位相数学入門 (基礎数学シリーズ)

小堀

憲

小松醇郎 福原満洲雄 編集

基 礎 数 学 シリーズ

編 集 の ことば   近 年 にお け る科 学 技 術 の 発 展 は,極 め て め ざ ま しい もの が あ る.そ の 発 展 の 基 盤 に は,数 学 の 知 識 の 応 用 も さ る こ とな が ら,数 学 的 思 考 方 法,数 学 的 精神 の 浸 透 が 大 き い.理 工 学 は じめ 医 学 ・農 学 ・経 済 学 な ど広 汎 な 分 野 で,数 学 の知 識 の み な らず 基 礎 的 な 考 え方 の 素 養 が 必 要 な の で あ る.近 代 数 学 の理 念 に接 しな けれ ば,知 識 の 活 用 も多 きを 望 め な い で あ ろ う.   編 者 らは,こ の よ うな 事 実 を 考 慮 し,数 学 の 各 分 野 にお け る基 本 的知 識 を確 実 に 伝 え る こ とを 目的 と して本 シ リー ズ の 刊 行 を 企 画 した ので あ る.   上 の主 旨 に した が っ て本 シ リー ズ で は,重 要 な 基 礎 概 念 を と くに詳 し く説 明 し, 近 代 数 学 の考 え方 を平 易 に理 解 で き る よ う解 説 して あ る.高 等 学 校 の数 学 に直 結 して,数 学 の基 本 を悟 り,更 に進 ん で 高等 数 学 の 理 解 へ の 大 道 に容 易 に はい れ る よ う書 か れ て あ る.   これ に よ って,高 校 の 数 学 教 育 に携 わ る人 た ちや 技 術 関 係 の 人 々の 参 考 書 と し て,ま た 学 生 の 入 門書 と して,ひ

ろ く利 用 され る こ とを 念 願 と して い る.

  この シ リー ズ は,読 者 を 数 学 とい う花 壇 へ 招 待 し,そ れ の観 覚 に 資 す る と と も に,つ

ぎの 段 階 に す す む た め の 力 を 養 うに 役 立 つ こ とを意 図 した もの で あ る .

は

じ

め

に

  位 相 的 方 法 は 現 代 数 学 を 特 徴 づ け る もの の 一 つ で,そ

れ は 数 学 の 多 くの

分 野 に お い て 使 用 され て お り,現 代 数 学 の 理 解 の た め に は 位 相 数 学 は 必 須 の も の と され て い る.し か しな が ら,今 わ た り,位 相 的 方 法 も一 様 で な い.そ

日 で は 位 相 数 学 そ れ 自身 も 多 岐 に

こ で 本 書 で は,微 積 分 とそ れ に つ づ

く解 析 学 に お い て 位 相 的 方 法 が どの よ うに 用 い られ,ま

た 逆 に,解 析 学 が

位 相 数 学 の 研 究 に ど の よ うに 利 用 され て い るか を み る こ とに 話 題 を 限 定 し た.本

書 の 内 容 の 大 部 分 は 微 分 位 相 幾 何 学 と よば れ て い る 分 野 の 基 礎 的 事

項 で あ るが,必

ず し もそ れ ば か りで は な い.本 書 を 「位 相 数 学 入 門 」 と名

づ け た 理 由 も こ こ に あ る.   本 書 は 読 者 に高 等 学 校 程 度 の 数 学 の 知 識 を 仮 定 して い る が,そ 知 識 は 仮 定 せ ず,集

合,位

も一 応 の 説 明 を した.し

相,線

形 代 数,微

れ以 上 の

積 分等 の初 等 的部 分 につ い て

か しな が ら,こ れ らに 不 慣 れ な読 者 は こ の シ リー

ズ 中 の 関 連 す る書 物 を 参 照 して 頂 き た い.   終 りに,本 書 の 執 筆 を お す す め 下 さ っ た 小 松 醇 郎 先 生 に 対 し,ま た 原 稿 に つ い て 訂 正 を 頂 い た 塩 飽 忠 一,浦

久 保 正 美,大

和 健 二 の 諸 君 に 対 し,厚

く感 謝 した い.

1971年8月 著

者

目

0. 

準

  0.1 

次

備 集 合,写

  1 像 

1

  0.2  実 数,Rn 

1.  位

相

6

空 間  

  1.1  距 離 空 間,連

12

  1.2  開 集 合,閉

続 写像 

12

集合 

17

  1.3  位 相 空 間  

24

  1.4  連

30

2. 

結

性

 

コ ン パ ク ト性

  2.1 

 35

コ ン パ ク ト集 合

 35

  2.2  点 列 コ ン パ ク ト,完

備

  2.3  局 所 コ ン パ ク ト,パ

ラ コ ンパ ク ト

3. 

線

形 空

間

 

41

 

47

 

52

  3.1  線 形 空 間

 52

  3.2  線 形 写 像

  58

  3.3  行   3.4 

4. 

列

式

62

ノル ム 空 間  

微

分

  4.2  偏 Cr級

微

70

 

  4.1  写 像 の 微 分

  4.3 

 

分 

写像

79

  79 86  97

5. 

逆 関 数 の 定 理,微

分 方程 式 の解 の存 在 定理

 

  5.1  逆 関 数 の 定 理

 106

  5.2  微 分 方 程 式 の 解 の 存 在 定 理

  114

  5.3  初 期 条 件 に 関 す る 微 分 可 能 性   5.4 

6. 

1パ

ラ メ ー タ ー 変 換 群,イ

多 様 体,接

  6.1 

ソ トピー

お け る多 様 体 の接 空 間

  6.3  多

様

 119   127

空 間

ユ ー ク リ ッ ド空 間 に お け る 多 様 体

  6.2 Rpに

106

体

  135   135  

141

 

148

  6.4  多 様 体 の 接 空 間

  156

7. 

  165

多 様 体 の リ ー マ ン計 量 と 向 き

  7.1  接   7.2 

束 

165

リ ー マ ン計 量

 169

  7.3  多 様 体 の 向 き

 

8. 

  181

ブ ローエ ル の不 動 点 定理

  8.1 

サ ー ドの 定 理

  8.2  写

像

ワイ エ ル シ ュ トラ ス の近 似 定 理

  8.4 

凸

  8.5 

シ ャ ウ ダ ー の不 動 点 定 理

参 索

考

集

書 引

  181

度 

  8.3 

175

190   195

合 

201  

210

  216  

217

0.  準

  0.1  集 合,写

備

像

  0.1.1  範 囲 の は っ き りした もの を 一 つ に と りま と め て 考 え る と き,こ れ を 集 合 と い い,集 う.xが Xに

合 を構 成 し て い る個 々 の もの を そ の 集 合 の 元 また は 要 素 とい

集 合Xの

元 で あ る と き,こ

属 す る,ま た はxはXに

れ をx∈Xま

た はX∋xと

含 ま れ る とい う.x∈Xの

表 わ し,xは

否 定 を 

で 表わ

なわ ち,x∈Xな

らば

す.   集 合X,X′

が 全 く 同 じ元 か らな っ て い る と き,す

x∈X′ で あ り,か つ,x∈X′ あ る と い い,X=X′   集 合Xの

あ る と き,XとX′

こ の と きXはX′

は 同 じ集 合 で

と書 く.

どの 元 も集 合X′ の 元 で あ る と き,す

の と き,XはX′

と い い,φ

な らばx∈Xで

なわ ちx∈Xな

の 部 分 集 合 で あ る とい い,X⊂X′

らば￨x∈X′

ま た はX′ ⊃Xで

表 わ す.

に 含 ま れ る と も い わ れ る.元 を 全 く もた な い 集 合 を 空 集 合

で 表 わ す.任

意 の 集 合Xに

対 し φ⊂Xと

考 え る.

  有 限 個 の 元 か ら成 り立 っ て い る集 合 を 有 限 集 合 と い い,そ れ ら の 元 がx1,x2, … ,xkの

と き,こ の 集 合 を{x1,x2,…,xk}で

限 集 合 とい う.無

表 わ す.有

限集合 で ない 集合 を 無

限 集 合 の 場 合 もそ の 一 部 を 書 い て 全 体 が 推 測 され る場 合 は,

こ の 集 合 を{a,b,c,…}の

よ うに 表 わ す.

  あ る条 件 を み た す よ うな 元 全 体 の つ く る 集 合 を{x￨…}の こに…

の と ころ にxの

の うち で 集 合Xに   Λ を1つ

よ うに 書 く.こ

み た す べ き条 件 を 書 く の で あ る.な お,こ

属 す る も の の つ く る 集 合 を{x∈X￨…}で

の 集 合 と し,Λ

の 各 元 に1つ

の よ うなx

表 わ す.

の も のxλ が 定 め られ て い る と き,こ

れ ら のxλ 全 体 の 集 合 を{xλ￨λ ∈Λ}ま た は{xλ}λ∈Λで 表 わ し,Λ

を添 字 集合

と い う.な お,{xλ}λ∈Λを{xλ}と 略 記 す る こ と もあ る.   集 合 を 元 とす る よ うな 集 合,す

な わ ち 集 合 の 集 合 を 集 合 族 とい う.集

の 部 分 集 合 か ら な る集 合 族 をXの

部 分 集 合 族 と い う.

合X

  Xの 部 分 集 合 族{Xλ}λ∈Λが 与 え られ た と き,少 な く と も1つ のXλ に 属 す る 元 全体 のつ く る集 合 を 

で 表 わ し,ま た,ど

で 表 わ す.す

く る 集 合 を 

のXλ に も属 す る 元 全 体 の つ

なわ ち に対 し

あ る 

に対し

す べ て の 

こ れ ら を そ れ ぞ れ 部 分 集 合 族{Xλ}λ ∈Λの 和 集 合,共 n}の

と き,和

X1∩X2∩

集 合 はX1∪X2∪…∪Xnま

… ∩Xnま

  A,BをXの

い う.と

く に,集

AをAcで

固 定 し て 考 え る と き,Xの

表 わ し て,Aの

X1,…,Xnの

X×X×

与 え ら れ た と き,各Xiか く る 集 合 を 考 え る.こ

積 集 合 と い う.た

=x1′,x2=x2′

交 わ る と い う. 表 わ し,差

部 分 集 合Aに

集合 と

対 し,X−

補 集 合 と い う.

  集 合X1,X2,…,Xnが (x1,x2,…,xn)のつ

の と き,AとBは

属 さ な い 元 の つ く る 集 合 をA−Bで

合Xを

通 部 分は

で 表 わ さ れ る.

た は 

属 し てBに

で 表 わ され,共

た は 

部 分 集 合 と す る, 

ま た,Aに

通 部 分 と い う.Λ={1,2,…,

…,xn=xn′

ら 元xiを

任 意 に え ら び,列

の 集 合 をX1×X2×

… ×Xnで

だ し(x1,x2,…,xn)=(x1′,x2′,…,xn′)と

を 意 味 す る も の と す る.と

… ×X(n個)をXnで

く に,集

合Xに

表 わ し, はx1 対 し,

表 わ す.

  上 に 述 べ た 集 合 の 演 算 に 関 し て,次

の 基 本 的 な 等 式 が 成 り立 つ.

 (0.1)

  (0.2)

 (0.3)

な お,(0.2)をド   問1    0.1.2 

・モ ル ガ ン(de

(0.1)‐(0.3)を 集 合Xの

Morgan)の

法 則 と い う.

証 明 せ よ.

各 元xに

対 し て 集 合Yの

元 が1つ

ず つ 何 らか の 方 法 で 対

応 させ られ て い る と き,こ の 対 応 づ け をXか つ う1つ の 文 字 で 表 わ し,fが

集 合Xか

らYへ

の 写 像 とい う.写 像 を ふ

ら集 合Yへ

の 写 像 で あ る と き,こ れ

を また は で 表 わ す.fに

よ っ てx∈Xにy∈Yが

yをxのfに   Yが

対 応 し て い る と き,y=f(x)と

書 き,

よ る 像 と い う.

数 の 集 合 の と き は 写 像 を ふ つ う 関 数 と い う.

  x,yは

集 合X,Yの

元 を 一 般 的 に 表 わ す 記 号 で あ る と 考え る こ と に よ り,

写像f:X→Yはy=f(x)ま 立 変 数,yを

た は 単 にf(x)と

も 書 か れ る.こ

の と き,xを

独

従 属 変 数 と い う.

  写 像f:X→Yが

与 え ら れ た と き,A⊂Xに

対 し

f(A)={f(a)∈Y￨a∈A} をAのfに

よ る 像 と い い,B⊂Yに

対 し

f−1(B)={a∈X￨f(a)∈B} をBのfに

よ る 原 像 ま た は 逆 像 と い う.

  f:X→Yを

写 像 と す る.こ

の と き,Xの

部 分 集 合 族{Xλ}λ ∈Λ,Yの

部分 集

合 族{Yλ}λ ∈Λに 対 し,

 (0.4)

が 成 り立 ち,ま

た,A⊂X,B⊂Yに

 (0.5) 

対 し

f−1(f(A))⊃A, f(f−1(B))=B∩f(X)

が 成 り立 つ こ と は 容 易 に 示 さ れ る.   写像f:X→Yの像f(X)が1点y0∈Yの い,同

じ くy0で

=x(x∈A)で

と き,fをy0へ

表 わ す こ と が あ る.ま

た,A⊂Xの

定 義 し て 包 含 写 像 と い う.と

写 像 と い い,1Xま

た は 単 に1で

  写像f:X→Yと

写 像g:Y→Zに

く に,A=Xの

の 定 値 写 像 とい

と き,i:A→Xをi(x) と き,こ

表 わ す. 対 し,写

像h:X→Zをh(x)=g(f(x))

れ を 恒等

(x∈X)で お,こ

定 義 し,hをg°fま

た はgfで

表 わ し て,fとgの

合 成 と い う.な

の とき図 式

は 可 換 で あ る とい う.同 様 に,図

式

が 可換 で あ る とは,ψ°f=g° φ で あ る こ とを 意 味 す る もの とす る.   f:X→Yが f:A→Bが い,f￨Aで

写 像 で,A⊂X,f(A)⊂B⊂Yの 定 義 さ れ る.と

と き,f:X→Yに

く に,f:A→Yをf:X→YのAへ

表 わ す.f:X→Yでg=f￨Aの

×Xn→Y1×Y2×

の 制 限 とい

と き,fをgの

  写 像f1:X1→Y1,f2:X2→Y2,…,fn:Xn→Ynに fn:X1×X2×…

よ り写 像

拡 張 と い う.

対 し,写 … ×Ynを(f1×f2×

像f1×f2×

… ×

… ×fn)(x1,x2,…,xn)

=(f1(x1),f2(x2),…,fn(xn))(x1∈X1,…,xn∈Xn)で

定 義 し,f1

,…,fnの

積 写 像 と い う.   集 合Xに

対 し,Δ:X→XnをΔ(x)=(x,x,…,x)(x∈X)で

線 写 像 と い う.写 (f1×f2×

pi(x1,x2,…,xn)=xiで と 射 影pi:Y1×Y2× が 成

f:X→Yを

… ×Ynを(f1,f2,…,fn)で

対 し,pi:X1×X2× 定 義 し,射 … ×Yn→Yiの

り 立 つ.fiをfの

角

対 し,写

像

像f1:X→Y1,f2:X→Y2,…,fn:x→Ynに

… ×fn)°Δ:X→Y1×Y2×

  集 合X1,X2,…,Xnに

定 義 し,対

第i成

表 わ す.

… ×Xn→Xi(i=1,2,…,n)を

影 と い う.写 合 成 をfiと

像f:X→Y1×Y2×

… ×Yn

す る と き,f=(f1,f2,…,fn)

分 と い う.

写 像 と す る.f(X)=Yの

と き,fを

全 射 また は 上 へ の 写 像 と い

い,f(x)=f(x′)な と い う.全

ら ばx=x′

で あ る と き,fを

射 か つ 単 射 で あ る 写 像 を 全 単 射 ま た は 上 へ の1対1写

  f:X→Yが

全 単 射 の と き,写

義 し て,fの

逆 写 像 と い い,f−1で

  問2 

単 射 ま た は 中 へ の1対1写

(0.4),(0.5)を

像 と い う.

像g:Y→Xをg(f(x))=x(x∈X)に

示 せ.ま

像

よ り定

表 わ す. た,そ

れ ら の うち 等 式 で な い も の に つ い て は,

等 号 が 成 り立 た な い 例 を あ げ よ.   問3 

写 像f:X→Y,g:Y→Zの

単 射 で,gは   0.1.3  る.こ

全 単 射 な ら ば,fは

全 射 で あ る こ と を 示 せ. 一 平 面 上 の 直 線 の 全 体 を 考 え,そ

の と き,直

3条

合 成gof:X→Zが

線xが

直 線yに

こに お い て 平 行 と い う関 係 を 考 え

平 行 で あ る こ と をx∼yで

表 わ せば,次

の

件 が 成 り立 つ:

 ⅰ) 

x∼x.

 ⅱ) 

x∼yな

 ⅲ) 

x∼y,y∼zな

  一 般 に,集

らばy∼x. らばx∼z.

合Xに

て い て,xとyが

お い て,あ

た,x∼yの

  例1 

任 意 の2元x,yの

そ の 関 係 に あ る こ と をx∼yで

が 成 り立 つ な らば,こ う.ま

る 関 係 がXの

表 わ す と き,上

の 関 係 を 同 値 関 係 と い い,上

と き,xはyに

間 に 定 義 され のⅰ)―ⅲ)

のⅰ)―ⅲ)を

同 値 律 とい

同 値 で あ る と い う.

平 面 上 の 図 形 のつ く る 集 合 に お い て,合

同 と い う関 係 は 同 値 関 係 で あ

る.

  例2 

整 数 の つ く る 集 合 に お い て,差

が あ る一 定 数 で わ りきれ る とい う関 係

は 同 値 関 係 で あ る.   Xを の 元xに

集 合 と し,そ 対 し,xと

のⅰ)―ⅲ)よ

こに お い て 同 値 関 係 ∼ が 与 え られ た とす る.こ 同値 な 元 全 体 の つ く る部 分 集 合 をxの

り容 易 に,Xの

す べ て の 元 は1つ

わ す.な

お,同

値 類Cに

は 表 わ す)と い う.xを

同 値 類 と い う.上

しか もた だ1つ

す る こ とが わ か る.同 値 類 全 体 のつ く る 集 合 をXの

の と き,X

の 同値 類 に 属

商 集 合 とい い,X/∼

含 まれ て い る 任 意 の 元x∈XはCを そ の 同 値 類 に うつ す 写 像 π:x→X/∼

で表

代 表 す る(ま た を 射 影 と い う.

  集 合Xか

ら集 合Yへ

の 全 単 射 が 存 在 す る と き,XとYは

う.容 易 に 示 さ れ る よ うに,集   有 限 集 合Xに

対 して は,負

対等である と い

合 が 対 等 で あ る とい う関 係 は 同 値 関 係 で あ る. で な い 整 数nが

定 ま り,Xは

集 合{1,2,…,n}

と 対 等 で あ る.   自然 数 全 体 のつ く る集 合{1,2,3,…}をNで

表 わ す.Nと

対 等 で あ る集 合

を 可 算 無 限 集 合 とい う.   有 限 集 合 と可 算 無 限 集 合 を 総 称 して,可

算 集 合 とい う.

  可 算 集 合 の 部 分 集 合 は 可 算 集 合 で あ り,X,Yが

可 算 集 合 な らば 積 集 合X×

Yも 可 算 集 合 で あ る こ と は 容 易 に 示 され る.   こ の こ と よ り,有 理 数 全 体 の 集 合Qは   な お,実数

全 体 の 集 合 は 可 算 集 合 で な い こ とが 知 られ て い る.(松

集 合 論 入 門(基 礎 数 学 シ リー ズ5),朝   問4  集 合Xか

ら集 合Yへ

x,x′ はf(x)=f(x′)の 値 関 係 で,そ

  0.2  実

可 算 無 限 集 合 で あ る こ とが 示 さ れ る.

倉 書 店,p.65参

の 全 射f:X→Yが

照.)

与 え られ た と き,Xの2元

と き 同 値 で あ る と定 義 す れ ば,こ

の 同 値 類 の 集 合 はYと

村 英 之:

れ はXに

おけ る同

対 等 で あ る こ と を 示 せ.

数,Rn

  0.2.1  実 数 全 体 の 集 合 をRで

表 わ す.よ

て は 加 減 乗 除 の 四 則 演 算 が(0に

よ る 除 法 を の ぞ い て)自 由 に で き る.さ

Rに

おい らに,

お い て は 数 の 大 小 関 係 が 定 義 され て い る.

  次 の 形 を もつRの a
く知 られ て い る よ うに,Rに

部 分 集 合 を 総 称 し て 区 間 とい う.た

だ し,a,b∈Rで,

す る:

と く に,形(,)の

区 間 を 開 区 間,形[,]の

区 間 を 閉 区 間 と い う.

  XをRの

部 分 集 合 とす る.a∈Rが

が 成 り立 つ な らば,Xは い う.ま た,b∈Rが ば,Xは

上 に 有 界 で あ る とい い,こ 存 在 し て,す

べ て のx∈Xに

下 に 右 界 で あ る と い い,こ

集 合Xが

れ をXの

にXの

対 しb≦xが

上界と

成 り立 つ な ら

下 界 とい う.Rの

部分

有界 集 合 とい う.

属 す る上 界 が 存 在 す れば,そ

最 大 数 とい う."上"を"下"に

最 小 数 を 定 義 す る.Xの

対 しx≦a

の よ うなaをXの

の よ うなbをXの

上 お よび 下 に 有 界 な と き,Xを

  Xが 上 に 有 界 の と き,Xに る.こ

存 在 し て,す べ て のx∈Xに

れ は一 意的 に定 ま

お きか え る こ と に よ り,同

最 大 数 をmax

Xで,Xの

最 小 数 をmin

様

Xで

表 わ す.   実 数 は 次 の基 本 性 質 を もつ:Rの

部 分 集 合X 

の 上 界 全 体 の つ く る集 合 は 最 小 数 を もつ.ま

が 上 に 有 界 な らば,X

た,Xが

下 に 有 界 な らば,Xの

下 界 全 体 の つ く る集 合 は 最 大 数 を もつ.   これ は 実 数 の 連 続 性 と よば れ て い る も の で あ る.わ れ わ れ は これ を 公 理 と し て み とめ る こ と に す る.   上 の 基 本 性 質 で 述 べ た 最 小 数 をXの の 上 限 をsup

Xで,Xの

  定 義 に よ り,sup で き る:ⅰ)す

下 限 をinf Xで

Xと

べ て のx∈Xに

み た すx∈Xが

  Xを

任 意 の 集 合 と し,f:X→Rを

み た す 実 数aで

対 しx≦a,ⅱ)任

意 の 正 数 ε>0に 対 しa−

数fは

実 数 値 関 数 とす る.像f(X)が 上(ま た は 下)に 有 界 で あ る とい う.こ

f(X))を 

また は 

上 限(ま た は 下 限)と い う.   容 易 に 示 され る よ うに,f,g:X→Rが

が 成 り立 ち,f,g:X→Rが

が 成 り立 つ.

あ る とい う こ とが

存 在 す る.下 限 につ い て も 同 様 で あ る.

は 下)に 有 界 の と き,関 た はinf

大 数 を 下 限 とい う.X

表 わ す.

は 次 のⅰ),ⅱ)を

ε<xを

sup f(X)(ま

上 限 とい い,最

上 に 有 界 な らば

下 に 有 界 な らば

上(ま た の とき

で 表 わ して,fの

  実 数 列x1,x2,…,xn,… る が,こ

は 自然 数 全 体 の 集 合Nか

の 写 像 が 上(ま

た は 下)に

有 界 の と き,数

らRへ

の 写 像 とみ な され

列{xn}は

上(ま

た は 下)に

有 界 で あ る と い う.   実 数 列{xn}はx1≦x2≦ … ≧xn≧

… ≦xn≦

… の と き 単 調 増 加 で あ る と い い,x1≧x2≧

… の と き 単 調 減 少 で あ る と い う.

  周 知 の よ う に,数

列{xn}がxに

収 束 す る と は,nが

xnがxに

限 り な く 近 づ く こ と を 意 味 す る が,厳

て も,あ

る 自 然数n0を

￨xn−x￨<ε

限 りな く 増 大 す る と き,

密 に は,ど

適 当 に 選 ぶ な らば,n0よ

ん な正 数 εに対 し

り大 き い す べ て のnに

が 成 り立つ こ と で あ る と い う こ と が で き る.{xn}がxに

と き,x=limxnと   定 理0.1 

書 き,xを{xn}の

対 し

収 束す る

極 限 値 と い う こ と も 周 知 の 通 りで あ る.

上 に 有 界 な 単 調 増 加 数 列 お よび 下 に 有 界 な 単 調 減 少 数 列 は 収 束 す

る.   証 明   {xn}を

上 に 有 界 な 単 調 増 加 数 列 とす る.こ

れ る 数 の 集 合 は 上 に 有 界 で あ る か ら,上 る と き,x−

ε<xn0を

nに 対 しxn≦xで 束 す る.下   問1 

き,平

と きx−

の数列 に現わ

を 任 意 の 正 数 とす

単 調 増 加 で,す

ε<xn≦x.よ

(証 終)

面 上 の 点 に そ の 座 標 を 対 応 させ る と

面 上 の 点 全 体 の 集 合 か ら積 集 合R2=R×Rの 知 の よ う に,通

す る.直

線 上 の 点 とR,空

常,こ

幾 何 の 言 葉 を 用 い,そ

の 対 応 の もと こ平 面 上 の 点 とR2の

対 す る 積 集 合Rn=R×

の 元 を 点 と い う.定 あ る が,こ

座 標,xiをxの第i座

上 へ の1対1写

間 に お け る 点 とR3につ

意 の 自 然 数nに

列(x1,x2,…,xn)で

収

実 数 の 連 続 性 と 同 値 で あ る こ と を 証 明 せ よ.

平 面 上 に 直 角 座 標 系 を 定 め,平

  一 般 に,任

べ ての

っ て{xn}はxに

に 有 界 な 単 調 減 少 数 列 に つ い て も 同 様. 

れ る.周

xの

存 在 す る.ε

存 在 す る が,{xn}は

あ る か ら,n≧n0の

定 理0.1は

  0.2.2 

み た すn0が

限xが

の と き,こ

れ を1つ

像 が得 ら 元 を 同一 視

い て も 同 様 で あ る. … ×R(n個)に

義 に よ り,Rnの

点 はn個

つ い て も, の実 数 の

の 文 字 で 表 わ す と き,(x1,x2,…,xn)を

標(i=1,2,…,n)と 原 点 と い う.な

い う.座

る 点 を0で

表 わ し,Rnの

お,R0={0}と

  区 間,長

方 形 お よ び 直 方 体 の 概 念 を 一 般 化 し て,任

標 が(0,0,…,0)で 約 束 す る.

意 のa=(a1,…,an)∈Rn

あ

と 正数r1,…,rnに

対 し,Rnの

を そ れ ぞ れn次

部 分 集 合

元 開 直 方 体,n次

元 閉 直 方 体 と い い,aを

らは そ れ ぞ れ 開 区 間 また は 閉 区 間 の 積 集 合 と し て,次 (a1−r1,a1+r1)×

… ×(an−rn,an+rn),

[a1−r1,a1+r1]×

… ×[an−rn,an+rn].

  と く に,r1=…=rnの

と き,こ

れ ら をn次

中 心 と い う.こ れ

の よ うに 表 わ され る:

元 開 立 方 体,n次

元 閉 立 方 体 と

い う.   Rnの

部 分 集 合Rn−1×[0,∞),す

元 半 空 間 と い い,Hnで

な わ ち{(x1,…,xn)∈Rn￨xn≧0}をn次

表 わ す.

  よ く 知 ら れ て い る よ う に,R2の2点x=(x1,x2),y=(y1,y2)の ((x1−y1)2+(x2−y2)2)1/2で (x−y)=((x−y)2)1/2で,ま y3)の

与え

ら れ,同

た,空

様 に,直

距 離 は 線 上 の2点x,yの

距 離 は

間 に お け る2点x=(x1,x2,x3),y=(y1,y2,

距 離 は((x1−y1)2+(x2−y2)2+(x3−y3)2)1/2で

与 え ら れ る.こ

化 し て,Rnの2点x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)に

れ を 一 般

対 し,負

で な い

実 数

を 対 応 さ せ,こ

れ をxとyの

距 離 と い う.

  こ の よ う な 距 離 を 考 え た と き,Rnをn次 い う.以

下,こ

元 ユ ー ク リ ッ ド(Euclid)空

と わ りの な い 限 り,Rnに

間 と

お い て は この 距 離 を 考 え る も の とす

る.   円 周,球

面 の 概 念 を 一 般 化 し て,任

意 の 点a∈Rnと

正 数rに

対 し,Rnの

部 分集 合 {X∈Rn￨d(x,a)=r} をRnに 分 集合

お け る 球 面 と い う.ま

た,円

板,球

体 の 概 念 を 一 般 化 し て,Rnの

部

を そ れ ぞ れRnに す.な

お,こ

お け る(閉)球

れ ら に お い て,aを

と し 半 径 が1で ま た,原 n球

体,開

あ るRn+1に

球 体 と い い,B(a,r),O(a,r)で

中 心,rを

半 径 と い う.と

お け る 球 面 をSnで

点 を 中 心 と し 半 径 が1で

あ るRnに

表 わ し,単

表わ

く に,原 位n球

お け る 球 体 をBnで

点 を 中心 面 と い う.

表 わ し,単

位

体 と い う.

  とくに,S0は2点{−1,1}で,B1は   周 知 の よ うに,平

閉 区 間[−1,1]で

面 上 の ベ ク トル に 対 し,そ

平 面 上 の ベ ク トル の 集 合 か らR2の

あ る.

の 成 分 を 対 応 さ せ る こ と に よ り,

上 へ の 全 単 射 が 得 ら れ,ベ

ク トル の 和 お よ

び ス カ ラ ー 倍 に は 次 の 演 算 が 対 応 す る: (x1,x2)+(x2,y2)=(x1+y1,x2+y2), 

s(x1,x2)=(sx1,sx2).

こ こ に(x1,x2),(y1,y2)∈R2で,s∈R.空

間 に お け る ベ ク トル とR3につ

い

て も 同 様 で あ る.   こ の こ と を 一 般 化 し て,x,y∈Rnとs∈Rに sxを

対 し,和x+y,ス

カ ラ ー倍

次 式 で 定 義 す る: x+y=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn), sx=(sx1,sx2,…,sxn).

  Rnを

こ の よ うな 演 算 を も っ た 集 合 を み た 場 合,Rnをn次

間 と い い,Rnの

元 数 ベ ク トル 空

元 を 数 ベ ク トル ま た は 単 に ベ ク トル と い う.

  平 面 上 ま た は 空 間 に お け る ベ ク トル の と き と 同 様 に,x∈Rnに

をxの

長 さ と い い,ま

た,x,y∈Rnに

対 し

対 し

〈x,y〉=x1y1+x2y2+…+xnyn をxとyの

内 積 と い う.簡

単 な 計 算 に よ り,

  (0.6)

の 成 り立つ こ と が わ か る.こ の 不 等式

の う ち,第3番

目 の 式 は,シ

ュ ワ ル ツ(Schwarz)

に ほ か な ら な い.こ

の 式 に よ り,x,y∈Rnに

を み た す θ が 存 在 す る が,こ =0の

と き,す

対 し

の θ をxとyの

な わ ち〈x,y〉=0の

な す 角 と い う.と

と き,xとyは

く に,cosθ

直 交 す る と い い,x⊥yで

表 わ す.   平 面 上 ま た は 空 間 に お け る 線 分,直 に 対 し,Rnの

線 の 概 念 を 一 般 化 し て, 

部分 集合 {(1−t)x+ty￨0≦t≦1}

をxとyを

結 ぶ 線 分 と い い, {(1−t)x+ty￨t∈R}

をxとyを   Rnの

結 ぶ 直 線 と い う. 部 分 集 合Cの

ま れ る な らば,Cを   例 え ば,開 0≦t≦1の

任 意 の2点x,yに

対 し,xとyを

結 ぶ 線 分 がCに

含

凸 集 合 と い う.

球 体O(a,r)は と き,(0.6)に

凸 集 合 で あ る.実

際,x,y∈O(a,r)な

らば,

よ り,

で あ る か ら,(1−t)x+ty∈O(a,r).   問2 a∈Rn,r>0が (x∈Rn)で rで

定 義 す る.fは

あ る 球 面(ま

  問3 

与 え ら れ た と き,写

Rnに

る こ と を 示 せ.

全 単 射 で,Sn−1(ま

像f:Rn→Rnをf(x)=a+rx

た は 球 体)の お け る 球 体,直

た はBn)を

中 心 がaで

半径が

上 に うつ す こ と を 示 せ. 方 体,半

空 間,線

分,直

線 はす べ て 凸集合 で あ

1.  位

  1.1 

距 離 空 間,連

  1.1.1 

n次

相

空

間

続写 像

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間Rnに

お け る2点x,yの

距 離d(x,y)は

次

の 性 質 を もつ:   (D1) 

d(x,y)≧0で,d(x,y)=0と

な る の はx=yの

と き しか も そ の と き に

限 る.   (D2) 

d(x,y)=d(y,x).

  (D3) 

d(x,z)≦d(x,y)+d(y,z).

  実 際,(D1),(D2)は 4式

自 明 で あ る.d(x,y)=‖x−y‖

で あ る か ら,(0.6)の

第

よ り, 

が 得 ら れ,(D3)が   (D3)は,3角

成 り立つ.

形 の2辺

の 長 さ の 和 は 他 の1辺

う事 実 を 一 般 化 し た も の で,3角   上 の(D1)−(D3)が い.例

不 等 式 と よ ば れ て い る.

成 り立つ の は,な

に も 上 のd(x,y)に

限 った こ とで は な

えば,Rnの2点x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)に

 (1.1) 

対 し,

d(x,y)=max{￨x1−y1￨,￨x2−y2￨,…,￨xn−yn￨}

と し て も,ま

た

 (1.2) 

d{x,y)=￨x1−y1￨+￨x2−y2￨+…+￨xn−yn￨

と し て も,(D1)−(D3)の

成 り立つ こ と が 容 易 に 確 か め ら れ る.さ

外 の 集 合 に つ い て も(D1)−(D3)の え ば,集

の 長 さ よ り小 さ く は な い と い

合Xが

与 え ら れ た と き,X上

ら な る 集 合 をF(X)と

と す れば,こ

成 り立 つ よ う なd(x,y)が

し,f,g∈F(X)に

れ に 関 し て(D1)−(D3)の

  上 に み た よ う に,集 れ て い て,(D1)−(D3)の

合Xの

ら に,Rn以

定 義 で き る.例

で 定 義 され た 実 数 値 有 界 関 数 の 全 体 か 対 し

成 り立 つ こ と が わ か る.

任 意 の2元x,yに

対 し て 実数d(x,y)が

成 り立 つ こ と が し ば し ば あ る.こ

定義さ

の よ うな も の を 一

般 的 に 取 り扱 うた め,次   空 で な い 集 合Xに −(D3)が

対 し,写

像d:X×X→Rが

成 り立 つ と き ,Xを

こ の と き,Xの   Xを

の 概 念 を 導 入 す る.

距 離 空 間 と い い,dを

距 離 関 数 と し て,距

れ を 距 離 空 間Xの

部 分 空 間 と い う.

  X1,X2,…,Xnを

距 離 空 間 と し,d1,d2,…,dnを

た,

合X1,…,Xnの

積 集 合X=X1×X2×

と定 義 す れば,d:X×X→Rは

の と き,Xの

離 空 間 に な る.こ

そ れ ら の 距 離 関 数 と す る. … ×Xnを

の2元x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn)に

考え,Xの

任意

対 し

距 離 関 数 で あ る こ とが 容 易 に 示 され る.こ

よ うに し て 得 られ る距 離 空 間Xを Xを

距 離 関 数 と い う.ま

そ の 距 離 関 数 と す る.こ

任 意 の 部 分 集 合Aは,d:A×A→Rを

  問1 

の(D1)

元 を 点 と も い う.

距 離 空 間 と し,d:X×X→Rを

こ の と き,集

与え られ て い て,上

距 離 空 間X1,X2,…,Xnの

の

積 空 間 とい う.

空 で な い 集 合 と し,d:X×X→Rを

で 定 義 す る と き,dは

距 離 関 数 で あ る こ とを 示 せ.(こ

の距 離 空 間 を 離 散 距 離

空 間 と い う.)   問2 

距 離 関数 は ￨d(x,y)−d(y,z)￨≦d(x,z)

を み た す こ と を 示 せ.   1.1.2  X,Yを ∈Xに

距 離 空 間 と し,f:X→Yを

写 像 とす る.こ

対 し,次 の 条 件 が 成 り立 つ な らば,fはx0に

お い て 連 続 であ る とい う:

どん な 正 数 εに 対 して も,あ る 正 数 δが 存 在 し て,d(x,x0)<δ ばd(f(x),f(x0))<ε   写 像f:X→YがXの

の と き,点x0

か つx∈Xな

ら

が 成 り立 つ. 各 点 に お い て 連 続 で あ る と き,fを

連 続 写 像 と い う.

  次 の 定 理 は 容 易 に 示 され る.   定 理1.1  る.

(ⅰ)  距 離 空 間Xか

ら距 離 空 間Yへ

の 定値写 像 は連続 写像 で あ

  (ⅱ)  Aを

距 離 空 間Xの

部 分 空 間 と す る と き,包

含 写 像i:A→Xは

連続

写 像 で あ る.   (ⅲ) X1,X2,…,Xnを

距 離 空 間 と し,そ

影pi:X→Xi(i=1,2,…,n)は   (ⅳ) 

距 離 空 間Xに

  (ⅴ)  X,Y,Zを f(x)∈Yに

れ ら の 積 空 間 をXと

す る と き,射

連 続 写 像 で あ る. 対 し,対

角 線 写 像Δ:X→Xnは

連 続 写 像 で あ る.

距 離 空 間 と し,f:X→Yはx∈Xに

お い て 連 続 で あ る と す る.こ

お い て,g:Y→Zは

の と き 合 成g°f:X→Zはxに

おい て

連 続 で あ る.   (ⅵ)  X,Yを x∈Xに

距 離 空 間 と し,BをYの

部 分 空 間 と す る と き,f:x→Bが

お い て 連 続 で あ る た め に は,f:X→Yがxに

おい て連続 で あ る こと

が 必 要 十 分 で あ る.   (ⅶ) 

Xi,Yiを

こ の と きf1×f2× … ,xn)に

距 離 空 間,xi∈Xiと … ×fn:X1×X2×

し,fi:Xi→Yiと

す る(i=1,2,…,n).

… ×Xn→Y1×Y2×

お い て 連 続 で あ る な ら ば,各fi:Xi→Yiはxiに

… ×Ynが(x1,x2, お い て 連 続 で あ り,

こ の 逆 も成 り立 つ.   (ⅷ) 

X,Y1,…,Ynを

fi=X→Yiがxに

距 離 空 間 と す る と き,f:X→Y1×

お い て 連 続 の と き,し

… ×Ynは

か も そ の と き に 限 り,xに

各成 分

おい て 連続

で あ る.   Xを

距 離 空 間 と し,A,BをXの

をAとBと B)と

空 で な い 部 分 集 合 と す る.こ

の 距 離 と い う.と

く にAが1点xか

ら な る と き,こ

の とき

れ をd(x,

表 わ す.

  定 理1.2 

距 離 空 間Xと

f(x)=d(x,B)(x∈X)で   証 明   x,y∈Xに

そ の 空 で な い 部 分 集 合Bに 定 義 す れば,fは

対 し,

対 し,f:X→Rを

連 続 関 数 で あ る.

で あ り,同

様に d(y,B)≦d(x,y)+d(x,B)

で あ る か ら, ￨d(x,B)−d(y,B)￨≦d(x,y). 従 っ てd(f(x),f(y))≦d(x,y)が

成 り立つ.こ

れ はfが

連 続 で あ る こ とを 示

し て い る. 

(証 終)

  問3 

距 離 関 数d:X×X→Rは

連 続 で あ る こ と を 示 せ.

  問4 

f:Rn×Rn→Rn,g:R×Rn→Rnを f(x,y)=x+y,g(s,x)=sx(x,y∈Rn,s∈R)

で 定 義 す る.fお   1.1.3  xn,…

Xを

よ びgは

連 続 写 像 で あ る こ と を 示 せ.

距 離 空 間 と し,dを

に 対 し,x∈Xが

そ の 距 離 関 数 と す る.Xの

存 在 し て,数

0に 収 束 す る な ら ば,点

列{xn}はxに

点 列x1,x2,…,

列d(x1,x),d(x2,x),…d(xn,x),…

が

収 束 す る と い い,

また は と 書 い て,xを

点 列{xn}の

 点 列{xn}が

極 限 点 と い う.

収 束 す れ ば,そ

の 極 限 点 は 一 意 的 に 定 ま る.実

際,x,x′

を{xn}

の 極 限 点 とす る と き,d(x,x′)≦d(x,xn)+d(xn,x′)で,  で あ る か ら,d(x,x′)=0.従   定 理1.3  (ⅱ)は

X,Yを

距 離 空 間 と す る と き,写

像f:X→Yに

対 し,次

の(ⅰ),

同 値 な 命 題 で あ る.

  (ⅰ)  fはx0∈Xに

お い て 連 続 で あ る.

  (ⅱ)  x0を 極 限 点 に も つXの f(x0)を

っ てx=x′.

任 意 の 点 列{xn}に

対 し,Yの

点 列{f(xn)}は

極 限 点 に もつ.

  証 明   (ⅰ)⇒(ⅱ).任 続 で あ る か ら,正 成 り立つ.と

意 に 正 数 εが 与 え られ た と す る.fはx0に

数 δ が 存 在 し て,d(x,x0)<δ

こ ろ が, 

存 在 し て,n≧Nな d(f(xn),f(x0))<ε.よ

で あ る か ら,こ

ら ばd(xn,x0)<δ っ て,

おい て連

な ら ばd(f(x),f(x0))<ε の δ に 対 し て,自

が 成 り立つ.従

っ て,n≧Nな

が

然 数Nが らば

  (ⅱ)⇒(ⅰ).fはx0に 対 し て は,ど

お い て 連 続 で な い と す る.こ

ん な 正 数 δ を と っ て も,d(x,x0)<δ

み た すx∈Xが

存 在 す る.そ

x∈Xを1つ

選 び,そ

す る が,Yの

の と き,あ

かつd(f(x),f(x0))≧

こ で δ=1/n(n=1,2,…)に

れ をxnとす

る.こ

点 列{f(xn)}はf(x0)に

る 正 数 εに εを

対 し て,こ

の と き,Xの

の よ うな

点 列{xn}はx0に

収 束 し な い か ら,(ⅱ)は

収束

成 り立 た な い. (証終)

  Xを

集 合,Yを

す る.こ

距 離 空 間 と し,写像fn:X→Y(n=1,2,…)が

の と き,各x∈Xに

像 列{fn}は

点 列{fn(x)}が

収 束 す る と い い, 

X→Yを{fn}の

収 束 す る な らば,写 で 定 義 さ れ る 写 像f:

極 限 と い う.

  写 像 列{fn}が (xに

対 し,Yの

与 え られ た と

写 像fに

収 束 す る と は,任

関 係 す る)自 然 数n0が

存 在 し て,n≧n0の

り立 つ こ と を 意 味 す る が,こ 意 に 与え られ た 正数 て のn≧n0に

意 に 与 え ら れ た 正 数 ε に 対 し,

のn0がxに

εに 対 し,自

と きd(fn(x),f(x))<ε

無 関 係 に と れ る と き,す

然 数n0が

対 し てd(fn(x),f(x))<ε

存 在 し て,す

が成 な わ ち,任

べ て のx∈Xと

が 成 り立つ と き,写

すべ

像 列{fn}はfに

一様 収束 す る とい う.   定 理1.4  {fn}が

X,Yを

距 離 空 間 と し,{fn}をXか

一様 収 束 す る な ら ば,そ

  証 明   Xの

任 意 の 点x0に

の 極 限f:X→Yは

お い てfは

意 に 与 え ら れ た と す る.{fn}はfに す べ て のx∈Xに

数 δ が 存 在 し て,d(x0,x)<δ

つ.従

っ て,d(x0,x)<δ

よ っ て,fはx0に   問5 

の 連 続 写 像 列 と す る.

連 続 写 像 で あ る.

連 続 で あ る こ と を 示 そ う.正 一 様 収 束 す る か ら,自

対 しd(f(x),fn0(x))<ε/3が

ら,正

らYへ

然n0が

成 り立 つ.fn0は

の と きd(fn0(x0),fn0(x))<ε/3が

数 εが 任 存 在 し て,

連 続 で あ るか 成 り立

の と き,

お い て 連 続 で あ る. 

fn:[0,1]→Rをfn(x)=xnで

(証 終) 定 義 す る と き,{fn}は

収 束 し,そ

の

極 限 をfと

す る と き,f(x)=0(0≦x<1),f(1)=1と

{fn}はfに

一 様 収 束 し な い こ と を 示 せ.

  1.2 

開 集 合,閉

  1.2.1 

Xを

た,

集 合

距 離 空 間 と し,dを

意 の 正 数 εに 対 して,Xの

を 点aの

な る こ と を 示 せ.ま

そ の 距 離 関 数 と す る.Xの

任 意 の 点aと

任

部分 集合

ε近 傍 とい う.

  例え ば,X⊂Rnの 半 径 とす るRnに

と き,こ れ はaを お け る開 球 体 とXと

中 心 と し εを の 共 通 部 分 で あ る.

  Xを

距 離 空 間 と し,Uを

そ の 部 分 集 合 とす る.Uの

⊂Uで

あ る よ うな ε>0が 存 在 す る と き,UをXの

各 点aに

対 しO(a,ε)

開 集 合 とい う.空 集 合 も

開 集 合 とみ なす.   定 理1.5 

(ⅰ)  {Uλ}λ∈Λを 距 離 空 間Xの

集 合 な らば,和 集 合    (ⅱ)  U1,U2が

も開 集 合 で あ る.こ

る λ∈Λ に 対 し てa∈Uλ

は 開 集 合 で あ る か ら,O(a,ε)⊂Uを

εi>0が

てU1∩U2は   (ⅲ)    例1 

存 在 す る.こ

の と き 

ら ば,a∈Ui(i=1,2)で

あ る か ら,O(a,εi)⊂Uiを

存 在 す る.ε=min(ε1,ε2)と

み

お く と き,O(a,ε)⊂U1∩U2.従

っ

開 集 合 で あ る. 定 義 よ り 自 明.  ε 近 傍O(a,ε)は

ε′=ε−4(a,x)と

が 成

み た す ε>0が

で あ る が,Uλ

は 開 集 合 で あ る.

で あ る か ら,    (ⅱ) a∈U1∩U2な

開 集 合 で あ る.

開 集 合 で あ る.

な ら ば,あ

  証 明  (ⅰ) 

が開

こにΛ は 任 意 の 添 字 集 合.

開 集 合 な らば,共 通 部 分U1∩U2も

  (ⅲ)  空 集 合 φ お よびXは

た す

部 分 集 合 族 とす る.各Uλ

(証 終) 開 集 合 で あ る.な

お け ば,y∈O(x,ε′)に

り 立 ち,O(x,ε′)⊂O(a,ε)と

ん と な れ ば,x∈O(a,ε)の

対 し て

な る か ら で あ る.

と き,

  距 離 空 間Xの

部 分 集 合Aは,そ

の 補 集 合Acが

開 集 合 の と き,Xの

閉集

合 で あ る とい う.   ド ・モ ル ガ ンの 法 則 と定 理1.5よ   定 理1.6 

(ⅰ)  {Aλ}λ ∈Λを 距 離 空 間Xの

集 合 な らば,共

通 部 分 

  (ⅱ)  A1,A2が

閉 集 合 な らば,和

をaを

距 離 空 間Xの

部 分 集 合 族 とす る.各Aλ

が閉

も閉 集 合 で あ る.

  (ⅲ)  空 集 合 φ お よ びXは  例2 

り,次 の 定 理 が 得 られ る.

集 合A1∪A2も

閉 集 合 で あ る.

任 意 の 点aと

中 心 と す る 半 径rの

={x∈X￨d(a,x)>ε}は

閉 集 合 で あ る.

任 意 の 正 数 εに 対 し,Xの

球 体 と い う.例1と

部分 集合

同 様 に し て,補 集 合X−B(a,r)

開 集 合 で あ る こ とが 示 され るか ら

,B(a,r)は

閉集

合 で あ る.   定 理1.7  開 集 合Uに Xの

Xを

対 し,U∩AはAの

開 集 合Uが

開 集 合 で あ る.逆

対 し,aを

ら か.後

半 を 示 そ う.VはAの

ε)⊂Vを

み た す ε>0が

点 とみ な した と きの

る 関 係 が 成 り立つ.こ

存 在 す る が,い

ま,各a∈Vに

よ りO(a,ε)はXの

よ りUはXの

X,Yを

の 開 集 合UとYの

距 離 空 間 と し,積 開 集 合Vに

の 任 意 の 開 集 合 は 形U×Vの   証 明   (x,y)∈U×Vを

ε 近 傍 をOA の 間 に,明

対 し,OA(a,

対 し こ の よ う な εを と 開 集 合 で あ る か ら,

開 集 合 で あ る.ま

た,(0.1)に

 で あ る. 

  定 理1.8 

対 し,

の こ と よ り前 半 は 明

開 集 合 で あ る か ら,各a∈Vに

考 え よ う.例1に

理1.5に

開 集 合Vに

点 と み な し た と き の ε近 傍O(a,ε)と

ら か に,OA(a,ε)=O(a,ε)∩Aな

り,O(a,ε)を

に,Aの

の と き,Xの

成 り立つ.

部 分 空 間Aの

表 わ せば,aをXの

と お け ば,定

そ の 部 分 空 間 と す る.こ

存 在 し てV=U∩Aが

  証 明   a∈Aに (a,ε)で

距 離 空 間 と し,Aを

よ り, (証 終)

空 間X×Yを

対 し,U×VはX×Yの

考 え る.こ

の と き,X

開 集 合 で,X×Y

開 集 合 の和 集 合 で あ る. 任 意 の 点 とす る.x∈U,y∈Vで

あ るか ら,あ る 正

数

ε が 存 在 し てO(x,ε)⊂U,O(y,ε)⊂Vが

成

で あ る か ら,O((x,y),ε)⊂U×Vが

り 立つ.と

得 られ る.よ

こ ろ が,

っ てU×VはX×Yの

開

集 合 で あ る.   WをX×Yの し,あ

任 意 の 開 集 合 と す る.こ

の と き,Wの

る 正 数 ε が 存 在 し て,O((x,y),ε)⊂Wが

成 り立つ.と

で あ る か ら,  で,従

ころが

が 成 り立 つ.UxはXの,VyはYの

で あ る か ら,こ

に対

と お く と き,Ux×Vy⊂W

っ て, 

  問1 

任 意 の 点(x,y)の

開集合

れ で 求 め る 結 果 が 示 さ れ た. 

R2を(1.1)ま

た は(1.2)に

(証 終)

よ り距 離 空 間 に す る と き,点a∈R2の

ε

近 傍 は ど の よ う な 図 形 に な る か.   問2 

定 理1.7と

  1.2.2  の(開)近   Xを Aを

Xを

同 様 の 結 果 が 閉 集 合 に 対 し て も成 り立つ こ と を 示 せ.

距 離 空 間 と し,x∈Xと

す る と き,xを

傍 と い う. 距 離 空 間 と し,A⊂X,x∈Xと

す る.こ

み た す も の が 存 在 す る な らば,xをAの

近 傍Uに   Aの

含 む 任 意 の 開 集 合 をx

対 し, 

で 表 わ し て,Aの   A=Xの

近 傍UでU⊂ た,xの

任意の

触 点 と い う.

表 わ し て,Aの

表 わ し て,Aの

内 部 と い う.ま

閉 包 と い う.さ

た,Aの

触

ら に,A-IntAをFrA

境 界 と い う.

と き,AはXにお

  定 義 よ り,明

内 点 と い う.ま

が 成 り立つ と き,xをAの

内 点 全 体 の 集 合 をIntAで

点 全 体 の 集 合 をAで

の と き,xの

い て 稠 密 で あ る と い う.

らか に IntA⊂A⊂A.

ま た,次

式 が 成 り立つ:

  (1.3) 

X−A=Int(X−A).

  実 際,x∈X−Aと U⊂X−Aが

は,xの

あ る 近 傍Uに

成 り立 つ こ と を 意 味 す る.こ

対 し て,U∩A=φ

れ はx∈Int(X−A)を

す なわ ち 意 味 す る か ら,

(1.3)が

成 り立 つ.

  例3 

Rnに

お い て 開 球 体O(a,r)お

よ び 球 体B(a,r)を

は 開 集 合 で あ る か ら,O(a,r)⊂IntB(a,r)で な わ ちd(x,a)=rの

と き は,任

考 え る.O(a,r)

あ る が,x∈B(a,r)−O(a,r)す

けば,d(x,y)=ε,d(y,a)>rで

意 の 正 数 εに 対 し,y=x+(ε/r)(x−a)の あ る か ら, 

とお

従 っ て,

IntB(a,r)=O(a,r). B(a,r)は

閉 集 合 で あ る か ら,こ

心 と し 半 径rのRnに   定 理1.9 

れ よ り,B(a,r)の

境 界FrB(a,r)はaを

中

お け る 球 面 で あ る こ と が わ か る.

Xを

距 離 空 間 と し,A⊂Xと

  (ⅰ)  A=IntAはAが

す る.

開 集 合 で あ る た め の,A=AはAが

閉集合 で あ る

た め の 必 要 十 分 条 件 で あ る.   (ⅱ)  IntAは ま た,Aは

開 集 合 で,Aに

閉 集 合 で,Aを

  証 明   (ⅰ)  Aが

含 ま れ る 任 意 の 開 集 合 はIntAに

含 む 任 意 の 閉 集 合 はAを

開 集 合 で あ る と は,Aの

含 ま れ る.

含 む.

各 点が 内 点で あ る こ と を 意 味 す

る か ら,A=IntAはAが

開 集 合 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 で あ る.Aが

集 合 で あ る と は,X−Aが

開 集 合 で あ る こ と を 意 味 す る か ら,Aが

る こ と とX−A=Int(X−A)の に よ り,こ

閉

閉集 合で あ

成 り立つ こ と と は 同 値 な 命 題 で あ る.(1.3)

の 条 件 はA=Aと

同 値 で あ る か ら,A=AはAが

閉集合 で あ るた

め の 必 要 十 分 条 件 で あ る.   (ⅱ)  x∈IntAな な ら ば,Vはx′ つ.よ

し,UはXの 近 傍 でU⊂Aで

対 しV⊂Aが

∈IntA.従

成 り立つ.x′

っ てV⊂IntAが

∈V

成 り立

開 集 合 で あ る. 開 集 合 で あ る と す る.こ あ る か ら,x∈InkA.ゆ

X−A=Int(X−A)はXの   B⊃Aで,BがXの

あ る 近 傍Vに

の 近 傍 で あ る か ら,x′

っ てIntAは

  U⊂Aと はxの

ら ば,xの

の と き,x∈Uな え にU⊂IntAが

開 集 合 で あ る か ら,AはXの

成 り立つ. 閉 集 合 で あ る.

閉 集 合 な らば,X−B⊂X−AでX−Bは

る か ら,X−B⊂Int(X−A)=X−A.従

っ てB⊃Aが

  点 列 の 収 束 に 関 し て 次 の 定 理 が 成 り立つ.

らば,U

開 集合 で あ 成 り立つ. 

(証 終)

  定 理1.10 

Xを

  (ⅰ)  x∈Aで

距 離 空 間 と し,A⊂Xと あ る た め に は,xに

す る. 収 束 す るAの

点 列 の 存 在 す る こ とが 必

要 十 分 で あ る.   (ⅱ)  Aが

閉 集 合 で あ る た め に は,Aの

点 列 がx∈Xに

収 束 す れ ばx∈A

で あ る こ と が 必 要 十 分 で あ る.   証 明   (ⅰ)  x∈Aと 点xnが

は,任

意 の 自 然 数nに

存 在 す る こ と を 意 味 す る か ら,求

  (ⅱ)    Xが

(ⅰ)よ

  (ⅰ) 

と き,定

に 関 し,次 Xを

x∈Int

A∩Int

⊂A∩Bが

Bな

の とき

A∪B=A∪B.

含 ま れ る か ら,Int(A∩B)はInt

っ て, 

ら ば,xの

成 り立 つ.従

す る.こ

B,(ⅱ) 

よ びBに

含 ま れ る.従

A∩Int

B,A⊂B

の 定 理 が 成 り立 つ.

  証 明   (ⅰ)  A∩BはAお Bに

義 よ り 明 ら か に,

距 離 空 間 と し,A,B⊂Xと

Int(A∩B)=Int

よ びInt

め る 結 果 が 得 ら れ る. (証 終)

Int A⊂Int

  定 理1.11 

属 す るAの

り明 ら か. 

距 離 空 間 で,A⊂B⊂Xの

で あ る.∪,∩

対 し,O(x,1/n)に

Aお

が 成 り立 つ.一

あ る 近 傍UはAお

っ てx∈Int(A∩B)と

よ びBに

方,

含 ま れ る か ら,U

な り, 

.

  (ⅱ) 

(1.3)と(ⅰ)お

よ び ド ・モ ル ガ ン の 法 則 に よ り,

で あ る か ら,(ⅱ)が

成 り立 つ. 

  積 空 間 に 関 し,次

の 定 理 が 成 り立 つ.

  定 理1.12  間X×Yに

X,Yを

(証 終)

距 離 空 間 と し,A⊂X,B⊂Yと

す る.こ

の と き,積

空

おいて

  (ⅰ)  Int(A×B)=Int   証 明   (ⅰ) 

A×Int

(x,y)∈Int(A×B)と

B, 

(ⅱ)  A×B=A×B. は,xの

近 傍Uxとyの

近 傍Vyが

存在

し て,Ux×Vy⊂A×Bす

な わ ちUx⊂Aか

る か ら,(x,y)∈Int(A×B)はx∈Int あ る.従

っ て(ⅰ)が

  (ⅱ) 

(ⅰ)と

  例4 

n次

あ り,前

者 は 後 者 の 内 部,後

  問3 

距 離 空 間Xの

っ てFrAは   問4 

Aか

x∈Xに

Bで

あ る こ と と同 値 で

同 様. 

(証 終)

元 開 立 方 体 はRnの

開 集 合 で,n次

元 閉 立 方 体 はRnの

閉集合 で

者 は 前 者 の 閉 包 で あ る.

部 分 集 合Aに

対 し,FrA=A∩X−Aが

成 り立 ち,従

閉 集 合 で あ る こ と を 示 せ. Xを

距 離 空 間 と し,dを

そ の 距 離 関 数 と す る と き,Xの

X,Yを

部 分 集 合A

成 り立 つ こ と を 示 せ.

距 離 空 間 と す る.1.1.2に

お い て,写

像f:X→Yが

点

お い て 連 続 で あ る と い う概 念 が 距 離 を 用 い て 定 義 さ れ た.こ

の 概 念 を 用 い て い い か え れ ば,f:X→Yが 傍O(f(x),ε)に

対 し て,xの

れ を近 傍

連 続 で あ る と は,f(x)の

適 当 な δ 近 傍O(x,δ)を

が 成 り立 つ こ と を 意 味 す る.こ

任 意 の近

とれ ば

の こ と よ りた だ ち に 次 の こ とが わ か る:fがx

に お い て 連 続 で あ るた め に は,f(x)の 近 傍Uxが

つy∈Int

成 り立 つ こ と を 意 味 す

成 り立 つ.

に 対 し,A={x∈X￨d(x,A)=0}が   1.2.3 

つVy⊂Bが

任 意 の近 傍Vf(x)に

対 し,xの

適 当な

存 在 して f(Ux)⊂Vf(x)

の 成 り立 つ こ とが 必 要 十 分 で あ る.   定 理1.13 

X,Yを

距 離 空 間 とす る と き,写 像f:X→Yに

関 す る次 の4

条 件 は た が い に 同 値 で あ る.   (ⅰ)  fは 連 続 で あ る.   (ⅱ)  Yの 任 意 の 開 集 合Vに

対 し,f−1(V)はXの

  (ⅲ)  Yの 任 意 の 閉 集 合Bに

対 し,f−1(B)はXの

  (ⅳ)  Xの

任 意 の 部 分 集 合Aに

  証 明   (ⅰ)⇒(ⅱ).x∈f−1(V)と Vはf(x)の

近 傍 で,従

っ て,xの

対 し,f(A)⊂f(A)が す る.f(x)∈VでVは 近 傍Uが

開 集 合 で あ る. 閉 集 合 で あ る. 成 り立 つ. 開 集 合 で あ るか ら,

存 在 してf(U)⊂Vす

な わ ちU

⊂f−1(V)が

成 り立 つ.従 っ てx∈Intf−1(V)と

  (ⅱ)⇒(ⅰ). 

x∈Xを

任 意 の 点 と し,Vをf(x)の

の と き,U=f−1(V)はxの の 各 点xに

開 集 合 で あ る.

任 意 の 近 傍 と す る.こ

近 傍 で,f(U)⊂Vが

成 り立 つ.ゆ

え にfはX

お い て 連 続 で あ る.

  (ⅱ)⇒(ⅲ).  はXの

な り,f−1(V)は

Y−BはYの

開 集 合 で あ り,従

開 集 合 で あ る か ら,X−f−1(B)=f−1(Y−B) っ て,f−1(B)はXの

閉 集 合 で あ る.(ⅲ)⇒(ⅱ)も

同 様 に 示 さ れ る.   (ⅰ)⇒(ⅳ).  か ら,xの

x∈Aと

近 傍Uが

し,Vをf(x)の

任 意 の 近 傍 と す る.fは

か ら, 

存 在 し てf(U)⊂Vが

成 り立 つ.と

従 っ て 

こ れ はf(x)∈f(A)を   (ⅳ)⇒(ⅲ). 

連 続 であ る

こ ろ が,x∈Aで

が 成 り立 つ.ゆ

ある

え に 

.

示 し て い る か ら,f(A)⊂f(A). Bが

f−1(B)⊂f−1(B).従

閉 集 合 な ら ば,f(f−1(B))⊂ff−1(B)⊂B=Bで っ てf−1(B)=f−1(B)が

あ る か ら,

成 り立 ち,f−1(B)は

閉集合 で あ

る. 

(証 終)

  距 離 空 間Xの と す る.こ xがAに

部 分 集 合Aか

の と き,x0∈X,y0∈Yに

お い てx0に

す:y0の

ら 距 離 空 間Yへ 対 し,次

近 づ い た と き のf(x)の

任 意 の 近 傍Vに

対 し,x0の

近 傍Uが

の 写 像f:A→Yが

与え ら れ た

の 条 件 が 成 り立つ な らば,y0を

と表 わ

極 限 と い い,  存 在 し て,f(U∩A−{x0})⊂

V.  明 ら か に,x0∈Aの が 存 在 し てf(x0)に

と き,fがx0に

一 致 す る こ と が 必 要 十 分 で あ る.ま

  が 存 在 す るた め に は,fの 像f:A∪{x0}→Yの

お い て 連 続 で あ る た め に は,  た, 

拡 張 で あ り,か つ,x0に

の と き,

お いて 連 続 な写

存 在 す る こ と が 必 要 十 分 で あ る.

が 存 在 す れば,そ

 な お, 

れ は 一 意 的 に 定 ま る こ と も 容 易 に 示 さ れ る.

  距 離 空 間 のた が いに 共 通 点 を もた な い2つ

の 閉 集 合 に 対 し,次 の 定 理 が 成 り

立 つ.   定 理1.14  き,次

Xを

の(ⅰ),(ⅱ)が

距 離 空 間,A,Bを 成 り立 つ.

そ の 閉 集 合 と し,A∩B=φ

とす る と

ⅲ)

  (ⅰ)  連 続 写像f:X→Rで,

を み た す も の が 存 在 す る.   (ⅱ)  開 集 合U,Vで,U⊃A,V⊃B,U∩V=φ

を み た す もの が 存 在 す

る.   証 明   (ⅰ)  任 意 のx∈Xに

対 し,d(x,A)+d(x,B)>0.実

い とす れ ば,d(x,A)=d(x,B)=0で に 矛 盾 す る.よ

際,そ

あ る か ら,x∈A∩B=A∩Bと

うで な な り仮 定

っ て,f:X→Bを f(x)=d(x,A)/(d(x,A)+d(x,B))

で 定 義 す る.こ   (ⅱ) 

のfは

(ⅰ)のfに

明 ら か に 定 理 の 条 件 を み た す. 対 し,U=f−1((−∞,1/2)),V=f−1((1/2,∞))と

(−∞,1/2),(1/2,∞)はRの ま た,明

  1.3.1  1.5に

開 集 合 で あ る か ら,U,VはXの

ら か に,U⊃A,V⊃B,U∩V=φ

  1.3 

位

相 空

開 集 合 で あ る.

が 成 り立 つ. 

(証 終)

間

距 離 空 間 の 開 集 合 全 体 の つ く る 部 分 集 合 族 をOと

よ り,次

お けば,

のⅰ)‐ⅲ)が

す る と き,定

理

成 り立 つ:

な らば

ⅰ ) 

な らば

ⅱ ) 

 一 般 に ,集 合Xの

部 分 集 合 族Oに

ば,OをX上

の 位 相 と い う.集

と き,Xを

位 相 空 間 とい い,Oに

合Xに

対 して,上

のⅰ)‐ⅲ)が

成 り立 つ な ら

お い て そ の上 の 位 相Oが

与 え られ た

属 す る部 分 集 合 を位 相 空 間Xの

開集 合 とい

う.   例1  距 離 空 間Xは,そ

の 開 集 合 全 体 の つ く る部 分 集 合 族 を 位 相 と す る こ

と に よ り,位 相 空 間 と な る.   例2  集 合Xは,{φ,X}を   例3  集 合Xは,そ

位 相 とす る こ とに よ り,位 相 空 間 と な る.

の す べ て の 部 分 集 合 のつ く る族 を 位 相 とす る こ と に よ

り,位 相 空 間 と な る.こ の 位 相 を 離 散 位 相 とい う.   Xを

位 相 空 間 と し,Oを

{U∩A￨U∈O}を Xの

そ の 位 相 とす る.こ

の と き,Xの

部 分 集 合Aは,

位 相 とす る こ とに よ り,位 相 空 間 と な る.こ れ を 位 相 空 間

部 分 空 間 と い い,こ

のA上

の 位 相 をXに

  X,Yを

位 相 空 間 とす る.こ の と き,Xの

集 合Vに

対 し,U×V⊂X×Yを

と し て 表 わ せ るX×Yの

考 え,こ

対 す る 相 対 位 相 と い う. 任 意 の 開 集 合UとYの

の よ うなU×Vの

部 分 集 合 をX×Yの

任意 個 の和集 合

開 集 合 とす る こ とに よ り,X×

Yは 位 相 空 間 と な る こ とが わ か る.こ れ を 位 相 空 間XとYの 積 集 合X×Y上

積 空 間 と い い,

の この 位 相 を 積 位 相 とい う.

  定理1.7,定 部 分 空 間,積

任 意 の開

理1.8に

よ り,距 離 空 間 を 位 相 空 間 とみ なす と き,距

離 空間 の

空 間 は そ れ ぞ れ 位 相 空 間 の 部 分 空 間,積 空 間 で あ る.

  位 相 空 間Xに

対 し,閉 集 合,開

近 傍,内

点,触

点,内

部,閉 包,境

界,稠

密 の 概 念 が 距 離 空 間 の と き と全 く 同様 に 定 義 され る.   X,Yを

位 相 空 間 と し,f:X→Yを

お い て 連 続 で あ る と は,f(x)の て,f(U)⊂Vが

写 像 とす る.こ 任 意 の 近 傍Vに

の と き,fがx∈Xに

対 し,xの

成 り立 つ こ と で あ る と定 義 す る.Xの

続 で あ る と き,f:X→Yを   い ま,定 理1.1,定

近 傍Uが

各 点xに

存在 し

お い てfが

連

連 続 写 像 とい う.

理1.6,定

理1.9,定

理1.11,定

理1.12お

よび 定 理1.13

が 位 相 空 間に 対 して も成 り立 つ こ とが わ か る.   Xを

位 相 空 間,Yを

と き,Yの

集 合 と し,全

部 分 集 合Vはh−1(V)がXの

限 っ て,Yの

に,こ

の と き,h:X→Yは

  Xを

位 相 空 間 と し,∼ 射 影 π:X→X/∼

与 え られ た と す る.こ

開 集 合 の と き,し

開 集 合 で あ る と定 義 す れば,Yは

示 され る.こ の 位 相 空 間Yを

空 間Xの

射h:X→Yが

の

か も そ の と きに

位 相 空 間 と な る こ とが 容 易 に

位 相 空 間Xのhに

よ る等 化 空 間 とい う.明 らか

連 続 写 像 で あ る. を 集 合Xに

お け る 同 値 関 係 とす る.こ の と き,位 相

に よ る 等 化 空 間X/∼

合X/∼

上 の この 位 相 を 商 位 相 とい う.

  例4 

Rと

閉 区 間[−1,1]の

積 空 間R×[−1,1]に

をXの

商 空 間 とい い,商 集

お い て,R×[−1,1]の

2点(x1,x2),(x1′,x2′)は,あ

成 り立つ と き,同

る 整 数nに

対 し てx1′=x1+n,x2′=(−1)nx2が

値 で あ る と 定 義 す る.こ

得 ら れ る 商 空 間 を メ ー ビ ウ ス(Mobius)の こ れ は,直

観 的 に は 長 方 形abcdに

と 辺cdをaとc,bとdが

の と き, 帯 と い う.

お い て,辺ab

重 な る よ う に は りつ け

た と き 得 られ る 右 図 の よ う な 曲 面 で あ る.   例5 

Rn+1に

をRPnで 0とxを

お け る原 点 を 通 る 直 線 全 体 の 集 合

表 わ し,Rn+1−0の

点xに

対 し,π(x)は

通 る 直 線 を 表 わ す と し て,全 射 π:Rn+1−0

→RPnを

定 義 す る.Rn+1−0の

と い う.Rn+1−0に

π に よ る 等 化 空 間RPnを

お い て,そ

の2点x,x′

は あ る 実数tに

き 同 値 で あ る と 定 義 す れ ば,RPnはRn+1−0の ま た,RPnは

単 位n球

面Snの

従 っ て,Snに

お い て,そ

あ る と 定 義 す れ ば,RPnはSnの

  X,Yを

f:X→Yが

  明 ら か に,位   X,Yを

Yを

お,通

常,

全 単 射 で,fお

よび

同 相 写 像 と い う.同

相写 像

同 相 で あ る と い う.

相 空 間 が 同 相 と い う 関 係 は 同 値 関 係 で あ る. 写 像 と す る.Yに

位 相 空 間Xのh:X→Yに の 写像g:Y→Zは,goh:X→Zが

らf(X)へ

対す る相対位 相 に よ の 同相 写像 で あ る な ら

よ る 等 化 空 間 と す る.こ

の と き,位

連 続 の と き しか も そ の と き に

続 で あ る こ と を 示 せ.

  問2 0.2の ま た,Rnに

と き同 値 で

中 へ の 同 相 写 像 と い う.

相 空 間Zへ 限 り,連

た はx′=−xの

写 像 と す る.fが

位 相 空 間 と す る と き,fがXか

ば,f:X→Yを   問1 

はx′=xま

相 空 間XとYは

位 相 空 間 と し,f:X→Yを

りf(X)を

よ る 等 化 空 間 で あ り,

と も に 連 続 の と き,fを

存 在 す る と き,位

と

書 く.)

位 相 空 間 と し,f:X→Yを

そ の 逆 写 像f−1:Y→Xが

対 しx′=txの

商 空 間 で あ る こ と が わ か る.(な

π(x1,x2,…,xn+1)=[x1,x2,…,xn+1]と

元射 影 空 間

商 空 間 で あ る こ と が わ か る.

全 射 π￨Sn:Sn→RPnに

の2点x,x′

実n次

問2に

お け る 写 像f:Rn→Rnは

同 相 写 像 で あ る こ と を 示 せ.

お け る 球 面 は す べ て た が い に 同 相 で あ る こ と を 示 せ.

  問3 

集 合Rnを(1.1)ま

れ ら をRn1,Rn2で

た は(1.2)の

表 わ す と き,恒

距 離 関 数 に よ っ て 距 離 空 間 に し,そ

等 写 像1:Rn→Rni(i=1,2)は

同相 写像 で あ

る こ と を 示 せ.   問4 

X,Yを

位 相 空 間,y0∈Yと

∈X)で

定 義 す る と き,iはXの

し,i:X→X×Yをi(x)=(x,y0)(x 積 空 間X×Yの

中へ の 同相写 像 で あ る こと

を 示 せ.   1.3.2 

距 離 空 間Xに

  (ⅰ)  Xの   ま た,定   (ⅱ)  =φ

お い て は,明

各 点xに

対 し,xの

理1.14の(ⅱ)で Xの

み か ら な る 部 分 集 合{x}は

閉 集 合 で あ る.

示 し た よ う に,

共 通 点 の な い2つ

の 閉 集 合A,Bに

を み た す 開 集 合U,Vが

  例2の

ら か に,

対 し,A⊂U,B⊂V,U∩V

存 在 す る.

位 相 空 間 を 考 え れば 明 ら か な よ うに,(ⅰ),(ⅱ)の

性質 は位 相空 間 に

対 し て は 必 ず し も成 り立 た な い.   上 の(ⅰ)お

よ び(ⅱ)を

み た す 位 相 空 間 を 正 規 空 間 と い う.

  容 易 に 示 さ れ る よ う に,上   (ⅱ)′  Xの

閉 集 合Aと

を み た す 開 集 合Oが   Xが

の(ⅱ)は 開 集 合Uに

次 の(ⅱ)′

と 同 値 で あ る.

対 し て,A⊂Uな

らば,A⊂O,O⊂U

存 在 す る.

正 規 空 間 な ら ば,明

ら か に,次

  (ⅲ)  Xの

相 異 な る2点x,yに

開 集 合U,Vが

存 在 す る.

の(ⅲ)が

成 り立 つ.

対 し,x∈U,y∈V,U∩V=φ

  こ の 条 件 を み た す 位 相 空 間 を ハ ウ ス ドル フ(Hausdorff)空   ハ ウ ス ドル フ 空 間 の 部 分 空 間 お よ び2つ た,ハ

い る.(河 Xを

間 と い う.

の ハ ウ ス ドル フ 空 間 の 積 空 間 は,ま

ウ ス ドル フ 空 間 で あ る こ と は 容 易 に 示 さ れ る.

  注 意  正 規 空 間 につ い て は,こ

 

を みた す

田 敬 義,三

村 征 雄:現

位 相 空 間 と し,OをXの

の 開 集 合 がOに と い う.

の よ うな こ と は 必 ず し も成 り立 た な い こ とが 知 られ て 代 数 学 概 説Ⅱ,岩

波 書 店,p.148参

照.)

開 集 合 か ら な る 部 分 集 合 族 と す る.Xの

属 す る 開 集 合 の 和 集 合 と し て 表 わ せ る な ら ば,OをXの

任意 開基

  位 相 空 間Xの Xは

第2可

  Xを

開 基 と し て 可 算 個 の 部 分 集 合 か ら な る も の が と れ る な ら ば,

算 公 理 を み た す と い う*.

位 相 空 間 と し,A⊂Xと

す る.O={Oλ}λ

A}λ ∈Λ は 部 分 空 間Aの

開 基 で あ る.従

の 部 分 空 間 は ま た 第2可

算 公 理 を み た す.

  X,Yを

の と き, 

空 間 は ま た 第2可

算 公理 を み た す 位 相 空 間

は 積 空 間X×Yの

対 し,Xに

存 在 す る と き,Xは

て は,こ

っ て,第2可

算 公 理 を み た す2つ

開基 であ

の位相 空 間 の積

算 公 理 を み た す.

  位 相 空 間Xに

  定 理1.15 

∩

を そ れ ぞ れX,Yの

る こ と は 容 易 に み ら れ る.従

お い て 稠 密 な 部 分 集 合 で,可

算 集 合 で あ る もの が

可 分 で あ る と い う.

第2可

算 公 理 を み た す 位 相 空 間 は 可 分 で あ る.距

離空 間 につ い

の 逆 が 成 り立 つ.

  証 明  Xを

第2可

る.各Onか

ら任 意 に1点anを

算 公 理 を み た す 位 相 空 間 と し,{On}x∈NをXの

意 の 点 と し,Uをxの っ てan∈U.よ

意 のan∈Aと

つ く る 部 分 集 合 族 をOと

す る と き,U⊂Vが

  x∈Uと り,A=Xで d(an,x)を   *  第1可

るnに

第2可

ら か に,Oは

対 し,Uに

任

対 し,On⊂Uで,従

可 分 で あ る.

任 意 の 正 の 有 理 数rに す る.明

任 意 の 開 集 合Uに

従 っ て,Xは

成 り立 ち,Xは

開 基 とす

す る.x∈Xを

可 分 な 距 離 空 間 と し,A={an￨n∈N}をA=Xを

集 合 と す る.任

た,Xの

と り,A={an￨n∈N}と

任 意 の 近 傍 と す る と き,あ

っ てA=Xが

  次 に,Xを

参 照.

っ て,第2可

開 基 な ら ば,{Oλ

位 相 空 間 と し, 

開 基 と す る.こ

をVと

∈ΛがXの

みた す 部分 対 す るO(an,r)全

体 の

可 算 個 の 開 集 合 か ら な る.ま

含 ま れ るO(an,r)∈O全

次 の よ うに 示 さ れ る か ら,OはXの

体 の 和 集合 開 基 で あ る.

算 公 理 を み た す.

す る.Uは

開 集 合 で あ る か ら,あ

あ る か ら,an∈O(x,ε/2)を み た すr∈Qを

る 正 数 εに 対 し,O(x,ε)⊂Uで

み た すan∈Aが

あ

存 在 す る.ε/2>r>

と る と き,x∈O(an,r)⊂O(x,ε)⊂Uで

算公 理 に つ い て は 菅 原 正 博:位 相 へ の入 門(基 礎 数 学 シ リ ー ズ6),朝

あ る か ら, 倉書 店 ,p.155

x∈V.ゆ

え に,U⊂V. 

  R=Qで

(証 終)

あ る か ら,Rは

可 分,従

お よ び そ の 任 意 の 部 分 空 間 も 第2可   注 意   第2可

っ て 第2可

算 公 理 を み た す.ゆ

え に,Rn

算 公 理 を み た す.

算 公 理 を み た す 正 規 空 間 に 対 し,そ れ と 同 相 な距 離 空 間 の 存 在 す る こ と

が 知 られ て い る.(菅

原 正 博:位

相 へ の 入 門(基 礎 数 学 シ リー ズ6),朝

倉 書 店,p.175参

照.)   Xを

集 合 と し,Aを

そ の 部 分 集 合 と す る.Xの

部 分 集 合 族 

に

対 し て,

が 成 り立つ な らば,UはAを   Xを Xの

被 覆 す る とい い,UをAの

位 相 空 間 と し, 

をXの

開 集 合 な らば,UをXの

開 被 覆 と い う.

  位 相 空 間Xの

任 意 の 開被 覆U={Uλ}λ

開 集 合 か ら な るXの

被 覆 と い う.

被 覆 とす る.こ の と き,各Uλ

∈Λに 対 して,Uに

被 覆 が 存 在 す る と き,Xは

が

属 す る可 算 個 の

リ ンデ レー フ(Lindelof)の

性

質 を もつ とい う.   定 理1.16 

第2可

算 公 理 を み た す 位 相 空 間Xは

  証 明   O={On}n∈NをXの とす る.各Uλ

はOに

開 基 と し, 

は あ るUλ に 含 ま れ るか ら,各iに れ ら の 全 体 を 考 え れば,Uに

  Xを

っ て,Xは

Uを

れ らをOk1,Ok2,…

とす る.各Oki

対 し て こ の よ うなUλ を1つ ずつ と り,そ 被覆 が得 ら

リ ンデ レ ー フの 性 質 を もつ.  をXの

(証終)

被 覆 とす る.Xの

各 点xに

対 し,

交 わ るUλ は 有 限個 で あ る よ うな もの が 存 在 す る と き,

局 所有 限 な 被 覆 とい う.

  定 理1.17  す る.こ N)を

任 意 の 開被覆

属 す る 可 算 個 の 開 集 合 か ら な るXの

位 相 空 間 と し, 

xの 近 傍Vで,Vと

をXの

属 す る 開 集 合 の 和 集 合 と し て 表 わ せ る か ら,XはOに

属 す る 開 集 合 だ け か らな る被 覆 を もつ.こ

れ る.よ

リ ン デ レー フ の 性 質 を もつ.

Xを

の と き,閉

正 規 空 間 と し,  集 合 か らな るXの

み た す も の が 存 在 す る.

をXの

局所有 限 な開被 覆 と

被 覆C={Cn}n∈Nで,Cn⊂Un(n∈

  証 明   X−(U2∪U3∪

…)は

閉 集 合 で,そ

空 間 で あ る か ら,X−(U2∪U3∪ 在 す る.次

わ か る.こ

…)⊂W

2⊂W2⊂U2を

…)⊂Wn⊂Wn⊂Unを

  xをXの

x∈W1∪

… ∪Wn−1が

得 ら れ る.こ

れ は 

Xの

各 点xに

閉 集 合 で あ る こ と を 示 せ.ま

部 分 空 間Aは

た,Aを

… ∪Wn−1∪

含 むUnは と な り,

Wn=Xを

対 し,xの

様 に,X

示 す か ら,Wn=Cnと (証 終) み か ら な る 部 分 集 合{x}は

正 規 空 間Xの

閉 集 合 とす る と き,

正 規 空 間 で あ る こ と を 示 せ.

  問6 

実 射 影 空 間RPnは

  1.4 

連

  1.4.1 

対 し, 

求 め る も の で あ る. 

ハ ウ ス ドル フ 空 間Xの

存

存 在 が 示 さ れ る.

局 所 有 限 で あ る か ら,xを るnに

正規

存 在 す る こ とが

対 し,X−(W1∪

み た す 開 集 合Wnの

っ て,あ

す れば,C={Cn}n∈Nは

い て 考 え れ ば,同

み た す 開 集 合W2の

任 意 の 点 と す る と き,Uは

有 限 個 し か 存 在 し な い.従

含 ま れ,Xは

み た す 開 集 合W1が

…)とU2につ

れ をつ づ け る こ と に よ り,各nに

Un+1∪Un+2∪

  問5 

…)⊂W1⊂W1⊂U1を

に,X−(W1∪U3∪U4∪

−(W1∪U3∪U4∪

れ は 開 集 合U1に

結

Xを

正 規 空 間 で あ る こ と を 示 せ.

性

位 相 空 間 と す る.X=U1∪U2,U1∩U2=φ, 

あ る よ う な 開 集 合U1,U2が

存 在 し な い と き,Xは

  容 易 に 示 さ れ る よ う に,次

のⅰ)ま

た はⅱ)はXが

で 連 結 で あ る と い う. 連 結 で あ るた め の 必 要

十 分 条 件 で あ る:  ⅰ) 

X=A1∪A2,A1∩A2=φ, 

で あ る よ う な 閉 集 合A1,A2

が 存 在 し な い.  ⅱ)  Xの

開 集 合 で あ る と 同 時 に 閉 集 合 で あ る 部 分 集 合 はXお

よび φ だけ

で あ る.   位 相 空 間Xの

部 分 集 合Aが

連 結 で あ る と は,部

分 空 間Aが

連結 で あ る こ

と と す る.   定 理1.18  ⊂B⊂Aを

Xを

位 相 空 間 と し,Aを

み た す 部 分 集 合Bは

連 結 な 部 分 集 合 と す る.こ

連 結 で あ る.

の と き,A

  証 明   Bが 連 結 で な い とす れば,Xの

と な る.こ

開 集 合U1,U2が

の とき

ま た, 

実 際,A∩Ui=φ

に 含 ま れ,従 が 得 ら れ,仮

っ てA⊂X−Uiす

Xを

  証 明   Aが

っ てAは

と な る か ら,B∩Ui=φ (証 終)

∈Λ を そ の 部 分 集 合 族 と す る.各Aλ

な らば, 

は 連 結 で あ る.

連 結 で な い と す る.こ

の と き,Aの

∪U2,U1∩U2=φ, 

開 集 合U1,U2で,A=U1

を み た す も の が 存 在 す る. 

あ る か ら, 

を と る.a∈U1ま

し よ う. 

閉 集 合X−Ui

連 結 で な く な る. 

位 相 空 間 と し,{Aλ}λ

が 連 結 で, 

と す れ ば,Aは

な わ ちA∩Ui=φ

定 に 矛 盾 す る.よ

  定 理1.19 

た はa∈U2で

で あ る か ら, 

∪V2=Aλ0,V1∩V2=φ す る.U∈U2の

あ る が,た

で

とえ ば 前 者 と

を み た す λ0∈Λ が 存 在 す る.い

Aλ0の 開 集 合V1=U1∩Aλ0,V2=U2∩Aλ0を が 成 り立 つ.従

連 結 な 位 相 空 間X,Yの

  証 明   各x∈Xに X×{y}はXに

っ て,Aλ0は

V1

連 結 で な く,仮

定 に矛盾

が,  ま,yを

の と き,Axは

連 結 で あ る.

同 相 で あ り,ま

た,各y∈Yに

っ て,{x}×Y,X×{y}は

で あ る か ら,定

は 連 結 で あ る.い

(証 終)

積 空 間X×Yは

対 し{x}×YはYに 同 相 で あ る.従

理1.19に

固 定 し,各x∈Xに

な らば,f(X)はYの  証 明  f(X)は

X,Yを

よ り,{x}×Y∪X×{y}

対 しAx={x}×Y∪X×{y}と

連 結 で, 

で あ る か ら,定

理1.19に

よ り, (証 終)

位 相 空 間 と し,f:X→Yを

連 続 写 像 と す る.Xが

連 結 部 分 集 合 で あ る. 連 結 で な い と し,Yの

対 し

ともに連 結 で あ る

 は 連 結 で あ る.    定 理1.21 

ま,

考え れ ば, 

と き も 同 様 に 矛 盾 が 導 か れ る. 

  定 理1.20 

お く.こ

存 在 し て,

あ る 開 集 合V1,V2に

対 し,

連結

が 成 り立 っ た と 仮 定 し よ う.こ はXの

の と き,f−1(Vi)(i=1,2)

開 集 合 で,X=f−1f(X)=f−1(V1)∪f−1(V2),f−1(V1)∩f−1(V2)=φ,  が 成 り立 つ か ら,Xは

連 結 で な い. 

(証終)

  Iが 区 間 な ら ば, x,y∈Iか と な る が,逆

に,Rの

こ と が,実

つx
部 分 集 合 

と きz∈I が こ の 性 質 を も てば,Iは

数 の 性 質 よ り容 易 に 示 さ れ る.こ

区間 で あ る

の こ と を 用 い る と き,次

の定 理 が

証 明 さ れ る.   定 理1.22  り,連

Rの

x,y∈I, 

し,Iは1点

で も 区 間 で も な い と す る.こ

を み た す 実数x,y,zが

か もその ときに 限

,+∞)と

  次 に,区

お け ば,U1,U2はIの

に よ り,Iの

間Iが

開 集 合 で,I=U1∪U2,U1∩U2=φ, てIは

あ る 開 集 合U1,U2に

あ る か ら,あ

ま,x∈U1,y∈U2を

の 定 義 に 矛 盾 す る.ま る ε>0に

と る. 

お く,z∈U1な

る ε>0に

で あ る か ら,x
ら ば,U1はIの

対 し て[z,z+ε)⊂U1∩[x,y]が

た,z∈U2と 対 し て(z−

す れば,U2はIの ε,z]⊂U2∩[x,y]が

っ て 

れ は 矛 盾 で あ る. 

  定 理1.22と

定 理1.20に

よ り,Rnは

  定 理1.21と

定 理1.22に

よ り,連

開 集 合 で, 成 り立 ち ,z

開 集 合 で,x
一 方,z∈[x,y]で,x,y∈Iで

ら,z∈I.こ

あ

は りzの

∈f(X),a
f:X→Rを す る.こ

定

あ るか (証終)

連 結 で あ る. 続 関 数 に 関 し て よ く 知 られ て い る 中 間 値 の

定 理 の 拡 張 で あ る 次 の 定 理 が 得 ら れ る.   定 理1.23 

定

対 し,I=U1∪U2,U1∩U2=φ, 

と 仮 定 し,z=sup(U1∩[x,y])と

義 に 矛 盾 す る.よ

連 結 で な い.

連 結 で な い と 仮 定 す る と き 矛 盾 が 生 ず る こ と を 示 そ う.仮

が 成 り立 つ.い

る か ら,あ

の と き,x
存 在 す る か ら,U1=I∩(−∞,z),U2

 が 成 り立 つ.従っ

z
ま た は 区 間 の と き,し

結 で あ る.

  証 明   I⊂Rと

=I∩(z

部 分 集 合Iは1点

連 結 な 位 相 空 間Xか の と き,a
らRへ

の 連 続 関 数 と し,a,b

み た す 各y∈Rに

対 し,f(x)

=yと

な るx∈Xが

  閉 区 間[0,1]か l(0),l(1)を

存 在 す る. ら位 相 空 間Xへ

そ れ ぞ れlの

x1に 対 し,x0を

始 点,終 点 とい う.位

始 点 と し,x1を

状 連 結 で あ る と い う.明 ∈Xに

の 連 続 写 像l:[0,1]→XをXの

対 し,x0を

終 点 とす るXの

らか に,こ

始 点 と し,xを

道 とい い,

相 空 間Xの

任 意 の2点x0,

道 が 存 在 す る と き,Xは

の た め に は,Xの 終 点 とす るXの

一 定 点x0と

弧

任 意 の 点x

道 の 存 在 す る こ とが 必 要 十

分 で あ る.   次 の 定 理 は 定 理1.19と   定 理1.24 

定 理1.22よ

り直 ち に 得 られ る.

弧 状 連 結 な 位 相 空 間 は連 結 で あ る.

  問1 Rn−0(n≧2)は

連 結 で あ る こ とを 示 せ.ま

た,Sn(n≧1),RPnも

連 結 で あ る こ と を 示 せ.   問2  R2の ≦x2≦1}は

部 分 集 合{(x1,x2)∈R2￨x1>0,x2=sin(1/x1)ま

た はx1=0,−1

連 結 で あ る が 弧 状 連 結 で は な い こ とを 示 せ.

  問3  Xを

連 結 な 位 相 空 間 と し,そ

の 各 点xは

弧 状 連 結 な 近 傍 を もつ と仮

定 す る.こ の と き,Xは

弧 状 連 結 で あ る こ と を 示 せ.

  1.4.2  位 相 空 間Xの

部 分 集 合Cに

らば,CをXの

対 し,次 の 条 件ⅰ),ⅱ)が

成 り立つ な

連 結 成 分 とい う:

 ⅰ)  Cは 連 結 で あ る.  ⅱ) Cを

含 むXの

  定 理1.25 

連 結 部 分 集 合 はC以

位 相 空 間Xに

外 に は 存 在 し な い.

対 し,次 の(ⅰ)―(ⅳ)が

  (ⅰ)  Xの

各 連 結 成 分 はXの

  (ⅱ) Xの

連 結 集 合CがXの

成 り立つ.

閉 集 合 で あ る. 開 集 合 か つ 閉 集 合 で あ る な らば,CはXの

連 結 成 分 で あ る.   (ⅲ) C,C′

をXの

連 結 成 分 とす る と き,C=C′

ま た はC∩C′=φ

が成 り

立 つ.   (ⅳ) Xの

各 点xに

対 し,xを

在 す る.   証 明   (ⅰ)  定 理1.18に

よ る.

含 むXの

連 結 成 分 が1つ

しか もた だ1つ 存

  (ⅱ) C⊂C′ ⊂Xで,C′ は と もに 空 で な く,C′

は 連 結 集 合 とす る と き, 

の 閉 集 合 で あ り,C∩(C′−C)=φ,C∪(C′−C)=C′

で あ る か ら,C′ は 連 結 で あ る こ とに 矛 盾 す る.ゆ っ て,Cは

な らば,定

む か ら,C=C∪C′=C′   (ⅳ)  Xの

理1.19に

が 成 り立つ.従

よ り,C∪C′

は 連 結 で,C,C′

含 む も の 全 体 の 和 集 合 をCxと

よ り,Cx,は 連 結 集 合 で あ る.ま もxを

た,Cx⊂C′

⊂Xで,C′

含 む 連 結 部 分 集 合 で あ るか ら,C′

得 られ る.ゆ え に,CxはXの

⊂Cxと

す れ ば,定 を連 結 集合 な り,C′

連 結 成 分 で あ る .一 意 性 は(ⅲ)よ

らか. 

り明

(証終)

  有 理 数 か らな る 任 意 の 集 合XをRに す と き,容 易 に 示 され る よ うに,Xの ら もわ か る よ うに,位 が ら,Xの

を含

が 成 り立つ.

連 結 部 分 集 合 で,xを

とす る と き,C′ =Cxが

え にC=C′

連 結 成 分 で あ る.

  (ⅲ) 

理1.19に

な らば,C,C′−C

各 点xが

あ る.実 際,x∈Cと

相 空 間Xの

対 す る 相 対 位 相 に よ り位 相 空 間 とみ な 各 点 はXの

連 結 成 分 で あ る.こ

の例 か

連 結 成 分 は 開 集 合 と は 限 ら な い.し

か しな

連 結 な 近 傍 を もつ と き は,Xの し,Vをxの

各 連 結 成 分Cは

連 結 な近 傍 とす る と き,V⊂Cで

開 集合 で あ るか ら,

Cは 開 集 合 で あ る.   問4 

Rの 開 集 合 は た が い に 共 通 点 を もた な い 開 区 間 の 可 算 個 の 和 集 合 で あ

る こ と を 示 せ.

2. 

  2.1 

コ

ン パ

ク

ト 性

コ ン パ ク ト集 合

  2.1.1 

位 相 空 間Xの

合 か ら な るXの

任 意 の 開 被 覆Uに

被 覆 が と れ る と き,Xを

  明 ら か に,離

対 し,Uに

属 す る有 限 個 の 開 集

コ ン パ ク トと い う.

散 位 相 空 間 は 有 限 集 合 の と き,し

か も そ の と き に 限 り,コン

パ

ク トで あ る.   Aを Xの

位 相 空 間Xの

部 分 集 合 と す る.部

コ ン パ ク ト(部 分)集 合 と い う.明

ら な るAの

任 意 の 被 覆Uに

分 空 間Aが らか に,こ

対 し,Uに

コン パ ク トな ら ばAを

の た め に は,Xの

開集 合か

属 す る 有 限 個 の 集 合 か ら な るAの

被

覆 の 存 在 す る こ と が 必 要 十 分 で あ る.   定 理2.1 

コン パ ク ト位 相 空 間Xの

任 意 の 閉 集 合Aは

コ ン パ ク ト集 合 で あ

る.   証 明   Aは ら な るAの

閉 集 合 で あ る か ら,X−Aは 任 意 の 被 覆 

合 族UはXの

開 集 合 で あ る.従

っ てXの

に 対 し,X−AとXλ(λ

開 被 覆 と な る.Xは

Uλ1,…,UλkとX−AでXは 覆 で あ る か ら,AはUに

∈Λ)か

コン パ ク トで あ る か ら,適

被 覆 さ れ る.こ

開 集合 か ら な る集

当 な有 限個 の

の と き{Uλ1,…,Uλk}はAの

属 す る 有 限 個 の 集 合 で 被 覆 さ れ る.ゆ

え に,Aは

コン パ ク ト集 合 で あ る. 

(証 終)

  次 の 定 理 を ハ イ ネ‐ボ レ ル(Heine-Borel)の   定 理2.2 

閉 区 間[a,b]はRの

  証 明   [a,b]の がUに

開 被 覆Uが

定 理 と い う.

コ ン パ ク ト部 分 集 合 で あ る. 任 意 に 与 え ら れ た と す る.x∈[a,b]で,[a,x]

属 す る 有 限 個 の 開 集 合 で 被 覆 さ れ る よ う なx全

と す る.a∈A⊂[a,b]で と す る.明

あ る か ら,Aは

ら か にa<α

  仮 に α
≦bで

し よ う.こ

を み た すUが

被

空 で な い 有 界 集 合 で あ る.α=supA

あ る が,次

の と き,適

存 在 す る.α

体 のつ く る 集 合 をA

に α=bで

当 な ε>0を

はAの

あ る こ と を 示 そ う. と れば, 

上 限 で あ る か ら,α−

ε<x≦ α を み

た すx∈Aが

存 在 す る が,y∈(α,α+ε)と

[a,y]=[a,x]∪[x,y]もUに y∈A.と

す れば,[x,y]⊂Uで

あ る か ら,

属 す る 有 限 個 の 開 集 合 で 被 覆 さ れ る.ゆ

こ ろ が α
あ る か ら,こ れ は α がsupAで

えに

あ る こ と に 矛 盾 す る.

よ っ てα=b.   さ て,適

当 な δ>0を

b=supAで

と れ ば, 

あ る か ら,上

を み た すVが

と 同 様 な 議 論 に よ り,[a,b]はUに

の 開 集 合 で 被 覆 さ れ る こ と が 示 さ れ る.よ

存 在 す る が. 属 す る有 限 個

っ て[a,b]は

コ ン パ ク トで あ る. (証終)

  補 題1 

Xは

空 間X×Yの

位 相 空 間,Yは

開 集 合 か ら な るx×Yの

存 在 し,U×YはWに   証 明   Yは

被 覆 と す る.こ

コン パ ク トで あ る か ら,そ

え に,は

の と き,xの

積

近 傍Uが

れ と 同 相 な{x}×YはX×Yの

っ て{x}×YはWに

じ め か らWを

WがU×Yの

し,Wは

属 す る 有 限 個 の 開 集 合 で 被 覆 さ れ る.

パ ク ト集 合 で あ る.従 る.ゆ

コン パ ク ト位 相 空 間 で,x∈Xと

コン

属 す る有 限個 の 開 集 合 で 被 覆 され

有 限 個 の 開 集 合 の 族 と 仮 定 し,xの

近 傍Uで,

被 覆 と な る よ う な も の の 存 在 を 示 せば よ い.

  Yの

各 点yに

対 し, 

×Yの

開 集 合 で あ る か ら,xの

⊂Wが

成 り立つ.

  {Vy}y∈Yを

考 え よ う.こ

を み た すWが 近 傍Uyとyの

存 在 し,{Vy1,…,Vyl}はYを

と お く.Uはxの

近 傍 で あ る が,WはU×Yの

に 示 さ れ る か ら,こ   (x′,y′)をU×Yの

のUは

在 す る か ら,(x′,y′)はWに はU×Yの   定 理2.3 

存 在 し,Uy×Vy

開 被 覆 で あ る か ら,有

被 覆 す る.U=Uy1∩

… ∩Uyl

被 覆で あ る こ と が 次 の よ う

るi(1≦i≦l)に

あ る が,  属 す る あ る 開 集 合Wに

対 しy′ ∈Vyiで

パ ク トで あ る.

あ

を み た すWが 含 ま れ る.ゆ

と も に コン パ ク ト位 相 空 間 な ら ば,積

存

え に,W

被 覆 で あ る.  X,Yが

限

求 め る も の で あ る.

任 意 の 点 と す る.あ

る か ら,(x′,y′)∈Uyi×Vyiで

近 傍Vyが

れ は コン パ ク ト空 間Yの

個 の 点y1,…,ylが

存 在 す る が,WはX

(証 終) 空 間X×Yも

コン

  証 明  WをX×Yの ×Yの

開 被 覆 とす る.こ

の と き,各x∈Xに

被 覆 で あ るか ら,上 の 補 題 に よ り,xを

Ux×YはWに

含 むXの

対 し,Wは{x} 開 集 合Uxが

属 す る有 限 個 の 開 集 合 で 被 覆 さ れ る.Xは

コ ンパ ク トで,

{Ux}x∈XはXの

開 被 覆 で あ るか ら,有 限 個 の 点x1,…,xk∈Xが

… ,Uxk}はXを

被 覆 す る.ゆ

え に,X×YはWに

存 在 し,{Ux1,

属 す る有 限 個 の 開 集 合 で

被 覆 さ れ る.    定 理2.2と

(証終)

定 理2.3に

  距 離 空 間Xの y∈A}が

存 在 し,

よ り,n次

部 分 集 合Aが

元 閉 直 方 体 はRnの

有 界 で あ る とは,Rの

コ ンパ ク ト集 合 で あ る. 部 分 集 合{d(x,y)￨x,

上 に 有 界 で あ る こ と を 意 味 す る もの とす る.

  定 理2.4 Rnの

有界 な 閉 集 合 は コン パ ク ト集 合 で あ る.

  証 明   AをRnの 元 閉 直 方 体Qが

有 界 閉 集 合 とす る.Aは 存 在 す る.こ

で あ るか ら,Aは   距 離 空 間Xの

有 界 で あ るか ら,Aを

の と き,AはQの

閉 集 合 で,Qは

コン パ ク ト集 合 で あ る.  部 分 集 合Aが

含 むn次 コン パ ク ト (証終)

有 界 の と き,{d(x,y)￨x,y∈A}の

上 限 をA

の 直 径 とい う.   Xを

距 離 空 間 と す る.任 意 の ε>0に 対 し,直 径 が ε よ り も小 さい 有 限個 の

開 集 合 でXを

被 覆 す る こ とが で き る な ら ば,Xは

  距 離 空 間Xの

部 分 集 合Aが

全 有 界 とは,部

全 有 界 で あ る と い う. 分 空 間Aが

全有 界 で あ る こと

と す る.   容 易 に 示 さ れ る よ うに,距

離 空 間Xの

は,任

限 個 の 点x1,…,xk∈Aが

存 在 し,O(x1,ε)∪

成 り立つ こ とが 必 要 十 分 で あ る.こ

こにO(xi,ε)はxiのXに

意 の ε>0に

O(xk,ε)⊃Aの

対 し,有

部 分 集 合Aが

全 有 界 で あ るた め に …∪

お け る ε近 傍 を 表 わ す.   直 ち に 次 の 定 理 が 得 られ る.   定 理2.5 

コン パ ク ト距 離 空 間 は 全 有 界 で あ り,全 有 界 な 距 離 空 間 は 有 界 で

あ る.   連 続 写 像 に 関 し て 次 の 定 理 が 成 り立つ.   定 理2.6 

X,Yを

位 相 空 間 と し,f:X→Yを

連 続 写 像 と す る.Xが

コン

パ ク トな らば,像f(X)はYの

コン パ ク ト集 合 で あ る.

 証 明  

をYの

{f−1(Vλ)}λ ∈ΛはXの

開 被 覆 で あ る が,Xは

の

λ1,…,λk∈Λ

開 集 合 か ら な るf(X)の

がAの

Xを

限個

っ て,

属 す る 有 限 個 の 開 集 合 で 被 覆 さ れ る.ゆ

え に,f(X)

は コン パ ク トで あ る.    問1 

の と き,

コン パ ク トで あ る か ら,有 が 成 り立 つ.従

が 存 在 し て, 

と な り,f(X)はVに

被 覆 と す る.こ

(証 終)

位 相 空 間,Aを

そ の 部 分 空 間 と し,B⊂Aと

コン パ ク ト部 分 集 合 な ら ば,BはXの

す る.こ

の と き,B

コン パ ク ト部 分 集 合 で あ り,こ

の 逆 も 成 り立つ こ と を 示 せ.  問2 

全 有 界 な 距 離 空 間,と

く に,コン

パ ク ト距 離 空 間 は 可 分 で あ る こ と を

示 せ.   問3 

球 面Sn,球

体Bnお

よ び 射 影 空 間RPnは

コン パ ク トで あ る こ と を 示

せ.

  2.1.2 

ま ず,ハ

  補 題2  −Aと

Xを

ウ ス ドル フ 空 間 に 関 連 す る 性 質 を 述 べ よ う.

ハ ウ ス ドル フ 空 間,Aを

す る .こ

の と き,Xの

そ の コ ン パ ク ト部 分 集 合 と し,x∈X

開 集 合U,Vで,U∋x,V⊃A,U∩V=φ

を

み た す も の が 存 在 す る.   証 明   y∈Aを ら,Xの

任 意 の 点 と す る.Xは

ハ ウ ス ドル フ 空 間 で, 

開 集 合Uy,Vyで,Uy∋x,Vy∋y,Uy∩Vy=φ

在 す る.{Vy}y∈AはXの ゆ え に,有

で あ るか

を み た す ものが存

開 集 合 か ら な り,コン

パ ク ト集 合Aを

限 個 の 点y1,…,yk∈Aが

存 在 し て,Vy1∪

U=Uy1∩

V=Vy1∪

…∪Vyk⊃Aが

被 覆 す る. 成 り立

つ.

と お く.こ   定 理2.7 

の と き,U,Vは

… ∩Uyk, 

求 め る も の で あ る. 

ハ ウ ス ドル フ 空 間Xの

  証 明   x∈X−Aを

…∪Vyk (証 終)

コン パ ク ト部 分 集 合Aは

任 意 の 点 と す る.補

題2に

閉 集 合 で あ る.

よ り,x∈U,A⊂V,U∩V

=φ

を み た す 開 集 合U,Vが

xはX−Aの

存 在 す る.こ

内 点 で あ る.ゆ

の と き,x∈U⊂X−Aで

え にX−Aは

開 集 合 で,従

あ る か ら,

っ てAは

閉集 合 で あ

る. 

(証 終)

  定 理2.5と

定 理2.7に

よ り,定

集 合 は 有 界 閉 集 合 の と き,し   定 理2.8 

か も そ の と き に 限 り,コ

と す る.x∈Aを

合Ux,Vxが

部分

ン パ ク トで あ る.

任 意 の 点 と す る と き,Bは

題2に

存 在 し てUx1∪

V=Vx1∩

… ∩Vxkと

で あ る.従   定 理2.9  f:X→Yが

をみ たす 開集

コン パ ク ト集 合 で あ る か ら,有

…∪Uxk⊃Aが

成 り立つ.い

限 個 の 点x1,…,

ま,U=Ux1∪

…∪Uxk,

で,U,Vは

正 規 空 間 で あ る. 

全 単 射 な ら ば,fは

  証 明   AをXの

ら ハ ウ ス ドル フ 空 間Yへ

コン パ ク トで あ る か ら,Aは

っ て,f(A)はYの

っ て,f:X→Yは

コン パ ク ト集 合 で あ る.Yは

閉 集 合 で あ る.よ

っ て,f−1:Y→Xは

同 相 写 像 で あ る. 

  よ く 知 ら れ て い る よ う に,閉

  定 理2.10 Xを

コ ン パ ク ト位 相 空 間 と し,f:X→Rを

  証 明 f(X)はRの

連続であ

連 続 写 像 と す る.

大 数 お よ び 最 小 数 を も つ.

コン パ ク ト集 合,従

っ て,有

界 な 閉 集 合 で あ る か ら,

求 め る 結 果 が 成 り立つ.    距 離 空 間 の 部 分 集 合A,Bが

ハ ウス ド

区 間 で 定 義 され た 実 数 値 連 続 関 数 は 最 大 値 お よ

の 定 理 は こ れ の 拡 張 で あ る.

有 界 で,最

コ ンパ ク

(証 終)

び 最 小 値 を と る.次

こ の と き,f(X)は

の連 続写 像

同 相 写 像 で あ る.

閉 集 合 と す る.Xは

ル フ 空 間 で あ る か ら,f(A)は

開集 合 (証 終)

コン パ ク ト位 相 空 間Xか

ト集 合 で あ る.従

コン パ ク ト集 合 で, 

お けば,A⊂U,B⊂V,U∩V=φ

っ て,Xは

そ の 閉 集 合 で,

よ り,x∈Ux,B⊂Vx,Ux∩Vx=φ

存 在 す る.Aは

xk∈Aが

が,こ

っ て,Rnの

コン パ ク トな ハ ウ ス ドル フ 空 間 と し,A,Bは

で あ る か ら,補

り,従

逆 が 成 り立つ.従

コ ン パ ク トな ハ ウ ス ドル フ 空 間 は 正 規 空 間 で あ る.

  証 明   Xを A∩B=φ

理2.4の

(証 終) 交 わ ら な く と もd(A,B)=0と

な る こ とが あ る

れ に 関 し て 次 の 定 理 が 成 り立つ.

  定 理2.11 

A,Bを

距 離 空 間Xの

部 分 集 合 と し,Aは

コ ン パ ク トで,Bは

閉 集 合 と す る.こ

の と き,A∩B=φ

な らばd(A,B)>0.

  証 明   f:A→Bをf(x)=d{x,B)(x∈A)で は 連 続 写 像 で あ る.Aは a∈Aに

コ ン パ ク トで あ る か ら,定

対 し,f(a)≦f(x)す

理1.2に

理2.10に

示 す か ら,も 属 し,従

ら ばd(a,B)=0と

れ はA∩B=φ

に 矛 盾 す る.

ゆ え にd(A,B)>0.    X,Yを

(証 終)

距 離 空 間 と し,f:X→Yを

正 数 εが 与え

傍 のfに

対 し,xに

よ る 像 はf(x)の

無 関 係 に と れ る と き,fは

X→Yは,任

写 像 と す る.fが

られ た と き,各x∈Xに

て,xのδ(x)近 xに

連 続 な ら ば,任

関 係 す る 正数δ(x)が

一 様 連 続 で あ る と い う.す

らばd(f(x),f(x′))<ε

意に 存在 し

ε近 傍 に 含 ま れ る が,こ

意 に 与 え られ た 正 数 ε に 対 し,正

(x,x′ ∈X)な

る点

成 り立 つ.

しd(A,B)=0な

っ てa∈A∩B.こ

よ り,f

よ り,あ

な わ ちd(a,B)≦d(x,B)(x∈A)が

こ れ はd(a,B)≦d(A,B)を な り,aはB=Bに

定 義 す る.定

の δ(x)が

な わ ち,写

像f:

数 δ が 存 在 し て,d(x,x′)<δ

が 成 り立つ と き,一

様 連 続 で あ る とい

う.   明 ら か に,一

様 連 続 な ら ば 連 続 で あ る が,x∈(0,∞)を1/x∈(0,∞)に

す 写 像 が そ うで あ る よ う に,連

うつ

続 写 像 は 必 ず し も 一 様 連 続 で は な い.

  こ れ に 関 し て 次 の 定 理 が 成 り立つ.   定 理2.12 

Xを

コ ン パ ク ト距 離 空 間 と し,Yを

距 離 空 間 と す る.こ

の と き,

任 意 の 連 続 写 像 は 一 様 連 続 で あ る.   証 明  正数 ら,正数δ(x)が

ε が 与 え ら れ た と す る.fはXの 存 在 し て,xの

δ(x)近

各 点xに

傍O(x,δ(x))のfに

の ε/2近 傍 に 含 ま れ る:f(O(x,δ(x))⊂O(f(x),ε/2).Xは  はXの

開 被 覆 で あ る か ら,有

存 在 し て,  お き,x′

(xi),ε/2).従 え にfは

よ る 像 はf(x) コン パ ク トで,

限 個 の 点x1,x2,…,xk∈Xが

が 成 り立つ.δ=min(δ(x1)/2,…,δ(xk)/2)と

∈O(x,δ)と

d(x,xi)<δ(xi)で

お い て 連 続 で あ るか

す る.x∈O(xi,δ(xi)/2)な あ る か ら,x,x′

っ てd(x,x′)<δ 一 様 連 続 で あ る. 

∈O(xi,δ(xi))と な ら ばd(f(x),f(x′))<ε

らばd(x′,xi)≦d(x′,x)+ な り,f(x),f(x′)∈O(f が 成

り 立 つ.ゆ (証 終)

  Xを

集 合 と し,fn:がX→R(n=1,2,…)を

数 列{fn(x)}が

単 調 増 加(ま

(ま た は 単 調 減 少)で

とす る.関

Xを

と き,関

数 列{fn}は

単 調増 加

の デ ィニ(Dini)の

定 理 が 成 り立 つ.

コ ン パ ク ト距 離 空 間 と し,fn:X→R(n∈N)は

数 列{fn}は

単 調 増 加 ま た は 単 調 減 少 で,そ

に 収 束 す る と 仮 定 す る.こ   証 明   {fn}が

た は 単 調 減 少)の

対 し,

あ る と い う.

  一 様 収 束 に 関 し て,次   定 理2.13 

写 像 と す る.各x∈Xに

の と き{fn}はfに

連続 関数

れ は 連 続 関 数f:X→R

一 様 収 束 す る.

単 調 増 加 の 場 合 に つ い て 証 明 す る.単

調減 少 の ときの証 明 も

同 様 で あ る.   正 数 ε が 与え ら れ た と す る.仮

定 に よ り,各x∈Xに

存 在 し て,0≦f(x)−fn(x)(x)<ε/3が d(x,y)<δ(x)な 立 つ.従

成 り立 つ.ま

考 え れ ば,こ

限 個 の 点x1,…,xkが

し0≦f(x)−fn(x)<ε

れ はXの

す れ ば,n≧n0の が 成 り 立 つ.実

よ っ て{fn}はfに

開 被 覆 で あ る か ら,仮

定

と な る.そ

こ

と き,す

際,x∈O(xi,δ(xi))の

べ て のx∈Xに

対

と き,

一 様 収 束 す る. 

点 列 コ ン パ ク ト,完

(証 終)

備

距 離 空 間 が コ ン パ ク トで あ る た め の 条 件 に つ い て 調 べ よ う.

  距 離 空 間Xの xkn,…(こ

存 在 し て, 成 り

存 在 し て, 

でn0=max{n(x1),…,n(xk)}と

  2.2.1 

数 δ(x)が

らば

  い ま,{O(x,δ(x))}x∈Xを

  2.2 

た,正

然 数n(x)が

ら ば,￨f(x)−f(y)￨<ε/3,￨fn(x)(x)−fn(x)(y)￨<ε/3が

っ て,d(x,y)<δ(x)な

に よ り,有

対 し,自

任 意 の 点 列x1,x2,…,xn,…

こ にk1
に 対 し,そ

の 部 分 列xk1,xk2,…,

収 束 す る も の が と れ る と き,Xは

点列

コ ンパ ク トで あ る と い う.   定 理2.14  被 覆 と す る.こ

Xを

点 列 コ ン パ ク トな 距 離 空 間 と し, 

の と き,次

の 性 質 を も つ 正 数 εが 存 在 す る:Xの

をXの 部 分 集 合A

開

の 直 径 が ε よ り小 な ら ば,A⊂Uλ

を み た す λ∈ Λ が 存 在 す る.

  こ の 定 理 を ル ベ ー グ(Lebesgue)の

補 題 と い い,ε

をUの

ル ベ ー グ 数 とい

う.   証 明   背 理 法 に よ る.仮 各 自 然 数nに つ,Anは

対 し,Xの ど のUλ

1つ と り,点

部 分 集 合Anを

列{xn}を

考 え る.Xは

意 の 点x∈Anに

と り,Anの

存 在 す る.Uλ0は

ま,nをn>2/ε

  定 理2.15 

か つd(xn,x0)<ε/2で

にAn⊂Uλ0.こ

対 し,

あ る よ う に と れ ば,任

(証 終)

点 列 コ ン パ ク トな 距 離 空 間 は 全 有 界 で あ る.

任 意 に と り,O(x1,ε)を

よ り1点x2を

れ よ り1点x3を

ぜ な ら ば,そ

を 任 意 に 与 え られ た 正 数 とす

つ く る. 

と り,O(x1,ε)UO(x2,ε)を

の 操 作 を つ づ け る と き,あ

な ら ば,そ

と り,O(x1,ε)UO(x2,ε)UO(x3,ε)を る 自 然 数kに

つ く る.こ

対 し,O(x1,ε)U…UO(xk,ε)=Xと

う で な い と す れ ば,点

列x1,x2,…,xk,…

で, 

の 点 列 は 収 束 す る 部 分 列 を も た な い.

点 列 コ ン パ ク トで あ る と い う 仮 定 に 反 す る.よ

っ て,Xは

で あ る. 

全有 界 (証 終)

距 離 空 間 と し,A⊂X,  異 な るAの

れ

つ く る. 

を み た す も の が 得 ら れ る が,こ

xと

収束

る ε>0に

れ は 仮 定 に 反 す る. 

る.x1∈Xを

  Xを

任 意に

被 覆 であ る

開 集 合 で あ る か ら,あ

点 列 コ ン パ ク トな 距 離 空 間 と し,ε

こ れ はXが

ら一 点xnを

す る.UはXの

  証 明   Xを

な る.な

り小 で,か

対 し,

で あ る か ら,x∈Uλ0.ゆえ

な ら ば,そ

直 径 は1/nよ

の と き.

点 列 コ ン パ ク トで あ る か ら,{xn}は

の 部 分 列 の 極 限 点 をx0と

含 むUλ0が

O(x0,ε)⊂Uλ0.い

存 在 し な い と す る.こ

に 含 ま れ な い よ う に で き る.各Anか

す る 部 分 列 を も つ.こ か ら,x0を

に こ の よ う な ε>0が

x∈Xと

点 を 含 む と き,xをAの

の 集 積 点 で あ る の は,xの

す る.任

意 の 正 数 ε に 対 し,O(x,ε)が

集 積 点 と い う.明

任 意 の ε 近 傍 がAの

ら か に,xがA

点 を 無 数 に 含 ん で い る と き,

し か も そ の と き に 限 る.   距 離 空 間Xの

無 限 個 の 点 か ら な る 任 意 の 部 分 集 合Aに

対 し,Aの

集積 点が

存 在 す る と き,Xは

ボ ル ツ ァ ノ-ワ イ エ ル シ ュ トラ ス(Bolzano-Weierstrass)の

性 質 を もつ と い う.   定 理2.16 

距 離 空 間Xの

次 の3性

  (ⅰ) 

Xは

コ ン パ ク トで あ る.

  (ⅱ) 

Xは

点 列 コ ン パ ク トで あ る.

  (ⅲ) 

Xは

ボ ルツァ

ノ-ワイ

エ ル シ ュ ト ラ ス の 性 質 を も つ.

  証 明   (ⅱ)⇒(ⅰ).U={Uλ}λ ク 数 と し,ε′=ε/3と

∈Λ をXの

お く.定

理2.15に

O(x1,ε′)U…UO(xk,ε′)=Xが か ら,O(xl,ε′)⊂Uλiを =Xで

あ る.よ

す る 部 分 列 が 得 られ る.そ

Xを

数 ε に 対 し,自 つ と き,点

コン

っ て,

な か に 無 限 回 く り返 し

列{xn}に

定 に よ りAは

現 わ れ る点 全 体 の 集

集 積 点 を もつ.こ

対 し,O(x,1/n)∩Aは

の1つ

をXの

存 在 し て,m,n≧n0な

然 数n0が

際,点

ら ばd(xm,xn)<ε

列{xn}がxに

存 在 し て,n≧n0の

(証 終)

点 列 とす る.任

基 本 列 ま た は コ ー シ ー(Cauchy)列

  収 束 す る 点 列 は 基 本 列 で あ る.実

を

無 限 個 の 点 を もつ か

部 分 列 が 容 易 につ く ら れ る. 

然 数n0が

意 の 正 数 ε に 対 し,自

列{xn}の

うで な い な らば,点

距 離 空 間 と し,x1,x2,…,xn,…

列{xn}をXの

開 被 覆 で,Xは

の 点 の 現 わ れ る 項 だ け を と り 出 す こ と に よ り収 束

意 の 自 然 数nに

収 束 す る{xn}の

  2.2.2 

対 し てO(x,ε(x))∩A

存 在 し て, 

点 列 と す る.点

無 限 部 分 集 合 で あ る か ら,仮

ら,xに

の と き,x∈X

集 積 点 を も つ.

{xn}をXの

す る と き,任

…∪∪ λ1

は 有 限 個 の 点 か ら な る.よ

現 わ れ る 点 が あ る な ら ば,そ

xと

る 正 数 ε(x)に

限 個 の 点x1,…,xk∈Xが

無 限 集 合 な ら ば,Aは

合Aは

の と き,Uλ1∪

集 積 点 を も た な い と す る.こ

っ て 

  (ⅲ)⇒(ⅱ). 

存 在 し,

直 径 は ε よ り小 で あ る

の み か ら な る.{O{x,ε(x))}x∈XはXの

が 成 り立つ.従

ルベ ー

コ ン パ ク トで あ る. し,Aは

パ ク トで あ る か ら,有

をUの

限 個 の 点x1,…,xkが

存 在 す る.こ

集 積 点 で な い か ら,あ

は φ ま た は1点

Aが

よ り,有

み た すUλi∈Uが

A⊂Xと

な ら ば,xはAの

開 被 覆 と す る.ε

成 り立つ.O(xi,ε′)の

っ てXは

  (ⅰ)⇒(ⅲ). 

質 は た が い に 同 値 で あ る.

意 の正 が 成 り立

と い う. 収 束 す る な ら ば,任

と きd(xn,x)<ε/2と

な る

か ら,m,n≧n0の

と きd(xm,xn)<ε

が 成 り立 つ.し

ず し も収束 す る と は 限 ら な い.例 n1/,…

え ば,半

は 基 本 列 で あ る が,(0,1]に

  距 離 空 間Xの

(ⅰ)  Xを

距 離 空 間 と し,A⊂Xと

距 離 空 間X,Yが

然 数nに

ら,{an}はAに

お け る 基 本 列 で あ る.従

x∈A.従

が 存 在 す る.同

の と きd(am,an)<ε

っ て,仮

で あ るか

ゆ

定 よ り, 

基 本列 と

あ る が,Aは

点に

閉 集 合 で あ る か ら,

基 本 列 で あ る.Xは

様 に, 

が 存 在 す る.こ

完 備 で あ る か ら,  の と き, 

完 備 で あ る. 

(証終)

完 備 で あ る.

  証 明   {xn}をRの

基 本 列 と す る.ε

存 在 し て,m,n≧n0の ￨xn0￨+ε}=aと

の と き,Xの

基 本 列 と す る.d(xm,xn)≦d((xm,ym),

で あ る.ゆ え に,X×Yは Rは

存 在 す る.こ

意の 自

完 備 で あ る.

あ る か ら,{xn}n∈NはXの

  定 理2.18 

す る.任

完 備 で あ る か ら,{an}はXの

す る と き,x∈Aで

{(xn,yn)}n∈NをX×Yの

(xn,yn))で

完 備 で あ る.

そ の 閉 集 合 と し,{an}をAの

点 列 と み る と き,Xは の 点 をxと

完備 な

閉 集 合 で あ る.

完 備 な 距 離 空 間 で,Aは

っ て,Aは

  (ⅱ) 

方,m,n>2/ε

成 り立 ち,Aは

収 束 す る.こ

空 間X×Yも

含 ま れ る 点an∈Aが

収 束 す る が,一

す る.{an}をXの

分 空 間Aが

完 備 で あ る と 仮 定 し,x∈Aと

点 列{an}はxに

  次 に,Xは

完 備 で あ る と い う.

の 逆 が 成 り立 つ.

と も に 完 備 な ら ば,積

対 し,O(x,1/n)に

え に,A=Aが

お け る点列1,1/2,…,

す る.部

完 備 の と き は,こ

  証 明   (ⅰ)  部 分 空 間Aは

本列は必

お い て 収 束 し な い.

閉 集 合 で あ る.Xが

  (ⅱ) 

開 区 間(0,1]に

すべ て の 基 本 列 が 収 束 す る と き,Xは

  定 理2.17  らば,Aは

か し な が ら,基

と き￨xm−xn￨<ε

お け ば,す

べ て のnに

を 任 意 の 正 数 と す る と き,自

然 数n0が

と な る か ら,max{￨x1￨,…,￨xn0−1￨, 対 し,￨xn￨≦aが

成 り立 つ.従

っ て,{xn}

は 有 界 で あ る.   y<xnを a∈Sで

み た すnが あ る か ら, 

界 で あ る.ゆ

え にSの

有 限 個 で あ る よ う なy∈R全 ま た,y∈Sな 下 限inf

Sをxと

ら ば−a
体 の 集 合 をSで あ る か ら,Sは の と き, 

表 わ す. 下 に有

が次の

よ う に 示 さ れ る か ら,Rは

完 備 で あ る.

  ε を 任 意 の 正 数 と す る.xはSの x≦y<x+ε/2を <xnが

下 限 で あ る か ら, 

み た すy∈Sが

存 在 す る.従

成 り立 ち,x+ε/2≦xnを

nに 対 し,x−

ε/2<xn<x+ε/2が

自 然 数n0が m≧n0か

み た すnは

方,{xn}は

と き,￨xm−xn￨<ε/2が

つx−ε/2<xm<x+ε/2を

  定 理2.18と

限 個 のnに

有 限 個 で あ る.ゆ

成 り立つ.他

存 在 し て,m,n≧n0の

≦￨x−xm￨+￨xm−xn￨<ε

っ て,無

み た すmが

が 成 り立 つ.よ

定 理2.17の(ⅱ)に

た,

対 しx−

ε/2

え に,無

限個 の

基 本 列 で あ る か ら, 成 り立つ.従

存 在 し,n>n0の

っ て,{xn}はxに

よ り,Rnは

で あ り,ま

っ て,

と き￨x−xn￨

収 束 す る.  (証終)

完 備 で あ る.

  距 離 空 間 が コ ン パ ク トで あ る た め の 条 件 が,ま

た,次

の 定理 に よって与 え ら

れ る.   定 理2.19 

Xを

  (ⅰ) 

コン パ ク トで あ る.

Xは

  (ⅱ) Xは

距 離 空 間 と す る.次

全 有 界 で あ る こ と は す で に 示 さ れ た(定 理2.5).次

完 備 で あ る こ と を 示 そ う.

  x1,x2,…,xn,… 自 然n0が が,Xは

をXの

基 本 列 と し,正

存 在 し て,m,n≧n0の

み た すkmが

が 成 り立つ.ゆ

え に,点

の 極 限 点 をxと

列{xn}は

有 限 部 分 集 合S1が

個 のnに

対 しx1n∈O(x,1/2)で と り,O(x,1/2)に

部 分 列xk1,xk2,…,xkn,…

ころ で

とき

っ てXは

存 在 し, 

完 備 で あ る. 全 有界 で あ るか

と な る.従

あ る よ うなx∈S1が

と す る.Xは

成 り立つ.と

任 意 の 点 列 と す る.Xは

含 ま れ るx1nを,nの

の と き,

す る と き,n0≦kmかつd(x,xkm)

収 束 す る.よ

をXの

ら,Xの

x21,x22,…,x2n,…

列{xn}の

存 在 す る か ら,n≧n0の

  (ⅱ)⇒(ⅰ).x11,x12,x13,…

を1つ

数 εが 与 え られ た と す る.こ

と きd(xm,xn)<ε/2が

点 列 コン パ ク トで あ る か ら,点

収 束 す る も の が 存 在 す る.こ <ε/2を

件 は 同 値 で あ る.

完 備 かつ 全 有 界 で あ る.

  証 明   (ⅰ)⇒(ⅱ).Xが に,Xが

の2条

存 在 す る.こ

っ て,無

限

の よ う なx

大 き さ の 順 に な らべ た 点 列 を

全 有 界 で あ る か ら,Xの

有 限 部 分 集 合S2が

存

と な る.従

在 し,  あ る よ う なx∈S2が るx2nをnの

存 在 す る.こ

限 個 のnに

の よ う なxを1つ

対 しx2n∈O(x,1/3)で と り,O(x,1/3)に

大 き さ の 順 に な らべ た 点 列 をx31,x32,…,x3n,…

続 け る こ と に よ り,各 列{xmn}n∈Nは

自然 数mに

部 分 列 で,m≧2の

成 り立つ か ら,点

こ ろ が,Xは

をつ く り,点

ま,点

列x11,x22,…, の 部 分 列 で あ る.

列{xnn}はXの

完 備 で あ る か ら,{xnn}n∈Nは

点 列 コ ン パ ク トで あ る こ と が 示 さ れ た か ら,定

基本 列 で

収 束 す る.こ

理2.16に

れ で,Xは

よ り,Xは

コン パ ク

トで あ る.    定 理2.20 

れを

と き,xmn(n=1,2,…)

れ は は じ め の 点 列x11,x12,…,x1n,…

ま たd(xmm,xnn)<2/m(m≦n)が

含 まれ

と す る.こ

列xm1,xm2,…,xmn,…

傍 に 含 ま れ る よ う に で き る.い

を 考 え よ う.こ

あ る.と

対 し,点

点 列{xm−1n}n∈Nの

は す べ て あ る 点 の1/m近 xnn,…

っ て,無

(証 終) Xを

パ ク トな らば,部

距 離 空 間 と し,A⊂Xと 分 空 間Aは

す る.こ

全 有 界 で あ る.Xが

の と き,閉

包Aが

完 備 な らば,こ

コン

の逆 が成 り

立つ.   証 明   (前 半)  明 ら か に,全

有 界 な 距 離 空 間 の 部 分 空 間 は 全 有 界 で あ る.と

こ ろ が,Aは

コ ン パ ク トで あ る か ら,部

部 分 空 間Aも

全 有 界 で あ る.

  (後 半) O(x,ε),B(x,ε)は 表 わ す と す る.Aは …,xk∈Aが

分 空 間Aは

そ れ ぞ れXに

全 有 界 で あ る か ら,任

全 有 界 で あ る.従

お け る ε近 傍,半

径 εの 球 体 を

意 の 正 数 εに 対 し,有

存 在 し て 

っ て,

限 個 の 点x1,

が 成 り立つ.こ

の と き,

 で あ る か ら,  と な り,  る.一 りAは

が 成 り立つ.よ

方,Xは

完 備 で,Aは

完 備 で あ る.ゆ

え に,定

っ て,Aは

そ の 閉 集 合 で あ る か ら,定 理2.19に

よ り,Aは

全有界 で あ

理2.17の(ⅰ)に

よ

コン パ ク トで あ る. (証終)

  集 合Xの をfの

そ れ 自 身 へ の 写 像f:X→Xに

対 し,f(x)=xを

み た す 点x∈X

不 動 点 と い う.

  定 理2.21 

Xを

完 備 な 距 離 空 間 と し,f:X→Xを

写 像 と す る.0
を み た すrが

が 成

り 立つ

存 在 して,

な ら ば,fは1つ

  証 明   Xの

点x0を

し か も た だ1つ

任 意 に1つ

の 不 動 点 を もつ.

と り,x1=f(x0),x2=f(x1),…,xn=f(xn−1),

… に よ り ,xn∈X(n=1,2,…)を

定 義 す る.こ

の と き,

で あ る か ら, d(xn,xn+1)≦rnd(x0,x1). 従 っ て,m
r<1で

と き,

あ る か ら,こ

れ よ り,点

備 で あ る か ら,{xn}は

列{xn}は

基 本 列 で あ る こ と が わ か る.xは

とす る.仮 定 よ り直 ちにfは

収 束 す る. 

完

連続

で あ る こ とが わ か るか ら,

が 成 り立 つ.こ

れ でf(x)=xを

  x′∈Xもf(x′)=x′

  2.3    2.3.1 

あ る が,r<1で

っ てf(x)=xを

位 相 空 間Xの

意 の 点x∈Xと

た だ1つ

っ てx=x′

で あ る. 

(証 終)

ラ コ ンパ ク ト

各 点xに

対 し,xの

で あ る よ う な も の が と れ る な らば,Xは

  定 理2.22 

の と き,d(x,x′)=d(f(x),

あ る か ら,d(x,x′)=0.従

み た すx∈Xは

局 所 コ ン パ ク ト,パ

  例 え ば,Rnの

存 在 が 示 さ れ た.

を み た し た と し よ う.こ

f(x′))≦rd(x,x′)で と な る.よ

み た すx∈Xの

近 傍Uで,Uが

コン パ ク ト集 合

局 所 コ ン パ ク トで あ る と い う.

任 意 の 開 集 合 は 局 所 コン パ ク トで あ る. Xを

局 所 コ ン パ ク トなハ ウ ス ドル フ 空 間 と す る.こ

そ の 任 意 の 近 傍Oに

対 し,xの

近 傍Vで,VはOに

る コ ン パ ク ト集 合 で あ る よ うな も の が 存 在 す る.も

っ と 一 般 に,Xの

の と き,任 含 まれ コ ンパ ク

ト集 合Aと

開 集 合OでA⊂Oで

あ る も の に 対 し,A⊂V,V⊂OでVは

ン パ ク トで あ る よ う な 開 集 合Vが   証 明   (前 半)xの 部 分 空 間Uは あ る.と

存 在 す る.

近 傍Uで,Uが

コ ン パ ク トで あ る よ う な も の を と る.

コ ン パ ク トな ハ ウ ス ドル フ 空 間 で あ る か ら,そ

こ ろ が,x∈U∩O⊂Uで,{x}は

ら,x∈V,V⊂U∩Oを

各 点xに

ク トで あ る よ う な 開 集 合Vxが 被 覆 で,Aは

合 で,V=Vx1∪

っ てVは

と れ る.{Vx}x∈AはXの

な る.V=Vx1∪ …∪Vxk⊂Oで

コ ン パ ク ト空 間U 求 め る も の で あ る.

対 し,x∈Vx,Vx⊂Oで,Vxは

コ ン パ ク トで あ る か ら,有

Vx1∪ …∪Vxk⊃Aと

開 集 合 で あ るか

存 在 す る.Vは

コ ン パ ク トで あ る.よ

  (後 半)  前 半 に よ り,Aの

れ は正規 空 間で

閉 集 合,U∩Oは

み た す 開 集 合Vが

の 閉 集 合 で あ る か ら,Vは

コ

コ ンパ

開 集 合 か ら な るAの

限 個 の 点x1,…,xk∈Aが

…∪Vxkと

あ り,Vは

存 在 し,

お け ば,VはAを

含む 開集

コ ン パ ク トで あ る か ら,Vは

求める

も の で あ る. 

(証 終)

  位 相 空 間Xが

可 算 個 の コ ン パ ク ト部 分 集 合 の 和 集 合 と し て 表 わ せ る と き,X

を σ コ ン パ ク トと い う.   定 理2.23 

局 所 コ ン パ ク トな ハ ウ ス ドル フ 空 間Xが

な らば,Xは

σ コ ン パ ク トで あ る.

  証 明   Xは

第2可

算 公 理 を み た す か ら,可

が 存 在 す る.Oに

属 す る 開 集 合 の う ち,そ

く る 集 合 族 をO′

と す る.こ

る が,次

の と き,明

に 示 す よ うに,Oに

っ てO′

の 閉 包 が コ ン パ ク トで あ る も の の つ ら か に,O′

任 意 の 開 集 合 もO′

はXの

と な る か ら,Xは

に属す る開集合 の和

に属 す る開集 合 の和集 合 と す る と き, 

σ コ ン パ ク トで あ る.

属 す る 任 意 の 開 集 合 と し,x∈Oを

と き,定

よ り,xの

近 傍Vで,VはOに

で あ る よ う な も の が 存 在 す る.OはXの す 開 集 合O′ ∈Oが

は 可 算 個 の 開 集 合 か らな

開 基 で あ り,O′={Oi}i∈Nと

  さ て,OをOに 理2.22に

算公理 をみた す

算 個 の 部 分 集 合 か ら な る 開 基O

属 す る 任 意 の 開 集 合 は,O′

集 合 と し て 表 わ せ る か ら,Xの し て 表 わ せ る.よ

第2可

存 在 す る が,こ

任 意 の 点 と す る.こ

含 ま れ る コ ンパ ク ト集 合

開 基 で あ る か ら,x∈O′ の と きO′ ⊂Vで

の

あ る か ら,O′

⊂Vを

みた

は コ ンパ ク

トで あ る.ゆ

え にO′ ∈O′.よ

っ て,OはO′

に 属 す る 開 集 合 の 和 集 合 と して

表 わ せ る. 

(証 終)

  定 理2.24 

Xを

と き,Xの

可 算 個 の 開 集 合U1,U2,…,Un,…

を み た し,か

つ,各Unは

 証 明   Xは

コ ン パ ク トで あ る よ う な も の が 存 在 す る.

コ ン パ ク ト集 合.Xは

近 傍Vxで,Vxは

Xの

と表 わ せ る.こ

有 限 個 の 点x1,…,xr∈K1に お く.こ

合 で あ る.U1∪K2は

局 所 コ ン パ ク トで あ る か ら,各x∈Xに

被 覆 で あ り,K1は

対 し,

コ ン パ ク トで あ る か ら,適

対 し て, 

…∪Vxrは

コ ン パ ク トで あ る か ら,上

コ ン パ ク ト集

と 同 様 に し て,適

対 し て 

当 な有 限個

と な る.U2=Vy1∪

…∪Vysと

お く .U2⊃K2,U2⊃U1で,U2=Vy1∪

で あ る.こ

れ を つ づ け る こ と に よ り,Un⊃Kn,Un+1⊃Unで,Unは

ト集 合 で あ る よ う なUn(n=1,2,…)が

…∪Vysは

コ ン パ ク ト集 合 コ ンパ ク

である

つ く れ る. 

これ で 求 め る 定 理 は 示 され た. 

か ら, 

Xを

(証終)

局 所 コ ン パ ク トな ハ ウ ス ドル フ 空 間 と し,  AはXの

集 合 とす る.こ

の と き,部

当な

が 成 り立 つ.U1=Vx1

の と き,U1⊃K1で,U1=Vx1∪

の 点y1,…ys∈U1∪K2に

  問1 

こ にKn

コ ン パ ク トで あ る よ う な も の が 存 在 す る.{Vx}x∈K1は

開 集 合 か ら な るK1の

∪ …∪Vxrと

の

で

σ コ ン パ ク トで あ る か ら, 

(n∈N)は xの

局 所 コ ン パ ク トか つ σ コ ン パ ク トな 位 相 空 間 と す る.こ

分 空 間Aは

開 また は閉

ま た 局 所 コ ンパ ク トな ハ ウ ス ドル フ 空

間 で あ る こ と を 示 せ.   問2 

局 所 コ ン パ ク トな ハ ウ ス ドル フ 空 間X,Yの

積 空 間X×Yは

また 局所

コ ン パ ク トな ハ ウ ス ドル フ 空 間 で あ る こ と を 示 せ.   問3  き,和

Xを

局 所 コ ン パ ク トな ハ ウ ス ドル フ 空 間 と し, 

集 合X*=X∪{a}は,次

る こ と に よ り,コ 開 集 合.ⅱ) 

Xの

のⅰ),ⅱ),ⅲ)の

と す る.こ

部 分 集 合 全 体 を 開 集 合 とす

ン パ ク トな ハ ウ ス ドル フ 空 間 と な る こ と を 示 せ.ⅰ)  コ ン パ ク ト部 分 集 合 のX*に

の と

お け る 補 集 合.ⅲ) 

Xの X*.(こ

の 位 相 空 間X*をXの1点   2.3.2  ∈Uを

U,Vを

集 合Xの2つ

み た すUが

  位 相 空 間Xの

コ ンパ ク ト化 とい う).

存 在 す る な らば,VをUの

任 意 の 開 被 覆Uに

で あ る よ うな 開 被 覆Vが   定 理2.25 

の 被 覆 とす る.各V∈Vに

第2可

対 し,V⊂U

細 分 と い う.

対 し,Uの

細 分 で あ り,か っ,局

存 在 す る と き,Xを

所有限

パ ラ コ ンパ ク トとい う.

算 公 理 を み た す 局 所 コ ンパ ク トな ハ ウ ス ドル フ空 間Xは

パ ラ コ ンパ ク トで あ る.  証 明   定 理2.23と Onは

定 理2.24に

開 集 合 で,Onは

=On−On

と 表 わ さ れ る.こ

よ り, 

コ ン パ ク ト で あ り,On⊂On+1と

−1(n=2,3,…)と

お く.Knは

す る.K1=O1,Kn

コ ン パ ク ト集 合 で, 

W1=O2,W2=O3,Wn=On+1−On−2(n=3,4,…)と が 成

こ に,各

お

で あ る.

く.Kn⊂Wn(n∈N)

り 立 っ.

  さ て,U={Uλ}λ

∈Λ をXの

任 意 の 開 被 覆 と す る.Knの

の 近 傍V(x)で,V(x)⊂Wnを

み た し,か

で あ る よ う な も の が 存 在 す る.Knは … ,xk(n)n∈Knが

つ,あ

各 点xに

る λ∈ Λ に 対 しV(X)⊂Uλ

コ ン パ ク トで あ る か ら,有

存 在 し てKn⊂V(xn1)U…UV(xk(n)n)が

{V(xni)￨n∈N,i=1,…,k(n)}と

お く.明

個 の 開 集 合 か ら な る 被 覆 で あ る.よ

限 個 の 点xn1,

成 り立 っ.V=

ら か に,VはUの

っ て,Vが

対 し,x

細 分 で,可

算

局 所 有 限 で あ る こ と を 示 せ ば,

求 め る 結 果 が 得 ら れ る.   x∈Xを

任 意 の 点 と す る.x∈Knと

し,Wnを

 と な る の はn−2≦m≦n+2の

考 え れ ば,Wnはxの

と な るxmiは   定 理2.26 

有 限 個 し か な い.よ

と き に 限 る か ら,  っ てVは

局 所 有 限 で あ る. 

パ ラ コ ン パ ク トな ハ ウ ス ドル フ 空 間Xは

  証 明   ま ず,Xの

任 意 の 点aと

近 傍 で,

正 規 空 間 で あ る.

そ れ を 含 ま な い 任 意 の 閉 集 合Bに

集 合U,Vで,a∈U,B⊂V,U∩V=φ

(証 終)

対 し,開

をみ たす ものが 存在 す る ことを示

そ う.   Xは

ハ ウ ス ドル フ 空 間 で あ る か ら,Bの

a∈Ub′,b∈Vb,Ub′

∩Vb=φ

各 点bに

対 し,開

集 合Ub′,Vbで,

を み た す も の が 存 在 す る.Ub=Ub′

−Bと

お

く.V={X−a−B,Ub,Vb}b∈BはXの で あ る か ら,Vの

開 被 覆 で あ る.Xは

細 分 で あ り,か つ,局 所 有 限 で あ るXの

開 被覆O={Oλ}λ

とお く.Oは

が 存 在 す る.  あ るか ら,aの

パ ラ コ ンパ ク ト

近 傍Nが

局所 有 限 で

で あ る λ∈ Λ は 有 限 個 とな る.こ

存 在 し, 

れ ら の λ の う ち Λ′に 属 す る も の の つ く る 集 合 を Λ″ とす る.OはVの で あ る か ら,各

λ∈ Λ″ に 対 し,Oλ  と お く.こ

  さ て,A,BをXの

⊂Vbを

細分

み た すb=b(λ)∈Bが

の と きU,Vは

存 在 す る.

求 め る も の で あ る.

閉 集 合 と し,A∩B=φ

A⊂U,B⊂V,U∩V=φ

∈Λ

と す る と き,開

集 合U,Vで,

を み た す も の が 存 在 す る こ と を 示 そ う.

  上 で 示 し た こ と に よ り,Aの B⊂Va′,Ua∩Va′=φ

各 点aに

対 し,開

集 合Ua,Va′

でa∈Ua,

を み た す も の が 存 在 す る.Va=Va′−Aと

{X−A−B,Ua,Va}a∈AはXの

局 所 有 限 で あ るXの

開 被 覆 で あ る か ら,Vの

開 被 覆O={Oλ}λ

と お く.各b∈Bに

お く.V= 細 分 で あ り,か

つ,

∈Λ が 存 在 す る.  対 し,bの

近 傍Nbが

存 在 し, 

で あ る λ∈ Λ は 有 限 個 とな る.こ れ ら の λ の うちΛ′ に 属 す る も の の つ く る 集 合 を Λ″(b)と

∈Aが

す る と き,各

存 在 す る. 

は 求 め る も の で あ る. 

λ∈ Λ″(b)に

対 し,Oλ

⊂Uaを

み た すa=a(λ)

と お く.こ

の と きU,V

(証終)

3. 

  3.1 

線

  3.1.1 

形

n次

空

形

空

間

間

元 数 ベ ク トル 空 間Rnに

対 し 和x+yが,ま 倍sxが

線

た,任

お い て,任

意 の 実 数sと

定 義 さ れ た が,こ

意 の2つ

の ベ ク トルx,yに

任 意 の ベ ク トルxに

対 し,ス

れ ら に 対 し 次 の 性 質(L1)−(L8)の

カラ ー

成 り立 つ こ と は

定 義 よ り直 ち に 示 さ れ る:   (L1) 

(x+y)+z=x+(y+z).

  (L2) 

x+y=y+x.

  (L3) 

任 意 の ベ ク トルxに

対 し,x+0=xと

な る よ う な ベ ク トル0が

存在

す る.   (L4) 

各 ベ ク トルxに

対 し,x+(−x)=0が

成 り 立 つ よ う な ベ ク トル−xが

存 在 す る.   (L5) 

s(x+y)=sx+sy.

  (L6) 

(s+t)x=sx+tx.

  (L7) 

(st)x=s(tx).

  (L8) 

1x=x.

  一 般 に,集 x+yが s倍

合Lの

任 意 の2元x,yに

定 義 さ れ て お り,ま と よ ば れ るLの

つ と き,Lを(実

元skが 数 上 の)線

を ベ ク トル と よ び,こ   な お,(L3)に

た,任

対 し,xとyの

意 の 実 数sとLの

定 義 さ れ て い て,上

和 と よ ば れ るLの 任 意 の 元xに

対 し,xの

の 条 件(L1)−(L8)が

形 空 間 ま た は ベ ク トル 空 間 と い う.線

元

成 り立 形空 間の 元

れ と対 照 的 に 実 数 を ス カ ラ ー と い う こ と も あ る.

お け る0を

零 元 ま た は 零 ベ ク トル,(L4)に

お け る−xをxの

逆 元 ま た は 逆 ベ ク トル と い う.   例1 

文 字xに

関 す る 実 係 数 多 項 式 全 体 の つ く る 集 合 は,ふ

実 数 と の 積 に 関 し て,線 n次

形 空 間 を つ く る.ま

た,正

整 数nが

つ うの 和 お よ び 与 え ら れ た と き,

以 下 の す べ て の 多 項 式 の つ く る 集 合 に つ い て も 同 様 で あ る.

  例2 

集 合Xか

らRへ

∈F(X)とs∈Rに

の 関 数 全 体 の つ く る 集 合 をF(X)で

対 し

(f+g)(x)=f(x)+g(x),  と 定 義 す る と き,F(X)は

(sf)(x)=s(f(x)) 

ベ ク トル 空 間 に な る.ま

関 数 全 体 の つ く る 集 合 をB(X)と   次 に,(L1)−(L8)か   (L1)に

(x∈X)

た,Xか

す る と き,B(X)に

らRへ

の有 界 な

つ い て も 同 様 で あ る.

ら 容 易 に 導 か れ る 結 果 を 述 べ よ う.

よ り,有

限 個 の ベ ク トルx1,x2,…,xk∈Lに

対 し,x1+x2+…+xk

は ど の よ う に 括 弧 で く く っ て も つ ね に 同 じ 和 を 与 え,従 つ.さ

表 わ し,f,g

ら に,(L2)に

よ り,そ

の 和 はx1,x2,…,xkの

っ て,そ

れ は意 味 を も

順 序 を ど の よ うに 変え て

も 同 じ で あ る.   零 ベ ク トル は 一 意 的 に 定 ま る.実 れ ば,(L3)に ら,0=0′   xの

よ り0+0′=0,

際,2つ

0′+0=0′

で,(L2)に

れ ら を0,0′

よ り0+0′=0′+0で

とす あ るか

が 得 られ る.

逆 ベ ク トル も 一 意 的 に 定 ま る.実

と す れ ば,(L4)に

  0x=0で

線 形 空 間 と し,L′

よ りx′=x″

が 得 ら れ る.

あ る か ら,0x=0.

示 さ れ る. ⊂Lと

す る.次

線 形 部 分 空 間 と い う:ⅰ)  意 のs∈Rに

れ ら をx′,x″

で あ る か ら,x′+x+x′=x′+x+x″

際,0x+sx=(0+s)x=sxで

  同 様 に,s0=0,(−1)x=−xが

L′ な ら ば,任

あ っ た と し,そ

あ る か ら,(L2),(L3)に

あ る.実

L′ をLの

際,2つ

よ りx+x′=0=x+x″

で あ る が,x′+x=0で

  Lを

あ っ た と し,そ

の 条 件ⅰ),ⅱ)が x,y∈L′

対 し てsx∈L′.こ

成 り立 つ な ら ば,

な ら ばx+y∈L′, ⅱ) 

の と き,明

ら か に,L′

x∈

自 身1つ

の 線 形 空 間 で あ る.   例3 

例1,例2に

  例4 

mn個

お い て,後

の 例 は 前 の 例 の 線 形 部 分 空 間 で あ る.

の 実 数aij(i=1,…,m;j=1,…,n)が

与えら

れ た と き,連

立1

次 方程 式 ai1x1+ai2x2+…+ainxn=0  を み た す 実 数 解(x1,x2,…,xn)全 る.(こ

れ を 連 立1次

(i=1,…,m)

体 の つ く る 集 合 はRnの

方 程 式 の 解 空 間 と い う.)

線形 部 分空 間で あ

  Lを

線 形 空 間 と し,{Lλ}λ ∈ΛをLの

部 分 集 合 族 とす る.こ

Lの 線形部分空間な らば共通部分 

も ま たLの

の と き,各Lλ

が

線形 部 分空 間 で あ る こと

は 容 易 に 示 さ れ る.   線 形 空 間Lの

任 意 の 部 分 集 合Sに

共 通 部 分 をL(S)で L(φ)は

表 わ し,Sに

含 むす べ て の 線 形 部分 空 間 の

よ っ て 張 ら れ る 線 形 部 分 空 間 と い う.と

零 ベ ク トル の み か ら な る 線 形 部 分 空 間 で あ る.な

の と き,L(S)をL(x1,…,xk)と   線 形 空 間Lの

くに

お,S={x1,…,xk}

書 く.

有 限 個 の ベ ク トルx1,x2,…,xkに

skxk(s1,…,sk∈R)で は1次

対 し,Sを

表 わ さ れ るLの

対 し,形s1x1+s2x2+…+

ベ ク トル をx1,x2,…,xkの

線 形 結 合 また

結 合 と い う.

  次 の こ と は 容 易 に 示 さ れ る:集 は,Sか

合Sに

よ っ て 張 られ る 線 形 部 分 空 間L(S)

ら 任 意 に 有 限 個 の ベ ク トル を と り,そ

れ らの 線 形 結 合 を つ く る こ とに

よ っ て 得 ら れ る も の 全 体 の 集 合 と 一 致 す る.   線 形 空 間L1,L2,…,Lnに

対 し,積

集 合L1×L2×

… ×Lnを

考 え,そ

こにお

い て, (x1,…,xn)+(y1,…,yn)=(x1+y1,…,xn+yn), s(x1,…,xn)=(sx1,…sxn) (xi,yi∈L,s∈R) と 定 義 す れ ば,L1×

… ×Lnは

をC(X)で

れ を 線 形 空 間L1,…,Lnの

で 表 わ す.

直 和 と い い, 

  問1 

線 形 空 間 と な る.こ

コ ンパ ク ト空 間X上

で 定 義 され た 実 数 値 連 続 関 数 全 体 の つ く る 集 合

表 わ す と き,C(X)は

例2で 述 べ た 線 形 空 間B(X)の

線形 部 分空

間 で あ る こ とを 示 せ.   問2 

線 形 空 間Lと

x,y∈Lはx−y∈L′

そ の 線 形 部 分 空 間L′ が 与 え られ た とす る.こ の と き 同 値 で あ る と定 義 す れ ば,こ

値 関 係 で あ る こ とを 示 せ.こ と す る と き,L/L′

の 商 集 合 をL/L′

れ はLに

で 表 わ し,π:L→L/L′

の と き, おけ る同 を射 影

は 次 の よ うに 定 義 され る和 お よび ス カ ラ ー 倍 に 関 して ベ ク

トル 空 間 と な る こ と を 示 せ: π(x)+π(y)=π(x+y), 

s(π(x))=π(sx).

ベ ク トル 空 間L/L′   3.1.2 

をLのL′

線 形 空 間Lの

な い 実 数s1,s2,…,skが x1,x2,…,xkは … ,xkは

有 限 個 の 元x1,x2,…,xkに

線 形 独 立 ま た は1次

く と も1つ

は0で

成 り立 つ と き,

従 属 で あ る と い い,そ

う で な い と き,x1,x2,

独 立 で あ る と い う.

部 分 集 合Sの

在 す る と き,Sは

対 し,少

存 在 し て,s1x1+s2x2+…+skxk=0が

線 形 従 属 ま た は1次

  線 形 空 間Lの

う.空

に よ る 商 空 間 と い う.

な か に,線

形 従 属 で あ る よ うな有 限 個 の 元 が 存

線 形 従 属 で あ る と い い,そ

うで な い と き 線 形 独 立 で あ る と い

集 合 φ は 線 形 独 立 と 考 え ら れ る.

  明 ら か に,Sが

線 形 独 立 な ら ば,そ

の 任 意 の 部 分 集 合 も 線 形 独 立 で あ る.

  次 の 定 理 は 容 易 に 証 明 で き る.   定 理3.1 Sを   (ⅰ) Sが

線 形 空 間 の 部 分 集 合 と す る. 線 形 独 立 で あ る た め に は,L(S)の

任 意 の ベ ク トル がSの

ベ ク ト

ル の 線 形 結 合 と し て 一 意 的 に 表 わ せ る こ と が 必 要 十 分 で あ る.   (ⅱ)  Sが

線 形 従 属 で あ る た め に は,x∈Sが

存 在 し,xは

そ れ を 除 くSの

ベ ク トル の 線 形 結 合 と な る こ と が 必 要 十 分 で あ る.   次 に,有

限 個 の 元 に よ っ て 張 られ る 線 形 部 分 空 間 に 関 す る2つ

の定理 を証 明

し よ う.   定 理3.2 

Lを

線 形 空 間 と し,x1,x2,…,xk∈Lと

の 部 分 集 合{ν1,ν2,…,νl}で  ⅰ)   ⅱ) 

次 のⅰ),ⅱ)を

す る.こ

の と き{1,2,…,k}

み た す も の が 存 在 す る:

L(x1,x2,…,xk)=L(xν1,xν2,…xνl), xν1,xν2,…,xνlは 線 形 独 立 で あ る.

  証 明   個数kに な ら ば{1}が

関 す る 帰 納 法 に よ る.k=1の 求 め る 部 分 集 合 で あ る.次

と き,x1=0な に,k>1と

き の 定 理 が 示 さ れ た と 仮 定 し よ う.x1,x2,…,xkが が 求 め る 部 分 集 合 で あ る.そ るxiはx1,…,xi−1,xi+1,…,xkの … ,xi−1,xi+1,…,xk).ゆ

うで な い と き は,上

ら ば φ が, 

し,個 数 がk−1個

の と

線 形 独 立 な ら ば,{1,2,…,k} の 定 理 に よ り,あ

るiに

対す

線 形 結 合 と な る か ら,L(x1,x2,…,xk)=L(x1,

え に こ の 後 者 に 対 し 帰 納 法 の 仮 定 を 用 い る こ と に よ り,

求 め る 部 分 集 合 が 得 ら れ る. 

(証 終)

  定 理3.3 

Lを

x2,…,xk)の

線 形 空 間 と し,x1,x2,…,xk∈Lと

線 形 独 立 な 元 の 個 数 は た か だ かk個

  証 明   ま ず,x1,…,xq∈Lが ば,あ

るi(p
  実 際,少

 

線 形 従 属 で,x1,…,xp(p
は0で

な い 実 数s1,…,sqが

で あ る よ う なjの

さ て,L(x1,x2,…,xk)の

yk+1が

線 形 独立 な ら な る こ と に 注 意 す る.

存 在 し,s1x1+…+sqxq=0

う ち 最 大 の も の をiと

な か に 線 形 独 立 なk+1個

は 線 形 従 属 で あ る が, 

で あ る か ら,は

に 対 しxi∈L(y1,x1,…,xi−1)と

な る.従

す れ ば よ い.

の ベ ク トルy1,y2,…,

存 在 し た と 仮 定 し よ う.y1∈L(x1,x2,…,xk)で

える こ とに よ り

の と き,L(x1,

で あ る.

存 在 し てxi∈L(x1,x2,…xi−1)と

く と も1つ

と な る か ら, 

す る.こ

あ る か ら,y1,x1,…,xk

じ め の 注 意 に よ り,あ っ て,必

,xk∈L(y1,x1,…,xk−1)が

成

要 な ら ばxiの

り 立 つ.い

るi(1≦i≦k) 添 数 を つ け か

ま

L(x1,…,xk)=L(y1,x1,…,xk)=L(y1,x1,…,xk−1) で,y2は

こ れ に 属 す る か ら,y2,y1,x1,…,xk−1は

は 線 形 独 立 で あ る か ら,は ∈L(y2,y1,x1,…,xi−1)と

線 形 従 属 で あ る が,y2,y1

じ め の 注 意 に よ り,あ な る.従

っ て,必

り,xk−1∈L(y2,y1,x1,…,xk−2)が

るi(1≦i≦k−1)に

対 し,xi

要 な らば 添 数 を つ け か え る こ とに よ

成 り 立 つ.い

ま

L(x1,…,xk)=L(y1,x1,…,xk−1) =L(y2,y1,x1,…,xk−1)=L(y2 で,y3は

こ れ に 属 す る か ら,前

,y1,x1,…,xk−2)

と 同様 の操 作 を 行

う.こ

れ をk回

く りか え せ

ば, L(x1,…xk)=L(yk,yk−1,…,y1) が 得 ら れ る.と で あ り,仮

こ ろ が,yk+1は

定 に 反 す る.こ

これ に 属 す る か れ で,L(x1,…,xk)の

の 元 は 存 在 し な い こ と が 示 さ れ,定   線 形 空 間Lの い う.有

部 分 集 合Sが

限 部 分 集 合Sに

ら,y1,…,yk,yk+1は

な か に は 線 形 独 立 なk+1個

理 は 証 明 さ れ た. 

線 形 独 立 でL=L(S)の

対 し てL=L(S)と

線 形 従 属

(証 終) と き,SをLの

な る と き,Lは

有 限 次 元 で あ る と

い う.

  例5 

数 ベ ク ト ル 空 間Rnに

お い て,e1=(1,0,…,0), 

基 底 と

e2=(0,1,0,…0),…,

en=(0,…,0,1)と

お く と き,{e1,e2,…,en}はRnの

基 底 で あ る.こ

れ をRn

の 標 準 基 底 と い う.   例6 

文 字xに

関 す る 実 係 数 多 項 式 全 体 の つ く る ベ ク トル 空 間 に お い て,

{1,x,x2,…,xn,…}は   定 理3.4 Lを

そ の 基 底 で あ る.

と す る.こ

有 限 次 元 線 形 空 間 と し,x1,x2,…,xk∈Lは

の と き,Lの

… ,yl}はLの

有 限 個 の ベ ク トルy1,…,ylが

な ら ばL−L(x1,…,xk)か

と る. 

ら 任 意 に1つ

と る.  の ベ ク トルy3を

は 有 限 回 で 終 り,あ

と る.こ

の

理3.4に

の操作 な る. (証 終)

理3.3よ

で あ る こ と が わ か る.こ

の 個 数 を 線 形 空 間Lの

よ り,Lは

ら な る 基 底 を も つ が,定

有 限 個 の ベ ク トル か

りそ の 個 数 は 基 底 の と り方 に か か わ ら ず 一 定 次 元 と い い,dim

線 形 部 分 空 間 な ら ば,dim

等 号 が 成 り立 つ の はL=L′

よ り,上

基 底 で あ る. 

有 限 次 元 線 形 空 間 の と き,定

がLの

理3.3に

形独 立 な

対 し,L=L(x1,…,xk,y1,…,yl)と

こ の と き{x1,…,xk,y1,…,yl}はLの

  L1,L2,…,Lnが

ら任 意 に1つ

の よ う な 操 作 を 行 う と き,線

が 得 ら れ る か ら,定

る 整 数l≧0に

よ り,L′

の ベ ク トル

な ら ばL−L(x1,…,xk,y1,y2)か

ベ ク トルx1,…,xk,y1,y2,y3,…

  定 理3.3に

ら 任 意 に1つ

な ら ばL−L(x1,…,xk,y1)か

ベ ク トルy2を

  Lが

存 在 し,{x1,…,xk,y1,

基 底 と な る.

 証明  y1を

線形 独 立で あ る

Lで

L′ ≦dim

表 わ す.

Lで

あ り,

の と き し か も そ の と き に 限 る.

有 限 次 元 の と き,直

和 

も有 限 次 元 で,

の 成 り立 つ こ と は 容 易 に 示 さ れ る.   n次

元 線 形 空 間Lの

基 底{υ1,υ2,…,υn}が

与 え ら れ た と き,Lの

は 一 意 的 にx=s1υ1+s2υ2+…+snυn(si∈R)と 底{υ1,υ2,…,υn}に   問3  はRnのk次

PをRnの

関 す るxの

表 わ さ れ る.(s1,s2,…,sn)を

基

座 標 と い う.

部 分 集 合 と し,1点a∈Pに

元 線 形 部 分 空 間 で あ る と す る.こ

ィ ン 部 分 空 間 と い う.こ

任 意 の 元x

の 定 義 に お い て,Lはaの

対 し,L={x−a∈Rn￨x∈P} の と きPをRnのk次

元アフ

と り方 に 関 係 し な い こ と

を 示 せ.LをPの

付 属 ベ ク トル 空 間 と い う.P,P′

部 分 空 間 と し,L,L′ L′ ⊂Lな

Rnの

がPに

お け る ア フ ィン

を そ れ ら の 付 属 ベ ク トル 空 間 と す る と き,L⊂L′

ら ば,PとP′

  (ⅰ) 

をRnに

は 平 行 で あ る と い い, 

部 分 集 合Pは

で 表 わ す.

そ の 任 意 の2点x,yに

含 ま れ る と き,し

また は

対 し,xとyを

か も そ の と き に 限 り,ア

結 ぶ直 線

フ ィ ン部 分 空 間 で あ る こ と

を 示 せ.   (ⅱ) 

PをRnのk次

Rnのk次

元 ア フ ィ ン部 分 空 間 と し,x∈Rnと

元 ア フ ィ ン部 分 空 間P′

で,x∈P′, 

す る.こ

の と き,

を み た す も の が 存 在 し,

そ れ は た だ 一 つ で あ る こ と を 示 せ.

  3.2 

線

  3.2.1  L2を

形 写

像

L1,L2を

線 形 空 間 と す る と き,次

のⅰ),ⅱ)を

み た す 写 像f:L1→

線 形 写 像 と い う:

 ⅰ) 

L1の

任 意 の2元x,x′

 ⅱ) 

L1の

任 意 の 元xと

に 対 し,f(x+x′)=f(x)+f((x′)). 任 意 の 実数sに

  f:L1→L2を

線 形 写 像 と す る.こ

f(L1′)はL2の

線 形 部 分 空 間 で あ り,ま

像f−1(L2′)はL1の

対 し,f(sx)=sf((x)).

の と き,L1の た,L2の

に 対 し像

線 形 部 分 空 間L2′

に 対 し逆

線 形 部 分 空 間 で あ る こ と は 容 易 に 示 さ れ る.

  次 の 各 写 像 は 明 ら か に 線 形 写 像 で あ る:  (こ れ を 零 写 像 と い う).(2)  影pi:L1 

線 形 部 分 空 間L1′

L1⊂L2の

(1) 

と き,包

0へ の 定 値 写 像0:L1→L2 含 写 像i:L1→L2.(3) 

射

L2→Li(i=1,2).

  次 の こ と は 容 易 に 示 さ れ る:  (ⅰ)  線 形 写 像 の 合 成 は 線 形 写 像 で あ る. (ⅱ) 

線 形 写 像f,g:L1→L2に

=f(x)+g(x)(x∈L1)に sに 対 し,線

形 写 像f+g:L1→L2が(f+g)(x)

よ り定 義 さ れ る .(ⅲ) 

線 形 写 像f:L1→L2と

形 写 像sf:L1→L2が(sf)(x)=s(f(x))(x∈L1)で

  線 形 写 像f:L1→L2が 写 像 で あ る が,こ 対 し,同

対 し,線

全 単 射 の と き,逆

の と きfを

形 写 像f:L1→L2が

定 義 さ れ る.

写 像f−1:L2→L1は

線 形 空 間 の 同 形 写 像 と い う.線 存 在 す る と き,L1とL2は

実数

明 らか に 線 形 形 空 間L1,L2に

同 形 で あ る と い う.

  n次

元 線 形 空 間Lはn次

基 底 を1つ

定 め,そ

元 数 ベ ク トル 空 間Rnに

の 基 底 に 関 す るx∈Lの

f∈C([0,1])に

定積 分

こ の 節 で は,以

  L1をn次 とL2の

下,有

らRへ

基 底(u1,u2,…,um)が

の 線 形 写 像 で あ る こ と を 示 せ.

限 次 元 の 線 形 空 間 の み を 扱 う こ と に す る.

元 線 形 空 間,L2をm次

形 写 像 な ら ば,L1の

す る と き,

定 義 さ れ る.

を 対 応 さ せ る 写 像 は,C([0,1])か   3.2.2 

際,Lの

座 標 を(x1,x2,…,xn)と

同 形 写 像f:L→Rnがf(x)=(x1,x2,…,xn)で

  問1 

同 形 で あ る.実

元 線 形 空 間 と し,L1の 与 え ら れ た と す る.こ

基 底(υ1,υ2,…,υn)

の と き,f:L1→L2が

線

任 意 の元

  (3.1) 

x=x1υ1+x2υ2+…+xnυn 

(xi∈R)

に 対 し て,   (3.2) 

f(x)=x1f(υ1)+x2f(υ2)+…+xnf(υn)

で あ る か ら,fはf(υ1),f(υ2),…,f(υn)に はu1,…,umに

よ っ て 定 ま る.と

こ ろ が,こ

れ ら

よ り

 (3.3)

と 表 わ せ る か ら,fはmn個 mn個

の 実 数(a11,a12,…,amn)が

が 上 の(3.1)(3.2),(3.3)に   な お,こ

の と き

の 実 数(a11,a12,…,amn)に

よ っ て 定 ま る.逆

任 意 に 与 え ら れ た と き,線 よ っ て 定 義 さ れ る.

形 写 像 .f:L1→L2

に,

で あ る か ら,xの

座 標(x1,x2,…,xn)とy=f(x)の

座 標(y1,y2,…,ym)の

に 次 の 関 係 式 が 成

り立 つ

  一 般 に,mn個

の 数aij(1,2,…,m;j=1,2,…,n)を

ら べ た 表 を(m,n)型

間

次 の よ うに 長 方 形 に な

の 行 列 と い う.

  (3.4)

  と く に,(3.3)の(a11,a12,…,amn)を(3.4)の 像f:L1→L2の

行 列 表 示 と い う.

  か く て,n次

元 線 形 空 間L1とm次

き,L1か

らL2へ

元 線 形 空 間L2の

の 線 形 写 像 と(m,n)型

  行 列(3.4)を1つ

の 文 字Aで

を 行 列Aの(i,j)成

分 と い う.成

と く に,上

か らi番

目 の 行 を 第i行,左

  (n,n)型

の 行 列 をn次

(i,j)成

分 がajiで

  (m,n)型

の2つ

表 わ し,ま

た(aij)と

か らj番

行 列 をAの

の 行 列B=(bij)に

対 し,(l,n)型

て の 並 び を 列 と い い,

目 の 列 を 第j列

と い う.

行 列A=(aij)に

対 し,

転 置 行 列 と い う. 対 し,(m,n)型

定 義 し ,ま た 行 列A=(aij)と 定 義 す る.さ

対 応 す る.

略 記 す る こ と も あ る.aij

分 の 横 の 並 び を 行,た

の 行 列A=(aij),B=(bij)に

型 の 行 列sA=(cij)をcij=saijで

基 底 が 与 え られ た と

の 行 列 と は1対1に

の 正 方 行 列 と い い,(m,n)型

あ る(n,m)型

=(cij)をcij=aij+bijで

と(m,n)型

よ うに な ら べ た 行 列 を 線 形 写

実数sに

ら に,(l,m)型 の 行 列C=(cij)を

の 行 列A+B 対 し,(m,n) の 行 列A=(aij)

で 定 義 し,CをABで

表 わ し て,行

列AとBの

  線 形 空 間 の 基 底 を 任 意 に 固 定 す る と き,線 が そ れ ぞ れA,Bな

ら ば,明

る.ま

た,線

ば,合

成g°f:L1→L3の

  な お,恒

形 写 像f,g:L1→L2の

らか に,f+g,sfの

形 写 像f:L1→L2,g:L2→L3の 行 列 表 示 はBAで

m次

れ をEで

元 線 形 空 間L1か

る 集 合 はmn次

行 列 表 示 はA+B,sAで

あ

行 列 表 示 が そ れ ぞ れA,Bな

ら

分 が1で

他 の 成 分 は0で

位 行 列 と い う.

らn次

元 線 形 空 間L2へ

の線形 写像 全 体 のつ く

線 形 写 像 と し,そ

長 さ を 保 つ 写 像(各x∈Rnに

の 標 準 基 底 に 関 す る 行 列 表 示 をAと 対 し‖f(x)‖=‖x‖

が 成 り立 つ 写 像)

で あ る た め に は,tAA=Eの

成 り立 つ こ と が 必 要 十 分 で あ り,こ

全 単 射 で あ る こ と を 示 せ.こ

こ にtAはAの

=Eを

み た す 行 列Aを

  問4 

行 列Aに

とAの

積SA(ま

対 し 次 の(ⅰ)―(ⅲ)の た はAS)を

  (ⅱ) 

あ る 行(ま

た は 列)に0で

  (ⅲ) 

あ る 行(ま

た は 列)に

た は 列)を

線 形 写 像f:L1→L2に

  定 理3.5 

fで

転 置 行 列 を 表 わ す.(一

般 にtAA

表 わ す.ま

各 操 作 を 行 な うに は,あ

つ く れ ば よ い.こ

2つ の 行(ま

い い,rank

の と き,fは

直 交 行 列 と い う.)

  (ⅰ) 

  3.2.3 

あ る正 方

元 の 線 形 空 間 を つ く る こ と を 示 せ.

  問3 f:Rn→Rnを す る.fが

表 わ し,単

行 列表示

あ る こ と が 容 易 に 示 さ れ る.

等 写 像 の 行 列 表 示 は,各(i,i)成

行 列 で あ る.こ   問2 

積 と い う.

求 め よ.

と りか え る. な い 数 を 掛 け る.

他 の あ る 行(ま 対 し,線

た は 列)の

形 空 間f(L1)の

たf−1(0)をfの

線 形 写 像f:L1→L2に

の よ う なSを

る 行 列S

定 数 倍 を 加 え る. 次 元 をfの

階数 と

核 と い う.

対 し,

rank f+dim(f−1(0))=dim

L1

が 成 り立 つ.   証 明  f−1(0)はL1の

線 形 部 分 空 間 で あ る か ら,{υ1,υ2,…,υd}をf−1(0)

の 基 底 と し,{υ1,…,υd,υd+1,…,υn}をL1の {f(υd+1),…,f(υn)}がf(L1)の れ る.

基 底 と す る(定

基 底 で あ る こ と を 示 せ ば,求

理3.4参

照).

め る結 果 が 得 ら

  y∈f(L1)を

任 意 の 元 と す る.こ

+…+xnυn(xi∈R)と =0で

の と き,y=f(x)(x∈L1)で

あ る が,x=x1υ1

す れ ば,y=x1f(υ1)+…+xnf(υn)でf(υ1)=…=f(υd)

あ る か ら ,y=xd+1f(υd+1)+…+xnf(υn).ゆ

え にf(L1)=L(f(υd+1),

… ,f(υn)).   xd+1f(υd+1)+…+xnf(υn)=0と =0で

し よ う.こ

あ る か ら ,xd+1υd+1+…+xnυnはf−1(0)に

と 表 わ せ る.ゆ

の と きf(xd+1υd+1+…+xnυn) 属 し,従

え に 

っ てa1υ1+…+adυd と こ ろ がυ1,…,

υnは 線 形 独 立 で あ る か ら,xd+1=…=xn=0.よ

っ てf(υd+1),…,f(υn)は

独 立 で あ る. 

線形 (証終)

  系  f:L1→L2を

線 形 写 像 と す る.

  (ⅰ) 

rank

f=dim

L2はfが

全 射 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 で あ る.

  (ⅱ) 

rank f=dim

L1はfが

単 射 で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 で あ る.

  (ⅲ)  rank

f=dim

L1=dim

L2はfが

線 形 空 間 の 同 型 写 像 で あ るた め の

必 要 十 分 条 件 で あ る.   問5 

線 形 空 間Lの

線 形 部 分 空 間L′

に よ る 商 空 間 の 次 元 はdim L-dim

で あ る こ と を 示 せ.   問6 

Lを

線 形 空 間 と し,L1,L2を dim

L1+dim

が 成 り立 つ こ と を 示 せ.こ

  3.3    3.3.1 

行

列

そ の 線 形 部 分 空 間 と す る と き,

L2=dim

こ にL′

L′+dim(L1∩L2)

はL1∪L2で

張 ら れ る 線 形 部 分 空 間.

式

正 方行 列

に 対 し,次 式 で 与え られ る数 をdet Aで

表 わ し,Aの

行 列 式 とい う:

L′

こ こ に,和

は{1,2,…,n}の

in)はij>ikか

つj
す べ て の 順 列 に わ た っ て と る も の と し,ν(i1,i2,…, あ る よ う な(j,k)の

個 数 を 表 わ す.

  (a11,a21…,an1),…,(a1n,a2n,…,ann)をn次 で 表 わ し,ま

元 数 ベ ク ト ル と み てa1,…,an

た,(a11,a12,…,a1n),…,(an1,an2,…,ann)をn次

と み てa1′,…an′

で 表 わ す と き,det

元 数 ベ ク トル

Aは

また は

と も書 か れ る.   例1

 例2

  n次

元 数 ベ ク トルa1,…,an,bと

実 数sに

対 し,次

の(Ⅰ)‐(Ⅲ)の

こ と は 定 義 よ り容 易 に 示 さ れ る.   (Ⅰ)

  (Ⅱ)

  (Ⅲ)

こ こ に(i1,i2,…,in)は(1,2,…,n)の   こ れ ら よ り,次

  (Ⅳ) 

  (Ⅴ)

の(Ⅳ),(Ⅴ)が

な らば

任 意 の 順 列 と す る. み ち び か れ る.

成 り立 つ

  実 際, 

な ら ば,(Ⅲ)に

で あ る か ら,(Ⅳ)が   (Ⅳ),(Ⅴ)よ

成

り 立 つ.(Ⅴ)は(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅳ)に

り さ ら に 次 の(Ⅵ)が

  (Ⅵ)  a1,a2,…,anが

よ りdet(a1,…,an)=−det(a1,…,an) よ る.

み ち び か れ る.

線 形 従 属 な ら ば,det(a1,a2,…,an)=0.

  行 列 式 の 定 義 よ り,容

易 に

が 示 さ れ るか ら,(Ⅰ)に

対 応 して

  (Ⅰ)′

が 成 り立 つ.(Ⅱ)‐(Ⅴ)に   行 列A=(aij)が

つ い て も 同 様 な(Ⅱ)′‐(Ⅴ)′ が 成 り立 つ.

与 え られ た と き,そ れ か ら任 意 にr個

っ て つ く った 正 方 行 列 の 行 列 式 を,Aのr次   n次 の 正 方 行 列A=(aij)にお n−1次

の小 行 列 式 が 得 られ る.こ

い て,第i行

  (Ⅶ)

  (Ⅷ)

 例3

の(Ⅷ)が

得 ら れ る.

の列 を と

の 小 行 列 式 とい う. と 第j列

を 除 く こ とに よ っ て

れ をΔijで 表 わ す と き,行

次 式 の成 り立 つ こ とが 示 さ れ る.

  (Ⅳ)  よ り,次

の 行 とr個

列 式の 定義 よ り

に 対 し,det

Aを

求 め

よ う.a1=(x12+…+xn2,0,…,0),…,an=(0,…,0,x12

+…+xn2),b=(x1,x2,…,xn)と …

,an−2xnb)と

お な

る.従

く と き,det

A=det(a1−2x1b,a2−2x2b,

っ て,(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅳ)を

用 い て, 

が 得 ら れ る.と 定 義 に

よ

こ ろ が,

り,det(a1,a2,…,an)=(x12+…+xn2)n,det(a1,…,ai−1,b,ai+1,…,

an)=xi(x12+…+xn2)n−1で

あ る か det

ら,

A=−(x12+…+xn2)n.

  問1

を 示 し,こ …+xnyn)2を   問2 

れ よ り シ ュ ワ ル ツ の 不 等 式{x12+…+xn2)(y12+…+yn2)≧(x1y1+ み ち び け. Rnのm個

の ベ ク トルx1,x2,…,xmが

線 形 独 立 で あ るた め に は

の 成 り立 つ こ とが 必 要 十 分 で あ り,こ の と き,こ の 行 列 式 は 正 で あ る こ と を 示 せ.   3.3.2  性 質(Ⅶ)に か に0で

よ り,任 意 の行 列Aに

な い も の が あれ ば,Aの(k−1)次

対 し,Aのk次

の小 行 列式 の な

の 小 行 列 式 の な か に0で

な い もの

が あ る.   こ の こ と よ り,行 列Aに か る:r次

の 小 行 列 式 で0で

対 し,次

の よ うな 数rが

一 意 的に 定 まる ことがわ

な い も の が 存 在 す る が,r+1次

の小行 列 式 はすべ

て0で

あ る.

  こ のrを

行 列Aの

  定 理3.6  L1,L2の

階 数 と い い,rank

L1,L2を

行 列 表 示 をAと

基 底{υ1,υ2,…,υn}とL2の

列 表 示 をA=(aij)と   (第1段) 

表 わ す.

有 限 次 元 線 形 空 間 と し,f:L1→L2を

任 意 の 基 底 に 関 す るfの

  証 明   L1の

Aで

し,r=rank

fと

線 形 写 像 と す る.

す る と き,rank

基 底{u1,u2,…,um}に

のm次

A.

関 す るfの

行

す る.

a1=(a11,a21,…,am1),…,an=(a1n,a2n,…,amn)と

は こ れ らn個

f=rank

元 数 ベ ク トルa1,…,anの

す る と き,r

うち 線 形 独 立 な もの の 最 大 数

に 等 し い こ と を 示 そ う.   定 義 に よ りr=dim

L(f(υ1),f(υ2),…,f(υn))で

あ る か ら,定

 な ら ば  り,ま

た,定 理3.2に

よ り,あ

よ り,

は 線形従 属 で あ

る 

は 線 形 独 立 で あ る.と

理3.3に

に 対 し 

こ ろ が,

は と 同 値 で あ る か ら,す aλr+1∈Rmは

べ て の 

線 形 従 属 で あ り,ま

てaλ1,aλ2,…,aλr∈Rmは   (第2段) 

に 対 し てaλ1,aλ2,…, た,あ

る 

に 対 し

線 形 独 立 で あ る.

det(b1,b2,…,br+1)をAの

任 意 のr+1次

の 小 行 列 式 と し よ う.

b1=(aμ1λ1,aμ2λ1,…,aμr+1λ1),…,br+1=(aμ1λr+1,aμ2λr+1,…,aμr+1λr+1)と 1段

で 示 し た よ う にaλ1,aλ2,…,aλr+1∈Rmは

も 線 形 従 属 で あ る.従 が 成

っ て,行

す る と き,第

線 形 従 属 で あ る か ら,b1,b2,…,br+1

列 式 の 性 質(Ⅵ)に

よ り,det(b1,b2,…,br+1)=0

り 立 つ.

  (第3段) 

第1段

で 示 し た よ う に,a1,a2,…,anの

中 に はr個

の 線 形 独 立 な

も の が 存 在 す る か ら,行

の 番 号 を つ け か え る こ と に よ り,a1,a2,…,arが

独 立 と 仮 定 し て よ い.い

ま,行

え る と い う 操 作 をAに

線 形

の と りか え と あ る 列 に 他 の あ る 列 の 定 数 倍 を 加

行 な う こ と に よ り,は

じ め のr行

とr列

の つ く る小 行

列 式 が0で よ り,こ

な い よ う に 変 形 で き る こ と を 示 そ う.行 れ はAのr次

す か ら,第2段   r=0の

の 小 行 列 式 の な か に0で

で 示 し た こ と と 合 わ せ て,r=rank

と き は 定 理 は 明 ら か で あ る か ら,r≧1と

あ る か ら,a11,a21,…,am1の り 

と し て よ い.い

え よ う.こ

ない ものが 存在 す る ことを示 Aが

得 ら れ る.

す る.こ

の と き, 

な い も の が あ る が,行

ま,第i列(i=2,3,…r)に

第1列

こ ろ が,a1,a2は

で な い も の が あ る.従 列(i=3,…,r)に

の と りか え に よ の−a1i/a11倍

線 形 独 立 で あ る か ら,b22,…,bm3の

っ て 行 の と りか え に よ り 

第2列

の 形 に な る.と

の−b2i/b22倍

を 加 え よ う.こ

ころ が,a1,a2,a3は

と し て よ い.い

ま,第i

の と きA1は

なか

な い も の が あ る.よ っ て 上 と 同様 な 操 作 を行 な う こ と が で き る.こ

う)対 角 線 上 の 成 分 は0で 得 られ る.こ

な く,対

を と る と き,(左

の 行 列 の は じめ のr行r列

  行 列 式 が0で

のこ

上 か ら右 下 へ 向

角 線 の 右 上 の 成 分 はす べ て0で の つ く る 小 行 列 式 は0で

これ で 求 め る結 果 が 示 され た. 

  定 理3.7 

を加

な か に0

線 形 独 立 で あ るか ら,c33,…,cm3の

とを つ づ け る こ とに よ り,は じめ のr行r列

る.こ

で

の と きAは

の 形 に な る.と

に0で

な か に0で

列 式 の 性 質(Ⅲ)′,(Ⅴ)に

あ る行 列 が な い か ら, (証終)

な い 正 方 行 列 を 正 則 行 列 とい う.

L1,L2をn次

元 線 形 空 間 と し,そ れ らの 基 底 が 与 え ら れ た とす

の と き,線 形 写 像f:L1→L2は

そ の 行 列 表 示A=(aij)が

正 則行 列 の と

き しか もそ の と きに 限 り同 形 写 像 で,逆 写 像f−1:L2→L1の

で 与 え ら れ る.こ

こ にΔjiはAの

第j行,第i列

行列 表 示 は

を除 い てで き る 小 行 列式 を

表 わ す.   証 明   前 半 は 定 理3.5の

系 と 定 理3.6に

よ る.行

列 式 の 性 質(Ⅶ),(Ⅷ)に

よ り,

(こ こ に 

従 っ てbij=(−1)i+jΔji/det

が 成 り立 つ.こ

Aに

対 し,

れ はABもBAも

単 位 行 列 で あ る こ と を 示 し て い る か ら,B

はf−1の

行 列 表 示 で あ る. 

(証 終)

  問3 

x1,…,xnに

関 す る 実 数 係 数 の 連 立1次

ai1x1+ai2x2+…+ainxn=bi  が 解 を も つ た め に は,次

の2つ

方程 式 (i=1,…,m)

の行 列 の 階 数 が 一 致 す る こ とが 必 要 十 分 で あ る

こ と を 示 せ:

こ の 階 数 をrと

す る と き,上

点 の つ く る 集 合 はRnのn−r次   問4  (n−k,n)型

PをRnのk次

の 方 程 式 の 解 空 間,す

な わ ち,解

元 ア フ ィ ン 部 分 空 間 で あ る こ と を 示 せ.

元 ア フ ィ ン 部 分 空 間 と す る と き,階

の 行 列(aij)とn−k個 ai1x1+ai2x2+…+ainxn=bi 

の 解 空 間 と な る こ と を 示 せ.

を 座 標 とす る

の 実 数biが

存 在 し,Pは (i=1,2,…,n−k)

数 がn−kで 連 立1次

ある 方程 式

  問5 

Rnのn+1個

の 点ai=(ai1,ai2,…,ain)(i=0,1,…,n)が

同 一 のn−1

次 元 ア フ ィ ン部 分 空 間 に 属 す る こ と と

と は 同 値 な 条 件 で あ る こ と を 示 せ.   3.3.3 

直 線 や 平 面 の 場 合,そ

概 念 を 抽 象 化 し て,一   Lをn次

般 に,線

お い て,υ1,υ2,…,υnの

(υ1,υ2,…,υn)で 表 わ し,順

基 底 と す る.{υ1,

な ら ぶ 順 序 も 考 慮 に い れ た と き,こ

序 づ け ら れ た 基 底 と い う.従

υ2,…,υn)と(υ2,υ1,…,υn)と

の

形 空 間 の 向 き を 次 の よ う に 定 義 す る.

元 線 形 空 間 と し(n≧1),{υ1,υ2,…,υn}をLの

υ2,…,υn}に

  Lの

の 上 に 向 き と い う概 念 が 考 え られ る が,こ

っ て,た

れ を

と え ば,(υ1,

は 異 な っ た も の と 考 え る.

順 序 づ け ら れ た 基 底(υ1,υ2,…,υn),(υ1′,υ2′,…,υn′)を 任 意 に2つ

とる

と き,

な る 関 係 が あ る が,det(aij)>0の 同 値 で あ る と 定 義 す る.こ

と き,(υ1,υ2,…,υn)と(υ1′,υ2′,…,υn′)は

の と き,こ

の 関 係 は 同 値 関 係 で あ り,さ

ら に,Lの

順 序 づ け ら れ た 基 底 の つ く る 集 合 を こ の 同 値 関 係 に よ り同 値 類 に 分 け た と き, 2つ の 同 値 類 の 得 ら れ る こ と が,行 同 値 類 の お の お の を 線 形 空 間Lの 向 き を も つ が,そ 間Lに

列 式 の 性 質 よ り容 易 に 示 さ れ る.こ 向 き と い う.従

っ て,線

形 空 間Lは2つ

の 一 方 を μ で 表 わ し た と き,他

方 を−

μ で 表 わ す.線

お い て そ の 向 き を 指 定 し た と き,Lを

そ の 指 定 さ れ た 向 き を 正 の 向 き,他   な お,向

の 形空

向 き づ け ら れ た 線 形 空 間 と い い,

の 向 き を 負 の 向 き と い う.

き づ け られ た 線 形 空 間Lに

お い て,順

の 同 値 類 が 正 の 向 き の と き(υ1,…,υn)を … ,υn)を 負 の 基 底 と い う.

れ らの

序 づ け ら れ た 基 底(υ1,…,υn)

正 の 基 底 と い い,そ

う で な い と き(υ1,

  {e1,e2,…,en}を

線 形 空 間Rnの

基 底 と な る よ う なRnの   Rnに

向 き をRnの

の 順 列(i1,…,in)に

奇 数 な ら ば 負 の 基 底 で あ る.ま

2の 場 合,Rnの

  L1,L2を

向 き づ け ら れ たn次

の と き,L1の

の こ と が 成 り立 つ こ と は 容 易 に 示 さ れ る.こ

  な お,向

く に,n=1,

印 で 与 え ら れ る.

同 形 写 像 とす

対 し て(f(υ1),f(υ2),…,

任 意 の正 の基 底 につ い て も同様 の 場 合fは

向 き を 保 つ と い い,そ

向 き を か え る と い う.

き づ け られ た 線 形 写 像fに

対 し て はsign

っ て,と

元 線 形 空 間 と し,f:L1→L2を

一 つ の 正 の 基 底(υ1,υ2,…,υn)に

任意

偶 数 な らば 正 の 基

の 図 の よ う に,矢

正 の 基 底 と な る な ら ば,L1の

う で な い と きfは

た,{1,2,…,n}の

奇 数 な ら ば 負 の 基 底 で あ る.従

標 準 的 な 向 き は,下

f(υn))がL2の

偶 数 な らば

対 し,(ei1,ei2,…,ein)はν(i1,…,in)が

底 で あ り,ν(i1,…,in)が

正 の

標 準 的 な 向 き と い う.

標 準 的 な 向 き を 与 え た と き,(−e1,−e2,…,−en)はnが

正 の 基 底 で あ り,nが

る.こ

標 準 基 底 と す る と き,(e1,e2,…,en)が

f=1,向

き を か え るfに

対 し,整

数sign

対 し て はsign

fを,向 f=−1と

き を 保 つfに し て 定 義 し,f

の 符 号 と い う.   L1,L2の

正 の 基 底 を と り,こ

れ ら の 基 底 に 関 す るfの

行 列 表 示 をAと

す る

と き, sign f=det が 成 り立 ち,ま

た,同

A/￨det A￨

形 写像 の 合成 に 関 し sign(g°f)=(sign

g)(sign

f)

が 成 り立 つ こ と は 容 易 に 示 さ れ る.

  3.4    3.4.1 

ノル ム 空 間 数 ベ ク トル 空 間Rnで

は,各

ベ ク トルxに

対 し て 長 さ‖x‖=(x12+

…+xn2)1/2が

定 義 さ れ,ま

+…+xnynが

定 義 さ れ た.

  長 さ‖‖

た,2つ

の ベ ク トルx,yに

に 関 し て は 次 の(N1)-(N3)が

成 り立 つ:

と な る の はx=0の

 (N1) 

対 し て 内 積 〈x,y〉=x1y1

と き,し

か も そ の と き に 限 る.

 (N2)  (N3)   ま た,内

積 〈,〉

に 関 し て は 次 の(I1)-(I3)が

  (I1)  〈x,x〉 ≧0で,〈x,x〉=0と

成 り立 つ:

な る の はx=0の

と き し か も そ の と き に 限 る.

  (I2)  〈x,y〉=〈y,x〉.   (I3)  〈x1+x2,y〉=〈x1,y〉+〈x2,y〉,〈sx,y〉=s〈x,y〉(s∈R).   一 般 に,線 の 像 を‖x‖

形 空 間Lに

で 表 わ す と き,上

空 間 と い い,‖x‖   ま た,線

をxの

形 空 間Lに

い て,(x,y)∈L×Lの な ら ば,Lは

お い て,Lか

らRへ

の(N1)-(N3)が

の 写 像 が 与 え られ て い て,x∈L 成 り立 つ な ら ば,Lを

ノル ム

長 さ ま た は ノ ル ム と い う. お い て,積

集 合L×Lか

らRへ

像 を 〈x,y〉 で 表 わ す と き,上

の 写 像 が 与 え られ て

の(I1)-(I3)が

内 積 を も つ 線 形 空 間 で あ る と い い,〈x,y〉

をxとyの

成 り立 つ 内積 とい

う.   内 積 を も つ 線 形 空 間Lに

お い て,

 (3.5)

と お く と き,Rnの

と き と 同 様,シ

ュ ワル ツ の 不 等 式

 (3.6)

が 成 り立 つ.   実 際,x=0ま

た はy=0の

と き は 明 らか で あ る か ら, 

この とき

(複 号 同 順) で あ る か ら,(3.6)が

得 ら れ る.

と す る.

  (3.6)を

用 い る と き,内

よ り,ノ

積 を も つ 線 形 空 間 は,(3.5)を

ノル ム とす る こ とに

ル ム 空 間 で あ る こ と が 容 易 に 示 さ れ る.

  内 積 を も つ 線 形 空 間Lで

は,x,y∈Lに

を み た す θ が 存 在 す る.こ

の θ をxとyの

の と きxとyは

元 線 形 空 間Lの

よ り,

な す 角 と い う.と

直 交 す る と い い,x⊥yと

  内 積 を もつn次 ば,(aij)は

対 し,(3.6)に

く に 〈x,y〉=0

書 く.

基 底{υ1,…,υn}に

対 し,aij=〈υi,υj〉 と お け

正 則 行 列 で あ る.

  実 際,

に 対 し て 

な ら ば,  わ ちx1=…=xn=0が   例1 

得 られ る.ゆ

で あ る か ら,x=0す

数 ベ ク トル 空 間Rnに

え に(aij)は

な

正 則 行 列 で あ る.

お い て, ‖ x‖=max(￨x1￨,…,￨xn￨)

また は ‖ x‖=￨x1￨+￨x2￨+…+￨xn￨ と し て も ノ ル ム が 得 ら れ る.   例2 

集 合Xで

お い て,ノ

  例3 

ル ム が 次 式 で 定 義 さ れ る:

閉 区 間[0,1]で

C([0,1])に

  問1  と き,L0の

定 義 さ れ た 有 界 実 数 値 関 数 全 体 の つ く る 線 形 空 間B(X)に

定 義 され た 実 数 値 連 続 関 数 全 体 の つ く るベ ク トル 空 間

お い て,内 積 が 次 式 で 定 義 さ れ る:

Lは

内 積 を も つ 線 形 空 間 で,L0はLの ど の ベ ク トル に も 直 交 す るLの

く る 集 合 をL0⊥

で 表 わ す.L0⊥

をL0の

線 形 部 分 空 間 と す る.こ ベ ク トル を 考 え,そ

直 交 補 空 間 と い う.L0⊥

の

れ ら全 体 のつ はLの

線形部

分 空 間 で あ る こ と を 示 せ.   問2 

Lは

内 積 を も つn次

… ,υnで,各i,jに と を 示 せ.(こ   問3 

Lは

f:L→Rに

元 ベ ク トル 空 間 と す る.こ

対 し 

の と き,Lの

基 底υ1,

をみ たす ものが存 在 す る こ

の よ う な 基 底 を 正 規 直 交 基 底 と い う.) 内 積 を も つ 有 限 次 元 線 形 空 間 と す る.こ 対 し,f(x)=〈x,a〉(x∈L)を

の と き,任

み た すa∈Lが

意 の線 形写像

存 在 し,そ

れ は一 意

的 に 定 ま る こ と を 示 せ.   3.4.2 

ノ ル ム 空 間Lに

で 定 義 す れ ば,dは

対 し,d:L×L→Rを

距 離 関 数 で,

d(x+z,y+z)=d(x,y), 

d(sx,sy)=￨s￨d(x,y)

の 成 り立 つ こ と は 直 ち に 示 さ れ る.ノ

ル ム 空 間 は つ ね に こ の よ うに し て 距 離 空

間 と 考え る も の とす る.   ノ ル ム 空 間Lの

ノ ル ム に 対 し,次

の 不 等 式 が 成 り立 つ:

  (3.7)

  実 際, 

で あ り,同 で あ る か ら,(3.7)が

  (3.7)よ

り,x∈Lを‖x‖

∈Rに

様 に 

得 ら れ る.

うつ す 写 像‖‖:L→Rは

連 続写 像 で あ る

こ と が わ か る.   ノ ル ム 空 間 に お け る 和 お よ び ス カ ラ ー 倍 も 連 続 で あ る.す L×Lをx+y∈Lに つ す 写 像 τ:R×L→Lは

うつ す 写 像

σ:L×L→L,(s,x)∈R×Lをsx∈Lに

と も に 連 続 で あ る.

  こ れ ら は 次 式 よ りた だ ち に 示 さ れ る.

な わ ち,(x,y)∈ う

  定 理3.8  KのLに

Lを

ノ ル ム 空 間 と し,Kを

お け る 閉 包KもLの

連 続 で, 

に よ り 

.と

で あ る か ら, 

.よ

  上 の τ:R×L→Lに

こ ろ が 定 理1.12に

よ り,K×K=K×K

ら ばx+y∈K.

対 し,sx∈K.

線 形 部 分 空 間 で あ る. 

  線 形 写 像 の 連 続 性 に 関 し,次   定 理3.9 L,L′

理1.13

様 に, 

が 成 り立 つ か ら,s∈Rとx∈Kに

の3条

で あ る か ら,定

っ て,x,y∈Kな

対 し,同

  よ っ て,KはLの

の と き,

線 形 部 分 空 間 で あ る.

  証 明   上 の σ:L×L→Lは

き,次

そ の 線 形 部 分 空 間 と す る.こ

(証 終)

の 定 理 が 成 り立 つ.

を ノ ル ム 空 間 と し,f:L→L′

は 線 形 写 像 と す る.こ

のと

件 は た が い に 同 値 で あ る.

  (ⅰ)  fは 連 続 写 像 で あ る.   (ⅱ)  fは0∈Lに

お い て 連 続 で あ る.

  (ⅲ)  あ る 正 数cが

存 在 し て,す

べ て のx∈Lに

対 し, 

が成

り立 つ.   証 明   (ⅰ)⇒(ⅱ),(ⅲ)⇒(ⅱ)は   (ⅱ)⇒(ⅰ).x∈Lと {xn−x}は0に

し,{xn}をxに

収 束 す るLの

−x)}はf(0)=0に

各 点xに

  (ⅱ)⇒(ⅲ).(ⅲ)が に 対 し,Lの

点 列{yn}を

の と き,

の 点 列{f(xｎ

あ る か ら,L′

の点

の 点 列{f(xn)}はf(x)に

収束

お い て 連 続 で あ る.

存 在 し て, 

お き,Lの

Lを

っ てL′

点 列 と す る.こ

定 に よ り,L′

成 り立 た な い と 仮 定 し よ う.こ

点xnが

な る か ら,(ⅱ)が   補 題1 

点 列 で あ る か ら,仮

収 束 し,従

っ て,fはLの

(n‖xn‖)と

収 束 す るLの

収 束 す る .f(xn)−f(x)=f(xn−x)で

列{f(xn)−f(x)}は0に す る.よ

明 ら か.

の と き,任

が 成 り 立 つ.い 考 え れ ば, 

ま,yn=xn/

か つ 

成 り立 た な い.  ノ ル ム 空 間 と す る と き,任

意 の 自然数n

と (証 終)

意 の 線 形 写 像f:Rn→Lは

連 続写

像 で あ る.   証 明   x∈Rnと

し,x(1),x(2),…,x(k),…

をxに

収 束 す るRnの

点 列 と す る.

こ の と き,Rnの

標 準 基 底{e1,e2,…,en}に

対 し,

で あ る か ら,

と こ ろ が,仮 か ら,上

定 よ り,数

列 

はxiに

収 束 す る こ とが わ か る

の 不 等 式 は 点 列f(x(1)),f(x(2)),…f(x(k)),…

と を 示 し て い る.よ

っ てfはRnの

  ノ ル ム 空 間 の 次 元 と は,線   定 理3.10  か らRnの

Lを

各 点xに

がf(x)に

お い て 連 続 で あ る. 

(証終)

形 空 間 と し て の 次 元 を 意 味 す る も の と す る.

有 限 次 元 ノ ル ム 空 間 と し,dimL=nと

写 像hで,そ

収束するこ

す る.こ

の と き,L

れ は 線 形 空 間 の 同形 写 像 で あ る と 同 時 に 距 離 空 間 の 同

相 写 像 で あ る も の が 存 在 す る.   証 明   {υ1,υ2,…υn}をLの

基 底 と す る.y∈Lは

y=x1υ1+x2υ2+…+xnυn 

一 意的 に

(x1,…,xn∈R)

と 表 わ さ れ る か ら,写

像h:L→Rnをh(y)=x=(x1,x2,…,xn)に

す る.明

線 形 空 間 の 同 形 写 像 で あ る.ま

ら か に,hは

は 連 続 写 像 で あ る.従   hが

っ て,hが

が 成 か ら,Sn−1の …

で

,Sn−1の

る と き,h−1は

っ てhは

理3.9に と 正 数

り 立 つ.zk=yk/‖h(yk)‖

り 立 つ.と

こ ろ が,単

点 列h(z1),h(z2),…,h(zk),…

題1に

よ り,h−1

よ り,hは0に

おい て

ε が 存 在 し,  と お く.こ

位 球 面Sn−1は

の と き 

コ ン パ ク トで あ る

の 部 分 列h(u1),h(u2),…,h(uk),

点 に 収 束 す る も の が 存 在 す る.こ

の 極 限 点 をh(u)(u∈L)と

連 続 で あ る か ら,u1,u2,…,uk,…

はuに

の 部 分 列 で あ る か ら,  る.よ

の と き,定

点 列y1,y2,…,yk,… が 成

た,補

連 続 で あ る こ と を 示 せ ば よ い.

連 続 で な い と 仮 定 し よ う.こ

連 続 で な い か ら,Lの

よって定 義

連 続 で あ る. 

で あ る が, 

す

収 束 す る.{uk}は{zk}

で あ る か ら,こ

れ は 矛 盾 で あ (証 終)

  定 理3.11 

L,L′

を ノ ル ム 空 間 と し,Lは

意 の 線 形 写 像f:L→L′ て のx∈Lに

は 連 続 写 像 で,従

対 し 

Lを

理3.10お

よ び 補 題1に

線 形 空 間 と し,Lに2個

こ れ ら の ノ ル ム に よ りLを L2が

っ て,あ

る 正 数cが

の と き,任

存 在 し て,す

べ

が 成 り立 つ.

  証 明   定 理3.9,定   問4 

有 限 次 元 と す る.こ

よ る. 

(証 終)

の ノ ル ム‖‖1,‖‖2が

与 え ら れ た と す る.

距 離 空 間 と し た も の をL1,L2と

同 相 で あ る た め に は,正

数c,c′

す る と き,L1と

が 存 在 し て,各x∈Lに

対 し 

の 成 り立 つ こ と が 必 要 十 分 で あ る こ と を 示 せ.   3.4.3 

ノ ル ム 空 間Lを

(Banach)空

間 と い う.

  定 理3.12 

こ の と き,正

元 ノ ル ム 空 間 と し,h:L→Rnを

数cが

存 在 し て,す

い ま,x1,x2,…,xk,…

をLの

然 数Nが

はRnの

っ てLは

  次 の 系 は 定 理2.17の(ⅰ)に

ら ば,そ   3.1の

例2で

  集 合Xと

完備 で あ る

連 続 で あ る か ら,x1,x2,…,xk,…

は (証 終)

線 形 部 分 空 間 と す る.Kが

有 限 次元 な

閉 集 合 で あ る.

ノ ル ム 空 間Lが

よ びB(X)は

次 の よ うに 拡 張 さ れ る.

与 え ら れ た と き,Xか

表 わ す.f,g∈

(f+ｇ)(x)=f(x)+g(x),  で 定 義 す れ ば,明

基 本 列 で あ る.Rnは

よ る.

述 べ たF(X)お

集 合 をFL(X)で

義

が 成 り立 つ.hは

完 備 で あ る. 

ノ ル ム 空 間 と し,KをLの

れ はLの

を 与 え ら れ た 正 数 と す る.定

と き 

が 存 在 す る.h−1は

  系   Lを

が 成 り立 っ.

とき

ゆ え に,h(x1),h(x2),…,h(xk),…

収 束 す る.よ

写 像 と す る.

対 し 

基 本 列 と し,ε

存 在 し,k,l≧Nの

か ら, 

定 理3.10の

べ て のxに

線 形 写 像 で あ る か ら,k,l≧Nの

h−1(y)に

バ ナ ッハ

有 限 次 元 ノ ル ム 空 間 は バ ナ ッ ハ 空 間 で あ る.

  証 明   Lをn次

に よ り,自

距 離 空 間 と み た と き 完 備 な ら ば,Lを

らか にFL(X)は

ＦL(X),s∈Rに

らLへ

の写像 全体 のっ くる

対 し,f+g,sf∈FL(X)を

(sf)(x)=s(f(x))  線 形 空 間 と な る.

(x∈X)

  写 像f:X→Lは

像f(X)がLの

有 界 集 合 の と き,す

 が 上 に 有 界 の と き,有 な 写 像 全 体 の つ く る 集 合 をBL(X)で に 対 し,f+g,sf∈BL(X)で FL(X)の

な わ ち,実

界 で あ る と い う.Xか

表 わ す.こ

らLへ

の有 界

の と き,f,g∈BL(X),ｓ

あ る こ と は 容 易 に 示 さ れ る.従

線 形 部 分 空 間 で あ る.さ

数 の 集合

∈R

っ てBL(X)は

ら に,BL(X)は

を ノ ル ム と し て ノ ル ム 空 間 に な る こ と も 容 易 に 示 さ れ る.   L=Rに

対 す るFL(X),BL(X)が

  定 理3.13 

Lが

前 に 述 べ たF(X),B(X)で

バ ナ ッ ハ 空 間 の と き,任

意 の 集 合Xに

あ る. 対 し,BL(X)は

バ

ｎ,… をBL(X)の

基

ナ ッ ハ 空 間 で あ る.   証 明   BL(X)は 本 列 と す る.定 m,n≧n0な

完 備 で あ る こ と を 示 そ う.f1,f2,…,ｆ 義 に よ り,正

ら ば,す

数 εが 与え ら れ た と き,自

ゆ え に,各x∈Xに

べ て のx∈Xに

対 し て 

が 成 り立 つ.

対 し,f1(x),f2(x),…,fn(x),…

は 完 備 で あ る か ら,こ

の 点 列 は 収 束 す る.い

に よ り定 義 す る.各x∈Xと あ る か ら,各x∈Xに

然 数 ｎ0が 存 在 し て,

各n≧n0に

はLの ま,写

基 本 列 で あ る.L

像f:X→Lを 

対 し て, 

対 し て 

で

が 成 り立 つ.よ

っ て,各x∈X

に 対 して

が 成 り立 ち,f∈BL(X).ま f2,…,fn,…

はBL(X)に

た,n≧n0の

  位 相 空 間Xと

  実 際,和 X→Lが

ノ ル ム 空 間Lが

っ てf1, (証終)

与 え ら れ た と き,Xか

らLへ

の連 続 写像 全

表 わ す. 線 形 部 分 空 間 で あ る.

に よ っ て 定 義 され る写 像

σ:L×L→Lは

連 続 な ら ば,f+g=σ°(f,g):X→Lも

与 え ら れ た と き,x∈Lをsx∈Lに f:X→Lが

で あ る.よ

お い て 収 束 す る. 

体 の つ く る 集 合 をCL(X)で   CL(X)はFL(X)の

と き 

連 続 で あ る か ら,f,g: 連 続 で あ る.ま

うつ す 写 像τ:L→Lは

連 続 な ら ば,sf=τ°f:X→Lも

た,実

数sが

連 続 で あ る か ら,

連 続 で あ る.よ

っ て,f,g

∈CL(X)と

ｓ∈Rに

対 し,f+g,sf∈CL(X)が

  Xが

コ ン パ ク トな らば,定

→Lは

有 界 で あ る.従

理2.5と

っ て,こ

成 り立 つ.

定 理2.6に

よ り,任

意 の 連 続 写 像f:X

の と き,CL(X)はBL(X)の

線 形 部分空 間で

あ る.   定 理3.14 

Xを

コ ン パ ク ト位 相 空 間 と す る と き,任

し,CL(X)はBL(X)の

閉 集 合 で,従

っ て,Lが

をCL(X)の

点 列 と し,そ

意 の ノ ル ム 空 間Lに

対

バ ッ ナ ハ 空 間 な ら ば,CL(X)

も バ ナ ッ ハ 空 間 で あ る.   証 明   f1,f2,…,fn,… と 仮 定 す る.定

義 に よ り,正

が 成 り立 つ.x0∈Xを 近 傍Uが

数 εが 与 え ら れ た と き,自

任 意 の 点 と す る.fn0:X→Lは

然 数n0が

収束 す る 存在 して

連 続 で あ る か ら,x0の

存 在 し て,

が 成 り立 つ.従

っ て,x∈Uな

らば

よ っ てg∈CL(X)と

な り,CL(X)はBL(X)の

  後 半 は 定 理3.13と

定 理2.17に

  問5 

れ はg∈BL(X)に

実 数 列{xn}n∈Nで, 

で 表 わ し,そ

閉 集 合 で あ る.

よ る. 

(証終) を み た す も の 全 体 の つ く る 集 合 をl2

こに お い て

と 定 義 す れ ば,l2は

バ ナ ッ ハ 空 間 と な る こ と を 示 せ.

4.  微

  4.1    4.1.1 

分

写 像 の微 分 a∈Rnと

写 像 と す る.こ

し,f:U→RmをaのRnに の と き,線

お け る 近 傍Uで

形 写 像 λ:Rn→Rmが

定義 された

存 在 し て,

 (4.1)

が 成 り立 つ な らば,す し て, 

な わ ち,ど

ん な 正 数 εに 対 し て も適 当 な 正 数 δが 存 在

の とき

と な る な らば,fはaに

お い て 微 分 可 能 で あ る とい う.こ

で あ るか ら,長 さ が 十 分 小 さ い す べ て のh∈Rnに 従 っ てf(a+h)が

こに,Uは

対 し て,a+h∈Uで

開集 合 あ り,

定 義 され て い る こ と に 注 意 す る.

  (4.1)を み た す 線 形 写 像 は 一 意 的 に 定 ま る.実 際,線 形 写 像 μ:Rn→Rmに 対 して

が 成 り立 つ な ら ば, 

で あ る か ら,す   (4.1)を

の と き,実

べ て のx∈Rnに

数sに

対 し λ(x)=μ(x)が

み た す 線 形 写 像 λが 存 在 す る と き,こ

U→Rmのa∈Uに

対 し,

お け る 微 分 と い う.

成 り立 つ.ゆ れ を(df)aで

え に λ=μ. 表 わ し て,f:

  Rnの

開 集 合Uで

能 の と き,fを

定 義 され た 写 像f:U→RmがUの

微 分 可 能 な写 像 とい う.

  線 形 写 像 λ:R→Rに てn=m=1の

各 点に おい て微分 可

対 し て は λ(h)=hλ(1)(h∈R)で

あ るか ら,上 に お い

ときは

で あ る.ゆ

え に,こ

の と き,(4.1)は

と な り,上 の 微 分 可 能 の 定 義 は 周 知 の も の と一 致 す る.ま た,aに 微 分(df)a:R→Rは1を   定 理4.1 

a∈Rnの

分 可 能 で あ れ ば,そ

微 分 係 数f′(a)に 近 傍Uで れ はaに

お け るfの

うつ す 線 形 写 像 で あ る.

定 義 され た 写 像f:U→Rmがaに

お いて微

お い て 連 続 で あ る.

  証 明   仮 定 よ り,任 意 の ε>0に 対 し,δ1>0が

存 在 し て,‖x-a‖<δ1の

と

き

が 成 り立 つ.こ に よ り,す

こ に λ=(df)a:Rn→Rm.λ

べ て のx∈Rnに

で あ る よ う な 実 数cが ‖x−a‖<δ

は 線 形 写 像 で あ る か ら,定 理3.11

対 して

存 在 す る.従

っ て,δ=min(δ1,ε/(2c),1)と

お く と き,

な らば

よ っ てfはaに

お い て連 続 で あ る. 

(証終)

  次 の 定 理 は 定 義 よ り容 易 に 示 さ れ る.   定 理4.2 

(ⅰ)  線 形 写 像f:Rn→Rmは

に 対 し,(df)a=fが

成 り立 つ.

微 分 可 能 な 写 像 で,Rnの

各 点a

ⅱ)

  (ⅱ)  UをRnの 写 像 で,Uの Rnは

開 集 合 とす る.任 意 の 定 値 写 像c:U→Rmは

各 点aに

対 し,(dc)aは

微 分 可 能 な 写 像 で,Uの

  問1 

零 写 像 で あ る.ま た,包

各 点aに

次 の 関 数f:R2→Rは

対 し,(di)aは

連 続 で あ る が,原

微分 可 能 な 含 写 像i:U→

恒 等 写 像 で あ る.

点 で 微 分 可 能 で な い こ とを

示 せ.

  問2 

f:Rn→Rmが

‖f(x)‖ ≦ ‖x‖2(x∈Rn)を

み た す な ら ば,fは

原点で

微 分 可 能 で あ る こ と を 示 せ.   4.1.2 

次 に,写

  定 理4.3  近 傍Vで

像 の 演 算 と 微 分 の 関 係 を 調 べ よ う.

f:U→Rmはa∈Rnの

近 傍Uで,g:V→Rlはf(a)∈Rmの

定 義 さ れ た 写 像 と し,fはaに

能 と す る.こ g°fはaに

の と き,aの

お い て,gはf(a)に

あ る 近 傍U0に

お い て微分 可

お い てg°f:U0→Rlが

定 義 さ れ て,

お い て 微 分 可 能 で あ り, d(g°f)a=(dg)f(a)°(df)a

が 成 り立 つ.   証 明   定 理4.1に

よ り,fはaに

近 傍,Vはf(a)の

近 傍 で あ る か ら,a∈U0⊂U,

開 集 合U0が

存 在 す る.こ

のU0に

お い て 連 続 で あ り,仮

(x∈U0,

f(U0)⊂Vを

対 しg°fが

定 義 さ れ る.

と し,

さ て, 

y∈V)と

お く,こ )  ⅰ

と表 わ さ れ,結 論 は

の と き,仮

定は

定 に よ りUはaの み た すRnの

と表 わ され る.と

ころが

で あ る か ら,

b)

  a) 

を 示 せ ば 結 論 が 得 られ る.   a)の

証 明.ε

を 任 意 に 与 え ら れ た 正 数 と す る.ⅱ)に

よ り,正

数 δ1が 存 在

し て,

な らば が 成 り立 つ.こ 4.1に

こ にcは

よ り,fはaに

‖λ(x)‖≦c‖x‖(x∈Rn)を

お い て 連 続 で あ る か ら,ま

み た す 実 数 と す る.定 た,正

理

数 δ2が 存 在 し て,

な らば が 成 り立 つ.ゆ

え に, 

のとき

従 って

と な る が,ε   b)の ⅰ)に

は 任 意 の 正 数 で あ っ た か ら,a)が

証 明. 

得 られ る.

を み た す 正 数c′ が 存 在 す る.従

っ て,

よ り

が 成 り立 ち,b)が

得 ら れ る. 

(証 終)

  定 理4.4 

f:U→Rm,g:U→Rlをa∈Bnの

す る.(f,g):U→Rm+lがa∈Uに と も にaに

近 傍Uで

定義 された 写像 と

お い て 微 分 可 能 で あ る た め に は,f,gが

お い て 微 分 可 能 で あ る こ と が 必 要 十 分 で あ り,こ

のとき

(d(f,g))a=((df)a,(dg)a) が 成 り立 つ.   証 明   p:Rm+l→Rm, ∈Rl)で

定 義 す る と き,p,qは

ら はRm+lの (f,g)で fお

あ る か ら,定

Rm+1と

理4.3に

理4.2に

よ り,そ

こ ろ が,f=p°(f,g),

よ り,(f,g)がaに

れ

g=q°

お い て 微 分 可 能 な ら ば,

お い て 微 分 可 能 で あ る.

と も にaに お く.こ

q(x,y)=y(x∈Rm,y

線 形 写 像 で あ る か ら,定

各 点 に お い て 微 分 可 能 で あ る.と

よ びgもaに

  f,gは

q:Rm+l→Rlをp(x,y)=x,

お い て 微 分 可 能 で あ る と し,λ=((df)a,

の と き,原

点0に

十 分 近 い す べ て のh∈Rnに

(dg)a):Rn→ 対 し

で あ る か ら,

が 成 り立 つ.従 (dg)a)が

お い て 微 分 可 能 で,(d(f,g))a=((df)a,

成 り立 つ. 

  定 理4.5  Vで

っ て,(f,g)はaに

f:U→Rmはa∈Rnの

(証終) 近 傍Uで,g:V→Rkはb∈Rlの

近傍

定 義 さ れ た 写 像 とす る.f×g:U×V→Rm+kが(a,b)∈U×Vに

微 分 可 能 で あ る た め に は,fがaに

お い て 微 分 可 能 で あ り,か

い て 微 分 可 能 で あ る こ と が 必 要 十 分 で あ り,こ

の とき

おい て っ,gがbに

お

が 成 り立 つ.   証 明   定 理4.2に →BlはUの

よ り,包

含 写 像i1:U→Rnお

よ びbへ

の 定 値 写 像b:U

各 点 に お い て 微 分 可 能 で あ る か ら,j1=(i1,b):U→Rn+lはU

の 各 点 に お い て 微 分 可 能 で あ る.同 写 像i2:V→Rlに

様 に,aへ

の 定 値 写 像a:V→Rnと

対 し,j2=(a,i2):V→Rn+lはVの

包含

各 点 にお い て 微分 可 能

で あ る.   射 影p1:Rn+l=Rn×Rl→Rnは p1:U×V→RnはU×Vの

線 形 写 像 で あ る か ら,定

理4.2に

各 点 に お い て 微 分 可 能 で あ る.同

Rn+l=Rn×Rl→Rlに

対 し,p2:U×V→RlはU×Vの

よ り,

様 に,射

影p2:

各 点に おい て微 分可

能 で あ る.   さ て,q1:Rm+k→Rm,

q2:Rm+k→Rkを

f×g:U×V→Rm+kが(a,b)に

射 影 と す る と き,定

が と も に(a,b)に

あ る と き し か も そ の と き に 限 る.ま

た,こ

こ ろ が,

で あ る か ら,は

じ め に 述 べ た こ と と 定 理4.4に

で あ り,か

つ,gがbに

お いて 微分 可能 で

の とき

が 成 り立 つ.と

と も に(a,b)に

よ り,

お い て 微 分 可 能 で あ る の は, 

お よ び 

×g)が

理4.4に

よ り,q1°(f×g)お

お い て 微 分 可 能 で あ る の は,fがaに

よ びq2°(f お い て微分 可能

お い て 微 分 可 能 で あ る と き に 限 る.ま

た,こ

のとき

が 成 り立 っ.

で あ るか ら,以 上 よ り求 め る結 果 が 得 られ る.    定 理4.6  像 で,と

(ⅰ)  f,g:U→Rmはa∈Rnの

もにaに

お い て 微 分 可 能 とす る.こ

(証終) 近 傍Uに

お い て 定 義 され た 写

の と き,f+g:U→Rmもaに

お い て 微 分 可 能 で あ り, (d(f+g))a=(df)a+(dg)a が 成 り 立 つ.   (ⅱ) 

(ⅰ)に

(x∈X)で

お い てm=1と

し,積f・g:U→Rを(f・g)(x)=f(x)g(x)

定 義 す れ ば,f・gもaに

お い て 微 分 可 能 で あ り,

(d(f・g))a=g(a)(df)a+f(a)(dg)a が 成 り立 つ.   証 明   (ⅰ)  σ:R2m→Rmを き,σ

σ(x1,x2)=x1+x2(x1,x2∈Rm)で

は 線 形 写 像 で あ る.従

っ て 定 理4.2に

微 分 可 能 で あ り,(dσ)(x1,x2)=σ.定 て 微 分 可 能 で あ る か ら,定

理4.4に

理4.3に

らに

で あ る か ら,求

め る 結 果 が 示 さ れ た.

g)で

μ:R2→Rを

μ(x1,x2)=x1x2(x1,x2∈R)で

あ る か ら,μ

はR2mの

各 点 にお いて

よ り(f,g):U→R2mはaに

よ り,f+g=σ

可 能 で あ る.さ

  (ⅱ) 

よ り,σ

定 義す る と

が 任 意 の 点(a1,a2)∈R2に

°(f,g)はaに

おい おい て微 分

定 義 す る.f・g=μ

°(f,

お い て 微 分 可 能 で,

(dμ)(a1,a2)(x1,x2)=a2x1+a1x2 で あ る こ と が 示 さ れ れ ば,(ⅰ)と   λ:R2→Rを

λ(x1,x2)=a2x1+a1x2(x1,x2∈R)で

る と き,h=(h1,h2)∈R2に

と こ ろ が,

同 様 に し て 求 め る 結 果 が 得 ら れ る.

対 し,

与

えられ た 線 形 写 像 とす

で あ る か ら,

従 っ て 

と な り,求 め る結 果 が 示 され た. 

  問3  f:U→Rはa∈Rnの て 微 分 可 能 で, 

近 傍Uで

式 の成 り立つ こ とを 示 せ:

  4.2 

微

おい

れ はaに

おい て微

分

  4.2.1 a=(a1,…,an)∈Rnと 関 数 と す る.こ

れ はaに

あ る近 傍U′ に お い て,1/f:

うつ す こ と に よ っ て 定 義 され,そ

分 可 能 で,次

偏

定 義 され た 写 像 で,そ

とす る.こ の と き,aの

U′→Rがxを1/f(x)に

(証終)

の と き,実

し,φ:U→Rはaの 数hが0に

が 存 在 す る な ら ば,こ

れ をDiφ(a)の

い い(i=1,…,n),こ

の と き,φ

近 傍Uで

定 義 され た

近 づ いた ときの極 限

で 表 わ し て,φ

はaに

のaに

お い て 第i番

お け る偏微 分係 数 と

目の 変 数 に 関 し て 偏 微 分

可 能 で あ る と い う.   な お,xを

独 立 変 数,yを

従 属 変 数 と み て,写

表 わ す と き は,Diφ(a)を    Uは

像φ

また は 

開 集 合 で あ る か ら,各iに

対 し,aiを

をy=φ(x1,x2,…xn)と と 書 く.

含 む 開 区 間Iが

存 在 し,関

数

ψ:I→Rが

に よ り定 義 さ れ るが,明

らかにDiφ(a)は

ψ のaiに

お け る 微 分 係 数 ψ′(ai)

と一 致 す る.   次 に,f:U→Rmをa∈Rnの

近 傍Uで

お い て 微 分 可 能 で あ る とす る と き,線

定 義 され た 写 像 と し,そ

形 写 像(df)a:Rn→RmのRnお

れ はaに よび

Rmの

標 準 基 底 に 関 す る行 列 表 示 が 偏 微 分 係 数 で 与 え られ る こ と を 示 そ う.

  この た め,ま

ず,任

意 のh∈Rnに

対 し,次 式 の成 り立 つ こ とに 注 意 す る:

  (4.2)

 実 際,h=0の

と き は 明 ら か で あ り, 

で あ る か ら,微   定 理4.7 

分 の 定 義 よ り(4.2)が

a∈Rnの

近 傍Uで

分 可 能 な らば,各i=1,2,…,mと U→Rのaに

の ときは

得 ら れ る.

定 義 さ れ た 写 像f:U→Rmがaに 各j=1,2,…,nに

お け る 偏 微 分 係 数Djfi(a)が

お い て微

対 し,fの

存 在 し て,微

成 分 関 数fi:

分(df)a:Rn→Rm

の 標 準 基 底 に 関 す る行 列 表 示 は

と な る.   こ の 行 列 をfのaに ま た,行

列 式det(Jf)aをfのaに

  証 明   (第1段)    {e1,…,en}をRnの よ り

お け る ヤ コ ビ(Jacobi)行

m=1の

列 と いい,(Jf)aで

表 わ す.

お け る ヤ コ ビ 行 列 式 と い う. 場 合.

標 準 基 底 と す る と き,a=(a1,…,an)に

対 し,(4.2)に

で あ る か ら,求

め る 結 果 が 成 り立 つ.

  (第2段) 

一 般 の 場 合.

  定 理4.4よ

り,各i=1,2,…,mに

対 し,fi:U→Rはaに

おい て微 分 可能

で (df)a=((df1)a,…,(dfm)a) で あ る こ と が わ か る.従

っ て 第1段

に よ り,各 

が 存 在 し,

が 成 り立つ.こ

こ に{e1,…,en}はRnの,{e1′,…,em′}はRmの

標 準 基 底.

こ れ で 求 め る 結 果 が 示 さ れ た. 

(証 終)

  線 形 写 像 の 合 成 の 行 列 表 示 は 各 写 像 の 行 列 表 示 の 積 で あ る か ら,定 よ り,次

の 系 が 得 ら れ る.

  系  f:U→Rmはa∈Rnの 義 さ れ た 写 像 で,fはaに と き,aの

あ る 近 傍U0に

近 傍Uで,g:V→Rlはf(a)の お い て,gはf(a)に お い て,合

近 傍Vで

お い て 微 分 可 能 と す る.こ

成g°f:U0→Rlが

定 義 さ れ,

(J(g°f))a=(Jg)f(a)(Jf)a 従 って

  (4.3)

が 成

り 立 つ.

  注 意   y=f(x),z=g(y)と

表 わ し,b=f(a)と

お く と き,(4.3)は

と な る.   例1 

理4.3に

f:R2→R2をf(x1,x2)=(x1,x23)で

定 義 す る と き,

定 の

で,det(Jf)x=3x22.   例2 

複 素 数 全 体 の 集 合 をCで

￨z−z′￨と す る こ と に よ り,Cは

表 わ す.Cの2点z,z′

に 対 しd(z,z′)=

で 定 義 さ れ た 写 像 と す る.こ

距 離 空 間 に な る.f:U→Cをz∈Cの

近 傍U

の と き,

  (4.4)

が 存 在 す る な ら ば,こ

れ をf′(z)で

表 わ し,fはzに

い う. 

おい て微 分 可能 で あ る と

と し,F:V→R2を

((x1,x2)∈V)に

よ り定 義 す る.こ

可 能 な ら ば,Fはx=(x1,x2)に

の と き,fが 

におい て微 分

お い て 微 分 可 能 で,

(4.5) が 成 り立つ.((4.5)はhを

実 軸 ま た は 虚 軸 に 沿 っ て0に

の 極 限 を 考 え る こ と に よ り示 さ れ る).従 (dF)x(h)=kと

で あ り,ま

近 づ け た と き の(4.4)

っ て,(dF)x:R2→R2に

対 し,

お く と き,

た,

det(JF)x=￨f′(z)￨2 が 成 り立 つ.   問1 

(ⅰ) f:Rn→Rをf(x)=‖x‖で

定 義 す る. 

の と きDif(x)を

求 め よ.  

(ⅱ)  f:Rn→Rnをf(x)=‖x‖xで

る こ と を 示 し,各   問2 

Rn2の

点 に お け るfの 点 

表 わ し,ま た,Rn(n+1)/2の

定 義 す る.fは

微 分可 能 な写像 で あ

ヤ コビ 行 列 式 を 求 め よ. を 行 列A=(aij)で

点 

を

行 列B=(bij)(こ

こ にbij=bji=aij)と

同 一 視 し て,f:Rn2→Rn(n+1)/2を

列 の 積 を 用 い て,f(A)=AtA(tAはAの き,fは

微 分 可 能 で あ り,Aが

射 で あ る こ と を 示 せ.(ヒン =tAと

お く と き ,Aが

で,(drB)Aは

転 置 行 列)に

よ り定 義 す る.こ

の と

直 交 行 列 な らば,(df)A:Rn2→Rn(n+1)/2は ト.rA:Rn2→Rn2をrA(Y)=YAで

全 定 義 し,B

直 交 行 列 な ら ば,(df)A=d(f°rB)A=(df)E°(rB)A

全 単 射 で あ る.従

こ と を 示 せ ば よ い.と

行

っ て,後

こ ろ が,fは

半 を 示 す に は,(df)Eが

行 列(xij)を

全射 で あ る

行 列 

に

うつ す か ら,

の とき の とき の とき

そ の他 の とき が 得 られ,fのEに

お け る ヤ コビ 行 列 の 階 数 はn(n+1)/2で

  4.2.2 UをRnの

開 集 合 と し,φ:U→Rと

の 偏 微 分 係 数Djφ(x)が 像Djφ:U→Rが

存 在 す る と き,xをDjφ(x)に

定 義 さ れ る.こ

変 数x=(x1,…,xn)の f:U→Rmの

す る.Uの

れ をφ

あ る.) 各 点xに

うつ す こ と に よ り,写

の 偏 導 関 数 と い う.な

関 数 と み る と き は,Djφ

お い てφ

お,φ

を独 立

を ∂φ/∂xjで 表 わ す.

各 成 分 関 数 の 偏 導 関 数 が 存 在 し て 連 続 で あ る と き は,fは

分 可 能 と な る.こ

れ を 示 す に は,微

微

分 係 数 の 性 質 と し て よ く知 られ た 次 の 平 均

値 の 定 理 を 用 い る.   定 理4.8  b)の

fを

閉 区 間[a,b]で

定 義 さ れ た 実 数 値 連 続 関 数 と し,そ

各 点 に お い て 微 分 可 能 で あ る と す る.こ

のとき

f(b)−f(a)=f′(c)(b−a),  を み た すcが

れ は(a,

a
存 在 す る.

  証 明   関 数F:[a,b]→Rを F(x)=f(x)−((f(b)−f(a))/(b−a))x で 定 義 す る.F′(c)=f′(c)−(f(b)−f(a))/(b−a)=0と を 示 せば よ い.

な るc∈(a,b)の

存在

  Fは

連 続 関 数 で,[a,b]は

の あ る 点 に お い てFは な る.と

最 大 と な り,ま

こ ろ がF(a)=F(b)で

こ の 点 をcと h>0の

コ ン パ ク トで あ る か ら,定

す る.cに

た[a,b]の

あ る か ら,そ

お い てFが

と き ≦0で,h<0の

と き ≧0で

最 小 と な る と き もF′(c)=0が

F′(c)=0と

な り,求

あ る 点 に お い てFは

最小 と

の い ず れ か の 点 は(a,b)に

属 す る.

あ る か ら,F′(c)=0.同 得 られ る.よ

っ て,い

様 にcに ずれ の場 合 も

め る 結 果 が 示 さ れ た. 

(証 終)

的 の 次 の 定 理 を 証 明 し よ う.

  定 理4.9  点xに

よ り,[a,b]

最 大 と な る な ら ば,(F(c+h)−F(c))/hは

お い てFが

  い ま,目

理2.10に

f:U→Rmをa∈Rnの

お い て 各Djfi(x)が

存 在 し,各

連 続 で あ る と 仮 定 す る.こ   証 明   定 理4.4に

の と き,fはaに

よ り,各

ば,f:U→Rmはaに

近 傍Uで

定 義 さ れ た 写 像 と し,Uの

偏 導 関 数Djfi:U→Rはaに

各 お いて

お い て 微 分 可 能 で あ る.

成 分 関 数fi:U→Rがaに

おい て 微 分可 能 な ら

お い て 微 分 可 能 と な る か ら,m=1の

場 合 につ い て証

明 す れ ば よ い.   O(a,ε)⊂Uを

み た す 正 数 ε を と る と き,‖h‖<ε

に 対 し,f(a+h)−f(a)が

定 義 さ れ,a=(a1,…,an),h=(h1,…,hn)と

と き,

で あ るか ら,平 均 値 の 定 理 に よ り

が 成 り立 つ.こ それ ゆえ

こに 

を み た す す べ て のh∈Rn する

と こ ろ がDjfはaにお く.従

い て 連 続 で あ る か ら,h→0の

と き,最

終 項 は0に

近づ

って

こ こ に,h=(h1,…,hn)∈Rnを 

に うつ す 写 像 は 明 らか に 線

形 写 像 で あ るか ら,上 式 はfがaに

お い て 微 分 可 能 で あ る こ と を 示 し て い る. (証終)

  a∈Rnの

近 傍Uで

と き,fはa∈Uに

定 義 され た 写 像f:U→Rmが

仮定 をみ たす

お い て 連 続 微 分 可 能 で あ る とい う.f:U→RmがUの

点 に お い て 連 続 微 分 可 能 の と き,fを   定 理4.10 

定 理4.9の

f:U→RmはRnの

像,CはUに

各

連 続 微 分 可 能 な 写 像 とい う. 開 集 合Uで

定 義 され た 連 続 微 分 可 能 な 写

含 まれ る 凸 集 合 と し,

を み た す 正 数 α が 存 在 す る と仮 定 す る.こ の と き

が 成

り 立 つ.

  証 明   x,y∈Cと ら,写

す る.任

意 のs∈[0,1]に

像g:[0,1]→Rmをg(S)=f((1−s)x+sy)で

対 し,(1−s)x+sy∈Cで 定 義 す る.平

に よ り, fi(y)−fi(x)=gi(1)−gi(0)=gi′(θi)  で,定

理4.7の

で あ る か ら,

系 に よ り

(0<θi<1)

あ る か 均 値 の 定 理

 従 っ て

(証 終)

 問3  f:R→Rを 

f(0)=0で

微 分 可 能 で あ る が,連   問4 

Rnの

定 義 す る と き,fは

続 微 分 可 能 で な い こ と を 示 せ.

開 集 合Uで

定 義 さ れ た 微 分 可 能 な 写 像f:U→Rmが

可 能 で あ る た め に は,(x,h)∈U×Rnを(df)x(h)∈Rmに U×Rn→Rmが   4.2.3 

連 続 微分 うつ す 写 像df:

連 続 で あ る こ と が 必 要 十 分 で あ る こ と を 示 せ. f:U→RをRnの

偏 導 関 数Djf:U→Rが 存 在 す る と き,こ

開 集 合Uで 存 在 し,さ

れ をDijfで

定 義 さ れ た 実 数 値 関 数 と す る.fの

ら にDjfの

偏 導 関 数Di(Djf):U→Rが

表 わ す.各i,jに

対 す るDijをfの

第2次

偏導

関 数 と い う.   同 様 の 方 法 で,r=2,3,…

に 対 し て,fの

第r次

偏導 関数

Di1…irf:U→R が 定 義 さ れ る.こ

こ に(i1…ir)は1,2,…,nか

ら 重 複 を 許 し てr個

と った 任

意 の 順 列.   fを

独 立 変 数x=(x1,…,xn)の

関 数 と み た と き,Di1…irfは

また

と 表 わ さ れ る.   偏 微 分 の 順 序 の 変 更 に 関 し て 次 の 定 理 が 成 り立 つ.   定 理4.11    (ⅰ) 

f:U→Rをa∈Rnの

Dijf,Djif:U→Rが

近 傍Uで 存 在 し て,そ

定 義 さ れ た 写 像 と す る. れ ら がaに

お い て 連 続 な らば,

Dijf(a)=Djif(a).   (ⅱ) 

Dif,Djf:U→Rが

存 在 し て,そ

Dijf(a)=Djif(a).   証 明   n=2の

場 合 を 示 せ ば よ い.

れ ら がaに

お い て 微 分 可 能 な らば,

  a=(a1,a2)∈Uと

す 正 数hを

をみた

し, 

と る.φ1:[a1−h,a1+h]→Rを φ1(t)=f(t,a2+h)−f(t,a2)

で,φ2:[a2−h,a2+h]→Rを φ2(t)=f(a1+h,t)−f(a1,t) で 定 義 し よ う.こ

の と き

Δ(h)=f(a1+h,a2+h)−f(a1,a2+h)−f(a1+h,a2)+f(a1,a2) は

φ1(a1+h)−

φ1(a1)お

よび

φ2(a2+h)−

φ2(a2)に

等 し い.

  平 均 値 の 定 理 に よ り,

  (ⅰ)の 場 合.  さ らに 平 均 値 の 定 理 に よ り,

が 成 り立 つ.同

従 っ て,aの

様に

任 意 の 近 傍Vに

が 成 り立 つ.D21fお D21f(a)=D12f(a)が   (ⅱ)の

対 し,点b,c∈Vが

よ びD12fはaに 得 ら れ る.

場 合.

  D1fはaに

と お く と き,

 ま た

で あ る か ら,

お い て 微 分 可 能 で あ る か ら,

存 在 し てD21f(b)=D12f(c)

お い て 連 続 で あ る か ら,こ

れ よ り

が 得 られ る.   同 様 に して,

が 得 ら れ る.よ

っ てD21f(a)=D12f(a). 

  f:U→RmをRnの fi:U→Rの

開 集 合Uで 各 種 の 第r−1次

の と き 定 理4.1に

理4.9に

よ り,各Dj1…jr−2fi:U→Rは

存 在 し て,そ

れ

対 し,fはk回

よ り,各Dj1…jr−1fi:U→Rは

微 分 可 能 で あ る. 連 続 で あ る か ら,定

微 分 可 能 で あ り,従

っ てf:U→Rm

微 分 可 能 で あ る.

  関 数f:U→Rがr回

微 分 可 能 な ら ば,定

次 偏 導 関 数Dj1…jkf:U→Rはj1,…,jkの   次 の 定 理 を テ イ ラ ー(Taylor)の   定 理4.12  る.ま

各成 分 関 数

微 分 可 能 で あ る と い う.

微 分 可 能 な ら ば,各k=1,2,…,rに

実 際,こ

はr−1回

定 義 さ れ た 写 像 と す る.fの

偏 導 関 数Dj1…jr−1fi:U→Rが

ら が す べ て 微 分 可 能 の と き,fはr回   fがr回

(証 終)

UをRnの

理4.11に

と き 第k

な ら べ 方 に 関 係 し な い. 定 理 と い う.

開 集 合 と し,f:U→Rをr回

た,a,h∈Rnで,す

よ り,k≦rの

べ て のt∈[0,1]に

微 分 可 能 な 関 数 とす 対 し,a+th∈Uと

仮 定 す る.

この と き

こ こに0<θ<1で,Dijfは  証 明   (第1段)    Uは[0,1]を と き,

第j次

まず,次

含 むRの

偏 導 関 数Dii…ifを

表 わ す.

の 特 別 の 場 合 を 示 そ う.

開 集 合 で,f:U→Rはr回

微 分 可 能 な 関 数 とす る

(0<θ<1)が

成 り立 つ.こ

こ にf(i)はfの

第i次

導 関 数 を 表 わ す.

と お き,関 数g:U→Rを

で 定 義 す る.こ で あ る.従 す る.と

の と き,g(0)=g(1)=0で,仮

っ て,平

定 に よ りgは

均 値 の 定 理 に よ り,g′(θ)=0,0<θ<1を

微 分可 能 な 関数 み た す θが 存 在

ころが

で あ る か ら,q=f(r)(θ).こ

れ をqの

定 義 式 に 代 入 す れ ば,求

め る結 果 が 得 ら

れ る.   (第2段) 

一 般 の 場 合.

  F(t)=f(a+th)と

お け ば,Fは[0,1]を

れ た 実 数 値 関 数 で,定

と な り,一

理4.7の

系 よ り,そ

含 むRの れ はr回

般に

(k=1,2…,r)の   と こ ろ が,上

成 り立 つ こ と が わ か る. 式 は記号 的 に (h1D1+h2D2+…+hnDn)kf(a+th)

と 書 き 表 わ せ る か ら,

あ る開集合 の上 で定 義 さ 微 分 可 能 で,

と こ ろ が,第1段

に よ り

で あ るか ら,求 め る結 果 が 成 り立 つ.    問5 

(証終)

次 式 で 与 え られ る 写 像f:R2→R2の

 

第2次 偏 導 関 数 を 求 め,と

く に,

で あ る こ とを た しか め よ:

  問6 

f:U→RをRnの

す る.aの

近 傍Vが

開 集 合Uで 存 在 し て,aと

(ま た はf(a)>f(x))が 値)を

異 な る 任 意 のx∈Vに

成 り立 つ な ら ば,fはaに

と る と い う.次

  (ⅰ)  fがaに

定 義 さ れ た 実 数 値 関 数 と し,a∈Uと

の(ⅰ),(ⅱ)を

対 しf(a)
お い て 極 小 値(ま

た は極 大

示 せ.

お い て 微 分 可 能 の と き,fがaに

お い て 極 小 値 また は 極 大 値

を と る な ら ば,Dif(a)=0(ｉ=1,…,n).   (ⅱ)  fはaに

お い て2回

微 分 可 能 と し,

と お く. 

な ら ば,fはaで  な ら ばfはaで

川 光 太 郎:線

  4.3    4.3.1 

Cr級

形 代 数 学 入 門(基

礎 数 学 シ リ ー ズ7),朝

極 小 値 を と り, 極 大 値 を と る.(奥

倉 書 店,p.157参

照.)

写 像

f:U→RmをRnの

分 関 数fj:U→R(j=1,…,m)の

開 集 合Uで

定 義 さ れ た 写 像 と す る.fの

各 種 の 第r次

偏 導 関 数Di1…irfj:U→Rが

各成

存 在 し て 連 続 で あ る と き,fをr回 写 像 と い う.こ

こ にr≧1で

連 続 微 分 可 能 な 写 像 ま た はCr級(可

あ る が,C0級

微 分)

写 像 とは 連 続 写 像 を 意 味 す る もの

と す る.   定 理4.9に

よ り,Cr級

微 分 可 能 な 写 像 はCr−1級 Ck級

写 像 はr回

微 分 可 能 で あ り,定

で あ る.従

っ て,Cr級

理4.1に

よ り,r回

写 像 は 各k=0,1,…,rに

対 し

写 像 で あ る.

  次 の こ と は 定 義 よ り明 ら か で あ る:(ⅰ)f:U→RmがCr級 成分関 がCr級

数fj:U→RがCr級

で あ るの は各

の と き し か も そ の と きに 限 る.(ⅱ) f:U→R

で あ る の は 各 偏 導 関 数Dif:U→Rが

存 在 し てcr−1級

で あ る と きし

か も そ の と き に 限 る.   f:U→Rmが

各rに

対 し てCr級

の と き,fをC∞

級(可 微 分)写 像 ま た は 滑

ら か な 写 像 と い う.   定 理4.13 

r=0,1,…,∞

  (ⅰ)  Rnの

に 対 し,次

開 集 合Uで

な ら ば,和

で あ る.

  (ⅱ)  Rnの

開 集 合Uで

f・g:U→RもCr級

  (ⅲ) 

成 り 立 つ.

定 義 さ れ た 写 像f,g:U→RmがCr級

f+g:U→RmもCr級

→RもCr級

の(ⅰ)―(ⅲ)が

定 義 さ れ た 写 像f,g:U→RがCr級

で あ る.ま

た,各x∈Uに

な ら ば,積

対 し 

な ら ば,1/f:U

で あ る. UはRnの

で,f(U)⊂Vと

開 集 合,VはRmの す る.f,gが

開 集 合 と し,f:U→Rm,g:V→Rl

と も にCr級

な ら ば,合

成g°f:U→RlもCr

級 で あ る.   証 明   r=0の

と き の 結 果 は 容 易 に 示 さ れ,r=∞

に 対 す る 結 果 よ り 明 らか で あ る か ら,1≦r<∞

の と き の 結 果 は 有 限 なr と し て,rに

関 す る帰 納 法 に

よ り証 明 す る.   (ⅰ)  f,g:U→RmはCr級 →RはCr−1級

で あ る.従

で あ る か ら,各i,jに

対 し,Difj,Digj:U

っ て 帰 納 法 の 仮 定 に よ り,

Di(f+g)j=Di(fj+gj)=Difj+Digj はCr−1級

写 像 で あ る.ゆ

え にf+g:U→RmはCr級

で あ る.

ⅱ)  ⅰ) 

  (ⅱ)  f,g:U→RはCr級

で あ る か ら,各iに

Gr−1級 で あ る.f,gは

ま たCr−1級

で あ る か ら,帰

対 しDif,Dig:U→Rは 納 法 の 仮 定 に よ り,

Di(f・g)=(Dif)・g+f・(Dig) はCr−1級

写 像 で あ る.ゆ

え にf・g:U→RはCr級

で あ る.1/fに

つ い て も同

様 に 示 さ れ る.   (ⅲ)  仮 定 よ り,各i,jに 級 で あ る.従

はCr−1級   次 に,C∞   補 題1 

っ て,帰

対 し,Difj:U→Rお

納 法 の 仮 定 と 定 理4.7の

写 像 で あ る.ゆ

え にg°f:U→RlはCr級

よ びDigj:V→RはCr−1 系 に よ り,

で あ る. 

(証終)

級 関 数 の 存 在 に つ い て の 定 理 を 証 明 し よ う. Q,Q′

をRnの

級 関 数g:Rn→Rで,次

開 直 方 体 と し,Q⊂Q′

と 仮 定 す る.こ

の と き,C∞

の 条 件 を み た す も の が 存 在 す る:

 ⅲ)  証 明   任 意 の 実 数c,d(c
に よ り定 義 す る.容 と が 示 さ れ る.従

対 し,関

易 に ψc,dはC∞ っ て,関

で 定 義 す る と き,φc,dはC∞

級 関 数 で,ψc,d(x)≧0(x∈R)で

数 ψc,d:R→Rを

級 関 数 で,  が 成 り 立 つ.ゆ

え に,a′
に 対 し,関

を み た す4つ

数 ψc,d:R→Rを

の 実 数a′,

数h=ha′,a,b,b′:R→Rを

で 定 義 す る と き,こ れ はC∞ 級 写 像 で,

あるこ

が 成 り立 つ.   い ま, 

と す る と き,

求 め るg:Rn→Rは

次 式 で 与 え ら れ る:

(証終)

  定 理4.14  の と き,C∞

A⊂U⊂Rnと

し,Aは

級 関 数g:Rn→Rで

コ ン パ ク トで,Uは

開 集 合 と す る.こ

次 の 条 件 を み た す も の が 存 在 す る:

 ⅰ ) 

ⅱ)

 ⅲ) こ こ にVはRn−Uを

含 む あ る 開 集 合.

  証 明   定 理2.11に =Rn−Oと

お く と き,VはRn−Uを

っ てⅰ),ⅱ)お

を み た すC∞   OはAを

あ る .従

(x∈Rn−O)

級 関 数g:Rn→Rの

元 開 直 方 体Q′(x)が

存 在 を 示 せ ば よ い. 点x∈Aに

対 し,x∈Q′(x)⊂Oを

存 在 す る.Q(x)をx∈Q(x)⊂Q′(x)を

次 元 開 直 方 体 とす る.こ

の と き,{Q(x)}x∈AはRnの

コ ン パ ク トで あ る か ら,有 が 成 り立 つ.い

し て,写

存 在 す る.V

含 む 開 集 合 で,Rn−O⊃Vで

含 む 開 集 合 で あ る か ら,各

覆 でAは

み た す 開 集 合Oが

よび

 ⅲ)′   g(x)=0 

すn次

よ り,A⊂O,O⊂Uを

像g:Rn→Rを

み た すn

開 集 合 か ら な るAの

限 個 の 点x1,…,xk∈Aが

ま,Q(xi),Q′(xi)に

みた

対 す る 補 題1の

存 在 し て,  写 像 をgiと

次 式 で 定 義 し よ う:

g(x)=1−(1−g1(x))(1−g2(x))…(1−gk(x)).  な ら ば,あ

対 し てgi(x)=1で

あ る か ら,1−g(x)=0で

で あ る か ら,g(x)=1(x∈A)が

あ る が, 

 な ら ば,す =1で

るiに

あ る が, 

べ て のに

成 り立 つ.

対 し てgi(x)=0で で あ る か ら,ⅲ)′

被

あ る か ら,1−g(x) が 成 り立 つ.

 ⅱ)

  gがC∞

級 で あ り, 

は 明 らか で あ るか ら,gは

も の で あ る.    問1 

(証終)

UをRnの

a∈Uに

求め る

凸 開 集 合 と し,f:U→RをCr級

対 し,次 の 条 件 を み た すCr−1級

関 数 とす る と き,各

写 像g:U→Rnが

存 在 す る こ とを 示

せ:  ⅰ)

（ヒン

ト.

  4.3.2 

4.3.1で

はRnの

念 を 定 義 し た が,次   定 理4.15  し,Vλ(λ

開 集 合 か らRmへ

に,こ

UをRnの

∈Λ)は

開 集 合,V={Vλ}λ∈Λ

各 λ∈Λ と 各x∈Uに

  (ⅱ) 

各 λ∈Λ に 対 し,  各x∈Uに

の 閉 包 はVλ

含 むVλ は 有 限 個.従

え に(ⅲ)に

って,(ⅱ)に

よ り,有

お け る 和 は 意 味 を もつ.

の と き,定

理1.17に

被 覆{Ci}で,Ci⊂Vi(i=1,2,…)を

ク ト集 合Viに

系 に よ り,C∞ み た し,さ

る も の が 存 在 す る.{Vi}i∈NはUの

よ り,Uの

し

閉集 合 か らな る

み た す も の が 存 在 す る.Ciは

含 ま れ る 閉 集 合 で あ る か ら,Ciは

理4.14の

に 対 し ,xを

に 含 ま れ る.

リ ン デ レ ー フ の 性 質 を も つ か ら(定 理1.16),V={Vi}i∈Nと

て も 一般 性 は 失 わ れ な い.こ

gi(x)>0(x∈Ci)を

級

従 属 し た 単 位 の 分 割 と い う.

局 所 有 限 で あ る か ら,xを

  証 明   Uは

て,定

の 条 件 を み た すC∞

対 し,0≦fλ(x)≦1.

限 個 の λを 除 い てfλ(x)=0.ゆ

Uの

の と き,次

局所 有 限 な 開被覆 と

対 し,

こ の{fλ}λ∈Λ をVに   注 意   Vは

をUの

族{fλ}λ ∈Λが 存 在 す る:

  (ⅰ) 

  (ⅲ) 

と い う概

の 概 念 を も っ と 一 般 な 写 像 に 対 し て 定 義 し よ う.

コン パ ク ト と 仮 定 す る.こ

関 数fλ:U→Rの

の 写 像 に 対 し てCr級

コ ンパ

コ ン パ ク ト集 合 で あ る.従

っ

級 関gi:Rn→Rで,gi(x)≧0(x∈Rn), ら にRn−Viを

含 む あ る 開 集 合 の 上 で は0を

局 所 有 限 な 被 覆 で あ る か ら,Uの

含 む あ る 開 集 合 が 存 在 し て,そ

の 上 で は 

と

各 点x

は 有 限 和 と な る.

従 っ て 

はC∞ 級 関 数 で あ る.ま た,そ の 値 は つ ね に 正 で あ る.よ で 定 義 す れ ば,{fi}i∈Nは{Vi}i∈Nに

っ て,fi:U→Rを 

従属 し

た 単 位 の 分 割 で あ る.    定 理4.16  の と き,次

AをRnの

任 意 の 部 分 集 合 と し,f:A→Rmを

の(ⅰ),(ⅱ)は

  (ⅰ)  Aの はUxか

(証 終)

同 値 な 命 題 で あ る.

各 点xに

らRmへ

  (ⅱ)  Aを

写 像 と す る.こ

対 し,xのRnに

のCr級

お け る 近 傍Uxが

存 在 し て,f￨A∩Ux

写 像 に 拡 張 で き る.

含 むRnの

開 集 合Uが

存 在 し て,fはUか

らRmへ

のCr級

写

像 に 拡 張 で き る.   証 明   (ⅱ)⇒(ⅰ)は   (ⅰ)のUxの はRnの

自 明.(ⅰ)⇒(ⅱ)を

閉 包Uxは

コ ン パ ク ト と 仮 定 し て よ い. 

開 集 合 で あ る か ら,定

細 分 で あ り,か をVに

つ,局

証 明 し よ う.

理2.25に

よ り,Uの

と お く.U

開 被 覆U={Ux}x∈Aの

所 有 限 で あ る 開 被 覆V={Vλ}λ

∈Λが 存 在 す る.{φ

λ}λ ∈Λ

従 属 し た 単 位 の 分 割 と し よ う.

  各 λ∈Λ に 対 し,f￨A∩Vλ A∩Vλ=φ

の と き はfλ

はCr級

は0へ

写 像fλ:Vλ

→Rmに

の 定 値 写 像 と す る.こ

拡 張 で き る.た

の と き,Cr級

だ し,

写 像gλ:

U→Rmが

に よ り定 義 さ れ る.Uの

各 点xに

対 し,xを

の 上 で は 

は有 限 和 と な る.従

れ る.x∈Aな

ら ば,gλ(x)=φλ(x)f(x)(λ

っ てgはfの   Rnの

含 む あ る 開 集 合 が 存 在 し て,そ

っ てCr級

写 像 

∈Λ)で

が得 ら

あ る か ら,g(x)=f(x).従

拡 張 で あ る. 

任 意 の 部 分 集 合Aで

(証 終) 定 義 さ れ た 写 像f:A→Rmは,定

値 な 条 件 を み た す と き,Cr級(可   こ の よ う に 拡 張 さ れ たCr級

微 分)写 像 で あ る と い う(1≦r≦ 写 像 に 対 し,明

らか に 定 理4.13と

理4.16の ∞).

同様 の結果

が 成 り立 っ.   定 理4.17 

AをRnの

部 分 集 合 と し,Rnの

あ る 開 集 合Uに

同

対 し,U⊂A

⊂Uと

す る.ま

た,f:A→RmをC1級

こ の と き,aのRnに

写 像 と し,a∈Aを

お け る 近 傍Vで

g￨V∩A=f￨V∩Aを

gi￨Vi∩A=f￨Vi∩Aを

お け る 近 傍Viで

成 り立 つ.と

意 に 与 え ら れ たy∈Rn即

す 写 像 は 連 続 で あ る.ゆ

の と き,W=U∩V1

こ ろ が,giは

っ て, 連 続微 分可 能で

に 対 し,x∈Viを(dgi)x(y)∈Rmに

え に,x∈Wな

ら ば(dg1)x=(dg2)xが

お け る 任 意 の 近 傍 と す る.こ

け る 近 傍 で あ る が,a∈Uで

写 像 で,

あ る か ら,g1￨W=g2￨W=f￨W.従

対 し(dg1)x=(dg2)xが

aのRnに

定 義 さ れ たC1級

み た す も の と す る(i=1,2).こ

開 集 合 で,W⊂Aで

あ る か ら,任

と り

よ っ て 定 ま る.

  証 明  gi:Vi→RmをaのRnに

各x∈Wに

の 写 像g:V→Rmで,

み た す も の が 存 在 す る が,(dg)a:Rn→Rmはgの

方 に 関 係 せ ず,fに

∩V2はRnの

定 義 さ れ たC1級

任 意の 点 と す る.

うつ 成 り立 つ.Oを

の と き,O∩V1∩V2もaのRnに

あ る か ら, 

お

こ れ はa∈Wを

示 す か ら,(dg1)a=(dg2)a.    Rnの

開 集 合Uに

(証 終)

対 し てU⊂A⊂Uの

と き,C1級

に お け る 微 分(df)a:Rn→Rmを,上

写 像f:A→Rmのa∈A

の 定 理 のgを

用 い て,(df)a=(dg)aと

定 義 す る.   Rnの

部 分 集 合Aか

る と は,fに

らRmの

部 分 集 合Bへ

よ っ て 定 義 さ れ る.f:A→RmがCr級

の と す る.f:A→Bが

よ びf−1:B→Aが

微 分 同 相 写 像 と い う.Cr級

在 す る と き,AとBはCr級

写 像 で あ る.また,恒

と も にCr級 等 写 像1:A→AはCr級

V⊂B⊂Vを

A⊂Rm,B⊂Rnと み た すRnの

が 存 在 す る と 仮 定 す る.こ B,g:B→Rlと

各a∈Aに

の と き,C1級 対 し,右

∞.

微 分 同 相 写 像 で あ る.

し,U⊂A⊂U, 開 集 合U,Rmの

こ に1≦r≦

写 豫 な ら ば,g°f:A→Cも

  次 の 定 理 は 容 易 に 示 さ れ る.   定 理4.18 

と も にCr

微 分 同 相 写 像f:A→Bが

微 分 同 相 で あ る と い う.こ

  明 ら か に,f:A→B,g:B→Cが

であ

で あ る こ とを 意 味 す る も

全 単 射 で,f:A→Bお

級 の と き,fをCr級

Cr級

の 写 像.f:A→BがCr級

開 集 合V 写 像f:A→

の 図式 は可 換 で

存

あ る.従

っ て,fが

写 像 で,と   例1 

微 分 同 相 写 像 な ら ば,(df)a:Rn→Rmは

く にm=nで 単 位n球

あ る.

面Snを

考 え,複

と し,φ±:Sn−y±→Rnをy± し,y±

とxを

号+,−

はC∞

は 同 順 と し て,y±=(0,…,0,±1)

か ら の 立 体 射 影,す

結 ぶ 直 線 がRn=Rn×0に

こ の と き,φ

線形空 間 の 同形

な わ ち,x∈Sn−y±

に対

交 わ る 点 を 対 応 さ せ る 写 像 と す る.

級 微 分 同 相 写 像 で あ る.

 実 際,φ± お よ び(φ±)−1は 次 式 で 与 え られ る:

 例2  p:C→Cを

複 素係 数 の多 項 式

に よ っ て 定 義 さ れ る 写 像 と し,P:R2→R2を  に よ っ て 定 義 す る.い

ま,例1の

立 体 射 影 φ+:S2−y+→R2を

用 い て,f:S2→S2を

で 定 義 す る.こ

の と き,fはC∞

  P1,P2:R2→Rはx∈R2の C∞ 級 写 像 で あ る.従 て,y+を

含 むS2の

級 写 像 で あ る. 座 標 に 関 す る 多 項 式 で 与 え ら れ る か ら,Pは

っ て,例1に

よ り,f￨S2−y+はC∞

あ る 開 集 合 に お い て,fがC∞

級 写 像 で あ る.よ

っ

級 で あ る こ と を 示 せ ば よ い.

  こ の た め,立

体 射 影 φ−:S2−y− →R2を

と お く.φ− はC∞

考 え, 

級 微 分 同 相 写 像 で あ る か ら,Qが0=φ−(y+)を

あ る 開 集 合 に お い てC∞

級 で あ る こ と を 示 せ ば よ い. 

含 むR2の

の と き, 

で あ る こ と が わ か る か ら,q:C→CをQに る 写 像 と す る と き, 

が 成 り立 つ.こ z=0に

な ら ば,

こ にzはzの

つ い て も成 り立 つ.従

ら れ る. 

で あ る か ら,そ

上 で0で

な い.よ

  問2 

4.2の

っ て,Qは0の

例1に

よ り定 ま

共 役 数 を 表 わ す.q(0)=0で っ て,Qはx∈R2の

あ る か ら,こ

の式は

座標 に 関す る有理 式 で与 え

の 有 理 式 の 分 母 はR2に

お け る0の

あ る 近 傍 に お い てC∞

あ る近傍 の

級 で あ る.

お け る 写 像 は 同 相 写 像 で あ る が,C1級

微分 同相 写像 でな

い こ と を 示 せ.   問3 

(x1,x2)∈R2を(x1ex2+x2,x1ex2−x2)∈R2に

れ 自 身 へ のC∞   問4 

らそ

級 微 分 同 相 写 像 で あ る こ と を 示 せ.

(x1,x2,x3)∈S2を(x1sinx3+x2cosx3,x1cosx3−x2sinx3,x3)∈S2に

う つ す 写 像 は,S2か せ.

うつ す 写 像 はR2か

ら そ れ 自身 の 上 へ のC∞

級 微 分 同 相 写 像 で あ る こ と を示

5. 

  5.1 

逆 関 数 の 定 理,微

分 方 程 式 の 解 の 存 在 定 理

逆 関 数 の 定理

  5.1.1 f:U→RmをRnの

開 集 合Uで

∞),a∈Uに

対 し,微

よ り,線

形 写 像(df)a:Rn→Rmの

定 義 さ れ たCr級

分(df)a:Rn→Rmを

考 え る.定

写 像 と し(1≦r≦ 理3.6と

定 理4.7に

階 数 は ヤ コ ビ 行 列(Jf)aの

階 数に 一 致 す

る.   fがUか 4.18に

らRmの

開 集 合f(U)の

よ り,各a∈Uに

で 

上 へ の 微 分 同 相 写 像 で あ る と き,定

対 し,(df)a:Rn→Rmは

と な る が,こ

同 形 写 像 で,従

理

っ てn=m

の 逆 は 必 ず し も 成 り立 た な い.

  例 え ば,f:R2→R2を f(x1,x2)=(ex1cosx2,ex1sinx2) で 定 義 す る と き,fはC∞ で あ る が,fは

級 写 像 で あ り,各x∈R2に

単 射 で は な い.

  こ れ に 関 連 し て,次

の 定 理 が 成 り立 つ.

  定 理5.1 f:U→RnをRnの r≦ ∞),a∈Uに f(a)の

対 し 

開 集 合Uで

お い て 

近 傍Wが

定 義 さ れ たCr級

と 仮 定 す る.こ

存 在 し て,f:V→WはCr級

写 像 と し(1≦

の と き,aの

近 傍Vと

微 分 同 相 写 像 と な る.

  こ の 定 理 を 逆 関 数 の 定 理 と い う.   証 明   λ=(df)a:Rn→Rnと

で あ り,λ:Rn→RnはC∞

お く と き,

級 微 分 同 相 写 像 で あ るか ら,λ=1と

仮 定 して も一

般 性 は 失 わ れ な い.   この と き,aに 実 際,任

十 分 近 い す べ て の 

意 の ε>0に 対 し, 

在 す れ ば,

に 対 し,  f(x)=f(a)で

が 成 り立 つ. あ る よ うなx∈Rnが

存

と な り,fがaに もちUに

お い て 微 分 可 能 で あ る こ と に 矛 盾 す る.よ

含 ま れ るn次

元 閉 直 方 体Qが

っ て,aを

内点 に

存 在 して

 (5.1)

が 成 り立 つ.   fはUの

各 点 に おい て 連 続 微 分 可 能 で あ り, 

の(5.2),(5.3)が

各x∈Qに

で あ るか ら,次

対 し て 成 り立 つ と し て よ い:

 (5.2)  (5.3)

い ま,Difi(a)=1, 

で あ る か ら,f(x)−xに

定 理4.10を

適

用 す る こ と に よ り,

が 得 られ る.と

ころが

で あ る か ら,   (5.4)

が 成 り立 つ.   fは

連 続 写 像 で,境

ン パ ク トで あ る.ま

界FrQは た,(5.1)に

コ ン パ ク トで あ る か ら,そ よ り, 

よ り,

をみたす正数dが

と お く.Wはf(a)の

近 傍 で あ り,ま

 (5.5)

が 成 り立 つ.実

存在す る.

際,

た

の 像f(FrQ)も

従 っ て,定

理2.11に

コ

で あ る か ら,

  次 に,各y∈Wに

対 しf(z)=yと

な るz∈IntQが

一 意的 に 定 ま る ことを

示 そ う.   こ の た め,写

像 φ:Q→Rを

で 定 義 す る.φ

は 連 続 で あ り,Qは

し て,各x∈Qに (x∈FrQ)で

対 し 

が 成 り立 つ が,(5.5)に

で あ る が,(5.3)に

よ りφ(a)<φ(x)

い て 最 小 値 を と る か ら,Djφ(z)=0す

よ り 

,…,n)が

で あ る か ら,定

理3.7に

なわ ち

よ り,yi−fi(z)

得 られ る.

  か く て,z∈IntQが う なxの

存在

あ る か ら,z∈IntQ.

  φ は 微 分 可 能 な 関 数 で,zにお

=0(i=1

コ ン パ ク ト集 合 で あ る か ら,z∈Qが

存 在 し て,f(z)=yが

一 意 性 は(5.4)に

成 り立 つ こ と が 示 さ れ た.こ

のよ

よ る.

  い ま V=IntQ∩f−1(W) と お く.Vはaの →Vと

近 傍 で,f:V→Wは

全 単 射 で あ る.こ

の 逆 写 像 をg:W

し よ う.

  (5.4)に

よ り

 (5.4)′

で あ る か ら,gは

連 続 で あ る.gが

任 意 の 点y1=f(x1)∈W(x1∈V)に

微 分 可 能 で あ る こ と を 示 そ う.   fはx1∈Vにお

い て 微 分 可 能 で あ る か ら, f(x)=f(x1)+(df)x1(x−x1)+ξ(x,x1)

と お け ば,

おい て

  (5.6)

(5.3)に

よ り,(df)x1:Rn→Rnは

→Rnと

す る.

同 形 写 像 で あ る か ら,そ

の 逆 写 像 を μ:Rn

すなわち

が 成 り立 つ.こ

こ に η(y,y1)=−

ξ(f−1(y),f−1(y1)).従

っ て,gがy1に

お

い て 微 分 可 能 で あ る こ と を い うに は,  (5.7)

を 示 せ ば よ い.  μ は 線 形 写 像 で あ るか ら,

を み た す 正 数cが

存 在 す る.ゆ え に,

((5.4)′

が 成 り立 つ.gは (5.7)が

連 続 で あ る か ら,y→y1の

得 ら れ る.こ

れ で,gはy1に

  最 後 に,gはCr級   gは

よ り

お い て 微 分 可 能 で あ る こ と が 示 さ れ た.

逆 写 像 で あ る か ら,各y∈Wに

逆 写 像 で あ る.従

っ て,定

(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n)の はCr−1級

っ て(5.6)に

で あ る こ と を 示 そ う.

微 分 可 能 で,fの

(df)g(y)の

と きx→x1.従

に よ り)

理3.7に

対 し,(dg)yは

よ り,各Digj(y)はDifj(g(y))

有 理 式 で あ る こ と が わ か る.各Difj:V→R

関 数 で あ る か ら,あ

るk(
対 しgはCk級

す れ ば,各Digj:W→RはCk級

関 数 と な り,従

写 像 と な る.と

写 像 で あ る か ら,gはCr級

こ ろ が,gはC0級

写 像 で あ る と仮 定

っ てg:W→VはCk+1級 写 像 で あ る. (証 終)

  問1 

定 理5.1に

お い てfの

微 分 の 連 続 性 を 仮 定 す る 必 要 が あ る こ と を,

次 のf:R→Rを

  問2  fは

考 え る こ とに よ り示 せ:

f:U→RnをRnの

開 集 合Uで

単 射 で,各x∈Uに

対 し 

写 像 と し(r≧1),

と 仮 定 す る.こ

開 集 合 で,f−1:f(U)→UはCr級   5.1.2 

定 義 さ れ たCr級

の と き,f(U)は

写 像 で あ る こ と を 示 せ.

逆 関 数 の 定 理 か ら い ろ い ろ の 有 用 な 定 理 が み ち び か れ る.次

に,こ

れ を 述 べ よ う.   次 の 定 理 を 陰 関 数 の 定 理 と い う.   定 理5.2 UをRm+pの 1≦r≦

開 集 合 と し,f:U→RmをCr級

∞).Rm+p=Rm×Rpと

の 行 列 式 は0で とbのRpに

写 像 と す る(p>0,

考 え て,点(a,b)∈Uに

な い と 仮 定 す る.こ お け る あ る 近 傍V2に

対 し,f(a,b)=0で,

の と き,aのRmに 対 し,次

お け る あ る:近

の(ⅰ),(ⅱ)が

傍V1

成 り立 つ.

  (ⅰ) V1×V2⊂U.   (ⅱ) 

各y∈V2に

  さ ら に,こ

対 し,g(y)∈V1がf(g(y),y)=0に

のg:V2→V1はCr級

よ り一 意 的 に 定 ま る.

写 像 で あ る.

  証 明   写 像F:U→Rm+pを F(x,y)=(f(x,y),y)  に よ り定 義 す る.FはCr級

(Eは

単 位 行 列)で

写 像 で,Fの(a,b)に

あ る か ら, 

(a,b)∈V⊂U,(0,b)∈Wを →WはCr級

((x,y)∈U) お け る ヤ コ ビ行 列 は

よ っ て,逆 み た すRm+pの

微 分 同 相 写 像 と な る.こ

開 集 合V,Wが

こ に,aのRmに

関 数 の 定 理 に よ り, 存 在 し,F:V お け る 近 傍V1とb

のRpに

お け る 近 傍V2′

  h:W→V1×V2′ →Rmを

に 対 し,V=V1×V2′

をF:V1×V2′

射 影 と す る .こ

→Wの

と 仮 定 し て よ い. 逆 写 像 と し,π:Rm+p=Rm×Rp

の と き,(x,y)∈Wに

対 し

h(x,y)=(πh(x,y),y) で あ る か ら,

と な り, f(πh(0,y),y)=0 が 得 ら れ る.よ

っ て,V2={y∈Rp￨(0,y)∈W}と

お き,g:V2→V1を

g(y)=πh(0,y) で 定 義 す る と き,V2はbのRpに y)=0が

お け る 近 傍 でV2′

に 含 ま れ,関

係 式f(g(y),

成 り立 つ.

  逆 に,gが

こ の 関 係 式 を み た す と き, F(g(y),y)=(f(g(y),y),y)=(0,y)

で あ る か ら, (g(y),y)=hF(g(y),y)=h(0,y) と な り,g(y)=πh(0,y)が

得 ら れ る.

  i:V2→Wをi(y)=(0,y)で

で あ り,i,π

はC∞

定 義 す る と き,gは

級 でhはCr級

合成

写 像 で あ る か ら,gはCr級

写 像 で あ る.

こ れ で 求 め る 定 理 は 示 さ れ た.    定 理5.3 

f:U→RmをRnの

(証終) 開 集 合Uで

に 対 し,rank(df)a=mす す る.こ

の と き,Rn=Rm×Rn−mの

あ る 近 傍Vの

上 へ のCr級

な わ ち(df)aは 点(f(a),0)の

微 分 同 相 写 像h:W→Vが fh(x)=π1(x) 

が 成 り立 っ.こ

定 義 さ れ たCr級

こ に π1:Rn=Rm×Rn−m→Rmは

写 像 と し 

全 射 で あ る と仮 定

あ る 近 傍Wか 存 在 し て,

(x∈W) 射 影.

ら,aの

 証 明   仮 定 に よ りヤ コ ビ行 列(Jf)aの

は0で

あ る小行 列式

な い.{1,2,…,n}={i1,…,im,j1,…,jn−m}と

し て,線

形 写 像g:Rn

→Rnを g(x1,…,xn)=(xi,…,xim,xj1,…,xjn−m) で 定 義 し,U=g(U),f=f°g−1:U→Rmと

お く.fはCr級

写 像 で あ る.ま

た,

で あ る か ら,

の 行 列 式 は0で

で 定 義 し よ う.こ

な い.い

こに

ま,写 像F:U→Rnを

π2:Rn=Rm×Rn−m→Rn−mは

で あ る か ら,Fのg(a)に

お け る ヤ コ ビ行 列 式 は0で

定 理 に よ り,g(a)∈V⊂U,Fg(a)∈Wを し,F:V→WはCr級 像 と し,ま はaの

射 影.FはCr級

な い.従

み た すRnの

っ て,逆

開 集 合V,Wが

微 分 同 相 写 像 と な る.h:W→VをF:V→Wの

た,V=g−1(V)と

し て,h=g−1°h:W→Vと

近 傍 で あ り, Fg(a)=(fg(a),π2g(a)−

π2g(a))=(f(a),0)

写 像 で,

お く.こ

関 数の 存在 逆写

の と き,V

で あ る か ら,Wは(f(a),0)の あ り,x∈Wの

近 傍 で あ る.ま

れ で 求 め る 定 理 が 示 さ れ た. 

  定 理5.4 

f:U→RmをRnの

開 集 合Uで

に 対 し,rank(df)a=nす

のCr級

の と き,f(a)の

あ る 近 傍Wか

微 分 同 相 写 像h:W→Vが

が 成 り立 っ.こ

(証 終) 定 義 さ れ たCr級

な わ ち(df)aは らRmの

単 射 で あ る と仮 定 す

点(a,0)の

あ る 近 傍Vの

(x∈f−1(W))

こ にi1:Rn→Rmはxを(x,0)に

  証 明   仮 定 に よ り,ヤ

写 像 と し 

存在 して

hf(x)=i1(x) 

は0で

微 分 同相写 像 で

とき

が 成 り立 っ.こ

る.こ

た,hはCr級

コ ビ行 列(Jf)aの

うつ す 写 像. あ る小 行 列 式

な い.{1,2,…,m}={i1,…,in,j1,…,jm−n}と

し て,線

形 写 像g:Rm

→Rmを g(x1,…,xm)=(xi1,…,xin,xj1,…,xjm−n) で 定 義 し,f=g°f:U→Rmと

お く.fはCr級

で あ るか ら

の 行 列 式 は0で

な い.い

で 定 義 す る.FはCr級

ま,写

写 像 で,

像F:U×Rm−n→Rmを

写 像 で あ る.ま

た,

上へ

で あ る か ら,Fの(a,0)に

お け る ヤ コ ビ行 列 式 は0で

定 理 に よ り,(a,0)∈V⊂U×Rm−n,F(a,0)∈Wを Wが

存 在 し,F:V→WはCr級

→Wの

近 傍 で あ り,.F(a,0)=f(a)=gf(a)で

で あ る.ま

た,hはCr級

=f(x)gf(x)∈Wで

っ て,逆

み た すRmの

関数 の

開 集 合V,

微 分 同 相 写 像 と な る.h:W→VをF:V

逆 写 像 と し,W=g−1(W),h=h°g:W→Vと

(a,0)の

な い.従

お く.こ

の と き,Vは

あ る か ら,Wはf(a)の

微 分 同 相 写 像 で あ り,x∈f−1(W)の

近傍

と き,F(x,0)

あ る か ら,

が 成 り立 っ.こ

れ で 求 め る定 理 は 示 さ れ た. 

(証終)

  5.2  微 分 方 程 式 の 解 の 存 在 定 理   5.2.1  区 間Iで

を 

定 義 され た 連 続 写 像 φ:I→Rnとa,b∈Iに

で 表 わ す.こ

こ にφi:I→Rは

対 し,

φ の 成 分 関 数.

補題1

  証 明   s=(b−a)/m,tk=a+sk(k=1,2,…,m)と ル ム の 性 質に

よ り,

お く と き,積

分 の 定 義 と ノ

(証 終)   連 続 写 像f:B×I→Rnが 球 体B(x0,ρ)で,Iは

与 え ら れ た と す る.こ 閉 区 間[t0−q,t0+q]と

こ にBはRnに

す る.B×Iは

お け る閉 コ ン パ ク トで あ

る か ら,

を み た す 正 数 α が 存 在 す るが,い

を み た す 正 数rを

ま

任 意 に と っ て,J=[t0−r,t0+r]と

連 続 写 像 の つ く る 空 間CRn(J)の

お き,Jか

らRnへ

部 分 集合

を 考 え よ う.   補 題2 

(ⅰ)  GはCRn(J)の

  (ⅱ)  φ∈Gに

閉 集 合 で あ り,従

っ てGは

完 備 で あ る.

対 し

と お く と き,φ*∈G.   (ⅲ) φ

を φ*に

うつ す 写 像T:G→Gは

 証 明   (ⅰ) φn∈G(n∈N)と 対 し 

連 続 で あ る.

とす る と き,各nに

し,  で あ り,ま

存 在 し て,  意 の ε>0に

た,任

意 の ε>0に

の と き  対 し, 

が 得 られ る.ゆ の 完 備 性 は 定 理2.17と   (ⅱ)  補 題1に

で あ る か ら,φ*∈G.

対 し,自

然 数n0が

が 成 り立 つ.従

っ て,任

が 成 り立 つ か ら,  え に φ∈G.よ 定 理3.14に

よ り,各t∈Jに

っ てGはCRn(J)の よ る. 対 し

閉 集 合 で あ る.G

の

  (ⅲ)  よ り,正

εを 任 意 の 正 数 と す る.B×Jは

コ ン パ ク トで あ る か ら,定

数 δ が 存 在 し て,  が 成 り立 っ.従

が 成 り立 ち,補

題1に

が 得 ら れ る.ゆ

え に, 

の と き,  っ て, 

な らば

よ り,

な ら ば 

よ っ てT

は 連 続 で あ る.    5.2.2 

(証 終)

開 区 間Iに

お い て定 義 された 写像

(φ1′,…,φn′):I→Rnを φi:I→Rの

理2.12に

φ′ と 表 わ す.こ

φ:I→Rnが こに

微 分 可 能 の と き,

φi′:I→Rは

φ の成 分 関数

導 関 数.

  f:U→RnをRn+1の

開 集 合Uで

(x∈Rn,t∈R)で

表 わ そ う.こ

な 写 像 φ:I→Rnに

定 義 さ れ た 写 像 と し,Uの

の と き,あ

点 を(x,t)

る 開 区 間Iで

定義 さ れ た 微 分可 能

変 数 と しRnに

値 を とる未知 写像 と

解 φ:I→Rnで

あ っ て φ(t0)=x0と

対 し て,

が 成 り立 つ な ら ば,φ

は微 分 方 程式

  (5.8) 

x′=f(x,t)

の 解 で あ る と い う.こ

こ にxは

実数tを

み な さ れ て い る.   (x0,t0)∈Uが

与 え ら れ た と き,(5.8)の

な る も の を 初 期 条 件 φ(t0)=x0を   (5.8)を

成 分 関 数 に 分 け て 書 け ば,実数tを

未 知 関 数x1,x2,…,xnに   (5.9)  と な る.こ

み た す 解 と い う. 変 数 と し 実 数 に 値 を も つn個

関 す る連 立 微 分 方 程 式

x1′=f1(x1,…,xn,t),…,xn′=fn(x1,…,xn,t) こ にf1,…,fn:U→Rは

与 え ら れ た 関 数.

の

  注 意   一 般 に,変 と くに(5.9)の   Rnの

数 と未 知 関 数 お よび そ の 導 関 数 を 含 む 方 程 式 を 微 分 方 程 式 とい い,

形 の 微 分 方 程 式 を 正 規 形 の1階 常 微 分 方 程 式 とい う.

開 集 合Uで

… ,m)の →Rmと

定 義 さ れ た 写 像f:U→Rmの

偏 導 関数Djfi:U→Rが

成 分 関数fi:U→R(i=1,

存 在 す る と き,Djf=(Djf1,…,Djfm):U

書 く.

  微 分 方 程 式(5.8)の

初期 条 件 をみた す解 の存在 と一意 性 に 関 し次の定 理 が成

り立 つ.   定 理5.5 

f:U→RnはRn+1の

U→Rn(1≦j≦n)が

開 集 合Uで

存 在 し て 連 続 で あ る と 仮 定 す る.こ

  (ⅰ)  任 意 の(x0,t0)∈Uに 初 期 条件

定 義 さ れ た 連 続 写 像 で,Djf:

φ(t0)=x0を

対 し,微

分 方 程 式(5.8)の

み た す も の が 存 在 す る.こ

の と き, 解 φ:(a,b)→Rnで

こ に(a,b)はt0を

含む あ る

開 区 間.   (ⅱ)  ψ:(a,b)→Rn,χ:(c,d)→Rnは(5.8)の す も の と す る と き,ψ,χ   証 明   (ⅰ)  B×I⊂Uが

間[t0−q,t0+q]を 1≦j≦n)は

は(a,b)∩(c,d)に

Uは(x0,t0)を

成 り立つ.こ

離 空 間 で,連

こ にBはRnに

が 成 り立つ.

コン パ ク トで,fお

そ の 上 で 連 続 で あ る か ら,正

成

∈CRn(J)￨φ(J)⊂B}と

∈Gに

対 し 閉区

よ びDjfi(1≦i≦n,

数 α,β が 存 在 し て,

り 立つ.k(0
お く.補

続 写 像T:G→Gが

た,φ,ψ

る 正 数 ρ,qに

お け る 閉 球 体B(x0,ρ)で,Iは

表 わ す.B×Iは

に よ り定 義 さ れ る.ま   (5.10)

お い て 一 致 す る.

含 む 開 集 合 で あ る か ら,あ

(x∈B,t∈I,1≦i≦n,1≦j≦n)が

と し て,G={φ

解 で 同 じ初 期 条 件 を み た

対 し

題2に

任 意 に1つ

よ り,Gは

と り,

完 備 な距

 実 際,定

理4.10によ

り

が 成 り立つ か ら,補 題1に

 い ま,定

理2.21を

を み た す φ∈Gの

が 成 り立つ か ら,こ   (ⅱ)  ψ,χ

よ り,各t∈Jに

適 用 す る こ と に よ り,T(φ)=φ

れ で(ⅰ)が

示 さ れ た.

は と も に 同 じ 開 区 間(a,b)で

ゆ え に,Nが(a,b)の あ る か ら,N=(a,b)と

Nが

す なわ ち

存 在 が わ か る.こ の φ に 対 し

せば よ い.N={t∈(a,b)￨ψ(t)=χ(t)}と

  Nが

対し

定 義 さ れ て い る と し,ψ=χ す る.t0∈Nで

あ る か ら,

開 集 合 かつ 閉 集 合 で あ る こ と を 示 せ ば,(a,b)は な り,求

を示

連結で

め る 結 果 が 得 ら れ る.

閉 集 合 で あ る こ と は,ψ,χ

が 連 続 写 像 で あ る こ と よ り直 ち に 得 ら れ る.

開 集 合 で あ る こ と を 示 そ う.

  τ∈Nを (ⅰ)に

任 意 の 点 と し,  お け る と 同 様 に,正

B=B(ξ,ρ)の

各 点xと

と す る.(ξ,τ)∈Uで 数

ρ,q,α,β

が 存 在 し て,Rnに

閉 区 間I=[τ−q,τ+q]の

各 点tに

が 成 り立つ.ψ,χ

あ る か ら, お け る閉 球 体

対 し て,  は 連 続 で あ る か ら,

正 数 δ が 存 在 し て,￨t− つ.い

ま,k(0
と お き,J=[τ 間Gお

τ￨<δ な ら ば  任 意 に1つ

−r,τ+r]と

が 成 り立

とって

す る.こ

の と き,(ⅰ)と

同 様 に,完

備 な距 離空

よ び 連 続 写 像T:G→Gが

に よ り定 義 さ れ,(5.10)が み た す φ∈Gは

ψ′(t)=f(ψ(t),t),χ

す る.明

理2.21に

ら か に ψ1,χ1∈Gで

′(t)=f(χ(t),t)(t∈(a,b))で

成 り立つ.従

ゆ え に,ψ,χ

え に,定

よ り,T(φ)=φ

っ て,上

は(τ−r,τ+r)で

あ り,ψ(τ)=χ(τ)=ξ, あ る か ら,T(ψ1)=ψ1,

で 示 し た こ と に よ り,ψ1=χ1が 一 致 し,τ

はNの

内 点 で あ る.よ

開 集 合 で あ る.    問1 

初 期 条 件φ(t0)=x0を

  5.3 

連 続 写 像 で,各t∈(a,b)に

う つ す 写 像ft:Rn→Rnは

(x0,t0)∈Rn×(a,b)に

得 ら れ る. っ てNは (証 終)

f:Rn×(a,b)→Rnは

f(x,t)∈Rnに

を

一 意 的 に き ま る.

  ψ1=ψ￨J,χ1=χ￨Jと

T(χ1)=χ1が

成 り立 つ.ゆ

対 し,微

対 し,x∈Rnを

線 形 写 像 と す る.こ

分 方 程 式x′=f(x,t)の

の と き,任

意の

解φ:(a,b)→Rnで,

み た す も の が 存 在 す る こ と を 示 せ.

初 期 条 件 に 関 す る微 分 可 能 性

  5.3.1 

微 分 方程 式 x′=f(x,t)

の 解 の 初 期 条 件 に 関 す る 連 続 性 と 微 分 可 能 性 につ い て 考 察 し よ う.   ま ず,こ   定 理5.6 

の 小 節 で そ の た め の 準 備 を し よ う. f:W→RnをRn+m+1の

Djf:W→Rn(1≦j≦n)が

開 集 合Wで

定 義 さ れ た 連 続 写 像 と し,

存 在 し て 連 続 で あ る と 仮 定 す る.Rn+m+1の

点を

(x,μ,t)(x∈Rn,μ ∈Wに

∈Rm,t∈R)で

対 し,Rnに

お け る ρ 近 傍O(x0,ρ),Rmに

開 区 間(t0−r,t0+r)お り,次

表 わ そ う.こ の と き,任 意 の 点(x0,μ0,t0) お け る σ 近 傍O(μ0,σ),

よ び 連 続 写 像 

を と

の 条 件 を み た す よ うに で き る:

ここに   証 明   定 理5.5の(ⅰ)の

証 明 に お け る よ う に,正

数 ρ,q,σ,α,β

  I=[t0−q,t0+q]に

  が 成 り 立つ を1つ 0<ρ

定 め て, 

対 して

よ う に で き る.k(0
,J=[t0−r,t0+r]と

′<ρ な る ρ′を と り,B′=B(x0,ρ′)と

す る.こ

を と り,

お く.ま

の と き,5.2の

た,

補 題2と

様 に し て,

は 完 備 で あ り,連 続 写 像T:G→Gが

に よ り定 義 で き る こ と が わ か る.さ

が 得 ら れ る.よ

っ て,定

を み た すφ ∈Gの

理2.21を

存 在 が わ か る.こ

ら に,(5.10)の

適 用 し て,T(φ)=φ

証 明 と 同 様 に し て,

す なわ ち

の φに 対 し

が 成 り立つ か ら,求 め る結 果 が 示 され た. 

(証終)

同

  補 題1  る.ま

UをRnの

開 集 合,VをRmの

た,f:U×V→Rを

の と き,連

存在

続 写 像hi:U×U×V→R(i=1,2,

存 在 して

(x,y∈U,z∈V)が

成 り立 つ.

  証 明   x,y∈U,z∈Vが ら,正

凸 集 合 と仮 定 す

連 続 関 数 と し,Dif:U×V→R(1≦i≦n)が

し て 連 続 で あ る と 仮 定 す る.こ … ,n)が

開 集 合 と し,Uは

任 意 に 与え られ た と す る.Uは

数 ε が 存 在 し,各s∈(−

sをf((1−s)x+sy,z)に よ う.gx,y,zは

ε,1+ε)に

凸 開 集 合 で あ るか

対 し て(1−S)x+sy∈Uが

うつ す こ と に よ り,gx,y,z:(−

成 り立 つ.

ε,1+ε)→Rを

定義 し

連 続 微 分 可 能 で,

ま た,

ゆ え に,hi:U×U×V→Rを

で 定 義 す れ ば,

  hiが 連 続 で あ る こ と は 次 の よ うに 示 さ れ る.  の 点 と す る.Difは

連 続 で,Iは

コ ン パ ク トで あ る か ら,任

正 数 δ が 存 在 し て,  べ て のs∈Iに

意 の 正 数 ε に 対 し, の と き,す

対 して ￨Dif((1−s)x+sy,z)−Dif((1−s)x0+sy0,z0)￨<ε

が 成 り立 つ.こ

を任 意

の と き,5.2の

補 題1に

よ り,

￨hi(x,y,z)−hi(x0,y0,z0)￨<ε

 ⅱ

で あ る か ら,hiは

連 続 で あ る. 

(証 終)

  定 理5.7 f:W→RnをRn+m+1の

開 集 合Wで

Dif:W→Rn(1≦j≦n+m)が

存 在 し て 連 続 で あ る と 仮 定 す る.こ

意 に 与 え ら れ た 点(x0,μ0,t0)∈Wに 開 区 間(t0−r′,t0+r′)お と り,次

定 義 さ れ た 連 続 写 像 と し,

対 し,Rmに

の と き,任

お け る σ′近 傍O(μ0,σ′),

よ び 連 続 写 像 φ:O(μ0,σ′)×(t0−r′,t0+r′)→Rnを

の 条 件 を み た す よ う に で き る:

 ⅰ)

が存在 して連続で

) 

あ り,

こ こ に 

で, 

は

で 与 え ら れ る も の と す る.   証 明   定 理5.6で

述 べ たO(x0,ρ),O(μ0,σ),(t0−r,t0+r)お

像 φ:O(μ0,σ)×(t0−r,t0+r)→Rnを r′(
対 しⅱ)が

考え る.こ

よび連続 写

の と き,あ

る 正 数 σ′(<σ),

成 り立 つ こ と を 示 そ う.

  座 標 の 入 れ 替 え に よ りj=1の

場 合 に な お せ る か ら,こ

の場 合 につ い て証 明

し よ う.   μ0=(s0,ν0)(s0∈R,ν0∈Rm−1)と

表 わ す と き,あ

る 正 数 εに 対 し て, 

が 成 り立 つ.  と お く.こ

の と き 

で あ る か ら,補

題1を

適 用 す る ことに よ り

が 得 ら れ る.こ

こ にs1,s∈(s0−

ε,s0+ε),ν

hk:U×U×V→Rn(k=1,2,…,n+1)は

∈O(ν0,ε),t∈(t0−r,t0+r)で, 連 続 写 像.

を

で 定 義 す る.ま

た, 

に お け る対 角 線 の 補 集 合 を

Eで 表 わ し て, 

で 定 義 し よ う.こ

を

の と き,hkは

で あ り,ψ(s1,s,ν1,t0)=0が

連 続 写 像 で,

成 り 立 つ.

と お き,

 を

で 定 義 す れ ば,hは (0,s0,s0,ν0,t0)∈W′

連 続 で,Djh:W′ で あ る か ら,定

→Rn(1≦j≦n)が 理5.6に

よ り,正

存 在 し て 連 続 で あ り, 数 σ′(≦ε),r′(≦r)と

連 続 写 像χ:  が存 在 して

が 成

り立 つ.

  以 上 に よ り,s1,s∈(s0− り定 義 さ れ る 写 像

σ′,s0+σ

′), ν

∈O(ν0,σ

′)の と き,ψ,χ

ψs1,s,ν:(t0−r,t0+r)→Rn, χs1,s,ν:(t0−r′,t0+r′)→Rn

は い ず れ も微 分 方 程 式

に よ

の 同 じ 初 期 条 件 を み た す 解 で あ る こ と が 示 さ れ た か ら,定

理5.5に

よ り, 

の と き, t∈(t0−r′,t0+r′)に

が 成

り 立 つ.従

っ て,s∈(s0−

こ れ は,μ=(s,ν)∈O(μ0,σ し てχ(s,s,ν,t)に

対 し,

σ′,s0+σ ′),ν∈O(ν0,σ′),t∈(t0−r′,t0+r′)の

と き

′),t∈(t0−r′,t0+r′)の

存 在

と き,D1φ(μ,t)が

一致 す る こ と を 示 し て い る か ら, 

が 存 在 し て 連 続 で あ り,

こ の は じめ の 式 は, 

が 存在 して連

続 で あ る こ と を 示 し て い る.一 方,

の 右 辺 はsに

関 し て 微 分 可 能 で あ る か ら,i=1,2,…,nに

ゆ え に,    い ま,定

対 し,

が 存 在 し て 連 続 で あ る. 理4.11に

よ り,Dm+1D1φ=D1Dm+1φ

で あ る か ら,

こ れ で 求 め る 定 理 は 完 全 に 証 明 さ れ た.    定 理5.8  る(1≦l≦ 5.7に

f:W→RnをRn+m+1の ∞).こ

お け る 

の と き,任

開 集 合Wで

(証 終) 定 義 さ れ たCl級

意 に 与 え ら れ た 点(x0,μ0,t0)∈Wに はCl級

写 像 とす 対 し,定

写 像 で あ る.

理

  証 明  l=1の

と き は 定 理5.7に

証 明 す る.l−1の る か ら,定

場 合 の 結 果 を 仮 定 し よ う.こ

理5.7で

級 で あ る.従

よ り 明 ら か で あ る か ら,lに

はCl−1 を

納 法 の 仮 定 を こ のgと

る 等 式 と 定 理5.5の(ⅱ)よ あ る こ と が わ か る.ゆ

任 意 に 与 え ら れ た 

で あ る.ま

と な り,lの

り,Djφ

適 用 す れ ば,定 理5.7のⅱ)に

は(μ,t)の

おけ

あ る 近 傍 に お い てCl−1級

で

え に,  た,定

はCl−1級

  5.3.2 

写像であ

述 べ たfk, 

に 対 す る(Djφ(μ,t),μ,t)に

はCl級

はCl−1級

っ て, 

で 定 義 し,帰

はCl−1級

の と き,φ

関 す る帰 納 法 で

理5.7のⅰ)に

で あ る.よ

よ り, 

っ て, 

場 合 の 結 果 が 示 さ れ た. 

微 分 方 程 式x′=f(x,t)の

(証 終)

解 の 初 期 条 件 に 関す る連 続 性 に 関 し て 次 の

定 理 が 成 り立 つ.   定 理5.9 

f:U→RnはRn+1の

U→Rn(1≦j≦n)が t0∈R)と

す る.こ

開 集 合Uで

定 義 さ れ た 連 続 写 像 で,Dif:

存 在 し て 連 続 で あ る と 仮 定 し,(x0,t0)∈U(x0∈Rn, の と き,正

数 σ′,r′お よ びRn+2の

で 定 義 さ れ た 連 続 写 像φ:L→Rnが t0+σ ′)に 対 し,φ

存 在 し て,各

開集 合

ξ∈O(x0,σ

′),τ ∈(t0− σ′,

に よ り定 義 さ れ る 写 像 

方 程 式x′=f(x,t)の

初 期 条 件 

は微分 を み た す 解 と な る.

  証 明   λ:Rn×Rn×R×Rを  λ は 連 続 写 像 で,λ(0,x0,t0,0)=(x0,t0)∈Uで し て, 

で 定 義 す る と き, あ る か ら,正

数 ρ,σ,rが

存在

に 対 し,λ(W)⊂U

が 成 り立 つ.g:W→Rnを

で 定 義 す る.gは

連 続 で,Djg:W→Rn(1≦j≦n)が

存 在 し て 連 続 で あ る.従

っ て,定

理5.7に

よ り,正

数

t0+σ′)×(−r′,r′)→Rnが

(ξ∈O(x0,σ′),τ   い ま,定

σ′,r′ お よ び 連 続 写 像

ψ:O(x0,σ′)×(t0−

σ′,

存 在 し て

∈(t0− σ′,t0+σ′),t∈(−r′,r′))が

理 に 述 べ たLを

考 え,連

成 り立 つ.

続 写 像 φ:L→Rnを

に よ り定 義 す れ ば,

で あ る か ら,φ

は 求 め る も の で あ る. 

  微 分 方 程 式(1)の

(証 終)

解 の 初 期 条 件 に 関 す る 微 分 可 能 性 に 関 し,次

の定理 が成

り立 つ.   定 理5.10 

f:U→RnをRn+1の

開 集 合Uで

(1≦l≦ ∞),(x0,t0)∈U(x0∈Rn,t0∈R)と びRn+2の

定 義 さ れ たCl級

す る.こ

の と き,正

写 像 とし

数 σ′,r′お よ

開集合

に お い て 定 義 さ れ たCl級

写像

φ:L→Rnが

存 在 し て,各

ξ∈O(x0,σ′),τ

(t0− σ′,t0+σ′)に 対 し,φ

に よ り定 義 さ れ る 写 像φ(ξ,τ):(τ−r′,τ+r′)→Rn

は 微 分 方 程 式x′=f(x,t)の

初 期 条 件 φ(ξ,τ)(τ)=ξを み た す 解 と な る.

  証 明   定 理5.8を

用 い て,定

理5.9と

  系   f:U→RnをRnの

開 集 合Uで

x0∈U,t0∈Rと

の と き,正

す る.こ

×(t0−r′,t0+r′)→Rnが

存 在 し て,各

れ る 写 像 φξ:(t0−r′,t0+r′)→Rnは =ξ を み た す 解 と な る.

同 様 に 示 さ れ る.  定 義 さ れ たCl級

ξ∈O(x0,σ′)に

(証終)

写 像 と し(1≦l≦

数 σ′,r′お よ びCl級

∞),

写 像 φ:O(x0,σ

対 し,φ

微 分 方 程 式x′=f(x)の

∈

′)

に よ り定 義 さ 初 期 条 件 φξ(t0)

  5.4 

1パ

  5.4.1 

ラ メ ー タ ー 変 換 群,イ

A⊂Rnと

て φt:A→Aを

ソ トピ ー

し,φ:A×R→AをC∞ φt(x)=φ(x,t)で

級 写 像 と す る.各t∈Rに

定 義 す る と き,

が 成 り立つ な らば,φ

をAの1パ

  各φt:A→AはC∞

級 写 像 で あ り,φ−t°φt=φt°φ−t=1Aで

A→AはC∞

ラ メ ー タ ー 変 換 群 と い う.

開 集 合Uの1パ

に 対 し φ(a):R→Uを

定 義 す る.こ

関 す る 微 分 方 程 式x′=f(x)の

  実 際,b=φ(a)(t)と

が 成 り立つ.ま

み た す 解 で あ る.

た,φ(a)(0)=φ0(a)=a. ラ メ ー タ ー 変 換 群φ の 無 限 小 変 換 と い う.

定 義 す れ ば,φ

はRnの1パ

Rn→Rnはf(x)=aで

対 し,φ:Rn×R→Rnをφ(x,t)=x ラ メ ー タ ー 変 換 群 で,そ

の 無 限 小 変 換f:

与 え ら れ る.

任 意 に 与 え ら れ た α,β ∈Rに

はR2の1パ

R2はf(x1,x2)=(αx1,βx2)で   例3 

値 を と る未 知 写 像

得 ら れ,

任 意 に 与 え ら れ た 点a∈Rnに

で 定 義 す れ ば,φ

の と き,φ(a)はRnに

級 写 像f:U→

お く と き,

  上 のfをUの1パ

  例2 

定 義 し,C∞

初 期 条 件 φ(a)(0)=aを

で あ る か ら,(dφ(b))0=(dφ(a))tが

+taで

φt:

ラ メ ー タ ー 変 換 群 と す る.各a∈U

φ(a)(t)=φ(a,t)(t∈R)で

Rnをf(a)=φ(a)′(0)で

  例1 

あ る か ら,各

級 微 分 同 相 写 像 で あ る.

  φ:U×R→UをRnの

xに

対 し

任 意 に 与え

対 し,φ:R2×R→R2を

ラ メ ー タ ー 変 換 群 で,そ 与 え ら れ る.

ら れ た α,β∈Rに

対 し,φ:R2×R→Rを

の 無 限 小 変 換f:R2→

で 定 義 す れ ば,φ

はR2の1パ

R2はf(x1,x2)=(αx1+βx2,−   一 般 に,Rnの

βx1+αx2)で

開 集 合Uで

し て ベ ク トルf(x)を と よ び,fがCr級

ラ メ ー タ ー 変 換 群 で,そ

の 無 限 小 変 換f:R2→

与 え ら れ る.

定 義 さ れ た 写 像f:U→Rnを,Uの

対 応 さ せ る も の と み た 場 合,こ 写 像 の と き,こ

各 点xに

れ をU上

の ベ ク トル 場 はCr級

b)→Uが =f(ρ(t))を

の ベ ク トル 場

で あ る と い う.

  ベ ク トル 場f:U→Rnが 区 間(a,b)で

対

与 え ら れ た と き,開

定 義 さ れ た 微 分 可 能 な 写 像 ρ:(a, 存 在 し て,各t∈(a,b)に み た す な ら ば,ρ

対 し,ρ′(t) を ベ ク トル 場fの

積 分 曲 線 と い う. f:U→RnをUの1パ U上

のC∞

ラ メ ー タ ー 変 換 群 φ の 無 限 小 変 換 と す る と き,fは

級 ベ ク トル 場 で,各a∈Uに

の 積 分 曲 線 で あ る.φ(a)の

対 し,φ(a):R→Uは

像 す な わ ち 集 合{φ(a)(t)￨t∈R}をaの

ベ ク トル 場f 軌 道 とい

う.   例2,3に

述 べ た1パ

ラ メ ー タ ー 変 換 群 の 軌 道 の よ うす は 次 の 図 の よ う に な る.

(例2:β<0<α)

(例2:0<β<α)

(例3:α=0,β<0)

(例3:α>0,β<0)

  UをRnの

開 集 合 と し,C∞

こ の と き,fを

級 ベ ク トル 場f:U→Rnが

無 限 小 変 換 に も つUの1パ

そ れ は 一 意 的 に 定 ま る.実

ラ メ ー タ ー 変 換 群 が 存 在 す れ ば,

際,φ,ψ:U×R→Uを

上 に 示 し た よ う に,各a∈Uに

っ て φ=ψ

こ の よ う な も の と す れ ば,

対 し,φ(a),ψ(a):R→Uは

の 同 じ初 期 条 件 を み た す 解 で あ る か ら,定 で,従

与 え ら れ た と す る.

微 分 方 程 式x′=f(x)

理5.5の(ⅱ)に

よ り,φ(a)=ψ(a)

が 成 り立 つ.

  し か し な が らfを と は 限 ら な い.例

無 限 小 変 換 に もつ1パ え ば,1へ

ラ メ ー タ ー 変 換 群 がつ ね に 存 在 す る

の 定 値 写 像f:(0,1)→Rの

場 合 が そ う で あ る.

こ れ に 関 し て 次 の 定 理 が 成 り立 つ.   定 理5.11 f:U→RnをRnの

開 集 合U上

に 含 ま れ る あ る コ ン パ ク ト集 合Aに こ の と き,fを

のC∞

級 ベ ク トル 場 と し,U

対 し,f(U−A)=0が

無 限 小 変 換 と す るUの1パ

成 り立つ と す る.

ラ メー ター変換 群

φ:U×R→U

が 存 在 す る.   証 明   定 理5.10の

系に よ り,各a∈Uに

像 

対 し,正

が 存 在 し て,各x∈O(a,σa)に

よ り定 義 さ れ る 写 像 φa(x):(−ra,ra)→Rnは 件 φa(x)(0)=xを Aは

数 σa,raお

み た す 解 と な る.各

コ ン パ ク トで あ る か ら,有

点a∈Aに

対 し,O(a,σa)を

限 個 の 点a1,…,ak∈Aに

定f(U−A)=0と

定 理5.5の(ⅱ)に

級写

対 し,φaに

微 分 方 程 式x′=f(x)の

初期条 考え る と き,

対 し, 

が 成 り立つ.r=min{ra1,ra2,…,rak}と   こ の と き,仮

よ びC∞

お く. よ り,C∞

級 写 像 φ:U

×(−r,r)→Uが

に よ り定 義 さ れ,各x∈Uに は 微 分 方 程 式x′=f(x)の

対 し,φ

初 期 条 件 φ(x)(0)=xを

  こ の φ に 対 し,s,t,s+t∈(−r,r)の x∈Uと =φ(x,S)で

に よ り定 義 さ れ る φ(x):(−r,r)→Rn

し,ψ(x,t)=ψ(x,s+t)と

み た す 解 で あ る こ と が わ か る.

と き,φs+t=φt°

φsが 成 り立つ.実

お けば,Dn+1ψ(x,t)=f(ψ(x,t)),ψ(x,0)

あ る か ら,ふ た た び 定 理5.5の(ⅱ)に

よ り,ψ(x,t)=φ(φ(x,s),t)

際,

が 得 ら れ る.よ

っ て,φ(x,s+t)=φ(ψ(x,s),t)す

な わ ち φs+t=φt° φsが 成 り

立 つ.   ゆ え に,次 →Uに

の よ う に 定 義 す る こ と に よ り,上

た は 正 の 整 数 で,0≦

φt° φsが 成 り立 つ.以

ε
級写 像

φ:U×R

開 集 合Uで

x∈Uに

対 し ベ ク トル(D1f(x),…,Dnf(x))∈Rnを のCr−1級

の と き,明

らか に,φs+t=

上 に よ り求 め る φ が 構 成 さ れ た. 

  Rnの

fの

φ はC∞

拡 張 す る こ と が で き る:

こ こ にmは0ま

U上

の

定 義 さ れ たCr級

写 像f:U→Rが

(証終) 与え ら れ た と き,各

対 応 さ せ る こ と に よ り,

ベ ク トル 場 が 定 義 さ れ る.こ

れ を∇fま

た はgrad

fで

表 わ し,

勾 配 と い う.

  ρ:(a,b)→Uを 理4.7に

開 区 間(a,b)で

定 義 さ れ た 微 分 可 能 な 写 像 と す る と き,定

よ り

 (5.11)

が 成 り立 つ.   定 理5.12 f:U→RをRnの 区 間[a,b]に

開 集 合Uで

対 し,f−1([a,b])は

rank(df)x=1と

仮 定 す る.こ

定 義 さ れ たC∞

級 写 像 と し,閉

コ ン パ ク トで,各x∈f−1([a,b])に の と き,f−1(a)とf−1(b)と

対 し

はC∞

級 微分 同相

開 集 合 で,コ

ン パ ク ト集

で あ る.   証 明   U1={x∈U￨rank(df)x=1}と 合f−1([a,b])を

含 む.従

お くU1は

っ て,f−1([a,b])⊂U2⊂U2⊂U1を

ン パ ク トで あ る よ う な 開 集 合U2が

存 在 す る.い

ま,定

写 像h:Rn→Rで,h(f−1([a,b])=1,h(Rn−U2)=0を る が,こ

のhを

用 い て,写

で 定 義 す る.gはU上 U2の

補 集 合 の 上 で は0を

み た し,U2が 理4.14に

よ り,C∞

コ 級

み た す もの が 存 在 す

像g:U→Rnを

のC∞

級 ベ ク トル 場 で あ り,Uの

と る.従

っ て,定

理5.11に

コ ン パ ク ト部 分 集 合 よ り,gを

無 限小 変換

と す るUの1パ

ラ メ ー タ ー 変 換 群φ:U×R→Uが

(x,t)∈U×Rに

対 し,(5.11)に

らば(f°φ(x))′(t)=1.ゆ

な らば 

え に,x∈f−1(a)

が 成 り立 ち,φb−a(x)∈f−1(b)が

様 に,y∈f−1(b)な

らばφa−b(y)∈f−1(a).ゆ

像φb−a:U→Uはf−1(a)をf−1(b)の   問1 f:R→Rをf(x)=x2で 1パ

の と き,各

よ り,

で あ る か ら,φ(x)(t)∈f−1([a,b])な

る.同

存 在 す る.こ

え に,C∞

得 られ

級微 分 同相写

上 に うつ す.  定 義 す る と き,fを

(証 終) 無 限 小 変 換 と す るRの

ラ メ ー タ ー 変 換 群 は 存 在 し な い こ と を 示 せ.

  5.4.2 

A⊂Rm,B⊂Rnと

考 え る.Cr級

し,閉

区 間[0,1]に

写 像f0,f1:A→Bに

対 し,A×[0,1]⊂Rm+1と

対 し,Cr級

F(a,0)=f0(a), 

写 像F:A×[0,1]→Bで

F(a,1)=f1(a) 

(a∈A)

を み た す も の が 存 在 す る な ら ば,f0とf1はCr級 Fをf0のf1へ

のCr級

ホ モ トピ ー と い う.

  f0,f1:A→BがCr級 ーF:A×[0

ホ モ トー プ で あ る と き,f0のf1へ

,1]→Bと

のCr級

ホ モ トピ

し て,

を み た す も の を と る こ と が で き る.実 λ(t)=0(t≦0)で

ホ モ トープ で あ る と い い,

際,λ:R→Rを

λ(t)=e−1/t(t>0),

定 義 し,φ:[0,1]→[0,1]を

で 定 義 す る と き,φ で あ る か ら,f0のf1へ

はC∞

級 写 像 で,φ(t)=0(0≦t≦1/3),φ(t)=1(2/3≦t≦1) の 任 意 のCr級

1A×φ:A×[0,1]→A×[0,1]とHの   こ の こ と を 用 い る と き,Cr級

ホ モ ト ピ ーH:A×[0,1]→Bに 合 成 をFと

対 し,

す れば よ い.

ホ モ トー プ と い う 関 係 は 同 値 関 係 で あ る こ と

が 容 易 に 示 さ れ る.   f0,f1:A→BがCr級

ホ モ ト ー プ で あ り,ま

た,g0,g1:B→CがCr級

ホモ

ト ー プ で あ れ ば,g0°f0とg1°f0,g1°f0とg1°f1がCr級 従 っ てg0°f0,g1°f1:A→CがCr級   f0,f1:A→BをCr級

ホ モ トー プ で あ る こ と が わ か る.

微 分 同 相 写 像 と す る.f0のf1へ

F:A×[0,1]→Bで

あ っ て,各t∈[0,1]に

す 写 像Ft:A→BはCr級 とf1はCr級

ホ モ トー プ で あ り,

のCr級

ホ モ トピ ー

対 し,a∈AをF(a,t)∈Bに

うつ

微 分 同 相 写 像 で あ る よ う な も の が と れ る な ら ば,f0

イ ソ トー プ で あ る と い い,Fをf0のf1へ

のCr級

イ ソ トピ ー

と い う.   ホ モ ト ピ ー に つ い て 上 に 述 べ た こ と は,イ

ソ ト ピ ー につ い て も 同 様 に 成 り立

つ こ と が わ か る.   イ ソ ト ピ ー に つ い て は,ま と し,f0,f1:U→VをCr級

た,次

の こ と が 成 り 立つ:U,VをRnの

微 分 同 相 写 像 と す る と き,f0,f1がCr級

ー プ な ら ば ,f0−1,f1−1:V→UもCr級 のCr級

イ ソ トー プ で あ る.実

イ ソ ト ピ ーF:U×[0,1]→Vに

F(x,t)=(F(x,t),t)で 各(x,t)に

対 し(dF)(x,t):Rn+1→Rn+1は

で 全 単 射 で あ る が,さ

っ て,f0−1のf1−1へ

ト ピ ーG:V×[0,1]→UがG(y,t)=π°F−1(y,t)で

るφt:A→Aは

関数 の定 理 のCr級

与 え ら れ る.こ

イソ

こ に π:

ラ メ ー タ ー 変 換 群 と す る と き,各t∈Rに

恒 等 写 像1A:A→AにC∞

Snを

単 位n球

際,fのgへ

写 像 と す る.各x∈Sn

成 り立つ な ら ば,fとgはCr級

のCr級

対す

級 イ ソ トー プ で あ る.

面 と し,f,g:Sn→SnをCr級

に 対 し‖f(x)−g(x)‖<2が る.実

ら に,

射 影.

  例4 φ:A×R→Aを1パ

  例5 

際,f0のf1へ

全 単 射 で あ る か ら,逆

微 分 同 相 写 像 で あ る.従

U×[0,1]→Uは

イ ソト

対 し,F:U×[0,1]→V×[0,1]を

定 義 す る と き,FはCr級

に よ り,FはCr級

開集合

ホ モ トー プ で あ

ホ モ ト ピ ーF:Sn×[0,1]→Snが

F(x,t)=((1−t)f(x)+tg(x))/‖(1−t)f(x)+tg(x)‖ で 与 え ら れ る.   例6 

f:Rn→Rnがf(0)=0を

(df)0:Rn→RnにC∞ ソ トピ ーF:Rn×[0,1]→Rnが

み た すC∞ 級 イ ソ トー プ で あ る.実

級 微 分 同 相 写 像 の と き,fは 際,(df)0のfへ

のC∞

級イ

で 与え

ら れ る.FがC∞

級 写 像 で あ る こ と は,f(x)=x1g(1)(x)+…+xng(n)(x)

と 書 く と き,F(x,t)=x1g(1)(tx)+…+xng(n)(tx)と

な る こ と よ り 明 ら か.こ

こ にg(j):Rn→Rn(j=1,…,n)はg(j)i(0)=Djfi(0)(i=1,…,n)を C∞ 級 写 像(4.3の

問1参

照).

  定 理5.13 UをRnの し,微

連 結 開 集 合 と す る と き,Uの

分 同 相 写 像f:U→Uで,f(a)=bを

→UとC∞

次 の 条 件ⅰ)‐ⅲ)を hは

み た し,かつ,恒

と き,C∞

対

等 写 像1U:U

級 微 分 同 相 写 像h:Rn→Rnで,

み た す も の が 存 在 す る こ と を 示 そ う:

恒 等 写 像 にC∞

 ⅱ) ‖x‖>1な  ⅲ) 

任 意 の2点a,bに

級 イ ソ ト ー プ で あ る も の が 存 在 す る.

  証 明   ま ず,b∈Rnで‖b‖<1の

 ⅰ) 

み たす

級 イ ソ トー プ で あ る.

らばh(x)=x.

h(0)=b.

  λ:R→Rを

λ(t)=e−1/t(t>0),λ(t)=0(t≦0)で

定 義 し,さ

ら に,μ:Rn

→Rを

で 定 義 す る.μ はC∞

を み た す.い

ま,x∈Rnに

場 を 考 え れ ば,定 1パ

級 写 像 で,

理5.11に

ベ ク トル(μ(x)/‖b‖)b∈Rnを よ り,こ

ラ メ ー タ ー 変 換 群φ:Rn×R→Rnが

対 応 さ せ る ベ ク トル

の ベ ク トル 場 を 無 限 小 変 換 に も つRnの 存 在 す る.こ

の と き,φ(0)(t0)=bと

な るt0∈Rが

存 在 し,h=φt0:Rn→Rnと

お く と き,hは

求 め る もの で あ る こ

と は 容 易 に 示 さ れ る.   さ て,定 b∈Uのつ

理 の 証 明 に うつ ろ う.a∈Uを く る 集 合 をU1と

→Uで,1UとC∞

任 意 に 固 定 し,次

す る:aをbに

うつ すC∞

級 微 分 同 相 写 像h:U

級 イ ソ トー プ で あ る も の が 存 在 す る .

  こ の と き,U1はUの

開 集 合 で あ る.実

れ る 近 傍O(b,ε)が し,bをxに

存 在 す る が,上

うつ すC∞

際,b∈U1と

す る と き,Uに

含ま

で 示 し た こ と に よ り,各x∈O(b,ε)に

対

級 微 分 同 相 写 像g:U→Uで

ソ トー プ で あ る も の が 存 在 す る か ら,goh:U→Uを が 得 られ,O(b,ε)⊂U1が

成 り立 つ.

  U2=U−U1と

の と き,U2もUの

す れば,あ

の条件 を みた す

お く.こ る ε>0に

ば,x∈O(b,ε)∩U1に で あ っ て,1UにC∞ す る 上 のgの

対 しO(b,ε)⊂Uで 対 し,aをxに

開 集 合 で あ る.実 あ る が,も うつ すC∞

際,b∈U2と

し

な ら

級 微 分 同 相 写 像f:U→U

合 成 す る こ と に よ り,b∈U1が

れ とxに

対

得 られ,b∈U2に

にO(b,ε)⊂U2.

  と こ ろ が,Uは

連 結 で,

で あ る か ら,U2=φ

と な り,U=U1が

り立 つ.    問2 

級 イ

考 え る こ と に よ り,x∈U1

級 イ ソ トー プ で あ る も の が 存 在 す る か ら,こ

逆 写像g−1を

矛 盾 す る.ゆえ

あ っ て,1UにC∞

成 (証 終)

f:Rn→Rnを

こ の と き,fは

線 形 空 間 の 同 形 写 像 と し,そ

恒 等 写 像 にC∞

れ は 向 き を 保つ

級 イ ソ ト ー プ で あ る こ と を 示 せ.

と す る.

6. 

  6.1 

空 間

ユ ー ク リ ッ ド空 間 に お け る 多 様 体

  6.1.1 

単 位 球 面Snを

考 え,U+=Sn−(0,…,0,1),U−=Sn−(0,…,0,−1)

と お く と き,Sn=U+∪U− 像φ+:U+→Rn,φ−:U− Rnの

多 様 体,接

で,4.3の →Rnが

例1で

示 し た よ う に,C∞

存 在 す る.従

開 集 合 と 微 分 同 相 な も の が と れ る.次

っ て,Snの

級 微分 同相 写

各 点 の 近 傍 と して

に 定 義 す る よ うに,こ

の よ うな 性

質 を もつ 空 間 は 多 様 体 と よ ば れ て い る.   Mを

ユ ー ク リ ッ ド空 間Rpの

部 分 集 合 と し,MをRpに

よ り位 相 空 間 と 考 え る.Mの 級 微 分 同 相 写 像φ

開 集 合UとUか

の 組(U,φ)をMの  が 

こ こにmは

らRmの

を み た す と き,UをMの

一 定 の 自然 数 とす る.Mの

お,(U,φ)がMの

開 集 合 の 上 へ のC∞

座 標 近 傍 と い い,Mの

座 標 近 傍 の 族U 座 標 近 傍 系 と い う.

座 標 近 傍 系 が 存 在 す る と き,MをRp

に お け るC∞ 級 可 微 分 多 様 体 と い い,mをdimMで う.な

対 す る相 対 位 相 に

表 わ し て,Mの

次 元 とい

座 標 近 傍 の と き,φ−1:φ(U)→MをUに

パ ラ メ ー タ ー 表 示 とい い,a∈Uな

らば,(U,φ)をaのMに

おけ る

お け る座標 近傍

とい う.   各r=1,2,…

に 対 して も 同 様 にCr級

可 微 分 多様 体 が 定 義 さ れ る.ま た,微

分 同 相 写 像 を 単 に 同 相 写 像 とす る こ と に よ り,同 様 に し て,C0級 され る.C0級

多 様 体 を ふつ う位 相 多 様 体 とい う.

  C∞ 級 可 微 分 多 様 体 は 滑 ら か な 多 様 体 と も よば れ る.明 に 対 しCr級

多 様体 が 定義

可 微 分 多 様 体 で あ り,ま た,位

  本 書 で は,以 下,C∞

らか に,こ

れ は 各r

相 多 様 体 で あ る.

級 可 微 分 多 様 体 の み を 取 扱 う の で,こ

れ を簡 単 に 多様

体 と よぶ こ と に す る.   例1  Rnを

Rnの

任 意 の 開 集 合UはRnに

包 含 写 像 とす る と き,(U,i)は

  例2 f:U→RkをRnの

お け る 多 様 体 で あ る.実

際,i:U→

座 標 近 傍 で あ る.

開 集 合Uで

定 義 さ れ たC∞

級 写 像 とす る と き,

fの

グ ラフ

はRn+kに

お け るn次

元 多 様 体 で あ る.実

定 義 す る と き,(Γf,φ)はΓfの   例3 

際,φ:Γf→Rnをφ(x,y)=xで

座 標 近 傍 で あ る.

は じ め に 述 べ た こ と か ら 明 ら か な よ う に,SnはRn+1に

元 多 様 体 で あ る が,Snの   i=1,2,…,n+1に

座 標 近 傍 系 と し て,ま

た,次

お け るn次

の も の が と れ る:

対 し,

と お く.{U1+,U1−,…,Un+1+,Un+1−}はSnの

開 被 覆 で あ る.pi:Rn+1→Rn

をpi(x1,…,xn+1)=(x1,…,xi−1,xi+1,…,xn)に

よ り 定 義 し,φi+:Ui+→Rn,

φi−:Ui−

の と き,φi+,φi−

→Rnをpiの

制 限 と し て 定 義 す る.こ

集 合V={x∈Rn￨‖x‖<1}の

上 へ のC∞

V→Ui+,φi−:V→Ui−

号 同 順)に

aに

よ り与えら

級 微 分 同 相 写 像 で あ る.ゆ

… ,(Un+1+,φn+1+),(Un+1−,φn+1−)}はSnの   定 理6.1 

M⊂Rpと

対 し,aのRpに

開

の 逆 写像φi+:

は

(こ こ にx=(x1,…,xn)で,複 φi−:Ui−VはC∞

級 写 像 で,φi+,φi−

はRnの

す る.Mがm次 お け る あ る 近 傍Vか

微 分 同 相 写 像 ψ が 存 在 し て,

の 成 り立つ こ とが 必 要 十 分 で あ る.

れ る か ら,φi+:Ui+→V,

え に,{(U1+,φ1+),(U1−,φ1−),

座 標 近 傍 系 で あ る. 元 多 様 体 で あ る た め に は,Mの らRpの

あ る 開 集 合 の 上 へ のC∞

各点 級

  証 明   (必 要)  MをRpに

お け るm次

座 標 近 傍 と す る.φ:U→ Rm→Rpは Wか

φ(U)はC∞

単 射 で あ る.従

らRpの

級 微 分 同 相 写 像 で あ る か ら,(dφ−1)φ(a):

っ て,定

点(0,φ(a))の

元 多 様 体 と し,(U,φ)をa∈Mの

理5.4に

よ り,aのRpに

あ る 近 傍 の 上 へ のC∞

お け る あ る近 傍

級微 分 同相写 像 ψが 存在

し て,

が 成 り立 つ.一 近 傍Oが

方,UはaのMに

お け る 近 傍 で あ るか ら,aのRpに

存 在 し て,U=O∩Mと

ψ はaのRpに

な る.い

お け る 近 傍Vか

らRpの

ま,V=O∩Wと

おけ る

お く.こ の と き,

開 集 合 ψ(V)の

上 へ のC∞ 級 微 分 同

相 写 像 で,

が 成 り立 つ.   (十 分)  U=V∩Mと

し,φ:U→Rmを

明 ら か に(U,φ)はaの

ψ(x)=(0,φ(x))で

座 標 近 傍 で あ る. 

(証終)

  定 理6.2 

f:U→RkをRpの

開 集 合Uで

k),b∈Rkと

す る.L=f−1(b)は

空 で な く,各a∈Lに

な ら ば,LはRpに   証 明   b=0と

お け るp−k次

らaの

存 在 し て,Wの

定 義 さ れ たC∞

級 写 像 と し(p≧

対 し,rank(df)a=k

元 多 様 体 で あ る.

し て も一 般 性 は 失 わ れ な い.仮

に お け る あ る 近 傍Wか W→Vが

定 義 す れ ば,

あ る 近 傍Vの

各 点(x1,…,xp)に

定 と 定 理5.3に 上 へ のC∞

よ り,0のRp

級 微 分 同 相 写像h:

対し

fh(x1;,…,xp)=(x1;,…xk) が 成 り立 つ.従 ∈Lが

っ て, 

得 ら れ る.ま

な ら ば,fh(x)=0で

た,h(x)∈Lな

ら ば,fh(x)=0で

xk=0と

な り,x∈0×Rp−kが

得 ら れ る.よ

V∩Lの

上 へ の 全 単 射 を 定 義 す る.ゆ

ば,  お け るp−k次

あ る か ら,x1=…=

っ て,hはW∩(0×Rp−k)の

え に,hの が 成 り立 ち,定

元 多 様 体 で あ る. 

あ る か ら,h(x)

逆 写像 を 理6.1に

ψ:V→Wと

すれ

よ り,LはRpに (証 終)

  例4 

定 理6.2を

用 い る と き,SnはRn+1に

と が,x∈Rn+1を‖x‖−1∈Rに 次 の 各 式 を み た す(x1,x2)ま

はR3に

お け る 多 様 体 で あ る か.

た は(x1,x2,x3)の

  (ⅰ)  x13+x23−3x1x2=0. 

さ れ る.

つ く る 集 合 はR2ま

た

(ⅱ) x13=x22.

  (ⅲ)  x12+2x1x3−2x2x3−x23=0,  fをx1,x2に

元 多様 体 で あ る こ

うつ す 写 像 を 考 え る こ と に よ り,示

  問1 

  問2 

お け るn次

2x1−x2+x3=0.

関 す る 実 係 数 の2次

式 と す る と き,{(x1,x2)∈R2￨f(x1,

x2)=0}が1次

元 多 様 体 と な る た め の 条 件 を 求 め よ.ま

た,fをx1,x2,x3に

す る 実 係 数2次

式 と す る と き,{(x1,x2,x3)∈R3￨f(x1,x2,x3)=0}が2次

関 元

多 様 体 と な る た め の 条 件 を 求 め よ.   問3 

Rnのk次

元 ア フ ィ ン部 分 空 間 はRnに

お け るk次

元 多 様体 で あ る こ

と を 示 せ.   問4 

MをRpに

お け るm次

元 多 様 体 と す る と き,N1={(x1,…,xp+k)∈

Rp+k￨(x1,…,xp)∈M}はRp+kに

お け るm+k次

ま た,Rp+={(x1,…xp)∈Rp￨x1>0}と

元 多 様 体 で あ る こ と を 示 せ.

お き,M⊂Rp+と

Rpに

お け るm次

す る と き,Mが

元 多 様 体 な らば, 

はRp+1に

お け るm+1

次 元 多 様 体 で あ る こ と を 示 せ.(例

え ば,

M={(x1,x2)∈R2￨(x−2)2+x22=1}な ら ば,N2は

  問5 

n次 の 直 交 行 列 の つ く る 集 合 はRn2に

で あ る こ と を 示 せ(4.2問2参

Rmの

れ ら も多 様 体 と して 取 扱 うた め,上

代 わ りに 半 空 間Hmを

お け るn(n−1)/2次

元 多様 体

照).

  6.1.2  上 に 述 べ た 多 様 体 の 定 義 に よれ ば,半 は な い.こ

左 図 の よ う に な る)

空 間 や 閉 球 体 な どは 多 様 体 で に述 べた 多 様体 の定 義に おい て

と る こ とに よ っ て 次 の よ うに 多 様 体 の 定 義 を 拡 張

す る.   Mを

ユ ー ク リ ッ ド空 間Rpの

部 分 集 合 と し,MをRpに

対す る相対 位相 に

よ り位 相 空 間 と考え る.Mの

開 集 合UとUか

級 微 分 同 相 写 像 φ の 組(U,φ)をMの   で  mは

らHmの

座 標 近 傍 とい い,Mの

を み た す もの をMの

一定 の 自然 数 とす る.Mの

開 集 合 の 上 へ のC∞ 座 標 近傍 の族

座 標 近 傍 系 と い う.こ こに

座 標 近 傍 系 が 存 在 す る と き,MをRpに

おけ

る(C∞ 級 可 微 分)多 様 体 とい う.   この よ うに 一 般 化 され た 多 様 体 に 対 し て は,次

の よ うに,境 界 とい う概 念 が

定 義 され る.   MをRpに (U,φ)と

お け る多 様 体 と し,a∈Mと して,φ(a)∈Rm−1×0を

境 界 点 とい い,Mの

す る.aのMに

お け る座 標 近 傍

み た す もの が とれ る と き,aを

境 界 点 全 体 の 集 合 を ∂Mで

表 わ して,多

多 様 体Mの

様 体Mの

境界

と い う.  

の と きMを

境 界 の あ る 多 様 体,∂M=φ

の と きMを

境 界 のな い 多

様 体 とい う.   次 に 示 す よ うに,aがMの

境 界 点 な らば,aの

対 し,φ(a)∈Rm−1×0が

任 意 の 座 標 近 傍(V,φ)に

成 り立 つ か ら,境 界 の な い 多 様 体 とは6.1.1で

述べ

た 多 様 体 に ほ か な ら な い.   a∈ ∂Mと す る と き,aの

座 標 近 傍(U,φ)で 

が 存 在 す る.  傍Oが

と し よ う.こ

存 在 し,φ°φ−1はOか

らRmへ

 が 成 り立 つ.従 Rmの

お け る近 各 点xに

対し

関 数 の 定 理 に よ り,φ°ψ−1(O)は

こ ろ が, 

 と な り, 

  以 後,な

の と き,φ(a)のRmに

のC∞ 級 写 像 で,Oの

っ て,逆

開 集 合 で あ る こ とが わ か る.と

を みた す もの

で あ るか ら, に 矛 盾 す る.ゆ

え に 

ん の こ とわ り もな く多 様 体 と い う と き は,境 界 は あ っ て も な くて も

よい も の と し,6.1.1の

意味 で の多 様体 は境 界 の ない多 様体 と よぶ こ と にす

る.   境 界 の あ るm次 あ る.た

だ し,0次

元 多 様 体Mの

境 界 ∂Mは

境 界 の な いm−1次

元多 様体 で

元 多 様 体 とは 可 算 個 の 点 か らな る離 散 位 相 空 間 の こ と で あ

る と す る.   実 際,a∈

∂Mと

U∩ ∂Mはaの

し,(U,φ)をaのMに

∂Mに

お け る 座 標 近 傍 と す る と き,U0=

お け る 近 傍 で,上

に 示 し た こ と に よ り, 

の 成 り立 つ こ と が わ か る.従 し,φ0:U0→Rm−1を

φ￨U0に

っ て,Rm−1×0をRm−1と

同一 視

よ り定 義 す る と き,(U0,φ0)はaの

∂Mに

お

け る 座 標 近 傍 で あ る.   明 ら か に,m次 の な いm次

元 多 様 体Mに

対 し,M−

∂MはMの

開 集 合 で,そ

れ は境 界

元 多 様 体 で あ る.

  注 意   MをRpに

お け る多 様 体 とす る と き,Rpの

部 分 集 合 と し て の 境 界FrMと

多

様 体 と して の境 界 ∂Mは 必 ず し も一 致 しな い.   次 の 定 理 は 定 理6.1と   定 理6.3  は,Mの

M⊂Rpと

各 点aに

の 上 へ のC∞

同 様 に 示 さ れ る. す る.MがRpに

対 し,aのRpにお

お け るm次

元多 様体 で あ るた め に

け る あ る 近 傍Vか

らRpの

あ る開集合

級 微 分 同 相 写 像 φ が 存 在 し て,

の 成 り立 つ こ とが 必 要 十 分 で あ る.

  定 理6.2に

関 連 し て,次

  定 理6.4 

f:U→RをRnの

{x∈U{f(x)≧0}は (df)a=1な

の 定 理 が 成 り立 つ. 開 集 合Uで

空 で な い と す る.こ

ら ば,MはRnに

お け るn次

定 義 さ れ たC∞

級 写 像 と し,M=

の と き,各a∈f−1(0)に

対 しrank

元 多 様 体 で,∂M=f−1(0)が

成 り立

つ.

  証 明  O={x∈U￨f(x)>0}はUの

開 集 合.従

っ てRnの

開 集 合 で あ る.

ゆ え に,f(a)=0(a∈U)の

と き,aのMに

る 開 集 合 の 上 へ のC∞

お け る あ る 近 傍Vか

級 微 分 同 相 写 像ψ

でψ(a)∈Rn−1×0を

らHnの

あ

み た す もの が 存

在 す る こ と を 示 せば よ い.   仮 定 と 定 理5.3に

よ り,0のRnに

の 上 へ のC∞

級 微 分 同 相 写 像hが

fh(x)=xnが

成 り立つ.従

が 得 ら れ る.ゆ

  問6 

Hnの

Rn−1×0で   問7 

お き,ψ:V→W∩Hnをhの

(証 終)

単 位n−1球

位n球

体BnはRnに

面Sn−1で

お け るn次

な らば

元 多 様 体 で,

あ る.

任 意 の 開 集 合UはRnに

お け るn次

元 多 様 体 で,∂U=U∩

あ る こ と を 示 せ.

の グ ラ フΓgで

開 集 合Uで お け るn次

定 義 さ れ たC∞

あ る こ と を 示 せ.

問4は

  問9 

x1=(2+tsin(s/2))coss,x2=(2+tsin(t/2))sins,x3=tcos(s/2)と

境 界 の あ る 多 様 体 に 対 し て も 成 り立つ こ と を 示 せ.

こ に0≦s<2π,−1≦t≦1.こ

の 部 分 集 合Mは

の と き,こ

メ ー ビ ウ ス の 帯(1.3の

に お け る 境 界 の あ る2次

Rpに

級 写 像 と す る と き,

元 多 様 体 で,∂Γfはg=f￨U∩Rn−1×0

  問8 

  6.2.1 

逆写像

で 定 義 す る と き, 

f:U→RkをHnの

  6.2 

対 し,

求 め る も の で あ る. 

グ ラ フΓfはRn+kに

る.こ

あ る近 傍

っ て,

あ る か ら,単

そ の 境 界 ∂Bnは

らaの

各 点x=(x1,…,xn)に

f:Rn→Rを 

rank(df)x=1で

fの

存 在 し,Wの

え に,V=h(W)∩Mと

と す る と き,(V,ψ)は   例5 

お け る あ る 近 傍Wか

例4参

す

れ ら(x1,x2,x3)の 照)に

つ く るR3

同 相 で あ り,そ

れ はR3

元 多 様 体 で あ る こ と を 示 せ.

おけ る多様 体 の接 空間

MをRpに

け る 座 標 近 傍(U,φ)を (dφ−1)φ(a):Rm→Rpを

お け るm次

元 多 様 体 と し,a∈Mと

任 意 に と り,φ−1:φ(U)→Rpのφ(a)に 考 え る.こ

義 で き る こ と に 注 意 す る(4.3.2参

こ に,a∈ 照).こ

す る.aのMに

お

お け る微 分

∂Mで

あ っ て も(dφ−1)φ(a)が 定

の と き,次

に 示 す よ うに,(dφ−1)φ(a)

の 像 は 座 標 近 傍 の と り方 に 関 係 せ ず,ま た,そ 間 で あ る.こ れ をTa(M)で

表 わ し,aに

接 空 間 とい う.な お,υ ∈Ta(M)の い い,(dφ−1)φ(a)(h)=υに

れ はRpのm次

お け るMの

と き,υ をaに

よ り定 ま るh∈Rmをυ

元線 形部 分空

接 ベ ク トル 空 間 また は

お け るMの

接 ベ ク トル と

の(U,φ)に

お け る成分 と

い う.

(U,φ),(V,ψ)をaの

座 標 近 傍 と す る.こ

は 可 換 で,φ(U∩V),ψ(U∩V)はHmの あ る か ら,定 成 り立つ.

理4.18に

の と き,図

式

開 集 合 で あ り,各 写 像 はC∞

よ り,こ れ らの 写 像 の 微 分 に 関 し,次

級で

の可換 な 図式が

ψ°φ−1は 微 分 同 相 写 像 で あ る か ら,(d(ψ°φ−1))φ(a)は同形 写 像 で あ る.ゆ

え に,

(dφ−1)φ(a)と(dψ−1)ψ(a)の 像 は 一 致 す る.   (U,φ)をaの 義 さ れ たC∞

座 標 近 傍 とす る と き,φ:U→RmはRpの 級 写 像 でa∈Uで

あ るか ら,aのRpに

義 さ れ たC∞ 級 写 像Φ:O→Rmで,O∩Uの す る.こ

部 分 集 合Uで

定

お け る あ る近 傍Oで

定

上 で は φ と一 致 す る もの が 存 在

の と き,図 式

(iは 包 含 写 像)は 可 換 で,OはRpの,φ(O∩U)はHmの

開 集 合 で あ り,

各 写 像 はC∞ 級 で あ るか ら,次 の 図 式 は 可 換 で あ る.

(di)φ(a)は

恒 等 写 像 で あ る か ら,(dφ−1)φ(a)は

の 像 はRpのm次

  例1  =Rnで   例2 

通 りTa(M)に

平 行 なm次

元 ア フ ィン部 分 空 間 をaに

接 空 間 と よん で い る.

Hnの

開 集 合Uを

あ る.n球 単 位n球

成 り立つ.こ

っ て(dφ−1)φ(a)

元 線 形 部 分 空 間 で あ る.

  注 意   解 析 幾 何 学 で は,aを お け るMの

単 射 で あ る.従

体Bnの 面Snの

多 様 体 と み な す と き,Uの 各 点aに

対 しTa(Bn)=Rnで

任 意 の 点aに

逆 写 像 と す る.a∈Ui±

あ る.

例3の

よ うに,Snの

座 標 近傍

考 え,ψi+,ψi−:V→Rn+1をφi+,φi−

と し,φi±(a)=υ

の 標 準 基 底 に 関 す る行 列 表 示 は

対 しTa(U)

対 し,Ta(Sn)={x∈Rn+1￨x⊥a}が

れ は 次 の よ うに 示 さ れ る.6.1の

{(Ui+,φi+),(Ui−,φi−}i=1,…,n+1を

各 点aに

と す る と き,(dψi±)υ:Rn→Rn+1

の

で あ る.こ

こ に, 

え に,h∈Rnに

白 の 部 分 の 成 分 は す べ て0と

す る.ゆ

対 し,

が 得 ら れ,=0.逆

で,空

±)υ(h)>=0が

成 り 立つ.よ

っ て,各x∈Ta(Sn)に

対 し

に,x=(x1,…,xi−1,t,xi,…,xn)∈Rn+1が=0を

み た す な

ら ば,

で あ る か ら,h=(x1,…,xn)∈Rnに

対 し て

が 成 り立 ち,x∈Ta(Sn).   問1  fの

f:U→RkをHnの

開 集 合Uで

グ ラ フ と す る と き,Γfの

Ta(Γf)は

定 義 さ れ たC∞

級 写 像 と し,Γfを

任 意 の 点a=(u,f(u))(u∈U)に

次 の 条 件 を み た す 点x∈Rn+kのつ

く る 集 合一

お け る接 空 間 致 す る こ と を 示 せ:

(よ って,解 析幾 何学 の意味 で の接 空 間 の方程式 は

  6.2.2 

MをRpに

と し,f:M→NをC∞

お け るm次

元 多 様 体,NをRqに

級 写 像 と す る.こ

お け るn次

の と き,各a∈Mに

元多 様 体

対 し,線

形 写像

(df)a:Ta(M)→Tf(a)(N) を 次 の よ う に 定 義 し,fのaに   fはRpの

部 分 集 合Mで

お け る 微 分 と い う. 定 義 さ れ たC∞

級 写 像 で,a∈Mで

あ る か ら,a

のRpに

お け る あ る 近 傍 で 定 義 さ れ たC∞

W∩Mの

上 で はfと

級 写 像F:W→Rqで

一 致 す る も の が 存 在 す る.(dF)a:Rp→Rqを

こ の と き,(dF)aはTa(M)をTf(a)(N)に (dF)a(υ)はFの

あ っ て,

うつ し,各υ

考 え よ う. ∈Ta(M)に

対 し

と り方 に 関 係 し な い こ と が 次 の よ う に 示 さ れ る か ら, (df)a(υ)=(dF)a(υ) 

(υ∈Ta(M))

と 定 義 す る.   (U,φ)をaのMに 傍 と す る.こ

お け る 座 標 近 傍,(V,ψ)をf(a)のNに

こ にU⊂W,f(U)⊂Vと

は 可 換 で あ る か ら,定

は 可 換 で あ る.ゆ (M)に

理4.18に

よ り,図

の と き,図

うつ し,各υ

∈Ta

と り方 に 関 係 し な い.

ユ ー ク リ ッ ド空 間 ま た は 半 空 間 の 開 集 合 の と き は,明

定 義 し た 微 分 は 第4章

式

式

え に,(dF)aはTa(M)をTf(a)(N)に

対 し(dF)a(υ)はFの

  M,Nが

仮 定 し て よ い.こ

お け る座 標 近

ら か に,上

に

で 述 べ た も の と 一 致 す る.

  次 の 定 理 は 容 易 に 示 さ れ る.   定 理6.5 

(ⅰ)  恒 等 写 像1:M→Mに

  (ⅱ) f:M→N,g:N→PがC∞

対 し,(d1)aは

恒 等 写 像 で あ る.

級 写 像 な らば, d(g°f)a=(dg)f(a)°(df)a.

従 っ て,f:M→NがC∞ 像 で,と

級 微 分 同 相 写 像 な ら ば,(df)aは

線形 空 間の 同形写

く にdimM=dimN.

  (ⅲ)  定 値 写 像f:M→Nに

対 し,(df)aは

零 写 像 で あ る.

  (ⅳ)  M⊂Nの

と き,包

含 写像i:M→Nに

  定 理6.2に

関 連 し て 次 の 定 理 が 成 り立 つ.

  定 理6.6 

定 理6.2に

(df)a:Rp→Rkの

お い て,L=f−1(b)の

核 に 一 致 し,従

対 し,(di)aは

点aに

単 射 で あ る.

っ て,Ta(L)は

お け る 接 空 間Ta(L)は 次 式 を み た すx∈Rpの

全

体 か ら な る:

(よ っ て,解

析 幾何学 の意 味 での接空 間 の方程 式は

  証 明  i:L→Uを

包 含 写 像 と す る と き,f°i:L→Rkは

(df)a(Ta(L))=0が

成 り立つ.従

っ て,Ta(L)⊂Ker(df)aで

は 全 射 で あ る か ら,dim(Ker(df)a)=p−kで る か ら,dimTa(L)=p−k.ゆ   例3 

R2=Cと

考え る と き,単

例2参

ま,任

意 に 与 え ら れ た整数kに

あ (証終)

表 わ さ れ, 対 し,f:S1→S1 を 

照).

x∈Rn+1を‖x‖2−1∈Rに

用 す る と き,例2の

た,dimL=p−kで

位 円 周S1は{z∈C￨￨z￨=1}と

定 義 す れ ば,(df)a:Tz(S1)→Tf(z)(S1)は 

に うつ す(4.2の

  例4 

あ り,ま

あ る が,(df)a

え にTa(L)=Ker(df)a. 

で あ る.い をf(z)=zkで

定 値 写 像 で あ る か ら,

うつ す 写像f:Rn+1→Rに

別 証 が 得 ら れ る.

  問2 f:S3→S2を f(x)=(x12+x22−x32−x42,2(x1x4+x2x3),2(x2x4−x1x3))

定 理6.6を

適

ⅱ) 

で 定 義 す る と き,各a∈S3に   6.2.3 

MをRpに

(V,ψ)をaに

対 し(df)aの

お け るm次

お け るMの

階 数 は2で

あ る こ と を 示 せ.

元 多 様 体 と し,υ ∈Ta(M)と

任 意 の2つ

に お け る 成 分 を そ れ ぞ れh,kと

の 座 標 近 傍 と し,υ

す る と き,明

す る.(U,φ),

の これ らの 座 標 近 傍

らか に

  (6.1)

が 成 り立つ.   Mを

境 界 の あ る 多 様 体 と し,a∈

で,ψ°φ−1はHmの

開 集 合φ(U)か

分 同 相 写 像 で あ り,ま か ら,ヤ

コ ビ行 列 

もつ.従

っ て,(6.1)に

標 近 傍(U,φ)に

∂Mと

す る.こ

らHmの

開 集 合 ψ(U)の

た,ψ°φ−1はRm−1×0の の 第m行 よ り,境

界 点aに

上 へ のC∞

点 をRm−1×0の

級微

点 に うつ す

は 形(0,…,0,amm)(amm>0)を お け る 接 ベ ク トルυ に 対 し,υ

の座

お け る 成 分hが

ⅰ ) 

ⅲ)

の い ず れ に 属 す るか は(U,φ)の   hがⅰ)に

の と き, 

と り方 に 関 係 しな い.

属 す る と きυ は 外 向 き で あ る

と い い(右 図),hがⅲ)に

属するとき υ

は 内 向 き で あ る とい う.ま た,hがⅱ)に 属 す る と き υは 境 界 に 接 す る とい う.   明 らか に,境 界 に 接 す るMの

接ベ ク ト

ル のつ く る集 合 は 包 含 写 像i:∂M→Mの aに

お け る 微 分(di)a:Ta(∂M)→Ta(M)の

像 と 一 致 し,Ta(M)のm−1

次 元 線 形 部 分 空 間 を つ く る.   MをRpに

お け る 多 様 体 とす る と き,区

間Iか

のC∞

らMへ

級 写 像 ρ:I→MをM

に お け るC∞ 級 曲 線 ま た は 滑 らか な 曲 線 とい う.こ の と き,各t∈Iに R→Tρ(t)(M)に

対 し,微 分(dρ)t:

よ る1の 像 を ρ のtに

る 速 度 ベ ク トル とい う.

おけ

  速 度 ベ ク トル は 接 ベ ク トル で あ る が,逆 に 対 し,C∞

級 曲 線 ρ:I→Mが

に,任

意 の 接 ベ ク トル

存 在 し てυ は あ る 点t0に

υ∈Ta(M)

お け る ρの速度 ベ ク

トル と な る.   実 際,aのMに

お け る 座 標 近 傍(U,φ)で

υ の(U,φ)に

お け る 成 分 をhと

ρ(t)=φ−1(th)で こ に,ε

定 義 す る と き,υ

と き はI=(−

  f:M→Nを

C∞ 級 曲 線f° ρ:I→Nのt0に

Rpに

様

お け るC∞

級 曲線

ρ:I→Mを

お け る ρ の 速 度 ベ ク トル で あ る.こ ∂Mの

と き はI=(−

ε,ε)と し,a

す る.

級 写 像 と し,υ ∈Ta(M)をC∞

お け る 速 度 ベ ク トル と す る.こ

多

み た す も の を と り,

ε,0]ま た はI=(0,ε]と

多 様 体 の 間 のC∞

→Mのt0に

  6.3.1 

は0に

を 十 分 小 さ い 正 数 と し て,a∈M−

∈ ∂Mの

  6.3 

し て,Mに

φ(a)=0を

の と き,明

級 曲 線 ρ:I

らか に,(df)a(υ)は

お け る 速 度 ベ ク トル で あ る.

体 含 ま れ るm次

元 多 様 体Mを

た す ハ ウ ス ドル フ 空 間 で あ る か ら,そ た,  開 被 覆 で あ っ て,次

をMの

考え る.Rpは

第2可

の 部 分 空 間 で あ るMも

算 公理 をみ

同 様 で あ る.ま

任 意 の 座 標 近 傍 系 と す る と き, 

の(ⅰ),(ⅱ)が

はMの

成 り立つ.   (ⅰ) 

各 λ∈Λ に 対 し,φλ:Uλ

RmはHmの

開 集 合φλ(Uλ)の

→

上へ の

同 相 写 像 で あ る.   (ⅱ)  各 λ,μ ∈Λ に 対 し,  はC∞

級

微 分 同 相 写 像 で あ る.   さ ら に,  傍 系 と す る と き,次   (ⅲ) 

像 

もMの の(ⅲ)が

各λ ∈Λ,σ ∈Σ

座標 近 成 り立つ.

に 対 し,写

はC∞ 級 微 分 同 相 写 像 で あ る.

  ユ ー ク リ ッ ド空 間 に お け る多 様 体 の もつ 以 上 の 性 質 に 着 目 し て,多 様 体 を 抽

象 的 に 次 の よ うに 定 義 す る.   位 相 空 間Mと φλ:Uλ →Rmの

自然 数mが

与 え られ た とす る.Mの

族{φλ}λ ∈Λに 対 し て 上 の(ⅰ),(ⅱ)が

φλ)}λ ∈ΛをMの

座 標 近 傍 系 とい う.Mの2つ に 対 して 上 の(ⅲ)が

系 は 同 値 で あ る と い う.容 易 に,こ こ の 各 同値 類 をMのC∞   Mを

成 り立つ と き,{(Uλ,

の 座 標 近 傍 系 

成 り立つ な らば,こ

れ ら2つ の 座 標 近 傍

の 関係 は 同 値 律 を み た す こ とが 示 さ れ る.

級 可 微 分 構 造 また はC∞

構 造 と い う.

第2可 算 公 理 を み た す ハ ウ ス ドル フ空 間 と し,M上

す る と仮 定 す る.こ (M,D)をC∞ Mで

開 被 覆{Uλ}λ∈Λと写 像

の と き,Mと

のC∞

そ の 上 の 任 意 に 指 定 さ れ たC∞

構 造 が存在 構 造Dの

級 可 微 分 多 様 体 また は 簡 単 に 多 様 体 と い う.(M,D)を

表 わ し,DをMのC∞

  多 様 体MのC∞

組

ふつ う

構 造 と い う.

構 造 を 代 表 す る任 意 の 座 標 近 傍 系{(Uλ,φλ)}λ ∈Λに対 し,

各(Uλ,φλ)をMの

座 標 近 傍 とい う.

  ユ ー ク リ ッ ド空 間 に お け る多 様 体 の と き と 同 様 に,次

元,パ

ラ メ ー タ ー 表 示,

境 界 な ど の概 念 が 抽 象 的 な 多 様 体 に 対 し て も定 義 され る.   な お,ユ

ー ク リ ッ ド空 間 に お け る多 様 体 の と き の よ うに,境 界 の な い 多 様 体

に 対 し て は,座

件(ⅰ)に

おける

境 界 の あ る多 様 体 とす る と き,境 界 ∂Mは 境 界 の な いm−1次

元多 様

Hm物 をRmと   Mを

標 近 傍 系 お まび 座 標 近 傍 の 定 義 に お い て,条 して も よい も の とす る.

体 で あ る.実 際,∂MをMに か にMは 造Dを

対 す る 相 対 位 相 に よ り位 相 空 間 とす る と き,明 ら

第2可 算 公 理 を み た す ハ ウ ス ドル フ空 間 で あ る.ま た,MのC∞ 代 表 す る任 意 の 座 標 近 傍 系  と し て,各

構

を え らび, 

λ∈Λ′に 対 し 

とお く と き,

は ∂Mの 座 標 近 傍 系 で,こ れ に よ っ て 代 表 さ れ る ∂MのC∞ 構 造 はDを

代 表 す る{(Uλ,φλ)}λ ∈Λの と り方 に 関 係 し な い こ とが わ か る.

  境 界 の あ る多 様 体 の 境 界 はつ ね に この よ うなC∞ 構 造 に よ り多 様 体 と考 え る も の とす る.   例1 

Mを

ユ ー ク リ ッ ド空 間 に お け る多 様 体 とす る と き,6.1で

述べ た 意味

で の 座 標 近 傍 系 は 上 で 述 べ た 意 味 で の 座 標 近 傍 系 で あ り,そ で あ る こ と が わ か る.ゆ

え に,6.1の

造 が 一意 的 に 定 ま り,Mは   例2 

意 味 で の 座 標 近 傍 系 に よ り,MのC∞

構

上 で 述 べ た 意 味 で の 多 様 体 と な る.

φ,ψ:R→Rをφ(x)=x,ψ(x)=x3(x∈R)で

R→RはC∞

れ らは す べ て 同 値

級 写 像 で な い か ら,Rの

定 義 す る とき,φ° ψ−1:

座 標 近 傍 系{(R,φ)}と{(R,ψ)}は

同

値 で は な い.   例3 

Mを

メ ービ ウ ス の 帯 と し,π:R×[−1,1]→Mを

射 影 と し て,(0,1)

×[−1,1),(0,1)×(−1,1],(−1/2,1/2)×[−1,1),(−1/2,1/2)×(−1,1]の π に よ る 像 を そ れ ぞ れU1,U2,U3,U4と

で 定 義 す る.こ

の と き,{(Ui,φi}i=1

易 に 示 さ れ る.φj°φi−1につ

よ っ て,メ   例4 

す る.ま

,2,3,4はMの

い て は,例

え ば,次

ー ビ ウ ス の 帯 は 境 界 の あ る2次 実 射 影 空 間RPnは

第2可

た,φi:Ui→H2を

座標 近傍 系 で あ る ことは容 の よ うに な る.

元 多 様 体 と な る.

算 公 理 を み た す ハ ウ ス ドル フ 空 間 で あ り,

次 の よ う な 座 標 近 傍 系{(V1,ψ1),…,(Vn+1,φn+1}が 傍 系 よ り定 ま るC∞

と れ る か ら,こ の 座 標 近

構 造 を 合 わ せ 考え る こ と に よ り,RPnは

元 多 様 体 と な る:   と し,ψi:Vi→Rnを

境 界 の な いn次

に よ り定 義 す る.こ

の と き,{V1,…,Vn+1}はRPnの

開 被 覆 で,ψiはRnの

上 へ の 同 相 写 像 で あ る こ と は 容 易 に み ら れ る.i<jな

で あ り,i>jな

ら ば,

ら ば,

で あ る か ら, 

はC∞

級 写 像 で あ る.

  問1 

と み な し,S2n+1の

2点(z1,…,zn+1)と(z1′,…,zn+1′)はzi′=zzi(i=1,2,…,n+1)を が 存 在 す る と き 同 値 で あ る と 定 義 す る.こ わ し,複

素n次

義 し,そ

れ は 境 界 の な い2n次

  問2 

R2に

の と き 得 ら れ る 商 空 間 をCPnで

元 射 影 空 間 と い う.例4に

お い て,そ

(−1)mx2+nを

み た すz∈C

な ら っ て,CPn上

のC∞

の2点(x1,x2),(x1′,x2′)に

み た す 整 数m,nが

対 し,x1′=x1+m,x2′=

存 在 す る と き,(x1,x2)と(x1′,x2′)は

の と き 得 ら れ る 商 空 間 を ク ラ イ ン(Klein)のび

こ れ は 境 界 の な い2次

元 多 様 体 で あ る こ と を 示 せ.

Mに

Mをm次

元 多 様 体 と し,N⊂Mと

お け る 座 標 近 傍(V,ψ)が

る.こ れ をMの NがMの   Nを

す る.Nの

元 多 様 体Mの

任 意 の 開 集 合 はMのm次

閉 集 合 で あ る と き,Mの

対 し,aの

様 体Mの

元 部分 多様 体で あ 部 分 多 様 体Nは,

閉 部 分 多 様 体 で あ る と い う.

元 部 分 多 様 体 とす る.NをMに

よ り位 相 空 間 と し,ま た,MのC∞

対す る相対位 相 に

構造 を 代 表 す る任 意 の 座 標 近 傍 系{(Uλ,

φλ)}λ ∈Λに対 し, 

と し て,λ ∈Λ0に 対 し 

と お く.こ の と き,Nは で あ り,ま た, 

ん と い う.

元 部 分 多 様 体 と い う.

開 部 分 多 様 体 とい う.な お,多

多 様 体Mのn次

各 点aに

同値

存 在 し て,

が 成 り立つ な らば,NをMのn次   明 らか に,m次

構 造 を定

元 多 様 体 と な る こ と を 示 せ.

で あ る と 定 義 す る.こ

  6.3.2 

表

はNの

第2可

算 公 理 を み た す ハ ウ ス ドル フ空 間

座 標 近 傍 系 で,こ れ の 表 わ すNのC∞

構 造 をD0と

す る と き,D0は 

て 定 ま る こ と が わ か る.よ

の と り方 に 関 係 せ ず,Dに

っ て,NはD0をC∞

構 造 と し て そ れ 自身1つ

よっ の多

様 体 と な る.   Nが

境 界 を もつ 多 様 体Mの

が 成 り立 ち,∂Nは

  定 理6.1,定 m次

∂Mの 部 分 多 様 体 で あ る こ とが 容 易 に 示 され る.

理6.3に

よ り,Rpに

元 部 分 多 様 体 に ほ か な ら な い.ま

様 体Mの

部 分 集 合Nは,Nの

ψ)が 存 在 して,ψ(V∩N)がRpに Mの

部 分 多 様 体 の と き は,

お け るm次 た,そ

各 点aに

れ ら の 定 理 よ り,境 界 の な い 多

対 し,aのMに

お け るn次

部 分 多 様 体 で あ る こ とが わ か る.な

元 多 様 体 とは 多 様 体Rpの

お,こ

お け る座 標 近 傍(V,

元 多 様 体 と な る な らば,Nは の と き, 

が 成 り立 つ.   注 意  微分 幾何 学 では部分 多様体 とい う言 葉 を も う少 し広 い意 味に おい て使 用 し,上 の 意味 で の部分 多様体 を正則 部分 多様 体 と よん でい る.   次 に,Mを

境 界 の な いm次

元 多 様 体,Nを(任

意 の)n次

元 多 様 体 と し,

積 空 間M×Nを

考え る.ま

た,M,NのC∞

構 造 をD1,D2と

表 す る任 意 の 座 標 近 傍 系 

とD2を

第2可

代

代 表す る任 意の 座標 近傍 系

 に 対 し,  M×Nは

し,D1を

を 考 え る.こ

の と き,

算 公 理 を み た す ハ ウス ドル フ空 間 で あ り,ま た, 

はM×Nの

座 標 近 傍 系 で,こ れ が 表 わ すM×NのC∞

{(Uλ,φλ)},{(Vσ,ψ とが わ か る.こ

構 造Dは

σ)}の と り方 に 関 係 せ ず,D1とD2に

のDをC∞

構 造 とす る 多 様 体M×Nを

よ って 定 ま る こ 多 様 体MとNの

積

多様 体 とい う*.   明 らか に,    例5  n+1次

が 成 り立 つ.

S1× … ×S1(n個)をn次

元 トー ラ ス とい う.こ れ はn次

元 多 様 体S1× … ×S1×B2の

元 多 様 体 で,

境 界 で あ る.

  6.3.3  抽 象 的 な 多 様 体 に 対 して はC∞ 級 写 像 を 次 の よ うに 定 義 す る.   Mをm次

元 多 様 体,Nをn次

こ の と き,MのC∞

元 多 様 体 と し,f:M→Nを

構 造 を 代 表 す る座 標 近 傍 系 

造 を 代 表 す る座 標 近 傍 系 

がC∞

連 続 写 像 とす る. とNのC∞

が 存 在 し て,各

級 写 像 で あ る な らば,M,NのC∞

構

λ∈Λ,σ ∈∑ に 対 し

構 造 を 代 表 す る任 意 の 座 標 近 傍 系

 に 対 し,ψ σ°f° φλ−1はC∞ 級 で あ る こ とが 容 易 に 示 され る.こ の よ うなf:M→Nを

多 様 体Mの

多 様 体Nへ

のC∞

級(可

微 分)写 像 また は 滑 ら か な 写 像 とい う.   恒 等 写 像1:M→Mは N→Pが

と もにC∞

が わ か る.さ 義 したC∞

明 らか にC∞ 級 写 像 な らば,合

らに,M,Nが

級 写 像 で あ る.ま た,f:M→N,g: 成g°f:M→PもC∞

ユ ー ク リ ッ ド空 間 に お け る 多 様 体 の と き,上 に 定

級 写 像 は 前 に 述 べ たC∞

級 写 像 と一 致 す る こ とが わ か る.

  多 様 体Mか

ら多 様 体Nへ

f−1:N→Mが

と もにC∞ 級 写 像 の と き,f:M→NをC∞

  *  境 界 を も つ2つ Conner-Floyd:Differential

級写 像 で あ る こと

の 多 様 体M,Nの periodic

の 写 像f:M→Nが

全 単 射 で,f:M→Nお

積 空 間M×NにC∞ maps,

Springer

よび

級 微分 同相 写像 と

構造を定義 す る 方 法 に つ い て は (1964)

p.10を

参 照.

い う.多

様 体M,Nに

MとNはC∞

対 し,C∞

級 微 分 同 相 写 像f:M→Nが

級 微 分 同 相 で あ る と い う.容

存 在 す る な ら ば,

易 に 示 さ れ る よ う に,こ

の関係 は

同 値 関 係 で あ る.   (U,φ)を

多 様 体Mの

座 標 近 傍 と す る と き,φ:U→

φ(U)はC∞

級微分同

相 写 像 で あ る.   例6 

射 影 π:Rn+1−0→RPn,π:Sn→RPnはC∞

  例7 

例2に

のC∞

述 べ たRの

構 造 をD,D′

同 相 で あ る.実

級 写 像 で あ る.

座 標 近 傍 系{(R,φ)},{(R,ψ)}よ

と す る と き,多

際,(R,D)か

り定 ま るR上

様 体(R,D)と(R,D′)はC∞

ら(R,D′)へ

のC∞

級微 分

級 微 分 同 相 写 像fが 

で 与 え ら れ る.   次 の 定 理 は 定 理4.14の   定 理6.7 

拡 張 で あ る.

Mはm次

元 多 様 体 で,AはMの

開 集 合 と し,A⊂Uと

す る.こ

の と き,C∞

コン パ ク ト集 合,UはMの 級 関 数f:M→Rで, 

を み た し,M−Uを

含 む あ る 開 集 合 の 上 で は0を

と る も の が 存 在 す る.   証 明   Aの

各 点aに

た す も の を 選 び,さ

対 し,aのMに ら に,Rmの

を み た し,Oは C∞

お け る 座 標 近 傍(V,ψ)でV⊂Uを 開 集 合O,Wで, 

コン パ ク トで あ る も の を 選 ぶ.定

理4.14に

級 関数g:Rm→Rで, 

Rm−Wを

み

よ り, を み た し,

含 む あ る 開 集 合 の 上 で は0を

と る も の が 存 在 す る.い

ま,写像h:

M→Rを

で 定 義 し よ う.明

ら か に,hはC∞

級 写 像 で, 

を み た し,M−Vを   Aは

コ ン パ ク トで あ る か ら,有

す る 上 のOをOiで a=aiに

含 む あ る 開 集 合 の 上 で は0を 限 個 の 点a1,…,ak∈Aが

存 在 し,a=aiに

表 わ す と き, 

対 す る 上 のhをhiで

と る.

表 わ し て,f:M→Rをf=(f1+…+fk)/kで

と な る.ゆ

対 え に, 定

義 す る と き,fは

求 め る も の で あ る. 

  次 の 定 理 は 定 理4.15の

(証 終)

拡 張 で あ る.

  定 理6.8 

Mを

多 様 体 と し, 

はMの

Vλ(λ ∈Λ)は

コ ン パ ク トで あ る と 仮 定 す る.こ

分 割 

が 存 在 す る.す

な わ ち,Mで

局 所 有 限 な 開 被 覆 で,

の と き,Vに

従 属 した 単 位 の

定 義 さ れ たC∞

級 実数 値 関数 の族

 で 次 の 条 件 を み た す も の が 存 在 す る:  ⅰ) 

各 λ∈Λ と 各x∈Mに

 ⅱ) 

各 λ∈Λ に 対 し, 

 ⅲ) 

各x∈Mに

  証 明   Mは る か ら,定 て,定

第2可

理2.25に

よ り,Mは

よ り,Mは

  M,Nを

多 様 体 と し,∂M=φ

と す る.こ

あ る こ と も5.4.2と

同 様 に し て 次 の 定 理 が 得 ら れ る.

  問1  MにC∞

級 イ ソ ト ー プ)で

らか にM−

∂Mも

連 結 な 多 様 体 と す る と き,M−

級 イ

あ る こ と,

級 イ ソ トー プ で

連 結 で あ る か ら,定

∂Mの

級 微 分 同 相 写像f:M→Mで,f(a)=bを

6.1の

閉 区間

全 く 同 様 の 方 法 で 示 さ れ る.

5.13と

1M:M→MにC∞

級微分 同相写像

級 ホ モ トー プ(C∞

イ ソ トー プ な ら ばf0−1とf1−1がC∞

連 結 な 多 様 体 と す る と き,明

Mを

級 写 像f0,f1:M→N

述 べ た の と全 く 同 様 の 方 法 で

級 ホ モ トー プ(C∞

  Mを

  定 理6.9 

(証 終)

た,C∞

れ ら の 関 係 は 同 値 関 係 で あ る こ と,C∞

写 像 の 合 成 はC∞

っ

の定理 を用 い る こと

級 イ ソ トー プ と い う 関 係 が,Mと

積 多 様 体 を 考 え る こ と に よ り,5.4.2で

さ ら に,f0とf1がC∞

し,C∞

の と き,C∞

級 ホ モ トー プ と い う 関 係 が,ま

対 し,f0とf1がC∞

ソ トー プ)な

え に,上

同 様 に し て 求 め る 結 果 が 示 さ れ る. 

0とf1がC∞

f0,f1:M→Nに

パ ラ コン パ ク トな ハ ウ ス ドル フ 空 間 で,従

正 規 空 間 で あ る.ゆ

理4.15と

定 義 さ れ る.こ

に 含 ま れ る.

算 公 理 を み た す 局 所 コン パ ク トな ハ ウ ス ドル フ 空 間 で あ

に よ り,定

[0,1]の

の 閉 包 はUλ

対 し,

理2.26に

に 対 しf

対 し,0≦fλ(x)≦1.

任 意 の2点a,bに

み た し,かつ,恒

理

対 等 写像

級 イ ソトー プ で あ る も の が 存 在 す る. 問4,問8で

述 べ たN1,N2は

級 微 分 同 相 で あ り,ま

た,6.1の

そ れ ぞ れ 積 多 様 体R×M,S1× 問9のMは

メ ービ ウ ス の 帯 にC∞

級 微 分 同 相 で あ る こ と を 示 せ.   問2 

実 射 影 空 間 か ら そ れ 自身 へ の 写 像f:RPn→RPnを f([x1,…,xn+1])=[y1,…,yn+1], yi=ai1x1+…+ain+1xn+1 

に よ り 定 義 す る.た の と き,fはC∞

(i=1,…,n+1)

だ し,aij∈Rで,行

列 式det(aij)は0で

級 微 分 同 相 写 像 で あ る こ と を 示 せ.(上

な い と す る.こ の よ うな 形 の 写 像 を

射 影 変 換 と い う.)   問3 Mを

多 様 体,Uを

こ の と き,各x∈Uに

対 し,x∈V⊂Uを

M→Rが

存 在 し,f￨V=f￨Vが

  6.4 

多様 体 の接 空 間

  6.4.1 

Rpに

る と き,aに

そ の 開 集 合 と し,f:U→RをC∞ み た す 開 集 合VとC∞

元 多 様 体Mの 任 意 の2つ

点aに

お け る 接 ベ ク トルυ を 考 え

の 座 標 近 傍(U,φ),(V,ψ)に

そ れ ら の 座 標 近 傍 に お け る 成 分h,kの (6.1)が

級 写 像f:

成 り立つ こ と を 示 せ.

お け るm次

お け るMの

級 関 数 と す る.

間 に は,6.2.3で

対 し,υ

み た よ う に,関

の

係式

成 り立 つ.

  こ の 関 係 式 に 着 目 し て,抽

象 的 な 多 様 体 に お け る 接 ベ ク トル を 次 の よ う に 定

義 す る.   Mをm次

元 多 様 体 と し,a∈Mと

す る.aに

お け るMの

の ベ ク トル を 対 応 さ せ る 対 応 が 次 の 条 件 を み た す と き,こ るMの

接 ベ ク トル と い う:aに

に 対 し,こ

れ ら に 対 応 し て い る ベ ク トル をh,kと

  接 ベ ク トルυ に よ っ て,座 hをυ

の(U,φ)に

のMに

お け るMの

表 わ し,aに

お け るMの

座 標 近 傍(U,φ)とh∈Rmが

お け る 接 ベ ク トルυ で,(U,φ)に

も の が 存 在 し,そ

た,Mの

の 対 応 をaに

おけ

の 座標 近 傍(U,φ),(V,ψ) す れ ば,(6.1)が

標 近 傍(U,φ)にh∈Rmが

お け る 成 分 と い う.ま

の つ く る 集 合 をTa(M)で   点aに

お け る 任 意 の2つ

各 座 標 近 傍 にRm

成 り立 つ.

対 応 し て い る と き, 点aに 接(ベ

お け る 接 ベ ク トル ク トル)空

間 と い う.

任 意 に 与 え ら れ た と き,a お け る そ の 成 分 がhで

れ は 一 意 的 に 定 ま る こ と は 容 易 に 示 さ れ る.従

あ る よ うな っ て,aに

お

け るMの

座 標 近 傍(U,φ)が

任 意 に 与 え ら れ た と き,接 ベ ク トル に そ の(U,φ)

に お け る 成 分 を 対 応 さ せ る こ と に よ り,Ta(M)か ら れ る.よ

っ て,Ta(M)を

線 形 空 間 に し,こ

で あ る よ う に で き る.明 は(U,φ)の

ら か に,こ

らRmの

の全 単射 が線 形空 間 の 同形写 像

の と き 得 ら れ る 線 形 空 間Ta(M)の

構造

と り方 に 関 係 し な い.

  (U,φ)をm次

元 多 様 体Mの

座 標 近 傍 系 とす る と き,a∈Uに

に お け る 成 分 がe1=(1,0,…,0),…,em=(0,…,0,1)で

ルをそれぞれ 

  (V,ψ)もaの

対 し,(U,φ)

あ るTa(M)の

ベ ク ト

で 表 わ す. 

トル 空 間Ta(M)の

(6.1)よ

上へ の全 単 射が 得

はべ ク

基 底 で あ る*. 座 標 近 傍 系 と す る と き,接

ベ ク トル の 定 義 に お け る 関 係 式

り

  (6.2)

が 得 ら れ る.   抽 象 的 な 多 様 体 の 間 のC∞   M,Nを

級 写 像 に 対 し て は 微 分 をつ ぎ の よ う に 定 義 す る.

多 様 体 と し,f:M→NをC∞

に お け る 座 標 近 傍(U,φ)と る.定 Rnへ

φ(a)のNに

義 に よ り,ψ°f° φ−1はRmま のC∞

級 写 像 と す る.a∈Mと

級 写 像 で あ る.こ

お け る 座 標 近 傍(V,ψ)を た はHmの

w∈Tf(a)(N)を

対 応 さ せ,こ

ま,微

お け る 成 分 がhで

のか わ りにxを

用 い 

を 

ら

分 

あ る 接 ベ ク トルυ ∈ で あ る 接 ベ ク トル

の 写 像 を(df)a:Ta(M)→Tf(a)(N)と よ び(V,ψ)の

任意に と

φ(U∩f−1(V))か

お け る 成 分 が 

容 易 に,(df)aは(U,φ)お   *  通 常,φ

開集合

こ にm=dimM,n=dimN.い

を 考 え,(U,φ)に Ta(M)に,(V,ψ)に

し,aのM

す る.

と り方 に 関 係 し な い こ と が 示 さ れ る.

の よ うに 表 わ す

.

  (df)a:Ta(M)→Tf(a)(N)をC∞

級 写 像f:M→Nのaに

お け る微 分 と

い う.   (df)aは

線 形 写 像 で,

が 成 り 立 つ.   M,Nが

ユ ー ク リ ッ ド空 間 に お け る 多 様 体 の と き は,上

4.1.4に

お け る も の と 一 致 す る.

  こ の 微 分 に 関 し て も,定 そ の(ⅳ)に   Mが

理6.5の

お い て はMはNの

多 様 体Nの

成 り立つ こ と が 容 易 に 示 さ れ る.た

と く に,Mの

だ し,

部 分 多 様 体 と 仮 定 す る.

部 分 多 様 体 でa∈Mの

像 と 同 一 視 し て,Ta(M)⊂Ta(N)と

  Mが

の 定 義 は 明 らか に

と き,Ta(M)を(di)aに 考 え る.こ

開 集 合Uとa∈Uに

よ るその

こ にi:M→Nは

対 し,Ta(U)=Ta(M)と

包 含 写 像.

境 界 の あ る 多 様 体 でa∈

トル を 外 向 き 接 ベ ク トル,内

∂Mの

と き は,前

考 え る.

と 同 様 に,aに

おけ る接 ベ ク

向 き 接 ベ ク トル お よ び 境 界 に 接 す る ベ ク トル の3

種 類 に 分 類 す る こ と が で き る.   ま た,前 さ れ,接

と 同 様,多

様 体Mに

お け るC∞

級 曲 線 と そ の 速 度 ベ ク トル が 定 義

ベ ク トル と の 間 に 前 と 同 様 な 関 係 の 成 り 立 つ こ と が わ か る.

  積 多 様 体 の 接 空 間 に 関 し,次   定 理6.10 

Mを境

の 定 理 が 成 り立 つ.

界 の な い 多 様 体,Nを

と す る.p:M×N→M,q:M×N→Nを

任 意 の 多 様 体 と し,a∈M,b∈N 射 影 と し,i:M→M×N,j:N→

M×Nをi(x)=(x,b),j(y)=(a,y)(x∈M,y∈N)で

定 義 す る .こ

の と き,

線 形 空 間 の同形 写像

お よ び そ の 逆 写 像 κ′が 次 式 で 与え られ る:

  証 明   κ,κ′は 明 ら か に 線 形 写 像 で あ る.ま

た,p°i,q°jは

恒 等 写 像 で,p°j,

q°iは 定 値 写 像 で あ る か ら,κ′°κ=1が

成 り立 つ.ゆ

え に,κ

は 同 形 写 像 で,

κ′は そ の 逆 写 像 で あ る.    M,Nを

(証終)

多 様 体 と し,f:M→NをC∞

に 対 す る(df)a:Ta(M)→Ta(N)が

た,Mが

中 へ の 同 相 写 像 で あ り,か

中へ のは

つ,は

め こみ で あ る と

中 へ の う め こ み と い う.

  次 の 図 はS1のR2へ

  Mが

の と き,各a∈M

単 射 な ら ば,fをMのNの

め こ み と い う.f:M→Nが き,fをMのNの

級 写 像 と す る.こ

の は め こみ を し め し て い る.

境 界 の あ る多 様 体 の と き,包 含 写 像i:∂M→Mは 多 様 体Nの

部 分 多 様 体 の と き,包 含 写 像i:M→Nは

  この 後 者 に 関 連 して,次   定 理6.11 

Mを

うめ こみ で あ る.

の 定 理 が 成 り立つ.

多 様 体,Nを

境 界 の な い 多 様 体 と し,f:M→Nを

み とす る.こ の と き,f(M)はNの   証 明  定 理6.1と

うめ こみ で あ る.ま

うめ こ

部 分 多 様 体 で あ る.

同 様. 

(証終)

  上 の 定 理 と 次 の 定 理 に よ り,任 意 の コン パ ク ト多 様 体 は あ る ユ ー ク リ ッ ド空 間 に お け る多 様 体 にC∞ 級 微 分 同 相 に な る.   定 理6.12 

Mを

コン パ ク ト多 様 体 とす る と き,Mか

らあ るユ ー ク リッ ド

空 間 へ の うめ こみ が 存 在 す る.   証 明   各 点a∈Mに

対 し 座 標 近 傍(Ua,φa)を

め の 部 分 で 述 べ た よ うに,次 →Rが

と る.定 理6.7の

の 条 件 を み た す 開 集 合WaとC∞

証明 のは じ

級 関数ha:M

存 在 す る:

 ⅰ)  a∈Waで,Waは

コ ンパ ク トで あ る.

 ⅱ)  0≦ha(b)≦1(b∈M),ha(b)=1(b∈Wa)で,M−Uaを 合 の 上 で はhaの

値 は0で

  Va={b∈M￨ha(b)>0}と

あ る. お く と き,

含む あ る開集

が 成 り立 つ.ま

た,Mは

存在 して 

コ ン パ ク トで あ る か ら,有

限 個 の 点a1,…,ak∈Mが

が 成 り立 つ.

を

  い ま, 

で 定 義 す る.こ

こ に,b〓Uaiな

らばhai(b)φai(b)=0と

  明 らか に,fはC∞

級 写 像 で あ る.

  fは

際,f(b)=f(b′)(b,b′

単 射 で あ る.実

しhai(b)=hai(b′)で

∈M)と

あ る か ら,b∈Vaiな

す れ ば,す

らばb′ ∈Vaiで

φai(b)=hai(b′)φai(b′),hai(b)=hai(b′)>0よ b=b′

す る.

べ て のiに

対

あ り,従

っ てhai(b)

り,φai(b)=φai(b′)が

得 られ,

が 成 り立 つ.

  Mは

コ ン パ ク トで あ る か ら,定

  b∈Waiと

す る と き,x∈

ら,各b∈Mに

る.実 際,ホ

中 へ の 同 相 写 像 で あ る.

対 し,fφai−1(x)=(…,x,…)で

階 数 はmで

あ り,従

っ て(df)aは

あ るか 単 射 で あ る.

お い て,Mを

(証終)

コン パ ク トと仮 定 した が,実

イ ッ トニ ー(Whitney)はm次

R2mでf(M)は

は この仮定 は不要 であ

元 多 様 体MのR2mへ

の うめ こみf:M→

閉 集 合 で あ る よ うな も の が 存 在 す る こ と を 示 した*.

Mを

え られ た と き ば,C∞

よ り,fは

うめ こ み で あ る. 

  注 意   定 理6.12に

  問1 

φai(Wai)に

対 し(df)bの

  よ っ て,fは

理2.9に

多 様 体,a∈Mと ,C∞

し,Uをaの

級 写 像f:U→Rに

∈Ta(M)が

対 し,υ ・f=(df)a(υ)∈Rと

級 写 像f,g:U→Rとs,t∈Rに

  (ⅰ) υ・(sf+tg)=s(υ

近 傍 と す る.υ

対 し,次

  (ⅱ) υ・(fg)=g(a)(υ・f)+f(a)(υ・g).   問2 

実 射 影 空 間RPnに

対 し,f:RPn→R(n+1)(n+2)/2を

f([x1,…,xn+1])=(x12,x1x2,…,x1xn,x22,x2x3,…,xn+12) (x12+…+xn+12=1)で   問3 

定 義 す れば,fは

う め こ み で あ る こ と を 示 せ.

は め こ み の 合 成 は ま た は め こ み で あ る こ と を 示 せ.

  *  Munkres:Elementary

differential

topology

,

Princeton

定義 すれ

式 が 成 り立 つ こ と を 示 せ:

・f)+t(υ ・g),

(1966)

p.22参

照.

与

  問4 S1のR1へ   6.4.2 

の は め こ み は 存 在 し な い こ と を 示 せ.

す る.こ

多 様 体Mか

ら多 様 体Nへ

の と き,a∈Mに

Nな

ら ば,aをfの

臨 界 点 と い う.ま

む な ら ばbをfの はf−1(b)の

与 え られ た と

と も にn次

と 仮 定 す る.こ

の と き,C∞

有 限 で あ り,ま

た,bのNに

対 しf−1(b)がfの

う で な い と き,す

各 点 が 正 常 点 の と き,bをfの

  定 理6.13 M,Nを

全 射 な ら ば,

正 常 点 と い い,そ

た,b∈Nに

臨 界 値 と い い,そ

#f−1(y)=#f−1(b)が

級 写 像f:M→Nが

対 し(df)a:Ta(M)→Tf(a)(N)が

す な わ ちrank(df)a=dim  ら ばaをfの

のC∞

臨 界 点 を含

な わ ちf−1(b)=φ

また

正 常 値 と い う.

元 多 様 体 と し,Mは

級 写 像f:M→Nの お け る 近 傍Oが

成 り立つ .こ

うで な い な

コン パ ク トで,∂M=φ

正 常 値bに

対 し,#f−1(b)は

存 在 し て,Oの

各 点yに

こ に,#f−1(y)は

集 合f−1(y)の

対 し,

点 の個数 を

表 わ す.   証 明  A∈f−1(b)と 座 標 近 傍(U,φ)お 合φ(U∩f−1(V))で φ(a)に

す る と き,rank(df)a=nで よ びbのNに

お け る 座 標 近 傍(V,ψ)に

定 義 さ れ たC∞

お け る 階 数 はnで

あ る.従

近 傍 にC∞ つ.ゆ

っ て,aのMに

f−1(b)は

関 数 の 定 理 に よ り,φ(a)のRnに

のWに

離 散 位 相 を もつ.と

級微

おけ るあ る

対 し,W∩f−1(b)={a}が

閉 集 合 で あ る か ら,f−1(b)は

成 り立

こ ろ が,f−1(b)は

コ ン パ ク トで あ る.よ

っ て,

有 限 集 合 で あ る.

  f−1(b)={a1,a2,…,ak}と に 対 し,aiのMに

し よ う.こ

お け る 近 傍Uiを

の と き,上 と り,次

上 へC∞

級 微 分 同 相 に うつ す.い

と お け ば,OはbのNに

に 述 べ た こ と に よ り,各ai

の 条 件 を み た す よ うに す る こ と

が で き る:ⅰ) ⅱ)fはUiをbのNに Viの

開集 の

お け る あ る 近 傍WはbのNに

部 分 空 間f−1(b)は

コン パ ク ト空 間Mの

対 し,Rnの

お け る あ る 近 傍 と は ψ°f°φ−1によ りC∞

級 微 分 同 相 と な る が,こ

え に,Mの

おけ る

級 写 像  っ て,逆

お け る あ る 近 傍 と ψ(b)のRnに 分 同 相 で あ る.よ

あ る か ら,aのMに

お け る あ る近 傍 ま,

お け る 近 傍 で,各y∈Oに

対 し,#f−1(y)=kが

成

り立つ. 

(証 終)

  上 の 定 理 を 応 用 す る こ と に よ り,代

数 学 の 基 本 定 理'複

次 多 項 式p(z)=a0zn+a1zn−1+…+an(n>0,a0〓0)に 複 素 数zが

存 在 す る'が

対 し,p(z)=0を

で あ る か ら,4.3の

の 例2に

よ り,fの

従 っ て,fの

例2で

れ ゆ え,上

全 射 で あ る.従

  次 の 定 理 は 定 理6.4の   定 理6.14  と す る.こ

Mを

NはMのm次

有 限 部 分 集 合 の 補 集 合 と な り,

こ ろ が,明

っ て,p(z)=0を

ら か に,こ

み た すz∈Cが

と

れ は0で

な い.

存 在 す る.

拡 張 で あ る. 元 多 様 体 と し,f:M→RをC∞

級関 数

正 常 値 で, 

な ら ば,

元 部 分 多 様 体 で,∂N=f−1(0)が

  証 明   Mの

考 え れば,4.2

の 定 理 よ り,#f−1(b)はb∈S2−f(Γ)の

境 界 の な いm次

の と き,0がfの

た か だ

は 有 限 集 合 で あ る こ と が わ か る.

正 常 値 の 集 合S2−f(Γ)はS2の

り方 に よ ら ず 一 定 で あ る こ と が わ か る.と よ っ てfは

す るz∈Cは

定 義 し た 写 像f:S2→S2を

臨 界 点 のつ く る 集 合Γ

そ れ は 連 結 で あ る.そ

みた す

次 の よ う に 示 さ れ る.

  導 関 数p′(z)=na0zn−1+(n−1)a1zn−2+…+an−1を0に かn−1個

素 数 を 係 数 と す るn

成 り立つ.

座 標 近 傍(U,φ)で, 

で あ る よ う な も の を と る.φ(U) はRmの

開 集 合 で,f°φ−1:φ(U)→BはC∞

級 写 像 で あ り,0は

こ の 写 像 の 正 常 値 で あ る.

従 っ て,定

よ り,φ(N∩U)はRm

理6.4に

に お け るm次

元 多 様 体 で,  が 成 り立つ.

ゆ え に,NはMのm次

元 部 分 多 様 体 で,

∂N=f−1(0).    次 の 定 理 は 定 理6.2お   定 理6.15 

f:M→Nをm次

写 像 と し(m≧n),b∈Nと 常 値 で,f−1(b)〓 a∈Lに

よ び 定 理6.6の

(証終)

拡 張 で あ る.

元 多 様 体Mか す る.bがf:M→Nお

らn次

元 多 様 体Nへ よ びf￨∂M:∂M→Nの

φ な ら ば,L=f−1(b)はMのm−n次

対 し(df)a:Ta(M)→Tf(a)(N)の

のC∞

元 部 分 多 様 体 で,各 核 はTa(L)に

一 致 す る.

級 正

  証 明   次 の こ とを 示 せ ば,定 理6.4か 定 理6.14を

ら

導 い た の と 同 様 に し て,前 半

が 示 さ れ る.   f:U→RnをHmの れ たC∞

開 集 合Uで

定義 さ

級 写 像 と し,Rm−1をRmの

集 合Rm−1×0と

部分

同 一 視 し て,V=U∩

Rm−1,g=f￨Vと

お く.こ

の と き,f−1(0)〓

rank(dg)a=n(a∈g−1(0))な

φ で,rank(df)a=n(a∈f−1(0)),

らば,f−1(0)はRmに

お け るm−n次

元 多 様体

で あ る.  と し,f0=f￨U0と f0:U0→RnはC∞

級 写 像 で あ り, 

(df0)a=rank(df)a=nで

あ る か ら,定

×(0,∞)はRmに f−1(0)∩Rm−1の Rmに

お く.U0はRm魏

な らばrank 理6.2に

お け るm−n次

お け る 近 傍Oが

す る.f:U→RnはC∞ お け る あ る 近 傍Oで

O∩Uの

一 致 し,かつ,rank(dF)a=nで

こ に,O∩Hm⊂Uで,各x∈Oに 理6.2に

え に,a∈

存 在 し て,f−1(0)∩Oは い.

級 写 像 でrank(df)a=nで

る か ら,aのRmに 上 で はfと

元 多 様 体 で あ る.ゆ

元 多 様 体 で あ る こ と を 示 せばよ

  a∈f−1(0)∩Rm−1と

と き,定

よ り,f0−1(0)=f−1(0)∩Rm−1

お け る 境 界 の な いm−n次 と き,aのRmに

の 開 集 合 で,

定 義 さ れ たC∞

級 写 像F:O→Rnで,

あ る も の が 存 在 す る.こ

対 しrank(dF)x=nと

よ り,F−1(0)はRmに

あ

仮 定 し て よ い.こ

お け る 境 界 の な いm−n次

の

元 多様 体

で あ る.   い ま,π:Rm→Rをπ(x1,…,xm)=xmで こ の と き,π0はC∞

定 義 し,π0=π￨F−1(0)と

級 写 像 で あ る が,0は

π0:F−1(0)→Rの

こ と が 次 の よ う に 示 さ れ る か ら,定

理6.12に

のm−n次

元 部 分 多 様 体 で あ る.と

こ ろ が,F−1(0)∩Hm=f−1(0)∩Oで

か ら,こ

れ で 求 め る 結 果 が 示 さ れ た.

  0が

π0:F−1(0)→Rの

正 常 値 で あ る こ と,す

す る と き(dπ0)x:Tx(F−1(0))→Rは

お く.

正 常値 で あ る

よ り,F−1(0)∩HmはF−1(0) ある

な わ ち,x∈F−1(0)∩Rm−1と

全 射 で あ る こ と を 示 そ う.定

理6.6に

よ り,Tx(F−1(0))は(dF)x:Rm→Rnの (dg)xは

核 に 一 致 す る が,(dF)xお

と も に 全 射 で,(dF)x￨Rm−1=(dg)xで

よ っ て,(dπ0)x=π￨Tx(F−1(0))は   後 半 は 定 理6.6の   問5 

よび

あ る か ら, 

零 写 像 で な く,従

.

っ て 全 射 で あ る.

証 明 と 同 様 に し て 得 られ る. 

実 射 影 空間RPnの

に 複 素 射 影 空 間CPnの

(証 終)

各 点 は 射 影 π:Sn→RPnの 各 点 は射影

π:S2n+1→CPnの

正 常 値 で あ り,同

様

正 常 値 で あ る こ と を示

せ.   問6 

多 様 体Mか

様 体N′

が 与え ら れ た と す る.た

こ の と き,a∈Mに に お い てN′

対 し,次

だ し,∂N=φ

のⅰ),ⅱ)の

の(ⅰ),(ⅱ)を

閉部 分多

の と き は ∂N′=φ

と 仮 定 す る.

い ず れ か が 成 り立つ な らば,fはa で

線 形 空 間 の 商 空 間 を 表 わ し,

示 せ.

へ 横 断 的 で あ る よ うな 点aの

  (ⅱ)  f:M→NがMの NがMの

級 写 像f:M→NとNの

こ に,Tf(a)(N)/Tf(a)(N′)は

射 影 と す る.次

  (ⅰ) fがN′

のC∞

へ 横 断 的 で あ る と い う:ⅰ)f(a)〓N′,ⅱ)f(a)∈N′

が 全 射 で あ る.こ pは

ら 多 様 体Nへ

集 合 はMの

開 集 合 で あ る.

各 点 に お い て 横 断 的 で あ り,かつ,f￨∂M:∂M→

各 点 に お い て 横 断 的 な ら ば,M′=f−1(N′)はMのm−(n−n′)次

元 部 分 多 様 体 で,各a∈M′ こ こ に,m=dim

M,n=dim

に 対 し,Ta(M′)=(df)a−1(Ta(N′))が N,n′=dim

N′.

成 り立つ.

7.  多 様 体 の リー マ ン計 量 と向 き

  7.1 

接

  7.1.1 

束

m次

元 多 様 体Mに

T(M)→Mを

対 し,和

π(Ta(M))=aに

集 合T(M)=∪Ta(M)を

考え,π:

よ っ て 定 義 す る.T(M)にC∞

構造 を定 義 し

よ う.   こ の た め,Mの

任 意 の 座 標 近 傍(U,φ)に

対 し,U=π−1(U)と

お き,φ:U

→R2mを

で 定 義 す る.こ

こ にhはυ

っ て,φ(U)はR2mま 任 意 の2つ

の(U,φ)に

た はH2mの

お け る 成 分.明

ら か に,φ

開 集 合Rm×φ(U)で

の 座 標 近 傍(U,φ),(V,ψ)に

は 単射 で あ

あ る.ま

た,Mの

対 し, 

を 考 え れ ば,

が 成 り立つ.従

っ て,ψ° φ−1はC∞ 級 微 分 同 相 写 像 で あ り,と く に 同 相 写 像 で

あ る.ゆ え に,T(M)の (U,φ)に

位 相 が 次 の 条 件 に よ り定 義 さ れ る:Mの

対 し,π−1(U)はT(M)の

開 集 合 で,は

各 座標 近傍 同相写

像 で あ る.   こ の と き,明

らか に,T(M)は

あ り,π:T(M)→Mは で あ るか ら,Mの

第2可

算 公理 を み た す ハ ウ ス ドル フ空 間 で

連 続 写 像 で あ る.ま た,ψ° φ−1はC∞ 級 微 分 同 相 写 像 座 標 近 傍 系 

に 対 し, 

の 座 標 近 傍 系 で あ り,こ れ よ り定 ま るT(M)のC∞

構 造 はMの

 の と り方 に 関 係 し な い こ と が わ か る.こ T(M)は

のC∞

座 標近 傍 系 構 造 に よ り,

多 様 体 に な る.

  明 らか に,dim →MはC∞

はT(M)

T(M)=2m,∂(T(M))=π−1(∂M)が

成 り立 ち,π:T(M)

級 写 像 と な る.

  (T(M),π,M)を

τ(M)で

表 わ し て,Mの

接 束 とい う.

 

MがRpに

お け る多 様 体 の と き は,Mの

 積 空 間M×Rpの

部 分空 間

を 考 え,π:T(M)→Mを (U,φ)に

π(a,υ)=aに

対 し,U=π−1(U)と

に よ り定 義 す る.こ

っ て,Mの

よ り定 義 す る.Mの

はT(M)の

上 へ のC∞

開 集 合Uか

た はH2m

に 対 し, 

え に,T(M)はR2pに

ま た,π:T(M)→Mは,射

らR2mま

級 微 分 同 相 写 像 で あ る こ とが 容 易 に 示 さ れ

座 標 近 傍 系 

の 座 標 近 傍 系 で あ る.ゆ

任 意 の座 標近 傍

お き,φ:U→R2mを

の と き,φ

の 開 集 合Rm×φ(U)の る.従

接 束 は また 次 の よ うに 定 義 さ れ る.

はT(M)

お け る2m次

影M×Rp→Mの

元 多 様 体 で あ る.

制 限 で あ る か ら,C∞

級 写像 で

あ る.   一 般 に,多

様 体Eか

ら 多 様 体Mの

上 へ のC∞

の 条 件 が 成 り立 つ と き,ξ=(E,π,M)をM上

級 写 像 π:E→Mに のn次

元C∞

対 し,次

級 ベ ク トル 束 と

い う:  ⅰ) 

各a∈Mに

対 し,π−1(a)はn次

 ⅱ) 

各a∈Mに

対 し,aの

(U)が

存 在 し,各b∈Uに

空 間Rnか

近 傍UとC∞

級 微 分 同 相 写 像φ:U×Rn→π−1

対 し,h∈Rnをφ(b,h)に

うつ す 写 像 は ベ ク トル

ら ベ ク トル 空 間 π−1(b)の 上 へ の 同 形 写 像 で あ る.

  ξ1=(E1,π1,M),ξ2=(E2,π2,M)を トル 束 と す る.こ し,ベ

元 ベ ク トル 空 間 で あ る.

同 一 の 多 様 体M上

の と き,C∞

のn次

元C∞

級ベ ク

級 微 分 同 相 写 像f:E1→E2で,各a∈Mに

対

ク トル 空 間 π1−1(a)を ベ ク トル 空 間 π2−1(a)の 上 に 同 形 に う つ す よ う な

も の が 存 在 す る な ら ば,ξ1と

ξ2は 同 値 で あ る と い う.

  定 義 よ り,明

元 多 様 体Mの

ら か に,m次

C∞ 級 ベ ク トル 束 で あ る.ま

た,MがRpに

接束

τ(M)はM上

お け る 多 様 体 の と き は,上

し た2つ

の 接 束 は 同 値 な ベ ク トル 束 で あ る こ と が 容 易 に 示 さ れ る.

  問1 

M,Nを

多 様 体 と し,f:M→NをC∞

T(M)→T(N)をdf￨Ta(M)=(df)a(a∈M)に

のm次

元

に 定義

級 写 像 と す る と き,df: よ り定 義 す れ ば ,dfはC∞

級 写 像 で あ る こ と を 示 せ.   問2 

に お い て,(a,υ)と(−a,−υ)

は 同 値 と し,こ

の と き 得 ら れ る 商 空 間 をT′

の 同 値 類 に[a]∈RPnを τ(RPn)に

同 値 なC∞

とす る.π′:T′

対 応 さ せ る 写 像 と す れ ば,(T′,π′,RPn)は

MをRpに

のRpに

お け る 直 交 補 空 間 の 各 ベ ク トル をaに

お け るm次

お け るMの

表 わ し,N(M)⊂R2pと

考 え る.こ

元C∞

  7.1.2 

Mを

元 多 様 体 と し,a∈Mと

法 ベ ク トルwの

様 体 で,π:N(M)→Mを はp−m次

接束

級 ベ ク トル 束 と な る こ と を 示 せ.

  問3 

a∈Mとaに

→RPnを(a,υ)

す る と き,Ta(M)

お け るMの

組(a,w)全

法 ベ ク トル と い う.

体 の 集 合 をN(M)で

の と き,N(M)はR2pにお

π(a,w)=aで

け るp次

元多

定 義 す れ ば,ν(M)=(N(M),π,M)

級 ベ ク トル 束 で あ る こ と を 示 せ.

多 様 体 と し,接

像X:M→T(M)に

束 τ(M)=(T(M),π,M)を

対 し,π°X=1Mが

考 え る.C∞

成 り立 つ な らば,XをM上

級写

のC∞

級

ベ ク トル 場 と い う.   容 易 に 示 さ れ る よ うに,M上 aに

お け るMの

のC∞

接 ベ ク トル を 対 応 さ せ る 写 像Xで

も の に ほ か な ら な い:(V,ψ)をMの し,接

級 ベ ク トル 場 と は,Mの

各 点aに

あ っ て,次

の条 件 をみ たす

座 標 近 傍 と す る と き,ψ(V)の

ベ ク トルX(ψ−1(x))の(V,ψ)に

対 し,

点xに

対

お け る 成 分 を 対 応 さ せ る 写 像 はC∞

級

で あ る.   例1 

Mの

各 点aに0∈Ta(M)を

対 応 さ せ る 写 像 はM上

のC∞

級ベ ク ト

ル 場 で あ る.   例2 

S2n+1の

∈Tx(S2n+1)を

対 応 さ せ る 写 像 はS2n+1上

ク トル 場 をXと   例3 

  XをM上

す る と き,各x∈S2n+1に

Mをm次

i=1,…,mに 体U上

各 点x=(x1,…,x2n+2)に(x2,−x1,x4,−x3,…,x2n+2,−x2n+1)

のC∞

のC∞

級 ベ ク トル 場 で あ る.こ

対 しX(x)〓0が

元 多 様 体 と し,(U,φ)をMの

対し,a∈Uを 

のベ

成 り立 つ.

座 標 近 傍 と す る と き,各 に う つ す 写像は,開

部分 多 様

級 ベ ク トル 場 で あ る. のC∞

級 ベ ク トル 場 と し,p:I→MをC∞

級 曲 線 と す る.こ

の

と き,各t∈Iに ば,ρ

対 し,ρ

を ベ ク トル 場Xの

含 む 区 間I0とMの

のtに

お け る 速 度 ベ ク トル がX(ρ(t))に

積 分 曲 線 と い う.こ

座 標 近 傍(V,ψ)で

(V,ψ)に

の 場 合,各t0∈Iに

ρ(I0)⊂Vを

 と お き,ま

た,x∈

はRmに

値 を もつ 未 知 写 像xに

対 し,t0を

み た す も の を と っ て, ψ(V)をX(ψ−1(x))の

お け る 成 分 に う つ す 写 像 をf:ψ(V)→Rmと

像 で,φ

等 しい な ら

す れ ば,fはC∞

関 す る 微 分 方 程 式x′=f(x)の

級写 解であ

る こ と が わ か る.   次 に,5.4で

述 べ た1パ

ラ メ ー タ ー 変 換 群 お よび そ の 無 限小 変 換 の 概 念 を 多

様 体 の 上 へ 拡 張 し よ う.   Mを

多 様 体,φ:M×R→MをC∞

→Mを 

級 写 像 と し,各t∈Rに で 定 義 す る.こ

が 成 り立 つ な ら ば,φ φt:M→Mは

をMの1パ

のとき

ラ メ ー タ ー 変 換 群 と い う.前

と 同 様 に,各

微 分 同 相 写 像 で あ る こ と が わ か る.

  φ をMの1パ

ラ メ ー タ ー 変 換 群 と す る とき,各a∈Mに

φ(a):R→Mが  φ(a)の0に

対 し,φt:M

対 し,C∞

に よ り定 義 さ れ る.さ お け る 速 度 ベ ク トル に うつ す 写 像 をXと

C∞ 級 ベ ク トル 場 で あ る こ と が 容 易 に 示 さ れ る.こ ー タ ー 変 換 群φ

の 無 限 小 変 換 と い う.前

級 曲線

ら に,a∈Mを

す れ ば,XはM上 の ベ ク トル 場Xを1パ

と 同 様 に し て,φ(a)はXの

の ラメ 積分 曲線

で あ る こ と が わ か る.   例4 φ:S2×R→S2を φ((x1,x2,x3),t)=(x1cost−x2sint,x1sint+x2cost,x3) に よ り定 義 す れ ば,φ

はS2の1パ

ラ メ ー タ ー 変 換 群 で,そ

S2→T(S2)は X(x1,x2,x3)=(−x2,x1,0) で 与 え ら れ る.   例5 φ:S2×R→S2を

の 無 限 小 変 換X:

(こ

こに

λ(x3,t)=(1+x3)e2t+(1−x3))で

タ ー 変 換 群 で,そ

定 義 す れば,φ

はS2の1パ

ラ メ ー

の 無 限 小 変 換X:S2→T(S2)は, X(x1,x2,x3)=(−x1x3,−x2x3,1−x32)

で 与 え ら れ る.

(例4)

  次 の 定 理 は 定 理5.11と   定 理7.1 

Xを

(例5)

同 様 に 示 さ れ る.

境 界 の な い 多 様 体M上

る コ ンパ ク ト部 分 集 合Aに る.こ

の と き,Xを

のC∞

級 ベ ク トル 場 と し,Mの

対 してX(a)=0(a∈M−A)が

無 限 小 変 換 とす るMの1パ

あ

成 り立 つ と仮 定 す

ラ メ ー タ ー変 換 群 が 存 在 し,

そ れ は 一 意 的 に 定 ま る.   問1  m次 a∈Mに

元 多 様 体M上

のC∞

級 ベ ク トル 場X1,…,Xmが

対 しX1(a),…,Xm(a)∈Ta(M)が

を も つ とい う.Rnに こ とを 示 せ.(Snが

お け るn次

存 在 して,各

線 形 独 立 で あ る と き,Mは

元 多 様 体,S1,S3お

平 行 性 を もつ の は 上 の3つ

よびS7は

平行 性

平 行 性 を もつ

の 場 合 だ け に 限 る こ とが 知 られ

て い る.*)

  7.2 

リー マ ン計 量

  7.2.2 

Mを

間Ta(M)に

ユ ー ク リ ッ ド空 間Rpに お い て,内

お け る 多 様 体 と し,そ

  * 

Husemoller:

接空

定 義 す れば,明

らか

積 

を 考え,関数g:T(M)→Rをg(υ)=<υ,υ>で に,gはC∞

の 各 点aの

級 関 数 で あ る. Fibre

bundles

,

McGraw-Hill

(1966)

pp.

203-225参

照.

  一 般 に,多

様 体Mの

各 点aに

お け る 接 空 間Ta(M)に

られ て い て,g:T(M)→Rをg(υ)=<υ,υ>a(υ gがC∞

級 関 数 と な る な らば,こ

内 積<,>aが

∈Ta(M))で

与え

定 義 す る と き,

れ らの 内 積 の 集 合{<,>a}a∈MをM上

の

リー マ ン計 量 とい う.   リー マ ン計 量 の 与 え られ た 多 様 体 を リー マ ン 多 様 体 とい う.   m次

元 多 様 体Mの

れ た と き,Mの

各 点aに

お け る 接 空 間Ta(M)に

座 標 近 傍(U;φ)に

で 定 義 す る.こ

の と き,次

与えら

対 し,gij:U→R(i,j=1,2,…,m)を

の こ と が 容 易 に 示 さ れ る:{<,>a}a∈MがM上

ー マン 計 量 で あ る た め に は ,Mの 近 傍(U,φ)に

内 積<,>aが

座 標 近 傍 系 が 存 在 し て,そ

対 す るgij:U→R(i,j=1,2,…,m)がC∞

の リ

れ に属 す る各 座標

級 関 数 とな る こ とが

必 要 十 分 で あ る.  な お,座

標 近 傍(V,ψ)に

お く と き,a∈U∩Vな

対 し, 

ら ば,行

と

列G(a)=(gij(a)),G(a)=(gij(a))の

間に

関係 式   (7.1)

の 成 り立つ   例1 

こ と が(6.2)よ

り簡 単 な 計 算 で 示 さ れ る.

R2+={x∈R2￨x2>0}と

マ ン 計 量 がR2の

お く と き,R2の

標 準 的 な 内 積 よ り定 義 さ れ る が,ま

  リ ー マ ン 計 量 の 存 在 に 関 し,次   定 理7.2 

開 部 分 多 様 体R2+上 た,次

の リー

式 で も 与 え ら れ る.

の 定 理 が 成 り立 つ.

任 意 の 多 様 体 は リ ー マン 計 量 を も つ.

  証 明   明 らか に,Mの

座 標 近 傍 系 

コ ン パ ク トで あ る も の が 存 在 す る.Mは は 局 所 有 限 と し て よ い. 

を

で,各Uλ

の 閉 包Uλ

は

パ ラ コ ン パ ク トで あ る か ら,   に従 属 した 単 位 の 分 割 と す る(定

理6.8).   υ,w∈Ta(M)と

す る.aを

含 む 各Uλ

に 対 し,υ,wの(Uλ,φλ)に

お け る成

分 を(h1,…,hm),(k1,…,km)と

と 定 義 す る.a〓Uλ

な ら ばfλ(a)=0で,fλ(a)〓0で

る か ら,〈υ,w〉aは w)はTa(M)に る.従

と お き,

し て, 

意 味 を もつ.ま

あ る λ∈Λ は 有 限 個 で あ

た,fλ(a)≧0, 

で あ り,Iλ(υ,

お け る 内 積 で あ る か ら,〈,〉aもTa(M)に

っ て,υ ∈Ta(M)を〈υ,υ〉aに

で あ る こ と を 示 せ ば よ い が,こ の 座 標 近 傍 を(U,φ)と

おけ る内積 で あ

うつ す 写 像g:T(M)→RがC∞

れ は,Mの

座 標 近 傍(U,φ)に

す る と き, 

級 写像 対 す るT(M)

に対 し

が 成 り立 つ こ と よ り明 ら か で あ る.    Mを

(証 終)

リ ー マ ン 多 様 体 と し,ρ:I→MをC∞

に 対 し,tに

級 曲 線 と す る.こ

お け る ρ の 速 度 ベ ク トル(dρ)t(1)の

の と き,t∈I

ノ ル ム‖(dρ)t(1)‖

せ る 関 数 は 連 続 で あ る.従

っ て,t0,t1∈Iの

が 定 義 さ れ る.こ

ρ(t0),ρ(t1)の 間 の 曲 線 ρ の 長 さ と い う.

  Mをm次

に 対 しm次

れ を2点

分

元 リ ー マ ン多 様 体 と し,(U,φ)をMの

正 方 行 列G(a)=(gij(a))(こ

を 考 え れ ば,3.4.1で G(a)−1が

と き,積

を 対応 さ

座 標 近 傍 と す る.a∈U

こに 

示 し た よ う にdetG(a)〓0で

あ る か ら,G(a)の

逆行 列

存 在 す る. G(a)−1=(gij(a))

と お く.明   い ま,C∞

ら か に,写

像gij:U→RはC∞

級 関 数f:M→Rに

に よ り定 義 さ れ る.(∇fが 計 算 で 示 さ れ る.)∇fを

級 で あ る.

対 し,C∞

級ベ ク トル 場∇f:M→T(M)が

接 ベ ク トル で あ る こ と は(7.1)と(6.2)よ ま たgradfと

  任 意 の ベ ク トルυ ∈Ta(M)に

対 し

も 書 き,fの

勾 配 と い う.

り簡 単 な

〈∇f(a),υ〉a=(df)a(υ) が 成 り立 ち,従

っ て,C∞

級 曲 線 ρ:I→Mの

速 度 ベ ク トル(dρ)t(1)に

対し

の 成 り立 つ こ と が わ か る.   よ っ て,定

理7.1と

定 理7.2を

用 い る と き,定

理5.12の

証 明 と 同 様 に し て,

次 の 定 理 が 示 さ れ る.   定 理7.3  [a,b]に

Mを

境 界 の な い 多 様 体,f:M→RをC∞

対 し,f−1([a,b])は

な い と 仮 定 す る.こ

級 関 数 と し,閉

コ ン パ ク トで,f−1([a,b])はfの

の と き,多

区間

臨界 点 を含 ま

様 体f−1(a)とf−1(b)はC∞

級 微分 同 相で あ

る.   問1 

Mを

多 様 体 と し,f:M→Rpを

ン 計 量{〈,〉a}a∈Mが,Rpに

は め こ み と す る と き,M上

お け る 標 準 的 な 内 積 〈,〉

の リー マ

を 用 い て,

に よ り定 義 さ れ る こ と を 示 せ.   7.2.2 

つ ぎ に,連

結1次

元 多 様 体 は 円 周 ま た は 区 間 にC∞

級微 分 同相 で あ

る こ と を 示 そ う.   Mを1次

元 リ ー マ ソ多 様 体 と す る.Iを

区 間 と し,α:I→MをMの

開集

合Uの

パ ラ メ ー タ ー 表 示 と す る.こ

の と き,各t∈Iに

(M)の

ノ ル ム が1で

を 弧 長 に よ る パ ラ メ ー タ ー 表 示 と い う.

  補 題1 

1次 元 リ ー マ ソ多 様 体Mの

ー 表 示 α:I→Mでa∈   証 明   aのMに

α(I)を

各 点aに

た はH1の

区 間 で あ る.い

ま,t0∈Jを

で 定 義 す る.φ−1:J→UはC∞ は つ ね に 正 で,従

対 し,弧

長 に よるパ ラ メータ

み たす ものが存 在す る.

お け る 座 標 近 傍(U,φ)でUが

き,J=φ(U)はR1ま Jは

あ る な ら ば,α

対 し(dα)t(1)∈Tα(t)

連 結 な も の を と る.こ

連 結 開 集 合 で あ る か ら,定

理1.22に

のと よ り,

任 意 に 定 め,写像h:J→Rを

級 微 分 同 相 写 像 で あ る か ら,導 っ て,hはJか

ら 区 間I=h(J)の

関 数  上 へ のC∞

級 微 分 同 相 写 像 で あ る こ と が わ か る.ゆ ラ メ ー タ ー 表 示 で あ る.ま

え に, :I→MはUの

パ

た,

で あ る か ら, 

が 成 り立 つ.ゆ

え に,α

は 弧長 に よるパ ラメー タ

ー 表 示 で あ る .    補 題2 

Mを

(証 終) 連 結1次

の 開 集 合U,V(U∩V〓 U∩Vは

元 多 様 体 と し,f:I1→M,g:I2→Mを

そ れ ぞ れM

φ)の 弧 長 に よ る パ ラ メ ー タ ー 表 示 と す る.こ

た か だ か2つ

の 連 結 成 分 か ら な り,さ

ら に,次

の(ⅰ),(ⅱ)が

の と き, 成 り立

つ.

  (ⅰ)  U∩Vが

連 結 な らば,U∪Vの

Mで,I⊃I1,h￨I1=fを

弧 長 に よ る パ ラ メ ー タ ー表 示h:I→

み た す も の が 存 在 す る.

  (ⅱ)  U∩Vが2つ

の 連 結 成 分 を もつ な らば,MはS1にC∞

級微 分 同相で

あ る.  証 明 

の グ ラフ

を 考え よ う.Γ

は 閉 集 合 で, 

で あ る.従

って,Γ

はC∞ 級 微 分 同 相 写 像 で あ り, は 傾 きが+1ま

も,こ れ らの 線 分 の 端 点 はI1×I2の しか な い.よ 場 合 は,そ

っ て,Γ

た は−1の

辺 上に あ っ て,各

は た か だ か2つ

線 分 か らな り,し か

辺 上 に は た か だ か1個

の 線 分 か らな り,2つ

の 線 分 か らな る

れ らの 傾 き は 同 じで あ る.

  (ⅰ) Γ が た だ1つ

の 線 分 か ら な る と き.

  この と きU∩Vは

連 結 で あ る.

ら,I=I1∪l−1(I2)と

お き,h:I→Mを

は 線 形 写 像l:R→Rへ

拡 張 で き るか

で 定 義 す れ ば,hはU∪Vの

弧 長 に よ る パ ラ メ ー ター 表 示 で,I⊃I1,h￨I1=f

が 成 り立 つ.   (ⅱ) Г

が2つ

の 線 分 か ら な る と き.

  こ の と きU∩Vは2つ

の 連 結 成 分 を も つ.Г

1で あ る と す る(−1の

必 要 な ら ば,I2を

と き も 同 様).こ

の2つ

の と き,Г

の 線 分 の 傾 きは と もに

は 次 の 図 の よ う に な る.

移 動 す る こ と に よ っ てc′=c,d′=dと

仮 定 し て よ い.従

っ

て a
級 微 分 同 相 写 像h:S1→U∪Vが

で 定 義 さ れ る.こ

こ に θ=2πt/(a′−a).

  h(S1)=U∪Vは U∪VはMの る.ゆ

コ ン パ ク トで あ る か ら,そ 開 集 合 で あ る.従

え に,MはS1にC∞

  定 理7.4 

っ て,Mの

れ はMの

閉 集 合 で あ る.ま

連 結 性 よ り,M=U∪Vが

得 られ

級 微 分 同 相 で あ る. 

連 結1次

た,

(証 終)

元 多 様 体MはS1,[0,1],[0,1),(0,1)の

い ず れ か にC∞

級 微 分 同 相 で あ る.  証 明 よ り,Mの

MはS1にC∞

級 微 分 同 相 で な い と す る.こ

の と き,上

の2つ

あ る 開 集 合 の 弧 長 に よ る パ ラ メ ー タ ー 表 示 α:I→Mで,次

を も つ も の の 存 在 す る こ と が わ か る:Mの タ ー 表 示 β:J→MでJ⊃Iか   こ の α は 全 射 で あ る.実

つ,β￨I=α 際,そ

の補題 の 性質

あ る開 集 合 の 弧 長 に よ る パ ラ メ ー を み た す も の は α 以 外 に は な い.

うで な い と す れ ば,Mは

連 結 で あ る か ら,

α(I)の

触 点 でM−

り,Mの β￨I=α

α(I)に

属 す る も の が 存 在 し,従

っ て,上

の2つ

の 補題 よ

あ る 開 集 合 の 弧 長 に よ る パ ラ メ ー タ ー 表 示 β:J→MでI⊂J,I〓J, を み た す も の が 存 在 す る こ と に な る.

  よ っ て,α IにC∞

はIか

らMの

上 へ のC∞

級 微 分 同 相 で あ る.明

ず れ か にC∞

級 微 分 同 相 写 像 で あ り,従

ら か に,Iは[0,1],[0,1)ま

級 微 分 同 相 で あ る か ら,こ

  注 意   定 理7.4よ

り,1次

で あ る こ とが わ か る.こ

存 在 す る こ とが 知 られ て い る.な

が 同 相 な らば,そ

元,3次

元 に つ い て は そ うで な く,例 え ば,S7に お,C∞

た は(0,1)の

れ で 定 理 は 示 さ れ た. 

元 多 様 体M,M′

の こ とは2次

っ て,Mは い

(証 終)

れ ら はC∞

級 微分 同相

元 多 様 体 に つ い て も成 り立 つ が,一 般 の 次

同 相 で あ る が,C∞

級 微分 同相 で ない多 様体 の

級 微 分 構 造 を もた な い 位 相 多 様 体 の 存 在 す る

こ と も知 られ て い る*.

  7.3 

多様 体 の向 き

  7.3.1  (M)の

Mをm次

元 多 様 体 と し(m≧1),Mの

向 き μaを え ら び,Ta(M)を

き,各a∈Mに

お け る 座 標 近 傍(U,φ)で

も の が 存 在 す る な ら ば,{μa}a∈Mを υ の(U,φ)に

の 向 き μbをRmの

対 し,接

多 様 体Mの

お け る 成 分h∈Rmに

の と

次 の条 件 をみた す

向 き と い う:各b∈Uに

対 し,

うつ す 線 形 写 像 はTb(M)

標 準 的 な 向 き に うつ す.

  向 き が 存 在 す る よ う な 多 様 体 を 向 き づ け 可 能 な 多 様 体 と い い,向 な 多 様 体Mに

空 間Ta

向 き づ け ら れ た 線 形 空 間 に す る.こ

対 し,aのMに

υ∈Tb(M)を

各 点aに

お い て,そ

の 一 つ の 向 き が 指 定 さ れ た と き,Mを

きづ け 可 能 向 きづ け られ

た 多 様 体 と い う.   な お,0次

元 多 様 体Mの

向 き と は,Mの

各 点 に+1ま

た は−1を

対 応 させ

る 写 像 を 意 味 す る も の と す る.   定 義 よ り容 易 に,  向 き で あ る と き,Mの

が 向 き づ け 可 能 な 多 様 体Mの2つ 部 分 集 合 

は

と も に 開 集 合 で あ る こ と が わ か る.従

っ て,Mが

き が 存 在 し て,そ

す れ ば 他 方 は{−

*    例 えば

の 一 方 を{μa}a∈Mと

,サ ー テ ィ編:現

の

連 結 な ら ば,丁 μa}a∈Mと

代 の数 学(岩 波 書 店)に お け るBing,  Milnorの

度2つ な る.こ

解 説 を 参 照.

の向 の

こ と よ り,さ

ら に,向

き づ け 可 能 な 多 様 体Mの1つ

る と き,Mの

任 意 の 向 き{μa′}a∈Mは

こ こ に{Mi}i∈IはMの   例1 Rnに き,各a∈Mに

元 多 様 体Mは

向 き{μa}a∈Mが

の 標 準 的 な 向 き と い う.と

く に 単 位n球

  Mを

界 の あ るm次

界 ∂Mの

  a∈ ∂Mの

υm)はTa(∂M)の

よ うに と る.こ を 考 え れ ば,こ

体Bnは

際,こ

のと

向 き μaと

し てRn

得 られ る.こ

れ をM

向 きづ け 可 能 で あ る .

元 多 様 体 と し,m≧2と

す る.こ

の

向 き が 次 の よ う に 定 義 さ れ る.

と き,Ta(M)の

順 序 づ け ら れ た 基 底(υ1,…,υm)で

順 序 づ け られ た 基 底 で あ り,υ1は

が 存 在 す る が,い

任 意 の 部 分 集 合.

あ る か ら,Ta(M)の

の 標 準 的 な 向 き を と る こ と に よ り,Mの

と き,境

はIの

向 き づ け 可 能 で あ る.実

対 しTa(M)=Rnで

向 き づ け ら れ た,境

す

次 の よ うに 与 え られ る こ と が わ か る:

連 結 成 分 の 集 合 で,I′

お け るn次

の 向 き を{μa}a∈Mと

ま,Mの

向 き を{μa}a∈Mと

の と き,(υ2,…,υm)が れ は(υ1,…,υm)の

の こ の 向 き を(∂ μ)aで

外 向 き で あ る よ うな も の

し,(υ1,…,υm)は

μaを 表 わ す

正 の 基 底 と な る よ う なTa(∂M)の

向き

と り方 に 関 係 し な い こ と が わ か る.Ta(∂M)

表 わ す と き,さ

る こ と が 容 易 に 示 さ れ る.∂Mの

あ っ て,(υ2,…,

ら に,{(∂

μ)a}a∈∂Mは

こ の 向 き をMの

∂Mの

向 き{μa}a∈Mか

向 きで あ ら誘 導 さ

れ た 向 き と い う.   上 に お い て,m=1の

と き は,∂Mの

点aに

お け る 外 向 き 接 ベ ク トル がM

の 正 の 基 底 で あ る か 負 の 基 底 で あ る か に 応 じ て,aに−1ま

た は+1を

る こ と に よ り,∂Mに

誘 導 さ れ た 向 き を 定 義 す る.

 例2 SnはBn+1の

境 界 で あ るか ら,そ れ は 向 きづ け 可 能 で あ る.

与え

  Mを

境 界 の な いm次

M×Nを

考 え る.M,Nが

元 多 様 体,Nを

任 意 のn次

元 多 様 体 と し,積

向 き づ け ら れ た 多 様 体 の と き,M×Nの

多 様体 向 きが 次

の よ うに 定 義 さ れ る.   a∈M,b∈Nと

し,(υ1,…,υm),(w1,…,wn)を

順 序 づ け ら れ た 基 底 と す る.ま (x,b),j(y)=(a,y)で

そ れ ぞ れTa(M),Tb(N)の

た,i:M→M×N,j:N→M×Nをi(x)=

定 義 す る.こ の と き,((di)a(υ1),…,(di)a(υm),(dj)b(w1),

… ,(dj)b(wn))はT(a,b)(M×N)の

順 序 づ け ら れ た 基 底 で あ る が,い

{υb}b∈Nを そ れ ぞ れM,Nの

向 き と し,(υ1,…,υm)は

μaを,(w1,…,wn)は

νbを 表 わ す よ う に と り,((di)a(υ1),…,(dj)b(wn))が T(a ,b)(M×N)の

向 き を 考え よ う.容

の と り 方 に 関 係 せ ず,μaとυbに

  例3 

n次

  M,Nを

元 トー ラ スS1×

ば,こ

の た め に は,あ

の 向 き を μa×υbで

向 き づ け 可 能 で あ る.

元 多 様 体 と す る と き,微

き を か え る)こ るaに

ら に,こ

向 き で あ る こ と が 示 さ れ る.

… ×S1は

向 き づ け ら れ たn次

向 き を 保 つ(向

れ は(υ1,…,υm),(w1,…,wn)

よ っ て 定 ま り,さ

が 向 き を 保 つ(向 き を か え る)と は,各a∈Mに (N)が

正 の 基 底 と な る よ うな

易 に,こ

表 わ す と き,{μa×υb}(a,b)∈M×NはM×Nの

ま{μa}a∈M,

分 同 相 写 像f:M→N

対 す る(df)a:Ta(M)→Tf(a)

と を 意 味 す る も の と す る.Mが

対 す る(df)aが

向 き を 保 つ(向

連結な ら

き を か え る)こ

と

が 必 要 十 分 で あ る.   例4 

Mを

向 き づ け ら れ た,境

に 標 準 的 な 向 き を 与 え て,積 ∪M×{1}に,積

界 の な いm次

元 多 様 体 と し,閉

多 様 体M×[0,1]の

と し て のM×[0,1]の

境 界 ∂(M×[0,1])=M×{0}

向 き か ら 誘 導 さ れ た 向 き を 与 え る.こ

の と き,is:M→M×{ε}(ε=0,1)をis(a)=(a,ε)で 数 な ら ばisは   問1 

向 き を 保 ち,m+ε

定 理6.15に

と 仮 定 す る.こ

の と き,Lの

あ っ て,υ1,…,υm−n∈Ta(L)で はTf(a)(N)の

定 義 す れ ば,m+ε

が 偶 数 な ら ばisは

お い て,さ

ら に,Mお 点aに

区 間[0,1]

よ びNは

対 し,Ta(M)の

あ り,か

が奇

向 き を かえ る. 向 きづ け られ た 多 様 体 正 の 基 底(υ1,…,υm)で

つ,((df)a(υm−n+1),…,(df)a(υm))

正 の 基 底 で あ る よ う な も の を と り,Ta(L)に(υ1,…,υm−1)が

正 の 基 底 と な る よ う な 向 き を 与 え る.こ

の よ うに す る と き,Lは

向 きづ け られ

た 多 様 体 と な る こ と を 示 せ.   問2  Rpに

お け る 境 界 の な いm次

を 含 む あ る 開 集 合Uで もち,か

正 常値 に

み た す も のが 存 在 す る こ とを 示 せ.

様 体 の 向 き と座 標 近 傍 系 の 関 係 に つ い て 考 察 し よ う.

  (U,φ),(V,φ)を U∩Vに

向 きづ け 可 能 な らば,M

定 義 され たC∞ 級 写 像f:U→Rp−mで,0を

つ,f−1(0)=Mを

  7.3.2  次 に,多

元 多 様 体Mが

多 様 体Mの

座 標 近 傍 とす る.U∩Uが

対 し, のφ(a)に

式 

空 で な く,各a∈ お け る ヤ コ ビ行 列

が 正(ま た は 負)で あ る な らば,(U,φ)と(V,φ)は

正

の 関 係(ま た は 負 の 関 係)に あ る と い う.   Mを

向 きづ け 可 能 な 多 様 体 と し,{μa}a∈Mを

と き,各a∈Mに

そ の1つ

の 向 き とす る.こ

対 し 向 きの 定 義 で 述 べ た よ うな 座 標 近 傍(U,φ)を

れ ら全 体 の 集 合 を 

とす れ ば,こ れ はMの

の

と り,こ

座 標 近 傍 系 で,Uλ ∩

Uμ〓 φ の と き(Uλ,φλ)と(Uμ,φ μ)は正 の 関 係 に あ る.一 般 に,多 様 体Mの 座 標 近 傍 系 

で,こ

の よ うな 性 質 を もつ もの をMの

向 き づけ ら

れ た 座 標 近 傍 系 とい う.   上 で み た こ と に よ り,多 様 体Mが た 座 標 近 傍 系 を もつ が,逆

向 きづ け 可 能 な らば,Mは

に,多 様 体Mの

向 きづ け られ た 座 標 近 傍 系 

が 与え られ た と き,容 易 にわ か る よ うに,Mの 条 件 に よ り定 め る こ とが で き る:a∈Uλ

向 きづ け られ

の と き,aに

を そ の(Uλ,φ λ)に お け る成 分 に うつ す 写 像 はTa(M)の

向 き{μa}a∈Mを お け るMの

次の

接 ベ ク トル

向 き μaをRmの

標

準 的 な 向 き に うつ す.   多 様 体Mの は,Uλ

向 きづ け られ た 座 標 近 傍 系 

と 

∩Vσ〓 φ な らば(Uλ,φ λ)と(Vσ,ψ σ)は 正 の 関 係 に あ る とい う条 件 を

み た し て い る と き,同 値 で あ る と 定 義 す る.こ れ は 同 値 律 を み た す こ とが 容 易 に 示 され る.ま た,次

の こ と も容 易 に 示 さ れ る.

  多 様 体Mの

向 きづ け られ た 座 標 近 傍 系 

ら定 ま るMの

向 き が 同 一 で あ るた め に は, 

が 同 値 で あ る こ とが 必 要 十 分 で あ る.

と  と 

か

  か く て,向

き づ け 可 能 な 多 様 体Mの

向 き と は,Mの

向 き づ け られ た 座 標 近

傍 系 の 同 値 類 で あ る と い う こ と が で き る.   定 理7.5 

Mを

向 き づ け 可 能 な 多 様 体 と し, 

座 標 近 傍 系 とす る.こ をMの   証 明   各Uλ をMの

の と き,必

をMの

要 な ら ばφλ を と りか え る こ と に よ り, 

向 き づ け ら れ た 座 標 近 傍 系 に す る こ と が で き る. は 連 結 で あ る と 仮 定 し て も 一 般 性 は 失 わ れ な い. 

向 き づ け ら れ た 座 標 近 傍 系 と す る.各a∈Uλ

σ が 存 在 し,φλ(a)に

(ま た はUλ−)と

の 符 号 が 正(ま

た は 負)で あ る よ う なaの

す る と き,Uλ+,Uλ−

で あ る か ら,Uλ=Uλ+ま φλ=φλ と し,後

に 対 しa∈Vσ

は と も にUλ

た はUλ=Uλ−

つ く る 集 合 をUλ+

の 開 集 合 でUλ=Uλ+∪Uλ

の い ず れ か が 成 り立 つ.前

者 の と き φλ=r1°φ λ と す る.こ

… ,xm)=(−x1,x2,…,xm)で与え (Uλ,φ λ)と(Uμ,φ

ら れ る 写 像.こ

の と き,Uλ

μ)は 正 の 関 係 に あ る か ら, 

者のとき

∩

μ〓φ な ら ば,

はMの

向 きづ (証 終)

は じ め に 述 べ たSnの

よ う. 

座 標 近 傍 系{(U+,φ+),(U−,φ−)}を

考え

はx=(x1,…,xn)を 

に う つ す 写 像 で あ る から,x∈Rn−0に (x))と

−

こ にr1:Rm→Rmはr1(x1,

け ら れ た 座 標 近 傍 系 で あ る.  6.1の

をみた す

お け る ψσ°φλ−1の ヤ コ ビ行 列 式 の 正 負 の 符 号 は σ の と り

方 に 関 係 し な い.こ

  例5 

任意 の

お け る こ の 写 像 の ヤ コ ビ行 列 式 を(aij

す れ ば,

と な り,従

っ て,3.3の

が 成 り立 つ.よ

例3に

よ り,

っ て,{(U+,φ+),(U−,r1°φ−)}はSnの

向 きづ け られ た 座

標 近 傍 系 で あ る.   例6 

メ ー ビ ウ ス の 帯 は 向 き づ け 可 能 で な い.実

標 近 傍 系{(Ui,φi)}i=1,2,3,4を →R2の(x1,x2)に

際,6.3の

例3で

述 べ た座

と る と き,φ3°φ1−1:((0,1/2)∪(1/2,1))×[0,2)

お け る ヤ コ ビ 行 列 式 は,0<x1<1/2の

と き 正 で,1/2<x1<1

の と き 負 で あ る か ら,定

  例7 

理7.5に

実 射 影 空 間RPnは,nが

の と き 向 き づ け 可 能 で な い.実 ψi)}i=1,2,…,n+1を x=(x1,…,xn)に の と き,ψi=ψi(i:偶 はRPnの

ー ビ ウ ス の 帯 は 向 き づ け 可 能 で な い.

奇 数 の と き 向 き づ け 可 能 で あ り,nが 際,6.3の

例4で

の点

お け る ヤ コ ビ行 列 式 は(−1)i+j/xjn+1で 数),ψi=r1°ψi(i:奇

数)と

向 き づ け ら れ た 座 標 近 傍 系 で あ り,従 方,nが

あ る か ら,nが

奇数

お け ば,{(Vi,ψi)}i=1,2,…,n+1 っ て 奇 数 次 元 の実 射 影 空 間 は

偶 数 な ら ば,ψ1°

お け る ヤ コ ビ行 列 式 は,x1>0の よ り,偶

偶 数

述 べ た 座 標 近 傍 系{(Vi,

と る と き, 

向 き づ け 可 能 で あ る.一 のxに

よ り,メ

ψ2−1:(R−0)×Rn−1→Rn

と き 負 で,x1<0の

っ て,定

理7.5に

  問3 

複 素 射 影 空 間CPnは

  問4 

ク ラ イ ン の び ん は 向 き づ け 可 能 で な い こ と を 示 せ.

と き 正 で あ る.従

数 次 元 の 実 射 影 空 間 は 向 き づ け 可 能 で な い. 向 き づ け 可 能 で あ る こ と を 示 せ.

8. 

  8.1 

ブ ロ ー エ ル の 不 動 点 定 理

サ ー ドの 定 理

  8.1.1 

C∞ 級 写 像 の 臨 界 値 の 集 合 は そ れ ほ ど 多 く な い こ と を 示 そ う.こ

と は 正 確 に は そ の 集 合 の(ル ベ ー グ)測 度 が0で   ま ず,測   n次

のこ

あ る と い う こ と を 意 味 す る.

度 に つ い て 若 干 の 準 備 を し よ う.

元 閉 直 方 体Q=[a1,61]×[a2,b2]×

U=(a1,b1)×(a2,b2)×

… ×[an,bn](ま

… ×(an,bn))に

た はn次

元 開直 方体

対 し,

(b1−a1)(b2−a2)…(bn−an) をQ(ま

た はU)の

  補 題1 

Rnの

体 積 と い い,m(Q)(ま 部 分 集 合Aに

  (ⅰ)  任 意 の ε>0に

対 し,次

対 し,n次

た はm(U))で の4条

表 わ す.

件 は 同 値 で あ る.

元 閉 直 方 体 の 列Q1,Q2,…,Qi,…

で, 

を み た す も の が 存 在 す る.   (ⅱ)  任 意 の ε>0に

対 し,n次

元 開 直 方 体 の 列U1,U2,…,Ui,…

で, 

を み たす も のが 存 在 す る.   (ⅲ)  任 意 の ε>0に

対 し,n次

元 閉 立 方 体 の 列Q1,Q2,…,Qi,…

で, 

を み た す もの が 存 在 す る.   (ⅳ)  任 意 の ε>0に

対 し,n次

元 開 立 方 体 の 列U1,U2,…,Ui,…

で, 

を み た す も の が 存 在 す る.  証 明   (ⅱ)→(ⅰ),(ⅳ)→(ⅲ),(ⅲ)→(ⅰ),(ⅳ)→(ⅱ)は   (ⅰ)→(ⅱ).ε>0が 体 の 列Q1,Q2,…

方,容

任 意 に 与 え ら れ た とす る.(ⅰ)に

元 開 直 方 体Uiが

で あ る か ら,(ⅱ)が

よ り,n次

元 閉直 方

を み た す もの が 存 在 す る.一

で, 

易 に 示 さ れ る よ う に,各iに

み た すn次

自 明 で あ る.

対 し,Qi⊂Ui,m(Ui)−m(Qi)<ε/2i+1を

存 在 す る.こ の と き, 

成 り立 つ.

で

  (ⅲ)⇒(ⅳ)も

同 様 に 示 さ れ る.

  (ⅰ)⇒(ⅲ).容 算 個 のn次

易 に 示 され る よ うに,n次

元 閉直 方体 は 内点 を共有 しない可

元 閉 立 方 体 の 和 集 合 と し て 表 わ す こ とが で き る.こ の こ と よ り明 ら

か. 

(証終)

  上 の補 題 の 条 件 が 成 り立 つ と き,Rnの   A′⊂A⊂Rnで,Aが  定 理8.1 

測 度0を

もつ な らば,明

A,Ai(i=1,2,…)をRnの

Aiが 測 度0を

もつ な らば,Aも

  証 明   Aiは

測 度0を

Qi1,Qi2,…

部 分 集 合Aは

測 度0を

ら か に,A′

もつ と い う.

も測 度0を

と す る.各

部 分 集 合 と し, 

測 度0を

もつ か ら,任

もつ.

意 の ε>0に

対 し,n次

元 閉直 方体 の列

を み た す.こ

が 存 在 し, 

で あ る か ら,Aは

 か つ 

もつ.

測 度0を

の と き,

も つ. (証 終)

  補 題2 

閉 区 間[a,b]の

開 区 間 に よ る 被 覆Uが

属 す る 各 開 区 間 の 長 さ が た か だ か ε な らば,Uか (a2,b2),…,(ar,br)を

与 え ら れ た と す る.Uに ら 有 限 個 の 開 区 間(a1,b1),

え ら び,

を み た す よ う に す る こ とが で き る.   証 明   [a,b]は る[a,b]の ち,dの

コ ン パ ク トで あ る か ら,Uに

被 覆U0が

存 在 す る.a∈(c,d)∈U0を

最 大 な も の を1つ

次 に,b1に

と り,そ

れ を(a1,b1)と

対 し て 同 様 な 開 区 間(a2,b2)を

b2に 対 し 同 様 な 区 間(a3,b3)を く と き,bを

含 む(ar,br)が

と る.こ

と る.こ

の 後 者 よ り,

み た す 開 区 間(c,d)の す る.こ

得 ら れ,

う

の と きa1
の と きa
の と きb1
a1
属 す る有 限 個 の 開 区 間 か ら な

ら に,

れ を つづ けて い

が 得 ら れ る か ら,求   定 理8.2 

め る 結 果 が 示 さ れ た. 

AをRnの

コ ン パ ク ト集 合 と し,各t∈Rに

集 合At={x∈Rn−1￨(t,x)∈A}は 測 度0を

(証 終)

測 度0を

対 し,Rn−1の

も つ と 仮 定 す る.こ

部分

の と き,Aも

も つ.

  こ れ を フ ビ ニ(Fubini)の   証 明   Aは

定 理 と い う.

コ ン パ ク トで あ る か らAは

を み た す 閉 区 間[a,b]が

存 在 す る.任

を み た す ε1を と る.各tに の 列Ut,1,Ut,2,…

対 しAtは

有 界 で,従

っ て,A⊂[a,b]×Rn−1

意 に 与 え ら れ た 正 数 ε に 対 し,

測 度0を

も つ か ら,n−1次

元 開直 方体

が 存在 して

が 成 り 立 つ. は コ ン パ ク トでt×Rn−1と

  各tに

対 し, 

っ て,次

の 条 件 を み た す 正 数 δtが存 在 す る:

こ こ にIt=(t− に よ り,有

限 個 の 点t1,…,trが

が 成 り立 つ.こ 覆 し,

δt,t+δt).{It}t∈[a,b]は[a,b]の

の とき,可

交 わ ら な い.従

被 覆 で あ る か ら,上

の補 題

存 在 して

算 個 のn次

元 開 直 方 体 の 族{Iti×Uti,j}はAを

被

で あ る か ら,Aは

測 度0を

  定 理8.3 UはRnの る.Aが

測 度0を

も つ. 

(証 終)

開 集 合 で,A⊂Uと も つ な ら ば,f(A)も

  証 明   (第1段) 

し,f:U→RnはC1級 測 度0を

A⊂IntC,C⊂Uを

写 像 とす

も つ.

み た す コ ンパ ク ト集 合Cが

存 在す る

場 合.   Djfi:U→Rは

連 続 で,CはUに

含 ま れ る コ ン パ ク ト集 合 で あ る か ら,正

数 α が存 在 して

が 成 り立 つ.ε を 任 意 に 与 え られ た 正 数 とす る.Aは 元 閉 立 方 体 の 列Q1,Q2,…

が 成 り立 つ.こ

仮 定 し て よ い.

証 明 参 照),Qiの1辺

￨fj(y)−fj(x)￨≦nαli  ゆ え に,1辺 と な る.こ

の 長 さ がnαliで

  (第2段)    i=1,2,…

あ るn次

の とき

で あ る か ら,f(A)は

測 度0を

一 般 の 場 合. に 対 し,

も つ か ら,n次

が 存 在 して

こ にQi⊂IntCと

で あ る か ら(定 理4.10の

測 度0を

も つ.

の 長 さ をliを

す る とき ,

(x,y∈Qi).

元 閉 立 方 体Qi′

が 存 在 し,f(Qi)⊂Qi′

と お く.こ

のとき

ま た,Ci+1はRnの

有 界 閉 集 合 で あ る か ら,Ci+1は

に,Ai⊂AでAは

測 度0を

よ り,f(Ai)は

測 度0を

も つ か ら,Aiも

も つ.と

コ ン パ ク トで あ る.さ

ら

も つ.従

に

測 度0を

っ て,第1段

ら か に 

も つ か ら,定

理8.1に

で あ る か ら,

こ ろ が,明

従 って

と な る が,各f(Ai)は

測 度0を

よ り,f(A)は

測 度0を

も つ. 

(証 終)

  8.1.2 

さ て,臨

界 値 の 集 合 に 関 す る 目 的 の 定 理 を 証 明 し よ う.

  次 の 定 理 を サ ー ド(Sard)の   定 理8.4  をfの

定 理 と い う.

f:U→RmをRnの

開 集 合Uで

臨 界 値 の つ く る 集 合 とす る.こ

定 義 さ れ たC∞

の と きRmの

部 分 集 合Г

級 写 像 と し,Г は 測 度0を

も

つ.

  証 明   R0を =1,2,…

原 点0の み か ら な る 集 合 とみ る と き,定

に 対 し て 意 味 を もち,n=0の

理 はn=0,1,…

と き は 明 ら か に 成 り立 つ.nに

とm 関す る

帰 納 法 に よ っ て 証 明 し よ う.   各 成 分 関 数fi:U→Rの なUの

第k次

め る 結 果 は 次 の(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ)と

  (Ⅰ)  f(Г − Г1)は 測 度0を   (Ⅱ) f(Гk−

  (Ⅰ)の

あ るよう

点 全 体 の つ く る集 合 を Гkで 表 わ す とき,

で あ る か ら,求

  (Ⅲ) 

ま で の 偏 導 関 数 の 値 が す べ て0で

Гk+1)は

十 分 大 き なkに 証 明.m=1な

定 理8.1よ

り得 ら れ る.

も つ.

測 度0を

も つ(k≧1).

対 し,f(Гk)は ら ば Г=Г1で

測 度0を

も つ.

あ る か ら,m≧2と

し て よ い.

  各z∈

Г − Г1に 対 し,zのRnに

お け る 近 傍Wで,f(W∩

Г)は

測 度0を

も つ も の が 存 在 す る こ と を 示 そ う.   こ れ が 示 さ れ れ ば,リ Г1が 存 在 し,z=ziの

が 成 り立 つ か ら,定   さ て, 

ン デ レ ー フ の 性 質 に よ り,可 と き の 上 のWをWiで

理8.1に

よ り,f(Г

− Г1)は

測 度0を

関 数 の 定 理 に よ り,z∈V⊂U,h(z)∈V′

お き,gの

で あ る か ら,gの

はC∞

を み た すRnの

臨 界 点 全 体 の つ く る 集 合 を Г′ と し よ う.Г′=h(V∩ Г)に

Г)

一 致 す る.

な らばg(t,x2,…,xn)∈t×Rm−1⊂Rmで

対 し,Rn−1の

開集

級 微 分 同 相 写 像 と な る.g=f°h−1:

臨 界 値 の つ く る 集 合g(Г′)はf(V∩

  (t,x2,…,xn)∈V′ 任 意 のt∈Rに

(x∈U)

級 写 像 で あ り,

が 存 在 し て,h:V→V′

V′→Rmと

存 在 す る. 

ま,h:U→Rnを

h(x)=(f1(x),x2,…,xn) 

合V,V′

も つ.

で あ る よ う なi,jが

と 仮 定 し て も 一 般 性 は 失 わ れ な い.い

で あ る か ら,逆

∈Г−

表 わ す と き,

で あ る か ら, 

で 定 義 し よ う.hはC∞

算 個 の 点z1,z2,…

あ る.従

っ て,

開集 合

Vt′={(x2,…,xn)∈Rn−1(t,x2,…,xn)∈V′} を 考え る と き,C∞

級 写 像gt:Vt′

→Rm−1が

g(t,x2,…,xn)=(t,gt(x2,…,xn)) に よ り定 義 さ れ る.gの(t,x2,…,xn)に

で あ る か ら,(t,x2,…,xn)∈V′

お け る ヤ コ ビ行 列 は

がgの

臨 界 点 に な る の は(x2,…,xn)∈Vt′

gtの 臨 界 点 の と き し か も そ の と き に 限 る.と の 臨 界 値 の つ く る 集 合 は 測 度0を

こ ろ が,帰

も つ か ら,各tに

が

納 法 の 仮 定 に よ り,gt

対 し,集

合

は 測 度0を

も つ.

  zのRnに

お け る 近 傍Wで,WはVの

も の が 存 在 す る.こ

コ ン パ ク ト部 分 集 合 で あ る よ う な

の と き,W∩

Г はWに

Г は コ ン パ ク ト集 合 で あ る.従

っ てf(W∩

含 ま れ る 閉 集 合 で あ る か ら,W∩ Г)も

コ ン パ ク トで あ る が,上

に

Г)も

え

示 し た こ とに よ り

は 測 度0を にf(W∩

も つ か ら,フ Г)は

ビ ニ の 定 理 に よ り,f(W∩

測 度0を

  (Ⅱ)の

証 明.z∈

… ,jk+1が

存 在 す る.従

も つ.こ

Гk− Гk+1と

れ で(Ⅰ)が

測 度0を

も つ.ゆ

示 さ れ た.

す る. 

で あ る よ う なiとj1,

っ て,w:U→Rをw(x)=Dj2…jk+1fi(x)で

定 義す る と

き,

が 成 り立 つ.一

般 性 を 失 う こ と な く,j1=1と

仮 定 し て よ い.

  い ま,h:U→Rnを h(x)=(w(x),x2,…,xn) で 定 義 し よ う.逆 集 合V,V′

関 数 の 定 理 に よ り,z∈V⊂U,h(z)⊂V′

が 存 在 し て,h:V→V′

は Гk∩Vを0×Rn−1に

はC∞

を 考え,C∞

級 微 分 同 相 写 像 と な る.ま

開 た,h

うつ す. g=f°h−1:V′

と お き,Rn−1の

を み た すRnの

→Rm

開集 合

級 写 像g0:V0′

→Rmを

g0(x2,…,xn)=g(0,x2,…,xn) で 定 義 す る.帰

納 法 の 仮 定 に よ り,g0の

  x∈ Гk∩Vと

す る.こ

臨 界 値 の つ く る 集 合 は 測 度0を

の と き,h(x)=(0,x′)(x′

対 し Dig0j(x′)=Di+1gj(h(x))=Di+1fj(x)=0

∈V0′)で,す

も つ.

べ て のi,jに

で あ る か ら,x′

はg0の

臨 界 値 で あ る.よ

臨 界 点 で あ る.ゆ

っ て,f(Гk∩V)は

  以 上 に よ り,z∈

Гk− Гk+1と

て,f(Гk∩Vz)は

測 度0を

性 質 に よ り,可

算 個 の 点z1,z2,…

え に,f(x)=gh(x)=g0(x′)はg0の

測 度0を

も つ.

す る と き,zのRnに

お け る 近 傍Vzが

も つ こ と が 示 さ れ た.と ∈ Гk− Гk+1が

こ ろ が,リ

ンデ レー フ の

存 在 し て, 

と な る か ら, 

と な る.従

f(Гk− Гk+1)は   (Ⅲ)の

存在 し

測 度0を

も つ.

証 明.QをUに

含 ま れ るn次

な ら ば,f(Гk∩Q)は

っ て,

測 度0を

元 閉 立 方 体 と す る と き,k>n/m−1

も つ こ と を 示 そ う.こ

開 立 方 体 に 対 し て 同 じ こ と が 成 り立 ち,従 同 じ 理 由 に よ り,k>n/m−1の

れ が 示 さ れ れ ば,n次

っ て,(Ⅱ)の

と きf(Гk)は

元

証 明 の 終 りに 述 べ た と

測 度0を

も つ こ とが わ か り,求

め る 結 果 が 得 ら れ る.   テ イ ラ ー の 定 理 と,Qが とQの

コ ン パ ク トで あ る こ と,お

み に 関 係 す る 定 数cが

存 在 し て,x∈

よ び Гkの

Гk∩Q,x+h∈Qの

定 義 よ り,f とき

  (8.1)

の 成 り立 つ こ とが わ か る.   任 意 に 正 数 ε が 与 え ら れ た と す る.k>n/m−1を さ ら に,Qの1辺

次 元 閉 立 方 体{Qi}に

f(x)を

と る.い

ま,Qを1辺

の と き,  と 表 わ せ る か ら,(8.1)よ

中 心 と し,1辺

を み た すm次

の 長 さ が δ/rのrn個

分 割 す る. 

各 点 は 

わ か る.よ

と り,

の 長 さ を δ と し て,

を み た す 自 然 数rを

Qiの

み た す 自 然 数kを

の 長 さ がa/rk+1のm次

さ い"n

とす れ ば, り,f(Qi)は

元 閉 立 方 体 に 含 ま れ る こ とが

っ て,

元 閉 立 方 体Q1′,…,Qs′

の"小

が 存 在 す る.こ

の とき

で あ る か ら,f(Гk∩Q)は   8.1.3 

測 度0を

M,Nを

多 様 体 と し,f:M→NをC∞

正 常 値 の つ く る 集 合 はNに   証 明   各b∈Nに

も の を と る.リ て 

お け る 座 標 近 傍(Ua,φa)で

が 成 り立 つ.fの

と お く.bi=f(ai)と

に よ り,こ

算 個 の 点a1,a2,…

っ て 定 理8.3に

よ っ て,定

理8.1に

よ り, 

開 集 合(〓

み たす

∈Mが

の 臨界 点 のつ くる集合 は

φai(Гi)

え に,各b∈Nに

あ る が,サ

ー ドの 定 理

対 し, 

よ り, 

も 測 度0を

も 測 度0を

も つ.こ

え に,N−f(Г)=Nが

次 節 で も 応 用 さ れ る が,こ

も つ.

れ はf(Г)∩Vb

φ)を 含 ま な い こ と を 示 し て い る か ら,f(Г)もNの

含 ま な い.ゆ

存在 し ∩Ua i

も つ.ゆ

も ち,従

  定 理8.5は

φa(Ua)⊂Vf(a)を

の 臨 界 値 の つ く る 集 合 は ψbi(f(Гi))で

の 集 合 は 測 度0を

と り,各a∈

臨 界 点 の つ く る 集 合 を Г と し,Гi=Г

す る と き, 

は 測 度0を

(〓 φ)を

お け る 座 標 近 傍(Vb,ψb)を

ン デ レ ー フ の 性 質 に よ り,可

で あ る か ら,そ

級 写 像 と す る と き,fの

お い て 稠 密 で あ る.

対 し,bのNに

対 し,aのMに

がNの

(証 終)

サ ー ドの 定 理 よ り得 ら れ る 次 の 定 理 は 応 用 上 重 要 で あ る.

  定 理8.5 

Mに

も つ. 

成 り立 つ. 

開 集合 (証 終)

こで は そ の 応 用 と し て 次 の 定 理 を 証 明

し よ う.   定 理8.6  と き,C∞

Mを

境 界 の あ る 多 様 体 と し,Mは

級 写 像f:M→

∂Mでf￨∂M=1∂Mを

  証 明   こ の よ う なfが b∈ ∂Mが あ る.ゆ

え に,定

(b)=f−1(b)∩

理6.15に

∂M={b}が

の 閉 集 合 で あ る か ら,そ

れ は 矛 盾 で あ る. 

り次 の 定 理 が 得 ら れ る.

正 常値 正 常値 で

元 部 分 多 様 体 で,∂f−1

こ ろ が,f−1(b)の

れ 自 身 コ ン パ ク トで あ り,従

よ り,fの

ま たf￨∂Mの

よ り,f−1(b)はMの1次

∂f−1(b)は 偶 数 個 の 点 か ら な る.こ   定 理8.6よ

理8.5に

恒 等 写 像 で あ る か ら,bは

成 り立 つ.と

の

み た す も の は 存 在 し な い.

存 在 し た と仮 定 す る.定

存 在 す る.f￨∂Mは

コ ンパ ク ト と仮 定 す る.こ

は コ ン パ ク ト集 合M

っ て,定

理7.4に

よ り, (証終)

  定 理8.7 

単 位n球

体Bnか

ら そ れ 自 身 へ の 任 意 のC∞

級 写 像fは

不 動点 を

も つ.   証 明   fは びf(x)を

不 動 点 を も た な い と 仮 定 す る.こ

通 る 直 線 とSn−1の

Bn→Sn−1を

定 義 す る.式

の と き,x∈Bnに

交 点 の う ちxに

近 い 方 の 点 をg(x)で

こ ろ が,g￨Sn−1は

こ れ は 定 理8.6に ら ば,m次

元 多 様 体Mか

らSnへ

級 ホ モ トー プ で あ る こ と を 示 せ.

  8.2 

像

  8.2.1 

M,Nは

と も に 向 き づ け ら れ たn次

→Tf(a)(N)は

の 任 意 のC∞

の と き,a∈Mがfの

定 義 さ れ る(3.3.3参

正 常 点 な ら ば,(df)a:Ta(M) ,符

号sign

照).

コ ンパ ク トで,∂M=φ

正 常 値 な ら ば,定

理6.13よ

は 整 数 で あ る.こ

れ をdeg(f;b)で

  定 理6.13の

級写 像 は定

元 多 様 体 と し,f:M→Nを

向 き づ け られ た 線 形 空 間 の 間 の 同 形 写 像 で あ る か ら

  い ま,Mは

に 対 し,次

(証 終)

度

C∞ 級 写 像 と す る.こ

(df)aが

級写

恒 等 写 像 で あ る か ら,

矛 盾 す る. 

値 写 像 にC∞

写

表 わ し,g:

で あ る か ら,gはC∞

像 で あ る.と

m
よ

で書 け ば

で, 

  問1 

対 し,xお

と仮 定 し よ う.こ

り,f−1(b)は

の と き,b∈Nがfの

有 限 集 合 で あ る か ら,

表 わ す.

後 半 の 証 明 よ り,bのNに

お け る 近 傍Oが

存 在 し て,各y∈O

式 の 成 り立 つ こ とが わ か る: deg(f;y)=deg(f;b).

  補 題1 

Pは

コ ン パ ク ト,向

き づ け ら れ た,境

界 の あ るn+1次

元 多 様 体 で,

Nは

向 き づ け ら れ た,境

と す る.こ

界 の な いn次

元 多 様 体 と し,F:P→NはC∞

の と き,∂P=M,f=F￨M:M→Nと

し,deg(f;b)=0が

す れ ば,fの

級写像

各 正 常 点bに

対

成 り立 つ.

  証 明   (第1段)bがFの   定 理6.15に

正 常 点 で も あ る 場 合.

よ り,L=F−1(b)はPの1次

パ ク トで あ る か ら,Lも

元 部 分 多 様 体 で あ る が,Pは

コ ン パ ク トで あ る.従

は 有 限 個 の 連 結 成 分 か ら な り,各

っ て,定

連 結 成 分 はS1ま

理7.4よ

あ る か ら,Lの

[0,1]にC∞

し,∂Li={pi,qi}と

f−1(b)=L∩M={p1,q1,…,pk,qk}が

成 り立 つ.従

り,F−1(b)

た は 閉 区 間[0,1]にC∞

微 分 同 相 で あ る こ と が わ か る.∂L=L∩Mで 級 微 分 同 相 な も の をL1,…,Lkと

コン

級

連 結 成 分 の うち

っ て,各iに

す る と き, 対 し

sign(df)pi+sign(df)qi=0 で あ る こ と を 示 せ ば,こ   定 理6.15の

れ ら を 加 え 合 わ せ る こ と に よ り求 め る 結 果 が 得 ら れ る.

後 半 に よ り,a∈Lの

あ っ て,υ1∈Ta(L)で

あ り,か

と き,Ta(P)の

正 の 基 底(υ1,…,υn+1)で

つ,(dF)a(υ2),…,(dF)a(υn+1)はTb(N)の

正 の 基 底 で あ る よ う な も の が 存 在 す る こ と が わ か る.こ を 選 ぶ と き,そ

の 選 び 方 に 関 係 な く,υ1が

き が 定 ま り,こ

の 向 き を μaで 表 わ す と き,{μa}a∈LはLの

の よ うな(υ1,…,υn+1)

正 の 基 底 と な る よ う なTa(L)の

向

向 きで あ る こ とが

容 易 に 示 さ れ る.

  [0,1]に

標 準 的 な 向 き を 与 え て,向

→Liを

と る.必

=qiと

し て よ い.こ

Tpi(L)の

要 な ら ば,pi,qiを の と き,明

正 の 基 底 で あ り,qiに

き を 保 つC∞

級 微 分 同 相 写 像hi:[0,1]

入 れ か え る こ と に よ り,hi(0)=pi,hi(1) ら か に,piに

お け るPの

内 向 き 接 ベ ク トル は

お け る 外 向 き 接 ベ ク トル はTqi(L)に

おけ る

正 の 基 底 で あ る.従 で あ り,qiに (df)qiは

っ て,上

の(υ2,…,υn+1)は,piに

お い て はMの

正 の 基 底 で あ る.ゆ

向 き を 保 つ 同 形 写 像 で あ る.よ

お い て はMの え に,(df)piは

負 の基 底 向 き を か え,

って

sign(df)pi=−1,sign(df)qi=+1 と な り,求

め る 等 式 が 示 さ れ た.

  (第2段)bがFの   bのNに

正 常 値 で な い 場 合.

お け る 近 傍Oが

存 在 し て,各y∈Oに

対 し

deg(f;y)=deg(f;b) が 成 り 立 つ.一

方,定

とす る と き,第1段

理8.5に

よ り,OはFの

正 常 値 を 含 む か ら,こ

れ をy

によ り deg(f;y)=0.

よ っ てdeg(f;b)=0が   補 題2 

M,Nは

成 り立 つ. 

(証 終)

と も に 向 き づ け ら れ た,境

は コ ン パ ク ト と仮 定 し,f,g:M→NをC∞ C∞

級 ホ モ トー プ な ら ば,fお

=deg(g;b)が

よ びgの

対 し,deg(f;b)

のC∞

級 ホ モ トピ ー と し,[0,1]に

積 と し て の 向 き を 与 え る.こ

標

の と き,7.3.1

り,

が わ か る.と

こ ろ が,補

題1に

よ り,

で あ る か ら,deg(f;b)=deg(g;b)が   定 理8.8 

Nに

共 通 の 正 常 値bに

の と き,f,gが

成 り立 つ .

準 的 な 向 き を 与 え て,M×[0,1]に

Mは

元 多 様 体 で,M

級 写 像 と す る.こ

  証 明   F:M×[0,1]→Nをfのgへ

の 例4よ

界 の な い,n次

M,Nは

と も に 向 き づ け ら れ た,境

コ ン パ ク ト と し,Nは 対 し,deg(f;b)はfの

得 ら れ る. 

連 結 で あ る と す る.こ 正 常 値bの

(証 終) 界 の な いn次 の と き,C∞

元 多 様 体 で, 級 写 像f:M→

と り方 に 関 係 し な い 一 定 の 整 数 で あ る.

  こ の 一 定 の 数 をdegfで

表 わ し,fの

  証 明   b,c∈Nをfの

正 常 値 と す る.定

h:N→Nで,h(b)=cを

み た し,か

の が 存 在 す る.明

写 像 度 と い う*.

ら か にhは

理6.9に

よ り,C∞

つ,1N:N→NにC∞

級 微 分 同相 写像 級 ホ モ トー プ な も

向 き を 保 つ か ら,

deg(f;b)=deg(h°f;h(b))=deg(h°f;c) が 成 り立 つ.と 題2に

こ ろ が,h°f,f:M→NはC∞

級 ホ モ トー プ で あ る か ら,補

よ り deg(h°f;c)=deg(f;c).

よ っ て,deg(f;b)=deg(f;C). 

(証 終)

  写 像 度 は 次 の 性 質 を も つ.   定 理8.9 

(ⅰ)  恒 等 写 像 の 写 像 度 は1で

あ り,定

値 写 像 の 写 像 度 は0で

あ

る.   (ⅱ)  hがc∞

級 写 像f,gの

合 成9°fな

ら ば,

degh=(degf)(degg).   (ⅲ) 

f,gがC∞

級 ホ モ トー プ な 写 像 な ら ば, degf=degg.

  証 明   (ⅰ),(ⅱ)は   (ⅲ).定

定 義 よ り直 ち に 得 ら れ る.

理8.5の

証 明 と 同 様 に し て,サ

常 値 の 存 在 す る こ と が 示 さ れ る か ら,補

ー ドの 定 理 よ り,fとgの 題2に

よ り,求

共通 の正

め る 結 果 が 得 ら れ る. (証 終)

  例1 

6.2の

例3の

よ う に,f:S1→S1をf(z)=zkで

示 し た こ と よ りた だ ち にdegf=kで   問1 

S1={z∈C￨￨z￨=1}と

S1×S1をf(z1,z2)=(z1pz2q,z1rz2s)で

定 義 す る と き,そ

こで

あ る こ と が わ か る. み な し,整

数p,q,r,sに

対 し,f:S1×S1→

定 義 す る と き,degf=pr−qsで

あるこ

と を 示 せ.   問2 

M,Nを

  *  定 理8.7に きはNも

境 界 の な いn次 よ り,Nが

元 多 様 体 と し,Mは

コ ンパ ク トで な い と きはdegf=0で

コ ンパ ク トと仮 定 し て よ い.

コ ン パ ク トで,Nは あ る.従

連

っ て,写 像 度 を 考 え る と

結 で あ る と 仮 定 す る.ま はfの,cはgの

た,f,g:M→NはC∞

級 ホ モ トープ な 写 像 と し,b

任 意 の 正 常 値 と す る.こ

の と き,#f−1(b)−#g−1(c)はb,c

の と り方 に 関 係 せ ず つ ね に 偶 数 で あ る こ と を 示 せ.   問3 Mを る.こ

向 き づ け ら れ た,境

の と き,向

き を か え るC∞

界 の な い 多 様 体 と し,Mは

コ ンパ ク トとす

級 微 分 同 相 写 像 は 恒 等 写 像 にC∞

級 ホ モ トー

プ で な い こ と を 示 せ.   8.2.2 

写 像 度 の 初 等 的 応 用 を 述 べ よ う.

  ま ず,x∈Snを−x∈Snに

う つ す 写 像r:Sn→Snに

  (8.2) 

対 し,

degr=(−1)n+1

で あ る こ と に 注 意 す る.実

際,ri:Sn→Sn(i=1,…,n+1)を

ri(x1,…,xn+1)=(x1,…,xi−1,−xi,xi+1,…,xn+1) で 定 義 す る と き,明 あ る か ら,定   Sn上 上 のC∞

ら か にr=r1°r2°

理8.9の(ⅱ)よ

… °rn+1,degri=−1(i=1,…,n+1)で

り(8.2)が

得 ら れ る.

の ベ ク トル 場 の 存 在 に 関 し,7.1の 級 ベ ク トル 場Xで

る こ と を 示 し た が,nが

各x∈Snに

例1に

お い て,nが

対 し 

偶 数 の と き は,次

奇 数 な ら ば,8n

を み た す も のが 存 在 す

に 示 す よ う に,こ

の よ う なXは

存在

し な い.   定 理8.10 

nが

偶 数 な ら ば,Sn上

のC∞

級 ベ ク トル 場Xで,各xに

対 し

 を み た す も の は 存 在 し な い.   証 明   こ の よ う なXが

存 在 し た と仮 定 し よ う.こ

の と き,C∞

級 写 像f:Sｎ

→Snを

で 定 義 す れ ば, 

で あ る か ら,C∞

級 ホ モ トピ ー

F:Sn×[0,1]→Snが

に よ り 定 義 さ れ る.F(x,0)=x,F(x,1)=−xで C∞ nは

級 ホ モ ト ー プ と な る.従 偶 数 で あ る か ら,こ

っ て,定

れ は(8.2)に

あ る か ら,1,r:Sn→Snは 理8.9の(ⅲ)に 矛 盾 す る. 

よ り,degr=1と

な る が, (証 終)

  Snか

ら そ れ 自 身 へ の 写 像 に 関 し,次

  定 理8.11 

f,g:Sn→SnをC∞

ば,f(x)=g(x)を

級 写 像 と し, 

み た すx∈Snが

の 写 像 度 が(−1)n+1で

え に,定

存 在 す る.と

な け れ ば,fは

  証 明   す べ て のx∈Snに あ る か ら,5.4の

の 定 理 が 成 り立 つ.

く に,C∞

とす れ ば,‖f(x)−r°g(x)‖<2で

よ りf,r°g:Sn→SnはC∞

理8.9と(8.2)よ

級 写 像f:Sn→Sn

不 動 点 を も つ.

対 し 

例5に

とす れ

級 ホ モ トー プ で あ る.ゆ

り,degf=deg(r°g)=(−1)n+1deggが

成 り立 つ. (証 終)

  定 理8.12 

C∞ 級 写 像f:Sn→Snの

を み た すx∈Snが

写 像 度 が 奇 数 な ら ば,f(−x)=−f(x)

存 在 す る.

  証 明   す べ て のx∈Snに

対 し 

と す れ ば,C∞

級 ホ モ トピ ー

F:Sn×[0,1]→Snが F(x,t)=((1−t/2)f(x)+(t/2)f(−x))/‖(1−t/2)f(x)+(t/2)f(−x)‖ (x∈Sn,t∈[0,1])に

よ り定 義 さ れ, F(x,0)=f(x),F(x,1)=F(−x,1)

が 成 り立 つ.g(x)=F(x,1)と で あ る.ゆ   問4 

え に,定

理8.9に

お く と き,g:Sn→Snの よ り,degfも

C∞ 級 写 像f:Sn→Snの

す 点x∈Snが   問5 

偶 数 で あ る. 

写 像 度 が1で

(証 終)

な い な ら ば,f(x)=−xを

み た

存 在 す る こ と を 示 せ.

nが

f(x)=−xの

偶 数 の と き,任

意 のC∞

写像f:Sn→Snに

い ず れ か を み た す 点x∈Snが

  8.3 

写像 度 は 明 らかに偶 数

対 し,f(x)=xま

たは

存 在 す る こ と を 示 せ.

  8.3.1 

ワ イ エ ル シ ュ トラ ス の 近 似 定 理 定 理8.7や8.2.2で

述 べ た 定 理 はC∞

の 連 続 写 像 に 対 し て 成 り立 つ.と の 不 動 点 定 理 と よ ば れ,多 る た め,連

級 写 像 で な く と も,実

く に 連 続 写 像 に 対 す る 定 理8.7は

く の 応 用 を も つ 古 典 的 定 理 で あ る.こ

は任 意

ブ ローエ ル れ らを証 明す

続 写 像 の 多 項 式 近 似 に 関 す る ワ イ エ ル シ ュ トラ ス の 近 似 定 理 に つ い

て 述 べ よ う.

  補 題1 

Lを

れ て い て,次

(x,x′,y,y′

ノ ル ム 空 間 と し,任

意 のx,y∈Lに

対 しx・y∈Lが

定義さ

の 条 件 が 成 り立 つ と す る:

∈L,s∈R).こ

の と き(x,y)∈L×Lをx・y∈Lに

うつ す 写 像 は

連 続 で あ る.

 証明

よ り明 ら か.    Xを

(証 終)

コ ン パ ク ト位 相 空 間 と し,X上

ノ ル ム 空 間C(X)=CR(X)を

で定 義 され た 実数値 連 続 関数 のつ くる

考 え る.こ

の と き,f,g∈C(X)に

対 し,積f・g

∈C(X)が (f・g)(x)=f(x)g(x)  に よ り定 義 さ れ,明

ら か に 補 題1に

(x∈X)

お け る 条 件 が 成 り立 つ.従

よ り,(f,g)∈C(X)×C(X)をf・g∈C(X)に て,定

理3.8の

  補 題2 

ら ばf・g∈H.こ

成 り立 つ.こ

こ にHはHの

  さ ら に,次

の 補 題 が 成 り立 つ.

  補 題3 

Xを

部 分 集 合 と し,次

の と き,f,g∈Hな

Hは

閉 包.

コ ンパ ク ト位 相 空 間,HをC(X)の

 ⅱ) 

f,g∈Hな

 ⅲ) 

Hは

こ の と き,Hは

線 形 空 間C(X)の

の条件

ら ばf・g∈Hが

部 分 集 合 と し,次

を 仮 定 す る:  ⅰ) 

っ

の 補 題 が 示 さ れ る.

コ ン パ ク ト位 相 空 間,HをC(X)の

を 仮 定 す る:f,g∈Hな

題1に

う つ す 写 像 は 連 続 で あ る.よ

証 明 と 同 様 に し て,次

Xを

っ て,補

線 形 部 分 空 間 で あ る.

ら ばf・g∈H.

す べ て の 定 値 関 数 を 含 む. 次 の 性 質 を も つ:f1,…,fk∈Hな

ら ば,M(f1,…,fk),m(f1,

の条件

… ,fk)∈H.こ

こ に,M(f1,…,fk),m(f1,…,fk)はx∈Xを

{f1(x),…,fk(x)},min{f1(x),…,fk(x)}に   証 明   (第1段) 

ま ず,実

うつ す 写 像.

係 数 多 項 式 の 列u1(t),u2(t),…

す も の が 存 在 す る こ と を 示 そ う:閉 調 増 加 で,そ

れ は 関 数 

  u1(t)=0と

し,nに

そ れ ぞ れmax

区 間[0,1]に

で次 の 条件 をみ た

お い て 関 数 列{un(t)}は

単

に 一 様 収 束 す る.

関 す る帰 納 法 に よ り

  (8.3)  と 定 義 す る.い

ま, 

と 仮 定 す れ ば, 

で あ る か ら,

が 得 ら れ る.従

っ て,帰

納法 に よ り

が 示 さ れ る.よ

っ て,各t∈[0,1]に

る こ と が わ か り,limun(t)が  が 得 ら れ る.よ

対 し,{un(t)}は

存 在 す る.こ っ て,デ

有界 な単 調増 加数 列 で あ

れ をu(t)と

す る と き,(8.3)よ

ィ ニ の 定 理 に よ り,{un(t)}は 

り に一

様 収 束 す る.   (第2段) 

次 に,補

を 示 そ う.こ

こ に￨f￨はx∈Xを￨f(x)￨に

  ￨f￨=0の un(t)を

題3の

用 い て,連

で あ る こ と が わ か る.従

  f1,f2∈Hで

補 題3を

よ り,Hに

あ り,第1段

っ て￨f￨/a∈Hと

理3.8に

あること

と お き,第1段 定 義 す る.こ

に よ り 

な り,￨f￨∈H.

証 明 し よ う.k=2の

あ る か ら,定

に よ り,￨f1−f2￨∈H=Hが  

と す る.a=‖f‖

続 関 数fn:X→Rをfn(x)=Un(f(x)2/a2)で

定 の 条 件 に よ りfn∈Hで

  (第3段) 

ら ば￨f￨∈Hで

う つ す 写 像.

と き は 自 明 で あ る か ら, 

の と き,仮

補 題2に

仮 定 の も と に,f∈Hな

場 合 を 示 せ ば よ い.

よ り,f1−f2∈Hで

対 し て もⅰ)−ⅲ)と 得 ら れ る.明

あ る が,定

理3.8と

同 様 の 条 件 が 成 り立 つ か ら,第2段 ら か に,

M(f1,f2)=(f1+f2+￨f1−f2￨)/2,m(f1,f2)=(f1+f2−￨f1−f2￨)/2

の

で あ る か ら,M(f1,f2),m(f1,f2)もHに   補 題4  の3条

Xを

Xの

(証 終)

コ ン パ ク ト位 相 空 間 と し,HはC(X)の

件 に 加 え て,さ

 ⅳ) 

属 す る. 

部 分 集 合 で,補

題3

ら に 次 の 条 件 を み た す とす る:

異 な る 任 意 の2点x,x′

に 対 し, 

を み た すh∈Hが

存 在 す る.   こ の と き,任

意 に 与 え ら れ たf∈C(X),x0∈Xお

よ び ε>0に

対 し,Hの

元gで g(x0)=f(x0),g(x)
任 意 の2点 

Hでk(x)=a,k(x′)=a′ のhを

と任 意 の 実 数a,a′

に 対 し,k∈

を み た す も の が 存 在 す る こ と に 注 意 す る.実

際,ⅳ)

用 いて k=a+(a′−a)(h−c)/(c′

(c=h(x),c′=h(x′))と   さ て,f,x0お

−c)

定 義 す れ ば よ い.

よ び ε が 与え ら れ た と し,各x∈Xに

対 しhx∈Hで

hx(x0)=f(x0),hx(x)
よ びhxは

の と き は,こ

と き はhxと

の と き,補 題2に


近 傍Uxが

存 在 し,X=Ux1∪

∈X)が

よ り,g∈Hで

は じめ の 注 意 に よっ

の 定 値 写 像 を と る こ と が で き る. 存 在 し て,各x′

の 成 り立 つ こ と が わ か る.Xは

限 個 の 点x1,…,Xn∈Xが と お く.こ

し てf(x0)へ

連 続 で あ る か ら,xの

hx(x′)
の よ うなhxは

∈Uxに

対 し

コ ン パ ク トで あ る か ら,有

… ∪Uxnと

な る.g=m(hx1,…,hxn)

あ り,明 ら か にg(x0)=f(x0),g(x′)

成 り立 つ. 

(証 終)

次 の 定 理 を ス トー ン-ワ イ エ ル シ ュ トラ ス(Stone-Weierstrass)の

定理 と い

う.   定 理8.13 

Xを

3の 条 件ⅰ)−ⅲ)お 包HはC(X)に

コ ン パ ク ト位 相 空 間 と し,HはC(X)の よ び 補 題4の 一 致 す る.

条 件ⅳ)を

部 分 集 合 で,補

み た す と 仮 定 す る.こ

題

の と き閉

  証 明  f∈C(X)と

し,ε

を 任 意 の 正 数 とす る.補

対 しgx∈Hで,gx(x)=f(x),gx(x′)
題4に

す る.fとgxは

点x1,…,xn∈Xが こ の と き,補 =Hと

∈X)を

と も に 連 続 で あ る か ら,xの

に 対 し,gx(x′)>f(x′)−

す る.明

  定 理8.14 

XをRnの

関 数f:X→Rと

∈Ux 限個の お こ う.

っ てf∈H (証 終)

係 数 多項式

み な せ る が,こ

っ て,そ

φ‖<ε が 成 りた つ.従

示 さ れ た. 

は 連 続 関 数p:X→Rと

を み た す.従

存 在 し て,各x′

コ ン パ ク トで あ る か ら,有

た‖f−

部 分 集 合 と す る と き,実

集 合 をP(X)と

み た す もの が 存 在

と な る.φ=M(gx1,…,gxn)と

よ り φ∈H.ま

な り ,C(X)=Hが

  XをRnの

近 傍Uxが

εが 成 り立 つ.Xは

存 在 し て  題3に

よ り,各x∈Xに

の よ うに して 得 られ る 連 続 関 数 全 体 の

ら か に,P(X)⊂C(X)でP(X)は

定 理8.13の

仮定

の 定 理 よ り次 の 定 理 が 得 ら れ る. コ ン パ ク ト部 分 集 合 とす る と き,任

任 意 の 正 数 ε に 対 し,n変 ｜f(x)−p(x)￨<ε

意 の実 数値 連続

数 の 実 係 数 多 項 式pが

存 在 し,

  (x∈X)

が 成 り立 つ.   こ れ を ワ イ エ ル シ ュ トラ ス(Weierstrass)の   多 項 式 に よ っ て 定 義 さ れ る 関 数 はC∞ う に,こ

の 定 理 はC∞

近 似 定 理 と い う*.

級 で あ る か ら,次

の 小 節 で み られ る よ

級 写 像 に 関 す る結 果 か ら連 続 写 像 に 関 す る結 果 を を み ち

び く の に し ば し ば 利 用 さ れ る.   8.3.2 

さ て ブ ロ ー エ ル(Brouwer)の

  定 理8.15 

単 位n球

体Bnか

  証 明   仮 にf:Bn→Bnは ‖f(x)−x‖

ら そ れ 自 身 へ の 各 連 続 写 像 は 不 動 点 を も つ.

不 動 点 を も た な い と し よ う.こ

に う つ す 関 数 は 連 続 でBnは が 存 在 す る が,そ

場 合 の 初 等 的 証 明 が 高 木 貞 治:解

の と き,x∈Bnを

コ ン パ ク トで あ る か ら, 

れ は 正 数 で あ る.こ

エ ル シ ュ ト ラ ス の 近 似 定 理 に よ り,多

  *  n=1の

不 動 点 定 理 を 示 そ う.

の 数 を μ とす る と き,ワ

項 式 で 定 義 さ れ る 写 像φ:Rｎ

析 概 論,岩

波 書 店,p.284に

あ る.

→Rnで,

イ

を み たす もの の 存 在 す る こ とが わ か る.い ま,C∞

級 写 像 φ:Bn→Rnを

で定義すれば,簡 単な計算で

が 示 さ れ る.ゆ

え に,φ

はBnを

f(x)‖ ≧ μ で あ る か ら 

そ れ 自 身 に うつ すC∞ こ れ は 定 理8.7に

矛 盾 す る. 

(証 終)

  5.4.2に

お い て,C∞

同 様 に,連

続 写 像 に 対 し て ホ モ ト ピ ー の 概 念 が 次 の よ う に 定 義 さ れ る.

  X,Yを

位 相 空 間 と し,f0,f1:X→Yを

[0,1]→Yが

級 写 像 に 対 し てC∞

級 写 像 で あ り,‖x−

級 ホ モ ト ピ ー の 概 念 を 定 義 し た が,

連 続 写 像 と す る.連

続 写 像F:X×

存 在 し て,F(x,0)=f0(x),F(x,1)=(x)(x∈X)が

ら ば,f0とf1は   前 と 同 様,ホ

成 り立 つ な

ホ モ トー プ で あ る と い い,Fをf0のf1へ

の ホ モ トピ ー と い う.

モ トー プ と い う 関 係 は 同 値 関 係 で あ り,ホ

モ トー プ な 連 続 写 像

の 合 成 は た が い に ホ モ トー プ で あ る こ と が わ か る.   定 理8.16 

Xを

ユ ー ク リ ッ ド空 間Rpの

  (ⅰ)  任 意 の 連 続 写 像.f:X→Snと

コ ン パ ク ト集 合 とす る.

任 意 の 正 数 ε に 対 し,C∞

級 写 像g:X

→Snで

を み た す も の が 存 在 す る.   (ⅱ)  f0,f1:X→SnをC∞ プ で あ る と す る.こ   証 明   (ⅰ) 

級 写 像 と し,そ

の と き,f0とf1はC∞

れ ら は 連 続 写 像 と し て ホ モ トー

級 ホ モ ト ー プ で あ る.

ワ イ エ ル シ ュ ト ラ ス の 近 似 定 理 に よ り,多

項 式 で 定 義 さ れ る写

像φ:Rp→Rn+1で

を み た す も の が 存 在 す る.こ

の と き, 

で あ り,ε

は 十分 小 さ

い と し て よ い か ら,

が 得 られ る.ゆ よ い.

え に,x∈Xを 

に うつ す 写 像 をgと

すれば

  (ⅱ)  F:X×[0,1]→Snを る.(ⅰ)に

よ り,C∞

連 続 写 像 と し て のf0か

らf1へ

の ホ モ トピ ー とす

級 写 像G:X×[0,1]→Snで

を み た す も の が 存 在 す る.g0,g1:X→Snをg0(x)=G(x,0),g1(x)=G(x,1) (x∈X)で

定 義 す る と き,g0とg1はC∞

が 成 り立 つ.ゆえ プ で あ る.と

に,5.4の

級 写 像 で,各x∈Xに

例5に

対 し

よ り,f0とg0,f1とg1はC∞

こ ろ が,g0とg1はC∞

級 ホ モ トー

級 ホ モ ト ー プ で あ る か ら,f0とf1はC∞

級 ホ モ トー プ で あ る.    定 理8.16を

(証 終)

用 い る と き,向

多 様 体Mか

らSnへ

き づ け ら れ た,境

の 任 意 の 連 続 写 像.f:M→Snに

→Snで  gと

界 の な い,コ 対 し,C∞

を み た す も の を と り,写

し て 定 義 す る こ と が で き,f0,f1:M→Snが

degf0=degf1の

元

級 写 像g:M

像 度degfをdeg

ホ モ トー プ な 連 続 写 像 な ら ば

成 り立 つ こ と が わ か る.

  よ っ て,定 定 理8.12は

ン パ ク トn次

理8.10はC0級

ベ ク トル 場 に 対 し て も 成 り立 ち,ま

た,定

理8.11,

連 続 写 像 に 対 し て も 成 り立 つ こ と が わ か る.

  注 意   Mを

ユ ー ク リ ッ ド空 間Rpに

お け る 多 様 体 と し,そ

れ は コ ンパ ク トで ∂M=φ

とす る と き,十 分 小 さ い 正 数 εに 対 し, Nε={x∈RP￨d(x,M)<ε} か らMへ

のC∞

て い る: ⅰ)  (Nε をMの

級 写 像r:Nε

→Mで,次

r￨M=1M, ⅱ) 

の 条 件 を み た す もの の 存 在 す る こ とが 知 られ

各x∈Nε

管 状 近 傍 とい う.)こ

に対 しd(r(x),x)
の こ とを 用 い る と き,定

理8.16に

お い てSnを

境界

の な い コ ンパ ク ト多 様 体 に お きか え て も よ い こ とが わ か る.

  8.4    8.4.1 

凸

集

次 節 で 述 べ ら れ る よ う に,ブ

へ 拡 張 さ れ る.そ   Rnに Cを

合

の 準 備 と し て,こ

お け る と 同 様 に,線

凸 集 合 と い う:任

の 節 で 凸 集 合 に つ い て 考 察 し よ う.

形 空 間Lの

意 のx,y∈Cと

ロ ー エ ル の 不 動 点 定 理 は バ ナ ッハ 空 間

部 分 集 合Cが

次 の 性 質 を も つ と き,

任 意 のs(0≦s≦1)に

対 し,(1−s)x+sy

∈C.

  例 え ば,線

形 部 分 空 間 は 凸 集 合 で あ り,Lが

お よび 

ノル ム空 間 の とき 集 合 

は 凸 集 合 で あ る.

  次 の こ と は 容 易 に 示 さ れ る:線 形 空 間 の 凸 集 合 か らな る族  共 通 部 分 

は 凸 集 合 で あ る.ま

た,ノ

ル ム空 間Lの

凸 集 合Cの

に 対 し, 閉 包C

は凸 集 合であ る.   補 題1 

Cを

凸 集 合 と し,x1,…,xr∈Cと

す る(r≧1).こ

の と き, 

な ら ば,

 証 明   rに 関 す る帰納 法 に よ る.r−1に

対 す る 結 果 を 仮 定 し よ う.こ の と き

で あ る か ら,

(証 終)   補 題2 

Lを

ノ ル ム 空 間,Cを

こ の と き,各s(0≦s<1)に

そ の 凸 集 合 と し,0∈IntC,x∈Cと

対 し,sx∈IntC.

  証 明   あ る ε 近 傍O(0,ε)はCに (sx,(1−s)ε)はCに

.従

こ の と き,連

Lを

の と き,0≦s<1な

す る と き, 

っ て, 

y=(1−s)z+sx∈C.よ   補 題3 

含 ま れ る.こ

ら ば,O

含 ま れ る こ と が 次 の よ う に 示 さ れ る か ら,sx∈IntC.

  y∈O(sx,(1−s)ε)と

と お け ば, 

す る.

で あ るか ら

x∈Cで,Cは

凸 集 合 で あ るか ら ,

っ てO(sx,(1−s)ε)⊂C.  ノ ル ム 空 間,Cを

そ の コ ン パ ク ト凸 集 合 と し,0∈IntCと

続 写 像r:L−0→FrCで,次

る:  ⅰ) 

r￨FrC=1:FrC→FrC.

 ⅱ) 

x∈C−0な

 ⅲ) 

x∈L−0,k>0に

(証 終)

らば 対 しr(kx)=r(x).

の3条

す る.

件 を み たす もの が 存 在 す

  証 明   (第1段)x∈L−0に

対 し,sx∈FrCを

み た す 正数sが

存 在 し,そ

れ は 一 意 的 に 定 ま る こ と を 示 そ う.   Cは

有 界 で,sx∈C(s>0)な

らば

の直径 で あ る か ら,x∈L−0が 界 で あ る.従

与 え ら れ た と き,集

っ てsupS=s0が

  実 際,s0はSの

存 在 す る が,s0は

上 限 で あ る か ら,任

み た すs1∈Sが

存 在 し,ま

s1x∈C, 

で

合S{s>0￨sx∈C}は

上 に有

求 め る も の で あ る.

意 の 正 数 ε に 対 し, 

た, 

を

が 成 り立 つ.従

っ て,

よ っ てs0x∈FrC.   つ ぎ に,正 2に

数sに

よ り,s<s0な

対 し てsx∈FrCが

成 り立 っ た と し よ う.こ

の と き,補

題

らば sx=(s/s0)(s0x)∈IntC

で あ り,s>s0な

ら ば 同 様 にs0x∈IntCで

あ る.よ

っ てs=s0と

な り,一

意性

が 示 さ れ た.   (第2段)  0}で

第1段

定 義 さ れ る.rが

に よ り,写

連 続 で あ る こ と を 示 そ う.

  こ の た め,  義 し,q0=q￨FrCと で,容

像r:L−0→FrCがr(x)=FrC∩{sx￨s>

へ の 写 像q:L−0→Sをq(x)=x/‖x‖ お く.明

ら か に,qは

で定

連 続 写像

易に q=q0°r

が 示 さ れ る.よ

っ て,q0が

同 相 写 像 で あ る こ とを 示

せ ば よ い.   FrCは ま た,q0は

コ ン パ ク ト集 合Cの 連 続 で あ る.従

閉 集 合 で あ る か ら,FrCは っ て,q0が

コ ン パ ク トで あ る.

全 単 射 で あ る こ と を 示 せ ば,定

理2.9

に よ り,q0は

同 相 写 像 と な る.

  x,x′ ∈FrCと

し,q(x)=q(x′)と

か ら,補

よ り, 

題2に

同 様 に,  x=x′.ゆ

す る.こ

であ る

な ら ば 

な ら ばx′ ∈IntCと え にqは

の と き, 

と な り,

な る.従

っ て 

が 成 り立 ち,

単 射 で あ る.

  任 意 の 点x∈Sに

対 し,q0r(x)=q(x)=x/‖x‖=xで

あ る か ら,q0は

全 射で

あ る.   (第3段) 

rは

条 件ⅰ)―ⅲ)を

み た す こ と を 示 そ う.

 ⅰ).  rの 定 義 よ り 自 明. ⅱ).  x∈C−0と な ら ば 補 題2に

よ りsx∈IntCで  ⅲ). 

>0の

と き,s′=s/k>0に

し,r(x)=sx(s>0)と

あ る か ら,s≧1.従 x∈L−0に

す る.s<1

っ て,x∈C−0な

対 し,sx∈FrC(s>0)と

対 し てs′(kx)=sx∈FrCで

ら ば, す れ ば,k

あ る か ら,r(kx)=r(x). (証 終)

  ノ ル ム 空 間Lの

コ ン パ ク ト凸 集 合Cが

内 点 を 含 む と き,CをLの

凸体 と

い う.   定 理8.17 

n次

元 ノ ル ム 空 間Lの

  証 明   x0∈IntCと 像 で,h(C)は0を

凸 体Cは

単 位n球

し,h:L→Lをh(x)=x−x0で

体Bnに

同 相 で あ る.

定 義 す れ ば,hは

同相 写

内 点 に も つ 凸 集 合 で あ る こ と は 明 ら か で あ る か ら,0∈IntC

と 仮 定 し て も 一 般 性 は 失 わ れ な い.ま

た,定

理3.10に

よ り,L=Rnの

場合に

つ い て 証 明 す れ ば よ い.   補 題3のr:Rn−0→FrCを

用 い る と き,連

続 写像f:C→Bnが

に よ り定 義 さ れ る.   実 際,補 あ る か ら,明

題3のⅱ)に

よ り 

で あ る か ら,f(x)∈Bn.rは

ら か に,fはC−0に

あ る か ら, 

お い て 連 続 で あ る.FrCは が 存 在 す る.こ

え ら れ た 正 数 ε に 対 し,  て.fは0に

お い て も 連 続 で あ る.

れ をmと

な ら ば 

連続 で コ ン パ ク トで

す る と き,任

意に与

が 成 り立 つ.従

っ

  fは

全 単 射 で あ る.実

際,x1,x2∈Cに

対 しf(x1)=f(x2)と

な ら ばx2=0で

あ り, 

な ら ば, 

で あ る か ら,補

題3のⅲ)に

よ りr(x1)=r(x2)と

従 っ てfは ば,補

単 射 で あ る.ま

題3のⅰ)とⅲ)に

た,任

す る と き,x1=0 に 対 しx2=kx1

な り,x1=x2が

意 のy∈Bn−0に

よ り,r(x)=r(y)で

得 ら れ る.

対 し,x=‖y‖r(y)と

おけ

あ る か ら,r(y)=sy(s>0)と

す る と き, 

が 成 り立 つ.従

っ てfは

全射 で

あ る.   Cは Bnは

コ ン パ ク トで あ る か ら,以

上 に 示 し た こ と と 定 理2.9に

よ り,f:C→

同 相 写 像 で あ る. 

  定 理8.18 

Lをn次

こ の と き,Cは

(証 終) 元 ノ ル ム 空 間 と し,Cを

あ る整数(k(0≦k≦n)に

た だ しB0={0}と

対 す る 単 位k球

体Bkに

同相で あ る.

す る.

  証 明   0∈Cと

仮 定 し て も 一 般 性 は 失 わ れ な い.Lは

る か ら,υi,υ2,…,υk∈Cで,{υ1,υ2,…,υk}は x∈Cに

そ の コ ン パ ク ト凸 集 合 とす る.

対 し{υ1,…,υk,x}は

線 形 独 立 で あ り,か

つ,任

す る.x∈C, 

を み た すxが

存 在 す れ ば,

線 形 独 立 で あ る こ と は 簡 単 に み ら れ る か ら,C⊂Kで

と お く.0,υ1,…υkは

意の

線 形 従 属 で あ る よ う な も の が 存 在 す る.{υ1 ,…,

υk}で 張 ら れ る 線 形 空 間 をKと {υ1,…,υk,x}は

有 限次 元線形 空 間で あ

凸 集 合Cの

元 で あ る か ら,補

題1に

あ る.

よ り,V⊂Cが

得

ら れ る.   Kの

点xは

一 意 的 にs1υ1+…+skυk(s1,…,sk∈R)と

写 像pi:K→Rがpi(x)=siに

連 続 写 像 で あ る か ら,VはKの

  以 上 に よ り,Cはk次

元 ノ ル ム 空 間Kの

  8.4.2 

よ り,CはBkに Lを

形

よ り定 義 さ れ る(i=1,…,k).p1,…,pkお

びp1+…+pk:K→Rは

定 理8.17に

表 わ さ れ る か ら,線

開 集 合 で あ る.

凸 体 で あ る こ とが 示 さ れ た か ら,

同 相 で あ る. 

ノ ル ム 空 間 と し,Aを

の 凸 集 合 全 体 の 共 通 部 分 をAの

よ

(証 終)

そ の 任 意 の 部 分 集 合 とす る.Aを

凸 包 と い い,Cυ(A)で

表 わ す.Cυ(A)は

含 むL 凸

集 合 で あ る.   定 理8.19 

Lを

ノ ル ム 空 間 と し,Aを

  (ⅰ)  凸 包Cυ(A)は

を も つLの

形 

  (ⅱ)  dimL=nな

ら ば,(ⅰ)に

お い てr≦nと

 証 明   (ⅰ)  A⊂Cυ(A)で,Cυ(A)は の と き,補

0,1,…,r)で 

凸 集 合 で あ る か ら,xi∈A,si≧0(i= 題1に

よ り, 

が 成 り 立 つ.

を もつLの

っ て,求

元 全体 は凸 集

め る 結 果 が 成 り立 つ.

ま ず,Lをn+1次

す る と き,{0,1,…,r}の

と

元 ノ ル ム 空 間 と し,  部 分 集 合{k0,k1,…,kn}と

負 で な い 実 数t0,t1,…,tn

が 成 り立 つ こ とを 示 そ う.

が 存 在 し て,    r≦nの

こ に,rは

し て よ い.

ら か に,形 

合 を つ く る.よ   (ⅱ) 

元 全 体 か ら な る.こ

とす る.

任 意 の 自然 数 で, 

一 方 ,明

そ の 部 分 集 合 とす る.

と き は 自 明 で あ る か ら,r≧n+1と

ら,{x0,x1,…,xr}は

線 形 従 属 で あ る.従

  が 成 り 立 つ が,w0,w1,…wrの

す る.Lはn+1次 っ て,あ

元 で あ るか

るw0,w1,…,wr∈Rに

対 し

な か に 正 数 が 存 在 す る と仮 定 し て よ

い か ら, m=min{si/wi￨wi>0} と し,si′=si−mwiと

で あ り,各iに

=0で

お く.こ

の と き,

対 し てsi′ ≧0で,あ

あ る よ う なiに

対 す るxiを

るiに

対 し てsi′=0で

省 い て, 

あ る.よ

を 考 え,上

っ て,si′

と 同 じ操 作 を

行 う.こ れ を 繰 り返 せ ば,求 め る結 果 が 得 られ る.  さ て,(ⅱ)を …

,r}の

部 分 集 合{k0,k1,…,kn}と

す も の が 存 在 して,   任 意 の 元x∈Lに

な ら ば,{0,1,

示 す に は,  負 で な い 実数t0,t1,…,tnで 

と な る こ とを 示 せ ば よい.

対 し,x′=(x,1)∈L×Rと

書 く.

をみた

な ら ば, 

で あ り,dim(L×R)=n+1で

に 示 し た こ と に よ り,  で,ti≧0.こ

と な

る.こ

あ る か ら,上

こ に{k0,k1,…,kn}⊂{1,2,…,r}

を 示 し て い るか ら,こ れ で 求 め る結

の 式 は 

果 が 証 明 され た.    ノル ム空 間Lの

(証終) 部 分 集 合Aが

閉 集 合 で は な い.例

閉 集 合 で あ っ て も,凸 包Cυ(A)は

えば,L=R2でAが1直

必ず しも

線 とそ の 上 に な い1点

の和 集 合

で あ る 場 合 が そ うで あ る.し か しな が ら,次 の 定 理 が 成 り立 つ.   定 理8.20 

Lを 有 限 次 元 ノル ム 空 間 と し,Aを

と き,凸 包Cυ(A)は

そ の コ ンパ ク ト集 合 と す る

コ ンパ ク トで あ る.

 証明 は 有 界 閉 集 合 で あ る か ら,コ × Δnも

ン パ ク トで あ る.従

コ ン パ ク トで あ る.f:An+1×

っ てAn+1×

あ る.従

… ×A

Δn→Lを

 で 定 義 し よ う.fは そ の 像 はCυ(A)で

Δn=A×

っ て,Cυ(A)は

連 続 で,定

理8.19に

コ ン パ ク トで あ る. 

  ノ ル ム 空 間 の 次 元 が 有 限 で な い と き は,Aが

よ り, (証 終)

コ ン パ ク トで あ っ て も,Cυ(A)

は コ ン パ ク トで あ る と は 限 ら な い こ と が 知 ら れ て い る*.し

か しな が ら次 の 定

理 が 成 り立 つ.   定 理8.21 

Lを

と き 凸 包Cυ(A)の   証 明   Lは よ り,Cυ(A)は

バ ナ ッハ 空 間 と し,Aを 閉 包Cυ(A)は

の

コ ン パ ク トで あ る.

完 備 で,Cυ(A)は 完 備 で あ る.従

そ の コ ン パ ク ト集 合 と す る.こ

そ の 閉 集 合 で あ る か ら,定 っ て,定

理2.19に

理2.17の(ⅰ)に

よ り,Cυ(A)が

全有 界 で あ

る こ と を 示 せ ば よ い.   Aは 対 し,有   * 

Kothe:

コ ンパ ク トで あ る か ら,Aは

全 有 界 で あ る.従

限 個 の 点ai,…,ak∈Aが Topological

vector

spaces

っ て,任

存 在 して I

,

Springer

(1969)

P. 240参

照.

意 の 正 数 εに

と な る.x∈Cυ(A)を

任 意 の 元 とす る.定

と 表 わ せ る.各xiに

と お く.こ

  Aは

理8.19の(ⅰ)に

対 し, 

よ り,

を み た すaj(i)を1つ

と り,

の とき

有 界 で あ る か ら, 

よ り大 き い 整 数nを

と お く.こ

を み た す 正 数 α が 存 在 す る.3kα/ε

と り,

こ にpi/n≦ti<(pi+1)/nを

 従 っ て, 

み た す 整 数.こ

の と き,

が 得 ら れ,

が 成 り立 つ.0≦pi≦nで

あ る か ら,zは

有 限 個 し か 存 在 せ ず,上

の等 式 の右辺

は 有 限 個 の和 集 合 で あ る.ゆ え に

と な り,Cυ(A)は   8.4.3  る*.次

全 有 界 で あ る. 

(証 終)

ブ ロ ー エ ル の不 動 点 定 理 は 方 程 式 の解 の 存 在 証 明 に し ば し ば 使 わ れ

に,そ

の 例 と し て,固

有 値 に 関 す る フ ロ ベ ニ ウ ス(Frobenius)の

定理を

証 明 し よ う.   正 方 行 列Aに

対 し,未

知数tの

方 程式

det(A−tE)=0   *  吉 沢 太 郎:微

分 方 程 式 入 門(基

礎 数 学 シ リー ズ13)

,朝 倉 書 店 のp. 107に も 応 用 例 が あ る.

(Eは

単 位 行 列)の

  定 理8.22 

根 をAの

固 有 値 と い う.

正 方 行 列A=(aij)の

少 く と も1つ

あ る 列 の 成 分 が す べ て0の

  こ の と き,detA=0で

  Aをn次

形 写 像f:Rn→Rnを

ら ば,明

 な ら ば 

固 有 値 で あ る.

な い 成 分 が あ る と き.

の 行 列 と し,線

  xi≧0,…xn≧0な

と き.

あ る か ら,t=0はAの

ど の 列 に も0で

り,各jに

負 で な い 実 数 の と き,Aは

の 負 で な い 固 有 値 を も つ.

  証 明   (ⅰ) 

  (ⅱ) 

各 成 分aijが

ら か にy1≧0,…,yn≧0で

が 成 り立 つ.実

対 し 

次 式 で 定 義 す る:

際,y=0な

な るiが

あ る が,こ

ら ば,各i,jに

の と き,

対 しaijxj=0で

存 在 す る か ら,各xjは0で,x=0と

あ な る.

よ っ て,

と お く と き,写像g:N→Nが g(x)=f(x)￨‖f(x)‖ に よ り定 義 さ れ,連 体Bn−1に

続 で あ る.と

同 相 で あ る か ら,ブ

すx∈Nが

存 在 す る. 

E=(δij)に

対 し

が 成 り立 つ.と Aの

こ ろ が 

こ ろ が,次

に 示 す よ う にNは

単 位n−1球

ロ ー エ ル の 不 動 点 定 理 に よ り,g(x)=xを と お く.こ

で あ る か ら,det(aij−

の と き,f(x)=λxで

λδij)=0が

みた あ る か ら,

成 り立 ち,λ

は

固 有 値 で あ る.

  NがBn−1に

同 相 で あ る こ と を 示 そ う.  と す る と き,連

h′(y)=y/(y1+…+yn)に

続 写 像h:Δn−1→N,h′:N→ よ り定 義 さ れ,た

Δn−1がh(x)=x/‖x‖,

が い に 他 の 逆 写 像 と な る.ゆ

え に,

Nは

Δn−1に 同 相 で あ る.明

ら か に,Δn−1はRn−1の に 同 相 で あ る か ら,定

Bn−1に

同 相 で あ る.よ

  8.5    8.5.1 

っ て,NとBn−1は

凸 体  理8.17に

よ り,Δn−1は

同 相 で あ る. 

(証 終)

シ ャウ ダ ー の 不 動 点 定 理 ブ ロ ー エ ル の 不 動 点 定 理 を バ ナ ッ ハ 空 間 へ 拡 張 し よ う.

  補 題1 

Lを

バ ナ ッ ハ 空 間 と し,AはLの

有 界 で あ る と 仮 定 す る.こ 次 元 線 形 部 分 空 間L′

の と き,任

部 分集 合で そ れ は 凸 集合 かつ 全

意 に 与 え ら れ た 正数

と 連 続 写 像h:A→A∩L′

εに 対 し,Lの

有限

が 存 在 し て,各x∈Aに

対 し

 が 成 り立 つ.   証 明   Aは

全 有 界 で あ る か ら,有 限 個 の 点x1,…,xk∈Aが

存 在 し て, 

が 成 り立 つ.φi:A→R(i=1,2,…,k)を

で 定 義 す る.φiは

連 続 で, 

で あ る か ら,φi:A→R(i=1,

2,…,k)を

で 定 義 す れ ば,φiは つ,{x1,…,xk}で

各x∈Aに

連 続 で,各x∈Aに

張 ら れ る 線 形 部 分 空 間 をL′

対 し 

で 定 義 す る.hは

で あ る か ら,こ

対 しφi(x)≧0, 

従 っ て,写

と す る.Aは

像h:A→A∩L′

が 成 り立 凸 集 合 で あ る か ら, を

連 続 で,

のhは

求 め る も の で あ る. 

(証 終)

  ブ ロ ー エ ル の不 動 点 定 理 の 拡 張 で あ る次 の 定 理 を シ ャ ウ ダ ー(Schauder)の 不 動 点 定 理 と い う.   定 理8.23  Aが

Lを バ ナ ッハ 空 間,A⊂Lと

閉 集 合 か つ 凸 集 合 で,f(A)が

  証 明   (第1段)Aが   Aは

連 続 写 像 とす る.

コ ンパ ク トな らば,fは

不 動 点 を もつ.

コ ソパ ク ト凸 集 合 の と き.

全 有 界 で あ る か ら,補 題1に

線 形 部 分 空 間Lnと

し,f:A→Aを

よ り,各

自然 数nに

連 続 写 像hn:A→A∩Lnが

対 し,Lの

有限 次元

存 在 し て,

が 成 り立 つ.   定 理3.12の 合Aの

系 に よ りLnはLの

閉 集 合 で,従

っ て,そ

閉 集 合 で あ る か ら,A∩Lnは れ 自 身 コ ン パ ク トで あ る.ま

と も に 凸 集 合 で あ る か ら,A∩Lnは ら,定

理8.18に

あ る.ゆ

よ り,A∩Lnは

え に,ブ

凸 集 合 で あ る.Lnは あ る整 数k≧0に

コ ン パ ク ト集

た,Lnお

よ びAは

有 限 次 元 で あ るか

対 す る 単 位k球

ロ ー エ ル の 不 動 点 定 理 に よ り,A∩Lnの

体 に 同相で

そ れ 自身 へ の任 意 の

連 続 写 像 は 不 動 点 を も つ.   さ て,fn=hn°f:A→A∩Lnは

連 続 写 像 で あ る か ら, 

を 考 え る こ と に よ り, fn(xn)=xn,  を み た す 点xnの …

,xn,…

存 在 が わ か る.Aは

コ ン パ ク トで あ る か ら,Aの

は 収 束 す る 部 分 列 を も つ.こ

とす る.f:A→Aは

Xn∈A∩Ln

れ を,xk1,xk2,…,xkn,…

連 続 で あ り,ま

点 列x1,x2, と し, 

た,

で あ る か ら,

が 得 ら れ る.ゆ   (第2段)    B=f(A)と

え に,x0=f(x0)が

成 り立 ち,x0はfの

不 動 点 で あ る.

一 般 の と き. お く.B⊂Aで,Aは

凸 集 合 で あ る か ら,Bの

凸 包Cυ(B)はA

に 含 ま れ る.Aは

閉 集 合 で あ る か ら,Cυ(B)⊂A=Aが

連続写像 

え に,

が得られる.ここにi,jは包含

写 像.Cυ(B)は

凸 集 合 で あ る か ら,Cυ(B)も

に よ りCυ(B)は る.ゆ

成 り 立 つ.ゆ

コ ン パ ク トで あ る か ら,そ

え に,上

成 り立 つ.こ

凸 集 合 で あ り,ま

に 示 し た こ と に よ り,あ

の 閉 集 合Cυ(B)も

るx0∈Cυ(B)に

の と き,x0∈Aでf(x0)=x0で

た,定

理8.21

コ ン パ ク トで あ

対 し てg(x0)=x0が

あ る か ら,求

め る 結 果 が 示 さ れ た. (証 終)

  8.5.2 

次 の 小 節 で シ ャ ウダ ー の不 動 点 定 理 を 微 分 方 程 式 の 解 の 存 在 証 明 に

応 用 す る が,こ

の 小 節 で そ の た め に 必 要 な 定 理 を 準 備 し て お こ う.

  距 離 空 間Xか 合Hが

ら ノ ル ム 空 間Lへ

の 連 続 写 像 の つ く る 集 合CL(X)の

次 の 条 件 を み た す と き,Hは

に 対 し,正

∈X)な

ら ば,す

意 の正数 ε

べ て のf∈H

が 成 り立 つ.

  定 理8.24 

Xを

コ ン パ ク ト距 離 空 間,Lを

と す る.各x∈Xに

バ ナ ッ ハ 空 間 と し,H⊂CL(X)

対 しH(x)={f(x)∈L￨f∈H}と

が コ ン パ ク トで あ る た め に は,Hが H(x)が

同 程 度 連 続 で あ る と い う:任

数 δ が 存 在 し て,d(x,x′)<δ(x,x′

に対 し  

部分 集

お く.こ

同 程 度 連 続 で,か

の と き,H

つ,各x∈Xに

対す る

コ ン パ ク トで あ る こ とが 必 要 十 分 で あ る.

  こ れ を ア ス コ リ‐ア ル ツ ェ ラ(Ascoli-Arzela)の

定 理 と い う.

  証 明   (必 要)Hは

理2.20に

コ ン パ ク トで あ る か ら,定

で あ る.従

っ て,任

各f∈Hは

あ るfiに

を み た す.ゆ に よ り,H(x)は   次 にHは

意 の 正 数 ε に 対 し,有

限 個 のf1,…,fk∈Hが

全有界

存 在 し て,

対 し て,

え にH(x)は

全 有 界 で あ る が,Lは

完 備 で あ る か ら,定

理2.20

コ ン パ ク トで あ る. 同 程 度 連 続 で あ る こ と を 示 そ う.正

は 全 有 界 で あ る か ら,有 fiに 対 し て

よ り,Hは

限 個 のf1,f2,…,fl∈Hが

数 εが 与 え ら れ た とす る.H 存 在 し て,各f∈Hは

あ る

を み た す.定

理2.12に

よ りfi:X→Lは

し て,d(x,x′)<δi(x,x′

∈X)の

数 δiが 存 在

とき

が 成 り 立 っ.δ=min{δ1,…,δl}と f∈Hに

一 様 連 続 で あ る か ら,正

お く.こ

の と き,d(x,x′)<δ

な ら ば,各

対 し

が 成 り立 っ.よ

っ て,Hは

  (十 分)  CL(X)は

同 程 度 連 続 で あ る.

完 備 で あ る か ら,定

理2.20に

よ り,Hが

全有 界で あ る

こ と を 示 せ ば よ い.   正 数 ε が 与 え ら れ た と す る.Hは て,d(x,x′)<δ(x,x′

が 成 り立 つ.Xは

∈X)の

同 程 度 連 続 で あ る か ら,正

とき

コ ン パ ク トで あ る か ら,有

に お け る δ 近 傍 に 関 し て,O(x1,δ)∪ ∪ … ∪H(xk)と ら,Kも

お く.仮

ゆ え に,有

限 個 の 点y1,…,y1∈Kが

O(y1,ε/4)∪ l}へ

… ∪O(yl,ε/4)⊃Kが

… ∪O(xk,δ)=Xが

っ て,定

と き,各iに

理2.20に

成 り立 つ.い

成 り立 っ.K=H(x1)

よ り,Kは

Φ は 有 限 集 合 で あ るか ら, 

全 有 界 で あ る.

お け る ε/4近 傍 に 関 し て,

ま,{1,2,…,k}か

ら{1,2,…,

φ∈ Φ に 対 し,

対 しf(xi)∈H(xi)⊂Kで

あ る か ら,φ ∈ Φ が 存

が 成 り立 っ.ゆ

在 し て 

存 在 し,X

コ ン パ ク トで あ る か

存 在 し て,Lに

の 写 像 の つ く る 集 合 を Φ と し,各

と お く.f∈Hの

限 個 の 点x1,…,xkが

定 に よ り,H(xi)(i=1,…,k)は

コ ン パ ク トで あ る.従

数 δが 存 在 し

え に, 

を 示 せ ば よ い.

 x∈Xを 任意の点 とす る.d(x,xi)<δ をみたすxiが 存在するが,こ のとき  

また,Lφ の定義により  従 って, 

が得られ, 

が成 り立つ. (証終)

  8.5.3 

UをRn+1の

開 集 合 と し,f:U→Rnを

 

連 続 写 像 と す る.こ

が 存 在 し て 連 続 で あ る と 仮 定 す れ ば,定

明 した よ う に,実

数tを

変 数 と しRnに

式x′=f(x,t)は,Uの

任 意 の 点(x0,t0)に

す 解 を も ち,そ もDjfに

値 を と る 未 知 写 像xに

れ は 一 意 的 に 定 ま る.そ

対 し,初

の と き,

理5.5で

関 す る微 分 方 程

期 条 件x0=φ(t0)を

こ の 証 明 で は,解

みた

の存 在 を 示 す 場 合 に

つ い て の 上 の 仮 定 が 本 質 的 に 用 い ら れ て い た.し

存 在 を 主 張 す る だ け な ら ば 上 の 仮 定 は 不 要 で あ る.次

証

か し な が ら,解

の

に こ の こ とを シ ャ ウ ダ ー

の 不 動 点 定 理 を 応 用 す る こ と に よ っ て 示 そ う.   注 意   Rに よ びx=0は

値 を もつ 未 知 関 数xに と もにt=0の

だ け で はx′=f{x,t)の   定 理8.25 

関 す る微 分 方 程 式x′=3x2/3を

と きx=0と

な る解 で あ る.従

f:U→RnをRn+1=Rn×Rの

開 集 合Uで

任 意 の 点 とす る.こ

の と き,実

と る未 知 写 像 に 関 す る 微 分 方 程 式x′=f(x,t)の み た す も の が 存 在 す る.こ

  証 明   Uは(x0,t0)を Uが

成 り立 つ.こ

t0+q].B×Iは

連続性 を仮定す る

解 の一 意 性 は 得 られ な い.

と し,(x0,t0)∈Uを

件x0=φ(t0)を

っ て,fの

考 え れ ば,x=t3お

変 数 と しRnに

解 φ:(a,b)→Rnで,初

こ に(a,b)はt0を

含 む 開 集 合 で あ る か ら,正

こ にBはRnに

数tを

定 義され た連 続写像

数 ρ,qが

期条

含 む あ る 開 区 間. 存 在 し てB×I⊂

お け る 閉 球 体B(x0,ρ)で,Iは

コ ン パ ク トで,fは

値を

閉 区 間[t0−q,

こ の 上 で 連 続 で あ る か ら, 

を み た す 正 数 α が 存 在 す る. r=min(q,ρ/α), 

J=[t0−r,t0+r]

と し,

と お く.5.2の

補 題2で

示 し た よ う に,Gは

バ ナ ッ ハ 空 間CRn(J)の

閉 集 合 で,

連 続 写 像:T:G→Gが

に よ り定 義 さ れ るが,さ

らに,Gは

凸 集 合 で,H=T(G)の

ク トで あ る こ とが 次 の よ うに 示 さ れ るか ら,シ

閉 包Hは

コ ンパ

ャ ウ ダ ー の 不 動 点 定 理 に よ り,

T(φ)=φ

を み た す φ∈Gが

存 在 す る.こ

の と き,

で あ る か ら,φ ′(t)=f(φ(t),t)(t∈(t0−r,t0+r)),φ(t0)=x0が

成 り立 つ.ゆ

え に φ は 求 め る 解 で あ る.   φ1,φ2∈Gの 像 で あ り,ま

と き,各S(0≦s≦1)に た,Bは

凸 集 合 で あ る か ら,各t∈Jに

ゆ えに     Hが Hは

対 し,(1−s)φ1+Sφ2:J→Rnは

が 成 り立 つ.よ

コ ン パ ク トで あ る こ と を 示 す に は,ア 同 程 度 連 続 で,各t∈Jに

連続写

対 し  っ てGは

凸 集 合 で あ る.

ス コ リ‐ア ル ツ ェ ラ の 定 理 に よ り,

対 し 

の 閉 包H(t)が

コ ン パ ク トで あ る こ と を 示 せ ば よ い.   任 意 の φ∈Gに

で あ る か ら,Hは (φ ∈G)で

対 し

同 程 度 連 続 で あ る.ま

あ る か ら,H(t)⊂B.Bは

ク トで あ る. 

た,各t∈Jに

対 し,(Tφ)(t)∈B

コ ン パ ク トで あ る か ら,H(t)は

コ ンパ (証終)

参

考

書

 

本 書 の 執 筆 に あ た っ て 参 考 に した 書 物 の お も な も の は 次 の 通

 

[1] 

Press

Milnor,J.:Topology of

from

the

differentiable

り で あ る.

viewpoint,The

University

Virginia(1965).

 

[2] 

Milnor,J.:Morse

theory,Princeton

 

[3] 

Munkres,J.:Elementary

University

differential

Press(1963).

topology,Princeton

University

Press(1966).  [4] 

Pontrjagin,L.:常

  [5] 

Simmons,G.:Topology

  [6] 

Spivak,M.:Calculus

 [7] 

微 分 方 程 式,共 and on

Stong,R.:Notes

on

立 出 版(1963).

modern

analysis,McGraw-Hill(1963).

manifolds,Benjamin(1965).

cobordism

theory,Princeton

University

Press

(1968).

  微 分 位 相 幾 何 に つ い て さ ら に 勉 強 し た い 人 は[1],[2],[3],[7]お

よ び そ れ ら

に 掲 載 の 文 献 を 参 照 さ れ た い.  

ブ ロ ー エ ル の 不 動 点 定 理 の 証 明 法 と し て は,本

合 わ せ 的 方 法'お れ て い る.こ  

よ び ホ モ ロ ジ ー 群 を 使 用 す る'代

れ ら に つ い て は,た

Pontrjagin,L.:Foundations

  河 田 敬 義(編):位  中 岡

稔:位

相 幾 何 学.ホ

  Spanier,E.:Algebraic

分 的 方 法'よ

数 的 方 法'の

り も,'組

ほ うが む し ろ よ く 知 ら

と え ば 次 の 書 物 を 参 照 さ れ た い. of

相 幾 何 学(現

書 で 述 べ た'微

combinatorial

topology

代 数 学 演 習 叢 書2),岩

モ ロ ジ ー 論(現

Press(1952).

波 書 店(1965).

代 の 数 学15),共

topology,McGraw-Hill(1966).

,Graylock

立 出 版(1970).

索

引

開 近 傍   25 ア

行

解 空 間   53

ア ス コ リ‐ア ル ツ ェ ラ の 定 理  212

開区 間 6

ア フ ィ ン部 分 空 間   57,138

開 集 合   17,24 階数

位 相   24

行列 の―

位 相 空 間  24

  66

線形 写像 の―

  61

位 相 多 様 体   135

開 直 方 体  9

イ ソ トピ ー   132,155

開 被 覆  29

イ ソ トー プ  132

開 部 分 多 様 体   151

1次 結 合   54

開 立 方 体  9

1次 従 属  55

下 界  7

1次 独 立   55

可換 な図式 4

1パ ラ メー タ ー 変 換 群   127,168 一 様 収 束   16 一様 連 続  40

下限 7 角   11, 72 核   61

1点 コ ンパ ク ト化   50

拡 張(写 像 の)  4

陰 関 数 の 定 理   110

可 算 集 合  6 可 算 無 限 集 合  6

上 へ の1対1写

像  5

可 微 分 構 造   149

上 へ の 写 像  4

可 微 分 多 様 体   135,139,149

内 向 き接 ベ ク トル   147,158

可 分   28

うめ こみ   159

管 状 近 傍   201 関数 3

横 断 的   164

完 備  44 カ

行

基 底   56

解(微 分 方 程 式 の)  116

軌 道   128

開 基   27

基 本 列   43

逆 関 数 の定 理   106

原 点  8

逆 元   52 逆 写像  5

合 成(写 像 の)  4

逆 像  3

恒等写 像  3

逆 ベ ク トル  52

勾 配   130,171

球 体  10,18

弧 状 連 結   33

球 面 9

コー シー 列  43

境界

弧 長 に よ る パ ラ メ ー タ ー表 示   172

多様体 の―

  139,149

部分 集合 の―

  19,25

固 有 値   209 コ ンパ ク ト  35

境 界 点   139 サ

共 通部 分 2

行

行 列   60

最 小数 7

行 列 式   63

最 大数 7

行 列 表 示  60

細 分   50

極 限   16, 23

差 集 合  2

極限値  8

サ ー ドの定 理  185

極 限 点   15

座 標   8,57

極 小 値   97

座 標 近 傍   135,139,149

局 所 コ ンパ ク ト  47

座 標 近 傍 系   149

局 所 有 限 な 被 覆   29

3角 不 等 式   12

曲 線 の 長 さ  171 極 大 値   97

Cr級 写 像   98,102

距 離   9,14

Cr級 微 分 同 相   103

距 離 関 数   13

C0級 写 像   98

距 離 空 間   13

C∞ 級 曲線   147,158

近 傍   17,19

C∞ 級 写 像   98,153 C∞ 構 造   149

空 集合  1

σコ ンパ ク ト  48

区 間 6

次元

ク ラ イ ンの び ん   151

線形 空間 の―

グ ラ フ  136

多 様 体 の―

  57   135,149

始 点   33 元  1

シ ャ ウ ダ ー の 不 動 点 定 理   222

原像  3

射 影   4,5

射 影 空 間   26,150,180

正 常 点   161

射 影 変 換   156

正 則 行 列   67

写像  3

正 則 部 分 多 様 体   152

写 像 度   193

正 の 基 底   69

集合  1

正 の 向 き  69

集合 族 2

成分

集 積 点   42

行 列 の―

  60

収 束  8

写像 の―

 4

写 像 列 の―  点 列 の ― 

16

接 ベ ク トル の ―

15

  142,156

正 方 行 列   60

従属 変数  3

積(行 列 の)  61

終 点   33

積 位 相   25

シ ュ ワル ツ の不 等 式   10,65,71

積 空間

順 序 づ け られ た 基 底   69

位 相空 間 の―

 25

商 位 相   25

距 離空 間 の―

  13

上界  7

積 写像  4

小 行 列 式   64

積 集 合 2

商空 間

積 多 様 体   153

位 相空 間 の―

  25

ベ ク トル 空 間 の ― 

積 分 曲 線   128, 168 55

接 空 間   142, 156

上 限 7

接 束   165

商集 合  5

接 ベ ク トル   142,156

初 期 条 件   116

接 ベ ク トル 空 間   142,156

触 点  19,25

線 形 空 間   52 線 形 結 合   54

数 ベ ク トル   10

線 形 写 像   58

数 ベ ク トル 空 間   10

線 形 従 属   55

ス カ ラ ー 倍  10,52

線 形 独 立   55

ス トー ン‐ワ イ エ ル シ ュ トラ ス の 定 理   198

線 形 部 分 空 間   53 全 射  4

正 規 形 の1階

常 微 分 方 程 式   117

全 単射  5

正 規 空 間   27

線 分   11

正 規 直 交 基 底  73

全 有 界   37

制 限(写 像 の)  4 正 常 値  161

像 3

測 度0を

もつ  182

点 列コ ンパ ク ト  41

速 度 ベ ク トル   147,158 外 向 き接 ベ ク トル   147,158 タ

行

等 化 空 間  25 同 形(線 形 空 間 の)  58 同 形 写 像(線 形 空 間 の)  58

対 角 線 写 像  4

同 相   26

代 数 学 の 基 本 定 理   162

同 相 写 像   26

体 積   181

同 値  5

対 等(集 合 の)  6

同値 関係  5

第2可

同 値 律  5

算 公 理  28

多 様 体   135,149

同値 類 5

単 位 球 体   10

同 程 度 連 続   212

単 位 球 面   19,137

独 立変 数  3

単 位 行 列   61

凸 集 合  11,201

単 位 の 分 割   101,155

凸 体  204

単射  5

凸 包   205

単 調 減 少   4,8

ド ・モ ル ガ ンの 法 則   2

単 調 増 加   8,41

トー ラス   153, 177 ナ

中 間 値 の 定 理   33 中 心   10

行

稠 密   19,25

内積   10, 71 ― を もつ 線 形 空 間   71

直 線   11

内 点   19,25

直 和(線 形 空 間 の)  54

内 部   19,25

直 径   37

長 さ  10,71

直 交   11,72

中 へ の1対1写

直 交 行 列   61

中 へ の 同 相 写 像   26

直 交 補 空 間   72

滑 らか な 曲線  147

像  5

滑 らか な 写 像  98,153 定値 写像  3

滑 らか な 多 様 体   135

デ ィニ の 定 理  41 テ イ ラ ー の 定 理   95

ノル ム  71

点  13

ノ ル ム空 間   71

添 字 集 合  1 転置 行列  60

フ ロベ ニ ウス の定 理   208 ハ

行

ハ イ ネ-ボ レル の 定 理   35

平 均 値 の定 理  90

ハ ウス ドル フ空 間   27

閉 区間 6

バ ナ ッハ 空 間  76

平 行   58

は め こみ  159

平 行 性 を もつ(多 様 体)  169

パ ラ コ ンパ ク ト  50

閉 集 合   18,25

パ ラ メ ー タ ー 表 示   139,149

閉 直 方 体  9

張 る  54

閉 部 分 多 様 体   151

半空 間 9

閉 包   19,25

半 径   10

閉 立 方 体  9 ベ ク トル  10,52

被 覆29

ベ ク トル 空 間   52

微 分   79,103,144,158

ベ ク トル 束  166

微 分 可 能   79,89,95

ベ ク トル 場  128,167

微 分 同 相   154

偏 導 関 数  90,93

微 分 同 相 写 像   153

偏 微 分 可 能   86

微 分 方 程 式   116

偏 微 分 係 数  86

標 準 基 底   57 標 準 的 な 向 き  70,176

包含 写像  3 補 集 合  2

複 素 射 影 空 間   151

ホ モ トピー  131,200

符 号  70

ホ モ トー プ  131,155,200

付 属 ベ ク トル 空 間(ア フ ィ ン空 間 の)  58

ボ ル ツ ア ノ-ワ イ エ ル シ ュ トラ ス の 性 質  43

不 動 点   46 負 の 基 底  69

マ 負 の 向 き  69 フ ビ ニ の 定 理   183

交 わ る  2

部分 空 間 位 相 空間 の―

  25

距 離空 間 の―

  13

部 分集 合 1 部 分 集 合 族  2

道   33

向 き  69 多様体 の―

  195

部 分 多 様 体   151

向 きを か え る  70,177

ブ ロー エ ル の 不 動 点 定 理   199

向 き を保 つ   70,177

行

向 きづ け 可 能 な 多 様 体   175

離 散 距 離 空 間   13

向 きづ け られ た 座 標 近 傍 系   178

立 体 射 影   104

向 き づ け られ た 線 形 空 間   69

リー マ ン計 量   170

向 き づ け られ た 多 様 体   175

リー マ ン多 様 体   170

無限集 合  1

臨 界 値   161

無 限 小 変 換   127,168

臨 界 点   161 リ ンデ レー フ の 性 質   29

メ ー ビ ウス の 帯  26,150,180 ル ベ ー グ数  42 ヤ

行

ル ベ ー グ の補 題  42

ヤ コ ビ行 列   87 ヤ コ ビ行 列 式   87

零 元   52 零 写 像   58

有 界   7,8,37,77

零 ベ ク トル   52

有 界 集 合  7

連 結  30

有 限 次 元   56

連 結 成 分  33

有限 集合  1

連 続 写 像   13,25

誘 導 され た 向 き  176 ユ ー ク リッ ド空 間   9

連 続 性(実 数 の)  7 連 続 微 分 可 能 な 写 像   92,98 ワ

要 素  1

行

和(ベ ク トル の)  10,52 ラ 離 散 位 相   24

行

ワイ エ ル シ ュ トラ ス の 近 似 定 理   199 和集 合 2

著者略歴

中 岡

稔

1925年 

大阪府に生れ る

1950年  大阪大学理学部卒業 現 在  大阪大学名誉教授 ・理学博士

基礎数学シリーズ18 位 相 数 学 入 門

定 価 はカバー に表示

1971年10月5日 

初 版 第1刷

2004年12月1日 

復 刊 第1刷

著 者  中

岡

発行者 朝

倉

発行 所  株式 会社  朝

稔 邦

倉

書

造

店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6-29 郵 便 番 号  電

話 

FAX 

〈 検 印省 略〉 C

1971〈

ISBN 

03(3260)0180

http://www.asakura.co.jp

無 断 複 写 ・転 載 を 禁 ず 〉 4-254-11718-3 

162-8707 03(3260)0141

C 3341

中央印刷 ・渡 辺製本 Printed

in Japan