原子核反応論 (朝倉物理学体系)

編集

荒船次郎 大学評価 ・ 学位授与機構教授

江沢 洋 学習院大学名誉教授

中村孔一 明治大学教授

米沢富美子 慶應義塾大学名誉教授

序

  原 子 核 は た か だ か 二 百 数 十 個 の核 子 が 核 力 で 強 く結 合 した,孤 立 し た体 系 で あ る.そ の 中で は核 子 が お の お の 一 粒 子 軌 道 上 を運 動 しつ つ 他 の 核 子 と相 互作 用 し,あ る い は 集 団 運動 に よ って 核 表 面 の 振 動 や 核 全 体 の 回 転 を起 こ し,あ る い は 幾 つ かず つ 塊 に な り,核 の 分 子 的構 造 を 形 作 る.そ の よ う な原 子 核 に他 の 粒 子 が 衝 突 す る と さ まざ まな 反 応 が 起 こ る.   核 反 応 の研 究 の歴 史 は 長 く,1909∼1911年

のRutherfordら

が α 粒 子 の 金,

白 金 に よ る 散 乱 の研 究 に よっ て 原 子 核 そ の も の を発 見 し た 時 点 に まで 遡 れ る. 1932年

に は α 粒 子 とBe原

子 核 の衝 突 で 中 性 子 が 発 生 す る こ とが 発 見 され た.

こ の 発 見 は,原 子 核 が 陽子 と中 性 子 か ら な る とい う原子 核 物 理 学 の 基 礎 の確 立 に導 い た.し か し,核 反応 の機 構 に対 す る本 格 的研 究 はFermiら

が1934∼1935

年 に 発 表 し た 中性 子 を 入射 粒 子 とす る 反 応 の 系 統 的研 究が そ の 始 ま りで あ る と 言 え よ う.そ の 後 間 も な く粒 子 加 速 器 を 用 い た 実 験 が 行 わ れ る よ うに な り,加 速 器 ・粒 子 検 出 器 そ の 他 の 実 験 技 術 の進 歩 の 結 果,非 常 に 広 い範 囲の 衝 突 粒 子, 入 射 エ ネ ル ギ ー の 核 反 応 に対 し て,非 常 に 多 様 な 観 測が で き る よ うに な っ た. 最 近 で は,不

安 定 核 を入 射 粒 子 とす る 反 応,相 対 論 的高 エ ネ ル ギ ーの 重 イオ ン

同士 の衝 突,ハ

イパ ー核 の生 成 反 応 な ど の 新 しい 分 野 の 実 験 的 研 究 が 進 展 し て

い る.   一 方,核 反 応 理 論 の本 格 的 な 第 一 歩 は,前 述 のFermiら に よる 説 明 で あ った.以 後,複

合 核 模 型,光

の実験の複合核模型

学 模 型,各 種 の 直 接 過 程 論,前 平

衡 過 程 の 理 論 な ど に よ っ て さ まざ ま な反 応 機 構 が 解 明 さ れ た.現 在,核 反 応 研 究 の 最 先 端 で は 理 論 と実 験 の両 面 か ら さ ら に 新 しい 反 応 の機 構 に つ い て 盛 ん な 研 究 が 行 わ れ て い る.   そ の よ うな 中で 本 書 を書 くに あ た り筆 者 ら は,核 反 応 論 の 網 羅 的記 述 よ り も, す で に あ る程 度 確 立 した と思 われ る部 分 の 集 中 的 記 述 の 方が 核 反 応 論 の 正 確 な 理 解 の 上 で も,ま た 今 後 新 し い 核 反 応 論 を 築 く基 礎 と して も役 立 つ で あ ろ う,

また 他 分 野 へ の新 た な 応 用 へ の 道 を拓 くか も知 れ な い,と を核 子 お よび 原 子 核同 士 の 数 百MeVま

考 え た.そ

こ で,的

で の 衝 突 に よ る反 応 に 絞 り,そ れ に 対

す る前 記 の基 礎 的 な 理 論 の 考 え 方,模 型 の導 出,定 式 化,物

理的解釈 などを体

系 的 に 説 明す る こ と に 努 め,個 別 的 な反 応 の記 述,実 験 との 比 較 な ど に つ い て は それ に 必 要 な 範 囲 に 止 め た.ま た,電 磁 的 相 互 作 用 に よ る反 応,ス

ピ ン偏 極,

相 対 論 的 エ ネ ルギ ー で の 核 反 応 は,い ず れ も非 常 に 重 要 で あ るが,割

愛 し他の

書 物 に 譲 る こ とに し た.   第1章

か ら 第5章

ま って 光 学 模 型,多

まで は 核 反 応 論 の 基 本 的 な 事 柄 の 記 述 と 理 論 的 準 備 に 始 重 散 乱 理 論,直 接 反応 の 現 象 論 的 理 論 まで を取 り扱 う.こ

の 部 分 は 河 合 が 担 当 し た.第6章

か らは複 合 核 過 程 の 共 鳴 理 論,統 計 理論,前

平 衡 過 程 につ い て の 詳 論 で あ る.こ の 部 分 は吉 田が 担 当 し た.全 書 を通 じ て 量 子 力 学 の 基 礎 的知 識 を 前提 と して い るが,核 反 応 論 に と っ て必 要 な 散 乱 理 論 は 第2章 で 説 明 して あ る か ら,そ れ につ い て の特 別 な 予 備 知 識 は 不 要 で あ る.し か し,原 子 核 の構 造 に つ い て の 初 歩 的 な 知 識 は あ る こ とが 望 まし い.し た が っ て,本 書 は 核 反 応 理 論 を 初 め て 学 ぶ 人,核 反 応 理 論 に 興 味 を もつ 他 分 野 の研 究 者,こ

の 分 野 の 研 究 者 で も う一 度 基 礎 を振 り返 っ て 見 た い と思 う人 な ど を読 者

と し て念 頭 に 置 い て い る.   本 書 を 書 くにあ た っ て は,多 ズ の 編 集 委 員 で あ る 江 沢 洋 氏,九

くの 方 々の お 世 話 に な った.中

で も この シ リー

州 大 学 の 大 坪 真 一 氏,緒 方 一 介 氏,河 野 俊 彦

氏 に は原 稿 を精 読 し て 多 くの貴 重 な助 言 して 頂 い た.こ れ ら の 方 々に 厚 く御 礼 申 し上 げ る.   最 後 に長 い 間辛 抱 強 く付 き合 って 下 さ り,大 変 お世 話 に な った 朝 倉 書 店 の 方 々 に 心 か ら感 謝 す る. 2002年9月

河

合

光 路

吉

田

思 郎

目

1  序

次

論 

1

  1.1  核 反 応 の 研 究 の 沿 革

 

1

  1.2  基 礎 的 な 事 柄

 

4

 

 

4

1.2.1  核 反 応 の 種 類   1.2.2 

チ ャ ネ ル

  1.2.3 

断

  1.2.4 

反 応 を記 述 す る座 標 系

 

8

  1.2.5 

実 験 室 系 と重 心 系

 

9

(a) 運 動 量,運

  10

 

面

  5

積 

6

動 エ ネル ギ ー

 (b) 二 粒 子 系 の 相 対 運 動 量  

(c)  し き い 値  (d) 散

  12.6

  11

Jacobi座

乱

  12

角 

12

標系

  13

  1.3  核 反 応 機 構 の 概 観

  13

  1.4  反 応 機 構 と エ ネ ル ギ ー 平 均

  18

2  核 反 応 の 量 子 力 学 的 記 述 

25

  2.1  状 態 ベ ク ト ル,Schrodinger方

程 式,実

験 条 件 

  2.2  ハ ミ ル トニ ア ン

25   26

  2.2.1 

ハ ミ ル ト ニ ア ン の 形 

26

  2.2.2 

重 心 運 動 の 分 離,内

27

  2.2.3 

ハ ミ ル ト ニ ア ン の 対 称 性,不

  2.2.4 

ハ ミル トニ ア ンの座 標 表 示

  30

  2.2.5 

二 粒 子 チ ャ ネ ル の ハ ミ ル トニ ア ン

  33

部 ハ ミ ル ト ニ ア ン  変 性,運

動 の恒 量

  2.3  定 常 状 態 の 波 動 関 数   2.3.1 

配 位 空 間,内

部 ・外 部 領 域,チ

  29

  34 ャネル領 域

  34

  2.3.2 

自 由 運 動,平

  2.3.3

Schrodinger方

面波

  34

程 式 の 独 立 解 

35

  2.3.4  重 心 運 動 の 分 離

  37

  2.3.5  二 粒 子 チ ャ ネ ル で の 波 動 関 数

  38

  2.3.6 

  40

内部 波 動 関 数

  2.3.7  境 界 条 件    2.4

42

Lippmann-Schwinger方

程式

  44

  2.4.1

Lippmann-Schwinger方

程式

  2.4.2

{Ψ(+)γ(Eγ)}の 規 格 直 交 性 

  2.4.3  Ψ(+)αの 漸 近 形 と 境 界 条 件,T行   2.4.4  時 間 依 存 の 理 論 形 式,断   2.5 

波 動 行 列,T行

列 お よ びS行

波 動 行 列 

  2.5.2

T行

列 お よ びS行

  47

  2.5.3

S行

列 の ユ ニ タ リ テ ィ,T行

列

  49

列

  53 53

列

  54

  2.6  角 運 動 量 表 示

列 の 和 則,光

学 定 理,相

反定理

56   59

  2.6.1 

基 底 関 数 

  2.6.2 

T行

列,S行

Coulomb相

46 列

熱 的 ス イ ッ チ ン グ,S行

  2.5.1 

  2.7

  44

60 列,散

乱振幅

互作用

  61   63

  2.7.1

Coulomb波

  2.7.2 

球面波展 開

  65

  2.7.3

Green関

  66

  2.7.4 

散乱 振幅,T行

  2.8  断

面

動 関数

  63

数 列

 67

積 

69

  2.8.1 

断面積 の一般形

  69

  2.8.2 

二粒 子 放 出 チ ャ ネル の 断 面 積

  74

  2.8.3 

三粒 子 放 出 チ ャネ ル の 断 面 積

  75

  2.8.4 

遠 心 力 ・Coulomb障

  76

  2.8.5 

断面積の角 運動量表示

  2.9  反 対 称 化 

壁

  78 79

3  光 学 模 型 

83

  3.1  光 学 模 型 の 沿 革

  83

  3.2  光 学 模 型 と実 測 量

  85

  3.3  光 学 ポ テ ン シ ャ ル の概 観

  87

  3.4  光 学 ポ テ ン シ ャ ル の探 索

  90

 

(a) 核   (b) 重

陽

子 

91

子 

98

  (c) t, 3He    (d) α

粒

99 子 

100

  (e) 重 イ オ ン 

101

  3.5  非 局所 ポ テ ン シ ャル と等 価 局 所 ポ テ ン シ ャル 

102

  3.6  光 学 模 型 の 理 論 的 基 礎 付 け 

106

  3.6.1

Feshbach理

論 に よ る光 学 模 型 の 導 出 

  3.6.2  光 学 ポ テ ン シ ャ ル の 実 部 と虚 部 の 分 散 関係 

107 110

4  多 重 散 乱 理 論 

115

  4.1

115

Watsonの

方 程 式 

  4.2  有 効 相 互 作 用 

119

  4.2.1  イ ンパ ル ス 近 似 

119

  4.2.2  最 適 運 動 量 近 似 

122

  4.2.3

124

G行 列 近 似 

  4.2.4  有 効 相 互 作 用 の 近 似 の 誤 差 

125

  4.2.5  有効 相 互 作 用 の 具 体 的 表 示 

126

  (a) 運 動 量 表 示 

126

  (b) 座 標 表 示 

129

  4.3  光 学 模 型 の 多 重 散 乱 理 論 に よる 導 出 

132

  4.3.1  光 学 模 型 の 導 出 

133

  4.3.2  光 学 ポ テ ン シ ャル 

135

 4.4  歪 曲波 イ ン パ ル ス 近 似(DWIA) 

140

5  直 接 過 程 

149

  5.1  直 接 過 程 の 一 般 論 

150

  5.1.1 

直 接 過 程 を 記 述 す る 波 動 関 数 と 有 効 ハ ミル トニ ア ン 

150

  5.1.2 

近

155

似

法 

  5.2  歪 曲 波Born近   5.2.1 

似(DWBA) 

157

形 状 因 子 の 一 般 形 

163

  (a) 移 行 角 運 動 量 表 示 

164

  (b) 選 択 規 則 

166

  5.2.2 

断 面 積 の 一 般 形 

167

  5.2.3 

非 弾 性 散 乱 に よ る 集 団 運 動 の 励 起 

171

  5.2.4 

組 み 替 え 反 応 

175

  5.2.5

strippingお

  5.2.6 

一 核 子stripping,

pick

up反 up反

応 

177

応 

181

 

(a)

 

(b) lxb≠0の

 

(c) 有 限 レ ン ジ の 補 正 

189

 

(d) 反 対 称 化 

190

(e) 分 光 学 的 解 析 

190

 

(f) 天 体 核 物 理 学 へ の 応 用 

196

 

(g) ク ラ ス タ ー 移 行 反 応 

196

 

  5.2.7 

lxb=0の

よ びpick

場 合 

185

場 合 

188

二 核 子 移 行stripping,

pick

up反

応 

197

 

(a) 形 状 因 子 

197

 

(b) 殻 模 型 の 描 像 に よ る 計 算 

202

二 段 階 過 程 

205

  5.3  チ ャ ネ ル 結 合 法 

206

  5.2.8 

 

(a) チ ャ ネ ル 結 合 方 程 式 

206

 

(b) チ ャ ネ ル 結 合 方 程 式 の 解 法 

208

  5.3.1 

非 弾 性 散 乱 に よ る 集 団 運 動 状 態 の 励 起 

209

  5.3.2 

組 み 替 え チ ャ ネ ル 結 合 法(CRC) 

212

  5.3.3 

離 散 化 連 続 チ ャ ネ ル 結 合 法(CDCC) 

  5.4  連 続 状 態 へ の 遷 移    5.4.1 

多 段 階 直 接 過 程 のDWBA展

214 216

開 

217

 

(a) 多 段 階 直 接 過 程 の 断 面 積 

218

 

(b) 準 弾 性 散 乱 

219

 

(c) 角 分 布 の 特 徴 

220

(d) 半 古 典 歪 曲 波 近 似(SCDW) 

221

多 粒 子 放 出 の シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 

223

 

(a) 核 内 カ ス ケ ー ド 模 型 

223

 

(b) 分 子 動 力 学 的 シ ミ ュ レ ー シ ョ ン 

225

    5.4.2 

  5.5

Glauber近

似 

6  複 合 核 過 程Ⅰ―   6.1

R行列

  6.2

Feshbachの

227

共 鳴 理 論 

235

理 論 

237 理 論 に 基 づ く分 散 公 式 

  6.3  光 学 模 型    6.3.1 

247 253

一 様 ポ テ ン シ ャ ル の 場 合 の 光 学 模 型 

  6.4  戸 口 状 態 

258 261

  6.4.1 

強 度 関 数 

263

  6.4.2 

巨 大 共 鳴 

267

  6.4.3 

ア イ ソ バ リ ッ ク ・ア ナ ロ グ 状 態(IAS) 

270

  6.5  核 反 応 の 時 間 的 記 述 

274

  6.6  共 鳴 と エ コ ー 

281

7  複 合 核 過 程Ⅱ―

287

  7.1状

統 計 理 論 

態 密 度 

  7.1.1 

287

一 粒 子 の 準 位 密 度 

294

  7.2  共 鳴 準 位 の 統 計 的 性 質 と ラ ン ダ ム 行 列 

296

  7.3  準 位 密 度:相

301

互 作 用 の あ る 場 合 

  7.4  複 合 核 反 応 の 統 計 理 論:現

象 論 

308

  7.4.1 

終 状 態 が 離 散 状 態 の 場 合 

308

  7.4.2 

終 状 態 が 連 続 状 態 の 場 合 

311

  7.4.3 

多 粒 子 放 出 過 程 

315

  7.4.4 

直 接 過 程 の あ る と き の 複 合 核 反 応 

316

  7.5  複 合 核 の 統 計 理 論:ラ   7.6

Ericsonの

ゆ ら ぎ 

  7.7  カ オ ス と複 合 核 

ン ダ ム 行 列 理 論 

317 323 325

8  前 平 衡 過 程 

333

  8.1  部 分 準 位 密 度 

334

  8.1.1 

独 立 粒 子 模 型 

334

  8.1.2 

ラ ン ダ ム 相 互 作 用 

336

  8.2  マ ス タ ー 方 程 式 とFokker-Planck方

339

  8.2.1 

巨 視 的 古 典 論 

340

  8.2.2 

マ ス タ ー 方 程 式 

342

  8.2.3

Fokker-Planck方

程 式 

  8.3  統 計 的 多 段 階 過 程 

343 345

  8.3.1 

エ キ シ ト ン 模 型 

345

  8.3.2 

拡 張 さ れ た エ キ シ ト ン 模 型 

349

  8.3.3

MSDとMSC 

351

  8.4  多 段 階 直 接 過 程 

352

  8.4.1

DWBA 

352

  8.4.2 

終 状 態 に つ い て の 統 計 

353

  8.4.3 

中 間 状 態 の 統 計 

355

  8.4.4 

瞬 間 近 似 

356

  8.4.5 

断 熱 近 似 

358

  8.5  線 形 応 答 関 数   

程 式 

8.5.1

DWBAと

360 の 関 係 

363

  8.5.2 

近 似 計 算,RPA 

364

  8.5.3

Fermiガ

ス 模 型 

367

  8.5.4 

有

核 

371

限

  8.6  多 段 階 複 合 核 過 程 

371

  8.7

375

TDHF,

  8.7.1

Vlasov方 Vlasov方

程 式 

程 式 

377

参 考 図 書 

383

索

385

引 

1 序

論

1.1  核 反 応 の研 究 の沿 革

  核 反 応 は 原 子 核 に 何 か が 衝 突 し て 起 こ る 現 象 の 総 称 で あ る.核 反 応 の 研 究 の 歴 史 は 原 子 核 そ の も の の 発 見 の と き に 遡 る.1909年 Rutherfordら

か ら1911年

が 行 っ た 実験 とそ の 解 析が そ れ で あ る.彼 ら はPoの

にかけ て 自然 放 射 能

で 出 る α 粒 子 を 金,白 金 の 薄 膜 に 当 て る と大 きな 角 度 で 散 乱 され る確 率 が 非 常 に 大 きい こ と,そ れ が 原 子 の 中心 に あ る非 常 に 小 さ くて 重 い 荷 電 粒 子,す ち 原 子 核,と

α 粒 子 の 荷 電 の 間のCoulomb斥

こ と を発 見 し た[1].そ

なわ

力 に よ る散 乱 に よ る もので あ る

の後,核 反 応 に よ る 中性 子 の発 見,原

子 核 変 換 の発 見 な

ど に よ っ て 今 日の 原 子 核 物 理 学 の基 礎 が 築 か れ た の で あ る.   しか し,核 反 応 機 構 の本 格 的 な研 究 に先 鞭 を付 け た の はRoma大 らが 行 った 一 連 の実 験[2]だ っ た.彼 ら は放 射 性Poが

学 でE. Fermi

出 す α 粒 子 をBeに

し て,そ れ か ら出 る 中 性 子 を水 素 か らウ ラ ニ ウ ム に至 る36種

照射

の原子核に当てて

起 こ る反 応 を系 統 的 に 観 測 した.そ の 結 果,次 の 二 つ の 重 要 な こ とを発 見 した.   (1)核 が 中 性 子 を 捕 獲 してγ 線 を 出 す 反 応 の確 率 が 非 常 に 大 きい.   (2)0エ

ネ ル ギ ー 近 くで の 反応 の確 率 は 標 的核 の 種 類 に よ って 著 し く違 う.

  電 磁 相 互 作 用 は 弱 い か ら,(1)は

原 子 核 が 反 応 の 途 中 で γ線 を 出す こ とが で

きる 高 い 励 起 状 態 に 長 時 間留 ま っ て い る こ と を示 す,彼 の 確 率 か ら,そ の 時 間 を10-16sec程

度 と評 価 し た,(2)は

らは,観 測 され た 反 応 共 鳴(resonance)に

よる もの で あ る こ とが 間 もな く明 らか に な った.こ れ は,確 率 が 核 種 ご とに 異 な る特 定 の 入 射 エ ネ ル ギ ー で 非 常 に大 き くな る現 象 で あ る.入 射 エ ネ ル ギ ー が そ れ に ち ょ うど 重 な るか ど うか で,核 Fermiら

の 観 察 を 説 明 す る た め にN.

種 に よ っ て 大 き な違 いが 出 たの で あ る. 

は 複 合 核(compound

nucleus)模

Bohrお

よ びG.

型 を 提 唱 した[3].こ

BreitとE.P.

Wigner

の模 型 に よれ ば,核 反

応 で は す べ て入 射 粒 子 と標 的 核 の 強 い 相 互 作 用 に よっ て 入 射 粒 子 の エ ネ ル ギ ー が た ち ま ち核 内 に分 配 され,全 系 が 混 然 一 体 と な っ た,寿 命 の 長 い 複 合 核 状 態 が で き る.反 応 はす べ て この 状 態 を経 過 して 起 こ る.複 合 核 状 態 の エ ネ ルギ ー 固有 値 は 離 散 的で,入 射 エ ネ ル ギ ーが そ れ に合 っ た と きだ け そ の 状 態 が 形 成 さ れ,反 応 の確 率 が 大 き くな る.こ れが 共 鳴 で あ る.そ の共 鳴 の 幅 は 状 態 の 寿命 と 不 確 定 性 関 係 で 結 ば れ て い る.Fermiら  

が 中性 子 の 捕 獲 反応 か ら評 価 し た寿 命

で は共 鳴 の 幅 はΓ λ∼10eVと

なり,Γ λの 実 測 値 と一 致 す る.エ

ネ ル ギ ーが 高 くな る と,共 鳴 は 密 接 し,重 な り合 い,見 え な くな る.こ の 場 合, 複 合 核 状 態 か らの 放 出 粒 子 の 角 度 分 布 は重 心 系(1.2.5項)で90°

対 称 で,エ ネ

ル ギ ー スペ ク トル は,熱 せ られ た液 滴 か らの 蒸 発 と 同 じ く,い わ ゆ るMaxwell 型 で あ る こ とが 理 論 的 に予 言 され,多

くの 実験 に よ って 検 証 され た.か

くし て

しば ら くの 間,こ の 複 合 核 過 程 が 核 反 応 の 唯 一 の 機 構 で あ る と思 わ れ た.   しか し,1940年 て90MeVの

代 の 後 半 にBerkeleyで90イ

中性 子,200MeVの

ンチ の サ イ ク ロ トロ ン を 使 っ

重 陽 子 に よ る い ろい ろ な 反 応 が 観 測 され た

結 果,放 出粒 子 の 中に は複 合 核 模 型 で予 言 され る よ りは るか に高 い エ ネ ルギ ーで, 前 方 に 集 中 し て放 出 され る も のが あ る こ とが わか っ た.こ れ に 対 して,Serber は 次 の よ う な反 応 機 構 を提 唱 した[4].こ

の よ うな 高 エ ネ ル ギ ーで は,入

射粒

子 と核 内 核 子 との 衝 突 時 間 は 短 いか ら,そ の 間 に核 内 核子 同 士 が 相 互 作 用 して い る 暇が な い.し た が っ て,反 応 は 入 射 粒 子 と1個 の 核 内 核 子 との 衝 突 で 始 ま る と考 え て よい.高 エ ネ ル ギ ー で は,核 子-核 子 衝 突 の 確 率 は 小 さい か ら,入 射 粒 子 また は 衝 突 され た 核 子 が 複 合核 を作 らず,直 が か な りあ る.時

と し て,そ

ち に核 外 に 飛 び 出 す 可 能 性

れ らの 核 子 が 放 出 され る 前 に核 内 で 何 回 か 別 の

核 子 と衝 突 した り,何 個 か の 核 子 の 塊 と衝 突 した りして そ れ らを 叩 き 出す こ と もあ る.い ず れ にせ よ,1回

の衝 突 で 失 うエ ネル ギ ー は 比 較 的 小 さい か ら,こ

の よ う に し て 出 て くる核 子 は 高 い エ ネ ルギ ー を も って 前 方 に放 出 され る.こ れ が,Serberが

考 え た 直 接 過 程 の 描 像 で あ る.こ のSerberの

描 像 を基 礎 に,い

ろ い ろ な反 応 に対 して,具 体 的 な 直 接 過 程 の 機 構が 提 唱 され,実 験 の 説 明 に成 功 した.   Serberの 描 像 の提 唱 後 間 もな く,10数MeVの (p)ま た は 中性 子(n)が

重 陽子(d)に

よ る反 応 で 陽子

放 出 され,残 留 核 の 離 散 的状 態 へ 遷 移 す る場 合,放

粒 子 が 前 方 に強 く放 出 され る こ とが 見 い だ され た.pが

放 出 され る場 合,そ

角 度 分 布 が 干 渉 縞 に似 た 極 め て特 徴 的 な 模 様 を示 す こ とが わか っ た.Butlerは

出 の

それが

の よ う に,nがAに 入 り,pはAの

よ ってdか

ら は ぎ と られ て そ の 周 りの 殻 模 型 軌 道 の 一 つ に

外 を相 互 作 用 せ ず に 通 過 す る,と い う"stripping"の

明 で き る こ と を示 し た[5].そ の 逆 過 程 で あ るpick

の 後,こ

機構 で説

の 干 渉 縞 様 の 角 分 布 は,strippingと

そ

up反 応 ば か りで な く,α 粒 子,陽 子 な ど の 非 弾 性 散 乱 を

初 め と し て い ろ い ろ な反 応 に よ る残 留 核 の 離 散 低 励 起 状 態 へ の 遷 移 に お い て 観 測 され,そ れ が 標 的 核 の表 面付 近 で 主 と して 起 こ る こ とに 由 来 す る も の で あ る こ とが わか っ た[6].   しか し,非 複 合 核 過 程 の 普 遍性 を 決 定 的 に 示 した の は1952年

のBarschallの

実 験 で あ っ た[7].彼

中性 子 を 質 量 数

Aの

は 入 射 エ ネ ル ギ ーEn=0か

ら3MeVの

全 領 域 の 標 的核 に 当 て,そ れ に よ る ビ ー ム 強度 の 減 衰,す

(1.2.3項)σtを 数 百keVの

測 定 した.入 射 ビ ー ム は い わ ゆ る低 分 解 能(bad

エ ネ ルギ ー 幅 ΔEnを

structure)と

resolution)で,

もって い たか ら,測 られ た の は σtの ΔEnに

わ た る平 均 値 〈 σt〉 で あ る.ΔEnは 〈σt(En,A)〉 はEn,Aの

な わ ち全 断 面 積

共 鳴 の平 均 間 隔Dよ

りは るか に 大 きい か ら,

ゆ っ く り変 化 す る 関 数 で あ る.そ れ は 粗 い 構 造(gross

呼 ば れ る,山 谷 を もつ 関数 で あ っ た.し か し,複 合 核 模 型 は 単 調

な 〈 σt(En,A)〉 を予 言 す る!   Feshbach,

PorterとWeisskopfは,粗

い 構 造 の 原 因 は,入 射 し たnが

複合

核 にす べ て 吸 収 され て し ま うので は な く,入 射 波 の ほか に 核 に瞬 間 的 に 散 乱 さ れ て 出 て くる波 もあ り,そ れ らが 干 渉 す る こ とで あ る,と 考 え た.こ の 瞬 間 的 な散 乱 はnに Vはnが

働 く複 素 一 体 ポ テ ン シ ャルU=V+iWで

表 され る もの と した.

核 か ら受 け る平 均 場 の ポ テ ン シ ャ ル で あ り,Wは

複 合核過程 に流束

の 一 部 が 吸 収 され る こ とに 対 応 す る.こ の模 型 を光 学 模 型(optical model),

U

を光 学 ポ テ ン シ ャル(optical potential)と い う[8].   そ の 後,光 学 模 型 は 核 子 か ら重 イオ ン まで の すべ て の 入 射 粒 子,標

的核,入

射 エ ネ ル ギ ー に対 し て 普 遍 的 に 成 り立 つ こ とが わ か り,現 在 で は核 反 応 論 の基 礎 的概 念 の 一 つ に な って い る.   か くして,現 代 の 核 反 応 論 は複 合 核 模 型,Serberの 低 エ ネ ルギ ー直 接 過 程 の 模 型,光

直 接 過 程 の 描 像,各 種 の

学 模 型 な ど を基 礎 に し て研 究 が 進 ん で い る.

そ れ ら の 現 象 論 的 模 型 の 理 論 的 基 礎 付 け もか な りの 程 度 行 わ れ て い る.ま

た,

こ れ ら さ ま ざ まな 反 応 過 程 を統 一 的 に説 明す る枠 組 み も,あ る程 度 で きて い る. しか し,す べ て の 多 彩 な核 反 応 を 統 一 的 に記 述 す る 理 論 は まだ な い.

1.2  基 礎 的 な 事 柄

  1.2.1  核 反 応 の 種 類   核 反 応 は,普 通,一 つ の入 射 粒 子 が 一 つ の 標 的 核 に 衝 突 し て起 こ る.(星 の 中 で は 二 つ の 入 射 粒 子が 同 時 に 標 的核 に衝 突 す る 反 応 が 重 要 な こ と もあ る.)反 応 の結 果,い

くつ か の 放 出 粒 子 が 放 出 され,後

に 残 留 核 が 残 る.核 反 応 を観 測

す る に は,普

通,標 的 核 を 含 む 標 的 を実 験 室 に 固 定 し,入 射 粒 子 を一 方 向か ら

平 行 な 束(ビ

ー ム)と

し て 照 射 す る.入 射 粒 子 の 運 動 エ ネ ル ギ ー を入 射 エ ネル

ギ ー とい う.放 出粒 子 の 種 類,放

出 方 向,エ

ネ ルギ ー,強 度 な ど が 各 種 の測 定

装 置 を使 っ て測 定 され る.   標 的 核A,入

射 粒 子aで

始 ま り,残 留 核B,放

出 粒 子b1,b2,…,bnで

終 わる

反応 を

(1.1a) また は

(1.1b) で 表 す.も 表 す.も

し,入 射,放 出 粒 子 だ け に着 目す る と きは(a,b1b2…bn)の

し,b1=b2=bの

と きはb1b2の

代 わ りに2bと

よ うに

か い て も よい.普 通,

b1,b2,…,bnの

順 番 は 問 題 に しな い.し か し,特 に粒 子 の 放 出 の順 番 を 問 題 に

す る と き は,早

く放 出 され る もの を左 に 書 く.以 後,入 射 粒 子,標

粒 子,残

的核,放

出

留 核 を 一 括 し て反 応 粒 子 と呼 ぶ こ とに す る.各 反 応 粒 子 は素 粒 子 また

は い くつ か の粒 子 か ら な る複 合粒 子 で あ る.入 射 粒 子 に は 核 子,原 子 核,π,K 中 間子 な ど の ハ ド ロ ン,電 子,ミ

ュ ー オ ン な ど の 軽 粒 子,光

子 な ど,い ろ い ろ

の もの が あ る.本 書 で 取 り扱 うの は 主 と し て核 子 また は原 子 核 を入 射 粒 子 とす る 反 応 で あ る.し か し,一 般 に ハ ド ロ ン に よる 反 応 は そ れ と共 通 点 が 多 く,理 論 的 に は そ れ に準 じた 方 法 で 取 り扱 う こ とが で き る.以 後 簡 単 の た め に,特 に 断 らな い 限 り,軽 粒 子 と光 子 を除 く粒 子 を単 に粒 子,そ を複 合 粒 子 と呼 ぶ こ と にす る.

の い くつ か の 束 縛 状 態

  核 反 応 の 中 で 最 も 簡 単 な の は 弾 性 散 乱(elastic こ の 反 応 で は,そ

方 ま た は 双 方 が 励 起 さ れ る.そ

ず,運

弾 性 散 乱(inelastic

性 散 乱 と 同 じ く,反 応 粒 子 の 種 類 は 変 化 せ ず,入

よ びA(a,a*)A*で

A(a,a)Aで

あ る.

の 前 後 で 反 応 粒 子 の 種 類 も 内 部 状 態 も 変 わ ら な い.

  弾 性 散 乱 以 外 の 過 程 が 狭 義 の 反 応 で あ る.非 で は,弾

scattering)

scattering)

射 粒 子 と標 的 核 の 一

れ ら は 普 通 そ れ ぞ れA(a,a')A*とA(a,a*)Aお

表 さ れ る."*"は

励 起 状 態 を,a'はaの

内部状態 は変化せ

動 エ ネ ル ギ ー の 一 部 が 失 わ れ た こ と を 表 す.A(a,a*)A*は

相 互 励 起 と呼

ば れ る.   変 換 反 応(transmutation)で

は,反

そ れ は 組 み 替 え(rearrangement)反 構 も 多 様 で あ る.放

応 の 前 後 で 反 応 粒 子 の 種 類 が 変 わ る:A≠B. 応 と も呼 ば れ る.そ

出 粒 子 が 一 つ で あ るA(a,b)B型

の 種 類 は 多 く,そ

の機

の 反 応 は 特 に 詳 し く研 究 さ

れ て い る.

  1.2.2 

チ

ャ

ネ

ル

  2反 応 粒 子 の 衝 突 に よ る 反 応 で は 一 般 に

(1.2)

の よ うに,い ろい ろな残 留 核 と放 出 粒 子 の 組が そ れぞ れ あ る確 率 で 発 生 す る.始 お よび 終 状 態 で の それ らの 組  の そ れ ぞ れ をチ ャ ネ ル とい う.(1.2)の

左 辺 の α ≡{A,a}を

辺 の 

入 射 チ ャ ネル,右 の それ ぞ れ を 放

出 チ ャ ネ ル とい う.一 つ の 反 応 は 入 射 チ ャ ネ ル か ら放 出 チ ャネ ル の 一 つ へ の 遷 移 と見 る こ とが で き る.  一 般 にM個 の 反 応 粒 子 か らな るチ ャネ ル をM粒

子 チ ャネ ル と呼 ぶ こ とに す

る.正 確 な 議 論 の た め に は チ ャ ネル を反 応 粒 子 の 種 類 だ け で な くそ の状 態 まで 指 定 す るの が 便 利 で あ る.(1.2)で 乱)チ

ャ ネ ル{A*,a'}を

弾 性(散

乱)チ

ャ ネ ル{A,a}と

区 別 した の は そ の例 で あ る.時

また は 放 出 粒 子 の 名 前 だ け で 呼 ぶ こ とが あ る.た

非 弾 性(散

と して チ ャ ネ ル を 入 射

とえ ば1個

の 中 性 子(n)が

入

射,放

出 す るチ ャ ネ ル を 中性 子(n)チ

るチ ャ ネ ル を2pチ

ャ ネ ル,2個

の 陽 子(p)が

入 射,放

出す

ャ ネル と呼 ぶ な ど で あ る.

  系 に複 数 の 同 種 の粒 子が 含 まれ て い る 場 合,量 子 力 学 的 に は それ ら を区 別 で きない.し

か し,議 論 を 進 め る上 か らは,あ た か もすべ て の 粒 子 が 区 別 で きる

か の よ うに取 り扱 い,こ の 区 別 不 可 能性 は 計 算 が 終 わ っ て か ら,た

と えば 波 動

関 数 の 同種 粒 子 の 交 換 に 対 す る対 称 また は 反 対 称 化 な ど に よ っ て,別 途 考 慮 す るの が 便 利 な こ とが 多 い.そ

こで,以

下,特

に 断 らな い 限 り,す べ て の 粒 子 に

番 号 をつ け て 番 号 が 異 な る粒 子 が 区 別 で き る とい う取 り扱 い を す る.   一 つ の チ ャ ネル を 構 成 す る粒 子 の 静 止 エ ネル ギ ー の和 をそ の チ ャ ネル の 内部 エ ネル ギ ー とい う.こ れ と粒 子 の 運 動 エ ネ ル ギ ー の和 が 系 の 全 エ ネ ル ギ ーで あ る.全 エ ネ ル ギ ー は 運 動 の 恒 量 で あ るか ら,反 応 の 前 後 で 変 化 しな い.反 応 前 後 の 内 部 エ ネ ル ギ ー の 差 を そ の 反 応 のQ値

とい う.反 応(1.1a)の

部 エ ネ ルギ ー を εに 粒 子 の 名 を付 け て表 せ ば,そ のQ値

各粒 子の 内

は

(1.3) で あ る.Qβ α>0の

反 応 を 発 熱 反 応,Qβ α<0の

反 応 を吸 熱 反 応 と い う.粒

子 の 運動 エ ネ ルギ ー の 総 和 はQβ αだ け 変 化 す る.吸 熱 反 応 が 起 こ る た め には, 入 射 エ ネ ルギ ー は そ の 反 応 の￨Qβ α￨よ り大 き くなけ れ ば な らな い.一 つ の 反 応 が 起 こ る た め に必 要 な最 小 の 入射 エ ネ ルギ ー を そ の 反 応 の し きい 値(threshold) とい う.入 射 エ ネ ルギ ーが 一 つ の放 出 チ ャ ネ ル の し きい 値 よ り大 きい と き,そ の 放 出 チ ャ ネル は そ の 入 射 エ ネ ル ギ ー で 開 い て い る とい い,そ じて い る とい う.入 射 エ ネル ギ ーが 上が る に従 っ て,多

  1.2.3  断   核 反応 で,い

面

うで な い と き閉

くの チ ャ ネル が 開 く.

積

ろ い ろな 事 象 が 起 こ る確 率 は 断 面 積 で 表 され る.断 面 積 は 単 位

流 束 の 入 射 ビ ー ムが 単 位 時 間 に そ の 事 象 を起 こ す 回 数 で 定 義 され,面 積 の 次 元 を もつ.ビ

ー ム の 流 束 は そ れ に 垂 直 な 単 位 面 積 を 単 位 時 間 に 通 過 す る粒 子 の 数

で 定 義 す る.核 反 応 論 で は 断面 積 の 基 本 単 位 と して バ ー ン(barn,記

号b)が

用 い られ る.

で あ る.こ る.補

れ は 中 くらい の重 さの 原 子 核 の 幾 何 学 的 な断 面 積 程 度 の大 き さで あ

助 単 位 と し て,キ

ロ(k,103),ミ

リ(m,10-3),マ

イ ク ロ(μ,10-6),

ナ ノ(n,10-9)バ

ー ン な どが 用 い られ る.

  一 つ の 入 射 チ ャ ネル か ら何 らか の 反応 が 起 こ る 断面 積 を 全 断 面 積(total cross section)と い う.全 断 面 積 は そ の チ ャ ネ ル を入 射 チ ャ ネ ル とす る個 別 的 な反 応 の 断 面 積 の 総 和 で,弾 性 散 乱 の 全 断 面 積,全 弾 性 散 乱 断 面 積,と 断 面 積 の 総 和,全

反 応 断 面 積(total reaction cross section),の

狭義の反応 の 和 で あ る*1.

  個 々の 反 応 の 断 面 積 は 放 出 粒 子 の 放 出方 向 とエ ネ ル ギ ー との 関 数 で あ る.そ れ を放 出粒 子 の 方 向 の 関 数 と して み た ものが 角 分 布 で あ る.そ れ は 注 目す る方 向 の 周 りの 微 小 立 体 角 中 に 放 出 され る断 面 積 の単 位 立 体 角 当 た りの 値 で あ る微 分 断 面積 に よっ て表 され る.そ の基 本 単 位 はb/sr(srはsteradian(立 略)で あ る.時

体 角)の

と し て,そ の 絶 対 値 は 問題 にせ ず,角 度 依 存 性 だ け に注 目す る

場 合 もあ る.同 様 に し て,断 面 積 を放 出粒 子 のエ ネ ル ギ ー の 関 数 と して み た も の をエ ネル ギ ー ・スペ ク トル とい う.そ れ は,エ 積 で 表 され る.そ の 基 本 単 位 はb/MeVで

ネ ル ギ ー に つ い て の 微 分 断面

あ る.非 弾 性 散 乱 で 核 の 離 散 的励 起

状 態 を 励 起 す る場 合 の よ うに,放 出粒 子 のエ ネ ルギ ーが 決 ま って い る場 合 に は, そ れ に 対 応 す る エ ネル ギ ー ・ス ペ ク トル は δ関 数 に 比 例 す る.そ れ を線 スペ ク トル とい う.方 向 とエ ネ ルギ ー の 双 方 の 関 数 とし て み た 場 合,す

な わ ち あ る角

度 で の エ ネル ギ ー ・スペ ク トル また は あ るエ ネ ルギ ー の 放 出粒 子 の 角 分 布 は 角 度 とエ ネル ギ ー の 両 方 に つ い て の 微 分 断 面 積 で 表 され る.そ れ を 二 重 微 分 断 面 積 とい う.基 本 単 位 はb/sr・MeVで

あ る.複 数 個 の 粒 子 が 放 出 され る場 合 に は

そ れ ぞ れ の 放 出粒 子 に対 して 上 記 の 微 分 断面 積 が 定 義 され る.そ れ ら を 同時 に 観 測 した もの は 多 重 微 分 断 面 積 に よ って 表 され る.放

出 され る粒 子 の 一 部 しか

観 測 しな い 場 合 の 断 面 積 に は,観 測 され な い粒 子 に 対 して 起 こ る す べ て の事 象 の確 率 の 和 が 含 まれ る こ とに な る.こ の よ うな 断面 積 を包 括 的(inclusive)断 面 積 とい う.こ れ に対 し て,個

々の 事 象 に 対 す る 断 面 積 を個 別 的(exclusive)

断 面 積 とい う.   一 つ の 断 面 積 を入 射 エ ネ ル ギ ーの 関数 とし て見 た もの を そ の 断 面 積 の 励 起 関 数(excitation

function)と

い う.

  一般 に ス ピ ン を もつ 粒 子 の ビ ー ム の ス ピ ンの 方 向が 一 様 で ない 場 合,そ の ビ ー ム は偏 極(polarize)し

て い る とい う.核 子,重

陽 子 な ど の偏 極 し た 入 射 ビ ー

ム に よ る反 応 の研 究が 盛 ん に 行 わ れ て い る.標 的 中 の 標 的 核 の ス ピ ンの 偏 極 も *1 入 射粒 子 が 電 荷 を持 つ 場 合 に は弾 性散 乱 の 微 分 断面 積 は放 出 角0° で 無 限大 で も無 限大 で あ る.し た が っ て,弾 性散 乱 の 全 断面 積 も無 限 大で あ る.

,そ の積 分

考 え られ るが,実

際 に は ご く限 られ た 場 合 に しか 実 験 され て い な い.放

出粒 子

の ビ ー ム も一 般 に 偏 極 して い る.ま た,入 射 ビ ー ム が 偏 極 し て い る と放 出粒 子 の 角 分 布 は 入 射 ビ ー ム に 関 して 一般 に 軸 対 称 で は な い.偏 極 の 度 合 い は"密 度 行 列"を 用 い て 定 義 され,空

間 の 回 転 に 対 して 球 面 テ ン ソル の よ うに 変 換 す る

い ろ い ろ な偏 極(polarization)と

呼 ば れ る 量 に よ って 表 され る .ま た,前 期 の

放 出粒 子 強 度 の 軸 対 称 か らの ず れ は 分 解 能(analyzing

power)と

呼ばれ る量で

表 され る.   偏 極 量 に つ い て は精 緻 な 理 論 的定 式 化 が 完 成 して お り,そ れ に 沿 っ た 実 験 的 観 測 と理 論 的 解 析 が 盛 ん に 行 わ れ て い る.し か し,本 書 で は 偏 極 量 に つ い て の 議 論 は行 わ ず,巻 末 の 参 考 書 に そ れ を ゆ だ ね る.

  1.2.4  反 応 を記 述 す る座 標 系   反 応 を定 量 的 に 記 述 す る に は 座 標 枠 を 決 め ね ば な らな い.実 験 結 果 を直 接 記 述す るの に便利 な のは 実 験 室 に 固定 した 実 験 室 系(laboratory

frame)で

あ る.こ

れ に 対 して,系 全 体 の 重 心 と同 じ速 度 で 運 動 す る もの を 重 心 系(center-of-mass frame)と

い う.系 全 体 の 並 進 運 動 は 反 応 とは 無 関 係 なの で,重 心 系 は反 応 の物

理 的 記 述 に便 利 で あ る.こ れ ら の ほ か に,標

的核 に 固定 し た系,核

内の一つ の

核 子 に 固 定 し た系 な ど の よ うに理 論 的 考 察 に有 用 な 座 標 枠 もあ る.こ れ ら の座 標 枠 の 中 に 原 点 と座 標 軸 を設 定 し て座 標 系(coordinate

system)を

決 め,そ れ

に よ っ て 粒 子 の運 動 を記 述 す る.   一 つ の 座 標 系Oか る と,物 理 量Qの

らそ れ に対 し て 等 速 度 で 平 行 移 動 す る座 標 系O'へ 値 がQか

らQ'に

に 変 化 す る か を 見 よ う.質 量miの で そ れ ぞ れri, viお

よびpiで

乗 り移

変 わ る.次 に い くつ か の 基本 的 な 量 が い か 一 つ の 粒 子iの

あ る とす る.O'がOに

移 動 し て い る とす る と,そ れ ら のO'系

座 標 と速 度,運 動 量 がO系 対 して 等 速 度Vで

平行

での値 は

(1.4) に 変 化 す る.た 間 で あ る.こ

だ し,tは

れ をGalilei変

両 座 標 系 の 原 点 間 がaだ

けず れ て い た と きか らの 時

換 と い う.(相 対 論 で こ れ に 対 応 す る も の はLorentz

変 換 で あ る.)   系 が 複 数 個 の 粒 子 か ら な る 場 合,任

意 の 二 つ の 粒 子1と2の

わ ち 相 対 座 標 は 不 変 で あ る:r'1-r'2=r1-r2.

座 標 の 差,す

な

運動 量の差 は

と 変 換 さ れ る.m1=m2な

ら,p'1-p'2=p1-p2で

い 粒 子 の 運 動 量 の 差 はGalilei変 一 つ の 粒 子iの は 粒 子iの,こ た が っ て,移

あ る か ら,質

換 に 対 し て 不 変 で あ る.同

反 応 の 前 後 の 運 動 量 の 差  の 反 応 で の 移 行 運 動 量(momentum 行 運 動 量 はGalilei変

  こ れ に 対 し て,運

量 が等 し

じ こ とは系 の 中の

に つ い て もい え る transfer)と

.qi

呼 ば れ る.し

換 に 対 し て 不 変 で あ る.

動 量 の 総 和 Σipiは

(1.5) と変 化 す る.た だ し, 

は 全 系 の 質 量 で あ る. 

は系全体

の 重 心 の 運 動 量 で あ る か ら,(1.5)を

(1.6) と 書 く こ と も で き る.ま

た,運

動 エ ネ ル ギ ー の 変換 は

(1.7) で あ る.ま

た,そ

の総和 は

(1.8) と 変 換 す る.た

だ し, 

で あ る.

  1.2.5  実 験 室 系 と重 心 系   以 上 を特 に重 要 な実 験 室 系 か ら重 心 系 へ の 変換 に 適 用 し よ う.こ の項 に 限 り, 実 験 室 系(重 心 系)の 値 に は 添 え字lab(cm)を で の重心の速度 は

で あ る.

つ け る こ とに す る.実 験 室 系

(a) 運 動 量,運 質 量miの

動 エネルギー

粒 子iの 座 標,速

度,運 動 量 は それ ぞ れ

(1.9) と変 換 す る.前 項 に よ り,質 量 が 等 しい 二 つ の 粒 子 の 運 動 量 の 差,一 つ の 粒 子 の 反 応 に よ る移 行 運 動 量 は 両 系 で 変 わ ら な い.   運 動 量 の 総 量,す

な わ ち重 心 の 運 動 量 は

(1.10) と変 換 す る.こ れ は 重 心 系 の定 義 か ら当 然 で あ る.(1.10)を

(1.11) と 変 形 す る と,そ れ は 系 の全 運 動 量 が 重 心 の 運 動 量Plabと の 総 和 

重 心 系 で の 運動 量

に分 離 す る こ とが で きる こ と を表 す.

  運 動 エ ネ ルギ ー は

(1.12) その総和 は

(1.13) と 変 換 す る.(1.13)を,(1.11)と

同 様 に,

(1.14) と変 形 す る と,そ れ は 全 系 の 運 動 エ ネ ルギ ーが 重 心 の 運 動 エ ネ ル ギ ー と重 心 系 で の 運 動 エ ネ ル ギ ー に 分 離 で き る こ とを 示 す.た

だ し,Kicmの

各項 の運動量

picmは す べ てが 独 立 で は な く,常 に(1.10)を 満 た し て い な け れ ば な らな い.ま た,重 心 運 動 の 分 離 は,い ま仮 定 して い る,非 相 対 論 的 近 似 の範 囲 内 の こ とで, 相 対 論 で は こ の よ うな 分 離 は で きな い こ と に注 意が 必 要 で あ る.

  (b) 二 粒 子 系 の 相 対 運 動 量   核 反 応 で は 系 が 二 つ の 反 応 粒 子 か ら な る場 合 が 特 に重 要 で あ る.た

とえ ば,

反 応 の 始状 態 で は 系 は 入 射 粒 子 と標 的 核 の 二 粒 子 か ら な る.こ の 場 合 に は(1.9) よ り,

(1.15) と な る.こ れ ら に対 して 前 記 の結 論 が 成 り立 つ こ とは も ち ろ ん で あ る.そ の ほ か に 二粒 子 間 の 相 対 運 動 が 重 要 で あ る.相 対 速 度 はGalilei変 換 に対 し て 不 変 で あ るか ら

(1.16) 右 辺 に(1.15)を

代入 する と

(1.17) こ こ に,μ

≡m1m2/(m1+m2)は

こ の 系 の 換 算 質 量 で あ る.よ

って

(1.18) で 相 対 運 動 量(relative

momentum)を

定 義 す る の が 合 理 的 で あ る.運

動 エネ

ル ギ ーが

(1.19) と書 け る こ と は 見 や す い.こ れ は,  ギ ー で あ る こ とを示 す.(1.18)か

が 二 粒 子 の相 対 運 動 の 運 動 エ ネル

ら明 らか に,相 対 運 動 量 は 重 心 系 へ のGalilei

変 換 に対 し て不 変 で あ る:

(1.20) (1.13)と(1.19)か

ら

(1.21) とな る.重 心 系 で は重 心 の 運 動 エ ネル ギ ー は0で

あ る か ら,こ れ は 当 然 で あ る.

 (c)  し き い 値   さて,反

応(1.1a)が

で あ る.(1.14)に

吸 熱 反 応 で あ る と き そ の し き い 値 は,重

よれ ば,実

心系で は

験 室 系 で は入 射 エ ネ ルギ ーの 一 部 が 重 心 の 運 動 エ ネ

ル ギ ー に な っ て し ま う か ら,し

き い 値EthはEthcmよ

り重 心 の 運 動 エ ネ ル ギ ー

(1.22) だ け 大 き い.よ

って

(1.23) で あ る.た

 (d) 散

だ し,ma(mA)は

乱

入 射 粒 子a(標

的 核A)の

質 量 で あ る.

角

  散 乱 角 も両 座 標 系 で 異 な る.入 射 方 向 にz軸,散

乱 平 面 内 で そ れ に垂 直 な 方

向 にx軸

れぞ れθlabお よび θcmは

を とれ ば 実 験 室 系 と重 心 系 で の 散 乱 角,そ

で 与 え ら れ る.し

で あ るか ら

か る に, 

(1.24) で あ る.

 重心の座標 は

(1.25) で 定 義 さ れ る.粒 子iの 重 心 系 で の 空 間座 標ricmは 原 点OGか

重 心 系 に 固 定 され た座 標

ら測 っ たiの 位 置 ベ ク トル で あ る.そ れ らは

(1.26) を 満 た す.し た が っ て,す べ てが 独 立 で は な い.   古 典 力 学 で は,重 心 の 運 動 量が0で

あ れ ば,重

心 は 静 止 し て い る.し

たが っ

て 重 心 の 位 置 は 一 定 で あ る.し か し量 子 力 学 的 に は,重 心 の 運 動 量 が0,す

な

わ ち 一 定 な ら,そ の 位 置 は まっ た く不 確 定 で あ る.す な わ ち,量 子 力 学 的 に は 重 心 系 は 重 心 の位 置 に 固 定 し た 座 標 系 で は な い.こ れ を明 確 に す る た め に,重 心 系 を運 動 量 中心 系(barycentric

system)と

呼 ぶ こ とが あ る.

  1.2.6  Jacobi座

標 系

  座 標 系 にはJacobi座 2個,た

標 系 と よば れ る もの が あ る.N個

と えば1と2,の

で,1,2系

相 対座標 を

の重 心 座 標 を

で 定 義 す る.次 に 別 の 粒 子,た

と1,2,3系

と えば3,とy1と

重 心yN-2と

をN-1番

の相 対 座 標

の重心

を 定 義 す る.以 下 同 様 に し て,最 後 の粒 子Nと

をN番

の粒子 の中の任意 の

そ れ 以 外 のN-1個

の粒子 の

の相 対 座 標

目の 座 標 と し,最 後 に全 系 の 重 心 座 標

目 の 座 標 と す る の で あ る.Jacobi座

義 さ れ る.ど

標 系 は(x1,x2,…,xN-1,R)で

の 粒 子 の 座 標 を 組 み 合 わ せ てxiを

定

定 義 す る か は 任 意 で あ る.

1.3  核 反 応機 構 の 概 観

  核 反 応 は 非 常 に 多 様 で あ る.そ の す べ て を 統 一 的 に 理 解 す る こ とは 難 しい. し か し,入 射 粒 子 が 核 子 ま た は 原 子 核 で,中

間子 の 生 成 を伴 わ な い 程 度 の比 較

的低 い 入 射 エ ネル ギ ー の 場 合 に つ い て は,あ る程 度 一 般 的 な描 像 が 確 立 し て い る とい って よい.以

下,そ れ を 説 明 す る.こ の描 像 は ほ か の種 類 の 反 応 に対 し

て も考 察 の 基 礎 と して 重 要 で あ る.

  反 応 の 最 初 の段 階 で は,入 射 粒 子aも

標 的核Aも

内部 状 態 は まだ まっ た く励

起 され な い.原 子 核 同士 の衝 突 で は,互 い の 正 電 荷 の 間 にCoulombの

斥 力が 働

く.入 射 エ ネル ギ ーが 低 い と,反 応 粒 子 は 古 典 力 学 的 に は このCoulombの

ポテ

ン シ ャル の 障 壁,Coulomb障

壁(Coulomb

運 動 エ ネ ル ギ ーがCoulombポ

テ ン シ ャル に等 し くな る"最 近 接 距 離(distance

of closest approach)"ま

barrier),に 阻 まれ て,相 対 運動 の

で しか 近 づ け な い.こ の 場 合 には,ほ とん どCoulomb

力 の み に よ る 散 乱 だ けが 起 こ る.(Rutherfordら こ の散 乱 に よる もの で あ る.)し

が 原 子 核 を発 見 した の は 正 に

か し,核 力 に よ る反 応が まっ た く起 こ ら な いわ

け で は な い.そ れ は量 子 力 学 的 トン ネ ル 効 果 に よっ て,反 応 粒 子 が 互 い の核 力 の レ ン ジ 内 に しみ こ むか らで あ る.そ の確 率 は非 常 に小 さい が,恒 星 内 の核 反 応 な どで 非 常 に 重 要 な 役 割 を演 じ る.言 う まで もな く,中 性 子 に対 し て はCoulomb 障 壁 は 存 在 し な い.こ れ が 中性 子 に よ る反 応 の 非 常 に 大 きな 特 徴 で あ る.   入 射 エ ネル ギ ーが 上 が る につ れ て最 近 接 距 離 は小 さ くな る.そ れ が2つ 応 粒 子 の 半径 の和Ra+RA程

の反

度 よ り小 さ くな る と,そ れ らは 互 い に 重 な り,核

力 に よ る反 応 が 起 こ る.核 力 はCoulomb力

よ りは るか に 強 い の で,そ れ 以 上

の エ ネ ル ギ ーで は核 力 に よ る核 反 応 が 主 に な る.こ の 境 目の 入 射 エ ネ ルギ ー は ほぼ

(1.27) で あ る.BCα

をCoulomb障

壁 高(Coulomb

値 を計 算 す る に はe2=1.440MeV・fmを   Coulomb障

barrier height)と い う.そ の 数

使 う と便 利 で あ る.*2

壁 を 超 え た 反 応 粒 子 が まず 感 じ るの は光 学 ポ テ ン シ ャル(optical

potential)で あ る.そ れ は 反 応 粒 子 間 の 相 対 運 動 だ け に働 き,内 部 状 態 を 変 え る こ と は な い.入 射 波 の か な りの 部 分 は こ の ポ テ ン シ ャル に よ っ て散 乱 さ れ て 弾 性 散 乱 を 起 こす.光 学 ポ テ ン シ ャル に よ る 散 乱 は瞬 間 的 に 終 わ る.こ の段 階 で 放 出 され る粒 子 の 角 分布 に は,ポ テ ン シ ャル 散 乱 に特 有 な 回折 模 様 が 現 れ る.   光 学 ポ テ ン シ ャル 中 を運 動 す る う ち に 反応 粒 子 間 の相 互 作 用 に よ っ て それ ら の 内 部 状 態 が 段 階 的 に 励 起 され る.最 由度,た

初 の 段 階 で は ご く少 数 の 内 部 運 動 の 自

と え ば 標 的 核 内 の 一 つ の 核 子 の 運 動,だ

続 くに つ れ て,よ

け が 励 起 され る.相 互 作 用 が

り多 くの 内 部 運 動 自 由度 が 次 々 と励 起 され,最 後 に はエ ネ ル

ギ ー 的 に 許 さ れ る全 て の 自由度 が 励 起 され た 状 態 に な る.こ れ が 先 に 述 べ た複 *2 1fm(フ

ェ ム ト メ ー タ ー ま た は フ ェ ル ミ) =10-13cm.原

子 核 の 半 径 は 数fmで

あ る.

合 核(compound

nucleus)状 態 で あ る.

  この よ うな 反 応 の 各段 階で,あ る確 率 で 粒 子 の 放 出が 起 こ り,そ こで 反 応 が 終 わ る.少 数 の 内部 自由度 が 励 起 され た だ け の段 階で 短 時 間 で 終 わ る 反応 を直 接 反 応(direct

reaction),そ

の 機構 を 直接 過 程(direct process)と い う.直 接 過 程 で

は,内 部状 態 の励 起 に使 われ るエ ネルギ ーや 移 行 され る運 動 量 は それ ほ ど大 き く な い.し たが って 放 出粒 子 は比 較 的 高 いエ ネルギ ーで 前 方 に放 出 され る.直 接 過 程 に対 して 複 合核 状 態 を経 過 す る もの を複 合 核 過 程(compound とい い,両 い う.い

nucleus process)

者 の 中 間 で 終 わ る もの を 前 平 衡 過 程(pre-equilibrium

process)と

う まで も な く,そ れ と直接 過 程 の境 界 は 曖 昧で あ る.

  反 応 粒 子 の 内 部 状 態 が 励 起 す る と,そ れ ら の 相 対 運 動 の エ ネ ル ギ ー は そ の 励 起 エ ネ ル ギ ー の分 だ け 減 る.場 合 に よ って は,そ れ が 負 に な り系 は 一 種 の 束 縛 状 態 に な る.た だ し,系 の 全 エ ネ ル ギ ー は正 で あ るか ら,真 の 束 縛 状 態 の よ う に そ の 状 態 が 永 久 に 続 くこ と は な い.こ の よ うな 準 束 縛 状 態 は 一般 に連 続 状 態 に 埋 ま っ た 束 縛 状 態(bound

state enbedded

in the continuum)と

呼ばれ

る.そ れ は 束 縛 状 態 と 同様 に離 散 的 な エ ネル ギ ー 固 有 値 を もつ.核 反 応 で は そ の 状 態 は 入 射 エ ネ ル ギ ー が そ のエ ネ ル ギ ー 固有 値 と合 致 す る と きに だ け 形 成 さ れ,時

と して 共 鳴 と して 観 測 され る.複 合 核 状 態 は 正 に そ の よ うな 状 態 の 一 つ

で あ る.   しか し,核 反応 で で き る準 束 縛 状 態 は 複 合 核 状 態 に 限 らな い.励 起 自 由度 が そ れ よ りは るか に 少 な い 反 応 の段 階 で そ れ が で き る可 能性 が あ る.実 際,入

射

エ ネ ル ギ ーが 低 け れ ば,入 射 粒 子 の エ ネル ギ ー は 反 応 粒 子 の 少 数 個 の 内部 運 動 自 由度 が 励 起 した だ け で 負 に な り うる.図1.1は

低 エ ネ ルギ ー の 核 子 が 殻 模 型

の 閉 殻 核 に入 射 した 場 合 に準 束 縛 状 態 が 形 成 され る 様 子 を模 式 的 に 示 す.   最 初 に で き る の は 標 的 核 の 一 核 子 の 励 起 に よ る 準 束 縛 状 態 で,戸 (doorway

口状 態

state)と 呼 ば れ て い る.'戸 口'と は さ ら に 複 雑 な 構 造 の 状 態 に 入

る 入 り口 と い う意 味 で あ る.実

際,エ

ネ ル ギ ー 的 に 許 さ れ れ ば,あ

る確率 で

さ ら に 一 つ の核 子 が 励 起 し て標 的 核 の 二 核 子 励 起 状 態 を伴 う廊 下 状 態(hallway state)に 遷 移 す る 等 々で あ る.   戸 口 状 態 の あ る も の は 実 際 に 共 鳴 とし て 観 測 され て い る.そ の例 は負 エ ネ ル ギ ー に な った 入 射 粒 子 と標 的核 の,一 核 子励 起状 態 の 重 ね 合 わせ で あ る,集 団 運 動(表 面 振 動,回 転 な ど)の 一 量 子状 態 とか らな る状 態 で あ る.戸 口状 態 に よる共 鳴 は複 合 核 形 成 以 前 の段 階の 準 束 縛 状 態 に よ って 起 こ る中 間 共 鳴(intermediate

○ は 核 子,縦

の 矢 印 は 衝突 に よる 遷 移,×

印 は そ れ に よ って 生 じ る 空孔 を 表 す .

図1.1  核子が入射す る反応での 中間共鳴状態 の形成

resonance)の

一 つで,戸 口状 態 共鳴(doorway

state resonance)と

呼 ば れ て い る.

  戸 口状 態 共 鳴 は 入 射 エ ネ ル ギ ーが あ る程 度 以 下 で な けれ ば 起 こ らな い.し か し 反応 の 残 留 核 が 戸 口状 態 とな り,そ こか ら前 記 の よ うな 内 部 運 動 励 起 の 連 鎖 が 始 ま る こ とは しば しば 起 こ る.非 弾 性 散 乱 で励 起 され た 巨大 共 鳴状 態,(p,n) 反 応 で 励 起 され た ア イソバ リ ッ ク ・アナ ログ 状 態 な ど は そ の 典 型 的 な例 で あ る.   さ て,一 つ の 準 束 縛 状 態 の寿 命 をTと

す る と,不 確 定 性 関 係 に よ り,そ の エ

ネル ギ ー に は

(1.28) の 幅 が 生 じ る.Tをsecで,Γ

をeVで

表せば

(1.29) で あ る.Γ/hは

単 位 時 間 当 た りの 崩 壊 確 率 で あ る.準 束 縛 状 態 の 崩 壊 は 何 らか

の 粒 子 を放 出 す るか,別

の 構 造 を もつ 準 束 縛 状 態 へ さ ら に 移 行 す る こ と に よ っ

て起 こ る.前 者 の 単 位 時 間 当 た りの確 率 を Γ↑/h,後 者 の そ れ を Γ↓/ｈと書 く と

で あ る.Γ ↓をspreading

width(分

散 幅),Γ ↑をescaping

と い う.準 束 縛 状 態 の 状 態 密 度 は 励 起 され る 自由 度 の 数fと

width(脱

出幅),

と もに非 常 に 急 速

に増 す.し たが って 統 計 的 に見 て,中 間 共 鳴 状 態 の 分散 幅 Γ↓に対 して はfが

よ

り大 きい準 束 縛 状 態 の 方 向へ の 遷 移 の 寄 与 が 圧 倒 的 に大 きい と考 え られ る.た

だ し,複 合 核 状 態 に 対 して は そ れ よ りfが 大 きい 状 態 は存 在 しな い か ら こ の 限 りで な い.こ の 場 合 に は,Γ ↓は 非 常 に小 さ い.   一つ の準 束 縛 状 態 が 中 間共 鳴 とし て観 測 され るた め に は,そ の 寿 命Tが 状 態 の運 動 周 期Tよ 隔 をDと

り長 くな くて は な ら な い.Tは,そ

す る と,ほ ぼ 

その

の 状 態 の 平 均 の準 位 間

で あ るか ら,そ の 状 態 が 準 定 常 状 態 と し て存

在 で きる た め の 条 件 は

(1.30) で あ る.こ の 条 件 が 成 り立 た な け れ ば,そ の 状 態 は 形 成 され る や 否 や 崩 壊 し て し ま うか ら,反 応 過 程 の 中で 特 別 な役 割 を果 た さな い.す で に述 べ た よ うに,D は 励 起 運 動 自 由度 のfと

共 に 急 速 に小 さ くな るが,Γ

化 し な い と思 わ れ るか ら,(1.30)の と予 想 され る.実 際,今 戸 口状 態 だ け で,ほ

条 件 はfが

は そ れ ほ ど 急 速 に は変

増 す と急 速 に 成 り立 た な くな る

まで の とこ ろ 中 間共 鳴 と して 広 く観 測 され て い る の は

か に は例 外 的 に廊 下 状 態が 観 測 され て い る にす ぎ な い.

  しか し,複 合 核 状 態 で は す で に 述 べ た よ うに Γ↓は 小 さい.ま

た,い

ったん

多 数 の 内 部 自 由度 に 散 っ た エ ネ ル ギ ー が 少 数 個 の核 子 に集 中 し,そ れ が 放 出 さ れ る確 率 は小 さい か ら,Γ ↑も小 さい.し たが って,Γ は小 さ く,そ の寿 命 は 非 常 に長 い.   低 い 入 射 エ ネ ルギ ーで は,こ の よ うな Γ に比 べ て 準 位 間 隔Dは

まだ 大 き く,

各 準 位 は孤 立 し た 共 鳴 と し て観 測 され る.こ のエ ネ ル ギ ー領 域 を共 鳴 領 域 とい う.エ ネ ル ギ ーが 上が る に し たが っ て,Dは

急 速 に減 り,や が てΓ よ り小 さ く

な り,準 位 は 互 い に重 な り合 っ て し まい,孤 立 し た 共 鳴 は 見 え な くな る.こ の エ ネ ルギ ー 領 域 を連 続 領 域 と呼 ぶ.こ の 領 域 で は 形 成 され る状 態 は 非 常 に複 雑 で,互

い に 相 関 を持 た な い 多 くの 準 位 が 重 な り合 った 状 態 で あ る.そ れ は 熱 平

衡 状 態 に似 て い る.実 際,そ

の 状 態 か らの 粒 子 の放 出 は熱 し た 液 滴 か らの 気 体

分 子 の蒸 発 に 似 て い る.   以 上 が 核 子 系 に よ る 反 応 の 概 観 で あ る.図1.2は

軽 い 核 子 系(軽

よ る反 応 の 機 構 を模 式 的 に 示 した もの で あ る.重 い 核(重

イ オ ン)に

イオ ン)に

で は こ の よ うな段 階 分 け は 段 階 数 が 増 す と急 速 に意 味 を 失 う(第8章

よる 反 応 参 照).

  上 の 記 述 か ら もわ か る よ うに,反 応 の 各 段 階 の 区 別 は 多 分 に 定 性 的 で あ る. ま た,あ る段 階 に 系が 滞 在 す る 確 率 が 非 常 に小 さけ れ ば,そ

の段 階を区別す る

こ と は あ ま り意 味 が な い.各 段 階 か ら発 生 す る放 出 波 は 互 い に 干 渉 し,そ の 結

図1.2 

果 が 実 験 的 に 観 測 され る.個

核 反 応 機 構 の概 略

々の 反 応 で 実 際 に,ど の段 階が ど の よ うな 役 割 を

果 た し て い る か は,そ れ らを個 別 的 に詳 細 に 研 究 す る こ とに よ って 始 め て 明 ら か にす る こ とが で きる.上 に 述 べ た の は 反 応 の全 体 的 な 枠 組 み で あ る.

1.4  反 応 機 構 と エ ネ ル ギ ー 平 均

  前 節 で 述 べ た 核 反 応 の い ろ い ろ な 機 構 は 量 子 力 学 的 に は すべ て 一 つ の 波 動 関 数 で 記 述 され る.そ れ らの 寄 与 は 互 い に干 渉 す る.実 験 的 に そ れ を 直 接 分 離 す る こ とは で きな い.個 せ ねば な ら な い.さ

々の 反 応 機 構 の 寄 与 を 知 るに は 観 測 結 果 を 理 論 的 に解 析

らに,実 験 的観 測 は1個

の 入 射 粒 子 で は な く,多 くの 粒 子

か らな る ビ ー ム を使 っ て な され る こ とに も注 意 せ ね ば な ら な い.こ

の 節 で は,

こ の よ うな 状 況 下 で 個 々の 反 応 過 程 の 寄 与 を 知 る に は ど うし た ら よい か,と

い

う問題 を考 え て み よ う.   そ の た め に,前 節 で 述べ た 異 な る 反 応 過 程 の 断 面 積 の エ ネル ギ ー依 存 性 が 互 い に著 し く異 な る こ とに 注 目す る.実 際,光 学 ポ テ ン シ ャル に よ る散 乱 と直 接 過 程 の 断 面 積 は エ ネ ル ギ ー と と もに ゆ っ く り変 化 す る.そ の 変 化 は ポ テ ン シ ャ ル 散 乱 の共 鳴 な ど に よ る もの で あ る.そ の 共 鳴 の 間隔D0,幅

Γ0はMeV単

位

の 大 き さを もつ.こ れ に対 して,一 核 子 の 励 起 で で き る,戸 口状 態 の準 位 間隔 D1,幅Γ1は100keV単

位 で あ る.複 合 核 共 鳴 の 準 位 間隔DNはeV単

位以下

に な り うる.そ れ ゆ え共 鳴領 域 で これ らの 状 態 の 断 面 積 は 非 常 に異 な っ た エ ネ ル ギ ー 依 存 性 を持 つ.そ れ を利 用 し て こ れ ら の 反応 機 構 の 寄 与 を理 論 的 に 分 離 す る こ とを 考 え よ う.   次 章 で 詳 し く述 べ る よ うに,あ とす る と,そ の 断 面 積 は

る反 応 の エ ネ ルギ ーEで

の 散 乱 振 幅 をf(E)

(1.31) で 与 え られ る.た だ し,CはEと

と もにゆ っ く り変 わ る係 数 で あ る.こ の 反 応

に対 す る,光 学 ポ テ ン シ ャ ル に よる 散 乱 お よび 直 接 過 程 の 寄 与 をf0と 状 態 の 中 間共 鳴 を経 過 す る反 応 機 構 の 寄 与 をf1,複

し,戸 口

合核 過程 の 寄 与 をfNと

し

よ う.f(E)は

(1.32) で 与 え られ る.   これ らの 散 乱振 幅 のエ ネ ルギ ー平 均 を考 えて み よ う.エ ネ ルギ ー に つ い て,E を 中心 と す る幅2Iの

区 間 に わ た る平 均 を 〈・ 〉Iで表 す と こ と にす る.(1.32)に

よれ ば

(1.33) で あ る.過

程n=0,1ま

た はNに

対 し て,も

しI≫Dnで

あ れ ばfn(E)はI

の 中 で 多 くの 振 動 を す る か ら

(1.34) と な る で あ ろ う.も

し 逆 に,I≪Γnで

あ れ ばfn(E)はIの

中 で ほ とん ど 変化

しな い か ら

(1.35) で あ る.し たが って,散 乱 振 幅 を 適 当 なIに に よ って,過 程nの

わ たってエネルギー平均す るこ と

寄 与 を消 去 した りそ の ま ま残 した りす る こ とが で きる こ と

が わ か る.平 均 の 幅 をI=I0

(1.36) の よ うに とれ ば,f0(E)は

そ の ま ま,そ れ 以 外 は すべ て0に

な るか ら

(1.37) と な る.I=I1を

(1.38) の よ うに とれ ば

(1.39)

(1.37)と(1.39)と

か ら

(1.40) こ の よ うに して 直 接 過 程,戸 見 る に はI=IN≪DN,す

口共 鳴 の 寄 与 が 分 離 で きる.複 合 核 仮 定 の 寄 与 を な わ ち 高 分 解 の ビ ー ム を 使 わ な くて は な ら な い.

中 間 共 鳴 に 廊 下 状 態 の 共 鳴 が 観 測 され る と き に は,そ Γ2,D2≫I2≫DNと   以 上 は,各 鳴nの

れ に 応 じ た 平 均 幅I2を

な る よ うに 選 ん だ 平 均 も し な けれ ば な ら な い.

共 鳴 が 孤 立 して い る場 合 で あ っ た.入 射 エ ネ ルギ ーが 高 くな り共

連 続 領 域 に な る と,fn(E)の

変 化 は な だ らか でDnよ

り大 きい 幅 で 平均

し て も0に は な ら な い か ら,上 の 議 論 は成 り立 た な い.た

とえ ば,直 接 過 程 と

複 合 核 過 程 だ け が あ る場 合,後 者 の連 続 領域 で,fN(E)が

直 接 過 程 と同程 度 の

変 動 しか し な け れ ば

(1.41) と な る.

  fn(E)の 平均 値か らのず れ   tion)の 散 乱振幅 とい う.し たが って

をゆ らぎ(fluctua

(1.42) で あ る.(1.34),(1.42)に

よれ ば

(1.43) な ど で あ る.上 記 の連 続 領 域 の 例 で は,(1.41)に

よ り直 接 過 程 の振 幅 の ゆ ら ぎ

 は0であ る.   さて,実 験 で 直 接 観 測 され る量 は,散 乱 振 幅 で は な く,(1.31)で 断 面 積 σ(E)な ど の よ うな,散 乱 振 幅 に つ い て2次

与 え られ る

の 量 で あ る.し た が っ て,

そ のエ ネ ル ギ ー 平 均 は散 乱 振 幅 の エ ネル ギ ー平 均 だ け で 書 き表 す こ とはで きな い(た だ し,全 断 面 積 だ け は 散 乱 振 幅 の1次 照).実

際,た

は,(1.42)か

とえ ば σ(E)のInに

の 量 で あ る.第2お

よび3章

を参

わ たるエネルギ ー平均

ら

(1.44)

で あ る.た

だ し,

(1.45) (1.46) で あ る.す な わ ち,断 面 積 の エ ネ ル ギ ー平 均 は,平 均 の 散 乱 振 幅 に よる 断 面 積 σn(E)と ゆ ら ぎ の 散 乱振 幅 に よ る 断面 積 σfln(E)の和 に な る.σn(E)は0か

ら

nま で の 過 程 に よ る 断 面 積 で,そ れ らの 過 程 の 間 の 干 渉 を 含 ん で い る.ま た, σfln(E)はnよ

り励 起 核 子 の 多 い 中 間 共 鳴 か ら複 合 核 共 鳴 に 至 る過 程 の 寄 与 に よ

る.こ の よ うに し て,断 面積 を エ ネル ギ ー に つ い て 平 均 す れ ば,平 均 の 幅Iに 応 じ て,あ る 程 度 以 上 簡単 な 過程 に よる 断 面 積 と,そ れ よ り複 雑 な 過 程 に よ る, ゆ ら ぎ の 断 面 積 の和 に な る こ とが わか った.   一 般 的 に は,実 験 的 に これ ら二 つ の 断 面 積 を分 け る こ とは で き ない.し か し, 場 合 に よって は,ど ち らか 一 方 の 断 面積 が 無視 で きる ほ ど小 さい こ とが あ る.た と えば,高

エ ネル ギ ーで の弾 性 散 乱 や 残 留 核 の 離 散 的 な準 位 へ の 遷 移 な ど で は,

光 学 ポ テ ン シ ャル に よ る散 乱 や 直 接 過 程 な ど の 簡 単 な 機 構 の寄 与が 圧 倒 的 に な る.実 際,高

エ ネ ル ギ ー で は,ほ

ぎ の振 幅 は ほ とん ど0に

とん ど す べ て の 共 鳴 が 連 続 領 域 に な り,ゆ ら

な る.ま た,非 常 に 多 くの チ ャ ネ ルが 開 くの で,複 雑

な過 程 を経 る 間 に そ れ ら を通 じ て多 くの 放 出が 起 こ り,個 々 の チ ャネ ル に 到 達 す る 確 率 は 小 さ い.し 過 程n=0の

たが って σfl0は 無 視 で きる.こ

の よ うな 場 合 に は,直 接

寄 与 を直 接 実験 的 に 測 り,理 論 と比 較 す る こ とが で きる.

  さて,散 乱 振 幅 の エ ネ ルギ ー 平均 〈f(E)〉Iは,い のエ ネルギ ー平均 〈 ψ〉Iに付 随 し て い る.し

う まで もな く,波 動 関 数 ψ

た が っ て 上 に 述 べ た 意 味 で,Iに

対 応す る反応 機構 は 〈 ψ〉Iに よ っ て記 述 され る.た

と えば,光

学 ポ テ ン シ ャル

に よ る散 乱 は ψ の 弾 性 チ ャ ネ ル の 成 分 ψelの 最 も大 きな エ ネ ル ギ ー平 均 幅I0 (D1≪I0<Γ0)に

わ た る平 均 の 波 動 関 数 〈ψel〉I0で記 述 され る.し た が って,

そ れ はSchrodinger方

程式

(1.47) を 満 た す.た

だ し,U=V+iWは

μ は 換 算 質 量 で あ る.同 に よ っ て 記 述 さ れ る.

様 に,直

光 学 ポ テ ン シ ャ ル,Eは 接 過 程 の 散 乱 振 幅 は 始,終

入 射 エ ネ ル ギ ー, チ ャ ネル で の 〈 ψ〉I0

  次 に,エ ネ ル ギ ー 平 均 を 理 論 的 に計 算 す る の に 便 利 な公 式 を導 い て お く.一 般 に,Eの

周 りの 区 間2Iに

わ た る,あ る 重 み ρ(E′,E)付 きの 平 均 を

(1.48) で 定 義 し よ う.重

み の 関 数 に は,い

ろ い ろ な も の が 考 え ら れ る.た

と えば

の と き そ の ほ か の と き  と と れ ば,(1.48)は

(1.49)

単 純 な相 加 平 均

(1.50) に な る.   し か し,理

論 的 な 計 算 に は,む

し ろLorentz型

(1.51) が 便 利 で あ る.こ の 場 合 に は

(1.52) で あ る.こ の積 分 の 計 算 に は複 素 積 分 の 方 法 が 使 え る.そ れ に はf(E)の E平

複素

面 上 の振 る舞 いが 重 要 で あ る."散 乱 波 は入 射 波が 核 に 到達 した 後 で 発 生 す

る",と

い う因果 律 を 用 い る と,f(E)は

とが 証 明 で きる.し た が っ て,(1.52)の に極 を持 つ 関 数 で あ る.ま

複 素E平

面 の上 半 面 で 解 析 的 で あ る こ

被 積 分 関 数 はそ の 領 域 でE′=E+iI

た,f(E)はE→

±∞ で たか だ か 有 限 だ か ら,被

積 分 関 数 はE′ → ±∞ の と き￨E′￨-2に 比 例 し て0に

な る.そ こ で,実 軸 に 沿

う積 分路 を 実 軸 と,そ の 両 端 を結 ぶ 上 半 面 にあ る無 限 遠 の 半 円Cか 路 に 変 形 す る.Cに

つ い て の 積 分 は0で

ら な る積 分

あ る か ら,留 数 の 定 理 に よ っ て,

(1.53) と な る.す な わ ち,平 均 値 は 単 にEをE+iIで 変 便 利 な 結 果 が 得 られ た.こ 上 半 分 で 正 則 で,￨E￨→

の 結 果 は,f(E)に

置 き換 え れ ば よい,と 限 らず,一 般 に 複 素E平

い う大 面の

∞ で 有 限で あ る よ う な任 意 の 関 数 に 対 し て 成 立 す る.

  次 に,反 応 の 過程 の 時 間 的 な 違 い を見 てみ よ う.光 学 ポ テ ン シ ャル に よる散 乱 と直接 過程 は瞬 間 的で,そ れ らは入 射 粒 子が 核 を通 過 す る程 度 の 時 間内 に終 わ っ て し ま う.た とえ ば,10MeVの その時 間は  

核 子 が 中 ぐ らい の 大 き さの 核 に 入 射 す る場 合,

で あ る.こ れ に 対 して,前 記 の 幅 か ら(1.28)に

よっ

て 各 過 程 の 時 間 を推 定 す れ ば,そ れ ぞ れ ポ テ ン シ ャル 共 鳴 過 程

戸 口状 態の共鳴過程 共鳴領域の複合核過 程

(1.54) とな る.   反 応 時 間 に これ だ け の差 が あ る の で,も し 反応 に 要 す る 時 間が 測 定 で きれ ば, これ らの 反 応 過程 を分 け て観 測 で きるか も しれ な い.し か し多 くの 場 合,そ れ は 困 難 で あ る.た

と え ば 上 記 の10-22secの

今 の と こ ろ な い.も わ け で は な い.た

よ うに 短 い 時 間 を直 接 測 る方 法 は

っ と も,反 応 時 間 を測 定 す る こ とが ま っ た く不 可 能 と い う

と えば,標

的核 が 結 晶 格 子 を な して い る 場合,反

応 の 放 出粒

子 を結 晶面 に平 行 な 方 向か ら観 測 す る と,反 応 が 始 ま った 直 後 に 放 出 され る粒 子 は 隣 の 格 子 点 に 邪 魔 され て観 測 器 に 到 達 で きな い.し た が っ て,残 留 核 が 反 跳 に よ って 動 きだ し,結 晶面 か ら十 分 離 脱 してか ら後 で 放 出 され る 粒 子 だ け が 観 測 され る.こ れ を利 用 す る と,た と えば∼10-19sec程 る粒 子 だ け を観 測 す る こ とが で きる.こ の 方 法 で,実 位 の寿 命 が 測 られ て い る[9].こ れ

度 の 時 間後 に放 出 され 際 にい くつ か の 複 合 核 準

外 に もい くつ か の 方 法 で 同 様 な 時 間測 定 が

成 功 して い る.し か し,こ れ らの 実 験 は 限 られ た場 合 に つ い て だ け 有 効 で,核 反 応 一 般 に使 え る わ け で は な い.大 多 数 の 実 験 で は,時 わ れ な い.し は,果

たが っ て,さ

間的 観 測 は ま っ た く行

まざ まな 反 応 過 程 を含 ん だ ものが 観 測 され る.問 題

して そ れ か ら個 々 の 過 程 の 寄 与 を取 り出 す こ とが で きる か で あ る.

  最 後 に,個

々の 入 射 粒 子 は,厳 密 に い う と,有 限 の 時 間Tだ

な って 核 に入 射 す る,と い うこ とを 注 意 し て お く.Tは れ る 状 況,作

け 続 く波 束 と

波 束 が イオ ン源 で 作 ら

られ て か ら標 的核 に 照 射 され る まで の 過 程 に よ る の で,そ の 正 確

な値 を見 積 も る こ とは 難 し い.し か しい ず れ にせ よ,核 物 理 の ス ケ ー ル で は ほ とん ど 無 限 大 と見 な して よ い.反 応 は そ の 無 限大 の 時 間 の 中の あ る 時 刻 に起 こ

り,あ

る 時 刻 に 終 わ る.し

た が っ て,い

ろい ろ な 反 応 機 構 か ら の 放 出 波 へ の 寄

与 は す べ て 干 渉 す る.一

方,断

ム に よ っ て 測 ら れ る.ビ

ー ム の エ ネ ル ギ ー 幅 は,核

大 き さ を 持 つ.先 あ る.個

文

面 積 は た く さん の そ の よ うな 波 束 か らな る ビ ー 物 理 の ス ケ ー ル で,有

限 の

に 述 べ たエ ネ ルギ ー 平 均 は こ の エ ネル ギ ー 幅 に対 す る もの で

々 の 入 射 波 束 の エ ネ ル ギ ー 幅 に 対 す る も の で は な い.

献

[1] H.Geiger,J.Harling

and

E.Marsden,Proc.Roy.Soc.A82

E.Rutherford,Phil.Mag.,ser.6

21

495(1909);

669(1911)

[2] E.Fermi,E.Amaldi,O.D'Agostino,F.Rasetti Soc.A146

and

E.Segre,Proc.Roy.

483(1934);

E.Amaldi,O.D'Agostino,E.Fermi,B.Pontecorvo,F.Rasetti Proc.Roy.Soc.A149 [3] N.Bohr,Nature,29 G.Breit

E.P.Wigner,Phys.Rev.49

[4] R.Serber,Phys.Rev.72

519,642(1936)

1114(1947)

[5] S.T.Butler,Proc.Roy.Soc.A208 and

559(1951)

S.Yoshida,Proc.Phys.Soc.(London)A68

Prog.Theor.Phys.14

994(1955)

[7] H.H.Barshall,Phys.Rev.86 [8] H.Feshbach,C.E.Porter

D.V.Morgan,John

656(1955);

1(1955);

D.Brink,Proc.Phys.Soc.(London)A68

[9] W.M.Gibson

E.Segre,

344(1936);

and

[6] S.Hayakawa

and

522(1935)

and

431(1952) and

V.F.Weisskopf,Phys.Rev.96

M.Maruyama,Channeling Wiley,New

York(1973)

Theory

448(1954) and

Application,ed.

2 核反応の量子力学的記述

 

2.1  状 態 ベ ク トル,Schrodinger方

程 式,実

験条件

  核 反応 は,微 視 的体 系 の 現 象 で あ る か ら,量 子 力 学 に よ って 記 述 され る.粒 子 の 生 成 消 滅 を伴 わ ず,関 与 す る粒 子 の速 さvと 光 の 速 さcの 比v/cが1に

比

べ て 十 分 小 さ い場 合 に は,波 動 関 数 に よ る非 相 対 論 的 と り扱 い が 許 され る.v/c が1に

近 づ くと相 対 論 的 補 正 が 必 要 に な る.粒 子 の 生 成 消 滅 が 起 こ る場 合 に は,

場 の 理 論 の 助 け が 必 要 に な る.本 書 で は,粒 子 の 生 成 消 滅 を伴 わ ない,非 相 対 論 的 量 子 力 学 的 記 述 に つ い て 述 べ,相 対 論 的 場 合 に つ い て は,そ れ に対 す る 補 正 を論 じ る.   この 近 似 の も とで は,全 系 の 運 動 はSchrodinger方

程式

(2.1) を 満 た す 状 態 ベ ク ト ル Ψ(t)に で あ る.(2.1)の

よ っ て 記 述 さ れ る.Hは

全 系 の ハ ミ ル トニ ア ン

解 と して

(2.2) を と れ ば,そ

れ は エ ネ ル ギ ーEの

間 を 含 ま な いSchrodinger方

定 常 状 態 の 状 態 ベ ク トル で あ る.Ψ(E)は

時

程式

(2.3) を満 た す.反 応 で 問 題 にす る の は 散 乱 状 態 で あ るか ら,Eは

正の連続固有値で

あ る.状 態 ベ ク トル の 座 標 表 示 が 波 動 関 数 で あ る.核 反 応 の 記 述 に は 波 動 関 数 を用 い るの が 便 利 で あ る.以 下,特 を 区別 しな い.

に 断 ら な い 限 り,状 態 ベ ク トル と波 動 関数

  多 くの 実 験 で は,外 か ら電 磁 場 な ど の外 場 が 掛 か っ て い な い 実 験 室 で,固 定 した 標 的 に 入 射 粒 子 の 平 行 ビ ー ム を照 射 し,標 的 か ら放 射 状 に 放 出 され る粒 子 を観 測 す る.こ の 実 験 で 起 こ る核 反 応 を記 述 す る 系 全 体 の波 動 関 数 は,標 的核 と入 射 粒 子 が 十 分 離 れ て い る状 態 で は,入 射 粒 子 と標 的核 そ れ ぞ れ の 波 動 関 数 の 直 積 で 与 え られ る.厳 密 に い う と,そ れ らは 波 束 で あ る.そ れ らの 波 束 は標 的 の 状 態(固 体 か 気 体 か な ど),入

射 粒 子 が ど の よ う に し て 作 られ た か,標

的

核 まで ど の よ うに飛 ん で 行 くか な ど に よ っ て 異 な る.し か し,実 験 装 置 の大 き さは 原 子 核 の ス ケ ー ル で は ほ とん ど無 限 大 と見 な し て よ く,ま た,標

的核 の標

的 に 対 す る 電 子 的 結 合 エ ネ ル ギ ー の 不 確 定 や 入 射粒 子 の エ ネ ル ギ ー の 不 確 定 な ど は,特 別 の 場 合 を 除 い て,原 子 核 の エ ネ ル ギ ー ・ス ケ ー ル で は 非 常 に小 さい. した が っ て 非 常 に よ い 近似 で,系 全 体 が エ ネ ルギ ー の 固 有 状 態 で 反 応 が 始 まる と見 な せ る.全 系 の エ ネ ル ギ ー は 保 存 され るか ら,反 応 の全 過 程 を通 じ て系 は エ ネ ル ギ ー の 固 有 状 態,す

な わ ち定 常 状 態,に

あ り,反 応 は そ の 状 態 ベ ク トル

Ψ(E)で 記 述 で き る と し て よい.し か し微 視 的 な ス ケ ー ル で は,入 射 ・散 乱 粒 子 の 運動 が 波 束 で 記 述 され る,と い う こ とは 重 要 で あ る.Ψ(E)は(2.3)の,上 に 述べ た 実 験 条 件 に よ っ て 決 ま る境 界 条 件 の も とで の 解 で あ る.以 下 に それ を 詳 し く検 討 し よ う.

2.2  ハ ミ ル トニ ア ン

  2.2.1  ハ ミル トニ ア ンの 形   系 の 運 動 を支 配 す るハ ミル トニ ア ンHは を構 成 す る粒 子 間 の 相 互作 用Vtotに

系 の全 運 動 エ ネ ルギ ーKtotと,系

よって

(2.4) で 与 え ら れ る.Ktotは

系 の す べ て の 粒 子i=1∼Nの

運 動 エ ネ ル ギ ー の和

(2.5) で あ る.た だ し,mi,

pi, Kiは そ れ ぞ れ粒 子iの 質 量,運

動 量 お よび 運 動 エ

ネル ギ ー で あ る.   Vtotは 系 内 の す べ て の 粒 子 間 の 相 互 作 用 の ポ テ ン シ ャル で あ る.相 互 作 用 は 主 とし て 二 粒 子 間 の そ れ で あ る.厳 密 にい うと,多 体,す

な わ ち 三 つ 以 上 の粒

子 の 同 時 の 相 互 作 用 もあ るが,多

くの 場 合 そ れ を無 視 し て よい.こ の 近 似 の も

とで は,

(2.6) で あ る.た

だ し,Vijは

粒 子i,j間

の 相 互 作 用 の ポ テ ン シ ャ ル で あ る.(2.5),

(2.6)を 使 え ば

(2.7) を 得 る.  系 が 複 合 粒 子 の 組 γ=1γ,2γ,…,Nγ

に 分 か れ て い る 場 合 に は,(2.7)を

(2.8) の よ う に書 き直 す のが 便 利 で あ る.た だ し,

(2.9) は複 合 粒 子nの

自 由 ハ ミル トニ ア ン,

(2.10) は γ 中 の 異 な る複 合粒 子nとm間

の相 互 作 用 で あ る.

 2.2.2  重 心 運 動 の 分 離,内 部 ハ ミル トニ ア ン  複 合 粒 子nの

重 心 の 質 量,運 動 量,運 動 エ ネ ルギ ー を そ れ ぞ れ

(2.11) と し,Hnを

(2.12) と書 くと

(2.13)

はnの

自 由 運 動 の ハ ミル トニ ア ン か ら そ の 重 心 運 動 の 運 動 エ ネ ル ギ ー を 差 し 引

い た も の,す

な わ ち 内 部 運 動 の ハ ミル ト ニ ア ン で あ る.こ

ア ン と い う.(2.12)を(2.8)に

れ を 内部 ハ ミル トニ

代 入 す る と,

(2.14) と 書 け る.た

だ し,

(2.15) は そ れ ぞ れ チ ャ ネ ル γ の 運 動 エ ネ ル ギ ー,相 ハ ミ ル トニ ア ン で あ る.Hは

互 作 用 ポ テ ン シ ャ ル,お

よび 内 部

また

(2.16) と書 くこ と もで きる.Hγ

をチ ャネ ル γ の 自由 ハ ミル トニ ア ン とい う.Kγ

の

中 か ら さ ら に全 系 の重 心 の 運 動 エ ネ ル ギ ー を,各 複 合 粒 子 の 重 心 の 運 動 エ ネル ギ ー を 抜 き 出 し た の と同様 に し て,抜

き 出す こ とが で き る.全 系 の 重 心 の 運 動

量 と運 動 エ ネ ルギ ー は そ れ ぞ れ お よび

で あ る.た

だ し,M=Σnmnは

全 系 の 質 量 で あ る.(2.16)を

使 え ば,Hは

(2.17) と な る.た

だ し

(2.18) で あ る.(2.17)が

全 系 の重 心 運 動 を 分 離 し たハ ミル トニ ア ン の形,Hγcmが

心 系 で 見 た チ ャ ネル γ の 自 由ハ ミル トニ ア ン,Kγcmが

重

同 じ く運 動 エ ネ ル ギ ー

で あ る.   す べ て の 粒 子 が ば らば らに な っ た系 の 状 態 は,上 記 の各 複 合 粒 子 が1個

の粒

子 で あ る 場 合 と考 え る こ とが で きる.し た が っ て,複 合 粒 子 系 につ い て の 上 記 の 考 察 は す べ て この 状 態 に対 し て も成 立 す る.

  2.2.3    Hは

ハ ミル トニ ア ン の対 称 性,不

変性,運

動の恒量

す べ て の 同種 粒 子 に対 して 対 称 だ か ら,同 種 粒 子 の番 号 の 付 け 替 え に対

し て 不 変 で あ る.ま た,座

標 系 の平 行 移 動(translation),回

転(rotation)に 対

し て 不 変 で あ る.こ れ ら に対 して,KiもVtotも

不 変 だか らで あ る.鏡 映 変 換

(右 手 系 か ら左 手 系 へ,ま

間 反 転 に対 す る 不 変 性 は 非 常

た は そ の 逆 の 変 換),時

に 厳 密 に は 成 り立 た な い が,少

な く と も これ か ら 問 題 に す る 相 互 作 用 の 種 類,

精 度 の 範 囲 内 で,不 変 で あ る とみ な し て差 し支 え な い.   量 子 力 学 に よれ ば,こ れ ら の 不 変 性 に 由来 す る運 動 の 恒 量 が 存 在 す る.す な わ ち,平 行 移 動 不 変 性 か ら は全 系 の 運 動 量P=Σipiが,回 全 系 の 角 運動 量J=Σi(li+si)の2乗J2とz成

転不変性 か らは

変 性 か ら は全 系 の パ リテ ィ変換 πが,Hと

分Jzが,ま

た鏡 映 変 換 不

可換

(2.19) で あ る こ とが 導 か れ る.た だ し,pi,li,siは 角 運 動 量,ス

それ ぞ れ 粒 子iの 運動 量,軌

道

ピ ン角 運 動 量 の 演 算 子 で あ る.

  時 間反 転 不 変 性 は,Hが

一 つ の 運 動 が 許 す な らそ の 時 間 を反 転 し た運 動 も許

す,と い う意 味 で あ る.運 動 の恒 量 を導 くわ け で は な い.時 間 を 反転 す る と,す べ て の 運 動 量 と ス ピ ン の 向 きが 逆 に な る.そ の演 算 子 をTと

す る と,時 間 反 転

不 変性 は

(2.20) で 表 され る.Tは

波 動 関 数 に対 す る演 算 子 と して は

(2.21) の 形 を し て い る.た だ し,Cは る働 き を もつ.Uは

複 素 共 役 を と る こ と を意 味 し,運 動 量 を 反 転 す

ス ピ ンの 向 きを 反 転 す るユ ニ タ リ ー演 算 子 で あ る.

  以 上 の こ とは チ ャ ネル を構 成 す る各 複 合粒 子 のハ ミル トニ ア ン に対 して もい え るか ら次 式 が 成 り立 つ.

(2.22) お よび

(2.23)

が 成 り立 つ.た だ し,Inは

粒 子nの

内部 運 動 の 角 運 動 量 で あ る.反 応 で は,各

粒 子 は ほか の 粒 子 と相 互 作 用 す るか ら,こ れ らの 量 は 保 存 され な い.そ の 変 化 を 追 求 す る のが 反 応 論 で あ る,と

もい え よ う.

  2.2.4  ハ ミル トニ ア ンの 座 標 表 示   核 反 応 の記 述 で は 多 くの 場 合,座 標 表 示 が 使 わ れ る.座 標 表 示 で は,

(2.24) また

(2.25) (2.26) で あ る.piは

粒 子iの 座 標 を無 限 小 ベ ク トルsだ け 動 か す 変 換

(2.27) に対 応 す る演 算 子 で あ る.し た が ってpnはnに 座 標{γi,i∈n}を

属 す るNn個

の粒子すべ ての

一斉 に 無 限 小 ベ ク トルsだ け 動 か す 変 換

(2.28) に 対 応 す る.こ

は γn→

γn+sと

の 変 換 に よっ てnの

変 換 す る.い

重心座標

ま,γnと,そ

れ に 独 立 で,こ

の 変 換 に対 し て

不 変 な ベ ク トル

か ら な る 座 標 系{γn,xn={xj,j=1,2,…,Nn-1}}を

導 入 し,座

標変換

(2.29)

を 行 う と,座

標 系{rn,xn}に

対 しては

(2.30) と 書 く こ とが で き る.た 分 で あ る.こ

だ し,∇rnはxnを

固 定 し た と き のrnに

ついての微

の 操 作 を 各 複 合 粒 子 に 対 し て 行 え ば,

(2.31) と書 くこ とが で きる.同 様 に し て,Pは

全系の重 心

(2.32) の 無 限小 変 換R→R+sに

対 応 し,

(2.33) と書 くこ とが で きる.た だ し,∇RはRを

独 立 変 数 の 一 つ とす る 座 標 系 で,R

だ け を 変 化 させ た と きの 微 分 を意 味 す る.Rと きRに

独 立 な 変 数 をす べ て 固定 し た と

つ い て の 微 分 とい って も よ い.

  粒 子iの 運 動 エ ネ ル ギ ー の 座 標 表 示 は

で あ る.よ

って

(2.34) で あ る.複 合 粒 子 の 組 γか らな るチ ャ ネ ルで は,(2.34)を(2.8)の が 便 利 で あ る.複 合 粒 子nの

形 に書 くの

自由 ハ ミル トニ ア ン の座 標 表 示 は

(2.35) で あ る.た だ し,ζi(ζj)は

粒 子i(j)の

内 部 自 由度(た

と えば ス ピ ン)に 働

く演 算 子 を 表 す.   次 に,Hnを  

複 合 粒 子nの

重 心 の 座 標rnと

か ら な る 座 標 系{rn,ξn}で

それ に独 立 な空 間座 標 の組

表 示 す る こ とを 考 え る.こ の 座 標 系 を

(2.36)

を満 た す よ うに と る こ とが で き る.こ こ に,Kint(ξn)は 粒 子nの

こ の 式 で 定 義 され る,

内部 運 動 の 運 動 エ ネル ギ ーで,ξnだ け に 依 存 す る.こ の 条 件 をみ た す

ξnを 粒 子nの

内部 座 標 とい う.実 際,た

系  

と えば1.2節

で 述 べ たJacobiの

座標

を使 えば

(2.37) と書 け る こ と は容 易 に 証 明 され る.た だ し,

はl+1粒

子 系 の 換 算 質 量 で あ る.こ

 

は 変 換(2.28)に

こに, 

で あ る.(2.35)の

対 して 不 変 で あ る か ら,rnに

Jacobi座 標 が そ うで あ る よ うに,(2.29)の

は よ ら な い.

一意 的な逆変換

(2.38) が 存 在 す れ ば,

(2.39) と 書 け る.た だ し, 

は 粒 子n内

算 子 の 組 で あ る.(2.36)と(2.39)を(2.35)に

の 核 子 の 内 部 自 由 度 に働 く演

代 入すれば

(2.40) と な る.た

だ し,

(2.41) は 粒 子nの rnに る.そ

内 部 ハ ミ ル トニ ア ン で あ る.hnは,p

よ ら な い.以

後,座

れ で も な お,そ

  (2.8)に(2.40)を

標 系{rn,ξn}と

nと 可 換 で あ る ば か りで な く,

し て(2.36)を

満 た す もの だ け を考 え

の と り方 は 必 ず し も 一 意 的 で な い.

代 入すれ ば

(2.42) と な る.た

だ し,hγ

とVγ は(2.15)で

与 え ら れ る.

  (2.42)の

右 辺 か ら,全

に は,(2.18)の 心 の 座 標Rを

系 の 重 心 運 動 の エ ネ ル ギ ー を(2.17)の

座 標 表 示 を と れ ば よ い.あ 含 むJacobi座

る い は,例

標 を 使 っ てRと

え ば,再

よ うに 分 離 す る び{rn}か

ら重

それ に 直交 す る座 標 に 変 換 す れ ば

よ い.

  2.2.5  二 粒 子 チ ャネ ル の ハ ミル トニ ア ン   二 粒 子 か らな るチ ャ ネ ル は,入 射 チ ャ ネル を始 め とし て,核 反 応 の研 究 で 特 に 重 要 で あ る の で,上 記 の 考 察 を こ の場 合 に適 用 して み る.粒 子 を1,

2と 名

付 け る こ とに す る.こ

標で あ

の場 合 に は,粒 子1,

る重 心 座 標 と相 対 座 標,そ

2に つ い て さ ら にJacobi座

れぞれ

を導入すると,換算質量を 

として,

と な る こ と は よ く知 ら れ て い る 通 りで あ る.し

たが って

(2.43) と な る.右

辺 第1項

は 重 心 の 運 動 エ ネ ル ギ ー,第2,

3項

の エ ネ ル ギ ー,第4項

は 内 部 ハ ミ ル トニ ア ン で あ る.

  同 じ結 論 は(2.18)の

右 辺 のKγcmを

は1-2間

の相対運動

(2.44) と変 形 して も得 る こ とが で き る.pγ は(1.18)で らな い.pγ

に 共 役 な 座 標 は,

が 簡 単 に 示 せ る か ら,rγ

で あ る こ とが わ か る.

で あ る.し

た が って

定 義 した 相 対 運 動 量 に ほ か な

2.3  定常 状 態 の 波 動 関数

  2.3.1 

配 位 空 間,内

  Schrodinger方 r2,…,rN)と

部 ・外 部 領 域,チ

程 式(2.3)の

ャ ネル 領 域

解 Ψ(E)は,系

全 体 の 粒 子 の 座 標 をZ=(r1,

す ると

(2.45) で あ る.た だ し,ζ は スピ ンお よび ア イソ ス ピ ン座 標 な ど,空 間座 標 以外 の,そ れ と可 換 な 座 標 を 表 す.Zを space)と

座 標 とす る3N次

い う.系 のす べ て の粒 子 の 位 置,す

元 の 空 間 を 配位 空 間(configuration な わ ち系 の 配 位 は配 位 空 間 中 の 一

点 で 表 さ れ る.   配 位 空 間 の 中 に は,系 の すべ て の 粒 子 が 一 塊 りに な っ て 相 互 作 用 して い る配 位 に 対 応 す る 内 部 領 域 と,そ れ 以 外 の 外 部 領 域 が あ る.外 部 領 域 の 中 に は,系 が い くつ か の,そ れ ぞ れ が 束 縛 状 態 に あ る複 合 粒 子 に分 か れ,そ れ らが 電 荷 に よ るCoulomb相

互 作 用 以 外 の相 互 作 用 を しな い 相 対 距 離 に あ る 配位 に 対 応 す

る チ ャ ネル 領 域 が あ る.実 験 的 観 測 が 行 われ る の は す べ て チ ャ ネル 領 域 にお い て で あ る.異 な る複 合 粒 子 の 組 は 配 位 空 間 の 異 な る領 域 に対 応 す る.複 合 粒 子 の 組 γ=1γ,2γ,…,Nγ

に対 応 す る 領 域 を γ チ ャネ ル の 領 域 と よぶ.全 チ ャ ネ

ル 領 域 は そ れ らの 和 で あ る.外 部 領 域 に は こ の ほ か,複 い,い

合粒 子 の,全 部 で は な

くつ か が 相 互 作 用 して い る配 位 に対 応 す る領 域が あ る.

  2.3.2 

自 由運 動,平

面波

  考 え うる 最 も単 純 な 運動 は 一つ の粒 子 の,力 を まっ た く受 け ない,自 由 な運 動 で あ る.そ

の状 態 で は,運 動 量pは

一 定 で あ る.し たが って そ の 波 動 関数 は平

面波

(2.46) で あ る.そ れ は 運 動 量p=-ih∇,し

た が っ て 運 動 エ ネ ルギ ーK=p2/2mの

固有 関 数 で あ る:

(2.47)

関 数 系{φ(k,r)}は

完 全 規 格 直 交 系 を な す:

(2.48)

(2.49) (2.48)を

規 格 直 交 性,(2.49)をclosure

  2.3.3 

Schrodinger方

  系 がNγ

個 の 複 合 粒 子n=1,2,…,Nγ

propertyと

い う.

程式 の独立解 に 分 か れ て い る 配 位 γ で は,Hは

(2.8)の 形 に 書 け る か ら,Schrodinger方

程式 は

(2.50) と な る.こ の 配 位 の チ ャ ネル 領 域 で は,荷 電 粒 子 間 のCoulomb相 視 す れ ばVγ=0で

互 作 用 を無

あ る か ら,Ψ(E)は

(2.51) を 満 た す.(2.50)の Coulomb相   (2.51)の

独 立 解 は(2.51)の

独 立 解 の 重 ね 合 わ せ で 表 す こ とが で き る.

互 作 用 が あ る 場 合 に つ い て は2.7節 独 立 解 は,Hnの

で 論 じ る.

固 有 関 数 の 積 で,(2.40)を

参照すれば 直ちに

(2.52) で あ る こ と が わ か る.た ネ ル ギ ーKnGお

だ し,φ(kn,rn)は

よ び 運 動 量pnの

前 記 の 平 面 波 で,粒

子nの

運動 エ

固 有 関 数 で あ る:

(2.53) ま た,φnνn(ζn)は

粒 子nの

内 部 波 動 関 数 で,そ

の 内 部 ハ ミ ル ト ニ ア ンhn(ζn)

の 固 有 関 数 で あ る;

(2.54)

そ れ は,複 合 粒 子 の 定 義 に よ り,束 縛 状 態 εnνn<0で

あ る.添 え 字 νnは そ の

状 態 の 量 子 数(一 般 に は 複 数 個)を 表 す.関 数 系  

は直交系で

(2.55) で 規 格 化 さ れ て い る も の と す る*1.

(2.56a) はチャネル γの 内部波動 関数である.添 え字 νは組  

を表す.

それ は

(2.56b) を満 たす. 

がチ ャネル γの内部エネルギ ーであ る. 

が(2.51)の 解 であ るためには

(2.57) で なければ ならない.た だ し,  であ る. 

はチ ャネル γの内部エ ネルギ ー

はチ ャネル γで の 自由運動 の波動 関数で,系 の全運

動量Pの 固有 関数で あ る:

(2.58)  関数系   わ ち,

は チャネル γ内で完全規格 直交系 をなす.す な

(2.59)

すべてのチャネルでの関数系  は全配位空間で完全規格直交系をなす:

の集合 

(2.60) *1 粒 子nの

非束 縛 状 態で は

,nが さ らに,そ れぞ れが 束 縛状 態 に あ る,い くつ かの 粒 子 に分 か れて い る.し たが って,そ の よ うな状 態 は,一 つ の 粒子nの 非 束 縛状 態 と見 る よ りも, そ れ ら分 かれ た粒 子 の 組 の あ る状 態 と考 え た方 が 議論 が 簡単 に な る こ とが 多 い.

  なぜ な ら,φ α と φβは 内 部 領 域 を 除 い て 配位 空 間 の違 う領 域 で の み値 が あ り, 内部 領 域 は 全 配 位 空 間 に 比 べ て 無 限小 だ か らで あ る.一 方,α=β

な ら(2.60)

が 成 り立 つ.

  2.3.4  重 心 運 動 の 分 離   一般 に,Pの

固 有 値hKに

属 す る 固 有 関 数f(P,Z)は

と書 くこ とが で き る.た だ し,Rは

で あ る.実 際,(2.26)に

し か る に,(2.33)に

よれ ば,Pは

全 系 の 重 心 の 座 標,ま

座 標 表 示 で1次

た

の 微 分 演 算 子 で あ るか ら

よれ ば

で あ る か ら,Pf(P,Z)=0で

な け れ ば な ら な い.f(P,Z)は

で与えられる.  以上を 

に適用すれば (2.61)

(2.62)

である.ただし, 

である.よって

(2.63) を 得 る.

  Schrodinger方 をf(P,Z)に

程 式 の 一 般 解 の 中,Pの

固 有 値 がhKで

あ る も の Ψ(E;K)

とれ ば

(2.64)

と 書 く こ とが で き る.Ψ(E;K)は

(2.65) で 与 え られ る.Ψ(E;K)は 心 系 で はK=0で

重 心 運 動 を分 離 し た波 動 関数 とい う意味 を持 つ.重

あ るか ら(2.64)は

(2.66) となる.ゆ えに,Ψ(E;0)は 重心系 での系の波動 関数に比例す る.  

は Ψ(E)に 対 して完全 規格 直交系 をなすか ら,

  なす.

は{Ψ(E;K)}に

対 す る完全規 格直 交系 を

 2.3.5  二 粒 子 チ ャ ネ ル で の 波 動 関 数  2個の 粒 子 か ら な る チ ャ ネ ル で は,(2.63)は

しか る に

で あ る か ら,

とお くと

(2.67) と な る.rγ

は1と2の

運 動 量 で あ る.rγ

相 対 座 標 で あ り,hkγ は 前 記 のx1に

は(2.44)で

相 当 す る.こ

定 義 され た相 対 運 動 の

の 場 合 に は,(R,rγ)がJacobi

座 標 そ の もの で あ る. 

と φγが,そ れ ぞ れ 相 対 運 動 の 自由運 動 お よび

内 部 運 動 の ハ ミル トニ ア ン の 固 有 関数

(2.68) で, 

で あ る.

  一 般 解 Ψ(E;K)は{Φ

γ}に よ っ て 展 開で きる か ら,

(2.69)

の形をしているはずである. 

は 

の, 

の も と で の 重 ね 合 わ せ で あ る.   以 下,本

書 で は 特 に 断 ら な い 限 り,重

関 数 と し て は,重 る か ら,そ

の 値0と

ニ ア ン 使 うが,そ

心 系 で 議 論 を 進 め る こ と に す る.波

心 の 運 動 を 分 離 し た Ψ を 用 い る.し 記 号^も

省 く.ま

の 添 え 字cmを

た,ハ

省 く.し

か し,Kは

常 に0で

動 あ

ミ ル トニ ア ン も 重 心 系 の ハ ミ ル ト た が っ て,(2.69)は

(2.70) と な る. 

が 重 心 系 に お け る相 対 運 動 の 波 動 関 数 で あ る.こ の 定 義 に

よ る Ψ(E)は,付

加 条 件 と して

(2.71) を満 た さね ば な らな い.   重 心 系 で 座 標 表 示 に よ る二 つ の 波 動 関 数 Ψ1と Ψ2の 間 の 演 算 子 の 行 列 要 素 M12を

計 算 す る 必 要 が しば しば 起 こ る.Pと

算 す る に は,座 標 系{ri}をRと N-1}か 分 は{yi}だ

可 換 な 演 算 子Oの

そ れ に独 立 なN-1個

ら な る座 標 に 変 換 す る.Ψ1,Ψ2お

よびOはRに

行 列 要 素 を計

の 座 標{yi,i=1∼ よ らな いか ら,積

け に つ い て 行 えば よ い:

(2.72) {yi}を 一 つ の チ ャ ネ ル γで 見 る と,粒 子 の 重 心 の 座 標   部 座 標 ξγ の 中 の 空 間座 標 の 関 数 で あ る.Jacobi座 結 合 に とる こ とが で き る.

標 を 使 えば,そ

と内 れ らの 一 次

  も し,Ψ1,Ψ2お

よ びOの

表 式 が 座 標 系{ri}で

与 え ら れ て い る と き は,(2.72)

を

と書 くと,右 辺は  

と書 ける.こ れは全座標 についての積

分で あ るか ら,積 分変 数 を元 の座 標{ri}に 戻 す ことが で きる.そ の ときはR も 

に変数変換 する.ゆ え に

(2.73) と 書 く こ と も で き る.実

際 に は,(2.72)と(2.73)の

ど ち らが 便 利 か は 場 合 に

よ る.

  2.3.6    粒 子nの で あ る.し

内 部 波 動 関 数 内 部 運 動 の ハ ミル ト ニ ア ンhnは た が っ て,内

部 運 動 はhnと

空 間 回 転,空

パ リ テ ィπnの 同 時 の 固 有 状 態 で あ り う る.そ の 固 有 値 をMnと

し て, 

間 反 転 に対 して 不 変

角 運 動 量 の 大 き さInと

そ のz成

分In z,

の よ う な 状 態 の 波 動 関 数 を,In

と 書 く こ と に す る.そ

z

れ は

(2.74) を み た す.エ ネ ル ギ ー 固有 値 εnはMnに

対 して縮 重 して い る.そ れ 以 外 の量 子

数 に 対 し て も縮 重 して い る場 合 に は,必 要 に 応 じ て そ れ ら の 量 子 数 を   の 記号 に 付 加 す る.  対 称 化,同

はnに

含 まれ る 同種 の フ ェ ル ミオ ン に対 して は 反

種 ボ ゾ ン に対 して は 対 称 化 され て い る もの とす る.

  hnは 時 間 反 転Tに

対 し て も不 変 で あ る. 

量 と ス ピ ン の 向 きが 反 転 す る.し たが って,  化 す る.そ の 定 数 は 任 意 で あ るが,こ

にTを は 

施 す と軌 道 角 運 動 の 定 数 倍 に変

こで は

(2.75) で ある と規約 す る.(2.75)を 満 たす二つの 関数   合成 した

の角運動 量 を

は 再 び(2.75)を あ る.波

満 た す.た

だ し(I1M1I2M2￨IM)はClebsch-Gordan係

動 関 数 の 空 間 部 分 に 対 し て は,Tは

軌 道 角 運 動 量 の 固 有 関 数 は 球 面 調 和 関 数Ylmの (2.75)を満

数 で

複 素 共 役 を と る 演 算 子Cで 定 数 倍ClYlmで

あ る.

あ る.そ

れが

たすため には

(2.76) で な け れ ば な ら な い.YlmはCondon-Shortleyの を 満 た す も の と す る と,cl=ilで す の はilYlmで  

位 相 関 係Y*lm=(-1)mYl-m

な け れ ば な ら な い.す

な わ ち(2.75)を

満 た

あ る.

の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 εnはMnに

対 し て 縮 重 し て い る か ら,そ れ を 使 っ て

(2.56a)で

与 え ら れ る φγ の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 εγ は そ れ に 対 応 し た 縮 重 を 持 つ.

(2.56b)の

一 般 解 は そ れ ら の 縮 重 し た 解 の 一 次 結 合 で あ る.そ

の 反 応 粒 子 の ス ピ ン を 合 成 し た チ ャ ネ ル ス ピ ン 角 運 動 量Iγ

の 中 で,す と そ のz成

べ て 分Mγ

の 固有 関 数

(2.77) は 特 に 重 要 で,γ

チ ャ ネ ル の ス ピ ン 関 数 と 呼 ば れ る こ と が あ る.た

だ し,

で あ る.   核 反 応 論 で は,す べ て の複 合 粒 子 の 波動 関数 はそ の 粒 子 の構 造 論 的 研 究 に よっ て す で に 知 られ て い る と仮 定 す る.反 応 論 の 課 題 は そ れ を仮 定 した 上 で 複 合 粒 子 間 で 運 動 量,エ

ネ ル ギ ー,構 成粒 子 の 一 部 な どが 移行 され る機 構 を 明 らか に

す る こ とで あ る.反 応 機 構 は複 合 粒 子 の 構 造 に密 接 に 関 係 し て い る か ら,と

き

に は 逆 に 反 応 の 研 究 か ら複 合 粒 子 の 構 造 に つ い て 情 報 を得 る こ と もで き る.実 際,そ れ は構 造 論 的研 究 の有 力 な 手 段 に な っ て い る.   以 上 の こ とか らわ か る よ うに,チ ャネル を,そ れ を構 成 す る複 合粒 子 の種 類 だ け で な く,そ れ ぞ れ の粒 子 の 内部 状 態,す な わ ちエ ネ ルギ ー と量 子 数 の 組  

に よっ て も区 別 す る のが 便 利 で あ る.と

ル ス ピ ン の よ うに,量

きに は,チ ャ ネ

子 数 の 組 の 一 部 の 組 み 合 わ せ も指 定 す る のが 便 利 な こ と

もあ る.以 下 特 に 断 らな い 限 り,チ ャ ネル の指 定 は 状 態 の 指 定 を含 む も の と し, 記 号 γαγ を単 に γ と書 く こ と に す る.と た とえ ば 運 動 量,角

き と し て,そ

運 動 量 な ど,を 含 め る こ と もあ る.

の 中 に 相 対 運 動 の 情 報,

  2.3.7  境   Ψ(E)を

界

条

件

決 め るた め に は,(2.3)を

境 界 条 件 は,各

一定 の 境 界 条 件 の 下 で 解 か ね ば な ら な い.

チ ャ ネ ル γ の 無 限 遠rn→

近 形(asymptotic

form)が

∞(n=1γ

∼Nγ)で の Ψ(E)の 漸

実 験 条 件 に 適 合 す る,と い う形 で 課 せ られ る.2.1

節 で 述 べ た 実 験 条 件 に 適 合 す る漸 近 形 は,次

の 条件 を 満 た さ ねば な ら な い.

  1. す べ て の 開 い たチ ャ ネ ル に は原 点 か ら外 向 きに 広 が る波 が あ る.   2. 入 射 チ ャ ネル だ け に 入 射 平 面 波 が あ る.   3. 入 射 平 面 波 以 外 に 内 向 きの 波 は な い.   4. 閉 じ た チ ャ ネル で は0で   Ψ(E)が

あ る.

この 形 を持 つ 領 域 を漸 近 領 域 と い う.

  チ ャ ネル α か ら波 数kα の 入 射 波 が 入 る こ と に よ っ て起 こ る 反 応 を記 述 す る 全 系 の 波 動 関 数 Ψ(+)α(E)を考 え よ う.Ψ(+)αの境 界 条 件1∼4を 図2.1の

模式 的に表す と

よ うに な る.

  まず 入 射 チ ャネ ル α で の 入 射 平 面 波 は,(2.67)に

よ り,

(2.78) で あ る.放 出 チ ャ ネ ル β ≠ α の 中,二 粒 子 チ ャ ネ ル で はΨ(+)αの,相 対 座 標 rβ → ∞ で の 漸 近 形 は,二 粒 子 間 のCoulomb相

互 作 用 を無 視 すれ ば

(2.79) で な け れ ば な ら な い.こ

図2.1 

こ に,fβ

α(Ωβ)は 散 乱 振 幅(scattering

amplitude)と

チ ャ ネル α か ら始 ま る 反 応 の 波 動 関 数 Ψ(+)αの 境 界 条 件 波 矢 印(〓)は

進 行 波 の 向 き を 表す.

呼 ば れ,rβ

の 方 向 Ωβ の 関 数 で あ る.kα

とkβ は エ ネ ル ギ ー 保 存 則

に よ っ て結 ば れ て い る.μ は 換 算 質 量 で あ る.   3個 以 上 の粒 子 か ら な る チ ャネ ル で の 波 動 関 数 の 漸 近 形 を(2.79)の

よ うに 書

き下 す こ と は 困 難 で あ る.こ の 場 合 に は,二 粒 子 チ ャ ネ ル と違 って,漸

近領域

を 単 一 の 相 対 座 標 に よ っ て表 現 す る こ とは で き な い.相 対 座 標 の と り方 は 一 意 的 で す ら ない.チ

ャネ ル 領 域 は複 合 粒 子 間 の 相 対 距 離 に よ って 定 義 され る か ら,

漸 近 形 は 相対 座 標 の と り方 に依 存 す る こ と に な る.こ こで は,三 粒 子 以 上 のチ ャ ネ ル の 波 動 関 数 をひ っ くる め て ψ(+)scで表 す こ と に す る.  以 上 を ま とめ る と,荷 電 反 応 粒 子 間 のCoulomb相

互 作 用 を 無 視 す れ ば,入

射 チ ャ ネル を α とす る波 動 関 数 Ψ(+)α の 漸 近 形 は,

(2.80) で あ る.(2.80)を

散 乱 状 態 の 境 界 条 件 と呼 ぶ こ と に す る.散 乱 振 幅fβ α(Ωβ)

はSchrodinger方

程 式 を解 い て 初 め て 決 ま る.二 粒 子 チ ャ ネ ル βへ の散 乱 の微

分 断 面 積 な ど 実 測 で きる 量 は す べ て この 散 乱 振 幅 か ら計 算 す る こ とが で き る. Coulomb相

互 作 用 を 考 慮 し た 場 合 に つ い て は2.7節

で 論 じ る.ま

た,.上 記 の

Ψ(+)α で は 同種 粒 子 が 区別 で きな い こ とを 考 慮 して い な い.そ れ を考 慮 す る こ と に つ い て は2.9節

で 論 じ る.

  散 乱 状 態 の境 界 条 件 の 下 に(2.3)を 正 確 に解 くこ とは,二 粒 子 系 の 場 合 を 除 い て 一般 に 非 常 に 困 難 で あ る.現 在 まで,た か だ か4個 の核 子 か ら な る系 に つ い て 数 値 的 に厳 密 解 が 得 られ て い る にす ぎ な い.し か し,反 応 の 実 験 で 観 測 さ れ る量 に 直 接 関係 す る の は チ ャネ ル 領 域 で の 波 動 関 数 の 振 る舞 い で あ る.波 動 関数 を 配 位 空 間 の全 領 域 に わ た っ て 正 確 に 知 る こ とは 必 ず し も必 要 で な い.そ れ よ り も む し ろ,チ ャ ネ ル 領 域 で の 波 動 関 数 の 一 般 的 な 性 質 を知 る こ とが 重 要 で あ る.

2.4 

  2.4.1 

Lippmann-Schwinger方

Lippmann-Schwinger方

  一 般 に,チ

程 式

程 式

ャ ネル α で 始 まる反 応 を記 述 す る波 動 関 数 Ψ(+)α(Eα)を求 め る に

はSchrodinger方

程式

(2.81) を(2.80)で

指 定 され る 漸 近 形 を境 界 条 件 とし て 解 け ば よい.し か し,3個

以上

の 粒 子 か ら な る チ ャ ネ ル に対 して 漸 近 形 を一 般 的 に 書 き下 す の は 困 難 で あ る. この 問題 を解 決 す る に は,(2.81)を

積 分 方 程 式 に 書 き換 え,そ の 解 が 境 界 条 件

を 自動 的 に 満 た す よ うに す る,と い う方 法 が あ る.   (2.16)に よ る と,H=Hα+Vα

で あ る か ら,(2.81)は

(2.82) と 書 け る.(2.82)の

一 般 解 は 右 辺 を0と

し た斉 次 方 程 式

(2.83) の 一 般 解 と,(2.82)の は Φ を(2.78)の

特 解 の 和 で 表 さ れ る.そ

入 射 平 面 波 Φα(Eα)と

し,特

の 中 で,境

界 条 件 を満 たす もの

解 を散 乱 波

(2.84) と す る 解,

(2.85) で あ る.た だ し,η>0は,右

辺 がEα

の実 数 値 に対 し て特 異 点 を持 た な い よ

う にす る た め に導 入 し た微 小 量 で,計 算 が 終 わ っ た後 で0の す る.η →0の

極 限で,Ψ(+)scは(2.82)の

極 限 を とる もの と

特 解 で あ る.後 で 示 す よ うに,η>0

は Ψ(+)scが外 向 き 散 乱 波 で あ る こ とを保 証 す る.そ れ ゆ え,Ψ(+)α は 境 界 条 件 (2.80)を 自動 的 に満 た して い る.η の物 理 的 な 意 味 に つ い て は 後 で 時 間依 存 の 理 論 形 式 の 中で 明 らか に す る.

  (2.85)は 略 す)と

Ψ(+)αに 対 す るLippmann-Schwinger方 呼 ば れ る.Hα

子,(2.85)は 呼 ぶ.以

下LS方

は 微 分 演 算 子 だ か ら,(Eα-Hα+iη)-1は

積 分 方 程 式 で あ る.そ

下,記

程 式(以

程式 と 積分演 算

の 核(Eα-Hα+iη)-1をGreen関

数 と

号 を 簡 単 に す るた め に

(2.86) と 書 く.(2.85)の

形 式的な解 は

(2.87) (2.88) で あ る.   [証 明]   (2.85)の

右 辺 第2項

を左 辺 に 移 項 し,左

か らe(+)α(E)を

これ か ら直 ちに(2.87)を 得 る.ま た,  ら(2.88)が

か ける と

で あるか

得 られ る.

 

(証 明 終 わ り)

  こ れ ら の 解 は,分 Schrodinger方

母 にHを

含 ん で い る の で,正

確 に計 算 す るの は 元 の

程 式 を解 くの と 同 じ程 度 に 困 難 で あ る.形 式 解 と呼 ば れ る の

は そ の た め で あ る.そ れ に も 関 わ らず,(2.87),(2.88)は

理 論 の 展 開 に極 め て

有 用 な 式 で あ る.   Gell-Mann-Goldbergerの

恒等式

(2.89) を使 うと,任 意 の チ ャ ネル β に対 して

(2.90) で あ る か ら,(2.88)を

次 の よ う に 変 形 す る こ と が で き る.

(2.91)   特 に β=α な ら,  は(2.85)に 帰 着 す る.β ≠ α で あ れ ば,η →0の

で あ るか ら,(2.91) と き(2.91)の 右 辺 第1項 は

0に な る か ら,

(2.92) と 書 く こ とが で き る*2.   Ψ(+)α(Eα)に 対 し て,

(2.94) を 導 入 す る.Ψ(-)α は Ψ(+)αと 同 じSchrodinger方 散 乱 波 を 持 つ 解 に な る.散 保 証 す る.内

乱 波 が 内 向 き で あ る こ と は,第2項

く と(2.87),

(2.88),

  以 上 の 議 論 で は,Φ

か し,理

の 分 母 の-iη

(2.91)で

η を-η

に 断 ら な い 限 り,こ

 2.4.2 

の解は 解

で 置 き換 え た 方 程 式 が 得 ら れ る.

α(Eα)は 二 粒 子 チ ャ ネ ル の 平 面 波(2.78)で

程 式(2.85)∼(2.94)は

が

論 的 に は 非 常 に 有 用 で あ る.(2.94)を

明 ら か に Φα(Eα)が

Ψ(±)α(Eα)が そ れ に 対 応 す る(2.81)の 下,特

出チ ャネル に 内 向 き

向 き散 乱 波 と い う も の は 観 測 す る こ と は で き な い か ら,こ

実 験 条 件 に は 対 応 し な い.し

し か し,方

程 式 の,放

あ る と し た.

一 般 の 平 面 波(2.52),

解 で あ る と し て も 成 り 立 つ.そ

こで 以

の 一 般 的 な 場 合 を 想 定 し て 議 論 を 進 め る.

の規格直交性

 固有関数系  

*2 エ ネ ル ギーE

α に お い て,チ

は規格直交系をなす:

ャ ネ ル β ≠ α に 入 射 平 面 波 が あ る 場 合 の(2.85)方

程式は

(2.93) で あ る.(2.92)と(2.93)を

見 比 べ る と,(2.93)の

解 に(2.92)の

解 の 任 意 の 定 数倍 を加

え て も や は り(2.93)の 解 に な る こ と が わ か る.し た が っ て,こ の 極 限 で は(2.93)の 一 意 的 で な い .こ れ をLippmann-Schwinger (LS)方 程 式 の 解 の 非 一 意 性 と い う.こ η →0の

極 限 を 不 用 意 に と っ て は な ら な い こ と を 示 す.し

式 は 成 り立 っ て い る の で あ る か ら,LS方

か し,い

ず れ に せ よ,LS方

解は れは 程

程 式 か ら 演 繹 さ れ る す べ て の 方 程 式 は 成 り立 つ.

(2.95)   [証明]

 

に(2.87)を 使い,得られた式の第1項

の Ψ(+)β(Eβ)に(2.92)で

α と β を交 換 し た もの を 使 えば

(2.96)

こ こ で,  で あ る か ら,(2.96)の

第2項

と 第3項

は 相 殺 す る.

よって

  ゆ え に,(2.60)に

よ り(2.95)が

成 り立 つ.

  同様にして, 

が証明 できる.   (証 明終 わ り)

  関数系  

は 一般 には完 全系で はない.Hに

場 合 に は,そ の 波 動 関 数{ΨB}は

 

束縛状 態が存 在 す る

散 乱 状 態 の 波 動 関 数 と直 交 す るか らで あ る.

は{ΨB}を 付 け加 えては じめて完全系 にな る:

(2.97)

 2.4.3  Ψ(+)αの 漸 近 形 と境 界 条 件,T行

列

 次 に,α が 二 粒 子 チ ャネ ルで あ る場 合 Ψ(+)α が 境 界 条 件(2.80)を

ことを確か めよう.チ ャネル βにおいて, 

満 た して い る

の漸近形は次の ように

して求まる.Ψ(+)α(Eα)に(2.92)を 代入 し,  を使 えば

(2.98)

ただ し

(2.99) とな る.た だ し, 

は βチ ャネルでの相対 運動 のエ ネルギ ーで

あ る.   まず,β が 二粒 子 チ ャネル であ る場合 を考 え よ う.Green関  

数の座 標表 示

は二体 の散 乱問題で よ く知 られ てい

る よ う に,

(2.100) で あ る.た だ し,μ β,kβ は そ れ ぞ れ β チ ャ ネル で の 相 対 運 動 の 換 算 質 量 お よ び 運 動 エ ネ ル ギ ーEfに

対 応 す る波 数 で あ る.G(+)(rβ, r)のrβ≫rで

の漸近

形は

(2.101) で あ る.た

だ し, 

で あ る.(2.101)を(2.99)に

代 入すれ ば ,

Ψscβ の 漸 近 形 は

(2.102) と な る.こ

こに

(2.103) で 与 え ら れ る.た

だ し,

(2.104) で あ る.よ

っ て,(2.98)に

よ り, 

の 漸 近 形 は,

(2.105) と な る.(2.105)は ら な い.よ

確 か に(2.80)の

っ て,Ψ(+)α は,二

形 を し て い る.fβ α(Ωβ)は 散 乱 振 幅 に ほ か な

粒 子 放 出 チ ャ ネ ル に 関 す る 限 り,境

界 条 件(2.80)

を 満 た す.   行 列(Tβ α)を 反 応 α → β の 遷 移 行 列(transition と い う.T行

列 要 素 はVβ

matrix,略

し てT行

列)

の レ ン ジ 内で の 波 動 関 数 の値 に よ って 決 まっ て し ま

う.し たが って,(2.103)お

よび(2.104)は

も と も と波 動 関 数 の 漸 近 形 に よっ て

定 義 され て い た 散 乱 振 幅 を,Vβ の レ ンジ 内 の 情 報 だ け で 計 算 で きる こ とを意 味 す る.多

くの 場 合,波

動 関数 を無 限 遠 まで 正 確 に 求 め る こ とは 困 難 だ か ら,こ

れ は 実 際 上,非 常 に 有 用 で あ る.   次 に,β が3個 以 上 の 粒 子 か らな る チ ャ ネル で あ る場 合 を考 え よ う.す で に述 べ た よ うに,こ の場 合 に は Ψscβの漸 近 形 を一 般 的 に書 き下す こ とは 困 難 で あ る. しか し,ど れ か 一 つ の 粒 子,た と えば1,が ほ か の粒 子 全 体 の 重 心R'か

そ れ ぞ れ 決 ま った エ ネ ルギ ー を持 つ

ら無 限 に離 れ た場 合 の 漸 近 形 の1の 座 標 に 関 す る部

分 は,二 粒 子 チ ャネ ル の 場 合 と同 様 に して 求 め る こ とが で きる.こ の 場 合 に は,

ほか の粒 子全体Cを 質量M'=M-m1,エ

ネルギ ー  

を 持 つ 一 つ の 粒 子 で あ る と考 え れ ば,系 は1とCと て,相 対 距 離  

の 二 体 系 で あ る.し たが っ

で は,Ψscβ は,(2.102)と

同 じ く,

(Ψscβ の 漸 近 形)

と な る こ と は 明 らか で あ る.た だ し,  で あ る.ゆ え に,粒 子1は

ほ か の粒 子 に対 して 外 向 き球 面 波 と な っ

て 伝 搬 し て い く.こ れ は任 意 の粒 子 に対 して い え るか ら,Ψscβ は境 界 条 件 を満 た す こ とが わか る.   以 上 を 総 合 す る と,Ψ(+)αの 漸 近 形 は

(2.106) が 得 ら れ る.た れ は(2.80)と

だ し,ψ(+)scは 三 粒 子 以 上 の チ ャ ネ ル の 外 向 き 放 出 波 を 表 す.こ 一 致 す る.す

な わ ち,Ψ(+)α は 境 界 条 件 を 満 た し て い る.

  2.4.4  時 間依 存 の理 論 形 式,断 熱 的 ス イ ッ チ ン グ,S行   LS方 程 式 のGreen関 波 を導 くGreen関

数 に は常 に η→0+が

列

入 っ て い る.こ れ は外 向 き散 乱

数 の 特 異 点 の 処 理 の た め 数 学 的 に 導 入 され た.し か し,実 は

そ れ に は 物 理 的 な 意 味 が あ る こ と を,以 下 に 時 間依 存 の 理 論 形 式 を使 っ て 説 明 し よ う[1].

Schrodinger描

像 で は,系

の 状 態 ベ ク トル Ψ(t)は

(2.107) に よ って 変 化 す る.あ る一 つ の チ ャ ネル α に注 目す る と,Ψ(t)の 変 化 の う ち相 互 作 用 ポ テ ン シ ャルVα だ け に よ る もの を取 り出 す に はユ ニ タ リー 変 換

(2.108) を 行 っ て 相 互 作 用 描 像(interaction と な る 任 意 の 時 刻 で あ る が,以 と(2.108)に

picture)に

移 れ ば よ い.〓

後 簡 単 の た め に 

は  

と す る.ΨIα(t)は,(2.107)

よ り,

(2.109) を み た す.た

だ し,

(2.110) で あ る.も

し,Vα=0な

ら,ΨIα(t)はtに

よ ら な い.す

な わ ち,自

由運動の

相 互 作 用 描 像 の 波 動 関 数 は 時 間 的 に 変 化 し な い.   二 つ の 描 像 で 時 間 を 移 す ユ ニ タ リ ー 演 算 子U(t,t0)とUIα(t,t0)を

で 定 義 す る と,(2.107)か

(2.108)か

ら 有 限 のt,

それぞれ

t0に 対 し て

ら

(2.111) で あ る.(2.111)か

ら有 限 のt,

t0に 対 し て 直 ち に

(2.112)

(2.113)

(2.114) が 得 られ る.   実 際 の 反 応 で は,各

反応 粒 子 は 空 間 的 に 局 在 す る波 束 を な し,そ れ らが 接 触

す る短 い 時 間だ け 相 互 作 用 し,そ の前 後 で は 相 互 作 用 しな い.し か し,そ の 取 り 扱 い は 面 倒 な の で,相

互 作 用 を時 間 的 に 変 化 す る もの で 置 き換 え る こ とに よ っ

て シ ミュ レー トす る.す な わ ち,衝 突 が 時 刻t=0を

中心 に起 こ る場 合,各 チ ャ

ネ ルγ で の 相 互 作 用Vγ を

(2.115) で 置 き換 え る.こ の 相 互 作 用 は￨t￨が 大 きい と き,す な わ ち反 応 の 前,後 で は0 に な り,衝 突 が 起 こ るt=0付

近 で は元 のVγ に ほ ぼ 等 し い.η が 小 さけ れ ば

時 間 的 に ゆ っ く り変 化 し,η →0の

極 限 で は す べ て の 時 刻 でVγ に な る.し た

が って こ の 極 限 で は,Vγη に よる 反 応 は元 のVγ に よる そ れ と同 じで あ る,と 考 え られ る.実 際,こ

の よ うな方 法 を使 って 計 算 し た 断 面 積 が 波 束 を使 っ た計

算 の 答 え と一 致 す る こ とが 証 明 され て い る(た

とえば[2]).(2.115)に

換 え を相 互 作 用 の 断 熱 的 ス イ ッチ イ ン グ(adiabatic switching)と 合,断

よ る置 き

い う.こ の 場

熱 的 とは 「ゆ っ く り変 化 す る 」 とい う意 味 で あ る.

  さて,入 射 チ ャ ネ ル α の平 面 波か ら始 ま る反 応 で は,遠 い過 去 の 時刻t0で

は

(2.116) で あ る.ゆ

え に,ΨIα(t)と

で あ る.こ

れ に 対 して

Ψ(t)が 一 致 す る 時 刻t=0で

は

(2.117) が 成 り立 つ.た

だ し,Ψ(+)α(Eα)はLS方

程 式(2.85)の

解 で あ る.

  [証 明]   t〓0と (2.114)に

す る.ま

ず,あ

るt0
ΨIα(t0)=Φ

α(Eα)で

あ る と し よ う.

よ り

(2.118)

  よ っ て,(2.110),(2.111),(2.115)お

よ び 

を 使

う と

こ こ で,t0→-∞

特 に,t=0で

の 極 限 を と る と,分

子 の 下 限 は0に

な るか ら,

は

(2.119)  (2.119)と(2.85)を か る.よ

比 べ れば, 

で あ る こ とが わ

って

(証 明 終 わ り) (2.117)と

同様 に して

(2.120) が 証 明 され る.(2.117),(2.120)は,巨 平 面 波 

視 的 時 間で あ る,無 限 の過 去(未 来)で

で あ る 波 動 関 数 は,反 応 が 起 こ る時 刻t=0で

は

 で あ る こ と を示 す.   か くして,LS方

程 式 に 現 れ る ηは 断 熱 ス イ ッチ ング のパ ラ メ ターで あ り,そ

れ は 衝 突 粒 子 の 二 つ の 波 束 が 重 な る速 さに 対 応 す る こ とが わ か った.そ れ は ま た,対 応 す る 波 束 が ど の くらい 空 間 的 に広 が っ て い るか に依 存 す る.η=0は 無 限 に 広 が っ た 波 に対 応 す る.   さて,t=∞

で の 放 出 チ ャ ネ ル β で の 波 動 関 数 の 振 る 舞 い を知 る に は,そ

の チ ャ ネ ル に つ い て の相 互 作 用 描 像 ΨIβ(t)を見 る のが 便 利 で あ る.(2.117)に より

とな る.ゆ え に,t=∞

で この 状 態 に平 面 波 Φβ(Eβ)が 見 出 され る確 率 振 幅 は

(2.121) で あ る.た

だ し,(2.112)と(2.120)を

(scattering

matrix,略

  上 記 の 導 出 で はt0→ こ と に 注 意 せ よ.そ 有 限 のt,t0に

し てS行

使 っ た.(Sβα)は 列)と

この遷 移の散 乱行 列

呼 ば れ る.

±∞ の 極 限 を す べ て の 計 算 が 終 わ っ て か ら と っ て い る

れ は(2.111),し

た が っ て そ れ か ら 導 か れ る(2.112)な

対 し て 与 え ら れ て い る か ら で あ る.も

どが

し(2.117)を

(2.122) と書 くと,UIα(0,-∞)は 波 に 変 え る.し

す べ て の 平 面 波,し

た が っ てUIα(0,-∞)は

非 完 全 系 に 変 え て し ま う.し

波

 (2.88)か

動

行

波 動 関 数 の 完 全 系 を,束

た が っ て,UIα(0,-∞)は

2.5  波 動 行 列,T行

  2.5.1 

た が っ て 任 意 の 波 動 関 数,を

列 お よ びS行

散乱

縛 状 態 が な い,

ユ ニ タ リ ー で は な い.

列

列

ら,

(2.123) と お く と,

(2.124) で あ る こ とが わ か る.ゆ る 演 算 子 で,Mφllerの の 恒 等 式(2.89)を

え に,Ω(±)(E)は

平 面 波 Φα(E)をLS方

程 式 の解 に変 え

波 動 行 列 と 呼 ば れ る.(2.123)にGell-Mann-Goldberger

使 えば容易 に

(2.125) が 導 け る.こ

れ を Φγ(E)に

作 用 さ せ る と, 

で ある

か ら,

(2.126)

ただ し

(2.127) で あ る.こ

れ はLS方

程 式(2.85)に

対 応 す る.(2.127)を

解 け ば 

の形

式解

(2.128) が 得 られ る.こ れ は(2.87)に

対 応 す る. 

はγ チ ャ ネル に お け る波 動 行

列 で あ る.   波動 行 列 は 任 意 の波 動 関 数 を散 乱 状 態 の波 動 関数 にす る.ゆ え に,(2.122)で 定 義 したUIγ(0,-∞)と

  2.5.2  T行

同 じ く,ユ ニ タ リーで は な い.

列 お よ びS行

列

  波 動 行 列 を使 う と,エ ネ ル ギ ーEに

お け るT行

列要素 は

(2.129) と書 け る.す

な わ ち,Tβα は演 算 子

(2.130) の 平 面 波 間 の 行 列 要 素 で あ る.(2.126)を

使 え ば,Φ

α(E)に

作 用 す る こ と を前

提 に して

(2.131) と 書 く こ と も で き る.  

Tβα は 次 の よ う に も 書 く こ とが で き る.

(2.132) [証明]

しか る に

よって

しか る に

ゆえ に

(証 明終 わ り)  前 項で 導 入 したS行

列 要素 

も波 動 行列 を使 って

(2.133) と 書 く こ と が で き る.た

だ し,

(2.134) で あ る.   S(β,α)は

次 の よ う に 変 形 で き る.

(2.135) で あ る か ら,

ゆえに

ここ で,   

を 使っ た.ゆ えに, およ び (2.136)

に 注 意 す れ ば,

(2.137) と な る.こ

れは

(2.138) で あ る こと を 意 味 す る.た

だ し,こ

の 式 の 右 側 に は Φα(Eα)が左

側 に は Φβ(Eβ)

が あ る こ と を 前 提 に し て い る.

  2.5.3    S行

S行

列 の ユ ニ タ リ テ ィ,T行

列 の 和 則,光

学 定 理,相

反 定理

列 は ユ ニ タ リ ー で あ る:

(2.139) [証明]

し か る に, 

は散 乱 状 態 の波 動 関 数 空 間 内 で 完 全 系 を な す か ら,

同 様 に し て,SS†=1.

(証 明 終 わ り) Tを

(2.140) で 定 義 す る と,(2.137)に

よ り

(2.141)

で あ る こ と が わ か る.Sの

ユ ニ タ リテ ィ と(2.141)か

ら直 ち に

(2.142) を 得 る.(2.142)の

βα 要 素 を と り,(2.140)を

使 う と,T行

列 に 対 す る和 則

(2.143) が 得 ら れ る.特

に,β=α

とす る と

(2.144) で あ る.α は,(2.103)に

が 入 射 二 粒 子 チ ャ ネ ル の 波 数kα よ り,チ

ャ ネ ル α で のkα

の 振 幅fαα(0゜)で あ る.ま

た,後

の 平 面 波 に 対 応 す る と す る と,Tα

方 向 へ の 弾 性 散 乱,す

に(2.226)で

な わ ち前 方 散 乱

示 す よ う に,(2.144)の左

チャネルから始まる反応の全断面積  

α

辺 は α

倍である.よ って (2.145)

と な る.(2.145)は

光 学 定 理(optical

theorem)と

呼 ば れ る.こ

れ がS行

列の

ユ ニ タ リ テ ィ の 結 果 で あ る こ と に 注 意 せ よ.   S行

列 に 対 し て,相

反 定 理(reciprocity

theorem)

(2.146) が 成 り立 つ.た だ し,-α(-β)は し た時 間 反 転T=CU(運

チ ャ ネル α(β)の 波 動 関数 に2.2.3項 で 定 義

動 量 と ス ピ ンの 向 き を逆 にす る演 算 子)を

ほど こし

た チ ャ ネ ル を表 す.   [証明]   (2.87)を 使 う と

ゆ えに

(証 明 終 わ り)

相 反 定 理 はT行

列 に 対 し て も成 り立 つ:

(2.147)   相 反 定 理 は,Sお

よびTの,一

つ の 遷 移 と そ の逆 の 遷 移 に 対 す る行 列 要 素 が

等 しい こ と を示 す.こ れ は い うまで もな く時 間反 転 不 変 性 の結 果 で あ る.   次 に,チ

ャ ネ ル α,βが と もに二 粒 子 チ ャ ネ ルで あ る 場 合 を考 え る.そ れ ぞ れ

の チ ャ ネ ル の 換 算 質 量 をそ れ ぞ れ μα,μβ と して,

(2.148) でSβ α か ら δ(Eβ-Eα)を

除 い た,Eβ=Eα

を 前 提 と す るSβ α を 定 義 す る.

この とき

(2.149) お よ び,(2.103)に

よ り,

(2.150) が 成 り立 つ*3.   [証明]   (2.148)を(2.137)に

代入す る と

(2.151) し か る に,

(2.152) で あ る か ら,こ

れ を(2.151)に

て 解 き,(2.103)に

代 入 す れ ば(2.149)を

代 入 し,kβ=kβrβ/rβ

得 る.そ

れ をTβα に つ い

で あ る こ と に 注 意 す れ ば(2.150)を

得 る. *3 た だ し

,一 般 にaは

で あ る.ゆ

え に, 

ベ ク ト ルaの

方 向 を表 す.極

座 標 で 

な ら  で あ る.

(証 明 終 わ り)   入 射 エ ネ ル ギ ーが 低 い 場 合 に は,二 粒 子 か ら な る チ ャ ネル だ けが 開い て い る こ とが 多 い.こ

の 場 合 に は,

(2.153) が 成 り立 つ.   [証 明]   S行

列 の ユ ニ タ リー 性 の 式(2.139)の

両 辺 の Φα,Φ β 間 の 行 列 要 素 に(2.148)

を代 入 す れ ば

この式 の

左 辺  しか る に

で あるか ら

左 辺  で あ る.一

方,右

辺 は(2.152)で

与 え ら れ る.ゆ

え に(2.153)が

成 り立 つ. (証 明 終 わ り)

2.6  角 運 動 量 表 示

  核 反 応 の 理 論 で は,し ば しば 角 運 動 量 表 示 を と る と便 利 で あ る.基 本 とな る の は球 面 調 和 関 数 系{Ylm(r)}で

あ る.本 書 で は,Ylm(r)が

と な る よ うに 位 相 を と る こ と は す で に述 べ た.{Ylm(r)}は な す:

完全規 格直交系 を

(2.154) (2.155)

  2.6.1  基

底

関

数

  Ylm(r)にrの 任 意 の 関 数flm(r)を 掛 け た も の はYlm(r)と 同 じ 固有 値 を持 つ 角 運 動 量 の 固有 関 数 で あ るか ら,角 運 動 量 表 示 の 基 底 と して   を とる こ とが で きる.以 下,こ

こで は 平 面 波φ(k,r)の

よ く知 られ た球 面 波 展

開 の公 式

(2.156) か ら導 か れ る

(2.157) を基 底 に と る.jl(kr)は

球 面Bessel関

数 で,第1種

お よ び 第2種 球 面Hankel

関数 

と と も に 反応 論 に しば しば 登場 す る.こ れ らの 関 数 の

位 相 は しば しば 著 者 に よ って 異 な る.こ こで は 漸 近 形 が

(2.158) と な る も の と 定 義 し て お く.   (2.156)お

よ び(2.157)に

よ り

(2.159) で あ る.関 数系{φ(k,r)}の

規格 直交性 と

(2.160) お よ び(2.154)か

ら直ちに

(2.161)

が 導 か れ る*4.

 2.6.2  T行

列,S行

列,散

 二 粒 子 チ ャ ネ ル 間 のT行

乱振 幅

列要素

の 角 運 動 量 表 示 を求 め よ う. 

はそれぞれ

で あ るか ら,Tβ α のkα ,β依 存 性 を陽 に表 す た め に そ れ を

と 書 く こ と に す る.こ

の 式 に(2.159)を

代 入 すれ ば

(2.162) を 得 る.た

だ し

(2.163)

である.ここで, 

に対して

を使 う と

(2.164) *4 三 粒子 以 上の チ ャネ ルで の 自由運 動 の 波動 関数 の球 面波 に よる表 示 は ,た とえ ば[ゾ ン マー フェ ル ト理 論 物理 学 講 座6,物 理 数 学偏 微 分 方 程 式論,増 田秀 行 訳(講 談 社)]に 与 え られ て い る.

と 書 く こ と も で き る.

(2.165) が 行 列 要 素 の 角 運 動 量 表 示 で あ る.   散 乱 振 幅 は(2.103)に(2.162)を

代 入すれば

(2.166) と な る.た

だ し

(2.167) で あ る.(2.166)が

散 乱 振 幅 の 球 面 波 展 開 で あ る.

  S行 列 の 角 運 動 量 表 示 を,T行

列 にな らって

(2.168) で 定 義 す る.Sβ

α は(2.148)で

列 で あ る.(2.153)の

定 義 さ れ た,Sβ

α か ら δ(Eβ-Eα)を

除 い た行

両 辺 を(2.168)と

(2.169) を使 って球面 波展 開すれ ば

(2.170) が 得 ら れ る.す

な わ ち,(Sβlβmβ,αlαmα)は ユ ニ タ リ ー 行 列 で あ る.(2.149)の

両 辺 の 角 運 動 量 表 示 を とれ ば

(2.171) を 得 る.ま

た,(2.168)と(2.171)を(2.150)に

代 入 すれ ば

(2.172)

を 得 る.こ

れ を(2.166)と

比 較 す れ ば 次 式 を 得 る.

(2.173)

2.7 

Coulomb相

互作 用

  今 まで は,荷 電 粒 子 間 に働 くCoulomb力

を無 視 し,粒 子 間の 相 互 作 用 は す

べ て 短 距 離 力 で あ る と し た.し か し入 射 粒 子 が 荷 電 を持 つ 場 合 に は,荷 電 粒 子 間 にCoulomb力

が 働 き,そ れ は無 限 の レ ン ジ を持 つ.し

た が っ て,入 射 波 は

平 面 波 で は あ り得 な い.

 2.7.1  Coulomb波   二 つ の 粒 子1と2の

動関数 間 にCoulombポ

テ ンシャル

だ け が 働 い て い る 場 合 の 相 対 運 動 のSchrodinger方

の 解 で,無

限 遠 で 「波 数 ベ ク トル がkで

程 式

あ る入 射 波 と外 向 き散 乱 波 の 和 」 とい

う漸 近 形 を 持 つ もの は 解 析 的 に知 られ て い る[3],[4].そ れ は

(2.174) で 与 え ら れ る.た

だ し,

(2.175) で あ る.η

はSommerfeldパ

ラ メ タ ー と 呼 ば れ る. 

は

(2.176) で 定 義 され る合 流 型 超 幾 何 関 数 で あ る. 

のr→

∞ で の漸近形は

(2.177)

で あ る.第1項

(2.178) はCoulomb場

の 中 で の 入 射 波 で あ る.第2項

る 散 乱 波 で あ る.た

だ し,Ω=(θ,φ)はkか

はCoulombポ ら 見 たr方

テン シャルに よ 向で

(2.179) はCoulomb散 あ る.ま

乱 振 幅 ま た はRutherford散

乱 振 幅 と 呼 ば れ る.θ が 散 乱 角 で

た,

は 軌 道 角 運 動 量0に

対 す るCoulomb位

相 に はln(kr-kr)に

比 例 し た 項 が 入 っ て い る か ら,そ

に は な ら な い.し は で き な い.こ

相 差 と 呼 ば れ る.入

た が っ て,φC(+)(k,r)を れ はCoulombポ

に 由 来 す る. 

「平 面 波+散

射 波(2.178)の

位

れ は 無 限 遠 で も平 面 波 乱 波 」 の 形 に 書 くこ と

テ ン シ ャル が 無 限 の レ ンジ を 持 って い る こ と

に 対 して

(2.180) を 定 義 して お くと便 利 で あ る.こ れ は"入 射 波 と 内 向 き散 乱 波"の 境 界 条 件 を 満 た す解 で あ る. 

は η=0の

関 数 系 

は,{φ(k,r)}と

と き平 面 波 に な る:

同 様 に,直

交性

(2.181) を 持 つ.し か し,UCが

束 縛 状 態 を持 つ 場 合 に は,そ れ を付 け 加 え て 初 め て 完

全 系 に な る:

た だ し,{bν(r)}は

束 縛 状 態 の 固有 関 数 系 で あ る.

 2.7.2 球 面 波 展 開  の 球 面 波 展 開 は

(2.182) で 与 え られ る[4].た

だし

(2.183) で,角

運 動 量lのCoulomb位

相 差 と よば れ る. 

は方程式

(2.184) のr=0で

正 則 な 解 で,漸 近 形

(2.185) を持 つ もの で あ る.こ の 解 も合 流 型 超 幾 何 関数 に よ って

(2.186) で 与 え られ る.   Coulombポ

テ ン シ ャ ル 下 で の 球 面 波 の 基 底 関数 は

(2.187) で あ る.こ れ に よ る 

の球面波 展開は

(2.188) で あ る.   散 乱 波 は,漸 近 形 が 進 行 波

(2.189)

で あ る(2.184)と

同 形 の微 分 方 程 式 の 解 で 記 述 され る. 

と 

の関係は

(2.190) で あ る.こ

のほかに

(2.191) を定 義 し て お くと便利 な こ とが あ る. 

と 

はr=0で

非 正則

で あ る.  の 直 交 性 か ら 直 ち に

(2.192) した が っ て 

の直交性

(2.193) が 導 か れ る.ま た,UCが

束 縛 状 態 を持 つ 場 合 に は,そ の 波 動 関 数 を付 け 加 え

れ ば 完 全 系 に な る:

(2.194)  2.7.3  Green関  Coulombポ

数

テ ン シ ャ ル 下 で のGreen関

数の座標表 示

(2.195) の球 面波展 開は

(2.196) で あ る.た

だ し, 

で あ る.ま

を さ け る た め に エ ネ ル ギ ー 分 母 で 従 来 の η を ε と 書 い た[5].

た記 号 の 混 同

式(2.196)は

η=0の

と き,よ

く知 ら れ た

に帰 着 す る. 

で あ る が,右

での漸近形 は

辺 に(2.180)と(2.182)を

使 うと

(2.197) が 得 ら れ る.た

だ し,k=kr/rで

  2.7.4  散 乱 振 幅,T行

あ る.

列

  以 上 の 準 備 の も とに,Coulomb相

互 作 用が あ る二 粒 子 チ ャ ネル 間の 反 応 の 散

乱 振 幅 を計 算 し よ う.以 下,入 射 チ ャ ネ ル α,放 出 チ ャ ネ ル β の それ ぞ れ に 対 応 す る量 を 添 え字γ=α

また は β で 表 す こ とに す る.

  まず,相 互 作 用 の 中か らCoulolnbポ

と し,ハ

テ ン シ ャ ル を抜 き出 し て

ミル トニ ア ン を

と変 形 す る.こ れ に 応 じ て,反 応 を 記 述 す る 波 動 関 数 

方程式 

に 対 す るSchrodinger

を (2.198)

と 変 形 す る.(2.198)の

一般解 は斉次方程式

(2.199) の 一 般 解 と(2.198)の

特 解 の和 で あ る.そ の 中 で,漸 近 形が α チ ャ ネル か らの

波 数kα の 入 射 波 と,開 い たチ ャ ネ ル で の外 向 き散 乱 波 の 和 で あ る,と い う境 界 条 件 を 満 たす 解 は

(2.200)

で あ る.た だ し

(2.201) で あ り,ま

た

で あ る.た

だ し 簡 単 の た め に, 

を 掛 け, 

のEを

省 い た.(2.200)の

を 左 辺 に移項 し, 

左 か ら  に注意 す る と

(2.202) が 得 ら れ る.右

辺 第1項

 に な る.ゆ

は, 

で あ る か ら,ε →0の

とき

え に βが 二 粒 子 チ ャ ネ ル で あ れ ば

ただ し

は 先 に(2.195)で

定 義 し たGreen関

の 漸 近 形 は,(2.177)お

よ び(2.197)に

数 の 座 標 表 示 で あ る.よ

っ て , 

よ り

(2.203) と な る.散

乱 振 幅fβ α(Ωβ)は

(2.204) で 与 え られ る.fβα(Ωβ)は 有 限 レ ン ジ の ポ テ ンシ ャルVβ に よ るT行

列要素

(2.205) に よ って

(2.206) で 与 え られ る.た だ し,  ポ テ ン シ ヤ ルUCβ の 効 果 は 

で あ る. 

で は,Coulomb

の 中 に繰り 込 まれ て い る.(2.204)

の 第1項

はCoulombポ

テ ン シ ャ ル だ け に よ る 散 乱 振 幅 で,弾

性 散 乱 だ け に存

在 す る.   (2.200)の

形式解 は

(2.207) (2.208) で 与 え ら れ る.(2.207), (2.92)の

Φ α を 

(2.208), で, 

(2.202)は

を 

れ ぞ れ 置 き 換 え た も の に な っ て い る.し

そ れ ぞ れ(2.87),

で,Vγ

をVγ(γ=α

た が っ て,前

加 え れ ば,そ

性 散 乱 の 振 幅 に はCoulomb散

の ま ま 成 り立 つ.す

な わ ち,あ

レ ン ジ を 持 つ か の よ う に 議 論 を 進 め,最 が わ か る.以

断

ま た は β)で

そ

互 作用が ある場合 に 乱 の 振 幅 をつ け

たか もすべ て の 相 互 作 用が 有 限 の

後 に上 記 の 置 き換 え をす れ ば よい こ と

下 の 章 で は 特 に 断 ら な い 限 り,こ

2.8 

よび

節 まで に有 限 レ ン ジ の相

互 作 用 に 対 し て 導 出 され た す べ て の 方 程 式 はCoulomb相 も こ の よ う な 置 き 換 え を し,弾

(2.88)お

の 了 解 の も と に 議 論 を 進 め る.

面

積

  2.8.1  断 面 積 の 一 般 形   以 上 の 準 備 の も とで,反 応 の 断 面 積 を計 算 し よ う.   断 面 積 の 定 義 は,1.2.3項

で 述べ た よ うに,考

え て い る事 象 が 単 位 流 束 の 入

射 粒 子 に よ って 起 こ る単 位 時 間 当 た りの 回 数 で あ る.計 算 上 は これ を(a)条 件 を満 た す 放 出 粒 子 が 単 位 時 間 当 た りに 放 出 され る 数 を 入 射 粒 子 の流 束 で 割 っ た も の,ま た は(b)そ

の 事 象 が 起 こ る単 位 時 間 当 た りの確 率 を入 射 粒 子 の 流 束 で

割 った もの,と 表 現 し て お く と便利 で あ る.入 射 チ ャ ネル α は 二 粒 子 か らな り, 入 射 波 は 先 に定 義 し た平 面 波 Φαで あ る とす る と,入 射 流 束 は(2π)-3vα で あ る.た だ しvα は 入 射 チ ャ ネ ル で の 二 粒 子 間 の 相 対 速 度 の 大 き さで あ る.   二 粒 子 チ ャ ネ ル β へ の 放 出 の場 合 は,(2.102)に

よれ ば,β チ ャ ネ ル の 放 出

波の漸近 形は

(2.209) で あ る か ら,観 測 点(rβ, Ωβ)で 微 少 立 体 角dΩ β中 に 単 位 時 間 当 た り放 出 され

る数 は

で あ る.た だ しυβは β チ ャ ネル の 二 粒 子 間 の 相 対 速 度 の 大 き さで あ る.ゆ え に,微

分 断 面 積 は 定 義(a)に

より

(2.210) で 与 え ら れ る.ま

た(2.103)に

よ る と,散

乱 振 幅fβ α(Ωβ)は 遷 移 行 列

(2.211) に よ り

(2.212) で 与 え られ る.   放 出 粒 子 の数 が3個

以 上 で あ る場 合 に は,散 乱 振 幅 の 一 般 形 を 書 き下 す こ と

が 困難 な の で,定 義(b)に

よ って 計 算 す る.そ れ に は,2.4.4項

で 述 べ た 時 間依

存 の 定 式 を用 い る のが 便利 で あ る.こ の計 算 を厳 密 に 行 うに は,LS方 入 し た 微 少 量 η →0の

との 兼 ね 合 い に つ い て細 か い 注 意 が 必 要 で あ る.こ こ で は,そ 概 略 を 説 明 す る に止 め る.詳   衝 突 は 時刻t=0の 時 刻t=-∞

程式で導

極 限 の と り方 と波 動 関 数 の 広 が りが 無 限 大 で あ る こ と

し くは,た

と えば,[2]を

の点 に つ い て は

参 照 され た い.

付 近 で 起 こ る もの とす る.α チ ャ ネル の相 互 作 用 描 像 で,

で 平 面 波 Φα(Eα)で あ った 状 態 ベ ク トルが,時

刻tで

β チ ャネ

ル 相 互 作 用 描 像 で 自由 運 動 の 平 面 波 Φβ(Eβ)に 見 い だ され る確 率 は

(2.213) で あ る.P(t)の

時 間 的増 加 率

(2.214) が 単 位 時 間 当 た りの 遷 移 確 率 で あ る.よ っ て(2.113)を

使 えば

(2.215) と な る.

  2.4.4項 で 示 し た よ うに,こ の 状 態 ベ ク トル はt=0で で あ る.さ

ら に,t=0で

一致 するか ら

, 

こ れ を(2.215)に

は 

は α チ ャ ネル の 相 互 作 用 描 像 と β チ ャ ネル の それ は で あ る.よ

っ て 

で あ る.

代 入 し,

と

を 使 え ば,(2.215)は

(2.216) と 書 け る.(2.91)を

こ れ を(2.216)に

使 うと

代入 し

を使 うと

(2.217) を 得 る.た

だ し

(2.218) で あ る.こ れ は 二粒 子 チ ャ ネル に対 して(2.104)で

定 義 したT行

列 を 一般 化 し

た もの で あ る.   さて,ω βαか ら 断面 積 を計 算す る に は,そ の物 理 的 な 意 味 を正 確 に 知 る必 要 が あ る.そ れ に は,巨 視 的 な大 き さの 体 積 Ω の 立 方 体 の 箱 の 中で,入 射 チ ャ ネ ル α の 一 対 の 反 応 粒 子 が 衝 突 す る場 合 を考 え る.断 面 積 は反 応 の 結 果,同 の 中 で,放

出 チ ャ ネル β の,与

じ箱

え られ た 条 件 を満 た すNβ 個 の 反 応 粒 子 が 各1

個 放 出 され る,と い う事 象 が 起 こ る単 位 時 間 当 た りの確 率 を入 射 チ ャネ ル の 流 束 で 割 った もの で あ る.そ の 値 は Ω → ∞ の極 限で は Ω に よ ら ない は ず で あ る.   始 状 態 の,体

積 Ω 中の 一 対 の 反応 粒 子 の 自 由な 相対 運 動 の波 動 関数 は

 で あ る.ま

た,終

状 態 で 箱 の 中 に あ る1個

 で あ る.ゆ

え に,こ

の 粒 子nの

それ は

の場合 の α チ ャネル と β チ ャネルの波動 関

数 はそれぞれ お よび で 与 え られ る.状 態 

 (2.219)

か ら Φβへ の 単位 時 間当 た りの 遷 移確 率ωβαは(2.218)

で 波 動 関 数 を それぞ れ 

お よびΦ βで 置 き換 え た もの で 与 え られ るか ら

(2.220) で あ る.各 放 出粒 子 の 運 動 量 が 幅

(2.221) の 中 に あ り,内 部 状 態 もそ の 幅 に対 応 す るあ る 範 囲 

の

中 に あ る 状 態 の ど れ かへ の 単 位 時 間 当 た りの 遷 移 確 率 ωβα は,ωβ α に こ の 範 囲 に あ る状 態 数 を掛 け た もの で あ る.よ

く知 られ て い る よ う に,上 記 の 箱 の 壁

で 周 期 的 境 界 条 件 を 満 た す 波 動 関 数 に 対 して は kの 幅Δk中 の 平 面 波 の 状 態 数   で あ る.ゆ

え に,

 

中の相対運動の状態数  

で あ る.し か し,重 心 系 で は   

を満 た して い な け れ ば な らな いか ら,

の すべ て は 独 立 で は な い.こ の 制 限 は 

入 す れ ば 取 り除 くこ とが で き,  で き る.よ っ て,求

を挿

を独 立 に 取 り扱 う こ とが

め る 断 面 積Δ σβα はωβα に こ れ ら を掛 け,{Δ βn}の 範 囲

の 中に あ る内 部 状 態 につ い て加 え,そ れ を 入射 波 

の入 射 流 束υα/Ωで 割 っ

た もの で あ る.よ っ て,

(2.222)

  た だ し,Σ (2.217)を

βintは 内 部 状 態 の 範 囲{Δ βn}に

わ た る 和 を 表す.こ

れ に(2.220),

使 うと

(2.223) を得 る.(2.223)が

任 意 の 放 出粒 子数Nβ

微 分 断 面 積 は(2.223)でΔknを

に対す る 断 面 積 の 一般 的 表 式 で あ る.

無 限小 に した もの,

(2.224) で あ る.内 部 状 態 の 与 え られ た範 囲{Δ βn}に対 して

(2.225) が0に

な ら な い範 囲 の 

は 位 相 体 積(phase

volume)と

呼 ば れ る.

  α チ ャ ネ ル か ら 始 ま る反 応 の 全 断 面 積 は

(2.226) で あ る.

  観 測 され る の が,  のす べ て で は な く,そ の 中 の い くつ か だ け で あ る 場 合 に は,観 測 され な いknの 幅Δknを 全 領 域 にす る.一 つ の 例 と し て,Nβ

番 目の 粒 子 が 残 留 核Bで,そ

れ は 観 測 され な い 場 合 を考 え よ う.こ の

と き,重 心 系 で の 微 分 断 面 積 は,(2.224)か

と な る が,こ

の 積 分 は, 

き 換 え る こ と を 意 味 す る.し

ら,

が あ る か ら,kNβ た が っ て,

を 

で置

と な る.よ

って

(2.227) と な る.rn-rBは よ う に し て,粒

  2.8.2 

粒 子nの,残 子Bに

留 核Bか

ら 測 っ た 位 置 ベ ク トル で あ る.こ

の

つ い て の 量 を 消 去 す る こ と が で き る.

二 粒 子 放 出 チ ャネ ル の 断 面 積

  例 と し て,(2.223)を 計 算 し て み よ う.こ

二 粒 子1と2か

ら な る チ ャ ネ ル に 適 用 し て,断

面積 を

の 場 合 に は,

で あ る.(2.224)は

(2.228) と な る. 

で あ る か ら,

(2.229) と な る.

と 置 く と, 

お よ び 

だか ら

(2.230) た だ し, 

は 移 行 エ ネ ル ギ ー で あ る.ま

た,

(2.231)

で あ る.た だ し, 

は β チ ャ ネ ル の 相対 速 度 で あ る.ま た,Ω β=Ωkβ

は 放 出 方 向 で あ る.(2.230)と(2.231)を(2.229)に 積(double

differential

代 入 す る と,二

重微分断面

cross section)

(2.232) が 得 ら れ る.特

に 核 の 終 状 態 が 離 散 状 態 の 一 つ で あ る と き は,β

つ い て の 和 は な く,  た(2.210),

(2.212)と

の内部状態 に

に 注 意 す れ ば,(2.232)は

先に得

一 致 し て い る こ とが わ か る.

  2.8.3  三 粒 子 放 出 チ ャ ネル の 断 面 積   次 に,放

出 粒 子 が 残 留 核 も含 め て3個

1, 2,残 留 核Bを3と

し て,Bを

で あ る 場 合 を考 え よ う.放 出 粒 子 を

観 測 しな い場 合 の,重 心 系 で の 微 分 断 面 積

(2.227)は

(2.233) こ こに

で あ る.粒

子nの

運 動 エ ネ ルギ ー は

で あ る か ら,(2.231)と

同 様 に し て,

(2.234) で あ る.こ

れ を(2.233)に

代入すれ ば

(2.235) と な る.

で あ るが, 

で あ る か ら,k1とk2の

間 の 角 を θ12と す る と

(2.236) で あ る.し E1と

た が っ て,E1,

E2,

θ12が 決 ま る と,E2が

θ12の う ち 二 つ だ け が 独 立 で あ る.た

決 ま る.こ

と え ば,

の 場 合,

で あ るか ら

よ って,粒

子1が

運 動 エ ネ ルギ ーE1で

れ と角 度 θ12の微 小 立 体 角dΩk2の

微 小 立 体 角dΩk1の

中 に,粒 子2が

そ

中 に 放 出 され る 三 重 微 分 断 面 積 は

(2.237) で 与 え ら れ る.

  2.8.4  遠 心 力 ・Coulomb障

壁

  さ て,入 射 波 を2.6節,2.7節

で 述 べ た 方 法 で 球 面 波 展 開 し て 考 え よ う.(以

下,簡 単 の た め に 添 え字 α を省 く.)入 射 粒 子 が 中性 子 で あ る場 合,そ の 波 数 kの入 射 平 面 波 の 中 の 軌 道 角 運 動 量lの 部 分 波 の 動 径 関 数 は  あ るか ら,そ れ が 核 力 に よる 相 互 作 用 の レ ンジRNま

で 到 達 す る確 率 は

で

で あ る.kRN≪1の

と き は, 

で あ る か ら,

Pl(k; RN)は

(2.238) で あ り,lが 高 い と急 速 に小 さ くな る.物 理 的 には,こ れ は そ の部 分 波 が 遠 心 力 の 障 壁 

に よ って 内 部 に入 る こ と を 阻 まれ る こ と に よ る.し

たが っ て,非 常 に低 い エ ネ ルギ ー で はl=0の

部 分 波 だ け が 反 応 に寄 与 す る.

  入 射 粒 子 に正 電 荷 が あ る場 合 に は,標 的 核 の 正 電 荷 との 間のCoulomb力

がも

う一 つ の 障 壁 に な る.こ の場 合 の角 運 動 量lの 部 分 波が そ れ を貫 通 してr=RN に 到 達 す る 確 率 は(2.186)で

与 え られ る動 径 関数 

を使 って

で 与 え られ る.   エ ネ ルギ ーが 非 常 に低 くな る と η≫1に

な る.こ の 場 合,1/η

のべ き級 数展

開の最低 次の近似 で

と な る こ と が 知 ら れ て い る.J2l+1(ζ)はBessel関 で,こ   し た が っ て,こ

数 で あ り,  れ はkに

よ ら な い[3].

の場合 には

(2.239) で あ る. 

で あ れ ば 

  し たが っ て 

で あ る か ら,

はlと 共 に 急 速 に小 さ くな る.し たが っ て,小 さい

lの 部 分 波 だ け が 反応 に寄 与 す る.   一 般 に  η≫1の

場 合 に はWKB近

を正 確 に 求 め る に は数 値 計 算 が 必 要 で あ る.し か し, 似 で 解析 的 に計 算 す る こ とが で きる[3].そ の結 果 は

(2.240)

お よ び  

で あ る.た

だ し, 

で あ る.   η≫1か

つx, y≪1で

あ る 場 合 に は(2.240)の

右 辺 をx,

yの べ き級 数 の

最低次 の項で近似すれ ば

(2.241) と な る.   以 上 い ず れ の 場 合 に も,最 も 重 要 な の はexp(-2π η)の 因 子 で あ る.そ れ はGamow因 子 と呼 ば れ て い る.E→0の と き η →∞ と な る か ら,こ の 因 子,し

たが って 断 面 積 は 非 常 に小 さ くな る.天 体 の 中 で 起 こ る核 反 応 は ほ と

ん ど こ の種 の 反 応 なの で,断

と書 き,S(Eα)を factor)と

  2.8.5 

面積 を

使 う の が 便 利 で あ る.S(Eα)は

天 体 核 物 理 因 子(astrophysical

呼 ば れ る.

断面 積 の 角 運 動 量 表 示

  二 粒 子 放 出 チ ャ ネ ル に対 す る 微 分 断 面 積 の 角 運 動 量 表 示 は,(2.210)に(2.166), (2.167),

(2.172)を

使 え ば 得 ら れ る.す

なわ ち

(2.242)

(2.243)

で あ る.   以 上 議 論 し た 断 面 積 は す べ て 入 射 ・放 出 チ ャネ ル の す べ て の 反 応 粒 子 の 内 部 状 態,特

に ス ピ ン のz成

分 の 大 き さ(向

き),を 指 定 し た 場 合 に対 す る もの で

あ る.実 際 に は,そ れ の す べ てが 測 られ る こ とは ほ と ん ど な い.ス

ピンの向 き

を まっ た く測 らな い場 合 も多 い.こ の 場 合 の 断 面積 は,も し入 射 ビ ー ム と標 的 中 の 入 射 粒 子 お よび 標 的 核 の ス ピ ン の 向 きが す べ て の方 向 に 等 確 率 で あ れ ば,上 で 求 め た 断面 積 を 入 射 チ ャ ネル の 反応 粒 子 の ス ピ ン の方 向 に対 し て平 均 し,放 出 チ ャ ネ ル の そ れ につ い て 和 を と った も ので あ る.放 出チ ャ ネ ル が 二 粒 子 チ ャ ネ ル で あ る 場 合,入 射(放

出)チ

ャ ネ ル の粒 子aとA(bとB)の

ス ピ ン のz

成 分 を μa,μA(μb,μB)の よ う に 陽 に 書 くと,そ れ は

(2.244)

で あ る.こ の 断面 積 は 入 射 方 向 に対 して 軸対 称 で あ る.aお

よび(ま た は)bの

ス ピ ンの 向 きに偏 りが あ る場 合 に は,対 応 す る断 面 積 は μαに つ い て の 平 均 お よび(ま

た は)μbに つ い て の 和 を と ら な い.そ の場 合 に は 断 面 積 は 軸対 称 で は

な い.粒 子 の ス ピ ンのz成

分 の か た よ りは偏 極,断 面 積対 称 性 か らの ず れ は 分

解 能 とい う量 で そ れ ぞ れ 表 され る.そ れ に つ い て は別 書 に 譲 る.

2.9  反

対

称

化

  波 動 関 数 は 同種 核 子 の 交 換 に 対 して 反対 称 で な け れ ば な らな い.以

下 しば ら

くの 間,陽 子 と中性 子 は 核 子 の ア イ ソ ス ピ ンの 異 な る状 態 と考 え て,こ

の交換

を 単 に 核 子 の交 換 とい うこ とに す る.こ れ まで は,波 動 関 数 は 各 複 合 粒 子 の 内 部 波 動 関 数 だ けが 反対 称 化 され て い る と して きた.全 波 動 関 数 を反対 称 化 す る に は,そ れ を異 な る複 合 粒 子 に 属 す る核 子 の 交 換 に対 し て さ ら に反 対 称 化 す れ ば よい.こ れ を 実 行 す る に は,す べ て の 粒 子 に番 号 を 付 け,異 な る複 合 粒 子 に 属 す る 核子 の番 号 を置 換 し,そ の 置 換 の 偶,奇 に 従 って符 合 を付 け れ ば よい.た とえ ば 入 射 チ ャネ ル α=a+Aに

対 し て は,そ れ は 演 算 子

で 表 され る.こ

こ に,Pα

はPα が 偶 置 換 な ら1,奇 わ た る.Nα

はa中 の 核 子 とA中 置 換 な ら-1で

の それ との 置 換 を表 し,(-1)Pα

あ る.和 は こ の よ うな すべ て の 置換 に

は そ の よ うな 置 換 の 総 数 で あ る. 

め の 係 数 で あ る.系 がN個

の核 子 か ら な り,aが

は波 動 関 数 の 規 格 化 の た α個,AがA=N-α

個の

核 子 か ら な る と きは

(2.245) で あ る.入 射 平 面 波 Φαを反 対 称 化 すれ ば,そ れ に対 応 す る全 波 動 関 数 Ψ(+)αも 反 対 称 化 され る.実 際,

に お い て,e(+)は

す べ て の 核 子 に 対 し て 対 称,よ

っ てAα

と 可 換 だ か ら,

(2.246) を得 る.し た が っ て,反 対 称 性 は 反 応 の あ い だ保 存 され る.   各 複 合 粒 子 の 中 の核 子 の 番 号 の 組 を"割 り振 り"と 呼 ぶ こ と に し よ う.一 般 に,チ ャ ネ ルγ に お い て 複 合 粒 子nの 組 

中 の核 子 が(1n,2n,…,Nn)で

あ る 場 合,

が 一 つ の 割 り振 りで あ る.従 来 は 異 な る割 り振 り

は 異 な るチ ャ ネ ル と見 な して い た.実

際,そ れ らは 配位 空 間の 異 な る チ ャネ ル

領 域 に対 応 し て い る.   反 対 称 化 され た波 動 関 数 で も,異 な る割 り振 りに対 応 す る成 分 は,観 測 が 行 わ れ る 配位 空 間の 漸 近 領 域 で は,異 な るチ ャネ ル領 域 で だ け値 が あ る.し たが って そ こ で は,異 な る割 り振 りに 対 応 す る が分 の 間 の干 渉 は な い.波 動 関数  で 記 述 され る反 応 の終 状 態 で,系 が チ ャネ ル β の あ る 一 つ の 割 り振 りに な っ て い る 確 率 は,そ

の 割 り振 りに対 応 す る Φβ とVβ に対 応 す るT行

列要素

(2.247) か ら前 項 まで と 同様 に して計 算 され る.そ の 断 面 積 の 値 は割 り振 りに よ らな い. ま た,実 験 的 に は 異 な る 割 り振 りの 断 面 積 を区 別 で きな い.し

たが って,実 験

で 測 定 され る の は 一 つ の 割 り振 りに 対 す る 断 面 積 に 割 り振 りの数Nβ もの で あ る.

を掛 け た

一方

,入 射 流 束 に つ い て も, 

中の入射 波

の各 項は独 立 に入射 流束 

に寄与 をす るが,そ れ らを実験 的に区別す る

こ とはで きないか ら,入 射流束 は  

で ある.し たが って,観

測 され る断面積 は

(2.248) と な る.た

だ し

(2.249) は 反 対 称 化 さ れ たT行 し,別

列 要 素 で あ る.も し,陽 子 と中 性 子 を別 種 の 粒 子 と み な

々 に反 対 称 化 し た場 合 に は

(2.250) で あ る.こ

こ に,

(2.251) で あ る.た

だ し,PαpとPαnは

そ れ ぞ れ 入 射 粒 子aとAの

間で陽子同士お よ

び 中性 子 同 士 を 交 換 す る演 算 子 で あ る.   特 に β が 二 粒 子 チ ャ ネ ル で あ る場 合 に は,(2.248)を

次 の よ うに 変 形 す る こ

と もで き る.

(2.252) ただ し

(2.253) [証明] 制 限 を 付 け な い 核 子 の 置換 をPと

す る と,明

らか に

で あ る.よ

って

(証 明終 わ り)   か く し て,反 T行

対 称 化 を 考 慮 し て 断 面 積 な ど を 計 算 す る に は,反

列 要 素 を 計 算 し,そ

を 計 算 し,そ

対 称 化 され た

れ を使 っ て 反 対 称 化 し な い場 合 と同 じ手 続 きで 断 面 積

れ に 入 射 ・放 出 チ ャ ネ ル の 割 り振 りに 数 の 比 を 掛 け れ ば よ い こ と

が わ か っ た.た

だ し 反 対 称 化 さ れ たT行

列 要 素 の 中 に は核 反 応 の機 構 と して 区

別 さ れ る べ き も の が 混 ざ っ て お り,そ れ らが 干 渉 す る こ と は 注 意 す べ きで あ る.

文

献

[1] B.A.Lippmann

and

[2] M.L.Goldberger

J.Schwinger,Phys.Rev.79

and

K.M.Watson,Collision

48(1950) Theory,John

Wiley

& Sons,

Inc.N.Y(1964),Chap.5 [3] モ ッ ト,マ ッセ イ 著,高

柳 和 夫,市

吉 岡 書 店(1975),上・Ⅰ,第Ⅲ [4] 笹 川 辰 弥 著,"散

村〓

共 訳,"新

版 衝 突 の 理 論",

乱 理 論"裳 華 房(1991),第10章

[5] G.R.Satchler,Direct (1983),p.284

川 行 和,島

章

Nuclear

Reactions,Oxford

University

Press,Oxford

3 光

学

模

型

3.1  光 学 模 型 の 沿 革

  核 反 応 の 第 一段 階 は光 学 ポ テ ン シ ャル に よ る散 乱 で あ る.1940年 Berkeley(ア 100MeV中 R. Serberお

メ リ カ)で 行 われ た 実 験で,広 い 範 囲 の質 量 数Aの

標 的 核 に対 して

性 子 の 衝 突 全 断 面 積 σtが 測 られ た.こ れ に対 し て,S. よびT. B. Taylor [1]は σtのA依

代 の 後 半,

Fernbach,

存 性が複合 核過程で は説明不可

能 で あ り,む し ろ,標 的 核 が 入 射 粒 子 に対 し て あ た か も屈 折 率 と吸 収 率 を持 っ た 光 学 的 媒 質 の よ うに 振 る舞 う,と 仮 定 す れ ば 説 明で きる こ と を見 出 した.こ の 模 型 は光 学 模 型(optical は,標

model)と

呼 ば れ た.量 子 力 学 的 に は,こ

の模型

的核 と入 射 粒 子 との 相 互 作 用が 複 素 一 体 ポ テ ン シ ャル で 表 され る,と 仮

定 す る こ と に相 当 す る.そ の 実 数 部 分 は 入 射粒 子 に対 す る 核 の 平 均 ポ テ ン シ ャ ル を,虚 数 部 分 は弾 性 チ ャ ネ ル の 流 束 の 一 部 が 入射 粒 子 と標 的核 内 の 核 子 と の 衝 突 で 失 われ る こ と を 表 す.実 ポ テ ン シ ャ ル の 深 さ と して 核 内核 子 のFermiエ ネル ギ ー に 核 子 の 分 離 エ ネル ギ ー を加 え た もの を,ま た 虚 数 ポ テ ンシ ャル の 深 さ とし て 入射 粒 子 と核 内核 子 との 二 体 衝 突 断 面 積 か ら評 価 し た値 を 用 い る と σt のA依

存 性 が 良 く再 現 され た.そ れ と同 時 に,上 記 二 体 衝 突 の 確 率 は 比 較 的小

さ く,入 射 粒 子 が 吸 収 され ず に平 均 ポ テ ン シ ャル の作 用 を 受 け た だ け で 核 外 に 放 出 され る確 率 が か な りあ る こ と もわ か っ た.こ れ は複 合 核 が 形 成 され ない 確 率 が 大 きい こ と を 意 味 す る.   つ い で,1950年

代 の 初 め にH. H. Barschall [2]は 同様 な 実 験 を,入 射 エ ネ ル

ギ ーEが0∼3MeVの 幅 が あ った の で,そ に な る.多

中 性 子 に対 し て行 っ た.こ の実 験 で はEに の エ ネル ギ ー 幅2Iで

くの 核 で,こ

数 百keVの

の σtの 平均 値 〈 σt〉Iが測 られ た こ と

の エ ネ ル ギ ー 領 域 に は 多 数 の複 合 核 共 鳴 に よる σtの

激 し い変 動 が あ る.し か しそ れ ら は エ ネ ルギ ー平 均 に よ って な ら され て し ま う.

そ の 結 果,〈 σt〉Iに はEとAと

と も に な だ ら か に 変 化 す る 山 谷 が 観 測 さ れ た.

こ れ を 粗 い 構 造(gross

structure)と

い エ ネ ル ギ ー 変 化,す

な わ ち 微 細 構 造(fine

 H.Feshbach,

C.E.

Porterお

性 子 の 複 素 一 体 ポ テ ン シ ャ ル,す

い う.こ

よびV.

れ は個 々の 複 合 核 共 鳴 に よ る細 か structure)に

F. Weisskopf

対 す る 呼 称 で あ る.

[3]は,こ

な わ ち 光 学 ポ テ ン シ ャ ル,に

面 積 と し て よ く再 現 で き る こ と を 見 い だ し た.彼

の粗い構造が 中 よ る散 乱 の 全 断

らが 仮 定 し た 光 学 ポ テ ン シ ャ

ル は 簡 単 な 井 戸 型 中 心 力 ポ テ ン シ ャ ル で,

 

半 径:R=1.45A1/3fm, 

深 さ:U=-42(1+0.03i)MeV 

(3.1)

で あ っ た.こ れ らの 数 値 は,計 算 結 果が 実 験 値 を 最 も よ く再 現 す る よ うに 決 め た も の で あ る.図3.1にBarschallの

実 験,図3.2に

彼 らの 計 算 値 を示 す.

  こ こ で も,ポ テ ン シ ャ ル の 虚 部 が 実 部 の わず か3%に

す ぎない ことは注 目に

値 す る.こ れ は,光 学 ポ テ ン シ ャル に よ る散 乱 だ け で 反 応 を終 わ る確 率 が 大 き い こ とを 示 す.   そ の 後,光 学 模 型 は 中性 子 だ け で な く,す べ て の 入 射 粒 子,標 的 核,入 射 エ ネ ル ギ ー に対 して 成 り立 つ こ とが わ か っ た.そ の 意 味 で,光 学 模 型 は極 め て 普 遍 的 で あ る.光 学 ポ テ ン シ ャル は 核 反 応 論 に お い て 最 も基 本 的 な量 の一 つ で あ る.

図3.1 

Barschallに A=標

よ る低 エ ネル ギ ー 中 性子(n)の

的 核 の 質 量 数, 

文 献[3]に

よ る.

平均 全 断面 積 の 〈 σt〉の 測定 値. の 波 数.

図3.2 

図3.1に

対 応 す る光 学模 型 に よ る計 算 値

光 学 ポ テ ン シ ャ ル は本 文 中 の(3.1).文

献[3]に

よ る.

3.2  光 学 模 型 と 実 測 量

  第1章

で 述 べ た よ うに,光 学 模 型 は 弾 性 散 乱 の 散 乱 振 幅fの

〈f〉Iを記 述 す る.エ ネ ル ギ ー平 均 の 幅2Iは

エ ネル ギ ー平 均

複 合 核 準 位 の 間 隔 よ りは るか に大

き く,ポ テ ン シ ャル 散 乱 の 幅 よ りは 小 さい.   fは

〈f〉Iとゆ らぎ の 振 幅,

の 和 で あ る.弾 性 散 乱 の 断 面 積 の エ ネ ル ギ ー平 均 〈σel(Ω)〉Iは〈f〉Iによ る 断 面積

(3.2) とfflに

よる 断 面 積

(3.3) の和

(3.4) で 与 え ら れ る.σse(Ω)は 合 弾 性 散 乱(compound

形 の 弾 性 散 乱(shape elastic scattering)の

elastic scattering),σce(Ω)は 断 面 積 と 呼 ば れ て い る.光

複

学模 型

で 計 算 で きる の は σse(Ω)だ け で あ る.σce(Ω)は,1.4節

で述べ た光学ポテ ン

シ ャル に よ る散 乱 か らの ゆ ら ぎの 散 乱 の 断面 積 に ほか な らな い.σce(Ω)は 系 が い っ た ん,複 合 核 を 含 む,複 雑 な 状 態 に 移 っ た の ち弾 性 チ ャ ネ ル に 戻 って くる 過 程 に対 応 す る.高 エ ネル ギ ー で は,弾 性 散 乱 チ ャ ネ ル は 多 くの 開 い た チ ャ ネ ル の 中 の 一 つ に過 ぎ な い か ら,そ の 確 率 は 非 常 に小 さい.実 際,軽 場 合 で も,入 射 エ ネ ルギ ーが 十 数MeVよ

い標的核の

り高 け れ ば,そ れ は σse(Ω)に比 べ て

無 視 で きる ほ ど 小 さい.   か くし て,あ

る程 度 以 上 の エ ネ ル ギ ーで は

で あ る こ とが わ か る.し た が って,σel(Ω)の 実 測 値 と光 学 模 型 で 計 算 され る 断 面 積 を直 接 比 較 す る こ とが で き る.こ れ は 光 学 ポ テ ン シ ャ ル を精 密 に決 定 す る 上 で 極 め て重 要 で,そ

の 最 も有 力 な 手 段 に な って い る.

  低 エ ネ ルギ ー で,σce(Ω)が 無 視 で きな い 場 合 に は そ れ を 別 に 計 算 して お き, そ れ と σse(Ω)と の 和 を実 験 と比 較 す る.複 合 核 統 計 模 型 に よれ ば,σce(Ω)も また 光 学 ポ テ ン シ ャル を使 って 近 似 的 に計 算 で きる か ら,こ の 場 合 に も光 学 ポ テ ンシ ャル が わ か れ ば 弾 性 散 乱 の 断 面 積 が 計 算 で き る こ とに な る.光 学 ポ テ ン シ ャル の 決 定 に は,こ

の よ うな 手 続 きを とる こ とに な る.

  一 方,光 学 定 理(2.145)に

よれ ば,全 断 面 積 σtは弾 性 散 乱 の 前 方 散 乱 の振 幅

f(0)に よ っ て

で 与 え られ る.kは

入 射 波 の 波 数 で あ る.こ の 式 の 両 辺 を エ ネ ルギ ー 平均 すれ ば

(3.5) と な る.す な わ ち,〈 σt〉Iは平 均 散 乱 振 幅 〈f(0)〉Iだけ の 関 数 で あ る.し たが っ て,そ れ は 光 学 模 型 に よっ て 計 算 で きる.こ れ がFeshbachら 断 面 積 の エ ネ ル ギ ー 平均 値 を再 現 した 根 拠 で あ っ た.   全 反 応 断 面 積 σrの エ ネ ル ギ ー平 均

が光学模 型で全

は 〈f〉Iだ け で 書 く こ と は で き な い.し

か し,(3.4)を

使 えば

で あ る か ら,

(3.6) は 光 学 模 型 で 計 算 で きる.こ の 式 の最 右 辺 は,光 学 ポ テ ン シ ャル に よる 形 の 弾 性 散 乱 以 外 の 反 応 の 全 断 面 積 に等 し い.も

し,そ の 反 応 が す べ て 複 合 核 過程 に

よ る もの で あ れ ば,σcは 複 合 核 を 形 成 す る断 面 積 に ほ か な ら な い.そ こで,σc は 複 合 核 形成 断 面 積(compound

nucleus formation

cross section)と

呼ばれ

る.複 合 核 模 型 に よれ ば,低 エ ネ ル ギ ーの 共 鳴 領 域 で,軌 道 角 運 動 量l=0の 中性 子 に対 す る σcは

(3.7) で 与 え ら れ る(6.3節).た

だ し,sは

Γelの 比 の 平 均 値 〈 Γel/D〉Iに

複 合 核 の 準 位 間 隔Dと

弾性散乱 の部分幅

よって

(3.8) で与 え られ,強 度 関 数(strength function)と 呼ば れ る.共 鳴 領 域 で はDと したが って 強 度 関数 は 直接 観 測 で きる.し た が って,(3.7)に

よっ て,σcを 通 じ

て光 学模 型 の 計 算 値 と比 較 す る こ とが で き る.Feshbachら[3]は0エ の 中性 子 に対 す る強 度 関 数 のA依 A∼100の

Γel,

ネ ルギ ー

存 性が 先 に 述べ た 光 学 ポ テ ン シ ャル を用 い て

辺 りを 除 い て よ く再 現 で き る こ と を示 した.A∼100の

辺 りの不 一致

は標 的核 の 殻 構 造 と 関係 す る 特 殊 事 情 に よる もの で あ る.

3.3  光 学 ポ テ ン シ ャ ル の 概 観

 光学 ポテ ンシャル

(3.9) は 核 力 に よ る実 ポ テ ン シ ャルV,虚 ルVCか

ら な る.Vの

ポ テ ン シ ャルiWとCoulombポ

主 な部 分 はaの

の ポ テ ン シ ャル の,aとAの

中 の 核 子 とAの

テ ンシャ

中 の 核 子 と の相 互 作 用

基 底 状 態 に 対 す る 期 待 値 で あ る.こ れ は 畳 み 込

み(folding)ポ テ ン シ ャル と呼 ば れ る.入 射粒 子 はVの

中 を運 動 し て い る 間 に

各 点 で あ る確 率 で 標 的核 を励 起 し,そ の分 だ け 弾 性 散 乱 チ ャネ ル の 流 束 が 減 少 す る.そ れ は あ た か も入射 波 が 核 内 の 各 点 で 核 媒 質 に よっ て 吸 収 され る よ うに 見 え る.iWは

こ の"吸 収"に 対 応 す る.

  実 際,光 学 模 型 の 波 動 関数 を ψ とす る と,そ れ に対 応 す るSchrodinger方

程

式は

で あ る.こ

れ か ら 空 間 の 各 点 で の 流 束F=-(ih/2μ)(ψ*∇

ψ-ψ

∇ ψ*)に 対

して

が 直 ち に 導 け る.ゆ え にW<0な

ら,右 辺 は 負 だ か ら,流 束 は そ こで 吸 収 さ

れ る.   Uは 入 射 粒 子aと 標 的核Aの 相 対 座 標r,運

動 量p,軌

種 類 お よび 入射 エ ネルギ ー の 関数 で,aとAの

道 角 運 動 量l,そ

れ ぞ れ の ス ピ ンsa,sAな

どの演

算 子 か らな る.そ れ ら の 量 を ど の よ うな 形 で 含 むか は,光 学 ポ テ ン シ ャ ルが 空 間 の 回転,反

転,時

間 の 反 転 な ど に対 し て 不 変 で あ る とい う条 件 に よ っ て 制 約

され る.そ れ ら の 条件 を 満 た す 組 み 合 わ せ の例 は

な ど で あ る.実 際 に は,こ れ らの 中 の 少 数 の も の だ けが あ る こ とが 多 い.た え ば,ス ピ ンsa=0の sa=1/2の

入 射 粒 子 に対 し て はsaに

粒 子 に 対 して はsaに

つ い て2次

と

依 存 す る演 算 子 は な い.ま た,

の 演 算 子 は な い.

  例 と して,核 子 に対 す る 光 学 ポ テ ン シ ャル と し て 最 も広 く使 わ れ て い る もの の 形 を 示 す と,

(3.10) の よ う に な っ て い る.そ も の が 多 い.(3.10)に

の ほ か の 入 射 粒 子 に対 す る もの もこの 形 に準 じて い る お い て,rは

相 対 軌 道 角 運 動 量 σ=2saで

入 射 粒 子 と 標 的 核 の 重 心 の 相 対 座 標,lは

あ る.(3.10)の

2項 は 虚 数 部 分 で あ る.図3.3はV(r)+VC(r)とW(r)の

第1項

は 中 心 力 の 実 数 部 分,第 概 念 図 で あ る.

図3.3 

  図3.3に

低 エ ネル ギ ー陽 子 に対 す る 光 学 ポ テ ン シ ャル の 概 念 図

見 ら れ る よ う に,光

そ の 外 側 に はVC(r)に   (3.10)の

第3項

学 ポ テ ン シ ャ ル の 表 面 の 内 側 はV(r)に

よ る 斥 力 の 壁 が あ る.こ

は ス ピ ン 軌 道 結 合 力 で,ス

最 も 重 要 な も の で あ る.こ

よ る 引 力,

の 壁 がCoulomb障

壁 で あ る.

ピ ン に 依 存 す る ポ テ ン シ ャル の 中 で

の 力 は ポ テ ン シ ャ ル の 表 面 付 近 に 局 在 し て い る.l・sA

に 比 例 す る 項 は 普 通 無 視 す る.(h/mπC)は し た が っ て, 

パ イ オ ン のCompton波

で あ る.こ

長〓1.4fm,

の 係 数 はVso,Wsoが

エ ネル ギ ー

の 次 元 を 持 つ よ う に す る た め に 便 宜 的 に 付 け た パ ラ メ タ ー で あ る.こ 軌 道 結 合 力 の ほ か に,弱 比 例 す る,い 子(た

的 核 の ス ピ ン に 依 存 す るsa・sAに

わ ゆ る ス ピ ン ・ス ピ ン 力 の 存 在 も 知 ら れ て い る.ス

と え ば 重 陽 子)に

在 し,偏

い 力 で は あ る が,標

対 し て は,ス

極 量 に 重 要 な 影 響 を 与 え る.α

のス ピン

ピ ン の2次

の,い

粒 子 の よ う な,ス

ピ ン が1の

粒

わ ゆ るテ ン ソル 力 も存 ピ ン0の

粒 子 に対 し

の 中 で の 波 数 は 複 素 数ｋ=k0+ik1で

あ る.

て は 無 論 こ の 項 は な い.   虚 数 ポ テ ン シ ャ ル が あ る と,そ 運 動 エ ネ ル ギ ー はh2k2/2mだ

か ら,

で あ る.簡 単 の た め に ス ピ ン軌 道 結 合 力 を 無 視 して 

と

お く と,

(3.11)

が 得 られ る.こ れ が 吸 収 に よる振 幅 の 減 少 率 を与 え る.そ れ は 

に比 例 し て

大 き くな るか ら,重 い 入 射粒 子 ほ ど 強 く吸 収 され る.   理 論 的 に は,光 学 ポ テ ン シ ャル は 空 間座 標 に 関 して 非 局 所 的,す な わ ち波 動 関 数 ψ に働 く積 分 演 算 子

(3.12) で あ る こ とが 予 想 され る.し か し実 際 に は ほ とん ど の 場 合,そ やlの2次

れ をた か だ かp

のべ き を含 む局 所 ポ テ ン シ ャル で 代 用 す る こ とが で きる.こ れ を等

価 局 所(equivalent

local)ポ テ ン シ ャル とい う.上 記 の 核 子 に対 す る光 学 ポ テ

ン シ ャル は 何 らか の 非 局 所 ポ テ ン シ ャル の等 価 局 所 ポ テ ン シ ャル で あ ろ う と考 え られ る.

3.4  光 学 ポ テ ン シ ャル の 探 索

  光 学 ポ テ ン シ ャル は 入 射 粒 子 と標 的核 の種 類 に よっ て異 な り,入 射 エ ネル ギ ー に よ って 変 化 す る.実 験 的観 測 か ら光 学 ポ テ ン シ ャル を決 め るに は 次 の よ うに す る.ま ず,物 理 的 お よび 理 論 的 考 察 に 基づ いて,光 学 ポ テ ン シ ャル の 各 成 分 に 対 し て い くつ か の 調 節 可 能 な パ ラ メタ ー を 含 む 関 数 形 を仮 定 す る.パ ラ メ ター の値 は,実 験 で 観 測 され る い ろい ろ な物 理 量 に 理 論 的 計 算 値 が 最 も 良 く合 う よ うに 決 め る.実 験 と理 論 の 一 致 の 程 度 は

(3.13) の 大 き さで 表 され る.こ

こ にxi,i=1∼NはN個

分 断 面 積 の 値 な ど),Δxiは

そ の 実 験 誤 差,yiは

の 実 験 値(各

散 乱 角 で の微

そ れ に対 応 す る理 論 値 で あ る.

xiは 実 測 値 そ の もの で な くて も,理 論 と比 較 で きる値 な ら何 で も よい.た ば,荷

電 入 射 粒 子 に対 して は微 分 断 面 積 の 実 測 値 とRutherford散

と の比(Rutherford比

とえ

乱 の 断面 積

と呼 ば れ る)を 使 う のが 普 通 で あ る.微 分 断 面 積 は 散

乱 角 が 大 きい と非 常 に小 さ くな るの で 取 扱 い に不 便 だ か らで あ る.そ の いず れ にせ よ,x2が

小 さい ほ ど,実 験 誤 差 の 範 囲 内で,一 致 は よ い と判 断 され る.光

学 ポ テ ン シ ャ ル の パ ラ メ タ ー はx2を

最 小 にす る とい う条 件 で 探 索 され る.こ

の パ ラ メ タ ー探 しは 計 算 機 に 自動 的 に行 わせ る のが 普 通 で あ る.こ れ は 自動探

索(automatic

search)と 呼 ば れ て い る.自 動 探 索 に よ っ て 到 達 し たx2の

値が

期 待 し た ほ ど小 さ くな い場 合 に は,仮 定 し た ポ テ ン シ ャル の 形 が 不 適 当 で あ っ た と判 断 し,ポ テ ン シ ャル の形 を 変 え て 再 び 自動 探 索 を行 い,最 べ きx2の

終 的 に満 足 す

値 が 得 られ る まで こ の操 作 を繰 り返 す.こ の よ うに し て,光 学 ポ テ

ン シ ャル の 形 とパ ラ メ ター の 値が 決 ま る.   時 と して,自 動 探 索 の 結 果 が 一 意 的 で な い こ とが あ る.こ れ に は2種 類 の場 合 が あ る.一 つ は,い

くつ か の パ ラ メ ター の組 が 一 定 の 条 件 を 満 た す 限 り,x2

が そ の組 の 中の 個 々 の パ ラ メ ター の 値 に よ ら な い場 合 で あ る.た テ ン シ ャル の 深 さVと V,Rに

そ の 半 径Rのn乗

の積

 

と えば,実

ポ

が 一 定 だ と,x2は

は よ らな い 場 合 が あ る.ま た 吸 収が 強 い 場 合,ポ テ ン シ ャル の 内部 が

ど うで あ って も結 果 に ほ とん ど影 響 を与 え な い こ とが あ る.こ の よ う な不 定 性 は 連 続 的 不 定 性 と 呼 ば れ て い る.も と えば2倍

う一 つ は,深

さの パ ラ メ ターが 非 常 に(た

程 度 も)違 う い くつ か の 値 に対 し て,x2が

ほ ぼ 等 しい 場 合 で あ る.

これ を離 散 的 不 定 性 とい う.こ れ らの不 定 性 を 除 くに は,散 乱 角 の 領 域 を広 げ る な ど し て 実 験 デ ー タ を増 や す こ とが 必 要 で あ る.   ポ テ ン シ ャル の 選 定 に は,単 に機 械 的 にx2を

最 小 に す るの で は な く,物 理 的

に 合 理 的 な もの を選 ば ね ば な らな い.む

し ろ場 合 に よ って は,こ の 条 件 の 方 が

重 要 で あ る とす ら い え る.た

つ の 入 射 粒 子 に 対 す る光 学 ポ テ ン シ ャ

ル は 入 射 エ ネ ルギ ーE,標 な 変 化 は 別 と して,緩

とえ ば,一

的核 の 陽子 数Z,中

性 子 数Nと

共 に,局 所 的 な小 さ

や か に変 化 す る と考 え る のが 合 理 的で あ る.そ

入 射 粒 子 につ き,E,Z,Nの

こで,各

一 定 の 範 囲 内で 実 験 値 を,個 々の 場 合 にx2を

に 最 小 に し な い に せ よ,全 体 的 に 最 も良 く再 現 し,パ

真

ラ メ タ ーがE,Z,Nの

緩 や か な 関 数 で あ る よ う な ポ テ ン シ ャルが 求 め られ る.そ れ が 広 域 光 学 ポ テ ン シ ャル(global optical potential)で あ る.   以 下 に,入 射 粒 子 が 核 子,重 あ る場 合 に つ い て,実

 (a)  核

陽 子,t,3He,α

粒 子,6Li以

上 の 重 イ オ ンで

際 の光 学 ポ テ ン シ ャ ル を概 説 す る.

子

  陽 子 と 中性 子 に対 す る光 学 ポ テ ン シ ャル は最 も広 範 に 詳 し く研 究 され て お り, い くつ か の広 域 光 学 ポ テ ン シ ャル も知 られ て い る.   E<200MeVで

は

(3.14) の 形 を し て い る.た

だ し

(3.15) (3.16) (3.17) で あ る.f(x)はWoods-Saxon型,g(x)はWoods-Saxonの れ る.Riを

半 径,aiを

微 分 型 と呼 ば

デ ィ フ ユ ー ズ ネ ス ・パ ラ メ タ ー(diffuseness

と い う.虚 数 部 分 は 体 積 全 体 に 分 布 す るWoods-Saxon型 す る 表 面 に 局 在 す る 部 分 か ら な る.VC(r)は ポ テ ン シ ャ ル で あ る.そ

parameter)

の 部 分 と,g(x)に

比例

入 射 粒 子 と 標 的 核 の 間 のCoulomb

れ は 入 射 中 性 子 に 対 し て は0,陽

子 に 対 し て は 普 通,一

様 に帯 電 した 球 に よる

(3.18)

を 仮 定 す る.RCはCoulomb半   V(r)の

深 さ はEが

径 と 呼 ば れ る.ま

で あ る.

増 す と と も に 単 調 に 減 る. 

型 の ポ テ ン シ ャ ル に 近 く,E<0に た だ し,束

た 

縛 状 態 のFermiエ

で は,V(r)は

殻 模

外 挿 す る と ほ ぼ 連 続 的 に そ れ に つ な が る.

ネ ル ギ ー の 近 傍 でEに

対 して 非 単 調 的 な変 化 を

す る.  E>200MeVで くな る.rが ン シ ャ ル,た

は,V(r)がWoods-Saxon型 小 さ い と こ ろ で 浅 く な っ た,い

で は もは や 実 験 を再 現 で きな わ ゆ る 酒 瓶(wine

bottle)型

のポテ

とえ ば

が 必 要 で あ る.斥 力 部 分 はEと 表 面 で は 引 力 に な る.

と もに 増 大 し,や が てV(r)は

中 心 部 が 斥 力,

  W(r)は

低 エ ネ ル ギ ー で は 表 面 部 分 が 圧 倒 的 で あ る が,エ

に 従 っ て 表 面 部 分 が 減 り,つ   以 下 に,い で は,エ

  (A)核

く つ か の 場 合 に つ い て の 広 域 ポ テ ン シ ャ ル の 具 体 例 を 示 す.以

ネ ル ギ ー の 単 位 はMeV,長

に 限 り,特

ネル ギ ー が 上 が る

い に は 体 積 型 に な る.

に 断 ら な い 限 りEは

さ の 単 位 はfmで

た,以

下 の公 式

実 験 室 系 で の エ ネ ル ギ ー を 表 す.

子,40
  形 は(3.14).パ

あ る.ま

場 合[4].

ラ メ タ ー の 値 は 次 の 通 りで あ る.

た だ し,RC=1.238A1/3+0.116.ま

た,陽

子(中

=0),ε=(N-Z)/A(ε=-(N-Z)/A)で

性 子)に

あ る.ま

対 し てz=1(z

た,

ただ し (陽 子) (中 性 子)

で あ る.図3.4に,こ   (B)陽

子,1p殻

  た だ し,こ

の ポ テ ン シ ャ ル に よ る 実 験 値 の 再 現 の 一 例 を 示 す. 核(6Liか

の 項 で はEは

  形 は(3.14)でasorをrsoA1/3に

ら16Oま

で), 

の 場 合.

重 心 系 の エ ネ ル ギ ー を 表 す[5]. 換 え た も の.パ

ラ メ ター の 値 は

下

図3.4 

65MeVで

の(p,p)の

微 分 断 面 積 の 実 測 値 と広 域 光 学 ポ テ ン

シ ャ ル に よ る 計 算 値 と の 比 較.文 [実 測 値 はH. T.

Noro,

Phys.

Sakaguchi,

Rev.

F. Ohtani, C

26

M. H.

944

Nakamura,

Sakamoto, (1982)に

H. よ る]

献[4]に K. Ogawa

よ る.

Hatanaka, and

A.

Goto,

S. Kobayashi,

(C)核

子,A>53,10<E<80の

形 は(3.14).パ

ΔVCは

場 合[6].

ラ メ ター の値 は

中 性 子 に 対 して は0,陽

子に対 しては

 と0の 大 き い 方 た だ し,ΔWC=0(中

  ΔVC,ΔWCは Coulomb斥

性 子)ま

た は-1.30(陽

陽 子 に 対 す るCoulomb補

子)

正 項 と よば れ る.そ

れ は,核

の

力 に よ り陽子 の核 内 で の運 動 エ ネ ルギ ー が 減 少 し,そ れ に よっ て ポ

テ ン シ ャ ル の 深 さが 変 化 す る こ とに対 す る 補 正 で あ る.実 ポ テ ン シ ャ ル の深 さ は エ ネ ルギ ーが 減 る と増 え るか らΔVC>0で 逆 で あ る か らΔWC<0で

あ る.

あ り,虚 ポ テ ン シ ャル の 深 さ は

 (D)陽 子,80<E<180の

場 合[7] .

( 

た だ しCaに

対 し て は180)

(E>130)

 (E)非 局 所 型 ポ テ ン シ ャ ル   (3.12)の

よ う な,非

局 所 型 の 大 局 的 光 学 ポ テ ン シ ャ ル が,1∼25MeVの

子 に 対 し て 与 え ら れ て い る[8].そ

中性

れ は

(3.19)

の 形 を し て い る.β UN(r)の

で あ る.こ

は 非 局 所 性 の レ ン ジ と 呼 ば れ,β=0.85が

用 い ら れ て い る.

パ ラメターは

の ほ か に(3.14)の

そ の パ ラ メ ター は

形 の 局 所 型 の ス ピ ン 軌 道 結 合 ポ テ ン シ ャ ル が あ る.

で あ る.こ の ポ テ ン シ ャル は上 記 の エ ネル ギ ー 範 囲 でEに テ ン シ ャル は次 式 を満 た す 局 所 ポ テ ン シ ャルUL(r)で

依 存 しな い.こ の ポ

中心 力 部 分 を 置 き換 え た

もの と 同 じ散 乱 振 幅 を与 え る こ とが 証 明 で きる.

(3.20)   UL(r)がUN(r)の

等 価 局 所 ポ テ ン シ ャ ル で あ る.

 (F)相 対 論 的 光 学 ポ テ ン シ ャ ル[9]  こ の 模 型 で は,核

子 はDirac方

程式

(3.21) を 満 た す と仮 定 す る.た 列,pは

運 動 量,USは

だ し,α=(α1,α2,α3),

β はDiracの4行4列

一 体 の ス カ ラ ー ポ テ ン シ ャ ル,U0は

テ ン シ ャ ル の 時 間 成 分 で あ る.xは4成

の行

同 じ くベ ク ト ル ポ

分 を持 つ 波 動 関数

お よび

で,正

エ ネ ル ギ ーE>0に

(3.21)か

らxLを

対 し て は,xU(xL)が

大 きい(小

さ い)成

分 で あ る.

消 去 し,

と お く と,φ

は 次 のSchrodinger型

を 満 た す.た

だ し,

の方程式

(3.22)

S. Hamaら

の 探 索[10]で

は,Us,U0に

は 次 の 形 を 仮 定 し た:i=sま

た は0

に対 して

  た だ し,fSWS(r,R,a)は

で あ る.i=s,0に

対 称Woods-Saxon型

関数

対 す るV(i),W(i)v,W(i)s,RiR,Riv,Ris,aiR,aiv,aisと

ぞ れ ぞ れ がA1/3と1/Eの

多 項 式 な ど で あ る と仮 定 し て,そ の 係 数 を 含 む42

個 の パ ラ メ タ ーが 探 索 され た.そ あ り,そ れ らのE依

λの

の結 果 は,Usが

強 い 引 力,U0が

強い斥力で

存 性 は 弱 い,と い う こ と を示 す.ま た,そ れ らか ら導 か れ

る 等 価Schrodinger方 程 式 の ポ テ ン シ ャルVeffに は 二 つ の 大 き な特 徴 が あ る. 一 つ は 実 験 の偏 極 量 な ど を説 明 す るの に ち ょ うど よ い ス ピ ン軌 道 結 合 力 が 自動 的 に 現 れ る こ とで あ る.ス ピ ン軌 道 結 合 力 を 特 に付 け加 え る必 要 は な い.も う 一 つ はV effが か な り強 い エ ネル ギ ー 依 存 性 を持 ち,先 に 述 べ た非 相 対 論 的光 学 ポ テ ン シ ャル のWoods-Saxon型

か ら酒 瓶 型 な い し 中心 斥 力 型 へ の 移 行 が 自動

的 に 再 現 され る こ とで あ る.相 対 論 的 光 学 模 型 は 数 百MeVの

核子散乱 におい

て,非 相 対 論 的 模 型 に 比 べ て 簡 単 に偏 極 量 の 記 述 に 成 功 し て い る とい え る.

  (b) 重

陽

子

  重 陽 子 の 光 学 ポ テ ン シ ャル は核 子 と同 型 で あ る.実 ポ テ ン シ ャル の 深 さVは 核 子 の 場 合 の2倍 弱 で あ る.重 陽 子 の ス ピ ンが1な ほ か に,テ

必 要 で あ る こ とが 知 られ て い る.そ れ に は 次 の3種

た だ し,r,p,lは

そ れ ぞ れ 座 標,運

  広 域 ポ テ ン シ ャ ル は  [11].

の で,ス

ピ ン軌 道 結 合 力 の

ン ソル 型 の ス ピ ン依 存 力 が あ り,あ る 種 の 偏 極 量 の 再 現 には そ れ が 類 が あ る.

動 量 お よ び 角 運 動 量 ベ ク トル で あ る. に対 し て 知 られ て い る

  そ れ は(3.14)と

同 じ形 を し て い る.た だ し,σ を重 陽子 の ス ピ ンSで 置 き換

え ね ば な ら な い.テ の 場 合 の み)は

ン ソ ル力 は 含 まな い.パ

次 の通 りで あ る.Eは

ラ メ タ ー の値(非

相 対 論 的運 動 学

実 験 室 系 の エ ネ ル ギ ーで あ る.

た だ し,

で,Miは

魔 法 数(8, 20, 28, 50, 82, 126)で

あ る.Vの

大 き さ は 核 子 の 場 合 の 約2

倍 で あ る こ と が わ か る.   重 陽 子 は 陽 子 と 中 性 子 が 非 常 に 弱 く結 合 し た 粒 子 な の で,散 に 状 態 を 変 え る(5.3.3項

参 照).上

乱 の 途 中で 容 易

記 の ポ テ ン シ ャル に は この 効 果 も組 み 込 ま

れ て い る と 考 え ね ば な ら な い.

 (c)  t, 3He   こ れ ら の 入 射 粒 子 に 対 し て は 広 域 ポ テ ン シ ャ ル は 知 られ て い な い.し な く と も数 十MeVま

で は(3.14)と

は 核 子 の 場 合 の 約3倍

弱(∼110MeV)で

が あ る.ま

た,標

的 核 のAと

同 形 で 十 分 で あ る.実

シ ャ ルW(r)は

共 に わ ず か に 増 え る.こ

値 も 同 様 で あ る.し

い.ま

た,積

分 

の 形 は(3.14)と

れ は 対 称 ポ テ ン シ ャル

子 の 場 合 と 同 じ く,RR=rRA1/3

か しaRは

表 面 型 で あ る と され て い る.特

ン シ ャ ル で あ る.そ

ポ テ ン シ ャ ル の 深 さV

弱 い エ ネ ル ギ ー 依 存 性 ∼(1-0.0015E)

∼15ε の た め と解 釈 さ れ て い る .半 径 は,核 で 与 え ら れ,rRの

か し,少

大 き い 傾 向 が あ る.虚

ポテ ン

徴 的 な の は ス ピ ン軌 道 結 合 ポ テ

同 じ で よ い が,asoが〓0.2と 異 常 に 大 き い[12].

極端に小 さ

  (d) α

粒

子

  α 粒 子 が 標 的 核 の 内部 に 入 る と さ まざ まな 非 弾 性 過 程 に よ っ て 弾 性 チ ャネ ル の 波動 関 数 は 強 く吸 収 され る.し た が っ て,核 内 部 で の 光 学 ポ テ ン シ ャル の詳 し い様 子 を知 る こ と は 難 しい.そ

の た め,ポ

下 の 入 射 エ ネル ギ ー で は,連 続 的 不 定 性,と

テ ン シ ャル の 内 部 は ∼40MeV以 きに は 離 散 的不 定 性 が あ る.

  核 の 内部 を通 過 す る粒 子 は 強 く吸 収 され るか ら,そ の よ うな粒 子が 主 と して寄 与 す る大 きな 散 乱 角 の 散 乱微 分 断 面 積 はRutherford散

乱 よ りは るか に小 さ くな

るのが 普通 で あ る.し か し,と き とし て散 乱 角が180° で もRutherford散

乱 と同

じ程 度 に 強 く散 乱 され る,と い う特 異 な現 象 が あ り,異 常 大 角 散 乱(anomalous large angle scattering)と

呼 ば れ て い る.た

とえば, 

で の40Ca

に よ る散 乱 で そ れ が 見 られ る.こ れ は,核 表 面 付 近 で 反 射 され る波 と核 の 内 部 まで 進 入 して か ら反 射 され る波 の 干 渉 と し て理 解 され て い る[13].こ

れが 起 こ

るた め に は 小 角 運 動 量 の 部 分 波 の 比 較 的 弱 い吸 収 と,Woods-Saxonの2乗

型

の 実 ポ テ ン シ ャル を仮 定 す れ ば よい こ とが 知 られ て い る.   80MeV以

上 で は,大

きな 散 乱 角 の 精 密 な実 験 デ ー タの 解 析 に よ っ て 離 散 的

不 定 性 は取 り除 か れ,(3.14)と 知 られ て い る[14].そ

同 様 なWoods-Saxon型

の広 域 ポ テ ン シ ャルが

の パ ラ メ ター の 値 は 次 の 通 りで あ る.E>80MeVは

実

験 室 系 の エ ネ ル ギ ーで あ る.

 V中のZ/A1/3に す るΔVCと

比 例 す る 項 は,核 子 の 広 域 ポ テ ン シ ャル(C)の

同 様 なCoulomb補

正 項 で あ る.Vは,核

る.虚 ポ テ ン シ ャル は 体 積 型 で,そ

の 深 さWvは

さ ら に α粒 子 の 質 量 は核 子 の そ れ の4倍

陽 子 に対

子 の 場 合 の4倍

弱で あ

核 子 の 場 合 の 約4倍

で あ る.

で あ る.し たが っ て,(3.11)に

ついて

述 べ た理 由 で,α 粒 子 は 核 子 に比 べ て は るか に 強 く吸 収 され る こ と に な る.

  (e)重

イ オ ン

  重 イオ ン同 士 の衝 突 で は,ポ テ ン シ ャル 内部 で の吸 収 は α粒 子 の 場 合 よ りさ ら に 強 い.そ

の散 乱 の 角 分 布 は 黒 い 円盤 に よ る 光 の 回折 像 と似 た 特 徴 を示 す.

しか し,Coulomb力

に よる斥 力 と核 力 に よる 引 力 の 作 用 は 重 要 で あ るか ら,単

な る 黒 色 円盤 に よる 回 折 とは 異 な り,そ れ ら の ポ テ ン シ ャル の作 用 に よ る 干 渉 模 様 も観 測 され て い る.   広 域 ポ テ ン シ ャル は 知 られ て い な いが,前 節 で 述 べ た(二 重)畳 み 込 み ポ テ ン シ ャル(double-folding る[15].こ

potential)が

の 模 型 で は,核1と2の

で 与 え ら れ る,と

す る.こ

広 い範 囲で 有 効 で あ る こ とが 知 られ て い

散 乱 に対 す る光 学 ポ テ ンシ ャル の 実 数 部 が

こ に,ρi(ri),i=1,2,は

で 規 格 化 され て い る.Niは

衝 突 す る核 の 密 度 で

核i中 の核 子 数 で あ る.r12=r+r1-r2は1と

2の 重 心 の 相 対 座 標 がrで あ る と きの,そ れ ぞ れ の 中 に あ る 二 核 子 の 相 対 座 標 で あ る.υ(r12)は

そ の と きの二 核 子 間 の相 互作 用 ポ テ ン シ ャル で あ る.

  二 核 子 間 の 相 互 作 用 は,そ れ らが 置 か れ て い る状 況 に 依 存 す る と思 わ れ る. υ(r12)は 二 核 子 が そ れ ぞ れ の核 内 に 束 縛 され て い る と きの 相 互 作 用 で あ る.そ れ に つ い て は,次 章 で 詳 し く述 べ る.実 際 の畳 み込 み ポ テ ンシ ャル の 計 算 で は, M3Y

G行 列 と呼ば れ る有 効 相 互 作 用[16]が 使 わ れ た(4.2.5項).さ

テ ン シ ャ ル-Jδ(r12))を 入 れ られ た.Jは

ら に,擬 ポ

付 け 加 え る こ とに よ って 二核 子 間 の 交 換 の 効 果 を 取 り

二 核 子 系 の ス ピ ン,ア イ ソ ス ピ ン に 依 存 し,エ

弱 く依 存 す る定 数 で あ る.重

ネル ギ ー に も

イオ ン 間の 光 学 ポ テ ンシ ャル に は こ の よ うに して

計 算 され たV(r)に,Woods-Saxon型

の 虚 数 ポ テ ン シ ャルW(r)を

そ の 深 さを 実 験 に合 う よ うに 決 め た.か

付 け 加 え,

くし て 求 ま った 光 学 ポ テ ン シ ャ ル は 広

い 範 囲 の 重 イ オ ン散 乱 の 記 述 に 成 功 し た.   顕 著 な例 外 は6.7Liと9Beで,実

ポ テ ン シ ャル の 計 算 値 は2倍

ほ ど 深 す ぎ る.

これ は,そ れ らの 原 子 核 が 非 常 に弱 く束縛 され て い る こ とに よる(5.3.3項).こ の た め,散 乱 の 途 中 で 核 がvirtualに み 込 み ポ テ ン シ ャ ル で は 表 せ な い.

分 解 す る過 程 が 重 要 で,そ れ は 簡 単 な 畳

3.5  非 局 所 ポ テ ン シ ャ ル と 等 価 局 所 ポ テ ン シ ャ ル

光 学 ポ テ ン シ ャル は,次 節 で 述 べ る よ うに,本

で,Schrodinger方

来 非 局 所 ポ テ ン シ ャル

程 式

(3.23) は 微 積 分 方 程 式 で あ る.し か し,実 際 に よ く使 わ れ るの は現 象 論 的 に 決 め られ た 局 所 ポ テ ン シ ャ ルUL(r)で,(3.23)は

(3.24) で 置 き 換 え ら れ る.ψL(r)は は 等 価 局 所(equivalent

ψ(r)と

local)ポ

  与 え ら れ たUNLに

同 じ く弾 性 散 乱 を 正 し く記 述 す る.UL(r)

テ ン シ ャ ル と 呼 ば れ る.

対 し て,UL(r)は

一 意 的 で は な い.最

も簡単 な の は

(3.25) で あ る.こ

れ が(3.24)を

満 た す こ と は(3.23)か

ル は 自 明 に 等 価 な(trivially れ は 分 母 の ψ(r)の

equivalent)非

ら 明 白 で あ る.こ

のポテ ンシャ

局 所 ポ テ ン シ ャ ル と 呼 ば れ る が,そ

変 動 に よ っ て 不 規 則 的 に 変 動 し,現

象 論 的 に 求 め られ た滑

ら か な ポ テ ン シ ャ ル と は 程 遠 い.   近 似 的 で は あ る が,よ ギ ー 近 似(local

energy

り現 実 的 なUL(r)を approximation,

の 非 局 所 性 が 小 さ い こ と,す け0で

な い こ と,を

ル(3.19)の   U(r,r')の

LEA)が

な わ ちU(r,r')は

基 礎 に し て い る.実

求 め る 方 法 の 一 つ に局 所 エ ネル

際,前

非 局 所 性 の レ ン ジ β=0.85fmは 非 局 所 性 が 小 さ い と き,

 た だ し 

あ る[17].そ  

れ は,U(r,r') が 小 さ い と きにだ

述 のPerey-Buckの

ポテ ンシャ

核 半 径 に 比 べ て は る か に 小 さ い.

と お く と,U(r,s)のsに

つ い てFourier変

換 は

(3.26) で あ る.な

ぜ な ら,eiksを

ン ジ 内 で はj0(ks)に

比 べ て は る か に 小 さ い か らで あ る.j0(ks)はksの

か ら,(3.26)はG(r,k)が を 意 味 す る.そ

球 面 波 展 開 し た と き,l>0のjl(ks)はU(r,s)の

ほ ぼk2だ

レ 偶 関数 だ

け の 関 数 で あ る こ と, 

こ で,G(r,k)をk2に

つ い てk2=κ2の

周 りに 展 開 し,

(3.27) で 近 似 す る.た だ し,  あ る.κ

で

は後 で 最 も都 合 よ くな る よ うに 決 め る.以 後,簡 単 の ため に し ば ら く

 

と書 くこ とに す る と,(3.26)の

逆変換 は

(3.28) と な る.し

か る に, 

で

あ る か ら,

(3.29) こ の 式 か ら 明 らか な よ う に,も

しb(r)=0な

局 所 ポ テ ン シ ャ ル に な っ て し ま う.さ

らU(r,s),す

ら に,a(r),

な わ ちU(r,r')は

b(r)はU(r,r')と

同様 な レ

ン ジ を 持 つ.   (3.29)を

使 え ば,Schrodinger方

程式 は

(3.30) と な る.こ

の 方 程 式 は∇ ψ を 含 む の で,通

常 のSchrodinger方

程 式 の形 に す る

ため に

(3.31)

(3.32) と お く.Cは

定 数 で あ る.(3.31)を(3.30)に

入れ ると

(3.33) と な る.た

だ し,

(3.34) で あ る.b(r)はrと

と も にU(r,s)と

同 程 度 に ゆ っ く り変 化 す る か ら,  お よ び ΔF(r)/F(r)を

a(r)に

比 べ て無 視 す る と

であ る. 

として,κ2を

(3.35) と選 ぶ と

こ れ を(3.33)に

代 入すれば

(3.36) を 得 る.た

だ し

(3.37) で あ る.UL(r)はU(r,r')と

同 程 度 の レ ン ジ を もつ.(3.31)と(3.32)に

よれ ば

(3.38) で あ る か ら,ψL(r)の は ψ(r)と

漸 近 形 は ψ(r)の

同 じ 散 乱 振 幅 を 与 え る.そ

し た が っ て,そ

れ を 与 え るUL(r)は

そ れ に 比 例 す る.し

の 意 味 で,ψL(r)は

た が っ て,ψL(r) ψ(r)と

等 価 局 所 ポ テ ン シ ャ ル で あ る.

等 価 で あ る.

  (3.36)の

近 似 の 誤 差 は(∇b)2お

で 与 え ら れ るF(r)を はPerey

factorと

違 い をPerey効

よ び ∇bの

程 度 で あ る.こ

の 精 度 は(3.32)

導 入 す る こ と に よ っ て 得 ら れ た こ と に 注 意 せ よ.F(r) 呼 ば れ,そ

果 と い う.特

れ が ψ(r)と

ψL(r)の

振 幅 の 違 い を 表 す.こ

に,Perey-Buck型(3.19)の

の

非 局 所 ポ テ ン シ ャル

に対 して は

(3.39) (3.40) と な る.(3.40)の

右 辺 のCを

き<1と

乱 状 態 に 対 し て は ψL(r)は

な る.散

除 く因 子 は,UL(r)が<0,す

ら な い か ら,(3.38)に

よ りC=1で

ψ(r)の 方 が ψL(r)よ

り小 さ い.ま

で あ る か らC>1で

(3.37)か

た,束

体 と し て1に

と

漸 近 領 域 で ψ(r)と

一 致せ ね ば な

た が っ て,U(r)の

レンジ内では

縛 状 態 に 対 し て は, 

な け れ ば な ら な い.し

状 態 の そ れ に 比 べ て,全   UL(r)のk2(r)依

あ る.し

な わ ち 引 力,の

た が っ て,束

縛 状 態 のF(r)は

散乱

近 い.

存 性 を 陽 にUL(r,k2(r))と

書 く こ と に す る と,(3.35)と

ら

(3.41) を得 る.右 辺 は 点rに

お け る 運 動 エ ネ ル ギ ーで あ る.こ れ が こ の近 似 を 局 所 エ

ネ ル ギ ー 近 似 と呼 ぶ 理 由 で あ る.κ=k(r)は な 波 数 で あ る.(3.41)はEとk(r)の  

そ れ に対 応 す る そ の 点 で の 局 所 的

関係,分 をk2(r)=0の

れ ば,元

と な る.こ

の記 号b(r)=b(r,k2)に

れ を(3.41)に

散 関 係,を

与 え る.

周 りに展 開 し,1次

の項 で止め

戻 って,

代入 す ると

(3.42) を 得 る.た

だ し

(3.43) で,こ

れ を 有 効 質 量(effective

mass)と

い う.こ

の 近 似 で は,局

所運 動エ ネル

ギ ー は そ の 点 で の 有 効 質 量 と 局 所 波 数 に よ っ て 与 え られ る こ と に な る.

  ポ テ ン シ ャ ル の 非 局 所 性 を 書 き 下 す も う 一 つ の 方 法 は,有 Schrodinger方

効 質 量 μ*(r)を

程 式 に 導 入 す る こ と で あ る.(3.30)は

と お く と 次 の よ う に 書 く こ と も で き る.

(3.44)  この式で ∇b(r)の以下のオーダーである  無視すると

の項を

(3.45) と な る.κ2と

し て 最 も 簡 単 な も の と し て よ く使 わ れ る の は κ2=0で

の と き μ(r)=μ*(r)で

あ る.こ

あ る か ら(3.45)は

(3.46) と書 け る.こ れ がSchrodinger方

程 式 に 有 効 質 量 を導 入 し た方 程 式 で あ る.そ

れ が ∇b(r)を 無 視 す る近 似 を し て い る こ と に注 意 せ よ.(3.46)はSchrodinger 方 程 式 と似 た 形 を して い るが,μ*(r)にr依

存 性 が あ る限 り実 際 に は 異 な る.

  ちな み に,κ2と して 局 所 エ ネ ルギ ー近 似 に 当 た る   を と る と(3.45)か

ら直 ち に

(3.47) を 得 る.(3.47)に 現 れ ず,等

は,Perey

factor近

似 の と き の(3.36)と

価 局 所 ポ テ ン シ ャ ル はa(r,κ2)で

こ の 違 い は 近 似 と し て,(3.36)の に 対 し て,今

回 は ∇b(r,κ2)を

あ る.し

同 じ く,有

か し,F(r)=1で

場 合 は 

効質量は あ る.

を 無 視 した の

無 視 し た こ と に 起 因 す る.

3.6  光 学 模 型 の 理 論 的 基 礎 付 け

  光 学 模 型 を 量 子 力 学 的 に基 礎 づ け る こ とは い ろ い ろ な 観 点 か ら な され た.初 期 の 理 論 は,Ｓ 行 列 の 分 散 公 式 に 基 づ い て い る.そ れ を 多 くの 複 合 核 準 位 を含

むエ ネ ル ギ ー 幅 にわ た って 平 均 す る こ とに よ って 光 学 模 型 を導 出 し た.し か し, そ れ らは 核 反 応 が 直 接 過 程 と複 合 核 過 程 だ けか らな って い るの で,前

述の核反

応 の 実 態 と は 合 って い な い.つ い で 多 重 散 乱 理 論 に よ る基 礎 付 け が な され た. そ れ に つ い て は次 章 で 詳 し く述 べ る.

 3.6.1 Feshbach理

論 に よ る光 学 模 型 の 導 出

  前 章 で 述 べ た核 反応 の全 体 像 に基 づ い て光 学 模 型 を基 礎 づ け た のがFeshbach の 射 影 演 算 子 に よる 理 論 で あ る[18].こ

の 理 論 は光 学 模 型 の 根 拠 を 明 らか に す

る と と も に,光 学 ポ テ ン シ ャル の 一般 的 な表 式 を与 え るの に成功 した.以 下,そ れ を概 説 す る.こ こ で は 今 まで どお り入 射 粒 子 と標 的核 の 間 の 波 動 関数 の 反 対 称 化 を無 視 す る.反 対 称 化 を取 り入 れ る方 法 に つ い て は[19]を 参 照 され た い.   簡 単 の た め に,核 子 の 散 乱 の 場 合 を考 え よ う.光 学 模 型 は系 の波 動 関 数 Ψ の 弾 性 散 乱 チ ャ ネル で の 成 分PΨ

の 振 る 舞 い に 関 す る もの で あ る.た だ し,

は標 的 核 の 基 底 状 態￨0〉,す な わ ち弾 性 チ ャ ネル へ の 射 影 演 算 子 で あ る.そ れ 以 外 のチ ャネルへの射 影演算子 を

と す る.P,Qは

(3.48) を 満 た す.以

後,P,Qが

  Schrodinger方

射 影 す る 関 数 空 間 を そ れ ぞ れP空

程 式HΨ=EΨ

は,P+Q=1で

と書 け る.こ の 式 の 両 辺 に左 か らPお

よびQを

間,Q空

間 と 呼 ぶ.

あ る か ら,

掛 け る と,

(3.49) (3.50) (3.50)をQΨ

に つ い て 解 く と,QΨ

は 入 射 波 を 持 た な い か ら,

(3.51)

た だ し, 

で あ る.(3.51)を(3.49)に

代入す る と

(3.52) を 得 る.こ

こに

(3.53) で あ る.(3.52)がP空

間 で の 有 効Schrodinger方

る 有 効 ハ ミ ル トニ ア ン で あ る.次   ハ ミ ル トニ ア ンHは

にH(P)の

程 式,H(P)が

具 体 的 な 形 を 求 め よ う.

重心系で

の 形 を し て い る(2.2.1項).た

だ し,hは

弾 性 チ ャ ネ ル の 内 部 ハ ミル ト ニ ア ン,

す な わ ち 入 射 粒 子 と 標 的 核 の 内 部 運 動 の ハ ミル トニ ア ン の 和,Kは 対 運 動 の 運 動 エ ネ ル ギ ー,Vは KはPと

そ れ に対 応 す

可 換 だ か ら,(3.48)に

そ れ ら の相

そ れ ら の 相 互 作 用 の ポ テ ン シ ャ ル で あ る.hと よ り,

(3.54) (3.55) で あ る.(3.54),

(3.55)を(3.53)に

代 入 す れ ば

(3.56) を 得 る.た

だ し

(3.57) で あ る.(3.52)は

(3.58) と な る.(3.58)と

〈0￨の 内 積 を と る と

(3.59) と な る.た

だ し,

(3.60)

(3.61) で あ り,￨0〉 の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 を ε0と す る と

(3.62) で あ る.ψ

は 弾 性 チ ャ ネ ル の 相 対 運 動 の 波 動 関 数,E0は

る か ら,(3.59)はUが UをFeshbachの

そのエ ネルギ ーであ

ψ を 正 確 に 与 え る 一 体 ポ テ ン シ ャ ル で あ る こ と を 示 す. 一 般 化 光 学 ポ テ ン シ ャ ル(generalized

optical

potential)と

い う.   光 学 模 型 は ψ の エ ネ ル ギ ー 平 均 を 記 述 す る.以 Lorentz型

の 重 み(1.51)を

す る.ψ(E)は (1.53)に

複 素E平

下,エ

使 っ て 取 る こ と に し,そ

ネ ル ギ ー 平 均 を 幅Iの

れ を 〈… 〉Iで 表 す こ と に

面 の上半面で 正則で かつ  

の と き0に

な る.

よ り

が 光 学 模 型 で 記 述 され るべ き波 動 関 数 で あ る.   一 方,(3.61)に

よれ ばU(E)も

ψ(E)の 上 記 の 解 析 性 と 同 じ解 析 性 を もつ.

した が っ て,U(E)ψ(E)も

そ うで あ る.ゆ え に,

と な る.ゆ

両 辺 の エ ネル ギ ー平 均 を と る と

え に,(3.59)の

(3.63) を 得 る.た

だ し,

(3.64) また,E0の

平均 値 は 元 と変 わ らな い と し た.(3.63)に

を記 述 す る ポ テ ン シ ャ ル,す に よれ ば,そ

よれ ば,UOPTが

〈 ψ〉I

な わ ち 光 学 ポ テ ン シ ャル に ほ か な らな い.(3.64)

れ は 一 般 に非 局 所 的 で エ ネ ル ギ ー に依 存 す る複 素 ポ テ ン シ ャ ル で

あ る.   か くし て,弾 性 散 乱 チ ャ ネ ル の 波 動 関 数 の エ ネ ルギ ー 平 均 を 記 述 す る 一体 の ポ テ ン シ ャ ル,す な わ ち光 学 ポ テ ン シ ャルが 存 在 し,そ れ が(3.64)で

与 え られ

る こ とが わ か り,光 学 模 型 が 基 礎 付 け られ た.光 学模 型 の 基 礎 付 け は,こ れ と は ま っ た く違 う多 重 散 乱 理 論 に よ っ て も行 うこ とが で き る.そ れ に つ い て は次 章 で 詳 説 す る.

  3.6.2  光 学 ポ テ ン シ ャル の 実 部 と虚 部 の 分 散 関 係   さて,上

で 導 か れ た光 学 ポ テ ン シ ャル の構 造 を調 べ よ う.(3.61)を (3.65)

と書 く と,〈0￨V￨0〉 は入 射 粒 子 に対 す る標 的核 に よる 畳 み 込 み ポ テ ンシ ャル で あ る.第2項ΔUは QVPに

弾 性 チ ャ ネ ル とそ れ 以 外 の チ ャ ネ ル の 結 合 を 表 す.系 は

よって い った んQ空

に よっ て 伝 搬 し た後,PVQに

間 に移 り,Q空

間内 をGreen関

よ って 再 びP空

に 強 く依 存 す る.実 際,そ れ はEの

数(E+-QHQ)-1

間 に戻 る.ΔUは

関 数 と し てQHQの

エ ネ ル ギ ーE

離散 固有値 の ところ

に 極 を もつ.   同 様 に し て(3.64)を,

(3.66) と書 くと,第1項

は畳 み 込 み ポ テ ン シ ャ ル で あ る.第2項

は 動 的 偏 極 ポ テ ン シ ャ ル(dynamical

polarization

ΔUOPTは

エ ネ ル ギ ー に 依 存 し,非

  さ て,一

般 化 光 学 ポ テ ン シ ャ ル に お い て,ΔUのGreen関

をQHQの

potential)と

呼 ば れ る.

局 所 複 素 ポ テ ン シ ャ ル で あ る.

固 有 関数 系  

数 

で 展開す る と

(3.67) と な る.た す る:

だ し,Φnは

離 散,Φ(E)は

連 続 エ ネ ルギ ー 固有 値 に そ れ ぞ れ 対 応

  Ethは

弾性 散 乱 以 外 の 連 続 状 態が 始 まる'し きい 値'で あ る.QHQは

弾性チ ャ

ネ ル との 結 合 が な い か ら,離 散 固 有 値 は正 で もあ り うる こ とに 注 意 せ よ.こ の 状 態 は1.3節 で 述べ た"連 続 状 態 に埋 ま った 束 縛 状 態"で あ る.(3.67)を(3.65) に代 入 す る と

(3.68) とな る.上 式 の 右 辺 の 第2項

を 使 う.た

に 対 して 公 式

だ し,PはCauchyの

を 得 る.右

辺 を 実,虚

主 値 を と る こ と を 意 味 す る.す

数 部 に 分 け る と,Vが

る と

実 数 で あ れ ば 

は 実 数 で あ る か ら,

(3.69) (3.70) と な る.(3.70)を(3.69)に

代 入す ると

(3.71)   (3.71)は

ΔU(E)の

実 部 と 虚 部 の 関 係 を 表 し,分

散 関 係(dispersion

relation)

と よ ば れ る.   (3.70)と(3.71)の

両 辺 の エ ネル ギ ー 平 均 を とる と

(3.72)

が 成 り立 つ.(3.72)の

右 辺 の 第2項

は

で あ る.上 式 右 辺 の 被 積 分 関 数 がE'の

実 軸 と直 線Im

域 で 正 則 で,ImΔU(E')が 

E'=-Iで

囲 まれ た 領

で 十 分 速 く0にな れ ば,積

分は実軸

上 で行 って よ い.そ の 結 果 の 式 を(3.66)に 使 うと,畳 み 込 み ポ テ ン シ ャル は 実 数 で あ るか ら,

(3.73) を得 る.こ れ が 光 学 ポ テ ン シ ャル に対 す る分 散 関 係 で あ る.特 にQHQに

束縛

状 態 が 存 在 しな い場 合 に は

(3.74) が 成 り立 つ.実

際 に は,QHQに

束 縛 状 態 が あ る 場 合 で も,し ば しば これ を 近

似 式 と して 使 う.

文

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297

4 多重散 乱理論

4.1 

  序 論 で 述 べ たR.

Serberの

的 に 定 式 化 され た.こ

Watsonの

方 程 式

直接 過 程 の 描 像 は 多 重 散 乱 理 論 に よ っ て 量 子 力 学

の 章 で は,核 子 の 核 に よ る弾 性 ・非 弾 性 散 乱 を例 と して

そ れ を 説 明 す る.   第2章

に よれ ば,反 応 の確 率 振 幅 は 遷 移 行 列Tの

始,終 チ ャネ ル で の 自 由運

動 状 態 間 の行 列 要 素 を 計 算 す る こ とに よ っ て得 られ る.(2.130)に 性 ・非 弾 性 散 乱 のT行

よれ ば,弾

列は

(4.1) で 与 え られ る.こ こ にVは入

射 粒 子 と核 との 相 互 作 用 ポ テ ン シ ャ ル,Ω(+)は

波 動 行 列 で あ る.そ れ は(2.127)を 運 動 のGreen関

満 た す か ら,入 射 粒 子0と 標 的核Aの

自由

数を

(4.2) と書 くと

(4.3) が 成 り立 つ.(4.2)で,Eは

全 系 の エ ネ ル ギ ー,Hα

は 入 射 核 子0と

標 的核A

の 自由 運 動 の ハ ミル トニ ア ンで あ る.非 弾 性 散 乱 で は 粒 子 の 組 み 替 え は 起 こ ら な いか ら,チ ャ ネ ル の 添 え字 を省 い た.  

Vは二 体 相 互 作 用 ポ テ ン シ ャル の 和

(4.4) で あ る と仮 定 す る.こ

こ にυjは 入 射 粒 子0とj番

の ポ テ ン シ ャル で あ る.

目の 核 内核 子 と の相 互 作 用

  さて,Tに

対 す る個 々の核 内核 子 の 寄 与 を見 る た め に,入 射 粒 子 とj番 目の

核 子 よ る散 乱 の 遷 移 行 列 を

(4.5) で 定 義 し よ う.  は 入 射 粒 子 の 核 子jに にHAが

よ る1回 の 散 乱 に対 応 す るが,Gの

入 っ て い るか ら,そ れ は 多体 の演 算 子 で,自

中

由 空 間 中で の二 体 散 乱 の

遷 移 行 列 と は 違 う.   入 射 粒 子 は 標 的核 内 で 多 くの 核 子 との 散 乱 を 繰 り返 す.し に入 射 す る 波 に は ほ か の核 子k≠jに のTへ

よ っ て 散 乱 さ れ た 波 も含 まれ て い る.j

の 寄 与 に は この よ うな"多 重 散 乱"の 後 にjか

て い る は ず で あ る.そ こ で,jか

たが って,粒 子j

らTへ

ら放 出 され る波 も含 まれ

の寄与 として

(4.6) を定 義 し よ う.右 辺 の 第2項 が 多 重 散 乱 の 効 果 を表 す.(4.6)は に 対 す る 連 立 方 程 式 で あ る.そ れ をWatsonの

 

方 程 式 と呼 ぼ う.Tは

(4.7) で 与 え ら れ る[1].

  [証明]

(4.8) と お く と,(4.6)は

次 の よ う に 書 き 直 せ る.

(4.9) これ を(4.6)に 代 入 して そ れ をTjに

と こ ろ が,(4.5)をυjに

つ いて解けば

つ い て解 け ば

(4.10) よ っ て,

(4.11)

こ の 両 辺 のjに

つ い て の 和 を と り,(4.4)を

使 えば

(4.12) と な る.こ

の 方 程 式 は(4.3)と

同 じ で あ る.よ

っ てΘ=Tで

あ る.

(証 明 終 わ り)   か くして,核

に よ る散 乱 のT行

和 の 形 に 書 け た.た だ し,Tjの 複 数 回 の 散 乱,す

列が 個 々 の核 内 核 子 に よ る散 乱 の それTjの 中 に は ほ か の核 子,ひ い て は 粒 子j自

な わ ち多 重 散 乱,の

が 十 分 大 き く,Watson方

身 に よる

効 果 が 正 確 に取 り入 れ られ て い る.核A

程 式 の 多 重 散 乱 の 項 にj自

身 の 項 を付 け 加 えて もほ

と ん ど 差 が な い よ うな場 合 に は,そ れ は

(4.13) と な り,し

たが って

(4.14) と な る.す な わ ち, 

を核 力Vの

代 わ りに使 う こ とが で き る.〓 を有 効 相

互 作 用(effective interaction)と い う.Vは

強 く,し か も堅 い 斥 力 芯 な ど の特

異 性 を もっ て お り,摂 動 論 的取 り扱 い に は適 し な い.し か し〓 は,(4.5)で

与え

られ る 散 乱 の 遷 移 行 列 で あ る か ら,そ の よ うな こ と は な い.し た が っ て,有 効 相 互 作 用 は 散 乱 問 題 を取 り扱 う際 に きわ め て 有 用 で あ る.   さ て,今 れ は,ア

まで は 核 の波 動 関 数 に つ い て は何 も仮 定 し な か った.実 際 に は,そ イ ソ ス ピ ン まで 考 慮 に 入 れ れ ば,核

子 の 交 換 に対 し て 反 対 称 で あ る.

こ の こ と を考 慮 す る と,多 重 散 乱 の 方 程 式 を 次 の に よ うに 簡 単 化 す る こ とが で き,(4.14)に Ojの,反

相 当す る厳 密 な 式 を導 くこ とが で き る.核 内 核 子 に 関す る演 算 子

対 称 化 され た 核 波 動 関 数 の 間の 行 列 要 素(核 行 列 要 素)は 核 子 の番 号

jに は よ ら な い:

  こ の 理 解 の も と に 記 号 を簡 単 化 し,核 子 の番 号 を演 算 子 か ら省 くこ とに す る と,(4.4)は

(4.15) (4.7)と(4.11)を

組 み 合 わ せ た もの は

(4.16)

(4.5)は

(4.17) と な る.ま

た,Watsonの

方 程 式 は,Tjを

θと書 くと

(4.18) と な る.(4.7)は

(4.19) と な る.

さ て,こ

こで

(4.20) を定義す ると

(4.21) と な る.

(4.22) と お く と,(4.21)は

(4.23) と な る.(4.21)は(4.16)に て い る.ま で,Vの

た,同

対 応 し,A,υ

の 代 わ りに そ れ ぞ れA-1,〓

じ こ とで あ る が,(4.23)はTに っ て い る.し

対 応 す る もの

た が っ て,T'はA-1の

核 子 か らな る

核 の 各 核 子 と 入 射 粒 子 と の 相 互 作 用 が〓 で あ る と き のT行

列 の 形 を し て い る.

T'が

代 わ り にUが入

対 す る(4.3)に

が入 っ

わ か れ ば,Tは(4.19)と(4.20)か

ら

(4.24) で 与 え られ る.   か くし て,弾 性 ・非 弾 性 散 乱 の 遷 移 行 列 は 入 射 粒 子 と個 々 の 核 内 核 子 との 有 効 相 互 作 用〓 に よっ て 与 え られ る こ とが わ か っ た.こ の こ とは い ろい ろ な 近 似 や 模 型 の基 礎 と して き わ め て 重 要で あ る.

4.2  有 効 相 互 作 用

  多 重 散 乱 理 論 に従 っ て 弾 性 ・非 弾 性 散 乱 のT行

列 要 素 を 計 算 す る に は,ま ず

核 力υ か ら出発 して 有 効 相 互 作 用〓 を 計 算 し,次 に そ れ を使 ってWatsonの

方

程 式 を正 確 に解 か ね ば な ら な い.し か し,そ れ を 正 確 に行 うこ とは 困 難 で あ る か ら,何 らか の 近似 をせ ざ る を得 ない.   核 力 υは 強 く,し か も堅 い 斥 力 芯 の よ うな特 異 性 を持 つ か ら,そ れ につ い て 摂 動 論 を使 うこ とは で きな い.よ

を適 当 なGkで

り現 実 的 な 方 法 はGreen関

数

近 似 し,そ れ に対 す る解

(4.25) で〓 を近 似 す る こ とで あ る.Gkの

と り方 に よっ て い ろ い ろ な 近 似 が あ る.以

下 に そ の 中で 最 も広 く用 い られ る三 つ の近 似 に つ い て 述 べ よ う.

  4.2.1 

イ ンパ ル ス 近 似

  入 射 粒 子0と 衝 突 す る核 内核 子1は 核 の そ れ 以外 の 部 分cに ポ テ ン シ ャルV1c で 束 縛 され て い る.し か し 入 射 エ ネ ル ギ ー が 十 分 高 け れ ば,そ は 無 視 し て よ いで あ ろ う.し たが っ て,0と1と 子 間 の 衝 突 で あ り,cは

れ に比 べ てV1c

の 衝 突 は ほ とん ど"自 由な"粒

た だ"傍 観"し て い る と考 え,そ の 仮 定 の も とでGの

近 似 を計 算 す る.   0と1の 標 的 核Aに

二 体 衝 突 を 取 り扱 うに は,0-A系 固 定 したOA系

と 変 形 す る.た

に 移 る.そ れ に は,Eα-Hα

だ し,EαAはOA系

った ん

を

で の エ ネ ル ギ ー で あ る.K1(Kc)は1(c)

の こ の 系 で の 運 動 エ ネ ル ギ ー 演 算 子 で あ る.ま 量 を 

の 重 心 系 は不 便 な の で,い

と す る と,

た 始 状 態 で の 核 子0(1)の

運動

で あ る.た

だ し,ε0はAの

基 底 状 態 の エ ネ ル ギ ー で あ る.Gは

この 変 形 に よ って

(4.26) と な る.   上 述 の 近 似 で は,(4.26)で ずAは

まずV1cを

無 視 す る.次

止 ま っ て い る と した か ら, 

れ ば そ れ をK1に

に,cの

運動量は変化せ

で あ る.Aが

十 分 大 きけ

対 して 無 視 して よ い で あ ろ う.こ れ らの 近 似 で

(4.27) と な る.G0は

入 射 粒 子0と

よ っ て,(4.25)よ

核 子1の

自 由 な 運 動 のGreen関

数 に ほ か な ら な い.

り

(4.28) と な る.tは

入 射 粒 子0と"自

由な"核

の 近 似 を イ ン パ ル ス 近 似(impulse   入 射 粒 子 の,衝 k1(k'1)と

突 前(後)の

す る と,cの

変 で あ る.よ

子1と

の 二 体 散 乱 のT行

approximation)と 波 数 をk0(k'0),衝

運 動 量 が 不 変 と し た か ら,二

列 で あ る.こ

い う. 突 され る核 内 核 子 の それ を 体 の 重 心 運 動 の 運 動 量 は不

って

(4.29) と い う形 に 書 け る.た

だ し,

お よび

(4.30) (4.31) で あ る.hk(hk')は

始(終)状

態 で の 相 対 運 動 量,E2rel(k)は

動 の 運 動 エ ネ ル ギ ー で あ る.こ の 散 乱 の 運 動 量 移 行 をhqと

二核 子 の 相 対 運 す る と,K=K'

で あ るか ら

(4.32) とな る. 

は こ の 散 乱 に対 応 す る 二体 の 重 心 系 で のT行

列

(4.33) の行 列 要 素, 

で あ る:

た だ し, 

pは0と1の

 か くし て,イ

相 対 運 動 量 で あ る.

ンパ ル ス 近 似 で の 有 効 相 互 作 用 の 行 列 要 素 は (4.34)

と な る.  k'はE2relと

独 立 だ か ら,自

由空 間 中 で の 散 乱 の 場 合 の よ うに

(4.35) を 満 た す と は 限 ら な い.特 energy

shell,略

(off the energy

し てon shell,略

に(4.35)が shell)に

成 り立 つ 場 合,エ

あ る と い い,そ

し てoff shell)に

般 に,(4.35)の

て い る 場 合 は 半 殻 外(half off

shell)で

列 要 素 は,一

*1 相 対 論 的 に は

般 にhalf

the

れ 以外 の 場 合 エ ネ ル ギ ー 殻 外

あ る と い う.今

初 の 等 号 は 成 り立 っ て い る.一

れ るt行

ネ ル ギ ー 殻 上(on

の 場 合,(4.35)の

最

ど ち らか 一 方 の 等 号 が 成 り立 っ

あ る と い う.反

応 の 全 体 のT行

列に現

off shellの 行 列 要 素 で あ る*1.

,実 験 室 系 で の 入 射(衝

突 され る 核 内)核

子 の 運 動 量 はhk0 (hk1),そ

のエ

ネ ル ギ ー は 

二体

系 の 重 心 の 運 動 量 は  心 の 速 度 は 

全 エ ネ ル ギ ー は  で あ る.二

系 か ら 二 体 の 重 心 系 へ のLorentz変

二体 の重

体 の 重 心 系 で の 入 射 粒 子 の 運 動 量hkは,実

換 に よ っ て, 

験室

とお くと (4.36)

と な る.核

内 核 子 の そ れ は-hk,二

体 の 相 対 運 動 量 はhkで

あ る.t行

列 はLorentz不

変

で は な く, (4.37) で 与 え ら れ る.こ

こ に,

(4.38) で,η

はMoller因

子 と呼 ば れ る.た

非 相 対 論 の 近 似 で は(4.36)は(4.30)に

だ し,(4.37)で 帰 着 し,η=1で

は,ス

ピ ン の 変 換 は 無 視 し て あ る.

あ る.

  さて,実 際 の 核 反 応 で は,衝 突 され る核 内核 子 の始,終 状 態 の 波 数k1, k'1は い ろい ろ な値 を持 って い る.そ れ に応 じて,k, k',し たが って  は 変 化 す る.反 応 のT行

列 要 素 を 計 算 す る に は,そ の よ うなk, k'に つ い て の

和 お よび 平 均 が 必 要 で あ る.こ の 計 算 は 実 際 に は 容 易 で な く,何 らか の近 似 を す る必 要 が あ る.   入射 粒 子0の

エ ネ ル ギ ーが 核 内 核 子1の

そ れ に 比 べ て十 分 大 きい 場 合,最

も

簡単 な近似は

と し てk1を

無 視 す る こ と で あ る.こ

し て よ い で あ ろ う.よ

の 近 似 で は, 

と

っ て,

(4.39) と な る.た

だ し,

(4.40) で あ る.(4.39)か

ら 明 ら か な よ う に, 

off shellの 行 列 要 素 で あ る.こ

はk1に

よ ら な いhalf

の 近 似 で は 有効 相 互 作 用 の 行 列 要 素 は

(4.41) と な る.

 

は 二 核 子 散 乱 のt行 列 で は あ るが,一 般 にoff shell行 列 要

素 で あ るか ら直 接 実 験 で 観 測 す る こ とはで きな い,核 力 の ポ テ ン シ ャルvを

知

り,そ れ を使 って(4.33)を 解 か ね ば な ら ない.し か し,実 際 の  はq=￨k'-k￨に

最 も強 く依 存 し,E2relな

較 的 弱 い の で,そ れ をqが 等 しいon が よ く行 わ れ る.on

ど そ れ 以 外 の 変 数へ の 依 存 性 は比

shellの 行 列 要 素 で 代 用 す る,と い う近 似

shellの 行 列 要 素 は 自由空 間 中で の二 核 子 散 乱 の 実 験 で 観

測 す る こ とが で き るか ら,そ れ に は 核 力 ポ テ ン シ ャル の 情 報 は不 用 で あ る.

  4.2.2  最 適 運 動 量 近 似   は,k1を

をk1に

よ らず しか もon

shellの 行 列 要 素 で 置 き換 え る に

無 視 す る の で は な く,

(4.42)

に 固 定 し て も よ い.た

だ し, 

で あ る.こ

うす る と

で あ るか ら (4.43) が 成 り立 つ.こ れ ら に対 応 す る二 体 系 の 重心 運 動 と相 対 運動 の運 動 量 はそ れ ぞ れ

(4.44) お よび

(4.45) のh倍

と な る.た

だ し, 

で あ る.ま

た,こ

れ に 対 応 す るE2rel

は

(4.46) で あ る.qQ=-Δ/2だ

か ら,(4.45)か

ら

(4.47) を 得 る.し

た が っ て,kopt'はon

に 対 応 す るt行

shellで

あ る こ と が わ か る.ゆ

え に,こ

れ ら

列要 素

(4.48) はk1に

よ らず,し

か もon

shellに

な る.こ

の 近 似 で は,有

効相互作 用は

(4.49) で 与 え ら れ る.こ

の 近 似 は,(4.26)の

分母で

と した こ と に相 当 す る.そ の 結 果,Gは

(4.50)

と な る.こ

の と き,(4.49)の

さ れ て い る[2].そ

誤 差 は 

の 意 味 で,こ

の2次

以 上 で あ る こ とが 証 明

の 近 似 は イ ン パ ル ス 近 似 よ り進 ん だ 近 似 で あ り,

最 適 運 動 量 近 似(optimal momentum

approximation)と

よ ば れ て い る.

 重心系 への変換   こ こ まで の計 算 は核Aに

固 定 し た実 験 室系 に つ い て 行 っ て きた.元 の0-A系

の 重 心 系 に 戻 る と ど うな るか.  関 数 で あ るか ら,0-Aの

は 二核 子 の 相 対 運 動 量 だ け の

重 心 系 に移 っ て も値 は 変 わ ら ない.(相 対 論 で はMoller

因 子 だ け 異 な る.)変 わ る の は 入 射(放 との 関係 で あ る.0-Aの

出)波

の 波 数 と近 似 で 使 わ れ るk(k')

重 心 系 で の 相 対 運 動 の 始 状 態 で の 波 数 ベ ク トル をkα

とす る と

(4.51) こ れ ら を 使 え ば,(4.41), qは

(4.49)をkα

を 使 っ て 書 く こ とが で き る.移

行 運動量

重 心 系 へ の 変 換 で 変 わ ら な い.

  4.2.3 

G行

列 近 似

  上 記 二 つ の近 似 で は核 内で の 二体 衝 突 は 自 由空 間 中 の それ と同 じ と考 え たが, 実 際 は 違 う.こ の 違 い を媒 質 効 果 とい う.媒 質 効 果 の うち重 要 な もの の 一 つ は Pauli原 理 で あ る.す な わ ち,核 内 で 衝突 す る核 子 は い か な る瞬 間に もほ か の核 子 に よ っ て 占 め られ て い る状 態 に 入 る こ とは で き な い.も

う一 つ の 違 い は衝 突

す る 二 核 子 の そ れ ぞ れ が ほか の核 子 が 作 る ポ テ ン シ ャ ル 内 を 運 動 して い る,と い う こ とで あ る.こ れ ら を考 慮 してG行

列 近 似 で は,核 子0,

1間 の 有 効 相 互

作用 として

(4.52) を とる.こ

こ に,Qは

衝突 粒 子0,

1が 他 の核 子 が 占 め て い る状 態 に 入 る こ と

を禁 ず る射 影 演 算 子,Gは

(4.53) で,0,

1に 核 内 で 働 く 一 体 ポ テ ン シ ャ ル,そ

由 運 動 のGreen関

れ ぞ れU0お

数 で あ る.(4.53)はBethe-Goldstoneの

行 列 と よ ば れ る[3].Uiは

核 子iと

よ びU1,の

中の 自

方 程 式,g(E)はG

そ れ 以 外 の 核 子 と の 間 のG行

列 の,後

者 に

つ い て の 和 の期 待 値 で あ る.核 が 一 様 密 度 ρの 核 物 質で あ る場 合 に は,エ ギ ーE,波

数 ベ ク トルkの

ネル

核 子 に 対 して

(4.54) で あ る.こ こ にAはk, Fermi運

動 量kF以

a二 粒 子 に対 す る 反 対 称 化 を表 し,和 は ρ に対 応 す る

下 の 運 動 量a,エ

る.aとea, kとEの

ネ ルギ ーeaの

す べ て の 一 粒 子 準 位 にわ た

関数はそれぞれ

(4.55) で あ る.こ れ らの 自家 無 撞 着 連 立 方 程 式 を解 け ばg(E)が る.g(E,

ρ=0)は

ρの 関 数 と して 求 ま

イ ンパ ル ス近 似 のtに ほか な らな い.g(E,

共 に 弱 くな る.有 限 の 核 に対 して は,核 し(局 所 密 度(local density)近 似),そ

ρ)の引 力 は ρ と

を衝 突 点 で の 密 度 を 持 つ 核 物 質 で 近 似 の 密 度 に対 す るg(E)を

使 う[4].ま た,

4.2.5項 で 述 べ る よ うに,調 和 振動 子 ポ テ ン シ ャル 内 に 束 縛 され た 二核 子 間 のG 行 列 を座 標 表 示 で 表 し た もの も一 般 の有 限 核 に対 し て 使 わ れ て い る.

4.2.4 

有 効 相 互 作 用 の 近 似 の誤 差

以 上 の よ うに し て 求 ま った 近 似 的有 効 相 互 作 用 

の 誤 差Δ〓 は

(4.56) で 与 え ら れ る.た

だ し,ΔG=G-Gkで

あ る.

  [証 明]

よ って

しか る に,(4.17)か

ら

こ れ か ら 直 ち に(4.56)を

 

よ っ て,

得 る.   (証 明 終 わ り)

(4.56)の

右 辺 をΔGに

つ き展 開 す れ ば,そ

の1次

の項は

(4.57) で あ る.  で あ る か ら,Δ

〓 のΔGの1次

の範囲で

(4.58) と し て よい.イ

ンパ ル ス 近 似 や 最 適 運 動 量 の 近 似 で は,G-1k-G-1は

容易 に

計 算 で きるか ら,こ の 表 式 が 便 利 で あ る.最 適 運 動 量 の 近 似 で は(4.58)の 右 辺 の 行 列 要 素 が0に

な る こ とは す で に述 べ た.

  4.2.5  有 効 相 互 作 用 の 具 体 的 表 示   有 効 相 互 作 用 〓 を計 算 に 使 う には そ の具 体 的 な 表 式 と数 値 が 必 要 で あ る.正 確 な 〓 は多 体 の 演 算 子 で あ る か ら,そ の 一 般 的 な 表 式 を書 き下 す こ とは で きな い.し か し,前 記 の 実 用 的 な 近 似 で は,〓 は 二体 の 演 算 子 で あ るか ら,そ れ は 可 能 で あ る.そ の 具 体 的 な形 と数値 は,い

う まで もな く,表 示 の と り方 に 依 存

す る.以 下 に 運 動 量 表 示 と座 標 表 示 に つ い て それ を 述 べ る.

  (a) 運 動 量 表 示   イ ンパ ル ス 近 似 と最 適 運 動 量 近 似 で は,有 効 相 互 作 用 の 計 算 に は 二 核 子 散 乱 のt行 列 要 素 

が 計 算 で きれ ば よい.そ れ は 二 核 子 散 乱 の 振 幅

M(E2rel, k', k)と

(4.59) で 結 ば れ て い る.Mは

入 射 粒 子 と核 内 核 子 の ス ピ ン,そ れ ぞ れ σ0お よび σ1,

の演 算 子 で あ る.そ れ は空 間 の 反 転 と時 間 の 反 転 に 対 して 不 変 で あ る とす る と, 一 般 的 に次 の 形 に 書 く こ とが で きる こ とが 知 られ て い る.

(4.60) ただ し

(4.61) で あ る.ま

た,σ

の 添 え 字n,

qお

よ びpは

そ れ ぞ れ 単 位 ベ ク ト ル 

方 向 の 成 分 を 表 す[4].係

数.A∼Fは

核 子0(1)の

ア

イソスピンを   ら はE,

とす る と  

q, q2+Q2お

よびqQの

な ど の形 を して い る.そ れ 関数 で あ り,特 にqに

強 く依 存 す る こ とが

知 ら れ て い る.   Mのon

shell行 列 要 素 は 二 核 子 散 乱 の 実 験 で 測 定 す る こ とが で き る.し か

し,off shellの 行 列 要 素 は そ れ が で きな い.そ A∼Fを

同 じE2relとqに

とで あ る.た だ し,on

だ か ら,Mの

中 のDの

対 す るon

こで,し

shellのt行

ば しば 使 わ れ る近 似 は

列 要 素 のA∼Fで

代用す るこ

shellで は

項 は 存 在 し な い.し

た が っ て,

(4.62) で あ る.ま

た,on

shellで

はq⊥Qだ

か ら

(4.63) で あ る.こ の 近 似 で は,off shellで も(4.62)と(4.63)が

近 似 的 に 成 り立 つ,と

仮 定 す る必 要が あ る.   A∼Fの

値 は核 子-核 子 散 乱 の 実 験 か ら求 め られ て お り,二 核 子 系 の ス ピ ン,

S=1ま

た は0,と

パ リテ ィ,π=偶

また は 奇,に よ って3E,

3O, 1E,

い う四つ に分 類 され た状 態 ご とに 与 え られ て い る.肩 つ き3(1)はS=1の 態(0の

一重 状 態)を 表 す.(4.62)は

1Oと 三重 状

また, 

と 

に 注 意 す る と,

(4.64) と 書 くこ と もで き る.(σ1・q)のに 比 例 す る 項 を ス ピ ン 縦 方 向(spin longitudinal), (σ1×q)に   on

比 例 す る 項 を ス ピ ン 横 方 向(spin

shellのMは

transverse)で

あ る と い う.

また

(4.65) の よ う に 書 く こ と も で き る.た

だ し

(4.66)

また,PS(PT)は

ス ピ ン 一 重(三 重)状

態 へ の射 影 演 算 子

(4.67) で あ る.ま

た,S01(k)は

で あ る.さ

ら に,四

P(1O)を

通 常 の テ ン ソル 演 算 子

つ の 状 態 お の お の へ の 射 影 演 算 子P(3E),

使 え ば,M,し

た が っ てt2cmを

と 書 く こ と もで き る.Pauli原 3Eと1O(1Eと3O)の

と 書 け る.PtS,

理 に よ る と,ア

よ び 

PtTは(4.67)の

P(1E),

一 括 して

状 態 の み が 許 され る

の 状 態 へ の 射 影 演 算 子 をPtS(PtT)と

P(3O),

イ ソ ス ピ ンT=0(1)に

.ゆ え に,ア

対 して は

イ ソ ス ピ ン がT=0(1)

す る と

σ0と σ1を そ れ ぞ れ ア イ ソ ス ピ ン 演 算 子 

で 置 き換 え た も の で あ る.そ

れ ら を 陽 に 使 え ば,た

お

と えば 中心 力 部 分 は

(4.68) の よ うに表 す こ とが で きる.荷 電 交 換 反応 で 起 こ る 入 射 粒 子 と核 内核 子 の 電 荷 の 交 換 は(4.68)の 

お よび(σ0σ1) 

の 項 に よ って 引 き起 こ され る .

 は ア イ ソ ス ピ ン の 昇 降 演 算 子    G行 列 近 似 で も,核 物 質 内 のG行

を含 むか らで あ る.

列 は二 体 の並 進 運動 に対 して 不 変 で あ るか

ら,そ の 重 心 運 動 の 運 動 量 に 対 して 対 角 型 で あ る.よ

の 形 に 書 け る.た

だ し,g(E)は

を 引 数 に 付 け 加 え た.kF=0な

核 物 質 のFermi運

って(4.29)と

動 量hkFに

同様 に

よ る か ら,そ

れ

ら 自 由 空 間 中 と 同 じ で あ る か ら,  で あ る.

  は  演 算 子 で あ り,同

じ 空 間,時

と 同 じ く ス ピ ン,ア

イ ソス ピ ン の

間 反 転 に 対 す る 不 変 性 を も つ か ら,上

 と 同 様 な い ろ い ろ な 表 式 で 表 す こ とが で き る.

で述 べ た

  (b) 座 標 表 示   〓 の 座 標 表 示 は,波 動 関 数が 座 標 表 示 で 与 え られ て い る の で,実 際 の 計 算 に 使 い や す い.そ れ は運 動 量 表 示 をFourier変 換 す れ ば 得 られ る.前 記 の 近 似 を 一 般 的 に  と表 す こ と にす る と ,そ の 二 体 の 重 心 系 で の 運 動 量 表 示 は

(4.69) の 形 を し て い る.Fourier変 kに

換 を 四 つ の 波 数K,

k, K', k'に

つ い て 行 う.Kと

共 役 な 座 標 は そ れ ぞ れ 二 体 の 重 心 座 標 

r=r0-r1で

あ る.同

R, r, R', r'へ

のFourier変

様 にK'とk'に

お よび相対座 標

対 す る そ れ ら はR'お

換 で は,K', Kの

よ びr'で

積 分 か ら は δ(R'-R)が

あ る. 出 て,

(4.70) と な る.こ

こに

(4.71) で あ る(4.70),

(4.71)が 近似 的 〓の 座 標 表示 の 一 般 形 で あ る.こ れ らの式 か ら

明 ら か な よ うに, 

はRに対

し て は 局 所 的,rに

つ い て非 局所 型 で あ る.

  非 局 所 型 ポ テ ンシ ャル は取 扱 いが 面 倒 な の で,  ル  で 近 似 して

を局 所 型 ポ テ ン シ ャ

(4.72) とす るのが 便利で あ る.そ のため に ときとして使 われ るのは,  がqだ けに強 く依存す る,と す る近似: 

であ る.こ の

近似 の もとで は

(4.73) と な り, 

は 局 所 型 と な る.た だ し

(4.74) で あ る.実 際 に は,  成 分 はkとk'の

はqだ

け の 関 数 で は な い.特 に ス ピ ン に依 存 す る

方 向 に も依 存 す る か ら,ス ピ ン に依 存 す る量 を 問 題 に す る と

き は,こ の 近 似 は 不 十 分 で あ る.   よ り合 理 的 に  を 局所 型 の 演 算 子 で 表 す 方 法 は, 

を(4.73)の 形 に仮 定 し,

〓r(r)い

くつ か の パ ラ メ ター を含 む既 知 関 数 の 組 合 わせ の 形 で 書 け る と し,そ

の パ ラ メ ター の 値 を  の 行 列 要 素 を再 現 す る よ うに決 め る こ とで あ る.た と え ば イ ンパ ル ス近 似 の 場 合,〓r(r)を

二 核 子 系 の ス ピ ン,ア

イ ソ ス ピ ンの 各 状 態

に 対 して

(4.75) の 形 に 書 く.中 VC(r),

心 力,ス

VLS(r),

ピ ン 軌 道 結 合 力,テ

VT(r)を,た

ン ソ ル 力 の 動 径 関 数,そ

れぞ れ

と え ば,

(4.76) と 仮 定 す る.た

だ し,Y(x)=e-x/xで

素 数 で あ る.各

ポ テ ン シ ャ ル 成 分 の 深 さ と レ ン ジ の パ ラ メ タ ーRiは

ン シ ャ ル に よ る 二 体 散 乱 のt行

あ る.深

さ の パ ラ メ タ ーVC,LS,Tiは

複

このポテ

列

(4.77) が 実 験 的 に 決 め ら れ たon し,Pxはrを

shell t行 列 要 素 に 最 も よ く合 う よ う に 決 め る.た

反 転 す る演 算 子,Lは

軌 道 角 運 動 量 で,(-1)LPxで

関 数 の 反 対 称 性 を 取 り入 れ て あ る.LoveとFraney Ri=0.15, と り,各

0.25,

0.45,

0.55, 0.70fmを

成 分 ご と に入射エネ

シ ャ ル を 選 ん で 用 い た.そ 3O

, 1E,

1O状

  図4.1は

二体の波動

[5]は 実 際 こ の よ う に し て,

ポテ ンシャルのすべ て の成分 に共通 に

ル ギ ー に 応 じ て こ の 中 か ら2∼5個 の 結 果,得

だ

のRiの

ポテ ン

ら れ た 深 さ の パ ラ メ タ ー は 二 体 系 の3E,

態 ご と に 表 示 さ れ て い る.

そ の よ う に し て 得 ら れ たt行

列 の 中 心 力 部 分 の 各 成 分 のq=0で

の

値 を エ ネ ル ギ ー の 関 数 と し て 示 し た も の で あ る.   こ の パ ラ メ タ ー 化 で は,実

験 的 に 決 め られ たt行

行 列 要 素 し か 使 う こ と が で き な い.off す る に は,核 を使 え ば,t行

力 の 知 識 が 必 要 で あ る.す 列 のonお

よ びoff

ら を 含 め て 再 現 す る よ う に,有

shell行

列 要 素 を 使 う の で,on

shell

列 要 素 も含 め て パ ラ メ タ ー 化 を

で に 提 案 され て い る核 力 ポ テ ン シ ャル

shell行 列 要 素 を 計 算 す る こ と が で き る.そ

れ

効 相 互 作 用 ポ テ ン シ ャ ル の パ ラ メ ター を決 め る

こ とが で きる.   G行 列 近 似 に よ る密 度 依 存 有 効 相 互 作 用 の 場 合 に も,上 と 同様 な 方 法 で 局 所 型化 す る こ とが で き る.核 物 質 近 似 で は,G行列

要 素 を密 度 ρの核 物 質 に 対 し

て 計 算 し,そ れ に 対 し て前 記 の 局 所 型 のパ ラ メ ター 化 をす る.実 際 に は(4.75) 型 の ポ テ ン シ ャ ル(場

合 に よ って はL2,(LS)2の

項 も付 け 加 え る) 

を仮 定 し,そ の 各 成 分 に対 し て(4.76)型 個 のGauss型(テ

ン ソル 力 に 対 して は そ のr2倍)を

ジ と深 さ をポ テ ン シ ャル の行 列 要 素がG行列 に 決 め る.そ の 結 果 は,エ ネル ギ ーEお

また は 数

仮 定 し,そ れ ぞ れ の レ ン

要 素 列 もっ と も よ く再 現 す る よ う

よび ρに 対 応 す るFermi波

数kFの

値

に対 して 表 示 され る か,ま た は それ らの 簡 単 な 式 で 近 似 され る[6].   数 十MeV以

下 の 入 射 核 子 に 対 して,エ ネ ルギ ー に も密 度 に も依 存 し ない 有 効

相 互 作 用 と して よ く知 られ て い る もの にM3Yと M3Yで

は 二 核 子 系 の 各 状 態 に 対 して(4.75)型

呼 ば れ て い る もの[7]が あ る. の ポ テ ン シ ャル を仮 定 し,中 心

力 とス ピ ン軌 道 力 に 対 して は(4.76)の

形 を仮 定 す る.レ ン ジ 数 は 最 大3で,そ

れ ぞ れR1=0.25fm,R2=0.4fmお

よびR3=1.414fmで

あ る.R3は1パ

イオ ン交 換 ポ テ ン シ ャル の レ ン ジで あ る.テ ン ソル 力 に対 し て はYukawa型 はな く

図4.1 

二 核 子 有 効 相互 作 用tの Ep入

射 エ ネル ギ ー(MeV,実

中 心 部 分 の 各 成 分 のq=0で 験 室 系)(文 献[5]に

の 大 きさ よ る)

で

表4.1 

M3Yポ

テ ン シ ャ ル の パ ラ メ ター(単 位:ViはMeV,Riはfm)

成 分 の 記 号:S=singlet, E=even,

T=triplet,

TN=tensor,

LS=spin-orbit; 

O=odd.

核 力 の 記 号:G行 列 に 使 わ れ た 核 力(Reid1)ま た は 行 列 要 素(Elliott2). 1R . Reid, Ann. of Phys., 50 (1968) 411 2J .P. Elliot et al., Nucl. Phys., A121 (1968) 241 (文 献[7]に

よ る)

を とる とい う選 択 もあ る.こ の ポ テ ンシ ャルの 三次 元 調 和振 動 子(hω=14MeV) を基 底 とす る行 列 要 素が 同 じ基 底 上 のG行 タ ー を 決 め る.表4.1は 成 分 の 欄 のS,Tは

そ の よ うに して 決 め られ たパ ラ メ ター の 数値 例 で あ る.

そ れぞ れ ス ピ ン一 重 お よび 三 重 状 態,E,Oは

角 運 動 量 偶 お よび 奇 の 状 態,TNは 表 す.G行列

列 要 素 に 合 う よ う にす べ て の パ ラ メ

テ ン ソ ル,LSは

ス ピ ン ・軌 道 結 合 の 成 分 を

要 素 に は名 称 欄 に あ る 文 献 を使 っ て 求 め た.こ

ル の行列 要 素 とG行列

要 素 との 一 致 はTOを

それ ぞ れ 軌 道

の表 の ポ テ ン シ ャ

除 い て 良好 で あ る.

  こ の ポ テ ン シ ャ ル は 実 数 で あ る か ら,実 際 の 計 算 で は現 象 論 的 な 虚 数 部 分 を 付 け加 え て 使 う場 合が あ る.そ れ には不 定 性 を伴 うこ とは 否 め ない.   これ らのG行

列 近似 の有 効 相 互 作 用 は 光 学 ポ テ ン シ ャル の 計 算,非 弾 性 散 乱,

荷 電 交 換 反 応 の 記 述 に 使 わ れ,反

応 の 記 述 に 成 功 して い る.た だ し密 度 依 存 性

が な い こ とが 不 十 分 で あ る場 合 もあ る.

4.3  光 学 模 型 の 多 重 散 乱理 論 に よ る導 出

 多 重 散 乱 理 論 で は,入 射 粒 子 と核 と の衝 突 を 個 々 の核 内核 子 との 衝 突 の 重 ね

合 わ せ と考 え る.一

方,光

学 模 型 で は そ れ を 入 射 粒 子 の 平 均 ポ テ ン シ ャ ル によ

る 散 乱 と 見 る.こ

れ ら 二 つ の 見 方 は 一 見 相 容 れ な い よ う に 見 え る.し

重 散 乱 理 論 は,正

確 な 理 論 で あ る か ら,光

Watsonら

は そ れ に 成 功 した[8].以

の 定 を 化[9]に 状 態 はn=0と

す る.ま

下,標

た 簡 単 の た め に,演

をOmnと

書 く こ と に す る.

  4.3.1 

光 学 模 型 の導 出

  弾 性 散 乱 は 核 行 列 要 素T00に

学 模 型 も 導 け る は ず で あ る.実

下 に,Kerman,

従 っ て そ れ を 示 そ う.以

か し,多

McManusお

的 核Aの

よ びThaler

状 態 をnで

算 子Oの"核

よ っ て 記 述 さ れ る.4.1節

際,

表 し,基

底

行 列 要 素"〈m￨O￨n〉

に よ れ ば,そ

れ は

(4.78) で 与 え られ,T'は

方程式

(4.79) の 解 で あ る.た

だ し,Uは

有 効 相 互 作 用Tに

よって

(4.80) で 与 え ら れ る.ま

た,

(4.81) は 入 射 核 子 とAの

自 由 な相 対 運 動 のGreen関

数 で あ る.

  弾 性 散 乱 チ ャ ネル へ の射 影 演 算 子 

に よ っ がT'を

(4.82) の よ うに 分 け る と

(4.83) で あ る.   U(0)を

(4.84) で 定 義 す る と,GはAの

状 態 に 対 して 対 角 型 で あ る か ら

(4.85)

と な る.こ

がT'00,し

こ で, 

は 入 射 エ ネ ル ギ ー で あ る.(4.85)は

たが っ てT00を

 

正 確 に 与 え る ポ テ ン シ ャル で あ る こ と を示 す. 

は 相 対 座 標 と反 応 粒 子 の ス ピ ン座 標 だ け の 関 数 で あ るか ら,こ の こ と は弾 性 散 乱 が 常 に そ の よ うな 一 体 ポ テ ンシ ャル に よ る散 乱 と して 記 述 で き る こ と を意 味 す る.こ れ が 光 学 模 型 の 主 張 に ほ か な らな い. 

は 一 般 化 光 学 ポ テ ンシ ャル

で あ り,そ の エ ネ ル ギ ー 平 均

(4.86) が 〈T00〉Iを 与 え る 光 学 ポ テ ン シ ャ ル で あ る.実 平 均 を と る と,〈G00〉I=G00と

際,(4.85)の

両 辺 の エ ネ ルギ ー

み な し て よ い か ら,

(4.87) と な る.UOPTに

よる散 乱 の 波 動 行 列 を

(4.88) と す る と,(4.87)の

解 は

(4.89) と な り,(4.78)を

使 うと

(4.90) と な る.〈T00〉Iが3.2節   次 に,こ

で 定 義 し た"形

の 弾 性 散 乱"のT行

こ で 導 い た 光 学 ポ テ ン シ ャ ル と3.6節

列 で あ る.

で 述 べ たFeshbach理

論 に よ

る 光 学 ポ テ ン シ ャ ル と の 関 係 を 見 て み よ う.U(0)は

(4.91) の 形 に 書 く こ と が で き る. [証明]   ま ずU(0)は(4.79)と(4.84)か

らT'を

消去すれば 直 ちに

(4.92) と 書 け る.し QU)-1QUで お よ び(4.81)を

か る に,(1-GQU)-1=1+(1-GQU)-1GQU=1+(G-1あ る.こ れ を(4.92)に 使 え ば(4.91)を

代 入 し,GとQが

得 る.

可 換 で あ る こ と とQ=Q2

(証 明 終 わ り) (4.91)か

ら

(4.93) を 得 る.こ の 式 か ら,PU(0)PはUか

らQ空

中 で のFeshbachの

ある こ とが わ か る.し た が って, 

有効 相互作 用 で

はFeshbachの

間へ の 遷 移 を 消 去 し た,P空

一 般 化 光 学 ポ テ ン シ ャ ルで 相 互 作 用 をUと

間

した

もの に 相 当 す る こ とが わ か る.

  4.3.2 

光 学 ポ テ ン シ ャル

  光 学 ポ テ ン シ ャル を 多 重 散 乱 理 論 に よっ て計 算 す る に は(4.80)を(4.91)に 代 入 し,U(0)をTの (4.91)の 第2項

関 数 と して 求 め る こ とが 必 要 で あ る.最

を無 視 す る こ とで あ る.そ

も簡 単 な 近 似 は

うす る と

(4.94) と な る.こ の 近 似 の 誤 差 はTの2次 効 相 互 作 用Tの は,そ

以 上 で あ る.こ こで は そ れ に ふれ な い.有

計 算 につ い て は 前 節 で 詳 述 し た.実

際 にUOPTを

計 算す るに

こで 述 べ た よ うな 近 似 的 なTkを 使 う.

  UOPTの

座 標 表 示 を求 め る簡 単 な方 法 は,Tkの

を使 う こ とで あ る.標 核 内核 子1の で

的 核Aの

座 標 表 示 の 局 所 的 表 示(4.73)

重 心 か ら測 っ た 入 射 核 子0と

座 標 を そ れ ぞ れr0お

よびr1と

そ れ に衝突 す る

す る と, 

あ る か ら,

(4.95) (4.96) と な る.た

だ し,Trが,(4.75)の

よ う に,核

ス ピ ン の 演 算 子 で あ る こ と を 示 す た め に,そ は,(4.96)をAの

子0と1の

ス ピ ン お よび ア イ ソ

れ ら を 陽 に 書 い た.実

際の計算 に

核 子 すべ て に 対 して 対 称 な形

(4.97) と書 いて お く方 が 便 利 で あ る.Tをt行列 AがLS結

で 計 算 す る近 似 で は,簡 単 の た め に

合 の 二 重 閉 核 で あ る とす る と,(4.75)の

形 を使 え ば 核 内核 子1の

ピ ン σ1お よび 軌 道 角 運動 量 一次 に比 例 す る項 の期 待 値 は0に

な る.VLS(s)の

ス

レ ン ジ は 短 い とす る と

(4.98) と な る.こ

こに

(4.99) お よび

(4.100) で あ る[10].た

は 点rで

だ し

の 核 の 一 核 子 密 度 で あ る.0-Aの

道 角 運 動 量Lα

は(4.51)に

重 心 系 で は 相 対 座 標 はrα=r0,軌

よ り 

で あ る.よ

って光学ポ

テ ン シ ャル は

(4.101) である.た だ し  

であ る.

 G行 列近似 に よる密度依存 有効相互作 用 を使 う場合 は,(4.54)を 使 って

(4.102) を 計 算 す る[9]か,ま

た は パ ラ メ タ ー 化 し たG行

(4.2.5(b)項)の

列 の座 標 表 示  

畳 み 込 み ポ テ ン シ ャル

(4.103) を,反 対 称 化 は 適 宜 考 慮 し て計 算 し[6], 0-Aの 重 心 系 に変 換 す れ ば(4.101)の 形 に 光 学 ポ テ ンシ ャル が 求 まる.   散 乱 の 計 算 は,運 動 量 表 示 の 光 学 ポ テ ン シ ャル

(4.104) を 使 っ て す る こ と も で き る.次 イ ソ ス ピ ン に つ い て の￨0〉

に そ れ を 考 え よ う.Tの,核

に よ る 期 待 値 をT00と

と書 くこ とが で き る.￨0〉 を核 子1の

子1の

ス ピ ン,ア

す る と

平 面 波 で 展 開 す る と,こ の式 の 右 辺 は

(4.105) と な る.T00は

運 動 量 を 保 存 す る か ら,(4.29)と

の 形 を し て い る.た だ し,k', に 使 い,そ

の 結 果 を(4.104)に

同 様 に,

kは 相 対 運 動 の 波 数(4.30)で

あ る.こ れ を(4.105)

代 入すれば

(4.106) と な る.こ

の 式 の 右 辺 は,例 え ば 

に4.2節

で挙 げ た 有 効 相 互 作 用

を使 い,￨0〉 に独 立 粒 子 殻 模 型 の よ う な 簡 単 な 近 似 を使 え ば 数 値 的 に 計 算 で き る.た だ し,積 分 の 計 算 は,k1ご

と に異 な る エ ネ ル ギ ー のT00を 使 わ ね ば な ら

な い か ら,や や 面 倒 で あ る.   しか し,前 記 のt行 列 近 似 で は

のk1依

存 性 を無 視 す る.し

と 書 け る.た

だ し,k, k'は

最 適 運 動 量 近 似 で はk=koptお

たが っ て(4.106)は

イ ン パ ル ス 近 似 で はk=k0/2お よ びk'=kopt'で

あ る.上

よ びk'=k'0/2, 式 の 積 分 で 核 子1

の 座 標 表 示 を使 え ば

で あ るか ら

(4.107) とお く と

(4.108)

と な る.(4.108)は

し ば し ばtρ 近 似 と呼 ば れ て い る.ま

た,F00(q)は

弾性散乱

の 形 状 因 子 と 呼 ば れ る. 

は イ ン パ ル ス 近 似 で はoff shell行 列 要

素 で あ る.し

shell行 列 要 素 で 近 似 す れ ば,二

か し,そ

れ を 同 じqのon

核子散

乱 の 実 験 値 で 置 き 換 え る こ と も で き る.   こ の よ う に し て 求 ま っ た 

を0-Aの

重 心 系 に 変 換 す れ ば,求

め る 光 学 ポ テ ン シ ャ ル の 運 動 量 表 示 

を 得 る こ とが で き る.

  か ら座 標 表 示 の 光 学 ポ テ ン シ ャ ル を 求 め る に は,そ k'0と 共 役 な 座 標r0, r'0に

二 重 のFourier変

局 所 ポ テ ン シ ャ ル に な る.し

換 を す れ ば よ い.結

か し, 

め に 核Aの

ス ピ ン が0の

場 合 に つ き,イ

  こ の 場 合 に は,(4.59)と(4.62)に

果 は 一 般 に非

がEとqだ

る とす る 近 似 で は 局 所 ポ テ ン シ ャ ル に な る.次

れ をk0,

けの関数で あ

に そ の 具 体 的 な 形 を,簡

単の た

ン パ ル ス 近 似 を 使 っ て 求 め よ う.

よ り

(4.109) と な る.こ

こ に 

で あ る.σ1に

例 す る 項 は 寄 与 し な い.qがk0と

比

な す 角 を θ と す る と,

で あ る. 

の 仮 定 の も とで

(4.110) と お く と,  に 代 入 し 二 重Fourier変

と な る.こ 換 を 行 う.こ

の と き,k0,

i∇r'0で 置 き 換 え て よ い の で,積

分 変 数 の 変 換 

つ い て の 積 分 か ら δ(r'0-r0)が

出 る.そ

れ を(4.108)

k'0を そ れ ぞ れi∇r0お

よび

を 行 う とk0に

の結 果

(4.111) と な り,局

所 ポ テ ン シ ャ ル が 得 ら れ る.F00(q)は,(4.107)か

ら 明 ら か に,大

き な 核 に 対 し て はq=0に のq依 のq積

集 中 し た 関 数 で あ る.そ

存 性 は 弱 い か ら,そ

分 は で き て し ま い,A00の

れ ら をq=0の

れ に 比 べ て 

項 か ら は 

値 で 近 似 す れ ば(4.111)

項からは 

が 出 る.C00の

が出るが,ρ(r'0)が 球対称なら

で あ る か ら,

よって結局

(4.112) と な る.た

だ し

(4.113) お よび

(4.114) で あ る.こ れ か ら(4.101)を

得 た の と同 様 に し てUOPT(rα,σ0)を

得 る こ とが

で き る.   核 子 弾 性 散 乱 に 対 し てt行 列 を使 っ て 求 め た 光 学 ポ テ ン シ ャ ル を 使 って 計 算 され た 断 面 積,偏 極 量 は200MeV程

度 以 上 の 入 射 エ ネル ギ ー で の 実験 とか な

りよ く合 う.た だ し,入 射 エ ネ ル ギ ー500MeVの

辺 りで 偏 極 量 の 一 部 に 食 い

違 い が あ り,相 対 論 的 取 扱 い に よっ て そ れ が 除去 で き る と い わ れ て い る.   t行 列 近 似 は 入 射 エ ネ ル ギ ーが 高 い こ とを 前 提 に して い る.よ ネ ル ギ ーで は,媒

り低 い 入 射 エ

質 効 果 が 重 要 に な るの で 近 似 が よ くな い.特 にPauli原

効 果 を無 視 して い るた め に吸 収 が 強 くな り過 ぎ る.こ れ に 代 わ るのがG行列

理の 近

似 に よ る光 学 ポ テ ン シ ャル で あ る.そ の 計 算 は い ろ い ろ な核 力,計 算 法 を用 い て 多 くの 人 に よ っ て な され,広

い範 囲 で よい 結 果 が 得 られ て い る.吸 収 の 強 さ

も経 験 値 と合 う[12].   複 合 粒 子 に 対 す る 光 学 ポ テ ン シ ャ ル を 二 核 子 有 効 相 互 作 用 を使 って 計 算 す る に は そ れ を 入 射 核 と標 的 核 の 密 度 に対 して 二 重 に畳 み 込 む必 要が あ る.こ の 計 算 は 座 標 表 示 のG行

列 近 似 を使 って 行 われ て い る.

  重 イオ ンが 入 射 す る場 合 に対 し て は,M3Y有 み 光 学 ポ テ ンシ ャル が,6,7Li, だ し,M3Yは

効 相 互 作 用 を使 っ た二 重 畳 み込

12Cな ど を例 外 として,実 験 を よ く説 明 す る.た

実 ポ テ ン シ ャル で あ るか ら光 学 ポ テ ン シ ャル の 虚 数 部 は現 象論 的

に付 け 加 えね ば な らな い.し か し,α 粒 子が 入 射 す る場 合 に対 し て はM3Yで 不 十 分 で,そ れ に 因 子   dependent

M3Y,

を掛 けた,密 度 依 存M3Y

DDM3Y)が

(density

有 効 で あ る こ とが 知 られ て い る.Cρ,

入 射 エ ネル ギ ー に 依 存 し,140MeVで

はCρ=0.28,

α=5.14,

は

α, β は

β=7.20で

あ る[13].   重 陽子 や前 記 の6,7Li,

12Cの

よ うに束 縛 エ ネ ルギ ーが 小 さい 入 射 粒 子 に対 し

て は 二 重 畳 み 込 み 光 学 ポ テ ン シ ャル は 実 験 と合 わ な い.原 因 は それ らが 散 乱 の 途 次 容 易 にvirtualに 分 解 す る か らで あ る.こ れ につ い て は5.3.3項 で 論 じ る.   畳 み 込 み ポ テ ン シ ャル に よ る計 算 で は,衝 突 粒 子 間 の 核 子 の 交 換 を陽 に取 り 入 れ て い ない.核 子 入 射 の 場 合,イ

ンパ ル ス 近 似 でt行 列 の 実 験 値 を使 う場 合

に は 陰 に そ れ が 入 っ て い る[14].し

か し,そ れ 以 外 の 場 合 は もっ と も重 要 な 一

核 子 交 換 を近 似 的 に 取 り入 れ る た め に有 効 相 互作 用 に 現 象 論 的 に 修 正 す る こ と が 行 わ れ る[8](3.4節(e)項).複

合粒 子 入 射 の 場 合,交 換 の 効 果 を正 確 に取 り

入れ るに は 共 鳴 群 の方 法(resonating

group

method,略

してRGM)[3]が

用

い られ る.

4.4  歪 曲 波 イ ン パ ル ス 近 似(DWIA)

  この 節 で は多 重 散 乱 理 論 を 核 子 の 広 義 の 非 弾 性 散 乱,す

な わ ち狭 義 の 非 弾 性

散 乱 と荷 電 交 換 反 応(p, p')と(p, n)な ど に 適 用 し よ う.核 子 の種 類 は ア イ ソス ピ ンの 状 態 に よ って 区 別 す る こ とに す る.標 的 核 の 基 底 状 態￨0〉 か ら残 留 核 の 一 つ の 励 起 状 態￨n〉 へ の 遷 移 を 考 え る.入 射,放 出 チ ャネ ル α, β で の 相 対 運 動 の 波 数 をそ れ ぞ れkα お よびkβ,入

射 核 子 の ス ピ ン ・ア イ ソス ピ ン 関 数 を

φα(s, t)および φβ(s,t)と す る.た だ し,s, ス ピ ン の座 標 で あ る.遷 移 α → β のT行

tは それ ぞ れ ス ピ ン お よび ア イ ソ

列要素 は

(4.115) で 与 え られ る.た だ し, 

で あ る.

 T行列 の計 算 に は多 重 散乱 理 論 を使 うこ とが で きる.最 も簡単 な近似 は

 

で,こ

の近似で は

(4.116) とな る.〓 は4.2節 で 論 じ た有 効 相 互 作 用 で あ る.〓 に イ ンパ ル ス 近似 

,

ま た は 最 適 運 動 量 近 似 のt行 列 を使 え ば,(4.116)は

(4.117) とな る.こ れ は非 弾 性 散 乱 に対 す る 平面 波 イ ンパ ル ス 近似(plane approximation,略 る に はG行   PWIAで

し てPWIA)と

列 近 似 

wave

impulse

呼 ば れ る.〓 に 対 す る媒 質 効 果 を 取 り入 れ

な ど を使 う こ とが で きる.

は入 射 ・放 出波 は 平 面 波 で あ る と され て い る.し か し,そ れ らは 核

物 質 中 を伝 搬 す る 間 に 核 の 平 均 ポ テ ン シ ャ ル の 影 響 を受 け るか ら,そ れ に よ っ て 平 面 波 か ら歪 め られ る は ず で あ る.そ れ ら の ポ テ ン シ ャル は 光 学 ポ テ ンシ ャ ル と 同様 な 強 さ を もつ 複 素 ポ テ ン シ ャル で あ ろ うか ら,そ の 効 果 は 大 きい と思 わ れ る.し た が ってTβα の 表 式 の 中で そ れ をあ らか じめ 入射 ・放 出波 の 中 に 繰 り込 ん で お け ば,よ

り正 確 な計 算 に役 立 つ と思 わ れ る.実 際,こ

の考 えに沿 っ

たTβα の 表 式 は 次 の よ うに して 多 重 散 乱 理 論 か ら導 くこ とが で きる[9].   4.3節 に よれ ば,こ

の 反 応 のT行

列を

(4.118) と す る と,T'を

(4.119) と 書 く こ と が で き る.こ

こ にU(0)は

有 効 相 互 作 用〓 に よ っ てU=(A-1)〓

を

定義す る と

(4.120) で 与 え ら れ る.ま

た,(4.84)と(4.119)に

より

(4.121) で,こ

れ はPU(0)に

よる 散 乱 の 波 動 行 列 で あ る.

  T'を 非 弾 性 散 乱 に 対 し て 便 利 な よ うに 書 き換 え る た め に,Uを

(4.122) の よ う に,核 UDの

の 状 態 に 対 し て 対 角 型 の 部 分UDと

方 がUNよ

非 対 角 型 の 部 分UNに

り大 き い と 考 え られ る の で,UDを

り扱 う.(4.122)を(4.120)に

正 確 に,UNを

分 け る. 摂動的に取

代 入す ると

(4.123) と な る.そ

こで

(4.124) を 定 義 し,(4.123)をUNの

べ き級 数 に 展 開 す る と

(4.125) と な る.(4.125)を(4.119)に

代 入すれば

(4.126) が 得 ら れ る.Ω(+)と

ω(+)は 射 影 演 算 子 の 働 きで

 で あ る か ら

(4.127) と な る.(4.127)は

正 確 な式 で あ るか ら,右 辺 は 直 接 過 程 か ら複 合 核 過 程 に至

るす べ て の 反 応 機構 の 寄 与 を含 ん で い る.次 に そ の 中か ら 一段 階 直接 過 程 の 寄 与 を 引 き 出 そ う.  一 段 階 過 程 の 寄 与 は(4 .127)の 右 辺 でUNに

対 して1次

の 項 に 対 応 す る.

で あ るか ら,こ の近 似 で は

(4.128) と な る.(4.128)を(4.118)に

代 入 し, 

を使 え ば

(4.129) を 得,そ

れ を(4.115)に

代 入 すれ ば

(4.130) を 得 る.   直 接 過 程 のT行 平 均 にLorenz型

列 要 素 はTβ α の エ ネ ル ギ ー 平 均 〈Tβ α〉Iで あ り,エ の 重 み を 使 え ば,平

れ ば 得 ら れ る(1.4節).こ

均 値 は エ ネ ル ギ ーEをE+iIで

の 方 法 で(4.130)の

ネ ルギ ー 置 き換 え

両 辺 の エ ネル ギ ー平 均 値 を とる と

(4.131) と な る.た

だ し, 

以 外 の 因 子 の エ ネ ル ギ ー 依 存 性 は 弱 い か ら,そ

れ

を 無 視 し た.(4.131)は

(4.132) とお け ば

(4.133) と な る.た

だ し, 

表 式 で あ る.そ

で あ る.(4.133)が

求 め るT行

列 要素 の

こ で は 入 射 ・放 出 波 に 対 す る 核 の 平 均 ポ テ ン シ ャ ル の 作 用 が 歪

曲 波(distorted

wave) 

の 中 に く り 込 ま れ て い る.  は そ れ ぞ れ 以 下 に 述 べ る 歪 曲 ポ テ ン シ ャ ル(distort

ing potential)Uα(Uβ)を

持 つSchrodinger方

程 式 の 外(内)向

き散 乱 波 を 持

お よび 

を与 え るポ テ

つ 解 で あ る.

  歪 曲ポ テ ン シ ャルUα,Uβ ン シ ャ ル で あ る.(4.121)に

は そ れ ぞ れ  よれ ば

(4.134) で あ り,4.3節

に よ れ ば 

は α チ ャ ネ ル の 光 学 ポ テ ン シ ャ ル 

であ

る か ら,(4.134)は

(4.135) で あ る こ と を 意 味 す る.同

様 に し て,(4.124)か

ら

が 得 られ る か ら,

(4.136) で あ る こ と が わ か る.(4.120)に

よると

こ れ は 光 学 ポ テ ン シ ャ ル で は な い.た す い.し

だ し,1≫GQU(0)で

な わ ち 核 の 状 態 がnで た が っ て, 

で あ る.一

あれば

 

あ る場 合 の 光 学 ポ テ ン シ ャル に近 般 に は,(4

.94)に

よる と

(4.137) で あ るか ら,Uβ

は 有 効 相 互 作 用 〓†を￨n〉 に対 し て 畳 み 込 ん だ もの に よ って 与

え られ る.   これ ら の  と  は有 効 相 互 作 用 〓 と核Aの 波 動 関 数 に よっ て 与 え られ るか ら,原 理 的 に は核 力 と核 構 造 の 知 識 が あれ ば 計 算 で きる. し か し,実 際 に は それ は 容 易 で は な い ので,し ポ テ ン シ ャ ル,た

ば しば そ れ ら を適 当 な現 象論 的

とえ ば3.4節 で 述 べ た 現 象 論 的 光 学 ポ テ ンシ ャル,で 近 似 す

る.こ の 近 似 は 放 出 チ ャ ネル に対 して 

と し, 

は

エ ネ ル ギ ーがEβ で の ,核 の 基 底 状 態 に 対 す る光 学 ポ テ ン シ ャル に ほ ぼ 等 し い こ とを 仮 定 して い る.   〓 に つ い て は 先 に 述 べ た い ろ い ろ な近 似 が 使 わ れ る.し ば し ば 用 い られ る の は 

の近似

(4.138) で,(4.138)は

歪 曲 波 イ ンパ ル ス 近 似(distorted

略 し てDWIA)と 似  

呼 ば れ る.核

が よ く使 わ れ る.こ

wave

impulse

approximation,

物 質 の 媒 質 効 果 を 取 り入 れ る た め に はG行 の 近 似 は 媒 質 効 果 を 入 れ たDWIAと

列近

呼ばれ るこ

と が 多 い.   核 の 一 つ の 離 散 的 終 状 態nへ

の 遷 移 の 微 分 断 面 積 は(2.210),(2.212)に

よ り

(4.139) で 与 え ら れ る.た

だ し,

 で あ る.

  実 際 の 計 算 に は4.2.5項 で 挙 げ た い ろい ろ な 〓の 座 標 表 示 を使 うこ とが で き る.使

う表 示 が 作 用 す る波 動 関数 の 反対 称 化 を前 提 に し て い る場 合 に は,始 状

態 の 波 動 関 数 を 入 射 核 子 と核 内核 子 の 交 換 に 対 し て 反 対 称 化 し て お か ね ば な ら な い.G行

列 近 似 の 場 合 に は,4.2.3項

度 依 存 型 の 座 標 表 示 やM3Y近 に は,歪

で 述 べ た 局 所Fermiガ

ス模 型 に よ る密

似 が よ く使 わ れ る.〓 の運 動 量 表 示 を使 う場 合

曲 波 は運 動 量 の 固 有 関数 で は な い の で,計 算 に は二 つ の 歪 曲 波 の 運 動

量 に 関 す る 積 分 が 必 要 に な る.実 際 上 そ れ は 困難 な の で,た

とえ ば,入 射,放

出 波 の平 面 波 部 分 の 運 動 量 で それ を近 似 す る.   DWIAは

入 射 エ ネ ル ギ ーが 数 十MeV以

散 的励 起 状 態 へ の 遷 移 の 断 面 積,偏 そ れ らのDWIAに

上 で の 非 弾 性 散 乱 に よ る残 留 核 の 離

極 量 の 測 定 値 を よ く記 述 す る.ま た 逆 に,

よ る 解 析 に よ っ て 関 与 す る 核 の状 態 の 構 造 に つ い て の 情 報

を 得 る こ とが で き る.   前 節 で 述 べ た よ うに,G行

列 理論 で はG行

列 は 一体 ポ テ ン シ ャルU=〈0￨g￨0〉

の 中 に あ る 二核 子 間 に つ い て 計 算 され る.し た が ってgとUは 計 算 され,有

効 相 互 作 用gと

歪 曲 ポ テ ン シ ャルUが

自己 無 撞 着 的 に

同時 に 求 ま る こ と に な る.

そ れ ら を 同 時 に使 うの が 首 尾 一 貫 し た 近 似 で あ る.こ の よ うな計 算 は 実 際 に 行 わ れ て い て,弾 性 ・非 弾 性 散 乱 の実 験 との 比 較 に よ って 計 算 され たG行

列の良

否 が 議 論 され て い る.   終 状 態nが

連 続状 態 で あ る場 合,角 度 とエ ネ ル ギ ー に対 す る 二 重 微 分 断 面 積

は(2.232)に

よ り,

(4.140) で 与 え られ る.離 散 的 状 態 へ の 遷 移 の 場 合 と逆 に,ま

ず 歪 曲波 に つ い て の 行 列

要素

(4.141) を 計 算 し,次

に核 の 波 動 関数 に つ い て 行 列 要 素 を と る と,(4.140)は

(4.142) とな る.   

の 絶対値2乗

を開 き, 

と置 き換え るかわ りにnの 和 にn=0を

を使 い,Oを 含めて完全系 に対

す る和 とす る と

とな る.こ の 式 で 右 辺 の座 標 表 示 を とる こ と を考 え る.δOは 内 核 子1の

座 標r1の

と 書 け る.た

それ が 作 用 す る核

関 数 δO(r1)で あ るが,￨0〉 は 全 反 対 称 化 され て い る か ら

だ し, 

は 密 度 行 列(density

matrix)の

座 標

表 示 で あ る.ゆ え に

(4.143) と 書 く こ と が で き る.こ

こに

(4.144) は 応 答 関 数(response

function)と

呼 ば れ,核

刺 激 が 加 わ っ た 場 合,点rにδO(r)の る.公

の 点r'にδO(r')の

単位振 幅の

単 位 振 幅 の応 答 が 発 生 す る確 率 を 与 え

式

を使 う と

(4.145) ただ し

(4.146) と 書 く こ と が で き る.Π(r,r';ω)は

偏 極 伝 搬 関 数(polarization

propagator)

と 呼 ば れ る.  4.2節

で 示 し た よ う に,入

射 核 子0と

核 内 核 子1の

間 の 〓 は一 般 に

(4.147)

の 形 を 持 っ て い る.た

だ し,a≡(ab)で

あ る.こ

の各 成 分 に 対 応 して

(4.148) を 定 義 す る.た 向((4.61)の

だ し,添 下),の

え 字 μ,ν は 一 つ の 直 交 座 標 系,た

成 分 で あ る.こ

れ ら に 対 応 し て,部

と え ばq,n,p方

分 的 な 応 答 関 数,偏

極

伝搬 関数 を

(4.149) (4.150) で 定 義 す る と,断 面 積 は そ れ に 対 応 す る部 分 的 断 面 積 の和

(4.151) の 形 に 書 く こ とが で き る.た

だ し, 

で

あ る.

  か くし て,DWIAの

断 面 積 は,入 射 粒 子 に よ っ て 与 え ら れ る刺 激O(r)と

応 答 関 数R(r,r';ω),よ

り詳 し くは 部 分 的刺 激Oα μν(r)と対 応 す る 応 答 関 数

 に よ っ て 決 ま る こ とが わ か っ た. 

は

αμν型 の 単 位 刺 激 を受 け た核 が い か に α'μ'ν'型 の 応 答 を す る か を 記 述 す る. R(r,r';ω)も 

も も っぱ ら核 の ハ ミル トニ ア ン と波 動 関 数

に よ っ て決 定 され る.逆 にOα μν(r)が 既 知 の 実 験で 観 測 され る断 面 積 や 偏 極量 の解 析 か ら,R(r,r';ω)さ

ら に は 

に つ い て の 情 報 を得 る

こ とが で き る.こ れ は,外 部 か らの 刺 激 に対 す る核 の 動 的 な性 質 を 知 る上 で 重 要 で あ る.   偏 極 伝 搬 関 数 の 理 論 的 計 算 に は,い 均 場 近 似,RPA近

ろい ろ な核 模 型 が 使 わ れ る.第8章

似 を用 い た計 算 につ い て述 べ る.

で平

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G.Love,Nucl.Phys.A284

399(1977)

[8]  K.M.Watson,Rev.Modern

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[9]  A.K.Kerman,H.McManus

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[10]  G.R.Satchler,Direct Section

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た と え ば,永

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田 忍,"核

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子 散 乱 か

ら 核 子-核

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80(1977) 散 乱 へ:光

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K.M.Watson,Phys.Rev.97

1336(1955)

A.Budzanowski,

5 直

接

過

程

  核 反 応 の 第2の 段 階 は 直 接 過 程 で あ る.そ れ は 次 の よ うに し て起 こ る.光 学 ポ テ ン シ ャル 中 を 運 動 し て い る 入 射 粒 子 は 核 内核 子 と相 互 作 用 す る.1回

の相

互 作 用 で 標 的 核 また は 入 射 粒 子 ま た は それ らの 両 方 が 励 起 した り,分 解 し た り, 入 射 粒 子 と標 的 核 との 間 で 何 個 か の核 子 が 移 行 し た りす る.そ の段 階 で 反 応 が 終 わ るの が 一段 階 直接 過 程 で あ る.反 応が さ ら に進 んで,2回,3回 作 用 が 起 こ った 後 で 反 応 が 止 む場 合 もあ る.一 般 にn回 わ る もの をn段

階 直 接 過 程 とい い,n>1の

い う.時 と して,n=∞

の場 合 が あ る.た

… と相 互

の相 互作 用 で 反 応 が 終

場 合 を一 括 し て 多段 階 直接 過 程 と とえ ば,集 団 運 動 の 励 起 の 場 合,集

団 運 動 状 態 間の 遷 移 の 確 率 が 強 い の で,そ れ ら の 間 を無 限 回遷 移 し た の ち反 応 が 終 わ る のが 普 通 で あ る.い ず れ の 場 合 も,全 過 程 に 要 す る時 間 は非 常 に短 く, 励 起 され る系 の 自由 度 は 非 常 に 少 な い.た

とえ ば,n段

階 過 程 で 励 起 され る 自

由度 は,入 射 粒 子 と核 の 双 方が 励 起 す る こ とを 考慮 して も,た か だ か2n個

であ

り,集 団 状 態 間 の 遷 移 の 無 限 回 の 遷 移 の 場 合 で も,少 数個 の集 団 運動 状 態 間 を 遷 移 す る に す ぎ な い.し たが って,こ の段 階 で 複 合 核 が 形 成 され る こ とは な い.   直 接 過 程 の散 乱 振 幅 は,そ の 所 用 時 間がΔtで 2I=h/ΔEに

あ る とす る と,散 乱 振 幅 を 幅

わ た って エ ネル ギ ー平 均 した もの で 与 え られ る.2Iは

光学模型

で の 平 均 の エ ネ ルギ ー 幅 と同程 度 で あ る.   直 接 過 程 は 非 常 に 多 彩 で あ る.一 つ の 反 応 に 二 つ 以 上 の機 構 の 直 接 過 程 が 寄 与 して い る場 合 もあ る.そ の 研 究 は核 反 応 論 の 中 心 的 課 題 の 一 つ で あ る.多 数 の 個 別 的 な 直 接 過 程 の 反 応 機 構 が 詳 細 に 研 究 され,そ れ を記 述 す る た め に い ろ い ろ な模 型 が 提 出 され,大   第4章

きな 成 功 を収 め て い る.

で,そ の 一 つ で あ る広 義 の 非 弾 性 散 乱 の 一 段 階過 程 に対 す るDWIAを

論 じ,そ れ が 多 重 散 乱 理 論 に よ っ て 二 体 の 核 力 か ら組 み 立 て る こ とが で きる こ と を示 した.し か し,こ の よ うな 第 一 原 理 的取 扱 い を 一般 の 反 応 に 拡 張 す る の

は 困 難 で あ る.そ れ ゆ え,多

くの 現 象 論 的 な 理 論 が 提 出 され 成 功 し て い る.こ

の 章 で は,ま ず そ れ らの 理 論 の 一 般 論 を 述べ,つ

い で それ に 基 づ い て個 別 的 な

反 応 機 構 に つ い て詳 論 す る.

5.1  直 接 過 程 の一 般 論

  5.1.1  直 接 過 程 を記 述 す る波 動 関 数 と有 効 ハ ミル トニ ア ン   直 接 過 程 で は 系 の 少 数 の 自 由度 が 励 起 され るか ら,そ れ に 直 接 関与 す る 系 の 内 部 状 態 γ は 入 射 ・放 出 チ ャネ ル α お よび β の そ れ と た か だ か 少 数 の 自由 度 の 状 態 だ け が 異 な る.波 動 関 数 のHilbert空

間 中 に,そ の よ うな 内 部 状 態 γ の

波 動 関 数 φγの 系{φ γ}が 張 る 関 数 空 間 をP,そ 入 射 ・放 出 チ ャ ネル の波 動 関 数 は,当 然,P空

れ 以 外 をQと

呼 ぶ こ と にす る.

間に 含 まれ て い る.φ γは 連 続 状

態 で あ る場 合 もあ る か ら,φ γの 個 数 は必 ず し も少 数 で は な い.直 接 過 程 で は, 系 は α チ ャ ネ ル か らP空

間 中 の 何 個 か の 内 部 状 態 を 経 由 し て β チ ャ ネ ルヘ 遷

移 す る.直 接 過 程 の 理 論 はP空

間 中 で の 波 動 関数 の振 る舞 い を 取 り扱 う.

  P空 間へ の 射 影 演 算 子 をPと

す る と,系 の 波 動 関 数 Ψ のP空

舞 い はPΨ

に よ って 記 述 され る.PΨ

に 対 す るSchrodinger方

間 中で の振 る 程 式は

(5.1) で あ る.こ ば,そ

こ に,H(P)はP空

れ はFeshbachの

間 内 で の 有 効 ハ ミル トニ ア ン で,3.6節

に よれ

公式

(5.2) で 与 え られ る.た だ し  のP空

,ま たQ=1-Pで

あ る.H(P)

間 内 の チ ャ ネ ル γ に対 す る具 体 的 な形 は

(5.3) で あ る.た

だ し,hγ

は 内 部 運 動 の ハ ミル ト ニ ア ン,Kγ

は相 対 運 動 の 運 動 エ ネ

ル ギ ー,

(5.4) は チ ャ ネ ル γ で の 有 効 相 互 作 用 で あ る.

  求 め るPΨ

は(5.1)の 解 で,チ ャネ ル α に 入射 波 が あ り,開 い た チ ャネル に 外

向 き散 乱 波 が あ る,と い う漸 近 形 を もつ もの で あ る.そ れ を  接 過 程 を記 述 す る 波 動 関 数 は  節 で 述 べ た よ うに, 

とす る.直

の エ ネ ル ギ ー 平 均 

で あ る.1.4

に対 す る 方程 式 は(5.1)の 両 辺 を エ ネ ルギ ー 平均

した

(5.5) で あ り,〈H(P)〉IはH(P)の

中 のEをE+iIで

置 き換 え れ ば 求 まる:

(5.6)   こ れ に よ ってVγ(E)は  に な る.〈Vγ(E)〉Iは 複 素 数 で,エ ネ ル ギ ー に 依 存 し,非 局 所 型 の 複 雑 な演 算 子 で,そ れ を正 確 に計 算 す る こ とは 多 くの場 合 不 可 能 で あ る.そ

こで 直 接 過 程 の現 象 論 で は,物 理 的 な考 察

に よって,そ れ ら を比 較 的 簡 単 な演 算 子 で 近 似 す る.具 体 的 に は,各 チ ャ ネル γ に対 して 〈Vγ 〉Iを 簡 単 な 現 象 論 的 ポ テ ン シ ャルVγ で 置 き換 え る の で あ る.こ れ に よ って,〈H(P)(γ)〉Iは

現 象 論 的 な 有 効 ハ ミル トニ ア ン

(5.7) で 置 き換 わ る.こ に は,γ

の 置 き 換 え は 任 意 で は な く,H(γ)(P)は,少

な くと も近 似 的

に よ ら な い:

(5.8) と い う条 件 を 満 たす もの と す る.逆 ル に対 す る 表 式 で あ る.H(P)に

に い う と,H(γ)(P)はH(P)の

対 応 す る 波 動 関 数 を 

γチ ャネ とす る と,

(5.9) と な る.H(P)と 

が それ ぞ れ 直接 過 程 の現 象 論 的 ハ ミル トニ ア ン お よ

び 波 動 関数 で あ る.   Vγ をど う選 ぶ か は個 々の場 合 につ い て検 討 せ ね ば な らな い.最 は,Vγ=Vγ

とす る こ とで あ る.こ れ はVγ に 対 す るQ空

も単 純 な 仮 定

間 か らの 寄 与 を 無視

す る近 似 で あ る.こ の 場 合Vγ は 核 力 の 知 識が あ れ ば 既 知 で あ る.し か し,そ れ は 特 異 性 を 持 つ か な り複 雑 な もの で あ るか ら,簡 単 な 現 象 論 的 な ポ テ ン シ ャ ル で代 用 され る こ とが 多 い.

 はP空

間 を張 る 内 部 波 動 関 数 の 組{φ γ}に よ っ て

(5.10) と展 開 で き る.た だ し,Xγ は 内 部 状 態 φγに対 応 す る 相 対 運 動 の 波 動 関数 で あ る.{φγ}は 離 散 的状 態 と連 続 状 態 を 含 む.そ れ ら のす べ てが 直接 観 測 可 能 とは 限 らな い.ま た,{φγ}は 必 ず し も直 交系 で は な い.Sγ は 離 散 的状 態 に対 す る和 と連 続 状 態 に対 す る積 分 を表 す.   直 接 過 程 の 現 象 論 で は,{φγ}は 既 知 と し て,Xγ 漸 近 形 が 反 応 α → β の,こ べ て の γ ∈Pに

を 計 算 す る.そ の 解Xβ の

の 直接 過 程 に よ る 散 乱 振 幅 を与 え る.(5.9)か

らす

対 して 得 られ る

(5.11) の 左 辺 に(5.8)と(5.7)を

使 えば

(5.12) が 得 ら れ る.た

だ し

(5.13) (5.14) お よび 

で あ る.(5.12)が

基 礎 方 程 式 で あ る.左 辺 の ポ テ

ン シ ャルUγ は相 対 運 動 だ け に働 くポ テ ン シ ャ ルで,内

部 状 態 を 変 え ない.そ

れ は 歪 曲 ポ テ ン シ ャル(distorting potential)と 呼 ば れ る.右 辺 のUγγ'が 二 つ の状 態 φγと φγ'を結 合 す るポ テ ン シ ャ ルで あ る.   Xγ に 対 す る境 界 条 件 は 「漸 近 形 が,(1)γ=α (2)Eγ>0な

ら外 向 き散 乱 波 が あ る.(3)Eγ<0な

だ け に 入 射 平 面 波 が あ る. ら0に な る.」で あ る.こ の境

界 条件 の 下 にXβ の散 乱波 を求 めれ ば,そ の振 幅が 反 応 α → βの散 乱 振 幅 で あ る.   Xγ に対 す る解 は

(5.15) た だ し,  に よ っ て"歪

で あ る.ま め ら れ た"入

た, 

はUα

射波で

(5.16)

を 満 た し,Uα

に よ る散 乱 のLS方

程式

(5.17) の 解 で あ る.こ

れ に 対 応 し て, 

を

(5.18) と 定 義 し て お く と 便 利 で あ る.た る.ポ

テ ン シ ャ ル がUβ

  (5.15)を(5.10)に

だ し, 

であ

の 複 素 共 役 で あ る こ と に 注 意 せ よ.

代入 すれば

(5.19) を得 る.  考 え て い る 直接 過 程 α → β のT行

列 要素は

(5.20) で 与 え られ る.こ れ は ま た,逆 過 程 β → α に対 応 す る 内 向 き散 乱 波 の 解 を  とす る と

(5.21) と 書 く こ と も で き る.(5.20)をT行 formと

い う.post

(prior)と

列 要 素 のpost

は 相 互 作 用Vβ(Vα)が

form,

(5.21)をprior

反 応 の 終(始)状

態 の それ

で あ る こ と を 意 味 す る.   (5.20)の 起 は"残

右 辺 のVβ の 中 で,Uβ

は 内 部 状 態 を 励 起 し な い か ら,内

部 状 態 の励

留 相 互 作 用"

(5.22) に よ っ て 引 き 起 こ さ れ る.実

際,(5.20),(5.21)を

(5.23) (5.24)

と 変 形 す る こ とが で き る.た

だ し

(5.25) で あ る.(5.23)の

右 辺 第1項

(5.26) は ポ テ ン シ ャルUα に よ る弾 性 散 乱 のT行

列 要 素 で あ る.

 [証明]   (a)  (5.9)を

(5.27) と 書 き 換 え る.た

だ し 一 般 に 

で あ る.そ

の(5.19)に

対応

す る解 は 明 らか に

(5.28) で あ る.   同様 に して

で あ る.   (b)  (5.28)は,LS方

程 式 か ら(2.91)を

得 た の と 同 様 に し て,次

の よ うに変

形 す る こ と が で き る.

(5.29) そ こ で,

の 最 右 辺 に(5.29)を

使 う と,

(5.30) 同様 に し て

(5.31) が 証 明 され る. (証 明 終 わ り)   α,β が 二 粒 子 チ ャネ ル で あ る場 合 には,Uα,Uβ が 与 え られ れ ば   の計 算 は 容 易 で あ る.実 際 上 の 問題 は む し ろUα,Uβ を正 確 に計 算 す る こ とが 困難 な こ とで あ る.し たが って,現 象 論 的 に 決 め ざ る を 得 な い のが 普通 で あ る. 物 理 的 な観 点 か ら合 理 的 で 簡 単 な 形 の 局 所 型 の 複 素 一 体 ポ テ ンシ ャルが 使 われ, 特 に 光 学 ポ テ ン シ ャ ルが 最 も よ く使 われ る.幸 い に し て,上 の 証 明か ら明 らか な よ うに,(5.23),(5.24)は な わ ち,正 確 なT行

歪 曲 ポ テ ンシ ャルUα,Uβ

に よ らず が 立 す る.す

列 要 素 は そ れ ら の と り方 に よ ら な い.

  βが3個 以 上 の粒 子 か ら な る場 合 に は,Φ(-)βは 三 体 問題 の解 とな るか ら簡 単 に は計 算 で き な い,何 らか の 簡 単 な 近 似 をす るの が 普 通 で あ る.

  5.1.2  近

似

法

  (5.12)を 解 く方 法 と して,Uγγ'に対す る摂 動 論 的 近 似 が あ る.そ の2次 の近似 は   第0近

似:

よ っ て(5.19)に

 第1近

よ って

似:

よ り

まで

で あ る.   Tdirβ α のpost

 第0近

formのn次

近 似 はVβ とUγ γ'合わ せ てn次

の 近 似 で あ る.よ

って

似:

(5.32)  第1近

似:

(5.33)  第2近 似:

(5.34) で あ る.T行 て 第n次

列 のprior

formに

つ い て も 同 様 な 近 似 が 得 ら れ る.以

下 同様 に し

近似は

(5.35) で あ る.た

だ し,kmはk段

曲 波Born近 開 と い う. 

階 目 のm番

似(distorted-waves がn段

Born

目 の 中 間 状 態 を 表 す.こ approximation,略

階 過 程 に 対 応 す る.現

て い る の は せ い ぜ い 三 段 階 過 程 ま で で あ る.そ

の展 開を歪

し てDWBA)展

実 的 に 重 要 で,計

算が行 われ

れ 以 上 に つ い て は 摂 動 論 は使 わ

れ て い な い.   P空

間 内 の 状 態 の 結 合 が 強 い 場 合 に は,摂

式 の ま ま 解 か ね ば な ら な い,こ り,(5.12)が

動 論 は 使 え ず,(5.12)を

の 場 合 に は,P空

実 際 に 解 け な け れ ば な ら な い.よ

間 の{φ γ}が よ くわ か っ て お く使 わ れ る の は,{φ γ}の す べ て

が 観 測 可 能 な 二 粒 子 チ ャ ネ ル の 内 部 波 動 関 数 か ら な る,と れ は チ ャ ネ ル 結 合 法(method

of coupled

  以 下 の 節 で こ れ ら の 近 似 法 と,そ い て 述 べ る.

連 立方程

channels)と

仮 定 す る 近 似 で,そ

呼 ば れ て い る.

れ ら の 重 要 な い くつ か の 反 応 へ の 応 用 に つ

5.2  歪 曲 波Born近

  DWBA展

開 の1次

似(DWBA)

の近 似 は 一 段 階過 程 を記 述 す る.単 にDWBAと

いえば

こ の 近 似 を 指 す.一 段 階 過 程 は 多 くの 直 接 過 程 の 主 要 な 反 応 機 構 で あ る か ら, DWBAは

直 接 過 程 の 研 究 の 上 で 非 常 に 重 要 で あ る.

 遷 移 α → β ≠ α に対 す るDWBAのT行 よ り,post

列 要 素 は,(5.33)お

よび(5.25)に

form

(5.36) ま た は,prior

form

(5.37) で 与 え られ る.こ

れ ら 二 つ の 表 式 が 同 等 で あ る こ と,す

な わ ち"prior-post

iden

tity"は

(5.38) が 成 り立 ち,ど ち らの 表 式 も

(5.39) に 等 し い こ と を 根 拠 に し て い る.(5.38)は 成 り立 つ.し

か し,そ

う と は い え な い.し

正 確 なVα

とVβ に 対 し て は も ち ろ ん

れ ら を独 立 に 現 象 論 的 な もの で 置 き換 え る と必 ず し もそ

か し 以 下 で は,そ

れ らが(5.38)が

成 り立 つ よ う に と ら れ て

い る も の と し て 議 論 を 進 め る.   (5.36),(5.37)の

右 辺 の 積 分 変 数 は チ ャ ネ ル の 座 標 の 完 全 系(rα,ξ α)ま た は

(rβ,ξβ)で あ る.チ

ャ ネ ル α と β で 粒 子 の 組 み 替 え が 起 こ る 場 合 に は,こ

れ ら

二 つ の 座 標 系 は 一 致 し な い.   例 と し て 組 み 替 え 反 応  す.aの

内 部 座 標 は 

あ る.同 様 に し て, 

に 対 す る 座 標 系 を 図5.1に だ か ら  で あ る.し たが って, 

は α,β 両 チ ャ ネ ル に 共 通 な 内 部 座 標 で あ る.一 とrβ

の 一 次 結 合 で あ る.

示 で

方,rxbとrxAは

相 対 座 標rα

図5.1 

  そ こ で,積

反 応 

の座 標 の 組

分 変 数 を 両 方 の チ ャ ネ ル に 平 等 な 

分 変 数 の 変 換 

に 変 換 す る.積

の ヤ コ ビ ア ン,ま  の ヤ コ ビ ア ン をJα β と す れ ば,T行

formは

γ=β(α)と

た は そ れ と等 しい 列 のpost

(prior)

して

(5.40) と書 け る.た だ し 〈 〉の 添 え 字 は積 分 変 数 を表 す.こ こ に

(5.41) は こ の 反 応 の 形 状 因子(form 最 も重 要な因 子 で あ る. 

factor)と 呼ば れ,系

の 内 部状 態 の 変 化 を記 述 す る

の 非 局 所性 の レ ン ジ は一般 に 小 さ く,次

項 以 下 で 見 る よ うに,し ば しば 局 所 近 似

(5.42) で 十 分 で あ る.た

だ し,fβ α(rα)とcβ α は そ れ ぞ れ 反 応 α → β ご と に 異 な る

関 数 お よ び 定 数 で あ る.こ

の 近 似 をzero-range近

似 と い う.zero-range近

似

の も とで は

(5.43) と な る.   さ て,DWBAが な い.Vγ

よい 近 似 で あ る ため に は,相 互 作 用Vγ が 弱 くな け れ ば な ら

はVγ か ら主 要部 分 で あ るUγ を除 い た も ので あ る か ら,Vγ に 比べ て

は るか に 弱 い.し

たが っ て,DWBAは,Vγに

つ い て の摂 動論 よ りは るか に よ

い 近 似 で あ る と考 え られ る.   DWBAの

も う一 つ の成 立 条 件 は 

が 摂 動 論 の 高 次 の項 に くらべ て は

るか に 大 き い こ とで あ る.こ の 条 件 に と っ て重 要 な の が 運 動 量 お よび 角 運動 量 の 整 合(matching)で

あ る.そ れ を(5.43)に

よ って 見 て み よ う.

  fβα(rα)は核 の波 動 関 数 の広 が りの 範 囲 に値 を持 つ,rα の な だ らか な 関 数 で あ る.歪 曲波  がCoulomb障 え ば,そ

と  壁 以 上 で あれ ば,振

し,kα

とkβ が 非 常 に 違

れ らの 積 も ま た 振 動 す る 関 数 に な る か ら,そ れ とfβα(γ α)の 積 の 積

分 は 小 さ くな る.ゆ DWBAに

はそ の 領 域 で,入 射エ ネル ギ ー

動 関 数 で あ る.も

え に,移 行 運動 量q=kα-kβ

が あ ま り大 き くな い 方が

とっ て 有 利 で あ る.

  高 エ ネル ギ ー 核 子 の 散 乱 の場 合 の よ うに,歪 曲 ポ テ ンシ ャル の 影 響が それ ほ ど 大 き くな い場 合,歪

曲波 を平 面 波 で 近 似 す れ ば 

はfβ α(rα)のFourier

変換

に 比 例 す る.こ れ が 大 きな値 を持 つ よ うなqをqmと

の と き,DWBAは

すると

有 利 に な る.こ れ らが 運 動 量 の 整 合 の例 で あ る.

  次 に,角 運 動 量 の 整 合 に つ い て 考 え よ う.残 留 核 の 離 散 状 態へ の 遷 移 で は一 段 階 過 程 は しば しば 表 面 反 応 で あ る.そ の 一 つ の 理 由 はfβα(rα)が表 面 付 近 に 集 中 し て い る こ とで あ る.仮 にfβ α(rα)が半 径Rの す る と,半 古 典 的 に考 え て,衝 突 径 数が 

と こ ろ に 局 在 して い る と

の 入 射 粒 子 だ け が 反応 に寄 与 す

る.入 射 ・放 出粒 子 の 歪 曲 ポ テ ンシ ャル に よ る吸 収 を考 え る と,そ れ ら の 中で 最 も大 きな 寄 与 を 与 え る の は,b=Rの

入 射 粒 子 で あ る.そ れ が 起 こす 反応 で

は 入 射 ・放 出粒 子 の軌 道 角 運 動 量 の 間 に は

(5.44) の差 が あ る.そ れ が 核 に 移行 す るか ら,標 的核 と残 留 核 の ス ピ ン に はlmよ

り大

きな差 が な け れ ば な らな い.こ れ が 角 運 動 量 の 整 合 の 条 件 で あ る.も ち ろ ん 実 際 には,fβ α(rα)の局 在 も歪 曲波 の振 る舞 い も この よ うに単 純 で は な いが,(5.44)

は 一 段 階 過程 の 強 さ を知 る 目安 と し て役 に 立 つ.以 上 の よ うな 運 動 量 と角 運 動 量 の 整 合 が 成 り立 つ こ とが,一

段 階 過 程 が 強 い こ と,し たが っ てDWBAが

よ

い た め の 条 件 で あ る.   (5.39)は 衝 突 粒 子 間 の核 子 の 交 換 に 対 す る波 動 関 数 の 反 対 称性 を無 視 した 場 合 のT行

列 要素 で あ る.そ れ を 考 慮 に 入 れ た 行 列 要 素 は,(2.249)と(2.253)に

よ り,

(5.45) た だ し,Pγ(γ=α,β)は 子,(-1)Pγ   DWBAに

チ ャ ネル γ の 粒 子cとCの

はPγ が 偶 置 換 な ら1,奇

置 換 な ら-1で

間の核子 の交換の演算 あ る.

よる物 理 量 の 実 際 の 計 算 には 角 運 動 量 表 示 を使 う と便 利 で あ る.反

応 の 始 お よび 終状 態 で 粒 子a,Aお

よびb,Bが

そ れ ぞ れ ス ピ ン のz成

分 の固

有 状 態 で あ る場 合:

(5.46) を考 え よ う.こ の 場 合 の歪 曲波 は

(5.47) で あ る.Uγ は 一 般 に は す べ て の 反 応 粒 子 の ス ピ ンに依 存 す る.し か し,実 際 に は,ス

ピ ン依 存 ポ テ ン シ ャル は 入 射 ・放 出 粒 子aとbだ

け に働 く と考 え る場 合

が 非 常 に 多 い の で,以 下 そ の 場 合 を 考 え る.こ の場 合 に は,相 対 運 動 の 軌 道 角 運 動 量,粒 子 の ス ピ ン をそ れ ぞ れLγ お よびIc(γ=α, c=b)と

c=α

また は γ=β,

す る と,そ れ らの 和

はUγ に よ って 保 存 され る.普 通,Icの 力 が あ る と,Lγ

大 きさIcも 保 存 され る.も しテ ン ソル

は 保 存 され な い.そ れ ら を考 慮 して 一 般 的 に 

を次の よう

に展開する.記 号 

を使うと

あるいは, 

を展開して (5.48)

と な る.こ

こ に,

(5.49) で あ る.同

様 に して

(5.50) と な る.こ

こに

(5.51)

となる. 

は, 

が連立方程式

(5.52) の 解 で,境 界 条 件

(5.53) を 満 た す も の で あ る.た

だ し,

ま た,δ γL'LJは 位 相 差 で あ る.(5.53)を 与 え られ る 

満 た す解 に よ って(5.48)((5.50))で

の漸 近 形が 平 面波  

と外 向 き(内 向 き)散 乱 波 の和 に な る こ と は容 易 に確 か め られ る.   もし,Uγ に テ ン ソル 力が なけ れ ば, 

で あ る.

さ らに,ス ピ ン軌 道結 合 もなけれ ば,す なわ ちUγ が 中心 力 で あれ ば,uγLLJ(k,r) はJに

よ ら な い.こ

の 場 合 に は,

(5.54) とな る.た だ し,    さて,(5.39)に(5.48),(5.50)を

で あ る. 代入す る と

(5.55) とな る.こ の 場 合 も形状 因 子

(5.56) を導入 して

(5.57) と 書 くこ と が で き る.   (5.57)に

対 応 す る,反

対 称 化 さ れ たpost

formのT行

列 要素は

(5.58) で 与 え ら れ る.ま

た,prior

formは

(5.59) で あ る.た

だ し,

で あ る.こ こ に,Pγξ βαはPγξα とPγξAに 共 通 な 内部 座 標 で あ る.   次 に,形 状 因 子 に つ い て 詳 し く見 て み よ う.ま ず 一 般 論 を,つ い で 典 型 的 な 反 応 に つ い て 個 別 的 に論 じ る.

  5.2.1  形 状 因子 の 一 般 形   この項で は形状 因子

(5.60) の 一 般 的 な 性 質 を 検 討 し よ う.と

き と し てVγ

は

の よ うに,お の お のが 反 応 粒 子 の 異 な る部 分 に働 くVγiの 和 に な っ て い る.こ の場 合 に は,形 状 因子 は そ れ ぞ れ に 対 応 す る部 分 の和 に な るが,各

部分は異 な

る 反応 機 構 を 記 述 す る と考 え る こ とが で き る.異 な る反 応 機 構 の 寄 与 はT行

列

に 干 渉 的 に 寄 与 す る.し か し,そ れ ぞ れ の 反 応 機構 で 放 出 粒 子 の 角 分 布,エ

ネ

ルギ ー 分 布,反 応 の励 起 関数 な ど に 大 き な違 いが あれ ば,そ れ ら を 実 験 的 に ほ ぼ 区 別 す る こ とが で き る.以 下 の議 論 は そ の よ うな,一 つ の 反 応 機 構 の 形 状 因 子 に つ い て で あ るが,こ

の項 で は 簡 単 の た め に 相 互 作 用 を単 にVγ と書 く.

  (a) 移 行 角 運 動 量 表 示   反応A+a→B+bのDWBAのT行

列 要 素 の計 算 に は,歪 曲 波 の 角 運 動 量

表 示 が 使 わ れ る か ら,形 状 因 子 も角運 動 量 表 示 を して お くのが 便 利 で あ る.し か し,反 応 には い ろ い ろ な 角 運 動 量 が 関 与 す るか ら,そ の 表 示 は 一 意 的 で は な い. 実 際 上 最 も便 利 な の は 反 応 に 際 し て起 こ る移 行 角 運 動 量(angular

momentum

transfer)

(5.61) に よ る 表 示 で あ る.た だ し,Inは が 起 こ る 直 前(後),す 後(受

粒 子nの

ス ピ ン角 運 動 量,Lα(Lβ)は

な わ ち歪 曲 ポ テ ン シ ャ ルUα(Uβ)に

遷移

よ る変 化 を 受 け た

け る前)の 軌 道 角 運 動 量 で あ る.角 運 動 量 の 保 存 則 は

で 表 され る.よ

って

(5.62) で あ る.sとjは

内 部 運 動 の 角 運 動 量 移行 で あ るか ら,(5.62)は

動 の角 運 動 量 移 行lに *1 (5 .61)は

られ る.

よ って 供 給 され る こ とを 表 す*1.

標 的・ 残 留 核 と 入 射 ・放 出 粒 子 に 対 し て 対 称 で あ る.軽

に は,s=Ia-Ibで

そ れが 相 対 運

定 義 す る こ と も あ る.こ

粒 子 反応 だ け を扱 う場 合

の と き は,(5.62)はl+s=jで

置 き換 え

 

の移行角運動量表示はそれの空間の回転に対する変換性を考え

れ ば,次 の よ うに して 求 ま る.簡 単 の た め に,二 つ の 量UとVが もつ こ と をU⇔Vで

表 す こ とに す る.(5.60)の

カラー である から, 

同 じ変 換 性 を

右辺の  

はス

で あ る.

   

と 

を考慮すると, はそれぞれ次のようにして球面テンソ

ル の 一 次 結 合 で表 せ る.

 は さ らに あ る球 面 テ ン ソルOlmの

一次結合

で 表 せ るか ら,結 局

Clebsch-Gordan係 のmsとmの

と 書 け る.た

数 の 対 称 性 を使 って 角 運 動 量 の 合 成 の順 番 を変 え,和

符 合 を 変 え た うえ でms+μ=mを

だ し,一

般 にx=(2x+1)1/2で

の中

使 うと

あ る.ゆ

えに

(5.63)

と 書 くこ とに す る と, は

 

と 同 じ 変 換 性 を もつ.(5.63)のClebsch-Gordan係 (5.61)と(5.62)で

 

す な わちY*l m 数 か ら 明 らか にj,

定 義 し た移行 角運動 量 で あ る.ゆえ

s, lは

に, 

が

の移行角運動量表 示にほか な らない.そ れ は逆変換

(5.64)

によって   

から計算 できる. を考慮して, 

を次の

よ うに球 面 波 展 開 す る.

た だ し(-1)lは

(5.65)

後 の 便 宜 の た め に つ け た.

 

は(5.65)の 逆変換

(5.66) で与 え られ る  

の動径部 分で,ス カ ラー量で ある.

  (b) 選 択 規 則   角 運 動 量 移 行j,

sは(5.61)を,ま

たlは(5.62)を

満 た さ ね ば な ら な い.こ

れ らを陽に書けば

(5.67) (5.68)

(5.69) で あ る.反

応 で は こ れ ら を 満 た す 角 運 動 量 移 行 だ け が 許 さ れ る.こ

則(selection

rule)と

い う.

  パ リ テ ィ に つ い て は,反 πcと す る と,系

応 前 後 の 粒 子c=a,b,A,Bの

状 態 の パ リテ ィ を

の 内 部 運 動 の パ リ テ ィ変 化 は,

と同 じであ る. 

のパ リテ ィは これ と等 しいはずで ある.し か し,

それは必ず し も(-1)lで はない. 

が二つ の独立なベ ク トルの関数

だか らであ る.rα とrβが等しいかまたは平行rα=rβ はYl-m(rα)に

比 例 す る こ と に な る か ら,そ

と き は,(-1)l=Δ 合 は 正 確 にrβ=rα

π が パ リ テ ィ に よ るlの で あ る.組

 (5.57)に

ならば, 

の パ リ テ ィは(-1)lで 選 択 規 則 に な る.非

み 替 え 反 応 で は,後

や 無 反 挑 近 似 を し た 形 状 因 子 で は,rα=rβ

  5.2.2 

れ を選択規

あ る.そ

の

弾性散 乱の場

で 述 べ るzero-range近

似

が 成 り立 つ.

断 面 積 の一 般 形 形 状 因 子 の 表 式(5.63)を

使 う と,遷

移

(5.70) に対す るT行 列要素 の表式 は

(5.71) と な る.た

だ し

(5.72) で あ る.こ

こ で,後

(5.51)と(5.65)を

の便 利 の た め に 因子   使 うと

お よび  

を 付 け た.(5.49),

(5.73) と な る.た

だ し,

(5.74) で ある.こ こに,  部 分 で あ る.(5.73)の

は(5.66)で 定義 された   右 辺 最 後 のM'a,

M'bに つ い て の 和 は9j係

に比 例 す る もの で 置 き換 え る こ とが で きる.そ の 結 果 にCG係 えば,M'α,

M'βに つ い て の和,続

い てms,

mに

の動径 数 を使 って

数 の 直 交 性 を使

つ い て の和 が とれ,結

局

(5.75) が 得 られ る.こ れ が,aとbに の 

だ け テ ン ソル 力,ス

の一 般 形 で あ る.(5.75)を(5.71)に

ピ ン 軌 道 結 合 力が あ る場 合

使 えば,こ の 場 合 のT行

列 要素

が 求 ま る.   も しa,

bの 歪 曲 ポ テ ン シ ャ ル に テ ン ソ ル 力 が な け れ ば

(5.76) ス ピ ン軌 道 結 合 力 も な けれ ば

(5.77)

で あ る.(5.77)の

場 合 に は,(5.75)か

ら,ま

た は(5.73)か

ら直 ち に

(5.78) が 得 ら れ る.

  (5.71)で与 え られ るT行 列要素 を改めて  

と書 くことにす る

と,そ れ に対 応 す る微 分 断面 積 は

(5.79) で 与 え られ る.入 射 チ ャ ネ ル に ス ピ ン の偏 極 が な く,放 出 チ ャ ネ ル の ス ピ ン を 測 定 しな い 無 偏 極 微 分 断 面 積 は

(5.80) で あ る.(5.73)を

使 うと

と な る.し た が っ て,無 偏 極 微 分 断 面 積 で は 異 な るjの 寄 与 は 干 渉 しな い.さ ら に歪 曲 ポ テ ン シ ャ ル に ス ピ ン 依 存 性 が な い 場 合 には,(5.77)に

で あ る.し

た が っ て,

より

(5.81) と お くと

(5.82) が 得 ら れ る.し

たが って,歪

曲 ポ テ ン シ ャル に ス ピ ン依 存 性 が ない 場 合 に は,

j, s, lの す べ て が 非 干 渉 で あ る.   波 動 関 数 の 反 対 称 化 を考 慮 し た場 合,微 分 断 面 積 は(2.248)に

よっ て,

(5.83) で 与 え ら れ る.た だ し, 

は(5.45)で

与 え られ,ま

(5.84)

よ っ て 

で あ る.陽

た

子 と 中 性 子 を 別 々 に 反 対 称 化 し た 場 合 に は(2.250)に

よ り,

(5.85) た だ し,

(5.86) で あ る.ま た, 

な どで あ る.た だ し,an(An)は

中の 中性 子 の 数 で あ る.(5.83)に

粒 子a(A)

対応す る無偏極 の微分断面積 は

(5.87) で あ り,(5.85)に

つ い て も 同 様 で あ る.

  以 上 の 考 察 は,い 立 つ.

う ま で も な く,prior

formのT行

列 要 素 に対 して も成 り

  5.2.3  非 弾 性 散 乱 に よ る集 団運 動 の励 起   あ る 種 の 原 子 核 に は 圧 縮 振 動,表 面 振 動,回

転 な ど の 集 団 運 動 状 態 が あ る.

そ の よ う な集 団 運 動 は非 弾 性 散 乱:

(5.88) に よ っ て 強 く励 起 され る.時 と し て 入 射粒 子aも

集 団 励 起 す る こ と もあ る.こ

の 場 合 は 相 互 集 団励 起 と呼 ば れ る.こ の 項 で は こ の 反 応 に 対 す るDWBAの

形

状 因 子 を 計 算 し よ う.す で に 述 べ た よ うに,集 団 励 起 は 一 段 過 程 で 記 述 され な い 場 合 もあ るが,そ

れ につ い て は 次 節 で 詳 し く述べ る.

  集 団 運 動 の励 起 を簡 単 に記 述 す る に は,"巨 視 的"模 型 が よ く使 わ れ る.こ の 模 型 で は 集 団 運 動 は"集 団座 標"に よっ て記 述 され る.集 団運 動 は 量 子化 され て お り,集 団 座 標 の 関 数 で あ る 波 動 関 数 で 記 述 され る.個

々の 核 子 の 運 動 は,最

も簡 単 な 近似(断 熱 近 似)で は,集 団 運 動 とは 分 離 し てお り,集 団励 起 が 起 こっ て も変 化 は な い と仮 定 され る.   反 応(5.88)で

は相 対 座 標,内

因子 は 相 対 座 標  

部座 標 に 変 化 は 起 こ らな い.し たが って,形 状 だ け の 関数:

(5.89)

になる.ただし,  もrだ

である.したがって 

け の 関 数 に な る:

(5.90)   巨 視 的模 型 で の相 互 作 用Vγ は粒 子aとAの 間 の 光 学 ポ テ ン シ ャル に 由 来 す る.厳 密 に い う と,光 学 ポ テ ンシ ャル は 粒 子 の 状 態 に よ るか ら,チ ャ ネル α と α'で は違 う.し か し,そ の 差 は小 さい と思 わ れ るの で 無 視 され る.集 団 運 動 の 光 学 ポ テ ン シ ャ ルへ の 影 響 が 半 径 の 変 化 だ け で あ る とす れ ば, 

で 与 え られ る.た だ し,R0とRは

は

そ れ ぞ れ 集 団 運 動 に よ る変 形 が な い 場 合 と

あ る 場 合 の ポ テ ン シ ャル の 半 径 で あ る.ま た,簡 単 の た め に ス ピ ン依 存性 を 無 視 した.Rはrの

方 向 Ω に 依 存 し,一 般 に

(5.91)

で 表 され る.た だ し,lは 集 団 運動 に よ る変 形 の 多 重 度,{αlm}は き さで あ る.行 列{alm}はl階

その変形の大

の 球 面 テ ン ソ ル で, 

は スカ

ラ ーで あ る.   表 面 振 動 の 励 起 を 考 え よ う.表 面 振 動 は微 少 振 動 で あ るか ら,αlmは あ る.ゆ え に,αlmの1次

微少で

の近似で

(5.92) とな る.こ れ が 表 面 振 動 を励 起 す る 相 互 作 用 の ポ テ ン シ ャル で あ る.αlmは フ ォ ノ ンの 生 成,消

滅 演 算 子 

に よ って

(5.93) で 与 え ら れ る.βlは よ っ て 標 的 核Aは

変 形 の 大 き さ を 表 す パ ラ メ タ ー で あ る.相 状 態 φAIAMAか

フ ォ ノ ン 数 を そ れ ぞ れNAお

ら φA*IA*MA*に

よ びNA*と

移 る.そ

互 作 用(5.92)に れ らの状態で の

する と

(5.94) で あ る.し た が っ て,一 段 階 過 程 で は 一 つ の フ ォ ノ ン の 励 起 しか で き な い.(5.93), (5.94)を(5.92)に

代 入 す れ ば,基

底 状 態 で はNA=0で

あ る か ら,(5.89)か

ら

(5.95) を 得 る.こ

れ は,(5.63)でs=0,

j=lと

し た 形 を し て お り,

で あ る.た だ し,肩 つ き 「'」は 不 要 だ か ら省 い た.こ ノ ン の多 重 極 で あ り, 

は す べ て0で

に 強 く依 存 す る干 渉 縞 様 の 角 分 布 を示 す. 

こでlは 励 起 され る フ ォ

あ る.そ の 結 果,断 面 積 はl は 核 表 面 付 近で

大 きい か ら,形 状 因 子 は そ こ に 集 中 して い る.表 面 振 動 が そ こ で 起 こ る こ とを 考 え る と,こ れ は 自然 で あ る.大 き さは,Uの に ス ピ ン軌 道 結 合

深 さ と βlR0の 積 に比 例 す る.U

が あ る 場 合 に は,Gjsl   次 に,軸

,m(r)に

はs=1,j=l-1,l,l+1の

成 分 が あ る.

対 称 変 形 核 の 回 転 運 動 の 励 起 を 考 え よ う.(5.91)に

て 核 の 対 称 軸 の 方 向 にz'軸

を も つ,核

に 固 定 し た 座 標 系O'で

お い て,Ω

とし

測 っ たrの

方 向

を Ω'を と る こ と に す る と,

(5.96) で あ る.こ

の 場 合 に は,αl0は

は 適 当 で は な い.し

微 小 で は な い の で,U(r,R)を

αl0で 展 開 す る の

か し こ の 場 合 に も,U(r,R)はYl0(Ω')に

よ って

(5.97) の よ うに正 確 に 展 開で きる.座 標 系 を 空 間 に 固定 し た座 標 系Oに

と な る.た

だ し, 

D関

はO'のOに

数,Θ

は,座

標軸 の回転  

対 す る 回 転 のEuler角

移す と

対 す る3次 で あ る*2.よ

元 回転の

って

(5.98) とな る.核 の 回 転 運 動 の 集 団座 標 はΘ で,角 運動 量Iの 集 団運 動 の 波 動 関数 は  

で あ る.た だ し,MはIのz成

分,Kは

対 称 軸 方 向 の 成 分 で あ る.

偶 偶 核 の 基 底 状 態 か ら,そ の 上 に 立 つ 角 運 動 量Iの

回転 準 位 へ の励 起 の 場 合 に

は,IA=0,IA*=I,K=0で

あ るか ら

と な る*3.

*2 こ のD関

数 の 定 義 は 核物 理で よ く使 わ れ る もの で

,多 くの 定義 の エ ル ミー ト共役 に な っ

て い る. *3  こ こ で た[1].

, 

を 使 っ

よ って

(5.99) で あ る.   以 上 が 巨視 的 模 型 に よ る集 団 運 動 励 起 の形 状 因 子 で あ る.中 高エ ネ ル ギ ー反 応 の 非 弾 性 散 乱 に よ る巨 大 共 鳴 な ど の 集 団 運動 状 態 の 励 起 の 一段 階 遷 移 は,残 留 核 が 戸 口状 態 で あ る こ と を 除 けば,上 に 同 じで あ る.な お,U(r,R)の

記 の 離 散 状 態 へ の 遷 移 の場 合 と本 質 的

変 形 に よ る変 化 は,上 記 の 定 義 の ほ か に,等

ポ テ ン シ ャ ル 面 の 変 形 に よる,と す る考 え もあ る こ とを つ け 加 え て お く.   微 視 的 理 論 で は,集 団 運 動 は 個 々の 核 子 の 集 団 的 な 運 動 と して 記 述 され る. た と えば,1フ

ォ ノ ン状 態 は1粒

子1空

孔(1p-1h)状

態 の 重 ね 合 わせ で あ る.

し たが って,そ れ の 励 起 の 形 状 因子 は 多 くの 一 核 子 励 起 の 形 状 因子 の 重 ね 合 わ せ に な る.一 核 子 励 起 の 形 状 因子 は 励 起 され る 核 子 が 始 ・終 状 態 で 占 め る 一 粒 子 準 位 に よ る.集 団運 動 に寄 与 す る の は 主 と して 比 較 的Fermi準 で あ る.し

位 に近い準位

たが っ て,形 状 因子 は そ れ らの 準 位 の 波 動 関数 の 振 幅 が 大 きい 核 表

面 付 近 で 大 きい.こ れ は 先 に述 べ た 巨 視 的模 型 と一 致 し てい る.関 与 す る 一 粒 子 準 位 は 個 々の 核 に よ って 異 な るか ら,厳 密 に い う と,形 状 因 子 も同様 で あ る. しか し実 際 に は 多 くの 場 合,関 与 す る一 粒 子 準 位 の 数 が 多 く,し か も形 状 因 子 の 細 か い 形 はT行

列 に そ れ ほ ど 影 響 し な い の で,断 面 積 の 角 分 布 の様 子 は 核 の

個 性 に 強 く依 存 す る こ とは な い.   以 上 の議 論 で は,T行

列 の 反 対 称 化 を無 視 して きた.巨 視 的模 型 で は,こ れ は

や む を得 ない.し か し微 視 的模 型 で は,入 射 粒 子 と核 内核 子 との 交換 を考 慮 す る こ とが で き る.こ の過 程 は,放 出 粒 子 と入 射 粒 子 は 構 成 核 子が 異 な るか ら,次 節 で 述 べ る 組 み 替 え 反 応 の 一 種 と見 な す こ とが で きる.形 状 因子 は もはや(5.89), (5.90)の よ う な一 つ のベ ク トル の 関 数 で は な く,二 つ の ベ ク トル の 関 数 で あ る. 実 際 は,交 換 過 程 は 集 団 励 起 に対 して は 重 要 で は な く,普 通 無 視 され る.し か し,た

とえ ば 単 一粒 子 の 励 起 で 角 運 動 量 移 行 が 大 きい 場 合 に は,そ れ が 重 要 で

あ る こ とが 知 られ て い る.  粒 子 の 組 み 替 え を伴 わ な い 反 応 に は 非 弾 性 散 乱 の ほ か に荷 電 交 換 と ス ト レ ン ジ ネ ス交 換 反 応 が あ る.こ 応 とは(p,n),

(n,p), (3He,t)な

こで い う電 荷 交 換(charge

ど で,ア

exchange)反

イ ソ ス ピ ン に依 存 す る相 互 作 用

に よっ て,入 射 粒 子 と標 的核 が,核 子 を交 換 せ ず,荷 電 だ け を 交換 す る過 程 で あ る.ま

た(π ±,K±)に よ るハ イパ ー 核 の 生 成 で は,入 射 πが 核 内 核 子 の 一 つ と

ス トレ ンジ ネ ス を交 換 して それ をハ イペ ロ ン に変 え,自 らはKに で は,こ

な る.DWBA

れ ら の過 程 の 入 射 粒 子 と放 出 粒 子 は 同 じ粒 子 の ア イソ ス ピ ンな い し ス

トレ ン ジ ネ ス の異 な る状 態 と考 え,こ の 過 程 を 核 子 交 換 の な い 非 弾 性 散 乱 と同 様 に取 り扱 う.も ち ろ ん,こ れ ら の 反 応 に は 粒 子 の 移 行 を伴 う機 構 も寄 与 し う るか ら,荷 電,ス

トレ ンジ ネ ス移 行 過 程 を 同 定 す る に は実 験 的観 測 の 理 論 的 解

析 が 必 要 で あ る.

  5.2.4  組 み 替 え 反 応   組 み 替 え(rearrangement)反

応の一般形 は

(5.100) で あ る.こ

こ で,た

と い う意 味 で あ る.こ あ る.cとCは

と え ば,a(c+x)は こ に,x,

yが

そ れ ぞ れaお

移 行 し な い 部 分 で,"芯"と

複 数 個 の ば ら ば ら な 核 子,ま で あ る.時

粒 子aが

と し て,x,

し て 移 行 す る 場 合,あ

二 つ の 部 分cとxか よ びAか

た は 複 数 個 の 核 子 の 塊(ク

る い はAが

ら移 行 す る部 分 で

呼 ば れ て い る.x,

yの 一 方 だ け し か な い 場 合,逆

ら な る,

yは1個

また は

ラ ス タ ー)の にcが

束縛状態

な く,aが

全体 と

全 体 と し て 移 行 す る 場 合 も あ る.

  反 応 を 引 き 起 こ す 相 互 作 用 の 現 象 論 的 ポ テ ン シ ャ ルVα

ま た はVβ

は(5.100)

の左 辺 ま た は 右 辺 の 各 粒 子 間の それ の 和

(5.101a) (5.101b) で あ る と 仮 定 す る.(5.101a)がprior

form,

(5.101b)がpost

formで

  右 辺 の 各 ポ テ ン シ ャ ル は 現 象 論 的 に 決 め ら れ る が 任 意 で は な い.た Vα 中 のVcyはb(c+y)の け れ ば な ら な い.bの

中 でcとyを

が 多 い.そ

際 に は,φbも

の 場 合 に は,Vcyも

と え ば,

結 合 させ て い るポ テ ンシ ャ ル と 同 じ で な

内 部 波 動 関 数 φbは 既 知 と し た か ら,こ

す る 厳 し い 条 件 に な る.実

あ る.

の 条 件 はVcyに

対

現 象 論 的 な模 型 の 波 動 関 数 で あ る こ と

そ れ に 応 じ た ポ テ ン シ ャ ル で な くて は な ら な い.

ほ か の ポ テ ン シ ャ ル に つ い て も,同

様 で あ る.こ

の よ うな状 況 下 で 決 め られ た

各 ポ テ ン シ ャ ル が(5.100)に 了 解 の も と に,各Vに

付 け た"―"記

  反 応 の 機 構 はx, て も 異 な る.個

よ びVfと

満 た さ な い か ら,一

が 存 在 す る わ け で は な い.両   次 に,(5.100)型

後,こ

の

号 を 省 く こ と に す る.

yの 種 類 だ け で な く,そ

々 の 反 応 機 構 はVα

そ れ ら を そ れ ぞ れViお identityを

対 す る 現 象 論 で 使 わ れ る こ と に な る.以

の 移 行 を 引 き起 こ す 相 互 作 用 に よ っ

ま た はVβ の 一 部 に よ っ て 引 き 起 こ さ れ る. 呼 ぶ こ と に す る.そ

れ ら は 一 般 にprior-post

つ の 反 応 機 構 に 対 し て,1:1対

応 す るViとVf

方 が 存 在 す る と も 限 ら な い.

の 典 型 的 な 反 応 機 構 を 列 挙 し て み よ う.

  (1) ス ト リ ッ ピ ン グ(stripping)と

ピ ッ ク ・ア ッ プ(pick

up)

(5.102)   矢 印 の 右 向 きがstripping,左 子aの

中 のxが

る.pick

upで

は ぎ と ら れ て(stripさ は,入

射 粒 子bが

aと な っ て 出 て い く.相 upの Vf,

upに

対 し て はViで

  (2) ノ ッ ク ・オ ン(knock

  aがA中

のbを

作 用 はVabで,こ

らxを

れ はstripping対

upし

作 て) pick

して は

あ る. on)

れ はViで

も 同 じ で あ る.

もVfで

れ と 入 れ 替 わ る 反 応 で あ る.相

particle

入 れ 替 え た もの で あ る.Aがaに

よ ってstripさ れB

onと 粒 子 移 行 の 仕 方 は 同 じ で あ るが,相

の ポ テ ン シ ャルUaAの

互

stripping)

あ る こ とが 異 な る.こ の 相 互 作 用 にはaは

互 作 用 な し でa-A間

合 体 し 残 留 核Bを

で 述 べ る 理 由 で,stripping,

on),そ

を作 る.こ の 反 応 はknock

は入射粒

つ ま み 上 げ て(pick

叩 き 出 し(knock

  これ は(1)でaとAを

ルUaCの

あ る.strippingで

と る の が 普 通 で あ る.こ

  (3) 重 粒 子 ス ト リ ッ ピ ン グ(heavy

Vf=VbCで

upで

れ て)標 的 核Aと

標 的 核Bか

互 作 用 と し て は,後

ど ち ら に 対 し て もVxbを pick

向 き がpick

関 与 しな い か ら,aは

連 続 状 態 か らa-C間

束 縛 状 態 に遷 移 せ ねば な らな い.C≫bの

互 作 用が

場 合 に は, 

相

のポ テ ンシャ で

あ るか ら,そ れ らの 状 態 は ほぼ 直 交 し て い る.し た が っ て,そ の よ うな 遷 移が 起 こ る確 率 は 非 常 に 小 さい.す な わ ち,重 粒 子 ス トリ ッ ピ ン グ は 標 的核 が 移 行 粒 子 に比 べ て 大 きい と きに は 起 こ りに くい.

(4) 弾性 ・非 弾 性 散 乱 の 交 換 反 応

  た だ し,xとyと

は 同 種 粒 子 で あ る.し

粒 子(標

的 核)と

あ る.こ

れ は 同 時 に 二 つ の 粒 子xとyが

放 出 粒 子(残

留 核)の

た が っ て,xとyが

種 類 は 変 化 し な い.相

交 換 して も入 射 互 作 用 はVxyで

移 行 す る 過 程 の 例 で あ る.

  こ れ ら の 中 で 最 も 簡 単 で か つ 重 要 な の は,strippingとpick

up反

応 で あ る.

以 下 で は そ れ ら に つ い て 詳 論 す る こ と に す る.

  5.2.5 

strippingお

よ びpick up反

up反

  strippingお

よ びpick

標 系 は 図5.1に

示 し た と お りで あ る.

  xは 核 子 の ほ か,d,t,α

応 

を 記 述 す る座

な ど の よ う な 複 合 粒 子 の 場 合 も あ る し,バ

な 複 数 個 の 粒 子 の 場 合 も あ る.こ た だ し 

応

,で

ラバ ラ

の 場 合, 

あ る.図5.1か

ら明 らか に

(5.103) で あ る か ら,変換 

のヤ コビアンは

で あ る.   stripping反

応 は(5.102)の

し た が っ て,そ

う ち,相

互 作 用 がVf=Vbxで

あ る も の で あ る.

の 形 状 因子 は

(5.104) で あ る. 

は 反 応(5.102)の

全 形状 因 子

(5.105) の 一 部 で あ る. 

で あ る か ら,

(5.106)

と書 け る.strippingで

はAは

ほ とん ど励 起 され な い と考 え る と, 

で あ るか ら,

(5.107) である.も しA≫xな

ら, 

だか ら,(5.107)

の右辺は小さい.し たがって(5.106)から  わ ちstrippingが

反 応(5.102)の

すな

主 要 部 分 で あ る こ と が わ か る.Vxbはpick

反 応 の 相 互 作 用 と し て 直 感 的 に 極 め て わ か り や す い.strippingに 使 う こ と は,そ

のT行

え て も よ い.ち

な み に,も

列 の 計 算 を,わ

up

対 して そ れ を

か りや す い 逆 過 程 の そ れ で 代 行 す る と 考

し,(5.102)のprior

formの

相 互作 用

を使 う と,右 辺 の ど の 項 も同程 度 の 大 き さな の で,post

formを

使 っ た場 合 の

上 記 の よ うな 議 論 は で きな い.   (5.105)に 対 応 す る 反 対 称 化 され た 形 状 因子 は

(5.108) で あ る.Pα

はaとAの

間 の 同 種 核 子 の 交 換 を 表 す.strippingで

て,放

出 さ れ るbはaの

がaの

中 に あ る 項,す

に 対 応 す る.φBは で あ る か ら,そ

中 に な け れ ば な ら な い.し な わ ちPα

がAとxの

は,定

た が っ て,交

義 に よっ

換 項 の 中 でb

間 だ け の 交 換 で あ る 項 がstripping

反 対 称 化 さ れ て お り,VbB-Uβ

はB内

の 核 子 に つ い て対 称

の 条 件 を 満 た す 各 項 の 行 列 要 素 は す べ て 等 し い.そ

の項 数 は

(5.109) で あ る.た だ し,Bp,Bn(xp,xn)は の 数 で あ る.ま

た, 

それ ぞ れ 粒 子B(x)内 よ って,反

の 陽 子 お よび 中性 子

対 称 化 され たstripping

の形状 因子 は

(5.110) で 与 え られ る.形 状 因 子 の 移 行 角 運 動 量 表 示 につ い て も

(5.111)

で あ る.   さ て,(5.104)に 図5.1に

お い て,反

示 す 座 標 の 関 数 で,角

(c=a,A,b,B)の

応 粒 子a,

A,

b,

運 動 量(ス

Bの

ピ ン)の

内部 波動 関数 はそ れ ぞ れ の 大 き さIcと

そ のz成

分Mc

固 有 関 数 で あ る:

(5.112) (5.113) それ ら は1に 規 格 化 され て い る.Vxbは

ξAに よ らな い か ら, 

を

(5.114) と書 く こ とが で き る.た

だ し,

(5.115) (5.116) で あ る.φABは

標 的 ・残 留 核 だ け に,ま

たDbaは

入 射 ・放 出 粒 子 だ け に 関 係 す

る 量 で あ る.   φBIBMBは

(5.117) と 書 く こ とが で き る.右 辺 第1項 分,φ'BIBMBはAが φAIAMA(ξA)に

はAが

基 底 状 態 φAIAMA(ξA)に

励 起 状 態 に あ る 成 分 で あ る.  あ るAの

 

はxが

周 りを 全 角 運 動 量 の 大 き さ とz成

の 固 有 状 態 で 運 動 して い る状 態 を 表 す.そ

状態

分 の 固 有 値(j,μ)

れ は 規 格 化 され て お らず,ノ

は そ の状 態 が φBIBMB内

に よ らな い.(5.117)を(5.115)に

あ る成

ルム

に現 れ る確 率 に 比 例 す る.そ れ は μ

代 入す ると

(5.118) と な る.  

に 対 して も,(5.118)と

あ るか ら,  た が って,そ れ を

同様 な展 開が で きる.Vxbは

は 回転 に対 して  

ス カ ラ ーで

と 同 じ変 換 性 を持 つ.し

(5.119) と 展 開 で き る は ず で あ る.  ン ソ ル のms成

は こ の 式 で 定 義 さ れ るs階

の球面テ

分 で あ る.

  (5.118)と(5.119)を(5.114)に

代入す る と

(5.120) と な る.こ

れ を(5.64)に

代入 する と

(5.121) を 得 る.(5.120)と(5.121)か

ら 明 ら か に,j,

s, lが

先 に 定 義 し た反 応 の移 行

角 運 動 量 で あ る.

  を 実 際 に 計 算 す る に は,右 辺 の 変 数(rxA,rxb)を,(5.103) を使 っ て,(rβ,rα)の 関 数 に変 換 せ ねば な らな い.こ の変 換 の 中,球 面 調 和 関 数 に 関 す る部 分 に 対 し て は,z=ax+byに

対 して 成 り立 つ 公 式

を使 うのが 便 利 で あ る.動 径 変 数 の 変換 は,一 般 に は,数 値 的 に行 うほか な い.   しか し,  値 を持 つ.そ

はrxbの

関 数 と してVxbの

短 い レ ンジ の 範 囲 内 で だ け

こ で,

(5.122) と 近 似 す る.dsms(ξx)は

こ の 式 で 定 義 さ れ る.rxbは(5.103)で

与 え られ るか ら

(5.123) で あ り,rxb=0な

ら

(5.124)

で あ る.(5.122)を(5.121)に

代 入 し,(5.123),

(5.124)を

使 う と

(5.125) と な る.こ れ が こ の 場 合 の(5.42)に

対 応 す るzero-range近

似 で あ る. 

は

(5.126) で あ る.(5.122)の

近 似 で は,δ(rxb)はrxbに

つ い て ス カ ラ ー で あ る か ら,

 

のそうでない成分は無視されており, 

逆 に い え ば,そ

の よ う な 成 分 に 対 し て はzero-range近

  重 イ オ ン 間 のstripping,

に寄与しない.

似 は 使 え な い.

pick up, 

でx≪a,

A

の 場 合 に は,

の 右 辺 の 大 き さ は,b≫Bで は よ い 近 似 で あ る.こ

な い か ぎ り,≪rxbで

れ は, 

あ る.し

で あ る か ら 

す な わ ち,xの

行 に よ っ て 核 が ほ と ん ど 反 挑 を 受 け な い こ と を 意 味 す る.そ 反 挑(no

recoil)近

 

れ に は,各

の 場 合 に つ い て(5.118)の

を 求 め,(5.120)と(5.121)を

  5.2.6  一 核 子stripping,   stripping,

移

こ で この 近 似 は 無

似 と も呼 ば れ る.

  以 上 の 一 般 論 を 次 に い くつ か の 典 型 的 なstripping, て み よ う.そ

た が っ て(5.125)

pick

up反

pick

 

up過

程 に適用 し と(5.119)の

計 算 す れ ば よ い.

応

pick up反 応 の 中 で 重 要 で か つ 最 も簡 単 な の は 一 つ の 核 子 が 移行

す る 反 応 で あ る.す で に 述べ た よ うに,そ

もそ も低 エ ネ ルギ ー 直 接 過 程 の存 在

が 発 見 され た の は(d, p)お よび(d, n)反 応 にお い て で あ った.そ の後,こ の種 の 直 接 過 程 が ほ とん ど すべ て の 入 射 粒 子 と標 的 核 で も起 こ る こ とが 明 らか に な っ た.そ れ らの 断 面 積 の様 相 は 反 応 に 関与 す る核 の 状 態 の構 造 に 強 く依 存 す る の で,そ

の 研 究 が 核 の 低 エ ネ ル ギ ー 準 位 の 構 造 を 調 べ る の に 非 常 に よ く使 わ れ て

きた.   一 核 子stripping反

応  

に 対 す る形 状 因 子 の

図5.2 

一 核 子 移 行 反 応 を記 述 す る座 標 の 組 とそ れ に 付 随 す る角 運 動 量(括

移行角運動量表示  

を前 節 の一 般 論 に 従 って計 算 し よ う.反 応 を

記 述 す る座 標 とそ れ に付 随 す る角 運 動 量 を 図5.2に   この 反 応 のDWBA形

で あ る.5.2.5項

弧 内)

示 す.

状 因子は

の 一般 論 に 従 っ て こ れ を

(5.127) と 書 く.た

だ し

お よび

(5.128) で あ る.こ の 式 か ら  

が 満 た すSchrodinger方

程式

(5.129) を 使 っ てVbxを

消 去 す る の が 便 利 で あ る.た

運 動 エ ネ ル ギ ー,εbaはbのaか

だ し,Kxbはx-b間

の 相 対 運動 の

ら の 分 離 エ ネ ル ギ ー で あ る.(εba-Kxb)は

ξbに よ ら な い か ら,

(5.130)

と な る.φBIBMBと

φaIaMaを

そ れ ぞ れAお

よびbの

固 有 関数 系 で

(5.131) (5.132) と 展 開 す る.{ψjμ}と{φsms}は,こ

れ ら の 式 で 定 義 さ れ る.φ'B (φ'a)は

  の  と(5.132)か

を 含 ま な い 成 分 で あ る.(5.131)

ら

(5.133)

し たが って

(5.134) が得られる.た だし, 

で あ る か ら,明

である.図5.2か ら

ら か に ψjμ と φsmsを

さ らに

(5.135) の よ うに展 開 で きる.た だ し,  で 定 義 さ れ,核 子xがB(a)の

は(5.135)

中 で 状 態 

わ りを軌 道 角 運 動 量 の 大 き さlxA (lxb),全

に あ るA(b)の 角 運 動 量j(s)で

運 動 す る 状 態 を記

述 す る.ど ち ら の 関数 も規 格 化 され て い な い こ とに注 意 せ よ.(5.134),

に対応して, 

は

ま

(5.135)

(5.136) と展 開 で きる.た だ し, 

で あ る.ψlxAjμと

φlxbsmsをさ らに空 間部分 と内部運動部分 に

(5.137) (5.138) と分解 す る. 

はlxA (lxb)の 固有関数,ψIx(ξx)

はxの 内部波動 関数,実 際はxが 核 子なので   で あ る.よ

のスピ ン関数  

って

(5.139) と な る.た

だ し,

(5.140) で あ る.(5.137)と(5.139)を(5.136)に

代 入 す れ ば,ξxに

対 す る積 分 は 直 ち に

で きて

と な る.右 辺 に 対 す る 若 干 の角 運 動 量 代 数 の 計 算 の 後,一

核 子strippingの

形

状 因子 と して

(5.141)

を 得 る.こ

れ を(5.63)と

比較すれば

(5.142) が 得 られ る.た だ し, 

はRacah係

数,ま

た

(5.143) で あ る. 

の 肩 つ き記 号 「st」は省 略 した.

  (5.141)のClebsch-Gordan係

数 か ら明 らか に, 

で あ るか ら,こ れ らが 先 に定 義 した反 応 の 移 行 角 運 動 量 で あ る.j,

s

とlは

(5.144) (5.145) (5.146) と(5.143)のCG係

数 か ら 導 か れ る パ リテ ィ の 保 存 則

(5.147) と で 制 限 さ れ る.(5.141),

(5.142)か

ら 明 ら か な よ う に,形

状 因子 は上記の選

択 規 則 で 許 さ れ る す べ て の 遷 移 の 形 状 因 子 の 和 で あ る.

  (a) lxb=0の

場 合

  入 射 粒 子 が4He以 lxb=0 う ちlxb=0

(S状

下 の 軽 イ オ ン で あ る 場 合 に は,そ

態)で,lxb=2 (S状

態)の

(D状

態)が

成 分 に 対 して は

確 率 数%程

の内部状 態の主成 分は 度 混 ざ っ て い る.こ

の

で あ る か ら,

(5.148) お よび

(5.149) と な る.  xがBの

殻 模 型 ポ テ ン シ ャ ル の 中 で 一 体 運 動 を して い る場 合 を想 像 す れ ば 容

易 に わか る よ うに,(5.148),

(5.149)中 の  

く依 存 す る.し たが っ て,一 核 子strippingの

はlとj,特

形状 因子 はlに 強 く依 存 す る.そ

れ が(d, p)反 応 の 角 分 布 の 強 いl依 存 性 を 説 明 す る.形 状 因 子 のj依 依 存 性 ほ ど 強 くない.し

にlに 強

存 性 はl

か し,そ の 影 響 は 断 面 積 の 角 分 布 の 一 部 と偏 極 重 陽子

に よ る反 応 の 分解 能 に顕 著 に 現 れ る こ とが 見 出 され て い る.こ の こ とか ら逆 に, 反 応 の 実 験 的 観 測 を解 析 す る こ とに よ っ てl, jを 決 定 す る こ とが 可 能 に な る.   lxb=0の

成分 に 対 して は

(5.150) に よ っ てzero-range近

似 を す る こ とが で き る.D0は

で あ る.(5.150)を(5.148)に

代 入 す る と,(5.103)に

こ の式 で 定 義 され る定 数 よ り,

(5.151) と な る.た

だ し,

(5.152) で あ る.ま

た(5.150)を(5.149)に

代 入す ると

(5.153)

と な る.た

だ し,

(5.154) で あ る.ψxAjl

m(rα)を

(5.155) とす る と

(5.156) ただ し

(5.157) で あ る. 

 

の,(5.66)で

定 義 し た,球

面 波 展 開 の 動径 部分

は簡単に計算できて

(5.158) と な る.

  zero-range近

似 の 定 数D0は

次 の よ う に し て 求 ま る.(5.140)を(5.150)に

代

入す る と

これ を  

につ いて解 くと

(5.159) で あ る.こ れ が 正確 な   正確 な   を1に

の漸 近 形 と一致 す るため に は,右 辺 の振 幅 が

の それ と一 致 し な けれ ば な らな い.後 者 は, 

中の  

規 格 化 し た と きの 無 限遠 で 漸 近 振 幅(asymptotic の振 幅cxb(1/2,0)の

積 で あ る.よ

amplitude) Nxbと

φd

って

(5.160)

が 得 ら れ る.   (d,p)反

応 に 対 し て は,核

で あ る.た はn-p系

だ し,dの

range理

論 に よれ ば

結 合 エ ネ ル ギ ー を εdと し て  

の ス ピ ン 三 重s状

rt=1.73fmを

力 のeffective

態 のeffective

rangeで

使 う とNnp=0.877fm-1が

状 態 の 確 率 で,0.942が

ま たrt

あ る[2].εd=2.225MeV,

求 ま る.ま

よ く使 わ れ る.こ

た,cxb(0,1/2)2はS

れ ら を使 う と

(5.161) が 得 られ る.   (d,p)以 外 の 反 応 につ い て は,D0は 論 的パ ラ メ ター とし て,DWBAの

何 らか の 方 法 で 計 算 す るか,ま た は 現 象 計 算 結 果 が 実 験 と合 う よ う に決 め る.経 験

的 に,次 の よ うな 値 が よ い と され て い る[3].

(5.162)

  (b) lxb≠0の

場合

  (1) 軽 イ オ ン 反 応   4He以

下 の 軽 イ オ ン の 基 底 状 態 は ほ と ん どS(lxb=0)状

D(lxb=2)状

態 が わ ず か に 混 ざ っ て い る.形

し て は, 

がrxbに

似(5.150)は で は0で

成 り 立 た な い.し

の 断 面 積 へ の 影 響 は,入

か し, 

はVxbの

短 い レ ン ジ の外

非 局 所 性 は 小 さ い.

成 分 は ス ピ ン 偏 極 量 に 影 響 を 与 え る.し 射 エ ネ ル ギ ー が 低 け れ ば 小 さ い.た

応 の 場 合,Id-Ip=sとs=In+lnpがId=1, 両 立 す る た め に はs=3/2し し か な い.歪

成 分に対

つ い て ス カ ラ ー で は な い か ら,zero-range近

あ る か ら,Fjsl,m(rβ,rα)の

  Fjsl,m(rβ,rα)のlxb=2の

態 で あ る が,

状 因 子 のlxb=2の

は 断 面 積 の 中 で 干 渉 し な い.し

と え ば,(d,

Ip=In=1/2に か 許 さ れ な い.一

方,lxb=0の

曲 ポ テ ン シ ャ ル に ス ピ ン 依 存 性 が な け れ ばsが た が っ て,lxb=2の

か し,そ p)反 対 して

場 合 はs=1/2 異 な るT行

列要素

成 分 は 小 さ い か ら,そ

れの

断 面 積 へ の 寄 与 も小 さ い.歪 は 弱 い か ら,こ   し か し,入

p)の

れ

の 結 論 は あ ま り 変 わ ら な い. 射 エ ネ ル ギ ー が 高 く な る と,歪

Gjsl,m(rβ,rα)の な る.(d,

曲 ポ テ ン シ ャ ル に ス ピ ン 依 存 性 が あ っ て も,そ

中 で 変 化 が 大 き いlxb=2の 場 合,入

曲 波 の 振 動 が 激 し く な り, 成 分 の 寄 与 が 相 対 的 に大 き く

射 エ ネ ル ギ ー が 数 百MeVに

な る と,lxb=2の

成分 の

寄 与 が 主 に な る こ とが 知 られ て い る.   (2) 重 イ オ ン 反 応   重 イ オ ン 反 応 で は,lxb≠0が 成 り立 た な い.し

か し,入

む し ろ 普 通 で あ る.こ

の 場 合 に は,(5.150)は

射 ・放 出 粒 子 の 質 量 が 核 子 の そ れ に 比 べ て は る か に

大 き い の で,

で あ る か ら,

(5.163) が 成 り立 つ.こ

れ を 無 反 跳(no-recoil)の

近 似 と 呼 ぶ こ と は す で に 述 べ た.

  (c) 有 限 レ ン ジ の 補 正   zero-range近

似 の 

に 対 す る 有 限 レ ン ジ の 補 正 は,Dsms(rxb,ξx)の

レ ンジ が 小 さい こ と を 利 用 す れ ば 非 局 所 光 学 ポ テ ン シ ャル に対 して使 った 局 所 エ ネ ル ギ ー 近 似(3.5節)と は, 

同様 な 近 似 を使 っ て 行 う こ とが で き る.そ の 結 果

が ポ テ ン シ ャルUxA(rxA)内

定 す れ ば,zero-range近

の 一 体 運 動 で 近 似 で き る と仮

似 の 形状 因 子 に

(5.164) と い う 因 子 を 掛 け れ ば よ い,と

状 因子   Bxbはa内

い う こ と に な る.た

だ し,ρ

はzero-rangeの

形

の 平 均2乗 半 径,Uα, Uβ は歪 曲 ポ テ ン シ ャル(の 中心 力 部 分), のxとbの

結 合 エ ネ ル ギ ー,す

な わ ちxの

分 離 エ ネ ル ギ ー(正)で

あ る[4].   重 イ オ ン の 場 合 の 有 限 レ ン ジ の 補 正 は 軽 イ オ ン の 場 合 と 異 な るが,や range近

は りzero

似 の 形 状 因 子 に 一 定 の 因 子 を掛 け る こ と に よ っ て 行 う こ とが で き る[5].

 (d) 反 対 称 化  5.2.5項 に よれば反対 称化 され たstrippingの 形状 因子   で計算 した反対 称化 を考慮 しないそれ  

倍 で あ る.た

だ し,Bc(xc)はB(x)に

子 移 行 反 応 で はxpとxnの

は上

の

含 ま れ る核 子c=p,nの

一 方 が1,他

方 が0だ

数 で あ る.一

か らNx=Bxで

あ る.よ

核

っ て,

(5.165) で あ る.

 反 対 称 化 を考 慮 した 断 面 積 は,(5.85)に

よ り, 

で 計 算 され た

断面積 の

倍 で あ る.一 核 子 移 行 反 応 の 場 合,こ の 値 はax/Bxで

あ る.よ っ て,反 対 称 化

を考 慮 し た と きに 断 面 積 は そ うし な い と きの

(5.166) 倍 で あ る.   以 上,も

っ ぱ らstrippingに

で あ る か ら,T行 DWBAに

つ い て 論 じ て き た が,pick

列 要 素 はstrippingに

よ る 取 扱 い はstrippingと

up反

応 は そ の 逆 過程

対 す る そ れ を 時 間 反 転 し た も の で あ る. ま っ た く 同 じ で あ る.そ

れ はstrippingと

ま っ た く 同 様 に 広 く研 究 さ れ て い る.

  (e) 分 光 学 的 解 析   核A,

Bの

波 動 関 数 の 重 な り φAB(rxA,ξx)は,原

理 的 に は,φAと

か っ て い れ ば そ れ ら の 重 な り と し て 計 算 で き る.し 核 表 面 付 近 で 十 分 な 精 度 を も つ φA,

φBは,わ

  φBは 次 のSchrodinger方

程 式 を 満 た す.

わ

応 の 計 算 に肝 要 な

か っ て い な い 場 合 が 多 い.エ

ル ギ ー を は じ め 構 造 論 の 対 象 と な る 多 くの 量 は,核 け で 決 ま っ て し ま うか ら で あ る.

か し,反

φBが

ネ

内部 で の 波 動 関 数 の様 子 だ

た だ しhAはAの ル ギ ー,VxAは

内 部 ハ ミ ル ト ニ ア ン,KxAはx-A間

の相対運動 の運動エ ネ

相 互 作 用 の ポ テ ン シ ャ ル で あ る.

  こ れ と φAと の 内 積 を と る と, 

と して

(5.167) と な る.こ れ が φAB(rxA,ξx)が   も し,φBが

満 た す べ き方 程 式 で あ る.

一粒 子 模 型 で よ く記 述 で き,一 粒 子 ポ テ ン シ ャ ルが 中 心 力+ス

ピ ン軌 道 結 合 ポ テ ン シ ャ ル で あ れ ば

(5.168) と書 け る.nは

一粒 子 軌 道 の 主 量 子 数 で あ る. 

は1に

れ て い る とす る.φ'Bは 一粒 子 模 型 で は書 け な い部 分で あ る.φBは

規格化 さ

反対称 化 さ

れ て い る か ら,も し 一粒 子 模 型 が 完 全 に正 し けれ ば,

(5.169) で あ る.そ

う で な け れ ば,φ'Bが

あ る分 だ け こ の 値 よ り小 さ い.(5.168)を(5.167)

に 代 入 し, 

と お け ば, 

は近似

的 に 次 の 方 程 式 を 満 た す.

(5.170) (5.170)の 規 格 化 され た解 

を使 えば

(5.171) と な る.実

際 に は,UxA(rxA,ξx)は

計 算 せ ず,物

理 的 に適 当 と思 わ れ る形 を も

つ 中 心 力 と ス ピ ン 軌 道 結 合 力 と を 仮 定 し,そ

れ らの 深 さ をエ ネ ルギ ー 固有 値 が

εBAの

方,cxA(n,l,j)は

実 測 値 に 等 し くな る よ う に 決 め る.一

の 計 算 に よ っ て 求 め て お き,そ と す る.こ

れ を 

の 方 法 は 分 離 エ ネ ル ギ ー の 方 法(separation

れ,最

も広 く使 わ れ て い る.こ

が1に

近 くな く て は な ら な い.そ

で あ る.し

か し,実

際 に は,こ

た とえば 殻 模 型

に 掛 け て  energy

method)と

よば

の 方 法 が よ い 近 似 で あ る た め に は,cxA(n,l,j) う で な け れ ば,(5.171)が

の 近 似 がcxA(n,l,j)の

成 り立 た な い か ら

小 さい と きに も しば しば

使 われ て い る.こ の場 合 に は,εBAが

単 一 粒 子 模 型 で 与 え られ るエ ネル ギ ー と

は 大 き く違 って い るか ら,そ れ に合 わせ る よ うに 決 め た  的 に意 味 が は っ き りしな い.た

は物理

とえば 殻 模 型 の 一 体 ポ テ ン シ ャル とは 非 常 に違

う もの で あ ろ う.   よ り現 実 的 な 方 法 は,(5.167)を

(5.172) の よ う に 変 形 し,右 る.こ

の 場 合,φAと

域 で  に,正

辺 の 行 列 要 素 を φA, φBがVxAの を,絶

φBの 知 識 を 使 っ て 計 算 す る こ と で あ

レ ン ジ 内 で よ い 近 似 な らrxAの

対 値 も 含 め て,よ

し い 漸 近 形 はGreen関

数 

  殻 模 型 の ポ テ ン シ ャ ルUshellが

すべ ての領

い 近 似 で 求 め る こ とが で き る.特 に よ っ て 保 証 され る.

知 られ て い る と き は,そ

れ を分 母 に 入 れ て

(5.173) と お い て も よい[6].  が 

は角 運 動 量 表 示 で 計 算 され る.そ の 部 分 波

で あ る.こ れ らの 方 法 は 実 際 の 計 算 に使 わ れ て よ い 結 果 を

収 め た[7].   核A, Bの 波 動 関 数 の 重 な り  の 成 分  Bの 中 で の 移 行 核 子 の 運 動 を記 述 す る.ノ ル ム  に 状 態 

は残留核 は φBの 中

が 存 在 す る 確 率 に 比 例 す る.そ れ は μ に よ らな い.B

中の 核 子xの

数 をBxと

す るとき

(5.174) を 分 光 学 的 因 子(spectroscopic

factor)と

呼 ぶ.そ

φBの 構造 に深 く関 係 す る量 で あ る.一 方,(5.136)に

れ は 反 応 に 関 与 す る φA, よ る と形 状 因子 の(lxAj)

成 分 は ψlxAjμの 振 幅 に比 例 す る.ゆ え に こ の 成 分 だ け か ら な る反 応 の 断 面 積 は   はBxに

に 比 例 す る.さ ら に(5.166)に よ る と,反 対 称 化 を 考 慮 した 断面 積 比 例 す る.し た が っ て,SxAB(l, j)が 核 の 内 部 構 造 と断 面 積 を繋 ぐ量

で あ る.分 光 学 的 因子 は核 構 造 論 的 に 重 要 な 量 で,多 て い る.一 方,そ

くの 理 論 的 研 究 が な され

れ は 実 験 的 に観 測 され た 断面 積 をDWBAで

再現す るとい う

条 件 か ら決 定 す る こ とが で き る.そ れ を φA, φBの 構 造 に 関す る理 論 の 理 論 値 と比 較 す れ ば,そ

の 良 否 につ い て情 報 を引 き出 す こ とが で き る.こ の よ うな手

法 は 非 常 に 広 い 範 囲 で 成 功 し て い る.た だ し,大 多 数 の 解 析 は形 状 因 子 の 計 算 に 分 離 エ ネ ルギ ー 法 を用 い て い る.す で に述 べ た よ う,SxAB(l, 合 に は,こ

j)が 小 さい 場

の 近似 が よ い保 証 は な い こ と に注 意 す べ きで あ る.

  分 光 学 的 因 子 を理 論 的 に計 算 す る に は,  対 す る模 型 が 必 要 で あ る.φBに

もし くは φA, φBに

対 して 一 粒 子 模 型 が よけ れ ば,分 離 エ ネル ギ ー

法 も よい 近 似 で,分 光 学 的 因子 は,(5.168)に

より

(5.175) で 与 え ら れ る.一 る.そ

粒 子 模 型 が 正 確 な ら,(5.169)に

う で な け れ ば,SxAB(l,j)<1で

あ る.先

よ り,SxAB(l,j)=1に

な

に 注 意 し た よ う に,SxAB(l,j)

が 小 さ い 場 合 に は 分 離 エ ネ ル ギ ー 法 自 体 の 精 度 も 問 題 で あ る.   よ り一 般 的 に,φAと SxAB(l,j)は,第

φBに 対 し て 殻 模 型 を 基 礎 と す る 近 似 が よ い 場 合 に は,

二 量 子 化 の 方 法 を 用 い る と 見 通 し よ く計 算 す る こ とが で き る.

殻 模 型 一 粒 子 準 位 γ=(n,l,j,μ)の

状 態 

にxを1個

生 成 す る演 算

子 をc+γ と す る と

で あ る.こ ら,右

れ と φBIBMBと

の 内 積 を と る と,φBIBMBは

辺 の 各 項 は 同 じ 寄 与 を 与 え,そ

と な る.そ

の 項 数 はBxで

反対 称 化 され てい るか あるか ら

こで

(5.176) と お く と,

一方, 

と直交性を使うと容易に

(5.177)

と 書 く こ と が で き る.ゆ

え に 

の近 似 で

(5.178) で あ る.以

下 に,(5.178)を

い く つ か の 場 合 に 適 用 し て み よ う.

  (1) 

が そ れ ぞ れ 配 位(γ)nAお

と す る.た

だ し,αA,

で あ る か ら,こ

αBは(IA,

MA),

よ び(γ)nA+1を

(IB, MB)以

持 つ 場 合.

外 の 量 子 数 で あ る.

の 場 合 γ 軌 道 へ の 遷 移 の 分 光 学 的 因 子 は,(5.178)に

よ り,

(5.179) こ こ に, 

は(γ)nA+1か

を 抜 き 出 すc.   (1.1)

IA=0,

f.p. (coefficient αA=セ

of fractional ニ ョ リ テ ィvA=0,

parentage)で

あ る.特

IB=j,

ら1個

の核 子

に,

αB=vB=1で

あ る

場 合 は

と な る.右 Aが

辺 は 軌 道 γ が 空 い て い る 確 率 に 等 し い.特

閉 殻 状 態 φA00,し

SxA(γ)=1で

あ る.も

た が っ てφBIBMBが し,Aの

に,nA=0,す

純 粋 の 一 粒 子 状 態(γ)1の

励 起 状 態 の 成 分 φ'BIBMBが

こ の と きは 明 らか に

に な る.   (1.2)

IA=j,

vA=1,

IB=0,

vB=0で

あ る場 合 は

な わち 場合 は

混 じ っ て い る場 合 は

で あ る.特 (γ)-1の

に,nB=2j+1,す

な わ ちBが

閉 殻 状 態 φB00,Aが

一空孔状態

場合 は

で あ る.   (2) AがBCSの

基 底 状 態,Bが

一準 粒 子 状 態 に あ る と き は

で あ る.た だ し,u2γ は 一準 粒 子が 軌 道 γ を 占め て い る確 率 で あ る.逆 に,Bが BCSの

基 底 状 態,Aが

と な る.た

だ し,v2γ は 一 準 粒 子 が 軌 道 γ を 占 め て い な い 確 率 で あ る.

  (3) 和 則(sum   残 留 核Bに ら を(nB,

一 準 粒 子 空 孔 状 態 で あ る と きは

rule) は 同 じ 角 運 動 量IBと

IB, πB)で

パ リ テ ィπBの 状 態 が た く さ ん あ る.そ

表 す こ と に す る.nBは"主

核 子 移 行 に よ っ て そ の 状 態 が で き る 場 合,そ  

と す る.πBは

し か る に,(5.176)とCG係

πAとlxAで

量 子 数"で

あ る.軌

れ

道 γへ の

の 遷 移 に対 す る 分 光 学 的 因 子 を

一 意 的 に 決 ま る.(5.178)か

ら直 ち に

数の規格直交性 に よ り

よ っ て,

(5.180) 右辺 の

は 状 態 φAIAMAで μ とMAに

一方

一 粒 子 状 態 γ ≡(n,l,j,μ)が

つ い て の 平 均 値 をV(γ)2と

,(5.180)の

左 辺 の 各 項 はMAに

空 い て い る 確 率 で あ る.v2γ の

お くと

よ ら な い.よ

って

(5.181) た だ し,IBは

選 択 則 に よっ て 許 され る も の だ け で あ る.(5.181)が

こ の場 合 の

和 則 で あ る.

  (f) 天 体 核 物 理 学 へ の 応 用   最 近,天 体 核 物 理 学 で 重 要 な超 低 エ ネ ルギ ー で の  の 断 面 積 を,低 エ ネ ル ギ ー で の 陽 子 移 行 反 応  安 定 核7Beの

,不

ビ ー ム を使 った 

な どの断面

積 を測 って 求 め る,と い う方 法 が 提 唱 され た[8].超 低 エ ネ ルギ ー で の捕 獲 反 応 の 断 面 積 は 非 常 に 小 さ く,測 定が きわ め て 困難 で あ るが,こ の 方 法 を使 えば,そ れ を回 避 す る こ とが で き る.た と えば16O(3He,d)17Fの が 低 け れ ば,3Heは16Oに で16Oに

近 づ け な い か ら,陽 子 は16Oか

移行 し,17Fを

のDWBA解

る 陽 子 の16Oか

ら遠 く離 れ た場 所

作 る.こ の状 況 は超 低 エ ネル ギ ーの 陽 子 が16Oに

され る と き と同 じで あ る.し たが っ て,16O(3He,d)17Fの ば,そ

場 合,入 射 エ ネ ルギ ー

析 に よ って,問 題 の16O(p,γ)17Fの

捕獲

断 面 積 を正 確 に 測れ 計 算 に必 要 な捕 獲 され

ら非 常 に遠 い点 で の波 動 関 数 に つ い て の定 量 的 な情 報 が 得 られ

る.こ の 方 法 が 有 効 で あ る た め に は,DWBAが 核 の 周 辺(periphery)で

よい 近 似 で あ る こ と,反 応 が

お こ る こ と,歪 曲 ポ テ ン シ ャル が よ くわ か って い る こ

とが 必 要 で あ る.こ れ らは,個

々の 反 応 に つ い て確 か め ね ば な らな い.

  (g) ク ラ ス タ ー移 行反 応   2個 以 上 の 核 子 が 移 行 す る 反 応 で も,そ れ らが 塊(ク

ラ ス ター)に な って 一

つ の粒 子 と してstripま た はpick upさ れ る,と 考 え て よ い場 合 が あ る.こ の反 応 の形 状 因子 の計 算 法 は,ク ラ ス ター の 質 量,ス た 一 核 子strippingの

場 合 と 同様 で あ る.こ

ピ ン な ど を 除 い て,上 に 述 べ

の 近 似 の 精 度 は 場 合 に よる が,反

応 を 定 性 的 に 理 解 す る た め の 現 象 論 と し て 役 に 立 つ.計

算 に は,zero-range近

似 を 使 う の が 普 通 で あ る.

  5.2.7 

二 核 子 移 行stripping,

  次 に,二

核 子 が 同 時 に,し

pick

up反

応

か し バ ラ バ ラ に,strippingま

た はpick

upさ

れる

反応

を 考 え よ う.1, た と え ば,(t, な ど,が

2は そ れ ぞ れ 中 性 子 ま た は 陽 子 で あ る.こ p),

(3He, n),

よ く知 ら れ て い る.実

で き な い 場 合 が あ る.た る.し

(3He, p),

か し 軽 イ オ ン 反 応 で は,特

こ と に 変 わ り は な い.こ

は,こ

と え ば,(p,

(α,d)と

の 種 の 反 応 と し て は,

そ の 逆 過 程 で あ るpick

up

(p, t)

れ らの 反 応 に は 二 段 階 反応 の 寄 与 が 無 視 t)に お け る(p, d)(d, t)反 応 な ど が そ れ で あ

別 な 場 合 を 除 い て,一

れ に 対 し て,重

段 階過 程 が 重 要 で あ る

イ オ ン 反 応 で は,む

しろ二段階過程が

主 で あ る こ とが あ る.

  (a) 形 状 因 子   こ の 系 を 記 述 す る 座 標 系 と そ れ に 付 随 す る 角 運 動 量 を 図5.3に   二 核 子 系x=1+2の

示 す.

内部 座 標 に 相 当 す る もの は

(5.182) で あ る.

図5.3  二核子移行反応 を記述す る座標の組 とそれに付随す る角運動量(括 弧 内)

この反応の形状 因子は

で 与 え ら れ る.こ

れ を5.2.5項

の 一 般 論 に従 っ て

(5.183) と 書 く.た

だ し,

(5.184a) お よび

(5.184b) で あ る.φBIBMBと

φaIaMaを

そ れ ぞ れAお

よ びbの

固 有 関 数 系 で 展 開す る と

(5.185a)

(5.185b) の 形 に な る.   

と  の 

は こ れ らの 式 で 定 義 され る.ま

た φ'B(φ'a)は

を含 ま な い 成 分 で あ る.ゆ え に

(5.186) ま た,簡

単 の た め にV1b+V2bが

ξbに よ ら な い と す る と

(5.187)

ただ し

(5.188) で あ る. 

と 

を さ ら に軌 道 角 運 動 量 と ス ピ ン角 運 動 量 の 固有 状 態 の 成

分 に分 解 す る.そ れ に は,一 核 子 移 行 の と き と違 って,LS結

合

(5.189a) (5.189b) を使 うのが 便 利 で あ る.こ れ に 対 応 して

(5.190a)

(5.190b) と な る.(5.190a),

(5.190b),

(5.186),

(5.187)を(5.183)に

使 う と

(5.191) が 得 ら れ る.こ

こに

(5.192) で あ る.一

核 子strippingの

と き と同様 に

(5.193) を 定 義 す れ ば,一

核 子strippingの

と き と ま っ た く 同 じ計 算 で

(5.194) お よび

(5.195) を 得 る.   反 対 称 化 さ れ た 形 状 因 子 は,(5.110),

(5.111)お

よ び(5.109)に

よ り,

(5.196) で あ る.こ

こ に,

(5.197) はx=nn,

pp,

npに

対 して そ れ ぞ れ

お よび

 

(5.198)

で あ る.   さて,具 体 的 に 

と 

粒子 の 内部 波 動 関 数 の知 識が 必 要 で あ る.aが4体

を計 算 す る には 反応 系 以 下 の比 較 的小 さい系 で あ る

場 合 に は,波 動 関 数 の精 密 な研 究 が 行 わ れ て い る.こ こで は,  の 計 算 の例 と し て,φaI aMaと

し て最 も簡 単 なlxb=0お

よびl12=0の

近似 固

有関数

(5.199)

を 仮 定 し よ う.   こ こ に 

は 空 間 部 分 でlα=lxb=l12=0の

 

固 有 関 数,

は ス ピ ン 部 分 の 角 運 動 量 の 固 有 関 数 で,と

て い る. 

はbの

もに 規 格 化 さ れ

固 有 関数φbIbMbで

(5.200) の よ う に 展 開 で き る.X'aは{φbIbMb}を を(5.190b)に

含 ま な い 成 分 で あ る.(5.199),

使 え ば, 

(5.200)

よ って

(5.201) を 得 る.た

だ し

(5.202) で あ る.(5.201)を(5.193)に

と な る.ま (5.195)に

代 入すれば

た, 

で あ る.こ

れ らを

代 入す る と

(5.203) を 得 る.こ

れ が 波 動 関 数(5.199)の

も と で の 

  (5.203)を

使 っ て 有 限 レ ン ジ のDWBAの

zero-range近

似 が し ば し ば 使 わ れ る.す

て の 広 が り は 粒 子aの

の 表 式 で あ る.

計 算 を す る の は 複 雑 で あ る か ら, な わ ち,D00(rxb,r21)の,r21に

大 き さ の 程 度 で あ り,そ

つい

の 中 で はVxb(rxb,r21)はrxbに

つ い て 短 い レ ン ジ を も つ か ら,

(5.204) と 近 似 し て よ い で あ ろ う.よ

っ て,(5.153)に

対 応 し て,

(5.205)

と な る.こ

こに

(5.206) ただし

(5.207) で あ る.Ijslm(rα)はYlm(rα)*と

と 置 く と,(5.158)に

同 じ変 換 性 を もっ て い るか ら

対応 して

(5.208) と な る.   さ て,φaは

同 種 核 子 の 交 換 に対 し て 反 対 称 化 され て い る.1と2の

に 対 し て,φaの

空 間 部 分 は 対 称 で あ る か ら,も

し1と2が

 は 反 対 称 で な け れ ば な ら な い.し の成 分 だ け を もつ.し

たが って こ の場 合 には,1と2は

ピ ン も0と い う状 態 で 移 行 す る.こ れ はBCSの 状 態 で あ るか ら,反 応 の 断 面積 は,核AとBが あ る場 合 に 大 き くな る こ とが 予 想 され[9],実 こ の種 の 反 応 の 最 も重 要 な 例 で あ る.1と2が

交換

同種 核 子 な ら

たが って,そ

れ はSα=0

軌 道 角 運 動 量 も合 成 ス

対 相 関準 粒 子 と同 じ角 運 動 量 そ の よ うな対 相 関 を もつ状 態 に 験 的 に検 証 され て い る.(p,t)は 異 種 核 子,す

な わ ちpとn,な

らばSα に は対 称 性 に よ る制 限 は な い.し か し実 際 の 軽 イオ ン 反 応 で は,pとn は主 と し てSα=1の α とdの

状 態 で 移 行 す る場 合 が 多 い.実 際,た

ス ピ ン は そ れ ぞ れ0と1だ

か ら,Sα=1し

と えば(α,d)で は,

か 許 され な い.

  (b) 殻 模 型 の 描 像 に よ る計 算   A.  分 光 学 的 因 子   核A,Bに はB中

対 し て 殻 模 型 の 描 像 が よい 場 合 を考 え よ う.移 行 し た 核 子1と2

で そ れ ぞ れ 一 核 子 準 位 γ1≡(n1l1j1)お

よ び γ2≡(n1l2j2)の

どれか を

あ る確 率 振 幅 で 占め る.γiの 波 動 関 数 をφγi(riA,ξi)とし,γ1γ2の 組 γか らな り,合 成 角 運 動 量jの

固 有 値 が(j,μ)で あ る二 核 子 対 の,1に

規 格 化 され た 波

動 関数を

(5.209)

と す る.A12は はppの

粒 子1,2に

つ い て の 反 対 称 化 演 算 子 で,そ

と き, 

npの

と き1で

あ る.Bの

れ ら が 同 種nnま

た

波動 関数は

(5.210) で 与 え られ る.φ'BIBMBはAの

励 起 状 態 か らな る.AとBの

波動 関数 の重な

りのjμ 成 分 は

(5.211) で 与 え ら れ る.(5.211)は,  和 か ら な る こ と を 示 す.こ

が い ろい ろ な 配 位 γ の 寄 与 の 干 渉 的 れ は,一

核 子strippingの

特 徴 で あ る.

  各 配 位(γ,j)の

分光 学的振 幅を

核 子strippingの

と き に は 見 ら れ な い,二

(5.212) で 定 義 す る.Nxは(5.197)で strippingの

定 義 され た 数 で あ る.θAB(γ,j)の

と き と 同 様 に,第

二 中 性 子 移 行 反 応 の 場 合,1個 成 す る 演 算 子 を 

計 算 に は,一

二 量 子 化 の 方 法 を 使 うの が 便 利 で あ る.た のnを

核子

と え ば,

一 核 子 状 態 

に生

と す る と,

(5.213) はnを

γ1,γ2に1個

ず つ 生 成 して 合 成 角 運 動 量 をj,μ

れ た 対 を 作 る演 算 子 で あ る.移 行 す る のがnとpの

に 組 み,反 対 称 化 さ

対 で あ る と きは,そ

れぞ

れ の 生 成 演 算 子 の 積 でA+γjμに対 応 す る二 核 子 の生 成 演 算 子 を 定 義 す れ ば よい. A+γjμに よ って

(5.214) を 定 義 す る と,(5.210)か

ら直 ち に

(5.215) が 得 られ る.ゆ え に

(5.216)

で あ る.   例 と し てBCSの

基 底 状 態(準

粒 子 数0の

号 を 簡 単 に す る た め に,(γ,μ)を

状 態)間

の 遷 移 を 考 え て み よ う.記

λ,(γ,-μ)を-λ

と 書 く こ と に し,準

粒 子の

λ へ の 生 成 ・消 滅 演 算 子 を そ れ ぞ れ α+λお よ び αλ とす る と

た だ し,sλ=(-1)j-μ

で あ る.仮

定 に よ り, 

だ か ら, 

で 生 き残 るの は

λ2=-λ1で, 

の 項 だ け で あ る.IA=IB=

0だ か らj=0で,結

局

(5.217) と な る.た る.し

だ し,γ1=γ2=γ

た が っ て,異

か ら,こ

れ は常 に 正 で あ

な る γ の 寄 与 は す べ て 建 設 的 に 寄 与 し,結

果 と して 反 応 の

断 面 積 は 大 き く な る.こ

と書 い た.uγυ γ>0だ

れ が,前

述 し た,対

相 関 に よる 断 面 積 の 高 揚 に ほ か な

ら な い.   B.  形 状 因 子 の 標 準 形   (5.209)の

右 辺 を 計 算 す る に は 座 標 変 換(r1A,r2A)→(rxA,r21)を

し,そ

れ

に 伴 う 角 運 動 量 の 組 み 替 え,

から へ

をせ ね ば な ら な い.座 標 変 換 は,一 般 に は,直 接 解 析 的 に 実 行 す る こ とは で き な い.し か し,一 核 子 波 動 関 数 が 調 和 振 動 子(H.O.)型 

であ る場合

には

(5.218) の 展 開 が 成 り立 つ.こ

こ に, 

波 動 関 数 系 で あ る.  ば れ る も の で あ る.そ

は そ れ ぞ れH.O.型 は 既 知 の,Moshinsky-Talmi係

れ は

の

数 と呼

の と き に 限 っ て0で

な い.一

般 の 

に 対 し て も,そ

の 波 動 関 数 系 で 展 開 す れ ば, 

れ をH.O.型

は 二 つ のH.O.型

関 数 の 積 の 和 の 形 に 書 け る.

  5.2.8 

二 段

  時 と し て,直 態 群{γ}を

階

過 程

接 反 応 α → β に は 一 段 階 過 程 の ほ か に,α,β

経 過 す る 二 段 階 過 程 α →{γ}→

  た と え ば,集

とは 別 の 内 部 状

β が 重 要 で あ る 場 合 が あ る.

団 運 動 の 二 フ ォ ノ ン状 態 を 一 段 階 で は 励 起 で き な い が,一

状 態 を 経 由 す れ ば 二 段 階 で 励 起 す る こ とが で き る.一 段 階 の(p,d)反 の1粒

子2空

孔(1p-2h)状

フ ォノン

応 で 閉殻 核

態 を 励 起 す る こ と は で き な い が,(p,t)(t,d)反

応 では

可 能 で あ る.(16O,15C)は

一 段 階 で は 不 可 能 で あ るが(16O,17O)(17O,15C)ま

は(16O,14C)(14C,15C)な

ら可 能 で あ る.(3He,t)で

は 一 段 階 過 程 は,運

角 運 動 量 移 行が 大 きい と き

動 量 の 不 整 合 の た め に 著 し く弱 く,代 わ っ て(3He,α)(α,t)が

主 な 機 構 に な る[10].二 で あ る[11].(p,t)反 (p,t)反

た

核 子 移 行 反 応(18O,16O)は 応 に お い て す ら,継

主 に(18O,17O)(17O,16O)

続 移 行 反 応(p,d)(d,t)が

一段 階の

応 と 少 な く と も 同 程 度 の 強 さ で 寄 与 す る こ と が 知 ら れ て い る[12].

  二 段 階 過 程 のT行

で 与 え ら れ る.こ

列 要 素 はDWBA展

開 の 第2近

似 で,(5.34)に

れ は, 

よ り

で あ る か ら,

(5.219) と書 く こ と も で き る.こ   H(P)は

れ を 二 次 のDWBA

(second

order

一 般 に チ ャ ネ ル δで 

の う ち ど れ を と る か,そ

に 対 し て 

い う.

の 形 を と る.α

γ → β が 組 み 替 え 反 応 で あ る場 合 に は(5.219)の δ と し て α,γ,β

DWBA)と

右 辺 の 二 つ のH(P)に

→ γ, 対 して

れ ぞ れ 二 通 り の 選 択 が あ る.α

→ γ

と とれ ば

(5.220) と な る.  し遷 移 α → range近

はDWBAのprior γがpick

upな

ら,そ

formの

形 状 因 子 で あ る.し

れ はDWBAの

似 な ど を 使 っ て 計 算 す る こ とが で き る.し

た が っ て,も

計 算 で よ く知 ら れ て い るzeroか し,α

→ γがstrippingで

あ る と そ れ は で き な い.strippingに

適 合 す る の はpost

form,

の 方 で あ る が,

(5.221) であ る. 

がDWBAのstrippingの

の 右 辺 に は 第2項

形 状 因子 で あ る.し か し,(5.221)

が あ る.そ れ は 

に等 しい こ とか

ら もわか る よ うに,チ ャ ネ ル α と γ の非 直交 性 に 由 来 す る.非 直 交 項 と呼 ば れ る.同 様 に して 第2段

階 γ→ β で は,そ れ がstrippingな

子 の 計 算 だ け で す み,pick

らDWBAの

形状 因

upで あ れ ば 非 直 交 項 も計 算 せ ね ば な らな い.非 直

交 項 は微 分 演 算 子 を含 むか ら計 算 が 面 倒 で あ る.し か し実 際 に は,そ の 寄 与 は 比 較 的小 さ い と して,そ れ を無 視 し た計 算 が 行 わ れ る こ と も多 い.

5.3  チ ャ ネ ル 結 合 法

 

DWBA展

開 で は,系

し か し,実

の 異 な る 内 部 状 態 間 の 結 合 が 弱 く,摂 動 論 が よ い と し た.

際 に 起 こ る 反 応 の 中 に は,チ

な い ほ ど 強 い 場 合 が あ る.こ of coupled

channels以

の 場 合 に 有 効 な 現 象 論 が チ ャ ネ ル 結 合 法(method

下 略 し てCCと

は 前 か ら 使 わ れ て き た が,核 24Mg(p

,p')24Mg*(第1励

ャ ネ ル 間 の 結 合 が 摂 動 論 で は 取 り扱 え

呼 ぶ)で

あ る.こ

の 方 法 は原 子 物 理 で

反 応 論 に そ れ が 導 入 さ れ た の はYoshidaに 起.2+,一

フ ォ ノ ン 状 態)の

よる

計 算 におい てであ る

[13].

  (a) チ ャ ネ ル 結 合 方 程 式   CCは5.1節

の 一般 論 でP空

の近 似 下 で の 

間が 二粒 子 チ ャネ ルか らな る場 合 を取 り扱 う.CC

を ΨCCと 書 くこ と にす る と,そ の 座 標 表 示 は,た

とえば

(5.222) の形 を して い る.{φ γ}は 二粒 子 系 の 内 部 波動 関 数 を表 す.右 辺 は 第1項 か らそ れ ぞ れ,入

射 チ ャ ネル,非

弾 性 チ ャ ネ ル,組 み 替 え チ ャ ネ ル,入 射 粒 子 が 二 つ

の破 片 に 分 解 した チ ャ ネル に対 応 す る.分 解 チ ャ ネル の 項 のkは 片 間 の 相 対 運 動 の 運 動 量 で あ る.CCで

分 解 した2破

は,{φ γ}を 既 知 と して 未 知 関 数{χγ}

を計算す る．   ΨCCに

対 す る方 程 式 は(5.11)よ

り

(5.223) 相対 運 動 の 波 動 関 数{χγ}に 対 す る 方 程 式 は,(5.12)よ

り

(5.224) で あ る.境 界 条 件 は,漸

近 形が 開い た チ ャネ ル に 対 し て は

(5.225) 閉じたチ ャネルに対 しては

(5.226) で あ る.た だ し,cγ は 定 数,    実 際 の 計 算 で は,歪

で あ る.

曲ポ テ ン シ ャル{Uγ}は

ル で 置 き換 え られ る.そ れ を 用 い たCC計

しば し ば 現 象 論 的 な ポ テ ン シ ャ

算 が 実 験 結 果 を説 明 で きる よ うに,

そ れ に含 まれ るパ ラ メ タ ー を調 節 す る こ と も あ る.い ず れ に せ よ,Uγ

は,そ

れ だ け で は 弾 性 チ ャ ネ ル の 散 乱 を 記 述 しな い か ら,光 学 ポ テ ン シ ャルで は な い. そ れ は,チ

ャ ネ ル 結 合 が な い と きの ポ テ ン シ ャル,と

ポ テ ン シ ャル"と 呼 ば れ る.し か し,Uγ

い う意 味 で"裸 の(bare)

と し て は 光 学 ポ テ ン シ ャ ル と似 た 複

素 中 心 力 と,ス ピ ン軌 道 結 合 力 な ど を持 つ ポ テ ン シ ャ ル を 仮 定 す る のが 普 通 で あ る.   Uγ γ'は チ ャ ネ ル γと γ'が 同 じ粒 子 構 成 で あ れ ば 局 所 ポ テ ン シ ャ ル で あ る. した が っ て,{γ}が 弾 性 ・非 弾 性 散 乱 チ ャネ ル だ けか らな り,結 合 す る チ ャ ネ ル が 核 の 有 限個 の 離 散 状 態 の そ れ で あ れ ば,(5.224)は 程 式 に な り,比 較 的 容 易 に解 け る.し か し,(5.222)の 連 続 状 態 を含 む 場 合 に は,結 合 す る チ ャ ネル の 数,し

有限次元 の連立微 分方 よ うに非 弾 性 チ ャ ネル が たが っ て(5.224)の

次 元,

は 連 続 無 限 に な る.こ の 場 合 の 処 理 に は 特 別 な工 夫 が 必 要 で,そ れ に つ い て は 5.3.3項 で 詳 論 す る.   γ と γ'が組 み 替 え チ ャネル で あ る と,φ γ と φγ'は直 交 せ ず,そ の結 果Uγ γ'

は 非 局 所 型 に な る.し

た が っ て,{γ}が

は 連 立 微 積 分 方 程 式 に な る.こ

  (b)チ

組 み 替 え チ ャ ネ ル を 含 む場 合 は,(5.224)

の 場 合 に つ い て は5.3.2項

で 論 じ る.

ャ ネル 結 合 方 程 式 の 解 法

  連 立 方 程 式 を 実 際 に 解 くた め に さ まざ まな 方 法が 使 わ れ て い る.例

と して,

そ の 中 の い くつ か の 原 理 を 簡 単 に 説 明 す れ ば 次 の通 りで あ る.   (1)逐 次 近 似 法 はDWBA展 算 す る に は,第(n-1)次

開 そ の もの で あ る.Xγ

の 第n次

近似X(n)γ を計

近 似 まで を既 知 と して

(5.227) をX(n)γに対 す る 非 斉 次 の微 分 方 程 式 と して 境 界 条件(5.225)ま

た は(5.226)の

下 に 解 け ば よい.こ れ を解 が 数 値 的 に収 束 す る まで 繰 り返 す.た だ し,収 束 は 保 証 され な い.も

し,入 射 チ ャ ネル α と の結 合 の 強 さの 順 に γ を並 べ る こ とが

で きれ ば,そ の 順 に(5.227)型

の 方 程 式 の 右 辺 の γ'の中 で す で にX(n)γ'が求 ま っ

て い る もの に対 して はX(n-1)γ'をX(n)γ'で 置 き換 え れ ば 収 束 が 速 い[14].   (2)連 立 方 程 式 を 直 接 解 くに は,ΨCCを

全 角 運動 量Jの

固 有 関 数 ΨJMで

(5.228) と展 開 す る のが 便 利 で あ る.(J,M)は

運 動 の 恒 量で あ るか ら,(5.223)は 各 ΨJM

に対 す る 方程 式 に な り,異 な る ΨJMが

混 ざ る こ とは な い.ΨJMを

各 チ ャ ネル

で の 角 運 動 量 の 固 有 関数 に展 開 して

(5.229) の 形 に書 く.た だ し,  性 の ゆ え に,動 径 関数 は  は 等 しいJの 

で あ る.回 転 対 称 はMに

よ らな い.こ の 表示 を使 うと,(5.223)

の連 立 方 程 式 に な る.そ れ を解 く実 際 的 方 法 に は 次

の よ うな もの が あ る.   (a)rγ の座 標 軸 を 適 当 な 大 き さの 区 間(メ  

ッシ ュ)に 分 け,各 分 点rγiで の

を未 知 数 と し,数 値 微 分,数 値 積 分 の公 式 を使 って 

す る 連 立 一 次 斉 次 方 程 式 を導 く. 

に対

に 対 し て 一 組 の境 界 条 件 を 課 せ

ば,一 組 の 独 立 解 が 得 られ る.こ の よ うに し て, 

の数 に等 しい 数 の 独

立 解 を 求 め て お く. 

は そ の よ うに し てす べ て のJの

す べ て の連 立 方 程 式

に 対 して 求 め た独 立 解 の 一 次 結 合 で あ る.一 次 結 合 の 係 数 は,そ れ が 境 界 条 件 (5.225)お

よび(5.226)を

満 た す,と い う条 件 で 決 ま る.

  (b)連 立 方 程 式 を 直接 解 く代 わ りに,次

の よ う な逐 次 近 似 で 解 く方 法が あ る

[15].弾 性 ・非 弾 性 散 乱 チ ャ ネル だ けが 結 合 す る場 合, 

に対

して

とお く. 

は チ ャネル 結 合 が な い とし た と きの 方 程 式 の 解 で,そ

れ ぞ れ 振 幅1のr=0で

正 則 な 解 お よび 無 限 遠 で 外 向 き進 行 波 の 漸 近 形 を持

つ 解 で あ る. 

はrに 緩 や か に依 存 す る 関 数 で,一 階 の 連 立 微

分 方 程 式 をみ たす.そ れ らに 境 界 条件:  を 課 し,逐 次 近 似 で 解 く.第0近 ∞ か らr=0ま

似 で は す べ て の 

で 積 分 して 

 

の 第1近

と して,r=

似 を得 る.た

だ し,cJMLは

とな る係 数 で あ る.そ れ を使 って,r=0

か ら ∞ まで 積 分 す る こ とに よって 

の 第1近 似 を得 る,等 々で あ る.

こ の 方 法 で は 数 値 微 分 は 不 用 で あ り,数 値 積 分 は容 易 で あ る.   (c)  を適 当 な基 底 関 数 系  で展 開 し,そ の 展 開 係 数 を 未 知 数 と し て そ れ に対 す る 連 立 方 程 式 を 解 く,と い う方 法 が あ る. gγi(rγ)を,た とえ ば レ ンジが 等 比 数 列 を な すGauss関

数 な ど,適 当 に と って 置

く と,よ い 精 度 の計 算 が か な りの 部 分 解 析 的 に で きる,と い う長 所が あ る[16].   以 下 に,い

  5.3.1    CCは

くつ か の典 型 的 な場 合 に対 す るCCの

応 用 例 を見 て み よ う.

非 弾 性 散 乱 に よ る集 団運 動 状 態 の 励 起

まず,p,α

な どの 軽 イ オ ン非 弾性 散 乱 に よ る集 団運 動 状 態 の励 起 の 記

述 に 大 き な成 功 を納 め た.同

じバ ン ドに属 す る集 団 運 動(振 動,回 転)状

チ ャ ネ ル の 間 に は 強 い 結 合 が あ る.し たが って,集

団運 動 の 励 起 状 態 へ の遷 移

の 記 述 に は,そ れ と強 く結 合 す るチ ャ ネル を取 り込 ん だCC計   こ の 場 合 に は,P空

算 が 必 要 で あ る.

間 の す べ て の チ ャ ネル の 内 部 座 標 ξ,相 対 座 標r,お

び ハ ミル トニ ア ンH(P)は

態の

よ

共 通 で あ る.ま た,異 な るチ ャ ネル は 同 じ核 の 異 な

る 固 有 状 態 に対 応 す るか ら,そ れ らの 内 部 波 動 関 数 は 直 交 す る.し

たが って,

(5.230) と な る.Vγ(r,ξ)は 集 団運 動 の 励 起 を引 き起 こす 現 象 論 的相 互作 用 で,DWBA で 使 わ れ て い るポ テ ン シ ャル と同 じで あ る.遷 移が フ ォ ノ ンの励 起 に よる もの で あれ ば(5.92)お

よび(5.93)で,ま

た 回転 運 動 状 態 間 の 遷 移 で あ る場 合 は(5.98)

で 与 え られ る.Uγγ'は これ ら のVγ を相 互作 用 とす るDWBAの

形 状 因 子 とま っ

た く同形 で あ る.た だ し,γ も γ'も一 般 に は励 起 状 態 で あ るか ら,遷 移 には 励 起 と脱 励 起 とが あ る.   以上 の よ うに し て,集 団 運動 励 起 の チ ャ ネル 結 合 の ポ テ ンシ ャル が 与 え られ る と,前 記 の 一 般 論 に従 っ て(5.224)を   CCは

解 い て 散 乱 振 幅 を計 算 す る こ とが で き る.

多 くの(p,p'),(d,d'),(α,α')な

ど に よ る 球 形 核 表 面 振 動 の 励 起,歪

ん だ核 の 回 転 状 態 の 励 起 に 適用 され,実 験 の説 明 に大 きな成 功 を収 め た.図5.4 は50MeVで

の154Sm(α,α')154Sm*に

分 断 面 積 のCCに

よ る 回転 準 位2+,

4+,

よる計 算 と実 験 との 比 較 の 例 を示 す.CC計

状 態 と基 底 状 態 お よび8+の

6+の 励 起 の微 算 で は これ らの

回転 準 位 が 結 合 され て い る.

  集 団 運 動 の 中 で,回 転 状 態 の 準 位 は 一般 に数 が 多 く,相 互 の 結 合 は 強 い.し た が って,そ れ らの 励 起 をCCで

扱 うに は 多 次 元 の 連 立 微 分 方 程 式 を解 か ねば な

らな い場 合が あ る.し か し,回 転準 位 間の 間隔 は 入 射 エ ネ ルギ ー に比 べ て は るか に小 さい の で,近 似 的 にそ れ を無 視 し,す べ て の 回 転準 位 が 縮 退 し て い る とす る こ とが で き る.こ の 近 似 は 物 理 的 に は,回 転 運 動 が 反 応 粒 子 間 の相 対 運 動 に 比 べ て 非 常 に遅 い と仮 定 す る こ と を意 味 し,断 熱 近 似(adiabatic

approximation)

と呼 ば れ て い る.こ の近 似 の も とで は,核 の 内 部 ハ ミル トニ ア ンhAはP空 中の す べ て の状 態 に 対 して 同 じ 固有 値 ε0を もつ こ とに な るか ら,H(P)の hAを

ε0で 置 き換 え る こ とが で きる.そ

うす る と,H(P)は

動 関数 に対 す る演 算 子 で は な くな る.H(P)は で 与 え られ る相 互 作 用 ポ テ ン シ ャルV(r,Θ)を 過 ぎ な い.ゆ

間 中で

もは や 核 の 内 部 波

回 転 運 動 の集 団座 標Θ を(5.98) 通 じて パ ラ メ タ ー と して 含 む に

え に,(5.223)は

(5.231) とな る.Θ は 歪 ん だ 核 の 対 称 軸 の 空 間 固 定 軸 か らの 方 向 のEuler角 たが って,V(r,Θ)は

で あ る.し

そ の 方 向 に 固 定 され た歪 ん だ核 が 入 射 粒 子 に お よぼ す 力

の ポ テ ンシ ャル で あ る.(5.231)は

単 な る常 微 分 方程 式 で あ るか ら,連 立微 分 方

図5.4 

50MeVの(α,α')に 実 験 値(黒 β2,β4,β6は (D.L.Hendrie

程 式 で あ る(5.224)に

よ る154Smの

丸)と

計 算 値(実

線)の

そ れ ぞ れ2+,4+お et

al,Phys.Lett.26B

回転 準 位 の励 起 の 微 分 断 面 積 の 比 較

よ び6+状

態 の 変 形 度 を 表 す. 127

(1968)に

よ る.)

比 べ て は るか に 簡単 で あ る.境 界 条 件 は 漸 近 形

(5.232) で 与 え られ る.f(Ω,Θ)は

核 の 対 称 軸 の 方 向がΘ で あ る と きの 散 乱 振 幅 で あ る.

全 体 の散 乱 振 幅 は

(5.233) で 与 え られ る.た だ し,φ α(Θ),φβ(Θ)は核 の 波 動 関数 の 回転 座 標 部 分 で あ る. 粒 子 座 標 の 部 分 は 変 化 を 受 け な い の で,そ の 重 な りは 規 格 化 積 分 に な り,1を 与 え る.   断 熱 近 似 で は,核 は 準 位 間 隔 をDと

の 回 転 準 位 が すべ て 縮 退 して い る と した.回 転 運 動 の 周 期 す る とお よそ ん/Dの 程 度 で あ るか ら,こ れ は 回転 運 動 が 入

射 粒 子 の 運 動 に くらべ て 非 常 に 遅 い と仮 定 し た こ と を 意 味 す る.し た が っ て, 散 乱 が 起 こ る 間 そ の核 の 方 向Θ が 変 化 し な い こ とに な る.(5.231)は

正 にその

描 像 に符 合 し て い る.   か くして,CCは

軽 イオ ン の非 弾 性 散 乱 に よる 集 団運 動 励 起 に対 す る標 準 的 な

理 論 に な っ た[17].ま -16Oな

た 重 イ オ ン 反 応 で も,低

エ ネ ル ギ ー で の12C-12C,12C

ど の 比 較 的軽 い重 イ オ ン 同士 の散 乱 に 現 れ るい わ ゆ る分 子 共 鳴 の 説 明 に

大 き な 寄 与 を す る[18]な   時 に は,DWBAで

ど 成 果 を 挙 げ て い る.

始 −終 チ ャ ネ ル の 一 方 ま た は 両 方 が そ れ ぞ れ 別 の チ ャ ネ ル

と 強 く結 合 し て い る 場 合 が あ る.た

と え ば,(d,p)反

が 集 団 励 起 状 態 で あ る 場 合 が そ れ で あ る.こ

ャネルの残留核

の よ う な 場 合 に は,歪

結 合 を 取 り入 れ たCCの

解 を 使 う必 要 が あ る.こ

近 似(coupled

Born

channels

応 のpチ

曲波 に そ の

の 近 似 を チ ャ ネ ル 結 合Born

approximation,略

し てCCBA)と

い う.

 5.3.2  組 み 替 え チ ャ ネ ル 結 合 法(CRC)  

P空

間が 組 み 替 えチ ャ ネ ル を含 む場 合 に は,組

み 替 えチ ャ ネ ル 間 の 結 合

(5.234) が 現 れ る.右

辺 の 計 算 に はH(P)の

で の そ れH(P)(γ'),を の 経 験 に よ る と,遷

使 う.右

チ ャ ネ ルγ で の 表 式H(P)(γ),ま

辺 はDWBA展

移 γ → γ'がpick

up

た は γ'

開 に 現 れ た 表 式 で あ る.そ (stripping)の

を 使 う の が 便 利 で あ る.た

と え ば γ→

と き はH(P)と γ'がpick

upの

こで して 場 合,

 と す る と

(5.235) と な る.た

だ し,

(5.236) (5.237) で あ る.Vγγ'をUγ γ'の相 互 作 用 項,Nγ γ'を非 直 交 項 とい う.Nγγ'は 組 み 替 え 反 応 に特 有 な 項 で φγ と φγ'の非 直 交 性 に 由 来 す る.実 際,も

し γとγ'が 同

じ反 応 粒 子 の異 な る 内部 状 態 に対 応 す る場 合 は,φ γとφγ'は同 じ 内部 座 標 を持 ち互 い に 直 交 す るか ら,Nγ γ'=0で   DWBAの

あ る.

場 合 と同様 に,ξ γ をチ ャネ ル γ と γ'に共 通 な 内 部 座 標 ξγγ'と γ

を構 成 す る 二粒 子cとCの

相 対 座 標rcCに

分 け,ξ γ'につ い て も 同様 にす る と,

(5.238)

と な る.rcC,

rc'C'はrγ

とrγ'の

一 次 結 合

(5.239) で あ る.そ

こ で,(5.236)の

積 分 を ま ず ξγγ'に 対 し て 行 い,次

に 変 数rcCを

t'rγ'に 換 え て 行 う と,

(5.240)

(5.241) と な る.γ → γ'がstrippingの

場 合 に も同 様 な 変 形 が で きる.た だ し,こ の場

合 はNγ γ'の中 にKγ'が 現 れ,そ れ は未 知 関 数χγ'に 作 用 す るの で,そ れ を 避 け るた め にGreenの 要 が あ る[19].非

定 理 を使 って 部 分 積 分 し,そ 直 交 項 は,演 算 子Kγ-Eγ

うな らな い よ うに変 形 す る必

が 無 限 の レ ン ジ を も って い る の

で,非 常 に 長 い レ ン ジ を 持 つ[20].   この よ うなUγ γ'を含 む(5.12)は 連 立微 積 分 方程 式 で,そ れ を使 った計 算 法 は 組 み替 えチ ャネル 結 合(coupled channels,略

し てCRC)法

reaction channelsま

た はcoupled

と呼 ば れ て い る[21].CRCの

rearrangement

計 算 は 非 弾 性 チ ャネ

ル だ けが 結 合 す る場 合 に 比べ て,非 直 交 項 の 処 理 が 面 倒 で あ る.た だ し,こ の 項 の 効 果 の 大 き さ は 反応 に よ って 異 な り,無 視 して よい場 合 もあ る.数 値 計 算 に は,5.3節(b)項   CRCは

で あ げ た よ うな い ろ い ろ な 方 法 が 使 われ る.

比 較 的軽 い重 イ オ ン(C,Oな

ど)間 の 反 応 の解 析 に精 力 的 に使 われ,

成 果 を あげ て い る.二 つ の核 の 間 で 核 子 が 繰 り返 しや りと りされ る機 構 が 重 要 で あ る こ との 発 見 は そ の 一 例 で あ る[22].複 を 取 り入 れ てCCに

合粒 子 間 の衝 突 で 同 種 核 子 の交 換

よ る計 算 をす る 方 法 に は,波 動 関 数 の 反 対 称 化 を正 確 に取

り入 れ た,共 鳴 群 の 方 法(resonating

group

method,

RGM)が

あ る.こ の場

合 に は,核 子 の 交 換 に よって 反 応 粒 子 間 に 粒 子 の 組 み 替 えが 起 こ る か ら,CRC に よ る計 算 が 必 要 で あ る.こ の 方 法 に よる計 算 が 比 較 的軽 い 核 同 士 の 散 乱 に 対 し て 行 われ,い

ろい ろ な 近似 法 も 開発 され て い る[23].

  5.3.3  離 散 化 連 続 チ ャネル 結 合 法(CDCC)  入 射 粒 子aが

重 陽 子, 

の よ うに,弱

く結 合 した 二 つ の 破 片 か らな る場 合 に は,aは

反 応 の 途 次,標

的核 との 相 互 作

用 に よ って 容 易 に 変 形 し た り,分 解 し た りす る.そ の よ うな 状 態 はaの 連 続 励 起 状 態 の 重 ね 合 わ せ で あ る.   こ の よ う な過 程 をCCで

取 り扱 うた め の 現 象 論 的 ハ ミル トニ ア ンH(P)は

の 形 を して い る.A,1,2の

内 部 状 態 は 反 応 を通 じ て不 変 で あ る と し て,そ れ

ら の 内 部 ハ ミル トニ ア ン は省 い た.V1AとV2Aは の 相 互 作 用 の 現 象論 的 ポ テ ン シ ャル で あ る.た

そ れ ぞ れ1-Aお とえ ば,1-A間

よび2-A間

お よび2-A間

の

光 学 ポ テ ン シ ャ ル や 相 互 作 用 の 畳 み 込 み ポ テ ン シ ャル に適 当 な 虚 数 部 を付 け た もの な ど で あ る.   座 標 系 と して は,a-A間

の相 対 座 標rと1-2間

使 う.説 明 の 簡単 の た め に ス ピ ンを 無 視 し,aの をそ れぞ れ 

お よび 

の それr21の

型を

基 底 状 態 と連 続 状 態 の 波 動 関 数

とす る. 

の相 対 運 動 の 運 動 量 

い わ ゆ るT字

はa内 で の 二破 片

軌 道 角 運動 量

 

の 固 有 関数 で あ る.ΨCCJMは

(5.242) と展 開 され る. 

は 

動 関 数 で,hP(k)とhLは

に対 応 す る,a-A間

の 相 対 運 動 の波

そ れ ぞ れ 運 動 量 お よび 軌 道 角 運 動 量 で あ る ．  

は

(5.243) を 満 た す.(5.242)に   (5.242)の そ こ で,P空

ス ピ ン の 自 由 度 を 取 り入 れ る こ と は 容 易 で あ る.

右 辺 は 連 続 無 限 個 の 未 知 関 数  間 を 離 散 化 し て,連

続 無 限個 の未 知 関 数 を有 限個 の そ れ で 近 似 す

る の が 離 散 化 連 続 チ ャ ネ ル 結 合 法(coupled た はcontinuum

discretized

離 散 化 の 方 法 は,(a)lを

を 含 む.

coupled

discretized

channels,略

continuum し てCDCC)で

有 限 値 λ ま で に 制 限 す る: 

channelsま あ る[24]. (b)各lに

対 し

て,連 続 無 限 個 の 

を有 限Nl個 

で近

似 す る.し た が っ て(5.242)は

(5.244) で 近似 され る.ΨCDCCJMがCDCCの 近似 内部波 動 関 数, 

の と りか た は一 意 的 で な い.最 も よ く使 われ るの は, を等 しい 大 きさ 

に分 け,i番

の小 区 間

目の 区 間 内 の 

と して は 小 区 間 内 の 

のkに

で の  当 なNlm個

のCCの

とす る.か 一 般 のkに

の 基 底 

間点

に よ っ てhaを

対

とす る,と い う,"pseudo-state"

くし て得 られ た 有 限 個 の 離 散 化 され た チ ャ ネ ル に 対 し て通 常 を解 く.そ れ ぞ れ の 

値kiを 対 応 させ,(5.243)に

に 対 して,適 当

よ って そ れ に対 応 す るP(ki)を

決め

く して,離 散 的 なP(ki)に 対 す る 短χlLが 求 まる.そ れ を内 挿 す れ ば 対 し て  が 求 まる.

  以 上 の 方 法 はaだ

け で な く,標 的核Aも

拡 張 す る こ とが で き る.CDCCはd,

連 続 状 態 に励 起 す る 場 合 に も容 易 に

6,7Li, 12Cな ど の 弾 性 散 乱,弾 性 分 解 反

応 な ど に適 用 され て,実 験 と よい 一 致 を示 し た.図5.5に   CDCCに

た は,中

な ど を とる こ とが で き る.運 動 量 ビ ン の 方 法

手 法 を使 って 

な方 法 でkの

とす

bin)の 方 法 と い う. 

つ い て の 平 均,ま

角 化 し,そ のi番 目の 固 有 関数 を  の 方 法 もあ る.か

 

を代 表 す る適 当 な 関数 を 

る方 法 で あ る.こ れ を運 動 量 ビ ン(momentum

の ほ か に,適

はi番 目の

はそれ に対応 す る相 対 運動 の未 知 の波 動 関数 で あ る.

離散 化 の基 底  区 間 

波 動 関 数で あ る. 

先 だ っ て,弱

く結 合 した2破 片 か らな る 入射 粒 子 に よ る反 応 を取 り

扱 う方 法 と し て 断 熱 近 似 が 導 入 され た[25].こ あ る程 度 以 上 高 け れ ば,結

そ の 実 例 を 示 す.

の 近 似 で は,入 射 エ ネ ル ギ ー が

合 エ ネル ギ ーが 小 さな 粒 子 の 内 部 状 態 の準 位 間 隔 は

それ に 比 べ て小 さ く,ほ とん ど 縮 退 し て い る と見 な して よい,と 仮 定 す る.こ の仮 定 は 内 部 運 動 が 非 常 に ゆ っ く りし てい る とい う近 似 で,5.3.1項

で述べた 回

転 準 位 の励 起 に 対 す る 断 熱 近似 と本 質 的 に 同 じで あ る.こ の 近 似 は 重 陽子, の弾 性 散 乱 に適 用 され,成

功 を 収 め た.同

じ近 似 で,

図5.5 

56MeV58Ni(d,d)58Niの

実 験 値(o)[N.Matsuoka とCDCCに

微 分 断 面 積 のRutherford比 et

よ る 理 論 値(実

al.Nuc.Phys.A455 線),dの

413

の (1986)]

変 形 を 無 視 し た 計 算 値(破

線)

and

M.

と の 比 較. (M.Yahiro,Y.Iseri,H.Kameyama,M.Kamimura Kawai,Prog.Theor.Suppl.No.89

32(1968)に

よ る.)

(d,p)のzero-range DWBAは 歪 曲ポ テ ン シ ャル をpとnの 光 学 ポ テ ンシ ャル の 和Up+Unと した もの に な る.こ の 場 合 も,実 験 との 一 致 は,弾 性 散 乱 ほ ど で は な い が,改 善 され る.断 熱 近 似 は,CDCCで

入射 粒 子 の すべ て の 内 部 状 態

が エ ネル ギ ー 的 に縮 退 して い る,と い う近 似 を し た もの と数学 的 に等 価 で あ る. した が っ て,そ

の 近 似 の 良 否はCDCCに

して,CDCCは   CDCCを

よ って 評 価 す る こ とが で き る.か

弱 く結 合 した 粒 子 を 含 む反 応 の 標 準 的 現 象 論 の 一 つ に な っ た. 組 み 替 え チ ャ ネ ルが 結 合 す る 場 合 に拡 張 す る こ と も行 わ れ て い る.

計 算 を実 行 す るの は必 ず し も容 易 で は な い.組 で使 ったT字

く

み 替 え チ ャ ネル に対 し て は,上

型 の 座 標 系 が 不 適 当 だ か らで あ る.こ の場 合 に 対 して は,変 分 法

な ど に よ る 近 似 的 な計 算 法 も研 究 され て い る[26].

5.4  連 続 状 態 へ の 遷 移

  前 節 まで は 残 留 核 の 離 散 的 準 位 へ の 遷 移 を取 り扱 った.し か し,入 射 エ ネル ギ ー が 十 数MeV以

上 の 核 反 応 で は,残 留 核 の 連 続 状 態 へ の 直 接 過 程 に よ る遷

図5.6 

非 弾 性散 乱 の 放 出 粒 子 の エ ネル ギ ー ・スペ ク トル

移 も重 要 で あ る.実 際,放

出粒 子 の エ ネル ギ ー ・ス ペ ク トル を は 図5.6の

よう

に な って い て,残 留 核 の 離 散 的状 態 の 励 起 に対 応 す る線 スペ ク トル と複 合 核 か ら の 蒸 発 に よ るMaxwell型

の 山(第7章

参 照)の間

に 広 い 平 坦 な領 域 が あ る.

こ の 領 域 で は,放 出 粒 子 の角 度 分 布 は前 方 に 強 く,明 らか に直 接 過程 が 重 要 な 寄 与 を し て い る.入 射 エ ネ ル ギ ーが 数 十MeV以

上 に な る と,こ の平 坦 な スペ

ク トル を背 景 に して 巨 大 共 鳴 な ど の 山が 現 れ る こ と も あ る.こ の平 坦 領 域 は 直 接 過 程 と前 平 衡 過 程(1.3節)に 体 に つ い て は第8章 い て,DWBA展

  5.4.1 

よ る もの と考 え られ て い る.前 平 衡 過 程 の 全

で 詳 し く述べ る.こ の節 で は そ の 中 の 多段 階 直接 過 程 につ

開 に よ る解 釈 と,反 応 の シ ミュ レー シ ョ ンに つ い て 論 じ る.

多 段 階 直 接 過 程 のDWBA展

開

  残 留 核 の連 続 状 態へ の 遷 移 は 原 理 的 に はDWBA展

開 の 方 法 で 取 り扱 え るが,

組 み 替 え 過 程 を伴 う多段 階 過 程 の計 算 は 非 常 に複 雑 で あ る.実 際 上,取

り扱 え

るの は広 義 の 非 弾 性 散 乱 で あ る.ま た,こ の 種 の 反 応 で は 複 数 個 の粒 子 が 放 出 され るが,そ

れ ら に つ い て の 個 別 的 断 面 積 を扱 うの は 二 核 子 放 出 の場 合 を除 き

困 難 で あ る.最

も簡 単 で,実 験 デ ー タが 多 い の は1個

括 断 面 積(inclusive

の 放 出粒 子 に注 目 した 包

cross section)お よ び そ れ に伴 う ス ピ ン偏 極 量 で あ る.多

数 の 粒 子 に つ い て個 別 断 面 積 の 計 算 に は,次 節 で 述 べ る シ ミュ レ ー シ ョ ンに よ る 記 述 が 必 要 に な る.   例 と して 核 子 の 非 弾 性 散 乱A(N,N')A*の め に,核 子 の ス ピ ン を無 視 し,入 射 核 子0は

包 括 断 面 積 を 考 え よ う.簡 単 の た 常 に 核 内核 子i=1∼Aと

区別で

き,そ れ が 終 状 態 で 観 測 され る もの とす る.以 下 の議 論 に は これ ら の制 限 は 本

質 的 で は な い.実

際 の 計 算 は それ らの 制 限 な し で 行 わ れ て い る.

  (a) 多 段 階 直 接 過 程 の 断 面 積   この 場 合 の 包 括 断 面 積 は 核 子0の

エ ネル ギ ー と放 出 方 向 に つ い て の 二 重 微 分

断面積

(5.245) で 与 え られ る.た だ し,εA(εA*)は

核 の 始(終)状

態 の 内部 エ ネ ルギ ーで あ る.

この 節 で は 相 対 運 動 の始 状 態 をi,終 状 態 をfで 表 す こ とにす る.多 段 階過 程 に は 中 間状 態 が 現 れ る の で,そ れ と の 区別 を 明確 に す るた め で あ る.こ の 記 号 で, は 反 応 の移 行 エ ネル ギ ー で あ る.ま た,  で あ る.こ の 包 括 断 面 積 は,系

の0以 外 の部 分 に 起 こ る すべ て の 事 象 の 断 面 積

を含 ん で い る.   DWBA展

開で は,Tα'α は

(5.246) で 与 え られ る. 

はn段

階 過 程 のT行

列要 素で

(5.247) で 与 え られ る.た だ し,φA(φA*)は

核 の 始(終)状

はk段

中で の 核 子0と 標 的 核 の 相対 運動 のGreen

階 後 の 歪 曲ポ テ ンシ ャルUkの

関数 で あ る.反 応 を 引 き起 こす 相 互 作 用Vは

で あ る と仮 定 す る.υ(r0-ri)は 用(4.2節)で され て い る.歪

態 の 波 動 関数 で あ る.ま た

二体力 の和

入 射 核 子 と標 的 核 内 の 核 子iと の 有 効 相 互 作

あ る.そ れ に は 相 互 作 用 の 核 物 質 の 媒 質 効 果 に よ る 変 化 も考 慮 曲波 展 開 で は座 標 表 示 を使 うのが 便 利 で あ る.

  (5.247)か ら明 らか な よ うに,断 面 積 は移 行 運 動 量q=ki-kfと

移行エ ネ

ル ギ ー ω の 関 数 で あ る:

(5.248)   (5.245)に(5.246)を し,そ

代 入 す れ ば,nが

れ ら は 一 般 に 大 き くな く,ま

か ら,各n段

異 な る 

た 

の(q, ω)依

の 干 渉 項 が 現 れ る.し 存 性 はnに

か

よ っ て違 う

階過程 の断面積

(5.249) を議 論 す る こ と は物 理 的 に 意 味が あ る こ とで あ る.次 に,そ れ らの 定 性 的 な性 質 を見 よ う.

  (b) 準 弾 性 散 乱   入 射 ・放 出粒 子 の エ ネ ル ギ ーが 高 く,そ れ に く らべ て歪 曲 ポ テ ンシ ャル も,衝 突 され る核 子1の て 入 射 粒 子0と

核 に よ る束 縛 エ ネ ルギ ー も小 さけ れ ば,衝 突 は大 ざ っぱ に い っ 自 由空 間 中 の核 子1と

階 過程 前 後 の 核 子1の

の衝 突 に ほ ぼ 等 し い.し た が って,一 段

運 動 量 は そ れ ぞ れk1お

よびk1+qで

あ り,反 応 の移 行

エ ネ ル ギー は

で あ る.こ 大 で,反

の 値 はk1の

大 き さ がFermi運

平 行 の と き 最 小 で あ る.よ

動 量kFで,qと

平 行 で あ る と き最

って

(5.250) で な け れ ば な らな い.も

し上 記 の仮 定 が 厳 密 に 成 り立 つ な ら, 

は

(5.250)が 成 り立 つ 場 合 に だ け 値 が あ る で あ ろ う.こ の 条 件 を満 た す 散 乱 を準 弾 性 散 乱(quasi-elastic scattering)と い う.実 際 に は,核 子1は

核 内に束縛 さ

れ て 運 動 して お り,歪 曲 ポ テ ン シ ャル は 入 射 ・放 出粒 子 の 運 動 量 を変 え るか ら, 準 弾 性 散 乱 で な い 散 乱 も起 こ る.し か し,  る 山が あ り, 

に は 準 弾 性 散 乱 に対 応 す

は そ の 周 りに広 が る,と い う形 を 示 す で あ ろ う と予 想

され る.こ の 予 想 は 実 験 事 実 と合 っ て い る.

(c) 角 分 布 の 特 徴 次 に,一 定 の ω に対 す る 

の 角 分 布 につ い て 考 察 し よ う.

(5.251) ここで

を使 い,絶 対 値2乗

を開けば

(5.252) と な る.こ

こ に,

(5.253) ただし

(5.254) で あ る.K(r1,r'1)は4.4節

で 導 入 した 応 答 関 数 と本 質 的 に 同 じ もの で あ る.

は遷 移 密 度(transition  さて,(5.252)の はr0とr'0で

density)と呼

ば れ る.

右 辺 で,被 積 分 関 数 の最 初 の 因子 

発 生 し た放 出 波 の 干 渉 を示 す.も し,互 い に 干 渉 を 起 こすr0と

r'0の 領 域 が あ る程 度 以 上 広 けれ ば,そ

の 干 渉が 断 面 積 の 角 分 布 に 干 渉 縞 模 様 と

な っ て 現 れ る.し か し,も し そ の 領 域 が 非 常 に狭 け れ ば,断 面 積 は ほ と ん ど 各 点 で の 断 面 積 の和 に な るか ら,実 質 上 干 渉 は な い に等 し く,干 渉縞 模 様 は現 れ な い.こ

の干 渉 領 域 を決 定 す るの はK(r1,r'1)で

は 短 い か ら, は  値 を持 た な い か らで あ る.

あ る.な ぜ な ら,υ の レ ン ジ の と き しか ほ と ん ど

残 留 核 の 一 つ の 離 散 的状 態 へ の 遷 移 で は,

(5.255) で あ る か ら,K(r1,r'1)は￨r'1-r1￨に

よ ら な い.し

 が 値 を 持 つ,核

た が って,干

渉は

の 大 き さ程 度 の 広 さの 領 域 に わ た る.こ

れ が 断 面 積 に 干 渉 縞 模 様 が 現 れ る原 因 で あ る.   これ に 反 し て 連 続 状 態 へ の 遷 移 の 場 合 に は,(5.253)の K(r1,r'1)は

右 辺 が 示 す よ うに,

非 常 に多 くの 縮 退 し た φA*に つ い て の 和 か らな って い る.φA*の

位 相 が 乱 雑 で あ れ ば,そ れ ば 非 常 に小 さい.し

の 各 項 も 同様 で あ るか ら,そ の和 はr1〓r'1で

た が っ て 先 に述 べ た理 由で 

なけ

の角分布 は干 渉

縞 模 様 が な い,な だ らか な もの に な る で あ ろ う.こ れ は 実 験 的観 測 と符 合 し て い る.た と えば 巨 大 共 鳴 は 位 相 が 揃 った φA*の 成 分 を持 つ か ら,上 記 の 乱 雑 位 相 の 議 論 は 成 り立 た ず,む

 

し ろ離 散 的 状 態 へ の 遷 移 と同 様 に な る.し た が っ て

の この部分 は干 渉縞模様が現れ る.し か し,そ の背景 とな る平坦 な

部 分 は 前 記 の な だ らか な角 分 布 を持 つ と予 想 され る.こ れ も実 験 結 果 と一 致 し て い る.

 (d)半

古 典 歪 曲 波 近 似(SCDW)

  

の具 体 的 な 表 式 を 求 め る に は遷 移 密 度 ρA*A(r1)が 必 要 で あ る.核

の 波 動 関 数 に 独 立 粒 子 模 型 を 使 えば,

で あ る.た だ し, 

は核 の 始(終)状

核 子 状 態 の 波 動 関 数 で あ る.し

態 で 核 子1が

占 め る単 一

たが っ て

(5.256) と な る.た

だ し,FはFermi準

状 態 で あ る こ と,衝

位 で あ る.h,

突 の 際Pauli原

が 完 全 系 を な す か らclosure

pに 対 す る 制 限 は,始

理 が 満 た さ れ て い る こ と を 表 す. 

propertyを

も つ.し

た が っ て,(5.256)の

 の と き に だ け 値 を 持 つ こ とが 予 想 さ れ る.実 型 を 使 っ て 評 価 す る と,核 程 度 で,核

状 態が 基 底

際,右

辺 をFermiガ

の 平 均 的 な 密 度 に 対 し てK(r1,r'1)の

半 径 に く らべ て は る か に 小 さ い.

右辺 は ス模

レ ン ジ は2fm

 ￨r'0-r0￨がこの程度の大きさであれば,歪 曲波  に 対 し て 局 所 半 古 典 近 似(semi-classical

distorted

waves

approximation,

SCDW)

(5.257) が使える.た だし,   

の局所波数,Kf(r0)は  

(5.257)を 使 う と  度Fermiガ

は点r0で の のそれである.(5.256)と

に 対 す る 閉 じ た 形 の 簡 単 な 表 式 が 導 け る.局 所 密

ス 模 型 を使 った 場 合 の それ は

(5.258) で あ る.こ

こで

(5.259) は 点rで

の 二 核 子 衝 突 の 平 均 断面 積 で あ る.hF(r)は

の 大 き さ,ρ(r)は

点rで

のFermi運

動量

核 の 粒 子 数 密 度 で あ る.

(5.260) は 核 物 質 内 で の,有 効相 互 作 用 に よ る二核 子 散 乱  微 分 断 面 積 で あ る. 

が そ の 際 の 移 行 運 動 量 で あ る.

  (5.258)は 非 常 に 簡 単 な直 感 的解 釈 を許 す.  出)粒 子 が 点rに

到 達 す る(rか

の

は 入 射(放

ら無 限遠 に 到 達 す る)確 率 で あ る.局 所 平均

断 面 積 に粒 子 密 度 を 掛 け た もの は,そ の 点 で 衝 突 が 起 こ る断 面 積 で あ る.求 め る 断 面 積 は そ の 局 所 平 均 断 面 積 と前 記 の到 達 ・放 出確 率 の積 の和 で 与 え られ る. (5.258)で は,異

な る 点 で 発 生 した 放 出 波 の 干 渉 は 核 の 終 状 態 に 対 す る和 を と

る こ とで 消 え て し まっ た.し た が って,「衝 突 点 」 とい う概 念 が 意 味 を 持 つ.こ の こ とは 次 節 で 述 べ る カ ス ケ ー ド模 型 の 基 礎 を 与 え る.

  Ⅱ.  多 段 階 過 程   多 段 階過 程 は 複 雑 で あ るか ら,そ の 断 面 積 の 特 徴 に つ い て 一 段 階 過 程 と 同様 な 議 論 をす るの は 困 難 で あ る.し か し大 ざ っぱ に い って,衝 突 が 起 こ る度 に累 積 移 行 運 動 量 ・移 行 エ ネル ギ ーが 変 化 す る か ら,衝 突 回 数 が 多 い ほ ど 反 応 の 移 行 運 動 量 も移 行 エ ネル ギ ー も大 き くな り うる.し た が って,n段 積 

はnが

増 え る ほ どqと

依 存 性 は な だ らか に な る. 

階 過 程 の 断面

ω の広 い 範 囲 に広 が り,そ れ ら に対 す る の平 均 的 な 大 き さは,摂 動 論 の 常 と して,

nと と もに小 さ くな るが,q,ω

の 値 に よ っ て はnの

大 きな 過 程 の 寄 与 の方 が

大 き くな る場 合 も あ る.   多 段 階過 程 の  にGreen関

に対 す る(5.258)に

数 に 対 す るEikonal近

対 応 す る表 式 は,近 似(5.257)の

ほか

似

(5.261) を使 えば 求 ま る.Km(r)は

点 

で の 局 所 波 数 で あ る. 

体 的 な式 は 省 略 す るが,(5.258)と

の具

同様 な,直 感 的 に 非 常 に わ か りや す い 解 釈 が

で き,次 項 で 述べ る核 内 カ ス ケ ー ド模 型 の基 礎 付 け を 与 え る.そ の 

を使 っ

て 三 段 階過 程 まで の 数 値 計 算 が 行 わ れ,実 験 と よい 一 致 が 得 られ て い る[27].

  5.4.2  多 粒 子 放 出の シ ミュ レー シ ョン   連 続 領 域 へ の遷 移 の 多 段 階 直接 過 程 で は 一 般 に 反 応 の 各段 階 で 粒 子 が 放 出 さ れ る.そ の 全 体 像 を と ら え る に は,そ れ らの 放 出粒 子 の 各 々 に つ い て 運 動 量 分 布 な ど を 知 らね ば な ら な い.そ れ を 記 述 す る に は,前 項 ま で の よ うな理 論 は現 象 が 複 雑 す ぎ て 手 に 負 え な い.そ

こで,威 力 を発 揮 す る のが シ ミュ レ ー シ ョ ン

で あ る.こ の 項 で は 最 も成 功 して い る二 つ の 方 法 に つ い て 解 説 す る.

  (a)核 内 カ ス ケ ー ド模 型   直 接 過 程 の 模 型 と して 最 初 に 導 入 され,現 核 内 カ ス ケ ー ド(intra-nuclear

在 で も盛 ん に使 わ れ て い るの が,

cascade, INC)模

型 で あ る.こ

初 の計 算 は 入 射 中 性 子 に よる 反応 に 対 してGoldbergerに

の模 型 に よ る最

よ って 行 わ れ た[28].

こ の模 型 で は 反 応 を次 の よ うに見 る.そ れ は 入 射 中性 子 と標 的核 内 の 一 つ の 核 子 の 二 体 衝 突 に よっ て 始 ま る.衝 突 後 の 二 核 子 は そ の ま ま核 外 に 放 出 され るか, ま た は ほ か の 核 内核 子 と衝 突 す る.こ の 繰 り返 し に よ って 核 内 核 子 は次 々 と励

起 され る.こ れ が 核 内 カ ス ケ ー ドで あ る.こ の 過 程 で 放 出 され る 核 子 が 直 接 過 程 に よ る もの と して観 測 され る.新

た な核 子 が 励 起 され る た び に 個 々 の核 子 の

平 均 エ ネル ギ ー は 下が り,核 外 に 出 られ な くな る粒 子が 増 え,や が て 複 合 核 が 形 成 され る.   計 算 の 概 略 は 次 の 通 りで あ った.入 射 ・励 起 核 子 の 運 動 は古 典的 に 記 述 す る. 計 算 で は,ま ず 入 射 粒 子 が 核 内 に 入 る点 を 偶 然 事 象 を使 っ て 確 率 的 に 決 め る. 核 に 入 った 核 子 は 距 離xだ の 平 均 自 由行 程(mean

け 動 く と流 束がe-x/λ だ け 減 る.た だ し,λ は核 内

free path,略

してm. f.p. )で あ る.そ れ は ほ か の 核 内

核 子 との 衝 突 に よ る もの で,核

内で の衝 突 の 平 均 全 断 面 積 を 〈 σt〉,核の 核 子 密

度 を ρ とす る と, 

で あ る.入 射 粒 子 の最 初 の 衝 突 が 入 射 方 向 の直

線 上 の 重さ の

等 確 率 に 分 け られ た細 区 間 の どれ の 中 で 起 こ るか を偶 然 事

象 に よ っ て決 め る.標 的 核 にFermiガ

ス 模 型 を 仮 定 す る と,エ ネ ル ギ ーEの

入射 粒 子 に対 し て 〈 σt〉は

(5.262)

で 与 え られ る.た だ し,EFはFermiエ

ネ ルギ ーで あ る[29].同

じ くFermiガ

ス模 型 の 仮 定 の 下 に,衝 突 され る 核 内 核 子 の 種 類 と運 動 量,衝 突 後 の 両 核 子 の 運 動 量 を,二 核 子 散 乱 の 断 面 積 を 重 み と しPauli原 れ 等 確 率 な 領 域 に 分 け,そ

理 を 考 慮 に 入れ て,そ れ ぞ

の どれ が 生 起 す る か を偶 然 事 象 に よ っ て 決 定 す る.

こ の操 作 を直 接 過 程 が 終 わ る まで 入 射 お よび 励 起 され た 核 子 の す べ て に つ い て 繰 り返 し,最 終 的 に放 出 され る 核 子 の 運 動 量 分 布 を生 起 す る頻 度 に よ って 測 る. こ の よ うな 計 算 法 はMonte   こ の計 算 はINC計

Carlo法

と呼 ば れ て い る.

算 の 原 型 で,電 子 計 算 機 の 到 来 に よ って この 手 法 に よ る大

規 模 計 算 が 可 能 と な り[30][31],計

算 機 の発 達 と と もに 著 し く発 展 し て 今 日に

至 っ て い る[32].   こ の模 型 で 重 要 な点 は,粒 子 の 運 動 を古 典 的 に取 り扱 う こ と の ほ か に,衝 突 点 と い う概 念 を使 うこ とで あ る.量 子 力 学 的 に は,核 内 の 異 な る点 で 発 生 し た 散 乱 波 は 互 い に 干 渉 す る か ら,古 典 的 な 意 味 で の衝 突 点 とい う概 念 に は 意 味 が

な い.し た が って,こ

の衝 突 点 と い う概 念 の 正 当性 は量 子 力 学 的 に 検 証 す る必

要 が あ る.前 項 で 述 べ たSCDW模 る.SCDWは

型 は そ れ に対 す る肯 定 的 な答 え を与 え て い

また,量 子 力 学 的歪 曲波 を使 うので,歪

子 軌 道 の 曲が り,流 速 の 吸 収 の ほ か,古

曲ポ テ ン シ ャル に よ る粒

典 的 に 到 達 で きな い 場 所 で の 衝 突 も含

ん で い る こ と を付 け加 え て お く.

  (b)分

子 動 力 学 的 シ ミュ レー シ ョン

  前 平 衡 過 程 の シ ミュ レ ー シ ョン とし て 近 年 非 常 に成 果 を挙 げ て い る のが 量 子 分 子 動 力 学(quantum

molecular

力 学(anti-symmetrized

molecular

個 々 の 核 子 の 波 動 関 数 はGauss波

dynamics,

QMD)[33]お

dynamics,

AMD)[34]で

よび 反 対 称 化 分 子 動 あ る.両

者 と も,

束

(5.263) で あ る と仮 定 す る.

(5.264) が 位 相 空 間 中 の 波 束 の 中心 で あ る.波 束 の 幅υ は 定 数 で あ る.系 の 波 動 関 数 は QMDで

は

(5.265) AMDで

は,Slater行

列式

(5.266) と仮 定 す る.た だ し,Nは

全 系 の核 子 数 で あ る. 

応 じて 複 数 のSlater行 列 式 を 仮 定 す る.パ

で は,必

要に

リテ ィの 固有 関数 を作 る に は,そ れ

は 必 須 で あ る.

 または 

は時間依存変分法 (5.267)

の 試 行 関 数 で あ る.{Zj}を

変 分 の パ ラ メ ター と して(5.267)を

解 け ば,{Zj}

に 対 す る 運 動 方 程 式 が 得 られ る.そ れ が 平均 場 の 中で の 各粒 子 の 中心 の 運 動 を

決 め る.QMDの の 場 合 は,よ

場 合 は,運 動 方程 式 は 古 典 的Hamilton方

程 式 に な る.AMD

り複 雑 で あ る.後 に述 べ る 初 期 条 件 を与 え て それ を解 けば,{Zj}

が 時 間 の 関数 と して 求 ま る.そ れ は 各 核 子 の,自

らの 運 動 に伴 って 時 間 的 に 変

化 す る 平 均 場 の 中の 運 動 を表 す.   Pauli原 理 をAMDは

自動 的 に 満 た す.QMDは

そ うで は ない の で,同 種 の2

個 の 核 子 が 空 間 の 同 じ場 所 を 占 め るの を妨 げ る よ う なad

hocな

ポテ ンシャル

をハ ミル トニ ア ン に付 け 加 え て お く.そ の ポ テ ン シ ャル は 一 意 的で は な い.   核 子-核 子衝 突 は,二 つ の核 子 波 束 の 中 心が あ る 距離 よ り近 づ い た と き起 こ る, と仮 定 す る.衝 突 後 の両 者 の運 動 量 はMonte

Carlo法 で 確 率 的 に決 め,そ れ を初

期 条 件 と して 再 び 運動 方 程 式 を解 く.QMDで

は,衝 突 は 

に よ って 記 述 され る.し か し,AMDで

子 の 物 理 的 中 心{Wj}は{Zj}

で は な く,衝 突 はWjに

は,粒

よ って 記 述 され る.{Zj}と{Wj}は

線 形 変換 に よっ

て 結 ば れ て い る.衝 突 後 の 運 動 の 計 算 を続 け る に は,{Wj}を{Zj}に す る必 要 が あ る が,そ れ が 不 可 能 な 場 合 が あ る.こ れ は,そ

逆 変換

の衝 突 がPauli原

理 で 禁 止 され て い る こ と を示 す,と 解 釈 す る.   衝 突 す る各 粒 子 は衝 突 前 に は そ れ ぞ れ の 基 底 状 態 に あ る.そ  を 極 小 に す る{Zj}(複 結 合 を使 う場 合 に は それ ぞ れ の 中の{Zj}と に は,任 意 の{Zj}を

の波動 関数 は

数 のSlater行 列 式 の 一 次

一 次 結 合 の係 数)を 決 め る.そ れ

初 期 値 と して"摩 擦 冷 却 方 程 式"

(5.268) を解 く.た だ し,λ は任 意 の,ま た μ は μ 〓0の 実 定 数 で あ る.そ の 解 に 対 応 す るE({Zj})は

を満 た す か ら,E({Zj})はtと の{Zj}が

と もに 減 少 し,や が て 極 小 値 に な る.そ の と き

基 底 状 態 の 波 動 関 数 Φ({zj})AMDを

与 え る.

  こ の よ うに して 得 られ た 入 射 お よび 標 的 核が,互

い に 遠 く離 れ た い ろ い ろ な

衝 突 係 数 の位 置 か ら与 え られ た 相 対 速 度 で 動 き出す,と る.そ れ 以 後 の{Zj}の,運

い うの が 初 期 条 件 で あ

動 方 程 式 と 上 記 のstochasticな

二 体 散 乱 に よ る,

時 間 変 化 を追 跡 す る.十 分 時 間が 経 つ と,各 核 子 はば らば ら に,あ る い は い く つ か ず つ が ク ラ ス ター(塊)に

な って 核 外 に 飛 び 出 し,ま た は核 内 に と らわ れ

る.こ の よ うに し てで きた 始 原 的 な ク ラ ス ター は 統 計 的 平 衡 状 態 に あ り,そ こ か ら 粒 子(核

子 ま た は原 子 核)が 蒸 発 され る とす る.こ の 操 作 を十 分 多 くの 場

合 に つ い て 繰 り返 し,起   以 上 がQMD,

AMDの

こ る頻 度 に よ っ て 注 目す る 事 象 の 断 面 積 を計 算 す る. 概 略 で あ る.両 者 は さ まざ ま な改 良が 加 え られ,そ

れ ぞ れ 発 展 を続 け て い る.そ の適 用 範 囲 は軽 イオ ン反 応 か ら重 イ オ ン反 応 まで, 中 エ ネ ル ギ ー か ら高 エ ネ ルギ ー まで 非 常 に 広 い.ま た,重

イオ ン衝 突 で の α粒

子 の よ うな ク ラ ス ター の 放 出,放

動 量 の 流 れ の記 述 な

出粒 子 の 質 量 数 分 布,運

ど,ほ か の 方 法 で は取 り扱 え な い 事 柄 の定 量 的 記 述 に も成 功 し て い る.量 子 力 学 的 に 見 て,AMDはQMDよ

り優 れ て い る こ とは 明 らか で あ る.特 に原 子 核

の 束 縛 状 態 の 構 造 に つ い て は 波 動 関 数 の 反 対 称 化 は 重 要 で あ る.そ の か わ り, シ ミュ レ ー シ ョン に 要 す る計 算 時 間 はQMDの

5.5 

Glauber近

方 が は るか に少 な い.

似

  高 エ ネル ギ ー 入 射粒 子 に よ る反応 に使 われ る有 力 な 近 似 法 の 一 つ にGlauber 近 似[35]が あ る.入 射 チ ャ ネ ル αか ら始 ま る広 義 の非 弾 性 散 乱 を考 え よ う.反 応 を記 述 す る波 動 関 数 Ψ(+)α が 満 た すSchrodinger方

程式 は

(5.269) で あ る.Glauber近

似 の 第 一 の 仮 定 は,入

射 エ ネ ル ギ ー,し

た が っ てE,が

の 反 応 に よ る 内 部 状 態 の 励 起 エ ネ ル ギ ー よ り は る か に 大 き い,と る.こ

の 仮 定 は,断

熱 近 似(5.3.1項)の

動 に く ら べ て 非 常 速 い,と い てhα

そ れ と 同 じ く,系

い っ て も よ い.い

こ

い うこ とで あ

の相 対 運 動 が 内 部 運

ず れ に せ よ,そ

れ は(5.269)に

を 入 射 チ ャ ネ ル で の 値 εα で 置 き 換 え て よ い こ と を 意 味 す る.ゆ

お え に,

とす る と

(5.270) と な る.い

ま,入

射 波 の 波 数 ベ ク トル を κα と し

(5.271) と置 く と,(5.270)は

(5.272)

と な る.こ

れ は ξα を パ ラ メ タ ー と し て 含 む 方 程 式 で あ る.

  Glauber近

似 の 第 二 の 仮 定 は,Eα

入 射 波 の1波

長 内 で のVα

が￨Vα￨に

比 べ て は る か に 大 き く,か

の 変 化 が 無 視 で き る ほ ど 小 さ け れ ば,す

つ,

なわ ち

 か つ  な ら ば,f(rα,ξ

α)はrα

の 激 し く変 動 す る 関 数 で あ る 

り と変 化 す る,と

す る こ と で あ る.た

し(5.270)でVα

を 無 視 す れ ば Ψ(+)αは 平 面 波 に な り,f(rα,ξ

た く よ ら な くな る.し

か し,Vα

で 急 激 に 変 化 す る と,入

だ し,aはVα

に比べ てゆ っ く

が 小 さ くて も,も

の レ ン ジ で あ る.実

しVα が1波

射 波 は そ こ で 反 射 さ れ,f(rα,ξ

そ の よ う な こ とが 起 こ ら な い た め に は,  の 条 件 が 満 た さ れ て い れ ば,(5.272)左

際,も

α)はrα

に まっ

長 よ り狭 い 範 囲

α)も 急 激 に 変 化 す る.

の 条 件 が 必 要 で あ る.こ

辺 のΔ αfの 項 は 無 視 で き る.こ

れ ら

の近似

の 下 に(5.272)は

(5.273) と な る.こ (z,b,φ)を

こ で,rα=0を 定 義 す る.bは

原 点 と し,κ α をz方

向 と す る 円 筒 座 標 系rα=

入 射 粒 子 の 衝 突 係 数 とい う物 理 的 意 味 を持 つ.κ α∇rα=

κα∂/∂zで あ る か ら,(5.273)は

(5.274) と な り,そ

の 解 は, 

と し て,

(5.275) で あ る.た あ る.今

だ し,ψ(b,φ)とg(ξ の 場 合,ψ(b,φ)とg(ξ

α)は そ れ ぞ れbと α)は,Ψ(+)α

φ お よ び ξα の 任 意 の 関 数 で

が 

で入射平面波

(5.276) に な る,と い う物 理 的 条 件 で 決 め られ る.そ の た め に は

(5.277) で な け れ ば な ら な い.こ

れ を(5.275)に

代 入する と

(5.278)

とな る.こ の 関 数 はzが  した が っ て,も

しd
程 度 の 距 離 動 くと 目立 っ た 変 化 を す る. ら,先 の 条 件 

は 十 分 で は な く,καd≫1

で 置 き換 えね ば な らな い.   弾 性 散 乱,広

義 の 非 弾 性 散 乱 α → α'に 対 す るT行

列要素 は

(5.279) で あ る.(5.274)を

使 えば

で あ る か ら,

(5.280) と な る.た

だ し, 

で あ る.散

乱 角 θが 非 常 に 小 さ け れ ば さ ら に 簡

単 化 で き る.κ α を κα 方 向 の 単 位 ベ ク トル,bをrα る と, 

の κα に 垂 直 な 成 分 と す

だ か ら,

(5.281) で あ る.し

か るに

(5.282) で あ るが,(5.280)の

積 分 に 寄 与 す るzの 最 大 値 をdと

す る と,θ が

(5.283) を満 た す ほ ど小 さ け れ ば,(5.282)の 部 状 態 の 励 起 エ ネ ル ギ ー をΔEα

最 後 の 辺 の 第1項 は 無 視 で きる.ま た,内

とす る と,仮 定 に よ り

(5.284) だ か ら,第2項

も無 視 で き る.よ

っ て, 

す なわち

で あ る.し

た が っ て, 

を使えば

(5.285) で あ る.zに

つ い て の 積 分 は 直 ち に で き て,fの

表 式(5.278)を

使 うと

(5.286) と な る.こ

こに

(5.287) ただ し

(5.288) と な る.(5.286)が (5.287),

こ の 反 応 のGlauber近

(5.288)か

似 に よ るT行

ら 明 ら か な よ う に,Tα'α

の 寄 与 ま で 入 っ て い る.こ

れ は,DWBA展

列 要 素 で あ る.(5.286),

に は 

の無限次のべ き

開 の 言 葉 で い う と無 限 の 多 段 階 過

程 が 取 り入 れ ら れ て い る こ と に な る.   Γ(b, ξα)を こ の 反 応 のprofile関 い う.χ(b,

ξα)は,入

さ れ た ま ま,衝

射 粒 子aと

突 係 数bで

数,χ(b,

ξα)を 位 相 差(phase

標 的 核Aが

shift)関 数 と

内 部 座 標 を ξα={ξaξA}に

固定

衝 突 す る と き の 波 動 関 数 の 位 相 の ず れ に 相 当 す る.  は 内 部 波 動 関 数 に よ る 行 列 要 素 で,χ(b,

ξα),

  で 固 定 さ れ て い た 内 部 座 標 に つ い て の 積 分 に な っ て い る.   Vα がz軸

に 関 し て 軸 対 称 

で あ る 場 合 に は,

(5.289) は φ に よ ら な い か ら,qb=qbcosφ

に注 意 し

を使 うと

(5.290)

とな る.た だ し,前 記 の 近 似    (5.286)に よ っ てT行

を使 っ た.

列 を計 算 す る に は,一 般 に 多 体 系 の 波 動 関数 に よる行

列 要素

(5.291) を計 算 せ ね ば な らな い.チ 和 

ャネ ル α=a+Aの

相 互 作 用Vα が 二 体 相 互作 用 の

で あれ ば,χ(b,ξ α)は

(5.292) で与 え られ る.た だ し,ζκは粒 子κ の,空 間座 標 以 外 の座 標 で あ る.粒 子a(A) の 重 心ra(rA)か

ら の 核 子i(j)の

 とす る と 

で あ る.た

相 対位置 を だか ら

だ し, 

ξiのκα に 垂 直 な 成 分 で あ る.よ

で あ り,siとsjは

そ れ ぞ れ ξiお よ び

って

(5.293) とお く と

(5.294) と な る.こ

れ に 対 応 す るprofile関

数 の行 列 要 素 は

(5.295) で あ る.そ

こで

(5.296) と お く と,χ(b)は

(5.297)

で 与 え ら れ る.(5.297)の 開 し た も の をcumulant展

右 辺 を 

の べ き級 数 に展

開 と い う.そ

の最低次の近似 は

(5.298) で,こ れ はoptical

limitと 呼 ば れ て い る.こ の近 似 で もT行

列 要 素 に は多 段

階 過 程 の 寄 与 が 取 り入 れ られ て い る.   Glauber近

似 は弾 性 散 乱,広

義 の 非 弾 性 散 乱 に適 用 で き るだ け で な く,入 射

粒 子 また は 標 的核 の 分 解 に対 して も成 り立 つ.分 解 状 態 は連 続 励 起 状 態 と考 え る こ とが で き るか らで あ る.た

とえ ば(d, pn)反 応 はdのp-n系

ら連 続 励 起 状 態 へ の 遷 移 で あ る.こ れ に 限 らず,弱

の基底状態 か

く結 合 し た 入 射 核 が 標 的核

との 衝 突 で そ の 一 部 を失 う反 応 も 同様 に考 えれ ば この 近 似 で 取 り扱 うこ とが で き る.最 近,不 安 定 核 を入 射 粒 子 とす る 反応 の研 究が 行 わ れ,反 応 の 前 断面 積, 弾 性 散 乱 の 微 分 断 面 積,中 性 子が 失 わ れ る 断面 積 な ど い ろ い ろ な 断 面 積 が 測 ら れ て い る.特 に,核 表 面 の 外 側 に非 常 に弱 く束縛 され た 中 性 子 の 暈(halo)を

持

つ 原 子 核 の 散 乱 が よ く研 究 され て い る.こ の よ うな反 応 の解 析 に,Glauber近 似 が 有 効 に使 われ て い る[36].

文

献

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6 複合核過程Ⅰ― 共鳴理論

  低 エ ネル ギ ー の 中 性 子 を原 子 核 に 衝 突 させ る と,そ の 総 断面 積 は 入 射 エ ネル ギ ー に よ っ て激 し く変 化 し,ま た そ の ピ ー クの 断 面 積 は非 常 に 大 きい(図6.1). この よ う な 中性 子 の 共 鳴 散 乱 を 説 明 す る た め にN. Bohr 核(compound

[1]ら は1936年,複

nucleus)模 型 を提 案 した[2].入 射 核 子が 核 内 に 入 る と,ま ず 標

的 核 に よ って 作 られ る一 体 の平 均 ポ テ ンシ ャル の なか をFermiエ もは る か に 高 い エ ネ ル ギ ーで 動 き回 る.そ させ,自

合

ネル ギ ー よ り

し て核 内 核 子 と衝 突 して それ を励 起

らの エ ネル ギ ー と運動 量 の一 部 を失 う.入 射 核 子 は この よ うな衝 突 を繰

り返 し,核 は 複 雑 な励 起 状 態 と な る.こ の 状 態 は準 安 定 状 態 で 固有 エ ネ ルギ ー (共 鳴 エ ネ ル ギ ー)と 共 鳴 幅 を持 つ.し か し衝 突 を繰 り返 す う ち に た ま た ま1 個 の 核 子 に エ ネ ルギ ー と運 動 量 が 集 中 す る と,核 外 に 放 出 され,励 起 状 態 は 崩 壊 す る.こ の よ うな 励 起 状 態 はBohrに

図6.1 

232Thに

よ り複 合 核 状 態 と呼 ば れ た.低 エ ネ ル

よ る 中 性 子 の 散 乱 総 断面 積

縦 軸 は 総 断 面 積(単 位10-24cm2)を,横 ギ ー(eV)を 示 す[3].

軸 は入射 中性子の エネル

ギ ー の 複 合 核 で は核 子 の 放 出 が 起 こ りに くい の で,そ

の寿 命 も核 子 が 核 を横 断

す る 時 間 に 比 べ て,は るか に長 くな る.こ れ に 対 応 し,共 鳴 幅 は 狭 く,meV(ミ リeV)に

な る こ と もあ る.こ の よ うな過 程 は 複 合 核 過 程 と 呼 ば れ,入 射 エ ネル

ギ ーが 低 い と き,あ る い は 高 くて も低 い エ ネ ル ギ ーで 出 て くる と き,あ るい は 後 方 に 出 る と き に起 こ り,放 出 粒 子 は入 射 粒 子 の 記 憶 を ほ とん ど留 め ない.   複 合 核 と複 合 核 反 応 が こ の 章 の 主 題 で あ る.複 合 核 共 鳴 の 定 式 化 はBreitと Wignerら[4]に

よ る摂 動 論 に よる 共 鳴公 式 の 導 出 を 最 初 とす る.こ の 共 鳴 公 式

はBreit-Wignerの

公 式 と呼 ば れ て お り,パ ラ メ ター を適 当 に 選 ぶ こ と に よ っ

て 実 験 デ ー タを 再 現 す る こ とが で きる.し か しな が ら核 子 間の 相 互 作 用 は 摂 動 論 が使 え る ほ ど弱 い もの とは考 え られ ない.し たが ってBreit-Wignerの

公式は

実 験 事 実 を よ く記 述 す る 現 象 論 的公 式 で は あ るが,量 子 力 学 的 な根 拠 は 薄 い と い え る.次 に複 合 核 の 内部 構 造 に立 ち入 らな い で,核 表 面 の波 動 関数 の境 界 値 問 題 と して 扱 うR行

列 理 論 が6.1節

を 導 出 し た の はKapur-Peierls

で概 説 され る.初 め て 量 子 力 学 的 に 共 鳴 公 式

[5]で,つ

いでWigner,

Eisenbud,

Teichmann

ら[6, 7]が もっ と一 般 的 な定 式 化 を 行 った.こ れ らの 人 々 は,複 合 核 は 二 つ の 粒 子 が 近 づ い て 相 互 作 用 を行 う よ うな 状 態 で あ る と定 義 し た.6.1節 方 法 で 共 鳴 公 式 が 導 出 され る.そ の後Feshbachは

で は この

射 影 演 算 子 の 方 法 を提 案 し,

複 合 核 に適 用 し た.こ れ は6.2節

で 説 明 す る.こ れ ら二 つ の 方 法 は核 反 応 を記

述 す る こ とで は 同等 で あ るが,一

長 一 短 が あ り,ま た 両 者 の 複 合 核 状 態 は 完 全

に は 同 じで は な い.   複 合 核 反 応 理 論 は は じめ は 低 エ ネ ルギ ー の 中性 子 の 共 鳴 散 乱 を説 明 す るた め の もの で あ っ た が,弾 性 散 乱 断 面 積 をエ ネ ル ギ ー 平 均 し た もの は 一 体 の 複 素 ポ テ ンシ ャル に よ る散 乱 の 計 算 結 果 に よ く合 うこ とが わ か っ た.こ れ が3章 り上 げ られ た 光 学 模 型 で,広 い 範 囲 の エ ネ ル ギ ー,粒 子 の 種 類,核

で取

種に適用 さ

れ た.光 学 ポ テ ン シ ャ ル の 虚 数 部 は共 鳴状 態 に よ る吸 収 に 対 応 す る の で,複 合 核 反 応 理 論 は 光 学 模 型 の 基 礎 を 与 え る こ と は 明 らか で あ る.本 章 の6.3節

で議

論 され る光 学 模 型 は広 義 の 光 学 模 型 で,弾 性 散 乱 の み な らず,一 般 の 反 応 に適 用 され,核 反 応 理 論 の 基 礎 を 与 え る.次 に1回 衝 突 し た だ け で 入 射 粒 子 が 放 出 され る 直 接 過 程 は5章

で 詳 し く述 べ られ た.こ の 場 合,放

出粒 子 は 入 射 粒 子 の

記 憶 を 強 く持 って い て エ ネル ギ ー と 運 動 量 の 損 失 は小 さ く,角 分 布 は 前 方 が 多 くな る.   複 合 核 過 程 と直 接 過 程 の 中 間 の ものが あ る.入 射 粒 子 が 最 初 の 衝 突 で 作 る状

態 は複 合 核 反 応へ の 入 り口 で あ る ので,戸 口状 態 と呼 ば れ て い る.こ こで 直 ち に 粒 子 が 出て 行 く場 合 もあ る し,ま た 先 に 進 む場 合 もあ.こ の 戸 口状 態 は6.4節 で 説 明 され,そ の例 として,巨 大 共 鳴 とア イ ソバ リ ック ・アナ ロ グ状 態(IAS)が

取り

上 げ られ る.戸 口状 態 を通 り越 し さ らに衝 突 を繰 り返 すが,平 衡 状 態 に 至 らな い で 粒 子 放 出が 起 こ るの が 前 平 衡 過 程(pre-equilibrium process)で,こ

れ は8章

process, pre-compound

で 論 ぜ られ る.な お6.5節 に は 時 間 に依 存 す る定 式 化

で 波 束 を使 い,核 反 応 の 時 間 的 側 面 が 明 らか に さ れ る.6.6節 り共 鳴状 態 を調 べ,ま

では古 典論 に よ

た そ れ と関 連 し た現 象 の エ コ ー につ い て も触 れ る.

  エ ネ ル ギ ーが 高 くな る に 従 っ て 共 鳴 準 位 間 隔 は 狭 く共 鳴 幅 は 広 くな る の で, 共 鳴 は重 な り統 計 的取 り扱 いが 必 要 に な る が,こ れ は次 の7章 で 詳 し く論 じ ら れ る.こ の 統 計 的 性 質 か らカ オ ス との 関連 が つ き,7.7節

で 簡 単 で あ るが それ

ら の発 展 に 触 れ る.

6.1 R行列理

  複 合 核 の共 鳴 の 理 論 と し て はR行

論

列 理 論 が 最 も古 く,総 合 報 告[8]や 書 籍[9]

が 出 て い る.こ

こで は あ ま り詳 しい 紹 介 は で きな い の で,上 の 文 献 を参 照 され

た い.以 後,重

心 運 動 は 分 離 し て あ る と して,相 対 運 動 の み を考 え る.系 の ハ

ミル トニ ア ン と して は2章

に 示 され た よ う な運 動 エ ネ ル ギ ー と二 体 の 相 互 作 用

の和

(6.1) を使 う.i,jは で あ る.そ

核 子 の番 号,μ は核 子 の 換 算 質量,Vijは

して2.2.3項

核 子i,j問

に示 され た 対 称 性 を持 つ と す る.ま た5章

の 固有 関 数(波 動 関 数)は

運 動 量 表 示 を とっ て きた が,こ

除 き角 運 動 量 表 示(2.6節)に

の相互作用 まで は,そ

れ か ら は8.5.1項

を

よ り,そ の 規 格 化 に は(6.17)に 示 す よ う にエ ネ ル

ギ ー表 示 に よ り行 う こ と にす る.   入 射 粒 子 と原 子 核 か ら な る系 を 記 述 す る配 位 空 間 を二 つ の部 分 に分 け,核 と 粒 子 の 距 離rが

一 定 の 距 離aよ

り大 きい か,小

さい か に よ り,外 部 領 域 と 内部

領 域 に分 け る.外 部 領 域 で は核 と粒 子 の 間に 核 力 は効 かず 遠 心 力 が,荷 同 士 で あれ ば さ らにCoulomb相

電粒 子

互 作 用 も作 用 す る.し た が っ て そ の 波 動 関 数 は

簡 単 に求 め る こ とが で き る.内 部 領 域 は 核 力 が 働 き,複 雑 な 衝 突 が お こ る と こ

ろで,R行

列 理 論 が 形 成 され た1940-50年

代 には,ま

と もに波 動 関 数 を求 め る

こ とが で きな い と考 え られ た.一 般 の 場 合 を 具 体 的 に 定 式 化 す る の は 煩 雑 な の で,ま ず 一体 の 平 均 ポ テ ン シ ャル に よる弾 性 散 乱 の 場 合 を例 に と って 説 明 す る. こ の チ ャ ネル をcと

し,そ の エ ネ ル ギ ー をE,波

数 を 

量 をlと して お く.動 径 波 動 関 数 は次 のSchrodinger方

,角 運 動 程式

(6.2) を 満 た す.U(r),UC(r)は あ る.内

一 体 の 核 の ポ テ ン シ ャ ル とCoulombポ

テ ン シ ャル で

部 領 域 の 解 は 原 点 で 正 則 の 条 件 の 下 で 解 く.外 部 領 域 で は 一 体 の ポ テ

ン シ ャ ルU(r)は

働 か な い と す る の で,次

の よ う に 書 け る.

(6.3) 波 動 関数 は 内 向 波Il(κ,r)と 外 向 波Ol(κ,r)よ

りな り,後 者 の 振 幅 がS行

あ る.外 向 波 と 内 向波 は外 部 領 域 で のSchrodinger方

程 式(U(r)=0)の

列で 解 で,

次 の 漸 近 形 を もつ:

(6.4) こ こ で η はSommerfeldパ 差(位

相 の ず れ と もい う)で

(2.7.2項

参 照),外

め に は,両

ラ メ タ ー,σlはCoulombポ

テ ン シ ャル に よ る位 相

あ る.Fl(κ,r)とGl(κ,r)はCoulomb波

動 関数 で

部 の 波 動 関 数 が 内部 の 波動 関 数 と境 界 で 滑 らか につ なが る た

者 の 波 動 関 数 の 対 数 微 分 が 等 し くな け れ ば な ら な い.内

部の対数微

分 を

(6.5) と 書 く と,こ

れ は エ ネ ル ギ ー の 関 数 で あ る.u'(r)はrに

外 側 の 対 数 微 分 は(6.3)で Sccで

書 か れ,次

つ い て の 微 分 で あ る.

わ か る よ う に 既 知 の 量Il(κ,r),Ol(κ,r)と

未知 の量

の 式 が 成 り立 つ.

(6.6) で,外

向波 の 対 数 微 分 は

(6.7)

と 表 し,実

数 部Δcは

と 呼 ば れ,Coulomb波

エ ネ ル ギ ー の ず れ,虚 動 関 数 の チ ャ ネ ルcの

数 部Pcは

貫 通 因 子(penetrability)

境 界 面 で の 値Fc,Gcに

より

(6.8) で 与 え られ る.   次 にOlとIlと

の 絶 対 値 は等 しい の で,

(6.9) と 表 す.(6.6)をSccに

つ い て 解 き,(6.7)と(6.4)に

よ りS行

列要素 は

(6.10) と な る.内 部 波 動 関 数 の 境 界 面 で の対 数 微 分 が 知 られ て い れ ば,あ 外 部 波 動 関 数 に よっ て 表 され る こ とが わ か る.(6.10)よ

とは 既 知 の

り弾 性 散 乱 の 断 面 積 を

計 算 す る と,

(6.11) に比 例 す る.こ の 右 辺 第1項

は 剛体 球 散 乱 項 と呼 ば れ,半 径r=aの

よ る 散 乱 の振 幅 と 同 じ で あ る.第2項

の 絶 対 値 はfc=Δcの

剛体球 に

と き極 大 に な る.

これ は 共 鳴 に 関 す る項 で,内 部 波 動 関 数 の 対 数微 分 の 実 数 部 が 外 向 波 の そ れ と 同 じ に な る と きに 対 応 す る.ポ

テ ン シ ャ ル 散 乱 の 場 合 に はfcは

容易 に計算 で

き,そ の エ ネ ルギ ー 変 化 を調 べ る こ とが で き る.も っ と多 くの 自由 度 が 関与 す る散 乱,反 応 に お い て は,内 部 波 動 関数 が 必 要 に な るが,こ こで は,R行

列 理論

に し た が っ て,具 体 的 に解 くこ と を避 け,境 界 条 件 を課 す こ とに よ り完 全 系 を 導 入 す る と い う方 法 を と る.内 部 領 域 でSchrodinger方 ネ ルcの 境 界rc=acに い 実 数 値Bcを

お け る法 線n方

程 式 を 満 た し,各 チ ャ

向へ の 対 数 微 分 が エ ネ ル ギ ー に よ らな

もつ と い う条 件 をつ け る と,固 有 値 と固 有 関数 が 決 まる.

(6.12) (6.13)

固有 値Eλ は 実 数 で 離 散 的 な 値 を と る.χcは チ ャ ネ ル波 動 関 数 で,∫dSは 界 面 で の 積 分 を表 す.こ 考 え な い.Xλ

境

こで はチ ャ ネ ル は 核 子 散 乱 の み で,複 合 粒 子 の もの は

は 内部 領 域Iで

完 全 系 をつ く り正 規 直 交 条件

(6.14) を 満 た す.チ

ャ ネ ルaに

入 射 波 が あ る 波 動 関 数 ΨaはSchrodinger方

程式

(6.15) を満 た し,境 界 面 上 と外 部 領 域 に お い て,

(6.16) の よ うに チ ャ ネ ル で 展 開 し て お く.動 径 波 動 関 数 は

(6.17) で,規

格 化 定 数 に つ い て は6.2節

定 数 がυc-1/2に

で 説 明 す る((6.63)参

比 例 す る こ と を 指 摘 し て お く.υcは

間 の 相 対 速 度 で あ る.つ

ぎ に し ば し ば 使 うGreenの

照).こ

チ ャ ネ ルcに

こ で は,こ

の

お け る二 粒 子

定 理 を 述 べ て お く.Ψ1,Ψ2

は

(6.18) を満 た す とす る と,

(6.19) が 成 り立 つ.次

に 波 動 関 数 Ψaの チ ャ ネ ルcの 境 界 面 上 の 値Vcaと,そ

の微分

値Dcaを

(6.20) (6.21)

に よ り定 義 し,ま

たXλ

と 境 界 条 件Bcと

で,

の そ れ ら を 換 算 幅 振 幅(reduced

width

amplitude)

gλc

(6.22) (6.23) と表 す.  波 動 関数 Ψaは 内 部 領 域 で はXλ で 展 開 で きて,展

開式 は

(6.24) と な る.境

界 面 上 で は Ψaと 等 し い が,そ

の 微 分 に は ギ ャ ッ プ が 出 る.と

は 境 界 の 内 側 で は 波 動 関 数 の 微 分 は(6.13)に り決 ま る か ら で あ る.厳

よ り決 ま り,外

側 で は(6.17)よ

密 に は こ れ を 補 正 す る 項 を 付 け 加 え る が,そ

さ く と る こ とが で き る[5].

Greenの

定 理(6.19)を

Ψ1=Ψaと

い うの

の 値 を小

Ψ2=X*λ

に適

用す ると

(6.25) を 得 る.正

規 直 交 条 件(6.14)を

使 って

(6.26) の 関 係 を 得 る.境

界 面 上 で Ψaと 展 開 式(6.24)の

値 が 等 し い こ と か ら,

(6.27) を 得 る が,こ

れ に(6.26)を

代 入 す る と,VcaとDcaの

関係 式

(6.28)

が 求 まる.上 式 の右 辺 の

(6.29) はR行

列 で あ る.関

係(6.28)を

チ ャ ネ ル に つ い て の 行 列 で 書 く と,

(6.30) と 簡 単 に な る.(6.16)と(6.17),

(6.20)か

ら 波 動 関 数 の 値 の 行 列Vは

(6.31) と 表 せ る.IとOは(6.4)で ρc=κcacで

あ る.波

与 え られ る 内 向 波 と 外 向 波 の 境 界 面 上 で の 値 で, 動 関 数 の 微 分 値 の 行 列Dは(6.16),

(6.17)と(6.21)か

ら

(6.32) を 得 る.こ

れ ら を(6.30)に

代 入 し,Sに

つ い て 解 く と,

(6.33) を 得 る.次

に(6.4),

(6.8), (6.9)か

ら 導 か れ る 関 係 式 

を使 っ て

(6.34) が 得 ら れ る.こ

の 式 の 評 価 に は 逆 行 列 の 計 算 を 行 わ な け れ ば な ら ず,そ

ギ ー 依 存 性 も 明 確 で は な い.こ

れ を 明 ら か に す る に は,近

を 計 算 す る と,Breit-Wignerの Teichmann

式 が 求 め ら れ る.こ

[6, 7]た ち の 仕 事 で あ る.こ

い.こ

似 を し た 上 で,逆

れ ら はWigner,

算 は 比 較 的 簡 単 だ が,一

行列

Eisenbud,

こ で は そ の よ う な 面 倒 を 避 け,境

件 を 逆 行 列 を な くす よ う に 選 ぶKapur-Peierls 歴 史 的 に は 一 番 早 く,計

のエネル

[5]の 方 法 を 述 べ る.こ

界 条

の方 法 は

方 代 償 を 払 わ な け れ ば な らな

れ に つ い て は こ の 節 の 終 わ り に 述 べ る.

  Kapur-Peierlsは

固 有 状 態 λ の 境 界 面 で の 対 数 微 分 は エ ネ ル ギ ーEの

の そ れ と 同 じ と し た.す

外 向波

なわ ち

(6.35)

で,エ

ネ ル ギ ー 固有 値 も複 素 数

(6.36) と な る.固 幅gλcも

有 値,固

有 関 数 と も に エ ネ ル ギ ーEに

よ っ て 変 わ る.ま

複 素 数 で 弱 い エ ネ ル ギ ー 依 存 性 を 持 つ.さ

と は な ら な い の で,双 い.(6.12)を

直 交 基 底(bi-orthogonal

満 た す 固 有 関 数Xλ

ら に 固 有 関 数Xλ

basis)を

た換算幅振 は直交系

導 入 し な けれ ば な ら な

のチ ャネル展開 を

(6.37) とす る.次 の よ うな 関 数

(6.38) を 考 え る.こ

の 系 の 角 運 動 量 と そ のz成

子 と す る と, 

分 をJ,

Mと

し,Tを

時 間反 転 の 演 算

で あ る か ら,[H,T]=0よ

り

(6.39) を 満 た す こ と が わ か る.Greenの

定 理(6.19)を 

と し て適

用 す る と,

(6.40) とな り,λ ≠ λ'に対 して,直 交 す る こ とが わ か る.規 格 化 条 件 を付 け 加 え

(6.41) と す る.こ

の 規 格 化 条 件 はKapur-Peierls

[5]と は 異 な る が,次

格 化 と 一 致 す る よ う に 便 宜 的 に 選 ん だ.Greenの に 対 し て 適 用 す る と,前 だ し,R行

節 に お け る規

定 理(6.19)を  と 同 じ く(6.30)を

得 る.た

列 は

(6.42) で,換

算 幅 振 幅gλcの

に な る.S行 の た め,逆

定 義 は 前 と 同 じ く(6.22)で

列 も 前 と 同 じ く(6.34)で

与 え ら れ る と す る が,複

与 え ら れ る が,境

素数

界 条 件Bc=Δc+iPc

行 列 の 項 は消 え

(6.43)

と な る.こ

こ で,

(6.44) は 部 分 幅 振 幅 で,部

分幅 は

(6.45) で 与 え ら れ る.次 す る と,全

に 

に 対 しGreenの

定 理(6.19)を

適用

幅は

(6.46) と な る.こ

こ で,

(6.47) で,部 分 幅 の 総 和 は全 幅 に等 し いか 大 きい.し か し,幅 が 狭 い場 合 は 近 似 的 に 等 しい.   (6.43)は 一 般 の 共 鳴 公 式 で あ り,多 くの 準 位 λの 和 を含 ん で い る.し か し共 鳴 幅 が 準 位 間 隔 に比 べ て 十 分 に小 さい と きに は,共

鳴 エ ネ ル ギ ー ελの 近 くで

は,こ の λ の 一 項 だ け で 十 分 で あ る.反 応 断 面 積(c≠c')は

(6.48) で 与 え られ る.Jは

複 合 核 状 態 λの ス ピ ンでIc1とIc2と

ス ピ ン で あ る.式(6.48)はBreit-Wignerの 呼 ば れ て い る.Breit-Wigner

は 入 射粒 子 と標 的核 の

一 準位 共 鳴公 式 あ る い は分 散 公式 と

[4]は摂 動 論 を使 って 導 い たが,Kapur-Peierls

[5]

は 使 わ ず に 導 くこ とが で きた.   これ まで,波

動 関数 の 反 対 称 化 につ い て は 触 れ な か っ たが,R行

列理論で は

内 部 領 域 の 波 動 関数 の 具 体 的 な形 は使 わ ない が,殻 模 型 と 同 じ で,反 対 称 化 さ れ て い る とす る.外 部 領 域 の波 動 関 数 は 反 対 称 化 しな け れ ば な らな い が,す べ て の チ ャ ネ ル の 波 動 関 数 は 外 部 領 域 の 定 義 か ら互 い に 直 交 す る の で,2.9節 述 べ られ た よ うに各 チ ャ ネ ル の振 幅 に 係 数 をか けれ ば よい.弾 散 乱 で は こ の 係 数 は1で,反

に

性 散 乱 と非 弾 性

対 称 化 の 影 響 は見 ら れ な い.

  こ こで 低 エ ネル ギ ー 中性 子 吸 収 反 応 を考 え て み よ う.中 性 子 の 場 合 は貫 通 因 子 は 球Bessel関 η=0,ρ=κa≪lな

数 とNeumann関

数 で 簡 単 に 計 算 で き る.低 エ ネ ル ギ ーで は

の で,

(6.49)

(6.50) に よ り,

(6.51) と な る.す 例 し,吸

な わ ち κ2l+1に 比 例 す る.し 収 断 面 積 は1/κ

て 粒 子 が 遠 心 力 やCoulomb障

た が っ てl=0に

に 比 例 し1/υ 壁 に よ り,核

あ る こ と が 述 べ られ て い るが,こ

対 し て はГ λcはκ に 比

則 が 成 り立 つ.2.8.4項

におい

内 に 到 達 す る 確 率 がPl(κ;RN)で

の 確 率 とυlと は ρ≪lの

極 限 で は 一 致 し,一

般 に は 近 似 的 に 一 致 す る.  換 算 幅￨gλc￨2に

つ い て はTeichmann-Wigner

[7]の 総 和 則

(6.52) が 知 られ て い る.最 後 の値 は 内部 波 動 関 数 の動 径 部 分 は 内 部 領 域 で 定 数 とい う近 似 を使 っ た.こ の和 則 は 独 立粒 子模 型 を と った と きの核 子 の換 算 幅 の大 き さ*1に な るの で,換

算 幅 を 総 和 則 で 割 っ た数 値 は,そ の 共 鳴 の 性 質 を示 す 指 標 と して

用 い られ て きた.   Kapur-Peierlsは

摂 動 論 に よ らず にBreit-Wignerの

た.こ れ は 共 鳴 準 位 が 孤 立 し て い る と きに は よ いが,一

式 を導 くこ と に 成 功 し 般 にはこの理論には次

の よ うな都 合 の 悪 い 点 が あ る.   (1)  共 鳴 パ ラ メ タ ーEλ,Γ λ,gλcは境 界 を決 め る パ ラ メ ターacに

よっ て 変 わ

る.境 界 は 核 と粒 子 の 間 に働 く核 力 の 影 響が 無 視 で きる よ うに とれ ば よい は ず で あ るが,共 鳴 パ ラ メ ターがacに

よ って 変 わ る と,複 合 核 状 態 も変 わ る こ と に

な り不 合 理 で あ る.   (2)  共 鳴 パ ラ メ ター が 入 射 エ ネ ルギ ー に よ っ て 変 わ る.   す な わ ち ち ょ う ど エ ネ ル ギ ーEが

共 鳴 エ ネ ル ギ ー の 一 つEλ

と一致す ると

きに は 状 態 λ は複 合 核 状 態 に な り,直 観 的 な複 合 核 の 像 と 一致 す る.し か しエ ネ ル ギ ーEに

対 し て ほ か の 状 態 μ ≠ λ も決 ま っ て し ま う.こ の状 態 は 完 全 系

を つ くる の に は 必 要 で あ るが,直 観 的 な 共 鳴 状 態 に は 対 応 し な い.エ

ネル ギ ー

を 変 え る と これ らの 状 態 は 変 わ っ て くる.エ ネル ギ ー に 依 存 し な い 直 観 的 な複 *1 l=0の

中性 子 に井 戸 型 ポ テ ン シ ャル を仮 定 し

h2/μca2cと

な る.

,境

界 条 件 をBc=0と

選 ぶ と,￨gλc￨2=

合 核 に対 応 す る状 態 を作 る とい う試 み はHumblet-Rosenfeld[10]に

よっ て な さ

れ た.  (3) 共 鳴 エ ネル ギ −Eλ,振 幅gλcが 複 素 数 で,固 有 関 数Xλ は 直 交 系 を つ く らな い.  これ は 境 界 条 件が 複 素 数 で 与 え られ て い る た め で あ る.  (4)  与 え られ た ハ ミル トニ ア ンHの

も とで 固有 関 数Xλ を 具 体 的 に 求 め る こ

とは 可 能 で あ るが,次 節 に 述 べ るFeshbachの

射 影 演 算 子 法 に よ る とXλ は 通

常 の 殻 模 型 の波 動 関 数 と な る.現 象 論 と し て はXλ いが,微

を具 体 的 に 求 め る必 要 は な

視 的 理論 に お い て は必 要 と な っ て くる.

 (2),(3)の 欠 点 を 改 良 し よ う と い うの がWignerら Wignerは

のR行

列 理 論 で あ る.

境 界 条 件 と して エ ネ ルギ ー に依 存 す る複 素 数 で 与 え られ る条 件(6.35)

の代 わ りに,内 部 波 動 関数 の 対 数 微 分 がrc=acに な い,実 数 の値Bcに

お い て エ ネ ルギ ー に依 存 し

等 し くな る とい う条 件(6.13)に

置 き換 え た.す

ると共鳴

パ ラ メ タ ー は すべ て エ ネ ルギ ー に 依 存 し な い 実 数 とな る.  しか し なが らR行

列 理 論 で は 一 度R行

列 に よ って 波 動 関 数 を 内部 領 域 と外

部 領 域 で 連 続 に つ な ぎ,そ れ を物 理 的 な条 件 に対 応 す る漸 近 形 を もつ よ うに 変 換 す るの で,計 算 が 複 雑 で あ って,得 が,そ

られ たS行

列 は(6.43)の

よ うな形 に な る

こ に 出 て くるEλ,Г λ,gλcはエ ネル ギ ー 依 存 性 を も ち,ま たgλcは 複 素

数 と な る.  (1)  に 対 して はTeichmannとWignerに

よ って,Bcを

存 性 を小 さ くで き る こ とが 示 され て い る.固 有 関 数Xλ

適 当 に 選 ぶ とac依 は直 交 系 をつ くる よ う

に な る 一 方,複 合 核 とい う像 か ら一 般 に は 離 れ た もの に な って し ま う.   R行 列 理 論 か らS行

列 を導 くの に は 逆 行 列 計 算 を含 む面 倒 な手 続 きが 必 要 で

あ るが,全

部 のR行

列 理 論 の 共 鳴 を取 り入 れ れ ばKapur-PeierlsのS行

得 られ,さ

らに 各 項 ご と の対 応 が つ くこ とはKawai-Nagasaki[11]に

列が よ り示 さ

れ た.   Kapur-Peierls理

論,R行

列 理 論 は 枠 組 み と して は 完 全 な もの で,多

験 デ ー タ の 解 析 に 用 い られ,共

くの 実

鳴 パ ラ メ ター が 蓄 積 され て,そ の 統 計 的性 質 が

明 らか に な って,統 計 理 論 の発 展 を うなが し,カ オ ス との 接 点 も見 出 され た.ま た 光 学 模 型 や 直 接 相 互 作 用 模 型 の基 礎 づ け に も用 い られ た.ア ア ナ ログ 共 鳴(IAS)が りIASの

発 見 され る や1965年D.

定 式 化 を行 っ た の は有 名 で あ る.R行

Robson[12]がR行

イ ソバ リ ッ ク ・ 列 理論に よ

列 理 論 は 運 動 学 に も応 用 さ れ,

し き い値 エ ネ ル ギ ー の 近 くの 断 面 積 の予 言 に も使 わ れ た[8].ま

たR行

列 理論

は 原 子 核 の み な らず 原 子 分 子 の 反 応 の 取 扱 い に も応 用 され て い る[13].し

かし

なが ら 内部 波 動 関 数 は 境 界 値 で 規 定 され て い る の で,微 視 的 な 殻模 型 を応 用 す る に は不 便 で あ る.

6.2  Feshbachの

  Feshbach[14,

理 論 に 基 づ く分 散 公 式

15]は 状 態 空 間 を 二 分 す る の に 幾 何 学 的 な 境 界 を設 け る代 わ り

に,射 影 演 算 子 を用 い て,外 部 領 域 に 対 応 す るP空

間 と 内部 領 域 に対 応 す るQ

空 間 を 定 め た.す な わ ち系 の状 態 を基 準 とした.こ の 空 間の 選 び 方 は 問 題 に よっ て異 な る.た とえば 普 通 の 光 学 模 型 の と きに はP空

間 と して 弾 性 散 乱 に対 応 す

る チ ャネ ル を と る(3.6節 参 照).非 弾 性 散 乱 の 場 合 に は 開い た チ ャ ネ ル をP空 間 と し,閉 じた チ ャネ ル をQ空

間 と し た.こ の場 合 に は 空 間 の 分 け 方 は エ ネ ル

ギ ー に よ っ て 変 わ る.ま た 射 影 演 算 子 は 反対 称 化 を考 慮 す る と複 雑 に な り,特 に複 合粒 子 の 関 与 す る組 み 替 え反 応 で は 簡 単 で は な い[15, 16].詳 細 は そ れ ら の 文 献 を 参 照 され た い.  こ こ で は 複 合 核 反 応 を 考 え るの でMahaux-Weidenmuller[17]に よ うな選 び 方 をす る.初 め に独 立 粒 子 ポ テ ン シ ャ ルUを 型 で 使 わ れ る もの で よい.あ

る い はHartree-Fockポ

従 って 次 の

導 入 す る.こ れ は 殻 模 テ ン シ ャ ル で も よい.こ

れ に よ り一 粒 子 の波 動 関 数 が

(6.53) に よ り決 まる.Kは

運 動 エ ネ ルギ ー 演 算 子,εiは 固 有 値 で,負 の エ ネ ル ギ ーで

は 離 散 的 固 有 値 を もち,束 縛 状 態 とな る.正 の エ ネ ル ギ ー で は 連 続 スペ ク トル を もち,散 乱 状 態 と な る.全 系 の 波 動 関 数 は 一 粒 子 波 動 関 数 をベ ー ス に して 組 み 立 て る.そ の 中で 束 縛 状 態 の み か ら構 成 され た 関数 空 間 の部 分 をQ空 ぶ.こ れ は 殻 模 型 の波 動 関 数 と考 えれ ば よい.少 あ る よ うな 関 数 空 間 をP空

間とよ

な く と も一 粒 子 が 連 続 状 態 に

間 と よぶ.こ れ らの空 間 に対 応 す る射 影 演 算 子P, Q

につ いては

(6.54) の 関 係 が 成 り立 つ.こ

の 方 法 で は 射 影 演 算 子 は エ ネ ル ギ ー 依 存 性 は な いが,独

立 粒 子 ポ テ ン シ ャル に よ って 変 わ る.ま た 空 間 は 全 系 の ス ピ ン ・パ リテ ィJπ に よ りさ ら に 部 分 空 間 に分 か れ る.こ れ か ら は 特 に指 示 が な い か ぎ り一 定 のJπ の空 間 の 中で 考 え る.  い ま 導 入 し た 射 影 演 算 子 に よ っ て,全

系 のSchrodinger方

程式

(6.55) を分 け て 書 く と,連 立 方程 式

(6.56a) (6.56b) (6.57) を得 る.(6.56b)の 無 視 したQ空

右 辺 を0に

した もの,す

な わ ちP空

間 との 間の 相 互 作 用 を

間の方程式

(6.58) に よ って 複 合 核 状 態 の 固有 値 と 固有 関数 を定 義 す る.Xλ

は 束 縛 状 態 の 一体 波 動

関 数 の 積 の 一 次 結 合 な の で,全 体 と して 束 縛 状 態 で,離 散 的 固 有 値 を もつ.た だ し エ ネル ギ ー は正 に もな りうる の で,こ 態 で あ る.(相 互 作 用HPQを

の と きは 連 続 状 態 に 埋 もれ た束 縛 状

導 入 す れ ば 連 続 状 態 に な る.)し たが っ てXλ は も

と の ハ ミル トニ ア ン の 固 有 関 数 で は ない.こ

の よ うに し て作 られ た 複 合 核 の波

動 関 数 は 殻 模 型 の もの と同 じで あ るの で 直 観 的 に わ か りや す い.幾 何 学 的 な境 界 を 導 入 し ない の で,前 に述 べ たR行

列 の 欠 点(1), (2),(3),(4)は な い.た だ し

共 鳴 振 幅 γλcは複 素 数 に な るが,位 相 と して く く り出 す こ とが で き る(6.73).  共 鳴 公 式 を 求 め る に は連 立 方程 式(6.56a), れ ば な ら な い.ま ず(6.56b)を

使 っ てQΨ

(6.56b)をPΨ

をPΨ

につ い て 解 か な け

に よっ て 表 し

(6.59) (6.56a)に

代 入 す る とPΨ

の方程式

(6.60) (6.61) を得 る.Q空

間 との結 合 の な い と きの 解

(6.62)

を 基 底 と し て 用 い る.チ

ャ ネ ル 指 標aは

角 運 動 量 表 示 で,Jπ,

E, l, s,標

的核

の 状 態 α を 指 定 す る.ψ+aは

(6.63) に よ り 規 格 化 し て お く(具 体 的 な 形 は(6.69), HPPは

エ ル ミ ー トで, 

に な る.(6.60)の

(6.70a),

(6.70b)参

照).こ

こで

は正 規 直 交 関 係 を満 た す か ら形 式 的 取 扱 い は 簡 単

解 を 求 め る た め,ま

ず 両 辺 に 

を か け る.こ

こで

(6.64) と す る. 

は 外 向 波Green関

数 に ほ か な ら な い.す

る と

(6.65) を う る.こ (6.56b)か

のPΨ らPΨ

に つ い て の 積 分 方 程 式 は2.4.1項 を 消 去 し た と き のQ空

に 従 っ て,Q空

間の方程式

間 の 有 効 ハ ミ ル トニ ア ン

(6.66) に よ り

(6.67) とな るが,こ

れ が 求 め る 解 とな る*2.上 記 の方 程 式 でE+をE-に

向 き散 乱 波 の 解 

が 得 られ る.こ れ か らS行

代 えれば内

列 を 求 め る には,S行

列 の 定 義 に従 い

(6.68) を 計 算 す れ ば よ い.(6.68)の

計 算 に は(6.67)のPΨ

と(6.59)で

与 え ら れ るQΨ

の 両 方 を 用 い な け れ ば な ら な い.こ

の 計 算 は 少 し 面 倒 な の で,(6.67)の

か ら 求 め る 方 法 を こ こ で は 示 す.ま

ず 

漸近形

を 各 チ ャ ネ ル 成 分 に 分 け て 書 く.

(6.69) *2 (2 .87)か

ら 

か れ る 関 係 式 より(6.67)が

と な るが,代

数計算で導 得 られ る．

こ こでaは

入 射 チ ャ ネ ルが αslで あ る こ と を示 し,sは

チ ャ ネ ル ・ス ピ ンす な

わ ち標 的核 の ス ピ ン と粒 子 の ス ピ ンの ベ ク トル 和 で あ る.こ

こで 動 径 波 動 関 数

の漸近 形は

(6.70a) (6.70b) で与 え られ る. 

はP空

間 の 散 乱 に対 す るS行

列で

(6.71) に よ り定 義 され る.  波動 関数 

は(6.62)を 満 た すが,チ ャネ ル 間 の結 合が 無 視 で き る と きに は,

(6.72) と 表 せ る.た

だ し δ(0)aは実 数.す

る と(6.70a)よ

り,

(6.73) で あ る こ とが わ か る.し Green関

た が っ て 共 鳴 振 幅 γλcも 位 相 を く く り出 す こ と が で き る.

数 の チ ャ ネ ル α で の 漸 近 形 は(2.7.3項

参 照)

(6.74) と な る.こ

こ でr>とr<はrとr'の

大 き い 方 と 小 さ い 方 で,(6.67)の

漸近形

か ら

(6.75) が 容 易 に 求 め られ る.  上 に 述 べ たS行

列 は ユ ニ タ リー 関 係

(6.76) を 満 た す こ と は 直 接(6.75)を

使 っ て 証 明 で き る.S0abに

つ いて もユ ニ タ リー 関係

(6.77)

を満 た す.ま たS行 い,す

列 は 入 る チ ャ ネ ル と出 るチ ャ ネル を取 り替 え て も変 わ ら な

な わ ち対 称 性

(6.78) を 満 た す.た

だ しtは

転 置 行 列 を 表 す.(6.70a),(6.70b)よ

運 動 量 を 対 角 化 す る 表 示 を と る た め で あ る.一 れ る 相 反 定 理(reciprocity   次 にS行

theorem)が

列 の 式(6.75)か

空 間 に 完 全 直 交 系￨μ 〉を 導 入 す る.こ

般 に は 時 間 反 転 対 称 性 か ら導 か

成 り立 つ(2.5.3項

らBreit-Wignerの れ はHQQの

り明 ら か な よ う に 角

参 照).

分 散 式 を 求 め る.そ

れ に はQ

固 有 関 数 で あ る 必 要 は な い.

そ して崩壊振幅

(6.79) を 定 義 す る.上

の 式 で 最 後 の 等 式 は(6.69),(6.70a),(6.70b)よ

り明 ら か で あ る.

す る と(6.75)は

(6.80) と 書 け る.ま

た,

(6.81) は エ ネ ルギ ー 分 母 で,行

列要素 は

(6.82) で 与 え られ,WQは

(6.83) で あ る.行 列 要 素 は

(6.84) と書 け,右 辺 第1項 は 主 値 を表 し,こ れ をΔ μνと書 く.第2項

は 崩壊 振 幅 で 書

け る.

(6.85) こ こで Δμνと 

は実 数 の対 称 行 列 で あ る こ と を注 意 して お く.

  S行 列 を分 散 式 の 形 にす る に はエ ネ ルギ ー 分 母Dす

なわ ちHQQを

な け れ ば な ら な い.HQQは

な行 列 な の で,複 素 直 交

複 素 対 称 

変 換 で 対 角 化 され る.こ の 行 列 をTと

対角化 し

す ると

(6.86) を満 た す.HQQは

(6.87) とな る.こ の 虚 数 部 は 共 鳴 の 幅 で

(6.88) で 与 え られ る.h/Γ λは 複 合 核 の 寿 命 で あ る.HQQは

エ ル ミー トで な い か ら共

鳴 状 態 に対 応 す る 固 有 状 態￨λ〉は正 規 直 交 系 を作 らな い.す な わ ち

(6.89) とな り,さ らに 計 算 を 進 め るに は6.1節 る.す

な わ ち 

で 導 入 した 双 直 交 基 底 を使 うこ とに な

な ら 

で あ る.初 め に 次 の 量

(6.90) を 考 え る.こ

こ でNλ

はSchwarzの

不等式 よ り

(6.91) を 得 る(こ

のNλ

が(6.47)と

対 応).両

辺 の 虚 数 部 を と る と,

(6.92) もし 部 分 幅 を

(6.93) で 定 義 す る と,

(6.94)

が 求 ま る.す

な わ ち 前 節 と 同 じ く全 幅 は 部 分 幅 の 総 和 よ り大 き くな い.(6.80),

(6.81),(6.87)か

らS行

列 の共鳴公式

(6.95) が 求 ま る.こ

れ は(6.43)のKapur-Peierlsの

式 の 形 を し て い る.い

公 式 と 同 じ くBreit-Wignerの

公

ま 説 明 し た よ う に ミ ク ロ な 模 型 か ら パ ラ メ タ ー ελ,γλa,Γλ

な ど を 計 算 す る こ とが で き る.前

と 同 じ く準 位 間 隔 が 幅 に 比 べ て 大 き い と き は

最 寄 り の 共 鳴 の 寄 与 は 大 き く,一 準 位 公 式 が 成 り立 つ.

6.3  光

  光 学 模 型 は3章 め る.6.2節

学

で 取 り上 げ られ たが,こ

模

型

こで は複 合 核 反 応 に即 し て議 論 を進

の 初 め に述 べ た よ うに 射影 演 算 子Qは

ネル(3.6節),反

束 縛 状 態 に対 応 し,弾 性 チ ャ

応 に 関 与 す るチ ャ ネ ル(5.1.1項)をP状

態 に選 ん だ の とは 異

な る.し たが って 本 節 の 光 学 模 型 は弾 性 散 乱 だ け で な くす べ て の 反応 の エ ネ ル ギ ー 平 均 を 与 え る広 義 の 光 学 模 型 で あ る.こ の応 用 の 一 つが8.4節

の多 段 階 直

接 過 程 で あ る.こ れ まで は 個 々 の共 鳴状 態 を 考 え て きた が,エ

ネ ルギ ーが 上 昇

す る と 共 鳴 状 態 の 間 隔 は 狭 ま り,ま た そ の 幅 は 広 くな って,個

々の共鳴は観測

で き な くな る.あ

る い は 観 測 で きて もそ の 平均 的 振 る 舞 い の 方 が 物 理 的 に 意 義

が あ る場 合 も多 い.こ の よ うな場 合 に は,個

々の 断面 積 を考 え な い で,そ の エ

ネ ル ギ ー平 均 を 計 算 し た 方が よい.エ ネ ル ギ ー 平 均 はLorentz型 節)を 使 う.P空

間 の 有 効 ハ ミル トニ ア ン(6.61)を

幅2Iで

重 み 関数(1.4

エ ネル ギ ー 平均 す

る と光 学 模 型 の ハ ミル トニ ア ン

(6.96) を 得 る.こ

こ で 〈WP〉 は 動 的 偏 極 ポ テ ン シ ャ ル(dynamical

tial)と 呼 ば れ て い る.光

学 模 型 の 波 動 関 数 

polarization

poten

は方 程 式

(6.97)

を 満 た す.こ

の 方 程 式 は(6.65)と

同 じ よ う に 解 く こ とが で き る;

(6.98) S行 列 は

(6.99) と 求 め ら れ る.こ

の 結 果 を(6.75)と

比べ る と

(6.100) す な わ ちS行

列 も エ ネ ル ギ ー 平 均 と な る.

  こ の 光 学 模 型 の 波 動 関 数(6.98)を

使 っ てKawai-Kerman-McVoy[18]はS行

列 を 計 算 し た.

(6.101) こ こで

(6.102) (6.103) で あ るが,(6.101)の

右 辺 第2項

の エ ネ ル ギ ー平 均 は0に

な る こ とが 証 明 で き

る[18].   こ こでhQQを

対 角 化 す る直 交 変 換 を行 い,対 角 要 素 を 

と書 く.

ま た 共 鳴振 幅 を

(6.104) に よ り定 義 す る と,(6.101)は

(6.105) と な り,(6.95)と ネ ル ギ ー 平 均 は0と

似 た 形 に な る.し

か し な が ら 内 容 は 異 な り,右

い う性 質 を も つ.

辺 第2項

のエ

  S行 列 が 求 まれ ば 断 面 積 の 計 算 が で きる(2.8.5項).こ

れ まで のJπ が 指 定

され た 波 動 関 数 を重 ね 合 わせ て 入 射 波 の 部 分 が 平 面 波 に 一 致 す る よ うに す る. (6.69),(6.70a)と

平 面 波 の 部 分 波 展 開 の 公 式(2.156)を

使 うと

(6.106) が 得 られ る.こ の場 合,入 射 チ ャネ ル ａは 運 動 量 表 示 sは チ ャ ネ ル ・ス ピ ン で あ る.kをz軸

方 向 に と って,外

αsmskEで

指 定 され,

向波 と平 面 波 の 部 分

の 流 束 を計 算 し,そ の比 を と る と次 の微 分 断面 積

(6.107) とな る.終 状 態 の チ ャ ネ ル は α's'であ る.こ の 公 式 は 荷 電 粒 子 に対 して も使 え る が,弾 性 散 乱 の場 合 に はCoulomb散

乱 の 部 分 だ け を まず 取 り出 し,残

りは

部 分 波 の 和 と した 方 が よい.(6.107)は

(6.108) と な る.Coulomb散

乱振幅 は

で あ る(2.7.1項

の 式(2.179)参

(6.109)   光 学 模 型 はS行

照).

列 の エ ネル ギ ー平 均 を 与 え る の で,こ れ か ら平 均 の 断面 積 を

計 算 す る こ とが で き る.こ れ は 直 接 反応 の 断 面 積 で あ り

(6.110)

で 与 え られ る.も

う一 つ の 断面 積 へ の 寄 与 は ゆ ら ぎ の 断面 積 で

(6.111) こ こで

(6.112) はS行

列 の ゆ ら ぎ の部 分 で あ る.エ ネ ルギ ー 平 均 し た 総 断 面 積 は

(6.113) こ れ ら の 断 面 積 は 立 体 角 で 積 分 し た も の で,弾

性 散 乱 の場 合 に は 中 性 粒 子 を仮

定 し た.   S行 Q空

列 は ユ ニ タ リ ー 関 係(6.76)を

満 た す が,エ

間 へ の 吸 収 過 程 が 含 ま れ て い る た め,ユ

満 た さ な い 度 合 は ユ ニ タ リ ー 欠 損 と よ ば れ,透

ネ ル ギ ー 平 均 し たS行

列 は,

ニ タ リ ー 関 係 は 満 た さ な い.こ 過 行 列(transmission

の

matrix)

(6.114) で 表 され る.透 過 行 列 は チ ャ ネ ル 間 の 直 接 結 合 の な い と き は 〈S〉は対 角 型 な の で,Tも

対 角 形 に な り透 過 係 数 と呼 ば れ る.現 象 論 的 解 析(7.4節)で

れ が 使 わ れ る.(6.111)の

は主にこ

α's'に つ い て の和 は チ ャ ネ ル αsか らの 複 合 核 形 成

断面積で

(6.115) と な る.(6.99)で る と,

与 え ら れ る 平 均S行

列 の 式 を 使 っ て 〈S〉・〈S†〉の 計 算 を す

こ こ で 関 係(6.71),(6.77)を

使 っ た.透

過行列 は

(6.117) で,(6.98)を

使 うと

(6.118) が 得 られ る[19].こ

こ で 〈WP>は(6.96)に

現 れ る動 的偏 極 ポ テ ンシ ャル で あ る.

  こ こ で 得 られ た 透 過 行 列 の式 は 正確 で あ るが,複 導 い て お こ う.そ れ に は 準 位 行 列(6.99)を

合 核 共 鳴 の 幅 で 表 した 式 を

チ ャ ネ ル行 列

(6.119) を 使 っ て 書 き直 す.す な わ ち(6.99)の 主 要 項 と し,残

りの 項 をQ空

第2項

の 分 母 を 

間 の 行 列 と して,べ

を

き展 開 し,次 にQ空

間の行

列 と し て和 を と る と

(6.120) から

(6.121) が 求 め られ る.エ ネ ル ギ ーがEで

あ るチ ャ ネ ル だ けが0で

ない行列要素

(6.122) を 使 う と,(6.121)は

(6.123) と な る.さ

ら にXの

虚 数 部 を無 視 す る近 似 を と る と

(6.124)

と な る.ρ

λは

(6.125) で 定 義 さ れ る 準 位 λ の 密 度 で あ る.(6.114),(6.123)か

ら透 過 行 列

(6.126) が 求 め られ る.チ ャネ ル 間 の直 接 結 合 の影 響 を無 視 す る とX(E)は

対角形にな り

(6.127a) (6.127b) が 求 まる.(6.127b)は 

の と き成 り立 つ[20].

  透 過 係 数 に 関 係 した 観 測 量 は 強 度 関 数 で,弾 性 散 乱 に 対 す る 平 均 の 共 鳴 幅 (6.93)と 平 均 準 位 間 隔 

の比

(6.128) は,3.2節

に お い て 定 義 さ れ た 強 度 関 数(3.8)で

て は る か に 小 さ い エ ネ ル ギ ー 領 域 で は,1に 係 数(6.127b)に

あ る.共

鳴幅が準位 間隔に比べ

比 べ て は る か に 小 さ い 量 で,透

過

よ り

(6.129) と表 され る.こ の 式 に よ り光 学 ポ テ ンシ ャル が 与 え られれ ば 計 算 で きる.強 度 関 数 は低 エ ネ ルギ ー の 中性 子 散 乱 の実 験 デ ー タか ら求 め られ るが,s波 p波 まで で あ る. 

は 貫 通 因 子 に比 例 し(6.44),(6.45),貫

か せ いぜ い

通 因子 は(6.51)

で 与 え られ る た め,強 度 関 数 は エ ネル ギ ー に依 存 す る 量 で,理 論 と比 べ る と き に はs波 の 場 合 に はs波 強度 関 数

(6.130) が 用 い られ る.E0と

し て は 適 当 なエ ネ ルギ ー(た と えば1eV)を

選 べ ば よい.

  6.3.1  一様 ポ テ ン シ ャル の 場 合 の光 学 模 型   光 学 模 型 の波 動 関 数,透 過 係 数 な ど を最 も簡 単 な系,一 様 な複 素 ポ テ ン シ ャ ル を例 に とっ て 計 算 す る.時

間 に依 存 す るSchrodinger方

程式 は

(6.131)

で あ る.Vは

実 数 部,Wは

虚 数 部 の 光 学 ポ テ ン シ ャル で あ る.こ れ か ら次 の連

続 の方 程 式

(6.132) が 導 か れ る[20].こ

こ で,密

度 ρ(r,t)と 流 束j(r,t)は

(6.133) で 与 え られ る.こ

こ で ξ はr以

外 の 積 分 変 数 で,(6.132)の

 は虚 数 ポ テ ン シ ャ ルWに

右辺 に現 れ る

よ る吸 収 の 割 合 で あ る.

  こ れ を 最 も簡 単 な1次 元 の 一 様 な ポ テ ン シ ャル に 適 用 し て み る.ま ず 時 間 に 依 存 しな い 方 程 式

(6.134) のエ ネ ル ギ ーが 実 数 の 定 常 解 は

(6.135) と な るが,波

数は

(6.136) (6.137) で,全

波動関数 は

(6.138) で 与 え られ る.こ れ か ら密 度 を計 算 す る と, 

と な り,x=0と

x=Lの

区 間 を考 え て み る と,密 度 は 吸 収 の た め,x=0に

x=Lに

お い て 

で あ るか ら,x=0に

お い て ρ=1か

ら,

に減 少 す る.一 方,流 れ は  お い て   に 減 少 す る.そ

か ら,x=Lに

おける

の差が ち ょうどこの 区 間で吸収 さ

れ る  る 流 れ か ら,出 る 流 れ を差 し引 い た もの で,そ れ は 

に等 し い.透 過 係 数 は 入 で与

え られ る.こ れ が 普 通 使 わ れ て い る 時 間 に独 立 な 光 学 模 型 の 波 動 関 数 に 対 応 す る(3.3節 参 照).

も う一 つ の 簡 単 な 解 は 波 数 が 実 数,エ

ネ ルギ ー が 複 素 数 の 場 合 で

(6.139) で 与 え ら れ る.こ

こで

(6.140) で あ る.す

な わ ち 密 度 は 座 標xに  で 位 置xに

Wに

は よ ら な い,  よ ら ず,密

と な る.流

れ は

度 と流れ は と もに 吸 収 ポ テ ン シ ャ ル

よ り一 様 に 時 間 と と も に 減 衰 す る.

  境 界 条 件 が 課 せ ら れ るR行 テ ン シ ャ ル で は 作 れ な い.い Rosenfeld[10]の

列 理 論 の 波 動 関 数 は,以 まKapur-Peierls[5]と

固 有 関 数 を 考 え て み る.一

ま で 広 が り 

の 境 界 条 件 を 課 す.波

は 

の 関 係 が あ る.す

x=Lで

は 

で あ る. 

と も に 指 数 関 数 的 に 減 少 す る が,こ

る と,x=0に

kR,kIは

れ は ポ テ ン シ ャ ルWに

分 はxと

の で,kI<0と

の 場 合,内

部 領 域 の 波 数Kも の 場 合x>Lの

に よ り打 ち 消 さ れ る[10].具

体 的 にx>Lの

波 と な る.

方,エ

ネ ル ギ ー の 虚部 は負 で な け れ

な る.し

と も に 指 数 関 数 的 に 増 大 す る.し

エ ネル

よ る 吸 収 とx=L

と 書 く とエ ネ ル ギ ー は  固 有 値 方 程 式 を 解 い て 求 め る.一

数kと

お け る 流 束 は0で,

素 数 の エ ネ ル ギ ー 固 有 値 は 離 散 的 で あ る.こ

ば な ら な い か ら,kR>0な

らx=L

の 密 度 ρ(x,t)は 時 間 と

に お け る 流 失 の 二 つ に よ っ て 引 き起 こ さ れ る.こ

数 を 

は 少 し 異 な るHumblet-

様 ポ テ ン シ ャ ル がx=0か

ギ ーEに

複 素 数 で,複

上 の よ うな一様 な ポ

たが って波 動 関数 の 空 間部

か し こ の 増 大 は 時 間 部 分 の  振 幅 を 書 く と,

(6.141) と な る.こ

こ で 波 束(6.5節

参 照)を

に あ る とす る と,波 束 は速 度  波 束 の 位 置 はx=L+υtで

考 え,そ の 中心 がt=0に でx=Lか

与 え ら れ るの で,上

束 で 見 て い れ ば 差 し引 き0と な る.

お い てx=L

ら遠 ざ か る.こ の と きの の 式 の 右 辺 指 数 の 実 数 部 は波

6.4  戸

  前 の2節

口

状

態

で 複 合 核 を取 り扱 う理論 の 枠 組 み を 説 明 した が,こ れ か ら そ の 内 容

に 立 ち 入 る.複 合核 に 至 る まで に は複 雑 な 経 路 を た ど るが,そ 戸 口状 態が こ の節 で 導 入 され,そ

の第一歩であ る

の性 質が 調 べ られ る.入 射 核 子 が 核 内 に 入 る

と,核 に よる平 均 ポ テ ン シ ャル を感 じ,そ のエ ネル ギ ー はFermiエ

ネルギー よ

りは る か に 高 い.入 射 核 子 が 核 内核 子 と衝 突 す る と,そ れ にエ ネ ルギ ー と運 動 量 を与 え,Fermiエ ち1粒

子 と1空

2p-1h状

ネ ル ギ ー よ り低 い状 態 か ら高 い状 態 に押 し上 げ る.す な わ 孔(1p-1h)の

対 が で き る.も

し標 的 核 が0p-0h状

態で あれば

態 に な る.入 射 核 子が また 核 内核 子 に 衝 突 す る と,新 た な1p-1hの

が で き,3p-2h状

態 に な る.こ の粒 子 と空 孔 の 数 の 和m=p+hは

さ を示 す 指 標 に な る の で,エ キ シ トン(exciton)数

にΔm=±2,0で

状 態の複雑

と呼 ば れ て い る.こ れ は 固

体 物 理 の エ キ シ トンか ら とっ た と思 わ れ る.核 子 の 衝突 で,エ だ け 増 え る と言 っ たが,反

対

キ シ トン 数 は2

対 に減 る こ と もあ り,変 わ らな い こ と もあ る.一 般

あ る.こ れ は 有 効 相 互 作 用 を 二 体 力 と仮 定 し た 結 果 で あ る.

反 応 の 初 期 で はエ キ シ トン 数が 大 きい ほ ど状 態 数 が 大 き くな るの で,Δm=2 が お こ りや す いが,だ

んだ んmが

大 き くな る と状 態 数 は ピ ー ク に達 し,そ れ か

らは 減 少 に 転 ず る(8.1.1項 参 照).し

たが っ てmも

あ る と こ ろ まで 達 す る とそ

の あ た りで 停 滞 し 一 種 の 定 常 状 態 に な る.こ れ が 複 合 核 で あ る.   粒 子 の 状 態 と して は 束縛 状 態 と散 乱(連 続)状 態 が あ る.全 部 束 縛 状 態 か らな る エ キ シ トンmの

状 態 は6.2節 で 述べ た よ うにQ空

上 の 粒 子 が 散 乱 状 態 に あ れ ばP空

間 に属 す る.も し 一 つ 以

間 に 属 す こ と に な るが,二

つ以 上の連続 状

態 の 粒 子 は 今 後 考 え な い こ とに す る.核 反 応 の 初 め の 状 態 はP空 1回 の 衝 突 後 の 状 態 はQ空 に 落 ち る と,P空

間 の こ と もあ りP空

間 で あ るが,

間 の こ と もあ る.一 度Q空

間

間 に戻 る の は最 後 の粒 子 放 出 の と き に な る こ とが 多 い.こ の

よ うな 様 子 は 図6.2に 示 され て い る.最 初 の 衝 突 で で きたQ空

間 の エ キ シ トン

3の 状 態 の うち,励 起 され や す く重 要 な役 割 を果 た す 状 態 は複 合 核 状 態 へ の 入 り口 で あ る とい う こ とか ら,戸 口状 態(doorway 核 の エ キ シ ト ン数 がm0な の 次 の エ キ シ トン5のQ空 (hallway

state)と

state)と 呼ば れ て い る.(標 的

ら戸 口状 態 で はm=m0+3).つ

いでに戸 口状態

間 に属 す る励 起 され や す い 重 要 な 状 態 は 廊 下 状 態

呼 ば れ て い る.

図6.2 

エ キ シ ト ン数mに

  入 射 核 子 が 平 均 場 で 散 乱 され て,m=3の

よ り示 す 核 反 応 の 進 行

状 態へ い く割 合 が あ ま り大 き くな

い と き は,こ の散 乱 は 光 学 模 型 で よ く記 述 され る.m=3ま 上 にい く割 合 が 大 き くな けれ ば,m=3の

で は い くが そ れ 以

戸 口状 態 が 重 要 な 役 割 を果 た す.こ

の と きの 断 面 積 の エ ネ ル ギ ー変 化 は 一 体 の 共 鳴 と複 合 核 共 鳴 と の 中 間 で,核 反 応 の 中 間 構 造 と し てMITの   S行 列 の 一 般 式(6.75)に

グ ル ープ[21,22]に 現 れ るQ空

態 な の で,こ れ を特 別 扱 い し てdと と し,Q=d+qと HPQ=HPdと

よっ て 発 展 させ られ た.

間 の 状 態 の 中 で 一 番 重 要 な の は 戸 口状

し,廊 下 状 態 を含 め た そ の ほか の 状 態 をq

書 く.す る と入 射 チ ャネ ル とqの 結 合 は な い と仮 定 す る と なって

(6.142) と な る.そ

こで

(6.143) とq空 間 を前 と 同 じ や り方 で 消 去 す る こ とが で き る.こ こでHQQか

ら の寄 与

の一つは

(6.144) で あ り,Γ ↓は 分 散 幅(spreading

width)と

呼 ば れ,戸

口 状 態 が も っ と複 雑 な 状

態qへ

崩壊 す る幅 で あ る.も

う一 つ の 寄 与 は

(6.145) で,Γ ↑は 脱 出幅(escape

width)と 呼 ば れ 連続 状 態 へ の 崩壊 に対 応 す る.Γ ↓+Γ ↑

は 戸 口状 態 の 幅 で,一 粒 子 幅 よ り小 さ く,複 合 核 の 幅 よ りは 大 きい.   戸 口状 態 は い ま述 べ た 核 子 散 乱 の 場 合 の2p-1h状 1p-1h状 態 で あ る巨 大 共 鳴 状 態,ま 移 行 反 応 の 場 合 の1p状

た(d,p)あ

態 あ るい は1h状

態 の ほ か,光 反 応 の場 合 の

る い は(p,d)反

応 の よ うな核 子

態 な どが あ る.以 下,戸

口状 態が も っ

と複 雑 な状 態 に 崩 壊 す る様 子 を強 度 関 数 を 使 って 調 べ る.そ の あ と,巨 大 共 鳴 と ア イ ソバ リ ッ ク ・ア ナ ログ 状 態 を 例 に と り,戸 口状 態 の崩 壊 を議 論 す る.

  6.4.1 

強

度

関

数

  強 度 関 数 の 歴 史 は 古 い が,Lane-Thomas-Wigner

[23]は 低 エ ネ ル ギ ー 中性

子 散 乱 に現 れ る 巨 大 共 鳴 現 象 は 光 学 ポ テ ン シ ャ ル の 実 部 に よ る 共 鳴が 残 留 相 互 作 用 に よ り多 くの 複 合 核 状 態 に 分 散 さ れ た もの と い う解 釈 を 示 し た.そ 後Bohr-Mottelson Breit-Wigner型

の

[20]は 簡 単 な 模 型 を使 って,強 度 関 数 は 一 定 の 条 件 の 下 で に な る こ と を示 した.最 近Lauritzenら[24]は

もっ と一 般 的 な

条件 の 下 で,こ れ を 定 式 化 し,ま た大 規模 殻模 型 の シ ミュ レ ー シ ョ ン[25]と 比 べ た.以 下[24]に 従 っ てQ空

間 内で,戸

口状 態 が 残 留 相 互 作 用 に よ り,も っ と

複 雑 な状 態 に拡 散 して い く有様 を 強度 関数 を使 って調 べ る.す な わ ちQ=d+q 空 間 内 で 計 算 を 行 う.戸 口状 態 は独 立粒 子 ハ ミル トニ ア ンH0の 定 す る.(H0の

固 有 状 態 と仮

定 義 を 少 し変 えれ ば,巨 大 共 鳴 も扱 うこ と も可 能 で あ る.)戸 口

状 態 μ は,

(6.146) を 満 た す.次 H0+Vと

に 残 留 相 互 作 用Vを

し,そ

考 え,Q空

間 で の ハ ミ ル ト ニ ア ン をH=

の 固 有 値 ・固 有 関 数 を εα,￨α〉と す る と,

(6.147) を満 た す.こ れ ら の 二 つ の 状 態 は

(6.148)

で 結 ば れ,そ

の 展 開係 数 には

(6.149) の 関 係 が 成 り立 つ.戸

口 状 態 μ の 強 度 関 数(strength

function)を

(6.150) で 定 義 す る[20].

(6.149)よ

り

(6.151) を 満 た す の で,こ

の 強 度 関 数 は 規 格 化 され て い る.(6.128)の

す る た め 規 格 化 され た 強 度 関 数 と呼 ぶ こ とに す る.d空

強 度 関 数 と区 別

間 の 有 効 相 互 作 用 を用

い る と,規 格 化 され た 強 度 関 数(6.150)は

(6.152) とな る.戸

口状 態 μ は ほか の 戸 口状 態 と相 互 作 用 が な い とす る と,

(6.153) と 書 け る.Σ

μ(ε)は

(6.154) で 与 え られ る.固 有 関 数￨λ〉は

(6.155) を 満 た す が,一

般 に状 態￨λ〉を具 体 的 に 求 め る こ とは 難 し い.

  しか し次 に説 明 す る弱 結 合 の 条 件 が 満 た され る と きに は Σμ(ε)のエ ネ ル ギ ー 平 均 Σμ(ε)は,戸 口 状 態 μ と そ の つ ぎ に複 雑 な 廊 下状 態 ν との 行 列 要 素Hμ ν と準 位 密 度 ρν(ε)によ り

(6.156)

で 与 え られ,容 易 に 計 算 す る こ とが で き る.弱 結 合 は 戸 口状 態 μ と(6.155)の 固 有 状 態 λ との 行 列 要 素Hμ λの 分 布 関 数

(6.157) の 広 が りΔ εが 弱 結 合 で 計 算 し た分 散 幅Γ μ(ε)よりは るか に大 きい と き成 り立 つ[25].こ

の と き規 格 化 され た 強 度 関 数 は

(6.158) のBreit-Wigner型

に な る.

  初 め の 状 態 が1粒 で,幅

子 か1空

は エ キ シ ト ン 数3の

比 例 す る こ と に な る(8.1節 高 く な る と,ず ル ギ ー の2乗

準 位 密 度 に 比 例 し,そ 参 照).励

で は な く1乗

に

起 エ ネ ル ギ ー が 低 い 場 合 は よ い が,少

し

[26,27]に

よ る と,励

起エ ネ

に 比 例 す る ほ うが 大 局 的 に 合 う と い う.図6.3に のEが

空 孔 の 場 合 に 対 応 し,正

子 の 結 合 エ ネ ル ギ ー よ り 高 く な る と,散

い が 必 要 と な る.図

態なの

の 励 起 エ ネ ル ギ ー ε の2乗

れ が 生 ず る.EsbensenとBertsch

の 実 験 値 と の 比 較 を 示 す.負 応 す る.核

孔 の 場 合 は 戸 口 状 態 は2p-1hか1p-2h状

核

の場合は粒子に対

乱 状 態 に な り,別

の 取 り扱

を 見 る と,

(6.159)

 図6.3 

エ ネル ギ ーE-εFで

エ ネ ル ギ ーが 負 は 空 孔,正

プ ロ ッ トし た 核 子 の 分 散 幅Γ ↓

は 粒 子 に 対 応.曲

せ た カー プ で,V字 型 点線 は(6.159)に デ ー タか ら と った[28].

線 は 実 験 デ ー タに 合 わ

対 応.中

空円は弾性散乱の

が 全 般 的 に よ い 近 似 に な って い る こ とが わ か る.次 て か ら,残 留 相 互 作 用 に よ り,廊 下 状 態,さ

に戸 口状 態 が 核 反 応 で で き

らに 複 雑 な状 態 が 混 じ っ て戸 口 状

態が 崩 壊 す る 有 様 を 時 間 を追 っ て 調 べ て み る.状 態￨μ〉はt=0に

生 成 され た

とす る と,こ の と きに は 状 態￨α 〉の 位 相 が コ ヒー レ ン トに な り,戸 口状 態 を形 成 し て い る(6.148).時

刻tに

お い て は 

に な るの で,状 態

￨α〉の位 相 に 乱 れ が 生 じ,初 め の状 態 が 残 っ て い る確 率 振 幅 は

(6.160) と な る が,こ

れ は 規 格 化 さ れ た 強 度 関 数(6.150)のFourier変

換

(6.161) に な っ て い る.弱 ら,こ

結 合 の 場 合 は 強 度 関 数Fμ(ε)は(6.158)で

与 え られ て い るか

れ を 代 入 す る と,

(6.162) と な り,生

存 確 率(survival

probability)は

(6.163) と な る.す

な わ ち,戸

口 状 態 の 生 存 確 率 は 指 数 関 数 的 に 時 間 と と も 減 少 し,そ

の 寿 命 はh/Γ↓μ で 与 え ら れ る.し

か し こ れ は 弱 結 合 の 場 合 で,一

般の場合 には

指 数 関 数 的 に 減 少 す る と は 限 ら な い.   こ こ で 強 度 関 数(6.128)と る.(6.79),(6.93),(6.150)よ

規 格 化 さ れ た 強 度 関 数(6.150)の

関係 を調 べ て み

り

(6.164) を得 る.こ こで Γμαは 戸 口状 態 μの残 留核 が 基 底 状 態の 脱 出 幅 で あ る*3.(6.150) よ り 〈Dλ〉を複 合 核 状 態 λの 平 均 状 態 間 隔 とす る と,

(6.165) *3 この 戸 口状 態 μ は1粒 子 の 共鳴 状 態が 重 要 なの で ,6.2節 算 子Qに

のFeshbach理

論 で は,射 影演

よ り結 合 状 態 に限 られ,共 鳴 状態 は取 り扱 うこ とはで きな い.Q空

変 えるか,R行

列 理論 に拠 らざ る をえ な い.

間 の定義 を

な の で,強

度 関 数(6.128)は

(6.166) とな る.す な わ ち強 度 関 数 は 規 格化 され た強 度 関 数 に 比 例 し,弱 結 合 の と きに は Breit -Wigner型

  6.4.2 

巨

に な り,エ ネ ルギ ー で 積 分 す れ ば 一 核 子 状 態 の 脱 出幅 とな る.

大

共

鳴

  戸 口 状 態 の 一 例 と し て,巨

大 共 鳴(giant

れ に つ い て は 文 献[30]の3.6節 論 す る.γ 線,電

子,核

子,軽

resonance,

GR)を

に 論 じ ら れ て い る の で,こ イ オ ン,重

イ オ ン,π

な ど に よ る散 乱 な ど に よっ

て い ろ い ろ の ス ピ ン ・パ リ テ ィ の 巨 大 共 鳴 が 観 察 さ れ る が,そ 古 くか ら 知 ら れ,ま を 考 え る.こ 双 極 子(ED)モ

た 顕 著 な,巨

大 双 極 共 鳴(giant

れ は ア イ ソ ス ピ ン1,ス

取 り 上 げ る.こ

こ で は 崩 壊 を主 に議

dipole

ピ ン ・パ リ テ ィ1-の

の 中 で,も resonance,

っ とも GDR)

量 子 数 を 持 つ,電

気

ー メン ト

(6.167) に よ り励 起 さ れ る.tzは

ア イ ソ ス ピ ン のz成

え ば 核 の 基 底 状 態 に 作 用 さ せ る と,ス 起 の1次

分 で あ る.こ

ピ ン1-,ア

の 演 算 子Mを

たと

イ ソ ス ピ ン1の1p-1hの

励

結合

(6.168) の波 動 関 数 を持 った 状 態が 生 成 され る.も し核 に調 和振 動 子 模 型 を用 い れば,励 起 エ ネル ギ ー は1hω0で あ る.こ の 時 の 各成 分 の振 幅Cμ,phは 行 列 要素  に比 例 す る の で,基 底 状 態 か らこ の状 態 へ の 電 気 双 極 子 モ ー メン トMの 素 を計 算 す る と,各 成 分 は み な 同 じ符 号 で,遷 て こ の 状 態 は 集 団 励 起 状 態 で,ま   現 実 の核 で は 各ph励 ので,ハ

行列要

移 確 率 は増 強 され る.し た が っ

た 戸 口状 態 で あ る.

起 の エ ネル ギ ー も一 定 で は な く,残 留 相 互 作 用 もあ る

ミル トニ ア ン を対 角 化 す る と,成 分 の 数 だ け の エ ネル ギ ー を 持 つ 状 態

が 得 られ る.μ は そ れ ら を 区別 す る.そ の 中 で,一 番 エ ネ ル ギ ー の 高 い の が 実 験 値  態 に よ く似 て い る.こ

に近 く,そ の波 動 関 数 は い ま述 べ た 戸 口状 の エ ネル ギ ー以 下 に 現 れ る状 態 は 大 体 は集 合 励 起 状 態 で

は な く,遷 移 確 率 も大 体 一 粒 子 励 起 の 大 き さで あ る.

(a)

(b)

図6.4 

巨 大 共 鳴 の 幅 へ の 粒 子 と 空 孔か らの 寄 与

上 向 き矢 印 は粒 子 を,下

  こ の 戸 口状 態 に は6.4.1項

向 き矢 印 は 空孔 を表 す.

で 説 明 し た 強 度 関 数 の 計 算 で 弱 結 合 が 適 用 され る

と期 待 され る ので,(6.156)式 る.す

(d)

(c)

で,戸

口状 態 μ を 巨 大 双極 共 鳴(GDR)状

態 とす

る と,

(6.169) とな り,廊 下 状 態 νは2p-2h状 子pと

空 孔hの

態 で あ る.巨 大 共 鳴 の幅 は独 立 粒 子 模 型 で は 粒

幅 の 和 と な るが,(6.159)を

用い る と

(6.170) とな る.次 に 残 留 相 互 作 用 を 考 え る.巨 大 共 鳴 μ は 多 くのphの あ るが,初 pがphの 態phに

め そ の 一 つ のphか 組qを

つ く り,そ れがpと

戻 る 場 合(a),同

ら もphに きはhと

ら 出 発 す る と考 え る.図6.4に 相 互 作 用 し てphの

じ く空 孔hが

つ き対 角 型 で あ る.次

示 す よ う に粒 子

組qが 消 え,も と の状

相 互 作 用 を す る場 合(b)が

に(a)と

同 じ にpが 組qを

相 互 作 用 を して,終 状 態 がp'h'に

ら 同 じ終 状 態p'h'に 進 む 場 合(d)の4つ

重 ね合わせで

あ るが,ど

作 るが,消

な る場 合(c)と,(b)の

ち

える と

中 間状 態か

の 場 合 が 考 え られ る.非 対 角 型(c)を

式 で 書 くと,

(6.171) と な る.こ

の 干 渉 効 果 の た め,対

角 型 の み を と っ た 計 算 よ り,一 般 に 小 さ く な る.

  図6.5に 独 立 粒 子 模 型 の 場 合 の 幅(6.170)を

点 線 で 示 し,そ れ を 巨大 双 極 共

鳴 の 実 験 値 と比 較 して あ る.次 に 脱 出 幅 を考 え る.核 子 の 放 出 は 陽子 ・中性 子

図6.5 

巨 大 双 極 共 鳴 の 幅[27]

カ ー ブ は 実 験 値 で,点 表6.1 

208Pbの

線 は 理論 値.

中 性 子 幅Гn(keV)[31]

Jπ は 中 性 子 放 出 後 の 残 留 核 の ス ピ ン ・パ リテ ィ

と もに 可 能 だが,陽 は(6.145)を の 粒 子pが

子 の方 がCoulomb障

用 い て行 うが,そ

壁 の た め 抑 圧 され る.脱

こ に現 れ る 相 互 作 用Hpdの

そ の ま ま連 続 状 態 で 出 て 行 く場 合 と,1回

出幅の計算

た め,GDRの

衝 突 し てphを

なか 作 って 出

て 行 く場 合 が 考 え られ るが,後 者 は エ ネ ルギ ー 的 に不 利 で あ る.   こ こ で208Pbを

例 に と り,巨 大 双 曲 共 鳴(GDR)の

鳴 エ ネ ル ギ ー はEGDR=13.4MeV,全 幅Гnの 計 算 値 を 表6.1に

ら最 大500keVぐ

らい まで で,全

比 べ て小 さい.中 性 子 脱 出 幅 の 実 験 値 は測 定 が 困難 の た め,個 々

に は 正 確 に 測 定 され て い な い が[29],そ  で,直 比 は3%く

あ る.中 性 子

示 す.残 留 相 互 作 用 の と りか た に よ って 大 きな 変 動

が あ るが,総 計 は 表6.1に 示 し た120keVか 幅 の4MeVに

実 験 値 を示 して お く.共

幅 は ΓGDR=4.0MeVで

の 断 面 積 の 全 吸 収 断 面 積 に対 す る比 は

接 の 中 性 子 崩 壊 の 割 合 は小 さ い.計 算 値 の 幅 の

ら い で 大 体 合 って い る.し た が っ てγ 吸 収 でGRが

ま ま 中性 子 が 放 出 され る よ り,1p-1h状

態 か ら,2p-2h,3p-3hと

で きる と,そ の 複 雑 な 状 態 へ,

さ ら に複 合 核 に進 み,そ れ が 崩 壊 す る よ うな 過 程 が 主 要 な もの に な る.   以 上 は 巨 大 双 極 共 鳴 の 例 で あ っ たが,ス いl=2,3の

ピ ン ・ア イ ソ ス ピ ン の励 起 を伴 わ な

場 合 も同 様 で あ る.し か し ス ピ ン ・ア イ ソス ピ ンの 励 起 が あ る場

合 に は 事 情 が 変 わ り,干 渉 の結 果,幅 が 増 大 す る場 合 が あ る こ とが 期 待 され る [32,33].光

反 応 な ど で 励 起 され る これ らの 戸 口状 態 は 集 団 状 態 で,そ の励 起 関

数 は 強 め られ,顕

著 な 山 と して 認 め られ る.し か し,反 応 と して は大 部 分 は複

合 核 を 作 っ て か ら崩 壊 す る.巨 大 共 鳴 状 態 は核 の 基 底 状 態 上 につ くられ る とは 限 らず,高

い 励 起 状 態 の上 に あ った り,ま た 二 つ の 巨 大 共 鳴が 重 な っ て つ くら

れ る場 合 もあ る.こ れ らに つ い て は[34]を み よ.

  6.4.3 

ア イ ソ バ リ ッ ク ・ア ナ ロ グ 状 態(IAS)

  戸 口 状 態 の も う 一 つ の 例 と し て,ア analog

state, IAS)を

取 り上 げ る[35].ア

は 古 くか ら 知 ら れ て い た が,一 性(charge

イ ソ バ リ ッ ク ・ア ナ ロ グ 状 態(isobaric

independence)を

イ ソ ス ピ ンが よい 量 子 数 で あ る こ と

方Coulomb相

互 作 用 が あ り,こ

破 る こ と も 明 ら か で,Zが

れが荷 電独立

大 き い 重 い核 で は ア イ

ソ ス ピ ン は も は や よ い 量 子 数 と は 見 な さ れ な か っ た.   こ れ を 打 ち 破 っ た の が(p,n)反 応 に よ るIASの 40Ar(p ,n)40K反 応 を 考 え る[36].40ArはZ=18,N=22だ 状 態 はT=Tz=2で あ る の で,一

あ る.40Kの

発 見 で あ る.例

と し て,

か ら,基

底

基 底 状 態 の ア イ ソ ス ピ ン はT=Tz=1で

番 起 き や す い 荷 電 交 換 反 応 は 過 剰 中 性 子(excess

neutron)f7/2の

軌 道 を ま っ た く変 え ず に た だ 荷 電 状 態 を 中 性 子 か ら 陽 子 に 変 え る 反 応 で あ る. こ の と き 入 射 陽 子 も 軌 道 を 変 え ず に 荷 電 状 態 だ け を 変 え て 出 て 行 く.こ な 反 応 はLaneポ

テ ン シ ャ ル[37]と

の よう

呼ばれ る光学ポ テ ンシャル

(6.172) に よ り記 述 され る.こ こ で,Tは

標 的 核 の ア イソ ス ピ ン演 算 子 で,tは

子 の ア イソ ス ピ ン演 算 子 で,U0,U1は で は 標 的 核 の 状 態￨TT〉 にT_が

入射核

一体 ポ テ ンシ ャル で あ る.荷 電 交 換 反 応

作 用 し,IAS

(6.173) が で き る.こ

の 状 態 の 荷 電 状 態 以 外 は 親 の 状 態 と ほ と ん ど 変 わ ら ず,そ

ネ ル ギ ー は 過 剰 中 性 子 のCoulomb置 energy)と   IASが

非 常 に よ く 一 致 す る.ま

換 エ ネ ル ギ ー(Coulomb

displacement

た 実 験 か ら 求 め られ たQ値

戸 口 状 態 と し て 現 れ る の は(p,p)反

を 考 え る[39].208PbはT=Tz=22で,陽

応 で あ る[38].例

のエ

と も 一 致 す る. と し て208Pb(p,p)

子 はT=1/2,Tz=-1/2な

の

図6.6 

208Pbの

209Pbの

過剰 中性 子 の軌 道 とIAS

図6.7  209BiのIASの 実 験[39] 陽子 に よ る弾 性 散 乱 の微 分 断 面 積 を 入射 エ ネル ギ ー で プ ロ ッ

トし た.

で,こ

の 二 つ の 合 成 系 は209Biで 

態 はT=43/2で,IASはT=45/2に で あ る.209Pbの T_を

属 す.こ

基 底 状 態 は208Pbに

作 用 させ る と,図6.6に

は な く,6つ

ク が い くつ か 見 え る.最

付 い た も の で あ る.こ

れ に

中 性 子 か ら陽 子 に 変 わ るだ け で

の 軌 道 の 過 剰 中 性 子 が 陽 子 に 変 わ る.こ

陽 子 散 乱 の 共 鳴 状 態 と し て 現 れ る.実

底状

の 親 は 

中 性 子g9/2が

示 す よ うにg9/2が

で あ る.基

の よ う に し て で き たIASが

験 デ ー タ を 図6.7に

低 の ピ ー ク は209Pb基

示 す が,幅

底 状 態 のIASで

の狭 い ピ ー

あ る が,そ

れ よ

り上 の ピ ー ク は 励 起 状 態 で,g9/2の 付 い た の に 対 応 し て い る.最 な の で,209Bi 一方

IASの208Pbを

,親 核209Pbの

代 わ り にi11/2,j15/2,d5/2な

低 のIASの

ど が208Pbに

陽 子 の 入 射 エ ネ ル ギ ー は14.828MeV

基 準 に し た エ ネ ル ギ ー も14.828

基 底 状 態 の エ ネ ル ギ ー は-3.94MeVな

の エ ネ ル ギ ー の 差 は18.768MeVと

な り,Coulomb置

MeVで

あ る.

の で,IASと

親核

換 エ ネ ル ギ ー18.69MeV

と 一 致 す る.   IASは

陽 子 散 乱 に 対 す る 戸 口 状 態 で あ る.IASの

状 態￨π 〉にT_を ら な い.そ

定 義 と し て,親

核 の 固有

掛 け た もの を と っ て もそ の 波 動 関 数 は 正 確 な 固 有 状 態 に は な

れ は ア イ ソ ス ピ ン 対 称 性 を 破 る 相 互 作 用 が あ る か ら で,そ

要 な の はCoulomb相 Coulombポ

互 作 用 で あ る.し

た が っ てIASは

幅 を 持 ち,そ

テ ン シ ャ ル が か か わ っ て い る こ とが 予 想 され る.IASの

出 幅 は(6.144)と(6.145)か IASのAと

ら 求 め ら れ る が,全

そ れ 以 外 の 状 態qに

の 最 も重

空 間 をP+Qに,さ

れ には

分 散 幅 と脱 ら にQを

分 け る とQ=A+qで,Aq=0が

成 り立 つ.

分散幅 は

(6.174) で 与 え られ る.こ

こ に現 れ る 行 列 要 素

(6.175) の 計 算 か ら は じめ る.複 合 核 状 態qとIAS

Aと

は 直 交 す る の で,

(6.176) が 成 り立 ち,

(6.177) とな る.交 換 子[H,T_]に

は 核 の ハ ミル トニ ア ンの ア イ ソ ス カ ラ ー の 部 分 の 寄

与 は な く,ア イ ソ ス ピ ン対 称 を破 る 部 分 か ら の 寄 与 の み で,そ な の はCoulomb相 子 は 一 様 な 半 径Rcの 用VC(r)

の 中 で 最 も重 要

互 作 用 で あ る.こ の 相 互 作 用 は 二 体 力 で あ るが,一

方 の陽

球 に 分 布 し て い る と近 似 し た,一 体 のCoulomb相

互作

(3.18)を 使 う.交 換 子 は

(6.178) と な る.

表6.2 

脱 出 幅 はq空

209BiのIASの

幅

間 を消 去 した と きのA+P空

間 の有 効 相 互 作 用

(6.179) を使 い

(6.180) とな る.こ こでHPPは(6.179)か Hの

ら求 め られ たP空

行 列 要 素 の 計 算 は 分 散 幅 の 場 合 と ま っ た く同 じで,や

作 用が 主 要 な役 割 を果 たす.状 態Pと が,中

間の 有 効 相 互作 用 で あ る. は りCoulomb相

し て は,陽 子 を放 出 す る過 程 は 寄 与 す る

性 子 か ら は ほ とん ど寄 与 し な い.そ の 理 由 は[H,T_]が

変 え るの で,中

互

中性 子 を 陽子 に

性 子 は 出 て こ な い か らで あ る.も っ と複 雑 な過 程 か ら くる寄 与

は 小 さ い の で,無

視 す る こ とに す る.さ てP状

態 の 波 動 関 数 はIASの

直 交 し な け れ ば な らな い と い う条件 が あ る.IASの

それ と

崩 壊 で は,親 核 の 中性 子 が

ア イ ソ ス ピ ン 以外 の 量 子 数 を変 えず に,陽 子 に変 わ っ て 出 て い くの で あ るか ら, 残 留 核 は過 剰 中性 子 に 一 つ 穴 が 空 い た 状 態 で あ る.散 乱 状 態 の 陽 子 の 波 動 関 数 は 普 通,基 底 状 態 の 残 留 核 に対 す る 光 学 模 型 の 解 を使 うの で,IASと な い.し

は 直交 し

たが っ て 陽 子 の 波 動 関 数 は直 交 化 しな け れ ば な らな い[35].

  208Pb(p,p)の

例 を 表6.2に

デ ー タか ら求 め た.脱

示 す[39].全

幅 Γ,弾 性 散 乱 の 脱 出 幅 Γ↑cは 実験

出 幅 に は 非 弾 性 散 乱 に対 応 す る もの が あ るが,こ れ は 過

剰 中性 子 が 陽 子 に 変 わ っ た もの の 脱 出 に対 応 す る もの で,実 験 が 難 し く一部 の デ ー タ しか 得 られ て い な い.そ れ で,207Pb(p,p)の208Bi0+で の 基 底 状 態 のIASに

ち ょ うど208Pb

対 応 す る非 弾 性 散 乱 のデ ー タか ら と った 非 弾 性 脱 出幅 をそ

の ま ま持 っ て き て,そ れ を208Pb(p,p')の

脱 出 幅 とす る.こ の よ うに して 求 め

た 弾 性 ・非 弾 性 の 脱 出 幅 の 和 Γ↑を 全 幅 Γ か ら 引 い た もの を 分 散 幅 Γ↓ と し

て 表6.2に

載 せ て あ る.こ れ を見 て わ か る こ と は分 散 幅 は 全 幅 に比 べ 小 さ い こ

とで あ る.こ れ は 巨 大 共 鳴 とは異 な り,IASは で,そ

戸 口 状 態 で 崩 壊 す る のが 大 部 分

れ よ り先 に 進 むの は比 較 的 少 な い こ と を示 して い る.

  分散 幅 の計 算 は(6.174)を 使 って,qと

して 陽子 の 独 立粒 子 状 態 を とる と,実 験

値 よ りは るか に大 きい値 にな る.こ れ を説 明 した の はMekjian

[40]で,Coulomb

相 互 作 用 で 転 移 す るの は 個 々の 状 態 へ で は な く,集 団 状 態 で あ る ア イ ソベ ク ト ル 単 極 子(IVM)状

態 で あ る と した.こ

れ はIVM演

算子

(6.181) に よ って 生 成 され る 集 団 状 態 で あ る.こ のIVM演 作 用(3.18)のr
場 合 の 第2項

成 され る 集 団 状 態 はCoulomb場 え られ る.IVMは

算 子 は 一 体 のCoulomb相

互

に比 例 す る の で,こ の演 算 子 に よっ て生

に よ る遷 移 振 幅 を コ ヒ ー レ ン トに足 し た と考

実 験 で は 直 接 に は 観 測 され て い な い状 態 で あ るが,2hω0か

それ よ り高 い エ ネ ル ギ ー で,幅

は大 体IVM状

態 の エ ネル ギ ー に お い て8MeV

ぐ ら い と考 え られ て い る.分 散 幅 の 値 は 大 体 実 験 値 と合 わ せ る こ とが で き る. 一方 ,脱 出 幅 の 方 は(6.180)のHの 部 分 か らの 寄 与 は 分 散 幅 と 同 じ よ うに計 算 で き,大 体 実 験 値 とあ う答 えが 求 め られ る.し か し(6.180)のqを 計 算 は 難 し く近 似 計 算 しか 行 わ れ て い な いが,そ

通 る寄 与 の

れ に よる と,実 験 値 よ り数 倍

大 き くな っ て し ま う[41].

6.5  核 反 応 の 時 間 的 記述

  核 反 応 は 定 常状 態 の 波 動 関 数 を使 って 取 り扱 われ て い るが,こ れ は 断 熱 近似 に 基 づ い て い る(2.4.4項).も

し現 実 に近 い 記 述 の 方 法 を とろ う とす る と,入 射

粒 子 を波 束 と して 表 し,時 間 に 依 存 す るSchrodinger方

程 式 を解 くこ とに な る.

す る と時 間 の 遅 れ(time delay)の よ うな 概 念 が 導 入 され,共

鳴状態 を よりよ く

理 解 す る こ とが で き る[42].   は じめ に 加 速 器 か ら 出 て くる粒 子 ビ ー ム を考 え て み よ う.各 粒 子 は大 体 一 定 の エ ネル ギ ー を もつ が,ば

らつ きが あ り,そ れ が 入 射 ビ ー ム の エ ネル ギ ー 幅 で

あ る.各 粒 子 の 波 動 関 数 の位 相 は ラ ン ダ ム で あ って 非 干 渉(incoherent)と られ る.1個

の粒 子 に つ い て は,そ

考え

の波動 関数は運動量の一 定な平面波 ではな

く,空 間 的 な 広が りを もって い る.す な わ ち波 束 を作 って い る.エ ネル ギ ーの 幅

は ビ ー ムの エ ネ ルギ ー 幅 に くらべ て,は 構 か ら推 論 し た1個

るか に小 さい と考 え られ る.加 速 の 機

の 粒 子 に対 応 す る波 束 の エ ネ ル ギ ー分 散 はeVの

オーダ ー

よ りは るか に小 さい[43].   一粒 子 の波 束 は 平 面 波 を 重 ね 合 わ せ た もの で,次

の 式 で 与 え られ る.

(6.182) 分 布 関数a(κ)は 波 数が κ で あ る確 率 振 幅 で

(6.183) に よ り規 格 化 され て お り,普 通 は κだ け の 関数(球 対 称)で を κ と して お く.￨G(r)￨2は

あ る.こ の 広 が り

粒 子 の 位 置 の 分 布 を表 し,そ の 幅 は1/κ で あ り,

(6.184) を満 た す.以 下,分 布 関 数 は 球 対 称 と仮 定 す る.そ 絶 対 値 に な る.最

も よ く使 わ れ るGauss型

うす る と変 数 は ベ ク トル の

波 束 の 場 合 は,

(6.185) と な る.入 射 粒 子 は 平 均 波 数 ベ ク トル κ0の 平 面 波 とす る と,初 期 の 波 動 関 数 はt→-∞

に お い て,

(6.186) で 与 え られ る.こ れ が 標 的 核 と相 互 作 用 をす るが,時 間 に依 存 す るSchrodinger 方程 式

(6.187) を満 たす 波 動 関数 で記 述 され る.こ の方 程 式 の解 は時 間に依 存 し ないSchrodinger 方程 式

(6.188) の解 に よ り

(6.189)

で 与 え ら れ る[44].Ψ(t)はt→-∞ う.い ま弾 性 散 乱 に 限 り,(6.106)で

で は(6.186)の

よ うな 波 束 と して 振 る舞

与 え られ る時 間 に依 存 しな い 波動 関 数 を相

互 作 用 の 働 か な い 領 域 で 平 面 波 を含 む 部 分 と外 向 波 の 部 分 に分 け て

(6.190) と書 く.初 め に 平 面 波 に対 応 す る もの の 寄 与 を調 べ て み る.波 数 ベ ク トル κ を

(6.191) と平 均 の 部 分 とそ れ か らのず れ との 和 と書 き,運 動 エ ネ ル ギ ー を計 算 す る と

(6.192) と な る. 

と仮 定 し た.ま た 平 均 の 速 度 をυ0と す る と

(6.193) と な り,こ

れ ら を 波 束 の 式(6.189)に

代入す る と

(6.194) を 得 る.す t=0で

な わ ち入 射 平 面 波 に対 応 す る 波 束 の 中心 は 一 定 速 度υ0で 運 動 し,

原 点 に 到 達 し,波 束 の 形 に 変 化 は な い.こ れ は(6.192)で

た 結 果 で,も

ρ2を 無 視 し

し 入 れ て お く とtが 大 き くな る と き波 束 の 形 は 崩 れ て くる.し か

しこ の よ うな 波 束 の 変 形 は 通 常 の 場 合 に は 考 え な くて も よ い.   次 に 直 接 相 互 作 用 に よ って 出て くる 波

(6.195) を考 え る.簡 単 の た め ポ テ ン シ ャル 散 乱 の 場 合 を仮 定 す るが,一 扱 い は 同 様 に行 う こ とが で き る.S行

般 の場 合 も取

列 は対 角 型 で

(6.196) と書 くと,δ(E)は

位 相 差 で あ る.δ(E)の

エ ネ ル ギ ー依 存 性 は 弱 く,波 束 の エ

ネ ルギ ー の 幅 の な か で は

(6.197)

図6.8 

と表 せ る とす る.こ

入 射 波 束(左)と,散

乱 後 の 散 乱 球 面 波 と 入射 波 束(右)

こで 時 間 の 遅 れ を (6.198）

に よ り 定 義 す る.ま

た κ を(6.192)と

同 じ近 似 で 計 算 す る と

(6.199) と な る の で,(6.195)は

(6.200) とな る.分 布 関数Gは の

関 数 で あ る.す な わ ち 出 て くる粒 子

は 標 的 核 か ら球 面 波 とな って 広 が っ て い く.球 面 波 の 厚 さ は 入 射 波 の 波 束 の大 き さ と同 じで あ るが,球 面 波 な ので 密 度 は半 径 の2乗 に 反 比 例 し て小 さ くな る. また 球 面 波 は 時 間 の 遅 れΔt(6.198)だ

け 遅 れ て広 が って い く(図6.8).

  次 に幅 の狭 い 共 鳴 に よ る散 乱 を考 え よ う.前 と同 じ く弾 性 散 乱 を考 え る.共 鳴 幅 Γ は波 束 の エ ネ ルギ ー 分 散 幅 ωEよ りは るか に小 さい とす る;

(6.201) 共 鳴 よ り 出 て く る 波 は(6.195)にS行

列

(6.202) を代 入 す る.上 (6.79),(6.80)を

の 式 は チ ャ ネ ル 間 の 直 接 結 合 が 無 視 で き る と し(6.72),(6.73), 使 っ て 求 め た.ポ

さ い と し て 無 視 し,丸

括 弧 内 第2項

テ ン シ ャ ル 散 乱 のS0の

エ ネル ギ ー変 化 は 小

を 計 算 す る た め(6.195)の

κの積分 を

(6.203)

と し,分 布 関 数 の立 体 角 積 分

(6.204) を定 義 し,さ ら に近 似

(6.205) を使 う と

(6.206) を得 る.エ か らRま

ネル ギ ー の 積 分 は 図6.9に

で と し,次 に 複 素 エ ネ ル ギ ー 平 面 を考 え,上 半 面 か 下 半 面 の 半 円 で

積 分 路 を 閉 じ る.t-r/υ0<0に R→∞

示 す よ うに まず 積 分 領 域 を延 長 して-R

で0と

対 して は 上 半 円 を と る と そ こ か らの 寄 与 は

な り,t-r/υ0>0で

は 下 半 円 を と る と0に

な るの で

(6.207)

図6.9  t-r/υ0が 列 の 極.

複 素 エ ネ ルギ ー平 面 に お け る 積 分 路

負 の と きは 左,正

の と きは 右 の 半 円 を とる.×

印はS行

図6.10 

幅 の 狭 い 共 鳴 に よ る散 乱 に よ り放 出 され た 粒 子 の 時 間ス ペ ク トル t=r/υ0は

とな る.t=r/υ0ま

で は0,そ

入 射粒 子が 点rに

到 着 し た 時 刻.

れ 以 後 は急 激 に 上 昇 し てす ぐ に指 数 関 数 的 に 減

少 す る崩 壊 曲線 が 得 られ る(図6.10).   この 結 果 はS行

列 の 極が エ ネ ル ギ ー 平 面 の 下 半 面 に あ る こ と に よ り得 られ た.

放 出 粒 子 は 入 射 粒 子 が 標 的核 に 到 達 し て か ら現 れ る.こ れ は 因 果 律 に 従 っ て い る.こ れ に 反 して,も 般 にS行

し極 が 上 半 面 に あれ ば,因 果 律 に 反 す る 結 果 と な る.一

列 の 極 が 下 半 面 に あ れ ば 因 果 律 を満 た す とい う こ とが で きる.

  共 鳴 の場 合 の 時 間 の 遅 れ を計 算 し て み る.

(6.208) に よ り θ を 定 義 す る と,S行

列 の 式(6.202)を

用 いて

(6.209) で あ る こ とが わ か る.し た が っ て 時 間 の 遅 れ は Γ≫ ωEを 仮 定 し,

(6.210) と な る.右

辺 第1項

でdδ/dEは

は ポ テ ン シ ャ ル 散 乱 の 項 で 小 さ い と し て 無 視 す る と,E=E0

最 大 の 値2/Γ

に お い て は(6.208)よ

に な り,時

間 の 遅 れ は4h/Γ

で あ る.共

鳴エネルギー

り

(6.211) と な る.nは

整 数.位

相 差 が エ ネ ル ギ ー の 増 加 関 数 の 場 合(6.211)を

dδ/dEは 正 で あ るが,ポ

満 たす

テ ンシ ャル 散 乱 の 場 合 に は負 に な る こ とが あ る.こ の

と きは 時 間 の進 み(time advance)で,入

射 粒 子 が 散 乱 中心 に到 達 す る前 に 散 乱

波 に 対 応 す る 球 面 波 が 出 て くる.し か し 入 射粒 子 が 核 また は ポ テ ン シ ャル の 縁 に 到 達 す る前 に 散 乱 波 が 出 て くる と,因 果律 に 矛 盾 す る こ と に な る.こ れ か ら 時 間 の 進 み に 上 限が あ る こ とが わか る.す な わ ち

(6.212) で,Wignerの

上 限[45]と よば れ る.Rは

核 半 径 で あ る.共 鳴 は 入射 粒 子 が 核 内

核 子 と何 回 も衝突 して起 こ る と考 え られ るので,時 間の 進 み を伴 うとは 考 え難 い. し たが って(6.211)が

成 り立 ち,dδ/dE>0の

の場 合 をエ コ ー(echo)と

場 合 を 共 鳴 と呼 び,dδ/dE<0

呼 ぶ こ と に して い る[46].

  最 後 に多 くの 共 鳴 準 位 が 寄 与 す る複 合 核 反 応 を 考 え る.こ れ は7章

で詳 し く

議 論 す るが,多

与 え られ

くの 準 位 は重 な り合 い,ゆ

ら ぎの 断 面 積 は(6.111)で

て い る.時 間 に対 し

(6.213) を仮 定 す る.ωTは

波 束 の 通 過 す る 時 間で あ る.S行

列 の ゆ ら ぎの 部 分 に 対 応

する反応振 幅は

(6.214) で あ る.こ の 振 幅 か ら流 束 を計 算 す る た め 絶 対 値 の2乗

をつ くる と,

(6.215) と な る. 

に 現 れ る エ ネ ル ギ ー 積 分 の 変 数 をE,E'と

し,Eと

ε は そ の 平 均 と 差 を 表 す.

(6.216) に よ りF(E)を

定義す る と

(6.217)

で,F(E)の

エ ネ ル ギ ー の 広 が り はwEの

オ ー ダ ー で あ る.こ

の分布 関数につ

い て の平 均 を

(6.218) で定義 す ると

(6.219) が 求 ま る.す

な わ ち 時 間 に 依 存 し な い 定 式 化 か ら 依 存 す る もの に 移 る た め に は

SflとSfl*と

の エ ネ ル ギ ー 差 を ε に し て お い て,そ

のFourier変

換 をす れ ば よ

い こ と が わ か る.

6.6 

共 鳴 と エ コ ー

  共 鳴 と エ コ ー(echo)は 古 典 近 似 を用 い る と理 解 しや す い の で,陽 子 の ポ テ ン シ ャル 散 乱 を例 に と り説 明 す る[47].図6.11に 核 表 面 近 くに 高 さBの

示 す よ うに,ポ テ ンシ ャル に は

ポ テ ン シ ャ ル 障壁 が あ る.は じめ にE>Bの

場合 を考

え る.古 典 論 に よ る 位 相 差 は

(6.220) で 定 義 さ れ る.こ

こ でk(r)は

局 所 波 数(local

wave

number)で

(6.221) で 与 え られ る.Veff(r)は

有 効 ポ テ ン シ ャル で,角 運 動 量 をlと す る と半 古 典 論

に従 い

(6.222) で 与 え ら れ る.U(r)は

核 の ポ テ ン シ ャル(nuclear

Coulomb相

互 作 用 に よ る ポ テ ン シ ャ ル,最

Coulomb相

互 作 用 に よ る 波 数 で,(6.222)でU(r)=0と

に 代 入 し て 得 ら れ る.r0とrcは

potential)で,UC(r)は

後 の 項 は 遠 心 力 で あ る.kC(r)は し た も の を(6.221)

図6.11 

f7/2陽

子 の208Pbに

対 す る 有 効 ポ テ ン シ ャ ルVeff(r)と,

そ の 束 縛 状 態 な ら び に 共 鳴,エ 核 の ポ テ ン シ ャ ルU(r)に は[20]よ

コ ー の エ ネル ギ ー

はWoods-Saxon型

を と り,パ

ラ メ タ ー

り と っ た.

(6.223) か ら 決 ま るrの

値 で,r>r0が

ル の な い と き に はr>rcが 視 で き る も の と す る.す

古 典 的 に 許 され る 範 囲 で あ る.核 許 さ れ る 範 囲 で あ る.ま

たr>Rで

の ポ テ ンシ ャ はU(r)は

無

なわ ち

(6.224) が 成 り立 つ.さ

て 位 相 差(6.220)を

使 っ て 時 間 の 遅 れ を 計 算 す る と,

(6.225) と な る.rは

粒 子 の 速 さで,rcはU(r)が

が って(6.225)の

右 辺 の 第1項

引 き返 す 時 間 の 半 分 で,第2項

な い と きの粒 子 の 速 さで あ る.し た

は 粒 子 がRか はCoulomb力

らr0ま で 行 き,そ れ か らRま

で

と遠 心 力 だ けが あ る場 合 の 対 応

す る 量 で あ る.し た が っ て(6.225)の

右辺 の括弧は時 間の遅れの半 分に対応 す

る こ とが わか る.   エ ネル ギ ーが0<E
場 合 を考 え る.こ の と きは 入 射 粒 子 は 障 壁 で 遮

られ るの で,古 典 的 に は ポ テ ンシ ャル の 中 に は 進 入 で き な い.し か し量 子 論 で は トン ネル 効 果 で 滲 み 通 り,も し ポ テ ン シ ャ ル 内 に 束 縛 状 態 が あれ ば,共

鳴を

起 こす で あ ろ う.束 縛 状 態 に対 して は 作 用 積 分Sは

(6.226) の 条 件 を 満 た す.こ れ はBohrの

量 子 条 件 で あ る(k(r1)=0).も

し入射粒子

の エ ネル ギ ー 近 くに 束 縛 状 態 が あ れ ば,こ れ と相 互 作 用 し て散 乱 振 幅 が 増 大 す る.こ れ ら は半 古 典 近 似 で,ポ

テ ン シ ャル の 内部,障 壁 の 中,外 の3つ

の波 を

つ な げ る こ と に よ り,位 相 差 を 求 め る こ とが で き る.   一 例 と して 陽 子 の208Pbに

よ る ポ テ ン シ ャ ル散 乱 な らび に束 縛 状 態 を 図6.12

に 示 す.古 典 論 に従 い ポ テ ン シ ャル 障壁 の 高 さB以 対 して は作 用 積 分 を, 

下 の エ ネル ギ ー 

に

に 対 し て は古 典 的位 相 差 を,エ ネル ギ ー を横 軸 に

と って 点 線 で 示 し た.0<E
束 縛 状 態 と考 え た.E=Bで

は作 用 積 分

と古 典 的 位 相 差 の 値 は,非 常 に よ く一 致 した.   一 方,量 子 力 学 に よ りE<0に 低 の状 態 をn=0と

対 し結 合状 態 の エ ネ ル ギ ーEnを

して順 に 番 号 をつ け,Enと

図6.12 

208Pb+p系

のs1/2の

点 線 は 古 典 論 に よ る値,実 詳 細 は 本 文 参照.

縦 軸 

束 縛 状 態 と散 乱 の位 相 差

線 は 量 子 論 に よ る値 を表 す.

計 算 し,最 の 点 を+

で 示 し た.す

る と この 点 は 古 典 論 で 計 算 し た作 用 積 分 の カ ーブ に きわ め て よ く

乗 っ て い る. 

に 対 し て は 位 相 差 を 量 子 力 学 で 計 算 し て 実 線 で 示 し た.た

だ し,E=0に

対 し て はLevinsonの

定 理*4[48,49]に

る と 量 子 力 学 の カ ー ブ は8MeVぐ か ら 急 上 昇 し て δ=3.5π い 位 置 に あ る.そ を 続 け る.こ δ=3.5π

従 い δ=3π

ら い ま で は δ=3π

に 達 す る.こ

の 水 平 線 で あ る が,そ

れ が 共 鳴 点 で あ る が,古

れ か ら も 上 昇 を 続 け,E=Bの

の カ ー ブ はE>14MeVで

と し た.す こ

典 論 の そ れ と近

近 くで 頂 点 に 達 し,後

は降下

は 古 典 論 の も の と 大 体 重 な っ て い る.

は エ コ ー に 対 応 す る.

  この 例 で は 共 鳴 とエ コー は δ=3.5π

に現 れ て い る.一 般 に エ コ ー は 少 な く

と も束 縛 状 態 の 数 と共 鳴 の 数 の 和 だ け現 れ る.ま た 位 相 差 は エ ネ ルギ ー の 高 い 極 限 で は0に

な る.こ の よ うな状 況 は ポ テ ン シ ャ ル 散 乱 の 場 合 で あ っ て,多 体

の 共 鳴 の場 合 は多 くの 共 鳴 が 現 れ,位

相 差 は ど ん ど ん 増 大 す る.

  古 典 論 の 議 論 か ら共 鳴 とエ コ ー の物 理 的描 像 が 明 らか に な っ た と思 う.中 性 子 の 原 子 核 で の 散 乱 の 総 断 面 積 をEとAと は3.1節

で3次

元 的 に プ ロ ッ トし た 図3.1

に示 し て あ る.こ の よ うな大 局 的構 造 は 光 学模 型 の 予 言(図3.2)と

よ

く合 って い る.こ こ に現 れ た 山 は 巨 大 共 鳴 と呼 ば れ て い るが,は

たして共鳴で

あ ろ うか.Peterson

小 さい山を除

[50],McVoy

[46]に よ る と2d5/2と3p3/2の

くと共 鳴 と は考 え られ な い.共 鳴 な らば 山 の 位 置 はAの

増 大 に伴 い 低 い エ ネ ル

ギ ー に 移 る は ず で あ るが 反 対 の 挙 動 を示 す.こ の 現 象 はnuclear

Ramsauer効

果 と解 釈 で き る.核 内 を 通 った 波 と外 側 を通 っ た 波 との 干 渉 に よ る もの で,多 くの 部 分 波 の 協 力 現 象 で あ り,こ の 部 分 波 が エ コ ー あ る い は そ れ に近 い位 相 差 に対 応 し て い る.共 鳴 は 吸 収 ポ テ ン シ ャル を入 れ る と 急 に 消 えて し ま うの に 反 し,エ

文

コ ーで は そ れ ほ ど 影 響 を受 け な い こ とが 知 られ て い る.

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7 複合核過程Ⅱ―

統計理論

  エ ネ ルギ ーが 少 し高 くな る と多 くの準 位 が 重 な り合 い,そ の た め 複 合 核 反 応 に統 計 理 論 が 適 用 可 能 とな る.入 射 粒 子が 核 内 核 子 と衝 突 して 多 くの複 合 核 状 態 が 励 起 され,平 衡 状 態 に 到 達 す る場 合 を こ の章 で 取 り扱 う.こ の平 衡 状 態 は 長 い寿 命 を もつ が,や が て 崩 壊 す る.い 過 程 と独 立 な の で,断

ろい ろ なモ ー ドに 崩 壊 す る確 率 は 生 成

面 積 の計 算 は 容 易 に な る.

  こ の よ うな核 反 応 理論 で 重 要 な の は 準位 密 度(level density)で,7.1節

におい

て伝 統 的 に 独 立 粒 子 模 型 に 基づ き,統 計 力 学 を使 っ て 状 態 密 度(state density) を計 算 す る.準 位 密 度 を ス ピ ン とそ のz成 分 で和 を とっ た のが 状 態 密 度 で あ る. 7.2節 で は準 位 間 隔 の 統 計 的 分 布 関 数 を ラ ン ダ ム行 列 理 論 を使 って 導 く.7.3節 で は 相 互 作 用 の あ る 場 合 を考 え るが,非 常 に 簡 単 な 仮 定 の も とで 計 算 を行 うの で,実 験 デ ー タ と比 較 で きる よ う な現 実 的 な もの で は ない.も 算 は8.1節

で 述 べ る.7.3節

っ と現 実 的 な 計

の 目的 は新 し い 方 法 を 簡 単 な例 で 説 明 す る こ とで

あ る.現 象 論 的 な 複 合 核 の 統 計 理 論 は7.4節

で 説 明 す る.7.5節

は7.3節

明 し た ラ ン ダ ム行 列 理 論 に 基 づ く複 合 核 の 統 計 理 論 に 当 て られ る.7.6節 Ericsonの

で説 では

ゆ ら ぎ を 説 明 す る.こ れ ら全 般 に わ た っ た教 科 書 とし て,[1,2]を

挙

げ て お く.

7.1  状

  状 態 密 度 は1936年,Bethe

態

[3]がFermiガ

密

度

ス模 型 に基 づ き統 計 力 学 を使 っ て

求 め て 以 來,数 多 くの 研 究 が 行 わ れ た[2].粒 子 数Nか ギ ー準 位 をEλ(N)と

らな る原 子 核 の エ ネ ル

す る と,状 態 密 度 は

(7.1)

で 定 義 され る.こ れ は エ ネ ルギ ー ・ス ペ ク トル そ の もの で,こ の核 の全 部 の状 態 を解 か な け れ ば 求 め られ な い.こ れ は 実 行 不 可 能 で,ま

た た とえ 求 め られ て も

実 用 に は便利 で は な い.あ る エ ネ ル ギ ー 幅 で の 平 均 状 態 密 度 は 有 用 で あ り,ま た 種 々の 近 似 の も とで計 算 す る こ とが 可 能 に な るの で,以 下,平 均 状 態 密 度 を取 り扱 う.核 子 間 の 残 留 相 互 作 用 を入 れ た計 算 は後 回 しに して,独 立 粒 子 模 型 に よ る状 態 密 度 を本 節 で は 求 め る.独 立 粒 子 の エ ネ ル ギ ー 準 位 を εiとし,こ の 準 位iが 核 子 に よ り占 め られ てい る確 率 をnλ(i)と す る と,状 態 λの エ ネ ルギ ーは

(7.2) で 与 え られ,核

子の総数 は

(7.3) とな る.独 立 粒 子 模 型 を とっ て い るた め,nλ(i)の れ る こ と を注 意 し て お く.(7.3)の

と り うる値 は0か1に

条件 の も とで(7.2)を(7.1)に

限ら

代 入 す る と独

立 粒 子 模 型 の準 位 密 度 の 式が 得 られ る.こ の 計 算 は計 算 機 を使 えば 難 し くな く, また 便 利 な漸 化 公 式 も知 られ て い る[4].こ こで は伝 統 的 な統 計 力 学 を使 う方 法 をBohr-Mottelson

[2]に 従 っ て 説 明 す る.そ の 理 由は 高 いエ ネ ルギ ー の核 反 応

の 解 析 に は 温 度 や エ ン トロピ ー な ど統 計 力 学 に 由来 す る概 念 が よ く使 われ,ま た 統 計 力 学 を使 っ て得 られ た 結 果 は 簡 単 な式 で 表 され る の で,現 象 論 的 に合 わ せ た パ ラ メタ ーで,実 験 デ ー タを解 析 す る こ とが 多 く行 わ れ て い るか らで あ る.   こ こで は 統 計 力 学 的 な 考 え方 を説 明す るた め,1種

類 の核 子 か らな る 簡単 な場

合 を 取 り扱 う.も っ と一 般 的 な場 合 は 結 果 を示 す だ け に止 め る.こ の と き は大 正 準 集 団(grand 粒 子 数Aと

canonical ensemble)を

エ ネ ル ギ ーEの

使 うのが 都 合 が よい の で,状 態 密 度 も

関 数 と して

(7.4) と書 い て お く.   統 計 力 学 の 大 正 準 集 団 の考 え に従 って,原 子 核 は 巨 大 な熱 浴 と接 触 して 平 衡 状 態 に あ る とす る.こ の 熱 浴 は原 子 核 とエ ネル ギ ー ば か りで な く核 子 もや りと りして お り,そ の 温 度 をT,化 と粒 子 数 は ゆ らぐが,そ

学 ポ テ ンシ ャル を μ とす る.原 子 核 のエ ネル ギ ー

れ ぞ れ がEとAで

あ る確 率 は 次 の 正 準 分 布

(7.5)

で 与 え ら れ る. 

で,kはBoltzmann定

数,分

配 関数は

(7.6) で 与 え られ る.λ に つ い て の和 は すべ て の 状 態 に つ い て とるが,状 態 密 度(7.4) を用 い て 積 分 の 形 に書 くこ とが で き る.

(7.7) この 式 をLaplace逆

変 換 に よ り状 態 密 度 に つ い て 解 くと

(7.8) す な わ ち 分 配 関 数 か ら状 態 密 度 は 求 め られ る.   分 配 関 数 の 計 算 は,エ

ネ ルギ ー は 独 立 粒 子 模 型 で 与 え られ て い る こ と を使 っ

て 次 の よ う に行 う.(7.2),

(7.3)を(7.6)に

代入す る と

(7.9) と な る.Fermi統

計 な の で,nλ(i)の

値 は0と1に

限 られ る こ と を 使 っ た.さ

ら に 計 算 を 進 め る た め 対 数 を と り,

(7.10) こ こでg(ε)は 独 立 粒 子 の 状 態 密 度 で

(7.11) に よ り定 義 さ れ て い る.   対 数 関 数ln(1+eα-β

ε)は ε<α/β

eα-βε で 近 似 さ れ る の で,積 算 を す る と,結

で はα-βε

で 近 似 さ れ,ε>α/β

分 範 囲 を[0,α/β]と[α/β,∞]と

では

に分 け て 近 似 計

果 は

(7.12)

とな る[2].こ

の 展 開 はg(ε)が εの ゆ る や か な 関 数 で あ れ ば よい 近 似 と な る.

こ の状 態 密 度 に古 典 近 似 を用 い れ ば,そ れ は 滑 らか な εの 関数 な の で,エ ギ ー 平均 の 必 要 は な い(7.1.1項

ネル

参 照).

  積 分(7.8)を 計 算 す る に は 鞍 点 法(saddle

point method)を

用 い るが,ま ず

被 積 分 関 数 を指 数 関 数 の 形 に 書 くと,指 数部 は

(7.13) と な る.そ

の 停 留 値 α0β0は

(7.14)

(7.15) で 決 定 さ れ る.(7.12)の

右 辺 第2項

ま で と る と,停

留 値 α0,β0は

(7.16) (7.17) か ら求 め られ る.た だ しg(ε)の 微 分 は無 視 し た.(7.16)は

基 底 状 態 に対 して も

励 起 状 態 に対 し て も成 り立 つ ので,

(7.18) こ こ で εFは 基 底 状 態 のFermiエ

ネ ル ギ ー で あ る.(7.17)に

対 しては

(7.19) で あ る の で,(7.17)と(7.19)か

ら励 起 エ ネル ギ ー は

(7.20) と 表 され る.停 と な る.(7.13)は

留 値 は(7.20)よ

り 

,(7.18)よ

り α0=εFβ0

(7.21) と展 開 で き る.た

だ し

(7.22a) (7.22b) (7.22c)

(7.22d) こ こ でg0=g(εF)で,積

分(7.8)は

複 素 数 α,β に つ い て の2次

始 点 と終 点 は 与 え ら れ て い る が 経 路 は 自 由 に 決 め ら れ る.ま 項(α-α0)(β-β0)が

元 の 積 分 で あ り,

ず(7.21)に

現れ る

消 え る よ う に 停 留 点 α0,β0を 通 る 経 路 を 選 ぶ.(7.21)

の 最 後 の 式 に 現 れ る 行 列 の 固 有 値 λ+,λ-は

(7.23) の 解 で あ る.し

たが って

(7.24) と な り,新 u=reiθ りGauss積

し い 変 数uとυ と し て θ=π/2と

で 積 分 は 分 離 さ れ る.uに 選 ぶ と 

で あ る の で,峠

つ いて の積分 の経路 は 道 はy軸

に平行 にな

分 にな るので

(7.25) が 得 られ る.た だ し

(7.26)

を使 った.(7.25)は Uと

す べ て の 量 子 数 に対 す る状 態 密 度(state density)で,Aと

に対 す る依 存 性 は ゆ るや か で あ る.こ の 状 態 密 度 は 広 範 囲 のUとAに

い て 平 均 した もの で,等

つ

間 隔 な 独 立 粒 子 スペ ク トル に対 応 す る こ と はg′(ε)を

無 視 し た こ とか ら も明 らか で あ る.し たが って 核 の 殻構 造 な ど の 特 性 は 含 ん で い な い.   こ こで 少 し熱 力 学 に触 れ て お こ う.熱 力 学 的 温 度 は(7.20)よ

り

(7.27) と な る.一

方,熱

力 学 的 エ ン トロ ピ ー は

(7.28) で 求 め られ,温

度 とは次 の 関 係

(7.29) に よ り結 ば れ て い る.(7.27)は

小 さな項 を無 視 すれ ば 上 の 温 度 に一 致 す る こ と

は 明 らか で あ る.   こ の状 態 密 度 の 式 は 中性 子 と陽 子 の 区 別 もな い し,角 運 動 量 な ど の 量 子 数 も 考 慮 し て い な い.こ れ らの 影 響 を取 り入 れ る に は 分 配 関 数 を計 算 す る と き 中性 子 数,陽 子 数,角 運 動 量 のz成 分 も指 定 し な け れ ば な ら ない.中 性 子 と陽 子 と の 区 別 の 影 響 は 小 さ くな いが,取

扱 い は 同 じ な の で,ほ か の 本 に譲 る こ とに し

て,角 運 動 量 の 場 合 を 次 に 示 す[2].

(7.30) こ こでIrigは 核 を 剛体 と考 え た と きの慣 性 能率 で,核 子 の 角 運 動 量 のz成 分m の2乗

の 平 均 値 か らFermiガ

ス模 型 を使 い

(7.31) の よ う に 計 算 さ れ る.

  式(7.30)の え な いが,エ

状 態 密 度 は 

の極限では発散す るので使

ネルギ ー依 存 性 は主 に指 数 部 か ら くるの で,そ れ 以外 は定 数 と した

(7.32) で 状 態 密 度 の エ ネ ル ギ ー 依 存 性 が 示 され る.(7.30)に

よれ ば

(7.33) で あ る.Fermiガ

ス模 型 を とれ ば 

と な り(7.1.1項 参 照),

また 調 和 振 動 子 ポ テ ン シ ャル を用 い れ ば 

とな る.こ れ らの

値 は 遅 い 中 性 子 の 共 鳴 の 間 隔 か ら得 た  乱 か ら の値 

や中性子の非 弾性散

と比 較 され る[2].

  以 上 の 状 態 密 度 の 計 算 に はFermiガ

ス 模 型 に基 づ き核 構 造 の 影 響 は 入 って い

な い.こ の 中 には 対 相 関(pairing),振

動 状 態 や核 変 形 な どが あ るが,対

よ りN,Zが

相関 に

偶 数 か 奇 数 に よ り状 態 密 度 が 変 わ っ て くる.偶 偶 核 で は 基 底 状 態

の 核 を励 起 させ る に は核 子 対 を壊 さ な け れ ば な ら な い の で 余 分 の エ ネ ル ギ ーが 必 要 とな る.こ の 影 響 を入 れ る た め,励

起 エ ネ ル ギ ー がΔ だ けず れ た と考 え

る.こ の よ うな 影 響 を 入れ た 核 デ ー タの 解 析 で よ く用 い られ る状 態 密 度 を 次 に 示 す[5].

(7.34) こ こ で 温 度tはLang-Le

Couteur

[6]に 従 い

(7.35) と と り,ス

ピ ン ・カ ッ ト オ フ

を1.25A1/3fmと

・パ ラ メ タ ー(spin

cut-off

parameter)は

核 半 径

す る と,

(7.36) と な る.こ な い.上

れ ら の 式(7.34),(7.35)の の 式 でa,Δ

導 出 は 本 節 で 述 べ た よ うな 簡 明 な もの で は

は い ま 考 慮 に 入 れ て い な い い ろ い ろ の 影 響 を 入 れ る た め,

現 象 論 的 パ ラ メ タ ー と 考 え る.aを40
低 エネルギーの実験 デ ー

図7.1 

タ,低

現 象 論 的 に 決 め た パ ラ メ ターaの

値 を 質 量 数Aで

プ ロ ッ トした[5]

エ ネ ル ギ ー の 中 性 子 の 散 乱 実 験 に 合 う よ う に 選 ぶ と,図7.1の

る[5].そ

の と き のΔ

よ うに な

の値 は

(7.37)

と し た.上

の2つ

の 場 合 は 対 エ ネ ル ギ ー か ら 求 め た.Δ

奇 偶 性 に は ほ と ん ど よ ら な い が,A=90,140,208に

補 正 後 のaの

値は核の

谷 が 見 ら れ る.こ

れ らは

 に 対 応 す る.最 核 デ ー タ と の 比 較 に つ い て は[7]を

近の

見 よ.

  7.1.1  一 粒 子 の 準 位 密 度   古 典 論 に よ り一 粒 子 の 準 位 密 度 を 考 え る.ス ピ ン ・ア イ ソ ス ピ ン は 考 え な い の で,中

性 子 か 陽 子 の 場 合 に は こ こ で 得 られ た 式 は2倍

し な け れ ば な ら な い.

軌 道 角 運 動 量 をlと した と きエ ネ ルギ ー εまで の準 位 の 数 は,(6.226)よ

り

(7.38) で 与 え ら れ る.kl(r)はE=ε,角 の π 倍 は 作 用 積 分 で あ る.kl(r)は 

運 動 量lに

対 す る 局 所 波 数(6.221)で,n(ε,l) で 正 で,両

端 で0に

な る とす

る.(7.38)の

エ ネ ル ギ ー 微 分 は 準 位 密 度 で,

(7.39) 散 乱 の 場 合 に は こ の 積 分 が 時 間の 遅 れ に 関係 して くる.角 運 動 につ い て の 和 を と る と,一 粒 子 の 状 態 密 度 が え られ る.

(7.40) こ こ でx=(l+1/2)2,g(ε,x)の

が 正 の 値 を と る 上 限 のxをxmaxと

す る と,積

分 は容 易 にで き

(7.41) と な る.こ

こで

(7.42) この 状 態 密 度 を εで 積 分 す る と,エ ネ ル ギ ー ε まで の す べ て の 一 粒 子 状 態 数が 求 め られ る.

(7.43) 図7.2に

エ ネ ル ギ ー ε ま で の 独 立 粒 子 状 態 数 を 古 典 近 似(7.43)で

と 量 子 力 学 に よ る も の と 比 較 し た.量 典 近 似 と よ く一 致 し,古

計 算 し た結 果

子 力 学 の 計 算 結 果 のエ ネ ル ギ ー平 均 は古

典 状 態 密 度 の エ ネ ル ギ ー 依 存 性 は 極 め て 弱 い こ とが わ

か る.   こ こ で 得 ら れ た 古 典 論 の 式 をFermiガ r0A1/3の

球 に 閉 じ 込 め ら れ, 

Rで,kはrに Fermi波

ス に 応 用 し て み る.核 と す る.す

よ ら な い.(7.43)よ 数 

りA=(8/9π)k3FR3と さ ら にFermiエ

と な る.(7.41)よ

りFermiエ

を 得 る が,εFを

子 は 半 径R= る と,rmax= な る.こ

れか ら

ネ ル ギ ー 

ネ ル ギ ー に お け る 状 態 密 度  使 っ てg(εF)=(3/2)(A/εF)と

な る.

こ れ ら の 結 果 は 当 然 な が ら 球 の 代 わ り に 立 方 体 を 使 っ た 計 算 と 一 致 す る([2]). r0=1.1fmと

す る と, 

と な る.

図7.2  独 立 粒 子 状 態 密 度 関 数 に よ るエ ネル ギ ー ε まで の状 態 数 208Pbの 中 性 子 に対 す る ポ テ ン シ ャル をWoods-Saxon型 と して , パ ラ メ タ ーは[2]よ り採 った.滑 らか な カー ブ は(7.43)よ り計 算 し, 階 段状 の も の は 量子 力 学 の 計 算 結 果.点 状 態密 度で 単 位 はMeV-1.い

線 は(7.41)に

よ り計 算 した

ず れ もス ピ ンを 考 慮 に 入 れ2倍

し た.

7.2  共 鳴 準位 の統 計 的性 質 とラ ン ダ ム行 列

 1950年 頃 か ら遅 い 中性 子 の 共 鳴 の デ ー タが 集 積 され,Breit-Wignerの 公 式 で 解 析 され,そ の 統 計 的性 質 もわ か って きた[8,9].遅 主 にs波 で あ る か ら,標 的核 の ス ピ ンが0な

共鳴

い中性子 の共鳴 は

ら,複 合 核 の ス ピ ン は1/2で

あ る.

共 鳴準 位 は 殻 模 型 の複 雑 な 励 起 状 態 に 対 応 す る 束 縛 状 態 で あ るか ら,そ の 固有 値 は ラ ン ダ ム に 分 布 して い る と考 え られ る.そ の と きは,準 位 間 隔 の 分 布 は0 次 のPoisson分

布

(7.44) と な る.こ

こ でxは

こ のPoisson分

準 位 間 隔sを

平 均 準 位 間 隔d=〈s〉

布 は 次 の よ う に し て 導 く.x=0に

ま で に な い 確 率 をp0(x)と

す る.0とx+Δxの

で 割 っ た も の で あ る.

準 位 が あ り,次

の 準 位 がx

間 に準 位 の ない 確 率 は

(7.45)

で あ る.xの はΔxで

単 位 区 間 内 に 準 位 は平 均1個

あ るか ら,Δxに

あ る の で,Δxに

準 位 の な い確 立 は1-Δxと

準 位 の 現 れ る確 率

な る.(7.45)よ

り微 分

方程 式

(7.46) が 得 られ,そ

の解は

(7.47) で 求 め る.準 位 間 隔 の 分 布 は

(7.48) と な る.   実 験 デ ー タ を 整 理 し て 同 じ ス ピ ン ・パ リ テ ィ の 共 鳴 の 準 位 の 間 隔 を プ ロ ッ ト し て み る と,そ

の 分 布 はPoisson型

と は な ら ず,x=0に

に な る よ う な 分 布 で あ る こ と が わ か っ た.こ な 推 測 を 行 っ た.同 率 は0で

あ る と,そ

と な る の で,二

の2次

あ る 確 率 はsに

E1-E2とy=2H12を で あ る か ら,xとyと

次 の よう

つ の 準 位E1,E2間

な る確

に相 互 作 用 の 行

の 永 年 方 程 式 の 二 つ の根 は

つ の エ ネ ル ギ ー の 間 隔sは

小 さ い と き 間 隔 がsで

れ に 対 しWigner[10]は

じ ス ピ ン ・パ リ テ ィの 準 位 は 互 い に 退 け 合 っ て,重

あ る こ と は よ く知 ら れ て い る.二

列 要 素H12が

近 づ く と 減 少 し て0

 

と な る.sが

比 例 す る こ と は 次 の 考 察 か ら わ か る.x=

座 標 と す る 点 を 極 座 標 でs,θ

と 表 す とdxdy=sdsdθ

の 分 布 が 一 様 で あ れ ば 間 隔 がsで

あ る 確 率 はsで

あ る.

す る と(7.46)は

(7.49) と な り,解

は

(7.50) と 求 ま る.間

隔 がxで

あ る 確 率 は(7.48)に

ならい

(7.51) とな る.こ れ がWignerの

最 近 接 準位 間 隔 分 布 とい われ る もの で,実 験 値 と非

常 に よ く合 う こ とが わか っ て い る.

 

 

Wignerは

さ ら に 現 在GOEと

る だ ろ う と 示 唆 し た.ハ と す る と,そ

呼 ば れ て い る 分 布 関 数 か ら 上 の 結 果 が 得 られ

ミル トニ ア ン は エ ル ミ ー トで 回 転 不 変,時

の 行 列 要 素 は 実 数 で 対 称 で あ る.こ

さ ら に 次 の 仮 定 を 置 く.Bohr-Mottelson[2]に

間 反転 不 変

れ は ラ ン ダ ム 変 数 で あ る と し, 従 っ て2次

元 の 場 合 を例 と して

考 え, (ⅰ)行 列 要 素H11,H22,H12の

分 布 関 数 は 互 い に 相 関 は な く,独 立 で あ る.

(7.52)  (ⅱ)上 の 分 布P(H)は

基 底 のユ ニ タ リー 変 換 に 対 し て不 変 で あ る.

この 仮 定 をす る と,

(7.53) と な る.す Gauss直

な わ ちGauss分

布 で こ れ をGOE(Gaussian

交 集 団)と い う.一

般 のN次

orthogonal

ensemble,

元の場 合は

(7.54) と な る.   再 び2次

元 に 戻 る と,2×2の

実 対 称 行 列 は 簡 単 に 対 角 化 す る こ とが で き る.

基 底￨1〉,￨2〉 を 角 度 θ だ け 回 転 し た も の を￨α 〉,￨β〉と す る と,

(7.55) (7.56) 対 角 化 され た エ ネ ル ギ ー をEα,Eβ H211+H222+2H212を Eα,Eβ,θ

使 っ てEα

へ の 変 数 変 換 のJacobi行

とす る と,式(7.52)の とEβ

で 表 せ る.残

指 数 部 はE2α+E2β= り はH11,H22,H12か

列 式 を 計 算 し て,(7.52)は

ら

新 しい表示では

(7.57)

と な る.こ

こ でEα-Eβ=sと

し,θ

に つ い て 積 分 す る と,

(7.58) を 得 る.   一 般 の 場 合 の 最 近 接 準 位 間 隔 分 布 の 計 算 は そ れ ほ ど 簡 単 で は な い が,そ 果 はN→∞

の 極 限 で はWigner分

接 準 位 間 隔 分 布 の 実 験 デ ー タ は 主 に 低 い エ ネ ル ギ ー のs波 鳴 準 位 か ら 集 め ら れ る が,同

じ ス ピ ン だ け を 選 び,し

近

の 中性 子 の散 乱 の 共

か も極 め て 小 さ い 準 位 間

隔 も 落 と さ な い よ う に し な け れ ば な ら な い.Bohigasら[11]は デ ー タ を 集 め て,Wigner分

の結

布 と 驚 く ほ ど よ く 一 致 し て い る[9].最

布 と 比 較 し た と こ ろ,図7.3に

こ の よ うに して 示 す よ う に,非

常

に よ く 一 致 す る こ と が わ か っ た.   準 位 間 隔 分 布 に 加 え て ス ペ ク トル の ゆ ら ぎ に 関 す る 重 要 な 量 と し てDysonMehtaの

ス ペ ク ト ル の 剛 性(spectral

rigidity)が

あ る[9].そ

れは

(7.59) で 定 義 され て い る.こ

こでN(ε)は

エ ネ ル ギ ー が εまで の 状 態 の 数 で,エ

ネル

ギ ー の 関 数 と して 階段 状 を して い る.こ の エ ネ ル ギ ー平 均 は状 態 密 度 の エ ネ ル ギ ー 積 分 を ε まで 行 っ た もの で あ る.こ の エ ネル ギ ー の 関 数N(ε)を

図7.3 

最 近 接 準 位 間 隔 分 布[11]

ヒ ス トグ ラ ム は 多 くの 核 の 準位 か ら適 当な 補 正 を して 集 め た1726の 準 位 間 隔 の 分 布 で,実 す.横

線 はGOEに

軸 の 単位 は 平均 準位 間 隔.

よ る もの と,Poisson分

布を示

区 間Lに

図7.4 

スペ ク トル の 剛 性 を間 隔Lで Lは

プ ロ ッ トした[12]

平 均 準 位 間 隔 を単 位 と した.

お い て,直 線 で 近 似 した と き の最 小 二 乗 法 で 計 算 し たず れ を 区 間 の 位 置xで 均 し た もの で あ る.こ れ はGOEで

平

与 え られ た 準 位 の 場 合 と ま った くラ ンダ ム

なPoissonの

場 合 とで 計 算 値 が 異 な り,実 験値 はGOEに

が,図7.4に

示 され て い る.こ れ らの 統 計 量 は 系 の 対 称 性 に よ って 異 な った 値

を持 つ.図7.4に

はGUEの

値 も示 され て い る(7.7節 参 照).

  共 鳴準 位 の統 計 的性 質 には 今 まで 述 べ た もの 以外 に,共 るが,こ

よ く合 っ て い る こ と

れ はPorter-Thomas分

鳴 幅 の分 布 関 数 が あ

布[13]と 呼 ば れ,次 のχ2分 布

(7.60) の 自由 度ν=1に

対 応 す る 

こ の 分 布 はGOEか

ら容 易 に 導 くこ とが で き,ま た低 エ ネル ギ ー 中性 子 幅 の 実 験 デ ー タは この 分 布 に よ く合 う こ とが 知 られ て い る.エ ネ ルギ ーが 少 し高 くな る と 共 鳴 幅 やγ 幅 は 多 くの チ ャ ネル か ら の寄 与 の 和 と な る.も

しν 個 の 寄 与 が 同 じ大 き さで あ る と

す る と,そ の和 の 分 布 関 数 は ち ょ うど(7.60)で 1/ν とな る.

与 え られ る.す な わ ち ゆ らぎ は

7.3  準 位 密 度:相

互 作 用 の あ る場 合

  前 節 の 状 態 密 度 の 計 算 に は 残 留 相 互 作 用 の 影 響 が 入 っ て い な い が,本 節 で は 相 互 作 用 を考 え る.し か し独 立 粒 子 の 準 位 は 縮 退 し相 互 作 用 の 行 列 要 素 は ラ ン ダ ム変 数 でGauss分

布 を し て い る と仮 定 す る.こ の 条 件 の も とで は7.2節 に 示

した よ うに 準 位 間 隔分 布 はWigner型

に な り,準 位 密 度 は半 円 形 に な る こ とは

知 られ て い る.こ の 半 円形 の 分 布 は 実 験 デ ー タ と比 較 で きる よ うな 現 実 的 な も の で な い こ と は明 らか で あ る.こ こで は 後 で使 う必 要上,母 関 数 とGrassmann 積 分 を使 う超 対 称 の 方 法 を述 べ る[15, 16].す な わ ち簡 単 な場 合 を例 に と り新 し い 計 算 法 を説 明 し,い ろ い ろ な概 念 を導 入 す る.し か し本 節 な らび に7.5節

の

証 明 の 部 分 を飛 ば して読 ん で もそ れ 以 降 の理 解 には 支 障 は な い.最 後 にWigner 自身 に よる 準 位 密 度 の 導 出 を簡 単 に 紹 介 す る.   まず 準 位 密 度 は ス ピ ン ・パ リテ ィを 指 定 し

(7.61) と書 く.こ れ は δ関 数 の 集 ま りで あ る.前 の 取 扱 い で は,近 似 を使 った た め 自 然 に 滑 らか に な っ たが,今 (7.54)を 掛 け てHの る.直 接(7.61)に

度 は 平 均 を しな け れ ば な ら な い.GOEの

分布 関数

行 列 要 素 に つ い て 積 分 す る とア ンサ ン ブ ル 平 均 が な され つ い て 平 均 を行 う の は 難 し い の で,母

関数

(7.62) を導 入 す るが,そ

の 中 に は状 態 μ の 数Nだ

け の積 分

(7.63) が 含 まれ る.エ ネ ル ギ ー分 母 の 行 列 要 素 は

(7.64) で 与 え ら れ る.φ μ に つ い て の 積 分 はGauss積 証 す る た め の も の で あ る.(7.64)のHμν 数 δは 収 束 因 子 の 役 目 を は た す.Jは

分 で,虚

数iは

積 分 の 収 束 を保

の 符 号 は 正 と は 限 ら な い の で,正 ソ ー ス 関 数 で,(7.61)に

現 れ るGreen関

の

数 を 生 成 す る.Gauss積

分 を実 行 す る と

(7.65) と な る.多

次 元Gauss積

分の公式

(7.66) を 使 っ た が,こ

れ は よ く知 られ たGauss積

分(Aが

純 虚 数 の と き はFresnel積

分 と し て 知 ら れ て い る)

(7.67) の 拡 張 で,実

数 対 称 行 列Aを

対 角 化 す る こ と に よ り容 易 に証 明 で きる.次

の

公式

(7.68) も役 に立 つ 公 式 で,同

じ く行 列 を対 角 化 す る こ とに よ り証 明で きる.こ れ ら の

関 係 を使 う と容 易 にGreen関

数 が 計 算 で きる.

(7.69)   平 均 準 位 密 度 を 計 算 す る に はlnZの ら な い が,こ

れ は 簡 単 で は な い.一

て い る レ プ リ カ ・ ト リ ッ ク(replica

ア ンサ ンブ ル 平 均 を 計 算 し な け れ ば な つ の 方 法 は ス ピ ン ・グ ラ ス の 研 究 に 使 わ れ trick)で,Znの

解 析 的 な 計 算 が 可 能 な ら,

 よ り求 め る こ と が で き る が,適 [14].も

う 一 つ の 方 法 はGrassmann積

ま ず 初 め にGrassmann数 変 わ る,す

用 に一 般 性 を欠 く

分 を 使 う超 対 称 の 方 法 で あ る[15,

は 普 通 の 数 と 同 じ だ が,積

16].

の順 序 を 変 え る と符号 が

な わ ち 反可 換

(7.70) と い う性 質 を持 つ とす る.次 にXに

共 役 な 数 をX*に

よ り定 義 し,2回

共役 を

と る と符 号 が 変 わ る とす る.

(7.71)

下 の 添 え 字iは ベ ク トル の 成 分 を示 す もの と し た.次

に超 ベ ク トル を可 換 な 成

分 と反 可 換 な 成 分 を もつ ベ ク トル

(7.72) に よ り定 義 す る.ψ μα は α=1,2,3,4に 

が 対 応 す る.超

行 列は

(7.73) で 定 義 し,小 行 列aとbの

成 分 は 可換 で σ と ρと の成 分 は 反 可 換 で あ る.超

ト

レースは

(7.74) で 与 え られ,超

行 列式は

(7.75) で 定 義 され る.(こ

こ でgを

を 意 味 す る.)Grassmann積

つ け た の はgradedの

意 味 で,超superと

同じこと

分は

(7.76) (7.77) で 定 義 す る.(7.77)の   (7.62)の

定 数 は ど ん な 数 で も よ い が,こ

積 分 の 値 がJ=0で

常 に1に

の よ うに と る と便 利 で あ る.

な る よ う に す る た め,(7.62)に

現れた

普 通 の 可 換 な 変 数 に つ い て の積 分

(7.78) に反 可 換 の 変 数 に つ い て の積 分

(7.79) を加 え る.超 行 列M

(7.80)

に 対 し次 の 関係 は 容 易 に 証 明 で きる;

(7.81) こ こ で(7.72)に

対 応 し

(7.82) と 書 く こ と に す る.   母 関 数(7.62)の

積 分 をGrassmann積

分 に 改 め る;

(7.83) (7.64)を

拡張 し

(7.84) と し,ソ

ー ス関数は

(7.85) で 定 義 す る.ま た

(7.86) は(7.81)よ

り 明 ら か で あ る.し

た が っ てGreen関

数 は

(7.87) に よ り計 算 で き る.   母 関 数(7.83)に

ラ ン ダ ム変 数Hμν の分 布 関 数(7.54)を

掛 けて積分 する と

(7.88) と な る.λ

は

(7.89)

に よ りハ ミル トニ ア ンHの2次 は 規 格 化 定 数 で あ る.す

モ ー メ ン トの 大 き さ を 表 す パ ラ メ ター で,C

る とラ ンダ ム 変 数 の 積 分 は で きて

(7.90) と な る.行 列Aは

(7.91) で 定 義 され て い る.(7.90)の

ψ に つ い て の 積 分 は 指 数 部 に そ の4乗

る ので,簡 単 に は で きな い の でHubbard-Stratonovitch変 ψ の2乗

の項が あ

換 を使 って,A2を

の 積 分 と し て 表 す.そ の た め 積 分 変 数 σ を 導 入 す る.こ の 方 法 は 二

体 の相 互 作 用 を一 種 の平 均 場 σ を導 入 して,一 体 の 相 互 作 用 で 表 す ト リ ッ クで Monte

Carlo大 規 模 殻 模 型 の 計 算 な ど広 く使 わ れ て い るが,そ

あ る.σ は4×4の

超 行 列 で,そ の 添 え字 はAと

の 一例 は[17]で

同 じ く αβ で あ る.す る と次

の 関係 式

(7.92) は 容 易 に 証 明 で きる.こ

の積 分 変 数 を 

だ け ず ら して も変 わ らな い こ と

から

(7.93) が 導 か れ る.こ

れ を 利 用 し て(7.90)か

らA2を

消 す と,ψ

に つ い て の積 分 は 直

ち に で き て,

(7.94) とな り,最 後 の σ に つ い て の積 分 は鞍 点 法 で 行 う.(7.94)の

指 数 部 のJを0と

し て,σ の 停 留 値 の 方 程 式 を求 め る と

(7.95) と な るが,こ

れ を 解 く と,

(7.96)

を 得 る.σ

の 積 分 は 指 数 部 を σ0Dを 中 心 と し,2次

に よ りZ(E,0)=1と

ま で の 展 開 を 行 う が,(7.81)

な る.(7.94)は

(7.97) と な り,準

位 密 度 は(7.61),

(7.87)よ

り

(7.98) で 与 え ら れ る.こ

れ は(7.96)に

す こ と が わ か る.1個 でN→

よ りE=0を

中 心 と し,半

の 準 位 当 り の 準 位 密 度 は 

∞ の 極 限 を と っ て も 変 わ ら な い が,こ

径 が2λ の 半 円 を 表 と な り,Nに

れ は(7.89)の

は独立

パ ラ メ ター の と

り方 の た め で あ る.   以 上 の 計 算 の 準 備 は 長 か っ た が,一 で も あ っ た.こ

つ に は 超 対 称 の 方 法 を 紹 介 す る た め の もの

の 半 円 の 準 位 密 度 はWignerに

以 下 そ の 計 算 の 大 筋 を 書 く と,ま

よ り 初 め て 求 め ら れ た[18,

ず 状 態 密 度 のFourier変

19].

換 を 考 え て,

(7.99) Hの

固 有 値 をEα

と 書 き,準

位 密 度(7.61)に

よ り,

(7.100) と な る.tr(Hn)のGOEに

よ る 平 均 はN→

∞の 極 限 で

(7.101) で あ る こ と をWignerは よ り 

示 し た.こ

の 証 明 は 長 い の で[18,

19]参 照 の こ と.(7.89)

で あ る か ら,

(7.102) が 求 ま る.Bessel関

数 の べ き 展 開,

(7.103)

と積 分表示

(7.104) を 組 み 合 わせ,

(7.105) z=2tλ

で,積

分 変 数 を 

に よ りEに

変え ると

(7.106) とな り,さ らに(7.99)と   この 最 後 の2節 べ た.そ

比 較 し,半

で はGOEを

円 の準 位 密 度(7.98)を

得 る.

使 っ て ス ペ ク トル の 統 計 的 性 質 と準 位 密 度 を調

して 前 者 で は 実験 と よ く合 う結 果 が 得 られ たが,後

か った.そ

者で はそ うならな

の 理 由 は あ ま りに簡 単 な 仮 定 に よる もの と思 われ る.(一 つ は 縮 退 し

た 独 立 粒 子 エ ネ ルギ ー ・ス ペ ク トル で,も

う一 つ はGOEで

あ る.)GOEは

果

た して 現 実 的 な残 留 相 互 作 用 に対 応 す るか を 考 え て み よ う.原 子 核 内 の 核 子 間 に 働 く核 力 は 二 体 力 が 主 で,弱 る.と

こ ろが,GOEに

い 三体 力 が 含 まれ て い る こ とが よ く知 られ て い

対 応 す る核 力 は 一 体 力 か ら核 子 数 をNと

力 まで が 含 まれ て い る.現 実 的 残 留 相 互 作 用 を使 う と多 くの0の れ る.も

す る と,N体 行列要素が 現

し ラ ン ダ ム な 二 体 力 を使 った ら ど の よ うな 結 果 に な るか は,以 前 か ら

調 べ られ て お り[19],最 近接 準 位 間 隔分 布 はGOEと 準 位 密 度 分 布 はWignerの

半 円で は な くGauss分

この よ う な制 限 の あ るGOEはEGOE

(embedded

同 じWigner型

で あ るが,

布 に な る こ とが わか って い る. GOE)と

呼 ば れ,最 近 の研

究 も盛 ん で あ る[20, 21].   GOEよ

りも現 実 的 な 核 力 を 使 っ た状 態 密 度 の 計 算 は い くつ か 行 わ れ て い る

が([22]と そ この 引用 文 献),殻 模 型 に 二 体 の 相 互 作 用 を入 れ た系 で 分 配 関 数 を Monte

Carlo法 で 計 算 して,そ れ か ら状 態 密 度 を 求 め て い る.7.1節

で 述 べ た ペ ア リ ング や ほ か の 影 響 を取 り込 む こ とが で き る.

の終 わ り

7.4  複 合核 反 応 の統 計 理 論:現 象論

  7.4.1  終 状 態 が 離 散 状 態 の 場 合   前 章 で は 個 々 の 共 鳴 準 位 に対 す る 複 合 核 反 応 の分 散 公 式 を導 い た.し か し少 し入 射 エ ネ ル ギ ーが 高 くな る と準 位 間 隔が 準 位 幅 よ り狭 くな り多 くの準 位 が 励 起 され る の で,こ れ ら を統 計 的 に取 り扱 う必 要 が あ る.こ の 節 で は現 象論 的 な 方 法 を述 べ る[1].初 め は直 接 相 互 作 用 は な い と仮 定 す る の で,透 過行 列 は 対 角 な 透 過 係 数Tcと

な る.Bohrの

複 合 核 模 型 に よる と,二 つ の 粒 子 が 衝 突 す る と

複 合 核 と呼 ぶ 長 い 寿 命 を もつ 状 態 が 作 られ る.こ の 複 合 核 は ど の よ うな 過程 で 生 成 され たか とい う記 憶 は 忘 れ,一 定 の確 率 で粒 子 ま た は 放 射 線 を放 出 して 崩 壊 す る.多

くの 準 位 が 同 時 に 励 起 され る とそ れ らの 寄 与 の 位 相 は 乱 雑 で,干

渉

項 は 消 え る.ま た 各 部 分 波 の 寄 与 も同 じ理 由 で 干 渉 し な い.こ の よ うな仮 定 の も とでWolfenstein

[23]とHauser-Feshbach

式 を 求 め た.こ れ がHauser-Feshbach理

[24]は 断 面 積 や 角 分 布 を計 算 す る 論 と よば れ て い る.統 計 理論 で 求 め ら

れ る の は ゆ らぎ の 断 面 積(6.111)

(7.107) で あ る.複 合 核 形 成 の 断 面 積 は 透 過 係 数Tと(6.115)に

より

(7.108) で 与 え ら れ る.こ 積 は(7.108)に

の 複 合 核 が 崩 壊 し て チ ャ ネ ル α's'l'に 粒 子 が 放 出 さ れ る 断 面

崩 壊 確 率Gα's'を

掛 け れ ば よ い.こ

対 し て 成 り立 つ か ら,(7.107)と(7.108)を

れ は(7.107)の

各Jの

項 に

比 較 し て,

(7.109) 一方

, 

で あ る か ら(7.107)に

よ り

(7.110) よ って

(7.111)

こ れ が(7.109)の

各Jll'の

項 に 対 し て 成 り立 つ か ら

(7.112) は チ ャ ネ ル に よ ら な い.GJαsは

確 率 だ か ら, 

ゆ え に,

(7.113) が 求 め られ る.し

た が っ てaよ

りa'へ

崩 壊 す る確 率 は

(7.114) と な る.た

だ しa, a', cは す べ て 共 通 のJπ を もつ とす る.角 分 布 の 計 算 は(6.107)

に お い てS-1をSflで

置 き換 え れ ば よ い.Hauser-Feshbachの

て の 干 渉 項 は な い の で, 

公 式 で はす べ

と 置 く.す

る と

(7.115) が 求 ま る.上

の 式 はCG係

数(l'0L0￨l'0)を

含 む の で,Lは

偶 数 に 限 ら れ,角

分

布 は90° 対 称 に な る.   い まHauser-Feshbachの

公 式 は 詳 細 釣 合 の 原 理 か ら 求 め た が,S行

ら 直 接 求 め る こ とが で き る.こ

の た め に はKawai-Kerman-McVoy

列 が 便 利 な の で(6.105)を

使 用 す る.6.5節

7.6節

ゆ ら ぎ に 使 う た め 二 つ のS行

に 述 べ るEricsonの

て お く.す

列の式か [25]のS行

で 述 べ た 時 間 に 依 存 す る定 式 化 と 列 の エ ネ ル ギー を 違 え

る と

(7.116) が 得 られ る.λ ≠ μ の 項 は 共 鳴 振 幅 γの 符 号 が 乱 雑 なた め λ=μ か らの 寄 与 に 較 べ て小 さ く,無 視 で き る とす る.エ ネ ルギ ー平 均 はΔEの 7.5に 示 す よ うな複 素 平 面 で の 積 分 を考 え る と,Iを

範 囲 で 行 うが,図

十 分 大 き く とる と,虚 数 部

図7.5 

がiIで

エ ネル ギ ー平 均 の た め の複 素 平 面 で の 積 分路 ×はS*の 極 を 示 す.

あ る 実 軸 に 平 行 な線 分 か らの 寄 与 は 小 さ く,ま た虚 軸 に平 行 な2辺 か ら

の 寄 与 は よい 近 似 で打 ち消 され る.留 数 の 計 算 よ り

(7.117) を 得 る.準

位 密 度 ρλ を使 っ て(7.117)は

(7.118) と な る.〈〉 し て〈〉

は 共 鳴 状 態Eλ

の 外 に 出 す(7.2節

に つ い て の 平 均 で あ る.Γ λ の ゆ ら ぎ は 小 さ い と 参 照).γ

λ ａとγλbは独 立 で 相 関 が な い と す る と

(7.119) と な り,透

過 係 数 を 強 度 関 数 で 表 し た 式(6.127)を

合Hauser-Feshbachの

公 式(7.114)が

近 似 的 に 使 う と ε=0の

得 ら れ る.し

場

か しγλaは ラ ン ダ ム 変 数

で,GOEに

従 っ て 分 布 し て い る(こ の 仮 定 は7.5節

で 述 べ る理 論 で は採 用 され

な い)と

す る と 異 な っ た 結 果 が 得 ら れ る.Γ λρλ≪1の

場 合 に はγ λaは ほ と ん

ど 実 数 と 考 え ら れ*1,

(7.120) が 成 り立 つ の で,弾

性 散 乱 で は ゆ ら ぎ の 断 面 積 はHauser-Feshbachの

倍 に な る.Γ λρλ≫1の え ら れ る.Re(γ

場 合,γ λaは 複 素 数 で 

λa)とIm(γ

λa)が 互 い に 独 立 にGOEに

公 式 の3 と考

従 っ て分 布 す る と

(7.121) *1 

xがGauss分

布 し て い る と き〈x2〉=a2な

ら ば〈x4〉=3a4で

あ る

.

が 成 り 立 つ こ と は 容 易 に 証 明 さ れ る.こ

の 場 合2倍

に な る.Hauser-Feshbach

の 理 論 は 多 く の 実 験 デ ー タ の 解 析 に 応 用 さ れ て 成 功 を 収 め て い る.し

か し こ

の 理 論 は 常 に 正 し い 結 果 を 与 え る か ど うか は1970年

代 の 問 題[26]で

1980年

れ に つ い て は7.6節

べ る.後

代 に な っ て ラ ン ダ ム 行 列 理 論 で 解 決 さ れ た.こ の 便 宜 上Γ λρλ≫1の

たHauser-Feshbachの

場 合,(7.114),

(7.118)に

あ っ て,

補 正(7.121)を

で述 入れ

公 式 を 書 い て お く.

(7.122)   7.4.2  終 状 態 が 連 続 状 態 の 場 合  入 射 エ ネ ル ギ ーが よ り高 くな る と,残 留 核 の励 起 エ ネ ルギ ー も高 くな り,個 々 の準 位 に つ い て 断 面 積 を計 算 し て も無 意 義 とな る.こ の と きは 終 状 態 につ い て も統 計 的 に 取 り扱 い,終 状 態 の エ ネ ル ギ ー εβ に つ き平 均 を す る.複 合 核 の エ ネ ル ギ ー をEbと

した と き εβ と放 出 粒 子 の エ ネ ル ギ ーeβ の 間 に は 関係

(7.123) が あ る.Bは

放 出 粒 子 の 結 合 エ ネ ル ギ ー,εmaxはeβ

ル ギ ー 値 で あ る.す

る と 透 過 係 数Tb(eβ)は

あ る い は εβ の 最 大 の エ ネ

εβ の 連 続 関 数 と な り,β で εβ=ε

を 満 た す 和 を と る と き に は 準 位 密 度 ρβ(ε β)を 掛 け て 積 分 し

(7.124) と な る.  こ の 場 合 の 角 分 布 は(7.115)に(7.122)で 態 の 準 位 密 度 

を か け てI'に

与 え ら れ る 

を 代 入 し,終

状

つ き和 を と れ ば,

(7.125)

で,(7.115)と

同 じ く90° 対 称 で あ る.次 に 特 別 な 仮 定 の も とで,こ

の 角分 布 は等

方 に な る こ と を 示 そ う.ま ず(ⅰ)残 留 核 の 準 位 密 度 の 角 運 動 量 依 存 性 が(2I'1+1) に 比 例 す る と す る.こ

れ は(7.30)に

お い てIrigが

に(ⅱ)TJαslが チ ャ ネ ル ・ス ピ ンsとJに 解 析 で 仮 定 し て い る.す 粒 子 の ス ピ ンI'2と

大 き い 極 限 と考 え ら れ る.次

依 存 し な い と す る.こ

る と チ ャ ネ ル ・ス ピ ンs'は

の ベ ク ト ル 和 で あ る か ら,s'とI'2を

れ は現 象 論 的 な

残 留 核 の ス ピ ンI'1と 放 出 固 定 す る と,

(7.126)

で,(7.125)のClebsch-Gordan係

数 と組 み 合 わ せ

(7.127) と な り,m'に

依 存 しな くな る の で

(7.128) よ り角 分 布 は 等 方 とな る.

 立体角 で積分 した断面積 は

(7.129) と な る.さ

ら に仮 定(ⅱ)を 使 い 透 過 係 数 をTαlと 書 くと,Jの

和 が で きて

(7.130)

と な る.こ

こ で 吸 収 断 面 積(7.108)を

使 って

(7.131) と吸 収 の 断 面 積 で 書 くこ とが で きる.こ れ ら の結 果 は 現 象 論 的 解 析 に よ く用 い られ るが,二

つ の 仮 定(ⅰ),(ⅱ)に基 づ くこ と を忘 れ て は な らな い.

 吸 収 の 断 面 積 は 簡 単 な古 典 模 型 で 大 体 の 大 き さ を推 定 す る こ とが で きる.透 過 係 数 は 入 射 粒 子 が 核 半 径Rの

標 的核 に 当 た れ ば1,そ

る.中 性 子 の 場 合 は 衝 突 径 数 をbと す る と,b
うで な け れ ば0と

す

ら吸 収 され る.角 運 動 量

か ら,

(7.132) が 成 り立 つ.た

だ し

(7.133) で あ る.荷 電 粒 子 の 場 合 はCoulomb力 と最 近 接 距 離Rと

に よ り軌 道 が 曲げ られ て,衝 突 径 数b

の 間に

(7.134) の 関 係 が あ る.Coulomb散 る.kは

波 数,bは

乱 の 散 乱 角 は 古 典 力 学 に よ り 

衝 突 係 数 で あ る.散

で 与 え ら れ る の で,D=Rと ZZ'e2/RはCoulomb障

とな

乱 の 最 近 接 距 離 は  お く と 関 係(7.134)が

壁 の 高 さ で,ε

求 め られ る.BC=

は 粒 子 の エ ネ ル ギ ー で あ る.こ

れ より

(7.135) を 得 る(角 く, 

運 動 量l=0の

場 合 に は 吸 収 さ れ る 粒 子 の エ ネ ル ギ ー はBCに と な る.1.3節

参 照).吸

収 断 面 積 は(7.108)よ

等 し り

(7.136) とな り

図7.6 

61.7MeV陽

子 の54Feに

実 線 は 実 験 デ ー タで,ヒ

よる 散 乱 の60°

にお け るエ ネ ルギ ー ・ス ペ ク トル

ス トグ ラ ム と点 は 核 内 カス ケ ー ド模 型(5.4.2(a)

項 参 照)に よ る 理論 値[27].

(7.137)

が 得 られ る.中 性 子 の 吸 収 断面 積 は幾 何 学 的 断面 積 に等 し く,陽 子 の はCoulomb 障 壁 に よ り削 りと られ る.  放 出粒 子 の エ ネ ルギ ー ・ス ペ ク トル は(7.124)で

与 え られ るが,透 過 係 数T(e)

と準 位 密 度 ρ(ε)によ り決 め られ る.す な わ ちT(e)はeと

と も に増 加 して1に

近 づ く.準 位 密 度 ρ(ε)はε と と も に指 数 関 数 的 に増 大 す る.そ す よ うな 形 と な る.荷 電 粒 子 の 場 合 はCoulomb障

して 図7.6に 示

壁 の ため εの 小 さい 部 分 は

切 り取 られ る.ε の 大 きい 部 分 は準 位 密 度 に よ って 支 配 され るが,そ た め 状 態 密 度 の式(7.32)は

れ を見 る

準 位 密 度 に比 例 す る と し,そ の 指 数 部 を放 出粒 子 の

エ ネ ルギ ー εで 展 開 す る と,

(7.138) とな っ て,eに で,εmaxは

つ い て 指 数 関 数 的 に 減 少 す る.(7.27)と(7.33)よ 残 留 核 の 最 高 の 励 起 エ ネ ル ギ ー に 等 し い の で,減

の 温 度 の 逆 数 と な る.こ

り  少 の 割 合 は残 留 核

れ に よ りエ ネ ル ギ ー ・ス ペ ク トル の 対 数 の 傾 斜 か ら 残

留 核 の 温 度 を 知 る こ と が で き る.

 7.4.3  多 粒子 放 出 過 程  入 射 エ ネ ル ギ ー が さ ら に高 くな る と,残 留 核 か ら も粒 子 放 出 が 可 能 に な る. またγ 崩 壊 も加 わ り,何 世 代 もの 連 鎖 崩 壊 が お こ る[28].複 核 のNZ,ス

ピ ン ・パ リテ ィJπ,励起 エ ネル ギ ーEに

状 態 を 簡単 にaで,核 e,ス

種NZを

合 核 の状 態 は そ の

よ って 指 定 され る.こ の

α で 記 す こ とに す る.複 合 核aは

ピ ン ・パ リテ ィjπ を もっ た粒 子xを

放 出 して 複 合 核bに

の 崩 壊 確 率 は 透過 係 数 と準 位 密 度 に よ り((7.112)参

エ ネル ギ ー

な る とす る.こ

照).

(7.139) で 与 え られ る.γ 崩壊 の 場 合 に は

(7.140) で 与 え られ る.lは

放 射 線 の 多 重 度 で,Clは

そ れ に よ っ て 決 ま る定 数 で あ る.

粒 子 放 出 の 場 合 に は核 種 は 変 わ り,γ 崩 壊 で は 変 わ らな い こ と を注 意 し て お く. 時刻tに お い て 核が 状 態aに あ る確 率 をPa(t)と す る と,そ の増 加 す る割 合 は

(7.141) の マ ス ター 方 程 式 で 与 え られ る.右 辺 第1項 は 状 態bか 第2項

はaか

らの 遷 移 に よ る増 加 で,

らの 崩 壊 に よ る減 少 で あ る.

 γ 崩 壊 や 角 運 動 量 を 考 え に 入れ る と,計 算 は複 雑 に な り,Monte

Carlo法

な

ど も用 い られ る.特 に重 イ オ ン反応 で は,作 られ た複 合核 のエ ネルギ ー も角 運動 量 も大 きい.複

合核 は まず 中 性 子 を何 個 か 出 して エ ネル ギ ー の 放 出 を行 う.中

性 子 はl=0で

出 る の が 大 部 分 で あ る の で,残 留 核 の 角 運 動 量 は あ ま り減 っ て

い な い.次

に γ 線 を出 し て,角 運 動 量 の 放 出 を行 う.初 め はE1が

ラ ス ト線*2ま で 降 りる と,そ

こか ら集 団 的 なE2の

主 だ が,イ

放 射 線 を出 し て イ ラス ト線

に沿 っ て 下 る.こ の と きの γ線 の エ ネ ル ギ ー ・ス ペ ク トル か ら回転 状 態 の 構 造 を知 る こ とが で きる.こ あ る.図7.7に ン の2次

の実 験 を初 め て 行 っ た の がMorinaga-Gugelot

はHI(40Ar,4n)反

応 に続 く γ− 崩 壊 の 様 子 をエ ネ ルギ ー と ス ピ

元 の 図 で 示 す[30].

*2  イ ラ ス ト(yrast)状

[29]で

態 は 与 え ら れ た ス ピ ン を もつ エ ネ ル ギ ー 最 低 の 状 態 .

図7.7 

  7.4.4 

重 イオ ン反 応(40Ar,

4n)で

中性 子 放 出 後 の γ崩壊(複

合 核A∼160)[30].

直 接 過 程 の あ る と きの 複 合 核 反 応

  今 まで は 直 接 過 程 が な い と仮 定 し た の で,透 過 行 列Tと 平 均 のS行 列 〈S〉 は対 角 型 で あ っ た.直 接 過 程 が あ る と これ らの 行 列 に は非 対 角 要 素 が 出 て くる が,Tは

エ ル ミー トで あ るか らユ ニ タ リー 変 換 に よ っ て対 角 化 す る こ とが で き

る[31, 26, 32].

(7.142) チ ル ダ(tilde)を つ け た の は対 角 化 さ れ た 表 示 を 示 す.こ の ユ ニ タ リー 変 換 は 〈S〉も 同 時 に 対 角 化 す る.

(7.143) ゆ ら ぎ の 断 面 積 に 比 例 す る量 

を対 角 化 され た表 示 に 変 換

す る と,

(7.144) と な る.対

角 化 され た表 示 の ゆ ら ぎ の 断 面 積 は 直 接 過 程 の な い と きの もの で あ

る か ら,Γ λρλ≫1のHauser-Feshbachの

公 式(7.122)

(7.145)

を(7.144)に

代 入 す る と,

(7.146) を 得 る.こ

こ でtr(T)=tr(UTU†)=tr(T)を

使 っ た.上

同 じ 形 を し て い る が(Tac=δa,cTaa),表

の 結 果 は(7.145)と

示 が 異 な っ て お り,透 過 係 数 が 透 過 行

列 に な っ て い る.

7.5  複 合 核 の統 計 理 論:ラ ン ダ ム 行列 理 論

  ゆ ら ぎ の 断 面 積 を現 象 論 的 に 準 位 統 計 の 効 果 を入 れ て 計 算 し よ う とい う試 み はMoldauerを づ き,HQQの

は じめ 多 くの 人 々に よ り行 わ れ た が[26],ハ

ミル トニ ア ン に 基

行 列 要 素 は ラ ン ダ ム変 数 で あ る と仮 定 し,統 一 的 に計 算 を行 った

の はWeidenmullerの

グ ル ー プ[15]で あ った.断 面 積 のエ ネ ルギ ー平 均 を ア ン

サ ンブ ル 平 均 で 置 き換 え て計 算 をす る根 拠 は エ ル ゴ ー ド(ergodic)性 に広 い 範 囲 で の エ ネ ル ギ ー(あ

るい は ほか の 変 数)で

均 に 等 しい こ とは 証 明 され て い る[20].彼

で,無

限

の 平 均 は ア ンサ ン ブ ル 平

らは 母 関 数 と超 対 称 の 方 法 を使 って,

ゆ ら ぎの 断 面 積 の ア ン サ ンブ ル 平 均 を準 位 の 数 が 無 限 大 の 極 限で 正確 な計 算 を 行 っ た.こ

れ に よ り複 合 核 の 問 題 は 解 決 した と い え る.数 学 的 に 複 雑 で,長 い

説 明 を要 す るの で,こ

こ で は 概 略 を説 明 す る に止 め,途

中 の計 算 は 原論 文 を参

照 され た い.   わ れ われ の 出発 点 は ハ ミル トニ ア ン(6.80), (6.82),(6.85)で あ る.

(7.147) (7.148) (7.149) 最 後 の 式 のsμν は エ ネ ル ギ ー の ず れ で,(6.85)で る.S行

列 の 式 の な か で,ラ

はΔ μνと書 か れ た もの で あ

ン ダ ム な 変 数 はエ ネ ル ギ ー分 母 に 現 れ る行 列 要 素

(HQQ)μν で あ る.μν は あ らか じめ設 定 され た 基 底 で,(HQQ)μν ム 分 布 を して い る と す る.こ れ に 反 してγμaやsμν はHPQを

の値 が ラ ン ダ 含 み,μνaを 決

め れ ば 原 理 的 に計 算 で きる は ず の もの で あ る か ら ラ ン ダ ム 変 数 で は な い.Sab の 構 造 は 準 位 密 度 の 場 合 と同 じで,ア

ンサ ン ブ ル 平 均 も前 と同 じ分 布 関数 で 計

算 で きる.Sを

計 算 す るた め の 母 関 数 は 前 と 同 じ よ うに 計 算 され

(7.150) で 与 え ら れ る.便 宜 上,有 効 ラ グ ラ ンジ ア ン と呼 ぶ 関 数 は

(7.151) で 定 義 され て い る.σ

に つ い て の 積 分 は 前 と 同 じ に 鞍 点 法 に よ る.P空

結 合 項 と 源 の 項Jを0と

お い てLeffの

が 得 ら れ,解

同 じ く

も(7.96)と

停 留 値 を と る と,(7.95)と

間 との

同じ方程式

(7.152) と な る.変

数 σは

(7.153) と書 け る.指 数 部Leffを

鞍 点 σ0Dの 周 りに δσ の2次

まで 展 開す る と

(7.154) を得 る.δ σ に つ い て の 積 分 は実 行 で きて,母

関数は

(7.155) と な る.式(7.147)を

使 っ て ア ン サ ン ブ ル 平 均 を し たS行

列 は

(7.156) と な る.こ れ か ら透 過 行 列 は

(7.157) と 求 め ら れ る.

  前 に述 べ た よ うに ゆ ら ぎの 断 面 積 を計 算 す るに はS*Sを

求 め な けれ ば な らな

い.そ の た め に母 関 数 に 含 まれ る超 ベ ク トル Ψ の積 分 の次 元 を2倍 に す る.す なわ ち

(7.158) で あ る.こ

の 各 成 分 を 指 標 α=1,…,8で

対 応 し α=5,…,8は る 指 標 をpと

反 可 換 数 に 対 応 す る.ま

し,p=1とp=2と

そ れ ぞ れE(1)とE(2)と で,p=2に の で,虚

指 定 す る.α=1,…,4は たS行

列 のSとS*と

を そ れ ぞ れ に 対 応 さ せ,そ し て お く.p=1に

はs(2)X(2)で

を区別す

のエ ネルギー を

対 応 す る ベ ク トル 成 分 はs(1)X(1)

あ る.p=1とp=2と

数 部 の 符 号 が 反 対 で あ る.こ

可 換数に

で は 複 素 共 役 に な って い る

れ を 記 述 す る た め,次

の 計 量(metric)

(7.159) を 導 入 す る.源 の項 と し て は 前 と同 じで,次 元 が2倍

の

(7.160) を 使 う.平

均 と差 の エ ネ ルギ ー

(7.161) Q空

間 の ハ ミル ト ニ ア ンH={δ

αβHQQμν}とP-Q空

間との結合項

(7.162) を使 っ て エ ネ ル ギ ー 分 母 は

(7.163) と表 せ る.母

関数は

(7.164)

で 与 え ら れ る.こ

こで

(7.165) S行

列 に 現 れ るD-1な

ら び にD-1D*-1は

次 の 式 で 求 め ら れ る.

(7.166)

(7.167)   母 関 数 は 前 と 同 じ よ う に ア ンサ ン ブ ル 平 均 を し て,次 に ψ に つ い て の 積 分 は Hubbard-Stratonovitch変

換 に よ り σ積 分 で 表 す が,こ れ は 鞍 点 法 に よ り計 算

を す る.停 留 値 を 決 め る 方 程 式 は

(7.168) で,Sの

場 合 と 同 じ よ うに見 え る が,ψ

の次 元 も2倍 の8×8と

の 次 元 が2倍

になったのに対応 して σ

な っ て い る.し か し対 角 形 の 解 は 前 と 同 じ く(7.152)

(7.169) の 形 と な る.し

か し 一 般 解 を 求 め る こ と は,は

(7.168)はp=1,2の

二 つ の 成 分 が あ る た め,こ

る か に 複 雑 で あ る.鞍

点方程式

の 二 つ を 混 ぜ る よ う な 変 換(回

転)に

対 し て 不 変 で あ る こ と を 示 す こ とが で き る.た

と7に

つ い て の 回転

と え ば α=1と3,α=5

(7.170) に よ り σ を 

に 変 換 して も方 程 式(7.168)を

満

た す こ と は 明 らか で あ る.す な わ ち鞍 点 は 単 な る点 で は な く,β を変 化 させ て 得 られ る多 様 体 で あ る.し たが って 鞍 点 多 様 体 に つ き積 分 を しな けれ ば な らな い.さ

ら に鞍 点 多様 体 の 鞍 点 か ら峠 道 と 直 角 の 方 向へ の積 分が あ る ので ,全 部

で32次

元 積 分 に な るが,次

に示 す よ うな3次

元 を残 して 解 析 的 に行 う こ とが

で き る[32].

(7.171) こ こ に得 られ た 結 果 はN→

∞ の 極 限で 正 確 で あ る.ま た 直接 相 互作 用 の 影 響

も取 り入れ て あ る.も し これ を無 視 す れ ば,TやSは

チ ャネ ル に つ き対 角 型 と

な る.こ の 場 合 で も複 雑 で あ るが,数 値 計 算 も行 われ て い る[33].(tr(T)+1)-1 に つ い て 展 開 し,2次

の 項 まで 書 くと

(7.172) と な る.再

び 直 接 相 互 作 用 の な い 場 合 を 考 え る と  と な り,tr(T)≫1の

お く と(1+δab)を

と き の 主 要 項 す な わ ち 右 辺 の 第1項

除 い てHauser-Feshbachの

は ε=0と

結 果 と一 致 す る.こ れ は(7.122)に

示 し た も の と 同 じ で あ る.一

般 に 弾 性 散 乱 の ゆ ら ぎ の 断 面 積 をHauser-Feshbach

の 理 論 値 で 割 っ た も の を 増 強 因 子(enhancement と な る.(7.171)に 明 で き る[34].こ る こ と は(7.171)の

お い てtr(T)≪1の れ は(7.120)に

factor)と

呼 び,こ

場 合 に は 増 強 因 子 が3に

対 応 す る.一

な る こ と も証

般 に 増 強 因 子 が2と3の

数 値 計 算 か ら わ か っ て い る.増

の 場 合 は2

間にあ

強 因子 を 実験 か ら求 め る こ と

は弾 性 散 乱 の 断 面 積 の 大 部 分 を 占 め る 平均 ポ テ ン シ ャル か らの 寄 与 か らゆ らぎ の 部 分 を 分 離 し な くて は な ら な い の で 難 し く,偏 は 見 あ た ら な い.図7.8に Feshbachの

ゆ ら ぎ の 微 分 断 面 積 と カ ー ブaで

理 論 値 と の 比 較 を 示 す.カ

も の で あ る が,角

極 ビ ー ム を使 っ た もの 以 外 に

ー ブbは

示 さ れ たHauser-

増 強 因 子 を2.09と

した と きの

分 布 は よ く合 っ て い る[35].

  た くさん の複 合 核 状 態が 励 起 され て平 衡 に な った 中間状 態 の寿 命 は公 式(6.219) に(7.122)を

代 入 す れ ば よい.ε につ い て の積 分 に現 れ る極 は 

で あ るか ら 

の 因子 が 得 ら れ る の で,寿 命 は

(7.173) と な る.

図7.8 

30Si(→p,p)30Siか らの 陽子 の弾 性 散 乱 の ゆ らぎ の 微 分 断 面 積[35] 陽 子 エ ネ ルギ ー は 約10MeV.

7.6 

Ericsonの

ゆ ら ぎ

  重 イオ ンの 弾 性 散 乱 で は吸 収 が 強 い の で,そ

の 角 分 布 は 見 事 な 回 折 模 様 を示

す こ と は よ く知 られ て い る.こ れ は入 射 粒 子 が 標 的 核 に よ り吸 収 され る た め, 入 射 粒 子 の波 が 干 渉 し て お こ る.Ericson

[36, 37]は 複 合 核 の よ うな非 常 に複 雑

で 不 規 則 な 運 動 を して い る系 で も 回折 現 象 が 起 こ るの で は な い か と考 えた.エ ネル ギ ーが 十 分 に 高 く,複 合 核 の 共 鳴 状 態 の 幅Γ が 準 位 間 隔Dに い 場 合 を 考 え る.す

くらべ て大 き

る と個 々の 共 鳴 状 態 は見 え な い が,励 起 関 数 に は 非 常 に不

規 則 な 凸 凹 が 現 れ る.こ れ は複 合 核 の い ろ い ろ な 部 分 か ら くる 波 が 干 渉 して で き る 回折 像 と考 え る.複 合 核 は不 規 則 な運 動 を して い る の で,回 折 像 も不 規 則 で あ る.こ の 不 規 則 な振 る 舞 い の な か の 規則 性 を 示 す 量が 相 関 関数 で,Ericson は い くつ か の 相 関 関 数 を考 え た.そ の 中で 一 番 重 要 な の は エ ネ ル ギ ー に関 す る 自己 相 関 関 数(autocorrelation

function)で,反

応断面積 に よ り

(7.174) で 表 され る.す な わ ち反 応 断面 積 をエ ネル ギ ー εだ け ず らせ た もの の ゆ ら ぎ を εの 関 数 と し て 表 し た もの で あ る.こ の 自己 相 関 関 数 は εと と もに 減 少 し,そ の 半 減 す るエ ネル ギ ー を相 関 エ ネル ギ ーΓcorrと 呼 ん で い る.図7.9に

その様

子 が 示 して あ る.エ

ネル ギ ー の 自己 相 関 関数 の ほ か に 角度 相 関 関 数,す

なわ ち

角 度 をず らせ た 断 面 積 の積 の 平均 の ゆ ら ぎ,そ の 他 い ろ い ろ あ るが,こ

こで は

エ ネル ギ ー の 自己 相 関 関 数 を以 下 に議 論 す る こ と にす る.

図7.9 

37Cl(p,α0)反

実 線 は 自 己 相 関 関 数 で,点

応 のEricsonの

線 はLorentz曲

ゆ ら ぎ[38]

線 で,Γ=13keVと

し た.

  エ ネ ル ギ ー の 自己 相 関 関 数 をS行 Stephens

[39]で,彼

列 の 相 関 関 数 に 帰 着 させ た の はBrink-

ら に従 っ て三 つ の 仮 定 を置 くと,前 節 の 結 果 か ら直 ち に 求

め られ る こ と を示 す.断 面 積 をS行

列 を使 っ て

(7.175) と 書 く.   (ⅰ)  AabはClebsch-Gordan係 存 性 を も つ が,こ   (7.174)の

数 や 球 面 調 和 関 数 を 含 み,弱

い エ ネ ル ギ ー依

れ は 無 視 す る こ と に す る.

断 面 積 の 積 を 計 算 す る と,

(7.176) とな るが,こ

こで 右 辺 に現 れ る 四 つ のS行

列 要 素 を そ れぞ れS1S*2S3S*4と

書く

こ とに す る.   (ⅱ)  S行 列 の 行 列 要 素 は 平均 が0のGauss分

布 を し て い る.す

ると

(7.177) が 成 り立 つ.   (ⅲ)  S行 列 の 二 つ の 行 列 要 素 の 積 の平 均 は

(7.178) (7.179) を 満 た す.た ま る.す

だ し 近 似Γ λ=Γ

を 用 い た.(7.178)は(7.118),

(7.121)に

よ り求

る と

(7.180) と な り,相

関 関 数 が 求 ま っ た.

(7.181)

で,Γ は(6.127b)か   Ericsonの

ら 求 め られ(7.173)と

ゆ ら ぎ の 計 算 はS行

一 致 す る.h/Γ

は 複 合 核 の 寿 命 で あ る.

列 要 素 が 正 規(Gauss)分

布 を す る と い う仮

定 に 基 づ い て い る が,こ

れ を 直 接 支 持 す る 実 験 事 実 は な い.し

の 極 限 で 関 係(7.177)が

成 り立 つ こ と は[40]に

た すS行

列 は 一 般 に(7.179)を

程 度 よ く成 り 立 つ か は3点 で 難 し い.し

果律 を 満

満 た す こ と が 証 明 さ れ て い る.(7.177)が

関 数 と4点

か しDavisとBoose

か しtr(T)≫1

よ っ て 証 明 さ れ た.因

どの

関 数 を正 確 に評 価 しな け れ ば な ら な い の

[41]は

こ の 計 算 を 行 い,tr(T)∼10-20で

も 正 規 分 布 か ら の ず れ が 相 当 あ る こ とが わ か っ た.ま

た 自 己 相 関 関 数 も計 算 で

き る こ とが 示 さ れ た.

7.7  カ オ ス と 複 合 核

  複 合 核 に つ い て は6.3節 でFeshbachの

射 影 演 算 子 に よ る方 法 で,Q空

間の

有 効 ハ ミル トニ ア ン を対 角 化 した 殻 模 型 の状 態 と して 定 義 され た.複 合 核 の 幅 はP空

間へ の 崩 壊 に対 応 す る脱 出 幅 で あ る.な

お6.2節

のR行

列 理 論 で もほ

ぼ 同 じ複 合 核 が 定 義 され て い る.低 エ ネ ルギ ー で は 複 合 核 の 幅 は そ の 間 隔 に 比 べ て 小 さ く個 々の 準 位 が 観 測 され そ の統 計 的 性 質 が 明 らか に な り,準 位 間 隔 分 布 関 数 や スペ ク トル の 剛 性Δ3はGOEの

予 言 に 合 う こ とが7.2節

で 示 され た.

  エ ネル ギ ーが 高 くな る と準 位 の 幅 が そ の 間隔 よ り大 き くな り,核 反 応 で は 多 くの 複 合 核 が 同 時 に 集 団 的 に励 起 され 非 常 に 複 雑 な混 沌 と し た状 態 に な る.こ の よ うな状 態 に は 統 計 理 論 が 適 用 され 反 応 断 面 積 が 計 算 され た.ま た こ の 混 沌 の 中の 秩 序 と し てEricsonの Breit Wigner型

ゆ ら ぎ,エ

ネ ル ギ ー の 自 己 相 関 関 数 が 見 出 され,

で あ る こ とが 最 後 の 節 で 示 され た.そ し て多 くの複 合核 の 励 起

され た 集 団 励 起 状 態 の 寿 命 は個 々 の複 合 核 の 寿命 の 平均 で あ る こ とが わか っ た. こ れ らの 現 象 を 少 し違 っ た 角 度 か ら眺 め る のが カ オ スで,こ れ はN. Bohrの か ら言 わ れ て きたが,こ

昔

れ が は っ き り して きた の は比 較 的 最 近 の こ とで あ る.

  まず 古 典 カ オ ス か ら議 論 を 始 め よ う.古 典 力 学 で は 初 期 条 件 が 与 え られ れ ば そ れ か らの 系 の挙 動 は 完 全 に 決 定 され る こ とが 知 られ て い る.し か し これ は 可 積 分 系*3で は 問題 な い が,一

方 初 期 条 件 を ご くわ ず か 変 え た だ けで,そ

の振 る

舞 いが 敏 感 に変 わ り,時 間 と と もに そ の 軌 道 の差 が 指 数 関 数 的 に増 大 す る系 の *3 エ ネルギ ーに 加 えて 運 動 の恒 量 が 存在 す る力学 系

,詳 し くは[42].

存 在 が 知 られ て い る.三 体 問題 は そ の 一 例 で あ る.   可 積 分 系 の例 と し て,図7.10(a)に

示 す よ うな 円形 の 玉 突 き台 の 上 で,質 点

の 運 動 を 考 え る.こ の 系 は 自 由度2の

系 で,エ

ネ ル ギ ー と角 運 動 量 の 二 つ の運

動 の 恒 量 が あ る の で,可 積 分 系 で あ る.次 に カオ ス 系 の例 と して,図(b)に す よ うな,正

方 形 の 中 央 か ら 円 を くり抜 い たSinaiの

の 系 で は 質 点 は 非 常 に複 雑 な 運 動 を し,ご

示

玉 突 きを取 り上 げ る.こ

くわず か の 初 期 条 件 の 違 い が 非 常 に

大 きな 軌 道 の 違 い を 引 き起 こ す.Bohigasら[43]はSinaiの

玉 突 き台 を 同 じ形

の 膜 の 振 動 と考 え,量 子 力 学 の 固有 値 問題

(7.182) を 解 い た.た だ し 境 界 線 上 で は振 幅0(ψn=0)のDirichletの

境 界 条 件 を採 用

す る.す る とエ ネ ル ギ ー・ス ペ ク トルk2nが 求 め られ る.準 位 の 縮 退 の 煩 雑 を 避 け る た め 境 界 線 は 図 に 点線 で 示 した1/8の

部 分 に 変 え た.こ の エ ネ ル ギ ー ・ス

ペ ク トル の 統 計 的 性 質 を調 べ るた め,準 位 間隔 分 布 関数 とス ペ ク トル の 剛性Δ3 を 計 算 し た と こ ろ,図7.11に た.Sinaiの

示 す よ うにGOEの

玉 突 き は 自 由度2の

系 の スペ ク トル はGOEの

図7.11 

Sinaiの

古 典 系 の カ オ スで あ るが,そ

の対 応 す る 量 子

そ れ と一 致 す る.こ の結 果 か らBohigasら

(a) 図7.10 

予 測 と一 致 す る こ とが わ か っ

は次の よ

(b)

円 形 の 玉 突 き台(a)とSinaiの

玉 突 き(b)

玉 突 きの 場 合 に 計 算 され た 準 位 間隔 分 布 関 数 とス ペ ク トル の 剛 性Δ3[43]

うな推 測 を提 起 した."時 系*4で あれ ばGOEの

間反 転不 変 の系 の スペ ク トル で,そ の 古 典 の対 応 がK

予 測 と 同 じ ゆ ら ぎの 性 質 を 示 す."こ の 推 測 はBohigasの

推 測 と普 通 呼 ば れ,ま

だ完 全 に は 証 明 され て い な い が,正

い る.こ れ に よ りGOEの

しい もの と思 われ て

予 測 と同 じゆ ら ぎ の性 質 を示 す 量 子 力 学 系 を量 子 カ

オ ス と定 義 す る こ とは も っ と もで あ る.   一 方,現

実 的 な 殻 模 型 の 数値 計 算 に よ っ て カ オ ス を 見 出 そ う とい う試 みが 行

わ れ て い るが,そ

の 一 例 と して6.4.1項 で触 れ たZelevinskyら[44]の

介 す る.彼 ら は28Siに 対 してsd殻 ぐ らい の行 列 の 対 角 化 をJπ=0+か

にWildenthal相 ら10+ま

互 作 用 を 採 用 し,103次

で 行 った.得

スペ ク トル か ら計 算 され た 最 近 接 準 位 間 隔 分 布 やΔ3統 体 一 致 して い る.準 位 密 度 は 半 円 とGauss分

計算 を紹 元

られ た エ ネル ギ ー ・

計 はGOEの

そ れ と大

布 の 中 間 ぐ ら い の分 布 を示 す.

  次 に励 起 エ ネ ル ギ ー に よる ス ペ ク トル の 性 質 の 遷 移 を見 る た め に 情 報 エ ン ト ロピー

(7.183) を 計 算 した.こ

こ で,Wα μ は 状 態 α に含 まれ る 非 摂 動 状 態 μ の確 率 で(6.148)

の 展 開係 数Cα μの2乗

で あ る.行 列 要 素 の 統 計 がGOEで

あると

(7.184) と な る.図7.12に0+の

場 合 を 示 す が,中

次 に 熱 力 学 的 エ ン ト ロ ピ ー を 考 え る.こ

央 部 で はGOEに れ は 既 出 の(7.28)と

近 い こ と が わ か る. 同 じで

(7.185) で あ る.Ω(E)は とる が,エ

エ ネル ギ ー 幅 δEに 含 まれ る 準 位 の 数 で,δEは

適 当な値 を

ン トロ ピ ー の付 加 定 数 に対 応 す る.こ の エ ン トロ ピ ー か ら温 度 を計

算 す る こ とが で きる.

(7.186) 状 態 αの独 立粒子 状態ljmを 占拠 する核子数(陽 子 と中性子 の平均)確 率

(7.187) *4 最 も カ オ ス 的 な 古 典 系

.厳

密 な 定 義 に つ い て は[42]を

見 よ.

図7.12 

0+の

固有 状 態 の 情 報 エ ン トロ ピー 強 度eSα

準 位 番 号 の は 右 図,〈GOE〉

図7.13 

28Siの 独 立 粒 子 状 態ljmの プ ロ ッ トし た もの

は(7.184)に

占拠 確 率 を 固 有 状態0+,2+,9+に

点 の 集 ま りは 下 か ら順 にs1/2,d3/2,d5/2に

を 計 算 し た も の を 図7.13に

をエ ネ ルギ ーで プ ロ ッ トした の が 左,

よ る値[44].

示 す.こ

対 し準 位 番 号 で

対 応 し,横 軸 は 準 位 番 号 で あ る[44].

れ はFermi分

布

(7.188) と よ く合 っ て い る こ と が わ か る.こ で あ る.図 s1/2で

を 見 る と,d5/2のnljは

は ほ と ん ど 変 わ ら な い.こ

こ でe'lj-μ

は 一 体 状 態ljの

有 効 エ ネ ルギ ー

エ ネ ル ギ ー と 共 に 減 少 し,d3/2で れ は(7.188)に

お い て,e'lj-μ

は 増 大,

が 負,正,0

で 温 度Tαljは 励 起 エ ネ ル ギ ー と 共 に 増 大 す る こ と に よ る.   以 上 の 例 で 殻 模 型 で 励 起 エ ネ ル ギ ー が あ る 程 度 以 上 高 く な れ ば,そ 複 合 核 で あ る こ とが わ か っ た.す 互 作 用 に よ り混 ざ り,混

な わ ち,非

の状態 は

常 に複 雑 に独 立 粒 子 状 態 が 残 留 相

沌 と し た カ オ ス に な っ て い る.そ

してその各独 立粒子

状 態 の位 相 は 乱 雑 で,互

い に干 渉 し な い(こ の 定 量 的 評価 は まだ な され て い な

い よ うで あ る).し か しそ れ らが 混 ざ った 固 有 状 態 の統 計 的 性 質 は 同 じ よ うで, 単 一 粒 子 占 拠 確 率 は 温 度 で 指 定 され るFermi分

布 に よ く合 う.

  散 乱 と カオ ス の 関 係 に つ い て は,BlumelとSmilansky ら はSinaiの

[45]の 仕 事 が あ る.彼

玉 突 きの散 乱 の 場 合 に 対 応 す る古 典 模 型 と し て,到 達 距 離 が 有 限

な 同 じポ テ ン シ ャル を一 直 線 上 に 等 間 隔 で 並 べ 粒 子 を散 乱 させ る模 型 を考 え た. この 場 合 初 期 条 件 に よ り,簡 単 な 一 体 ポ テ ンシ ャル に よ る散 乱 か ら,多 テ ン シ ャ ル に よ る複 雑 な 多 重 散 乱 まで,い

ろい ろの 散 乱 が 起 こ る.カ オ ス も起

こ る系 で あ る.こ の 問 題 を古 典 的 に解 き,S行 を再 現 した.彼

ら は これ でBohigasの

くの ポ

列 を計 算 し,Ericsonの

ゆ らぎ

推 測が 散 乱 の 問 題 に 拡 張 で きた とい って

い るが,詳 細 は[45, 46]を 参 照 され た い.   い ま ま で,原

子 核 の ハ ミル トニ ア ン は 空 間 回 転 と 時 間 反 転 に 不 変 で パ リ

テ ィが 保 存 され る と し て,GOEを はGUE

(Gaussian

考 え て きた.こ

unitary ensemble), GSE

が あ るが,こ れ らはGOEと

の ほ か の 対 称 性 に対 し て

(Gaussian

異 な る 準 位 間 隔 分 布,Δ3を

symplectic

ensemble)

与 え る こ とが 知 られ て

い る.一 方,核 子 間相 互作 用 は 電磁 相 互 作 用 や 弱 い 相 互作 用 が 含 まれ,そ の た め 荷 電 独 立 の破 れ や 弱 いパ リテ ィ非 保 存,時 間反 転 不 変 の破 れ などが 起 こって い る. 荷 電 独 立 に対 して は6.4.3項 で アナ ログ 状 態 の議 論 を したが,熱 外(epithermal) の偏 極 中性 子 の散 乱 実 験で パ リテ ィ非 保 存 が 拡 大 され て 観 測 され る こ と は,核 反応 の 統 計 理 論 に よ り証 明 され た[20, 47].

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8 前 平 衡 過 程

 直接 過程 と平衡 過 程 の 中 間 に あ るの が 非平 衡 過 程 で あ る.こ れ は比 較 的新 し く 発 展 し た分 野 で,核 子 や 軽 イオ ン と重 イ オ ンの場 合 で は現 象 も少 し異 な り,し た が っ て取 扱 い も同 じで な い.軽 compound)過

イオ ン の場 合 に は前 平 衡(pre-equilibrium,

pre-

程 と呼 ば れ,入 射 粒 子 の エ ネ ルギ ー損 失,反 応 の持 続 時 間,衝 突

回 数 な どが 両過 程 の 中 間 で あ る.ま た角 分 布 は前 方 ピ ー ク を示 す.入 射粒 子(核 子)が 核 内 核 子 と何 回 か 衝 突 し て起 こ る もの で,Feshbachら[1]に 統 計 過程(multistep

よ り多段 階

statistical process)と 呼 ば れ て い る.残 留 核 の 励 起 エ ネル

ギ ーが 高 い の で 多 くの準 位が 関与 し,統 計 的 に取 り扱 う.Feshbachら の過 程 を二 分 し て,Q空 MSC)過

程,P空

呼 ん だ.軽

間 を経 由す るの を多 段 階 複 合 核(multistep

間 を経 由す るの を多 段 階 直接(multistep

本 章 の8.2節

compound,

direct,MSD)過

イオ ン反 応 とい って も実 際 に は簡 単 の た め 第7章

合 を例 に と る.重

は さら に こ

程と

と 同 じ く核子 の 場

イオ ン の 非 平 衡 過 程 は 通 常 は 前 平 衡 過 程 と は 呼 ば れ な い が,

と8.7節 で ふ れ る.

  こ れ らの 取 扱 い の 上 で 重 要 な役 割 を果 た す の が 複 合 核 反 応 の 場 合 と同 じ く状 態密 度 で,8.1節

にお い て エ キ シ トン数 が 指 定 され た状 態 密 度 が 計 算 され る.非

平 衡 過 程 を 取 り扱 う理 論 の 枠 組 み とし て は7.4.3項

で 出 て きた マ ス ター 方程 式

が あ る.こ れ は統 計 的輸 送 方 程 式 で,状 態 の 時 間 的変 化 が 示 され る.8.2節 まず 重 イ オ ン に 適 用 さ れ るが,そ に マ ス タ ー方 程 式 が8.2.2項 が 導 か れ,残

で

の前 に 巨視 的 古 典 論 が 簡 単 に述 べ られ る.次

で 導 入 され るが,そ れ か らFokker-Planck方

程式

留 核 の 荷 電 分 布 に応 用 され る.

  軽 イオ ン につ い て は8.3.1項 でエ キ シ トン模 型 に マ ス ター方 程 式が,ま ずMSC に対 して,8.3.2項 してDWBAに

に お い てMSDに

対 し て適 用 され る.8.4節

基 づ く微 視 的理 論 が 説 明 され る.次 の8.5節

射 粒 子 に 注 目 して そ の 挙 動 を追 っ て い たが,今

で はMSDに で は,今

対

まで は入

度は残留核 の励起状 態につい て

詳 し く線 形 応 答 理 論 に よ り調 べ る.RPAに

つ いて も述 べ るが,一 段 階 過 程 に限

られ て い る の で,非 平 衡 過 程 とは 言 い 難 い.最 後 の2節 は 再 び 重 イオ ン に戻 り, 一 体 近 似 に 基 づ く微 視 的 理 論TDHFと そ の 古 典 近 似 を説 明 して 終 わ り とす る.

8.1  部 分 準 位 密 度

  8.1.1  独 立 粒 子 模 型   7.1節 に お け る 状 態 密 度 は独 立 粒 子 模 型 の も ので,7.3節

の はGOEに

対応す

る もの で あ っ た.前 者 は 実 験 デ ー タの 解 析 に広 く使 わ れ て い るが,残

留相互作

用 が 入 っ て い な い.後 者 は 相 互 作 用 と し て ハ ミル トニ ア ンの 行 列 要 素 がGOE で あ る と仮 定 し,独 立 粒 子 スペ ク トル は す べ て 縮 退 して い る と して い る の で, 現 実 的 で な い.一 方 これ か ら の主 題 で あ る前 平 衡 過 程 で は エ キ シ ト ン数 が 指 定 され た 部 分 準 位 密 度(partial

level density)が 必 要 に な る.準 位 密 度 に 残 留 相

互 作 用 を 考 慮 す るに は エ キ シ トン数(8.3.1項

参 照)を 指 定 す る と都 合 が よ い の

で,こ の 節 で は まず 独 立 粒 子 模 型 に よ る部 分 状 態 密 度 の話 か らは じめ る.   エ キ シ トン 数mす

な わ ち励 起 され た粒 子 の 数pと

れ た 状 態 密 度 はEricson

[2],Williams

空 孔 の 数hの

和が 指定 さ

[3]ら に よ って 求 め られ た[4]. Ericson

の 公 式 と呼 ば れ て い るの は

(8.1) で,等 間 隔 な単 一粒 子 ス ペ ク トル を 仮 定 し,そ の状 態 密 度 をgと 起 エ ネ ル ギ ー に 制 限 を設 け る こ とな し に 求 め られ た.証

して,そ

の励

明 は粒 子 の 部 分 状 態 密

度 か ら始 め る.漸 化 式

(8.2) が 成 り立 つ.p-1個

の 粒 子 の 状 態 と1粒

状 態 を 組 み 立 て る と,同 p=1の

ω(1,0,E)=gか

じ も の がp個

子 の 状 態 を 組 み 合 わ せp個 で き る の でpで

の粒子 の

割 っ て お く.(8.2)を

ら 順 次 計 算 す る と,

(8.3) が 得 られ る.空 孔 の 場 合 も同 様 に求 め,

(8.4) か ら(8.1)が

求 ま る.Ericsonの

い な い こ と は 漸 化 式(8.2)の   次 にOblozinsky ル の 下 限(最 Pauliの

公 式(8.1)は

厳 密 に はPauliの

原 理 を満 た して

使 用 か ら 明 ら か で あ る.

[5]は 等 間 隔 の 独 立 粒 子 ス ペ ク トル で あ る が,空

低 準 位)と

孔 スペ ク ト

結 合 状 態 に あ る 粒 子 ス ペ ク トル の 上 限 を 設 け,さ

原 理 を 取 り 入 れ た 状 態 密 度 の 公 式 をDarwin-Fowlerの

そ の 結 果 はm=p+hと

らに

方 法 で 求 め た.

し

(8.5) で 与 え られ て い る.準

位 間 隔d=1/gを

ら0,1,2,…F/d-1と Fermi準

単 位 と し て 空 孔 の 準 位 はFermi準

等 間 隔 に 励 起 エ ネ ル ギ ー の 上 限Fま

位 か ら1,2,…B/dと

い る と す る.gはFermi準

位か

で 分 布 し,粒

等 間 隔 に 励 起 エ ネ ル ギ ー の 上 限Bま

子 は

で 分 布 して

位 に お け る 独 立 粒 子 状 態 密 度 で,

(8.6) (8.7) はPauli原 で は1の

理 に よ る 補 正 項 を 表 す.Θ(E)は

階 段 関 数 で,E<0で

Ericsonの

E〓0

値 を と る.

  粒 子 と 空 孔 の エ ネ ル ギ ー の 上 限 を 除 く と,す iとjと

は0,

の 値 は0に

限 ら れ る か ら,(8.5)の

公 式(8.1)と

な る.ス

な わ ちB=F=∞

右 辺 はi=j=0の

と す る と, 項 の み と な り,

ピ ン ・パ リ テ ィが 指 定 さ れ た 部 分 準 位 密 度 は 次

の ス ピ ン分 布 関数

(8.8) を(8.5)に

掛 け る こ と に よ り近 似 的 に 求 め ら れ る.経

フ ・パ ラ メ タ ー(spin

cut-off parameter)は 

  独 立 粒 子 模 型 に よ るEricson, 指 定 し な か っ た が,一

験 的 な ス ピ ン ・カ ッ ト オ

Oblozinskyの

で 与 え ら れ る[6]. 公 式 はEとm以

体 の ス ペ ク ト ル が 与 え ら れ れ ばJπ

外 の量子 数は

を指 定 し て 正 確 に 計

算 で き る.そ

の た め の 漸 化 式 も知 ら れ て い る[7].計

を 順 に,与

算 機 を使 っ て エ キ シ トン 数

え ら れ た ス ピ ン ・パ リ テ ィの 部 分 準 位 密 度 を 計 算 す る こ と は 困 難 で

は な い.   励 起 エ ネ ル ギ ーEが Gauss型

与 え ら れ た と き,状

で よ く近 似 で き る[8].

態 密 度 は エ キ シ トン 数 の 関数 と し て

p=h=nと

し,一

番 簡 単 な(8.1)か

ら,

(8.9) を 得 る.右 辺 最 後 の 式 は 階 乗 にStirlingの 公 式 を使 い 近 似 した.状 態 密 度 が 最 大 に な るnの

値 は(8.9)の 右 辺 の 対 数 の 微 分 か ら

(8.10) と な る.こ

の エ キ シ トン 数 に お け る状 態 密 度 の対 数 の2次

微 分 は 

とな

る の で,状 態 密 度 は

(8.11) と あ ら わ せ る.こ

の 式 は 温 度TのFermi分

数 

と の 一 致 は 悪 く な い(文

(2-52)).ま 要 なE依

  8.1.2 

布 の 式 か ら求 め た 励 起 した 粒 子 の

た(8.11)をnで 存 性 も(7.25)と

積 分 す る と,す

献[9]の

べ て の 状 態 密 度 と な る が,そ

式 の主

同 じ よ う に 一 致 す る.

ランダム相互作用

  次 に 残 留 相 互 作 用 を 入 れ る.こ れ を殻 模 型 に 基 づ き正 確 に計 算 す る こ とは エ キ シ トン数 が 大 き くな る と大 き な次 元 の行 列 の 対 角 化 の 計 算 が 必 要 で 難 し くな る し,ま た 正確 に 計 算 す る こ とは 無 意義 で あ る.Monte 節 で も触 れ た.こ ンJ,パ

Carlo計 算 の こ とは7.3

こで は 統 計 的 に取 り扱 う方 法 を 説 明 す る[10, 11].ま ず ス ピ

リテ ィπ は 保 存 され る か ら顕 に は 書 か な い こ とに す る .残 留 相 互 作 用

を ラ ン ダ ム で あ る と し て,GOEよ

りも現 実 的 な も の を使 う.GOEで

の 行 列 要素 が た だ 一 つ の2次 モ ー メ ン トで 決 ま るGauss分

は すべ て

布 を仮 定 す るが,全

空 間 を い くつ か の ク ラ ス に分 け,各

ク ラ ス 内,ク

2次 モ ー メ ン トに対 応 す るGauss分

布 を 仮 定 す る方 が よ り正 確 に相 互 作 用 を 記

述 で きる.ク

ラス 問 の行 列 要 素 は異 な った

ラ ス を 指 定 す る に は これ か ら 説 明 す るエ キ シ トン数 に 限 らず,そ

の 問 題 に 適 し た量 子 数 を使 うほ うが よい[12].こ

の ク ラス 分 け が 有 効 で あ る た

め に は 核 子-核 子 散 乱 の と き同 じ ク ラ ス に 留 ま る 確 率 が 他 の ク ラス に 移 る確 率 よ り大 き くな けれ ば な ら な い.こ の 点 に つ い て は 後 に議 論 す る.   原 子 核 の ハ ミル トニ ア ン に は次 の 形 を仮 定 す る.

(8.12) こ こでH0は

独 立 粒 子 模 型 の もの で,Vは

とす る の は よい 近 似 と考 え られ て い る.す

残 留 相 互 作 用 で あ る.こ れ を 二 体 力

数 は 変 化 が な い か,2だ

る と核 子-核 子 散 乱 で は エ キ シ ト ン

け違 って い るか で あ る.エ キ シ トン 数mに

よ ってQ空

間 を ク ラ ス 分 け す る.

(8.13) 次 にQm空

間の 基 底 を

(8.14) に よ り導 入 す る.μ はJπm以 0,±2の

外 の 量子 数 とす る.す る と残 留 相 互作 用 はΔm=

と き にか ぎ り0で な い.

  残 留 相 互 作 用 の行 列 要 素 を統 計 的 に取 り扱 うた め の分 布 関数 は次 の よ うに す る[10].同

一 ク ラ ス 内で はGauss分

布 で,そ の 平 均 値 は0で,ク

ラ スに よ って

決 まる広 が りを もつ もの とす る.異 な った ク ラ ス の 間の 行 列 要 素 の分 布 もGauss 型 と し,そ の 平 均 値 は0で,広

が りの 大 き さ も ク ラス に よ っ て 決 まる.状 態 を

指 定 す る の にエ キ シ ト ン数mと 分 布 関数 は 次 の2次

そ の ほか の 量 子 数 μ を使 用 す る.行 列 要 素 の

モ ー メ ン トに よ り決 め られ る.

(8.15) こ の2次

モ ー メ ン トを計 算 す る に は まず 適 当 な範 囲(た

ル ギ ー)の

ク ラ スnのNn個

を 計 算 し,そ

の2乗

と して は 図8.1に

の 状 態 とNm個

の平 均 値 を使 い(8.15)か

示 す よ うに,(a)粒

空孔 散 乱 が あ り,Δm=2に

の ク ラ スmの

状 態 間で 行 列 要 素

ら求 め る.Δm=0の

子 粒 子 散 乱,(b)粒

対 し て は,(d)粒

と えば 一 定 範 囲 の エ ネ

行列 要素

子 空 孔 散 乱,(c)空

孔

子 に よ る粒 子 空孔 対 の創 成,(e)

空 孔 に よ る 粒 子 空 孔 対 の 創 成 の過 程 を 計 算 す れ ば よい.  部分準位 密度 は

(8.16)

(a) 図8.1 

(c)

(b)

(d)

(e)

2次 モ ー メ ン トの 計 算 に必 要 な核 子-核 子 相 互 作 用 の 型

よ り計 算 され る.こ の 部 分 準 位 密 度 はm以

外 のJπ が 指 定 され て い るの で, 

と あ らわ に書 くと,全 状 熊 密 度 は

(8.17) と な る.ア

ン サ ン ブ ル 平 均 し た部 分 準 位 密 度 の計 算 はGrassmann数

を使 っ た

超 対 称 理 論 に よ り前 に や っ た もの と 同 じ よ うに計 算 され る.そ の 詳 細 は省 くこ とに し,結 果 だ け を 書 く と,

(8.18) と な る.σmはHubbard-Stratonovitch変

数 の 鞍 点 の 値 で,連

立方程式

(8.19) を 満 た す.σ は残 留 相 互 作 用 に よ る独 立 粒 子 エ ネ ル ギ ー に対 す る 補 正 と考 え ら れ,複

素 数 でmとEに

ギ ー の ず れ で,低

依 存 す る.こ の σmの 実 数 部 は ク ラ ス の 状 態 の エ ネ ル

い エ ネル ギ ー で 負,高

れ て い る.虚 数 部 は ク ラスmの

い エ ネ ル ギ ーで は 正 とな る結 果が 得 ら

状 態 の ひ ろ が りを 与 え る もの で,負 の 値 を と る.

こ れ らの 様 子 は 図8.2に 見 る こ とが で きる.こ れ は208Pbに の で,m=2,

4の 実 数 部,虚 数 部 が エ ネル ギ ー の 関 数 と して 示 され て い る[13].

 この や り方 で 計 算 した208Pbの 互 作 用 の な い 場 合,(b)は

部 分 状 態 密 度 を 図8.3に

互 作 用 の 影 響 で3p-3h,

ル ギ ーで 強 め られ るの が は っ き りと見 え る.[11]の ク ラ ス 間の2次

な って い るが,遷

示 す[13].

(a)は 相

相 互 作 用 の あ る場 合 で,エ キ シ トン数m=2,4,6,8

まで 入 れ た 計 算 を行 っ た.相

Δm=2の

対 し て計 算 した も

4p-4hの

準位 が低 いエ ネ

計 算 に よ る と,ク

ラス 内 と

モ ー メン トを 比べ る と,前 者 の 方 が 後 者 よ り大 き く

移 確 率 は 状 態 密 度 も関 与 す るの で,こ

の節 の冒頭で述べ た ク

ラ ス分 け の 有 効 性 につ い て は お の お の の 場 合 を調 べ な い と わ か ら な い.

図8.2 

208Pbの

鞍点 値 σmのm=2,4の

実 数 部 と 虚数 部[13]

横 軸 は エ ネ ルギ ーE.

(b)

(a) 図8.3 

208Pbのm=2,4,6,8に

対 す る部 分 状 態 密 度 の計 算値[13]

(a)は 独 立 粒 子 模 型 に よ る,(b)は

8.2 

残 留 相 互 作 用 を 入れ た.

マ ス タ ー 方 程 式 とFokker-Planck方

程 式

  衝 突 径 数 が 大 きい 重 イオ ン反 応 で は,互 い に表 面 を掠 る程 度 だ と,励 起 され る 自 由度 の低 い 直 接 過 程 に よる非 弾 性 散 乱 や 核 子 移行 反 応 な どが 起 こ る.衝 突 径 数 が 小 さ くな る に 従 って 接 触 時 間が 長 くな り,核 子 衝 突 や 核 子 移行 に よ る重 イ オ ン の 内部 励 起 が 起 こ る.生 成 重 イ オ ンが 入 射 重 イオ ン と それ ほ ど 違 っ て い な い が,十 分 大 き な エ ネ ル ギ ーが 相 対 運 動 か ら 内 部 運 動 に 転 換 し た と き深 非 弾 性 散 乱(deep

inelastic scattering)と 呼 ぶ.接 触 時 間が 極 め て 長 く複 合 核 を作

る よ うな 反 応 を完 全 融 合 反応 とい う[14, 15, 16].こ れ らの様 子 は 図8.4に 示 す.

図8.4 

重 イオ ン 反 応 の 種 類 とそ の と き の 角 運動 量[16]

G. Cは か す り散 乱,DICは

深 非 弾 性散 乱,Sym.

Fissionは

対称核分

裂,E. R.は 完 全 融 合 反 応 で で き た複 合 核が 崩 壊 して 蒸 発 残 留 核が 残 る反 応 を 示 す.縦 軸 は 角 運 動 量 を 決 め た と きの 反 応 断 面 積.

8.2.1 

巨 視 的 古 典 論

  これ らの 重 イ オ ン 反 応 を最 も簡 単 に 説 明す る に は マ ク ロ な古 典 論 が 用 い られ る.重

イオ ン反 応 で は イオ ンの 質 量 が 大 き い の で,相 対 運 動 の波 長 は す ぐ に核

半 径 よ りは るか に小 さ くな り,古 典 論 が よい 近 似 に な る.二 つ の重 イオ ンの 相 対 運 動 の 動 径 座 標rに

つ い てNewton方

程 式 を 立 て る と,

(8.20) とな る.μ は 二 つ の 重 イ オ ンの 換 算 質 量,Lは

相 対 運 動 の 角 運 動 量 で,Uは

重

イオ ン 間 に働 く保 存 力 の ポ テ ン シ ャ ル で あ る.Ffricは 摩擦 力 で,相 対 運 動 エ ネ ル ギ ーが 内 部 励 起 に転 換 す る の を古 典 的 に マ ク ロ に 見 て 摩 擦 力 が 働 い て い る と す る.こ れ に は い ろ い ろ な 形が あ るが,普 通 は 動 径 方 向 の 速 度rに 比 例 す る動 径 摩 擦 力 で,そ の 一 例 は

(8.21) で 与 え られ る.ρ0は 重 イ オ ンの 平均 密 度,Vは

二 つ の 重 イオ ンが 重 な った 部 分

の体 積 で,κ は 摩 擦 係 数で あ る.方 程 式(8.20)を 解 くと重 イオ ン の運 動 は決 ま る.図8.5に

与 え られ た 衝 突 径 数 の も とで

示 す よ うに,摩 擦 係 数 が 小 さい 場 合 に

は エ ネ ル ギ ー損 失 は小 さ く,散 乱 とな る.摩 擦 係 数 が 大 きい 場 合 もエ ネ ルギ ー 損 失 は大 き くな るが,こ れ もま た散 乱 に な る.摩 擦 係 数 が 中 ぐ らい だ と,ポ テ ン シ ャ ル の 谷 に と らわ れ 完 全 融 合 反 応 とな る[17].相

対 運 動 を解 くに はrだ

けで

な く角 変 数 θ も考 え な け れ ば な ら な い.角 運 動 量 が 保 存 す る と き は簡 単 で あ る

図8.5 

摩 擦 力 の 強 さ に よ り変 わ る重 イオ ン 反 応[17]

有 効 ポ テ ン シ ャルVeffを 座 標rで プ ロ ッ ト し,ま た 重 イ オ ン の運 動 エ ネ ル ギ ー をrの 関 数 と して,三 つ の 場 合 につ き示 した.

図8.6  232Th(40Ar

,K)反

Wilczynskiプ

応 でElab=388MeV,横

ロ ッ ト[18] 軸 は 散 乱 角,縦

軸 はK

の エ ネ ル ギ ー.

が,角

運 動 量 の散 逸 が あ る と き に は 角 運 動 に 関 す る 摩 擦 力 を考 え に 入 れ な け れ

ば な らな い.い ず れ に し ろ連 立 方 程 式 を解 く と相対 運 動 は 完 全 に 決 ま る.衝 突 径 数 を変 え て 計 算 を 繰 り返 せ ば,角 Kを

θの 関数 と して 重 イ オ ン の 運動 エ ネ ル ギ ー

決 め る こ とが で き る.

  重 イオ ン実験 のデ ー タか ら散 乱 角 θ と粒 子 エ ネ ルギ ー の2変 数 をXY座 て 反 応 断 面 積 の 等 高線 を書 くと,図8.6に プ ロ ッ ト とい う[18].右 上 の θ=35°

標 とし

示 す よ うに な る.こ れ をWilczynski

ぐ らい の 山 はす れ すれ 角(grazing

入 射 に対 応 し準 弾 性 散 乱 で あ る.峰 づ た い に左 の 方 に 降 りて θ=0で 折 り返 す.こ の あ た りが 深 非 弾 性 散 乱 に 対 応 す る.Wilczynskiは

angle)

右の方 に

折 り返 し た先

図8.7 

Wilczynskiプ

反 応 は 前 の 図 と 同 じで,散

の 部 分 は 負 の 角 と考 え,図8.7に

ロ ッ トの 解 釈[18] 乱 角 を負 まで,広

げ た.

示 す よ うに 散 乱 され た とす る と,長 時 間 イオ

ン の 接 触 が あ り,深 非 弾 性 散 乱 に対 応 す る こ とが 理 解 で きる.実 際 古 典 論 で計 算 した 結 果 はWilczynskiの

考 え を 支持 して い る.し か し古 典 論 が 与 え る の は

幅 の な い 線 で あ る.そ の 周 りの ゆ ら ぎ は次 に示 す よ うに統 計 力 学 に よ り計 算 さ れ る.

  8.2.2  マ ス ター 方 程 式   前 平 衡 過 程 や 重 イオ ンの 深 非 弾 性 散 乱 な ど で 使 わ れ る マ ス ター 方 程 式 の 現 象 論 か ら説 明 を 始 め る.微 視 的 量 子 力 学 的 な基 礎 づ け は前 平 衡 過 程 の場 合 ラ ンダ ム行 列 理 論 に よ り8.6節 で 行 う.マ ス ター方 程 式 で は状 態 間 の遷 移 を 問題 に す る が,統 計 的 に 取 り扱 うた め,個 々の状 態で は な く,い くつ か の 状 態 を ま とめ て グ ル ー プ と して,そ れ らの 間 の 遷 移 を調 べ る.す な わ ち粗 視 化(coarse を行 う.状 態 の グ ル ープ をm,n,…

で表 す.時 刻tに お い て 系 が グ ル ー プmの

ど れ か 一 つ の 状 態 に あ る確 率 をPm(t)と 項 に示 した ように

graining)

す る と,こ れ が 増 加 す る 割 合 は7.4.3

(8.22) で 与 え られ る.右 辺 の 第1項 らnへ

は グ ル ー プnか

の 流 出 を 表 す.Wn←mは

グ ル ー プmの

らmへ

の 流 入 を,第2項

一 つ の 状 態 か らグ ル ー プnの

ど れ か の 状 態 へ の 遷 移 確 率 を表 す.し た が っ て  wmn=wnmは

グ ル ープmの

移 確 率 で,Nmは 時 刻tに

はmか

と書 け る.

一 つ の 状 態 か らグ ル ープnの

一状態へ の平均遷

中 の状 態 数 で あ る.(8.22)を

見 て わか る よ うに

グ ル ー プmの

お け る変 化 の 割 合 は そ の と きの 状 態 に よ って 決 ま り,そ れ よ り前 の 経

過 に は よ ら な い とす るMarkoff過   重 イオ ン反 応 の 場 合,状

程 を仮 定 し て い る.

態 を 指 定 す る指 標 と して た と えば 重 イオ ンの 相 対 運

動 の エ ネル ギ ー,相 対 座 標,荷

電 数 な ど を と る.す

る とそ れ 以 外 の 量 子 数 につ

い て は 和 を と る こ とに な る.マ ス タ ー方 程 式(8.22)の こ の ま ま解 くこ と も可 能 で あ るが,こ

形 は(7.141)と

こ で はFokker-Planck方

同 じで,

程 式 を導 き簡 単

な解 の 例 を示 す.

  8.2.3 

Fokker-Planck方

程 式

  マ ス タ ー 方 程 式 の 状 態 を 示 す 指 標 を 連 続 変 数 と 考 え,積 ら に 微 分 方 程 式 に 直 す こ とが で き る[15,

19, 20].状

分 方 程 式 に 直 し,さ

態 を 示 す 連 続 変 数 をxと

書 く と,(8.22)は

(8.23) と な り,ρ(x)は

状 態xの

密 度 で あ る.さ

ら にw(x,x')はx=x'に

鋭 い 山が あ

る とし

(8.24) と 書 き 直 し,Pと

ρ を ξ の2次

ま で 展 開 し,(8.23)に

代 入 す る と,

(8.25) と な る.

(8.26)

を2次

モ ー メ ン ト と し,さ

らに

(8.27) (8.28) と す る と,最

後 に

(8.29) を 得 る.-c1は

ド リ フ ト速 度(drift

  Fokker-Planck方

velocity),

c2は 拡 散 係 数 と 呼 ば れ て い る.

程 式 は 重 イ オ ン 反 応 の 解 析 に よ く応 用 さ れ た.い

ちば ん 簡

単 な 場 合 は ド リ フ ト速 度 と 拡 散 係 数 を 定 数 と 置 い た と き で あ る.

(8.30) と置 く と,解 は 直 ち に 求 め られ

(8.31) と な る.た

だ し 初 期 条 件 をP(x,0)=δ(x)と

  簡 単 な 計 算 で,xの

し た.

平均 値は

(8.32) で,そ

の ゆ ら ぎは

(8.33)

図8.8 

重 イ オ ン深 非 弾 性 衝 突 の 際 の 荷電 数 分布[19]

と な る こ と は 示 せ る.Γ

はGauss分

布 の 半 値 幅 で あ る.一

験 か ら 求 め ら れ た 一 つ の 重 イ オ ン の 荷 電 数Zの て 示 し た[19, で あ る.横

20].反

応 は232Th+40Arで,エ

例 と し て 図8.8に

実

ゆ ら ぎ Γ2zを 散 乱 角 を 横 軸 と し ネ ル ギ ー は297MeVと388MeV

軸 の 散 乱 角 は 接 触 時 間 と み な す こ と が で き,幅

の2乗Γ2zは(8.33)

に 示 す よ う に 接 触 時 間 に 比 例 し て い る.

8.3  統 計 的 多 段 階 過程

  軽 イ オ ン,こ こで は具 体 的 に は 簡単 の た め 核 子 を考 え るが,核

と衝 突 す る と,

入 射 エ ネ ル ギ ーが 高 くな る に 従 っ て平 衡 状 態 に 達 す る前 に 粒 子 放 出が 起 こ る確 率 が 高 くな る.こ れ を前 平 衡 過 程 と呼 ん で い るが,こ

の よ うな過 程 は 実 験 で も

よ く観 察 さ れ,ま た 理 論 的研 究 も盛 ん に な った.   この よ うな反 応 の模 型 と して は 初 め にFermiガ な らび に そ の 後 の 発 展 に つ い て は す で に5.4節 は 繰 り返 す こ とを や め,直

ス 模 型が 使 わ れ た.こ の模 型 に 述べ られ て い る の で,こ

こで

ちに 本 論 に 入 る.

  8.3.1  エ キ シ トン模 型   も っ と詳 し く反 応 の 様 子 を 知 るた め に は,入 射 核 子 と核 内 核 子 との 多 重 衝 突 を考 え な くて は い け な い.1回

の 衝 突 ご とに 入 射 核 子 は そ の エ ネ ルギ ー,運

動

量,角 運 動 量 の 一 部 を核 内核 子 に 与 え て核 を励 起 す る.こ の よ うな 過 程 を考 え る と き に都 合 の よい 指 標 と してGriffin [21, 22]は エ キ シ トン 数 す な わ ち粒 子 数 と空 孔 数 の 和 を導 入 した.二 体 の核 力 を仮 定 す る とエ キ シ トン数 は1回 で2だ

け 増 減 す るか,ま

あ る が,エ

た は不 変 で あ る.2p-2hを

の衝突

一 度 に つ くる こ と も可 能 で

ネ ルギ ーが 保 存 し な い の で 実 際 に は起 こ らな い.一 定 の エ キ シ トン

数 を も っ た状 態 の 中 で は平 衡 が 成 り立 つ と仮 定 す る.   時 刻t=0に お い て 系 は確 率Pm0μ0でm0μ0に る確 率 につ い て の マ ス タ ー方 程 式 は

い る とす る.状 態mμ

にい

(8.34)

方 程 式(8.34)で

は 必 要 なす べ て の量 子 数が 指 定 され て い るが,エ

エ ネ ル ギ ー だ け で グ ル ー プ 分 け を して,そ エ キ シ トン模 型 で あ る.Jπ   (8.34)に

Eを

の 間 の 遷 移 を考 え るの がGriffinの

も指 定 し た 方 が よ いが い ま は考 え な い こ と にす る.

お い て, 

チ ャ ネ ルaへ

は 状 態mμ

の 粒 子 放 出 の 確 率 で あ る.一

か らnν

へ の 遷 移 確 率, 

つ の 状 態mμ

中 心 エ ネ ル ギ ー と し て エ ネ ル ギ ー 平 均 す る と,状

し た が っ てPmμ(t)はPmE(t)と え て い る の で,省

キ シ トン数 と

な る.今

略 し てPm(t)と

は

の 占 拠 確 率Pmμ(t)を 態 はmEで

指 定 され る.

は エ ネ ル ギ ーが 保 存 され る 過 程 を考

書 く こ と に す る.(8.34)は

(8.35) とな る.   まず エ キ シ トン 状 態 間 の 遷 移 行 列 要 素 は2次 モ ー メ ン トMmnを

使 って

(8.36) と書 け る.こ れ は 内 部 遷 移 に対 応 す る もの で,遷 移 行 列Tintmn

(8.37) に よ り 表 せ る.さ

ら に(6.144)の

分散幅は

(8.38) と な る.   チ ャ ネ ルaへ

の 遷 移 に つ い て は(7.112)よ

り

(8.39) で あ る が,こ

れ は 透 過 係 数Tmaに

よ り表 せ る.複

合 核 反 応 の と き の(6.118)の

透 過 行 列 は,

(8.40) で あ るが, 

はm状

態の光学ポ テ ンシャルで

(8.41)

と な る の で,透

過係数は

(8.42) で 与 え られ,脱

出 幅Γ ↑mは

(8.43) と な る.こ

れ ら に よ り,(8.35)は

(8.44) 次 にFourier変

換 を 行 う.

(8.45) Πmm0は

初 期 状 態m0か

(8.44)に

代 入す る と

ら 状 態mへ

の 遷 移 確 率 に 関 す る 量 で あ る.(8.45)を

(8.46) を 得 る.最

後 の 項 は δ(t)のFourier表

示

(8.47) を 用 い た.(8.46)は

行 列の形で

(8.48) と書 け,確 率 平 衡 方 程 式 と呼 ば れ る.チ で,状 態mか

らnへ

で 記 述 され る ので,ゆ

の 遷 移 は Πmnで,状

ャ ネ ルaか 態nか

ら状 態mへ

の 吸 収 はTma

ら チ ャ ネ ルbへ の 崩壊 はTnb

らぎの断面積は

(8.49) か ら 求 め ら れ る.

  こ の 前 平 衡 過 程 の 断 面 積 は,平

衡 過程 の と きの よ うに は 現 象 論 的 に 光 学 ポ テ

ン シ ャ ル の み か ら 求 め る こ と が で き な い.光 は(6.118)で

与 え られ る 透 過 係 数 で あ っ て 個 々 のTmaで

移 に 関 す る 量 も 同 様 で,付 算 で き な い.そ

加 的 な 仮 定 を し た り,簡

れ ら はWilliams

さ れ た が,こ 明 す る.透

学 ポ テ ンシ ャル か ら 求 め られ るの

[3], Blann

過 係 数(8.40)は

初 め の チ ャ ネ ルaの

差 が2,0,-2で

が 考 え ら れ る.(a)の

に 占 め ら れ て い れ ば,Pauli効

ど に よ りな

[24]に 最 も 近 い や り 方 を 説 エ キ シ ト ン数maと

あ る に 従 っ て 図8.9に

場 合 は 入 射 核 子 がp-hの

の他内部遷

単 な模 型 を用 い な け れ ば 計

[23], Feshbachら[1]な

こ で はHerman-Reffo-Weidenmuller

エ キ シ ト ン数nの

は な い.そ

状 態nの

示 す よ う に4つ

対 を つ く る が,こ

の過程

の状 態 が す で

果 に よ り禁 止 さ れ る.し

か し こ の効 果 は 標 的核

の エ キ シ ト ン 数 が あ ま り 大 き くな け れ ば 無 視 で き る.す

る と こ の 透 過 係 数 は標

的 核 が 基 底 状 態 で も,エ

キ シ トン状 態 で も 同 じで

(8.50) と な る.eaは

入 射 粒 子 のエ ネ ルギ ー す な わ ち運 動 エ ネル ギ ー と標 的核 へ の 結 合

エ ネル ギ ー の 和 で,Eは 透 過 係 数 で,現   Δm=0の

状 態nの

エ ネ ルギ ー,tは

標 的核 が 基 底 状 態 の と きの

象 論 の 光 学 ポ テ ンシ ャル を使 っ て 求 め る.

場 合 は(b)と(c)の2つ

が あ るが,ほ

とん ど 同 じで,(b)の

場合は

(8.51)

(a)

(b)

(c)

図8.9  連続状態の核子の吸収過程 連続状 態の核 子は二重線で 示す.

(d)

で,t2

,0(ea,ε)は エ ネ ル ギ ーeaの

粒 子 が 核 内 核 子 と衝 突 し て エ ネ ル ギ ー εの2p

状 態 に な る 透 過 係 数 で,  ギ ー がE-eaのp-1,hの

はエ ネル 標 的 核 が エ ネ ル ギ ー ε-eaの1,0と 

の 状 態 に 分 か れ る 割 合 で あ る.(c)の

場 合は

(8.52) で 与 え ら れ る  t1,1(ea,ε)は エ ネ ル ギ ーeaの ε の1p-1h状

態 に な る 透 過 行 列 で,Δ=-2の

核 子 が 粒 子 に 衝 突 し てエ ネ ルギ ー 場合は

(8.53) で 与 え ら れ る.透 な ら な い が,近

過 係数t2 似 と し て3つ

正 に つ い て は[8]を

,0,t1,1,t1,2→0,1は 微 視 的 模 型 に よ り計 算 し な け れ ば と も等 し い と し て も よ い[24].こ

れ ら に対 す る補

見 よ.

  内 部 遷 移 に つ い て は2次

モ ー メ ン ト を 使 っ て(8.37)か

らTintmnを,(8.38)か

ら 分 散 幅 を 計 算 す る.

  8.3.2  拡 張 さ れ た エ キ シ トン模 型   こ れ まで 述 べ たエ キ シ トン模 型 で は エ ネル ギ ー ・スペ ク トル は 計 算 で きるが, 角 分 布 は 出せ な い.角 ら 始 ま った.今

分 布 を出 そ う とい う試 み はMantzouranisら[25,26]か

まで は 系 の 状 態 は エ キ シ ト ン数 だ けが 指 定 され て い たが,そ れ

に エ ネ ル ギ ー の最 も高 い 核 子 の運 動 量 の 方 向κ を 加 え る.い は1個

ま連 続 状 態 の核 子

と仮 定 して い る の で,こ の 方 向がκ で あ る.核 子-核 子 衝 突 に よ り,κ は

自由 核 子 の 散 乱 微 分 断 面 積 に 従 って 変 わ る もの とす る.入 射 核 子 が 核 内核 子 と 衝 突 す る と,そ の エ ネ ルギ ー と運 動 量 の 一 部 を核 内 核 子 に 与 え て,連 続 状 態 の 核 子 の エ ネ ル ギ ー は減 り,そ の 運 動 量 の分 布 は前 方 に鋭 い 山 の あ る もの に な る. 衝 突 を 繰 り返 す と連 続 状 態 の 核 子 の エ ネ ルギ ーは 減 り続 け,角 分 布 の 前 方 の 山 は な だ らか に な り,ほ か の核 子 と区 別 が つ か な くな る.   以 上 を マ ス タ ー方 程 式 で 表 す と,時 刻tに お け る系 が エ キ シ トン数nを 連 続 状 態 の 核 子 の 方 向がκ で あ る確 率 をPn(t,κ)と

書いて

もち,

(8.54) とな る.W↑nは シ トン状 態nか

状 態nか

ら核 子 が 放 出 され る確 率 で, 

らmへ,方

はエ キ

向κ か らκ'へ 遷移 す る確 率 で

(8.55) の よ う に大 き さ を表 す 因子 と角 分 布 との 積 で 書 く.前 者 は前 の エ キ シ トン模 型 の もの を と り,後 者 は

(8.56) と規 格 化 され て い る.こ の角 分 布 関 数 は 自由 な 核 子 散 乱 の微 分 断 面 積 に比 例 す る とし

(8.57) が 成 り立 つ.衝

突 前 の 核 子 の 方 向κ は Ω(θφ)で,衝

突 後 の方 向κ'は Ω'(θ'φ')

で,κ か ら測 っ たκ'の 方 向 を Ω0(θ0φ0)と記 す こ と に す る.   核 子-核 子 散 乱 の 角 分 布 は 重 心 系 で 等 方 に近 い の で,そ の よ うに 仮 定 す る と, 実験 室系 の角分布 は

(8.58) で 与 え られ る.σ0は 立 体 角 で 積 分 した 断 面 積 で あ る.し たが っ て角 分 布 関 数 は

(8.59) と な る. 次 にG(κ'←κ)はcosθ0の

関 数 な の で,次

の よ う にPl(cosθ0)で

展 開 で き る.

(8.60) で あ る.展

開 係 数 は 

で 表 さ れ,l=0,…,6

の 値 は 

で 与 え ら れ る.θ0はκ

る の で,Pl(cosθ0)はκ Ylm(Ω')と

とκ'の な す 角 で あ

を 変 数 とす る 球 面 調 和 関 数Ylm(Ω)とκ'を

の 積 で 展 開 で き,

変数にす る

(8.61) ま たPn(κ,t)もLegendreの

多項式で展 開す ると

(8.62) と な り,マ

ス ター 方 程 式 は

(8.63) と 普 通 の マ ス タ ー 方 程 式 の 形 に な る.た

だ し μ0=1を

使 っ た.

  8.3.3  MSDとMSC  今 まで 前 平 衡 過 程 を 説 明 し て きた が,現 た.そ

象 論 的 な マ ス ター方 程 式 を用 い て き

し て角 分 布 は90° 対 称 に,ま た 拡 張 され た 模 型 で は前 方 ピ ー ク に もな っ

た.し か し理 論 の 基 礎 づ け を確 立 す るた め に はS行

列 か ら出 発 し な け れ ば な ら

な い.こ れ は 以 前Weidenmullerら[27]に

よ って もな され たが,P空

間 と を使 って,多 段 階 直 接 反 応(MSD)と

多段 階 複 合 核 反 応(MSC)と

を 導 入 し た の はFeshbach-Kerman-Koonin

[1]が 最 初 で あ る.

間 とQ空 い う概 念

  入 射 核 子 の エ ネル ギ ーが 高 い と き に は,入 射 核 子 は 核 子−核 子 衝 突 で だ ん だ ん エ ネル ギ ー を失 うがP空

間 に留 ま り,そ の ま ま核 外 に 放 出 され る.こ の よ うに

P空 間 の 中 を 遷 移 す る反 応 をMSDと

よび,角 分 布 は 前 方 ピ ー ク とな る.エ ネ

ル ギ ーが 低 い と きに は 入 射 核 子 が 核 子−核 子衝 突 でQ空

間 に 落 ち,何 回 かQ空

間 で 衝 突 を 繰 り返 し,し か も複 合 核 を 作 る こ とな く核 外 に 出 る こ と もあ る.こ の よ うな 反 応 の 角 分 布 は90° 対 称 でMSCと

よば れ る.MSCとMSDと

然 別 の過 程 で は な く,は じ め の 数 回の 衝 突 はP空 こで,Q空

間 に 落 ち また 何 回か の衝 突 をQ空

外 に 出 る こ とが 起 こ りや す い.P空 で あ るが,実

間 とQ空

程 を経 るが,そ

間 で 繰 り返 すMSD過

程 を経 て核

間 を行 き来 す る よ うな こ とは 可 能

際 に は 起 こ りに くい.

 前 節 の 拡 張 され た エ キ シ トン模 型 はMSCよ (8.55)に 現 れ る λm←nはP空 られ る.

間でMSD過

は全

り もMSDに

分 類 され るべ きで,

間 に お け る核 子−核 子 散 乱 の行 列 要素 と関 係づ け

8.4  多段 階 直 接 過 程

  多段 階 直 接 過 程(MSD)は 多 段 階 複 合 過 程(MSC)に 比べ て,入 射 エ ネル ギ ー が 高 い 場 合 起 こ り,何 回か の衝 突 の 後,い ちば ん エ ネ ル ギ ー の 高 い粒 子 が 束 縛 状 態 に 落 ちれ ば,MSCに

移行 す る.MSD過

程は連続状態 にある粒子の運動の

方 が 核 内核 子 の 運 動 よ り早 い とす る瞬 間 近 似(sudden の 反 対 の 仮 定 の 断 熱 近 似(adiabatic

approximation)の

性 が あ る.前 者 は[28]に よ り,後 者 は[1]や[29]に の 中 間 に あ る と思 われ るが,こ

approximation)と,そ 二 つ の近 似 を と る 可 能

よ り採 用 され た.現 実 は こ

の 取 り扱 い は 極 め て難 し く,計 算 は行 われ て い

な い.

  8.4.1  DWBA   MSDはP空

間 を経 由 す る 過 程 で あ るか ら,一 般 化 され た 光 学 模 型 の方 程 式

(6.97)を 近 似 的 に 解 くこ とに 帰 す る.方 程 式 は

(8.64) で,光

学 模 型 の ハ ミル ト ニ ア ン は エ ネ ル ギ ー 平 均 の 幅 を2Iと

す る と,

(8.65) で,こ

の チ ャ ネル に つ い て の 対 角 部 と非 対 角 部 を そ れ ぞ れ

(8.66) (8.67) と す る.こ

こ で,チ

算 子 で あ る.方

ャ ネ ルaは

αslJで

指 定 さ れ,Paは

チ ャ ネ ルaへ

の射影演

程 式(8.64)は

(8.68) と な る.

(8.69

を 満 た し,そ

の 漸 近 形 が(6.69),

置 き 換 え る)光

(6.70a)で

与 え ら れ る( 

学 波 動 関 数 φ(+)aを 導 入 し て,方

程 式(8.68)を

は 

で

積分方程式

(8.70) の 形 に書 く.こ れ よ りS行 列 を計 算 す る と,

(8.71) と な る.右

辺 第1項

は 対 角 のHoptaか

で あ る.そ

の 微 分 断 面 積 は(6.108)で

ら の 寄 与 で,そ 与 え ら れ る.反

れ 以 外 はMSDか

ら の寄 与

応 断 面 積 は(6.110)よ

り

(8.72) と な る.以 上,入 い 多 段 階DWBAの

射 エ ネ ルギ ー で 平均 の み を行 い,ま だ 統 計 平 均 は 行 って い な 断 面 積 で あ る.こ の 多段 階DWBAは5.4.1項

波 動 関 数 の 規 格 化 の ほか に 射 影 演 算 子P, Qの

のそれ とは

定 義 に 違 い の あ る こ と を注 意 し

て お く.

  8.4.2  終 状 態 に つ い て の 統 計   終 状 態 は ど の 過 程 に も現 れ るの で,い

ちば ん 簡 単 な 一段 階 過 程 を考 え る.そ

の遷 移確率 は

(8.73) で 与 え られ る.こ 次 の よ う に3部

れ を 詳 し く調 べ る た め,P空

間 の ハ ミ ル トニ ア ン の 対 角 部 を,

に 分 け る.

(8.74) す な わ ちH0は

連 続 状 態 の粒 子(leading

particle)に 対 応 し,運 動 エ ネ ルギ ー

と 光 学 ポ テ ン シ ャル よ りな る.標 的 核 の ハ ミル トニ ア ン は独 立 粒 子 のh0と

残

留 相 互作 用 のυ よ りな る.光 学 波 動 関 数 も2部 分 に 分 け(反 対 称 化 は 必 要 だが, 具 体 的 に は 書 か な い)

(8.75)

とす る.こ こで チ ャ ネル 指 標aを

二 つ に分 け,連 続 状 態 に 関 す るaと 標 的核 の

α とに す る.連 続 状 態 の 粒 子 の 部 分 は

(8.76) を 満 た し,標

的 核 の 部 分 はuα

≡￨α>で

(8.77) を満 た す(6.147).殻 数 をumμ

模 型 の エ キ シ ト ンがmの

μで 指 定 され る 状 態 の 波 動 関

≡￨μ>で

(8.78) を 満 た す の で(6.146),こ

れ ら2つ

の基 底 の 間 に は

(8.79) の 関 係(6.148)が

あ る.ま

た 展 開 係 数 の 間 に は 関 係(6.149)が

成 り立 つ.遷

移

確率 は

(8.80) と な り,さ

ら に(8.79)に

よ り 展 開 し,終

状 態 の エ ネル ギ ー につ い て の 平 均 を行

う と,

(8.81) と な る.標

的 核 は 簡 単 の た め0p-0h状

る 状 態 は1p-1h状

態 のphで

と き の 重 み の 関 数 で,Iは (6.150)を

あ る.こ

態 と し た の で,νoptに

よ って 励 起 され

こ で δI(ε-ε β)は エ ネ ル ギ ー 平 均 を す る

そ の 幅 で,I→0で

δI(ε)は δ 関 数 に な る.す

る と

拡張 した

(8.82) を 使 っ て,(8.81)は

(8.83)

と な る.終 状 態 で粒 子bが

観 測 され るの は残 留 核 にphが

和 時 間,こ こで は(6.170)か

ら求 め られ るph状

で きて か ら,核 の 緩

態 の 寿 命,に 比 べ て 長 い 時 間が

経 っ た後 で あ る.そ の 間 に残 留 核 は 平 衡 状 態 に な っ て い る.   一つ のph状 で,IをΓ

態 は 分 散 幅Γ ↓の エ ネル ギ ー範 囲 に分 布 し て い る と考 え られ るの

↓よ り大 き くとれ ば,違

うph状

態 の干 渉 は 消 え て

(8.84) が 成 り立 ち,遷 移 確 率 は

(8.85) と な る.上

の 式 に は 部 分 準 位 密 度 ρph(ε)を 含 む が,こ

れ は 強 度 関 数(6.150)と

同 じ で あ る.

 8.4.3  中 間 状 態 の 統 計  中 間状 態が 現 れ るの は,二 段 階過 程 以 上 な の で,二 段 階 の 遷 移 確 率 を書 くと,

(8.86) とな る.こ の 中 間 状 態 を ど の よ う に取 り扱 うか を 考 え る.そ れ に は 連 続 状 態 の 粒 子 が 核 に衝 突 す る 平 均 時 間 とで きたphの 近 似 を使 う こ とが で きる.そ phに

つ い て は6.4.1項

の た め6.4.1項

の(6.159)で

寿 命 に 大 差 が あ れ ば,断

熱や 瞬間

で 導 入 し た 生 存 確 率 を評 価 す る.

与 え られ る よ うに,分 散 幅 は

(8.87) とな る.集 団 状 態 の 場 合 は6.4.2項 で 述べ た よ うに 一般 に は これ よ り小 さ くな る.   次 に 連 続 状 態 の 粒 子 の 場 合 は,核 物 質 を考 え る と,光 学 ポ テ ン シ ャ ルUの

虚

数 部 の 絶対 値 の2倍 が 幅Γcに な る.有 限 の核 で は,特 に 表 面 吸 収 型 の 場 合 の 評 価 は 難 しいが,等

価 な体 積 吸 収 型 に 直 して,そ の2倍

を近 似 的 な分 散 幅 とす る.

(8.88)   さて 二 段 階 過 程 の最 初 の衝 突 でphを

作 った 時 刻 をt=0と

続 状 態 の粒 子 の 衝 突 が 起 こ る時 刻tに お い て,こ

のph状

して,2回

目の 連

態 と連 続 状 態 の 粒 子

が 生 存 して い る確 率 は,生 存 確 率 の積  の 衝 突 を 連 続 状 態 の粒 子がdtの

に よ り与 え られ る.2回

間 に 起 こす 確 率 はΓcdt/hで

目

あ るか ら

(8.89) とな るが,こ れ を 瞬 間 指 標 と呼 ぶ こ と にす る.Γcは,吸

収 も含 む の で,非 弾 性

散 乱 の 幅 に 置 き換 え た ほ うが よ り正確 に な る.

  8.4.4 

瞬

間

  ま ずPs〓1す

近

似

な わ ちΓc≫Γ↓phの

場 合 を 考 え る.式(8.86)に

現 れ るT行

列

要素 は

(8.90) で あ る.最 初 の 衝突 で はphが Green関

で き るの で,状

態
数 を時 間発 展 演 算 子 で 書 く と,

(8.91) 最 後 の 式 に現 れ る 指 数 関 数 の 連 続 状 態 の 粒 子 に 対 応 す る 部 分 の 時 間依 存 性 は (8.88)に よ り近似 的 に

(8.92) と な る.こ こ でecは

連 続 状 態 の 粒 子 の エ ネ ル ギ ーで,(8.92)は 

の

寄 与 は 無 視 で きる ほ ど 小 さい こ と を 示 して い る.指 数 関 数 の 標 的核 に対 応 す る 部 分 を2項 の 積

(8.93) の 形 に 書 く.大 部 分 の γに 対 し,￨εγ-εph￨は の 場 合,時

間 積 分 の 寄 与 は 

分 散 幅Γphよ

か ら が 大 きい か ら, 

り小 さ い.Γc≫Γ↓ph が

成 り立 ち,第2項

は 無 視 で きる.す

る とT行

列は

(8.94) と な る.第2回

目 のνoptの

作 用 で,p'h'が

生 成 され た と し,uβ

を非 摂 動 状 態

で展 開す ると

(8.95) と な るが,さ

らに2回

目の 衝 突 で はphを

傍 観 者 と し て無 視 す る と,二 段 階 過

程 の 平均 遷 移 確 率 は

(8.96) と な る.こ

こで,Σexはpをp'で,hをh'で

交 換 して 得 られ る 四 つ の 場 合 に

つ い て の 和 を 表 し,こ れ らの 干 渉 項 は 残 る.こ れ ら は 図8.10に な お,式(8.96)は(8.86)に

お い て,核

説 明 して あ る.

の 残 留 相 互 作 用υ を 無 視 す る こ と に よ

り,簡 単 に 求 め る こ とが で き る.   瞬 間近 似 が よい ため には 瞬 間指 標 が1に 近 け れ ば よい.図6.3に 幅 はエ ネ ルギ ー の増 加 関数 なの で,1回

よる と,分 散

目の 衝突 に よるエ ネル ギ ー損 失が 非常 に

大 きい と きを 除 い て,瞬

間近 似 は よい で あ ろ う こ とが わか る.特 に 巨 大 共 鳴 に

つ い て は,分 散 幅 はphの

それ よ り小 さ くな って い るの で,瞬 間近 似 は さ ら に よ

くな る.瞬 間 近 似 は 数 値 計 算 が 困 難 の た め,ご

く最 近 に な る まで 行 わ れ て お ら

ず,実 験 との比 較 もな され て い な い.最 近 の 計 算 に よれば 干渉 の 影 響 は 顕 著 に 認 め られ る が,多

くの 部 分 波 の寄 与 を足 し合 わ せ る とあ ま り 目立 た な くな る[13].

(a)

(b) 図8.10 

瞬 間 近 似MSDの

(c)

(d)

二 段 階 過程 へ の 寄 与

連 続 状 態 の 核 子 は 二 重 線 で 示 す.

  8.4.5 

断

熱

近

似

  この 節 で は,瞬 間 近似 と正 反 対 の 断熱 近 似 を議 論 す る.こ の 近 似 はFeshbachKerman-Koonin

[1]やTamura-Udagawa-Lenske

数 値 計 算 が 行 われ,実

[29]に よ り採 用 され,多

くの

験 デ ー タ と比 較 も され た.前 に 述 べ た よ う にMSD反

応

で は 限 られ た 場 合 に,断 熱 的 な状 況が 起 こ る こ とが あ る.最 初 の衝 突 で の エ ネ ル ギ ー損 失 が 大 き く,連 続 状 態 の 粒 子 は辛 うじ て2回 よ うな 場 合 を 想 定 す る.式(8.92)のΓcはΓ↓phに

目の 衝 突 で 吸 収 を 免 れ る

比 べ て 小 さい の で,連

続状

態 の 粒 子 の 減 衰 効 果 は無 視 で きる.し たが って 標 的核 の 時 間発 展(8.93)の

右辺

の 第2項

は 瞬 間 近 似 の と きの よ うに 無 視 す る こ と は で き ない.こ

の位 相 角 は 状

態γ の エ ネ ル ギ ー に よ り,ま た〓 の 変 化 に よ り,大 幅 に変 わ る の で,状 態γ の 位 相 は ラ ン ダ ム に な る.こ の こ と を確 認 した 後,(8.91)を

そ の ま ま評 価 す る と,

(8.90)は

(8.97) と な る.2回 の で,基

目 の 衝 突 の 行 列 要 素 の 計 算 は 励 起 し た 状態uγ

底 状 態 の 上 に 作 る の と 違 うが,Tamura-Udagawa-Lenske

の 上 にp'h'を

作 る

[29]は こ の

差 を 無 視 し,

(8.98)

と展 開 され る と し

(8.99) が 成 り立 つ と仮 定 し た.さ

らに 傍 観 者 近 似 に よ り,

(8.100) を仮 定 す る.す

ると

(8.101) と な る.こ

のT行

列 の 絶 対 値 の2乗

振 幅 の ラ ン ダ ム 符 号 の た め,ph, γ, よ る 計 算 は 多 く 行 わ れ て お り,そ

を計 算 す る と き 核 は 平 衡 状 態 に な っ て お り, p'h'の の1例

  最 後 にFeshbach-Kerman-Koonin T行

列 の 式(8.101)に

はGreen関

う にr表

示 を と り,原

る が,も

う一 つ の 方 法 と し て,固

干 渉 項 は 消 え る.TULの を 図8.11に

示 す.

[1]理 論 に 触 れ て お く.断 数 が 現 れ る が,こ

断熱 近 似 に

れ は2.7.3項

熱 近 似 の2段

階

に 示 され た よ

点 で 正 則 な 解 と外 向 波 とな る解 の 二 つ の 積 と して 計 算 す 有 関数 展 開

(8.102) を 用 い る.こ

こ で, 

で 置 き 換 え,さ

ら にon

shell近 似 を し て

(8.103) とす る と,二 段 階 振 幅 は 一段 階DWBAの

断面 積 の 積 に書 き換 え られ 計 算 が 簡

単 に な る.こ れ に 対 し早 くか ら批 判 の 声 が 上 が っ て い たが,計 算 の 容 易 さ と,こ の 方 が 実 験 結 果 に よ く合 う場 合 もあ り,ま た こ の 変 則 的 な境 界 条 件 の 固有 関 数 展 開 は 近似 と して 認 め られ る とい う よ うな 議 論 もあ り,な か なか 決 着が つ か ず, 多 くの 数 値 計 算 がFKK近

似 と し て な され て きた.し

か し,1998年Trentoで

行 われ た 共 同研 究 会 で,変 則 的境 界 条 件 の使 用 は退 け られ た[30].

  図8.11  27Alと209Biに

断熱 近 似MSDに よ る62MeV陽

よ る計 算 と実 験 との 比 較[29] 子 の非弾性散乱で ,出 て くる 陽 子 の エ ネル ギ ー を三 つ に 分 け,角 分 布 を示 した.黒 丸 は実 験 値,計 算 値 は実 線 で 二 段 階 まで の 寄 与,点

線 で 一段 階 の み の 寄 与 を示 し た.

8.5  線 形 応 答 関 数

  前 節 で はMSD過

程 を入 射 粒 子 の 側 か ら調べ たが,こ

眺 め て み よ う,6.4.1項 化 す るか を調 べ た が,こ

こで は 標 的核 の 側 か ら

で は 一 定 のエ ネ ルギ ー の戸 口状 態が 時 間 と と もに ど う変 こ で は 入 射 粒 子が 核 に与 え る衝 撃 を 変 化 させ て 核 の 反

応 を詳 し く調 べ る.   例 と し て核 子 か 電 子 の 非弾 性 散 乱 を 考 え る.入 射 粒 子 の 運 動 量 と エ ネ ル ギ ー をそ れぞ れhpaとEa,出 と, 

て くる粒 子 の 運動 量 とエ ネ ルギ ーはhpbとEbと

する

が 標 的核 に移 行 した 運 動 量 とエ ネル ギ ーで

あ る.散 乱 断 面 積 をhq, hω の 関 数 と し て 測 定 す る と,核 が 外 部 か ら のhq, hω の 刺 激 に対 して の 応 答 が わ か る.こ の 遷 移 確 率 を 応 答 関 数 と い う.さ らに 入 射

粒 子 と核 の 相 互 作 用が 弱 く,1次

の 摂 動 で 近 似 で きる場 合 に は 応 答 は 刺 激 の 強

さに 比 例 す る か ら,線 形 応 答 関 数 とな る[31, 32, 33].   原 子 核 の ハ ミル トニ ア ン をHと

し,そ れ に 時 間 に 依 存 す る摂 動 が 加 わ った

とす る.具 体 的 な 簡 単 な例 を示 す と次 の よ うに な る.荷 電粒 子 が 核 を励 起 す る 非 弾 性 散 乱 を考 え る.励 起 エ ネル ギ ーが 入 射 エ ネル ギ ー に 較 べ て 小 さ く荷 電 粒 子 の エ ネル ギ ー 損 失 は無 視 で き る とす る.さ らに 古 典 近 似 が 成 り立 つ とす る と, 荷 電 粒 子 はCoulomb力

と核 力 の 相 互 作 用 を受 け 一 定 の軌 道 を 動 くこ と に な る.

した が っ て荷 電 粒 子 の 位 置 ベ ク トル は 時 間 の 関 数 と してr(t)の

よ うに 決 ま る.

核 内 核 子iの

れが 時 間に依

受 け る 相 互 作 用 はV(ri-r(t))と

表 さ れ る が,こ

存 す る摂 動 で あ る.こ れ は 一 般 に は ω に つ い て のFourier積

分 で 表 せ るが,異

な る ω の 振 幅 は干 渉 しな い と考 え られ るか ら,一 つ のFourier成

分 だ け を含 む

摂動

(8.104) を考 え れ ば よい.ρqは

運 動 量 移 行hqに

対 応 す る原 子 核 の 核 子 の 一 体 の 密 度 行

列 で あ る(そ の 対 角 成 分 は 普 通 の 密 度 で あ る).運 動 量 表 示 の 核 子 生 成 消 滅演 算 子 を使 って

(8.105) と表 せ る.ス

ピ ン 変 数 をsで

的 ス イ ッチ ング でt=-∞

表 し て あ る.こ の 摂 動 は2.2.4項 で 使 わ れ た 断熱

か ら断 熱 的 に加 わ る もの と し,η>0は

きわ め て小

さ な 数 とす る.原 子 核 の 方 程 式 は

(8.106) と な る.こ れ を1次 の 摂 動 と し て解 く.原 子 核 の 状 態 をν で 表 し,方 程 式

(8.107) を満 たす もの とす る.t=-∞

で 基 底 状 態ν=0に

あ るとし

(8.108) と 展 開 す る.(8.108)を(8.106)に

代 入 し,H'(t)に

つ い て1次

の項 をとる と

(8.109)

を 得 る が,こ

れ を-∞

か らtま

で 積 分 し て,

(8.110) と な る.波

動 関 数 は(8.108)よ

り

(8.111) で 与 え られ る.   摂 動 に よ り核 の 状 態 が(8.111)の

よ う に変 わ っ た.こ れ に 伴 っ て密 度 行 列 の

期待値 は

(8.112) と な る.こ の 計 算 で 

の よ うな 項 が 現 れ るが,運 動 量 保 存 則 が

満 た され な い の で 落 と し て あ る. 

のFourier変

換は

(8.113) とな る.こ こ で 単 位 刺 激 に 対 す る応 答

(8.114) を 偏 極 伝 搬 関 数(polarization 義 す る.こ

の 式 は1956年Kubo

propagator),そ [34]に

の 虚 数 部 分 を線 形 応 答 関 数 と定

よ っ て 最 初 に 求 め ら れ た.

  応 答 関 数 を 一 般 の 場 合 に 計 算 す る に は,摂

動(8.104)を

一 般 化 して

(8.115)

と書 く.そ し て 密 度 行 列 の期 待 値 を 計 算 す る と

(8.116) とな る.偏 極 伝 搬 関数 は

(8.117) で 与 え られ る.密 度 は

(8.118) と 表 され る.ρ(0)は

基 底 状 態 の 密 度 で あ る.

  8.5.1  DWBAと

の関係

  これ で 線 形 応 答 関 数が 求 ま った が,こ て お く.こ こ で は2∼5章

れ と従 来 の 核 反応 理 論 との 関係 を 述べ

と同 じ く運 動 量 表 示 で,波

使 う.し た が っ て チ ャネ ル 指 標aは

数 に よ る規 格 化(2.59)を

αsκ を示 す.DWBAに

よ る と核 に対 す る

摂動は

(8.119) とな る.Vは

入射 粒 子 と核 内核 子 の相 互 作 用 で,ξ は核 内核 子 の 座 標 で,(8.119)

は 一 体 の 演 算 子 を表 し て い る.こ れ が(8.104)の

摂 動 に 対 応 す る.DWBAの

断面積 は

(8.120) と 書 け る((2.232)参

照).遷

移行 列 要 素

(8.121) の δ関 数 を 書 き直 す と

(8.122)

とな る.Oを

生 成 消 滅 演 算 子 を使 っ て 表 す と

(8.123) と な る.(8.123)の は な い が,こ

右 辺 を(8.117)の

右 辺 と 比 較 す る と,(8.117)の

右 辺 第2項

れ は 通 常 寄 与 は な い.

  8.5.2  近 似 計 算,RPA   以 上 の 計 算 は核 の 状 態 は 正 確 に わか って い る と し たが,そ

の よ うな場 合 は 少

な く,一 般 に は近 似 の 波 動 関 数 を使 う.原 子 核 の 波動 関 数 は平 均 場 近 似 を用 い, Slater行 列 式 で 表 され る とす る.各 軌 道 は 核 子 が 占 拠 して い るか,空

で あ るか

の いず れ か で あ る の で,密 度 行 列 は

(8.124) を 満 た す.密

度 行 列(8.116),

(8.118)の

運 動 方 程 式 を 求 め る と,Φ(t)は(8.106)

を 満 た す の で,

(8.125) を得 る.平 均 場 近 似 の も とで 計 算 す る と(8.125)は

(8.126) と な る[32].f(t)は

行 列(fkl)のFourier変

換 で あ る.摂

動fの1次

の近似で

(8.127) で あ る.h0は

摂 動 の な い と き の 平 均 場 の ハ ミ ル トニ ア ン で あ る.ま

でf(t)=0と

す る と,TDHFの

  密 度 行 列 ρ は(8.118)の

方 程 式 と な る(8.7節

た(8.126)

参 照).

よ う に 書 け る の で,δ ρ に つ い て1次

の 項 を と る と,

(8.128)

を得 る.平 均 場 近 似 に よ り

(8.129) と な る.こ

こ でFermi準

位 よ り 上 の 準 位 をp,下

の をhと

記 し た.ρ(1)に

つい

ては

(8.130) が 成 り立 つ.ま

た

(8.131) で あ る.こ

れ ら を 使 っ て(8.128)のhp,

phの

行 列 要 素 を と る と,

(8.132) と な る が,こ

こで

(8.133) で,

(8.134) は 有 効 相 互 作 用 の 行 列 要 素 で,残 留 相 互 作 用 の 密 度 依 存 性 を 無 視 す れ ば 二 体 相 互 作 用 の 行 列 要 素 に な る.方 似(random

phase

右 辺 でf=1と

approximation,

程 式(8.132)で RPA)の

置 くと ρ(1)はRPAのGreen関

た と きの 線 形 応 答 関 数 はRPAに

右 辺 を0と

置 く と乱 雑 位 相 近

方 程 式 に ほか な ら な い[32].ま

た

数 で あ る.平 均 場 近 似 を使 っ

対 応 す る.こ れ ら を 次 に具 体 的 な 式 を用 い て

示 そ う.   RPAの

方程式 は

(8.135) と 書 け る.こ

こで

(8.136)

で

(8.137) で あ る. 

も(8.135)の

解 で,そ

の 固 有 値 は-ん Ωνで あ る の で,二

つの

解 を行 列

(8.138) の 形 で 書 く.固 有 値 も

(8.139) と 表 せ る.(8.135)の

左辺 の行列 を

(8.140) と 書 く と,(8.135)は

(8.141) とな る.  RPAの

固有 関 数 に つ い て は,直 交 関係 が 成 り立 ち,規 格 化 条 件 と と も に

(8.142) と な る.RPAのGreen関

数Gの

満 た す 方 程 式 は(8.132)の

右 辺 を-1と

お き

(8.143) と 表 さ れ る.Green関

数 の 固 有 関数 展 開

(8.144) を(8.143)に

代入 する と

(8.145) と な り,Green関

数 は

(8.146) で 与 え ら れ る.こ

れ は(8.117)の

偏 極 伝 搬 関 数 に 対 応 す る.

  次 にGreen関

数 の 別 の 形 の 方 程 式 を 求 め よ う.(8.140)のSを

独 立粒子模型

の 部 分 と相 互 作 用 の 部 分 に分 け る.

(8.147) S(0)は(8.133)の る.こ

行 列Aminjの

れ を(8.143)に

右 辺 第1項

の み か ら な る も の で,ν

は 残 りで あ

代 入す ると

(8.148) を 得 る.次

にν=0の

数 をG(0)と

す ると

場 合 のGreen関

数,す

な わ ち 独 立 粒 子 模 型 のGreen関

(8.149) を 満 た す.(8.148)と(8.149)か

ら方 程 式

(8.150) が 求 め ら れ る.Green関

数 が(8.150)を

解 い て 求 ま れ ば,(8.132)よ

り,密 度 行

列は

(8.151) と な る.

8.5.3  Fermiガ

ス模型

 線 形 応 答 関 数 の 最 も簡 単 な場 合 と し て,平 面 波Born近 た核 子 のFermiガ

似(PWBA)を

用い

ス に よる 散 乱 に応 用 す る.入 射 核 子 と核 内 核 子 との 相 互 作 用

は 二 体 の ポ テ ン シ ャル の 和

(8.152) と し,中

心力

(8.153) を 仮 定 す る.a0,

a1は

定 数 で あ るが ア イ ソ ス ピ ン に よ っ て も よ い.ス

し な い 部 分 を 摂 動 と す れ ば ス カ ラ ー 応 答(scalar

response)が

ピ ン に依 存

得 ら れ,ス

ピンの

部 分 を とれ ば ス ピ ン 応 答(spin

response)を

得 る.さ

ら に 後 者 は 運 動 量 移 行hq

につ き

(8.154) の よ う に ス ピ ン 縦(spin

longitudinal)と

ス ピ ン 横(spin

transverse)の2成

分

に 分 け ら れ る.   入 射 ・散 乱 粒 子a,

bの ス ピ ン ・ア イ ソ ス ピ ン 量 子 数 をa, bと 書 く と,核

摂 動(8.119)はPWBAに

へ の

よ り

(8.155) と な る.ξ

は 核 内 核 子 の ス ピ ン ・ア イ ソ ス ピ ン 変 数.例

と して ス カ ラ ー 応 答 を

考 える と

(8.156) と な る.hqは

運 動 量 移 行 で あ る.υ(q)はυ(r)のFourier変

換 で

(8.157) で 与 え ら れ る.密

度 のFourier変

換 を 使 っ て,摂

動は

(8.158) と な る.   偏 極 伝 搬 関 数(8.114)は

(8.l59) で あ る.密

度 のFourier変

換(8.105)は

(8.160) と 書 け る.こ

こで 中 間 状 態 を

(8.161)

と す る と,(8.159)の

右 辺 第1項

の分子 は

(8.162) と な る の で,κh=κ

と 書 く.第2項

も 同 様 に 計 算 し,κp=κ

と す る と,

(8.163) とな る.   線 形 応 答 関 数 す な わ ち 偏 極 伝 搬 関 数 の 虚 数 部 だ け を 考 えれ ば,(8.163)の 辺 の 第2項

は0と

右

な る.し た が っ て

(8.164) と な る が,

(8.165) こ こ でκ

とqと

の な す 角 を θ と し た.(8.164)の

積分は

(8.166) と な る.こ

こ でν

は 核 の 体 積 で あ る.

  こ こ で 非 相 対 論 的 ス ケ ー リ ン グ 因 子(non-relativistic

scaling

factor) [35]

(8.167) を 導 入 す る と,

(8.168) と な る.す

る と,

(8.169)

した が っ てκ2の 積 分 範 囲 は

(8.170) に よ り決 ま る.上 の 式 の 左 辺 の2量 の 大 小 は

(8.171) の 正 負 で 決 ま り, 

な の で,

(8.172)  の 場 合 は 上 の 式 は 

とス

ケ ー リ ン グ 因 子 の み の 関 数 と な る.  運 動 量 κFで あ ら わ す と  関 数 の グ ラ フ を 示 す.相

と し て,核

と な る.図8.12に(8.172)の

互 作 用 の な いFermiガ

相 互 作 用 の あ る 場 合 は(8.150)を

図8.12  横 軸 は  と して 示 し た.た

の 体 積 をFermi

Fermiガ

ス の 偏 極 伝 搬 関 数 が 求 まれ ば,

使 っ て 求 め る こ とが で き る.

ス模 型 に よる 線 形 応 答 関 数[37]

を,縦 軸 は  だ しq=q/κF.

応答

を 

を単 位

  8.5.4 

有

限

核

 有 限核に対 する応答 関数は独 立粒子模型 の偏極 伝搬 関数

(8.173) に(8.150)に

従 い 相 互 作 用 を 導 入 す れ ば 求 め られ る.pとhは

態 を 表 す.巨 大 共 鳴 の 励 起 に 対 す るRPA応 多 い[36].こ

答 関 数 はr表

粒 子 と空孔 の 状 示 で 行 われ た もの が

の 表 示 で は 式(8.173)は

(8.174) と 書 け る.φ0k(r)は

軌 道kの

互 作 用 を 使 う と,(8.144)の

波 動 関 数,相 計 算 はrの

互 作 用 と し て δ関 数 形 のSkyrme相 各 点 を足 に もつ 行 列 の 簡 単 な計 算 に帰

着 す る.   ス ピ ン ・ア イ ソ ス ピ ン 応 答 関 数 は π 中 間 子 凝 縮(pion 係 が あ り,多

condensation)に

も関

く の 人 々 に よ り研 究 さ れ て い る[38].

8.6  多 段 階複 合 核 過 程

  多 段 階 複 合 核(MSC)過 結 果 は(8.48),(8,49)に

程 は す で に8.3節 示 さ れ て い る.本

で マ ス タ ー 方 程 式 に よ り取 り扱 わ れ, 節 で は 複 合 核 に 対 し,7.5節

よ う に ラ ン ダ ム 行 列 理 論 に よ る 基 礎 付 け を し て,8.3.1項 す る こ と を 示 す[39].出

発 点 は7.5節

部 分 状 態 密 度 の と き の よ う に,ク

の結 果 は 弱結 合 に相 当 あ る が,8.1.2項

ラ ス 分 け に エ キ シ ト ン 数 を 使 う.相

行 列 要 素 は ラ ン ダ ム 行 列 と し,Gauss分 で あ る.S行

の(7.147)-(7.149)で

布 を 仮 定 し,2次

で行 った

の

互作用 の

モ ー メ ン トは(8.15)

列 の ア ン サ ン ブ ル 平 均 は チ ャ ネ ル 間 の 直 接 結 合 を 入 れ な い の で,

対 角 型 の み で,準

位 密 度 の 場 合 と 同 じ に 計 算 で き て,

(8.175) と な る.σ0はHubbard-Stratonovitch変 添 え 字 が つ く対 角 行 列 で あ る.h0は

数 の 鞍 点 に お け る 値 で,ク ハ ミル トニ ア ンHの

ラ スmの

独 立 粒 子 部 分,Wは

脱 出 幅 で,(7.149)の

指 標 μ をmμ

に 変 え る と得 られ るが,エ

ネルギーのず れ

を以 下 無 視 す るの で,

(8.176) で あ る.こ れ よ り透 過 行 列 を計 算 す る と

(8.177) を 得 る.Δmは(7.96)に

対 応 し,σmの

虚 数 部 で 準 位 密 度 に 比 例 す る.

(8.178) こ こで 

は エ キ シ トン数mの

チ ャ ネ ル につ い て 対 角 行 列 で ク ラ スmのQ空

状 態 数 で あ る.透 過 行 列 は

間へ の 吸 収 に対 応 す る.

  S行 列 の ア ンサ ン ブ ル 平 均 の 計 算 は 簡 単 で あ るが,2点 の ア ンサ ンブ ル 平 均)の

関数(2個

のSの

積

方 は 複 合 核 の 場 合 よ り クラ ス 分 け が あ るだ け 複 雑 で あ

る と考 え られ る.事 実,同

じ精 度 の 計 算 はで きな い.し か し前 平 衡 過 程 で は多

くの チ ャ ネル が 開 い て い る の で,脱 な り,か え って 簡 単 に な る.2点

出 幅が 大 き く,そ の た め 摂 動 計 算 が 可 能 に

関 数 の 式 は σmを 含 むが,被

積分 関数はすべ

て の σmに よ り,ま た σmは 互 い に 交 換 し な い.そ れ で 平 衡 過 程 の場 合 の よ う に 鞍 点 の 多 様 体 に つ い て 正 確 に 積 分 す る こ とは で きな い.指 数 の 中 の 対 数 項 は 結 合Wを

含 むが,そ

れ は チ ャ ネ ル に つ い て の 和 を 含 み,そ

い て は 非 常 に大 きい.し

の 数 はMSCに

お

たが って 対 数 項 は σmの 対 角 部 を 中心 に して,べ

き展

開が で き る.最 終 結 果 は

(8.179) とな る.右 辺 のΠ は エ キ シ トン 数 に つ い て の 行 列 で,次 の確 率 平 衡 方 程 式 を満 た す.

(8.180) (8.179)のTabは TextmnはP空

透 過 行 列(8.177)で,実 間 を 経 由 し て 状 態mか

際 の 計 算 は(8.40)を らnへ

の遷移確率 で

使 っ た 方 が よ い.

(8.181) で 与 え られ る.Eと

εは それ ぞ れE(1)とE(2)の

平 均 と差 で あ る

.P空 間 に

関 す る幅 は

(8.182) で 与 え ら れ る.

 一 方

,内 部 遷 移 の 方 は

(8.183) で,分 散 幅 は

(8.184) と な る.(8.183)に でMSC過

現 れ るgmnは2次

程 の 断 面 積 が 求 め ら れ る が,強

れ に 反 し て8.3.1項 Mantzouranis る が,こ

モ ー メ ン トMmnの

結 合 近 似 を 仮 定 し た も の で あ る.こ

で 現 象 論 か ら 求 め た もの,あ

[27]が

逆 行 列 で あ る .こ れ

る い はAgassi-Weidenmuller-

ラ ンダ ム行 列 を使 い 求 め た もの は 弱 結 合 近 似 の 仮 定 で あ

こ で 求 め た 強 結 合 の 結 果 か ら 形 式 的 に 導 く こ とが で き る.残

用 が 弱 い と 部 分 準 位 密 度 は 独 立 粒 子 模 型 の ρ(0)に 変 わ る.内

留 相互作

部 遷移の確率 は

(8.185) と な る.こ れ は8.3.1項 で 求 め た(8.37)と

同 じで あ る.

  前 平 衡 過 程 の 断 面 積 は 弱 結 合 ・強 結 合 と もに 同 じ形(8.180)の 確 率 伝 搬 関数 Π(ε)によ り記 述 され る こ とが わ か った.こ れ らの議 論 の詳 細 は[10]に 譲 りMSC とMSDの

関 係 に つ い て 触 れ て お く.こ こで 説 明 し たMSCで

ら す ぐ にQm空

間 に 入 る よ うに な っ て い るが,8.3.3項

ル ギ ーが 高 い と き に はチ ャ ネ ルaか

らP空

間 をMSDで

は チ ャネ ルaか

で 触 れ た よ うに,エ

ネ

経 過 し て か らMSC過

程 に 入 る方 が 起 こ りや す い.こ の と きは 透 過 行 列(8.177)にMSDに

お け る遷

移 を組 み 込 まな け れ ば な ら な い.こ れ は[40]で 行 わ れ,簡 単 な場 合 の 数 値 計 算 は[41]で な され て い る.   こ こで 時 間 に 依 存 す る 定 式 化 に 移 り,平 衡が 成 り立 つ 条 件 な ど を求 め て み よ

う[27].(8.180)に

お い て ε=0と

し た も の か らQ行

列

(8.186) を定 義 す る.こ れ は2π ρで 割 っ て い る の で エ ネ ル ギ ー の次 元 を 持 ちエ ネ ルギ ー 幅 に 関係 し て くる.行 列Qは

実 数 で 対 称 行 列 で あ る か ら,直 交 変 換 に よ り対 角

化 され る.こ れ をqと す る と,

(8.187) す ると確 率伝搬 関数は

(8.188) と 書 く こ と が で き る.こ

れ を(8.179)に

代 入 し,そ

のFourier変

換 を行 う と

(8.189) と な る.す qjは

な わ ち 前 平 衡 過 程 は い ろ い ろ な 幅qjの

最 も寿 命 の 長 い モ ー ドで,平

少 し 調 べ る.和

モ ー ド に 分 解 さ れ る.最

衡 過 程 に 最 も 近 い.次

公 式(8.182)と(8.184)を

使 っ て(8.186)を

にQの

小の

固有 値 を も う

書 き直 す と

(8.190) と な る の で,(8.187)を

使 うと

(8.191) と 変 形 さ れ る.も

しtr(Tm)が

小 さ く無 視 で き る と す る と,変

換

(8.192)

は 最 低 の 固 有 値q1=0を で は(8.10)に

よ り,エ

近 似 され る.tr(Tm)を

与 え,寿

命 無 限 大 で 平 衡 過 程 に 対 応 す る.平

キ シ ト ン 数 は 

を ピ ー ク と し たGauss分

小 さ な 摂 動 と 考 え,(8.192)を(8.191)に

衡 状態 布で

代 入 す る と,

(8.193) を得 る.こ れ が 複 合 核 の 幅 で,透 過 係 数 の チ ャ ネ ル 和 の 平均 に比 例 し,分 散 幅 は 寄 与 しな い.   複 合核 は6,7章 Q空

で 論 じ られ,7.7節

に お い て 要 約 し た よ う に統 計 は 考 えず に

間 の 有 効 ハ ミル トニ ア ン の対 角 化 あ る い は 大 規 模 殻 模 型 の 計 算 に よ り求 め

られ,GOEの

よ うな統 計 的 計 算 と合 う結 果 を得 て い た.こ

こで は 初 め か ら統

計 を仮 定 しマ ス タ ー 方程 式 を解 い た結 果,一 番 長 寿 命 の モ ー ド と し て得 られ た の が 複 合 核 で あ っ た.そ れ は す べ て のエ キ シ トン状 態が 状 態 数 に従 い統 計 的 に 分 布 し(8.192),そ

の 寿 命h/q1は

8.7 

殻 模 型 の 結 果(7.173)と

TDHF,

  重 イオ ン反 応 につ い て は 現 象 論,輸

Vlasov方

一致 した.

程 式

送 方 程 式 に よ る もの,そ れ と本 節 に 述 べ

る 微 視 的 な もの が あ る.現 象 論 は8.2節 で 簡 単 に説 明 し た.輸 送 方 程 式 に よ る もの に は い ろい ろ あ る が,前 節 のMSDと 重 イ オ ン に 応 用 し た もの で,こ

れ をTDHFか

ら始 め る.エ ネ ルギ ーが 高 くな る と

古 典 版 で あ るVlasov方

程 式 が 使 わ れ るが,そ

ら導 く.高 エ ネ ル ギ ー で は 核 子-核 子 衝 突 が 重 要 とな る の で,そ

れ を取 り入 れ,さ

ら に エ ネ ル ギ ー が 高 くな る と方 程 式 を ま と もに 数 値 的 に 解 く

こ とは 困 難 に な り,Monte

Carloの 方 法 を使 う.核 子 を 点で は な く波 束 で 表 し,

量 子 効 果 の 一 部 を い れ た のがQMDで,こ   TDHFの

方法を

こで は省 略 す る.本 節 で は,低 エ ネル ギ ー で 適

用 され る,平 均 場 を 基 礎 とす るTDHFか 古 典 近 似 が よ くな り,TDHFの

ラ ン ダ ム 行 列 に よるMSCの

歴 史 は 古 くDiracに

時 に 一 体 のHartree-Fockポ

れ も最 後 に 簡 単 に 触 れ る.

は じ ま る[42].こ れ を重 イオ ン衝 突 に 応 用 した

テ ン シ ャルが 時 間 的 に ど う変 わ っ て い くか を 初 め

に 描 い て み よ う.初 期 状 態 で は 二 つ の 一 体 ポ テ ン シ ャ ル は 形 を変 えず そ の 二 つ の 重 心 は近 づ い て い く.二 つ の ポ テ ン シ ャ ルが 接 触 を は じ め る と,初 め の 二 つ の 球 に近 い 形 か ら一 つ の 球 形 に 近 い 形 に段 々 と変 化 す る.し ば ら くす る と また 2部 分 に 分 か れ て 飛 び 去 る.し か し 各 々の イ オ ンに 対 す る ポ テ ン シ ャ ル の 形 は

一 般 に は静 止 し て い な い で ,振 動 す る こ と もあ る.こ の と き の波 動 関 数 は 時 間 に よ り変 化 す る 一 つ のSlater行

列 式 で 表 され,

(8.194) 独 立 粒 子 波 動 関 数 φα(r,t)は 時 間 に依 存 す る と し,こ れ を 自己 無 撞 着 に決 め る の がTDHFで

あ る.そ の 方 程 式 は 次 の 量

(8.195) の 変 分 原 理 か ら求 め られ る.ハ ミル トニ ア ンHのSlater行

列 式 に よる 期待 値 は

(8.196) で あ る の で,Iの

φ*α に つ い て の 変 分 の 停 留 値 を求 め る と

(8.197) の 方 程 式 を 得 る.Hartreeポ

テ ンシャルは

(8.198) で,Fockポ

テ ン シ ャル は

(8.199) で 与 え ら れ て い る.こ の 中で 密 度 行 列 は

(8.200) に よ り表 さ れ て い る.TDHFの 共 役 に φα を か け,辺

方 程 式 は(8.197)に

φ*αを 掛 け,(8.197)の

複素

辺 引 き 算 を し た も の を α に つ き和 を と り,

(8.201)

と い う密 度 行 列 の 方 程 式 に書 き換 え られ る.こ

こでUはHartreeとFockポ

テ

ン シ ャル の 和 で あ る.   TDHFの

方 程 式 を解 くに は初 期 の 波 動 関数 を与 え な け れ ば な らな い.こ れ に

は まず 衝 突 前 の 二 つ の 核 の 波 動 関 数 を 静 的Hartree-Fockの

近 似 で 求 め,次

に

二 つ の 核 の 距 離 を十 分 離 し,一 定 の 速 度 で 互 い に 近 づ く よ うな 波 動 関数 を つ く る.こ の と きの衝 突 径 数 か ら相 互 運 動 の 角 運 動 量 が 決 ま る.こ の 初 期 条 件 の 下 で 方 程 式 を解 い て い く と,二 つ の 核 が 近 づ き,接 触 し,一 つ の 塊 に な る.こ れ が そ の状 態 を 保 ち な が ら振 動 回 転 をあ る時 間 た とえ ば2,3回

転 ぐ らい 続 け れば

核 融 合 反 応 が 起 こ っ た とみ な す.も し 二 つ の 核 に す ぐ離 れ れ ば 深 非 弾 性 衝突 が 起 こ っ た と考 え る.こ の と き二 つ の 核 は 通 常 励 起 状 態 に あ る.二 つ の 核 の運 動 方 向 か ら角 分 布 を,ま た そ の 相 対 運 動 の エ ネ ル ギ ーか ら エ ネ ル ギ ー 損 失 が,ま た 二 つ の 核 の お の お の の 質 量,荷 電 量 か ら 質量,荷

電 分 布 が 求 め られ る.し か

し初 期 条 件 を決 め る と それ に 対 応 した 一 定 の 反 応 が 起 こ る の で,量 子 力 学 を全 面 的 に 使 った と きの 波 動 関 数が い ろ い ろの 型 の 反 応 の振 幅 の和 に な っ て い る の と異 な る.そ れ でTDHFは   TDHFの 積,深

古 典 近 似 とみ な され る.

計 算 は 比 較 的低 エ ネ ル ギ ー10MeV/A以

下 で 行 われ,核

非 弾 性 衝 突 の 断面 積 な ど 実 験 と合 う結 果 が 得 られ て い る.ま

融 合 断面 た生 成 核 の

平 均 質 量 や 荷 電 数 も よ く合 っ て い る.し か し 質 量 や 荷 電 の分 布 の 広 が りにつ い て は過 小 評 価 して い る.TDHFは 結 果 を 与 え るが,分

布 幅 の よ うな 二 体 以 上 の 演 算 子 の 期 待 値 に は よい 結 果 が 得

られ て い な い.TDHFの

  8.7.1 

Vlasov方

平均 場 近似 な の で 一 体 演 算 子 の期 待 値 は よ い

計 算 の 一 例 を 図8.13に

示 す.

程 式

  エ ネ ル ギ ーが 高 くな る とTDHFの

計 算 は 難 し くな る 一 方,古 典 近 似 が よ く

な る.古 典 論 の 方 程 式 はVlasov方

程 式 と よば れ,TDHFの

う に し て 導 くこ とが で きる[44].密

度 行 列 のWigner変

方 程 式 か ら次 の よ 換

(8.202) を使 ってTDHFの

方 程 式(8.201)のWigner変

換 を行 うが,右 辺 の 第1項[K,ρ]

の 計 算 に は 運 動 量 表 示 の 方が 容 易 で あ る.そ れ で 運 動 量 表 示 の 密 度 行 列 は

(8.203)

図8.13 

84Kr+209Bi重

イオ ン 衝 突 のTDHFに

よ る計 算 結 果(Elab=600MeV,l=140)

計 算 は2次 元 空 間(軸 対 称 を仮 定 し,回 転 の 影響 は コ リオ リ力 の 形 で 入 れ た) で 行 い,時 間 の 単 位 は10-21s[43].

で 表 せ るの で,Wigner変

換 した密度行列 は

(8.204) と表 す こ とが で き る.こ れ を使 う と

(8.205) と な る が,k=p+q/2,k'=p-q/2と

変 数 をpとqに

変 換 す る と,

(8.206) と な る.(8.204)を

使 うと

(8.207) を 得 る.次

に(8.201)右

辺 第2項

のWigner変

換は

(8.208) と な る.一

体 ポ テ ン シ ャ ル と し て 局 所 的 な 

を と る と,

(8.209) とな る.一 体 ポ テ ン シ ャ ル のrに

よ る 変化 は小 さい と し て1次

近似

(8.210) を使 う と

(8.211) が 得 られ る.し た が ってTDHF方

程 式(8.201)は

(8.212) と な る.こ れ がVlasov方

程 式 で あ る.こ れ はTDHF方

程 式 の古 典 近似 で あ っ

て,核 子-核 子 の 衝 突 の 影 響 は 入 っ て い な い.  一 方

,Boltzmann方

程 式 は

(8.213) で 与 え られ る.右 辺 は 衝 突 項 で,次 の2項 し,そ れ が も う一 つ の 核 子2と

か ら な る.核 子1の

衝 突 し て1'と2'に

衝 突 に よ り減 少 す る.こ れ と反 対 に1'と2'が 増 加 す る.こ のfの

密 度 行 列 をfと

な っ た とす る と,fは

衝 突 し て1と2に

この

な る と,fは

増 減 を 散 乱 断 面 積dσ/dΩ を使 って 書 くと

(8.214) こ こ でυ12は

衝 突 す る 二 核 子 の 相 対 速 度 で あ る.(8.214)で

グ 効 果 が 入 っ て い る が,も

と のBoltzmann方

の 右 辺 の 終 状 態 に 対 す る1-fを1で

はPauliブ

ロ ッキ ン

程 式 で は 入 っ て い な い.(8.214)

置 き 換 え る と,Boltzmannの

衝突項が

得 ら れ る.   平 均 場 と 衝 突 項 を 入 れ た 輸 送 方 程 式(8.214)はBoltzmann-UehlingUhlenbeck

(BUU)方

式 と 呼 ば れ て い る.こ

程 式 あ る い はVlasov-Uehling-Uhlenbeck

(VUU)方

程

れ ら の 方 程 式 を 解 い て 重 イ オ ン 衝 突 が 研 究 さ れ て い る.

そ の 中 で い ちば ん 簡 単 なの は カ ス ケ ー ド模 型 で,平 均 場 を無 視 し た 古 典 模 型 で あ る.初 期 条 件 と して 重 イオ ン を表 す 二 つ の 球 の 中 に核 子 を ラ ン ダ ム に 分 布 さ せ る.与 え られ た 衝突 径 数 で 衝 突 す る よ うに 二 つ の イオ ン に 速 度 を与 え て,こ の 系 の 時 間 的 変 化 を み る.二 つ の イ オ ンが 接 近 す る と核 子-核 子 相 互 作 用 が 働 き,二 核 子 は 散 乱 す る.こ の散 乱 を純 古 典 的 に解 く と核 子 の 散 乱 方 向 は確 定 す る.Pauliブ

ロ ッキ ング 効 果 は 入 らず,散 乱 も古 典 的 で あ る.

  カ ス ケ ー ド模 型 に平 均 場 の 影 響 を 入れ た の が 分 子動 力 学 模 型 で,さ

らに 量 子

効 果 を 近 似 的 に入 れ る と量 子 動 力 学 模 型 と な る.こ れ らの 模 型 に つ い て は す で に5.4.2項 に 述 べ られ て い る.

文

献

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砂 川 重 信:"散

乱 の 量 子 論",岩

笹 川 辰 弥:"散

乱 理 論",物

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理 学 選 書20,裳

川 行 和,島

・Ⅰ),(下

波 全 書298,岩

Collisions",3rd.ed., 村 勳   共 訳:"新

・Ⅱ),吉

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高 田 健 次 郎,池

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野 上 茂 吉 郎:"原

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田 清 美:"原

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村 宗 武,久

澤 徳 雄,市

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核反応 一般 河 合 光 路:"原

子 核 論"第

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木 修 二,丸

森 寿 夫 編,岩

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入 的 な 著 書 と し て 次 の も の を 挙 げ て お く.

波 講 座 「現 代 の 物 理 学 」

G.R.Satchler:Introduction

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リ テ ィ 物 理 学 コ ー ス,丸

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核 反 応 に つ い て は 次 の も の が あ る.

編 物 理 学 選 集25「

高 エ ネ ル ギ ー 核 反 応 」,日

本 物 理 学 会,1960.

索

Barschallの BCS状

実 験   3,84

G行 列

態   204

Bohigasの

  124,125,131,140,145

Gamow因

推 測   326

Boltzmann方

引

程 式   379 程 式   379

公 式 

Butlerのstripping理

換   8,9

Gell-Mann-Goldbergerの

Boltzmann-Uehling-Uhlenbeck方 Breit-Wignerの

子   78

Galiei変

236,244,251 論   2

Glauber近

  位 相 差(phase

214

shift)関

  cumulant展   optical

CDCC 

Grassmann

  位 相 差   64,238

  数

  散 乱 振 幅   64,255

  積 分   301,303

 302,338

Green関

数   45,66,192,218,223,250,301,

304,365

  置 換 エ ネ ル ギ ー   270

Greenの

  波 動 関 数   63-65,238

CRC 

232

数   230

Coulomb

  Sommerfeldパ

定 理   240

ラ メ タ ー   63,238 Hartreeポ

212,213

テ ン シ ャ ル   376

Hauser-Feshbachの DWBA 

Hubbard-Stratonovitch

  断 面 積   167

  変 換   305,320

  展 開   156,217

  prior

form 

DWIA 

140,

Eikonal近

156,163 identity 

  二 次 の ― 

  変 数   338,371

156,163

form 

  post-prior

理 論   307

  公 式   309,316

156,352,363

  post

数   230

開  232 limit 

  profile関

  障 壁   14,76-78,89,269,314

恒 等 式   45

似   227

157

IAS 

ア イ ソ バ リ ッ ク ・ア ナ ロ グ 状 態 を 見 よ.

205 Jacobi座

144

似   223

標 系   座 標 系 を 見 よ.

Laneポ

テ ン シ ヤ ル   270

Ericson

Levinsonの

  の 公 式  334

Lippmann-Schwinger方

定 理   284

  の ゆ ら ぎ   323

Lorentz型

重 み 関 数   22,253

Lorentz変

換  8,121

程 式   44,45

Feshbach   射 影 演 算 子   107,150,247

M3Y 

  有 効 ハ ミ ル ト ニ ア ン  108,150,249

Markoff過

Fermiガ

ス 模 型  145,367

Moller因

Fermi分

布   328

Monte

fm 

101,131,132,145 程   343 子   121 Carlo法 

224,305,315,336,375

14

Fokker-Planck方

程 式   339,343,344

nuclear

Ramsauer効

果   284

Perey効 Perey

果  105 factor 

Poisson分

ア

105

布 

行

296

Porter-Thomas分

ア イ ソ バ リ ッ ク ・ア ナ ロ グ 状 態(IAS) 

布  300

246,270-273 Q値 

ア イ ソ ベ ク トル 単 極 子  274

6

粗 い 構 造  3,84 R行

ア ン サ ン ブ ル 平 均  371

列 理 論  237,238

Rutherford散 RPA 

鞍 点  338,371

乱  64

鞍 点 法  290,305,318,320

365

SCDW 

移 行

225

  運 動 量  9,159,219,222,360

Schrodinger   描 像 

  エ ネ ル ギ ー  74,218,219,223,360 50  角 運 動 量  166

  方 程 式  25,35

位 相 体 積  73 一 段 階 過 程  157

Serberの

描 像  2

Sinaiの

玉 突 き  326

Sommerfeldパ S行 列 

因 果 律  22,279

ラ メ タ ー  63,238

イ ン パ ル ス 近 似  119,120,136,140

53,55,238,239,250,262

 角 運 動 量 表 示  62   共 鳴 公 式  253

  平 面 波― 

141

  歪 曲 波― 

140,144

  相 反 性  57,251 運 動 の 恒 量  29

  対 称 性  251   ユ ニ タ リ ー 欠 損  256

運 動 量 中 心 系  座 標 系 を 見 よ.

 ユ ニ タ リ

運 動 量 の 整 合 

TDHF  T行

ー 性  56,57,59,62,250

エ キ シ トン 334,364,375,379   数  261,334,336,345

列  48,54,61,68

  模 型  345,346,349

 角 運 動 量 表 示  62

エ コ ー  280,281,284   相 互 性  58   反 対 称 比 

エ ネ ルギ ー 160,163

  和 則  57   post   prior

form 

153,156,163

form 

Vlasov方

identity 

  殻 外(off

energy

shell) 

121

  殻 上(on

energy

shell) 

121

  半 殻 外(half

153,156,163

  post-prior

159

157   平 均 

18-22,109,151

 内 部―  程 式  375,377,379

Vlasov-Uehling-Uhlenbeck方

off shell) 

 の ず れ  239

6,36

エ ル ゴ ー ド性  程 式  379

317

遠 心 力 障 壁  76 エ ン ト ロ ピ ー  288,292,327 Watsonの Wigner変

方 程 式  換 

  情 報― 

ロ ッ ト  341

Woods-Saxon型

ポ テ ン シ ャ ル  92,282,296 98

応 答 関 数  146,147,360  ス カ ラ ー―   ス ピ ン―    線 形―  zero-range近

327

378

Wilczynskiプ

  対 称― 

116

似 

158,186,201

367 368

333,360,362,365

温 度  288,292,314,327

121

16,237,

双 極  267

カ

行

中 性 子 幅  269

回 転  29

組 み 替 え  5

 運 動 の 励 起  173

  チ ャ ネ ル 結 合 法(CRC) 

外 部 領 域  34,237 カ オ ス  325,328  量 子 カ オ ス  326  

K系 

CRCを

見 よ.

反 応  175

形 状 因 子 

138,158

326

化 学 ポ テ ン シ ャ ル  288

光 学 定 理  57,86

角運動量

光 学 ポ テ ン シ ャ ル  3,14,134,346

 移 行  164  の 整 合  159

  運 動 量 表 示  136,138   概 念 図  89

角 運 動 量 表 示  59,61,237,249  散 乱 振 幅 の― 

 自 動 探 索  90

62

  不 定 性  91   一 般 化― 

 断 面 積 の―  78   S行

列 の― 

62

  T行

列 の― 

61

  広 域― 

109

,134,135

91,101

光 学 模 型  3,83,236,253

拡 散 係 数  344

古 典 近 似 

281,294,325

核 内 カス ケ ー ド模 型  223,314 核 の ポ テ ン シ ャ ル  281

サ

行

角 分 布  7,172,186,220,311 確 率 伝 搬 関数  374

最 近 接 距 離 

確 率 平 衡 方 程 式  372

最 適 運 動 量 近 似 

過 剰 中性 子  270

酒 瓶 型 ポ テ ン シ ャ ル  92

可 積 分 系  325

座 標

荷 電 交 換 反 応  140,174,270

122-124,136

 回 転 変 換  29

荷 電 独 立 性  270

  鏡 映 変 換  29

換算幅  振 幅  241,243

13,313

 内 部  32  

Galilei変

換  8,9

 総 和 則  245

  Lorentz変

慣 性 能 率  292

座 標 系  8

完 全 融 合 反 応  339

  運 動 量 中 心 系  12

貫 通 因 子  239,244,258

  実 験 室 系  8,9-12

換  8,121

  重 心 系  8,9-12,38,39

吸 熱 反 応  6

  Jacobi座

球 面 波 展 開  60,62,65

作 用 積 分  283

標 系  12

鏡 映 変 換  29

散 乱 

強 結 合 近 似  373

  位 相 差  276,281,282

強 度 関 数  87,258,263,264,355

  境 界 条 件  43

239,250,262

  行 列  53

規 格 化 され た  264,266 境 界 条 件  42,43,64,152,241,326

  剛 体 球  239

共 鳴  1,281

  時 間 の 遅 れ  274,277,279,282

共 鳴 幅 分 布 関 数  300

  時 間 の 進 み  279

共 鳴 領 域  17

  振 幅  21,42,48,61,62,68

局 所 エ ネ ルギ ー 近似  102 局 所 波 数  281

 

Wignerの

上 限(時

局 所 密 度 近似  125,144 巨 大 共 鳴  16,267

間 の 進 み) 

残 留 相 互 作 用  153,307,314,328,334,337

時 間 反 転  29,243,251

280

時 間 を 移 す ユ ニ タ リ ー 演 算 子  50

相 関 エ ネ ルギ ー  323

し き い 値  6,12

相 関 関 数  324

自 己 相 関 関 数  323

増 強 因子  322

実 験 室 系  座 標 系 を 見 よ.

相 互 作 用描 像  50

射 影 演 算 子 

相 対 運動 量  11,33

107,133,150,247,253

 

P空

間  247

相 対 論 的光 学 ポ テ ン シ ャル  97

 

Q空

間  247

双 直 交基 底  243,252

弱 結 合 近 似  373

相 反 定理  57,58

自由

粗 視 化  342

  運 動  34

タ

  行 程  224

行

  ハ ミ ル トニ ア ン  28

大 正 準 集 団  288

重 心   運 動 の 分 離  27,28,33,37,38   系  座 標 系 を 見 よ. 集 団 励 起 

多重 微 分 断 面 積  7 畳 み 込 み ポ テ ンシ ャル  87,101,136 多段 階

171-173,209

重 粒 子 ス ト リ ッ ピ ン グ  176 準 位 間 隔 分 布  297,299,326

 過 程  223,345  直 接 過 程  149,217,333,351,352  統 計 過 程  333

準 位 密 度  287,301,306   一 粒 子  294

 複 合核 過 程  333,371  複 合核 反 応  351

瞬 間 近 似  352,356

  DWBA 

準 弾 性 散 乱  219,341

353

脱 出 幅  16,263,268,272,273,347

状 態 密 度  287-290

弾 性 散 乱  5

衝 突 係 数  228

 形 の― 

衝 突 点  222,224 深 非 弾 性 散 乱  339,341,342

  準― 

85,134 219

 複 合― 

85

断 熱 近似  210,215,274,352,358 ス カ ラ ー 応 答  367

断 熱 的 ス イ ッチ ング  51

ス ト リ ッ ピ ン グ  5,176,177,181,197   一 核 子― 

181

  二 核 子― 

197

 三 重微 分― 

ス ピ ン 応 答  368

76

 三 粒 子 チ ャ ネル の― 

ス ピ ン ・ カ ッ ト オ フ ・パ ラ メ タ ー  293,335 ス ペ ク トル の 剛 性 

断 面 積  6,69  一 般 形  73

299,326

  全― 

 全 弾性 散 乱―   全 反応― 

正 準 分 布  288

7

7

生 存 確 率  266,356

 多 重微 分―   二 重微 分― 

遷 移

 二 粒 子 チ ャネ ル の― 

  確 率  70,346,350,353,354

 微 分― 

7,78,169,171

  行 列  T行

 包 括― 

217

列 を 見 よ.

75

7

7 7,75 74

  密 度  220

チ ャ ネ ル  5,42

漸 近

 ス ピ ン  41,255

  形  48,49,67   振 幅  187

 内 部 エ ネ ル ギ ー  36  波 動 関 数  240

  領 域  42 選 択 規 則 

166

前 平 衡 過 程 

15,217,225,333,342,345,373

前 方 散 乱  57,86

 領 域  34 チ ャ ネ ル結 合Born近

似  212

チ ャ ネ ル 結 合 法  156,206

ノ ッ ク ・オ ン  176

  方 程 式 解 法  206,208,209   組 替 え― 

212,213

  離 散 化 連 続―  中 間 共 鳴 

ハ

218

行

15

超 対 称

配 位  34

  行 列  303

配 位 空 間  34

  行 列 式  303

媒 質 効 果  124 パ イ 中 間子 凝 縮  371

  ト レ ー ス  303   ベ ク トル  303,319

波 束  26,51,274

  理 論  301,302,338

裸 の(bare)ポ

直 接 過 程  2,15,149,236,316,333

発 熱 反 応  6

  角 分 布  2,172,186,220

波 動 行 列  53,142 ハ ミル トニ ア ン

対 相 関  293

 座 標 表 示  30

テ ン シ ャ ル  207

 対 称 性  29  不 変 性  29

停 留 値  290,305,320,376 天 体 核 物 理 

 自 由― 

196

28,31

 内 部 運動― 

  因 子  78

27,32

 複 合 粒 子 の―   有 効― 

透 過

反 対 称 化  79,81,82,130,131,160,163,170, 178,190

  行 列  256,316,318,346,372   係 数  256,259,308 等 価 局 所 ポ テ ン シ ャ ル  97,102,104 動 的 偏 極 ポ テ ン シ ャ ル  110,253,257 戸 口 状 態 

32

108,150,249

15,236,261,263,265,267,272

バ ー ン  6 パ リテ ィ  29,167 反対 称 化 分 子 動 力 学(AMD) 

225

反 応 粒 子  4

  共 鳴  16

半 古 典 歪 曲 波 近 似(SCDW) 

ド リ フ ト速 度  344

221

ト ン ネ ル 効 果  14

非 干 渉  274 ナ

行

非 局 所 型 ポ テ ン シ ャル  90,96,102 微 細 構 造  84

内部

非 相 対 論 的 ス ケ ー リ ング 因 子  369

  運 動  28   エ ネ ル ギ ー  6,36

非 弾 性 散 乱  5,171,209 ピ ッ ク ・ア ップ  176,177,181,197

  座 標  32,157

 核 子― 

  波 動 関 数  35,40

 二 核 子― 

  ハ ミ ル ト ニ ア ン  27,32,35

非平 衡 過 程  333

  領 域  34,237

標 的 核  4

181 197

表面 振 動 励 起  172 二 次 のDWBA  2次

203

モ ー メ ン ト  305,337

複 合 核  325,375

二 重 畳 み 込 み ポ テ ン シ ャ ル  101

 過 程  2,15,235,325

二 重 微 分 断 面 積  7,75

 共 鳴  237

二 段 階 過 程 

 形 成 断 面 積  87

2点

205

関 数  372

 寿 命  236,252,322,325,375

入 射 エ ネ ル ギ ー  4

 状 態  15

入 射 チ ャ ネ ル  5

 模 型  1,235,308

熱 浴 

複 合 弾 性 散 乱  85 複 合 粒 子  4

288

複 素 直 交 変 換  252 部 分 準 位 密 度  334,337

有 効 質 量  105

部 分 幅  244

 運 動 量 表 示  126

 振 幅  244

 近 似 の 誤 差  125

分 解 能  8

 座 標 表 示  128  ス ピ ン縦 ・横 方 向成 分  127

有 効 相 互 作 用  101,117,261

分光学的

  G行 列―  

 因 子  192-195,202

125,128,140,144

  Love-Franeyの― 

 解 析  190

 

分 散 関係  105,111

M3Y― 

130

131,132,144

分散 幅  16,262,265,272,346,356,373

有 効 ハ ミル トニ ア ン  110,150

分 配 関 数  289

有 効 ポ テ ン シ ャル  281 ゆ らぎ  20

分 離 エ ネ ル ギ ー の 方 法  191

ラ

平行 移動  29

行

平 衡 過程  333,375 乱 雑 位 相 近 似  365

平 面 波  34 平 面 波 イ ン パ ル ス 近 似  141 平 面 波Born近

似  367

ラ ン ダ ム 行 列  296,317,342   EGOE  307   GOE 

変換 反応  5

298,300,301,312,325-327,329,

334

偏 極  7, 8 偏 極 伝搬 関 数  147,362,366,368

  GSE    GUE 

329 329

ラ ンダ ム 変 数  304,317

崩壊  曲 線  279  振 幅  251

離 散 化 連 続 チ ャ ン ネル 結 合 法(CDCC) 

崩壊 確 率  308,315

流 束  6,69,81,259

放 出 粒子  4

量 子 分 子 動 力 学(QMD) 

母 関 数  301,318 ポ テ ン シ ャル 障 壁  281

励 起 関 数  7

225

連 続 状 態 へ の 遷 移  145,216 マ

行

連 続 状 態 に 埋 ま っ た束 縛 状 態  15 連 続 方 程 式  259

摩擦

連 続 領 域  17

  力  340  冷 却 法  226 マ ス ター 方 程 式  315,339,342,351

廊 下 状 態  15,261,264 ワ

密 度  259 密度 行列  146,362-364,376

行

歪 曲波  143 歪 曲 波 イ ンパ ル ス 近 似  140,144 歪 曲 波 ボ ル ン近 似  156

無 反 挑 近似  181

歪 曲ポ テ ン シ ャル  143,152 ヤ 有 限 レ ン ジ の 補 正  189

行

214

著者 略歴 河

合 光

1930年  1953年  1976年  現 在 

路

吉

東 京都 に生 まれ る 東 京大学 理学部 卒業 九 州大学教 授 九 州大学 名誉教授 理 学博士

田 思 郎

1923年  東 京都 に生 まれ る 1949年  東 京大 学理学 部卒業 1974年  東 北大 学教 授 現 在  東 北大学 名誉教授 理 学博 士

朝倉物理学大系19 原子核反応論 2002年11月25日 

定価 は カバー に表示 初 版 第1刷

2005年3月25日 

第2刷

著

者  河

合

光

路

吉

田

思

郎

発 行 者  朝

倉

発 行 所 

ISBN

無 断 複 写 ・転 載 を 禁 ず 〉 4-254-13689-7

邦 倉

造 書

店

東 京 都新 宿 区新 小 川町6-29 郵 便 番 号 162-8707 電 話 03(3260)0141 FAX  03(3260)0180 http://www.asakura.co.jp

〈検 印省 略 〉 C2002〈

株式会社  朝

C

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