МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ “МИФИ” ________...
7 downloads
208 Views
3MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ “МИФИ” __________________________________________________________
В.С. Ремизович, А.И. Кузовлев
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА СВЕТОВЫХ ПОЛЕЙ В НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СРЕДАХ С КРУПНОМАСШТАБНЫМИ РАССЕИВАЮЩИМИ СРЕДАМИ
Рекомендовано УМО “Ядерные физика и технологии” в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений
Москва 2011
УДК 535.361(075) ББК 22.343я7 Р 38 Ремизович В.С., Кузовлев А.И. Аналитические методы расчета световых полей в неупорядоченных средах с крупномасштабными рассеивающими средами: Учебное пособие. М.: НИЯУ МИФИ, 2011. 368 с. В пособии излагается материал, соответствующий одному из разделов курса “Физическая теория переноса излучения” – распространение светового излучения в случайных средах. В пособии рассматриваются аналитические методы расчета световых полей в средах с крупномасштабными рассеивающими центрами. Учебное пособие частично восполняет практически полное отсутствие учебного материала по вопросам курса, одновременно обеспечивая специфическую форму подачи материала именно для студентов дневного отделения МИФИ. При этом предполагается необходимый уровень знаний определенных разделов математики (теории линейных дифференциальных уравнений, теории интегральных преобразований) и теоретической физики (квантовой механики, элементов физической кинетики). При написании пособия авторы стремились к максимально подробному изложению материала, включив многие промежуточные выкладки. Некоторые задачи решены одновременно несколькими способами. Это, несомненно, будет полезно для широкой студенческой аудитории с большой дифференциацией знаний и поможет существенно легче усвоить излагаемый материал. Пособие снабжено богатым иллюстративным материалом, что придает максимальную наглядность излагаемому предмету. Данное учебное пособие может быть полезным студентам факультетов дневного отделения МИФИ, обучающимся по специальностям “Физика плазмы”, “Физика конденсированного состояния вещества”, “Радиационная безопасность человека и окружающей среды”, а также аспирантам, специализирующимся в области теории взаимодействия излучения с веществом. Подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ.
Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. Калашников Н.П. ISBN 978-5-7262-1518-1 © Национальный исследовательский ядерный университет “МИФИ”, 2011
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие.................................................................................... 6 Введение.......................................................................................... 8 Глава 1. Уравнение переноса светового излучения в случайных средах ........................................................................ 12 §1. Основные характеристики световых полей в случайных средах........................................................................................ 12 §2. Уравнение для интенсивности света в неупорядоченных средах........................................................................................ 18 Глава 2. Малоугловое приближение теории прохождения светового излучения без учета флуктуаций длин путей фотонов из-за рассеяния............................................................. 30 §1 Уравнение переноса в стандартном малоугловом приближении при нормальном падении светового пучка на поверхность вещества ......................................................... 32 §2. Уравнение переноса в стандартном малоугловом диффузионном приближении при нормальном падении светового пучка на поверхность вещества .............................. 41 Глава 3. Стандартное малоугловое диффузионное приближение................................................................................ 49 §1. Интенсивность излучения при нормальном падении на поверхность вещества широкого -импульсного пучка фотонов..................................................................................... 49 §2. Интенсивность излучения при наклонном падении мононаправленного широкого пучка фотонов под малым углом к поверхности вещества ................................................ 60 §3. Интенсивность излучения при нормальном падении на поверхность вещества узкого пучка фотонов. Функция распределения Ферми .............................................................. 66 §4. Функция Грина в стандартном малоугловом диффузионном приближении .................................................. 85 §5. Интенсивность излучения от точечного источника света на поверхности вещества ......................................................... 92 §6. Интенсивность излучения при падении на поверхность вещества пространственно-углового гауссова светового
3
пучка ......................................................................................... 98 Глава 4. Стандартное малоугловое приближение................. 105 §1. Основные положения. Постановка задачи....................... 105 §2. Вычисление интенсивности излучения методом преобразования Фурье ........................................................... 110 §3. Вычисление интенсивности излучения методом последовательных итераций малоуглового интегрального уравнения переноса................................................................ 115 §4. Вычисление интенсивности излучения методом сферических гармоник ........................................................... 123 §5. Вычисление интенсивности излучения методом Компанейца ............................................................................ 129 §6. Анализ распределения Мольера – Компанейца............... 133 §7. Распространение узкого пучка в стандартном малоугловом приближении.................................................... 149 Глава 5. Распространение широкого стационарного светового пучка в малоугловом диффузионном приближении с учетом флуктуаций длин путей фотонов.... 166 §1. Основные положения. Постановка задачи....................... 166 §2. Вычисление интенсивности излучения с учетом флуктуаций длин путей фотонов из-за рассеяния................. 172 §3. Исследование влияния флуктуаций длин путей фотонов на параметры светового поля .................................. 178 § 4. Распространение узкого светового пучка с учетом флуктуаций длин путей фотонов из-за рассеяния................. 194 §5. О возможности вычисления интенсивности излучения с учетом флуктуаций длин путей фотонов без использования диффузионного приближения....................... 210 Глава 6. Распространение излучения в случайных стратифицированных средах................................................... 233 § 1. Основные уравнения для интенсивности излучения в неоднородных средах в МДП. Метод последовательных итераций ................................................................................. 233 §2. Распространение излучения в среде с постоянным отношением коэффициентов диффузии и поглощения ........ 243
4
§3. Распространение излучения в экспоненциально стратифицированной среде.................................................... 258 Глава 7. Распространение нестационарного сигнала в однородной среде ....................................................................... 282 § 1. Распространение нестационарного сигнала. Связь между стационарной задачей и задачей о нестационарном распространении сигнала ........................ 282 §2. Распространение широкого - импульсного нестационарного сигнала в однородной среде с учетом флуктуаций длин путей фотонов из-за рассеяния................. 288 §3. Вычисление временной зависимости полного светового потока на различных глубинах ............................. 291 §4. Исследование пространственно-временной зависимости распространения светового сигнала ...................................... 299 Приложение 1. Общие свойства индикатрис рассеяния в неупорядоченных средах ......................................................... 314 Приложение 2. Приближение Фоккера – Планка в пространстве углов...................................................................... 333 Приложение 3. Решение интегрального уравнения переноса в стандартном малоугловом приближении с помощью преобразования Лапласа ............................................................. 338 Приложение 4. Угловое распределение излучения в случае малоугловой двухпараметрической индикатрисы обобщенно-степенного вида....................................................... 343 Приложение 5. Регулярный метод вычисления интенсивности излучения в малоугловом диффузионном приближении............................................................................... 349 Приложение 6. Вычисление средних характеристик светового поля для узкого пучка в СМП.................................... 355 Вопросы для самоконтроля......................................................... 362 Список литературы ..................................................................... 367
5
ПРЕДИСЛОВИЕ Особенность курса “Физическая теория переноса излучения”, который более двадцати лет читается студентам дневного отделения НИЯУ МИФИ, состоит в том, что с единых позиций линейной теории переноса излагаются как классическая теория распространения светового излучения в случайных средах, так и теория распространения заряженных частиц. Настоящее пособие является продолжением пособия тех же авторов “Введение в теорию распространения света в случайных средах. Ч.1,2” и посвящено изложению аналитических методов расчета световых полей в средах с крупномасштабными рассеивающими центрами. Однократное рассеяние света в таких средах в направлении вперед носит резко анизотропный характер. При определенных ограничениях на толщину рассеивателя или при сильном поглощении световое поле в среде также имеет резко анизотропный характер в направлении первоначального распространения фотонов. Поэтому методы расчета излучения в таких средах получили название “малоугловое приближение”. Первоначальный вариант этого приближения не учитывает искривление траектории фотона за счет многократного рассеяния. Поэтому он называется стандартным малоугловым приближением и применим в относительно тонких слоях вещества. В дальнейшем удалось учесть этот эффект, и в сильно поглощающих средах избежать ограничения на толщину рассеивателя. В пособии приведены оба варианта малоуглового приближения. Показано когда можно ограничиться стандартным малоугловым приближением без учета искривления траекторий фотона. При этом рассмотрены несколько вариантов этого приближения. Также проанализирован случай, когда необходимо учитывать искривление траекторий фотона. При написании пособия авторы стремились к максимально подробному изложению материала, включив многие промежуточные выкладки. Это, несомненно, будет полезно для широкой студенческой аудитории с большой дифференциацией знаний и поможет
6
существенно легче усвоить излагаемый материал. Пособие снабжено большим количеством таблиц, графиков и иллюстраций. Это придает наглядность и облегчает понимание излагаемого материала.
7
ВВЕДЕНИЕ Множество сред как естественного, так и искусственного происхождения содержат беспорядочно распределенные неоднородности различной формы и размера, которые рассеивают и поглощают проходящее через среду электромагнитное излучение. Такие среды называются неупорядоченными или случайными. Прошедшее и отраженное от такой среды световое излучение содержит важную информацию об оптических свойствах и геометрических размерах среды. Исключительно большое значение имеют также параметры световых полей внутри самой среды. В сложном процессе формирования изображения рассеяние света имеет первостепенное значение. С одной стороны, рассеяние света, и только оно, позволяет увидеть предмет. Нерассеивающий предмет не виден. С другой стороны, рассеяние света искажает наблюдаемое изображение. Даже в относительно чистом воздухе вследствие молекулярного и аэрозольного рассеяния дальность видимости ограничена несколькими десятками километров. В условиях тумана или облачности она уменьшается до сотен метров. В морской воде, за счет большой концентрации органических примесей, планктона, взвесей и т.д. дальность прямой видимости может составлять всего несколько метров и меньше. Электромагнитное излучение оптического диапазона широко используется в исследованиях физики Мирового океана, атмосферы Земли и планет солнечной системы, при разработке систем подводного оптического наблюдения, а также для контроля и диагностики биологических тканей человека и животных. Важным свойством оптических методов является то, что они не разрушают объект исследования. Световое поле излучения представляет собой колебания электромагнитного поля с частотой и длиной волны : сT c/ . Здесь c – скорость света в среде. Скорость света (а, следовательно, и длина волны) зависит от показателя преломления среды n : c c0 / c0 / n .
8
Поэтому более представительной величиной является частота . Однако по традиции в оптике видимого излучения принято пользоваться длиной волны . Свет в узком смысле – то же, что видимое излучение, т.е. электромагнитные волны в интервале частот, воспринимаемых человеческим глазом 4 1014 7.5 1014 Гц , т.е., 400 нм вид 750 нм .
( 1 нм 109 м 106 мм 0.1 А ). Свет в широком смысле – синоним оптического излучения, который включает кроме видимого, инфракрасное излучение (ИК) и ультрафиолетовое излучение (УФ). Оптические свойства веществ в ИК- и УФ-диапазонах имеют много специфических особенностей и, как правило, сильно отличаются от оптических свойств в видимом диапазоне. Практически не представляется возможным в рамках одного пособия охватить все процессы и связанные с ними многочисленные эффекты для различных диапазонов длин волн. Поэтому в рассматриваемом пособии в качестве объекта исследований выделен только процесс распространения видимого излучения (света) в случайно-неоднородных средах. При этом предполагается, что взаимодействие видимого излучения с веществом определяется только двумя процессами – упругим рассеянием фотонов на хаотически распределенных рассеивающих центрах и поглощением света в веществе. Более тонкие эффекты, связанные с когерентностью рассеиваемого излучения и с поляризацией света в настоящем пособии не рассматриваются. Для нахождения светового поля как в самой рассеивающей среде, так и выходящего из среды излучения, необходимо решить транспортное уравнение Больцмана (уравнение переноса) для интенсивности излучения, дополненное соответствующими граничными условиями. Транспортное уравнение переноса представляет собой линеаризованное кинетическое уравнение Больцмана для системы, состоящей из частиц двух сортов – движущиеся фотоны и рассеивающие центры, которые в подавляющем большинстве случаев считаются неподвижными. Само кинетическое уравнение для молекул газа было сформулировано Больцманом в 1872 году. Од-
9
нако теория переноса света в неупорядоченных средах возникла независимо от Больцмана, в основном благодаря трудам русского ученого, профессора Санкт-Петербургского университета Хвольсона (1852-1934) и, независимо, Ломмеля (1837- 1899), которые впервые сформулировали интегральное уравнение с - оператором (т.е. интегральное уравнение с разностным ядром) для определения плотности световой энергии z на глубине z при изотропном законе однократного рассеяния в плоском слое конечной (или полубесконечной) толщины. Фактически, ими было впервые сформулировано одно из основных уравнений астрофизики и нейтронной физики. Не имея в то время в своем распоряжении методов решения такого рода уравнений, Хвольсон и Ломмель решали полученное ими уравнение методом итераций по числу актов рассеяния. Выражение для интенсивности однократно рассеянного света в плоской среде называется законом Ломмеля – Зеелигера. Однако в то время работы Хвольсона и Ломмеля прошли почти незамеченными. Интегральные уравнения с -оператором вновь появились спустя четверть века в связи с задачами о переносе светового излучения в атмосферах Земли и Солнца. Вторым рождением они обязаны Карлу Шварцшильду – выдающемуся астрофизикутеоретику1. Шварцшильд не знал о работах Хвольсона и Ломмеля. Он указал более простой способ вывода уравнения с оператором, основанный на формальном решении интегродифференциального уравнения переноса Больцмана. Поэтому его фундаментальная работа на долгое время стала стандартной ссылкой. Другой выдающийся ученый Милн (1921) ввел и затем исследовал однородное интегральное уравнение для не поглощающей (консервативной) полубесконечной среды, в связи с изучением солнечной атмосферы. Поэтому неоднородное интегральное уравнение с -оператором для полубесконечной среды обычно называют уравнением Шварцшильда – Милна. Дальнейшее развитие теория переноса излучения получила в середине прошлого века в работах Гаудсмита и Саундерсона (1940г.), 1
В 1916г. им было найдено точное решение уравнений тяготения Эйнштейна для сферически-симметричного случая – отсюда гравитационный, или шварцшильдовский радиус.
10
Компанейца (1945г) и Мольера (1948г.). Компанеец и Мольер рассматривали прохождение быстрых электронов через тонкие фольги. Рассеяние быстрых электронов на атомах среды носит резко анизотропный характер в направлении вперед, чем существенно отличается от рассеяния света в атмосфере. Ими независимо было получено приближенное выражение для распределения излучения по углам. В дальнейшем оно получило название распределения Мольера – Компанейца. Это распределение не учитывает искривление траекторий частиц за счет многократного рассеяния и поэтому данное приближение называется стандартным малоугловым приближением. Гаудсмит и Саундерсон нашли распределение частиц (фотонов) по углам при фиксированном пути, пройденном ими в веществе. Однако связать путь проходимый частицей (фотоном) с толщиной среды в общем случае не представляется возможным. Такая связь существует только для относительно тонких сред при резко анизотропном однократном рассеянии, в этом случае путь примерно равен толщине среды. А в этих предположения распределение Гаудсмита и Саундерсона совпадает с распределением Мольера – Компанейца. Учесть искривление траекторий частиц (фотонов) за счет многократного рассеяния удалось в восьмидесятых годах прошлого века одному из соавторов данного учебного пособия. Это позволило снять ограничение на толщину рассеивателя в сильно поглощающих средах. Рассмотрению различных вариантов малоуглового приближения и посвящено данное пособие.
11
Глава 1. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА СВЕТОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В СЛУЧАЙНЫХ СРЕДАХ §1. Основные характеристики световых полей в случайных средах В отличие от строгой теории, исходящей из уравнений Максвелла для электромагнитного поля или из волнового уравнения, классическая теория переноса светового излучения обычно оперирует только с переносом энергии в среде, не учитывая когерентные эффекты, связанные с интерференцией и дифракцией электромагнитных волн. Когерентными эффектами при многократном рассеянии можно пренебречь при соблюдении следующих условий: во-первых, рассеивающие центры должны быть расположены хаотично, во-вторых, расстояние между ними должно быть значительно больше длины волны. При соблюдении этих условий рассеяние на углы, большие некоторого критического значения угла 0 1 будет не когерентно. Полная когерентность, которая всегда имеет место при рассеянии вперед (если ей специально не интересоваться), несущественна, так как энергетический вклад области углов рассеяния, для которых имеет место этот эффект, оказывается малым. Эффекты дифракции и интерференции в уравнении переноса учитываются только при описании характеристик рассеяния и поглощения на отдельных рассеивающих центрах. В пособии не рассматриваются также и поляризационные эффекты, т.е. изучается распространение “скалярного” светового излучения. Задачи о распространении излучения в веществе можно разделить на два класса. К первому относятся процессы, когда можно пренебречь изменением частоты излучения при его распространении в веществе – монохроматическое рассеяние. Именно с исследования монохроматического рассеяния началось развитие теории переноса и довольно долго именно оно оставалось основным (и единственным) объектом изучения. Предположение о монохроматичности рассеяния является достаточно хорошим приближением при рассеянии света на флуктуациях плотности молекул в газах и при рассеянии на макроскопических частицах. С высокой точностью оно выполняется при изучении распространения светового
12
излучения в атмосфере Земли и других планет, водах Мирового океана. Поскольку при монохроматическом рассеянии частота не изменяется, то её значение можно считать постоянным параметром и рассматривать световое поле излучения данной частоты (длины волны) независимо от полей излучения на других частотах. Основная энергетическая характеристика поля излучения – ин тенсивность (яркость) излучения I r; ; t . Здесь – единичный вектор импульса фотона: p / p . Величина I(r; ; t) представляет собой средний поток световой энергии через единичную площадку в точке r, ориентированную перпендикулярно к направлению движения фотона в единицу времени в момент времени t . Размерность интенсивности излучения I Дж/м2с Вт/м2 . Интенсивность излучения является фундаментальной характеристикой светового поля. Её вычисление является основной задачей линейной теории переноса “скалярного” светового излучения, когда не учитываются когерентные эффекты и эффекты, связанные с поляризацией света. Интенсивность излучения связана с функцией распределения фотонов f r; ; t (фазовой плотностью фотонов) простым
соотношением:
I(r; ; t) cf r; ; t .
(1.1.1) Величина f r; ; t d 3 rd – есть среднее число фотонов в момент времени t в объеме d3 r в окрестности точки r , которые распространяются в направлении в интервале телесных углов d . Справедливость соотношения (1.1.1) легко доказывается следующим образом. Рассмотрим площадку d в точке r , ориентированную перпендикулярно к произвольному направлению (рис.1.1.1). Число фотонов, которые распространяются в направлении и пересекают эту площадку в единицу времени, будет равно числу фотонов в прямоугольном параллепипеде с основанием d и
13
длиной ребра, численно равной скорости света c , т.е. равно величине cf r; ; t d .
d
c
r
c O Рис.1.1.1. Площадка с нормалью
d . – направление распространения фото на в точке r
Поскольку энергия каждого фотона есть , то средний поток световой энергии в направлении через эту площадку в единицу времени в момент времени t будет равен cf r; ; t d . С
другой стороны, та же величина, по определению интенсивности, есть I(r; ; t)d , т.е. cf r; ; t d I(r; ; t)d .
Отсюда и получается соотношение (1.1.1). Таким образом, интенсивность излучения (яркость светового поля) полностью описывает структуру светового поля в среде. Важной энергетической характеристикой светового поля являются средняя плотность энергии светового поля r; t : (r; t) f r; ; t d .
4
14
Поскольку в соответствии с формулой (1.1.1) f r; ; t I(r; ; t) / c , получаем: 1 r; t I r; ; t d , (1.1.2) Дж/м3 . c 4 Полная энергия светового поля в произвольном объеме V в момент времени t определяется обычным образом: WV t r; t dV . (1.1.3)
V
По определению, вектор j r; t I r; ; t d ,
j Вт/м2 .
(1.1.4)
4
называется вектором плотности потока световой энергии в точке r в момент времени t . Величина j r; t d – есть средний поток световой энергии, проходящей через площадку d в точке r в единицу времени в момент времени t во всех направлениях. Поток световой энергии, проходящей через произвольную поверхность (во всех направлениях) в единицу времени, будет определяться потоком вектора j r; t через эту поверхность J t j r ; t d . (1.1.5)
Направление вектора d совпадает с направлением внешней нор мали n к поверхности . Если поверхность V замкнута и ограничивает некоторый объем V , то величина J V t (1.1.6) j r ; t d jn r ; t d V
V
определяет поток лучистой энергии через поверхность объема V . Величина JV является величиной алгебраической. Если JV 0 , то в единицу времени через поверхность V , ограничивающую объём V , вытекает больше световой энергии, чем втекает за единицу времени.
15
Формулы (1.1.2) и (1.1.4) позволяют определить основные энер гетические характеристики поля r; t и j r; t , если известно значение интенсивности излучения I r; ; t .
Если когерентными и поляризационными эффектами можно пренебречь, то оптические свойства среды определяются тремя основными величинами: 1. Коэффициент истинного поглощения (absorption) na a : na – концентрация поглощающих центров; a – полное сечение поглощения на одном центре. Размерность коэффициента поглощения – 1 / м . 2. Показатель рассеяния (scattering) nрас упр : nрас – концентрация рассеивающих центров; упр – полное сечение упругого рассеяния на одном рассеивающем центре (физически бесконечно малом объеме). Размерность показателя рассеяния – 1 / м . В большинстве случаев процессы поглощения и рассеяния происходят на одних и тех же физических объектах. Поэтому na nрас n0 – концентрация рассеивающих центров. Величины, обратные и l 1/ (1.1.7) la 1 / , имеют простой физический смысл. Величина la – есть средняя длина поглощения фотонов, а величина l – средняя длина свободного пробега, т.е. среднее расстояние между двумя последовательными актами упругого рассеяния. Сумма величин и называется коэффициентом экстинции : . (1.1.8) Коэффициент экстинкции также имеет размерность обратной длины: 1 / м . Величины и могут быть различными в разных точках ве щества: r , r . Такие среды называются неоднородными. Во многих случаях величины и одинаковы во всех точках рассеивающей среды: сonst и сonst . Такие среды на-
16
зываются однородными. В дальнейшем, если это не оговаривается особо, будем изучать распространение светового излучения в однородных средах. Важнейшей характеристикой процесса взаимодействия фотонов с рассеивающими центрами является вероятность выживания кванта : 1. (1.1.9) Величину называют так же альбедо однократного рассеяния. (Часто в литературе по распространению светового излучения вероятность выживания кванта обозначается буквой .) Если поглощение отсутствует 0 , то такая среда называется консервативной. В консервативной среде 1 . В абсолютно поглощающей среде ( ) величина 0 . Таким образом, вероятность выживания кванта изменяется в пределах: 0 1 . 3. Индикатриса рассеяния (Phase Function) . Вели чина определяет закон однократного рассеяния, т.е.
вероятность перехода фотона из произвольного начального со стояния в любое конечное состояние при одном акте рассеяния. Индикатрису рассеяния можно рассматривать как отношение дифференциального сечения упругого рассеяния к полному сечению упругого рассеяния света бесконечно малым физическим объемом 1 d упр . (1.1.10) ( ) упр d При таком определении, индикатриса рассеяния нормирована условием d d 1 . (1.1.11)
4
4
Зная перечисленные выше оптические характеристики среды, можно составить уравнение для определения интенсивности излучения – уравнение переноса, которое является основным уравнением линейной теории распространения светового излучения в неупорядоченных (случайных) средах.
17
§2. Уравнение для интенсивности света в неупорядоченных средах Кинетическое уравнение Больцмана Несмотря на всё многообразие видов взаимодействия излучения с веществом, теоретические методы исследования распространения излучения в неупорядоченных (случайных) средах, когда отсутствуют какие-либо когерентные эффекты, обладают определенной схожестью. Это связано с тем, что описание систем, состоящих из большого числа частиц (электромагнитное излучение можно рассматривать как газ фотонов), осуществляется едиными методами кинетической теории, которая дает способ перехода от детального изучения движения отдельных частиц к средним движениям множества частиц. Здесь и далее будем считать частицы точечными объектами, так что вращательные и колебательные степени свободы отсутствуют. Такие частицы могут совершать только поступательное движение. Классическое поступательное движение части цы полностью описывается её координатами r x, y, z и импуль сом p (или скоростью v p / m ). Упомянутое выше осреднение осуществляется с помощью функции распределения (фазовой плотности) f r; v; t . Величина f r; v; t d 3vd 3 r есть среднее число частиц в элементе фазового объема d3 rd3 v в окрестности точки r; v шестимерного фазового пространства в момент времени t . Размерность величины f : f с3 /м6 . Кинетическое уравнение Больцмана представляет собой по существу уравнение баланса числа частиц (точнее, точек в фазовом пространстве, изображающих состояние частицы) в элементе фазового объема d3 rd3 v . Это уравнение выражает тот факт, что изменение функции распределения частиц со временем происходит вследствие трех факторов: свободного перемещения частиц со скоростью v ; изменения их скорости под действием внешних сил F r; t и столкновений между ними, т.е. взаимодействием частиц друг с другом: f r; v; t f F f v (1.2.1) St . t r m v
18
Здесь f / t , St ст
(1.2.2)
так называемый интеграл столкновений. Интеграл столкновений определяет быстроту изменения функции распределения (т.е. её изменение в единицу времени) за счет столкновений частиц. Разумеется, что кинетическое уравнение (1.2.1) приобретает реальный смысл лишь после того, как определен конкретный вид интеграла столкновений (1.2.2). Для молекул (атомов) газа вид интеграла столкновений, как, впрочем, и само кинетическое уравнение, был установлен основателем кинетической теории Людвигом Больцманом в 1872 г. Поскольку атомы газа сталкиваются друг с другом, то интеграл столкновений Больцмана является нелинейным инте B f, f , который определяет быстгральным оператором St ст роту изменения функции распределения частиц за счет их ухода из элемента фазового объема d3 rd3 v при "прямых" столкновениях и прихода частиц в рассматриваемый элемент фазового объема d3 rd3 v из всех других состояний за счет "обратных" столкновений. Нелинейным оказывается и само кинетическое уравнение Больцмана. В дальнейшем будем считать, что внешние поля отсутствуют, т.е. F 0 (что всегда имеет место для фотонов). Тогда кинетическое уравнение (1.2.1) для частиц одного сорта будет выглядеть так: f r; v; t f v Bст f; f . (1.2.3) t r Односкоростное уравнение переноса света в однородной среде Случайную среду и потоки частиц (световое излучение), распространяющихся в ней, можно рассматривать как некоторую физическую систему, состоящую из "частиц" двух сортов. Распространяющиеся частицы (фотоны) – частицы сорта "a", и атомы вещества (рассеивающие центры) – частицы сорта "b". Их функции распределения есть fa r; va ; t и fb r; vb ; t соответственно. Уравнение для функции распределения fa r; va ; t частиц сорта "a" будет иметь вид, аналогичный (1.2.3):
19
fa r; va ; t
a a f va a Bст fa ; fa Bстa b fa ; fb . (1.2.4) t r a a Величина Bст fa ; fa есть интеграл столкновений частиц сорта "a" с частицами того же сорта, т.е частиц пучка друг с другом. Если под рассматриваемыми частицами понимать фотоны, то взаимодействием между ними можно пренебречь, полагая, что a a Bст (1.2.5) fa ; fa 0 . Тогда кинетическое уравнение (1.2.4) для частиц сорта "a" будет выглядеть так: a b fa r; va ; t fa va Bст (1.2.6) fa ; fb . t r a b Величина Bст fa ; fb есть интеграл столкновений частиц сорта "a" (фотоны) с частицами сорта "b", т.е. с атомами вещества. Если среда однородная, а атомы вещества (рассеивающие центры) неподвижны, то функция распределения fb r; vb ; t рассеивающих центров будет выглядеть так: fb r; vb ; t n0 vb . (1.2.7)
Здесь n0 – концентрация атомов (рассеивающих центров) среды. Таким образом, функция распределения fb известна и не зависит от динамических переменных частиц сорта "a". Поэтому в отличие от интеграла столкновений в кинетическом уравнении (1.2.3), интеграл столкновений в уравнении (1.2.6) является линейным интегральным оператором, так как отсутствует процесс взаимодействия частиц пучка друг с другом, т.е. частиц сорта "a" с частицами того a b же сорта. Таким образом, величина Bст fa ; fb Bст fa в уравнении (1.2.6) есть линеаризованный интеграл столкновений Больцмана, а само уравнение (1.2.6) оказывается линейным интегродифференциальным уравнением. Опуская везде индекс "a", запишем f r; v; t f v Bст f . (1.2.8) t r Уравнение (1.2.8) описывает процесс распространения излучения в случайной среде и называется уравнением переноса излучения, или
20
транспортным уравнением. Это уравнение, совместно с соответствующим начальным и граничными условиями, позволяет опреде лить функцию распределения частиц (фотонов) f r; v; t . Естественно, что уравнение переноса (1.2.8) реально определено только после того, как указан явный вид интеграла столкновений Bст f . Конкретный вид интеграла столкновений определяется возможными процессами взаимодействия частиц с атомами вещества (законом рассеяния фотонов на рассеивающих центрах). Как отмечалось выше, взаимодействие фотонов с рассеивающими центрами среды сводится к упругому рассеянию и поглощению света. Величина скорости фотонов не изменяется: v c . Может изменяться только направление их движения. Поэтому функция распределения фотонов будет выглядеть так: v c f r; c; t f r; ; t . (1.2.9) c2 Здесь – единичный вектор скорости (импульса) фотона c / c, p/ p, (1.2.10) который указывает на направление движения фотона. Учитывая все сказанное выше, из уравнения Больцмана можно получить уравнение переноса светового излучения для интенсивности излучения: I 1 I r; ; t kI Bупр I QV r; ; t . (1.2.11) c t r Величина Bупр I есть интеграл упругих столкновений: Bупр I I I r; ; t d . (1.2.12)
4
Первое слагаемое I в правой части (1.2.12) определяет "уход" фотонов из состояния в любое другое, а второе слагаемое опи сывает "приход" фотонов из произвольного состояния в состоя ние за счет упругого рассеяния. Первое слагаемое kI в уравнении (1.2.11) учитывает поглощение фотонов, т.е. дополнительный канал ухода фотонов из состоя ния , по аналогии с первым слагаемым в выражении (1.2.12). Та ким образом, величина I r; ; t фактически является неупругой
21
частью полного интеграла столкновений для фотонов, который учитывает как процесс рассеяния, так и процесс поглощения. Величина QV в уравнении (1.2.11) есть плотность объемных источников света (если они присутствуют) в произвольной точке r внутри среды. Величина QV r; ; t dVddt (1.2.13)
представляет собой среднюю энергию светового излучения, испус каемую элементом объема dV в окрестности точки r , в направле нии в интервале телесных углов d , в интервале времени t t dt . Размерность этой величины – QV Вт/м3 . Учитывая условие нормировки для индикатрисы рассеяния (1.11), интеграл упругих столкновений Bупр I можно записать в виде:
Bупр I I r; ; t I r; ; t d . (1.2.14)
4
Таким образом, в самом общем виде в однородной произвольной по форме среде уравнение переноса выглядит так: I 1 I r; ; t I I r; ; t d QV r; ; t . c t r 4 (1.2.15) Уравнение (1.2.15) является линейным, интегродифференциальным уравнением, ядром которого является индикатриса рассеяния. Поскольку предполагается, что величина скорости фотонов c не изменяется, то уравнение (1.2.15) является основным односкоростным уравнением теории переноса излучения в случайных средах. В обычной трехмерной среде направление единичного вектора импульса фотонов определяется полярным углом и азимутальным углом : x sin cos ; y sin sin ; z cos . (1.2.16)
Эти углы изменяются в пределах 0 ; 0 2 .
22
(1.2.17)
С учетом формул (1.2.16), уравнение переноса (1.2.15) в развернутом виде в декартовых пространственных координатах x, y, z будет выглядеть так: 1 I r; , ; t I I I sin cos sin sin cos c t x y z (1.2.18) I I r; ; t d QV r; ; t .
4
Уравнение (1.2.18) и будет предметом дальнейшего изучения. Попутно заметим, что в случае прохождения заряженных частиц через вещество, их скорость изменяется за счет ионизационного торможения. Поэтому сравнительно простой процесс поглощения фотонов заменяется значительно более сложным процессом неупругих столкновений частиц с атомами среды, приводящим к деградации энергии частиц. Учет неупругих столкновений существенно усложняет вид интеграла столкновений. В этом случае мы сталкиваемся со значительно более сложной неодноскоростой задачей теории переноса. Поэтому проблема вычисления не только пространственно-углового, но и энергетического распределения частиц представляет значительно более сложную задачу, чем проблема вычисления интенсивности светового излучения из односкоростного уравнения переноса (1.2.18). Уравнение переноса в условиях плоской геометрии Во многих случаях приходится рассматривать распространение потоков светового излучения в рассеивающих средах с плоскими границами. С такого рода задачами сталкиваемся, например, при изучении распространения солнечного излучения в атмосфере Земли и водах Мирового океана, а так же при распространении световых потоков через различные искусственные объекты с плоскими границами когда 0 z L . Если внутри такого слоя находятся плоские источники, объемная плотность которых зависит только от одной декартовой координаты QV QV z; ; t , или при внешнем
облучении поверхности вещества бесконечно широкими световыми потоками, интенсивность которых в каждый момент времени одинакова во всех точках облучаемой плоской поверхности, т.е. тоже
23
не зависит от поперечных координат, то реализуются условия, так называемой плоской геометрии. В таких задачах интенсивность излучения зависит только от одной продольной декартовой координаты z . С математической точки зрения, задачи с плоской геометрией относятся к классу наиболее простых и в то же время наиболее распространенных и изученных задач теории переноса. Если толщина слоя L , т.е. 0 z , то говорят о распространении излучения в полубесконечной среде. Поскольку падающее излучение всегда может быть заменено эквивалентными источниками на поверхности вещества, то будем для простоты считать, что внутри плоского однородного слоя вещества толщиной L находятся только плоские световые источники с произвольной объемной плотностью QV (z; ; t) , а падающее снаружи слоя излучение отсутствует. В этом случае световое поле как внутри вещества, так и выходящее излучение определяется только наличием указанных выше источников. Ось z направим по нормали к поверхности в глубь среды, т.е. вниз. Поскольку величина QV не зависит от поперечных координат x, y , то, как отмечалось ранее, интенсивность света зависит только от глубины z : I I(z; ) . Нестационарное уравнение переноса с помощью преобразования Лапласа по времени сводится формально к стационарному уравнению с комплексным "временным поглощением" k p / c . Поэтому ограничимся рассмотрением стационарного случая. Стационарное уравнение переноса для интенсивности излучения внутри слоя вещества и граничные условия при отсутствии падающего излучения имеют вид: I z; I z; d QV z; .(1.2.19) z 4 I(z 0; 0, ) 0 ; I(z L; 0, ) 0 . (1.2.20) Здесь cos . Если излучение распространяется в глубь вещества в сторону границы z L (нисходящее излучение), то 0 / 2 , т.е. 0 1 . Излучению, распространяющемуся в сторону верхней границы z 0 (восходящее излучение), соответствуют значения / 2 , т.е. 1 0 .
24
При решении задач теории переноса в условиях плоской геометрии, удобно вместо глубины z ввести безразмерную оптическую глубину и вместо коэффициента экстинкции вероятность выживания кванта . В случае однородной среды z z , / / . (1.2.21) Поделив обе части уравнения (1.2.19) на , получим для интенсив ности I ; L уравнения: I(; L ) QV (; ) I(; L ) I ; L d . 4 (1.2.22) I( 0; 0, L ) 0 , I( L ; 0, L ) 0 . (1.2.23)
Здесь L L – оптическая толщина однородного слоя L . Граничные условия (1.2.23) отражают тот факт, что на поверхностях слоя вещества 0 и L L отсутствует внешнее излучение, т.е. они являются свободными границами. На поверхности слоя есть только выходящее из вещества излучение. Условия (1.2.23) представляют специфические, как бы “разорванные” граничные условия. В отличие от стандартных граничных условий, известных из курса “Уравнения математической физики”, ни на нижней, ни на верхней поверхности слоя не задана интенсивность излучения во всем интервале значений 1 1 . На верхней границе 0 задано значение интенсивности только для 0 1 , а на нижней границе слоя L – для 1 0 . Интенсивность выходящего излучения на верхней и на нижней границах I 0 I 0; 0, , I L I L ; 0, заранее не известны и также подлежат определению в процессе решения задачи (рис.1.2.1). Во многих случаях именно угловое распределение выходящего излучения представляет основной интерес (альбедные задачи в теории переноса). При рассмотрении различных задач будем использовать как обычную глубину z , так и оптическую глубину , в зависимости от удобства, наглядности и простоты интерпретации получаемых результатов.
25
I 0
0
0
0
q
L
I L
L с расположен 0 ; на глубине 0 . На рисунке ус-
Рис.1.2.1. Схематическое изображение плоского слоя вещества ным внутри него плоским источником
q
ловно изображены фотоны, выходящие из вещества через верхнюю поверхность
I 0; 0 и через нижнюю поверхность слоя I L ; 0 . Звездочкой отмечена точка поглощения фотона
Интегродифференциальное уравнение (1.2.22), может быть записано в виде эквивалентного интегрального уравнения для интен сивности I(; L ) , в котором граничные условия (1.2.23) будут выполняться автоматически, даже при приближенных методах решения (например, метода последовательных итераций:
I(; ) I(н.рас) (; )
I ; d. 4 0 (1.2.24) Первое слагаемое в правой части интегрального уравнения (1.2.24) есть интенсивность нерассеянного излучения, величина которой L
d e
26
при произвольном распределении объемных источников определяется выражением: L
1 I н.рас (; ) exp qV (; )d , 0
qV
QV / .
(1.2.25)
Здесь x – единичная функция Хэвисайда: x 0 , если x 0 и x 1 , если x 0 . Нерассеянное излучение определяет вклад в полную интенсивность излучения от тех фотонов, которые, будучи испущенные источником в направлении , ни разу не изменили направления своего движения. Поэтому величина I н.рас (; L ) I н.рас (r; L ) определяется только характером распределения источников в среде и имеет один и тот же вид при любой индикатрисе рассеяния. Полагая в уравнении (1.2.24) 0 и L , нетрудно убедиться, что граничные условия (1.2.23) для полной интенсивности излучения всегда удовлетворяются авто матически при любом законе однократного рассеяния .
Второе интегральное слагаемое в (1.2.24) определяет интенсив ность диффузно рассеянных фотонов I (D) (; ) , т.е. тех фотонов, которые при распространении в веществе испытали хотя бы одно рассеяние: L D d . I ; d e I ; 0 4 (1.2.26) В отличие от интенсивности нерассеянного излучения, интенсивность диффузно рассеянных фотонов зависит от конкретного вида индикатрисы рассеяния. Кратность рассеяния определяется степенью вероятности выживания кванта: I D ; k I Dk ; . (1.2.27)
k 1
27
Здесь I Dk ; – вклад в диффузную интенсивность излучения
тех фотонов, которые испытали ровно k актов упругого рассеяния. Поскольку вычисление интенсивности нерассеянного излучения по формуле (1.2.25) сводится просто к вычислению интеграла (при заданном распределении световых источников), то, конечно, основная задача теории переноса излучения состоит в определении интенсивности диффузно рассеянного светового поля. Переходя к обычной глубине z и учитывая, что qV (; )d QV (z; )dz и z , выражение (1.2.25) можно записать в виде: L
z z 1 I н.рас (z; ) exp
z z QV (z; )dz . (1.2.28)
0
В выражении (1.2.28) записано z z / , вместо z z / , поскольку из-за наличия единичной функции под знаком интеграла, величина z z / всегда положительна. Величина z z / есть путь, который проходит фотон, распространяющийся прямолинейно в направлении 1 1 c глубины z , где он был испущен источником, до глубины z . Интегрирование в формуле (1.2.28) ведется только по глубине z . Интегрирование по угловым переменным отсутствует. Это является следствием того, что нерассеянные фотоны не могут изменить направление своего движения и распространяются прямолинейно в том направлении, в котором они были первоначально испущены источником. Из формулы (1.2.28) видно, что коэффициент экстинкции определяет быстроту ослабления нерассеянного излучения с увеличением пути, проходимого фотоном в направлении в слое вещества z z . Все сказанное относится и к формулам (1.2.24) и (1.2.25). Интегральное уравнения (1.2.24) для полной интенсивности излучения, которая включает в себя как нерассеянное, так и диффузно рассеянное излучение, справедливо не только для слоя вещества конечной толщины L , но для полубесконечной 0 L и бес-
28
конечной L вить замену: L 0 0
среды, если в этом уравнении осущест
или
29
L 0
.
(1.2.29)
Глава 2. МАЛОУГЛОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ТЕОРИИ ПРОХОЖДЕНИЯ СВЕТОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ БЕЗ УЧЕТА ФЛУКТУАЦИЙ ДЛИН ПУТЕЙ ФОТОНОВ ИЗ-ЗА РАССЕЯНИЯ Если длина световой волны много меньше размеров рассеивающих центров a a , а их относительный показатель преломления близок к единице nrel ~ 1 , то рассеяние становится резко анизотропным – 1 cos 1 ( – угол однократного рассеяния). Это необходимое условие, которое при некоторых дополнительных предположениях позволяет использовать при решении уравнения переноса различные виды малоуглового приближения. Наиболее просто проблема малоуглового рассеяния света решается в рамках стандартного малоуглового приближения (СМП). Под термином "стандартное малоугловое приближение" подразумевается наиболее простая форма малоуглового приближения уравнения переноса, когда не учитываются флуктуации длин путей фотонов из-за рассеяния и отражение от вещества. Основным неоспоримым достоинством этого приближения (помимо его простоты) является возможность решения уравнения переноса при произвольном законе однократного рассеяния cos . Хотелось бы особо подчеркнуть, что то же приближение используется иногда и для описания прохождения быстрых заряженных частиц ( rат , – де Бройлевская длина волна частицы; rат – средний радиус атомов вещества рассеивателя) в неупорядоченных средах. Однако поскольку процесс торможения частиц существенно отличается от процесса поглощения фотонов, то, конечно, не приходится ожидать полной аналогии при описании процессов распространения заряженных частиц и фотонов в случайных средах. Наиболее существенно методы описания этих процессов отличаются на относительно больших глубинах. На таких глубинах для описания процесса распространения частиц в среде обязательно необходимо учитывать потери их энергии из-за ионизационного торможения. В этом случае задача становится не односкоростной, что радикально усложняет проблему изучения распространения заряженных частиц по сравнению с проблемой
30
распространения света в поглощающей среде. Однако если путь s , проходимый частицами в веществе, значительно меньше среднего пробега s R0 , ( R0 – тот средний путь, проходя который в среде частица с начальной энергией T0 полностью теряет свою энергию и останавливается), то отличия в методах описания распространения частиц и света становятся минимальными. И эти различия вообще исчезают в консервативных средах, когда рассеяние частиц или фотонов носит чисто упругий характер. Подавляющее большинство работ по проблеме распространения света в веществе посвящено изучению многократного малоуглового рассеяния, когда на плоскую поверхность среды излучение падает по нормали к поверхности (т.е. вдоль оси z ). При этом обычно рассматриваются два основных случая: когда на поверхность вещества падает либо широкий, либо узкий пучок излучения. В случае падения широкого пучка выполняются условия плоской геометрии, когда интенсивность излучения зависит только от глубины z и полярного угла – I I z; , 1 . Зависимость от азимутального угла отсутствует ввиду аксиальной симметрии задачи. Проблема изучения прохождения узкого пучка частиц несколько сложнее, так как в этом случае интенсивность на глубине z зависит от поперечных координат x, y и двух углов x и y между вектором скорости фотонов в точ ке r и плоскостями YoZ и XoZ соответственно. В этом параграфе получены интегродифференциальные уравнения переноса для узкого и широкого падающих пучков в стандартном малоугловом приближении (СМП), т.е. без учета “искривления” траектории фотонов (флуктуаций длин путей фотонов из-за рассеяния). При этом рассматривается случай нормального падения (или близкого к нормальному падению) световых потоков на плоскую поверхность вещества, когда отражение фотонов практически отсутствует.
31
§1. Уравнение переноса в стандартном малоугловом приближении при нормальном падении светового пучка на поверхность вещества Как уже отмечалось выше, при прохождении излучения через среду с крупномасштабными рассеивающими центрами a оказывается малым средний квадрат угла однократного рассеяния 1 cos 1 , т.е. 2 1 . (2.1.1) Малость значения 2
приводит к тому, что транспортный по-
казатель рассеяния тр : тр 1 cos 2 / 2 ,
(2.1.2)
оказывается много меньше, чем показатель рассеяния , т.е. транспортная длина lтр 1 / тр , оказывается значительно больше средней длины упругих столкновений lупр 1 / : lтр
1 2 2 2 lупр lупр . 2 тр
(2.1.3)
За счет этого обстоятельства в области глубин z lтр , несмотря
N
на ст
большое
число
столкновений
при
lупр z lтр
~ z / lупр 1 , средний квадрат угла многократного рас-
сеяния оказывается малым: 2
2 Nст z 2
z
32
2
z
1 . (2.1.4) lупр lтр Выполнение условия (2.1.4) позволяет при описании процесса распространения излучения, падающего по нормали (или под малым углом к нормали) на плоскую поверхность вещества, полностью пренебречь отражением и использовать стандартное малоугловое приближение (СМП), рассматривая только те фотоны, которые от момента влета в среду до глубины z ни разу не изменили знака проекции своей скорости на ось z . z
Уравнение переноса в СМП для узкого пучка Широкий пучок всегда можно рассматривать как суперпозицию узких пучков. Поэтому самую полную информацию о распространении светового излучения в среде можно получить, решая транспортное уравнение для узкого светового пучка. По этой причине сначала получим интегродифференциальное уравнение для интенсивности излучения при нормальном падении узкого пучка на поверхность вещества в рамках СМП. Исходным будет нестационарное уравнение переноса (1.2.18), справедливое при любых углах рассеяния: I r; , ; t I I I sin cos sin sin cos ct x y z (2.1.5) kI Bупр I QV r; ; t .
Если рассеяние фотонов происходит на сферических частицах, то индикатриса рассеяния зависит только от косинуса угла рассеяния фотона из начального состояния в конечное состояние : cos , cos , . (2.1.6)
Значение cos связано с величинами cos , cos и основной формулой сферической тригонометрии: cos cos cos sin sin cos . (2.1.7) Рассмотрим случай, когда на плоский слой однородного вещества падает по нормали к его поверхности (вдоль оси z ) бесконечно узкий световой пучок (рис. 2.1.1).
33
x
y
r
x
0
z
O
z y Рис. 2.1.1. Условное изображение падения узкого пучка по нормали к поверхности
0 (вдоль оси z ): – единичный вектор скорости фотонов в точке r ; – расстояние от точки наблюдения до оси z (величина вещества в направлении
поперечного смещения фотонов от направления первоначального движения); x, y, z – проекции радиус-вектора r ; – полярный угол вектора скорости (угол отклонения фотона от оси z )
Так как в малоугловом приближении отражение света отсутствует, то на любой глубине z внутри вещества фотоны движутся в глубь среды: / 2 . Поэтому в малоугловом приближении оказывается удобно характеризовать направление распространения фотонов не полярным и азимутальным углами и , а углами x и y между вектором скорости фотонов в точке r и плоскостями YoZ и XoZ соответственно. Из рис. 2.1.2 видно, что про екции вектора связаны с углами x и y следующим образом:
x sin x ; y sin y ; z 1 sin2 x sin2 x . (2.1.8)
34
В последней формуле перед радикалом взят знак “плюс”, так как в малоугловом приближении z 1 2x 2y cos 0 . Поскольку x sin cos ;
z cos , (2.1.9)
y sin sin ;
то из сравнения выражений (2.1.8) и (2.1.9) следуют соотношения, связывающие пары угловых переменных , и x , y : x2 2y sin2 sin2 x sin 2 y ;
y
tg
sin y
. (2.1.10) sin x x Из первой формулы (2.1.10) следует, что при рассеянии на малые углы, когда sin 2 2 1 , углы x и y тоже малы: sin 2 x 2x 1 и sin 2 y 2y 1 .
x
y
0
x
O
x
z
y
z y
: – единичный вектор скорости; x , y , z – его проекции на координатные оси; , – полярный и азимутальный углы вектора скорости; x и y – углы, которые вектор образует с плоскоРис.2.1.2. Проекции вектора
стями
YOZ и XOZ соответственно
35
Поэтому для малых углов, соотношения (2.1.8) и (2.1.10) упрощаются и с точностью до членов второго порядка малости, т.е. в СМП, могут быть записаны в виде: x cos x ; y sin y ; z 1 . (2.1.11) 2 2x 2y ;
tg
y
. (2.1.12) x Поскольку по самому смыслу малоуглового приближения интен сивность излучения I r; x , y ; t должна быстро убывать с увеличением угла рассеяния , формально можно считать, что угловые переменные , x и y меняются в бесконечных пределах:
x ,
0 ;
y .
(2.1.13)
С учетом формул (2.1.11) левая часть уравнения переноса (2.1.5) в СМП запишется так: 1 I I I I 1 I I I I x y . ct r c t x y z c t z (2.1.14) В (2.1.14) введены двумерные векторы и : x , y , x, y . (2.1.15) Величина r x, y есть проекция радиуса вектора r на плоскость XOY , т.е. на плоскость, перпендикулярную к направле нию падающих фотонов 0 . Для того чтобы упростить интеграл упругих столкновений (1.2.14) в правой части уравнения (2.1.5), Bупр I cos I r; ; t I r; ; t d , (2.1.16)
4
нужно выразить угол однократного рассеяния между векторами и через углы x , y , x и y . Для этого воспользуемся формулой:
cos , x x y y z z .
При рассеянии на малые углы: cos 1 2 / 2 ; x x y y x x y y ;
36
(2.1.17)
z z cos cos 1 2 / 2 2 / 2 1 x2 y2 / 2 2x 2y / 2.
Подставляя эти приближенные выражения в формулу (2.1.17), получаем: 2 2 2 2 x x y y . (2.1.18)
Из (2.1.18) следует, что при малоугловом рассеянии угол между единичными векторами и можно формально рассматривать как двумерный вектор, равный разности двумерных векторов и : , т.е. x x x , y y y . (2.1.19) Из формул (2.1.11) и (2.1.12) видно, что связь между парами угловых переменных , и x , y такая же, как между декартовыми координатами x, y и полярными r , точками на плоскости r dr d dxdy . Поэтому элемент телесного угла в малоугловом приближении запишется в виде: d sin dd d d dx d y d . (2.1.20) С учетом (2.1.18) и (2.1.20) интеграл упругих столкновений (2.1.16) будет выглядеть так: 2 Bупр I I z; ; ; t I z; ; ; t d . (2.1.21)
4
Теперь, с учетом соотношений (2.1.14) и (2.1.21), уравнение переноса (2.1.5) в стандартном малоугловом приближении запишется в виде: I r; ; t I I ct z (2.1.22) 2 I I r; ; t I r; ; t d.
Уравнение (2.1.22) есть интегродифференциальное уравнение с разностным ядром по угловым переменным (ядром типа свертки) в пространстве углов x , y . Впервые уравнение вида
37
(2.1.22) (для стационарного случая теории малоуглового упругого рассеяния быстрых заряженных частиц) было независимо получено А.С. Компанейцем (1947) и Скоттом (Scott W.) (1949, 1950). Уравнение переноса в СМП для широкого пучка Как уже отмечалось выше, широкий пучок можно рассматривать как суперпозицию узких пучков. В случае нормального падения широкого пучка в силу аксиальной симметрии задачи в условиях плоской геометрии интенсивность излучения зависит только от глубины z , полярного угла и времени – I I z; ; t , 2 2x 2y 1 (рис.2.1.3)
x I0
0
O
z
y Рис. 2.1.3. Условное изображение падения широкого пучка по нормали к поверхно-
0 (вдоль оси z ): – единичный вектор скорости фотонов на глубине z ; – полярный угол вектора скорости (угол отклонения фотона от оси z ) сти вещества в направлении
38
Интенсивность излучения I I z; ; t при падении на поверхность вещества широкого пучка можно получить, интегрируя интенсивность излучения для узкого пучка по поперечным координатам: I z; ; t dx dyI z; x, y; x , y ; t dI z; ; ; t . (2.1.23)
Поэтому уравнение переноса в малоугловом приближении для широкого пучка можно получить из уравнения (2.1.22) для узкого пучка, так же интегрируя обе его части по поперечным координатам x, y . Поскольку I z; ; ; t 0, d то в левой части уравнения (2.1.22) производные по поперечным координатам зануляются и уравнение принимает вид I r; ; t ct z (2.1.24) 2 I I r; ; t I r; ; t d .
Поскольку интенсивность излучения в широком пучке зависит от величин x и y только в комбинации 2x 2y 2 , т.е. вместо двух угловых переменных x и y интенсивность зависит только от полярного угла , то бывает удобно записать уравнение переноса в несколько ином виде, когда эта особенность учтена изначально 0 :
2
I z; ; t I d d 2 I z; ; t . ct z 0 0 (2.1.25) 2 Здесь учтено, что в соответствии с (2.1.18), (2.1.20) 2 и
dx dy dd .
39
Величину квадрата угла однократного рассеяния 2 можно выразить через угловые переменные , и , , используя основную формулу сферической тригонометрии (2.1.7). В малоугловом приближении cos 1 2 / 2 , cos 1 2 / 2 , cos 1 2 / 2 , sin , sin . Поэтому вместо точной формулы (2.1.7) получим: 1 2 / 2 1 2 / 2 1 2 / 2 cos , т.е. 2 2 2 2 cos , . (2.1.26) Формула (2.1.26) представляет собой теорему косинуса в пространстве углов , , для треугольника со сторонами , , и углом между сторонами и (рис. 2.1.4).
Рис.2.1.4. Треугольник в пространстве углов
Теперь уравнение (2.1.25) будет выглядеть так: I z; ; t I I I z; ; t d , ct z 0 0 . (2.1.27) Здесь – малоугловая индикатриса рассеяния, проинтегрированная по азимуту: 2
2
2 2 cos d .
(2.1.28)
0
Удобство такой формы записи уравнения переноса в СМП состоит в том, что для его решения можно использовать теорему сложения для функций Бесселя (см. (4.5.6)).
40
§2. Уравнение переноса в стандартном малоугловом диффузионном приближении при нормальном падении светового пучка на поверхность вещества Вычисление интенсивности излучения из малоуглового интегродифференциального уравнения (2.1.22) представляет достаточно сложную задачу. Значительного упрощения можно достигнуть, используя приближение Фоккера – Планка (диффузионное приближение в пространстве углов). Кроме того, как будет показано ниже, в диффузионном приближении оказывается возможным получить аналитическое выражение для интенсивности излучения с учетом флуктуаций длин путей фотонов из-за многократного упругого рассеяния, что не удается сделать, используя более общую интегродифференциальную форму записи уравнения переноса. В этом параграфе получено уравнение переноса в стандартном малоугловом диффузионном приближении (СМДП) для узкого и широкого светового пучка, падающего по нормали к поверхности вещества (см. рис. 2.1.2). Под термином "стандартное малоугловое диффузионное приближение" подразумевается наиболее простая форма малоуглового приближения уравнения переноса, когда с одной стороны, не учитываются флуктуации длин путей фотонов изза рассеяния и, с другой стороны, интеграл упругих столкновений заменяется дифференциальным оператором по угловым переменным x , y . Уравнение переноса в СМДП при падении узкого светового пучка на поверхность вещества Преобразуем интеграл упругих столкновений (2.1.21). Сделав в (2.1.21) замену переменной интегрирования , запишем малоугловой интеграл упругих столкновений в виде: Bупр I d x d y 2 I z; ; ; t I z; ; ; t . (2.2.1)
Малоугловая индикатриса рассеяния существенно изменяется в 2 области углов 2 2eff , где 2eff ~ / a . При рассеянии на круп-
41
номасштабных
2 eff
рассеивающих
a
центрах
значение
1 . В области глубин z lупр , где происходит большое
число актов рассеяния фотонов, интенсивность излучения становится достаточно “размытой” функцией угла рассеяния по сравнению с индикатрисой рассеяния. Это условие можно выразить неравенством – средний квадрат угла многократного рассеяния на глубине z значительно превосходит величину среднего квадрата угла однократного рассеяния 2 :
2
2 .
(2.2.2) На таких глубинах величину можно рассматривать как малую добавку к , и интенсивность излучения I r; ; t можно раз ложить в ряд по . Ограничиваясь в этом разложении членами до второго порядка малости включительно, запишем: I r; ; t z
2 2 2I y 2 I (2.2.3) I I 2 I I(r; ) x y x y x 2 . x y x y 2 x 2 2y Подставляя (2.2.3) в (2.2.1), получаем: Bупр I
2 I I 2I 2 2 I y 2I d x d y 2 x y xy x 2 . y x y 2 x 2 2y x
Поскольку индикатриса рассеяния 2 x
2 y
(2.2.4) есть четная функция
углов x и y , а интегрирование ведется в симметричных пределах, то обращаются в ноль слагаемые линейные по x и y , и слагаемое, содержащее смешанное произведение x y , как интегралы от нечётных функций в симметричных пределах:
x
x 2 d x d y 0 ;
y
d 2
y
42
x
d y 0 ;
x y x y 2 d x d y 0 .
В результате получаем: 2 2I 2 2I Bупр I x y . 2 2x 2 2y Здесь
2x
(2.2.5)
2x 2 d x d y ;
2y
d 2 y
2
x
d y . (2.2.6)
Из определения среднего квадрата угла однократного рассеяния: 2 2 2 d 2 2 d x d y 2x 2y 2 d x d y , следует, что
2
(2.2.6) видно, что
2 x
2 x
2 y
(2.2.7) . С другой стороны, из формул
2y . Поэтому 2x 2y 2 / 2 .
(2.2.8)
С учетом соотношения (2.2.8) выражение для упругого интеграла столкновений (2.2.5) принимает вид: 2 2 I 2 I (2.2.9) Bупр I . 4 2x 2y Входящее в (2.2.6) выражение 2 / 4 есть коэффициент угловой диффузии фотонов в малоугловом приближении: 2 D . 4 Поскольку d x d y d d (аналогично
(2.2.10) тому,
что
dx dy dd ), то выражение (2.2.7) для среднего квадрата угла
однократного рассеяния можно записать так же в виде:
2 2 2 2 d .
(2.2.11)
0
С учетом (2.2.10) выражение для упругого интеграла столкновений (2.2.9) будет выглядеть так:
43
2 Bупр I 4
2 I 2 I 2 I 2 I D 2 2 2 . (2.2.12) 2 x y x y Теперь уравнение переноса (2.1.22) запишется в виде: 2 2 I I x y I r; ; t I D 2 2 . x y z ct x y (2.2.13a) или I r; ; t I D x y I r; ; t . (2.2.14b) z ct Здесь 2 2 x y 2 2 x y
есть двумерный оператор Лапласа по угловым переменным x и y . Уравнения (2.2.13) описывают процесс прохождения через вещество узкого пучка фотонов в стандартном малоугловом диффузионном приближении (СМДП) без учета флуктуаций длин путей фотонов из-за многократного упругого рассеяния. Уравнение переноса в СМДП при падении на поверхность вещества широкого светового пучка Если на поверхность вещества падает бесконечно широкий световой поток, то интенсивность излучения не зависит от поперечных координат x , y . Если от углов x , y перейти к полярному и азимутальному углам , и учесть, что связь между парами угловых переменных x , y и , такая же, как между декартовыми координатами x, y и полярными r , точками на плоскости, то можно записать, что 2I 2I 1 I 1 2I . (2.2.14) 2x 2y 2 2
44
Учитывая (2.2.14), получаем для интенсивности излучения широкого пучка следующее уравнение: 1 1 2 I z ; , ; t I D I z; , ; t , 2 2 ct z
0 ;
0 2 . (2.2.15) При нормальном падении пучка на поверхность вещества интенсивность излучения зависит только от глубины z и полярного угла. Зависимость от азимутального угла отсутствует ввиду аксиальной симметрии задачи. В этом случае уравнение (2.2.15) запишется так: 1 I I z; ; t I D , 0 . (2.2.16) ct z Таким образом, для вычисления интенсивности излучения I z; ; t в широком световом пучке можно поступить двумя способами: либо найти решение уравнения (2.2.16), либо, рассматривая широкий пучок как суперпозицию узких пучков, равномерно падающих на поверхность вещества, решить уравнение (2.2.13) для узкого пучка и затем проинтегрировать полученное решение I z; ; ; t по поперечным координатам:
I z; ; t dxdyI z; x, y; ; t dI z; ; ; t . (2.2.17)
Условие применимости СМДП При вычислении в малоугловом приближении коэффициента угловой диффузии D по приближенной формуле 2 (2.2.18) D 2 2 2 d , 4 4 0 возникает вопрос о сходимости интеграла на верхнем пределе. Если индикатриса рассеяния отлична от нуля только в строго ограниченной области малых углов max 1 , то возможность применения диффузионного приближения не вызывает сомнений.
45
Именно с такой ситуацией сталкиваемся при изучении распространения быстрых v vат тяжелых частиц m me , где
me – масса электрона. В этом случае, уже в области сравнительно низких релятивистках энергий, дебройлевская длина волны частицы становится существенно меньше средних размеров ядра атома – rяд . Это приводит к ограничению на угол рассеяния – / rяд 1 . При рассеянии света на хаотически распределенных центрах такого жесткого ограничения на угол рассеяния не возникает. В зависимости от соотношения длины световой волны и размеров рассеивающих центров, их относительного показателя преломления, законы однократного рассеяния весьма разнообразны и носят весьма сложный характер – от практически изотропного, когда рассеяние происходит на мелкомасштабных рассеивающих центрах a ,
до резко анизотропного рассеяния при a . В первом случае рассеяние вообще не является малоугловым. При рассеянии на крупномасштабных центрах, при выполнении некоторых ограничений, можно говорить о малоугловом многократном рассеянии. Чтобы многократное рассеяние имело малоугловой характер, необходимо чтобы индикатриса рассеяния достаточно быстро спадала с ростом угла однократного рассеяния . При этом, конечно, должно выполняться условие нормировки индикатрисы, которое по логике малоуглового рассеяния выглядит так (см. приложение 1):
2 d 1 .
(2.2.19)
0
Из (2.2.19) следует, что для сходимости интеграла на верхнем пределе необходимо, чтобы индикатриса рассеяния спадала с увеличением угла быстрее чем 2 . Однако одного этого условия недостаточно. Для сходимости интеграла в формуле (2.2.18) необходимо, чтобы индикатриса рассеяния спадала с увеличением угла быстрее, чем резерфордовская, т.е. быстрее, чем 4 : eff ~ 4 ,
46
0 .
(2.2.20)
Индикатрисы, спадающие с увеличением угла рассеяния быстрее, чем резерфордовская 0 , будем называть быстро спадающими. Индикатрисы, спадающие с увеличением угла рассеяния медленнее, чем резерфордовская 0 , будем называть медленно спадающими. Для быстро спадающих индикатрис значение 2 , а, следовательно, и коэффициент угловой диффузии можно рассчитать по формуле (2.2.18). В заключение этого параграфа отметим, что приближение Фоккера – Планка по угловым переменным может быть использовано и в том случае, когда, несмотря на резко выраженный характер однократного рассеяния eff 1 , за счет большого числа столкновений, угол многократного рассеяния становится не малым, что может иметь место в слабо поглощающих средах la ltr . В этом случае (см. приложение 2): Bупр I D , I(r; ; t) , 0 ; 0 2 . (2.2.21) Здесь D – коэффициент угловой диффузии; , – угловая часть оператора Лапласа в сферических координатах: 1 cos 1 1 2 D ; , sin . (2.2.22) 2 sin sin 2 2 В этом случае уравнение переноса без ограничения на углы рассеяния будет выглядеть так: I r; , ; t ct r (2.2.23) 1 1 2 I D I. sin sin2 2 sin В условиях плоской геометрии: I 1 cos I z; ; t I D sin I . (2.2.24) z sin ct При вычислении интенсивности из уравнения (2.2.24) нет ограничений на величину полярного угла . Поэтому из уравнения (2.2.24) можно определить как нисходящее, так и восходящее излучение. Таким образом, в отличие от малоуглового приближения,
47
например, при нормальном падении светового потока, из уравнения (2.2.24) можно определить интенсивность отраженного излучения I z 0; / 2 , ; t , т.е. получить полную информацию об угловом распределении отраженного излучения в приближении Фоккера – Планка в пространстве углов.
48
Глава 3. СТАНДАРТНОЕ МАЛОУГЛОВОЕ ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ §1. Интенсивность излучения при падении на поверхность вещества широкого -импульсного пучка фотонов
В этом параграфе рассмотрим одну из наиболее простых задач в теории малоуглового приближения. Вычислим интенсивность излучения в стандартном малоугловом диффузионном приближении (СМДП) для широкого -импульсного пучка фотонов, падающего по нормали к поверхности вещества. Рассматриваемая задача относится к категории задач теории переноса в условиях плоской геометрии. Постановка задачи Пусть бесконечно широкий, -импульсный световой поток па дает по нормали к поверхности вещества в направлении 0 , вдоль оси z (рис.3.1.1). Интенсивность излучения I z; ; t не зависит от поперечных координат x, y и может быть определена из уравнения (2.2.13): I z; ; s I I D I z; ; s . (3.1.1) s z Здесь, как и ранее, – двумерный вектор x , y , опреде-
ляющий направление распространения фотонов в МП: x x , y x , z 1 ; 2 / 2x 2 / 2y – оператор Лапласа по угловым переменным x и y . Величина (3.1.2) s ct есть путь, проходимый фотоном за время t от момента влета в среду t0 0 . Если световое поле внутри вещества до начала облучения его поверхности отсутствует, то начальное и граничное условия к уравнению (3.1.1) запишутся в виде: I z 0; ; s 0 0 , (3.1.3)
49
I z 0; ; s E0c x y s E0c s .
(3.1.4)
В (3.1.4) учтено, что t s / c c s .
x
t0
t
E0 O
0
z
z ct
y
-импульсного пучка по нор мали к поверхности вещества в направлении 0 (вдоль оси z ): – единичный вектор скорости фотонов на глубине z ; – угол отклонения фотона от оси z в момент времени t Рис.3.1.1. Условное изображение падения широкого
В малоугловом приближении интенсивность излучения должна быстро убывать с увеличением угла отклонения от направления первоначального распространения фотонов. Поэтому I z 0; ; t 0, если 2 2x 2y . (3.1.5)
Поскольку 1 dt d I z 0; ; t ds d I z 0; ; s E0 , (3.1.6) 0 c 0 то величина E0 есть количество световой энергии, проникающей в вещество через единицу площади его поверхности за все время об
50
лучения – E0 I с Дж/м2 . Уравнение (3.1.1), с дополнительными условиями (3.1.3)-(3.1.5), описывает процесс прохождения через вещество широкого -импульсного пучка фотонов в стандартном малоугловом диффузионном приближении (СМДП) без учета флуктуаций длин путей фотонов из-за многократного упругого рассеяния. Вычисление интенсивности излучения Уравнение (3.1.1) может быть решено различными способами. Один из них – использование двумерного преобразования Фурье по угловым переменным, поскольку угловые переменные формально изменяются в бесконечных пределах: x , y и интенсивность излучения быстро убывает с увеличение угла рассеяния (3.1.5). Представим интенсивность излучения в виде: 1 I z; ; s dI z; ; s exp i . (3.1.7) 2 2 Здесь I z; ; s – фурье-образ интенсивности излучения по углу рассеяния ; x , y – двумерный вектор интегрирования; x x yy . Подставляя (3.1.7) в уравнение (3.1.1) и гранич-
ное условие (3.1.4), учитывая при этом, что exp i 2 exp i ,
1
2 2
d exp i ,
получим следующее уравнение для фурье-образа I z; ; s : 2 (3.1.8) I z; ; s I D I z; ; s , s z I z 0; ; s E0c s . (3.1.9) Таким образом, уравнение для фурье-образа интенсивности излу чения I z; ; s , в отличие от уравнения (3.1.1) для интенсивности излучения I z; ; s , является дифференциальным уравнением пер-
51
вого порядка. Величина играет в уравнении (3.1.8) роль параметра. Для решения уравнения (3.1.8) воспользуемся методом характеристик, что фактически сводится к замене переменных. Вместо переменных s, z введем новые переменные: u s z, (3.1.10) z z . Величина u определяет отличие пройденного фотоном пути s от глубины z . Поскольку u z , , то s u z u z z z u z , s z z и уравнение (3.1.8) в новых переменных принимает вид: I z; ; u 2 D I z; ; u . (3.1.11) z Здесь z заменено на z . Так как при z 0 величина u s , то граничное условие (3.1.9) будет выглядеть так: I z 0; ; u E0c u . (3.1.12) В новых переменных уравнение (3.1.11) не содержит производной по переменной u . Следовательно, зависимость его решения от этой переменной остается на любой глубине z 0 той же, что и на поверхности вещества, т.е. I z; ; u ~ u . Поэтому решение
уравнения (3.1.8) с граничным условием (3.1.9) выглядит так: I z; ; s E0c s z exp 2 D z . (3.1.13) Выражение (3.1.13) в рассматриваемой задаче определяет фурьеобраз интенсивности излучения по угловым переменным фотонов на глубине z , прошедших путь s . Подставляя (3.1.13) в (3.1.7), получаем: e z 2 I z; ; s E0c s z d exp Dz i . (3.1.14) 2 2 Воспользуемся тем, что двукратный интеграл в (3.1.14) по d есть произведение двух однотипных однократных интегралов по x и y :
52
a2 2 i b a 2 2y iy by a 2 2x ix bx d e d e d y e . x Каждый из интегралов является табличным, так как представляет собой косинус преобразование Фурье от функции Гаусса. В частности, bx2 a 2 2x ix bx a 2 2x d e 2 d e cos b exp x x 2 . x 0 x a 4a С учетом всего сказанного, получаем: b2 a2 2 i b 2 exp 2 . de a 4a 2 В нашем случае a Dz , b . Поэтому 2 1 Dz 2 1 d e exp i exp (3.1.15) . 4 Dz 2 2 4Dz С учетом формулы (3.1.15) выражение (3.1.14) для интенсивности излучения будет выглядеть так: 2 e z I z; ; t E0 t z / c exp , 4Dz 4Dz (3.1.16) 0 ; 0 2 . Выражение (3.1.16) определяет в рамках СМДП угловое распределение светового поля на глубине z в момент времени t при облучении поверхности среды мононаправленным широким импульсным световым потоком, падающим по нормали к поверхности.
Анализ полученного решения. Средний квадрат угла рассеяния Исследуем полученное решение (3.1.16) нестационарного уравнения переноса (3.1.1). Видим, что выражение (3.1.16) содержит пространственно-временную -функцию t z / c c s z . Наличие этой -функции означает, что в рассматриваемом приближении путь, проходимый фотонами в слое вещества толщиной z , равен глубине проникновения фотона в вещество, т.е. s z .
53
Это, фактически, является формальным доказательством того, что в СМДП не учитывается эффект искривления “траектории” фотона из-за упругого рассеяния. Другими словами, в момент времени t все фотоны, влетевшие в вещество в момент времени t 0 , находятся на одной и той же глубине z ct . На других глубинах световое поле отсутствует. Если проинтегрировать решение (3.1.16) по времени, получим выражение для интенсивности излучения I z; в рамках СМДП
при облучении поверхности вещества широким стационарным световым потоком: 2 exp 4Dz z I z; I z; ; t dt I0e , 4Dz 0
0 ; 0 2 .
(3.1.17)
Здесь I0 – интенсивность излучения в падающем пучке фотонов
I0 Вт/м2 . Как и следовало ожидать, ввиду аксиальной симметрии задачи интенсивность излучения, определяемая выражением (3.1.17), не зависит от азимутального угла . Интегрируя (3.1.17) по углам распространения фотонов d dd , получаем выражение для полного интегрального потока фотонов на глубине z при облучении вещества широким стационарным световым потоком: 2
I z
0
d I z; d 2 I z; d I0e z . 0
(3.1.18)
0
Видим, что ослабление потока излучения происходит экспоненциально, что выражает хорошо известный закон Буггера – Ламберта, так как в СМДП s z . Выражение (3.1.17), поделенное на I z , есть вероятность W того, что на глубине z фотоны будут распространяться в направлении :
54
W z;
I z;
I z
2 exp 4Dz ; 4Dz
d d W 2 W d 1 .
2
0
0
(3.1.19)
0
Теперь можно вычислить величину среднего квадрата угла рассеяния 2 z на глубине z :
2
2 2 W d 4Dz .
z
(3.1.20)
0
Таким образом, в СМДП значение 2
z
линейно возрастает с глу-
биной. В малоугловом приближении коэффициент угловой диффузии (2.2.10) можно представить в виде: 2 2 2s 1 . (3.1.21) D 4 4 lупр 4 Здесь 2s 2 / lупр – средний квадрат угла рассеяния на единице пути1. С учетом (3.1.21) выражение (3.1.20) для 2
z
выглядит
так:
2
z
2s z 2z / lтр .
(3.1.22)
Теперь условие применимости малоуглового приближения можно записать в виде: 2 z 1 , т.е. z lтр , (3.1.23) что, конечно, совпадает с (2.1.4). Следует отметить, что в СМДП значение 2 z не зависит от величины истинного коэффициента поглощения , и оказывается одинаковым как в консервативной, так и в диссипативной средах.
1
2
В малоугловой теории переноса частиц принято оперировать с величиной , s
а не с коэффициентом угловой диффузии D .
55
C учетом формулы (3.1.21) выражение для интенсивности излучения (3.1.17) и вероятности (3.1.19) можно записать в виде: I z; I0 e z W z; ,
где
exp 2 / 2 W z; 2 z
z
.
(3.1.24)
На рис.3.1.2 представлены графики зависимости вероятности W z; на различных глубинах:
2 1 W ; exp . (3.1.25) 2 2 – приведенная глубина, т.е. глубина в единицах
Здесь z / lтр
транспортной длины рассеяния. В терминах приведенных глубин 2 2 . (3.1.26)
Поэтому кривые рис.3.1.2 соответствуют следующим значениям среднего квадрата угла рассеяния: 2 z 0.05, 0.1, 0.2 . Видим, что на любой глубине вероятность рассеяния монотонно убывает от своего максимального значения при н.в 0 . С увеличением глубины значение вероятности в максимуме уменьшается обратно пропорционально глубине ( W 0 ~ 1 / ), а сами кривые становятся более плавными, так как возрастает значение угловой дисперсии 2 ~ .
56
W
0.025
0.05
0.1 θ Рис. 3.1.2. Зависимость вероятности рассеяния от угла отклонения ных приведенных глубинах
на различ-
Решение уравнения переноса с помощью преобразования Бесселя В заключение этого параграфа продемонстрируем ещё один способ решения уравнения переноса с использованием преобразования Бесселя по величине полярного угла , который часто используется для вычисления интенсивности излучения в рассматриваемой задаче. Укажем также соответствие между этим методом и методом, в котором используется преобразование Фурье. Поскольку зависимость решения от времени при облучении поверхности -импульсным потоком фотонов тривиальна, вычислим интенсивность излучения I z; в рамках СМДП при облучении
поверхности вещества широким стационарным световым потоком
57
с интенсивностью I0 . В силу аксиальной симметрии, интенсивность излучения I z; не зависит от азимутального угла и может быть определена из уравнения (2.2.16), в котором отсутствует производная по времени: I z; 1 I I D ; z (3.1.27) I z 0; I , 0 . 0 2 При получении граничного условия учтено, что в случае нормального падения азимутальный угол неопределен и для малых полярных углов 1 : 1 1 2 1 0 1 cos . (3.1.28) 2 2 2 2 Для решения уравнений (3.1.27) воспользуемся преобразованием Бесселя по углу , представив I z; в виде:
I z; J0 I z; d .
(3.1.29)
0
Здесь J0 – функция Бесселя нулевого порядка; I z; – бессель-образ интенсивности излучения I z; по угловой переменной . Учитывая уравнение для J0 1 J0 2 1 2 J0 J0 , 2 для величины I z; получаем следующее уравнение: I z; D2 I z; ; z (3.1.30) I z 0; I0 . 2 При получении граничного условия для I z; , учтено представление Бесселя для -функции:
58
J0 d .
(3.1.31) 0 Решение уравнения (3.1.30) находится элементарно: I I z; 0 exp D2 z . (3.1.32) 2 Подставляя выражение (3.1.32) для бессель-образа интенсивности в (3.1.29), получаем: e z I z; I0 J0 exp Dz2 d . (3.1.33) 2 0 Значение интеграла в (3.1.33) (интеграл Вебера) хорошо известно: exp a2 / 4b 2 J ax exp b d , b 0 . 0 0 2b В нашем случае a , b Dz . В результате получаем: exp 2 / 4Dz z I z; I0e , 0 ; 0 2 . (3.1.34) 4Dz Выражение (3.1.34) для интенсивности излучения в точности совпадает с формулой (3.1.17). Покажем связь между двумя методами решения уравнения переноса – с использованием преобразования Фурье по паре угловых переменных x , y и преобразования Бесселя по полярному углу
2x 2y . Для этого обратимся к формуле (3.1.15), полученной с использованием преобразования Фурье. С учётом этой формулы выражение для интенсивности излучения в стационарной задаче будет выглядеть так: e z 2 , I z; I0 d exp Dz i 2 2 x x yy . (3.1.35)
При вычислении интеграла в формуле (3.1.35) будем использовать не “декартовы”, как ранее, а “полярные координаты” в плоскости x , y . Выберем “полярную ось” вдоль вектора . Тогда cos , d dd . Угол есть угол между векторами
59
и . В переменных , интеграл в формуле (3.1.35) запишется так: 2 2 i cos 2 Dz d exp Dz i e d . (3.1.36) d e
0
0
Учитывая известное интегральное представление для функции Бесселя 2
exp i cos d 2J , 0
(3.1.37)
0
получаем следующее выражение для интенсивности излучения: 2 e z de Dz J0 , I z; I0 2 0 что в точности совпадает с формулой (3.1.33). §2. Интенсивность излучения при наклонном падении мононаправленного широкого пучка фотонов под малым углом к поверхности вещества В предыдущем разделе настоящей главы была рассмотрена простейшая задача о вычислении интенсивности излучения в СМДП при нормальном падении широкого пучка фотонов на плоскую поверхность вещества, когда в силу аксиальной симметрии интенсивность излучения не зависела от азимутального угла . Однако реально при получении основного уравнения (2.2.13) в СМДП это обстоятельство нигде не использовалось. Единственным требованием было условие малости отклонения фотонов от оси z – 2 2x 2y 1 . Поэтому уравнения в СМДП можно использовать и в более общем случае, когда наклонный пучок фотонов па дает под углом 0 0x , 0 y к оси z . При этом значение угла 0 должно быть малым 20 20x 20 y 1 .
60
Постановка задачи. Решение уравнения переноса Здесь мы рассмотрим более общую задачу о вычислении интенсивности излучения при облучении поверхности вещества мононаправленным широким световым потоком, падающим под малым углом 0 1 к поверхности среды в азимутальной плоскости 0 0 , (рис. 3.2.1).
x I0 0
0
r
z O
y
Рис. 3.2.1. Условное изображение наклонного падения мононаправленного широкого пучка фотонов под малым углом
0 к оси z в плоскости XOZ 0 0 ;
и – полярный и азимутальный углы вектора скорости фотона, соответственно
При наклонном падении пучка фотонов уравнение переноса для интенсивности излучения остается таким же, как и при нормальном падении, поскольку при 20 1 и с точностью до членов порядка 20 можно считать cos 0I / z I / z . Изменяется только граничное условие. Поэтому
61
I z;
I D I
z; ,
(3.2.1) z I z 0; I0 x 0x y 0 y I0 0 . (3.2.2) Если вместо угловой переменной ввести новую переменную 0 , то поскольку , уравнение переноса и граничное условие для интенсивности излучения I z; запишутся так: I z; I D I z; , (3.2.3) z (3.2.4) I z 0; I0 .
Уравнение (3.2.3) и граничное условие (3.2.4) формально описывают процесс распространения фотонов при нормальном падении широкого светового потока на поверхность среды. Поэтому решение уравнения (3.2.3) будет определяться полученным ранее выра жением (3.1.17) для интенсивности излучения I z; при нор мальном падении, в котором нужно произвести замену , т.е. 0 . В результате получаем следующее выражение для интенсивности излучения при наклонном падении: 2 0 e z (3.2.5) I z; 0 I0 exp . 4Dz 4 Dz Полный интегральный поток на глубине z 2 z d I z ; d (3.2.6) 0 I z; , 0 d I0e .
0
0
Анализ полученного решения. Средний квадрат угла рассеяния Поскольку при наклонном падении азимутальная симметрия отсутствует, то интенсивность излучения (3.2.5) зависит как от величины полярного угла , так и от азимутального угла . Так как вектор падающего потока лежит в азимутальной плоскости
62
0 0 , 0 0 , то 0x 0 cos 0 0 , 0y 0 sin 0 0 . В то же время x cos , а y sin , т.е. cos , sin . По-
этому 0
2
2 20 20 2 20 2x 0x 2 20 20 cos .
(3.2.7) Следовательно, выражение (3.2.5) для интенсивности излучения будет выглядеть так: 2 20 e z 0 exp cos . (3.2.8) I z; , 0 I0 exp 4Dz 2Dz 4Dz Для интенсивности излучения в азимутальной плоскости 0 из (3.2.8) получаем, что 0 2 e z I z; , 0 0 I0 exp (3.2.9) . 4Dz 4Dz Таким образом, в азимутальной плоскости интенсивность излучения имеет обычный гауссовский вид относительно наиболее вероятного угла н.в 0 . Интегрируя формулу (3.2.8) по азимуту, получим выражение для нулевой азимутальной гармоники интенсивности излучения I z; 0 на глубине z безотносительно к азимутальному углу . Именно это значение интенсивности регистрируется при использовании широкоугольных детекторов излучения. Учитывая интегральное представление для модифицированной функции Бесселя I0 a 2
exp a cos d 2I a , 0
(3.2.10)
0
после интегрирования по получим: 2
I z; 0
dI z; , 0 I0 0
Поскольку в соответствии с (3.2.6)
63
2 20 0 e z exp I0 . 2Dz 4Dz 2Dz (3.2.11)
I z; d I e 0
z
0
,
0
то выражение (3.2.11), поделенное на I0 exp z , есть вероятность обнаружить фотон, распространяющийся под углом к оси z (безотносительно к азимуту): 2 20 0 1 W z; 0 exp (3.2.12) I0 . 2Dz 4Dz 2Dz Поэтому средний квадрат угла отклонения
2
z
на глубине z
можно определить по формуле:
2 0
z
2 W z; 0 d 0
20 4 Dz
e 2Dz
2 0 2 exp d. I0 0 4Dz 2Dz
Учитывая, что b2 1 4a 2 b2 3 2 2 x exp a x I bx dx exp 2, 0 0 2a 4 4a
a
2
1 / 4Dz;
b 0 / 2Dz ,
находим следующее выражение для величины 2 0
(3.2.13) z
:
2 4Dz 1 0 20 4Dz 20 2z / lтр . (3.2.14) z 4Dz Таким образом, средний квадрат угла рассеяния при наклонном падении 2 z есть сумма квадрата угла падения 20 и среднего 2 0
квадрата угла рассеяния 2
z
на глубине z при нормальном паде-
нии широкого светового потока на поверхность вещества: 2 0 z 20 2 z .
(3.2.15)
В случае нормального падения 0 0 , возвращаемся к полученному ранее результату (3.1.20): 2 0 0
64
z
4Dz .
На рис.3.2.2 представлены графики зависимости вероятности рассеяния W ; 0 на различных приведенных глубинах z / lтр D 1 / 2lтр :
W ; 0
2 20 0 1 exp I0 , 2
(3.2.16)
при угле падения 0 0.2 11.5 .
0.005
W 0.0075 0.01 0.015 0.02
Рис.3.2.2. Зависимость вероятности от угла отклонения на различных приведенных глубинах при наклонном падении широкого пучка под углом
0 0.2
65
Из рис.3.2.2 видно, что на относительно малых приведенных глубинах 0.005 и 0.075 интенсивность излучения имеет резко выраженный максимум вблизи угла падения 0 0.2 . По мере увеличения глубины максимум сдвигается в область углов меньших 0 и становится всё менее выраженным (более размытым) 0.01, 0.015 . На ещё больших глубинах 0.02 локальный максимум исчезает. Кривые на рис.3.2.2 соответствуют следующим значениям среднего квадрата угла рассеяния, рассчитанного по формуле (3.2.15) для угла падения 0 0.2 : 2 0 2
0.005
20 2 0.04 2 ;
0.05 ; 2 2
0.015
0.0075
0.055 ; 2
0.07 ; 2
0.02
(3.2.17) 0.01
0.06 ;
0.08 .
Т. е. на глубине 0.02 значения обоих слагаемых в формуле (3.2.15) становятся одинаковыми. §3. Интенсивность излучения при нормальном падении на поверхность вещества узкого пучка фотонов. Функция распределения Ферми В §1 настоящей главы было получено аналитическое выражение для интенсивности излучения при облучении поверхности вещества бесконечно широким -импульсным (по времени) световым потоком. В этом параграфе получим решение более общего уравнения переноса в стандартном малоугловом диффузионном приближении (СМДП) для узкого стационарного пучка фотонов, падающего перпендикулярно к поверхности однородной среды сonst , D сonst . Постановка задачи Пусть бесконечно узкий стационарный световой поток падает по нормали к поверхности однородной среды, вдоль оси z (риc.3.3.1).
66
x
P0
r
z
O y
Рис. 3.3.1. Условное изображение падения узкого пучка фотонов по нормали к
поверхности вещества в направлении вдоль оси z : – единичный вектор ско рости фотонов в точке r ; – угол отклонения фотона от оси z ; – азимутальный угол вектора
; – азимутальный угол радиус вектора r
Для вычисления интенсивности излучения I z; x, y; x , y воспользуемся основным уравнением переноса (2.2.13), записанным в рамках СМДП (для стационарного случая): 2I 2I I I I (3.3.1) x y I D 2 2 . x y z x y Здесь, как и ранее x и y – углы между вектором скорости фо тонов в точке r и плоскостями YoZ и XoZ соответственно (см. рис. 3.3.1). Уравнение (3.3.1) описывает процесс прохождения через вещество узкого стационарного пучка фотонов в стандартном малоугловом диффузионном приближении без учета флуктуаций длин путей фотонов из-за многократного упругого рассеяния. Граничное условие к уравнению (3.3.1) запишется в виде:
67
I z 0; x, y; x , y P0 x y x y P0 .
(3.3.2) Здесь x, y – двумерный вектор, определяющий поперечное смещение фотона от оси z . Вектор x , y определяет отклонение фотона от первоначального направления движения: 2 2x 2y . Интегрируя (3.3.2) по и , получим, что
d dI z 0; ; P . 0
(3.3.3)
Следовательно, величина P0 есть количество световой энергии, проходящей в вещество через всю поверхность z 0 (а не через единичную площадку) за единицу времени, т.е. P0 есть полная мощность падающего светового излучения – P0 I0 м2 =Вт . Поскольку в малоугловом приближении величина интенсивности излучения должна быстро убывать как с увеличением угла отклонения от направления первоначального распространения фотонов, так и с увеличением расстояния от оси z , то I z 0; ; 0, если 2 2x 2y , (3.3.4) I z 0; ; 0, если 2 x2 y2 . (3.3.5)
Решение уравнения переноса. Функция распределения Ферми Поскольку как само уравнение (3.3.1), так и граничное условие (3.3.2) симметричны относительно пар переменных x, x и
y, , y
то решение уравнения (3.3.1) можно представить в виде
произведения двух одинаковых функций, одна из которых зависит от переменных x, x , а другая от переменных y, y : I z; x, y; x , y P0e z W z, x; x W z, y; y .
68
(3.3.6)
Подставляя (3.3.6) в (3.3.1) и (3.3.2), получаем два независимых одинаковых уравнения для функций W z, x; x и W z, y; y . Уравнение для функции W z, x; x выглядит так: W z, x; x W z, x; x 2 W z, x; x D ; x x z x2 (3.3.7) W z 0, x; x . x x
Функция W z, x; x должна быстро убывать с увеличением угла отклонения x или смещения x . Поэтому W z, x; x 0, если x2 или 2x .
(3.3.8)
Уравнение (3.3.7) для величины W z, x; x является дифференциальным уравнением второго порядка. Аналогично выглядит уравнение и для функции W z, y; y . Таким образом, задача о нахождении интенсивности излучения I z; x, y; x , y как функции пяти переменных свелась к определению функции W z, x; x только трех переменных. Выясним физический смысл величины W z, x; x . Для этого проинтегрируем уравнение (3.3.7) по x и x . В силу условий (3.3.8)
W z, x; x
2 W z, x; x W z, x; x dx 0 ; d x 0. 2 x x x Поэтому получаем: W z, x; x dxdx 0; z (3.3.9) W z 0, x; dxd 1. x x Из первого уравнения (3.3.9) следует, что
W z, x; dxd x
69
x
сonst .
Полагая здесь z 0 , из второго уравнения (3.3.9) получаем, что значение сonst 1 . Поэтому, на любых глубинах
W z, x; dxd x
x
1.
(3.3.10)
Соотношение (3.3.10) определяет физический смысл функции W z, x; x . Величина W z, x; x dxdx есть вероятность того, что на глубине z фотон имеет смещение по оси x в интервале x x dx и находится в интервале углов x x dx . Аналогичный смысл имеет величина W z, y; y . Их произведение W z; ; W z, x; x W z, y; y (3.3.11)
есть вероятность того, что фотон на глубине z имеет поперечное смещение в плоскости XoY и распространяется в направлении x , y . Естественно, что величина W z; ; на любой глубине
z удовлетворяет условию нормировки: d dW z; ; 1 .
(3.3.12)
Возможность представления решения уравнения (3.3.1) в мультипликативном виде (3.3.6) отражает тот факт, что в СМДП отклонение фотонов относительно плоскостей YOZ (на угол x ) и XOZ (на угол y ) на любой глубине z (где допустимо малоугловое приближение!) происходит независимым образом. По той же причине независимыми оказываются и распределения по поперечным координатам x и y . Наличие бугеровской экспоненты в (3.3.6) объясняется тем, что в СМДП длина пути, проходимого фотонами в слое вещества толщиной z , совпадает с глубиной: s z . Возвращаемся к вопросу о решении уравнения (3.3.7). Условие (3.3.8) быстрого убывания функции W z, x; x с увеличением угла отклонения x и смещения x , позволяет для решения уравнения (3.3.7) воспользоваться двойным преобразованием фурье по паре переменных x, x :
70
W z, x; x
1
2 2
dk d w z; k ; exp ixk x
x
x
x
x
ix x .
(3.3.13) Подставляя (3.3.13) в (3.3.7), получаем уравнение для фурье-образа w z, kx ; x функции W z, x; x : 2 kx w Dx w z; kx ; x ; z x w z 0; kx ; x 1.
(3.3.14)
При получении уравнения (3.3.14) было учтено, что ix x x eix x i e , x x x
1
2 2
dk d x
x
exp ixkx ix x .
В отличие от уравнения (3.3.7), уравнение для фурье-образа w z; kx ; x является дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка. При этом величина kx в уравнении (3.3.14) уже является параметром, а не независимой переменной. Независимыми переменными являются две величины – z и x . Решение уравнения (3.3.14) легко получить методом характеристик, что фактически сводится к замене переменных z; x u; v :
u z x / kx , v z . (3.3.15) В новых переменных уравнение и граничное условие (3.3.14) запишутся в виде: w v; kx ; u D kx2 (u v)2 w v; kx ; u ; (3.3.16) v w v 0; k ; u 1. x Уравнение (3.3.16) есть уравнение в частных производных первого порядка для функции только одной переменной v . Величины u и kx играют роль параметров. Поэтому решение уравнения (3.3.16),
71
удовлетворяющее соответствующему дополнительному условию, находится элементарно: v 2 (3.3.17) w v; kx ; u exp Dkx2 u v dv . 0 Переходя с учетом формул (3.3.15) в выражении (3.3.17) к старым переменным, будем иметь: v
z
2 2 2 u v dv z z 2 z z x / kx x / kx dz . 0
0
Делая замену переменной интегрирования z z z , запишем выражение (3.3.17) в виде: 1 w z; kx ; x exp x2 A1 z 2kx x A2 z kx2 A3 z . 4 (3.3.18a) Аналогично выглядит функция w z; ky ; y :
1 2 y A1 z 2ky y A2 z ky2 A3 z . 4 (3.3.18b) В формулах (3.3.18) введено обозначение: An z 4Dz n / n , n 1, 2, 3 . (3.3.19) В соответствии с (3.3.19) находим следующие выражения для коэффициентов An z : w z; ky ; y exp
A1 4Dz , A2 z 2Dz2 , A3 z 4Dz3 / 3 .
(3.3.20)
Физический смысл величин A1 z , A2 z и A3 z будет пояснен ниже. Подставляя (3.3.20) в (3.3.18а), получим: z2 (3.3.21) w z; kx ; x exp Dz 2x kx x z kx2 . 3 Аналогично
выглядит
w z; kx ; x
и
функция
w z; ky ; y
есть
w z; ky ; y .
фурье-образы
Величины функций
W z, x; x и W z, y; y соответственно. Их произведение
72
z 2 w z; kx ; x w z; ky ; y exp Dz 2 kz k 2 . (3.3.22) 3 Подставляя (3.3.22) в общую формулу (3.3.6) для интенсивности излучения, получаем: z2 P e z I z; ; 0 4 dkd exp Dz 2 kz k 2 ik i . 3 2
(3.3.23) Формула (3.3.23) представляет интенсивности излучения I z; ;
для узкого пучка в виде четырехкратного преобразования Фурье. Теперь необходимо вычислить интегралы в формуле (3.3.23). Сначала выполним интегрирование по , записав выражение (3.3.23) в виде: Dz 3 2 e z I z; ; P0 dk exp k ik J z; k; . (3.3.24) 4 2 3
Здесь J z; k; d exp Dz2 i iDz2k .
Интеграл вида (3.3.25) был вычислен ранее (см. (3.1.14)): b2 a2 2 i b 2 exp 2 . de a 4a В нашем случае a 2 Dz , b iDz2k . Поэтому: 2 z Dz3 2 J z; k; exp i k k . Dz 2 4 4Dz Подставляя (3.3.27) в (3.3.24), будем иметь:
(3.3.25)
(3.3.26)
(3.3.27)
2 4 Dz
z Dz3 2 e z e I z; ; P0 dk exp k ik . 3 2 2 2Dz 12
(3.3.28)
73
Значение интеграла в выражении (3.3.28) опять определяется формулой (3.3.26), в которой теперь нужно положить a 2 Dz3 / 12 и b z / 2 :
z 12 32 3 32 Dz 3 2 exp k ik . dk exp 3 2 Dz3 Dz2 4Dz 12 Dz
(3.3.29) Подставляя (3.3.29) в (3.3.28), окончательно находим, что: 1 2 3e z 2 I z; ; P0 2 2 4 exp 3 3 . (3.3.30) 4 D z z z2 Dz
Выражение (3.3.30) определяет интенсивность излучения на глуби не z в направлении при поперечном смещении от оси z в узком пучке, падающем по нормали к поверхности вещества в СМДП, т.е. без учета флуктуаций длин путей фотонов из-за упругого рассеяния. Учитывая, что D 2s / 4 , (3.3.31) где 2s есть средний квадрат угла рассеяния на единице пути, выражение (3.3.30) можно записать в виде: 12e z 4 2 2 I z; ; P0 exp 3 3 2 2 2 z z 2z 4 2s z s
. (3.3.32)
В консервативной среде 0 при P0 1 формула (3.3.32) выглядит так: I z; ; 0 I F z; ; (3.3.33) 12 4 2 2 exp 3 3 . 2 2 z z2 2 z 4 2s z s Выражение (3.3.33) впервые было получено Э. Ферми (1940), при исследовании распространения узкого пучка частиц при чисто упругом рассеянии и называется функцией распределения Ферми. Таким образом,
74
I z; ; P0e z I F z; ; .
(3.3.34)
В соответствии с (3.3.6) можем записать: I F z; ; W z; x; x W z; y; y W z; ; .
(3.3.35)
Следовательно, функция распределения Ферми есть вероятность (3.3.11) того, что на глубине z фотон, имея поперечное смещение x, y , распространяется в направлении x , y . Естественно, что функция распределения Ферми нормирована условием (3.3.12). Из (3.3.33) получаем следующие выражения для вероятностей W z; x; x и W z; y; y : x x 2 3 4 2 x2 exp 3 3 x , (3.3.36a) 2 z z2 z 2 2s z s yy 2 3 4 2 y2 W z; y; y 2 2 exp 3 3 y . (3.3.36b) 2 z z2 z s z s Если поверхность вещества облучается мононаправленным узким -импульсным (по времени) световым потоком I z 0; ; ; t E0 t , W z; x; x
то в выражении (3.3.34) появляется дополнительный временной множитель t z / c , как и в формуле (3.1.16) при облучении поверхности широким нестационарным потоком. Это отражает тот факт, что в СМДП путь s ct , проходимый фотонами за время t в слое вещества толщиной z , равен глубине проникновения фотона в вещество, поскольку не учитывается эффект искривления “траектории” фотонов из-за упругого рассеяния. После простых алгебраических преобразований выражения в круглых скобках в (3.3.30), интенсивность излучения можно представить в одном из двух видов: 2 1 2 3e z 3 (3.3.37) I z; ; P0 2 2 4 exp 4 D z z 2 Dz 4 или
75
1 3 2 3 2 3e z exp 2 . (3.3.38) 42 D2 z 4 2 z Dz 4 z x x cos , y y sin , x cos ,
I z; ; P0
Поскольку
y sin , то , xx yy cos cos sin sin cos .
(3.3.39) Здесь – азимутальный угол радиуса-вектора точки наблюдения r , а – азимутальный угол вектора . Углы и лежат в одной плоскости XoY (рис.3.3.2).
x
r
z y Рис. 3.3.2. Условное изображение переменных в формуле (3.3.40)
Учитывая соотношение (3.3.39), формулу (3.3.30) для интенсивности излучения можно записать в виде: I z; ; ; (3.3.40) 3P0e z 3 2 1 2 exp 3 exp cos . 2 2 4 2 2 4 D z z Dz Dz Выражение (3.3.40) определяет интенсивность излучения узкого пучка фотонов на глубине z по переменным , и , , т.е. в
76
“полярных” координатах по поперечному смещению , и на правлению распространения фотонов , .
Анализ полученного решения. Вычисление средних Интегрируя интенсивность излучения по всем углам рассеяния и по поперечным смещениям, получим значение полного энергетического потока излучения на глубине z : P z d dI z; ; . (3.3.41)
Величина P z – есть количество световой энергии, проходящей через всю поперечную плоскость на глубине z в единицу времени. Выражение для P z удобно получить не утомительным интегрированием в (3.3.41), а сразу из формулы (3.3.23) для интенсивности излучения в виде представления Фурье, если учесть, что 1 d d exp ik i k . 4 2 Поэтому (3.3.42) P z d dI z; ; P0e z .
Видим, что ослабление полного энергетического потока светового излучения происходит экспоненциально с глубиной ~ exp z , как и в случае облучения вещества широким пучком (3.1.18), поскольку в СМДП отсутствует корреляция между глубиной про никновения в среду z и углом рассеяния и поэтому s z . Интегрируя выражение для интенсивности I z; ; по попе речному смещению , получим распределение фотонов на глубине z только по углу отклонения безотносительно к поперечному смещению:
77
P z; dI z; ; .
(3.3.43)
Для выполнения интегрирования по , удобно воспользоваться представлением интенсивности излучения в виде (3.3.37): 2 3 2 3e kz 4 Dz P z; P0 2 2 4 e d exp Dz3 2 z . 4 D z Вводя вместо новую переменную z / 2 , после элементарного интегрирования находим, что 2 exp 4Dz , z P z; P0e d 2d . (3.3.44) 4Dz Естественно, что выражение (3.3.44) совпадает с формулой (3.3.17) для интенсивности излучения при облучении поверхности вещества бесконечно широким потоком фотонов, падающих по нормали к поверхности среды. После интегрирования по поперечным координатам меняется размерность. В то время, как в широком пучке I0 есть количество энергии, проходящей в единицу времени через единичную площадку (перпендикулярную оси z ), величина P0 есть количество энергии, проходящей в единицу времени через всю поперечную плоскость, перпендикулярную к оси z . Поэтому P I м2 =Вт . Из формулы (3.3.44) видно, что распределение фотонов на глу бине z только по углу , безотносительно к поперечному смеще нию , имеет обычный гауссовский вид. При этом дисперсия угло-
вого распределения (3.3.44) определяется величиной 4Dz 2s z , а наиболее вероятное значение угла рассеяния на любой глубине н.в z 0 . В то же время из формулы (3.3.28) следует, что распределение фотонов по углу отклонения , имеющих на заданной глубине z определенное смещение сonst , также имеет гауссовский вид с той же дисперсией, но относительно наиболее вероятного угла,
78
значение которого зависит не только от глубины z , но и от попе речного смещения : 3 . н.в z; 2z Интересно отметить, что значение н.в z; не зависит от оптических свойств среды, т.е. от величин D и . Если выражение для интенсивности проинтегрировать по углам отклонения фотонов , то получим распределение фотонов на глу бине z только по поперечному смещению , безотносительно к направлению их движения (при интегрировании по углам размерность не изменяется): I z; dI z; ; . (3.3.45)
Для выполнения интегрирования по удобно воспользоваться представлением интенсивности излучения в виде (3.3.38): 2 3 2 3e z 1 3 4 Dz z2 I z; P0 2 2 4 e d exp . 4 D z 2 z Dz Вводя вместо новую переменную 3 / 2z , после интегрирования получаем: 3 2 3e z I z; P0 exp , d 2d . (3.3.46) 3 3 4 Dz 4 Dz Из формулы (3.3.46) видно, что распределение фотонов на задан ной глубине z только по поперечному смещению , безотносительно к направлению распространения фотонов, также имеет гауссов вид с дисперсией 4Dz3 / 3 2s z3 / 3 . Зная интенсивность излучения I z; ; , можно вычислить среднее значение любой функции f ; на глубине z по общей
формуле: f ;
z
d d f ; W z; ; .
79
(3.3.47)
Здесь W z; ; – вероятность того, что на глубине z фотон, имея поперечное смещение x, y , распространяется в направлении x , y , т.е. функция распределения Ферми (3.3.33).
Из формул (3.3.44) и (3.3.46) получаем выражения для ве роятностей W z; и W z; : 2 1 W z; W z; ; d exp , (3.3.48) 4Dz 4Dz 3 2 3 W z; W z; ; d exp . (3.3.49) 3 4Dz3 4 Dz Вычислим средний квадрат угла рассеяния 2 z на глубине z :
2
z
2 3dW z; . 0
Подставляя сюда значение
W z; , определяемое
(3.3.50) формулой
(3.3.48), получим:
2
z
4Dz 2s z .
(3.3.51)
Формула (3.3.53) совпадает с выражением (3.1.20) при облучении поверхности широким световым потоком. В обоих случаях значение среднего квадрата угла рассеяния возрастает пропорционально глубине – 2 z ~ z . Вычислим средний квадрат поперечного смещения 2 z на глубине z :
2
z
2 3dW z; . 0
(3.3.52)
Подставляя сюда значение W z; , определяемое формулой (3.3.49), получим: z3 1 2 3 2 4D s z . (3.3.53) z 3 3
80
Видим, что значение среднего квадрата смещения 2 z , в отличие
2 z , возрастает пропорционально кубу глубины –
от величины
2
z
~ z3 . Кубическая зависимость среднего квадрата смещения от
глубины имеет простое качественное объяснение. Смещение при малых углах рассеяния пропорционально произведению глубины на угол отклонения: ~ z tg z . Поэтому
2
z
~ z2 2
z
~ z3 .
Теперь формулы (3.3.48) и (3.3.49) можно записать в физически более наглядном виде: 1 2 , W z; exp d 2d . (3.3.54) 2 2 z z 2 1 , d 2d . (3.3.55) W z; exp 2 2 z z Вычислим значение коррелятора , на глубине z по об-
z
щей формуле (3.3.47): , d d , W z; ; .
z
(3.3.56)
Поскольку , x x y y и W z; ; W z, x; x W z, y; y
то
Так как x x
, z
z
x x
y y z , то ,
Значение x x
z
y y .
2 x x
z
z
.
(3.3.57)
(3.3.58)
определяется выражением:
x x
z
z
z
xdx x dx W z, x; x .
81
(3.3.59)
Подставляя в (3.3.59) значение W z, x; x , определяемое формулой (3.3.36a), получаем: x x z 3 x2 x x 1 2 xdx exp x dx exp x 3 . 2 z Dz Dz z (3.3.60) Интеграл по x является табличным:
3 2Dz2
Jx a, b
exp a2 x2 bx x dx
b2 b exp 2 2 a2 3/2 4a
.
(3.3.61) 2
2
В нашем случае a 1 / Dz , b 3x / Dz . Поэтому
x x 1 2 x dx exp Dz x 3 z
9 x2 D 3 x exp . 3 2 z 4D z
(3.3.62) Подставляя (3.3.62) в (3.3.60), получаем: 3 3 3 x2 dx exp x2 . x x z 5/2 4Dz3 4 Dz Интеграл в (3.3.65) тоже является табличным: Jx a x2 exp a 2 x2 dx . 2 3/2 2 a
(3.3.63)
Полагая a 2 3 / 4Dz3 , окончательно будем иметь: x x
z
Dz2 .
Следовательно, в соответствии с (3.3.58), находим значение величины коррелятора: , 2Dz2 . (3.3.64)
z
Сравнивая (3.3.20) с (3.3.51), (3.3.53) и (3.3.64) видим, что: A1 z 2 z , A2 z , , A3 z 2 z . (3.3.65)
82
z
Формулы (3.3.65) определяют физический смысл величин A1 z , A2 z и A3 z . Из полученных выражений (3.3.51), (3.3.53) и (3.3.64) для вели чин 2 z , 2 z и , , следует, что z , 2 3 2 z z z Dz , Dz2 , Dz3 . (3.3.66) 4 2 4 Учитывая (3.3.66), вероятность W z; ; (т.е. функцию распреде-
ления Ферми) можно записать в виде: I F W z; ;
4 2 2
z
2
z
2 exp 4 2
z
,
3 2
z
2 (3.3.67) 2 z
или W z; ;
2 2 (3.3.68) 4 3 2 exp 4 . A1 z A3 z A1 z 2 A2 z A3 z
Интересно отметить, что если на глубине z задано значение только среднего квадрата угла рассеяния 2 z 4Dz , то величины , и 2 z с учетом (3.3.66) будут определяться следующим
z
образом:
,
1 1 (3.3.69) z 2 , 2 2 z2 . z z z z 2 3 Это означает, что обе величины , и 2 z на глубине z од
z
нозначно определяются величиной среднего квадрата угла рассеяния 2 z на той же глубине. Обратимся к формуле (3.3.40), которая определяет интенсивность излучения узкого пучка фотонов на глубине z по перемен-
83
ным , и , . Поделив это выражение на P0 exp z , получим выражение для вероятности в переменных , , , : W z; ; ;
(3.3.70) 2 3 3 1 2 exp 3 exp cos . 2 2 4 2 2 4 D z z Dz Dz Интегрируя выражение (3.3.70) по азимутальным углам и , получим: W z; ; 2 2 . 1 2 3 2 3 2 2 4 exp cos 3 2 d d exp 4 D z z 0 Dz2 Dz 0 Здесь – разность азимутальных углов векторов и . Учитывая, интегральное представление для модифицированной функции Бесселя I0 a
2
exp a cos d 2I a , 0
(3.3.71)
0
после интегрирования по угловым переменным получаем: 1 2 3 2 W z; ; 2 4 exp 3 I0 3 . (3.3.72) Dz z2 Dz2 Dz Величина W z; ; определяет вероятность (точнее, плотность вероятности) того, что на глубине z фотон находится на расстоянии x 2 y2 от оси z и движется под углом x 2 y2 к оси z , безотносительно к азимутальным углам и . Естественно, что величина W z; ; удовлетворяет условию нормировки:
d dW z; ; 1 . 0
(3.3.73)
0
В заключение этого раздела отметим, что в малоугловой теории прохождения узкого пучка фотонов, интенсивность излучения (3.3.30) удобно записывать в виде:
84
2 A1 2A2 2 A3 e z I z; ; P0 2 2 exp , 2
(3.3.74)
либо 2 A A 2 e z I z; ; P0 2 2 exp 21 2 , (3.3.75a) A A1 1
или 2 A A 2 e z I z; ; P0 2 2 exp 23 2 . (3.3.75b) A A3 3
Здесь 2 z A1 z A3 z A22 z ,
2 м2 .
В рассматриваемом случае 4 1 2 2 4 2 z D2 z 4 s z . 3 12 Выражения (3.3.44) и (3.3.46) теперь запишутся так: 2 e z d 2d . P z; P0 exp , A1 A1 z 2 e I z; P0 exp d 2d . , A3 A3
(3.3.76)
(3.3.77)
(3.3.78) (3.3.79)
§4. Функция Грина в стандартном малоугловом диффузионном приближении В предыдущем параграфе было получено решение уравнения (3.3.1), когда бесконечно узкий пучок фотонов падает по нормали к поверхности вещества 0 0 в точке с координатами 0 0 , т.е. в начале координат. Однако при получении основного уравнения (2.2.13) в СМДП это обстоятельство нигде не использовалось. Единственным требованием было условие малости отклонения фо тонов от оси z − 2 2x 2y 1 . Поэтому уравнение (3.3.1) можно использовать и в более общем случае, когда узкий пучок
85
падает под углом 0 0x , 0 y к оси z в произвольной точке по верхности 0 (рис.3.4.1). При этом значение угла 0 должно быть малым 20 20x 20 y 1 . (3.4.1)
Координаты точки влета фотонов в среду вообще не имеют отношения к величине угла рассеяния и поэтому могут быть произвольными.
x
0 0
0
O
z
y
Рис. 3.4.1. Условное изображение падения узкого пучка под малым углом поверхности вещества в точке
86
0 плоскости z 0
0 к
Постановка задачи И так, пусть бесконечно узкий стационарный световой поток падает в направлении 0 0x , 0 y к поверхности вещества (от носительно оси z ) в произвольной точке поверхности 0 x0 , y0 (см. рис.3.4.1). Для вычисления интенсивности излучения воспользуемся уравнением переноса (2.2.14) для стационарного случая: 2 2 ; ; I z I D I z; ; . (3.4.2) 2 2 z x y Теперь граничное условие к уравнению (3.4.2) запишется в виде: (3.4.3) I z 0; ; 0 ; 0 P0 0 0 .
Как и ранее величина P0 есть мощность падающего светового излучения − P0 Вт . Так как в малоугловом приближении величина интенсивности излучения должна быстро убывать как с увеличением угла отклонения от оси z , так и с увеличением поперечного смещения от точки влета фотонов в среду, то, как и ранее: (3.4.4) I z 0; ; 0, если 2 2x 2y . 2 2 2 I z 0; ; 0, если 0 x x0 y y0 .
(3.4.5) Уравнение (3.4.2) с граничным условием (3.4.3) описывают процесс прохождения через вещество бесконечно узкого стационарного пучка фотонов, влетающих в среду в произвольном направлении 0 20 1 в точке поверхности 0 в СМДП с точностью до членов 20 , когда считается, что cos0 / z / z . Решение уравнения переноса для узкого пучка при наклонном падении. Малоугловая функция Грина Для решения уравнения (3.4.2) с граничным условием (3.4.3) сделаем замену переменных: 0 z0 , 0 , z z . (3.4.6)
87
Поскольку I z 0 0 , z z , 0 z z z z z z то в новых переменных вид оператора в левой части уравнения (3.4.2) остается прежним: 0 0 . (3.4.7) z z z Не меняется и вид оператора в правой части уравнения переноса, так как 2 2 2 2 . 2x 2y x2 y2
Поэтому в новых переменных уравнение (3.4.2) и граничное условие (3.4.3) запишутся так: 2 2 I z; ; I D 2 2 I z; ; . (3.4.8) z x y I z 0; ; P0 . (3.4.9)
Уравнение (3.4.8) и граничное условие (3.4.9) в точности совпадают с уравнением и граничным условием предыдущего параграфа (3.3.1) и (3.3.2) для бесконечно узкого пучка, падающего по нормали к поверхности вещества. Поэтому решение уравнения (3.4.8) с граничным условием (3.4.9) в переменных ; ; z будет опреде-
ляться прежним выражением (3.3.30): 2 3e z 1 2 I z; ; 0 2 2 4 exp 3 2 . (3.4.10) 3 4 D z z z Dz Возвращаясь к старым переменным (3.4.6), получим выражение для интенсивности излучения узкого пучка падающего на поверхность вещества в направлении 0 в точке 0 :
88
I z; ; 0 ; 0 P0
1 exp 0 Dz
2
3
0
z0
z
3e z 4 2D2 z4 0 0 z0 3 z2
2
. (3.4.11a)
Выражение (3.4.11a) можно записать также в виде: 3e z I z; ; 0 ; 0 P0 2 2 4 4 D z 2 0 0 0 1 2 exp 0 02 3 3 . z z2 Dz (3.4.11b) Естественно, что в случае нормального падения в начало координат ( 0 0 и 0 0 ), формулы (3.4.11) переходят в (3.3.30). Поэтому выражение (3.4.11a) или (3.4.11b), поделенное на P0 (т.е. интенсивность пучка единичной мощности P0 1 ), представляет собой функцию Грина в теории малоуглового прохождения света в приближении Фоккера − Планка, т.е. в СМДП, когда не учитывается флуктуация длин путей фотонов из-за многократного рассеяния: 3e z G z; ; ; G z; z; 2 2 4 4 D z 2 z z 2 1 3 . exp 3 2 Dz z z (3.4.12) Произвольный пучок света, падающий на поверхность среды, всегда можно рассматривать как суперпозицию бесконечно узких пучков: Iпад ; I z 0; ; d dIпад ; .
(3.4.13)
89
В силу линейности уравнения переноса, с помощью полученного выражения для функции Грина G z; ; ; можно рассчитать пространственно-угловое распределение излучения I z; ; , когда
поверхность вещества облучается произвольным пучком света с интен сивностью Iпад ; 2 1 , т.е. имеющим разброс как по направ-
лениям влета фотонов в вещество, так и по поперечному смещению, по формуле: I z; ; ddIпад ; G z; z; . (3.4.14)
В ряде случаев бывает удобно использовать не полученное выше явное выражение для функции Грина (3.4.12), а его представление в виде интеграла Фурье. Для этого достаточно в формуле (3.3.23) положить P0 1 и осуществить замену: z ; . В результате получаем следующее представление в виде интеграла Фурье для функции Грина в СМДП: G z; ; ;
e
z
dkd g z; k; exp ik z i . 2 4
Функция g z; k; определяется выражением: g z; k; exp Dz 2 kz k 2 z2 / 3 .
(3.4.15)
(3.4.16) Интегрируя функцию Грина (3.4.15) по углу рассеяния и попе речному смещению , с учетом того, что 1 d d exp i ik k , 2 4 g z; k 0; 0 1 ,
получаем, что
90
d d G z ; ; ; e z .
(3.4.17)
Подставляя (3.4.15) в (3.4.14) получим: ik e z z i ; ; ; e . I z; ; d d I dkd g z k пад 2 4
Так как
ik z i ik i kz ik i ,
то предыдущее выражение можно записать в виде: e z I z; ; dkd Iпад k; kz g z; k; exp ik i . 4 2 (3.4.18) Здесь Iпад k; d dIпад ; exp ik i . (3.4.19) Выражение (3.4.18) определяет интенсивность излучения I z; ; ,
если известен фурье-образ интенсивности падающего излучения Iпад k; , как по поперечным координатам , так и по угловым переменным . Рассмотрим для примера случай, когда на поверхность вещества падает широкий световой поток с интенсивностью I0 под углом 0 к оси Oz в азимутальной плоскости 0 0 . В этом случае граничное условие имеет прежний вид (3.2.2): I z 0; , Iпад 0 I0 0 . (3.4.20) Величина 0 является заданным параметром падающего излучения. Подставляя (3.4.20) в общую формулу (3.4.14), после интегри рования по получим: I z; ; I0 dG z; ; ; 0 . (3.4.21)
Для вычисления интеграла по поперечным координатам d dxdy удобно использовать для функции Грина
91
G z; ; ; 0
представление в виде интеграла Фурье (3.4.15).
Учитывая, что 1 k d e k , g z; k 0; exp Dz2 , 2 (2) запишем: e z Dz 2 I z; , 0 I0 d e exp i 0 . (3.4.22) 2 2 Используя формулу (3.3.26), после интегрирования получаем: 2 0 e z (3.4.23) I z; 0 I0 exp . 4Dz 4Dz
Естественно, что выражение (3.4.23) в точности совпадает с выражением (3.2.5) для интенсивности излучения аналогичной задачи, полученным прямым решением уравнения переноса без использования функции Грина. §5. Интенсивность излучения от точечного источника света на поверхности вещества В этом параграфе рассматривается распространение светового излучения от точечного не мононаправленного источника на поверхности вещества. Постановка задачи Пусть на поверхности вещества в точке 0 x0 0; y0 0 , т.е. в начале координат, расположен точечный не мононаправленный источник с поверхностной плотностью Q ; , 2 1 . (3.5.1) Функция определяет угловое распределение фотонов, испус-
каемых источником. Если на плоской поверхности вещества z 0 задана интенсивность падающего излучения I z 0; ; , то в
92
единицу времени через единичную площадку в окрестности точки в направлении в глубь среды входит энергия светового потока I z 0; ; cos . Такое падающее извне излучение можно заме-
нить поверхностным источником Qs z; ; z I z 0; ; cos .
В рамках малоуглового приближения углы падения фотонов малы 1 . Поэтому можно положить cos 1 , так что Qs z; ; z I z 0; ; . Это означает, что точечный источ-
ник фотонов (3.5.1) можно заменить эквивалентным падающим световым потоком с интенсивностью (3.5.2) Iпад ; I z 0; ; .
Выражение (3.5.2) представляет собой граничное условие в рассматриваемой задаче.
x Qs
z
y Рис.3.5.1. Условное изображение точечного не мононаправленного источника расположенного на поверхности вещества
Qs ,
Для вычисления интенсивности излучения воспользуемся общей формулой (3.4.14). После интегрирования по будем иметь: I z; ; d G z; ; 0; . (3.5.3)
93
Полагая в (3.4.13) 0 , после простых алгебраических преобразований получим: G z; ; 0; 1 2 3ez 2 2 2 2 4 exp 3 3 3 . 4 D z z z2 z Dz (3.5.4) Теперь выражение (3.5.3) для интенсивности излучения запишется так: 2 3e z 1 2 I z; ; 2 2 4 exp 3 3 z; ; , (3.5.5) 2 4 D z z z Dz где 1 2 z; ; d exp 3 . (3.5.6) z Dz Если источник испускает фотоны строго вдоль оси z , то P0 , z; ; P0 и из формулы (3.5.5) находим: 1 2 3e z 2 I z; ; P0 2 2 4 exp 3 3 , 4 D z z z2 Dz что в точности совпадает с полученным ранее выражением (3.3.30) для интенсивности излучения при нормальном падении на поверхность вещества бесконечно узкого светового пучка. Теперь рассмотрим случай, когда угловой спектр фотонов, испускаемых источником, имеет гауссов вид, т.е. 2 exp 2 0 P0 , 2 d P0 . (3.5.7) 0 2 0
Здесь 2
0
− среднее значение квадрата угла излучения, испускаемо-
го источником. Подставляя (3.5.7) в (3.5.6), будем иметь:
94
z; ;
P0 2
0
1 d exp 2 2
0
1 3 . Dz Dz z
(3.5.8) После интегрирования с использованием формулы (3.3.26), находим: 2 2 0 Dz 3 z; ; P0 2 exp . (3.5.9) 2 z Dz 4 Dz Dz 0 0 Подставляя (3.5.9) в (3.5.5), получаем следующее выражение для интенсивности излучения от точечного гауссовского источника: 3e z 2 1 2 I z; ; P0 exp 3 2 3 z z 42 Dz 3 2 0 Dz Dz
2 2 0 3 exp . 2 z 4Dz 0 Dz
2
(3.5.10) 0 , то
Если дисперсия интенсивности источника равна нулю 0 P0 и из формулы (3.5.10) опять получаем выражение
(3.3.30). После простых алгебраических преобразований выражение (3.5.10) можно представить в виде: 2 3P0 e z 1 I z; ; 2 exp a2 2 a3 . 3 2 a1 3 3 z 4 D z z 4D z z z (3.5.11) Здесь z D 2 Dz , a z n 2 4Dz , n 1, 2, 3 . D n
0
0
(3.5.12) Проинтегрируем интенсивность излучения по угловым перемен ным d dx dy :
95
I z;
dI z; ;
3 a1 2 3P0e z 4 Dz 1 3 e d exp 2 3 4 Dz 4Dz
2 a 3 a . 2 3 z
С учетом формулы (3.3.26), в которой , b 3i a / 4Dz 2 , получаем: a 2 a3 / 4Dz 2
нужно
положить
3P e z 3 4a1a3 3a22 2 (3.5.13) I z; 0 2 exp . 3 z a3 4a3 4Dz Учитывая, что z z (3.5.14) 4a1a3 3a22 16D окончательно находим: 3e z 3 2 , a3 z 3 2 0 4Dz . I z; P0 2 exp 2 z a3 z a3 z z (3.5.15)
Если 2
0
0 , то получаем, что
I z; P0
e z 2 3 exp , A3 z 4Dz / 3 . (3.5.16) A3 z A3 z
Это выражение в точности совпадает с полученным ранее выражением (3.3.81) для интенсивности узкого пучка на глубине z безотносительно к направлениям распространения фотонов. Интегрируя (3.5.16) по , получаем выражение для полного интегрального потока по всей поперечной плоскости на глубине z : (3.5.17) P z 2 dI z; P0e z . 0
Из (3.5.16) находим среднее значение квадрата поперечного смещения на глубине z : z2 4 2 a3 z 2 z2 Dz 3 . (3.5.18) z 0 3 3 Если 2 0 0 , то получаем, что 2 z 4Dz3 / 3 , что в точности совпадает с результатом (3.3.53) при облучении поверхности бес-
96
конечно узким пучком. Средняя площадь поперечного сечения пучка на глубине z возрастает с глубиной по закону: 4 S z 2 2 z 2 Dz3 . (3.5.19) z 0 3 Теперь проинтегрируем интенсивность излучения по попереч ным координатам d dxdy : P z; dI z; ;
a 3 a1 2 a2 3P e z 3 2 02 3 e 4 Dz d exp . z2 4 Dz 4 Dz z
(3.5.20)
Интегрирование по осуществляется с помощью прежней формулы 3, a 2 3a1 / 4Dz (3.3.26), в которой нужно положить 2 . В результате получаем: b 3ia2 / 4Dz 2 e z 1 4a1a3 3a2 2 (3.5.21) P z; P0 exp . a1 4a1 4Dz z z , Учитывая, что в соответствии с (3.5.14) 4a1a3 3a22 16D окончательно получаем: e z 2 2 P z; P0 exp , a1 z 0 4Dz . (3.5.22) a1 z a z 1 Естественно, что P z 2 dP z; P0 e z .
0
Из (3.5.22) находим среднее значение квадрата угла рассеяния на глубине z : 2 z a1 z 2 0 4Dz . (3.5.23) Формула (3.5.23) в точности совпадает с (3.2.15) при наклонном падении широкого пучка под углом 0 , если в последней сделать очевидную замену − 20 2 0 .
97
§6. Интенсивность излучения при падении на поверхность вещества пространственно-углового гауссова светового пучка В этом параграфе рассматривается распространение светового излучения при падении на поверхность вещества не мононаправленного, неоднородного (по поперечным координатам) светового потока. Постановка задачи Пусть на поверхность вещества падает световой поток с интенсивностью: P0 2 2 2 2 Iпад ; ; 2 2 exp 2 exp 2 . 0 0 2 0 0 0 0 (3.6.1) 2 2 Здесь − среднее значение квадрата угла (дисперсия), а 0 −
0
дисперсия поперечного распределения интенсивности излучения в падающем пучке, соответственно, которые считаются заданными. Считается, что угловой разброс фотонов в падающем излучении относительно оси z невелик: 2 1 . (3.6.2) 0
Это условие необходимо для использования при вычислении интенсивности излучения малоуглового приближения. Поскольку (3.6.3) d dIпад ; P0 ,
то величина P0 , как и ранее, есть количество световой энергии, проходящей в вещество через всю поверхность z 0 за единицу времени, т.е. P0 есть мощность падающего светового излучения −
P0 Вт .
Как видно из формулы (3.6.1), падающее излучение имеет гауссов разброс по углу падения с дисперсией 2 и гаус0
98
сов разброс по поперечным координатам x, y с дисперсией 2
0
на поверхности вещества z 0 , т.е. поверхность вещества облучается не мононаправленным, неоднородным световым потоком. В отличие от величины 2 , значение величины 2 0 может 0 быть любым. В частности, при 2 0 0 : P0 2 2 2 Iпад ; ; 0 exp 2 , (3.6.4) 0 0 2 0 0 что соответствует точечному источнику (3.5.2) на поверхности вещества с гауссовым угловым распределением (3.5.7), подробно изученному в предыдущем параграфе. Если 2 0 , то это со-
ответствует облучению поверхности не мононаправленным бесконечно широким гауссовым (по углу падения) световым потоком с дисперсией 2 . При этом в формуле (3.6.1) нужно произвести 0 2 замену P0 / 0 I0 , где I0 − интенсивность падающего излучения ( I0 Вт/м2 ): Iпад
; 2
0
; 2
0
I0 2
0
exp
2 . 2 0
Если одновременно 2 0 и 2 0 0 , то 0 2 Iпад ; 0; 2 0 P0 .
0
0
(3.6.5)
(3.6.6)
Этот предельный случай соответствует подробно изученной ранее задаче при облучении поверхности бесконечно узким световым потоком (3.3.2), падающим на поверхность вещества вдоль оси z . Интенсивность излучения при этом будет определяться выражением (3.3.32). Ввиду мультипликативной зависимости интенсивности падаю щего излучения (3.6.1) от величин и , в падающем излучении отсутствует корреляция между углом падения и поперечным смещением фотонов. Это означает, например, что изменение диспер-
99
сии 2
углового распределения падающего излучения не влияет
0
на закон распределения по поперечным координатам точки влета фотонов в вещество, и наоборот. Таким образом, считается, что угловое и координатное распределения интенсивности падающего излучения полностью независимы. Для вычисления интенсивности светового излучения внутри вещества подставим выражение (3.6.1) в общую формулу (3.4.14): I z; ;
P0 2 2
0
2
0
dd exp
2 2 2 2 G z; ; ; . 0 0
(3.6.7) Функция Грина G z; ; ; G z; z; определя ется выражением (3.4.12). Выполняя интегрирование по и подобно тому, как это было сделано в предыдущем разделе, получим: 2 B1 z 2 B2 z 2 B3 z e z I z; ; P0 2 2 exp . 2 z (3.6.8) Здесь B1 2 4Dz ; B2 z 2 2Dz2 ,
0
B3 2
0
z 2 2
4 Dz 3 , 3 2 2 z B1 z B3 z B2 z . 0
0
Анализ полученного решения. Вычисление средних Сравнивая выражение (3.6.8) с выражением (3.3.74)
100
(3.6.9) (3.6.10)
2 A1 2A2 2 A3 e z I z; ; P0 2 2 exp , 2
2 A1 A3 A22 , видим, что они полностью тождественны по своей структуре и переходят одна в другую при замене: A1 B1 , A2 B2 , A3 B3 . (3.6.11) 2 2 При 0 и 0 0 получаем, что A1 z B1 z , A2 B2 , 0
A3 B3 . Отмеченная особенность чрезвычайно упрощает исследование полученного выражения (3.6.8) для интенсивности излучения при падении на поверхность вещества светового потока (3.6.1), так как можно воспользоваться уже полученными ранее результатами для бесконечно узкого пучка, осуществляя в них лишь замену (3.6.11). Интегрируя выражение (3.6.8) для интенсивности I z; ; по поперечному смещению , получим распределение фотонов на глубине z только по углу отклонения , безотносительно к поперечному смещению. Заменяя в формуле (3.3.78) A1 B1 , сразу находим, что e z 2 P z; dI z; ; P0 exp . (3.6.12) B1 z B1 z Из формулы (3.6.12) видно, что распределение фотонов на глубине z только по углу имеет обычный гауссов вид. При этом дисперсия углового распределения в (3.6.12) определяется величиной B1 z . Если выражение (3.6.8) проинтегрировать по углам отклонения фотонов , то получим распределение фотонов на глубине z толь ко по поперечному смещению , безотносительно к направлению их движения. Заменяя в формуле (3.3.79) A3 B3 , находим, что e z 2 I z; dI z; ; P0 exp . (3.6.13) B3 z B3 z
101
Из формулы (3.6.13) видно, что распределение фотонов на глу бине z только по поперечному смещению также имеет гауссов вид, а дисперсия распределения определяется величиной B3 z . Из формул (3.6.12) и (3.6.13) сразу находим значение среднего квадрата угла отклонения 2 от оси z и значение среднего z
квадрата поперечного смещения 2 z на глубине 2 B1 z 2 4Dz , z
2
0
B3 z 2
z 2 2
z: (3.6.14)
4 3 Dz . (3.6.15) 3 Естественно, что на поверхности вещества z 0 из формул (3.6.14), (3.6.15) получаем, что 2 2 , 2 z0 2 0 . z
z0
0
0
0
Как и в случае бесконечно узкого пучка, величина B2 z пред ставляет собой значение коррелятора на глубине z : z 2 B2 z z 2Dz2 . (3.6.16) z
0
Из формулы (3.6.14) следует, что за счет рассеяния величина 2 линейно увеличивается с глубиной z . В случае не расz сеивающей среды D 0 значение 2 остается неизменz 2 ным и равно начальному значению . 0
Из формулы (3.6.15) видим, что с ростом глубины величина 2 z растет не только за счет рассеяния, но и за счет чисто геометрического фактора. Действительно, фотоны, распространяю щиеся под малым углом к оси z , смешаются от оси пучка на ве личину z . Поэтому, даже в отсутствие рассеяния D 0 , зна чение 2 z возрастает с глубиной. Учитывая, что 0 , из (3.6.15) при D 0 получаем: 0
102
2
z
2
0
z 2 2
0
z
2
.
(3.6.17)
0
С учетом полученных выражений для средних значений 2 , 2 z z и , выражение для интенсивности излучения (3.6.8) можно запиz
сать в виде: I z; ;
2 2 P0 exp 2 2 z
2 z 2
z
2
2 z
z
2 2
, (3.6.18) z
2 . (3.6.19) z z z В более общем случае, например, при облучении поверхности узким лазерным пучком, интенсивность падающего излучения можно считать распределенной по закону 2 2 2 2 2 P 0 0 0 0 I ; 2 пад ; 2 2 exp 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0. (3.6.20) Здесь − коррелятор между направлением распространения 2
0
и поперечным смещением в падающем пучке. Рассмотренное выше распределение (3.6.1) является частным случаем распреде ления (3.6.20) и получается из него, если 0 . Соответст0
вующие, но несколько более громоздкие вычисления приводят к выражению для интенсивности излучения полностью аналогичному (3.6.8), но только с несколько другими значениями для величин B1 z , B2 z , B3 z и 2 z . При этом, как и ранее, B1 z 2 z , B2 z и B3 z 2 z . Поэтому выражение z
для интенсивности в глубине вещества, когда интенсивность падающего на поверхность излучения определяется более общим выражением (3.6.20), будет определяться формулой (3.6.18) , в которой нужно положить:
103
2 2 4Dz; z 0 z 2 z
2
z
0
2
0
2z
2Dz2 ;
0
0
z 2 2
(3.6.21) 0
4 Dz 3 ; 3
2 (3.6.22) 2 z 2 2 z . z z Естественно, что если 0 , формулы (3.6.20) - (3.6.22) пере0
ходят в полученные ранее выражения, возникающие при облучении поверхности световым потоком с интенсивностью (3.6.1), когда отсутствует пространственно-угловая корреляция. Подставляя в (3.6.22) значения (3.6.21), получим: 1 1 2 z 20 4Dz 2 z z 2 2 Dz3 . (3.6.23) 0 0 0 3 3 2 Поскольку в соответствии с (3.6.20) 0 0 , то и 2 z 0 . Из
(3.6.23), конечно, следует, что при z 0 2 z 0 20 . Выражение (3.6.23) можно записать в виде: 1 2 2 2 z 20 2 2 2 z z 3 2 . z 0 z 0 0 0 12 (3.6.24) Из формулы (3.6.24) видно, что для определения величины 2 z на глубине z достаточно знать только зависимость среднего квадрата угла рассеяния 2 z на этой глубине.
104
Глава 4. СТАНДАРТНОЕ МАЛОУГЛОВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ §1. Основные положения. Постановка задачи В предыдущем разделе подробно изучалась проблема малоуглового прохождения световых потоков (как для широкого, так и для узкого пучка фотонов), когда для вычисления интенсивности излучения использовалось уравнение переноса в рамках стандартного малоуглового диффузионного приближения (СМДП) по угловым переменным. Напомним вкратце основные предположения и допущения, которые использовались при вычислении интенсивности в рамках СМДП. Исходным было уравнение переноса (2.2.13) в приближении Фоккера – Планка, когда малоугловой интеграл упругих столкновений (2.1.21) записывался в дифференциальной форме (2.2.9) и уравнение переноса (2.2.13) имело вид дифференциального уравнения в частных производных второго порядка по угловым переменным. Было отмечено, что диффузионное приближение применимо только для класса быстро спадающих индикатрис рассеяния, когда индикатриса спадает с увеличением угла однократного рассеяния быстрее, чем резерфордовская, т.е. быстрее, чем 4 : еff ~ 4 ,
0 .
(4.1.1)
Условие (4.1.1) сильно ограничивает область применимости СМДП, поскольку в большинстве естественных оптических сред (аэрозольная атмосфера, гидрозольные воды морей и океанов и т.д.) имеет место как раз обратная ситуация. Например, при изучении распространения света в Галактике используется индикатриса Хеньи – Гринстейна (П.1.16a), которая при рассеянии на малые углы имеет вид (П.1.43): ef 1 H G . (4.1.2) 2 2eff 2 3/2 При относительно больших углах рассеяния индикатриса Хеньи – Гринстейна спадает с увеличением угла степенным образом
105
H G eff ~ 3 медленнее, чем резерфордовская, т.е. отно-
сится к классу медленно спадающих индикатрис. Кроме того, в диффузионном приближении рассеивающие свойства среды определялись только коэффициентом угловой диффузии D 2 / 4 , т.е. фактически величиной среднего квадрата угла однократного рассеяния 2 . Поэтому, даже при различных законах однократного рассеяния , но с одинаковыми значениями 2 , выражения для интенсивности излучения, полученные в рамках СМДП, оказываются одинаковыми. В настоящем и следующих параграфах рассматривается проблема малоуглового прохождения световых потоков в более общем случае, без использования диффузионного приближения. Это позволяет получить аналитическое выражение для интенсивности излучения, явно зависящее от вида индикатрисы рассеяния. При этом отпадает требование (4.1.1) относительной быстроты убывания индикатрисы рассеяния с увеличением угла . Полученные выражения для интенсивности позволяют исследовать динамику распространения световых потоков в средах с медленно убывающими индикатрисами рассеяния, когда еff ~ 4 , 2 . (4.1.3) Теперь исходным уравнением будет малоугловое интегродифференциальное уравнение переноса (2.1.22) с разностным ядром (интегралом столкновений типа свертки): I I 1 I r; ; t I d 2 I r; ; t I r; ; t , c t z (4.1.4) где 2 2 2 2 x x y y , r ; z . (4.1.5)
Как обычно в малоугловом приближении условие нормировки индикатрисы рассеяния выглядит так: 2 d 2 (4.1.6) d 1 . 0
106
Из (4.1.6) видно, что для сходимости интеграла на верхнем пределе индикатриса рассеяния должна убывать быстрее, чем 2 , т.е. eff ~ 2 , 0 .
(4.1.7)
Если малоугловая индикатриса рассеяния убывает с ростом медленнее чем 2 , то для вычисления интенсивности в таких средах изначально не может быть использовано малоугловое приближение. Поэтому везде в дальнейшем (впрочем, как и ранее) будем считать, что условие (4.1.7), безусловно, выполняется. Уравнение переноса (4.1.4) позволяет вычислять интенсивность излучения как для широких, так и для узких падающих световых потоков лишь при условии, чтобы величина угла отклонения фотонов от оси z была мала, т.е. 2 z 1 . (4.1.8) В этом случае отраженное излучение отсутствует, и на поверхности вещества z 0 есть только падающее излучение. Наиболее просто уравнение (4.1.4) выглядит в условиях плоской геометрии (2.1.24): 2 I z; ; t I I z; ; t d . ct z (4.1.9) Существенным достоинством СМП является возможность решения уравнения переноса при произвольном законе малоуглового однократного рассеяния . В случае нормального падения широкого пучка ввиду аксиальной симметрии задачи отсутствует зависимость от азимутального угла и интенсивность излучения зависит только от глубины z и полярного угла – I I z; . Поэтому бывает удобно записать уравнение (4.1.9) в виде (2.1.27): I z; ; t I I z; ; t d . ct z 0 (4.1.10) Здесь – малоугловая индикатриса рассеяния, проинтегрированная по азимуту:
107
2
2
2 2 cos d .
(4.1.11)
0
Угол есть угол между сторонами и треугольника , , (рис.2.1.4). Для вычисления интенсивности излучения при нормальном падении широкого светового потока удобно использовать также уравнение переноса в интегральном виде (1.2.24): I(; ) I(н.рас) (; ) d e I ; d. 0 4
(4.1.12) Здесь z – оптическая глубина, / k – вероятность выживания кванта (альбедо однократного рассеяния); I(н.рас) (; ) – интенсивность нерассеянного излучения. В СМП, когда считается, что cos 1 , можно положить: , e
e
,
.
(4.1.13)
С учетом приближений (4.1.13) уравнение (4.1.12) существенно упрощается и выглядит так: I(; ) I(н.рас) (; ) e d e I ; d .
4
0
(4.1.14) Существуют несколько различных способов вычисления интенсивности излучения в СМП. Ввиду особой значимости рассматриваемой задачи, в следующих параграфах продемонстрируем некоторые из них: метод решения уравнения (4.1.9) с использованием преобразования Фурье, итерационный метод решения интегрального уравнения переноса (4.1.14), метод Компанейца, применительно
108
к уравнению (4.1.10), а также малоугловой вариант метода сферических гармоник. Постановка задачи Рассмотрим сначала случай, когда бесконечно широкий импульсный (по времени) световой поток падает по нормали к поверхности вещества в направлении 0 вдоль оси z (риc.4.1.1).
t0
x
t
E0
0 y
O
z
z ct
-импульсного пучка по нор мали к поверхности вещества в направлении 0 (вдоль оси z ): – единичный вектор скорости фотонов на глубине z ; – угол отклонения фотона от оси z в момент времени t
Рис. 4.1.1. Условное изображение падения широкого
В силу аксиальной симметрии, интенсивность излучения I z; ; t не зависит от азимутального угла . Требуется: определить зависимость интенсивности светового излучения от угла отклонения и времени t на глубине z , установить критерий при-
109
менимости СМП в зависимости от глубины. Необходимо также выяснить, при каких условиях выражение для интенсивности в рамках СМП будет иметь гаусовский вид (3.1.16) по углу рассея ния: I exp 2 / 4Dz .
§2. Вычисление интенсивности излучения методом преобразования Фурье В этом параграфе вычислим интенсивность излучения в СМП при падении на поверхность вещества широкого -импульсного пучка фотонов (см. рис.4.1.1). Исходным будет нестационарное уравнение переноса (4.1.9): 2 I z; ; s I I z; ; s d . s z
(4.2.1) Двумерный вектор x , y определяет направление распространения фотонов в стандартном малоугловом приближении: x x , y y , z 1 . Величина s ct есть путь, проходимый фотоном за время t от момента влета в среду t0 0 . Если световое поле внутри вещества до начала облучения его поверхности отсутствует, то начальное и граничное условия к уравнению (4.2.1) запишутся в виде: I z 0; ; t 0 0 , (4.2.2) I z 0; ; s E0c s , (4.2.3) 2 I z 0; ; t 0, если . (4.2.4)
Величина E0 есть количество световой энергии, проникающей в вещество через единицу площади его поверхности за все время облучения – E0 I0 с Дж/м2 . При написании граничного условия (4.2.3) учтено, что t s / c c s . Уравнение (4.2.1) есть интегродифференциальное уравнение с разностным ядром по угловым переменным (ядром типа свертки) на двумерной плоско-
110
сти x , y . Поскольку в соответствии с (4.2.4) интенсивность излучения быстро убывает с увеличением угла рассеяния, то для решения такого типа уравнений можно использовать двумерное преобразование Фурье по угловым переменным x , y . Будем искать решение уравнения (4.2.1) в виде: 1 I z; ; s I z; ; s exp i d , (4.2.5) 2 2 где I z; ; s – фурье-образ интенсивности излучения по углу рас сеяния : I z; ; s I z; ; s exp i d . (4.2.6)
Здесь x , y x x yy .
–
двумерный
вектор
интегрирования;
Умножим уравнение (4.2.1) и граничное условие (4.2.3) на exp i d и проинтегрируем по . Тогда получим:
I z; ; s s z
I e
i
2 d I z; ; s d,
(4.2.7)
I z 0; ; s E0c s .
(4.2.8) Делая замену переменной интегрирования , преобразуем интегральное слагаемое в уравнении (4.2.7) к виду :
2 i e d I z; ; s d
2 e i d e i I z; ; s d
Таким образом,
111
i 2 I z; ; s d e d I z; ; s . Здесь – фурье-образ индикатрисы рассеяния:
exp i d .
(4.2.9)
(4.2.10)
Соотношение (4.2.9) известно в теории преобразования Фурье как теорема о свертке. Как показано в приложении 1, малоугловые индикатрисы зави сят от квадрата угла однократного рассеяния: 2 . Поэтому при вычислении интеграла в формуле (4.2.10) удобно использовать не “декартовы”, а “полярные координаты” в плоскости x , y . Выберем “полярную ось” вдоль вектора . Тогда cos , d dd . Угол есть угол между векторами и . В переменных , интеграл в формуле (4.2.10) запишется так: 2 2 exp i d d exp i cos d .
0
0
Учитывая интегральное представление для функции Бесселя: 2
exp i cos d 2J , 0
0
получаем следующее выражение для фурье-образа индикатрисы рассеяния: 2 2 J0 d 2 . (4.2.11) 0
Значения величин для различных малоугловых модельных
индикатрис рассеяния l приведены в приложении 1. При этом фурье-образ индикатрисы (4.2.10) зависит от 2 2x 2y , т.е. 2 . Таким образом, двумерное преобразование Фурье от индикатрисы рассеяния свелось к преобразованию Бесселя.
112
Теперь, подставляя (4.2.9) в (4.2.7), получим уравнение для фу рье-образа интенсивности излучения I z; ; s : I z; ; s I 1 2 I z; ; s ; (4.2.12) s z I z 0; ; s E0c s . Уравнение (4.2.12) для фурье-образа интенсивности излучения I z; ; s , в отличие от уравнения (4.2.1) для интенсивности излу чения I z; ; s , уже является не интегродифференциальным, а
дифференциальным уравнением первого порядка, причем величина играет в уравнении (4.2.12) роль параметра. Здесь уместно напомнить, что при решении той же задачи в диффузионном приближении, уравнение (3.1.8) и граничное усло вие (3.1.9) для I z; ; s имели вид: 2 I z; ; s I D I z; ; s ; s z I z 0; ; s E0c s .
(4.2.13)
Из сравнения уравнений (4.2.12) и (4.2.13) видно, что всё их отличие состоит только в том, что в уравнение (4.2.12) вместо величины D2 входит величина 1 2 , причем обе величины не зависят от переменных s, z , т.е. формально являются константами, зависящими от , как от параметра. Другими словами, уравнения (4.2.12) и (4.2.13) отличаются друг от друга только “численными” коэффициентами во втором слагаемом в правой части этих уравнений. Поэтому становится понятным, что более общее уравнение (4.2.12) для фурье-образа интенсивности излучения в СМП может принять форму уравнения (4.2.13) в СМДП только в том случае, если при выполнении некоторых условий окажется, что 1 2 D2 . Вернемся снова к уравнению (4.2.12). Как и при решении уравнения (3.1.8) (т.е. уравнения(4.2.13)) вместо переменных s, z введем новые переменные: u s z, (4.2.14) z z .
113
Величина u определяет отличие пройденного фотоном пути s от глубины z . Поскольку , s z z то в новых переменных уравнение (4.2.12) запишется в виде: dI z; ; u I 1 2 I z; ; u ; (4.2.15) dz I z 0; ; u E0c u . Здесь учтено, что при z 0 , u s . В новых переменных уравнение (4.2.15) не содержит производной по переменной u . Следова тельно, зависимость величины I z; ; u от этой переменной остается на любой глубине z 0 той же, что и на поверхности вещест ва, т.е. I z; ; u ~ u . Решение дифференциального уравнения
первого порядка (4.2.15) находится элементарно и выглядит так: (4.2.16) I z; ; u E0c u e z exp 1 2 z . Возвращаясь от новых переменных u, z к переменным s, z , получаем: I z; ; s E0c s z e z exp 1 2 z . (4.2.17) Выражение (4.2.17) определяет в рассматриваемой задаче фурьеобраз интенсивности излучения по угловым переменным для фотонов на глубине z , прошедших путь s . Чтобы получить зависи мость интенсивности излучения от угла воспользуемся формулой обращения Фурье (4.2.5). Подставляя (4.2.17) в (4.2.5), запишем: 1 I z; ; s E0c s z e z exp z 2 i d . 2 2 (4.2.18) Двумерное обращение Фурье по x , y осуществляется по той
же схеме, что и вычисление двумерного обращения Фурье (4.2.10) по x , y от индикатрисы рассеяния . В результате получаем, что
114
z 1 l2 e z I z; ; s E0 t z / c J0 l ldl . (4.2.19) e 2 0 В формуле (4.2.19), следуя традиционным обозначениям, переобозначено l . Выражение (4.2.19) определяет угловое распределение светового поля на глубине z в момент времени t при облучении поверхности среды мононаправленным широким -импульсным световым потоком, падающим по нормали к поверхности в рамках СМП. Напомним, что при использовании СМДП, выражение для интенсивности излучения (3.1.16) выглядело совершенно иначе: 2 e z (4.2.20) I z; ; t E0 t z / c exp . 4Dz 4Dz Видим, что оба выражения (4.2.19) и (4.2.20) содержат пространственно-временную -функцию t z / c c s z . Наличие этой -функции означает, что в обоих приближениях путь, проходимый фотонами в слое вещества толщиной z , равен глубине проникновения фотона в вещество: s z . Это означает, что как в СМП, так и в СМДП не учитывается эффект искривления “траектории” фотона из-за упругого рассеяния. Другими словами, в момент времени t все фотоны, влетевшие в вещество в момент времени t 0 , находятся на одной и той же глубине z ct . На других глубинах световое поле отсутствует. Поэтому отличие между результатами расчета интенсивности поля излучения в СМП и СМДП затрагивает только распределение фотонов по углу рассеяния. Учитывая это обстоятельство, в дальнейшем будем рассматривать только стационарную задачу, когда на поверхность вещества падает широкий мононаправленный поток фотонов по нормали к поверхности среды.
§3. Вычисление интенсивности излучения методом последовательных итераций малоуглового интегрального уравнения переноса Рассмотрим стандартную задачу, когда широкий, стационарный световой поток с интенсивностью I0 падает по нормали
115
(0 cos 0 1) , т.е. вдоль оси z , на плоскую поверхность вещества (рис.4.3.1) В силу аксиальной симметрии задачи, в этом случае интенсивность излучения не зависит от азимутального угла : I z; I(z; ) .
x
I z;
I0
0 O
z z
y
Рис. 4.3.1. Условное изображение падения широкого стационарного пучка по нор-
мали к поверхности вещества (вдоль оси z ): – единичный вектор скорости фотонов на глубине z ; – полярный угол отклонения фотона от оси z
В этом параграфе для вычисления интенсивности излучения используется интегральное уравнение переноса в условиях плоской геометрии (4.1.14). В стандартном малоугловом приближении в случае нормального падения, когда предполагается, что I / z I / z и выполняются предположения (4.1.13). Точное интегральное уравнение (4.1.12) заменяется более простым уравнением (4.1.14):
116
I(; ) I0e 0 e d e I ; d .
0
4
(4.3.1) Здесь, как обычно в задачах с плоской геометрией, вместо глубины z введена оптическая глубина z и вероятность выживания кванта / k . Величина I0e 0 I(н.рас) (; 0 )
есть интенсивность нерассеянного излучения, значение которой в рассматриваемой задачи определяется из общей формулы (1.2.25), в которой нужно положить qV I0 0 и учесть, что
1 . Поскольку при рассеянии на малые углы восходящее излучение отсутствует, то интенсивность излучения на глубине определяется значением интенсивности в области глубин 0 . Будем решать уравнение (4.3.1) методом последовательных итераций, записав интенсивность излучения в виде ряда по числу столкновений: I(; ) I (0) (; ) I (1) (; ) I (2) (; )
I
(k )
(; ) . (4.3.2)
k0
Здесь I(k ) (; ) – та часть полной интенсивности излучения, которая формируется фотонами, испытавшими ровно k актов упругого рассеяния. Поэтому I(k ) (; ) k . Слагаемое I(0) (; ) определяет вклад в полную интенсивность от фотонов, не испытавших ни одного рассеяния, т.е. представляет собой интенсивность нерассеянного излучения. Теперь, используя обычную итерационную процедуру, последовательно находим. Нулевая итерация – нерассеянное излучение, т.е. неоднородность уравнения (4.3.1): I (0) (; ) I0e ( 0 ) I0e 1 / 2 , (4.3.3) так как при нормальном падении 0 z . Первая итерация:
117
I(1) (; ) I0 e d e e ( 0 ) d .
4
0
Выполняя интегрирование по и , получаем: I(1) (; ) I0 e W1 0 . (4.3.4) Здесь W1 0 есть вероятность того, что фотон перейдет из начального состояния 0 в состояние при одном акте рассеяния k 1 . Поэтому величина W1 0 есть просто индикатриса
рассеяния: W1 0 0 0 , ,
W
1
0
d 1 .
4
(4.3.5) Вторая итерация: I(2) (; ) I0 2e d e (e ) 0 1 1 d1 .
4
0
После интегрирования по переменной получаем: 2 e I(2) (; ) I0 2 W2 0 . (4.3.6) 2 Здесь W2 0 есть вероятность того, что фотон перейдет из состояния 0 в состояние при двух последовательных актах рассеяния k 2 : W2 0 0 1 1 d1 . (4.3.7)
4
Интегрирование в последней формуле ведется по всем 1 в про цессе двукратного рассеяния из начального состояния 0 в про межуточное состояние 1 и затем из состояния 1 в конечное состояние , т.е. рассматривается процесс: 0 1 . Естественно, что W d 1 . (4.3.8) 2 0
4
118
Легко сообразить, что k-я итерация будет выглядеть так: ke I(k ) (; ) I0 k Wk 0 . (4.3.9) k! Здесь Wk 0 1 dk 1 0 1 1 2 k 1 d
4
k 1
k
(4.3.10) есть вероятность перехода фотона из начального состояния 0 в конечное состояние при k упругих столкновениях. Непосредственной проверкой легко установить, что, как и должно быть, вели чина Wk 0 удовлетворяет условию нормировки: (4.3.11) Wk 0 d 1 .
4
Соотношение (4.3.9) можно доказать, используя метод полной математической индукции. Таким образом, результат произвольной k-й итерации (4.3.9) можно записать в виде: k (4.3.12) I(k ) (; 0 ) I0 k ()Wk 0 .
Здесь k () – вероятность того, что достигнув глубины в консервативной среде, фотон испытает ровно k актов упругого рассеяния: k e k k () , k () e 1 . (4.3.13) k! k 0 k 0 k ! Таким образом, вероятность фотону испытать ровно k столкновений в слое вещества в СМП, определяется распределением Пуассона1. Величина k k () определяет вероятность того, что фотон в слое вещества испытает k столкновений и при этом не поглотится в веществе: 1
Следует подчеркнуть, что этот результат не постулируется, как это сделано в работе Мольер, а получается непосредственно при решении малоуглового интегрального уравнения (4.3.1) методом последовательных итераций.
119
k
k k () e
e 1 .
(4.3.14) k! Как и должно быть, при 1 возвращаемся к формуле (4.3.13). В абсолютно поглощающей среде , 0 получаем, что k 0
k 0
() e k
k
e k z 0 , так как в такой среде при погло-
k 0
щении фотон сразу исчезает как физический объект. Из формулы (4.3.12) видно, что величина I(k ) (; 0 ) в СМП пропорциональна произведению вероятностей трех независимых событий: вероятности выживания кванта k при k столкновениях, вероятности k () фотону испытать k упругих столкновений в слое вещества и вероятности Wk 0 рассеяния фотона из начального состояния 0 в произвольное конечное состояние при тех же k столкновениях. Для вычисления k 1 -кратного интеграла в формуле (4.3.10) воспользуемся разложением индикатрисы рассеяния в ряд по полиномам Лежандра (см. П1.3-П1.5): 2l 1 i i 1 l Pl i i 1 , (4.3.15a) 4 l 0
l 2 cos Pl cos sin d .
(4.3.15b)
0
Рассмотрим промежуточный интеграл: i 1 i i i 1 di
4
(4.3.16) . P P d l i 1 i m i i 1 i 4 Из теоремы сложения для полиномов Лежандра следует, что 4 P Pl i 1 i Pm i i 1 d i l , m l i 1 i 1 . (4.3.17) 2m 1 4
2l 1 2m 1 l m 4 l ,m 0 4
120
Подставляя (4.3.17) в формулу (4.3.16), находим, что интеграл по промежуточным состояниям i может быть записан в виде: 2l 1 2 l Pl i 1 i 1 . d i i i 1 i 4 i 1 4 l 0 (4.3.18) Используя соотношение (4.3.18), все интегралы по углам d1 dk 1 в формуле (4.3.10) последовательно вычисляются. В результате получаем следующее выражение для величины Wk 0 : 2l 1 2l 1 k k Wk 0 l Pl 0 l Pl . 4 4 l 0 l 0 (4.3.19) Здесь cos , где – угол рассеяния, т.е. угол между векторами 0 и . Теперь, с учетом соотношения (4.3.19) формула (4.3.9) запишется так: k 2l 1 l (4.3.20) I(k ) (; 0 ) I0 e Pl . 4 k! l 0 Это и есть выражение для произвольной k-й итерации интегрального уравнения (4.3.1). Подставляя найденное значение I(k ) (; 0 ) в разложение
(4.3.2) будем иметь: k
2l 1 l I(; ) I (; ) I0e Pl . (4.3.21) 4 k! k 0 k 0 l 0 Меняя в последней формуле порядок суммирования, запишем: ( l )k 2l 1 I I(; ) 0 e Pl () . 2 2 k! l 0 k 0 Учитывая, что ( l )k exp(l ) , k! k 0 получаем:
(k )
121
I0 2l 1 exp 1 l Pl () . (4.3.22) 2 l 0 2 Это и есть окончательное выражение для интенсивности излучения на оптической глубине в СМП при нормальном падении широкого пучка фотонов на поверхность плоского слоя вещества. Важно подчеркнуть, что выражение (4.3.22) получено при произвольной индикатрисе рассеяния. Если перейти от оптической глубины к обычной глубине z , то с учетом того, что 1 l z 1 l z z 1 l , (4.3.23) получим: I 2l 1 exp z(1 l ) Pl () . (4.3.24) I(z; 0 1) 0 e z 2 2 l 0 Распределение (4.3.24) было получено Мольером (1948г.). Однако, в отличие от последовательного метода итераций, в работе Мольера распределение Пуассона (4.3.13) не определялось из уравнения переноса, а постулировалось. При получении выражения для интенсивности излучения указанным выше способом создается впечатление об определенной непоследовательности проделанных вычислений. С одной стороны, используя предположение о малости угла рассеяния 1 в интегральном уравнении (4.3.1), считается, что 0 1 . Однако в последующих вычислениях везде используется свойство ортогональности полиномов Лежандра (см. формулу (4.3.17)), которое имеет место только на всем интервале значений : 1 1 . Вопрос об указанной “непоследовательности” вычислений снимается следующим образом. Как уже отмечалось выше, при малоугловом рассеянии 1 , интенсивность излучения I z; является достаточно “острой” функцией угла рассеяния . Поэтому основной вклад в сумму (4.3.24) дает большое число слагаемых с l 1 . Это позволяет в формуле (4.3.24) воспользоваться приближением для полиномов Лежандра через функции Бесселя и заменить суммирование по l интегрированием, осуществляя стандартную замену: I(; 0 1)
122
2l 1 (4.3.25) ldl . 2 l 0 0 Тогда вместо выражения (4.3.24) получим: z 1 I(z; 0 0) I0e exp z(1 l ) J0 l ldl . (4.3.26) 2 0 Следуя логике малоуглового приближения, величина l , вместо формулы (4.3.15b), будет определяться выражением, в котором также осуществляется ряд аналогичных замен: Pl cos J0 l ,
Pl cos J0 l ,
sin d d . 0
(4.3.27)
0
С учетом всего сказанного выше вместо формулы (4.3.15b), получаем:
l l 2 2 J0 l d .
(4.3.28)
0
В результате выражение для интенсивности излучения (4.3.26) в СМП при нормальном падении широкого пучка фотонов будет выглядеть так: e z I z; I0 (4.3.29) exp z 1 l 2 J0 l ldl . 2 0 Выражение (4.3.29) совпадает с выражением для интенсивности (4.2.19), которое было получено в предыдущем параграфе, если формулу (4.2.19) проинтегрировать по времени и заменить E0 на I0 , что соответствует переходу к стационарной задаче.
§4. Вычисление интенсивности излучения методом сферических гармоник В предыдущем параграфе задача о вычислении интенсивности излучения при падении широкого пучка фотонов по нормали к поверхности в рамках СМП решалась методом итераций малоуглового интегрального уравнения переноса (4.3.1). Здесь мы изложим ещё один способ вычисления интенсивности излучения в СМП, используя метод сферических гармоник применительно к уравнению переноса (1.2.22):
123
2 1 I(; , ) I ( ; , ) d 0 1 ; I(; , )d, I( 0; 0, ) I пад ; ; I( ; 0, ) 0.
(4.4.1) Так как при нормальном падении светового потока интенсивность излучения не зависит от азимута, то уравнение (4.4.1) для I ; будет выглядеть так: 1 I(; ) ( ; ) I I(; )d; 1 (4.4.2) 1 ; I( ; 0 ) 0. I( 0; 0 ) I0 2 Здесь 0 – индикатриса рассеяния, проинтегрированная по азимуту, т.е. нулевая азимутальная гармоника индикатрисы рассеяния: 2
2l 1 l Pl Pl . 2 l 0 0 (4.4.3) Формула (4.4.3) получается из представления индикатрисы рассеяния в виде ряда по полиномам Лежандра 2l 1 cos l Pl cos , 4 l 0 с учетом теоремы сложения для полиномов Лежандра: (l k)! k Pl (cos ) 2 k 0 Pl ()Plk () cos[k( )] . ( l k )! k 0 Здесь Plk () – присоединенные функции Лежандра. После интегрирования по в сумме по k остается только одно слагаемое с
; d
k 0 , а Pl0 () Pl () . Таким образом, в рассматриваемой задаче интенсивность излучения I(; ) можно представить в виде ряда по полиномам Лежандра:
124
I(; ) l 0
2l 1 Il Pl . 4
(4.4.4)
Подставляя (4.4.4) в уравнение (4.4.2), получим бесконечную систему зацепляющихся уравнений для величин Il : l 1 dIl 1 l dIl 1 1 l Il 0; (4.4.5) 2l 1 d 2l 1 d l 0,1, 2, ... . Точные граничные условия для величин Il () будут выглядеть так: 1 2l 1 ; Il ( 0)Pl ( 0) I0 4 2 l 0 2l 1 Il ( )Pl ( 0) 0 . (4.4.6) 4 l 0 Напомним, что справедлива следующая формула разложения угловой -функции в ряд по полиномам Лежандра: 2l 1 1 Pl () , 1 1 . (4.4.7) 2 l 0 Уравнения (4.4.5) и граничные условия (4.4.6) являются абсолютно точными и полностью эквивалентны исходному уравнению и граничным условиям (4.4.2) во всем диапазоне : 1 1 , являясь просто их альтернативной формой записи с использованием разложения интенсивности в ряд по сферическим гармоникам. Поэтому нахождение точного решения уравнений (4.4.2) или (4.4.5) представляет задачи одинаковой сложности и не может быть получено без каких-то дополнительных физически обоснованных упрощений и приближений, соответствующих той или иной конкретной рассматриваемой задаче. В частности, в рамках СМП считается, что интенсивность излучения является быстро убывающей функцией угла в той области оптических глубин, где это приближение обосновано. Но это означает, что вклад в ряд (4.4.4) дает большое число слагаемых. При этом коэффициенты разложения Il с близкими значениями l слабо отличаются друг от друга. Поэтому приближенно можно считать, что
125
Il 1 Il 1 Il . (4.4.8) Это в определенной мере становится очевидным, если обратиться к формуле (4.4.7), в которой все коэффициенты одинаковы и равны единице: Il 1 Il 1 Il 1 . Кроме того, в малоугловом приближении фотоны могут распространяться только в глубь среды, так, что восходящее излучение отсутствует. Поэтому на поверхности 0 нет отраженных фотонов. Это существенно упрощает вид граничных условий (4.4.6), которые записываются в виде одного условия на поверхности 0 , но во всем диапазоне значений 1 1 : 1 2l 1 I0 Pl () , 1 1 . 2 4 l 0 (4.4.9) Приближение (4.4.8) радикально упрощает систему уравнений (4.4.5). Теперь система уравнений для Il и граничные условия будут выглядеть так: dIl 1 l Il 0; (4.4.10) d I 0 I ; l 0,1, 2, ... . 0 l Таким образом, в рассматриваемом приближении происходит полное “расцепление” уравнений для величин Il . Уравнение и гра-
I( 0; 0 1) I0
ничное условие для каждой угловой гармоники Il оказываются независимыми от других угловых гармоник. Это позволяет легко вычислить все величины Il . Для читателя описанный выше способ получения уравнений (4.4.10) может показаться несколько громоздким, поскольку при получении системы уравнений (4.4.10) исходили из точного уравнения переноса (4.4.2) (не в малоугловом приближении), а основные приближения (4.4.8), (4.4.9), связанные с использованием СМП, были сделаны в самом конце. Поэтому целесообразно дать более короткий и упрощенный вывод системы уравнений (4.4.10) для величин Il , используя с самого начала не точное, а приближенное уравнение переноса. В рамках СМП считается, что 0 1 ,
126
т.е. I I ; . (4.4.11) В малоугловом приближении фотоны могут распространяться только в глубь среды, так, что восходящее излучение отсутствует. Поэтому уравнение переноса и приближенное граничное условие будут выглядеть так: 1 I(; ) I ( ; ) I(; )d; 1 . (4.4.12) 1 , 1 1 . I( 0; 0 1) I0 2 Чтобы получить систему уравнений для коэффициентов разложения Il интенсивности излучения I(; ) , подставим разложения интенсивности (4.4.4) и индикатрисы рассеяния (4.4.3) в ряд по полиномам Лежандра в уравнение (4.4.12): 2l 1 Il 2l 1 Pl Il Pl 4 4 l 0 l 0 (4.4.13) 1 2l 1 2k 1 Il k Pk Pk Pl d . 4 2 l 0 k 0 1 Поскольку 1 2 1 dPk Pl 2k 1 kl , то после суммирования по k , получаем: 2l 1 Il Pl 4 l 0 (4.4.14) 2l 1 2l 1 Il Pl l Il Pl . 4 4 l 0 l 0 Приравнивая коэффициенты при одинаковых полиномах Pl ,
находим систему уравнений для величин Il : dIl 1 l Il , d
127
l 0,1, 2..... .
(4.4.15)
Используя разложение (4.4.7) дельта-функции в ряд по полиномам Лежандра, преобразуем граничное условие к виду: 2l 1 2l 1 I( 0; ) Il 0 Pl () I0 Pl () , 2 2 l 0 l 0 т.е. Il 0 I0 . (4.4.16) Учитывая (4.4.15) и (4.4.16), получаем: dIl 1 l Il 0; (4.4.17) d I 0 I ; l 0,1, 2, ... , 0 l что в точности совпадает с (4.4.10). Видим, что уравнение и граничное условие для каждой угловой гармоники Il оказываются не зависимыми от других угловых гармоник. Поэтому решение каждого из уравнений (4.4.22) находится элементарно: Il I0 exp 1 l . (4.4.18) Подставляя (4.4.18) в (4.4.4), получаем: I 2l 1 exp 1 l Pl () . I(; ) 0 (4.4.19) 2 l 0 2 Выражение (4.4.19) в точности совпадает с формулой (4.3.22), полученной в предыдущем параграфе методом итераций уравнения переноса в интегральном виде. (Выражение (4.4.19) для интенсивности излучения, полученное указанным выше методом, было впервые найдено в работе Goudsmit, S., and Saunderson, J.L., 1940.) Делая в (4.4.19) стандартные замены (4.3.25): 2l 1 Pl cos J0 l , ldl , 2 l 0 0 обоснованность, которых подробно аргументирована в предыдущем параграфе и переходя от оптической глубины к обычной глубине z , получим прежнее выражение (4.3.29).
128
§5. Вычисление интенсивности излучения методом Компанейца При нормальном падении на поверхность вещества широкого стационарного светового потока с интенсивностью I0 уравнение переноса в рамках СМП можно записать в виде (4.2.1), в котором отсутствует производная / s : I ; I 2 I ; d; dx dy , I 0 ; I ; d 0 2 2 . (4.5.1)
Именно это уравнение решалось в §2 настоящей главы с помощью преобразования Фурье по угловым переменным x , y . Ввиду аксиальной симметрии задачи интенсивность излучения зависит от двух величин x cos и y sin только в комбинации 2x 2y 2 , т.е. только от одного полярного угла . Поэтому
удобно записать уравнение переноса (4.5.1) в несколько ином виде, когда эта особенность учтена изначально: I ; I ; I z; d , 0 , . 0 (4.5.2) Величина – есть малоугловая индикатриса рассеяния, проинтегрированная по азимуту. Значение квадрата угла однократного рассеяния выражается через угловые переменные , и , из основной формулы сферической тригонометрии (2.1.7): cos cos cos sin sin cos , в которой нужно учесть, что при малоугловом рассеянии cos 1 2 / 2 , cos 1 2 / 2 , cos 1 2 / 2 , sin , sin : , ; 2 2 2 cos , . (4.5.3)
129
Формула (4.5.3) представляет собой теорему косинуса для треугольника со сторонами , , и углом между сторонами и (см. рис.2.1.4). Как показано в приложении 1, малоугловую индикатрису рассеяния можно представить в виде разложения по функциям Бесселя: 1 l J0 l ldl . (4.5.4) 2 0 Следовательно, 2 1 (4.5.5) l ldl J0 l d , 2 0 0 где величина определяется формулой (4.5.3). Для вычисления интеграла по в фигурных скобках формулы (4.5.5) воспользуемся теоремой сложения для функций Бесселя, которая имеет место при выполнении условия (4.5.3):
J0 l J0 l J0 l 2 Jm l Jm l cos m .
(4.5.6)
m 1
Теорема сложения для функций Бесселя является аналогом теоремы сложения для полиномов Лежандра, о которой говорилось в предыдущем параграфе, и получается из последней заменой Pl cos J0 l и Plm cos Jm l . При этом в формуле (4.5.6) величина l принимает уже не дискретные значения, а является непрерывной переменной. При интегрировании по все слагаемые по m в сумме (4.5.6) зануляются, и формула (4.5.5) принимает весьма простой вид:
l J0 l J0 l ldl .
(4.5.7)
0
Для справки отметим, что формулу (4.5.7) можно получить другим способом, если воспользоваться разложением по полиномам Лежандра индикатрисы рассеяния, заинтегрированной по азимуту (4.4.3):
130
2
cos cos
cos cos ; d 0
l 0
2l 1 l Pl Pl 2
. Осуществляя здесь стандартные в малоугловом приближении замены 2l 1 Pl cos J0 l , ldl , 2 l 0 0 приходим к выражению (4.5.7). Теперь, с учетом (4.5.7) уравнение (4.5.2), с соответствующим граничным условием, будет выглядеть так: I ; I ldl l J l I ; J0 l d ; 0 0 0 I0 I 0; 2 ; 0 . (4.5.8) Уравнение (4.5.9) можно решить с помощью преобразования Бесселя, представив интенсивность излучения в виде:
I ; I ; l J0 l ldl .
(4.5.9)
0
Здесь I ; l – бессель-образ интенсивности излучения:
I ; l I ; J0 l d .
(4.5.10)
0
Величина I ; l стоит в фигурных скобках уравнения (4.5.8). Умножим обе части уравнения (4.5.8) на J0 m d и проинтегрируем по в интервале [0, ) . Тогда, с учетом свойства ортогональности для функций Бесселя l m (4.5.11) 0 J0 l J0 m d l , получим: dI ; l 1 l I ; l , l 0,1, 2, ... . (4.5.12) d
131
I0 . (4.5.13) 2 Уравнение (4.5.12) по виду в точности совпадает с каждым из уравнений (4.2.15) и (4.4.10), полученными методом преобразования Фурье и методом сферических гармоник. Отличие состоит лишь в том, что в уравнении (4.5.12) величина l является не дискретной переменной, а принимает непрерывные значения и играет роль параметра. По сути дела, при заданном значении l , мы имеем одно дифференциальное уравнение (4.5.12) с граничным условием (4.5.13). Решение уравнения (4.5.11) находится элементарно: I I ; l 0 exp 1 l . (4.5.14) 2 Подставляя (4.5.14) в (4.5.9), окончательно получаем: I 1 l (4.5.15) I ; 0 e J0 l ldl . 2 0 Если перейти от оптической глубины к z: 1 l z z 1 l , получим: z 1 l 2 e z e I z; 0 1 I0 J0 l ldl . (4.5.16) 2 0 Выражение для интенсивности излучения в виде (4.5.16) (для чисто упругого рассеяния 0 ) было получено А.С. Компанейцем в 1945г. при исследовании прохождения быстрых электронов через тонкие фольги. Таким образом, доказана эквивалентность всех четырех методов расчета интенсивности излучения в СМП при падении на поверхность вещества широкого стационарного светового потока. Следует отметить, что при вычислении интенсивности излучения методом Компанейца с самого начала используется уравнение переноса (4.5.1), записанное в малоугловом приближении по углу рассеяния , включая как интеграл упругих столкновений Больцмана, так и граничное условие. Именно поэтому при вычислении интенсивности излучения I ; этим методом не возникает никаких проблем, связанных с определенной непоследовательностью, которая присуща методам последовательных итераций и сферических гармоник, где разложение интенсивности излучения проводилось по I 0; l
132
полиномам Лежандра. Учитывая, что распределение Мольера (4.3.24) было получено тремя годами позже (1948г.), чем распределение Компанейца (1945г.) (хотя, как позже показал Бете, оба распределения фактически тождественны), распределение (4.5.16) справедливо назвать распределением Мольера – Компанейца, хотя в иностранной литературе распределение (4.5.16) обычно называют распределением Мольера1. §6. Анализ распределения Мольера – Компанейца В предыдущих параграфах были подробно изложены несколько различных методов получения выражения для интенсивности излучения при нормальном падении однородного потока фотонов на плоскую поверхность вещества в рамках стандартного малоуглового приближения, когда не учитывается “искривление траектории” движения фотонов из-за рассеяния. Как строго показано в §2 этой главы, если на поверхность вещества в момент времени t 0 падает -импульсный световой поток Iпад t , то интенсивность излучения на глубине z : I z; ; t s z , где s ct – путь, проходимый фотоном в слое вещества толщиной z за время t : s z . Поэтому в рамках СМП зависимость излучения от времени та же, что и от глубины z . Учитывая это обстоятельство, представляет интерес подробное исследование только угловой зависимости полученного выражения для интенсивности I z; . Именно этому и посвящен настоящий параграф. Для удобства изложения выпишем заново основные результаты, полученные ранее. При решении уравнения переноса, в котором индикатриса рассеяния изначально записана в малоугловом приближении: I z; I 2 I z; d; z d dx dy dd , I z 0; I0 ;
1
В приложении 3 описан еще один способ получения распределения Мольера – Компанейца с использованием преобразования Лапласа применительно к малоугловому интегральному уравнению переноса.
133
2 2 ,
(4.6.1)
интенсивность излучения определяется через интеграл по функциям Бесселя: e z z 1 l I z; 0 0 I0 e J0 l ldl , d 2d . (4.6.2) 2 0 Здесь l l 2 есть бессель-образ малоугловой индикатрисы рассеяния :
l 2 J0 l d .
(4.6.3)
0
Учитывая условие нормировки индикатрисы рассеяния в малоугловом приближении
2 d 1 ,
(4.6.4)
0
выражение (4.6.2) можно записать в виде: e z zS l e J0 l ldl . I z; 0 0 I0 2 0 Здесь
(4.6.5)
S l 1 l 2 1 J0 l d , S l 0 0 . (4.6.6) 0
При вычислении интенсивности излучения методом итераций малоуглового интегрального уравнения переноса или с помощью метода сферических гармоник, выражение для интенсивности излучение представляется в виде ряда по полиномам Лежандра: I 2l 1 I(z; 0 1) 0 e z (4.6.7) exp z(1 l ) Pl () . 2 2 l 0 Здесь l – коэффициенты разложения индикатрисы рассеяния в ряд по полиномам Лежандра: 2l 1 cos l Pl cos . (4.6.8) 4 l 0 Учитывая условие нормировки индикатрисы рассеяния
134
2 cos sin d 1 ,
(4.6.9)
0
выражение (4.6.7) можно записать в виде, аналогичном формуле (4.6.5): I 2l 1 I(z; 0 1) 0 e z exp zSl Pl () . (4.6.10) 2 2 l 0 Здесь
Sl 1 l 2 cos 1 Pl cos sin d .
4.6.11)
0
Из (4.6.11) видно, что
S0 0 , S1 1 cos . (4.6.12) Ранее было показано, что переход от формул (4.6.7) – (4.6.11) к формулам (4.6.2) – (4.6.6) осуществляется при формальной замене: 2l 1 d d , sin 0 0 0 ldl ; Pl cos J0 l . (4.6.13) 2 l 0 С учетом этого обстоятельства, формулы, записанные в виде представлений по функциям Бесселя и разложения по полиномам Лежандра, можно считать полностью эквивалентными. Поэтому при исследовании пространственно-углового распределения интенсивности излучения будем в равной мере использовать обе формы записи для величин I z; или I z; , в зависимости от удобства и простоты необходимых вычислений. Вычисление полного интегрального потока на глубине z Полный световой поток излучения на глубине z при нормальном падении широкого светового пучка на поверхность вещества определяется выражением:
1
I z 2 cos I z; cos sin d 2 I z; d .
(4.6.14)
1
0
В малоугловом приближении 1 и ,вычисление I z можно проводить по формуле:
135
1
I z 2 I z; d .
(4.6.15)
1
Величина I z; 0 столь мала, что вклад в интеграл (4.6.15) от области 1 0 несоизмеримо мал по сравнению с вкладом при интегрировании по области 0 1 . Конечно, ту же величину I z можно рассчитать с использованием выражения (4.6.5):
I z 2 I z; d .
(4.6.16)
0
Покажем, что оба способа вычисления приводят к одному и тому же результату. Подставляя в (4.6.15) выражение (4.6.10) и, учитывая, что 1 2 (4.6.17) 1 Pl ()d 2l 1 l,0 , S0 0 , получим: I(z 0 1) I0 e z . (4.6.18) К тому же результату приходим, если в формулу (4.6.16) подставить выражение (4.6.5) и учесть, что l (4.6.19) 0 J0 l d l , S l 0 0 . Следовательно, как и в диффузионном приближении, интегральный световой поток в СМП определяется простым законом Буггера – Ламберта. Поделив каждое из выражений (4.6.5) и (4.6.10) на (4.6.18), получим: 1 nS l W z; W n; e J0 l ldl , (4.6.20) 2 0 1 2l 1 W(z; ) W n; exp nSl Pl () . (4.6.21) 2 l 0 2 Здесь (4.6.22) n z
136
есть среднее число актов упругого рассеяния в слое вещества толщиной z . Поскольку оптическая глубина в консервативной среде z , то (4.6.23) n , 1 , т.е. среднее число столкновений в слое вещества толщиной z совпадает с оптической глубиной в консервативной среде. Учитывая сказанное, в дальнейшем будем исследовать вероятность рассеяния в терминах n или . Полагая в (4.6.20) и (4.6.21) z 0 , видим, что 1 1 W z 0; 0 0 J0 l ldl , 2 0 2 1 2l 1 1 W(z 0; 0 1) Pl () 1 , 2 l 0 2 2 т.е. граничные условия выполняются. Каждая из формул (4.6.20), (4.6.21) определяет вероятность (точнее плотность вероятности) распространения фотонов в на правлении d , d , конечно при условии, что 1 . Естественно, что при интегрировании выражений (4.6.20) и (4.6.21), с учетом соотношений (4.6.17) и (4.6.19), получим:
1
2 W n; 0 0 d 1 ; 2 W n; 0 1 d 1 . 1
0
(4.6.24) Формулы (4.6.24) выражают условия нормировки вероятности при многократном рассеянии. Из (4.6.20) и (4.6.21) видим, что вероятность рассеяния в СМП не зависит от коэффициента поглощения и имеет один и тот же вид как в диссипативной, так и в консервативной среде. Вычисление среднего квадрата угла рассеяния Прежде всего, вычислим значение среднего квадрата угла рассеяния 2 z на глубине z . При вычислении величины 2 z с использованием вероятности в форме (4.6.20) можем столкнуться с тем фактом, что соответствующий интеграл по , при интегриро-
137
вании в бесконечных пределах [0, ) , может расходиться на верхнем пределе. Возникновение подобного рода расходимости имеет ту же причину, что и расходимость при вычислении среднего квадрата угла однократного рассеяния 2 , если индикатриса рассеяния спадает медленнее, чем 4 . Поэтому для вычисления 2
z
в
этом случае воспользуемся тем же приемом, который подробно описан в приложении 1 при вычислении 2 для медленно спадающих индикатрис. А именно, учтем, что при малоугловом рассеянии 2 z 2 1 cos z , (4.6.25) и воспользуемся выражением для вероятности в виде (4.6.21). Тогда получим n : 1
2
4 1 W(; )d 1
(4.6.26)
1
2l 1 2 exp Sl 1 Pl ()d. 2 l 0 1
Поскольку 1
2
1 P ()d 2l 1 l
l ,0
l,1 ,
1
то с учетом того, что S0 0 и S1 1 cos 2 / 2 , получим:
2
2 l,0 l,1 exp Sl 2 1 exp 2 / 2 . (4.6.27) l 0
По самой логике малоуглового приближения, область его применимости определяется условием 2 1 . Из формулы (4.6.27) следует, что это возможно только в том случае, если показатель
экспоненты мал. Полагая 1 exp 2 / 2 2 / 2 , получаем, что
2
2 n 2 .
138
(4.6.28)
Если учесть, что коэффициент угловой диффузии (2.2.10) D 2 / 4 , то из формулы (4.6.28) находим, что
2
z
n 2 z 2 4Dz .
(4.6.29)
Это в точности совпадает с результатом (3.1.20), который был получен в рамках СМДП. Таким образом, при одинаковом значении D , значение среднего квадрата угла рассеяния, вычисленного в диффузионном приближении и в СМП, оказывается одинаковым. Из условия применимости малоуглового приближения 2 z 1 , получаем ограничение на глубину z и среднее число столкновений n : z
lтр 1 , 2 2
т.е. n
1 . 2
(4.6.30)
Здесь lтр – транспортная длина упругого рассеяния, рассчитанная в рамках малоуглового приближения: 2lупр 1 2 lтр 2 . 2 1 cos
(4.6.31)
Поскольку при резко анизотропном однократном рассеянии 1 , то транспортная длина много больше длины свободного 2
пробега между двумя последовательными актами упругого рассеяния: lтр lупр . (4.6.32) Естественно, что условие (4.6.30) совпадает с условием (3.1.23), полученным в рамках СМДП. Таким образом, при выполнении условия применимости СМП (4.6.30), рассеяние фотонов, являясь существенно многократным в области глубин lупр z ltr , носит малоугловой характер.
139
Сравнение стандартного малоуглового приближения со стандартным малоугловым диффузионным приближением 1. Быстро спадающие индикатрисы рассеяния Как было показано ранее, в СМДП, зависимость вероятности от угла рассеяния имеет гауссовский вид: exp 2 / 2 W ; , d 2d . (4.6.33) 2
Представляет интерес выяснить, при каких условиях более общее выражение (4.6.20) переходит в (4.6.33). Распространение излучения в среде с гауссовским законом однократного рассеяния В порядке конкретной иллюстрации, выпишем в развернутом виде выражение (4.6.20) для малоугловой гауссовской индикатрисы рассеяния: 2 G 1 G 2eff . (4.6.34) ; eff 2 exp 2 , 2 ef ef Для гауссовой индикатрисы 2 l 2 2ef 2 G S l 2 exp 2 1 J0 l d 1 exp . ef 0 4 ef (4.6.35) Подставляя (4.6.35) в (4.6.20) и делая замену переменной интегрирования l eff , получим:
G ; 1 exp 1 exp 2 / 4 J d . (4.6.36) W 0 2 0 Здесь – приведенный угол рассеяния, т.е. угол в единицах эффективного угла однократного рассеяния eff :
/ eff .
140
(4.6.37)
G ; связана с величиной W G ; стандартным Величина W соотношением: G ; d WG ; d , W т.е. G ; 2 WG ; . W (4.6.38) eff
В соответствии с (4.6.30) выражение (4.6.36) для гауссовской индикатрисы применимо при выполнении условия: n 1 / 2 , т.е. n 1 / 2eff .
(4.6.39)
К сожалению, интеграл вида (4.6.36) не вычисляется аналитически. Вероятность рассеяния для гауссовской индикатрисы рассеяния в терминах приведенного угла в рамках СМДП выглядит так: G W СМДП
exp 2 / 2
;
2 eff
2
G
G
exp / . (4.6.40) 2
Сравнивая (4.6.36) и (4.6.40) видим, что вероятность рассеяния (4.6.36) на угол вовсе не имеет гауссовского вида. Покажем, однако, что в области не слишком малых оптических глубин – n 1 , где число актов упругого рассеяния достаточно велико (что существенно используется при выводе малоуглового уравнения переноса (2.2.16) в СМДП), выражение (4.6.36) с высокой степенью точности совпадает с (4.6.40). Действительно, из за отсутствия быстрых осцилляций функции Бесселя, основной вклад в интеграл по дают значения 1 , т.е. eff 1 / . Но в рассматриваемой области глубин угол рассеяния n eff eff и поэтому 1 . Следовательно, eff 1 и выражение, стоящее в показателе экспоненты формулы (4.6.36), можно разложить в ряд по . Ограничиваясь в этом разложении членами порядка 2 включительно, запишем: S G 1 exp 2 / 4 2 / 4 . (4.6.41) Подставляя (4.6.41) в (4.6.36), получим:
141
G ; 1 exp 2 / 4J d . W (4.6.42) 0 2 0 Полученный интеграл является неоднократно ранее упоминавшимся интегралом Вебера (3.1.33). Его значение определяется формулой (3.1.34), если в последней положить I0e z 1 , Dz / 4 и . В результате находим, что
G ; W
exp 2 /
. (4.6.43) Видим, что при использовании указанных выше приближений приходим к гауссовому распределению (4.6.40). На рис.4.6.1 представ G (n; ) от приведенного лены графики зависимости величины W угла, рассчитанные по формуле (4.6.36) (сплошная кривая) и по формуле (4.6.43) в СМДП (пунктирная кривая) при заданном числе столкновений n z , т.е. фактически на заданной глубине z . Поскольку уравнение переноса может быть записано в диффузионном приближении при условии, что интенсивность излучения является достаточно плавной функцией угла по сравнению с индикатрисой рассеяния ( 2 2 n 2 ), т.е. при достаточно большом числе актов рассеяния n 1 . При облучении поверхности мононаправленным световым потоком, у которого 2 2 0 0 , пад это неравенство накладывает ограничение на глубину: z lупр . Выполнение этого условия может не потребоваться, если на поверхность вещества падает не мононаправленный поток фотонов, а световой поток, изначально имеющий достаточно большой разброс по углам, по сравнению со средним квадратом угла однократного рассеяния: 2 пад 2 . Кроме того, в малоугловом приближении должно выполняться условие (4.6.30): n 1 / 2 . Таким образом, при падении на поверхность вещества мононаправленного светового потока должно выполняться двойное неравенство: 1 n 1 / 2 . (4.6.44)
142
Кроме того, при получении гауссова распределения (4.6.43) использовалось условие n eff eff , т.е. 1 . Поэтому наилучшего совпадения приближенной формулы (4.6.43) и выражения (4.6.36) можно ожидать при выполнении обоих этих условий. Применительно к гауссовой индикатрисе получаем: 1 n 1 / 2eff , / eff 1 . (4.6.45)
n 15
/ eff
Рис. 4.6.1. Зависимость вероятности рассеяния на глубине z 15lупр от приведенного угла при гауссовом законе однократного рассеяния: сплошная кривая – расчет в СМП; пунктирная кривая – в СМДП
Пусть eff 0.02 , т.е. eff 1.15 . Тогда из условий (4.6.45) получим, что 1 n 2500 и 1 . На рис.4.6.1 для значения n 15 в диапазоне приведенных углов 0.5 10 представлены две кривые. Пунктирная кривая – расчет по формуле (4.6.43). Сплошная кривая – расчет по формуле Мольер – Компанейца (4.6.36). Видим, что в области приведенных углов 3 , т.е.
143
3 eff обе кривые практически совпадают. В области относи-
тельно малых углов 0.5 2 различие между кривыми возрастает, достигая наибольшего значения при 0.5 , поскольку в этом диапазоне углов нарушается условие 1 . Общий случай быстро спадающих индикатрис Покажем, что аналогичное положение имеет место для любых быстро спадающих индикатрис рассеяния, когда 4 eff , 0 . Если индикатриса рассеяния () убывает с увеличением угла быстрее, чем 4 , т.е. чем индикатриса резерфордовского вида, то можно в формуле (4.6.6) разложить функцию Бесселя в ряд, полагая 1 1 J0 (l ) 2l 2 . (4.6.46) 4 Тогда, учитывая, что D 2 / 4 , получим: 2 2 D 2 3 (4.6.47) l l . 2 d 4 0 Таким образом, для быстро спадающих индикатрис, с точностью до членов порядка l 2 включительно, S(l) ~ l 2 . В этом приближении, основная формула (4.6.5) Мольера – Компанейца будет выглядеть так: e z I z; 0 0 I0 exp Dzl 2 J0 l ldl 2 0 4.6.48) 2 e z I0 exp , 0 ; 0 2 . 4 Dz 4Dz Выражение (4.6.48) в точности совпадает с формулой (3.1.34), полученной в приближении Фоккера – Планка в пространстве углов. Таким образом, убедительно доказано, что для быстро спадающих индикатрис (быстрее, чем резерфордовская) результаты расчета интенсивности излучения в СМП в широком диапазоне глубин и
l2 S(l) 4
144
углов рассеяния практически совпадают с результатами расчета в СМДП, когда интегродифференциальное уравнение переноса заменяется дифференциальным уравнением диффузионного типа в пространстве углов.
2. Медленно спадающие индикатрисы рассеяния Ситуация радикально меняется, если индикатриса рассеяния () убывает с увеличением угла медленнее, чем 4 . В этом случае приближение гауссова вида не имеет места, поскольку нельзя использовать разложение (4.6.46) из-за расходимости интеграла для 2 на верхнем пределе. Это означает, что для относительно медленно убывающих индикатрис ( ef ) 4 ,
0 нельзя
использовать приближение Фоккера – Планка. Однако и для таких индикатрис, в области не слишком малых глубин, возможно некоторое упрощение общей формулы (4.6.5), за счет использования квазидиффузионного приближения. Рассеяние в среде с индикатрисой Хеньи – Гринстейна Рассмотрим в качестве примера случай, когда однократное рассеяние происходит по закону Хеньи – Гринстейна. При малых углах рассеяния индикатриса Х – Г (см. П.1.43) выглядит так: ef H G 1 H G , 2 2 eff . (4.6.49) 3/2 2 2ef 2 В малоугловом приближении средний квадрат угла однократного рассеяния для индикатрисы Х – Г 2
H G
совской индикатрисы, для которой
2 G
eff в отличие от гаус 2eff . Индикатриса Хе-
ньи – Гринстейна относится к классу медленно спадающих индикатрис, поскольку H G ( ef ) ~ 3 . (4.6.50)
145
Для малоугловой индикатрисы (4.6.49) интеграл в формуле (4.6.6) для S l вычисляется следующим образом:
S
H G
(l) ef 0
d
2 ef
32
2
1 J0 (l ) 1 exp l ef . (4.6.51)
Подставляя (4.6.51) в (4.6.20) и, делая замену переменной интегрирования l eff , получим:
H G (n; ) 1 J exp n 1 e d . (4.6.52) W 0 2 0 Здесь, как и ранее, / eff – приведенный угол рассеяния, а
H G ; связана с величиной W H G ; соотновеличина W шением (4.6.38). К сожалению, даже в этом случае, когда выражение (4.6.51) для величины S H G (l) имеет достаточно простой вид, интеграл в формуле (4.6.52) аналитически не вычисляется.
Квазидиффузионное приближение Рассмотрим поведение вероятности рассеяния (4.6.52) в области не очень малых глубин z 1 (т.е. n 1 ), но, конечно, z lтр , т.е. когда выполняется двойное неравенство: lупр z lтр ,
т.е. 1 n
1
. eff Здесь учтено, что для индикатрисы Хеньи – Гринстейна l тр
X G
2 / 2
X G
1 / eff .
(4.6.53)
(4.6.54)
При выполнении двойного неравенства (4.6.53) рассматривается такая область глубин, где происходит уже много актов рассеяния, но угол многократного рассеяния ещё остается малым. В области таких глубин значение выражения
n 1 e
изменяется от
нуля (при 0 ) до большой отрицательной величины n при
146
. Кроме того, при 1 функция J0 быстро осциллирует уже при 1 . Поэтому основной вклад в интеграл (4.6.52) дают малые значения : eff 1 . По этой причине можно приближенно положить 1 e , т.е. фактически заменить точную формулу (4.6.51) приближенной: S H G (l) l ef . (4.6.55) Приближение (4.6.55) называется квазидиффузионным приближением для индикатрисы Хеньи – Гринстейна. В отличие от диффузионного приближения (4.6.47), когда S(l) ~l 2 , в квазидиффузионном приближении S H G (l) ~ l . В приближении (4.6.55) формула (4.6.52) существенно упрощается: H G (n 1; ) 1 J exp n d . W (4.6.56) 0 2 0 Интеграл по в (4.6.56) сводится к табличному: b 0 xJ0 ax exp bx dx a2 b2 3/2 , a 0; b 0 . (4.6.57) В рассматриваемом случае a , b n . В результате получаем: n H G n; 1 W . (4.6.58) 2 n2 2 3/2 Из (4.6.58) видим, что в рассматриваемом случае распределение по приведенному углу рассеяния радикально отличается от гауссова распределения и как бы воспроизводит по виду саму индикатрису Х – Г (4.6.49), в которой осуществлена замена: ef n , . При относительно больших углах рассеяния n 1 / ef , вероятность рассеяния теперь спадает по степен-
H G n 1; 3 , т.е. W (H G ) ~ 3 . ному закону: W
Пусть, как и ранее eff 0.02 . Тогда из условий (4.6.53) получим, что 1 n 50 и 1 . На рис.4.6.2. представлены две кривые. Пунктирная кривая – расчет по формуле (4.6.58) в квази-
147
диффузионном приближении. Сплошная кривая – расчет по формуле Мольер – Компанейца (4.6.52). Графики построены для значения n 10 в диапазоне приведенных углов 1 20 . Видим, что в области значений 6 7 , т.е. 6 7 eff , обе кривые практически совпадают. В области относительно малых углов 1 6 7 различие между кривыми возрастает, достигая наибольшего значения при 1 , поскольку нарушается условие 1 . Непосредственной проверкой легко убедиться, что 1 n 2 ndn 1 . (4.6.59) 2 2 3/2 0 2 n
n 10
/ eff Рис. 4.6.2. Зависимость вероятности рассеяния на глубине z 10lупр от приведенного угла при законе однократного рассеяния Хеньи – Гринстейна: сплошная кривая – расчет в СМП; пунктирная кривая – расчет в квазидиффузионном приближении
148
Следовательно, величину (4.6.58) можно рассматривать как вероятность того, что в квазидиффузионном приближении в среде, рассеивающей по закону Хеньи – Гринстейна, фотон, испытав на глубине z в среднем n столкновений, отклоняется на угол / eff . Случай обобщенно-степенной индикатрисы подробно рассмотрен в приложении 4. §7. Распространение узкого пучка в стандартном малоугловом приближении В §3 третьей главы была вычислена интенсивность излучения I z; ; в стандартном малоугловом диффузионном прибли Df
жении (СМДП). Исходным являлось уравнение переноса (3.3.1) в приближении Фоккера – Планка по угловым переменным с соответствующими дополнительными условиями. Было показано, что вероятность W Df z; ; того, что фотон на глубине z имеет по перечное смещение x, y в плоскости XoY и распространяет ся в направлении x , y , определяется выражением1: Df Df Df W z; ; W z, x; x W z, y; y . (4.7.1)
Здесь, как обычно, x и y – углы между вектором скорости фо тонов в точке r и плоскостями YoZ и XoZ соответственно. Отклонение фотона от оси z определяется углом
2x 2y 1 . Величина W Df z, x; x dxd x есть вероятность того, что на глубине z фотон имеет смещение по оси x в интервале x x dx и распространяется в интервале углов 1
Для удобства читателя, все величины, относящиеся к рассмотренному ранее случаю СМДП в этом параграфе снабжены дополнительным верхним индексом Df .
149
x dx . Аналогичный смысл имеет величина W Df z, y; y . Из (4.7.1) W
Df
видно, что в рамках СМДП полная вероятность z; ; может быть представлена в виде произведения веро-
ятностей W
Df
z, x; x
и W Df z, y; y .
Возможность представления величины W Df z; ; в мульти-
пликативном виде (3.3.6) означает, что в СМДП отклонение фотонов относительно плоскости YоZ (на угол x ) и плоскости XоZ (на угол y ) происходит независимым образом. По той же причине независимыми оказываются и распределения по поперечным координатам x и y . Такая возможность является следствием не самого малоуглового приближения, а приближения Фоккера – Планка в пространстве углов, когда интеграл упругих столкновений заменяется дифференциальным оператором – оператором Лапласа по уг Df ловым переменным x , y . Явный вид вероятности W z; ;
(функции распределения Ферми), определяется выражением 3 2 1 2 Df W z; ; 2 2 4 exp 3 3 . (4.7.2) 4 D z z z2 Dz
Здесь D – коэффициент угловой диффузии D 2 / 4 . На любой глубине z величина W Df z; ; удовлетворяет ус-
ловию нормировки: Df ; ; 1. d d W z
Таким образом, в СМДП вероятность рассеяния не зависит от конкретного вида индикатрисы рассеяния, а определяется только средним квадратом угла однократного рассеяния 2 . Поэтому в средах с различным законом однократного рассеяния , но с одинаковым значением 2 величины W Df z; ; оказываются
одинаковыми. Кроме того, само СМДП допустимо только для бы-
150
стро спадающих индикатрис рассеяния, когда eff 4
0 . Из всего сказанного ясно, что СМДП имеет достаточно ограниченную область применимости. В настоящем параграфе мы получим выражение для величины W z; ; в более общем случае – в стандартном малоугловом
приближении (СМП), т.е. не используя диффузионного приближения в пространстве углов 1. При этом отпадает обременительное условие быстроты спадания индикатрисы от угла рассеяния. Кроме того, появляется возможность исследовать зависимость величины W z; ; от конкретного закона однократного рассеяния как для
быстро, так и для медленно спадающих индикатрис. Постановка задачи. Вычисление вероятности рассеяния W z; ; в однородной среде в СМП
Пусть бесконечно узкий стационарный световой поток с мощностью P0 падает по нормали к поверхности однородной среды, вдоль оси z (риc.3.3.1): I z 0; x, y; x , y P0 x y x y P0 .(4.7.3)
Исходным является уравнение переноса с интегралом столкновений типа свертки (2.1.22), в правой части которого, в отличие от уравнения для интенсивности, отсутствует член I и считается P0 1 :
1
Как и ранее, мы не будем учитывать влияние флуктуаций длин путей фотонов из-за рассеяния.
151
W z; ; z 2 W r; W z, ; d; (4.7.4) W z 0; ; ; W z 0; ; 0, если 2 2x 2y ; W z 0; ; 0, если 2 x 2 y2 . Для решения интегрального уравнения (4.7.4) воспользуемся преобразованием Фурье по углам и поперечным координатам: 1 ; ; exp W z; ; w z k i k i dkd . (4.7.5) 2 4 Здесь w z; k; – фурье-образ вероятности W z; ; :
w z; k; W z; ; exp ik i dd .
(4.7.6)
Чтобы получить уравнение для w z; k; , умножим обе части уравнения (4.7.4) на exp ik i dd и проинтегрируем по , в бесконечных пределах. Левая часть уравнения переноса выглядит так же, как в СМДП: k w z; k; . (4.7.7) W z; ; z z Для преобразования интегрального слагаемого в правой части уравнении (4.7.4) воспользуемся теоремой о свертке. Обозначим 2 A de i de ik W z, ; d . Делая при интегрировании по замену переменных , d d , запишем:
152
2 A de i e i ik W z; ; dd . Выражение во второй фигурной скобке последней формулы есть w z; k; . В результате получаем следующее уравнение для фу-
рье-образа вероятности рассеяния: k w z ; k ; 1 w z ; k ; , z (4.7.8) w z 0; k; 1. Здесь 2 2x 2y – фурье-образ индикатрисы рас-
сеяния (4.2.10): 2 exp i d
(4.7.9)
d e x
ix x
d e
iy y
y
. 2 x
2 y
Df Заметим, что уравнение для w z; k; в диффузионном при-
ближении (например, уравнение (3.3.14)), отличается от уравнения (4.7.8) только заменой D2 1 . Уравнение (4.7.8) есть дифференциальное уравнение первого порядка по переменным z , x , x . Величина k играет в уравнении (4.7.8) роль параметра. Для решения уравнения (4.7.8) заметим, что величина w k k grad w k nk , grad w , nk k / k есть произведение k на производную от функции w z; k; по переменным x , y в направлении вектора k . Поэтому удобно представить вектор в виде: , 2 2 2 , , k / k . (4.7.10)
153
Здесь и – составляющие вектора на два взаимно перпен дикулярных направления: вдоль вектора k и перпендикулярно к вектору k . Теперь уравнение (4.7.8) можно записать в виде: 2 2 k w z; k; ; 1 w z; k; ; . z (4.7.11) В уравнении (4.7.11) переменными являются две величины: z и . Величины k и играют роль параметров. Решение уравнения легко находится методом характеристик: d dz , 1 k т.е. d z (4.7.12) 0. k Вводим новые переменные: u z , v z k . (4.7.13) z k v В новых переменных уравнение (4.7.11) принимает вид: 2 2 2 v w v; u k; 1 k u v w v; u k; ; w v 0; u k; 1. (4.7.14) Решение уравнения (4.7.14) находится элементарно: v 2 w u; v k; exp v k 2 u v 2 dv . (4.7.15) 0 Возвращаясь к старым переменным, и делая замену переменных z v z z z , dz dz , запишем: z 2 w z; k; ; exp z kz 2k z 2 dz . 0
154
Поскольку k / k , то k k . Поэтому фурье-образ
искомой вероятности выглядит так: z 2 w z; k; exp 1 kz dz . (4.7.16) 0 Теперь, подставляя найденное значение w z; k; в формулу
(4.7.5), окончательно получаем: W z; ;
1 4
2
z 2 1 kz i k i dz dkd. exp 0
(4.7.17) Здесь 2 kz 2 exp i kz d . (4.7.18) С учетом условия нормировки индикатрисы рассеяния, формулу (4.7.17) можно записать в виде:
W z; ;
1
2 4
z 2 kz exp i k i S d z dkd . 0
(4.7.19) Здесь
2 2 S kz 1 kz 2 1 exp i kz d .
(4.7.20)
Ещё раз подчеркнем, что выражение (4.7.19) определяет вероят ность распространения фотонов в направлении x , y в точке r z; в стандартном малоугловом приближении при произвольном законе однократного рассеяния 2 .
155
Анализ полученного решения Проинтегрируем выражение (4.7.19) по всем направлениям движения фотонов и по всем поперечным смещениям. Поскольку 1 exp ik i dd k , 4 2 получим, что W z ; ; dd exp z 1 0 1 , (4.7.21)
так как из (4.7.18) следует, что 0 2 d 2 2 d 1 . 0
Таким образом, условие нормировки для вероятности W z; ;
выполняется.
Зная вероятность W z; ; , можно вычислить основные сред-
ние характеристики светового поля в веществе: средний квадрат угла рассеяния 2 z , значение коррелятора и среднее значеz
2
ние квадрата поперечного смещения
z
. В приложении 5 указан
простой способ вычисления этих величин непосредственно из уравнения переноса, не используя явный вид его решения. Резуль тативно величины 2 z , и 2 z определяются теми же по z
виду формулами, что и в СМДП (3.3.51), (3.3.64) и (3.3.53): 4 2 z 4Dz ; , 2Dz2 ; 2 Dz3 . (4.7.22) z z 3 Отличие состоит в том, что в рамках СМДП для быстро спадающих индикатрис величину 2 можно определить по формуле
2 2 2 2 d , 0
в то время как для медленно спадающих индикатрис для вычисления 2 нужно использовать формулу
156
2 2 1 cos 4 (1 cos ) cos sin d . 0
Если выражение (4.7.19) проинтегрировать по y и y , то получим значение для вероятности распределения частиц на глубине z по переменным x, x : W z; x; x
1
2 4
z 1 k z 2 dz dk d . exp ixk i x x x x x x x 0
Аналогичное W z; y; y :
распределение
имеет
место
для
(4.7.23a) вероятности
W z; y; y
1 4
2
z 1 k z 2 dz dk d . exp iyk i y y y y y y y 0
(Сравните полученные выражения с величинами W
Df
(4.7.23b) z; x; x и
W Df z; y; y (3.3.36a), (3.3.36b) в диффузионном приближении.)
Из формулы (4.7.1) в СМДП видно, что вероятность рассеяния W Df z, x, y; x , y выражается через произведение двух вероятностей W Df z, x; x и W Df z, y; y . В то же время, из формул (4.7.19), (4.7.23a) и (4.7.23b) следует, что в СМП подобного рода факторизация вероятности не имеет места: вероятность W z; ;
не равна произведению вероятностей W z; x; x и W z; x; x . Это означает, что в рамках СМП, рассеяние фотонов относительно двух перпендикулярных плоскостей YoZ и XoZ не происходит независимым образом. Имеется корреляция между актами рассеяния относительно этих плоскостей.
157
Сравнение результатов расчета W z; ; в СМП с величиной W Df z; ; в СМДП
Для быстро спадающих индикатрис (спадающих быстрее чем 2 4 ) в формуле (4.7.20) для фурье-образа S kz можно раз ложить экспоненту в ряд, ограничиваясь первыми тремя членами: 2 kz . (4.7.24) 1 exp i kz i kz 2 Поскольку 2 d 0 ,
получаем: 1 2 2 S kz 2 kz d . (4.7.25) 2 Для вычисления интеграла по , учтем, что 2 2 kz x kx z x y ky z y ,
2 2 2 1 2 2 2 2 2 d d d , x y x y 2 2
2 d 0 .
x y
В результате получаем: 2 2 2 2 S kz kz D kz . 4 Следовательно, z z3 2 2 2 S kz dz D k 2 kz z , 3 0 и выражение (4.7.20) принимает вид:
158
(4.7.26)
W z; ;
1 4
2
2 z2 2 . exp D z kz k ik i dkd. 3
(4.7.27) Формула (4.7.27) в точности совпадает с интегральным представлением (3.3.23) для функции Ферми. После вычисления интегралов получим функцию распределения Ферми (4.7.2). Вероятность рассеяния W z; безотносительно к
поперечному смещению Вычислим вероятность распространения фотона в направлении безотносительно к поперечному смещению. Для этого проинтегрируем общее выражение (4.7.19) по поперечным координатам: W z; W z; ; d . (4.7.28)
Учитывая, что
1
exp ik d k , 2 2
получим: W z;
2
exp i zS d , e 2 1
2
2
i
d .
(4.7.29) Преобразуя по обычной схеме двойное преобразование Фурье в преобразование Бесселя, распределение (4.7.29) запишется в виде: 1 zS W z; e J0 d , (4.7.30) 2 0 где
2 J0 d . 0
159
Выражение (4.7.30) есть распределение Мольер – Компанейца (4.2.19) для широкого падающего пучка, поскольку интегрирование по поперечным координатам означает переход от узкого падающего пучка к широкому пучку. Свойства распределения (4.7.30) были подробно изучены в предыдущем параграфе настоящей главы. Вероятность рассеяния W z; безотносительно к углу рассеяния
В случае узкого пучка, принципиально новый интерес представляет получение и исследования вероятности распределения фото нов W z; по поперечному смещению безотносительно к углу рассеяния. Чтобы получить выражение для W z; , проинтегрируем общее выражение (4.7.19) по направлениям распространения фотонов : (4.7.31) W z; W z; ; d .
После интегрирования получим: z 1 1 k2 z2 dz dk . (4.7.32) W z; exp i k 2 2 0 Учитывая, что k k cos и выполняя интегрирование по k в полярных координатах dk dkx dky kdkd , запишем:
z
1 2 ik cos 1 2 2 W z; kdk exp 1 k z dz d . e 2 0 0 2 0 Поскольку 2
exp ik cos d 2J k 0
0
то, аналогично формуле (4.7.30), получаем: z 1 2 2 W z; exp 1 k z dz J0 k kdk , (4.7.33) 2 0 0
160
kz 2 exp i kz d .
(4.7.34)
Нетрудно показать, что для быстро спадающих индикатрис, распределение (4.7.34) в области не очень малых глубин при отно сительно большом числе столкновений имеет гаусовский вид по , как в СМДП (3.3.49): 3 2 3 Df W z; W z; exp . (4.7.35) 3 4Dz3 4 Dz Распределение по поперечному смещению фотонов при медленно спадающих индикатрисах рассеяния Наибольший интерес представляет исследование общего выражения (4.7.33) для медленно спадающих индикатрис 4 eff 0 , когда не применимо СМДП. В этом случае, в отличие от СМДП величина W z; зависит от конкретного закона однократного рассеяния. Рассмотрим в качестве примера случай, когда однократное рассеяние определяется законом Хеньи – Гринстейна (4.6.49). Для индикатрисы (4.6.49) интеграл в формуле (4.7.34) легко вычисляется: H G kz exp zk eff . В этом случае, делая в общем выраже нии (4.7.33) для W z; замену переменной интегрирования kz eff , d z eff dk , получим:
z exp e 1 d . z 0 eff (4.7.36) Если глубину z и поперечное смещение измерять в единицах длины свободного пробега z z z , , (4.7.37) lупр lупр W
H G
z;
1 2z2 2eff
J
0
161
H G z ; d W H G z; d , то для величины W z ; W z; / 2 получим следующее выражение: W
т.е.
n J 0 0 n eff exp e 1 d . (4.7.38) Здесь n z – среднее число упругих столкновений в слое вещества z . Пусть eff 0.02 . Из условия z lтр получим, что n 50 . H G n; W
1 2n2 2eff
H G n; от На рис.4.7.1. представлены кривые зависимости W приведенного поперечного смещения 0.1 5 для двух разных значений n , т.е. для двух разных глубин z . Видим, что с увеличением глубины кривые становятся более плавными, а значение их в максимуме при 0 , т.е. на оси пучка, резко уменьшается.
n 10
n 15
Рис. 4.7.1. Зависимость вероятности W
HG
n ; от поперечного смещения на
двух глубинах n z
162
Квазидиффузионное приближение Величина, стоящая в фигурных скобках формулы (4.7.38), изменяется в пределах от нуля, при 0 , до значения n z при . При большом числе актов упругого рассеяния z 1 . Основной вклад в интеграл дает область значений , в которой отсутствуют быстрые осцилляции функции Бесселя: / z eff 1 , т.е. 0 eff z eff / . При выполнении условия z eff ,
т.е. (4.7.39)
eff 1,
выражение в фигурных скобках (4.7.38) можно разложить в ряд, ограничиваясь первым отличным от нуля членом этого ряда (квазидиффузионное приближение): z z n e 1 . (4.7.40) 2 2 В этом случае в терминах приведенных значений z и (4.7.37) вместо точного выражения (4.7.38) в СМП получаем: 1 n (H G ) (z ; ) J d . (4.7.41) W exp 0 2 2 2n eff 0 n eff 2 Интеграл (4.7.41) является табличным: 4 eff (H G ) (z ; ) 1 W . (4.7.42) 3/2 2 2n n eff 42 / n2
163
n 10
Рис. 4.7.2. Зависимость вероятности
(H G ) n; на глубине z 10l W
упр
от
приведенного смещения : сплошная кривая – расчет в СМП по формуле (4.7.40); пунктирная кривая – расчет в квазидиффузионном приближении по формуле (4.7.42)
Пусть как и выше eff 0.02 , 1 n 50 и n eff . На рис. (H G ) n; . 4.7.2 представлены две кривые, для вероятности W Пунктирная кривая – расчет по формуле (4.7.42) в квазидиффузионном приближении. Сплошная кривая – расчет по точной формуле (4.7.38) в СМП. Графики построены для значения n 10 в диапазоне приведенных смещений фотона от оси z 0.1 5 . Видим, что в области значений 1 обе кривые практически совпадают. В области малых поперечных смещений различие между кривыми возрастает, достигая наибольшего значения при 0 , поскольку для таких значений .нарушается условие 0.2 . Непосредственной проверкой легко убедиться, что
164
4 ef 1 d 1 . (4.7.43) 3/2 2 2 2 0 2 n n 4 / n ef Следовательно, величину (4.7.42) можно рассматривать как вероятность того, что в квазидиффузионном приближении на глубине z фотон имеет поперечное смещение в среде, рассеивающей по закону Хеньи – Гринстейна. 2
165
Глава 5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ШИРОКОГО СТАЦИОНАРНОГО СВЕТОВОГО ПУЧКА В МАЛОУГЛОВОМ ДИФФУЗИОННОМ ПРИБЛИЖЕНИИ С УЧЕТОМ ФЛУКТУАЦИЙ ДЛИН ПУТЕЙ ФОТОНОВ В этом разделе анализируется процесс распространения широкого стационарного светового пучка с интенсивностью I0 , падающего по нормали к поверхности вещества, с учетом взаимного влияния процессов поглощения и рассеяния в рамках малоуглового диффузионного приближения (МДП). В отличие от рассмотренной ранее в разделе 3 аналогичной задачи в рамках СМДП, принципиально новым является учет флуктуаций длин путей фотонов из-за многократного рассеяния. В отличие от СМДП теперь необходимо учесть (конечно, в рамках малоуглового приближения) искривление “траектории” распространения фотонов из-за рассеяния. §1. Основные положения. Постановка задачи В предыдущих разделах подробно изучалась проблема малоуглового прохождения световых потоков (как широкого, так и узкого пучка фотонов), когда для вычисления интенсивности излучения использовалось уравнение переноса в рамках стандартного малоуглового диффузионного приближения (СМДП) по угловым переменным x , y . Напомним вкратце основные предположения и допущения, которые использовались при вычислении интенсивности в СМДП для случая нормального падения широкого светового потока. Пусть, как и ранее, бесконечно широкий, стационарный световой поток с интенсивностью I0 падает по нормали к поверхности однородного вещества в направлении 0 вдоль оси z (рис.5.1.1). Условие малоуглового диффузионного приближения остается прежним: 2 2 z 1 . (5.1.1)
166
x
I0
0
O
z z
y
Рис. 5.1.1. Условное изображение прохождения широкого пучка фотонов, падающего по нормали к поверхности вещества (вдоль оси z ): – полярный угол отклонения фотона от оси z ; пунктиром изображены “траектории” распространения фотонов в слое вещества z
Ранее, ввиду малости угла рассеяния 1 , предполагалось, что фотоны распространяются прямолинейно. Поэтому считалось, что I z; I z; cos , (5.1.2) z z и уравнение переноса в СМДП имело вид: I z; 1 I I D (5.1.3) , 0 . z Чтобы учесть непрямолинейность распространения фотонов, необходимо отказаться от приближения cos 1 , заменив его более точным приближением: cos 1 2 / 2 . (5.1.4)
167
Другими словами, теперь нужно определить интенсивность излучения I(z; ) из более сложного (но, конечно, приближенного) уравнения, коэффициенты которого уже не являются константами: 2 I z; 1 I 1 I D , 0 . (5.1.5) 2 z Именно это принципиально и отличает малоугловое диффузионное приближение (МДП), рассматриваемое в настоящем разделе от стандартного малоуглового диффузионного приближения (СМДП), рассмотренного ранее. Как будет показано ниже, именно приближение (5.1.4) позволяет в конечном итоге учесть влияние непрямолинейности распространения фотонов на пространственноугловое распределение светового поля, т.е. на вид интенсивности излучения I z; . Поскольку в малоугловом приближении при нормальном падении излучения на поверхность вещества отраженное излучение отсутствует1, то дополнительные условия имеют обычный вид: I I z 0; 0 , I z; 0 . (5.1.6) 2 Напомним, что в СМДП решение уравнения (5.1.3), удовлетворяющее граничным условиям (5.1.6), имело гаусовский вид по углу рассеяния : I z; I z W z; . (5.1.7) Здесь I z – полный световой поток на глубине z ; W z; – вероятность рассеяния фотона на угол :
I z 2 I z; d I0 exp z .
(5.1.8)
0
1
В случае скользящих углов падения 0 / 2 , даже при рассеянии на малые
углы возможен вылет фотонов из вещества через поверхность z 0 , т.е. образование поля обратно рассеянного излучения.
168
2 exp 4Dz , W z; 4Dz
2 W z; d 1 .
(5.1.9)
0
При этом значение среднего квадрата угла рассеяния 2
z
на глу-
бине z определялось выражением:
2
z
2 2 W z; d 4Dz 2s z .
(5.1.10)
0
Прежде чем приступать к решению уравнения (5.1.5), нужно ответить на вопрос: существуют ли физические предпосылки учитывать "искривление траектории" фотонов в рамках малоуглового приближения? Ведь на первый взгляд может показаться, что из-за малости угла рассеяния, флуктуации длин путей фотонов невелики и речь может идти только о незначительном уточнении полученного ранее решения (5.1.7) – (5.1.9), а никаких принципиально новых эффектов может и не быть. Оказывается, что это не так. Ниже мы покажем, что в сильно поглощающих средах, когда средняя длина поглощения много меньше транспортной длины при упругом рассеянии la lтр , т.е. D , (5.1.11) учет флуктуации длин путей фотонов из-за многократного рассеяния принципиально необходим и приводит к существенному изменению вида пространственно-углового распределения фотонов I z; даже при малоугловом рассеянии. Рассмотрим слой вещества dz на глубине z . Если фотон распространяется под углом , то в слое dz он проходит путь ds dz / cos (рис.5.1.2). Поскольку в малоугловом приближении 1 , то dz dz 1 ds dz 1 2 . (5.1.12) cos 1 2 / 2 2
169
Соответственно, средний путь ds z , проходимый фотонами в бесконечно тонком слое dz будет определяться выражением: 1 ds z dz 1 2 . (5.1.13) z 2 Средний путь, проходимый фотонами во всем слое вещества толщиной z может быть рассчитан по формуле: z z 1 s z ds z ds z z 2 z dz . (5.1.14) 20 0
dz
I0
z
O
z Рис. 5.1.2. Условное изображение фотона, распространяющегося в слое вещества dz на глубине z под углом
Из формулы (5.1.14) находим значение разности между средним путем и глубиной: z 1 s z z s z z 2 z dz . (5.1.15) 20 Очевидно, что "искривлением траектории" фотонов можно пренебречь, если s z z la . (5.1.16) В этом случае дополнительное поглощение фотонов, связанное с некоторым удлинением "траектории", несущественно и не влияет на их пространственно-угловое распределение. Следовательно,
170
флуктуации длин путей фотонов в рамках малоуглового приближения можно не учитывать, если выполняется условие: z 1 2 z dz la . (5.1.17) 2 0 Следует особо подчеркнуть, что при получении условия (5.1.17) использовалось только предположение о малости угла рассеяния. Поэтому оно в равной мере относится к любой форме записи уравнения переноса в приближении малых углов рассеяния – как в малоугловом диффузионном приближении (МДП), так и в малоугловом приближении (МП), когда интеграл упругих столкновений не заменяется дифференциальным оператором. Для вычисления интеграла в (5.1.17) нужно знать конкретное выражение для величины 2 z . В СМДП значение 2 z определяется формулой la 1 / :
(5.1.10).
Поэтому
из
(5.1.17)
получаем
Dz2 la ,
т.е.
z D 1 . (5.1.18) Если учесть, что D 1 / 2lтр , то неравенство (5.1.18) можно записать в виде: z la lтр .
(5.1.19)
С другой стороны, область применимости МДП определяется условием (3.1.23): z lтр . (5.1.20) В слабо поглощающих средах, когда длина поглощения больше или сравнима с транспортной длиной la lтр , (5.1.21) более жестким является условие (5.1.20). В этом случае условие 2 (5.1.19) выполняется автоматически: z lтр lтр lalтр . Это
означает, что в слабо поглощающих средах в рамках малоуглового
171
приближения можно не учитывать "искривление траектории" фотонов из-за рассеяния. Ситуация радикально изменяется в сильно поглощающих средах, когда la lтр . (5.1.22) В этом случае более жестким оказывается условие (5.1.19). В таких средах СМДП можно использовать только в области относительно малых глубин (5.1.19). В области относительно больших глубин z la lтр , (5.1.23) необходимо отказаться от СМДП и решать более точное уравнение (5.1.5). Все сказанное относится, конечно, и к интегродифференциальному уравнению переноса 1 I I d I ; , cos , 1 когда не используется приближение Фоккера – Планка в пространстве углов. §2. Вычисление интенсивности излучения с учетом флуктуаций длин путей фотонов из-за рассеяния Приступая к решению уравнения (5.1.5), выделим в полной интенсивности бугеровскую экспоненту, представив интенсивность излучения в виде: I z; exp z I z; . (5.2.1) Подставляя (5.2.1) в (5.1.5), для величины I z; получаем следующее уравнение: 2 I z; 2 1 I I z; D (5.2.2) . 1 2 z 2 Сохраняя в уравнении (5.2.2) только первые, не исчезающие члены разложения по 2 , получим: I z; 2 1 I I D (5.2.3) . z 2
172
Дополнительные условия для I z; остаются теми же, что и для интенсивности I z; : I0 , (5.2.4) 2 I z; 0 . (5.2.5) Важно подчеркнуть, что в приближении 2 I z; I z; 1 2 z z после формального расширения области изменения угловой переменной до бесконечности, коэффициент при производной по глубине z в уравнении (5.2.3) остается положительным. В противном случае (как это делалось рядом авторов), при 2 , коэффициент перед / z в уравнении (5.2.2) становится отрицательным, т.е. изменяет знак. Изменение знака перед производной по глубине z соответствует изменению направления движения фотонов из глубины вещества в сторону границы z 0 . Но это противоречит самой логике малоуглового приближения, когда a`priori считается, что при нормальном падении светового пучка на поверхность вещества излучение распространяется только в глубь среды и отраженное излучение отсутствует. Поэтому на границе среды есть только падающий внешний световой поток. Второе слагаемое в левой части уравнения (5.2.3), которое пропорционально 2 , учитывает взаимное влияние (корреляцию процессов) поглощения и рассеяния фотонов. В СМДП этим слагаемым пренебрегали. Поэтому в СМДП уравнение переноса для интенсивности являлось дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами. В рамках МДП существенно, что коэффициент при втором слагаемом в его левой части зависит от переменной , т.е. уравнение (5.2.3) есть дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами. Полезно напомнить, что подобное изменение уравнения может привести к далеко не тривиальным последствиям. Во-первых, если I z 0;
173
решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами может быть получено аналитически, то в случае уравнения того же вида, но с переменными коэффициентами, решение либо вообще не может быть получено в аналитическом виде, либо форма решения радикально меняет свой вид. Хорошей иллюстрацией сказанного является уравнение одномерных гармонических колебаний y x 2 y x 0 , решение которого находится элементарно и имеет вид y x y0 cos x . Однако стоит в этом уравнении заменить постоянный коэффициент 2 на x , то решение уравнения y x xy x 0 находится совсем не просто и имеет вид: y x C1 Ai x C2 Bi x , где Ai x и Bi x – функции Эйри первого и второго рода, которые выражаются через цилиндрические функции Бесселя с индексами 1 / 3 , 2 / 3 и с достаточно сложными аргументами. К счастью, в рассматриваемой нами задаче подобных трудностей не возникает. Оказывается, что решение уравнения (5.2.3) можно искать в гауссовском по углу виде: 2 I0 exp / A1 z . (5.2.6) I z; A0 z A1 z Здесь A0 z и A1 z – две неизвестные функции, зависящие только от глубины z . У читателя не должно создаваться ложного впечатления, что можно “легко угадать” вид решения (5.2.6). Последовательный способ решения уравнения (5.2.3) основан на применении метода разделения переменных, когда частное решение уравнения (5.2.3), соответствующее собственному значению n , ищется в виде In z; exp n z n . Далее находятся собственные значе-
ния n и соответствующие им угловые собственные функции n , которые оказываются полиномами Лаггера. Определив величины n и n , общее решение уравнения (5.2.3) записыва-
174
ется в виде разложения в ряд по полной ортонормированной системе собственных функций: I z; Cn e n z n . n
Коэффициенты разложения находятся из условия на границе z 0 . И только после этого оказывается, что полученный ряд суммируется и приводит к выражению вида (5.2.6)1. С учетом формулы (5.2.6) интенсивность излучения (5.2.1) будет иметь следующий вид: 2 exp z exp / A1 z . (5.2.7) I z; I0 A0 z A1 z В области малых глубин z la lтр пространственно-угловое распределение фотонов должно определяться формулой (5.1.7) в СМДП, так как на малых глубинах флуктуации длин путей фотонов не влияют на их угловое распределение. Поэтому A0 z 1 , A1 z 4Dz ,
z
la lтр .
(5.2.8)
Теперь остается получить уравнения для величин A0 z , A1 z и найти их конкретные значения. Подставляя (5.2.6) в уравнение (5.2.3), после элементарных вычислений получим: 1 dA0 1 dA1 4D 1 dA1 4D 2 A1 . (5.2.9) A1 A1 A0 dz A1 dz 2 A1 dz Равенство (5.2.9) должно выполняться при всех значениях . Отсюда находим систему двух дифференциальных уравнений для определения двух неизвестных функций глубины A0 z и A1 z :
A1 dA0 dA1 4D; A0 dz dz 2 dA1 A1 4D. dz 2
1
(5.2.10)
Подробное изложение решения уравнения (5.2.3) методом собственных функций приведено в приложении 5.
175
Дополнительные условия для величин A0 z и A1 z следуют из соотношений (5.2.8) при z 0 : A0 z 0 1 ; A1 z 0 0 . (5.2.11) Вычитая второе уравнение (5.2.10) из первого, получаем: 1 dA0 A1 , (5.2.12) A0 dz 2 т.е. 2 1 dA0 z A1 z . (5.2.13) A0 z dz Соотношение (5.2.13) позволяет определить величину A1 z , если известно значение A0 z . Таким образом, остается только найти выражение для функции A0 z . Подставляя (5.2.13) в первое уравнение (5.2.10), после элементарных преобразований получим дифференциальное уравнение для величины A0 z : d2 A0 z 2DA0 z 0 . (5.2.14a) dz2 Поскольку 2D 1 / lтр и 1 / la , то уравнение (5.2.14a) можно
записать в терминах la , lтр : d2 A0 z 1 A0 z 0 . (5.2.14b) 2 dz lalтр Дополнительные условия к уравнению (5.2.14) выглядят следующим образом: A0 z 0 1 ; dA0 / dz z 0 0 . (5.2.15)
Второе условие в (5.2.15) получается из формулы (5.2.13), если учесть, что в соответствии с (5.2.11) A1 z 0 0 . Таким образом, сложная на первый взгляд задача о решении дифференциального уравнения (5.2.3) в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами свелась к решению простого дифференциального уравнения (5.2.14) для функции
176
A0 z второго порядка только одной переменной z с постоянными коэффициентами. Общее решение уравнения (5.2.14) находится элементарно:
A0 z C1 exp z / lalтр C2 exp z / lalтр . Из дополнительных условий (5.2.15) получаем, что C1 C2 1 / 2 . В результате окончательно находим, что z . (5.2.16) A0 z ch la lтр Подставляя полученное значение A0 z в формулу (5.2.13), находим значение A1 z : z la . th (5.2.17) lтр lalтр Теперь, подставляя A0 z (5.2.16) и A1 z (5.2.17) в (5.2.7), оконA1 z 2
чательно получаем выражение для I z; : lтр / la exp 2 2 th z / la lтр I I z; 0 exp z 2 la / lтр sh z / lalтр
(5.2.18)
или 2 exp 2 2D / th z 2D I I z; 0 exp z 2 2D / sh z 2D
. (5.2.19)
Формулы (5.2.18), (5.2.19) определяют интенсивность светового поля внутри однородной диссипативной среды при падении на её поверхность стационарного мононаправленного широкого светового потока с интенсивностью I0 , с учетом флуктуаций длин путей фотонов из-за упругого рассеяния в рамках МДП.
177
§3. Исследование влияния флуктуаций длин путей фотонов на параметры светового поля В предыдущем параграфе было получено аналитическое выражение для интенсивности излучения в рамках МДП с учетом искривления траектории фотонов из-за упругого рассеяния, т.е. с учетом корреляции процессов поглощения и рассеяния света. В этом параграфе мы подробно исследуем все особенности полученного решения, уделяя особое внимание тому, что именно нового вносит учет корреляции процессов поглощения и рассеяния в различные параметры светового поля в веществе. 1. Вычисление полного светового потока Прежде всего, вычислим зависимость от глубины полного светового потока фотонов I z в МДП. После интегрирования по углам d 2d , получим:
I z 2 I z; d I0 0
exp z . A0 z
(5.3.1)
Таким образом, величина A0 z определяет дополнительное ослабление светового потока за счет "удлинения траекторий" фотонов в слое вещества z из-за рассеяния. Подставляя в (5.3.1) значение A0 z , даваемое формулой (5.2.16), получим следующее выражение для полного светового потока: exp z I z I0 . (5.3.2) ch z / la lтр
Из формулы (5.3.2) следует, что учет искривления “траектории движения” фотонов приводит к нарушению закона Бугерра – Ламберта. Возникает дополнительное уменьшение интенсивности света
за счет множителя ch 1 z
lalтр 1 . Степень этого дополнитель-
ного уменьшения интенсивности зависит не только от поглощающих свойств среды (т.е. от la 1 / ), но и от рассеивающих
178
свойств среды, т.е. от величины коэффициента угловой диффузии: lтр 1 / 2D . Это и понятно. Ведь те фотоны, которые за счет многократного рассеяния проходят в слое вещества толщиной z больший путь, поглощаются с большей вероятностью и исчезают как физические объекты. Это и приводит к дополнительному уменьшению интенсивности светового сигнала.
В области глубин z la lтр , величина ch z / la lтр 1 и мы приходим к выражению (5.1.8). Как и следовало ожидать, в области относительно малых глубин непрямолинейностью распространения фотонов можно пренебречь и световой поток определяется обычным законом Буггера – Ламберта (5.1.8). Наоборот, в области глубин z la lтр величина
ch z / la lтр 0.5 exp z / lalтр .
Поэтому, на таких глубинах I z 2I0 exp z z / lalтр . Будем в дальнейшем считать заданным коэффициент угловой диффузии D , т.е. считать транспортную длину упругого рассеяния lтр =const и исследовать поведение различных параметров светового поля в зависимости от коэффициента поглощения , т.е. от длины поглощения la . Вместо обычной глубины z удобно ввести приведенную глубину z и приведенную длину поглощения la , когда величины z и la измеряются в единицах транспортной длины: z l z , la a . (5.3.3) lтр lтр На рис.5.3.1. приведены графики зависимости относительного потока, т.е. отношения полного потока I z к потоку I0 exp z , определяемого формулой Буггера – Ламберта: I z 1 . (5.3.4) Iотн z I0 exp z ch z / pa
179
Здесь pa
la la / lтр .
pa 1 /
pa 1 /
(5.3.5)
2
10
z Рис.5.3.1. Графики зависимости относительного потока от приведенной глубины z z / lтр при различном поглощении в среде
Параметр pa , зависит только от отношения длины поглощения к транспортной длине упругого рассеяния. В слабо поглощающих средах la lтр параметр pa 1 . В консервативной среде pa . Наоборот, в сильно поглощающих средах la lтр , где наиболее явно выражена корреляция между процессами рассеяния и поглощения, параметр pa 1 . В абсолютно поглощающей среде pa 0 . Верхняя сплошная кривая соответствует среднему поглощению: la 0.5lтр , т.е. pa 1 / 2 0.71 . Нижняя кривая соответствует
сильному
поглощению:
pa 1 / 10 0.32 .
180
la 0.1lтр ,
т.е.
2. Вероятность рассеяния. Средний квадрат угла рассеяния Величина отношения интенсивности излучения I z; к полному световому потоку есть вероятность рассеяния на угол . Поделив (5.2.7) на (5.3.1), получим: 2 I z; exp / A1 z , 2 W z; d 1 . (5.3.6) W z; I z A1 z 0 Подставляя в (5.3.6) значение A1 z (5.2.17), запишем: 2 exp 2 la / lтр th z / la lтр W z; 2 la / lтр th z / lalтр
, d dd .(5.3.7)
Таким образом, в рамках МДП вероятность рассеяния сохраняет гауссовский вид, как и в СМДП. Изменяется только зависимость дисперсии от глубины. Кроме того, в отличие от СМДП вероятность рассеяния зависит не только от рассеивающих, но и от поглощающих свойств среды. В области малых глубин z la lтр , когда
th z / lalтр z / lalтр , приходим к гауссову распределению (5.1.9), полученному в рамках СМДП без учета “искривления траектории” фотонов из-за рассеяния. В области глубин z la lтр
величина th z / la lтр 1 . Поэтому на таких глубинах выражение
W z;
для
выглядит
совершенно
иначе
W z; exp 2 / 2 la / lтр , т.е. исчезает зависимость от глубины. На рис. 5.3.2 приведены графики зависимости вероятности рассеяния, рассчитанной по формуле (5.3.7) в терминах приведенной глубины (5.3.3): 2 exp 2pa th z / pa W z; . (5.3.8) 2pa th z / pa
181
3
z 0.3
2
1
a)
3
z 0.7 2
1
b) Рис. 5.3.2. Графики зависимости вероятности рассеяния фотона на различных приведенных глубинах при различных значениях коэффициента поглощения: пунктирная кривая 1 – СМДП; 2 – la / lтр 0.5 ; 3 – la / lтр 0.1 ; a) – z 0.3 ; b) – z 0.7
182
Параметр pa определяется формулой (5.3.5). На рис. 5.3.2,a представлены графики угловой зависимости вероятности рассеяния – на относительно малой глубине z 0.3lтр и в области средних глубин z 0.7lтр (рис. 5.3.2,b). Пунктирная кривая на обоих графиках изображает угловое распределение фотонов в СМДП, когда не учитывается “искривление траектории” фотонов из-за рассеяния. Рассмотрим рис. 5.3.2,a Видно, что даже на относительно небольшой глубине сплошные кривые идут выше пунктирной для 0.8 1 . Наибольшее отличие наблюдается вблизи максимума распределения 0 . Чем поглощение сильнее, тем больше вероятность в максимуме Wmax W z ; 0 и тем быстрее уменьшается значение вероятности с ростом угла рассеяния (сравни кривую 2 для la 0.5lтр и кривую 3 для la 0.1lтр ). Это обусловлено тем, что фотоны, отклоняющиеся на относительно большие углы, проходили бы (в отсутствие поглощения) в слое вещества заданной толщины больший путь, нежели фотоны, рассеянные на малые углы. Из-за наличия поглощения такие фотоны поглощаются с большей вероятностью, т.е. перестают существовать как физические объекты. В результате в рассеивающей среде, обладающей сильным поглощением
l
a
lтр , выживают лишь фотоны, сравни-
тельно мало отклонившиеся от направления первоначального движения. Это и приводит к уменьшению угловой расходимости светового потока. Вероятность W z ; становится более анизотропной – уменьшается угловая расходимость светового пучка. Поведение кривых на рис.5.3.2,b подобно поведению кривых на рис. 5.3.2,a. Разница состоит в том, что на большей глубине еще значительнее проявляются эффекты, связанные с флуктуацией длин путей фотонов при рассеянии, и поэтому увеличивается сте-
183
пень вытянутости величины W z ; в направлении первоначального распространения падающего излучения. Из формул (5.2.18) ,(5.3.2), (5.3.7) видим, что исходную формулу (5.2.18) для интенсивности излучения можно представить в виде: I z; I z W z; , (5.3.9) что по структуре полностью совпадает с формулой (5.1.7) в СМДП. Здесь следует заметить, что возможность представления интенсивности излучения в виде произведения полного потока на вероятность рассеяния не является следствием сделанных приближений, а носит общий характер. Интенсивность излучения может быть всегда представлена в виде (5.3.9) и в случае точного решения уравнения переноса (без каких-либо ограничений на углы рассеяния): I z; I z W z; . При этом угловая функция W z; должна удовлетворять усло-
вию нормировки:
W z ; d 1 .
4
3. Средний квадрат угла рассеяния Зная вероятность W z; , можно вычислить величину среднего квадрата угла рассеяния на глубине z :
2
z
2 2 W z; d A1 z ,
(5.3.10)
0
т.е. 2
z
2
z la th lтр la lтр
184
.
(5.3.11)
Таким образом, величина A1 z имеет простой физический смысл: она представляет собой средний квадрат угла рассеяния фотонов на глубине
z.
В
области
малых
глубин
z la lтр ,
когда
th z / lalтр z / lalтр , из формулы (5.3.11) получаем, что
2
z
2z / lтр 4Dz ,
(5.3.12)
что, конечно, совпадает с выражением (5.1.10), полученным в рамках СМДП без учета флуктуаций длин путей фотонов из-за рассеяния.
2
На рис.5.3.3 приведены графики зависимости денной глубины z , рассчитанной по формуле: z 2 2pa th , pa la / lтр . z pa
z
от приве-
(5.3.13)
Из рис.5.3.3 видно, что учет “искривления траектории” фотонов радикально изменяет зависимость среднего квадрата угла рассеяния от глубины. В то время как в СМДП (пунктирная кривая), средний квадрат угла рассеяния линейно возрастет с глубиной
2
z
2z , учет флуктуаций длин путей фотонов приводит к то-
му, что линейное возрастание в области относительно малых глубин плавно переходит в асимптотический режим. Величина
2
z
перестает зависеть от глубины и определяется только со-
отношением между длиной поглощения и транспортной длиной рассеяния, т.е. параметром pa , стремясь к 2pa при z 1 1.5 (см. кривую 3).
185
1 2
3 2/√10
z Рис. 5.3.3. Зависимость среднего квадрата угла рассеяния от приведенной глубины: пунктирная кривая 1 – СМДП; 2 – la / lтр 0.5 ; 3 – la / lтр 0.1
4. Вычисление среднего пути Определив величину среднего квадрата угла рассеяния
2 z ,
можно по формуле (5.1.14) вычислить величину среднего пути, проходимого фотонами в слое вещества толщиной z : z z z la 1 2 dz . (5.3.14) s z z dz z th z 20 lтр 0 la lтр Выполняя элементарное интегрирование, получаем: z . s z z la ln ch (5.3.15) la lтр
186
Естественно, что в области малых глубин z la lтр из формулы (5.3.15) получаем прежний результат в СМДП: s z z.
(5.3.16)
На рис.5.3.4 приведены графики зависимости приведенного среднего пути s
z
s
z
/ lтр , измеренного в единицах транспорт-
ной длины упругого рассеяния от приведенной глубины, при различном поглощении в среде, рассчитанные по формуле: z s z z pa2 ln ch . (5.3.17) pa Пунктирная прямая на рис.5.3.4 определяет величину s
z
в рамках
СМДП, когда не учитывается искривление траектории фотонов, и поэтому, в соответствии (5.3.16), s
z
z . Видим, что за счет ис-
кривления траектории из-за рассеяния (кривые 2,3) s чем абсолютное отличие величин s
z
z
z , при-
и z возрастает с глубиной.
Однако абсолютное отличие между величинами
s
z
и z тем
больше, чем меньше поглощение в среде. Кривая 2 на рис.5.3.4, соответствующая среднему поглощению la 0.5lтр , идет выше кривой 3, которая соответствует сильно поглощающей среде: la 0.1lтр . На первый взгляд это может показаться несколько неожиданным. Однако легко убедиться, что именно так и должно быть. Действительно, “искривление траектории” фотонов определяется только упругим рассеянием. Поглощение не имеет никакого отношения к возникновению самого процесса “удлинения траектории”. Однако поглощение оказывает существенное влияние на значение среднего пути, проходимого фотонами в слое вещества толщиной z . Чем больше длина траектории из-за рассеяния, тем с большей вероятностью на такой траектории фотон поглотится. За счет этого
187
уменьшается относительный вклад сильно удлиненных траекторий, что приводит к уменьшению значения среднего пути s z .
s
2 3
z
1
z Рис. 5.3.4. Графики зависимости приведенного среднего пути от приведенной глубины: пунктирная кривая 1 – СМДП; 2 – l 0.5l (p 1 / a
l a 0.1l тр ( pa 1 /
тр
a
2) ; 3 –
10 )
В сказанном легко убедиться непосредственно из формулы (5.3.17). Приведем приближенные выражения для
z / pa 1
и
z / pa 1 . 2
ch z / pa 1 0.5 z / pa .
В Во
первом втором
ch z / pa 0.5 exp z / pa . В результате получаем, что
188
s
z
при
случае случае
2 z2 2 , z / pa 1 ; pa ln 1 0.5 z / pa 2 z p2 ln 0.5 exp z p2 ln 2 p z , z / p 1 . a a a a pa
s
z
(5.3.18) Напомним, что z / pa z / lalтр . Из соотношения (5.3.18) видно, что при z / pa 1 ( pa велико, т.е. поглощение практически отсутствует) величина разности
s
z
z z 2 и вообще не зависит от pa , т.е. от поглощения в сре-
де. Это соответствует СМДП и получается из формулы (5.1.15), если в последней учесть, что значение 2
z
2z / lтр . В этом слу-
чае z
s
z
z
1 2 2 0
z
dz
z2 , 2lтр
т.е. s
z
z
z2 . 2
В обратном случае относительно сильного поглощения la lтр , т.е. pa 1 из (5.3.18) следует, что s
z
z pa z уменьшается с
уменьшением pa , что полностью соответствует положению кривых на рис.5.3.4. Относительное удлинение среднего пути s
z
z
z
z 2 , pa ,
z / p z / p
.
a
1, т.е. z la lтр ;
a
1, т.е. z lalтр
(5.3.19)
Таким образом, в слабо поглощающих средах относительное изменение среднего удлинения траектории возрастает пропорцио-
189
нально глубине. Однако в сильно поглощающих средах рост относительного изменения среднего удлинения траектории замедляется и с увеличением поглощения вообще перестает зависеть от глубины и оказывается равным pa 1 / , т.е. становится тем меньше, чем больше коэффициент поглощения в среде.
5. Зависимость полного светового потока от среднего пути. Обобщение закона Буггера – Ламберта Получим важную формулу, связывающую полный световой поток I z на глубине z с длиной среднего пути s z , который проходят фотоны от момента влета в среду до глубины z . Для этого опять воспользуемся общей формулой (5.1.14), в которой учтем, что 2 z A1 z : z
1 A1 z dz . (5.3.20) z 2 0 Величина A1 z связана с A0 z соотношением (5.2.13), которое можно записать в виде 2 d A1 z ln A0 z . (5.3.21) dz Подставляя (5.3.21) в (5.3.20), находим, что 1 s z z ln A0 z . (5.3.22) Формула (5.3.22) устанавливает простую однозначную связь между функцией A0 z и длиной среднего пути s z . Из (5.3.22) можем s
z
выразить A0 z через величину s z :
A0 z exp s
z
z .
(5.3.23)
Подставляя (5.3.23) в выражение (5.3.1) для полного потока, получим: I z I0 exp s z . (5.3.24)
190
Неожиданно простая формула (5.3.24) допускает простую физическую трактовку. Результативно оказывается, что флуктуации длин путей фотонов приводят опять-таки к экспоненциальному ослаблению светового потока, если вместо глубины z , как это было в СМДП (5.1.8), записать в показателе экспоненты величину s z . Соотношение (5.3.24) свидетельствует о том, что затухание величины сигнала определяется средним путем, пройденным фотоном в слое мутной среды толщиной z . Формулу (5.3.24) можно рассматривать как обобщение закона Буггера – Ламберта для диссипативных сред с сильной анизотропией рассеяния в малоугловом приближении. Однако следует особо подчеркнуть, что величина среднего пути (5.3.15) зависит как от рассеивающих, так и от поглощающих свойств среды. Из (5.3.24) отчетливо видно, что в отличие от прежней формулы (5.1.8) в СМДП, световой поток убывает быстрее, чем I0 exp z , поскольку s
z
z . Как было показано выше, величина s
z
отли-
чается от z тем меньше, чем больше показатель поглощения. Поэтому может создаться парадоксальное представление, что быстрота убывания потока уменьшается с возрастанием поглощения в среде, что само по себе абсурдно. Покажем, что это не так, из-за дополнительного множителя в показателе экспоненты формулы (5.3.24). Переходя к приведенным значениям среднего пути, запишем: lтр s sz s z 2z . (5.3.25) la pa Из (5.3.18) следует, что
s
z
p2a ln 2 z 1 pa ,
z / pa
1 .
(5.3.26)
Подставляя (5.3.26) в (5.3.25) получаем, что z 1 pa s z ln 2 , z / pa 1, т.е. z lalтр . (5.3.27) pa2 Из формулы (5.3.27) видно, что с уменьшением параметра pa величина s z увеличивается. То есть, как и должно быть, рост по-
191
глощения приводит к более интенсивному уменьшению полного потока. Подставляя (5.3.27) в (5.3.24), получим, что при z / pa 1 z 1 pa I z 2I0 exp (5.3.28) , z la lтр . pa2 Переходя к обычным единицам, запишем выражение (5.3.28) в виде:
I z 2I0 exp z 1 / la lтр
.
(5.3.29)
Видим, что на больших глубинах полный поток убывает быстрее, чем I0 exp z . 6. Глубинный режим Теперь рассмотрим глубинный режим, когда z . Из общей теории переноса известно, что в глубинном режиме интенсивность излучения перестает зависеть от азимута (для широкого падающего пучка это очевидно) и имеет вид: Ias z; C0 0 exp 0z 0 () , 0 0 1; 1 1 . (5.3.30) Здесь 0 – наименьшее собственное значение, а 0 () – соответствующая этому собственному значению угловая функция. Результат (5.3.30) получается при решении уравнения переноса методом разделения переменных, о котором говорилось в предыдущем параграфе. Величина 0 называется глубинным показателем затухания. В
глубинном
режиме
sh z / la lтр 0.5 exp z / lalтр ,
th z / la lтр 1 . В результате из общей формулы (5.2.18) получаем, что
Ias z; I0 exp z 1 / la lтр
Здесь
192
exp 2 / 2
2
. (5.3.31)
2
2
la 2D . 2 lтр
(5.3.32)
Как видим, полученное выражение (5.3.32) полностью соответствует общей формуле (5.3.30): C0 0 I0 (зависимость от 0 отсутствует, поскольку рассматривается случай нормального падения:
0 1 ). 0 () exp 2 / 2
/
2
. Глубинный показа-
тель затухания определяется выражением: 0 1 / lalтр 2D .
(5.3.33)
Видим, что значение 0 определяется не только величиной истинного коэффициента поглощения , но и величиной коэффициента угловой диффузии D , т.е. зависит от рассеивающих свойств среды. Таким образом, в сильно поглощающих средах значение 2 z (5.3.11) изменяется в пределах: l 0 2 2 a 1 , z lтр
l
a
lтр .
(5.3.34)
Уменьшение углового разброса светового пучка в глубинном режиме объясняется тем, что в случае сильного поглощения резко уменьшается вероятность выживания тех фотонов, которые за счет многократного рассеяния распространяются по сильно "искривленным траекториям". Следовательно, в сильно поглощающих средах la lтр величина 2 z остается малой во всем интервале глубин 0 z . Это означает, что в таких средах МДП может быть использовано на любых глубинах. Сравнивая выражения (5.3.34) и (5.3.5) видим, что 2 2pa . (5.3.35) Таким образом, введенный ранее параметр pa , определяющий соотношение процессов поглощения и упругого рассеяния имеет простой физический смысл. Величина pa есть половина среднего квадрата угла рассеяния в глубинном режиме (см. кривую 3 на рис. 5.3.3).
193
На эксперименте наблюдается, что в глубинном режиме среднее значения квадрата угла рассеяния 2 слабо изменяется при относительно большой изменчивости каждой из характеристик среды (коэффициента поглощения , коэффициента рассеяния и вида индикатрисы рассеяния () ). Измерения, выполненные в различных точках Мирового океана, показали, что среднее значение косинуса угла рассеяния изменяется в очень небольшом интервале и 2 2 1 pa , что согласуется с выражением (5.3.35). § 4. Распространение узкого светового пучка с учетом флуктуаций длин путей фотонов из-за рассеяния В предыдущих параграфах настоящей главы рассматривалась и анализировалась проблема распространения широкого стационарного светового потока в рассеивающей и поглощающей средах с крупномасштабными оптическими неоднородностями с учетом флуктуаций длин путей фотонов в рамках МДП. Настоящий параграф посвящен рассмотрению более общей задачи, о вычислении интенсивности излучения, при прохождении узкого стационарного светового пучка, падающего по нормали к поверхности вещества (вдоль оси z ) в тех же рамках малоуглового диффузионного приближения, когда 2 z 1 и отражением можно пренебречь1. При распространении узкого светового пучка в веществе происходит трансформация не только углового, но и пространственного распределения интенсивности излучения. По мере углубления в вещество узкий мононаправленный световой пучок расширяется в поперечном направлении, увеличивается его угловой разброс. Существуют две основные причины, приводящие к изменению пространственно-углового распределения светового сигнала при его 1
Незначительное рассеяние фотонов в сторону границы можно учесть как малую добавку к истинному коэффициенту поглощения, т.е. ввести в малоугловое уравнение переноса “эффективный коэффициент поглощения”.
194
распространении в мутной среде: поглощение света и многократное рассеяние. Поглощение приводит к систематическому уменьшению интенсивности излучения при увеличении длины пути s , проходимого фотонами от источника светового сигнала до точки наблюдения. В то же время, длина пути s не является однозначно определенной, а имеет статистический разброс из-за многократного рассеяния. Поэтому различные фотоны, испускаемые источником, попадают в точку наблюдения, проходя пути различной длины. Те фотоны, которые испытывают более сильное рассеяние, проходят больший путь при фиксированном расстоянии от места положения источника до приемника. Фотоны, проходящие больший путь при движении от источника к приемнику, с большей вероятностью могут быть поглощены средой и их относительный вклад в общую интенсивность светового сигнала, регистрируемого приемником, уменьшается. Это приводит к увеличению анизотропии распространяющегося сигнала: уменьшается степень его расплывания в поперечном направлении и уменьшается его угловой разброс. Таким образом, процессы рассеяния и поглощения оказывают влияние на формирование сигнала в точке наблюдения не независимо друг от друга, а совместно. Это важное обстоятельство совершенно не учитывалось в обычном (стандартном) малоугловом приближении, когда в уравнении переноса полагалось cos 1 ( – угол отклонения фотонов от направления первоначального движения). В этом приближении (СМДП), длина пути, проходимого светом в слое вещества толщиной z , не отличается от глубины ( s z ), хотя разброс по углам и по поперечному смещению возрастает с увеличением глубины. В СМДП интенсивность узкого светового сигнала определяется выражением (3.3.30). Однако в сильно поглощающих средах la lтр даже в условиях малоуглового рассеяния, когда относительные флуктуации пути невелики, учет "искривления траектории" фотонов может оказать существенное влияние на характер пространственно-углового распределения светового потока в веществе. Наибольшая корреляция процессов рассеяния и поглощения имеет место в области глубин z la lтр . Таким образом, в условиях сильного поглощения наличие флук-
195
туаций длин путей фотонов будет существенно проявляться уже на глубинах z lтр , где рассеяние еще заведомо носит малоугловой характер.
Постановка задачи и основное уравнение Пусть на плоскую поверхность рассеивающей среды по нормали к ней (вдоль оси z ) падает бесконечно узкий световой сигнал. Мощность падающего излучения P0 . В случае узкого пучка, интенсивность излучения зависит не только от глубины z , но и от попе речных координат x, y , а угловое распределение определяет ся двумя углами x , y между вектором скорости фотонов в точке r и плоскостями YoZ и XoZ соответственно (см. рис. 2.1.2). При этом 2 2x 2y . Для вычисления интенсивности излучения I z; x, y; x , y воспользуемся уравнением переноса (5.1.5) в МДП для широкого пучка, добавив в его левую часть производные по поперечным координатам (как в уравнении для узкого пучка в СМДП (3.3.1)): 2 2 2 I I . 1 I z ; ; I D x 2 y 2 y 2 z x x y (5.4.1) Как и в случае широкого пучка будем искать решение уравнения (5.4.1) в виде I z; ; P0e z I z; ; . (5.4.2)
Подставляя (5.4.2) в (5.4.1), получаем следующее уравнение: 2x 2y 2 2 I z ; ; I D I z; ; . 2 2 2 z x y
(5.4.3)
196
Отличие уравнения (5.4.3) от уравнения переноса (3.3.1) в стандартном малоугловом диффузионном приближении для узкого пучка состоит в том, что в уравнении (5.4.3) присутствует член 2x 2y I , 2 который учитывает корреляцию процессов рассеяния и поглощения, т.е. искривление "траектории" фотонов из-за многократного рассеяния. Как обычно, в приближении малых углов считаем, что x , y , а искомое решение быстро убывает как с увеличением угла рассеяния 2 2x 2y , так и с увеличением поперечного смещения от оси пучка: I z 0; ; 0 , если 2x 2 y , I z 0; ; 0 , если x2 y2 .
(5.4.4) (5.4.5)
Поскольку отражение отсутствует, то на границе среды есть только падающий внешний световой поток и граничное условие имеет прежний вид (3.3.2): I z 0; ; x y x y . (5.4.6)
Таким образом, в отличие от альбедных задач, где принципиально необходимо учитывать наличие отраженного излучения, в рассматриваемом малоугловом приближении при нормальном падении пучка на границе среды известно значение интенсивности излучения во всем интервале углов. Это обстоятельство радикально упрощает задачу о вычислении интенсивности внутри среды. Приступая к решению основного уравнения (5.4.3), заметим, что поскольку уравнение (5.4.3) и граничное условие (5.4.6) симметричны относительно пар переменных x, x и y, y , то его решение (как и в СМДП) можно представить в виде произведения двух одинаковых функций, одна из которых зависит от x, x , а другая от y, y : I z; x, y; x , y F z; x, x F z; y, y .
197
(5.4.7)
Соотношение (5.4.7) означает, что даже с учетом “искривления траектории” фотонов из-за рассеяния, отклонение фотонов относительно плоскостей YoZ и XoZ происходит независимо. Теперь, подставляя (5.4.7) в (5.4.3), (5.4.6), получим два одинаковых уравнения для функций F z; x, x и F z; y, y . В частности, уравнение для функции F z; x, x будет выглядеть так: 2x 2F F z ; x , F D . (5.4.8) x x x 2x 2 z F z 0; x, x x x . (5.4.9) Для решения полученного уравнения воспользуемся двойным преобразованием Фурье по координате x и углу x : z; kx , x exp ixkx ix x F z; x, x dxdx . (5.4.10)
Тогда, с учетом условий ограниченности (5.4.4), (5.4.5) получим: 1 2 2 kx z; kx , x Dx z; kx , x , 2 x z 2 x (5.4.11) z 0; kx , x 1 . (5.4.12) Уравнение (5.4.11) в МДП в отличие от уравнения (3.3.14) для близкой по смыслу величины w z; kx ; x в СМДП, является дифференциальным уравнением уже не первого, а второго порядка по x , из-за указанного выше дополнительного слагаемого в левой части уравнения (5.4.3). Таким образом, учет флуктуаций длин путей фотонов увеличивает на единицу порядок дифференциального уравнения для фурье-образа z; kx , x . Решение уравнения (3.3.14) для w z; kx ; x определялось выражением (3.3.18a): 1 w z; kx ; x exp x2 A1 z 2kx x A2 z kx2 A3 z , 4
198
где три функции A1 z , A2 z и A3 z весьма просто зависели от глубины: An z 4Dz n / n , n 1, 2, 3 . Однако полученное в результате решение уравнения переноса в СМДП не учитывало более быстрого уменьшения светового потока I z из-за того, что средний путь, проходимый фотонами в слое вещества толщиной z , больше z . В то же время, в случае широкого пучка, решение соответствующего уравнения (5.2.3) для I z; в рамках МДП выглядело так: 2 I0 exp / A1 z . I z; A0 z A1 z Функция A0 z определяла более быстрое уменьшение светового потока из-за искривления траектории фотонов при рассеянии, а функция A1 z определяла значение среднего квадрата угла рассеяния 2 z . Понятно, что выражение для интенсивности излучения I z; в случае широкого потока фотонов должно получаться из решения уравнения (5.4.3) для узкого пучка после интегрирования по поперечному смещению фотонов. Таким образом, с одной стороны, искомое решение для узкого пучка на малых глубинах z la lтр , когда можно не учитывать искривления траектории фотонов из-за рассеяния, должно переходить в выражение (3.3.30). С другой стороны, после интегрирования по поперечному смещению искомое решение должно переходить в выражение для интенсивности широкого пучка в рамках МДП. Сказанное позволяет предположить, что решение уравнения (5.4.11) можно попытаться искать в виде: 1 1 z; kx , x exp 2x A1 2xkx A2 kx2 A3 , (5.4.13) 4 A0 (z)
где An (z) (n 0,1, 2, 3) – четыре неизвестные функции глубины z , которые подлежат определению. При этом при z 0 функции
199
A0 (z) 1 , An z 4Dz n / n , n 1, 2, 3 . Поэтому выражение (5.4.13) можно рассматривать как обобщение формул (3.3.18a) и (5.2.6) для случая узкого пучка в рамках МДП. Подставляя (5.4.13) в (5.4.11) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях kx , x , получим: 1 d A dz A0 2 A1 0, 0 2 d dz A1 2 A1 4D, (5.4.14) d A A A A 0, 1 dz 2 2 1 2 d A3 A22 2A2 0. dz 2 Из (5.4.12) находим дополнительные условия для всех четырех функций An (z) : A0 (z 0) 1 , A1 (z 0) 0 , A2 (z 0) 0 , A3 (z 0) 0 . (5.4.15) Таким образом, проблема решения уравнения (5.4.3) для функции I z; x, y; x , y пяти переменных свелась к нахождению решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (5.4.14) с постоянными коэффициентами для четырех функций A0 (z) , A1 (z) , A2 (z) и A3 (z) , каждая из которых зависит только от глубины z . Эта задача могла бы оказаться чрезвычайно сложной. Однако элементарные преобразования системы (5.4.14) с учетом дополнительных условий (5.4.15), позволяют выразить три функции A1 , A2 и A3 через одну функцию A0 (z) : 2 1 dA0 z A1 z , (5.4.16) A0 z dz A2 (z)
2 1 1 , A0 (z)
200
(5.4.17)
A3
z 2 1 1 2 dz . 0 A0 (z )
(5.4.18)
Что же касается самой функции A0 (z) , то для ее определения получаем уравнение: d2 A0 z 2DA0 (z) 0 dz2 или d2 A0 z 1 (5.4.19) A0 z 0 . 2 dz lalтр Дополнительные условия к уравнению (5.4.19) имеют тот же вид, что и для широкого пучка: A0 (z 0) 1 , A0 (z 0) 0 . (5.4.20) Таким образом, результативно вся проблема вычисления интенсивности света свелась к решению обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (5.4.19) для одной функции A0 (z) . Если величина A0 (z) будет определена, то по формулам (5.4.16)(5.4.18) можно рассчитать остальные функции A1 , A2 , A3 (z) и, следовательно, определить явный вид функции z; kx , x из формулы (5.4.13). Уравнения (5.4.19) для функции A0 z в точности совпадают с уравнениями (5.2.14) для той же функции A0 z в задаче о прохождении широкого светового пучка. Поэтому величина A0 z будет определяться прежней формулой (5.2.16): z . A0 z ch (5.4.21) la lтр Теперь, подставляя (5.4.21) в (5.4.16)-(5.4.18), получим: z l , A1 z 2 a th (5.4.22) lтр lalтр
201
1 A2 (z) 2 la 1 ch z lalтр
,
(5.4.23)
z la lтр . (5.4.24) A3 z 2la z 1 th la lтр z Величины A0 и A1 безразмерные. Величина A2 имеет размерность
м , а величина A3 имеет размерность м2 . Таким образом, фурьеобраз z; kx , x величины F z; x, x определен. С учетом (5.4.7) выражение для фурье-образа I z; k; функции I z; ;
есть произведение величин z; kx , x и z; ky , y . Поэтому 1 1 I z; k; exp 2 A1 2kA2 k 2 A3 . A0 (z) 4 Для определения величины I z; , воспользуемся обращением Фурье по k и : I z; ;
1 2 A1 2kA2 k 2 A3 ik i . 4 0 (5.4.25) Вычисление 4-кратного интеграла в (5.4.24) подробно описано в §3 третьей главы (см. формулу (3.3.23)). В результате получаем сле дующее выражение для величины I z; ; : 2 2 1 A1 (z) 2A2 (z) A3 (z) I z; ; 2 exp . A0 z 2 z 2 (z) (5.4.26) Величина 2 выражается через функции A1 , A2 и A3 (z) тем же соотношением, что и в СМДП: 2 z A1 z A3 z A22 z , 2 м2 . (5.4.27)
2 4
ddk exp A (z)
202
С учетом формул (5.4.22) - (5.4.24) для A1 , A2 и A3 , получим: z z 2 A1A3 A22 4la2 th la lтр lalтр
2 2 . ch z / l l a тр (5.4.28) Теперь, подставляя (5.4.26) в (5.4.2) окончательно запишем выражение для интенсивности светового излучения для узкого пучка в следующем виде: I z; ; P z W z; ; , W 1 / м2 . (5.4.29)
Здесь P z – полный поток мощности светового излучения на глубине z , а W z; ; – вероятность того, что в точке z, фо тон распространяется в направлении : exp z P z P0 , (5.4.30) A0 z 2 A1 2A2 2 A3 (z) exp 2 (z) . W z; ; (5.4.31) 2 2 z Естественно, что величина W z; ; удовлетворяет условию нор-
мировки:
d dW z; ; 1 .
(5.4.32)
Выражения (5.4.29)-(5.4.31) определяют распределение светового излучения на глубине z по поперечному смещению x, y от оси пучка и углам отклонения x , y относительно плоскостей YoZ и XoZ при нормальном падении бесконечно узкого светового пучка на однородную среду с учетом флуктуации длин путей фотонов изза многократного рассеяния. Если формулу (5.4.31) проинтегрировать по поперечным коор динатам (x, y) , то получим выражение для вероятности W(z; )
203
отклонения фотона на глубине z на угол , безотносительно к поперечному смещению: 2 exp A1 z W(z; ) W(z; ; )d , A1 z
2 W(z; )d 1 .
(5.4.33)
0
Из формулы (5.4.33) видно, что распределение фотонов на глубине z только по углу , безотносительно к поперечному смещению имеет обычный гауссов вид. Используя выражение (5.4.33), можем вычислить среднее значение квадрата угла рассеяния на глубине z :
2
z
2 2 W z; d A1 z .
(5.4.34)
0
Наоборот, если формулу (5.4.31) проинтегрировать по всем углам, то получим выражение для распределения вероятности W(z; ) на глубине z только по поперечному смещению фотонов , безотносительно к направлению их движения: 2 exp A3 z , W z; W z; ; d A3 z
2 W(z; )d 1 .
(5.4.35)
0
Из формулы (5.4.35) видно, что распределение фотонов на глубине z только по поперечному смещению , безотносительно к углу рассеяния тоже имеет гауссов вид. Используя выражение (5.4.35), можем вычислить среднее значение квадрата поперечного смещения на глубине z :
2
z
2 2 W z; d A3 z . 0
204
(5.4.36)
Формулы (5.4.34) и (5.4.36) определяют физический смысл функций A1 z и A3 z . Их физический смысл тот же, что и в СМДП (3.3.67). Анализ полученного решения. Вычисление средних Подставляя значение A0 z в формулу (5.4.30), получаем: exp z P z P0 . (5.4.37) ch z / la lтр
Выражение (5.4.37) с точностью до обозначений, что связано с различной геометрией падающего пучка P z I z ; P0 I0 , совпадает с выражением для потока I z (5.3.2) при облучении вещества широким световым потоком. Поэтому всё сказанное ранее об изменении закона Буггера – Ламберта для широкого светового пучка остается в силе и для узкого пучка. Подставляя величину A1 z в формулы (5.4.33) и (5.4.34), будем иметь: 2 exp 2 la / lтр th z / la lтр W z; , (5.4.38) 2 la / lтр th z / lalтр
2
z
2
la th z / lalтр . lтр
(5.4.39)
Естественно, что формулы (5.4.38) и (5.4.39) совпадают с аналогичными выражениями (5.3.7) и (5.3.11) для широкого пучка фотонов, поскольку интегрирование вероятности рассеяния по поперечным координатам в задаче о прохождении узкого пучка фотонов эквивалентно переходу к задаче о распространении широкого пучка. График зависимости 2 z от приведенной глубины z z / lтр представлен на рис. 5.3.3.
205
Подставляя величину A3 z в формулы (5.4.35) и (5.4.36), получим: W(z; ) 2 / 2 l z a exp , la lтр la lтр 1 th z / la lтр th z / la lтр 1 z z (5.4.40) th z / lalтр 2 2la z 1 (5.4.41) . z z / lalтр Если ввести приведенную глубину и приведенное смещение z z / lтр , / lтр ,
2la z
1
то формулу (5.4.41) можно записать в виде: th z / pa 2 2p2a z 1 . z z / pa
(5.4.42)
Здесь, как и ранее, параметр pa определяется формулой (5.3.5): pa la / lтр . В слабо поглощающих средах pa 1 . В сильно
поглощающих средах pa 1 . Учитывая, что в области относительно
малых
z / pa 1 ,
глубин
z
la lтр ,
th x 1 x x 3 / 3 , из формулы (5.4.42) находим, что
2 3 z , z pa , (5.4.43) 3 т.е. на таких глубинах величина 2 z не зависит от поглощающих 2
z
свойств среды, что соответствует СМДП. На рис. 5.4.1 приведены графики зависимости 2 z от приведенной глубины z , рассчитанной по формуле (5.4.42) при различных значениях параметра pa , т.е. отношения l / l . a
тр
206
1
2
3
Рис.5.4.1. Зависимость среднего квадрата приведенного поперечного смещения от приведенной глубины: пунктирная кривая 1 – la / lтр (СМДП); 2 – la / lтр 0.5 ; 3 – la / lтр 0.1
Проанализируем полученные результаты (5.4.39) и (5.4.41) более подробно. При наличии поглощения возможны две различные ситуации. Случай слабого поглощения, когда D , т.е. la lтр и случай сильного поглощения, когда D , т.е. la lтр . В случае слабого поглощения малоугловое приближение
2 z
1
применимо только на глубинах z lтр . В этом случае аргументы всех гиперболических функций малы ( z la lтр ) и их можно разложить в ряд: ch x 1 1 1 / 2 x2 , th x 1 x 1 / 3 x 3 . В результате получим: 2z z2 2z3 4 A0 1 , A1 4Dz , A2 2Dz2 , A3 Dz3 , lтр lтр 3lтр 3
207
2
4 2 4 Dz . 3
(5.4.44)
Соответственно, 4 3 Dz , z lтр . (5.4.45) 3 Таким образом, в слабо поглощающих средах в области глубин z lтр , где допустимо малоугловое приближение, приходим к
2
z
4Dz , 2
z
прежним значениям (3.3.51), (3.3.53) в СМДП для величин 2
2 z , когда 2
z
z , а 2
z
z
и
z 3 (см. кривую 1 на рис. 5.4.1).
Подставляя (5.4.44) в общую формулу (5.4.31), будем иметь: 3 2 1 2 W z; ; 2 2 4 exp 3 3 . (5.4.46) 4 D z z z2 Dz Выражение (5.4.46) есть функция распределения Ферми (3.3.33), если учесть, что 2s 4D .
В случае сильного поглощения, когда
la / lтр 1 из формул
(5.4.39) и (5.4.41) следует, что на относительно небольших глубинах z la lтр учет поглощения дает лишь малые поправки к соотношениям (5.4.45) в СМДП, пропорциональные коэффициенту поглощения: 2 z 1 z2 (5.4.47) 2 z 4Dz 1 Dz2 2 1 , 3 lтр 3 lalтр 3 4 4 2 z2 2z (5.4.48) 2 z Dz3 1 Dz 2 1 . 3 5 5 la lтр 3 lтр Уже из формул (5.4.47) и (5.4.48) видно, что имеется, хотя и малая, но тенденция к уменьшению величин 2 z и 2 z при учете флуктуаций длин путей фотонов из-за рассеяния.
208
На относительно больших глубинах z la lтр зависимость средних характеристик пространственно-углового распределения фотонов от глубины z существенно отличается от традиционной: 2D l 2 z/ la lтр 2 2 1 2e 2 z 2 D 2 a 1 2e ; (5.4.49) z lтр
. (5.4.50) z В глубинном режиме z из формул (5.4.49) и (5.4.50) находим, что: 2D l 2 2 2 a , (5.4.51) z lтр 2
lalтр 2z 1 zl 1 2 a 1 z z 2D
2z 2zla . (5.4.52) Формула (5.4.51), естественно, совпадает с выражением (5.3.32) для величины 2 в глубинном режиме, при облучении поверхности 2
z
вещества широким световым потоком. В случае сильного поглощения резко уменьшается вероятность выживания тех фотонов, которые испытывают сильное многократное рассеяние и движутся по сильно "искривленным боковым траекториям". Поэтому существенно уменьшается степень расплывания пучка в поперечном направлении. В области относительно больших глубин, из формулы (5.4.52) следует, что величина 2 z , т.е. закон возрастания поперечного сечения пучка, оказывается пропорциональным глубине z (см. кривую 3 на рис. 5.4.1) и на больших расстояниях определяется только поглощением. Наоборот, в слабо поглощающих средах в области глубин z lтр , величина 2
z
(5.4.45) вообще не зависит от поглощения, а определя-
ется только коэффициентом угловой диффузии, т.е. только рассеивающими свойствами среды.
209
§5. О возможности вычисления интенсивности излучения с учетом флуктуаций длин путей фотонов без использования диффузионного приближения В предыдущих параграфах этой главы было показано, что в анизотропно рассеивающих средах с сильным поглощением в области глубин z la lтр принципиально необходимо учитывать отличие глубины от среднего пути фотонов s z , прошедших слой вещества толщиной z . Было показано, что наличие сильного поглощения радикально меняет характер интенсивности излучения: видоизменяется закон Буггера – Ламберта, происходит перестройка углового распределения, меняются все средние характеристики поля, возникает возможность вычисления интенсивности в глубинном режиме, когда z la lтр . В частности, было показано, что малоугловое приближение оказывается справедливым на любых глубинах и глубинный показатель затухания зависит не только от истинного коэффициента поглощения , но и от коэффициента угловой диффузии D , т.е. от рассеивающих свойств среды. Были подробно исследованы все особенности, вносимые учетом корреляции процессов поглощения и рассеяния на различные параметры светового поля в веществе в рамках малоуглового диффузионного приближения в однородной среде. Однако, как было указано в §6 четвертой главы, диффузионное приближение в пространстве углов, вообще говоря, допустимо только в том случае, если индикатриса рассеяния убывает достаточно быстро с увеличением угла однократного рассеяния – быстрее, чем индикатриса резерфордовского вида: 4 , 0 . Поэтому полученные ранее результаты не зависели от конкретного закона однократного рассеяния, а определялись только некоторой средней характеристикой – коэффициентом угловой диффузии D . Однако в большинстве природных и искусственных мутных сред имеет место как раз обратная ситуация – индикатриса рассеяния убывает медленнее, чем индикатриса резерфордовского
210
вида 4 , где 0 2 (при 2 малоугловое приближение не применимо). В более простом случае, когда не учитывается искривление траектории фотонов из-за рассеяния, интенсивность излучения была рассчитана как в СМДП, так и без использования диффузионного приближения в СМП. Было показано, что в этом случае угловое распределение Мольера – Компанейца для медленно спадающих индикатрис, радикально отличается от гауссовского распределения в СМДП. Естественно, возникает вопрос о вычислении интенсивности излучения с учетом флуктуаций длин путей фотонов из-за рассеяния в более общем случае без использования диффузионного приближения, т.е. в рамках МП. Именно вопросу о возможности вычисления интенсивности в МП и посвящен настоящий параграф. Уравнение для вероятности рассеяния в малоугловом приближении Как было показано выше (5.3.9), интенсивность излучения при нормальном падении (вне зависимости от того, используется малоугловое приближение или нет) всегда можно представить в виде: I z; I z W z; . (5.5.1) Здесь I z – полный интегральный поток фотонов на глубине z , W z; – вероятность рассеяния фотона на угол на той же глубине:
I z 2 I z; d .
(5.5.2)
0
2 W z; d 1 .
(5.5.3)
0
Полный поток представим в виде I z I0 exp s
211
z
.
(5.5.4)
Здесь s
– средний путь, проходимый фотоном в слое вещества
z
толщиной z . В малоугловом приближении, когда все фотоны распространяются в глубь вещества z 1 s z z 2 z dz . (5.5.5a) 20 Здесь 2
z
– средний квадрат угла рассеяния на глубине z : 2
z
2 W z; 3d .
(5.5.5b)
0
Следовательно, z 1 (5.5.6) I z; I0 exp z 2 z dz W z; . 20 Уравнение переноса для интенсивности излучения в МП выглядит так: 2 I 1 (5.5.7) I Bупр I , 0 . 2 z Здесь учтено, что в МП cos / z 1 2 / 2 / z . Bупр I – интеграл упругих столкновений в МП:
Bупр I I I z; d 0
(5.5.8)
I z; I z; d. 0
Здесь – индикатриса рассеяния, проинтегрированная по азимуту (2.1.28): 2
d , 2
2
2 2 2 cos .
0
Подставляя (5.5.6) в уравнение (5.5.7), получим:
212
(5.5.9)
W Bупр W . (5.5.10) 2 2 При рассеянии на малые углы 1 / 2 1 и 1 z / 2 1 . По 2 W 2 1 2 z 2
2 1 2 1 z 2 2
z
этому с точностью до членов 2 включительно, уравнение (5.5.10) принимает вид: W z; 2 2 W Bупр W , (5.5.11) z 2 z Bупр W W z; W z; d , (5.5.12)
0
. (5.5.13) 2 Проинтегрируем обе части уравнения (5.5.11) по углам. Тогда получим: 2 z 2 z 2 dBупр W . 2 W z; d z 0 2 0 Поскольку W z 0;
d d 1 , 0
0
то 2 dBупр W 0 . 0
В результате получаем, что 2 W z; d const . Полагая здесь 0
z 0 и учитывая граничное условие (5.5.13), находим, что
2 W z; d 1 . 0
Таким образом, решение уравнения (5.5.11) с граничным условием (5.5.13) автоматически удовлетворяет условию нормировки (5.5.3).
213
Если величина W z; будет найдена, то по формуле (5.5.5b) можно определить значение 2 z . Затем по формуле (5.5.6) можно определить интенсивность излучения I z; . Продемонстрируем указанную процедуру в малоугловом диффузионном приближении, когда уравнение (5.5.11) выглядит так: Df W z; 2 1 Df 2 W Df D W z; . z z 2 (5.5.14) Будем искать решение этого уравнения в виде: exp 2 / A1 z Df , A1 z 0 0 . (5.5.15) W z; A1 z Выражение (5.5.17) удовлетворяет условию нормировки (5.5.3) и обоим дополнительным условиям в (5.5.3) и (5.5.13). Из (5.5.15) находим, что
2
Df z
A1 z .
(5.5.16)
Учитывая, что 1 W Df dA Df 2 2 A1 1 W , z A1 dz 1 W Df 4 2 Df 2 A1 W , A1 из уравнения (5.5.14) , после сокращения на W Df z; , получаем:
1 dA1 4D A1 2 2 0. (5.5.17) 2 A1 A1 dz Уравнение (5.5.17) должно выполняться при любом значении . Поэтому dA1 1 2 2 A1 , A1 z 0 0 . (5.5.18) dz 2la lтр
2
214
Здесь учтено, что D 1 / 2lтр и 1 / la . Сделаем замену переменной z z / la lтр и будем искать решение уравнения (5.5.20) в виде: A1 2 la / lтр A1 z .
(5.5.19)
Подставляя (5.5.19) в (5.5.18), получим уравнение для функции A1 z : dA1 z A12 z 1 , A1 z 0 0 . (5.5.20) dz Решая уравнение (5.5.20), находим, что A1 z th z . Следовательно,
A1 z 2 la / lтр th z / la lтр 2
Df z
.
(5.5.21)
Подставляя (5.5.21) в (5.5.15), окончательно получаем, что 2 exp 2 la / lтр th z / lalтр . W Df z; (5.5.22) 2 la / lтр th z / lalтр
Выражение (5.5.22) в точности совпадает с формулой (5.3.7) для вероятности рассеяния в МДП. Глубинный режим Рассмотрим сначала глубинный режим, т.е. нахождение решения уравнения (5.5.11) при z . Как уже отмечалось ранее, если для решения уравнения переноса использовать метод разделения переменных, то интенсивность излучения можно представить в виде разложения по собственным угловым функциям n : n N
I z;
C e n
n 0
n z
n C ez d .
(5.5.23)
Суммирование в формуле (5.5.23) ведется по всем собственным значениям дискретного спектра, а интегрирование по непрерывному континууму спектра.
215
В глубинном режиме в разложении (5.5.23) достаточно сохранить только одно первое слагаемое с минимальным значением 0 :
Ias z; C0 exp 0 z 0 () .
(5.5.24)
Сравнивая (5.5.26) с (5.5.1) видим, что 0 () Was W z ; .
(5.5.25)
Таким образом, собственная угловая функция, отвечающая минимальному собственному значению показателя затухания, есть асимптотическое значение вероятности рассеяния. Учитывая, что Was не зависит от z , при z из (5.5.11) получаем следующее уравнение для Was : 2 2 Was Bупр Was . 2 Здесь
(5.5.26)
2
2 Was 3 d
(5.5.27)
0
есть среднее значение квадрата угла рассеяния в глубинном режиме. Формула (5.5.27) является прямым следствием формулы (5.5.5b) при z . Общее выражение для потока (5.5.6) можно тождественно переписать в виде: z 1 I z I0 exp 2 2 z dz exp z 1 2 . 2 2 0 (5.5.28) В глубинном режиме с учетом формулы (5.5.28) получаем, что Ias z;
I0 exp 2 2 0
dz exp z 1 21
Was . (5.5.29) Сравнивая (5.5.29) и (5.5.24), находим значения величин C0 и 0 :
2
z
216
2
C0 I0 exp 2 2 0
2
z
dz ,
(5.5.30)
1 0 1 2 . (5.5.31) 2 Формула (5.5.31) устанавливает простую связь между величинами 0 и 2 . Из (5.5.31) следует, что в глубинном режиме при за-
данном поглощении коэффициент затухания определяется величиной 2 . И наоборот, определив 0 , можно найти значение 2 по формуле 0 . (5.5.32) Из формулы (5.5.30) следует, что для определения коэффициента C0 требуется знать зависимость величины 2 z от z во всей об2
2
ласти глубин 0 z , а не только в глубинном режиме при z . Однако можно получить альтернативное выражение для коэффициента C0 , которое вообще не содержит величины 2 z . Для этого воспользуемся ортогональностью собственных угловых функций n , поскольку оператор упругих столкновений в уравнении переноса является эрмитовым оператором: 2 (5.5.33) 0 n m d 0 n d n,m . Полагая в разложении (5.5.23) z 0 , учитывая, что I z 0; I0 / 2 , запишем: n N Cn n .......... . (5.5.34) 2 n 0 Умножая обе части равенства (5.5.34) на 0 d и, интегрируя I0
по в диапазоне [0, ) , с учетом условия ортогональности (5.5.33), получим:
217
nN I0 0 0 Cn 2 n d n,0 C0 20 d . 2 n 0 0 0 Отсюда находим, что I 0 I W 0 . (5.5.35) C0 0 0 0 as 2 2 2 2 0 d Was d
0
0
Из формулы (5.5.35) видно, что для определения C0 достаточно знать только явный вид вероятности рассеяния Was на угол в глубинном режиме. Проверим тождественность обеих формул (5.5.30) и (5.5.35) для случая, когда используется малоугловое диффузионное приближение. В МДП из (5.5.22) находим значения 2 2
Df
2 la / lтр , 2
Df z
WasDf W Df z ;
2
Df
Df
th z / la lтр .
exp 2 / 2
и Was Df :
2 Df
D
Df 0
(5.5.36)
.
(5.5.37) Подставляя (5.5.36) в (5.5.30) и, учитывая, что
2
2
z
dz
0
2
2
D
1 th z / 0
D
lalтр dz
lalтр ln 2,
получим
2 D la lтр ln 2 I0 exp ln 2 2I0 . (5.5.38) 2 Теперь вычислим C0 , используя формулу (5.5.35). Подставляя (5.5.37) в (5.5.35), получаем: C0 I0 exp
218
I C0 0 2
2
D
exp 2
2
/
0
2
D
d
2I0
2I0 . (5.5.39)
exp x dx 0
Естественно, что результаты (5.5.38) и (5.5.39) полностью совпадают. Снова обратимся к интегральному уравнению (5.5.26) и попытаемся найти выражение для вероятности Was в глубинном режиме: 2 2 Was Was Was d . 2 0 (5.5.40) Учитывая, что
2 l J0 l J0 l ldl ,
(5.5.41)
0
l 2 J0 l d , l 0 2 d 1 , (5.5.42) 0
0
запишем уравнение (5.5.40) в виде: 2 2 Was 2
Was ldl l J0 l Was J0 l d. 0 0
(5.5.43) Так же, как и ранее в СМП, представим выражение для Was в виде интеграла по функциям Бесселя:
Was Was J0 d .
(5.5.44)
0
Здесь Was – бессель-образ вероятности рассеяния в глубинном режиме:
219
Was Was J0 d .
(5.5.45)
0
С учетом (5.5.44) уравнение (5.5.43) запишется так: 2 2 Was Was J0 Was d . 2 0 (5.5.46) Чтобы получить уравнение для величины Was , умножим обе
части уравнения (5.5.46) на J0 d и проинтегрируем по в интервале [0, ) . Тогда, с учетом ортогональности функций Бесселя
l J l J d , 0
0
(5.5.47)
0
запишем: 2 2 Was J0 d 2 0 2
Was 1 Was .
(5.5.48) Осталось преобразовать интеграл в левой части уравнения (5.5.48). Для этого учтем, что из уравнения Бесселя для J0 , следует равенство 1 d dJ0 2 J0 . d d Поэтому 1 d d 2 0 Was J0 d d d Was . (5.5.49) Подставляя (5.5.49) в (5.5.48), получим уравнение для бессельобраза вероятности Was : B Was 2 Was , (5.5.50) где оператор B имеет вид: 1 d d B (5.5.51) 2 S , 0 . d d
220
Здесь, как и ранее
S 1 2 1 J0 d , S 0 1 . (5.5.52) 0
Величина S зависит от тех параметров, которые определяют вид индикатрисы рассеяния. Для однопараметрических малоугловых индикатрис рассеяния (гауссовская, экспоненциальная, резерфордовская, индикатриса Хеньи – Гринстейна) таким единственным параметром будет эффективный угол однократного рассеяния eff . Для двухпараметрической индикатрисы обобщенностепенного вида (П.1.47) величина S будет зависеть от двух параметров eff и . Поскольку , (5.5.53) k 1 где – вероятность выживания кванта, то оператор (5.5.51), можно записать в виде: 1 d d B S . (5.5.54) 2 d d 1
Таким образом, величины Was и 2
зависят от вероятности
выживания кванта и тех параметров, от которых зависит индикатриса рассеяния:
Was Was , eff , ,
2
2 , eff ,
.
Следовательно, и показатель затухания тоже зависит от тех же параметров 0 0 , eff , . Условие нормировки в глубинном режиме следует из общей формулы (5.5.3):
2 Was d 1 .
(5.5.55)
0
Получим условие для величины Was . Подставляя в (5.5.55) выражение (5.5.45) и, учитывая, что
221
J d , 0
0
получим Was 0 1 / 2 .
(5.5.56)
Условие (5.5.56) для бессель-образа Was гарантирует выполнение условия нормировки для вероятности Was . Кроме того, (5.5.57) Was 0 . Уравнение (5.5.50) с дополнительными условиями (5.5.56), (5.5.57) позволяет определить величины Was и 2 . Прежде всего, отметим, что уравнение (5.5.50) имеет тривиальное решение Was 0 . Это решение соответствует СМП, когда разложение вероятности рассеяния в интеграл по функциям Бесселя определяется формулой (4.6.20): 1 СМП W z; ezS J0 d , 2 0 т.е. e zS W СМП z; . 2 Видим, что WasСМП z ; 0 и глубинный режим отсутствует, так как область применения СМП z lтр . Однако в отличие от уравнения для бессель-образа I z; , интенсивности излучения (4.5.12) в СМП (в котором вообще отсутствуют производные по ), уравнение (5.5.50) является дифференциальным уравнением второго порядка по с переменным коэффициентом S . Хорошо известно, что не существует общих методов решения таких уравнений при произвольной зависимости S . Аналитическое решение такого рода уравнений, если и может быть получено в явном виде или в квадратурах, то только при некотором, ограниченном виде функций S .
222
В качестве иллюстрации получим решение уравнения (5.5.50) в диффузионном приближении (МДП), когда индикатриса рассеяния убывает с увеличением угла быстрее, чем 4 . В этом случае в формуле (5.5.52) можно положить 1 J0 2 2 / 4 . Поэтому S Df 2 2 / 4 2 .
(5.5.58)
Подставляя (5.5.58) в (5.5.50), получим: 1 d d Df la 2 Df Was 2 Was d d lтр
Was Df . (5.5.59)
При написании уравнения (5.5.59) учтено, что 2 4D 2 / lтр и 1 / la . Учитывая, что 1 d d d 2 d 4 2 , d d d d2 сделаем в уравнении (5.5.59) замену переменной 2 x . Тогда получим: 2 d 2 WasDf x dWas Df x la Df x xWas x dx2 dx 4lтр 4
Was Df x 0 .
(5.5.60) Сделаем замену yx
la lтр
d dx
la d . lтр dy
(5.5.61)
Тогда уравнение (5.5.60) для функции Was Df y будет выглядеть так: y
d2 WasDf y 2
dy
dWas Df y dy
2 y Df Was y 4 4
lтр la
WasDf y 0 .
(5.5.62) Будем искать решение этого уравнения в виде:
223
1 WasDf y exp y f y . 2 Тогда получим следующее уравнение для функции f y : y
2 d2 f y df y 1 y dy2 dy 4
lтр la
1 f y 0 . 2
(5.5.63)
(5.5.64)
Свойства уравнения (5.5.64) хорошо известны. Его решение, возрастающее при y медленнее, чем exp y / 2 , существует лишь при условии, что 2 lтр 1 (5.5.65) n. la 4 2 В этом случае уравнение (5.5.64) принимает вид: d2 fn y df y y 1 y n nfn y 0 . (5.5.66) 2 dy dy Решение уравнения (5.5.66) есть полиномы Лагерра ey d n fn y Ln y yn e y , Ln y 0 1 . (5.5.67) n ! dyn Несколько первых полиномов Лагерра выглядят так: L0 y 1 , L1 y 1 y , L2 y 1 2y y2 / 2 . (5.5.68) Таким образом, частное решение уравнения (5.5.62), соответствующее произвольному значению n , имеет вид: 1 WasDf y n exp y Ln y . (5.5.69) 2 Общее решение уравнения (5.5.62) можно записать в виде суперпозиции частных решений: 1 WasDf y exp y Cn Ln y . (5.5.70) 2 n 0 Чтобы определить значения коэффициентов Cn , воспользуемся условием нормировки (5.5.71) WasDf 0 WasDf y 0 1 / 2 .
224
Полагая в (5.5.70)
y0
и, учитывая, что
Ln y 0 1
n 0,1, 2, .. , получим:
1 . (5.5.72) 2 n 0 Условие (5.5.72) можно удовлетворить, полагая C0 1 / 2 ; Cn 0, n 1, 2, 3, ... . (5.5.73) Поскольку при n 0 значение L0 y 1 , то из (5.5.70) будем иметь: 1 l 2 1 1 1 a WasDf exp y exp . (5.5.74) 2 2 2 2 l тр Из формулы (5.5.65) при n 0 получаем значение величины 2 :
C
n
2
2
la , lтр
(5.5.75)
что полностью совпадает с (5.5.36). С учетом (5.5.75) выражение (5.5.74) можно записать в виде: 1 WasDf exp 2 2 . (5.5.76) 2 Теперь величину вероятности Was Df можно вычислить по формуле (5.5.44):
Df
Was
exp 2 / 2 1 2 J0 exp a d 2 0 2
.
(5.5.77) Полученный результат совпадает с выражением (5.5.22), если
учесть, что при z th z / lalтр 1 . Определив значения Was и 2
, можно определить интен-
сивность излучения в глубинном режиме (5.5.24): Ias z; C0 exp 0 z Was .
225
Здесь 1 0 1 2 2
;
C0
I0 Was 0 2I0 . 2 2 Was d 0
В результате получаем, что 1 Ias z; 2I0 exp z 1 2 2
2 2 exp / 2
(5.5.78)
или
Ias z; 2I0 exp z z / lalтр
exp 2 / 2
2
, (5.5.79)
что полностью совпадает с (5.2.18) при z и с формулой (5.3.31). Вычисление интенсивности I z; излучения на произвольных глубинах методом разделения переменных Возвратимся снова к основному уравнению (5.5.7). Если, как и ранее, интенсивность излучения I z; в однородной среде представить в виде (5.2.1) I z; exp z I z; , (5.5.80) то для функции I z; в малоугловом приближении получим уравнение: I z; 2 I Bупр I . (5.5.81) z 2 Здесь Bупр I определяется выражением (5.5.8), в котором нужно только осуществить замену I z; I z; . Для решения уравнения (5.5.78) воспользуемся методом разделения переменных. Будем искать частное решение уравнения (5.5.81) в виде: I n z; e n z n , n n . (5.5.82)
226
Здесь n – собственные значения, а n – соответствующие им собственные функции. Определив весь спектр собственных значений и соответствующих собственных функций, общее решение уравнения (5.5.81) запишется в виде, аналогичном (5.5.23): n N
I z;
C e n
n 0
n z
n C e z d .
(5.5.83)
Подставляя (5.5.82) в (5.5.81), получим уравнение для угловых функций n : 2 n Bупр n , n 1 / м . (5.5.84) 2 Как и ранее, воспользуемся преобразованием Бесселя по , записав n в виде, аналогичном (5.5.44):
n n
n n J0 d .
(5.5.85)
0
Это позволит перейти от интегрального уравнения для собственных функций n к дифференциальному уравнению для их бессель-образа n . Уравнение (5.5.84) отличается от уравнения (5.5.40) только видом одного слагаемого в его левой части. Сделав в уравнении (5.5.40) замену 2 n , Was n , (5.5.86) 2 получим уравнение для n : 2 B n n n . (5.5.87) Оператор B имеет прежний вид (5.5.51): 1 d d B 2 S , 0 . (5.5.88) d d В глубинном режиме значение 2 определяется наименьшим собственным значением: 2
2
227
0 . В то же время, в соответ
0 . В первой формуле ве личина 0 есть минимальное собственное значение для функции
ствии с формулой (5.5.32) 2
2
I z; , в то время как во второй формуле под 0 подразумевается минимальное собственное значение для интенсивности (5.5.23) I z; , которая связана с функцией I z; соотношени-
ем: I z; exp z I z; . Поэтому 0 0 . Нетрудно заметить, что уравнение (5.5.87) есть уравнение того же вида, что и уравнение Шредингера для частицы массой m в цилиндрическом потенциальном поле U : 2mEn B En En . (5.5.89) 2 Здесь 1 d d 2m B (5.5.90) E 2 U . d d Действительно, если в (5.5.89), (5.5.90) ввести новые обозначения 2m 2mEn 2 n , , 2 U 2 S , (5.5.91) 2 то уравнение (5.5.89) переходит в уравнение (5.5.87). При этом роль “потенциальной энергии” в уравнении (5.5.87) будет играть величина U 2 S 2 S . (5.5.92) 1 Таким образом, зависимость “потенциальной энергии” от определяется только бессель-образом малоугловой индикатрисы рассеяния и не зависит от вероятности выживания кванта. Поскольку при 0 S 0 0 , а при S 1 , то профиль “потенциальной энергии” представляет собой потенциальную яму с глубиной, равной единице. Реальная глубина потенциальной ямы равна 2 / 1 и определяется только вероятностью выживания кванта.
228
На рис. 5.5.1 представлены графики зависимости S(G ) ; eff для гауссовской
G
; 1 eff
2 eff
2 exp 2 , 2 eff
G
2eff ,
индикатрисы рассеяния: S(G ) 1 exp 2eff 2 / 4
(5.5.93)
(5.5.94)
для значения eff 0.02 1 . На том же рисунке представлен график зависимости S(G ) ; eff в диффузионном приближении: S(G )Df () 2eff 2 / 4 .
(5.5.95)
Пунктирными линиями условно изображены дискретные уровни соответствующие собственным значениям n / . Реальная глубина ямы, а, следовательно, и число дискретных собственных значений зависит от вероятности выживания кванта. Над ямой спектр собственных значений становится непрерывным, что и отражает второе слагаемое в формуле (5.5.23). В диффузионном приближении S(G )Df () 2 , что соответствует бесконечно глубокой квадратичной “потенциальной яме”, в которой имеется бесконечное число только дискретных уровней. Непрерывный спектр собственных значений отсутствует (см. приложение 5). На рис.5.5.2 представлены графики зависимости H G ; eff для индикатрисы рассеяния Хеньи – Гринстейна: eff H G 1 H G ; eff , 2 2 eff , 3/2 2 2eff 2 HG S 1 exp eff
(5.5.96) (5.5.97).
для того же значения eff 0.02 1 . На том же рисунке представлен также график зависимости S H G в квазидиффузионном приближении, поскольку индикатриса Хеньи – Гринстейна относится к классу медленно спадающих индикатрис:
229
S H G QDf eff .
S
S
(5.5.98)
( Df )
(G )
Рис. 5.5.1. Графики зависимости S для гауссовской индикатрисы рассеянии:. правая кривая – точное значение S ; левая кривая – величина S диффузионном приближении
Df
в
Пунктирными линиями условно изображены дискретные уровни, соответствующие собственным значениям n / , число которых зависит от реальной глубины ямы U S , 1 т.е. от вероятности выживания кванта. В квазидиффузионном приближении S( H G )QDf () , что соответствует бесконечно глубокой линейной “потенциальной яме”, в которой имеется бесконечное число только дискретных уровней.
230
Непрерывный спектр собственных значений, так же как и в диффузионном приближении, отсутствует.
S
QDf
S
H G
Рис. 5.5.2. Графики зависимости S для индикатрисы рассеяния Хеньи – – Гринстейна: правая кривая – точное значение S ; левая прямая – величина S в квазидиффузионном приближении
К сожалению, те потенциалы U , при которых удается найти решение уравнения Шредингера в аксиально симметричном поле, не ассоциируются с теми значениями S , которые соответствуют даже простым модельным индикатрисам рассеяния. Поэтому до сих пор в 3D -среде не получено аналитического решения уравне-
231
ния (5.5.50) для какой-либо конкретной индикатрисы рассеяния, и проблема вычисления интенсивности излучения в малоугловом приближении с учетом флуктуаций длин путей фотонов из-за рассеяния остается открытой.
232
Глава 6. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ В СЛУЧАЙНЫХ СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ СРЕДАХ § 1. Основные уравнения для интенсивности излучения в неоднородных средах в МДП. Метод последовательных итераций Везде ранее рассматривалась проблема распространения световых потоков в однородных средах, когда рассеивающие и поглощающие свойства вещества не зависели от глубины z . В рамках диффузионного приближения это означало, что коэффициенты угловой диффузии и поглощения во всех точках вещества были одинаковыми: D, const . Так, например, в §2 предыдущей главы была рассмотрена проблема о распространении широкого стационарного светового потока в однородной среде в рамках МДП, т.е. с учетом флуктуаций длин путей фотонов из-за рассеяния. Понятно, что в природе не существует истинно однородных сред. Поэтому модель однородной среды является некоторым упрощением реального положения дел. В большинстве случаев, изменение величин D и так мало, что с высокой степенью точности среду можно считать однородной. Однако во многих реальных ситуациях при описании прохождения светового излучения через рассеивающие случайные искусственные или естественные среды (атмосфера, морская вода и т.д.) необходимо учитывать изменение оптических свойств среды вдоль направления распространения светового пучка. Настоящий параграф посвящен рассмотрению проблемы распространения светового излучения в стратифицированной среде, когда коэффициенты угловой диффузии и поглощения зависят от глубины. Получено уравнение для интенсивности в МДП, т.е. с учетом искривления траектории фотонов из-за рассеяния и описан приближенный метод вычисления интенсивности в средах с произвольной зависимостью величин D и от глубины методом последовательных итераций.
233
Постановка задачи и основные уравнения Пусть на плоскую поверхность среды по нормали к ней (вдоль оси z ) падает бесконечно широкий световой сигнал с интенсивностью I0 . Среда является стратифицированной, так что коэффициенты угловой диффузии и поглощения зависят от глубины: D D z , z . Для вычисления интенсивности излучения I z; воспользуемся уравнением переноса (5.1.5) в МДП c учетом
зависимости коэффициента угловой диффузии и коэффициента поглощения от глубины: 2 1 I 1 (6.1.1) . I z; z I D z 2 z В стратифицированной среде будем искать решение уравнения (6.1.1) в виде z (6.1.2) I z; exp z dz I z; . 0 (Сравните выражение (6.1.2) с выражением (5.2.1) для однородной среды.) Подставляя (6.1.2) в (6.1.1), получаем следующее уравне ние для величины I z; :
2 1 I z; z I D z (6.1.3) I z; . z 2 Дополнительные условия для величины I z; остаются теми же, что и для однородной среды: I I z 0; 0 , I z; 0 . (6.1.4) 2 Из (6.1.4) видно, что в стратифицированной среде, даже в малоугловом приближении уравнение переноса уже нельзя решать методом разделения переменных. Как и в однородной среде, решение уравнения (6.1.3) для величины I z; будем искать в гауссовском по углу виде:
234
I z;
I0
exp 2 / A1 z
A0 z
A1 z
,
(6.1.5)
где A0 z и A1 z – две неизвестные функции глубины. Подставляя (6.1.5) в (6.1.2), запишем выражение для интенсивности излучения в следующем виде: I z; I z W z; . (6.1.6) Здесь I z – полный поток светового излучения, а W z; – веро-
ятность рассеяния на угол на глубине z : z exp z dz 0 , I z 2 I z; d I0 A0 z 0 exp 2 / A1 z . W z; A1 z
(6.1.7) (6.1.8)
Естественно, что и в стратифицированной среде величина W z;
удовлетворяет условию нормировки: 2 W z; d 1 .
(6.1.9)
Используя формулу (6.1.8), можно определить значение среднего квадрата угла рассеяния на глубине z :
2
z
2 2 W z; d A1 z .
(6.1.10)
0
Таким образом, как и в однородной среде, функция A0 z учитывает влияние флуктуаций длин путей фотонов на полный световой поток, а функция A1 z есть средний квадрат угла рассеяния на глубине z . Чтобы определить величины A0 z и A1 z , подставим (6.1.5) в уравнение (6.1.3). Затем, аналогично тому, как это было сделано в
235
§2 предыдущей главы, получим систему двух дифференциальных уравнений для определения величин A0 z и A1 z : Дополнительные прежний вид:
A1 dA0 dA1 4D z ; A0 dz dz
(6.1.11) z 2 dA1 A1 4D z . 2 dz условия для величин A0 z и A1 z имеют
A0 z 0 1 , A1 z 0 0 . (6.1.12) Вычитая второе уравнение в системе уравнений (6.1.11) из первого, получаем: dA0 z 2 2 d ln A0 z A1 z . (6.1.13) z A0 z dz z dz
Соотношение (6.1.13) позволяет определить величину A1 z , если известно значение функции A0 z . Уравнения (6.1.11) отличаются от аналогичных уравнений (5.2.10) в однородной среде только заменой D D z и z . Это обстоятельство существенно усложняет задачу, так как уравнения (6.1.11) есть дифференциальные уравнения, но уже с переменными коэффициентами. Подставляя (6.1.13) в первое уравнение (6.1.11), после элементарных преобразований получим дифференциальное уравнение для функции A0 z : d 1 dA0 (6.1.14) 2D(z)A0 (z) 0 . dz (z) dz Дополнительные условия к уравнению (6.1.14) выглядят аналогично условиям (5.2.15): A0 z 0 1 , dA0 / dz z 0 0 . (6.1.15)
Второе условие в (6.1.15) получается из формулы (6.1.13), если учесть, что A1 z 0 0 . Таким образом, проблема вычисления величины I z; из уравнения (6.1.3) свелась, как и в однородной
236
среде, к нахождению функции A0 (z) из обыкновенного дифференциального уравнения (6.1.14). Однако именно этот пункт всей описанной выше процедуры вычисления интенсивности излучения в стратифицированной среде оказывается самым сложным. Поскольку уравнение (6.1.14) в отличие от уравнения (5.2.14a) является дифференциальным уравнением второго порядка с переменными коэффициентами, то оно не может быть решено аналитически в общем виде, т.е. при произвольной зависимости величин (z) и D(z) от глубины. Исключением является случай распространения излучения в квазистратифицированной среде, когда отношение D(z) / (z) const . Рассмотрению этого частного, но важного случая целиком посвящен следующий параграф этой главы. Если известно значение среднего квадрата угла рассеяния, т.е. величина A1 z , то в рамках малоуглового приближения средний путь, проходимый фотоном в слое толщиной z неоднородного вещества по-прежнему можно вычислить по формуле: z z 1 1 s z z 2 z dz z A1 z dz . (6.1.16) 20 20 Подставляя (6.1.13) в (6.1.16), получим: ln A0 z z ln A0 z d z s z z 2 dz . (6.1.17) z z dz 0 В однородной среде d z / dz 0 . Поэтому интегральное слагаемое в выражении (6.1.17) отсутствует и мы возвращаемся к результату (5.3.22). Связь между полным световым потоком и средней длиной пути в стратифицированной среде При малоугловом рассеянии как в МДП, так и в более общем случае МП, интенсивность излучения на произвольной глубине z0 определяется только процессами упругого рассеяния и поглощения на глубинах меньших z0 0 z z0 . Область глубин z z0 никак
237
не влияет на интенсивность излучения I z0 ; , поскольку в МП
отсутствует восходящее излучение и фотоны распространяются только в глубь вещества. Указанное обстоятельство позволяют, не используя уравнение переноса, установить для стратифицированной среды связь между полным световым потоком I z0 на глубине z0 и средней длиной пути s
z0
, который фотоны проходят от
момента влета в среду до глубины z0 , т.е. в слое вещества 0 z z0 . Разобьем отрезок 0 z z0 на большое число N слоев малой толщины zi i 1, 2, ... N (рис.6.1.1). При этом толщины слоёв считаем настолько малыми, чтобы в пределах каждого слоя среду можно было считать однородной.
z N
z1 z2
I z0 I0
z
O
z0 Рис. 6.1.1. Условное изображение фотона, распространяющегося в слое вещества
z0 Проходя первый слой z1 , величина светового потока уменьшается и на глубине z z1 становится равной
238
I z1 I0 exp 1 s
1
(это выражение является аналогом формулы (5.3.24)). Здесь 1 – коэффициент поглощения в первом слое; s 1 – средний путь, проходимый фотоном в первом слое толщины z1 . На второй слой
z2 падает уже несколько ослабленный световой поток I z1 , который прошел слой z1 . Проходя второй слой толщины z2 , величина светового потока уменьшается и становится равной I z1 z2 I z1 exp 2 s 2 I0 exp 1 s 1 2 s
2
.
N слоев, на глубине Понятно, что проходя все z0 z1 z2 ....zN величина светового потока будет определяться выражением: N I z0 I0 exp i s i . (6.1.18) i 1 Осуществляя предельный переход N , получим: z z d s z I z I0 exp z ds z I0 exp z dz . 0 0 dz
(6.1.19) Формула (6.1.19) устанавливает связь между световым потоком I z на глубине z и длиной среднего пути s z , проходимого фотоном от момента влета в вещество до глубины z в стратифицированной среде в условиях плоской геометрии задачи при рассеянии на малые углы. Осуществляя в (6.1.19) интегрирование по частям, выражение для светового потока можно записать в виде: z d z (6.1.20) I z I0 exp z s z s z dz . dz 0 В однородной среде z 0 , d z / dz 0 и мы получаем, что I z I0 exp s z , 0 const . (6.1.21)
239
Формула (6.1.21) в точности совпадает с выражением для потока (5.3.24), которое было получено в рамках МДП, используя явное выражение для интенсивности излучения I z; , полученное из уравнения переноса (5.2.3). В малоугловом приближении величина s z связана с величиной среднего квадрата угла рассеяния 2
z
соотношением (6.1.16).
Подставляя (6.1.16) в (6.1.19), получим: z
z dz
z 1 exp z 2 dz . (6.1.22) z 2 0 Вторая экспонента в формуле (6.1.22) учитывает влияние искривления траектории фотонов из-за упругого рассеяния. На малых глубинах, когда можно не учитывать изменение коэффициента поглощения z 0 и для величины 2 z использовать форму-
I z I0 e
лу 2
z
0
4D0 z , получим:
I z I0 exp 0z 1 D0 z I0 exp 0 z , D0 z 1 . (6.1.23)
Если световой поток в стратифицированной среде представить в виде (6.1.7), приходим к равенству: z
I0
z
z dz
e
z dz
I0e
0
A0 z Отсюда находим, что
0
1 z exp z 2 2 0
. (6.1.24) dz z
1 z A0 z exp z 2 2 0
. (6.1.25) d z z Формула (6.1.25) устанавливает связь между величинами A0 z и
2 z . Дифференцируя равенство (6.1.25) по z , будем иметь 2
z
dA0 z 2 2 d ln A0 z . z A0 z dz z dz
240
(6.1.26)
Полученное выражение совпадает с формулой (6.1.13), если учесть, что в МДП 2 z A1 z . Если приравнять выражения для потока (6.1.7) и (6.1.19), то получим z d s z z (6.1.27) A0 z exp z dz z dz . dz 0 0 Формула (6.1.27) устанавливает связь между величинами A0 z и s z . Дифференцируя равенство (6.1.27) по z , получим
1 d ln A0 z . dz z dz Из дифференциального уравнения (6.1.28) находим, что z d ln A0 z dz s z z . dz z 0 d s
z
1
(6.1.28)
(6.1.29)
Формула (6.1.29) позволяет вычислить средний путь s z , если известно значение функции A0 z при малоугловом рассеянии. После дифференцирования по частям приходим к выражению (6.1.17). Таким образом, в рассматриваемом нами МДП средний путь можно вычислить по формуле (6.1.29), зная A0 z или по формуле (6.1.16), определив предварительно величину A1 z . Вычисление величин A0 z и A1 z на малых глубинах методом итераций В тех случаях, когда отношение D(z) / (z) const , решить уравнение (6.1.14) аналитически в явном виде не удается. Однако на небольших глубинах, когда разброс фотонов по пройденным путям меньше длины поглощения, для решения уравнения (6.1.14) можно применить метод последовательных приближений. Для этого запишем дифференциальное уравнение (6.1.16) в виде интегрального уравнения:
241
z
z
A0 z 1 2 (z)d D(z)A0 (z)dz . 0
Видим,
что
dA0 / dz z0
(6.1.30)
0
дополнительные
A0 z 0 1
условия
и
0 выполняются автоматически.
Примем за нулевую итерацию уравнения (6.1.31) значение A0 1 . Тогда первая итерация будет определяться выражением: 0
z
z
A0 z 2 (z)dz D(z)dz . 1
0
(6.1.31)
0
Следовательно, в первом приближении z
z
0
1
A0 z A0 A0 1 2 (z)dz D(z)dz . 0
(6.1.32)
0
Для вычисления A1 z методом итераций перепишем второе уравнение системы (6.1.11) также в виде интегрального уравнения: z z 1 A1 z 4 D z dz z A12 z dz . (6.1.33) 20 0 Отсюда последовательно находим: z
A1 4 D z dz , 0
0
2
z 2 z 1 0 A1 z z A1 z dz 8 z D z dz dz . 20 0 0 Следовательно, в первом приближении z
1
2
z z A1 A1 4 D z dz 8 z D z dz dz . 0 0 0 (6.1.34) Первое слагаемое в формуле (6.1.34) описывает ту часть среднего квадрата угла рассеяния, которая определяется только многократным рассеянием в рамках СМДП. Что же касается второго слагаемого в (6.1.34), то оно определяет уменьшение величины 2 z за 2
1
z
0
z
1
счет совместного влияния рассеяния и поглощения, т.е. за счет “ис-
242
кривления траектории” распространения фотонов в веществе. Таким образом, видно, что и на малых глубинах имеется тенденция к уменьшению среднего квадрата угла рассеяния из-за совместного влияния процессов рассеяния и поглощения на характер светового поля в веществе. В однородной среде D z D; z : 8 z 2 z3 D2 z3 2 . (6.1.35) 2 z 3 lтр 3 la lтр Выражение (6.1.35) следует из общей формулы (5.3.11) для однородной среды: z l , 2 2 a th z lтр la lтр 2
1
4Dz
если в области малых глубин z la lтр
разложить гиперболи-
ческий тангенс в ряд, сохраняя первые два члена этого разложения. С увеличением глубины, соотношения (6.1.32) и (6.1.34) теряют свою применимость. Нужно учитывать большое число итераций, причем выражения для итераций высокого порядка A0 n z , A1 n z n 1 содержат многократные интегралы, вычисление которых аналитически оказывается практически невозможным. Однако сами интегральные уравнения (6.1.30) и (6.1.33) оказываются удобными для численных расчетов на ЭВМ, если известны, хотя бы численные значения величин D z и z в той области
глубин 0 z zm , в которой необходимо определить интенсивность излучения. §2. Распространение излучения в среде с постоянным отношением коэффициентов диффузии и поглощения Рассмотрим простейший случай, когда отношение величин (z) и D(z) не зависит от глубины:
243
D(z) D0 l a0 , (z) 0 2lтр0
(6.2.1)
где Здесь la 0 и lтр0
D0 D(z 0) , 0 (z 0) . – длина поглощения и транспортная длина рассея-
ния на поверхности вещества соответственно. Условно такую среду можно назвать квазистратифицированной. Рассматриваемая ситуация реализуется, например, когда поглощение в среде обусловлено только теми частицами, на которых происходит рассеяние фотонов. Неоднородность же оптических характеристик среды связана с изменением числа частиц в единице объема вдоль оси z , и поэтому на любой глубине z относительное соотношение между процессами поглощения и рассеяния не изменяются. Поэтому, если la 0 lтр0 , то такая среда будет слабо поглощающая на любых глубинах и малоугловое приближение справедливо только в ограниченной области глубин где 2 z 1 . Наоборот, если la 0 lтр0 , то 2
z
1 на любых глубинах.
Поделив обе части уравнения (6.1.14) на (z) . При выполнении условия (6.2.1), получим: 1 d 1 dA0 la 0 A0 (z) 0 . (6.2.2) (z) dz (z) dz lтр0 Вводя в уравнении (6.2.2) вместо глубины z новую безразмерную переменную d (z)dz , т.е. z
(z)dz ,
(6.2.3)
0
получим: d2 A0 la0 A0 () 0 , A0 ( 0) 1 , A0 ( 0) 0 . (6.2.4) d2 lтр0 В новых переменных уравнение (6.2.4) имеет тот же вид, что и уравнение (5.2.14) в однородной среде. Поэтому
244
A0 ch la 0 / lтр0 . Переходя обратно к глубине z , получаем: z z A0 z ch 2D0 / k0 (z)dz ch la 0 / lтр0 (z)dz . (6.2.5) 0 0 Для величины A1 z в соответствии с формулой (6.1.13) будем иметь: z l A1 z 2 a 0 th la 0 / lтр0 (z)dz . (6.2.6) lтр0 0 Полученные формулы для величин A0 z и A1 z справедливы
при любом законе изменения коэффициента поглощения z . Величина z может монотонно убывать, возрастать и т.д. Теперь выражения для светового потока (6.1.7), вероятности рассеяния W z; (6.1.8) и среднего квадрата угла рассеяния (6.1.10) в квазистратифицированной среде будут выглядеть так: z exp z dz 0 I z I0 , (6.2.7) z ch la0 / lтр0 (z)dz 0 lтр0 / la 0 2 exp z 2th la 0 / lтр0 (z)dz 0 W z; , (6.2.8) z 2 la 0 / lтр0 th la 0 / lтр0 (z)dz 0 z l l 2 2 a0 th a 0 (z)dz . (6.2.9) z lтр0 lтр0 0
245
В частном случае, когда (z) 0 , D(z) D0 , из формул (6.2.7)(6.2.9) получаем прежние формулы (5.3.2),(5.3.7) и (5.3.11) для потока, вероятности и среднего квадрата угла рассеяния в истинно однородной среде. Зависимость потока от глубины в экспоненциально квазистратифицированной среде Рассмотрим случай, когда коэффициент поглощения, а следовательно, и коэффициент угловой диффузии изменяются по экспоненциальному закону: (z) 0 exp z / L , D(z) D0 exp z / L . (6.2.10) Величина L определяет быстроту убывания (если L 0 ) или быстроту возрастания (если L 0 ) показателя затухания и коэффициента угловой диффузии. Однородной среде соответствует предельный переход L . Рассмотрение именно такого случая представляет особый интерес, поскольку, как будет показано в следующем параграфе, уравнение (6.1.14) для функции A0 z допускает точное аналитическое решение в экспоненциально стратифицированной среде в общем случае, когда D(z) / (z) const . В рассматриваемой среде z
(z)dz L 1 e 0
z/L
;
L
.
(6.2.11)
0
С учетом формулы (6.2.11) выражение для светового потока (6.2.7) будет выглядеть так: L exp 1 e z/ L la0 I z I0 . (6.2.12) l L ch a 0 1 e z/ L lтр0 la 0
246
Если L (при любом фиксированном значении глубины), то,
независимо от знака L значение L 1 e z/L z . Поэтому I z I0
exp z / la 0
ch z / la 0lтр0
I0
exp 0 z
ch z / la0lтр0
, L , (6.2.13)
что соответствует выражению для светового потока (5.3.2) в однородной среде с учетом флуктуаций длин путей фотонов из-за рассеяния. Таким образом, чем величина L больше, тем меньше квазистратифицированная среда отличается от однородной среды. И наоборот, чем величина L меньше, тем более явно выражена экспоненциальная стратификация среды и тем более явно проявляются различия между однородной и стратифицированной средами. Получим выражения для I z , когда z / L 1 . Указанное неравенство может выполняться не только на больших глубинах, но и на относительно малых глубинах, когда L 1 . В силу указанных обстоятельств, рассматриваемую ситуацию нельзя трактовать как глубинный режим в том смысле, как это понималось в однородной среде, когда I z exp 0z . Более правильно, по всей видимости, придерживаться терминологии “асимптотическое поведение” светового потока (и других оптических характеристик светового поля) при большом значении отношения z / L . 1. Пусть L 0 , т.е. рассеивающие и поглощающие свойства среды экспоненциально убывают с глубиной. В этом случае exp 0 L Ias I0 , z / L 1 . (6.2.14) ch L / la0lтр0
Видим, что при z / L 1 световой поток перестает зависеть от глубины и не стремится к нулю, как в глубинном режиме в однородной среде. Это объясняется тем, что при z / L
(z / L ) 0
и
247
D z / L 0 ,
т.е. оптическая среда как бы отсутствует. Поэтому, начиная с некоторой глубины, фотоны распространяются практически в пустоте. Численное значение Ias зависит от величины L : I0 exp 0 L , если L la 0lтр0 ; Ias (6.2.15) 2I0 exp L 0 2D0 0 , если L la 0lтр0 . 2. Пусть L L 0 , т.е. рассеивающие и поглощающие свойства среды экспоненциально возрастают с глубиной. В этом случае
Ias 2I0 exp L 0 2D0 0 e
z/ L
, z / L
1 . (6.2.16)
Таким образом, в отличие от предыдущего случая, поток очень быстро убывает с глубиной за счет большого экспоненциального множителя e z/ L в показателе основной экспоненты. Убывание потока тем более выражено, чем меньше значение L , так как при этом поглощающие свойства среды возрастают с глубиной тем быстрее, чем меньше значение L . Для графического исследования формулу для светового потока (6.2.12) удобно записать, используя безразмерные переменные, приняв за единицу измерения линейных характеристик среды величину транспортной длины рассеяния на поверхности вещества lтр0 : L exp 2 1 e z /L pa 0 I z I0 . L z / L ch 1 e pa 0 Здесь введены обозначения: la 0 z L pa 0 , z , L . lтр0 lтр0 lтр0
248
(6.2.17)
(6.2.18)
Безразмерный параметр pa 0 2D0 / 0 определяет относительное соотношение между процессами рассеяния и поглощения на поверхности вещества.
I
la0 0.1lтр0
L 0.1
L 0.2 L
Рис. 6.2.1. Зависимость светового потока от приведенной глубины
z z при экспо-
ненциальном убывании L 0 оптических параметров среды
Основной интерес для нас представляет случай сильно поглощающей среды: la 0 lтр0 , т.е. pa 1 , поскольку именно в этом случае наиболее явно выражена корреляция между процессом поглощения фотонов и упругим рассеянием. На рис.6.2.1 представлены графики зависимости величины светового потока от приведенной глубины z при различных значениях величины L 0 , для случая сильно поглощающей среды, когда
249
la 0 0.1lтр0 , т.е. pa 0 1 / 10 0.32 . Значение I0 принято равным
единице: I0 1 . В этом случае выражение для потока (6.2.17) будет выглядеть так: exp 10L 1 e z /L I z ; L 0 . (6.2.19) z /L ch 10 L 1 e
Из рисунка видно, что при малых значениях L световой поток практически остается постоянным I Ias , уже начиная с малых глубин z 0.5 , т.е. z 0.5lтр0 . Численное значение Ias тем больше, чем меньше величина L , т.е. чем быстрее оптическая среда переходит в вакуум. Это и понятно, так как в этом случае ослабление потока происходит только в относительно тонком приповерхностном слое вещества, где ещё имеет место достаточно сильное поглощение. Поэтому световой поток не успевает сильно измениться по сравнению с падающим Iпад I0 1 , прежде чем световое излучение начинает распространяться практически в свободной среде, что согласуется с формулой (6.2.15). Пунктирная кривая на рис. 6.2.1 соответствует значению L , т.е. однородной среде, когда световой поток уменьшается по закону (6.2.13): exp z / pa20 exp 10z I z . ch z / pa0 ch z 10
На рис.6.2.2 представлены те же графики зависимости потока от глубины при отрицательных значениях L L 0 : I z ; L 0
e
exp 10 L e ch
10 L
z / L
z / L
250
, l 1 1
a
0.1lтр . (6.2.20)
I
la0 0.1lтр0
L
L 0.2 L 0.1
z Рис. 6.2. 2. Зависимость светового потока от приведенной глубины
z при экспо-
ненциальном возрастании L 0 оптических параметров среды
Видим, что зависимость светового потока в этом случае радикально отличается от рассмотренного выше случая L 0 . Поскольку коэффициент поглощения экспоненциально возрастает, причем тем быстрее, чем меньше значение L , то полный световой поток спадает с увеличением глубины быстрее, чем в однородной среде (пунктирная кривая на рис. 6.2.2). Естественно, что пунктирные кривые на обоих рис. 6.2.1 и 6.2.2 полностью одинаковы, так как и та и другая соответствуют однородной среде с одинаковым значением параметра pa 0 .
251
Зависимость среднего квадрата угла рассеяния от глубины в экспоненциально квазистратифицированной среде В случае, когда величины (z) и D(z) изменяются с глубиной по закону (6.2.10), с учетом (6.2.11), выражение для среднего квадрата угла рассеяния (6.2.9) будет выглядеть так: L 2 2 th 1 e z/L , L . (6.2.21) z la 0lтр0 Здесь l 2 2 a 0 2pa 0 (6.2.22) lтр0 есть средний квадрат угла рассеяния в однородной среде с оптическими параметрами la0 , lтр0 . Поскольку при любом значении аргумента x 0 значение 0 th x 1 , то независимо от закона
2
изменения (z) величина
z
2 la 0 / lтр0 , т.е. не превышает
значения среднего квадрата угла рассеяния в однородной среде 0 ; D D0 в глубинном режиме. Когда z / L 0 , из формулы (6.2.21) находим, что 2
z
2
z L .
th z / la0lтр0 ,
(6.2.23)
Выражение (6.2.23) совпадает с формулой (5.3.11) для 2
z
в МДП
в однородной среде. Формула (6.2.23) справедлива как при L 0 , так и при L 0 . Выражение (6.2.23) применимо и на малых глубинах, если L 1 . Получим значение для величины 2 z , когда z / L 1 , т.е. для величины 2
as
.
1. Пусть L 0 , т.е. рассеивающие и поглощающие свойства среды экспоненциально убывают с глубиной. В этом случае
252
2
as
L th l l a 0 тр0
2
2
Таким образом, величина
as
,
z L .
вообще не зависит от глубины.
Поскольку 0 th x 1 , то значение 2 пределах
0 2
as
2
(6.2.24)
в
as
может изменяться в
зависимости
от
отношения
L / la 0lтр0 , не превышая, однако, своего наибольшего значения
при L , т.е. значения в однородной среде, с параметрами
l
a0
, lтр0 (рис. 6.2.3,a).
2. Пусть L L 0 , т.е. рассеивающие и поглощающие свойства среды экспоненциально возрастают с глубиной. В этом случае L z/ L 2 2 th e , z L . (6.2.25) as l l a 0 тр0 В отличие от (6.2.24) теперь величина 2 глубины. Однако в области глубин, где получаем, что 2
as
2
as
формально зависит от
L la 0lтр0
exp z / L 1 ,
. Поскольку z L , то это условие
практически выполняется всегда, независимо от численного коэффициента L / la 0lтр0 . Другими словами, на достаточно больших глубинах величина
2
as
не зависит от параметра L (рис.
6.2.3,b). Выражение для среднего квадрата угла рассеяния (6.2.21) можно записать в виде: z L 2 2pa th 1 e L . (6.2.26) z pa
253
Величины z , L и pa по-прежнему определяются формулами (6.2.18). На рис. 6.2.3,a представлены графики зависимости среднего квадрата угла рассеяния от приведенной глубины z , при различных значениях L 0 , для случая сильно поглощающей среды: la 0 0.1lтр0 , т.е. pa 0 1 / 10 0.315 .
На рис.6.2.3,b представлены графики зависимости величины среднего квадрата угла рассеяния от приведенной глубины z при L 0 , для того же значения параметра pa 0 . Из приведенных рисунков видно, что в изначально сильно поглощающей среде la0 lтр0 с более быстрым уменьшающимся коэффициентом поглощения, т.е. с меньшим значением L 0 (нижняя кривая на рис.6.2.3,a)), выход на асимптотический режим происходит на меньших глубинах и значение 2 as меньше, чем в среде с более плавным уменьшением коэффициента поглощения и коэффициентом угловой диффузии (средняя кривая на рис.6.2.3,a).
254
2
2
z
L
2
Lz 0.2
a)
L 0.1 la 0 0.1lтр 0
zz 2
L 0.1 L 0.2 L
b)
la 0 0.1lтр 0 z Рис. 6.2.3. Зависимость величины среднего квадрата угла рассеяния от приведенной глубины z для случая сильно поглощающей среды la 0 0.1lтр0 : a – при различных значениях
L 0 ; b – при различных значениях L 0
255
В случае, когда коэффициент поглощения возрастает с глубиной L 0 , независимо от численного значения величины L асимптотическое значение 2
as
одно и то же для всех L , но достига-
ется на меньших глубинах в среде с более быстрым ростом коэффициента поглощения (сравните кривые для L 0.1 и L 0.2
на рис.6.2.3,b). Зависимость среднего пути от глубины в экспоненциально квазистратифицированной среде s
Для вычисления среднего пути
z
воспользуемся формулой
(6.1.10). Подставляя в (6.1.10) значение A1 2
z
, определяемое
выражением (6.2.21), запишем: 2 z L z/L s z z th 1 e dz . 2 0 la0lтр0 В однородной среде, когда L
(6.2.27)
z z la 0 z ch th dz z l ln a0 z lтр0 0 la 0lтр0 la 0lтр0 что совпадает с (5.3.15). В терминах приведенной глубины z L s z z pa0 th 1 e z/ L dz . pa 0 0
s
z
Здесь s
z
– приведенная длина среднего пути: s
z
s
На рис. 6.2.4 представлена зависимость величины s
z
,
(6.2.28)
/ lтр0 . z
от при-
веденной глубины z при pa 1 / 10 . Пунктирная прямая на рисунке отображает значение s z без учета удлинения траектории фотонов из-за рассеяния. Верхняя кривая L соответствует
256
распространению фотонов в однородной сильно поглощающей среде la 0.1lтр . Видим, что кривая, соответствующая L 0.2 , идет выше кривой для L 0.1 , поскольку при L 0.2 коэффициент поглощения e 5 z , в то время как при L 0.1 коэффициент поглощения убывает значительно быстрее – e 10 z . С увеличением глубины среда становится фактически консервативной. Поэтому в рамках малоуглового приближения зависимость s z от z приближается к линейному закону.
s
L z
L 0.2 L 0.1
s
z
z
z Рис. 6.2.4. Зависимость среднего пути от приведенной глубины z при различных значениях L
Заметим, что в квазиоднородной среде основное уравнение (6.1.3) можно записать в виде
257
2 D 1 I ; I 0 I ; . 2 0 Видим, что в этом случае уравнение для I ; можно решать,
используя метод разделения переменных. В глубинном режиме I ; exp 0 , т.е. z Ias z; exp 0 (z)dz , 0 где 0 – минимальное собственное значение (глубинный показатель затухания) в однородной среде с оптическими параметрами 0 , D0 определяется формулой (5.3.33): 0 1 / lalтр 2D ,
§3. Распространение излучения в экспоненциально стратифицированной среде Точное решение уравнения (6.1.16) может быть получено в экспоненциально стратифицированной среде, когда z 1 z (z) 0 exp exp (6.3.1) , L la 0 L z z 1 D(z) D0 exp exp , LD 2lтр0 LD L Const1 ; LD Const2 . Здесь, как и ранее, la 0 1 / 0 , lтр0 1 / 2D0 .
(6.3.2)
(6.3.3)
Величины la 0 и lтр0 есть длина поглощения и транспортная длина рассеяния на границе среды. Модель экспоненциально стратифицированной среды соответствует многим реальным ситуациям в оптике атмосферы и океана. Величина L определяет быстроту
258
убывания (если L 0 ) или быстроту возрастания (если L 0 ) показателя затухания среды. Аналогичный смысл имеет величина LD по отношению к коэффициенту угловой диффузии D . Если величины L и LD , то 0 и D D0 , что соответствует однородной среде. Если L LD L , то отношение D(z) / (z) D0 / 0 const и мы возвращаемся к рассмотренному выше случаю (6.2.1), когда величины A0 z и A1 z определяются формулами: z L L A0 z ch 1 e , la 0lтр0 z L (6.3.4) 1 e . В общем случае, когда L LD уравнение (6.1.16) для A0 z в экспоненциально стратифицированной среде имеет вид: d2 A0 L L 1 dA0 1 exp z D A0 (z) 0; 2 L dz la 0lтр0 L LD (6.3.5) dz A0 z 0 1; dA0 / dz z0 0.
L A1 z th l l a 0 тр0 2
Решение уравнения (6.3.5) может быть получено в аналитическом виде и выглядит так: z A0 z exp (6.3.6) F z , 2L F z I e z /2 L K 1 I1 K e z/2L . (6.3.7)
Здесь I x и K x – модифицированная функция Бесселя и функция Макдональда соответственно. В (6.3.6), (6.3.7) введены безразмерные обозначения: LD LD L 2 2L , . (6.3.8) LD L LD L la 0lтр0 la0lтр0
259
Проверим выполнение первого условия на поверхности вещества: A0 (z 0) 1 . Полагая в (6.3.6), (6.3.7) z 0 , запишем: A0 z 0 I K 1 I1 K .
(6.3.9)
Учитывая известную из теории бесселевых функций формулу I x K 1 x I1 x K x 1 / x , и полагая здесь x из (6.3.9) видим, что условие A0 (z 0) 1 действительно выполняется. Проверим выполнение второго условия – dA0 / dz z 0 0 . Дифференцируя выражение (6.3.6) по z , получаем: dA0 z 2L L exp z D dz 2L LD la 0lтр0
I1 K 1 e
z/2L
K
1
I1 e
z/2L
(6.3.10)
.
Полагая в (6.3.10) z 0 , видим, что выражение в фигурных скобках зануляется, и поэтому dA0 / dz z 0 0 . Вернемся к частному случаю L LD L , когда
1 / 2 , L / la 0lтр0 и выражение для величины A0 z будет выглядеть так: z A0 z exp F1/2 z , 2L
1 / 2 ,
(6.3.11)
F1/2 z I1/2 e z/ L K 1/2 I1/2 K1/2 e z/ L . (6.3.12)
Хорошо известно, что если индекс функций Бесселя любого вида равен одной второй, то функции Бесселя выражаются через элементарные функции. В частности, z ez e z ez e z K 1/2 z e , I1/2 z , I1/2 z . (6.3.13) 2z 2z 2z Используя формулы (6.3.13), легко находим, что
260
z 1 z/ L exp (6.3.14) . ch 1 e 2 L Подставляя (6.3.14) в (6.3.11), получим: L A0 z; L LD L ch 1 e z /L , la 0lтр0 что, конечно, совпадает с полученным ранее решением (с первой формулой (6.3.4)). Теперь, определив A0 z , можем вычислить зависимость светового потока и среднего квадрата угла рассеяния от глубины при произвольных значениях параметров L и LD .
F1/2 z
Световой поток и средний квадрат угла рассеяния. Общий случай Для вычисления светового потока воспользуемся общей формулой (6.1.7) применительно к экспоненциально стратифицированной среде: z exp z dz exp 0 L 1 e z/ L 0 I z I0 I0 . (6.3.15) A0 z A0 z
Подставляя сюда значение A0 z , определяемое формулами (6.3.6), (6.3.7), получим выражение для светового потока: z L exp 1 e z/L 2L I la 0 I z 0 . (6.3.16) I e z /2 L K 1 I1 K e z/2L Средний квадрат угла рассеяния 2
z
A1 z . С учетом фор-
мулы (6.1.14), получаем: z
2
z
2la 0e L
dA0 z . A0 z dz 1
261
(6.3.17)
Подставляя сюда значения A0 z (6.3.6) и dA0 z / dz (6.3.10), получим: L LD l (6.3.18) 2 2 a 0 exp z z . z lтр0 2L LD Здесь z
K e
I e
I1 K1 ez/2L I1 e z/2L K1 I 1
z/2L
z/2L
K
.
1
(6.3.19) В квазистратифицированной
среде
L
LD L ,
когда
1 / 2 , L / la 0lтр0 , из общей формулы (6.3.18) получаем: 2
K1/2 ez/L I1/2 ez/L K1/2 . z/L I1/2 ez/L K1/2 1/2 K1/2 e
I1/2 l 2 a0 z lтр 0 I
(6.3.20) Учитывая формулы (6.3.13), запишем:
I1/2 K1/2 ez/L I1/2 e z/L K1/2
e
z/2 L
sh 1 e z/L ,
I1/2 K1/2 ez/L
ez/2L ch 1 e z/L
I e . 1/2
z/L
K 1/2
В результате получаем: L z/L 1 e (6.3.21) . z la 0lтр0 Выражение (6.3.21) совпадает с формулой (6.2.21) для экспоненциально квазистратифицированной среды. 2
2
th
262
z
Выражение для A0 z (6.3.15) помимо глубины
содержит
три параметра , и L , которые, в свою очередь, выражаются через четыре независимые величины L , LD , la 0 и lтр0 . Другими словами:
A0 A0 z L , LD , la 0 , lтр0 .
(6.3.22)
Подробное исследование особенностей поведения величины A0 , а,
следовательно, величин I z L , LD , la0 , lтр0 и 2
z
L , L
D
, la0 , lтр0
на различных глубинах при разнообразных многочисленных комбинациях четырех параметров представляет самостоятельное и весьма объемное исследование и не может являться предметом рассмотрения в рамках учебного пособия. Поэтому для иллюстрации тех новых элементов, которые вносит стратификация среды, рассмотрим несколько частных случаев. 1. Световой поток и средний квадрат угла рассеяния в среде с постоянным коэффициентом угловой диффузии Рассмотрим среду, в которой рассеивающие свойства не изменяются с глубиной: D D0 , т.е. LD . В этом случае (6.3.23) 1 , 1 2L / la 0lтр0 . a). Световой поток. Теперь общая формула (6.3.16) для светового потока принимает вид: z L exp 1 e z/L 2L I la 0 I z 0 . (6.3.24) 1 I1 1 e z/2L K0 1 I0 1 K1 1 e z /2 L
263
Рассмотрим случай L
0 ,
когда среда становится
однородной. Поскольку L и 1 , то 1 e z/2 L и L 1 e z/ L z . Так как аргументы всех функций в знаменателе
выражения велики, то используя известные асимптотические выражения ex x I x 1 , K x 1 e , 2x 2x запишем: 1 z/4 L 1 1 e z/ 2 L I1 1 e z/2L K0 1 e e , 21 1 z/ 4L 1 1 e z/ 2 L I0 1 K1 1 e z/2L e e . 21 Следовательно, I1 1 e z/2L K 0 1 I0 1 K1 1 e z/2L (6.3.25) 1 e z/4 L ch 1 1 e z/2 L . 1 Подставляя (6.3.25) в (6.3.24), получим:
z L exp 1 e z/ L la 0 4L exp 0 z I z I0 I0 , 2L ch z / la0lтр0 z /2 L ch 1 e la 0lтр0 LD , L , что в точности совпадает с формулой (5.3.2) для потока в однородной среде. Принимая, как и ранее, за единицу измерения глубины величину lтр0 , запишем выражение (6.3.24) в виде:
264
L z exp 2 1 e z /L pa 0 2L I0 I z . (6.3.26) 1 I1 1 e z /2L K0 1 I0 1 K1 1 e z /2L
Здесь pa 0 la 0 / lтр0 , z z / lтр0 , L L / lтр0 , 1 2L / pa . (6.3.27) В такой среде D D0 1 / 2lтр0 , z 1 / la 0 e z /L 1 / lтр0 pa20 e z / L . (6.3.28) Определим значение светового потока на относительно больших глубинах, когда z / L 1 . Это условие вовсе не означает, что речь идет об истинно больших глубинах, так как значение величины L может быть и малым. Однако полученное выражение, конечно, будет справедливо при z , если только величина L имеет конечное значение, т.е. рассматриваемая среда не является однородной, когда одновременно LD , L . В однородной среде, как это следует из формулы (5.3.2), значение Ias z I z определяется выражением:
Ias 2I0 exp z 0 1 / la 0lтр0
L
D
2I
0
1 1 exp z 2 , pa 0 pa 0
, L .
т.е. всегда экспоненциально убывает с глубиной. В неоднородной среде при z / L 1 ,
L 1 e z /L / pa2 L / pa2 и 1 exp z / 2L 1. Поскольку I1 x 1 x 1 , а K1 x 1 1 / x 1 , то первым слагаемыми в знаменателе дроби в формуле (6.3.26) можно пренебречь. В результате получаем: exp L / pa20 z / 2L , L ; const . Ias z I0 1I0 1 K1 1 e z /2L
265
Учитывая, что K1 (x 1) 1 / x , то
K1 1 e Ias I0
z/2Lk
e
z /2 Lk
/ 1 . В результате получаем:
exp L / pa20 I0 2L / pa 0
I0
exp L / la 0
I0 2L / la 0lтр0
I0
exp 0 L
I0 2L 20 D0
.
(6.3.29) Видим, что на глубинах z / L 1 световой поток не зависит от глубины. Его значение определяется параметром pa 0 la 0 / lтр0 , т.е. относительным соотношением процессов поглощения и упругого рассеяния на поверхности вещества, и величиной L , которая определяет быстроту уменьшения коэффициента поглощения с глубиной.
0 20D0
D,
la0 0.1lтр0 la0 0.1lтр0 L 0.2
L 0.1
D0 0.5
z Рис. 6.3.1. Зависимость величин
D и от приведенной глубины z при различ-
ных значениях L
266
Будем считать, что на поверхности вещества среда является сильно поглощающей: la 0 lтр0 , полагая, как и ранее, la 0 0.1lтр0 , т.е. pa 0 1 / 10 . При таком выборе параметра pa 0 величина коэффициента поглощения z 10e z / L / lтр0 . На рис. 6.3.1 представлены графики зависимости коэффициента угловой диффузии и коэффициента поглощения от приведенной глубины при различных значениях L (величина lтр0 условно принята равной единице). Тогда D D0 0.5 , z ; L 10e z /L . Нижняя прямая есть график величины D D0 . Верхняя прямая есть график величины L 0 20D0 , что соответствует сильно поглощающей среде с постоянным коэффициентом поглощения. При L 0.2 D0 в области глубин z 0.6 . При L 0.1 D0 в области z 0.3 . На больших глубинах коэффициент поглощения резко уменьшается D0 и среда становится слабо поглощающей. Проанализируем зависимость светового потока от параметра L . Напомним, что чем параметр L меньше, тем быстрее убывает коэффициент поглощения с глубиной (см. рис. 6.3.1). На рис. 6.3.2 представлена зависимость полного потока от приведенной глубины z при различных значениях L , рассчитанная по формуле (6.3.26). Пунктирная кривая соответствует потоку в однородной среде: exp z / p2a 0 , L . I z I0 ch z / pa0
267
I z
L L 0.1 L 0.2
z Рис. 6.3.2. Зависимость потока от приведенной глубины при D const
Видим, что в соответствии с формулой (6.3.29), для значений L 0.2 и L 0.1 световой поток перестает зависеть от глубины при z 0.3 0.6 , т.е. как раз в той области глубин, где z D0 (см. рис. 6.3.1). Рассмотрим случай, когда L 0.1 . Тогда при pa 0 1 / 10 из формулы (6.3.29) получаем, что I0 1 : exp 1 Ias L 0.1 0.33 . I0 0.2 10
При L 0.2 , pa 0 1 / 10 из формулы (6.3.29) получаем, что
I0
1 :
Ias L 0.2
exp L / pa20 I0 2L / pa 0
exp 2
I0 0.4 10
0.1 .
Полученные численные значения величины Ias / I0 полностью соответствуют кривым на рис. 6.3.2, что подтверждает правильность
268
приближенной формулы (6.3.29). Это означает, что при выбранных параметрах область глубины, в которой поглощение сильно влияет на величину потока, меньше единицы (меньше чем lтр0 ), т.е. толщина приповерхностного слоя вещества, где среда является сильно поглощающей, достаточно мала. b). Средний квадрат угла рассеяния. Принимая, как и ранее, за единицу измерения глубины величину lтр0 , запишем выражение (6.3.18) в виде: 2
z
z /2 L I0 (1e z /2L )K0 1 z I0 (1 )K0 1e . 2pa 0 exp z /2 L I1 (1e z /2L )K0 1 2L I0 (1 )K1 1e
(6.3.30) Величины pa 0 , z , L и 1 2L / pa определяются формулами (6.3.27). Будем считать, что вблизи поверхности вещества среда является сильно поглощающей: la 0 lтр0 . Положим, как и ранее, la 0 0.1lтр0 , т.е. pa 0 1 / 10 . В этом случае 1 2 10L .
На рис.6.3.3 представлена зависимость величины 2 веденной
глубины
z z / lтр0
при
различных
z
от при-
значениях
L L / lтр0 . Проанализируем зависимость среднего квадрата уг-
ла рассеяния в рассматриваемой среде в зависимости от параметра L .
269
2
L 0.1
z
L 0.2
2
L
z Рис. 6.3.3. Зависимость среднего квадрата угла рассеяния от глубины
z при раз-
личных значениях L
Пунктирная кривая на рис.6.3.3 соответствует значению L , т.е. однородной, сильно поглощающей среде, в которой D D0 , 0 , причем 0 20D0 . В такой среде асимптотическое значение
2
as
2
2pa 0 2 / 10 0.632 . Для значе-
ний L 0.1 и L 0.2 зависимость 2
z
практически линейно
зависит от z , как в консервативной среде. Это связано с тем, что как отмечалось выше, приповерхностный слой вещества с сильным поглощением весьма тонок. Пролетая этот слой фотоны фактически не испытывают влияния удлинения средней траектории из-за рассеяния. Пройдя через этот слой вещества, фотоны попадают в среду, в которой D0 , причем в то время как величина D0 остается постоянной, коэффициент поглощения экспоненциально быстро убывает с глубиной. Поэтому фотоны распространяются фак-
270
тически в консервативной среде и в соответствии с (3.1.22) 2 z z . Ситуация существенно изменится, если “толщина” приповерхностного слоя с сильным поглощением будет увеличена. Для этого необходимо, чтобы коэффициент поглощения более медленно уменьшался с глубиной. Этого можно достичь, увеличивая значение величины L .
2 z
L 1 L 2
2
L
z Рис. 6.3.4. Зависимость среднего квадрата угла рассеяния от глубины
z при раз-
личных значениях L
На рис.6.3.4. при том же значении параметра pa 1 / 10 представлена зависимость величины 2 z , когда значения L увеличены в десять раз: L 1 и L 2 . При таком значении величин L величина 1 будет равна 1 2 10 и 1 4 10 соответственно.
271
Видим, кривые, соответствующие этим значениям L , имеют явную тенденцию к выходу на асимптотический режим. 2. Световой поток и средний квадрат угла рассеяния в среде с постоянным коэффициентом поглощения Рассмотрим среду, в которой поглощающие свойства не изменяются с глубиной: 0 , т.е. L . В этом случае 0 , L LD , 2
2LD . la 0lтр0
(6.3.31)
a). Световой поток. Теперь общая формула (6.3.16) для светового потока принимает вид: exp z / la 0 I . (6.3.32) I z 0 z/2 LD 2 I0 2 e K1 2 I1 2 K0 2 e z/2LD Здесь учтено, что I n x In x и K x K x . Принимая, как и ранее, за единицу измерения глубины величину lтр0 , запишем выражение (6.3.32) в виде: I z
exp z / pa20 I0 , 2 I0 2 e z /2 LD K1 2 I1 2 K0 2 e z /2LD
L LD D . lтр0 В среде с постоянным поглощением 1 1 0 , la0 lтр0 pa20
(6.3.33)
в то время, как D z
1 z /LD e . 2lтр0
272
(6.3.34)
На рис. 6.3.5,a и 6.3.5,b представлены графики зависимости коэффициента угловой диффузии и коэффициента поглощения от приведенной глубины при различных значениях LD (величина lтр0 условно принята равной единице): Рис. 6.3.5,a соответствует изначально сильно поглощающей среде: на поверхности вещества la 0 0.1lтр0 , т.е. pa 0 1 / 10 . При таком значении параметра pa 0 коэффициент поглощения
0 20D0 .
В
этом
случае
при
D0 0.5
получаем:
D z 0.5e z / LD , 0 10 . Верхняя прямая есть график величины
0 10 . Нижняя прямая есть график величины D LD 0.5 . Поскольку 0 D z , то среда является сильно поглощающей во всей области глубин. Рис. 6.3.5,b соответствует изначально слабо поглощающей среде: на поверхности вещества la 0 lтр0 , т.е. pa 0 1 . При таком значении параметра pa 0 коэффициент поглощения 0 2D0 . В этом случае при D0 0.5 имеем: D z 0.5e z / LD , 0 1 . Верхняя прямая есть график величины 0 1 . Нижняя прямая есть график величины D LD 0.5 . С увеличением глубины 0 D z , т.е. среда становится сильно поглощающей. При LD 0.4 коэффициент угловой диффузии уменьшается от начального значения D0 медленнее, чем при LD 0.1 . На больших глубинах в обоих случаях среда становится практически чисто поглощающей причем тем быстрее, чем меньше LD .
273
D 0 ,
0 10 a)
LD 0.1
LD 0.4 D0 0.5
z 0 1
b)
D0 0.5
LD 0.4 LD 0.1
z D и от глубины z для различных значений 0 20D0 ; b – la 0 lтр0 0 2D0
Рис. 6.3.5. Зависимость величин LD : a –
la 0 0.1lтр0
274
I z
la 0.1lтр0
a)
LD LD
0.4 0.1
z
I z
la lтр0 b) LD
0.1 LD
LD
0.4
z
Рис. 6.3.6. Зависимость потока от глубины a–
z для различных значений LD :
la 0 0.1lтр0 0 20D0 ; b – la 0 lтр0 0 2D0
275
На рис. 6.3.6 представлена для этих сред зависимость полного потока от приведенной глубины z z / lтр0 при различных значениях LD LD / lтр0 . Пунктирные кривые на обоих рисунках соответствуют потоку в однородной среде: I z I0
exp z / p2a 0 ch z / pa0
, I0 1 .
Видим, что в сильно поглощающей среде (см. рис.6.3.5,a) во всей области глубин z 0 полный световой поток практически одинаков для всех значений L , так что кривые на рис. 6.3.6,a практически неразличимы. Это объясняется тем, что 0 D z и упругое рассеяние практически не влияет на величину потока. Ситуация изменяется, когда la 0 lтр0 . В этом случае вблизи поD
верхности вещества среда является слабо поглощающей и только с увеличением глубины, за счет экспоненциального уменьшения коэффициента угловой диффузии, среда становится сильно поглощающей. Поэтому в этом случае графики зависимости I z в области не слишком больших глубин 0 z 2 на рис. 6.3.6,b имеют разный вид при различных значениях LD . С увеличением глубины, когда e z/2LD 1 , только функция K0 2 e z/2LD возрастает (логарифмически с увеличением z ). Поэтому при z / 2LD 1 exp z / p2a0 I0 Ias z , 2 I1 2 K0 2 e z /2LD
z / 2L
D
1 .
Учитывая, что K0 x 1 ln x , получаем: 2 exp z / pa20 2I0 LD exp z / pa 0 I0 pa 0 Ias z . 2I1 2 z z I1 2LD / pa 0
(6.3.35).
276
Таким образом, на относительно больших глубинах в экспоненциально стратифицированной среде с постоянным коэффициентом exp 0 z поглощения Ias z I0 . z b). Средний квадрат угла рассеяния. Теперь общая формула (6.3.18) для среднего квадрата угла рассеяния принимает вид: z l 2 2 a0 exp z lтр0 2LD (6.3.36) z /2 LD I1 2 K1 2 e I1 2 e z/2LD K1 2 . z /2 LD z /2 LD I1 2 K0 2 e I0 2 e K1 2
z/2 L
D В области больших глубин z / LD 1 , когда 2 e 0 , вторыми слагаемыми в числителе и знаменателе дроби в формуле I0 x 0 1 , (6.3.36) можно пренебречь, поскольку
I1 x 0 0 , в то время как K n x 0 . Поэтому на больших глубинах 2
z
z /2 L
D z K1 2 e la 0 2 exp z /2 LD lтр0 2LD K0 2 e
.
(6.3.37)
Учитывая, что K0 x 1 ln x , K1 x 1 1 / x , запишем
K0 2 e
ln e K e e
z/2 LD
z /2 LD
1
z / 2L
D
2
z/2 LD
z/2 LD
la 0 2 , z 0 z
z / LD
2
,
/ 2 .
В результате получаем: 2
z
2
277
1 .
(6.3.38)
Таким образом, на больших глубинах в экспоненциально стратифицированной среде с постоянным коэффициентом поглощения 2
z
1/ z.
Принимая, как и ранее, за единицу измерения глубины величину lтр0 , запишем выражение (6.3.36) в виде: 2
z
z 2pa0 exp 2LD
I K e I1 2 K1 2 e 1
2
0
z /2 LD z /2 LD
2
2
I e I e 1
2
0
2
z /2 LD z /2 LD
K , K 1
2
1
2
2LD / pa 0 .
(6.3.39)
На рис. 6.3.7 представлены графики зависимости величины 2
z
от приведенной глубины z z / lтр0 при различных значе-
ниях величины LD LD / lтр0 . Проанализируем зависимость среднего квадрата угла рассеяния в рассматриваемой среде в зависимости от LD и параметра pa 0 . На рис. 6.3.7,a изображены кривые зависимости 2
z
при la 0.1lтр0 ,
т.е. для сильно поглощающей среды как вблизи границы вещества, так и на любых глубинах, поскольку 0 D z (см. рис.6.3.5,a). Пунктирная кривая на рис.6.3.7,a соответствует значению LD , т.е. однородной, сильно поглощающей среде, в которой
0 20D0 .
2
as
2
В
такой
среде
асимптотическое
значение
2pa 0 2 / 10 0.632 . Естественно, что пунктир-
ные кривые одинаковы как на рис. 6.3.7,a, так и на рис. 6.3.3 и 6.3.4, поскольку значение параметра pa 0 1 / 10 во всех трех случаях одно и то же. Сплошные кривые на рис. 6.3.7,a существенно отличаются от сплошных кривых на рис. 6.3.3, 6.3.4. В то время,
278
как в среде с постоянным коэффициентом угловой диффузии величина 2
z
монотонно возрастает с глубиной, в среде с постоянным
2
коэффициентом поглощения зависимость
z
от z принципи-
ально иная. Сначала, с увеличением глубины за счет рассеяния величина 2 z , естественно, начинает возрастать, что свидетельствует об угловом расширении первоначально мононаправленного пучка. Однако величина 2
z
не успевает выйти на асимптотический
режим, ввиду экспоненциального уменьшения коэффициента угловой диффузии. На некоторой глубине 2
z
достигает своего мак-
симального значения, причем значение в максимуме тем больше, тем больше LD . С увеличением глубины, среда становится практически чисто поглощающей (см. рис. 6.3.5,b). Попадая в такую среду, угловая дисперсия не мононаправленного светового потока начинает уменьшаться, поскольку фотоны, распространяющиеся по сильно искривленным траекториям, поглощаются с большей вероятностью и “выбывают из игры”. В результате световой поток обедняется фотонами, распространяющимися под относительно большими углами (конечно в рамках малоуглового приближения). В результате, большей глубины достигают фотоны, распространяющиеся под малыми углами, почти прямолинейно вдоль направления своего первоначального движения в момент влета в вещество. За счет этого угловой разброс фотонов уменьшается, что и приводит к систематическому уменьшению величины среднего квадрата угла рассеяния по закону 2
z
279
1/ z .
a)
LD
pa0 1 / 10 LD 0.4 LD 0.1
z LD b)
pa0 1 LD 0.4
LD 0.1
z z для разla 0 0.1lтр0 0 20D0 ; b – la 0 lтр0
Рис. 6.3.7. Зависимость среднего квадрата угла рассеяния от глубины личных значений LD : a –
0
2D0
280
На рис. 6.3.7,b представлены графики зависимости величины z в среде, для которой la 0 lтр0 , т.е. pa 0 1 . В этом случае при 2
LD мы имеем однородную, но слабо поглощающую среду. За счет этого, даже на относительно больших глубинах практически отсутствует корреляция между процессами поглощения и рассеяния и значение среднего квадрата угла рассеяния линейно возрастает с глубиной: 2 z 4D0 z 2z / lтр0 , т.е. 2 z 2z . Поэтому
пунктирная прямая идет под углом arctg 2 63.4 . Ход сплошных кривых на рис. 6.3.7,b объясняется теми же факторами, что и на рис. 6.3.7,a.
281
Глава 7. РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО СИГНАЛА В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ §1. Распространение нестационарного сигнала. Связь между стационарной задачей и задачей о нестационарном распространении сигнала Любой физический процесс развивается в пространстве и во времени. Это в полной мере относится и к распространению светового излучения в случайных средах. Поэтому интенсивность излу чения I(r; ; t) в произвольном объеме V зависит от координаты точки наблюдения r и момента времени t и определяется из уравнения переноса с заданными начальным и граничными условиями. Настоящая глава посвящена изучению проблемы распространения нестационарного потока излучения в однородной среде const; D const . Поскольку основным предметом исследования будет изучение временных характеристик поля на различных глубинах внутри среды, то ограничимся рассмотрением случая, когда широкий световой поток падает по нормали к поверхности полубесконечного слоя вещества. Другими словами, рассмотрим проблему распространения нестационарного потока излучения в условиях плоской геометрии, когда интенсивность излучения зависит только от одной декартовой координаты z . Будем считать, что интенсивность излучения внутри среды в начальный момент времени отсутствует: I z 0; ; t 0 Iнач z 0; 0 .
Тогда уравнение переноса (2.1.5) для широкого падающего светового потока с соответствующими дополнительными условиями запишется так: I z; ; t I ct z (7.1.1) I I z; ; t d,
4
I z 0; ; t 0 0 .
282
(7.1.2)
I z 0; ; t Iпад t 0
(7.1.3) 1 Iпад t 1 , 0 . 2 Здесь, как обычно, cos . Величина Iпад t определяет произвольную временную зависимость падающего излучения. Уравнение (7.1.1) с дополнительными условиями (7.1.2), (7.1.3) позволяет определить интенсивность излучения фотонов на глубине z 0 в момент времени t , распространяющихся в направлении в условиях плоской геометрии. Во многих случаях приходится сталкиваться с ситуацией, когда падающее на поверхность излучение включаются в начальный момент времени t 0 и затем его значение не зависит от времени: Iпад ; t I0 0 t . (7.1.4)
Здесь t – единичная функция: t 0 0 и t 0 1 . В этом случае, возможно, что по истечении времени, когда закончатся релаксационные процессы, интенсивность излучения тоже не будет зависеть от времени. Это утверждение формально можно записать так: I z; ; t I z; . (7.1.5)
Если подобная ситуация имеет место, то говорят о стационарном распределении излучения, т.е. о стационарной задаче теории пере носа. В этом случае интенсивность излучения I z; удовлетворя-
ет стационарному уравнению переноса с независящими от времени граничными условиями: I z; I I z; d , (7.1.6) z 4 I I z 0; 0 1 , 0 . (7.1.7) 2 Уравнения (7.1.6), (7.1.7) описывают световое поле в веществе, когда время пребывания фотона в среде оказывается много больше характерного времени tхар изменения светового поля (например,
длительности светового импульса, облучающего мутную среду). В
283
этом случае в среде в каждый момент времени t успевает установиться квазистационарный режим, соответствующий заданным внешним условиям практически в тот же момент времени. Именно поэтому в уравнении (7.1.1) можно пренебречь членом, содержащим производную по времени. Например, в поглощающих средах (морская вода, сильно запыленная атмосфера) в качестве характерного времени следует принять время нахождения фотона в среде до его поглощения: tхар la / c 1 / c . Тогда условие квазистационарности поля излучения может быть записано в виде: t la / c . Фактически везде ранее мы предполагали, что условие квазистационарности выполняется, и поэтому рассматривали в качестве основного уравнения – стационарное уравнение (7.1.6). Существует простая связь между нестационарными и стационарными задачами линейной теории переноса светового излучения. Если оптические параметры среды не зависят от времени, то оказывается возможным свести нестационарную систему уравнений (7.1.1)-(7.1.3) к системе уравнений, которые формально выглядят как стационарные уравнения (7.1.6), (7.1.7). Для этого воспользуемся преобразованием Лапласа по времени: I z; ; p I z; ; t e pt dt . (7.1.8)
0
– лаплас-образ интенсивности излучения Здесь I z; ; p I z; ; t . Умножая обе части уравнений (7.1.1) и (7.1.3) на e pt dt
и, интегрируя по t в пределах от нуля до бесконечности, получим: I z; ; p p I I z; ; p d . z c 4 (7.1.9) Iпад p I z 0; ; p 1 , 0 . (7.1.10) 2 Здесь
Iпад p Iпад t e pt dt . 0
284
(7.1.11)
Величина Iпад p есть лаплас-образ временной части падающего внешнего излучения Iпад t . При получении уравнения (7.1.9) было учтено известное соотношение при преобразовании производ ной. Поскольку I z; ; t 0 0 , то I z; ; t pt t pt dt I z ; t e pI z p pI z ; ;p . e ; ; ; 0 t0 t Величина p в уравнении (7.1.9) и граничном условии (7.1.10) играет роль параметра. Уравнение (7.1.9) формально идентично уравнению (7.1.6), если в последнем сделать замену I z; ; t I z; ; p , p / c . (7.1.12)
Таким образом, в уравнение (7.1.9) вместо истинного коэффициента поглощения входит величина p / c . Величину p / c называют "временным поглощением" (Time absorption). Временное поглощение учитывает конечность скорости света и связанный с этим эффект "запаздывания". Таким образом, формально нестационарная задача теории переноса сводится к решению стационарного уравнения с комплексным коэффициентом поглощения p / c . Если решение уравнения переноса (7.1.9) для лаплас-образа I z; ; p будет найдено, то ин тенсивность излучения I z; ; t на глубине z в момент времени t
можно определить, используя формулу обращения Лапласа: i0 1 I z; ; t I z; ; p ept dp . (7.1.13) 2i i0
Интегрирование в формуле (7.1.13) ведется в комплексной p плоскости, по прямой Re p 0 0 , параллельной мнимой оси. Значение 0 0 выбирается так, чтобы все особые точки величи ны I z; ; p были расположены в комплексной полуплоскости
Re p 0 . Все сказанное выше носит общий характер и справед-
285
ливо при любых углах рассеяния 1 1 и в том числе, когда имеется нестационарное поле обратнорассеянного излучения на поверхности вещества для 1 0 . Тем более, сделанные выше заключения, справедливы и в случае малоуглового рассеяния, когда все фотоны распространяются в глубь среды 0 , а отраженное излучение отсутствует: I z 0; 0; t 0 . На первый взгляд может показаться, что по своей сложности задача о вычислении интенсивности излучения в нестационарном случае и решение стационарного уравнения (7.1.6) почти одинаковы. Однако это не так. В то время, как в уравнении (7.1.6) все величины действительны и положительны, в преобразованном уравнении (7.1.9) некоторые величины становятся комплексными. Кроме того, выполнение обращения Лапласа (7.1.13) может оказаться достаточно сложной математической задачей. В качестве простейшей иллюстрации изложенной выше схемы вычисления интенсивности временного сигнала, рассмотрим случай, когда на поверхность вещества падает широкий импульсный временной сигнал: Iпад t E0 t . Если не учитывается флуктуация длин путей фотонов из-за рассеяния, т.е. в уравнении (7.1.1) считается, что I / z I / z , то решение соответствующей стационарной задачи имеет вид: I z; e z I z; . (7.1.14) Величина I z; определяет угловой спектр фотонов на глубине
z и не зависит от коэффициента поглощения. В стандартном мало угловом диффузионном приближении величина I z; определя-
ется гауссовским распределением (3.1.17). В стандартном малоуг ловом приближении величина I z; определяется распределе-
нием Мольера – Компанейца (4.5.16). Существенно, что если не учитывать искривление траектории фотонов из-за рассеяния, коэффициент поглощения входит только в показатель экспоненты в формуле (7.1.14). Используя известное решение стационарной за дачи I z; , получим выражение для интенсивности I z; ; t ,
286
соответствующей нестационарной задачи. Для этого, заменим в формуле (7.1.14) истинный коэффициент поглощения на комплексный “коэффициент поглощения” p / c и воспользуемся формулой обращения (7.1.13). Тогда будем иметь: 1 i0 pt z/c z e I z; ; t e I z; dp (7.1.15) . 2i i0 Поскольку подынтегральная функция в (7.1.15) не имеет полюсов или точек ветвления, то можно выбрать 0 0 , т.е. проводить интегрирование по мнимой оси Re p 0 . Делая замену переменных p i , dp id , перепишем выражение (7.1.15) в виде:
1 it z/c I z; ; t e z I z; e d . 2 После интегрирования окончательно получаем следующее выражение для интенсивности излучения при нормальном падении на поверхность вещества широкого -импульсного сигнала: I z; ; t e z I z; t z / c . (7.1.16)
В частности, в СМДП выражение (7.1.16) будет иметь вид: 2 e z (7.1.17) I z; ; t E0 t z / c exp . 4Dz 4Dz
Формула (7.1.17) уже была получена ранее в §1 третьей главы (формула (3.1.16)) совершенно другим способом – методом характеристик для уравнения (3.1.8), без использования преобразования Лапласа. Как уже отмечалось, наличие -функции t z / c c s z означает, что в рассматриваемом приближении, когда не учитывается флуктуация длин путей фотонов, путь, проходимый фотонами s ct в слое вещества толщиной z , равен глубине проникновения фотона в вещество, т.е. s z . Следовательно, в любой момент времени t все фотоны находятся на глубине z ct , т.е. не происходит временной трансформации сигнала – сигнал имеет -
287
образный вид на любой глубине z lтр , где допустимо малоугловое приближение.
§2. Распространение широкого -импульсного нестационарного сигнала в однородной среде с учетом флуктуаций длин путей фотонов из-за рассеяния Постановка задачи. Общее решение в МДП Пусть бесконечно широкий, -импульсный световой поток с энергией в импульсе E0 падает по нормали к поверхности вещества в направлении 0 вдоль оси z (рис.7.2.1).
t0
t I z; ; t
E0
0
z
O
z ct -импульсного пучка по нормали к поверхности вещества в направлении 0 (вдоль оси z ); – угол отклонения фотона от оси z в момент времени t Рис. 7.2.1. Условное изображение падения широкого
В §1 третьей главы в рамках СМДП уже рассматривалась задача о прохождении временного -импульсного сигнала при падении
288
широкого светового потока по нормали к поверхности вещества. Поскольку в СМДП не учитывается флуктуация длин путей фотонов из-за рассеяния, то на глубинах z lтр (где применимо малоугловое приближение) зависимость интенсивности излучения I z; ; t от времени носила тривиальный характер: I z; ; t z ct , т.е. на любой глубине сохранялась образная пространственно-временная форма падающего сигнала. Ниже, в рамках МДП будет показано, что учет флуктуаций длин путей фотонов из-за рассеяния радикально изменяет динамику распространения временного сигнала в однородной среде. Основные характеристики импульса – форма импульса, его значение в максимуме, длительности переднего и заднего фронтов и т.д. будут существенно зависеть от оптических параметров вещества – коэффициента угловой диффузии D и коэффициента поглощения . В частности, форма импульса оказывается отличной от -образной. В рамках МДП решение соответствующей стационарной задачи было получено во втором параграфе пятой главы (5.2.19) и выглядит так: 2 exp 2 2D / th z 2D I0 I z; exp z . (7.2.1) 2 2D / sh z 2D
Осуществляя в (7.2.1) замену p / c и I0 E0 , получим выражение для лаплас-образа интенсивности излучения при падении на поверхность вещества -импульсного сигнала с учетом флуктуаций длин путей фотонов из-за рассеяния: I z; ; p p/c 2 exp (7.2.2) 2 2 2D th 2Dz p / c p I0e p/c z . 2 c 2 2Dsh 2Dz p / c Как видим, учет искривления траекторий движения фотонов из-за рассеяния приводит к весьма сложному выражению для лаплас-
289
образа интенсивности излучения. Трудно представить, что возможно вычислить аналитически оригинал, т.е. интенсивность излучения I z; ; t . Это наглядно демонстрирует утверждение, сделанное в предыдущем параграфе. Хотя с формальной точки зрения физическое решение задачи можно считать найденным, но получение конкретного выражения для интенсивности излучения переносится в чисто математическую плоскость, связанную с вычислением обращения Лапласа по формуле (7.1.13). Сделаем в выражениях (7.2.2) и (7.1.13) замену переменной интегрирования: q c q 2Dz2 p / c p / c dq . dp 2 2Dz 2Dz2 Теперь выражение (7.2.2) будет выглядеть так: 2 q exp q 4Dz th q E0 2Dz I z; ; q e q . (7.2.3) 2 2Dz sh q
Формула обращения Лапласа теперь будет иметь вид: i0 c qt ce ct 1 2 Dz2 I z; ; t I z ; ; q e dq (7.2.4) . 2Dz2 2i i 0 При необходимости величину 0 можно положить равной нулю, так как из физических соображений, очевидно, что порядок роста функции I z; ; t равен нулю, т.е. эта функция не возрастает экспоненциально со временем за счет наличия поглощения в среде. Формально это означает, что все особенности лаплас-образа I z; ; q лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости q , т.е. в области Re q 0 . Если положить 0 0 и сделать замену переменной интегрирования q i , то формула обращения Лапласа (7.2.4) преобразуется в формулу обращения Фурье от фурье-образа I z; ; интенсивности излучения по времени. Подставляя (7.2.3) в (7.2.4), получаем:
290
i 2 q exp 4Dz th q ce ct 1 I z; ; t E0 2Dz2 2i 4Dz sh q
2ctDzz2 q qdq .(7.2.5) e
i
Выражение (7.2.5) определяет интенсивность излучения на глубине z в момент времени t для фотонов, которые распространяются под углом к оси Oz . §3. Вычисление временной зависимости полного светового потока на различных глубинах Полученное в предыдущем параграфе выражение (7.2.5) содержит исчерпывающую информацию о характере временного сигнала по всем трем переменным – глубине z , углу отклонения и времени t . Полный анализ выражения (7.2.5) для интенсивности излучения I z; ; t весьма объемен и связан с большим количеством чисто математических вычислений. Поэтому в рамках данного учебного пособия, не претендуя на детальное исследование пространственно-угловых характеристик временного сигнала, проанализируем только основные особенности зависимости полного светового потока I z; t от глубины и времени, т.е. пространственновременную структуру светового сигнала безотносительно к направлению распространения . Этого вполне достаточно, чтобы читатель смог понять основные особенности пространственновременной зависимости светового сигнала и то новое, что привносит учет флуктуаций длин путей фотонов по сравнению со СМДП, рассмотренным ранее. Поэтому в этом параграфе вычислим зависимость полного потока излучения I z; t на глубине z от времени t :
I z; t 2 I z; ; t d . 0
291
(7.3.1)
Подставляя (7.2.5) в (7.3.1) и учитывая, что 2 q exp 4Dz th q 2 d 4Dzsh q
1 qch
q
,
0
получим: I z; t E0
ce ct . 2Dz2
(7.3.2)
Здесь i0
1 ep dp , 2i ch p
(7.3.3)
i0
ct z . (7.3.4) 2Dz2 Таким образом, вычисление полного светового потока свелось к вычислению универсальной функции одной переменной (7.3.4), которая, в свою очередь, зависит от переменных z и t . (В формуле (7.3.3) опять переобозначено q p .) Интеграл в формуле (7.3.3) можно вычислить двумя способами: 1. Поскольку интегрирование по p в формуле (7.3.3) можно вести в комплексной p -плоскости по любой прямой Re p 0 0 , параллельной мнимой оси сдвинутой относительно неё вправо. Выбирая в качестве такой прямой прямую, лежащую в области Re p 1 , т.е. 0 1 , и используя формулу для бесконечно убывающей геометрической прогрессии, можно воспользоваться z; t
следующим представлением для функции ch p
292
1
:
2 exp p 1 ch p 1 exp 2 p
2e
p
k
1
(7.3.5)
e 2k
p
k0
k
2 1 e
p 1 2k
.
k 0
Поскольку 1 2i
2k 1 1 2k 12 exp ; p 1 2k p e dp 2 3/2 4 i e 0, 0, i
0,
(7.3.6) получаем следующее выражение для функции : 2k 12 1 2k 1 exp , 0 . (7.3.7) 4 k 0 2. Воспользуемся представлением гиперболического косинуса в виде бесконечного произведения: 4p (7.3.8) ch p 1 2 . 2 2k 1 k 0 Из (7.3.8) видим, что подынтегральная функция имеет бесконечное число простых полюсов на действительной оси комплексной p 1 1 3/2
k
2
плоскости в точках pk 2 / 4 2k 1 при k 0,1, 2, ... . Так как все особые точки подынтегральной функции лежат в области Re p 0 , то при 0 функция 0 . При 0 выберем контур интегрирования, состоящий из прямой, идущей вдоль мнимой оси Re p 0 0 0 и полуокружности радиуса R в области Re p 0 (рис.7.3.1).
293
Im p
R
p3
p2
p1
p0 O
Re p
Рис. 7.3.1. Контур интегрирования при вычислении интеграла (7.3.3)
Устремляя R и используя теорию вычетов, получаем: 2 2 k 0, 1 2k 1 exp 2k 1 ; k 0 (7.3.9) 4 0; 0. Формулы (7.3.7) и (7.3.9) являются двумя различными представлениями одной и той же универсальной функции . Нетрудно убедиться, что функция удовлетворяет условию нормировки:
d 1 .
(7.3.10)
0
Действительно, используя, например, представление (7.3.9) для , получаем:
294
2 2k 12 k d 1 2 k 1 exp d 0 0 4 k 0
k
4 1 . k 0 2k 1 Полученный ряд суммируется, что приводит к результату (7.3.10). На рис. 7.3.2 сплошной линией представлен график функции . Видно, что эта функция имеет резко выраженный максимум
при н.в 0.17 . График функции резко ассиметричен. В области н.в функция убывает значительно медленнее, чем в области 0 н.в , имея длинный вытянутый хвост при 1 . В области 0 н.в функция очень быстро убывает от своего наибольшего значения max н.в 1.85 до нуля при 0 . Пунктирная кривая на рис.7.3.2 изображает зависимость , рассчитанную по формуле: 1 exp 1 / 4 , 0 1 / 3 . (7.3.11) 3/2 Эта приближенная формула получается из разложения (7.3.7), если в последнем удержать только одно слагаемое с k 0 . Формула (7.3.11) очень хорошо описывает истинную функцию в области относительно малых значений 0 1 / 3 . 1
295
2
1
0.17 Рис. 7.3.2. График точной функции – сплошная кривая; график приближенной функции 1 – пунктирная кривая; график приближенной функции 2 – штрихпунктирная кривая
Из рисунка видно, что кривые и 1 в этой области значений практически не различимы. Важно, что простое приближенное выражение (7.3.11) с высокой точностью аппроксимирует функцию (7.3.3) как раз в той области, где имеет максимум. Действительно, из уравнения d1 / d 0 , находим
н.в 1 / 6 , что практически не отличается от точного значения: н.в 0.17 1 / 6 . (7.3.12)
296
Штрихпунктирная кривая на рис.7.3.2 изображает зависимость , рассчитанную по другой формуле: 2 exp 2 / 4 ,
1 / 3 .
(7.3.13)
Приближенная формула (7.3.13) получается из разложения (7.3.9), если в последнем удержать только одно слагаемое с k 0 . Видно, что формула (7.3.13) является хорошей аппроксимацией функции в области относительно больших значений 1 / 3 : кривые и 2 в этой области значений практически не различимы. Другими словами, формула (7.3.13) определяет асимптотическое поведение функции . С учетом всего сказанного, можно предложить следующую простую и достаточно точную аппроксимацию для универсальной функции (7.3.3): i 1 exp 1 / 4 , 1 e p 3/2 dp 2i ch p exp 2 / 4 , i
0 1 / 3 ; 1 / 3 .
(7.3.14) В точке сопряжения 1 / 3 значения функций , 1 и 2 отличаются только в третьем знаке после запятой: 1 / 3 1.375 , 1 1 / 3 1.380 . 2 1 / 3 1.385 . Теперь, имея в своем распоряжении сравнительно простую и точную (7.3.14) аппроксимацию функции , с учетом формулы (7.3.4), получаем следующее выражение для светового потока (7.3.2) в момент времени t на глубине z , при облучении поверхности однородного вещества широким -импульсным световым сигналом в МДП, т.е. с учетом флуктуаций длин путей фотонов изза рассеяния: Dz2 / 2 2Dz 2 e ct I z; t E0c exp , ct z 3/2 ct z 2Dz2 0 ct z , 3
297
(7.3.15)
2 exp ct z , 2 2 2Dz 8Dz 2 2Dz (7.3.16) ct z . 3 В заключение этого параграфа получим из общей формулы (7.3.2) выражение для количества световой энергии, проходящей через всю плоскость на глубине z за все время наблюдения, т.е. вычислим величину I z; t E0ce ct
I z I z; t dt .
(7.3.17)
0
Объединяя формулы (7.3.2)-(7.3.4), можно записать выражение для полного потока излучения в виде: i0
I z; t E0ce ct
1 exp p ct z dp . 2i ch 2Dz2 p
(7.3.18)
i 0
2
Здесь обозначено 2Dz p p . Проинтегрируем полученное выражение по времени. Учитывая, что 1 ct pct dt , 0 e c p будем иметь: i0
1 I z E0 2i
exp zp
p ch 2Dz2 p
dp .
(7.3.19)
i0
Как было показано выше, функция ch 2Dz2p имеет нули только в левой полуплоскости Re p 0 . Поэтому в правой полуплоскости подынтегральная функция в (7.3.19) имеет один простой полюс p . Поскольку z 0 , то выбирая контур интегрирования, как это показано на рис.7.3.3, и используя теорему о вычетах при R , получаем, что
298
Im p
R
O
Re p
Рис. 7.3.3. Контур интегрирования при вычислении интеграла (7.3.19)
1 exp zp I z I0 2i 2i ch 2Dz 2p p exp z exp z I0 I0 . 2 ch z / la lтр ch 2Dz k
(7.3.20)
(Знак “минус” в фигурных скобках возникает, поскольку обход контура происходит по часовой стрелке.) Естественно, что после интегрирования по времени получили результат (5.3.2), возникающий при решении соответствующей стационарной задачи. §4. Исследование пространственно-временной зависимости распространения светового сигнала В соответствии с формулами (7.3.2) и (7.3.4) световой поток на глубине z в момент времени t определяется выражением:
299
ce ct ct z (7.4.1) . 2Dz2 2Dz2 – универсальная функция (7.3.3), свойства которой I z; t E0
Здесь
были подробно изучены в предыдущем параграфе. Функция не зависит от коэффициента поглощения, а определяется только рассеивающими свойствами среды, т.е. коэффициентом угловой диффузии D и имеет максимум при 1 / 6 . Таким образом, величина I z; t определяется произведением двух функций. Одна из них есть буггеровская экспонента e ct e s , которая определяет только убывание потока фотонов, прошедших путь s ct за счет поглощения. Вторая функция, которая не зависит от коэффициента поглощения, определяет профиль импульса с учетом искривления траектории фотонов из-за рассеяния. Характер временного сигнала на фиксированной глубине Поскольку 0 0 , то из (7.4.1) следует, что на глубине z световой поток отличен от нуля только для времен t z / c . Это объясняется тем, что путь s ct , проходимый фотонами за время t , не может быть меньше глубины z . Таким образом, первые фотоны появляются на глубине z в момент времени t z / c 0 . Затем величина импульса возрастает за счет возрастания функции , и в некоторый момент времени tm z достигает наибольшего значения на заданной глубине z . Величина tm z определяется из условия dI z; t / dt 0 . Из формулы (7.3.15) следует, что в диапазоне времен ct z 1 0 , 2Dz 2 3 т.е. z z z (7.4.2) t 1 , c c 3lтр световой поток определяется выражением:
300
Dz2 / 2 exp ct ct z 2Dz2 I z; t E0c . 3/2 ct z
(7.4.3)
Решая уравнение dI z; t / dt 0 , где I z; t определяется формулой (7.4.3), получим: z z 2Dz z 1 tm (z) 1 1 . 2 2 c 3 9 8Dz c lтр 3 9 4z / lalтр (7.4.4) Выражение (7.4.4) определяет значение tm (z) при условии, что выполняется неравенство (7.4.2): 1 1 0 . 3 9 4z2 / la lтр 3 Видим, что неравенство (7.4.2) выполняется на любых глубинах.
В области относительно малых глубин z la lтр , z Dz z z (7.4.5) 1 1 , z la lтр , c 3 c 6lтр т.е. величина tm (z) определяется только коэффициентом угловой диффузии и не зависит от коэффициента поглощения. tm (z)
В области относительно больших глубин z la lтр , la z D z 1 1 , z la lтр . (7.4.6) c 2 c 4lтр Величина tm (z) определяется как коэффициентом угловой диффузии, так и коэффициентом поглощения, причем tm (z) z . Момент времени, когда на данной глубине z регистрируется максимум сигнала, уменьшается с увеличением поглощения. Действительно, если под средней (эффективной) скоростью распространения импульса понимать среднюю скорость распространения его максимума, то
tm (z)
301
vср z
z c c . tm (z) 1 D / 2 1 la / 4lтр
(7.4.7)
Из (7.4.7) видно, что vср z увеличивается с увеличением . Поскольку световой сигнал, испущенный источником, регистрируется приемником начиная с момента времени t z / c , то разность tm (z) z / c представляет собой промежуток времени, в течение которого сигнал на глубине z от нуля достигает своего наибольшего значения: пер t m (z) z / c . (7.4.8) Таким образом, величина пер есть длительность переднего фронта импульса. Подставляя (7.4.4) в (7.4.8), получаем: z / lтр 2Dz2 z пер z . c 3 9 4z2 / la lтр c 3 9 8Dz2
(7.4.9)
Из (7.4.9) видно, что длительность переднего фронта импульса уменьшается с увеличением поглощения в среде. Это и понятно, поскольку с увеличением поглощения уменьшается относительная доля фотонов, приходящих в точку наблюдения по сильно искривленным “траекториям”: передний фронт импульса формируется в основном фотонами, которые испытали незначительное рассеяние и распространяются по траекториям, средняя длина которых мало отличается от z . Что касается временной формы переднего фронта импульса, то она определяется выражением (7.4.3): Dz2 / 2 e x p ct ct z 2Dz2 Iпер z; t E0c , ct z 3/2 z (7.4.10) t пер z . c Теперь обсудим форму заднего фронта импульса, т.е. характер светового сигнала при t пер z . При временах
ct z 1 , 2Dz2 3
т.е.
302
z z (7.4.11) 1 , c 3lтр величина 1 / 3 и световой поток определяется приближенным выражением (7.3.16): 2 c ct e exp ct z . (7.4.12) Iздн z; t E0 2 2 2Dz 8Dz Выражение (7.4.12) можно записать в виде: 2 t c exp Iздн z; t E0 (7.4.13) . exp 2 2Dz 8Dz здн Здесь здн – характерное время спада величины сигнала (уменьшение потока в e раз), т.е. длительность его заднего фронта: l 1 1 здн a . (7.4.14) 2 2 la lтр c 1 c 4 z2 8Dz2 Из (7.4.14) видно, что в области относительно больших глубин z la lтр характерное время спада заднего фронта t
здн la / c 1 / c , т.е. определяется только поглощающими свойствами среды. Световой поток в этой области глубин определяется выражением: 2 c Iздн z; t E0 exp exp ct , z la lтр . (7.4.15) 2 2Dz 8Dz Проанализируем динамику распространения светового сигнала, определяемую точной формулой (7.4.1), когда для функции использовано её представление в виде ряда (7.3.9): ct lтр la 2 ct z k I z; t E0c 2 e 1 2k 1 exp lтр 2k 12 . 2 z z k 0 4 (7.4.16) Для графического изображения формы импульса удобно, как обычно, ввести приведенную глубину z , выбрав за единицу изме-
303
рения длины величину lтр , а вместо времени t ввести приведенное время t , выбрав за характерное время величину lтр / c : z
z t ct , t . lтр lтр / c lтр
(7.4.17)
Величина s s / lтр ct / lтр одновременно является приведенной длиной пути, пройденного фотоном за время t . Другими словами, в приведенных единицах s t . Тогда для величины I z ; t I z ; s , связанной с величиной светового потока I z; t стандартным соотношением I z ; t dt I z; t dt , т.е. I z; t
lтр c
I z; t ,
(7.4.18)
запишем: t
2 t z p2a k e 1 2 1 exp k 2k 12 . 2 2 z k 0 4 z (7.4.19) Теперь, формула (7.4.4) для положения максимума импульса на приведенной глубине z будет выглядеть так: t (z ) z2 tm (z pa ) m z . (7.4.20) 2 lтр / c 3 9 2z / p I z ; t pa E0
a
Приведенную длительность переднего и заднего фронтов импульса можно рассчитать по формулам: пер z z2 пер (z pa ) tm (z pa ) z , (7.4.21) 2 lтр / c 3 9 2z / pa здн z pa
Параметр
pa
здн lтр / c
определяется
pa2 2
1 pa / 2z
по-прежнему
pa la / lтр . В слабо поглощающих средах
304
.
(7.4.22)
формулой
(5.3.5):
l
a
lтр параметр
pa 1 . В сильно поглощающих средах la lтр , pa 1 . Таким образом, в терминах приведенной глубины и приведенного времени все величины зависят только от одного параметра pa , как и в стационарных задачах. На рис.7.4.1 для иллюстрации представлен график зависимости приведенного потока I от приведенного времени t в консервативной среде, рассчитанный по формуле (7.4.19) E0 1 : I z ; t pa
z2
2
1 2k 1 exp 4 k
k 0
t z 2 2k 1 , 2 z (7.4.23)
I t
z lтр / 4 Длительность переднего фронта импульса
t Рис. 7.4.1. График зависимости приведенного потока от приведенного времени t в консервативной среде. Вертикальная прямая указывает положение максимума импульса
305
Приведенная глубина выбрана равной z 1 / 4 . На этой глубине световой сигнал возникает в момент времени t0 lтр / 4с , т.е. при
t0 0.25 . Из формул (7.4.20), (7.4.21) находим, что tm (z 0.25 pa ) 0.25 1 / 96 0.26 и пер 0.01 , что отчет-
ливо видно на рисунке. На рис.7.4.2 представлены графики зависимости приведенного потока от времени на фиксированной глубине z 0.5 при различных соотношениях между длиной поглощения la и транспортной длиной lтр , т.е. при различных значениях параметра pa .
I t la lтр / 2
la lтр / 3
z lтр / 2 la lтр / 5
t Рис. 7.4.2. Зависимость светового потока от времени t на глубине z 0.5 при различных значениях pa
306
Вертикальные линии на рис.7.4.2 указывают значения времен t pa , при которых импульсы имеют наибольшее значение. Видим, что они практически сливаются. Это значит, что при выбранных параметрах положение максимумов импульсов очень слабо m
I t z 0.5
la 0.2lтр
z 0.6 z 0.7 z 0.8 t Рис. 7.4.3. Зависимость светового потока от времени на различных глубинах в сильно поглощающей среде: la 0.2lтр
зависят от коэффициента поглощения, т.е. от параметра pa . Действительно, из формулы (7.4.20) получаем, что: tm (la lтр / 2) 0.540 , tm (la lтр / 3) 0.539 , tm (la lтр / 5) 0.537 ,
т.е. отличие наблюдается только в третьем знаке после запятой! Однако значение импульса в максимуме существенно зависит от соотношения между величинами la и lтр . Например, значения в
307
максимуме для la lтр / 2 и la lтр / 5 отличаются примерно в пять раз. Таким образом, с увеличением поглощения длительность переднего фронта импульса практически не изменяется, его амплитуда уменьшается, и увеличивается быстрота спада импульса с увеличением t . Характерные длительности задних фронтов импульсов, рассчитанные по формуле (7.4.22), равны: здн la lтр / 2 0.155 , здн la lтр / 3 0.118 , здн la lтр / 5 0.083 .
Напомним, что чем здн меньше, тем быстрее спадает задний фронт импульса, так как Iздн exp t / здн . На рис.7.4.3 представлены графики зависимости приведенного потока от приведенного времени на различных глубинах z для la 0.2lтр , т.е. случая сильно поглощающей среды: pa 1 / 5 0.45 . Из рисунка видно, что с увеличением глубины импульс сильно деформируется – его значение в максимуме уменьшается, а сам импульс становится шире. Площадь под кривыми уменьшается, что означает уменьшение полной световой энергии, проходящей через всю плоскость z за всё время:
z
I z ; t dt
z /c
I z ; t dt I z ; t dt .
z/lтр
(7.4.24)
z
Подставляя сюда значение I z ; t pa , определяемое формулой (7.4.19), после интегрирования получим, что z pa E0e
z pa2
4 1k k 0
2k 1 4z 2 2k 1 2 2 pa 2
Учитывая, что
k
2k 1
1 2k 1
2
k 0
x
получаем x 2z / pa :
308
2
, 4ch x 2
.
(7.4.25)
E E0e
z pa2
1 e z E0 . ch z / pa ch z / la lтр
(7.4.26)
Естественно, что выражение (7.4.26) определяет световой поток (5.3.2), (7.3.20) на глубине z при облучении поверхности вещества широким стационарным световым потоком. Из формулы (7.4.26) следует, что на поверхности вещества, как и должно быть, E z 0 pa E0 при любом значении pa . В консервативной среде E z pa E0 , т.е. полная световая энергия, проходящая на любой глубине за всё время, равна полной энергии -импульса, падающего на поверхность вещества, что отражает закон сохранения энергии при отсутствии поглощения. Характер временного сигнала на различных глубинах Если рассматривается картина светового поля в фиксированный момент времени t , то из формулы (7.4.1) можно определить положение максимума светового сигналя, т.е. ту глубину zm , на которой световой сигнал имеет наибольшее значение в данный момент времени. Действительно, при фиксированном значении t , положение максимума выражения (7.4.1) определяется положением максимума функции , который имеет место при 1 / 6 . Поэтому, решая относительно z квадратное уравнение ct z 1 , (7.4.27) 2Dz2 6 находим, что ct ct zm t . (7.4.28) 1 1 ctD 1 1 ct 2 4 3 2 4 6lтр Естественно, что zm t ct , так как в той области глубин, где наблюдается световой сигнал, должно выполняться условие ct z . Из (7.4.28) следует, что величина zm t не зависит от поглощающих свойств среды, а определяется только величиной коэффици-
309
ента угловой диффузии D , т.е. транспортной длиной рассеяния. Как и следовало ожидать, при t 0 максимум светового сигнала находится на поверхности вещества: zm t 0 0 . С увеличением времени сигнал проникает в глубь среды. При ct 6lтр , положение максимума сигнала продолжает расти со временем по закону: zm 6lтр ct , t 6lтр / c , (7.4.29) хотя само значение в максимуме уменьшается (см. формулу (7.4.32)). Значение светового потока на глубине zm t легко определяется из общей формулы (7.4.1), если учесть, что max 1 / 6 1.85 (см. рис. 7.3.2.): Im t I zm t ; t E0
1.85c e ct . 2Dz2m t
(7.4.30)
Подставляя в (7.4.30) значение zm t , определяемое формулой (7.4.28), получим: lтр 1 Im t 1.85E0 2 ct 2
2
1 ct ct e . 4 6lтр
(7.4.31)
При t 0 величина Im t 0 1 / t 2 , поскольку при t 0 интенсивность светового сигнала отлична от нуля только на поверхности вещества и пропорциональна t . При больших временах t lтр / c амплитуда светового импульса убывает по закону: e ct , t lтр / c . (7.4.32) t Таким образом, в асимптотике величина максимума светового сигнала зависит только от поглощающих свойств среды. Появление в формуле (7.4.32) множителя t 1 вызвано удлинением “траектории фотонов” из-за рассеяния. В терминах приведенного времени t ct / lтр , формулы Im t 0.31E0
(7.4.28) и (7.4.30) для величин
310
zm t
zm t t lтр / c
lтр будут выглядеть так:
zm t
, Im t dt I m t dt , Im t 1 2
1 t 4 6
lтр с
,
Im ,
(7.4.33)
2
t
1 1 t p2a Im t pa e . (7.4.34) 4 6 2 Значение величины светового потока I z ; t pa определяется об1.85E0 t2
щей формулой (7.4.19). Интересно отметить, что величина zm определяется только моментом времени t и не зависит (в приведенных единицах) от параметра pa . На рис.7.4.4. представлена зависимость величины zm t от приведённого времени t , рассчитанная по формуле (7.4.33).
zm
t Рис. 7.4.4. Зависимость глубины zm , на которой сигнал достигает своего наибольшего значения, от приведенного времени
311
t
Разрешая выражение (7.4.33) относительно zm , получим: t
6 zm zm
. (7.4.35) 6 Конечно, тот же результат получается из выражения (7.4.28), если его разрешить относительно t . Подставляя найденное значение t в (7.4.34), получим уравнение огибающей, т.е. касательной к графикам функций I z ; t pa в точках их максимумов: Fm z pa E0
1 6 z z 1.85 exp 2 . 2 z 6 pa
(7.4.36)
На рис.7.4.5. представлены графики зависимости полного светового потока от глубины в различные моменты времени, рассчитанные по общей формуле (7.4.19), в сильно поглощающей среде для значения pa 1 / 5 , т.е la 0.2lтр , E0 1 .
l 0.2l a тр t 0.4
Fm z
t 0.5 t 0.6 t 0.7
z Рис. 7.4.5. Зависимость полного светового потока от глубины в различные моменты времени для значения параметра pa 1 /
5 . Пунктирная кривая – оги-
бающая максимумов импульсов
312
Пунктирная кривая на рисунке – огибающая максимумов импульсов, рассчитанная по формуле (7.4.36). Формула (7.4.36) позволяет при заданном значении параметра pa определить максимум сигнала на произвольной глубине z . Рассмотрим, например, пространственную форму импульса в момент времени t 0.5 , т.е. t 0.5lтр / c . В этот момент времени сигнал достигает глубины z t 0.5 , т.е z 0.5lтр . Поэтому в области глубин z 0.5 све-
товое поле отсутствует: все фотоны сосредоточены в области глубин z 0.5 . Глубину, на которой световой сигнал в момент времени t 0.5 имеет максимум (независимо от значения pa ), можно определить по формуле (7.4.33): zm t 1 / 2 0.46 , что соответствует положению максимума на рис.7.4.5. При больших временах t 6 , т.е. t 6lтр / c амплитуда светового сигнала, уменьшается по закону: Fm z pa E0
z2 1.85 e x p 2 , t 6lтр / c . z2 pa
(7.4.37)
В консервативной среде pa величина максимума уменьшается по степенному закону: Fm z pa E0 / z 2 . При наличии поглощения максимальное значение импульса убывает значительно быстрее. В области глубин 0 z zm t световой поток монотонно возрастает от нуля (в соответствии с формулой (7.4.19)) до наибольшего значения, определяемого формулой (7.4.36). Далее, в интервале глубин zm t z t световой поток монотонно уменьшается от своего наибольшего значения до нуля при z t , т.е. z ct .
313
Приложение 1 Общие свойства индикатрис рассеяния в неупорядоченных средах Поскольку индикатриса является ядром уравнения переноса, то сложность решения этого уравнения определяется, в первую очередь, именно видом закона однократного рассеяния из состояния в состояние . Встречающиеся в природе реальные индикат рисы имеют весьма сложный вид, в частности, из-за
того, что рассеивающие центры имеют несферическую форму, сложную внутреннюю структуру и неодинаковые размеры. Строгой теории рассеяния на таких частицах нет. В подавляющем большинстве случаев характер вероятности однократного рассеяния определяется экспериментально при натурных измерениях. Поэтому для описания процесса однократного рассеяния, что необходимо для получения аналитического решения уравнения переноса, в большинстве случаев приходится заменять реальную среду более простой модельной средой. Одна из самых распространенных моделей среды – модель монодисперсной среды. В этой модели все рассеиватели считаются одинаковыми – однородными сферами радиусом a . Обсудим некоторые общие свойства индикатрис рассеяния на сферических центрах и приведем ряд формул, которые будут в дальнейшем использоваться при решении различных задач теории переноса света в случайных средах. Общие соотношения для индикатрис рассеяния на сферических центрах При рассеянии на сферических частицах индикатриса рассеяния зависит только от косинуса угла рассеяния фотона из начального состояния в конечное состояние 1: cos , cos , . (П.1.1)
1
Отметим, что это свойство сохраняется и для несферических частиц, если они ориентированы хаотически, так что любой микрообъём, содержащий их, сферически симметричен.
314
Условие нормировки (1.1.11) теперь запишется так:
1
2 cos sin d 2 x dx 1 , x cos .
(П.1.2)
1
0
Разложение индикатрисы рассеяния в ряд по полиномам Лежандра При решении многих задач теории переноса бывает крайне полезно представить индикатрису рассеяния в виде ряда по полиномам Лежандра: 2l 1 cos l Pl cos . (П.1.3) 4 l 0 Полиномы Лежандра ортогональны на интервале значений 1 cos 1
1
Pn cos Pm cos sin d 0
2 P x P x dx 2n 1 n
m
n,m
.
1
(П.1.4) Здесь n,m – символ Кронекера. С учетом условия ортогональности (П.1.4), коэффициенты разложения индикатрисы в ряд по полиномам Лежандра определяются выражением:
1
l 2 cos Pl cos sin d 2 x Pl x dx . (П.1.5) 1
0
Таким образом, набор коэффициентов
l
разложения (П.1.5)
полностью определяет закон однократного рассеяния cos . Если все l 1 , то
2l 1 1 Pl cos 1 cos . (П.1.6) 4 2 l 0 Формула (П.1.6) представляет разложение угловой -функции в ряд по полиномам Лежандра. Полагая в формуле (П.1.5) l 0 , с учетом (П.1.2) получаем: 0 1 . (П.1.7)
315
Тождество (П.1.7) представляет собой условие нормировки произвольной индикатрисы рассеяния в терминах коэффициентов разложения её в ряд по полиномам Лежандра. Полагая в (П.1.5) l 1 и, учитывая, что P1 cos cos находим, что
1 2 cos cos sin d cos .
(П.1.8)
0
Здесь cos – средний косинус угла однократного рассеяния. Величина cos определяет степень анизотропии однократного рассеяния и играет важнейшую роль в теории распространения света в неупорядоченных (случайных) средах. Обычно индикатриса рассеяния вытянута в направлении первоначального движения и поэтому 1 cos 0 . Для изотропного рассеяния cos
изтр
0 . Если
0 cos 1 , (П.1.9) то однократное рассеяние с большой вероятностью происходит в широком интервале углов, т.е. близко к изотропному рассеянию. В обратном случае, когда cos ~ 1 , 1 cos 1 ,
т.е.
1 1
1 , (П.1.10) рассеяние происходит в узком интервале эффективных углов рассеяния ~ eff 1 относительно первоначального направления
распространения фотона, т.е. рассеяние имеет резко выраженный анизотропный характер. Модельные индикатрисы при произвольном угле однократного рассеяния Сложный вид реальных индикатрис рассеяния вынуждает использовать достаточно простые, модельные индикатрисы рассеяния. В этом разделе приводятся некоторые, наиболее используемые из них. Каждая из приведенных ниже индикатрис cos норми-
316
рована условием (П.1.2), а средний косинус угла рассеяния определяется по точной формуле (П.1.8). Однопараметрические индикатрисы рассеяния Однопараметрические индикатрисы рассеяния cos ; g зависят от одного параметра g , который определяет степень анизотропии однократного рассеяния. При рассеянии фотонов в большинстве случайных сред индикатрисы рассеяния вытянуты вперед. В таких средах величина g не отрицательна и изменяется в пределах 0 g 1 . При g 0 из всех формул для модельных индикатрис рассеяния следует изотропный закон рассеяния: cos ; g 0 изтр 1 / 4 , cos g0 0 . (П.1.11) При g 1 получаем абсолютно анизотропную (игольчатую) индикатрису рассеяния: 1 cos ; g 1 1 cos , cos g1 1 . (П.1.12) 2 Индикатриса рассеяния гауссовского вида: A g 1 cos G cos ; g exp 2g , 2 1 g 2 1
(П.1.13a)
4g A g 1 exp (П.1.13b) , 2 1 g 2 1 g 2 2 G cos cth 2g / 1 g 1 g / 2g . (П.1.13c) Индикатриса рассеяния экспоненциального вида: A g 2 g exp cos ; g exp sin , (П.1.14a) 2 2 1 g g A g . (П.1.14b) 1g2 g 2 g 2 exp 1 g 1 1g 1 g 2g
317
Выражение для среднего косинуса угла рассеяния легко вычисляется, но получается весьма громоздким. При необходимости читатель exp
легко может получить значение cos самостоятельно. Индикатриса резерфордовского вида: 2 2
Ruth
cos ; g
1 g
4 1 g2 2g cos
2
,
(П.1.15a)
2
2 1 g2 1 g 1 g cos ln . (П.1.15b) 2 2g 4g 1 g Индикатриса рассеяния Хеньи – Гринстейна (индикатриса Х – Г) 1 1 g2 H G cos ; g , (П.1.16a) 4 1 g2 2g cos 3/2
Ruth
H G
cos g. (П.1.16b) Для индикатрисы Х – Г параметр анизотропии g имеет простой физический смысл – величина g определяет средний косинус угла однократного рассеяния (П.1.21b). Замечательная особенность индикатрисы Хеньи – Гринстейна состоит в том, что её разложение в ряд по полиномам Лежандра имеет чрезвычайно простой вид: 2l 1 l H G cos g Pl cos . (П.1.17) 4 l 0 Таким образом, все коэффициенты разложения l индикатрисы Х – Г в ряд по полиномам Лежандра очень просто выражаются через средний косинус угла рассеяния: l l gl cos . (П.1.18) Индикатриса (П.1.16a) была введена названными авторами при изучении распространения света в Галактике. Формулой (П.1.16a) довольно хорошо аппроксимируются реальные аэрозольные индикатрисы рассеяния. Поэтому её часто используют при численных расчетах интенсивности излучения, полагая g cos , где cos – средний косинус реальной (моделируемой) индикатрисы рассеяния.
318
Двухпараметрическая индикатриса обобщенно-степенного вида Рассмотрим двухпараметрическую индикатрису рассеяния обобщенно-степенного вида: A g cos ; g , 1 / 2 , (П.1.19a) 2 1 g2 2g cos 1 2
A (g)
2g 1 g2
2 2 1 g 1 g
.
(П.1.19b)
Первый параметр g , как обычно, определяет степень анизотропии (узость) индикатрисы рассеяния. Второй параметр определяет быстроту убывания cos с увеличением угла однократного рассеяния . Изотропному рассеянию соответствует, как обычно, значение g 0 . Частными случаями этой индикатрисы являются рассмотренные выше резерфордовская индикатриса 1 и индикатриса Хеньи – Гринстейна 1 / 2 . При 5 / 6 , индикатриса (П.1.19a) определяет закон Колмогорова – Обухова рассеяния света в турбулентной среде. Значение cos , выраженное через параметры g и , выглядит следующим образом: cos
При cos
1
1/2 1/2
cos
2 1 g 1 g 1 g 2 . (П.1.19с) 1 4 2 2 2g 1 1 g 1 g
из HG
формулы
(П.1.19с)
получаем,
что
g.
Малоугловые индикатрисы рассеяния Как уже отмечалось выше, при рассеянии света на хаотически распределенных центрах, в зависимости от соотношения длины световой волны и их размеров, относительного показателя преломления, геометрической формы, размеров и т.д., законы однократно-
319
го рассеяния весьма разнообразны и носят весьма сложный характер – от практически изотропного, когда рассеяние происходит на мелкомасштабных рассеивающих центрах a , до резко анизотропного рассеяния при a . Кроме того, рассеиватели не имеют строго сферической формы и даже в модели монодисперсной среды (когда все рассеиватели считаются сферами одинакового радиуса a ) возникает дополнительная проблема о замене такой среды монодисперсной, но с усредненными значениями индикатрисы рассеяния и показателя рассеяния. Всё это приводит к тому, что при описании распространения световых потоков в различных средах приходится использовать различные модельные индикатрисы рассеяния. Ранее были приведены некоторые модельные индикатрисы рассеяния для полного интервала угла рассеяния 0 . Эти модельные индикатрисы, по сравнению с реальными индикатрисами, имеют достаточно простой вид. Однако несмотря на все сделанные упрощения, нахождение точного решения уравнения переноса во всём интервале углов рассеяния 0 ; 0 2 даже при таких индикатрисах наталкивается на непреодолимые математические сложности. К настоящему времени имеется очень незначительное число сред с простейшими индикатрисами рассеяния (изотропная, линейная), для которых удается получить решение уравнения переноса во всем диапазоне углов рассеяния в полубесконечной однородной среде. При этом, естественно, речь идет о средах с мелкомасштабными неоднородностями a , когда cos 1 . Естественно, что в таких средах рассеяние вообще не является малоугловым. Особые трудности вызывает вычисление интенсивности излучения в важном для практики случае, когда световые потоки распространяются в резко анизотропных рассеивающих средах, т.е. в средах с крупномасштабными рассеивающими центрами, когда длина световой волны много меньше размеров рассеивателей a , так, что 1 cos 1. При рассеянии на крупномасштабных центрах, при выполнении некоторых ограничений, можно говорить о малоугловом многократном рассеянии. Чтобы многократное рассеяние имело малоуг-
320
ловой характер, необходимо, конечно, чтобы индикатриса рассеяния достаточно быстро спадала с ростом угла однократного рассеяния , т.е. рассеяние происходило на малые углы – eff ~ / a 1 . В этом случае удается получить ряд аналитических решений некоторых задач теории переноса в малоугловом приближении (МП), когда средний квадрат угла многократного рассеяния остается малым 2sc 1 . Поскольку в условиях сильно анизотропного рассеяния эффективный угол однократного рассеяния eff мал, то основной вклад в интенсивность излучения дают многочисленные процессы однократного рассеяния на относительно малые углы (многократное малоугловое рассеяние). Другими словами, логика малоуглового приближения требует выполнения двух условий: eff 1 , 1 . (П.1.20) При этом можно рассматривать как относительно малые углы однократного рассеяния, когда 0 eff , так и относительно большие (по сравнению с eff ) углы однократного рассеяния, когда eff 1 .
При малоугловом рассеянии (П.1.20), индикатрисы рассеяния так быстро спадают с увеличением угла однократного рассеяния , что с хорошей точностью можно заменить рассмотренные ранее модельные индикатрисы их приближенными значениями при малых углах рассеяния. При переходе к малоугловым индикатрисам полагают, что sin d d . Из-за быстроты убывания индикатрис с ростом формально, при вычислении ряда интегралов, угол однократного рассеяния следует считать изменяющимся в бесконечных пределах 0 . С учетом сказанного, точное условие нормировки (П.1.2) в малоугловом приближении будет выглядеть так:
2 d 1 , eff ~ 2 , 0 . (П.1.21) 0
321
Условие нормировки (П.1.21) формально получается из условия (П.1.2), если в точной формуле (П.1.2) осуществить замену:
2 sin d d , cos 1 / 2 , cos . (П.1.22) 0
0
Здесь – индикатриса рассеяния в малоугловом приближении, когда в точном выражении для cos осуществляется замена 2 1 cos 2 . Поэтому малоугловые индикатрисы рассеяния
зависят от квадрата угла однократного рассеяния 2 . При замене (П.1.22) предполагается, что интеграл в (П.1.21) сходится на верхнем пределе. Для этого необходимо, чтобы при eff индикатриса рассеяния спадала быстрее, чем 2 . Важную роль в теории малоуглового многократного рассеяния играет величина среднего квадрата угла однократного рассеяния:
2 2 2 cos sin d .
(П.1.23)
0
Делая в точной формуле (П.1.23) замену (П.1.22), получаем:
2 2 2 d .
(П.1.24)
0
Вычисление величины 2
по формуле (П.1.24) требует сходимо-
сти интеграла на верхнем пределе. Для этого необходимо, чтобы при eff индикатриса рассеяния спадала быстрее, чем 4 , т.е. быстрее, чем индикатриса резерфордовского вида: eff ~ 4 , 0 .
(П.1.25)
Поэтому в дальнейшем будем придерживаться следующей терминологии. Индикатрисы, спадающие с увеличением угла рассеяния быстрее, чем резерфордовская 0 , будем называть быстро спадающими. Индикатрисы, спадающие с увеличением угла рассеяния медленнее, чем резерфордовская 0 , будем называть медленно спадающими.
322
Для быстро спадающих индикатрис значение
2
можно
рассчитать по формуле (П.1.24). Для медленно спадающих, хотя и резко анизотропных индикатрис, расчет 2 нужно осуществлять по точной формуле (П.1.23). Однако аналитическое вычисление интеграла в формуле (П.1.23) в конечных пределах 0 оказывается практически невыполнимой задачей для подавляющего большинства даже простых модельных индикатрис cos . Эту, чисто техническую трудность, можно обойти, если учесть, что при рассеянии на малые углы 2 2 1 cos . Учитывая это обстоятельство, значение 2
для медленно спадающих
индикатрис можно вычислить по приближенной формуле:
2 2 1 cos 4 (1 cos ) cos sin d . (П.1.26) 0
Таким образом, формула (П.1.26) позволяет определить приближенное значение 2 , если известен средний косинус угла однократного рассеяния. Естественно, что при eff 1 значение 2 , рассчитанное по приближенной формуле (П.1.26), незначи-
тельно отличается от значения
2 , рассчитанного по точной
формуле (П.1.23). Для резко анизотропного рассеяния при разложении индикатрисы в ряд по полиномам Лежандра (П.1.3) основной вклад в сумму по l дает очень много слагаемых с l 1 , а коэффициенты разложения l плавно убывают с увеличением индекса суммирования l . Известно, что при 1 и l 1 , полиномы Лежандра с высокой степенью точности можно заменить на функцию Бесселя – Pl cos J0 l . При этом суммирование по дискретному индексу l следует заменить интегрированием по непрерывной переменной l . Другими словами, делая в формуле (П.1.3) замены 2l 1 ldl , Pl cos J0 l , (П.1.27) 2 l 0 0
323
получим:
1 l J0 l ldl . (П.1.28) 2 0 Формула (П.1.28) представляет разложение малоугловой индикатрисы рассеяния в интеграл по функциям Бесселя. Учитывая свойство ортогональности для функций Бесселя
J l J l d l l / l , 0
0
(П.1.29)
0
из (П.1.28) получаем следующее выражение для бессель-образа l малоугловой индикатрисы рассеяния:
l 2 J0 l d .
(П.1.30)
0
Формула (П.1.30) может быть получена из точной формулы (П.1.5) для коэффициентов разложения индикатрисы в ряд по полиномам Лежандра, если в последней осуществить замену Pl cos sin d J0 l d и расширить верхний предел интегрирования до бесконечности. Положим в (П.1.35) l 0 . Поскольку J0 x 0 1 и, учитывая (П.1.21) , получаем, что для любой малоугловой индикатрисы рассеяния l 0 1 . (П.1.31) Тождество (П.1.31) выражает условие нормировки малоугловой индикатрисы рассеяния в терминах коэффициентов разложения её в интеграл по функциям Бесселя независимо от конкретного вида закона однократного рассеяния и является аналогом формулы (П.1.7), применительно к малоугловым индикатрисам рассеяния. Учитывая все выше сказанное, приведем конкретный вид различных модельных индикатрис рассеяния, рассмотренных ранее, считая выполненными условия (П.1.20). Все приведенные ниже малоугловые индикатрисы рассеяния нормированы условием (П.1.21). Коэффициенты разложения l рассчитаны по формуле (П.1.30) (для каждой индикатрисы выполняется условие (П.1.31)).
324
Модельные малоугловые индикатрисы рассеяния получаются из модельных индикатрис cos , в которых параметр анизотропии g связан с величиной эффективного угла однократного рассеяния ef соотношением: eff
1 g , g
т.е. 2
2eff eff . g 1 (П.1.32) 4 2 Как мы увидим ниже, значения бессель-образа l для всех рассматриваемых малоугловых индикатрис рассеяния зависит от произведения l eff . Поэтому для каждой малоугловой индикатрисы
рассеяния приводятся так же значения l eff для случая, когда l eff 1 , поскольку величины l eff 1 широко используют-
ся в теории малоуглового многократного рассеяния. Однопараметрические малоугловые индикатрисы рассеяния Малоугловая индикатриса рассеяния гауссовского вида (П.1.13): 2 1 G ; eff 2 exp 2 , eff , 1 . (П.1.33) eff eff Гауссовская индикатриса (П.1.33) так быстро убывает с ростом , что можно вычислить значение не только 2 , но и среднее значение любой n -й степени угла рассеяния n 1, 2, .. :
n
G
2 n
Следовательно
0 n G
G
n 1 n d 1 eff .
2
2
(П.1.34a)
neff . Из (П.1.34a) в частности получаем:
325
G eff , 2 2eff . (П.1.34b) 2 Величины коэффициентов l , рассчитанные по формуле (П.1.30) имеют вид:
G
(G ) (l eff ) exp 2eff l 2 / 4 exp 2
(G ) 2
l /4 .
(П.1.35a)
При l eff 1 из (П.1.35a) получаем: (G ) (l eff 1) 1 (l eff / 2)2 1 2
G 2
l / 4 . (П.1.35b)
Малоугловая индикатриса рассеяния экспоненциального вида (П.1.14): 1 exp exp ; eff , eff , 1 . (П.1.36) 2 2 eff eff Среднее значение любой n -й степени угла рассеяния n 1, 2, .. : n
exp
2
exp
n 1d neff (n 1)! .
(П.1.37a)
0
Из (П.1.37a) видим, что для экспоненциальной индикатрисы, так же как и у гауссовой индикатрисы значение n
exp
n eff . В час-
тотности,
exp
2 eff , 2
exp
6 2eff .
(П.1.37b)
Величины коэффициентов exp l имеют вид:
При l eff
3/2
1 1 2 6 1 из (П.1.38a) получаем:
2 (exp) (l eff ) 1 l eff
exp 2
l
3/2
. (П.1.38a)
2 3 l eff . (П.1.38b) 2 Малоугловые гауссовская и экспоненциальная индикатрисы относятся к классу быстро спадающих индикатрис. Можно показать, что для любых быстро спадающих индикатрис, с точностью до членов l 2 включительно:
(exp) (l eff 1) 1
326
1 (l eff 1) l 2 .
(П.1.39)
Малоугловая резерфордовская индикатриса рассеяния (П.1.15): 2eff Ruth ; eff 2 2 2 , eff , 1 . (П.1.40) eff Поскольку Ruth eff ~ 4 , то интеграл в (П.1.24) расходится логарифмически на верхнем пределе. Поэтому для вычисления 2
Ruth
нужно использовать формулу (П.1.26). Используя точное
выражение (П.1.25b) для величины cos
Ruth
при eff 1 полу-
чаем: 4 (П.1.41) 2eff ln 2 1 . eff Коэффициенты l для малоугловой резерфордовской индикатрисы имеют вид: Ruth l eff l eff K1 l eff . (П.1.42a) 2
Ruth
Здесь K1 – функция Макдональда, C 0.5772 – константа Эйлера. При l eff 1 K1 l eff 1 / 2l eff exp l eff . При l eff 1 из (П.1.42a) получаем: 2 2 l eff l eff l eff 1 1 2 ln 2 2C 1 . (П.1.42b) Малоугловая индикатриса рассеяния Хеньи – Гринстейна (П.1.16): eff 1 H G ; eff . (П.1.43) 2 2 eff 2 3/2 В отличие от гауссовской и экспоненциальной индикатрис рассеяния, индикатриса Хеньи – Гринстейна спадает с увеличением
Ruth
степенным образом H G eff ~ 3 , т.е. относится к классу медленно спадающих индикатрис. Для вычисления 2 использовать формулу (П.1.26), в которой
327
HG
нужно
2
H G
cos
2eff eff . g 1 4 2
Учитывая, что eff 1 для величины 2
2 H G
2 1 cos
HG
HG
(П.1.44)
получаем:
2
eff
.
(П.1.45)
Таким образом, в отличие от гауссовской и экспоненциальной индикатрис рассеяния, для индикатрисы Х – Г значение
2
HG
пропорционально величине eff , а не 2eff . Выражения для бессель-образа H G l имеет вид: 2 H G l eff exp l eff exp 2 При l eff 1 из (П.1.46a) получаем: HG
HG
l
1 1 l eff 1
2
l .
(П.1.46a)
H G
l. (П.1.46b) 2 Таким образом, в отличие от гауссовской и экспоненциальной индикатрис для индикатрисы Х – Г: 1 H G l eff 1 l .
eff
Малоугловая двухпараметрическая индикатриса обобщенностепенного вида (П.1.24) 2eff ; eff , eff , 1 . (П.1.47) 2eff 2 1 Используя точную формулу (П.1.19с) для cos получаем:
2
2eff 2eff1 1 4 . 2 2 1 4 eff eff
328
(П.1.48)
Формула (П.1.48) имеет смысл только когда
ef 1 . При
1 / 2 из формул (П.1.47) и (П.1.48) получаем выражение для малоугловой индикатрисы Х – Г. В соответствии с (П.1.45) 2
1/2
eff
4 2eff eff 2 eff .
Средний квадрат угла однократного рассеяния
(П.1.49)
2
по-разному
зависит от eff в разных областях значений параметра . При этом существенно различать три случая: 1. Параметр 1 . В этом случае eff ~ 21 спадает с увеличением угла быстрее, чем 4 , т.е. относится к категории быстро спадающих индикатрис. 2. Параметр 1 . Это соответствует резерфордовскому закону рассеяния, когда 1 eff ~ 4 . 3. Параметр 1 . В этом случае индикатриса рассеяния спадает с увеличением угла медленнее, чем 4 , т.е. относится к категории медленно спадающих индикатрис. В результате из формулы (П.1.48) получим следующие значения для 2 : 2 2
2eff
, 1 2eff , 1 4 2eff ln 2 1 , 1 , eff
(П.1.50a) (П.1.50b)
2eff / 4 , 0 1 2 . (П.1.50c) 4 eff 1 1 2eff / 4 Графики отношения среднего квадрата угла однократного рассеяния к квадрату эффективного угла рассеяния 2 / 2eff , в зависи2
мости от величины параметра , для значений eff 0.05 и eff 0.1 , представлены на рис. П.1.1.
329
0 .1 e f f 0 .1e f f 0 .0 5 e f f 0e f.0 f 5
/ 2eff для двухпараметрической индикатрисы обобщенно-степенного вида от параметра убывания индикатрисы при eff 0.1 и eff 0.05 Рис. П.1.1. Зависимость отношения
2
Из рисунка видно, что начиная с 1.5 отношение 2
/ 2eff ,
в соответствии с формулой (П.1.50a), не зависит от 2eff и убывает 1
по закону 1 . Также видно, что при 1 / 2 (индикатриса Х – Г) в соответствии с (П.1.49) 2 eff 0.1 отношение 2
1/2
1/2
/ 2eff 2 / eff , так, что при
/ 2eff 20 .
Выражение для величины l имеет вид: l eff
21 l eff K l eff .
(П.1.51)
Здесь K x – функция Макдональда. Выражение (П.1.51) довольно сложно зависит от произведения l eff , что связано с непростым поведением функций Макдональда при малых и больших значениях аргумента и индекса. При нецелых значениях параметра
330
для функции Макдональда имеет место следующее представление: x K x x I x I x . (П.1.52a) 2 sin Здесь I x – модифицированная функция Бесселя (функция Бесселя мнимого аргумента): (x / 2)2k x I x . (П.1.52b) 2 k 0 k ! 1 k Формула (П.1.52b) позволяют представить функцию x K x в виде суммы двух рядов, которые существенно по-разному ведут себя при малых x . При x 1 в выражении (П.1.52a) из-за множителя x нужно учесть один член ряда в разложении функции I x и два члена ряда в разложении функции I x : x I x 1
x2 , 2 1
2
2 2 x . (П.1.52c) 1 2 2 Подставляя (П.1.52c) в (П.1.52a) и, учитывая, что 1 , 2 (1 ) 1 , sin получим, что при x 1 2 x 1 2 x K x 21 21 x . 1 1 2 2 1 (П.1.52d) Подставляя (П.1.52d) в (П.1.51) запишем: 1 2 2 1 l eff 1 1 l eff 2 l eff . 4 1 2 1 (П.1.53) Полученное выражение (П.1.53) ведет себя весьма не стандартным образом. Из (П.1.53) следует, что величина l eff 1 ведет x I x 1
себя принципиально по-разному для случаев 1 , 1 и 1 ;
331
2
l eff 1 1
l eff
4 1
,
1 , 2 eff
(П.1.54a)
2 2 l eff l eff l eff 1 1 ln 2C 1 , 1 , (П.1.54b) 2 2 1 2 l eff 1 1 l eff , 0 1 2eff . (П.1.54с) 2 2 1 Здесь C 0.5772 – константа Эйлера. Если значение параметра очень близко к единице, то необходимо удерживать два, практически равнозначных слагаемых в разложении (П.1.53). В этом случае получаем: 2 2 1 l eff 2 l eff l eff 1 1 1 , 4 1 1 2
1 1 (П.1.54d) При значении параметра 1 , выражение (П.1.54d), после раскрытия неопределенности типа 0 / 0 , естественно, переходит в выражение (П.1.54b).
332
Приложение 2 Приближение Фоккера – Планка в пространстве углов Приведем вывод уравнения переноса в приближении Фоккера – Планка без ограничения на углы рассеяния и . Поскольку смысл приближения Фоккера – Планка состоит в том, чтобы записать только интеграл упругих столкновений в форме дифференциального оператора, то ни вид источников, ни характер внешнего облучения, ни форма рассеивающего объема не имеют отношения к рассматриваемому вопросу. Не умоляя общности рассуждений и для сокращения объема промежуточных вычислений, переход к дифференциальной форме записи интеграла упругих столкновений проведем для случая плоской геометрии при нормальном падении светового потока на поверхность вещества (вдоль оси z ). В этом случае интенсивность излучения не зависит от поперечных координат и от азимутального угла : I I z; . Уравнение переноса имеет вид I z; Bупр I . (П.2.1) z Здесь Bупр I – интеграл упругих столкновений, записанный в
форме (1.2.14): 2 1 Bупр I d d ; I z; I z; . (П.2.2) 0
1
Здесь – разность азимутальных углов векторов и , если полярная ось направлена вдоль вектора 0 . При рассеянии на сферических центрах индикатриса рассеяния зависит от косинуса угла между векторами и : cos , где cos , (рис. П.2.1). В соответствии с основной теоремой
сферической тригонометрии cos cos cos sin sin cos , т.е.
333
(П.2.3a)
2 2 1 , 0 1 , 0 cos , (П.2.3b) Будем считать, что вероятность однократного рассеяния ограничена малым углом max 1 , так, что
, , , 0
0
cos , 0 max ; max 1 . (П.2.4) max ; 0, На первом этапе преобразования интеграла упругих столкновений нужно выразить величину cos через величины cos , cos и азимутальные углы, чтобы впоследствии воспользоваться малостью максимального угла однократного рассеяния (П.2.4). При интегрировании по выберем полярную ось z по направлению вектора (рис. П.2.1).
z
0
z
Рис.П.2.1. Изображение углов рассеяния
Воспользуемся формулой сферической тригонометрии. Для этого учтем, что поскольку все три вектора 0 , и равноправны (см. (П.2.3b)), то формулу (П. 2.3a) можно записать относительно угла : cos , 0 cos cos sin sin cos . (П.2.5) Здесь – разность азимутальных углов векторов и 0 , если полярная ось z направлена вдоль вектора . Учитывая, что max 1 , можно положить с точностью до членов 2 включитель-
334
но, что sin и cos 1 2 / 2 . Тогда формула (П.2.5) будет выглядеть так: cos 2 / 2 1 2 cos , cos . (П.2.6) Теперь интеграл упругих столкновений (П.2.2) запишется следующим образом: Bупр I 2
max
d
0
0
d I z; 2 / 2 1 2 cos I z; .
(П.2.7) На втором этапе преобразования интеграла столкновений учтем, что если интенсивность излучения является достаточно плавной функцией угла рассеяния , т.е. мало изменяется при изменении угла рассеяния в диапазоне max , то первое слагаемое в фигурных скобках в (П.2.7), т.е. I z; , можно разложить в ряд в окрестности значения . Если в разложении ограничиться членами до второго порядка малости по 2 включительно, получим: I z; I z; 2 1 2 cos2 2I z; . 2 2 (П.2.8) Теперь, подставляя (П.2.8) в (П.2.7) и, учитывая, что I z; 2 / 2 1 2 cos
2
2
d cos 0 ,
d cos
0
2
,
0
будем иметь: I z; 2 I z; max Bупр I 2 3 d 2 1 2 . 4 2 0 (П.2.9) Величина 2 1 cos max 3 (П.2.10) D, 2 d 4 4 2 0 где D – коэффициент угловой диффузии. Кроме того,
335
2 2 1 2 2 (П.2.11) 1 . С учетом формул (П.2.10) и (П.2.11) интеграл упругих столкновений (П.2.9) запишется так: 2 Bупр I D (П.2.12) 1 I z; . Теперь уравнение переноса (П.2.1) примет вид: cos I z; D I z; , 0 . (П.2.13) z Здесь – угловая часть оператора Лапласа (по полярному углу ): 1 (П.2.14) sin . sin В стандартном малоугловом приближении cos / z / z и sin и уравнение (П.2.13) запишется в виде: 1 I z; D I z; , 0 1 . (П.2.15) z Уравнение (П.2.15) совпадает с уравнением (2.2.16) (для стационарного случая). Хотя при выводе уравнения (П.2.13) считалось, что вероятность рассеяния на угол max равна нулю, полученный результат остается справедливым для резко вытянутых вперед индикатрис рассеяния, спадающих с увеличением угла рассеяния быстрее, чем 4 , т.е. быстрее, чем индикатриса резерфордовского вида: eff 4 , при 0 . В этом случае коэффициент угло2
вой диффузии можно вычислять по формуле: (П.2.16) D 2 3 d . 4 0 Можно показать, что в общем случае, когда отсутствует аксиальная симметрия и интенсивность излучения зависит как от полярного угла , так и от азимутального угла , уравнение переноса в диффузионном приближении по угловым переменным будет выглядеть так:
336
I r; D I r; , 0 ; 0 2 . (П.2.17) r Здесь – угловая часть оператора Лапласа по углам и :
1 1 2 sin . sin sin 2 2 Если рассеяние носит малоугловой характер 1 , то
(П.2.18)
1 1 2 . (П.2.19) 2 2 Это совпадает с выражением (2.2.14), при получении которого с самого начала предполагалось, что рассеяние фотонов происходит на малые углы.
337
Приложение 3 Решение интегрального уравнения переноса в стандартном малоугловом приближении с помощью преобразования Лапласа В §3 четвертой главы был изложен метод вычисления интенсивности излучения I z; при нормальном падении широкого стационарного светового потока с интенсивностью I0 на плоскую поверхность вещества (рис. П.3.1), используя метод последовательных итераций уравнения переноса в интегральном виде.
x
I z;
I0
0 O
y
z z
Рис. П.3.1. Условное изображение падения широкого стационарного светового пучка по нормали к поверхности вещества (вдоль оси z :.
– единичный вектор скорости фотонов на глубине z ; – полярный угол отклонения фотона от оси z
Исходным являлось интегральное уравнение (4.3.1), записанное в СМП без учета флуктуаций длин путей фотонов из-за рассеяния:
338
1
I0 e 1 d e I ; d .(П.3.1 2 0 1 ) Здесь, как и ранее, – индикатриса рассеяния, проинтегрированная по азимуту, которая определяет вероятность перехода фотона из состояния в : I(; )
2
2k 1 k Pk Pk , 2 k 0 (П.3.2) 1 cos .
; d
0
0
1;
Поскольку рассматривается процесс малоуглового рассеяния , 1 , то уравнение (П.3.1) справедливо при условии, что 1 1 и 1 1 . Представим интенсивность излучения в виде ряда по полиномам Лежандра 2l 1 I(; 0 1) Il Pl . (П.3.3) 4 l 0 Подставляя (П.3.2), (П.3.3) в исходное уравнение (П.3.1) и, учитывая, что 1 1 2 2l 1 k,l , (П.3.4) Pl , Pk Pl d 2k 1 2 4 l 0 1 получаем уравнение для величин Il :
Il I0e l de Il , l 0,1, 2, ... .
(П.3.5)
0
Из (П.3.5) видно, что в МП в уравнение для каждой угловой гармоники Il порядка l не входят угловые гармоники других порядков и поэтому является полностью независимым. Уравнение (П.3.5) представляет собой интегральное уравнение Вольтера. Поэтому для его решения можно использовать преобразование Лапласа по переменной . Умножим обе части уравнения (П.3.5) на e p d и проинтегрируем в пределах [0 ) . Тогда, для лапласобраза Il (p) l -й угловой гармоники
339
Il (p) e pIl ()d ,
(П.3.6)
0
получим уравнение: Il (p)
I0 l e p d e Il () d . 1 p 0 0
(П.3.7)
Интеграл по вычисляем по частям: 1 p 1 e Al e p1 d e Il d d d e Il 1 p 0 0 0 0 1 p1 p 1 e e e e I d d I . l 0 l 1 p 0 0 Первое слагаемое равно нулю как на нижнем, так и на верхнем пределах. Поэтому I p 1 Al de p Il l . (П.3.8) 1 p 0 1 p Подставляя (П.3.8) в (П.3.7), получаем алгебраическое уравнение для лаплас-образа Il p : I p I0 l l . 1 p 1 p Из уравнения (П.3.9) находим значение Il p : Il (p)
Il p
I0 . p 1 l
(П.3.9)
(П.3.10)
Теперь, зная лаплас-образ угловой гармоники Il p , можем получить с помощью формулы обращения Лапласа зависимость этой угловой гармоники Il от глубины: Il
1 2i
i0
Il p e pdp .
(П.3.11)
i0
Интегрирование в (П.3.11) ведется по прямой Re p 0 параллельной мнимой оси в комплексной p -плоскости. Подставляя (П.3.10) в (П.3.11), запишем:
340
1 i0 ep Il I0 dp . (П.3.12) 2i i0 p 1 l Интеграл по p в формуле (П.3.12) легко вычисляется. Действительно, подынтегральное выражение в (П.3.12) имеет один простой полюс в левой полуплоскости Re p 0 : p1 1 l 0 . (П.3.13) При 0 выберем контур интегрирования из вертикальной прямой параллельной мнимой оси и полуокружности бесконечно большого радиуса, в правой полуплоскости Re p 0 . Поскольку полюс p1 находится вне этого контура, а интеграл по полуокружности равен нулю, то Il 0 0 . Так и должно быть. Поскольку в малоугловом приближении отраженное излучение отсутствует, то фотоны могут находиться только в глубине вещества 0 . При 0 (внутри среды), выберем контур интегрирования как показано на рис П.3.2. Теперь полюс p1 находится внутри контура интегрирования.
Im p
p1
o
Re p
0
Рис.П.3.2. Контур интегрирования при вычислении интеграла (П.3.12)
Используя теорему о вычетах, получаем:
341
i0
i0
e p ep 1l dp 2i res . 2ie p 1 l p 1 p l 1
Следовательно, Il I0e l . (П.3.14) Подставляя (П.3.13) в (П.3.4), окончательно получаем, что I 2l 1 I(; 0 1) 0 exp 1 l Pl () . (П.3.15) 2 l 0 2 Это в точности совпадает с выражением (4.3.22), которое было получено решением интегрального уравнения (П.3.1) методом последовательных итераций. 1
342
Приложение 4 Угловое распределение излучения в случае малоугловой двухпараметрической индикатрисы обобщенно-степенного вида В шестом параграфе четвертой главы в стандартном малоугловом приближении было получено выражение для углового распределения излучения: 1 W z; e zS(l ) J0 l ldl . (П.4.1) 2 0 Здесь S l 1 l , l – бессель-образ малоугловой индикатрисы рассеяния :
l 2 J0 l d .
(П.4.2)
0
Рассмотри случай малоугловой двухпараметрической индикатрисы обобщенно-степенного вида (см. приложение 1): 2eff ; eff , eff , 1 . (П.4.3) 2eff 2 1 Для индикатрисы такого вида транспортный коэффициент рассеяния равен: 2eff , 1, 2( 1) 2 тр 2tff / 2 2ef ln 1, , (П.4.4) eff 2 2ef / 4 , 0 1, 1 а l имеет вид: 21 l eff K l eff . (П.4.5) Наибольший интерес представляет анализ рассеяния света на глубинах z lупр , где существенную роль играет многократное
l 1
рассеяние, и эффективные углы отклонения превышают значе-
343
ния характерного угла однократного рассеяния eff , eff . В этом диапазоне глубин и углов можно воспользоваться квазидиффузионным приближением. Значение интеграла (П.4.1) в указанном интервале углов определяется поведением функции S(l) при относительно небольших значениях l , 1 l 1 / eff . При таких значениях l функцию S(l) можно представить в виде степенного ряда, в котором для двухпараметрической индикатрисы необходимо удержать два слагаемых (П.1.53): 1 2 2 1 S(l) l eff / 2 l eff / 2 . (П.4.6) 1 1 В угловом спектре многократно рассеянного излучения можно выделить “купол” – интервал углов в окрестности пика интенсивности при z и – “крылья” при z . Введенный здесь угол z есть некоторый характерный угол, который отделяет область купола от области крыльев. Его зависимость от глубины z и скорости убывания индикатрисы (параметра ) будет определена ниже. Найдем поведение углового распределения в области крыльев. Для этого учтем, что в области l 1 функция Бесселя быстро осциллирует, поэтому вклад в интеграл (П.4.1) будет давать только область относительно малых l l 1 / . Для таких значений l в области крыльев углового распределения величина l eff мала l eff eff / 1 , а, следовательно, будет мала и величина
zS(l) . Поэтому разложим в (П.4.1) экспоненту в ряд, сохраняя два члена разложения получаем: 1 1 W z; (1 zS(l))J0 l ldl (1 z z(l))J0 l ldl. 2 0 2 0 (П.4.7) 1 z () Учитывая, что интеграл от ( 1 z ) равен 0 (смотри 2 (4.5.11) при m 0, l 0 ), а от z(l) – z() (смотри 4.5.4), находим:
344
2
eff , z . (П.4.8) 2(1) Видим, что поведение углового распределения на крыльях совпадает с поведение индикатрисы. Это и понятно, потому что рассеяние на большие углы происходит в основном за счет однократного рассеяния. В справедливости подобной интерпретации можно убедиться, если оценить оптическую толщину слоя относительно рассеяния на углы z : W(z, )
( z ) z2 ()d z( eff / z )2 z lупр ; z
она оказывается меньше длины упругого рассеяния. Для того чтобы найти поведение углового распределения в области купола, подставим выражение (П.4.6) в формулу (П.4.1): W z;
1 1 2 2 1 exp z l eff / 2 l eff / 2 J0 l ldl. 2 0 1 1
(П.4.9) В выражении (П.4.9) по-прежнему l eff 1 , поэтому при 1 главным в экспоненте является первое слагаемое. Удерживая в экспоненте первое слагаемое, получаем следующее выражение: 2 1 z W z; exp l eff / 2 J0 l ldl. (П.4.10) 2 0 1 Сделаем в интеграле (П.4.10) замену переменой интегрирования l x , тогда находим: 2 1 z W z; exp eff / 2 x2 J0 x xdx. (П.4.11) 2 2 0 1 Коэффициент при x2 в экспоненте подынтегрального выражения (П.4.11) определяет эффективный угол z : 2 z eff / 2z 1, z z 2 / 4(1 ) тр z . (П.4.12) 1
345
Если z , то коэффициент при x2 в экспоненте интеграла (П.4.11) больше единицы и его величина определяется экспонентой. Если же z , то коэффициент при x2 в экспоненте интеграла (П.4.11) много меньше единицы и его величина определяется функцией Бесселя, поэтому нельзя в выражении (П.4.9) пренебречь вторым слагаемым в экспоненте. Вычисляя интеграл в выражении (П.4.10) и учитывая (П.4.8) для обобщено-степенной индикатрисы с параметром 1 , получаем следующее выражение для углового распределения излучения: 1 2 exp , z , 2тр z 2тр z 2 eff W z; 2(1) , z , (П.4.13) z тр z . Видим, спектр в области купола имеет гауссов вид и формируется в результате диффузии фотонов по углам. Крылья спектра, как отмечалось выше, образованы фотонами, испытавшими многократные отклонения на малые ( z ) углы и одно рассеяние на относительно большой угол z . В достаточно малой окрестности значения 1 процесс многократного рассеяния, строго говоря, уже нельзя рассматривать как диффузию по углам. Однако в угловом спектре, так же как и при больших , можно выделить область купола и крыльев. Переходя в разложении (П.4.9) к приделу 0 находим: 2
2
S(l, 1) l eff / 2 ln l eff / 2
.
(П.4.14)
Подставляя выражение (П.4.14) в формулу (П.4.1) получаем: 2 2 1 W z; exp z l eff / 2 ln l eff / 2 J0 l ldl. (П.4.15) 2 0 Выполним в интеграле (П.4.15) замену переменой интегрирования l x , тогда находим:
346
2 2 1 exp z eff / 2 ln x eff / 2 x2 J0 x xdx. 2 2 0 (П.4.16) Коэффициент при x2 в экспоненте подынтегрального выражения (П.4.16), как и выше, определяет эффективный угол z :
W z;
2
2
z eff / 2z ln 2z / eff
1.
(П.4.17)
Уравнение (П.4.17) будем решать методом итераций. В качестве нулевой итерация выберем решение уравнения (П.4.17), когда нет логарифма
(0) z 2eff / 4 . z Выполняя первую итерацию, находим следующее выражение для z : 2 z z eff ln(z) / 4 .
(П.4.18)
При вычислении интеграла в выражении (П.4.15), учитывая плавность логарифма, заменим в нем
l
2
eff
/ 2
на z , тогда полу-
чим: ln(2 / eff ) 2 ln(2 / eff ) exp , z , 2 2 тр z ln(тр z / eff ) 2тр z ln(тр z / eff ) тр z W z; , z , 4 ln(2 / eff ) 2 z z eff ln(z) / 4. (П.4.19) При дальнейшем уменьшении ( 1 ) основную роль в выражении (П.4.6) начинает играть второе слагаемое. В этой ситуации характерный угол многократного рассеяния z меняется как z ( тр z)1/2 , а для углового распределения излучения справед-
ливо следующее выражение:
347
d 2( z)1/ , тр 1 21 тр z W z; 2 , 2(1) 2 z (тр z)1/2 . 1/
z , z ,
(П.4.20)
где d (2)(1)/ ( 1) / (2 ) . В случае 1 / 2 , который отвечает индикатрисе Хеньи – Гринстейна асимптотики (П.4.20) совпадают с соответствующими придельными случаями выражения (4.6.58). Заметим, что поведение интенсивности на крыльях совпадает с поведением индикатрисы. Это и понятно, потому что рассеяние на большие углы, как отмечалось выше, происходит в основном за счет однократного рассеяния.
348
Приложение 5 Регулярный метод вычисления интенсивности излучения в малоугловом диффузионном приближении В §2 пятой главы было показано, что если интенсивность излучения I z; в однородной среде представить в виде (5.2.1) I z; exp z I z; ,
(П.5.1)
то решение уравнения (5.2.3) для функции I z; I z; 2 1 I I D . 2 z С дополнительными условиями I I z 0; 0 , I z; 0 , 2 можно искать в гауссовом по углу виде: 2 I0 exp / A1 z , I z; A0 z A1 z
(П.5.2)
(П.5.3)
(П.5.4)
где A0 z и A1 z – две неизвестные функции, зависящие только от глубины z . Далее было показано, что предположение (П.5.4) оказывается правильным. Были получены и решены уравнения для функций A0 z и A1 z , причем сами эти функции имели вид: z A0 z ch la lтр
,
A1 z 2
z la th lтр lalтр
,
(П.5.5)
где 1 1 , lтр . (П.5.6) 2D При этом само изначальное утверждение, что решение уравнения (П.5.2) действительно имеет гауссовский вид (П.5.4) по углу рассеяния вводилось бездоказательно, т.е. фактически постулировалось. Ниже, используя метод разделения переменных z и , покажем, что решение уравнения (П.5.2) действительно имеет вид la
349
(П.5.4), где функции A0 z и A1 z определяются формулами (П.5.5). Перепишем уравнение (П.5.2) в виде: I z; 1 1 I 2 I z; . (П.5.7) 2lтр 2la z Будем искать частное решение уравнения (П.5.7) в виде z/2l I n z; e n тр Фn . (П.5.8) Подставляя (П.5.8) в (П.5.7), получим уравнение для угловых функций Фn : lтр 2 1 d d n Фn Фn . (П.5.9) Фn d d la Учитывая, что 1 d d d 2 d 4 2 , d d d d 2 сделаем в уравнении (П.5.9) замену переменной 2 x . Тогда получим d2Фn x dФn x lтр x xФn x n Фn x 0 . 2 dx dx 4la 4 Будем искать решение этого уравнения в виде: 1 Фn exp y fn y , (П.5.10) 2 где y x lтр / la . (П.5.11) Тогда уравнение для функции fn y будет выглядеть так: d2 fn y df y n la 1 y 1 y n fn y 0 . (П.5.12) 2 dy dy 4 lтр 2 Свойства уравнения (П.5.12) хорошо известны. Его решение, возрастающее при y медленнее, чем exp y / 2 , существует лишь при условии, что
350
la 1 n, lтр 2
n 4
т.е. при 1 lтр . (П.5.13) n 4 n 2 la В этом случае уравнение (П.5.12) принимает вид: d2 fn y df y 1 y n nfn y 0 . y 2 dy dy Решение этого уравнения есть полиномы Лагерра: ey d n fn y Ln y yn e y , Ln y 0 1 . (П.5.14) n n ! dy Несколько первых полиномов Лагерра выглядят так: L0 y 1 , L1 y 1 y , L2 y 1 2y y2 / 2 . (П.5.15) Подставляя (П.5.14), (П.5.13) в (П.5.10) получаем: 1 Фn y exp y Ln y . (П.5.16) 2 Функции Фn y образуют полную систему ортогональных функций. Условие ортогональности выглядит так:
y Фn y Фm y dy e Ln y Lm y dy n,m . 0
(П.5.17)
0
Действительно, например, если n 0 , то 1 dn y e L y d y yne y dy . 0 m n ! 0 dyn Осуществляя интегрирование по частям, получим:
Ф y Ф y dy 0
m
0, m
.
0
Используя условие ортогональности, можем представить функцию в виде:
-
y
d Ф y . n
n 0
351
n
(П.5.18)
Умножая обе части этого равенства на Фm y dy и интегрируя по y в пределах [0, ) с учетом условия ортогональности (П.5.17), и учитывая, что Фm y 0 1 , получим, что все коэффициенты разложения dn 1 . Следовательно,
y
Ф y e
y/2
n
n 0
Ln y .
(П.5.19)
n 0
В терминах переменной y lтр / la x 2 lтр / la ,
(П.5.20)
частное решение I n z; y (П.5.8) принимает вид: z la lтр
Фn . (П.5.21) Общее решение уравнения (П.5.7) можно записать в виде суперпозиции частных решений: z z la lтр Фn y . I z; y e Cn exp 2n (П.5.22) la lтр n 0 Выражение (П.5.22) представляет собой разложение функции I z; y в ряд по полной ортонормированной системе функций I n z; exp n 2l тр
z Фn e
z exp 2n la lтр
Фn y .
Неизвестные коэффициенты Cn находим из граничного условия (П.5.3) на поверхности вещества. При этом нужно учесть, что I0 I0 I I 2 0 lтр / la 2 lтр / la 0 lтр / la y . 2 (П.5.23) Полагая в разложении (П.5.21) z 0 , с учетом разложения функции (П.5.19), получим: I0 lтр (П.5.24) Фn y Cn Фn y . la n 0 n 0 Из тождества (П.5.24), справедливого при любом значении y в интервале 0 y , находим:
352
I0 lтр , n 0,1, 2, ... . (П.5.25) la Подставляя (П.5.25) в (П.5.22), окончательно получаем: z I0 lтр lalтр z Фn y . (П.5.26) I z; y e exp 2n la lalтр n 0 Следует отметить, что выражение (П.5.26) представляет разложение по дискретному спектру собственных функций, соответствующих бесконечному числу собственных значений n n 0,1, 2, ... . Непрерывная часть спектра отсутствует. Это обстоятельство является следствием МДП, когда точное значение величины S 1 в уравнении (5.5.51), т.е. “потенциальная яма” конечной глубины, заменяется на яму бесконечной глубины: S 2 . Полученное выражение (П.5.26) содержит бесконечный ряд, который, однако, легко суммируется. Чтобы найти сумму ряда, воспользуемся выражением производящей функции для полиномов Лагерра: 1 u (П.5.27) exp y u n Ln y . u 1 1 u n 0 Поскольку Cn
n
то, полагая в формуле (П.5.23) u exp 2z / exp 2nz / l l L y
exp 2nz / lalтр exp 2z / lalтр
la lтр
, , запишем:
a тр
n
n 0
(П.5.28) exp 2z / lalтр exp y . 1 exp 2z / la lтр 1 exp 2z / la lтр Подставляя поученное выражение в (П.5.26), получаем:
1
353
I0 lтр 1 y exp 2th z / la lтр 2 la sh z / la lтр Здесь учтено, что I z; y
exp z / lalтр
1 exp 2z / lalтр
exp 2z / lalтр
1 exp 2z / la lтр
Подставляя в (П.5.25) значение (П.5.20), находим, что:
1
2sh z / la lтр
. (П.5.29)
,
1 1 , 2 2th z / la lтр
y , определяемое формулой
2 I0 1 . exp 2 la / lтр th z / la lтр 2 la / lтр sh z / la lтр (П.5.30) Поскольку 1 1 1 , 2 la / lтр sh z / lalтр ch z / lalтр 2 la / lтр th z / lalтр I z;
можем переписать выражение (П.5.30) в виде 2 exp A1 z I0 I z; , A0 z A1 z
(П.5.31)
где величины A0 z и A1 z определяются формулами (П.5.5).
354
Приложение 6 Вычисление средних характеристик светового поля для узкого пучка в СМП В §7 четвертой главы в рамках СМП было получено выражение для вероятности W z; ; при нормальном падении бесконечно
узкого пучка на поверхность вещества вдоль оси z : W z; ;
1 4
2
z 2 1 kz exp i k i dz dkd. 0
(П.6.1) 2 Здесь kz – фурье-образ индикатрисы рассеяния: 2 (П.6.2) kz 2 exp i kz d , x , y , где x и y – углы между единичным вектором скорости фотонов в точке r и плоскостями YoZ и XoZ соответственно. Отклонение фотона от оси z определяется углом 2x 2y 1 . Величина x, y – вектор, определяющий
поперечное смещение фотона от оси z в плоскости XoY . Зная ве роятность W z; ; , можно вычислить основные средние харак-
теристики светового поля в веществе: средний квадрат угла рассея ния 2 z , значение коррелятора и среднее значение квадраz
2
та поперечного смещения 2
z
z
z
:
W z; ; dd . 2
W z; ; dd . 355
(П.6.3) (П.6.4)
2
z
2 W z; ; dd .
(П.6.5)
Однако выражение (П.6.1) для W z; ; имеет достаточно слож-
ный вид, и поэтому вычисление средних характеристик поля непосредственно по формулам (П.6.3)-(П.6.5) весьма затруднительно. Ниже мы покажем, что если интересоваться только средними характеристиками поля, то для их вычисления нет надобности предварительно решать сложную задачу о нахождении вероятности W z; ; и только затем, после достаточно объемного интегриро-
вания, определять эти характеристики. Оказывается, что можно получить простые уравнения для величин 2 z , и 2 z неz
посредственно из уравнения переноса: 2 W z; ; W r; W r; d, z W z 0; ; , W z 0; ; 0, если 2 2 2 , x y 2 2 2 W z 0; ; 0, если x y . (П.6.6)
Вычисление среднего квадрата угла рассеяния Для вычисления среднего квадрата угла рассеяния 2 z умно жим обе части уравнения (П.6.6) на 2 и проинтегрируем по всем направлениям распространения фотонов и поперечным смеще ниям относительно оси z . С учетом того, что 2 W z; ; d 2 dd 2 W z; ; , dd z z z dz
356
W z; ; 0, d получим следующее уравнение: 2 d 2 z 2 z d 2d W z; ; d . dz (П.6.7) Преобразуем интеграл по углам в фигурных скобках уравнения (П.6.7). Для этого вместо переменной интегрирования введем новую переменную , d d . Меняя порядок интегрирования, запишем: ...... W z; ; d 2 2 2 d . Теперь учтем, что 2 2 2 2 2 d d ,
2 2 d 2 x x y y x2 y2 dx dy 0 ,
поскольку вероятность однократного рассеяния является четной функцией угловых переменных x , y и рассматриваемый интеграл зануляется, как интеграл от нечетной функции по x или y в симметричных пределах. Кроме того, 2 2 2 2 2 d d ,
в силу нормировки индикатрисы в малоугловом приближении. Следовательно, d W z; ; 2 2 d 2 2 z . (П.6.8) Теперь, подставляя (П.6.8) в уравнение (П.6.7), получим: d 2 2 . (П.6.9) z dz
357
Дополнительное условие для 2
z
при z 0 , получается из второ-
го уравнения (П.6.6): 2
z 0
2
W z 0; ; dd dd 0 .(П.6.10) 2
Решая уравнение (П.6.9) с дополнительным условием (П.6.10), получаем:
2
z
2 z 4Dz 2z / lтр , D 2 / 4 .
(П.6.11)
Вычисление коррелятора Для вычисления значения коррелятора
умножим обе час ти уравнения (П.6.6) на скалярное произведение , и, как и вы ше, проинтегрируем по всем значениям и : d . , W z; ; dd z z dz После интегрирования по частям по переменной W z; ; , dd , 2 W z; ; dd z . Здесь учтено, что , / . Для преобразования интеграль ного слагаемого в интеграле по сделаем ту же замену перемен ных, что и ранее: , d d . Тогда будем иметь: z
358
d dW z; ; 2 d . , W z; ; dd
Здесь учтено, что
z
d 0 . С учетом найденных со2
отношений получаем следующее уравнение для , с соответстz
вующим граничным условием: d 2 , 0. z z z 0 dz Решая уравнение (П.6.12), находим, что z dz 2 z . z
(П.6.12)
(П.6.13)
0
Таким образом, независимо от конкретного вида закона однократного рассеяния, в СМП имеется однозначная связь между величи нами и 2 z . Подставляя в (П.6.13) найденное выше значеz
ние (П.6.11) для 2 z , получим:
z z
4D dzz 2Dz 2 z2 / lтр .
(П.6.14)
0
Вычисление среднего квадрата поперечного смещения Для вычисления среднего значения квадрата поперечного сме щения фотона от оси пучка 2 z умножим обе части уравнения (П.6.6) на 2 и проинтегрируем по всем направлениям распростра нения фотонов и поперечным смещениям . Тогда с учетом соотношений:
359
2 d 2 z, W z; ; dd z dz 2 2 W z; ; d d W z; ; dd 2 z , 2 d 2 dd W z; ; W z; ; 0 , получаем следующее уравнение для 2 z , с соответствующим
граничным условием: d 2 2 0 , 2 z0 0 . z z dz Из уравнения (П.6.15) находим, что z z z 2 z 2 dz 2 dz 2 dz . z
0
Подставляя в (П.6.16) значение (П.6.14), получим: 2
z
0
(П.6.15)
(П.6.16)
0
, определенное формулой z
z
4D 3 2 z3 z . (П.6.17) z 3 3 lтр 0 Таким образом, в СМП имеется однозначная связь между вели чинами , 2 z и 2 z . Следовательно, зная только значение 4D z2dz
z
2 z , можно по формулам (П.6.13) и (П.6.16) определить также значение величины 2 z . Изложенный выше метод показывает, что для вычисления сред них значений 2 z , и 2 z в стандартном малоугловом приz
ближении совсем не обязательно находить решение уравнения пе реноса, т.е. определять конкретный вид вероятности W z; ; . Поскольку величины 2 z , и 2 z несут значительно
z
меньшую информацию о световом поле,
360
чем вероятность
W z; ; , то для их вычисления достаточно решить значительно
более простые уравнения (П.6.9), (П.6.12) и (П.6.15), чем исходное уравнение (П.6.6) для величины W z; ; , которая полностью ха-
рактеризует световое поле в веществе.
361
Вопросы для самоконтроля Введение 1. Какая область длин волн электромагнитного излучения называется видимым светом? 2. Какая область длин волн электромагнитного излучения называется инфракрасным излучением? 3. Какая область длин волн электромагнитного излучения называется ультрафиолетовым излучением? 4. В чем состоит особенность взаимодействия ультрафиолетового излучения с веществом? Глава 1 1. Что такое интенсивность излучения? 2. Как связаны между собой плотность энергии светового поля и интенсивность? 3. Как связаны между собой плотность потока световой энергии и интенсивность? 4. Что такое индикатриса рассеяния? 5. Как нормирована индикатриса рассеяния? 6. Что такое функция распределения? 7. Как связаны между собой интенсивность и функция распределения? 8. Что определяет интеграл столкновений? 9. Как выглядит уравнение переноса для интенсивности света? 10. Как выглядит обобщенное уравнение непрерывности для плотности световой энергии? 11. Какая поверхность рассеивающей среды называется свободной поверхностью? 12. Как выражается поверхностная плотность источников через интенсивность падающего излучения? 13. Как связанны вежду собой нестационарная и стационарная задачи теории переноса? Глава 2 1. Какое условие является необходимым для использования малоуглового приближения?
362
2. При каких предположениях возможно использовать стандартное малоугловое приближение? 3. Какой вид имеет уравнение переноса в стандартном малоугловом приближении? 4. Как оптическая глубина связана с геометрической глубиной? 5. Какая величина называется транспортным коэффициентом рассеяния? 6. Как транспортная длина связана с транспортным коэффициентом рассеяния? 7. Какая величина называется коэффициентом угловой диффузии? 8. Какой вид имеет интеграл упругих столкновений в приближении Фоккера – Планка? 9. Какое приближение называется стандартным малоугловым диффузионным приближением? 10. Как должна спадать индикатриса с увеличением угла рассеяния, чтобы можно было использовать стандартное малоугловое диффузионное приближение? 11. Условия применимости стандартного малоуглового диффузионного приближения. 12. Какой вид имеет уравнение переноса в стандартном малоугловом диффузионном приближении? Глава 3 1. Какой вид имеет интенсивность излучения при падении на поверхность вещества широкого -импульсного пучка фотонов? 2. Чему равен средний квадрат угла рассеяния? 3. Какой вид имеет интенсивность излучения при падении на поверхность вещества мононаправленного широкого пучка фотонов под малым углом к поверхности вещества? 4. Какой вид имеет интенсивность излучения при нормальном падении на поверхность вещества узкого пучка фотонов? 5. Что такое функция распределения Ферми? 6. Чему равен средний квадрат поперечного смещения? 7. Чему равен коррелятор , ?
z
8. Какой вид имеет функция Грина в стандартном малоугловом диффузионном приближении?
363
9. Какой вид имеет интенсивность излучения от точечного источника света на поверхности вещества? 10. Какой вид имеет интенсивность излучения при падении на поверхность вещества пространственно-углового гауссова светового пучка? Глава 4 1. Чем отличается стандартное малоугловое приближение от стандартного малоуглового диффузионного приближения? 2. В чем суть метода вычисления интенсивности излучения с помощью преобразования Фурье? 3. В чем суть метода вычисления интенсивности излучения методом последовательных итераций малоуглового интегрального уравнения переноса? 4. В чем суть метода вычисления интенсивности излучения методом сферических гармоник? 5. В чем суть метода вычисления интенсивности излучения методом Компанейца? 6. Какой вид имеет распределение Мольера – Компанейца? 7. Какой вид имеет величина полного интегрального потока на глубине z ? 8. Какой вид имеет величина среднего квадрата угла рассеяния? 9. В каком случае стандартное малоугловое и стандартное малоугловое диффузионное приближения совпадают? 10. Чему равен средний квадрат поперечного смещения? 11. Чему равен коррелятор , ?
z
12. Что такое квазидиффузионное приближение? Глава 5 1. Чем отличается малоугловое диффузионное приближение от стандартного малоуглового диффузионного приближения? 2. Какой вид имеет интенсивность излучения широкого светового пучка с учетом флуктуаций длин путей фотонов из-за рассеяния? 3. Какой вид имеет величина полного интегрального потока на глубине z ?
364
4. 5. 6. 7. 8.
Какой вид имеет величина среднего квадрата угла рассеяния? Какой вид имеет величина среднего пути? Как зависит полный световой поток от среднего пути? Что такое глубинный режим? Какой вид имеет интенсивность излучения широкого светового пучка с учетом флуктуаций длин путей фотонов из-за рассеяния в глубинном режиме? 9. Какой вид имеет интенсивность излучения узкого светового пучка с учетом флуктуаций длин путей фотонов из-за рассеяния? 10. Чему равен средний квадрат поперечного смещения? 11. Чему равен коррелятор , ?
z
12. В чем трудность решения уравнения переноса в малоугловом приближении без использования приближения Фоккера – Планка? Глава 6 1. Какие среды называются стратифицированными? 2. Какая связь между полным световым потоком и средней длиной пути в стратифицированной среде? 3. Какие среды называются квазистратифицированными? 4. Какой вид имеет интенсивность излучения широкого светового пучка с учетом флуктуаций длин путей фотонов из-за рассеяния в квазистратифицированной среде? 5. Какой вид имеет величина полного интегрального потока на глубине z в квазистратифицированной среде? 6. Какой вид имеет величина среднего квадрата угла рассеяния в квазистратифицированной среде? 7. Какой вид имеет величина полного интегрального потока на глубине z в экспоненциально квазистратифицированной среде? 8. Какой вид имеет величина среднего квадрата угла рассеяния в экспоненциально квазистратифицированной среде? 9. Какова зависимость среднего пути от глубины в экспоненциально квазистратифицированной среде? 10. Какой вид имеет величина полного интегрального потока на глубине z в экспоненциально стратифицированной среде?
365
11. Какой вид имеет величина среднего квадрата угла рассеяния в экспоненциально стратифицированной среде? 12. Какова зависимость среднего пути от глубины в экспоненциально стратифицированной среде? Глава 7 1. Какова связь между стационарной задачей и задачей о нестационарном распространении сигнала? 2. Какой вид имеет интенсивность излучения для широкого импульсного нестационарного сигнала в однородной среде с учетом флуктуаций длин путей фотонов из-за рассеяния? 3. Как зависит от времени полный световой поток на различных глубинах?
366
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Основная литература 1. Калашников Н.П., Ремизович В.С., Рязанов М.И. Столкновения быстрых заряженных частиц в твердых телах. М.: Атомиздат, 1980. 2. Ремизович В.С., Рогозкин Д.Б., Рязанов М.И. Флуктуации пробегов заряженных частиц. М.: Энергоатомиздат, 1988. Дополнительная литература 1. Соболев В.В. Курс теоретической астрофизики. М.: Наука, 1985. 2. Минин И.Н. Теория переноса излучения в атмосферах планет. М.: Наука, 1988. 3. Зеге Э.П., Иванов А.П., Кацев И.Л. Перенос изображения в рассеивающей среде. Минск: Наука и техника, 1985. 4. Ньютон Р. Теория рассеяния волн и частиц. М: Мир, 1969. 5. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М: Физматгиз, 1963.
367
Ремизович Валерий Стефанович Кузовлев Александр Иванович
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА СВЕТОВЫХ ПОЛЕЙ В НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СРЕДАХ С КРУПНОМАСШТАБНЫМИ РАССЕИВАЮЩИМИ СРЕДАМИ
Учебное пособие
Редактор Шумакова Н.В. Оригинал-макет изготовлен Кузовлевым А.И.
Подписано в печать 15.12.2010 Формат 60х84 1/16 Печ. л. 23 Уч.-изд. л. 22.25 Тираж 100 экз. Изд. № 1/4/81 Заказ № 39 _______________________________________________________________________ Национальный исследовательский ядерный университет “МИФИ”. 115409, Москва, Каширское ш., 31 ООО “Полиграфический комплекс “Курчатовский”. 144000, Московская область, г. Электросталь, ул. Красная, д. 42
