Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «У...
25 downloads
154 Views
189KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Факультет ____математический___ Кафедра __алгебры и теории чисел УТВЕРЖДАЮ: Проректор по учебной работе УрГПУ ____________________ Т.Н. Шамало «____» _____________________2007 г.
РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине ___« Математическая логика» для специальности 032100 «Математика» по циклу___«Дисциплины предметной подготовки» Очная форма обучения
Заочная форма обучения
Курс – 4 Семестр – 8 Объѐм в часах всего – 126 в т. ч.: лекции – 30 практические занятия – 30 лабораторные занятия – 0 самостоятельная работа – 66 Зачет – 8 семестр
Курс – 6 Семестр – 11 Объѐм в часах всего – 126 в т. ч.: лекции – 10 практические занятия – 10 лабораторные занятия – 0 самостоятельная работа –106 Зачет – 11 семестр
Екатеринбург 2007
Рабочая учебная программа по дисциплине «Математическая логика» ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет» Екатеринбург, 2007, 8 с. Составитель: Ильиных А.П., зав. кафедрой алгебры и теории чисел, д.ф.-м.н., доцент Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры алгебры и теории чисел УрГПУ Протокол от_7 апреля 2006_ г. № _8_ . Зав. кафедрой А.П. Ильиных Отделом нормативного обеспечения образовательного процесса УрГПУ выдан сертификат № ____ от ________ г. Начальник отдела ______________Р.Ю. Шебалов
2
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Современная математика может быть представлена как наука об абстрактных объектах таких, как вещественные числа, функции, поверхности, алгебраические системы и т.д. Математическая логика рассматривает новое направление в этой науке, сосредоточивая внимание на языке, используемом в математике, на способах определения абстрактных объектов и на законах логики, которыми мы руководствуемся, когда рассуждаем об этих объектах. Логики предприняли это изучение с надеждой понять природу математического опыта и в конечном счете внести вклад в математику как важными результатами, возникающими в самой логике (теорема Гѐделя о неполноте является наиболее известным примером), так и их приложениями к другим разделам математики. Курс математической логики для студентов математических специальностей педагогических вузов имеет своей целью изложить основы этой науки, познакомить студентов с формализованным аксиоматическим методом построения математических теорий, охватывающим также и логические средства; его основными составными частями: языком, аксиомами, правилами вывода; проблемами непротиворечивости, полноты, разрешимости теорий. Изучение математической логики безусловно будет способствовать более ясному представлению об общей структуре математических теорий, о математике в целом, а значит, и о школьной математике. Курс математической логики имеет разнообразные межпредметные связи с алгеброй и теорией чисел, геометрией, математическим анализом. Настоящая программа предусматривает также существенную связь его с курсом информатики. Это касается изучения языка первого порядка и формализованного построения математических теорий. Исчисление высказываний может быть изложено на основе книги Д. Шенфилда “Математическая логика”. Раздел «Алгоритмы» изучается в том объеме, который необходим для формулировки теоремы К.Геделя о неполноте аксиоматических теорий. На практических занятиях студенты решают задачи по разделам «логика высказываний», «исчисление высказываний», «логика предикатов», «теории 1-го порядка», «модели теорий». Они должны овладеть техникой логических преобразований, особенно обращению с кванторами, научиться доказывать выводимость формулы исчисления высказываний с использованием правил вывода. По курсу математической логики предусматривается проведение двух контрольных работ.
2. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ 2.1. Учебно-тематический план очной формы обучения
№ п/п
Наименование раздела, темы
1 2
Аксиоматический метод Алгебра высказываний. Нормальные формы Исчисление высказываний.
3
Аудиторные Всего занятия труПрадоем- Все- Лек- ктикость го ции ческие 8 4 2 2 32 16 8 8 24
12 3
6
6
Лабораторные
Самостоятельная работа 4 16 12
4 5 6 7 8
Предикаты и кванторы. Теории 1-го порядка. Модель теории 1-го порядка. Теорема полноты К. Геделя. Теорема Геделя о неполноте. Итого
16 16 10 10 10 126
8 8 4 4 4 60
4 4 2 2 2 30
4 4 2 2 2 30
8 8 6 6 6 66
Учебно-тематический план заочной формы обучения
№ п/п
Наименование раздела, темы
1 2
Аксиоматический метод Алгебра высказываний. Нормальные формы Исчисление высказываний. Предикаты и кванторы. Теории 1-го порядка. Модель теории 1-го порядка. Теорема полноты К. Геделя. Теорема Геделя о неполноте. Итого
3 4 5 6 7 8
Аудиторные Всего занятия труПрадоем- Все- Лек- ктикость го ции ческие 8 4 2 2 32 2 2 24 16 16 10 10 10 126
2 2 4 2 2 2 20
2 2 2 2 10
Лабораторные
2 2 2
10
Самостоятельная работа 4 30 22 14 12 8 8 8 106
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 1. Аксиоматический метод в математике. Аксиоматический метод в математике. Математическая логика и формализация математических теорий. Применение математической логики в других областях знаний. 2. Алгебра высказываний. Алгебра высказываний. Операции над высказываниями и их свойства. Истинностные значения формул. Тавтологии - законы логики высказываний. Равносильность и преобразования формул. Нормальные формы. Представление истинностных функций формулами. Применение алгебры высказываний к переключательным схемам. 3. Исчисление высказываний. Понятие формальной системы: язык формальной системы, аксиомы, правила вывода, теоремы. Построение исчисления высказываний в виде формальной системы. Язык исчисления высказываний, формулы и правила вывода. Теоремы о выводимых формулах. Совпадение понятий выводимой формулы и тавтологии. 4. Предикаты и кванторы. Понятие предиката. Формулы логики предикатов. Истинностные значения формул. Равносильность. Общезначимость и выполнимость формул. Проблема разрешения для общезначимости и выполнимости. Применение языка логики предикатов для записи математических предложений, определений, построение отрицаний предложений. 4
5. Теории 1-го порядка. Языки 1-го порядка: переменные, логические и нелогические символы, термы и формулы. Однозначность построения термов и формул, часть формулы. Cвободные и связанные вхождения переменных. Операция подстановки терма в формулу и ее допустимость. Логические и нелогические аксиомы, правила вывода. Теоремы и доказательства в теории 1-го порядка. 6. Модели теории 1-го порядка. Структуры для языка 1-го порядка. Истинность формулы в структуре для языка 1-го порядка. Теорема истинности. Модель теории. 7. Теорема полноты К. Геделя. Истинность формулы в теории. Две формы теоремы полноты К. Геделя. Изоморфизм моделей. Категоричность теории. Формализация математических теорий. Примеры формализации математических теорий: теория групп, теория N, теория множеств. 8. Теорема Геделя о неполноте.
4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ Темы, вынесенные на самостоятельное обучение: 1. Формулы логики предикатов. Истинностные значения формул. Равносильность. 2. Общезначимость и выполнимость формул. Проблема разрешения для общезначимости и выполнимости. 3. Применение языка логики предикатов для записи математических предложений, определений, построение отрицаний предложений. Примерные темы курсовых работ: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Аксиоматический метод в математике. Решение логических задач. Математическая логика и формализация математических теорий. Некоторые применения математической логики. Теория формальных систем. Теории 1-го порядка. Формализация математических теорий. Теорема Геделя о неполноте.
Вопросы для экзамена: 1. Аксиоматический метод в математике и формализация математических теорий Алгебра высказываний. 2. Конъюнктивная и дизъюнктивная нормальные формы. 3. Построение исчисления высказываний в виде формальной системы. 4. Свойства выводимых формул. 5. Совпадение классов выводимых и тождественно истинных формул. 6. Функции и предикаты Формализация математических теорий на языке первого порядка. 7. Аксиомы и правила вывода теории первого порядка. 8. Модель теории первого порядка. 9. Теорема о полноте. 10. Алгоритмы и машина Тьюринга. 11. Теорема Геделя о неполноте.
5
5. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ Студент, изучивший дисциплину, должен знать: о применениях математической логики в вопросах обоснования математики; формализованный аксиоматический метод построения математических теорий, его основные составные части: язык, аксиомы, правила вывода; проблемы непротиворечивости, полноты, разрешимости теорий; алгебра высказываний и нормальные формы; применение алгебры высказываний; изложение исчисления высказываний в виде формальной теории; предикаты и кванторы, проблема разрешения для общезначимости и выполнимости; теории 1-го порядка, язык теории, теоремы и доказательства, модель теории, изоморфизм моделей, категоричность теории; теорема К. Геделя о полноте; алгоритмы, рекурсивные функции и их связь с аксиоматическим методом; теорема Геделя о неполноте. Студент, изучивший дисциплину, должен уметь: записывать математических утверждений с использованием логической символики; преобразовывать формулы, в частности, формулы с кванторами и предикатами; вычислять нормальные формы; применять алгебру высказываний; доказывать выводимость формулы исчисления высказываний; записывать математические утверждения на языке 1-го порядка; строить модели теории; проверять непротиворечивость, независимость системы аксиом.
6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ 6.1. Рекомендуемая литература Основная 1. Ершов Ю.Л. Математическая логика [Текст]: учеб. пособие для вузов / Ю.Л. Ершов, Е.А. Палютин. – 4-е изд. стер. – СПб.: Лань, 2005. – 336 с. 2. Игошин В.И. задачник-практикум по математической логике [Текст]: учеб. пособие для студентов-заочников физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В.И. Игошин. – Подольск: Академия, 2005. – 156 с. 3. Ильиных А.П. Математическая логика [Текст]: учеб. пособие / Урал. гос. пед. ун-т. – Екатеринбург:[б.и.], 2002. – 76 с. 4. Лавров И.А. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов [Текст] / И.А. Лавров, Л.Л. Максимова. – М.: Наука, 1995. – 240 с. 5. Мендельсон Э. Введение в математическую логику [Текст] / Э. Мендельсон. – М.: Наука, 1976. – 287 с. 6. Новиков П.С. Элементы математической логики [Текст] / П.С. Новиков. – М.: Наука, 1973. – 399 с. 7. Шенфилд Д.Р. Математическая логика [Текст] / Д.Р. Шенфилд. – М.: Наука, 1975. – 527 с.
Дополнительная 1. Гжегорчик А. Популярная логика [Текст] / А. Гжегорчик. – М.: Наука, 1979. – 2. Гладкий А.В. Математическая логика [Текст] / А.В. Гладкий. – М.: Рос. гос. гум. ун-т, 1998. – 479 с.
6
3. Градштейн И.С. Прямая и обратная теоремы. Элементы алгебры логики [Текст] / И.С. Градштейн. – М.: Наука, 1972. – 4. Клини С.К. Математическая логика [Текст] / С.К. Клини. – М.: Мир, 1973. 480 с. 5. Колмогоров А.Н. Математическая логика: Доп. гл. [Текст]: учеб. пособие для вузов по спец. «Математика» / А.Н. Колмогоров, А.Г. Драгалин. – М.: Изд-во Моск. унта, 1984. – 119 с. 6. Лихтарников Л.М. Математическая логика [Текст]: курс лекций, задачникпрактикум и решения / Л.М. Лихтарников, Т.Г. Сукачева. – СПб.: Лань, 1998. – 288 с. 7. Мадер В.В. Школьнику об алгебре логики [Текст]: книга для внеклассного чтения учащихся 10-11 кл. сред. школы / В.В. Мадер. – М.: Просвещение, 1993. – 8. Математическая логика: Для спец. «Математика» [Текст]: МГЗПИ; сост. отв. ред. Ф.Л. Варпаховский. – М.,1991. – 9. Математическая логика [Текст]: учеб. пособие для мат. спец. пед. ин-тов; под общ.ред. А.А.Столяра. – Минск.: Вышэйшая школа, 1991. – 269 с. 10. Основы математической логики [Текст]: метод. разраб. / В.Б. Репницкий; Свердл. гос. пед. ин-т. – Свердловск: [б.и.], 1987. – 122 с.
6.2. Информационное обеспечение дисциплины Локальная сеть математического факультета УрГПУ, сайт кафедры алгебры и теории чисел, «Информационная обучающая среда».
7. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ И ДИДАКТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Компьютерные классы математического факультета.
8. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ ПРОГРАММЫ Ильиных Анатолий Петрович, д.ф.м.н., зав каф. алгебры и теории чисел УрГПУ Рабочий телефон: 371-12-61.
7
РАБОЧАЯ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине ___«Математическая логика » для специальности 032100 «Математика» по циклу___«Дисциплины предметной подготовки»
Подписано в печать
Формат 60х84/16
Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. Тираж
экз.
Заказ
Уральский государственный педагогический университет. 620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26.
8