Теория и практика решения задач по микроэкономике. Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ФОНД ПОДГОТОВКИ КАДРОВ ИННОВАЦИОННЫЙ ПРОЕКТ РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ Программа «Совершенствование преподавания социально-экономических дисциплин в вузах» НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Экономический факультет

Синявская Эмилия Григорьевна Голубева Наталья Васильевна

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО МИКРОЭКОНОМИКЕ Учебное пособие

Новосибирск 2003

1

ПРЕДИСЛОВИЕ В настоящее время на русском языке издано большое количество учебников по микроэкономике различного уровня сложности как зарубежных, так и отечественных авторов. Большинство из них ориентировано, прежде всего, на изложение теоретического материала и в меньшей степени уделяется внимание методике применения микроэкономического анализа для решения задач и рассмотрению хозяйственных ситуаций. Между тем, по мнению авторов, творческое усвоение теории невозможно без овладения методикой решения задач. Многолетний опыт преподавания микроэкономики на экономическом факультете НГУ доказал, что наиболее эффективный путь обучения микроэкономике на первой ступени – сочетание теории с применением основных результатов и выводов для решения числовых примеров. Такое сочетание позволяет студентам овладеть современной методологией и методикой экономического анализа и принятия решений, понять, как применяются современные инструменты микроэкономического анализа. Данное учебное пособие предназначено студентам экономических вузов и факультетов, знающих основы математического анализа, для которых читается годовой курс микроэкономики. Основная цель учебного пособия – научить студентов применять теоретические знания для решения практических задач, поэтому теоретические положения и выводы излагаются в пособии кратко. Основной акцент сделан на разборе задач с применением графиков и простейших моделей. Поэтому изложение материала начинается не с вводной части (предмет исследования микроэкономики), присутствующей во всех учебниках, а с основных положений теории спроса и предложения, т.к. именно в этой теме начинают использоваться инструменты микроэкономического анализа. Во втором разделе излагаются основные концепции теории потребительского выбора и рассматривается методика их применения для решения различных задач. Третий раздел посвящён анализу производственной функции и издержек производства. Все выводы разбираются на конкретных примерах. Центральное место в учебном пособии занимает анализ теории ценообразования на готовую продукцию в различных рыночных структурах. Специфика ценообразования, сравнение методов определения объемов выпуска и цен, проявления рыночной власти иллюстрируются в решении задач различной сложности. В главах, посвященных ценообразованию на факторных рынках (труд, капитал, земля), особый упор делается на содержательной интерпретации численного решения, что позволяет глубже уяснить сочетание качественного и количественного анализа. В последнем разделе рассмотрено как рыночный механизм решает проблемы эффективного использования ограниченных факторов производства. Показана взаимосвязь проблем равновесия и эффективности и методические походы для решения задач. Авторы с благодарностью примут критические замечания и рекомендации по совершенствованию учебного пособия.

2

1. Теория спроса и предложения Основы теории рыночного спроса и предложения. 1.1. Рыночное равновесие: модель спроса и предложения Функция спроса Понятие спроса является базовым понятием всего микроэкономического анализа. Поэтому изучение микроэкономики традиционно начинается именно с изучения спроса. Спрос – это количество товара, которое потребитель/потребители хотят и могут купить на рынке за определенный период времени. Различают индивидуальный (предъявляемый одним потребителем) и рыночный (предъявляемый всеми потребителями данного товара) спрос. Желание и возможности потребителя иллюстрируются с помощью функции спроса: Q D = f(P). Функция спроса ставит в определенную зависимость объем приобретаемого товара и его цену (при неизменных неценовых факторах спроса). И, как правило, эта зависимость является обратной. Р

РA уменьшение цены РB

0

А

В увеличение величины спроса QB QA

QD Q Рис. 1.1. Закон спроса.

Количество товара Q A , приобретаемого потребителем по цене Р A - это величина спроса. Изменение цены товара с Р A до Р B вызывает изменение величины спроса на данный товар. Изменение спроса (рис. 1.2) вызывается неценовыми факторами, такими как изменение доходов потребителей, изменение цен на другие товары (взаимозаменяемые и взаимодополняемые к данному товару), изменение вкусов и предпочтений потребителей. Р увеличение спроса

Q D1 уменьшение спроса QD Q D2 Q Рис. 1.2. 3

1. Теория спроса и предложения Функция предложения Предложение – количество товара, которое производители хотят и могут продать на рынке за определенный период времени. Аналогично спросу, выделяют индивидуальное и рыночное предложение продукции. Р QS РC увеличение цены РD

С D увеличение величины предложения QC Q QD Рис. 1.3. Закон предложения.

Функция предложения выражает прямую зависимость объема предлагаемого на рынок товара и его цены (при неизменности прочих неценовых факторов). Изменение предложения товара на рынке может быть вызвано такими факторами как изменение числа производителей, изменение технологии производства, изменения цен на ресурсы, используемые в производстве продукции. Р Q S2

QS Q S1

уменьшение предложения увеличение предложения Q Рис. 1.4. Совместив на одной плоскости функции спроса и предложения товара, мы получим информацию о существовании на рынке данного продукта равновесия и, если оно существует, характеристики этого равновесного состояния. P P P QS QS QD P* QS

Q* (а)

QD Q

QD Q (б) Рис. 1.5.

Q (в)

4

1. Теория спроса и предложения Если функции спроса и предложения пересекутся в положительной плоскости осей цены (Р) и выпуска (Q), то на рынке будет существовать равновесие, при котором будет продано Q* единиц продукции по цене Р* (рис. 1.5 (а)). Но возможны и другие ситуации. Допустим, объем предложения может превышать объем спроса при любой неотрицательной цене. В таком случае Q S > Q D и равновесной ценой считают Р = 0 (рис. 1.5 (б)). Пример – бесплатность атмосферного воздуха. Поскольку в микроэкономической теории изучается производство экономических благ с использованием ограниченных ресурсов, то подобная ситуация не является предметом анализа. Если цена предложения превышает цену спроса при любом неотрицательном объеме, то считают, что равновесие достигается при Q = 0, если при этом Р S > Р D (рис. 1.5 (в)). Примером последней ситуации является производство продукции с очень высокими издержками, которое технологически возможно, но экономически нецелесообразно. Как видно из рис. 1.5 (а), не все потребители, которые предъявили спрос на данный продукт, смогли его удовлетворить, так же как и не все производители данного продукта могут его реализовать по сложившейся на рынке равновесной цене. Вместе с тем, часть потребителей и производителей, совершивших сделку по цене Р*, сделали это по цене меньше (потребители) и больше (производители), чем могли бы. Допустим, на рынке продается 5 единиц продукции по цене 5 ден.ед. за единицу товара (рис. 1.6). Эти пять единиц купили 5 потребителей (каждый по 1 единице) у 5 производителей (каждый производитель продал по 1 единице). Р 9 8 7

S: Q S (P)

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

D: Q D (P) Q Рис. 1.6.

Первый потребитель из приобретших данный товар мог бы купить его по цене 9 ден.ед., второй – по цене 8 ден.ед. и т.д., но, поскольку цена на рынке 5 ден.ед., 4 потребителя сэкономили свои денежные средства. В данном примере мы можем легко подсчитать размер такой экономии: 10 ден.ед. Аналогичные рассуждения применимы к производителям продукции: они тоже сэкономят 10 ден.ед. Подобные «сэкономленные» денежные средства называют выигрыш потребителей и выигрыш производителей. Выигрыш (излишек) потребителей можно определить также как потери, которые возникли бы у потребителей при запрете на производство и потребление данного товара. Аналогичный смысл имеет и выигрыш производителей.

5

1. Теория спроса и предложения Р выигрыш потребителей S

Р* выигрыш производителей D

0

Q* Q Рис. 1.7. Выигрыш потребителя и производителя.

Если функции спроса и предложения линейны, выигрыш потребителей и производителей рассчитывается как площади заштрихованных треугольников на рис. 1.7. 1.2. Эластичность спроса и предложения Одно из основополагающих понятий в микроэкономическом анализе – это понятие эластичности спроса/предложения продукции. Эластичность спроса – это отношение процентного изменения величины спроса к небольшому процентному изменению цены продукции (например, на 1%). Эластичность спроса по цене обозначают как Е PD . % ΔQ D Е PD = . % ΔP Запишем формулу для расчета эластичности спроса по цене, исходя из данного нами определения: ΔQ D ⋅ 100% ΔQ D P dQ P Q P = ⋅ или Е PD = ⋅ . (*) ЕD = ΔP ΔP Q dP Q ⋅ 100% P dQ Поскольку величина отрицательная (значения цены и объема меняются в разных dP направлениях), эластичность спроса по цене тоже будет величиной отрицательной.

Р

РA

А

РB

В QD Q

0

QA

QB Рис. 1.8. 6

1. Теория спроса и предложения dQ P ⋅ позволяет подсчитать значение эластичности спроса по цене в dP Q любой точке функции спроса (это формула точечной эластичности), но эластичность можно рассчитать не только в точке, но и на отрезке (дуге) [например, дуга АВ на рис. 1.8]. В этом случае эластичность спроса по цене находится по формуле: Q − Q B ( PA + PB ) / 2 ⋅ , которую называют формулой дуговой эластичности. Е PD = A PA − PB (Q A + Q B ) / 2

Формула Е PD =

Вместо значений конкретной точки в правой части формулы (*) берется среднее арифметическое координат концов дуги. Q − Q B ( PA + PB ) / 2 Q − Q B PA + PB ⋅ ⋅ → Е PD = A . Е PD = A PA − PB (Q A + Q B ) / 2 PA − PB Q A + Q B Фактически формула дуговой эластичности определяет значение эластичности в середине отрезка АВ, а не кривой. Поэтому, если задана функция спроса, то можно найти значения Е PD в точках А и В по формуле (*). Существует определенная закономерность изменения значения эластичности спроса по цене при движении вдоль функции спроса. Рассмотрим случай линейной функции спроса (рис. 1.9). Р Е PD = - ∞ N эластичный отрезок функции спроса - ∞ < Е PD < - 1

K

0

Е PD = - 1 M

F

неэластичный отрезок функции спроса – 1< Е PD < 0 Е PD = 0 R Q

Рис. 1.9. Точки N и R – точки крайних значений эластичности спроса по цене: в точке N эластичность спроса по цене Е PD равна - ∞ , в точке R - равна нулю. Легко показать, что для любой точки линейной функции спроса (кроме крайних), допустим, для т. М, справедливо равенство: ΔQ D PM OF OK OK ⋅ = = . Е PD (М) = ⋅ ΔP Q M NK OF NK

Если ОК = KN, то Е PD (М) = - 1. На рис. 1.9 т. М находится на середине отрезка NR. Рассматривая эластичность спроса по цене, следует обратить внимание на то, что наклон функции спроса не совпадает с ее эластичностью. К примеру, если линейные функции спроса имеют общую точку на оси цен, то наклоны у них будут разные, а эластичности в любой точке одинаковыми (рис. 1.10).

7

1. Теория спроса и предложения Р N

K

A

B

C

0

Q

Рис. 1.10. Е PD (А) = Е PD (В) = Е PD (С) =

OK . NK

Противоположный пример – функции спроса вида Q =

a (a > 0). Очевидно, это Pn

a⋅n dQ = - n +1 . При движении вдоль такой кривой спроса ее наклон dP P изменяется, но эластичность остается постоянной. dQ P a ⋅ n P ⋅ Pn ⋅ = - n +1 · = - n. Действительно, Е PD = dP Q a P Если n = 1, то мы получим кривую спроса с единичной эластичностью (рис. 1.11). Для наглядности, однако, можно показать линейные функции, имеющие различный наклон и различные эластичности спроса по цене, если они не имеют общей точки по оси цен. Тогда, чем меньше тангенс угла наклона функции спроса Q(P) к оси ОР, тем неэластичнее будет сама функция спроса. Различают 5 видов функций спроса:

гипербола, ее наклон

Р QD I. Е PD = 0

абсолютно неэластичный спрос

Q Р II. – 1 < Е PD < 0 неэластичный спрос

QD Q Р

III. Е PD = - 1

спрос единичной эластичности

QD Q P QD Q

IV. - ∞ < Е PD < - 1 эластичный спрос

8

1. Теория спроса и предложения P QD

V. Е PD = - ∞

абсолютно эластичный спрос

Q Рис. 1.11. В реальной экономике знание производителя о характере эластичности спроса потребителя во многом может предопределить результат принятия того или иного экономического решения. Р

S 0 S1

P

P0

Е0

P0

P1

А Е1

P1

D Q Q 0 Q1 (а) случай неэластичного спроса

S 0 S1

Е0 А

Е1

D

Q 0 Q1 (б) случай эластичного спроса

Q

Рис.1.12. Например, решение производителя расширить производство и увеличить объем продаж, снизив цену. Очевидно, изменение общей выручки (дохода) производителя будет зависеть от характера эластичности спроса на его продукцию. В случае неэластичного спроса снижение цены приведет к относительно малому росту объема продаж. В итоге доход производителя сократится, как показано на рис. 1.12 (а). В случае неэластичного спроса потери общего дохода производителя будут равны разнице площадей прямоугольника АЕ 1 Q 1 Q 0 и прямоугольника P 0 Е 0 АР 1 (площадь прямоугольника АЕ 1 Q 1 Q 0 - увеличение общего дохода производителя в результате увеличения объема продаваемой продукции, площадь прямоугольника P 0 Е 0 АР 1 - уменьшение общего дохода производителя в результате уменьшения цены продаваемой продукции). Рис. 1.12 (б) иллюстрирует, что в случае эластичного спроса прирост дохода в результате увеличения выпуска намного превысит потери в доходе от снижения цены. Этот пример показывает, что увеличивать объем продаж за счет снижения цены имеет смысл только при эластичном спросе. Цена продукции – не единственный фактор, по которому может быть рассчитана эластичность спроса. Мы можем подсчитать эластичность спроса по доходу, а также подсчитать перекрестную эластичность (эластичность спроса на данный продукт по цене другого продукта). dI Q Эластичность спроса по доходу: Е PI = ⋅ . dQ I Если Е PI > 0, значит, с ростом дохода, потребитель увеличил объем своего потребления данного товара и этот товар для него является нормальным; если Е PI становится меньше 0, значит потребитель отказывается от потребления этого товара при росте своего дохода и этот товар становится для него некачественным. 9

1. Теория спроса и предложения dQY PX ⋅ показывает отношение dPX QY процентного изменения величины спроса на продукт у при процентном изменении цены на продукт х. Например, цена на кофе увеличилась на 20% в результате неурожая кофе, объем спроса на чай (при относительно неизменных неценовых факторах на рынке чая) вырос на 10%. 10% Е QPXY = = 0,5 > 0. 20% Если перекрестная эластичность больше 0, такие товары служат заменителями друг другу в потребительской корзине. Если Е QPXY < 0, товары будут дополнять друг друга в потреблении (увеличение цены

Перекрестная эластичность спроса по цене: Е QPXY =

на кофе приводит к уменьшению потребления кофе и может привести к уменьшению потребления сахара и сливок). Если перекрестная эластичность равна нулю, то такие товары являются независимыми друг от друга в потреблении. Аналогично эластичности спроса, эластичность предложения – это отношение процентного изменения величины предложения к небольшому процентного изменению %ΔQ S dQ S P цены: Е SP = ⋅ или Е SP = . %ΔP dP Q S Поскольку цена и объем для функции предложения изменяются в одном направлении, эластичность предложения по цене будет положительной. Если Е SP = 0, то предложение является абсолютно неэластичным, если Е SP = ∞ , то предложение является абсолютно эластичным. Следует особо обратить внимание на тот факт, что эластичность спроса и предложения меняется в зависимости от временных рамок проводимого анализа (рис. 1.13). Р S1 S0

P1 P2 P0

Е1 Е0 D LR D0 D1 Q 2 Q1

Q0

Q Рис. 1.13.

В результате неурожая апельсинов, их предложение уменьшилось, цена увеличилась, и объем продаж на рынке сократился в краткосрочном периоде с Q 0 до Q 1 . Но в долгосрочном периоде потребители имеют возможность переключить свой спрос на 10

1. Теория спроса и предложения

другие продукты, и спрос на апельсины уменьшится с D 0 до D 1 . Долгосрочная функция спроса на апельсины будет более эластичной, чем функции спроса в краткосрочный период времени. Предложение в краткосрочном периоде обычно характеризуется сильной неэластичностью (в мгновенном периоде предложение продукции, как правило, характеризуется абсолютной неэластичностью по цене), производители не могут быстро перестроить свое производство, даже если спрос на их продукцию сильно увеличится и цена возрастет (т. Е 1 на рис. 1.14). Но в долгосрочном периоде функция предложения может характеризоваться сильной эластичностью по цене. Привлеченные высокой ценой, на рынке появляются новые производители, что увеличивает предложение продукции и снижает ее цену (т. Е 2 на рис. 1.14). Р S0 S1

P1 P2 P0

Е1

S LR E2

Е0 D1 D0

0

Q 0 Q1

Q2

Q Рис. 1.14.

Числовой пример 1.1. На цветочном рынке по цене 20 рублей за штуку продается в день 600 гвоздик. При этом Е PD = -3, Е SP = 2. 1. Определим функции спроса и предложения на гвоздики (при условии, что они линейны). 2. Как изменится цена и объем продаж гвоздик на рынке, если спрос на них увеличится на 20%, а предложение уменьшится на 10%. Решение.

dQ P ⋅ . dP Q Мы знаем значение эластичности спроса и значения цены и объема продаж, подставим эти значения в формулу эластичности: dQ D P dQ 20 dQ Е PD = ⋅ =-3= → · = -90. dP Q D dP 600 dP Запишем уравнение функции спроса в виде линейной функции: Q D = aP + b.

1. Запишем уравнение эластичности спроса по цене: Е PD =

11

1. Теория спроса и предложения

dQ = а = - 90 → Q D = -90·P + b = -90·20 + b = 600 → b = 2400 dP Получаем уравнение функции спроса: Q D = -90Р + 2400. Аналогично найдем уравнение функции предложения: dQ S P dQ 20 dQ ⋅ =2= → Е SP = · = 60. dP Q S dP 600 dP Q S = 60P + d → 600 = 60·20 + d → d = -600. Уравнение функции предложения: Q S = 60P – 600. 2. Запишем новые уравнения функций спроса и предложения на рынке гвоздик: Q D1 = 1,2Q D = 1,2·(-90P + 2400) = -108P + 2880. Q S1 = 0,9Q S = 0,9·(60P – 600) = 54P – 540. Приравняем новые функции спроса и предложения: Q D1 = Q S1 -108P + 2880 = 54P – 540 Р 1 = 21,11 Q 1 = 54·21,11 – 540 = 600 Покажем получившееся решение на графике (рис. 1.15). Р Q S1

QS

21,11 20

Q D1 QD 600

Q Рис.1.15.

1.3. Вмешательство государства в функционирование рынка Введение потоварного налога.

Для наглядности иллюстраций и упрощения вычислений предположим, что функции спроса и предложения являются линейными: Q D : Р = a – bQ D Q S : P = c + dQ S Исходное равновесие показано на рис. 1.16. 12

1. Теория спроса и предложения

P S1 a t

P1

E1

P0 c+t

S0

Исходная точка E 0 : a – bQ = c + dQ a – c = bQ + dQ a -c ad + bc Q0 = ; P0 = b+d b+d

E0 t D

c Q1

Q0

Q Рис. 1.16.

Рассмотрим два варианта налогообложения: А. Введение потоварного налога в виде фиксированной денежной суммы с единицы товара (например, государство вводит налог в размере 5 ден.ед. с каждой единицы проданного товара). Б. Введение налога в виде процентных отчислений с единицы товара. Случай А. Государство ввело налог в размере t ден.ед. на производителя продукции. Посмотрим, что произойдет с ценой и объемом продаж на рынке. Так как налог вводится на производителя, его функция предложения сдвигается вверх по оси цены на t: S 1 = c +dQ S + t = (c + t) + dQ S .

Новая точка равновесия – точка Е 1 , ей соответствует новая цена на рынке (Р 1 ) и новый объем продаж (Q 1 ). Но Р 1 - это цена, которую заплатит потребитель за продукцию на данном рынке. Производитель же получит за объем Q 1 , купленный потребителем, цену Р 2 (рис. 1.17). Эта цена может быть найдена из первоначальной кривой предложения производителя S 0 . Разница между «ценой потребителя» и «ценой производителя» и есть величина налога t. P a S1 t S0 P1

E1

P0

N

Р2

E2

Q1

E0

Равновесие после введения налога – т. E 1 : a – bQ = (c + t) + dQ a – (c + t) = bQ + dQ a - (c + t) ad + b(c + t) ; P1 = Q1 = b+d b+d D Q

Q0 Рис. 1.17.

13

1. Теория спроса и предложения

Налоговые поступления государству составят величину t· Q 1 , ей соответствует площадь прямоугольника Р 1 Е 1 Е 2 Р 2 на рис. 1.17. Этот прямоугольник состоит из двух частей: прямоугольника Р 1 Е 1 NP 0 , показывающего, какая величина налоговых сборов ложится на потребителя, и прямоугольника Р 0 NE 2 Р 2 , показывающего величину налогового бремени, приходящегося на долю производителя. Величина этих прямоугольников относительно друг друга (распределение налогового бремени между потребителем и производителем) зависит от эластичностей функций спроса и предложения. Р

Р t S1

Р1 P0

Е1

t

S1

S0

P1 P0

E0

S0

E1 E0

Р2

Р2 D Q1 Q 0 а) случай эластичного предложения

D Q

Q1 Q 0 Q б) случай неэластичного предложения

Рис. 1.18.

Из рис. 1.18 б) видно, что, чем предложение менее эластично при той же эластичности спроса и величине вводимого государством налога, тем меньше налогового бремени ложится на потребителя (т.е. разница между первоначальной ценой на рынке Р 0 и ценой после налогообложения Р 1 незначительна; незначительно же изменился и объем продаж). В случае высокой эластичности предложения ситуация меняется и «пострадавшей» стороной выступает потребитель, который несет основную налоговую нагрузку (рис. 1.18 а)). На рис. 1.19 показаны ситуации одновременно а) эластичного спроса и предложения; б) неэластичного спроса и предложения. В первом случае налогообложение приведет к значительному сокращению объема продаж на рынке; во втором случае (при той же величине налога, что и в случае а)) объем продаж на рынке сократится незначительно и объем налоговых поступлений в бюджет будет значительно больше, чем в случае а).

14

1. Теория спроса и предложения

Р

Р S1

S1

S0

t Р1 P0

Е1

S0

P1 P0

E0

E1 E0

Р2

Р2 D

D Q1 Q0 Q а) случай эластичного предложения Рис. 1.19.

Q1 Q 0 Q б) случай неэластичного предложения

Продолжим рассмотрение нашей ситуации. Величина налогового бремени формируется из излишков потребителей и производителей. Но не вся часть изменения излишка входит в налоговые поступления. До введения налога излишек потребителей составлял площадь треугольника аЕ 0 Р 0 , а излишек производителей – площадь треугольника сЕ 0 Р 0 (рис.1.19). Р а

S1 t

P1

E1

P0

N

Р2

E2

S0

E0

с

D Q1

Q0

Q Рис. 1.19.

После введения потоварного налога излишек потребителей – это площадь треугольника аЕ 1 Р 1 , а излишек производителей – это площадь треугольника сЕ 2 Р 2 . Видно, что для потребителей изменение его излишка – это площадь трапеции Р 1 Е 1 Е 0 Р 0 , но только прямоугольник Р 1 Е 1 NР 0 войдет в налоговые поступления; треугольник Е 1 Е 0 N «потерян».

15

1. Теория спроса и предложения

Аналогично для производителей: изменение излишка – площадь трапеции Р 0 Е 0 Е 2 Р 2 и «потерянная» часть – треугольник NЕ 0 Е 2 . Сложив эти два треугольника (Е 1 Е 0 N и NЕ 0 Е 2 ), мы получим чистые потери общества в результате налогообложения. Теперь проанализируем, как изменится ситуация на рынке, если тот же самый налог (t ден.ед.) государство введет не на производителя продукции, а на потребителя (рис. 1.20). Р а P1 P0

S E1 E0 t

с

D1 Q1

D0

Q0

Q Рис. 1.20.

Чтобы лучше проиллюстрировать данную ситуацию, рассмотрим числовой пример. Числовой пример 1.2. На рынке чая спрос представлен функцией Р = 180 - 3Q D . Предложение чая имеет вид: Р = 70 + 2Q S . Государство решило ввести налог на потребителей чая в размере 10 ден.ед. с единицы купленной продукции. 1. На сколько изменится объем продаж на рынке чая и его цена? 2. Сколько получит государство в виде налоговых поступлений? Решение. Найдем первоначальное равновесие на данном рынке: 180 – 3Q = 70 + 2Q 110 = 5Q Q 0 = 22 P 0 = 114 Поскольку налог вводится на потребителя продукции, изменится его функция спроса. Она будет иметь вид: Р = (180 - 3Q D ) – 10 = 170 - 3Q D . Новое равновесие на рынке определим из равенства: 170 – 3Q = 70 + 2Q 100 = 5Q Q 1 = 20 P 1 = 180 - 3·20 = 120. Теперь на рынке будет продаваться 20 ед. чая по цене 120 ден.ед. Производитель получит цену Р 2 , равную 70 + 2·20 = 110.

16

1. Теория спроса и предложения

Ту же самую цену Р 2 можно также определить вычитанием из цены, которую заплатит потребитель величины налога: Р 2 = Р 1 - 10 = 120 – 10 = 110. Налоговые поступления государству составят 10·20 = 200 ден.ед. [P 1 E 1 E 2 Р 2 ]. Чистые потери общества равны (10·2)/2 = 10 [E 1 E 0 E 2 ]. Проиллюстрируем наше решение на рисунке (рис. 1.21). Р S 1 : P = 80 + 2Q S P 1 = 120

E1

P 0 = 114 Р 2 = 110

S: Р = 70 + 2Q S

E0 Е2 t = 10 D1

D 0 : Р = 180 - 3Q D

Q 1 =20 Q 0 =22

Q Рис. 1.21.

Если подобный налог государство решит ввести на производителей чая, ситуация на рынке не изменится: мы получим объем Q 1 , равный 20 и цены Р 1 = 120, Р 2 = 110. Новая функция предложения будет иметь вид: P = (70 + 2Q S ) + 10 = 80 + 2Q S . 80 + 2Q = 180 – 3Q 5Q = 100 Q 1 = 20 P 1 = 80 + 2·20 = 120 Р 2 = 70 + 2·20 = 110. Случай Б. Рассмотрим другой способ налогообложения: государство вводит налог не в денежном выражении, а в процентном. Числовой пример 1.3. На рынке чая при первоначальных функциях спроса и предложения (числовой пример 1.2) Р = 180 - 3Q D и Р = 70 + 2Q S государство вводит налог на потребителей чая в размере 10% от цены единицы продукции. 1. На сколько изменится объем продаж на рынке чая и его цена? 2. Сколько получит государство в виде налоговых поступлений? Решение. D 0 = 1,1D 1 → D 1 = 0,909D 0

Новая функция спроса будет иметь вид: Р = 0,909·(180 - 3Q D ) = 163,64 – 2,73Q D . 163,64 – 2,73Q = 70 = 2Q 93,64 = 4,73Q Q 1 = 19,8 17

1. Теория спроса и предложения

P 1 = 163,64 – 2,73·19,8 = 163,64 – 54,05 = 109,6 Р 2 = 180 - 3·19,8 = 120,6 Р D0

Р 2 = 120,6 114

S0

D1 Е0

Р 1 = 109,6

Q 1 =19,8 Q 0 =22

60

Q

Рис. 1.22.

Государство получит в виде налоговых поступлений (120,6 – 109,6)·19,8 = 217,8 ден.ед. Это же решение можно получить следующим способом: Поскольку налог платит потребитель, то Р D = (1 + t)·Р S , где t – величина налога (в долях). P P Выразим Q D : Q D = 60 - D . Аналогично, Q S = S - 35. 3 2 В новой точке равновесия Q D = Q S P P 60 - D = S - 35 ⇒ Р S = 109,6 = Р 1 3 2 Р D = 120,6 = Р 2 Р D = 1,1Р S 120,6 Q 1 = 60 = 19,8 3 Если государство вводит процентный налог на производителей, то за каждую единицу проданного товара производитель получит Р S = (1 – t)· Р D , где t – величина налога в долях. Для нашего числового примера получим условия: P P 60 - D = S - 35 ⇒ Р S = 109,1 = Р 1 3 2 Р S = 0,9Р D Р D = 121,3 = Р 2 121,3 Q 1 = 60 = 19,6 3 Сумма налоговых поступлений составит (121,3 – 109,1)·19,6 = 239,12 ден.ед. Данное решение показано на рис. 1.23. 18

1. Теория спроса и предложения

Р D0

Р 2 = 121,3 114

S1

S0

Е0

Р 1 = 109,1

Q 1 =19,6 Q 0 =22

60

Q

Рис. 1.23.

Нетрудно заметить, что в отличие от введения фиксированного денежного налога результат введения процентного налога от цены товара различается в зависимости от того, кто является плательщиком налога. Чем больше процентный налог, тем больше различаются рыночные параметры в зависимости от того, кто является плательщиком – потребитель (покупатель) или производитель (продавец) товара. Взаимосвязь цен и налогов показана в таблице 1.1. Таблица 1.1. Процентный налог, r Плательщик налога Фиксированный денежный (в долях) налог, t (в денежном выражении) Продавец РS = РD - t Р S = (1 – r)·Р D Покупатель

РD = РS - t

Р D = (1 + r)·Р S

Введение потоварной дотации

Следующий способ вмешательства государства в функционирование рынка – введение потоварной дотации. Р S0 К РS = Р2 Р D = Р1

S1

N E0 M

D0 Q 0 Q1

D1 Q

Рис. 1.24.

19

1. Теория спроса и предложения

Предположим, городские власти решили дотировать производителей мяса в размере k ден.ед. с единицы проданной продукции. В результате предложение мяса увеличивается – функция предложения сдвигается вправо-вниз (рис. 1.34). Мы получили новую функцию предложения (S 1 ), которая даст нам новый объем продаж на рынке Q 1 и цену Р 1 - цену, которую заплатят потребители за купленный продукт (Р D = Р 1 ); производители же получат цену Р 2 , сформированную исходя из своей первоначальной функции предложения, причем Р 2 = Р S = Р 1 + k. Площадь прямоугольника Р 2 NM Р 1 - сумма дотации, которую выплачивает государство. Так же как и в случае налогообложения сумма дотации распределится между потребителями и производителями: излишек потребителей увеличится на площадь трапеции P 0 Е 0 МР 1 ; излишек производителей – на площадь трапеции P 0 Р 2 NЕ 0 . Площадь треугольника Е 0 NM – это чистые потери общества. Как и при введении потоварного налога, по рис. 1.24 видно, что ситуация на рынке не изменится, если потоварная дотация выплачивается не производителям, а потребителям продукции (в этом случае мы получаем новую функцию спроса D 1 , проходящую через т. N). Числовой пример 1.4. позволит нам еще раз проанализировать изменения, возникающие на рынке в случае выплаты государством дотации. Функции спроса и предложения на рынке определены как Q D = 435 – 4P; Q S = 15 + 8P. Городские власти установили, что товар не может продаваться дороже 21 ден. единицы. Чтобы избежать дефицита, власти ввели субсидию производителям за каждую единицу проданного товара. Чему должна быть равна величина субсидии, при которой на рынке установится равенство спроса и предложения? Решение. До вмешательства городских властей на рынке существовало равновесие E 0 : Q D = Q S 435 – 4Р = 15 + 8Р ⇒ P 0 = 35, Q 0 = 295. Но городские власти решили, что цена P 0 = 35 слишком высока для данной продукции и определили «потолок» цены в 21 денежную единицу.

При Р = 21 спрос потребителей на данный продукт будет равен 435 - 4·21 = 351 ед., а предложение производителей будет равно 15 + 8·21 = 183 единицы. Чтобы на рынке продавалась 351 единица продукции, государство должно субсидировать производителей, т.е. цена для производителей должна удовлетворять условиям: 15 + 8Р = 351. Мы получаем, что цена, по которой производители продадут 351 единицу продукции будет равна 42 ден.ед.

20

1. Теория спроса и предложения

Р QD

QS

42 величина дотации составит (42 – 21) = 21 ден.ед.

P 0 = 35 21

Q 0 = 295 351 Рис.1.25.

Q

Общая сумма дотации будет равна 351·21 = 7371 ден.ед. Введение верхнего и нижнего «потолка» цены

Как мы увидели из примера 1.4, еще один способ государственного регулирования рынка – это установление «потолка» цены. Рассмотрим механизм установления верхнего «потолка» цены с помощью рис. 1.26. Р А S B P*

N

P рег

С

E F D

0

Q1

Q*

Q2

Q

Рис. 1.26. Установление верхнего «потолка» цены

Установление цены P рег , выше которой производители не могут продавать товар на рынке, неизбежно приводит к возникновению дефицита, равного [Q 2 - Q 1 ]. Посмотрим, что произошло с излишками потребителей и производителей в результате государственного регулирования цены. Излишек потребителей в целом увеличился и стал равен площади трапеции АВСP рег , излишек производителей уменьшился на величину площади трапеции Р*ЕСP рег и стал равен площади треугольника P рег СО (мы видим, что часть излишка производителей [площадь прямоугольника Р*NCP рег ] перешла к потребителям). 21

1. Теория спроса и предложения

Но также мы видим, что произошла потеря потребительского излишка, связанного с уменьшением объема продаж на рынке (это площадь треугольника BNE). Чистые потери общества составят площадь треугольника ВЕС. Если сравнить установление государственного контроля за ценой на рынках с эластичным и неэластичным спросом, можно сделать вывод о нецелесообразности подобных мероприятий для рынка с сильноэластичным спросом, поскольку на рынке возникнет огромный дефицит и это приведет, скорее всего, к возникновению «черного» рынка (рис. 1.27, рис. 1.28). Р

Р D

S

S

D P* P рег

P* P рег

Q 1 Q*Q 2 а) случай неэластичного спроса

Q

Q 1 Q* Q2 б) случай эластичного спроса

Q

Рис. 1.27.

Р S΄ S

P рег S

D

Q*

Q

Рис. 1.28. Возникновение «черного» рынка

Нижний «потолок» цены предполагает установление государством цены, ниже которой производитель не может продавать продукцию на рынке (рис. 1.29).

22

1. Теория спроса и предложения

Р S P рег P* избыток продукции

Q Q* Q2 Q1 Рис. 1.29. Установление нижнего «потолка» цены.

23

.

3. Теория производства Теория потребительского выбора 2.1. Равновесие потребителя в задаче потребительского выбора

Теория потребительского выбора изучает поведение потребителей в рыночной экономике. Чтобы сделать выбор, потребитель должен сравнить полезности различных наборов благ при ограниченном денежном доходе и известных ценах на покупаемые товары. Если известны потребительские предпочтения и бюджетное ограничение, то задачу потребительского выбора для двух благ Х и Y можно представить следующим образом: max U(x, y)

(1.1)

( x, y )

при условии Р x х + Р y у = I

(1.2)

x, y ≥ 0

(1)

(1.3)

Представим графически задачу максимизации функции полезности потребителя. Y A

YE

•

F

• D • E

U3 U2 • G U1

XE

B

X

Рис. 2.1. Px ), то, при заданном Py доходе I и предпочтениях потребителя, выраженных в виде семейства кривых безразличия U 1 , U 2 , U 3 …., оптимальным выбором потребителя будет набор (X E , Y E ), т.е. т. Е – это точка касания данной бюджетной линии и самой «высокой» из достижимых кривых безразличия. Набор D, принадлежащий кривой безразличия U 3 , является недостижимым для потребителя, наборы F, G являются достижимыми, т.к. находятся на бюджетной линии АВ, но не оптимальными, т.к. соответствуют уровню полезности U 1 , который ниже оптимального уровня U 2 . Представленный на рис. 2.1. оптимальный выбор потребителя основывается на аксиомах порядковой (ординалистской) теории полезности, законе убывающей предельной полезности (1-й закон Госсена) и соответствующих свойствах кривых безразличия. В этом случае оптимальный выбор потребителя всегда характеризуется положительными значениями покупаемых благ (X E > 0, Y E > 0). Это так называемый внутренний оптимум. Для него выполняется следующее условие, которое в теории получило название 2-го закона Госсена:

Если наклон бюджетной линии АВ задан соотношением цен (-

24

.

3. Теория производства в т. Е MRS XY =

MU X P = X или MU Y PY

MU X MU Y = PX PY

Поскольку оптимальная т. Е находится на заданной бюджетной линии, то искомый оптимальный набор может быть найден из решения задачи (2), эквивалентной задаче (1): MU X P = X (2.1) MU Y PY Р x Х + Р y Y = I (2.2) (2) Х, Y ≥ 0

(2.3)

Наиболее часто встречающейся в задачах по микроэкономике и хорошо изученной функцией полезности является функция Кобба-Дугласа. Для двух благ эта функция имеет вид: U = AX α Y β , где А, α, β – постоянные положительные числа. Функция Кобба-Дугласа обладает тремя свойствами, что позволяет при решении задачи потребительского выбора рассматривать ее как «удобную» функцию полезности для нахождения внутреннего оптимума. • Предельные полезности положительны для обоих благ. Поскольку MU X = αAx α −1 y β , MU Y = βAx α y β −1 , то MU X > 0, MU Y > 0 при А, α, β > 0. Это означает, что выполняется аксиома ненасыщенности. • Кривые безразличия, соответствующие этой функции, имеют отрицательный MU X наклон (наклон равен - MRS XY = < 0). MU Y • Функция Кобба-Дугласа имеет уменьшающуюся предельную норму замещения, поэтому соответствующие кривые безразличия являются выпуклыми к началу MU X αy координат. Очевидно, что MRS XY = = . Если увеличивать х и βx MU Y уменьшать у при движении вдоль кривой безразличия сверху вниз, то значение MRS XY будет уменьшаться. Следовательно, в оптимальный набор потребителя будут входить оба блага. Рассмотрим пример нахождения внутреннего оптимума при использовании функции Кобба-Дугласа. Числовой пример 2.1. Предпочтения потребителя заданы в виде функции полезности U(x, y) = xy. Доход равен 800 ден.ед. Цены благ соответственно равны Р X = 20, Р Y = 40.

Чему будет равен набор для потребителя? Решение. Запишем задачу в общем виде

U(x, y) = xy → max 20x + 40y = 800 x, y ≥ 0

25

.

3. Теория производства

Поскольку оптимум в этом примере является внутренним, то должно выполняться MU X P y 20 условие MRS XY = = X или = , т.е. х = 2у. MU Y PY x 40 Таким образом, оптимальный набор должен находиться на прямой х = 2у и в то же время удовлетворять бюджетному ограничению. Получаем систему из 2-х линейных уравнений: х = 2у 20х + 40у = 800 Ее решение дает оптимальный набор у E = 10; х E = 20. Графическая интерпретация этой задачи: У I 800 = = 20 40 Py

наклон кривой безразличия в т.Е равен y 1 Е - MRS XY (Е) = =x 2 10

у= 0

наклон бюджетной линии 1 равен 2

x 2

20

40 Х I 800 = = 40 PX 20 Рис. 2.2.

Аксиомы, лежащие в основе теории потребительского выбора, могут в действительности нарушаться. Например, потребитель может рассматривать два блага как совершенные заменители. Тогда предельная норма замещения для таких благ будет постоянной величиной, а не уменьшающейся. Либо потребитель всегда включает в набор блага в определенном (неизменном) соотношении. В этом случае блага становятся дополняющими друг друга в неизменной пропорции. Рассмотрим решение задач оптимального выбора для специальных функций полезности. 2.2. Решение задач потребительского выбора для специальных функций полезности.

1 случай. Функции полезности – прямые линии (товары – совершенные заменители)

В общем случае такая функция имеет вид U(x, y) = ax + by, где a, b > 0.

26

.

3. Теория производства

у Наклон этих прямых постоянен и равен -

a . b

Х MU X a = . Рис. 2.3. MU Y b Обратите внимание, что в этом случае линии безразличия пересекают оси координат, следовательно, в оптимальную корзину потребителя может входить не два блага, а только одно. Такое равновесие потребителя называют угловым. Следует иметь в виду, что кривые безразличия могут пересекать оси координат, но потребитель выбирает внутренний оптимум. В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

MRS XY =

Числовой пример 2.2. Предпочтения потребителя представлены функцией U = H + M , где Н и М – взаимозаменяемые блага. Доход потребителя за неделю составляет 24 ден.ед. Цены заданы как Р H = 2, Р M = 1. Сколько блага Н и блага М будет покупать каждую неделю потребитель, если он максимизирует свою полезность? Решение. Найдем предельную норму замещения для данной функции полезности. MU H M 1/ 2 H = . MRS HM = = MU M 1/ 2 M H При снижении М и увеличении Н MRS HM > 0 и является убывающей функцией.

Если функцию полезности записать в виде M = U - H (*) или М = (U - H ) 2 , то очевидно, что М = 0 (кривая пересекает горизонтальную ось) при Н = U 2 . При Н = 0 кривая безразличия пересекает вертикальную ось в т. М = U 2 . Следовательно, можно представить карту кривых безразличий следующим образом (мы учитывали только левую ветку параболы (*), имеющей отрицательный наклон): M 36

M = 4H

20 16

E U=6 4

12

36

H

Рис. 2.4.

27

.

3. Теория производства

В точке оптимума должно выполняться условие касания кривой безразличия и MU H P M 2 бюджетной линии потребителя, т.е. MRS HM = = = H = . Отсюда, М = 4Н. 1 MU M PM H Поскольку 2Н + М = 24, то оптимальный набор благ составляет Н E = 4; М E = 16. Оптимальный уровень полезности U = 4 + 16 = 6. При данных предпочтениях потребитель всегда выбирает набор, в котором благо М в 4 раза больше, чем благо Н, т.е. допустимые наборы благ лежат на прямой М = 4Н. Оптимальный выбор определяется как точка пересечения прямой М = 4Н и бюджетной линии 2Н + М = 24, что эквивалентно нахождению точки касания бюджетной линии и кривой безразличия 6 = H + M . Это наивысший уровень полезности, который может быть достигнут при заданных ценах и уровне дохода. Таким образом, в данном примере кривые безразличия пересекают оси координат, но оптимум является внутренним (Н > 0, М > 0). Вернемся к анализу углового равновесия в общем случае для линейной функции полезности. Пусть U(x, y) = (ax + by) → max Бюджетная линия АВ: Р x х + Р y у = I. Поскольку товары х и у являются совершенными заменителями (MRS XY = const) и потребитель стремится максимизировать полезность, то его потребительская корзина будет состоять только из одного блага. Формально это можно определить следующим образом. P Обозначим наклон бюджетного ограничения (без учета знака) X = tgβ, наклон PY a линии полезности (без учета знака) = tgα. b У У А' А у0 = у A Бюджетная линия Линии полезности А Линия полезности

β

α В

β α х0 = xB В Х

В' Х Рис. 2.5.

Если tgα < tgβ, то потребитель выберет набор х 0 = 0, у 0 = у A > 0.

28

.

3. Теория производства

Если tgα > tgβ, то потребитель выберет набор х 0 = x B , у 0 = 0*). Содержательный смысл приведенных выше соотношений заключается в следующем. P a При линейной функции полезности MU X = a, MU Y = b. Если MRS XY = > X (tgα > PY b a b > . tgβ), то PX PY Следовательно, в данном случае предельная полезность 1 ден.ед., потраченной на покупку товара х, выше, чем предельная полезность 1 ден.ед., потраченной на покупку товара у. Чтобы увеличить общую полезность U(x, y), потребитель должен потратить больше денег на покупку товара х и сократить потребление товара у. Таким образом, I оптимальным набором будет угловая точка В, в которой у B = 0, х B = . PX I I При этом U(х B , у B ) = a· + b·0 = a . PX PX Обратите внимание, что при угловом равновесии равенство MU X P a MRS XY = = = X не достигается. b MU Y PY P a a b < X или < , то потребитель тоже выберет угловое равновесие, но Если b PY PX PY I I , U(х A , у A ) = b . В данном случае для увеличения т.А, в которой х A = 0, у A = PY PY полезности потребитель должен весь имеющийся у него доход потратить только на P a покупку товара у. При этом равенство MRS XY = = X не может быть достигнуто. b PY Числовой пример 2.3. Функция полезности потребителя U(x, y) = 3x + y. Пусть Р X = 2, Р Y = 1, I = 24. Найдите оптимальный набор для потребителя. Решение. Товары х и у являются для потребителя совершенными заменителями, причем MU X = 3 = const. Следовательно, потребитель всегда отказывается от 3 ед. MRS XY = MU Y товара у, чтобы увеличить на 1 ед. количество товара х в наборе, не меняя при этом уровень полезности. Таким образом, если отложить товар х по горизонтали, а товар у по вертикали, то наклон любой линии полезности будет равен – 3. PX Наклон бюджетной линии равен = -2. Очевидно, в данном случае, чтобы PY максимизировать полезность, потребитель должен вообще не покупать товар у и все деньги потратить на покупку товара х. В этом случае его оптимальный набор Е(х, у): 24 24 у E = 0; х E = = = 12. Максимальный уровень полезности U(x, y) = 3·12 = 36. PX 2 *)

Если tgα = tgβ, то бюджетное ограничение и линия безразличия совпадают, тогда выбор становится неопределенным. Потребитель, вообще говоря, может выбрать любую комбинацию благ, лежащую на бюджетной прямой или, что то же самое, на линии полезности.

29

.

3. Теория производства

Обратите внимание, что в данном примере MRS XY = 3 >

PX = 2 или PY

MU X MU Y 3 = > = 1. 2 PX PY Таким образом, предельная полезность 1 ден.ед., затрачиваемой на покупку товара х, выше предельной полезности 1 ден.ед., затрачиваемой на товар у. Следовательно, чтобы увеличить полезность, потребитель будет стремиться покупать больше товара х, вытесняя товар у из набора до тех пор, пока весь бюджет не будет потрачен только на товар х. Мы получили угловое решение х = 12, у = 0 (рис. 2.6). у

24 бюджетное ограничение 2х + у = 24 U = 3х + у

12

угловое решение х

Рис. 2.6. Числовой пример 2.4. Допустим, функция полезности у потребителя осталась прежней, т.е. U(x, y) = 3x + y, но Р X = 4, Р Y = 1, I = 24. Найдите оптимальный набор для потребителя. Решение. MU X = 3. MU Y Соотношение цен изменилось. Соответственно, наклон бюджетного ограничения равен P P MU X MU Y 4 3 1 - X == = , т.е. = - 4. Таким образом, MRS XY ≠ X . Теперь < 1 4 1 PY PY PX PY потребитель будет в наборе замещать товар х товаром у до тех пор, пока весь доход не израсходует на покупку только товара у. Оптимальным является угловое равновесие: 24 х = 0, у = = 24 (рис. 2.7). 1 у угловой оптимум 24

Предпочтения потребителя остались прежними: MRS XY =

бюджетное ограничение 4х + у = 24 U = 3х + у

6

х Рис. 2.7.

30

.

3. Теория производства 2-й случай. Функции полезности с жестко дополняющими благами.

Товары не являются заменителями. Напротив, потребители рассматривают товары как дополняющие друг друга в потреблении (например, левый и правый ботинок). В этом случае товары входят в потребительский набор в определенном соотношении. В общем виде функция полезности может быть записана так: U(x, y) = min{ax, by}. Коэффициенты а и b показывают соотношение, в котором товары х и у должны входить в потребительский набор. При данных предпочтениях потребитель всегда y a выбирает набор, в котором ах = bу или = . x b a ·х и нахождение Таким образом, допустимые наборы лежат на прямой у = b оптимального набора определяется значениями дохода и цен на товары. bI I = , Если I = Р x х + Р y у, то х 0 = bPX + aPY PX + a ⋅ PY b a ⋅I aI b у0 = = . bPX + aPY PX + a ⋅ PY b Графически карта кривых безразличия выглядит так: Y D K C B A

U3 U2 U1 N

X Рис. 2.8.

Если задано бюджетное ограничение КN, то в качестве оптимального набора потребитель выберет т.С. Как бы не менялись цены товаров и величина дохода, y a потребитель всегда выберет набор, находящийся на луче OD, где = . x b Рассмотрим численный пример. Числовой пример 2.5. Функция полезности потребителя имеет вид U(x, y) = min{x, 3y}. Цены благ Р X = 2, Р Y = 1. Доход потребителя равен 140. Определите координаты точки равновесия потребителя.

31

.

3. Теория производства

Решение. Данная функция полезности характеризует такие предпочтения потребителя, при которых товары являются дополняющими друг друга в наборе. В данном примере товары х и у всегда входят в набор в соотношении x = 3 . Следовательно, оптимальный набор y 1 может быть найден из условий: х = 2у х 0 = 60

2х + у = 140

⇒

у 0 = 20

Y

У=

X 3

E 20

Х 60

70 Рис. 2.9.

Следует иметь в виду, что в случае взаимодополняемости благ карта кривых безразличия не всегда образуется в виде прямых углов. Допустим, предпочтения потребителя заданы следующим образом: U(x, y) = min{a 1 x + b 1 y; a 2 x + b 2 y}. Если a 1 x + b 1 y < a 2 x + b 2 y, то U(x, y) = a 1 x + b 1 y. Если a 1 x + b 1 y > a 2 x + b 2 y, то U(x, y) = a 2 x + b 2 y. Объединив эти два случая, можно записать целевую функцию следующим образом: a − a2 ·х U(x, y) = a 1 x + b 1 y, если у > 1 b1 − b2 a − a 2 *) ·х a 2 x + b 2 y, если у ≤ 1 b1 − b2 Чтобы максимизировать полезность при заданном бюджетном ограничении, потребитель должен выбрать набор на прямой a 1 x + b 1 y = a 2 x + b 2 y. Отсюда, a у(b 2 - b 1 ) = х(a 2 - a 1 ). Если обозначить а = a 2 - a 1 , b = b 2 - b 1 , то получим у = ·х**). b Таким образом, если блага абсолютно взаимодополняемы, то оптимальный набор находится на прямой у = a ·х в точке ее пересечения с бюджетным ограничением. b Графически такая целевая функция представляет собой две прямые, пересекающиеся не под прямым углом. *)

Знак равенства можно включить в любое условие. Отношение (коэффициент) а/b должно быть положительным.

**)

32

.

3. Теория производства

Рассмотрим пример. Числовой пример 2.6. Потребитель тратит имеющиеся у него деньги на покупку двух товаров – х и у. Функция полезности для него имеет вид: U(x, y) = min{4x; 2x + y}. Нарисуйте карту кривых безразличия. Какой выбор сделает потребитель, если Р X = 3, Р Y = 1, доход равен 20 ден.ед.? Решение. Чтобы представить карту кривых безразличия, запишем функцию полезности следующим образом: U(x, y) = 4x, если у > 2х 2x + y, если у ≤ 2х. Данные предпочтения графически можно показать следующим образом:

область значений у > 2х у у = 2х 20 область значений у < 2х

8

Е

4

2

4

6

20/3 Рис. 2.10.

х

Оптимальный набор должен удовлетворять следующим условиям: у = 2х х0 = 4 3х + у = 20

⇒

у0 = 8 3-й случай: квазилинейные предпочтения

Квазилинейная функция полезности имеет вид: U(x, y) = υ(х) + bу, (1) где υ(х) есть возрастающая от х функция (например, υ(х) = x , υ(х) = х 2 и т.п.), b – положительная константа. Эта функция полезности является линейной относительно у и нелинейной относительно х. Если функция полезности является линейной относительно х и нелинейной относительно у, то можно в общем виде представить ее следующим образом: U(x, y) = ax + ω(y), (2) где ω(y) – возрастающая функция, а > 0. Рассмотрим на графике карту безразличия для функции типа (1): 33

.

3. Теория производства

у

уA

А В

уB yC

U3 U2 U1

С

x1 Рис. 2.11. Функция полезности нелинейна относительно х

x

Отличительная особенность квазилинейной функции полезности заключается в том, что MRS XY остается постоянной при переходе от кривой безразличия U 1 к U 2 , U 3 … вверх («на север») и фиксированном значении х = x 1 . Другими словами, кривые безразличия параллельны друг другу, если мы движемся вертикально. При этом они dv( x) MU X = dx . Величина пересекают оси координат х и у. Действительно, MRS XY = b MU Y MRS XY зависит только от значения х. Квазилинейная функция полезности (2) имеет следующую графическую интерпретацию: у

U3 U2 U1 у1

А

хA

В

С

хB

хC

х

Рис. 2.12. Функция полезности нелинейна относительно у

34

.

3. Теория производства

a . Таким dω ( y ) dy образом, величина MRS XY зависит только от значения у. При у = у 1 MRS XY (А) = MRS XY (В) = MRS XY (С) и т.д. Потребительские корзины А, В, С содержат одинаковое количество блага у = у 1 , меняется только количество блага х. При этом предельная норма замещения блага у благом х остается постоянной при движении вдоль оси ОХ. Кривые безразличия параллельны друг другу и пересекают как ось х-ов, так и ось у-ов. В дальнейшем мы увидим, что квазилинейные функции полезности могут описывать предпочтения потребителя, который покупает одинаковое количество товара независимо от величины его дохода. Рассмотрим достижение равновесия потребителя, имеющего квазилинейные предпочтения на численном примере.

Эта функция линейна относительно переменной х, поэтому MRS XY =

Числовой пример 2.7. U(x, y) = 2 x + y. Р X =1, Р Y = 2, I = 10. Найдите оптимальный выбор потребителя. Решение.

Найдем предельную норму замещения. Поскольку MU X =

1

, MU Y = 1, то предельная x норма замещения блага у благом х зависит только от количества блага х и не зависит от MU X 1 = количества блага у: MRS XY = . Если зафиксировать количество блага х в MU Y x наборе, то MRS XY будет постоянной величиной, как бы не менялось количество блага у. Поскольку с увеличением х величина MRS XY падает, то данным предпочтениям соответствуют кривые безразличия с отрицательным наклоном, выпуклые к началу координат и пересекающие обе оси, как показано на рис. 2.13. у

u2 u1 уA

А В

уB yC

С x1

(u 1 ) 2 Рис. 2.13.

(u 2 ) 2

x

В общем случае для максимизации полезности нужно найти точку касания данной P бюджетной линии (наклон = - X ) и кривой безразличия, т.е. должно выполняться PY условие

1 x

=

P2 PX , отсюда х = Y2 . Поскольку Р X > 0, Р Y > 0, то х > 0, причем величина PY PX 35

.

3. Теория производства

спроса на х не зависит от дохода. Следовательно, в оптимальную корзину потребителя всегда входит некоторое количество блага х и «левое» угловое равновесие вида х = 0, у > 0 не может быть оптимальным. При снижении цены на благо х относительно блага у потребитель будет стремиться заменить товаром х товар у в оптимальном наборе, т.е. будет стремиться к «правому» угловому равновесию. В случае углового равновесия P2 P2 х = Y2 > 0, у = 0. Весь доход тратится только на благо х, т.е. I = P X ·x = Y (*). PX PX Таким образом, анализ квазилинейной функции показывает, что потребитель может выбрать набор благ, находящийся в любой точке кривой безразличия, включая точки пересечения кривой безразличия с осями координат. Следовательно, в этой ситуации оптимум потребителя может быть как внутренним, так и угловым. Решение зависит от конкретных значений I, P X , Р Y . Вернемся к нашему примеру. Для оптимального выбора должны выполняться условия: P 1 1 = X = 2 PY x 1·х + 2·у = 10 Отсюда получаем х 0 = 4, у 0 = 3. U 0 ( х 0 , у 0 ) = 2 4 + 3 = 7. Итак, при заданных ценах и доходе в оптимальную корзину должно входить не только благо х, но и благо у. Если при тех же ценах на блага будет увеличиваться доход потребителя, то спрос на благо х останется неизменным, а спрос на благо у будет расти. Покажем решение на графике. у 7 5 Е 3 х 4

10

7 ( ) 2 ≈ 12,5 2

рис. 2.14. Изменим теперь исходное условие задачи, чтобы показать возможность существования углового равновесия. Пусть при тех же предпочтениях Р X = 1, Р Y = 10, I = 100. Поскольку P товар х стал относительно дешевле, то дробь X уменьшилась. Мы видели, что функция PY 1 является убывающей при росте х, причем кривая безразличия пересекает MRS XY = x ось х-ов. Следовательно, стремясь достичь равновесия, потребитель будет увеличивать в корзине количество товара х, замещая им товар у и даже полностью вытеснив товар у. Py2 PX 1 , то х 0 = 2 = 100. = Поскольку должно выполняться условие MRS XY = PY PX x

36

.

3. Теория производства

Очевидно, при таком выборе весь доход потребитель потратит только на благо х, выбрав угловое равновесие (у = 0). PY2 (см. формулу *). Этот же результат можно было получить, сравнив доход с величиной PX Следует обратить внимание на то, что в точке углового оптимума для квазилинейной функции выполняется условие касания данного бюджетного ограничения и наивысшей кривой безразличия. Покажем угловое равновесие для данной функции полезности на графике. у

20

10

кривая безразличия U 0 = 2 x + у = 20 бюджетное ограничение 1·х + 10·у = 100 наклон = - 1/10 точка оптимума х = 100; у =0 В 100 х Рис. 2.15. наклон кривой безразличия в 1 1 точке оптимума равен =10 x

Подводя итог сказанному, покажем на примере, что для правильного решения задачи оптимального выбора потребителя необходимо, прежде всего, уяснить вид заданной функции полезности и представить карту кривых безразличия. Числовой пример 2.8. Потребитель имеет функцию полезности U(x, y) = xy + 10x. Его доход I = 10. Цены благ: Р X = 1, Р Y = 2. Найдите оптимальный набор потребителя. Решение. MU X y + 10 = . MU Y x Поскольку при х > 0, у ≥0 MU X > 0, MU Y > 0, то кривые безразличия имеют отрицательный наклон. Величина MRS XY является убывающей при росте х и уменьшении у, следовательно, кривая безразличия является выпуклой к началу координат. Наконец, кривая безразличия пересекает ось х-ов, т.к. U(x, y) > 0 при х > 0 и у = 0. Таким образом, потребитель может отказаться вообще от товара у в потребительской корзине, покупая только благо х. (Заметьте, что не покупать вообще благо х (х = 0), а покупать только благо у потребитель не может, т.к. в этом случае его уровень полезности был бы нулевым). Это означает, что оптимум может быть угловым, т.е. в потребительскую корзину может входить только одно благо. Покажем, что при заданных предпочтениях, ценах и доходе потребитель действительно не выберет корзину с двумя благами, т.е. его оптимальный выбор не может быть внутренним. Для внутреннего оптимума должны выполняться условия:

Найдем предельную норму замещения функции полезности MRS XY =

37

.

3. Теория производства y + 10 1 = x 2 1·х + 2·у = 10, отсюда получаем х = 15, у = - 2,5

Данный алгебраический ответ не имеет экономического смысла, поскольку объемы покупаемых благ должны быть неотрицательными. Таким образом, на бюджетном ограничении нет потребительского набора, при котором бюджетная линия является касательной к кривой безразличия. Следовательно, оптимум должен быть в угловой точке. Покажем оптимальный выбор на графике. у U = 80 U = 100 U = 112,5

A 5

8

R 10

15

x

- 2,5 Рис. 2.16. MU X = - 1. MU Y P 1 Наклон бюджетного ограничения AR равен - X = - . PY 2 Как видно на графике, оптимальной будет корзина в т.R, где х = 10, у = 0. При этом MU X P 1 ≠ X = . Или, что то наборе MU X = y + 10 = 10, MU Y = x = 10. Следовательно, 2 MU Y PY MU X MU Y же самое, = 10 > = 5. Потребитель хотел бы купить больше товара х и PX PY меньше товара у, но не может это сделать, т.к. в точке углового равновесия R благо у полностью вытеснено благом х и дальнейшее увеличение блага х в наборе невозможно. Следовательно, потребитель достиг наивысшей полезности при заданном бюджетной ограничении. На графике также видно, что бюджетное ограничение не является касательной к кривой безразличия в точке углового равновесия (в отличие от квазилинейной функции). До сих пор, изучая поведение потребителя, мы рассматривали бюджетное ограничение в виде прямой линии при неизменных ценах на товары. Однако бюджетное ограничение может иметь вид ломаной линии, что влияет на потребительский выбор.

Наклон кривой безразличия в т. R равен -

38

.

3. Теория производства

Числовой пример 2.9. Предположим, что продавец продает товар х по цене Р X = 2, если вы покупаете не больше 200 единиц товара и по цене Р X = 0,5 за каждую единицу товара, купленного сверх этого количества. Цена товара у постоянна и равна 1. 1. Запишите и покажите бюджетное ограничение потребителя, если его доход равен 500 ден.ед. 2. Возможно ли существование не единственной точки равновесия потребителя в этом случае? Решение. 1. Поскольку цена товара не является постоянной для потребителя, а зависит от количества купленного товара, то бюджетное ограничение представляет собой ломаную линию. Излом наступает в точке х = 200, поскольку при х ≤ 200 Р X = 2, но при х > 200 Р X = 0,5. Запишем бюджетное ограничение потребителя. Если х ≤ 200, то бюджетная линия имеет вид 500 = 2х + у или у = 500 – 2х. Если х > 200, то бюджет расходуется следующим образом: 500 = 2·200 + 0,5(х – 200) + у или у = 200 – 0,5х. Объединив эти два уравнения, получим: у = 500 – 2х, х ≤ 200 у = 200 – 0,5х, х > 200 у

Е1 100

А Е2 200

х Рис. 2.17.

2. В ситуации, показанной на рис. 2.17 может существовать не единственное оптимальное решение, т.к. кривая безразличия может иметь две точки касания, соответствующих двум «веткам» бюджетного ограничения (точки Е 1 и Е 2 , например). 2.3. Нахождение кривой спроса (влияние цены на изменение величины спроса)

Анализ модели потребительского выбора показывает, как при заданных потребительских предпочтениях, доходе и ценах найти количества благ, которые хотел бы купить потребитель. Если менять цену одного блага при прочих неизменных условиях, то мы получим зависимость между ценой данного блага и величиной спроса на него, т.е. кривую спроса. Найдем кривую спроса для функции полезности с внутренним оптимумом. В этом случае оптимальный набор должен удовлетворять 2-м условиям: 39

.

3. Теория производства Рxх + Рyу = I MRS XY =

MU X P = X MU Y PY

х, у > 0

(1) (2) (3)

Пусть U(x, y) = x·y, тогда получаем (1΄) Рxх + Рyу = I P y = X x PY х, у > 0

(2΄) (3΄)

Пусть доход и цена блага у являются неизменными величинами, меняется только цена блага х. Выразим у из уравнения (2΄) и подставим в уравнение (1΄): P Р x х + Р y ·( X ·х) = I. PY I Отсюда, x = . Полученная зависимость х от Р X и есть искомая функция спроса 2 PX на товар х. Аналогично, считая доход и цену блага х заданными постоянными I величинами, можно вычислить функцию спроса на благо у: у = . 2 PY Найдем в общем виде функции спрос на блага х и у, если предпочтения потребителя заданы в виде функции Кобба-Дугласа, т.е. U(х, у) = AX α Y β . Запишем условия оптимального выбора: РX х+Рyу =I MRS XY =

P αy = X βx PY

х, у > 0

(1) (2) (3)

β ⋅ x ⋅ PX . Подставим это значение в αPY α I ⋅ . уравнение (1) и найдем функцию спроса на благо х: х = (α + β ) PX β I ⋅ . Аналогично найдем у = (α + β ) PY Выразим у из (2)-го уравнения. Получим у =

Функции спроса на благо х и на благо у имеют постоянную эластичность по цене, равную – 1. Перекрестная эластичность спроса на благо х по цене Р y (Е PDYX ) равна 0. Аналогично, Е PDXY = 0. К примеру, если меняется только цена Р X , то изменяется спрос на благо х, потребление блага у остается неизменным. Допустим, цена на благо х падает (Р y , I – const), тогда в оптимальной корзине потребителя увеличивается количество блага х, но количество блага у остается постоянным. Покажем это на графике.

40

.

3. Теория производства

у А

у= y

у А3

Е1

Е2

Е3

у3 А2 у2 А1 у1

U3

U2 U1

В2

В1 х1

х2

х3

Е3 U3 Е2 U2 Е1

U1

В3

В

х Рис. 2.18.

х= x

х

Если падает цена на благо у (Р X , I – const), то в оптимальной корзине потребителя не меняется количество блага х, количество блага у увеличивается. Используя функции спроса, независимость благ х и у при анализе перекрестной эластичности по цене можно показать на графике следующим образом: РX

DY

у= y

Рy

DX

у Рис. 2.19.

х= x

х

Найдем эластичность спроса на благо х по доходу: I (α + β ) ⋅ PX dx I α ⋅ = 1. Е ID X = ⋅ = (α + β ) ⋅ PX α ⋅I dI x Аналогично, Е IDY = 1. Следовательно, оба блага являются для потребителя нормальными. Далее этот факт будет использован при построении кривой Энгеля. Числовой пример 2.10. Пусть U(x, y) = x·y 4 . Доход потребителя I = 40, Р y = 4. Зададим три цены товара х:

Р X = 4, Р X = 2, Р X = 1 и для каждого значения цены товара х найдем величину спроса на товар х, используя модель потребительского выбора.

41

.

3. Теория производства

Решение.

Найдем MU X = y 4 , MU Y = 4x·y 3 и MRS XY = выполняться условия: 4х + 4у = 40 y 4 = 4x 4

⇒

y . Пусть Р X = 4. Тогда должны 4x

х = 2, у = 8

Если Р X = 2, то получим систему: 2х + 4у = 40 y 2 = х = 4, у = 8 4x 4

⇒

Если Р X = 1, то получим систему: 1х + 4у = 40 y 1 = х = 8, у = 8 4x 4

⇒

Покажем найденные точки с помощью кривых безразличия и построим кривую спроса на благо х: у 10 8

А В

АВС – линия цена-потребление (в данном примере это прямая, т.к. потребление блага у остается неизменным)

С

(Р X = 4) 2 4

8

10

(Р X = 2) 20

(Р X = 1) 40

х

РX

4

А΄

2

В΄

1

С΄ DX 2

4

8

х Рис. 2.20.

42

.

3. Теория производства

Зная оптимальный выбор потребителя, найдем в общем виде функцию спроса на благо х. Запишем условия внутреннего оптимума: РX х+Рyу=I MRS XY =

P y = X 4x PY

х, у > 0 I (*). 5PX Зная функцию спроса на благо х в общем виде, можно для разных значений цены Р X найти величину спроса и построить кривую спроса, не решая на каждом шаге задачу оптимального выбора. Убедимся, что найденная зависимость (*) дает те же значения х, что и модель оптимального выбора: 40 = 2; при Р X = 4 получаем х = 5⋅4 40 = 4; х= при Р X = 2 5⋅ 2 40 = 8. при Р X = 1 х= 5 ⋅1 Убедитесь самостоятельно в том, что при заданных потребительских предпочтениях I спрос на благо у имеет вид у = 4 · . Следовательно, при фиксированном доходе и цене 5 P Y блага у изменение цены блага х не влияет на значение функции спроса на благо у. Аналогичный вывод справедлив и для функции спроса на благо х.

Отсюда, х =

Рассмотрим нахождение функции спроса, если потребитель может выбрать угловое равновесие. Используем функцию полезности, приведенную в числовом примере 2.8. Запишем в общем виде условия оптимального выбора: РX х+Рyу =I P y + 10 = X x PY

или Р X х = Р y у + 10 Р y .

I − 10 PY . 2 PY Данное равенство выражает функцию спроса на благо у (при заданном доходе и изменяющейся цене блага у). Очевидно, что спрос на благо у будет положительным, если I - 10 Р y > 0, отсюда

Решим эту систему относительно у. Получим у =

Рy <

I . 10

I I , потребитель не покупает вообще благо у. Докажем, что при Р y > 10 10 потребитель выберет угловое равновесие. Т.к. при угловом равновесии у = 0, то весь I . доход потребитель тратит только на благо х, т.е. х = PY

Когда Р y =

43

.

3. Теория производства MU X y + 10 10 . = = PX PX PX I PX x = = . PY PY

В этом случае для блага х Для блага у

MU Y PY

Заметьте, что потребитель покупает только благо х, если

MU X MU Y > или PX PY

I PX 10 > . Отсюда получаем, что при угловом равновесии должно выполняться PY PX I I . Таким образом, если Р y > , то потребитель выберет «угловую» неравенство Р y > 10 10 I корзину с координатами х = , у = 0. PY Таким образом, в общем виде функция спроса на благо у выглядит следующим образом: I − 10 PY I , если Р y ≤ 2 PY 10 I . 0 , если Р y > 10

у=

Пусть I = 10. Зададим несколько значений Р y и соответственно у в виде таблицы: Рy

2

4

5

10

12

у

20

7,5

5

0

0

Покажем функцию спроса на графике: Рy

12 10 5 4 2 5

7,5 Рис. 2.21.

20

у

Обратите внимание, что в рассмотренном примере 2.8. при доходе I = 10 была задана цена блага у, равная 2. При этих значениях цены и дохода выполняется неравенство

44

.

3. Теория производства

10 I ), следовательно, потребитель не купит благо у (у = 0), т.е. выберет (2 > 10 10 угловое равновесие, что и получено при решении.

Рy >

2.4. Нахождение кривой Энгеля (влияние дохода на изменение величины спроса)

При изменении величины дохода, которым располагает потребитель и постоянных ценах на блага, может изменяться величина спроса, т.е. потребительская корзина. Если PX , PY - неизменные цены товаров х и у, а доход потребителя возрастает, то решая задачу оптимального выбора при каждом заданном значении дохода, можно построить кривую «доход-потребление» и соответствующую ей кривую Энгеля. U(x, y) → max PX ·x + PY ·y = I, I = I 1 , I 2 , I 3 … x, y ≥ 0 Схематично построение кривой Энгеля выглядит следующим образом (х, у – нормальные блага). у М3 кривая «доход-потребление» М2

М1N1: I = I1 М2 N2 : I = I2 М3N3: I = I3

С U3

у3 у2 М1

В U2 А

у1 U1 x1

x 2 N1 x 3

N2

N3

x

I Кривая Энгеля для блага х C΄ I3 I2 I1

B΄ A΄

x1

x2

x3

x

Рис. 2.22. 45

.

3. Теория производства

Если по вертикальной оси отложить цену товара х, то возрастание спроса на благо х при росте дохода потребителя можно показать следующим образом: РX

А˝

В˝

С˝

PX D 3 (I = I 3 ) D 2 (I = I 2 ) D 1 (I = I 1 ) x1

x2

x3

x

Рис. 2.23. Числовой пример 2.11. Предпочтения потребителя относительно 2-х благ (Х и Y) таковы, что наклон кривой безразличия всюду равен –(у/х), где у – количество товара Y (измеряемого по вертикальной оси), х – количество товара Х (измеряемого по горизонтальной оси). 1. Покажите, что спрос на товар Х не зависит от цены товара Y и что ценовая эластичность спроса на товар Х постоянна и равна – 1. 2. Найдите оптимальный набор и значение MRS XY в точке равновесия потребителя, если Р X = 1, Р y = 3, доход равен 120 ден.ед.

3. Как выглядит кривая Энгеля для данного товара? Какова эластичность спроса на товар х по доходу? Решение.

1. Поскольку по определению MRS XY =

y , то в точке равновесия потребителя должно x

P y = X . x PY Кривая спроса на товар Х может быть найдена из двух условий:

выполняться равенство

(*)

P y = X x PY Р X х + Р y у = М, где М – денежный доход потребителя.

Отсюда, X =

M . 2 PX

46

.

3. Теория производства По формуле ценовой эластичности Е PDXX = Е PDXX = -

dx PX · получаем dPX x

M PX ⋅ 2 PX · = - 1. M 2 PX2

PX = 1 . 3 PY Оптимальный набор может быть найден из условий (*) или, что эквивалентно, находим 120 значение х из функции спроса, т.е. х 0 = = 60. Значение у находим из бюджетного 2 ⋅1 M − PX ⋅ x 0 120 − 60 = = 20. ограничения, т.е. у 0 = PY 3 Убедимся еще раз в том, что правильно найдена точка равновесия. Поскольку всегда y должно выполняться условие MRS XY = , то для х 0 = 60, у 0 = 20 получаем MRS XY = 1 , 3 x P что равно отношению цен на товары X = 1 . Таким образом, сделав данный выбор, 3 P

2. При заданных ценах на товары в точке равновесия потребителя MRS XY =

Y

потребитель получает максимальную полезность. Поскольку вид функции полезности не известен, то значение полезности не может быть найдено, но при заданных предпочтениях выбор потребителя является оптимальным. 3. Кривая Энгеля показывает зависимость, существующую между доходом потребителя и величиной спроса на товар (при прочих фиксированных условиях). В нашем примере M (Р X = 1), проходящая через начало координат и кривая Энгеля – это прямая линия х = 2 имеющая наклон ½: х

60

120

М

Рис. 2.24.

Эластичность спроса по доходу ищется по формуле Е MDX =

dx M · . dM x

1 M ⋅ 2 PX · = 1. При росте дохода на 1% значение спроса увеличится тоже M 2 PX на 1%. Проверим этот результат. Итак, пусть Р X = 2, М = 120. При увеличении дохода на M′ 121,2 = 60,6. Очевидно, что 1% М΄ = 121,2. Соответствующее значение х΄ = = PX 2 Или Е MDX =

47

.

3. Теория производства

Δx = 0,01, т.е. спрос вырос x на 1%, что и требовалось доказать. Обратите внимание на то, что эластичность спроса по доходу не совпадает с наклоном прямой Энгеля. В более общем случае, если прямая Энгеля имеет вид х = kМ, то эластичность спроса по доходу всегда постоянна и равна 1 (наклон кривой Энгеля равен k).

увеличение спроса Δх = 0,6 или в относительном выражении

2.5. Эффект дохода и эффект замещения в изменении спроса на товар

Рассмотрим подробнее, как изменяется величина спроса на товар, если меняется его цена, а прочие факторы (цены на другие блага, доход) остаются неизменными. В изменении величины спроса выделяют две величины – эффект замещения (замены) и эффект дохода. Эффект замещения показывает, каким будет изменение величины спроса на данный товар при изменении цены на него, если уровень полезности остается неизменным. Другими словами, эффект замещения показывает влияние на изменение величины спроса только одного фактора – изменения структуры цен (данный товар может стать относительно других товаров дороже или дешевле). Эффект дохода показывает, каким будет изменение величины спроса на данный товар при изменении цены на него за счет изменения дохода в реальном выражении (если цена данного товара уменьшилась, то при прочих равных условиях потребитель стал «богаче», т.к. выросла покупательная способность неизменного в номинальном выражении дохода; если, напротив, цена данного товара увеличилась, то реальная покупательная способность дохода уменьшилась). Существует два подхода к нахождению эффекта дохода и эффекта замены – метод Хикса и метод Слуцкого. Рассмотрим метод Хикса по шагам в общем виде, допустив, что меняется только цена блага х (цена блага у и доход потребителя остаются неизменными). Шаг 1. Найдем исходную потребительскую корзину, оптимального выбора при первоначальной цене блага х - Р X 1 :

(1)

U(x, y) → max Р X 1 ·x + P Y ·y = I x, y ≥ 0

т.е.

решим

задачу

(1.1) (2.1) (3.1)

Обозначим исходный оптимум как Е 1 , х 1 - количество блага х в оптимальной корзине, достигнутый уровень полезности - U 1 . Шаг 2. Найдем итоговую потребительскую корзину, т.е. решим задачу оптимального выбора, если цена блага х изменилась и стала равна Р X 2 :

(2)

U(x, y) → max Р X 2 ·x + P Y ·y = I x, y ≥ 0

(1.2) (2.2) (3.2)

48

.

3. Теория производства

Обозначим окончательный выбор потребителя при изменении цены блага х как Е 2 с соответствующим количеством блага х = х 2 , достигнутый уровень полезности - U 2 . Таким образом, изменение величины спроса при изменении цены составляет Δх = (х 2 х 1 ). Шаг 3. Чтобы разложить изменение величины спроса на эффект замены и эффект дохода, найдем промежуточную потребительскую корзину при условии, что новый уровень цен позволяет обеспечить исходный уровень полезности. Другими словами, при новом соотношении цен найдем бюджетное ограничение, которое касается первоначальной кривой безразличия U = U 1 . Потребитель, таким образом, оптимизирует доход, который позволяет при новом соотношении цен обеспечить исходный уровень полезности:

I = (Р X 2 ·x + P Y ·y) → ext*)

(1.3)

(3) U(x, y) = U 1 , где U 1 - уровень полезности, найденный в задаче (1) x, y ≥ 0

(2.3) (3.3)

Поскольку мы ищем точку касания нового бюджетного ограничения и исходной кривой безразличия, то оптимизационная задача (3) эквивалентна следующей задаче (3΄): PX 2 MU X = MU Y PY U(x, y) = U 1 (E 1 ) x, y ≥ 0

MRS XY =

(1.3΄) (2.3΄) (3.3΄)

Обозначим найденный оптимум и соответствующую потребительскую корзину как Е 3 , х 3 - промежуточное значение величины спроса на благо х. Дадим графическую интерпретацию метода Хикса для случая, когда х является нормальным благом и цена блага х снижается. Итак, пусть Р X 2 < Р X 1 . у A у1

Шаг 1. Нахождение исходного оптимума Р X = Р X 1 ; Е 1 - исходная корзина;

Е1

U = U 1 - исходный уровень полезности. U1 наклон бюджетного ограничения АB 1 = x1 *)

B1

PX 1 PY

x

Если Р X 2 < Р X 1 , то на данном шаге для обеспечения исходного уровня полезности потребителю

потребуется меньший доход, чем у него есть в действительности. Если Р X 2 > Р X 1 , то для достижения исходного уровня полезности потребителю, напротив, потребуется больший доход, чем тот, которым он располагает.

49

.

3. Теория производства

у А Шаг 2. Нахождение окончательного оптимума Е2

Е1

Р X = Р X 2 , Р X 2 < Р X1 . U2

Е 2 - итоговая потребительская корзина, U = U 2 - достигнутый уровень полезности PX PX 2 наклон = - 1 наклон = = PY PY B1 B2 x

U1

x1

x2

у А С

Е1

Е2

Шаг 3. Разложение изменения величины спроса E 3 - промежуточный оптимум, Р X = Р X 2

U2

Е3 U1

наклон = = наклон = -

PX 1

PX 2 PY

наклон = = -

PY

x1 х 3 x 2 B1 ЭЗ = х 3 - x 1 ЭД = x 2 - х 3 Δх = x 2 - x 1 = ЭЗ + ЭД

PX 2 PY B2

х

Рис.2.25. Разложение по Хиксу Метод Слуцкого на 1-м и 2-м шагах аналогичен методу Хикса. На 3-м шаге для разложения изменения величины спроса на эффект замены и ээфект дохода нужно найти промежуточную потребительскую корзину при условии, что новый уровень цен позволяет обеспечить исходную структуру потребления. Другими словами, при новом соотношении цен и бюджетном ограничении, проходящем через исходную оптимальную потребительскую корзину, потребитель ищет набор благ, при котором уровень полезности достигает максимума.

Запишем оптимизационную задачу, решаемую на 3-м шаге, в общем виде. (3)

U(x, y) → max Р X 2 ·x + P Y ·y = I΄, где I΄ = Р X 2 · x 1 + P Y · у 1 x, y ≥ 0

(1.3) (2.3) (3.3)

50

.

3. Теория производства

Графическая интерпретация метода Слуцкого. у A у1

Шаг 1. Нахождение исходного оптимума Р X = Р X 1 ; Е 1 - исходная корзина;

Е1

U = U 1 - исходный уровень полезности. U1 наклон бюджетного ограничения АB 1 = x1

B1

PX 1 PY

x

у Шаг 2. Нахождение окончательного оптимума Е1

Е2

Р X = Р X 2 , Р X 2 < Р X1 . U2

Е 2 - итоговая потребительская корзина, U = U 2 - достигнутый уровень полезности PX PX 2 наклон = - 1 наклон = = PY PY B1 B2 x

U1

x1

x2

у

Е1

Е2 Е3 U3

U2

Шаг 3. Разложение изменения величины спроса E 3 - промежуточный оптимум, Р X = Р X 2

U1

наклон = = наклон = -

PX 1 PY

PX 2 PY

наклон = = -

x1 х 3 x 2 B1 ЭЗ = х 3 - x 1 ЭД = x 2 - х 3 Δх = x 2 - x 1 = ЭЗ + ЭД Рис. 2.26. Разложение по Слуцкому

PX 2 PY B2

х

Обратите внимание на то, что при разложении по методу Слуцкого на 3-м шаге потребитель должен иметь доход, который при новых ценах обеспечивает исходную структуру потребления, а не исходный уровень полезности как в методе Хикса. Это позволяет потребителю получить уровень полезности, отличающийся от исходного. В нашем примере при снижении цены на благо х на 3-м шаге U 3 = U(Е 3 ) > U 1 = U(Е 1 ). При разложении по методу Хикса U 3 = U(Е 3 ) = U 1 = U(Е 1 ). Поясним экономический смысл разложения на эффект замещения и эффект дохода, используя метод Хикса и рис. 2.25. 51

.

3. Теория производства

Когда цена на товар х снизилась с Р X 1 до Р X 2 , потребитель увеличил количество товара х в потребительской корзине с x 1 до х 3 при прежнем уровне полезности (Е 1 ∈ U 1 , Е 3 ∈ U 1 ). Следовательно, данное увеличение спроса на товар вызвано только изменением соотношения цен на блага х и у, т.е. вызвано эффектом замещения – потребитель движется вдоль исходной кривой безразличия, замещая в корзине товар у подешевевшим товаром х. Поскольку товар х является нормальным, то эффект дохода также ведет к увеличению спроса на него. В итоге потребитель перемещается на более высокую кривую безразличия U 2 и увеличивает спрос на товар х до величины x 2 . Таким образом, когда благо является нормальным, ЭЗ и ЭД усиливают друг друга. В этом случае кривая спроса на благо имеет отрицательный наклон: при снижении цены с Р X 1 до Р X 2 величина спроса выросла с x 1 до x 2 . Аналогичные рассуждения справедливы для ситуации, когда цена на нормальное благо растет. В этом случае ЭЗ вызывает снижение спроса на благо х, т.к. он стал относительно дороже и вытесняется из потребительской корзины товаром у. В этом же направлении действует и ЭД, т.к. повышение цены на благо х вызывает снижение уровня полезности и сокращение спроса на благо х. Подобное разложение уменьшения величины спроса на товар при изменении цены на него можно сделать также для низших товаров и товаров Гиффена*). Если благо х является низшим и/или товаром Гиффена, то ЭЗ и ЭД действуют в разных направлениях, причем для низших благ ЭЗ превышает ЭД (по модулю), а для низших благ, являющихся в то же время товарами Гиффена, ЭЗ меньше ЭД (по модулю). В результате кривая спроса на низшее благо имеет отрицательный наклон, а кривая спроса на товар Гиффена – положительный наклон (закон спроса «нарушается»). Покажем разложение по Хиксу для низшего блага и товара Гиффена графически (цена блага х снижается). у Е2

U2

Е1 Е3

U1

наклон = = наклон = -

PX 2 PY

PX 1 PY

x1 x 2 х 3 ЭЗ = х 3 - x 1 ЭД = x 2 - х 3 Δх = ЭЗ + ЭД = х 3 - x 1 + x 2 - х 3 = x 2 - x 1 ; |ЭЗ| > |ЭД|

х

Рис. 2.27. Разложение по Хиксу для низшего товара

*)

Товаром Гиффена называют благо, функция спроса на которое имеет положительный наклон. Обычно это низший товар, расходы на который занимают большой удельный вес в бюджете потребителя. «Нестандартный» наклон функции спроса на благо Гиффена объясняется тем, что для таких товаров эффект дохода превышает эффект замены.

52

.

3. Теория производства

у U2

Е2 Е1

Е3

U1

наклон = = наклон = -

x2

PX 2 PY

PX 1 PY

x1 х3 ЭЗ = х 3 - x 1 ЭД = x 2 - х 3 Δх = ЭЗ + ЭД = х 3 - x 1 + x 2 - х 3 = x 2 - x 1 ; |ЭЗ| < |ЭД| Рис. 2.28. Разложение по Хиксу для товара Гиффена

х

Различные случаи разложения на эффект замещения и эффект дохода сведем в таблицы. Цена на благо х снижается Таблица 2.1. Вид товара ЭЗ ЭД Соотношение ЭЗ и ЭД Δх Нормальный >0 >0 Усиливают друг друга >0 Низший >0 <0 |ЭЗ| > |ЭД| >0 Гиффена >0 <0 |ЭЗ| < |ЭД| <0 Вид товара Нормальный Низший Гиффена

ЭЗ <0 <0 <0

Цена на благо х растет ЭД Соотношение ЭЗ и ЭД <0 Усиливают друг друга >0 |ЭЗ| > |ЭД| >0 |ЭЗ| < |ЭД|

Таблица 2.2. Δх <0 <0 >0

Заметим, кстати, что существуют товары, которые нельзя отнести ни к нормальным, ни к низшим: это такие блага, спрос на которые не зависит от дохода. Эластичность спроса по доходу для таких благ равна нулю. В этом случае при разложении спроса эффект дохода равен нулю и общее изменение спроса при изменении цены товара совпадает с эффектом замещения. Покажем этот частный случай на графике. у

Е1

Е2

U2

Е3

U1

наклон = наклон = -

PX 2 PY

PX 1 PY

x1 х 3 = x 2

х Рис. 2.29.

53

.

3. Теория производства

Как видно из рис. 2.29, при снижении цены на товар х с Р X 1 до Р X 2 эффект замены ведет к увеличению спроса с x 1 до х 3 . Но товар не является ни нормальным благом, ни низшим, поэтому, хотя снижение цены позволяет потребителю перейти на более высокую кривую безразличия U 2 , ЭД равен нулю, а значение x 2 совпадает с х 3 . Следовательно, Δх = х 3 - x 2 = ЭЗ. При этом кривая спроса на такой товар имеет отрицательный наклон: при снижении цены величина спроса на товар растет. Рассмотрим числовой пример разложения спроса по шагам по методу Хикса и по методу Слуцкого. Числовой пример 2.12. Функция полезности имеет вид U(x, y) = xy. Доход потребителя составляет 72 ден.ед. Допустим, цена блага у равна 1 ден.ед., первоначальная цена товара х составляла Р X 1 = 4

ден.ед. Найдем эффект дохода и эффект замещения в изменении величины спроса на благо х, ели его цена выросла и составляет Р X 2 = 9 ден.ед. Сравним разложение по Хиксу и по Слуцкому. Решение.

Метод Хикса Шаг 1. Найдем исходную оптимальную корзину потребителя (Е 1 ), т.е. решим следующую задачу: U(x, y) = x·y → max 4x + y = 72 x, y ≥ 0

Она эквивалентна следующим условиям: MU X y 4 MRS XY = = = MU Y x 1 4x + y = 72 x, y ≥ 0 Отсюда получаем координаты исходного оптимального набора Е 1 : х U 1 = U(х 1 , у 1 ) = 324.

1

= 9; у

1

= 36;

Шаг 2. Найдем итоговый (окончательный) потребительский набор (Е 2 ), когда Р X = Р X 2 = 9:

U(x, y) = x·y → max 9x + y = 72 x, y ≥ 0 или y 9 = x 1 9x + y = 72 x, y ≥ 0

Отсюда, Е 2 : х 2 = 4; у 2 = 36; U 2 = U(х 2 , у 2 ) = 144.

54

.

3. Теория производства

Шаг 3. Найдем промежуточный оптимум потребителя при условии, что уровень полезности, несмотря на повышение цены блага х, остался прежним. Промежуточный набор благ должен удовлетворять следующим условиям: MU X y 9 = = MRS XY = MU Y x 1 U 3 (x, y) = x·y = 324 x, y ≥ 0

Отсюда найдем координаты промежуточного набора Е 3 : х 3 = 6; у 3 = 54; U 3 ( х 3 , у 3 ) = 324. Обратите внимание, что для разложения спроса по методу Хикса мы ищем оптимальный набор, который при новой цене на благо х обеспечивает потребителю исходный уровень полезности. Таким образом, в результате увеличения цены блага х величина спроса на благо х уменьшилась с 9 до 4, т.е. Δх = x 2 - x 1 = - 5. В данном изменении спроса эффект замещения (с учетом знака) составил ЭЗ = х 3 - x 1 = 6 – 9 = -3. Эффект дохода (с учетом знака) составил ЭД = х 2 - х 3 = 4 – 6 = -2. Покажем это решение на графике. у

72 54 36

Е3 Е2

Е1 U 1 = 324 U 2 = 144

ЭД ЭЗ

наклон = -4/1 наклон = -9/1 8

х2 х3

18

х1

х Рис 2.30.

Метод Слуцкого Шаг 1 и шаг 2 в методе Слуцкого не отличаются от метода Хикса. Поэтому сразу перейдем к шагу 3. Найдем доход I΄, который необходим потребителю, чтобы обеспечить исходную структуру потребления (исходный набор благ) при новой цене на благо х: I΄ = Р X 2 ·х 1 + Р Y ·у 1 = 9·9 + 1·36 = 117. Решаем оптимизационную задачу: U(x, y) = x·y → max 9x + y = 117 x, y ≥ 0 или, что эквивалентно: 55

.

3. Теория производства

y 9 = x 1 9x + y = 117 x, y ≥ 0 Отсюда получаем координаты промежуточной точки Е 3 : х 3 = 6,5; у 3 = 58,5. ЭЗ = 6,5 – 9 = -2,5; ЭД = 4 – 6,5 = -2,5. Найдем уровень полезности, который обеспечивает данный потребительский набор: U 3 = х 3 ·у 3 = 380,25. Обратите внимание, что это значение соответствует более высокой кривой безразличия, чем U 1 = 324. Покажем метод Слуцкого на графике. у

MRS XY =

72 58,5

Е3 U 3 = 380,25

36

Е2

Е1 U 1 = 324 U 2 = 144

ЭД ЭЗ

наклон = -4/1 наклон = -9/1

х2 х3

х1

х Рис 2.31.

Поскольку методы Хикса и Слуцкого отличаются друг от друга на этапе разложения, то итоговое изменение спроса на благо при изменении цены на него получается одинаковым. Различия только в координатах промежуточной корзины, соответственно – в численных значениях эффекта замещения и эффекта дохода, но эти различия не являются существенными. Как было показано ранее, зная предпочтения потребителя, можно вычислить функцию спроса в общем виде. В частности, мы получили, что функции полезности I и функция спроса на U(x, y) = x·y соответствует функция спроса на благо х вида х = 2 PX I . Если известна функция спроса на благо, разложение изменения благо у вида у = 2 PY спроса на ЭД и ЭЗ при использовании метода Слуцкого значительно упрощается. 72 Обратимся к примеру 2.12. На 1-м шаге, зная I = 72, Р Y = 1 и Р X 1 = 4, находим х 1 = 2⋅4 I − PX 1 ⋅ x 72 = 36 (или, что то же самое, у 1 = ). = 9. Соответственно, у 1 = 2 ⋅1 PY

56

.

3. Теория производства

72 = 4; у 2 = 36. 2⋅9 На 3-м шаге находим вначале доход, который позволяет потребителю при новой цене на благо х обеспечить исходную структуру потребления: I΄ = Р X 2 ·х 1 + Р Y ·у 1 = 9·9 + 1·36 = =117. При данном доходе и цене Р X 2 = 9 спрос на благо На 2-м шаге, при I = 72, Р Y = 1 и Р X 2 = 9, получаем х 2 =

117 117 = 58,5). = 6,5 (у 3 = = 2⋅9 2 Отсюда, ЭЗ = 6,5 – 9 = -2,5; ЭД = 4 – 6,5 = -2,5. Общее изменение спроса на благо х при увеличении цены на него составило -5, т.е. спрос сократился на 5 ед., что подтверждает ответ, полученный в числовом примере. Суммируем полученные результаты в таблице 2.3 и 2.4. х был бы х 3 =

Метод Хикса U = ху

корзина

х

у

Е1

9

36

324

Е2

4

36

144

Е3

6

54

324

MU X P y = = X x MU Y PY

36 4 = 9 1 36 9 = 4 1 54 9 = 6 1

Метод Слуцкого U = ху MU X

корзина

х

у

Е1

9

36

324

Е2

4

36

144

Е3

6,5

58,5

380,25

P y = X x MU Y PY 36 4 = 9 1 36 9 = 4 1 58,5 9 = 6,5 1

=

Таблица 2.3. Бюджет потребителя Р X ·х + Р Y ·у 4·9 + 1·36 = 72 9·4 + 1·36 = 72 9·6 + 1·54 = 108

Таблица 2.4. Бюджет потребителя Р X ·х + Р Y ·у 4·9 + 1·36 = 72 9·4 + 1·36 = 72 9·6,5 + 1·58,5 = 117

Рассмотрим разложение изменения спроса на ЭЗ и ЭД, если функция полезности является квазилинейной. Напомним, что о такой функции речь шла в примере 2.7. Числовой пример 2.13. Функция полезности потребителя U(x, y) = 2 x + y, где х –данное благо, у – все другие блага. Допустим, бюджет потребителя I = 10, Р X = 0,5, Р Y = 1. Как изменится спрос на благо х, если при прочих неизменных условиях его цена упадет до 0,2 ден.ед.? Чему равен ЭЗ и ЭД в изменении спроса на благо х? Решение.

1. При внутреннем оптимуме MRS XY =

1 x

=

PX = Р X . (Р Y = 1). PY

57

.

3. Теория производства

1 1 = 4. При заданном = 2 ( PX ) (0,5) 2 бюджетном ограничении 0,5·х + у = 10 оптимальный набор составит х 1 = 4; у 1 = 8;

Поэтому функция спроса на благо х имеет вид х =

U 1 (х 1 , у 1 ) = 2 4 + 8 = 12. Итак, исходный оптимальный набор Е 1 ( х 1 = 4; у 1 = 8). 2. Воспользуемся функцией спроса на благо х и найдем величину спроса при Р X = 0,2. Очевидно, х 2 = 25. Следовательно, у 2 = 10 – 0,2·25 = 5; U 2 = 2 25 + 5 = 15. Итак, Δх = х 2 - х 1 = 21. 3. Для разложения спроса по методу Хикса нужно решить систему уравнений: 1 1 1 = = PX 2 0,2 x 2 x + y = U 1 (х 1 , у 1 ) = 12

⇒

х 3 = 25, у 3 = 2.

Поскольку х 3 = х 2 = 25, то эффект дохода равен нулю. Изменение в величине спроса Δх = 21 вызвано только эффектом замещения. Полученный нами результат является очевидным, если учесть, что функция спроса на благо х, соответствующая квазилинейной функции полезности общего вида U(x, y) = v(x) + by, не зависит от величины дохода. Аналогично, для функции полезности U(x, y) = ax + w(y) функция спроса на благо у не зависит от величины дохода. Покажем решение на графике. у 12

8

Е1 Е2 U 2 = 15

5 Е3

U 1 = 12

2 4

20 ЭЗ

25 ЭД = 0 Рис.2.32

Полученные числовые значения занесем в таблицу: корзина х у P 1 U=2 x+y MRS XY = = X PY x 4 8 12 0,5 1 Е1 = 1 4 25 5 15 0,2 1 Е2 = 1 25 25 2 12 0,2 1 Е3 = 1 25

х

Бюджет Р X ·х + Р Y ·у 0,5·4 + 1·8 = 10 0,2·25 + 1·5 = 10 0,2·25 + 1·2 = 7

58

.

3. Теория производства

В отличие от взаимозаменяемых благ, для взаимодополняемых благ при разложении спроса эффект замещения равен 0, поэтому изменение величины спроса определяется эффектом дохода. Покажем графически разложение спроса для функции полезности вида U(x, y) = {ax, by}, воспользовавшись методом Слуцкого. Пусть Р X 2 < Р X 1 . у у=

А

ax b

Е2

Е 1 - исходный оптимум Е 2 - конечный оптимум

Е1= Е 3

наклон = -

PX 1 PY

наклон = -

PX 2 PY

x1 x 2 B1 ЭД, ЭЗ = 0

х Рис.2.33.

2.6. Компенсирующее и эквивалентное изменение дохода

Разложение изменения величины спроса на товар при изменении цены на эффект замещения и эффект дохода позволяет ответить на вопрос, какой денежной суммой потребитель оценил бы изменение цены на товар? Допустим, цена товара увеличилась с Р 1 до Р 2 . Тогда, чтобы определить размер компенсирующего изменения дохода, нужно ответить на вопрос: какую денежную сумму нужно вернуть потребителю после увеличения цены, чтобы его уровень полезности сохранился на прежнем (исходном) уровне, каким он был до увеличения цены? Эквивалентное изменение дохода отвечает на вопрос: от какой денежной суммы должен отказаться потребитель прежде, чем цена увеличится, чтобы обеспечить уровень полезности, который будет после изменения (в нашем случае увеличения) цены? у J эквивалентное наклон = - Р X 1 изменение, JK К Е компенсирующее изменение, KL L

А С U 2 наклон = - Р X 2 В U1 наклон = - Р X 1 ЭЗ

ЭД Рис. 2.34. 59

.

3. Теория производства

Покажем компенсирующее и эквивалентное изменение дохода на графике для «стандартной» функции полезности (рис. 2.34). Пусть х – нормальное благо, цена на него снижается, допустим Р Y = 1, Р X 1 > Р X 2 . Воспользуемся разложением по методу Хикса. Для нормального блага х ЭЗ> 0, ЭД > 0. Это означает, что т. С лежит правее т.В, а т.Е лежит правее т.А. Отрезок KL показывает компенсирующую величину дохода, т.е. на эту сумму следует уменьшить денежный доход потребителя, чтобы после снижения цены на товар х его уровень полезности остался прежним. Для нахождения компенсирующего изменения дохода следует провести бюджетное ограничение при новой структуре цен, касающееся исходной кривой безразличия. Отрезок JK показывает эквивалентное изменение дохода, т.е. на эту сумму следовало бы увеличить доход потребителя, чтобы до снижения цены на благо х при старой структуре цен потребитель смог бы обеспечить итоговый уровень полезности. Для нахождения эквивалентного изменения дохода следует провести бюджетное ограничение при старой структуре цен, касающееся итоговой кривой безразличия. При наличии положительного эффекта дохода отрезок JK > отрезка KL, т.е. эквивалентное изменение дохода оказывается больше, чем компенсирующее изменение дохода. Для квазилинейных предпочтений, как мы видели, ЭД равен нулю. Поэтому эквивалентное и компенсирующее изменение дохода равны друг другу, как показано на рис. 2.35. у J

Е

эквивалентное

наклон = - Р X 1

изменение, JK К А компенсирующее изменение, KL L

С U 2 наклон = - Р X 2 В U1

О ЭЗ

ЭД = 0 Рис. 2.35.

х

Компенсирующее изменение дохода KL равно эквивалентному изменению JK. Графически компенсирующее и эквивалентное изменение дохода есть просто два различных способа измерить расстояние между исходной и итоговой кривой безразличия. Если Р Y = 1, то отрезок ОК измеряет величину дохода. Отрезок OL измеряет расходы, которые необходимы, чтобы купить потребительскую корзину В при новой цене на благо х и прежнем уровне жизни (U 1 ). Поскольку цена на благо х снизилась, то потребитель готов к сокращению дохода в размере KL. Отрезок OJ измеряет расходы, которые несет потребитель, чтобы купить набор Е при старой цене на благо х, оставаясь при этом на итоговой кривой безразличия (U 2 ). Следовательно, потребителю потребуется дополнительный или эквивалентный доход в размере JK, чтобы при старой цене обеспечить новый уровень жизни. Рассмотрим численный пример нахождения компенсирующего и эквивалентного изменения дохода.

60

.

3. Теория производства

Числовой пример 2.14. U(x, y) = x·y. I = 72, P Y = 1, Р X 1 = 4, Р X 2 = 9.

Чему равно компенсирующее и эквивалентное изменение дохода, вызванное ростом цены на благо х? Решение. Воспользуемся результатами решения аналогичной задачи, представленной в примере 2.12. Исходный оптимум потребителя представлен корзиной Е 1 : х 1 = 9; у 1 = 36; U 1 (х 1 , у 1 ) = 324. Итоговый оптимум потребителя представлен корзиной Е 2 : х 2 = 4; у 2 = 36; U 2 (х 2 , у 2 ) = 144. При разложении по методу Хикса на 3-м шаге мы нашли оптимальную корзину, которая обеспечивает потребителю исходный уровень полезности при новой цене на благо х: Е 3 ( х 3 = 6; у 3 = 54); U 3 ( х 3 , у 3 ) = U 1 (х 1 , у 1 ) = 324. Какая денежная сумма необходима потребителю, чтобы купить набор Е 3 ? Очевидно, I΄ = Р X 2 · х 3 + P Y · у 3 = 9·6 + 1·54 = 108 (см. таблицу 3). Следовательно,

компенсирующее изменение дохода составит I΄ - I = 108 – 72 = 36. Именно на такую денежную сумму нужно увеличить доход потребителя, чтобы при новой цене на благо х он смог обеспечить первоначальный уровень жизни. Для определения эквивалентного изменения дохода найдем потребительскую корзину, которую выбрал бы потребитель при прежней цене на благо х, чтобы достичь итоговый уровень полезности, равный U 2 = 144. Эта задача эквивалентна следующим условиям: MRS XY = y = 4 x 1 U 3 ( х, у) = x·y = 144 Получаем новую т. Е 4 с координатами х 4 = 6; у 4 = 24. Какой денежный доход необходимо иметь потребителю, чтобы при старой цене на благо х достичь уровня полезности U 2 = 144? I˝ = Р X 1 · х 4 + P Y · у 4 = 4·6 + 1·24 = 48. Следовательно, эквивалентное изменение дохода составит I - I˝ = 72 – 48 = 24. Именно на такую сумму можно сократить доход потребителя при неизменной цене на благо х, чтобы его уровень полезности оказался равным итоговому значению. Обратите внимание на то, что в общем случае компенсирующее изменение и эквивалентное изменение не равны между собой. Их различие тем меньше, чем меньше эффект дохода. 2.7. Построение рыночной кривой спроса

Зная индивидуальные кривые спроса, можно построить рыночную кривую спроса. Общее правило: рыночная кривая спроса есть горизонтальная сумма функций спроса индивидуальных потребителей. Числовой пример 2.15. 1. Найдите алгебраическое выражение для рыночной кривой спроса, если известны кривые спроса на двух рыночных сегментах: 35 – 0,25P, если Р ≤ 140 0 , если Р > 140 Qb =

61

.

3. Теория производства

120 – 1,5Р, 0 , Qv =

если Р ≤ 80 если Р > 80

2. Найдите выигрыш потребителей при Р = 60 для каждого рыночного сегмента и для всей рыночной кривой спроса. Решение. 1. Покажем на графике кривую спроса для отдельных сегментов: Р Р

140 D b 80

80 Dv 15

35 Q

120

Q

Рис. 2.36.

Найдем рыночную кривую спроса, суммируя индивидуальные кривые спроса по горизонтали: Q = 155 – 1,75P, 0 ≤ Р ≤ 80 DD: Q = 35 – 0,25P , 80 < Р ≤ 140 Q=0 , Р > 140 2. При Р = 60, Q b = 20, Q v = 30 ВП b = ½·20·(140 – 60) = 800 ВП v = ½·30·20 = 300 ВП ∑ = 1100 Q ∑ = 155 – 1,75·60 = 50 ВП ∑ = ½·60·15 + ½·(15 + 50)·20 = 450 + 650 = 1100 Р

140 D

80 60 D 15

50

155 Q Рис. 2.37.

62

.

3. Теория производства Теория производства и издержек 3.1. Понятие производственной функции

Производственные ресурсы, такие как рабочая сила, капитал, используемые фирмой для производства товаров и услуг, называются факторами производства. Фирма может использовать различные комбинации факторов для производства заданного объема продукции. Производственная функция есть математическое представление различных технологических способов, из которых фирма может выбирать для производства продукции. Производственная функция характеризует максимальный выпуск продукции при заданных количествах используемых факторов производства. Для двух факторов производства – рабочей силы (труда, L) и капитала (К) – производственную функцию можно записать следующим образом: Q = f(L, K). Покажем на графике в общем виде производственную функцию, если фирма использует только один ресурс – труд. Q QD

D Q = f(L)

QC

C

QB QA

B A

LC = LA

LD = LB Рис. 3.1.

L

В точках С и D фирма использует технически эффективные способы производства, т.к. она производит максимально возможное количество продукции при заданном количестве труда. В точках А и В фирма работает технически неэффективно, т.к. она не получает максимально возможное количество продукции. Зная функцию Q = f(L), можно найти обратную функцию L = g(Q), которая характеризует минимальное количество труда, необходимое для производства выпуска Q. Производственные функции, зависящие от одного производственного фактора (например, труда), называют функциями общего выпуска – ТР или общего продукта, т.е. Q = f(L) = TP L , Q = φ(K) = TP K и т.п. Главными характеристиками производственной функции Q = f(L) являются средний (АР L ) и предельный (МР L ) продукт: TPL Q АР L = = L L ΔTPL dQ МР L = = ΔL dL

63

.

3. Теория производства

ΔTPK TPK ; МР K = и т.п. K ΔK Взаимосвязь общего, среднего и предельного продукта какого-либо фактора производства определяется действием закона убывающей предельной отдачи фактора производства. Согласно этому закону, если используемое количество какого-либо ресурса (например, труда) увеличивается при неизменных количествах других ресурсов (капитала, земли), то с определенного момента предельная отдача этого ресурса начнет сокращаться. С учетом действия закона убывающей отдачи для производственной функции одной переменной Q = f(L) кривые TP L , АP L и МP L показаны на рис. 3.2. Q, N F J TP L

Аналогично, АР K =

M

B

TP L предельный продукт в т. L F равен наклону линии MN

средний продукт G в т. L 0 равен наклону луча ОА A

0

L 0 L1

L2

LF

L3

L

АP L , МP L G΄ B΄ AP(L 0 )

A΄

MP(L F )

F΄

АP L

J΄ 0

L 0 L1

L2

LF

L3

L МP L

Рис. 3.2.

Предельный продукт труда в любой точке измеряется наклоном касательной (тангенсом угла наклона) к линии TP L . Средний продукт труда измеряется наклоном луча, проведенного из начала координат к соответствующей точке графика TP L .

64

.

3. Теория производства

На рис. 3.2 кривая TP L имеет так называемую S-образную форму, что объясняется переходом от возрастающей предельной отдачи труда (на участке 0 ≤ L ≤ L 1 ) к убывающей предельной отдаче (на участке L > L 1 ). Вначале вовлечение в производство дополнительной единицы труда приводит к росту предельного продукта, но, начиная с некоторого момента (на рис. 3.2 это L = L 1 ), предельная отдача труда снижается. Таким образом, можно выделить 3 сегмента в изменении предельного продукта: 1. МP L возрастает (0 ≤ L ≤ L 1 ); 2. МP L уменьшается, но при этом МP L > 0 (L 1 < L < L 3 ); 3. МP L уменьшается, но при этом МP L < 0 (L > L 3 ). В т. L = L 1 функция МP L достигает своего максимума. Соответственно кривая ТP L , оставаясь возрастающей, в т. L = L 1 меняет свою кривизну. При L = L 3 МP L = 0, следовательно, значение ТP L достигает своего максимума. При выборе способа производства фирма должна учитывать изменение не только предельного продукта, но и изменение среднего продукта. По характеру взаимосвязи среднего и предельного продуктов выделяют 3 стадии производства: 1. МP L > AP L , функция AP L возрастает; на рис. 3.2 этой стадии соответствует участок 0 ≤ L ≤ L 2 ; 2. МP L < AP L , функция AP L убывает, но при этом МP L > 0; на рис. 3.2 этой стадии соответствует участок L 2 < L < L 3 ; 3. МP L < AP L , функция AP L убывает, но при этом МP L < 0; на рис. 3.2 этой стадии соответствует участок L > L 3 . Очевидно, фирме выходить за пределы 2-й стадии не имеет экономического смысла. Очевидно также, что в т. L = L 2 средний продукт достигает своего максимального значения. Таким образом, кривые среднего и предельного продукта пересекаются в точке максимума среднего продукта. Математически это положение можно доказать, найдя производную среднего продукта и приравняв ее нулю. dTPL ⋅ L - TPL TPL dAPL dL Поскольку АР L = , то = = 0. L dL L2 dTPL TPL = или МР L = АР L , что и требовалось доказать. Отсюда, dL L Рассмотрим теперь производственную функцию как функцию двух факторов производства, причем эти факторы являются взаимозаменяемыми: Q = f(L, K). Тогда Q АР L = | K -const L ΔQ ∂Q | K -const или MP L = ; MP L = ΔL ∂L АР K =

Q | L -const K

65

. МР K =

3. Теория производства ΔQ | L -const ΔK

или МР K =

∂Q . ∂K

3.2. Изокванты. Предельная норма технического замещения.

Термин «изокванта» означает одинаковое количество продукции, т.е. изокванте принадлежат любые комбинации труда и капитала, которые позволяют фирме производить то же самое количество продукции. При фиксированном Q производственной функции Q = f(L, K) соответствует определенная изокванта. Изокванта – это «кривая безразличия» для производственной функции. Семейство изоквант показано на рис. 3.3 К

А В

Q3 Q2

∠α

Q1

∠β

L

Рис.3.3. Важнейшая характеристика изокванты – предельная норма технического замещения или MRTS. Если отложить труд (L) по горизонтали, капитал (К) по вертикали, то ΔK dK , где К = φ(L, Q ). MRTS LK = | Q - const или MRTS LK = ΔL dL Здесь Q - фиксированный выпуск продукции. MRTS LK по своему экономическому содержанию аналогична MRS XY , рассматриваемой в теории потребительского выбора. MRTS LK - это норма, в которой количество капитала может быть уменьшено при увеличении количества труда на 1 единицу, при этом выпуск продукции остается неизменным. MRTS LK можно также определить как норму, в которой количество капитала может быть увеличено при уменьшении количества труда на 1 единицу при неизменности объема выпускаемой продукции. Поскольку при движении вдоль изокванты количество произведенной продукции не меняется, то справедливо равенство ΔL·MP L + ΔK·МР K = ΔQ = 0. Отсюда, MPL ΔK MRTS LK = = ΔL MPK Геометрически MRTS LK равна тангенсу угла наклона касательной, например MRTS LK (А) = tgα, MRTS LK (B) = tgβ (рис. 3.3). При движении вдоль изокванты сверху вниз MRTS LK убывает, или, что эквивалентно, изокванта является выпуклой к началу координат. Убывание предельной 66

.

3. Теория производства

нормы технического замещения связано с законом убывающей предельной отдачи, т.к. именно этот закон определяет изменение величин MP L и МР K при изменении L и К. Эластичность замещения

Эластичность замещения (σ) измеряет, как быстро предельная норам технического замещения капитала трудом (MRTS LK ) изменяется при движении вдоль изокванты. При движении вдоль изокванты сверху вниз изменяется соотношение (K/L), причем оно падает. Поэтому можно найти процентное изменение в соотношении (K/L), приходящееся на каждый процент изменения величины MRTS LK при движении вдоль изокванты. Эластичность замещения (σ), таким образом, может быть рассчитана по формуле: d(K/L) %Δ(K/L) K/L . σ= = dMRTS LK %ΔMRTS LK MRTS LK Очевидно, σ ≥ 0. Если замещение капитала трудом осуществляется трудно (с технической точки зрения), тогда процентное изменение в MRTS LK при движении вдоль изокванты будет значительным и величина σ будет близка к нулю. Если замещение капитала трудом осуществляется легко, то процентное изменение в MRTS LK будет незначительным и величина σ будет большой. Можно сказать, что коэффициент σ определяет меру кривизны изокванты. К К

Q = 1 млн.ед. А

А

50 45

50 В Q = 1 млн.ед. 20

0

100

400

L

0

(а)

В 100

400

L

(б) Рис. 3.4.

На рис 3.4 (а) фирма имеет ограниченные возможности замещения капитала трудом, MRTS LK изменяется заметно при движении вдоль изокванты; изокванта имеет L – образную форму. На рис. 3.4 (б) фирма обладает широкими возможностями для замещения одного фактора производства другим, MRTS LK изменяется незначительно при движении вдоль изокванты. Числовой пример 3.1. Задана производственная функция Q = L + K . Чему равна эластичность замещения труда капиталом?

67

.

3. Теория производства

Решение. Найдем MRTS LK . 1 MP L = , 2 L 1 MP K = . 2 K Запишем значение σ следующим образом: K d( ) MRTS LK L · . σ= K dMRTS LK L K рассматривается как функция от величины Обратите внимание, что отношение L K MRTS LK . Если ввести упрощающие обозначения MRTS LK = х, = у, то у = х 2 и L K K K 2 ⋅ d( ) K L L L . Следовательно, σ = = 2. =2 K dMRTS LK L L

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся при решении задач производственные функции и их свойства1. 1. Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид Q = b·L a1 ·K a 2 , где b, а 1 , а 2 постоянные положительные числа. Предельный продукт факторов производства: ∂Q K a 2 La1 Q a2 a 1 −1 = b·K · а 1 ·L = b· а 1 · = а 1 · = а 1 ·AP L . МР L = ∂L L L Аналогично МР K = а 2 · АР K . Предельная норма замещения факторов производства: MPL a K = 1 ⋅ . MRTS LK = a2 L MPK При движении вдоль изокванты (увеличение L и сокращение К) величина MRTS LK убывает, что определяет «стандартный» вид изоквант, соответствующих данной производственной функции (см. рис. 3.3). Эластичность замещения: a K K K d( ) ⋅ ( 1 ) d(K/L) d( ) ( ) L a2 K/L L L = = = 1. σ= a1 K a1 K a1 dMRTS LK K d( ⋅ ) ( ⋅ ) ( ) ⋅ d( ) MRTS LK a2 L a2 L a2 L 2. Производственные функции являются прямыми вида Q = aL + bK, где а, b > 0. Такие производственные функции отражают совершенную взаимозаменяемость факторов производства (рис. 3.5). Очевидно, что МР L = const = a, MP K = const = b. 1

Здесь рассматриваются не все свойства производственных функций. В частности, отдача от масштаба определяется далее.

68

.

3. Теория производства

MRTS LK = const = a/b. Для таких производственных факторов эластичность замещения σ = ∞ . K

Q1

Q2

Q3

0 L Рис. 3.5. Производственные факторы - совершенные заменители 3. Производственные факторы дополняют друг друга и соотношение между ними строго фиксировано. Тогда Q = min{aL, bK}* Карта изоквант имеет вид: К Q1

Q2

Q3

C B K2 K1

A

0

L1

L2

L

Рис. 3.6. Производственные функции с фиксированной структурой используемых факторов K1 K a = 2 =…= . L1 L2 b Для данной производственной функции эластичность замещения σ = 0.

В любой точке А, В, С … выполняется равенство aL = bK, поэтому

*

Производственную функцию с фиксированной структурой факторов называют также функцией Леонтьева. Американский экономист Василий Леонтьев использовал такие функции при моделировании межотраслевых связей в народном хозяйстве.

69

.

3. Теория производства

4. Если в производстве используется несколько способов, каждый из которых имеет определенную фиксированную структуру факторов, то получим семейство изоквант, показанных на рис. 3.7. К Q3 Q2 A3 Q1 A2

B3 B2

A1

C3 B1

C2 C1 L

Рис. 3.7. Каждая ломаная изокванта характеризуется убывающей MRTS LK при движении вдоль изокванты сверху-вниз, но на каждом отрезке ломаной линии MRTS LK остается постоянной. 3.3. Затраты производства. Изокоста.

Поскольку все ресурсы, необходимые для производства продукции, фирма покупает, то важнейшей характеристикой производства являются издержки (затраты) производства. Существуют различные концепции затрат. При принятии решений фирме необходимо использовать экономический подход, т.е. учитывать не только явные (бухгалтерские) издержки, но и неявные (вмененные) издержки. Этот подход основан на концепции альтернативной стоимости. Явные затраты – сумма расходов на оплату приобретаемых фирмой ресурсов (сырья, материалов, рабочей силы и т.п.). Неявные затраты – это стоимость услуг факторов производства, которые используются в процессе производства, но не являются покупными (например, собственный капитал, земля). Неявные затраты являются издержками упущенных возможностей, поскольку, допустим, при использовании собственного оборудования предприниматель упускает другие возможности получения дохода от его использования, например, дохода от сдачи оборудования в аренду. Экономические издержки – это сумма явных и неявных затрат. Экономические издержки производства товара зависят от количества используемых ресурсов и цен на услуги факторов производства. Связь между выпуском продукции и минимально возможными затратами, необходимыми для его обеспечения, называется функцией издержек – ТС. В общем виде TC(Q) = f[Q(L, K), P L , P K ], где Р L - почасовая оплата труда, Р K почасовая оплата работы капитала (оборудования) или арендная плата. Часто используют следующие обозначения: Р L = w, P K = r. При заданных ценах ресурсов функцию издержек можно представить в виде ТС = w·L + r·K. 70

.

3. Теория производства

Графически это прямая линия. Изокостой называется линия затрат, отражающая сочетания труда и капитала, при которых издержки производства равны (остаются неизменными). Экономический смысл изокосты для фирмы аналогичен бюджетной линия для потребителя. w . Наклон изокосты равен r При анализе поведения фирмы мы будем различать 2 периода – долгосрочный и краткосрочный. В долгосрочном все ресурсы являются переменными, в краткосрочном – некоторые из ресурсов постоянны, т.е. их количество не может быть изменено в пределах данного периода. TC и Помимо общих издержек мы будем анализировать средние издержки АС = Q dTC ΔTC = . предельные издержки МС = ΔQ dQ 3.4. Оптимальная комбинация используемых ресурсов в долгосрочном периоде

В общем виде задача минимизации издержек выглядит следующим образом: TC(Q) = (w·L + r·K) → min L, K

f(L, K) = Q, где Q – фиксированный выпуск L, K ≥ 0 Для нахождения оптимального способа производства следующие условия: MPL w = MRTS LK = MPK r f(L, K) = Q L, K ≥ 0

должны выполняться

Графически: К

A

K

E B Q= Q L

L

Рис. 3.8.

w ; в точке r касания Е значение издержек производства искомая изокоста: наклон = -

минимально; наклон изокванты в т. Е равен -

w r

71

.

3. Теория производства

Способы производства А и В являются технически эффективными, но не оптимальными, т.к. они находятся на изокосте, соответствующей более высокому уровню затрат, чем изокоста, проходящая через т. Е. Двигаясь от т. А к т. Е, фирма может произвести то же количество продукции Q , но при более низких затратах. Следовательно, единственно оптимальным решением является т. Е. Только в точке касания заданной изокванты и изокосты выполняется равенство: MPL P w = L = . MPK PK r w , В т. А, как видно из рис. 3.8, это равенство не выполняется, а именно MRTS LK (А) > r MPL MPK > . Это неравенство показывает, что фирме следует потратить отсюда, w r дополнительные денежные средства на покупку рабочей силы, сократив использование капитала. В т. А эффективность дополнительно затраченного рубля выше для труда по сравнению с капиталом, при этом выпуск продукции остается неизменным. Следовательно, фирма должна «двигаться» вдоль изокванты Q вниз до т. Е. В т. В, MPK MPL w < . Следовательно, находясь в т. В, напротив, MRTS LK (В) < , отсюда, w r r фирма должна увеличить вложение в капитал и сократить вложения в рабочую силу, т.е. «двигаться» вверх по изокванте Q до т. Е.

Числовой пример 3.2. Рассмотрим функцию Кобба-Дугласа Q = 50 ⋅ LK . Пусть Р L = w = 5, Р K = r = 20. Чему будут равны затраты производства 1000 единиц продукции. Решение. Найдем MRTS LK : MPL K = MRTS LK = . MPK L В точке оптимума должны выполняться условия: K 5 = MRTS LK = L 20 50 ⋅ LK = 1000

Отсюда получаем L 0 = 40, K 0 = 10. TC(L 0 , K 0 ) = 5·40 + 10·20 = 400. Покажем решение на графике (рис. 3.9). В точке касания Е K 10 1 MRTS LK = 0 = = . 40 4 L0 Наклон изокванты Q равен – ¼. w 5 1 Наклон изокосты АВ равен ==- . r 20 4

72

.

3. Теория производства

К наклон изокосты = - ¼ 20 А наклон изокванты в т. Е = - ¼ K 0 = 10

Е

Q = 1000

L 0 = 40 Рис. 3.9.

80

L

Способ Е (L 0 = 40; K 0 = 10) обеспечивает производство 1000 единиц продукции с наименьшими затратами, равными 400. Посмотрим, что произойдет с оптимальным выбором фирмы, если будет меняться цена только одного ресурса. Допустим, первоначальная цена труда Р L , цена капитала = 1. Задан выпуск продукции Q . Найдем, как изменится оптимальное решение, если новая цена труда Р L1 > Р L , Р K = 1, Q = Q . Как видно на графике (рис. 3.10), фирма, стремясь минимизировать затраты на выпуск Q , перейдет от капиталосберегающего, но трудоемкого способа производства Е 1 к менее капиталосберегающему, но более трудосберегающему способу производства Е 2 . К А2

А 1 B 1 : наклон = - Р L А 2 B 2 : наклон = - Р L1 MPL = РL MPK MPL = = Р L1 MPK

в т. Е 1 MRTS LK = К2

Е2

в т. Е 2 MRTS LK

А1 E1

К1 L2

B 2 L1 Рис. 3.10.

Q= Q

B1 L

Очевидно, если бы при неизменной цене труда стал дороже капитал, то, стремясь минимизировать затраты выпуска того же количества продукции Q , фирма стала бы экономить капитал, двигаясь от точки Е 1 вправо по изокванте, замещая капитал трудом. Эти утверждения базируются на двух предпосылках: 73

.

3. Теория производства 1. при первоначальных ценах фирма выбирает внутренний оптимум; 2. изокванты являются «гладкими», выпуклыми к началу координат. Угловое решение

Рассмотрим изокванту с производственными факторами-совершенными заменителями. Допустим, Q = 10L + 2K. Очевидно, подобные изокванты – прямые линии с 10 = - 5. постоянным наклоном, равным 2 Допустим, требуется найти оптимальную комбинацию факторов производства для производства 200 единиц продукции, если Р L = 5, Р K = 2. В данном случае наклон изокосты равен – 5/2 = - 2,5. Следовательно, не существует такой комбинации P производственных факторов, при которой выполняется равенство MRTS LK = L . В PK P P нашем примере MRTS LK = 5, L = 2,5. Следовательно, MRTS LK > L . Или, что то же PK PK MPL MPK MPL MPK 10 2 = = > . Предельный продукт самое, = 2, = 1, т.е. всегда PL 5 PK 2 PL PK труда, приходящийся на рубль затрат, всегда превышает предельный продукт капитала, приходящийся на рубль затрат. Это означает, что фирме выгодно замещать трудом капитал, пока труд полностью не вытеснит капитал. Следовательно, при оптимальном 200 выборе К = 0. Поскольку фирма должна произвести 200 единиц продукции, то L = = 10 = 20. Затраты составят ТС = 5·20 = 100. Графически: К 100 изокванта: 200 = 10L + 2K, наклон = - 5 А

изокоста: 100 = 5L + 2К, наклон = - 2,5

50

В 20 L т. В: оптимальная комбинация, L 0 = 20, K 0 = 0 Рис.3.11.

Производственная функция с факторами производства, дополняющими друг друга в заданной пропорции. Пусть Q = min{aL; bK}. Тогда оптимальный выбор всегда определяется равенством aL = bK, т.е. лежит на прямой К = a ⋅ L. b 74

.

3. Теория производства В т. Е(L 0 , K 0 ) фирма выбирает способ производства, обеспечивающий заданный

выпуск Q с минимальными затратами. К А

А΄ Е наклон изокосты А΄В΄ = -

K0

наклон АВ = L0

В

PL′ , PL′ < Р L PK

PL PK

В΄

L

Рис. 3.12. Обратите внимание, если будет меняться цена какого-либо фактора, например, труда при неизменной цене другого фактора, например, капитала, то для выпуска заданного объема продукции Q с жесткодополняющими друг друга факторами фирма будет выбирать один и тот же способ производства – т. Е. 3.5. Нахождение функции спроса на ресурс.

Рассматривая задачу минимизации издержек производства заданного объема продукции, мы находили оптимальный способ производства при заданных ценах на ресурсы. Изменяя цену одного фактора производства (при прочих неизменных условиях), можно найти зависимость между ценой ресурса и величиной спроса на него. Числовой пример 3.3. Задана производственная функция Q = 50 LK и цены ресурсов Р L = w, P K = r. Определим функции спроса на труд и капитал. Решение. Для минимизации издержек выполняться условия: w K (1) MRTS LK = = L r (2) Q = 50 ⋅ LK

производства

заданного

объема

выпуска,

должны

w r⋅K K r → L= , подставив L в (2), получим Q = 50 ( ⋅ K ) ⋅ K , отсюда = L r w w Q w 12 Q r 12 ⋅ ( ) . Аналогично, L = ⋅( ) . К= 50 r 50 w

75

.

3. Теория производства

Спрос на труд является возрастающей функцией при снижении w и увеличении r, что согласуется с экономическим содержанием функции спроса на труд. Если цена труда снижается, то фирма увеличивает спрос на ресурс. Если увеличивается цена капитала, то фирма замещает капитал трудом и спрос на труд увеличивается. На данном примере мы показали, как, зная производственную функцию, можно найти функции спроса на соответствующие факторы производства. Нетрудно показать, что если известны функции спроса на факторы производства, то можно «вернуться» к производственной функции. Таким образом, связь между производственной функцией и функциями спроса на факторы производства является двойственной. Рассмотрим пример, «обратный» к числовому примеру 3.3. Q w 12 Q r 12 ⋅( ) ; L = ⋅( ) . Пусть известны функции спроса на труд и капитал, К = 50 r 50 w Найдем производственные функции. Q 2 1. Начнем с функции спроса на труд и выразим w через L, Q, r: w = ( ) ·r. 50L 2. Подставим значение w в выражение для функции спроса на капитал. Получим: 1

⎛ ⎛ Q ⎞2 ⎞ 2 ⎜⎜ ⎟ ⋅r⎟ ⎟ Q2 Q ⎜ ⎝ 50L ⎠ К= ⋅ ⎟ или после упрощения К = 2500L . r 50 ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1

1

3. Выразим Q через L, K: Q = 50K 2 ·L 2 . Теперь мы «вернулись» именно к той производственной функции, из которой вывели соответствующие функции спроса на факторы производства. Взаимосвязь производственных функций и функций спроса на ресурсы важна для построения функций издержек, о чем речь пойдет дальше. 3.6. Отдача от масштаба

Рассмотрим, как увеличение затрачиваемых факторов производства влияет на количество продукции, которую фирма может произвести. Когда факторы производства имеют положительные предельные продукты, общий выпуск должен расти при увеличении затрачиваемых факторов производства. Это означает, что масштаб деятельности фирмы увеличился. Отдача от масштаба показывает, на сколько процентов увеличился выпуск продукции, когда фирма увеличивает использование всех факторов производства на заданный процент: %ΔQ (а – количества всех факторов производства). Отдача от масштаба = %Δa Допустим, фирма использует два ресурса – труд (L) и капитал (К), чтобы произвести выпуск в количестве Q, т.е. Q = f(L, K). Предположим, что все используемые фирмой ресурсы увеличились в λ раз (λ > 1), т.е. количество используемого труда увеличилось с L до λL, капитала – с К до λК*. Пусть ψ представляет итоговый рост выпуска, т.е. выпуск увеличился с Q до ψQ. Тогда: *

Это означает, что процентное изменение всех затрачиваемых факторов производства составляет (λ – 1)·100%.

76

.

3. Теория производства • • •

К

Если ψ > λ, мы имеем возрастающую отдачу от масштаба. Если ψ = λ, мы имеем постоянную отдачу от масштаба. Если ψ < λ, мы имеем убывающую отдачу от масштаба.

Рис. 3.13 иллюстрирует 3 случая отдачи от масштаба. К

К

Q3 = 3 2

2

2

Q3 = 3 1

Q2 = 2 1

Q2 = 2 Q1 = 1 1 2 L увеличивающаяся отдача от масштаба: удвоение затрат факторов и более, чем удвоение, выпуска

Q2 = 2 1

Q1 = 1 1 2 постоянная отдача от масштаба: удвоение затрат факторов и удвоение выпуска

Q1 = 1 L

1 2 L уменьшающаяся отдача от масштаба: удвоение затрат факторов и меньше, чем удвоение, выпуска

Рис. 3.13. Когда производственная функция характеризуется возрастающей масштаба, то у крупной фирмы появляются преимущества в издержках. В единственная фирма будет в состоянии произвести заданное количество более низкими средними издержками, чем две равные по размеру фирмы каждой ровно половины заданного объема.

отдачей от особенности, продукции с при выпуске

Числовой пример 3.4. Найдем отдачу от масштаба для производственной функции Кобба-Дугласа Q = AL α K β . Решение. Допустим, L 1 , K 1 - заданные объемы использования факторов производства. Тогда Q 1 = AL 1α K 1β . Пусть все факторы производства увеличились в λ раз (λ > 1). Тогда Q 2 = A(λL 1 ) α (λK 1 ) β = λ α + β ·A L 1α K 1β = λ α + β · Q 1 . Таким образом, характер отдачи от масштаба для функции Кобба-Дугласа зависит от коэффициента λ α + β . А именно, если • α + β > 1, тогда λ α + β > λ и Q 2 > λQ 1 . Отдача от масштаба будет возрастающей. • α + β = 1, тогда λ α + β = λ и Q 2 = λQ 1 . Отдача от масштаба будет постоянной. • α + β < 1, тогда λ α + β < λ и Q 2 < λQ 1 . Отдача от масштаба будет убывающей. Таким образом, сумма степеней показателей (α + β) в функции Кобба-Дугласа определяет, какой отдачей от масштаба характеризуется данная функция. Числовой пример 3.5. Фирма использует 8 ед. труда и 24 ед. капитала, чтобы обеспечить 24 ед. выпуска. Если предельная отдача труда равна 1,5 и производство характеризуется постоянной отдачей от масштаба, то чему будет равна предельная отдача капитала?

77

.

3. Теория производства

Решение. По условиям задачи Q 1 = 24 = f(8; 24) – т. А на рис. 3.14. Поскольку МР L = 1,5, то Q 2 = 25,5 при L 2 = L 1 + 1 = 9, K 2 = K 1 = 24. Таким образом, Q 2 = f(9; 24) = 25,5 – т. В на рис. 3.14. При постоянной отдаче от масштаба увеличим оба используемых ресурса в λ раз. L 9 9 9 В нашей задаче λ = (λ = 2 ). Тогда К 2/ = ⋅ K 1 = ⋅ 24 = 27. L1 8 8 8 9 9 9 Q 3 = f(λL 1 ; λK 1 ) = f( L 1 ; K 1 ) = f(9; 27) = ⋅ Q 1 = 27 – т.С на рис. 3.14. 8 8 8 К

К C = 27 К A = К B = 24

С А В 9 ⋅ Q 1 = 27 8 Q 2 = 25,5 = 24 + 1,5 Q 1 = 24

Q3 =

8 9

L

Рис. 3.14. ΔTP (при переходе от т. В к т. С при L = const). ΔK TP(K C ) − TP(K B ) 27 − 25,5 = = 0,5 (L = 9). МР K = 27 − 24 KC − KB По определению, МР K =

3.7. Минимизация издержек в краткосрочном периоде.

В краткосрочном периоде какой-либо фактор (или факторы) является фиксированным, т.е. фирма не в состоянии изменить имеющееся количество какого-либо ресурса. Допустим, фиксировано количество капитала, т.е. К = K . Тогда в краткосрочном периоде необходимо решить задачу: ТС(Q, K ) = min (wL + rK) L

f(L, K ) = Q 0 , где Q 0 - заданный выпуск L≥0 В таком случае фирма выберет способ производства в т. F для выпуска Q 0 , хотя в длительном периоде оптимальной комбинацией является способ производства А (рис. 3.15).

78

.

3. Теория производства K N

R КA

A F

K

Q = Q0 H

LA

LF

M

L

При К = K фирма выберет L = L F , т.к. выпуск Q 0 обеспечивает только способ производства F(L F , K ).

Рис. 3.15.

Обратите внимание, что в краткосрочном периоде не выполняется условие равенства предельной нормы замещения отношению цен ресурсов. Действительно, в т. F, определяемой ограниченным количеством К = K , изокоста NM не является касательной к заданной изокванте Q = Q 0 , следовательно P MRTS LK (F) ≠ L . PK В долгосрочном периоде, минимизируя издержки, фирма выбрала бы комбинацию P факторов производства в т. А(L A , К A ), причем MRTS LK (А) = L . PK Таким образом, минимизация издержки в краткосрочном периоде, вообще говоря, не совпадает с минимизацией издержек в долгосрочном периоде, что означает, что в краткосрочном периоде у фирмы будут более высокие издержки по сравнению с долгосрочным периодом, когда можно изменять все факторы производства. Существует, однако, одно исключение из этого правила. Если фирма хочет произвести продукцию в количестве Q 1 , для которого требуемое количество капитала K совпадает с минимально необходимым в долгосрочном периоде, то количество труда в краткосрочном периоде совпадет с количеством труда в долгосрочном периоде. Только в этом случае издержки в краткосрочном периоде будут равны издержкам в долгосрочном периоде (рис. 3.16). К траектория роста в долгосрочном периоде C D

B

K

E

Q2

A

расширение производства в краткосрочном периоде

Q1 Q0 L Рис. 3.16. Минимизация издержек в краткосрочном и долгосрочном периодах 79

.

3. Теория производства

В долгосрочном периоде траектория роста проходит через т. А, В, С, где P выполняется условие MRTS LK = L . Соответственно меняются объемы используемого PK труда и капитала вдоль линии АВС. В краткосрочном периоде при фиксированном количестве капитала K и при изменении объема выпуска, требуемое для минимизации издержек производства количество труда меняется вдоль линии DBE. Соответствующие линии роста пересекаются в т. В. В т. В имеющееся у фирмы ограниченное количество капитала совпадает с количеством капитала, при котором издержки минимальны. Числовой пример 3.6. Задана производственная функция Q = K 0,5 ·L 0,5 . L - единственный переменный фактор производства. В краткосрочном периоде капитал, которым располагает фирма, фиксирован. Пусть К = K . Какое количество труда должна использовать фирма, чтобы минимизировать издержки производства в краткосрочном периоде? Решение. Поскольку количество постоянного ресурса – капитала – фиксировано, то Q = K 0,5 ·L 0,5 . Q2 Отсюда L = - это количество труда, требуемое в краткосрочном периоде для выпуска K Q единиц продукции с минимальными издержками.

Ситуация, однако, меняется, если в краткосрочном периоде производственная функция фирмы зависит от нескольких переменных факторов. Допустим, Q = f(L, K, M). Пусть Р L = w, P K = r, P M = m. Пусть количество используемого капитала фиксировано и равно K . Труд (L) и сырье (M) являются переменными факторами. Тогда задача минимизации издержек в краткосрочном периоде выглядит так: ТС = (w·L + r· K + m·M) → min f(L, K , M) = Q 0 L, M ≥ 0 Поскольку при заданной цене P K = r и количестве капитала К = K величина r· K является постоянной, то функцию издержек можно записать следующим образом: ТС 1 = (ТС - r· K ) = w·L + m·M Соответственно задача минимизации издержек в краткосрочном периоде имеет вид: ТС 1 = (w·L + m·M) → min f(L, K , M) = Q 0 L, M ≥ 0 Для внутреннего оптимума получаем условия, аналогичные долгосрочному периоду: MPL w = MRTS LM = MPM m Q 0 = f(L, K , M) 80

.

3. Теория производства Покажем решение графически. M A наклон изокосты = -

w m

TC 1 m

Е

наклон изокванты в т. оптимума Е = -

w m

В Q0 TC 1 w Рис. 3.17.

L

В т. Е издержки производства продукции в количестве Q 0 являются минимальными в краткосрочном периоде (К = K ). Любые другие технически эффективные способы производства (например А, В) требуют более высоких издержек производства. Числовой пример 3.7. Фирма использует при производстве продукции три вида ресурсов: капитал (К), труд (L) и материалы (М). Известна производственная функция фирмы: Q = K 1 / 3 ·L 1 / 3 ·M 1 / 3 . Цены ресурсов – капитала, труда и материалов соответственно r = 1, w = 1, m = 1. 1. Найдем способ производства Q 0 единиц продукции в долгосрочном периоде, при котором издержки фирмы минимальны. 2. Найдем способ производства Q 0 единиц продукции, если капитал фиксирован,

К= K. 3. Докажем, что когда Q = 4 и K = 4, количества L и М в долгосрочном и краткосрочном периодах совпадают. Решение. 1. Запишем условия касания изокосты и заданной изокванты для производственной функции с тремя переменными ресурсами: 1 -2 1 1 ⋅ K 3 ⋅ L3 ⋅ M 3 MPL M 1 = 3 = ⇒ M=L = 1 1 -2 MPM L 1 1 ⋅ K 3 ⋅ L3 ⋅ M 3 3 1 -2 1 1 ⋅ K 3 ⋅ L3 ⋅ M 3 MPL K 1 = 3 = ⇒ K=L = -2 1 1 L 1 MPK 1 ⋅ K 3 ⋅ L3 ⋅ M 3 3 Q 0 = K 1 / 3 ·L 1 / 3 ·M 1 / 3

81

.

3. Теория производства

Решая эту систему из трех уравнений с тремя неизвестными, найдем искомый способ производства: L = Q 0 M = Q0 K = Q0. 2. Пусть К = K . Запишем условие -2

MPL P = L = 1. MPM PM

1

1 1 ⋅ K 3 ⋅ L3 ⋅ M 3 M 1 3 = ⇒ M=L = 1 2 1 L 1 1 ⋅ K 3 ⋅ L3 ⋅ M 3 3 Производственная функция в краткосрочном периоде Q 0 = K

отсюда L =

Q 30 K

. Соответственно, M = L =

Q 30 K

1/ 3

·L 1 / 3 ·M 1 / 3 = K

1/ 3

·L 2 / 3 ,

.

3. Найдем параметры долгосрочного равновесия при Q = 4 и K = 4. Поскольку L = M = Q 0 , то в долгосрочном периоде L = M = 4. В краткосрочном периоде M = L =

43 = 4, что совпадает со значениями труда и 4

капитала в краткосрочном периоде. Численный пример 3.8. Платежная ведомость для 10000 рабочих может быть сделана за 1 час работы компьютера (К) без участия служащих либо за 10 часов работы служащих (L) без использования компьютера. Работа компьютера и служащих – полностью взаимозаменяемые факторы производства, так что, например, можно сделать платежную ведомость, используя ½ часа работы компьютера и 5 часов работы служащих. 1. Покажем на графике изокванту, соответствующую выпуску платежной ведомости для 10000 рабочих. 2. Пусть Р L = 7,5 ден.ед. в час, P K = 5 ден.ед. в час. Сколько L и К нужно использовать для минимизации издержек и чему будут равны минимальные издержки? 3. Насколько высокой должная быть цена часа работы компьютера, чтобы было выгодно использовать только труд служащих? Решение. 1. Поскольку используемые факторы являются совершенными заменителями, то изокванта имеет вид прямой: Q = 10K + L (рис. 3.18). MPL = - 0,1. Наклон прямой постоянен и равен - MRTS LK = MPK

82

.

3. Теория производства К, часы PL = - 1,5 PK наклон изокванты равен – 0,1

наклон изокосты АМ равен -

1А

0

В 10

М

L, часы

Рис. 3.18. 2. Уравнение изокосты при Р L = 7,5 ден.ед., P K = 5 ден. ед. имеет вид ТС = 7,5·L + 5·К. 7,5 Наклон изокосты равен = - 1,5. Следовательно, изокоста проходит более круто к оси 5 OL, чем изокванта. Минимум издержек достигается в точке углового равновесия А: L A = 0, K A = 1. TC(А) = 5·1 = 5 ден.ед. В точке углового равновесия А изокоста не является касательной к изокванте, P следовательно, не выполняется равенство MRTS LK = L . PK P 3. Если цена на капитал будет расти при неизменной цене на труд, то соотношение L PK будет уменьшаться, бюджетная линия (изокоста) будет более пологой к оси OL. Чтобы угловое решение переместилось в т В (для выпуска ведомости используются только P P служащие), должно выполняться неравенство L < 0,1, отсюда Р K > L , т.е. Р K > 75 0,1 PK ден.ед. Следовательно, цена часа работы компьютера должна быть выше 75 ден.ед., чтобы, минимизируя затраты, фирма использовала в производстве только служащих. 3.8. Построение функций издержек.

Решая задачу минимизации издержек производства на заданный выпуск продукции, можно найти зависимость между издержками производства и объемом производства при заданных ценах на ресурсы и соответственно построить функцию долгосрочных издержек (рис. 3.19). Долгосрочная кривая общих издержек показывает, как изменяются минимальные общие издержки при изменении выпуска, если цены на ресурсы (факторы производства) остаются неизменными. Поскольку при росте Q изокосты, соответствующие минимальным затратам, сдвигаются вправо-вверх, то функция TC(Q) являются возрастающей, причем TC(Q) = 0 при Q = 0.

83

.

3. Теория производства К TC 2 r TC 1 r K2 K1

В А Q2 Q1 TC 1 w

L2

L1

TC 2 w

TC

L

TC(Q)

TC 2 = wL 2 + rK 2

B

TC 1 = wL 1 + rK 1

A

Q1

Q2 Рис. 3.19.

Q

Числовой пример 3.9. Найдем функцию TC(Q), соответствующую производственной функции Q = 50 LK . Решение. Из числового примера 3.3 мы нашли функции спроса на производственные факторы, а Q w 12 Q r 12 ⋅( ) , L = ⋅( ) . именно, К = 50 r 50 w Q Q w 1 Q r 1 ⋅ w⋅r . Поскольку TC = wL + rK, то ТС = w· ⋅ ( ) 2 + r· ⋅ ( ) 2 = 25 50 r 50 w При заданных значениях w и r функция общих издержек имеет вид прямой. Допустим, w = 25, r = 100. Тогда TC(Q) = 2Q.

TC TC(Q) = 2Q 4 2

1

2

Q

Рис.3.20. 84

.

3. Теория производства

В данном примере функция долгосрочных издержек – прямая. (Поэтому MC(Q) = AC(Q) = 2 – об этих издержках речь пойдет далее). При изменении цены какого-либо производственного фактора долгосрочные издержки будут меняться, поэтому при росте цены на фактор производства кривая долгосрочных издержек будет сдвигаться вверх: ТС 2 (Q): P K 2 = P 2 ,

ТС

P 2 > P1

TC 1 (Q): P K = P 1

Q= Q

Q

Рис. 3.21.

3.9. Долгосрочные средние и предельные издержки

LTC(Q) Q dLTC LMC(Q) = dQ Хотя средние и предельные издержки вытекают из функции долгосрочных общих издержек фирмы, они различаются в существенном. Средние издержки – это издержки, приходящиеся на единицу выпускаемой продукции, предельные издержки – это издержки, связанные с приростом выпуска продукции, т.е. они показывают приращение общих издержек в связи с производством дополнительной единицы продукции. Различие между средними и предельными издержками покажем на графиках (рис. 3.22). По определению, LAC(Q) =

Взаимосвязь между долгосрочными предельными и средними издержками 1. Когда средние издержки снижаются, предельные издержки меньше средних, т.е. при снижении AC(Q) MC(Q) < AC(Q). 2. При возрастании средних издержек, значение MC(Q) выше значения средних издержек, т.е. MC(Q) > AC(Q). 3. В точке минимума ATC(Q) MC(Q) = AC(Q).

85

.

3. Теория производства ТС TC(Q) С

А В Q

QA AC, MC

MC(Q) = tg угла наклона касательной к кривой TC(Q)

min AC min MC

TC(Q) = tg угла Q наклона луча из начала координат к кривой TC(Q) AC(Q) =

Q

QA

Рис. 3.22. Экономия от масштаба Положительная экономия от масштаба описывает ситуацию, когда средние издержки производства уменьшаются при росте производства. При отрицательной экономии от масштаба средние издержки начинают расти при увеличении объема производства. Экономия от масштаба имеет различные причины. Положительная экономия от масштаба может быть связана с возрастающей отдачей от масштаба при вовлечении в производство дополнительных ресурсов, сможет быть вызвана специализацией труда, приводящей к росту производительности труда и т.п. АС

Q΄

Q˝ Рис. 3.23.

Q

86

.

3. Теория производства

Размер производства, при котором средние издержки минимальны, называется минимально эффективным размером (минимально эффективный масштаб). На рис. 3.23 Q΄ - минимально эффективный размер предприятия. При Q < Q΄ имеет место положительная экономия от масштаба. При Q > Q˝ имеет место отрицательная экономия от масштаба. При Q΄ < Q < Q˝ средние издержки неизменны. Концепция экономии от масштаба тесно связана с концепцией отдачи от масштаба. Отдача от масштаба, связанная с производственной функцией, определяет, как изменяются средние издержки при изменении выпуска и следовательно, существование положительной или отрицательной экономии от масштаба.

Взаимосвязь между отдачей от масштаба и долгосрочными средними затратами (на примере производственной функции вида Q = f(L))

Производственная функция Функция спроса на труд Общие издержки Средние издержки

Как изменяются средние издержки при росте Q

Постоянная отдача от масштаба Q=L L=Q TC = wQ AC = w

Постоянны

Возрастающая отдача от масштаба Q = L3 L=

3

Таблица 3.1. Уменьшающаяся отдача от масштаба Q= 3 L L = Q3

Q

TC = w· 3 Q w AC = 3 Q2 Уменьшаются

TC = w·Q 3

AC = w·Q 2 Возрастают

Эта таблица иллюстрирует следующие выводы: Когда производственная функция показывает возрастающую отдачу от 1. масштаба, средние издержки производства сокращаются при увеличении Q. Когда производственная функция показывает уменьшающуюся отдачу от 2. масштаба, средние издержки производства растут при увеличении Q. 3. Когда производственная функция имеет постоянную отдачу от масштаба, средние издержки производства не меняются. 3.10. Издержки производства в краткосрочном периоде.

Краткосрочные общие издержки производства, STC(Q), показывают минимальные общие издержки производства продукции в количестве Q, когда по крайней мере один производственный фактор зафиксирован на определенном уровне. Допустим, капитал фирмы фиксирован и К = K . Краткосрочные общие издержки есть сумма двух слагаемых: STC(Q) = TVC(Q) + TFC(Q).

87

.

3. Теория производства ТС

STC(Q) = TVC(Q) + TFC(Q

TVC(Q) TFC = r K

TFC rK Q

Рис. 3.24. Числовой пример 3.10. 1 2

1 4

1 4

Задана производственная функция Q = K ·L ·M . Определим краткосрочную функцию общих издержек фирмы, если капитал фиксирован (K = K ), w = 16, m = 1, r = 2. Определим, каковы будет общие переменные и общие постоянные издержки. Решение. 1. Найдем функции спроса на труд и материалы при фиксированном капитале. При минимальных издержках на заданный выпуск Q должно выполняться условие: -3 1 1 1 4 2 ⋅K ⋅L ⋅M4 MPL 16 w 4 = . = или -1 -3 1 MPM m 1 1 ⋅ K 2 ⋅ L4 ⋅ M 4 4 Отсюда получаем M = 16L. 1 2

1 4

1 4

1 2

1 4

1 4

При этом Q = K ·L ·M = K ·L ·(16L) . Отсюда, решая это уравнение относительно L, получим L = Поскольку M = 16L, то М =

Q2 4K

.

4Q 2

. K Таким образом, мы получили функции спроса на переменные факторы производства.

Найдем STC(Q) = w·L + m·M + r· K . 16Q 2 4Q 2 8Q 2 + 1· + 2K = + 2K . STC(Q) = K K 4K 8Q 2 TVC(Q) = ; TFC = 2 K . K Заметьте, что при заданном выпуске Q общие переменные издержки сократятся при увеличении капитала K . Поэтому, увеличивая К и сокращая использование труда и материалов, фирма может уменьшить переменные издержки. 88

.

3. Теория производства

Взаимосвязь общих издержек производства в краткосрочном и долгосрочном периоде покажем на рис. 3.25. К АС - траектория роста в долгосрочном периоде С К1

A

расширение производства в краткосрочном периоде

В Q2 Q1

L L1 TC

STC(Q), когда К = К 1 В TC(Q) С А

Q1

Q2

Q

Рис.3.25. В краткосрочном периоде при росте выпуска от Q 1 до Q 2 фирма переходит из т. А в т.В (в т. А долгосрочные и краткосрочные издержки совпадают, т.к. при К = К 1 фирма минимизирует долгосрочные общие издержки). В долгосрочном периоде линия общих издержек TC(Q) лежит ниже линии краткосрочных издержек STC(Q), кроме т. А, где LTC(Q 1 ) = STC(Q 1 ). С SMC(Q) SAC(Q) SAVC(Q) min min min

AFC(Q) Q

Рис. 3.26. 89

.

3. Теория производства В краткосрочном периоде STC = TVC + TFC, поэтому STC TVC TFC SAC = = + = AVC + AFC Q Q Q ΔSTC ΔTVC = (ΔTFC = 0). SMC(Q) = ΔQ ΔQ На рис. 3.26 показаны различные виды издержек в краткосрочном периоде.

Числовой пример 3.11. Покажем взаимосвязь между краткосрочными и долгосрочными средними издержками. 1 2

1 4

1 4

Пусть Q = K ·L ·M , w = 16, m = 1, r = 2, как и в примере 3.10. 1. Каковы будут долгосрочные средние издержки? 2. Каковы будут краткосрочные средние издержки для фиксированного уровня К = K ? 3. Покажем на графике средние издержки в долгосрочном периоде и краткосрочном периоде, соответствующие K = 10, K = 20, K = 40. Решение. 1. Найдем требуемые количества факторов производства, исходя из минимальных издержек в долгосрочном периоде. Должны выполняться условия: 1 -3 1 1 2 4 ⋅K ⋅L ⋅M 4 MPL 16 ⇒ M = 16L = 4 1 1 = -3 MPM 1 1 2 4 ⋅K ⋅L ⋅M 4 4 1 -3 1 1 2 4 ⋅K ⋅L ⋅M4 MPL 16 4 ⇒ K = 16L = = 1 1 −1 MPK 2 1 2 4 4 ⋅K ⋅L ⋅M 4 1 2

1 4

1 4

Получаем Q = 4L ·L ·2L = 8L ⇒ L =

Q . 8

Соответственно М = 2Q; K = 2Q. Следовательно, в долгосрочном периоде функция общих издержек имеет вид: Q TC(Q) = 16· + 1·2Q + 2·2Q = 8Q. 8 TC(Q) ATC(Q) = = 8. Q 2. Функция общих издержек для этой производственной функции была вычислена в примере 3.10: 16Q 2 4Q 2 8Q 2 + 1· + 2K = + 2K . STC(Q) = K K 4K 2K 8Q . + SATC(Q) = Q K

90

. 3.

3. Теория производства AC SAC(Q), K = 10 SAC(Q), K = 20 SAC(Q), K = 40 8

AC(Q) = 8

5

10

20

Q

Рис. 3.27. Найдем SAC(Q) при различных фиксированных уровнях капитала. 20 Пусть K = 10, тогда SAC(Q) = 0,8Q + , Q 40 , K = 20, тогда SAC(Q) = 0,4Q + Q 80 . K = 40, тогда SAC(Q) = 0,2Q + Q Найдем минимальные значения SAC(Q): При K = 10, min SAC(Q) достигается при Q = 5 и равен SAC(5) = 8: dSAC(Q) для нахождения минимума SAC(Q) ищем производную и приравниваем к нулю. dQ dSAC(Q) 20 20 ⇒ = 0,8 - 2 = 0, отсюда Q min = 5. SAC(Q) = 0,8Q+ Q dQ Q K =10 20 SAC(5) = 0,8·25 + = 8. 5 Аналогично минимум SAC(Q) при K = 20 равен 8, если Q = 10; минимальное значение SAC(Q) при K = 40 также равно 8, когда Q = 20. Итак, каждая краткосрочная кривая средних издержек соответствует фиксированному уровню капитала, ограничивающего размер предприятия: K = 10, 20, 40. Эти кривые имеют U-образную форму. Кривая долгосрочных средних издержек в общем случае является кривой, огибающей соответствующие кривые краткосрочных средних издержек. В нашем примере долгосрочные средние издержки постоянны, поэтому AC(Q) – прямая и это находится в полном соответствии с производственной функцией. Обратите внимание, что заданная производственная функция характеризуется постоянной отдачей от масштаба, поэтому долгосрочные средние издержки постоянны. Числовой пример 3.12. Фирма, минимизирующая затраты на производство заданного объема продукции, имеет производственную функцию Q = LKM, где L – затраты труда, М – затраты сырья, К – затраты капитала. Пусть Р L = w = 5, P K = r = 1, P M = m = 2.

91

.

3. Теория производства

1. Найдем зависимость между затрачиваемыми факторами производства и объемом выпускаемой продукции. 2. Найдем функцию долгосрочных общих и средних издержек производства. 3. Допустим, фирма должна произвести Q единиц продукции, но ее капитал ограничен K = 50. Найдем функцию краткосрочных общих и средних издержек производства. 4. Покажем на графике LTC(Q) и STC(Q). Решение. 1. В долгосрочном периоде для минимизации издержек заданного выпуска должны выполняться следующие условия: MPL K⋅M K 5 = = ⇒ K = 5L = MPK L⋅M L 1 MPL K⋅M M 5 5L = = ⇒ 2M = 5L, M = = MPM L⋅K L 2 2 5L 25 3 Получаем Q = L·5L· = L . 2 2 5 2Q 2Q 2Q Отсюда L = 3 , следовательно, К = 5· 3 , М = ·3 . 2 25 25 25 2. Найдем функцию общих издержек в долгосрочном периоде 33 2Q 5 2Q 2Q 2Q + 5· 3 + 2· · 3 = 3 3 2Q . LATC(Q) = . LTC = w·L + r·K + m·M = 5· 3 25 25 2 25 Q

3. Поскольку в краткосрочном периоде K = 50, то Q = 50LM и должно выполняться MPL M 5 5L = ⇒ 2M = 5L или M = . условие: = MPM L 2 2 Q Q 5L , M= . = 125L 2 . Следовательно, L = 2 5 5 2 5 Q 2 Q Q 2 Q 50 + 2· + 50 = + 50. SATC(Q) = STC(Q) = w·L + m·M + r· K = 5· . + Q 5 5 2 5 5 5 ⋅Q 4. Схематичный график LTC(Q) и STC(Q): Отсюда Q = 50L·

С

STC(Q) LTC(Q)

50 Q

Рис. 3.28.

92

5. Рынок чистой монополии Анализ конкурентных рынков. Теория фирмы в условиях совершенной конкуренции. 4.1. Общая характеристика рынка совершенной конкуренции. Универсальное правило рыночного равновесия.

Рынки совершенной конкуренции имеют 4 основные характеристики: На рынке присутствует очень много продавцов и покупателей. Каждый 1. покупатель покупает небольшое количество товара (по сравнению с предлагаемым), поэтому не может повлиять на рыночную цену. Выпуск и объем продаж каждого производителя настолько мал (в сравнении с рыночным спросом), что он тоже не может повлиять на рыночную цену. Фирмы производят стандартный продукт, поэтому покупателям безразлично, 2. кто его производит. 3. Потребители имеют полную информацию о ценах. Рынок (отрасль) характеризуется равным доступом к ресурсам. Все фирмы – 4. уже существующие в отрасли и потенциальные производители имеют доступ к одинаковой технологии и соответствующим ресурсам. Эти характеристики имеют три следствия для работы рынка совершенной конкуренции: • Первая характеристика – многочисленность участников – означает, что продавцы и покупатели рассматривают рыночную цену как заданную величину. Продавцы, таким образом, являются «ценополучателями», покупатели также считают цену заданной величиной при принятии решений о покупке товаров. Это следствие также означает, что фирмы рассматривают цены затрачиваемых факторов производства как заданные при принятии решений о покупке ресурсов. • Вторая и третья характеристики имеют следствием закон единой цены: никакие продажи (и соответственно покупки) не могут быть совершены по более высокой цене. • Четвертая характеристика означает, что отрасль (рынок) имеет свободный вход. Следовательно, если фирма рассчитывает получить прибыль, войдя на рынок, то она в конце концов сделает это. Свободный вход не означает, что у фирмы не будет издержек, но у нее будет свободный доступ к той же технологии и факторам производства, которые используют существующие в отрасли фирмы. При принятии решений о расширении производства, строительстве нового предприятия и т.п. фирма должна учитывать не только бухгалтерские издержки, но и издержки в связи с упущенными альтернативными возможностями использования физического и человеческого капитала и других собственных ресурсов. В соответствии с делением издержек производства фирмы на бухгалтерские и экономические, различают бухгалтерскую и экономическую прибыль. Бухгалтерская прибыль = Выручка от реализации продукции – Бухгалтерские издержки. Экономическая прибыль = Выручка от реализации продукции – Экономические издержки. Поэтому, говоря о максимизации прибыли, мы всегда имеем в виду максимизацию экономической прибыли. Если обозначить прибыль буквой π, то π(Q) = TR(Q) – TC(Q), где TR(Q) = P(Q)·Q, TC(Q) – общие издержки производства, связанные с производством продукции, при условии, что фирма выбирает такой способ производства, при котором издержки минимальны.

93

5. Рынок чистой монополии В общем случае необходимое условие максимизации прибыли π(Q) можно записать dπ (Q) dTR (Q) dTC (Q) так: = 0 или = 0, отсюда MR(Q) = MC(Q) (*), dQ dQ dQ где MR(Q) означает предельный доход фирмы. Данное правило (*) можно назвать универсальным правилом рыночного равновесия, поскольку оно вытекает из универсального критерия, определяющего поведение фирмы – максимизации прибыли. Для фирмы-«ценополучателя» предельный доход равен рыночной цене, т.е. MR(Q) = P, поскольку цена задана и дополнительная единица продукции дает дополнительный доход, равный рыночной цене продукта. Данное равенство означает, что спрос на продукцию отдельной фирмы является абсолютно эластичным. ден. ед. TR

TC

π(Q) Q1

Q2

Q0

Q3

Q

Р МС АТС MR = P

P0

ATC(Q 0 )

Q1

Q2

Q0

Q3

Q

Рис. 4.1. Как видно из рисунка 4.1., фирма максимизирует прибыль при объеме выпуска равном Q 0 . В этой точке MR(Q 0 ) = P 0 = МС(Q 0 ). Предельные издержки равны цене также при Q = Q 1 , но это выпуск, при котором прибыль минимальна (отрицательная величина), т.е. при Q = Q 1 фирма имеет максимальные убытки. Рис. 4.1. показывает, что при Q 1 < Q < Q 0 увеличение производства способствует увеличению прибыли, т.к. Р > MC и увеличение выпуска на 1 единицу приведет к увеличению прибыли на величину (Р – МС). При Q < Q 1 Р < МС, но МС(Q) является убывающей функцией, поэтому увеличение выпуска целесообразно вплоть до т. Q 0 . Напротив, при Q > Q 0 , хотя Р < МС, 94

5. Рынок чистой монополии увеличение производства нецелесообразно, т.к. предельные издержки возрастают и каждая дополнительная единица выпуска сокращает прибыль на величину (МС – Р). Таким образом, для максимизации прибыли фирма должна найти объем производства, при котором выполняется равенство МС(Q) = P, при этом восходящий участок кривой предельных издержек производства пересекает заданную линию спроса, т.е. Р = P 0 . Итак, для нахождения объема выпуска, максимизирующего прибыль фирмы на рынке совершенной конкуренции, должны выполняться 2 условия: • Р = МС • Функция предельных издержек МС должна быть возрастающей. 4.2. Функция предложения фирмы в краткосрочном периоде

В краткосрочном периоде общие издержки фирмы складываются из постоянных (фиксированных) издержек и переменных издержек, так что SFC + TVC(Q), если Q > 0 STC(Q) = SFC , если Q = 0 С учетом этих издержек фирме следует прекратить производство, если Р < AVC(Q*), где Q* - тот объем, при котором Р = МС(Q*). В краткосрочном периоде фирма, производящая Q > 0, определяет объем продаж, исходя из условия Р = SMC, причем SMC является восходящей кривой. Если Р < AVC, то Q = 0. Таким образом, фирма, максимизирующая прибыль, никогда не будет производить продукцию, соответствующую участку SMC, где SMC < AVC. Этот участок находится ниже минимума кривой AVC. Таким образом, если Р < min AVC, то Q = 0. Обозначим Р S = min AVC – это цена закрытия фирмы. Краткосрочную функцию предложения фирмы можно определить следующим образом: P = SMC(Q), P≥ min AVC S: Q=0 , P < min AVC Краткосрочная кривая предложения фирмы показана на рис. 4.2. Р SMC SAC SAVC

P S = min AVC

PS

Q

0

Рис. 4.2.

95

5. Рынок чистой монополии При Р < P S Q = 0 и линия предложения совпадает с вертикальным отрезком оси ОР. При Р ≥ P S Q > 0 и линия предложения совпадает с возрастающим участком кривой предельных издержек, начиная от точки минимума средних переменных издержек. Обратите внимание, что критерий максимизации прибыли не гарантирует, что в краткосрочном периоде фирма будет получать положительную экономическую прибыль. Действительно, поскольку π(Q) = TR(Q) – TC(Q) = P·Q – ATC(Q)·Q = Q·(P – ATC(Q)), то π(Q) ≥ 0, если Р ≥ min ATC. Таким образом, если рыночная установившаяся цена Р = min ATC, то найдя объем продаж из уравнения Р = МС = min ATC, фирма получит нулевую экономическую прибыль. При Р > min ATC фирма получит положительную экономическую прибыль, как показано на рис. 4.3. Р SMC e

Рe N Pb

SATC AVC

M b

PS

a

0

qa

P b = min ATC = ATC(q b ) P S = min AVC – цена закрытия

qb qe Рис. 4.3.

Q

При Р = Р e TR = Р e · q e ; TC = ATC(q e )· Р e . π(q e ) = TR – TC = q e ( Р e - ATC(q e )) = площади заштрихованного прямоугольника NР e eM π(q e ) > 0, т.к. Р e > ATC(q e ). Числовой пример 4.1. Задана краткосрочная функция издержек STC = 100 + 20Q + Q 2 . А) Определим функцию предложения фирмы. Б) Если рыночная цена равна 30 ден.ед., найдем, каким будет объем продаж и прибыль фирмы? В) Определим, при какой цене фирма начнет получать экономическую прибыль? Решение

А) Поскольку TVC = 20Q + Q 2 , то AVC =

TVC = 20 + Q. Q

dTC dTVC = = 20 + 2Q. dQ dQ Найдем минимальное значение средних переменных издержек. Приравняем значения МС и AVC. Очевидно, что равенство 20 + Q = 20 + 2Q выполняется при Q = 0. Минимальное значение AVC равно 20, т.к. AVC(0) = 20. Таким образом, цена закрытия равна 20. При цене Р < 20 предложение фирмы равно 0. При Р ≥ 20 выполняется равенство Р = МС(Q) или 20 + 2Q = P, отсюда Q = -10 + ½P. МС =

96

5. Рынок чистой монополии Итак, функция предложения фирмы в краткосрочном периоде имеет вид: -10 + ½P, если Р ≥ 20 Q S (P) = 0 , если Р < 20 Покажем решение на графике: Р

MC = S SATC

ATC(5) = 45

AVC

P = 40 P = 30 AVC(5) = 25

линия предложения фирмы в краткосрочном периоде

20

5

10

Q

Рис. 4.4. 30 = 5. Выручка составит 2 TR = P·Q = 150, TC = 100 + 20·5 + 25 = 225. Таким образом, π(Q) = 150 – 225 = -75. В краткосрочном периоде фирма столкнется с убытками. Б) При рыночной цене Р = 30 фирма предложит Q = -10 +

В) Найдем минимальное значение общих средних издержек. TC (Q) 100 ATC(Q) = + 20+ Q. = Q Q 100 Приравняем значения MC(Q) и ATC(Q)*): + 20 + Q = 20 + 2Q. Q Отсюда 100 = Q 2 , Q = 10. 100 ATC(10) = + 20 + 10 = 40. Таким образом, при Р > 40 прибыль фирмы будет 10 положительной. При Р = 40 прибыль фирмы будет равна нулю. 4.3. Краткосрочное предложение в отрасли

Поскольку число производителей (продавцов) на рынке в краткосрочном периоде фиксировано, рыночное предложение при любой цене равно сумме объемов продаж каждой фирмы в отдельности. *)

Минимальное значение функции средних издержек можно также найти, если производную этой функции

приравнять к нулю, т.е.

100 dATC =+ 1 = 0, отсюда Q = 10. dQ Q2 97

5. Рынок чистой монополии Числовой пример 4.2. Допустим, рынок состоит из трех типов фирм: 100 фирм имеют функцию SMC 1 , 100 фирм имеют функцию SMC 2 и 100 фирм с функцией предельных издержек SMC 3 (см. рис.4.5). Допустим также, что SMC 1 = 20 + 2Q 1 , SMC 2 = 22 + 2Q 2 , SMC 3 = 24 + 2Q 3 .

Найдем функции предложения для каждого типа фирмы в краткосрочном периоде: Q 1 = Р/2 – 10, Р ≥ 20; Q 2 = Р/2 – 11, Р ≥ 22; Q 3 = Р/2 – 12, Р ≥ 24. С учетом общего количества фирм каждого типа на рынке можно записать функцию рыночного предложения следующим образом:

SS:

Q=0 , Q = 50P – 1000 , Q = 100P – 2100, Q = 150P - 3300 ,

если Р < 20 если 20 ≤ Р < 22 если 22 ≤ Р < 24 если Р ≥ 24

На рис. 4.6 показана функция краткосрочного предложения в отрасли. При Р < 20 предложение в отрасли отсутствует. При Р < 22 на рынке находятся только фирмы первого типа, но при дальнейшем росте цены рыночное предложение увеличивается сначала за счет вхождения на рынок фирм второго типа, а затем, при Р ≥ 24, на рынке появляются фирмы третьего типа. P

SMC 3 SMC 2 SMC 1

30

24 22 20 1 2 3 4 5 Q Рис. 4.5. Индивидуальные предложения фирм в краткосрочном периоде. Р

30 24 22 20

100

300

1200

Q

Рис. 4.6. Рыночное предложение в краткосрочном периоде 98

5. Рынок чистой монополии 4.4. Равновесие на рынке в краткосрочном периоде.

Краткосрочное равновесие на рынке достигается, когда величина спроса равна величине предложения. Рис. 4.7 иллюстрирует краткосрочное равновесие на рынке совершенной конкуренции. Рис. 4.7 (а) показывает рыночную кривую спроса D и кривую краткосрочного рыночного предложения SS. Равновесная цена Р* - это цена, при которой величина спроса равна величине предложения. Рис. 4.7 (б) показывает, что типичная фирма будет производить выпуск Q*, при котором МС(Q*) = P*. Р Р SS SMC SAC

P

P* PS D D(P*) (a)

Q

Q* (б)

Q

Рис. 4.7. Если D(P) обозначить рыночную кривую спроса и предположить, что рынок состоит из 100 фирм с соответствующими кривыми предложения, то можно записать равенство: S 1 (P*) + S 2 (P*) + … + S 100 (P*) = D(P*), где S i (Р*) – предложение i-той фирмы при цене Р*. Числовой пример 4.3. Рынок состоит из 300 типичных фирм, рыночный спрос: D(P) = 60 – P. Каждая фирма имеет краткосрочную функцию издержек STC = 0,1 + 150Q 2 . А) Найдем краткосрочное рыночное равновесие. Б) Определим, будут ли фирмы иметь положительную экономическую прибыль в состоянии рыночного равновесия? Решение. А) Найдем средние переменные и предельные издержки фирмы. МС(Q) = 300Q; AVC(Q) = 150Q. Очевидно, что минимальное значение AVC равно нулю при Q = 0. MC(Q) и AVC(Q) пересекаются при Q = 0. Следовательно, типичная фирма будет производить при любой положительной цене. Индивидуальная функция предложения может быть найдена из P уравнения: MC(Q) = P или 300Q = P ⇒ Q = , P≥ 0. 300 Рыночное предложение S(P) = 300Q = P. Рыночная равновесная цена должна обеспечить равенство спроса и предложения, следовательно, должно выполняться D(P) = S(P) или 60 – Р = Р ⇒ Р* = 30. Соответственно, S(P*) = 30, D(P*) = 30. 30 P Выпуск отдельной фирмы составляет Q = = 0,1. = 300 300

99

5. Рынок чистой монополии Б) Для вычисления экономической прибыли используем формулу π(Q) = TR(Q) – TC(Q) = P·Q – 0,1 - 150·Q 2 = 30·0,1 – 0,1 - 150·(0,1) 2 = 3 – 0,1 – 1,5 = 1,4. Заметим, что тот же результат можно получить, если найдем ATC(Q) и определим π(Q) по формуле: π(Q) = P·Q – ATC(Q)·Q = Q(P – ATC(Q)) . 0,1 ATC(Q) = + 150Q, следовательно, ATC(0,1) = 16. Q Очевидно, что при Р = 30 > ATC каждая фирма будет получать экономическую прибыль, равную 1,4. На рис. 4.8 дана графическая иллюстрация решения. Р P 60 MC(Q) = 300Q D S AVC(Q) = 150Q ATC P* = 30

P* = 30 16 π(0,1) = 1,4 D(P*) = 30

60 Q

0,1 Рис. 4.8.

Q

4.5. Рыночное равновесие в долгосрочном периоде.

Выпуск в долгосрочном периоде. Главное различие между максимизирующей прибыль фирмой в краткосрочном и долгосрочном периодах заключается в следующем: • В долгосрочном периоде фирма принимает решение о выпуске при предположении, что она может устанавливать количества всех затрачиваемых факторов производства, включая размер предприятия. Следовательно, фирма определяет предельные издержки, исходя из долгосрочной функции издержек. • В краткосрочном периоде, напротив, фирма принимает решение о выпуске при условии, что, по крайней мере, один фактор, например, размер предприятия, является фиксированным. Следовательно, фирма определяет предельные издержки, исходя из краткосрочной функции издержек, включающей постоянные затраты. Эти положения иллюстрируются на рис. 4.9. SAC 2 SMC 2 Р SMC 1 LMC LAC SAC 1 Р* SAC 1 (Q 1 )

Q2

Q1

Q

Рис. 4.9. 100

5. Рынок чистой монополии При рыночной цене Р = Р* в данный момент времени при издержках SMC 1 и SAC 1 фирма, максимизирующая прибыль, выберет объем производства (продаж), равный Q 1 (в соответствии с универсальным правилом рыночного равновесия: Р* = SMC 1 (Q)). При количестве Q 1 и цене Р* фирма получает положительную экономическую прибыль, т.к. Р* > SAC 1 ( Q 1 ). Если фирма полагает, что в обозримом будущем рыночная цена останется на том же уровне, то в долгосрочном периоде она сможет увеличить прибыль, производя больше продукции. В долгосрочном периоде фирме следует выбрать размер выпуска Q 2 , при котором Р* = LМС(Q 2 ). Чтобы произвести эту продукцию, фирма выберет такой размер предприятия, который обеспечит этот выпуск с минимальными издержками в долгосрочном периоде. На рис. 4.9 показано, что для предприятия такого размера кривые средних и предельных издержек соответственно SAC 2 и SMC 2 .

Долгосрочная кривая предложения фирмы В долгосрочном периоде при цене ниже минимального значения долгосрочных средних издержек фирма получит отрицательную экономическую прибыль, даже если она использует все возможности для минимизации общих издержек. Поэтому для долгосрочного периода справедливы утверждения: • Для Р ≥ min ATC фирма произведет объем продукции, для которого выполняется равенство Р = МС(Q). Долгосрочная кривая предельных издержек, таким образом, определяет для фирмы объем предложения, максимизирующий прибыль, при цене, превышающей минимальное значение средних издержек. • Для цены ниже минимального значения средних издержек фирма выходит из отрасли. Следовательно, если Р < min ATC, то Q = 0. Долгосрочная кривая предложения фирмы показана на рис. 4.10. Р

LMC

P2 LATC P1

PS

0

Q1 Q 2 Рис. 4.10.

Q

Долгосрочная кривая предложения фирмы совпадает с восходящим участком кривой долгосрочных предельных издержек, начиная от точки пересечения кривой предельных издержек с кривой средних издержек, т.е. для Р ≥ P S . При P S < min ATC Q = 0, линия предложения является вертикальным отрезком, совпадающим с вертикальной осью ОР. 101

5. Рынок чистой монополии Долгосрочное равновесие на рынке совершенной конкуренции. В отличие от краткосрочного периода, когда число фирм на рынке было фиксировано, в долгосрочном периоде новые фирмы могут входить на рынок, если при данной цене они смогут получить экономическую прибыль. Положительная экономическая прибыль является стимулом для вхождения новых фирм. Аналогично отрицательная экономическая прибыль «заставляет» существующие фирмы покинуть рынок. Если обозначить Р* - рыночная цена, n* - число фирм, Q* - объем продаж отдельной фирмой, то в долгосрочном периоде должны выполняться следующие три условия: 1. При заданной рыночной цене Р* каждая действующая фирма устанавливает объем выпуска, при котором ее прибыль максимальна, и выбирает размер предприятия, при котором издержки производства этого объема продукции являются минимальными. Это условие означает, что выполняется равенство Р* = МС(Q*). 2. Экономическая прибыль равна нулю. При заданной цене Р* нет стимула входить на рынок и нет стимула покидать рынок. Это условие означает, что выполняется равенство: Р* = ATC(Q*). 3. Рыночный спрос равен рыночному предложению при заданной рыночной цене Р* и заданном числе фирм n*. Это условие означает, что выполняется равенство: D( P*) D(P*) = S(P*) или n* = . Q* Поскольку рыночная цена одновременно удовлетворяет условиям 1 и 2, то каждая фирма в состоянии долгосрочного равновесия произведет объем продукции, соответствующий минимальным средним издержкам, т.е. Q* можно найти из условия MC(Q*) = ATC(Q*) либо можно найти минимальное значение средних издержек, приравняв производную средних издержек к нулю. Числовой пример 4.4. Типичная фирма на рыке имеет функцию издержек TC(Q) = 40Q - Q 2 + 0,01Q 3 . Функция спроса имеет вид D(P) = 25000 – 1000P. Найдем параметры долгосрочного равновесия (цену, выпуск одной фирмы, число фирм на рынке). Решение. Найдем предельные и средние издержки типичной фирмы: dTC (Q) MC(Q) = = 40 – 2Q + 0,03Q 2 dQ TC (Q) ATC(Q) = = 40 – Q + 0,01Q 2 . Q В состоянии долгосрочного равновесия выполняются условия: Р* = MC(Q*) = ATC(Q*), следовательно, необходимо найти выпуск, при котором средние издержки производства будут минимальны. Решим уравнение *) 40 – 2Q + 0,03Q 2 = 40 – Q + 0,01Q 2 0,02Q 2 = Q, отсюда Q = 50.

*)

Значение Q* можно было получить, найдя производную

dAC (Q) и приравняв ее к нулю, т.е. выполнив dQ

условие минимизации средних издержек.

102

5. Рынок чистой монополии При Q* = 50 P* = MC(Q*) = 40 - 2·50 + 0,03·(50) 2 = 15. *) Заметьте, что Р* = min ATC = ATC(Q*), поэтому в долгосрочном периоде фирмы получают нулевую экономическую прибыль, производя каждая 50 единиц продукции. Найдем величину рыночного спроса: D(P*) = 25000 - 1000·50 = 10000. Следовательно, Q D 10000 = 10000. Поскольку Q* = 50, то n* = = 200. 50 Итак, долгосрочная равновесная цена равна 15, выпуск одной фирмы равен 50, рыночный спрос равен 10000, что потребует нахождения на рынке 200 фирм. Как уже говорилось выше, в долгосрочном периоде все издержки фирмы являются переменными, т.е. при Q = 0 TC(Q) = 0. Следует, однако, иметь в виду, что иногда требуется найти долгосрочное равновесие на рынке совершенной конкуренции, когда структура издержек в долгосрочном периоде аналогична структуре издержек в краткосрочном периоде. Какими бы ни были издержки фирмы, долгосрочное равновесие должно удовлетворять рассмотренным выше условиям. Числовой пример 4.5. На рынке совершенной конкуренции каждая фирма имеет функцию издержек TC(q) = 16 + q 2 . Функция рыночного спроса Q D = 24 – P. Найдем функцию предложения фирмы, равновесную цену, выпуск каждой фирмы, рыночный выпуск и число фирм при долгосрочном равновесии. Решение. Для определения равновесной цены необходимо найти функцию рыночного предложения. Вначале найдем функцию предложения отдельной фирмы, используя условие максимизации прибыли: Р = МС и равенство экономической прибыли нулю, т.е. Р = min ATC. Получаем: Р = 2q, отсюда q = P/2. В долгосрочном периоде равновесие 16 устанавливается при MC(q) = ATC(q), отсюда 2q = + q ⇒ q 0 = 4. q Поскольку МС(q 0 ) = 8, то равновесная рыночная цена в долгосрочном периоде равна Р 0 = 8. Найдем рыночный спрос Q D (8) = 24 – 8 = 16. Следовательно, в состоянии равновесия рыночное предложение должно быть равно 16, 16 тогда число фирм n = = 4. Итак, функция предложения фирмы в долгосрочном q0 периоде имеет вид

q S : q = P/2, P ≥ 8 q = 0, P < 8 Рыночная равновесная цена Р 0 = 8, равновесный объем производства отдельной фирмой равен q 0 = 4, рыночный спрос равен 16, соответственно число фирм на рынке равно n = 4. Рис. 4.11 дает графическую иллюстрацию решения этой задачи.

*)

То же значение Р* можно было получить, подставив значение Q* в функцию средних издержек.

103

5. Рынок чистой монополии

Р

Р MC = 2q 24 ATC AVC = q

n = 16/4 = 4 D(P)

PS

8

4

q

D(8) = 16

24

Q

Рис. 4.11. 4.6. Предложение отрасли в долгосрочном периоде

В долгосрочном периоде кривая рыночного предложения не может быть получена аналогично краткосрочному периоду (т.е. путем горизонтального суммирования краткосрочных кривых предложения отдельных фирм). Существует 2 фактора, влияющих на долгосрочные изменения в выпуске: (1) существующие фирмы могут расширить или сократить выпуск; (2) новые фирмы могут войти на рынок или действующие фирмы могут уйти с рынка. Кроме того, при горизонтальном суммировании в краткосрочном периоде предполагалось, что изменения в выпуске не влияют на цены ресурсов, т.е. цены ресурсов не изменяются. Очевидно, что в долгосрочном периоде это допущение может нарушаться. При построении кривой долгосрочного отраслевого предложения рассматривают 3 типа отраслей – отрасли с постоянными издержками, отрасли с возрастающими издержками и отрасли с убывающими издержками. В отраслях с постоянными издержками расширение выпуска в результате вхождения новых фирм не влияет на цены используемых факторов производства, как и сокращение выпуска при выходе фирм с рынка. В результате кривые издержек производителей не сдвигаются. Обратите внимание на то, что понятие «отрасли с постоянными издержками» - это не то же самое, что «постоянная отдача от масштаба». При наличии постоянной отдачи от масштаба долгосрочная функция средних издержек фирмы является горизонтальной линией. Однако отрасль может характеризироваться постоянными издержками, хотя фирмы могут не иметь постоянной отдачи от масштаба. Следовательно, фирмы в отрасли могут иметь постоянную отдачу от масштаба, но в отрасли в целом не будет постоянных издержек. В отраслях с постоянными издержками долгосрочное рыночное предложение есть горизонтальная линия, как показано на рис. 4.12.

104

5. Рынок чистой монополии Р

Р SAC SMC

SS 0

эк. прибыль

LAC

SS 1 P1 P0

P1 P0

E 0/ E0

E1

LS

D1 D0 / 0

q0 q (а) Типичная фирма

/ 0

q

Q 0 Q Q1 (б) Рынок

Q

Рис.4.12. Если расширение производства приводит к росту цен на факторы производства, то отрасль будет характеризоваться возрастающими издержками. Обычно эти отрасли используют для выпуска продукции «особые», ограниченные ресурсы. В этих отраслях долгосрочное рыночное предложение характеризуется восходящей линией, как показано на рис. 4.13. Р

Р SMC 0 SS 0

P

/ 0

P AC 0

P1 P0

/ 0

P1 P0

E

SS 1

/ 0

LS E1

E0

D1 D0 / 0

q 0 q1 q (а) Типичная фирма

q

/ 0

Q 0 Q Q1 (б) Рынок

Q

Рис.4.13. В некоторых случаях увеличение отраслевого выпуска может привести к уменьшению цен на факторы производства. В отраслях с убывающими издержками кривые средних и предельных издержек смещаются вниз не потому, что действует эффект масштаба, а из-за снижения цен на факторы производства, которые используются фирмами. В таких отраслях долгосрочная линия предложения имеет отрицательный наклон. Если рыночный спрос возрастает, то равновесный объем продаж увеличивается, но рыночная равновесная цена падает, как показано на рис. 4.14.

105

5. Рынок чистой монополии Р D0

P0

D1

E0

P1 E1 LS D0 Q0

Q1 Рис. 4.14.

Q

Числовой пример 4.6. На рынке совершенной конкуренции находятся 5 потребителей, функция спроса каждого q iD = 4 – P. Функция издержек любой фирмы на рынке TC(q) = 1 + q 2 . А) Найдем число фирм, цену и выпуск каждой фирмы при долгосрочном равновесии. Б) Допустим, что на рынок, находящийся в состоянии долгосрочного равновесия, вошли еще два потребителя с функциями спроса q Dj = 15 – 5P. Найдем цену и объем продаж в

краткосрочном периоде. Найдем долгосрочное равновесие, если это отрасль с постоянными издержками. Определим, сколько фирм войдет на рынок в долгосрочном периоде? Решение. А) Найдем индивидуальную функцию предложения фирмы в долгосрочном периоде. В долгосрочном периоде должно выполняться равенство Р = МС(q) при Р ≥ min ATC(q). Следовательно, MC = 2q = P ⇒ q = P/2. Найдем значение Р, при котором фирмы находятся в равновесии. Для этого найдем минимальные средние издержки. Поскольку dAC (Q) 1 ATC(q) = + q, то найдя = 0, получим, что при q 0 = 1 значение ATC(q) q dQ достигает минимума, причем ATC(1) = 2. Этот же результат мы получим, если приравняем значения предельных и средних издержек, а именно, MC(q) = ATC(q) или 1 2q = + q ⇒ q 0 = 1. q При q = 1 ATC(q) = MC(q) = 2. Следовательно, при P 0 = 2 рынок находится в долгосрочном равновесии.

Просуммируем индивидуальные функции спроса для нахождения рыночного спроса: Q D = 5 q iD = 20 – 5Р. Найдем величину рыночного спроса при P 0 = 2: Q D (2) = 10. Таким образом, чтобы обеспечить рыночный спрос, равный 10, на рынке должно 10 10 = 10 фирм. Функция долгосрочного предложения имеет вид: находиться n = = q0 1 Q S = 10· P = 5P, P ≥ 2 2 , P<2 QS = 0 106

5. Рынок чистой монополии В краткосрочном периоде кривая предложения фирмы соответствует восходящему участку линии МС, начиная от минимума AVC. Поскольку AVC(q) = q, то AVC(q) = MC(q) при q = 0. Следовательно, краткосрочная кривая предложения фирмы имеет вид q = P при Р ≥ 0. 2 Б) Найдем рыночный спрос после вхождения еще 2-х потребителей. Q D = 20 – 5Р + 2 q Dj = 20 – 5Р + 30 – 10Р = 50 – 15Р. В краткосрочном периоде должна установиться цена, при которой Q D = Q S , т.е. 50 – 15Р = 5Р, отсюда P 1 = 2,5. Соответствующий объем рыночных продаж составит Q 1 = 5·2,5 = 12,5, выпуск одной фирмы q i = 1,25. Обратите внимание, что при P 1 = 2,5 фирмы, находящиеся на рынке, начнут получать положительную экономическую прибыль (π i = 2,5·1,25 – 1 –(1,25) 2 = 0,875), что явится стимулом для вхождения на рынок новых фирм. Для отрасли с постоянными издержками это означает, что в долгосрочном периоде равновесная цена будет равна P 0 = 2. Соответствующая величина спроса Q D (2) = 50 - 15·2 = 20 будет обеспечена объемом продаж Q S = 20. Поскольку при P 0 = 2 q 0 = 1, то общее число фирм составит теперь 20 = 20, следовательно, на рынок войдут 10 новых фирм. n/ = 1 Покажем эту ситуацию на графике: Р 4 D 1 : Q D = 20 – 5Р 10/3 2

E1

E2

LS D 2 : Q D = 50 – 15P

10

20

50

Q

Рис. 4.15. Числовой пример 4.7. На рынке совершенной конкуренции любая типичная фирма имеет краткосрочные средние издержки вида STC(Q) = 400 + 5Q + Q 2 . Рыночный спрос задан функцией D(P) = 262,5 - ½P. В данный момент каждая фирма получает нулевую экономическую прибыль. Определим, какова будет рыночная цена и сколько фирм будет находиться на рынке? Решение. Поскольку любая фирма, находящаяся на рынке, получает нулевую экономическую прибыль, то должно выполняться равенство P = min ATC(Q).

107

5. Рынок чистой монополии ATC(Q) =

400 + 5 + Q. Q

Кроме того, должно выполняться условие ATC(Q) = MC(Q) или

400 + 5 + Q = 5 + 2Q, Q

отсюда Q 0 = 20. Поскольку P 0 = МС(Q 0 ), то P 0 = 5 + 2·20 = 45. Легко проверить, что при рыночной цене равной 25, фирма произведет 20 единиц продукции и получит нулевую экономическую прибыль. 400 + 5 + 20 = 45 = P 0 . Найдем ATC(20) = 20 Тогда π = (P 0 - ATC(Q 0 ))· Q 0 = (45 – 45)· Q 0 = 0. 45 240 = 240; n = = 12. Найдем рыночный спрос при P 0 = 45: D(45) = 262,5 2 20 Графическая интерпретация решения показана на рис. 4.16. Р Р МС = 5 + 2Q ATC 45

45 AVC = 5 + Q

D(P)

5 20

Q

Фирма

240

Q

Рынок Рис. 4.16.

Числовой пример 4.8. На рынке совершенной конкуренции типичная фирма имеет долгосрочную функцию общих издержек вида: LTC(Q) = 40Q – 6Q 2 + 13 Q 3 . Функция рыночного спроса имеет вид: D(P) = 2200 – 100P. А) Найдем параметры долгосрочного равновесия в отрасли (рыночную цену, объем производства отдельной фирмы, число фирм на рынке). Б) Допустим, рыночный спрос изменился, так что D(P) = А – 100Р. Найдем значение А, при котором число фирм на рынке в состоянии долгосрочного равновесия удвоится по сравнению с первоначальным числом (при прочих неизменных условиях). Решение А) При долгосрочном равновесии все фирмы получают нулевую экономическую прибыль, следовательно, P = LATC, и каждая фирма выбирает объем продаж, при котором P = LMC, следовательно, должно выполняться условие LATC(Q) = LMC(Q) или 40 – 6Q + 13 Q 2 = 40 – 12Q + Q 2 . Отсюда, Q 0 = 9.

При Q 0 = 9 МС(Q 0 ) = Р = 40 - 12·9 + (9) 2 = 13. Следовательно, при цене P 0 = 13 и объеме Q 0 = 9 рынок будет находиться в состоянии долгосрочного равновесия. Поскольку D(13) = 2200 - 100·13 = 900, то число фирм на 900 = 100. рынке составит n = 9 108

5. Рынок чистой монополии Б) Если новое число фирм n / = 2n = 200, то рыночное предложение составит 1800 единиц, следовательно, D(P) = 1800 = A - 100·13, отсюда А = 3100. Обратите внимание, что данное решение основывается на предположении, что все прочие параметры рынка не изменились, т.е. увеличение числа фирм и общего выпуска не привело к росту цен на используемые факторы производства, т.е. кривые средних и предельных издержек не изменились. Поэтому в долгосрочном периоде рыночная равновесная цена не изменилось, а долгосрочное предложение является бесконечно эластичным по цене (см. рис. 4.17). P

P LMC 31 LATC

D 1 (P): Q = 2200 – 100P D 2 (P): Q = 3100 – 100P

22 e1 13

E1

E2

13

4 6

9

q

900

1800 2200

3100 Q

Рис. 4.17. В заключение этого раздела рассмотрим еще один пример, в котором показана кратко- и долгосрочная реакция на рынке совершенной конкуренции при вмешательстве государства (введение налога). Числовой пример 4.9. В отрасли, состоящей из 1000 фирм, производится стандартный продукт. Общие издержки каждой фирмы имеют вид ТС = 200 + 5q + ½q 2 . Рыночный спрос задан в виде Q D = 45000 – 1000Р. А) Найдем параметры краткосрочного равновесия в отрасли и функцию рыночного предложения в краткосрочном периоде. Покажем решение на графике. Б) Определим, находится ли данная отрасль в состоянии долгосрочного равновесия. В) Допустим, государство вводит налог на производителей в размере 5 ден.ед. с единицы проданной продукции. 1. Покажем краткосрочную реакцию отдельной фирмы и отрасли на введение налога. 2. Найдем рыночную цену, отраслевой выпуск, выпуск и прибыль отдельной фирмы. 3. Определим, находится ли теперь отрасль в состоянии долгосрочного равновесия. Каковы будут параметры долгосрочного равновесия фирмы? Изменится ли количество фирм в отрасли? Решение. А) Найдем предельные издержки типичной фирмы MC(q) = 5 + q. Поскольку 5q + 1 q 2 TVC 2 AVC = = 5 + q , то МС(q) = AVC(q) = 5 при q = 0. = 2 q q

Следовательно, в краткосрочном периоде предложение отдельной фирмы имеет вид: 5 + q = P или q S = P – 5, Р ≥ 5. Поскольку в отрасли 1000 фирм, то Q S = 1000 q S = 1000P – 5000, P≥ 5.

109

5. Рынок чистой монополии Для равновесия на рынке должно выполняться равенство Q D = Q S , т.е. 45000 – 1000Р = 1000Р – 5000, отсюда Р 0 = 25, Q 0 = 45000 – 25000 = 20000, следовательно Q0 q0 = = 20. 1000 200 + 5 + ½·20 = 25. 20 Поскольку ATC(q 0 ) = Р 0 = 25, то данная отрасль находится в состоянии долгосрочного равновесия, экономическая прибыль каждой фирмы при данном выпуске и цене равна нулю, поэтому нет стимулов действующим фирмам покидать рынок или новым фирмам входить на него. Эта ситуация показана на рис. 4.18. Р Р МС = 5 + q 45 D: Q D = 45000 – 1000P 200 q ATC = +5+ 2 q

Б) Найдем ATC(q 0 ): ATC(20) =

AVC = 5 + q P 0 = 25

e0

2 P 0 = 25

S: Q S = 1000P - 5000 E0

5 q 0 = 20

q фирма

Q 0 = 20000 рынок

45000 Q

Рис. 4.18. В) Введение налога увеличивает издержки каждой фирмы, соответственно линия отраслевого предложения сдвигается влево-вверх на величину налога. Для нахождения параметров нового краткосрочного равновесия можно применить два метода решения: 1-ый метод. Найдем новую функцию издержек типичной фирмы, затем функцию индивидуального предложения и рыночное предложение в краткосрочном периоде. ТС 1 = ТС + 5q = 200 + 10q + ½·q 2 MC 1 = 10 + q AVC 1 = 10 + q 2 200 + 10 + q ATC 1 = 2 q MC 1 = P ⇒ 10 + q = P, q S = P – 10, P ≥ 10. Поскольку в краткосрочном периоде число фирм не меняется, то новая функция рыночного предложения имеет вид: Q S / = 1000q S / = 1000P – 10000, P ≥ 10. Отсюда, в состоянии краткосрочного равновесия Q S / = Q D или 1000Р – 10000 = 45000 – 1000Р, Р 1 = 27,5.

110

5. Рынок чистой монополии Заметим, что это рыночная цена для потребителей, поскольку производители платят налог. Поэтому Р D = Р 1 = 27,5; Р S = Р D - 5 = 22,5. Q 1 = 45000 - 1000·27,5 = 17500 Q1 = 17,5. q1 = 1000 Заметим, что минимальное значение АТС 1 достигается при q = 20 и равно теперь 30, что выше значения цены, которую фактически получают производители в результате введения налога. Следовательно, у фирм возникнут убытки: π(q 1 ) = q 1 ·P D - TC 1 (q 1 ) = 17,5·27,5 – (200 + 10·17,5 + ½·(17,5) 2 ) = 481,25 – 528,125 = = - 46,875. В долгосрочном периоде фирмы начнут уходить из отрасли, отраслевое предложение сократится, цена увеличится. Для отдельной фирмы долгосрочное равновесие наступит при Р = 30 и q = 20, т.к. АТС 1 (20) = 30 и экономическая прибыль будет равна нулю. 2-ой метод. Этот метод аналогичен рассмотренному в главе 1 для нахождения параметров рыночного равновесия при введении налогов. Поскольку налог вводится на производителей, то Р S = Р D - 5, при этом должны выполняться условия: 45000 – 1000Р D = 1000Р S - 5000 РS = РD - 5 Отсюда получаем Р D = 27,5; Р S = 22,5; Q 1 = 17500. Q1 = 17,5. 1000 Это же значение можно было получить из уравнения функции предложения отдельной фирмы: q S = Р – 10 = 27,5 – 10 = 17,5. Графически решение при введении налога представлено на рис. 4.19. Р Р

Т.к. число фирм не меняется в краткосрочном периоде, то q 1 =

45 MC 1 = 10 + q ATC

S / : Q S = 1000P - 10000

1

S: Q S = 1000P - 5000

30 МС = 5 + q 27,5 25

ATC

E 27,5 25 22,5

1

E

0

10 5 17,5 20 фирма

q

17500 20000 рынок

45000

Q

Рис. 4.19. 111

5. Рынок чистой монополии 4.7. Взаимосвязь критерия максимизации прибыли и критерия минимизации издержек производства

В данной теме мы рассмотрели поведение фирмы, максимизирующей прибыль при условии, что рыночная цена продукции задана. Покажем, как этот анализ связан с теорией производства, в которой фирма минимизирует общие издержки, необходимые для выпуска заданного объема продукции. Другими словами, покажем взаимосвязь критерия максимизации прибыли и критерия минимизации издержек, если рыночная цена продукции задана. А именно, докажем, что фирма, максимизирующая прибыль, с необходимостью минимизирует издержки производства. Допустим, фирма использует в производстве два ресурса – труд (L) и капитал (К) и задана ее производственная функция Q = f(L, K). Пусть Р – цена продукции, цены труда и капитала соответственно w и r. Фирма определяет объемы используемых ресурсов, чтобы выпуск продукции в соответствии с ее производственной функцией обеспечивал максимум прибыли: max π (L, K) = P·f(L, K) - w·L - r·K. L, K

Обратите внимание, что произведение P·f(L, K) равно общей выручке, сумма (w·L + r·K) равна общим издержкам. Прибыль является функцией двух переменных – L и К, поэтому ее максимизация требует выполнения двух условий: MPL ∂f ∂π = Р· -w=0 ⇒ P= ∂L ∂L w MP ∂f ∂π K = P· -r=0 ⇒ P= r ∂K ∂K Таким образом, если фирма максимизирует прибыль, то должны выполняться MPK MPL MPL w = или = . Данное равенство, как было показано в главе 3, условия w r MPK r выражает условие минимизации издержек. Таким образом, из критерия максимизации прибыли вытекает критерий минимизации издержек производства, что и требовалось доказать. Числовой пример 4.10. Технология производства фирмы, продающей продукцию на рынке совершенной конкуренции, представлена производственной функцией Q = 3 LK . Определите функцию предложения фирмы в долгосрочном периоде, если цена труда Р L = 1, цена капитала Р K = 4. Решение. Критерий максимизации прибыли требует выполнения условия минимизации издержек, MPL P = L . следовательно, должно выполняться условие MRTS LK = MPK PK K Для данной производственной функции MRTS LK = . L 1 K Отсюда, = ⇒ L = 4K. 4 L В долгосрочном периоде данное уравнение характеризует траекторию роста фирмы. Как было показано в главе 3, зная способы производства продукции, при которых издержки производства заданного выпуска продукции минимальны, можно найти функцию общих издержек производства. В нашем примере должны выполняться условия:

112

5. Рынок чистой монополии Q=

3

LK

L = 4K

⇒ Q = LK 3

L = 4K

⇒

K=

Q3 2

L = 2 Q3 3

Следовательно, TC(Q) = 1·L + 4·K = 2 Q + 4

Q3

= 4 Q3 .

2 Обозначим Р – цену продукции на рынке совершенной конкуренции. 3 dTC = 4· · Q = 6 Q . Найдем предельные издержки фирмы МС(Q) = dQ 2 Поскольку в долгосрочном периоде функция предложения фирмы совпадает с возрастающим участком функции предельных издержек, начиная от точки минимума долгосрочных средних издержек, то найдем минимальное значение АТС(Q). TC (Q) ATC(Q) = =4 Q. Q Минимальное значение ATC(Q) равно, очевидно, нулю при Q = 0. Следовательно, функцию предложения найдем из уравнения Р = МС(Q) = 6 Q , отсюда Q=

P2 , P≥ 0. 36

113

5. Рынок чистой монополии Определение объема производства и цены в условиях чистой монополии. Монопольная власть. 5.1. Общий, средний, предельный доход монополиста. Взаимосвязь предельного дохода и ценовой эластичности спроса.

Рынок чистой монополии состоит из единственного продавца продукции, у которой нет или практически нет близких заменителей, поэтому, в отличие от рынка совершенной конкуренции, фирма, работающая на монопольном рынке, удовлетворяет весь имеющийся спрос на этом рынке, характеризующийся очень низкой эластичностью. Рынок чистой монополии характеризуется также очень высокими барьерами, которые затрудняют вхождение на этот рынок других фирм. Высокие барьеры позволяют монополисту удерживать положительную экономическую прибыль, в то время как на рынке совершенной конкуренции свободный вход снижает экономическую прибыль до нуля. Существуют различные виды барьеров: эффективность крупного производства за счет положительного эффекта масштаба, барьеры в виде патентов и лицензий, владения сырьевыми ресурсами и т.п. Все эти факторы обеспечивают наличие рыночной власти у отдельной фирмы. В отличие от рынка совершенной конкуренции отдельная фирма сама устанавливает рыночную цену, регулируя объем продаж. Если предположить, что зависимость величины спроса от цены является линейной, то можно записать функцию спроса в общем виде: P(Q) = а – bQ. Тогда, общий доход, который получит фирма-монополист от продажи Q единиц продукции, будет равен: TR(Q) = PQ = (a-bQ)Q = aQ - bQ 2 . Средний доход фирмы-монополиста совпадает с функцией спроса (как и у производителя на рынке совершенной конкуренции): TR (Q) PQ = P(Q). AR(Q) = = Q Q dTR (Q) Предельный доход равен: MR(Q) = = a – 2bQ. dQ Таким образом, мы видим, что, в случае линейной функции спроса, функция предельного дохода имеет наклон в 2 раза больше, чем сама функция спроса. Р

P(Q) = AR(Q) MR(Q) Q Рис. 5.1. Функция спроса и функция предельного дохода фирмы-монополиста Почему же предельный доход теперь не совпадает с функцией спроса? На рынке совершенной конкуренции, при продаже дополнительной единицы товара, мы получали за нее такую же цену, что и за все предыдущие проданные единицы товара. На рынке монополии осуществить продажу дополнительных единиц товара можно только в случае понижения цены. Распишем более подробно функцию предельного дохода:

114

5. Рынок чистой монополии MR(Q) =

dTR (Q) d ( P (Q)Q) dP(Q) dQ dP(Q) P= = = Q+ Q + P, (*) то есть dQ dQ dQ dQ dQ

мы получили, что предельный доход равен цене продукции Р плюс некоторая величина dP(Q) Q. Поскольку между величиной спроса и ценой существует обратная зависимость, dQ dP(Q) - величина отрицательная. Таким образом, мы получаем, что значение предельного dQ дохода будет меньше цены продукции для любого положительного объема продаж. dP(Q) На рынке совершенной конкуренции = 0, поэтому функция предельного дохода dQ совпадает с функцией спроса. Разделим и домножим на Р получившееся выражение для предельного дохода (*) dP(Q) dP(Q) Q 1 P MR(Q) = ·Q· + P = · ·Р + Р = P ·Р + Р. dQ P dQ P ED Таким образом, предельный доход фирмы-монополиста зависит от эластичности спроса 1 по цене данной продукции: MR(Q) = P Р + Р. ED Рассмотрим числовой пример. Числовой пример 5.1. Монополист имеет возможность продать 10 единиц товара по цене Р = 40 ден. ед.; если он захочет продать 15 единиц товара, то сможет сделать это только по цене Р = 35 ден. ед. При предположении о линейности функции спроса, какое количество товара продаст монополист на данном рынке, если он стремится к максимизации своего совокупного дохода? Решение. Построим функцию спроса на данном рынке: 40 = a – 10b 35 = a – 15b b=1 a = 50

P = 50 – Q. Тогда MR = 50 – 2Q. Максимум TR(Q) достигается при MR(Q) = 0 или 50 – 2Q = 0 ⇒ Q = 25, следовательно Р = 25. Тогда TR(25) = 25·25 = 625. Это максимальное значение общего дохода, который монополист может получить, продав 25 единиц товара. Построим функции общего и предельного дохода, а также функцию спроса.

115

5. Рынок чистой монополии Р 50

эластичный участок функции спроса -∞ < E PD < - 1

40 35 E PD = - 1

25 неэластичный участок функции спроса - 1 < E PD < 0 10

15

25

MR(Q) = 50 – 2Q

50

Q

TR 625 TR = PQ = 50Q - Q 2

400

10

15

25

40

50

Q

Рис. 5.2. Связь между средним, предельным и общим доходом фирмы-монополиста: при MR(Q) = 0 TR(Q) достигает максимума, при этом E PD = - 1 Своего максимума функция общего дохода достигнет при объеме выпуска Q = 25 единиц, после чего значение предельного дохода будет отрицательным и общий доход будет снижаться. 1 Вспомним, что MR(Q) = P Р + Р. ED Когда E PD = - 1, MR = 0; это точка максимума общего дохода. Когда - 1 < E PD < 0, мы находимся на неэластичном участке функции спроса и увеличить доход можно только при сокращении выпуска продукции. Когда -∞ < E PD < - 1, мы находимся на эластичном участке функции спроса; общий доход при росте Q увеличивается, предельный доход больше нуля. Монополист всегда будет стремиться выбрать эластичный участок функции спроса для нахождения оптимального объема продаж.

116

5. Рынок чистой монополии 5.2. Равновесие на рынке чистой монополии в краткосрочном периоде.

Теперь посмотрим, как фирма-монополист определяет объем своего выпуска и цену на продукцию. Рассмотрим сначала краткосрочный период Как и для рынка совершенной конкуренции мы предполагаем, что количественная цель фирмы – это получение максимальной экономической прибыли. Вспомним универсальное правило рыночного равновесия: MR = MC. Р Р π <0 π >0

MC(Q) MC(Q)

AC(Q)

P*

P* AC(Q) E

E

MR(Q) Q*

P(Q)

MR (Q) Q

Q*

P(Q) Q

(a) (б) Рис. 5.3. Равновесие фирмы-монополиста в краткосрочном периоде Точка Е дает максимизирующий прибыль объем выпуска Q*. Чтобы определить цену, по которой продукция будет продаваться на рынке, мы подставляем Q* в функцию спроса P(Q). Ведь именно функция спроса ставит в соответствие количество продаваемой продукции и цену этой продукции. На наших графиках это цена Р*. Но наличие на рынке монополии не гарантирует фирме-монополисту получение экономической прибыли. Величина средних издержек AC(Q) может оказаться выше величины среднего дохода (функции спроса) и тогда фирма-монополист окажется в ситуации экономических убытков (рис. 5.3. (б)). Однако этот случай не типичен для рынка чистой монополии. Рис. 5.3 (а) показывает случай типичного равновесия на рынке чистой монополии, экономическая прибыль равна площади затененного прямоугольника. Воспользуемся линейными зависимостями, чтобы отметить важнейшие характеристики равновесия на рынке чистой монополии (рис. 5.4). 1.

В состоянии равновесия цена на монополистическом рынке превышает предельные издержки (напомним, что на рынке совершенной конкуренции Р = МС).

2.

В отличие от рынка совершенной конкуренции экономическая прибыль на рынке чистой монополии в долгосрочном периоде положительная, поскольку на рынке чистой монополии существуют непреодолимые барьеры на вход других фирм. На рис. 5.4 экономическая прибыль равна площади NP M AF (общие издержки = площади прямоугольника ONFQ M ).

3.

Хотя цена превышает предельные издержки и фирма получает экономическую прибыль, на рынке чистой монополии также существует выгода потребителей. На рис. 5.4 это площадь треугольника DP M А. 117

5. Рынок чистой монополии Р D

выгода потребителей MC

PM

MC(Q M ) N

A

AC

E F D

0

QM

MR(Q)

Q

Рис. 5.4. Числовой пример 5.2. Заданы функция издержек монополиста: ТС = 5Q + 0,25Q 2 и функция спроса на продукцию фирмы-монополиста: Q = 155 – P. Найдем равновесную цену, объем производства и прибыль, которую получит фирмамонополист на данном рынке. Решение. Поскольку функция спроса является линейной (Р = 155 – Q), предельный доход фирмымонополиста будет иметь вид MR(Q) = 155 – 2Q.

Предельные издержки равны: MC(Q) = 5 + 0,5Q. Равенство предельного дохода и предельных издержек дает точку равновесия (объем производства, при котором монополист получит максимальную прибыль): MR = MC 155 – 2Q = 5 + 0,5Q Q* = 60. Определим цену, по которой фирма будет продавать продукцию на рынке: P(Q) = 155 – Q = 155 – 60 = 95. Проиллюстрируем числовой пример с помощью графика и покажем взаимосвязь функций предельного и среднего дохода, предельных издержек с функциями прибыли, общего дохода и общих издержек.

118

5. Рынок чистой монополии Р π = (AR – AC)Q = (95 – 20)60 = 4500 95 MC = 5 + 0,5Q

AC = 5 + 0,25Q E AC(60) = 20 P(Q) = 155 - Q 60

MR(Q) = 155 – 2Q 77,5

Q

P

TC(Q) = 5Q + 0,25Q 2

TR(Q) = PQ = 155Q - Q 2

4500 π(Q)

60

77,5

155

Q

Рис. 5.5 Значение прибыли можно найти, используя верхний график (площадь прямоугольника) или нижний график (значение функции). 5.3. Равновесие фирмы-монополиста в долгосрочном периоде. Производство на нескольких заводах.

Покажем равновесие фирмы-монополиста в долгосрочном периоде на графике (рис. 5.6). При анализе поведения фирмы на рынке чистой монополии следует иметь в виду, что максимизация прибыли «требует» от фирмы выбора таких способов производства продукции, при которых издержки производства являются минимальными. В долгосрочном периоде монополия будет стремиться использовать экономию от масштаба производства. Как и на рынке совершенной конкуренции в точке равновесия фирма минимизирует свои средние издержки, поскольку, хотя фирма-монополист сама устанавливает цену на рынке готовой продукции, выбор способа производства продукции с минимальными издержками определяет величину максимальной прибыли. 119

5. Рынок чистой монополии P LMC P* LAC

SMC SAC

MR P(Q) Q* Q Рис. 5.6. Равновесие монополии в долгосрочном периоде. Рассмотрим числовой пример. Числовой пример 5.3. Фирма-монополист использует в производстве продукции два ресурса - х 1 и х 2 . Технология производства задана в виде: у = х 11 / 3 ·х 22 / 3 . Цены ресурсов являются заданными, Р X 1 = 8, Р X 2 = 2. Рыночный спрос на продукцию монополиста имеет вид

Р=

24

. y Определим, какой объем производства и цена на рынке обеспечат максимальную прибыль данной фирме-монополисту?

Решение. Для применения универсального правила рыночного равновесия MR(y) = MC(y) найдем предельный доход и предельные издержки фирмы. 24 TR(y) = P·у = ·у = 24 y y 12 dTR MR(y) = = . dy y

Чтобы найти предельные издержки, нужно сначала определить функцию общих издержек. Для минимизации издержек должно выполняться условие: MPX 1 x 8 = 2 = = 4. MRTS X 1 X 2 = MPX 2 2 x1 2 Отсюда, х 2 = 8х 1 . Напомним, что это уравнение траектории роста фирмы. Выразим спрос на ресурсы через у. Поскольку у = х 11 / 3 ·х 22 / 3 = 8 2 / 3 ·х 1 , то х 1 = Следовательно, х

2

= 8·

y 8

2/3

y

8

2/3

.

= 8 1 / 3 ·у.

Таким образом, ТС = 8х 1 + 2х 2 = 8·

y 8

2/3

+ 2·8 1 / 3 ·у = 3·2·у = 6у.

Следовательно, МС(у) = 6. В данном примере производственная функция характеризуется постоянной отдачей от масштаба, следовательно, ее средние и предельные издержки должны быть постоянными, что мы и получили. Максимум прибыли требует выполнения 120

5. Рынок чистой монополии условия

12

= 6 ⇒ у M = 4, тогда из функции спроса получим Р M = 12. Найдем величину

y

прибыли: π(у M ) = 12·4 - 6·4 = 24. Р 12

π(4) = 24

6

МС = АТС = 6 D: P = 4

MR =

24

y

12

у

y Рис. 5.7.

Производство на нескольких заводах. Если монополист не использует всю экономию от масштаба производства, он может принять решение о производстве на двух или более заводах. При наличии двух заводов его функция прибыли будет иметь вид: π(Q) = TR - TC 1 ( Q 1 ) - TC 2 (Q 2 ) = = P(Q)· (Q 1 + Q 2 ) - TC 1 ( Q 1 ) - TC 2 (Q 2 ), где Q = Q 1 + Q 2 . Максимизируя функцию прибыли, получим: ∂π ∂TR dTC1 = =0 dQ1 ∂Q1 ∂Q1 ∂π ∂TR dTC 2 = =0 dQ2 ∂Q2 ∂Q2 Поскольку продукция производится на разных заводах, но реализуется на одном dTR ∂TR ∂TR рынке, то = = = MR(Q). dQ ∂Q1 ∂Q 2 Получаем условие максимизации прибыли: MR(Q) = MC 1 (Q 1 ) = MC 2 (Q 2 ), Q = Q 1 + Q 2 Решив данную систему уравнений, мы найдем объемы выпуска продукции на обоих заводах Q 1 и Q 2 .

121

5. Рынок чистой монополии P

P MC 1

MC 2 MC

MC 1

P*

MC 2

MR(Q*)

E

Q1

Q2

P(Q) MR(Q) Q* Q Q1 Q 2 Рис. 5.8. Производство на двух заводах

Q

Числовой пример 5.4. Функция спроса на продукцию фирмы определена как P(Q) = 400 – 4Q. Монополист осуществляет производство на двух заводах, общие издержки производства продукции на них имеют вид: TC 1 = 160 +4Q 1 + 3Q 12 , TC 2 = 160 + 6Q 22 . Найдем цену на продукцию фирмы-монополиста и прибыль, которую он получит. Решение. Запишем функции предельного дохода и предельных издержек: MR = 400 – 8Q MC 1 = 4 + 6Q 1 MC 2 = 12Q 2 Теперь воспользуемся формулой нахождения равновесия монополиста, производящего на двух заводах: MR = MC 1 = MC 2 ⇒ 400 – 8Q = 4 + 6Q 1 = 12Q 2 400 – 8(Q 1 + Q 2 ) = 4 + 6Q 1 = 12Q 2 400 – 8Q 1 - 8Q 2 = 4 + 6Q 1 400 – 8Q 1 - 8Q 2 = 12Q 2 Решив данную систему, получим значения оптимальных объемов выпуска на каждом из заводов: Q 1 = 21,8; Q 2 = 11,3 (рис. 5.9). Следовательно, совокупный выпуск фирмы-монополиста составит Q = Q 1 + Q 2 = 33,1 ед.

Р

Р MC 2 = 12Q

MC = 4Q + 8/3

2

267,6 MC 1 = 4 + 6Q

1

P(Q) 11,3 21,8

Q Рис. 5.9.

33,1

MR

Q 122

5. Рынок чистой монополии При выпуске 33,1 ед. продукции монополист установит цену Р(33,1) = 400 - 4·33,1 = 264,6 ден.ед. Значения общих издержек производства продукции составят: TC 1 = 160 +4Q 1 + 3Q 12 = 160 + 4·21,8 + 3·21,8 2 = 1672,92 TC 2 = 160 + 6Q 22 = 160 + 6·11,3 2 = 926,14 Общие издержки будут равны 1672,92 + 926,14 = 2599,06 ден.ед. Общие доход TR = P·Q = 264,6·33,1 = 8758,26 ден.ед. Прибыль, которую получит фирма-монополист, составит: π(Q) = 8758,26 – 2599,06 = 6159,2 ден.ед. Для наглядности решения найдем MC(Q), где Q = Q 1 + Q 2 . Выразим Q соответствующих функций предельных издержек: MC − 4 MC 3MC − 8 Q1= , Q 2 = . Тогда Q 1 + Q 2 = Q = . 6 12 12 12Q + 8 Отсюда: МС(Q) = = 4Q + 8/3. 3 Из равенства МС(Q) = MR(Q) найдем общий выпуск на 2-х заводах: 4Q + 8/3 = 400 – 8Q ⇒ Q = 33,1 (см. рис. 5.9).

1

и Q

2

из

5.3. Монопольное предложение.

В отличие от рынка совершенной конкуренции, кривая предельных издержек фирмы-монополиста не иллюстрирует функцию предложения фирмы. В случае увеличения спроса на продукцию, монополист не всегда увеличит количество предлагаемого им товара. Все зависит от эластичности рыночного спроса, точнее от того, как будет меняться эластичность при изменении спроса. P

MC

P2 P1 D2 D1 MR 2 MR 1 Q* Q Рис. 5.10. Отсутствие функции предложения у фирмы-монополиста. Как показано на рис. 5.10, при изменении спроса с D 1 до D 2 монополист не увеличит объем своего предложения, произойдет только увеличение цены с P 1 до P 2 . Мы видим, что одному объему выпуска (Q*) может соответствовать две цены. Аналогично двум различным объемам выпуска может соответствовать одна цена, как видно из рис. 5.11.

123

5. Рынок чистой монополии Р МС

P 1 =P

2

E E

2

1

D MR Q1Q

2

MR

2

D

2

1

Q

1

Рис. 5.11. Следовательно, между рыночной ценой и объемом продаж нельзя установить однозначное соответствие. Это и означает, что невозможно построить кривую предложения для фирмы-монополиста. 5.4. Монополия и степень рыночной власти.

Важнейшая характеристика рынков несовершенной конкуренции – наличие рыночной власти у фирм-производителей.

Измерение монопольной власти Обычно власть монополии на рынке измеряют с помощью двух показателей (индексов): 1. Индекс Лернера. 2. Индекс Херфиндаля-Хиршмана.

Индекс Лернера показывает относительное превышение монопольной цены над P − MC предельными издержками: L = , так как в точке оптимума МС = MR и P P 1 MR = P + P, то, преобразовав, мы получим L = - P . ED ED На рынке совершенной конкуренции, где Р = МС, индекс Лернера равен 0; его значение становится тем больше, чем меньше ценовая эластичность спроса.

Индекс Херфиндаля-Хиршмана иллюстрирует концентрацию фирм на данном рынке. n

HHI =

∑S i =1

2 i

, где S i - рыночная доля фирмы на рынке в процентах.

Если на рынке присутствует одна фирма, то значение индекса равно 10000. Рассмотрим небольшой числовой пример. 124

5. Рынок чистой монополии Числовой пример 5.5. Подсчитаем индекс HHI для двух случаев: 1. на рынке работает 10 фирм, каждая из которых занимает 10% рынка; 2. на рынке работает 10 фирм, одна фирма занимает 90% рынка, а оставшиеся 10% приходятся на 9 фирм (т.е. каждая из них занимает 1,11% рынка). Решение. Для первого случая: HHI = 10*10 2 = 1000. Для второго случая: HHI = 90 2 + 9*1,11 2 = 8111.

Сущность и виды ценовой дискриминации Рыночная власть фирмы проявляется в политике ценовой дискриминации. Ценовая дискриминация – это продажа товара одинакового качества, произведенного с равными затратами, разным покупателям по разным ценам (т.е. различие в продажной цене товара никак не связано с различиями в издержках его производства). Выделяют ценовую дискриминацию I, II и III степени.

Ценовая дискриминация I степени (совершенная ценовая дискриминация) возникает тогда, когда монополист имеет возможность назначить каждому покупателю цену, соответствующую его спросу. Р P1 Р2 Р3 РM

MC(Q)

PS MR(Q) Q1Q 2 Q 3

P(Q)

QM QS Рис. 5.12. Ценовая дискриминация I степени

Q

Если монополист получает возможность назначения для каждой единицы продаваемого товара/услуги своей цены, то его функция предельного дохода MR(Q) совпадет с функцией спроса на его продукцию P(Q) и вместо объема Q M на рынке будет продаваться объем Q S . Рассмотрим на числовом примере, как изменится прибыль фирмы-монополиста в случае проведения ценовой дискриминации I степени. Числовой пример 5.6 (для упрощения первоначальных расчетов возьмём условия числового примера 5.2). Заданы функция издержек монополиста: ТС = 5Q + 0,25Q 2 и функция спроса на продукцию фирмы-монополиста: Q = 155 – P. Найдем, как изменится ситуация на рынке, если фирма-монополист будет проводить ценовую дискриминацию первой степени.

125

5. Рынок чистой монополии Решение.

Р А 155 MC = 5 + 0,5Q 95 B 55

Е

C 30

D

AC = 5 + 0,25Q P(Q) = 155 - Q

О

60

Q S = 100 Рис. 5.13.

155

Q

В случае проведения ценовой дискриминации I степени объем продаж на рынке составит QS: МС = 5 + 0,5Q = MR PD = P(Q) = 155 – Q (т.Е) 1,5Q = 15 Q S = 100, P S = 55 Общий доход, который получит монополист – это площадь трапеции АЕQ S О, т.е. монополист забирает себе весь потребительский излишек (площадь треугольника АВЕ). TR = (155 + 55)·½·100 = 10500 TC = AC· Q S = 30·100 = 3000 Величина прибыли составит π = 7500 (площадь трапеции АЕDC). Осуществление ценовой дискриминации возможно, если потребители, приобретающие данный товар или услугу, не могут перепродать его или если издержки по перепродаже достаточно высоки. Совершенная ценовая дискриминация – это идеальный случай для монополиста и практически неосуществима в реальной экономике. На практике чаще всего встречается ценовая дискриминация II и III степени.

Ценовая дискриминация II степени – назначение различных цен в зависимости от объема покупки. Р А Р2 P1 В К Р3 С D N F E MC = AC P(Q) MR(Q) Q 0

Q2

Q1 Q3 Рис. 5.14. Ценовая дискриминация II степени. 126

5. Рынок чистой монополии Если монополист не осуществляет ценовую дискриминацию второй степени, он продает на рынке Q 1 единиц продукции по цене P 1 и его прибыль – это площадь прямоугольника P 1 КFN. Если ему удастся продать Q 2 единиц продукции по цене Р 2 , а (Q 1 - Q 2 ) единиц продукции по цене P 1 , то его прибыль увеличится на площадь прямоугольника Р 2 АВP 1 . Если же монополист сможет продать дополнительно (Q 3 - Q 1 ) единиц продукции по цене Р 3 , то его прибыль ещё больше увеличится (на площадь прямоугольника CDEF).

Ценовая дискриминация III степени - назначение различных цен для различных групп потребителей (сегментов рынка). Проведение подобного ценообразования возможно, если фирма может выделить на рынке различные группы потребителей, предъявляющих спрос с разной ценовой эластичностью. Рассмотрим проведение ценовой дискриминации третьей степени более подробно. Числовой пример 5.7. Фирма-монополист определила функции спроса для двух групп своих покупателей: Q 1 = 180 - 2P 1 Q 2 = 150 - Р 2 . Общие издержки фирмы имеют вид ТС = 60Q (Q = Q 1 + Q 2 ). Определим цены и объем продаж на каждом из сегментов рынка. Решение. Найдем функции предельного дохода для каждой из функций спроса: Q MR 1 = 90 - Q 1 P 1 = 90 - 1 2 Р 2 = 150 - Q 2 MR 2 = 150 - 2Q 2 Запишем условия равновесия на каждом сегменте:

MR 1 = МС MR 2 = МС

90 - Q 1 = 60 150 - 2Q 2 = 60

Q 1 = 30; P 1 = 90 – 30/2 = 75 Q 2 = 45; Р 2 = 150 – 45 = 105 Р

1-й сегмент

2-й сегмент 150 π2 π1

105 90

МС = АС = 60

P1 Q1

MR 1 90

Р2 Q 1 = 30 Рис. 5.15.

Q 2 = 45

MR 2

Q2

127

5. Рынок чистой монополии Совокупная прибыль монополиста составит: π = ТR 1 + TR 2 - ТС = 30·75 + 45·105 - 60·(30 + 45) = 2475. С первого сегмента монополист получит прибыль равную 450 ден.ед (площадь левого затененного прямоугольника), со второго сегмента – прибыль равную 2025 ден.ед. (площадь правого затененного прямоугольника). Найдем выигрыш покупателей при проведении ценовой дискриминации: на 1-м сегменте ВП = ½·30·(90 – 75) = 375; на 2-м сегменте ВП = ½·45·(150 – 105) = 1012,5. В целом выигрыш покупателей на данном рынке составит 1387,5 ден.ед. Теперь посмотрим, что произойдет на рынке, если государство запретит монополисту проводить ценовую дискриминацию. Мы должны сложить оба сегмента и построить совокупную функцию спроса. Мы видим, что она получится ломаной (потребители начинают предъявлять спрос на сегментах при разных ценах): - в ценовом диапазоне от 150 до 90 на рынке присутствует только второй потребительский сегмент, и функция общего спроса имеет вид: Р = 150 – Q; - в ценовом диапазоне от 90 до 0 на рынке присутствуют оба потребительских сегмента, и совокупная функция спроса будет иметь следующий вид: Q = Q 1 + Q 2 = 180 – 2P + 150P = 330 – Р Q Р = 110 - . 3 Запишем общий вид получившейся функции спроса и соответствующей ей функции предельного дохода: Р = 150 – Q, 150 ≥ P > 90, 0 ≥ Q ≥ 60 Q Р = 110 - , 90 ≥ P ≥ 0, 60 ≥ Q ≥ 165 3 MR = 150 – 2Q, 0 ≥ Q ≥ 60 2Q , 60 ≥ Q ≥ 165 MR = 110 3 Посмотрим, как будут выглядеть совокупные функции спроса и предельного дохода на графике (рис. 5.16). Р 150 Р = 150 - Q 105 90 85

P1

А – точка излома совокупной линии спроса

А Р2

Р = 110 60

E1

Q1

E2

60

Q 3

МС = АС = 60

Q2 Рис. 5.16. 128

5. Рынок чистой монополии Мы получили две точки пересечения MR и МС: E 1 и E 2 . MR = 150 – 2Q = MC = 60 E1: Q 1 = 45; P 1 = 105 2Q E2 : MR = 110 = MC = 60 3 Q 2 = 75; Р 2 = 85. Прибыль при выпуске Q 1 = 45 составляет 2025 ед.; при выпуске Q 2 = 75 прибыль равна 1875 ед. Какой же объем выпуска выберет монополист? Он выберет тот объем, который принесет ему бóльшую прибыль. В данном примере фирма продаст 45 единиц продукции по цене 105, т.е. только одной группе покупателей, с более высоким спросом. Выигрыш покупателей составит ВП = ½·45·45 = 1012,5 ден.ед., прибыль фирмы равна 2025 ден.ед., что меньше, чем при проведении ценовой дискриминации. Мы получили в данном примере, что при запрещении государством ценовой дискриминации может возникнуть ситуация, при которой фирма-монополист будет осуществлять свою деятельность только на одном сегменте рынка, спрос второй группы потребителей останется неудовлетворенным. Рассмотрим еще один пример, иллюстрирующий ценовую дискриминацию. Числовой пример 5.8. Продавая билеты на круизные рейсы на самолет, оператор знает функцию спроса на билеты Q = 400 – 2P и функцию общих затрат ТС = 12000 + 4Q. При некоторых дополнительных расходах перед каждым круизом, не зависящих от числа пассажиров (все другие затраты не меняются), оператор может разделить спрос пассажиров на билеты на 2 класса с функциями спроса Q 1 = 202 – 0,5P 1 ; Q 2 = 41 – 0,25Р 2 . Найдем, при каких максимальных дополнительных расходах на круиз оператор введет продажу билетов 2-х классов? Решение. 1. Найдем объем продаж и цену билетов, которые обеспечивают максимальную прибыль при отсутствии ценовой дискриминации. Р = 200 – Q/2, MR = 200 – Q. Т.к. МС = 4, то Q M можно найти из условия 200 – Q = 4 ⇒ Q M = 196, тогда Р = 102. Найдем π(Q M ): π(Q M ) = 102·196 – 12000 - 4·196 = 7208.

2. При проведении ценовой дискриминации издержки оператора составят ТС΄ = TC + F = 12000 + 4Q + F, где F – дополнительные постоянные затраты. При этом МС = 4. Найдем объем продаж на каждом рыночном сегменте: MR 1 = 404 - 4Q 1 = 4 ⇒ Q 1 = 100 Q 2 = 20 MR 2 = 164 - 8Q 2 = 4 Соответственно P 1 = 204; Р 2 = 84. Прибыль с учетом дополнительных затрат составит: π(Q 1 + Q 2 ) = 100·204 + 20·84 – 12000 – 4·120 – F = 9600 – F. Чтобы было выгодно осуществлять ценовую дискриминацию, должно выполняться условие π(Q 1 + Q 2 ) ≥ π(Q M ) или 9600 – F ≥ 7208. Отсюда F ≤ 2392. 129

5. Рынок чистой монополии Итак, дополнительные затраты, связанные с разделением пассажиров на 2 класса, не должны превышать 2392 ден.ед.

5.5.Государственное регулирование монополии. Ценообразование в условиях естественной монополии.

Общественные издержки монопольной власти. Наличие рыночной власти у фирмы-монополиста не означает, что монополист может назначить любую цену на свою продукцию: цена формируется исходя из желаний и возможностей потребителей, выраженных в функции спроса, но при этом монополист выбирает такую комбинацию (Q M , Р M ), чтобы максимизировать прибыль, т.е. монополист сам устанавливает рыночную цену, что и отличает этот рынок от рынка совершенной конкуренции. В результате по сравнению с рынком совершенной конкуренции на рынке чистой монополии объем продаж ниже, а цена выше (см. рис. 5.17). Это порождает существование общественных издержек монопольной власти. Р

Р M Р CK

N K

MC

E M : MR = MC E CK : P = MC

E CK

EM

Q CK > Q M

MR(Q) QM

Q CK

P(Q)

Р CK < Р

M

Q Рис. 5.17.

На рис. 5.17 показаны две точки: т. Е M формирует монопольный выпуск Q M и по функции спроса монопольную цену Р M ; т. Е CK показывает, какой бы был выпуск и цена, если бы рынок не был монополизирован. Треугольник Е M Е CK N – это общественные издержки наличия на рынке монопольной власти в результате недопроизводства продукции в объеме [Q CK - Q M ] и продажи ее по более высокой цене. Если бы продавалось количество продукции Q CK по цене Р CK , выигрыш потребителей увеличился бы на величину трапеции Р M NE CK P CK , а выигрыш производителя – на величину треугольника КЕ CK Е M . При продаже Q M единиц продукции по цене Р M прямоугольник Р M NKP CK переходит к производителю, а два треугольника NE CK K и KE CK E M формируют чистые потери общества. Величина потерь общества от наличия на рынке монополии зависит от эластичности спроса на продукцию монополиста:

130

5. Рынок чистой монополии Р

Р МС

МС

РM

Р

M

Р(Q) MR P(Q) MR QM а) случай эластичного спроса

QM б) случай неэластичного спроса

Рис. 5.18. Потери общества в случае неэластичного спроса могут быть весьма значительными, в то время как при эластичном спросе ситуация на рынке монополии может не сильно отличаться от равновесия на рынке совершенной конкуренции.

Введение «потолка» цены и налога. Высокие общественные издержки наличия монополии могут побудить государство применить методы регулирования монопольного ценообразования. Одним из распространенных методов такого регулирования является введение «потолка» цен. Рассмотрим подобный метод на числовом примере. Числовой пример 5.9. Спрос на продукцию монополиста описывается функцией Q D = 20 – 2P. Функция предельных издержек имеет вид: МС = 20Q – 2. Если государство установит «потолок» цены на продукцию монополиста вариант 1: на уровне Р = 7, вариант 2: на уровне Р = 4, то к каким последствиям это приведет? Решение. Перепишем функцию спроса в виде: Q Р = 10 - . 2 Функция предельного дохода будет иметь вид: MR = 10 – Q. Найдем равновесие для монополиста без вмешательства государства: MR = MC 10 – Q = 2Q – 2 QM = 4 Р M = 10 – 4/2 = 8

131

5. Рынок чистой монополии Р МС = 2Q - 2 8 7,6

ЕM Е CK E1 A

Р=7 6 E2

B

P=4 P = 10 – Q/2 Q

2

4 Q

1

6

12

Q

Рис. 5.19. Найдем координаты т. Е CK - точки равновесия рынка совершенной конкуренции. Должно выполняться условие МС = Р, тогда 2Q – 2 = 10 – 0,5Q, Q = 4,8 P = 7,6 Если государство решает ввести ограничение по цене на уровне Р = 7, то при этой цене (которая одновременно является для монополиста и предельным доходом) фирмамонополист будет производить объем Q 1 : MR 1 = 7 = MC = 2Q – 2, Q 1 = 4,5 и на рынке возникнет дефицит [E 1 A] равный 6 – 4,5 = 1,5 единицы. 6 единиц – это то количество продукции, которое потребители хотели бы и могли купить при цене Р = 7, но фирма-монополист будет производить только 4,5 единицы продукции. Если государство опустит ценовой «потолок» еще ниже до уровня Р = 4, то монополист будет производить объем продукции Q 2 : MR 2 = 4 = MC = 2Q -2, Q 2 = 3, который даже меньше объема выпуска до вмешательства государства в процесс монопольного ценообразования. При цене Р = 4 потребительский спрос на продукцию равен 12, но монополист произведет только 3 единицы продукции и на рынке возникнет дефицит равный 9 единицам, что в 3 раза превышает объем продаж на данном рынке. Если государство не хочет столкнуться с проблемой возникновения дефицита при ценовом регулировании монополиста, оно должно установить ценовой «потолок» не ниже точки равновесия рынка совершенной конкуренции. Для нашей задачи это Р = 7,6. В случае установления ценового «потолка» выше т. Е CK (Р M > Р ≥ Р CK ) монополист будет производить Q 1 единиц продукции и дефицита на рынке не будет (рис. 5.20).

132

5. Рынок чистой монополии Р МС РM Р1 Р CK

А

MR Е CK В P(Q) F

Q

Q Q1 Если Р M > Р ≥ Р CK , то функция MR – ломаная линия (в нашем случае при Р = Р 1 это линия Р 1 АВF, причем т.А – разрыв. Тогда условие максимизации прибыли MR = MC выполняется при Q = Q 1 ).

Рис. 5.20. Теперь рассмотрим, что произойдет на рынке при введении государством потоварного налога (рис. 5.21). Р МС 1 (Q) MC(Q) P1 РM

E1

T E0 AC 1 (Q) AC(Q)

L C F

K B

P(Q)

O Q1 Q M

MR(Q) Рис. 5.21.

Q

Допустим, Т – величина потоварного налога. Новые функции предельных и средних издержек будут иметь вид: МС 1 (Q) = MC(Q) + T AC 1 (Q) = AC(Q) + T Объем выпуска уменьшится с Q M до Q 1 , а цена увеличится с Р M до P 1 (как и на рынке совершенной конкуренции, мы видим, что при введении потоварного налога цена на рынке увеличивается на величину меньшую, чем величина налога). 133

5. Рынок чистой монополии До налогообложения прибыль монополиста равнялась площади прямоугольника Р M E 0 ВС. После налогообложения прибыль монополиста – это площадь прямоугольника P 1 E 1 KL, а площадь прямоугольника LKOF – это налоговые поступления государству. Типичный случай государственного регулирования монопольной регулирование ценообразования в условиях естественной монополии.

власти

–

Естественная монополия Естественная монополия – это фирма, которая может произвести весь объем продукции на рынке с издержками ниже, чем в случае работы на рынке нескольких фирм. Для естественной монополии характерен особый вид предельных и средних издержек, который иллюстрирует экономию на масштабе производства. Обычно у естественной монополии высоки постоянные затраты на производство при относительно невысоких переменных издержках, поэтому с каждой дополнительной единицей выпуска средние затраты снижаются. Это характерно для таких видов деятельности как телефонное обслуживание (кроме услуг сотовой связи), метро, железнодорожный транспорт и т.п. Если государство не вмешивается в деятельность естественной монополии, то цена на рынке может быть достаточно высокой по сравнению с точкой «совершенной конкуренции» (т. Е 2 ), но установление государственной цены на уровне цены рынка совершенной конкуренции приведет к убыточности монополии. Размер убытков показан на рис. 5.22 затененным прямоугольником АВР CK Е 2 . Поэтому, если государственное регулирование на данном рынке представляется необходимым, государство будет устанавливать цену в промежутке от Р M до Р 3 . Цена Р 3 - это цена, при которой экономическая прибыль естественной монополии равна нулю, т.е. это самая низкая цена, которая позволит функционировать фирме без экономических убытков. Р

P(Q) = AR PM

E1

Р3 B

E 3 : AC = AR A

Р CK

MC AC

Е 2 : MC = P(Q) MR QM

Q3

Q2

Q

Рис. 5.22.

134

5. Монополистическая конкуренция Рынок монополистической конкуренции 6.1.Стратегия фирмы на рынке монополистической конкуренции в краткосрочном и долгосрочном периодах..

Фирмы, работающие на рынке монополистической конкуренции, производят дифференцированный продукт, поэтому функция спроса отдельной фирмы имеет наклон вниз (в отличие от функции спроса для фирмы на рынке совершенной конкуренции). Как и на рынке чистой монополии фирмы на рынке монополистической конкуренции обладают рыночной властью. Однако, входные барьеры вполне преодолимы, поэтому рыночная власть проявляется прежде всего за счет неценовой стратегии при осуществлении рекламной деятельности. В краткосрочном периоде, руководствуясь правилом MR = MC, фирма выберет объем Q* (рис. 6.1). Р

π >0 MC(Q) P* АС(Q) E

MR(Q) Q*

P(Q) Q

Рис. 6.1. Краткосрочное равновесие фирмы, работающей на рынке монополистической конкуренции Цена, которую фирма установит на свою продукцию, формируется по функции спроса, с которой сталкивается данная компания (на рис. 6.1. это цена Р*). На рынках монополистической конкуренции возможно существование положительной экономической прибыли в краткосрочном периоде. На рис. 6.1. экономическая прибыль равна площади затененного прямоугольника. Но наличие экономической прибыли может привлечь компании из других отраслей/подотраслей. Приход новых фирм в отрасль уменьшит спрос, с которым сталкиваются уже работающие на рынке компании. Подобный процесс может происходить до тех пор, пока в отрасли не установится долгосрочное равновесие: фирмы, работающие на данном рынке, будут получать нулевую экономическую прибыль. В этом долгосрочное равновесие на рынках монополистической конкуренции совпадает с равновесием на рынках совершенной конкуренции, но между этими двумя типами рынка существует и серьезное отличие в условии долгосрочного отраслевого равновесия.

135

5. Монополистическая конкуренция Р

Р МС

Р*

Е

С

МС

АС

АС P = MR

Е

Р* P(Q) MR(Q) Q* QC а) рынок монополистической конкуренции

Q

q* б) рынок совершенной конкуренции

q

Рис. 6.2. Долгосрочное равновесие фирмы На рынке совершенной конкуренции в точке равновесия фирма использует весь положительный эффект масштаба производства и объему равновесия соответствует точка минимума средних издержек компании (т. Е на рис. 6.2 б)). На рынке монополистической конкуренции точка минимума средних издержек (т. С на рис. 6.2 а)) находится правее точки равновесия (т. Е). Это происходит из-за того, что при долгосрочном равновесии экономическая прибыль должна быть равна нулю (в т. Е AC(Q*) = AR(Q*) = Р*), а линия спроса имеет отрицательный наклон, поэтому функция спроса является касательной к кривой средних издержек, что и обеспечивает условие долгосрочного равновесия. Разница между объемом Q C и объемом Q* (рис. 6.2 а)) – это избыточная производственная мощность, которая иллюстрирует, что тот же продукт можно было бы произвести с меньшими издержками (т.е. затратить на его производство меньше ресурсов) и в бо́льшем объеме, но подобное производство возможно только для стандартизированного продукта. Избыточная производственная мощность – это плата за дифференциацию производимой продукции. Рассмотрим на примере, как изменится функция спроса фирмы, если в отрасль приходят новые компании. Числовой пример 6.1. Каждая из 20 фирм, работающих в отрасли монополистической конкуренции, имеет кривую спроса, заданную уравнением: Р = 20 – 0,5q и получает положительную экономическую прибыль в краткосрочном периоде. Определим, как изменится ситуация для каждой фирмы после вхождения в отрасль пяти новых фирм. Решение. Отраслевой спрос состоит из спроса, с которым работает каждая фирма в данной отрасли: Q D = 20q i . P = 20 – 0,5q i ⇒ q i = 40 – 2P Q D = 20q i = 20·(40 – 2P) = 800 – 40P. Если в отрасли теперь работает 25 компаний, то Q D = 25q i , и спрос, с которым сталкивается каждая из этих фирм, будет равен:

136

5. Монополистическая конкуренция 800 – 40Р = 25q i q i = 32 – 1,6Р или Р = 20 – 0,625q i Р 20 МС Р*

AC

E1 E2 MR 1 q2

MR 2 q1 20

D2

D1

32 Рис. 6.3.

40

qi

Каждая фирма уменьшит объем своего выпуска с q 1 до q 2 , и будет получать меньшую прибыль. 6.2. Реклама на рынке монополистической конкуренции.

Рассмотрим пример, показывающий влияние рекламы на поведение фирмы. Числовой пример 6.2. Фирма, работающая на рынке монополистической конкуренции, находится в долгосрочном равновесии (ее экономическая прибыль равна нулю). Общие издержки производства имеют вид: TC(Q) = Q 2 + 100. Спрос, с которым сталкивается фирма, оценивается как Р = 40 – 3Q. Менеджеры фирмы оценили, что проведение рекламной кампании значительно увеличит спрос на продукцию фирмы и он будет выражаться уравнением Р 1 = 60 – 2Q. При этом

затраты на рекламу увеличат издержки производства до уровня ТС 1 (Q) = Q 2 + 225. Найдем новые параметры равновесия для фирмы и определим получит ли фирма экономическую прибыль. Решение. 1. Проверим, что первоначально фирма действительно получает нулевую экономическую прибыль: MR = 40 – 6Q Q 0 = 5; P 0 = 25 (т. Е 0 на рис. 6.4). MC = 2Q AC(5) = 5 + 100/5 = 25

2. Найдем новое равновесие на рынке: MR 1 = 60 – 4Q Q 1 = 10; P 1 = 40 (т. Е 1 ). MC 1 = 2Q Значение средних издержек при объеме выпуска 10 равно 32,5. Прибыль фирмы после проведения рекламы составит 75 ден.ед.

137

5. Монополистическая конкуренция Р 60

АС 1 = Q +

225 Q

π = (40 – 32,5)·10 = 75 MC = 2Q E1

40 25

E0

P 1 = 60 – 2Q AC = Q +

100 Q

P = 40 – 3Q 0

MR = 40 – 6Q 5 10

Q MR 1 = 60 – 4Q

Рис. 6.4. Но если менеджеры компании ошибутся в своих оценках функции спроса при тех же затратах на рекламу, фирма может столкнуться с проблемой экономических убытков. Так, при спросе Р 2 = 50 – 2Q, мы получим: MR 2 = 50 – 4Q ⇒ Q 2 = 8,33; P 2 = 33,33 MC = 2Q AC(8,33) = 35,34 > P 2 = 33,33. Возникновение положительной экономической прибыли в результате рекламных действий усилит конкуренцию на рынке, побудит другие фирмы к проведению рекламы, что в долгосрочном периоде уменьшит спрос на продукцию данной фирмы и доведет экономическую прибыль до нуля. Рассмотрим в общем виде задачу оптимизации затрат на рекламу. Пусть А – затраты на рекламу. Спрос становится функцией не только цены, но и затрат на рекламу. Рассмотрим прибыль как функцию от цены и затрат на рекламу и поставим задачу ее максимизации: π(Р, А) = {Q(P, A)·P – TC(Q(P, A)) – A} → max. Тогда должны выполняться условия: ∂Q ∂π ∂TC ∂Q = ·Р + Q · =0 (1) ∂P ∂P ∂Q ∂P ∂Q ∂π ∂TC ∂Q = ·P · -1=0 (2) ∂A ∂A ∂Q ∂A

dQ P ∂TC ⋅ , то из уравнения (1) получим = МС и Е PD = ∂Q dP Q MC Е PD + 1 = ⋅ E DP или Р· Е PD + Р = МС· Е PD , отсюда P

Поскольку

138

5. Монополистическая конкуренция P − MC 1 = (что подтверждает известную уже формулу рыночной власти P E DP фирмы). ∂Q A A P − MC Из уравнения (2) получим = ( )·Е DA , где Е DA = - эластичность · TR P ∂A Q спроса по затратам на рекламу. E DA A Отсюда =- P . TR ED Таким образом, доля расходов на рекламу в величине общего дохода зависит от соотношения эластичностей спроса по цене и по затратам на рекламу. Числовой пример 6.3. Монополист установил, что эластичность спроса по цене Е PD = - 4,5. Эластичность спроса по расходам на рекламу Е DA составляет 1,5. Если считать эти эластичности постоянными, какую часть выручку целесообразно инвестировать в рекламу? Решение.

E DA 1,5 1 = = . P 4,5 3 ED ≈ 33% от общей

Найдем соотношение Следовательно,

выручки

можно

затратить

на

рекламу.

139

8.Рынок факторов производства Ценообразование на рынке олигополии

Олигополия – тип рынка, на котором присутствует небольшое количество продавцов. Барьеры на вход высоки (считаются непреодолимыми, как и на рынке чистой монополии). Фирмы могут производить как идентичную продукцию, так и дифференцированную. Главная особенность рынка олигополии – взаимозависимость фирм. Это означает, что при принятии любых решений (о выпуске продукции, об инвестициях, проведении рекламной компании и т.п.) отдельная фирма пытается учесть реакцию конкурентов на ее действия. Поэтому главный вопрос теории олигополии – как на поведение фирм влияет их взаимозависимость. Ответ на этот вопрос помогает понять, как фирмы определяют цены, выпуск продукции и прибыли. Микроэкономическая теория рассматривает несколько моделей олигополии, поскольку фирмы-олигополисты могут взаимодействовать разными путями. Различные модели олигополии основываются на различных предпосылках о взаимодействии фирм. Мы рассмотрим 4 наиболее известные модели: 1. дуополия Курно; 2. дуополия Штакельберга; 3. картельное соглашение; 4. ценовое лидерство. 7.1. Модель дуополии Курно

На рынке работают два производителя, которые производят однородный продукт, не имеющий близких заменителей. Данный рынок защищен от появления на нем новых производителей (допустим, что производство лицензировано и городские власти выдали всего 2 лицензии). Издержки производства продукции могут быть одинаковыми, либо различаться. Каждый производитель стремится максимизировать свою прибыль и предполагает, что выпуск его конкурента будет неизменен. Тогда модель дуополии Курно в общем виде можно представить так: π 1 (Q 1 , Q 2 ) → max π 2 ( Q 1 , Q 2 ) → max Рассмотрим установление равновесия в модели Курно на числовом примере. Числовой пример 7.1. Спрос на рынке представлен функцией Q D = 40 – 2Р. На рынке работают два производителя, общие издержки которых имеют вид: TC 1 = 0,5Q 12 + 4Q 1 + 5 TC 2 = Q 22 +5Q 2 + 7. Определим равновесный выпуск каждого производители и рыночную цену, если фирмы взаимодействуют, исходя из предпосылок дуополии Курно. Решение. Запишем функции прибыли производителей: π 1 (Q 1 , Q 2 ) = TR 1 - TC 1 = P·Q 1 - TC 1 = (20 - ½·(Q 1 + Q 2 ))·Q 1 - (½Q 12 + 4Q 1 + 5) = = 20Q 1 - ½·Q 12 - ½·Q 1 ·Q 2 - ½·Q 12 - 4Q 1 - 5 = - Q 12 - ½·Q 1 ·Q 2 + 16Q 1 - 5.

Здесь Q 2 - выпуск второго производителя, который первый производитель считает заданным. 140

8.Рынок факторов производства π 2 ( Q 1 , Q 2 ) = TR 2 - TC 2 = P·Q 2 - TC 2 = (20 - ½·(Q 1 + Q 2 )·Q 2 - (Q 22 +5Q 2 + 7) = = 20Q 2 - ½·Q 1 ·Q 2 - ½· Q 22 - Q 22 - 5Q 2 - 7 = -1,5Q 22 - ½·Q 1 ·Q 2 +15Q 2 - 7. Аналогично, Q 1 - выпуск первого производителя, который второй производитель считает заданным. Запишем условие максимизации прибыли для первого и второго производителя: ∂π 1 (Q1 , Q 2 ) = 0 → -2Q 1 - 0,5Q 2 + 16 = 0 → Q 1 = -0,25Q 2 + 8 ∂Q1 ∂π 2 (Q 1 , Q2 ) =0 ∂Q2

→ -3Q 2 - 0,5Q 1 + 15 = 0

→

Q2 = -

1 Q1 + 5 6

Мы получили линии (кривые) реагирования выпуска производителя на выпуск его конкурента: Q 1 = -0,25Q 2 + 8 1 Q 2 = - Q1 + 5 6 Q2 32 Q 1 = -0,25Q 2 + 8

[Стрелками на графике показан пошаговый путь установления равновесия в дуополии Курно]

5 E 0 - точка равновесия Курно 3,83 1 Q1 + 5 6 30 Q1

Q2 = 7,04 8

Рис. 7.1. Решив систему уравнений, получим, что первый производитель будет выпускать 7,04 единицы продукции, второй – 3,83 единицы продукции. Рыночный объем продаж – 10,87 3,83 + 7,04 единиц. Продукция будет продаваться на рынке по цене Р = 20 – ( ) = 14,6. 2 Обратите внимание, что в данном примере фирмы имеют различные функции издержек, поэтому они не делят рынок пополам. Вторая фирма с более высокими издержками получает меньшую долю в рыночном объеме продаж и меньшую прибыль: π 1 = 7,04·14,6 – 0,5·(7,04) 2 - 4·7,04 – 5 ≈ 44,8 π 2 = 3,83·14,6 – (3,83) 2 - 5·3,83 – 7 ≈ 15,09 Если у фирм, конкурирующих по Курно, издержки одинаковы, то равновесный объем делится между ними поровну, а кривые реакции являются «симметричными». Величина прибыли одинакова.

141

8.Рынок факторов производства Пусть Р = а – bQ – линейная функция рыночного спроса в дуополии Курно. Q = Q 1 + Q 2 , MC 1 = MC 2 = C. Тогда MR 1 = a – 2bQ 1 - bQ 2 MR 2 = a – 2bQ 2 - bQ 1 Условия максимизации прибыли: a – 2bQ 1 - bQ 2 = C a – 2bQ 2 - bQ 1 = C Уравнение реакции для 1-й фирмы для 2-й фирмы

a−c - ½·Q 2 2b a−c Q2 = - ½·Q 1 2b

Q1 =

Поскольку фирмы одинаковы, то Q 1 = Q 2 , отсюда Q 1 = Q 2 =

a−c . b a + 2c a−c Цена в модели Курно Р = a - b·⅔· = . b 3

a−c . 3b

Рыночный объем продаж Q = ⅔·

Для наглядности покажем, как «работает» модель Курно по шагам. Шаг 1. Допустим, что в начале на рынке работает только производитель №2. Р = 20 – Q/2 (Q = Q 2 , Q 1 = 0) MR 2 = 20 – Q 2 MC 2 = 2Q 2 + 5 → 3Q 2 = 15 → Q 2 = 5; P = 17,5. MR 2 = MC 2 → 2Q 2 + 5 = 20 – Q 2 Производитель №2 будет удовлетворять весь отраслевой спрос и производить 5 единиц продукции. Шаг 2. Городские власти выдали еще одну лицензию, и на рынок входит еще один производитель, который предполагает, что выпуск его конкурента останется на уровне 5 единиц. MC 1 = Q 1 + 4 Q Q P = 20 – (Q 1 + Q 2 )/2 = 20 - 1 - 2,5 = 17,5 - 1 2 2 MR 1 = 17,5 - Q 1 = Q 1 + 4 MR 1 = MC 1 → 13,5 = 2Q 1 → Q 1 = 6,75; P = 14,125. Шаг 3. Теперь производитель №2 принимает решение о своем выпуске, зная, что производитель №1 производит 6,75 единиц продукции. MC 2 = 2Q 2 + 5 Q Q P = 20 – (Q 1 + Q 2 )/2 = 20 – (6,75 + Q 2 )/2 = 20 – 3,375 - 2 = 16,625 - 2 2 2

142

8.Рынок факторов производства MR 2 = 16,625 - Q 2 MC 2 = MR 2 → 3Q 2 = 11,625

→ Q 2 = 3,875; P = 14,6875.

Шаг 4. MC 1 = Q 1 + 4

P = 20 – (Q 1 + 3,875)/2 = 20 -

Q1 Q - 1,9375 = 18,0625 - 1 2 2

MR 1 = 18,0625 – Q 1 = Q 1 + 4 MR 1 = MC 1 → 14,0625 = 2Q 1

→ Q 1 = 7,031; P = 14,547.

Шаг 5. MC 2 = 2Q 2 + 5

P = 20 – (Q 1 + Q 2 )/2 = 20 – (7,031 + Q 2 )/2 = 20 – 3,5155 MR 2 = 16,4845 - Q 2 MC 2 = MR 2 → 3Q 2 = 11,4845

Q2 Q = 16,4845 - 2 2 2

→ Q 2 = 3,828; P = 14,5705.

Шаг 6. MC 1 = Q 1 + 4

P = 20 – (Q 1 + 3,828)/2 = 20 -

Q1 Q - 1,914 = 18,086 - 1 2 2

MR 1 = 18,086 – Q 1 = Q 1 + 4 MR 1 = MC 1 → 14,086 = 2Q 1

→ Q 1 = 7,043; P = 14,5645.

Шаг 7. MC 2 = 2Q 2 + 5

P = 20 – (Q 1 + Q 2 )/2 = 20 – (7,043 + Q 2 )/2 = 20 – 3,5215 MR 2 = 16,4785 - Q 2 MC 2 = MR 2 → 3Q 2 = 11,4785

Q2 Q = 16,4785 - 2 2 2

→ Q 2 = 3,826; P = 14,5655.

Шаг 8. MC 1 = Q 1 + 4

P = 20 – (Q 1 + 3,826)/2 = 20 -

Q1 Q - 1,913 = 18,087 - 1 2 2

MR 1 = 18,087 – Q 1 = Q 1 + 4 MR 1 = MC 1 → 14,087 = 2Q 1

→ Q 1 = 7,0435; P = 14,565.

Шаг 9. MC 2 = 2Q 2 + 5

P = 20 – (Q 1 + Q 2 )/2 = 20 – (7,0435 + Q 2 )/2 = 20 – 3,522 MR 2 = 16,478 - Q 2 MC 2 = MR 2 → 3Q 2 = 11,478

Q2 Q = 16,478 - 2 2 2

→ Q 2 = 3,826; P = 14,565.

143

8.Рынок факторов производства В данном примере понадобилось 9 шагов для достижения равновесия (если производить округления до сотых, то равновесия можно достичь за меньшее число шагов, поскольку мы видим, что на последних шагах значения объемов выпуска и цены различались в 4-м знаке после запятой). При других исходных данных число шагов может быть очень большим, поэтому целесообразно использовать модель достижения равновесия в общем виде. Условия максимизации прибыли могут быть записаны так: [Р(Q 1 , Q 2 )·Q 1 - TC 1 (Q 1 )] → max [P( Q 1 , Q 2 )·Q 2 - TC 2 (Q 2 )] → max Отсюда получаем необходимые условия экстремума в общем виде: ∂P ⋅ Q1 + Р(Q 1 , Q 2 ) = МС 1 (Q 1 ) ∂Q1 ∂P ⋅ Q2 + Р( Q 1 , Q 2 ) = МC 2 (Q 2 ) ∂Q2 Из первого уравнения этой системы можно найти уравнение реакции для 1-й фирмы, т.е. зависимость Q 1 = φ( Q 2 ). Из второго уравнения – уравнение реакции для второй фирмы Q 2 = ψ( Q 1 ). Решая систему Q 1 = φ( Q 2 ) Q 2 = ψ( Q 1 ), найдем точку равновесия в дуополии Курно. Посмотрим, как изменится ситуация на рынке, если эти компании будут вести себя как совершенные конкуренты. Итак, исходные данные взяты из примера 7.1. Р = 20 – Q/2 → Q = 40 – 2P MC 1 = Q 1 + 4 MC 2 = 2Q 2 + 5 Вспомним, что на рынке совершенной конкуренции в точке равновесия для каждой фирмы МС равны Р, где Р – равновесная рыночная цена. MC 1 = Q 1 + 4 = Р MC 2 = 2Q 2 + 5 = Р Для нахождения рыночной цены найдем функцию рыночного предложения. Мы можем выразить объемы предложения каждого производителя и, сложив их, получить отраслевое предложение: Q1 = Р – 4 P−5 Q2 = 2 S Q = Q 1 + Q 2 = p – 4 – 0,5P – 2,5 = 1,5P – 6,5. Теперь мы можем найти равновесную цену и равновесный объем на данном рынке: 1,5Р – 6,5 = 40 – 2Р 3,5Р = 46,5 Р* = 13,29 Q* = 13,435 144

8.Рынок факторов производства Q 1 = 13,29 – 4 = 9,29 Q 2 = (13,29 – 5)/2 = 4,145 Рыночный объем продаж составляет 13,435 единиц продукции, что выше объема продаж (10,87) в ситуации взаимодействия фирм по Курно. Соответственно рыночная цена при совершенной конкуренции оказывается ниже, а прибыли фирм в модели Курно окажутся выше.

Олигополия Курно с N фирмами Дуополию Курно с линейной функцией спроса нетрудно обобщить для случая N фирм, если все фирмы имеют одинаковые функции издержек и МС = const = C. Пусть рыночный спрос P = a – bQ, причем Q =

N

∑Q i =1

i

, где Q i - доля рыночного

спроса, приходящаяся на i-ую фирму. Допустим, 1-ая фирма производит продукцию в N

количестве Q 1 , тогда Р = (a – bX) - bQ 1 , где Х =

∑Q i=2

i

.

Найдем MR 1 : MR 1 = (a – bX) – 2bQ 1 .

a−c X . 2b 2 Поскольку все фирмы одинаковы, то Q 1 = Q 2 = … = Q N и оптимальный выпуск для N 1 a−c a−c ·( ). Общий выпуск Q* = ·( ). отдельной фирмы Q *i составит: Q *i = N +1 b N +1 b a + NC Соответственно Р* = . N +1 a−c Из этих формул видно, что при достаточно большом N Q* → ( ), Р* → С, т.е. b выпуск и цена в модели Курно стремятся к значениям выпуска и цены на рынке совершенной конкуренции. Нетрудно также доказать, что эластичность спроса по цене для отдельной фирмы в модели Курно (Е K ) связана с эластичностью рыночного спроса по цене (Е PD ) следующим образом: Е K = N· Е PD . Из условия MR 1 = MC 1 найдем Q 1 :

a – bX – 2bQ 1 = C ⇒ Q 1 =

7.2. Дуополия Штакельберга или модель количественного лидера

В данной модели один из производителей первым устанавливает свой объем производства, исходя из условий максимизации своей прибыли и учитывая реакцию второго производителя. Таким образом, в данной модели одна фирма является лидером в определении объема продаж, что дает ей стратегическое преимущество. Второй производитель (или несколько фирм-последователей) устанавливает свой объем выпуска после того, как решение об объеме производства примет его конкурент. Его уровень выпуска определяется функцией реакции, т.е. принятие решения последователем идентично поведению фирм в модели Курно. Рассмотрим процесс ценообразования и установления объемов выпуска в данной модели на числовом примере. Числовой пример 7.2. На рынке дуополии отраслевой спрос представлен функцией Р = 50 – 0,25Q. Функции затрат производителей имеют вид:

145

8.Рынок факторов производства TC 1 = 10 + 0,15Q 12 TC 2 = 25 + 10Q 2 . Найдем равновесные объемы выпусков каждой фирмы и цену на рынке, если данные фирмы взаимодействуют в условиях дуополии Штакельберга. Решение. Запишем условие максимизации прибыли для первого производителя: π 1 = TR 1 - TC 1 = P·Q 1 - (10 + 0,15Q 12 ) = [(50 – 0,25(Q 1 + Q 2 ))·Q 1 - (10 + 0,15Q 12 )] → max, где Q 2 - объем выпуска последователя – второго производителя.

Для того чтобы учесть реакцию второго производителя, найдем его уравнение реакции: π 2 = TR 2 - TC 2 = (50 – 0,25(Q 1 + Q 2 ))·Q 2 - (25 + 10Q 2 ) = = 50Q 2 - 0,25Q 1 ·Q 2 - 0,25Q 22 - 25 - 10Q 2 = 40Q 2 - 0,25Q 1 ·Q 2 - 0,25Q 22 - 25. ∂π (Q 1 , Q2 ) = 40 – 0,25Q 1 - 0,5Q 2 = 0 → 0,5Q 2 = 40 – 0,25Q 1 . ∂Q2 Отсюда уравнение реакции: Q 2 = 80 – 0,5Q 1 . Теперь это уравнение реакции второго производителя подставим в функцию прибыли первого производителя: (50 – 0,25(Q 1 + Q 2 ))·Q 1 - (10 + 0,15Q 12 ) = 50Q 1 - 0,25Q 12 - 0,25Q 1 ·(80 – 0,5Q 1 ) – 10 – 0,15Q 12 = = 50Q 1 - 0,25Q 12 - 20Q 1 + 0,125Q 12 - 10 – 0,15Q 12 = [-0,275Q 12 + 30Q 1 - 10] → max -0,55Q 1 + 30 = 0 → Q 1 = 30/0,55 = 54,55 Q 2 = 80 – 0,5Q 1 = 52,73 Цена на рынке будет равна Р = 50 – 0,25(54,55 + 52,73) = 23,18. Подсчитаем прибыль каждого участника дуополии: π 1 = TR 1 - TC 1 = P·Q 1 - TC 1 = 23,18·54,55 – (10 + 0,15·(54,55) 2 ) = 1264,47 – 456,36 = 808,11 π 2 = TR 2 - TC 2 = Р·Q 2 - TC 2 = 23,18·52,73 – (25 + 10·52,73) = 1222,28 – 552,3 = 669,98

Картельное соглашение Теперь рассмотрим (на том же самом примере) ситуацию, когда два производителя на рынке дуополии объединились в картель. Картель – пример согласованной координации, когда фирмы максимизирую общую прибыль, т.е. π(Q 1 , Q 2 ) → max Для наших исходных данных получаем: π(Q 1 , Q 2 ) = (50 – 0,25(Q 1 + Q 2 ))·(Q 1 + Q 2 ) - (10 + 0,15Q 12 ) – (25 + 10Q 2 ) = = (50 – 0,25Q 1 - 0,25Q 2 )·(Q 1 + Q 2 ) - 10 - 0,15Q 12 - 25 - 10Q 2 = = 50Q 1 - 0,25Q 12 - 0,25Q 2 ·Q 1 + 50Q 2 - 0,25Q 1 ·Q 2 - 0,25Q 22 - 35 – 0,15Q 12 - 10Q 2 = = (-0,4Q 12 + 50Q 1 - 0,5Q 1 ·Q 2 + 40Q 2 - 0,25Q 22 - 35) → max ∂π = -0,8Q 1 + 50 - 0,5Q 2 = 0 ∂Q1 ∂π = -0,5Q 1 + 40 – 0,5Q 2 = 0 ∂Q2 Решив эту систему уравнений, получим: Q 1 = 33,33; Q 2 = 46,67. 146

8.Рынок факторов производства Цена на рынке будет равна: Р = 50 – 0,25(46,67 + 33,33) = 30. Прибыль каждого участника картеля составит: π 1 = 30·33,33 – (10 + 0,15·(33,33) 2 ) = 999,9 – 176,63 = 823,27 π 2 = 30·46,67 – (25 + 10·46,67) = 1400,1 – 491,7 = 908,4. Мы видим, что от объединения в картель выиграл второй производитель, т.к. прибыль у него теперь больше, чем у первого первоизводителя. Следует отметить, что в случае картельного объединения задача становится аналогичной монополии с несколькими заводами, поэтому требование максимизации общей прибыли в виде π(Q 1 , Q 2 ) = [P(Q)·Q - TC 1 (Q 1 ) - TC 2 (Q 2 )] → max эквивалентно условиям: MR(Q) = MC 1 (Q 1 ) = MC 2 (Q 2 ), где Q = Q 1 + Q 2 . В числовом примере, рассмотренном выше, MR(Q) = 50 – 0,5Q = 50 – 0,5(Q 1 + Q 2 ). Получаем уравнения: 50 – 0,5(Q 1 + Q 2 ) = 0,3Q 1 50 – 0,5(Q 1 + Q 2 ) = 10 Очевидно, что решение в точности соответствует полученному ранее. Если в картель объединяются фирмы с различными функциями издержек, то такое объединение не будет устойчивым. Координация решений в виде картельных соглашений приносит успех олигополистам в том случае, если они имеют одинаковые или мало различающиеся функции издержек. 7.3. Модель ценового лидера

Ценовой лидер – это модель олигопольного ценообразования, в которой на рынке присутствует крупная фирма, устанавливающая цену на свою продукцию, исходя из цели максимизации своей прибыли, и множество фирм-аутсайдеров которые ведут себя как совершенные конкуренты и в качестве цены рыночного равновесия принимают цену, которую установит фирма-лидер. Модель ценового лидера – это пример частично скоординированной олигополии. Р D МС L S аут

PL Q DL Q аут 0

QL

Q аут

D Q∑

Q

MR L Рис. 7.2. Модель ценовой лидера 147

8.Рынок факторов производства На рис. 7.2 показано формирование спроса, приходящегося на долю лидера, если известна функция предложения фирм-последователей (аутсайдеров). DD = Q D - это совокупный спрос на продукцию, который предъявляют потребители на данном рынке. Q DL - спрос на продукцию, с которым сталкивается фирма-лидер. S аут - предложение продукции со стороны фирм-аутсайдеров.

→ Q DL = Q D - S аут Мы видим по рис. 7.2, что кривая спроса на продукцию фирмы-лидера формируется вычитанием из отраслевого спроса предложения аутсайдеров. Цена на рынке (P L ) формируется по функции спроса фирмы-лидера Q DL после нахождения выпуска из условия максимизации прибыли лидера: MR L = МС L Эта цена (P L ) определяет объем выпуска фирм-аутсайдеров (Q аут ), исходя из их функции предложения, т.е. фирмы-аутсайдеры считают эту цену заданной. Этот же объем (Q аут ) может быть найден вычитанием выпуска лидера (Q L ) из всего Q D = Q DL + S аут

объемы продукции (Q ∑ ), реализуемого на данном рынке по цене P L . Рассмотрим модель ценового лидера более подробно на двух числовых примерах. Числовой пример 7.3. В отрасли работает одна крупная фирма и группа аутсайдеров. Отраслевое равновесие установилось при цене Р = 10 и объеме Q = 28. Известно, что суммарная функция предложения всех аутсайдеров имеет вид: Q аут = - 1 + 2Р и что при цене Р = 13

аутсайдеры могут полностью удовлетворить рыночный спрос. Определите функцию отраслевого спроса при предположении, что функция отраслевого спроса и функция спроса фирмы-лидера являются линейными. Решение. Определим функцию спроса лидера, тогда, сложив ее с предложением аутсайдеров, мы найдем отраслевой спрос. При цене равной 10 аутсайдеры произведут 19 единиц продукции, фирма-лидер произведет Q L = 28 – 19 = 9 единиц продукции (т. А на рис. 7.3). При цене равной 13 аутсайдеры могут удовлетворить весь рыночный спрос, поэтому выпуск фирмы лидера равен нулю (т. В на рис. 7.3)

По двум точкам: т. А (9; 10) т. В (0; 13) мы можем построить уравнение спроса для фирмы-лидера 9 = a + b·10 b = -3 → → 0 = a + b·13 a = 39

Q DL = 39 – 3Р.

Функция отраслевого спроса будет иметь вид: Q D = Q DL + Q аут = 39 – 3Р + (-1 + 2Р) == 38 – Р.

148

8.Рынок факторов производства Р Q D = 38 - Р S аут :

Q аут = -1 + 2Р

т.В 13 10

0

т.А

9

19

28 Рис. 7.3.

38

Q

Числовой пример 7.4. Спрос на товар в отрасли описывается функцией Q D = 55 – Р. На рынке работают конкурентные фирмы с совокупной функцией предложения S аут : Q аут = Р – 5. В данную

отрасль внедрилась фирма-монополист, ставшая лидером в ценообразовании. Ее функция общих издержек имеет вид: ТС L = 10Q L . Найдем параметры равновесия на данном рынке. Решение. Функция предельных издержек фирмы-ценового лидера равна МС L = 10. Чтобы найти функцию предельного дохода фирмы-лидера, нам необходимо определить спрос на ее продукцию: Q DL = Q D - Q аут = (55 – Р) – (Р – 5) = 60 – 2Р → Р = 30 - Q DL /2

Тогда предельный доход фирмы-ценового лидера равен: MR L = 30 - Q L . МС L = MR L 10 = 30 - Q L Q L = 20 P L = 30 – 20/2 = 20 Цена на данном рынке будет равна 20 ден.ед. за единицу продукции и по этой цене будет продано Q ∑ = 55 – 20 = 35 единиц продукции, из них 20 единиц продаст фирма-лидер и 15 единиц продадут фирмы-аутсайдеры (рис. 7.4).

149

8.Рынок факторов производства Р 55 S аут : Q аут = Р - 5

30 20

Q D = 55 - Р

10

0

МС L = 10 15 20

35 MR L = 30 - Q L

Q

Рис. 7.4.

150

8.Рынок факторов производства Рынок факторов производства. Ценообразование на рынке труда.

Анализ рынка факторов производства (труда, капитала, земли, предпринимательских способностей) включает определение величины спроса на ресурс (и соответственно предложения ресурса) и цены на него. Следует иметь в виду, что спрос на ресурсы является вторичным (производным) по отношению к спросу на потребительские товары и услуги. Методически данная тема связана с главами 3-7, в которых изучаются производство и ценообразование на рынках готовой продукции. Рассмотрим в общем виде формирование спроса на факторы производства. Пусть а 1 , а 2 , …, а n - факторы производства, необходимые для производства продукции в соответствии с заданной производственной функцией Q = Q(а 1 , …, а n ). Спрос на факторы производства фирма определяет таким образом, чтобы продукция, произведенная из этих ресурсов, обеспечивала фирме наибольшую прибыль, т.е. должно выполняться условие: π[Q(а 1 , а 2 , …, а n )] = {TR[Q(а 1 , а 2 , …, а n )] – TC[Q(а 1 , а 2 , …, а n )]} → max Запишем необходимые условия максимизации этой функции: ∂π = 0, ∀ i = 1, n ∂a i или ∂TR ∂TC = , ∀ i = 1, n ∂a i ∂a i ∂TR Величина показывает, какое приращение дохода получит фирма, если она ∂a i использует в производстве продукции дополнительную единицу i-го ресурса. ∂TC Величина показывает приращение общих издержек фирмы, вызванных ∂a i покупкой на рынке дополнительной единицы i-го ресурса. ∂TR Величину обозначают MRP i и называют предельной доходностью i-го ресурса. ∂a i ∂TC Величину обозначают MIC i и называют предельными издержками вовлечения ∂a i в производство i-го ресурса. Таким образом, величина спроса на i-ый ресурс определяется из условия: MRP i = MIC i (*) dTR ∂Q ∂TR = = MR(Q)·MP i ; ⋅ MRP i = ∂a i dQ ∂a i dTC ∂Q ∂TC ⋅ MIC i = = = MC(Q)·MP i . dQ ∂a i ∂a i Здесь MP i - предельный продукт i-го фактора производства. Из условия (*) получаем: MR(Q)·MP i = MC(Q)·MP i ⇒ MR(Q) = MC(Q), а это необходимое условие максимизации прибыли на рынке готовой продукции. Таким образом, условие (*) эквивалентно универсальному правилу рыночного равновесия, применяемого для анализа любых рыночных структур.

151

8.Рынок факторов производства Для анализа рынка ресурсов используют также показатель, который характеризует стоимость вовлечения в производство дополнительной единицы i-го ресурса - VMP i , причем VMP i = Р Q · MP i , где Р Q - цена продукции, в производстве которой используется этот ресурс. Показатель VMP i , в отличие от показателя MRP i , характеризует предельный продукт i-го ресурса, денежное выражение которого определяется с помощью цены продукта. Очевидно, что MRP i ≤ VMP i , поскольку MR(Q) ≤ Р Q , причем MRP i = VMP i только для совершенно конкурентного рынка готовой продукции, где Р Q = MR(Q). Рассмотрим применение этих показателей для различных рыночных структур и видов ресурсов, начав с рынка труда. 8.1. Спрос на труд на рынке совершенной конкуренции

На совершенно конкурентном рынке труда имеется огромное количество покупателей услуг труда и тех, кто предлагает эти услуги. Рассмотрим вначале, как формируется спрос на труд со стороны отдельной фирмы. Пусть Q = f(L). Для отдельной фирмы ставка заработной платы является величиной заданной, т.е. предложение труда для нее является бесконечно эластичным, поэтому MIC L = w. Условия максимизации прибыли для фирмы: L 0 : MRP L = MIC L или MR(Q)·MP L = w. Если данная фирма продает продукцию на рынке совершенной конкуренции, то MR(Q) = Р Q и получаем следующее равенство: (**) L 0 : Р Q · MP L = w, MP L =

w . PQ

w - это реальная заработная плата. PQ Таким образом, максимизируя прибыль, фирма будет нанимать труд до тех пор, пока предельный продукт не станет равным реальной заработной плате. Условие (**) можно записать и таким образом: MPL 1 L0: = . w PQ Если выпуск продукции зависит от нескольких факторов, допустим от труда и капитала, т.е. Q = f(L, K), то должны выполняться условия: MPL ∂Q 1 L0: = , MP L = ; w ∂L PQ

Величина

К0:

MPK 1 = , r PQ

МР K =

∂Q , r – цена капитала (Р K ). ∂K

MPL MPK = , что является необходимым условием минимизации издержек w r фирмой. Таким образом, условие максимизации прибыли является необходимым и достаточным условием минимизации издержек, что подтверждает вывод, сделанный в теме 3. Итак, по кривой предельной доходности труда при каждом заданном значении цены труда фирма определяет величину спроса на труд (рис. 8.1).

Отсюда

152

8.Рынок факторов производства w

w1

E1

w2

S 1 : MIC L = w 1 E2

S 2 : MIC L = w 2 MRP L

L1

L2

L

Рис. 8.1. Можно сделать вывод, что кривая предельной доходности совпадает с кривой спроса на ресурс. Числовой пример 8.1. Фирма с производственной функцией вида Q = 10 L продает продукцию на рынке совершенной конкуренции по цене Р Q = 20 и покупает труд также на рынке совершенной

конкуренции по цене w = 10. Какова будет величина спроса на ресурс и какую прибыль получит фирма от своей деятельности? Решение. Найдем MRP L . Известно, что MRP L = MR(Q)·MP L . Здесь MR(Q) = Р Q = 20.

dQ 10 5 = = . dL 5 2 L Условие максимизации прибыли: MRP L = MIC L = w; MRP L = MR(Q)·MP L 5 20· = 10 ⇒ L 0 = 100. L Соответственно, Q 0 = 10· 100 = 100. Найдем π(Q 0 ): π(Q 0 ) = Р Q · Q 0 - L 0 ·w = 20·100 - 100·10 = 1000. MP L =

Эту же задачу можно решить и другим способом, который уже использовался в теме 4. Найдем вначале объем продукции, который обеспечивает фирме максимальную прибыль, а затем то количество труда, которое необходимо для выпуска этой продукции. Выразим L через Q: Q2 Q2 Q2 L= , тогда ТС(Q) = w·L = 10· = . 100 100 10 Q MC(Q) = . 5 На рынке совершенной конкуренции должно выполняться равенство: Q Q 0 : MC(Q) = Р Q или = 20 ⇒ Q 0 = 100, тогда L 0 = 100. 5 153

8.Рынок факторов производства (100) 2 = 1000. 10 Покажем получившиеся решения на графиках: w РQ

π(Q 0 ) = TR(Q) – TC(Q) = 20·100 -

π(Q) = 1000 MRP L =

10

100

MC =

L

w = 10

L 0 = 100 Рынок труда: MRР L = w

Q 5

20

MR(Q) = Р Q

10

ATC =

L

Q 10

Q 0 = 100 Q Рынок готовой продукции: Р Q = MC(Q)

Рис. 8.2. Числовой пример 8.2. Фирма с постоянными фиксированными издержками в 1500 ден.ед. производит еженедельно продукцию в соответствии с производственной функцией вида Q = 50L – 0,5L 2 . Цена труда Р L = 25 ден.ед. в неделю, продукция продается по фиксированной цене Р Q = 2,5.

Чему будет равна максимальную величину еженедельной прибыли? Решение. Чтобы прибыль была максимальной, на рынке труда должно выполняться условие: MRP L = MIC L . Здесь MRP L = 2,5·(50 – L) = 125 – 25L. MIC L = P L = 25. Следовательно, фирма предъявит спрос на труд, определяемый равенством: 125 – 2,5L = 25 ⇒ L 0 = 40.

Объем производства составит Q 0 = 50·40 – 0,5·(40) 2 = 1200. Затраты при этом составят: TC = TFC + TVC = 1500 + 40·25 = 2500. π(Q 0 ) = TR – TC = 2,5·1200 – 2500 = 500. Обратите внимание, что как и в предыдущем примере, можно было решить эту задачу другим способом, найдя сначала Q, т.е. используя условие максимизации прибыли на рынке готовой продукции. Однако, здесь вид производственной функции указывает на то, что проще сначала найти L 0 , определив MRP L . Графическое решение этой задачи показано на рис. 8.3.

154

8.Рынок факторов производства PL 125 D L : MRP L = 125 – 2,5L E

MIC L = P L = 25

25 L 0 = 40 50 Рис. 8.3.

L

Числовой пример 8.3. В краткосрочном периоде задана производственная функция фирмы: Q = x 12 ⋅ x 2 + K, где х 1 и х 2 - переменные факторы производства, К – фиксированные затраты капитала. Р X 1 = 400, Р X 2 = 160. Чему будет равен спрос на факторы производства, если фирма

максимизирует прибыль при цене продукции Р Q = 10? Решение. Для максимизации прибыли на рынке ресурсов должны выполняться следующие условия:

MRР X 1 = MIC X 1 MRP X 2 = MIC X 2 MRР X 1 = MР X 1 ·Р Q = 2х 1 · х 2 ·10 = 20х 1 · х 2 MRP X 2 = MP X 2 ·Р Q = 10x 12 . Получаем систему уравнений: х1 = 4 20х 1 · х 2 = 400 2 = 160 х 2 = 5, Q = 16·5 + К = 80 + К. 10x 1 Следовательно, при заданных ценах на ресурсы и готовую продукцию фирма купит 4 ед. первого ресурса и 5 ед. второго ресурса, чтобы произвести продукцию в количестве Q = 80 + К и, продав ее, получить максимально возможную прибыль. Чтобы найти значение прибыли, необходимо задать величину К и соответствующие фиксированные затраты. Убедимся в том, что при таком выборе фирмы издержки производства действительно минимальны. Для минимизации издержек должно выполняться: MPX 1 MPX 2 = PX 1 PX 2 МР X 1 = 2х 1 · х 2 = 2·4·5 = 40 МР X 2 = x 12 = 16

MPX 1 PX 1 MPX 2 PX 2

=

40 = 0,1 400

=

16 = 0,1 160

MPX 1 PX 1

=

MPX 2 PX 2

, что и требовалось.

155

8.Рынок факторов производства Спрос на труд на рынке совершенной конкуренции со стороны фирмы-монополиста Если фирма является монополистом на рынке готовой продукции, то MR(Q) < Р Q ,

поэтому MRP L < VMP L (напомним, что VMP L = Р Q ·MP L ). Следовательно, линия MRP L (линия спроса на труд) будет проходить ниже линии VMP L . Поэтому фирма-монополист наймет меньше труда при той же ставке заработной платы по сравнению с совершенно конкурентным предприятием (см. рис. 8.4). w

C w0

MIC L = w 0 VMP L MRP L LM

LC

L

MRP L = MR·MP L VMP L = Р Q ·MP L L M - спрос фирмы-монополиста L C - спрос совершенного конкурента

Рис. 8.4. Для фирмы-совершенного конкурента на товарном рынке MRP L = VMP L , поэтому линия спроса на труд совпадает с линией стоимости предельного продукта труда. Для фирмы-монополиста линия предельной доходности MRP L находится левее линии VMP L , соответственно линия спроса на труд, совпадающая с кривой MRP L , также сдвигается влево, что определяет меньшую занятость при той же заработной плате w 0 . Числовой пример 8.4. Производственная функция фирмы имеет вид Q = 2 x . На рынке готовой продукции фирма является монополистом, функция спроса на продукцию имеет вид Р D = 20 – Q. Цена ресурса задана и равна Р X . Найдем: 1. функцию спроса на ресурс в общем виде; 2. объем выпуска, цену продукции и прибыль фирмы, если Р X = 6. Решение. 1. Если фирма является монополистом на товарном рынке, то MR = 20 – 2Q = 20 - 4 x . dQ 1 = . Найдем МР X = dx x Поэтому условие МRР X = MIC X принимает вид: 400 1 20 (20 - 4 x )· . = Р X , отсюда - 4 = Р X или х = (4 + PX ) 2 x x

156

8.Рынок факторов производства 2. Если Р X = 6 , то х =

400 = 4. Q = 2 x = 4, Р = 20 – 4 = 16. 100

π(Q) = 4·16 – 4·6 = 40. 8.2. Определение рыночного спроса на ресурс. Эффект замены и эффект выпуска в изменении спроса на труд.

Если известен индивидуальный спрос на труд, то рыночный спрос можно определить горизонтальным суммированием индивидуальных кривых спроса на труд. При этом следует учитывать вторичный характер спроса на факторы производства. Допустим, ставка заработной платы снизилась. Увеличение рыночного спроса на труд приведет к росту предложения на рынке готовой продукции и к снижению равновесной рыночной цены на продукцию, что, в свою очередь, вызовет снижение предельной доходности труда. Поэтому при снижении ставки заработной платы рыночный спрос на труд увеличится, но в меньшей степени, чем можно было ожидать без учета взаимозависимости рынков труда и готовой продукции. Напротив, если цена труда возрастет, то спрос на труд сократится, но в большей степени, по сравнению с ситуацией, когда не учитывается взаимозависимость рынков труда и готовой продукции. Учет этой взаимозависимости показан на рис. 8.5. w

w1

E1

w2

E2

E 2/

MRP 2

L 2/

L1 L 2

MRP 1

L

w

w1 w2

E1 E2 DL L1 L 2

L

Рис.8.5. Снижение заработной платы вызвало рост спроса на труд, однако, с учетом сокращения MRP L , L 2 < L 2/ . Таким образом, L 1 = D L (w 1 ), L 2 = D L (w 2 ). 157

8.Рынок факторов производства При решении учебных задач эта взаимозависимость обычно не учитывается. В дальнейшем в главе 11 мы рассмотрим взаимовлияние рынков продукции и ресурсов. Рассмотрим числовой пример определения рыночного спроса на труд. Числовой пример 8.5. На рынке совершенной конкуренции находится 1000 одинаковых фирм, производственная функция каждой имеет вид: q = KL . Рыночный спрос на продукцию задан в виде: Q D = 400000 – 100000P. Цены ресурсов заданы: Р L = P K = 1. 1. Чему равна рыночную цену готовой продукции, объем производства и количество труда, которое наймет отдельная фирма и отрасль в целом в состоянии долгосрочного равновесия? 2. Допустим, что Р L = 2, P K = 1. Чему теперь будет равна величина спроса на труд данной отрасли при долгосрочном равновесии? 3. Найдем в общем виде значение равновесной цены на готовую продукцию, если Р L = w, P K = r. Решение. 1. Поскольку рассматривается долгосрочный период, то выбор способов производства P продукции должен удовлетворять условию: MRTS LK = L . PK MPL K = . Для данной производственной функции MRTS LK = MPK L K Получаем уравнение: = 1 ⇒ K = L. Отсюда, q = KL = L. L Следовательно, мы получили зависимость между величиной спроса, который предъявит отдельная фирма на труд, и количеством произведенной продукции. Для рассматриваемой производственной функции эта зависимость проста и выражается уравнением L = q. Найдем, какое количество продукции будет произведено в отрасли и, соответственно, отдельной фирмой в состоянии долгосрочного равновесия. Для этого найдем функцию общих издержек фирмы. TC(q) = Р L ·L + P K ·K = 1·L + 1·L = 2L = 2q; ATC(q) = MC(q) = 2. Поскольку фирма всегда производит при MC = АТС = Р, то в состоянии долгосрочного равновесия рыночная цена должна быть равна 2. Итак, Р 0 = 2. Найдем Q D (Р 0 ): Q D (2) = 400000 - 100000·2 = 200000. Q (P ) 200000 Найдем q 0 : q 0 = D 0 = = 200. n 1000 Следовательно, L 0 = q 0 = 200. Спрос всей отрасли на труд составит L D = 1000L 0 = 200000.

2. При изменении соотношения цен на ресурсы (теперь роста фирмы. Теперь

K =2 L

PL = 2) изменится траектория PK

⇒ К = 2L и q = 2 ·L.

Получаем L = q

. 2 Функция общих издержек тоже изменится: 158

8.Рынок факторов производства TC(q) = 2·L + 1·K = 4L = 4· q

= 2 2 ·q. 2 MC(q) = ATC(q) = 2 2 = P 1 . P 1 ≈ 2,8. Аналогично п. 1 найдем Q D (Р 1 ): Q D (2,8) = 400000 - 100000·2,8 = 120000. 120000 Таким образом, q 1 = = 120. 1000 L 1 = q 1 = 120. L D1 = 1000·120 = 120000. Как и следовало ожидать, при росте цены на труд величина спроса сократилась. 3. Для ответа на поставленный вопрос можно воспользоваться функциями спроса на труд и капитал, которые были найдены нами в главе 3. Было показано, что для производственной функции вида q = KL соответствующие функции спроса на ресурсы w r ,K=q . имеют вид: L = q r w Поэтому TC(q) = w·L + r·K = 2 w ⋅ r ·q. Следовательно, ATC(q) = MC(q) = 2 w ⋅ r . Поэтому в состоянии долгосрочного равновесия Р 0 = 2 w ⋅ r . В изменении спроса на ресурс аналогично исследованию изменения спроса на продукцию можно выделить две части – эффект замены и эффект выпуска. Воспользуемся данными задачи 8.5, чтобы найти, какая часть изменения спроса на труд вызвана изменением структуры цен на ресурсы, т.е. определяет эффект замены, а какая часть вызвана изменением финансовых возможностей фирмы, т.е. определяет эффект выпуска. Решая задачу 8.5. мы нашли, что для выпуска q 0 = 200 фирма выбирает способ производства L 0 = 200, К 0 = 200, если Р L = P K = 1. При Р L = 2, P K = 1 фирма переходит на изокванту q 1 = 120, при этом L 1 = 120, K 1 = 240 (напомним, что теперь K = 2L). На рис. 8.6 это точки Е 0 и Е 1 . Следовательно, при росте цены труда спрос на труд сократился, т.е. ΔL = - 80. Для разложения этого изменения спроса по методу Хикса найдем то количество труда, которое необходимо фирме, чтобы обеспечить прежний объем выпуска продукции (q 0 = 200) при P новой структуре цен ( L = 2). PK Должны, таким образом, выполняться условия: KL = 200 K 200 = 2 ⇒ L2 = MRTS LK = ≈ 141,4. L 2 Отсюда, ЭЗ = 141,4 – 200 = -58,6; ЭВ = 120 – 141,4 = -21,4. Данное решение показано на рис. 8.6. ЭЗ показывает сокращение спроса на труд, вызванное его относительным удорожанием – при сохранении прежнего выпуска продукции (q 0 = 200) фирма выбрала бы способ производства Е 2 , который по сравнению со способом производства Е 0 является трудосберегающим (и соответственно более капиталоемким). Но рост цены труда 159

8.Рынок факторов производства уменьшает реальные финансовые возможности фирмы, поэтому фирма сокращает выпуск (q 1 = 120) и за счет эффекта выпуска также сокращает использование труда. В итоге фирма переходит на новую траекторию роста (т. Е 0 ∈ Т, т. Е 1 ∈ Т΄), соответствующую новому соотношению цен на ресурсы. К Т΄: 282,8

PL = 2; K = 2L PK

Е2 Т:

240 200

PL = 1; K = L PK

Е1 Е0

ЭВ 120 141,4

ЭЗ 200

400

L

Рис. 8.6. Ценовая эластичность спроса на ресурс Концепция эластичности спроса по цене может быть применена к исследованию чувствительности спроса на ресурс при малом относительном изменении цены ресурса. Ценовая эластичность спроса на ресурс е wL есть процентное изменение величины спроса на труд при изменении цены труда на 1%: ΔL ⋅ 100% dL w w L еL = или е wL = ⋅ , где Δw dw L ⋅ 100% w L – функция спроса на ресурс, w – цена труда. Аналогично ценовая эластичность спроса на капитал е rK есть процентное изменение величины спроса на капитал при изменении цены капитала на 1%: ΔK ⋅ 100% dK r е rK = K или е rK = ⋅ , где Δr dr K ⋅ 100% r К – функция спроса на капитал, r – цена капитала (арендная плата). Если предположить, что в производстве продукции используется 2 ресурса – труд и капитал, то важнейший фактор, определяющий ценовую эластичность спроса на ресурс, есть эластичность замещения труда капиталом. Когда эластичность замещения между трудом и капиталом низка, спрос на труд будет малоэластичным по цене труда. Напротив, высокая эластичность замещения между трудом и капиталом вызывает высокую эластичность спроса на труд. Другими словами, чем проще заменить труд капиталом, тем выше эластичность спроса на труд. Аналогичные выводы можно сделать для ценовой эластичности спроса на капитал.

160

8.Рынок факторов производства На рис. 8.7 показана взаимосвязь эластичности замещения и ценовой эластичности спроса на труд. К

К

Высокая эластичность замещения

Низкая эластичность замещения

наклон = w 1 /r E1

наклон = w 1 /r

наклон = w 2 /r E2

E1

w 2 < w1

наклон = w 2 /r E2

w 2 < w1

Q0 L1

Q0

L2

L

w

L1

L2

L

w

Эластичный спрос на труд

Неэластичный спрос на труд

w1

w1

w2

w2 DL L1

L2

DL L

L1

L2

L

Рис. 8.7. Эластичность спроса на ресурс зависит также и от других факторов: характера изменения (падения) предельного продукта ресурса по мере его использования; относительной важности фактора (доли затрат на ресурс в издержках производства); характера эластичности спроса на продукцию. 8.3. Индивидуальное и рыночное предложение труда

Определение индивидуального предложения труда основывается на модели потребительского выбора, аналогичной рассмотренной нами в главе 2. Поскольку время, которым располагает работник – это 24 часа в сутки, то при рыночной ставке заработной платы w его максимальный полный денежный доход за счет работы составит 24w. Естественно, рабочее время всегда меньше 24 часов, поскольку работник должен отдыхать, и его выбор между отдыхом и заработанным доходом (потреблением) определяется его предпочтениями. Индивидуальные предпочтения могут сильно различаться, что выражается в различной форме кривых безразличия индивидов. Если рассматривать свободное время (Н) и доход (I) как взаимозаменяемые блага, то для нахождения оптимального сочетания труда и свободного времени (досуга) необходимо решить следующую задачу: U(H, I) → max (1) I = w·(24 – H) = 24w - w·H (2) I ≥ 0, 24 ≥ H ≥ 0 (3) Условие (2) является бюджетным ограничением для работника. 161

8.Рынок факторов производства Его смысл очевиден: при досуге, равном Н, работа (L) составит L = 24 – H, тогда доход I = w·L = w·(24 – H). Наклон этого ограничения равен (-w). Условие равновесия в данной задаче потребительского выбора означает, что работник должен сделать такой выбор между свободным временем и доходом, чтобы предельная норма замещения дохода досугом была равна заработной плате, т.е. MU H MRS HI = = w (1΄) MU I I = w·(24 – H) (2΄) Графически потребительский выбор показан на рис. 8.8. I, ден.ед. 24w A т. A(0; 24w) т. B(24; 0) E IE U = U(H, I)

свободное время

HE

B рабочее время 24

Н, ч/сут

Рис. 8.8. т. Е – равновесие работника при рыночной ставке заработной платы w: MRS HI (Е) = w. При изменении рыночной ставки заработной платы меняется наклон бюджетной линии: при увеличении ставки заработной платы бюджетная линия поворачивается по часовой стрелке вокруг точки пересечения с осью абсцисс (т. В на рис. 8.8), при снижении w – поворачивается против часовой стрелки. Обратите внимание, что бюджетное ограничение всегда проходит через точку на оси абсцисс с координатами (24; 0). Однако, если работник имеет доход, не связанный с получением заработной платы, то его бюджетная линия примет вид: I = I 0 + 24w - w·H, где I 0 - «незаработанный» доход. Покажем графически вид такой бюджетной линии: I, ден.ед. А т. А (0; I 0 + 24w) т. В (24; I 0 )

I0

В

24

Н, ч/сут.

Рис. 8.9. 162

8.Рынок факторов производства Условия (1΄) и (2΄) позволяют найти функцию предложения труда отдельным работником, т.е. установить зависимость между изменением w и количеством часов, которые работник готов отдать работе. Числовой пример 8.6. Допустим, в году 8000 часов (фактически 8760). Известно также, что предпочтения индивида таковы, что 75% своего полного денежного дохода он всегда тратит на отдых. 1. Если w 1 = 5 ден.ед. в час, сколько часов будет работать данный индивид? 2. Допустим, индивид получил по завещанию годовой доход равный 4000 ден.ед. Сколько часов он будет теперь работать (при той же ставке заработной платы)? 3. Если по сравнению с п. 2 изменилась почасовая ставка заработной платы, так что w 2 = 10 ден.ед., чему будет равно предложение труда индивида? Покажите на графике функцию предложения труда, основываясь на резульататах решения пп. 2 и 3, если эта функция линейна. Решение. 1. Полный (потенциальный) доход потребителя (I T ) составляет I T = 8000·5 = 40000. 75% этого дохода индивид отдает досугу, следовательно, его трудовой доход (I L )составит 25% от I T . Соответственно бюджетное ограничение имеет вид: I L = w·L = w 1 ·(8000 – H) = 10000. При w 1 = 5 получаем I L = 10000 = 5·(8000 – H). Отсюда Н 0 = 6000 часов, L 0 = 2000 часов.

I 84000

44000 40000 E2

11000 10000

4000 0

E1 E0

Н 0 H 2 H1

8000

H

6000 6300 6600

Рис. 8.10.

163

8.Рынок факторов производства 2. Полный доход индивида составит теперь I T = 4000 + 8000·5 = 44000. Т.к. индивид по-прежнему 75% всего дохода тратит на досуг, то I L = 0,25·44000 = 11000. Бюджетное ограничение имеет вид: I L = 11000 = 4000 + 5(8000 – Н), отсюда Н 1 = 6600, L 1 = 1400. Обратите внимание, что в величине I L = 11000 действительно «заработанной» является лишь сумма в 7000 ден.ед. (w 1 ·L = 5·1400 = 7000), поскольку сумму в 4000 ден.ед. индивид получает независимо от того, какой выбор между досугом и рабочими часами он сделал. 3. При w 2 = 10 I T = 84000, I L = 0,25·I T = 21000. I L = 21000 = 4000 + 10(8000 – Н), отсюда Н 2 = 6300, L 2 = 1700. Следовательно, при прочих неизменных условиях рост ставки заработной платы привел к увеличению предложения труда. Решение задачи показано на рис. 8.10. Для построения функции предложения воспользуемся координатами точек E 1 и E 2 : E 1 (w 1 = 5, L 1 = 1400) E 2 (w 2 = 10, L 2 = 1700) Если предположить, что функция предложения труда является линейной, то ее график имеет вид: w ден.ед./час SL 10 5 1400

1700 Рис. 8.11.

L (чел./час)

Числовой пример 8.7. Индивид имеет целевую функцию U(C, H) = C ⋅ H , где С – расходы на потребление (ден.доход), Н – свободное время. Известно, что если индивид работает 12 часов в день, то максимальное значение целевой функции равно 24. 1. При какой ставке заработной платы индивид сделал этот выбор? 2. Верно ли, что при данной целевой функции предложение труда индивидом не зависит от величины заработной платы. 3.Чему будет равно благосостояние потребителя, если заработная плата равна 5 ден.ед. в час? Решение. 1. Поскольку при L = 12 Н = 12 и U max = 24, то можно найти доход, соответствующий

оптимальному выбору потребителя: 24 = C ⋅ H = C ⋅ 12 , отсюда С = 48. 48 = 4. Т.к. С = w·L, то w = 12 2. Модель предложения труда в общем виде записывается так: 164

8.Рынок факторов производства U(С, Н) → max C = w·(24 – H) H, C ≥ 0 MU H = w. MU C Следовательно, получаем следующие эквивалентные условия: MU H C MRS HC = = =w MU C H C ⇒ w= C = w·(24 – H) 24 - H C C Отсюда при любом значении w должно выполняться: ⇒ Н = 12. = H 24 - H Таким образом, при заданных предпочтениях независимо от величины заработной платы индивид выбирает 12 часов свободного времени. Поскольку L = 24 – Н, то L 0 = 12, т.е. количество труда, предлагаемое работником, не зависит от ставки заработной платы. Другими словами, его предложение является абсолютно неэластичным.

В точке оптимума должно выполняться условие: MRS HC =

3. Если заработная плата возрастет до 5, то предложение труда не изменится, но денежный доход увеличится: С = 5·12 = 60. Следовательно, Н(С, Н) = C ⋅ H = 60 ⋅ 12 = 12 5 ≈ 26,8. Графически решение представлено на рис. 8.12 и 8.13. С, ден.ед. 120

бюджетная линия: С = 5·(24 – Н)

бюджетная линия: С = 4·(24 – Н) 96 С 2 = 60

Е2

С 1 = 48

Е1 U 2 = 26,8 U 1 = 24 12 Н1 = Н 2

24

Н, часы

Рис. 8.12. Первоначальный выбор потребителя – т. Е 1 : L 1 = 12, C 1 = 48. При росте заработной платы потребитель не изменяет предложение труда, т.е. L 2 = L 1 = 12, С 2 = 48 и потребитель переходит на более высокую кривую безразличия (U 1 = 24; U 2 = 26,8).

165

8.Рынок факторов производства w ден.ед./час S L : L = 12

12

часы

Рис.8.13. Числовой пример 8.8. Работник не свободен в выборе продолжительности своего рабочего дня: он имеет фиксированную продолжительность 8 часов. Ставка заработной платы равна 10 ден.ед./час. Предпочтения работника в отношении свободного времени (Н) и дохода (I) заданы функцией полезности U(H, I) = H − 10 + 0,1I , где Н ≥ 10. 1. Является ли состояние работника на рынке труда равновесным? Если «да», то почему? Если «нет», то нехватку чего он ощущает – денег или свободного времени? 2. Какая продолжительность рабочего дня является оптимальной? 3. Как выглядит функция предложения труда в общем виде? Решение. 1. Найдем предельную норму замещения дохода свободным временем: 10 0,1 ⋅ I MU H = . MRS HI = MU I H - 10 При L = 8 и w = 10 I = 80, Н = 24 – 8 = 16. 10 0,1 ⋅ 80 Следовательно, MRS HI = ≈ 11,5 > w = 10. 6 Это означает, что состояние работника не является равновесным, т.к. в равновесии должно выполняться условие MRS HI = w = 10. Чтобы максимизировать значение функции полезности, работник предпочел бы увеличить свободное время, сократив рабочее время, и уменьшить доход (MRS HI уменьшится), т.е. он ощущает нехватку свободного времени.

2. Оптимальная продолжительность рабочего дня может быть найдена из условий: 10 0,1 ⋅ I MRS HI = = 10 H - 10 I = 10(24 – Н) Отсюда, Н 0 = 17, L 0 = 24 – 17 = 7, I 0 = 10·7 = 70. На рис. 8.14 показан оптимальный выбор работника (Е 0 ) по сравнению с вынужденным выбором (т. А). 3. В общем случае предложение труда определяется условиями: 10 0,1 ⋅ I MRS HI = =w H - 10 I = w·L 166

8.Рынок факторов производства Поскольку Н = 24 – L, то получаем 10L = 14w – wL, отсюда L S =

14w . 10 + w

I, ден.ед.

240

Максимально достижимая полезность Бюджетное ограничение работника: I = 10(24 – Н)

80 70

А Е U1 10

16 17 Рис. 8.14.

U0 24

Н, часы

В т. А L = 8 ч., MRS HI (А) > 10, поэтому этот выбор (при w = 10) не является оптимальным. В т. Е L = 7 ч., MRS HI (Е) = 10, бюджетная линия является касательной к кривой безразличия U 0 , этот выбор обеспечивает максимально достижимую полезность.

Знание функции предложения труда данным работником позволяет сразу найти оптимальную для работника продолжительность рабочего дня при определенном значении w. Так, при w = 10 L = 7, что подтверждает расчеты, сделанные в п. 2. 14 Переписав функцию L S в виде L S = , можно сделать вывод, что при w → ∞ 10 +1 w L S → 14, т.е. как бы не увеличивалась заработная плата, рабочее время работника ограничено 14 часами, что согласуется с его предпочтениями (Н ≥ 10). Покажем функцию предложения труда данным работником на графике (рис. 8.15). w SL

10 0

7

14 Рис. 8.15.

L, часы

167

8.Рынок факторов производства 8.4. Эффект дохода и эффект замены при изменении ставки заработной платы

Рассмотрим оптимальный выбор между трудом и досугом при изменении ставки заработной платы. Допустим, ставка заработной платы растет, тогда с помощью модели потребительского выбора графически можно представить выбор работника следующим образом: I В5 U5

В4 U4 В3

U3

М N G

В2 В1

U2 F E HG HNHM HF

U1 A 24

HE

H, часы

Рис. 8.16. При росте заработной платы бюджетное ограничение поворачивается по часовой стрелке вокруг т. А. Вначале с ростом заработной платы работник сокращает свободное время (H E > H F > H G ), соответственно увеличивая рабочие часы. Однако, при переходе на кривую безразличия U 4 , работник выбирает оптимальную точку N, где H N > H G , соответственно L N < L G , хотя заработная плата, соответствующая бюджетному ограничению АВ 4 , выше заработной платы, соответствующей бюджетному ограничению АВ 3 . При дальнейшем увеличении заработной платы и переходе на более высокие кривые безразличия работник продолжает увеличивать свободное время, сокращая количество рабочих часов. При таких предпочтениях потребителя (работника) его индивидуальное предложение труда можно показать с помощью кривой, загибающейся назад: w w5 M΄ N΄ w4 w3

w2 w1

G΄

F΄ E΄ L, часы

Рис. 8.17. 168

8.Рынок факторов производства Точки Е΄, F΄, G΄, N΄ и М΄ на рис. 8.17 соответствуют точкам E, F, G, N и М на рис. 8.16. Объяснение подобного вида кривой индивидуального предложения труда связано с эффектом замены и эффектом дохода при изменении ставки заработной платы. При росте заработной платы количество рабочих часов, требуемых для получения единицы дохода, падает. Доход как благо становится для работника более дешевым по сравнению с другим благом в наборе – свободным временем. Этот эффект заставляет работника замещать свободное время на доход при оптимальном выборе. Таким образом, эффект замены при росте заработной платы является отрицательной величиной и ведет к сокращению свободного времени и, соответственно, увеличению рабочего времени. Однако, с ростом заработной платы и повышением дохода увеличивается ценность досуга как нормального блага. Следовательно, эффект дохода является положительной величиной и ведет к увеличению свободного времени и, соответственно, сокращению рабочего времени. Если ЭЗ (по абсолютной величине) превышает ЭД, то с ростом заработной платы растет предложение труда (рис. 8.18, 8.19); если ЭД превышает ЭЗ, то, напротив, с ростом заработной платы предложение труда сокращается (рис. 8.20, 8.21). I C

Наклон бюджетного ограничения АВ равен w 1 , наклон бюджетного ограничения АС равен w 2 (w 2 > w 1 ). |ЭЗ| > |ЭД|

C1 Е2 B

U2 Е3 Е1 ЭЗ ЭД Н3 Н2

Н1

A1 рабочее время Рис. 8.18.

U1 А 24

H

w SL w2 w1

L 1 = 24 - H 1 L 2 = 24 - H 2

L

Рис. 8.19. На рис. 8.18 показано разложение по методу Хикса, когда эффект замещения превышает эффект дохода: рабочий день с ростом заработной платы увеличивается (рис. 8.19). 169

8.Рынок факторов производства I C

B E2 E3 U2

E1 U1 ЭЗ ЭД

Н 3 Н 1 Н 2 рабочее время Рис. 8.20.

А 24

H

На рис. 8.20 ЭД превышает ЭЗ, поэтому с ростом заработной платы предложение труда сокращается (рис. 8.21). w SL w2 w1

L 2 = 24 - H 2 L 1 = 24 - H 1

L

Рис. 8.21. Таким образом, если объединить эти случаи, то получим кривую предложения труда, показанную на рис. 8.17. Сложение по горизонтали индивидуальных кривых предложения дает рыночную (отраслевую) кривую предложения труда, которая в большинстве случаев имеет восходящий характер. Числовой пример 8.9. Воспользуемся исходными данными задачи 8.8. Найдем эффект замены и эффект дохода в изменении количества рабочего времени, если ставка заработной платы выроста с 10 до 15 ден.ед. в час. Решение. 1. Как было уже найдено, при w 1 = 10, Н 1 = 17 и L 1 = 7, I 1 = 7·10 = 70. Итак, исходный оптимум Е 1 (Н 1 = 17, I 1 = 70).

170

8.Рынок факторов производства 2. Найдем оптимальный выбор работника при w 2 = 15. Для максимизации функции полезности должны выполняться условия: 10 0,1 ⋅ I = 15 MRS HI = H - 10 I = 15(24 – Н) ⇒ Н 2 = 15,6; L 2 = 8,4. Обратите внимание, что в данном случае можно было избежать решения этой системы, 14w т.к. в задаче 8.8 была найдена функция предложения труда, а именно, L S = . 10 + w При w = 15 получаем L = 8,4 = L 2 . Соответственно I 2 = 15·8,4 = 126. Итак, при w 2 = 15 оптимальный выбор работника Е 2 (Н 2 = 15,6; I 2 = 126). 3. Для нахождения ЭЗ и ЭД воспользуемся методом Хикса. Найдем промежуточный оптимум работника, т.е. найдем, сколько часов посвятил бы досугу работник, если бы получал заработную плату w 2 = 15, но уровень полезности оставался бы исходным. Исходное значение полезности для данного работника: U 1 (E 1 ) = H 1 − 10 + 0,1⋅ I 1 = 17 − 10 + 0,1 ⋅ 70 = 2 7 . Промежуточный оптимум должен удовлетворять условиям: H − 10 + 10 0,1 ⋅ I H - 10

0,1⋅ I = 2 7

= 15 →

0,1⋅ I = 1,5 H − 10

Подставив 0,1 ⋅ I = 1,5 H − 10 в 1-е уравнение, получим H − 10 + 1,5 H − 10 = 2 7 . Отсюда, Н ≈ 14,5; I ≈ 101. При этом L = 24 – 14,5 = 9,5. Таким образом, координаты Е 3 (I 3 = 101; H 3 = 14,5). Поскольку точки Е 3 и Е 1 находятся на одной кривой безразличия U 1 , то ЭЗ = Н 3 - Н 1 = 14,5 – 17 = - 2,5, т.е. при сохранении исходного уровня полезности, но при новой заработной плате работник сократил бы свободное время на 2,5 часа, т.е. увеличил бы рабочие часы на 2,5 часа. ЭД = Н 2 - Н 3 = 15,6 – 14,5 = 1,1, т.е. работник на самом деле увеличил свободное время на 1,1 часа, поскольку он перешел на более высокую кривую безразличия, а досуг является нормальным благом. Соответственно, за счет ЭД рабочее время сократилось на 1,1 часа. Поскольку по абсолютной величине ЭЗ превышает ЭД, то в итоге при увеличении заработной платы работник увеличил предложение труда на 1,4 часа (ΔL = L 2 - L 1 = 8,4 – 7 = = 2,5 – 1,1 = 1,4).

Графическая иллюстрация решения дана на рис. 8.22, 8.23.

171

8.Рынок факторов производства I C 360 240 В I 2 = 126 I 3 = 101 I 1 = 70

Е2 Е3

АВ: I = 10(24 – w) AC: I = 15(24 – w)

U2 Е1

ЭЗ U1 ЭД

А

15,6 14,5

24

17

H

Рис. 8.22. L 1 = 24 – 17 = 7 L 2 = 24 – 15,6 = 8,4 L 3 = 24 – 14,5 = 9,5 w SL w 2 = 15 w 1 = 10

7

8,4

14 Рис. 8.22.

L

Кривая предложения труда имеет восходящий характер, причем L → 14 при w → ∞ .

8.5. Совершенная конкуренция на рынке труда. Экономическая рента.

На совершенно конкурентном рынке труда равновесная заработная плата устанавливается в результате взаимодействия рыночного спроса и рыночного предложения труда (рис. 8.23). Площадь треугольника w E АЕ характеризует выигрыш покупателей, т.е. нанимателей рабочей силы. Площадь прямоугольника Оw E ЕL E соответствует суммарному доходу, который получают работники. Как было показано в главе 1, площадь треугольника Вw E Е характеризует выигрыш производителей, если речь идет о рынке готовой продукции. Применительно к рынку фактора производства – в данном случае, рынку труда – эта часть дохода называется экономической рентой. На рис. 8.23 затененная площадь соответствует экономической ренте, получаемой работниками в составе общего дохода. Площадь ОВЕL E , находящаяся 172

8.Рынок факторов производства под линией предложения труда, называется удерживающим доходом или издержками перехода, поскольку любой фактор производства в некоторой сфере его применения удерживается тем, что получает за свои услуги оплату, покрывающую его альтернативную стоимость. Для труда экономическая рента есть разница между рыночной ставкой заработной платы и предельной ценностью досуга, «пожертвованного» ради работы или, другими словами, экономическая рента есть разница между рыночной ценой ресурса и предельными издержками на вовлечение ресурса в производство. w A SL wE

Е

DL B 0

LE

L

Рис. 8.23. Пропорция распределения дохода, получаемого фактором производства, на экономическую ренту и удерживающий доход, зависит от эластичности предложения фактора производства: чем меньше эластичность предложения фактора, тем большая доля оплаты услуг фактора приходится на экономическую ренту и меньшая – на удерживающий доход, и наоборот (рис 8.24). w

w

w

SL E w0

SL

Е SL

w0

w0

Е

А DL

DL

0

DL

0 L0

L

Экономическая рента в составе дохода равна нулю. Площадь Оw 0 ЕL 0 удерживающий доход.

0 L0 Экономическая рента равна площади Аw 0 Е. Площадь ОАЕL 0 удерживающий доход.

L

L0

L

Экономическая рента равна площади Оw 0 ЕL 0 . Удерживающий доход равен нулю.

Рис. 8.24.

173

8.Рынок факторов производства Числовой пример 8.10. Заданы функции спроса и предложения труда: L D = - 50w + 450, L S = 100w – 150. 1. Чему будет равна равновесгая заработная плата и занятость на этом рынке? 2. Чему равна экономическая рента работников? Решение. 1. Найдем равновесную заработную плату. Поскольку в равновесии L D = L S , то -50w + 450 = 100w – 150. Отсюда, w 0 = 4. Соответственно, L 0 = 100·4 – 150 = 250. 2. Экономическая рента – это площадь треугольника АВЕ (рис. 8.25). Экономическая рента = ½·(4 – 1,5)·250 = 312,5 w

9 w0 = 4 В

DL: w = 9 -

L 50

SL: w =

L + 1,5 100

Е

Экономическая рента 1,5 А 0

L 0 = 250 Рис. 8.25.

L

Экономическую ренту можно также найти как разность между общим доходом и удерживающим доходом. В нашем примере общий доход равен w 0 ·L 0 = 1000. Удерживающий доход равен площади трапеции ОАЕL 0 , т.е. ½·(1,5 + 4)·250 = 687,5. Экономическая рента равна разности (1000 – 687,5) = 312,5. Числовой пример 8.11. Заданы функции спроса и предложения труда: L D = - 50w + 450, L S = 100w. 1. Чему равны равновесные значения занятости и заработной платы на этом рынке? 2. Допустим, правительство устанавливает минимальную заработную плату на уровне w min =4. К каким последствиям это приведет? 3. Если правительство, желая поднять равновесное значение заработной платы, предлагает субсидию нанимателям за каждого нанятого работника, то чему должна быть равна эта субсидия, чтобы равновесная заработная плата была равна 4 ден.ед.? Чему будет равен равновесный уровень занятости, чистые потери общества и изменение выигрыша покупателей (нанимателей) рабочей силы? Решение. 1. В состоянии равновесия L D = L S или -50w + 450 = 100w, отсюда w 0 = 3, L D = L S = L 0 = 300. 2. При w min = 4 L S (4) = 400, в то время как L D (4) = -200 + 450 = 250.

174

8.Рынок факторов производства Следовательно, введение минимальной заработной платы, превышающей равновесное значение, приведет к появлению безработицы, т.к. L S (4) > L D (4), а именно, незанятость составит 400 – 250 = 150. 3. При введении субсидии (обозначим ее t) спрос нанимателей увеличится, при этом w S = 4, w D = w S - t, где w S - равновесное значение зарплаты, получаемой работниками, w D - фактические расходы нанимателей по оплате труда с учетом выплаченной субсидии. Поскольку L S (w S ) = L D (w D ), то 100·4 = -50· w D + 450. Отсюда, w D = 1. Таким образом, t = w S - w D = 4 – 1 = 3. Занятость составит L S (4) = 400. Чистые потери общества составят площадь треугольника Е 0 Е 1 А (рис. 8.26): ½·(400 – 300)·(4 – 1) = 150. Изменение выигрыша нанимателей в результате введения субсидии составит площадь трапеции w D w S Е 0 А или величину ½·(300 + 400)·(3 – 1) = 700. Заметьте, что в результате введения субсидии выиграли также продавцы услуг труда, что соответствует площади w 0 w S Е 1 Е 0 и равно величине ½·(300 + 400)·(4 – 3) = 350. Очевидно также, что общая величина субсидии Т = t·L S = 3·400 = 1200, равна сумме изменений выигрышей покупателей, продавцов рабочей силы и чистых потерь общества (1200 = 700 + 350 + 150). w S L : L S = 100w

wS = 4 w0 = 3

Е1 Е0

wD = 1

D L/

A DL 250 300

400 450 Рис.8.26.

L

До введения субсидии равновесная занятость и заработная плата определяются т. Е 0 : L 0 = 300, w 0 = 3. После введения субсидии равновесие перемещается в т. Е 1 : w S = 4, L S = 400, что вызывает чистые потери общества, определяемые площадью треугольника Е 0 Е 1 А. Установление минимальной заработной платы на уровне w min = 4 без введения субсидии привело бы к появлению безработицы, т.к. L D (4) = 250, L S (4) = 400.

8.6. Несовершенная конкуренция на рынке труда Модель монопсонии.

Несовершенная конкуренция на рынке труда со стороны покупателей ресурса в своем крайнем варианте представлена единственным покупателем на рынке труда. Этот единственный покупатель (фирма-монопсонист) обладает рыночной властью, т.е. возможностью влиять на уровень заработной платы путем сокращения числа нанимаемых работников. Для фирмы-монопсониста восходящий характер кривой рыночного предложения труда (w = f(L S )) определяет восходящий характер кривой 175

8.Рынок факторов производства предельных издержек по вовлечению работников (MIC L = φ(L)), причем в случае линейной функции предложения труда, функция предельных издержек монопсониста также будет линейной. Пусть w = w 0 + mL, тогда TC(L) = w·L = (w 0 + mL)·L = w 0 ·L + m·L 2 dTC = w 0 + 2mL. MIC L = dL По сравнению с линией общих издержек линия предельных издержек монопсониста имеет наклон в 2 раза больше, как показано на рис. 8.27. w MIC L : w = w 0 + 2mL,

tgβ = 2m

S L : w = w 0 + mL, tgα = m β

α

w0 L

Рис. 8.27. Для фирмы-монопсониста предельные издержки всегда выше цены ресурса (кроме m. L = 0, когда MIC L = w(L) = w 0 ).

В общем случае, TC(L) = w(L)·L и MIC L =

dw dTC ⋅ L + w. = dL dL

dw > 0 (функция предложения имеет восходящий характер), то MIC L > w. dL Обратите внимание на то, что функция предложения труда совпадает со средними TC(L) = w(L). Поэтому для издержками использования труда. Действительно, АС(L) = L монопсониста предельные издержки по использованию труда превышают средние издержки. Равновесие монопсониста определяется равенством MRP L = MIC L , как показано на рис. 8.28. w Поскольку

MIC L

сверхприбыль монопсониста

A MRP L (L M ) wC wM

SL

C К MRP L (D L ) LM LC Рис. 8.28.

L 176

8.Рынок факторов производства Размер занятости определяется пересечением кривых предельной доходности (MRP L ) и предельных издержек (MIC L ) – т. А на рис. 8.28. Цена, по которой покупается труд, устанавливается монопсонистом на уровне w M (т. К), что меньше предельной доходности от использования этого количества труда. Если бы на этом рынке было много покупателей, то равновесие установилось бы в т. С (в точке пересечения линий S L и D L ). Таким образом, монопсонистическая власть приводит к сокращению занятости (L M < L C ) и уровня заработной платы (w M < w C ), что увеличивает прибыль монопосиниста (на рис. 8.28 это затененный прямоугольник). Зависимость рыночной власти фирмы-монопсониста от эластичности функции предложения труда. Как мы показали в главе 5, условие равновесия на рынке монополии, MR = MC, P * − MC * 1 эквивалентно условию , где Р* - цена , при которой прибыль = * P E PD монополиста максимальна, МС* = МС(Q*), где Q* - объем производства, максимизирующий прибыль. Левая часть этого равенства выражает относительное превышение цены над предельными издержками. Это превышение обратно пропорционально эластичности спроса по цене. Аналогичное правило действует и на рынке монопсонии. Если обозначить через Е SwL -

эластичность

предложения

труда

по

заработной

плате, то для монопсониста, MRPL − w 1 (*). Мы = максимизирующего прибыль, выполняется равенство: w E SwL получили показатель аналогичный индексу Лернера. Это равенство отличает монопсонистический рынок труда от совершенно конкурентного рынка труда. На совершенно конкурентном рынке любая фирма покупает услуги труда по заданной цене w. Поэтому для максимизации прибыли фирма нанимает столько труда, чтобы выполнялось равенство: MRP L = w. На рынке монопсонии, напротив, монопсонист платит заработную плату, которая меньше, чем предельная доходность труда (т.е. MRP L > w). Равенство (*) показывает, что отклонение заработной платы от показателя MRP L определяется величиной, обратной к показателю эластичности предложения по цене. Числовой пример 8.12. Фирма-монопсонист на рынке труда, максимизирующая прибыль, продает продукцию на рынке готовой продукции по фиксированной цене Р = 10 ден.ед. и ее производственная функция в краткосрочном периоде имеет вид Q = 102L – 0,2L 2 + K, где L – число нанимаемых работников, К – фиксированные затраты капитала. Предложение труда имеет вид: L = 10w – 120. 1. Сколько рабочих и по какой заработной плате наймет фирма? 2. Какова степень рыночной власти монопсониста на рынке труда? Решение. 1. Запишем функцию предложения труда в виде w = 0,1L + 12. Это линейная функция, следовательно, функция предельных издержек по найму труда для монопсониста также будет линейной, т.е. MIC L = 0,2L + 12 (ее наклон в 2 раза больше наклона линии предложения труда). Условие максимизации прибыли для рынка труда: MRP L = MIC L , где MRP L = MR L ·Р = (102 – 0,4L)·10.

177

8.Рынок факторов производства Следовательно, 1020 – 4L = 0,2L + 12. Отсюда, L M = 240, w M = 0,1·240 + 12 = 36 (рис. 8.29). w MIC L = 0,2L + 12

60

S L : w = 0,1L + 12

w M = 36 MRP L = 1020 – 4L L M = 240 255 Рис. 8.29. 2. Степень рыночной власти можно найти, используя формулу I L =

L MRPL − w 1 = w . w E SL

60 − 36 24 = ≈ 0,67. 36 36 Проверим, что в точке оптимального выбора показатель I L , действительно, равен величине, обратной Е SwL . Выразим L через w: L = 10w – 120. Поскольку MRP L (240) = 1020 - 4·240 = 60, то I L =

dL w w w ⋅ = 10· = . dw L 10w - 120 w - 12 1 36 24 При w = 36 Е SwL = , следовательно, w = ≈ 0,67, что совпадает с найденным ранее 24 36 E SL Е SwL =

значением индекса рыночной власти фирмы-монопсониста. Числовой пример 8.13. Компания является единственным работодателем в регионе. Она может нанять любое требуемое ей количество мужчин или женщин. Предложение женского труда задано в виде: L f = 100w f , предложение мужского труда: L m = 9w 2m . Здесь w f и w m - ставки

заработной платы женщин и мужчин соответственно. Допустим, что компания продает продукцию на рынке совершенной конкуренции по цене Р = 5 ден.ед. и что МР f = МР m = 2. 1. Если компания максимизирует прибыль, сколько женщин и мужчин она наймет, какую заработную плату установит и какую прибыль получит? 2. Допустим, компания вынуждена платить и мужчинам, и женщинам заработную плату, равную стоимости их предельных продуктов. Сколько работников – мужчин и женщин наймет компания? Будет ли она получать прибыль в этом случае?

178

8.Рынок факторов производства Решение. 1. Поскольку компания является монопсонистом на рынке труда, то ее предельные издержки по найму не совпадают со средними издержками (заработной платой). Найдем MIC f и MIC m . Lf , то Поскольку функция предложения труда женщин является линейной, w f = 100 L L очевидно, что MIC f = 2· f = f . 100 50

ТС m = L m ·w m = L m ·

Lm

3

L2 dTC m = m . Отсюда, MIC m = = 3 dL

Lm

. 3 2 Найдем MRP f и MRP m . Так как MP f = MP m = 2, то MRP f = MRP m = 2·Р = 2·5 = 10. Для максимизации прибыли компании должны выполняться следующие условия: L MRP f = MIC f 10 = f 50 Lm ⇒ 10 = ⇒ L f = 500, L m = 400. MRP m = MIC m 2 Подставив эти значения в соответствующие функции предложения труда, получим Lm L 400 2 w f = f = 5, w m = = =6 . 100 3 3 3 Полученное решение показано на рис. 8.30, 8.31. w MIC f =

πf

Lf 50

Sf : wf =

10

Lf 100

MRP f : w = 10 wf = 5 0

500

1000

Lf

Рис. 8.30. w πm 10 wm

MIC m = MRP m : w = 10

Lm 2

Sm : wm =

Lm 3

2 =6 3 0

400

900

Lm

Рис. 8.31.

179

8.Рынок факторов производства Итак, компания-монопсонист наймет больше женщин, чем мужчин и установит женщинам более низкую ставку заработной платы. Такое поведение фирмы «оправдано» тем, что при одинаковой предельной доходности привлечение труда мужчин и женщин вызывает у фирмы разные предельные издержки, что, в свою очередь, определяется разными функциями предложения мужского и женского труда на рынке. Прибыль компании составит*): 2 π = ТР m ·Р + ТР f ·Р - L m ·w m - L f ·w f = 400·2·5 + 500·2·5 – 400·6 - 500·5 = 3 = 9000 – 2667 – 2500 = 3833. 3. Данная компания является на рынке готовой продукции совершенным конкурентом, поэтому для нее стоимость предельного продукта работника равна предельной доходности, т.е. VMP f = MRP f , VMP m = MRP m . Поскольку MRP f = MRP m = 10, то VMP f = VMP m = 10. Теперь w f = w m = 10. Следовательно, компания наймет 1000 женщин (L f = 100· w f = 1000) и 900 мужчин (L m = 9·w 2m = 9·100 = 900). Обратите внимание, что в данной ситуации (заработная плата фиксирована) фирма ведет себя на рынке труда не как монопсонист, а как совершенный конкурент, т.е. для нее предельные издержки по найму работников постоянны и равны заработной плате. Поскольку заработная плата при этом равна стоимости предельного продукта труда, то фирма наймет то количество работников, которое определяется функцией предложения труда. Прибыль фирмы будет, очевидно, равна нулю, что и подтверждается расчетом: π = 1000·2·5 + 900·2·5 - 1000·10 - 900·10 = 0. Заметьте также, что заработная плата, равная предельной доходности используемого труда (w f = w m = 10), является максимально возможной для фирмы. При более высокой заработной плате фирма получит отрицательную экономическую прибыль. Потери «мертвого груза» в условиях монопсонии. Возникновение потерь «мертвого груза» на рынке монопсонии аналогично рынку монополии. Рассмотрим выбор монопсониста на рынке труда (рис. 8.32). w MIC L

чистые потери общества

A B

SL

F

wC C wM

G D

MRP L

LM

*)

LC Рис.8.32.

L

Напомним, что ТР m (ТР f ) – это общий выпуск, который обеспечивают работники-мужчины (женщины).

Поскольку МР m = 2, то ТР m = МР m ·L m = 2·400 = 800. Аналогично, ТР f = МР f ·L f = 2·500 = 1000.

180

8.Рынок факторов производства По сравнению с рынком совершенной конкуренции занятость и заработная плата на рынке монопсонии ниже, т.е. L M < L C и w M < w C . Выигрыш продавцов на рынке монопсонии составляет площадь D, выигрыш потребителей, т.е. покупателей рабочей силы, составляет площадь (А + В + С). Чистые потери общества равны площади F + G. Сравним выигрыш продавцов и покупателей на рынке совершенной конкуренции и на рынке монопсонии в таблице 8.1.

Выигрыш потребителей Выигрыш производителей Суммарный выигрыш

Совершенная конкуренция А+В+F C+D+G A+B+F+C+D+G

Монопсония A+B+C D A+B+C+D

Таблица 8.1. Разница (C – F) - (C + G) - (F + G)

Числовой пример 8.14. Фирма с технологией производства Q = 2L монополизировала рынок готовой продукции, спрос на которую задан в виде Q D = 96 – 8P. На рынке труда эта фирма сталкивается с предложением труда L S = w. 1. Какой спрос на труд предъявит фирма и какую заработную плату она установит? Чему будет равен выпуск и цена продукции? Какую прибыль получит фирма? 2. Чему равны чистые потери общества из-за монопсонии на рынке труда? Решение. 1. Функция спроса фирмы на труд определена функцией MRP L . Для фирмы-монополиста на рынке готовой продукции MRP L = MR(Q)·МP L . Поскольку функция спроса на Q Q 2L L = 12 - . готовую продукцию линейна и Р = 12 - D , то MR(Q) = 12 - D = 12 8 4 4 2 dQ L МP L = = 2. Следовательно, MRP L = (12 - )·2 = 24 – L. dL 2 Предельные издержки данной фирмы на рынке труда составят MIC L = 2L. На рынке труда при максимизации прибыли фирмы выполняется равенство MRP L = MIC L , отсюда 24 – L = 2L, L = 8. При этом w = L = 8. Итак, монопсонист наймет труд в количестве L = 8 и будет платить заработную плату равную 8 ден.ед. Поскольку Q = 2L = 16, то Р(Q) = 10 и π(Q) = 16·10 - 8·8 = 96.

2. Чистые потери общества из-за существования монопсонии на рынке труда составят площадь треугольника АЕВ (рис. 8.33), т.е. величину ½·(16 – 8)·(12 – 8) = 16. Сравним решение этой задачи с ситуацией, когда фирма вначале определяет объем продукции, максимизирующий прибыль, а затем находит требуемое количество ресурса, и убедимся в идентичности результатов. На рынке готовой продукции должно выполняться условие MR(Q) = MC(Q). Q Известно, что MR(Q) = 12 - D . 4 Q Q2 (L = ). Для нахождения MC(Q) сначала найдем TC(Q): TC(Q) = w(L)·L = L 2 = 4 2 181

8.Рынок факторов производства Следовательно, MC(Q) =

Q Q Q ⇒ Q M = 16. . Отсюда, 12 = 2 4 2

Фирма-монополист произведет 16 ед. продукции и продаст ее по цене Р = 12 ден.ед., для этого ей потребуется труд в количестве L =

16 = 10 8

16 = 8. Иллюстрация этого 2

решения показана на рис. 8.34. w 24

MIC L = 2L SL: w = L E

16

ЧПО

12

B

8

A MRP L = 24 – L 8

12

24

L

Рис. 8.33. Единственный покупатель на рынке труда наймет 8 ед. труда и предложит заработную плату w = 8. В отсутствие монопсонии спрос на труд составил бы 12 ед., заработная плата выросла бы до 12 ден.ед.

Р

МС = 12 10 8

Q (фирма-монопсонист) 2 Q MC = (фирма-совершенный 4 конкурент на рынке труда)

К M

4

N 16

D: P = 12 24

48

Q 8 Q

MR = 12 -

Q 4

Рис. 8.34. Фирма-монополист выбирает объем продаж в т. К: MR = МC. Заштрихованная площадь – чистые потери общества из-за монопсонистической власти фирмы на рынке труда.

182

8.Рынок факторов производства Если бы данная фирма не была монопсонистом на рынке труда, то ее издержки составили w0 бы TC(Q) = w 0 ·L = ⋅ Q , где w 0 - некоторая фиксированная заработная плата, 2 установившаяся на рынке труда. w L Q = . В этом случае MC(Q) = 0 = 2 2 4 Объем продаж составит Q = 24: равенство MR(Q) = MC(Q) выполняется при условии Q Q ⇒ Q = 24. = 12 4 4 Q Спрос на труд L = = 12, что совпадает со спросом на труд, который предъявит фирма 2 на рынке труда в отсутствие монопсонии (т. В на рис.8.33). Чистые потери общества из-за монопсонистической власти фирмы на рынке труда теперь соответствуют заштрихованной площади треугольника KNM и равны величине ½·(8 – 4)·(24 – 16) = 16, что и требовалось получить. Обратите внимание, что в данной задаче мы определили потери общества, вызванные монополизацией рынка труда со стороны фирмы-покупателя и не рассматривали ЧПО, вызванные монопольным положением данной фирмы на рынке готовой продукции. 8.7. Профсоюз на рынке труда. Профсоюз – монополист.

Профсоюз как объединение работников может воздействовать на конкурентный рынок труда тремя основными способами: ограничивая предложения труда (рис. 8.35), повышая спрос на труд (рис. 8.36) и воздействуя на правительство с целью законодательного установления минимальной заработной платы (рис. 8.37). w S L/ SL w2

E2

w1

E1 DL L2

L1

L

Рис. 8.35. Сокращение предложение труда перемещает равновесие из т. Е 1 в Е 2 , при этом повышается равновесная заработная плата, но сокращается занятость на рынке труда.

С точки зрения экономики с целом наиболее предпочтительным методом является влияние профсоюзов на спрос на труд: от увеличения спроса на труд выигрывают и работники, и работодатели. Если профсоюз обладает монопольной властью на рынке труда, то он будет стремиться ограничить предложение труда с тем, чтобы повысить уровень заработной платы. 183

8.Рынок факторов производства w SL w2 w1

E2 E1 D L/ DL L1

L2

L

Рис. 8.36. Повышение спроса на труд приводит к росту равновесной заработной платы и росту занятости на рынке труда.

w SL w min w1

E1 DL L2

L1

LS

L

Рис. 8.37. Если заработная плата законодательно установлена на уровне w min > w 1 , то занятость сократится до величины L 2 , при этом уровень безработицы составит (L S - L 2 ).

На рис. 8.38 показано определение занятости и заработной платы, если профсоюз является чистым монополистом и его цель – максимизировать «прибыль» своих членов. w SL wп wС

B C A MR L Lп

DL

LС

L

Рис. 8.38. 184

8.Рынок факторов производства Профсоюз выбирает т. А – пересечение линии предельного дохода MR L и линии предложения труда S L (напомним, что формирование линии предложения труда связано с предельными издержками вовлечения работников в производство). Занятости в размере L п соответствует заработная плата w п . В условиях совершенной конкуренции равновесие установилось бы в т. С с занятостью L С рабочих и заработной платой w С . Монополизация рынка профсоюзом приводит к чистым потерям общества в размере треугольника АВС. Числовой пример 8.15. Заданы функции спроса и предложения труда L D =450 – 50w, L S =100 w - 150. 1. Как изменятся занятость и заработная плата на этом рынке, если он будет монополизирован профсоюзом? 2. Чему равна экономическая рента членов профсоюза? 3. Каковы чистые потери общества? Решение. 1. Как было показано в рассмотренном ранее примере 8.10, в отсутствие профсоюза L 0 = 250, w 0 = 4. Если профсоюз ставит цель максимизировать прибыль, точнее экономическую ренту, получаемую членами профсоюза, то занятость определится L равенством MR L = MС L , где MR L = 9 (поскольку функция спроса линейна и 25 L 450 - D , то функция предельного дохода тоже линейна с наклоном в 2 раза w = 50 50 большим, чем у линии спроса на труд). MС L совпадает с линией предложения труда. L LS + 1,5. Поскольку w = S + 1,5, то MС L = 100 100 L L Найдем точку равновесия профсоюза: 9 = + 1,5 ⇒ L п = 150. 25 100 150 Соответственно, w п = 9 = 6 (рис. 8.39). 50 w D

В

С

wп = 6 w 0 = 4 В΄ 3 A

S L : w = 0,01L + 1,5 К΄ К

Е

MR

DL: w = 9 D΄ 450

L п = 150 225

LD 50

L

Рис. 8.39. 185

8.Рынок факторов производства Итак, профсоюз за счет уменьшения предложения труда увеличил заработную плату членов профсоюза. 2. Экономическая рента (альтернативная прибыль) равна заштрихованной площади трапеции АВСК, т.е. величине ½·(4,5 + 3)·150 = 562,5. 3. Чистые потери общества составят площадь треугольника СКЕ или величину ½·3·100 = 150. Обратите внимание, что в результате монополизации рынка труда уменьшился выигрыш фирм-потребителей услуг труда. На рынке совершенной конкуренции выигрыш потребителей (нанимателей) составлял площадь треугольника DВ΄Е, равную величине ½·5·250 = 625. Теперь выигрыш покупателей равен площади DВС или ½·3·150 = 225. Изменение выигрыша покупателей равно площади трапеции В΄ВСЕ и равно (625 – 225) = 400 или, что то же самое ½·(150 + 250)·(6 – 4) = 400. При этом выигрыш покупателей в размере В΄ВСК΄ достался профсоюзу как монополисту на рынке. В то же время, сократив предложение труда с 250 до 150 работников, профсоюз потерял сумму, соответствующую площади треугольника К΄КЕ, что и составляет вместе с треугольником СК΄Е чистые потери общества от монополизации рынка профсоюзом. 8.8. Двусторонняя монополия на рынке труда.

Двусторонней монополией называется ситуация на факторном рынке, когда покупателю-монопсонисту противостоит продавец-монополист (на рынке труда – профсоюз). Графический анализ для случая линейных зависимостей функций спроса и предложения труда представлен на рис. 8.40. w MIC L A wп

S L (MC п )

wE Е wM

K D L (MRP L ) MR п LM Lп

LE Рис. 8.40.

L

Фирма-монопсонист наймет работников в количестве L M и установит заработную плату w M . Профсоюз-монополист,обеспечивая занятость L п , хотел бы установить заработную плату w п . На рынке совершенной конкуренции занятость составила бы величину L E при заработной плате wE.

Данный анализ показывает несовпадение интересов монополистов: при незначительном различии в числе нанимаемых работников (в нашем случае L M < L п , но могло быть и наоборот) желаемые уровни заработной платы резко различаются 186

8.Рынок факторов производства (w M < w п ). И фирма-монопсонист, и профсоюз, руководствуясь критерием максимизации своей прибыли, уровень заработной платы определяют по разным функциям. Равновесие покупателя определяется т. А (MRP L = MIC L ) и соответствующая заработная плата определяется по линии предложения труда (w M = S L ( L M )). Равновесие профсоюза задается т. К (MR п = MC п ), соответствующая заработная плата определяется по функции спроса на труд (w п = D L ( L п )). Однозначно ответить, каким будет равновесный уровень заработной платы на таком рынке, нельзя. Числовой пример 8.16. Обратимся к рассмотренному нами примеру 8.11, предположив, что единственная фирма-покупатель предъявит спрос вида L D = 450 – 50w. Предложение труда имеет вид L S =100 w. 1. Если фирма является монопсонистом на рынке труда, сколько труда она наймет и какую заработную плату установит? 2. Если предложение труда монополизировано на рынке профсоюзом, сколько рабочей силы будет предложено на рынок, если цель профсоюза – максимизация общего дохода своих членов? Какой будет заработная плата? 3. Если рынок имеет монополии на стороне спроса и предложения труда, как будет выглядеть равновесие на данном рынке? Что можно сказать о достижении равновесия? Решение. 1. Найдем предельные издержки фирмы-монопсониста. Поскольку предложение труда L L L = . задано в виде линейной функции w = S , то MIC L = 2· 100 100 50 Величина спроса на труд, при которой фирма-монопсонист максимизирует прибыль, задается условием MRP L = MIC L . В данном примере функция спроса на труд вида L D = 450 – 50w определяется предельной доходностью труда для фирмы. Выразим w 450 - L L L через L: w = =9. Следовательно, MRP L = 9 . 50 50 50 L L Оптимальный спрос на труд определим из уравнений: 9 ⇒ L M = 225. = 50 50 Монопсонист наймет 225 работников, заработная плата каждого определяется из функции L = 2,25. предложения: w M = 100 2. Если на стороне работников появляется профсоюз, который максимизирует общий доход своих членов, то для нахождения оптимального количество рабочей силы найдем предельный доход и приравняем его к нулю. L Поскольку функция спроса на труд является линейной и w = 9 , то 50 L L MR(L) = 9 - 2· =9. 50 25 L MR(L) = 0 → 9 = 0 ⇒ L п = 225. 25 Итак, предложение труда профсоюзом равно 225, при такой занятости члены профсоюза могут рассчитывать на заработную плату, которую можно найти из функции спроса на L 225 труд: w = 9 =9= 4,5. 50 50 Итак, L п = 225; w п = 4,5.

187

8.Рынок факторов производства 3. Если на рынке сталкиваются два монополиста – продавец труда (профсоюз) и покупатель (монопсонист), то можно лишь предположить, что путем переговоров профсоюзу удастся при сохранении занятости (L п = L M = 225) поднять заработную плату выше уровня w M = 2,25. Каков будет уровень заработной платы на рынке, однозначно сказать нельзя. Все зависит от силы противостоящих друг другу монополий. В «идеале» заработная плата может приблизиться к конкурентному значению, определяемому пересечением кривых спроса и предложения труда. L L В данном примере w E = 3: 9 ⇒ L E = 300, w E = 3. = 50 100 Обратите внимание на то, что данный равновесный уровень заработной платы предполагает бóльшую занятость (L E = 300 > L п = L M = 225). Графическая иллюстрация решения представлена на рис. 8.41. w 9 MIC L = А

L (предельные издержки монопсониста) 50

MR п : w = 9 -

L (предельный доход профсоюза) 25

w п = 4,5 SL: w = wE = 3 w M =2,5

L (линия предложения труда) 100

Е

(линия спроса

B F 225 LM = Lп

D L (MRP L ): w = 9 300 450 LE Рис. 8.41.

L монопсониста) 50

L

Определение занятости и заработной платы: т. А, т. В: фирма-монопсонист определяет занятость в точке пересечения MIC L и MRP L (т. А). Затем по линии S L монопсонист устанавливает заработную плату (т. В). т. F:

Профсоюз определяет занятость при условии, что MR п = 0.

В данном примере L п = L M = 225. Соответствующая заработная плата определяется по линии спроса на труд со стороны фирмы-работодателя - w п = 4,5 (т. А). т. Е: Конкурентное равновесие на рынке труда, определяемое пересечением линий спроса и предложения труда.

Числовой пример 8.17. Функция спроса на некоторый товар Q D = 120 – 2Р, функция предложения Q S = - 30 + P. 1. Чему будет равна цена продукции и объем продаж в условиях совершенной конкуренции? 2. Некоторая фирма получила исключительное право продажи данного товара. Она закупает товар и продает населению, свободно устанавливая цены закупки и продажи.

188

8.Рынок факторов производства Считая, что затраты фирмы-посредника складываются только из расходов на закупку товара, какой установится объем сделок и по каким ценам фирма будет закупать и продавать товар? 3. Чему будут равны прибыль фирмы-посредника и чистые потери общества? Решение. 1. На рынке совершенной конкуренции выполняется равенство Q D = Q S ⇒ Р E = 50, Q E = 20. 2. Фирма-посредник – единственный покупатель данного товара, т.е. является монопсонистом. Поскольку предложение товара задается функцией Q S = - 30 + Р или Р = Q S + 30, то МС(Q) = 2Q + 30. В то же время фирма-посредник является монополистом, поэтому объем продаж она определяет из условия MR(Q) = MC(Q), где MR(Q) = 60 – Q. Q Отсюда, 60 – Q = 2Q + 30 или Q M = 10, Р M = 60 = 60 – 5 = 55. 2 Таким образом, фирма-посредник закупит 55 единиц продукции у производителей по цене Р S = Q S + 30 = 10 + 30 = 40, но продаст потребителям это же количество продукции по цене Р D = Р M = 55. Покажем решение на графике (рис. 8.42). Р MC = 2Q + 30 60 π1 S: P = Q + 30 55 A

50

E

π2 40 B MR = 60 - Q D: P = 60 10

20

Q 2 Q

Рис. 8.42. 3. Прибыль фирмы-посредника π(Q) = TR(Q) – TC(Q) = 55·10 - 40·10 = 150. В этой прибыли можно выделить 2 части. Пусть π 1 - прибыль, которую фирма-посредник получает в результате того, что она является монопсонистом на рынке ресурса; π 2 - прибыль, которую фирма-посредник получает в результате того, что она является монополистом на рынке готовой продукции Тогда π 1 = (55 – 50)·10 = 50; π 2 = (50 – 40)·10 = 100. Чистые потери общества составляют площадь треугольника АВЕ: ЧПО = ½·(55 – 40)·(20 – 10) = 75. Рассмотренную задачу можно обобщить. Пусть спрос и предложение некоторого товара описывается линейными функциями. Можно показать, что в этом случае появление на рынке единственного посредника уменьшает вдвое объем сделок. 189

8.Рынок факторов производства Пусть D(Q) = a – b·Q, S(Q) = c + d·Q. Тогда на рынке совершенной конкуренции Q D = Q S или a – b·Q = c + d·Q ⇒ a-c . QE = b+d При появлении посредника MR(Q) = a – 2b·Q, MC(Q) = c + 2d·Q, отсюда фирмапосредник установит объем продаж, при котором MR(Q) = MC(Q), т.е. Q a-c = E . a – 2b·Q = c + 2d·Q ⇒ Q M = 2(b + d) 2 Эта задача имеет и простое графическое решение. Пусть т. Е (рис. 8.43) соответствует конкурентному равновесию. Точка В делит отрезок АЕ пополам, так что через нее Q проходит и линия MR, и линия МС, так что Q B = E . 2 Р МС S А

В

Е MR

QB

D QE Рис. 8.43.

Q

190

9.Рынок капитала Межвременной выбор. Ценообразование на рынке капиталов. 9.1. Спрос на капитал.

Спрос на капитал связан главным образом с инвестиционным процессом, т.е. с ростом или сокращением капитальных вложений в производственные мощности и оборудование, жилищное строительство и т.п., хотя краткосрочные потребности в денежном капитале также влияют на его спрос. Специфика инвестиционного процесса заключается в том, что расходы, связанные с осуществлением инвестиционного проекта, приходится нести в настоящем, а доходы появляются только в будущем с завершением строительства объекта и выпуском продукции. Если разрыв во времени между вложениями капитала и получением доходов не превышает 1 год, то можно считать такие инвестиции краткосрочными. Для оценки прибыльности инвестиций используют ставку ссудного процента (i) и показатель предельной нормы окупаемости инвестиций (r). Предельная норма окупаемости инвестиций – это ожидаемая отдача от инвестиций. Ставка ссудного процента – фактически сложившаяся на рынке цена единицы инвестиций. Для отдельной фирмы на рынке совершенной конкуренции величина i задана и определяет предельные издержки по использованию дополнительной единицы денежного капитала. Поэтому MIC K = i, причем величина I обычно выражается в процентах или в относительных долях. Внутренняя (предельная) норма окупаемости вложений также выражается в процентах или в долях. Если использовать введенное ранее обозначение предельной доходности от использования дополнительной единицы ресурса, то r = MRP K . Фирма, максимизирующая прибыль, достигает равновесия, если MRP K = MIC K или r = i. Разность (r – i) называют предельной чистой окупаемостью инвестиций. Оптимальный объем инвестиций достигается при (r – i) = 0. Нахождение спроса на инвестиции в краткосрочном периоде показано на рис. 9.1. i, r (в %) i0

E

MRP K = r (D K ) K0 K Рис. 9.1.Спрос на инвестиции со стороны отдельной фирмы При r > i 0 фирме выгодно увеличивать инвестиции, т.к. в этом случае предельная чистая окупаемость вложений положительна. Напротив, при r < i 0 вложения не выгодны. Оптимальный спрос на инвестиции в размере К 0 задается т.Е: r = i 0 . Числовой пример 9.1. Кривая спроса на заемные средства имеет вид i =0,4 – 0,02К, где К – объем необходимых денежных средств, i – ставка банковского процента. На какое количество заемных средств фирма предъявит спрос, если i = 5%?

191

9.Рынок капитала Решение.

0,4 - i = 20 – 50i. 0,02 Здесь, очевидно, i выражено в относительных долях. При i = 0,05 К = 17,5. Выразим К через i: K =

Обратите внимание, что предельные издержки для фирмы постоянны и равны ставке банковского процента, т.е. предложение капитала является бесконечно эластичным. Предельная доходность от использования дополнительной единицы инвестиций падает с ростом инвестиций. Оптимальный спрос на инвестиции задается пересечением линии предельных издержек MIC K и линии предельной доходности MRP K (рис. 9.2). i 0,4 MRP K = 0,4 – 0,02К 0,05

Е 17,5

MIC K = i = 0,05 20

К

Рис. 9.2. В т. Е MRP K = MIC K , т.е 0,4 – 0,02К = 0,05. Это равенство выполняется при К = 17,5. 9.2. Учет фактора времени при определении спроса на инвестиции

Большинство инвестиций носит долгосрочный характер, поэтому при принятии решений в долгосрочном периоде необходимо учитывать фактор времени. Если фирма, делающая сегодня инвестиции в размере К, рассчитывает получить через t лет доход в размере R t , то сегодняшняя ценность будущего (ожидаемого) дохода составит величину Rt PV = , где PV – сегодняшняя ценность дохода R t , ожидаемого через t лет, i (1 + i) t сложившаяся на рынке заемных средств банковская ставка процента. Действительно, фирма может принять альтернативное решение – дать взаймы сумму в размере К. Тогда ее Rt доход через t лет составит величину R t = К(1 + i) t . Отсюда, К = , т.е. в (1 + i) t равновесном состоянии фирма предъявит спрос на инвестиции, если К = PV. 1 Величину называют коэффициентом дисконтирования для t-го года, дробь (1 + i) t Rt называют дисконтированной или приведенной стоимостью. Обратите внимание, (1 + i) t что при анализе инвестиционных проектов ожидаемые доходы и требуемые капиталовложения можно приводить не только к началу периода, но и к любому выбранному году. Главное, чтобы обеспечивался принцип сравнимости и сопоставимости различных инвестиционных проектов.

192

9.Рынок капитала Если через 1, 2, … Т лет ожидается получение дохода соответственно R 1 , R 2 , … R T , то сегодняшнюю ценность такого потока дохода можно определить по формуле T Rt . Очевидно, что при заданной банковской ставке процента i фирма PV = ∑ t t =1 (1 + i) предъявит спрос на инвестиции в долгосрочном периоде, если К ≤ PV. Пока K < PV, инвестиции выгодны. При K = PV фирма достигает равновесия. В экономических расчетах часто используется показатель чистой приведенной T Rt стоимости - NPV: NPV = - K + PV = - K + ∑ . t t =1 (1 + i) Инвестиции прибыльны, пока NPV > 0. При NPV = 0 фирма определяет оптимальный объем инвестиций. Числовой пример 9.2. Найдем текущую стоимость потока доходов, ожидаемых к концу соответствующего года, если R 1 = 5550 , R 2 = 1232, банковская ставка процента постоянна и равна 11%. Решение. 2

Rt

1232 5550 = 5000 + 1000 = 6000 (ден.ед.). + 1,11 (1,11) 2 t =1 Обратите внимание, что «простое» сложение ожидаемых доходов дает величину 6782, что превышает значение текущей дисконтированной стоимости.

Согласно формуле PV =

∑ (1 + i)

t

=

Расчет дисконтированной стоимости важен для принятия инвестиционного решения. Предположим, что для получения данных доходов (пример 9.2) фирме необходимо осуществить проект стоимостью К. Если К ≤ PV, то данный проект будет выгоден. В числовом примере 9.2 спрос фирмы на инвестиции не превысит 6000 ден.ед. Числовой пример 9.3. Для строительства объекта фирма может использовать любой из двух проектов, различающихся как общими затратами, так и распределением капиталовложений по годам, осуществляемых в начале соответствующего года (в млн. руб.): Вариант ВСЕГО Годы строительства 1 2 3 1 200 300 0 500 2 90 180 288 558 1. Какой проект выберет фирма, если банковская ставка процента постоянна и равна 20%? 2. Изменится ли выбор фирмы, если i = 10%? 3. При какой ставке процента ни одному из варианту нельзя будет отдать предпочтение? Решение. 1. Приведем капиталовложения к первому году – году начала строительства. 300 По 1-му варианту: PV 1 = 200 + = 450. 1,2 288 180 = 440. + По 2-му варианту: PV 2 = 90 + 1,2 (1,2) 2 Следовательно, при i = 20% фирма должна осуществить второй вариант, т.к. его дисконтированная стоимость меньше.

193

9.Рынок капитала 2. Аналогичный расчет при i = 10%: 300 PV 1 = 200 + = 472,72. 1,1 288 180 = 491,65. + PV 2 = 90 + 1,1 (1,1) 2 Теперь более выгодным является первый вариант строительства. 3. Найдем i, при котором PV 1 = PV 2 : 288 300 180 200 + = 90 + + . 1+ i 1+ i (1 + i) 2 Данное уравнение сводится к решению квадратного уравнения вида 110(1 + i) 2 + 120(1 + i) – 288 = 0, откуда i = 0,162 или i = 16,2%. Как уже отмечалось, выбор инвестора не зависит от того, к какому году приводятся капиталовложения. Главное – учесть фактор времени при определении спроса на инвестиции. Если обозначить К tj - капиталовложения t-го года по j-му варианту строительства, α – год приведения, Т – число лет строительства объекта, то приведенная стоимость строительства за Т лет по j-му варианту составит К j =

T

∑K t =1

j t

(1 + i) α - t . В рассмотренном

примере 9.3 Т = 3, α = 1, j = 1, 2. При определении текущей (дисконтированной) стоимости предполагалось, что банковская ставка процента является величиной постоянной. Если банковская ставка процента ежегодно меняется, так что i = i t , t = 1, 2, … Т, то дисконтированная стоимость будущих доходов за Т лет равна величине: R1 R2 RT + +…+ . PV = (1 + i 1 ) (1 + i 1 ) ⋅ (1 + i 2 ) (1 + i 1 ) ⋅ (1 + i 2 ) ⋅ … ⋅ (1 + i T ) Числовой пример 9.4. Инвестиционный проект требует первоначальных вложений в размере К = 18000 ден.ед. Через 1 год доходы составят R 1 =11000 ,к концу 2-го года R 2 = 12650. Выгодно ли осуществить данный проект, если i 1 = 10%, i 2 = 15%? Решение. Найдем текущую стоимость ожидаемых доходов с учетом меняющейся ставки процента. 11000 12650 PV = = 20000. + 1,1 1,1 ⋅ 1,15 Поскольку К = 18000 < PV = 20000, то такой проект фирме выгоден. Тот же вывод может быть получен, если определить будущую ценность сегодняшних требуемых капиталовложений и сравнить ее с суммарными ожидаемыми доходами, приведенными к концу рассматриваемого периода. Если не вкладывать 18000 в проект, а положить эти деньги в банк, то через 2 года получим сумму К T = 18000·1,1·1,15 = 22770 (ден.ед.). Ожидаемые доходы к концу 2-го года: R T = 11000·1,15 + 12650 = 12650 + 12650 = 25300 (ден.ед.). Поскольку К T < R T , то вкладывать деньги в инвестиционный проект выгоднее, чем хранить деньги в банке.

194

9.Рынок капитала 9.3. Определение предложения сбережений

Чтобы выйти на рынок заемных средств с предложением денег, субъекты рынка (индивиды, домохозяйства, фирмы, посредники и т.п.) должны сберечь какую-то часть текущего дохода, т.е. отказаться от текущего потребления ради увеличения потребления в будущем. С другой стороны, индивид может брать средства взаймы под определенный процент в текущий момент, рассчитывая отдать долг за счет дохода будущего периода. Таким образом, при определении индивидуального и рыночного предложения капитала следует рассматривать модель потребительского выбора с учетом времени (по крайней мере, двух периодов времени – настоящего и будущего).

Выбор потребителя с учетом фактора времени. Межвременное равновесие. Рассмотрим в общем виде двухпериодную модель потребительского поведения: (1) U(C 1 , C 2 ) → max C 2 = I 2 + (1 + i)·(I 1 - C 1 ) (2) C1, C 2 ≥ 0 (3) Здесь C 1 , C 2 - расходы на потребление; I 1 , I 2 - денежные доходы потребителя; i – банковская ставка процента. В данной модели не учитывается инфляция. Важнейшей характеристикой функции полезности является предельная норма замещения одного блага другим. Поскольку рассматривается 2 периода времени, то этот показатель называется предельной нормой временных предпочтений - MRTP C1C 2 . dC 2 | U(C1 ,C 2 ) = const . dC 1 > 1, то потребитель является «нетерпеливым», т.е. он откажется от 1

По определению, MRTP C1C 2 = Если MRTP C1C 2

ед. текущего потребления, только если будущее потребление увеличится больше, чем на 1 ΔC 2 | > 1). ед. (| ΔC 1 ΔC 2 | < 1). Для «терпеливого» потребителя MRTP C1C 2 < 1 (| ΔC1 Графически этим группам потребителей с разными предпочтениями соответствуют различные кривые безразличия: C2

C2 C 2 = C1

C 2 = C1

F3

G3 G2

F2 G1 F1 45º α C1 Рис. 9.3. «Нетерпеливый» потребитель

45º β C1 Рис. 9.4. «Терпеливый» потребитель 195

9.Рынок капитала На рис. 9.3 для «нетерпеливого» потребителя MRTP C1C 2 (F 1 ) > 1 (tgα > 45º). Для «терпеливого» потребителя на рис. 9.4 MRTP C1C 2 (G 1 ) < 1 (tgβ < 45º). Напомним, что в любой точке кривой безразличия (в зоне взаимозаменяемости благ) MU C1 . можно рассчитать MRTP C1C 2 = MU C 2 Бюджетное ограничение потребителя в этой модели (2) имеет очевидный экономический смысл: будущее потребление индивида (C 2 ) складывается из будущего дохода (I 2 ) и сбережений, сделанных в настоящее время при банковской ставке процента i. Если сбережения обозначить буквой S, то S 1 = I 1 - C 1 . Если I 1 > C 1 , то S 1 > 0, т.е. индивид является кредитором, предлагая капитал на денежном рынке. Отказавшись сегодня от потребления в размере S 1 , завтра индивид увеличит потребление на величину S 1 ·(1 + i) = (I 1 - C 1 )·(1 + i). Если S 1 < 0, то потребитель живет сегодня в долг, выступая на стороне спроса. Очевидно также, что наклон бюджетного ограничения равен – (1 + i). Приведем другие (эквивалентные) записи бюджетного ограничения, имеющие важный экономический смысл. C 2 + C 1 ·(1 + i) = I 2 + (1 + i)·I 1 (2.1) C2 I + C1 = 2 + I1 (2.2) 1+ i 1+ i Уравнение (2.1) характеризует расходы на потребление и доходы индивида, приведенные к будущему периоду. Уравнение (2.2) характеризует расходы на потребление и доходы индивида, приведенные к настоящему периоду. Уравнение вида (2.2) позволяет провести аналогию с бюджетным ограничением потребителя, рассмотренным ранее в главе 2. I2 1 Если обозначить + I 1 = М, то получим уравнение C 1 + ⋅ C 2 = М. Если 1+ i 1+ i 1 продолжить аналогию и обозначить C 1 = х, C 2 = у, Р X = 1, Р Y = , то бюджетное 1+ i ограничение в двухпериодной модели примет стандартный вид: Р X ·х + Р Y ·у = М. Заметьте, что в этой модели, как уже отмечалось, не учитывается инфляция. При изменении банковской ставки процента (и прочих неизменных условиях) мы получим семейство бюджетных линий (прямых), проходящих через общую точку а, в которой C 1 = I 1 , C 2 = I 2 (рис. 9.5). Если найти оптимальное решение модели (1) - (3), то, как было показано в главе 2, оно удовлетворяет условиям: MU C1 MRTP C1C 2 = =1+i (1΄) MU C 2 C2 I = I1 + 2 1+ i 1+ i C1, C 2 ≥ 0

C1 +

(2΄)

196

9.Рынок капитала C2

А1

А АВ – исходное бюджетное ограничение т. А (С 1 = 0; C 2 = I 2 + (1 + i)·I 1 ) I т. В (С 1 = I 1 + 2 ; C 2 = 0) 1+ i т. а (С 1 = I 1 ; C 2 = I 2 )

А2 а

I2

I1

В1

В2 В

С1 Рис.9.5. При увеличении i бюджетная линия АВ поворачивается вправо (по часовой стрелке), при уменьшении i бюджетная линия поворачивается влево (против часовой стрелки).При этом общей точкой остается т. а (I 1 , I 2 ). В случае внутреннего оптимума (C 1 > 0, C 2 > 0) потребитель может выбрать один из трех вариантов. 1. Потребитель-кредитор предлагает деньги на рынке, тогда C 1 < I 1 и точка равновесия лежит левее и выше точки а: C2 А С E2

S 1 = (I 1 - С 1E ) > 0

Е

I2

а

U(C 1 , C 2 ) В

С

E 1

I1

C1

Рис. 9.6. 2. Потребитель живет «по средствам», т.е. его оптимальный выбор совпадает с т. а, тогда C1 = I1, C 2 = I 2 . C2 А

I2

Е (а) I1

S1 = I1 - C1 = 0 В Рис. 9.7.

U(C 1 , C 2 ) C1

3. Потребитель-должник, т.е. увеличивает потребление сегодня, беря деньги в долг, тогда точка равновесия лежит правее и ниже т. а: 197

9.Рынок капитала C2 А а I2 С E2

S 1 = (I 1 - С 1E ) < 0

U(C 1 , C 2 ) Е С 1E

I1

В Рис. 9.8.

C1

Числовой пример 9.5. Функция полезности индивида U(C 1 , C 2 ) = C 1 ·C 2 . I 1 = 2000; I 2 = 1100. Ставка банковского процента i = 10%. Кем является данный потребитель – кредитором или должником? Решение.

C2 . C1 Поэтому в точке оптимума должны выполняться условия: C2 = 1,1 C1 C 2 = 1100 + 1,1·(2000 - C 1 ) C1, C 2 ≥ 0 Напомним, что бюджетное ограничение может быть записано по-другому: C2 1100 + C1 = + 2000 = 3000 или C 2 + 1,1C 1 = 1100 + 1,1·2000 = 3300. 1,1 1,1 Величина 3000 характеризует общий доход, приведенный к началу текущего периода; величина 3300 – это доход, приведенный ко второму периоду. Воспользуемся последней записью ограничения для нахождения параметров равновесия. Поскольку C 2 = 1,1C 1 , то 2,2C 1 = 3300 ⇒ C 1 = 1500, соответственно S 1 = 500, C 2 = 1650. Таким образом, данный потребитель является кредитором, как показано на рис. 9.9. Его выбор находится левее (выше) т. а (I 1 = 2000; I 2 = 1100). При данной функции полезности MRTP C1C 2 =

C2 3300 С E2 = 1650

Е а

1100

S1 В С = 1500 2000 3000 Рис. 9.9. E 1

U(C 1 , C 2 ) C1

198

9.Рынок капитала Числовой пример 9.6. Функция полезности потребителя имеет вид U(C 1 , C 2 ) = С 10, 4 ·С 02, 6 . Доход потребителя I 1 = 300; I 2 = 315. Ставка банковского процента i = 15%. Как изменятся параметры равновесного состояния потребителя, если его доход в первом периоде увеличится и составит I 1/ = 630? Решение.

Найдем MRTP C1C 2 =

MU C1 MU C 2

=

2C 2 . 3C 1

В точке оптимума должны выполняться условия: 2C 2 = 1,05 → C 2 = 1,575C 1 3C 1 C 2 = 315 + 1,05(300 - C 1 ) Отсюда, 2,625C 1 = 630 ⇒ C 1 = 240; C 2 = 378. Итак, имея денежный доход I 1 = 300, потребитель сберегает S 1 = 300 – 240 = 60 ден.ед. При I 1/ = 630 решение аналогично: C 2 = 1,575C 1 C 2 = 315 + 1,05(630 - C 1 ) Отсюда получаем 2,625C 1 = 976,5 ⇒ C 1 = 372; C 2 = 585,9. Теперь S 1 = 630 – 372 = 258 ден.ед. Таким образом, при росте денежного дохода в текущем периоде и прочих неизменных условиях потребитель увеличил текущее потребление и в то же время увеличил сбережение. Данное решение показано на рис. 9.10. C2 А΄ 976,5

А

Е2

/ 2

C = 585,9 C 2 = 378 I 2 = 315

U 1/

Е1 а

а΄ U1

S 1/ S1 C 1 =240 I 1 =300 C 1/ = 372 В I 1/ = 630 Рис. 9.10.

В΄ 930

C1

При неизменной банковской ставке процента увеличение дохода I 1 привело к параллельному сдвигу бюджетного ограничения из положения АВ в положение А΄В΄. Потребитель перешел на более высокую кривую безразличия, увеличив как текущее, так и будущее потребление, а также увеличив сбережения в текущем периоде.

199

9.Рынок капитала Числовой пример 9.7. В двухпериодной модели потребительского выбора функция полезности потребителя имеет вид:U(C 1 , C 2 ) = C1 + 2 C 2 . Известно, что ставка банковского процента равна 10%. 1. Если потребитель не берет в долг и не кредитует, а доходы в настоящем и будущем периодах одинаковы, чему будет равна MRTP C1C 2 ?

2. Найдем оптимальный выбор потребителя, если I 1 = I 2 = 100. Решение.

1. MRTP C1C 2 =

MU C1 MU C 2

=

C2 2 C1

.

Поскольку потребитель живет «по средствам», т.е. C 1 = I 1 ; C 2 = I 2 , причем I 1 = I 2 , то в данной точке кривой безразличия MRTP C1C 2 = ½. 2. Для оптимального выбора должно выполняться C2 = 1,1 или C 2 = 4,84C 1 . 2 C1 При этом бюджетное ограничение: C 2 = 100 + 100·1,1- C 1 ·1,1. Отсюда С 1 ≈ 35,35; C 2 = 171,1; S 1 ≈ 64,65 (см. рис. 9.11). С2 А 210 C 2 = 171

Е1

I 2 = 100

максимально достижимая полезность

а

U 0 (C 1 , C 2 ) =

C1 + 2 C 2 = 32,09

S1 α C 1 =35,3 I 1 =100

β В

C1

Рис. 9.11. При данных предпочтениях кривые безразличия пересекают оси координат, но оптимальный выбор потребителя является внутренним. В т. Е MRTP C1C 2 = 1,1, в то время как в т. а MRTP C1C 2 = 0,5. Оптимальной точкой является т. Е – точка касания заданного бюджетного ограничения АВ и максимально достижимой при этом кривой безразличия.

200

9.Рынок капитала Модель межвременного выбора с учетом инфляции. Обозначим t – годовую ставку инфляции. Тогда бюджетное ограничение (2) в двухпериодной модели (1) – (3) можно записать так: I 1+ t C1 + С 2 · = I1 + 2 или 1+ i 1+ i I2 1+ i + ·(I 1 - C 1 ). С2 = 1+ t 1+ t Напомним, что без учета инфляции наклон бюджетного ограничения был равен – (1 + i). 1+ i ). С учетом инфляции наклон равен – ( 1+ t Если обозначить номинальную ставку банковского процента i Н , реальную ставку - i Р , 1+ iH 1+ iH = 1 + i Р , отсюда i Р = - 1 (*). то 1+ tP 1+ tP Зная номинальную ставку процента и темп инфляции, можно по формуле (*) определить реальную ставку банковского процента. Числовой пример 9.8. Потребитель имеет целевую функцию U(C 1 , C 2 ) = C 12 ·C 2 . В первом периоде его доход I 1 = 100; во втором периоде - I 2 = 200. 1. Найдем оптимальный объем потребления по периодам и величину сбережений, если ставка банковского процента i = 21%. 2. Допустим, доходы потребителя остались прежними, i = 21%, но годовой темп инфляции равен 10%. Как изменится потребление по периодам? Решение. 1. Запишем условия оптимального выбора потребителя: 2C 2 = 1,21 MRTP C1C 2 = C1 C 200 C 1 + 2 = 100 + 1,21 1,21 Решая эту систему уравнений, получим: С 1 = 177; C 2 = 107; S 1 = - 77. Таким образом, данный потребитель живет в долг. На рис. 9.12 оптимальное решение представлено т. Е 1 .

2. При наличии инфляции t = 10% оптимальный выбор будет определяться условиями: 2C 2 1,21 MRTP C1C 2 = = 1,1 C1 1,1 200 C1 + C 2 · = 100 + (**) 1,21 1,21 Обратите внимание, что изменился наклон бюджетного ограничения – бюджетное ограничение повернулось против часовой стрелки (рис. 9.12). Инфляция также сократила реальный доход, которым располагал потребитель во втором периоде. Запишем ограничение (**) в виде: 1,21C 1 + 1,1С 2 = 321. Подставим С 1 = I 1 = 100, тогда С 2 = 182. Данный ответ очевиден, поскольку номинальный доход I 2 = 200 при инфляции t = 10% соответствует реальному доходу 200 I P2 = = 182. 1,1 201

9.Рынок капитала Решив систему уравнений, получим С 1 = 177; C 2 = 97,3; S 1 = - 77. На рис. 9.12 это оптимальное решение представлено т. Е 2 . Таким образом, при заданных предпочтениях учет инфляции не изменил выбор потребителя в первом периоде – потребитель по-прежнему имеет долг S 1 = - 77. Однако, расходы на потребление во втором периоде сократились. С2 321 А 292 А΄ I 2 = 200

а а΄

АВ:

I P2 = 182

C 2 + 1,21C 1 = 321

А΄В΄: 1,1C 2 + 1,21C 1 = 321

C 2 = 107

Е1

С 2/ = 97,3

Е2

U1

S1< 0

U2 В

I 1 = 100 C 1 = 177 265,3 C1 Рис. 9.12.Межвременной выбор потребителя с учетом инфляции. 9.4. Рыночное предложение сбережений. Эффект замещения и эффект дохода.

Рыночное предложение сбережений можно получить, суммируя индивидуальные функции предложения сбережений (инфляция отсутствует). Для нахождения индивидуальных функций предложения денег все параметры модели межвременного выбора (1) – (3) считаются неизменными, за исключением банковской ставки процента. Допустим, при i = i 1 потребитель сберегает деньги, т.е. S 1 > 0 (C 1/ < I 1 ), как показано на рис. 9.13. Тогда при росте ставки банковского процента (i 2 > i 1 ) потребитель-кредитор переходит на более высокую кривую безразличия, причем С 1// < C 1/ , следовательно рост i побуждает индивида увеличить сбережения (см. рис. 9.13). На это изменение величины сбережений влияют два эффекта – эффект замещения (ЭЗ) и эффект дохода (ЭД). ЭЗ показывает, насколько изменяется текущее потребление (соответственно, величина сбережений) индивида в результате изменения ценности текущего потребления относительно ценности будущего потребления. ЭД показывает, насколько изменяется текущее потребление (и, соответственно, сбережения) индивида в результате изменения его реального благосостояния. При росте банковского процента ЭЗ < 0, ЭД > 0. Следовательно, за счет ЭЗ потребитель сокращает текущее потребление и увеличивает сбережения, но за счет ЭД текущее потребление увеличивается, и сбережения сокращаются. В итоге индивид увеличит сбережения, если |ЭЗ| > |ЭД|. Аналогичное разложение для случая, когда ставка банковского процента снижается, но потребитель остается кредитором, показана на рис. 9.14.

202

9.Рынок капитала С2 А2

A

Разложение по методу Хикса: A 2/ В 2/ || А 2 B 2 , т. Е 3 ∈ U 1 .

/ 2

Наклон А 1 B 1 равен – (1 + i 1 ). Наклон А 2 B 2 равен – (1 + i 2 ). i 2 > i1

Е2

А1

Е3 U2 Е1 ЭД

I2

U1 ЭЗ

a

C 1/ В 2/ I1 B 2 B1 C1 С 1/// С 1// Рис. 9.13. Разложение изменения расходов на потребление при росте ставки банковского процента, если потребитель-кредитор. Исходный оптимальный выбор – т. Е 1 : S 1/ = I 1 - C 1/ . При росте ставки банковского процента потребитель выбирает т. Е 2 : S 1// = I 1 - С 1// . Поскольку С 1// < C 1/ , то S 1// > S 1/ . При этом ЭЗ < 0 (отрезок С 1/// C 1/ ), ЭД > 0 (отрезок С 1/// С 1// ). В итоге при росте i сбережения увеличились.

С2 А1

A 2/ А2

Е1 Е3 U1

Е2 U2 I2

ЭЗ а ЭД / // С 1 С 1/// I 1 B1 B2 В 2/ C1 C1 Рис. 9.14. Разложение изменения расходов на потребление при снижении ставки банковского процента, если потребитель является кредитором. 203

9.Рынок капитала Исходный оптимальный выбор – т. Е 1 : S 1/ = I 1 - C 1/ . При снижении ставки банковского процента потребитель выбирает т. Е 2 : S 1// = I 1 - С 1// . Поскольку C 1// > С 1/ , то S 1// < S 1/ . При этом ЭЗ > 0 (отрезок C 1/ С 1/// ), ЭД < 0 (отрезок С 1// С 1/// ) и |ЭЗ| > |ЭД|. В итоге при снижении i сбережения сократились.

Итак, при изменении ставки банковского процента, индивид остается кредитором (сберегает деньги), если |ЭЗ| > |ЭД|. Однако, индивидуальные предпочтения могут быть таковы, что |ЭЗ| < |ЭД|. Тогда, допустим, при росте ставки банковского процента индивид сократит сбережения и может стать заемщиком. Числовой пример 9.9. Найдите функцию предложения сбережений для индивида, если его предпочтения заданы в виде U(C 1 , C 2 ) = C 1a ·C 12− a (0 < a < 1). Доходы в первом и во втором периодах соответственно I 1 и I 2 , ставка банковского процента i > 0 (инфляция отсутствует). Решение. В точке равновесия должны выполняться условия: aC 2 =1+i MRTP C1C 2 = (1 - a) ⋅ C1 С 2 = I 2 + I 1 ·(1 + i) - C 1 ·(1 + i) 1- a Отсюда, подставив из первого уравнения С 2 = ⋅ C1 ⋅ (1 + i) во второе уравнение, a I получим C 1 = а·(I 1 + 2 ) (*), соответственно 1+ i I С 2 = (1 + i)·(1 – a) ·(I 1 + 2 ) = (1 – a)·(I 1 ·(1 + i) + I 2 ). 1+ i aI 2 (**). Найдем S 1 = (I 1 - C 1 ): S 1 = I 1 ·(1 – а) (1 + i) Как видно из формулы (*), с ростом ставки банковского процента (и прочих неизменных условиях) текущее потребление сократится, при этом C 1 → аI 1 при i → ∞ . Соответственно, сбережения растут, причем S 1 → I 1 ·(1 – a) при i → ∞ (формула (**)). Данная зависимость показана на рис. 9.15.

i

функция предложения сбережений S(i)

S = I 1 ·(1 – а) Рис. 9.15.

S

При данных предпочтениях с ростом i индивид увеличивает сбережения, однако, этот рост имеет предел, задаваемый величиной S = I 1 ·(1 – а). 204

9.Рынок капитала Числовой пример 9.10. Функция полезности индивида U(C 1 , C 2 ) = C 1 ·C 2 . Доход в первом периоде I 1 = 60000. Во втором периоде индивид не имеет дохода. 1. Как изменится оптимальный выбор потребителя, если рыночная ставка процента увеличится с 10% до 16%? 2. Найдем функцию предложения сбережений в зависимости от изменения i, если I 1 > 0, I 2 = 0. Решение. 1. Для максимизации функции полезности должны выполняться следующие условия: MU C1 C = 2 =1+i MRTP C1C 2 = MU C 2 C1

C 2 = I 2 + (1 + i)·(I 1 - C 1 ) C1, C 2 ≥ 0 Поскольку I 2 = 0, то при i = 10% получаем: C 2 = 1,1C 1 C 1 = 30000 C 2 = 1,1·60000 – 1,1C 1 ⇒ S 1 = 30000 C 2 = 33000 Таким образом, потребитель является кредитором, сберегая в текущем периоде, чтобы обеспечить потребление в будущем периоде в отсутствие дохода (I 2 = 0). Теперь найдем оптимальный выбор при i = 16%. C 2 = 1,16C 1 C 1 = 30000 C 2 = 1,16·60000 – 1,16C 1 ⇒ S 1 = 30000 C 2 = 34800 Следовательно, потребитель не изменил величину сбережений, но увеличил потребление в будущем периоде за счет роста ставки банковского процента. Оптимальный выбор индивида показан на рис. 9.16. Полученный нами результат отражает характер предпочтений потребителя в ситуации, когда I 2 = 0. C2 69600 66000 34800

Е2

33000

Е1 U(C 1 , C 2 ) = C 1 ·C 2 30000

а 60000 Рис. 9.16.

C1

Поскольку потребитель не имеет денежного дохода в будущем периоде, то он должен сберегать в текущем периоде, чтобы обеспечить потребление в будущем. При этом объем сбережений не зависит от рыночной ставки процента.

205

9.Рынок капитала 2. Рассмотрим задачу в общем виде. Поскольку в точке оптимума должно выполняться C I условие 2 = 1 + i и при этом C 2 = (1 + i)·I 1 - C 1 ·(1 + i), то получаем, что C 1 = 1 , т.е. C1 2 потребление в текущем периоде не зависит от ставки банковского процента, а следовательно, и объем сбережений остается величиной постоянной, не зависящей от i. i

S I S= 1 2 Рис. 9.17. При I 2 = 0 функция предложения сбережений является неэластичной по норме банковского процента, причем S =

I1 . 2

Числовой пример 9.11. Предпочтения индивида заданы в виде U(C 1 , C 2 ) = C 1 ·C 2 . Доход в первом и во втором периодах соответственно I 1 = 2000, I 2 = 1100. 1. Как изменится текущее потребление (и сбережения) индивида, если ставка банковского процента увеличится с i 1 = 10% до i 2 = 20%? 2. Найдем ЭЗ и ЭД в общем изменении текущего потребления. Покажем решение на графике. Решение. 1. При i 1 = 10% оптимальный выбор индивида определяется условиями: MU C1 C MRTP C1C 2 = = 2 = 1,1 MU C 2 C1

C 2 = 1100 + 1,1·2000 – 1,1C 1 ,

откуда получаем координаты т. Е 1 (рис. 9.18): С 1/ = 1500, S 1/ = 2000 – 1500 = 500, C 2/ = 1,1С 1/ = 1650. При этом U(C 1 , C 2 ) = 1500·1650 = 2475000. При i 2 = 20% получаем аналогично: C2 = 1,2 C1 откуда координаты конечного оптимума Е 2 : C 2 = 1100 + 1,2·2000 – 1,2C 1 ,

С 1// = 1458, S 1// = 2000 – 1458 = 542, С 2// = 1749,6. Итак, рост ставки банковского процента привел к сокращению текущего потребления и соответственно росту сбережений (ΔS = + 42). 206

9.Рынок капитала 2. Воспользуемся методом Хикса для нахождения эффекта дохода и эффекта замещения. Промежуточная точка Е 3 должна удовлетворять условиям: C 1 ·C 2 = 2475000 C2 = 1,2, отсюда получаем: 1,2С 12 = 2475000, C 1 = C1 Таким образом, ЭЗ = 1436 – 1500 = - 64; ЭД = 1458 – 1436 = 22.

2062500 ≈ 1436.

Обратите внимание, что ЭЗ < 0. В результате увеличения ставки банковского процента при сохранении исходного уровня благосостояния ценность текущего потребления относительно ценности будущего потребления увеличилась, т.е. текущее потребление становится дороже, и потребитель замещает часть расходов на текущее потребление расходами в счет будущего потребления. Следовательно, ЭЗ < 0 означает, что сбережения увеличились на 64 ден.ед. Однако, ЭД оказывает противоположное действие на сбережения. ЭД показывает, что в результате роста ставки банковского процента индивидкредитор стал реальнее богаче, следовательно, он увеличит текущее потребление и сократит сбережения. В данном примере ЭД = 22. Поскольку |ЭЗ| > |ЭД|, то в итоге сбережения увеличатся на 64 – 22 = 42 (ден.ед.). C2 3500 С С΄

Наклон ограничения АВ = - 1,1 Наклон ограничения CD = - 1,2 Наклон ограничения С΄D΄ = - 1,2 3300А Е2

Е3

C 2/ = 1650

Е1 U2

I 2 = 1000

а

U 1 = 2475000

ЭД ЭЗ C 1///

С 1//

С 1/

1436

1458

1500

I1

2000

D΄

D 2916,7

B

C1

3000

Рис. 9.18. Разложение изменения текущего потребления на ЭЗ и ЭД при росте ставки банковского процента.

9.5. Формирование равновесия на рынке совершенной конкуренции

Суммируя индивидуальные функции предложения денег на рынке совершенной конкуренции, получим функцию рыночного предложения капитала, которая совместно с функцией рыночного спроса на капитал определит равновесную ставку процента и объем капитала: 207

9.Рынок капитала i

i SK E

i0

i0

i = i0 D k (MRP k )

DK K

K0

k0

Рис. 9.19.Рынок денежного капитала

k

Рис. 9.20. Спрос на капитал со стороны отдельной фирмы

в целом

При изменении ситуации на рынке в целом изменятся инвестиционные решения, принимаемые отдельной фирмой. Числовой пример 9.12. На рынке совершенной конкуренции заданы рыночный спрос и рыночное предложение денежного капитала: К D = 10 – 8i, К S = 42i – 10 (К D , К S выражены в млрд. ден.ед., i – ставка банковского процента в долях). Для финансирования бюджетного дефицита правительство взяло заём в размере 2 млрд. ден.ед. Определите, как изменится величина спроса отдельной фирмы на инвестиции, если MRP k = 2 – 4k, где k – инвестиции отдельной фирмы. Решение. Найдем первоначальные параметры рыночного равновесия: при К D = К S i 0 равно 0,4. Следовательно, К D = К S = 6,8.

Поскольку спрос отдельной фирмы определяется показателем MRP k , то при i 0 = 0,4 фирма предъявляла спрос в размере, который может быть найден из уравнения 0,4 = 2 – 4k. Отсюда k = 0,4 (млрд. ден.ед.). С учетом займа правительства рыночный спрос составит К /D = 10 – 8i + 2 = 12 – 8i. i i 2

D /K

DK i 1 = 0,44 i 0 = 0,4

SK E1

i1 i0

E0

6,8

8 8,48 12

K

e1 e0

i = 0,44 i = 0,4

k 1 k 0 0,5

k

0,39 0,4

Рис. 9.21. Равновесие на рынке совершенной конкуренции при взятии правительством займа

Рис. 9.22. Спрос на инвестиции со стороны отдельной фирмы

Рост рыночного спроса увеличил равновесную ставку процента (i 1 > i 0 )

Индивидуальный спрос на инвестиции сократился (k 1 < k 0 )

208

9.Рынок капитала Новая равновесная ставка определяется из уравнения: 12 – 8i = 42i – 10 ⇒ e 1 = 0,44; К /D = K /S = 8,48. Поскольку для отдельной фирмы банковская ставка является величиной заданной, то теперь фирма предъявит меньший спрос на инвестиции: 0,44 = 2 – 4k ⇒ k = 0,39 (млрд. ден.ед.). Таким образом, отдельные фирмы сократят спрос на инвестиции, что позволит правительству осуществить заём денег.

209

10. Рынок земли Рынок земли. Земельная рента. 10.1. Земля как фактор производства. Абсолютная и дифференциальная земельная рента.

Как уже отмечалось в главе 8, экономическую ренту получает собственник любого фактора производства, предложение которого является неэластичным относительно его цены. Неэластичность предложения любого ресурса или продукта может проявляться в различных формах: - неэластичность, вытекающая из невоспроизводимости или крайне низкой воспроизводимости некоторого фактора (природных ресурсов, в т.ч. земли, естественных способностей и талантов индивида); - неэластичность предложения ресурса или конечного продукта в краткосрочном (мгновенном) периоде. С такой неэластичностью А.Маршалл связывал существование так называемой квазиренты; - ситуация искусственной ограниченности продукции или ресурса, вызванная наличием монополии, например, существованием патента на изобретение, ограничениями доступа в отрасль и т.п. По существу рентой является любая плата, которая по своему размеру превышает минимум, необходимый для сохранения фактора производства в его настоящем использовании. Обычно земля рассматривается как ресурс с фиксированным, абсолютно неэластичным предложением. Предложение земли строго ограничено не только на макро- но и на микроуровне. Поэтому доход собственника земли, сдающего землю в аренду, является чистой экономической рентой (удерживающий доход в этом случае равен нулю). Если квазирента носит временный характер, то земельная рента – постоянный характер. Различают 2 вида земельной ренты. Абсолютную ренту получает собственник земли независимо от ее качества. Если допустить, что все сельхозугодья абсолютно идентичны по качеству и производится один вид продукции, то величина земельной (абсолютной) ренты на рынке совершенной конкуренции будет определяться спросом на сельскохозяйственную продукцию. Чем выше спрос на с/х продукцию, тем выше уровень земельной ренты (рис. 10.1). Напомним, что повышение спроса на с/х продукцию приводит к росту цены на продукцию и соответственно к росту предельной доходности земли, т.е. линия MRР T = P Q ·MP T сдвигается вправо-вверх. РT

S

R2

E2

R1

E1

D 2 = MRР T2 D 1 = MRР T2

0

QS QT Рис. 10.1. Предложение земли строго фиксировано - Q S , поэтому на размер земельной ренты влияет функция спроса на землю. В точке равновесия выполняется равенство MRР T = MIC T = R, где R – земельная рента. 210

10. Рынок земли При спросе на землю D 1 суммарная величина земельной ренты равна площади прямоугольника ОR 1 E 1 Q S . Соответственно рост спроса на землю (D 1 → D 2 ) приводит к увеличению земельной ренты – площадь прямоугольника ОR 2 E 2 Q S . Однако, в действительности земли дифференцируются по качеству (плодородию, местоположению и др.). Если принять, что существует 3 вида земельных участков – лучшие, средние и худшие, площади их одинаковы и жестко ограничены, то избыток ренты над рентой с худшего из всех используемых участков называют дифференциальной рентой. Формирование дифференциальной ренты показано на рис. 10.2.

худшая земля

РХ

РС

средняя земля

лучшая земля

РЛ

SС

SХ

SЛ E3

P3 DR 3 Р1

P2 DR 2 AR

E1 AR

DЛ

E2 DС AR

DХ 0

Q TX

QT

Q TC

QT

Q TЛ

QT

Рис. 10.2. По сравнению с худшей землей спрос на землю среднего и лучшего качества выше, поэтому на худшем участке дифференциальная рента отсутствует, на среднем и лучшем участках она входит в состав цены за аренду (затененные прямоугольники). Источник дифференциальной ренты – более высокая производительность средних и лучших участков земли по сравнению с худшими участками, т.е. линия MRР T для средней (D С ) и лучшей (D Л ) земли смещена вправо-вверх по сравнению с худшей землей (D Х ). Обратите внимание, что равновесие на рынках земли, как и на других факторных рынках, определяется из условия MRР T = MIC T = Р T , причем MIC T = Р T - величина предельных издержек по использованию дополнительной единицы земли характеризует затраты для арендатора земли, но рентный доход для собственника земли. Числовой пример 10.1. Для производства зерна используется три участка арендуемой земли – худшего, среднего и лучшего качества, площади которых равны. Производственная функция каждого из участков: Q 1 =20S 1 - 0,5S 12 , Q 2 = 15S 2 - 0,6S 22 , Q 3 = 10S 3 - 0,75S 32 , где S 1 , S 2 ,S 3 - площади, соответственно, лучшего, среднего и худшего участков. Допустим, S 1 = S 2 = S 3 = 5 (га). Рыночная цена зерна равна 20 ден.ед. 1. Определим величину земельной ренты для каждого участка. 2. Определим абсолютную и дифференциальную ренту для каждого участка. Решение. 1. Поскольку предложение земли строго фиксировано, то величина земельной ренты определяется спросом на землю определенного качества, т.е. величиной MRР T = MR·MP T = Р·MP T , где Р – цена зерна.

211

10. Рынок земли Тогда MRP T1 = 400 – 20S 1 , MRP T2 = 300 – 24S 2 , MRP T3 = 200 – 30S 3 . Таким образом, равновесная цена или земельная рента Р T определяется равенством Р T = MRP T , и для каждого участка земли получаем: P T1 = 400 – 20·5 = 300; P T2 = 300 – 120 = 180; P T3 = 200 – 150 = 50. На рис. 10.3 земельная рента (равновесная цена) определяется пересечением функции спроса и функции предложения земли. 2. На худшем участке земли равновесная рента P T3 = 50 является абсолютной рентой, которую собственник земли получит от арендатора за единицу используемой земельной площади. Дифференциальная рента с худшего участка равна нулю. По сравнению с худшим участком для среднего участка разность P T2 – P T3 = 180 – 50 = 130 характеризует дифференциальную ренту (DR 2 ), получаемую с единицы площади за счет более высокой продуктивности среднего участка по сравнению с худшим участком земли. Аналогично DR 1 = P T1 - P T3 = 300 – 50 = 250. Таким образом, абсолютная рента за единицу площади в составе равновесной цены одинакова для всех участков и равна 50 ден.ед./га. Дифференциальная рента со среднего участка равна 130; с лучшего – равна 250. За всю арендуемую площадь плата на худшем участке составит 50·5 = 250 (ден.ед.), на среднем участке - 180·5 = 900 (ден.ед.), на лучшем участке - 300·5 = 1500 (ден.ед.). РT

РT

РT S2

S1 400 P T1 = 300

E1

300 DR 1

DR 2 P T2

E2

MRP T1 50

200 MRP T2

50 AR

0

SЛ

P T3 = 50 AR

5

Q T1

0

E3

AR 5

Q T2

MRP T3 5

Q T3

Рис. 10.3. Чем ниже спрос на землю, тем ниже равновесная цена (при абсолютно неэластичном предложении земли). 10.2. Арендная плата

В действительности земельная рента составляет лишь часть суммы, которую арендатор платит земельному собственнику. Арендная плата включает кроме ренты еще амортизацию на постройки и сооружения, если они имеются на арендуемой земле, а также процент на вложенный капитал (собственник 212

10. Рынок земли земли мог бы использовать альтернативный вариант – положить капитал в банк и получать проценты). Числовой пример 10.2. Предложение земли Q TS = 100 (га). Собственник земли может сдать эту землю в аренду двум фермерам, спрос которых на землю задан соответственно в виде Q TD1 = 200 – P, Q TD2 = 150 – P. 1. Определим, чему будет равна ежегодная плата при сдаче земли в аренду. 2. Определим, чему будет равна земельная рента, если ежегодная амортизация равна 4 тыс. ден.ед., вложенный капитал – 10 тыс. ден.ед., ставка банковского процента – 10% годовых. Решение. 1. При определении арендной платы следует учесть суммарный спрос на землю. Очевидно, что DD T : Q TD = 200 – P, Р ≥ 150 Q TD = 350 – 2P, Р < 150.

Поскольку предложение земли строго ограничено, то рентный доход собственника земли будет наибольшим, если он разделит участок земли между двумя фермерами с учетом их совместного спроса. Следовательно, равновесная цена 1 га земли может быть найдена из уравнения: 350 – 2Р = 100, отсюда Р 0 = 125. Таким образом, годовая арендная плата за весь участок составит 125·100 = 12500 (ден.ед.). При этом 100 га будут разделены между фермерами: Q TD1 (125) =75 га, Q TD2 (125) = 25 га. Нетрудно проверить, что если бы всю землю собственник сдал в аренду только фермеру с более высоким спросом, то плата за 1 га составила бы Р 1 = 200 – 100 = 100. Соответственно его доход был бы существенно меньше. Тем более доход будет еще меньше, если собственник всю землю сдаст в аренду второму фермеру. Нахождение равновесной платы показано на рис. 10.4. РT

200

Q TD = 200 – P

S

150 Р 0 = 125

E Q TD = 350 – 2Р D1

0

25

D2

75

100 QT Рис. 10.4. Рыночный спрос на землю определяется сложением индивидуальных линий спроса. Равновесная цена Р 0 - пересечение линий предложения земли и линии суммарного спроса.

213

10. Рынок земли 2. Земельная рента в составе арендной платы может быть найдена из уравнения: Земельная рента = Арендная плата – Амортизационные отчисления - % на вложенный капитал. Отсюда Земельная рента = 12500 – 4000 – 10000·0,1 = 12000 (ден.ед.) 10.3. Цена земли.

Для определения цены земли (стоимости участка земли) учитывается ежегодная рента, получаемая с единицы земельной площади. Цена земли представляет собой дисконтированную стоимость будущей земельной ренты за бесконечный период времени. Другими словами, цена земли – это ценность бессрочного вложения капитала. Если обозначить R – неизменную годовую ренту, i – неизменную во времени рыночную ставку банковского процента, то Р З - цена земли – может быть определена по формуле: ∞

R , где i – выражена в долях. i t =1 Цена земли (Р З ) эквивалентна сумме денег (К), положив которые в банк, бывший собственник земли получал бы ежегодный доход (% на капитал), равный упущенной ренте: К·i = R, где К = Р З . РЗ =

R

∑ (1 + i)

t

=

Числовой пример 10.3. Фермеру предлагают купить участок земли за 45 тыс.ден.ед. Известно, что при сдаче земли в аренду ежегодная рента составит 5 тыс.ден.ед. и этот доход можно получать всегда. Если банковская ставка процента равна 10% годовых и не меняется, купит ли фермер этот участок? Решение. Найдем цену земельного участка по формуле текущей дисконтированной стоимости: 5000 РЗ = = 50 тыс.ден.ед. 0,1 50 тыс.ден.ед. – это максимальная цена, по которой фермер согласится купить данный участок земли. Поскольку цена предложения Р S = 45 тыс. ден.ед. меньше цены спроса Р D = 50 тыс.ден.ед., то такая покупка фермеру выгодна и он согласится на сделку. Числовой пример 10.4. Фермеру необходимо приобрести участок земли. Цена предложения Р S = 30 тыс. ден.ед. Фермер предполагает использовать участок в течение пяти лет, получая в конце каждого года прибыль по 2 тыс. ден.ед., а затем продать участок за 35 тыс. ден.ед. Если банковская ставка процента неизменна и составляет 10% годовых, то какое решение примет фермер? Чему равна цена спроса на землю? Решение. Для нахождения цены спроса необходимо определить текущую дисконтированную стоимость будущих (ожидаемых) доходов от эксплуатации участка земли за 5 лет с учетом того, что через 5 лет земля может быть продана: 2 2 + 35 2 2 2 Р D = PV = + + + . + 2 3 4 1,1 (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) 5 Если окажется, что Р D ≤ Р S , то покупка земли целесообразна. В противном случае целесообразнее будет альтернативный вариант – положить деньги в банк по 10% годовых.

214

10. Рынок земли Найдем PV = Р D : 2 ⋅ ((1,1) 4 + (1,1) 3 + (1,1) 2 + 1,1 + 1) + 35 = 29,3 (тыс. ден.ед.). (1,1) 5 Поскольку PV < Р S = 30 тыс. ден.ед., то фермеру не стоит покупать по предлагаемой цене данный земельный участок. Заметьте, что тот же результат можно получить, если привести ожидаемые доходы и требуемый для покупки земли капитал к концу 5-го года. Действительно, если сегодня не тратить 30 тыс. ден.ед., а положить эту сумму в банк, то к конку 5-го года фермер будет иметь сумму К 5 = 30·(1,1) 5 = 30·1,61051 ≈ 48,3 (тыс. ден.ед.). При покупке земельного участка, а затем его продаже через 5 лет фермер будет иметь доход R 5 = 2·(1,1) 4 + 2·(1,1) 3 + 2·(1,1) 2 + 2 + 35 = 47,2 (тыс. ден.ед.). PV =

Поскольку R 5 < К 5 , то покупать земельный участок не целесообразно.

215

10. Рынок земли Общее равновесие и экономическая эффективность 11.1. Общее и частичное равновесие.

Равновесие, складывающееся на отдельных рынках конечных товаров, факторов производства, является частичным. Общее экономическое равновесие – это равновесие, возникающее в результате взаимодействия всех рынков, когда изменение спроса или предложения на одном рынке влияет на равновесные цены и объемы продаж на всех рынках. Взаимодействие отдельных рынков проявляется в эффекте обратной связи. Эффект обратной связи (ЭОС) отражает изменение частичного равновесия на данном рынке в результате изменений, возникших на сопряженных рынках под влиянием первоначальных изменений на данном рынке. Наличие ЭОС делает модели общего экономического равновесия значительно более сложными по сравнению с моделями частичного равновесия. Наиболее изученной является модель общего экономического равновесия Л.Вальраса. В модели Вальраса все рынки являются совершенно конкурентными, фирмы максимизируют прибыль, потребители максимизируют свои функции полезности. Потребители (домохозяйства) владеют ресурсами, которые они предоставляют фирмам по определенным ценам. Л.Вальрас показал, что в состоянии общего экономического равновесия в хозяйстве с N рынками, если предложение равно спросу на (N–1) рынке, то с необходимостью предложение будет равно спросу на N-ом рынке. Поэтому равновесная цена на N-м рынке может быть принята за 1, а все остальные цены (Р 1 , Р 2 , … Р N −1 ) находятся из решения системы уравнений вида: Q Dk ( Р 1 , Р 2 , … P N ) = Q Sk ( Р 1 , Р 2 , … P N ), k = 1, 2, … N-1 P N = 1. Рассмотрим простейший пример взаимовлияния двух рынков – рынка готовой продукции и рынка труда. Числовой пример 11.1. Есть два рынка – рынок алмазов (конечной продукции) и рынок работников-огранщиков алмазов. Допустим, 1000 одинаковых фирм производят алмазы и общие издержки типичной фирмы имеют вид ТС = q 2 + w·q, где q – выпуск отдельной фирмы, w – зарплата огранщиков алмазов. 1. Если w = 10, какой будет кривая предложения отдельной фирмы и кривая отраслевого предложения (в краткосрочном периоде)? Сколько продукции будет произведено при Р = 20? Р = 21? 2. Если известна зависимость зарплаты от общего отраслевого выпуска Q вида w = 0,002Q, то как в этой ситуации изменится функция отраслевого предложения и величина предложения при Р = 20? Р = 21? Решение. 1. Найдем первоначальный объем предложения на рынке алмазов при w = 10. Поскольку ТС = q 2 + 10q, то МС(q) = 2q + 10. Условие максимизации прибыли на рынке совершенной конкуренции MC(q) = P позволяет найти функцию предложения отдельно фирмы: q S = P – 5, P ≥ 10. 2 Число предприятий n = 1000, поэтому отраслевое предложение Q S = 1000q S = 500Р – 5000, Р ≥ 10. При Р = 20 Q S = 5000; при Р = 21 Q S = 5500.

216

10. Рынок земли Найденные величины предложения товара не учитывают обратную реакцию рынка труда на изменения на рынке алмазов. 2. При учете обратной связи, т.е. зависимости w = 0,002Q, функция общих издержек отдельной фирмы будет иметь вид ТС = q 2 + q·(0,002·1000q) = 3q 2 . Тогда MC(q) = 6q. Функция предложения отдельной фирмы q S = P , P ≥ 0. Отраслевое предложение имеет 6 500 ⋅ P , Р ≥ 0. вид: Q S = 1000q S = 3 При Р = 20 Q S ≈ 3333; при Р = 21 Q S = 3500. По сравнению с п.1 объемы предложения алмазов снизились, что связано с ростом издержек производства. 11.2. Эффективность экономики по Парето. Эффективность в обмене.

С достижением общего экономического равновесия связана проблема экономической эффективности. Мы рассмотрим, как достигается эффективность в экономике, в которой множество конкурентных рынков находятся в состоянии общего экономического равновесия. Для анализа экономической эффективности чаще всего используют критерий, который был предложен В.Парето. В соответствии с этим критерием размещение благ и факторов производства является экономически эффективным, если не существует других вариантов размещения, при которых хотя бы у одного индивида повышалось благосостояние без ухудшения благосостояния других. Эффективность экономики по Парето предполагает выполнение трех условий: а) эффективность в обмене; б) эффективность в производстве; в) эффективность в структуре выпуска. Для анализа этих условий в микроэкономической теории используется простейшая модель: имеется два индивида (А и В), производится два блага (Х и У), для производства благ используется два ресурса (L и К). Вначале рассмотрим эффективность экономики, не использующей механизм цен, а затем – при использовании ценового механизма. Удобным инструментом анализа является диаграмма (коробка) Эджворта. Простой обмен двух потребителей в двухпродуктовой экономике. В этой модели происходит распределение фиксированного количества благ между индивидами. Заданы целевые функции потребителей U A (x A , y A ) → max U B (x B , y B ) → max Известен также первоначальный вариант распределения благ, т.е. первоначальный запас благ у каждого потребителя. Поскольку количества благ заданы заранее, то изменение благосостояния потребителей может происходить только в результате обмена. Допустим, первоначальный запас благ задается т. S в коробке Эджворта (рис. 11.1), т.е.

217

10. Рынок земли х SA + х SB = Х, у SA + у SB = У, где Х – заданное количество блага х, равное размеру коробки Эджворта по горизонтали, У – заданное количество блага у, равное размеру коробки Эджворта по вертикали. Множество точек в коробке Эджворта представляет все возможные способы размещения двух благ между двумя потребителями. yA х SB В xB UB M N F S у

S A

у SB

UA

А

xA х

S A

у

B

Рис. 11.1. Какие из них являются Парето-эффективными? Поскольку заданы предпочтения потребителей (в виде целевой функции), то в соответствии с критерием Парето блага распределены эффективно, если для этого варианта распределения выполняется условие MRS AXY = MRS BXY *), где MRS AXY , MRS BXY предельные нормы замещения двух благ для потребителей А и В. Действительно, если в точке первоначального запаса благ S MRS AXY ≠ MRS BXY , то кривые безразличия пересекаются и у потребителей появляется стимул к обмену. На рис. 11.1 эта область заштрихована. Из т. S, обмениваясь благами, потребители могут перейти либо в т. М, либо в т. N, либо в любую точку отрезка MN и тогда у них не будет стимула к обмену. Любые точки, лежащие левее и ниже т. N или выше и правее т. М не могут характеризовать результатов добровольного и взаимовыгодного обмена благами между потребителями А и В, т.к. явно проигрывает кто-либо из индивидов. Обратите внимание, что т. F также не является эффективной, хотя по сравнению с т. S в т. F увеличилось благосостояние обоих потребителей. Однако, стимул к обмену и возможность дальнейшего повышения благосостояния в т. F остается. Только при выполнении условия MRS AXY = MRS BXY исчезает стимул к обмену, т.к. нельзя добиться улучшения благосостояния одного потребителя без ухудшения благосостояния другого потребителя, т.е. выполняется критерий Парето-эффективности. Множество точек в коробке Эджворта, в которых выполняются условия: MRS AXY = MRS BXY xA + xB = х yA + yB = у образуют линию потребительских контрактов (рис. 11.2). *)

Рассматривается внутренний оптимум.

218

10. Рынок земли

yA

В

xB Е5 UA

Е4 Е3

UA UB UA

Е2 Е1

UA

UB UA

UB

UB

UB

А

xA у

B

Рис. 11.2. Точки на линии контрактов являются точками касания кривых безразличия и характеризуют множество эффективных распределений благ между индивидами. В рассмотренной экономике обмена без цен невозможно найти единственное решение. Для достижения единственного решения необходимо знать цены благ. Достижение эффективности обмена на конкурентном рынке с использованием механизма цен. Предположим, что известно первоначальное распределение благ между потребителями А и В (общее количество благ фиксировано) и назначены цены благ - Р X и Р Y . В этом случае задача нахождения эффективного распределения благ решается в несколько этапов. Этап 1. Проверяем, является ли исходный вариант распределения благ Парето-эффективным. Если в начальной точке MRS AXY = MRS BXY = PX , то заданные равновесные цены PY обеспечивают эффективное распределение благ, т.е. начальная точка уже находится на контрактной линии и определяет искомое решение. Если MRS AXY ≠ MRS BXY , то потребители заинтересованы в обмене (рис. 11.3). Направление обмена определяется с учетом цен на следующем этапе. Этап 2. Потребители максимизируют полезность, считая цены Р X и Р Y заданными. Задача потребителя А U A (x A , y A ) → max

Р X · x A + Р Y · y A = М 1A , где М 1A = Р X · х SA + Р Y · у SA xA, yA ≥ 0 Задача потребителя В 219

10. Рынок земли U B (x B , y B ) → max Р X · x B + Р Y · y B = М 1B , где М 1B = Р X · х SB + Р Y · у SB xB, yB ≥ 0 Решив эти задачи, мы получим количества благ х и у, которые желал бы иметь каждый потребитель при заданных ценах. Обозначим желаемые количества х A/ , у A/ , х B/ , у B/ . Сравним желаемые количества благ с имеющимся количеством благ (напомним, что оно фиксировано). Предположим, что (х A/ + х B/ ) > Х, (у A/ + у B/ ) < У, т.е. оказалось, что при заданных ценах общий спрос на благо Х превысил его наличие (товар Х оказался в дефиците). Напротив, общий спрос на благо У меньше его наличного количества (товара У в избытке). Это означает, что заданная система цен не является равновесной. Рыночный конкурентный механизм приведет к корректировке цен. При нашем допущении цена блага Х должна увеличиться, а цена блага У – уменьшиться, следовательно, бюджетное ограничение, проходящее через т. S, повернется по часовой стрелке, т.к. наклон бюджетного ограничения PX (по модулю) увеличится. PY При скорректированных ценах потребители вновь определяют спрос на блага Х и У. х ∗B

х B/

yA

х SB

В

xB в

U ∗B y

∗ A

а UB

E* y ∗B у B/

U ∗A

ЕB

у A/

EA

UA S

у

S A

А

у SB х ∗A

х A/

х SA

у

B

xA

Рис. 11.3. «Нащупывание» равновесных цен. При исходном распределении благ в т. S MRS AXY ≠ MRS BXY , поэтому потребители заинтересованы в обмене. Первоначальная структура цен, определяющая наклон бюджетного ограничения (а), не является равновесной. В т. Е* равновесные цены, определяющие наклон бюджетного ограничения (в), обеспечивают Парето-эффективное распределение благ между потребителями, т.к. в т. Е* MRS AXY = MRS BXY .

«Нащупывание» равновесных рыночных цен будет идти до тех пор, пока не будут выполнены условия: 220

10. Рынок земли MRS AXY = MRS BXY =

PX∗ PY*

х ∗A + х ∗B = Х y ∗A + y ∗B = У Цены Р *X , Р *Y являются равновесными (обеспечивают баланс спроса и предложения на рынках товаров Х и У) и в то же время обеспечивают эффективное распределение благ между потребителями (равенство предельных норм замещения). Числовой пример 11.2. Два потребителя А и В распределяют между собой два товара Х и У, причем Х = 100, У = 70. Функции полезности потребителей: U A = x 2A ⋅ y A , U B = x B ⋅ y B2 . Первоначальное распределение благ оказалось таким: х A = 60, х B = 40, у A = 30, у B = 40. Исходные цены на блага Р X = 10, Р Y = 5. 1. Является ли первоначальное распределение благ оптимальным? Найдем уравнение контрактной линии. 2. В каком направлении должны меняться цены товаров, чтобы распределение благ изменялось в направлении Парето-эффективности? Решение. 1. Проверим, выполняется ли в точке первоначального распределения благ условие Парето-эффективности. 2y А 2 ⋅ 30 MRS AXY = = =1 xА 60 y 40 1 = MRS BXY = B = 2x B 2 ⋅ 40 2

≠ MRS BXY , то потребители заинтересованы в обмене, а Поскольку MRS AXY первоначальное распределение благ не является оптимальным. Эффективные варианты находятся на контрактной линии, удовлетворяющей условиям: 2y А y = B xА 2x B x A + x B = 100 y A + y B = 70 Для нахождения контрактной линии выразим из этих условий y A через x A . 70x A . Получим y A = 400 - 3x A На рис. 11.4 показана т. S – первоначальное распределение запаса благ, т. S принадлежит бюджетной линии а. yA 60 40 В x B 70 а

30

S

40 221

10. Рынок земли UA UB А

60 75 100 xA Рис. 11.4. уB Уравнение бюджетной линии а: 10x A + 5у A = 750 или 10x B + 5у B = 600. М SA = 10·60 + 5·30 = 750 М SB = 10·40 + 5·40 = 600 В т. S у потребителей есть стимул к обмену, т.к. при существующих предпочтениях MRS AXY ≠ MRS BXY . При известных ценах через т. S можно провести бюджетную линию = 2. (а). Ее наклон (по модулю) равен PX PY 2. Найдем оптимальный выбор потребителей при заданных ценах. Задача потребителя А U A = x 2A ·y A → max 10x A + 5y A = 750 xA, yA ≥ 0 Задача потребителя В U B = x B ·y 2B → max 10x B + 5y B = 600 xB, yB ≥ 0 Эти задачи эквивалентны условиям: для потребителя А: 2y А 10 = = 2 → xA = yA xА 5 10x A + 5y A = 750 для потребителя В: yB 10 1 = = 2 → x B = ⋅y B 2x B 5 4 10x B + 5y B = 600 Решив эти системы, получим желаемые (оптимальные) количества благ для обоих потребителей при заданных ценах: Е A (х 0A = 50; у 0A = 50) Е B (х 0B = 20; у 0B = 80). Очевидно, что товар Х имеется в избытке, т.к. Х = 100 > х 0A + х 0B = 70. Напротив, товар У дефицитен, т.к. У = 70 < у 0A + у 0B = 130. Поэтому, чтобы обмен потребителей приближался к Парето-эффективному, необходимо понизить цену на благо х и увеличить цену на благо у, т.е. уменьшить соотношение PX . PY До сих пор речь шла о стандартных функциях благосостояния потребителей для взаимозаменяемых благ. Однако рассмотренный поход к анализу эффективности распределения благ в экономике можно использовать и для нестандартных функций полезности. 222

10. Рынок земли Числовой пример 11.3. Два потребителя – А и В имеют функции полезности: U A = x A ·у A ; U B = 6x B + у B . Первоначальное распределение благ: х A = 20, х B = 80, у A = 180, у B = 20. Найдем распределение благ, оптимальное по Парето. Решение. В отличие от потребителя А для потребителя В блага являются совершенными заменителями, т.е. MRS BXY = 6, функция полезности – прямая линия. Такой характер предпочтений потребителя В означает, что при эффективном распределении благ должно y = 6. Для потребителя А MRS AXY = А . При выполняться равенство MRS BXY = PX PY xА y 180 = 9 > 6, значит, исходная точка в коробке начальном распределении благ А = xА 20 Эджворта не является эффективной. Для оптимального распределения должны выполняться условия: U A = x A ·y A → max

Р X · x A + Р Y · y A = М SA , где М SA - бюджет потребителя А, соответствующий исходной т. S при заданном соотношении цен xA, yA ≥ 0 Пусть Р У = 1. Тогда Р X = 6. Найдем М SA = 6·20 + 1·180 = 300 (в координатах x B и y B бюджет В составит М SB = 6·80 + 1·20 = 500). Отсюда получаем yА =6 xА

⇒ х 0A = 25; у 0A = 150 6·x A + 1· y A = 300 Следовательно, х 0B = 75; у 0B = 50 (напомним, что Х = x A + x B = 100, У = y A + y B = 200). Графическая иллюстрация решения показана на рис. 11.5. yA 80 75 В x B 200 180 150

S

20 Е

50 UA UB

223

10. Рынок земли А

20 25

100

xA yB

Рис.11.5. В первоначальной т. S MRS AXY ≠ 6. В т. Е MRS BXY = 6 = MRS AXY .

Обратите внимание, что в данном примере бюджетное ограничение совпадает с функцией полезности потребителя В при оптимальном распределении благ, поэтому обе точки – S и Е принадлежат исходному бюджетному ограничению. Это означает также, что переход из т. S в т. Е для потребителя В безразличен, а для потребителя А выгоден (он переходит на более высокую кривую безразличия). Числовой пример 11.4. Заданы функции полезности двух потребителей: U A = min{x A ; у A }; U B = x B ·у B . Первоначальное распределение благ: х A = 6, х B = 0, у A = 0, у B = 9. Если Р X = 1, то какова будет равновесная цена блага у? Каково оптимальное распределение благ? Решение. Поскольку равновесные цены на блага х и у должны обеспечивать Парето-эффективное распределение благ, то для потребителя А должны выполняться условия: U A = min{x A ; y A } → max 1· x A + Р Y · y A = М A , где М A = 1·6 = 6 Для потребителя А блага являются жестко дополняющими друг друга, поэтому можно записать xA = yA 6 x A + Р Y · y A = 6, отсюда у 0A = . 1 + Py Это равенство характеризует спрос, который предъявит потребитель А при оптимальном решении в зависимости от Р y . Аналогично для потребителя В должны выполняться

условия: U B = x B ·y B → max x B + Р Y · y B = М B , где М B = 1·0 + Р y ·9 = 9Р y . Отсюда, y B

xB

= 1

Py

и x B + Р y · y B = 9Р y .

Получаем в итоге 2Р y · y B = 9Р y , у 0B = 4,5. Таким образом, величина спроса со стороны потребителя В при оптимальном решении постоянна. 6 Общий спрос У D = + 4,5. Запас блага у составляет величину 9 = У S . 1 + Py 1 6 В равновесии У D = У S , поэтому + 4,5 = 9 ⇒ Р y = . 3 1 + Py Тот же результат можно получить, если найти у 0A = 9 - у 0B = 4,5. 1 6 , то Р y = . Т.к. у 0A = 4,5 = 3 1 + Py

224

10. Рынок земли Таким образом, в результате обмена потребители должны перейти к следующему оптимальному распределению: х 0A = у 0A = 4,5 1 х 0B = Р y ·у 0B = ·4,5 = 1,5 или х 0B = 6 - х 0A = 1,5. 3 Графически иллюстрация решения дана на рис. 11.6. 1,5 В yA xB9

6

А΄ UB

4,5

Е

4,5

А

xA 4,5 Рис.11.6.

6 yB

Для потребителя А оптимальные наборы могут находиться только на прямой АА΄ (x A = y A ), для потребителя В объем y B фиксирован.

Числовой пример 11.5. В экономике с двумя потребителями А и В каждый потребитель имеет некоторое количество блага х и блага у. Соответствующие функции полезности имеют вид: U A = min{2x A ; у A }; U B =4 x B + 3у B . Общее количество блага х равно 100, блага у – 200. 1. Покажите возможности для обмена при заданных предпочтениях. Найдите уравнение контрактной линии. Каким должно быть соотношение цен в состоянии равновесия? 2. Допустим, первоначально х A = 60, у A = 80. Какими будут объемы потребляемых благ в состоянии равновесия? Решение. 1. Для потребителя А блага х и у являются жестко дополняющими друг друга в потреблении, т.е. должно выполняться равенство y A = 2x A . При этом x A + x B = 100, y A + y B = 200. Отсюда можно найти, что для потребителя В должно выполняться условие y B = 2x B . При этом оптимальный набор для потребителя В находится на прямой линии, задаваемой функцией полезности U B . Диагональ АВ в коробке Эджворта (рис. 11.7) является контрактной линией. Её уравнение: y A = 2x A или y B = 2x B .

225

10. Рынок земли Поскольку MRS BXY =

P 4 4 , то в состоянии равновесия MRS BXY = x = . 3 Py 3

2. Первоначально потребители находятся в т. F, где x A = 60 (x B = 40), y A = 80 (y B = 120). Очевидно, эта точка не является оптимальной и потребители могут увеличить свое благосостояние, обмениваясь благами, чтобы оказаться на контрактной линии. 4 Чтобы определить равновесную точку, предположим, что Р y = 1, тогда Р x = . 3 Найдем оптимальный набор для потребителя А: U A = min{2x A ; y A } → max 4 4 · x A + 1· y A = М F , где М F = ·6 + 1·80 = 160. 3 3 Получаем систему уравнений: 2x A = y A 4 ·x A + y A = 160 ⇒ х 0A = 48; у 0A = 96. 3 Очевидно, в таком случае оптимальный выбор для потребителя В составит: х 0B = 100 – 48 = 52; у 0B = 200 – 96 = 104 (у 0B = 2х 0B ). U 0A = 96; U 0B = 4·52 + 3·104 = 520. По сравнению с исходным распределением благ обмен позволил потребителю А увеличить уровень благосостояния, благосостояние потребителя В осталось неизменным. В

yA x B 200

U A = min{2x A ; y A } 96 80

Е F U B = 4x B + у B

А

48 60

xA 100 y B

Рис.11.7. АВ – линия потребительских контрактов. Переход из первоначальной т. F ( х A = 60, у A = 80) в т. Е безразличен для потребителя В и выгоден для потребителя А.

До обмена U A = min{2·60; 80} = 80; теперь U A = 96. До обмена U B = 4·40 + 3·120 = 520, что равно уровню полезности после обмена. 226

10. Рынок земли Таким образом, потребители перейдут из т. F коробки Эджворта в т. Е, принадлежащую контрактной линии. P 4 Обратите внимание, что для потребителя В при рыночном соотношении цен x = Py 3 всегда выполняется условие Парето-эффективности в потреблении, т.к. блага для него P 4 = x . Поэтому потребителю В являются совершенными заменителями и MRS xy = 3 Py безразличен переход из т. F в т. Е, а потребителю А этот переход выгоден, т.к. его благосостояние возрастет, следовательно, потребитель А будет заинтересован в том, чтобы «уговорить» потребителя В сделать соответствующий обмен благами. Заметьте также, что при заданных предпочтениях А и В невозможно достижение 4 равновесия в обмене при других соотношениях цен, не равных . 3 11.3. Эффективность в производстве.

Рассмотрим экономику, производящую два блага – х и у в соответствии с заданными технологиями Q x = X = f(L x , K x ) и Q y = У = φ(L y , K y ). Общее количество ресурсов является ограниченным, т.е. L x + L y = L, K x + K y = К. Каждый производитель производит только один продукт, максимизируя выпуск. Согласно критерию Парето распределение ресурсов между производителями является эффективным, если нельзя увеличить производство одного блага без уменьшения производства другого блага. Если задано первоначальное распределение труда (L) и капитала (К) между производством благ х и у, допустим, это т. F в коробке Эджворта (рис. 11.8), то стимул к У . перераспределению появляется, если MRTS XLK ≠ MRTS LK При неравенстве предельных норм технологического замещения производители только за счет перераспределения ресурсов могут увеличить объем выпуска. L FУ Qy Kx Ly К FX

K FУ

F M G N Qx Qy

Qx

L FX

Ky

Lx

Рис. 11.8. Заштрихованная область – область взаимовыгодных обменов ресурсами между производителями.

Действительно, переход из т. F в т. М безразличен производителю товара у и выгоден производителю товара х. Переход из т. F в т. N выгоден производителю товара у 227

10. Рынок земли и безразличен производителю товара х. Переход из т. F в т. G выгоден обоим производителям. Таким образом, любой способ производства продукции х и у, лежащий на отрезке MN, является Парето-эффективным, т.е. перераспределив ресурсы, заданные начальной точкой F, и выбрав любой способ производства на отрезке MN, производители потеряют стимул к обмену. Множество точек коробки Эджворта, в которых выполняется равенство У , MRTS XLK = MRTS LK является Парето-эффективным и образует линию производственных контрактов. Другими словами, это множество точек касания изоквант, соответствующих производству товаров х и у. Итак, любые точки на линии производственных контрактов должны удовлетворять условиям: У MRTS XLK = MRTS LK Lx + Ly = L Kx + Ky = К Линию производственных контрактов можно представить в виде линии (границы) производственных возможностей, если по координатным осям отложить объемы производства благ, соответствующие Парето-эффективному распределению ресурсов (рис. 11.9). Каждая точка на линии производственных возможностей показывает максимально возможный выпуск одного блага при заданном объеме производства другого блага. Обратите внимание, что количество обоих ресурсов является фиксированным, поэтому граница производственных возможностей показывает альтернативные комбинации благ, которые могут быть произведены при данном количестве эффективно используемых ресурсов. Qy Т1 Q

N y

Q

M y

N

M

Линия производственных

F

возможностей

Т2 0

Q

N x

Q

M x

Qx

Рис. 11.9. Способы производства М и N являются Парето-эффективными. Т. F является неэффективной. Заштрихованная область показывает уровни выпуска благ Х и У, которые являются предпочтительными относительно точки F.

Важнейшая характеристика линии Т 1 Т 2 - предельная норма продуктовой трансформации MRT xy , которая показывает, насколько нужно сократить производство одного блага, чтобы увеличить на малую величину выпуск другого блага при оптимальном использовании фиксированного количества ресурса. 228

10. Рынок земли dy Δy , где у = f(X, L , K ). | L, K = const или MRT xy = Δx dx Здесь L , K - заданные количества труда и капитала. Геометрически величина MRT xy Таким образом, MRT xy = -

характеризуется тангенсом угла наклона касательной к соответствующей точке кривой Т 1 Т 2 . Величина MRT xy является возрастающей при движении вдоль линии Т 1 Т 2 сверху вниз, что делает эту линию выпуклой от начала координат. Таким образом, MRT xy (N) < MRT xy (М). Возрастание MRT xy объясняется тем, что расширение производства при неизменной технической базе (количество ресурсов задано), как правило, сопровождается снижением эффективности от масштаба. MC x . Действительно, увеличив производство Несложно показать, что MRT xy = MC y блага х на величину Δх, мы увеличим затраты на величину ΔТС x = Δх·МС x . Чтобы остаться на той же кривой производственных возможностей, нужно изменить (уменьшить) производство блага у на величину Δу, что изменит затраты на величину ΔТС y = Δу·МС y . Поскольку ресурсы, используемые в производстве благ х и у, ограничены и лишь перераспределяются при изменении выпусков, то должно выполняться равенство Δх·МС x + Δу·МС y = ΔТС = 0. MC x Δy , т.е. искомое равенство. = Δx MC y Итак, перераспределение ограниченных ресурсов между производством различных благ позволяет увеличить выпуск либо одного из благ, либо обоих благ и достичь Паретоэффективности. Однако, в отсутствие цен на ресурсы перераспределение ресурсов в сфере производства не позволяет найти единственное решение, ведь контрактная линия включает множество эффективных размещений ресурсов. Введем в рассмотрение цены ресурсов - Р L и Р K . Они заданы для производителей. Зная цены ресурсов и начальное распределение в т. F, производители решают задачу максимизации выпуска продукции. Отсюда получаем -

Задача для производителя товара х: Q x = f(L x , K x ) → max Р L · L x + Р K · K x = ТC Fx , где ТC Fx = Р L · L Fx + Р K · K Fx Lx, Kx ≥ 0 Задача для производителя товара у: Q y = φ(L y , K y ) → max Р L · L y + Р K ·K y = ТС Fy , где ТС Fy = Р L · L Fy + Р K ·K Fy Ly, Ky ≥ 0 Сравнивая желаемые количества ресурсов с имеющимся запасом, рыночный механизм «нащупывает» равновесные цены Р *L , Р *K , обеспечивающие эффективное распределение ресурсов. Это означает выполнение следующих условий: P* У = L* MRTS XLK = MRTS LK PK Lx + Ly = L 229

10. Рынок земли Kx + Ky = К Как уже отмечалось при анализе сферы обмена, в задачах определения эффективных способов производства также могут встречаться особые производственные функции, например, функции, в которых производственные факторы являются совершенными заменителями или абсолютно дополняют друг друга.

Числовой пример 11.6. В экономике производится только два товара – х и у с использованием двух ресурсов – капитала (К) и труда (L). Технологии производства обоих товаров основаны на жесткой дополняемости ресурсов. При производстве единицы товара х используется 2 ед. труда и 1 ед. капитала. Производство товара у требует 1 ед. труда и 1 ед. капитала. Общее предложение труда составляет 150 ед., общее предложение капитала – 100 ед. 1. Построим кривую производственных возможностей для этого хозяйства. 2. Все ли ресурсы полностью используются в каждой точке кривой производственных возможностей? Как можно объяснить недоиспользование ресурсов, которое может существовать? Решение. Запишем производственные функции для обоих товаров: Q x = f(L x , K x ) = min{L x ; 2K x } Q y = φ(L y , K y ) = min{L y ; K y }.

Из характера производственных функций вытекает, что должны выполняться условия: L x = 2K x = Q x Ly = Ky = Qy Известно, что L = L x + L y = 150; К = K x + K y = 100. Решая эту систему, получим единственное решение: K x = 50; L x = 100; K y = 50; L y = 50 (т. F в коробке Эджворта на рис. 11.10). Таким образом, единственная точка на кривой производственных возможностей, при которой все ресурсы (труд и капитал) используются полностью – это комбинация ресурсов, при которой производится Q x = 100; Q y = 50. Любое другое распределение ресурсов между производством товаров х и у приведет к неполному использованию либо труда, либо капитала. Пусть, к примеру, в производстве товара х используется 75 ед. труда, т.е. L x = 75. Тогда в соответствии с технологией производства товара х необходимо L использовать K x = x = 37,5 ед. (т. А на рис. 11.10). 2 75 50 Qy Kx L y 100 B΄ линия L x = 2 Kx C΄ B 50

F

50

А 37,5

C 230

10. Рынок земли A΄

Qx

75 Ly = Ky

75

100

120 150

Lx Ky

Рис. 11.10. Если ресурс труда использовать в хозяйстве полностью, то L y = 150 - L x = 75. Но при таком количестве труда для производства единицы товара у требуется капитал в количестве K y = L y = 75 ед. (т. А΄). Всего потребуется К = K x + K y = 37,5 + 75 = 112,5, что превышает предложение капитала. Следовательно, одновременно способы производства А и А΄ использоваться не могут. Однако, одновременно со способом А может использоваться способ производства С, для него K y = 100 – 37,5 = 62,5; L y = K y = 62,5. В этом случае L = L x + L y = 75 + 62,5 = 137,5 < 150, т.е. ресурс труда недоиспользуется. Таким образом, способы А и А΄ являются допустимыми при недоиспользовании труда. Аналогично, рассмотрим способ производства В, лежащий правее т. F. Допустим, L x = 120, тогда K x = 60. Если полностью использовать труд, т.е. перейти к способу производства В΄, то L y = 150 – 120 = 30, тогда K y = L y = 30, но в этом случае К = K x + K y = 90 < 100, т.е. в этом случае недоиспользуется капитал. Таким образом, способы В и В΄ являются допустимыми при недоиспользовании капитала. Обратите внимание, что способы производства С΄ и В одновременно являются недопустимыми (рис. 11.10). Обобщая сказанное, можно сделать вывод, что при недоиспользовании труда (Q x ≤ 100) точки на линии производственных возможностей удовлетворяют условиям: Qy = Ky

⇒

Q x = 2K x

Q y = 100 -

Qx , 2

Q x ≤ 100

K x + K y = 100

При недоиспользовании капитала (Q x > 100) должны выполняться условия: Qx = Lx Qy = Ly ⇒ Q y = 100 - Q x , Q x > 100 L x + L y = 100 Таким образом, кривая производственных контрактов (в координатах Q x , Q y ) – ломаная линия, задаваемая следующим образом: Q Q y = 100 - x , Q x ≤ 100 2 Q y = 100 - Q x , Q x > 100 Покажем эту линию на графике (рис. 11.11). Qy

100 231

10. Рынок земли

50

Е – единственный способ производства, при

котором заданные ресурсы используются полностью

100 150 Qx Рис. 11.11. 11.4. Эффективность в структуре выпуска продукции Эффективность в структуре выпуска продукции достигается, когда одновременно достигается эффективность в сфере производства и в сфере обмена. В сфере производства на рынке совершенной конкуренции для отдельных производителей выполняются условия максимизации прибыли: Р x = МС x , Р y = МС y , где Р x , Р y - заданные цены готовой продукции. Поэтому эффективный способ производства MC x P = x . С другой стороны, MC y Py потребители этой продукции, максимизируя полезность, руководствуются условием: P MRS Axy = MRS Bxy = x . Py Следовательно, для достижения эффективности и в сфере обмена, и в сфере производства, т.е. в структуре выпуска продукции, должны выполняться равенства: MRS Axy = MRS Bxy = MRT xy . продукции должен удовлетворять равенству MRT xy =

Графическая иллюстрация одновременной эффективности в сфере производства и потребления показана на рис. 11.12. Qy Т1 Q Ey

Q Bx

E(B)

E* Q

A y

Q By

UA UB β

A

Q

A x

α E x

Q Рис. 11.12.

T2

Qx

В т. В достигается эффективное размещение ресурсов в сфере производства. В то же время объемы выпуска (Q x и Q y ) распределены между потребителями (А и В) эффективно. При этом A (E) = MRS Bxy (E) = tgα = tgβ. структура выпуска оптимальна, т.к. MRT xy (E) = MRS xy

232

10. Рынок земли

Числовой пример 11.7. Допустим, задана кривая производственных возможностей вида х 2 +у 2 = 20. Два потребителя – А и В имеют функции полезности U A = x A ·y A , U B = x B ·y B . Всего производится 2 ед. блага х и 4 ед. блага у, причем блага распределены следующим образом: x A = x B = 1, y A = y B = 2. 1. Достигнута ли эффективность в сфере обмена? 2. Выполняется ли условие Парето-эффективности в структуре выпуска продукции? Если не выполняется, то как должна измениться структура выпуска? Решение. 1. Проверим условие эффективности в обмене y y MRS Axy = A , MRS Bxy = B . При заданном распределении благ MRS Axy = MRS Bxy = 2. xA xB Итак, условие Парето-эффективности в обмене выполняется.

2. Найдем MRT xy = -

dy . Т.к. у 2 = 20 - х 2 , у = dx

Поскольку MRS Axy = MRS Bxy

20 − x 2 , то MRT xy =

x

=

1 . 2

20 - x 2 > MRT xy , то условие эффективности в структуре выпуска

продукции не выполняется. Содержательно это означает, что за дополнительную единицу блага х потребители готовы отдать 2 единицы блага у, но издержки получения дополнительной единицы блага х составляют ½ единицы блага у. Очевидно, необходимо увеличить производство блага х и уменьшить производство блага у, снижая тем самым MRS xy и повышая MRT xy до их полного совпадения. Выпуск эффективен, только если выполняется равенство MRS xy = MRT xy для всех потребителей. Графически решение показано на рис. 11.13. Qy Т1 Q Ey = 4

E(B) α E*

Кривая производственных возможностей х 2 +у 2 = 20 (х, у ≥ 0)

2 β

A

1

Q Ex = 2

T2 Рис. 11.12.

Qx

Структура выпуска продукции не является эффективной, т.к. MRS xy > MRT xy . На графике tgβ > tgα.

233

10. Рынок земли Иногда для иллюстрации эффективности структуры выпуска используют модель, которая называется «экономика Робинзона». В этой модели один индивид (Робинзон) производит и потребляет два блага, максимизируя функцию полезности. Числовой пример 11.8. Робинзон Крузо получает полезность от потребления рыбы (F), кокосов (С) и отдыха (Н) 1

1

1

в соответствии с функцией полезности U(F, C, H) = F 4 ⋅C 4 ⋅ H 2 . Производство рыбы определяется функцией F = L f , где L f - время, затрачиваемое на Lc , где L c - время,

лов рыбы. Производство кокосов задано функцией С =

затрачиваемое на сбор кокосов. 1. Если предположить, что Робинзон решил отдыхать 16 часов (в сутки), какой будет его функция производственных возможностей? 2. Сколько рыбы и кокосов будет добывать Робинзон при оптимальном выборе? Решение. 1

1

1. По условию задачи Н = 16, поэтому U(F, C, H) = 4F 4 ⋅C 4 . Рабочее время составит 8 часов, поэтому L f + L c = 8, F, C ≥ 0. Поскольку L f = F 2 , L c = C 2 , то F 2 + C 2 = 8 или F =

8 - C2 , С ≥

8.

2. Поскольку в экономике действует один индивид, то оптимальная структура выпуска продукции будет достигаться в точке касания кривой безразличия и кривой производственных возможностей. Найдем MRT CF и MRS CF . dF C MRT CF = = dC 8 − C2 MRS CF

MU C F = = = MU F C

8 - C2 . C

8 - C2 ⇒ С = 2, F = 2. C 8 − C2 На рис. 11.13 в и. Е достигается максимальная полезность для Робинзона (эффективность в потреблении), тогда как нахождение на границе производственных возможностей означает эффективность в производстве. F T1

В точке эффективного выпуска MRT CF = MRS CF или

C

=

8 E: MRT CF = MRS CF 2 1

U(F, C, H) = 4F 4 ⋅C

1

4

T2 0

2 Рис. 11.13.

8 ≈ 2,84

С 234

10. Рынок земли В заключение отметим, что рассмотренная взаимосвязь конкурентных равновесных цен и эффективности не является случайной. Связь ценового механизма и достижения Парето-эффективности формулируется в двух теоремах, называемых также теоремами экономики благосостояния. I-я теорема Если все рынки характеризуются совершенной конкуренцией, то их равновесие обеспечивает Парето-эффективность экономики. Действительно, на рынке совершенной конкуренции равновесные цены удовлетворяют следующим условиям. P P Для потребителей: MRS Axy = x , MRS Bxy = x (условие максимизации полезности), Py Py отсюда, MRS Axy = MRS Bxy (условие эффективности в обмене). x Аналогично для производителей: MRTS LK =

PL , PK

y MRTS LK =

PL PK

(условие

минимизации издержек производства). x y = MRTS LK (условие эффективности в производстве). Отсюда, MRTS LK Кроме того, на рынке совершенной конкуренции производители, максимизируя прибыль, добиваются выполнения условий: Р x = МС x , Р y = МС y , поэтому MRT xy =

MC x P = x = MRS Axy = MRS Bxy (условие эффективности в структуре MC y Py

выпуска). Таким образом, конкурентные рынки обеспечивают Парето-эффективность. Обратное утверждение формулируется в теореме II. II-я теорема Если предпочтения всех индивидов выпуклы, то всегда найдется система конкурентных равновесных цен, обеспечивающих Парето-эффективное состояние. Эта теорема утверждает, что при соблюдении определенных условий Паретоэффективное размещение ресурсов и благ означает одновременно достижение конкурентного равновесия. Рассмотренные нами ранее задачи со стандартными (выпуклыми) кривыми безразличия подтверждают эту теорему. Если условие выпуклости нарушается, то не всегда можно найти равновесные цены, что показано на рис. 11.14. yA В xB а S

UB

F

UA 235

10. Рынок земли А

xA

Рис. 11.14.

уB

Если первоначальное распределение благ задано т. S, то в ней выполняется условие Парето-эффективностив обмене, т.к. бюджетное ограничение является касательной к обеим кривым безразличия. Однако, для потребителя В точкой оптимального выбора является т. F, обеспечивающая бóльшую полезность, но в таком случае структура цен не является равновесной, обеспечивающей равенство спроса и предложения.

236

10. Рынок земли Литература

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.

Хайман Д. Современная микроэкономика: анализ и применение (в 2-х тт.). - М., 1992. Вэриант Х. Микроэкономика. Промежуточный уровень. – М., 1997. Пиндайк Р., Рубинфельд Д. Микроэкономика. М., 2000. Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Моргунов В.И. Микроэкономика (в 2-х тт.). – СПб., 1996, 1999. Гребенников П.И., Леусский А.И., Тарасевич Л.С. Микроэкономика. - СПб., 1996. 50 лекций по микроэкономике. В 2-х тт. СПб, 2000. Нуреев Р.М. Основы экономической теории: микроэкономика. М., 1996. Емцов Р.Г.. Лукин М.Ю. Микроэкономика. М., 1997. Сборник задач по микроэкономике (к курсу микроэкономики Р.М.Нуреева). – М., 2002. Синявская Э.Г. Сборник тестов по курсу «Микроэкономика». – Новосибирск, НГУ, 2000. Синявская Э.Г. , Голубева Н.В. Сборник вопросов и задач по микроэкономике. - Новосибирск, НГУ, 1998. Синявская Э.Г. , Голубева Н.В. Задачник по микроэкономике. - Новосибирск, НГУ, 2000. Вурос А., Розанова Н. Экономика отраслевых рынков. М., 2000. Розанова Н.М. микроэкономика – 2. М., 1998. Сборник задач по экономике. – М., 1996. Голиков А.Н., Ермилова С.В. и др. Сборник задач по экономической теории. – Киров, 1997. Микро-, макроэкономика. Практикум. СПб., 1994. Besanko D., Braeutingam R. Microeconomics. An Integrated Approach. 2002. Bergstrom T., Varian H. Workouts in Intermediate Microeconomics. Fourth Edition, 1996. Varian H. Instructor′s manual. Fourth Edition. 1996. Katz М., Rosen H. Microeconomics: workbook. 1994. Michael R.B. Managerial Economics and Business Strategy. 2000.

237