­¥ °Æ¢­¿­­¿ «Æ­ÆÈ §  ¿ª®¾ ¯«®¹¨­  ¯¥°¥²¨­ Ä ¯®¢¥°µ­¾: 1) y2 = 2x; x + y + z 1 = 0; 2) x2 + y2 z2 = 0; 4x 3y 5z + 4 = 0; 3) x2 + y2 z2 = 1; 2x + 2y + z 1 = 0: 31.5. —¥°¥§ ¯°¿¬³ 2x = 2y = z ¯°®¢¥±²¨ ¯«®¹¨­³, ¿ª  ¯¥°¥²¨­ Ä £Æ¯¥°¡®«Æ·­¨© ¯ ° ¡®«®È¤ 4x2 y2 + z = 0 ¯® °Æ¢­®±²®°®­Æ© £Æ¯¥°¡®«Æ. 31.6. „®¢¥±²¨, ¹® ¯«®¹¨­  2x 12y z +16 = 0 ¯¥°¥²¨­ Ä £Æ¯¥°¡®«Æ·­¨© ¯ ° ¡®«®È¤ x2 4y2 = 2z ¯® ¯°¿¬®«Æ­Æ©­¨µ ²¢Æ°­¨µ. ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¶¨µ ¯°¿¬®«Æ­Æ©­¨µ ²¢Æ°­¨µ. 31.7. „®¢¥±²¨, ¹® ¯«®¹¨­  4x 5y 10z 20 = 0 ¯¥°¥²¨­ Ä ®¤­®¯®«¨© £Æ¯¥°¡®«®È¤ x252 + y162 z42 = 1 ¯® ¯°¿¬®«Æ­Æ©­¨µ ²¢Æ°­¨µ. ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¶¨µ ¯°¿¬®«Æ­Æ©­¨µ ²¢Æ°­¨µ. 31.1.

®§¤Æ« VIII DZ¥°¥²¢®°¥­­¿ ¯«®¹¨­¨ ²  ¯°®±²®°³ x

32.

€´Æ­­Æ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿

 ¯¨± ²¨ ´®°¬³«¨ ¯®¢®°®²³ ¯«®¹¨­¨ ­  ª³² ':  ) ­ ¢ª®«® ¯®· ²ª³ ª®®°¤¨­ ²; ¡) ­ ¢ª®«® ²®·ª¨ (x0; y0). ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ . 32.2.  ¯¨± ²¨ ´®°¬³«¨ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ £®¬®²¥²ÆÈ ¯«®¹¨­¨ § ª®¥´Æ¶ÆÄ­²®¬ k:  ) ­ ¢ª®«® ¯®· ²ª³ ª®®°¤¨­ ²; ¡) ­ ¢ª®«® ²®·ª¨ (x0; y0). ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ²  ´Æ­­ . 32.3. ‡­ ©²¨  ´Æ­­¥ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿, ¿ª¥ ¯¥°¥¢®¤¨²¼ ¢¥°¸¨­¨ ¯°¿¬®ª³²­®£® ²°¨ª³²­¨ª  O(0; 0); A(1; 0); B(0; 1) ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® ³ ¢¥°¸¨­¨ °Æ¢­®±²®p °®­¼®£® ²°¨ª³²­¨ª  O(0; 0); A(1; 0); B0( 21 ; 23 ). ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ . 32.4. ‡­ ©²¨  ´Æ­­¥ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿, ¿ª¥ ¯¥°¥¢®¤¨²¼ ²®·ª³ M (6; 2) ¢ ²®·ª³ M 0(1; 1), ¢¥ª²®°¨ ~a(2; 1) Æ ~b( 1; 2) | ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® ³ ¢¥ª²®°¨ ~a0(4; 2) Æ ~b0( 3; 6). ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ²  ´Æ­­ . 32.5. ‡­ ©²¨  ´Æ­­¥ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿, ¿ª¥ ²®·ª¨ A(1; 0), B (0; 2), C ( 3; 0) ¯¥°¥¢®¤¨²¼ ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® ³ ²®·ª¨ A0(2; 3), B0( 1; 4), C 0( 2; 1). ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ²  ´Æ­­ . 32.6. ‡­ ©²¨  ´Æ­­¥ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿, ¿ª¥ ®¡¥°­¥­¥ ¤® ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ 32.1.

x0 = 2x + 3y 7; y 0 = 3x + 5y 9:

‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ²  ´Æ­­ .

71

72

Ž‡„Å‹ VIII.

DZ……’‚Ž…Ÿ DZ‹Ž™ˆˆ ’€ DZŽ‘’Ž“

‡ ¤ ­® ¤¢   ´Æ­­Æ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ ( ( 0 x0 = 2x + y 5; : 0 Æ  : x0 = x y + 4; y = 3x y + 7; y = x + 2y + 5: ‡­ ©²¨ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿  Æ . ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ²  ´Æ­­ . 0 32.8. ‡ ¤ ­®  ´Æ­­¥ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ x = 3x + 4y 12; y0 = 4x 3y + 6:   ¯°¿¬Æ© 7x 2y 24 = 0 §­ ©²¨ ² ª³ ²®·ª³, ¿ª  ¯°¨ ¶¼®¬³ ¯¥°¥²¢®°¥­­Æ ¯¥°¥µ®¤¨²¼ ³ ²®·ª³, ¹® «¥¦¨²¼ ­  ¶Æ© ¯°¿¬Æ©. ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ²  ´Æ­­ . 0 32.9. ‡ ¤ ­®  ´Æ­­¥ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ x = 2x + y 2; y0 = x y 1 Æ ²®·ª  A(1; 1). ‡­ ©²¨ ¯°¿¬³, ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ A, Æ ¯°¨ ¶¼®¬³ ¯¥°¥²¢®°¥­­Æ ¯¥°¥µ®¤¨²¼ ¢ ¯°¿¬³, ¹® ² ª®¦ ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ A. ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ²  ´Æ­­ . 0 0 32.10. ‡ ¤ ­®  ´Æ­­¥ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ x = 10x +11y; y = 10x +9y . ‡­ ©²¨ ¢¥ª²®°, ¿ª¨© ¯°¨ ¶¼®¬³ ¯¥°¥²¢®°¥­­Æ ¯¥°¥µ®¤¨²¼ ¢ ®°²®£®­ «¼­¨© ©®¬³ ¢¥ª²®°. ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ . 32.11. ‡­ ©²¨ ­¥°³µ®¬³ ²®·ª³  ´Æ­­®£® ¯¥°¥²¢®°¥­­¿, ¿ª¥ ¯¥°¥¢®¤¨²¼ ²®·ª¨ A; B; C ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® ³ ²®·ª¨ B; C; A. 32.12. ‚Ƥ¸³ª ²¨ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ ¯®¤Æ¡­®±²Æ, ¿ª¥ Ä ¤®¡³²ª®¬ ¯®¢®°®²³ ­  ª³² 2 ­ ¢ª®«® ²®·ª¨ (1; 1) Æ £®¬®²¥²ÆÈ § ¶¥­²°®¬ ³ ¶Æ© ²®·¶Æ ²  ª®¥´Æ¶ÆÄ­²®¬ 3. ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ . 32.13. ‡­ ©²¨ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ ¯®¤Æ¡­®±²Æ § ­¥°³µ®¬®¾ ²®·ª®¾ (2; 1), ¿ª¥ ¯¥°¥¢®¤¨²¼ ²®·ª³ (2; 9) ¢ ²®·ª³ ( 2; 2). ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ . 32.14. ‚Ƥ¸³ª ²¨  ´Æ­­¥ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿, ¹® Ä ±²¨±ª®¬ ¤® ¯°¿¬®È 2x + y 2 = 0 § ª®¥´Æ¶ÆÄ­²®¬ ±²¨±ª³, ¿ª¨© ¤®°Æ¢­¾Ä 3. ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ² ¯°¿¬®ª³²­ . 32.15. ‡­ ©²¨ Æ­¢ °Æ ­²­Æ ²®·ª¨ ²  Æ­¢ °Æ ­²­Æ ¯°¿¬Æ  ´Æ­­®£® ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ x0 = 7x y + 1; y0 = 4x + 2y + 4: ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ²  ´Æ­­ . 32.7.

32.16.

°¥­­¿

‡­ ©²¨ Æ­¢ °Æ ­²­Æ ²®·ª¨ ²  Æ­¢ °Æ ­²­Æ ¯°¿¬Æ  ´Æ­­®£® ¯¥°¥²¢®(

x0 = 135 x + 54 y y 0 = 54 x + 75 y

4 5

8 5

:

;

x

33.€”ōÅ DZ……’‚Ž…Ÿ ‹ÅÅ‰ „“ƒŽƒŽ DZŽŸ„Š“

73

‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ²  ´Æ­­ . 32.17. ‡­ ©²¨ ² ª¥  ´Æ­­¥ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿, ¤«¿ ¿ª®£® ¢±Æ ²®·ª¨ ®±Æ Ox Æ­¢ °Æ ­²­Æ,   ²®·ª  A(2; 6) ¯¥°¥µ®¤¨²¼ ¢ ²®·ª³ A0( 1; 4). ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ²  ´Æ­­ . 32.18. ‚Ƥ¸³ª ²¨  ´Æ­­¥ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿, ¯°¨ ¿ª®¬³ ¯°¿¬Æ x + y + 1 = 0; x y + 2 = 0 ¯¥°¥µ®¤¿²¼ ¢ ±¥¡¥,   ²®·ª  A(1; 1) | ¢ ²®·ª³ A0(2; 1). ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ²  ´Æ­­ . 32.19. —¥°¥§ ²®·ª³ P ( 3; 5) ¯°®¢¥±²¨ ¯°¿¬³, ¢Æ¤°Æ§®ª ¿ª®È ¬Æ¦ ¯°¿¬¨¬¨ 2x + 3y 15 = 0; 4x 5y 12 = 0 ³ ²®·¶Æ P ¤Æ«¨²¼±¿ ­ ¢¯Æ«. ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ²  ´Æ­­ . 32.20. ‚Ƥ¸³ª ²¨  ´Æ­­¥ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿, ¯°¨ ¿ª®¬³ ²®·ª¨ O (0; 0; 0); E1(1; 0; 0) Æ E2(0; 1; 0) § «¨¸ ¾²¼±¿ ­¥°³µ®¬¨¬¨,   ²®·ª  E3(0; 0; 1) ¯¥°¥µ®¤¨²¼ ¢ ²®·ª³ E (1; 1; 1). ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ²  ´Æ­­ . 32.21. ‚¥°¸¨­¨ ²¥²° ¥¤°  ABCD Ä ¢ ²®·ª µ A(0; 0; 0); B (1; 0; 0); C (0; 1; 0); D(0; 0; 1): ‡­ ©²¨  ´Æ­­¥ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿, ¿ª¥ ¯¥°¥¢®¤¨²¼ ¢¥°¸¨­¨ A; B; C; D ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® ³ ¢¥°¸¨­¨ B; C; D; A: ‚Ƥ¸³ª ²¨ Æ­¢ °Æ ­²­Æ ²®·ª¨, Æ­¢ °Æ ­²­Æ ¯°¿¬Æ ²  Æ­¢ °Æ ­²­Æ ¯«®¹¨­¨ ¶¼®£® ¯¥°¥²¢®°¥­­¿. ‘¨±²¥¬  ª®®°¤¨­ ²  ´Æ­­ . 32.22. ‡­ ©²¨ Æ­¢ °Æ ­²­Æ ²®·ª¨, ¯°¿¬Æ ²  ¯«®¹¨­¨ ¤«¿ ² ª¨µ  ´Æ­­¨µ ¯¥°¥²¢®°¥­¼: 1) x0 = 2x + y + 1; y0 = 2y + z + 2; z0 = 2z + 3; 2) x0 = 3x 4y + 6; y0 = 4x + 3y 8; z0 = 2z + 9; 3) x0 = x + y; y0 = y + z; z0 = z + 1; 4) x0 = 6x 2y 3z; y0 = 2x + 3y 6z + 6; z0 = 3x 6y 2z + 12: x

33. €´Æ­­Æ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ «Æ­Æ© ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³

‚Ƥ¸³ª ²¨  ´Æ­­¥ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿, ¿ª¥ §¡¥°Æ£ Ä ®°ÆÄ­² ¶Æ¾, ¯Æ¤ ¤Æľ 2 2 y x ¿ª®£® ¥«Æ¯± a2 + b2 = 1 ¯¥°¥µ®¤¨²¼ ³ ²®© ± ¬¨© ¥«Æ¯± Æ ²®·ª  (a; 0) ¯¥°¥µ®¤¨²¼ ³ ²®·ª³ (0; b). 33.2. ‡­ ©²¨ ²Æ  ´Æ­­Æ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿, ¯°¨ ¿ª¨µ £Æ¯¥°¡®«  xy = c ¯¥°¥µ®¤¨²¼ ¢ ±¥¡¥. 2 33.3. ‚Ƥ¸³ª ²¨  ´Æ­­¥ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿, ¯°¨ ¿ª®¬³ £Æ¯¥°¡®«  x y2 = 1 33.1.

74

Ž‡„Å‹ VIII.

DZ……’‚Ž…Ÿ DZ‹Ž™ˆˆ ’€ DZŽ‘’Ž“

p ¯¥°¥µ®¤¨²¼ ¢ ±¥¡¥ Æ ²®·ª  (1; 0) ¯¥°¥µ®¤¨²¼ ¢ ²®·ª³ ( 2; 1). 2 33.4. ‡­ ©²¨  ´Æ­­¥ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ ¯ ° ¡®«¨ y = 2x ¢ ±¥¡¥, ¿ª¥ ¯°¨ 1 ¶¼®¬³ ¯¥°¥¢®¤¨²¼ ²®·ª¨ (2; 2) Æ ( 2 ; 1) ¢Æ¤¯®¢Æ¤­® ³ ²®·ª¨ (8; 4) Æ ( 29 ; 3): 33.5. „®¢¥±²¨, ¹® ¤¢  ±¯°¿¦¥­¨µ ¤Æ ¬¥²°¨ ¥«Æ¯±  ¤Æ«¿²¼ ©®£® ­  ·®²¨°¨ °Æ¢­®¢¥«¨ªÆ · ±²¨­¨. x

34.

ŧ®¬¥²°¨·­Æ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ ¯«®¹¨­¨ ²  ¯°®±²®°³

(

0 ¥µ © § ¤ ­® Ƨ®¬¥²°¨·­¥ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ x0 = x + x0; ‡­ ©²¨ y = y + y0 : ¢Æ±¼ ±¨¬¥²°ÆÈ Æ ¢¥ª²®° ¯¥°¥­¥±¥­­¿ ¢§¤®¢¦ ®±Æ ±¨¬¥²°ÆÈ. ( x0 = 45 x 35 y + 6; 34.2. ¥µ © § ¤ ­® Ƨ®¬¥²°¨·­¥ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ y 0 = 53 x 45 y 12: ‡­ ©²¨ ¢Æ±¼ ±¨¬¥²°ÆÈ Æ ¢¥ª²®° ¯¥°¥­¥±¥­­¿ ¢§¤®¢¦ ®±Æ ±¨¬¥²°ÆÈ. 34.3. ‡­ ©²¨ Ƨ®¬¥²°¨·­¥ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ ¯«®¹¨­¨, ¿ª¥ Ä ±¨¬¥²°Æľ ±²®±®¢­® ² ª¨µ ¯°¿¬¨µ: 1) x + y 5 = 0; 2) 2x + y 2 = 0; 3) Ax + By + C = 0: 34.4. ‚Ƥ¸³ª ²¨ Ƨ®¬¥²°¨·­¥ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ ¯«®¹¨­¨, ¿ª¥ §¡¥°Æ£ Ä ÈÈ ®°ÆÄ­² ¶Æ¾, ¯¥°¥¢®¤¨²¼ ²®·ª³ (1; 0) ¢ ²®·ª³ (0; 0),   ²®·ª³ (0; 0) ¢ ²®·ª³ (0; 1). ‡­ ©²¨ ª³² ¯®¢®°®²³ ' Æ ­¥°³µ®¬³ ²®·ª³ ¶¼®£® ¯¥°¥²¢®°¥­­¿. 34.5. ‡­ ©²¨ Ƨ®¬¥²°¨·­¥ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ ¯«®¹¨­¨, ¹® §¬Æ­¾Ä ÈÈ ®°ÆÄ­² ¶Æ¾ Æ ¯¥°¥¢®¤¨²¼ ²®·ª³ (1; 0) ¢ ²®·ª³ (0; 0),   ²®·ª³ (0; 0) ¢ ²®·ª³ (0; 1),   ² ª®¦ ¢Æ±¼ ±¨¬¥²°ÆÈ Æ ¢¥ª²®° ¯¥°¥­¥±¥­­¿ ¢§¤®¢¦ ®±Æ ±¨¬¥²°ÆÈ. 34.6. ‚Ƥ¸³ª ²¨ ¬ ²°¨¶¾ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ ±¨¬¥²°ÆÈ, ±²®±®¢­® ¯°¿¬®È § ­ ¯°¿¬­¨¬ ¢¥ª²®°®¬ (2; 2; 1), ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ¯®· ²®ª ª®®°¤¨­ ². 34.7. ‡­ ©²¨ ¬ ²°¨¶¾ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ ¯®¢®°®²³ ®°ÆÄ­²®¢ ­®£® ¯°®±²®°³ ­  ª³² 2 ­ ¢ª®«® ®±Æ § ­ ¯°¿¬­¨¬ ¢¥ª²®°®¬ (2; 2; 1), ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ¯®· ²®ª ª®®°¤¨­ ². 34.8. ‚Ƥ¸³ª ²¨ ¬ ²°¨¶¾ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ ±¨¬¥²°ÆÈ ¯°®±²®°³ ±²®±®¢­® ¯«®¹¨­¨ 2x 2y + z = 0. 34.9. ‡­ ©²¨ Ƨ®¬¥²°¨·­¥ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ ¯°®±²®°³, ¹® § «¨¸ Ä ­¥°³µ®34.1.

x

35. ō‚…‘ÅÇ DZ‹Ž™ˆˆ ’€ DZŽ‘’Ž“

75

¬¨¬¨ ²°¨ ²®·ª¨ (1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1). x

35.

Å­¢¥°±ÆÈ ¯«®¹¨­¨ ²  ¯°®±²®°³

¥µ © O | ´Æª±®¢ ­  ²®·ª  ¯«®¹¨­¨ Æ  | ´Æª±®¢ ­¥ ­¥­³«¼®¢¥ ¤Æ©±­¥ ·¨±«®. Å­¢¥°±Æľ § ¯®«¾±®¬ O Æ ±²¥¯Æ­¥¬  ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ ¬­®¦¨­¨ ¢±Æµ ²®·®ª ¯«®¹¨­¨, §  ¢¨­¿²ª®¬ ²®·ª¨ O, ¯°¨ ¿ª®¬³ ª®¦­Æ© ²®·¶Æ M ±² ¢¨²¼±¿ ³ ¢Æ¤¯®¢Æ¤­Æ±²¼ ²®·ª  M 0, ¿ª  «¥¦¨²¼ ­  ¯°¿~ OM ~ 0) =  . Å­¢¥°±Æ¾ § ¯®«¾±®¬ O Æ ±²¥¯¥­¥¬  ¬Æ© OM Æ ¤«¿ ¿ª®È (OM; ¯®§­ ·¨¬® (O; ). ‡ ¯¨± ²¨ ´®°¬³«¨, ¹® ¯®¢'¿§³¾²¼ ª®®°¤¨­ ²¨ x; y ²®·ª¨ M § ª®®°¤¨­ ² ¬¨ x0; y0 ²®·ª¨ M 0, ¿ª  Ä ®¡° §®¬ ²®·ª¨ M ¯°¨ Æ­¢¥°±ÆÈ (O; ) ¢ ¯°¿¬®ª³²­Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² § ¯®· ²ª®¬ ³ ²®·¶Æ O. 2 2 35.2. ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ®¡° §³ ª®«  x + y +2ax +2by + c = 0 ¯°¨ Æ­¢¥°±ÆÈ (O; ), ¤¥ O | ¯®· ²®ª ª®®°¤¨­ ². 35.3. ‚Ƥ¸³ª ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ®¡° §³ ¯°¿¬®È Ax + By + C = 0 ¯°¨ Æ­¢¥°±ÆÈ (O; ), ¤¥ O { ¯®· ²®ª ª®®°¤¨­ ². 0 2 2 2 35.4. ‡­ ©²¨ °Æ¢­¿­­¿ ®¡° §³ S ±´¥°¨ S : x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 ¯°¨ Æ­¢¥°±ÆÈ (O; ), ¤¥ O { ¯®· ²®ª ª®®°¤¨­ ². 35.5. ‚Ƥ¸³ª ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ®¡° §³ ¯«®¹¨­¨ Ax + By + Cz + D = 0 ¯°¨ Æ­¢¥°±ÆÈ (O; ), ¤¥ O { ¯®· ²®ª ª®®°¤¨­ ². ( x2 + y 2 + z 2 z = 0; 35.6. ‡­ ©²¨ ¶¥­²° Æ ° ¤Æ³± ®¡° §³ ª®«  ¯°¨ x+y+z 1 = 0 Æ­¢¥°±ÆÈ (O; 1), ¤¥ O | ¯®· ²®ª ª®®°¤¨­ ². 35.1.

®§¤Æ« IX ƒ¥®¬¥²°Æ¿ ®¯³ª«¨µ ¬­®¦¨­ x

36.

€´Æ­­  £¥®¬¥²°Æ¿

¥µ © L | «Æ­Æ©­¨© ¯°®±²Æ° ­ ¤ ¯®«¥¬ R (­ ¯°¨ª« ¤, L = Rd) Æ x; x1; : : :; xn 2 L. Š ¦¥¬®, ¹® ²®·ª  x  ´Æ­­® § «¥¦¨²¼ ¢Æ¤ ²®·®ª x1 ; : : :; xn, ¿ª¹® x = 1x1 +


+ nxn, ¤¥ 1; : : :; n 2 R Æ 1 +


+ n = 1 (³ ¶¼®¬³ ¢¨¯ ¤ª³ 1x1 +


+ nxn ­ §¨¢ Ä²¼±¿  ´Æ­­®¾ ª®¬¡Æ­ ¶Æľ ²®·®ª x1 ; : : :; xn). „«¿ ²®·®ª a; b 2 L ·¥°¥§ ab = fta +(1 t)b : t 2 Rg ¯®§­ · Ä¬® ¯°¿¬³, ¹® ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª¨ a; b. DZƤ¬­®¦¨­  A  L ­ §¨¢ Ä²¼±¿  ´Æ­­®¾ (¢Æ¤¯. ®¯³ª«®¾), ¿ª¹® ab  A (¢Æ¤¯. [a; b]  A) ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­¨µ ²®·®ª a; b 2 A. ®§¬Æ°­Æ±²¾  ´Æ­­®£® ¯Æ¤¯°®±²®°³ A  L ­ §¨¢ Ä¬® °®§¬Æ°­Æ±²¼ «Æ­Æ©­®£® ¯°®±²®°³ A b, ¤¥ b 2 A (²®¡²® ªÆ«¼ªÆ±²¼ ¢¥ª²®°Æ¢ ¤®¢Æ«¼­®£® ¡ §¨±³ «Æ­Æ©­®£® ¯°®±²®°³ A b). €´Æ­­®¾ ¯°¿¬®¾ (¢Æ¤¯.  ´Æ­­®¾ ¯«®¹¨­®¾) ³ «Æ­Æ©­®¬³ ¯°®±²®°Æ L ­ §¨¢ Ä²¼±¿  ´Æ­­¨© ¯Æ¤¯°®±²Æ° °®§¬Æ°­®±²Æ 1 (¢Æ¤¯. 2). ƒÆ¯¥°¯«®¹¨­®¾ ¢ «Æ­Æ©­®¬³ ¯°®±²®°Æ L ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ¤®¢Æ«¼­¨©  ´Æ­­¨© ¯Æ¤¯°®±²Æ° A ª®°®§¬Æ°­®±²Æ 1, ²®¡²® dim L = 1 + dim A. ’°¨ª³²­¨ª®¬ ³ «Æ­Æ©­®¬³ ¯°®±²®°Æ ­ §¨¢ Ä¬® ¤®¢Æ«¼­Æ ²°¨ ²®·ª¨, ¿ªÆ ­¥ «¥¦ ²¼ ­  ®¤­Æ©  ´Æ­­Æ© ¯°¿¬Æ©. ’®·ª¨ x0; : : :; xn 2 L ­ §¨¢ ¾²¼±¿  ´Æ­­® ­¥§ «¥¦­¨¬¨, ¿ª¹® § °Æ¢­®±²¥© 0x0 +


+ nxn = 0 Æ 0 +


+ n = 0 ¢¨¯«¨¢ Ä, ¹® 0 =


= n = 0. ’®·ª¨ a0; : : :; an 2 A  ´Æ­­®£® ¯Æ¤¯°®±²®°³ A  L ­ §¨¢ ¾²¼  ´Æ­­¨¬ °¥¯¥°®¬ ¯°®±²®°³ A, ¿ª¹® ª®¦­  ²®·ª  a 2 A ¤®¯³±ª Ä Ĥ¨­¥ §®¡° ¦¥­­¿ ¢¨£«¿¤³ a = 0a0 +


+ nan, ¤¥ 0 +


+ n = 1. “ ¶¼®¬³ ¢¨¯ ¤ª³ ª®¥´Æ¶ÆÄ­²¨ (0; : : :; n) ­ §¨¢ ¾²¼±¿ ¡ °¨¶¥­²°¨·­¨¬¨ ª®®°-

76

x

36. €”ō€ ƒ…ŽŒ…’ÅŸ

77

²®·ª¨ a ±²®±®¢­®  ´Æ­­®£® °¥¯¥°  a0; : : :; an. €´Æ­­®¾ ®¡®«®­ª®¾ ¬­®¦¨­¨ X  L ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ­ ©¬¥­¸   ´Æ­­  ¯Æ¤¬­®¦¨­  a(X)  L, ¿ª  ¬Æ±²¨²¼ X . Š ¦¥¬®, ¹®  ´Æ­­¨© ¯Æ¤¯°®±²Æ° A  L ¯ ° «¥«¼­¨© ¤®  ´Æ­­®£® ¯Æ¤¯°®±²®°³ B  L Æ ¯®§­ · Ä¬® ¿ª A k B, ¿ª¹® A a = B b ¤«¿ ¤¥¿ª¨µ ²®·®ª a 2 A, b 2 B. Ÿª¹® A a  Bb, ²®¤Æ ª ¦¥¬®, ¹® A ±« ¡ª® ¯ ° «¥«¼­¨© B . ‚Ƥ®¡° ¦¥­­¿ f : A ! A0 ¬Æ¦ ¤¢®¬  a´Æ­­¨¬¨ ¯Æ¤¯°®±²®° ¬¨ A  L, A0  L0 ­ §¨¢ Ä²¼±¿  ´Æ­­¨¬, ¿ª¹® f (tx + (1 t)y ) = tf (x) + (1 t)f (y ) ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­¨µ x; y 2 L Æ t 2 R. ƒ®¬®²¥²Æľ «Æ­Æ©­®£® ¯°®±²®°³ L ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ¢Æ¤®¡° ¦¥­­¿ f : L ! L ¢¨£«¿¤³ f (x) = x + b, ¤¥  2 Rn f0g Æ b 2 L. ¤¨­ ² ¬¨

‡  ¤®¯®¬®£®¾ ¢¥ª²®°­®È  «£¥¡°¨ ®¡£°³­²³¢ ²¨ ¢¢¥¤¥­¥ ®§­ ·¥­­¿ ¯°¿¬®È. 36.2. „®¢¥±²¨, ¹® ¯Æ¤¬­®¦¨­  A  L Ä «Æ­Æ©­¨¬ ¯Æ¤¯°®±²®°®¬ L ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ A ¬Æ±²¨²¼ ¤®¢Æ«¼­³ ²®·ª³ x, «Æ­Æ©­® § «¥¦­³ ¢Æ¤ ²®·®ª x1 ; : : :; xn 2 A. 36.3. „®¢¥±²¨, ¹® ¯Æ¤¬­®¦¨­  A  L  ´Æ­­  ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ A ¬Æ±²¨²¼ ¤®¢Æ«¼­³ ²®·ª³ x,  ´Æ­­® § «¥¦­³ ¢Æ¤ ²®·®ª x1; : : :; xn 2 A. 36.4. „®¢¥±²¨, ¹® ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­®£®  ´Æ­­®£® ¯Æ¤¯°®±²®°³ A  L Æ ¤®¢Æ«¼­®È ²®·ª¨ b 2 L ¯Æ¤¬­®¦¨­  A b = fa b : a 2 Ag Ä  ´Æ­­¨¬ ¯Æ¤¯°®±²®°®¬ L. 36.5. „®¢¥±²¨, ¹® ¯Æ¤¬­®¦¨­  A  L Ä  ´Æ­­¨¬ ¯Æ¤¯°®±²®°®¬ L ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ ¤«¿ ª®¦­®£® b 2 A ¯Æ¤¬­®¦¨­  A b Ä «Æ­Æ©­¨¬ ¯Æ¤¯°®±²®°®¬ L. 36.6. „®¢¥±²¨, ¹® ¤®¯®¢­¥­­¿ L n A ¤®  ´Æ­­®£® ¯Æ¤¯°®±²®°³ A  L §¢'¿§­¥ (¢Æ¤¯. ®¤­®§¢'¿§­¥) ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ dim A  dim L 2 (¢Æ¤¯. dim A  dim L 3). 36.7. „®¢¥±²¨, ¹® ²®·ª¨ x1 ; x2 2 L  ´Æ­­® ­¥§ «¥¦­Æ ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ x1 6= x2. 36.8. „®¢¥±²¨, ¹® ²°¨ ²®·ª¨ x1 ; x2 ; x3 2 L  ´Æ­­® ­¥§ «¥¦­Æ ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ ¢®­¨ ­¥ «¥¦ ²¼ ­  ®¤­Æ© ¯°¿¬Æ©. 36.9. „®¢¥±²¨, ¹® ·®²¨°¨ ²®·ª¨ x1 ; x2 ; x3 ; x4 2 L  ´Æ­­® ­¥§ «¥¦­Æ ²®¤Æ 36.1.

78

Ž‡„Å‹ IX.

ƒ…ŽŒ…’ÅŸ ŽDZ“Š‹ˆ• ŒŽ†ˆ

Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ ¢®­¨ ­¥ «¥¦ ²¼ ­  ®¤­Æ©  ´Æ­­Æ© ¯«®¹¨­Æ. 36.10. ¥µ © A  L |  ´Æ­­¨© ¯Æ¤¯°®±²Æ° °®§¬Æ°­®±²Æ n Æ a1 ; : : :; am 2 A |  ´Æ­­® ­¥§ «¥¦­Æ ²®·ª¨. „®¢¥±²¨, ¹® m  n + 1. 36.11. ¥µ © L | «Æ­Æ©­¨© ¯°®±²Æ° ­ ¤ ¯®«¥¬ R °®§¬Æ°­®±²Æ dim L = n Æ X  L | ¯Æ¤¬­®¦¨­  ¯®²³¦­®±²Æ jX j > n + 1. „®¢¥±²¨, ¹® X ¬Æ±²¨²¼ ²®·ª³ x 2 X ,  ´Æ­­® § «¥¦­³ ¢Æ¤ ¤¥¿ª¨µ ²®·®ª x0; : : :; xn 2 X n fxg. 2 36.12. „®¢¥±²¨, ¹® ¢¥°¸¨­¨ ¤®¢Æ«¼­®£® ²°¨ª³²­¨ª  ­  ¯«®¹¨­Æ R ³²¢®°¾¾²¼  ´Æ­­¨© °¥¯¥°. ‘²®±®¢­® ¶¼®£® °¥¯¥°  §­ ©²¨ ¡ °¨¶¥­²°¨·­Æ ª®®°¤¨­ ²¨ ¢¥°¸¨­ ²°¨ª³²­¨ª , ±¥°¥¤¨­ ©®£® ±²®°Æ­ ²  ²®·ª¨ ¯¥°¥²¨­³ ¬¥¤Æ ­ ²°¨ª³²­¨ª . 36.13. „®¢¥±²¨, ¹® ²®·ª¨ a0 ; : : :; an 2 A ³²¢®°¾¾²¼  ´Æ­­¨© °¥¯¥° ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ ¢®­¨  ´Æ­­® ­¥§ «¥¦­Æ Æ ª®¦­  ²®·ª  a 2 A  ´Æ­­® § «¥¦­  ¢Æ¤ a0; : : :; an. 36.14. ¥µ © e1 ; : : :; en { ¡ §¨± «Æ­Æ©­®£® ¯°®±²®°³ L. „®¢¥±²¨, ¹® ²®·ª¨ 0; e1; : : :; en ³²¢®°¾¾²¼  ´Æ­­¨© °¥¯¥° ¯°®±²®°³ L. 36.15. Ÿª  § «¥¦­Æ±²¼ ¬Æ¦ ª®®°¤¨­ ² ¬¨ ²®·ª¨ x 2 L ¢ ¡ §Æ e1 ; : : :; en Æ ¡ °¨¶¥­²°¨·­¨¬¨ ª®®°¤¨­ ² ¬¨ ¶ÆÄÈ ¦ ²®·ª¨ x ¢  ´Æ­­®¬³ °¥¯¥°Æ 0; e1; : : :; en? 36.16. ¥µ © ²®·ª¨ a0 ; : : :; an ³²¢®°¾¾²¼  ´Æ­­¨© °¥¯¥°  ´Æ­­®£® ¯Æ¤¯°®±²®°³ A  L. „®¢¥±²¨, ¹® ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­®È ²®·ª¨ b 2 L ²®·ª¨ a0 b; : : :; an b ³²¢®°¾¾²¼  ´Æ­­¨© °¥¯¥°  ´Æ­­®£® ¯°®±²®°³ A b = fa b : a 2 Ag . 36.17. „®¢¥±²¨, ¹® ²®·ª¨ a0 ; : : :; an ³²¢®°¾¾²¼  ´Æ­­¨© °¥¯¥°  ´Æ­­®£® ¯°®±²®°³ A  L ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ ²®·ª¨ a1 a0; : : :; an a0 ³²¢®°¾¾²¼ ¡ §¨± «Æ­Æ©­®£® ¯°®±²®°³ A a0. 36.18. „®¢¥±²¨, ¹® ¤®¢Æ«¼­Æ ¤¢   ´Æ­­Æ °¥¯¥°¨  ´Æ­­®£® ¯Æ¤¯°®±²®°³ A  L ¬Æ±²¿²¼ ®¤­ ª®¢³ ªÆ«¼ªÆ±²¼ ²®·®ª. 36.19. „®¢¥±²¨, ¹® ¯®²³¦­Æ±²¼ ¤®¢Æ«¼­®£®  ´Æ­­®£® °¥¯¥°   ´Æ­­®£® ¯Æ¤¯°®±²®°³ A  L ­  ®¤¨­¨¶¾ ¯¥°¥¢¨¹³Ä °®§¬Æ°­Æ±²¼ A. ’®¡²®, °®§¬Æ°­Æ±²¼  ´Æ­­®£® ¯°®±²®°³ ¤®°Æ¢­¾Ä ªÆ«¼ª®±²Æ ¢¥ª²®°Æ¢ ¤®¢Æ«¼­®£®  ´Æ­­®£® °¥¯¥°  ¬Æ­³± 1. T 36.20. „®¢¥±²¨, ¹® ¯¥°¥²¨­ i2I Ai ¤®¢Æ«¼­®È ±Æ¬'È  ´Æ­­¨µ ¯Æ¤¬­®¦¨­ Ai  L, i 2 I Ä  ´Æ­­®¾ ¯Æ¤¬­®¦¨­®¾ ¢ L.

x

36. €”ō€ ƒ…ŽŒ…’ÅŸ

79

„®¢¥±²¨, ¹® ®¡'Ĥ­ ­­¿ A [ B ¤¢®µ  ´Æ­­¨µ ¯Æ¤¬­®¦¨­ A; B  L Ä  ´Æ­­®¾ ¯Æ¤¬­®¦¨­®¾ ¢ L ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ A  B  ¡® B  A. S1 36.22. „®¢¥±²¨, ¹® ®¡'Ĥ­ ­­¿ n=1 An ¤®¢Æ«¼­®È ¬®­®²®­­® §°®±² ¾·®È ±Æ¬'È  ´Æ­­¨µ ¯Æ¤¬­®¦¨­ «Æ­Æ©­®£® ¯°®±²®°³ Ä  ´Æ­­®¾ ¬­®¦¨­®¾. 36.23. „®¢¥±²¨, ¹®  ´Æ­­  ®¡®«®­ª  ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ X «Æ­Æ©­®£® ¯°®±²®°³ §¡Æ£ Ä²¼±¿ § ¯¥°¥²¨­®¬ ³±Æµ  ´Æ­­¨µ ¯Æ¤¯°®±²®°Æ¢ L, ¹® ¬Æ±²¿²¼ ¬­®¦¨­³ X . 36.24. „®¢¥±²¨, ¹®  ´Æ­­  ®¡®«®­ª  ¬­®¦¨­¨ X  L §¡Æ£ Ä²¼±¿ § ¬­®¦¨­®¾ ¢±Æµ ²®·®ª x 2 L  ´Æ­­® § «¥¦­¨µ ¢Æ¤ ²®·®ª ¬­®¦¨­¨ X , ²®¡²® a(X) = f1x1 +


+ nxn : x1; : : :; xn 2 X; 1 +


+ n = 1g. 36.25. Ž¯¨± ²¨  ´Æ­­³ ®¡®«®­ª³ n-¥«¥¬¥­²­®È ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ X  L ¯°¨ n 2 f1; 2; 3g. 36.26. —¨ § ¢¦¤¨  ´Æ­­  ®¡®«®­ª  ²°¨¥«¥¬¥­²­®È ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ ¡³¤¥  ´Æ­­®¾ ¯«®¹¨­®¾? 36.27. „®¢¥±²¨, ¹® ¤«¿ ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ X n-¢¨¬Æ°­®£® «Æ­Æ©­®£® ¯°®±²®°³ L ¯° ¢¨«¼­  °Æ¢­Æ±²¼ a(X) = f0x0 +


+ nxn : x0 ; : : :; xn 2 X; 0 +


+ n = 1g. S 36.28. „«¿ ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ X  L ¯°¨©¬¥¬® X0 = X Æ Xn+1 = a;b2Xn ab S ¯°¨ n  0. „®¢¥±²¨, ¹® a(X) = n0 Xn. „®¢¥±²¨, ¹® a(X) = Xdim(L), ¿ª¹® ¯°®±²Æ° L ±ªÆ­·¥­­®-¢¨¬Æ°­¨©. 36.29. „®¢¥±²¨, ¹® °®§¬Æ°­Æ±²¼  ´Æ­­®È ®¡®«®­ª¨ ¬­®¦¨­¨ X ¬¥­¸  §  ¯®²³¦­Æ±²¼ ¶ÆÄÈ ¬­®¦¨­¨ (²®¡²® dim a(X) < jXj). 0 36.30. „®¢¥±²¨, ¹® ¢Æ¤®¡° ¦¥­­¿ f : A ! A Ä  ´Æ­­¨¬ ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ f (1x1 +


+ nxn) = 1f (x1) +


+ nf (xn) ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­¨µ x1 ; : : :; xn 2 L Æ 1; : : :; n 2 R § 1 +


+ n = 1. 0 36.31. „®¢¥±²¨, ¹® ¡ÆĪ²¨¢­¥ ¢Æ¤®¡° ¦¥­­¿ f : A ! A ¬Æ¦  ´Æ­­¨¬¨ ¯°®±²®° ¬¨ Ä  ´Æ­­¨¬ ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨  ´Æ­­¨¬ Ä ®¡¥°­¥­¥ ¢Æ¤®¡° ¦¥­­¿ f 1 : A0 ! A. 0 36.32. „®¢¥±²¨, ¹® ¢Æ¤®¡° ¦¥­­¿ f : L ! L ¬Æ¦ «Æ­Æ©­¨¬¨ ¯°®±²®° ¬¨ Ä  ´Æ­­¨¬ ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ ¢®­® §®¡° ¦ Ä²¼±¿ ³ ¢¨£«¿¤Æ f (x) = h(x) + c, ¤¥ c 2 L0 { ¤¥¿ª  ª®­±² ­²  Æ h : L ! L0 | ¤¥¿ª¥ «Æ­Æ©­¥ ¢Æ¤®¡° ¦¥­­¿. n 36.33. „®¢¥±²¨, ¹® ª®¦­¥  ´Æ­­¥ ¢Æ¤®¡° ¦¥­­¿ f : R ! R §®¡° ¦ 36.21.

80

Ž‡„Å‹ IX.

ƒ…ŽŒ…’ÅŸ ŽDZ“Š‹ˆ• ŒŽ†ˆ

IJ¼±¿ ³ ¢¨£«¿¤Æ f (x1; : : :; xn) = a0 + a1x1 +


+ anxn ¤«¿ ¤¥¿ª¨µ ¤Æ©±­¨µ ·¨±¥« a0; : : :; an 2 R. 36.34. ¥µ © e1 ; : : :; en | ¡ §¨± «Æ­Æ©­®£® ¯°®±²®°³ L Æ f : L ! L |  ´Æ­­¥ ¢Æ¤®¡° ¦¥­­¿ ¯°®±²®°³ L ¢ ±¥¡¥. ‡­ ©²¨ § «¥¦­Æ±²¼ ¬Æ¦ ¡ °¨¶¥­²°¨·­¨¬¨ ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ x ²  ÈÈ ®¡° §³ f (x) ¢  ´Æ­­®¬³ °¥¯¥°Æ (O; e1; : : :; en). 0 36.35. ¥µ © f : L ! L |  ´Æ­­¥ ¢Æ¤®¡° ¦¥­­¿ ¬Æ¦ «Æ­Æ©­¨¬¨ ¯°®±²®° ¬¨ Æ e0; : : :; en, e00; : : :; e0n |  ´Æ­­Æ °¥¯¥°¨ ¯°®±²®°Æ¢ L Æ L0 ¢Æ¤¯®¢Æ¤­®. ‡­ ©²¨ § «¥¦­Æ±²¼ ¬Æ¦ ¡ °¨¶¥²°¨·­¨¬¨ ª®®°¤¨­ ² ¬¨ (x0; : : :; xn) ²®·ª¨ x ³ °¥¯¥°Æ e0; : : :; en ²  ¡ °¨¶¥­²°¨·­¨¬¨ ª®®°¤¨­ ² ¨¬¨ (x00; : : :; x0n) ÈÈ ®¡° §³ f (x) ¢  ´Æ­­®¬³ °¥¯¥°Æ e00; : : :; e0n. 36.36. „®¢¥±²¨, ¹® ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­®È £Æ¯¥°¯«®¹¨­¨ H ³ «Æ­Æ©­®¬³ ¯°®±²®°Æ L Ʊ­³Ä «Æ­Æ©­¥ ¢Æ¤®¡° ¦¥­­¿ f : L ! R ² ª¥, ¹® H = f 1 (c) ¤«¿ ¤¥¿ª®È ª®­±² ­²¨ c 2 R. 36.37. „®¢¥±²¨, ¹® ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­®£®  ´Æ­­®£® ¯Æ¤¯°®±²®°³ A (±ªÆ­·¥­­®¢¨¬Æ°­®£®) «Æ­Æ©­®£® ¯°®±²®°³ L Ʊ­³Ä «Æ­Æ©­¥ ¢Æ¤®¡° ¦¥­­¿ f : L ! L0 ³ ¤¥¿ª¨© «Æ­Æ©­¨© ¯°®±²Æ° (°®§¬Æ°­®±²Æ dim L dim A) Æ ²®·ª  c 2 L0 ² ªÆ, ¹® A = f 1(c). 36.38. (DZ'¿²¨© ¯®±²³« ² …¢ª«Æ¤ ). „®¢¥±²¨, ¹® ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­®£®  ´Æ­­®£® ¯Æ¤¯°®±²®°³ A  L Æ ¤®¢Æ«¼­®È ²®·ª¨ b 2 L Ʊ­³Ä Ĥ¨­¨©  ´Æ­­¨© ¯Æ¤¯°®±²Æ° B  L ² ª¨©, ¹® b 2 B Æ B k A. 36.39. (’¥®°¥¬  ” «¥± ). Ÿª¹® H1 ; H2; H3 | °Æ§­Æ ¯ ° «¥«¼­Æ £Æ¯¥°¯«®¹¨­¨ ¢ «Æ­Æ©­®¬³ ¯°®±²®°Æ L, ²®¤Æ Ʊ­³Ä ² ª¨© ±ª «¿°  2 R, ¹® ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­¨µ ²®·®ª ai 2 Hi, i = 1; 2; 3, ¿ªÆ «¥¦ ²¼ ­  ®¤­Æ© ¯°¿¬Æ©, ¯° ¢¨«¼­  °Æ¢­Æ±²¼ a2 a1 = (a3 a1). 0 36.40. (’¥®°¥¬  DZ ¯¯ ). ¥µ © H |  ´Æ­­  ¯«®¹¨­ , P; P | ¤¢Æ °Æ§­Æ 0 0 0 0 0 0  ´Æ­­Æ ¯°¿¬Æ ­  H Æ x; y; z 2 P n (P \ P ), x ; y ; z 2 P n (P \ P ) | ¯®¯ °­® °Æ§­Æ ²®·ª¨ ­  ¯°¿¬¨µ P , P 0. „®¢¥±²¨, ¹® § x; y0 k x0; y i y; z0 k y0; z ¢¨¯«¨¢ Ä x; z0 k x0; z. 0 0 0 36.41. (’¥®°¥¬  „¥§ °£ ). ¥µ © ABC , A B C | ¤¢  ²°¨ª³²­¨ª¨ ¢ «Æ­Æ©­®¬³ ¯°®±²®°Æ, ¿ªÆ ­¥ ¬ ¾²¼ ±¯Æ«¼­¨µ ¢¥°¸¨­,  «¥ ¬ ¾²¼ ¯ ° «¥«¼­Æ ±²®°®­¨: AB k A0B0 , BC k B0C 0, AC k A0C 0. „®¢¥±²¨, ¹® ²°¨ ¯°¿¬Æ AA0 ; BB 0 ; CC 0  ¡® ¯ ° «¥«¼­Æ,  ¡® ¬ ¾²¼ ±¯Æ«¼­³ ²®·ª³. 36.42. (’¥®°¥¬  —¥¢¨). ¥µ © ABC | ²°¨ª³²­¨ª ³ «Æ­Æ©­®¬³ ¯°®±²®°Æ

x

37. Ž‡€—…Ÿ ŽDZ“Š‹ˆ• ŒŽ†ˆ

81

Æ ­¥µ © ²®·ª¨ A0 2 BC , B0 2 AC , C 0 2 AB «¥¦ ²¼ ­  ±²®°®­ µ ¶¼®£® ²°¨ª³²­¨ª . ’°¨ ¯°¿¬Æ AA0, BB0 , CC 0 ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿ ¢ ®¤­Æ© ²®·¶Æ  ¡® ¯ ° «¥«¼­Æ ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ A0 B B 0 C C 0 A

= 1: A0 C B 0 A C 0 B

(DZƤ ¢Æ¤­®¸¥­­¿¬ ab ¤¢®µ ª®«Æ­¥ °­¨µ ¢¥ª²®°Æ¢ a; b 2 L; b 6= 0 ¬¨ °®§³¬ÆĬ® Ĥ¨­¥ ¤Æ©±­¥ ·¨±«®  ² ª¥, ¹® a = b). 36.43. (’¥®°¥¬  Œ¥­¥« ¿). ¥µ © ABC | ²°¨ª³²­¨ª ³ «Æ­Æ©­®¬³ ¯°®±²®°Æ Æ ­¥µ © ²®·ª¨ A0 2 BC , B0 2 AC , C 0 2 AB «¥¦ ²¼ ­  ±²®°®­ µ ¶¼®£® ²°¨ª³²­¨ª . „®¢¥±²¨, ¹® ²®·ª¨ A0; B0; C 0 «¥¦ ²¼ ­  ®¤­Æ© ¯°¿¬Æ© ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ A0 B B 0 C C 0 A

= 1: A0 C B 0 A C 0 B

„®¢¥±²¨, ¹® ®¡° §  ´Æ­­®È ¯°¿¬®È ¯°¨ ¤®¢Æ«¼­®¬³ ¡ÆĪ²¨¢­®¬³  ´Æ­­®¬³ ¢Æ¤®¡° ¦¥­­Æ f : L ! L Ä  ´Æ­­®¾ ¯°¿¬®¾. 36.45. (Ž±­®¢­  ²¥®°¥¬   ´Æ­­®È £¥®¬¥²°ÆÈ). „®¢¥±²¨, ¹® ¡ÆĪ²¨¢­¥ ¢Æ¤®¡° ¦¥­­¿ f : L ! L, ¤¥ dim L > 1 |  ´Æ­­¥ ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­¨µ ²®·®ª a; b 2 L ®¡° § f (ab) Ä ¯°¿¬®¾, ¹® ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª¨ f (a); f (b). (‚¨ª®°¨±² ²¨ ²®© ´ ª², ¹® ¯®«¥ R ­¥ ¤®¯³±ª Ä Æ­¸¨µ  ¢²®¬®°´Æ§¬Æ¢, ª°Æ¬ ²®²®¦­®£®). 36.46. „®¢¥±²¨, ¹® ¢Æ¤®¡° ¦¥­­¿ f : L ! L Ä £®¬®²¥²Æľ ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ ®¡° § ¤®¢Æ«¼­®È ¯°¿¬®È `  L Ä ¯°¿¬®¾, ¯ ° «¥«¼­®¾ ¤® `. 36.44.

x

37.

Ž§­ ·¥­­¿ ®¯³ª«¨µ ¬­®¦¨­

¥µ © L { «Æ­Æ©­¨© ¯°®±²Æ° ­ ¤ ¯®«¥¬ R (­ ¯°¨ª« ¤, L = Rd) Æ x; x1; : : :; xn 2 L. Š ¦¥¬®, ¹® ²®·ª  x ®¯³ª«® § «¥¦¨²¼ ¢Æ¤ ²®·®ª x1 ; : : :; xn, ¿ª¹® x = 1x1 +


+ nxn, ¤¥ 1; : : :; n | ­¥¢Æ¤'Ĭ­Æ ¤Æ©±­Æ ·¨±«  § 1 +


+ n = 1 (³ ¶¼®¬³ ¢¨¯ ¤ª³ 1x1 +


+ n xn ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ®¯³ª«®¾ ª®¬¡Æ­ ¶Æľ ²®·®ª x1; : : :; xn). „«¿ ²®·®ª a; b 2 L ·¥°¥§ [a; b] = fta +(1 t)b : t 2 [0; 1]g ¯®§­ · Ä²¼±¿ ¢Æ¤°Æ§®ª § ªÆ­¶¿¬¨ a; b. DZ°¨©¬¥¬® ² ª®¦ [a; b) = a; b n fbg, (a; b] = [a; b] n fag i (a; b) = [a; b] n (fag [ fbg).

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Ž‡„Å‹ IX.

ƒ…ŽŒ…’ÅŸ ŽDZ“Š‹ˆ• ŒŽ†ˆ

DZƤ¬­®¦¨­  C  L ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ®¯³ª«®¾ ( ­£«Æ©±¼ª®¾ convex), ¿ª¹® [a; b]  C ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­¨µ ²®·®ª a; b 2 C . DZƤ °®§¬Æ°­Æ±²¾ dim C ®¯³ª«®È ¬­®¦¨­¨ C  L °®§³¬ÆĬ® °®§¬Æ°­Æ±²¼ ÈÈ  ´Æ­­®È ®¡®«®­ª¨. DZƤ¬­®¦¨­¨ A; B  L ­ §¨¢ ¾²¼±¿  ´Æ­­® ¥ª¢Æ¢ «¥­²­¨¬¨, ¿ª¹® A = f (B ) ¯°¨ ¤¥¿ª®¬³ ¡ÆĪ²¨¢­®¬³  ´Æ­­®¬³ ¢Æ¤®¡° ¦¥­­Æ f : a(A) ! a(B). Ž¯³ª«¨¬ ª®­³±®¬ ³ «Æ­Æ©­®¬³ ¯°®±²®°Æ L § ¢¥°¸¨­®¾ x0 ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ®¯³ª«  ¯Æ¤¬­®¦¨­  C  L, ¿ª  ° §®¬ § ¤®¢Æ«¼­®¾ ²®·ª®¾ x 2 C n fx0g ¬Æ±²¨²¼ ¢¥±¼ ¯°®¬Æ­¼ fx0 + t(x x0) : t  0g, ¹® ¢¨µ®¤¨²¼ § ²®·ª¨ x0 ¢ ­ ¯°¿¬Æ ²®·ª¨ x. DZƤ¬­®¦¨­  Z «Æ­Æ©­®£® ¯°®±²®°³ L ­ §¨¢ Ä²¼±¿ §Æ°ª®¢®¾ ( ­£«Æ©±¼ª®¾ starlike) ±²®±®¢­® ²®·ª¨ x0, ¿ª¹® Z ° §®¬ § ª®¦­®¾ ²®·ª®¾ z 2 Z ¬Æ±²¨²¼ ¢Æ¤°Æ§®ª [x0; z]. Œ­®¦¨­  ¢±Æµ ²®·®ª, ±²®±®¢­® ¿ª¨µ ¬­®¦¨­  Z §Æ°ª®¢ , ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ¿¤°®¬ ¬­®¦¨­¨ Z . 37.1. ‡  ¤®¯®¬®£®¾ ¢¥ª²®°­®È  «£¥¡°¨ ®¡£°³­²³¢ ²¨ ¢¢¥¤¥­¥ ®§­ ·¥­­¿ ¢Æ¤°Æ§ª  ²  Æ­²¥°¢ «Æ¢. n 37.2. „®¢¥±²¨, ¹® ¢Æ¤ª°¨²  ²  § ¬ª­¥­  ª³«Æ ¢ ¥¢ª«Æ¤®¢®¬³ ¯°®±²®°Æ R Ä ®¯³ª«¨¬¨ ¬­®¦¨­ ¬¨. n 37.3. „®¢¥±²¨ ² ª¥: ¿ª¹® § § ¬ª­¥­®È ª³«Æ ¢ R ¢¨ª¨­³²¨ ¤®¢Æ«¼­³ ¯Æ¤¬­®¦¨­³ ÈÈ ¬¥¦Æ, ²® ®²°¨¬ Ä¬® ®¯³ª«³ ¬­®¦¨­³. 37.4. „®¢¥±²¨, ¹® ª³«¾ § ¯®¯¥°¥¤­¼®È § ¤ ·Æ ­¥ ¬®¦­  § ¬Æ­¨²¨ ª³¡®¬. 37.5. „®¢¥±²¨, ¹® ¯Æ¤¬­®¦¨­  ‘  L Ä ®¯³ª«®¾ ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ ‘ ¬Æ±²¨²¼ ¤®¢Æ«¼­³ ®¯³ª«³ ª®¬¡Æ­ ¶Æ¾ ±¢®Èµ ²®·®ª. 37.6. „®¢¥±²¨, ¹® ®¡° § f (C ) ®¯³ª«®È ¬­®¦¨­¨ C  L ¯°¨  ´Æ­­®¬³ ¢Æ¤®¡° ¦¥­­Æ f : L ! L0 Ä ®¯³ª«®¾ ¬­®¦¨­®¾ ¢ L0. 1 37.7. „®¢¥±²¨, ¹® ¯°®®¡° § f (C ) ®¯³ª«®È ¬­®¦¨­¨ C  L0 ¯°¨  ´Æ­­®¬³ ¢Æ¤®¡° ¦¥­­Æ f : L ! L0 Ä ®¯³ª«®¾ ¬­®¦¨­®¾ ¢ L. n n 37.8. „®¢¥±²¨, ¹® ¡ÆĪ²¨¢­¥ ¢Æ¤®¡° ¦¥­­¿ f : R ! R ¯°¨ n > 1  ´Æ­­¥ ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ ®¡° § f (C ) ¤®¢Æ«¼­®È ®¯³ª«®È ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ C  Rn ®¯³ª«¨©. 37.9. (Ž¯¥° ¶Æ¿ ŒÆ­ª®¢±¼ª®£®). „®¢¥±²¨, ¹® ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­¨µ ®¯³ª«¨µ ¬­®¦¨­ A; B  L Æ ¤®¢Æ«¼­¨µ ¤Æ©±­¨µ ·¨±¥« ; ¬­®¦¨­  A + B = fa + b : a 2 A; b 2 Bg | ®¯³ª« . —¨ Ä ¬­®¦¨­  ³±Æµ ¯Æ¤¬­®¦¨­

x

83

37. Ž‡€—…Ÿ ŽDZ“Š‹ˆ• ŒŽ†ˆ

Rn Ƨ ¢¢¥¤¥­¨¬¨ ®¯¥° ¶Æ¿¬¨ ¤®¤ ¢ ­­¿ Æ ¬­®¦¥­­¿ ­  ·¨±«® «Æ­Æ©­¨¬ ¯°®±²®°®¬? 37.10.  °¨±³¢ ²¨ ¬­®¦¨­³ A + B , A + B , A + B , ¤¥ A { ®¤¨­¨·­¨© ª°³£, B { ®¤¨­¨·­¨© ª¢ ¤° ². 37.11. ¥µ © A; B; C { ®¯³ª«Æ ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ «Æ­Æ©­®£® ¯°®±²®°³. „®¢¥±²¨, ¹® A+B = B +A, A+(B +C ) = (A+B)+C , (A[B)+C = (A+C )[(B +C ). 37.12. „®¢¥±²¨, ¹® ¤®¢Æ«¼­  ®¯³ª«  ¯Æ¤¬­®¦¨­  ¯°¿¬®È  ´Æ­­® ¥ª¢Æ¢ «¥­²­  ®¤­Æ© § ¢®±¼¬¨ ¬­®¦¨­: ;, f0g, [0; 1], [0; 1), (0; 1), [0; 1), (0; 1), R. „®¢¥±²¨, ¹® ¦®¤­Æ ¤¢Æ § § §­ ·¥­¨µ ®¯³ª«¨µ ¯Æ¤¬­®¦¨­ ¯°¿¬®È ­¥ Ä  ´Æ­­® ¥ª¢Æ¢ «¥­²­¨¬¨. 37.13. „®¢¥±²¨, ¹® ¯«®¹¨­  ¬Æ±²¨²¼ ª®­²¨­³³¬ ®¯³ª«¨µ ¯Æ¤¬­®¦¨­, ¦®¤­Æ ¤¢Æ § ¿ª¨µ ­¥  ´Æ­­® ¥ª¢Æ¢ «¥­²­Æ. 37.14. „®¢¥±²¨, ¹® ¯«®¹¨­  ¬Æ±²¨²¼ 2 ®¯³ª«¨µ ¯Æ¤¬­®¦¨­, ¦®¤­Æ ¤¢Æ § ¿ª¨µ ­¥ Ä  ´Æ­­® ¥ª¢Æ¢ «¥­²­¨¬¨. T 37.15. „®¢¥±²¨, ¹® ¯¥°¥²¨­ i2I Ai ¤®¢Æ«¼­®È ±Æ¬'È ®¯³ª«¨µ ¯Æ¤¬­®¦¨­ Ai  L, i 2 I , Ä ®¯³ª«®¾ ¯Æ¤¬­®¦¨­®¾ ¢ L. 37.16.  ¢¥±²¨ ¯°¨ª« ¤ ¤¢®µ ®¯³ª«¨µ ¬­®¦¨­, ®¡'Ĥ­ ­­¿ ¿ª¨µ ­¥®¯³ª«¥. 37.17. ¥µ © A; B  L | ¤¢Æ ®¯³ª«Æ ¬­®¦¨­¨ § ®¯³ª«¨¬ ®¡'Ĥ­ ­­¿¬ A [ B . —¨ ®¡®¢'¿§ª®¢® ®¤­  § ¶¨µ ¯Æ¤¬­®¦¨­ ¬Æ±²¨²¼ Æ­¸³? S1 37.18. „®¢¥±²¨, ¹® ®¡'Ĥ­ ­­¿ n Cn ¤®¢Æ«¼­®È ¬®­®²®­­® §°®±² ¾·®È ±Æ¬'È ®¯³ª«¨µ ¯Æ¤¬­®¦¨­ «Æ­Æ©­®£® ¯°®±²®°³ Ä ®¯³ª«®¾ ¬­®¦¨­®¾. 37.19. „®¢¥±²¨, ¹® ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­®È ¯®±«Æ¤®¢­®±²Æ (An ) ®¯³ª«¨µ ¬­®¦¨­ S T1 ¬­®¦¨­  1 j j i Aj | ®¯³ª« . n 37.20. ¥µ © H | ¯Æ¢¯°®±²Æ° ¢ R . „®¢¥±²¨, ¹® H  ¡® L n H Ä ®¯³ª«¨¬ ª®­³±®¬. 37.21. „®¢¥±²¨, ¹® ¯Æ¤¬­®¦¨­  C  L Ä ®¯³ª«¨¬ ª®­³±®¬ § ¢¥°¸¨­®¾ x ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­¨µ ²®·®ª x ; : : :; xn 2 C Æ ¤®¢Æ«¼­¨µ ­¥¢Æ¤'Ĭ­¨µ ·¨±¥«  ; : : :; n ¯° ¢¢¨«¼­¥ ¢ª«¾·¥­­¿ x +  (x x ) +


+ n(xn x ) 2 C . 37.22. „®¢¥±²¨, ¹® ¿¤°® §Æ°ª®¢®È ¬­®¦¨­¨ Ä ­¥¯®°®¦­¼®¾ ®¯³ª«®¾ ¬­®¦¨­®¾. 37.23. „®¢¥±²¨, ¹® ª®¦­  §Æ°ª®¢  ¯Æ¤¬­®¦¨­  ¯°¿¬®È | ®¯³ª« . 1 3

2 3

1 2

1 2

2 3

1 3

c

=1

=1

=

0

1

1

0

0

1

1

0

84

Ž‡„Å‹ IX.

37.24.

x

38.

ƒ…ŽŒ…’ÅŸ ŽDZ“Š‹ˆ• ŒŽ†ˆ

 ¢¥±²¨ ¯°¨ª« ¤ §Æ°ª®¢®È ­¥®¯³ª«®È ¬­®¦¨­¨. Œ¥²°¨·­Æ ²  ²®¯®«®£Æ·­Æ ¢« ±²¨¢®±²Æ ®¯³ª«¨µ ¬­®¦¨­

ƒ®¢®°¿·¨ ¯°® ¬¥²°¨·­Æ ·¨ ²®¯®«®£Æ·­Æ ¢« ±²¨¢®±²Æp¯Æ¤¬­®¦¨­ Rn,  ¯¥Pn 2 «¾Ä¬® ¤® ±² ­¤ °²­®È ¥¢ª«Æ¤®¢®È ¬¥²°¨ª¨ d(~x; ~y) = i=1 (xi yi ) , ¿ª  ¯®°®¤¦³Ä ±² ­¤ °²­³ ²®¯®«®£Æ¾ ¯°®±²®°³ Rn. „«¿ ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ A  Rn ·¥°¥§ A i Ao ¯®§­ · ¾²¼ § ¬¨ª ­­¿ Æ ¢­³²°Æ¸­Æ±²¼ ¬­®¦¨­¨ A. „«¿ ¤Æ©±­®£® ·¨±«  r > 0 °®§£«¿¤ ²¨¬¥¬® ² ª®¦ § ¬ª­¥­¨© B(A; r) = fx 2 Rn : d(A; x)  rg ²  ¢Æ¤ª°¨²¨© U (A; r) = fx 2 Rn : d(A; x) < rg r-®ª®«¨ ¬­®¦¨­¨ A. n Ž¯³ª«¨¬ ²Æ«®¬ ¢ R ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ®¯³ª«  ¯Æ¤¬­®¦¨­  § ­¥¯®°®¦­®¾ ¢­³²°Æ¸­Æ±²¾. DZƤ  ´Æ­­®¾ ¢­³²°Æ¸­Æ±²¾ ®¯³ª«®È ¬­®¦¨­¨ C °®§³¬ÆĬ® ¬­®¦¨­³ a ntC = fc 2 C : 8x 2 a(C)9" > 0 c + "(x c) 2 Cg. n 38.1. „®¢¥±²¨, ¹® ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­®È ®¯³ª«®È ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ A  R Æ ¤®¢Æ«¼­®£® r > 0 ¬­®¦¨­¨ U (A; r) Æ B (A; r) ®¯³ª«Æ. 38.2. „®¢¥±²¨, ¹® ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­®È ®¯³ª«®È (ª®¬¯ ª²­®È) ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ A  Rn Æ ¤®¢Æ«¼­®£® r > 0 ¬­®¦¨­  B(A; r) ®¯³ª«  (Æ ª®¬¯ ª²­ ). n 38.3. „®¢¥±²¨, ¹® ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­®È ®¯³ª«®È ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ C  R ²  ¤®¢Æ«¼n ­®È ²®·ª¨ x 2 R Ʊ­³Ä ­¥ ¡Æ«¼¸¥ ®¤­ÆÄÈ ²®·ª¨ c 2 C § d(x; c) = d(x; C ). 38.4. (’¥®°¥¬  Œ®¶ªÆ­ ). „®¢¥±²¨, ¹® ­¥¯®°®¦­¿ § ¬ª­¥­  ¯Æ¤¬­®¦¨­  C  Rn ®¯³ª«  ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ ¤«¿ ª®¦­®£® x 2 Rn Ʊ­³Ä Ĥ¨­  ²®·ª  c 2 C § d(x; c) = d(x; C ). n 38.5. „®¢¥±²¨, ¹®  ´Æ­­  ¢­³²°Æ¸­Æ±²¼ ®¯³ª«®È ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ C  R ­¥¯®°®¦­¿ Æ §¡Æ£ Ä²¼±¿ § ²®¯®«®£Æ·­®¾ ¢­³²°Æ¸­Æ±²¾ ¬­®¦¨­¨ C ³ ÈÈ  ´Æ­­Æ© ®¡®«®­¶Æ a(C). n 38.6. —¨ ¬®¦­  § ¬Æ­¨²¨ R ³ ¯®¯¥°¥¤­Æ© ¢¯° ¢Æ ¤®¢Æ«¼­¨¬ «Æ­Æ©­¨¬ ²®¯®«®£Æ·­¨¬ ¯°®±²®°®¬? n 38.7. „®¢¥±²¨, ¹® ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­®È ®¯³ª«®È ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ C  R Æ ²®·®ª  x 2 a ntC, y 2 C ¯° ¢¨«¼­¥ ¢ª«¾·¥­­¿ [x; y )  a ntC. n 38.8. „«¿ § ¬ª­¥­®È ®¯³ª«®È ¬­®¦¨­¨ K  R Æ ²®·ª¨ x 2 K ¯°¨©¬¥¬®

x

39. ŽDZ“Š‹€ ŽŽ‹ŽŠ€

85

CCx(K ) = fy

2 Rn : 8t  0 x + ty 2 K g. „®¢¥±²¨, ¹® CCx(K ) | § ¬ª­¥­¨© ª®­³± § ¢¥°¸¨­®¾ ¢ ­³«Æ Æ CCx(K ) = CCy (K ) ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­®È ²®·ª¨ y 2 K . n o )o Æ C = (C o). 38.9. ¥µ © C | ®¯³ª«¥ ²Æ«® ¢ R . „®¢¥±²¨, ¹® C = (C n 38.10. ¥µ © C | ®¯³ª«¥ ®¡¬¥¦¥­¥ ²Æ«® ¢ R . „®¢¥±²¨, ¹® ©®£® ¢­³²°Æ¸­Æ±²¼ C o £®¬¥®¬®°´­  ¢Æ¤ª°¨²Æ© ®¤¨­¨·­Æ© ª³«Æ U = fx 2 Rn : d(x; 0) < 1g;   § ¬¨ª ­­¿ C | § ¬ª­³²Æ© ®¤¨­¨·­Æ© ª³«Æ B = fx 2 Rn : d(x; 0)  1g. „®¢¥±²¨, ¹® C £®¬¥®¬®°´­¥ ¯°®±²®°³ B n D, ¤¥ D | ¤¥¿ª  ¯Æ¤¬­®¦¨­  ®¤¨­¨·­®È ±´¥°¨. 38.11. “§ £ «¼­¨²¨ ¯®¯¥°¥¤­¾ ¢¯° ¢³ ­  §Æ°ª®¢Æ ¬­®¦¨­¨ § ­¥¯®°®¦­®¾ ¢­³²°Æ¸­Æ±²¾ ¢ Rn. 38.12. „®¢¥±²¨, ¹® ª®¦­  ¢Æ¤ª°¨²  ®¯³ª«  (¡Æ«¼¸ § £ «¼­® §Æ°ª®¢ ) ¯Æ¤¬­®¦¨­  ¢ Rn | £®¬¥®¬®°´­  Rn. 38.13. „®¢¥±²¨, ¹® ¬¥¦  ¤®¢Æ«¼­®£® ®¯³ª«®£® ²Æ«  C Rn | £®¬¥®n n k k ¬®°´­   ¡® R ,  ¡® S  R ¤«¿ ¤¥¿ª®£® 0  k < n. n 38.14. „®¢¥±²¨, ¹® ¬¥¦  ¤®¢Æ«¼­®È ®¯³ª«®È (·¨ §Æ°ª®¢®È) ¬­®¦¨­¨ ¢ R ¬ Ä ‹¥¡¥£®¢³ ¬Æ°³ 0. 38.15. ‡­ ©²¨ ¢Æ¤ª°¨²³ ¯Æ¤¬­®¦¨­³ ¯«®¹¨­¨, ¿ª  £®¬¥®¬®°´­  ¢Æ¤ª°¨²®¬³ ®¤¨­¨·­®¬³ ¤¨±ª³, ¯°®²¥ ¬ Ä ¬¥¦³ ¤®¤ ²­®È ¬Æ°¨ ‹¥¡¥£ . 38.16. ¥µ © A  B ¤¢Æ ®¯³ª«Æ ¬­®¦¨­¨ ­  ¯«®¹¨­Æ. „®¢¥±²¨, ¹® ¯¥°¨¬¥²° ¬¥¦Æ ¬­®¦¨­¨ A ­¥ ¯¥°¥¢¨¹³Ä ¯¥°¨¬¥²°  ¬¥¦Æ ¬­®¦¨­¨ B. 38.17. (’¥®°¥¬  ŒÆ­ª®¢±¼ª®£®). „®¢¥±²¨, ¹® ª®¬¯ ª²­¥ ®¯³ª«¥ ¶¥­²° «¼­®-±¨¬¥²°¨·­¥ ²Æ«® C  Rn «¥¡¥£®¢®È ¬Æ°¨ (C )  2n ¬Æ±²¨²¼ ­¥­³«¼®¢³ ²®·ª³ x 2 Zn. 1

x

39.

1

Ž¯³ª«  ®¡®«®­ª 

¬­®¦¨­¨ X  L ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ­ ©¬¥­¸  ®¯³ª«  ¯Æ¤¬­®¦¨­  conv(X)  L, ¹® ¬Æ±²¨²¼ X . Œ­®¦¨­ , ¹® Ä ®¯³ª«®¾ ®¡®«®­ª®¾ ±ªÆ­·¥­­®È ¬­®¦¨­¨, ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ®¯³ª«¨¬ ¯®«Æ¥¤°®¬. ‘² ­¤ °²­¨¬ n-¢¨¬Æ°­¨¬ ±¨¬¯«¥ª±®¬ ­ §¨¢ Ä²±¿ ¯Æ¤¬­®¦¨­  Ž¯³ª«®¾ ®¡®«®­ª®¾

Tn = f(t0; : : :; tn ) 2 Rn+1 : t0 +


+ tn = 1 i ti  0 ¤«¿ ¢±Æµ i  ng:

86

Ž‡„Å‹ IX.

ƒ…ŽŒ…’ÅŸ ŽDZ“Š‹ˆ• ŒŽ†ˆ

n-¢¨¬Æ°­¨¬ ±¨¬¯«¥ª±®¬ ¢ L ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ®¯³ª«  ®¡®«®­ª  convfe0 ; : : :; eng, ¤e e0; : : :; en |  ´Æ­­® ­¥§ «¥¦­Æ ²®·ª¨ ¯°®±²®°³ L. n-¢¨¬Æ°­¨¬ ª³¡®¬ ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ¤®¡³²®ª [ 1; 1]n  Rn. n-¢¨¬Æ°­¨¬ ª®ª³¡®¬ ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ®¯³ª«  ®¡®«®­ª  ¬­®¦¨­¨ fe1; : : :; eng, ¤¥ e1; : : :; en | ±² ­¤ °²­¨©

¡ §¨± ¯°®±²®°³ Rn. n n 39.1. „®¢¥±²¨, ¹® ª³¡ [ 1; 1] Ä ®¯³ª«®¾ ®¡®«®­ª®¾ ¬­®¦¨­¨ f 1; 1g . 39.2. Ÿª  £¥®¬¥²°¨·­  ±²°³ª²³°  n-¢¨¬Æ°­®£® ª®ª³¡  ¯°¨ n = 2; 3? 39.3. Ÿª¨© §¢'¿§®ª ¬Æ¦ ª³¡®¬ Æ ª®ª³¡®¬? 39.4. „®¢¥±²¨, ¹® ®¯³ª«  ®¡®«®­ª  ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ X «Æ­Æ©­®£® ¯°®±²®°³ §¡Æ£ Ä²¼±¿ § ¯¥°¥²¨­®¬ ³±Æµ ®¯³ª«¨µ ¯Æ¤¬­®¦¨­ L, ¹® ¬Æ±²¿²¼ ¬­®¦¨­³ X . 39.5. „®¢¥±²¨, ¹® ®¯³ª«  ®¡®«®­ª  ¬­®¦¨­¨ X  L §¡Æ£ Ä²¼±¿ § ¬­®¦¨­®¾ ³±Æµ ²®·®ª x 2 L ®¯³ª«® § «¥¦­¨µ ¢Æ¤ ²®·®ª ¬­®¦¨­¨ X , ²®¡²® conv(X) = f1x1 +


+ nxn : x1; : : :; xn 2 X; i  0; 1 +


+ n = 1g. 39.6. Ž¯¨± ²¨ ®¯³ª«³ ®¡®«®­ª³ n-¥«¥¬¥­²­®È ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ X  L ¯°¨ n 2 f1; 2; 3g. 39.7. ‡­ ©²¨ ®¯³ª«³ ®¡®«®­ª³ ª®« , ¯Æ¢ª®« , ¯ ° ¡®«¨, £Æ¯¥°¡®«¨. 39.8. ¥µ © A; B  L | ¤¢Æ ®¯³ª«Æ ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ «Æ­Æ©­®£® ¯°®±²®°³ L. „®¢¥±²¨, ¹® conv(A [ B) = Sa2A;b2B[a; b]. 39.9. „®¢¥±²¨, ¹® ª®¦¥­ n-¢¨¬Æ°­¨© ±¨¬¯«¥ª±  ´Æ­­® ¥ª¢Æ¢ «¥­²­¨© ±² ­¤ °²­®¬³ n-¢¨¬Æ°­®¬³ ±¨¬¯«¥ª±³. n+1. ‡­ ©²¨ 39.10. ¥µ © e0 ; : : :; en { ±² ­¤ °²­¨© ¡ §¨± ¯°®±²®°³ R ¡ °¨¶¥­²°¨·­Æ ª®®°¤¨­ ²¨ ²®·ª¨ x 2 Tn ¢  ´Æ­­®¬³ °¥¯¥°Æ e0; : : :; en. 39.11. (’¥®°¥¬  Š ° ²¥®¤®°Æ). „®¢¥±²¨, ¹® ®¯³ª«  ®¡®«®­ª  conv(X) ¤®¢Æ«¼­®È ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ X  Rn Ä ®¡'Ĥ­ ­­¿¬ k-¢¨¬Æ°­¨µ ±¨¬¯«¥ª±Æ¢ (k  n) § ¢¥°¸¨­ ¬¨ ¢ X . S 39.12. „«¿ ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ X  L ¯°¨©¬¥¬® X0 = X Æ Xn+1 = a;b2Xn [ab] S ¯°¨ n  0. „®¢¥±²¨, ¹® conv(X) = n0 Xn. „®¢¥±²¨, ¹® conv(X) = Xdim(L), ¿ª¹® ¯°®±²Æ° L ±ªÆ­·¥­­®-¢¨¬Æ°­¨©. „®¢¥±²¨, ¹® conv(X) = Xk, ¤¥ 2k 1 < dim L + 1  2k . 39.13. „®¢¥±²¨, ¹® ¤«¿ ­¥¯¥°¥²¨­­¨µ ®¯³ª«¨µ ¯Æ¤¬­®¦¨­ A; B «Æ­Æ©­®£® ¯°®±²®°³ L ²  ²®·ª¨ x 2 L  ¡® A \ conv(B) = ;,  ¡® B \ conv(A) = ;. n 39.14. „®¢¥±²¨, ¹® ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­®È ®¯³ª«®È ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ C  R ²  ²®·ª¨

x

39. ŽDZ“Š‹€ ŽŽ‹ŽŠ€

x 2= C Ʊ­³Ä ² ª¨© ¯Æ¢¯°®±²Æ° H  Rn, ¹® H  C Æ H 2= x.

87

„®¢¥±²¨, ¹® ®¯³ª«  ®¡®«®­ª  conv(X) ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ X  Rn  ¡® §¡Æ£ Ä²¼±¿ § Rn,  ¡® Ä ¯¥°¥²¨­®¬ ³±Æµ ¯Æ¢¯°®±²®°Æ¢, ¹® ¬Æ±²¿²¼ X . 39.16. „®¢¥±²¨, ¹® § ¬¨ª ­­¿ conv(X) ®¯³ª«®È ®¡®«®­ª¨ ¬­®¦¨­¨ X  Rn Ä ¯¥°¥²¨­®¬ ³±Æµ § ¬ª­¥­¨µ ®¯³ª«¨µ ¯Æ¤¬­®¦¨­, ¹® ¬Æ±²¿²¼ ¬­®¦¨­³ X . 39.17. “ ¿ª¨µ ¢¨¯ ¤ª µ conv(X) = conv(X)? n 39.18. „®¢¥±²¨, ¹® ¤Æ ¬¥²° ®¡¬¥¦¥­®È ¬­®¦¨­¨ ¢ R ¤®°Æ¢­¾Ä ¤Æ ¬¥²°³ ÈÈ ®¯³ª«®È ®¡®«®­ª¨. n 39.19. „®¢¥±²¨, ¹® ®¯³ª«  ®¡®«®­ª  ¢Æ¤ª°¨²®È ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ ¢ R ¢Æ¤n ª°¨²  ¢ R . n 39.20. „®¢¥±²¨, ¹® ®¯³ª«  ®¡®«®­ª  ª®¬¯ ª²­®È ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ ¢ R ª®¬¯ ª²­ . n 39.21. „®¢¥±²¨, ¹® ®¯³ª«  ®¡®«®­ª  ®¡¬¥¦¥­®È ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ ¢ R ®¡¬¥n ¦¥­  ¢ R . 39.22. „®¢¥±²¨, ¹® ®¯³ª«  ®¡®«®­ª  § ¬ª­¥­®È ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ ¯°¿¬®È § ¬ª­¥­ . 39.23. ‡­ ©²¨ ¯°¨ª« ¤ § ¬ª­¥­®È ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ ¯«®¹¨­¨, ®¯³ª«  ®¡®«®­ª  ¿ª®È ­¥§ ¬ª­¥­ . n 39.24. „®¢¥±²¨, ¹® ¤®¢Æ«¼­  ª®¬¯ ª²­  ®¯³ª«  ¯Æ¤¬­®¦¨­  C  R §¡Æ£ Ä²¼±¿ § ®¯³ª«®¾ ®¡®«®­ª®¾ ±¢®ÄÈ ¬¥¦Æ. 39.25. ŸªÆ § ¯®¯¥°¥¤­Æµ ¢¯° ¢ ¤®¯³±ª ¾²¼ ³§ £ «¼­¥­­¿ ­  ¤®¢Æ«¼­Æ «Æ­Æ©­Æ ²®¯®«®£Æ·­Æ ¯°®±²®°¨? n 39.26. (’¥®°¥¬   ¤®­ ). „®¢Æ«¼­³ ¯Æ¤¬­®¦¨­³ X  R § jX j > n + 1 ¬®¦­  °®§¡¨²¨ ­  ¤¢Æ · ±²¨­¨ X = Y [ Z ² ª, ¹® conv(Y) \ conv(Z) 6= ;. n 39.27. ¥µ © X  R | (n + 2)-¥«¥¬¥­²­  ¯Æ¤¬­®¦¨­ , ¢±Æ (n + 1)¥«¥¬¥­²­Æ ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ ¿ª®È  ´Æ­­® ­¥§ «¥¦­Æ. „®¢¥±²¨, ¹® Ʊ­³Ä Ĥ¨­¥ °®§¡¨²²¿ X = Y [ Z ² ª¥, ¹® conv(Y) \ conv(Z) 6= ;. 39.28. (’¥®°¥¬  ƒ ³± -‹¾ª ). „®¢¥±²¨, ¹® ®¯³ª«  ®¡®«®­ª  ¬­®¦¨­¨ ª®¬¯«¥ª±­¨µ ª®°¥­Æ¢ ¤®¢Æ«¼­®£® ¯®«Æ­®¬  P : C ! C ¬Æ±²¨²¼ ³±Æ ª®°¥­Æ ©®£® ¯®µÆ¤­®È P 0. 39.15.

88 x

Ž‡„Å‹ IX.

40.

ƒ…ŽŒ…’ÅŸ ŽDZ“Š‹ˆ• ŒŽ†ˆ

Ž¯®°­Æ ¢« ±²¨¢®±²Æ ®¯³ª«¨µ ¬­®¦¨­

Š ¦¥¬®, ¹® ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ A; A0  Rn °®§¤Æ«¿¾²¼±¿ £Æ¯¥°¯«®¹¨­®¾ H , ¿ª¹® Ʊ­³¾²¼ § ¬ª­¥­Æ ¯Æ¢¯°®±²®°¨ P; P 0  Rn ² ªÆ, ¹® A  P , A0  P 0 Æ P \ P 0 = H . DZƤ¬­®¦¨­¨ A; B ±²°®£® °®§¤Æ«¿¾²¼±¿ £Æ¯¥°¯«®¹¨­®¾ H , ¿ª¹® Ʊ­³¾²¼ ­¥¯¥°¥²¨­­Æ ¢Æ¤ª°¨²Æ ¯Æ¢¯°®±²®°¨ P; P 0  Rn §Æ ±¯Æ«¼­®¾ ¬¥¦¥¾ H ² ªÆ, ¹® A  P Æ A0  P 0. ƒÆ¯¥°¯«®¹¨­  H  Rn ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ®¯®°­®¾ ( ­£«Æ©±¼ª®¾ supporting n hyperplane) ¤® ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ A  R ¢ ²®·¶Æ x 2 A, ¿ª¹® H °®§¤Æ«¿Ä A Æ ®¤­®²®·ª®¢³ ¬­®¦¨­³ fxg. 40.1. (’¥®°¥¬  ƒ ­ - ­ µ ). „®¢¥±²¨, ¹® ¤«¿ ®¯³ª«®È ¢Æ¤ª°¨²®È ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ C  Rn ©  ´Æ­­®£® ¯Æ¤¯°®±²®°³ A  Rn § A \ C = ; Ʊ­³Ä £Æ¯¥°¯«®¹¨­  H  Rn, ¿ª  ¬Æ±²¨²¼ A Æ ­¥ ¯¥°¥²¨­ Ä C . 40.2. DZ®ª § ²¨, ¹® ³¬®¢  ¢Æ¤ª°¨²®±²Æ ¬­®¦¨­¨ C ¢ ²¥®°¥¬Æ ƒ ­ - ­ µ  ±³²²Ä¢  i ­¥ ¬®¦¥ ¡³²¨ § ¬Æ­¥­  § ¬ª­¥­Æ±²¾. 40.3. „®¢¥±²¨, ¹® ¤®¢Æ«¼­Æ ¤¢Æ ­¥¯¥°¥²¨­­Æ ®¯³ª«Æ ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ ¯°®±²®°³ Rn ¬Æ±²¿²¼±¿ ¢ ­¥¯¥°¥²¨­­¨µ ¯Æ¢¯°®±²®° µ Æ, ¿ª ­ ±«Æ¤®ª, °®§¤Æ«¿¾²¼±¿ £Æ¯¥°¯«®¹¨­®¾. 40.4. „®¢¥±²¨, ¹® ¤®¢Æ«¼­Æ ¤¢Æ ­¥¯¥°¥²¨­­Æ ®¯³ª«Æ ¢Æ¤ª°¨²Æ ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ ¯°®±²®°³ Rn ±²°®£® °®§¤Æ«¿¾²¼±¿ £Æ¯¥°¯«®¹¨­®¾. 40.5. „®¢¥±²¨, ¹® ¤¢Æ ­¥¯¥°¥²¨­­Æ ®¯³ª«Æ § ¬ª­¥­Æ ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ ¯°®±²®°³ Rn ±²°®£® °®§¤Æ«¿¾²¼±¿ £Æ¯¥°¯«®¹¨­®¾ §  ³¬®¢¨, ¹® ®¤­  § ¶¨µ ¯Æ¤¬­®¦¨­ ®¡¬¥¦¥­ . 40.6.  ¢¥±²¨ ¯°¨ª« ¤ ¤¢®µ § ¬ª­¥­¨µ ­¥¯¥°¥²¨­­¨µ ®¯³ª«¨µ ¯Æ¤¬­®¦¨­ ¯«®¹¨­¨, ¿ªÆ ­¥ ¬®¦³²¼ ¡³²¨ ±²°®£® °®§¤Æ«¥­Æ ¦®¤­®¾ ¯°¿¬®¾. 40.7. „®¢¥±²¨, ¹® ¤®¢Æ«¼­Æ ¤¢Æ ­¥¯¥°¥²¨­­Æ ®¯³ª«Æ § ¬ª­¥­Æ ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ ¯«®¹¨­¨ ¬Æ±²¿²¼±¿ ¢ ­¥¯¥°¥²¨­­¨µ ¯Æ¢¯°®±²®° µ, ®¤¨­ § ¿ª¨µ ¢Æ¤ª°¨²¨©, Æ­¸¨© | § ¬ª­¥­¨©. 40.8. —¨ ¯° ¢¨«¼­¥ ¯®¯¥°¥¤­Ä ²¢¥°¤¦¥­­¿ ¤«¿ § ¬ª­¥­¨µ ®¯³ª«¨µ ¯Æ¤¬­®¦¨­ ¯°®±²®°³? n 40.9. ¥µ © C | § ¬ª­¥­  ®¯³ª«  ¯Æ¤¬­®¦¨­  R . „®¢¥±²¨, ¹® ¤«¿ ª®¦­®È ²®·ª¨ ¬¥¦Æ ¬­®¦¨­¨ C ¢ Rn Ʊ­³Ä £Æ¯¥°¯«®¹¨­  ®¯®°­  ¤® C ³ ¶Æ© ²®·¶Æ. n 40.10. „®¢¥±²¨, ¹® § ¬ª­¥­  ¯Æ¤¬­®¦¨­  C  R § ­¥¯®°®¦­®¾ ¢­³²-

x

41. Ž‘Ž‹ˆ‚Å ’Ž—Šˆ ŽDZ“Š‹ˆ• ŒŽ†ˆ

89

°Æ¸­Æ±²¾ Ä ®¯³ª«®¾ ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ ¢ ª®¦­Æ© ²®·¶Æ ÈÈ ¬¥¦Æ Ʊ­³Ä ®¯®°­  £Æ¯¥°¯«®¹¨­  ¤® C . x

41.

Ž±®¡«¨¢Æ ²®·ª¨ ®¯³ª«¨µ ¬­®¦¨­

¥µ © C { ®¯³ª«  ¬­®¦¨­  ¢ Rn Æ x 2 @C { ²®·ª  ­  ©®£® ¬¥¦Æ. Š ¦¥¬®, ¹® x Ä ²®·ª®¾ ¯®°¿¤ª³ k, ¿ª¹® ¯¥°¥²¨­ ¢±Æµ £Æ¯¥°¯«®¹¨­, ®¯®°­¨µ ¤® C ¢ x ¬ Ä °®§¬Æ°­Æ±²¼ k. ’®·ª¨ x 2 @C ¯®°¿¤ª³ 0 ­ §¨¢ ¾²¼ ¢¥°¸¨­ ¬¨ C . ‡ Æ­¸®£® ¡®ª³, ¿ª¹® ²®·ª  x 2 @C ¬ Ä ¯®°¿¤®ª n 1, ²® ª ¦³²¼, ¹® C £« ¤ª¥ ¢ ²®·¶Æ x. ’®·ª  x ®¯³ª«®È ¬­®¦¨­¨ C  Rn ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ¢¨c²°®¬«¥­®¾ ( ­£«Æ©±¼ª®¾ exposed), ¿ª¹® Ʊ­³Ä ² ª  ®¯®°­  £Æ¯¥°¯«®¹¨­  H ¤® C ¢ ²®·¶Æ x, ¹® H \ C = fxg. ’®·ª  x 2 C ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ª° ©­¼®¾ ( ­£«Æ©±¼ª®¾ extremal), ¿ª¹® § x = (y + z )=2, ¤¥ y; z 2 C ¢¨¯«¨¢ Ä, ¹® y = z = x. ’®·ª  x 2 C ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ¢¨¯­³²®¾ ( ­£«Æ©±¼ª®¾ dentable), ¿ª¹® ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­®£® " > 0 Ʊ­³Ä ² ª¨© ¢Æ¤ª°¨²¨© ¯Æ¢¯°®±²Æ° H  Rn, ¹® ¯¥°¥²¨­ H \ C ¬Æ±²¨²¼ ²®·ª³ x Æ ¬ Ä ¤Æ ¬¥²° < ". Ž¯³ª«¥ ²Æ«® ­ §¨¢ Ä²¼±¿ ±²°®£® ®¯³ª«¨¬, ¿ª¹® ª®¦­  ²®·ª  ©®£® ¬¥¦Æ ¢¨±²°®¬«¥­ . n 41.1. „®¢¥±²¨, ¹® ®¯³ª«¥ ²Æ«® C  R £« ¤ª¥ ¢ ²®·¶Æ x 2 @C ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ Ʊ­³Ä Ĥ¨­  £Æ¯¥°¯«®¹¨­  ®¯®°­  ¤® C ¢ ²®·¶Æ x. 41.2.  ¢¥±²¨ ¯°¨ª« ¤ ®¯³ª«®£® ²Æ«  ­  ¯«®¹¨­Æ, ¿ª¥ ¬ Ä ­¥±ªÆ­·¥­­³ ªÆ«¼ªÆ±²¼ ¢¥°¸¨­. 41.3. „®¢¥±²¨, ¹® ®¯³ª«¥ ²Æ«® ­  ¯«®¹¨­Æ ¬®¦¥ ¬ ²¨ ­¥ ¡Æ«¼¸¥ ­Æ¦ §«Æ·¥­­³ ªÆ«¼ªÆ±²¼ ¢¥°¸¨­. n 41.4. „®¢¥±²¨, ¹® ®¯³ª«¥ ²Æ«® ¢ R ¬®¦¥ ¬ ²¨ ­¥ ¡Æ«¼¸¥ ­Æ¦ §«Æ·¥­­³ ªÆ«¼ªÆ±²¼ ¢¥°¸¨­. 41.5. „®¢¥±²¨, ¹® ª®¦­¥ ®¯³ª«¥ ²Æ«® ­  ¯«®¹¨­Æ ¬ Ä ²®·ª³ £« ¤ª®±²Æ. n 41.6. „®¢¥±²¨, ¹® ª®¦­¥ ®¯³ª«¥ ²Æ«® ¢ R ¬ Ä ²®·ª³ £« ¤ª®±²Æ. 41.7. „®¢¥±²¨, ¹® ª®¦­  ¢¨c²°®¬«¥­  ²®·ª  ®¯³ª«®È ¬­®¦¨­¨ Ä ¢¨¯­³²®¾,   ª®¦­  ¢¨¯­³²  ²®·ª  Ä ª° ©­¼®¾. 41.8. ‡­ ©²¨ ¯°¨ª« ¤ ®¯³ª«®£® ²Æ«  ­  ¯«®¹¨­Æ, ¿ª¥ ­¥ Ä ±²°®£® ®¯³ª«¨¬, ¯°®²¥ ª®¦­  ²®·ª  ¬¥¦Æ Ä ¢¨¯­³²®¾ ²®·ª®¾ £« ¤ª®±²Æ. 41.9. „®¢¥±²¨, ¹® ª®¦­  ¢¥°¸¨­  Ä ¢¨±²°®¬«¥­®¾ ²®·ª®¾.

90

Ž‡„Å‹ IX.

ƒ…ŽŒ…’ÅŸ ŽDZ“Š‹ˆ• ŒŽ†ˆ

 ¢¥±²¨ ¯°¨ª« ¤ ¢¨±²°®¬«¥­®È ²®·ª¨ ®¯³ª«®£® ²Æ«  ­  ¯«®¹¨­Æ, ¿ª  ­¥ Ä ¢¥°¸¨­®¾. 41.11. „®¢¥±²¨, ¹® ª®¦­  ª° ©­¿ ²®·ª  ®¯³ª«®£® ¯®«Æ¥¤°  Ä ¢¥°¸¨­®¾. 41.12. „®¢¥±²¨, ¹® ²®·ª  x ­  ¬¥¦Æ ®¯³ª«®£® ²Æ«  C Ä ª° ©­¼®¾ ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ ¬­®¦¨­  C n fxg ®¯³ª« . 41.13. „®¢¥±²¨, ¹® ¬­®¦¨­  ª° ©­Æµ ²®·®ª ¤®¢Æ«¼­®£® § ¬ª­¥­®£® ®¯³ª«®£® ²Æ«  ­  ¯«®¹¨­Æ Ä § ¬ª­¥­®¾ ¬­®¦¨­®¾. 41.14. „®¢¥±²¨, ¹® ¬­®¦¨­  ª° ©­Æµ ²®·®ª ¤®¢Æ«¼­®È § ¬ª­¥­®È ®¯³ª«®È ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ C  Rn Ä §«Æ·¥­­¨¬ ¯¥°¥²¨­®¬ ¢Æ¤ª°¨²¨µ ¯Æ¤¬­®¦¨­ Rn. 3 41.15. ‡­ ©²¨ ¯°¨ª« ¤ ª®¬¯ ª²­®£® ®¯³ª«®£® ²Æ«  C ¢ ¯°®±²®°Æ R , ¬­®¦¨­  ª° ©­Æµ ²®·®ª ¿ª®£® ­¥§ ¬ª­¥­ . n 41.16. „®¢¥±²¨, ¹® ¤®¢Æ«¼­¥ ª®¬¯ ª²­¥ ®¯³ª«¥ ²Æ«® ¢ R ¬ Ä ¢¨±²°®¬«¥­³ ²®·ª³. 41.17. (’¥®°¥¬  Š°¥©­ -ŒÆ«¼¬ ­ ). „®¢¥±²¨, ¹® ª®¬¯ ª²­  ®¯³ª«  ¯Æ¤¬­®¦¨­  Rn §¡Æ£ Ä²¼±¿ § ®¯³ª«®¾ ®¡®«®­ª®¾ ¬­®¦¨­¨ ±¢®Èµ ª° ©­Æµ ²®·®ª. 41.18. (’¥®°¥¬  ‘²° ¸¥¢¨· ). „®¢¥±²¨, ¹® ª®¬¯ ª²­  ®¯³ª«  ¯Æ¤¬­®¦¨­  Rn Ä § ¬¨ª ­­¿¬ ®¯³ª«®È ®¡®«®­ª¨ ±¢®Èµ ¢¨±²°®¬«¥­¨µ ²®·®ª. n 41.19. „®¢¥±²¨, ¹® ¬­®¦¨­  ª° ©­Æµ ²®·®ª ®¯³ª«®£® ª®¬¯ ª²  C  R ¬Æ±²¨²¼±¿ ¢ § ¬¨ª ­­Æ ¬­®¦¨­¨ ¢¨±²°®¬«¥­¨µ ²®·®ª C . 41.10.

x

42.

’¥®°¥¬  ƒ¥««Æ ²  ÈÈ § ±²®±³¢ ­­¿

(’¥®°¥¬  ƒ¥««Æ). „®¢¥±²¨, ¹® ±ªÆ­·¥­­  ±Æ¬'¿ C ®¯³ª«¨µ ¯Æ¤¬­®¦¨­ ¯°®±²®°³ Rn ¬ Ä ­¥¯®°®¦­¨© ¯¥°¥²¨­ \C 6= ; ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ \B 6= ; ¤«¿ ª®¦­®È ¯Æ¤±Æ¬'È B  C ¯®²³¦­®±²Æ jBj  n + 1. 42.2. (’¥®°¥¬  ƒ¥««Æ). „®¢¥±²¨, ¹® ±Æ¬'¿ C ª®¬¯ ª²­¨µ ®¯³ª«¨µ ¯Æ¤¬­®¦¨­ ¯°®±²®°³ Rn ¬ Ä ­¥¯®°®¦­¨© ¯¥°¥²¨­ \C 6= ; ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ \B 6= ; ¤«¿ ª®¦­®È ¯Æ¤±Æ¬'È B  C ¯®²³¦­®±²Æ jBj  n + 1. 42.3. „®¢¥±²¨, ¹® ·¨±«® n + 1 ³ ²¥®°¥¬Æ ƒ¥««Æ ­¥ ¬®¦¥ ¡³²¨ §¬¥­¸¥­¥. 42.4. „®¢¥±²¨, ¹® ¤«¿ ±Æ¬'È fTi gi2I ¯ ° «¥«¼­¨µ ¢Æ¤°Æ§ªÆ¢ ­  ¯«®¹¨­Æ Ʊ­³Ä ¯°¿¬ , ¿ª  ¯¥°¥²¨­ Ä ª®¦¥­ § ¶¨µ ¢Æ¤°Æ§ªÆ¢, ¿ª¹® ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­¨µ 42.1.

x

42. ’…Ž…Œ€ ƒ…‹‹Å ’€ ÇÇ ‡€‘’Ž‘“‚€Ÿ

91

²°¼®µ ¢Æ¤°Æ§ªÆ¢ ¶ÆÄÈ ±Æ¬'È Æ±­³Ä ¯°¿¬ , ¿ª  ¯¥°¥²¨­ Ä ª®¦¥­ § ¶¨µ ²°¼®µ ¢Æ¤°Æ§ªÆ¢. 42.5. „®¢¥±²¨ ² ª¥: ¿ª¹® ¤®¢Æ«¼­Æ 3 ²®·ª¨ ¤¥¿ª®È ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ X ­  ¯«®¹¨­Æ ¯®ª°¨¢ ¾²¼±¿ ¤¨±ª®¬ ° ¤Æ³±  1, ²®¤Æ ¢±¿ ¬­®¦¨­  X ¯®ª°¨¢ Ä²¼±¿ ¤¨±ª®¬ ° ¤Æ³±  1. 42.6. Ÿª¹® ¤¥¿ª  ±ªÆ­·¥­­  ±Æ¬'¿ ¯Æ¢¯°®±²®°Æ¢ ¯®ª°¨¢ Ä ®¯³ª«³ ¬­®¦¨­³ ¢ Rn, ²®¤Æ Ʊ­³Ä  (n + 1) ¯Æ¢¯°®±²Æ° ¶ÆÄÈ ±Æ¬'È, ¹® ¯®ª°¨¢ Ä ¶¾ ¬­®¦¨­³. 42.7. (’¥®°¥¬  ŠÆ°µ¡¥°£¥° ). „®¢¥±²¨, ¹® ¤¢Æ ª®¬¯ ª²­Æ ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ X; Y  Rn ¬®¦³²¼ ¡³²¨ ±²°®£® °®§¤Æ«¥­Æ £Æ¯¥°¯«®¹¨­®¾ ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ ¤®¢Æ«¼­Æ ±ªÆ­·¥­­Æ ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ A  X , B  Y § jAj+jBj  n+2 ¬®¦³²¼ ¡³²¨ °®§¤Æ«¥­Æ £Æ¯¥°¯«®¹¨­®¾. n 42.8. „®¢¥±²¨, ¹® ¤¢Æ ª®¬¯ ª²­Æ ¯Æ¤¬­®¦¨­¨ X; Y  R ¬®¦³²¼ ¡³²¨ ±²°®£® °®§¤Æ«¥­Æ £Æ¯¥°¯«®¹¨­®¾ ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ conv(A) \ conv(B) 6= ; ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­¨µ ±ªÆ­·¥­­¨µ ¯Æ¤¬­®¦¨­ A  X , B  Y ¯®²³¦­®±²Æ jAj + jBj  n + 2. 42.9. (’¥®°¥¬  Š° ±­®±¥«¼±¼ª®£®). „®¢¥±²¨, ¹® ª®¬¯ ª²­  ¯Æ¤¬­®¦¨­  X  Rn { §Æ°ª®¢  ²®¤Æ Æ «¨¸¥ ²®¤Æ, ª®«¨ ª®¦­  ¯Æ¤¬­®¦¨­  A  X ¯®²³¦­®±²Æ jAj  n + 1 ¬Æ±²¨²¼±¿ ¢ ¤¥¿ªÆ© §Æ°ª®¢Æ© ¯Æ¤¬­®¦¨­Æ Z  X . n 42.10. „®¢¥±²¨, ¹® ¤®¢Æ«¼­¥ ®¯³ª«¥ ®¡¬¥¦¥­¥ ²Æ«® C  R ¬Æ±²¨²¼ ² ª³ d(x;c) ²®·ª³ c 2 C , ¹® d(y;c)  n ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­¨µ ²®·®ª x; y 2 @C ¬¥¦Æ C § c 2 [x; y ]. 42.11. ¥µ © M { «Æ­Æ©­¨© ¯°®±²Æ° (n  n)-¬ ²°¨¶¼ § ¤Æ©±­¨¬¨ ª®¥´Æ¶ÆÄ­² ¬¨ Æ K { ¯Æ¤¬­®¦¨­ , ¹® ±ª« ¤ Ä²¼±¿ §P¡Æ±²®µ ±²¨·­¨µ ¬ ²°¨¶¼ P (²®¡²® ¬ ²°¨¶¼ (aij ) § aij  0, k aik = 1, k akj = 1 ¤«¿ ¤®¢Æ«¼­¨µ i; j  n). „®¢¥±²¨, ¹® K | ª®¬¯ ª²­¨© ¯®«Æ¥¤°, ¢¥°¸¨­ ¬¨ ¿ª®£® Ä ¬ ²°¨¶Æ ¯¥°¥±² ­®¢®ª, ²®¡²® ¬ ²°¨¶Æ, ³ ª®¦­Æ© ±²°Æ·¶Æ ²  ±²®¢¯¶Æ ¿ª¨µ Ĥ¨­¨© ­¥­³«¼®¢¨© ¥«¥¬¥­², ¹® ¤®°Æ¢­¾Ä 1.

‚Ƥ¯®¢Æ¤Æ ~ = : ¯®¢¥°­³²¨ ª®¦¥­ ¢¥ª²®° ­  90 £° ¤³±Æ¢. 2.1. BD ~ = ( 1=2; 1=2), KD ~ = ( 1; 1=2. 2.2. AM ~ = (1=2; 0), AO ~ = ( 1; 1), CO ~ ~ ~ (1=3; 1=3), MO = ( 1=6; 1=3): 2.3. AB = (3=5; 2=5), BC = (2=5; 2=5), ~ = ( 2=5; 3=5), DA ~ = ( 3=5; 3=5): 2.5. BC ~ = (1; 1), BD ~ = (1; 2), CD ~ = (0; 1), DE ~ = ( 1; 0), CE ~ = ( 1; 1), EF ~ = ( 1; 1), CF ~ = CD ~ ~ ~ ( 2; 0). 2.6. 1) AB = ( 1; 1; 0), BC = (0; 1; 1), AC = ( 1; 0; 1), ~ = ( 1=2; 1=2; 1), MP ~ = ( 1=2; 0; 0) i KQ ~ = 2) P~Q = ( 1=2; 1=2; 0), NC ( 1=2; 1=2; 1=2); ~ =(1/3;1/3;1/3), KS ~ = ( 1=6; 1=3; 1=3). 2.7. 1) OM ~ = ( mn+n ; mm+n ), 3) OS jAC j jAB j ~ = ( n nm ; mm n ). 2) ON 2.8. ( 2.9. A(0; 0), jAB j+jAC j ; jAB j+jAC j ). B (2=3; 1=3), C (1; 0), D(2=3; 2=3), E (0; 1), F ( 1=3; 2=3). 2.10. A(0; 0), B (0; 1), C (1=4; 1), D(1; 0), M (1=5; 4=5), S (0; 4=3). 2.11. D (28; 9). ~ j ~b j KL ~ a 1 2.16. 1) (1; 9=25), 2) (1; 3=7), 2.13. 2.14. ~ j = 5. j~aj + j~bj . jLB 3) (1; 1=2), 4) ¶¥­²° ®¯¨± ­®£® ª®«  | (1; 1=2), ¶¥­²° ¢¯¨± ­®£® ª®«  ~ = | (7=12; 1=4). 2.17. 1) A(0; 0), B(1; 0), C (1; 1), D(0; 1), 2) BH ~ = (1; 0; 3). ( 1; 0; 3) i DK 3.44. (‚¨° §¨²¨ ±³¬³ ¢Æ¤±² ­¥© ·¥°¥§ ±ª «¿°­Æ ¤®¡³²ª¨). 3.45. (‚¨° §¨²¨ ±³¬³ ¢Æ¤±² ­¥© ·¥°¥§ p ±ª «¿°p 1+ 5) 1 2 2 1 ­Æ ¤®¡³²ª¨). 4.19. ~c = ( 3 ; 3 ; 3 ). 4.20. ~c = ( 2 ; 4 ; 1 4 5) ). 4.21. 9. 4.22. 48. 5.1. ¥ª®¬¥­¤ ¶Æ¿: °®§£«¿­³²¨ ¢¥ª²®°¨ ~ a(1; 1; 2); ~b(px + y ; px y ; px2 + 1) Æ Èµ ±ª «¿°­¨© ¤®¡³²®ª. 5.2. ¥ª®¬¥­¤ ¶Æ¿: ³ ¯°¿¬®ª³²­Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² °®§£«¿­³²¨ ²®·ª¨ O(0; 0); A(2a; 2b), B (a + c; b)) Æ ¢¨ª®°¨±² ²¨ ­¥°Æ¢­Æ±²¼ OA  OB + BA. 5.3. ¥ª®¬¥­¤ ¶Æ¿: °®§£«¿­³²¨ ¢¥ª²®°¨ ~ a(sin x sin y ; cos x cos y ); ~b(sin z ; cos z ). ’®¤Æ j(~a;~b)j  j~ajj~bj  1. 6.1. 7x 4y + 13 = 0. 6.2. 8x 6y + 4 = 0. 6.5. 7x + y + 18 = 0. 6.6. x 2y 4 = 0. 6.7. S = 9. 6.11. x 3y + 7 = 0, 2x 7y + 13 = 0, 3xp+ 4y 18 = 0. 6.15. (3; 11). p 7.1. 1) 3; 2) 2; 4) 6. 7.2. jC2 C1j= A2 + Bp2. 7.3. DZ °  ¯°¿¬¨µ A1 x + B1 y + C1 = (A2 x + B2 y + C2), ¤¥  = K (A21 + B12 )=(A22 + B22 ). 7.4. 1) ( 2; 3); 2) ( 5; 4). 7.5. x 3y + 7 = 0. 7.6. 5x 10y = 11. 7.7. x = 5. 7.8. (7; 5), 2x 3y + 11 = 0, 2x + y 9 = 0, x + y 2 = 0. 1.5. ¥ª®¬¥­¤ ¶Æ¿

92

‚Å„DZŽ‚Å„Å

93

3x + 4y 11 = 0, 3x + 4y + 1 = 0, 63x + 59y 205 = 0. 7.10.p x + y 4 = 0, px + y = 0, y = 5, x = 3. p 7.11. 1) arccos(1= p10); 2) arccos(2= 5);p 3) 90Æ; 4) 0; 5) arccos(4= 65). 7.13. x = 2+ y(2+ 3), x = 2 + y (2 3). 7.14. 2x 11y + 16 = 0  ¡® 2x 11y + 6 = 0. 7.15. 3x y + 17 = 0. 7.16. x + 3y + 9 = 0. 7.17. 77x + 21y 50 = 0, 7x 56y + 25 = 0; y = x. 7.18. –¥­²° ¢¯¨± ­®£® ª®«  | ( 8; 1), ©®£® ° ¤Æ³± ¤®°Æ¢­¾Ä 4; ¶¥­²° ®¯¨± ­®£® ª®«  | ( 3=16; 51=4), ©®£® ° ¤Æ³± ¤®°Æ¢­¾Ä 325=16. 7.19. 6x + y 11 = 0; x + 6y + 4 = 0, 146x+99y 641 = 0. 7.20. ( 3;p5). 7.21. 11x 15y +11 = 0. 7.22. „¢  °®§¢'¿§ª¨: 1) ° ¤Æ³± p ¤®°Æ¢­¾Ä 2 2, ¶¥­²° ¬ Ä ª®®°¤¨­ ²¨ ( 3; 1); 2) ° ¤Æ³± ¤®°Æ¢­¾Ä 2, ¶¥­²° ¬ Ä ª®®°¤¨­ ²¨ ( 2; 4). 7.23. x = 3; y = 1  ¡® 3x +4y 5 = 0; 4x 3y 15 = 0. 7.25. x +3y 13 = 0. 7.26. 5=13. 11 0 14 0 10.3. x = x 152 y 0 + 23 z 0 ; y = 152 x0 15 y 31 z 0; z = 23 x0 13 y 0 + 32 z 0. 15 ( 12.5. 1) x + y z 3 = 0; 2) x 3 1 = y 4 3 = z211 ; 3) x 0 1 = 2x + 3y + z 12 = 0; y 3 = z 1 . 12.6. (0; 0; 1). 13.5. 1) ¯°¿¬  «¥¦¨²¼ ¢ ¯«®¹¨­Æ; 2) ¯¥0 1 °¥²¨­ Ä ¢ ²®·¶Æ (53; 14; 18); 3) ¯¥°¥²¨­ Ä ¢ ²®·¶Æ ( 43 ; 14 ; 21 ); 4) ¯°¿¬  «¥¦¨²¼ ¢ ¯«®¹¨­Æ; 5) ¯°¿¬  ¯ ° «¥«¼­  ¤® ¯«®¹¨­¨. 13.6. 1) a 6= 12 ; 2) a = 12 ; 3) a = 21 . 13.7. 1) a = 3; 2) a = 1; 3) a = 1; 4) a 6= 1, a 6= 3. 13.8. 1) ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿ ¢ ²®·¶Æ ( 3; 0; 4) Æ «¥¦ ²¼ ¢ ¯«®¹¨­Æ 2x y + 6z 18 = 0; 2) ¬¨¬®¡Æ¦­Æ; 3) ¯ ° «¥«¼­Æ Æ «¥¦ ²¼ ¢ ¯«®¹¨­Æ 5x 22y + 19z + 9 = 0; 4) §¡Æ£ ¾²¼±¿; 5) ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿ ¢ ²®·¶Æ ( 3; 5; 5) Æ «¥¦ ²¼ ¢(¯«®¹¨­Æ 9x + 10y 7z 58 = 0. 4x + 3z = 0; x 1= 13.9. 39x +27y 11z 120 = 0. 13.10. 13.11. 4 y + 2z + 9 = 0: y = z . 13.12. 4x + y 8z + 6 = 0. 13.13. 1) x(+ 7y 6z + 6 = 0; 2 1 2) 10x +2y z +10 = 0. 13.14. 1) x0 = 3y = z 11 ; 2) x = 0; y 4z + 3 = 0: ( 13.15. 1) x+54 = y+3 = z+3 ; 2) 2x + y + 5z 6 = 0; 13.16. x 5 2 x + 2y 3z + 2 = 0: 3z + 4 = 0; 2x 4y + 5z + 9 = 0, 6x + y + z + 2 = 0; x+1 = y 1 3 = z 31 . 2 13.17. 4x + y 3z + 5 = 0, 10x + y 3z + 11 =(0, 20x + 5y + 3z 29 = 0, x 2y 3z + 8 = 0. 13.18. 1) 5x 6y + 7z = 0; x 3y + 2z = 0; 7.9.

94

‚Å„DZŽ‚Å„Å

(

(

2) 2x y + z = 0; 13.19. 1) 13x 12y + 11z + 36 = 0; 25x + 12y 20z = 0: x ( 2y + z + 4 = 0; ( 2x 3y + 5z + 21 = 0; 2) x y z + 1 = 0; 13.20. 8x + 14y + 19z + 13 = 0: x y z 17 = 0: 13.21. 11x 13y +8z +18 = 0 Æ 20x 8y 5z 22 = 0. 13.22. x+4y +z 5 = 0, x 10y 6z + 23 = 0, 2x + y + 2z 10 = 0, 2x + y + 9z 38 = 0. 13.23. 5x + y 7z + 13 = 0, 3x y 5z + 15 = 0, z 4 = 0, x + y + z 7( = 0, x z + 1 = 0, x + y 3z + 5 = 0, x 2z + 6 = 0. 13.24. y 2z + 4 = 0; 13.25. 1) x 1 1 = y+13 = z 2 2 ; 3x + 4y z 10 = 0: = z 0 2 ; 3) x 0 1 = y+1 = z 0 2 ; 4) x 0 1 = y+1 = z 12 ; 2) x 1 1 = y+1 0 1 0 5) x111 = y+1 = z 3 2 . 13.26. 5x 10y 3z 3 = 0. 13.27. 1) 5pz 10 2y z 2 = 0; 2) 7x-y+4z-3=0. 14.2. (1; 3; 2). 14.3. 1) 3; 18 127 2) 0; 3) 1. 14.4.p 1) 2; 2) 5; 3) 0. 14.5. (0; 0; 1)  ¡® 976 ;p 97 ; 97 ). 6 3  1 14.6. 1) arccos 3 ; 2) arccos 2p3 ; 3) 2 . 14.7. 1) arccos 5 ; 2) 2 . ; 3) 2 . 14.9. (1; 0; 1)  ¡® ( 1; 3; 2). 14.8. 1) arcsin p16 ; 2) arcsin 62 63 14.11. 1) x7 = y 2 5 = z 12 ; x1 = y 105 = z 132 ; 2) x 1 3 = y 12 = 5 5 z 1 ; x 3 = y 2 = z 1 ; 3) x p3 = y p z 5p ; x p3 = y p = = 2 1 1 1 7 2 3 7 3 3 7+6 3 7+2 3 7+3 3 ( p z 5p . 14.13. 1) 5x + 4y z 24 = 0; 14; (5; 3; 13) ; (6 ; 1 ; 10) ; 7 6 3 4 x y + 2 z 43 = 0 ; ( p 2) 2x 5y + 8z 9 = 0; ( 4; 3; 4); ( 1; 9; 7); 3 6; x z + 8 = 0; ( p 3) 3x 2y z 6 = 0; (7; 3; 9); (3; 1; 1); 2 21. 5x + 34y( 11z 38 =(0; ( ( y = 3; x = 1; 2 x y = 1; 14.14. 1)  ¡® 2)  ¡® x 2y = 5; z = 2; z = 2; z = 2; z = 2: 14.15. 2x + y + z 1 = 0  ¡® 14 x + 13y 11z 1 = 0. 14.16. 1) p12 ; p p 2) 2411 2 ; 3) 3p841 ; 4) arccos 3102 ; 5) arcsin 101 . 14.17. 1) p23 ; 2) p16 ; 3) ¢Æ¤°Æ§®ª AC1 ¤Æ«¨²¼±¿ ³ ¢Æ¤­®¸¥­­Æ 2 : 1, ¢Æ¤°Æ§®ª CD1 ¤Æ«¨²¼±¿ p ³ 3 ¢Æ¤­®¸¥­­Æ p 127:p1. 14.18. 8x + 5y z 25 180. 4 14.19. 1 Æ 2 14. 14.20. 2 Æ 8 2, ¶¥­²° ¢¯¨± ­®£® ª®«  | (2; 5 ; 5 ), ¶¥­²° ®¯¨± ­®£® ª®«  | ( 318 ; 56 ; 29 ). 40

95

‚Å„DZŽ‚Å„Å

…«Æ¯±. ƒÆ¯¥°¡®« . DZ ° ¡®« 

2 1) x + y 2 = 1;  paab2 b2 , y =  paab2 b2 . 15.7. 2 2) x == 2 + y = = 1; 3) ­¥ Ʊ­³Ä. 15.9. 3 Æ 7. 15.10. 1) x2 + y2 = 1; 2) x2 + y1632 = 1; 3) x2 + y2 = 1; 4) x2 + y2 = 1; 5) x2 + y2 = 1; 6) x2 + y2 = 1; 7) x2 + y2 = 1. p16.4. 1) ¤Æ©±­  ¯Æ¢¢Æ±¼ p | a, ³¿¢­  ¯Æ¢¢Æ±¼ | b, ¥ª±¶¥­²°¨±¨²¥² | a + b =a, ´®ª³±¨ ( a + b ; 0); ¤¨°¥ª²°¨±¨ | p b x = a = a + b ,  ±¨¬¯²®²¨ | y = p | b, p  a x: 2) ¤Æ©±­  ¯Æ¢¢Æ±¼ ³¿¢­  ¯Æ¢¢Æ±¼ | a, ¥ª±¶¥­²°¨±¨²¥² | a + b =b, ´®ª³±¨ (0;  a + b ); p ¤¨°¥ª²°¨±¨ | y = b = a + b ,  ±¨¬¯²®²¨ | y =  ab x: 3) ¤Æ©±­  ¯Æ¢¢Æ±¼ | 4, ³¿¢­  ¯Æ¢¢Æ±¼ | 3, ¥ª±¶¥­²°¨±¨²¥² | , ´®ª³±¨ (5; 0); ¤¨°¥ª²°¨±¨ | x =  ,  ±¨¬¯²®²¨ |py =  x; 4) ¤Æ©±­  p ¯Æ¢¢Æ±¼ | 1, ³¿¢­  ¯Æ¢¢Æ±¼ p | 1, ¥ª±¶¥­²°¨±¨²¥² | 2, ´®ª³±¨ (0;  2); ¤¨°¥ª²°¨±¨ | y =  ,  ±¨¬¯²®²¨ |py = x; 5) p¤Æ©±­  p ¯Æ¢¢Æ±¼ p |p1, ³¿¢­  ¯Æ¢¢Æ±¼ | 1, ¥ª±¶¥­²°¨±¨²¥² | 2, ´®ª³±¨ ( 2 ; 2) ; ( 2; 2) ¤¨°¥ª²°¨±¨ p | y = x  ,  ±¨¬¯²®²¨ | x = 0p; y = 0; 6) ¤Æ©±­  p p ¯Æ¢¢Æ±¼ p |p 1, ³¿¢­  ¯Æ¢¢Æ±¼ | 1, ¥ª±¶¥­²°¨±¨²¥² | 2, ´®ª³±¨ ( 2; 2); ( 2; 2) ¤¨°¥ª²°¨±¨ | y= x  1,  ±¨¬¯²®²¨ | x2 = 0; y = 0: 16.5. d 2= 49. 2 2 2 2 y y y = 1; x x x 16.6. 1) = 1; 2) 4x ; 4) y = 1; 5) 2 2 2 2 2 2 2 6) x y = 1; 7) x y =p1; 8) x yp = 1; 9) y x2 = 1; y2 x2 = 1. 16.8. 1) 2; 2) 2; 3) 10. 16.10. 1) x 2 16.7. = y 2 = 1; 3) x 2 y2 = 1. 16.12. x2 y2 = 1. y 2 = 1; 2) x 2 = p 16.13.  = 3. 17.2. 1) ´®ª³± | ( p ; 0), ¤¨°¥ª²°¨±  | x = p ; 2) ´®ª³± | ( p ; 0), ¤¨°¥ª²°¨±  | x = p ; 3) ´®ª³± | ( ; 0), ¤¨°¥ª²°¨±  | x = ; 4) ´®ª³± | ( ; 0), ¤¨°¥ª²°¨±  | xp= ; 5) ´®ª³± | (0; ),p ¤¨°¥ª²°¨±  | y = ; 6) ´®ª³± | (0; ), ¤¨°¥ª²°¨±  | 1) y = q5x; 2) y = 24x; 3) y = y = . 17.3. . 17.4. p p 9x; y = 2(18 9 2)x. 17.5. 1) ( ;  ); ( ;  75); 2) ( ; 2); p 3) ( ; p12; 5); 4) (8;  80); ( ;  p ): 17.6. 1) (y b) = 2p(x a); 2) (y b) = 2p(x a); 3) (x a) = 2p(y b); 4) (x a) = 2p(y b). 17.7. 1) y = 12(x 4); 2) y = 2(x 7; 5); 3) x =2 4(y2 1); 4) (x ) = 6(y + ). 17.8. (9; 12); (9; 12). 18.2. x + y = 1.

x=

15.6.

( +14 5) 576 25

(

+ ( 2) 320 25

16

+

15

6

2

20

2

2

(

1) 16

36

20

15

2) 25

4

2

9

5

2

2

9

256

192

2

2

2

2

2

2

2

2

16 5

5 4

3 4

2 2

2 2

25

7

4 35

2

11

2

9

16 9

3

3

2

1

4

( +2) 2

2

25 4 35

35

(

( +2) 4

( +2) 1 2

3) 5

60

2

1 4

3 2

2

1 5

3 4

2

3 4 1 4

2

5 6

2

5 4

10 3

2

2

3 2 2

3 4 2

25 3

40

2

2

15 2

2 5

2

2

2

3 2

35 ( 4) 1 2

3 2 3 2

10 3

2

24

2

(

2) 16

12

96 18.3.

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y 2 = 24x + 3x2 (£Æ¯¥°¡®« ).

‡ £ «¼­  ²¥®°Æ¿ «Æ­Æ© ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³

1) ¥«Æ¯± § ¯Æ¢®±¿¬¨ 4 Æ 3, ¶¥­²° { (3,2); 2) £Æ¯¥°¡®« , ¤Æ©±­  ¯Æ¢¢Æ±¼ { 1, ³¿¢­  { 2; 3) ¯ ° ¡®« , p = 2, ¢¥°¸¨­  ( 23 ; 1); 4) ¥«Æ¯±, ¯Æ¢®±Æ | 5, 3; ¶¥­²° | (2,-3); 5) £Æ¯¥°¡®« , ¯Æ¢®±Æ | 4, 2; ¶¥­²° | (2,3); 6) ¯ ° ¡®« , p = 2, ¢¥°¸¨­  | ( 2; 32 ); 7) ¯°¿¬Æ 3x + 2y + 10 = 0;23x 22y + 2 = 0; 8) ¯ ° «¥«¼­Æ ¯°¿¬Æ x = 2; x = 3: 20.2. 1) ¥«Æ¯± x + y = 1; O0 (2; 3); e0 = ( p2 ; p1 ); e0 = ( p1 ; p2 ); 2) £Æ¯¥°¡®«  x 2 y 2 = 1 2 9 4 4 9 5 5 5 5 2 2 2 p3 1 3 0 0 0 0 0 p p p p 1; O (1; 1); e1 = ( 13 ; 13 ); e2 = ( 13 ; 13 ); 3) ¯ ° ¡®«  y = 5 ; O (3; 2); e01 = ( p25 ; p15 ); e02 = ( p15 ; p25 ); 4) ¯°¿¬Æ, ¹® ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿ x y 1 = 0; x 4y+2 = 0; 5) ¯ ° «¥«¼­Æ ¯°¿¬Æ 2x 3y+1 = 0; 2x 3y 2 = 0; 6) ¥«Æ¯± x22 + y 2 = 1; O0 ( 4 ; 2 ); e0 = ( p1 ; p2 ); e0 = ( p2 ; p1 ); 7) £Æ¯¥°¡®«  x 2 y 2 = 1; 1 2 1 5 5 1 9 5 5 5 5 p 1 3 0 0 0 O (2; 1); e1 = ( p10 ; p10 ); e2 = ( p103 ; p110 ); 8) ¯ ° ¡®«  y 0 2 = 4 2x0; O0 (2; 1); e01 = ( p12 ; p12 ); e02 = ( p12 ; p12 ); 9) ¯°¿¬Æ, ¹® ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿ 2x + 3y 5 = 0; x2 4y2+2 = 0; 10) ¯ ° «¥«¼­Æ ¯°¿¬Æ 2x y +1 = 0; 2x y 4 = 0; 11) ¥«Æ¯± x356 + y3536 = 1; O0( 76 ; 13 ); e01 = ( p25 ; p15 ); e02 = ( p15 ; p25 ); 12) £Æ¯¥°¡®«  x 2 y 2 = 1; O0 (0; 1); e0 = ( p2 ; p3 ); e0 = ( p 3 ; p2 ); 13) ¯ ° ¡®«  y 02 = 9 9 2 1 13 13 13 13 8 5 4 3 3 4 0 0 0 0 10x ; O ( 1; 2); e1 = ( 5 ; 5 ); e2 = ( 5 ; 5 ); 14) ¯°¿¬Æ, ¹® ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿ x + y 2 = 0; 3x 2y + 1 = 0; 15) ¯ ° «¥«¼­Æ ¯°¿¬Æ 2x 3y 2 = 0; 2x 2 3y 8 = 0; 16) ¥«Æ¯± x42 + y1 = 1; O0(0; 1); e01 = ( p12 ; p12 ); e02 = ( p12 ; p12 ); 2 17) £Æ¯¥°¡®«  x42 y9 = 1; O0(1; 1); e01 = ( p213 ; p313 ); e02 = ( p133 ; p213 ); 18) ¯ ° ¡®«  y02 = p15 x0; O0(2; 3); e01 = ( p15 ; p25 ); e02 = ( p25 ; p15 ); 19) ¯°¿¬Æ, ¹® ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿ 2x + 5y + 1 = 0; 2x + 3y 5 = 0; 20) ¯ ° «¥«¼­Æ ¯°¿¬Æ 2x + y + 3 = 0; 2x + y + 5 = 0. 20.3. DZ°¨ 1 <  < 1 | £Æ¯¥°¡®«  (1 )x02 + (1 + )y02 = 1, ¤Æ©±­  ¢Æ±¼ (1; 1); ¯°¨  = 1 | ¤¢Æ ¯ ° «¥«¼­Æ ¯°¿¬Æ x y  1 = 0; ¯°¨ 1 <  < 1 | ¥«Æ¯± (1 )x02 + (1 + )y02 = 1 ¢¥«¨ª  ¯Æ¢¢Æ±¼ ¿ª®£® ¬ Ä ª³²®¢¨© ª®¥´Æ¶ÆÄ­² =-1 (¯°¨  = 0 ª®«® | x2 + y2 = 1); ¯°¨  = 1 | ¤¢Æ ¯ ° «¥«¼­Æ ¯°¿¬Æ x + y  1 = 0; ¯°¨  > 1 | £Æ¯¥°¡®« , ¤Æ©±­  ¢Æ±¼ (1; 1). 20.4. 1) 3 Æ 1; 2) 3 Æ 2; 3) 1 Æ 12 ; 4) 3 Æ 2. 20.5. 1) (2; 3); 2) (3; 3); 20.1.

0

0

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97

3) (1; 1); 4) ( 2; 1): 20.7. 1) 2 Æ 1; 2) 5 Æ 1; 3) 4 Æ 2; 4) 1 Æ 21 . 20.8. 1) x + y 1 = 0; 3x + y + 1 = 0; 2) x 4y 2 = 0; x 2y + 2 = 0; 3) x y = 0; x 3py = 0; 4)px + y 3 = 0; x + 3y 3 = 0: 20.9. 1) p = 3; 2) p = 3; 3) p = 2; 4) 21 10: 20.10. 1) 2x + y 5 = 0; 2x + y 1 = 0; 2) 2x 3y 1 = 0; 2x 3y + 11 = 0; 3) 5x y 3 = 0; 5x y + 5 = 0; 4) x 3y + 2 = 0: 20.11. 1) ¥«Æ¯±; 2) £Æ¯¥°¡®« ; 3) ¯ °  ¯°¿¬¨µ, ¹® ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿; 4) ³¿¢­¨© ¥«Æ¯±; 5) ²®·ª  (¢¨°®¤¦¥­¨© ¥«Æ¯±). 20.13. 1)
F1 = ( 2; 1); d1 : x 3y 4 = 0; F2 = (0; 5); d2 : x 3y 6 = 0; 2) 51 ; 109 ; 4x 2y 3 = 0: 20.14. 6x2 4xy + 2y2 + 12x 99 = 0. 21.9. DZ°¨  = 5 ª°¨¢  ¢Æ¤²¨­ Ä µ®°¤³ ­  ®±Æ ®°¤¨­ ² ¤®¢¦¨­¨ 3; ¯°¨  = 4 ª°¨¢  ¤®²¨ª Ä²¼±¿ ®±Æ ®°¤¨­ ². 21.10. 5x + 8y 24 = 0; 5x 8y 8 = 0; x+4y 3 = 0 Æ x 4y 2 = 0 21.11. 7x+4y+10 = 0 ¢ ²®·¶Æ ( 2; 1); 3x 4y + 18 = 0 ¢ ²®·¶Æ ( 2; 3). 21.12. 2x + 5y = 0 Æ 2x + y = 0. 21.13. 7x 2y 13 = 0 Æ x 3 = 0. 21.14. 1) 7x + 4y + 10 = 0; 2) 4x +5y +3 = 0. 21.15. 3x +4y 24 = 0; 3x 28y 120 = 0. 21.16. x = 1; 5x 2y + 3 = 0. 21.17. x 3y + 9 = 0; 9x + 3y + 1: 21.18. y2 = 4x: 2 21.19. 2: 21.20. x + y  5 = 0. 21.21. 4x 12xy +9y2 24x 36y +36 = 0: 22.5. 1) (7; 5); 2) ( 1; 1); 3) (0; 1); 4) ª°¨¢  ¯ ° ¡®«Æ·­®£® ²¨¯³, ¶¥­²°³ ­¥ ¬ Ä; 5) «Æ­Æ¿ ¶¥­²°Æ¢: x + y + 1 = 0; 6) ( 103 ; 43 ); 7) ( 34 ; 45 ); 8) «Æ­Æ¿ ¶¥­²°Æ¢: x +3y +2 = 0; 9) ª°¨¢  ¯ ° ¡®«Æ·­®£® ²¨¯³, ¶¥­²°³ ­¥ ¬ Ä; 10) «Æ­Æ¿ ¶¥­²°Æ¢: x 2y + 5 = 0. 22.6. –¥­²° «¼­  ª°¨¢ , ¿ª¹® a 6= 9; ª°¨¢  ¯ ° ¡®«Æ·­®£® ²¨¯³, ¿ª¹® a = 9 Æ b 6= 9; ª°¨¢  ¬ Ä «Æ­Æ¾ ¶¥­²°Æ¢: 2x +6y +3 = 0, ¿ª¹® a = b = 9. 22.7. 1) 3x +4y +14 = 0; x + y 3 = 0; 2) x + 3y 3 = 0; x = 3: 22.8. y = 12 x: 22.13. y = 21 x; y = 32 x: 22.18. 32x +25y 89 = 0: 22.19. x = 2; x +4y 14 = 0: 22.20. ‘¯Æ«¼­¨© ¤Æ ¬¥²°: 3x + y 7 = 0; ª³²®¢Æ ª®¥´Æ¶ÆÄ­²¨ µ®°¤: k1 = 1; k2 = 6: 22.21. y = 3x; y = 2x: 22.22. x 2y 3 = 0; x +2y +7 = 0; x 2y +1 = 0: 1 7 2 2 22.23. B (2; ); C (2; 0); D (3; ): 22.24. 4x + 8xy + 13y 24x 42y + 2 2 9 = 0: ¥ª®¬¥­¤ ¶Æ¿: § ¯¨± ²¨ °Æ¢­¿­­¿ ¥«Æ¯±  ¢ ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² ~ CB ~ ): 22.25. x2 4xy +4y 2 4x 4y = 0: 22.26. x2 +2xy + y 2 + (C; CA; 5x y = 0: 22.27. 9x2 44xy+16y2 60x 16y+256: ¥ª®¬¥­¤ ¶Æ¿: ¯°¿¬ , ¹® ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ A Æ ¯ ° «¥«¼­  BC , Ä ¤®²¨·­®¾ ¤® ¸³ª ­®È ¯ ° ¡®«¨. 24.4. 2x2 xy x + y +5 = 0. 24.5. 4xy +3y2 +4y 11 = 0. 2 24.7. 3x 6xy 5y2 +24y 12 = 0. 24.8. x2 +2xy +y2 12x+24y 54 = 0. 2 2 24.9. 4x +8xy +13y 24x 42y +9 = 0. 24.10. x2 2xy +2y2 2x+1 = 0. 2 2 24.11. 4x +6xy 4y 26x+18y 39 = 0. 24.13. x2 2xy+y2 8x 8y = 0. 2 2 24.14. 4x 4xy + y 16x 2y = 0. 24.15. x2 + xy + y2 +2x + y 2 = 0. 2 2 2 24.16. x +2xy + y +5x y = 0. 24.17. x 2xy +5y2 4x 4y +4 = 0.

98

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‡ £ «¼­  ²¥®°Æ¿ ¯®¢¥°µ®­¼ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³

1) (x 5)2 +(y +3)2 +(z 7)2 = 4; 2) (x 4)2 +(y +4)2 +(z +2)2 = 36; 3) (x 3)2 + (y + 2)2 + (z 1)2 = 18; 4) (x 3)2 + (y + 1)2 + (z 1)2 = 21; 5) (x 3)2 + (y + 5)2 + (z + 2)2 = 56; 6) (x 1)2 + (y + 2)2 + (z 3)2 = 49; 7) (x + 2)2 + (y 4)2 + (z 5)2 = 81: 25.2. 1) ¢Æ±Æ¬p ±´¥°: 2 2 2 2 2 xp +y +p z 2Rx2Ry 2Rz +2R = 0; 2)
¢Æ±Æ¬ ±´¥°: x +y 2 +z 2  2Rx 2Ry  2Rz + R22 = 0: 25.3. 103 ; 143 ; 53 ; R = 3: 25.4. 8x+4y +z 100 = 0; 2x 2y + z 28 = 0: ¥ª®¬¥­¤ ¶Æ¿: °®§£«¿­³²¨ ¯³·®ª ¯«®¹¨­, ¢Æ±¼ ¿ª®£® § ¤ ­  ¯°¿¬ . 25.5. x2 + y2 + z2 + 22x + 16y 6z = 0: 25.6. „¢  °®§¢'¿§ª¨: x2 + y2 + (z + 1)2 = 12; x2 + y2 + (z + 4)2 = 27: 1) §®¢­Æ; 2) ­  ¯®¢¥°µ­Æ ±´¥°¨; 3) ¢ ±¥°¥¤¨­Æ; 4) ¢ ±¥°¥¤¨­Æ; 5) ­  ¯®¢¥°µ­Æ ±´¥°¨. 25.8. 1) 5; 2) 21; 3) 7: 25.9. 1) ¯°¿¬  ¯¥°¥²¨­ Ä ±´¥°³; 2) ¯°¿¬  ¯°®µ®¤¨²¼ ¯®§  ±´¥°®¾; 3) ¯°¿¬  ¤®²¨ª Ä²¼±¿ ¤® ±´¥°¨. 2 2 2 26.1. 8x +5y +5z 4xy +8yz +4zx+16x+14y +22z 39 = 0. 26.2. 2x2 + 2y2 +2z2 2xy 2xz 2yz 3 = 0. 26.3. x2 + y2 +2z2 2xz 2yz 1 = 0. 2 2 26.4. 11x62+11y +23z 32xy +16xz +16yz 6x 60y 186z +342 = 0. 2 2 2 26.5. z = 2xy . 26.6. xy + yz + zx = 0. 26.7. x + y z 2 = 0. 2 2 26.8. 35x +35y 52z2 232xy 116xz +116yz +232x 70y 116z +35 = 0: 2 2 2 26.9. 16x + 16y + 13z 16xz + 24yz + 16x 24y 26z 131 = 0:. 2 2 26.10. x y 2xz + 2yz + x + y 2z = 0. 27.1. DZ¥°¥²¨­ Ä. 27.2. DZ® £Æ¯¥°¡®«Æ. 27.3. ƒÆ¯¥°¡®«  § ¯Æ¢®±¿¬¨ 4 Æ 8. –¥­²° ³ ²®·¶Æ (9,0,0), p ¤Æ©±­  ¢Æ±¼ ¯ ° «¥«¼­  ®±Æ(Oz. 27.4. —®²¨°¨ ¯«®¹¨­¨ x =  32 3; x = p x2 + y2 + (z 2)2 = 1. 3 2. 27.5. DZ°¿¬  2x + 3y 6 = 0; 27.6. 12 12 16 2x 3y 12 = 0: x2 + y2 z2 = 1. 27.8. x2 + y2 + z2 = 1. 27.9. „¢  °®§¢'¿§ª¨: x2 27.7. 12 108 36 12 9 36 y 2 +z 2 2z = 0; x2 y 2 z 2 +4z = 0. 27.10. x2 y 2 +z = 0. 28.1. 1) ¯ °  ¯«®¹¨­, ¹® ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿ x + y + z 1 = 0; x + y z +1 = 0; 2) ±´¥°  (x 1)2 + (y + 23 )2 + z2 = 169 ; 3) ª°³£«¨© ¶¨«Æ­¤° (x 1)2 + (y + 23 )2 = 169 ; 4) ª°³£«¨© ª®­³± (x 1)2 + (y + 32 )2 (z 23 )2 = 0; 5) ¯ °  ¯ ° «¥«¼­¨µ 2 ¯«®¹¨­ 2x y  6 = 0. 28.2. 1) ¥«Æ¯±®È¤ x492 + y49 + z492 = 1, ¶¥­²° (3,4 9 2 1,2); 2) ®¤­®¯®«¨© £Æ¯¥°¡®«®È¤ x42 y16 z162 = 1, ¶¥­²° (-4,0,-6), ¢Æ±¼ 2 ®¡¥°² ­­¿ ¯ ° «¥«¼­  ®±Æ Ox; 3) ª°³£«¨© ª®­³± x02 y3 + z02 = 0; ¢¥°¸¨­  (3,5,-2), ¢Æ±¼ ®¡¥°² ­­¿ ¯ ° «¥«¼­  ®±Æ Oy; 4) ¯ ° ¡®«®È¤, p = 125 , ¢¥°¸¨­  (10; 12 ; 23 ). 28.3. 1) Š°³£®¢¨© ¶¨«Æ­¤° x02 + z02 = 254 § 25.1.

0

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‚Å„DZŽ‚Å„Å

° ¤Æ³±®¬ 25 , ¢Æ±¼ ¶¨«Æ­¤°  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ (0; 0; 52 ) Æ ¬ Ä ­ ¯°¿¬­¨© ¢¥ª²®° ( p252 ; p15 ; 0); 2) ¯ ° ¡®«Æ·­¨© ¶¨«Æ­¤° x02 5y0 = 0, ¢¥°; 16 ), ­ ¯°¿¬­¨© ¢¥ª²®° ®±Æ ¯ ° ¡®«¨ (0; 35 ; 54 ); 3) ¯ ¸¨­  ( 1; 12 25 25 ° ¡®«Æ·­¨© ¶¨«Æ­¤° z0 = 2x02, ¢¥°¸¨­  (0; 0; 1), ­ ¯°¿¬­¨© ¢¥ª²®° ®±Æ ¯ ° ¡®«¨ (0; 0; 1). 28.4. 1) ¥«Æ¯±®È¤; 2) ®¤­®¯®«¨© £Æ¯¥°¡®«®È¤; 3) ¤¢®¯®«¨© £Æ¯¥°¡®«®È¤; 4) ª®­³±; 5) ¥«Æ¯²¨·­¨© ¯ ° ¡®«®È¤; 6) £Æ¯¥°¡®«Æ·­¨© ¯ ° ¡®«®È¤; 7) ¥«Æ¯²¨·­¨© ¶¨«Æ­¤°; 8) £Æ¯¥°¡®«Æ·­¨© ¶¨«Æ­¤°; 9) ¯ ° ¡®«Æ·­¨© ¶¨«Æ­¤°; 10) £Æ¯¥°¡®«Æ·­¨© ¯ ° ¡®«®È¤; 11) ®¤­®¯®«¨© £Æ¯¥°¡®«®È¤. 28.5. 1) 2x + y = 0; y + 2z 2 = 0; 2) x 2y + 3z + 2 = 0; x 2y + 3z 3 = p0; 3) x + 2y + 3z + 4 = 0; 3x 2y + z 6 = 0; 4) 2x 3y + z + 1  6. 29.1. 3x + 4y 24 = 0; 3x 28y 120 = 0. 29.2. z = 2; x + 2y = 8. 29.3. 2x y 2z 8 = 0; 14x 3y 6z 144 = 0. 29.4. 4x 5y 2z = 2 = 0. 29.5. x + 2y 2 = 0; x + 2y = 0. 29.6. 2x + 3y z + 32 = 0; x 1 4 = y+24 = z+32 ; x 14 = 2 8 y+24 = z+32 . . 29.7. ’®·ª¨: (1; 1; 1); ( 1; 1; 1); ª³² ¤®°Æ¢­¾Ä 2 4 6  83 29.8. ’®·ª  ¯¥°¥²¨­³: ( 1; 1; 0); ª³² ¤®°Æ¢­¾Ä . 29.9. cos ' = 85 . 2 x 2 = y 3 = z 4 . 29.11. x = y+2 = z 1 ; x+1 = y+1 = z 1 : 29.10. 1 0 2 1 1 0 1 1 1 x+48 = y+36 = z . 30.1. (2; 3; 4). 30.2. x y = 0; (2; 3; 0). 29.12. 4 3 24 30.3. 4x + 3y 12 = 0; (16; 27; 6). 31.1. 1) …«Æ¯±, ³¿¢­¨© ¥«Æ¯±, ²®·ª  (¯ °  ³¿¢­¨µ ¯°¿¬¨µ, ¹® ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿); 2) ¥«Æ¯±, £Æ¯¥°¡®« , ¯ °  ¯°¿¬¨µ, ¹® ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿, ¯ ° ¡®« , ¤¢Æ ¯ ° «¥«¼­Æ ¯°¿¬Æ; 3) ¥«Æ¯±, ³¿¢­¨© ¥«Æ¯±, ²®·ª  (¯ °  ³¿¢­¨µ ¯°¿¬¨µ, ¹® ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿), £Æ¯¥°¡®« , ¯ ° ¡®« , ¯ °  ³¿¢­¨µ ¯ ° «¥«¼­¨µ ¯°¿¬¨µ; 4) ¥«Æ¯±, £Æ¯¥°¡®« , ¯ ° ¡®« , ¯ °  ¯°¿¬¨µ, ¹® ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿, ¯°¿¬  (¤¢Æ, ¹® ±¯Æ¢¯ ¤ ¾²¼), ²®·ª  (¯ °  ³¿¢­¨µ ¯°¿¬¨µ, ¹® ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿); 5) ¥«Æ¯±, ³¿¢­¨© ¥«Æ¯±, ²®·ª  (¯ °  ³¿¢­¨µ ¯°¿¬¨µ, ¹® ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿), ¯ ° ¡®« ; 6) £Æ¯¥°¡®« , ¯ °  ¯°¿¬¨µ, ¹® ( ¯¥°¥²¨­ ¾²¼±¿, ¯ ° ¡®« , ®¤­  ¯°¿¬ . 4x 3y  1 = 0; 31.2. „¢Æ ¯ ° «¥«¼­Æ ¯°¿¬Æ: 31.3. 1) ¯ ° 3x + 4y 5z = 0: ¡®« , p = p12 ; 2) ¥«Æ¯± § ¯Æ¢®±¿¬¨ 32 Æ p15 ; 3) ¯ ° ¡®« , p = p12 . 31.4. 1) ¯ ° ¡®«  y02 = p32 x0; O0( 18 ; 21 ; 118 ); 2) ¯ ° ¡®«  y02 = p 2 2 4 2 0 x ; O0( 258 ; 256 ; 25 ); 3) £Æ¯¥°¡®«  x6 y54 = 1; O0( 72 ; 27 ; 71 ). 31.5. „¢Æ 5 7 59 p ¯«®¹¨­¨: x y + ( 2  7)(2x z) = 0. ¥ª®¬¥­¤ ¶Æ¿: °®§£«¿­³²¨ ¯³·®ª ¯«®¹¨­ x y + k(2x z) = 0, ¿ªÆ ¯°®µ®¤¿²¼ ·¥°¥§ § ¤ 0

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(

(

2x 12y z = 16; 2x 12y z + 16 = 0; ­³ ¯°¿¬³. 31.6. x 2y + 4 = 0: x 2y + 4 = 0: ( ( y + 2z = 0; 2x 5z = 0; 32.1.  ) x0 = x cos ' y sin '; y0 = 31.7. x 5 = 0: y + 4 = 0: 0 x sin ' + y cos '; ¡) x = x cos ' y sin ' + x0 (1 cos ') + y0 sin '; y 0 = x sin ' + y cos ' x0 sin ' + y0 (1 cos '): 32.2.  ) x0 = kx; y 0 =pky ; ¡) x0 = kx + x0(1 k); y0 = ky + y0(1 k): 32.3. x0 = x + 12 y; y0 = 23 y. 2 0 11 y 13; y 0 = 25 x + 145 y + 9. 32.5. x0 = x y + 1; y 0 = 32.4. x = 5 x 5 x + y + 2. 32.6. x0 = 5x 3y + 8; y 0 = 3x + 2y 3. 32.7. (): x0 = x + 2y 8; y 0 = 4x 3y + 24; (): x0 = x + 8; y 0 = 4x 5y + 14. 32.8. (4,2). 32.9. 2x + y 3 = 0. 32.10. „¢  °®§¢'¿§ª¨: (3; 2); (3; 5). 32.11. ’®·ª  ¯¥°¥²¨­³ ¬¥¤Æ ­ ²°¨ª³²­¨ª  ABC . ¥ª®¬¥­¤ ¶Æ¿: ¢¢¥±²¨ ±¨±²¥¬³ ª®®°¤¨­ ² § ¯®· ²ª®¬ ¢ ²®·¶Æ A Æ ¡ §®¾ 0 ~ AC ~ (. AB; 32.12. x = 3y + (4; y0 = 3x 2. 32.13. „¢  ¯¥°¥²¢®3 2 0 x0 = 103 x + 25 y + 115 ; 0 °¥­­¿ x0 = 102x + 5 y3 + 1;3 32.14. x = y = 5 x + 10 y + 2 ; y 0 = 25 x + 103 y 101 : 13 x + 45 y 85 ; y 0 = 45 x + 75 y 54 : 32.15. Å­¢ °Æ ­²­  ²®·ª  ( 12 ; 2); 5 Æ­¢ °Æ ­²­Æ ¯°¿¬Æ 2x 2y 3 = 0; 4x y = 0: 32.16. Å­¢ °Æ ­²­¨¬¨ ²®·ª ¬¨ Ä ¢±Æ ²®·ª¨ ¯°¿¬®È 2x + y 2 = 0 Æ ²Æ«¼ª¨ ¶Æ ²®·ª¨; Æ­¢ °Æ ­²­Æ ¯°¿¬Æ: 2x + y 2 = 0 Æ ¢±Æ ¯°¿¬Æ ¯¥°¯¥­¤¨ª³«¿°­Æ ¤® ­¥È. 17 17 1 0 32.17. x = x y; y 0 = 23 y: 32.18. x0 = 12 x 121 y + 23 ; y 0 = 121 x+ 12 y 13 : 2 32.19. 142x 183y 489 = 0: ¥ª®¬¥­¤ ¶Æ¿: °®§£«¿­³²¨  ´Æ­­¥ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿, ¹® ¯¥°¥¢®¤¨²¼ § ¤ ­Æ ¯°¿¬Æ ¢ ®±Æ ª®®°¤¨­ ²,   § ¤ ­³ ²®·ª³ | ¢ ®¤¨­¨·­³ ²®·ª³. 32.20. x0 = x + z; y0 = y + z; z0 = z: 0 32.21. x = x y z + 1; y 0 = x; z 0 = y ; Æ­¢ °Æ­²­  ²®·ª  ( 14 ; 41 ; 14 ); Æ­¢ °Æ ­²­  ¯°¿¬  x 41 = 14 y = z 14 ; Æ­¢ °Æ ­²­  ¯«®¹¨­  2x +2z 1 = 0. 32.22. 1) Æ­¢ °Æ­²­  ²®·ª  ( 2; 1; 3); Æ­¢ °Æ ­²­  ¯°¿¬  y = 1; z = 3; Æ­¢ °Æ ­²­  ¯«®¹¨­  z = 3; 2) Æ­¢ °Æ­²­  ²®·ª  (1; 2; 3); Æ­¢ °Æ ­²­  ¯°¿¬  x = 1; y = 2; Æ­¢ °Æ ­²­  ¯«®¹¨­  z = 3; 3) ­¥ ¢®«®¤ÆÄ Æ­¢ °Æ­²­¨¬¨ ²®·ª®¾, ¯°¿¬®¾, ¯«®¹¨­®¾; 4) Æ­¢ °Æ­²­  ²®·ª  (1; 1; 1); Æ­¢ °Æ ­²­Æ ¯°¿¬Æ: x 1 1 = y 2 1 z 3 1 Æ ¢±Æ ¯°¿¬Æ, ¹® «¥¦ ²¼ ¢ ¯«®¹¨­Æ x + 2y + 3z 6 = 0 Æ ¯°®µ®¤¿²¼ ·¥°¥§ ²®·ª³ (1; 1; 1); Æ­¢ °Æ ­²­Æ ¯«®¹¨­¨: x + 2y + 3z 6 = 0 Æ ¢±Æ ¯«®¹¨­¨ ¯³·ª  § ¢Æ±±¾ x 1 1 = y 2 1 z 3 1 . a y; y 0 = b x: 33.2. x0 = kx; y 0 = 1 y Æ x0 = ky; y 0 = 1 x, ¤¥ 0 33.1. x = b a p k p p k p k 2 R nf0g. 33.3. x0 = x 2+ y; y 0 = x + y 2 Æ x0 = x 2 y; y 0 = x y 2. y0 0 0 33.4. x = x +2y +2; y = y +2. 34.1. ‚Ʊ¼ ±¨¬¥²°ÆÈ y = 2 ; ¢¥ª²®° ¯¥°¥-

101

‚Å„DZŽ‚Å„Å

­¥±¥­­¿ (x0; 0). 34.2. ‚Ʊ¼ ±¨¬¥²°ÆÈ x +3y +15 =(0; ¢¥ª²®° ¯¥°¥­¥±¥­­¿ 3 4 8 0 (9; 3). 34.3. 1) x0 = y +5; y0 = x +5; 2) x0 = 45 x 35 y + 45 ; y = 5x + 5y + 5: Ax +By +C Ax +By +C 0 0 3) x = x 2A A2+B2 ; y = y 2B A2 +B2 . 34.4. x0 = y; y0 = x + 1; ' = 2 ; ­¥°³µ®¬  ²®·ª  ( 12 ; 12 ): 34.5. x0 = y; y 0 = x + ¯¥°¥­¥±¥­­¿ ¢§¤®¢¦ ®±Æ 1; °Æ¢­¿­­¿ ®±Æ ±¨¬¥²°ÆÈ: y0 = x + 21 ; ¢¥ª²®° 1 0 1 1 8 4 4 1 8 ±¨¬¥²°ÆÈ: ( 12 ; 21 ): 34.6. 19 @ 8 1 4 A. 34.7. 19 @ 7 4 4 A. 4 4 7 4 8 1 0 1 1 8 4 1 1 4 A. 34.9. ’®²®¦­¥ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ x0 = x; y0 = 34.8. 9 @ 8 4 4 7 0 y; z = z Æ ±¨¬¥²°Æ¿ ±²®±®¢­® ¯«®¹¨­¨, ¹® ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ § ¤ ­Æ ²°¨ ²®·ª¨: x0 = 13 x 23 y 23 z + 23 ; y0 = 23 x + 31 y 23 z + 32 ; z0 = 23 x 32 y + 13 z + 32 . y y x x 0 0 35.2. Š®35.1. x = x2 +y2 ; y = x2 +y2 ; x = x 2 +y 2 ; y = x 2 +y 2 . 2 2 2 «® c(x + y ) + 2ax + 2by +  = 0; ¯°¿¬  2ax + 2by +  = 0, ¿ª¹® § ¤ ­¥ ª®«® ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ¯®· ²®ª ª®®°¤¨­ ². 35.3. Š®«® 2 2 ‘ (x + y ) + Ax + By = 0; ¿ª¥ ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ¯®· ²®ª ª®®°¤¨­ ², ¿ª¹® ¯°¿¬  ­¥ ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ¯®· ²®ª ª®®°¤¨­ ²; ± ¬  ¯°¿¬  Ax + By = 0, ¿ª¹® § ¤ ­  ¯°¿¬  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ¯®· ²®ª ª®®°¤¨­ ². 2 2 2 2 35.4. ‘´¥°  d(x + y + z ) + 2ax + 2by + 2cz +  = 0; ¿ª¹® ±´¥°  S ­¥ ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ¯®«¾± Æ­¢¥°±ÆÈ (d 6= 0); ¢ Æ­¸®¬³ ¢¨¯ ¤ª³ S 0 ¯«®¹¨­  2ax+2by+2cz + = 0. 35.5. ‘´¥°  D(x2+y2 +z2)+Ax+By+Cz = 0; ¿ª  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ¯®· ²®ª ª®®°¤¨­ ², ¿ª¹® ¯°¿¬  ­¥ ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ¯®· ²®ª ª®®°¤¨­ ²; ± ¬  ¯«®¹¨­  Ax + By + Cz = 0, ¿ª¹® § ¤ ­ 
¯«®¹¨­  ¯°®µ®¤¨²¼ ·¥°¥§ ¯®· ²®ª ª®®°¤¨­ ². 35.6. –¥­²° 12 ; 12 ; 1 , ° ¤Æ³± p12 : 37.8. ¥ª®¬¥­¤ ¶Æ¿: § ±²®±³¢ ²¨ ®±­®¢­³ ²¥®°¥¬³  ´Æ­­®È £¥®¬¥²°ÆÈ. 39.2. ®¬¡ Æ ®ª² ¥¤°. 40.2. ¥ª®¬¥­¤ ¶Æ¿: °®§£«¿­³²¨ ®¯³ª«¨© ª®­³± C = f(x; y; z) 2 [0; 1)3 : z2  xyg ¢ R3 Æ ¯°¿¬³ (x = 0; z = 1). 41.8. ¥ª®¬¥­¤ ¶Æ¿: ´³²¡®«¼­¥ ¯®«¥. 41.16. ¥ª®¬¥­¤ ¶Æ¿: ¢¨ª®°¨±² ²¨ ­ ¿¢­Æ±²¼ ª³«Æ ­ ©¬¥­¸®£® ° ¤Æ³± , ¿ª  ¬Æ±²¨²¼ ¤ ­³ ®¯³ª«³ ¬­®¦¨­³. 0

0

0

0

0

0

‘¯¨±®ª «Æ²¥° ²³°¨

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12]

‹¥ª¶¨¨ ¯®  ­ «¨²¨·¥±ª®© £¥®¬¥²°¨¨. Œ., 1968. €«¥ª± ­¤°®¢ DZ. ‘. Š³°±  ­ «¨²¨·¥±ª®© £¥®¬¥²°¨¨ ¨ «¨­¥©­®©  «£¥¡°». Œ.,  ³ª , 1979.  µ¢ «®¢ ‘. ‚. C¡®°­¨ª § ¤ · ¯®  ­ «¨²¨·¥±ª®© £¥®¬¥²°¨¨. Œ., 1964. ¥°¦¥ Œ. ƒ¥®¬¥²°¨¿. Œ.: Œ¨°, 1984. „ ­¶¥° ‹., ƒ°¾­¡ ³¬ ., Š«¨ ‚. ’¥®°¥¬  ƒ¥«Æ. Œ.: Œ¨°, 1968. Š«¥²­¨ª „. ‚. ‘¡®°­¨ª § ¤ · ¯®  ­ «¨²¨·¥±ª®© £¥®¬¥²°¨¨. Œ., 1969. ‹¥©µ²¢¥©± Š. ‚»¯³ª«»¥ ¬­®¦¥±²¢ . Œ:  ³ª , 1985. DZ° ±®«®¢ ‚. ‚. ‡ ¤ ·¨ ¯® ¯« ­¨¬¥²°¨¨, II, Œ.:  ³ª , 1991. Œ®¤¥­®¢ DZ. ‘., DZ °µ®¬¥­ª® €. C. ‘¡®°­¨ª § ¤ · ¯®  ­ «¨²¨·¥±ª®© £¥®¬¥²°¨¨. Œ., 1976. Œ®¤¥­®¢ DZ. ‘. €­ «¨²¨·¥±ª ¿ £¥®¬¥²°¨¿. Œƒ“., 1969. –³¡¥°¡¨««¥° Ž. ˆ. ‡ ¤ ·¨ ¨ ³¯° ¦­¥­¨¿ ¯®  ­ «¨²¨·¥±ª®© £¥®¬¥²°¨¨. Œ., 1976. Webster R. Convexity. Oxford Univ. Press, 1994. €«¥ª± ­¤°®¢ DZ. ‘.

102

‡¬Æ±²

®§¤Æ« I.

‚¥ª²®°­   «£¥¡°  :: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

x 1. DZ®­¿²²¿ ¢¥ª²®° . ‹Æ­Æ©­Æ ®¯¥° ¶ÆÈ ­ ¤ ¢¥ª²®° ¬¨ x 2. „¥ª °²®¢Æ ª®®°¤¨­ ²¨ ­  ¯«®¹¨­Æ ²  ¢ ¯°®±²®°Æ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : x 3. ‘ª «¿°­¨© ¤®¡³²®ª ¢¥ª²®°Æ¢ : : : : : : : : : : : : : x 4. ‚¥ª²®°­¨© Æ §¬Æ¸ ­¨© ¤®¡³²®ª ¢¥ª²®°Æ¢ : : : : : : x 5. ®§¢'¿§³¢ ­­¿ ­¥£¥®¬¥²°¨·­¨µ § ¤ · . . . : : : : ®§¤Æ« II.

::::: : : : :

: : : :

: : : :

: : : :

3 3

: 4 : 6 : 11 : 15

DZ°¿¬  «Æ­Æ¿ ­  ¯«®¹¨­Æ : : : : : : : : : : : : : : : :

16

x 6. Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬®È ­  ¯«®¹¨­Æ : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16 x 7. Œ¥²°¨·­Æ § ¤ ·Æ ¯°® ¯°¿¬³ ­  ¯«®¹¨­Æ : : : : : : : : : : : 17 ®§¤Æ« III.

DZ¥°¥²¢®°¥­­¿ ª®®°¤¨­ ² : : : : : : : : : : : : :

21

x 8. Œ ²°¨¶¿ ¯¥°¥µ®¤³ ¢Æ¤ ®¤­ÆÄÈ ¡ §¨ ¤® Æ­¸®È : : : : : : : : : 22 x 9. ”®°¬³«¨ ¯¥°¥µ®¤³ . . . : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 23 x 10. DZ¥°¥²¢®°¥­­¿ ¯°¿¬®ª³²­¨µ ª®®°¤¨­ ² . . . : : : : : : : : : 25 ®§¤Æ« IV.

DZ«®¹¨­  Æ ¯°¿¬  ¢ ¯°®±²®°Æ

x 11. Æ¢­¿­­¿ ¯«®¹¨­¨ : : : : : : : : : : : : : : : x 12. Æ¢­¿­­¿ ¯°¿¬®È ¢ ¯°®±²®°Æ : : : : : : : : : x 13. ®§² ¸³¢ ­­¿ ¯°¿¬¨µ Æ ¯«®¹¨­ ¢ ¯°®±²®°Æ x 14. Œ¥²°¨·­Æ § ¤ ·Æ ­  ¯°¿¬³ Æ ¯«®¹¨­³ : : : : ®§¤Æ« V.

: : : :

: : : :

: : : :

: : : :

: : : :

: : : : : : : : 27 : : : :

: : : :

: : : :

: : : :

…«Æ¯±. ƒÆ¯¥°¡®« . DZ ° ¡®«  :: : : : : : : :

27 28 29 35 39

x 15. …«Æ¯± : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 39

103

104

‡ŒÅ‘’

x 16. ƒÆ¯¥°¡®«  : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : x 17. DZ ° ¡®«  : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : x 18. „¨°¥ª²®°Æ «¼­Æ ¢« ±²¨¢®±²Æ ¥«Æ¯± , . . . : : : x 19. Æ¢­¿­­¿ «Æ­Æ© ¢ ¯®«¿°­Æ© ±¨±²¥¬Æ ª®®°¤¨­ ² ®§¤Æ« VI.

: : : :

: : : :

: : : :

: : : :

: : : :

: : : :

: : : :

: : : :

‡ £ «¼­  ²¥®°Æ¿ «Æ­Æ© ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

x 20. ‚¨§­ ·¥­­¿ ²¨¯³ «Æ­ÆÈ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³ . . . x 21. „®²¨·­Æ «Æ­Æ© ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³ : : : : : : : : x 22. –¥­²°, ¤Æ ¬¥²°¨,  ±¨¬¯²®²¨ «Æ­Æ© . . . : : : : x 23. Œ­®¦¨­  ²®·®ª ¯«®¹¨­¨ . . . : : : : : : : : : x 24. ‡ ¤ ·Æ ­  ±ª« ¤ ­­¿ °Æ¢­¿­¼ «Æ­Æ© . . . : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

: : : : :

®§¤Æ« VII. ’¥®°Æ¿ ¯®¢¥°µ®­¼ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³

x 25. ‘´¥°  : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : x 26. –¨«Æ­¤°¨ ²  ª®­³±¨ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³ : : : : : : : x 27. …«Æ¯±®È¤¨, £Æ¯¥°¡®«®È¤¨, ¯ ° ¡®«®È¤¨ : : : : : : : x 28. ‚¨§­ ·¥­­¿ ²¨¯³ ¯®¢¥°µ­Æ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³ . . . x 29. „®²¨·­  ¯«®¹¨­ . DZ°¿¬®«Æ­Æ©­Æ ²¢Æ°­Æ : : : : : : x 30. –¥­²°. „Æ ¬¥²° «¼­Æ ¯«®¹¨­¨ : : : : : : : : : : : x 31. DZ«®±ªÆ ¯¥°¥²¨­¨ ¯®¢¥°µ®­¼ ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : :

: : : : : :

: : : : : :

: : : : : :

: : : : : :

: : : : : :

®§¤Æ« IX.

: : : :

: : : :

: : : :

48 50 53 55 59 62 64 64 65 66 67 68 69

: : : : : : 70

®§¤Æ« VIII. DZ¥°¥²¢®°¥­­¿ ¯«®¹¨­¨ ²  ¯°®±²®°³ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

x 32. €´Æ­­Æ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ : : : : : : : : : : : : : x 33.€´Æ­­Æ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ «Æ­Æ© ¤°³£®£® ¯®°¿¤ª³ x 34. ŧ®¬¥²°¨·­Æ ¯¥°¥²¢®°¥­­¿ : : : : : : : : : : x 35. Å­¢¥°±ÆÈ ¯«®¹¨­¨ ²  ¯°®±²®°³ : : : : : : : :

41 44 45 46

: : : :

: : : :

: : : :

: : : :

: : : :

: : : :

ƒ¥®¬¥²°Æ¿ ®¯³ª«¨µ ¬­®¦¨­ : : : : : : : : : :

71 71 73 74 75 76

105

‡ŒÅ‘’

x 36. €´Æ­­  £¥®¬¥²°Æ¿ : : : : : : : : : : : : : x 37. Ž§­ ·¥­­¿ ®¯³ª«¨µ ¬­®¦¨­ : : : : : : : x 38. Œ¥²°¨·­Æ ¢« ±²¨¢®±²Æ ®¯³ª«¨µ ¬­®¦¨­ x 39. Ž¯³ª«  ®¡®«®­ª  : : : : : : : : : : : : : x 40. Ž¯®°­Æ ¢« ±²¨¢®±²Æ ®¯³ª«¨µ ¬­®¦¨­ : : x 41. Ž±®¡«¨¢Æ ²®·ª¨ ®¯³ª«¨µ ¬­®¦¨­ : : : : x 42. ’¥®°¥¬  ƒ¥««Æ ²  ÈÈ § ±²®±³¢ ­­¿ : : : : ‚Ƥ¯®¢Æ¤Æ

: : : : : : :

: : : : : : :

: : : : : : :

: : : : : : :

: : : : : : :

: : : : : : :

: : : : : : :

: : : : : : :

: : : : : : :

: : : : : : :

: : : : : : :

76 81 84 85 88 89 90

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 91

‘¯¨±®ª «Æ²¥° ²³°¨ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

102

 ¢· «¼­¥ ¢¨¤ ­­¿ ’ ° ±  ­ µ, ®£¤ ­ ®ª «®, ž°Æ© Ź³ª, •°¨±²¨­  ’°³¹ ª

‡¡Æ°­¨ª § ¤ · §  ­ «Æ²¨·­®È £¥®¬¥²°ÆÈ ¥¤ ª²®° . DZ«¨±  Š®¬¯'¾²¥°­¨© ­ ¡Æ° Æ ¢¥°±²ª   ¢²®°Æ¢ ’¥µ­Æ·­¨© °¥¤ ª²®° ‘. ‘¥­¨ª Š®°¥ª²®° “. Š°³ª

DZƤ¯. ¤® ¤°³ª³ 2003. ”®°¬ ² 60  84=16: DZ ¯Æ° ¤°³ª. „°³ª ­  °Æ§®£°. “¬®¢­. ¤°³ª.  °ª. . Ž¡«. { ¢¨¤. °ª. ’¨° ¦ 100 ¯°¨¬. ‡ ¬. ‚¨¤ ¢­¨·¨© ¶¥­²° ‹¼¢Æ¢±¼ª®£® ­ ¶Æ®­ «¼­®£® ³­Æ¢¥°±¨²¥²³ Ƭ¥­Æ Å¢ ­  ”° ­ª . 79000 ‹¼¢Æ¢, ¢³«. „®°®¸¥­ª , 41.