Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка

Э. КАМКЕ СПРАВОЧНИК ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Книга Э. Камке является единственным в мировой литературе справочником по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка для одной неизвестной функции. В ней дается конспективное изложение важнейших разделов теории и собрано около 500 уравнений с решениями. Книга предназначена для широкого круга научных работников и инженеров, сталкивающихся в своей практической деятельности с дифференциальными уравнениями. Значение этого справочника особенно велико в связи с тем, что в настоящее время на русском языке нет книги, в которой бы всесторонне и полно освещалась теория вопроса. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к русскому изданию 10 Некоторые обозначения 12 Принятые сокращения в библиографических указаниях 12 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ Глава I. Линейные и квазилинейные уравнения 13 § 1. Введение 13 1.1. Общие понятия, обозначения и терминология 13 1.2. Замечания о решениях 14 § 2. Линейное однородное уравнение с двумя независимыми переменными: 15 f(x,y)p+g(x,y)q = 0 2.1. Геометрическая интерпретация 15 2.2. Замечания об интегралах и линиях уровня 17 2.3. Характеристики и интегральные поверхности 19 2.4. Решение уравнения посредством характеристик 20 2.5. Решение уравнения посредством комбинирования 21 характеристических уравнений 2.6. Частный случай: p+f(x,y)q = 0 23 2.7. Функциональная зависимость и якобиан 26 2.8. Главный интеграл; решение задачи Коши 29 2.9. Замечания об использовании разложений в ряды 32 2.10. Методы решения 32 32 § 3. Линейное однородное уравнение с n независимыми переменными: n

∑f ν =1

ν

(r ) pν = 0

3.1. Определения и замечания 3.2. Характеристики и интегральные поверхности 3.3. Решение уравнения посредством комбинирования характеристических уравнений

32 33 34

3.4. Фундаментальная система интегралов; задача Коши 3.5. Редукция уравнения в случае, если известны частные интегралы n

3.6. Частный случай: p + ∑ f ν ( x, y ) qν = 0

34 36 38

ν =1

3.7. Решение задачи Коши 3.8. Множители Якоби 3.9. Методы решения n

§ 4. Общее линейное уравнение:

∑f ν =1

ν

( r ) pν + f 0 ( r ) z = f ( z )

4.1. Определения 4.2. Сведение общего линейного уравнения к однородному 4.3. Теорема существования и единственности 4.4. Неравенство Хаара 4.5. Дополнения для случая n=2 n

§ 5. Квазилинейное уравнение:

∑f ν =1

ν

( r , z ) pν = g ( r , z )

5.1. Геометрическая интерпретация 5.2. Характеристики и интегральные поверхности 5.3. Решение уравнения посредством характеристик 5.4. Сведение квазилинейного уравнения к линейному однородному n

5.5. Частный случай: p + ∑ f ν ( x, y, z ) qν = g ( x, y, z )

41 42 43 44 44 45 46 47 48 49 49 50 51 54 55

ν =1

5.6. Решение задачи Коши 5.7. Разложение в ряды 5.8. Методы решения § 6. Система линейных уравнений 6.1. Частный случай: pν = f ν ( r ), ν = 1,..., n 6.2. Общая линейная система: определения и обозначения 6.3. Инволюционные системы и полные системы 6.4. Метод Майера для решения якобиевой системы 6.5. Свойства полной системы 6.6. Однородные системы 6.7. Редукция однородной системы 6.8. Редукция общей системы 6.9. Методы решения § 7. Система квазилинейных уравнений 7.1. Частный случай 7.2. Общая квазилинейная система Глава II. Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными § 8. Общие понятия, обозначения и терминология 8.1. Геометрическая интерпретация уравнения

57 58 59 59 59 61 62 64 66 67 68 73 74 74 74 76 78 78 78

8.2. Геометрическая интерпретация характеристик 8.3. Определение полосы 8.4. Вывод характеристической системы 8.5. Другие выводы характеристической системы 8.6. Обыкновенные и особые плоскостные элементы 8.7. Интегральные полосы и интегральные поверхности 8.8. Частный, особый, полный и общий интегралы § 9. Метод Лагранжа 9.1. Первые интегралы 9.2. Случай двух неочевидных первых интегралов 9.3. Случай одного неочевидного первого интеграла 9.4. Получение однопараметрического семейства интегралов из двух неочевидных первых интегралов 9.5. Получение частных интегралов из полного интеграла 9.6. Решение задачи Коши § 10. Некоторые другие методы решения 10.1. Нормальная задача Коши 10.2. Общая теорема существования. Метод характеристик Коши 10.3. Частный случай: p=f(x,y,z,q) 10.4. Представление решения степенным рядом в случае аналитических функций 10.5. Более общие разложения в ряды 10.6. Методы решения § 11. Решение частных видов нелинейных уравнений с двумя независимыми переменными 11.1. F(x,y,z,p)=0 и F(x,y,z,q)=0 11.2. F(p,q)=0 11.3. F(z,p,q)=0 11.4. p=f(x,q) и q=g(y,p) 11.5. f(x,p)=g(y,q) и F[f(x,pφ(z)), g(y,qφ(z))] = 0 11.6. f(x,p)+g(y,q)=z 11.7. p=f(y/x,q) и F(y/x,p,q,xp+yq-z)=0 11.8. F(xp+yq,z,p,q)=0 11.9. p2+q2=f(x2+y2,yp-qx) 11.10. F[f(x)p,g(y)q,z]=0 11.11. f(p,q)=xp+yq, f однородна по p, q 11.12. z=xp+yq+ f(p,q) и F(р,q,z-px-qy)=0 11.13. F(x,y,p,q)=0 11.14. F(x,y,z,p,q)=0. Преобразование Лежандра 11.15. F(x,y,z,p,q)=0. Преобразование Эйлера 11.16. F(xp-z,y,p,q)=0 11.17. xf(y,p,xp-z)+qg(y,p,xp-z)=h(y,p,xp-z)

80 82 82 84 87 88 89 90 90 92 95 96 97 99 101 101 103 104 106 107 110 111 111 111 112 113 113 113 113 114 114 114 115 116 117 118 119 120 120

11.18. qf(u)=xp-yq, xqf(u)=xp-yq, xf(u,p,q)+yg(u,p,q)=h(u,p,q), где u=xp+yqz Глава III. Нелинейные уравнения с n независимыми переменными § 12. Нелинейное уравнение с n независимыми переменными: F(r,z,p)=0 12.1. Общие понятия, обозначения и терминология 12.2. Характеристические полосы и интегральные поверхности 12.3. Сведение уравнения к такому, которое содержит лишь производные искомой функции 12.4. Представление решения степенным рядом в случае аналитических функций 12.5. Общая теорема существования. Метод характеристик Коши 12.6. Частный случай: p=f(x,y,z,q) 12.7. Полный интеграл; получение частных интегралов из полного 12.8. Метод Якоби 12.9. Частный случай: p=f(x,y,q) 12.10. Приложение к механике 12 11. Оценка Нагумо § 13 Решение частных видов нелинейных уравнений с n независимыми переменными 13.1. F(p)=0 13.2. F(z,p)=0 13.3. F[f1(x1,p1φ(z)), ..., fn(xn,pnφ(z))] = 0 13.4. Однородные уравнения 13.5. F(r,z,p)= 0. Преобразование Лежандра 13.6. k −1

n

n

ν =1

ν =1

ν=k

120 121 121 121 123 124 126 126 128 130 133 134 136 137 138 138 139 139 140 140 141

∑ pν f ν =∑ xν f ν − f n +1, 1 ≤ k ≤ n и f ν = f ν ( x1,..., xk −1, pk ,..., pn , ∑ xν pν − z ) 13.7. z=x1p1 + xnpn+f(p1,...,pn) § 14. Система нелинейных уравнений 14.1. Частный случай: pν = f ν ( r, y , z, q ), ν = 1,..., m 14.2. Теорема существования и единственности для якобиевой системы в области аналитических функций 14.3. Теорема существования и единственности для якобиевой системы в области действительных функций. Метод Майера для решения якобиевой системы 14.4. Скобки Якоби и Пуассона 14.5. Общая нелинейная система 14.6. Инволюционные системы и полные системы 14.7. Метод Якоби для инволюционной системы, не зависящей от z 14.8. Применение преобразования Лежандра 14.9. Метод Якоби для общей системы ЧАСТЬ ВТОРАЯ

142 142 142 143 143 145 146 147 148 150 152

ОТДЕЛЬНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Предварительные замечания Глава I. Уравнения, содержащие лишь одну частную производную Глава II Линейные и квазилинейные уравнения с двумя независимыми переменными 1—12. f(x,y)p+ g(x,y)q=0 13—19. f(x,y)p+ g(x,y)q=h(x,y) 20—31. f(x,y)p+ g(x,y)q=h1(x,y)z+ h0(x,y) 32—43. f(x,y)p+ g(x,y)q=h(x,y,z) 44—59. f(x,y,z)p+ g(x,y,z)q=h(x,y,z), функции f, g линейны относительно z 60—65. f(x,y,z)p+ g(x,y,z)q=h(x,y,z); функции f, g по z не выше второй степени 66—71. Прочие квазилинейные уравнения Глава III. Линейные и квазилинейные уравнения с тремя независимыми переменными 1—19. f(x,y,z)wx+ g(x,y,z)wy +h(x,y,z)wz=0; функции f, g, h степени не выше первой 1—6. Одночленные коэффициенты 7—11. Двучленные коэффициенты 12—19. Трехчленные коэффициенты 20—41. f(x,y,z)wx+ g(x,y,z)wy +h(x,y,z)wz=0; функции f, g, h степени не выше второй 20—27. Одночленные коэффициенты 28—38. Двучленные коэффициенты 39—41. Трехчленные коэффициенты 42—59. f(x,y,z)wx+ g(x,y,z)wy +h(x,y,z)wz=0, прочие случаи 60—64. Общие линейные и квазилинейные дифференциальные уравнения Глава IV. Линейные и квазилинейные уравнения с четырьмя и более независимыми переменными Глава V. Системы линейных и квазилинейных уравнений 1—2. Две независимые переменные 3—9. Три независимые переменные 10—17. Четыре независимые переменные и два уравнения 18—23. Четыре независимые переменные и три уравнения 24—29. Пять независимых переменных и два уравнения 30—32. Пять независимых переменных и три или четыре уравнения 33—36. Прочие системы Глава VI. Нелинейные уравнения с двумя независимыми переменными 1—13. ар2+... 14—20. f(x,y,z)p2+... 21—33. apq+...

154 155 157 157 161 162 165 169 173 174 176 176 176 177 177 181 181 182 183 184 189 191 196 196 197 199 201 204 207 208 210 210 212 214

34—42. f(x,y)pq+... 43—48. f(z)pq+... 49—54. (...)р2+(...)pq+... 55—68. ар2+bq2=f(x,y,z) 69—74. f(x,y)р2+ g(x,y)q2=h(x,y,z) 75—80. f(x,y,z)р2+ g(x,y,z)q2=h(x,y,z) 81—88. (...)р2+(...)q2+(...)p+(...)q+... 89—111. (...)р2+(...)q2+(...)pq+... 112—127. Уравнения третьей и четвертой степени относительно p, q 128—139. Прочие нелинейные уравнения Глава VII. Нелинейные уравнения с тремя независимыми переменными 1—7. Уравнения с одним или двумя квадратами производных 8—14. Более двух квадратов производных с постоянными коэффициентами 15—21. Остальные уравнения с квадратами производных 22—31. Уравнения с производными в более высоких степенях Глава VIII. Нелинейные уравнения с более чем тремя независимыми переменными Глава IX. Системы нелинейных уравнений

217 222 223 225 228 230 231 234 241 243 246 246 248 249 252 254 259