Теория унитарной симметрии

Ю.Б.Румер и А.И.Фет ТЕОРИЯ УНИТАРНОЙ СИММЕТРИИ Книга состоит из 18 глав, разбитых на 3 части: математическое введение, унитарная классификация адронов, массовые формулы. В первой части излагаются основные факты из теории комплексных линейных пространств и конструкций над ними, основные свойства групп, алгебр и их представлений. При изложении приводятся точные формулировки определений и теорем, доказательства теорем, как правило, опускаются. В эту часть включены многочисленные комментарии, поясняющие значение и причину возникновения приводимых результатов. Во второй части приводится во всех подробностях исследование тех частных групп (и их представлений), которые нужны для описания симметрии сильных взаимодействий, т. е. групп SU (2), SU (3), SU (4) и SU (6). В этой части внимание обращается на те стороны теории, которые необходимы для физики. Последняя часть посвящена выводу массовых формул, и она является более физической, чем математической. Для массовых формул предлагается новое обоснование, позволяющее трактовать их более широким образом. В библиографии приведены основные работы по излагаемому вопросу. Содержание Предисловие 7 ЧАСТЬ I. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ 11 Глава 1. Комплексные евклидовы пространства н операторы в них 11 § 1.1. Определения 11 § 1.2. Линейные операторы 16 Глава 2. Конструкции над пространствами и операторами 22 § 2.1. Дуальные пространства 22 § 2.2. Ортогональная сумма пространств 26 § 2.3. Тензорное (кронеккерово) произведение пространств 34 § 2.4. Тензорное произведение операторов 37 § 2.5. Случай любого числа сомножителей 39 Глава 3. Тензорная алгебра над комплексным евклидовым 41 пространством § 3.1. Определение 41 § 3.2. Задание тензора координатами 43 § 3.3. Индуцированный оператор 46 § 3.4. Другие способы определения тензора 50 § 3.5. Умножение и свертывание тензоров 53 § 3.6. Симметрические и антисимметрические тензоры 55 Глава 4. Группы и алгебры 60 § 4.1. Группы. Определения и простейшие свойства 60 § 4.2. Примеры групп 65 § 4.3. Представления групп 70 § 4.4. Алгебры Ли. Определения и основные свойства 74 § 4.5. Примеры алгебр Ли 78

§ 4.6. Связь между группами и алгебрами Ли § 4.7. Представления алгебр Ли Глава 5. Представления групп SU(п) § 5.1. Представления SU(2) § 5.2. Представления SU(3) § 5.3. Представления SU(п) при любом п § 5.4. Тензороператоры и операторные представления ЧАСТЬ II. УНИТАРНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ АДРОНОВ Глава 6. Квантовая механика и теория групп § 6.1. Физические системы § 6.2. Гильбертово пространство § 6.3. Наблюдаемые § 6.4. Роль представлений групп в квантовой механике § 6.5. Алгебраические свойства операторов моментного типа Глава 7. Спин и группа SU(2) § 7.1. Введение спина в квантовую механику § 7.2. Группа вращений, группа SU(2) и их представления § 7.3. Спин в SU(2)-трактовке § 7.4. Фермионы и бозоны § 7.5. Два состояния или две частицы? Глава 8. Зарядовые мультиплеты § 8.1. Дублет протон — нейтрон § 8.2. Триплеты и квадруплеты Глава 9. Классификация адронов с помощью представлений группы SU(3) § 9.1. Мотивировка § 9.2. Алгебра Ли ASU(3) § 9.3. Разложение октета и декуплета на изотопические мультиплеты § 9.4. Эмпирический вывод операторов заряда, гиперзаряда и изоспина § 9.5. Принципы SU(3)-описашш элементарных частиц § 9.6. Три типа изоспина Глава 10. Примеры супермультиплетов § 10.1. Октет барионов А. Векторы состояния с точки зрения T-спина В. Векторы состояния с точки зрения U-спина § 10.2. Декуплет барионов А. Векторы состояния с точки зрения T-спина Б. Векторы состояния с точки зрения U-спина Глава 11. SU(3) -теория для произвольных супермультиплетов § 11.1 Построение T-базиса § 11.2. Уточнение принципов SU(3) -классификации Глава 12. Построение элементарных частиц из кварков § 12.1. Системы частиц со спином в квантовой механике § 12.2. Основные предположения о кварках

88 95 99 99 103 112 121 127 127 128 130 133 135 142 149 149 154 158 161 161 163 163 166 169 169 179 184 192 195 191 202 202 202 204 206 206 207 209 209 217 221 221 223

§ 12.3. Кварковый состав супермупьтиплетов § 12.4. Заключительные замечания о кварках Глава 13. Fpvnna SU(6) и ее подгруппы § 13.1. Мотивировка введения группы SU(6) § 13.2. Алгебра Ли ASU(6). Спин, момент и гипермомент § 13.3. Вигнеров спин. Странный и нестранный спин Глава 14. Классификация адронов с помощью представлений группы SU(6) § 14.1. Описание представлений группы SU(6) § 14.2. Принципы SU(6)-описания элементарных частиц A. SU(3)-редукция Б. SU(4) -редукция Глава 15. Примеры гипермультиплетов § 15.1. 35-плет мезонов A. SU(3)-редукция Б. SU(4) -редукция § 15.2. 56-плет барионов A. SU(3)-редукция Б. SU(4)-редукция § 15.3. Другие гипермультиплеты Глава 16. Магнитные моменты и гипермоменты § 16.1. Определения момента и гипермомента адрона § 16.2. Примеры вычисления магнитного момента и гипермомента А. 35-плет мезонов Б. 56-плет барионов ЧАСТЬ III. МАССОВЫЕ ФОРМУЛЫ Глава 17. Массовые формулы § 17.1. Возмущение оператора энергии магнитным полем § 17.2. Унитарный момент и унитарное поле в SU(3)- теории § 17.3. Свертки Окубо и операторы Казимира группы SU(3) § 17.4. Формула масс в SU(3)-теории А. Гиперзарядовое расщепление супермульти-плетов Б. Зарядовое расщепление супермультиплетов § 17.5. Унитарный момент и унитарное поле в SU(6)-теории § 17.6. Формула масс в SU(6)-теории А. 56-плет барионов Б. 35-плет мезонов Глава 18. Интерпретация массовых формул. Отождествление и смешение частиц § 18.1. Массовые формулы и понятие элементарной частицы А. 56-плет барионов Б. 35-плет мезонов § 18.2. Смешение частиц типа ϕ — ω § 18.3. Смешение частиц типа Σ° — Λ

229 230 232 232 236 247 257 257 262 264 268 272 272 273 278 295 295 301 326 327 327 330 330 332 337 337 338 342 351 355 357 361 362 372 378 379 381 381 383 384 388 392

§ 18.4. Заключительные замечания 393 Литература 396 Предметный указатель 397 Предметный указатель Группа 60 Адрон 169 — абелева (коммутативная) 61 Алгебра Ли 75 — бесконечная 63 — —, изоморфизм 75 — дискретная 63 — —, образующие (генераторы) 76 — знакопеременная 69 — —, перестановочные соотношения —, изоморфизм 64 77 — конечная 63 — —, подалгебра Ли 78 — Ли 63 — —, представление 95 — — действительная линейная 65 — —, ранг 184 — — ортогональная 67 — —, структурные постоянные 77 — —, параметризация 63 Антиизоморфизм 14 — — полная линейная 65 Антикварк 223 — — , размерность 63 Антикоммутативность 76 — — специальная действительная Античастица 170 линейная 66 Базис 12 — — — линейная или — дуальный 25 унимодулярная 65 Барион 169 — — — ортогональная 68 Барионное число 169 — — — унитарная 66 Бозе статистика 161 — — унитарная 66 Борна вероятностное истолкование — Лоренца 387 129 —, матричное изображение 61 Валентность 41 —, представление 70 Вектор 11 — Пуанкаре 387 — состояния супермультиплета 192 — симметрическая 68 — — гипермультиплета 263 Декуплет 194 Вейля параметры 216 Дублет 165 Вигнера подгруппа 247, 249 Зеемана эффект 337 Гайзенберга Измеримость одновременная 134 дублет протон — нейтрона 163, 165, Изоморфизм локальный 157 166 — пространств 14 Гайзепберга Изоспин 170 матричная механика 132 —, проекция 200 Гелий в ортосостоянии 222 Кварк 224 — в парасостоянии 222 Кварковый состав 225 Генераторы (алгебры Ли) 76 Кеммера зарядовые мультиплеты 166 Гильбертово пространство 15, 130 Ковектор 23 Гиперзаряд 170 Коммутативность 61 Гипермомент адрона 245 Коммутатор 74 Гипермультиплет 262 Координаты 12 Градиентное преобразование 129

Коши критерий сходимости 15 Кронеккерово произведение 37 Лептон Ли группа 63 — —, произведение 74 Масса покоя 338 Массовые формулы 208 — — Бега и Синга 337, 374 — — Гелл-Манна — Окубо 337, 356 Матрица 16 — Гелл-Манна 82 — Гюрши 87 — Дирака 85 —, кронеккерово произведение 38 — Окубо 83, 85 — Паули 81, 151, 169 Мезон 170 — векторный 277 — псевдоскалярный 277 Механика квантовая 127 — — волновая 132 — — матричная 132 Момент 140 — квазиорбитальный 367 — магнитный (адрона) 286 — нестранный 255 — октетный 366 — орбитальный 153 — полный 153 — синглетный 366 — странный 255 — унитарный 344 Мультиплет 170 — изотопический (зарядовый) 167 — унитарный (F-мультиплет) 265 Мультиплетность 170 Наблюдаемая 133 — аддитивная 227 — основная 184 —, полная система 254 Накрытие 157 фон Неймана нормировка волновых функций 129 — общая трактовка пространства

состояний 150 Норма 130 Нуклон 165 Образующие внешние 81 Октет 173 Окубо полином 126, 194, 343 — уравнение 125 Оператор 16 — антисимметризации (тензоров) 59 — антиэрмитов 75 — бесследный 33 — гиперзаряда 193 —, действия (над операторами) 17 — диагонализируемый 30 — дуальный 25 — заряда 176, 193 — индуцированный 46 — квадрата массы 343 — массы 357 —, матричное изображение 16 — момента 140 Оператор моментного типа 142 — неприводимый 28 — обратимый 60 — обратный 18 —, окрестность 90 —, определитель 19 —, ортогональная сумма 28 —, подобие 20 — приводимый 28 — проектирующий 21 — симметризации (тензоров) 59 —, система 29 — скалярный 364 —, след 33 — сопряженный 18 — тождественный 17 — унимодулярный 20 — унитарный 18 — Шредингера 134 — эрмитов 18 Отношение магнитных моментов (протона и нейтрона) 336 Перестановочные соотношения 77

Подгруппа 61 — Вигнера 247, 248 — изоспина 243 — нестранного спина 250 — обычного (J) спина 235 — странного спина 250 — унитарного (F) спина 235 Подпространство 15 —, ортогональная сумма 21 Поле кулоново 338 — магнитное 338 — унитарное 337, 345 Представление группы вращений 135 — индуцированное 71 — локальное 142 — неприводимое 74 — операторное 125 — приводимое 74 —, произведение 72 — разрешенное 251 — регулярное 117 —, редукция 184 — скалярное 71. —, степень 70 Представление, сумма 72 — тензорное 112 — тождественное (фундаментальное) 71 — точное 71 — тривиальное 71 —, унитарная эквивалентность 73 — унитарное 70 —, эквивалентность 73 Проекция 21 Произведение вектора на конвектор 23 — Ли 74 — операторов 17 —— скалярное 11 — тензора на число 39, 40 — тензоров 53 Пространство (комплексное евклидово) 111 — дуальное 22

— конечномерное 12 — , ортогональная сумма 21, 26 —, размерность 12 — сепарабельное 15 — собственное 32 —, тензорное произведение 37 — унитарное 12 Ранг (алгебры Ли) 184 Редукция представления 184 Сакураи соотношение 388 Симметрия сферическая 134 — унитарная 169 Синглет 188 Смешение частиц 271, 388, 392 Собственное значение 31 — —, кратность 32 Собственный вектор 31 Состояние физической системы 128 Спектр атомный, сверхтонкая структура 394 — —, тонкая структура 342 — масс адрона 368 Спин 152 — вигнеров (W) 247, 252 Спин изотопический 168, 170 — нестранный (N) 250, 252, 255 — обычный (1) 240 — ,оператор 153 — странный (S) 250, 253, 255 — унитарный (F) 223, 240 — G 365 — Т 200 — U 200 — F 201 Спинор 100 Спинтензор 100 Среднее значение 328 Сумма тензоров 45 Супермультиплет 172 —, гиперзарядовое расщепление 357 —, зарядовое расщепление 360 Тензор 41 —, антисимметризация (тензоров) 59 — антисимметрический 58

— бисимметрический 58 —, валентность 41 — ковариантный 41 —, координаты (компоненты) 43 — магнитного поля 341 —, свертывание 55 —, симметризация 59 — симметрический 56 —, умножение 53 Тензороператор 121 — бесследный 122 — инвариантный 122, 125 — унитарного момента 344 Тип симметрии (тензоров) 102 Ток «квазиорбитальный» 365 Уленбека и Гаудсмита представление 149 Уравнение вековое 31, 32 Ферми статистика 161 Функция антилинейная 24 — волновая 128 — —, вероятностное истолкование 129

— — нормированная 129 — линейная 24 — полилинейная 52 — Эрмита 131 Частица 128 — «истинно-нейтральная» 170 — элементарная 169, 197, 263, 267 — SU(3) 248 — SU(4) 248 Четность 170 Швингера соотношение 391 Шредингера волновая механика 132, 150, — оператор 133 Эйнштейна правило суммирования 13 Экспоненциал 89 Экспоненциальная связь 92 Электрон 149 Энергия 133 Юнга схема 103 Якоби тождество 76