Введение в кусочно линейную топологию

К.Рурк, Б.Сандерсон ВВЕДЕНИЕ В КУСОЧНО ЛИНЕЙНУЮ ТОПОЛОГИЮ ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1974

Современная топология развивается в основном в двух направлениях: топология гладких многообразий («гладкая топология») и топология полиэдров («кусочно линейная топология»). Однако, в то время как результаты, достигнутые в гладкой топологии, вполне удовлетворительно отражены в литературе, до появления книги К.Рурка и Б.Сандерсона никаких книг по кусочно линейной топологии (будь то учебники или монографии) не было. Книга заполняет этот пробел: она является одновременно превосходным учебником для начинающих (соединяющим строгость и четкость изложения с полной геометрической наглядностью) и монографией, доводящей изложение до наиболее глубоких результатов (доказательство гипотезы Пуанкаре и т. п.). Даже вполне квалифицированный математик найдет в этой книге много нового и неожиданного. ОГЛАВЛЕНИЕ От издательства 5 Предисловие 6 Глава 1. Полиэдры и кусочно линейные отображения 7 Основные обозначения и соглашения 7 Соединения и конусы 8 Полиэдры 9 Кусочно линейные отображения 13 Одна стандартная ошибка 1Ь Кусочно линейные вложения 16 Многообразия 16 Шары и сферы 18 Гипотеза Пуанкаре и теорема об h-кобордизме 18 Глава 2. Разбиения 21 Симплексы 21 Клеточные разбиения 27 Измельчения 28 Симплициальные разбиения 29 Симплициальные отображения 31 Триангуляции 33 Измельчение диаграмм 34 Примеры и упражнения 36 Производные измельчения 37 Абстрактный изоморфизм клеточных разбиений 38 Псевдоцентральные проектирования 38 Внешние соединения 41 Воротники 44 Приложение к главе 2. О выпуклых клетках 50 Глава 3. Регулярные окрестности 55

ПолньГе подразбиения Производные окрестности Регулярные окрестности Регулярные окрестности в многообразиях Единственность регулярной окрестности Вдавливания Простой гомотопический тип Вминания Ориентации Связные суммы Гипотеза Шёнфлиса Глава 4. Пары полиэдров и изотопии Определения Звезды и их основания Воротники Регулярные окрестности Теорема о симплициальной окрестности для пар Вдавливание и вминание для пар Применение к клеточным сдвигам Теорема о диске для пар Продолжение изотопии Глава 5. Общее положение и его применения Общее положение Вложения и незаузленность Трубки Лемма Уитни и незацепленные сферы Лемма Уитни в неодносвязном случае Глава 6. Теория ручек Ручки на кобордизме Перегруппировка ручек Ручки с соседними индексами Дополнительные ручки Сложение ручек Разложения на ручки Клеточное пространство, ассоциированное с разложением на ручки Теоремы двойственности Упрощение разложений на ручки Доказательство теоремы об h-кобордизме Относительный случай Неодносвязный случай Построение h-кобордизмов Глава 7. Применения Незаузленность шаров и сфер в коразмерности ≥ 3 Критерий незаузленности в коразмерности 2

55 $6 58 60 65 69 70 71 76 82 82 86 86 8/ 89 90 90 92 94 96 97 103 103 108 115 117 123 126 128 129 130 132 135 137 140 142 143 147 149 150 153 155 155 157

Ослабленные теоремы в размерности 5 158 Поглощение 160 Вложение многообразий 162 Приложение А. Алгебраическая топология 165 А. 1. Гомологии 165 А. 2. Геометрическая интерпретация групп гомологии 167 А. 3. Группы гомологии сфер 168 А. 4. Когомологии 169 А. 5. Коэффициенты 170 А. 6. Гомотопические группы 171 А. 7. Клеточные пространства 172 А. 8. Универсальные накрывающие 174 Приложение В. Кручение 176 В. 1. Геометрическое определение кручения 176 В. 2. Геометрические свойства кручения 177 В. 3. Алгебраическое определение кручения 179 В. 4. Кручение и полиэдры 180 В. 5. Кручение и гомотопические эквивалентности 181 Исторические замечания 183 Список литературы 189 Именной указатель 199 Предметный указатель 200 ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ Мазур 185, 186 Акин 186 Милнор 176, 184 Александер 67, 170, 183, 185, 186 Морс 184, 186 Барден 185 Ньюман 183, 185 Бинг 183 Папакириякопулос 187 Браун 186 Пенроуз 187 Вебер 187 Пуанкаре 18, 143, 159, 170, 183, 184 Гугенхейм 186 Рурк 186, 188 Зибенман 183, 186 Серф 184 Смей л 184, 187 Зиман 183—188 Столлингс 184, 185, 186, 187 Ирвин 187, 188 Сулливан 186, 188 Кассой 188 Уайтхед 19, 174, 177, 179, 183, 185, Кервер 185 187 Кёрби 183 Уитни 117, 118, 123, 133, 151, 187 Конели 185 Хадсон 185, 186, 188 Коэн 176, 185, 186 Хирш 186 Левин 187 Шёнфлис 82, 83, 89, 186 Лефшец 19, 20, 143, 187 Ликориш 186 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абстрактное симплициальное разбиение 48

Абстрактный изоморфизм 38 — полиэдр 49 Александера двойственность 170 — трюк 67 Барицентр симплекса 22 Барицентрическое измельчение 37 Бордизмы 198 Вдавливание 69 — пар 92 —, связь с регулярными окрестностями 72—73 — элементарное 69, 185, 186 Вершина клетки 26 — конуса 8 — симплекса 22 Вложения 16, 187, 188, 191, 195 — в коразмерности ≥ 3 (теорема Ирвина) 162 — — удвоенной размерности (теорема Пенроуза — Уайтхеда — Зимана) 108 — изотопные 66 — конкордантные 164 — объемлемо изотопные 66 Вминание 72 — пар 93 — элементарное 71 Внешние соединения 42 Внутреннее расширение 177 . — стягивание 177 Внутренность клетки 26 — многообразия 17 — симплекса 22 Воротники 44 — локально продолжаемые 98 — локальные 45 —, пары 90 —, редукция 98 —, связь с регулярными окрестностями 64—65 —, сохраняющие уровни 99 Выпуклое множество 25 Вырезание 166 Геометрическая интерпретация

гомологии 167 — топология 183 Гипотеза Пуанкаре 18 — Шёнфлиса 82 Гомеоморфизм кусочно линейный 14 — периодический 49 —, сохраняющий ориентацию 78 Гомологии 165, 193 —.вычисление 173—174 —, геометрическая интерпретация 167 — сфер 168 Гомологическая пленка 168 Гомологичные циклы 168 Гомотопическая эквивалентность 166 — — простая 70 Гомотопические группы 171 — — относительные 171 Гомотопия 166 ε-гомотопия 103 Граница клетки 26 — куба 12 — симплекса 22 Грань клетки 26 — — собственная 26 — куба 12 — — собственная 12 — симплекса 22 — — собственная 22 — шара 63 График отображения 14 Двойственное клеточное пространство 142 Двойственность 142, 170 Двойственные конусы 50 — разбиения 50 Дерево 34 — направленное 34 Деформационный ретракт 166 Диаграмма отображений 34 — симплициальная 35 — —, измельчение 35 Диск 18 — ручки срединный 126

— — косрединный 126 Дом с двумя комнатами 9, 70, 183 Дополнение симплициальное 57 Дополнительные ручки 132 Евклидово пространство 7 Единичный интервал 12 Естественность 165 Замкнутое многообразие 17 — отображение 104 Зацепление 119 — в критической размерности 119 — гомологически тривиальное 119 — стандартное 119 — тривиальное 119 Звезда 9 — клетки в разбиении 28 —,основание 9 Звезд пара 87 Звездное измельчение 28, 29 Зимана теорема, см. незаузленность Знак точки пересечения 118 Измельчение диаграмм 35 — —, контрпримеры 36—37 — клеточного пространства 178 — разбиения 28 — — барицентрическое 37 — — звездное 28, 29 — — производное 37, 57 — триангуляции 33 Изоморфизм абстрактный 38 — клеточный 31 Изотопия 65, 66, 186, 190 —, конечный гомеоморфизм 66 — локально объемлемая 98 — локально тривиальная 100 — накрывающая 66 — объемлемая 65, 66 — относительно подмножества 66 —.продолжение 97—102 ε-изотопия 104 Изотопные вложения 66 Индекс зацепления гомологический 124 — инцидентности клеток 173

— — — в Zπ 151, 175 — — ручек 130 — пересечения 118, 170 — — в Zπ 124 — ручки 126 Индуцированная ориентация края многообразия 80 Ирвина теорема о вложениях 162 Классификация h-кобордизмов 154 Клетка 25 — в клеточном пространстве 172 Клетки и шары 40 Клеток пара 87 Клеточное отображение 31 — пространство 172 — —, ассоциированное с разложением на ручки 140 — разбиение 27 — расширение 176 — стягивание 176 Клеточный изоморфизм 31 — сдвиг 94 Кобордизм 19, 184, 185, 198 Кобордизм обратимый 158 — с краем 148 А-кобордизм 19, 147, 184, 192 —, классификация 154 —, построение 153 — с краем 149 —,слабая теорема в размерности 5, 158 S-кобордизм 150, 185, 192 Когомологии 169 Комбинаторное многообразие 184 Комеридианная сфера 126 Конечный гомеоморфизм изотопии 66 Коническая конструкция 14 Конкордатные вложения 164 Конус 8 — двойственный 50 — над полиэдром 12 — — отображением 14 — — разбиением 28

Координатная окрестность 16 Коразмерность 86 Косрединный диск 126 Коэна теорема о симплициальной окрестности 61 Коэффициенты 170 Край кобордизма 148 — многообразия 16 Критическая размерность зацепления 119 Критическое множество отображения 104 Кручение 70, 176—182, 193 —, алгебраическое определение 179, 180 —, геометрическое определение и свойства 175—179 — отображения 182 — пары 177 —.связь с полиэдрами 180 —, — — гомотопическими эквивалентностями 179, 180 —, реализация 153 — h-кооордизма 150 Куб 12 Кусочно линейные вложения 16 — — гомеоморфизмы 14 — — инварианты 15 — — многообразия 16 — — отображения 13, 183 Левина теорема о незаузленности 157 Лефшеца двойственность 143 Линейная клетка 25 — триангуляция 33 Линейное отображение 7 — подпространство 7 Локально объемлемая изотония 98 — плоское вложение 83, 87 — тривиальная изотопия 100 Локальный воротник 45 — — пары 90 Меридианная сфера 126 Многообразие 16 —, однородность 77

— ориентированное 78 — ориентируемое 78 Морса функция 184 Невырожденное отображение 104 Независимое множество 21 Независимые подмножества 41 Незаузленная пара шаров или сфер 87 — сфера 96 Незаузленность пар шаров и сфер 187, 191, 195 — — — — — в коразмерности ≥ 3 (теорема Зимана) 87, 89, 95, 110, 155—157 — — — — — — коразмерности 2 (теорема Левина) 157 Незацепленные сферы 119, 121 Нормальные расслоения 193 Носитель изотопии 66 Ньюмана теорема (следствие 3.13) 61, 185 Обратимый кобордизм 158 Общее положение 103—108, 191 Объемлемая изотопия 66 Объемлемо изотопные вложения 66 Однородность многообразий 77 Окрестность пары 90 — производная 57 — регулярная 68 — симплициальная εокрестность 87 Ориентация, геометрическое определение 81 — индуцированная 79 — локальная 81 — многообразия 76—81 Ориентированный цикл 167 Основание звезды 9 — конуса 8 Основные понятия 189 Особенность цикла 167 Остов разбиения 28 Отмеченная точка 171 Относительные регулярные

окрестности 97, 186, 190 Отображение замкнутое 104 — клеточное 31 — кусочно линейное 13 — линейное 7 — невырожденное 104 — пар 86 — приклеивающее 127 — симплициальное 31 —, сохраняющее уровни 65 — характеристическое 126 Пары 86, 87 — звезд и их оснований 87 — многообразий 86, 88 — односвязные 172 — r-связные 171 Перегруппировка ручек 129 Пересечение разбиений 28 Перестройки 194 Периодический гомеоморфизм 49 Поглощение 160, 193 Погружения 196 Подполиэдр 13 Подразбиение 28 — полное 55 Полиэдр 9, 183, 184 — абстрактный 49 —, пары 86 — сдавливаемый 69 Полное подразбиение 55 Построение h-кобордизмов 163 Правильное разложение на ручки 138 Приведение в общее положение отображения 106 — — — — полиэдра 105 Приклеивание клетки 172 Приклеивание ручки 126 Приклеивающая сфера 126 — трубка 126 Приклеивающее отображение 127 Продолжение воротников 198 Проектирование псевдоцентральное 40 — центральное 15

Произведение разбиений 28 Производная окрестность 57 — — пары 90 Производное измельчение барицентрическое 37 — — вблизи подразбиения 57 — — вне подразбиения 37 Простая гомотопическая эквивалентность 70 Простой гомотопический тип 70, 193 Псевдоцентральное проектирование 40 Пуанкаре гипотеза 18, 184, 192 — двойственность 143 — слабая теорема в размерности 5, 159 — теорема (размерность ≥ 6) 18 Разбиение двойственное 50 — клеточное 27 — —, абстрактный изоморфизм 38 — на шары 50 — симплициальное 29. — — абстрактное 48 Разложение на ручки 137 — — —, ассоциированное клеточное пространство 140 — — — двойственное 138 — — — правильное 138 — — — симметричное 138 — — —.упрощение 143 Размерность 24 Расширение клеточное 176 Реализация абстрактного симплициального разбиения 49 Регулярная окрестность 58,185, 190 — — в многообразиях 60 — — , единственность 59, 68 — — критерии регулярности 73 Регулярная окрестность относительная 97 — — пары 90 — —, связь с воротниками 64 Редукция воротника 98 Ручки 126, 192

— дополнительные 132 —, индекс инцидентности 130 — исключение 143—147 —, лемма о разложении 134 — меченые 160 — на кобордизме 128 — перегруппировка 129 — разложение 137 —, сложение 135 — с соседними индексами 130 — терминология 126 — упрощение разложений 143 Связная сумма 82 Сглаживаний теория 197 Сдавливаемый полиэдр 69 Симметричное разложение 138 Симплекс 21 —, барицентр 22 —, вершина 22 — главный 167 —, грань 22 Симплициальная диаграмма 35 — окрестность 56 Симплициальное дополнение 57 — отображение 31 — разбиение 29 — — абстрактное 48 — соединение 42 — стягивание 185 Склеивание 49 Слабые теоремы в размерности 5, 158—160 След 71 Сложение ручек 136 Смейла теорема об h-кобордизме, см. h-кобордизм Собственная пара многообразий 87 Соединение 8, 187 — внешнее 42 — отображений 43 — пар шаров и сфер 88 — симплициальное 42 — шаров и сфер 43 Сокращение ручек 132

Срединный диск 126 Стандартная ориентация сферы 79 — ошибка 15 — пара 87 Стандартное зацепление 119 Стягивание внутреннее 177 — клеточное 176 — симплициальное 185 Сфер пары 86 Сфера 18 —, гомологии 168 — комеридианная 126 — меридианная 126 —, незаузленность 110,155—157 — приклеивающая 126 —, стандартная ориентация 79 Тело разбиения 27 Теорема двойственности Лефшеца 143 — — Пуанкаре 143 — Ирвина о вложении многообразий 182 — об h-кобордизме 19 — — —, доказательство 147 — — — ослабленная (в размерности 5) 158 — — —, относительный случай 149 — — s-кобордизме 150 — — общем положении для вложений 105 — — — — — отображений 105 — — универсальных коэффициентах 170 — о вложении в удвоенной размерности 108 — — воротнике 45 — — — для пар 90 — — — регулярных окрестностей 64 — — диске 78 — — — для пар 97 — — кольце 65 — — незацепленных сферах 121 — — поглощении 160 — — продолжении изотопии 101

Теорема о регулярных окрестностях 68 — — — — для пар 92 — — симплициальной окрестности 61 — — — — для пар 90 — Пуанкаре ослабленная 169 — Уайтхеда 174 — Шёнфлиса слабая 83 Точность 165 Трансверсальность 105, 194 Триангуляция полиэдра 33 — — линейная 33 — топологического многообразия 197 Трубки 115 Трюк Александера 67 Уайтхеда группа группы 179 — — пространства 177 — кручение, см. Кручение — теорема 174 Удвоение 198

Уитни лемма 187 — —, неодносвязный случай 123 Уитни лемма, односвязный случай 118, 133 Универсальное накрывающее пространство 174 Универсальные коэффициенты 170 Фундаментальная группа 171 Характеристическое отображение ручки 126 — — клетки 172 Центральное проектирование 15 Цикл 167 — ориентированный 167 — сингулярный 168 — — пары 168 — с краем 167 Цилиндр отображения 181 Шаров пары 86 Шары 18 Шёнфлиса гипотеза 82, 89, 186, 190 — слабая теорема 83